Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 8
Глава 1. Идеально пластическое тело 33
Идеальная пластичность 33
Условия пластичности 36
Принцип максимума в пространстве напряжений. Пластический потенциал и ассоциированный закон пластического течения 39
Принцип максимума в пространстве скоростей пластических деформаций. Диссипативная функция и ассоциированный закон нагружения42
Экстремальные свойства условий пластичности ....47
Гипотеза прочности формоизменения 50
Кусочно линейные условия пластичности60
Уравнения деформирования тел за пределом упругости 67
Соотношения изотропии и обобщенный ассоциированный закон пластического течения90
Соотношения ассоциированного закона течения в обобщенных переменных105
Соотношения ассоциированного закона нагружения в обобщенных координатах132
Свойства уравнений при условии полной пластичности. 138
Плоская задача теории идеальной пластичности .... 161
Вдавливание штампа в пластическую среду180
Плоские течения идеально пластической среды .... 185
Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля 196
Начальное пластическое течение при внедрении сферического индентора в жесткопластическое полупространство 222
Внедрение гладкого клинообразного в плане штампа с плоским основанием в жесткопластическое полупространство 231
К теории кинематически определимых состояний идеально пластического тела238
Сдавливание несжимаемого пластического слоя шероховатыми плитами. Обобщение решения Прандтля246
Сдавливание сжимаемого идеально пластического слоя шероховатыми плитами. Обобщение решения Гартмана260
Глава 2. У проч ня ющееся пластическое тело. Сложные среды . 265
Упрочнение и разупрочнение.
Поверхность нагружения. Функция нагружения. Нагружение и разгрузка265
Принцип максимума в пространстве напряжений. Ассоциированный закон деформирования гладкие поверхности нагружения272
Обобщенный ассоциированный закон нагружения, кусочно гладкие поверхности нагружения278
Об ограничении числа гладких функций нагружения для сингулярной поверхности нагружения. Деформационные теории пластичности281
Диссипативная функция. Принцип максимума в пространстве скоростей пластических деформаций .... 284
Плоская деформация при наличии линейного упрочнения 290
Общая теория пластичности с линейным упрочнением . 304
Теории изотропного и анизотропного упрочнения . . . 326
Модели сложных сред329
Влияние вязкости на механическое поведение пластических сред337
О влиянии внутреннего механизма вязкости на идеально пластическое поведение материала340
Уравнения деформирования не вполне упругих и вязкопластических тел345
Пространственное деформирование не вполне упругих и вязкопластических тел375
Диссипативная функция в теории пластичности .... 379
Некоторые применения статистики к описанию законов деформирования тел387
О равнопрочном сечении балки397
Об остаточных напряжениях при крутке402
Трение качения419
О качении жестких и пневматических колес по деформируемому грунту433
Прокатка и волочение при больших скоростях деформирования 458
Разрушение не вполне упругих материалов465
Продольные колебания стержня при наличии линейного закона последействия и релаксации481
Плоские движения сыпучих сред494
Об ударе вязкопластического стержня о жесткую преграду 508
К вопросу об ударе вязкопластического стержня о
жесткую преграду516
К динамике грунтовых сред527
Глава 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа531
Растяжение бесконечно длинной идеально пластической полосы переменного сечения531
Растяжение идеально пластической плоской полосы, ослабленной пологими симметричными выточками. Полиномиальное решение536
Растяжение анизотропной идеально пластической полосы 539
Растяжение идеально пластической анизотропной плоской полосы, ослабленной пологими симметричными выточками. Полиномиальное решение542
Линеаризация. Граничные условия, условия сопряжения, условие пластичности547
Растяжение идеально пластической полосы. Полиномиальные решения559
Растяжение идеально пластического цилиндрического стержня при условии пластичности Треска561
Растяжение идеально пластического цилиндрического стержня при условии пластичности Мизеса564
Напряженное состояние идеально пластического полого цилиндра, близкого к круговому569
Напряженное состояние идеально пластических тел вблизи сферической полости577
Напряженное состояние идеально пластических тел, близких к коническим583
Растяжение идеально пластического прямоугольного бруса, ослабленного пологими выточками, при условии полной пластичности587
Растяжение идеально пластического прямоугольного бруса, ослабленного пологими выточками, при условии пластичности Мизеса592
Растяжение идеально пластического прямоугольного бруса, ослабленного пологими выточками. Продолжение 596
Линеаризированные уравнения пространственного течения идеально пластических анизотропных тел. . . . 605
Решение линеаризированных уравнений пространственного состояния идеально пластических тел .... 608
Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута611
Об устойчивости вязкопластического течения круглой пластины643
Вязкопластическое течение анизотропной полосы, ослабленной пологими выточками655
Вязкопластическое течение полосы, ослабленной пологими выточками. Полиномиальное решение659
Растяжение толстой вязкопластической плиты, растягиваемой в своей плоскости662
Сдавливание круглого в плане пластического слоя шероховатыми плитами666
Сдавливание пластического слоя искривленными и наклонными шероховатыми плитами681
Литература688
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория пластичности принадлежит к числу фундаментальных разделов механики деформируемого твердого тела.
Авторы настоящей монографии принимали участие в определении и осмыслении основных общих соотношений теории идеальной пластичности, основанной на представлении о сдвиговом характере пластического деформирования, ведущем свое начало от основоположников теории пластичности Треска и Сен-Венана.
В монографии излагается построение теории идеальной пластичности с единым математическим аппаратом статически определимых уравнений гиперболического типа, вполне адекватных сдвиговому характеру деформирования идеального жесткопластического тела.
В монографии излагается впервые предложенная одним из авторов теория трансляционного упрочнения и ее дальнейшее развитие. Именно представления, основанные на трансляционном механизме упрочнения, позволяют описать основные свойства пластической среды при деформировании за пределом текучести.
В монографии излагаются также численные и приближенные аналитические методы решения задач, начало исследованию которых было положено в работах одного из авторов более пятидесяти лет тому назад.
В монографию вошли фрагменты оригинальных исследований авторов. Авторы надеются, что по ним читатель сможет представить и оценить поиск путей и результатов, приведших в определенной степени к современному состоянию теории.
М.В. Михайлова проделала очень большую работу по подготовке рукописи к печати, авторы выражают ей глубокую благодарность.
Авторы признательны также А.М. Васильевой, Д.В. Ильину, Н.А. Ефимовой, В.Г. Ефремову, Л.А. Максимовой, Э.В. Павловой, Г.В. Петрову, Т.И. Рыбаковой, Е.А. Целистовой за помощь в работе.
Авторы признательны Н.Б. Бартошевич-Жагель за большой труд по редактированию книги.
ВВЕДЕНИЕ
Пластичность — свойство тел приобретать остаточные деформации. Математическая теория пластичности занимается построением математических моделей пластического деформирования тел, методами определения напряжений и деформаций в пластически деформируемых средах. В математической теории пластичности за исходные принимаются экспериментальные данные и непосредственно она не связана с физическим объяснением свойств пластичности. Математическая теория пластичности (далее — теория пластичности) связана, в основном, со свойствами металлов, ее применения возможны к таким материалам, как горные породы, лед и т.д.
Экспериментально доказано, что объемная деформация металлов в достаточно широком диапазоне изменения давления является упругой, то есть пластические деформации не вызывают изменения плотности. Таким образом, при образовании пластической деформации металлов основным является сдвиговой механизм. Напротив, такие среды, как грунты, способны приобретать значительные необратимые изменения объема при сравнительно небольших значениях всестороннего давления.
Наиболее важными экспериментами по определению пластических свойств металлов являются растя жен ие-сжатие плоского или цилиндрического образца и деформирование тонкостенной цилиндрической трубки, находящейся под действием растягивающей силы, крутящего момента и внутреннего давления (эксперименты, позволяющие ввести независимый отсчет усилий и деформаций).
На рис. 1, а показана кривая «напряжение-деформация» при одноосном растяжении образца из мягкой малоуглеродистой стали. В начальной стадии, до точки 4, на диаграмме имеется характерный линейный участок и зависимость о-е следует закону Гука. После точки А диаграмма становится криволинейной, а на отрезке ВС она имеет горизонтальную площадку, называемую площадкой текучести. Начиная с точки С кривая снова идет вверх.
Отметим характерные точки диаграммы о—е. Напряжение о/, соответствующее точке А на рис. 1, а, называется пределом пропорциональ-
ности. Таким образом, предел пропорциональности — максимальное напряжение, при котором справедлив линейный закон Гука.
Рис. 1
Пределом упругости, или пределом пластичности, называется наибольшее напряжение, которое может выдержать данный материал, не обнаруживая остаточных деформаций при разгрузке. Предел упругости, вообще говоря, не совпадает с пределом пропорциональности и может располагаться выше или ниже предела пропорциональности, но обычно их различием пренебрегают.
Пределом текучести og называется напряжение, начиная с которого имеет место площадка текучести. Площадка текучести характерна для мягкой м ал оу гл ероди стой стали и некоторых сплавов. Для большинства других металлов площадка текучести не имеет места.
Предположим, что нагружение доведено до точки М на диаграмме, а далее следует разгрузка. Процесс разгрузки будет изображаться прямой М Р)параллельной прямой О А. Полная деформация е, соответствующая точке М диаграммы, состоит из двух частей — упругой ее и пластической е@:
€ = * + / (e = ON,或=0尸，ее = PN).
Вторичное приложение растягивающих усилий вызовет процесс упругого деформирования до достижения растягивающим напряжением значения, имевшего место в начальный момент разгрузки (напряжение, соответствующее точке М на рис. 1, а). Таким образом, вывод материала в пластическую область путем растяжения повышает предел упругости при растяжении. Это явление называется упрочнением или наклепом.
При сжатии диаграмма «напряжение-деформация» подобна соответствующей диаграмме при растяжении, однако наклеп материала при растяжении понижает по абсолютной величине предел упругости при сжатии, и наоборот. Это явление называется эффектом Баушингера. При пластическом деформировании наблюдается возникновение анизотропии, то есть приобретение различных механических свойств в
разных направлениях. Эффект Баушингера — следствие приобретенной анизотропии материала.
Теория пластичности идеализирует поведение реальных материалов при пластическом деформировании. Обычно в теории пластичности диаграмму о-е аппроксимируют схемой (рис. 1, б, в, а), состоящей из двух участков: отрезка прямой ОД, соответствующего упругому состоянию материала, и отрезка АМсоответствующего состоянию пластичности. На рис. 1, б изображена зависимость о-е для идеальнопластического материала; в этом случае точка соответствует пределам пропорциональности, упругости и текучести одновременно. На рис. 1, в, г показаны зависимости о—е для материалов с линейным и нелинейным упрочнением; в этом случае точка А соответствует пределам пропорциональности и упругости.
Эксперименты показывают разнообразие в поведении металлов и других твердых тел при пластическом деформировании. Существенным оказывается влияние скорости нагружения. При повышенной температуре (а в некоторых случаях — даже при комнатной температуре) твердые тела обнаруживают свойства ползучести, последействия и т. д. Современная теория пластичности не в состоянии учесть в равной мере все различные механические свойства твердых тел при пластическом деформировании. Теория пластичности идеализирует сложное поведение реальных материалов при пластическом деформировании, причем для различных областей применения используются гипотезы, определяющие различные модели пластических тел. Простейшей моделью пластического тела является модель идеального, изотропного, несжимаемого жесткопластического тела.
Понятие идеальнопластического тела является предельной идеализацией свойств реального пластически деформированного тела. В связи с этим приведем высказывание Бриджмена [5]: ^Понятие идеального пластического тела противоречит другим нашим представлениям о действительном поведении тел... Я не сомневаюсь в том, что свойства почти всех тел, с которыми мы имеем дело на опыте^ соответствуют нашим обычным представлениям, а понятие идеального пластического тела есть, в лучшем случае^ только абстракция. Сама потребность в такой идеализации свидетельствует о том, что существуют довольно обычные случаи^ когда тела отклоняются от идеального поведения. Все же л считаю^ что понятие идеального пластического тела имеет большее значение^ чем это кажется на первый взгляд, но для того чтобы убедиться в этом^ мы должны охватить в своем опыте более широкий диапазон условий.
Для определенных типов деформации при возрастании величины деформации до некоторого предела представление об идеальном пластическом теле может становиться хорошим приближением^.
В настоящее время теория пластичности принадлежит к числу развитых разделов механики сплошной среды, ей посвящены известные монографии, среди которых отметим [1-75] и обзоры [76-84]. Ниже мы остановимся на работах, к которым примыкает материал книги.
Возникновение теории пластичности принято относить ко времени появления работы французского инженера Треска (1864 г.). Анализируя результаты экспериментов по штамповке и вы дав л и ван и ю заготовок из свинца. Треска выдвинул гипотезу, согласно которой пластическое течение возникает при достижении максимальным касательным напряжением предельного значения
卜тах| — |。£ —弓1/2，瓦 4 = Const, (1)
где Стах — максимальное касательное напряжение, °£ — главные компоненты тензора напряжений. Условие пластичности (1) вошло в литературу как условие пластичности Треска.
Условие пластичности Треска (1) интерпретируется в пространстве главных напряжений шестигранной призмой, равнонаклоненной к оси б = 02 = оз (рис. 2, а). В девиаторной плоскости 仃 +02+03 = 0 сечение призмы Треска представляет правильный шестиугольник (рис. 2, 6).
Рис. 2
В 1870 году Сен-Венан использовал условие пластичности Треска и предложил соотношения, описывающие идеальное пластическое течение для случая плоской задачи. Соотношения, предложенные Сен- Венаном, имеют следующий вид:
уравнения равновесия
дх ду 5 дх ду ''
где 5с, Gy/xy — компоненты напряжений;
условие пластичности Треска
(0宓一0g)+ 4名У=4廿；(3)
условие несжимаемости
% + % =。；(4)
условие изотропии, устан авл и вающее коакси ал ьн ость тензора напряжений и тензора скоростей деформации,
(5)
где
ди"=菸，ди"=菸，dvdv
ди
"=菸，
ди
"=菸，
dv
dv
£ж, £ю гху — компоненты скорости пластической деформации, и, v — скорости перемещений.
Отметим, что условию изотропии (5) можно придать форму
。:с%夕 + ^ху^у = ^ху^х + ^у^ху •(6)
Соотношения теории плоской задачи, сформулированные Сен- Венаном, полностью сохраняют свое значение и по сей день.
Леви [184], используя замену переменных
。冗=о + k cos 29, 。夕=о — k cos 29, тху = k sin 29,
0-(0£ +0g)/2,
удовлетворил тем самым условию пластичности (3) и, согласно ⑺ и (2), получил систему квазилинейных уравнений
—-—2k sin 2e —— + 2k cos 20 —— — 0,
oxoxoy
⑻
学 + 2k cos 29 尊 + 2k sin 2e 禦=0.
oyoxoy
Леви перешел в системе уравнений (8) к переменным
ж = ж (о, е),沙=沙(о, е),
получил линейную систему уравнений по отношению к неизвестным х^у и проинтегрировал полученную систему уравнений.
В 1871 году Леви [183] предложил уравнения пространственной задачи теории пластичности. Уравнению грани призмы Треска (1)
можно придать вид
4 (~ —廿)(4廿一д')? — 27^2 = 0,(9)
где
d =(必)2， r，=必学%点，
o^ =。€^ — Зс^。一 индекс штрих наверху приписан компонентам девиатора, q\ 丁‘ — соответственно второй и третий инварианты девиатора напряжений.
Закон пластического течения Леви установил, предположив несжимаемость материала:
% + % + 8 =。，
а также пропорциональность компонент девиаторов напряжений и скорости деформаций
^ху^yz^xz&ху£yN£®Z^ху^yz^xz&ху£yN£®Z(10)(10)
^ху^yz^xz
&ху£yN£®Z
^ху^yz^xz
&ху£yN£®Z
(10)
(10)
где £jj — компоненты тензора скорости деформации.
На рис. 3, а показан шестиугольник Треска и направления пластического течения, определяемые соотношениями Леви (10).
Рис. 3Рис. 3
Рис. 3
Рис. 3
Хаар и Карман [229] (1909 г.) обосновали утверждение, что теория пластичности и теория предельного состояния грунтов (статика сыпучей среды) имеют общие основы. Ими было выдвинуто условие «полной пластичности»: при достижении предельного состояния имеет место
соотношение
01 =02,03 -01 = 2k.(11)
Условие полной пластичности (11) описывается в рамках условия пластичности максимального касательного напряжения и определяет соответствие напряженного состояния ребру призмы Треска. Ребро призмы Треска определяется как пересечение двух граней призмы Треска:
_ 5 - оз _к_。2 - оз _ >
Lmaxi -2— Lmax2 -— M(丄4/
откуда следует (11).
Согласно (11) максимальное касательное напряжение достигается не на отдельной площадке, а на конусе с раствором угла 兀/4 с осью вдоль 03.
Хаар и Карман [229] отметили, что при о】=02 ^эллипсоид напряжений^ является в каждой области С (область пластического состояния материала) ^эллипсоидом вращениям, и указали на статическую определимость общего случая пространственной задачи при условии полной пластичности: ^Мы получаем... вполне определенную систему из шести дифференциальных уравнений для шести неизвестных величин напряжений^.
Мизес [192] (1913 г.) предложил в качестве условия пластичности выражение предельного значения упругой энергии формоизменения элемента тела. В качестве закона пластического течения предлагалось использовать соотношения (10).
Математическая запись квадратичного условия пластичности Мизеса оказалась проще, чем вид уравнения грани призмы Треска (19), данного Леви.
Отметим, что ранее аналогичное условие пластичности было выдвинуто Губером (1904 г.) и в литературе можно встретить название «условие пластичности Губера-Мизеса». Условие пластичности Мизеса имеет вид
必必=*，(13)
условие пластичности (13) можно записать в главных напряжениях:
(6 — б)? + (°2 — Оз)? + (。3 — б)? — 8廿.
Условие пластичности Мизеса интерпретируется в пространстве главных напряжений цилиндром, равнонаклоненным к осям координат (рис. 4, а).
На рис. 4, б показаны окружность Мизеса в девиаторной плоскости и направления пластического течения.
Прандтль [202] (1920 г.) сформулировал понятие жесткопластического тела: так как упругие деформации у большинства материалов чрезвычайно малы, а пластические деформации часто бывают значительно большими, то ради упрощения мы совершенно пренебрегаем упругими деформациями; упругая часть тела, следовательно, рассматривается как жесткая.
Прандтль установил гиперболический характер уравнений плоской задачи теории идеальной пластичности, ввел понятие линий скольжения, совпадающих для изотропного идеальнопластического тела с линиями действия максимальных касательных напряжений, указал численные методы решения задач и дал классические решения задач о вдавливании жестких штампов в идеально пластическую среду.
Прандтль дал аналитическое решение уравнений (2), (3) о течении полосы, сжатой шероховатыми плитами, послужившее основой для расчета технологических процессов обработки металлов давлением:
+ С)+ С)= Т±2к= Т±2к
+ С)
+ С)
= Т±2к
= Т±2к
=一书 + & 工=牛，0=const,
где 2Л — толщина сдавливаемой полосы.
Генки [105] (1923 г.) получил интегралы вдоль ортогональных характеристик, совпадающих с линиями скольжения:
о + 2ke = const вдоль ос-линии = tg [ 0 — 7
ах \4
о — 2ke = const вдоль p-линии
ах \4 /
а также уравнения, устанавливающие фундаментальные свойства линий скольжения для плоской задачи.
Интегралы (14) носят название интегралы Генки. Он же исследовал уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и дал приближенное решение задачи о вдавливании жесткого штампа с гладким плоским круговым основанием в пластическое полупространство в предположении, что сетка линий скольжения в осесимметричном случае совпадает с сеткой характеристик Прандтля для плоской задачи.
Позднее один из авторов [170] (1946 г.) развил численные методы решения осесимметричных задач теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и дал решение задач о вдавливании плоского и сферического штампов в идеальнопластическое полупространство.
Прандтль [203] (1923 г.) дал ряд классических примеров приложений теорем Генки к определению предельного состояния идеальных жесткопластических тел, в частности, аналитическое асимптотическое решение задачи о сдавливании слоя шероховатыми плитами.
Мизес [235] (1928 г.) предположил, что работа напряжений на приращениях пластических деформаций имеет для действительного состояния стационарное, экстремальное значение по отношению ко всем возможным напряжениям, допускаемым данным условием пластичности. Мизес рассмотрел условный экстремум функционала
d4 —。叮 de^ — ^нУ ^ij), У ^ij) = 0, где deij — приращения пластических деформаций, / (о叮)= 0 — условие пластичности, d|i — множитель Лагранжа.
Согласно Мизесу
詰=3小=弧設，/(о订)=0(15)
или
ev =/(о 订)= 0, 旳(16)
где £jj — компоненты скорости пластической деформации.
Выражения (15), (16), устанавливающие связь между напряжениями и приращениями пластической деформации или компонентами скорости пластической деформации, получили название ассоциированного закона течения.
Согласно (16), Леви [184] при построении соотношений пространственной задачи теории идеальной пластичности использовал уравне-
ние грани призмы Треска (9) и ассоциированный закон течения (10) к условию пластичности Мизеса (13).
Гейрингер [76] (1930 г.) получила соотношения для скоростей перемещений вдоль линий скольжения:
dU + Vd9 = 0 вдоль ос-линий 喫=tg ( 6 — g ах \4
dV + Ude = 0 вдоль ос-линий %=tg(®+^).
где U〉V — компоненты скорости вдоль линий скольжения.
Соотношения Гейрингер означают не что иное, как отсутствие удлинения вдоль линий максимального касательного напряжения и справедливы для любого изотропного несжимаемого материала.
До сороковых годов в теории идеальной пластичности был получен ряд результатов, связанных с интегрированием уравнений плоской задачи: С.Г. Михлин [39] (1934 г.), С.А. Христианович [214] (1936 г.).
Результаты упомянутых исследований открыли широкие возможности для решения плоских задач теории идеальной пластичности.
Теория плоской задачи идеальнопластического тела характеризуется статической определимостью: два уравнения равновесия (2) и условие пластичности (3) образуют систему трех уравнений относительно трех компонент напряжений 。冗，。夕，тху. Система уравнений для компонент напряжений и скоростей перемещений принадлежит к гиперболическому типу с характери сти кам и, совпадающими с линиями действия максимальных касательных напряжений и являющимися линиями скольжения. Гиперболический тип уравнений позволяет определить зоны предельного состояния материала и границы областей пластического течения, характеризующиеся разрывом скоростей перемещений.
Определение общих соотношений теории идеальной пластичности, обладающих всеми особенностями плоской задачи, тесно связано с развитием представлений обобщенного ассоциированного закона пластического течения.
В общем случае имеют место три уравнения равновесия:
3。冗.д^ху . a“N — с д^ху . 3。?/ . 3tyN — с
毎+矿=3 市+風+箱=3
市+丽+后
Чтобы задача была статически определимой, наряду с уравнениями (17), должны иметь место три уравнения:
力(0")=0,/2(0订)=0, /з (c>v) = 0.(18)
Система шести уравнений (17), (18) относительно шести неизвестных компонент напряжений о叮 является статически определимой.
Оценивая положение с пространственной задачей теории идеальной пластичности, Прандтль (1921) писал: «для разработки пространственной задачи до сих пор еще не найдено надлежащего пути и пока〉 пожалуй^ имеется мало перспектив ее решениям.
Закон течения, соответствующий сингулярному критерию текучести рассматривался Рейссом [239] (1933 г.) для сингулярного условия пластичности в виде двух соотношений:
力(01,02,03)= 0,『2(01,02,03)= О,
и представил соотношения пластического закона течения в виде
白=大丽+乩灰? £2=大丽+乩丽'£3=九^+"^,
九》0,九》0,ц ^ 0.ц ^ 0.
九》0,
九》0,
ц ^ 0.
ц ^ 0.
В работе одного из авторов [175] (1946 г.) были предложены соотношения пространственного состояния идеальнопластического тела в предположении, что условие текучести определяется не одним, а двумя соотношениями: «^лл пространственной задачи пластичности имеют место два соотношения между главными напряжениями, подобно гипотезе полной пластичности Хаара и Кармана. Этим предлагаемая теория отличается от теории Леви и Мизеса^ в которых принимается единственное соотношение. Для построения замкнутой системы уравнений обоим авторам приходится вводить излишне большие ограничения на величины скоростей деформирования, если рассматривается течение пластической средыа именно принимаются справедливыми четыре соотношения:
6х — Gy6х — Gydu dvdudwdv 1_дх дудхdzдхdu dvdudwdv 1_дх дудхdzдхдудуdwду +dwду +dv — диdz dz 十dv — диdz dz 十dw ' дхdw ' дх
6х — Gy
6х — Gy
du dvdudwdv
1_
дх дудхdzдх
du dvdudwdv
1_
дх дудхdzдх
ду
ду
dw
ду +
dw
ду +
dv — ди
dz dz 十
dv — ди
dz dz 十
dw ' дх
dw ' дх
где и, % w — компоненты скорости какой-либо частицы пластической среды. Эти соотношения содержат не только требование коаксиальности тензора напряжения и тензора скоростей деформирования, но также и требование пропорциональности касательного напряжения
на произвольно ориентированной площадке к соответствующей скорости деформации сдвига (причем коэффициент пропорциональности может меняться при переходе от одной точки тела к другой). В частности^ если где-либо в среде возникает напряженное состояние с главными напряжениями
01 =02 = 0з + 24,
то из упомянутых выше теорий следует〉что обязательно должно осуществляться равенство £i = £2- Согласно же нашей теории^ должно быть только
£1 > 0, £2 > О,
а соотношение между ними может быть произвольными.
Соотношения теории идеальной пластичности [175] записываются в виде:
уравнения равновесия (17), условие пластичности
fi(5Q严)=3 /2(dST)= 0,(19)
где о, q, г — инварианты тензора напряжений
О = & + Оу + On) /3,
q =0更0g +0u02 +020£-T^ - tjz - T^z，
丁 — ^X^y^Z + ^xy^yz^xz —。宏力N — ^y^XZ — ^Z^xy 5
условия совпадения главных осей тензора напряжений и скоростей деформации, условие изотропии
^ж ^xy + ^xy^y + ^xz^y. ^xy^xz +。夕 £gz + ^yz^i^ж ^xy + ^xy^y + ^xz^y. ^xy^xz +。夕 £gz + ^yz^i^xz^x + ^yz ^xy + ^z ^^xz^x + ^yz ^xy + ^z ^(20)(20)(21)(21)=^ху^Х + ^у^ху + ^yz^xz5 =^xz^xy + %z£g + ^z^yz ?
^ж ^xy + ^xy^y + ^xz^y. ^xy^xz +。夕 £gz + ^yz^i
^ж ^xy + ^xy^y + ^xz^y. ^xy^xz +。夕 £gz + ^yz^i
^xz^x + ^yz ^xy + ^z ^
^xz^x + ^yz ^xy + ^z ^
(20)
(20)
(21)
(21)
= ^x^xz + ^xy^yz + ^XZ^Z5
условие несжимаемости
гдегдеdu dv dw
где
где
dudvdw
%=菸，包=痂，厶=灰，
_ 1 (3〃 dv \_ 1 (3〃 dw\ _ 1dw\
%g=2応+菸丿，%z =式而+觎丿，汕=2西丿.
Из (20) следуют соотношения изотропии для случая плоской задачи ⑺.
Девять уравнений (17), (19)-(21) образуют замкнутую систему уравнений относительно девяти неизвестных: шести компонент напряжений и трех компонент перемещений u)v)w.
Таким образом, автор [175] непосредственно обобщил соотношения Сен-Венана (6) и отказался от условий пропорциональности Леви (10).
Согласно [175] фиксированному напряженному состоянию может соответствовать множество различных деформ и руем ы х состояний, таким образом были развиты представления, описываемые в рамках обобщенного ассоциированного закона пластического течения. Для двух условий пластичности (19), определяющих модель изотропного идеальнопластического тела, соотношения обобщенного ассоциированного закона течения сводятся к условиям изотропии (20).
Итак, в [175] сформулированы соотношения пространственного состояния идеальнопластического изотропного тела при сингулярном условии пластичности (19) и обобщенном ассоциированном законе пластического течения (20), (21).
Условия изотропии (11), (20) позволяют определить сдвиговой характер деформирования несжимаемого идеальнопластического тела при однородном напряженном состоянии.
^х =01, 0g-02, ^ху =0,01 —02 = 2k(22)
из (4), (5) следует
也曲= 也也=
дх ду ' ду дх'
Согласно (23) для определения компонент скорости деформации имеет место волновое уравнение
А?屮 А?屮 сd\\fd\\f
дх2 ду3 优ду
В общем случае при
0£ =01, ^у —02, ^z —03, ^xy - ^xz — %z —0,(25)
согласно (20), (25) следует
(О1 - О2)гху = 0,(02 — ОЗ)%2 = 0,(O3-Ol)“z=0・(26)
Наибольшая свобода пластического течения имеет место при условии полной пластичности, в этом случае из (11), (26) следует
%z -0， %z -0， %g #。。(27)
Соотношения (21), (27) могут быть записаны в виде
(28)(28)ди 、ди 、dw с ди , dw n dv , dw n菸+画+灰=a而+公=а而+两=°・
(28)
(28)
Из уравнений (28), вполне аналогично (24), следует волновое уравнение
亚厶_厶 〃-生 0 一生 仅—一生亚厶_厶 〃-生 0 一生 仅—一生(29)(29)
亚厶_厶 〃-生 0 一生 仅—一生
亚厶_厶 〃-生 0 一生 仅—一生
(29)
(29)
Теория обобщенного ассоциированного закона течения для сингулярных условий текучести получила развитие в работах В. Койтера [80] (1953 г.) и В. Прагера [47] (1953 г.). Соотношения обобщенного ассоциированного закона течения имеют вид:
々元丽？々元丽？/а = /а (。订)，/а = /а (。订)，
々元丽？
々元丽？
/а = /а (。订)，
/а = /а (。订)，
где 九а = 0, если /а < 0, а также если /а = 0, /а = 0 и Ха 0, если 九=о, d/a = о.
Применительно к ребру призмы Треска соотношения обобщенного ассоциированного закона можно представить следующим образом: через пересечение двух плоскостей
03 -01 = 2k,03 -02 = 2k(30)
проходит пучок плоскостей
X (оз — о】一2k) + ц (оз — о? — 2k) =0,九》0, |i》0.(31)
Каждая из плоскостей (30), лежащая между плоскостями (12), является гладкой поверхностью текучести, к которой применимы соотношения Мизеса (16). Из (16), (40) следуют соотношения обобщенного ассоциированного закона течения
£1 = -L £2 = -Щ £3 = ^ + Ц5
Из представлений обобщенного ассоциированного закона пластического течения (31) следует, что любое деформированное состояние может соответствовать ребру призмы Треска (рис. 3, б).
Грани призмы Треска соответствует одно направление течения (рис. 3, 5), например,
(32)(32)6 — °2 = 2瓦 £1 =九， £2 ——九， £з — 0-
(32)
(32)
Деформированное состояние, при котором одна главная скорость деформации равна нулю, реализуется в случае плоской деформации.
Напряженное состояние, при котором на криволинейных поверхностях имеет место условие (32), реализуется в ограниченных случаях.
Три соотношения (18) при условии соответствия напряженного состояния ребру призмы Треска установлены [116] в 1958 г.
Рассмотрим соотношения
0£=01 百 +02m；+03九；, ^xy = 0W2 + G2mlm2 + 03 几 1 几2,
Og =。1 後 + 02 7^2 + 03^2 5 “z = о""з + 02^1^3 +。3 几皿3,(3 3)
On =01 总 +02m^ + аз^а， %z = 0也％3 + 02^2^3 +03 几2几3,где Ц, mm ® — направляющие косинусы, связанные условиями орто-
гональности
庁 + т； + 若=1, 2也 + М17712 + 几1几2 = 0,…(34)
Из (11), (33), (34) получим
О冗—。1 + 2^72], ^ху = 2кТ1\Т12)
0g =01 + 24風， %z = 2Am1几3,(35)
02 =01 + ^knf, Tyz = 24几2 几 3,
若+嗚+展=1.(36)
Из (35), (36) следует
o = oi+2k/3, oi=o — 2k/3, о =(報 + Og + о,/3.(37)
Из (35), (37) следуют три условия пластичности (18) в виде
(。宏—О + 24/3) ^yz = ^xy^xz 5
< ^У —。+ 24/3) ^XZ = ^xy^yz 5(38)
、^Z —。+ 24/3)工冗夕=^xz^yz 5
ИЛИ
'& -o + 2k/3)& -o + 2k/3)=吃，
< & - о + 24/3) Q - о + 2k/3)=嗫，(39)
、(Oz - о + 24/3)(報一о + 24/3) = Wz,
или
'& — о — 4/3)2 + 吃 + 叁=к\
V @ 一 0 - 4/3)2 + 吃 + 也=炉，(40)
、Q —。— 4/3)2 + 以 + 龟=凭
или
'(報-Од)? + 4吃=[44/3 — & — о)]2,
< (о夕-oj + 4龟=[44/3 - (報-о)]2,、Q - о J + 4 叁=[44/3 - & - о)]2.
Соотношению (38) можно придать форму
2 7. ^XV^XZ2 7
報=О — -К Н, Og = о — -к Н,
ОtyNJ^XZ
Из (42) следует
^xy^xz + ^xy^yz + ^xz^yz — 2k ^yz^xz^xy
Обозначим
П1 = COS 91 , П2 = COS 92 5 ^з = cos 9з .
Из (17), (35), (36), (44) имеет место система уравнений
(41)(42)(43)(44)(41)(42)(43)(44)д<5. ,. 3仇 e 7. 3仇 e 7. 加2
(41)
(42)
(43)
(44)
(41)
(42)
(43)
(44)
т；4k cos 9i sin 力—2k cos 蝕 sin 力—2k cos 力 sin 02—
oxoxoyoy
—2k cos 9з sin 9j — 2k cos 9i sin 93= 0,(123, xyz), (45)
OZoz
(46)(46)COS2 01 + COS2 02 + COS2 03 = 1.
(46)
(46)
Система статически определимых уравнений (45), (46) принадлежит к гиперболическому типу, если ввести обозначения
Ф (ж, у^ г) = 0, n = cos 91 i + cos 92j + cos 63k,(47)
где W — характеристическая поверхность, то уравнение для определения характеристических многообразий имеет вид
(48)(48)(п . g^adW) [2(й • grad Ф)2 — (grad Ф)2"| = 0.
(48)
(48)
Из (48) следует, что направление третьего главного напряжения п является характеристическим, а также, что характеристические направления образуют конус с углом раствора 兀/4 (рис. 5) вокруг направления п. Характеристические поверхности совпадают с поверхностями действия максимальных касательных напряжений.
Для любого изотропного тела справедливы условия изотропии (20). В случае соответствия напряженного и деформ и рован ного состояния ребру призмы Треска фиксируется лишь третье главное направле-
Рис. 5
ние 03. Поэтому условие изотропии сводится к совпадению направлений третьего главного напряжения и третьей главной скорости деформации. Имеет место
九1^3 = 2£几1 + 2£夕九2 + Ejcnh3,
九 2^3 = % g几 1 + %几2 + %2几3,(49)
几3^3 = %2几1 + ^yz ^2 + ^z ^3 •
Из (49) следует
.九2 I Пз _ П1Пз _ П1П2 .
% + “у Г %z 丁 — “夕—Ь gg + %N 丁 — %N —г %z Г 8 •(5U)
Присоединяя к двум уравнениям (50) условие несжимаемости (21), переходя к компонентам скорости перемещения диdvdw
“％ = ду^ ” =灰，
получим систему трех уравнений относительно трех неизвестных % о, w.
Отметим, что если воспользоваться соотношениями (42), то из двух условий изотропии (20) следует третье, другими словами, среди трех условий (20) в рассматриваемом случае независимые два.
Система уравнений (21), (50) принадлежит к гиперболическому типу, характеристические многообразия для уравнений, определяющих кинематику пластического течения, совпадают с характеристическими многообразиями для поля напряжений (48).
Показано [21], что вдоль характеристических поверхностей возможны разрывы скорости перемещений, определяющих скольжение пластически деформированного тела вдоль границ жесткого состояния материала.
Согласно (35), (37) можно записать соотношения закона течения (50) в виде
2%+ 2况g2%+ 2况gGy — о + 2k/3Gy — о + 2k/3I On 一 0 + 2用/3 + %NI On 一 0 + 2用/3 + %N^XZ^XZ
2%+ 2况g
2%+ 2况g
Gy — о + 2k/3
Gy — о + 2k/3
I On 一 0 + 2用/3 + %N
I On 一 0 + 2用/3 + %N
^XZ
^XZ
—о + 2k/3—о + 2k/3—о + 2k/3—о + 2k/3
—о + 2k/3
—о + 2k/3
—о + 2k/3
—о + 2k/3
0м-0 + 2k/3 ~ ^xz0м-0 + 2k/3 ~ ^xzOy — о + 2k / 3+汕Oy — о + 2k / 3+汕+ 8, (51)+ 8, (51)
0м-0 + 2k/3 ~ ^xz
0м-0 + 2k/3 ~ ^xz
Oy — о + 2k / 3
+汕
Oy — о + 2k / 3
+汕
+ 8, (51)
+ 8, (51)
ИЛИ
“ о冗—о + 2k/3“ о冗—о + 2k/3+ о "丁 -0+ 2用/3+ о "丁 -0+ 2用/3Оу — о + 2k/3Оу — о + 2k/3+ 2g + 2gz+ 2g + 2gzОу — о + 2k/3Оу — о + 2k/3
“ о冗—о + 2k/3
“ о冗—о + 2k/3
+ о
"丁 -0+ 2用/3
+ о
"丁 -0+ 2用/3
Оу — о + 2k/3
Оу — о + 2k/3
+ 2g + 2gz
+ 2g + 2gz
Оу — о + 2k/3
Оу — о + 2k/3
(54)(54)(55)(55)
(54)
(54)
(55)
(55)
二 “z °z —六 2k/3 + 汕 °z —六 2k/3 + &，(52)
или
% + %g 卫 + %n 卫=%g ① + % + 汕①=%z * + 汕 * + ^z • (53) t*N^Xy^yZ^Xy^yZ^XZ
Построение соотношений теории идеальной пластичности возможно из определения диссипативной функции:
D — Ojj £jj — D(£叮)
и ассоциированного закона нагружения
дР
^^ij
Для случая идеальной пластичности диссипативная функция D(£叮)является однородной первой степени относительно £叮.
Согласно (11), (21) будем иметь
。=。1门 + 02% + оз^з = 2А^з,
£3 = 2£几］+ 2g几2 + 2之几3 + 22£У几1几2 + 2ggz几2几3 + 22£2几］几3.
Рассмотрим функционал
D = 2k (%?2； + 2g風 + £^n3 + 2%g几1几2 + 2%2几2几3 + 2%2九m3)+
(56)(56)(57)(57)Согласно (55), (57)Согласно (55), (57)получим=2кп& + |i,=2kri2 + ц,=2knf + |i,получим=2кп& + |i,=2kri2 + ц,=2knf + |i,^ху = 2kfl\Tl2〉^ху = 2kfl\Tl2〉^xz^xz2А:П1Пз,2А:П1Пз,(58)(58)^yz = 2кт12n3 4^yz = 2кт12n3 4+ 11 (% + 2g + %) - V (九;+ ^2 + ^3 - 1).
(56)
(56)
(57)
(57)
Согласно (55), (57)
Согласно (55), (57)
получим
=2кп& + |i,
=2kri2 + ц,
=2knf + |i,
получим
=2кп& + |i,
=2kri2 + ц,
=2knf + |i,
^ху = 2kfl\Tl2〉
^ху = 2kfl\Tl2〉
^xz
^xz
2А:П1Пз,
2А:П1Пз,
(58)
(58)
^yz = 2кт12n3 4
^yz = 2кт12n3 4
|i = o — 2k/3 = oi.
Выражения (58) совпадают с (35). Из
(59)(59)(60)(60)3。i dD
(59)
(59)
(60)
(60)
而=a 灰=a 灰=°，
согласно (57) получим
24(£ЖП1 + гхуП2 + £冗2几з) = vni,
24 ^хупI + 2g几2 + 2gn几3)= Vn2,
24(2£2几1 + 2g2几2 + 2z几3)= vn3.
Из (60) следуют соотношения (50). Таким образом из экстремума функционала (57) определяются все основные соотношения теории идеальной пластичности при условии полной пластичности.
Итак, условие соответствия напряженного состояния ребру призмы Треска (35) и соотношения обобщенного ассоциированного закона течения (50) позволяют построить теорию идеальной пластичности с единым математическим аппаратом, вполне адекватным сдвиговой природе идеальнопластического течения.
Общая плоская задача. Из (46) найдем
cos2 91 + cos2 92 = sin2 63, (61)
откуда
/ cos 01 \! / COS 02 \12,. 2-1
= ], cos ф + sm ф = 1.(62)
\ Sin 03 )\ Sin 03 )
Из (62) следует
П1 = cos 01 = cos ср sin 9, П2 = cos 02 = sin ср sin 9, пз = cos 0.(63)
Предположим, что имеет место общая плоская задача
。订• = О订•(力，沙)，^ = ^(х.у). e = e(c,g)・(64)
Из уравнений равновесия (17), соотношений (35), (63), (64) имеет место система трех уравнений относительно трех неизвестных о, 0, ср. Система уравнений принадлежит к гиперболическому типу, имеет три характеристики
中士tg2 尸(65)
у _2 vcos 0
вдоль характеристик (65) имеют место соотношения
do 士 [k (1 + cos e) / д/cos ej d^ = 0,(66)
третья характери сти ка
^=^^(67)
вдоль характеристики (67) имеет место соотношение
(]；；；®) 厶 + k sin 6 sin 2(р d(p + k de = 0.(68)
Аналогично рассматривается соответствующее поле скоростей.
На рис. 5 показано сечение конуса характеристик плоскостью. Рисунок 5, а соответствует случаю, когда главное напряжение 03 лежит в плоскости сечения, характеристики ортогональны, этому случаю соответствует состояние плоской деформации. Случай общей плоской задачи соответствует рис. 5, 5, случай антиплоской деформации и кручения —рис. 5, в.
Пространственный аналог решения Прандтля о сжатии слоя шероховатыми плитами толщиной 2% получен [189] в предположениях
』= az + o“ xyz = bz + с^^ а,仇。1,。2 = const.(69)
Полагая
tgRl =半 tg|12 = 4^,屮=乩2-冉，(70)
^xz^xz
где индексы «плюс наверху», «минус наверху» приписаны компонентам напряжения на контактных поверхностях плиты при z = ±Л.
При
球^ + <1 =廿，ч1 + %?=廿(71)
сдавливающее давление распределено следующим образом
Oz = —cos^g + C, 自=力cos ^ + gsin % С = const.(72)
Согласно (72) давление возрастает по плоскости линейно от края плиты, скат плоскости вдоль биссектрисы угла, образованного направлениями результирующих касательных контактных напряжений (71).
Распределение Прандтля имеет место при 屮=0:
(73)(73)(74)(74)On = —kx +。,
(73)
(73)
(74)
(74)
при屮=兀/2
Интегрирование уравнений пространственного состояния. В ортогональной системе координат а|3% где ось у ортогональна направлению третьего главного направления 03, а ос, р — линии совпадают с характеристиками, вдоль у = const (рис. 5, а) имеют место соотношения для напряжений
do — d^ = ^^ (干 cos ф + sin ф),
(75)(75)do — d(p = ^^ (干 sin ср — cos ср),
(75)
(75)
где dSa, dS^ — элементы длины ос, р — линий, % — радиус кривизны; для скоростей перемещений
d匕-V^ = 一翳(匕coscp—岭 sin ср),
(76)(76)d好-К^Ф = 一翳(К cos ср -好 sin ср) •
(76)
(76)
Уравнения (75), (76) даны Р.И. Непершиным. Соотношения (75), (76) позволяют развить численный метод решения пространственных задач теории идеальной пластичности.
Ассоциированный закон течения в обобщенных переменных. Используя соотношения (33), условие пластичности
協(0订)=0(77)
можно переписать в виде
(78)(78)Rк (01,02,03, /6 , ^г ,电)=0.
(78)
(78)
Выражение диссипативной функции согласно (33) принимает вид
D = Gij&ij =01e1 + 02e2 +03e3 + 九4e4 + 导(宦 + m^ + *) +
+，£ (Ijlk + ^j^/c + 几з•几k) ,(79)
где 入к〉UiNi —— множители Лагранжа.
Из условия экстремума функционала (79) следует
(80)(80)口 _6D dFk也=丽=标而，
(80)
(80)
E\ — %Z] + 2gz2 + £之“3 + 2s 冗夕/1力2 + ^^yz ^2^3 + —^xz ^1 ^3 5 • • •
.dFk 1 dFkmi + 石 m2 + 瓦7g.dFk 1 dFkmi + 石 m2 + 瓦7g—^x^xy + £冗夕。夕 + ^xz^yz — *k—^x^xy + £冗夕。夕 + ^xz^yz — *kdFk , dFk] ^dFk]\ 而『1 +而力+砧23丿'dFk , dFk] ^dFk]\ 而『1 +而力+砧23丿'(81)(81)^x^xy + ^xy^y + ^xz^yz — ^k
.dFk 1 dFk
mi + 石 m2 + 瓦7g
.dFk 1 dFk
mi + 石 m2 + 瓦7g
—^x^xy + £冗夕。夕 + ^xz^yz — *k
—^x^xy + £冗夕。夕 + ^xz^yz — *k
dFk , dFk] ^dFk]\ 而『1 +而力+砧23丿'
dFk , dFk] ^dFk]\ 而『1 +而力+砧23丿'
(81)
(81)
Изотропия материала имеет место в случае, если условие пластичности (78) не зависит от 必 т^, п^. Члены в скобках (81) определяют влияние анизотропии.
Статическая определимость анизотропии. Статическая определимость имеет место, если в (35) имеет место
(82)(82)к = к®①几2,几з).
(82)
(82)
Пусть имеет место условие пластичности
4(Ож — Оу)2 + в(Оу — Oz)2 + С(Oz — 0冗)2 +
+ 6(0备 + 石电 + F^z) = %, (83)
4 5,…，％ = const.
Предположим, что предел текучести определяется из эксперимента на одноосное растяжение
(84)(84)О] = 02 = 0, Оз = к (几1,几2,几3)•
(84)
(84)
Согласно (33), (84) будем иметь
О'冗 — ктЪ、)Од — ктт>2， On — 用几3，
^ху = k/l^ П^, ^xz =及几1 几3, °gz = ^^2^3 •
Из (80), (85) получим зависимость предела текучести от направления растяжения
k(n1,几2,几3)=%{4 (若-風)2 + 5 (n2 - ^8)2 +0(^3 -若)2 +
+ 6[0(几1几2)2 + E (n2n3)2 + R (几3几1)] } • (86)
Соотношения теории идеальной пластичности при условиях (35), (86) являются статически определимыми.
Другой случай статически определимых задач соответствует предельному условию сопротивления отрыву [119]:
(O£)max，& d — COIlSt〉0,(87)
где (ос)тах — максимальное нормальное растягивающее напряжение.
В пространстве главных напряжений 仇 условие (87) интерпретируется трехгранной пирамидой, составленной из трех четвертей плоскости, сходящихся под прямым углом (рис. 2, в).
Статическая определимость имеет место в случае полного состояния отрыва, соответствующего ребру пирамиды (рис. 2, в):
01 =02 = &03 < d.
В этом случае имеют место три соотношения [119]
(報-d) & - d)—备=0,(力gz)
или
(0£一^) ^yz = ^xy^xz ?(力g7)•
Для деформ и рован ного состояния имеют место три соотношения [U9]
.九 2 . 九3 e /、
2% + 日хП+ ^xz(力.
Соответствующие системы уравнений для определения напряженного и деформ и рован ного состояний принадлежат к параболическому типу и характеристические поверхности ортогональны к направлению третьего главного напряжения.
Статически определимый характер, тип уравнений и их свойства сохраняются при обобщенном предельном состоянии отрыва [129]
О] = 02 = d (d 几1,几2,几з) ,03 Vd
и ассоциированном законе течения.
Один из авторов [178] (1954 г.) сформулировал соотношения теории трансляционного упрочнения, предложенные соотношения имеют вид: функция нагружения
(必-сеЬ) (%' - сеЬ)=廿，髙 ° = const,
где eij — компоненты пластической деформации, штрих наверху приписан компонентам девиатора, с — модуль упрочнения;
соотношения пластического деформирования
ds х ds уds у dezdez ds х
Gx 一 Gy 一 с (еж — ©у)<5у — gz — с (бу — ©z)^z ~ ^х ~ с (©z — еж)
^ху — (^^ху ^yz — Сбу z ^XZ — de：TN
условие нагружения
(%- - ceij) deij》。；
условие разгрузки
(%- - ceij) deij <。・
В работе [123] предложено построение теории сложных сред на основе представлений о механизме трансляционного упрочнения и ассоциированного закона течения.
Идеи и результаты, изложенные выше, легли в основу содержания настоящей книги.
Условие соответствия напряженного состояния ребру призмы Треска, условию полной пластичности (11), (12) определяет, согласно представлениям обобщенного ассоциированного закона течения, максимальную возможную свободу течения идеальнопластического материала: сохраняя свойства изотропии, материал может иметь полную свободу течения в плоскости главных напряжений о】 =。2・ В этой связи сошлемся на А.А. Ильюшина [156], исходившего из условия полной пластичности при построении теории течения металлов между жесткими поверхностями.
Состояние полной пластичности, и только оно, позволяет сформулировать общую теорию идеальной пластичности с единым математическим аппаратом статически определимых гиперболических уравнений, полностью соответствующих сдвиговой природе идеальнопластического деформирования.
Другая цель, которую преследовали авторы, — дать изложение и обоснование теории трансляционного упрочнения, являющейся наиболее естественным обобщением теории идеальной пластичности, описывающим основные, реально наблюдаемые эффекты приобретенной анизотропии, эффекта Баушингера и т. д.
И, наконец, третий аспект книги — изложение результатов по линеаризированным задачам теории пластичности методом малого параметра, одним из мощных методов математической физики, позволяющем получать приближенные аналитические решения и установить качественные особенности характера исследуемых течений.
Глава 1
ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО
Идеальная пластичность
Пластические деформации возникают при достижении некоторой комбинации напряжений определенного предельного значения
/ (。订)=0・ (1.1.1)
Функция / (о叮)называется условием пластичности.
Для дальнейшего рассмотрения удобно ввести пространство напряжений П тензора。叮.Шестимерное пространство П определим как пространство, в котором декартовы координаты точки равны компонентам тензора напряжений。叮.Каждому тензору о叮 в пространстве П соответствует некоторая точка или вектор о с компонентами。叮. Совершенно аналогично можно ввести пространство деформаций Э, соответствующее тензору деформации е^, и пространство скоростей деформации Е, соответствующее тензору скоростей деформации 旳.
Условию пластичности (1.1.1) в пространстве напряжений П соответствует некоторая поверхность Е, называемая поверхностью пластичности. Область Q, лежащая внутри поверхности Е, является областью упругого состояния материала. Напряженные состояния, соответствующие точкам области Q, не достигающим границы Е, не вызывают остаточных деформаций.
Основные постулируемые свойства поверхности пластичности состоят в следующем: она замкнута (в некоторых направлениях может простираться до бесконечности), не проходит через начало координат и любой луч, исходящий из начала координат, пересекает ее не более одного раза.
Если материал упрочняется, т. е. с изменением деформированного состояния пределы пластичности изменяются, то поверхность Е, и соответственно область Q, меняются в процессе деформирования. Для различных моделей пластических сред поведение поверхности пластичности может быть различным: поверхность Е может приобретать ребра, конические точки, испытывать расширение, перенос (рис. 6) и т. п.
Идеально пластической называется среда, для которой поверхность пластичности фиксирована. В дальнейшем будем предполагать среду идеально пластической. В этом случае условие пластичности (1.1.1) не
зависит от параметров деформ и рован ного состояния и сохраняет свой вид во время всего процесса пластического деформирования.
Для идеально пластического тела условие пластичности называют так же условием текучести (функцией текучести), а поверхность пластичности —поверхностью текучести.
Рис. 6
Следует отметить, что идеально пластический материал может быть начально анизотропным, однако если он является изотропным в начальный момент, то приобрести анизотропию он не может. Приобретенная анизотропия связана с изменением поверхности текучести Е при изменении деформированного состояния, а для идеально пластического материала поверхность Е фиксирована. П ри обретен н ая пластическая анизотропия связана с изменением пределов пластичности при деформировании, т. е. с упрочнением материала.
Независимым является предположение об эквивалентности свойств материала при растягивающих и сжимающих нагрузках. Будем предполагать, что если элемент тела подвергнут нагрузкам, отличающимся лишь знаком, то и деформации отличаются тоже только знаком. Изотропные тела, деформации которых при нагружениях, отличающихся только знаком напряжений, отличаются также только знаком, назовем нормально изотропными, в противном случае тело назовем анормально изотропным.
Нормально изотропные тела, очевидно, имеют одинаковые пределы текучести при одноосном растяжении и сжатии. Примером анормально изотропных материалов могут служить изотропные среды, пределы текучести которых при одноосном растяжении и сжатии не совпадают.
Будем предполагать далее, что пластические свойства материала не зависят от действия всестороннего давления.
Тензор напряжений о叮 можно представить как сумму шарового тензора и девиатора:
о叮 =оЗ 叮+。工， 3叮 =1 при 広=jQij = 0 при 〃#九 (1.1.2)
где о = О"/3 = (он + °22 + озз) /3 — среднее давление, первый инвариант тензора напряжений; о% — девиатор напряжений (здесь и в дальнейшем девиаторам соответствующих тензоров и их компонентам приписан штрих наверху). Первый инвариант девиатора равен нулю:
必=心+? + 点=0(1.1.3)
Согласно (1.1.2) условие пластичности (1.1.1) может быть представлено в виде
“5 必)=&(LL4)
при независимости пластических свойств материала от действия всестороннего давления 目 следует независимость условия пластичности от среднего давления о, в этом случае условие пластичности (1.1.1), (1.1.4) имеет вид
〃必)=0.(1.1.5)
Аналогично тензор скорости деформации можно представить в виде
2 订=еЗ 订•+心，£ = у, 统=0・(1.1.6)
Для несжимаемого материала с = 0.
Отметим, что из предположения о независимости пластических свойств от действия всестороннего давления, вообще говоря, не следует, что пластические деформации удовлетворяют условию несжимаемости, и наоборот.
Диаграмма растя жен и е-сжати е идеального жесткопл асти ческого образца имеет вид, изображенный на рис. 7, а.
Рис. 7
Моделью, интерпретирующей поведение идеального жесткопластического материала, может служить элемент сухого трения (рис. 7, 6); в этом случае сила Р соответствует напряжению, перемещение- деформации. Модель сухого трения определяет необратимый характер деформирования. По существу, модель идеально пластического тела —
это модель сплошной среды, элемент которой обладает свойствами сухого трения.
Представим, что к элементу сухого трения через абсолютно гибкую нить и блок без трения приложена сила тяжести Q < К^ где К — сила сопротивления трению (рис. 7, в). Предельное усилие, при котором элемент трения может сдвинуться вправо (рис. 7, в)—尸i = К + + Q = Ki； предельное усилие, при котором элемент трения может сдвинуться влево —巳=К — Q = К& Подобный механизм может быть положен в основу построения теории идеальной пластичности с различными пределами текучести на растяжение-сжатие (рис. 7, г).
Условия пластичности
Предположим, что поверхность текучести в пространстве напряжений является гладкой в окрестности точки, соответствующей пластическому напряженному состоянию элемента тела. В этом случае условие пластичности определяется уравнением
〃。订)=0，(1.2.1)
где /(。叮)—дифференцируемая функция своих аргументов в окрестности точки。切 и, следовательно, поверхность текучести имеет в ней единственную нормаль. При жестком состояния материала /(о叮)< 0.
Кусочно гладкие поверхности текучести, имеющие особенности в виде ребер или угловых точек, можно описать при помощи некоторого числа гладких функций текучести
%(。叮)=。，р = 1, 2,... , п.(1.2.2)
Жесткому состоянию материала соответствует отрицательное значение всех функций текучести: /р(о") < 0. Пластическое состояние достигается, если напряженное состояние удовлетворяет одному или нескольким условиям пластичности (1.2.2), причем остальные функции текучести отрицательны:
fp ^ij ) =。，0 = 1, 2, . . . , 4； fp(Ojj ) <0,0 = k +1, • • • , 72. (1.2.3)
Соответствие напряженного и деформированного состояний гладкой части условия пластичности имеет место при k = 1.
Для изотропного идеально пластического тела имеют место условия
fp^ij)=力(5 d, N) = О,(1.2.4)
где q‘ = % %, 丁‘ =《jdjkdki — соответственно второй и третий инварианты девиатора напряжений; здесь и в дальнейшем предполагается суммирование по повторяющимся индексам.
Нормальный характер изотропии приводит к независимости пластического состояния от перемены знака напряжений на обратный; следовательно, в этом случае
fp^ij) = %(同,片 Ml) = 0, (1.2.5) так как о, q‘ м N — однородные функции напряжений первого, третьего и второго порядков соответственно.
В случае, когда пластические свойства материала не зависят от всестороннего давления,
/Р(0г)=/p(d, 1T1)=0. (1.2.6)
Наряду с шестимерным пространством напряжений П можно ввести трехмерное пространство главных напряжений 仇(г = 1,2,3), в котором декартовы координаты точки совпадают с компонентами главных напряжений.
В пространстве главных напряжений условия пластичности (1.2.6) интерпретируются цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными прямой。1 =。2 =。3・ Поэтому для определения свойств условия пластичности (1.2.6) достаточно рассмотреть свойства кривой (назовем ее кривой пластичности или текучести), лежащей в пересечении цилиндрической поверхности текучести с девиаторной плоскостью °1 + °2 + °з = О-
Свойства изотропии материала обеспечивают равноправие осей о】， 。2,。3,网，следовательно, кривая пластичности должна быть относительно них симметрична. Кривая пластичности изотропного тела должна состоять из шести одинаковых дуг, подобно тому, как это показано на рис. 8. Для ее определения достаточно знать дугу АВ сегмента АО В с углом 60°.
Нормальный характер изотропии материала обусловливает независимость вида кривой пластичности от перемены знака напряжений на обратный. Кривая пластичности в осях —о“ 一。2, —。3 должна совпадать с кривой пластичности в осях о“。2,。3, и, следовательно, кривая пластичности должна состоять из двенадцати одинаковых дуг, подобно тому, как это имеет место на рис. 9. Для ее определения достаточно знать дугу АВ сегмента АО В с центральным углом 30°.
Среди наиболее часто встречаемых отметим три условия текучести идеального нормально изотропного пластического тела: условие пластичности Треска (условие пластичности максимального касательно-
го напряжения), условие максимального приведенного напряжения и условие пластичности Мизеса.
Условие пластичности максимального приведенного напряженияУсловие пластичности максимального приведенного напряжения
Условие пластичности максимального приведенного напряжения
Условие пластичности максимального приведенного напряжения
Условие пластичности максимального касательного напряжения (Треска) записывается в виде
стаX = I тах{ m -02〔，102 一03丨103 - 5 1 } = 4,(1・2.7)
где Стах — максимальное касательное напряжение. Условие пластичности Треска интерпретируется в пространстве главных напряжений
шестигранной призмой, равнонаклонен- ной к осям координат (рис. 3).
Условие пластичности октаэдрического напряжения (Мизеса) записывается в виде
% = %•%•=瓦 (1.2.8)
Условие пластичности Мизеса интерпретируется в пространстве главных напряжений круговым цилиндром, образующие которого равнонаклонены к осям координат (рис. 4).
записывается в виде
(1.2.9)(1.2.9)Smax = max{ gi - 01, 102 —01, 103 -01 }=m
(1.2.9)
(1.2.9)
где Smax — максимальное приведенное напряжение. Условие пластичности максимального приведенного напряжения интерпретируется в пространстве главных напряжений шестигранной призмой, равнона- клоненной к осям координат (рис. 10).
Принцип максимума в пространственапряжений. Пластический потенциали ассоциированный закон пластического течения
Обозначим через D скорость диссипации механической энергии в единице объема. При пластическом деформировании жесткопластического материала механическая работа усилий рассеивается в теплоту, поэтому скорость диссипации механической энергии равна мощности усилий:
D — Gjj ££(.(1.3.1)
В качестве принципа, положенного в основу построения теории пластичности, примем принцип максимума Мизеса; скорость диссипации механической энергии в единице объема во время пластического деформирования имеет максимальное значение для действительного напряженного состояния среди всех напряженных состояний, допускаемых данным условием пластичности.
Принципу максимума можно дать другую формулировку: при любом данном значении компонент скорости деформации £叮 имеет место неравенство
^ij ^ij〉°ij'，j >(1.3.2)
где 分叮一действительные значения компонент напряжений, / (о叮)= =0； соответствующие данному значению 修力 吟—компоненты любого возможного напряженного состояния^ не превышающие предела текучести, /(о各)，0.
Формулировка ослабленного принципа максимума требует выполнения неравенства
^ij^ij》Gjj&ij.(1.3.3)
В векторной форме неравенства (1.3.2) и (1.3.3) можно записать в виде
О£ > О*£, О£》О*£.(1.3.4)
Предположим, что функция нагружения является гладкой, в каждой ее точке существует единственная нормаль и касательная плоскость.
Из (1.3.3) следует, что
(о — О*) £ > 0, (о — О*) £》0,(1.3.5)
т. е. вектор о — о* при любом возможном о* образует нетупой угол с вектором £. Из рассмотрения рис. 11, а очевидно, что вектор £ должен
Рис. 11Рис. 11
Рис. 11
Рис. 11
быть направлен по нормали к поверхности нагружения, а сама поверхность Е в случае выполнения первого неравенства (1.3.5) должна быть выпуклой по отношению к области Q; во втором случае поверхность Е должна быть невогнутой относительно области Q. В противном случае неравенство (1.3.5) места не имеет (рис. 11, 6).
В дальнейшем, предполагая справедливость принципа максимума в форме (1.3.3), будем рассматривать лишь такие условия пластичности, соответствующие поверхности текучести которых в пространстве П всюду выпуклы либо невогнуты относительно начала координат.
Таким образом, следствием принципа максимума Мизеса является соотношение
^^mn^^mn^hk^hk^hk^hk^^mn^^mn(1.3.6)(1.3.6)
^^mn
^^mn
^hk^hk
^hk^hk
^^mn
^^mn
(1.3.6)
(1.3.6)
Соотношение (1.3.6) можно переписать в компонентах приращения деформации:
а , dji = Xdt.а , dji = Xdt.(1.3.7)(1.3.7)
а , dji = Xdt.
а , dji = Xdt.
(1.3.7)
(1.3.7)
Соотношения (1.3.6), (1.3.7) определяют ассоциированный закон пластического течения. Согласно ассоциированному закону течения условия пластичности и скорости деформации оказываются связанными между собой, каждое условие пластичности определяет свой характер пластического течения.
Соотношения ассоциированного закона пластического течения (1.3.6) утверждают, что вектор скорости пластической деформации £ ортогонален поверхности текучести в пространстве П.
В случае задания нескольких условий пластичности (1.2.3) имеет место функционал
D — Ог J £г J — ^pfp ^ij ) ?〃 = 1, 2, . . . , k,(1.3.8)
где 九p — неопределенные множители, постоянные для данных значений компонент скорости деформации: Хр=Хр(£^).
В выражении (1.3.8) варьируются компоненты напряженного состояния, экстремум величины D будет иметь место в случае, если
(1.3.9)(1.3.9)Поэтому из (1.3.8) следуетПоэтому из (1.3.8) следует也二03。订_也二03。订_(1.3.10)(1.3.10)
(1.3.9)
(1.3.9)
Поэтому из (1.3.8) следует
Поэтому из (1.3.8) следует
也二0
3。订_
也二0
3。订_
(1.3.10)
(1.3.10)
Для случая совокупности гладких условий текучести (1.2.4) вектор £, согласно (1.3.10), складывается из суммы векторов, ортогональных гладким поверхностям текучести fp.
Кусочно гладкую поверхность можно рассматривать как предельную для последовательности гладких поверхностей, вложенных в данную; поэтому в точках особенностей поверхности текучести (ребрах, угловых точках и т. п.) вектор £ может принимать любое направление, ограниченное направлениями нормалей прилежащих гладких кусков поверхностей текучести.
При пластическом деформировании напряженное состояние удовлетворяет условию текучести и, так как скорость диссипации при этом не может быть отрицательной, имеет место соотношение
(1.3.11)(1.3.11)^р》0, если 1fp(6ij) = 0, g j，do£( — 0.
(1.3.11)
(1.3.11)
Приращения пластической деформации отсутствуют, если напряжения не достигают предела текучести, т. е.
九р = 0,если fpg) < 0,九р = 0,если fpg) < 0,(1.3.12)(1.3.12)
九р = 0,если fpg) < 0,
九р = 0,если fpg) < 0,
(1.3.12)
(1.3.12)
или если имеет место разгрузка:
(1.3.13)(1.3.13)九р = 0, еслиfp(G〃j) — 0,^~~d(5ij < 0.
(1.3.13)
(1.3.13)
Функции др называются пластическим потенциалом, если они определяют выражение для скоростей деформации в виде
(1.3.14)
Сравнивая выражения (1.3.10), (1.3.14), можно заключить, что при ассоциированном законе пластического течения функции текучести fp являются пластическим потенциалом.
Использование соотношений ассоциированного закона течения в форме связи между напряжениями и скоростями деформации (1.3.10) имеет в теории идеального жесткопластического тела принципиальное значение: оно позволяет, используя эйлерово представление о течении вещества, сравнительно просто рассматривать конечные пластические деформации подобно тому, как это имеет место, например, в теории вязкой жидкости.
В то же время, несмотря на внешнее сходство соотношений ассоциированного закона пластического течения (1.3.10) с соотношениями связи о叮—£jj в теории вязкой жидкости, между обеими теориями существует принципиальное различие: соотношения теории идеальной пластичности однородны относительно дифференциала времени dt.
Параметры Хр в соотношениях (1.3.10) не являются константами материала, а изменяются при деформировании:九目=九目(£叮).
Принцип максимума в пространстве скоростейпластических деформаций. Диссипативнаяфункция и ассоциированный закон нагружения
Рассмотрим скорость диссипации механической энергии в единице объема жесткопластического тела, D = Oij^j, которую будем называть также диссипативной функцией.
В пространстве напряжений диссипативная функция интерпретируется скалярным произведением one. Вектор £ определяется через компоненты напряжения согласно ассоциированному закону течения.
В регулярных точках поверхность текучести Е имеет единственную нормаль, поэтому вектор £ однозначно определяет соответствующий вектор о и скалярное произведение 7? = ос определяется однозначно для данного £. В особых точках поверхности нагружения разные векторы £ могут соответствовать одному вектору о, тем не менее, скалярное произведение О = ос однозначно определяется заданием вектора £. Наконец, если поверхность нагружения имеет невогнутые участки,
то один вектор £ может соответствовать разным точкам поверхности нагружения, тем не менее, задание вектора £ однозначно определяет диссипативную функцию (рис. 12).
Рис. 12
Таким образом, имеет место соотношение
D — Gij&ij — D ^ij ) •D — Gij&ij — D ^ij ) •(1.4.1)(1.4.1)
D — Gij&ij — D ^ij ) •
D — Gij&ij — D ^ij ) •
(1.4.1)
(1.4.1)
(1.4.2)(1.4.2)Диссипативная функция должна быть однородной первой степени относительно компонент £切 так как соотношение (1.3.2) не должно зависеть от дифференциала времени dt. Следовательно,
(1.4.2)
(1.4.2)
D -丽；旳
Соотношение (1.4.2) в полных дифференциалах, согласно (1.4.1), примет вид
^ijdGij +о订也•=壯也•^ijdGij +о订也•=壯也•(1.4.3)(1.4.3)
^ijdGij +о订也•=壯也•
^ijdGij +о订也•=壯也•
(1.4.3)
(1.4.3)
Используя соотношения ассоциированного закона течения (1.3.6), получим
(1.4.5)(1.4.5),_ о ^/ j
(1.4.5)
(1.4.5)
&ij&Gij = |1 а。加叮
Для идеально пластического тела изменение напряженного состояния происходит вдоль поверхности текучести. Следовательно, соотношение (1.4.5) равно нулю. Тогда из (1.4.3), в силу независимости приращений 盛切 получим
дР
Соотношения (1.4.6) могут быть названы ассоциированным законом нагружения.
Построение теории идеально пластического тела может быть осуществлено исходя из определения диссипативной функции (1.4.1).
Введем совокупность возможных компонент скорости пластических деформаций %, для которых
。(唸)，О®力(1.4.7)
Если в пространстве Е определена некоторая поверхность равного уровня диссипативной функции D, то вектор возможной скорости деформации £* лежит внутри объема, ограниченного этой поверхностью.
(1.4.8)(1.4.8)Введем принцип максимума^ аналогичный принципу максимума Мизеса (1.3.2), (1.3.3):
(1.4.8)
(1.4.8)
Из неравенства (1.4.8) следует выпуклость (невогнутость) поверхностей равного уровня диссипативной функции и ассоциированный закон нагружения:
(1.4.9)(1.4.9)dDD
(1.4.9)
(1.4.9)
Предположим, что D — однородная функция порядка т компонент 2叮.Тогда
(1.4.10)(1.4.10)n dDmD = К
(1.4.10)
(1.4.10)
Из (1.4.10) и (1.4.9) следует у = 1/т.
Если положить диссипативную функцию однородной второго порядка, т = 2, у = 1/2, то соотношение (1.4.6) определяет связь Ojj ~^ij для вязкой жидкости.
Предположим, что D — однородная функция первого порядка относительно компонент ^ij, тогда у = 1 и соотношения (1.4.9) принимают вид (1.4.6).
Производные 30/昵^ в этом случае являются однородными нулевого порядка функциями относительно £切 следовательно, шесть соотношений (1.4.6) можно рассматривать как функции пяти переменных, например 町/ец.
Предполагая разрешимость соотношений (1.4.6) относительно Ejj/cn 5 в результате исключения £叮 получим некоторое определенное конечное соотношение вида
Из (1.4.5) и (1.4.6) найдем
&ijdGij = 0.(1.4.12)
Дифференцируя соотношение (1.4.11), найдем
长也切=0.(1.4.13)
Согласно (1.4.13) среди шести дифференциалов d(5ij лишь пять независимых, откуда следует, что найдется такой множитель X, что будет иметь место ассоциированный закон течения
Таким образом, модель пластического тела может быть введена эквивалентными путями: либо через определение функции нагружения, либо через определение диссипативной функции D, однородной первого порядка относительно компонент скорости пластической деформации. 5 обоих случаях следует формулировать соответствующий принцип максимума.
Если поверхность диссипативной функции имеет особенность типа ребер, конических или угловых точек, то подобная особенность может быть рассмотрена как пересечение гладких поверхностей:
Dq = 0q(£ 订).(1.4.15)
Ассоциированный закон нагружения в этом случае может быть записан в виде
Gjj = '因^^, OCg》0, £因=1.(1.4.16)
q叮q
На рис. 12 показано соответствие между поверхностью нагружения и поверхностью равного уровня диссипативной функции.
Выпуклым участкам поверхности нагружения ДВ, АС соответствуют выпуклые участки ab, ас диссипативной функции. Особенностям А, В, С функции нагружения соответствуют участки невогнуто- сти аа, 66, сс диссипативной функции. Участку невогнутости ВС соответствует острый угол Ьс.
Используя определение диссипативной функции (1.4.1), можно дать интерпретацию параметру X, входящему в соотношение ассоциированного закона течения (1.3.6). Из (1.4.1), (1.3.6) следует
Если функция нагружения может быть представлена в виде / = =屮一к = 0, где k = const, ср — однородная функция порядка т компонент Gij, то (1.4.17) можно представить в виде
九=^РD = кт儿 k^m = const.(1.4.18)
Таким образом,九 прямо пропорционально удельной скорости рассеяния механической энергии.
Рассмотрим диссипативные функции для некоторых условий пластичности.
Для изотропного тела имеем
D =仃门 + 02^2 + оз£з・(1.4.19)
В случае условия пластичности Треска, согласно (1.2.7), примем
a2102、、、、a6Q29Рис. 13Согласно (1.4.20), (1.3.6) будем иметь q =九，D = -X,% =(Из (1.4.19)-(1.4.21) получимD — 4 后 |max, где 修 max — максимальная главная компонента= 24.(1.4.20)6 。2е).(1.4.21)(1.4.22) скорости деформации.a2102、、、、a6Q29Рис. 13Согласно (1.4.20), (1.3.6) будем иметь q =九，D = -X,% =(Из (1.4.19)-(1.4.21) получимD — 4 后 |max, где 修 max — максимальная главная компонента= 24.(1.4.20)6 。2е).(1.4.21)(1.4.22) скорости деформации.
a2102
、、、、
a6
Q29
Рис. 13
Согласно (1.4.20), (1.3.6) будем иметь q =九，D = -X,% =(
Из (1.4.19)-(1.4.21) получим
D — 4 后 |max, где 修 max — максимальная главная компонента
= 24.(1.4.20)
6 。2
е
).(1.4.21)
(1.4.22) скорости деформации.
a2102
、、、、
a6
Q29
Рис. 13
Согласно (1.4.20), (1.3.6) будем иметь q =九，D = -X,% =(
Из (1.4.19)-(1.4.21) получим
D — 4 后 |max, где 修 max — максимальная главная компонента
= 24.(1.4.20)
6 。2
е
).(1.4.21)
(1.4.22) скорости деформации.
В случае условия максимального приведенного напряжения, согласно (1.2.9), примем
Gi — g = к или 2ос — oj — Ok = 3k.(1.4.23)
Согласно (1.4.23), (1.3.6) будем иметь
£j = 2九，£j = —X, % = —X.(1.4.24)
Из (1.4.19), (1.4.23), (1.4.24) получим
0 = 2k1n1max,次=(%-5)/2,(1.4.25)
где Птах — максимальная скорость деформации сдвига.
В случае условия пластичности Мизеса (1.2.8) имеем
D = k^ij^ij.(1.4.26)
На рис. 13 под соответствующими кривыми текучести изображены кривые равного уровня диссипативной функции.
Экстремальные свойства условий пластичности
Конкретный материал характеризуется значениями констант материала. В теории упругости — независимые константы материала, например модуль сдвига и коэффициент объемного сжатия. В теории несжимаемого идеального жесткопластического тела единственной размерной постоянной материала является предел текучести. Предел текучести не определяет условие текучести: одному и тому же пределу могут соответствовать различные условия пластичности.
Сформулируем гипотезу: в определенном круге идеализированных свойств пластической среды при данных константах материала процесс деформирования вполне определен и характеризуется определенными экстремальными свойствами для всех возможных процессов в рамках данных свойств и констант материала.
Пусть элемент тела нагружается усилиями, возрастающими прямо пропорционально некоторому параметру (в пространстве напряжений нагружение ведется по лучу, исходящему из начала координат). При определенном значении нагрузок достигается состояние текучести (вектор напряжения достигает поверхности текучести), начинается пластическое течение. Подобный эксперимент назовем простейшим. В частности, простейшими экспериментами являются чистый сдвиг, одноосное растяжение-сжатие, всестороннее растя жен и е-сжати е.
В девиаторной плоскости пространства главных напряжений простейший эксперимент определяет некоторую экспериментальную точку, соответствующую возникновению пластических деформаций.
Совокупность невогнутых кривых пластичности, проходящих через данную экспериментальную точку, назовем возможными кривыми пластичности, соответствующие условия пластичности — возможными условиями пластичности. Задание одной экспериментальной точки не влияет на класс возможных условий текучести, устанавливая лишь их взаимное расположение. Расположение возможных кривых пластичности в случае задания экспериментальной точки при чистом сдвиге показано на рис. 14, а. Расположение возможных кривых пластичности в
случае задания экспериментальной точки при одноосном растяжении- сжатии показано на рис. 14, б. На рис. 14, в показано расположение возможных кривых пластичности в общем случае задания экспериментальной точки.
Среди всей совокупности возможных простейших экспериментов выделим два независимых: всестороннее растя жен ие-сжатие и чистый
сдвиг. Все напряженные состояния при остальных простейших экспериментах, в том числе и одноосное растя жен и е-сжати е, являются комбинацией напряженных состояний сдвига и всестороннего растяжения- сжатия .
Для несжимаемого материала эксперимент на всестороннее равномерное растя жен и е-сжати е не является существен н ы м.
Предположим, что среди всей совокупности возможных простейших экспериментов для несжимаемого материала основным является эксперимент на чистый сдвиг, а расположение кривых текучести, достигаемое при задании экспериментальной точки на чистый сдвиг, является основным среди всей совокупности их возможных расположений при задании других экспериментальных точек. Предположим далее, что среди всех возможных условий текучести при их основном расположении (рис. 14, а) для идеально пластического материала реализуется то, которое соответствует максимуму скорости диссипации механической энергии на единицу объема при заданных скоростях деформации.
Введем определение: если две невогнутые кривые пластичности расположены таким образом, что одна из них лежит внутри области, ограниченной другой кривой пластичности, причем кривые могут иметь общие точки, то первая кривая называется внутренней, вторая- внешней. Соответствующие условия пластичности назовем внутренним и внешним.
Если ограничиться рассмотрением невогнутых поверхностей текучести изотропного тела, то при заданной скорости деформации диссипативная функция для внешнего условия пластичности больше или равна диссипативной функции для внутреннего условия пластичности.
Справедливость утверждения очевидна: при заданном векторе £ скалярное произведение се принимает меньшее значение для внутренней кривой текучести.
Таким образом, согласно введенным гипотезам, среди всей совокупности возможных условий текучести реализуется условие пластичности Треска, являющееся внешним по отношению ко всем условиям текучести.
Экспериментальные исследования показывают, что условие пластичности Мизеса лучше согласуется с опытными данными, чем условие пластичности Треска. Можно предположить, что большее соответствие опытным данным условия пластичности Мизеса по сравнению с условием Треска объясняется влиянием факторов побочного характера, сопровождающих реальное деформирование и не имеющих
отношения к модели идеального жесткопластического тела, а именно, упругостью, упрочнением, приобретенной анизотропией и т. д.
Известно также, что чем ярче у данного материала выражен предел текучести (т. е. чем ближе диаграмма о — с реального материала к диаграмме о—£ идеально пластического материала), тем ближе совпадение экспериментальных данных с условием пластичности Треска.
Идеально пластическое течение возникает как результат малых скольжений по определенным поверхностям скольжений, и линии скольжения — линии Людерса — суть частное проявление поверхностей скольжения. Именно условие пластичности Треска позволяет развить теорию идеальной пластичности, вполне соответствующую сдвиговой природе идеально пластического течения.
Гипотеза прочности формоизменения
Расчет частей машины и сооружений на прочность требует знания соотношений между компонентами тензора напряжений, при которых начинается разрушение материала или, по меньшей мере, в нем возникают пластические деформации (наступает текучесть). Эти соотношения приводятся в различных «гипотезах прочности», основанных на тех или иных допущениях об основном факторе, определяющем начало разрушения или появления текучести [65, 59]. При этом материалы, находящие себе применение в технике, делят, как правило, на класс хрупких и класс пластических материалов. Первые нередко удовлетворительно упруги при деформировании вплоть до разрушения и часто обладают разными временными сопротивлениями при простом растяжении Rz и при простом сжатии R&. Вторые, напротив, имеют, как правило, одинаковые временные сопротивления при испытании на растяжение и на сжатие. Вместе с тем, такие материалы перестают подчиняться закону Гука уже задолго до разрушения, обнаруживая свойство текучести, т. е. большого деформирования без заметного увеличения усилий, действующих на материал. Напряжение, соответствующее появлению текучести, называемое в дальнейшем пределом текучести, оказывается для большинства материалов одним и тем же при испытании как на растяжение, так и на сжатие. Было построено несколько гипотез прочности хрупких тел. Наиболее удов л етвори тел ь- ной из них, по-видимому, является гипотеза Мора, предложенная им в 1894 г. Что же касается гипотез прочности пластических тел, то здесь следует упомянуть три гипотезы, которыми пользуются в практических расчетах.
Во-первых, гипотеза Сен-Венана, которая принимает за фактор, определяющий начало текучести, максимальное уд л и нен ие-сжатие материала.
Если обозначить через 仃，。2,。3 главные напряжения в данном элементе материала, через v — коэффициент Пуассона и о$ — напряжение, соответствующее пределу текучести при простом растяжении-сжатии, то эта гипотеза приводит к условиям
。1 - V(02 + 03)< Об, |。3 - V(О1 +。2)| < Об, (1.6.1) выполнение которых необходимо, чтобы явление текучести в данном элементе материала не наступило. Здесь принято 仃》。2》。3・
Во второй гипотезе, высказанной еще Кулоном, за фактор, определяющий начало текучести, принимается максимальное касательное напряжение, действующее по одной из площадок, проходящей через данную точку материала. Эта гипотеза приводит к условию
ci - оз <。6, (1.6.2)
при выполнении которого текучесть в данном месте материала не наступает.
Наконец, в третьей гипотезе, выдвигавшейся в разное время Губером, Мизесом и Генки, за фактор, определяющий начало текучести, принимается количество энергии, накопленной внутри единицы объема, за вычетом той части энергии, которая относится к равномерному всестороннему растяжению-сжатию элемента напряжением, равным одной трети суммы главных напряжений. Эта гипотеза приводит к условию
J(01 -02)2 + (°2 -03)2 + (03 -01产 < о6а/^, (1.6.3) при выполнении которого текучесть в данном элементе материала не возникает.
Перечисленные гипотезы прочности имеют ряд недостатков. Так, гипотеза Сен-Венана дает преувеличенную оценку прочности при плоском двустороннем растяжении-сжатии (oj =03, 02 = 0) и допускает разрушение материала при всестороннем сжатии, что не согласуется с экспериментом.
Гипотеза Кулона не учитывает влияние среднего напряжения на условие отсутствия текучести, что также не совпадает с экспериментом и, кроме того, дает заниженную оценку прочности при чистом сдвиге.
Третья гипотеза, которую мы в дальнейшем будем именовать гипотезой Губера-Мизеса, наилучшим образом согласующаяся с экспериментом, не указывает основного направления текучести. Тем самым
затрудняется ее применение к изучению пластического равновесия, что весьма успешно было проделано рядом авторов для плоского напряженного состояния в рамках условия пластичности гипотезы Кулона.
И гипотеза Кулона и гипотеза Губера-Мизеса дают отрицательный ответ на вопрос о возможности разрушения материала при всестороннем растяжении, что, по-видимому, также не подтверждается экспериментом. Этим недостатком обладает и предлагаемая ниже гипотеза, которая, в известном смысле, сочетает идеи гипотез Губера-Мизеса и Сен-Венана.
Пусть £i, £2 и £3 - главные компоненты тензора деформаций, т. е. удлинения в главных направлениях. Обозначим через Зе сумму этих удлинений, так называемую объемную деформацию. Тогда величины
力=门一£, Y2 = % — 7 Y3 = £з 一 £
характеризуют формоизменение элемента материала, ибо вследствие соотношения
Yi + Y2 + Уз = О
они игнорируют изменение величин 门, 改 网 £з на одно и то же значение. Эти величины 力，攻，Уз и принимаются за факторы, определяющие начало текучести.
Именно, чтобы явление текучести не наступало, необходимо выполнение всех трех неравенств:
Iyi| < X,卜2〔 < % и |тз| < X,
где % — характерная для данного материала величина, определяемая на основании результатов эксперимента на простое растяжение или сжатие материала.
Нетрудно подсчитать значение величин 力，攻 网 Мз・ Имеем, согласно закону Гука:
_ 5 — V（02 + Оз）_ 02 — V （03 + О] ）_ Оз — V（5 + °2）
следовательно,
где о =где о =5 +。2 + Оз5 +。2 + Оз33
где о =
где о =
5 +。2 + Оз
5 +。2 + Оз
3
3
Таким образом,
__ С>1 — V(02 + Оз) (1 — 2v)(СЙ + 02 + Оз)
力=门一2 = ё行
Аналогично выражаются величины 72 и 7^-
Обозначим через о； величины, получающиеся умножением % на постоянный множитель 石7(1 + v). Имеем, в частности:
, Е 211
О] = ] +/1 — gO] — 3。2 — 3О3 = О] _ d или, окончательно:
о； = ос — о (г = 1, 2, 3).
Величины о：, ^2 и аз имеют размерность напряжений и соответствуют тем частям главных напряжений 0“ 02 M 03, которые обусловливают одно лишь формоизменение элемента материала. Назовем их напряжениями формоизменения. Заметим, что " +о$+о4 = 0. Полагая
, Е
можно получить условия отсутствия текучести в форме неравенств, которым должны подчиняться величины &, ^2 и 必 именно
Щ < 卜)1^21 < 瓦 |必| < к.(1.6.4)
Нетрудно найти соотношение, связывающее значение k со значением предела текучести о$ для данного материала. Для этой цели подсчитаем значения величин &, о$ и & при простом растяжении. Именно, в этом случае
。1 =5 。2 = 0, 03 — О и,следовательно,
< =2о/3, о$ = —о/З, 03 = —о/З.
Наибольшим абсолютным значением обладает величина 必 следовательно, она первой достигнет предельного значения к, когда напряжение растяжения о, возрастая, станет равным о$.
Таким образом,
к = 2о§/3.
Проиллюстрируем теперь гипотезу прочности формоизменения (1.6.4) на примере построения расчетных формул для нескольких,
часто встречающихся типов напряженного состояния и сравним результаты, следующие из этой гипотезы, с тем, что получается исходя из гипотез Губера-Мизеса и Кулона. Как уже указывалось, эти гипотезы считаются в настоящее время наиболее согласующимися с данными эксперимента.
Пусть имеет место чистый сдвиг. Касательное напряжение, соответствующее чистому сдвигу, обозначим через ттах.
Имеем в этом случае:
°1 — °тах, °2 =0，°3 = —°тах,
и, следовательно,
0 = 0, О] = Стах, 。2 = &。3 = —^тах，
Условие отсутствия текучести примет, согласно нашей теории, вид неравенства
。1 = Стах < 4 < 2(5б/3.
Отсюда следует, например, что при одном и том же запасе прочности допускаемое напряжение при кручении &р = 0.667兄.Гипотеза Кулона дает для этого случая соотношение %р = 0・500兄，а гипотеза Губера-Мизеса %р = 0.577兄.На практике нередко доводят величину допускаемого напряжения при кручении до (0.75 — 0.80) Rz.
Рассмотрим далее совместное действие крутящего и изгибающего моментов, ТИкр и МИЗ, на круглый вал. Как известно, при расчете на прочность надлежит воспользоваться следующими напряжениями:
Миз + 為 + 叫Миз - 為 + 叫
где W =兀。3/16 = 0.2d3 — экваториальный момент сопротивления вала. Таким образом, в этом случае
7Ииз / "нз + 3 J "為 + "电
/ _ Миз / _ “из - 3，"為 + М/р
и наибольшей по абсолютному значению является величина 4 Условие отсутствия текучести имеет, в соответствии с теорией прочности формоизменения (1.6.4), следующий вид:
Миз + 3,"為 + "电2
6W< 3°s,
или
M/W <os, где
— так называемый приведенный момент.
Напомним, что гипотеза прочности Кулона для приведенного момента дает формулу
а гипотеза Губера-Мизеса —
"=為+ |""р・
Нетрудно показать, что приведенные моменты, подсчитанные в соответствии с этими гипотезами прочности, всегда больше, чем подсчитанные согласно нашей гипотезе, если только ТИкр # 0- Следовательно, при расчете вала на прочность исходя из гипотезы прочности формоизменения (1.6.4) получится несколько меньшее значение диаметра, чем согласно гипотезам Кулона и Губера-Мизеса.
Заметим, что формула для приведенного момента, следующая из гипотезы прочности Сен-Венана, имеет вид
М — 1 2 V "пз + q V J“為 + 照р，
где v — коэффициент Пуассона.
Этой формулой, несмотря на ее давность, нередко пользуются до сих пор. При коэффициенте Пуассона v, равном 1/2, формула приведенного момента по Сен-Венану совпадает с нашей. Это объясняется тем обстоятельством, что гипотеза прочности формоизменения основывалась на учете деформации элементов материала с исключением изменения их объема, т. е. как бы при коэффициенте Пуассона, равном 1/2.
Приведем теперь случай сравнительно тонкого сферического сосуда, находящегося под внутренним давлением р.
Для элемента, расположенного у внутренней поверхности сосуда, имеем
б = 02 = тР) оз = -0, где т = 0/43 — число, определяемое геометрическими размерами сосуда: диаметром сосуда D и толщиной стенки 8.
Таким образом, получаем
2m — 1// m +1/ 2m + 2
0=-з—，у = 02=飞一， 03 =3-，
и наибольшей по абсолютному значению оказывается величина &. Поэтому условие отсутствия текучести имеет вид
I I 2ш + 2/2os
Гипотеза Кулона дает для этого случая тот же результат. Действительно,
стах = (01 一03)/2,
и, следовательно, должно иметь место соотношение
тр + 0 <。6.
Легко проверить, что и гипотеза прочности Губера-Мизеса дает в точности такое же условие отсутствия текучести. В самом деле, согласно этой гипотезе, необходимо, чтобы
J(01 -02)2 + (02 -03)2 + (03 -01 产=a/^ (mp + 0)< 五65,
т. е. р < os/(m + 1).
Обратимся к расчету цилиндрического сосуда, находящегося под внутренним давлением. Здесь гипотеза прочности формоизменения (1.6.4) приводит к условию отсутствия текучести в виде
Р < 1 +Зт/25
в то время как гипотезы прочности Кулона и Губера-Мизеса — соответственно к неравенствам
Р < ( I с- И Р </)
1 + 2mд/1 + 3m + 4m2
что, как нетрудно убедиться, обусловливает меньшие запасы прочности.
Рассмотрим, наконец, общий случай плоского напряженного состояния (02 = 0).
Имеем теперь:
о = ； G +。3), о： = 6 - о = |б — ；оз,
,11/1 丄2
02 - _gO] — 303,03 - 一f十 gO3.
Условие отсутствия текучести, согласно гипотезе прочности формоизменения (1.6.4), имеет следующий вид:
Совокупность значений oj и оз, удовлетворяющих этим неравенствам, соответствует на плоскости с координатами 仃,оз внутренности шестиугольника (рис. 15, а), образованного прямыми
2oi — оз = ±2о$,6 + оз = ±2о$, о】—2оз = ±2о$.
Аналогичная область, соответствующая гипотезе Кулона (1.6.2), также ограничена шестиугол ьн и ком, однако немного меньшим
(рис. 15,6). Стороны этого шестиугольника представляются уравнениями
01 = ±06,0]-02 = ±06,03 = ±06 •
В свою очередь гипотеза прочности Губера-Мизеса (1.6.3) приводит к внутренности эллипса:
JG - Оз)2 + О； + £ = ®6$ , или о； + С^ — О]Оз = С^.
Эллипс Губера-Мизеса оказывается вписанным в шестиугольник (1.6.4) (см. рис. 15, б) и является описанным по отношению к шестиугольнику Кулона (1.6.2). Таким образом, расчет по гипотезе прочности формоизменения дает, вообще говоря, несколько больший запас прочности, чем расчет по гипотезам Кулона и Губера-Мизеса.
Для сравнения на рис. 15, в изображена область, соответствующая гипотезе Сен-Венана для коэффициента Пуассона v = 0.3, вместе с шестиугольником (1.6.5) (пунктир).
Для пространственного случая напряженного состояния область отсутствия текучести изобразится внутренностью правильной шестигранной призмы, грани которой определяются плоскостями
2 11,2 2112
211,2
3О3 - 3О1 - 3О2 = ±gOs.
Ось этой призмы образует равные углы с положительными направлениями осей координат о“ 电 。3 в так называемом пространстве Хейга. В эту призму вписывается круглый цилиндр, соответствующий гипотезе Губера-Мизеса и являющийся, в то же время, описанным вокруг правильной шестигранной призмы, построенной по гипотезе Кулона. На рис. 15, г изображено нормальное сечение всех трех поверхностей.
Остановимся еще на влиянии среднего напряжения 02 на условие отсутствия текучести. Для этой цели рассмотрим случай
6 > 0, оз = -о“ 卜2丨 < 6,
имеющий место, например, при кручении круглого вала с осевой нагрузкой . По гипотезе Кулона среднее напряжение 02 не влияет на условие отсутствия текучести. Поэтому область отсутствия текучести при 6》。2》。3 на диаграмме с координатами ⑸，6)изобразится (рис. 16) треугольником со сторонами
Следуя гипотезе Губера-Мизеса, получим область
2 + (-01 -02)2 < a/^Os, 102〔 <01,
ограниченную на диаграмме ⑸，。1) прямыми。2 = ±。1 и дугой эллип
са 3后 + 登=£• Так как в данном случае
_ 1, __ 21, _ 1, _1
0 = 302, у =01 一 0 = -O1 - gO2, 02 - —302, 03 — —01 — 302,
то область отсутствия текучести, соответствующая нашей гипотезе, при。1 》。2》。6 изобразится четы рехугол ьн и ком, ограниченным прямыми 02 = ±。1, 3。1 ±。2 = 2о$. Последние в точках 02 = ±0.5os, ci = 0.5。6 касаются эллипса Губера-Мизеса.
Если снять для напряжения 02 ограничение oj》02》о$, а условие ci > 0 оставить, то на той же диаграмме ⑸，°1) область отсутствия текучести, естественно, расширится.
Теории Губера-Мизеса соответствует в таком случае внутренность полуэллипса
3才 + ^2 — Gs 501〉О,
теории Кулона — пятиугольник, ограниченный прямыми
01 = 0.506,6 = 0,01 ±02 =06,
теории прочности формоизменения — также пятиугольник, но со сторонами
3(5] zb О2 — 2(5g , О2 — zb(5g ,O'] — 0 •
На рис. 16 образующиеся дополнительные области отсутствия текучести ограничены пунктиром. Нетрудно видеть, что они получаются в результате пересечения круглого цилиндра и двух призм в пространстве Хейга (рис. 15, а) плоскостью 仃 = —03. Заметим также, что области отсутствия текучести, изображенные на рис. 14, 5, представляют собой сечение тех же поверхностей плоскостью 02 = О-
Любопытно отметить, что в случае плоской деформации (% = 0) условие отсутствия текучести (1.6.4) по форме совпадает с условием, следующим из гипотезы Кулона, если только предположить материал почти несжимаемым. Действительно, при Зе =门 + £2 + £з — 0 имеем
门=力,％ = Y2 = 0, £з = Y3 = -£1 и, пока еще предел упругости не достигнут,
$ = ] + /1, 0$ =0，& = 一01 •
Из соотношений
Oj — Oj — О, О$ — 02 — О, О3 — О3 — О теперь получаем
О] — оз = d — Оз — 2,，
。1 +。3 = $ + & + 2。= 2o,
02 =02 + 0 = O = 5+ 03)•
Условие отсутствия текучести заключается, очевидно, в неравенстве & I < k, или
,I2
1^1 —。3丨=Стах < g°s・
Аналогичное условие следует из гипотезы Кулона.
Полученное выше соотношение 02 = G + оз) /2 принимается во многих теориях пластичности, в том числе и в теории Губера-Мизеса.
Кусочно линейные условия пластичности
Кусочно линейными условиями пластичности назовем кусочно гладкие условия пластичности вида
fi — a”i + Ь”2 +。”3 —自=0, 〃 = 1, 2,... , 72, &, b〃〉с»〉к» — const.
(L7.1)
Кусочно линейные условия пластичности (1.7.1) зависят от инвариантов 01,02,03 и имеют место для изотропной идеально пластической среды.
В пространстве главных напряжений 01,02,03 кусочно линейным условиям пластичности соответствуют поверхности, образованные пересечением плоскостей (1.7.1).
Выразим уравнения граней и ребер кусочно линейных условий пластичности (1.7.1) в компонентах тензора напряжений о叮 в декартовой системе координат.
Рассмотрим грань кусочно линейного условия пластичности:
g + 儿2 +。。3 = k, a, b^c^k = const.(1.7.2)
Переходя к компонентам девиатора
(1.7.3)(1.7.3)$=。1一5О$=О2-О,& =。3-5 О = ^(О1 + 02 + Оз) , (1.1.2)
(1.7.3)
(1.7.3)
о 1 + С>2 + G3 — °，
придадим уравнению (1.7.2) вид
4, + 5о$ +。必=1,(1.7.4)
5 =р = а5 =р = а+ 6 + о.+ 6 + о.
5 =р = а
5 =р = а
+ 6 + о.
+ 6 + о.
Из (1.7.3), (1.7.4) найдем
/ _ 1 + (石一С)圆 / _ —1 + (С —厶)圆7 哈
Из выражения для второго инварианта девиатора напряжений:
d = = -<& - °2^3 -必 d =。？ + 岁 + d&, (1.7.6) и соотношений (1.7.5) следует квадратное уравнение для определения величины 03：
[(в - 0)2 + (С- 4)2 + {В-СЦС- Л)] о?-
-[2。一(4 + В)] & + [1 — (4 — 5)2 qf^ = 0. (1.7.7)
Из (1.7.7) следует
或={2 [(5 - С)? + (С- 4)2 + {В-СЦС- Д)] J】х
х { [2。一 (4 + 5)] ± ( [2。一 (4 + В)]2 +
+ 4 [(5 — С)? + (С — 4)2 + (5 — С) (С — Л)"| [1 — (4 — б)?，1 ) j •
(1.7.8)
Используя выражение третьего инварианта девиатора напряжений: 〃 =G’iF’jk成 i = d&o*(L7.9)
согласно (1.7.5), (1.7.8), можно получить выражение грани (1.7.2) в виде /G g",a,仇。)=0 (развернутую запись ввиду громоздкости, опустим).
Уравнение ребра кусочно линейного условия пластичности (1.7.1) представим в виде
0101 + 历02 + ё1 0з =自， a2。1 + 6202 +0203 =用2.(1.7.10)
Уравнения (1.7.10), аналогично (1.7.2), (1.7.4), представим в виде
4, + 51& +。1必=1, Л 201 + В2О2 +。2必=1,(1.7.11)
где
4 —^ р. —^ —О
г - ki-p^ г - ki-p^ г - ki-p^
0€ — & + 匕£ + Q,〃 = 1, 2.
Из трех линейных уравнений (1.7.3), (1.7.11) найдем
d = ^ [- (51 -星)+ (。1 -02)] ,06 = ^ [- (С1 -02)+ (4 -42)],
。台=^ [― (4 —厶2)+ (51 — ^2)] 5(1.7.12)
△ = 4 (52 -。2)+ 51 (02 -42)+。1 (42 - ^2)•
Согласно (1.7.12), (1.7.6), (1.7.9) получим
~ =亲[(4 -42)2 + (51 - 52)2 + (2 - C芥-
-(4 -42)(51 - ^2)- (51 -52)(01 -。2)-
-(G - Q) (4 -厶2)] , (1.7.13)
T’ =亲[(4 -42产(51 -星)+ (51 -殳)2 (01 -02)+
+ (01 -02产(4 -42)- (4 -42)2 (01 -02)-
—(§1 — §2)2 (4 —厶2)— (2 — б)? (§1 — §2)] • (1.7.14)
Соотношения (1.7.13), (1.7.14) определяют искомые выражения ребра кусочно линейного условия текучести в компонентах тензора напряжений 0叮.
Условие пластичности Треска. Уравнение грани условия пластичности Треска запишем в виде
01—02 = 24 или $—о$ = 2к.(1.7.15)
Из (1.7.15), (1.7.3) получим
d = ^(2k-必)，& = 一^(24+必).(1.7.16)
Из (1.7.6), (1.7.16) найдем
，& = —；(4廿—咸),3成=4 (d —廿)•(1.7.17)
Из (1.7.17), (1.7.9) следует выражение грани условия пластичности Треска, данное Леви
4 (~ - 4廿『(“一廿)-27^2 = 0.(9)
Рассмотрим ребро призмы Треска (12) (рис. 3):
。3 —。1 = 2瓦 оз — О2 = 2к.(1.7.18)
Соотношения (1.7.18) можно переписать в виде
01 =02, 03 =01 + 2k.(1.7.19)
Предельное состояние, определяемое соотношениями (1.7.17), (1.7.18), (1.7.19), носит название состояния полной пластичности.
В компонентах девиатора (1.1.2) условие полной пластичности (1.7.18), (1.7.19) имеет вид
必=g瓦 d=& = 一!瓦(1.7.20)
Из (1.7.20), (1.7.6), (1.7.9) следуют два соотношения:
~ = ^2, Т’ = !? 炉.(1.7.21)
Ниже покажем, что, вследствие кратности корней (1.7.19) характеристического уравнения, два соотношения (1.7.19) эквивалентны трем соотношениям, вполне аналогично тому, как два соотношения
入4九2 + 九2入3 +入3入4 =0, 入4入？入3 = ° при 入j + 九2 + 九3 次0
эквивалентны трем условиям
九1九2 = 0, 九2九3 = 0, 九3九1 = 0-
Исследование состояния полной пластичности проведем исходя из соотношений связи компонент напряжений 。叮 в декартовой системе координат xyz с компонентами главных напряжений О£.
Взаимную ориентацию координатных осей х^у, z и главных направлений 1,2,3 тензора напряжений определим таблицей направляющих
косинусов:косинусов:123жh771]几1У%27712几2z%3g几3123жh771]几1У%27712几2z%3g几3Причем имеет местоПричем имеет место庁 + 771； + 若=1, ^2 + М^ + 抬=1, 总 + 77^ + 展=1,庁 + 771； + 若=1, ^2 + М^ + 抬=1, 总 + 77^ + 展=1,%1%2 + П11 7712 + 几 1 几2 = °,2223 + Tп2TnЗ + 几 2几3 = 0,/1/з + т^тз + 几1几3 = о.%1%2 + П11 7712 + 几 1 几2 = °,2223 + Tп2TnЗ + 几 2几3 = 0,/1/з + т^тз + 几1几3 = о.(1.7.22)(1.7.22)илиили庁+後+后=1,m； + 欣 + m3 = 1,ZZ] + п? + 几з — 1，庁+後+后=1,m； + 欣 + m3 = 1,ZZ] + п? + 几з — 1，hmi + 22m2 + 23g = 0, т^п^ + m2Ti2 + 皿3几3 = 0, /1П1 + %2 几 2 + %3几3 = 0-hmi + 22m2 + 23g = 0, т^п^ + m2Ti2 + 皿3几3 = 0, /1П1 + %2 几 2 + %3几3 = 0-(1.7.23)(1.7.23)Связь между компонентами напряжения о叮 и главными компонентами напряжения 仇 определяется по формулам0£=01 百 + 02m1 +03几；, T况g=0"122 + G2Tn\Tn2 +03 几 1 几2,Og =01 後 + 02^^ + O3 状， %z = 0也23 + G2m2m3 +03 几 2几3, (1.7.24)On = O1 总 + 02 M^ + 03^3 5 工冗之=仃匕卜 + 02ml 771з + О3 几 1几3・Из (1.7.19), (1.7.24) получим報=о — 24/3 + 2k 若，тху = 2AmI®Og = о — 24/3 + 2AmM %z = 24几2几3,(1.7.25)On = о — 24/3 + 2k 脸，“z = 2Am皿3,Связь между компонентами напряжения о叮 и главными компонентами напряжения 仇 определяется по формулам0£=01 百 + 02m1 +03几；, T况g=0"122 + G2Tn\Tn2 +03 几 1 几2,Og =01 後 + 02^^ + O3 状， %z = 0也23 + G2m2m3 +03 几 2几3, (1.7.24)On = O1 总 + 02 M^ + 03^3 5 工冗之=仃匕卜 + 02ml 771з + О3 几 1几3・Из (1.7.19), (1.7.24) получим報=о — 24/3 + 2k 若，тху = 2AmI®Og = о — 24/3 + 2AmM %z = 24几2几3,(1.7.25)On = о — 24/3 + 2k 脸，“z = 2Am皿3,72j + 7^2 + П3 — L72j + 7^2 + П3 — LПоложимПоложимП1 = COS 01, П2 = COS 02,713 = COS 63.П1 = COS 01, П2 = COS 02,713 = COS 63.(1.7.26)(1.7.26)
косинусов:
косинусов:
1
2
3
ж
h
771]
几1
У
%2
7712
几2
z
%3
g
几3
1
2
3
ж
h
771]
几1
У
%2
7712
几2
z
%3
g
几3
Причем имеет место
Причем имеет место
庁 + 771； + 若=1, ^2 + М^ + 抬=1, 总 + 77^ + 展=1,
庁 + 771； + 若=1, ^2 + М^ + 抬=1, 总 + 77^ + 展=1,
%1%2 + П11 7712 + 几 1 几2 = °,
2223 + Tп2TnЗ + 几 2几3 = 0,
/1/з + т^тз + 几1几3 = о.
%1%2 + П11 7712 + 几 1 几2 = °,
2223 + Tп2TnЗ + 几 2几3 = 0,
/1/з + т^тз + 几1几3 = о.
(1.7.22)
(1.7.22)
или
или
庁+後+后=1,
m； + 欣 + m3 = 1,
ZZ] + п? + 几з — 1，
庁+後+后=1,
m； + 欣 + m3 = 1,
ZZ] + п? + 几з — 1，
hmi + 22m2 + 23g = 0, т^п^ + m2Ti2 + 皿3几3 = 0, /1П1 + %2 几 2 + %3几3 = 0-
hmi + 22m2 + 23g = 0, т^п^ + m2Ti2 + 皿3几3 = 0, /1П1 + %2 几 2 + %3几3 = 0-
(1.7.23)
(1.7.23)
Связь между компонентами напряжения о叮 и главными компонентами напряжения 仇 определяется по формулам
0£=01 百 + 02m1 +03几；, T况g=0"122 + G2Tn\Tn2 +03 几 1 几2,
Og =01 後 + 02^^ + O3 状， %z = 0也23 + G2m2m3 +03 几 2几3, (1.7.24)
On = O1 总 + 02 M^ + 03^3 5 工冗之=仃匕卜 + 02ml 771з + О3 几 1几3・
Из (1.7.19), (1.7.24) получим
報=о — 24/3 + 2k 若，тху = 2AmI®
Og = о — 24/3 + 2AmM %z = 24几2几3,(1.7.25)
On = о — 24/3 + 2k 脸，“z = 2Am皿3,
Связь между компонентами напряжения о叮 и главными компонентами напряжения 仇 определяется по формулам
0£=01 百 + 02m1 +03几；, T况g=0"122 + G2Tn\Tn2 +03 几 1 几2,
Og =01 後 + 02^^ + O3 状， %z = 0也23 + G2m2m3 +03 几 2几3, (1.7.24)
On = O1 总 + 02 M^ + 03^3 5 工冗之=仃匕卜 + 02ml 771з + О3 几 1几3・
Из (1.7.19), (1.7.24) получим
報=о — 24/3 + 2k 若，тху = 2AmI®
Og = о — 24/3 + 2AmM %z = 24几2几3,(1.7.25)
On = о — 24/3 + 2k 脸，“z = 2Am皿3,
72j + 7^2 + П3 — L
72j + 7^2 + П3 — L
Положим
Положим
П1 = COS 01, П2 = COS 02,713 = COS 63.
П1 = COS 01, П2 = COS 02,713 = COS 63.
(1.7.26)
(1.7.26)
Согласно (1.7.26) соотношения (1.7.25) могут быть переписаны в виде
報 =о — 2к/3+2к cos2 9i,хху= 24 cos 力cos 蝕，
Gy =о — 2k/3-\-2k cos2 02 5^yz— 2A: cos 02cos 9з,(1.7.27)
On =O — 2k/3+2k cos2 03,“z= 24 COS 61COS 03,
cos2 9i + cos2 02 +cos2 9з = 1.(1.7.28)
Из (1.7.27), (1.7.28) следует
(報-о + 24/3)(Og - о + 24/3)=宜夕，
& - о + 2к/3)& - o + 24/З)=嗫，(1.7.29)
(Oz - о + 24/3)(報-о + 24/3) = t^z, а также
(。宏—。+ 24/3) %z = ^xy^XZ 5
^y —。+ 2k/3) “N — ^xy^yz,(L7.30)
(Oz -0+ 24/3)T况g=^xz^yz •
Таким образом, два соотношения в главных напряжениях (1.7.19) эквивалентны трем соотношениям (1.7.29) или (1.7.30).
Из соотношений (1.7.30) следует
2 7. ^xy^xz2 7^xy^yz
От — О с 乃 +,— О с 乃 +•
2 7^xz^yz
> Oz = О 丿 +•
(1.7.31)
J^yz
J”N
Из (1.7.31) получаем
^xy^xz +
^xy^yz + ^xz^yz —
：2瓦
(1.7.32)
^xz^xy
Из соотношения (1.7.28) следует
(COS 0] у sin 03
\ 2/c \ 2
)+(:3
二 1.
(1.7.33)
Положим
COS 0] .=COS
sin 03屮'
COS 02.
.=sin
sin 03屮'
e3 = 2e.
(1.7.34)
Согласно (1.7.34) соотношения (1.7.27) примут вид
。冗= о — 2к/3 + 2к cos2 ср sin2 9з, хху = k sin 2(р sin2 9з,
Оу = о — 2k/3 -\- 2k sin2 ср sin2 9з, тЖ2 = A: cos 2(psin 29з,(1.7.35)
On = о — 2к/3 + 2к cos2 9з, %z = к sin ср sin 2®з.
В дальнейшем обозначим 2®з = 9, тогда, согласно (1.7.35), получим 報=о — 24/3 + к (1 — cos 9)cos2 ср, хху = (к/2) (1 — cos 9)sin 2屮，
Og = о — 24/3 + к (1 — cos 6)sin?屮，тЖ2 = к sin 9 cos ср, (1.7.36)
On = о — 2к/3 + к(1 + cos 9), %z = к sin 9 sin cp.
Из (1.7.36) следует
& — о夕『+ 4备=廿(1 — cose)? , T?=叁+県=廿 sin?仇(1.7.37)
tg2 屮tg(p=(1.7.38)
一Gy^xz
Согласно (1.7.37), (1.7.38) касательное напряжение Т направлено вдоль главного напряжения в плоскости ху.
Условие максимального приведенного напряжения. Условие максимального приведенного напряжения запишем в виде
& =03 - 0 = /
Согласно (1.7.39)
k, & — k = 0,
2(53 — О] — 02 二
二 3k.
(1.7.39)
(1.7.40)
0
0
0
0
0
0
必一 k
=0
или,
^xy
^xz
^xy
力-4
=0.
(1.7.41)
^xz
¥ — 4
Из (1.7.41) следует запись условия пластичности (1.7.39) в компонентах декартовой системы координат:
(с>ж — О — к)(。夕—О — к) (。2 — О — 4) + ^xy^yz^yxz —
—(報—(5 — k)^z — (о^ —。一 к)宜z —(Oz —。一 4)宜夕=0. (1.7.42)
В случае ребра максимального приведенного напряжения имеют место соотношения
(1.7.43) или 必一к = О, ，+ к = 0.
Согласно (1.7.43), аналогично (1.7.41), (1.7.42), в случае ребра максимального приведенного напряжения имеют место два условия пластичности:
(0£ 一0一 ^ (0g一0—4) (02 —0— 4) + ^^Xy^yZ^yXZ 一
—(。£ - О - 4)学2 —(。夕一° — 4) Wz — (。2 — ° — 4) Wg = 0,
(0£ 一 0 + k)(0g 一 0 + к) (02 一 0 + 4) + ^^xy^yz^yxz 一
-(0宓 -0+ 4)学N -(0g一0+ 4)Т詳一(02 -0+ 4)扌g=0. (1.7.44)
Уравнения деформирования телза пределом упругости
Пространственная задача пластичности явилась предметом внимания многих ученых, начиная с Леви [233], предложившего обобщение уравнений плоского пластического течения Сен-Венана на случай пространственного пластического течения. Большие успехи в установлении уравнений пространственного пластического деформирования принадлежат Генки [230], который развил результаты, полученные ранее Хааром и Карманом [229] и Мизесом [192]. А.А. Ильюшину [24] принадлежит построение теории пластичности при произвольном упрочнении в условиях так называемого простого нагружения с решением большого круга практически важных задач.
Особенностью всех предложенных теорий пространственного пластического состояния является предположение о сохранении изотропности среды при деформировании. Именно изменение направления пластического течения может быть произведено одним лишь изменением направления действия внешних сил на пластическое тело с сохранением условия пластичности. Поэтому эффект Баушингера не укладывается в рамки упомянутых теорий, т. е. растяжение образца за предел текучести не сопровождается понижением предела текучести при последующем сжатии того же образца, как это имеет место в действительности.
В настоящий момент почти нет сведений о пластичности монокристаллов при сложном напряженном состоянии. Вследствие этого пока затруднительно, применяя статические методы исследования, дать фактические обоснования поведению поликристаллических тел при пластическом деформировании.
Здесь мы сделаем попытку построить уравнения деформирования тел за пределами упругости, вводя некоторые простейшие гипотезы о характере происходящих явлений, которые, как представляется, качественно оправдываются экспериментом.
Обозначим через е“ &2, &з главные компоненты деформации, а величины Si = ei — е, где е = © + &2 + &з) /3, назовем компонентами формоизменения. Нетрудно видеть, что последние не зависят от величины объемной деформации и, кроме того.
Si + §2 + S3 = 0.
При заданной ориентации главных направлений тензора деформаций значения е, s^, S2, S3 могут рассматриваться как обобщенные координаты, определяющие деформацию бесконечно малого элемента тела. Пусть g> S\> S2〉S3 — обобщенные силы, соответствующие этим координатам. Тогда должно иметь место равенство
。1 3 с】+。2 3 &2 +。3 3 &з — Зо 3 е + S13 sl + S2 3 貶 + S3 3 §з,
где 01,02,03 — напряжения на площадках, нормалями которых служат главные направления деформации. Естественно считать, что эти напряжения также являются главными. Вариации 8ei, 862, Зез независимы, причем имеют место соотношения
Зе = (Зе】+ 3&2 + Зез) /3, 3sl = 23&1/3 —(3&2 + Зез) /3,
3§2 = 23&2/3 - (Зез + Зе» /3, Збз = 28е3/3 -(3白 + Se2) /3.
Поэтому справедлива формула
oi = 2s1 /3 — S2/3 — S3/3 + 0
и аналогичные формулы для 02 и 03. Следовательно,
6 = Sc + о -「(〃 = 1, 2, 3),
где через Г обозначена треть суммы величин Si, S2, S3, которые в дальнейшем будут именоваться главными напряжениями формоизменения. Складывая приведенные выше соотношения, получим
и, таким образом, о представляет собой среднеарифметическое нормальное напряжение.
Как и следовало ожидать, главные напряжения формоизменения S“ S2 и S3 не определяются однозначно через главные нормальные напряжения вследствие взаимозависимости величин s^, S2 и S3. Имеем
Si =「+ 2oi /3 — 02/З — 03/З
и другие, подобные же, формулы для S2 11s3, в которых величина Г не может быть определена из соображений статики.
Примем, что каждое напряжение формоизменения зависит лишь от соответствующей ему компоненты формоизменения, т. е.
Sl=〃Si), S2 = /(S2), S3 = /(S3),
где / — одна и та же функция. Точно так же среднее напряжение о будем считать функцией одной переменной е — объемной деформации, т. е.
о = д(*
где g — некоторая известная функция. Нетрудно видеть, что при взаимной однозначности представленных функциональных соотношений мы будем иметь дело с изотропным упругим телом. Это тело подчиняется закону Гука, если функции / и ^ линейны. Действительно, полагая
Si = bs“ S2 = 6§2, S3 = b§3 и о = Зхе,
получим
Si + S2 + S3 = 3「= 6(S1 + §2 + S3) = 0.
Следовательно,
ос = Sc + о —「= 6 §£ + Зхе = (Зх — 6) е + Ь& (г = 1, 2, 3).
Если ввести далее обозначения
b = 2|i и Зх — 6 = X,
то немедленно придем к закону Гука в форме Ламе:
6 =九 е + 2|i /.
Принимая иные формы зависимости между S“ S2, S3, он si, §2, S3, е, можно получить многие известные ранее модели тел.
Например, при соотношениях интегрального характера вида Вольтер- ра:
Si = bsi —]屮（力一т）5£（т）бй, о = Зхе—3 j 屮（力一т） е（т）ск,
придем к уравнениям наследственности типа Больцмана-Вольтерра:
Ci = 1e + 2|iej — ] {[3w（力一工）一中（力一初 е（工） + 屮（力一工）/（T）"工.
Полагая Si = ydsi/dt, о = Зхе, получим такие же соотношения, как и в уравнениях сжимаемой вязкой жидкости, и т. д.
Здесь мы изучим такую зависимость между Sus, которая известна в литературе под названием линейного упрочнения, а именно: примем, что в случае монотонного возрастания s имеют место соотношения
S = bs при s < К/б,
и
S = К -\- h （s — K/b） при s > К/б,
где К — пластическая постоянная среды, h < b — модуль упрочнения. Таким образом, график зависимости S от s имеет перелом в точке с координатами {S = К, s = К/b）, как показано на рис. 17.
Примем, что если после достижения некоторого значения s = s* величина s начнет убывать, то S будет уменьшаться по линейному закону с угловым коэффициентом 仇 т. е.
S* —S = b（s —s*）,
где S* — значение S, достигнутое при s = s*.
На рис. 18 изображена петля гистерезиса при периодическом изменении s.
Введем две прямые (см. рис. 18):
S = ±K + h (s 干 K/b), и примем, что между ними находятся всевозможные пары совместных значений Sus. При этом
dS = bds,
когда (S, s) находится строго между обеими прямыми. Если же точка (S, s) находится на верхней граничной прямой
S = K + h (s —K/b),
то
dS = hds, ds〉0 и dS = bds, ds < 0.
Точно так же, если точка (S, s) находится на нижней граничной прямой, т. е.
S = —K + 九(s + K/b),
то
dS = hds, ds < 0 и dS = bds, ds > 0.
Очевидно, что в описываемом материале по отношению к напряжению S и деформации s имеет место эффект Баушингера. Действительно, перелом графика при растяжении (точнее при сдвиге) за предел упругости из естественного состояния происходит при напряжении S = =К. Пусть было достигнуто напряжение S* > К и соответствующая ему деформация s*. Тогда при последующем сжатии вначале будет происходить упругая деформация, соответствующая прямой ДВ, S* — — S = b (s* — s) с угловым коэффициентом 仇 и затем в точке В ее пересечения с нижней граничной прямой наступает второй перелом графика, который соответствует уже пределу упругости при сжатии.
Нетрудно подсчитать значение этого предела упругости при сжатии. Действительно, точка А графика расположена на 2K выше точки В. Точно таким же свойством обладают все другие пары точек пересечения с граничными прямыми прямых с угловым коэффициентом Ь. Если ординату точки пересечения прямой АВ упругого сжатия с нижней граничной прямой обозначим через S&, то будем иметь
Sa = S* — 2K.
Пусть S* ненамного больше К и, во всяком случае, S* < 2K. Тогда Sd < 0 м |^| < К,
что и соответствует эффекту Баушингера.
Выбранная зависимость между Sus описывает, вместе с тем, так называемое явление наклепа (упрочнения). В самом деле, произведем «растяжение» из естественного состояния напряжением S = S*, превышающим предел упругости К (рис. 19). Затем произведем разгрузку
до напряжения S = 0. В результате образуется некоторая остаточная деформация so- Если теперь вновь начать растяжение, то диаграмма (s, S) (см. рис. 19) пойдет по той же прямой обратно и, достигнув верхней граничной прямой, получит перелом. Таким образом, предел упругости окажется при повторном растяжении повышенным.
Если Л = 0, получим идеализированную диаграмму Прандтля (рис. 20) с горизонтальным участком текучести. Эффект Баушингера и наклеп здесь уже отсутствуют. Для случая Л = 0 при монотонном растяжении из естественного состояния будем иметь
S = bs при s，К/б,
S = К при s》К/Ь.
Совместные значения S и s здесь возможны лишь в области | S |， ，К. Их изменения при произвольном деформировании (см. рис. 20) связаны дифференциальными соотношениями
dS = bds при \ S \ < К,
а также
dS = 0, если S = К, ds〉0 или S = —К, ds < 0.
Пусть элемент тела при 九》0 находится в естественном состоянии. Тогда, если ни одна из величин Si, S2 и S3 не превышает критического
значения К, мы будем иметь дело с обычным упругим изотропным
телом. Как было показано выше, в этом случае Г = 0, поэтому Si = =2о"3 — 02/З — оз/Зи аналогично для S2 и S3.
Таким образом, область (|Si| < К, |$2| < К, |5з| < К) соответствует чисто упругим деформациям тела. В пространстве Хейга
с координатами 01,02,03 зта область представляет внутреннюю часть шестигранной призмы с осью, одинаково наклоненной к положительным направлениям осей о“О2 и 03 (рис. 21).
Закон Гука нарушается, если одна из величин S в процессе деформирования превысит значение К, поэтому указанная призма является характеристической поверхностью для некоторой теории прочности [163] (см. рис. 10).
Из дальнейших примеров будет вид
но, что значительные пластические де
формации элемента возникнут лишь в случае, когда при его нагружении два из трех напряжений формоизменения S в отдельности превысят значение К.
Рассмотрим теперь процесс простого (монотонного) растяжения тела, деформирование которого подчиняется приведенным соотношениям между Si и Si，
При простом растяжении
。1 = о〉0, 。2 = 0, Оз = О,
и в области упругих деформаций
Si=2oi/3, $2 =-01/3, S3 = -oi/3.
Упругое растяжение будет происходить, пока Si，К. При этом2о"3 = Si = bsi = 6ej — be, е = o/比
и,следовательно,
@ = (£ + 吏)30=曾5
где постоянная Е = Ьх/ (2х + 6) является модулем Юнга. Напряжения Si = К и соответственно
служат, таким образом, пределом упругости при растяжении.
Пусть теперь напряжение о =仃 несколько превысит предел упругости ое. Тогда напряжение формоизменения Si окажется выше пластической постоянной К, вследствие чего следует положить
& = К + 九⑶一К/b) = К1 + hsu
где введено обозначение
и принято, что h < Ь.
Для S2 и S3 будем иметь по-прежнему:
S2 = 6§2, S3 = 6бз・
Складывая S“ S2 и S3, получим
ЗГ = К' + /is】+ 6§2 + б^з = К' — (b — h)si,
так как 仃 + 貶 + S3 = 0.
Далее, учитывая, что 02 = 03 = 0, имеем
Зо = О] = Si + о — Г = К，+ hs、+ о — (；К，— " § " §]).
Замечая, что
1 о
S] = £] — е = £]—刁—,
3 х в результате получим
Отсюда заключаем, что деформирование за пределом упругости вначале пойдет, следуя закону прямой с угловым коэффициентом
/ _ 9%(b + 2无)
-18% + b + 2犷
Заметим, что Е1 < Е^ так как
Е — Ef =1°8”(Ь -厶) q
-(6% + 6)(18% + b + 2无)‘ 5
и модуль упругости 6 больше модуля упрочнения h.
Для предельного случая несжимаемого материала (х = оо) и идеальной диаграммы Прандтля (Л = 0) будем иметь Ef = 石/З. Вообще же Ef > Е/3 и, таким образом, на этом участке диаграммы простого растяжения удлинения не будут сильно отличаться от чисто упругих
Уравнения деформирования тел за пределом упругости 75 (рис. 22). Этот результат в известной мере согласуется с экспериментальными данными, отмечающими остаточные деформации при значениях растягивающих напряжений меньших предела текучести.
Второй участок диаграммы растяжения продолжается, пока
2。= &〉К, I S2 I I S3 I < к.
Посчитаем теперь, какому напряжению 仃 соответствует начало третьего участка, когда напряжения формоизменения S2 и S3 одновременно достигнут значения пластической постоянной К.
Для этой цели положим
S2 = 6§2 = —К = S3, откуда
S1 = —(§2 + S3)= 2К/6.
Далее имеем
& = < + hS1 =中 К
ODD
И
3「= & + S2 + S3 = — (1 — h/b) К.
Таким образом,
|о] = 2。= & —「=+ I
3у оу 3 у оу3 о у
и значение растягивающего напряжения на границе второго и третьего участков оказывается равным:
oi = (2 + /г/b) К = о§.
Напряжение о$ является для данного материала пределом текучести, так как при дальнейшем увеличении растягивающего напряжения
начинается резкое возрастание деформации. Чтобы убедиться в этом, найдем угловой коэффициент наклона третьего участка диаграммы растяжения. Имеем для oj〉о$：
Si = К' + hs、и S2 = S3 = —К' + /г§2, откуда ЗГ = —К'. Следовательно,
2о = Si —「= К’ + hs\ + — Kf = — Kf + h [ ej —,
или
и искомый угловой коэффициент равен
〃 _ 9хД
-九+ 6力
Так как модуль упрочнения Л предполагается значительно меньшим модулей х и 6, то Е" соответственно меньше Ef и Е и, следовательно, третий участок диаграммы растяжения соответствует появлению заметных удлинений при растяжении. Если считать материал несжимаемым (х = оо) и значение модуля упрочнения Л принять равным нулю, то третий участок будет иметь горизонтальное направление, характеризуя идеальную текучесть материала (рис. 23). При этом о$ = =2K.
В экспериментальных кривых не наблюдается резких изломов диаграммы растяжения, как это следует из проведенного теоретического построения. Однако общий характер кривой зависимости о от е получается тот же; гладкий же характер кривой может быть объяснен статистическим эффектом распределения характерной величины К для отдельных кристаллитов металла [169].
Прежде чем переходить к более сложным напряженным состояниям, рассмотрим случай кручения круглого цилиндра.
Имеем для элемента, расположенного у поверхности цилиндра:
01 — —02,03 -0， стаx = (01 一02)/2 -01,
следовательно,
о = 0, е = 0.
До достижения предела упругости Г = 0, поэтому
Si = bsi = О“ S2 = 6^2 = —02, S3 = О;
кроме того,
Ymax = &1 — &2 = Si — §2 = 2sl — 2oj /6, ^max — ^Ymax/2.
Очевидно, что величины Si и S2 одновременно достигают предельных значений 士К при《ах = К и диаграмма зависимости касательного напряжения 工 при чистом сдвиге от величины сдвига у имеет лишь два участка. Угловой коэффициент наклона первого участка равен 6/2, т. е. модулю сдвига |i = G = 6/2. Чтобы найти угловой коэффициент второго участка, достаточно заметить, что после предела упругости
Стах =。1 =S1 = К + h$i = К + hymax/2.
Таким образом, в случае 九=0 на диаграмме сдвига имеется горизонтальная площадка текучести.
Вследствие неоднородности напряженного состояния при кручении лишь элементы поверхности перейдут в пластическое состояние. Поэтому у диаграммы зависимости крутящего момента от угла закрутки при переходе за предел упругости перелома не будет [176].
Остановимся подробнее на величине《ах, соответствующей переходу в пластическое состояние элемента при чистом сдвиге.
Обозначим эту величину через %. Согласно предыдущему имеем
% = К.
Возникает вопрос: как определить величину ts на основании опытов на простое растяжение?
При простом растяжении имеем два характерных напряжения: предел упругости ое = ЗК/2 и предел текучести о$ = (2 + h/b)K. Следовательно,
Те = 0.667Ое, и, вместе с тем,
В реальных материалах обычно не делают строгого различия между ое и os, и экспериментальные данные дают для те и ts значения, укладывающиеся в интервале (0.500)-(0.667)os. Тот же интервал заполняют многие теории прочности [163].
Рассмотрим теперь плоскую деформацию несжимаемого упругопластического материала без упрочнения (% = 0). В этом случае
ез = 0
и
§3 = ез - е = -е.
Для несжимаемого материала имеем е = 0, следовательно,
S3 =0, 51= —§2 и S1 = —$2, S3 = 0.
Далее, в пределах упругости
。1 = Si + о, 02 = —Si + о, оз = 5
откуда
03 = (01 +02)/2,01 -02 = Si - S2 = 2S1 .
Предел упругости будет достигнут, ели напряжение Si достигнет критического значения К [165]. Для этого необходимо, чтобы
。1 -。2 = 2К, ИЛИ Стах = К.
Таким образом, для плоской деформации несжимаемого материала условие пластичности совпадает с условием Сен-Венана.
В пластической области имеем
。1 = Si —「+ о, 。2 = —Si —「+ о, оз = —Г + о,
откуда 03 = G +。2)/2, т. е. третье главное напряжение равно полусумме главных напряжений, направление которых лежит в плоскости деформирования. Такое же соотношение принимается в теориях пластичности Мизеса и Генки.
Для сжимаемого материала выкладки несколько усложняются. Имеем в упругой области
Si = bsi, S2 = 6§2, S3 = 6§3,
но
S3 = * - е = -е,
следовательно,
$2 — —S] — $з = е — S]
и
S2 = b (е — si) = be — S「
Так как объемная деформация бывает обычно небольшой, то следует ожидать, что из трех величин S скорее всего достигнет предельного значения К одна из первых двух. Пусть такой окажется S“ тогда
и далее
。1 = К + о = К + Зхе,
02 = be — К + о = —К + (6 + Зх) е,
откуда, исключая е, получим соотношение
。1(6/3 + х) — 02 ^ — (6/3 + 2х) К,
при котором имеет место наступление предела упругости. Однако, как было показано ранее на примере простого растяжения, дальнейшее увеличение напряжений не сопровождается большой деформацией, пока и вторая из величин S по абсолютному значению не достигнет критического значения К. По тем же соображениям такой величиной скорее всего может оказаться S?. В случае идеально пластического материала (% = 0) следует положить
& = К, S2 = —К.
Так как за пределом текучести
。1 =Si+o —「= К + о —「，
02 — S2 + о — Г = —К + о — Г,
то должно быть
ci — 02 — 2K.
Таким образом, вновь получаем условие пластичности Сен-Венана. Для третьего главного напряжения найдем выражение
Оз = S3 + О -「= S3 + G + О2)/2,
но
S3 = -be = -^(01 +02 +03),
следовательно,
оз(1 + "9%) = (1/2 - 6/9%)(ci + 02),
что близко к обычно принимаемому соотношению 03 = G + °2)/2.
Обратимся к плоскому напряженному состоянию. В этом случае оз = 0 и в упругой области имеем
оз = S3 + о = О,
откуда
О = —S3 = S1 + $2・
Далее имеем
。1 = Si + о = 2sl + S2, 02 = S2 + о = Si + 2s2・
Таким образом, если 03 = 0, то
S1 = (2oi - О2)/3, S2 = (2(52 - 01)/3, S3 = _(О1 + О2)/3・
Предел упругости материала достигается, если одна из величин S примет по модулю значение К.
В зависимости от соотношения величин главных напряжений это будет S“ S2 или S3. Пусть Si = 士К, тогда условием предела упругости служит равенство
2。2 -01 = ±3k.
Аналогичное соотношение будет иметь место и для случая
S2 = 士К.
Если же S3 = 士К, то условие достижения предела упругости принимает вид
01 +02 = ±3k.
Как уже было показано выше, значительные пластические деформации могут появиться лишь тогда, когда две из величин S по модулю достигнут критического значения К. Ниже мы остановимся на случае отсутствия упрочнения на графике зависимости S от s, т. е. вновь примем угловой коэффициент Л равным нулю (см. рис. 20). Это означает, что при монотонном деформировании величина S, достигнув критического значения 士К, в дальнейшем остается постоянной. Случай упрочнения Л 7^ 0 не вносит принципиальных затруднений, усложняя только выкладки.
Пусть при плоском напряженном состоянии (03 = 0) второе главное напряжение 02 равно некоторой положительной постоянной og меньшей ЗК/2, но большей К. Тогда при о】 =0 будет иметь место простое растяжение материала в пределах упругости. Будем теперь увеличивать напряжение 斗 Как легко усмотреть из выведенных для S“ S2 и S3 формул, напряжения Si и S2 по модулю будут вначале уменьшаться, в то время как напряжение S3 (также по модулю)— увеличивается. Оно первым достигнет критического значения —К, как только осуществится соотношение
— К =—⑸ + 电 /3,
из которого следует, что предел упругости будет достигнут при значении главного напряжения о“ равном
oi = ЗК — og.
Значения Si и S2 окажутся при этом следующими:
Si = (2oi — °2)/3 = 2K —或 $2 = (2。2 — oi)/3 = og — К.
3
Убеждаемся, что так как в данном случае К < og < -/С, то и в самом деле, при \ S^\ = К имеет место | Si | < К, | S2I < К.
Будем далее увеличивать напряжение oj за пределы значения ЗК — — og. Величины S“ S2 и S3 следует теперь определять из уравнений, относящихся к пластической области деформирования:
。1 = S1 + О —「，02 = S2 + О —「， Оз = S3 + о —「，
и допустить отсутствие упрочнения:
S3 = -к.
Учитывая, что 02 — <?2 и °з — 0, получаем
о —「= К, Si = и — К, S2 = о? — К.
Напряжение формоизменения S2 в процессе увеличения oj в рассматриваемом примере плоского напряженного состояния остается постоянным. Следовательно, только Si может достигнуть критического значения К, именно когда напряжение 仃 станет равным 2K. Далее, при неизменных напряжениях 仃，02 Moз = 0 могут произойти значительные пластические деформации.
Пренебрежем объемной деформацией е, т. е. примем, что Si ^ е^. Тогда из изложенного выше следует, что в описываемом процессе деформация & в направлении второго главного напряжения 02 = =og будет сохранять свое значение, в то время как деформации в направлении первого главного напряжения и третьего (равного нулю) могут оказаться значительными (имея разные знаки).
Плоскость, проходящую через направления значительного деформирования, назовем плоскостью течения. В этой плоскости будем отмечать направление, соответствующее первой из величин S, достигших критического значения К, т. е. направление потери упругости. В разобранном случае им является направление 3, а плоскость течения — плоскость (1,3).
Если 0 < og < К, то картина явления становится несколько иной и уже величина Si при возрастании 仃 первой достигнет критического
значения К. Из равенства
Si = 2oi/3 — og/З = К следует, что это осуществится при
О1 =ЗК/2 + £/2・
Далее из уравнений для пластического состояния
ci = /С + о — Г, £ = $2 + 0 —「，0 = 82+0 —「 получаем соответственно
о —「= oi — К, S2 = £ + К — и, S3 = К — и.
Так как теперь, по предположению, К〉og〉0, то при дальнейшем возрастании 仃 за значение 3K/2+og/2 первым достигнет критического значения —К напряжение формоизменения S3. Это произойдет при напряжении oj = 2K. Здесь вновь плоскостью течения оказывается плоскость (1,3), но направлением потери упругости является уже направление 1.
Совершенно другая картина появления пластической деформации возникает при 02 = og < 0. Тогда если — К < og < 0, то при возрастании напряжения 仃 начиная с нуля первым достигнет критического значения +К напряжение формоизменения Si, а затем напряжение S2. Как легко видеть из только что разобранного примера, последнее осуществится при напряжении о“ равном
oi = 2K + og.
Если, наконец, —ЗК/2 < og < — К, то первой критического значения — К достигнет величина $2・ Из равенства
— К =(2^2 — б) /3
находим соответствующее значение о“ а именно:
oi = 20g + ЗК.
Напряжения Si и S3 принимают при этом значения
Si = (2oi — о?) /3 = og + 2К, S3 = — (и + °2)/3 = — ^2 — К
3
и при принятом условии —5К < og < —К критического значения не достигают.—
Далее из уравнений
。1 = Si + о —^2 — —К + с> — Г, 0 = S3 + о — Г
получаем
Si = и - о? - К, S3 = -о? — К (о? < 0),
и, как нетрудно видеть, критического значения +К при дальнейшем увеличении напряжения oj может достичь лишь величина Si при напряжении
oi = 2K + og.
Таким образом, в последних двух примерах плоскость течения одна и та же. Это плоскость (1,2). Однако направления потери упругости разные, соответственно 2 и 1.
Во всех разнообразных примерах плоского напряженного состояния (оз = 0) главное напряжение 02 = og фиксировалось и находилось в пределах —ЗК/2 < og < ЗК/2, а напряжение 仃 возрастало начиная с нуля.
Рассмотрим теперь последний пример, при котором 02 в процессе своего изменения может выйти за эти пределы. Пусть 02 =。1 — %, где % — малая положительная величина. Тогда при 03 = 0 в упругой области для величин S“ S2 и S3 получаем
Si = (2oi - °2)/3 = 01/3 + %/3,
S2 = (2^2 - oi)/3 = 01/3 - 2//3,
S3 = -(01 +02)/3 = -2oi/3 + %/3.
Отсюда следует, что при возрастании 仃 первой достигнет критического значения К величина S3. Далее, уже при появлении пластической деформации имеем
О] = S] + о —「， б — % = S2 + о —「， 0 = —К + о — Г, или
Si = и - К, S2 = и - К - %.
Второй достигнет критического значения величина Si при oj = 2K. Напряжение 02 может при этом сколь угодно мало отличаться от 2K. Плоскостью течения теперь будет являться плоскость (1, 3). При % = =0, и следовательно oj =02, вместо этого возникает пластическое деформирование по всем направлениям. По направлению 3 будет иметь место пластическая деформация, равная сумме деформаций по направлениям 1 и 2, если не учитывать деформации объема. Действительно, для этого случая при пластическом течении имеем
& = S2 = К и S3 = —К,
откуда следует
s“ §2〉0, и s3 < О,
а так как
Si + S2 + S3 = 0 и Si ^ 61,§2^ е2, S3 ^ е3,
то
I ез| = I ci I I е2|.
Что же касается соотношения между деформациями ei и б2, то оно может быть произвольным и определяется кинематическими условиями деформирования. Это решительно отличает предлагаемую теорию пространственной пластичности от теорий Леви и Генки, которые требуют для такого случая строгого равенства
ci = е2.
Резюмируя приведенные исследования плоского напряженного состояния оз = 0, можно сказать, что при напряжениях 仃 и。2 одного знака плоскость течения всегда проходит через третье направление и условием течения является достижение одним из напряжений oj и。2 по модулю значения 2K. При напряжениях oj и。2 разных знаков течение наступает при условии, совпадающем с условием пластичности Сен- Венана:
I01 -02〔 = 2к,
и плоскость течения проходит через оба этих направления.
Как уже неоднократно отмечалось, достижение одним из напряжений формоизменения критического значения 士К еще не означает появления больших деформаций, а соответствует лишь переходу за предел упругости в некоторой части тела. Внутри нее перемещения и напряжения могут быть найдены решением некоторой системы уравнений, вывод которых будет намечен позже. Трудности решения подобных систем осложняются неизвестностью границы, отделяющей область тела, где возникло пластическое состояние, от области чисто упругих деформаций.
Пусть какие-либо два напряжения S достигнут критического значения 士К, тогда в случае отсутствия упрочнения будем иметь
。1 = К + о —
02 — 一К + О 一 Г,
Оз = S3 + о —「，
где для определенности положено, что Si достигло критического значения +К, a S2 — значения —К.
Из этих соотношений получаем
01 -02 = 2K и
S3 = 0з -(01 +02)/2.
Так как напряжение S3 еще не достигло критического значения, то
S3 = 6§з,
где S3 — соответствующая S3 компонента формоизменения.
Будем считать материал несжимаемым, тогда
S3 = е3 и,следовательно,
加3 =03 -(01 +02)/2.
При напряжениях 01,02 и 03, имеющих порядок пластической постоянной, величина ез оказывается небольшой, а в предельном случае идеально пластического материала, т. е. для бесконечно большого модуля сдвига 仇 имеем
ез = 0.
Заметим, что величина ез является корнем алгебраического уравнения для главных деформаций:
ж3 — Зеж2 + срж — \|/ = 0,(1.8.1)
где
Зе = ci + е2 + е3, ф = е2е3 + e3ei + eie2, v = 616263.(1.8.2)
Будем в дальнейшем считать пластическую деформацию настолько малой, что компоненты ее можно с достаточной точностью подсчитать по известным формулам
(1.8.3)(1.8.3)_ ди_ dv_ dw
(1.8.3)
(1.8.3)
c dw dv с 3〃 ^w с 3。3〃
где u)%w — компоненты смещения.
Так как ез = 0, то имеем
屮=ед* =屮=ед* =
屮=ед* =
屮=ед* =
и, кроме того, в силу условия несжимаемости:
Зе = / +丽+就Зе = / +丽+就=0.=0.(1.8.5)(1.8.5)
Зе = / +丽+就
Зе = / +丽+就
=0.
=0.
(1.8.5)
(1.8.5)
Наиболее интересным случаем при пространственной пластической деформации является тот, при котором все три главные деформации имеют значительную величину по сравнению с чисто упругими. При этом все три напряжения формоизменения Si должны достичь критических значений. Теперь следует положить
ос = 士К + о — Г (〃 = 1, 2, 3).
Здесь знак у каждой пластической постоянной должен совпадать со знаком соответствующей компоненты формоизменения 询.Однако их сумма равна нулю. Отсюда следует, что согласно предлагаемой теории идеальной пластичности два главных напряжения должны быть непременно равны друг другу, а третье отличаться от них на удвоенное критическое значение 2K. Пусть для определенности
О1 = 02 и оз — о】=2K.
Это означает, что
Si = S2 = —К и S3 = К,
причем компоненты формоизменения 电 и §2 отрицательные, а S3 положительно, при этом
S3 = I S1I + I S2|.
Направление, соответствующее наибольшей компоненте формоизменения, можно назвать активным направлением течения.
Таким образом, для пространственной задачи пластичности имеют место два соотношения между главными напряжениями, подобно гипотезе полной пластичности Хаара и Кармана [213]. Этим предлагаемая
теория отличается от теории Леви и Мизеса [233, 192], в которых принимается единственное соотношение. Для построения замкнутой системы уравнений обоим авторам приходится вводить излишне большие ограничения на величины пластических деформаций (или скоростей деформирования, если рассматривается течение пластической среды), а именно принимаются справедливыми четыре соотношения:
dvx dvy dvx dvz dvy dvx dvz dvy dvx dvz ' dx dy dx dz dx dy dy 宀 dz dz + dx
(1.8.6) где vx,Vy, vz — компоненты скорости (или перемещения) какой-либо частицы пластической среды. Эти соотношения содержат не только требование коаксиальности тензора напряжения и тензора скоростей деформирования, но также и требование пропорциональности касательного напряжения на произвольно ориентированной площадке к соответствующей скорости деформации сдвига (причем коэффициент пропорциональности может меняться при переходе от одной точки тела к другой). В частности, если где-либо в среде возникает напряженное состояние с главными напряжениями
01 =02 = 0з + 2k,
то из упомянутых выше теорий следует, что обязательно должно осуществляться равенство 白 =貶 Согласно же нашей теории, должно быть только
61 > 0, 62 > О, а соотношение между ними может быть произвольным.
Решение пространственной задачи пластичности сводится в нашем случае к решению системы следующих девяти уравнений с девятью неизвестными функциями т/, и, W, Ож, О^, <3z^yz^zx^ ^ху-
р 1
（ди , ди , ди , ди\ 卜証班+。茹+仅石丿
/dvdvdvdv \
р
(后h 0—h 仅 )
\ otoxdydz у
=萨?+ 萨，187
oxoyoz''
/
dw , dw , dw , dw
\ dxZx .. а。/
ч
+ "万—b 0万-b仅万一 otoxoyoz
/ dxdy dz '
窮+ ^ +碧=。，（188）
(1.8.9)(1.8.9)(1.8.10)(1.8.11)(1.8.10)(1.8.11)^ж ^ху + ^ху ^уу + ^xz ^yz = ^ух ^жж + ^у^ху + ^yz^xz ч ^ух ^zx +。夕 ％夕 + ^yz ^zz = ^zx ^yx + ^zy ^yy + ^z ^yz 5 ^zx^жж + ^zy^xy + ^z^xz = ^ж ^zx + ^xy^zy + ^XZ^ZZ5
(1.8.9)
(1.8.9)
(1.8.10)
(1.8.11)
(1.8.10)
(1.8.11)
力 Gs<) = 0,/2 (dS<) = 0.
Первые три уравнения (1.8.7) являются уравнениями движения механики сплошной среды, причем u^v и w представляют собой компоненты скорости частицы.
Четвертое уравнение (1.8.8) выражает условие несжимаемости среды, следующие три уравнения (1.8.9) — условие совпадения главных осей тензора напряжений。冗，。夕，。之，^yz, ^zx,工冗夕 и тензора скоростей деформирования ежж, еуу, ezz, eyZ = ^^yz5 勿冗=万丫之冗,£冗夕=万丫冗夕,условие изотропии материала. Наконец, последние два уравнения (1.8.10), (1.8.11) выражают условие пластичности через инварианты тензора напряжений:
(1.8.12)(1.8.12)0=3 (0£ +0g +02),
(1.8.12)
(1.8.12)
q — ^y^Z + ^Z^X + °£°夕-%z - ^ZX - ^xy^
丁 = ^X^y^Z + ^zy^zx^xy — °£%z — ^y^ZX — °N%g・
Вывод их аналогичен выводу уравнений пластичности Леви, исходящего из условия пластичности Кулона, т. е. условия типа
О] — 02 = 2K.
В отличие от теории Леви задача о пластическом равновесии среды при наличии осевой симметрии может быть решена без привлечения обстоятельств ее деформирования [2, 5, 14].
Если рассматривается задача о малой пластической деформации, то в написанных девяти уравнениях величины u^v hw следует трактовать как компоненты перемещения частиц тела. Левые части первых трех уравнений должны быть при этом соответственно изменены.
Рассмотрим случай осевой симметрии. Задачи теории пластичности в том виде, как она была развита выше, для этого случая статически определима. Действительно, уравнения равновесия в случае осевой симметрии имеют вид
30r. 3trz ."r一09 Сh 1=0, or oz r30r. 3trz ."r一09 Сh 1=0, or oz ra“z . 3。2 . ^rzdr dz ra“z . 3。2 . ^rzdr dz r=0.=0.
30r. 3trz ."r一09 С
h 1=0, or oz r
30r. 3trz ."r一09 С
h 1=0, or oz r
a“z . 3。2 . ^rzdr dz r
a“z . 3。2 . ^rzdr dz r
=0.
=0.
При этом предполагается, как обычно, что напряжения тг и т20 равны нулю и, следовательно, напряжение ое является главным. Таким образом, можно положить
°1 = °е,
02 = ^ d + 0z) + ^Jd -0j+击纟,
03 = ^ (。丁 +Oz) - |v(От - On『+ ^rz-
Согласно изложенной выше теории пластичности представляются три возможности:
。2 =。3, Оз = О1 или О1 = Оз соответственно разным главным направлениям течения материала, определяемым по конкретным условиям задачи.
Если главным направлением пластического течения является первое направление, то должно быть。2 =。3, откуда следует
Ор — On ,工「2 — О И Ор — Og zb 2^С.
Уравнения равновесия приводятся теперь к виду
аеУг0 r —09С 302 С
= 0,= 0.
or 丁oz
Далее получаем
= 0 и о「= ±2К Inoz7
где с — произвольная постоянная.
Если же справедливы соотношения
0б =01 =02 =03 士 2k,
т. е. третье направление является главным направлением течения, то, в соответствии с приведенными выше формулами, имеем
(°Г + On) + qd® _ Oz)2 + 4工纟=
=±2k + ^ e+0z)- ^Je -0/+击%,
и, следовательно, (or — oj + ^z = 4K2. Далее имеем
08 =02 = 5 回 + On) + 2 V ®一0) + ^z =5(07+0n) + k.
Уравнения равновесия приводятся в данном случае к виду
Зт dz 2 ' 丿 ' Зт dz
причем or, qz и тГ2, как уже было показано, связаны соотношением (Ог — On У + 4$z = 4K2.
Нетрудно убедиться, что полученная система уравнений относится к гиперболическому типу и, следовательно, может решаться методом характеристик аналогично задачам о плоском состоянии пластической или сыпучей среды, изученных С.А. Христиановичем [ ] и В.В. Соколовским [].
Соотношения изотропии и обобщенныйассоциированный закон пластического течения
Рассмотрим вывод условий изотропии. Предположим, что ориентация осей координат х^ у^ z и главных направлений тензора скорости деформации 1,2,3 определяется направляющими косинусами 工 人，®, приведенными в таблице § 7 (стр. 64).
Для направляющих косинусов справедливы соотношения
庁 + 771； + 若=1,
2122 + TП\rn2 + 几1几2 = 0,
後 + 7712 + 必=1,
22/3 + m2?113 + 几2 几3 = 0,(1.7.22)
后 + 77^ +* = 1,
匕％3 + т1т^ + 几1几3 = 0,
а также
百+後+总=1，
Ijmi + 22m2 + 23g = 0,
т； + 用 + m3 = 1,
т^п^ + m2n2 + 皿3几3 = 0,
(1.7.23)
72j + 7^2 + n3 — 1，
/1П1 + %2 几 2 + %3几3 = 0-
Для определителя △ имеем
△ = %2%3△ = %2%37711 П1
△ = %2
%3
△ = %2
%3
(1.9.1)(1.9.1)7712几 2 = 1.
(1.9.1)
(1.9.1)
g П3
Имеют место также соотношения
/1 =皿2几3 - пг3п2, %2 = g^i — т^п^^ Z3 = 7711几2 -m2几1,/1 =皿2几3 - пг3п2, %2 = g^i — т^п^^ Z3 = 7711几2 -m2几1,nil = П2/з -几3%2, m2 =几3匕-к"3, Шз =制"2 -几2匕,nil = П2/з -几3%2, m2 =几3匕-к"3, Шз =制"2 -几2匕,几 1 = 22g - 13m2, 几2 = 23ml - Zim3, П3 =匕7712 - 22ml.几 1 = 22g - 13m2, 几2 = 23ml - Zim3, П3 =匕7712 - 22ml.(1.9.2)(1.9.2)
/1 =皿2几3 - пг3п2, %2 = g^i — т^п^^ Z3 = 7711几2 -m2几1,
/1 =皿2几3 - пг3п2, %2 = g^i — т^п^^ Z3 = 7711几2 -m2几1,
nil = П2/з -几3%2, m2 =几3匕-к"3, Шз =制"2 -几2匕,
nil = П2/з -几3%2, m2 =几3匕-к"3, Шз =制"2 -几2匕,
几 1 = 22g - 13m2, 几2 = 23ml - Zim3, П3 =匕7712 - 22ml.
几 1 = 22g - 13m2, 几2 = 23ml - Zim3, П3 =匕7712 - 22ml.
(1.9.2)
(1.9.2)
Связь компонент скорости деформации в декартовой системе координат с главными компонентами определяются соотношениями
“=门庁 + £2^1+£3^15^ху= £"也 + £2^1 ^2+ £3几皿2,
% =门後 + £2^2+e3^L^yz= ^ihh + £2 ^2^3+ ^3 几 2几3,(1.9.3)
% =门后 + 改皿^+£з^з，%z= ^""з + £2^1 ^3+ £3几皿3・
Из системы уравнений
% =门庁 + £2^1 + £3^15
гху = £1Z1Z2 + £2^1 ^2 + £3 几皿2,(1.9.4)
%z = £ W3 + 改皿1 771з + £3^1 几 3
следует
£1 = (%/1 + ^xy ^2 + %2/3)//1,
£2 = (%пи + “户2 + %如3)/mi,(1.9.5)
ёз =(2£几1 +2£夕几2 +2£2几3)/几1・
Аналогично (1.9.4), (1.9.5) получим
2] - (%g21 + %22 + ^yz ^3)//2,
£2 = (%gm1 + 久m2 + %2m3)/m2,(1.9.6)
£3 =(2£夕九1 + 2g几2 + %z几3)/几2,
а также
£1 = (%/1 + ^yz ^2 + с/з) /%3,
£2 = (%如1 + SyZm2 + %g) /g,(1.9.7)
£3 = (%z^l + %z^2 + %几3)/几3・
Из (1.9.5)-(1.9.7) следуют три соотношения:
白=(%%1 + %夕%2 + %z%3)/%1 =
=(%У21 + 2g22 + 2g2/3)"2 - (%z/l + ^yz ^2 + 2/3) "3,
£2 =(£冗Mi + £冗夕7712 + £冗2皿3)/Ш1 = ^хуГПу + 包ГП】+ £夕之皿3)/ш2 =
£3 =(2£几1 + 2况夕几2 + 2jcnh3)/几1 =
=^хуп1 + %几2 + ^уZп3) /几2 = (%办1 + %办2 + 8几3)/几3・
Для изотропного материала имеет место совпадение главных направлений тензоров напряжений и скорости деформации. Для компонент напряжений в декартовой системе координат и главных компонент напряжений для изотропного материала имеют место соотношения, вполне аналогичные (1.9.3):
gж =01 百+02m；+03 若,^ху= 0"也 + 02ml7712 +03几1几2,
Qy — G1/2-pо2Ш2 + 03^2 5Tgz= O1Z2Z3 + 02^2 7713 + 03几2几3,(L9.9)
On = O1 总+02 M^ + O3 П3,t£N= 0W3 + 02^1^3 +。3 几 1几3・
Для компонент напряженийсправедливы формулы, аналогичные
(1.9.8):
。1 = (。:с %1 + 工£夕%2 + TjCN %3)/%1 =
=(工£夕"1 +。夕 %2 + %2“3)/”2 = (“N%1 + %2%2 +。2%3)/”3,
02 =(0如1 + "户2 +“如3)/пи = (yxymi +0户2 +%如3)/g =
=(』g + %如2 +。如3)/g, (1.9.10)
03 = (0:c^l + T况g九2 + "2几3)/几 1 =
=(T£g几 1 +0g几2+Тg2几3)/几2 = ^хzП1 +^yzri2 +^^3)/^3.
Рассмотрим произведения 仃门，02^2, оз^з・ Используя соотношения (1.9.5)-(1.9.7), (1.9.10), для од получим
°1门=/ / (°£%1 + ^ху ^2 + “z%3)(%夕％1 + %%2 + %/з)=
0121 - j^ ("夕匕 +0g％2 + %力3)(%/1 + ^yzh + 2/з)-
-j^ (%/1 + ^yzh +0力3)(%夕匕 + 包22 + 包/3), (1.9.11)
。1门—А，3 (“/1 + ^yz ^2 +。2%3)(%%1 + %夕%2 + %z%3)—
=А/з〈"“I +。冗夕“2 + “n”3)(%z"i + £夕2%2 + е/з) •
Аналогично можно получить подобные выражения для произведений 02%, оз^з, в которых величины косинусов Ц соответственно заменены на rrii^rii.
Из (1.9.11) получим
。宏％ 夕％1 + “期冤〔2 + ^xz^yz ^3 + ^xy^xy^l ^2 + “2%д"1"з +
+ Gx%l\l2 + ^xz^y ^2^3 + ^x^yz ^1 ^3 + ^xy^yz ^2^3 =
=“夕“匕 +。夕％g%2 + ^yz^xz^ + ^xy^xy^l ^2 + ^xy^xz^l ^зН-
+。夕％%1%2 +。夕％7/2/3 + %2%"1"з + ^yz^xy^2^3 •(1.9.12)
Согласно (1.9.11) имеют место два аналогичных выражения, если заменить в (1.9.12) ^ последовательно на т^ и 电.
Суммируя эти выражения, получим
(1.9.13)(1.9.13)(1.9.14)(1.9.14)^ж^ху + ^ху^у + ^xz^yz — ^ху^х + ^у^ху + ^yz^XZ 5
(1.9.13)
(1.9.13)
(1.9.14)
(1.9.14)
а также, согласно круговой перестановке индексов, найдем
^xy^xz +。夕% N + ^yz^z =^xz^xy + ^yz^y + °z£gz.
^xz^x + ^yz^xy + ^z^xz =O：c%n + ^xy^yz + ^xz^z •
Соотношения (1.9.13), (1.9.14), введенные в [175], справедливы только для изотропного тела и выражают условие совпадения главных осей тензора напряжений и скоростей деформаций.
Для изотропного несжимаемого тела, согласно (1.8.7)—(1.8.9), относительно девяти неизвестных: шести компонент напряжений о叮 и трех компонент скорости перемещений и, v, w — имеют место семь уравнений:
три уравнения равновесия
д^Х . д^ху a^xzдх дуdz
(1.9.15)(1.9.15)д^ху I 3°У I 3tyzдх ду dz
(1.9.15)
(1.9.15)
3Txz . 3tyz . 302 _e
市+丽+后=°；
условие несжимаемости
ди dv dw _ дх ду dz 'ди dv dw _ дх ду dz '(1.9.16);(1.9.16);
ди dv dw _ дх ду dz '
ди dv dw _ дх ду dz '
(1.9.16);
(1.9.16);
три соотношения изотропии
(1.9.17)(1.9.17)^х^ху + ^ху^у + ^xz^yz = ^ху^х + Og%g + ^yz^xz ? ^xy^xz +。夕% z + ^yz^z = ^xz^xy + 工夕之£夕 + °z%z, ^xz^x + ^yz^xy + Oz%N = ^x^xz + ^xy^yz + ^xz^z •
(1.9.17)
(1.9.17)
Для замыкания системы уравнений (1.9.15)—(1.9.17) достаточно двух уравнений, устанавливающих связь между компонентами напряжений и скоростей деформаций.
Система уравнений (1.9.15)—(1.9.17) будет замкнутой, если предположить, согласно (1.8.10), (1.8.11), что напряженное состояние удовлетворяет пересечению двух гладких поверхностей текучести:
力(0订)=0,/2 (0订)=0.力(0订)=0,/2 (0订)=0.(1.9.18)(1.9.18)
力(0订)=0,/2 (0订)=0.
力(0订)=0,/2 (0订)=0.
(1.9.18)
(1.9.18)
Согласно обобщенному ассоциированному закону пластического течения (1.3.10) из (1.9.18) следует
(1.9.19)(1.9.19)% =九1 ^^ +九2 ^^, 九1,九2》0,2еж —九1 '力 +九2『2(力gz) •
(1.9.19)
(1.9.19)
Условие несжимаемости (1.9.16) получается из (1.9.19), если условия текучести (1.9.18) зависят от компонент девиатора:
/1 (%) = 0, /2 (%) = 0,。工=。订 一3订р.(1.9.20)
В самом деле, согласно (1.9.20),
（W）,（W）,(1.9.21)(1.9.21)
（W）,
（W）,
(1.9.21)
(1.9.21)
(1.9.22)(1.9.22)тогда из (1.9.19), (1.9.21) следует
(1.9.22)
(1.9.22)
2£ + 2g + £^ = 0 •
Согласно (1.9.22) среди шести соотношений (1.9.19) имеется пять независимых:
%=大1 (器一篙)+大2(差-图'
i 3力丄i a於i 3力丄i °於门q
^xy - м卜九222gz =九1卜九2(1.9.23)
U*xyUTxy℃yN℃yN
2%z =九1旷+九2旷•
Исключая из пяти соотношений (1.9.23) две величины 九匕 九2, получим три соотношения:
Ф1 (^ij^ij) = о, ф2 Gjj) = 0, фз (^ij^ij) = о, (1.9.24) которые, наряду с тремя уравнениями равновесия (1.9.15), условием несжимаемости (1.9.16), (1.9.22) и двумя условиями пластичности (1.9.18), образуют замкнутую систему уравнений относительно。切 〃,о, w.
В случае, когда условия пластичности (1.9.18) определяют изотропное тело и зависят от инвариантов тензора напряжений, условия (1.9.24), как показано ниже в §10 и др., являются условиями изотропии (1.9.17).
Следовательно, условия изотропии (1.9.17) могут рассматриваться одновременно как следствие и как соотношения обобщенного ассоциированного закона пластического течения для изотропного тела.
Если имеет место одно условие пластичности
/(。订)=0,(1.9.25)
где / (о叮)一функция инвариантов тензора напряжений, то для замыкания системы восьми уравнений (1.9.15)—(1.9.17), (1.9.25) достаточно одного уравнения
Ф (^ij^ij) = 0.(1.9.26)
Рассмотрим условие пластичности в виде
4oj + В& + С03 = 1, 4 В,。= const, о? = ос — 3订о.(1.9.27)
Из (1.9.27), согласно ассоциированному закону пластического течения (1.3.10), (1.9.27), будем иметь
门=^(24 —В —С), г2 = I (2В - Д - С), £3 = ^(2。一 4 —В).
(1.9.28) Обозначим
а=^А-В-С), 6 = ^ (2В — 4 — С), с = ^(2С - А - В).
(1.9.29)
Согласно (1.9.28), (1.9.29) будем иметь
£1 =九 а, £2 —九仇 £з —九。，а + 6 + о = 0.(1.9.30)
Из (1.9.30) получим
Л =(修产叮)/2 = - Ei£2 - В^з - £3门=-九2 (a6 + 儿 +0a)?
о(1.9.31)
丿3 = (^ij^jk^ki) /3 = £1 £2^3 = Nab J
где 丿2,厶一инварианты тензора скорости деформации.
Из (1.9.31) следует соотношение
(ab + ；； + ca) +(烹)=0;(1931)
эквивалентное в данном случае соотношению (1.9.26).
Для грани условия пластичности Треска
°1 - °2 = 2 瓦°2，Оз，О1,
k = const,
(1.9.32)
из ассоциированного закона течения (1.3.10) будем иметь
£1 = —£2 —九， i
巳3 = 0.
(1.9.33)
Из (1.9.31), (1.9.33) следует
厶=0,%%% — 2%g£gz%N — %%N
一^y^xz _ 8曦—0.
(1.9.34)
Соотношение (1.9.34) замыкает систему восьми уравнений (1.9.15)(1.9.17), (9) для грани условия пластичности Треска.
Предположим, что имеет место однородное напряженное состояние 。冗，Од, “夕=const, в этом случае можно выбрать направление осей координат вдоль главных направлений 1, 2, тогда
^x =。1, ^y =。2, ^xy = 0；。1,。2 = COI)St .
(1.9.35)
Согласно (1.9.35) уравнения равновесия (3) удовлетворя]
ются, из (3),
(1.9.35) имеем
б — 02 = ±24,
(1.9.36)
из (5), (1.9.35) следует
%g(01 一02)- 0.
(1.9.37)
Предположим, что
01 =02, k = 0.
(1.9.38)
Согласно (1.9.38) уравнение (1.9.37) удовлетворяется, величина гху может иметь значение, отличное от нуля. В данном случае течение
изотропной среды определяется условием несжимаемости (4), которое представим в виде
ди dv
Полагая наличие потенциала скорости: з(р а(р
из (1.9.40), (1.9.39) получим
& +势=0
дх-十 ду2 ■
(1.9.39)(1.9.39)(1.9.40)(1.9.40)(1.9.41)(1.9.41)Из предположения (1.9.40) следует безвихревой характер течения:
(1.9.39)
(1.9.39)
(1.9.40)
(1.9.40)
(1.9.41)
(1.9.41)
ди dvду дх
(1.9.42)(1.9.42)Соотношения (1.9.39)—(1.9.42) определяют кинематику потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости.
(1.9.42)
(1.9.42)
%g=0,%g=0,ди dv ду дхди dv ду дх(1.9.43)(1.9.43)При k ^ 0 из уравнений (1.9.36), (1.9.37) следует
%g=0,
%g=0,
ди dv ду дх
ди dv ду дх
(1.9.43)
(1.9.43)
Уравнения (1.9.39), (1.9.43) определяют течение несжимаемой идеально пластической среды при однородном напряженном состоянии (1.9.35), (1.9.36). Удовлетворим уравнению несжимаемости при помощи функции тока:
3W 3W
(1.9.45)(1.9.45)Из (1.9.44), (1.9.43) следует
(1.9.45)
(1.9.45)
Таким образом, при сколь угодно малом 4*0 однородное течение изотропной среды определяется волновым уравнением (1.9.45). Уравнение Лапласа (1.9.41), определяющее потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости, имеет место при равенстве компонент напряжений, о】=。2 м не следует в пределе при к —> 0 (1.9.36).
В случае пространственного течения рассмотрим уравнение несжимаемости
% + ^у ~Ь % =。,% + ^у ~Ь % =。,ди dv dw дх ду dzди dv dw дх ду dz(1.9.46)(1.9.46)
% + ^у ~Ь % =。,
% + ^у ~Ь % =。,
ди dv dw дх ду dz
ди dv dw дх ду dz
(1.9.46)
(1.9.46)
и условия изотропии (1.9.17).Предположим, чтои условия изотропии (1.9.17).Предположим, что"g-%z — ^XZ =0,0£ =01, ^y —02, ^z -03；(1.9.46)01, °2, °3 — const •"g-%z — ^XZ =0,0£ =01, ^y —02, ^z -03；(1.9.46)01, °2, °3 — const •Согласно (1.9.46) из (1.9.17) будем иметьСогласно (1.9.46) из (1.9.17) будем иметь%g(01 一02)-0， ^xz (01 一03)—0， %z (02 一03)-0.%g(01 一02)-0， ^xz (01 一03)—0， %z (02 一03)-0.(1.9.47)(1.9.47)Предположим, чтоПредположим, что°1 = °2 = °3,°1 = °2 = °3,(1.9.48)(1.9.48)в этом случае соотношения (1.9.47) удов л етворен ы и £冗夕,£ж25 %z могут быть отличны от нуля.Полагая наличие потенциалав этом случае соотношения (1.9.47) удов л етворен ы и £冗夕,£ж25 %z могут быть отличны от нуля.Полагая наличие потенциалавеличинывеличины(1.9.49)(1.9.49)
и условия изотропии (1.9.17).Предположим, что
и условия изотропии (1.9.17).Предположим, что
"g-%z — ^XZ =0,0£ =01, ^y —02, ^z -03；
(1.9.46)
01, °2, °3 — const •
"g-%z — ^XZ =0,0£ =01, ^y —02, ^z -03；
(1.9.46)
01, °2, °3 — const •
Согласно (1.9.46) из (1.9.17) будем иметь
Согласно (1.9.46) из (1.9.17) будем иметь
%g(01 一02)-0， ^xz (01 一03)—0， %z (02 一03)-0.
%g(01 一02)-0， ^xz (01 一03)—0， %z (02 一03)-0.
(1.9.47)
(1.9.47)
Предположим, что
Предположим, что
°1 = °2 = °3,
°1 = °2 = °3,
(1.9.48)
(1.9.48)
в этом случае соотношения (1.9.47) удов л етворен ы и £冗夕,£ж25 %z могут быть отличны от нуля.
Полагая наличие потенциала
в этом случае соотношения (1.9.47) удов л етворен ы и £冗夕,£ж25 %z могут быть отличны от нуля.
Полагая наличие потенциала
величины
величины
(1.9.49)
(1.9.49)
согласно (1.9.49), (1.9.46), получим гармоническое уравнение Лапласа
外①外屮^2(Р _ 0
дх2дуdz2
Из условий (1.9.49) следует отсутствие вихря:
也—竺 dv_dw_ dw_du_(1 9 50)
ду дх - dz ду - 5 дх dz -丿
Соотношения (1.9.46), (1.9.49), (1.9.50) определяют кинематику течения идеальной несжимаемой жидкости.
В случае
01 =02, 01 -03 = 2k, k # 0,(1.9.51)
согласно (1.9.51), (1.9.47), имеют место соотношения
%z = ^yz =。，(1.9.52)
величина %夕 может быть отличной от нуля.
Уравнения (1.9.52) в компонентах скорости перемещений имеют вид
(1.9.53)(1.9.54)(1.9.53)(1.9.54)ди , dw с dv , dw 八
(1.9.53)
(1.9.54)
(1.9.53)
(1.9.54)
дх5 ду5dzдх5 ду5dzУравнениям (1.9.53) удовлетворим, полагая и =
дх5 ду5dz
дх5 ду5dz
Из (1.9.54), (1.9.46) следует волновое уравнение
(1.9.55)(1.9.55)
(1.9.55)
(1.9.55)
Таким образом, соотношения (1.9.51), соответствующие условию полной пластичности [4], определяют сдвиговой характер течения изотропной несжимаемой среды.
Из соотношений (1.9.54) следует
(1.9.56)(1.9.56)ди 3。_ с ду дх
(1.9.56)
(1.9.56)
Согласно (1.9.56) течение, определяемое соотношениями (1.9.46), (1.9.53), (1.9.54), (1.9.55), имеет безвихревой характер в плоскости ху.
В случае
ос#。力(1.9.57)
согласно (1.9.57), (1.9.47), к соотношениям (1.9.52) присоединяется
уравнение
5 ду + дх- и.
Из (1.9.54), (1.9.57) следует
дхду
Из (1.9.59), (1.9.55) получим
(1.9.58)
(1.9.59)
W =力(力 + Z)+『2 (力 一 Z)+ /з з + Z)+ /4 (沙 一 Z)•(1.9.60)
Условия (1.9.58), (1.9.59) накладывают ограничения на характер течения, определяемого (1.9.46), (1.9.42).
Итак, в случае, когда все главные напряжения равны между собой (1.9.48), имеет место течение идеальной несжимаемой жидкости (1.9.46), (1.9.49), (1.9.50). В случае, когда не все главные напряжения равны между собой, максимальная свобода течения изотропной несжимаемой среды имеет место при условии пластичности (1.9.51). Течение определяется соотношениями (1.9.46), (1.9.53)-(1.9.55).
В случае ортогональных криволинейных координат а|3у условие несжимаемости имеет вид
Если осям а, р, у поставить в соответствие главные напряжения 1, 2, 3, то условие (1.9.47) примет вид
%В(01-О2)=0,%丁(01-03)=0,泅(02-Оз)=0・(1.9.62)
Соотношениям
Oj —。_7'，。6。4 — 2k,(1.9.63)
аналогично (1.9.47), (1.9.51), (1.9.52), будут соответствовать три случая:
£«у = £ру= 0,£а3#0,(1.9.64)
“в = £ру= 0,“丁#0,(1.9.65)
“в = “丁= 0,£ру#0.(1.9.66)
Рассмотрим цилиндрическую систему координат: а = р, 0 = 6, у = z. При условиях тре = %之=工価=0 уравнения равновесия в цилиндрической системе координат имеют вид
Абр ар
+ °р — =
Р
5 Зе Г
3d dz
-=0.
(1.9.67)
Имеют
ме(
1
зто соотношения ди
д /v\ 1 ди
1 dv и
р ^0 р 5
1
"=
1 dw
dw
研
dv
£ре =
2
5 а = 2
)z ар 丿'
р Зе
(1.9.68)
где и, V, w — компоненты скорости перемещения вдоль осей р, 0, г.
Согласно (1.9.61), (1.9.68) уравнение несжимаемости имеет
вид
ди 1 dv и dw _
ар + р а® + р + az -'
(1.9.69)
В случае
°р = °е, °р — ^z = 2k
(1.9.70)
из (1.9.67), (1.9.70) следует
Ор =。8 = & ^z = —2k + & С = const •
(1.9.71)
При условиях (1.9.70), согласно (1.9.64), (1.9.68), имеем
dw диdw д (.
2=% = 0,丽+反=0,丽+而(Ро)= 0・
(1.9.72)
Уравнениям (1.9.72) удовлетворим, полагая
"=粵，噌，仅=-乳(1.9.73)
Зр'р ^е5dz5'丿
из (1.9.69), (1.9.73) получим уравнение
臥w 1臥w ]aw 外出
ар? +「2 盼 +— o・(1974)
В случае
Op=Oz, Op — g = 2k(1.9.75)
из (1.9.67), (1.9.75) следует
0P =。2 = —24 In р + & ое = —2k (1 + In р) + С, С = const. (1.9.76) При условиях (1.9.76), согласно (1.9.65), (1.9.68), имеем
£pz =海2 = О,
貳力+鳥(手)=。,跟力+鳥
Уравнениям (1.9.77) удовлетворим, полагая
2 °waw2 aw
〃 =P 而，° = —P西，仅=P 灰，(1978)
из (1.9.69), (1.9.78) получим уравнение
Зр2 「2 盼 ^2 +-^р(1979)
В случае
。6 =。2, Ор — ое = 2к(1.9.80)
из (1.9.67), (1.9.80) следует
Ор = —2klnp + & ое = On = —24 (1 + In р)+ & С = const. (1.9.81)
При условиях (1.9.80), согласно (1.9.66), (1.9.68), имеем
__ п( и \f и\ 1 dw
=0.(1.9.82)=0.(1.9.82)2质 = %=3茹丽儲丿=a而(/丿丽
=0.
(1.9.82)
=0.
(1.9.82)
и = —р2и = —р23W丽'3W丽'Первому из уравнений (1.9.82) удовлетворим, полагая
и = —р2
и = —р2
3W
丽'
3W
丽'
aw
V =.
~аё
Из второго уравнения (1.9.82) и (1.9.83) найдемИз второго уравнения (1.9.82) и (1.9.83) найдемdw _ 2 a?w丽=р d^dzdw _ 2 a?w丽=р d^dz(1.9.84)(1.9.84)Согласно (1.9.69), (1.9.84) получим уравненияСогласно (1.9.69), (1.9.84) получим уравненияd2w _ д (ди 1 dv и\ара^ - ар I ар р ае р уd2w _ д (ди 1 dv и\ара^ - ар I ар р ае р уa?w _ 2外屮3p3z — Р ЗрЗУa?w _ 2外屮3p3z — Р ЗрЗУ(1.9.85)(1.9.85)Из (1.9.83), (1.9.85) получим уравнения для определения функции Ф = 3W / Ар:Из (1.9.83), (1.9.85) получим уравнения для определения функции Ф = 3W / Ар:^2Ф , 1 ^2Ф^2Ф5 ЗФ 3^2Ф , 1 ^2Ф^2Ф5 ЗФ 3(1.9.86)(1.9.86)
Из второго уравнения (1.9.82) и (1.9.83) найдем
Из второго уравнения (1.9.82) и (1.9.83) найдем
dw _ 2 a?w丽=р d^dz
dw _ 2 a?w丽=р d^dz
(1.9.84)
(1.9.84)
Согласно (1.9.69), (1.9.84) получим уравнения
Согласно (1.9.69), (1.9.84) получим уравнения
d2w _ д (ди 1 dv и\ара^ - ар I ар р ае р у
d2w _ д (ди 1 dv и\ара^ - ар I ар р ае р у
a?w _ 2外屮3p3z — Р ЗрЗУ
a?w _ 2外屮3p3z — Р ЗрЗУ
(1.9.85)
(1.9.85)
Из (1.9.83), (1.9.85) получим уравнения для определения функции Ф = 3W / Ар:
Из (1.9.83), (1.9.85) получим уравнения для определения функции Ф = 3W / Ар:
^2Ф , 1 ^2Ф^2Ф5 ЗФ 3
^2Ф , 1 ^2Ф^2Ф5 ЗФ 3
(1.9.86)
(1.9.86)
Рассмотрим сферическую систему координат: а = р, 0 = 6, у = ср.
При условиях тре = тр(р = те(р = 0 уравнения равновесия в сферической системе координат имеют вид
(1.9.87)(1.9.87)籌 + ； [2ор -(°0 + °中力=&
(1.9.87)
(1.9.87)
黑+ (08 —。屮)ctg6 = 0,^ =0・
Имеют место соотношения
1 Г д (v\ 1 ди
2е = 2р茹(б丿+.丽
1 dv 〃 萍=3丽+ 6,1 dv 〃 萍=3丽+ 6,£o(p =£o(p =12121 dv p sin e 3(p1 dv p sin e 3(p(1.9.88)(1.9.88)11dwdwp sin 0 3(pp sin 0 3(p"0+ s + T，汕"0+ s + T，汕12121 du a (w\p sin e ^ф p ap I p 丿 51 du a (w\p sin e ^ф p ap I p 丿 5
1 dv 〃 萍=3丽+ 6,
1 dv 〃 萍=3丽+ 6,
£o(p =
£o(p =
1
2
1
2
1 dv p sin e 3(p
1 dv p sin e 3(p
(1.9.88)
(1.9.88)
1
1
dw
dw
p sin 0 3(p
p sin 0 3(p
"0
+ s + T，汕
"0
+ s + T，汕
1
2
1
2
1 du a (w\
p sin e ^ф p ap I p 丿 5
1 du a (w\
p sin e ^ф p ap I p 丿 5
где u)%w — компоненты скорости перемещения вдоль осей р, 9, ср. Согласно (1.9.61), (1.9.88) уравнение несжимаемости имеет вид
ди 1 dv 1 dw 2и V , 八~ 八
丽 + 3丽 + 丽两 + 6 + 6 Ctge = °-Q989)
В случае
Ор — Од 5 Ор — о(р — 2k(1.9.90)
из (1.9.87), (1.9.90) следует
Ор = о® = —2k In (р sin е) + С,。屮=—2k (1 + In (p sin e)) + C,C = const.
При условиях (1.9.90), согласно (1.9.64), (1.9.88), имеем
£р(р = ^б(р — 0,
+Зр \ p sin е у+Зр \ p sin е уааии+ 加 \ p sin 0 у+ 加 \ p sin 0 у^Ф \p2 sin2 е^Ф \р sin2 еу^Ф \p2 sin2 е^Ф \р sin2 еу=0,=0,=0.=0.(1.9.92)(1.9.92)
+
Зр \ p sin е у
+
Зр \ p sin е у
а
а
и
и
+ 加 \ p sin 0 у
+ 加 \ p sin 0 у
^Ф \p2 sin2 е
^Ф \р sin2 еу
^Ф \p2 sin2 е
^Ф \р sin2 еу
=0,
=0,
=0.
=0.
(1.9.92)
(1.9.92)
Уравнениям (1.9.92) удовлетворим,Уравнениям (1.9.92) удовлетворим,полагаяполагая
Уравнениям (1.9.92) удовлетворим,
Уравнениям (1.9.92) удовлетворим,
полагая
полагая
〃 =р2 sin2〃 =р2 sin2。=psin2e|^,。=psin2e|^,(1.9.93)(1.9.93)
〃 =р2 sin2
〃 =р2 sin2
。=psin2e|^,
。=psin2e|^,
(1.9.93)
(1.9.93)
из (1.9.89), (1.9.93) получим уравнение
a?屮1 a?屮a?屮1 a?屮1a2w4 3w 亠p2 sin2 e ad + p ар + р?1a2w4 3w 亠p2 sin2 e ad + p ар + р?11(l + 2ctge)^=0. (1.9.94)(l + 2ctge)^=0. (1.9.94)
a?屮1 a?屮
a?屮1 a?屮
1a2w4 3w 亠
p2 sin2 e ad + p ар + р?
1a2w4 3w 亠
p2 sin2 e ad + p ар + р?
1
1
(l + 2ctge)^=0. (1.9.94)
(l + 2ctge)^=0. (1.9.94)
В случае
Ор — 6р, Ор —。8 = 2kОр — 6р, Ор —。8 = 2k(1.9.95)(1.9.95)
Ор — 6р, Ор —。8 = 2k
Ор — 6р, Ор —。8 = 2k
(1.9.95)
(1.9.95)
из (1.9.87), (1.9.95) следует
(1.9.96)(1.9.96)Ор = о(р = —24 In (р/ sin е) + & Оф = —24 (1 + In (р/ sin е)) + С,С = const.
(1.9.96)
(1.9.96)
При условиях (1.9.95), согласно (1.9.65), (1.9.88), имеем
аараар£pe = £o(p = 0,(力+鳥£pe = £o(p = 0,(力+鳥0,0,(1.9.97)(1.9.97)psine； =°・psine； =°・
аар
аар
£pe = £o(p = 0,
(力+鳥
£pe = £o(p = 0,
(力+鳥
0,
0,
(1.9.97)
(1.9.97)
psine； =°・
psine； =°・
Первому из уравнений (1.9.97) удовлетворим, полагая
2 3w3w" =p而-P丽.2 3w3w" =p而-P丽.(1.9.98)(1.9.98)
2 3w3w
" =p而-P丽.
2 3w3w
" =p而-P丽.
(1.9.98)
(1.9.98)
Из (1.9.98) и второго уравнения (1.9.97) найдем
3e \ p sm e уdsdq
Согласно(1.9.89), (1.9.98) получим уравнения
д2 f w А _ а д^д^ у р sin е у Зе
1 dv 2и V \
Н—Н ctg 0 I J
p加 p p °丿'
32_ 1 叫
ЗеЗ(р у р sin е у — sideAead
(1.9.100)
Из (1.9.99), (1.9.97) получим уравнение для определения функции
Ф = 3w/加：
^2Ф1 ^2Ф1^2Ф
而一/俞+ ；W^肝+
411
+ б 灰—；^с^+"Ф =。. (1.9.101)
В случае
Се = Оф, 例一Ор = 2k(1.9.102)
из (1.9.87), (1.9.102) следует
Ор = 4k In р + & ое = % = 2k (1 + 2 In р) + & С = const. (1.9.103)
При условиях (1.9.102), согласно (1.9.66), (1.9.88), имеем
£ре = £р(р = 0,
备($) +氧力=。
a屮Ip?丿。p I р丿
(1.9.104)
Уравнениям (1.9.104) удовлетворим, полагая
2 3w3屮p 3屮
" =一Р丽，。 = Р丽，攸=^滿,
(1.9.105)
из (1.9.89), (1.9.105) получим уравнение
叫,丄色,1外w_ W曲,丄曲0
(1.9.106)
Соотношения ассоциированного законатечения в обобщенных переменных
Рассмотрим зависимости
。订•=。订• (Qk, а^),(1.10.1)
где величины Qk назовем обобщенными напряжениями, ап — некоторые параметры, на которые могут быть наложены связи
屮q («п) = 0.(1.Ю.2)
Аналогично рассмотрим зависимости
^ij ~ &ij (Ski Pm) ,(1.10.3)
где Sk — обобщенные скорости деформации, рт — параметры, для которых имеют место соотношения
Vr (Pm) = 0.(1.10.4)
Мощность рассеяния механической энергии
N —。£( £叮—。£% +。夕£夕 + ^2 ^Z + —^xy^xy + —^XZ^XZ + —^yz ^yz (1.10.5)
и условие пластичности
fp (^ij) ~。，
(1.10.6)
согласно (1.10.1), (1.10.3), соответственно примут вид
N — N (Qk, Sk> а^, Pm),
(1.10.7)
Fp ( Q k , Sk ,电2 , Pm )=0,
(1.10.8)
где имеют место связи (1.10.2), (1.10.4).
Согласно Мизесу (§3), при определении соотношений ассоциированного закона варьируются компоненты напряженного состояния при налагаемых на них связях.
Для вариаций напряжений, согласно (1.10.1), имеем
貌S + 赛^…(1.10.9)
Рассмотрим функционал
N (Qk, Sk) OCn, Вт) — ApFp (Qk, Sk〉OCn, Вт)—阳屮q (以九)=0, (1.10.10) где 九р, |iq —— множители Лагранжа.
Вариация функционала (1.10.10) при изменении напряженного состояния (1.10.9) имеет вид
际 9 + 灰 заn - "际 9 + 灰 заn - "3Qk + gj За) — Hg ^^ 3ocn = 0.
际 9 + 灰 заn - "
际 9 + 灰 заn - "
(1.10.11)
Условия экстремума функционала (1.10.11), определяющие соотно
шения ассоциированного закона течения, в обобщенных переменных будут иметь вид
dQk - 0 dQk， dan — 0 dan 十阳 За j丿
Если функционал (1.10.7) имеет вид
N — Qk" (Sk, OCn, pm) ,(1.10.13)
то, согласно (1.10.12), (1.10.13), имеют место соотношения
—а ВFp с Bqk — а 6Fp3tPq
qk = "际'Q^ =+阳灰. (I」0.m)
Примем в качестве обобщенных переменных компоненты главных напряжений ос и направляющие косинусы Кт^гц. Согласно (1.10.5), (1.10.6), (1.9.9), (1.7.22) будем иметь
N = G 百 + g2^1 +03若)% + (01 诊 +02根^ + 0з^2)% +
+ G 总 + 02^3 +03展)8+2 (0"也 + 02ml 7712 +03九皿2)%g +
+ 2 (01 Z2/3 + 02nl27713 +03 几 2几3)%z + 2 (仃匕厶 + 02nli Ш3 +03几1 几 3)%z •
(1.10.15)
Согласно (1.9.9) соотношение (1.10.5) примет вид
F(О1,02, 03, /1,3 %3, пг15 7712, Мз, П15П2,几з) = 0.(1.10.16)
Соотношения ассоциированного закона пластического течения определяются из условного экстремума функционала при использовании соотношений (1.10.1):
4 — 7V —九R — |1](庁 + 77Z； + 几;)一Ц2 (^2 + ^2 + ^2)—
-Нз (总 + пг^ + Пз) - 2vi «2%3 + ^2^3 + 几2几3)-
—2V2 (%"з + т^т^ + 几皿3)— 2Vз (土也 + п^д + 几皿2), (1.10.17) где |ij, Vj — множители Лагранжа.
Из (1.10.15)-(1.10.17) получим
(1.10.18)(1.10.18)Л dFЛ dF
(1.10.18)
(1.10.18)
门=大而？改=九爾，£3 =九而p
где
£2 = £ЖП11 + Sym^ + EzM^ + 2sxпГП1ГП2 + 2SyZrri2m^ + £Ж2 77117713,
ез = £Ж^1 + %證 + £^Пз + 2е冗夕？21^2 + ^yzn2n^ + ^xznin^.
(1.10.19)
Величины £j, £2 5 £з определяют скорости деформации удлинения вдоль направлений главных напряжений и в общем случае не совпадают с главными компонентами тензора скорости деформаций. Совпадение имеет место только для изотропного тела.
Далее из (1.10.16), (1.10.17) следует
01 (%/1 + &хn12 + %z/3)=
-1 ^- + 乩"1 + V3/2 + V2Z3,
。1 (%g"l + 2gz2 + 2gzz3)二
-^^}h H2^2 + V1Z3 + V3/1,(1.10.20)
。1 (“/1 + 2gzz2 + е/з)二
XdF ,——7
二 2 а，з + "3 3 + v2^2 + V1 /3)
аналогично
02 (%g]+ %g77^2 + %2m3)-
^ dF ,,,
二 2 万Й7 + 由 mi + V3m2 + v2g 5
02 &户 1 + 2户2 + 汕g)=
z+ Ц2^2 + V1 Шз + V37711, (1.10.21)
2 ОТП2
02 (%如1 + syzm2 + %g)二
^ dF ,,,
二h 113g + V2ml + Vig,
2 итпз
03 (%几 1 +%g几2+%办3)= 5 而 +由几1 +V3几2 +V2n3,
°3 (%夕几 1 + £夕几2 + ^yzn3)— 2 ^^ + R2几2 + V1^3 + V3^1,
03 (%2几1 +^угП2 +%几3)= 2^^ +乩3几3 +V20 +vin2.
Из (1.1.20), (1.10.21) следует
Ц1 = (%。£ + ^Ху^Ху + %N“z)Ц1 = (%。£ + ^Ху^Ху + %N“z)IdF. , dF , dF(dhll + d^mi + d^niIdF. , dF , dF(dhll + d^mi + d^ni
Ц1 = (%。£ + ^Ху^Ху + %N“z)
Ц1 = (%。£ + ^Ху^Ху + %N“z)
IdF. , dF , dF
(dhll + d^mi + d^ni
IdF. , dF , dF
(dhll + d^mi + d^ni
乩2 =(%g。£g + ^y ^y + ^yz^yz)乩2 =(%g。£g + ^y ^y + ^yz^yz)1 (dF ] dF dF八曲2 +砧g + “21 (dF ] dF dF八曲2 +砧g + “2
乩2 =(%g。£g + ^y ^y + ^yz^yz)
乩2 =(%g。£g + ^y ^y + ^yz^yz)
1 (dF ] dF dF
八曲2 +砧g + “2
1 (dF ] dF dF
八曲2 +砧g + “2
Аз — (^XZ^XZ + ^yz^yz + %。2)—Аз — (^XZ^XZ + ^yz^yz + %。2)—1 (dF ] dF dF \
Аз — (^XZ^XZ + ^yz^yz + %。2)—
Аз — (^XZ^XZ + ^yz^yz + %。2)—
2(萌3 +価g+灰几3)，
(1.10.22)
а также
vivi_丄 丄X (dFI丄dF丄dF
vi
vi
="E + i + 汕。z - 2 (启3 + 限g + “3
=г^Ху + %20g + %%N - 2 (証22 + 矶т2 + 灰几2
V2 = “』+ ^xyTyz +- 2 I 方3 + ^；шз + 而几3
_丄丄k (8F ]， dF6F \
=%z報 + ^xy + 8“z - 2 (証匕 + 砧mi + 灰©丿‘
22(1.10.23)
2
2
V3 = "T况g + %夕0g + ^xz^yz
dF+読;0dF+読;0_ 丄 丄九(6F 丄
dF
+読;0
dF
+読;0
-2£夕0£ + 2夕"g + ^yz^xz - 2 I ^■匕 + ^^ш1
Уравнения (1.10.22) определяют выражение множителей Лагранжа
R1,乩2, АЗ •
Соответственно соотношения ассоциированного течения определяют выражения (1.10.23).
Для определения шестнадцати неизвестных 仃，。2,。3, %。，仅 (компоненты скорости перемещения), X, ^, m^, п^ имеем шестнадцать уравнений: три уравнения равновесия, уравнение (1.10.16), шесть соотношений ассоциированного закона течения (1.10.18), (1.10.23) и шесть соотношений ортогональности единичных ортов (1.10.21).
Для изотропного случая условие пластичности (1.10.16) не зависит от направляющих косинусов:
(1.10.24)(1.10.24)F(01,02,03)= О,
(1.10.24)
(1.10.24)
и соотношения ассоциированного закона течения (1.10.23) приобретают вид
^ж^ху + ^ху^у + ^xz^yz — ^ху^х + ^у^ху + ^yz^xz 5
(1.8.9)(1.8.9)^xy^xz + ^у ^yz + ^yz^z = ^xz^xy + %N% + °z£gz.
(1.8.9)
(1.8.9)
^xz^x + ^yz^xy + ^z^xz = ^x^xz + ^xy^yz + ^xz^z •
Другая форма записи соотношений ассоциированного закона течения имеет место, если использовать в качестве соотношения связи (1.7.23).
Выражения вполне аналогичные (1.10.17) примут вид
a = N -九R - ocj (百 + 跌 + 总)一 0C2 (皿；+ 7712 + Tig) -
-аз (几；+ 几^ + Пз) - 201 (mwi + m2n2 + т3пз)-
-202 (21几1 + /2几2 + /3几3)- 203 (21m1 + 22m2 + 23m3).(1.10.25)
Из (1.10.25), (1.10.15), (1.10.16) получим (1.10.18), (1.10.19), а также
01 (%"1 + %g"2 + %2/3)=01 (%"1 + %g"2 + %2/3)=01 (%g"1 + 2g"2 + ^yz ^3)=01 (%g"1 + 2g"2 + ^yz ^3)=。1 (%z"l + ^yz ^2 + ^z ^3)=。1 (%z"l + ^yz ^2 + ^z ^3)=2 瓦^ + a"i + Р3ш1 + в2几1, ^^^ + 0€也 + Рз^2 + 02 几2,(1.10.26)I ^- + а"з + рзШз + 02 几з,2 瓦^ + a"i + Р3ш1 + в2几1, ^^^ + 0€也 + Рз^2 + 02 几2,(1.10.26)I ^- + а"з + рзШз + 02 几з,
01 (%"1 + %g"2 + %2/3)=
01 (%"1 + %g"2 + %2/3)=
01 (%g"1 + 2g"2 + ^yz ^3)=
01 (%g"1 + 2g"2 + ^yz ^3)=
。1 (%z"l + ^yz ^2 + ^z ^3)=
。1 (%z"l + ^yz ^2 + ^z ^3)=
2 瓦^ + a"i + Р3ш1 + в2几1, ^^^ + 0€也 + Рз^2 + 02 几2,(1.10.26)
I ^- + а"з + рзШз + 02 几з,
2 瓦^ + a"i + Р3ш1 + в2几1, ^^^ + 0€也 + Рз^2 + 02 几2,(1.10.26)
I ^- + а"з + рзШз + 02 几з,
。2 (%ПИ +%夕7712 +%z77l3)=5^^+&2ml+历 0 + 03九
。2 (%夕皿1 + 5m2 + 包2皿3)=5 g7n2+a2m2+Bi几2 + Вз%2,(1.10.27)
02 (%2m1 + %2m2 + 8m3)=g a恤+a2^3+61几3 + в323,
03 （%几1 + %g几2 + %2几3）= 2 ^у + азк1 + p2^1 + Pinii,
03 （%g几 1 + 2g几2 + 2g2几3）- 2 ^ Ь 0^3^2 + 02/2 + 01m2,（1.10.28）
03 （%2几1 + 2g2几2 + 8几3）= !^^ + аз制3 + 0223 + Р1^з-
Из （1.10.26）-（1.10.28）, （1.10.19） следует
S（需匕+墨厶+需23）'
a2 =吟-2 Л1+ 嬴^2 + 嬴^3丿，（1.10.29）
入（dF dF dF 、
а3 =0323 -八而з + “2 +灰几3丿,
Р1Р1=O2%3 -=O2%3 -X （dF , dF , dF \
Р1
Р1
=O2%3 -
=O2%3 -
2 （血;"砧制2 +価几3丿=
X （dF dF dF \
=03223 - 2 （読7ml + 読^2 + 灰g丿，
俄俄_ x 6F dF dF_ x 6F dF dF
俄
俄
_ x 6F dF dF
_ x 6F dF dF
Р3 =01212 - 2Р3 =01212 - 2x （dF, dF , dF \=0伍31 - 2 （丽几1 +孤几2 +瓦几3丿,x （dF, dF , dF \=0伍31 - 2 （丽几1 +孤几2 +瓦几3丿,（1.10.30）（1.10.30）/dF , dF , dF \（而皿1 + ^^2 + ^7g 丿=/dF , dF , dF \（而皿1 + ^^2 + ^7g 丿=
Р3 =01212 - 2
Р3 =01212 - 2
x （dF, dF , dF \
=0伍31 - 2 （丽几1 +孤几2 +瓦几3丿,
x （dF, dF , dF \
=0伍31 - 2 （丽几1 +孤几2 +瓦几3丿,
（1.10.30）
（1.10.30）
/dF , dF , dF \
（而皿1 + ^^2 + ^7g 丿=
/dF , dF , dF \
（而皿1 + ^^2 + ^7g 丿=
02门2 — 202门2 — 2+制2 +用3+制2 +用3
02门2 — 2
02门2 — 2
+制2 +用3
+制2 +用3
где
£12 = ^xhmi + EgZ2m2 + с/зМз + sxy （Zim2 + 22m1） +
£13 = £ж/1^1 + %%2几2 + е/з几3 + %夕(匕几2 + %2几 1) +
+ %z 仏几3 + 23几 1) + %z (/2几3 + /3几2),
£23 = £冗皿1几1 + %т2n2 + 8皿3几3 + %夕(Ш1П2 + Ш2П1) +
+ %z (пиггз + m^n^ + %z (m2n3 + m3n2) •
Для изотропного случая
S = 01 £1,«2 = 02^2, аз = 0323.
(1.10.31)
£12 = £13 = £23 = 0, Bi = 02 = Вз = 0-
(1.10.32)
Соотношения закона ассоциированного закона течения (1.10.26)(1.10.30), согласно (1.10.24), (1.10.31), (1.10.32), сводятся к виду
% "1 + %夕“2 + %z %3 =门 %1, &xyll + %“2 + ^yz ^3 = £1“2, %n%i + %2%2 + е/з = е"з.
(1.10.33)
^ж ^1 + 2£夕m2 + 2£2m3 - £2^1 ? SxyTTli + £夕 7712 + ^yz ^^3 = ^2勿^2, %如1 + syzm2 + £如 3 = £2^3,
(1.10.34)
ёж^1 + 2£夕几2 + 2£2冗3 = 23к1, 2£夕九1 + 2g几2 + ^yz ^3 = 23冗2, ^xz^l + ^yz ^2 + ^z ^3 = £3 几3・
(1.10.35)
Из соотношений (1.10.33)-(1.10.35), (1.9.9) следуют соотношения (1.8.9).
2. Введем компоненты девиатора напряжений:
Gij — %( + 8jjO, О — ^ij /3 —(0冗 + Og + On) /3, где 3叮一единичный тензор Кронекера.
Положим
(1.10.36)
6 = О + О： ,。2 = О + &,。3 = ° + 4
(1.10.37)
Очевидно, что
<4 + " + о； = & ，+& + & = 0.
(1.10.38)
Из (1.10.37), (1.10.21) следует
<4 = <庁 ++ 必碎
^ху — ^ihh + С>2Ш1Ш2 + <?3nln2(力沙7,123),
где (xyz, 123) означают, что недостающие выражения получаются круговой перестановкой индексов.
В дальнейшем обозначим компоненты девиатора
必=S"， О? = §£•(1.10.40)
Согласно (1.10.15), (1.10.36), (1.10.39), (1.10.40) получим
N = Зое + ® 庁 + s2m^ + §з若)％ + {s^ + s^m^ + §3風)％ +
+ ® 总 + s2ml + 53П3) 8+2 (5"也 + s2mlm2 + ^几皿2)%g +
+ 2 (s"2%3 + 52т2тз) %之 + 2 (电卜匕 + s2m3m1 + 63^3^1) %z,
(1.10.41) где
£ = Gc/3 = (% + % + %) /3.
Соотношение (1.10.16), согласно (1.10.36), (1.10.40), примет вид
F (d Si, S2, S3, 5 %2, %з, Ml, m2, m3, пъ п2,几3) = 0-(1.10.42)
Соотношения ассоциированного закона пластического течения определяются из условия экстремума функционала при использовании соотношений (1.7.22), (1.10.38):
А = N — XF — ц (si + §2 + S3)—
—P4 (Zj + TTZj + 若)—Ц2 (^2 + m| + 几I) — Аз (/3 + Ш3 + 展)—
-2Vl a2/3 + ^2^3 + 几2几3)- 2V2 (乙23 + НИ 771з + 几1几3)-
—2V3 (/"2 + ^1 ^2 + 几 1 几2) • (1.10.43)
Из (1.10.41)-(1.10.43) получим
37?37?QP门—九3^ + R， £2 —九3^ + R， ез —九方£ + R，(1.10.44)37?37?QP门—九3^ + R， £2 —九3^ + R， ез —九方£ + R，(1.10.44)XdF
37?37?QP
门—九3^ + R， £2 —九3^ + R， ез —九方£ + R，(1.10.44)
37?37?QP
门—九3^ + R， £2 —九3^ + R， ез —九方£ + R，(1.10.44)
где £i, £2, £з определяются согласно (1.10.19).
Из (1.10.44) следует
3R dF3乩=而—九(而;3R dF3乩=而—九(而;+黑++黑+dF\Зоз丿dF\Зоз丿(1.10.45)(1.10.45)
3R dF
3乩=而—九(而;
3R dF
3乩=而—九(而;
+黑+
+黑+
dF\
Зоз丿
dF\
Зоз丿
(1.10.45)
(1.10.45)
Далее имеют место формулы, вполне аналогичные (1.10.20)
в которых следует заменить выражения компонент。叮，仇 на
Рассмотрим случай изотропного материала:
F (о, s“ §2, S3) = 0.F (о, s“ §2, S3) = 0.(1.10.46)(1.10.46)
F (о, s“ §2, S3) = 0.
F (о, s“ §2, S3) = 0.
(1.10.46)
(1.10.46)
В этом случае имеют место формулы (1.10.44), (1.10.45), соотношения (1.8.9) принимают вид
(1.10.47)(1.10.47)^Х^ху + ^ху^у + ^xz^yz = ^ху^х + Од%夕 + ^yZ^XZ 5 ^xy^xz + ^у ^yz + ^yz^z = ^xz^xy + %N% + 久^夕之, ^XZ^X + ^yz^xy +。2%2 =。冗％N + ^xy^yz + ^XZ^Z"
(1.10.47)
(1.10.47)
Переходя в (1.10.47) от компонент девиатора к компонентам полных напряжений (1.10.36), получим, что соотношения (1.10.47) переходят в (1.8.9).
В случае, когда условие предельного состояния (1.10.42), (1.10.46) не зависит от величины о:
R(s“S2,S3)= 0,(1.10.48)
согласно (1.10.44), имеем условие несжимаемости
%+%+8=0・(1.10.49)
Три уравнения равновесия, три уравнения (1.10.47), уравнение несжимаемости (1.10.49), условие предельного состояния (1.10.48) определяют систему восьми уравнений относительно девяти неизвестных: шести компонент напряжений。叮 и трех компонент скорости перемещений 〃，о, w. Для замыкания системы уравнений следует привлечь соотношения (1.10.44), (1.10.45), (1.7.22).
В случае, когда условие предельного состояния определяется двумя соотношениями:
R1(S“ S2, S3)=0,尸2 = (s“ S2, S3)= 0,(1.10.50)
система девяти неизвестных становится замкнутой и необходимость в использовании соотношений (1.10.44), (1.10.45), (1.7.22) отпадает.
Предположим, что взаимная ориентация осей координат х, у, z и главных направлений тензора скорости деформации 1, 2, 3 определяется направляющими косинусами * ш^, 曰，приведенными в таблице:
1
2
3
ж
mi
П1
У
b
m2
口2
z
ь
m3
ПЗ
Для направляющих косинусов % гщ, п* справедливы соотношения (1.9.9), (1.7.22), (1.7.23), для компонент напряжений в декартовой системе координат и главных компонент напряжений имеют место соотношения
^х —。1次 + 02m； + 03П；,^Ху— oihb + 02mlm2+ 03П1П2,
Og =°i¥ +。2«^ + 03^2,%z= bbk + 02m2П13+ 03П2П3,
On =O1 考 + O2m^ + О3П3,“z= 01I1I3 + 02mlm3+。3口1口3・
(1.10.51)
Для компонент напряжений имеют место формулы, вполне аналогичные (1.10.22)-(1.10.24), (1.8.9). В общем случае главные направления 1, 2, 3 и 1, 2, 3 не совпадают между собой, ^ # 必 …Совпадение главных направлений тензоров напряжений и скоростей деформации имеет место для изотропного материала.
Рассмотрим выражение мощности рассеяния механической энергии:
N — ^ij ^ij —。:с” + ^у ^у + ^z^z + ^xy^zy + ^yz^yz + ^xz^xz. (1.10.52)
Согласно (1.10.15), (1.10.25) запишем (1.10.52) в виде
N = ®1； + О2т； + О3П；)(门庁 + £2^1 + £з若)+
+ (01¥ + O2m^ +03口力(£1/2 + ё2^2 + c3^2)+
+ ⑸匕 + О2П13 +。3口9 (门总 + £2^3 + £3^1) +
+ (oihb + 02mlm2 + О3П1П2)(门匕%2 + £2^1 ^2 + £3几 1 几2)+
+ (bbk + 02m2ГП3 + О3П2П3)(£1/2/3 + &2E2mm + 23^2^3) +
+ (01I1I3 + 02mlm3 + О3П1П3) ® Z1Z3 + £2Hiim3 + £3^1 ^3) • (1.10.53)
Взаимную ориентацию главных осей тензоров напряжений и скоростей деформации представим в таблице:
11Si2a2i3аз111Si2a2i3аз123S2S3a22a23аз2азз23S2S3a22a23аз2азз
1
1
Si
2
a2i
3
аз1
1
1
Si
2
a2i
3
аз1
2
3
S2
S3
a22
a23
аз2
азз
2
3
S2
S3
a22
a23
аз2
азз
Для направляющих косинусов ос^ справедливы формулы, вполне аналогичные (1.7.22), (1.7.23):
^ij ^kj = 3叮， &ij — 15 ^ — J, &ij — 0, % 丰、、(1.10.54)
Имеют место соотношения
Si = h%i + З2 + I3Z3, a2i = т"1 + 1112^2 + тз%з,
a31 = n1匕 + 口2/2 + П3/3,
(1.10.55)(1.10.55)S2 = hg + 12m2 + kg, a22 = т^т^ + m2m2 + т3тз,
(1.10.55)
(1.10.55)
«32 = П177И + П2m2 + 口3皿3,
0C13 = 110 + l2n2 + k^3, ail = mi© + m2n2 + m3n3,
OC33 = П1?И + П2П2 + П3П3.
Из (1.10.53), согласно (1.10.55), получим
N = OlEiOCn + 02^2^22 + ^З^З^ЗЗ + 仃改届 2 +
+ 02^1 0^21 + <?2£3^23 +。1£3届3 +。3门唸.(1.10.56)
Предположим, что имеет место условие предельного состояния
R(o 订•)=0.(1.10.57)
Согласно (1.9.3), (1.9.9) условие (1.10.57) примет вид
Р(О1,О2,оз」1」2」з,т“т2,тз,П1,П2,пз) = 0.(1.10.58)
Соотношение ассоциированного закона пластического течения определим из условия экстремума функционала:
А = N —九R — |ij (1； + 1| + I3) — Ц2 (mi + m^ + m^ — 1)—
—Аз (ni + П2 + П3 — 1) — V12 (hmi + 12m2 + 13m3)—
-v23 (mim + m2n2 + тзпз) - v13 (hm + 12n2 + 以口3), (1.10.59)
при допустимых вариациях тензора напряжений 九，乩高 v^ — являются множителями Лагранжа.
Из (1.10.59), учитывая (1.10.56), (1.10.58), найдем
£1£1£1£1£1£1222 л a fОС]] + £2^12 + e3^13 =九0^21 + 出碣2 + £3碣3 =九 ^^， 质 + e2^32 + £3«33 -九器•222 л a fОС]] + £2^12 + e3^13 =九0^21 + 出碣2 + £3碣3 =九 ^^， 质 + e2^32 + £3«33 -九器•(1.10.60)(1.10.60)
£1
£1
£1
£1
£1
£1
222 л a f
ОС]] + £2^12 + e3^13 =九
0^21 + 出碣2 + £3碣3 =九 ^^， 质 + e2^32 + £3«33 -九器•
222 л a f
ОС]] + £2^12 + e3^13 =九
0^21 + 出碣2 + £3碣3 =九 ^^， 质 + e2^32 + £3«33 -九器•
(1.10.60)
(1.10.60)
Для изотропного тела осп = &22 = азз = 1, aij = 0 при i ^ j и соотношения (1.10.60) приобретают вид
л 6F
Далее из (1.10.59), (1.10.55), (1.10.56), (1.10.58) следует
2oi 151al1А + £2042^1 + £3内3几1]=九 ^^ + 2|ii li + vi2ml + viarij,
201 同a1122 + £2 04 2^2 + £3 04 3^2]=%~^ + 2|11 h + Vi2m2 + V13口2,
2(1.10.61)
201 [8^ОСn^З + £2为2m3 + £3043^3] - ^^^ + 2|1113 + Vi2mз + V13П3・
Аналогично из (1.10.59), (1.10.55), (1.10.56), (1.10.58) получим
8F
2。2 同 а?"】+ %а22ml + £3^23^1]=九^^ + 2乩2ml +V12I1 +丫23口“
3 F
2。2 151a21 匕 + %a22ml + £3^23^1] — ^ 0h 2|12m2 + V12】2 + V23n2, b m2
3 F
2。2 [£1«21G + %&22皿3 + £з^23^з]=九g^^ + 2(12™3 + V12】3 + 丫23口3,
а также
3 F
2。3 同аз"1 + £2^32^1 +^зазз几i] = ^^n? "^ -^зп1 +v23ml + V13I1,
2。3 同 OC31Z2 + £2^32^2 + £3^33^2]=九^^ + 2乩3口2 + V23m2 + V13I2,
3 F
2。3 [ei «31/з + £2^32^3 + Ез^зз^з]=九^^ + 2乩3口3 + V23mз + V13I3.
Умножая (1.10.61) соответственно на 1\, %2, %з, складывая полученные выражения согласно (1.10.55), найдем
с 「22а д F л д F л д F л
2О1 [£1ОСп + £2^12 + £3^1з] — ^ 31rh + 31丁2 + 石"丁3 + 2冉，
2oi 同aii(X2i +£2内2a22 +£за13a2з]=
=九 ^^ + ^-m2 + ^-тз +v⑵=九 ^^ + ^-m2 + ^-тз +v⑵(1.10.62)(1.10.62)
=九 ^^ + ^-m2 + ^-тз +v⑵
=九 ^^ + ^-m2 + ^-тз +v⑵
(1.10.62)
(1.10.62)
2。1 [ei «11^31 + £2^12^3 2 + £3 04 3^3 3]=2。1 [ei «11^31 + £2^12^3 2 + £3 04 3^3 3]=Л д F , д F , д F , 入而Ш +而"2 +画П3 +V13・Л д F , д F , д F , 入而Ш +而"2 +画П3 +V13・(1.10.63)(1.10.63)Вполне аналогично получимВполне аналогично получим2。2 回a21ali + *22al2 + 23а23alз]=2。2 回a21ali + *22al2 + 23а23alз]=
2。1 [ei «11^31 + £2^12^3 2 + £3 04 3^3 3]=
2。1 [ei «11^31 + £2^12^3 2 + £3 04 3^3 3]=
Л д F , д F , д F , 入而Ш +而"2 +画П3 +V13・
Л д F , д F , д F , 入而Ш +而"2 +画П3 +V13・
(1.10.63)
(1.10.63)
Вполне аналогично получим
Вполне аналогично получим
2。2 回a21ali + *22al2 + 23а23alз]=
2。2 回a21ali + *22al2 + 23а23alз]=
九九o mi d m2 о m3o mi d m2 о m3h +V12,h +V12,(1.10.64)(1.10.64)2(52 回 碣]+ £2^22 + е3«2з]=九2(52 回 碣]+ £2^22 + е3«2з]=九д f д f д fд f д f д f+ 2|125+ 2|125
九
九
o mi d m2 о m3
o mi d m2 о m3
h +V12,
h +V12,
(1.10.64)
(1.10.64)
2(52 回 碣]+ £2^22 + е3«2з]=九
2(52 回 碣]+ £2^22 + е3«2з]=九
д f д f д f
д f д f д f
+ 2|125
+ 2|125
2。2 [si «21 «31 + £2^22^32 + £з^23^3з]=
="斫n?m +斫元"2 + 3^2+V23, (1.10.65)
а также
2оз 同a3iocii + ваз2a12 + £3^33043]=
(1.10.66)(1.10.66)c d F. , д F. , д F.,
(1.10.66)
(1.10.66)
九 л—h + о—h + о—1з +vi3,
О П] о п2 о Пз
2。3 [^10^31 а21 + £2^32^22 + £3^33а2з]=
=大 ^n:mi + 而m2 + 砧mз +V23, (1」0.67)
「222 ：О гО гО г
2。3 回 аз] + £2^32 + ез^зз1 —九 ^17nl + ^7П2 + ^^пз + 2^3 •
Согласно (1.10.62), (1.10.64), а также (1.10.63), (1.10.66), (1.10.65), (1.10.67) найдем
—гХ2(5 — 02)—гХ2(5 — 02)£1 осп(Х21 + 改内2a2 2 + £3 04 3^2 3 =
—гХ
2(5 — 02)
—гХ
2(5 — 02)
九2(02 — Оз)九2(02 — Оз)Х (而mi -所計丿+ (而m2 - ^12J + (^m3 -斫
九
2(02 — Оз)
九
2(02 — Оз)
£1 «21 «31 + £2^22^32 + £3^23^33 =
一(д fд f、、( d fд f、、( д fд f\
\д пид П]у m2о п2у \о т3д п3у
(1.10.68)
2 (оз — сй)2 (оз — сй)£1 «31 осп + %аз2a12 + ез^ззо^з —
2 (оз — сй)
2 (оз — сй)
(д F Л дF \дF \ , f д F Л дF \
XX(砧L - 寸丿+ (项ь - 32丿+ (砧к - “3丿
X
X
Напряженное состояние определено компонентами о叮 или значениями главных напряжений ос и их ориентацией, определяемой направляющими косинусами к, т^, п^. Скорость деформации может быть определена компонентами с叮 или значениями главных компонент скорости деформации q и направляющими косинусами 叫.Тринадцать уравнений: шесть уравнений (1.10.54), уравнение (1.10.58), шесть уравнений (1.10.60), (1.10.68) относительно тринадцати неизвестных %, (/切 九 при известном напряженном состоянии полностью определяют кинематику деформирования.
Рассмотрим в качестве обобщенных переменных величины максимальных касательных напряжений:
口 =(02 - Оз) /2,工2 =(03 -。1)/2,工3 = (。1 - 02)/2.(1.10.69)
Очевидно, что
口+T2+T3 =0.(1.10.70)
Будем иметь
222
01 = 0 + 3 (工3 - 工2),02 = 0 + 3 (口 一 工3),03 = 0 + 3 (工2 - 口)•
(1.10.71)
Аналогично имеют место соотношения
门=£ +(Y3 — Y2)/3, В = £ + (力 一 Y3)/3,£31 = £ + (丫2 —力)/3,
力=出一23, У2 = £3 - e15y3=门一23, Yi + Y2 + Y31 = 0. (1.10.72)
Для изотропного тела выражение (1.10.5) принимает вид
N =。1门 + 02^2 + оз£з・(1.10.73)
Согласно (1.10.71), (1.10.72), (1.10.70) выражение (1.10.73) имеет вид
N = Зое + 2 (口力 + t2Y2 + ПМз) /3.(1.10.74)
В случае, когда условие предельного состояния (1.10.16) определено в виде
R (dQ 戸2戸з) = 0,(1.10.75)
из экстремума функционала
А = N — XF — ц(Ti + 夜 + 工3),(1.10.76)
согласно (1.10.74)—(1.10.76), получим соотношения ассоциированного закона течения:
九3R3九3R3九3R3九3R
""(黑+ 震 +黑)(L10.77)
Согласно (1.10.71) соотношение (1.10.15) примет вид
N = Зо2 + I [а (щ；-若)+ T2 (若一层)+ 工3 (百一m出 % +
+ I [口 (m2 一 状)+ 。2 (^2 一 後)+ 工3 (後-m訓 % +
+ I h (^3 - ^з) + 。2 (展-后)+。3 (后-m扪 % + 4
+ 2 [Т1 (m1m2 -几 1 几2)+ 。2 (几1几2 - 21/2)+ 。3 (21/2 - TП1rП2)] %g + 4
+ 3 质(гп2m3 - n2n3) + T2 (几2几3 -以3)+ T3 (以3 - rn2m3)] 2gz + 4
+ 3 卜I (m17713 一 几1 几3)+ T2 (几1 几3 一 2"з) + tз (2"з - Mlm3)] %z•
(1.10.78)
Условие предельного состояния (1.10.57), согласно (1.9.9), (1.7.23), примет вид
F (о, Ti, т2, ^з, ^1, h. /з, mi. m2. m3) = 0.(1.10.79)
Присоединяя к функционалу (1.10.72) соотношения связи, вполне аналогичные (1.10.17), а также (1.10.70) с множителем Лагранжа ц, получим выражения условного экстремума функционала (1.10.78):
XdF队 3F ,3 九 3R I3 九 3R ,
£=3 Y1 = T^T+^ 丫2 = 2 丽 +山 Y3 = y^ + H,
(1.10.80) где
力={% (禽-若)+ % (碍-^2)+ % (欣一展)+
+2 [гху(77117712 -几皿2)+ %z(ГП2ГП3 - П2П3) + %z (т^з 一 几皿3)]},
Y2 = {% (若-庁)+ £夕(n2 -後)+ 8 (n3 -总)+
+2 [sXy (几1几2 - Zl22)+ 2gz (几2几3 — 22/3)+ %z (几 1几3 -匕厶)]},
Y3 = {% (庁-碍)+ % (后-欣)+ 8 (后-嗎)+
(工2 —工3)(“匕 + “夕%2 + %/з) = 5^jh Hl^l + V3Z2 + V2Z3, • • •(工2 —工3)(“匕 + “夕%2 + %/з) = 5^jh Hl^l + V3Z2 + V2Z3, • • •+ 2 [^xy (21%2 — ^1^2)+ ^yz (Z2Z3 — ^2^3)+ ^xz (2"з — Ш1Ш3)]} • Согласно (1.10.80), (1.10.72) имеет место (1.10.77). Далее будем иметь 2 3
(工2 —工3)(“匕 + “夕%2 + %/з) = 5^jh Hl^l + V3Z2 + V2Z3, • • •
(工2 —工3)(“匕 + “夕%2 + %/з) = 5^jh Hl^l + V3Z2 + V2Z3, • • •
(123, xyz).
Отметим, что согласно (1.10.69) имеет место
2 (T3 -t2)/з =01 - 0 = Si.
Таким образом, все соответствующие выражения ассоциированного закона течения сводятся к (1.10.20)-(1.10.23) с заменой величин。叮，Gi На ^ij = ‘叮，°£ = S£・
Следовательно, все соответствующие соотношения ассоциированного закона течения определены.
В качестве примера рассмотрим грань призмы Треска:
T3 = (01 —02)/2 = 4, 01，03，02, k = const •
Согласно (1.10.79), (1.10.75), (1.10.77) имеет место условие несжимаемости
% + % + 8 =0.
Далее:
力=Y2=й，Y3=九 + 血 X = -3|1.(1.10.81)
Соотношения (1.10.81) можно переписать в виде 2力=2攻=—Уз, откуда, согласно (1.10.80), следует
2 {% (m^ -若)+ %(7712 一 ^2)+ e2 (m3 一脸)+
+2 向g(m1m2 -几1几2)+ %N (m2mз - n2n3) + £xz (m^з - 几m3)]}=
—2 {% (若一庁)+ £夕(^2 - ^2)+ % (展一总)+
+ 2 [^ху (几1几2 - 21/2)+ 2gz (几2几3 -以3)+ %z (几1几3 -匕卜)]}=
—-{% (百 - ^i) + % (後 一 m2)+ 8 (后 _ шз) +
+2 [%夕(匕％2 - m1m2) + %z (/2/3 - ГП2ГП3) + %Z «"з — пг^з)]}.
(1.10.82)
Имеют место также соотношения (1.8.9).
В результате получим замкнутую систему двадцати одного соотношения: двенадцати соотношений (1.9.9), (1.7.22), трех уравнений равновесия, условия несжимаемости (1.10.49), двух соотношений (1.10.82) и трех соотношений (1.8.9) относительно двадцати одного неизвестного: трех главных напряжений ос, шести компонент напряжений。叮,трех скоростей перемещений u〉％w и девяти направляющих косинусов.
Соотношения ассоциированного закона нагружения имеют вид
(0ж 72j +T£g几2 + Tjcn九3)/几1 =(工£g九1 +0g几2 + ^yz ^3)/几2 =
=(“Si + "m2 +0m3)/几3.(1.Ю.83)
Из (1.10.83), (1.7.25) следуют три соотношения (1.8.9), из которых любые два независимые.
Введем обобщенные напряжения
Q = °2 — Оз, 工2 = Оз — 6, 工3 = О] _ °2・(1.10.84)
Очевидно, что
Согласно (1.10.84)
01=02+T3, 02=0з+а, 03=01+T2,(1.10.86)
°1 = °3 —电 °2 = °1 —工3,°3 = °2 — Q •
В дальнейшем для удобства введем обозначения X? = — тз, & =乜 。2 =。1 + 夕2, оз =。1 + &. Из (1.10.86), (1.10.85), (1.9.9), получим
0£=01 + s2^1 + x3几；, Хху = Е2гn1rn2 + x3几1几2,
0g=01 + x2 欣 + Х3 状，%z =x2?712g + &几2 几3,(1.10.87)
On =。1 + 22Шз + Ез^з， “z = ^ш^з + Ез^1^з-
Из (1.10.87) следует
О1 = о-②2 + Хз)/3,夕2 = 02-0“ Хз=Оз — О“ (1.10.88)
/2 =卜冗-。+ 3X3) (by — ° + +卜g一0+ ；：+ 卜z — ° + ；&) (°冗—。+ ；〉/3 =卜冗—° + ；&) (°夕—° + -卜£-0+荘3) £n -(0g-Из (1.10.87) получим卜冗—О] — STTIj) (by — 0(。夕—。1 — S277l2)(Oz — c(Oz _ O1 —上成)(報-С£3)卜z - ° + ；Хз) +匚3) - ^у - ^z -扌N =；e2△ 一 羽],(1.10.89)；&) 卜z _ о + ；&) + ^xy^yz^xz —0 + ^*3)宣N - (on - 0 + ^%)宜夕== ^^02 — 3%]. (1.10.90)1 -x2用)=(“g-e2^1^2)2 ,〃-上啕=(%z - ^2т2т3)2 ,Ч - S2mi) = (“z - E2niim3)2 ,/2 =卜冗-。+ 3X3) (by — ° + +卜g一0+ ；：+ 卜z — ° + ；&) (°冗—。+ ；〉/3 =卜冗—° + ；&) (°夕—° + -卜£-0+荘3) £n -(0g-Из (1.10.87) получим卜冗—О] — STTIj) (by — 0(。夕—。1 — S277l2)(Oz — c(Oz _ O1 —上成)(報-С£3)卜z - ° + ；Хз) +匚3) - ^у - ^z -扌N =；e2△ 一 羽],(1.10.89)；&) 卜z _ о + ；&) + ^xy^yz^xz —0 + ^*3)宣N - (on - 0 + ^%)宜夕== ^^02 — 3%]. (1.10.90)1 -x2用)=(“g-e2^1^2)2 ,〃-上啕=(%z - ^2т2т3)2 ,Ч - S2mi) = (“z - E2niim3)2 ,где о = S + Од + On) /3.Также имеют место соотношения для инвариантов:где о = S + Од + On) /3.Также имеют место соотношения для инвариантов:
/2 =卜冗-。+ 3X3) (by — ° + +卜g一0+ ；：
+ 卜z — ° + ；&) (°冗—。+ ；〉
/3 =卜冗—° + ；&) (°夕—° + -卜£-0+荘3) £n -(0g-
Из (1.10.87) получим
卜冗—О] — STTIj) (by — 0
(。夕—。1 — S277l2)(Oz — c
(Oz _ O1 —上成)(報-С
£3)卜z - ° + ；Хз) +
匚3) - ^у - ^z -扌N =；e2△ 一 羽],
(1.10.89)
；&) 卜z _ о + ；&) + ^xy^yz^xz —
0 + ^*3)宣N - (on - 0 + ^%)宜夕=
= ^^02 — 3%]. (1.10.90)
1 -x2用)=(“g-e2^1^2)2 ,
〃-上啕=(%z - ^2т2т3)2 ,
Ч - S2mi) = (“z - E2niim3)2 ,
/2 =卜冗-。+ 3X3) (by — ° + +卜g一0+ ；：
+ 卜z — ° + ；&) (°冗—。+ ；〉
/3 =卜冗—° + ；&) (°夕—° + -卜£-0+荘3) £n -(0g-
Из (1.10.87) получим
卜冗—О] — STTIj) (by — 0
(。夕—。1 — S277l2)(Oz — c
(Oz _ O1 —上成)(報-С
£3)卜z - ° + ；Хз) +
匚3) - ^у - ^z -扌N =；e2△ 一 羽],
(1.10.89)
；&) 卜z _ о + ；&) + ^xy^yz^xz —
0 + ^*3)宣N - (on - 0 + ^%)宜夕=
= ^^02 — 3%]. (1.10.90)
1 -x2用)=(“g-e2^1^2)2 ,
〃-上啕=(%z - ^2т2т3)2 ,
Ч - S2mi) = (“z - E2niim3)2 ,
где о = S + Од + On) /3.
Также имеют место соотношения для инвариантов:
где о = S + Од + On) /3.
Также имеют место соотношения для инвариантов:
а также
(報 一 01 一 x2碣)^yz -x2?712g)=(%g-上77117712)(』一 Xzgg), & 一 0] - 上碣)("z - E2niim2)=(%g-x277117712)(%z 一上7712g), (^z —。1 一 匕冠)(“夕—S2mim2)=(』—XzTTHg) (%z — ^gg).
Подставляя соотношения (1.10.87) в уравнения равновесия
ду dz -( “ получим
詳一;房②2 + %) + ПИ(771 grad 上)+ 几1 m grad &) +
+ 夕2 (m grad mi + mi div m) + X2 (n grad n^ + n^ div n) = 0,
m = m^i + m2j + т^к〉 n = n^i + n^j + n^k (123, xyz), где i> j〉к — направляющие орты вдоль координатных осей ж, у, z.
Условие предельного состояния (1.10.57), согласно (1.10.87), (1.10.88), примет вид
F (о, Е2, S3, т「гп2, т3, п15 п2, п3) = 0.(1.10.91)
Выражение мощности рассеяния механической энергии, согласно (1.10.87), (1.10.88), запишем в виде
N =仃叮旳=Зое + Е2 (石2 - £)+ Ез (石3 - £),
где с = (% + % + 8)/3, 石2, 石3 определяются аналогично (1.10.23):
石 2 = %m； + sy ml + szmf + 2 sxym:1m2 + 22nzm2mm + 2exzmim3,
(1.10.92)
e3 = %若 + % 屬 + "展 + 2%恥m2 + 2syZn2n3 + ^xznin^.
В отличие от %, £з — главных компонент скорости деформации — величины 石2,石3 определяют скорости деформации удлинения вдоль направлений главных напряжений 02, 。3・ Совпадение q и Ei имеет место для изотропного материала.
Соотношения ассоциированного закона течения определяются из условия экстремума функционала
4 — 7V —九R — |ij (m； + 771^ + m^) +
+ й2 (若 + 722 + n3) - 2V(7711几1 + 7712几2 + m3几3).(1.10.93)
В случае, если условие пластичности определяется заданием нескольких функций 協，т. е. является сингулярным, в (1.10.93) имеет место сумма 九左協，в дальнейшем индекс к опустим:
XdF 厂 /1 ^F , dF、 厂 /1 ^F , dF、£=3筋，e2 =九(3麻+后3=大(3^ + ^
(1.10.94)
12 冗刀2] + &xy^^2 + 2冗 z〃Z3 — v~ 乙212 冗刀2] + &xy^^2 + 2冗 z〃Z3 — v~ 乙2九dF2d^+m+vni九dF2d^+m+vni
1
2 冗刀2] + &xy^^2 + 2冗 z〃Z3 — v~ 乙2
1
2 冗刀2] + &xy^^2 + 2冗 z〃Z3 — v~ 乙2
九dF
2d^+m+vni
九dF
2d^+m+vni
1SXyTTli + Sy 7712 + %2皿3 —乙21SXyTTli + Sy 7712 + %2皿3 —乙2卜 dF 、,2师+由恤+^2,卜 dF 、,2师+由恤+^2,(1.10.95)(1.10.95)
1
SXyTTli + Sy 7712 + %2皿3 —
乙2
1
SXyTTli + Sy 7712 + %2皿3 —
乙2
卜 dF 、,
2师+由恤+^2,
卜 dF 、,
2师+由恤+^2,
(1.10.95)
(1.10.95)
%如1 + 汕 ni2 + %g%如1 + 汕 ni2 + %g11九dF2万r+由g+^3九dF2万r+由g+^3
%如1 + 汕 ni2 + %g
%如1 + 汕 ni2 + %g
1
1
九dF
2万r+由g+^3
九dF
2万r+由g+^3
а также
%九1 + %g九2 + %2几3 =%九1 + %g九2 + %2几3 =11X 6F 、,2読；+"2期+师1,X 6F 、,2読；+"2期+师1,乙3乙3X dF 、,2丽+^2+师2 ,X dF 、,2丽+^2+师2 ,(1.10.96)(1.10.96)i+32+/ = ^i+32+/ = ^dF ,,2灰+"2几3+Ym3dF ,,2灰+"2几3+Ym3
%九1 + %g九2 + %2几3 =
%九1 + %g九2 + %2几3 =
1
1
X 6F 、,
2読；+"2期+师1,
X 6F 、,
2読；+"2期+师1,
乙3
乙3
X dF 、,
2丽+^2+师2 ,
X dF 、,
2丽+^2+师2 ,
(1.10.96)
(1.10.96)
i+32+/ = ^
i+32+/ = ^
dF ,,
2灰+"2几3+Ym3
dF ,,
2灰+"2几3+Ym3
Умножая (1.10.95) последовательно на mi, 恤，g и складывая полученные выражения, согласно (1.10.92), получим
石2 = f a ( о—mi + -—m2 +I + Hi •(1.10.97)
X2am2 дтз у
Аналогично из (1.10.96) найдем
石3 = 丁 (о几 1 + о几2 + о几3 ) + R2 •(1.10.98)
Согласно (1.10.97), (1.10.98), (1.10.94) получим
由=九由=九上（3而+上（3而+dFdF(1.10.99)(1.10.99)
由=九
由=九
上（3而+
上（3而+
dF
dF
(1.10.99)
(1.10.99)
f 1 dF , dF\ 1 /dF , dF , dF '
乩2 =九乩2 =九而+灰丿-八"1 + "2 + “3丿•
乩2 =九
乩2 =九
(i.io.ioo)
Умножая (1.10.95) последовательно на ni,几2,几з и складывая полученные выражения, получим
石23 = 丁 5 ( о 几 1 + о 几2 + о几3 I +V ,(1.10.101)
X2 |_2 \drni dm2 атз у
где 石23 — величина сдвига на площадках напряжений。2,。3,
石 23 = %皿1几1 + ЕуТП2r12 + 8皿3几3 + €Xy(m 工 П2 + Ш2П1) +
+ %N (m2几3 + m3几2)+ %N (ниn3 + m^) •
Аналогично из (1.10.96) получим
口 1(dF 、dF8F \1〔па
石23 = 丁 I оMi + —7712 + о^3 ) + V •(1.10.102)
Из (1.10.101), (1.10.102), (1.10.85) найдем
_ 九 Г^ ( OF 、dF , dF Y = 2(e2-ез) ［小 ” + 嬴；几2 + 価几3丿-
—% (-X——m2 + о—• (1.10.103) \ 0九1 дп2 дП3 у
Подставляя в соотношения (1.10.93)-(1.10.96) выражения для неопределенных множителей Лагранжа (1.10.19), (1.10.20), (1.10.24), получим искомые выражения ассоциированного закона пластического течения.
В случае изотропного материала, т^ = ш^, п^ = п^, условие пластичности (1.10.91) не зависит от величины т^,电.В этом случае, согласно (1.10.99), (1.10.100), (1.10.103):
Ц1 = £1^2, Н2 = £2^3, V = 0.
Из (1.10.95), (1.10.96) следует
(ежШ1 + гхут2 + ^xzm^) /mi = (^xymi + 包т? + “^公〔т?=
=&如1 + 汕 g + £如3)/g, (1.10.104)
(2£几1 + 2况夕几 2 + Ejcn 几 3)/ 几 1 = ^xy^l + 2 g几 2 + ^yz ^3)/ 几 2 =
=(%2几1 + ^yZri2 + “几3)/几3,(1.10.105)
XdF
Соотношения (1.10.104), (1.10.105) определяют четыре уравнения, однако независимыми из них являются любые три. В самом деле, из (1.10.17)-(1.10.19) следует
m1 = (%ли + %户2 + %如3)/b, m2 =(2£夕Ml + 2g7712 + %2m3)/£2, ^3 = &如1 + 汕g + 2如3)/в,m1 = (%ли + %户2 + %如3)/b, m2 =(2£夕Ml + 2g7712 + %2m3)/£2, ^3 = &如1 + 汕g + 2如3)/в,几 1 = (£ж721 + £冗夕几2 + %z几3)/^3, 几2 =(2£夕几1 + 2g几2 + %z几3)/^3, 几3 = (%2几1 + ^угП2 + %几3)/^3.(1.10.106)几 1 = (£ж721 + £冗夕几2 + %z几3)/^3, 几2 =(2£夕几1 + 2g几2 + %z几3)/^3, 几3 = (%2几1 + ^угП2 + %几3)/^3.(1.10.106)Четыре соотношения (1.10.104), (1.10.105) следуют из шести уравнений (1.10.106) за счет исключения величин %, £з- Среди шести соотношений (1.10.106) пять независимых, так как любое из них может быть выражено через другие. Согласно (1.9.9), например:Четыре соотношения (1.10.104), (1.10.105) следуют из шести уравнений (1.10.106) за счет исключения величин %, £з- Среди шести соотношений (1.10.106) пять независимых, так как любое из них может быть выражено через другие. Согласно (1.9.9), например:
m1 = (%ли + %户2 + %如3)/b, m2 =(2£夕Ml + 2g7712 + %2m3)/£2, ^3 = &如1 + 汕g + 2如3)/в,
m1 = (%ли + %户2 + %如3)/b, m2 =(2£夕Ml + 2g7712 + %2m3)/£2, ^3 = &如1 + 汕g + 2如3)/в,
几 1 = (£ж721 + £冗夕几2 + %z几3)/^3, 几2 =(2£夕几1 + 2g几2 + %z几3)/^3, 几3 = (%2几1 + ^угП2 + %几3)/^3.
(1.10.106)
几 1 = (£ж721 + £冗夕几2 + %z几3)/^3, 几2 =(2£夕几1 + 2g几2 + %z几3)/^3, 几3 = (%2几1 + ^угП2 + %几3)/^3.
(1.10.106)
Четыре соотношения (1.10.104), (1.10.105) следуют из шести уравнений (1.10.106) за счет исключения величин %, £з- Среди шести соотношений (1.10.106) пять независимых, так как любое из них может быть выражено через другие. Согласно (1.9.9), например:
Четыре соотношения (1.10.104), (1.10.105) следуют из шести уравнений (1.10.106) за счет исключения величин %, £з- Среди шести соотношений (1.10.106) пять независимых, так как любое из них может быть выражено через другие. Согласно (1.9.9), например:
mini + ГП2 九 2
поэтому среди четырех соотношений (1.10.104), (1.10.105) независимыми являются три.
Рассмотрим условие пластичности Мизеса
R = (oi — О2)2 + (°2 — °3)2 + (。3 — °1)2—廿=0,用=const. (1.10.107)
Согласно (1.10.90) условие (1.10.107) перепишем в виде
F = Е^ + Е^ + (Е2 - %)2 —廿=0.(1.10.108)
Согласно (1.10.108), (1.10.94) получим
с = 0,石2 = 2九［2Е2 - %］,石з = 2九［2% -上］•(1.10.109)
Учитывая, что для изотропного тела Е^ = £2,石3 — £з, переходя к компонентам главных напряжений, перепишем соотношения (1.10.109) в виде
门 + В + £3 = 0,£2 = 6九(。2 — о), £з — 6九(。3 — о).(1.10.110)
Из (1.10.110)
£1 =6九(6 —О).(1.10.111)
Из (1.10.110), (1.10.111), (1.10.5), (1.10.25) для изотропного тела следуют соотношения ассоциированного закона пластического течения в форме Мизеса:
% = 6九(0£一0), %g=6九“g (力gz) •
Рассмотрим случай полной пластичности
Опуская индекс 3 у величины &, запишем соотношения (1.10.87), (1.10.88) в виде
報 =01 + Xгi；, %g=x几1几2,
Од = °1 + S^25 %z =夕几2 几3,
(1.10.112)
02 = 01 + X脸,Txz = St2j 72з ?
О1=О — S/3, S — O3 — О],
(1.10.113)
откуда
(報—。+ Х/3) & —。+ Х/3)=备，
(Og - о + X/3)(Oz — о + X/з) = gz，
(1.10.114)
(Oz - О + S/3) (ож - 0 + X/з)=名z， а также
(。冗—。+ S/3) ^yz = ^xy^xz)
(0g一0+ x/3) “z = ^xy^yz )
(1.10.115)
(02 一0+ e/3)"g=^xz^yz •
Инварианты (1.10.89), (1.10.90) в рассмотренном случае равны нулю:
，2 = [(О冗-О + Х/3) & - о + S/3)-名夕]+
+ [(о夕—о + Х/3)(Oz — о + S/3) — т^] +
+ [(Oz — о + Х/3)(報—о + S/3) — t|2] = 0, (1.10.116)
/з =(。冗—о + £/3) [(о夕—о + £/3)(Oz — о + S/3) — т^]—
一Sz [(0g一0+ X/3) Txz - ^xy^yz]-
—工£夕[(°N —。+ X/3)工£ 夕—^XZ^yz\ = 0 •(1.10.117)
Соотношения (1.10.116), (1.10.117) имеют место согласно (1.10.114), (1.10.115).
Условие предельного состояния (1.10.57), согласно (1.10.112), примет вид
F (о, Е, пъ п2,几з) = 0.F (о, Е, пъ п2,几з) = 0.(1.10.118)(1.10.118)
F (о, Е, пъ п2,几з) = 0.
F (о, Е, пъ п2,几з) = 0.
(1.10.118)
(1.10.118)
Выражение мощности рассеяния механической энергии, согласно (1.10.112), (1.10.113), запишем в виде
TV = Gi广叮=Зое + Е(£3 — е) .(1.10.119)
Соотношения ассоциированного закона течения определяются из условия экстремума функционала
А = N — XF — |i (若 + ^2 + Пз — 1) ,(1.10.120)
где ц — множитель Лагранжа.
XdF / 3R dF\ 『廿£3 =弋福+砲丿,XdF / 3R dF\ 『廿£3 =弋福+砲丿,Из (1.10.118)-(1.10.120) получим
XdF / 3R dF\ 『廿£3 =弋福+砲丿,
XdF / 3R dF\ 『廿£3 =弋福+砲丿,
丄
，dF'
2况九"1 + 2况gк2 + 2%2几3 =
2况gк1 + 2gК2 + ^yz ^3 =
丄
\ dF ,-
*几2+w2
,(1.10.122)
"2к1 + 2g2几2 + 8h3 =
丄
Ё
\ dF 1'
2灰九3 +w3
(1.10.121)
Из (1.10.122), (1.10.121) следует
/1 ^F,6F\1[xf dF, BFdF Al
九(Ь)=干5( лП1+ ъп2 +о几з ) + Ц• (1.10.123)
ОоОХ уX[2、。九1 дп2дпз у
Соотношение (1.10.123) определяет множитель Лагранжа ц.
Соотношения (1.10.121)-(1.10.123) определяют искомые соотношения ассоциированного закона течения.
Для изотропного материала величина F не зависит от 电，выражения ассоциированного закона течения (1.10.121)-(1.10.123) принимают вид
(2£冗1 + 2£夕九 2 + Ejcn 几 3)= ^xy^l + 2 g几 2 + 2gz 几 3)=
(%z0 +%z^2 +%几3)(%z0 +%z^2 +%几3)1
(%z0 +%z^2 +%几3)
(%z0 +%z^2 +%几3)
九3
Из (1.10.124) следуют три соотношения, два из которых являются независимыми:
2£几1几2 + 2况夕几2 + 2£2几2几3 = 2£g几］+ 2g几1几2 + %2几1几3,
2£g几1几3 + 2g几2几3 + 2g2九^ = 2£2几1几2 + 2g2几^ + 22几2几3,(1.10.125)
££2几1 + ^yz^l ^2 + £7^1 几3 = £ж^-1 ^3 + &хуП2nm + ^冗之几3。
Если подставить в соотношение (1.10.125) выражения 几広几^ из (1.10.112), то получим соотношение (1.8.9). Таким образом, в случае полной пластичности только два из них являются независимыми. Условие пластичности следует представить в виде (1.10.114) или (1.10.115).
Положим X = k, k = const, и отнесем компоненты напряжения к величине k. Рассматривая (1.10.114) в качестве обобщенного пластического потенциала, найдем
九1九1(1.10.126)(1.10.126)九1九1%g = —k'^xy〉%g = —k'^xy〉^yz ——九2%z ,%z ——九3sz •^yz ——九2%z ,%z ——九3sz •
九1
九1
(1.10.126)
(1.10.126)
九1
九1
%g = —k'^xy〉
%g = —k'^xy〉
^yz ——九2%z ,%z ——九3sz •
^yz ——九2%z ,%z ——九3sz •
Из (1.10.126), (1.10.112) следует
(“几 1 + ^ху^2 + ^xz ^3 ) /几 1 = (%夕几1 + % 几2 + ^yz ^3 ) /几2 =
=(%2几1 + %2几2 + 8 几3)/几3 =
=-[九1 (若 + ^2)+ 九2 (^2 + ^3)+ 九3 (* + 若)]/3.
Рассматривая (1.10.115) в качестве обобщенного пластического потенциала, получим
еж = 2211Tgz/3 —九2“z/3 —九3sg/3,
2g-—九1。gz/3 + 2Х2TЖ2 /^ 一九3。况夕/3,
2g=-九 i%z/3 -九2“z/3 + 2 九 3%g/3,(1.10.127)
2%夕=—九— ^yz + 九з (。2 —。+ 1/3),
^yz —九 1 (。宏一о + 1/3)—九2%夕—九3%N,
^xz =—九1 ^xy + 九2 (。夕—。+ 1/3) — ^^yz •
Из (1.10.127) следует
(%几 1 + %g九2 + %2几3)/几 1 = (%g几1 + %几2 + ^yz ^3) /几2 =
=^xzm + Syzn2 + 8h3)/几3 = - 出几2h3 + 九2九皿3 + 九3几皿2]/3.
Рассмотрим линеаризированные уравнения. Предположим, что
°? — °ж — °2 — GS 5 £ =。2， 也=也—乜=。，
£?=£?, £? = *, £3 = £° , М =以=旦=0.
Решение будем искать в виде
Gij — ^ij + ^ij ? ^ij — £叮 + ^ij,
где штрих приписан компонентам возмущений.
Предположим, что X = 瓦 в этом случае из (1.10.114), (1.10.115) следует
或=%=0；=/，匕У=。■(1.10.128)
Из соотношений (1.8.9) следует
— aXZ^xZl %N — ayZ^yz 5
—成—^(1.10.129)
axz — -6O-， ayz — -0б- •
e® — ez2y — ez
Согласно (1.10.128) уравнения равновесия примут вид
дх dz 5дуdz '
,(1.10.130)
dzдхду '
Переходя в (1.10.129) к компонентам скоростей перемещений, получим
灰 К = 2g『 友+ 万 =2旬力 (1.10.131) В данном случае имеет место условие несжимаемости
диА/ dw _
дхдуdz'
(1.10.132)
Положим
,_ _dw , _ dw , _ dw
(1.10.133)
Из (1.10.133), (1.10.130) следует
d2W d2W d2W с
5- + -5— — 0.
дх2дуdz2
(1.10.134)
Из (1.10.131), (1.10.133) найдем
ди _dW dw
(1.10.135)
dv _dW dw
dz ^ayz QyQy •
Дифференцируя соотношения (1.10.132) по г, используя (1.10.135), получим
д-w д-w д-w _ / d2W d2W\д-w д-w д-w _ / d2W d2W\(1.10.136)(1.10.136)
д-w д-w д-w _ / d2W d2W\
д-w д-w д-w _ / d2W d2W\
(1.10.136)
(1.10.136)
Таким образом, для определения компонент напряжений возмущенного состояния 必 при условии полной пластичности (1.10.114), (1.10.115) имеют место однородное волновое уравнение (1.10.134) и соотношения (1.10.133). Компоненты возмущений скорости перемещений и\ 心 w‘ определяются из неоднородного волнового уравнения (1.10.136) и соотношений (1.10.135).
§11. Соотношения ассоциированного законанагружения в обобщенных координатах
Функционал, определяющий диссипативную функцию (1.4.2):
。宓％ + ^у ^у + ^ Z ^Z + —^ху^ху + —^XZ^XZ + —^yz ^yz — D ^ij ) —。, (1.11.1) согласно (1.10.1), (1.10.3), (1.10.5), можно переписать в виде
N (Qk, Ski ocnJ pm) — D (Sk> Pm) — 0-(1.11.2)
При определении ассоциированного закона нагружения (§ 4 гл. 1) варьируются компоненты деформированного состояния при налагаемых на них связях. Для вариации скоростей деформации, согласно (1.10.3), имеем
^ij —(1.11.3)
ОО力С/Pm
Условный экстремум функционала следует искать с учетом связей (1.10.4):
N (Qk, Sk> 0^, Pm) — D (Sk〉Pm) — HrVr (Bm) =。，(1.11.4)
где |ir — множители Лагранжа.
Условия экстремума функционала (1.11.4), определяющие соотношения ассоциированного закона нагружения в обобщенных переменных, будут иметь вид
dN _ dD_ dN_ _ до_ 空,.
Если имеет место
N — SkPk (Qk> a^, Pm) ,(1.11.6)
то, согласно (1.11.5), (1.11.6), имеют место соотношения
п _ 6D дрк _0D3屮「
В качестве обобщенных переменных примем компоненты главных скоростей деформаций % и направляющие косинусы li^mi^rii. Согласно (1.11.1), (1.11.4), (1.9.3), (1.7.22) будем иметь
5г(£1 百 + £2^11 + £з^1) +
+ ^у (е1 ^2 + е2^2 + е3^2)+ °N(£1 总 + е2^3 + ^3展)+
+ 2т冗夕(£1/1^2 + £2^117712 + ^3几 1 几2)+ ^yz(£^2^3 + ВП^Шз + £3几2几3)+
+ 2sz ®%"з + £2^117713 + £3几1几3)- D(£1,£2,£35 %£, П^,电)一
-由(百 ++ 若)-|12 (後 + 7^2 + 状)-|13 (总 + mз + n3)-
—2Vl (Z2Z3 + ^2^3 + 几2几3)— 2V2 (2"з + ^1 ^3 + 几 1 几3)—
—2V3 (%2匕 + m2nli + 几2几1) = 0, (1.11.8)
где 卩Qi — множители Лагранжа.
Согласно (1.11.8), (1.11.5) получим
dDdDdD
где
0] - 0宓2] +0g 22 +。2"3 + 2“g21/2 + 2工g222"3 + 2TЖ2 ^1 ^3 ?
02 = ^x^i + ^yrril + о^Шз + 2Txymim2 + 2^^7712 m3 + 2szттиттгз,
0з =報几;+0g几^ +0n几^ + 2%g几1几2 + 2%办2几3 + 2sz几1几3.(1.11.Ю)
Величины 01,02,03 определяют нормальные напряжения вдоль главных направлений компонент скорости деформации и в общем случае не совпадают с главными компонентами тензора напряжений. Совпадение имеет место только для изотропного случая.
Далее из (1.11.8), (1.11.5) следует
门(O：U1 + ^xyh+ “/3) =2^"+ 冉匕+ V3Z2+ V2Z3,
£1 (^xyh +。夕％2+ %/з) =2~оЦ+ 乩2%2+ Vl%3+ V3Z1,(1.11.11)
门—2+ НЗ^З+ V2%1+ Vl%2,
аналогично
诊(0况m1 + ^хут2 + %2m3)= 5 dg + М4 нИ + V3m2 + v2m3,
£2 (%夕皿1 +оуТП2 +%2皿3)= |^^ +Ц2^2 + Vim3 +V3M“(1.11.12)
£2 \^xZmi +^yzm2 +。2皿3)= -^^ +цз^з + v2mi + у^г,
/、 1 30
c3 (0£几 1 +"g几2 +"2几3)= 5^^ +由几1 +V3几2 + V2n3,
ез а宓g几 1 +0д几2 +Tg2几3)= |^^ +й2几2 + Vin3 + v3ni, (1.11.13)
/、 1 30
c3 ("2几1 +^yZri2 +02几3)= 2^^ +乩3几3 +V20 + Vin2.
由=
。冗％ + ^xy^xy + ^xz^xz
1
一2
借
dD
…而
R2 =
^xy^xy + ^y^y + ^yz ^yz
1
一2
(粉2 +
dD dm2
dD
R3 =
^xz^xz + ^yz^yz +。之％
1
一2
(粉з +
др дт3
dD
…灰
а также
V1 = ^xz^xy + 工夕之£夕 + ^z^yz
-1(
，也 声
23 +
dD dm?
g +
dD 、
丿二
=TXySX
N +。夕％ N + ^yZ^Z
f др 画
22 +
dD дт3
m2 +
dD 、
V2 = ^xz^x + ^yz^xy +。2%2
-Il
'dD 闻
23 +
dD Ami
g +
dD 、
=°£%N
+ ^xy^yz + ^xz^z ~
dD
1 + 1
dD 3 m31
пи +
dD \
V3 = ^xy^x + ^y^xy + ^yz^xz
< dD 闻
22 +
dD Ami
m2 +
dD 、
— ^ж ^xy + ^xy^y + ^xz^yz
f qd
匕+
dD dm?
mi +
dD \ d^n4 •
Из (1.11.11)-(1.11.13) следует
(1.11.14)
©
几2
几3
(1.11.15)
(1.11.16)
(1.11.17)
Уравнения (1.11.14) определяют выражения множителей Лагранжа Ц15 Ц2 5 Цз •
Для изотропного материала из (1.11.15)-(1.11.17) следуют соотношения (1.8.9).
При определении ассоциированного закона нагружения введем компоненты девиатора
&ij = $ij + 3叮％ G = " + £.
Диссипативную функцию определим в виде
D = D (% 心)•
В результате аналогичных рассуждений, при определении экстремума функционала (1.11.8), где
D = 0 (% 乩厶或4,7716,电)，
помимо ранее определенных, следует присоединить дополнительную связь
£： + £$ + 或=О
с множителем Лагранжа ц.
Вполне аналогично (1.11.9) получим
1 ODdDdDdD
0=?^T 6 =福+山 02 =紘+山。3 =福+山(1.Й.18)
Из (1.11.18) следует
а£ I瓏:瓏$ 3&丿
Формулы (1.11.11)-(1.11.17) сохраняют свой вид с заменой £叮，门 на
Введем обобщенные скорости деформации
力=В - £з, Y2 = £з - £“
Уз = £1 - £2-
(1.11.19)
Очевидно, что
Yi + Y2 + Уз
Согласно (1.11.19)
=0.
£1 = £2 + Мз, £2 = £з + 力,
£з = £1 + Y2,
(1.11.20)
门=£з - Y2, В =门-Y3,
£з = % —力•
(1.11.21)
В дальнейшем для удобства введем обозначения 石2 тогда, согласно (1.11.20), (1.11.21):
=—Уз,石3 = Y2,
% =门 + 石 2,£з
=门+e3.
(1.11.22)
Из (1.11.22), (1.9.3) получим
% =白+ e2〃岩 + 石3九^, ^ху = ^2^1 ^2 + e3九1几2,
% =白+e2欣+石3嗚，汕=后2m2g +e3几2几3,(1.11.23)
% =门 + ^2^3 + e3 展， %z = ^2^1 ^3 + e3九1几3・
Из (1.11.23) следует
£1 = £ —(石2 + 石3)/3,£ = ® + 霞 + £3)/3・(1.11.24)
Из (1.11.23) следует
(% -c1 -e2m；)(% - E1 -石2m力=(sxy -e2m1?712)2 ,
(" - £1 -e2用)& - £1 -石2冠)=(汕-石2m2m3)2 ,(1.11.25)
(% - £1 - E2ml) (% - £1 -石2皿,=(%z - E2mlm3)2 ,
а также
(% 一门—石 2m；)(2gz-E1 - e2Гn2Гn3)=
=(2冗夕-E2mlm2)(Sxz - E2mlmз),
(% - £1 - E2ml)(sxz - £1 - E2m1m^ =
=(^xy - E2m1m2)^yZ - Е2т2т3), (1.11.26)
(8 - £i -七2砲&期-£i - E2mlm2)=
=(£冗2 - E2mlmm)&z 一 E2m2mm)・
Функционал (1.11.1), согласно (1.11.23), (1.11.24), запишем в виде
0£® + ^2^1 + e3若)+ ^y (ё1 + e2ml + e3九|) +
+02® + e2勿言 + e3展)+ ^xy (^2^1 ^2 + e3几 1 几2)+
+ 2%z (Е2ГП2ГП3 + 石3几2几3)+ 2sz (E2mlmm + 石3几1 几з) 一
-D(£,石2,石3,皿，®) = 0. (1.11.27)
К соотношению (1.11.27) следует добавить соотношение связи
т； + 7712 + т3 = 1，^1 + ^2 + П3 — 1， туПу + т2n2 + ШзПз = 0.
(1.11.28)
Из (1.11.27), (1.11.24) получим
1 dDdD1 dD
где。2,。3 определяются согласно (1.11.10).
Далее из (1.11.27), (1.11.28) получим
^ж ^1 + “夕勿^2 + ТЖ2 ^3 =
“уГП\ + 0^7712 + Т^^Шз =
1
后2
1
后2
1
1 dD
2 Ami
'1 dD
2 ^Ш2
］dD
+ Hl mi + vni
+ Ц1Ш2 + vn2
,(1.11.29)
“zTTZl + ^yZ^2 +。2皿3 —
后2
2 дтз
+ m m3 + vn3
а также
0£几］+T况g几2 + Tjcn几3 =
1
国
1 dD ,,
T£g几］+ Og几2 + ^yz ^3 =
1
Ез
1 dD ,,'
2丽+乩2几2+师2
,(1.11.30)
』几1 +%z^2 +0办3 =
1 '
Ез
1dD ,,'
*+*+师3
где Hi, Ц25 V — множители Лагранжа для соответствующих выражений (1.11.28).
Из (1.11.29), (1.11.30) следует
1 /dD , dD , dD \
由=-2+ 朝皿2 + 砧m3丿，
1 / dD dD dD \
R2 = 0383 -八+ “2 + “3丿,
1023 =瓦1023 =瓦1 ( dD2 ( Ami1 ( dD2 ( AmidD dD \几1 +砧几2 +匸-几3)+2vdD dD \几1 +砧几2 +匸-几3)+2vdm；dm；：з：з
1
023 =瓦
1
023 =瓦
1 ( dD
2 ( Ami
1 ( dD
2 ( Ami
dD dD \几1 +砧几2 +匸-几3)+2v
dD dD \几1 +砧几2 +匸-几3)+2v
dm；
dm；
：з
：з
1 ( dD 丄 30丄 30\9
ЕзгдеЕзгдеM而…师…灰g)+2Y，
Ез
где
Ез
где
023 = gЖm1П1 + Gym2n2 + <?2^3^3 + 2“g(7711 几2 + m2几1) +
+ 2%z (ш2пз + m3n2) + 2“z (miПз + дти) •
Для изотропного материала
023 = V = 0.
Рассмотрим состояние полной кинематической определимости
石 2 =0, £1 = %•(1.11.31)
Из (1.11.31), (1.11.23)-(1.11.26) следует
% = £ — Е/3 + Еп-^ ; %g = Efly 722,
Eg = 2 -e/3 + 石風，2gz =后制2 几 3,(1.11.32)
£之=£ —石/3 + Еп^, %z — Еп^ 7?，з ?
(% 一 £ + e/3) & 一 £ + e/3)=曦，
& - £ + e/3) g 一 £ + e/3)=曦，
g - £ + e/3) (% 一 £ + e/3) = Vz，
(% 一£ + e/3) %N - ^Xy^XZ 5
(% — £ + 石/3) ^XZ = ^Xy^yZ 5
(% — £ + 石/3) SXy = ^xz^yz 5
где Е = Ез.
Соотношения ассоциированного закона нагружения имеют вид
(0£几1 +T£g几2 +工况2几3)/几1 =
=(T£g几1 + 0g几2 + ^yz^ /几2 =(工况2几1 +Tgz几2 + Oz几3)/几3・(1.H.33)
Из (1.11.33), (1.11.32) следуют три соотношения (1.9.17), независимыми из которых являются два.
Свойства уравнений при условии полнойпластичности
Рассмотрим ребро призмы условия пластичности Треска (рис. 3), другими словами, будем считать, что имеет место условие полной пластичности
В этом случае имеют место соотношения
報 = о — 2к/3 + 2к cos2 9i, хху = 24 cos 力 cos 蝕，
Oy = о — 2k/^ -\- 2k cos2 02 ? %z = 2k cos 62 cos 63,(1.7.27)
On = O— 2k/3 + 2k cos2 03, “z = 24 COS 61 COS 03,
cos2 9i + cos2 92 + cos2 9з = 1.(1.7.28)
Подставляя соотношения (1.7.27) в уравнения равновесия
бох . д^ху I a^XZ 八
幣 + 禦+ 幣(1.9.15) ox oy OZ'
dx dy dz ' получим уравнения
—-—2k sin 2б] —— — 2k sin 0j cos 02 ~ — 2k cos 6] sin 02 ^
—2k sin 0i cos 03 ^- — 2k cos 力 sin 63 ^- = 0,
CC 3仇C C 加2加2
— 2k sin 0j cos 02 "7；~ — 2kcos ®i sin 02 n— 2k sin 202 o—
oyoxoxoy
—2k sin 02cos 63^^ — 2kcos 62 sin 63^^= 0, (1.12.1)
a" C 7八加1 e 7 八加3 e 7八加2
—- —2k sin 9] cos 63 —- — 2к cos 0j sin 63 —— — 2k, sin 02 cos 63 —
—2k cos 02 sin 63 ^^ — 2k sin 2出 ^- = 0.
К системе дифференциальных уравнений присоединим дифференциальное соотношение, следующее из (1.7.28):
sin 2е"В1 + sin 2е2^02 + sin 263 6/63 = 0.(1.12.2)
Уравнение характеристической поверхности системы уравнений (1.12.1), (1.12.2) представим в виде
屮=屮(力，g,z).(1.12.3)
Характеристические поверхности системы уравнений (1.12.1), (1.12.2) находятся из определителя
3屮 дх
—2k (sin 20]+
'дх
.3w
+ Sin 0] COS 02-^— + ду
+ sin 0] cos ®з 祭)
—2k COS 0] sin 02-^— By
—2k cos 0] sin 637^— oz
3屮
3沙
.3w
—2k sin 0] cos 02-^— ox
-2k fcos 0] sin 62 鑾 + 'ox
.c 3w
+ sin 202 ——H By
. 3w
—2k cos 02 sin e3-^ dz
=0.
3屮 dz
.3w
—2k sin 0] cos 03-^— ox
+ sin 02 COS 63 祭)
—2k SUI 02 COS 03 77— By
—2k(cos 0] sin 63鑾 + 'дх
. 3w
+ COS 02 Sin 03 -7— +
0
sin 2仇
sin 2e2
+成11 2鹽)
sin 2e3
(1.12.4)
Раскрывая определитель (1.12.4), получим
(1.12.5)(1.12.5)(n grad 屮){2 (n grad 屮产 —(grad 屮产} = 0,
(1.12.5)
(1.12.5)
где
П = COS 61 i + COS 02j + COS 93k,
…芻i+黑j+M
Согласно (1.12.5) характеристические направления определяются соотношениями
n grad 屮=0,n grad 屮=0,(1.12.6)(1.12.6)
n grad 屮=0,
n grad 屮=0,
(1.12.6)
(1.12.6)
Согласно (1.12.6) заключаем, что поверхности, ортогон ал ьн ы е третьему главному направлению, являются характеристическими.
Из (1.12.7) следует
2|n|2|grad 屮『cos2 (n, grad 屮)—|grad 屮『=0.(1.12.8)
Поскольку |n| = 1, из (1.12.8) найдем cos (n, grad v) = 士№/2.
Следовательно, угол между нормалью к характеристической поверхности 屮=0 и вектором п равен ±兀/4. Совокупность элементов характеристических поверхностей образует конус с углом развода ±兀/4 вокруг третьего главного направления. Характеристические поверхности образуют всю совокупность поверхностей, пересекающих линии третьего главного направления под углом, равным ±兀/4.
Совокупность элементарных площадок, на которых действуют максимальные касательные напряжения, образуют поверхности максимальных касательных напряжений. Очевидно, что характеристические поверхности совпадают с поверхностями максимальных касательных напряжений.
Рассмотрим уравнения, определяющие деформированное состояние. Соотношения (1.10.154), определяющие пластическое течение при условии полной пластичности, согласно (1.7.26), будут иметь вид
, COS 02 , COS 03COS 01 ,,COS 03
COS 0]COS 02
Присоединим к двум соотношениям (1.12.9) уравнение несжимемо- сти
%+%+&= 0.(1.12.10)
Используя соотношения Коши
диdvdw
= (需 + 患｝(L12.ll)
из (1.12.9), (1.12.10) получим систему трех уравнений относительно трех неизвестных компонент скорости перемещений:
2絹+倚+黑）2絹+倚+黑）+信+需）+信+需）COS 03COS 0]COS 03COS 0]COS 02COS 0]COS 02COS 0]停+停+cos仇+ 2如+COS 02— дуcos仇+ 2如+COS 02— дуdw\ cos0з ду у cos 02dw\ cos0з ду у cos 02
2絹+倚+黑）
2絹+倚+黑）
+信+需）
+信+需）
COS 03
COS 0]
COS 03
COS 0]
COS 02
COS 0]
COS 02
COS 0]
停+
停+
cos仇+ 2如+
COS 02— ду
cos仇+ 2如+
COS 02— ду
dw\ cos0з ду у cos 02
dw\ cos0з ду у cos 02
芻+需+謂=。・(US
Если записать уравнение характеристической поверхности в виде 屮(ж, g, z) = 0, то найдем, что система трех уравнений (1.12.12) относительно u)%w — гиперболического типа, а уравнение характеристических поверхностей имеет вид (1.12.5). Таким образом, характеристические многообразия для системы уравнений (1.9.16), (1.9.17) и системы (1.12.12) совпадают.
Предположим, что поверхность S является границей между пластическим и жестким материалом. Введем ортогональную криволинейную систему координат 先 так, что уравнение поверхности S можно записать в виде % = const.
Обозначая через щ компоненты скорости перемещений, получим, что 〃з = 0. Компоненты скорости сдвига будут иметь вид
_ 1 a〃i
〃13 Hi
力3 - из西3
_ 1 ди2
Н1Н3 Здз '
(1.12.13)
侬-Из dq3
Н2Н3 Здз '
где Hi — коэффициенты Ламе.
В жесткой области все компоненты скорости перемещений равны нулю, а в пластической — равны конечной величине; поэтому производные величин 〃i и 〃2 по дз в пределе стремятся к бесконечности; следовательно, составляющие 力3, 侬 на границе S неограниченно возрастают. Остальные компоненты скорости деформации на S конечны.
Рассмотрим соотношения пластического течения:
2ei +yi2hYi3—=力2h2£2 +У23—=力3Ьу23Ь2ез, (1.12.14) П]n]九2九2九3九3
где П{ — направляющие косинусы третьего главного напряжения.
Сократим выражение (1.12.14) на %з и обозначим 723/713 = а. Принимая во внимание, что у^з —> оо и полагая а конечной величиной, получим
——а— — — + а —.(1.12.15)
九1九2 九3九3
Исключая из выражений (1.12.15) величину а, найдем
几；+ 几^ —几^ = 0・(1.12.16)
Так как 几；+ 几^ + 几^ = 1, то, следовательно,
若 + 状=1/2, Пз = 1/2.
Согласно (1.7.25)
口 з = ±24几1几3, 夜3 = ±24几2几3, поэтому
君3+考3 =廿・(1.12.17)
Из (1.12.17) следует, что поверхность S, вдоль которой происходит скольжение пластического материала, совпадает с поверхностью действия максимальных касательных напряжений.
При а —> 0 должно иметь место 几2 —> 0, поэтому приведенный вывод сохраняет силу. Случай а —> оо рассматривается аналогично.
Рассмотрим условие предельного состояния в виде
max {тп - /(Оп)} = 0,(1.12.18)
где тп, оп — соответственно касательное и нормальное напряжения на площадке с нормалью п.
В компонентах главных напряжений условие (1.12.18) можно переписать в виде
孤€ - 弓・|sin2co = / I (ci +oj) - I (ci +oj)cos2co (〃#/),
'(1.12.19)
где ctg2co = df/dcn.
В пространстве главных напряжений функция текучести (1.12.19) интерпретируется некоторой криволинейной шестигранной пирамидой, расположенной симметрично относительно прямой о】 =02=03.
Уравнение произвольного ребра пирамиды можно представить в виде
Из (1.12.20), (1.7.22), (1.7.24), (1.7.26) получим
報=。1 + [Ф (。1) - О1] COS2 01,
тху = [Ф (и) — и] cos0i cos02(1.12.21)
(xyz^ 123) (у и индекс фиксирован),
Зо = 2oi + Ф G).
Обозначим oi = g (о), тогда из (1.12.21) получим соотношения
[報-g (0)][0夕 一 9 (0)] 一 扌g=0(力")•(1.12.22)
(n grad W)2 — (grad Ф)2(n grad W)2 — (grad Ф)2(rz grad W) I 1 +(rz grad W) I 1 +Подставляя выражения (1.12.21) в уравнения равновесия (1.9.15) и принимая во внимание (1.7.28), получаем систему четырех уравнений относительно четырех неизвестных, характеристический определитель которой равен
(n grad W)2 — (grad Ф)2
(n grad W)2 — (grad Ф)2
(rz grad W) I 1 +
(rz grad W) I 1 +
=
п grad W =剪 cos 9i + 半 cos02 + Ф~ cos03(1.12.23)
ахay，
где Ф (ж, у, г) = 0 — уравнение характеристической поверхности системы.
Из соотношения (1.12.23) следует, что одно семейство характеристических направлений совпадает с третьим главным направлением, другое образует вокруг третьего главного направления круговой конус, образующая которого составляет с третьим главным направлением угол 0, причем
sin 9 = ± /.
,1 + (d<Vdoi)
Используя соотношения (1.12.22) в качестве пластического потенциала, получим
К —九 1 (2。夕一。冗一д)—九2 (。夕 +。2 — 2д) + 九з (2oz —。冗一g),
%夕=-3九夕(xyz. 123),(1.12.25)
圆 & + Oy — 2g) +圆 & + Oy — 2g) +
圆 & + Oy — 2g) +
圆 & + Oy — 2g) +
+ 九2 (。夕 +。2 — 2g) + 九3(Oz +。冗一2g)] + 謂6・
Исключая из выражений (1.12.25) три неопределенных множителя 2ц, получаем три уравнения для определения скоростей перемещений 〃£. Можно убедиться в том, что характеристические многообразия
в последнемв последнемсистем уравнений для напряжений и компонент скорости перемеще
в последнем
в последнем
ния совпадают между собой. Добавочный член
выражении (1.12.25) влияет лишь на соотношения вдоль характери
стических поверхностей.
Отметим частный случай, широко используемый в статике сыпучей среды [56]:
max |тп I = А: + on tg р, k, р = const.(1.12.26)
Соотношения (1.12.19) примут вид
М —弓| = 2kcosp + &+o3)sinp (г 7^ j) .(1.12.27)
В пространстве главных напряжений функция текучести (1.12.27) интерпретируется шестигранной пирамидой, исходящей из точки о】= =。2 =。3 = —kctgp. Уравнения произвольного ребра можно записать в виде
/ 1 ± sin 2k cos р
ос = 叶 Ok =01一 土 一
干 smp丿 1 干 smp(1.12.28)
(i ^ j, j ^ к, к ^ i),
причем для одного из ребер следует всюду взять верхний знак, а для противоположного — нижний.
Функция д (о) примет вид
Зо (1 干 sin р)干 2k cos p
3 (1 干 sin p) ■
Выражение (1.12.24) имеет вид
sin e = 士，(1 士 sin p) /2.
Рассмотрим элемент среды, зафиксированный в ортогональной системе координат Xi，Будем предполагать, что пределы текучести при одноосном растяжении и сжатии элемента по любому направлению, фиксированному в системе д, известны.
Таким образом, если обозначить пределы текучести при растяжении через & а пределы текучести при сжатии через s, то в общем случае будем иметь к = к (ZJ, s = s (ZJ, г = 1, 2, 3 . . ., где ^ — направляющие косинусы, образованные направлением растя жен и я-сжатия с осями 力订
(1.12.29)(1.12.29)Имеет место равенство
(1.12.29)
(1.12.29)
庁+后+后=L
Откладывая в направлениях растя жен и я-сжатия отрезки, пропорциональные величинам k и s, получим поверхности, которые назовем соответственно поверхностями анизотропии растя жен и я -сжати я. Для изотропного тела эти поверхности, очевидно, являются сферами. В общем случае поверхности анизотропии растяжения и сжатия могут быть разрывными, например для слоистых материалов.
Обозначим через 1, 2, 3 три ортогональных направления, по которым действуют главные напряжения О£.
Пуст оси 1, 2, 3 составляют с осями Xi углы, косинусы которых соответственно обозначим m^, ®.
Рассмотрим условие пластичности. В силу предположения о незави
симости условия пластичности от величины гидростатического давле
ния условиения условиепластичности интерпретируется в пространстве главных
ния условие
ния условие
напряженийнапряженийнекоторой цилиндрической поверхностью, образующие
напряжений
напряжений
которой параллельны прямой о】 =02=03. Кривую пересечения поверхности условия пластичности с плоскостью 仃 +02 +。3 = О назовем кривой пластичности.
Соединив точки, соответствующие пределам текучести при растяжении и сжатии, прямыми линиями, получим шестиугольник текучести (рис. 24). При совпадении величин пределов текучести имеет место условие пластичности Треска.
Таким образом, в сделанных предположениях условие пластичности идеально пластического анизотропного тела интер
претируется некоторой шестигранной призмой, грани которой параллельны прямой。1 =。2 = оз, полностью определенной для каждого фиксированного положения осей 1, 2, 3 величинами пределов текучести при растяжении-сжатии. При изменении ориентации осей 1, 2, 3 в системе 力，g,z изменяется и призма, интерпретирующая условие
пластичности.
Запишем условие пластичности. Обозначим через 自(ZJ, к^ (mJ, 侬(电)пределы текучести при растяжении и через 电(ZJ,貶(mJ, S3 (电)пределы текучести при сжатии в направлениях 1, 2, 3. Уравнение плоскости, параллельной прямой о】 =02=03, запишем в виде
Отсюда легко получить уравнения искомого условия пластичности (рис. 24):
1 ИВ),1 ИВ),(1.12.31)(1.12.31)g)・g)・
1 ИВ),
1 ИВ),
(1.12.31)
(1.12.31)
g)・
g)・
Определим уравнения ребер призмы, интерпретирующей условие пластичности. Искомые уравнения ребер запишутся в виде
Qi = Qj = ^к - 2版， Gi = Gj = -Gk - 2必.(1.12.32)
Соотношения (1.12.32) обобщают условие полной пластичности изотропного тела. В дальнейшем рассмотрим условие 仃=。2 =。3 — 2侬, причем опустим индекс 3 у величины 侬.
Известно, что
0£=oiZ；+02m；+03几；, fx у z\
•(1.12.33)
^xy = 0W2 + 02ml m2 + 03几 1 几2 \ 1 2 3 丿
Здесь и в дальнейшем символы (力 g z, 123) означают, что остальные зависимости получаются круговой перестановкой индексов. Используя (1.12.33), получаем
ож = о — 2А:/3 + 2kn^ хху = 2knin2 (力 g z, 1 2 3),(1.12.34)
где
k = к (几£),。— {^Х + ^у + ^Z ) /3,
П1 = COS 01, П2 = COS 02,713 — cos 63.
Из (1.12.34) легко получить
卜宓 一 0 - |用)卜д 一 0 - |k)=曦 (ж у z) (1.12.35) или
(。宏—О —— ^zx^xy = 0 (力 У z) •(1.12.36)
Обратимся к определению закона пластического течения.
Рассматривая соотношения (1.12.36) в качестве пластического потенциала, получаем
fxyz[123fxyz[123(1.12.37)(1.12.37)
fxyz[123
fxyz[123
(1.12.37)
(1.12.37)
Л /2 dk ,2 дк ,「
%' = —М瓦宀+f丿—八3瓦「+%z丿+
+九3+九32 dk3瓦万叩2 dk3瓦万叩
+九3
+九3
2 dk
3瓦万叩
2 dk
3瓦万叩
xyz\ J23 丿， (1.12.38)xyz\ J23 丿， (1.12.38)(1.12.39)(1.12.39)
xyz\ J23 丿， (1.12.38)
xyz\ J23 丿， (1.12.38)
(1.12.39)
(1.12.39)
В данном случае существенным является необходимость дифференцирования функции k по компонентам напряженного состояния.
Для дальнейшего рассмотрения необходимо вывести некоторые соотношения. На основании (1.12.34) получим
2報 一 Од — о = 2k(3若-1),扌夕 + 电=4k2nj (1 -若)
Из (1.12.38) следует
(2。。— ％ — of 二(3済-1) (xyz
^y + 4z 九；(1-硝 у 123
На основании соотношений (1.9.11) найдем
Зги _ па (1 -済)
Збх1 + 九；'
Зги _ Згидбу 3ozЗги _ Згидбу 3ozщ (1 - n?)/ xyxщ (1 - n?)/ xyx2(1 + 硝2(1 + 硝123123(1.12.40)(1.12.40)九2（3九；-1） 2（1+砲，九2（3九；-1） 2（1+砲，Зги3txzЗги3txz九3（3九；-1） 2（1+砲，九3（3九；-1） 2（1+砲，
Зги _ Зги
дбу 3oz
Зги _ Зги
дбу 3oz
щ (1 - n?)/ xyx
щ (1 - n?)/ xyx
2(1 + 硝
2(1 + 硝
123
123
(1.12.40)
(1.12.40)
九2（3九；-1） 2（1+砲，
九2（3九；-1） 2（1+砲，
Зги
3txz
Зги
3txz
九3（3九；-1） 2（1+砲，
九3（3九；-1） 2（1+砲，
Подставляя выражения (1.12.40) в соотношения (1.12.37), исключая
величины 九1,九2,九з, получаем
22
didi.O 了 Oz О 了
di
di
^xy^xz
=击 ^Ху=击 ^ХуLb |kLb |k+ % + %’+ % + %’2,Oz - О -丿IN^yz2,Oz - О -丿IN^yz^з^з■_ _2,0* о О ^ оg%zH- ^yz^XZ■_ _2,0* о О ^ оg%zH- ^yz^XZ2, 。一y2, 。一y+ % ； (1.12.41)+ % ； (1.12.41)
=击 ^Ху
=击 ^Ху
Lb |k
Lb |k
+ % + %’
+ % + %’
2,
Oz - О -丿
IN
^yz
2,
Oz - О -丿
IN
^yz
^з
^з
■_ _2,
0* о О ^ оg
%zH- ^yz
^XZ
■_ _2,
0* о О ^ оg
%zH- ^yz
^XZ
2, 。一y
2, 。一y
+ % ； (1.12.41)
+ % ； (1.12.41)
здесь
di = 2k -\-di = 2k -\-1 dk1 dk九6 дги九6 дги,dk , dk n1 +灰几2 +灰几3,dk , dk n1 +灰几2 +灰几3
di = 2k -\-
di = 2k -\-
1 dk
1 dk
九6 дги
九6 дги
,dk , dk n1 +灰几2 +灰几3
,dk , dk n1 +灰几2 +灰几3
Справедливо также условие несжимаемости
(1.12.42)(1.12.42)£冗 + Eg + 8 — 0.
(1.12.42)
(1.12.42)
Подставим выражения (1.12.34) в уравнения равновесия (1.9.15). При этом получим
1"2 dx1"2 dx— 2кп\ sinдх— 2кп\ sinдх■7；一几1几2 + 4几2 Sin 91 ап]■7；一几1几2 + 4几2 Sin 91 ап]3仇 ду3仇 дуa仇a仇dk. c 3仇 I0—к1几3 + 4几3 sin 0J —h ап]dzdk. c 3仇 I0—к1几3 + 4几3 sin 0J —h ап]dzdzdz• а加2Sin02^_• а加2Sin02^_-пдпэ + kni sin 9o 0九2-пдпэ + kni sin 9o 0九2加2 dk .e加2 , 项一読；九皿3^02灰+加2 dk .e加2 , 项一読；九皿3^02灰+
1"
2 dx
1"
2 dx
— 2кп\ sin
дх
— 2кп\ sin
дх
■7；一几1几2 + 4几2 Sin 91 ап]
■7；一几1几2 + 4几2 Sin 91 ап]
3仇 ду
3仇 ду
a仇
a仇
dk. c 3仇 I
0—к1几3 + 4几3 sin 0J —h ап]dz
dk. c 3仇 I
0—к1几3 + 4几3 sin 0J —h ап]dz
dz
dz
• а加2
Sin02^_
• а加2
Sin02^_
-пдпэ + kni sin 9o 0九2
-пдпэ + kni sin 9o 0九2
加2 dk .e加2 , 项一読；九皿3^02灰+
加2 dk .e加2 , 项一読；九皿3^02灰+
++dk /12、• с 加3 dk加3
+
+
灰-如丿sm 63时一灰几皿2 Sin 03碩
— ^-П1П2 + kriy sin Оз -^ = 0 (xyz); (1.12.43) здесь
0 = o, cos2 0i + cos2 02 + cos2 03 = 1.(1.12.44)
Система четырех уравнений (1.12.43), (1.12.44) относительно четырех неизвестных р, & является системой гиперболического типа. Записывая уравнение характеристической поверхности в виде W (力,g, z), найдем, что характеристический определитель в векторной форме имеет вид
—(grad W)2 + 2 (grad W • n)2 — ) (grad W • n) (grad W • a) +
+ ； (grad Ф • n) (a • n) = 0, (1.12.45)
Обозначим через а угол между векторами grad Ф и п, через р — угол между векторами grad Ф и а, через у — угол между векторами а и п. Из (1.12.45) получим
— 1 + 2 cos2 ос — 6 cos ос cos р + 6 cos2 ос cos у = 0 (b=|a|/k). (1.12.46)
В данной точке тела при заданном напряженном состоянии направления а и п фиксированы, направления /grad W образуют некоторый характеристиче-
/ский конус. Следовательно, угол у фиксиро-
/ван, углы ос, [В определяют направления об
разующих характеристического конуса.
Предположим, что направления а, п, grad Ф лежат в одной плоскости (рис. 25). Тогда д = (В。— у。. Из (1.12.46) получим
ctg2ao = (6/2) sin у.(1.12.47)
Из (1.12.47) следует, что направления grad W в плоскости ап взаимно ортогональны. Проведем в плоскости ап прямую, состав ля юРис. 25щую с направлениями grad W, лежащими в
этой плоскости, углы, равные 兀/4. Это направление, которое назовем осью характеристического конуса, составляет с направлением п угол, равный «о —兀/4. Найдем, чему равен угол между любой образующей характеристического конуса и его осью. Нетрудно видеть, что искомый угол определится из выражения
_ V2 ( cos2 а + sin ао cos а。
2 卜 cos а (sin ао + cos а。)
Для изотропного материала а = 0, а = а。= 1/4, cosv = 依/2. В общем же случае характеристический конус не будет прямым и круговым. Это обстоятельство является следствием анизотропии материала.
Отметим, что из (1.12.47) следует cos а # 0.
Если расписать систему уравнений (1.12.41), (1.12.42) в компонентах скорости перемещений, то можно убедиться, что эта система трех уравнений относительно трех неизвестных Ui принадлежит к гиперболическому типу и уравнение характеристики поверхностей имеет вид (1.12.45).
Таким образом, замкнутые системы уравнений для напряжений и скоростей деформации имеют совпадающие свойства.
Под условием сопротивления отрыву понимается условие предельного состояния
G)max，& d = Const > 0,G)max，& d = Const > 0,(1.12.48)(1.12.48)
G)max，& d = Const > 0,
G)max，& d = Const > 0,
(1.12.48)
(1.12.48)
где (d)max — максимальное нормальное растягивающее напряжение.где (d)max — максимальное нормальное растягивающее напряжение.
где (d)max — максимальное нормальное растягивающее напряжение.
где (d)max — максимальное нормальное растягивающее напряжение.
Очевидно, что условия (1.9.69), (1.12.48) являются частными случаями условия предельного состояния (1.9.49). Постоянные 瓦 d являются константами материала.
Условия предельного состояния (1.9.69), (1.12.48) интерпретируются в пространстве главных напряжений ос шестигранной призмой, ограниченной плоскостями, параллельными координатным плоскостям, ось которой равнонаклонена к осям координат (рис. 26). На этом чертеже в плоскости од показаны также сечения предель
ной поверхности плоскостями 03 = const, которые представляют либо квадрат, либо шестиугольник.
Рассмотрим условие (1.12.48). Предположим, что напряженное состояние отвечает ребру
oi = d, о? = d, 03 < d.(1.12.49)
В этом случае, на основании зависимостей (1.12.33) и (1.12.49), получим
ож =d + 3 (о—d)若，хху= 3 (о —d)几1几2,
Og =d + 3 (о—d)風，％z= 3 (о —d)几2几з,(1.12.50)
On =d + 3 (о—d) Пз，、£= 3 (о —d) П3П1.
Из (1.12.50) следует искомоеусловие предельногосопротивления отры
ву：
(報-d)(0д-d)-扌g=0,
(。夕—d)(oz —d)—gz=O,(1.12.51)
(^z — d)(報—d) — ¥冗=0.
Рассматривая соотношения (1.9.63) в качестве «потенциала предельного состояния», получим
£1》0, £2》0, £3 — 0-(1.12.52)
Аналогично из (1.12.51) можно получить
Су — dOz — d
£ 冗 + ^xy+ ^XZ= U)
^xy^xz
^xy— + Eg + ^yz— = 0,(1.12.53)
t*y^yz
Предположим, что напряженное состояние отвечает грани
oi = d, 01 < d, 03 < d.(1.12.54)
Из (1.12.54) и (3.1) следует
£1 > 0, £3 — £2 — 0-(1.12.55)
На основании (1.12.55) и соотношений, вполне аналогичных (1.12.33), получим
% — £]%], % = £1 “2, 8 = £1 "з，(1.12.56)
^ху — е1 ^1 ^2 ? ^yz — £1/2/3, ^zx — £12з%1 •
Исключая из (1.12.56) величины направляющих косинусов, находим
-曦=0, sysz -曦=0, 8% - V冗=0.(1.12.57)
Переходя к компонентам скоростей перемещений, будем иметь
4也四_(也+竺y = 0 4如也—但+ 也Y = o
дх ду у ду3优丿5 ду dz у dz ду у 5
(1-12.58) OZ ох у ox oz J
Три уравнения (1.12.58) относительно трех неизвестных и, % w образуют замкнутую систему. Задача в этом случае является кинематически определимой.
Положим, как обычно, ® = cos 0j и подставим соотношения (1.12.50) в уравнения равновесия (1.9.15). Получим систему трех уравнений:
2 дододо
-(о - d) sin 291 ^~ - (о - d) sin 力 cos 02-(о - d) sin 291 ^~ - (о - d) sin 力 cos 02COS 01 -——h COS 01 COS 02 О——h COS 01 COS 02 О oxoyoz
-(о - d) sin 291 ^~ - (о - d) sin 力 cos 02
-(о - d) sin 291 ^~ - (о - d) sin 力 cos 02
ду
sin 9] cos 0з —
—(о — d) cos力 sin ®з^^ + 尸冗=0 (cgz) • (1.12.59)
Присоединим к трем уравнениям (1.12.59) соотношение
cos2 91 + cos2 02 + cos2 9з = 1.(1.7.28)
Характеристический определитель системы уравнений (1.12.59), (1.7.28) имеет вид
灰 cos 0з = 0,(1.12.60)灰 cos 0з = 0,(1.12.60)aw3W
灰 cos 0з = 0,(1.12.60)
灰 cos 0з = 0,(1.12.60)
- cos 0j Н—— cos 02 + охоу
где W (力,g, z) = 0 — уравнение характеристической поверхности.
Из (1.12.60) следует, что любая элементарная площадка, содержащая направление главного напряжения с^ < d (仇=弓=d), принадлежит характеристической поверхности.
Система трех уравнений (1.12.53) относительно трех неизвестных компонент скорости перемещения Ui обладает аналогичными свойствами.
Предположим, что предельное сопротивление отрыву достигнуто на грани
oi = d, d = const.oi = d, d = const.(1.12.61)(1.12.61)
oi = d, d = const.
oi = d, d = const.
(1.12.61)
(1.12.61)
Тогда, вполне аналогично (1.7.42), условие предельного состояния
может быть записано в виде
(0£一d) (<5g一d)(Oz - d) + ^xy^yz^xz -
—(。冗一d) tjz —(。夕一d)宜z —(Oz — d)云夕=0. (1.12.62)
Предположим, что прямоугольный брус с образующей вдоль оси растягивается напряжением g% = р < d. На рис. 27 показано сечение бруса в плоскости ху.
Рис. 27Рис. 27
Рис. 27
Рис. 27
Пусть далее ох = q < d, оу = тху = 0, тогда условие (1.12.62) примет вид
(1.12.63)(1.12.63)^zd + 嗫 ® - q) = (d - 0)(d - q) d.
(1.12.63)
(1.12.63)
Предельное значение отрыва может быть достигнуто за счет удовлетворения условия (1.12.63), т. е. за счет скручивания бруса.
Условие (1.12.63) может быть интерпретировано как предельное условие при кручении стержня из анизотропного материала. Положим
(1.12.64)(1.12.65)(1.12.64)(1.12.65)』=к(0)cos 9, %z = k(9)sin 9.
(1.12.64)
(1.12.65)
(1.12.64)
(1.12.65)
Из (1.12.64), (1.12.63) найдем
叁+嗫=廿⑼，k⑼=2匕?，尸，。 уу cos 0 • a + (a — sin 0
На рис. 27 качественно показано положение линий разрыва при 目= =q = о/2. При q = 0 эффекты «анизотропии» места не имеют, положение линий разрыва показано в этом случае на рис. 27 пунктиром. При фиксированном q положение линий разрыва неизменно, с изменением р меняется величина предела сопротивления кручению.
Рассмотрим общие соотношения теории идеальной пластичности и статики сыпучей среды при условии пластичности Треска и его обобщениях на основании определения диссипативной функции. Диссипативная функция при условии пластичности Треска имеет вид
D =24|G|max，4 = COIlSt,D =24|G|max，4 = COIlSt,(1.12.66)(1.12.66)где 修max — максимальная главная компонента скорости деформации. В дальнейшем примем для определенности 修=£3； материал будем считать несжимаемым. Исходный функционал для определения ассоциированного закона нагружения запишем в видегде 修max — максимальная главная компонента скорости деформации. В дальнейшем примем для определенности 修=£3； материал будем считать несжимаемым. Исходный функционал для определения ассоциированного закона нагружения запишем в видеD = 2题з (с叮)+(!(%+%+ %) •(1.12.67)Необходимо знать выражение £3 = £3(£^).Обозначим через ® направляющие косинусы третьего главного направления в декартовой системе координат 力订 Тогда п^ =旳出. Отсюда следует известная формулаD = 2题з (с叮)+(!(%+%+ %) •(1.12.67)Необходимо знать выражение £3 = £3(£^).Обозначим через ® направляющие косинусы третьего главного направления в декартовой системе координат 力订 Тогда п^ =旳出. Отсюда следует известная формула?3 — ^ij ^i ^j •?3 — ^ij ^i ^j •(1.12.68)(1.12.68)Используя соотношение (1.12.68), необходимо учесть, что ® = =几£(£叮),так как при изменении компонент тензора скоростей деформации изменяется ориентация главных направлений. Учитывая (1.12.67), (1.12.68), получим, согласно ассоциированному закону нагружения:Используя соотношение (1.12.68), необходимо учесть, что ® = =几£(£叮),так как при изменении компонент тензора скоростей деформации изменяется ориентация главных направлений. Учитывая (1.12.67), (1.12.68), получим, согласно ассоциированному закону нагружения:^тп —\^ijni(£/се) nj(£pq)] +(^ij ^ij ) •Покажем, что方 [^ij^i (£/ce) ^j (epg)] = ^m^n •O&mnПусть, например, £mn = “，тогда^тп —\^ijni(£/се) nj(£pq)] +(^ij ^ij ) •Покажем, что方 [^ij^i (£/ce) ^j (epg)] = ^m^n •O&mnПусть, например, £mn = “，тогда(1.12.69)(1.12.70)(1.12.71)(1.12.69)(1.12.70)(1.12.71)Так как ni + П2 + П3 = 1, то последнее выражение в круглых скобках в (1.12.71) равно нулю. Аналогично доказывается утверждение (1.12.70) в общем случае.Согласно (1.12.69), (1.12.70) будем иметьТак как ni + П2 + П3 = 1, то последнее выражение в круглых скобках в (1.12.71) равно нулю. Аналогично доказывается утверждение (1.12.70) в общем случае.Согласно (1.12.69), (1.12.70) будем иметьО'冗—В ~I- 2kTl> j^xy — 2k77»] TT>2,...О'冗—В ~I- 2kTl> j^xy — 2k77»] TT>2,...(1.12.72)(1.12.72)Невыписанные выражения (1.12.72) получаются круговой перестановкой индексов.Невыписанные выражения (1.12.72) получаются круговой перестановкой индексов.
D =24|G|max，4 = COIlSt,
D =24|G|max，4 = COIlSt,
(1.12.66)
(1.12.66)
где 修max — максимальная главная компонента скорости деформации. В дальнейшем примем для определенности 修=£3； материал будем считать несжимаемым. Исходный функционал для определения ассоциированного закона нагружения запишем в виде
где 修max — максимальная главная компонента скорости деформации. В дальнейшем примем для определенности 修=£3； материал будем считать несжимаемым. Исходный функционал для определения ассоциированного закона нагружения запишем в виде
D = 2题з (с叮)+(!(%+%+ %) •(1.12.67)
Необходимо знать выражение £3 = £3(£^).
Обозначим через ® направляющие косинусы третьего главного направления в декартовой системе координат 力订 Тогда п^ =旳出. Отсюда следует известная формула
D = 2题з (с叮)+(!(%+%+ %) •(1.12.67)
Необходимо знать выражение £3 = £3(£^).
Обозначим через ® направляющие косинусы третьего главного направления в декартовой системе координат 力订 Тогда п^ =旳出. Отсюда следует известная формула
?3 — ^ij ^i ^j •
?3 — ^ij ^i ^j •
(1.12.68)
(1.12.68)
Используя соотношение (1.12.68), необходимо учесть, что ® = =几£(£叮),так как при изменении компонент тензора скоростей деформации изменяется ориентация главных направлений. Учитывая (1.12.67), (1.12.68), получим, согласно ассоциированному закону нагружения:
Используя соотношение (1.12.68), необходимо учесть, что ® = =几£(£叮),так как при изменении компонент тензора скоростей деформации изменяется ориентация главных направлений. Учитывая (1.12.67), (1.12.68), получим, согласно ассоциированному закону нагружения:
^тп —\^ijni(£/се) nj(£pq)] +(^ij ^ij ) •
Покажем, что
方 [^ij^i (£/ce) ^j (epg)] = ^m^n •
O&mn
Пусть, например, £mn = “，тогда
^тп —\^ijni(£/се) nj(£pq)] +(^ij ^ij ) •
Покажем, что
方 [^ij^i (£/ce) ^j (epg)] = ^m^n •
O&mn
Пусть, например, £mn = “，тогда
(1.12.69)
(1.12.70)
(1.12.71)
(1.12.69)
(1.12.70)
(1.12.71)
Так как ni + П2 + П3 = 1, то последнее выражение в круглых скобках в (1.12.71) равно нулю. Аналогично доказывается утверждение (1.12.70) в общем случае.
Согласно (1.12.69), (1.12.70) будем иметь
Так как ni + П2 + П3 = 1, то последнее выражение в круглых скобках в (1.12.71) равно нулю. Аналогично доказывается утверждение (1.12.70) в общем случае.
Согласно (1.12.69), (1.12.70) будем иметь
О'冗—В ~I- 2kTl> j^xy — 2k77»] TT>2,...
О'冗—В ~I- 2kTl> j^xy — 2k77»] TT>2,...
(1.12.72)
(1.12.72)
Невыписанные выражения (1.12.72) получаются круговой перестановкой индексов.
Невыписанные выражения (1.12.72) получаются круговой перестановкой индексов.
Согласно (1.12.72)
(1 = о — 2к/3, 0 = 0订3订/3.(1.12.73)
Соотношения (1.12.72), (1.12.73) определяют условия пластичности, соответствующие ребру призмы Треска, известному под названием «условие полной пластичности». Для грани призмы Треска oi — 02 — =2k (02，。3，。1)・ Из ассоциированного закона течения в этом случае имеем:门 = 九，g? = —九，£3 = 0- Диссипативная функция имеет
вид
0 = 0121 + 02^2 + 03^3 — 24九=2kgi .
Будем исходить из диссипативной функции D = 2豌i при условиях £1 + £2 — 0, £3 = 0- Исходный функционал будет иметь вид
D = 2豌1 + 冉 ® + £2)+ В2£з,(1.12.74)
где Ц1, |12 ——множители Лагранжа. Пусть ^, mi — направляющие косинусы главных направлений 门，霞・ Согласно (1.12.69), (1.12.70) получим
0ж = 2k百 + F (百 + m^) + !12若,• • •，
xxy = 2kZi%2 + Hi (^1^2 + Ш1Ш2)+ |12几1 几2,…(1.12.75)
Из (1.12.75) следует
о = 24/3 + |ii + |12・(1.12.76)
После исключения из (1.12.75) величин |1“ Ц2 получим условие пластичности в форме Леви; соответствующие грани призмы Треска будут иметь вид
4伍+廿)伍+ 4廿)2 + 27m=0; q = %.必，丁 =必学2*(9)
штрих приписан компонентам девиаторов.
Основные предельные условия статики сыпучей среды запишем в виде
max |工九| = k + On tgp, k,p = const,(1.12.26)
где тП5 on — касательные и нормальные напряжения. Соотношение (1.12.26) определяет в пространстве главных напряжений призму Кулона, уравнение ребра которой можно записать в виде
(оз - 6) - G + оз) sin р = 2k cos р,
(оз — °2)— (°2 + оз) sin р = 2k cos р.(1.12.77)
Согласно обобщенному ассоциированному закону течения имеем
£2 =九2 (— 1 一 sin p) ,^3 =九2 (— 1 一 sin p),
£3 =九1 (1 — sin p) + M (1 — sin p).(1.12.78)
Из (1.12.78) получим
7? = ocG = 2k cos p (九1 + 九2),(1.12.79)
九i + 九2 = — — ® + В + £3), 九1 + 九2 = 5 底一® + %)] • (1.12.80) 2 Sin p2
Таким образом, имеет место дилатансионная зависимость:
£1 + % + £3 + [^з —(£з — %)] sin р = 0.(1.12.81)
При определении соотношений статики сыпучей среды исходя из определения диссипативной функции следует постулировать наличие дилатансионной зависимости (1.12.81). Исходный функционал следует принять в одной из эквивалентных форм:
D =sjn рР (% + £?/ + £^ ) + Ц1 同 + % + 8 +(£з — £1 — £2) sin р],
(1.12.82)
О = 4 COS Р(£3 - £1 - £2)+ Ц2 風 + % + % +(£з 一 门 一 ％) sin p] •
(1.12.83)
Будем исходить из выражения (1.12.82). Преобразуя (1.12.82) к виду к cos о
D = —^—(£ж + £?/ + £^) + Hi [(% + % + %) (1 — sin р) + % sin р]
(1.12.84) и учитывая (1.12.72), получим
報=-*；；Р + ц [(1 — sin р) + 2若 sin р] ,...,(1.12.85)
"g =2財21几2 sin p, …
Из (1.12.85) следует
ож = - fecosp + ц 1 - I sin р .(1.12.86)
sin рJ
Из (1.12.85), (1.12.86) следуют соотношения, определяющие условия пластичности, соответствующие ребру призмы Кулона. Аналогично может быть рассмотрен общий случай зависимости тах{|тп| - / (оп)} = 0.
Определим диссипативные функции для анизотропных пластических сред. Для простоты рассмотрим плоскую деформацию и кручение.
Случай плоской деформации:
(報一0夕)2+4焉=4廿(日),(1.12.87)
где 0 — угол между первым главным направлением и осью ж определяется выражением
0 = arctg 2%у .(1.12.88)
2Gx — Gy
Таким образом, предел нагружения k = k (0) зависит от направления главного напряжения. Из соотношения (1.12.87), согласно ассоциированному закону течения, получим
(1.12.89)(1.12.89)
(1.12.89)
(1.12.89)
-21-2(0宓一оg)，
где 奴=dk/d@. Диссипативную функцию определим формулой
D — Ож^ж + ^у^у + ^^ху^ху •(1.12.90)
Подставляя (1.12.89) в (1.12.90), будем иметь
+ 2%夕卜“у —(報一Од) . (1.12.91)
После преобразований, учитывая соотношение (1.12.87), получим D = 4/2(0).(1.12.92)
Для определения параметра 九 воспользуемся формулой (1.12.89)
^xy — 2 九 2 sg ———(報—Од), (1.12.93)^xy — 2 九 2 sg ———(報—Од), (1.12.93)“ 一% = 2 九0£ — ^у + 不弋 хП
^xy — 2 九 2 sg ———(報—Од), (1.12.93)
^xy — 2 九 2 sg ———(報—Од), (1.12.93)
что приводит к выражению
& - %)2 + 4曦=4九2 [4廿 + 紹2] ,(1.12.94)
12. Свойства уравнений при условии полной пластичности 159 откуда
九丿(1.12.95)
2 У4k2+火2、)
Подставляя (1.12.95) в (1.12.92), получим выражение диссипативной функции для случая плоской деформации:
0(1.12.96)
Используя полученный результат, покажем, что исходя из (1.12.96) можно получить соотношение (1.12.90). Действительно, из определения диссипативной функции следует, что
(1-12.97)
Обозначим через W угол между первым главным направлением и осью ж
屮=arctg 2%^ .(1.12.98)
Связь между углами Ф и 0 будет выражаться формулой
=2y哼-个(1.12.99)
s 屮 2k + k'tg2@' 丿
Учитывая, что k = k (0) и 0 = 0 (W), получаем, что k = k[@ (W)]. В силу этой зависимости согласно (1.12.97) из (1.12.96) будем иметь
_ 4kk'Q - 2**(4k + у) Q-i d@ 3屮2k2 (% _ 国)
=QL丽龍 Q + QL ，
Q =，4炉 + 依2,厶=J&—“)2 + 4%,(1.12.100)
где d®/d\|/ и ду/9еж находим из (1.12.98) и (1.12.99)
询一Q2 + (d . ку)，瓏。-厂•(L"」U丄丿
Выражения для。夕 и тху получаем аналогично. Тогда с учётом (1.12.101) выражения (1.12.100) после преобразований примут вид
報=型亠^, Qy=2e ^-8.) + 2^^,
Q(1.12.102)
QLQL工 _ 2k28^xy + 2кк> (еж —国)
QL
QL
Подставляя формулы (1.12.102) в левую часть формулы (1.12.87), получаем выражение для функции нагружения
& 一0У)2+4扌g=4廿(0).
Таким образом, в случае плоской деформации при условии анизотропии основные соотношения теории можно получить, исходя из определения диссипативной функции с учётом зависимости
k = k[В (屮)].
Случай кручения:
叁+学"廿⑼，
где угол 0 определяется как
(1.12.103)
0 = arctg 生
(1.12.104)
Как и ранее, согласно ассоциированному закону течения из (1.12.103), (1.12.104) получаем
Определяя диссипативную функцию формулой
° = ^xz^xz + %zYgz,
получим
D = 2九廿⑼，
где
12 . 2
九一1Yccz Ууг
—2、k[i + (k7kH
Тогда
(1.12.105)
(1.12.106)
(1.12.107)
(1.12.108)
(1.12.109)
Покажем, что и в этом случае из (1.12.109) можно получить
(1.12.103). Из определения диссипативной функции имеем
дР _ dD_
(1.12.110)
Соотношения между углами 0 и Ф выражаются формулами
tgw =tgw =к tg а — к' к + к' tg ак tg а — к' к + к' tg а
tgw =
tgw =
к tg а — к' к + к' tg а
к tg а — к' к + к' tg а
ТогдаТогда屮=arctg 亠一.^XZ屮=arctg 亠一.^XZ(1.12.111)(1.12.111)岛 6呐4 -2^，(k + k〃)]患厘"z - ~AB十不岛 6呐4 -2^，(k + k〃)]患厘"z - ~AB十不,2 В [2ккК _ 2兴总仏 + М)]車_左 lyz I-Syz= ~AB十不где4 =42 + 用12, B = Jy纟 + 鳴z，,2 В [2ккК _ 2兴总仏 + М)]車_左 lyz I-Syz= ~AB十不где4 =42 + 用12, B = Jy纟 + 鳴z，(1.12.112)(1.12.112)玩?=际=炉，dа _42d\g А2 + к'? — kk"Преобразуя (1.12.112) с учётом (1.12.113), имеем:k (k、xz 一 к ^yz)к (用网/ + к y^n)』= ХЙ ， “N = АВ •玩?=际=炉，dа _42d\g А2 + к'? — kk"Преобразуя (1.12.112) с учётом (1.12.113), имеем:k (k、xz 一 к ^yz)к (用网/ + к y^n)』= ХЙ ， “N = АВ •(1.12.113)(1.12.114)(1.12.113)(1.12.114)Подставляя (1.12.114) в (1.12.103), получаем叁+ ^yz =廿⑼•Таким образом, и в случае кручения, с учётом зависимости к = =k [0 (Ф)]5 можно получить исходные соотношения из определения диссипативной функции.Подставляя (1.12.114) в (1.12.103), получаем叁+ ^yz =廿⑼•Таким образом, и в случае кручения, с учётом зависимости к = =k [0 (Ф)]5 можно получить исходные соотношения из определения диссипативной функции.§ 13. Плоская задача теории идеальнойпластичности§ 13. Плоская задача теории идеальнойпластичности1. Условие пластичности в случае плоской задачи может быть записано в виде1. Условие пластичности в случае плоской задачи может быть записано в виде
Тогда
Тогда
屮=arctg 亠一.
^XZ
屮=arctg 亠一.
^XZ
(1.12.111)
(1.12.111)
岛 6呐4 -2^，(k + k〃)]患厘
"z - ~AB十不
岛 6呐4 -2^，(k + k〃)]患厘
"z - ~AB十不
,2 В [2ккК _ 2兴总仏 + М)]車
_左 lyz I-Syz
= ~AB十不
где
4 =42 + 用12, B = Jy纟 + 鳴z，
,2 В [2ккК _ 2兴总仏 + М)]車
_左 lyz I-Syz
= ~AB十不
где
4 =42 + 用12, B = Jy纟 + 鳴z，
(1.12.112)
(1.12.112)
玩?=际=炉，
dа _42
d\g А2 + к'? — kk"
Преобразуя (1.12.112) с учётом (1.12.113), имеем:
k (k、xz 一 к ^yz)к (用网/ + к y^n)
』= ХЙ ， “N = АВ •
玩?=际=炉，
dа _42
d\g А2 + к'? — kk"
Преобразуя (1.12.112) с учётом (1.12.113), имеем:
k (k、xz 一 к ^yz)к (用网/ + к y^n)
』= ХЙ ， “N = АВ •
(1.12.113)
(1.12.114)
(1.12.113)
(1.12.114)
Подставляя (1.12.114) в (1.12.103), получаем叁+ ^yz =廿⑼•
Таким образом, и в случае кручения, с учётом зависимости к = =k [0 (Ф)]5 можно получить исходные соотношения из определения диссипативной функции.
Подставляя (1.12.114) в (1.12.103), получаем叁+ ^yz =廿⑼•
Таким образом, и в случае кручения, с учётом зависимости к = =k [0 (Ф)]5 можно получить исходные соотношения из определения диссипативной функции.
§ 13. Плоская задача теории идеальнойпластичности
§ 13. Плоская задача теории идеальнойпластичности
1. Условие пластичности в случае плоской задачи может быть записано в виде
1. Условие пластичности в случае плоской задачи может быть записано в виде
R (。宏,^у 5 ^Ху) — 0,R (。宏,^у 5 ^Ху) — 0,(1.13.1)(1.13.1)
R (。宏,^у 5 ^Ху) — 0,
R (。宏,^у 5 ^Ху) — 0,
(1.13.1)
(1.13.1)
где сх^у^ ^ху — соответственно компоненты нормальных и касательных напряжений в декартовой системе координат ху.
Воспользуемся заменой переменных
гдегде
где
где
。冗=о + q cos 2(р, Оу = о — q cos 2屮,。冗=о + q cos 2(р, Оу = о — q cos 2屮,^ху = q sin 2(p,^ху = q sin 2(p,(1.13.2)(1.13.2)
。冗=о + q cos 2(р, Оу = о — q cos 2屮,
。冗=о + q cos 2(р, Оу = о — q cos 2屮,
^ху = q sin 2(p,
^ху = q sin 2(p,
(1.13.2)
(1.13.2)
Оаз + °уОаз + °уtg2 屮=(1.13.3)Осс — °уtg2 屮=(1.13.3)Осс — °у
Оаз + °у
Оаз + °у
tg2 屮=(1.13.3)
Осс — °у
tg2 屮=(1.13.3)
Осс — °у
(1.13.1) запишется в виде(1.13.1) запишется в видеСогласно (1.13.3) условие пластичности
(1.13.1) запишется в виде
(1.13.1) запишется в виде
(1.13.4)(1.13.5)(1.13.4)(1.13.5)F {^,q^ = 0.
(1.13.4)
(1.13.5)
(1.13.4)
(1.13.5)
Аналогично (1.13.2) определим
£ж = £ + s cos 29, sy = s — s cos 29, гху = s sin 29,
где %, 2 гху — компоненты скорости деформации,
/+%, tg2e =上丄.(1.13.6)
Из (1.13.2), (1.13.6) найдем
N = ож£ж + ^у^у + ^ху^ху — 2(о £ + qs cos 2ос), ОС = ф — 0. (1.13.7)
Угол ос = ф — 0, образованный направлениями главных напряжений и скоростей деформации, назовем углом анизотропии, при а = 0 направления главных напряжений и скоростей деформации совпадают между собой.
Определяя, согласно (1.13.7), (1.13.1), (1.13.4), условный экстремум функционала
N fF = 3(1.13.8)
получим соотношение ассоциированного закона течения:
2s cos 2a =2s cos 2a =(1.13.9)(1.13.9)九年九年4qs sin 2a =4qs sin 2a =(1.13.10)(1.13.10)
2s cos 2a =
2s cos 2a =
(1.13.9)
(1.13.9)
九年
九年
4qs sin 2a =
4qs sin 2a =
(1.13.10)
(1.13.10)
Используя представление (1.13.4), из (1.13.9) можно получить
'1 dF , 1 dF(、
[2 3。+ 2q dq& 屈
1 dF '
Sy = k
'1 dF 1 dF(、
2 3。 2q 3q & 句
1 dF '
,(1.13.11)
^^ху =九^^ху =九1 dF 1 dF(1 dF 1 dF(
^^ху =九
^^ху =九
1 dF 1 dF(
1 dF 1 dF(
Если в (1.13.11) воспользоваться выражениями (1.13.10), получим соотношение (1.13.6).
Введем диссипативную функцию согласно (1.13.7) и (1.13.5):
(1.13.12)(1.13.12)0:e” +。g2夕 + ^^ху^ху =。(“, 2g,%g)=。(％ s, 6).
(1.13.12)
(1.13.12)
Соотношения ассоциированного закона, согласно (1.13.7) и (1.13.12), запишем в виде
dD瓦？dD瓦？也 _dD_瓦？跑=瓦^也 _dD_瓦？跑=瓦^(1.13.13)(1.13.13)
dD
瓦？
dD
瓦？
也 _dD_
瓦？跑=瓦^
也 _dD_
瓦？跑=瓦^
(1.13.13)
(1.13.13)
2о = ——. 2g cos 2a — o „ . 4gs sin 2a — —^；—.Зе '”6S '”加Используя представления (1.13.12), из (1.13.13) получим2о = ——. 2g cos 2a — o „ . 4gs sin 2a — —^；—.Зе '”6S '”加Используя представления (1.13.12), из (1.13.13) получим(1.13.14)(1.13.14)
2о = ——. 2g cos 2a — o „ . 4gs sin 2a — —^；—.
Зе '”6S '”加
Используя представления (1.13.12), из (1.13.13) получим
2о = ——. 2g cos 2a — o „ . 4gs sin 2a — —^；—.
Зе '”6S '”加
Используя представления (1.13.12), из (1.13.13) получим
(1.13.14)
(1.13.14)
_ 1 dD °ж = 2 万Г_ 1 dD °ж = 2 万Г++1 dD (、1 dD1 dD (、1 dD1 dD0宀^1 dD0宀^1 dD( 、丄 1 3。肩而+ J?西"勿1 dD( 、丄 1 3。肩而+ J?西"勿(1.13.15)(1.13.15)
_ 1 dD °ж = 2 万Г
_ 1 dD °ж = 2 万Г
+
+
1 dD (、1 dD
1 dD (、1 dD
1 dD
0宀^
1 dD
0宀^
1 dD( 、丄 1 3。
肩而+ J?西"勿
1 dD( 、丄 1 3。
肩而+ J?西"勿
(1.13.15)
(1.13.15)
Если в (1.13.15) воспользоваться выражениями (1.13.14), соотношения (1.13.2).Из (1.13.10) можно получитьЕсли в (1.13.15) воспользоваться выражениями (1.13.14), соотношения (1.13.2).Из (1.13.10) можно получитьполучимполучим2s =2s =电2a=加两：戏电2a=加两：戏(1.13.16)(1.13.16)Аналогично из (1.13.11) получимАналогично из (1.13.11) получим2q = V(^T 丿 +(肩丽丿，tg2a=-wR^T2q = V(^T 丿 +(肩丽丿，tg2a=-wR^T(1.13.17)(1.13.17)Согласно (1.13.16), (1.13.17) найдемСогласно (1.13.16), (1.13.17) найдем
Если в (1.13.15) воспользоваться выражениями (1.13.14), соотношения (1.13.2).
Из (1.13.10) можно получить
Если в (1.13.15) воспользоваться выражениями (1.13.14), соотношения (1.13.2).
Из (1.13.10) можно получить
получим
получим
2s =
2s =
电2a=加两：戏
电2a=加两：戏
(1.13.16)
(1.13.16)
Аналогично из (1.13.11) получим
Аналогично из (1.13.11) получим
2q = V(^T 丿 +(肩丽丿，tg2a=-wR^T
2q = V(^T 丿 +(肩丽丿，tg2a=-wR^T
(1.13.17)
(1.13.17)
Согласно (1.13.16), (1.13.17) найдем
Согласно (1.13.16), (1.13.17) найдем
tg 2a =tg 2a =1 dF dF1 dF dF1 dD dD1 dD dD2q 3(p ' dq 2q 加’ds '2q 3(p ' dq 2q 加’ds '(1.13.18)(1.13.18)
tg 2a =
tg 2a =
1 dF dF
1 dF dF
1 dD dD
1 dD dD
2q 3(p ' dq 2q 加’ds '
2q 3(p ' dq 2q 加’ds '
(1.13.18)
(1.13.18)
Из (1.13.16), (1.13.18) будем иметь
3竺;也 1 dD dF_ q д^ ds s де ' dq '
Рассмотрим случай, когда условие пластичности (1.13.4) имеет видF = q — k((p) = 0, q = 4(屮)，(ож — о^)2 + 4宜夕=4廿(屮).(1.13.19)Покажем, что в этом случае диссипативная функция примет видРассмотрим случай, когда условие пластичности (1.13.4) имеет видF = q — k((p) = 0, q = 4(屮)，(ож — о^)2 + 4宜夕=4廿(屮).(1.13.19)Покажем, что в этом случае диссипативная функция примет видD = /⑼ s.D = /⑼ s.(1.13.20)(1.13.20)Наоборот, если диссипативная функция имеет вид (1.8.20), условие пластичности имеет вид (1.13.19).Согласно (1.13.19), (1.13.10) получимНаоборот, если диссипативная функция имеет вид (1.8.20), условие пластичности имеет вид (1.13.19).Согласно (1.13.19), (1.13.10) получим2 = 0, 2scos2a = 2ik, 2qS sin 2oc = Xk1 k1 =.2 = 0, 2scos2a = 2ik, 2qS sin 2oc = Xk1 k1 =.(1.13.21)(1.13.21)Из (1.13.21) найдем. "4炉+依2总5 =九^， tg 2a =荻，a =(р-6.Из (1.13.7), (1.13.12), (1.13.21) следуетD = kk.Из (1.13.21) найдем. "4炉+依2总5 =九^， tg 2a =荻，a =(р-6.Из (1.13.7), (1.13.12), (1.13.21) следуетD = kk.(1.13.22)(1.13.22)(1.13.23)(1.13.23)Из (1.13.23), (1.13.22) получим выражение (1.13.20):D = /(e)s, /(е) = /《к 二.Исходя из определения диссипативной функции (1.13.24), (1.13.14), будем иметьИз (1.13.23), (1.13.22) получим выражение (1.13.20):D = /(e)s, /(е) = /《к 二.Исходя из определения диссипативной функции (1.13.24), (1.13.14), будем иметь(1.13.24)(1.13.24)согласносогласноо = 0, 2qcos2a = /(e), 4qsin2a =尸， 尸=案，о = 0, 2qcos2a = /(e), 4qsin2a =尸， 尸=案，(1.13.25)(1.13.25)Из (1.13.25) найдемq = k(屮)，用(屮)=；，4产 + 产2, tg2a= &Для определения угла анизотропии можно использовать ния (1.13.22), (1.13.25):丄 с 1 dk 1 df^2a=2kd^ = 2f^ а = фТ,Из (1.13.25) найдемq = k(屮)，用(屮)=；，4产 + 产2, tg2a= &Для определения угла анизотропии можно использовать ния (1.13.22), (1.13.25):丄 с 1 dk 1 df^2a=2kd^ = 2f^ а = фТ,(1.13.26)(1.13.26)выраже-выраже-(1.13.27)(1.13.27)
Рассмотрим случай, когда условие пластичности (1.13.4) имеет вид
F = q — k((p) = 0, q = 4(屮)，(ож — о^)2 + 4宜夕=4廿(屮).(1.13.19)Покажем, что в этом случае диссипативная функция примет вид
Рассмотрим случай, когда условие пластичности (1.13.4) имеет вид
F = q — k((p) = 0, q = 4(屮)，(ож — о^)2 + 4宜夕=4廿(屮).(1.13.19)Покажем, что в этом случае диссипативная функция примет вид
D = /⑼ s.
D = /⑼ s.
(1.13.20)
(1.13.20)
Наоборот, если диссипативная функция имеет вид (1.8.20), условие пластичности имеет вид (1.13.19).
Согласно (1.13.19), (1.13.10) получим
Наоборот, если диссипативная функция имеет вид (1.8.20), условие пластичности имеет вид (1.13.19).
Согласно (1.13.19), (1.13.10) получим
2 = 0, 2scos2a = 2ik, 2qS sin 2oc = Xk1 k1 =.
2 = 0, 2scos2a = 2ik, 2qS sin 2oc = Xk1 k1 =.
(1.13.21)
(1.13.21)
Из (1.13.21) найдем
. "4炉+依2总
5 =九^， tg 2a =荻，a =(р-6.
Из (1.13.7), (1.13.12), (1.13.21) следует
D = kk.
Из (1.13.21) найдем
. "4炉+依2总
5 =九^， tg 2a =荻，a =(р-6.
Из (1.13.7), (1.13.12), (1.13.21) следует
D = kk.
(1.13.22)
(1.13.22)
(1.13.23)
(1.13.23)
Из (1.13.23), (1.13.22) получим выражение (1.13.20):
D = /(e)s, /(е) = /《к 二.
Исходя из определения диссипативной функции (1.13.24), (1.13.14), будем иметь
Из (1.13.23), (1.13.22) получим выражение (1.13.20):
D = /(e)s, /(е) = /《к 二.
Исходя из определения диссипативной функции (1.13.24), (1.13.14), будем иметь
(1.13.24)
(1.13.24)
согласно
согласно
о = 0, 2qcos2a = /(e), 4qsin2a =尸， 尸=案，
о = 0, 2qcos2a = /(e), 4qsin2a =尸， 尸=案，
(1.13.25)
(1.13.25)
Из (1.13.25) найдем
q = k(屮)，用(屮)=；，4产 + 产2, tg2a= &
Для определения угла анизотропии можно использовать ния (1.13.22), (1.13.25):
丄 с 1 dk 1 df
^2a=2kd^ = 2f^ а = фТ,
Из (1.13.25) найдем
q = k(屮)，用(屮)=；，4产 + 产2, tg2a= &
Для определения угла анизотропии можно использовать ния (1.13.22), (1.13.25):
丄 с 1 dk 1 df
^2a=2kd^ = 2f^ а = фТ,
(1.13.26)
(1.13.26)
выраже-
выраже-
(1.13.27)
(1.13.27)
откуда
0 = Ф — ^ arctg0 = Ф — ^ arctgФ = 9 + I arctgФ = 9 + I arctg(1.13.28)(1.13.28)
0 = Ф — ^ arctg
0 = Ф — ^ arctg
Ф = 9 + I arctg
Ф = 9 + I arctg
(1.13.28)
(1.13.28)
(1.13.29)(1.13.29)
(1.13.29)
(1.13.29)
В качестве примера рассмотрим случай анизотропии: 40£-0U)2 + 45扌g+2。("-0夕)“夕=2; a,b,c = const.
При 0 = 0 имеет место случай, рассмотренный в [67]. Изотропный материал имеет место при А = В, 0 = 0. Используя (1.13.2), из
(1.13.29) найдем
q2 [АВ (А — В) cos 4屮 + С sin 4屮]=1.
Полагая далее при 4*5
40 = arctg А в， перепишем (1.13.30), согласно (1.13.31), в виде
Q1, а =，(4 - 5)2 + С2.
^(А + В) + а cos 4((р - 0)
Согласно (1.13.6), (1.13.27), (1.13.32) найдем
asin4((pT)
а —厶+石+ acos4((p_0)・
(1.13.30)
(1.13.31)
(1.13.32)
(1.13.33)
При С = 0 из (1.8.33), согласно (1.8.31), (1.8.32), будем иметь
2a = (厶一石)sm 4①
S厶 +石+ (Z —石)cos4(p・
(1.13.34)
В изотропном случае при А = В в (1.13.34) угол анизотропии а = 0.
Обозначим 3 = (Д — В)/(Д + В), тогда выражение (1.13.34) примет
вид
tga = 8sin 4(p(l + 3cos(p)-i.
Если 3《1, то из (1.13.35), (1.13.27) следует
1 А - В .，
а = 2 л + в sin 4(р, а =屮 0.
Максимальное значение угла анизотропии
(1.13.35)
(1.13.36)
П| =；
А — В兀 7m八г
人+石 nРИ 屮=8+4， 几=0，1，
Рассмотрим условие пластичности
(о冗-。夕)2 + 4曦=4廿(ф) •(1.13.37)
Соотношения (1.13.2) примут вид
。冗=о + к (屮)cos 2(р, 。夕=о — к (屮)cos 2(р, тху = к (ср) sin 2(р.
(1.13.38)
Подставим выражения (1.13.38) в уравнения равновесия
學 + 杂=0,攀 + 禦=о (1.13.39) ох оуох оу
получим
林一［24 (ср) sin 2(р + А/ (ср)林一［24 (ср) sin 2(р + А/ (ср)coscos2(р］寨 + ［24 (ср) cos 2(р — kf (ср) sin 2(р］嘉2(р］寨 + ［24 (ср) cos 2(р — kf (ср) sin 2(р］嘉=О,=О,
林一［24 (ср) sin 2(р + А/ (ср)
林一［24 (ср) sin 2(р + А/ (ср)
cos
cos
2(р］寨 + ［24 (ср) cos 2(р — kf (ср) sin 2(р］嘉
2(р］寨 + ［24 (ср) cos 2(р — kf (ср) sin 2(р］嘉
=О,
=О,
寨—［2к (ср) cos 2(р + к! (ср) sin 2屮］嘉 +
+ ［24 (ср) sin 2(р — kf (ср) cos 2(р］寨=0, (1.13.40) где к1 = dk/d(p.
Уравнения характеристик системы уравнений (1.13.40) имеют вид
dy—k1 cos 2a + 2k sin 2(p 士 “4k2 + 依2、
丁 — г/：.
dxk sin 2(p + 2к cos 2(p
Используя, согласно (1.13.27), выражения
kf = 2ktg2a^ a =屮一6,(1.13.42)
преобразуем соотношение (1.13.41) к виду
然 tg(e±j.(1.13.43)
Очевидно, что характеристики (1.13.41), (1.13.43) ортогональны.
Первую из характеристик (1.13.43) назовем ос-линией, вторую — р- линией.
Согласно (1.13.5), (1.13.43) для анизотропного материала характеристики совпадают с линиями максимальной скорости сдвига, т. е. с линиями скольжения. Для анизотропного тела линии скольжения не совпадают с линиями максимальных касательных напряжений.
Вдоль характеристик имеют место соотношения
о ± F (ср) = const, R (屮)=J у А/2 + 4k2d^>.(1.13.44)
Для изотропного материала
к = % = const, kf = 0, a = 0,屮=6,(1.13.45)
согласно (1.13.43), (1.13.44) имеем
然 tgQ 土力(1.13.46)
о ± 2k(p = const.(1.13.47)
Соотношения (1.13.47) носят название интегралов Генки.
Рассмотрим соотношения пластического течения. Будем искать экстремум работы напряжений на приращениях деформаций для некоторого элемента тела при дополни тельном условии (1.13.38):
d4 — Gxde^ + <5уd,€y + 2тж^dcXy 一 d(i [(。冗 一 ^y) + 4%夕 一 4k (ф)j •
Экстремум находится из условий
дА _ дА _ ЗА _ °
д^х а。？/ д^ху
Будем иметь
Из выражений (1.13.3) следует, чтоИз выражений (1.13.3) следует, чтоФ = - arcctgФ = - arcctgоткуда получимоткуда получим^Ф _ “у^<р _ “у ^<р6бх4k2' д(зу 4k2' д^ху^Ф _ “у^<р _ “у ^<р6бх4k2' д(зу 4k2' д^ху(1.13.48)(1.13.49)(1.13.50)(1.13.48)(1.13.49)(1.13.50)
Из выражений (1.13.3) следует, что
Из выражений (1.13.3) следует, что
Ф = - arcctg
Ф = - arcctg
откуда получим
откуда получим
^Ф _ “у^<р _ “у ^<р
6бх4k2' д(зу 4k2' д^ху
^Ф _ “у^<р _ “у ^<р
6бх4k2' д(зу 4k2' д^ху
(1.13.48)
(1.13.49)
(1.13.50)
(1.13.48)
(1.13.49)
(1.13.50)
“у =九 ^ху —— О夕丿•“у =九 ^ху —— О夕丿•Согласно (1.13.50), (1.13.48) соотношения пластического течения анизотропных сред в случае плоской деформации примут вид
“у =九 ^ху —— О夕丿•
“у =九 ^ху —— О夕丿•
(1.13.51)
Зависимости (1.13.51), если исключить 九，представляют два уравнения относительно двух неизвестных 〃, о — компонент скорости перемещения. Уравнения относительно компонент скорости перемещения принадлежат к гиперболическому типу и характеристики их совпадают с характеристиками уравнений для напряжений (1.13.43). Вдоль характеристик (1.13.43), согласно (1.13.5), удлинения равны нулю, поэтому имеют место соотношения Гейрингер
(1.13.52)(1.13.52)d〃 — vde = 0, dv + ude = 0,
(1.13.52)
(1.13.52)
где % о — компоненты скорости вдоль линий скольжения (1.13.43).
Рассмотрим частный случай условия пластичности. Предположим, что условие пластичности (1.13.4) не зависит от величины q, тогда имеем
/ (о, ср) =0.(1.13.53).
Соотношение (1.13.53) перепишем в виде
屮=屮(о).(1.13.54)
Подставляя соотношение (1.13.2) в уравнения равновесия (1.13.39) и учитывая зависимость (1.13.54), получим
- 2q sin 2案+ 2gcos 2中工嘉+ cos 2中瑞+ sin 2屮嘉=a
~q C0S 2碎寨 + (J + 2夕 Sin 2碎)嘉 + Sin 2屮絹-с。，2礫=°-
(1.13.55)
Два уравнения (1.13.55) относительно двух неизвестных имеют характеристики
(йз时
、］ 22%q — sin 2(pdo
При % = 0 из (1.13.56) следует ортогональность характеристик. Соотношения вдоль характеристик (1.13.56) имеют вид
dq = ± J1 — 4 (%q『do.(1.13.57)
Согласно (1.13.56) уравнения (1.13.55) принадлежат к гиперболическому типу при
"瑞•(1.13.58)
Предположим, что о = 2k(p, k = const, тогда, согласно (1.13.58), имеет место неравенство q < k.
Не умаляя общности, условие (1.13.53) запишем в виде
F 信 о) = 0,自=tg2(p = 2s夕/(報-Оу).(1.13.59)
Используя (1.13.59) в качестве пластического потенциала, учитывая (1.13.2), получим
еж = -ц (sin 2(р + 2/q) , £夕=|i (sin 2(р - 2%q), гху = ц cos 2(р,
九 dF九 dF'2q cos2 2(р 臾''2q cos2 2(р 臾'九〉0.九〉0.(1.13.60)(1.13.60)
九 dF
九 dF
'2q cos2 2(р 臾'
'2q cos2 2(р 臾'
九〉0.
九〉0.
(1.13.60)
(1.13.60)
Из (1.13.60) следует
=(1.13.61)
Компоненты тензора скорости деформации связаны с компонентами скорости перемещения соотношениями
ё器+瑞・(1.13.62)
Из соотношений (1.13.60), (1.13.62) получим систему уравнений для определения компонент скорости перемещения:
(sin 2(р - 2%q)黑 + (sin 2屮 + 2%q)窮=。，
/\\(1.13.63)
COs2(P(£~£) +sM2<p(窮 + 瑞)=0-
Система уравнений (1.13.63) имеет своими характери сти кам и выражения (1.13.56). Вдоль характеристик имеют место условия
dudx + dvdy = 0 (黑=一警)，(1.13.64)
Из (1.13.64) следует, что приращение вектора скорости ортогонально касательной и характеристике, приращения скорости вдоль характеристики отсутствуют, поэтому для скорости вдоль характеристик имеют место соотношения Гейрингер (1.13.52).
Определим диссипативную функцию
D — Ож^Ж + ^у ^у + ^^ху^ху •(1.13.65)
Подставляя в (1.13.65) выражения для компонент тензора скорости деформации, из (1.13.60) получим
0(5
(1.13.66)
Из (1.13.60) найдем
,с dF
e£+ 2g=九万■
(1.13.67)
Согласно (1.13.66), (1.13.67) получим
D = O£,£ = %+%.
(1.13.68)
Из (1.13.59) определим
0=g (自)•
(1.13.69)
Принимая во внимание соотношения (1.13.59), (1.13.61), уравнение (1.13.69) можно переписать в виде
° =•(1.13.70)
Согласно (1.13.68), (1.13.70) окончательное выражение для диссипативной функции принимает вид
°=д(看子卜 (1」з・71)
В качестве примера рассмотрим прямоугольную полосу под действием равномерных растягивающих и касательных усилий. Условие предельного состояния примем в виде (1.13.59).
Предположим, что полоса находится в состоянии равновесия под действием постоянных напряжений о^, о；,工^夕，удовлетворяющих соотношениям
R (叫 °。)= 0,自。=^|^, °。= ； « +。；)• (1.13.72)
Предположим, что напряженное состояние возмущается за счет малых изменений напряжений, которые, в частности, могут возникнуть за счет возмущений граничных условий, например при рассмотрении пологих выточек и т. п. Представим напряженное состояние в виде
°£ = °2 +。£，。夕=°； +。夕，^ху — ^у + %夕・(1.13.73)
Подставляя соотношения (1.13.73) в (1.13.72), проводя линеаризацию, получим
ао； + В" + 2/ = 0,ао； + В" + 2/ = 0,(1.13.74)(1.13.74)
ао； + В" + 2/ = 0,
ао； + В" + 2/ = 0,
(1.13.74)
(1.13.74)
В =В =+ ；15 « 一党）'+ ；15 « 一党）'dF
В =
В =
+ ；15 « 一党）'
+ ；15 « 一党）'
Используя функцию напряжений
(1.13.75)(1.13.75)/ _ ^£/ _ ", _ д2и
(1.13.75)
(1.13.75)
из (1.13.74), (1.13.75) находим
д2и с д2и Iсду 1 дхду Р дх
Когда у2 — оср > 0, общее решение уравнения (1.13.76) будем искать в виде
и = и. (х + с1У) +。2 (力 +。2沙),(1.13.77)
ci,2 =(Y ± ,产 一 оф) /а.
Согласно (1.13.75), (1.13.77) выражения для компонент тензора напряжений записываются в виде
<4 = ci^i (0 + с2^2 (п) , " = gi (С) + д2 (л),
Vg = -sgi (С) - 02g2(Т|) ,^ = ж + ^у,"=力 +。2勿(1-13.78)
_ d-Uy _ д-и2
Решение (1.13.78) может быть использовано для определения напряженного состояния в растягиваемом образце с пологими выточками.
Рассмотрим частный случай условия пластичности. Предположим, что условие пластичности (1.13.4) не зависит от величин о, q, тогда имеет место соотношение
/ (ср) = 0, ср = const./ (ср) = 0, ср = const.(1.13.79)(1.13.79)
/ (ср) = 0, ср = const.
/ (ср) = 0, ср = const.
(1.13.79)
(1.13.79)
Условие (1.13.79), согласно (1.13.3), перепишем в видеУсловие (1.13.79), согласно (1.13.3), перепишем в видеk & — Од) — 2“夕=0, k = const.(1.13.80)k & — Од) — 2“夕=0, k = const.(1.13.80)Используя функцию напряженийИспользуя функцию напряжений_ д2и _ д2и _ д2ииз (1.13.81), (1.13.80) найдем\дх2а才丿дхду -_ д2и _ д2и _ д2ииз (1.13.81), (1.13.80) найдем\дх2а才丿дхду -(1.13.81)(1.13.81)(1.13.82)(1.13.82)Уравнение (1.13.82) принадлежит к гиперболическому типу. Характеристики уравнения имеют видУравнение (1.13.82) принадлежит к гиперболическому типу. Характеристики уравнения имеют вид
Условие (1.13.79), согласно (1.13.3), перепишем в виде
Условие (1.13.79), согласно (1.13.3), перепишем в виде
k & — Од) — 2“夕=0, k = const.(1.13.80)
k & — Од) — 2“夕=0, k = const.(1.13.80)
Используя функцию напряжений
Используя функцию напряжений
_ д2и _ д2и _ д2и
из (1.13.81), (1.13.80) найдем
\дх2а才丿дхду -
_ д2и _ д2и _ д2и
из (1.13.81), (1.13.80) найдем
\дх2а才丿дхду -
(1.13.81)
(1.13.81)
(1.13.82)
(1.13.82)
Уравнение (1.13.82) принадлежит к гиперболическому типу. Характеристики уравнения имеют вид
Уравнение (1.13.82) принадлежит к гиперболическому типу. Характеристики уравнения имеют вид
(1.13.83)(1.13.83)
(1.13.83)
(1.13.83)
Из (1.13.83) и (1.13.80) найдем
=tg(p,=tg(p,=—ctg ф, ф = const.=—ctg ф, ф = const.(1.13.84)(1.13.84)
=tg(p,
=tg(p,
=—ctg ф, ф = const.
=—ctg ф, ф = const.
(1.13.84)
(1.13.84)
Согласно (1.13.83), (1.13.84) характеристики прямолинейные и взаимно ортогон ал ьн ы е.
Общее решение уравнения (1.13.82) может быть представлено в виде
U = J (力 + gtgcp) + 5 (力-У ctg ср) •(1.13.85)
Из (1.13.80), согласно ассоциированному закону, получим для компонент скоростей деформаций:
ди3。 с ди , dvди3。 с ди , dv(1.13.87)(1.13.88)(1.13.89)(1.13.90)(1.13.87)(1.13.88)(1.13.89)(1.13.90)£冗—£夕—к九，^ху — 九，^х £夕 + 2k亡^у — 0, X》0, (1.13.86)
ди3。 с ди , dv
ди3。 с ди , dv
(1.13.87)
(1.13.88)
(1.13.89)
(1.13.90)
(1.13.87)
(1.13.88)
(1.13.89)
(1.13.90)
где % о — компоненты скорости перемещений.
Из (1.13.86), (1.13.87) получим систему уравнений:
* ++ 4 停 + 沿=0.
дх дудх \дудх у
dw dwdw dwПолагая
dw dw
dw dw
из (1.13.89), (1.13.88) найдем
/321V _ d2w\ _ д-w
〈дх2 ду-丿"дхду
Уравнения (1.13.90) и (1.13.82) совпадают, решение можно записать в виде
(1.13.91)(1.13.91)W =恥(力 + g tg 中)+ % (力 一 g ctg (р) •
(1.13.91)
(1.13.91)
Согласно (1.13.85), (1.13.81), (1.13.91), (1.13.89) выражения для компонент напряжений и скоростей перемещений могут быть записаны в следующем виде:
5г =力(自)tg2(р + /2 (п) ctg2 ср,
^у =力 G) + Л (т|), “夕=-Л (У tg(p + /2 (n)ctg(p, (1.13.92) 〃 =gi (G)tgq)—92 (n)ctg(p,
V = gi (^) + 92(Ti),自=力 + g tg 屮,T! =力一g Ctg 屮.
В девиаторной плоскости условие предельного состояния (1.13.80) интерпретируется прямой АВ (рис. 28), направление первой главной компоненты девиатора скоростей деформации показано ортогональной прямой CD〉окружность соответствует условию q = const.
Предположим, что на границе полуплоскости заданы напряжения и скорости перемещений:
Су = р (ж), гху = q (ж), и = щ (ж), V = vi (ж) при g = 0.
(1.13.93)
Согласно (1.13.93), (1.13.92):
。冗=^^^ [р (^ tg Ф + Р(Г|) Ctg ф - Q (У tg2 ф + Q (n) Ctg2 ф],
^у = ^^^ [р © ctg(p + p(n)tg(p- Q(y +(7(п)],
“夕=吧言[-Р (У + р(Г|) + <7 (У tg ф + Q(Г|) ctg ф] ,(1.13.94)
〃=竺用[〃i (g)tg(p + 〃i (r|)ctg(p + oi (自)-。1 (г|)],。=^^ [〃] © 一 〃](“)+。1 (g)ctg(p + oi (r|)tg(p] •
В качестве примера рассмотрим распределение постоянного давления на отрезке (рис. 29):
Оу = р = const, \х\ < а, Од = 0, |力丨 > а, 工冗夕=0 при д = 0.
(1.13.95)
Согласно (1.13.95), (1.13.93), (1.13.94) получим в треугольной области АВС'. ох = Оу = р, хху = 0 в полосе DACE:。冗 = р cos2 ср, Од = psin2 ср, тху = ^psin2 ср, в полосе GBCF:。冗=psin2 ср,。夕= = 0cos2 屮，тху = — ^psin 2(p, в треугольных зонах HAD, ЕСF)GBQ все компоненты напряжения равны нулю: ох = ^у = ^ху = О-
Рассмотрим частный случай условия пластичности. Предположим, что условие пластичности (1.13.4) не зависит от величин q,屮, тогда имеет место соотношение
/ (о) = 0, о = const.(1.13.96)
Согласно (1.13.3) условие (1.13.96) перепишем в виде
。冗+。夕=5, s = const.(1.13.97)
Рассматривая (1.13.97) в качестве пластического потенциала, получим £ж = % 冤=X, гху = 0,九》0, или
“ —^у =。，^ху =。，(1.13.98)
где £ж, £夕,гху — компоненты скорости деформации.
Условие (1.13.98) перепишем в виде
дхду + дх~丿
где 〃, о — компоненты скорости вдоль осей ж, у.
Уравнения (1.13.99) определяют плоское бессдвиговое течение сжимаемой среды.
Известно, что уравнения плоского потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости имеют вид
也曲du_dv_
+ ду~ду дх丿
Очевидно, что уравнения (1.13.100) отличаются от уравнений (1.13.99) заменой знака компоненты о на противоположный. Таким образом, если % о есть решение уравнений (1.13.100), то % —о является решением уравнения (1.13.99), и наоборот. Укажем другую форму связи решений уравнений (1.13.99), (1.13.100). Из (1.13.99) следует, что существует функция комплексного переменного Z (z) = и + w, z = х -\- iy.
Припишем компонентам уравнений (1.13.100) индекс нуль, тогда из (1.13.100) следует, что существует функция комплексного переменного Zo (z) = 〃о — ivQ. Покажем, что
Z ⑶ Zo ⑶=о, с = const.(1.13.101)
Из (1.13.101) получим
Из (1.13.102) следует, что
“ — 2 . 2 5。= 2 . 2(1.13.103)
"0 +00м0 +00
или
CUCV
〃0 = 2 I 2，°0 = 2 I 2 •(1.13.104)
и + ои + V
В справедливости формул (1.13.103), (1.13.104) и, следовательно, формул (1.13.101), (1.13.102) можно убедиться непосредственной проверкой.
Если ввести векторы скорости V (〃，о), Vo (〃о, °о), то из (1.13.103), (1.13.104) следует их коллинеарность. Для их модулей из (1.13.101) следует соотношение |V||Vo| = с.
Установленное соответствие решений уравнений (1.13.99) и (1.13.100) позволяет использовать известные в теории потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости результаты для определения полей скоростей в теории бессдвигового течения сжимаемой среды.
Решения (1.13.103), (1.13.104) соответствуют обтеканию одних и тех же тел, так как линии тока в обоих случаях совпадают. Так, обтекание цилиндра потоком идеальной несжимаемой жидкости определяется функцией Zo = 1 — 1/z2, с = 1.
Для случая бессдвигового течения обтекание того же цилиндра будет определяться, согласно (1.13.101), функцией
Z =公/卜2 — °(1.13.105)
При использовании решения (1.13.105) следует иметь в виду ограничения, н акл ады ваем ы е соответствием решения условию предельного состояния (1.13.97), и условия разгрузки.
Отметим, что уравнения (1.13.99) описывают бессдвиговой процесс деформирования, происходящий за счет изменения объема. Уравнения (1.13.100) описывают сдвиговое деформирование без изменения объема (несжимаемость).
Рассмотрим изменение плотности р пористого пластического материала при условии предельного состояния, соответствующего условию (1.13.97). Уравнение неразрывности имеет вид
М S")+ 言 8。)= 0，(1.13.106)
Уравнение (1.13.106) с учетом (1.13.99) преобразовывается к виду
〃鳥[°("2 + 产)]+。京[Р (а? + 产)]=°-(1.13.107)
Для определения интегралов уравнения (1.13.107) имеем систему dx/u = = dy/v = d [p (〃2 + °2)]/0. Независимые интегралы уравнения (1.13.107) имеют вид
/ (ж, у) = const, pV2 = const, V2 = и2 -\- и2,(1.13.108)
где / (ж, у) — функция тока.
Приписывая индексы 1 и 2 двум точкам вдоль одной линии тока, из (1.13.108) получим
pi 匕2 =p2/2, p2 = pi (所/%)2 •
Рассмотрим радиальное установившееся бессдвиговое течение среды, соответствующее прессованию в клинообразной матрице. Воспользуемся полярной системой координат г, 0. Обозначим компоненты скорости перемещения через 〃「，щ. Полагая течение радиальным, положим иг = иг (г), ие = 0. Компоненты скорости деформации имеют вид £r = dur/dr^ £е = иг/г^ £г0 = 0. Соотношения (1.13.99) сведутся к одному: dur/dr — ur/r = 0. Отсюда
ur = Cr, £「=海=С, С = const.(1.13.109)
Плотность среды определяется из уравнения неразрывности d (prur)/dr = 0, откуда, принимая во внимание (1.13.109), найдем р<2 — С】, С】 =const. Тогда вдоль линии тока pi<； = р2<^, Р2 = =p1 (丁2"1)2.
Уравнение равновесия запишем в виде
学 + 匕二坐=0(1.13.110)
dr г
Используя условие предельного состояния о「+ 例 = s, из (1.13.110) получим о「= 4/丁2 + s/2, ое = —A/r2 + s/2, где А = const.
Если принять граничные условия
От =-0a, (丁 = a); о「= -0b, (г = 6) ,(1.13.111)
то условие предельного состояния принимает вид
目"+0卅=^s (62 - a2) •
В пространственном случае в сферической системе координат г0(р из условия предельного состояния
о「+ ое + о屮=s(1.13.112)
согласно ассоциированному закону течения следует
£р — £q — £g)—九, £р0 — £0д) — £рд) — 0, X》0•(1.13.113)
В случае радиального течения иг = иг (г), щ = и^ = 0, следовательно,
£р — d〃r /б//*, £q — £q) — Up£p0 — £pq) — £б(р — 0•(1.13.114)
Из (1.13.113), (1.13.114) получим единственное уравнение dur/dr — — ur/r = 0, решение которого имеет вид, вполне аналогичный (1.13.109):
Ur =。2―£「=海=% =。2,。2 = Const .(1.13.115)
Из уравнения неразрывности d(p<2〃r)/dT = 0, принимая во внимание (1.13.115), получим вдоль линии тока
PW； = р2Г2， р2 = Р1 (丁2〃1)3 •
Таким образом, при радиальном течении в конической матрице плотность среды возрастает обратно пропорционально кубу расстояния до вершины матрицы.
При радиальном течении уравнение равновесия имеет вид
学：+2^—— = 0, ое = Оф.(1.13.116)
агг*
Условие предельного состояния (1.13.112) принимает вид о「+2ое = =s. С учетом этого, из уравнения (1.13.116) находим о「= В/г3 + s/3, ое = Оф = — ^5/<з + s/З, где В = const. При граничных условиях (1.13.111) получим следующее условие предельного состояния:
0"+0心1伍3一。3)
Рассмотрим соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности. Предположим, что все компоненты напряжения (1.7.40) зависят от переменных 力，g и не зависят от координаты z:
о = о(力,g), е = е(力,g), ^ = ^(х,у).(1.13.117)
Подставляя выражения (1.7.40) в уравнения равновесия
дх + ду + dzдх + ду + dz _丄£丄丄占丿
3Txz . 3tyz . 302 _e
盃+毎+后
при предположениях (1.13.117), получим систему трех уравнений относительно трех неизвестных о, 0, ср:
寨一к (1 — cos 9)sin 2屮嘉 + 4(1 — cos 9)cos 2屮芻 +
=0,=0,3oBy3oBy+ A: sin 9 cos2 屮黑 + ^ sin 9 sin 2
=0,
=0,
3o
By
3o
By
+ 4(1 — cos e) cos 2屮患 + 4(1 — cos e) sin 2屮窑 +
+ - sin 9 sin 2屮丽 + к sin 6 sin2屮「0, (1.13.119)
.a(pa(p加 c .加 c
sin 9 sin 屮丽—sin 9 cos cp^ — cos 9 cos 屮丽—cos 9 sin 屮西=0.
Для определения характеристик системы уравнений (1.13.119) и соотношений вдоль характеристик присоединим к системе уравнений (1.13.119) соотношения
耻 + ^dy = do, ^dx + ^dy = d 恥
《一dx + dg — db ox oy《一dx + dg — db ox oy(1.13.120)(1.13.120)
《一dx + dg — db ox oy
《一dx + dg — db ox oy
(1.13.120)
(1.13.120)
Рассматривая систему уравнений (1.13.119), (1.13.120) как алгебраическую относительно компонент
3。3。3(р3(рЗеЗедх5ду5дх5ду5дх5ду 'можно определитьдо _ Дг 3(р _ Дз ду Д 5 дх Д 5Зе _ Д5 Зе _ Де дх Д 5 ду Д 53。3。3(р3(рЗеЗедх5ду5дх5ду5дх5ду 'можно определитьдо _ Дг 3(р _ Дз ду Д 5 дх Д 5Зе _ Д5 Зе _ Де дх Д 5 ду Д 5(1.13.121)(1.13.121)^^А ^^д- -о - ж ф- ^иа а а -а^^А ^^д- -о - ж ф- ^иа а а -а(1.13.122)(1.13.122)
3。3。3(р3(рЗеЗе
дх5ду5дх5ду5дх5ду '
можно определить
до _ Дг 3(р _ Дз ду Д 5 дх Д 5
Зе _ Д5 Зе _ Де дх Д 5 ду Д 5
3。3。3(р3(рЗеЗе
дх5ду5дх5ду5дх5ду '
можно определить
до _ Дг 3(р _ Дз ду Д 5 дх Д 5
Зе _ Д5 Зе _ Де дх Д 5 ду Д 5
(1.13.121)
(1.13.121)
^^А ^^д- -о - ж ф- ^иа а а -а
^^А ^^д- -о - ж ф- ^иа а а -а
(1.13.122)
(1.13.122)
где определители △, А определяются по правилу Крамера.
Характеристики определяются как линии пересечения семейства интегральных поверхностей, поэтому нормаль к интегральным поверхностям вдоль характеристик не определена и на характеристиках должно иметь место одновременное выполнение соотношений
(1.13.123)(1.13.123)△ = А = о, 〃 = 1, 2,..., 6.
(1.13.123)
(1.13.123)
Два семейства характеристик и соотношения вдоль них определяются из условий △ = △】 =0. Уравнения характеристик имеют вид
(1.13.124) 1 + cos е
2 V— cos е5
соотношения вдоль характеристик (1.13.124):
加 士 fe(l - cose) = °(1.13.125)
cos e
Отметим, что для случая плоской деформации е = 兀,cos 兀 = =—1, |i = 0 характери сти ки (1.13.124) становятся ортогон ал ьн ы м и, соотношения (1.13.61) переходят в соотношения Генки (1.13.47).
В общем случае при 0^0 имеет место третья характеристика, определяемая из соотношений △ = А = 0, уравнение характеристики имеет вид
^=tg〃(1.13.126)
соотношение вдоль характеристики:
I si；；®) do + k sin 9sin 2(pd(p + kde = 0.(1.13.127)
Соотношения (1.13.124)-(1.13.127) определяют напряженное состояние для случая общей плоской задачи теории идеально пластического тела. Рассмотрение других случаев к новым характеристикам не приводит.
Отметим, что в случае плоской деформации, 6 =兀,соотношение (1.13.127) вырождается.
При определении компонент скорости перемещений положим
и = и(х,у), V = V (х^у) w = w (х,у) .(1.13.128)
Согласно (1.13.128), уравнение несжимаемости (1.12.10) примет вид
(1.13.129)(1.13.129)ди dv
(1.13.129)
(1.13.129)
菸+画=°・
Согласно (1.10.124), (1.12.11), (1.13.128) найдем
2。。+ dw 九зdw 九з _ °
-ду дх П] ду 九2'
ди(диdv \ П2dw(九з九i、dwпгodw —
优у дудх у П]3优у П]пз убу九з，3z 5
(1.13.130)
где, согласно (1.7.26), (1.7.34),
П1 = cos ср sin р 几2 = sin cpsin ^, пз = cos ^.(1.13.131)
Три уравнения (1.13.129), (1.13.130) относительно трех неизвестных u〉％w принадлежат к гиперболическому типу, характеристики определяются уравнениями (1.13.124), (1.13.126).
Вдоль характеристики (1.13.126) имеет место соотношение
sin 0 [cos ^du + sin cpd矶 + cos 9dw = 0.(1.13.132)
В случае плоской деформации, е = 兀,согласно (1.13.132), имеет место dw = 0.
Вдоль характеристик (1.13.24) имеет место соотношение
du + dv tgdu + dv tg屮士屮士
du + dv tg
du + dv tg
屮士
屮士
-dw——九3 (I — 2九3) = 0. (1.13.133)
-n](2九1九2 士 J1 - 2九| + 九3 (1 - 2九2)j
Соотношения (1.13.132), (1.13.133) позволяют определить поле скоростей перемещений вдоль характеристик (1.13.126), (1.13.124).
§ 14. Вдавливание штампа в пластическую среду
Рассмотрим задачу Прандтля о вдавливании гладкого жесткого штампа с плоским основанием в пластическое полупространство (рис. 30).
Обозначим через 2a ширину штампа. Направим ось у вглубь полупространства. Предположим, что при вдавливании штамп движется вниз со скоростью V = const.
Поле напряжений может быть построено следующим образом. В треугольной области ACD (аналогично — ^С1 Df\ рис. 30, имеет место
равномерное напряженное состояние сжатия
。冗—^ху =0, 。夕=—2к, 屮=^， к = const •(1.14.1)
В центрированной области АВС (аналогично — А'ВС) вдоль ос- линии имеет место второй из интегралов (1.13.47). Если ввести поляр-
Рис. 30
ную систему координат г, ср так, как указано на рис. 30, то в области АВС (аналогично — АВС) получим
о「= о(р =(1 + ^ + 2屮)，т「(р =瓦 一^ < 屮 < %(1.14.2)
В области АВА! имеет место равномерное напряженное состояние, определяемое согласно (1.13.2), (1.14.2):
0£-—4兀，(5у — -4 (2 + 兀)， ^xy = 0•
Предельное давление и предельная нагрузка соответственно будут иметь вид
Р = Оу = —k (2 + 兀)，Р = —2ak (2 + 兀).
Рассмотрим непрерывное поле скоростей перемещений. В областях равномерного напряженного состояния d(p = 0, поэтому соотношения Гейрингер (1.13.43) принимают вдоль характеристик (1.13.43) вид
А。。_ П 3年一П
откуда
% = %偉)，w= w(a).(1.14.3)
В центрированной области АВС (аналогично — А!ВС'^ из (1.13.43) легко получить
Va = V^ = f (^ + g (г), V^ = vr = 一尸(ф) •(1.14.4)
Линия BCD (аналогично — ВС'D') является границей жесткой зоны материала, нормальная компонента скорости на ней равна нулю. Из (1.14.3), (1.14.4) следует, что va = va (р),呼=0 в области ABCD. Аналогичные соотношения имеются в области А ВС' D'.
Обе компоненты va и 呼 скорости перемещений отличны от нуля только в области АА!В. При этом на границе штампа АА! должны удовлетворяться граничные условия
^« + ^р = V^V при а + В = 0. (1.14.5)
Здесь V = const — скорость движения штампа. На прямой ДВ, являющейся p-линией,。卩=0. Пусть функция va (р) задана, т. е. известно распределение скоростей вдоль р—линии. Так как 0a = const на ос—линиях, то граничные условия (1.14.5) позволяют вычислить компоненту скорости 呼 в любой точке М на границе деформируемого материала (рис. 31). Скорость 呼 не изменяется вдоль р—линии, следовательно, функция 0a (В), заданная на ДВ, однозначно определяет Ор (а) на А!В^ что позволяет найти распределение скоростей перемещений по точкам области АВА!. Значения va (р) на АВ могут быть любыми, лишь бы удовлетворялись условия (1.14.5), поэтому распределение скоростей перемещений не единственно в области АВА!. В частности, решение Прандтля будет иметь место при 0a =呼= =V2V/2.
В решении Хилла (рис. 32) поле скоростей перемещений определяется соотношениями
0a = V^V ,。卩=0 в области ВСDЕ〉
Ор = д/^К % = 0 в области BC\D、E\.
Область неединственности в этом решении стянута в линии ВСDЕ) BC\D\E\. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть другие
решения задачи о штампе. Например, на рис. 33 приведено решение, для которого неоднозначность определения поля скоростей перемещений может иметь место в зонах 445 ABCDЕFGНА и
A^BC^D^E^F^G^H^A^.
Рис. 32
Рассмотрим разрывные поля скоростей перемещений. Предположим, что поверхность гладкого штампа ограничена линией 44 (рис. 34) и пластические зоны, примыкающие к границе штампа, состоят из треугольников, в которых определены постоянные скорости, имеющие равные проекции на вертикальную ось у.
Обозначим прямолинейные характеристики через 自,”. Обозначим скорость в треугольнике с вершинами т〉т; m + 1, m + 1; m, m + 1 (рис. 31) через
Vmm — "тптпЛ + Ommj ,(1.14.6)
аналогично в треугольнике с вершинами n, n; n + 1, п + 1; n, n + 1 — через
^пп = ^пп^ + ^nnj •(1.14.7)
Очевидно, что в прямоугольнике с вершинами m, n; m + 1, n; m + + 1, п + 1; m, n + 1 (рис. 34) скорость будет иметь вид
^тп — ^mml + ^nnj •(1.14.8)
Рассмотрим случай двух треугольных областей (рис. 35). Предположим, что в треугольных зонах AC D^ С Ai Е скорости равны и на
Рис. 35Рис. 35
Рис. 35
Рис. 35
правлены вертикально вниз вдоль оси у. Согласно (1.14.6)-(1.14.8) в четырехугольной зоне DCЕВ скорость будет иметь ту же величину и
направление, и имеет место решение Прандтля.
Если скорость в зоне ACD направлена вдоль оси CD, а в зоне СА^Е — вдоль СЕ)то в зоне DC ЕВ скорости отсутствуют и имеет место решение Хилла. Если скорость в зоне ACD направлена вдоль оси 4R а в зоне С Ai Е — вдоль А^ Е, то, согласно (1.14.6)—(1.14.8), скорость в четырех
угольной зоне DCЕВ будет постоянна и направлена вертикально вниз вдоль оси у и имеет место решение с застойными зонами (рис. 36). Застойные зоны заштрихованы.
Все рассмотренные решения задачи о штампе являются полными, т. е. допускают продолжение поля напряжений в жесткую область.
§ 15. Плоские течения идеально пластическойсреды
Рассмотрим течение плоской полосы шириной 2Л из идеального жесткопластического материала (рис. 37). Условие пластичности
(報一0U)2+ 4名У=4廿，(3)
где 5с, Од, тху — компоненты напряжения в декартовой системе координат, оси координат направлены, как указано на рис. 37. Для рассматриваемой полосы
Од; 2k, Од — ^ху — 0 •(1.15.1)
Поле скоростей перемещений определяется из условий несжимаемости (4) и изотропии (6):
% + % = О； ^Х — ^у) ^ху = (% — %) ^ху 5
где “，％, %夕一компоненты скорости деформации. Имеют место соотношения
диdv1 f ди , dv\
где % о — компоненты скоростей перемещения.
Предположим, что прямая L (рис. 38) является линией действия максимальных касательных напряжений 工 = к, т. е. характеристикой. Компоненты скорости перемещения, нормальные к характеристикам, непрерывны, касательные компоненты скорости перемещения могут терпеть разрыв. При разрыве, в результате возникающего сдвига, на
характеристиках происходит пластическое деформирование материала. Предположим, что слева от L материал движется со скоростью 乙 справа скорость материала — %. Из условия равенства нормальных компонент скорости следует
所 sin а = % sin 0.(1.15.2)
Рассмотрим прямоугольник ABCD (рис. 38). За единицу времени точка А сместится в положение 4, точка В займет положение 小， точка С — положение &, линия ВС — положение BjCp В следующий момент времени точка А займет положение 4, точки 5“ 。“ Q соответственно положения 丛，°2, °2, прямоугольник ABCD деформируется в параллелограмм А?В2c2D2. Очевидно, что их площади равны между собой. Величина сдвига определяется углом ср (рис. 38), имеет место равенство
_2 sin2 р
gq = sin 2a + sin 20
Величина разрыва касательных компонент скорости на линии L равна
М = £ sin (а + В)=盡 sin (а + В) •(1.15.4)
В работе [200] рассмотрено деформирование полосы с образованием локального утоньшения — шейки, когда части полосы AOBE, CODF (рис. 37) движутся как жесткое целое вправо и влево со скоростями V = = 1 относительно начала координат. Материал в областях ДОС, BOD движется как жесткое целое соответственно вертикально вниз и вверх. Промежуточное положение показано на рис. 39 (верхняя часть полосы).
Первоначальная свободная граница материала АС займет положение е/. Материал, занимавший первоначально положение квадрата abed займет положение параллелограмма a26202d2• Очевидно, что треугольникам Aab^ Ьсе соответствуют треугольники 42a2® b2c2门・ Отметим,
что Ad = de = АА^. Область пластически деформ и рован ного материала в момент разрыва на рис. 39 заштрихована. В случае, рассмотренном в [200], а = [В =兀/4, согласно (1.15.3) tgcp = 1/2. Можно предположить, что скорость движения материала в области АОС направлена под углом а к оси у (рис. 40). Из условия равенства нормальных скоростей движения на АО и СО получим, что жесткая часть материала АОЕ движется вправо относительно начала координат со скоростью
V1 = V (cos ос + sin ос),(1.15.5)
жесткая часть материала COF — влево со скоростью
V2 = V (cos ос — sin ос).(1.15.6)
Области пластического деформирования в момент разрыва на рис. 40 заштрихованы, причем МА = ДД^, СМ = С、С. Из (1.15.5), (1.15.6) следует
卜(1.15.7)
Рис. 40
Согласно (1.15.7) скорости движения жестких частей материала 乙 匕 относительно начала координат (точки разрушения материала) определяют величину V и направление скорости движения а в зоне пластически деформируемого материала. При а =兀/4, согласно (1.15.5), (1.15.6),匕=0, скольжение материала происходит вдоль линии СО. Конечное положение деформирования показано на рис. 41.
Величины V, а могут быть переменными и зависеть от параметра 九(1.15.2), характеризующего, например, глубину шейки в области пластического деформирования (рис. 39). В этом случае приращение перемещения свободной границы жесткой области вдоль направления растяжения (ось ж) определяется согласно (1.15.5), (1.15.6):
dsi = VidX = V (Х) (cosос + sin a) dX,(1.15.8)
d§2 = V2dx = V(X)(cos а — sin a) d^ a = a (九).
Очевидно,
V(X)cosocdX = dy.(1.15.9)
Интегрируя выражения (1.15.6), (1.15.7) в пределах от 九 до g, получим
Si 3) = g -九+ S, $2 (g) = g -九一S,(1.15.10)
S = ] I/ sin ocdX, Si (九)=$2 (九)=S (九)=0.
Предположим, что первоначальное положение пластического материала (рис. 42, а) ограничено прямыми CfC, F'OF〉причем по
F'ОF имеет место жесткое гладкое основание. Предположим, что раствор угла F'OF равен 2ц. Предположим далее, что очаг пластического материала имеет место в зоне ВОВ\ в которой постоянная скорость движения V направлена вдоль АО. Жесткая часть материала СВОЕ движется со скоростью 所 вдоль OF, жесткая часть материала С'В'ОF движется со скоростью 所 вдоль ОР. Из условия равенства нормальных компонент скорости V и 14 на границах ВО）В10 будем иметь
（1.15.11）（1.15.11）V cos （兀/4）=所 cos （|i —兀/4）.
（1.15.11）
（1.15.11）
（1.15.12）（1.15.12）Очевидно, что рассмотренный выше случай образования шейки в растягиваемом образце имеет место при 乩=兀/2. На рис. 42, 6 показано положение материала в момент разрыва, при котором точка А достигает положения точки О. Промежуточное состояние показано на рис. 42, 6 линией В^М^А^МуВу, окончательное — линией С'В4A?В2c2・ Если обозначить АО = Л, ВВ2 = S, то, согласно （1.15.11）,
（1.15.12）
（1.15.12）
2 cos （ц —兀/4） •
Очевидно, что ширина рейки равна
В也=2丛。= 2^（1 + 整2с/二/4）），（L15J3）
глубина шейки характеризуется величинами
AD = Scosr, OD = h（l- 产
у 2 2 cos （卩一兀/4）,、 丿
На рис. 43, а показано деформирование материала при достаточно малом угле раствора ц режущего инструмента F'ОF.
На рис. 43, б тот же процесс представлен в обратимом виде: линия С1 С фиксирована и деформирование осуществляется за счет внедрения индентора.
Предположим, что пластическое полупространство из идеального жесткопластического материала содержит жесткое включение в виде клина FOF\ несимметрично расположенного к свободной границе CCf. Положение клина определим углами ос, р, а также расстоянием до свободной поверхности РО = Л （рис. 44）.
Зона пластического деформирования ограничена треугол ьн и ком BOB', в котором имеет место однородное напряженное состояние:。冗 = =2m Og = хху = 0. Линии ВО, В'О действия максимальных касательных напряжений《ах = к являются линиями скольжения, вдоль
которых касательные составляющие скорости терпят разрыв. Предположим, что жесткий материал в области СВОЕ движется вдоль OF со скоростью V, в области С'В'ОF' — вдоль OF' со скоростью Н. Предположим далее, что при течении материала вертикальные компоненты скорости движения жесткого материала равны между собой, V cos а = = Heos [В, и полупрямые ВС, В' С' смещаются параллельно себе вдоль оси у. Проекции скоростей У и У7 на нормали к характеристикам ВО, В'О обозначим %,吗(рис. 44):
Vn = V cos (л/4 — ос), 匕=9 cos (兀/4 — 0).(1.15.15)
Скорость движения в зоне пластического деформирования определяется как равнодействующая скоростей %，匕 и равна U (рис. 44).
В процессе течения точка А в конечный момент деформирования достигнет положения 4“ совпадающего с точкой О (рис. 44). Очевидно, что за это время точки В, 5’ достигнут положения 5“ В； Зоны деформ и рован ного материала будут совпадать с BjOOj, В^ООр
Угол ц наклона скорости U к оси у определяется из соотношения
tga —tg02 + tga + tgb
Размеры чашечки, образующейся при конечном состоянии, определяются из соотношений
Bi В； = В^Н^В^Н,
Bi Я = ЛBi Я = Л]+ 2tga2 + tga + tg0]+ 2tga2 + tga + tg0(1.15.17)(1.15.17)В；Н = hВ；Н = h
Bi Я = Л
Bi Я = Л
]+ 2tga
2 + tga + tg0
]+ 2tga
2 + tga + tg0
(1.15.17)
(1.15.17)
В；Н = h
В；Н = h
Глубина чашечки определяется из соотношений
ОН = hОН = htga +tg02 + tga + tg0tga +tg02 + tga + tg0(1.15.18)(1.15.18)
ОН = h
ОН = h
tga +tg0
2 + tga + tg0
tga +tg0
2 + tga + tg0
(1.15.18)
(1.15.18)
(1.15.19)(1.15.19)При а = [В, согласно (1.15.18),
(1.15.19)
(1.15.19)
При наложении вертикальной скорости I/cosa = V cos р прямые ВС〉В'С' (рис. 44) фиксированы и деформирование осуществляется за счет внедрения индентора FOFf.
На рис. 45 показан случай пробоя пластического слоя затупленным индентором. Жесткий материал движется вдоль линий OF, O'R「в
очагах пластического деформирования 45a А' О' В' скорость пластического материала направлена соответственно вдоль линий ВО〉 В1 О\ часть материала ВО О1 В1 остается жесткой, показано конечное
положение материала, области деформ и рован ного состояния материала заштрихованы.
На рис. 46 показан случай индентора с верти кал ьн ы м и стенками, область деформ и рован ного состояния материала заштрихована.
Рассмотрим квазистатический процесс деформирования идеально пластической среды путем сдвигов вдоль линий скольжения. Предположим, что полоса шириной 2Л (рис. 47, а) находится под действием равномерного одноосного растяжения。冗=2瓦。夕=тху = 0. Предельное усилие растяжения равно
(1.15.20)(1.15.20)P = 4kh.
(1.15.20)
(1.15.20)
Линии скольжения (рис. 47, а) направлены к оси ж под углами 兀/4 (ос—линии), и Зя/4 (р—линии). В процессе деформирования скольжение будет происходить в зоне, в которой напряженное состояние продолжает оставаться в предельном состоянии.
Предположим, что элементарное скольжение имеет место вдоль линии скольжения 44 (рис. 47, 6), в результате чего произошло утоньшение полосы на величину △%.
2〃2〃
2〃
2〃
Рис. 47
Предельное усилие растяжения (1.15.20) уменьшится на величину △尸：
尸—△尸=44 (% — △%), △尸=44△儿 (1.15.21)
Дальнейшее деформирование может происходить по линиям скольжения, лежащим в зоне BCDE (рис. 47, 6). Очевидно, что в этой зоне находится одна ос-линия, АА\, все другие ос-линии выходят за пределы этой зоны, и множество р-линий, находящихся между линиями скольжения BE и CD.
Предположим, что элементарный сдвиг той же величины происходит по линии скольжения CD, в этом случае картина деформирования представлена на рис. 47, в. В результате по линии CD произойдет дополнительное утоньшение полосы на величину ДЛ, дальнейшее скольжение может произойти либо на ос-линии Bi Di, либо p-линии C\D\.
Переходя к пределу, рассматриваемый процесс можно представить как обтекание жесткого клина FD、F、(рис. 47, в) с раствором угла, равным 兀/2.
Предположим, что симметричный процесс скольжения первоначально происходит по линиям скольжения 4R 40, ВС, ВС' (рис. 48, а). В этом случае имеет место образование симметричных очагов деформирования, линии скольжения показаны пунктиром (рис. 48, 6). Вначале происходит скольжение по линиям oq, pj, далее — по линиям «2, р2 и т. д.
Очаг пластического деформирования в первой четверти ограничен зоной ОАСМ (рис. 49); аналогично для других четвертей. Промежуточное деформированное состояние свободной границы определено ломаными ЕС^А^А^^^С1^^1 •> FDi2B\2B\\Bf12Df12Ff (рис. 49).
Рис. 48Рис. 48бб
Рис. 48
Рис. 48
б
б
В первой четверти материалдеформ и руется в области
OA11A12C12ENO)аналогично в остальных четвертях. Предположим,
что скорость движения жесткого материала, направленная вдоль оси ж, численно равна единице. Первоначальное скольжение происходит вдоль характеристик 4R 40, ВС, ВС. В промежуточном состоянии
область КС\?ЕN является жесткой, в области КA^A^L материал движется со скоростью, численно равной д/^/2 и направленной вдоль 41 К. Точка 41 смещается вдоль оси у со скоростью, численно равной единице. Тан ген ци ал ьн ы е скорости терпят разрывы вдоль линий скольжения КС12・ Линия разрыва скоростей перемещается, КС12 смещается вдоль оси ж со скоростью, численно равной единице. Первоначальная недеформированная зона пластического материала АС МО при деформировании переходит в зону, ограниченную ломаной А^ А12С12ЕNО. В конечный момент деформирования точки О, 41, В21 совпадают.
Зона пластического деформирования в первой четверти в конечный момент ограничена ломаной OA^^GP^ tgv = 1/5, где v — угол наклона границы деформированного материала 422G к оси х.
Рассмотрим течение полосы шириной Л при ее вращении относительно точки О (рис. 50). Зона пластического деформирования совпадает с треугольником ВОВ\ в котором ож = 2瓦。夕 = тху = 0. Изгибающий момент М = к%2/2.
Обозначим через со угловую скорость вращения и определим скорости перемещения в зоне ВОВ':
и = сож, V = —сод. (1.15.22)
Линии тока течения (1.15.22) представляют собой гиперболы ху = =const. На характеристиках ВО〉В10 разрыва скорости нет. Предположим, что промежуточное состояние свободной границы определяется линией КК\ обозначим КО = г. При повороте жесткой зоны на угол d^ элементарный отрезок МК переходит в отрезок NL (рис. 50), dr = =КN = КL〉откуда
dr = —rd(p, г = Се~^.(1.15.23)
Величина г = ВО =依九 при 屮=0; в этом случае из (1.15.23) следует
г = V2he~\(1.15.24)
На рис. 50 показано положение полосы при повороте каждой половины на угол 兀/2. При этом А^О = he~n^2. Зона пластического деформирования материала заштрихована.
Осесимметрическая задача пластичностии проба Бринелля
Решение осесимметрической задачи пластичности имеет большое значение для построения теории испытания материалов на твердость. Весьма часто о твердости материала судят по размерам отпечатка от давления какого-либо штампа, например стального шарика (метод Бринелля) или конического острия (метод Роквелла) на плоскую границу материала. Экспериментальные данные показали, что так называемые числа твердости по Бринеллю и по Роквеллу связаны определенным образом с временным сопротивлением материала и его пределом текучести.
Теоретическим рассмотрением явлений, наблюдающихся при проникновении штампа в идеально пластическую среду, занимались Генки [105], Прандтль [203] и В.В. Соколовский [54]. Последний решил задачу для случая плоской пластической деформации при весьма общих предположениях об очертаниях границы среды и штампа и о характере сил трения между ними. Ниже тот же вопрос изучается для случая осевой симметрии на примере давления шара или плоского штампа на идеальную пластическую среду с плоской границей.
Пренебрежем небольшим искривлением поверхности вокруг штампа, которое происходит при пластическом деформировании, и будем считать границу пластической среды вне контакта со штампом плоской. Строго говоря, свободная граница среды может считаться плоской лишь в том случае, если предварительно сделана выемка материала по форме штампа и его сила давления на среду не больше предельного значения, при превышении которого штамп начинает погружаться в среду. Примем, что при достижении этого предельного значения все элементы среды вблизи штампа окажутся в пластическом состоянии.
Поместим начало цилиндрической системы координат r,\f, z в плоскость, содержащую свободную границу среды, а ось z направим по оси симметрии внутрь среды (рис. 51). Обозначим через ur,uw и uz малые перемещения ее частиц при незначительном увеличении силы давления штампа на среду за достигнутое значение. В рассматриваемой задаче перемещение и^ равно нулю.
Для точек среды, расположенных вблизи оси г, величины перемещений иг и uz представим в виде разложений
"Г=a0 +丁 +a2 + • • • ,=历 + 历 丁 + 62 +,
где а。，а“ 物 … и 历，历，忌 … 一 функции координаты z. На оси z перемещение иг обращается в нуль, следовательно, а。= 0.
Рис. 51Рис. 51Рис. 52
Рис. 51
Рис. 51
Предполагая среду несжимаемой, имеем
а {гиг） д（T〃z） _ пдг 十 dz = 5
откуда заключаем, что 2al + db^f dz = 0.
Очевидно, что на оси z справедливо неравенство & = duzfdz < 0, т. е. линейные элементы, имеющие ориентацию оси z, укорачиваются. Таким образом,
и, следовательно, вблизи оси z компоненты деформации дигq .Ur..
2Т— —— —a] + 2a2丁 +, 2屮—-—a]+a2丁 + .…
положительны.
Оси г и г в силу симметрии являются главными направлениями деформации среды в точках оси z и близки к главным направлениям в точках, расположенных около этой оси. Направление 屮 также является всюду главным.
Обозначим через 01,02,03 главные напряжения в точках среды и условимся, что 6，。2，。3・ Как оказывается, второе главное направление напряженного состояния совпадает в данном случае с направлением 屮,а первое и третье соответственно стремятся к направлениям z и г при приближении к оси z.
Вблизи оси z соответствующие главные компоненты деформации среды £i, £2 5 £з удов л етворя ют неравенствам 门 < 0, £2 > 0, £3 > 0.
Поэтому, следуя гипотезе пластичности Хаара-Кармана) , положим
01 =02 - 2k,02 =03,
где К — пластическая постоянная среды.
Обозначим через а (см. рис. 51) угол между первым главным направлением и осью z, тогда, как нетрудно усмотреть на соответствующем круге Мора (рис. 52), будут справедливы соотношения
о「= 12 (о】+ оз) + ^ (оз - и) cos 2ос,
°z = ^ G +°з) - ^(03 - Oi)cos2a,
T「z = - ^(03 - Oi) sin 2a.
Для точек оси z угол а равен нулю и oz =仃，а о「= 03. В свою очередь, для точек свободной границы среды oz = 0, а ог < 0. Так как направления г и z являются для точек свободной границы главными и ci < 03, то для этих точек oz =03, ^г = о” a =兀/2. Таким образом, можно считать, что при последовательном переходе от точек оси z к точкам свободной поверхности среды угол а увеличивается от 0 до л/2 (см. рис. 51).
Будем предполагать отсутствующим трение между поверхностью среды и поверхностью штампа. В таком случае нормаль к поверхности контакта среды и штампа оказывается первым главным направлением для тех элементов среды, которые примыкают к этой поверхности. Для элементов среды, расположенных на окружности раздела свободной границы среды и поверхности контакта, первое главное направление неопределенно и зависит от пути, по которому совершается приближение к точкам раздела. Если, например, подходить к этим точкам, перемещаясь по свободной границе, то первым главным направлением будет оставаться направление г; если же перемещаться по поверхности контакта, то, как было только что указано, — направление нормали к этой поверхности. Напряженное состояние в точках раздела является, таким образом, особенным, оно будет изучено позднее.
Обозначим через 0 угол между направлением г и биссектрисой прямого угла, образованного первым и третьим главными направлениями. Упомянутая биссектриса совпадает с направлением одного из
наибольших касательных напряжений для данной точки среды. Очевидно (см. рис. 51), что
6 =兀/4 - a.
Замечая далее, что (03 — 仃)/2 = К, получим, согласно кругу Мора (см. рис. 52), что
о「= о + К sin 2仇 qz = q — К sin 29, ^rz = —К cos 29,
где о = (о「+ On) /2. Далее имеем
01 =02 =03 = (03 +01) /2 + & -01) /2 =0+ k.
Подставляя выражения для напряжений Gz,Gr, Qrz, ov в уравнения равновесия среды
a^rN - Or 。屮 dr dz ra^rN - Or 。屮 dr dz r纽 оdr dz r '纽 оdr dz r '
a^rN - Or 。屮 dr dz r
a^rN - Or 。屮 dr dz r
纽 о
dr dz r '
纽 о
dr dz r '
приходим к двум дифференциальным уравнениям
半 + 2К cos 26里 + 2K sin 26啰—1 (К — К sin 2е) = О, ororг
轡 + 2К sin 26里-2K cos 26啰--Kcos2e = 0 ozoroz r
для двух неизвестных функций о и 0 переменных гиг.
Эти уравнения относятся к классу гиперболических уравнений математической физики. Характеристики их ортогональны между собой, и касательные к ним образуют с направлением г углы 9 и 兀/2 + + 0 в каждой точке среды, кроме отмеченных выше особенных точек. Действительно, умножая первое уравнение на cos 0, второе на sin 9 и раздельно складывая их левые и правые части, получим
cos 0 I ——Ь 2KI + sin 0 I —— + 2K —— I = — (cos 0 — sin 0).
\ or or /\ oz oz ) r'
Умножая, в свою очередь, первое уравнение на — sin 9, второе — на cos9 и вновь складывая, имеем
—sin 0 I — 2K -^― I + cos 0 I —— — 2K —— I = — (cos 0 — sin 0).
\ or or /\ oz oz ) r'
Вводя новые переменные 自 = (о + 2Ке)/К, “ = (о — 2/С0)/К, приходим к системе двух уравнений:
coscos啜 + sin 啜=(cose-sine),啜 + sin 啜=(cose-sine),
cos
cos
啜 + sin 啜=(cose-sine),
啜 + sin 啜=(cose-sine),
—sin 6 芻 + cos 6 患=；(cos 9 — sin 9),
которые можно также представить в виде
丽=- (cose-sme), 赤=- (cose-sme) ( e = - - n)
Здесь d/ds и d/dsf — производные по направлениям, образующим углы 0 и л/2 + 0 с осью г, т. е. по площадкам наибольших касательных напряжений в данной точке среды (см. рис. 51).
Два ортогональных между собой семейства кривых в плоскости rz, касательные к которым образуют углы 0 и л/2 + 0 с направлением г, назовем, следуя общепринятому, семействами линий скольжения (характеристик).
Полученные для функций ^ и г| уравнения показывают закон изменения этих функций вдоль линий скольжения. Поэтому если известны значения функций ^ и г| в двух близких точках, то можно приближенно найти значения тех же самых функций в точке пересечения линий скольжения разных семейств, проведенных через эти точки.
Действительно, пусть 自厶,т|厶 и ^м^ Лм ——значения функций ^ и г| в точках L и М (рис. 53). По ним могут быть найдены значения 6厶 и
дм и, следовательно, построены касательные в точках L и М к линиям скольжения.
Обозначим через N точку пересечения двух касательных s и sf к линии скольжения двух разных семейств, проведенных через точки L и М. Так как, по предположению, точки L и М близки друг к другу, то точка N приближенно определяет точку пересечения самих линий.
Пусть LN — касательная к линии скольжения первого семейства и МN — к линии скольжения второго семейства. Если точка N лежит на положительных направлениях этих касательных, т. е. полупрямых,
Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля 201 образующих углы 9^ и 9м + 兀/2 с направлением г, то будем иметь
2+ 倒+ ^^MN.
Более точные выражения для значений ^ и г| в точке N можно получить, заменяя величины г^ и гм соответственно величинами (丁厶 + Hv) /2 и (rM + nv) /2.
Именно таким образом производились действия при решении конкретных задач, приводимых ниже. При этом положение точки N определялось графически, пересечением прямых LN и МN. Углы наклона прямых вычислялись с точностью до тысячной доли радиана. При построении их использовался специально изготовленный транспортир с делением через каждые пять тысячных радиана. Таким образом, тысячные доли радиана откл адывались на глаз. Выбранные при решении задач линейные размеры построений обеспечивали верность в третьем знаке после запятой для разности значений величин и г|, так как измерения величин (丁厶+丁~)/2网(гм + г^) /2 производились с точностью до миллиметра. Отрезки (cos 0^ — sin 9^) LN = ND и (cos9m — sin Qm) MN = NE также измерялись на чертеже. Построение отрезков ND и NЕ показано на рис. 54. Измерение производилось с точностью до десятой доли миллиметра (также на глаз), что с избытком обеспечило точность в третьем знаке после запятой для отношений
(cos 0ь — sin 0l) LN (cos 0м — siuQm) MN(丁厶+丁n)/2 и(tm tn) |2'
которые подсчитывались посредством л огари фм и ч еской линейки.
Порядок вычислений поясняется схемой, представленной на рис. 55. При этом
= (cos®厶-sineL) LN) (2) = (丁厶 + rN) /2, (3) = (1): (2),
⑷=(coseM - sineM) MN, (5) = (rM +tn)/2, (6) = (4): (5),
&n = h + (3), T|N = ПЛ1 + ⑹，Bn =(自厶-iU)/2.
Пусть известны значения функций ^ и г|, а следовательно, и углы 0 = (^ — г|) /4 вдоль дуги, не являющейся линией скольжения. Тогда можно построить приближенное решение уравнений для этих функций в некоторой треугольной области, одной из криволинейных сторон
которой является данная дуга. Для этого возьмем на ней (рис. 56) последовательность достаточно близко расположенных точек [0, 0], [1,1], [2, 2], [3, 3], ..., [п, п] и построим, отправляясь от каждой пары соседних точек, новые точки [0,1], [1, 2], [2, 3], [3, 4], ... по одну сторону кривой, пользуясь только что описанным способом.
Найдя значения величин ^ и г|, а следовательно, и значение 0 = = (自—П)/4, можно продолжить построение и найти значения и г| в точках [0, 2], [1, 3], [2, 4],... Затем можно построить точки [0, 3], [1, 4],... ...,пока не придем к построению последней точки [0, п\.
Ломанные {[0,0], [0,1], [0,2], [0,3], •••}, {[1,1], [1,2], [1,3], [1, 4], ... }, ... представляют собой приближение к линиям скольжения одного семейства, а ломанные {[1,1], [0,1], [2, 2], [1, 2], [0, 2]}, {[3,3], [2, 3], [1, 3], [0, 3]}, ... — к линиям другого.
Задача о нахождении функции ^ и г| по их известным значениям на некоторой гладкой дуге является задачей Коши для уравнений гиперболического типа. Функции ^ и г| могут быть при этом, вообще говоря, найдены в области двух криволинейных треугольников, для которых данная дуга является общей стороной, а другими сторонами служат линии скольжения обоих семейств, проходящие через крайние точки (рис. 57).
Если же известны значения функций ^ и г| на двух дугах линий скольжения разных семейств, исходящих из одной точки, то можно найти значение ^ и г| и построить линии скольжения в области криволинейного четырехугольника, ограниченного двумя данными дугами и двумя линиями скольжения разных семейств, проходящими через их крайние точки (рис. 58).
Приближенное решение этой задачи, являющейся задачей Гурса для уравнений гиперболического типа, может быть построено теми же приемами, что и решение задачи Коши.
Выберем две последовательности достаточно близко расположенных точек: [0, 0], [0,1], [0, 2], ..., [0,п] на одной дуге и [0, 0], [1, 0],... ...,[т,0] на другой.
По данным значениям ^ и г| в точках [0,1] и [1, 0] строим точку [1,1] и определяем значения ^ и г| в этой точке. Затем по данным в точках [0, 2] и [1,1] строим точку [1, 2]. Далее последовательно находим точки [1,3], [1,4] и т.д.
Ломанная {[1, 0], [1,1], [1,2], [1, 3], [1, 4], ...} представляет собой приближение к линии скольжения первого семейства, проходящей через точку [1, 0]. Теперь по данным значениям ^ и г| в точках [1,1], [1, 2], [1, 3], [1, 4], ... строим точки [2,1], [2, 2], [2, 3], [2, 4], ..., определяющие приближенно новую линию скольжения.
Очевидно, что подобные построения точек и вычисление значений в них функций ^ и г| можно продолжать до тех пор, пока не будет приближенно построена последняя линия скольжения [m,0]5 [т51], [т,2], ..., [m,n], проходящая через крайнюю точку [т,0] дуги второй заданной линии скольжения {[0, 0], [1, 0], [2, 0], [3, 0], ..., [т,0]}.
Последовательности {[0,1], [1,1], [2,1], [3,1], ..., [ш,1]}, {[0, 2], [1, 2], [2, 2], [3, 2], ..., [ш,2]}, {[0, 3], [1, 3], [2, 3], [3, 3], ..., [т^, ... приближенно определяют второе семейство линий скольжения.
Если известны значения функций ^ и г| на дуге одной из линий скольжения, а на другой дуге, не являющейся линией скольжения, дано соотношение между ^ и г|, например г| =。自 + 仇 то значения ^ и г|
могут быть найдены в области, которая ограничена этими дугами и двумя линиями скольжения, проходящими через крайние точки этих Дуг (рис. 59).
Для приближенного решения этой третьей задачи, которая является смешанной задачей уравнений гиперболического типа, возьмем последовательность расположенных близко друг к другу точек [0, 0], [0,1], [0, 2], [0,3], ..., [0, п] на заданной линии скольжения. В точке [0,1] построим к ней нормаль и отметим точку [1,1] приближенного пересечения данной дуги с линией скольжения, проходящей через точку [0,1].
В зависимости от принадлежности отрезка [0,1], [1,1] к первому или ко второму семейству линий скольжения можно найти, отправляясь от точки [0,1], приближенное значение функции 自 или функции г| в точке [1,1]. Вследствие заданного соотношения между ^ и г| на второй дуге этого достаточно для определения обеих функций ^ и г| в точке [1,1].
Далее строим точно так же, как и в двух предыдущих задачах, точки [1, 2], [1, 3], , [1, п].
Значения величин ^ и г| в точке [1, 2] позволяют построить точку [2, 2], которая приближенно лежит на пересечении второй данной дуги с касательной к линии скольжения, проходящей через точку [0, 2].
Затем строим точки [2, 3], [2, 4], ..., [2, п]; [3, 3], ..., [3,п] и, наконец, точки [m,m], [m,m+l], ..., [m,n], определяющие приближенно положение той линии скольжения, которая проходит через крайнюю точку [m, т] второй дуги.
Точки {[0,п], [1,п], [2,п], ..., [т, п]} определяют при этом ту линию скольжения другого семейства, которая проходит через крайнюю точку [0,п], расположенную на линии скольжения первого семейства.
Если линии скольжения одного и того же семейства пересекаются в одной точке (рис. 60), то в непосредственной близости к этой точке второе семейство линий скольжения, вследствие ортогональности к первому, должно иметь вид дуг концентрических окружностей. Длины
Рис. 60
дуг этих окружностей, заключенные между крайними линиями скольжения первого семейства, стремятся к нулю по мере приближения к точке их пересечения. Поэтому одна из функций,自 или г|, должна стремиться к некоторому предельному значению по мере приближения к упомянутой точке.
Действительно, так как функции ^ и г| удов л етворя ют уравнениям
父 1 / 八^Л 1 / 八
- (cos 9 — sin , 戸=-(cos 9 — sin ,
то при перемещении по дугам второго семейства (близким по форме к дугам окружности) имеем на основании известной теоремы Лагранжа
自2 —自1 = QAs Либо Т|2 — "1 = Q、3、
где △§ и △§' — длины соответствующих дуг,自i 北2 网 巾，"2 — значения функций ^ и г| на их концах и Q — значение выражения (cos 0 — sin 9)/г в некоторой средней точке среды. По мере приближения к точке Пересе-
чения линий скольжений величина △§ стремится к нулю, а величина Q остается ограниченной. Следовательно, если касательная к дуге образует угол 9 с направлением г, то значения 自i и 自2 стремятся друг к другу; если же она образует угол 0 + л/2, то стремятся друг к другу значения 巾 и 也
С другой стороны, в непосредственной близости к упомянутой точке остается справедливым соотношение 0 =(自一“)/4. Поэтому одна из величин 自 или г| стремится к разным пределам, зависящим от предельного угла наклона касательной к соответствующей линии скольжения в точке пересечения. Вследствие этого будем называть пересечение линий скольжения точкой разрыва).
Пусть известны значения функций ^ и г| вдоль дуги одной из линий скольжения, проходящей через точку разрыва. Тогда можно последовательно построить дуги других линий скольжения, проходящих через точку разрыва, и найти на них значение и г|.
Решение этой задачи, которую мы будем называть задачей Христиановича-Соколовского [54], аналогично решению задачи Гурса. Возьмем (см. рис. 43) последовательность близко расположенных точек {[0, 0], [0,1], [0,2], ..., [0,п]} на дуге с заданными на ней значениями и г| и проведем через точку разрыва [0, 0] ряд прямых (0), (1), (2), (3), ..., (т) (рис. 43), образующих малые углы друг с другом, причем прямая (0) является касательной к заданной линии скольжения. Остальные прямые можно рассматривать как касательные к другим линиям скольжения. Положение последней прямой (т) определяется обычно условиями задачи.
Предельное значение одной из величин (自 или г|) в точке разрыва является общим для всех линий одного семейства, а значение другой определяется углом наклона касательной к направлению г. Если, например, заданная линия скольжения такова, что касательная к ней образует угол 9 с направлением г, то значение г| в точке разрыва [0, 0] будет общим для всех проходящих через нее линий скольжения. Для предельных значений 自 имеем
自=4е + %
где 0 — угол наклона касательной к выбранным линиям скольжения в точке разрыва.
Итак, можно считать известными предельные значения функций 自 и г| для линий скольжения, касательными к которым являются прямые (1), ..., (ш).
Построим в точке [0,1] касательные к линии скольжения второго семейства. Пересечение ее с прямой (1) приближенно определит точку [1,1] пересечения соответствующих линий скольжения, после чего можно найти приближенные значения ^ и г| в этой точке по данным значениям их в точке [0,1] и предельным значениям в точке разрыва.
Затем строим точку [2,1] пересечения прямой (2) с касательной к линии скольжения второго семейства, проходящей через точку [1,1], и находим приближенные значения ^ и г| в этой точке. Далее подобным же образом строим точки [3,1], [4,1], ..., [т,1], которые вместе с точками [0,1], [1,1], [1, 2] приближенно определяют положение линии скольжения, проходящей через точку [0,1]. После этого данная задача сводится к задаче Гурса о нахождении функций ^ и г| по данным их значениям соответственно на двух линиях скольжения {[0,1], [0, 2],... ...,[0,п]}И{[0,1], [1,1], [2,1], ...,[т,1]}.
Таким образом, задача оказывается приближенно решенной в области криволинейного треугольника, которая ограничена двумя линиями скольжения одного семейства, исходящими из точки разрыва, и пересекающей их третьей линией скольжения другого семейства. Положение последней линии определяется условиями задачи. Очевидно, что точку разрыва можно рассматривать как дугу линии скольжения, стянувшуюся в точку.
Некоторое представление о характере напряженного состояния вблизи точки разрыва можно получить аналитически.
Будем считать напряжения вблизи точки разрыва равномерно ограниченными, т. е. меньшими по модулю некоторой константы, общей в окрестности точки разрыва. Кроме того, допустим, что вблизи точки разрыва функции ^ и г| могут быть представлены разложениями
自=的 + р卩(а】+ a2P + азР? + •••),
П =历 + Р@ (历 + 62P + ЬзР? +
где р — расстояние от точки разрыва; а。, а】,也。3,… и 匕0,匕“匕2,匕3 5 • • •——функции угла ср между направлениями г и прямой, идущей к этой точке; |1>0ии>0 — показатели, подлежащие определению.
Замечая, что (рис. 61) г = р sin ср, 丁 = Z + р cos ср, где Z — расстояние между точкой разрыва и осью г, имеем
дд . д
P^=pcos 嘛-smcp帝
д . д , аp^ = psin%+cos(p^-
Последние соотношения позволяют преобразовать дифференциальные уравнения для и г| к виду
I а& •/、 а& I、 i am cos е - sin е
济 cosе + 而sinе = cos（е —屮）茹 + sin （е —屮）6 斫=/ + pcos（p， -热m ё + 招 cos 6 = - sin （ё -屮）為 + cos （ё -屮）；黑=澤盛： Здесь по-прежнему 6 =（自一“）/4.
Р
Рис. 61
Правые и левые части полученных уравнений можно разложить по степеням р. Коэффициенты при р-1 в разложенных левых частях уравнений оказываются соответственно равными
.（do — bo 、da。屮丿肃 И C°S.（do — bo 、da。屮丿肃 И C°Sао — boао — bodb0db04 屮丿岁4 屮丿岁
.（do — bo 、da。
屮丿肃 И C°S
.（do — bo 、da。
屮丿肃 И C°S
ао — bo
ао — bo
db0
db0
4 屮丿岁
4 屮丿岁
Разложения правых частей уравнений не содержат отрицательных степеней р, так как I * 0. Следовательно, приведенные коэффициенты должны обращаться в нуль. Это может иметь место в трех случаях:
da（）/dq）= 0, dbo/d（p = O;
da（）/dq）= 0, （а。一历）/4 —屮=兀/2 + ттг兀;
曲o/d（p = O, （а。一历）/4 —屮=иг兀，
где т — целое число.
В первом случае величины а。и 历 суть постоянные величины и значения ^ и г| в точке р = 0 однозначны. Точка р = 0 при этом не является точкой разрыва.
Во втором случае величина а。постоянна и, следовательно, значение 自 однозначно в точке р = 0. Для величины 历 имеем выражение
历=а。一 （2兀 + 4ттг兀）—4（р.
Таким образом, предельное значение функций г| при приближении к точке разрыва зависит от полярного угла ср.
В третьем случае, напротив, значение функции г| не зависит от пути приближения к особой точке, так как величина 6。не зависит от угла ср. Значение главного члена разложения функции 自 вблизи точки разрыва определяется при этом выражением
а。= 6。+ 4ттг 兀 + 4(р
и тем самым в точке разрыва не однозначно.
В обоих последних случаях значение угла наклона касательной к линии скольжения одного семейства стремится по мере приближения к точке разрыва к значению полярного угла ср. Таким образом, в точке разрыва линии одного из семейств пересекаются. Можно аналитически показать, что вблизи точки разрыва линии другого семейства мало отличаются от окружностей с центром в особой точке.
Далее последовательно вычисляются выражения для коэффициентов а】，。2, •…；匕1,匕2, •…и определяются значения показателей ц и и.
Перейдем теперь к решению задачи о давлении абсолютно жесткого штампа на идеально пластическую среду.
Примем, что сила давления на штамп имеет определенное предельное значение, после превышения которого штамп начинает погружаться в среду и деформация последней становится значительной. Следовательно, в области среды, окружающей штамп, надлежит положить, как уже указывалось,
о「= о + К sin 26, qz = Q — К sin 29, тГ2 = —К cos 29.
Выше был введен угол а между первым главным направлением тензора напряжений и осью z. Для свободной границы среды а =兀/2. А так как 0 = 兀/4 — а, то во всех точках этой границы 0 = —兀/4. Учитывая, что на ней с^ = 0, имеем
0 = о + К.
Таким образом, во всех точках свободной границы среды
и, как следствие,
自=—(兀/2 + 1), т| =兀/2 — 1.
Зная функции ^ и г| на границе среды АВ (рис. 62), можно, решая задачу Коши, построить линии скольжения обоих семейств и г| в треугольной области АВС, примыкающей к свободной границе.
Нетрудно видеть, что угол 0 уменьшается при перемещении по линиям скольжения в глубь среды. Чтобы это доказать, рассмотрим
точку F, находящуюся на пересечении линии скольжения первого семейства FD и линий скольжения второго семейства EF (см. рис. 62).
Вдоль линии FD справедливо соотношение
cos 0 — sin 0卜 dr — dz
丽=，откуда d 自=—-—•
При перемещении из точки F в точку D координата г возрастает, a z уменьшается. Таким образом, dr > 0, dz < 0 и, следовательно, d自 > > 0. Поэтому значение 自 в точке F меньше той же функции в точке D.
Вдоль линии скольжения ER, в свою очередь, дг\ cos 0 — sin 0, dr — dz
后=，откуда d” = ——•
При переходе от точки F к точке Е координаты г и z уменьшаются, вследствие чего d” < 0. Поэтому значение функции г| в точке F больше ее значения в точке Е, или, что то же, в точке D, так как функции 自 и г| на свободной границе среды постоянны.
Таким образом, значение разности 自一“ в точке F меньше, чем ее значение в точках D и Е, а следовательно, и угол 9, вычисленный для точки F, меньше, чем для точек D s Е〉где он равен —兀/4.
Если штамп абсолютно гладок, то линии скольжения будут проходить под углом 兀/4 к его поверхности. Одна из таких линий пройдет через точку 4, которая расположена на краю контактной поверхности. Через эту точку проходит другая линия скольжения АС того же семейства, которая образует угол 兀/4 со свободной границей среды. Таким образом, как уже отмечалось выше, эта точка является точкой разрыва напряженного состояния и через нее проходит пучок линий скольжения.
Так как АС является линией скольжения второго семейства (вдоль нее происходит изменение функции г|), то и все остальные линии, проходящие через эту точку, также будут принадлежать ко второму
семейству. Следовательно, предельное значение функции г| в точке 4 зависит от пути, по которому идет приближение к этой точке. Функция 自 в точке разрыва однозначна и равна — (1 + 兀/2), как и на отрезке АВ свободной границы.
Считая линию скольжения АС (рис. 62) построенной в результате решения задачи Коши по данным ^ и г| на участке границы АВ и зная значения функции ^ и г| на этой линии, можно, решая теперь уже задачу Христиановича-Соколовского-Гурса, построить линии скольжения и определить значения ^ и г| в области GAC.
Рис. 63
При этом в конце концов окажется построенной линия скольжения второго семейства, проходящая под углом 兀/4 к поверхности штампа у точки А. Предельное значение функции на этой линии при приближении к точке А может быть найдено непосредственно. Для этой цели обозначим через %/ угол между нормалью к поверхности штампа в точке А и направлением г (рис. 63). Тогда угол наклона линии скольжения первого семейства, ортогонального к линии 74a при приближении (см. рис. 62) к точке А будет стремиться к значению 无4 —兀/4.
Таким образом, для линий АС и AG имеет соответственно предельные соотношения
J (自— П/с) = —% J (自ZG — П/G)=— %
Так как предельные значения функции 自，т. е. величины 自力。и 自zg, на обеих линиях равны между собой, то
^AG = Плс - 4/Л = ^ - 1 - 4/л
и, конечно,
Далее, для полусуммы 色4G главных напряжений 仃 и 03 =。2 на линии скольжения AG вблизи особой точки А имеем следующее значение:
^ag = ；К (^ + г|) = ；К — (^ + 1) + ^ - 1 - 4%/ = —К (1 + 2/л).
Отсюда получаем, что (см. рис. 62) нормальное давление среды на штамп в окрестности точки А определяется следующим образом:
-QA = О1 = d4G _ к = -(2 + 2/л) К.
Наибольшее по модулю давление в точке А имеет место для плоского штампа. В этом случае %/ =兀/2 и, таким образом,夕力=(2 + 兀)К.
Как будет видно из дальнейших вычислений, давление на штамп несколько увеличивается при перемещении по его поверхности к оси симметрии.
Для определения закона распределения этого давления надлежит решить (см. выше) смешанную задачу отыскания функций и г| в области НAG (см. рис. 62). В самом деле, на границе штампа НА имеем
8 =(m4r')= % _ } T.e・"=自+兀一4无
где % — угол наклона к направлению г нормали к поверхности штампа.
Вместе с тем значения функций ^ и г| на линии скольжения AG становятся известными в результате решения предыдущей задачи Христиановича-Соколовского-Гурса. Решая теперь задачу смешанного типа, можно построить линии скольжения и определить значения функций ^ и г| в треугольной области НAG и, в частности, найти их значения на линии НА.
Так как величины главных напряжений oj и 03 определяются формулами
。1 = О - к, Оз = о + К, о = К ^^,
то можно найти значения и этих величин на линии НА.
Нормальное давление q среды на штамп с точностью до знака равно главному напряжению о】.В результате задача окажется решенной.
Общее усилие давления сферического штампа на среду выражается при этом криволинейным интегралом
尸= ] 2兀丁夕sin%ds = 2兀] rqdr^
AHAH
Осесимметрическая задача пластичности 〃 проба Бринелля 213 а твердость материала среды по Бринеллю — отношением
Нв = P/F,
где F — площадь контактной поверхности.
Заметим, что твердость по Бринеллю несколько отличается от среднего удельного давления на штамп — твердости по Мейеру, т. е. от значения Нср = Нм =尸/疯匕 так как площадь поверхности контакта — сферического сектора — больше площади соответствующего малого круга.
Построение линий скольжения и графическое определение вспомогательных величин для подсчета разностей значений ^ и г| производилось на листе ватмана, причем радиус Z границы контактной поверхности был взят равным 400 мм. На рис. 64 (случай плоского
ж OS/ 0「х/ ог—<0I.9T . 0I.LT 0IQO1 01.61ж OS/ 0「х/ ог—<0I.9T . 0I.LT 0IQO1 01.61坤 M0ZI.9I坤 M0ZI.9I^-М618.с —^-М618.с —
ж OS/ 0「х/ ог—<
0I.9T . 0I.LT 0IQO1 01.61
ж OS/ 0「х/ ог—<
0I.9T . 0I.LT 0IQO1 01.61
坤 M0ZI.9I
坤 M0ZI.9I
^-М618.с —
^-М618.с —
штампа) и рис. 65 (штамп сферический) линии скольжения показаны в уменьшенном масштабе).
Для построения линий скольжения в области АВС (см. рис. 62 и 64) на свободной границе были взяты точки [0, 0], [1,1], [2, 2], [3, 3],... ...,[10,10] на расстоянии 20 мм друг от друга.
Затем в соответствии с изложенным выше строились группы точек [ОД], [1, 2], [2, 3], ...,[9,10]; [0, 2], [1, 3], [2, 4], ..., [8,10] и т. д.
Результаты вычислений значений функций ^ и г| в криволинейном треугольнике АВС приведены в табл. I).
Порядок этих и последующих вычислений поясняется схемой, представленной на рис. 38, клетки которой соответствуют данным табл. 1.
Рис. 65
Существенными для дальнейшего построения являются точки [0,1], [0,2], [0,3], ..., [0,10], которые лежат на линии скольжения АС (см. рис. 62 и 64).
Для построения линий скольжения в области С AG через особую точку А были проведены прямые с углами наклона 6 + 兀/2 к направлению г, соответственно равными 0.786, 0.851, 0.921, 0.991, ..., 2.221, 2.271, 2.316, 2.356. Участки построенных прямых, примыкающие к особой точке А, принимались за начальные участки линий скольжения, проходящих через ту же точку.
Предельные значения угла 0 на этих линиях (при приближении к особой точке А) равны соответственно —0.786, —0.720, —0.650, -0.580,0.650, 0.700, 0.745, 0.785.
Построение точек в области С AG производилось последовательно группами {[—1,1], [—1,2], [—1,3],[—1,10]}, {[—2,1], [—2,2],
...,[—2,10]} и т. д., причем значения функций ^ и г| в этих точках, вычисленные по схеме рис. 55, также сводились в табл. 1.
Для случая плоского штампа последней линией скольжения области С AG является линия AG {[-24,1], [-24, 2], [-24, 3],[-24,10]}.
Таблица 1
s'
Искомая функция
-27
-25
-23
-21
-19
-17
10
л е
-4.447
-7.390
0.735
-4.176
-6.205
0.507
-3.940
-5.420
0.370
-3.749
-4.808
0.265
-3.582
-4.269
0.172
-3.447
-3.816
0.092
8
л е
-3.782
-6.318
0.634
-3.661
-5.550
0.472
-3.529
-4.929
0.350
-3.402
-4.379
0.244
-3.292
-3.907
0.156
6
л е
-3.393
-5.629
0.559
-3.307
-5.018
0.428
—3.212
-4.467
0.314
-3.123
-4.001
0.219
4
л е
-3.091
-5.079
0.497
-3.022
-4.536
0.379
—2.952
-4.071
0.280
2
л е
-2.818
-4.590
0.443
-2.764
—4.129
0.341
0
л е
—2.571
-4.173
0.400
Построенные линии скольжения в области С AG для случая плоского штампа можно использовать и для других случаев, в частности сферического и конического штампов. Поэтому линии скольжения семейства г|, исходящие из особой точки А, были построены с малыми интервалами предельных значений угла 0.
Отправляясь от линии AG и найденных на ней значений функций ^, г| и 9, можно теперь отыскать их значения в области HAG. Построение точек проводилось аналогичным образом — группами {[—25,1], [-25,2], [-25,10]}, {[-26,2], [-26,3], [-26,10]} и т.д. вплоть до точки Н [—34,10] завершающей все построение.
При подсчете значений функций ^ и г| учитывалось, что в точках контактной поверхности плоского штампа {[—25,1], [—26,2],... …，[—34,10]} имеет место соотношение
6 =（自-ri）/4 =兀/4 или "=自-3.142.
Результаты расчетов приведены в той же табл. 1.
Далее в упомянутых точках плоской контактной поверхности подсчитывались значения функции о и напряжения。之 по формулам
о = К С _ 力，。n = О _ К = К С _ ^ _ 1)
и измерялись на чертеже расстояния (в миллиметрах) этих точек от оси z. Интеграл
Р = 2л j rq dr (q =匕 | =卜之 |),
АН
представляющий собой полное усилие давления штампа на пластическую среду, подсчитывался приближенно по формуле трапеций.
Значение q в точке Н при подсчете принято приближенно равным значению той же функции в точке [—34,10]. Для более полного его определения следовало бы построить такую линию скольжения, которая, имея начало на свободной поверхности среды, точно прошла бы через точку Н (цент поверхности контакта). Построение, не указанное на рис. 64, показало, что начало такой линии отстоит от точки [10,10] на расстояние, меньшее 20 мм. Так как значение функции q в точке Н оказывает малое влияние на значение силы 尸，то указанное построение опущено.
Результаты вычисления значений 仃 =。之 в точках контакта приведены в табл. 2,в которой
『А =Г|=&一兀,,
q = \^-K\. 而=К生安也迎.
По данным этой таблицы
I
尸=]2兀夕丁 dr 2兀К $^ 疗△丁 = 454000 • 2兀К. о
Учитывая, что площадь контактной поверхности F =兀产 в “анном случае равна 160 000 л, получаем Р/F = 5.68К = Нв•
Это и есть теоретическое значение твердости по Бринеллю Нв для случая плоского штампа. При этом
3 = 2К = 0.352 Нв・
Построения и вычисления для случая сферического штампа ведутся аналогичным образом. Последняя линия скольжения в области С AG
выбирается по углу %/, который образует с направлением г нормаль к поверхности штампа в точке А. Так, для сферического штампа, рассмотренного в качестве примера (см. рис. 63, 64), значение %/ взято равным 1.185 или 67°55‘. При этом предельное значение угла 0 на линии скольжения AG равно 0.400. Таким образом, последней в области С AG (см. рис. 64) в проведенном построении является линия скольжения {[-17,1], [-17,2], [-17,3], ...,[-17,10]}.
Выбранному значению угла 无4 соответствует радиус сферы, равный 1063 мм, и погружение штампа в среду на 78.0 мм, что составляет 0.195 внешнего радиуса контактной поверхности (радиуса отпечатка). Диаметр границы контактной поверхности составляет в данном случае 0.375 диаметра сферы штампа.
Так как линии скольжения в области ВАС и частью в области С AG соответственно совпадают с линиями скольжения предыдущей задачи, то построение их на рис. 65 опущено.
Итак, приближением к линии скольжения AG на рис. 64 теперь будет являться линия {[—17, 0], [—17,1], [—17, 2], [—17, 3], ..., [—17,10]}. Тем самым она становится исходной при построении линий скольжения {[-18,1], [-18, 2], [-18,10]}; {[-19, 2], [-19, 3], ..., [-19,10]} и всех остальных в области НAG для сферического штампа.
Вычисленные значения функций ^ и г| в точках области HAG приведены в табл. 3. При подсчете функций ^ и г| в точках контактной поверхности [—18,1], [—19, 2], ..., [—27,10] использовалось соотношение г| =自一兀 + 4%, которое, в частности, приводилось для точки А. Значение % находилось по очевидной формуле
cos % = 7 cos/л,
где г — измеряемое на чертеже (см. рис. 65) расстояние упомянутых точек контактной поверхности от оси z, a Z = 400 — выбранное ранее расстояние от точки А до оси z.
Результаты вычисления различных величин, в частности удельных давлений q среды на поверхность штампа, необходимые для подсчета общего усилия 尸，с которым штамп давит на среду, приведены в табл. 4. В ней
2=4 © = X - р П = - 40, q = g-K|,
cos% = jcos/л, о =万(自+ n),疗=皆①+务行)■
По данным этой таблицы имеем
Р = 2兀]qr dr ^ 2兀К $^ 冇△丁 = 425100 • 2兀К. о
Отношение
P/F = HB.
где F подсч и ты вал ось по формуле
FFcos2(7t/2 一 ％厶/2)cos2(7t/2 一 ％厶/2)=1.038л/2=1.038л/2
F
F
cos2(7t/2 一 ％厶/2)
cos2(7t/2 一 ％厶/2)
=1.038л/2
=1.038л/2
(兀/4 — %z/2 = 0.193, cos 0.193 = 0.9814),
для рассматриваемого сферического штампа оказалось равным 5.22 К (для плоского 5.68 К).
Если же брать вместо площади F контактной поверхности величину ее проекции Ff = 兀产(％ — 400) на плоскую границу недеформирован- ного тела, то отношение силы Р к величине этой проекции (твердость по Мейеру) оказывается равным Нм = 5.31 К.
Для упругопластических тел без упрочнения следует считать справедливым соотношение о$ = 2К, где о$ — предел текучести при простом растяжении. Таким образом, в случае плоского штампа имеем о$ = = 0.352 Нв〉а для сферического штампа — о$ = 0.383 Нв = 0.376 Нм・
Приведенные расчеты позволяют считать, что отношение предела текучести о$ к числу твердости по Бринеллю Нв для упругопластических тел без упрочнения должно мало зависеть от диаметра отпечатка. Это обстоя тел ьство находится в соответствии с экспериментальными данными, согласно которым о$ = 0.34 -4- 0.36 Нв、)・
Шилд повторил решение задачи о давлении плоского штампа на идеально пластическое полутело, пользуясь по существу той же методикой, однако более совершенными для того времени вычислительными средствами [220].Расхождение с приведенным решением оказалось в общем незначительным. В 1984 г. научные сотрудники Института проблем механики АН СССР Н.Г. Бураго и А.Н. Туманов заново проделали все вычисления на электронной вычислительной машине ЕС- 1055 с выходом на графопостроитель для вычерчивания линий скольжения (характеристик). Результаты как в основном, так и в уточненном варианте (с использованием вторых разностей) также сравнительно мало отличаются от приведенных в настоящем параграфе.
Вместо приведенного в настоящей работе отношения 6s ]Нв =0.352 (1943 г.) между пределом текучести и числом твердости по Бринеллю Шилд (1955 г.) получил GsIНв = 0・359. Результаты Н.Г. Бураго (1984 г.) оказались такими же, как в настоящем параграфе. Они хранятся в библиотеке Института проблем механики АН СССР.
Осесимметри/ескаа запаса шшспшсноспш S проба Вринелла 219
-34
-32
-30
-28
-26
-24
—18
-12
一6
0
2
4
6
8
10
Искомая функция
-4.022
-3.923
-3.827
-3.748
-3.673
-3.618
-3.483
-3.269
-3.066
-2.892
-2.834
-2.771
-2.706
-2.639
-2.571
-7.164
-6.674
-6.338
-6.075
-5.823
-5.594
-4.129
-2.310
-0.592
1.041
0.923
0.814
0.723
0.641
0.571
п
10
0.785
0.688
0.628
0.582
0.538
0.494
0.162
-0.240
-0.619
-0.983
-0.939
-0.896
-0.857
-0.820
-0.786
0
-3.549
-3.523
-3.485
-3.443
-3.401
-3.316
-3.158
-2.996
-2.850
-2.783
-2.714
-2.643
-2.571
-6.691
-6.382
-6.126
-5.877
-5.651
-4.225
-2.419
-0.694
0.954
0.838
0.735
0.647
0.571
п
8
0.785
0.715
0.660
0.609
0.563
0.227
-0.185
-0.576
-0.951
-0.905
-0.862
-0.823
-0.786
0
-3.248
-3.237
-3.215
-3.189
-3.139
-3.033
-2.913
-2.801
-2.726
-2.649
-2.571
-6.390
-6.148
-5.907
-5.685
-4.304
-2.521
-0.796
0.863
0.751
0.653
0.571
п
6
-0.785
0.728
0.673
0.624
0.291
-0.128
-0.529
-0.916
-0.869
-0.826
-0.786
0
-3.010
-3.001
-2.986
-2.962
-2.896
-2.817
-2.738
-2.655
-2.571
-6.152
-5.921
-5.704
-4.366
-2.616
-0.898
0.768
0.661
0.571
п
4
0.785
0.730
0.680
0.351
-0.070
-0.480
-0.876
-0.829
-0.786
0
-2.781
-2.776
-2.767
-2.741
-2.703
-2.662
-2.571
-5.923
-5.714
-4.416
-2.701
-0.997
0.670
0.571
п
2
0.785
0.735
0.412
-0.010
-0.427
-0.833
-0.786
0
-2.571
-2.571
-2.571
-2.571
-2.571
-5.715
-4.453
-2.773
-1.093
0.571
п
0
0.785
0.470
0.050
-0.370
-0.786
0
Таблица 2
Переменная
H
-34,10
-33,9
-32,8
-31,7
-30,6
-29,5
-2
丁
0
51.8
103.3
150.5
190.9
229.8
263.1
29
—
-4.022
-3.750
-3.549
-3.388
-3.248
-3.125
-3
л
—
-7.164
-6.892
-6.691
-6.530
-6.390
-6.267
—6
o/K
—
—5.593
-5.321
-5.120
—4.959
-4.819
-4.696
-4
"К
6.600
6.593
6.321
6.120
5.959
5.819
5.696
5.!
qr / К
—
341.5
653.0
921.1
1137.6
1337.2
1498.6
16/
qr
170.8
497.2
787.0
1029.3
1237.4
1417.9
157
Ar
51.8
51.5
47.2
40.4
38.9
33.3
31
QrAr
8845
25608
37147
41585
48135
47216
50
Переменная
Н
-27,10
-26,9
-25,8
-24,7
-23,6
-22,5
-2
丁
0
58.3
112.6
160.2
200.3
237.8
271.8
30
?L-sdeaMHO MacmufecKoe тело
-26,2
-25,1
A
352.4
377.4
400.0
-2.781
-2.671
-2.571
-5.923
-5.813
-5.715
-4.352
-4.242
-4.142
5.352
5.242
5.142
886.0
1978.3
2056.8
830.3
1932.2
2017.6
27.8
25.0
22.6
)0882
48304
45597
Таблица 3
户 16，ocecuMMempufe
19,2
-18,1
A
；55.6
378.6
400.0
Таблица 4
§17. Начальное пластическое течениепри внедрении сферического инденторав жесткопластическое полупространство
Рассмотрим задачу о начальном пластическом течении при внедрении гладкого сферического штампа в жесткопластическое полупространство (рис. 66). Глубина лунки Л, радиус лунки а и радиус сферической поверхности штампа R связаны соотношением
a2 + (R-hf = R2,
поэтому только две из трех указанных величин являются независимыми. Если за характерный размер выбрать радиус лунки а, то един-
Рис. 66
ственным независимым параметром задачи оказывается безразмерная величина радиуса сферы R* = —, а два других безразмерных параметра имеют вид
а* = 1, %* = R* — ,R*2 — 1.
Задачу решаем в цилиндрических координатах г, г, ср для пластического режима, соответствующего ребру призмы Треска в пространстве главных напряжений, при котором уравнения, описывающие поля
напряжений и скоростей, оказываются гиперболическими с характеристиками ос, р, совпадающими с направлениями максимальных напряжений в плоскости г, г:
для ос, $ = —ctg® для р. аг аг
Компоненты напряжения в цилиндрических координатах связаны с нормальными и касательными напряжениями, действующими на площадках, совпадающих с характеристиками, уравнениями
ог = о — k sin 20, On = о + 4 sin 20,
тГ2 = k cos 20, o(p = o + k,(1.17.2)
5 + °275 — °2
0 — угол между касательной к характеристике первого семейства и положительным направлением оси г, к — пластическая постоянная.
Вдоль характеристик ос, р имеют место дифференциальные соотношения для функций он®
do — 2kdQ = ^(dr + dz)^ do + 2kde = &d< — dz), (1.17.3) для скоростей。&,呼
2
dva — Upd0 = ^(v^dz — vadr\(1.17.4)
2
dop + vada = — ^(°adz + v^dr).
Компоненты скорости в цилиндрических координатах выражаются через % W по формулам
vr = va cos 0 — i；p sin e, vz = va sin 9 + Up cos 9.(1.17.5)
Закон пластического течения, ассоциированный с ребром призмы Треска, удовлетворяется при выполнении неравенств для поля скоростей
за十a8а2 5 丿
через д/да, д/д^ обозначено дифференцирование вдоль характеристик первого и второго семейства соответственно. При выполнении условия (1.17.6) диссипативная функция неотрицательна.
Граница 1.1-0.2 жесткопластического полупространства свободна от нормальных и касательных напряжений. Сжимающие напряжения о「= —2k вызывают на границе пластическое состояние.
Из уравнений (1.17.2) следует
о = —к, е=} 丁》1, z = 0.(1.17.7)
На гладкой границе 0.3-1.4 штампа, свободной от касательных напряжений, имеем следующие граничные условия:
3冗А* —九 + Z( I 7
0 = ——— ср, ср = arccos^J
% =呼 + л/2^ cos ср, 0г 1, z = д/R*2 — г2h* — R*.
Принимаем, что жесткопластическая граница совпадает с характеристикой 1.1-1.4 семейства р, которая пересекает поверхность штампа в точке, лежащей на оси симметрии.
По условию несжимаемости компонента скорости %, нормальная к жесткопластической границе, должна быть непрерывна при переходе из жесткой области в пластическую. Разрыв компоненты скорости о В вдоль жесткоп л асти ч еской границы также отсутствует, так как в противном случае при приближении к оси симметрии он возрастал бы неограниченно. Таким образом, вдоль жесткопластической границы 1.1-1.4 скорости непрерывны
— 05 W = 0.(1.17.9)
Построение полей напряжений и скоростей, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (1.17.3), (1.17.4) и граничным условиям (1.17.7)—(1.17.9), получено поеледовательным решением краевых задач вначале для напряжений, а затем для скоростей численным методом. В уравнениях (1.17.1), (1.17.3), (1.17.4) дифференциалы заменены конечными разностями, а функции — средними значениями между соседними узловыми точками. После аппроксимации дифференциальным уравнениям (1.17.1), (1.17.3) ставится в соответствие система из четырех уравнений относительно неизвестных г, г, о, 0. Два из этих уравнений нелинейны. Система решена для каждой узловой точки сетки итерационным методом с условием на окончание вычислений в виде
(片一丁尸)+ (% - %一1)2 + (0£ -0£一1)2 + (% - %一1)2，I。"，(1.17.10) г — номер итерационного цикла.
Аппроксимация дифференциальных уравнений (1.17.4) конечными разностями приводит к системе из двух линейных уравнений относительно скоростей Оа, ^р в рассматриваемой узловой точке сетки. Эта система решена по формулам Крамера.
兀/ e / 3冗1 九*—屮°， 屮0 = arccos 1 —交兀/ e / 3冗1 九*—屮°， 屮0 = arccos 1 —交Построение поля напряжений и вычисление характеристик начинаем с решения задачи Коши в области 1.1-0.2-1.2 для уравнений (1.17.1), (1.17.3) при граничном условии (1.17.7). Граничные условия (1.17.7) и (1.17.8) для функции 0 в точке пересечения границы жесткопластического полупространства с границей штампа согласуем с помощью вырожденной характеристики 0.2-0.3 семейства р, для которой
兀/ e / 3冗1 九*
—屮°， 屮0 = arccos 1 —交
兀/ e / 3冗1 九*
—屮°， 屮0 = arccos 1 —交
(1.17.11)
丁 = 1, z = 0.
Так как координаты г, z на этой характеристике постоянны, то второе уравнение (1.17.3) принимает вид
do + 2kde = 0.(1.17.12)
Условия (1.17.11), (1.17.12) определяют функции о, 0 и координаты г, z на вырожденной характеристике 0.2-0.3. В области 0.2-1.2-1.30.3 напряжения и характеристики получаем из решения задачи Гурса по известным значениям о, 0, г, z на характеристиках 1.2-0.2 и 0.2-0.3. Поле напряжений и характеристики в области 0.3-1.3-1.4 вычисляем, решая смешанную краевую задачу для уравнений (1.17.1), (1.17.3) по полученным значениям о, 9, г, z на характеристике 0.3-1.3 с использованием граничного условия (1.17.8). При этом итерационным методом решали систему уравнений, получающуюся при замене вторых уравнений (1.17.1), (1.17.3) конечными разностями с добавлением граничных условий (1.17.8), из которой находили функции о, 9, г, г в узлах сетки на границе штампа с точностью (1.17.10).
Так как уравнения (1.17.3) содержат 厂\ то вычисления по ним в окрестности оси симметрии приводят к большой погрешности. Поэтому для этой окрестности вычисления выполняли по уравнениям, которые следуют из (1.17.3) при предельном переходе 丁 一> 0, 6 —> 3兀/4:
do — 4kde = 0, do + 4kde = 0.
Построенное поле характеристик и известная функция 0 позволяют вычислить поле скоростей, удов л етворя ющее уравнениям (1.17.4) и граничным условиям. Поле скоростей в окрестности оси симметрии имеет особенность: со стороны жесткой области скорости равны нулю, а со стороны штампа скорость в точке 1.4 равна скорости штампа V = 1. Так как вдоль характеристики 1.1-1.4 разрыва скорости нет, то скорости жесткой зоны и штампа в окрестности оси симметрии удается согласовать при помощи автомодельного решения в полярных
координатах с центром в точке 1.4:
_ 2，cos 2 屮兀 COS屮_ 2，cos 2 屮兀 COS屮2, / J cos 2ш2, / J cos 2ш(1.17.13)(1.17.13)
_ 2，cos 2 屮
兀 COS屮
_ 2，cos 2 屮
兀 COS屮
2, / J cos 2ш
2, / J cos 2ш
(1.17.13)
(1.17.13)
屮—полярный угол, показанный на рис. 49.
В области 1.4-1.3-0.3 поле скоростей получаем из решения смешанной краевой задачи для уравнений (1.4) при граничных условиях (1.17.9) на жесткопластической границе 1.3-1.4 и (1.17.8) на границе штампа с использованием (1.17.13), (1.17.5) в окрестности оси симметрии. В области 1.1-1.2-1.3-0.3-0.2 решаем задачу Гурса для уравнений (1.17.4) при известных скоростях %, ^р на границе 1.1-1.3 и на характеристике 0.2-0.3 семейства р второе уравнение (1.4) принимает вид
dop + 0 ade = 0.
Вместе с вычислениями поля скоростей для каждой ячейки сетки проверяли ассоциированный закон течения (1.17.6), заменяя производные функций Оа, ^р50 отношениями конечных разностей, а сами функции — их средними значениями.
Вычисления показали, что закон пластического течения, ассоциированный с ребром призмы Треска, нарушается в некоторой части области пластического течения при значениях параметра R* < 2. При значениях R*, близких к единице, область нарушения ассоциированного закона течения распространяется от свободной границы жесткопластического полупространства до поверхности штампа. Границы этой области совпадают с характеристиками ос, р и находятся выше жесткопластической границы. С возрастанием значения R* от единицы размеры области нарушения ассоциированного закона течения уменьшаются. Так, например, при R* = 1.25 указанная область, ограниченная характери сти кам и ос, р, совпадает только с частью поля характеристик в области 1.1-0.2-1.2 и содержит единственную точку штампа 0.2. При значениях параметра R*》2 нарушения ассоциированного закона течения не происходило. Следовательно, при R* < 2 для пластического режима, соответствующего ребру призмы Треска в пространстве главных напряжений (условие полной пластичности), можно построить только статически возможные поля напряжений.
Построение полного решения задачи о пластическом течении требует также доказательства неравенства текучести в жесткой области. Это доказательство выполняют путем продолжения пластического поля напряжений в жесткую область с построением гипотетического контура, свободного от напряжений, и введением линии разрыва напряжений, разделяющей область пластического равновесия, нагруженную
до пластического состояния, и область, в которой выполняется строгое неравенство текучести.
Продолжение пластического поля напряжений в жесткую область получено из решения смешанной краевой задачи для уравнений (1.17.1), (1.17.3) по заданным значениям функций о, 6 на жесткопластической границе 1.1-1.4 — характеристике семейства “ и граничном условии на оси симметрии
а=苧，丁 = 0. (1.17.14)
Гипотетический контур, свободный от нормальных и касательных напряжений, получен из решения обратной задачи Коши с использованием условий
° =—髙 宾=电 ° —力. (1.17.15)
Построение гипотетического свободного контура проводим до тех пор, пока касательная к нему не будет параллельна оси г, что соответствует условию а = 3兀/4. После этого от свободного контура проводим линию разрыва напряжений, ниже которой материал находится в одноосном напряженном состоянии в направлении оси z
О「=0, Оф = 0, ТГ2 =0, On # 0. (1.17.16)
При выполнении условия \gz |，2k продолжение напряжений в жесткую область является статически допустимым и неравенство текучести в жесткой зоне удовлетворяется.
Продолжение пластического поля напряжений выполнено путем решения смешанной краевой задачи при условии (1.17.14) и обратной задачи Коши при условиях (1.17.15). Построение линии разрыва напряжений, разделяющей область пластического равновесия и область с одноосным напряженным состоянием (1.17.16), выполнено графическим интегрированием с использованием плоскости напряжений.
Полные решения задачи могут быть получены для значений параметра R*》2. На рис. 67, 68 показаны примеры построенных полей характеристик с продолжением пластического поля напряжений в жесткую область. В области пластического равновесия поля напряжений, примыкающие к гипотетическому свободному контуру и к оси симметрии, сопрягаются по линии разрыва напряжений. От нижней точки гипотетического свободного контура проведена линия разрыва напряжений, ниже которой материал находится в одноосном
напряженном состоянии в направлении оси z без нарушения неравенства текучести. Распределение напряжений oz ниже линии разрыва показано на графиках в нижней части обеих фигур. Линии разрыва напряжений показаны пунктирными линиями.
На рис. 67, 68 показано также выпучивание границы жесткопластического полупространства, построенное по значениям скоростей, при бесконечно малом перемещении штампа △%. Быстрое изменение скоростей в окрестности оси симметрии приводит к быстрому изменению скоростей в окрестности точки 1.1 (рис. 66) границы полупространства. На остальной части границы при приближении к штампу скорости возрастают почти линейно. На рис. 69 показано изменение удельного
усилия, приложенного к штампу:
о
где значения о берутся для границы штампа от параметра R*. Для R* = 2.66 в работе [170] получено q/2k = 2.66. На рис. 69 указанному значению R* соответствует q/2k = 2.653. При R* —> оо удельное усилие асимптотически стремится к значению 2.845 для штампа с плоским основанием.
Приводим вычисленные поля напряжений и скоростей для R* = 2.
—о/2к
=0.500
0.494
0.448
0.748
1.137
1.839
2.603
3.556
ОС
=0.785
0.706
0.559
0.795
1.095
1.583
1.944
2.356
一也/o
=0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
=0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
丁
=1.596
1.488
1.365
1.290
1.163
0.805
0.285
0.000
z
=0.000
0.117
0.283
0.376
0.468
0.532
0.433
0.268
—о/2к
=0.500
0.496
0.483
0.776
0.999
1.609
1.962
2.130
ос
=0.785
0.724
0.656
0.912
1.106
1.643
1.894
2.024
—v^fv
=0.031
0.030
0.028
0.026
0.025
0.017
-0.006
-0.029
=0.947
0.975
1.000
1.012
1.024
1.077
1.222
1.307
丁
=1.300
1.230
1.170
1.127
1.088
0.962
0.746
0.65
z
=0.000
0.075
0.147
0.190
0.215
0.234
0.196
0.158
—o/2k
=0.500
0.638
0.776
0.914
1.052
1.328
1.535
1.547
ос
=0.785
0.923
1.061
1.199
1.337
1.613
1.820
1.833
—v^fv
= 0.109
0.106
0.103
0.100
0.097
0.090
0.083
0.083
=1.409
1.395
1.380
1.366
1.352
1.327
1.309
1.308
丁
=1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
z
=0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
Приводим вычисленные значения контактных напряжений и скоростей на границе штампа для R* = 4 и R* = 10.
—o/2k
=1.818
1.944
2.174
2.393
2.524
2.685
2.922
3.357
ос
=2.103
2.128
2.177
2.226
2.254
2.287
2.325
2.356
—v^fv
=-0.075
-0.035
0.025
0.071
0.095
0.121
0.255
0.257
=1.445
1.413
1.367
1.331
1.312
1.289
1.158
1.157
丁
=1.000
0.905
0.712
0.519
0.407
0.278
0.124
0.000
z
=0.000
0.023
0.063
0.093
0.106
0.117
0.125
0.127
—o/2k
=1.971
2.040
2.186
2.347
2.439
2.604
2.757
3.222+
ос
=2.256
2.262
2.277
2.295
2.305
2.323
2.337
2.356
—v^fv
=-0.072
-0.044
0.008
0.055
0.079
0.116
0.144
0.257
-щ/v
=1.479
1.452
1.402
1.356
1.333
1.297
1.270
1.157
r
=1.000
0.937
0.790
0.612
0.509
0.333
0.194
0.000
z
=0.000
0.006
0.019
0.031
0.037
0.045
0.048
0.050
Ниже приведены вычисленные значения скоростей на свободной границе жесткопластического полупространства (г》1, z = 0) для тех же значений параметра задачи.
—v^/v
=0.000
0.000
0.009
0.027
0.039
0.069
0.087
0.109
=0.000
0.469
0.703
0.950
1.067
1.306
1.433
1.569
丁
=1.577
1.511
1.421
1.301
1.241
1.121
1.061
1.000
—v^/v
=0.000
0.001
0.004
0.018
0.028
0.062
0.080
0.112
=0.000
0.326
0.547
0.827
0.952
1.265
1.399
1.619
丁
=1.574
1.540
1.480
1.360
1.300
1.150
1.090
1.000
В области 1.1-1.2-0.2 у свободной границы (рис. 66) результаты вычислений характеристик и поля напряжений совпадают с автомодельным решением [220].
Внедрение гладкого клинообразного в планештампа с плоским основанием
в жесткопластическое полупространство
Двумерное пластическое течение в сферических координатах р, 0, ср, при котором напряженно-деформированное состояние не зависит от радиальной координаты р, описывается следующими уравнениями:
уравнения равновесия
驚+ 呑驚+(0e — %)ctge = o,
(1.18.1)
零士圾+ 2亚屮或g6 = 0；ae sm е7
условие пластичности
(oe - dp)? + 4鳥=4廿，k = const;(1.18.2)
условие несжимаемости
震 粤 + vctge = 0;(1.18.3)
^e sin e ^ф 6、 丿
условие изотропии материала
2箱in 2屮—cos2w (寫 + ^^ — ooctge) = 0.(1.18.4)
Здесь к — пластическая постоянная, v и со — компоненты скорости течения в направлениях 0, ср соответственно;屮一угол между осью 0 и первым главным направлением.
Уравнения (1.18.3) и (1.18.4) соответствуют ассоциированному закону пластического течения. Уравнения (1.18.1)-(1.18.4) образуют замкнутую систему относительно пяти неизвестных ое, 09,工^屮,v, со.
Напряжение в радиальном направлении равно среднему напряжению
Ор = 0 = (о(р + °е)/2・
Выражая напряжения ое, Оф, те(р через величины 目 и 屮 с помощью круга Мора
о® = 0 + k cos 2屮,о® = 0 + k cos 2屮,преобразуем уравнения0p . 3wsin 2ш——Ьпреобразуем уравнения0p . 3wsin 2ш——Ь。屮=0 — k cos 2屮, eg = k sin 2屮(1.18.1) и (1.18.2) к виду。屮=0 — k cos 2屮, eg = k sin 2屮(1.18.1) и (1.18.2) к виду(1.18.5)(1.18.5)cos 2w3屮， с 」 СMTM+c°s2wctge = 0,cos 2w3屮， с 」 СMTM+c°s2wctge = 0,1 dр | 3w sin 2w 3w si^ 丽+c°s2屮丽+1 dр | 3w sin 2w 3w si^ 丽+c°s2屮丽+尸+ sin 2\|/ctge = 0.'尸+ sin 2\|/ctge = 0.'Р2kР2k(1.18.6)Уравнения (1.18.6) относятся к гиперболическому типу; их характеристики имеют вид(1.18.6)Уравнения (1.18.6) относятся к гиперболическому типу; их характеристики имеют видtg (屮干1/4冗)sin 0tg (屮干1/4冗)sin 0(1.18.7)(1.18.7)
о® = 0 + k cos 2屮,
о® = 0 + k cos 2屮,
преобразуем уравнения
0p . 3w
sin 2ш——Ь
преобразуем уравнения
0p . 3w
sin 2ш——Ь
。屮=0 — k cos 2屮, eg = k sin 2屮
(1.18.1) и (1.18.2) к виду
。屮=0 — k cos 2屮, eg = k sin 2屮
(1.18.1) и (1.18.2) к виду
(1.18.5)
(1.18.5)
cos 2w3屮， с 」 С
MTM+c°s2wctge = 0,
cos 2w3屮， с 」 С
MTM+c°s2wctge = 0,
1 dр | 3w sin 2w 3w si^ 丽+c°s2屮丽+
1 dр | 3w sin 2w 3w si^ 丽+c°s2屮丽+
尸
+ sin 2\|/ctge = 0.'
尸
+ sin 2\|/ctge = 0.'
Р2k
Р2k
(1.18.6)
Уравнения (1.18.6) относятся к гиперболическому типу; их характеристики имеют вид
(1.18.6)
Уравнения (1.18.6) относятся к гиперболическому типу; их характеристики имеют вид
tg (屮干1/4冗)sin 0
tg (屮干1/4冗)sin 0
(1.18.7)
(1.18.7)
Вдоль характеристик имеют место дифференциальные соотношения для функций Р и \|/：
(1.18.8)(1.18.8)dP 干 d\\f 干 cos edcp = 0.
(1.18.8)
(1.18.8)
Верхние знаки относятся к характеристикам первого семейства. Обозначение двух семейств характеристик выбрано таким образом, чтобы в правой системе координат 1,2 первое главное направление проходило через первый и третий квадранты.
Уравнения (1.18.3) и (1.18.4) для скоростей также относятся к гиперболическому типу; их характеристики совпадают с характеристиками (1.18.7) для напряжений. Дифференциальные соотношения вдоль характеристик для функций V, со имеют вид
[v tg (屮干 1/4兀)—co] cos edcp + dv + dcotg (屮干 1/4兀). (1.18.9)
Уравнения (1.18.9) преобразуются следующим образом. Компоненты скорости V, со в направлениях 9, ср выражаются через компоненты
скорости V, W в направлениях характеристик первого и второго семейств уравнениями
V = V sin ос + ГИ cos а, со = ГИ sin ос — V cos а (а =屮 + 1/4兀).
(1.18.10)
Переходя в уравнениях (1.18.9) от переменных v, со к переменным V, W с помощью преобразования (1.18.10), получим [141] вдоль характеристик первого и второго семейства соответственно
(1.18.11)(1.18.11)dV — W (d\|/ + cos edcp) = 0,dW — V (d\|/ + cos edcp) = 0.
(1.18.11)
(1.18.11)
Отметим, что при 0 —> 1/2兀 уравнения сферического деформированного состояния переходят в уравнения плоской деформации.
Рассмотрим построение характеристик и поля напряжений. На рис. 70 показано внедрение гладкого клинообразного в плане штампа с плоским основанием в пластическое полупространство. В плане (рис. 70) клин имеет угол раствора 2у и предполагается бесконечным. Штамп симметричен относительно линии OQ, поэтому достаточно рассмотреть одну его половину. На рис. 71 показана половина штампа и структура поля характеристик в плоскости 0, ср. Вертикальная ось, от
которой отсчитываются углы 0, совмещена с нормалью к полуплоскости, а начало сферической системы координат — с вершиной клина. Свободная граница полуплоскости имеет координату 0 =兀/2.
Граничные условия, необходимые для построения характеристик и
поля напряжений, имеют вид
①=0, ^о(р = 0,尸=一^屮=0(e=^兀,屮》
~(1.18.12)
^е(р = 0,屮=一；兀=；兀，屮 4•
Граничные условия на свободной поверхности полуплоскости (0 = =兀/2, 屮，Y)позволяют построить характеристики и вычислить поле напряжений в области ВМN (задача Коши). Так как граничные условия на свободной поверхности не зависят от ср и в уравнениях (1.18.6) содержится только дифференцирование по ср, то решение в области ВМN не зависит от ср. Уравнения (1.18.6) для этой области
принимают вид
dP . с d\g , с 丄 с с— sin 2屮才 + cos 2屮 ctg 6 = О,
cos 2屮寫 + sin 2屮 ctg 6 = 0.
Интегрирование уравнений (1.18.13) при граничных условиях
(1.18.12) для 9 =兀/2 и Ф ^ у приводит к результату
Рис. 71
Подставляя эти значения в уравнения (1.18.5), получим
ое = —2k In sin 9, 09 = —2k (In sin 9)+ 1,亚屮=0.(1.18.14)
Уравнения характеристик при 屮=0 интегрируются:
Ф1,2 =屮0 干 lntg| (фо = фе=|я，7 ^ 屮0 < 兀).
Значения параметра 屮。=у и 屮。=兀 определяют характеристики ВМ и NМ (рис. 71), ограничивающие область решения (1.18.14).
В области ОВМF решение получено численным методом при помощи вычислительной машины. При этом уравнения (1.18.7), (1.18.8) заменялись соотношениями в конечных разностях и решались методом последовательных приближений в узловых точках поля характеристик. Точность вычислений в каждой узловой точке определялась величиной
|фг+1 — Фг I ^ 0.0005,怜£+1 — &|，0.0005.
Здесь индексы обозначают номер итерационного цикла. Сравнение числовых значений, вычисленных в области ВМN)с точным решением показало, что погрешность численных результатов составляет ^1%.
Точка В будет особой точкой поля напряжений, в которой величина 屮 меняется в пределах —兀/2，屮，0. Замечая, что 6g =兀/2, из первого уравнения (1.18.8) получим 尸 = 屮一1/2. В точке В характеристики второго семейства стягиваются в точку с координатами е =兀/2,屮= = у. Значения функций 尸 и 屮 в точке В и на характеристике ВМ позволяют построить решение в области ВМFЕ\Е (вырожденная задача Гурса). Полученные значения 尸 и 屮 на характеристике BE и граничные условия (1.18.12) на О В 9 = 兀/2,屮，у определяют решение в области ОВЕ (задача смешанного типа). Приводим распределение напряжения о； = ое/24 по основанию О В штампа:
ф =
0.003
0.012
0.051
0.082
0.122
0.169
0.291
-琉=
1.827
1.916
2.086
2.167
2.244
2.318
2.442
ф =
0.324
0.400
0.439
0.481
0.522
0.564
0.651
-琉=
2.468
2.512
2.529
2.544
2.556
2.564
2.571
Вычисления показали, что при значениях параметра ср。，находящихся в пределах 1.789 ，屮о ，兀 и у = 0.651, характеристики первого семейства в области OE、F ограничены огибающей OF, за которую аналитическое решение не может быть продолжено. Ниже приводим координаты огибающей и значения 尸 и 屮：
Ф =
0.000
0.045
0.058
0.101
0.121
0.131
0.140
0 =
1.571
1.633
1.661
1.768
1.837
1.886
1.939
-Р =
1.286
1.496
1.470
1.550
1.549
1.528
1.527
一屮=
1.571
1.821
1.924
2.041
2.121
2.186
2.223
Ф =
0.156
0.191
0.246
0.281
0.326
0.485
0.521
9 =
2.018
2.130
2.246
2.306
2.367
2.525
2.560
-Р =
1.388
1.168
0.952
0.814
0.699
0.396
0.298
一屮=
2.121
2.015
1.898
1.865
1.805
1.638
1.638
Таким образом, для идеального жесткопластического тела при одной и той же предельной нагрузке возможны два поля напряжений (О ВС D Е и О В N М F))которые показаны на рис. 71. Ниже они будут называться полем А и Б соответственно. Так как коэффициенты при производных в уравнениях (1.18.6) не зависят от ср, то построение полей напряжений и характеристик не меняется при смещении вдоль оси ср.
Поэтому поле А содержит также поле напряжений для у < 0.651. При у —> 0 рассматриваемое решение переходит в решение Хилла для плоской деформации. При у > 0.651 к центральной части штампа примыкает жесткая область и построить поле скоростей в этом случае подобным приемом не удается.
Поле скоростей строилось численным методом. При этом уравнения (1.18.11) заменялись соотношениями в конечных разностях и решались методом последовательных приближений в узловых точках поля характеристик. Точность вычислений в каждой узловой точке определялась величиной
М+1 —匕I < 0.0005, \Ww - Wi\ < 0.0005.
Граничные условия, определяющие построение поля скоростей, имеют вид
W-V = V2 на ОВ (6 =兀/2,0'屮'y)， (1.18.15)
W = 0, V = -V2 на OFMN (Фо =兀)и OED% = 1.789.
Здесь скорость движения штампа принята равной единице. Первое условие (1.18.15) выражает непрерывность нормальной к поверхности штампа компоненты скорости при переходе к пластической области через границу О В. Второе условие выражает непрерывность нормальной компоненты скорости при переходе через жесткопластическую границу (ГИ=0) и разрыв касательной компоненты скорости (У = — д/2) вдоль нее, распространяющийся от точки О штампа. Величина разрыва остается постоянной вдоль жесткопластической границы. Это следует из первого уравнения (1.18.11) при W=0. Алгоритмы построения поля скоростей для полей напряжений А и Б существенно различаются.
При вычислении поля скоростей для поля А материал ниже линии OEDC принимается жестким. Граничные условия (1.18.15) на характеристике ОЕ и на границе штампа О В позволяют построить поле скоростей в области ОВЕ (задача смешенного типа). Известные значения V, W на характеристиках BE и EDC определяют поле скоростей в области BCDE (задача Гурса).
При вычислении поля скоростей для поля Б материал ниже линии OFМN принимается жестким. Заданные значения V, W на огибающей OF определяют поле скоростей в области OE^F (задача Коши). Затем по данным на характери сти ке ОЕ и граничному условию на О В строится поле скоростей в области ОВЕ (задача смешанного типа).
Поле скоростей в BNMF строится от характеристик BF и FMN (задача Гурса). Из условия несжимаемости следует равенство потоков скоростей через границу О В штампа и через свободную поверхность полупространства:
屮01,2
VOY= v』/2 d(p.(1.18.16)
Здесь vo ——скорость движения штампа,屮。】 =1.789 и(ро2 = 3.142 для полей А и Б соответственно.
Рис. 72Рис. 72Условие (1.18.16) использовалось для проверки накопленной погрешности вычислений. Для поля А условие (1.18.16) выполняется с погрешностью 0.002. Для поля Б эта погрешность оказалась равной 0.095. Столь большая погрешность объясняется тем, что численное решение в области OF Ei от огибающей ОЕ не удается построить достаточно точным. Для обоих полей проверялось условие положительности диссипативной функции в каждой элементарной ячейке поля характеристик. Это условие выполняется, если деформация элемента, ограниченного характеристиками, под действием касательных напряжений, приложенных к его граням, и под действием поля скоростей имеет один и тот же вид. Для элементарной ячейки, показанной на рис. 72, условие положитель
Рис. 72
Рис. 72
ности диссипативной функции выполняется, если компонента скорости в направлении 仃 в точке 6 больше соответствующей компоненты в
точке а:
Wb - va) cos W + ®ь — соа) sin W》0,
Wa + WbWa + Wb(1.18.17)
Wa + Wb
Wa + Wb
Условие (1.18.17) выполняется всюду для поля А и нарушается в некоторых точках в области ОЕ^ F для поля Б. Нарушение условия (1.18.17) в последнем случае, по-видимому, объясняется большими погрешностями вычислений в области ОЕ\F.
На рис. 72 пунктирными линиями показано изменение скоростей voj и vo2 вдоль свободной поверхности полупространства для полей А и Б соответственно и перемещение штампа, принятое за единицу.
§ 19. К теории кинематически определимыхсостояний идеально пластического тела
Кинематически определимые задачи в общем случае характеризуются тремя конечными независимыми соотношениями:
九(旳)=0 (k = 1,2,3),(1.19.1)
где £jj — компоненты тензора скорости деформации.
Три соотношения (1.19.1) определяют замкнутую систему уравнений относительно трех компонент скорости перемещения 〃£.
В осесимметричном случае достаточно двух соотношений
fi(£р,£е,£^,£р2) = О (〃 = 1,2),(1.19.2)
так как компоненты скорости деформации выражаются через две компоненты скорости перемещения:
где £р, £е, %, gpz — компоненты скорости деформации; u)w — компоненты скорости перемещения в цилиндрической системе координат р, 0, z.
Перейдем к главным скоростям деформации 门，％, £з(£з = £е)- Тогда
3,2 =宁 ±/(У)'脸. (1-19.4) Определим потенциал напряжений в виде
D(£1,£2,£3)+ 冉力®,£2,£3)+乩2了2 ®,£2,£3),(1.19.5)
где Ц1, Ц2 ——неопределенные множители Лагранжа, /1 = 0, /2 = 0- Согласно (1.19.5) будем иметь
仇丽 + 冉丽 + "2丽 (2 = 1, 2, 3),(1.19.6)
где а — главные компоненты тензора напряжений. Положим
(1.19.7)(1.19.7)^ = ^ = ^，力=反］一碇 2=0,力=贺2- 左3=0,
(1.19.7)
(1.19.7)
(а, А о = const).
Соотношения (1.19.6), согласно (1.19.7), примут вид
dD 、丄 3。,dD 丄
01 = ^- + Ц1 О? 02 = ^^ 一由a+ Ц2g? 03 = ^^ - R2b
Исключая Ц1, Ц2 из (1.19.8), будем иметь
(1.19.9)(1.19.9)
(1.19.9)
(1.19.9)
Полагая диссипативную функцию в виде
0 = 4门 + 5霞 + Сез, Л, В, С = const,(1.19.10)
согласно (1.19.9), (1.19.10) получим
ао] + bo? +。。3 = 4a + Bb + С с.(1.19.11)
Таким образом, при принятых предположениях условие пластичности (1.19.11) определяет произвольную плоскость (грань) в пространстве главных напряжений. Согласно ассоциированному закону течения из (1.19.11) следует (1.19.7).
Кинематические соотношения (1.19.7), согласно (1.19.4), примут вид
66—а I £р + £^—а I £р + £^
6
6
—а I £р + £^
—а I £р + £^
С f £р + £^ + J(£р _ 8)2 + 4脸)—2Ае = 0.(1.19.12)
Условия (1.19.12) можно переписать в виде
仔(…z…=0.仔(…z…=0.(1.19.13)(1.19.13)
仔(…z…=0.
仔(…z…=0.
(1.19.13)
(1.19.13)
(1.19.14)(1.19.14)(1.19.15)(1.19.15)
(1.19.14)
(1.19.14)
(1.19.15)
(1.19.15)
Имеет место также условие несжимаемости
£р + 海 + 8 — 0-
Полагая здесь и в дальнейшем
Gij = 吟 + 3吃.，2ij = % + 3心,〃 =〃° + 3〃', w = w° + 8wz5
Hi — Hi + 3(4, 乩2 =忘 + 3|i$, X = X° + 8XZ + ...,
где 3 — малый параметр, линеаризируя (1.19.13), для компонент возмущений получим
4© + K)+g，居+ *+2 臨=0,
(1.19.16)
2ab °2ab °
2ab °
2ab °
или, учитывая (1.19.2),или, учитывая (1.19.2),44噌+ * + aw?)Op dz dz ap'噌+ * + aw?)Op dz dz ap'Удовлетворим первомуУдовлетворим первомуиз уравнений (1.19.17), полагаяиз уравнений (1.19.17), полагая
или, учитывая (1.19.2),
или, учитывая (1.19.2),
4
4
噌+ * + aw?)
Op dz dz ap'
噌+ * + aw?)
Op dz dz ap'
Удовлетворим первому
Удовлетворим первому
из уравнений (1.19.17), полагая
из уравнений (1.19.17), полагая
1 aw , _1 aw严阮，仅=一产而，1 aw , _1 aw严阮，仅=一产而，(1.19.18)(1.19.18)
1 aw , _1 aw
严阮，仅=一产而，
1 aw , _1 aw
严阮，仅=一产而，
(1.19.18)
(1.19.18)
Подставляя соотношения (1.19.18) во второе уравнение (1.19.17), получим уравнение
4 (券—编)+ 4(3 — О)就 + ^ (^ — В患)=&(°9・19)
Решение однородного уравнения (1.19.19) будем искать в виде
(1.19.20)(1.19.20)W = R(p)「.
(1.19.20)
(1.19.20)
Подставляя (1.19.20) в (1.19.19), получим вырожденное гипергео
метрическое уравнение относительно R (р):
(1.19.21)(1.19.21)рА〃+ ИС - В)тр- Rf - (щ2р— А = 0.
(1.19.21)
(1.19.21)
Решение однородного уравнения (1.19.19) имеет вид
W (р, z) = ехрW (р, z) = ехрzz
W (р, z) = ехр
W (р, z) = ехр
z
z
X (。1 F(01, Q1,力1 ) +。2(М1р)('”/' F(02,夕2,力2)) +
+ exp { (5 + (7 —，4 + (5 — C)2)p/2 + z Ш2^ x
x (°3歹(01,qi"l) +°4(m2P)5+1"，F(P2mt2,,
/4+(石一0)2 + 石 + 0_1
24/4 + (石一Of，4
02 = 1 +02 = 1 +2Л2ЛВ-СВ-С1 +24 耍=1 +24 耍=
02 = 1 +
02 = 1 +
2Л
2Л
В-С
В-С
1 +24 耍=
1 +24 耍=
打=т1РУ4 + (В-С)2,力 2 = др"+ (5 — 0)2,(1.19.22)
где F (pc, qi,t) — функция Похгаммера.
Компоненты скорости перемещения и, w определяются из (1.19.22) согласно (1.19.18).
Предельное условие для общего случая плоской задачи можно записать в виде
F &,0夕宀夕)=0.(1.19.23)
Линеаризируя (1.19.23), для компонент возмущений получим
ао； + 6c4 + 2。14g = °， а, А о = const,(1.19.24)
dF° 厶с "b=
индекс ноль наверху означает, что значения производных взяты при
Если в исходном состоянии тело недеформированно 九° = 0, то соотношения ассоциированного закона течения имеют вид
4 = X。，4 = ха 片=х。，х》о,
,//(1.19.26)
£ж 一边—£я：g ― Xa b с '
Согласно (1.19.24)-(1.19.26) получим выражение для диссипативной функции:
D =Xf = ^ = ^ = ^.(1.19.27)
Потенциал напряжений следует определить в виде
。+ 冉(诚-«4) + R2 (匕-а^ху) ,(1.19.28)
где Ц1, Ц2 ——неопределенные множители Лагранжа.
Согласно (1.19.28) возмущения компонент напряжений определяются в виде
% = —л + Hi» + Ц2С, % =->—冉。，％夕=-乩2不,(1.19.29) 迎®2
где величина D определяется согласно (1.19.27).
Из (1.19.29), (1.19.27) следует условие (1.19.25).
Уравнения равновесия имеют вид
Удовлетворим уравнениям равновесия при помощи функции Эри:
% -% ——(L19.30)
Из (1.19.30), (1.19.25) находим
а 粤+ b 粤—(1.19.31)
ду- дх- дхду' 丿
Переходя к компонентам скорости перемещения % о по формулам
Коши
& =需，*=需'曦=；(需+需) (L19.32) и, опуская индекс штрих наверху у компонент скорости перемещений, из (1.19.32), (1.19.27) найдем
嚨-喘2c黑(黑 + 幫=0.(1.19.33)
Удовлетворим первому из уравнений (1.19.33), полагая
3W . 3W〃 =, ° =.оуохИз (1.19.33) и (1.19.34) получим臥w产w^2фа—~й—h b—~о— 2с—~— = 0.ду- дх-дхдуРешение уравнения (1.19.35) будем искать в видеW = (4 + iB) ^⑺冗+九夕)，4, В)т)п = const.3W . 3W〃 =, ° =.оуохИз (1.19.33) и (1.19.34) получим臥w产w^2фа—~й—h b—~о— 2с—~— = 0.ду- дх-дхдуРешение уравнения (1.19.35) будем искать в видеW = (4 + iB) ^⑺冗+九夕)，4, В)т)п = const.(1.19.34)(1.19.34)(1.19.35)(1.19.35)(1.19.36)(1.19.36)
3W . 3W
〃 =, ° =.
оуох
Из (1.19.33) и (1.19.34) получим
臥w产w^2ф
а—~й—h b—~о— 2с—~— = 0.ду- дх-дхду
Решение уравнения (1.19.35) будем искать в виде
W = (4 + iB) ^⑺冗+九夕)，4, В)т)п = const.
3W . 3W
〃 =, ° =.
оуох
Из (1.19.33) и (1.19.34) получим
臥w产w^2ф
а—~й—h b—~о— 2с—~— = 0.ду- дх-дхду
Решение уравнения (1.19.35) будем искать в виде
W = (4 + iB) ^⑺冗+九夕)，4, В)т)п = const.
(1.19.34)
(1.19.34)
(1.19.35)
(1.19.35)
(1.19.36)
(1.19.36)
Из (1.19.36), (1.19.35) получим
m (с ± Vс2 — abj "=аm (с ± Vс2 — abj "=а(1.19.37)(1.19.37)
m (с ± Vс2 — abj "=а
m (с ± Vс2 — abj "=а
(1.19.37)
(1.19.37)
Характер решения (1.19.36) будет зависеть от знака дискриминанта (1.19.37). При с2 > ab получим
W = & cos (аж + су) cos с2 — abyj +
+ С2 sin (аж + су) sin ^д/с2 — aby^ . (1.19.38)
При с2 < ab будем иметь
W = G cos (ас + og) ch ^д/с2 — aby^ +
+。2 sin (ас + од) sh (,。2 — абд) , (1.19.39)
&, °2 = const •
Решение однородного уравнения (1.19.31) будет иметь вид, аналогичный (1.19.38), (1.19.39).
Решение (1.19.38), (1.19.39) могут быть использованы для определения компонент возмущений 必总(в линеаризированных плоских задачах теории идеальной пластичности.
Рассмотрим грань поверхности пластичности, определяемую в пространстве главных напряжений уравнением:
2оз — oi — °2 = к.(1.19.40)
Согласно ассоциированному закону пластического течения из (1.19.40) имеем
£1 =九,£2 —九,£з — —2九.(1.19.41)
Рассмотрим соотношения связи между компонентами тензоров напряжений и скоростей деформаций о叮，£叮 в ортогональной системе координат 力,g,z и главными компонентами напряжений и скоростей деформаций O£,q. Предполагая материал изотропным, будем иметь
報=01 百 +02m；+03 若，^ху = 0W2 + 02^1^2 +03几1几2, (1.19.42)
“=门百 + £2^1 + £3若， ％夕=£1/1^2 + £2^1 ^2 + £3几1几2,(1.19.43)
庁 + иг； + 若=1, 2也 + gm? + 几1 几2 = 0 (cgz, 123, Imn), (1.19.44)
где Ц, nii)П{ — направляющие косинусы, обозначения в круглых скобках определяют круговую перестановку индексов.
Полагая
Z； + 7712 + 呜=1, 碎=戏=т； = 771з = п^ = Tl，2 = 0,
(1.19.45)
из (1.19.42), (1.19.43), (1.19.45) будем иметь
ОООООООО0c
(1.19.46)
携=唸 吟=遂， 或=% 2%=吟2=2黑=0・
(1.19.47)
Таким образом, согласно (1.19.46), (1.19.47), исходным
является
однородное напряженно-деформированное состояние.
Линеаризируя соотношения (1.19.40), (1.19.41), получим
203 — 0； - c^ = 1, 建=九°,£ =九°, 成=-2九°,
(1.19.48)
2^3 — °I — о$ = 1, £i — X, ^2 = X, £3 = —2九'.
(1.19.49)
Предполагая разложение
匕=%? + 3乂， mi = т； + 6m\, 几］=* + 3叫,
(1.19.50)
из (1.19.44), (1.19.45), (1.19.50) найдем
Z j — ТП^2 =几 4 — 0,2$ + 7Tzi — 0,
mg + П2 = 0, к： + 几4 = 0.
(1.19.51)
Линеаризируя соотношения (1.19.42), (1.19.43), учитывая (1.19.51), получим
gж - Gi 50；=必。；=点
ху =（成一呜）%， %Z =（呜-。4必，Vz =（近-成）*，
(1.19.53)(1.19.53)（1.19.52）
(1.19.53)
(1.19.53)
% = (4 - 4)厶 * = (4 - ")山，北=(K -或)*•
Согласно (1.19.52), (1.19.53), (1.19.48), (1.19.49) получим
2о；_с4—о；=0, $х = $п = 乂〉或夕=。， V+4+K=0・(L19.54)
Переходя к компонентам скорости перемещений
或=需'4工=需'或？=；(器+需)，成=需
и опуская индекс штрих наверху у компонент скорости перемещений, согласно (1.19.54), найдем
Г + * +禦=°・(1」9・55) ох оуоу охох оу OZ
Решение системы трех уравнений (1.19.55) относительно трех неизвестных u)%w ищем в виде
и = Cknemxenyelz. 。= Clme^ епу ^z,
(1.19.56) w = 一20m制^%九%30= co^t •
Из (1.19.56), (1.19.55) получим
т2 + к? = 0.
Рассмотрим случай, когда т,九一мнимые величины. Будем иметь и = — CimXcos (тх + 九z) ch (ту) + ^mXcos (ту + 九z) ch (mx),
v = CimXsin (mx + 九z) sh (my) +。2皿九sin (my + 九z) sh (mx),
w = 2Cim2 cos (mx + 九z) ch (mg) — 2c2m^ sin (my + 九z) sh (mx),
G, °2 = const •
Поле скоростей перемещений (1.19.57) можно рассматривать как кинематически допустимое.
Можно предположить другой вариант решения. Положим
u = U (x,y)Z(z), V = V (ж, g) Z (z),
〜〜(1.19.58)
w = W (x,y)Z(z), Ц = Z ⑶•
Согласно (1.19.55), (1.19.58) получим
厶絹，步罟”，")= -(小絹)•
Два первых соотношения (1.19.59) представляют собой условия Коши-Римана, следовательно, для компонент U, V имеет место представление в виде функции комплексного переменного:
F© = U + iV, ^ = х + iy.(1.19.60)
Задача определения скоростей перемещений сводится к определению функции F (自)по заданным граничным условиям.
§ 20. Сдавливание несжимаемого пластическогослоя шероховатыми плитами.
Обобщение решения Прандтля
Прандтль [202] предложил решение плоской задачи о сжатии слоя из идеального жесткопластического материала шероховатыми плитами. Это решение явилось основой теоретического анализа прикладных задач обработки металлов давлением.
Позднее А. Надаи [42] дополнил решение Прандтля, определив соответствующее поле скоростей перемещений.
Численные решения о сжатии полосы при различных соотношениях длины и толщины выполнены В.В. Соколовским [54].
Надаи [42] обобщил решение Прандтля на случай сжатия слоя наклонными шероховатыми плитами, а также плитами, изогнутыми в виде концентрических окружностей. Ряд обобщений задачи Прандтля принадлежит В.В. Гартману [42], который обобщил решения Прандтля на случай линейной зависимости максимального касательного напряжения от среднего давления.
Перечисленные результаты относятся к случаю плоской задачи. Хилл [67] предложил решение задачи о вдавливании стержня из сжимающейся шероховатой втулки. Ряд обобщений решения Прандтля на случай осесимметрического и пространственного течения приведен в работах [21, 111, 133], а также в монографии М.А. Задояна [18].
Решение Прандтля получило многочисленные обобщения в работах прикладного характера, изложенных в монографиях А.Д. Томленова [62], В.Л. Колмогорова [30], И.Я. Тарновского [57], Н.М. Михина [38], М.Я. Бровмана [6], Н.П. Громова [13], С.И. Губкина [14], А.А. Королева [31], И.М. Павлова [45], М.В. Сторожева и Е.А. Попова [56], Е.П. Унк- сова [63], Э. Томсона, Ч. Янга и Ш. Кобаяши [75], А.И. Целикова [69], И.Л. Перлина [46].
Проблема течения пластического слоя между шероховатыми поверхностями исследовалась А.А. Ильюшиным [155, 156]. В основе исходных предположений лежит решение Прандтля, а также некоторые упрощения, носящие кинематический характер. Предполагается, что осредненные скорости перемещений постоянны по толщине слоя. Предполагается, что в плоскости, касательной к любой эквидистантной поверхности, касательные напряжения равны нулю, главные напряжения равны между собой (условие полной пластичности), нормальное напряжение вдоль толщины слоя постоянно. В этом случае для определения
давления, действующего со стороны сжимающих плит, имеет место уравнение постоянного ската и, следовательно, справедлива песчаная
аналогия.
Численное решение задачи о сжатии диска между параллельны
ми плитами дано Р.И. Непершиным [199], это решение обсуждается в монографии Б.А. Друянова и Р.И. Непершина [16]. Установлено, что
Рис. 73Рис. 73распределение осевого давления близко к линейному, тем не менее нелинейный характер распределения выражен.
Рис. 73
Рис. 73
Ниже методом малого параметра рассматривается задача о сдавливании идеально пластического слоя шероховатыми плитами.
Приведем при н адл ежащее Прандтлю аналитическое асимптотическое решение
задачи о сдавливании слоя толщиной 2Л
шероховатыми плитами для случая плоской задачи (рис. 73).
Уравнения равновесия имеют вид
强攀 學=о.(1.20.1)
ох оуох оу
Условие пластичности:
(о冗-Og)2 + 4宜夕=4廿，k = const.(1.20.2)
Предположим
xxy =際，k = const •(1.20.3)
Согласно (1.20.3) уравнения (1.20.1), (1.20.2) примут вид
(1.20.4)(1.20.4)
(1.20.4)
(1.20.4)
Из (1.20.3), (1.20.4) следует
ож = --ж + с±2А：у 1 -, о^ = --ж + с, “夕=石，с = const.
(1.20.5)
Решение (1.20.5) имеет место в полосе \у\，Л, на границе полосы
касательное напряжение достигает максимального значения
Поле скоростей перемещений определяется из уравнений (4), (5):
ди , dvс小
ди dv
бу 3优_ %y⑹
ди dv ~(5Х — Су'
дх ду
Положим
V = a/у) а = const.(1.20.7)
Из (4), (1.20.7) следует
〃 =—ас + /(д).(1.20.8)
Из (5), (1.20.7), (1.20.8), (1.20.5) следует
М 卜小-⑴)=^ • Та) •(L20・9)
Соотношение (1.20.9) определяет функцию /(g), будем иметь
и = —ах 士 ah\ 1 — I — j +。“ о = ад, ci = const.(1.20.10)
Рассмотрим обобщение решения Прандтля на случай пространственного состояния идеально пластического тела (рис. 74).
Рис. 74Рис. 74
Рис. 74
Рис. 74
Уравнения равновесия в декартовой системе координат имеют вид
д^Х . д^ху a^xzдх дуdzд^Х . д^ху a^xzдх дуdzд^ху . Зоу . dxyzдх ду dzд^ху . Зоу . dxyzдх ду dz=0,=0,(1.9.15)(1.9.15)
д^Х . д^ху a^xzдх дуdz
д^Х . д^ху a^xzдх дуdz
д^ху . Зоу . dxyzдх ду dz
д^ху . Зоу . dxyzдх ду dz
=0,
=0,
(1.9.15)
(1.9.15)
d^XZ I 3tyz 丄 3°Zдх ду dz
пластич-пластич-Выражения компонент напряжений при условии полной ности имеют вид
пластич-
пластич-
2例.^XV^XZ2例 I ^xu^uz報=0 一守 + -,0д=0 一守 + - jLyZJ以N2k ^xz^yz2例.^XV^XZ2例 I ^xu^uz報=0 一守 + -,0д=0 一守 + - jLyZJ以N2k ^xz^yz^xy^xz + ^xy^yz^yz^xz^xy^xz + ^xy^yz^yz^xz++^xz^yz^xz^yz=2k.=2k.(1.7.31)(1.7.32)(1.7.31)(1.7.32)
2例.^XV^XZ2例 I ^xu^uz
報=0 一守 + -,0д=0 一守 + - jLyZJ以N
2k ^xz^yz
2例.^XV^XZ2例 I ^xu^uz
報=0 一守 + -,0д=0 一守 + - jLyZJ以N
2k ^xz^yz
^xy^xz + ^xy^yz^yz^xz
^xy^xz + ^xy^yz^yz^xz
+
+
^xz^yz
^xz^yz
=2k.
=2k.
(1.7.31)
(1.7.32)
(1.7.31)
(1.7.32)
Следуя идеям Прандтля, положимСледуя идеям Прандтля, положим“z = az, %z = bz, a^b = const.(1.20.11)“z = az, %z = bz, a^b = const.(1.20.11)Из (1.7.32), (1.20.11) найдем= g2;62)(k ±，炉一(濕+坟)炉)•Согласно (1.7.31), (1.20.11) получим2k a2k b2k abz2Из (1.7.32), (1.20.11) найдем= g2;62)(k ±，炉一(濕+坟)炉)•Согласно (1.7.31), (1.20.11) получим2k a2k b2k abz2(1.20.12)(1.20.12)(1.20.13)(1.20.13)Из (1.20.13), (1.9.15) будем иметьИз (1.20.13), (1.9.15) будем иметь
Следуя идеям Прандтля, положим
Следуя идеям Прандтля, положим
“z = az, %z = bz, a^b = const.(1.20.11)
“z = az, %z = bz, a^b = const.(1.20.11)
Из (1.7.32), (1.20.11) найдем
= g2;62)(k ±，炉一(濕+坟)炉)•
Согласно (1.7.31), (1.20.11) получим
2k a2k b
2k abz2
Из (1.7.32), (1.20.11) найдем
= g2;62)(k ±，炉一(濕+坟)炉)•
Согласно (1.7.31), (1.20.11) получим
2k a2k b
2k abz2
(1.20.12)
(1.20.12)
(1.20.13)
(1.20.13)
Из (1.20.13), (1.9.15) будем иметь
Из (1.20.13), (1.9.15) будем иметь
Зо丄 сЗо丄 с3。 бу3。 бу+ 6 = 0,+ 6 = 0,(1.20.14)(1.20.14)
Зо丄 с
Зо丄 с
3。 бу
3。 бу
+ 6 = 0,
+ 6 = 0,
(1.20.14)
(1.20.14)
Из (1.20.14) следует
, abz2 2k」
(1.20.15)(1.20.15)о = —ах — оуh +。，。= const.
(1.20.15)
(1.20.15)
Согласно (1.20.15), (1.20.13) окончательно будем иметь
l , abz2 , a
^х — —ах — by сh т^ху ?
,abz2 b"3 — 3 + "」宀,abz2 b"3 — 3 + "」宀(1.20.16)(1.20.16)
,abz2 b
"3 — 3 + "」宀
,abz2 b
"3 — 3 + "」宀
(1.20.16)
(1.20.16)
6г = —ах — by + С^
где “夕 определяется из (1.20.12).
Соотношения, определяющие кинематику пластического течения, могут быть записаны в виде
, COS 02 , COS 03COS 01 ,, COS 03
(1.12.9)
(1.12.10)(1.12.11)(1.12.10)(1.12.11)COS 01COS 02COS 01COS 02где £叮—компоненты скорости пластической деформации, u)%w — компоненты скорости перемещения.
(1.12.10)
(1.12.11)
(1.12.10)
(1.12.11)
COS 01COS 02
COS 01COS 02
(1.20.17)(1.20.17)Решение будем искать в видеРешение будем искать в видеи = Р1Ж + q、y + 〃° (z) , о = 02力 + q2y + °° (z),и = Р1Ж + q、y + 〃° (z) , о = 02力 + q2y + °° (z),W = 0Z,W = 0Z,Pi, 9i,P2,92,P = const.Pi, 9i,P2,92,P = const.(1.20.18)(1.20.18)Используя выражения (1.7.25), придадим соотношениям (1.12.9) вид
(1.20.17)
(1.20.17)
Решение будем искать в виде
Решение будем искать в виде
и = Р1Ж + q、y + 〃° (z) , о = 02力 + q2y + °° (z),
и = Р1Ж + q、y + 〃° (z) , о = 02力 + q2y + °° (z),
W = 0Z,
W = 0Z,
Pi, 9i,P2,92,P = const.
Pi, 9i,P2,92,P = const.
(1.20.18)
(1.20.18)
Из (1.20.18) и уравнения несжимаемости (1.12.10) следует
01 + 耍 + 0 = 0.(1.20.19)
Из (1.20.18), (1.20.17), (1.12.11) получим
(1.20.20) где величины 工冗夕，тЖ2, %之 определяются согласно (1.20.11), (1.20.12).
Функции 〃°, о° определяются из уравнений (1.20.20), выражения их опустим.
Рассмотрим слой пластического материала толщиной 2Л, предположим, что оси координат лежат в плоскости z = 0, уравнение верхней плоскости z =九“ нижней — z =—九2, /и + 九2 = 2Л.
Положим
“z=az + d“ ％z=bz + d2, a, 6, ci, C2 = const.(1.20.21)
_ (az + ci) (bz + в) (az + ci)2 + (bz + c2)2Согласно (1.20.21), (1.7.31)_ (az + ci) (bz + в) (az + ci)2 + (bz + c2)2Согласно (1.20.21), (1.7.31)Из (1.20.21), (1.7.32) получим
_ (az + ci) (bz + в) (az + ci)2 + (bz + c2)2
Согласно (1.20.21), (1.7.31)
_ (az + ci) (bz + в) (az + ci)2 + (bz + c2)2
Согласно (1.20.21), (1.7.31)
k ± ^k2 — (az + Ci)2 — (bz + c2)2 .
(1.20.22) имеем
2k (az + ci)2k (bz + g)
(1.20.23)(1.20.23)=o_百+"'.(辰 + g)，Og=o_与+Sg. (az + M，
(1.20.23)
(1.20.23)
2k 1
On = о1• (az + Cj ) (bz + °2)•
Аналогично (1.20.16) получим
ox = -ax-by^C^ ^^ - ^^, ^yz^xy
oy = -ax-by + C+ 旦^ -(1.20.24)
^xz^xy
On = —ax — by -\- C,
где xxy^ ^xz^yz определяются согласно (1.20.21), (1.20.22).
Из (1.20.24) следует
g^d °z =需】+ 箒j + 需 k = —ai — bj, (1.20.25) где i, j — единичные орты вдоль осей ж, у,
On = —，口2 + 匕2 (力 cos e + g sin 6)+ &
где cos e =° sin 6 = , ", tge = -.(1.20.26)
Va2 + 62Va2 + 62«丿
Введем ортогон ал ьн ы е координаты
^ = ж cos 0 + ?/ sin 9, г| = —х sin 9 + ?/ cos 0.(1.20.27)
Согласно (1.20.27) выражения (1.20.26) примут вид
On =—，濕 + 产.自 + С(1.20.28)
Припишем индекс «плюс сверху» компонентам напряжений на верхней стороне слоя, индекс «минус сверху» — на нижней.
На верхней и нижней сторонах слоя, согласно (1.20.21), получим
T纟=ahi + ci, T力 = 6九1 +02, z =九“
%N =一a九2 +01, %N = -6九2 +02,Z —-九 2・
Векторы касательных напряжений на верхней и нижней сторонах слоя будут иметь вид
Т1 =球/ + 寸J Т2 = qj + vj. (1.20.30)
Величины результирующих касательных напряжений на верхней и нижней сторонах слоя, согласно (1.20.29), (1.20.30), будут иметь вид
Т1 =，击 + 志=t/ (ahi + ci)2 + (6/ii + с2)2 = xi, (1.20.31) 不-^xz + ^yz — J ( -a%2 +01)2 + (一6九2 +02 产=%2,
где 比1, 比2 — значения результирующих касательных напряжений на сторонах слоя,比“ 比2，1-
Угол между векторами Т“ Т2, согласно (1.20.29), (1.20.30), определяется из соотношения
—Т] • Т2 — с? + с| — (а2 + Ь?)无1无2 + (ciа + с^Ъ) (Да —坛) cos ф =亍一方一=З_3，
/ 12X] • x2
(1.20.32)
где Т“ 不一модули векторов Т“ Т2.
Направления векторов Ti, Т2 определяются из соотношений .bfl? +e2 .—02
电冉=忑=电B2 = ^ =仁不， a 20 33)
屮=|12 -由•
Величины а, 6, ci,。2 определяются заданием величин xi,比2, Ма,乩2・ Предположим, что вектор Ti направлен вдоль оси ж, тогда, согласно (1.20.29), (1.20.30):
Ti =比伍 a/и + cj =比“ bhi +。2 = 0,(1.20.34)
T2 — (- a%2 +。1) 1 + (-6九2 +02)J, T2 —比 2.(1.20.35)
При выбранной ориентации векторов Ti, Т2, согласно (1.20.34), (1.20.33)
(1.20.36)(1.20.36)由=0, 屮=乩2・
(1.20.36)
(1.20.36)
Из (1.20.32), (1.20.34), (1.20.35), (1.20.36) получим
(1.20.37)(1.20.37)(1.20.38)(1.20.38)(1.20.39)(1.20.39)2ah — X] . 2bh 丄2bh
(1.20.37)
(1.20.37)
(1.20.38)
(1.20.38)
(1.20.39)
(1.20.39)
cos ф = , sin ф = , tg 屮=-—r
Из (1.20.37) найдем
X] + X2 COS(P , X2 sin(Pa =，b=~W~
Из (1.20.38), (1.20.28) следует
On =-次 I /%； + 比^ + 2比1 %2 COS ф j 自 + C.
Уравнение линии, параллельно которой изменяется давление 。之 (1.20.39), согласно (1.20.26)—(1.20.28), имеет вид
6
Х2 Sin ф/、
U = х.(1.20.40)
X] + Х2 COS(Р
При 比1 =比2 = х, согласно (1.20.38),
2 Ф. Ф Ф
X cos -xsin - cos -
b=I(1.20.41)
соотношения (1.20.39), (1.20.40) принимают вид
bz = -^2^ + С У = tg |с.(1.20.42)
Таким образом, при 比】=比2 =比,согласно (1.20.42), возрастание давления gz происходит по линейному закону вдоль биссектрисы угла между направлениями Т，Т?・
При ср = 0 имеет место решение
On = —^ж + С, g =力, а = ^, ci = b = с^ = ^- (1.20.43) При ср =兀/2
。2 = -^4 + & &=¥(* +У)， (1.20.44) изменение давления происходит по прямым, параллельным прямой У = х.
Для определения константы С (1.20.24) следует воспользоваться предположениями об интегральном характере распределения усилий на краю плиты.
Рассмотрим случай наложения на решение Прандтля (1.28) следующих усилий:
工冗2 — -~-,“z =比2, 比］+比2 =比•(1.20.45)
Решение Прандтля (1.28) вытекает из (1.20.45) при Х2 = 0.
Из (1.20.45), (1.7.32) получим
(1.20.46)(1.20.46)х + J炉一［(%1Z)2 +*］
(1.20.46)
(1.20.46)
= (巾+£
Сдвигающие усилия %z =比2 приводят к появлению напряжений “夕(1.20.46), определяющих кручение вдоль оси у. Момент кручения на единицу длины может быть определен из соотношения
1
(1.20.47)(1.20.47)М = 2 Txyzdz.
(1.20.47)
(1.20.47)
х + Сх + ССогласно (1.20.24), (1.20.45) характер распределения сдавливающего напряжения
х + С
х + С
(1.20.48)
сохраняет линейный характер, величина сдвигающего усилия 工夕之 = Х2 оказывает влияние на угловой коэффициент прямой, определяющей зависимость oz от координаты х. Величина сдвигающего напряжения туг =比2 определяет также влияние на значение постоянной С в соотношениях (1.20.24), (1.20.48), определяемой из граничных условий. При свободном крае полосы 力=0 следует положить
1
(1.20.49)(1.20.49)Qxdy = 0, при ж = 0,
(1.20.49)
(1.20.49)
—1
где 5c — определяется согласно (1.20.23), (1.20.45).
При 比2 = 比,согласно (1.20.45), xj = 0, соотношения (1.20.45), (1.20.46), (1.20.24) принимают вид
(1.20.50)(1.20.50)^х =。+ X, 。夕=。, ^ху = ^XZ = 0, %N =儿
(1.20.50)
(1.20.50)
Согласно (1.20.49), (1.20.50) имеет место
и предельное напряженное состояние слоя, при выполнении условия полной пластичности, согласно (1.20.50), (1.20.51), имеет вид
О冗—0,(5у — (?n ——比， ^ху = ^xz = 0, ^yz =比・ (1.20.52)
Рассмотрим случай анизотропного материала. Для анизотропного материала предел текучести х зависит от направления растяжения
01 =02 = 0,03 = 2%(几1,几2,几3).(1.20.53)
Предположим, что поверхность пределов текучести в пространстве xyz определена в виде
2 +2 +
2 +
2 +
+ 6 (Ft^ + G^g + Н^ = 6*, (1.20.54)
где Д, В, С,凡 G, Н)хо = const.
X2(П!,П2,П3)X2(П!,П2,П3)Из (1.20.53), (1.20.54) получим
X2(П!,П2,П3)
X2(П!,П2,П3)
—風)2 + § (^2 — ^з)2 + С (^3 —若)2 +
+ 6(R (几切2)2 + G (n2n3)2 + H (几3几1 产))• (1.20.55)
При растяжении вдоль оси ж имеет место п^ = 1,几2 = 几3 = 0, из (1.20.55) следует
宕=経(1,0,0)=舒*(1.20.56)
Аналогично
喝=х2(0,1, 0) = ^||, * = х2(0, 0,1) = |^|・(1.20.57)
Далее будем иметь
2 _2 ，，^，^_ 6Xq
”4 = "= B + C + ^F^
塌爭 = 4+氏 6G，(L20・58)
-22/_ бХо
”6-" V,0J - A + C + ^H'
Из (1.20.56)-(1.20.58) найдем
4х2 х3 у\х44х2 )
В = ^比^ (二 + 4 一 -, G =%^-,(1.20.59)
Согласно (1.20.59) вид предельной поверхности полностью определяется величинами пределов текучести %, 〃 = 1, 2,. . . , 6. Предел текучести х (п^,几2,几з) по любому направлению, определяемому величинами 几1,几2,几3, согласно (1.20.55)-(1.20.59), определяется заданием пределов текучести х^, г = 1, 2,. . . , 6.
Из (1.7.32), (1.20.54) найдем
击(Л + В) (g)2 + И + С)(I；)2 - 24 + 6F -
-2备［(B - 3G)嗫 + (0- 3Я)电 + 3啕 +
^(B^C)^z=0. (1.20.60)
Принимая предположения (1.20.21), из (1.20.23) и (1.20.60) определим
“夕=“夕(z) •(1.20.61)
Согласно (1.7.32), (1.20.21), (1.20.61) величина х =比(几“几2,几3) является функцией одной переменной г, следовательно из (1.7.32), (1.20.21), (1.9.15) следуют выражения (1.20.24). Величина сдавливающего давления будет определяться согласно (1.20.24):
On = —ах — by ~\~ С.(1.20.62)
Вид анизотропии не влияет на характер распределения давления, определяемого величиной oz (1.20.24), (1.20.62). В выражениях для компонент。冗，Од (1.20.24) влияние анизотропии, согласно (1.20.21), (1.20.60) определяется величиной тху (1.20.60), влияние анизотропии проявляется величиной константы С (1.20.24), (1.20.62), определяемой из граничных условий.
Уравнения равновесия в цилиндрической системе координат р, 0, z имеют вид
Зор 1 ^тре 3%z Ор - оеЗор 1 ^тре 3%z Ор - ое=о,=о,
Зор 1 ^тре 3%z Ор - ое
Зор 1 ^тре 3%z Ор - ое
=о,
=о,
3tpe1 doe^Tez . 2tpe _ n
~—十-—十———十=
ар р 加dzp
^ + ；需 + 需 + ^=。・ go")
Соотношения, определяющие условие полной пластичности, аналогично (1.7.31), запишем в виде
2k tpetpN2k
Op = 0鼠 T)0е = 0
°z = °& +，
+ tpetez
(1.20.64)
tpetpN + ^pe^ez + cpN^BN _ ^eztpNtpe
=2k.
(1.20.65)
Положим
ТЪ' = Vi (p) •
(1.20.66)
Уравнения (1.20.63), согласно (1.20.64), (1.20.66), примут вид
da 丄 d ( ap dp \
) = 0,(1.20.67)
、tez уР、t°ztpz у
黑 + Р 窑^ + 2%е = &(1.20.68)
|| +警+ ^= 0.(1.20.69)
Полагая
p^^ +2 tpe = а, а = const,(1.20.70)
из (1.20.70) и (1.20.68) получим
= ^ + 乌，о = —а® + /(Р, z), ci = const.(1.20.71)
2 Р
Полагая
+ — = 2A 6 = const,(1.20.72)
dpP
из (1.20.71) и (1.20.72) получим
tpz = bp+%, о = —2bz + 屮(р, е), в = const.(1.20.73)
Из (1.20.67) следует
О = R (р) + w (仇 z),О = R (р) + w (仇 z),F (р) =-F (р) =-dpРdpР(1.20.74)(1.20.74)
О = R (р) + w (仇 z),
О = R (р) + w (仇 z),
F (р) =-
F (р) =-
dp
Р
dp
Р
(1.20.74)
(1.20.74)
(1.20.76)(1.20.77)(1.20.78)(1.20.79)(1.20.80)(1.20.81)(1.20.76)(1.20.77)(1.20.78)(1.20.79)(1.20.80)(1.20.81)
(1.20.76)
(1.20.77)
(1.20.78)
(1.20.79)
(1.20.80)
(1.20.81)
(1.20.76)
(1.20.77)
(1.20.78)
(1.20.79)
(1.20.80)
(1.20.81)
Из (1.20.71), (1.20.73), (1.20.74) следует
о = —а® — 2bz + R (р),(1.20.75)
где F (р) определяется, согласно (1.20.74), выражения тр0, %之—согласно (1.20.71), (1.20.73), (1.20.65).
Компоненты напряжений определяются из выражений (1.20.64), (1.20.71), (1.20.73).
Положим
Tij =工叮(°).
Из (1.20.76), (1.20.64), (1.20.63) следует
寫+^Се)+2*。’
Положим
о = —a In р + о0(9), а = const.
Согласно (1.20.78) из (1.20.77) соответственно получим
dtp。 tpetpz ^pe^ez —ap ^ez tpN
成十％z —u.
Величины Tjj(9)связаны соотношением (1.20.65).
Три уравнения (1.20.81), (1.20.79), (1.20.65) определяют компоненты Tij(0), величина о определяется согласно (1.20.78), (1.20.80), а компоненты напряжения — согласно (1.20.64).
Отметим, что предположение 工叮(z) не проходит.
Уравнения равновесия в сферической системе координат р0(р имеют вид
器 + ；黒 + 念^ + F Wp -。厂 o<p + TpeCtge) = 0,
^ + I驚 + ^^ + ；⑶能 + & —。屮)ctge) = 0,(1.20.82)
Т + l+ 1(3%屮 + 2^e<pctge) = 0.
Op p ae psm e p ' 卩屮
Для данного случая справедливы соотношения (1.20.64), (1.20.65) с заменой индекса z на ср, что и предполагается в дальнейшем. Предположим, что
工叮=Tjj(0).(1.20.83)
Из (1.20.64), (1.20.82), (1.20.83) следует
a。 dtpe Q tpetpcp ( tpetpp 丄 tpetg \ 丄 +_ л
Р瓦 + 而+ 丿+%ectge —&
粤+ / (妃A +3%e++=(1.20.84)
* + 禁 + Зтр(р + 2те(р ctg e = 0.
sin e a(p de w 屮。
Положим
о = —a In p — 6(p + о0 (e), a, b = const.(1.20.85)
Согласно (1.20.85), из (1.20.84) соответственно получим
3tp8 +3tp8 +tpetpq ^e(ptpetpq ^e(p^p9^9(p tp<p^p9^9(p tp<p擊+2^ —+ +^ctge = a, (1.20.86)
3tp8 +
3tp8 +
tpetpq ^e(p
tpetpq ^e(p
^p9^9(p tp<p
^p9^9(p tp<p
++ctge de = 0,ctge de = 0,(1.20.87)(1.20.87)(1.20.88)(1.20.88)0 — tpetpcp
+
+
ctge de = 0,
ctge de = 0,
(1.20.87)
(1.20.87)
(1.20.88)
(1.20.88)
Три уравнения (1.20.86), (1.20.88), (1.20.65) определяют компоненты Tjj(0), величина о определяется согласно соотношениям (1.20.85), (1.20.87), а компоненты напряжения — согласно (1.20.64)
Предположения 工叮(р),工叮(ср) не проходят.
Сдавливание сжимаемого идеальнопластического слоя шероховатыми плитами.Обобщение решения Гартмана
Рассмотрим сжатие идеально пластического слоя шероховатыми плитами в случае, когда условие предельного состояния линейно зависит от среднего давления. В случае плоской задачи имеем
(報-Од)? + 4名夕=4 (k + ас)2 , о = ^ (報 + oj , k, a = const.
"(1.21.1)
Условию (1.21.1) удовлетворим, полагая
。冗 =о + 自 cos 2(p, 。夕 =о —自 cos 2(p,
тху =自 sin 2(p,自=k + ао, о =丄(自一k).(1.21.2)
Из уравнений равновесия, (1.21.1) и соотношений (1.21.2) получим 蔡 G + 8S 2, + Ц sin 2ф - 2 g (sin 2 鹽-cos 2嗤)=0,
Il sin 2ф + || (^1 _ cos 2ф^ + 2^ (cos 2Ф^ + sin 2<pg) = 0. (1-21.3) Гартман [58] полагает
^ = ^(У)-(1.21.4)
£ G+c°s2p)Ssin2(p+S(^-Из (1.21.5) найдем1生二 己 дх а,1 am 丄 2 .已痂+玄sh1 + 李 sin 2(p = —2自 cos 21 Bydy-cos2(p) = —2自 sin 2屮霁.(1.21.5)g(cos2(p —а)^ =0,]2屮禽=0, △ = 4 - r(1.21.6)£ G+c°s2p)Ssin2(p+S(^-Из (1.21.5) найдем1生二 己 дх а,1 am 丄 2 .已痂+玄sh1 + 李 sin 2(p = —2自 cos 21 Bydy-cos2(p) = —2自 sin 2屮霁.(1.21.5)g(cos2(p —а)^ =0,]2屮禽=0, △ = 4 - r(1.21.6)В случае отсутствия влияния среднего давления при а = 0 предположение Гартмана (1.21.4) сводится к предположению Прандтля (1.20.3). Согласно (1.21.4) уравнения (1.21.3) примут вид
£ G+c°s2p)
Ssin2(p+S(^-
Из (1.21.5) найдем
1生二 己 дх а,
1 am 丄 2 .
已痂+玄sh
1 + 李 sin 2(p = —2自 cos 2
1 Bydy
-cos2(p) = —2自 sin 2屮霁.(1.21.5)
g(cos2(p —а)^ =0,
]2屮禽=0, △ = 4 - r(1.21.6)
£ G+c°s2p)
Ssin2(p+S(^-
Из (1.21.5) найдем
1生二 己 дх а,
1 am 丄 2 .
已痂+玄sh
1 + 李 sin 2(p = —2自 cos 2
1 Bydy
-cos2(p) = —2自 sin 2屮霁.(1.21.5)
g(cos2(p —а)^ =0,
]2屮禽=0, △ = 4 - r(1.21.6)
Полагая в дальнейшем
自=ri (у) ехр (九力)， 九=const,(1.21.7)
перепишем (1.21.6) в виде
а△九 + 2 (cos 2(р — а) ^ = О,
也 £+2sin2 产=0.Л dydy也 £+2sin2 产=0.Л dydy(1.21.8)(1.21.8)
也 £+2sin2 产=0.
Л dydy
也 £+2sin2 产=0.
Л dydy
(1.21.8)
(1.21.8)
Первое соотношение (1.21.8) определяет зависимость(р(д)：
(1.21.9)(1.21.9)(1.21.10)(1.21.10)(1.21.11)(1.21.11)sin 2(р — 2а(р -\- qy = const, q = а△九.
(1.21.9)
(1.21.9)
(1.21.10)
(1.21.10)
(1.21.11)
(1.21.11)
Из второго соотношения (1.21.8) и (1.21.7) получим
自=С ехр (九力 + х cos 2(р), С = const, х = -^.
Согласно (1.21.2), (1.21.10) найдем
°冗=° ( ； + cos 2(р) ехр (九力 + х cos 2屮)—^,
Оу = С — cos 2(р) ехр (九力 + х cos 2屮)—^,
T况g =° sin 2(p exp (九力 + x cos 2屮),
где зависимость(p(g) определяется соотношениями (1.21.9).
Условие предельного состояния для среды, свойства которой зависят от среднего давления, запишем в виде (1.7.27), полагая
(1.21.12)(1.21.12)к = % + ас, %, а = const.
(1.21.12)
(1.21.12)
В дальнейшем введем обозначение к =自，тогда, согласно (1.21.12), 自=% + ао, о =；(自—％).(1.21.13)
Соотношения (1.7.27), согласно (1.21.13), примут вид
5c =。自一％/3 + 自 cos2 0i, тху =自 cos 0i cos 02,
Qy = C^ — ZbO /3 + ^ COS2 02 5 ^yz — ^ cos 02 cos 63,(1.21.14)
On =。自一 ％/3 + "os? e3,“ =自 COS& COS 63,
COS2 91 + COS2 92 + cos2 63 = 1, c = - —
Подставляя соотношения (1.21.14) в уравнения равновесия (1.9.15), получим
华+ COS2 黑 COS 61 COS 02 + 尊 cos 91 cos 9з =
ox v7 oyoz
3 (cos 0] COS 0])dx3 (cos 0] COS 0])dx++3 (cos 0] COS 02)Oy3 (cos 0] COS 02)Oy++3 (cos 0] COS 03)3 (cos 0] COS 03)dzdz
3 (cos 0] COS 0])dx
3 (cos 0] COS 0])dx
+
+
3 (cos 0] COS 02)Oy
3 (cos 0] COS 02)Oy
+
+
3 (cos 0] COS 03)
3 (cos 0] COS 03)
dz
dz
华 COS 91 COS 02 + 然(d + COS2 ®2)+ 尊 cos 92 COS 9з = oxoy v丿 dz
3 (cos 0] cosdx3 (cos 0] cosdx02)+ d (cos 02 COS 02)+ d (cos 02 COS 03)02)+ d (cos 02 COS 02)+ d (cos 02 COS 03)dydydzdz(1.21.15)(1.21.15)
3 (cos 0] cosdx
3 (cos 0] cosdx
02)+ d (cos 02 COS 02)+ d (cos 02 COS 03)
02)+ d (cos 02 COS 02)+ d (cos 02 COS 03)
dy
dy
dz
dz
(1.21.15)
(1.21.15)
华 COS 91 COS 03 + 然 COS 92 cos ®з + 尊(o + cos2 ®3)= oxoyOz '丿
3 (cos 0] COS 03)dx
+
d (cos 02 cos 03)+ d (cos 03 cos 03)
3g
dz
Из (1.21.15) можно определить
I^ = n grad (cos0i) + xcos0i divn,
(1.21.16)(1.21.16)= n grad (cos02)+ 比cos02 divn,
(1.21.16)
(1.21.16)
^ 患=n grad (cos 03)+ x cos 63 divn,
П = COS 01 i + COS 02j + COS 0зк, x = ——
1 + c
Следуя идеям Гартмана, положим
^ = П (г) exp (mx + ny), m^n = const, & = & (z) .(1.21.17)
Согласно (1.21.17) уравнения (1.21.16) примут вид
d cos 0]
—mc = cos 03 —— dz
■八 d cos ®з/1 с〕iq、
+ x cos 9i———,(1.21.18)
d COS 02
—nc = cos 出——-—- dz
+ xcos62 写岁，(1.21.19)
c dr\ _ T| dz
寺弊Ч(1.21.20)
Уравнение (1.21.20) приводит к интегралу
r| = C exp ( — 1 ^" cos2 03 j , C = const.
Из уравнений (1.21.18), (1.21.19) следует
d (n cos 0] — m cos 02)/、din cos 63 八
亠；— + x (n cos 9i — m cos 9o) ； = 0.
dz' dz
Уравнение (1.21.22) интегрируется:
п cos 91 — m cos 蝕=5 (cos 63) " , В = const.
Из (1.21.18), (1.21.19) также следует
С (n COS ®2 + m COS 力)
cos 03 d cos2 03/.2、d cos 63
開——(is ез)р^
Соотношения (1.21.24) запишем в виде
n COS ф2 + ^ cos Ф1 = М,
М _ -% + (1 + 幻 cos?(рз
. d(p3
Sin фз 石一• (Lz
Интеграл (1.21.23) перепишем следующим образом:
n cos 9i — m cos 62 = N, N = В (cos 0з)-х
Из (1.21.25), (1.21.26) следует
Mm + NnMn — Nm
cose-病 + 黯，COS 02=川+黯
Используя соотношение cos2 力 + cos2 02 + cos2 63 = 1 (1.21.27), получим
М = 士 J (m2 + 几2) sil]2 83 — %2.
Из (1.21.28), (1.21.25) найдем
成3士C，(m2 + 九2)sir]2 63 一 №
dz[—x + (1 + %) cos2 03] sin 03 5
(1.21.21)
(1.21.22)
(1.21.23)
(1.21.24)
(1.21.25)
(1.21.26)
(1.21.27) согласно
(1.21.28)
(1.21.29)
где N определяется согласно (1.21.26).
Согласно (1.21.29) зависимость 9з (z) определяется квадратурой
,'[—х + (1 + х) cos2 0з] sin 0з(/Оз
士L 卜 丿 」=z + Q D = const. (1.21.30)
J cy (m- + 九2) sin2 e3 — B2 (cos 0з)-2х
Из (1.21.30), (1.21.27) определяются функции 力(z), 02 (z)・
Величина 自 определяется согласно (1.21.17), (1.21.21), таким образом, могут быть определены компоненты напряжения согласно (1.21.14).
Случай плоской задачи имеет место при cos 9i = 0 или cos 02 = 0- Положим cos 02 = 0, тогда, обозначая 9j = ср, будем иметь 9з =兀/2 — ср. Из (1.21.19) следует 几=0, соотношение (1.21.18) принимает вид
. dcos(pdsin(p/、
—тс = sin ср h x cos ср—z——,
или
mcdz = [x cos2 ф — sin2 cp] d(p.(1.21.32)
Отсюда следует (с точностью до обозначений) интеграл (1.21.8).
Отметим, что в плоском случае либо п = cos 02 = 0, либо т = =cos01 = 0, поэтому В = N = G (1.21.23), (1.21.26) и интеграл (1.21.8) следует непосредственно из (1.21.30).
Глава 2
УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО.СЛОЖНЫЕ СРЕДЫ
1. Упрочнение и разупрочнение.
Поверхность нагружения. Функция нагружения.
Нагружение и разгрузка
Введем шестимерное пространство напряжений П, декартовы координаты точки которого являются компонентами симметричного тензора 分叮.Каждому значению тензора。叮 в пространстве П соответствует некоторая точка или вектор о с началом в начале координат и компонентами。叮.В пространстве ГГ рассмотрим область Q, содержащую начало координат, в которой упругопластическое тело будем считать упругим (для любых точек внутри Q приращения напряжений связаны с соответствующими приращениями деформаций законом Г ука). Для жесткопл асти ч еского тела в области Q материал является жестким. Обозначим через Е поверхность, ограничивающую область Q. Точки поверхности Е соответствуют пределам упругости или пластичности. Поверхность Е называется поверхностью пластичности. Обычно постулируемые свойства поверхности Е состоят в следующем: она замкнута, но в некоторых направлениях может простираться до бесконечности, не проходит через начало координат, и любой луч, исходящий из начала координат, пересекает ее не более одного раза.
Идеально пластической называется среда, для которой поверхность Е фиксирована. В этом случае поверхность пластичности носит также название поверхность текучести.
Для упрочняющихся материалов поверхность Е может изменяться при изменении напряженного состояния. Поверхность пластичности Е в этом случае называется также поверхностью упрочнения или поверхностью нагружения. Ниже используется последний термин.
Точку на поверхности Е, принадлежащую вектору действительного напряженного состояния, будем называть точкой нагружения.
Характер изменения поверхности нагружения Е будем определять двумя терминами: упрочнение и разупрочнение. Предположим, что данному напряженному состоянию о соответствует некоторая определенная поверхность нагружения Е. Обозначим через о* вектор напряжений, соответствующий любой точке данной поверхности нагружения
или внутренней точке области Q. Обозначим через oj единичный вектор (|oq| = 1), соответствующий вектору о*. Будем говорить, что данное приращение напряжений До вызывает упрочнение в некотором направлении, характеризуемом вектором 畸 если в этом направлении предел пластичности повышается. И наоборот, материал разупрочня- ется, если в данном направлении предел пластичности понижается.
Рис. 75Рис. 75На рис. 75 поверхность Е в результате приращения напряжений До перешла в X + ДЕ. В направлении вектора 咕 материал упрочнился, в направлении о^ — разупрочнился. Обычно в литературе термин упрочняющееся пластическое тело используется для определения пластических сред, поверхность нагружения которых изменяется в процессе изменения деформированного состояния элемента тела.
Рис. 75
Рис. 75
Предположим, что существует некоторая конечная система параметров и кон
стант материала, определяющая состояние элемента упрочняющейся пластической среды. Такую систему параметров и констант запишем в виде
0"，7,吟，К,用£,(2.1.1)
где Т — температура,吟—компоненты пластической деформации, %i — параметры упрочнения^ которые могут быть связаны с остаточными деформациями неголономными связями, ki — константы материала.
В дальнейшем тепловые эффекты рассматривать не будем. Для простоты будем считать процесс деформирования изотермическим: Т = const, dT = 0, поэтому температуру не будем включать в число определяющих параметров, в этом случае она может быть рассмотрена в числе констант 汽.
Предположим, что уравнение поверхности нагружения можно записать в виде
/ (。叮，吟，К，к, = 0,(2.L2)
Функция / называется функцией нагружения.
Точки поверхности нагружения, в окрестности которых функция нагружения дифференцируема по。叮 и, следовательно, в этих точках имеется единственная нормаль к Е, называются регулярными. Поверхность нагружения в окрестности регулярных точек является гладкой.
Упругой (жесткой) области Q соответствуют отрицательные значения функции нагружения:
/ (0订,吟，/г?自) <。.(2.1.3)
Введем понятия разгрузки, нейтрального нагружения и нагружения для регулярных точек поверхности нагружения.
Если напряженное состояние принадлежит поверхности Е и приращения напряжений До переводят вектор о внутрь области Q, то подобный процесс назовем разгрузкой. В этом случае приращения напряжений связаны с приращениями деформаций законом Гука и изменения пластических деформаций не происходит. Поверхность Е при разгрузке не изменяется (рис. 76, а).
Рис. 76Рис. 76
Рис. 76
Рис. 76
При разгрузке приращения пластических деформаций и параметров м равны нулю:
d 吟=0,必=0.
Согласно (2.1.2), (2.1.3) при разгрузке):
df = d'/ 三 а < 0.
UGij
Нейтральное нагружение имеет место в том случае, когда приращения напряжений До таковы, что конец вектора в любой момент времени остается на фиксированной поверхности и изменения пластических деформаций не происходит. Другими словами, при нейтральном нагружении напряженное состояние находится на пределе упругости, изменения поверхности Е не происходит.
В этом случае приращения напряжений и деформаций для упругопластического тела связаны законом Гука, приращения пластических деформаций и параметров 乂 равны нулю: d吟=0, d^i = 0. Согласно
при нейтральном нагружении
df =力/ =励加订•=0.
Если приращение напряжений До сопровождается приращением пластических деформаций, то подобный процесс называется нагружением. Для нагружения необходимо, чтобы исходное напряженное состояние соответствовало пределу упругости; другими словами, конец вектора о должен принадлежать поверхности Е. Процесс нагружения упрочняющегося тела связан с изменением поверхности Е (рис. 76, 6).
При нагружении d吟 # 0, d^i # 0. Согласно (2.1.2) при нагружении
df = а ' do”〉0,
d，f三言公"+訪"吟+ ^也=0-
Дифференциальные соотношения для %左 могут быть записаны в виде
d%k = 4；?d 吟.(2.1.4)
Введенные определения разгрузки, нейтрального нагружения и нагружения устанавливают ограничения на свойства у проч ня ющегося у пругопл асти ческого материала. В самом деле, принятые определения разгрузки исключают возможность передвижения поверхности внутрь ее первойачального положения в точке нагружения так, как указано
Рис. 77
на рис. 77, а, и тем самым исключают из рассмотрения материалы с «неустойчивой» диаграммой о — е (рис. 77, 6).
Но точки поверхности нагружения Е + ДЕ, лежащие вне непосредственной окрестности точки нагружения, при нагружении могут смещаться внутрь области Q, ограниченной первойачальным поло-
жен и ем поверхности Е (рис. 76, 6). Поверхность нагружения может иметь особенности в виде ребер, конических или угловых точек. Точки поверхности Е, соответствующие подобным особенностям, называются особыми или сингулярными. Кусочно гладкие поверхности нагружения, имеющие особенности в виде ребер и угловых точек, можно описать при помощи некоторого конечного или бесконечного числа гладких функций нагружения:
#)卜叮，吟，к, ^) = 0, 丁 = 1, 2,… (2.1.5)
Функции нагружения /⑺ в пространстве напряжений ГГ соответствует поверхность нагружения Ег. Упругой (жесткой) области Q соответствует отрицательное значение всех функций нагружения /(「)< < 0. Соответствующее пересечение поверхностей 4, ограничивающих область Q, образует данную кусочно гладкую поверхность нагружения Е.
Кусочно гладкую поверхность можно рассматривать как предельную для последовательности гладких поверхностей, вложенных в данную кусочно гладкую поверхность, поэтому в точках особенностей поверхности нагружения (ребрах, конических и угловых точках и т. п.) вектор нормали может принимать любое направление, ограниченное направлениями нормалей прилежащих гладких кусков поверхностей нагружения.
Точка напряжений в некотором исходном состоянии может соответствовать одной или нескольким функциям нагружения (2.1.5), причем остальные функции нагружения отрицательны:
/(£)=0, /0)< 0. (2.1.6)
Индексы г, j в (2.1.6) различны и исчерпывают совокупность индексов г. Согласно (2.1.6) данная особенность поверхности Е образована пересечением нескольких поверхностей &.
Рассмотрим определения разгрузки, нейтрального нагружения и нагрузки для особых точек поверхности нагружения (2.1.6). В данном случае соответствующие определения для одной гладкой функции нагружения / могут быть распространены на совокупность гладких функций нагружения /⑴，определяющих рассматриваемую особенность поверхности нагружения Е.
Смещение в упругую (жесткую) область или разгрузка происходят, если приращение напряжений таково, что имеют место соотношения
#)= о, df^ =力/⑴三 ^dohk < 0, /⑺ < 0.
В этом случае приращения пластических деформаций и параметров %i равны нулю (d吟=0, d^i = 0), а поверхность Е при разгрузке не изменяется.
При нейтральном нагружении приращение напряжений До таково, что конец вектора о в любой момент времени остается на фиксированной кусочно гладкой поверхности Е, причем для некоторых кусков Еп может происходить разгрузка:
df^ =d/⑺=m加订・< 0, /⑴< 0, где индексы т, п различны и исчерпывают всю совокупность индексов г.
Если т совпадает с несколькими индексами, то точка нагружения при нейтральном нагружении продолжает оставаться особой точкой поверхности нагружения Е, если т — единственный фиксированный индекс, то точка нагружения при нейтральном нагружении смещается с особой точки в регулярную точку поверхности Е.
При нейтральном нагружении изменения поверхности Е не происходит, приращения пластических деформаций и параметров 及 равны нулю: d吟=0, d%£ = 0.
Нагружение будет иметь место, если приращение напряжений До таково, что хотя бы для одной или нескольких функций нагружения fg) из совокупности #)(2.1.6) выполняются соотношения
Л f (т)
fg) = 0,力/*)=加订・〉0,
(2.1.7)
办(向=限5 +霓m+胃也=。・
UG*jU^ij。为 z
Для других функций /⑺ из совокупности #)может иметь место разгрузка или нейтральное нагружение:
*)=0,
где индексы s, t различны и исчерпывают всю совокупность индексов п.
Если в (2.1.7) совокупность индексов т совпадает с совокупностью индексов г, и, следовательно, для всех поверхностей нагружения Ej, образующих данную особенность (2.1.6) поверхности Е, происходит
нагружение, то такое нагружение называется полным. Дифференциальные соотношения для параметров %左，аналогичные (2.1.4), могут быть записаны в виде
d%k = А^de^j, 4；? (Gmn?吟九,％k) • (2.1.8)
Остановимся на ограничениях, н акл ады ваем ы х определениями разгрузки, нейтрального нагружения и нагружения на свойства упрочняющегося пластического тела в случае кусочно гладких поверхностей нагружения.
Из определения разгрузки, как и в случае гладкой поверхности нагружения, следует, что материал не может обладать «неустойчивой» диаграммой о — е (рис. 77, 6).
При нагружении d吟 * 0, d^i # 0, поэтому могут получить перемещения все гладкие участки Ег поверхности нагружения, хотя условия нагрузки (2.1.7) выполняются лишь для одного или нескольких участков из совокупности Ег. Но поверхности Ег должны перемещаться так, чтобы точка нагружения принадлежала кусочно гладкой поверхности Е, ограничивающей область Q. Другими словами, ни одна поверхность Ег не может сместиться, оставляя точку нагружения вне поверхности Е. Проиллюстрируем сказанное (рис. 78). Особенность об-
Рис. 78
разована пересечением поверхностей X】，Х?・ Приращение напряжений △о таково, что нагружение испытывает только поверхность Ej, относительно поверхности 上 имеет место разгрузка. Однако поверхность 上 перемещается. Она может занять, например, положение xf + △X,), но положение Е^ + △S^ она занять не может, так как в этом случае точка нагружения оказалась бы вне поверхности Е и области Q.
Приведем некоторые примеры выражений параметров 及.
Тейлором, Куини （1931 г.） и Шмидтом （1932 г.） предложено характеризовать историю деформирования одним параметром %, для которого d% = o“d吟,Одквистом （1933 г.） — d% = J|d吟d吟.
Можно, например, положить
女=（0叮-0吟）d吟，c = const •
В дальнейшем будут также рассматриваться параметры /^, определенные в виде
%к=4；?端，（2.1.9）
где 4；：）= 4；：）（c>mn, е^п, %僧,£嘉九）,причем Л^ — однородная функция нулевого порядка переменных 嗚.
Вообще относительно параметров 及 предположим, что они зависят от истории нагружения, данных значений напряжений и пластических деформаций, но не зависят от скорости изменения напряжений 6叮.
Принцип максимума в пространственапряжений. Ассоциированный закондеформирования гладкие поверхности нагружения
Обозначим через D скорость диссипации механической работы:
D - ь У F
" 一 电，包•一 dt •
Основополагающим принципом при построении теории пластичности является принцип максимума скорости диссипации механической работы, при фиксированных параметрах е^, /^ скорость диссипации механической работы в единице объема при пластическом деформировании имеет максимальное значение для действительного напряженного состояния о” среди всех напряженных состояний。；力 допускаемых данной функцией нагружения'.
/ （吟，吟，М$e）' 0-
（2.2.1）（2.2.1）Принципу максимума можно дать другую формулировку: при фиксированных параметрах е务,/^ для любого данного значения компонент скорости деформации 哈 имеет место неравенство
（2.2.1）
（2.2.1）
^j >吟嗚,
Принцип максимума. Ассоциированный закон деформирования 273 где 6盯 —действительные значения компонент напряжений, соответствующие данному значению 嗚；吟 —компоненты любого возможного напряженного состояния^ допускаемого данной функцией напряжения
/ (吟，吟，m，自)' 0-
Сформулированный принцип будем называть принципом максимума Мизеса. Формулировка ослабленного принципа максимума Мизеса требует выполнения нестрогого неравенства
Gij 戏$》^ij ^j •(2.2.2)
В векторной форме неравенства (2.2.1), (2.2.2) можно переписать в виде
^ > (5^, оМ》о*£0.(2.2.3)
Предположим, что функция нагружения является гладкой, в каждой ее точке существуют единственная нормаль и касательная плоскость.
Из (2.2.3) следует, что
(о - о*)旷 > 0, (о — о*)旷》0,(2.2.4)
т. е. вектор о — о* при любом возможном о* образует нетупой угол с вектором £0. Из рис. 79, а очевидно, что вектор £р должен быть
Рис. 79Рис. 79
Рис. 79
Рис. 79
направлен по нормали к поверхности нагружения, а сама поверхность Е в случае выполнения первого неравенства (2.2.4) должна быть выпуклой по отношению к области Q; во втором случае поверхность Е должна быть невогнутой относительно области Q. В противном случае неравенства (2.2.4) не имеют места (рис. 79, 6).
Таким образом, следствием принципа максимума Мизеса является соотношение
(2.2.5)(2.2.5)
(2.2.5)
(2.2.5)
Соотношение (2.2.5) можно переписать в компонентах приращения деформации:
"吟=耿先以3"九"吟=耿先以3"九(2.2.6)(2.2.6)
"吟=耿先以3"九
"吟=耿先以3"九
(2.2.6)
(2.2.6)
Величины р°, d九 удобно представить в виде
dX = h~A d! f =九-1 二,g切)dX = h~A d! f =九-1 二,g切)(2.2.7)(2.2.7)
dX = h~A d! f =九-1 二,g切)
dX = h~A d! f =九-1 二,g切)
(2.2.7)
(2.2.7)
d(5ij
Тогда по определению нагрузки, разгрузки и нейтрального нагру
жения соотношения (2.2.5), (2.2.6) можно представить в виде
(2.2.8)(2.2.8)
(2.2.8)
(2.2.8)
причем
住 о при / = 0, / => о,
、=0 при / < 0 или при / = 0, / ^ О,
или
(2.2.9)(2.2.9)
(2.2.9)
(2.2.9)
причем
#0 при / = 0,打=0nm > О, ООтп
=0 при / < 0 или при / = 0, df f < 0.
Соотношения (2.2.8), (2.2.9) носят название ассоциированного закона течения или деформирования. Термин «течение» связан с тем, что в соотношениях (2.2.5), (2.2.8) фигурируют компоненты скорости
Принцип максимума. Ассоциированный закон деформирования 275 пластической деформации 端.Однако соотношения теории пластичности однородны относительно ди фферен ци ал а времени d 力 а при фиксированных условиях деформирования у проч ня ющегося пластического тела не происходит. Функция Л называется функцией упрочнения.
Симметричность тензоров напряжений и скоростей деформаций влечет за собой соотношение
^ij^ij — 011211 + 022^22 + 033^33 + 2012^12 + 2013门3 + 2023^23 •
В шестимерном подпространстве девятимерного пространства напряжений Р ассоциированный закон течения принимает вид
Следовательно, если / зависит от компонент симметричного тензора напряжений。叮，то ассоциированный закон течения имеет вид
£п = Ц£п = Ц0刃a。”'0刃a。”'2门2 =廿篇2门2 =廿篇
£п = Ц
£п = Ц
0刃a。”'
0刃a。”'
2门2 =廿篇
2门2 =廿篇
Из ассоциированного закона течения в виде (2.2.5) следует эквивалентность определения параметров истории по соотношениям (2.1.8) и (2.1.9). Так как 4；? в соотношении (2.1.9) — однородная функция нулевого порядка относительно 嗚，то
£丿(Gmn, emn 5 %m , emn) = ^ij^
т. e. без ограничения общности можно считать, что 4；? не зависит от 务 а является функцией omn, е^п,九皿
Функция упрочнения Л может быть определена следующим образом. Дифференцируя выражение (2.1.2), получим
Подставляя в (2.2.10) выражения (2.1.8) и (2.2.6), найдем
Из (2.2.7) и (2.2.11) окончательно следует
无=-("乐 J 設削•(2212)
Согласно (2.2.8) можно получить
(2.2.13)(2.2.13)
(2.2.13)
(2.2.13)
Соотношения (2.2.8), (2.2.9) могут быть записаны в векторной форме
{
^о 1 (по) п при / = 0, по > О,
О при / < 0, или при / = 0, nd < О,
人_1 ( df df\。
где 拉° =拉-——-—— ,ап — единичным вектор нормали к поверх
ности Е в точке нагружения (|п| = 1).
Компоненты вектора нормали п равны величинам
Формула (2.2.13) в векторной форме имеет видФормула (2.2.13) в векторной форме имеет вид6声=h^^.6声=h^^.(2.2.14)(2.2.14)Следуя (2.2.14), при нагружении всегда выполняется неравенствоСледуя (2.2.14), при нагружении всегда выполняется неравенство6声 > 0 или dij^- > 0.Имеют место соотношения6声 > 0 или dij^- > 0.Имеют место соотношения(2.2.15)(2.2.15)eij = ^ijhk^hk^ ^ij = ^i/hkehk^eij = ^ijhk^hk^ ^ij = ^i/hkehk^^ij = Cijhk^hk ?^ij — ^ijhk^hk 5 ^ijhk = CODSt .^ij = Cijhk^hk ?^ij — ^ijhk^hk 5 ^ijhk = CODSt .(2.2.16)(2.2.16)(2.2.17)(2.2.17)Согласно (2.2.16), (2.2.17), (2.2.8) для упругопластического тела окончательно можно записатьСогласно (2.2.16), (2.2.17), (2.2.8) для упругопластического тела окончательно можно записать^ijhk^hk + 嗚，еСЛП / =。CijhkGhk) если / < 0 или^ijhk^hk + 嗚，еСЛП / =。CijhkGhk) если / < 0 илии / = О^тп > 0,/ = 0 и / ^ 0.и / = О^тп > 0,/ = 0 и / ^ 0.У -У -если / = 0 иесли / = 0 и/ = а/ d > оООтп/ = а/ d > оООтп0, если / < 0 или / = 0 и / ^ 0.0, если / < 0 или / = 0 и / ^ 0.
Формула (2.2.13) в векторной форме имеет вид
Формула (2.2.13) в векторной форме имеет вид
6声=h^^.
6声=h^^.
(2.2.14)
(2.2.14)
Следуя (2.2.14), при нагружении всегда выполняется неравенство
Следуя (2.2.14), при нагружении всегда выполняется неравенство
6声 > 0 или dij^- > 0.
Имеют место соотношения
6声 > 0 или dij^- > 0.
Имеют место соотношения
(2.2.15)
(2.2.15)
eij = ^ijhk^hk^ ^ij = ^i/hkehk^
eij = ^ijhk^hk^ ^ij = ^i/hkehk^
^ij = Cijhk^hk ?^ij — ^ijhk^hk 5 ^ijhk = CODSt .
^ij = Cijhk^hk ?^ij — ^ijhk^hk 5 ^ijhk = CODSt .
(2.2.16)
(2.2.16)
(2.2.17)
(2.2.17)
Согласно (2.2.16), (2.2.17), (2.2.8) для упругопластического тела окончательно можно записать
Согласно (2.2.16), (2.2.17), (2.2.8) для упругопластического тела окончательно можно записать
^ijhk^hk + 嗚，еСЛП / =。
CijhkGhk) если / < 0 или
^ijhk^hk + 嗚，еСЛП / =。
CijhkGhk) если / < 0 или
и / = О^тп > 0,
/ = 0 и / ^ 0.
и / = О^тп > 0,
/ = 0 и / ^ 0.
У -
У -
если / = 0 и
если / = 0 и
/ = а/ d > о
ООтп
/ = а/ d > о
ООтп
0, если / < 0 или / = 0 и / ^ 0.
0, если / < 0 или / = 0 и / ^ 0.
В дальнейшем будем предполагать, что функции упрочнения Л не
Отметим, что функция g называется пластическим потенциалом^Отметим, что функция g называется пластическим потенциалом^зависят от скоростей изменения напряжений 6叮.
Отметим, что функция g называется пластическим потенциалом^
Отметим, что функция g называется пластическим потенциалом^
если ef •если ef •з 0订з 0订При наличии ассоциированного закона пластическо
если ef •
если ef •
з 0订
з 0订
го течения пластическим потенциалом является функция нагружения
/. Если пластический потенциал не совпадает с функцией нагружения, то подобные законы связи 嗚 ~ ^ij называются неассоциированными. Очевидно, что для неассоциированных законов связи 吟 ~^ij принцип максимума Мизеса не выполняется.
Объемные деформации металлов в достаточно широком диапазоне изменения давления можно считать упругими. Следовательно, пластическая составляющая скорости объемной деформации удовлетворяет
условию несжимаемости:
(2.2.18)
Предположим, что к телу, находящемуся в однородном напряженном состоянии, приложено равномерное гидростатическое давление р. Тогда напряженное состояние изменится на величину о叮 + P^ij- Предположим далее, что пластическое состояние не зависит от величины р, в этом случае
/ (。叮，吟,Хг , kj — / (^ij "Ь P^ij ,吟，Хг , ^)=。・ (2.2.19)
Дифференцируя (2.2.19) по р, получим df/d^ij = 0.
Это соотношение является условием независимости пластических свойств материала от действия равномерного давления р. Легко показать, что необходимым и достаточным условием его выполнения является зависимость функции нагружения не от компонент тензора напряжений。叮,а от компонент девиатора о% = о叮—。3叮,о = ^。££・ Если функция нагружения зависит от компонент девиатора напряжений, следствием ассоциированного закона (2.2.8) является условие несжимаемости (2.2.18).
В самом деле, обозначим。口 =。冗，62 =。冗夕，…，тогда, если функция нагружения зависит от компонент девиатора напряжений /(о；力吟,%£,«) = °, соотношения ассоциированного закона (2.2.5) примут вид
где символ (力gz) означает, что невыписанные выражения получаются круговой перестановкой индексов.
Согласно (2.2.20) имеет место условие пластической несжимаемости:
а=；* =；(或+商+印=0-
Отметим, что функции нагружения, удовлетворяющие условию ^―у = 0, интерпретируются в пространстве главных напряжении 仇 цилиндрическими поверхностями, образующие которых параллельны прямой о】 =02 = 。3, равнонаклоненной к осям О£. Вектор £@ в пространстве главных напряжений параллелен девиаторной плоскости 。1 +。2 +。3 = 0, откуда и следует
或+成+或=。。
Обобщенный ассоциированный законнагружения, кусочно гладкие поверхностинагружения
В случае, когда функция нагружения имеет особенности (ребра, угловые точки) и определена в виде (2.1.5), напряженное состояние может соответствовать нескольким поверхностям нагружения:
/⑺(0"，吟，М$e)= °,(2.3.1)
По отношению к каждой функции нагружения (2.3.1) в § 1 было введено определение нагрузки, разгрузки и нейтрального нагружения.
Согласно обобщенному ассоциированному закону течения вектор скорости пластической деформации 嗚 слагается из составляющих £^т\ каждая из которых ортогональна соответствующей поверхности нагружения /(* = О, для которой имеет место нагружение. Для поверхностей нагружения /⑺=0, относительно которых имеет место разгрузка или нейтральное нагружение, соответствующая составляющая вектора скорости пластической деформации равна нулю.
Соотношения обобщенного ассоциированного закона течения имеют вид
嗡=e夢=e出需，(232)
гг
при этом
3f(r)丽В °-3f(r)丽В °-> 0, если /6 = 0,『⑺=> О, OGij 丿
3f(r)
丽В °-
3f(r)
丽В °-
=О, если f ⑺ < О или f ⑺=О, /⑺=
Соотношения (2.3.2) можно переписать в виде
(2.3.3)(2.3.3)
(2.3.3)
(2.3.3)
где
J1, если /6 = 0, /⑺ > 0;
(0, если /(「)< 0 или /(「)= 0, /(「)< 0.
В соотношениях (2.3.2), (2.3.3) знак £ обозначает суммирование по индексу г, причем в круглых скобках имеет место суммирование по повторяющимся индексам т, п.
Очевидно, что при полном нагружении для всех поверхностей нагружения, образующих данную особенность, все сг = 1, при неполном нагружении для некоторых индексов сг = 0. Смещение точки нагружения из особой в регулярную точку поверхности нагружения происходит, если лишь единственный коэффициент。「= 1, а остальные равны нулю.
Функции упрочнения Л"1 могут быть определены следующим образом. Дифференцируя выражения (2.3.1), получим для данной особой точки
” =^d…響廿+ *也=。.(234)
Подставляя в (2.3.4) выражения (2.3.3), получим систему алгебраических уравнений относительно 九储
需曲в+針"吟(? Crh^需dfТ)) +*也=0.⑵3.5)
Очевидно, в (2.3.5) должны быть использованы лишь те уравнения, для которых сг = 1, поэтому число неизвестных совпадает с числом уравнений. Величины hr могут быть определены из (2.3.5).
Согласно (2.3.3) можно получить
•⑵3.6)
Векторная форма записи соотношений (2.3.3) имеет вид
£0 =
где
J1 при /⑺=0, п「6 > 0,
(0 при f^ < 0 или f^ = 0, п「6，0,
砾=娟(竅竅)，
nr — единичный вектор нормали к поверхности /(「)= 0 в пространстве напряжений Р. Компоненты вектора пг, очевидно, равны
а* 严 а/([Т/2
3°订 у ^^тп ^^тп у
Формула (2.3.6) в векторной форме имеет вид
0声=E%「磋磋.
Следовательно, при нагружении всегда имеет место условие (2.2.15).
Согласно (2.2.16), (2.2.17), (2.3.3) для упругопластического тела окончательно можно записать:
旳=gijhk^hk + 端，端=>/Т仁^-广吟,(2.3.7)
где
(1, если /6 = 0, /6 > 0;
Ср —〈・
(о, если *)< 0 или *)= 0, *)< 0,
и
^ij — Cijhk&hk〉 ^务=0, ^СЛИ ВСе Сг — 0.
Условие независимости пластических свойств материала от действия равномерного давления р записывается аналогично следствию
из (2.2.19) в видеиз (2.2.19) в виде
из (2.2.19) в виде
из (2.2.19) в виде
(2.3.8)(2.3.8)g严g严g*=
(2.3.8)
(2.3.8)
Зсй1Зо22Зозз '
При выполнении соотношений (2.3.8) следствием обобщенного ассоциированного закона течения является условие несжимаемости материала 或=*/3 = 0.
Об ограничении числа гладких функцийнагружения для сингулярной поверхностинагружения. Деформационные теориипластичности
Предположим, что точка нагружения соответствует особенности поверхности нагружения Е, определяемой соотношениями
/(£)=0, /0)< 0,(2.1.6)
где индексы г, J различны и исчерпывают всю совокупность индексов г.
При нагружении, согласно (2.1.7), имеет место равенство
П y(m)Q у(т)
加"+万歹d哈+方丁加=°-(2.4.1)
Воспользуемся соотношениями d^k =厶!：〃吟，тогда (2.4.1) перепишем в виде
窮К +(242)
Если функции /⑺)не зависят от скорости нагружения, то в данной точке нагружения коэффициенты
в уравнениях (2.4.2) представляют собой некоторые вполне определенные постоянные.
Предположим, что среди уравнений (2.4.2) шесть являются линейно независимыми, так что возможно получить решение этой системы относительно шести неизвестных:
def( = Fbjkh,dGkh) F^jkii —兄必九叮，е务，％с,用£)•(2.4.3)
Соотношения (2.4.3) полностью определяют по заданным приращениям напряжений приращения пластических деформаций в данной сингулярной точке поверхности нагружения. Остальные функции нагружения fg), относительно которых имеет место нагружение, не могут определять другие линейно независимые уравнения (2.4.2). В самом деле, в этом случае возможно было бы определение другой системы шести уравнений (2.4.2), из которых была бы определена независимая система соотношений (2.4.3), и данные приращения напряжений d(5ij определяли бы в данной сингулярной точке поверхности нагружения другую систему приращений пластических деформаций de务.Между тем функции нагружения и условия нагружения должны быть определены так, что данные приращения напряжений для у проч ня ющегося пластического тела определяли бы приращения пластических деформаций однозначно.
Итак, среди соотношений (2.4.2) не более шести независимых.
Рассмотрим коническую особенность поверхности нагружения. В окрестности данной точки поверхность нагружения можно представить как огибающую бесконечного числа плоскостей, а сингулярную точку поверхности нагружения — как их пересечение. Из бесконечного числа плоскостей нагружения достаточно выбрать шесть, нормали к которым образуют систему линейно независимых векторов. Однако если ограничиться только этими шестью плоскостями, т. е. аппроксимацией конической особенности шестигранной пирамидой, то нельзя записать исчерпывающие условия разгрузки, нейтрального нагружения и нагружения для данной конической особенности поверхности нагружения. Поэтому условия нагружения должны быть записаны с учетом всех поверхностей нагружения, определяющих данную особенность.
При сингулярных поверхностях нагружения деформационные соотношения могут не противоречить основным представлениям теории пластичности. Предположим, что функции нагружения не зависят от К. Чтобы наглядно изложить основные соображения, положим вначале, что напряженное и деформированное состояния характеризуются лишь двумя парами отличных от нуля компонент напряжений и деформаций (например, случаи кручения или антиплоской деформации),
。12, 6з, &12, £13 # 0・
Тогда функции нагружения примут вид
/® (。⑵。13, £12, £13)= 0.(2.4.4)
В пространстве напряжений функциям *)= 0 соответствуют некоторые поверхности, величины е^ играют роль параметров. Любые
две независимые функции (2.4.4) могут быть рассмотрены как конечные соотношения, из которых, вообще говоря, можно определить явную зависимость
612 = Ф12(012, 013),е13 = Ф13(012, 013)•(2.4.5)
Соотношения (2.4.5) определяют искомую деформационную зависимость. Выражения ассоциированного закона течения (2.3.3) играют в этом случае роль соотношений, из которых могут быть определены функции упрочнения h^.
Предположим, что отличны от нуля по три компоненты напряжения и деформации (случай плоской задачи):
°11,°22,012, Си, &22,£12 # 0.
Если существуют три независимые функции *) — о, То, вообще говоря, можно определить
Sj -屮订• (011,022, ^12)? ^? J - 1,2.
Если в трехмерном пространстве о叮 особенность функции нагружения соответствует конической точке, то последняя может быть рассмотрена как огибающая касательных плоскостей. Из касательных плоскостей, имеющих общую точку в вершине конуса, в трехмерном пространстве независимых только три, остальные могут быть получены как линейная комбинация независимых.
Аналогично может быть рассмотрен общий случай. Деформационные соотношения
^ij ~ ^ij (Gmn)(2.4.6)
будут иметь место, если для данной особенности поверхности нагружения существует шесть независимых конечных соотношений:
/的(05ё订)=0.(247)
Соотношения теории малых упругопластических деформаций имеют вид
叱=包% ёй =①(0")，0 = Ke,
^и = (%%) 2 , е〃 = (e^e-J2 , о = -сц, (2.4.8)
Пусть (2.4.6) является решением шести уравнений (2.4.7). Предполагая тело изотропным, по теореме Гамильтона-Кэли получаем
^ij - 43订。 + 5о£7 +00荻%^,(2.4.9)
где А, В, С — функции инвариантов тензора。叮.Общие соотношения (2.4.9) переходят в (2.4.8) при условии
С = 0, 34/okk В = К = const, В = В (о〃).
Иными словами, теория малых упругопластических деформаций фактически предполагает тензорно-линейную связь о叮 —е^.
Отметим, что если С = 0,34/okk -\- В = К = const, а 5 = = В(Gkk)Gu〉GikGkjGji)〉то соотношения (2.4.9) принимают вид
ej・=Bg% о = Ке.(2.4.10)
Так как в (2.4.10) В зависит не только от о〃，а от о〃，Okk и Oik^kj^ji^ то эти формулы пригодны для описания материалов, не обладающих единой диаграммой о〃 一 е〃.
Очевидно, что при подобном обосновании соотношений теории малых упругопластических деформаций нет необходимости накладывать ограничения на характер нагружения, следует потребовать лишь чтобы нагружение было полным.
Диссипативная функция. Принцип максимумав пространстве скоростей пластическихдеформаций
Скорость диссипации механической энергии в единице объема тела D = о叮£务 будем называть также диссипативной функцией. Наряду с функцией нагружения, диссипативная функция характеризует основные свойства модели упрочняющегося пластического тела.
Зафиксируем положение поверхности нагружения в пространстве напряжений. Очевидно, что положение ее полностью определяется значением параметров е^, /^ и постоянных кс. В пространстве напряжений диссипативная функция интерпретируется скалярным произведением векторов о и £р. Вектор £р определяется через компоненты напряжения согласно ассоциированному закону течения.
В регулярных точках поверхность нагружения имеет единственную нормаль, поэтому вектор £р однозначно определяет соответствующий вектор о и тем самым скалярное произведение D = оМ. В особых
точках поверхности нагружения разные векторы £р могут соответствовать одному вектору о, тем не менее скалярное произведение D = =оМ однозначно определяется заданием вектора М. Наконец, если поверхность нагружения имеет невогнутые участки, то один вектор £р
может соответствовать разным точкам поверхности нагружения, тем не менее задание вектора £0 однозначно определяет диссипативную функцию (рис. 80).
Таким образом, должно иметь место соотношение
О =。叮嗚=° (嗚•，吟，М$£). (2.5.1)
Диссипативная функция должна быть однородной первой степени относительно компонент £詳.Следовательно, по теореме Эйлера
0一心
Рис. 80Рис. 80(2.5.2)(2.5.2)При фиксированных параметрах 吟，及 запишем соотношение (2.5.1) в полных ди фферен ци ал ах:
Рис. 80
Рис. 80
(2.5.2)
(2.5.2)
*加订.+吟盛订•=研阳.(2.5.3)
Используя соотношения ассоциированного закона течения (2.2.5), получим
域jd^ij = F 絹^d^ij =卩° d‘ f.(2.5.4)
GijGijдрдр(2.5.5)(2.5.5)При фиксированных параметрах 吟,及 изменение напряженного состояния происходит вдоль поверхности нагружения. Следовательно, соотношение (2.5.4) равно нулю. Тогда из (2.5.3), в силу независимости приращений d端，получим
Gij
Gij
др
др
(2.5.5)
(2.5.5)
Соотношения (2.5.5) могут быть названы ассоциированным законом нагружения.
Если материал пластически несжимаемый (吟 = 0), то среди приращений d吟 независимых будет только пять и формула (2.5.5) примет вид 必=6D16%.
Если функция D зависит от компонент симметрического тензора %то
_ dD_ BD
Итак, если модель упрочняющегося пластического тела определена соотношениями (2.1.2), (2.2.5), то может быть определена диссипативная функция (2.5.1) такая, что имеет место (2.5.2), (2.5.5).
Построение теории у проч ня ющегося пластического тела может быть осуществлено исходя из определения диссипативной функции (2.5.1). Аналогично пространству нагружения Р введем девятимерное пространство скоростей пластических деформаций Ер, в котором декартовы координаты точки равны компонентам тензора 吟.
Каждому значению тензора 吟 в пространстве Е@ соответствует некоторая точка или вектор £р с компонентами 嗚. Функции (2.5.1) при фиксированных параметрах 吟,及 определяют в пространстве Е@ поверхности равного уровня диссипативной функции. Введем совокупность возможных компонент скорости пластических деформаций 弱, для которых
Таким образом, если в пространстве Е@ определена некоторая поверхность равного уровня диссипативной функции D, то вектор возможной скорости деформации £р* лежит внутри объема, ограниченного этой поверхностью.
Введем принцип максимума скорости диссипации механической энергии, аналогичный принципу максимума Мизеса:
。叮吟》。"吟。(2.5.6)
Принцип максимума (2.5.6) назовем принципом максимума Онзаге- ра. Онзагер сформулировал принцип максимума скорости диссипации [70, стр. 76], согласно которому в принятых обозначениях действительные скорости пластической деформации максимизируют выражение
。"嘴一；。(嗚)=。"•(嗜一；*•)•⑵ 5.7)
Подставляя в (2.5.7) вместо 嗜 величину 嗚，получим, что максимизируется выражение скорости диссипации о叮嗚 =0(嗚).
Согласно принципу Онзагера
откуда следует (2.5.6).
Принцип максимума скорости диссипации в виде (2.5.6) был сформулирован Циглером [70] и назван «принципом максимальной скорости диссипации». Более общий принцип был назван им ^принципом минимальных необратимых сил».
Из неравенства (2.5.6) следует выпуклость (невогнутость) поверхностей равного уровня диссипативной функции и ассоциированный закон нагружения:
od( dD р\-1od( dD р\-1(2.5.8)(2.5.8)
od( dD р\-1
od( dD р\-1
(2.5.8)
(2.5.8)
Предположим, что D — однородная функция порядка т компонент 嗚.Тогда
(2.5.9)(2.5.9)n dD рmD=d^^'
(2.5.9)
(2.5.9)
Из (2.5.9) и (2.5.8) следует у = 1/т.
В случае, когда D — однородная функция первого порядка (у = 1), то из (2.5.8) следуют соотношения (2.5.5). Тогда dD/д^- оказываются однородными функциями нулевого порядка относительно 嗚.Следовательно, шесть соотношений (2.5.5) можно рассматривать как функции пяти переменных, например 嗚/或「
Заметим, что когда диссипативная функция является однородной функцией второго порядка (т = 2, у = 1/2), то соотношение (2.5.5) определяет связь о叮 一 £叮 для вязкой жидкости.
Предполагая разрешимость соотношений (2.5.5) относительно 端/吟，в результате исключения 嗚 получим некоторое определенное конечное соотношение вида
/ (。叮，吟,％£,«) =0.
Таким образом, получается функция нагружения в обычной форме. Из (2.5.3) и (2.5.5) найдем
(2.5.10)(2.5.10)(2.5.11)(2.5.11)吟加订•=0.
(2.5.10)
(2.5.10)
(2.5.11)
(2.5.11)
Далее, дифференцируя полученное соотношение вида (2.1.2) приДалее, дифференцируя полученное соотношение вида (2.1.2) прификсированных 吟，及，найдем
Далее, дифференцируя полученное соотношение вида (2.1.2) при
Далее, дифференцируя полученное соотношение вида (2.1.2) при
义"ij = 0.
Соотношения (2.5.10), (2.5.11) могут быть рассмотрены при соответствующих значениях о叮，嗚.Среди шести дифференциалов d(5ij лишь пять независимых, откуда следует, что найдется такой множитель ц°,
288 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды что будет иметь место ассоциированный закон течения:
Таким образом, модель пластического тела может быть введена эквивалентными путями: либо через определение функции нагружения, либо через определение диссипативной функции D однородной первого порядка относительно компонент скорости пластической деформации.
В каждом из этих случаев следует формулировать соответствующий принцип максимума.
Покажем, что из принципа максимума в пространстве Е@ (принцип максимальной скорости диссипации) следует принцип максимума в пространстве Р (принцип максимума Мизеса), и наоборот.
Рассмотрим две различные пары соответствующих напряжений и скоростей пластических деформации 吃,吟 и 吃,吟 ,отвечающих одной и той же функции нагружения при фиксированных значениях е^, %j, связанных ассоциированным законом пластического течения и отвечающих одному уровню диссипативной функции, т. е. должны иметь место равенства
/ (+?，eij，m，自)=/ (需)，% К,自)，
嚟*訪(誑風} ⑵5.12)
e⑴科⑴_"2)科⑵
Условия (2.5.12) непротиворечивы. Последнее равенство (2.5.12) может быть выполнено за счет компонент o^n5 Omn5 которые не зависят (1)(2)
от о}/, о}/, но от которых, согласно ассоциированному закону течения, зависят嗡⑴词2).
Другими словами, диссипативная функция D при данном напряженном состоянии о叮 и при данных значениях 吟，及 может иметь различные значения в зависимости от скорости нагружения 办.
Согласно принципу максимальной скорости диссипации имеет место неравенство
G(^^ij》& △嗚=鸣"-嗚"(2.5.13)
В данном случае роль возможных компонент скорости пластической деформации играют £*)•
Тогда из (2.5.13) и последнего равенства (2.5.12) следует неравенство
△。订dj》& △。叮=品？一0?(2.5.14)
составляющее утверждение принципа максимума Мизеса.
Аналогично доказывается обратное положение: из (2.5.14) следует (2.5.13).
Используя определение диссипативной функции, можно записать критерий нагружения: 0》0. Соотношения для параметров 及 могут быть записаны в виде d^k = DdCk^ где Ск играют роль, аналогичную 4；? в соотношениях (2.1.4).
Если поверхность диссипативной функции имеет особенность типа ребер, конических или угловых точек, то подобная особенность может быть рассмотрена как пересечение гладких поверхностей
o(q)= o(q)(%吟,(2.5.15)
Обобщенный ассоциированный закон нагружения в этом случае может быть записан в виде
Oj j] 0Ср ~~~, (Хр》0, '^ ] 0Ср — 1 •(2.5.16)
На рис. 81 показано соответствие между поверхностью нагружения
Рис. 81Рис. 81
Рис. 81
Рис. 81
и поверхностью равного уровня диссипативной функции. Выпуклым участкам поверхности нагружения ДВ, АС соответствуют выпуклые
участки а仇 ас диссипативной функции. Особенностям А, В, С функции нагружения соответствуют участки невогнутости аа, 66, сс диссипативной функции. И, наконец, участку невогнутости ВС соответствует острый угол 6с.
Используя определение диссипативной функции (2.5.1), можно дать интерпретацию параметру р°, входящему в соотношение ассоциированного закона течения (2.2.5). Из (2.5.1), (2.2.5) следует
№ =。(忌。力: (2・5・17)
Если функция нагружения может быть представлена в виде / = =屮一к = 0, где k = const, ср — однородная функция порядка т компонент Gij, то (2.5.17) можно переписать в виде
ц° = или D = кт\)Рk^m = const.
Таким образом, ц° прямо пропорционален удельной скорости рассеяния механической энергии. Функция упрочнения связана в этом случае с диссипативной функцией соотношением
hD =кт (力 j •
Аналогично для сингулярных поверхностей нагружения, если /(「)=(р(т)— к「= 0, где(р(「)— однородная функция порядка тг, из (2.3.3) можно получить
D = Vj кгТПг^, 結，mr = const.
§ 6. Плоская деформация при наличии линейногоупрочнения
При растяжении большинства материалов имеет место линейная чисто упругая зависимость между напряжением материала о и относительным удлинением £, пока напряжение не достигнет некоторой величины J, называемой напряжением предела упругости, или практически совпадающего с ним предела текучести о$. После этого материал растягивается при почти неизменном напряжении (на машинах, осуществляющих постоянную скорость деформирования образцов, нередко замечается даже некоторое падение напряжения). Затем, по окончании этого явления, называемого текучестью, последующее растяжение материала требует дальнейшего увеличения напряжения — наступает
Плоская деформация при наличии линейного упрочнения 291 явление упрочнения, которое оканчивается разрушением материала при некотором напряжении ф,.
Теория пластичности изучает механическое состояние материала за пределом его линейного упругого деформирования. В простейшем варианте, в так называемой теории идеальной пластичности, диаграмма зависимости между напряжением о и возрастающим относительным удлинением £ заменяется прямой (рис. 82, а) параллельной оси £.
ььь
абв
Рис. 82
В дальнейшем примем, что пределы упругости ое и пластичности о$ совпадают.
В случае двухосного напряженного состояния в теории идеальной пластичности разность главных напряжений принимается постоянной и равной пределу текучести о$. Это положение эквивалентно предположению о том, что при пластическом состоянии материала наибольшее касательное напряжение остается постоянным. Что же касается самой деформации материала в пластическом состоянии, то обычно принимаются гипотезы несжимаемости и совпадения осей тензора скоростей деформации с осями тензора напряжений (или, что то же, гипотеза совпадения линий скольжения с линиями наибольших касательных напряжений).
Гипотеза о несжимаемости материала при пластическом деформировании создает большие трудности при решении так называемых упругопластических задач, т. е. таких, где часть материала находится в упругом, а часть — в пластическом состоянии.
Действительно, пусть линия I отделяет область упругого состояния от пластического, тогда в упругой области сумма главных относительных удлинений может быть вообще переменной, тогда как в пластической, в предпол ожен и и несжимаемости, та же сумма должна быть постоянной. Это ведет к разрыву тензора деформаций вдоль линии Z и образованию вдоль нее скачков напряженного состояния.
При изучении явлений, связанных с упрочнением, нередко упрощают диаграмму растяжения(£, о), заменяя ее ломаной линией, состоя-
щей из двух прямых. Первая из них соответствует участку чисто упругого растяжения, а вторая, наклоненная под меньшим углом к оси £,— растяжению уже при наличии упрочнения (рис. 82, 6). Иногда рассматривают и более близкую к действительности диаграмму, состоящую из трех прямолинейных участков: участка упругости, участка текучести, параллельного оси % и участка линейного упрочнения (рис. 82, в).
Известно, что переход при растяжении материала за предел упругости сопровождается его увеличением при повторном растяжении (явление наклепа) и уменьшением предела упругости этого же материала при сжатии (эффект Баушингера). Кроме того, известно, что такое повышение предела упругости материала с упрочнением при растяжении в одном направлении сопровождается уменьшением предела упругости при растяжении в перпендикулярном направлении.
Можно построить механическую модель, деформирование которой следует приведенным выше законам. Такая модель для случая одномерного напряженного состояния частично описана в [223]. Что же касается двумерной модели, иллюстрирующей свойства наклепа и упрочнения, то, по-видимому, она здесь приводится впервые.
Представим себе цилиндр (рис. 83), ко дну которого прикреплена пружина жесткости с, причем другой конец пружины посредством гибкой нити длиной 28 соединен с поршнем. Перемещению поршня внутри цилиндра препятствует сила трения о$. К поршню присоединена вторая пружина — внешняя — жесткости 仇 к свободному концу которой приложена растягивающая сила о. Пусть в начальном состоянии, т. е. при отсутствии силы о, конец внутренней пружины отстоит от поршня на расстоянии 8. По мере увеличения силы о сначала за счет деформации второй (внешней) пружины будет происходить удлинение £,
пропорциональное о. Таким образом, пока о < os,
£ = о/Ь.
При достижении силой о значения о$ поршень начнет скользить внутри цилиндра и, следовательно, будем иметь
+ 3，° =
чему соответствует второй участок диаграммы (см. рис. 82, в). Наконец, когда нить натянется, последующее деформирование возможно лишь при дальнейшем увеличении силы о (упрочнение). Сила, растягивающая внутреннюю пружину, будет равна о —о$, а общая деформация модели
о . О - Os b + cOs
£ = £ + 3 Н= ——о + о,
осОСс
что на диаграмме (рис. 84) изобразится участком упрочнения.
Уменьшим далее силу о до нуля. Модель обретет теперь остаточную деформацию, причем ее внутренняя пружина останется в напряженном состоянии.
Если максимальное значение о =仃 растягивающей силы не превосходило 2о$, то натяжение внутренней пружины окажется менее о$. Следовательно, при уменьшении силы о от достигнутого максимального значения 仃 до нуля, т. е. при разгрузке модели, никакого перемещения поршня не произойдет. Остаточная деформация модели составит величину 3+G — Os)/。，состоящую из половины длины нити и деформации внутренней пружины.
Станем теперь модель вновь растягивать. Очевидно, что перемещение поршня вновь начнется лишь при достижении силой о своего предыдущего максимального значения 仃.Следовательно, предел упругости будет как бы повышен (наклеп). При дальнейшем увеличении о начнется упрочнение по тому же закону £ = о/6 + 8 + (ci — os)/c, однако без участка текучести, так как нить будет уже натянутой. При этом разность о — о$ составит натяжение внутренней пружины.
Если же модель после уменьшения до нуля силы о (растягивающей внешнюю пружину) затем сжимать, то к поршню будет приложено суммарное усилие oi — os + |о|. Здесь 仃 — наибольшее значение действовавшей до этого растягивающей силы, а |о| — абсолютное значение силы, сжимающей внешнюю пружину. Пока упомянутое суммарное усилие меньше силы трения о$, будет происходить деформирование лишь внешней пружины. При этом должно быть oj — os + |о| < oS5 т. e. |o| < 2o§ — о】.
Движение поршня становится возможным при сжимающей силе, превышающей значение
同 < 2о§ — и = о；.
Выше было принято, что
O's < О'] < 2(5g >
Следовательно, предел упругости при сжатии о； удовлетворяет неравенству
О < о； < Os,
т. е. оказывается пониженным по сравнению со сжатием модели из
Рис. 85Рис. 85исходного состояния.
Рис. 85
Рис. 85
Явление текучести при сжатии скажется в продвижении поршня внутрь цилиндра на расстояние 23, пока он не коснется конца внутренней пружины. После этого наступит упрочнение уже при сжатии. На рис. 84 показана петля гистерезиса при периодическом изменении силы в пределах
一01 < 0 < +01
при условии и < 2о$. Для случая 。1 > 2о$ соответствующая петля изображена на рис. 85.
Если положить 3 = 0, то модель будет следовать диаграмме растяжения, приведенной на рис. 82, 5, т. е. участка текучести не будет.
Наконец, если принять силу трения трогания поршня с места о； большей силы трения движения。6, то диаграмма растяжения модели примет вид, изображенный на рис. 86, т. е. в мгновение начала текучести произойдет падение напряжения.
Интересные обобщения модели могут быть получены, если, помимо кулонова трения, снабдить поршень житкостным трением. В этом случае диаграмма растяжения будет из
меняться при изменении скорости деформирования, а само явлениеменяться при изменении скорости деформирования, а само явление
меняться при изменении скорости деформирования, а само явление
меняться при изменении скорости деформирования, а само явление
растяжения — сопровождаться поеледействием и релаксацией.
Обратимся к построению аналогичной двумерной модели, которая при малых силах, действующих на нее, деформировалась бы по законам упругого тела, а при достаточно больших силах в общем случае могла описывать явления текучести и упрочнения (наклепа). При этом повышение предела упругости при растяжении в одном направлении
должно сопровождаться понижением предела упругости при растяже
нии в перпендикулярном направлении.
Представим себе четыре стенки (рис. 87), на которые действуют нормальные силы Хх и 爲.При помощи специального механизма (конструкция которого для дальнейшего несущественна) изменение расстояния 9 между некоторыми двумя его точками осуществляется
равным сумме ехх + еуу расхождения друг от друга параллельных стенок модели, а аналогичное изменение у между двумя другими точками механизма — равным разности ежж — —еуу изменений расстояний между верти кал ьн ы м и и соответственно го-равным сумме ехх + еуу расхождения друг от друга параллельных стенок модели, а аналогичное изменение у между двумя другими точками механизма — равным разности ежж — —еуу изменений расстояний между верти кал ьн ы м и и соответственно го-ри зон тал ьны ми стенками модели.Соединим первую пару точек пружиной жесткости х, а между точками второй пары укрепим поршневую модель, описанную выше (см. рис. 83). Пусть в начальном положении при отсутствии взаимных перемещений ежж и еуу стенок двумерной модели и при отсутствиири зон тал ьны ми стенками модели.Соединим первую пару точек пружиной жесткости х, а между точками второй пары укрепим поршневую модель, описанную выше (см. рис. 83). Пусть в начальном положении при отсутствии взаимных перемещений ежж и еуу стенок двумерной модели и при отсутствиикАЛЛЛЛЛ^кАЛЛЛЛЛ^О, о§, ЪО, о§, ЪРис. 87действия на них сил Хх и YyРис. 87действия на них сил Хх и Yyпружина и поршневая модель свободны от усилий. При действии на модель сил Хх и Yy произойдут перемещения ежж, еуу, а следовательно,пружина и поршневая модель свободны от усилий. При действии на модель сил Хх и Yy произойдут перемещения ежж, еуу, а следовательно,
равным сумме ехх + еуу расхождения друг от друга параллельных стенок модели, а аналогичное изменение у между двумя другими точками механизма — равным разности ежж — —еуу изменений расстояний между верти кал ьн ы м и и соответственно го-
равным сумме ехх + еуу расхождения друг от друга параллельных стенок модели, а аналогичное изменение у между двумя другими точками механизма — равным разности ежж — —еуу изменений расстояний между верти кал ьн ы м и и соответственно го-
ри зон тал ьны ми стенками модели.
Соединим первую пару точек пружиной жесткости х, а между точками второй пары укрепим поршневую модель, описанную выше (см. рис. 83). Пусть в начальном положении при отсутствии взаимных перемещений ежж и еуу стенок двумерной модели и при отсутствии
ри зон тал ьны ми стенками модели.
Соединим первую пару точек пружиной жесткости х, а между точками второй пары укрепим поршневую модель, описанную выше (см. рис. 83). Пусть в начальном положении при отсутствии взаимных перемещений ежж и еуу стенок двумерной модели и при отсутствии
к
АЛЛЛЛЛ^
к
АЛЛЛЛЛ^
О, о§, Ъ
О, о§, Ъ
Рис. 87
действия на них сил Хх и Yy
Рис. 87
действия на них сил Хх и Yy
пружина и поршневая модель свободны от усилий. При действии на модель сил Хх и Yy произойдут перемещения ежж, еуу, а следовательно,
пружина и поршневая модель свободны от усилий. При действии на модель сил Хх и Yy произойдут перемещения ежж, еуу, а следовательно,
и перемещения
6 — ^хх + Зуу, у — бжж — £夕夕•
В пружине жесткости х и в одномерной поршневой модели возникнут усилия 0 и S. Так как двумерная модель находится в равновесии, то усилия О и S могут быть определены при помощи принципа возможных перемещений, а именно
Хж8ежж + Yybeyy — 080 — S3y = О
или
(Хд； — О — S) Зежж + (Yy — О — S) Ьеуу = 0.
Отсюда
0 = (x£+爲)/2, S = (X£一瑞)/2,
и обратно,
х^ = о + s, Yy = e-s,
0 — усилие в пружине жесткости х; следовательно
О — х0 — х (ежж + €уу),
где х представляет собой модуль упругости изменения объема.
В свою очередь, S представляет собой усилие, возникшее в поршневой модели и ранее обозначавшееся о. Поэтому, пока \S\ меньше некоторой константы ts, аналогичной величине о$, имеем
S = бу,
где теперь у соответствует деформации £, константа 6 — модулю сдвига G, а % — предел упругости материала при чистом сдвиге.
Учитывая, что у = ежж — еуу, приходим к соотношениям
^х = ® + S = х (ежж + £夕夕)+ b (ежж — ^уу)=九® + 26ежж,
Yy = ® — S = х (ежж + £дд) — b (ежж — ^уу)=九® + 26&夕夕，
где X = х — 6.
Таким образом, пока \S\ < %, или, что то же, \Хх — Уу\/2 < < %, деформирование двумерной модели подчиняется тем же законам, что и деформирование абсолютно упругого плоского элемента в математической теории упругости. Постоянные х — 6 и 6 играют роль констант Ламе X и ц = G. Замечательно, что при плоской деформации в принципе возможен случай, при котором константа 九 будет равной нулю и даже отрицательной. Для этого достаточно, чтобы выполнялось условие х < 6.
В случае устремления модуля х в бесконечность вследствие ограниченности усилий Хж, %, О и S в пределе надлежит считать
6 = ^жж + Суд = 0 •
Модель соответствует теперь несжимаемому упругому материалу.
При бесконечном возрастании константы 6 по тем же причинам окажется
^ХХ — £夕夕=° ИЛИ ежж — Суд •
Такая модель соответствует упругому материалу, деформирующемуся конформно, т. е. без искажения углов, равномерным растяжением по всем направлениям для любой выбранной точки. Оба предельных
случая интересны сами по себе, однако в дальнейшем не рассматриваются. Заметим только, что в первом случае (когда 6 = 0) на деформирование оказывает влияние лишь разность главных напряжений Хх — Yy. Предположение о несжимаемости таких материалов, как резина, у которой коэффициент всестороннего сжатия х весьма велик по сравнению с модулем сдвига b = G, вполне допустимо.
Во втором предельном случае (при 6 —> оо) на деформирование материала оказывает влияние лишь сумма главных напряжений. Этот случай может представить интерес при качественных исследованиях бесконечно малых конформных преобразований.
До сих пор принималось, что \S\ < %. Теперь допустим, что в процессе изменения сил Хх и Yy возникло соотношение
；|Х冗-Yy\ = |S| =
Выше мы видели, что в этом случае деформация у(в старых обозначениях —£)поршневой модели будет величиной неопределенной, заключенной, однако, при S〉0 в пределах %/Ь，у，％/Ь + 3.
Таким образом, при S = % модель находится в неопределенном деформированном состоянии, подчиненном лишь условию
//6，eжж 一 ё夕夕，//6 + 3.
Главные направления тензора деформации каждого элемента рассматриваемого материала, по предположению, совпадают с главными направлениями тензора напряжения. Этим отличается описываемое такой моделью пластическое деформирование от соответствующего пластического течения по Сен-Венану, где главные направления тензора скоростей деформации совпадают с главными направлениями тензора напряжений.
Пусть теперь величина у достигла предельного значения %/Ь + 3 и начинается дальнейший рост усилия S = (Хж — 爲)/2.
Обращаясь вновь к законам деформирования поршневой модели, имеем для этого случая g = o/b + 3+(o — oj/o или в новых обозначениях
S丄*丄s _/
J + 3+丁
где с — по-прежнему жесткость внутренней пружины поршневой модели (см. рис. 83 и 87). Отсюда
S =S =6с"7什6с"7什
S =
S =
6с
"7什
6с
"7什
Вводя здесь обозначения
6с b + с6с b + с
6с b + с
6с b + с
и подставляя значение у = ехх — еуу, имеем
S = h (ежж 一 ^уу) + %.
В результате приходим к соотношениям
^х = ® + S = х (ежж + £夕夕)+ h (ежж — ^уу) + q.
Yy - 0 一 S = X(gжж + ёg夕)一九(^жж 一 ёg夕)一 q,
или, что то же,
^х = (х — Л) 0 + 2hexx + 厶 爲=(х —九)6 + 2heyy —厶
которые и представляют закон деформирования рассматриваемой двумерной модели в зоне упрочнения и могут быть использованы для описания закона деформирования материала за пределами упругости. При этом надлежит от системы координат, связанной с главными осями тензора напряжений, перейти к произвольно ориентированной системе. В соответствии с известными формулами преобразования получим следующие соотношения, связывающие между собой компоненты тензоров напряжений и деформаций у пругопл асти ческого тела в зоне упрочнения для случая плоской деформации:
Хх = (х — %) 6 + 2hexx + % (cos2 а — sin2 а),
% = (х — %) 6 + 2heyy — т； (cos2 а — sin2 а),
Ху = hexy + 2T cos а sin а.
Здесь а — угол между главным направлением тензора напряжений и новой осью х. Эти соотношения совместно с уравнениями равновесия
毎 毎+ рх-& К 丽+ рУ-&
условием совместности деформаций
д 。沙沙 I ° ©хх ° ехудх2 ду- — дхду
и равенством
tg2a = 2Ху/(Хж - %),
выражающим совпадение главных осей тензоров деформации и напряжений, образуют полную систему уравнений для определения напряженного и деформированного состояний упрочняющегося материала при задании соответствующих граничных условий.
Разумеется, решение такой совокупности уравнений весьма затруднительно даже для самых простых случаев упругопластической задачи с упрочнением.
Приведем в качестве примера плоскую задачу с осевой симметрией. Пусть материал не обладает площадкой текучести (см. рис. 82, 6). В этом случае следует в приведенных выше уравнениях положить 3 = 0, и тогда будут иметь место лишь две области деформирования: упругая и область упрочнения, а《 станет равным М$/(6 + с).
Рассмотрим бесконечную плоскость с круглым отверстием радиуса а, по окружности которого приложено постоянное давление р. Пока р мало, вся плоскость будет в чисто упругом состоянии. С повышением давления вокруг отверстия появится зона упрочнения радиуса 凡 который будет увеличиваться при возрастании давления.
Согласно известным уравнениям плоской задачи в полярных координатах г и 9 имеем для обеих областей уравнение равновесия
где о「и 例一соответственно радиальное и кольцевое напряжения, а массовые силы отсутствуют.
В упругой области справедлив закон Гука:
° с° с 〃и du
=九6 + 2 乩赤，Oe = хе + 2ц-,- +
Здесь и — радиальное перемещение элементов плоскости, X и ц — константы Ламе. Перемещение, перпендикулярное радиусу, очевидно, отсутствует.
Если в уравнение равновесия подставить выражения для о「и о05 то придем к уравнению для 〃：
dr и 1 du 〃 _ сdr2 г dr г2 '
решение которого имеет вид
и = Аг -\- В/г.
В этом решении константу А необходимо положить равной нулю, упругая зона распространяется в бесконечность, где перемещение 〃 исчезает. В свою очередь, константу В следует считать положительной,
так как при наличии давления р по окружности отверстия смещения 〃 всюду больше нуля.
Подставляя значения и в выражения о「и ое, получим
о「= —2цВ / г2, ое = 2цВ / г2.
В упругой зоне всюду должно быть |о「— ое| < ts и, таким образом,
2|ъВ/户，丁》，2|ъВ/%.
Отсюда следует, что границей упругой зоны является окружность радиуса
R =，2|i5/%.
Внутри этой окружности расположена зона упрочнения. В ней направление радиуса также является главным направлением тензора напряжений. Поэтому справедливы соотношения
о「= (х — %) 6 + 2九案干 Т， о® = (х — %) 6 + 2九^ 士 ；
Легко видеть, что здесь следует остановиться на верхнем знаке перед《=阮$/(6 + с), так как роль Хх в формулах, выведенных выше, играет теперь ое, а напряжению Yy соответствует о「(вдоль радиуса имеет место сжатие материала, а в трансверсальном направлении — растяжение). Следовательно,
£0 - £г = У > 0,
что и предполагалось выше при выводе соотношений, заменяющих закон Гука в зоне упрочнения.
Подставив значения о「и ое для зоны упрочнения в уравнение равновесия
do「 ог — ое с
—,—I- 0, аг г
получим для определения величины радиального смещения и уравне
ние
(х + Л)(х + Л)++1 du t dr1 du t drи \ _2xs7； = Vи \ _2xs7； = V
(х + Л)
(х + Л)
+
+
1 du t dr
1 du t dr
и \ _2xs
7； = V
и \ _2xs
7； = V
решение которого имеет вид
и =-г In г + Д г Нх + пг
где Дх и В7 — константы интегрирования.
В свою очередь, подставляя значение и в выражения о「и о05 придем к формулам
°「=筮 Мт+ 2%А —2"^'
2%《1 I с 2 В’、2%《
о® — —,—г In г + 2хт4 + 2Л —2- -h —t~.
х + Дг х + n
Потребуем теперь, чтобы соблюдались следующие условия: во- первых, о「 = —р при 丁 = а; во-вторых, при г = R значения о「и о05 высчитанные по формулам упругой зоны и для зоны упрочнения, оказались равными друг другу и тем самым на границе осуществились равенства: о「= —%, ое = %. Из перечисленных условий немедленно вытекают три уравнения
L In а + 2x4 — 2hBf/а2 = —р,
L\nR + 2xAf -2hBf/R2 = —2r5/R2 = —%,
L In R + 2x4 + 2%g//R2 + 厶=2乩5/冗2 =厶
для определения 4 и В7, а также радиуса R зоны упрочнения. Здесь L = 2хт^/ (х + Л).
Наибольший интерес представляет, конечно, величина радиуса зоны упрочнения R. Чтобы определить 凡 исключим из этих уравнений константы 4 и В'. Имеем
L In а + р 2%-2%/a2
L In R + / 2%-2%/足 =0.
L\y\ R -\- L — ts 2x 2/i/R?
После упрощений приходим к следующему уравнению для определения искомого радиуса R:
Lln^ + (2is -L)^ =2p-L.
а
Напоминая, что 3 = 0, имеем《=阮$/(6 + с) и, следовательно,
х + Д х + Д 6 + с а где введено обозначение
% + 无 b + с а= б-% + 无 b + с а= б-》1.》1.
% + 无 b + с а= б-
% + 无 b + с а= б-
》1.
》1.
Подставляя полученное для L выражение в уравнение для радиуса 凡 после преобразования получим
謳 $ 1) ——
Если р < ts, то уравнение для R имеет корень, меньший а. В самом деле, при 目=% уравнение имеет корень R = а, а левая часть уравнения является монотонно возрастающей функцией R. Таким образом, если р < %, то зона упрочнения отсутствует; она появляется лишь, когда 0〉％. Радиус этой зоны, очевидно, неограниченно возрастает с увеличением давления р.
В случае о = 0 прямая упрочнения на графике (см. рис. 82, 6) диаграммы растяжения (о, £) становится параллельной оси £ (см. рис. 82, а). При этом《=% ц имеет место условие идеальной пластичности Сен-Венана. Далее, при о = 0
Л = Ьс/(Ь -\- с) = 0, а = 1.
Уравнение для определения радиуса пластической зоны R принимает теперь вид
In (刑/片)=0几-1,
откуда
R/a = exp I (p/ts - 1),
что совпадает с известным результатом решения у пругопл асти ческой задачи без упрочнения [68].
Зависимость безразмерного радиуса пластической зоны R/а от величины р/% — 1 легко строится и в случае упрочняющегося пластического материала (с > 0, Л > 0, ос > 1). Это можно сделать, например, задавая значения R/а в уравнении, связывающем радиус R с давлением р, и находя из этого уравнения соответствующие значения р/% - 1.
Будем считать, что упрочнение материала невелико, т. е. Л = =Ьс/(Ь -\- с) мало по сравнению с х и, кроме того, жесткость внутренней пружины с мала по сравнению с жесткостью 6 пружины внешней. Тогда а = (х + %) (6 +。)/比6 = 1 + △, где △ — величина, малая по сравнению с единицей. Зависимости радиуса пластической зоны от давления на контуре при различных упрочнениях для этого случая, а также для идеально пластического материала приведены на рис. 88 (1 — идеально пластический материал, а = 1; 2-4 — материалы с упрочнением соответственно при а = 1.05; 1.1; 1.2). Видно, что
при больших значениях давления 目 на контуре отверстия упрочнение
материала играет существенную роль.
В заключение покажем, что повышение предела упругости (текучести) при растяжении рассматриваемого материала в одном направле
Рис. 88Рис. 88нии сопровождается понижением предела упругости при растяжении в перпендикулярном направлении. Обратимся вновь к двумерной модели (см. рис. 87) и нагрузим ее одним растягивающим усилием Хх так, чтобы перейти предел упругости при растяжении в этом направлении, считая % = 0. Для этой цели достаточно, чтобы было
Рис. 88
Рис. 88
S = — ^«〉％ •
остаточная деформация у0 поршневой модели составит величинуостаточная деформация у0 поршневой модели составит величинуЕсли теперь усилие Хх снять, то
остаточная деформация у0 поршневой модели составит величину
остаточная деформация у0 поршневой модели составит величину
о _ о о _ Хаз — 2tsY — ехх — еуу — 2с ■
Здесь е厶 и е% — остаточные деформации двумерной модели в направлении осей х и у. Кроме того, принято, что 3 = 0, т. е. участок текучести отсутствует (см. рис. 82, 6).
Согласно вышеизложенному
丄 _ с_ х。— 2ts
ехх + 气夕—е — ^ —^•
Примем, что материал сжимаем (х = оо). Тогда после снятия усилия Хх при равенстве усилия Yy нулю получим
ежж + е% = °，
Нетрудно видеть, что остаточное удлинение в направлении оси ж окажется равным
О — Хд； — 2ts
Будем нагружать теперь двумерную модель лишь силой Yy в направлении оси у. При этом следует положить Хх = 0, вследствие чего поршневая модель окажется сжатой усилием
S=；(Xl %) = —；%.
Пусть при первоначальном растяжении поршневой модели величина S не превосходила значения 2%. Тогда, согласно предыдущему, новый предел упругости будет достигнут при отрицательном значении S = S2 = —(匕% /2, равном по модулю значению
阳=2% - S“
где Si = (XJ /2 — усилие в поршневой модели при предшествующем растяжении в направлении оси ж усилием (XJ.
Так как Si》％, то 以丨 < tS5 что и доказывает наличие упомянутого понижения предела упругости.
Наглядно это понижение может быть объяснено тем обстоятельством, что переход за предел упругости (текучести) при растяжении в направлении оси ж вызовет растяжение внутренней пружины одномерной модели, включенной в механизм двумерной модели. После снятия растягивающего усилия Хх это растяжение останется вследствие наличия силы трения поршня о стенки цилиндра одномерной модели. При растяжении двумерной модели в направлении оси у внешняя пружина одномерной модели будет сжиматься. А так как внутренняя пружина растянута, то достаточно будет меньшего усилия со стороны внешней пружины, чтобы сдвинуть поршень с места, т. е. достичь предела упругости .
Общая теория пластичности с линейнымупрочнением
Одной из задач современной теории пластичности является установление законов пластичности для общего случая произвольного изменения компонент тензора деформаций или тензора напряжений. В настоящее время построены машины, которые в состоянии производить такое сложное нагружение материала, и, следовательно, представляется возможным изучить упомянутые законы экспериментальным путем. Однако полезность некоторой предварительной теоретической схемы закономерностей теории пластичности при сложном нагружении вряд ли следует отрицать.
Излагаемая ниже теория пластичности ставит своей целью дать исчерпывающее математическое описание взаимоизменения напряженного и деформированного состояний материала при произвольном изменении направления главных осей и соотношений главных компонент тензора деформаций или тензора напряжений в ходе деформирования
материала за пределом упругости. Явление наклепа и явление Баушингера [19] органически укладываются в рамки новой теории и соответствующим образом обобщаются. Соотношения известной теории пластичности Генки-Ильюшина [230, 24] при наличии линейного упрочнения и простого нагружения (компоненты девиатора напряжений изменяются пропорционально друг другу) полностью воспроизводятся. При отсутствии упрочнения новая теория приводит к соотношениям теории пластичности Прандтля-Рейсса [236, 237], причем математическая формулировка последней теории становится более прозрачной.
Предлагаемая теория в настоящем ее построении приложима лишь к материалам с линейным упрочнением (в том числе и к материалам без упрочнения). Следует, однако, иметь в виду, что для материалов с более сложным упрочнением нет надежных формул, связывающих напряжение и деформацию даже для случая простого растяжения- сжатия .Вместе с тем допускается обобщение на случай нелинейного упрочнения.
Переходя далее к изложению новой теории, отметим, что, следуя общепринятому, деформация объема считается упругой, линейно зависящей от суммы главных напряжений. Все компоненты деформации считаются малыми по сравнению с единицей. Наконец, как принято в классических теориях пластичности, считается, что скорость изменения деформации не оказывает заметного влияния на напряженное состояние материала.
Таким образом, новая теория касается лишь соотношений между компонентами девиаторов напряжения и деформации, т. е. тензоров
& - О
^xz '
5y宓2
И
1
5加£
1
\ ^ZX
Tzy
On - О丿
1
\ "
1
8—2,
В пределах упругости соответствующие компоненты этих тензоров пропорциональны друг другу, причем коэффициент пропорциональности равен удвоенному модулю упругости сдвига, т. е. 2G. Среднее нормальное напряжение (гидростатическое давление с обратным знаком)
1 /、
0 = 3 (報 +0g + Oz )
и среднее относительное удлинение
£ = а (% + % + 8)
связаны соотношением
(1 — 2о) о = Eq
где Е — модуль Юнга; о — коэффициент Пуассона.
Введем совокупность величин Xg (J = 1,2,..., 6), а именно
Х1 =(報-о) /д/^, Х2 =(Од - о)/V2, Хз =(Oz - о)/V2,
Х4 = TyZ Х5 = Т^ж Хб = ^Ху •
Будем Х^ (/ = 1, 2,…，6) трактовать как проекции (компоненты) некоторого вектора удельного усилия X на ортогон ал ьн ы е оси координат шестимерного пространства.
Введем далее в том же шестимерном пространстве вектор деформации 自 с компонентами
自 1 = & - 6 lg 自2 = % - £))^.自3 = & 一 6 1g
自4 — lyz 5自5 — 7zx 5自6 — Уху •
Величины 务 с точностью до изменения объема определяют деформацию, а величины Х^ с точностью до гидростатического давления определяют напряженное состояние материала.
Заметим, что всегда
Xi + Х2 + Хз = 0,自1 + 自2 + 自3 = 0,
и, в сущности, мы имеем здесь дело не с шести мерным пространством, а с пятимерным. Однако, не забывая этого обстоятельства, в дальнейшем мы сохраним шестимерную трактовку векторов X и ^ как более удобную и приводящую к формулам симметричного вида. В пределах упругости, согласно обобщенному закону Гука,
X^yGg, з = 1,2,...,6,
где G = E/2(l + o)— модуль сдвига.
В классических теориях пластичности большую роль, как известно, играют так называемые интенсивность напряжения 仇 и интенсивность деформации %, определяемые формулами
6& 一。丁 + Q —。J + & - Од)? + 6 (吃 + 吃 + 金)，
% = ^，^/& 一 2/ + g 一 %产 + & 一 Еg)2 + 3/2 (鳴z + 吸Г + 谣/
и являющиеся соответственно инвариантами второго порядка девиатора напряжения и девиатора деформации.
Интенсивность напряжения 仇 с точностью до постоянного множителя равна модулю вектора X, именно:
仇=|Х|д/3?
Аналогично имеем
где |^| — модуль вектора 自.
Примем, что остаточные деформации при деформировании материала из так называемого естественного состояния появляются лишь после того, как вектор деформации 自 превысит по модулю некоторое характерное для данного материала значение К/G, где К — пластическая постоянная (предел пластичности). При этом модуль вектора X окажется больше пластической постоянной К, что совпадает с формулировкой условия начала пластических деформаций в теории пластичности Генки-Ильюшина [230, 24].
Введем теперь вектор х с проекциями
g =(£° - е0)^,力2 =(吟一 е0)^,力з =(£? - е0)^,力4=也,力5=*更,力6=油g,
которые определяют остаточную деформацию тела (также с точностью до изменения объема). Здесь 再,…,也 и £° = 1/3囲+吟+圖 — остаточные деформации.
Будем далее считать, что упругая часть деформации, т. е. разность ^j — Xj связана с напряжениями Xj соотношениями прямой пропорциональности:
Xg = G (^j — Xj),
где G — по-прежнему модуль сдвига.
Законы различных теорий пластичности выражают, в сущности, правила, согласно которым по перемещению точки 自(или, что то же, конца одноименного вектора 自)с координатами 务(полная деформация) во введенном шестимерном пространстве определяется перемещение точки ж (конца вектора х) с координатами Xj (остаточная деформация) и тем самым изменение величин Xj (напряженное состояние).
В частности, теория Генки-Ильюшина приводит к требованию, чтобы при так называемой активной пластической деформации (интенсивность напряжений О£ = О£ (q) возрастает) точка ж находилась на прямой, соединяющей начало координат с точкой 自.
Действительно, согласно этой теории компоненты девиатора напряжений и девиатора деформаций при активной пластической деформации должны быть пропорциональны друг другу, что приводит к пропорции
6х — ООу — О^z — О2tyz^^zx^Тху2。£
£® — ££y — ££z — £YyzУгхУху3 ££
из которой следует, что векторы X и ^ параллельны. Далее, при последующем уменьшении интенсивности напряжений о^, изменения компонент девиатора напряжения должны быть пропорциональны изменениям соответствующих компонент девиатора деформации (так называемый закон упругой разгрузки). Следовательно, точка ж, изображающая деформацию при полной разгрузке, будет находиться на прямой, соединяющей точку 自 с началом координат.
Что же касается расстояний точки ж и точки ^ от начала координат, то они легко определяются, если принять во внимание соотношения теории пластичности Генки-Ильюшина, которые в наших обозначениях можно представить в виде
X = G(自-х),
причем при первоначальном деформировании из естественного состояния усилием |Х| = Ог/д/З, последнее связано с образующейся деформацией |^| = Е^д/З заданным законом ос = ос (q). Согласно новой теории пластичности активная пластическая деформация происходит только при соблюдении неравенства
〉：[G (^j — Xj) — Hxj] dxj》0,
где суммирование, как и всюду в дальнейшем, производится по индексу J от 1 до 6. Коэффициент Н характеризует модуль упрочнения материала.
При активной пластической деформации величины Xj и ^ связаны одним алгебраическим соотношением
e [G (务一g) 一 H勺『=К2
и четырьмя независимыми дифференциальными, следующими из пропорции
G & — ®]) — НхуG (己2 —优2)— Hx2G & —优6)— Hxq
Одно из первых трех приведенных отношений может быть опущено вследствие тождественных равенств 自i + 自2 + 自3 = 0,力i + 力2 + 力3 = 0-
Дифференциальные соотношения пластического деформирования можно также представить в виде
G (务一g) - Hxj — Xj - Hxj — К
где ds — дифференциал дуги траектории, описываемой в шестимерном пространстве точкой ж; разумеется,
df = ^2 d芍.
Если, напротив,
£[g&一з)-"з]dg ＜。，
то в приведенных выше дифференциальных соотношениях следует считать координаты Xj постоянными; этот случай соответствует упругой разгрузке, Xj = G (^ — Xj).
При Я = 0, как уже было упомянуто, приходим, по существу, к соотношениям теории Прандтля-Рейсса [236, 237卩).
Приведем теперь некоторые частные случаи деформаций для выявления особенностей новой теории.
1°. Пусть пластическая деформация происходит так, что точка 自 перемещается в шестимерном пространстве по произвольной прямой. Примем также, что условие (неравенство) осуществления активной пластической деформации соблюдается.
Соответствующим введением новой прямоугольной системы координат г|1, г|2, . . . , г|б всегда можно достичь того, чтобы упомянутая прямая оказалась параллельной одной из осей координат. Тогда уравнению
1) При //#0 определяющие уравнения предлагаемой теории также являются уравнениями типа теории течения. В этом случае начальная поверхность текучести, представляющая в шестимерном пространстве напряжений Х〃 сферу радиуса К, в процессе пластического деформирования перемещается как жесткое целое, причем перемещение центра сферы пропорционально вектору остаточной (пластической) деформации. Закон упрочнения, при котором начальная поверхность текучести испытывает перенос, сохраняя при этом свои размеры и форму, принято называть трансляционным упрочнением. Впервые идея использования такого типа упрочнения для описания эффекта Баушингера была высказана Рейссом [239]. Модель трансляционного упрочнения, аналогичная рассматриваемой в настоящей работе, была независимо несколько позднее предложена Прагером [82] для поверхности текучести общего вида.
Отметим, что наша модель и модель Прагера [82] получили дальнейшее развитие в многочисленных работах (см. обзор [28]). Здесь в первую очередь следует отметить работу Ю.И. Кадашевича и В.В. Новожилова [181], предложивших вариант так называемого комбинированного упрочнения, при котором в процессе пластического деформирования поверхность текучести, кроме перемещения, испытывает также всестороннее расширение. (Примеч. авт., 1984 г.)
прямой можно придать такой вид:
巾=九，"2 = а?, Пз = аз, . . . , "б = аб,
где а?, аз, . . . , осб ——постоянные числа, а 九一монотонно изменяющийся параметр, определяющий положение точки 自 на упомянутой прямой. Началу деформации соответствует некоторое значение этого параметра X = Х°, определяемое начальным значением координаты “i = "?.
Очевидно, что в новой системе координат алгебраическое соотношение сохраняет свою структуру, так как его левая часть представляет собой квадрат модуля некоторого вектора и, следовательно, инвариантна к преобразованию координат. То же относится и к дифференциальным соотношениям, которые выражают параллельность упомянутого вектора элементарному перемещению ds точки х.
В новых обозначениях алгебраическое и дифференциальное соотношения предлагаемой теории пластичности представляются следующим образом:
^С^-Уз)~Ну^ = К\^С^-Уз)~Ну^ = К\G 8j — Uj) — НyjG 8j — Uj) — Нyjdsds
^С^-Уз)~Ну^ = К\
^С^-Уз)~Ну^ = К\
G 8j — Uj) — Нyj
G 8j — Uj) — Нyj
ds
ds
О = 12 …，6),
где yj — координаты точки ж в новой системе координат.
Так как из величин \ лишь первая (巾 = 九)изменяется, то, дифференцируя алгебраическое соотношение по 九，придем к соотношению в ди фферен ци ал ах:
[G (九—沙1) — Ну^] Gd九—^2 [G (r|j — yj) — ^IJj] (^ + X) dyj = 0.
Заменяя здесь дифференциалы dyj выражениями
d% = В (if) — Hyj] ds/K,
получим
K[G ^-yi)-Hyi]GdX =
=£ [G (%• — %) - Hy^ (G + 切 ds = К? (G + H) ds.
Учитывая, в частности, что
ds =
G^-y.)-Hy^
придем к дифференциальному уравнению
[G (九—％) — Ну^ Gd九=(G + X) К2dgi
для определения компоненты остаточной деформации у\ как функции параметра 九.
Интеграл этого уравнения имеет вид
G^-y^-Hy, =Kth (G"K + G),
где Ci — постоянная, определяемая начальным условием у、= у? при
九=九°.
Используя полученное дифференциальное уравнение и его интеграл, имеем
dyj— dgi — G [G (к — yi) — Hy^]dk —
G g — Uj) — Hyj G (九-gi)-Hgi№ (G + H)
=K(J^H) th(^ + G)dL 3=2,3,...,6, откуда, учитывая, что \ = 勿 =const 0 = 2, 3,…，6), в результате интегрирования приходим к соотношениям
G (ocj — Уз) — Hyj = Cj sech (G九/К + G),
где Cj — постоянные, определяемые начальными условиями yj = у； при 九= 九° (начальная остаточная деформация). Эти постоянные (равно как и начальные условия у； j = 2, 3, . . . , 6) не независимы между собой, так как
[G (九一％) — Ну^ + £ [G (勿一力)-Ну^ =
=К2 th2〈GMК + G) + J2 Cj sech2 (G"K + G) = К, и вследствие тождества th2 z = 1 — sech2 z должно быть
6 +爲+…+源=k2.
В некоторых случаях th (G九/К + &) может выродиться в единицу (при G —> оо); при этом все константы Cj обратятся в нуль. К этим случаям относятся, в частности, простейшие нагружения — растяжение, сжатие и сдвиг — за предел упругости из первойачального естественного состояния тела.
2°. В случае простого растяжения
。£ #0, Qy = Qz = %z =工2冗=ТХу =0, О = —Ож
312 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды и, следовательно,
Xi = 1/2д/^ (報-о) = 1/Зд/2с>Ж5
Х2 = Хз = —l/6v^ 報，
Х《=Х5 = Хб = 0.
Если деформирование ведется из естественного состояния, то
Xj =0" = 1, 2,... , 6.
В соответствии с изложенным выше введем новую прямоугольную систему координат 巾，“2,…，Пб так, чтобы ось 巾 была параллельна вектору X. Таких систем можно указать сколько угодно. Одной из них будет система, определяемая следующей таблицей косинусов углов
между ее осями и осями исходной системы:
自1
自2
自3
自4
自5
自6
巾
2/v^
—1/д/б
—1/д/б
0
0
0
П2
0
1/6
-1/6
0
0
0
Пз
1/心
1/心
1/心
0
0
0
"4
0
0
0
1
0
0
П5
0
0
0
0
1
0
116
0
0
0
0
0
1
Обозначим проекции вектора X на оси \ через Yj вектора 自—через
I и, наконец, вектора х — через у»
Имеем в соответствии с таблицей косинусов:
= ^ (2Х] — Х2 — Хз) = ；^報,М = №(Х2-Хз)=0,
К = ；^(Х1+Х2 + Хз)=0,吟=К=乂 = 0.
Согласно вышеизложенному, предел упругости будет достигнут, если осуществится равенство
§ 7. Общая теория пластичности с линейным упрочнением 313 т. е. при
(5Х = KV^ = os.
Дальнейшее увеличение ож вызовет пластическую деформацию, подчиняющуюся дифференциальным соотношениям
и алгебраическому равенству
£ [G(I —幻)-Ну^ = £ (匕一Ну^ = К2.
Так как Yj =0 (j = 2, 3,…，6), то согласно тем же дифференциальным соотношениям получим
yj=y^\
где s — длина дуги траектории, описываемой точкой ж при пластическом деформировании. В нашем случае 叫=0 и, следовательно, все yj (/ = 2, 3,…，6) тождественно равны нулю. Кроме того, как было показано выше, Yj (/ = 2,3,…，6) также равны нулю. В результате алгебраическое равенство приводится к виду
(e- 8g1)2 =k2,
откуда
К — КК — К0b/仆-Кн0b/仆-Кн
К — К
К — К
0b/仆-К
н
0b/仆-К
н
Возвращаясь вновь к системе координат 自匕自2,…北6, получим, пользуясь таблицей косинусов, что остаточная деформация после растяжения за предел упругости такова:
g =，^? = l^?/!=g =，^? = l^?/!=знзн
g =，^? = l^?/!=
g =，^? = l^?/!=
зн
зн
力2 =力3 = -7^， 力4 =力5 =力6 = 0.
Так как
G & — g) = Xi = ；a/^£,自 1 = a/^(% — £) и, согласно закону Гука,
1 -2v1 -2v
£= 一^吁 ^^報，
то выражение полной деформации % за пределом упругости, т. е. при 報〉Os, приобретает вид
“ =2(1 +v)G 十 ЗН 5
что соответствует закону линейного упрочнения.
3°. Пусть после растяжения некоторой полосы за предел упругости напряжением о* полоса (или соответственно вырезанный из нее элемент) растягивается напряжением。夕.Подсчитаем, при каком напряжении появятся новые пластические деформации и как они будут изменяться по мере увеличения。夕.
Теперь
Xi = -д/^Оу/б, Х2 = д/Зо^/З,
Х3 = Xi = -д/^Од/6, Х4 = Х5 = Хб = О и, согласно предыдущему,
力；=д/ёд；/3, х^ = х^ = —д/б?/1 /6, х^ = х^ = Xq = О,
讲= 3h ，
где о* — наибольшее напряжение, достигнутое при предварительном растяжении полосы напряжением ож.
Введем новую систему координат Л,…，Сб так, чтобы ось J была параллельна вектору X. Одной из таких систем будет та, направление осей которой определяется следующей таблицей косинусов:
Cl
7仆
2/^/ё
7仆
0
0
0
С2
-1/6
0
1/6
0
0
0
Сз
1/&
1/&
0
0
0
в
0
0
0
1
0
0
С5
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
Проекции вектора X на эти оси равны соответственно
44*(_М+2Х2 —Хз) =吃恥*(_М+2Х2 —Хз) =吃恥
4
4
*(_М+2Х2 —Хз) =吃恥
*(_М+2Х2 —Хз) =吃恥
Z? = Z3 = ... = Zq = 0.
Координаты точки ж0, характеризующей начальную остаточную деформацию в новой системе координат, представляются выражениями
zg = ± （—* + "）=—彳研，
制=吃（* +破+破）=°5
z^ = z^ = Zq = 0.
Чтобы отыскать новый предел упругости о*, следует разрешить уравнение
£ （%• — Н*2 =；（呜—Hz^）2 + （Hz^2 = К2
относительно о；. Получим, имея в виду корень о* > 0,
или, подставляя значения z? и zg и вводя обозначение
получим для предела упругости при растяжении в поперечном направлении формулу
呜=3 （а 一 1） + Jl -沁-1产.
Пусть а = 1.2, т. е. при предварительном растяжении напряжением 報 предел упругости о$ был превзойден на 20% . Тогда при последующем растяжении напряжением。夕 предел упругости будет достигнут уже при напряжении
о* = 0.885os.
Рассмотрим, как будет происходить деформация полосы при дальнейшем растяжении напряжением。夕 за пределом упругости о；. За исходные уравнения теперь следует принять соотношения
О = 12 • • • ,6）； £（% — 〃马）2 =
в которых в соответствии с изложенным выше
Zi = ；д/^Од, Zj = 0(j = 2,3, . . . ,6), а за начальные условия надлежит взять значения
£ 詣(芯-^к)，
器=。(3 = з,..., 6) •
Так как Z3 = . . . = Ze = 0, то
刃=器e一Hs/K 三 00 =3,…，6).
Остается рассмотреть единственное дифференциальное соотношение
V^dzy _ dz?
(5у 一 НZy д/зНZ2
при наличии равенства
I Qg - Яг^)2 + »2貝=Н
Аналогично выкладкам п. 1° получим
；(Оу — Hzix^ (dog — Hdzix^ + Н?z2dz2 = 0.
Подставляя сюда из дифференциального соотношения dz? и учитывая предыдущее алгебраическое равенство, имеем
I Qu - HZ1V^ • ；@。夕-8K2dzi 二 0.
Интеграл последнего дифференциального уравнения имеет следующий вид:
^д/Зо^ — Hzi = /С th ("gf + °
Здесь постоянная С находится из условия
° у — G^ zi = z； = —д/З (芯—KV^ /6Я.
Уравнение для отыскания постоянной С можно привести к виду
Можно также показать, что левая часть уравнения по модулю меньше единицы и тем самым уравнение всегда имеет действительное решение.
Вновь используя алгебраическое равенство, получим
+ С •+ С •Hz2 = К sechHz2 = К sech
+ С •
+ С •
Hz2 = К sech
Hz2 = К sech
Нетрудно убедиться, что другое условие,
^у =呜，Z2 = Z? = - (т - kV^ /2Я, в силу того же алгебраического равенства соблюдается.
Возвращаясь посредством таблицы косинусов к старым переменным Xj, получим, в частности.
力 2 = ；^Z] + ；^z3 = ；^}力 2 = ；^Z] + ；^z3 = ；^}(5У — /Сд/З th(5У — /Сд/З th
力 2 = ；^Z] + ；^z3 = ；^}
力 2 = ；^Z] + ；^z3 = ；^}
(5У — /Сд/З th
(5У — /Сд/З th
Так как согласно исходным соотношениям теории
自2 =，^ （也-£）,自2 =，^ （也-£）,Х2 = ^V2(5y = G (自2 — 力2),
自2 =，^ （也-£）,
自2 =，^ （也-£）,
то
也=£ +也=£ ++ =£+務 + 詣+ =£+務 + 詣Og — /Сд/З thOg — /Сд/З th
也=£ +
也=£ +
+ =£+務 + 詣
+ =£+務 + 詣
Og — /Сд/З th
Og — /Сд/З th
или
①=2(1 +v)G + 務-^^ th + 0) &〉中)-
Последнему выражению можно придать также форму
Gy1 Gy — °s I °s2(1 +v)G 十 3H 十 ЗНGy1 Gy — °s I °s2(1 +v)G 十 3H 十 ЗН1 - th ( ^ + С\ Os1 - th ( ^ + С\ Os(。д>%) ,5(。д>%) ,5
Gy1 Gy — °s I °s
2(1 +v)G 十 3H 十 ЗН
Gy1 Gy — °s I °s
2(1 +v)G 十 3H 十 ЗН
1 - th ( ^ + С\ Os
1 - th ( ^ + С\ Os
(。д>%) ,5
(。д>%) ,5
из которой следует, что при достаточно больших значениях。夕 изменение деформации 包 приближается к закону простого линейного упрочнения, полученному в конце п. 2°.
Если растягивающее напряжение。夕 < о*, то в соответствии с общими положениями теории следует считать 力2 = eg постоянным. В этом случае
_ Оу f — О$
% = 2 (1 — v) G 6Н ■
При Од = о* последняя и предыдущая формулы дают, разумеется, один и тот же результат.
4°. Рассмотрим теперь растяжение косого элемента, который произвольно вырезан из полосы, подвергающейся предварительному растяжению за предел упругости напряжения о*. Обозначим через 9 угол между направлением элемента и осью ж и через ое напряжение этого элемента при последующем растяжении.
В соответствии с формулами сопротивления материалов и теории упругости имеем
°冗—°е cos2 0, °夕=ое sin2 0,
^ху = °е cos 0 sin 6， °z = ^yz = ^zx = °，
дд/^ое fsin2 0 —-дд/^ое fsin2 0 —-и, следовательно, согласно вы шеи зл ожен ному,
дд/^ое fsin2 0 —-
дд/^ое fsin2 0 —-
Xi =万^/^例 fcos2 0 — - J , Х2
Х3 = — ^д/^Ое, Х4 = Х5 = 0, Xq = ое cos 0sin 0.
В п. 2° были подсчитаны остаточные деформации, которые возникают при предварительном растяжении полосы напряжением о*, а именно
叫=；^& ,弋 Х^= Х^ = -|^?, X^ = X^=Xq= 0.
Зная эти величины, можно, пользуясь алгебраическим соотношением
£3厂//吗）2 =个,
найти, при каком значении напряжения ое = о% будет достигнут предел упругости при растяжении косого элемента.
В развернутом виде уравнение для упомянутого предела упругости следующее:
；о； ^cos2e- 0 - I （芯-长吩 +
+ I -|< + ；（武-к旬 + « cosesin е）2 =犬
Положим
Тогда после раскрытия скобок и приведения подобных членов получим для и квадратное уравнение
〃2 + (1 — 3 COS2 е) 0〃 + @2 = 1.
Положительный корень этого уравнения определяет величину предела упругости Од, соответствующую растяжению элемента, а отрицательный — его сжатию. При 0 = 90° получаем уравнение
и2 -\- ри -\- р2 = 1, откуда
и = -р/2 +，1 - 3&2/4.
что, как нетрудно проверить, совпадает с результатом, полученным в п. 3°.
Если предел упругости при предварительном растяжении полосы превзойден сравнительно немного, так что величина 目 имеет порядок 0.1-0.3, то при cos9 = 1/д/З имеем
и2 = 1 — р2 1.
Таким образом, если элемент вырезан под углом около 55° к направлению первойачального растяжения, то предел упругости практически оказывается тем же самым. В общем случае это имеет место при cos2 0 = =1/3(1 +目)=o*/3os.
Рис. 89Рис. 89
Рис. 89
Рис. 89
5°. Подобным же образом можно исследовать интересную задачу об отыскании установившегося процесса деформирования за пределом упругости, когда конец вектора усилия X обращается (рис. 89, а) вокруг начала координат по кругу.
Предположим, что элемент материала вначале выводится в пластическое состояние путем чистого сдвига
^ху #0, ^Х = ^у = ^Z = %N — ^ZX — 0.
Нагружение ведется до напряжения тху = т*, превышающего пластическую постоянную К.
Пусть далее производится сложное нагружение, при котором напряжения в элементе меняются по закону
。冗=—т* sin 29, Од = т* sin 29,
^ху = Т* COS 2е, On = %z =、£ = 0,
где 0 — возрастающий параметр (0 < 0 < оо). Такому закону изменения напряжений отвечает постепенный поворот площадок максимального напряжения сдвига в элементе вокруг оси z при сохранении постоянной величины напряжения т* на этих площадках. При этом 0 является углом поворота площадок сдвига в элементе, который отсч и ты вается от их положения на начальном этапе нагружения.
Найдем, как меняются пластические деформации на этапе сложного нагружения. Прежде всего определим остаточные деформации элемента, отвечающие концу первого этапа — нагружения напряжением тху > > К. Имеем
Xi = Х2 = Х3 = Х4 = Х5 = 0, Хб = “夕.
Из компонент вектора х, определяющего остаточные деформации элемента, в данном случае отлична от нуля только компонента xq. Ее значение определяется из алгебраического равенства
(X6 - я^6)2 = (кд - 826)2 =k2,
откуда
Таким образом, пластические деформации в конце первого этапа таковы:
_ о _ о _ о _ о _ п
硅=Уху = 2金='丁 = £ (a _ 1).
В последней формуле введен безразмерный параметр a = т*/К (a〉1), который характеризует уровень достигнутых в конце первого этапа касательных напряжений в элементе.
На этапе сложного нагружения, согласно вышеизложенному, имеем
X] — —^― sin 20, Х? — ^― sin 20,
Хб = т* cos2e, Х3 = Х4 = Х5 = 0.
Из последней группы равенств следует (см. п. 2°), что 力3 =力4 = =力5 = 0 и, следовательно, деформация элемента остается плоской. Поскольку Xi(9), Х2(0), Х3(9)— известные функции параметра 9, то задача сводится к определению трех функций:力i(9),力2(0),力6(0)из системы уравнений
dan _ dx2 _ dxQ
К — Наи = Х2 - Н®2 = Хб — Н优6 '
(Xi - 8g )2 + (X2 - 822)2 + (X6 - 826)2 = К при начальных условиях
Ж1 (0) = * = 0,力2 (о)=力? = 0,力6 (о)=區=^ (а - 1) •
Введем новую прямоугольную систему координат 巾，“2, …，Лб5 направление осей которой определяется следующей таблицей косину-
сов:
自1
自2
自3
自4
自5
自6
巾
0
0
0
0
"2
0
0
0
0
Пз
0
0
1
0
0
0
П4
0
0
0
1
0
0
"5
0
0
0
0
1
0
Пб
0
0
0
0
0
1
Проекции векторов X и х на оси этой системы равны соответственно
匕=^| (Х1 — Х2) = f * sin Р,М = ^ (Х1 + Х2) = 0,
匕= W = K = 0, M = X6=T*cosB
"1 = $ '"I —数)，У2"1 = $ '"I —数)，У2-^^ (力 1 + 力2)- 0,-^^ (力 1 + 力2)- 0,
"1 = $ '"I —数)，У2
"1 = $ '"I —数)，У2
-^^ (力 1 + 力2)- 0,
-^^ (力 1 + 力2)- 0,
g3 = % =g5 = 0,g6 =力6,где р = 29. Таким образом, в новой системе вектор усилий X и векторостаточной деформации х на этапе сложного нагружения все время
лежат в плоскости 巾“6・ При этом модуль вектора усилий сохраняет постоянное значение, равное т*, так что конец вектора X описывает в плоскости т|1Г|б окружность радиуса т* = аК (см. рис. 89, а).
(Y.-Hy^ + ^-Hy^^K2,(Y.-Hy^ + ^-Hy^^K2,Дифференциальное и алгебраическое соотношения для функций у、 и 沙6, рассматриваемых далее как функции аргумента р, в новой системе координат имеют вид
(Y.-Hy^ + ^-Hy^^K2,
(Y.-Hy^ + ^-Hy^^K2,
匕—Н5 - Y6-Hy6 а начальные условия
gi (°) = ^| [з (°)-力2 (о)] = о,沙6 (0)=力6 (0)=今(а - 1) •
Введем функцию 屮偉)，которая связана с искомыми % (р) и % (Р) соотношениями
—К sin 屮=В — Ну、〉 К cos ср = Уб — HyQ.
Очевидно, что при этом алгебраическое равенство обращается в тождество, а у、(р) и дб (Р) выражаются через единственную неизвестную функцию ср (р). Имеем
У1 = } (Н + К sin 屮)=£ (-ocsin р + sin ср),
沙6 = }(協 - К cos 屮)=^ (a cos р - cos ср).
Подставляя эти выражения в дифференциальное соотношение, получим
—осcos prfp + cos(prf(p _ —ocsin prfp + sin(prf(p
—sin (pcos (p '
После преобразований приходим к следующему дифференциальному уравнению для функции ср:
d(p/dp = ос cos (ср — р).
Используя определение ср, а также учитывая, что 匕 (0) = 0, 乂 (0)= =т* = аК,沙1 (0) = 0,沙6 (°) = К(а—1)///, найдем sin ср (0)= =0, cos ср (0) = 1 и, следовательно, ср (0) = 0.
Полученное уравнение легко интегрируется. Сделаем замену ср = =р + \|/ (р). Тогда 屮(0)=屮(0) = 0, а само уравнение преобразуется к ВИДУ
1 — a cos 屮1 — a cos 屮
1 — a cos 屮
1 — a cos 屮
В результате интегрирования имеем
3书+0)3书+0)
3书+0)
3书+0)
или, учитывая начальное условие 屮(0) = 0,
屮(В) = 2 arctg屮(В) = 2 arctg
屮(В) = 2 arctg
屮(В) = 2 arctg
Функция 屮 является монотонно возрастающей функцией аргумента р. При больших [В функция 屮(р) стремится к некоторому постоянному значению 屮* (а) = 2 arctg，(а — 1) / (а + 1).
Используя определение ср и равенство 屮=屮 + 0, получим
кнкнкнкн—sin (屮 + p)] = —A sin (p — co),
кнкн
кнкн
cos p — cos (屮 + (В)] = 4 cos (p — co).
В этих формулах параметр А = А (р, ос) = К，(/2 + 1 — 2а cos 屮(0)/// характеризует значение модуля вектора остаточных деформаций (|х| =,抬 + 諸=4)•
В свою очередь, угол со, задаваемый равенством
sin со = (K///)sinw/4(0 < со < 兀/2),
определяет разность фаз между векторами X и х.
Принимая во внимание выражение для функции 屮(0), после элементарных, но громоздких преобразований получим
4(B)=4(B)=11/2-1+ 111/2-1+ 1со (В) = arcsin Iсо (В) = arcsin I
4(B)=
4(B)=
11/2
-1
+ 1
11/2
-1
+ 1
со (В) = arcsin I
со (В) = arcsin I
Подставляя далее эти формулы в соотношения для у、(р) и % (Р), находим закон изменения остаточных деформаций на этапе сложного нагружения.
Проан ал и зи руем полученный результат. Заметим, что А (р) и со (р) — монотонно возрастающие функции. При 0 = 0 имеем А (0)= = (а — 1) К///, со (0) = 0. При р —> оо обе функции стремятся к
некоторым постоянным значениям
4 -> 4* =，(/2 — 1 黑 ①-> co* = arcsin (- H\ a
Следовательно, на этапе сложного нагружения модуль вектора остаточной деформации |х| = д/蜡 + д^ = Л (р) растет, асимптотически приближаясь к предельному значению 4*. Поскольку угол со характеризует отставание по фазе вектора х от вектора усилий X, то в силу равенства со (0) = 0 и монотонного роста функции со (р) в начале этапа сложного нагружения вектор х постепенно отклоняется от вектора X. При больших [В функция со (р) —> со* = const, и, таким образом, отставание стаби л и зи руется, определяясь углом со*.
Характер изменения остаточных деформаций при сложном нагружении иллюстрирует рис. 89, а, б. На рис. 89, б показана траектория, которую описывает точка ж в плоскости у^у^. Эта траектория имеет вид расширяющейся спирали, асимптотически приближающейся к окружности радиуса 4* = д/а? — \К〔Н. Данная окружность изображена на рис. 89, б (пунктир). Рис. 89, а и 5 дают представление о взаимном расположении вектора усилий X и вектора остаточной деформации х на разных стадиях нагружения. Видно, что при малых углах р, т. е. в начале сложного нагружения, поворот вектора усилия X практически не вызывает изменения направления вектора х. Дальнейший рост р приводит к тому, что вектор остаточной деформации х также вовлекается во вращение. При больших значениях р отставание стаби л и зи руется, так что вращение векторов X и х происходит почти при постоянном сдвиге фаз, равном со* = arcsin (1/ос).
Приведенные рисунки построены для случая a = 1.2, т. е. отвечают превышению напряжения сдвига т* над пределом упругости К на 20 %. Заметим, что и в данном случае модуль вектора остаточной деформации на этапе сложного нагружения возрастает приблизительно в 2.3 раза, а угол со* = 54°3(У.
Возвращаясь к старым переменным Xj, окончательно получим
力 1 =，^£?=力 1 =，^£?=力2 = V^吟力2 = V^吟11111111A sin (р — со),A sin (р — со),A sin (р — со),A sin (р — со),
力 1 =，^£?=
力 1 =，^£?=
力2 = V^吟
力2 = V^吟
11
11
11
11
A sin (р — со),
A sin (р — со),
A sin (р — со),
A sin (р — со),
力6 =油夕=沙6 = 4 cos (p - co).
Последние формулы вместе с приведенными выше выражениями для Д (р) и со (р) определяют закон изменения пластических деформаций элемента на этапе сложного нагружения.
Покажем, что полученному решению на всем этапе сложного нагружения отвечает активная пластическая деформация. Для этого нужно убедиться в том, что выполняется неравенство
^? (Х^Hxj)dxj》О,
левая часть которого представляет собой элементарную работу dAp^ расходуемую на совершение пластической деформации. Имеем
d&・=^^ (Xj - Hxj)dxj =
=£ (匕一 Hy^dyj = (Yi - Hy\)dy\ + (Уб - HyQ dyG =
К sin ф^ (ос cos pdp — cos(pd(p) + К cos ср^ (—ос sin pdp + sin(pd(p)
^-asin (ср — p) dp = ^-asin 屮曲.
Согласно предыдущему О，屮＜ 兀/2, sin \|/ 》0, следовательно, dAp》0. Таким образом, на всем этапе сложного нагружения происходит пластическая деформация.
Подобным, однако несколько более сложным образом можно исследовать, как происходит пластическая деформация в случае вращения
напряженного состояния растяжения по закону
о冗=о* cos2 0, Од = о* sin2 9,хху = о* cos 9 sin 9,
On — ^ху — ^zx — 0,
где о* — постоянная, превышающая предел упругости при растяжении о§ = д/^К.
6°. Можно представить себе некую механическую модель, поведение которой описывается уравнениями предлагаемой теории пластичности при сложном нагружении. Пусть в шести мерном пространстве (фактически —
Рис. 90Рис. 90в пятимерном) в некой среде малый шарик связан пружинами жесткости с с началом координат и жесткости 6 — с концом вектора полной деформации 自(рис. 90). Положение шарика определяется вектором х
Рис. 90
Рис. 90
(вектор остаточных деформаций). Усилие, развиваемое второй пружиной, обозначим вектором X.
При перемещении шарика в среде он встречает постоянное сопротивление К (пластическая постоянная), равное и противоположно направленное равнодействующей усилий, развиваемых обеими пружинами, прикрепленными к шарику. Элементарное перемещение шарика направлено по упомянутой равнодействующей. Если положить b = G и Ьс/ (Ь -\- с) = Н (см. [165]), то в результате придем к изложенным выше уравнениям общей теории пластичности с линейным упрочнением.
Теории изотропного и анизотропногоупрочнения
Предположим, что функции нагружения упрочняющегося пластического материала полностью определяются компонентами тензоров напряжений и пластических деформаций
*(。切哈)=0.⑵8.1)
Выбранный путь нагружения приводит к вполне определенному деформированному состоянию, независимо от ориентации тела относительно некоторой декартовой системы координат 力订 Следовательно, функции нагружения зависят только от инвариантов напряженного и деформ и рован ного состояния. Инвариантами напряженного и деформированного состояния будут инварианты тензоров。叮，吟，а также совместные инварианты этих тензоров. Число основных, базисных инвариантов, через которые могут быть выражены все инварианты тензоров Gij,吟(включая совместные), равно девяти. Это обстоя тел ьство соответствует тому факту, что данное напряженное и деформированное состояние полностью определяется шестью величинами главных компонент тензоров напряжений о叮 и пластических деформаций е^5 а также тремя независимыми величинами, характеризующими взаимную ориентацию главных направлений этих тензоров.
Таким образом, можно записать
/S)(0£,或,a,0,Y) = 0,
где。£, е? — главные компоненты теноров напряжений и пластических деформаций; ос, р, у — три величины, например, эйлеровы углы, характеризующие взаимную ориентацию главных направлений о^, ef.
В качестве базисных могут быть выбраны любые девять независимых инвариантов, например.
° = ^°", S2 = ^О 订。订・, Хз = goijGjkGki,
/=*3鍔=浦%瑞=制嗫啖，⑵8.2)
" 2 =0叮吟，口 12 - 30"啜啖，" 21 = fijGjke%.
Очевидно, что если функции нагружения (2.8.1) зависят только от инвариантов (2.8.2), то материал является первоначально изотропным.
Если материал является первойачально анизотропным или становится анизотропным в процессе пластического деформирования таким образом, что данный путь нагружения приводит к различным деформированным состояниям в зависимости от ориентации тела в системе координат д, то подобная анизотропия материала характеризуется некоторым, вполне определенным тензором или тензорами анизотропии (которые могут быть различных порядков), и функции нагружения в этом случае зависят от различных инвариантов этих тензоров, а также от инвариантов тензоров。切 吟.
Изотропное упрочнение. В теории изотропного упрочнения предполагается, что функции нагружения зависят только от инвариантов тензора напряжений и тензора пластических деформаций
/(q)G %, &,吟"，碣，《) = 0.
В этом случае функции нагружения всегда инвариантны относительно преобразования системы координат и тело сохраняет свойства изотропии во время процесса пластического деформирования.
В случае, когда пластические свойства материала не зависят от действия гидростатического давления, функции нагружения имеют вид
* (X6, X* 般，酸，自)=0,
где%，汇，石界嘴— соответственно второй и третий инварианты девиаторов напряжений и пластических деформаций.
Простейшие варианты теории изотропного упрочнения определяются следующими видами функций нагружения:
/ (^max? Утах)—及，
Рассмотрим, например, функцию нагружения (2.8.3) в случае линейного упрочнения:
(必必)2 = к + а (吟吟)2 , а = const.(2.8.4)
Согласно ассоциированному закону пластического течения
嗚• = р° 必.(2.8.5)
Аналогично могут быть рассмотрены соотношения 吟 ~ ^ij для других функций нагружения.
Анизотропное упрочнение. В теории анизотропного упрочнения ограничимся рассмотрением следующих функций нагружения:
/S)(d S2, %,或，"，碣，п2, и⑵ n21,匂=0.
Как уже было отмечено, в этом случае данный путь нагружения приводит к определенному деформированному состоянию, независимо от ориентации тела в системе координат д.
В случае, когда пластические свойства материалов не зависят от гидростатического давления, функции нагружения имеют вид
/S)(4,珏，石界石K通，用2,通1，动=0・
Рассмотрим один из вариантов теории анизотропного упрочнения. Введем тензор активных напряжений о?( = о叮—Sij, где 5叮 = =а吟.Величина а может зависеть от инвариантов тензоров。切 е务，в простейшем случае ее можно считать постоянной. Очевидно, что совокупность независимых инвариантов тензора 鳴 охватывается совокупностью инвариантов (2.8.2).
Предположим, что функции нагружения имеют вид
*)(*•) =*)(0订・-5 订)=0.(2.8.6)
В пространстве тензора напряжений о?( поверхности нагружений /S)=0 фиксированы, в пространстве действительного тензора напряжений G%j они испытывают жесткое смещение, определяемое компонентами тензора s^. Подобные теории носят название трансляционных теорий анизотропного упрочнения.
Рассмотрим частный вид зависимости (2.8.6), а именно
(吃•一 aк)(吃 一 aк)=3, a = const.(2.8.7)
Очевидно, что в данном случае имеет место линейное упрочнение. Ассоциированный закон течения приводит к зависимости
商=2w(必一a吟).⑵8.8)
Отметим, что соотношения теории анизотропного упрочнения, использующие функции нагружения в виде
f(G (必-吟)=a⑵8.9)
где Sij = a吟，a = const, имеют следующее свойство: закон упрочнения, вообще говоря, меняется с переходом от первоначального пространства напряжений к пространству меньшего числа измерений (переход от общего пространственного случая к частным случаям плоской задачи, чистого сдвига и т. п.). В частных случаях поверхность нагружения не перемещается по направлению ассоциированного вектора скорости.
Для устранения отмеченных особенностей можно принять
dsij = (о叮—Sij) dv, dv > 0.
Закон упрочнения (2.8.9) с такой его модификацией не меняется для любого подпространства.
Модели сложных сред
Многие среды обнаруживают при деформировании совместное проявление упругих, вязких и пластических свойств. Для описания поведения подобных сложных сред требуются соответствующие модели. Ниже рассмотрим построение основных соотношений связи между напряженным и деформированным состояниями для достаточно широкого класса реологически сложных сплошных сред. В основу построений положим три основных механизма деформирования: упругий, пластический и вязкий. Первый механизм определяет обратимый процесс деформирования, два последних — необратимый. Для иллюстрации свойств реологически сложных сред воспользуемся динамическими моделями (рис. 91). В подобных моделях сила соответствует напряжениям, а перемещение — деформациям моделируемой среды. Инерционные свойства самих моделей не рассматриваются.
Упругий механизм деформирования Е моделируется пружиной, конец которой прикреплен к жесткой стенке (рис. 91, а). Жесткая стенка может быть интерпретирована как механизм сухого трения при сколь угодно большом коэффициенте сцепления. Механизм пластического
течения Р моделируется элементами сухого трения (рис. 91, 6), т. е. твердым телом, прижимаемым к шероховатой плоскости.
г
Рис. 91
Вязкий механизм можно изобразить двояко (рис. 91, в, г). В первом случае (рис. 91, в) механизм вязкости будем обозначать индексом V0, во втором случае — индексом V*. Как будет показано, различие между этими моделями позволяет осуществить различные включения механизма вязкости в сложные модели.
Рассмотрим простейшие комбинации механизмов: ЕР — модель у пругопл асти ческого тела (рис. 92, а), модель упруго-вязкого тела EV° или EV* (рис. 92, 6, в). Для этих моделей полная деформация слагается из упругой и пластической или упругой и вязкой:
de = d&e + de% de = d* + de°. (2.9.1)
Для упруго-вязкого и упругопластического тел упругие деформации связаны с действительными напряжениями о叮 законом Гука. Никакого различия между моделями EV° и EV* нет.
В случае последовательного действия механизмов Р м Е (рис. 92, а) соответствующее деформирование является только пластическим (модель соответствует упрочняющемуся жесткопластическому телу), поэтому этот механизм будем обозначать Ре. Здесь и в дальнейшем предполагается, что деформированные внутренние упругие элементы не в состоянии преодолеть сами по себе сил сопротивления пластических элементов.
d
Рассмотрим последовательное соединение механизмов У0, Е и У*, Е (рис. 92, @ е). Очевидно, что последовательное включение механизмов V0, Е приводит к силовой связи элементов: усилия в вязком и упругом элементах равны (тело Максвелла)^ а последовательное включение элементов V* и Е — к кинематической связи: перемещения вязкого и упругого элементов одинаковы (тело Фойхта). Очевидно, что модель V* Е соответствует параллельному включению элементов упругости Е и вязкости V0.
Отметим, что при силовой связи упругого и вязкого элементов последовательность их включения несущественна: модель EV° эквивалентна модели V°E. Однако в случае кинематической связи элементов V*, Е упругий элемент является внутренним (рис. 92, е), деформирование носит вязкий характер и соответствующую модель будем обозначать V*e.
Таким образом, при принятой индексировке большие буквы указывают на механизм, определяющий характер деформирования; внутренние механизмы, не меняющие характер деформирования, обозначаются соответственно малыми буквами.
Отметим, что в рассматриваемом случае деформирование может иметь характер упругий, вязкий, пластический, упруговязкий, упругопластический. Модель, состоящую из механизмов Р и V*, следует обозначать Pv*^ так как деформирование носит характер пластического и вязкий элемент V* является в данном случае внутренним. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно произвести разгрузку: полная деформация оказывается остаточной.
Очевидно, что модель 尸о° вполне эквивалентна модели Pv*, различие элементов V0, V* сказывается лишь при наличии последующих элементов упругости или пластичности.
Из изложенного ясен принцип индексировки моделей, например, моделей, изображенных на рис. 93. Их следует соответственно обозначить EV°p, V*ep, Pev° （или 尸е。*）, Pv*e, ЕPev*ере^ VGepev*ep.
ddeРис. 93eРис. 93
d
d
e
Рис. 93
e
Рис. 93
Для построения связи между тензорами напряжений。叮 и деформаций рассмотрим двумерные динамические модели. На рис. 94 показаны двумерные динамические модели, соответствующие одномерным моделям, приведенным на рис. 93.
Рассмотрим модель 尸е。*, изображенную на рис. 94, в. Обозначим внешние усилия, действующие на элемент пластичности, через Т“ 不, усилия в упругих пружинах — Si, S2, перемещения пластического элемента — через Qi,夕2, вязкого элемента — 丁1, 丁2.
Очевидно, что перемещение пластического элемента будет происходить, когда результирующие усилия достигнут некоторого предельного значения
(Т1 - &)2 + (丁2 - S2)2 =廿，k = const, (2.9.2)
где k — предел сухого трения (модуль силы сцепления).
Рис. 94Рис. 94
Рис. 94
Рис. 94
Приращение перемещения элемента пластичности происходит по направлению равнодействующей, т. е.
T.-S. = 丁2 - S2 •
Натяжения в упругих пружинах связаны с перемещениями соотношениями
Si = а ①-丁1), $2 = а(Q2 - 丁2),(2.9.4)
где а — коэффициент жесткости пружины. Наконец, перемещения вязкого элемента связаны с усилиями следующим образом:
Si=t|tS, S2=n 户 2・(2.9.5)
Соотношения (2.9.2)-(2.9.5) полностью определяют механическое поведение рассматриваемой модели.
При использовании динамических аналогий внешним усилиям Т% поставим в соответствие тензор действительных напряжений(5ij； усилиям в пружинах Si — тензор внутренних напряжений 5叮；перемещениям Qj — тензор действительных деформаций е^; перемещениям внутреннего элемента вязкости 丁£ — тензор внутренних скоростей перемещений 乂中
Припишем, как обычно, девиаторам соответствующих тензоров штрих наверху; будем считать для простоты материал несжимаемым (связь между первыми инвариантами может быть сформулирована независимо); более того, будем считать все тензоры внутренних деформаций девиаторами. Тогда, согласно (2.9.2), будем иметь
/(%•-%•)=瓦 k = const.(2.9.6)
Соотношение (2.9.3) соответствует ассоциированному закону течения:
Далее,
d%・=a (deij — dxij)(2.9.8)
и, наконец,
%• =(2.9.9)
Соотношения (2.9.6)-(2.9.9) полностью определяют свойства рассматриваемой модели Pev*.
На рис. 95, а изображена динамическая модель ЕРерере или, как ее
Рис. 95
удобно обозначать, ЕРе、р、е2P2,3・ Рассмотрим для нее определяющие соотношения. Для внешнего упругого элемента будем иметь
d% = ^d%・.(2.9.10)
Обозначим тензор внутренних напряжений, соответствующий элементу еп, через S?；), тензор внутренних деформаций, соответствующий перемещениям элемента рп, — через 需).Тогда запишем соответственно для элементов р,九 目2 предельные условия (функции нагружения) в виде
/(。£厂£?)=①屮1(穹一*))=自，屮2(第一 f?)=后.
(2.9.11) Соотношения связи между тензорами напряжений и деформаций определим из соотношений ассоциированного закона течения
e吟=欧誤,加？=如尚^,加？=期盡^ (2.9.12)
где dX, d九i, d九2 ——неопределенные множители. Для того чтобы тензоры деформаций были девиаторами, необходимо положить, что все условия пластичности не зависят от первых инвариантов соответствующих тензоров. В соотношениях (2.9.12) используется ассоциированный закон течения. Представления ассоциированного закона течения следуют из соображений экстремальности приращения работы напряжений на соответствующих приращениях деформации. Эти соображения использованы выше как для действительных, так и для внутренних напряжений и деформаций.
Дифференцирование в (2.9.12) ведется по первому из напряжений, хотя дифференцирование можно вести по суммарным напряжениям, (п)
так как если % не зависит от。叮，то
3зl骋)3(居.5片))
，
поэтому
际—а(。订-*))' 研—а 闖
Наконец, к соотношениям (2.9.10)—(2.9.12) следует присоединить условия, следующие из представлений об упругом характере внутренних связей, а именно
ds§)= ai(d 吟一加?)，
(2.9.13)(2.9.13)ds^ =a2(d^ -^),
(2.9.13)
(2.9.13)
d* =。3(加？ 一 d需)),
где ап — коэффициенты жесткости элементов еП5 в простейшем случае ап считаются константами материала.
Соотношения (2.9.11)-(2.9.13) полностью определяют свойства рассматриваемой модели ЕРе^р^ £2目2&3・ Отметим, что только компоненты полной деформации е^ связаны с перемещениями формулами Коши, остальным тензорам деформаций 吟，吟，£；), вообще говоря, перемещения в соответствие поставлены быть не могут. Уравнениям равно- 0(九)
весия удовлетворяет тензор(5ij^ остальные тензоры напряжении % уравнениям равновесия не удов л етворя ют. Тензоры 璃)，£；)играют роль внутренних тензорных параметров модели.
Аналогично рассмотрим модель EVeiv^e^v^e^^ изображенную на рис. 95, 6 Обозначим тензор внутренних скоростей деформаций, соответствующий скоростям перемещений элемента。九,через %!；)• Получим
(2.9.14)(2.9.14)^ijS ij 一 ^ij 5
(2.9.14)
(2.9.14)
/⑴«2)(1)/(2)/(3)(2)
Sij - Sij =^ij Sij - Sij ="2办/,
•/⑶⑵(2.9.15)•/⑶⑵(2.9.15)где г|, “九—коэффициенты вязкости элементов V, vn соответственно. К соотношениям (2.9.14) следует присоединить условия, определяющие напряжения, соответствующие натяжениям в элементах еп:
•/⑶⑵
(2.9.15)
•/⑶⑵
(2.9.15)
sij _ G]《订•一 ^ij ) , 5д—"2 (比Г
Соотношения (2.9.1), (2.9.10), (2.9.14), (2.9.15) полностью определя
ют свойства рассматриваемой модели.
Наконец, рассмотрим модель EVQeiv^e^v^e^. В этой модели напряжения во всех элементах одинаковы и равны ^ij. Элементы 石，V переставовочны, и в данном случае имеет место обычная модель вязкоупругого тела Максвелла с суммарными коэффициентами упругости и
вязкости.
Построение связи о” — е^ для сред, включающих в себя как составные части элементы пластичности, вязкости, упругости, не составляет трудностей, например, рассмотрим сложную модель ЕРe-[Vastpe^. Очевидно, что будут иметь место соотношения
/ (。订• 一 *•))=瓦 Ф (*') = k“ “£叮=de& + "吟，
d吟=击出心，d^ = d大言，女订•=d九i^y,(2.9.16)
鍔)_碟2)=▽"， 鍔)=a1 (嗡-f)， 碟2)= a2 (f -%力.
Соотношения (2.9.16) определяют свойства рассматриваемой модели.
Изложенный подход конструирования связи о叮一Qg является непосредственным обобщением подхода, развитого в теории трансляционного упрочнения. В данном случае не только основные, но и внутренние механизмы пластичности определяют свои поверхности нагружения в соответствующих пространствах напряжений, которые испытывают перенос в этих пространствах.
Случай, когда связь между отдельными элементами жесткая, интерпретируется как предельный, рассмотренный при стремлении соответствующих коэффициентов ап к нулю.
Нелинейные эффекты могут быть учтены, если положить, что величины 4九,г|П5 ап зависят от инвариантов соответствующих тензоров.
Зависимость между первыми инвариантами соответствующих тензоров может быть установлена независимо.
Не представляет труда воспользоваться для внутренних элементов кусочно линейными потенциалами.
Влияние вязкости на механическое поведениепластических сред
Рассмотрим обобщение модели анизотропного у проч ня ющегося пластического тела путем введения внутреннего элемента вязкости, который определяет релаксацию остаточных внутренних микронапряжений. Модель анизотропного упрочнения имеет индекс Ре, обобщенная модель — индекс PEv*. Соответствующая двумерная модель изображена на рис. 94, в.
Включение элементов вязкости в механическую модель материала делает его модельные соотношения зависящими от времени. Следовательно, механическое поведение материала становится различным при разных скоростях нагружения. Следует различать два предельных случая: скорость нагружения бесконечно мала; скорость нагружения бесконечно велика (мгновенное нагружение). При бесконечно медленном нагружении релаксационные процессы происходят в полной мере и элемент вязкости не сопротивляется усилиям. В этом случае рассматриваемая модель ведет себя как идеально пластическое тело. В случае, когда нагружение мгновенно, элемент вязкости ведет себя как жесткая связь. При этом рассматриваемая модель ведет себя как анизотропно упрочняющаяся пластическая среда. Аналогично материал ведет себя при сколь угодно малом или сколь угодно большом коэффициенте вязкости.
Отметим также, что с неограниченным ростом жесткости упругого элемента связь между элементами вязкости и пластичности становится жесткой и имеет место модель вязко-пластического тела (тело Шведова-Бингама).
Приведем исходные соотношения. Функцию нагружения запишем в виде
/(0订一5订)=0・(2.10.1)
Согласно (2.10.1) предельная поверхность смещается в пространстве напряжений как жесткое целое на величину, определяемую компонентами Sij. Отметим, что в пространстве активных напряжений 或( = =Gij — Sij поверхность нагружения фиксирована.
Предположим, что функция / является гладкой, тогда
Д^=о-”曲?； < 0.Д^=о-”曲?； < 0.Именно результирующие активные напряжения обусловливают пластическое деформирование, поэтому условие нагружения можно записать в виде
Д^=о-”曲?； < 0.
Д^=о-”曲?； < 0.
耿》0, / = о.
Условие разгрузки имеет вид
d九=0, / = 0,
Согласно (2.10.2) вектор приращений деформаций ортогонален поверхности нагружения как в пространстве действительных напряжений, так и в пространстве активных напряжений.
Предположим для простоты, что функция нагружения не зависит от первых инвариантов тензоров(5ij, s^. Тогда, согласно (2.10.2), величина dejj = 0. Далее положим
§€( —(£叮一^ij), §叮=1n比叮, Xjj — 0, ос — const. (2.10.3)
Рассмотрим некоторые свойства модели. Материал жесткопластический. Если вывести материал за предел пластичности и зафиксировать нагрузки, то будет иметь место процесс ползучести. В самом деле, в одномерном случае
О = 4 + S, S = ОС(£ + X), S = Г|Х.
При о = const 6 = 0. Значит, g + 比=0, откуда s = —s/г\ = const, е = —st/h + const.
Если материал вывести за предел пластичности, а затем разгрузить, то поверхность нагружения за счет релаксации внутренних напряжений Sij с течением времени будет стремиться занять исходное положение.
Рассмотрим случай нейтрального нагружения. Из (2.10.1) следует, что при этом
氤:(6"一*")=。。(2.10.4)
При нейтральном нагружении приращение пластических деформаций равно нулю: deij = 0, d2i = 0.
Из первого соотношения (2.10.3) для случаев нейтрального нагружения и разгрузки получим
&[j — —a%ij) ^ij =0.(2.10.5)
Из второго соотношения (2.10.3) и (2.10.5) найдем
откуда
%•=鸣 ехр (-》)，以叮=_*р (-乎)，(2.10.6)
где 鸣—внутренние напряжения в момент времени 力=0, отсчитываемый от начала разгрузки или нейтрального нагружения.
Согласно (2.10.6) при разгрузке или нейтральном нагружении скорости релаксации внутренних напряжений V% пропорциональны внутренним напряжениям 鸣 и имеют противоположный знак (тенденция к уменьшению). Согласно (2.10.4) в пространстве напряжений при нейтральном нагружении вектор о—s с компонентами 吃一6% ортогонален нормали п к мгновенной поверхности нагружения / = 0.
На рис. 96 изображена регулярная поверхность нагружения / = 0. В данной точке А к мгновенной поверхности нагружения проведена нормаль п и построен вектор —s, который лежит вне поверхности нагружения.
Вектор скорости изменений действительных напряжений 6 при нейтральном нагружении направлен внутрь поверхности нагружения, так что вектор о — s лежит в касательной плоскости к мгновенной поверхности нагружения / = 0.
Следовательно, в данной точке регулярной поверхности нагружения вследствие релаксации внутренних напряжений экспериментатор
может наблюдать эффект ^угловой тонкие на поверхности нагружения; приращение пластических деформаций может происходить и
в случае, когда вектор приращения напряжений направлен внутрь исходной поверхности нагружения.
Угол, образуемый вектором о с нормалью п, зависит, очевидно, от скорости нагружения. В случае мгновенного изменения напряжений |6|》|s| вектор о ортогонален вектору п. Чем меньше величина |о|, тем более явно выражен эффект «угловой точки».
В данном случае может наблюдаться эффект не только внутренней, но и внешней «угловой точки». В самом деле, если путем мгновенного изменения
рис девектора напряжений перейти из точки
А поверхности нагружения в точку В (соответственно создать предельное состояние пластического элемента на рис. 94, в путем изменения усилий 7^), то при этом векторы s, —s
сохранят свое первоначальное значение.
На замкнутой поверхности нагружения всегда найдутся такие точки, для которых вектор —s направлен внутрь поверхности нагружения. Тогда вектор о, соответствующий нейтральному нагружению, будет лежать, вообще говоря, вне мгновенной поверхности нагружения и образовывать острый угол с нормалью п в данной точке поверхности
нагружения.
Итак, эффекты релаксации внутренних остаточных напряжений Sij〉 вызванные наличием внутреннего механизма вязкости, обеспечивают возможность пластического деформирования, когда приращение вектора напряжений Долежит либо внутри, либо вне области, ограниченной поверхностью нагружения предыдущего состояния.
§11.0 влиянии внутреннего механизма вязкостина идеально пластическое поведение материала
Рассмотрим влияние внутреннего механизма вязкости на идеально пластическое поведение материала. Соответствующие механические схемы указаны на рис. 97, а, б. Схема, изображенная на рис. 97, а, предполагает непрерывность силовой связи между элементами сухого трения — включение элемента вязкости по типу Максвелла, на
рис. 97, б — непрерывность кинематической связи — включение элемента вязкости по типу Кельвина. Показано, что внутренний элемент вязкости в случае, изображенном на рис. 97, а, приводит к накоплению внутренних микродеформаций при течении идеально пластического материала с пределом текучести 厄+紘 Во втором случае (рис. 97, б) имеет место обычное вязкопластическое тело Бингама.
ааРис. 97Рис. 97бб
а
а
Рис. 97
Рис. 97
б
б
В обозначениях, предложенных в §9 гл. 2, материал, соответствующий схеме, изображенной на рис. 97, а, имеет индекс 尸о°р, на рис. 97, 6 — Pv*p.
Рассмотрим вначале модель Pv°p (рис. 97, а). Движение первого
элемента сухого трения начинается при достижении внешним усилием Т предельного значения 自.Если скорость движения первого элемента трения бесконечно мала, то элемент вязкости не оказывает
Рис. 98Рис. 98сопротивления и соответствующая модель ведет себя как идеально пластическое тело с пределом текучести 自(линия ab на рис. 98). При увеличении скорости движения возрастает сопротивление за счет вязкости и соответствующая модель ведет себя как вязкопластическое тело Бингама, пока внутренние усилия не будут способны привести в движение второй, внутренний элемент трения (линия ас
Рис. 98
Рис. 98
на рис. 98). При достаточно быстром нагружении включается внутрен
ний элемент трения и соответствующая модель ведет себя как идеально пластическое тело с пределом текучести 自+期(линия。他 на рис. 98). Итак, при бесконечно медленном нагружении рассматриваемая модель ведет себя как идеально пластическое тело с пределом текуче
сти к\, при мгновенном — как идеально пластическое тело с пределом текучести 厄+紘
Обозначим через о叮 тензор действительных напряжений,Sij — тензор внутренних напряжений, соответствующий усилию, передаваемому
посредством элемента вязкости на второй элемент трения.
Отмечая девиаторы соответствующих тензоров штрихом и считая, для простоты, материал несжимаемым, условие пластичности запишем в виде
(必一 ％•)(%•- %)=宅 厄=const, (2.11.1)
где k\ — предел текучести материала, соответствующий пределу сухого трения первого элемента трения.
Согласно ассоциированному закону течения
2г=九(必一心)，九=诚，E不丽，(2.11.2)
где £jj — тензор скорости пластической деформации.
Для внутреннего элемента пластичности, соответствующего второму элементу трения, будем иметь
< 碌 用2 = const.(2.11.3)
Обозначим через %叮 тензор скорости внутренних микродеформаций, соответствующий скорости перемещения второго элемента трения. Тогда, согласно (2.11.3) и ассоциированному закону течения, получим
Xij — ^sij ? H — ^ V^T^J-(2.11.4)
Соотношения, характеризующие механическое поведение элемента вязкости, запишем в виде (г| — коэффициент вязкости)
sij = ^ij^ SijSij < 碌(2.11.5)
s'ij = 11(心一 хъ),心心=修.(2.11.6)
В случае (2.11.5) имеем вязкопластическое тело Бингама.
Ниже рассмотрим случай, когда 哈 s% =碌 Поведение рассматриваемой модели описывается уравнениями (2.11.1)—(2.11.4), (2.11.6).
Исключая из уравнений (2.11.4) и (2.11.6) величину %切 находим
Sij =匚T帀旳=了旳，R* =蔦，％产"，аSij =匚T帀旳=了旳，R* =蔦，％产"，а(2.11.7)(2.11.7)
Sij =匚T帀旳=了旳，R* =蔦，％产"，а
Sij =匚T帀旳=了旳，R* =蔦，％产"，а
(2.11.7)
(2.11.7)
Поскольку |i ^ 0, то из последнего соотношения (2.11.7) имеем
(2.11.8)(2.11.8)Цу/^ij ^ij》用2・
(2.11.8)
(2.11.8)
Это соотношение, если имеет место строгое неравенство, определяет условие накапливания микродеформаций.
Если в (2.11.8) имеет место равенство, то ц = 0 и из (2.11.4) следует, что 九叮=0. Тогда из (2.11.1), (2.11.2) и (2.11.7) можно получить
必=卜* £ + ")旳'J《凡=厄+紋初
Если имеет место общее условие (2.11.8), то из (2.11.1), (2.11.2), (2.11.4) и (2.11.6) находим
ev =\必必=%+期)2.(2.11.9)
&十凡2
Следовательно, как отмечалось выше, согласно (2.11.9), при деформировании внутреннего элемента пластичности тело ведет себя как идеально пластическое с пределом текучести 厄+紘
В случае жесткой механической связи между элементами пластичности при г| —> оо, согласно (2.11.6), имеем с叮 =^ij-
При г| * 0 в теле, которое внешне ведет себя как идеально пластическое, н акапл и ваются внутренние микродеформации. Можно предположить, что рост микродеформаций ведет к разрушению материала. Критерий разрушения можно, например, ввести в форме
]yJXijXijdt '瓦 k = const •
Определим диссипативную функцию
О =《7f.⑵ 11.10)
При выполнении условия (2.11.8), согласно (2.11.10) и первому соотношению (2.11.9), диссипативная функция будет иметь вид
О = В*2(自 +期)・(2.11.11)
Если в (2.11.8) имеет место равенство, то из (2.11.11) следует, что
D = D* =用2(自 + 期)/n.
Таким образом, условие накапливания микродеформаций можно записать в виде D = D*.
Рассмотрим модель Pv*p (рис. 97, 6). В этом случае тензор внутренних напряжений, соответствующий усилию, действующему между первым (вторым) элементом трения и элементом вязкости, обозначим через Sjj(j)(соответственно ^叮⑵)。Тогда будем иметь
(2.11.12)(2.11.12)(%- - sij)^ij - s，ij)=普，^ij =九(吟一%),S工(1)§工(2) — ^2 5£Ъ' — RS%(2)‘S%(i) — S%(2) = ^ij •
(2.11.12)
(2.11.12)
Из ⑵ 11.12) получим
J《№ =厄 + A +r|R*2, 必= ,；£? +Т|) &ij・
Эти соотношения определяют вязкопластическое тело Бингама.
В качестве примера рассмотрим осесимметричное течение материала (р, 9 — полярные координаты)
。8 — Ор = V^ki + Г|(£е — £р).(2.11.13)
Пусть 〃 = 〃(р) — радиальная скорость, тогда
gp = d〃/dp, £е = 〃/р.(2.11.14)
Из уравнения несжимаемости следует
и = с/р, с = о(%)・(2.11.15)
Из ⑵ 11.13)-⑵ 11.15) получим
。8 — Ор = V^ki + 2rl 刍.(2.11.16)
P
Тогда уравнение равновесия примет вид
案=*2哈⑵11.17)
Интегрируя уравнение (2.11.17), находим
Ор = д/2^1 In р — г|-^- + А, 4 = 4(力)・(2.11.18)
р
Из ⑵ 11.16) имеем
Ор =，^自(In Р + 1) ++ 4
Учитывая, что 牛 = —р при р = а ц。「= 0 при р = 6 (а — внутренний, 6 — внешний радиус трубы), из (2.11.18) находим
При увеличении внутреннего давления 目 возникает пластическая зона, в которой
例-Ор =，^隔 + А), Ор =，^隔 + A) In Е - 0・
Диссипация энергии
D = Ор£р + ое£е =(例-ор)£е.
В зоне вязкопластического течения имеет место соотношение (2.11.16), поэтому
D=(伍1+2点)}.D=(伍1+2点)}.(2.11.19)(2.11.19)
D=(伍1+2点)}.
D=(伍1+2点)}.
(2.11.19)
(2.11.19)
На границе раздела вязкой и пластической зон
D = О*.D = О*.⑵ 11.20)
D = О*.
D = О*.
Из (2.11.19) и (2.11.20) следует уравнение для определения радиуса границы между вязкой и пластической зонами.
Очевидно, что при
д/^1 1п(Ь/а) < р < д/^(41 + А) 1п(6/。)
существуют вязкая и пластическая зоны, а при
0 = V2(ki + A) ln(b/。)
только пластическая.
Уравнения деформирования не вполнеупругих и вязкопластических тел
Механические свойства реальных тел весьма разнообразны. Наряду с в достаточной мере упругими — встречаются тела, почти лишенные этого свойства (пластические тела). Напряженное состояние некоторых из них в значительной степени зависит от скорости деформирования (вязкопластические тела). В ряде случаев последние обладают свойством заметным образом изменять напряженное состояние при постоянной деформации (свойство релаксации), а также изменять деформированное состояние при постоянном напряжении (свойство последействия).
Многие тела ведут себя как упругие при достаточно малых деформациях и как пластические — при больших деформациях.
Весьма часто явления релаксации и последействия, известные под общим названием наследственности, наблюдаются у тел, которые при быстром деформировании неотличимы от вполне упругих. Эти же явления могут проявляться при пластическом деформировании и быть почти незаметными при упругом.
При монотонном увеличении пластической деформации, сопровождающейся возрастанием напряжения (явление упрочнения), наблюдается повышение предела упругости при повторном деформировании (наклеп). Например, при растяжении увеличивается значение напряжения, являющегося верхним пределом для чисто упругих деформаций (повышение предела упругости).
Совместное математическое описание всех механических свойств тел, разумеется, невозможно. В каждом отдельном случае это составляет предмет соответствующих дисциплин, например математической теории упругости, теории пластичности, теории наследственности. При построении этих дисциплин принимается та или иная идеализация свойств тела. Так, в математической теории упругости тела считаются абсолютно упругими при любых значениях напряжений, развивающихся внутри тела, а в классической теории пластичности (теории Сен-Венана [242]) максимальное касательное напряжение принимается постоянным при любой возрастающей или убывающей деформации.
Характер внутренней структуры тел обычно не имеет значения для построения упомянутых дисциплин. Оказывается вполне достаточным представление тела в виде некоторого континуума, наделенного теми или иными механическими свойствами, проявляющимися при простейших экспериментах над телом, например при растяжении и всестороннем сжатии.
Большие трудности обычно представляет переход от законов, характеризующих одномерные явления, к законам, описывающим механические явления пространственного характера. Это имело место, например, при построении уравнений пространственной задачи пластичности. То же в еще большей степени относится к теориям, делающим попытку совместного математического описания нескольких механических свойств одного и того же тела.
Простейшими законами, которым подчиняется деформирование реальных тел, являются те, которые выражаются линейными соотношениями между характерными переменными деформации, как-то: напряжением, деформацией и их производными по времени. Реальные тела, вообще говоря, не подчиняются таким линейным законам. Тем не менее надлежащим образом используя линейные законы, можно построить идеализированные тела, механические свойства которых имеют тот же качественный характер, что и у реальных тел. При помощи соображений, основанных на применении статистики, можно пытаться в достаточной мере точно передать и кол и ч ествен н ы е соотношения (см. [169]).
Ниже излагаются законы простейшего одномерного деформирования идеализированного тела, обладающего, наряду со свойством упругости, также и другими механическими свойствами, а именно вязкостью, пластичностью (с упрочнением), релаксацией и поеледействием. Абсолютная упругость, идеальная пластичность, вязкопластичность, наследственная упругость простейшего типа являются частными случаями таких свойств.
1°. Остановимся сначала на связи между напряжением и деформацией не вполне упругого или вязкоупругого тела без пластических свойств. Для выражения закона, которому подчиняется деформирование упругих тел, достаточно иметь зависимость между их деформациями и значениями сил (нагрузок), производящих эту деформацию. Но этого недостаточно для описания процесса деформирования не вполне упругих тел, где существенную роль играют также скорости изменения нагрузок и деформаций.
Если имеет место простое растяжение не вполне упругого бруса, растягиваемого напряжением о, то характерными величинами для процесса деформирования являются, как правило, помимо напряжения о и относительного удлинения £, также и скорости их изменения do/d力 и dc/d 力.Примем, что перечисленные величины удов летворяют некоторому соотношению / (о, £, do/dt^ de/dt^ t) = 0, выражающему закон деформирования не вполне упругого тела. В это соотношение может входить явно и время 力 так как с течением времени свойства тел могут меняться (например, по мере повышения температуры тела).
Простейшей зависимостью такого типа является, очевидно, линейная зависимость, не содержащая времени t в явном виде, т. е.
。1 石 +。2° + ^3 — + сцс = 0, (2.12.1)
где。1 —。4 — физические константы тела [231]. Свободный член в этой линейной зависимости должен отсутствовать, если принять, что деформации не было до начала действия сил на тело. В дальнейшем будет также показано, что константы 网 и。4 непременно отрицательны, причем всегда g/ai >04/03.
К этой же линейной зависимости можно прийти, допуская разложимость функции / (о, £, do I dt、dc/d 力)в ряд Маклорена и ограничиваясь лишь первыми членами разложения, считая / (0, 0, 0, 0) = 0.
2°. Построим модель не вполне упругого тела, подчиняющегося при деформации простейшему закону (2.12.1). Представим себе (рис. 99, а) пружину жесткости 6, соединенную последовательно с комбинацией пружины жесткости с и поршня, движущегося в цилиндрическом сосуде с вязкой жидкостью. Если к свободному концу первой пружины
приложить силу о, а сосуд с вязкой жидкостью вместе со свободным концом второй пружины закрепить, то удлинение £ всей конструкции составится из удлинения 门=o/b первой пружины и удлинения второй пружины £2 = 02/с, где 02 — сила, растягивающая вторую пружину. При перемещении поршня в вязкой жидкости возникает сила сопротивления этому перемещению [id^/dt, где d^/dt — скорость движения поршня, а ц— коэффициент, связанный с вязкостью жидкости и размерами сосуда и поршня.
Рис. 99Рис. 99
Рис. 99
Рис. 99
Если пренебречь инерционным эффектом пружин и поршня, то,
(2.12.2)(2.12.2)очевидно,
(2.12.2)
(2.12.2)
° = °2+Е
С другой стороны,
。2с。2со= 出=2一斤о= 出=2一斤de? _ de 1 dodt dt b dtde? _ de 1 dodt dt b dt(2.12.3)(2.12.3)
。2
с
。2
с
о
= 出=2一斤
о
= 出=2一斤
de? _ de 1 dodt dt b dt
de? _ de 1 dodt dt b dt
(2.12.3)
(2.12.3)
Подставляя эти выражения в предыдущее соотношение, получаем
1 do、 石瓦丿1 do、 石瓦丿(2.12.4)(2.12.4)
1 do、 石瓦丿
1 do、 石瓦丿
(2.12.4)
(2.12.4)
или, после упрощения.
(2.12.5)(2.12.5)do , b + с , ds , be瓦 + 丁0 = 6 就+ 口％
(2.12.5)
(2.12.5)
что совпадает с выражением (2.12.1), если соответственно изменить обозначения.
Теперь легко представить себе, что будет происходить с бруском из не вполне упругого материала при нагрузке его достаточно быстро возрастающей до значения о】 растягивающей силой, остающейся затем постоянной. Для этого обратимся к модели. При быстром приложении
силы верхняя пружина тотчас же растянется на величину 门 = 仃/仇 растяжение же второй пружины будет происходить постепенно благодаря демпфирующему действию поршня. Спустя достаточно большое время растянется и вторая пружина на 霞 =。1/。，так что общая деформация модели составит
с =门 + % = °2・ (2.12.6)
При быстром снятии о =。1 сейчас же исчезнет упругая деформация первой пружины, т. е.门；деформация же второй пружины £2 вследствие
На рис. 100 схематически изображены соответствующие графики силы о и деформации £ как функции времени. Описанное явление — запаздывание образования деформации при действии на брус растягивающей силы — называется упругим поеледействием.
Если модель из исходного состояния внезапно растянуть, создав деформацию £ = £1, и затем закрепить, то сначала нагруженной окажется лишь первая пружина, и растягивающая ее сила окажется, очевидно, равной 匕门.Вторая же пружина из-за наличия поршня станет растягиваться не сразу. По мере ее растяжения первая пружина начнет несколько сокращаться, следовательно, усилие, возникшее в модели, будет падать. После достаточно большого промежутка времени обе пружины окажутся нагруженными одной и той же силой о, которую можно определить из соотношения (2.12.5), полагая в нем £ = =£i, dc/d力=O,do/d力=0. Если теперь модели быстро придать первоначальную длину ® = 0), то в первое мгновение вторая (внутренняя)
пружина останется по-прежнему растянутой, а первая (внешняя) окажется сжатой; следовательно, вся модель будет внезапно нагружена сжимающей нагрузкой. Затем, с течением времени первая и вторая пружины примут первоначальную длину и модель придет в разгруженное состояние.
На рис. 101 схематически изображены соответствующие графики деформации и нагрузки модели. Уменьшение с течением времени усилия, возни кающего в модели (ее внешней пружине) при постоянной деформации, называется релаксацией.
3°. Все описанные выше явления легко могут быть изучены математически решением дифференциального уравнения модели (2.12.5).
Предположим, например, что в течение весьма малого промежутка времени 工 сила о изменяется от начального значения о。“о о, а деформация £ соответственно от имевшего место значения £о до некоторого подлежащего определению значения 白.
Проинтегрировав левую и правую части дифференциального уравнения в пределах от 力=0 “о 力=% получим
01 一00 + ] —-0(力)dt = b ® - Eo) + ] —2 (%)dt. (2.12.7) о о
Так как выражения, стоящие под знаком интеграла в правой и левой частях равенства, ограничены, то значения обоих интегралов тем меньше, чем меньше промежуток времени 工 изменения величины о и соответственно £. Считая этот промежуток бесконечно малым, получим
О1 - Оо = 6(£1 - £0), (2.12.8)
т. е. при очень быстрых перепадах нагрузки деформация изменяется пропорционально этим перепадам. Очевидно обратное предположение: при быстрых деформациях модели возникающее в ней дополнительное усилие пропорционально изменению деформации. Так как коэффициентом пропорциональности служит величина 6, то это явление, очевидно, происходит за счет деформирования одной первой внешней пружины.
Пусть к модели, находившейся в произвольном состоянии, приложена постоянная сила о。и в некоторое мгновение t = +0 деформация пружины составляла величину с。. Так как для этого случая при 力〉0 do/d力=0, то имеем
8否+ 口2= 丁05 ⑵ 12.9)
откуда, интегрируя получающееся для величины £ линейное дифференциальное уравнение, найдем
8 —(不 + 工)0о+ 4 exp (-%)，⑵ 12.10)
где А — константа интегрирования. При 力=(k = g。，следовательно,
2。= (； + ；)0。+ 4(2.12.11)
и, окончательно,
—6 ++ £。— 6 +•⑵ 12.12)
Из рассмотрения этого выражения следует, что деформация модели при действии постоянной силы о。с течением времени стремится к (6 + с) оо/(^с)5 независимо от ее первоначального значения £о- Это стремление будет тем энергичнее, чем больше величина п = с/ц, которую естественно назвать коэффициентом интенсивности последействия.
Пусть, наконец, модель также из любого состояния подвергнута растяжению или сжатию, после чего закреплена так, что деформация ее составляет постоянную величину g = с。. Тогда в модели разовьется некоторое усилие о, которое будет изменяться с течением времени (релаксация). Обозначим через о。значение этого усилия в мгновение t = +0; тогда, замечая, что теперь d£,/dt = 0, получим для определения усилия о дифференциальное уравнение
瓦+ 丁0=口2。⑵ 12.13)
с начальным условием о = о。в мгновение 力=0.
Интегрируя его, получим
о = ь ： с。+ В ехр b + ° 力),(2.12.14)
причем константа интегрирования В определится из условия о = о。 при 力=0, т. е.
°о°о=^2。+ Во + с=^2。+ Во + с⑵12.15)⑵12.15)
°о
°о
=^2。+ Во + с
=^2。+ Во + с
⑵12.15)
⑵12.15)
Следовательно,
6с0=2。+6с0=2。+°0- КТ7е°) ехр (-审力).°0- КТ7е°) ехр (-审力).⑵12.16)⑵12.16)
6с
0=2。+
6с
0=2。+
°0- КТ7е°) ехр (-审力).
°0- КТ7е°) ехр (-审力).
⑵12.16)
⑵12.16)
6с6сТаким образом, усилие о в модели, поддерживаемой в постоянном
6с
6с
завизавидеформированном состоянии, стремится к значению
зави
зави
сящему от начальных условий процесса. Это стремление будет тем ин
тенсивнее, чем больше величина г = (Ь -\- с)/^ которую можно назвать коэффициентом интенсивности релаксации (обратная величина Т = =1/г называется обычно периодом релаксации; она имеет размерность времени).
Приведенные математические рассуждения находятся в полном согласии с описанными выше явлениями, схематически изображенными
на рис. 100 и 101. В них как раз и происходит либо почти внезапное приложение нагрузки, либо весьма быстрое изменение деформации,
после чего сохраняется постоянное действие силы или поддержание постоянной деформации растягиваемого или сжимаемого бруса из не
вполне упругого материала.
Возвращаясь теперь к закону (2.12.5) деформации не вполне упругого стержня, замечаем, что этот закон можно представить в виде
⑵12.17)⑵12.17)⑵12.18)⑵12.18)w+6九7atat
⑵12.17)
⑵12.17)
⑵12.18)
⑵12.18)
введя непосредственно физические константы
丁 = (6 + с)/|1, n = c/|l,
т. e. соответственно коэффициенты интенсивности релаксации напряжений г и упругого последействия п. Константа 6 является модулем упругости при быстрых деформированиях стержня. Жесткости с второй (внутренней) пружины модели соответствует Ьп/(г — п), а коэффициенту вязкости ц — Ь/(г — п), в чем легко убедиться, решая соотношения (2.12.18) относительно с и ц.
Как следствие отметим, что скорость релаксации г должна быть больше скорости последействия. Иначе вязкость ц соответствующей модели стала бы отрицательной, а материал стержня — способным генерировать энергию.
Предельными случаями линейной зависимости (2.12.17) являются тела, деформирование которых подчиняется соотношениям
bdt = dt+r^ 吁贫 + 乩步 ⑵ 12.19)
Первое из них, получающееся из (2.12.17) при 几 = 0, было предложено еще Максвеллом [234]. Тело, подчиняющееся закону Максвелла, обладает свойством релаксации, но лишено последействия. Ему соответствует модель без внутренней пружины, изображенная на рис. 99, б.
Второе соотношение (2.12.19) было использовано Томпсоном [243] для описания явления последействия (рис. 99, в). Закон Томпсона получается из (2.12.17) в результате предельного перехода г —> оо, 6 —> —> оо при условии b/г = ц, где ц — ограниченная величина, имеющая размерность коэффициента вязкости. Явление релаксации не имеет места в телах, подчиняющихся этому закону, ибо при постоянном значении деформации £ немедленно получаем о = ос = const, где с — по-прежнему жесткость внутренней пружины.
Соотношения (2.12.19) были использованы автором для построения теории трения качения [158].
Заметим, что закон деформирования типа вязкой жидкости
о = |1о = |1de dtde dt⑵ 12.20)⑵ 12.20)
о = |1
о = |1
de dt
de dt
⑵ 12.20)
⑵ 12.20)
Рис. 102Рис. 102
Рис. 102
Рис. 102
также можно рассматривать как предельный случай линейной наследственности (см. рис. 99, в при о = 0, т. е. без пружины).
4°. Обобщение закона не вполне упругого растяжения-сжатия стержня на другие виды деформации вполне возможно. Ограничимся здесь, однако, лишь элементарной теорией изгиба бруса.
Будем считать, так же, как это делается в теории сопротивления
материалов, нормальные сечения бруса плоскими в течение всего вре
мени деформирования, а нормальные напряжения, развивающиеся по
сечению, подчиняющимися закону (2.12.17), где £ — относительное
удлинение волокон бруса.
Если изгибающая пара с моментом М действует в плоскости симметрии бруса, то его изгиб будет происходить в той же плоскости. При этом относительное удлинение £ волокон, находящихся на расстоянии у от нижнего волокна бруса АВ (рис. 102), представится формулой
с = с。+ >tg, (2.12.21) где £о — деформация нижнего волокна и х — его кривизна.
Действительно, до деформации длина нижнего волокна АВ была рав-
на длине волокна СD)удаленного на расстояние у от нижнего волокна (или, точнее, от плоскости, проходящей через нижнее волокно перпендикулярно плоскости симметрии). После деформации крайние сечения элемента бруса повернутся друг относительно друга на некоторый угол
△а, оставаясь при этом плоскими по предположению. Длины волокон будут теперь уже другими и составят соответственно величины А!В1 и СП
Очевидно, что с точностью до малых высших порядков имеет место соотношение
。力 < с。— С。— ае) + (ае —厶石)—Аа
2 — -CD - -- yaB + з
а так как △а/45 = х есть кривизна нижнего волокна, то приведенная выше формула (2.12.21) оправдана.
Легко теперь показать, что нейтральный слой пройдет через центр тяжести сечения, если на брус не действуют продольные силы. Действительно, в этом случае в течение всего процесса изгиба
odR = О,odR = О,⑵ 12.23)
odR = О,
odR = О,
⑵ 12.24)⑵ 12.25)⑵ 12.26)⑵ 12.24)⑵ 12.25)⑵ 12.26)где двойной интеграл распространен по всей площади поперечного сечения бруса F, причем напряжение о является функцией координат точек сечения и времени. Так как интеграл в течение всего времени изгибания бруса равен нулю, то
⑵ 12.24)
⑵ 12.25)
⑵ 12.26)
⑵ 12.24)
⑵ 12.25)
⑵ 12.26)
и, следовательно,
鳩+少=。.
Далее, учитывая (2.12.17), получаем
Подставляя сюда выражения (2.12.21) для £, имеем
dR+dR+⑵ 12.27)⑵ 12.27)
dR+
dR+
⑵ 12.27)
⑵ 12.27)
так как ①)d%/dt/ и dx/dt — постоянные по отношению к процессу интегрирования по площади и зависят лишь от времени.
Замечая, что
⑵ 12.28)⑵ 12.28)JJgdR = Fy。
⑵ 12.28)
⑵ 12.28)
где ус — расстояние до центра тяжести, получим, производя сокращения:
魯 + %ус + 几(£。+ ^Ус) = 0,⑵ 12.29)
где £о + му с = £с представляет собой относительное удлинение волокна, лежащего в слое, проходящем через центр тяжести сечения. Следовательно, d£c/dt + тс = 0 и £с стремится к нулю при любых исходных данных. В частности, если в начальное мгновение имело место равенство £с = 0, то оно сохранится и в дальнейшем.
Таким образом, можно считать, что нейтральный слой при поперечном изгибе не вполне упругого стержня проходит через центр тяжести сечения. Чтобы подсчитать изгибающий момент в каком-либо сечении, достаточно вычислить интеграл
М = yadF.(2.12.30)
При этом изгибающий момент 7И, помимо зависимости от координат сечения бруса, окажется также и функцией времени, причем
需叩瓢(2.12.31)
Если составить выражение
需+Г山尸，⑵12.32)
то, подставляя сюда Зо/З力 + то = Ьдг/dt + bm и замечая, что £ = £()+ + ?/х и 9е/dt = Асо/dt ^ удх/d力 получим
謂 +「^ =(嘿 + bn^^ydF+^ + 阮明］y^dF.
⑵ 12.33)
Так как, согласно соотношению (2.12.29), имеем
9ео/dt + П£0 + (dx/dt + пх) ус = 0, то
嘗 +=(礫 + 阮比)(/о - /с),⑵ 12.34)
где /о — момент инерции площади сечения относительно оси, проходящей через нижнее волокно.
Выражение /о — Fy^ = / представляет собой момент инерции площади сечения относительно центральной оси, расположенной в нейтральном слое сечения.
Окончательно имеем следующую зависимость между изгибающим моментом и кривизной нейтрального слоя волокон стержня:
* += /6 (嘗 + 物).⑵ 12.35)
При малых деформациях можно принять, как и в теории сопротивления материалов,
比=(2.12.36) ox
где w — смещение сечения в направлении, нормальном к недеформиро- ванной оси балки, принятой за ось х. При этом можно развить теорию интегрирования упругой линии стержня, аналогичную в ряде случаев обычной теории сопротивления материалов.
5°. Ограничимся рассмотрением простейшего примера изгиба балки из не вполне упругого материала, лежащей на двух опорах и нагруженной посередине переменным грузом 尸=尸(力).Из условий w = 0 при х = 0 и х = I следует, что в тех же точках выражение
W =^ + nw = 0.(2.12.37)
Точно так же можно показать, что посередине балки, т. е. при ж = = 2/2, имеет место dW/дх = 0.
Далее, изгибающий момент в каком-либо сечении левой половины балки представляется формулой
М = PxR(2.12.38)
⑵ 12.39)⑵ 12.40)⑵ 12.41)⑵ 12.39)⑵ 12.40)⑵ 12.41)и, следовательно, дМ _ 1 "
⑵ 12.39)
⑵ 12.40)
⑵ 12.41)
⑵ 12.39)
⑵ 12.40)
⑵ 12.41)
Таким образом, получаем
дМ , “1 I С
—h rM = - ———h rP x.
dt2 \dt 丿
Если ввести обозначения
то, как нетрудно видеть,
Замечая теперь, чтоЗамечая теперь, что
Замечая теперь, что
Замечая теперь, что
=〃篇 + 阮/忆 (2.12.43) получим, согласно дифференциальному уравнению изгиба бруса (2.12.35), соотношение
"嘗=；Qc(2.12.44)
для левой половины балки и
〃* = ；QD(2.12.45)
—для правой.
Эти соотношения по виду ничем не отличаются от обычных уравнений сопротивления материалов для данного случая нагружения балки, если только вместо прогиба w подставить функцию W — результат действия на него дифференциального оператора {д/dt + г), и вместо силы 尸，вызывающей изгиб, аналогичную функцию Q. Так как и граничные условия остаются точно такими же, как и при изгибе упругого стержня в теории сопротивления материалов, то, интегрируя получившиеся дифференциальные уравнения, найдем следующее значение W в середине балки (т. е. при ж = Z/2):
(2.12.46)
Подставляя сюда значения W ^ Q^ получим соотношение между прогибом в середине балки из не вполне упругого материала / и силой 尸，вызывающей этот прогиб, в виде
Это соотношение аналогично закону (2.12.17), выражающему связь между напряжением и деформацией при простом растяжении.
Максимальное напряжение при изгибе определяется по обычным формулам сопротивления материалов. Действительно, из гипотезы плоских сечений следует £ = £о + 比У, где £о — деформация нижнего волокна, а из условия прохождения нейтрального слоя через центр тяжести — равенство 0 = с。+ х%.
Исключая из обоих равенств с。，имеем
& = м(у — Ус), || =嘗 3一％)，⑵ 12.48)
^ + то = b (у — у。)(嘗 + 物).⑵ 12.49)
Так как при 力=0 балка была не нагружена и, следовательно, имело место о = 0, то интеграл этого уравнения, как легко проверить, имеет вид
о = £-"] е”6 (沙 一 Ус)(嘗 + 几比)dt.⑵ 12.50)
о
Отсюда вытекает, что напряжения меняются по линейному закону, обращаясь в нуль в нейтральном слое, как и в обычной теории сопротивления материалов. Таким образом, остается справедливой формула о =牛 3 - ％),(2.12.51)
где у—у© — расстояние рассматриваемого слоя волокон от нейтрального слоя, a М — изгибающий момент.
6°. Покажем, что зависимость (2.12.17) представляет собой частный случай интегральной зависимости Больцмана-Вольтерра [222, 244]
儿⑴=о(%)+ ср(Z, т)о (т) di,(2.12.52)
о(%) =儿⑴一]\|/(Z,т)6е(т) di
при соответствующем выборе ядра (функции наследственности) ср(Z, т) или ее резольвенты 屮(力工). Действительно, считая one функциями времени, соотношение (2.12.17) можно представить в виде
⑵ 12.53) откуда
左⑴=宀｛0+ ] e^学1 + Ю办｝.⑵12.54)
Наличие здесь множителя ет позволяет назначить интегралу, стоящему в правой части равенства, пределы —оо и t. Далее,
ет^Д^ = ето(т)Г - f пеп^ (т) di (2.12.55) и, таким образом, имеем
儿⑴= Се—⑴ + ] (r-n)e~n^o^) di. ⑵ 12.56)
Константу С следует положить равной нулю, так как one при t —>
—> —оо стремятся к нулю (естественное состояние тела).
В результате получаем интегральное соотношение
二 о(%)+ j (г — п)е~п^~^о (т) di,⑵ 12.57)
в котором ядро — функция наследственности — имеет вид
Ф (%") = (< — п) ехр [—п (力—т)] .(2.12.58)
Точно так же можно было бы получить
о(%) =儿⑴ + ] \|/(Z, т) 6е (т) di,⑵ 12.59)
где функция
屮(Z, т) = — (г — n) exp [—n (t — t)](2.12.60)
является резольвентой ядра (2.12.58).
Нетрудно убедиться, что и обратно, всякое интегральное уравнение Вольтерра
儿⑴=o(%)+ J ср (Z, t)o (t) di(2.12.61)
с ядром вида
A exp [—oc (t — t)](2.12.62)
дифференцированием может быть сведено к дифференциальному соотношению между он% включающему о, £, dc/dt и ds/dt в линейной комбинации.
Заметим, что ядра такого типа дают плохое соответствие теоретических кривых экспериментальным данным. Поэтому на предлагаемый закон следует смотреть как на описывающий явление, в основном, качественно. Однако, как уже упоминалось выше, представляя стержень из не вполне упругого материала состоящим как бы из нитей со статическим распределением констант 6, г и п, можно добиться получения ядра наследственности ср(Z, т), удовлетворительно согласующегося с экспериментальными данными [169].
В отношении уравнений Больцмана-Вольтерра (2.12.52), а также и соотношения (2.12.17), может быть сделан упрек в том, что они не описывают чисто упругих явлений, которые почти всегда имеют место при напряжениях, не превышающих предела упругости, равно как и явления упрочнения и наклепа, наблюдаемого в металлах. Это обстоя тел ьство, как будет показано, может быть учтено дальнейшим обобщением соотношения (2.12.17) для описания деформирования уже упруговязкопластического тела.
7°. Примем теперь, что наше тело при весьма медленном растяжении (или сжатии) из естественного состояния вначале имеет чисто упругую деформацию £ = o/石，пока напряжение о, растягивающее или сжимающее тело, не достигнет по модулю некоторого характерного для данного материала значения о$ (пластической постоянной). Затем деформация становится пластической и изменяется, если пока ограничиться растяжением, по линейному закону
£= ^ + ；(о-3), ⑵ 12.63)
или
Е — h о = а + 旋,а = ———(2.12.64)
Здесь и выше Е — модуль упругости и h < Е — модуль упрочнения материала. Заметим, что именно таким же образом деформ и руется у пругопл асти ческое тело с линейным упрочнением, рассмотренное в [165]. Поэтому последующее изложение вопросов весьма медленного деформирования у пруговя зкопл асти ч еского тела кратко воспроизводит содержание законов одномерной деформации у пру гопл асти ческого тела с линейным упрочнением, данное в [165]. Это необходимо для ясного понимания законов поведения упруговязкопластических тел в тех случаях, когда учет скорости деформирования уже существенен.
Напомним, что диаграмма растяжения у пру гопл асти ческого тела в координатах (% о) имеет вид ломаной О АВ (рис. 103), причем участок О А соответствует упругой деформации £ = o/石，пока о，о$,
а участок АВ — линейному упрочнению. Здесь o = a + /i£〉Osiia = =о$ (石—Л) / Е.
При коэффициенте упрочнения Л, равном нулю, получим известную диаграмму Прандтля (рис. 104) для идеального у пругопл асти ческого тела.
Рис. 103Рис. 104
Пусть напряжение о при медленном растяжении материала достигнет некоторого значения о7 > os и затем монотонно убывает (см. рис. 103). Примем, что при этом деформация будет уменьшаться по закону упругой разгрузки
(г7 - г) = (/ — о)/团(2.12.65)
где У — то значение деформации, которое было достигнуто при напряжении с/.
При полной разгрузке, т. е. при о = 0, имеет место остаточная деформация £°. Для ее значения нетрудно получить формулу
г° = J —//Е.(2.12.66)
Если после полной разгрузки напряжение о начнет вновь возрастать, то деформация будет увеличиваться по закону (2.12.65), т. е. как бы упруго, пока ее значение не станет равным У. Далее опять начнут развиваться пластические деформации по закону (2.12.63) и роль нового предела текучести станет играть напряжение с/〉о$. Тем самым описывается известное явление наклепа, т. е. повышение предела текучести упругопластического тела с упрочнением при предварительном его растяжении напряжением, большим о$ (см. рис. 103).
При 九=0, т. е. в случае у пру гопл асти ческого тела без упрочнения, явление наклепа, разумеется, отсутствует и дальнейшая пластическая деформация развивается так, как показано на рис. 104.
При дальнейшем изменении напряжения о после полной разгрузки в сторону отрицательных значений (рис. 105) будем считать, что деформация £ уменьшается по тому же закону упругой разгрузки (2.12.65), пока напряжение в случае упругопластического тела с упрочнением не
достигнет значения о" = — (2о$ — о') < 0 (считая для определенности с/ < 2о$). При последующем весьма медленном монотонном уменьшении напряжения примем, что деформация изменяется уже по новому закону
e —-君 + 不(° +06)5 ⑵ 12.67)
или, что то же, о = —а + Ле, т. е. вновь становится пластической (рис. 106). Здесь а = (Е — h) gs/Е.
Наконец, если после достижения некоторого значения d" < o/z < 0 напряжение опять начнет возрастать, то деформация будет увеличиваться следуя соотношению типа упругой разгрузки:
■ = К(о-/〃)， ⑵ 12.68)
где с/〃 = —а + %/〃，пока разность о — с/〃 не превысит значения 2о$. Далее изменение будет происходить, вновь следуя закону пластических деформаций при наличии линейного упрочнения о = а + Ле. Новым пределом текучести теперь окажется напряжение о'〃 + 2о$.
На рис. 107 показана диаграмма медленного деформирования упруговязкопластического тела при увеличении напряжения от нуля до значения о7 > os с последующим уменьшением до значения с/〃 =— —о7 и увеличением вновь от значения с/〃 до с/ («петля гистерезиса»).
Прямые о = 士а + 旋 ограничивают, таким образом, область совместных для тела напряжения о и деформации £ при весьма медленном деформировании (рис. 108).
Если точка Д, изображающая совместное значение величин он% находится внутри этой области, то изменение напряжения do и соответствующее изменение деформации de связаны равенством
do=E 盛. (2.12.69)
Если же точка А находится на верхней прямой (о = +а + Ле), то do = hds при de〉0 и do = Eds при de < 0. Для точек А нижней границы (о = —а + Ле), напротив, do = hds, когда de < 0 и do = Ede при de〉0 (см. также [165]).
Приведенные выше соотношения включают свойство повышения предела упругости при повторном растяжении (наклеп, рис. 103) и свойство понижения предела упругости при сжатии, если имело место предварительное растяжение за предел упругой деформации (так называемый эффект Баушингера, рис. 106 и 107).
8°. При сравнительно больших скоростях деформирования тела примем, что соотношение
do = Ed% или о = Ес + const, (2.12.70)
сохраняется для совместных значений величин он% соответствующих внутренним точкам области, ограниченной прямыми о = 士а + Ле.
Кроме того, будем считать, что равенство do = Eds также справедливо и для точек верхней границы (о = а + Ле) при условии do < 0, и для точек нижней границы (о = —а + Ле), если do > 0.
В упомянутых случаях скорости изменения напряжения и деформации do/d力 и dc/d力 не играют роли при деформировании тела и деформация имеет чисто упругий характер.
Напротив, при нарастании пластических деформаций того или иного знака примем, что имеет место дифференциальное соотношение
⑵ 12.71)⑵ 12.71)* + то =+ 6пе + 屮,
⑵ 12.71)
⑵ 12.71)
atat
где 丁, b, rz и 屮一характерные для данного тела константы. Так как это соотношение должно остаться справедливым и для весьма медленно растущих пластических деформаций, то, сравнивая его с соотношениями о = 士а + Ле, получаем, что
Л = bn/г и 屮=士 та.Л = bn/г и 屮=士 та.(2.12.72)(2.12.72)
Л = bn/г и 屮=士 та.
Л = bn/г и 屮=士 та.
(2.12.72)
(2.12.72)
При этом знак плюс относится к точкам (е, о), расположенным вышеПри этом знак плюс относится к точкам (е, о), расположенным выше
При этом знак плюс относится к точкам (е, о), расположенным выше
При этом знак плюс относится к точкам (е, о), расположенным выше
В свою очередь, при весьма быстром деформировании, согласно тому же дифференциальному соотношению, имеем
寡 или о = 6е + const,(2.12.73)
т. е. тело ведет себя вновь как вполне упругое. Естественно принять 6 равной модулю упругости тела Е.
Так как, согласно ⑵ 12.64),⑵ 12.72),⑵ 12.70) и ⑵ 12.73),
а = Е£ 无。s, Е = b и Л = ^,(2.12.74)
то
V = ±га = ± (г — n) os.(2.12.75)
прямой о = he + а, и минус — к точкам, находящимся ниже прямой о =旋一а (рис. 109).
В первом случае, если удерживать деформацию £ тела постоянной, происходит убывание напряжения, причем точка, изображающая совместное значение напряжения о и деформации £, движется вниз к граничной прямой о = Ле + а (рис. 109). Во втором случае соответствующая
Рис. 109 точка движется вверх. Явление изменения напряжения тела при неизменной деформации именуется, как уже было упомянуто выше, релаксацией.
Пусть, например, в начальный момент времени 力=0 напряжение тела имело значение о。，а деформация — значение с。，причем
со > 族。+。・(2.12.76)
Тогда при условии постоянства деформации тела получим
寡 + то =(е"。)=阮£о + 丁。，⑵ 12.77)
откуда
о=(о° —族о — a) e~rt + Ле0 + а (% = bn/г),(2.12.78)
и, следовательно, напряжение убывает, стремясь к значению Лео + а. Изменение напряжения происходит тем быстрее, чем больше значение константы г — коэффициента интенсивности релаксаций.
Если же, наоборот, поддерживать постоянным напряжение тела, то в первом случае точка(£, о) движется направо и деформация увеличивается, а во втором — налево (см. рис. 109). Как уже было указано, явление изменения деформации при неизменном напряжении именуется последействием.
Пусть, например, напряжение тела о = о。постоянно, а деформация £ в начальный момент имела некоторое значение с。，удовлетворяющее условию
со > 旋о +。・(2.12.79)
Согласно основному соотношению для этого случая
тоо =匕窑 + bns + та = Ье "*^ (&%) + га- (2.12.80)
Отсюда с учетом начального условия £ = с。при 力=0 имеем
оо — а оо —无 £о — а —nt
Дh е
(2.12.81) следовательно, деформация возрастает, стремясь к значению (о。— а)/h. Нетрудно видеть, что эта точка лежит на верхней граничной прямой о = he + а.
Изменение деформации происходит тем энергичнее, чем больше значение константы п — коэффициента интенсивности последействия.
Так как
Е — h
та = (т —几)。6, ибо г > 0 и а = ———os > 0,(2.12.82)
то г > п, т. е. релаксация происходит интенсивнее последействия. При отсутствии у материала области остаточных деформаций, т. е. когда
Os = 0 и материал следует уравнению (2.12.17), обоснование неравенства г > п несколько сложнее (см. [162]).
9°. Рассмотрим более общий случай. Пусть напряжение о меняется по заданному закону о = о ⑴.Если деформация £ и напряжение о были таковы, что изображающая точка (у о) находилась внутри области чисто упругих деформаций, то, согласно предыдущему, будем иметь
о — со = 6(£ — £о),(2.12.83)
где со и £о — значения величин о и £ в начальное мгновение времени. Это соотношение справедливо до тех пор, пока точка(£, о) не покинет области чисто упругих деформаций. Если же исходная точка (% о) находится в области пластических деформаций, например выше граничной прямой о = Ле + а, то, преобразуя основное дифференциальное соотношение к виду
gf ^ (е“。) =*^ (b^nt) + 丁。，⑵ 12.84)
получим
b (e% — 2о)=m(1 — e勺 + ] e—"办卷 (0产)丸⑵ 12.85)
о
откуда, интегрируя по частям, имеем
儿⑴=о (Z) + I (г — п) с-71"% (т) dt — * + (兀0 — со + *) e~nt. о
(2.12.86)
Здесь с。и о。一 вновь значения деформации и напряжения в исходное мгновение 力= 0.
Последнее соотношение имеет характер формулы теории последействия Бол ьцм ан а-Вол ьтерра (2.12.52), осложненной допол н и тел ьн ы м и членами в правой части равенства. Оно справедливо, пока точка(£, о) находится выше граничной прямой о = Ле + а. При обратной задаче, когда задано изменение деформации с = с(力)и требуется найти, как меняется напряжение, можно, поступая совершенно аналогично предыдущему, прийти к формуле
о⑴=儿(力)—j(r — n)e~r^~^bs^di: + a + (о。一左。—a)e~rt. (2.12.87) о
Функции ⑵ 12.58) и (2.12.60), т. е. (г — п) exp [—п (t — т)] и —(г — п) ехр [—г (力—т)], также могут быть названы соответственно
функциями последействия и релаксации. С точки зрения теории интегральных уравнений Вольтерра одна из них является резольвентной другой. Количественную сторону наследственных явлений, в частности явлений последействия и релаксации, такие функции описывают недостаточно точно. Однако, как уже упоминалось ранее, можно показать [169], что ядра Вольтерра достаточно общего типа могут быть получены линейной комбинацией ядер типа показательной функции.
Основное соотношение (2.12.71)
^ + то = Ь^| + 6п£ ±。6 (т — п) (2.12.88) можно вместе с тем рассматривать как простейшее из соотношений типа
=& ⑵ 12.89)
справедливых для некоторых тел, скорости деформирования которых оказывают влияние на напряжение.
10°. Механические свойства одномерного растяжения-сжатия рассматриваемого идеализированного у пру говя зкопл асти ч еского тела можно продемонстрировать на некоторой модели, более сложной, чем приведенные на рис. 99, a-в. Модель состоит из двух пружин
6Рис. ПО6Рис. ПО
6
Рис. ПО
6
Рис. ПО
жесткости бис, соединенных последовательно, причем в месте их соединения укреплен поршень, движущийся с кулоновым трением о$
внутри полого цилиндра (рис. 110, а), наполненного вязкой жидкостью. Жидкость имеет возможность проходить сквозь отверстия в поршне при перемещении последнего. Возникающее при этом дополнительное сопротивление перемещению поршня пропорционально его скорости. Если конец пружины, как и ранее жесткости с, прикрепить к неподвижному дну цилиндра, а к свободному концу пружины жесткости 6 приложить силу о, то перемещение этого конца £ и сила о будут теперь связаны соотношением
dt + = bdt + 7 ⑵ 12.90)
где |i — по-прежнему коэффициент вязкого трения поршня о стенки цилиндра.
Это соотношение нетрудно получить, исключив величины 门 и % из очевидных равенств с =门 + %, о =匕门，о 干。§ —乩改=。^2, в которых, как и ранее,门 означает деформацию внешней пружины (жесткости 6), а £2 — внутренней (жесткости с).
Введя вновь обозначения (2.12.18), придем к основному соотношению (2.12.88).
Таким образом, законы деформирования рассматриваемого тела и модели идентичны.
Пусть модель находится в «естественном состоянии», при котором внутренняя и внешняя пружины не натянуты. Если к модели приложить возрастающую от нуля растягивающую силу о, то вначале будет иметь место растяжение одной внешней пружины («упругая деформация»). Затем, когда сила о превысит величину о$ куло- нова трения, начнется перемещение поршня и растяжение внутренней пружины («пластическая деформация»). Точно так же наличие вязкого трения обусловливает изменение во времени натяжения пружин после достаточно большого внезапного растяжения модели (релаксация) и изменение с течением времени деформации при действии превышающей постоянной силы (последействие). При весьма быстрых деформированиях модели поршень из-за вязкого трения не будет успевать перемещаться, следовательно, деформироваться вначале будет одна внешняя пружина (упругий характер деформирования).
Вследствие наличия кулонова трения поршень, сдвинутый при растяжении модели с места, не возвращается к первоначальному положению при снятии нагрузки о (остаточная деформация). При последующем сжатии (о < 0) поршень уже при абсолютном значении о, меньшем, чем о$, может быть вновь сдвинут с места в противоположном
направлении вследствие натяжения внутренней пружины («эффект Баушингера», имеющий место и в случае у пруговя зкопл асти ч еского тела).
Аналогично могут быть продемонстрированы на модели и другие свойства рассматриваемого тела при одновременном растяжении, например упрочнение (наклеп).
11°. Основываясь на свойствах данной модели, можно построить теорию хрупкого и вязкого разрушений материала, принимая, что хрупкому разрушению соответствует разрыв внешней пружины модели, а вязкому — разрыв внутренней пружины. При больших скоростях деформирования или больших внезапно приложенных нагрузках произойдет хрупкое разрушение, характеризуемое малой деформацией (поршень модели не успеет сдвинуться с места).
При достаточно большой, но не разрывающей внешней пружины нагрузке будет происходить вязкое разрушение, характеризуемое значительной предварительной деформацией материала и наличием некоторого интервала времени между мгновениями приложения нагрузки и разрыва внутренней пружины. При этом, конечно, предполагается, что внутренняя пружина менее прочна, чем внешняя.
Разрыв внутренней пружины может произойти также и спустя некоторое время после внезапного деформирования модели, не разрушающего, однако, внешней пружины. При этом разрыву будет предшествовать перемещение поршня (рост пластической деформации за счет упругой) и некоторое ослабление натяжения внешней пружины (релаксация). Примерно такие свойства проявляют при разрыве перетянутые жильные струны.
Подробное изложение теории хрупкого и вязкого разрушений материала в случае о$ = 0, т. е. для упруговязкого материала (2.12.17) без пластических деформаций [174].
⑵ 12.91)(2.12.92)⑵ 12.91)(2.12.92)12°. Усложняя соотношение (2.12.88) или (2.12.90), можно сделать обозримыми и некоторые другие механические свойства тел при растяжении-сжатии, в частности наличие площадки текучести [160]. Соответствующие уравнения имеют вид
⑵ 12.91)
(2.12.92)
⑵ 12.91)
(2.12.92)
если |о| ^ os, |е — о/6| ^ 8 и |го — ribs 士 n68| < о$;
^ = 6^1 — е sign ⑹]，
при |о| os, |е - о/6|，3;
^ + то = 6^ + Ьт — 6n8sign (с — ^) — (г — п) о$ sign (то — nbe),⑵ 12.93)
когда |е — о/6| > 8 и одновременно |то — пЬг 干 пб8|》о$.
Здесь 3 — длина площадки текучести на диаграмме зависимости между напряжением и деформацией при простом растяжении или сжатии. На рис. 111 изображена диаграмма областей значений о, £,
в которых справедливо то или иное приведенное выше соотношение do/dt^ о,de/dt и £. Области 1-9 соответствуют следующим соотношениям:
1 — 3 — 6 = 6W,
4 — 6е = о + (г — п) (о — os),
5 — 6© = 6 + (丁 一 к) (о + Os),
6 — 6 + то = 6© + Ьт + (г — n) os — пбЗ,
7 — 6 + то = 6W + 6пе — (г — n) os + пбЗ,
8 — 6 + то = 6W + 6пе + (г — n) os + пбЗ,
9 — 6 + то = 6W + 6пе — (г — n) os — пбЗ.
Соотношения (2.12.91)-(2.12.93) нетрудно получить, изучая деформирование представленной выше на рис. 110, а модели, у которой сделано еще одно усложнение: внутренняя пружина соединена с порш-
нем не непосредственно, а нитью длиной 28 (рис. 110, в). При этом в исходном состоянии конец внутренней пружины отстоит от поршня на расстоянии 3 и, следовательно, нить не натянута.
13°. Рассмотрим теперь некоторые частные случаи упруговязкопластического тела.
Пусть константы бит основного дифференциального соотношения (2.12.88) стремятся к бесконечности, а отношение их — к постоянной ц. В пределе получим формулу
о = ±os + ц^| + Ле, h = |in,(2.12.94)
определяющую закон деформирования так называемого вязкопластического тела с упрочнением. Это тело не имеет чисто упругих деформаций и лишено свойства релаксации. В области, ограниченной прямыми (см. рис. 108)
о = ±о$ + G(2.12.95)
при заданном постоянном значении деформации с =门，т. е. при ds/dt = =0 значение напряжения о не является определенным и может заключаться в пределах
0$ + Zig]〉о〉一。6 + h^i.(2.12.96)
Если, далее, в формуле (2.12.94) коэффициент упрочнения Л принять равным нулю, то придем к закону деформирования
о = ±Об+|1^|, если ^|^0,(2.12.97)
—Os < о <если — = 0,(2.12.98)
впервые предложенному, по-видимому, Сен-Венаном [242]. Тело, подчиняющееся такому закону, принято называть вязкопластическим (без упрочнения). Вязкопластическое тело лишено свойств релаксации и последействия. Пластическое сжатие металлов при больших скоростях деформирования довольно хорошо согласуется с этим законом.
На рис. 112 показана диаграмма растяжения вязкопластического тела с упрочнением при постоянной скорости деформирования из естественного состояния. Весьма малой скорости деформирования соответствует прямая
о =。6 + Ле,(2.12.99)
где Л — коэффициент упрочнения.
При коэффициенте вязкости ц, равном нулю (или при весьма медленном деформировании), вязкопластическое тело с упрочнением
Рис. 112Рис. ИЗРис. 112Рис. ИЗ
Рис. 112Рис. ИЗ
Рис. 112Рис. ИЗ
также лишено наследственности, т. е. не обладает свойством релаксации и последействия. Диаграмма растяжения такого тела показана на рис. 113. Внутри области, ограниченной прямыми
о = ±о$ + Ле,о = ±о$ + Ле,(2.12.100)
о = ±о$ + Ле,
о = ±о$ + Ле,
напряжение пластического тела с упрочнением может изменяться произвольным образом в пределах —о$ + Ле < о < os + Ле (рис. 114). При этом деформация остается постоянной (de = 0). Если же точка(£, о), изображающая совместное значение величин деформации и напряже
ния тела, находится на верхней прямой (о = о$ + Ле), то при условии de > 0 следует положить do = hd^. Однако при do < 0 имеет место de = 0.
То же соотношение сохраняется и для точек (% о), расположенных на нижней прямой (о = —os + Ле), когда de < 0.
Совместные значения величин он% лежащие за пределом области, ограниченной упомянутыми прямыми, для такого тела невозможны.
На том же рис. 114 представлена петля гистерезиса пластического тела с упрочнением, или, что то же, вязкопластического тела с упрочнением при чрезвычайно медленном деформировании.
Частным случаем упругопластического тела являются пластическое тело с упрочнением и идеально пластическое тело, лишенное упрочнения.
Идеально пластическое тело, диаграмма растяжения которого изображена на рис. 115, можно также рассматривать как предельный случай вязкопластического тела без упрочнения при коэффициенте вязкости ц, равном нулю. При деформировании идеально пластического тела напряжение о при растя жен и и -сжати и по модулю всегда равно пределу текучести о$; знак напряжения тот же, что и у dc/d力.Если же деформации не происходит, то напряжение о может принимать любое значение, не превышающее по модулю значения о$. Таким образом, о=о$ при de > 0, о=—Os, если de < 0 и |о| < os, когда £ = const.
Следует отметить, что тела, лишенные свойств упругости (вязкопластическое, пластическое с упрочнением и идеально пластическое), не являются далеко идущими . идеализациями реальных тел, так как значения упругих деформаций обычно—
во много раз меньше пластических. На рис. 116 представлена для сравнения/
диаграмма растяжения стали вплоть до разрыва. За пределом текучести ее упругая деформация составляет лишь незначительную часть общей деформации.I
14°. Свойства приведенных част-£
ных случаев вязкоупругопластическо- lРис. 116
го тела могут быть проиллюстрированы на упоминавшейся выше механической модели с соответствующим упрощением ее конструкции. Напомним, что телу с линейной наследственностью соответствует модель с устраненным кулоновым трением о стенку цилиндра (см. рис. 99, а). Если удалить внутреннюю пружину (см. рис. 99, 5), то получится модель, соответствующая телу Максвелла, лишенному последействия; а если, оставив, внутреннюю пружину, заменить внешнюю пружину жестким стержнем, т. е. положить 6 = =оо(см. рис. 99, в), то придем к телу Томпсона, лишенному свойства релаксации.
Вязкопластическому телу с упрочнением соответствует модель, внешняя пружина которой в модели рис. 110, а также заменена жест-
ким стержнем, однако кулоново трение поршня о стенки цилиндра сохранено (рис. 117, а). Если, кроме того, устранить внутреннюю пру-
匕 ％<^<dl4 卩,о§匕 ％<^<dl4 卩,о§
匕 ％<^<dl4 卩,о§
匕 ％<^<dl4 卩,о§
Рис. 117
жину, то такая модель будет соответствовать вязкопластическому телу без упрочнения (рис. 117, 6).
При устранении в модели рис. 110, а вязкого сопротивления движению поршня получается модель, соответствующая упругопласти-
////////////////////'/////////////////////////////'/////////абвабвРис. 118Рис. 118
////////////////////'/////////
////////////////////'/////////
абв
абв
Рис. 118
Рис. 118
ческому телу с упрочнением (рис. 110, 6). Если в такой модели (т. е. рис. 110, 6) заменить внешнюю пружину жестким стержнем (рис. 118, а), то получим соответствие пластическому телу с упрочнением, а при сохранении внешней пружины и удалении внутренней — у пру гопл асти ческому телу без упрочнения (рис. 118, 6).
Наконец, идеально пластическому телу соответствует простейшая модель, имеющая лишь поршень, движущийся в цилиндре с кулоновым трением о$ (рис. 118, в).
§ 13. Пространственное деформирование не вполнеупругих и вязкопластических тел
Переход от законов одномерного деформирования тел к пространственным законам в достаточной мере сложен. Их построение требует введения некоторых дополнительных гипотез.
Покажем этот переход для тел, законы одномерного деформирования которых были нами рассмотрены в §12 гл. 2 [25]. Примем, что в естественном состоянии тела изотропны, а при деформировании из естественного состояния тензор деформаций остается коаксиальным тензору напряжения. При этом предполагается, что оси последнего для данной точки тела не меняют своей ориентации в процессе деформирования. Последнее замечание несущественно для непластических тел (например для идеально упругих тел, вязкоупругих и для тел с линейной наследственностью).
Напомним некоторые соображения общего характера, изложенные в §12 гл. 2 [25] и основанные на приложении к деформированию произвольной среды.
Рассмотрим какой-либо элемент тела в форме прямоугольного параллелепипеда, грани которого ориентированы по главным осям тензора напряжений. Пусть 仃，。2 и 03 суть главные напряжения и £j, £2 и £3 — главные деформации элемента. Введем в рассмотрение, следуя §12 гл. 2, §6 гл. 1 [25], величины относительного формоизменения элемента Si，§2, S3, связанные с главными деформациями 白，霞角 соотношениями Si = &i — £•
Здесь, как и везде далее, г = 1, 2, 3, а Зе = 门 + В + £з представляет собой относительное изменение объема элемента. Разумеется, si + 貶 + + S3 = 0.
Знание s“ 貶，S3 и £ и главных осей вполне определяет деформированное состояние элемента.
Пусть величины, имеющие размерность напряжения S“ S2, S3 и о, представляют собой обобщенные силы, отнесенные соответственно к обобщенным перемещениям s“S2,S3 и £. По принципу возможных перемещений имеем равенство
О1М +。2*2 + 03*3 = Si 3sl + Sabs? + 5зЗ§з + ЗоЗе.
Заменяя в этом равенстве вариации 3s“ 3s2, 3§з и Зе их выражениями через вариации 改匕泣‘泡 и сравнивая коэффициенты при последних вариациях в правой и левой частях равенства, получим соотношения
°1 = |Si - ；$2 - ；5з + о,°2 = |$2 - ；$з - ；S1 + о,°3 = |$з - ；S1 - ；$2 + о.
Таким образом, знание обобщенных сил S“ S2, S3 и о вполне определяет напряженное состояние элемента. Складывая написанные выше соотношения, получим Зо =仃 +。2 +。3, следовательно, обобщенная сила о представляет собой среднее арифметическое значение главных напряжений или первый инвариант тензора напряжений. Обобщенные силы Si, S2 и S3 будем называть напряжениями формоизменения.
Если ввести обозначение
「= ； (& + S2 + S3)
для суммы величин S“ 82,83, то на основании тех же соотношений получим
S^ — Oj — о + Г*.
При этом величина Г не может быть определена посредством законов статики и, следовательно, обратная задача определения обобщенных сил Si, S2 и S3 по данным oj, 02 и 03 неопределенна. Это обстоя тел ьство является следствием наличия соотношения si + 貶 + + S3 = 0, в силу которого вариации 3s£ не независимы между собой.
Приведем ряд примеров построения законов пространственного деформирования тел.
1°. Напряжения формоизменения Si пропорциональны s^, т. е. Si = =bsi (г = 1, 2, 3). Пусть, кроме того, справедливо соотношение о = Зхе, а 6 и х являются физическими константами.
Замечая, что
3「= Si + S2 + S3 = 6(S1 + S2 + S3)= О, получаем
(5i = Si -\- о — Г = bsi + Зх£ = (Зх — 6) £ + Ьм (г = 1, 2, 3).
Вводя обозначения X = Зх — 6 и 2ц = 6, приходим к известным соотношениям закона Гука в форме Ламе для упругого изотропного тела.
2°. Предположим, что £ = 0, а величины S и s связаны соотношениями
где ц — константа (коэффициент вязкости). Полагая о = —р, получаем соотношения
Щ = ~р + 2|i祭(г = 1, 2, 3), характерные для несжимаемой вязкой жидкости.
Заметим, что для достаточно малых деформаций можно не делать различия между производной какой-либо компоненты деформации по времени и соответствующей компонентой скорости деформирования.
3°. Пусть имеют место интегральные соотношения типа Больцмана- Вольтерра
Si (Z) = bsi (Z)-]屮(力一t)s£ ⑴小
и, кроме того,
о ⑴=3比£ (力)—3 ] % (力—т)£ (Z) dt.
Здесь 屮(力一т) и % (力一工)一 функции наследственности.
Нетрудно показать (§12 гл. 2 [25]), что закон линейного последействия, описываемый дифференциальными соотношениями
^ + rSi = b^ + bnSi, ^ + 外=3時 + 3%從'
является частным случаем приведенных выше соотношений. Функции наследственности представляются в этом случае экспонентами.
Так как si + 貶 + §з = 0, то в данном случае ЗГ = Si + S2 + S3 = О, следовательно,
О£ — S{ +0 — Г = 6(£j — £)+ Зх£ —
中（力一T）&⑴-2⑴]di - 3% （力一工）2⑴dt,
или окончательно
О£ =九£ + 211G —О£ =九£ + 211G —[3% （力一工）一中（力一T）]2 （工）小一 中（力一T）7 （工）小,
О£ =九£ + 211G —
О£ =九£ + 211G —
что представляет собой выражение закона пространственного деформирования изотропного тела с наследственностью.
При переходе от главных осей тензора напряжений к произвольным осям получим точно такие же формулы для нормальных (не главных) напряжений. Для касательных же напряжений соответствующие формулы имеют вид
工⑴=HY (力)-|(р(^ -т)у (т)丸
где 工一 касательное напряжение, а у — соответствующий угол сдвига.
4°. Рассмотрим далее закон пространственного деформирования вязкопластического тела [153]. В этом случае принимаем, что
Si = 士Ksign^ + 2|i醬 (〃 =1, 2, 3),
где К — характерная для данного материала пластическая константа, знак которой совпадает со знаком скорости формоизменения, а ц — коэффициент вязкости. Так как всегда ds^/dt-\-ds2/dZ+dsa/dt = 0, то знак наибольшей по своему значению скорости компоненты формоизменения противоположен знаку двух других, если ни одна из них не равна нулю. Пусть ds、丨dt — наибольшая из dsi/dt. Примем для определенности ds^ /dt > 0. Тогда будем иметь
& = * + 2 噜，$2 = -К + 2 匿S3 = -К + 2 噜
и, следовательно,
3「= & + S2 + S3 = —к.
Считая материал несжимаемым, получим для главных напряжений выражения
6 = Si + о -「= -目 + " + 2|i
3at
。2 = S2 + о -「= -0 -
3at
。3 = S3 + о —「= —р — |/С + 2|i 第.
В случае ds\/dt < 0 в этих выражениях следует всюду изменить знак у константы К на обратный.
Подобные же построения можно сделать и для других тел при иных формах зависимости каждого напряжения формоизменения Si от соответствующей ему компоненты деформации s^. Для случая упругопластического тела это произведено в §12 гл. 2 [25]. Иное построение уравнений пространственного деформирования тел при произвольном изменении главных осей и компонент тензора напряжений (или деформации) можно произвести, следуя §7 гл. 2 [25], где это проделано для у пругопл асти ческого тела.
Диссипативная функция в теориипластичности
Рассмотрим диссипативные функции для некоторых сложных сред и определение связи о叮 ~ ^ij на основе диссипативных функций. Для вязкопластических сред функция нагружения зависит от компонент тензора скорости пластической деформации:
/ (。叮，£叮，&ij , Хг 5 自)=0, &ij = d j，(2.14.1)
в таких средах могут иметь место ползучесть, релаксация и т. п.
Рассмотрим модели вязкопластических сред, определенные на основе представлений о трансляционных механизмах упрочнения.
Обозначим через 5叮 一тензор внутренних напряжений; через 吟 = = Oij — Sij — тензор активных напряжений. Будем полагать, что тензор микронапряжений зависит от компонент пластической деформации и скорости пластической деформации
Sij — s^j (еjj, £jj).(2.14.2)
Функция нагружения для подобных вязкопластических сред запишется в виде
/ (о?/ =瓦 k = const.(2.14.3)
Предположим справедливость принципа максимума Мизеса
Gij&ij》。订工叮，(2.14.4)
где o*j — любые возможные компоненты напряжения, удовлетворяющие при фиксированных £叮，£叮 условию
/(项一5订・)4瓦(2.14.5)
Неравенство (2.14.4) можно переписать в виде
或产"》或；旳，(%=gц _ si：h 唠=吟一s订)，(2.14.6)
откуда следует, что принцип максимума Мизеса справедлив и в пространстве активных напряжений.
Из (2.14.4) и (2.14.6) следует справедливость ассоциированного закона течения в пространстве как действительных, так и активных напряжений:
Покажем, что в данном случае могут быть определены соответствующие диссипативные функции, причем построение их удобно вести не в пространстве действительных, а в пространстве активных напряжений.
Введем определения диссипативной функции в пространстве действительных напряжений,
D = 6叮2订)(2.14.8)
и в пространстве активных напряжений:
°。=或削.(2.14.9)
Очевидно, что
D = D° + Sij^ij.⑵ 14.10)
При выполнении ассоциированного закона течения имеет место соотношение
D° = D° Ы=^.(2.14.11)
Запишем (2.14.11) в полных ди фферен ци ал ах
o^j d^ij Н- £jj dc5^j —石~•⑵ 14.12)
Дифференцируя (2.14.3), получим
勃*=0・⑵14.13)
Из (2.14.13) и ассоциированного закона течения (2.14.7) следует:
&ijd% =0.⑵ 14.14)
Принимая во внимание (2.14.14), из (2.14.12) найдем
дР°3£订дР°3£订⑵14.15)⑵14.15)
дР°
3£订
дР°
3£订
⑵14.15)
⑵14.15)
Если перейти к пространству действительных напряжений, то из (2.14.15) и (2.14.10) получим
dD dsij^ -瓏订①瓏订.dD dsij^ -瓏订①瓏订.⑵14.16)⑵14.16)
dD dsij
^ -瓏订①瓏订.
dD dsij
^ -瓏订①瓏订.
⑵14.16)
⑵14.16)
Итак, если определены функция нагружения (2.14.3) и ассоциированный закон течения (2.14.7), то существует диссипативная функция D0, играющая роль потенциала активных напряжений. В пространстве действительных напряжений связь。叮一£叮 определяется соотношением ⑵ 14.16).
Покажем, что возможно построение теории, в основе которой лежит определение диссипативной функции, а функция нагружения и ассоциированный закон течения имеют место как следствие основных предположений.
Предположим, что имеет место соотношение
D° = D°(2.14.17)
Сформулируем принцип максимума
或卢》唸吟，⑵14.18)
где £*^ — вектор возможных скоростей деформации, лежащий внутри объема, ограниченного поверхностью равного уровня диссипативной функции в пространстве деформаций. Иными словами, для 脸 выполняется неравенство
0(唸Л).
Как следствие неравенства (2.14.18) имеет место ассоциированный закон нагружения
唸=入匿，(输")•⑵14.19)
Из (2.14.19) следует, что для однородных функций D0 величина 九一 постоянная.
Предположим, что D0 — однородная функция первой степени относительно компонент £切 следовательно,九=1, а производные
dD^/d亡叮 — функции, однородные нулевой степени относительно компонент £叮.Тогда из соотношений (2.14.18) можно получить некоторое конечное соотношение вида (2.14.3), определяющее функцию нагружения. Повторяя рассуждения, приведенные при выводе формул (2.14.18), (2.14.19), можно установить справедливость ассоциированного закона пластического течения:
⑵14.20)
Итак, функция нагружения (2.14.3) и ассоциированный закон течения (2.14.20) являются следствием определения диссипативной функции (2.14.17) и принципа максимума (2.14.18).
В качестве примера рассмотрим функцию нагружения
/ (唸)—^j^j — *‘⑵ 14.21)
гДg 0?(-0"一Sij)Sij —012" +02Q力01 ,02 = CODSt.
Согласно (2.14.7) получим
•(2.14.22)
Определим диссипативную функцию. Возводя (2.14.22) в квадрат, получим
^ij^ij = 4|?*•唸=4|?廿，
откуда
2ц = ；,%*“•(2.14.23)
Умножая обе части равенства (2.14.23) на 修力 найдем
£j j j = 2|io?j £j j = 2|iD°.(2.14.24)
Из ⑵ 14.23) и ⑵ 14.24) получим
D° = k叮旳.(2.14.25)
Диссипативная функция D, согласно (2.14.10), (4.12.25), будет иметь вид
Dk \J££( &ij + OlGgEcg + Cz^ij 亡ij •⑵ 14.26)
Для действительных компонент напряжений получим
k&ij.
⑵ 14.27)⑵ 14.27)^ij -]+012叮 +02e叮・
⑵ 14.27)
⑵ 14.27)
Отметим частные случаи.
При。1 = 0 имеет место теория трансляционного упрочнения.При в = 0 имеет место случай вязкопластического тела (тело Бингама).В самом деле, при 宵=0 будем иметьПри。1 = 0 имеет место теория трансляционного упрочнения.При в = 0 имеет место случай вязкопластического тела (тело Бингама).В самом деле, при 宵=0 будем иметьk&tj/+。1旳•,£订£订k&tj/+。1旳•,£订£订⑵ 14.28)⑵ 14.28)Из второго соотношения (2.14.8) найдем ^ij — ^1 ^ij ) = 4Из второго соотношения (2.14.8) найдем ^ij — ^1 ^ij ) = 4⑵ 14.29)⑵ 14.29)Из ассоциированного закона течения, согласно (2.14.29), следуетИз ассоциированного закона течения, согласно (2.14.29), следует&ij = 2(1 (0"一01 ^ij ) ,2(1 = - ,&ij &ij ,&ij = 2(1 (0"一01 ^ij ) ,2(1 = - ,&ij &ij ,⑵ 14.30)⑵ 14.30)илиили^ij — V。叮，v — 2|i/ (1 + 211dl).Из ⑵ 14.29) и ⑵ 14.31) получим^ij^ij (1 - CiV)2 =廿.Из (2.14.30)-(2.14.32) окончательно найдем^/й^уй^у = к + °] ^/^у^у •Выражения (2.14.31), (2.14.33) представляют <^ij — V。叮，v — 2|i/ (1 + 211dl).Из ⑵ 14.29) и ⑵ 14.31) получим^ij^ij (1 - CiV)2 =廿.Из (2.14.30)-(2.14.32) окончательно найдем^/й^уй^у = к + °] ^/^у^у •Выражения (2.14.31), (2.14.33) представляют <(2.14.31)(2.14.31)⑵ 14.32)⑵ 14.32)⑵ 14.33)⑵ 14.33)основные соотноше-основные соотноше-ния модели вязкопластического тела Бингама в традиционной форме записи. Соотношения (52) вполне эквивалентны соотношениям ⑵ 14.31),⑵ 14.33).2. Выше предполагалось, что диссипативная функция определяется однозначно, однако, как показано ниже, существуют случаи, когда возможны различные выражения диссипативной функции, приводящие к определению дилатансионной зависимости. Дилатансионная зависимость играет роль дополнительной связи при определении зависимости между напряженным и деформированным состояниями.Чтобы наглядно изложить основные идеи, рассмотрим случай плоской деформации. Пусть функция нагружения имеет видния модели вязкопластического тела Бингама в традиционной форме записи. Соотношения (52) вполне эквивалентны соотношениям ⑵ 14.31),⑵ 14.33).2. Выше предполагалось, что диссипативная функция определяется однозначно, однако, как показано ниже, существуют случаи, когда возможны различные выражения диссипативной функции, приводящие к определению дилатансионной зависимости. Дилатансионная зависимость играет роль дополнительной связи при определении зависимости между напряженным и деформированным состояниями.Чтобы наглядно изложить основные идеи, рассмотрим случай плоской деформации. Пусть функция нагружения имеет вид^+00 = 24 (е,Г)2,^+00 = 24 (е,Г)2,⑵ 14.34)⑵ 14.34)гдегде1
При。1 = 0 имеет место теория трансляционного упрочнения.
При в = 0 имеет место случай вязкопластического тела (тело Бингама).
В самом деле, при 宵=0 будем иметь
При。1 = 0 имеет место теория трансляционного упрочнения.
При в = 0 имеет место случай вязкопластического тела (тело Бингама).
В самом деле, при 宵=0 будем иметь
k&tj
/+。1旳•
,£订£订
k&tj
/+。1旳•
,£订£订
⑵ 14.28)
⑵ 14.28)
Из второго соотношения (2.14.8) найдем ^ij — ^1 ^ij ) = 4
Из второго соотношения (2.14.8) найдем ^ij — ^1 ^ij ) = 4
⑵ 14.29)
⑵ 14.29)
Из ассоциированного закона течения, согласно (2.14.29), следует
Из ассоциированного закона течения, согласно (2.14.29), следует
&ij = 2(1 (0"一01 ^ij ) ,2(1 = - ,&ij &ij ,
&ij = 2(1 (0"一01 ^ij ) ,2(1 = - ,&ij &ij ,
⑵ 14.30)
⑵ 14.30)
или
или
^ij — V。叮，v — 2|i/ (1 + 211dl).
Из ⑵ 14.29) и ⑵ 14.31) получим
^ij^ij (1 - CiV)2 =廿.
Из (2.14.30)-(2.14.32) окончательно найдем
^/й^уй^у = к + °] ^/^у^у •
Выражения (2.14.31), (2.14.33) представляют <
^ij — V。叮，v — 2|i/ (1 + 211dl).
Из ⑵ 14.29) и ⑵ 14.31) получим
^ij^ij (1 - CiV)2 =廿.
Из (2.14.30)-(2.14.32) окончательно найдем
^/й^уй^у = к + °] ^/^у^у •
Выражения (2.14.31), (2.14.33) представляют <
(2.14.31)
(2.14.31)
⑵ 14.32)
⑵ 14.32)
⑵ 14.33)
⑵ 14.33)
основные соотноше-
основные соотноше-
ния модели вязкопластического тела Бингама в традиционной форме записи. Соотношения (52) вполне эквивалентны соотношениям ⑵ 14.31),⑵ 14.33).
2. Выше предполагалось, что диссипативная функция определяется однозначно, однако, как показано ниже, существуют случаи, когда возможны различные выражения диссипативной функции, приводящие к определению дилатансионной зависимости. Дилатансионная зависимость играет роль дополнительной связи при определении зависимости между напряженным и деформированным состояниями.
Чтобы наглядно изложить основные идеи, рассмотрим случай плоской деформации. Пусть функция нагружения имеет вид
ния модели вязкопластического тела Бингама в традиционной форме записи. Соотношения (52) вполне эквивалентны соотношениям ⑵ 14.31),⑵ 14.33).
2. Выше предполагалось, что диссипативная функция определяется однозначно, однако, как показано ниже, существуют случаи, когда возможны различные выражения диссипативной функции, приводящие к определению дилатансионной зависимости. Дилатансионная зависимость играет роль дополнительной связи при определении зависимости между напряженным и деформированным состояниями.
Чтобы наглядно изложить основные идеи, рассмотрим случай плоской деформации. Пусть функция нагружения имеет вид
^+00 = 24 (е,Г)2,
^+00 = 24 (е,Г)2,
⑵ 14.34)
⑵ 14.34)
где
где
X =[(0更-0g)2 + 4兀宜 J 2 , 0 =報 + Og,
⑵ 14.35)⑵ 14.36)⑵ 14.37)⑵ 14.38)⑵ 14.39)⑵ 14.35)⑵ 14.36)⑵ 14.37)⑵ 14.38)⑵ 14.39)
⑵ 14.35)
⑵ 14.36)
⑵ 14.37)
⑵ 14.38)
⑵ 14.39)
⑵ 14.35)
⑵ 14.36)
⑵ 14.37)
⑵ 14.38)
⑵ 14.39)
384 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды Согласно ассоциированному закону течения из (2.14.34) получаем
% =九[rnEm-2 (報一oj + а],
gg =九[一^^—(0£ 一 ^y) +a],
£冗夕— ^Тсггъ'Т^у S, 7( — de£( / dt >
Определяя диссипативную функцию как
из (2.14.35) имеем
D = 2kkm — X (m — 1) ао.
Используя (2.14.35), получаем
% - £夕=2X?tzS ^х 一 ^у),“ ~^~ ^у ~ 2a九，^ху = ^Хтп^ху S ,откуда имеем для 九 два выражения:
Л —А — £jc + £у
儿^ Т 5 儿^5
2312a 5
/ = J & 一 %产 +4%.
Из (2.14.38) следует так называемая дилатансионная зависимость между сдвиговыми и объемными составляющими скоростей деформаций
寸二т，⑵ 14.40)
характерная для подобных сред. Существование зависимости (2.14.39) является следствием ассоциированного закона течения. Для несжимаемых сред а = 0, откуда % + % = 0.
Итак, соотношения ассоциированного закона течения можно записать окончательно в виде
(2.14.41)(2.14.41)I£® + £у
(2.14.41)
(2.14.41)
Второе соотношение в (2.14.40) определяет условие изотропии среды. Соотношения (2.14.34), (2.14.40) образуют замкнутую систему определяющих соотношений.
Согласно (2.14.39) для диссипативной функции (2.14.37) имеют место два аналитических выражения. Для несвязных грунтов при 4 = 0 (отсутствует сцепление) имеет место 0 = 0.
Рассмотрим построение модели сыпучей среды на основании определения диссипативной функции. В этом случае необходимо учесть наличие дилатансионной зависимости (2.14.40). Диссипативную функцию следует рассматривать в виде
D = к\2к^(т-1)^т], m # 1,(2.14.42)
или, учитывая (2.14.41),
0=九24 + (m一1) 3」—.(2.14.43)
、ТП £д； + £у /
Подставляя значение 九 из (2.14.39), получаем
При определении соотношений (2.14.34), (2.14.41) следует исходить из ассоциированного закона нагружения о叮=dD/d^j при наличии связи (2.14.40). Таким образом,
D = \2k + (m- 1)Е-]|•⑵ 14.44)
Согласно ассоциированному закону нагружения имеем:
報= [2k + g —+—
[2а \_т1Ъ a J
= [2k + ⑺—1口 & +.⑵ 14.45)
%g = [2k + g —1)хтЦ^Ь・
Отсюда следует
% — ^ = 2 [2k + (m-l)E-]
тп1Ъ
報 +。夕=[2k + (m - 1) Ew]匕(2.14.46)
Подставим полученные результаты в (2.14.34) и будем иметь
9
—[2к + (т — 1) Еш] + [2к + (т — 1) Еш](1 - 2ц)=
=竺 + 2(тп —l)g7n + 2 & — m) ^т - 4a = 2 瓦 т т
откуда следует, что ц должно определяться соотношением
А = 1/т.
Из зависимости (2.14.46) сразу следует условие предельного равновесия (2.14.34) при |i = 1/т, дилатансионная зависимость задается априори, а соотношение изотропии определено (2.14.46). Таким образом, исходя из определения диссипативной функции и дилатансионной зависимости, а также из ассоциированного закона нагружения, можно получить соотношения (2.14.34), (2.14.40), определяющие модель сыпучей среды.
Если исходить из выражения
то нетрудно убедиться, что оно также приведёт к соотношениям (2.14.34), (2.14.40).
Заметим, что, зная по экспериментальным данным виды дилатансионных зависимостей, можно с их помощью установить предел пластического течения.
Рассмотрим частные случаи нагружения.
А. В случае одноосного растяжения справедливы соотношения
^х # °, ^у = “夕—^ху = 0-⑵ 14.47)
Тогда
е — еж + Су, Г — еж — Су, S —。冗—о.⑵ 14.48)
Из выражения дилатансионной зависимости (2.14.40) имеем
de _ аd「т理 7
Из (2.14.34) при условиях (2.14.48), (2.14.49) получим
о『 + а報=2k(eJ).(2.14.50)
Тогда из (2.14.49) и ⑵ 14.50) следует
=2А:(е,Г).=2А:(е,Г).⑵ 14.51)⑵ 14.51)色生)(…)+ a (色生)(…) т de I\ m de I
=2А:(е,Г).
=2А:(е,Г).
⑵ 14.51)
⑵ 14.51)
При данной зависимости Г = Г (е) может быть найдена функция к (е. Г) и тем самым определена функция нагружения (2.14.34).
Б. В условиях чистого сдвига
^ху # °, ^х = ^у = °, ^ху # °, еж + Су — 0.⑵ 14.52)
Тогда
Г = 2еХу, S = 2“夕.⑵ 14.53)
Из выражения дилатансионной зависимости (2.14.40) получим de _ а
Из (2.14.34) при условиях (2.14.52) и (2.14.53) имеем
=2А:(е,Г).(2.14.55)
Таким образом, как и в п. А, получаем функцию нагружения ⑵ 14.34).
Следовательно, для определения модели сыпучей среды в качестве основных могут быть использованы экспериментальные результаты по нахождению дилатансионных зависимостей Г = Г (е).
Некоторые применения статистикик описанию законов деформирования тел
Простейшие законы деформирования не вполне упругих и пластических тел выражают кусочно линейные соотношения между напряжением, деформацией и их производными по времени [160]. Характер этих соотношений может быть для одного же материала различным и в зависимости от других параметров.
Качественная сторона деформирования реальных тел описывается такими законами в общем удовлетворительно, однако кол и ч ествен н ы е соотношения, определяемые ими, подчас заметно отличаются от действительности. Попытки подправить законы таким образом, чтобы они
388 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды точнее описывали деформирование реальных тел, приводят обычно к увеличению числа констант, входящих в математическое выражение этих законов, причем сами константы перестают иметь наглядный физический смысл.
Вместе с тем неоднородность микроструктуры материалов и большой диапазон изменения некоторых величин, характерных для деформации данного материала (например, предела упругости), позволяют надеяться, что можно описывать в достаточной мере точно деформирование реальных тел также и с количественной стороны. Для этой цели следует представить реальное тело в виде совокупности большого числа элементов, обладающих простейшими законами деформирования, но с разными константами, входящими в выражение этих законов, подбирая соответствующим образом распределение таких элементов. Автором приведено ниже несколько примеров, иллюстрирующих это положение применительно к деформации простого растя жен и я-сжатия. При этом деформирующееся тело представляется состоящим из большого числа геометрически одинаковых волокон, ориентированных по направлению растягивающей или сжимающей силы Р. Относительное уд л и н ен и е-сжати е всех волокон оказывается одинаковым, а усилия, приходящиеся на отдельные волокна, будут различаться вследствие разницы констант, которые входят в закон деформирования отдельных волокон. Ограничимся разбросом в значениях одной из констант, причем будем считать ее существенно положительной величиной. Пусть на долю волокон, у которых значение этой константы заключено в пределах а, а + da, приходится площадь поперечного сечения, равная
Fp (a) da,
где F — площадь всего сечения растягиваемого тела, а р (ос) — некоторая функция распределения данной константы, удовлетворяющая, разумеется, соотношению
]p(a)da = 1.
Напряжение о каждого волокна, помимо общих обстоятельств деформирования тела, определяется также значением своей константы а для данного волокна. Поэтому суммарное усилие, развиваемое по поперечному сечению тела, представится выражением
Р = F ^ oR(a)da,о
где о — некоторая функция ряда величин, например деформации и времени, в состав которой входит упомянутый параметр а как одна из характерных констант материала.
Считая, что волокна с разными значениями константы а расположены беспорядочным образом относительно друг друга и сечения их исчезающе малы, можно принять усилие, которое приходится на некоторую часть поперечного сечения, пропорциональным значению площади этой части.
Отношение
^ = 6 =⑹
представляет собой, таким образом, напряжение растяжения-сжатия материала в обычном понимании этого термина, являясь вместе с тем статическим средним напряжением отдельных волокон 6.
Очевидно, что
6 = ] oR(a)da.о
В качестве первого примера рассмотрим случай линейного упрочнения отдельных волокон, имеющих разные пределы пропорциональности 。6, но одинаковые модули упругости Е и упрочнения h. За параметр а здесь можно принять отношение 爲/石，т. е. считать о$ = =Еа. При монотонном растяжении волокон имеем последовательно: упругое деформирование по закону Гука о = Е〔 пока £ < ос, или, что то же, при о < о$. И далее, если £ > ос, то наступает упрочнение по закону о = Еа + Л(£ — ос). Для статистически среднего напряжения получаем выражение
6 = ] [Еа + Л(£ — a)]p(a)da + ] Esp(a)da. ое
Последовательно дифференцируя это выражение по переменной £, получаем
粤 % p(oc)doc + Е R(a)da и— h) р .
Ое
Если положить здесь Л = 0, то придем к формулам, установленным в [211].
Таким образом, при известном аналитическом выражении зависимости среднего по сечению напряжения 6 от деформации £ (диаграммы
растяжения) нахождение функций распределения 目(а) не представляет труда.
Заметим, что в случае ограниченной р(ос) имеем
^ = E^P(a)da=E и ^ = h^p(a)da=h.оо
Следовательно, константа Е равна угловому коэффициенту диаграммы растяжения при £ = 0, а константа Л — при £ —> оо (разумеется, при достаточно больших, но не превышающих временного сопротивления напряжениях).
Кроме того, так как р(а) > 0 и Е > h, то всегда
и, следовательно, кривая графика 6(c) обращена выпуклостью кверху. Пусть теперь
0,0 ^ ос < «1,
0® = 4
О ОС > «2?
где «1 и «2 — характерные значения параметра а = os/Е. Очевидно, что, как и должно быть,
R(a)da = оR(a)da = о=1.=1.
R(a)da = о
R(a)da = о
=1.
=1.
A(DA(DНа основании формулы для 92д/д^^ приведенной выше, имеем
A(D
A(D
R(a)da + Е.
о
Следовательно, (рис. 119)
Е, £ ^ oci,
Зб 瓏Зб 瓏(Е — Д) (е — осп)
Зб 瓏
Зб 瓏
Е, ОС1，£，ОС2,
«2 — ai
Л, £ ^ «2-
Интегрируя по £ выражение производной дд/дг при условии 6(0)= =0, получаем
Ej £，oq,
庚 _(石—九)г 0C2,
Eai + E 产(a? - oq) + Л(£ - oc2), £ ^ oc2.
График зависимости 6 от £, построенный на основании этих формул, имеет вид кривой О А на рис. 120 и близок по форме к диаграмме растяжения некоторых сортов стали.
Если учесть характер зависимости напряжения о от деформации £ для отдельного волокна при переходе от его растяжения к последующему сжатию и обратно, то получим для диаграмм ®о) петлю гистерезиса, близкую по форме к наблюдаемым (см. рис. 120, кривая ABCDA).
Рассмотрим более подробно построение петли гистерезиса для другого вида функции р(а), а именно
0(а) = 1/(3, ос < р и 0(а) = 0, а〉0, причем будем считать р достаточно большим числом, а модуль упрочнения Л — равным нулю. Тогда закон деформирования волокна, предел упругости которого равен Еа, примет вид
о = Еа, £ < ос и о = Еа = о$, с〉а,
если до деформации волокно находилось в естественном состоянии.
Величина среднего напряжения всего материала при деформации его из естественного состояния (пока £ < р) определяется выражением
1 fl£Ea-da + Ес—da = Ес — Е-.В J В201 fl£Ea-da + Ес—da = Ес — Е-.В J В20ООеВ
1 fl£
Ea-da + Ес—da = Ес — Е-.
В J В20
1 fl£
Ea-da + Ес—da = Ес — Е-.
В J В20
6 = ср (ос) doc =оо
Пусть деформация £ достигла некоторого значения ос, после чего начала уменьшаться до значения а, а затем вновь увеличиваться. Волокна, предел упругости которых выше величины Еа〉изменяют свое напряжение по закону Гука:
о = Ег.
Что же касается волокон с пределами упругости, меньшими Еа〉то при уменьшении деформации напряжение в них изменяется (см. [160]) по закону
о = Еа —石(а — £),
пока не будет достигнуто напряжение о = —Еа (рис. 121). Это про
изойдет при значении деформации
с = а — 2а,
после чего, т. е. при —а < £ < а—2а, в таких волокнах будет сохраняться постоянное напряжение
о = — Еа.
Таким образом, при данном значении деформации £ имеют место три группы волокон: со значением коэффициента ос, большим а, со значением ос, заключенным в пределах (а, (а — с)/2), и, наконец, со
§15. Некоторые применения статистики 393 значением коэффициента а, меньшим (а — с)/2. Соответственно получаем
6 = oR(a)da =о6 = oR(a)da =о(а-£)/2(—Еа) в da + о(а-£)/2(—Еа) в da + о
6 = oR(a)da =о
6 = oR(a)da =о
(а-£)/2
(—Еа) в da + о
(а-£)/2
(—Еа) в da + о
аВ
+ [Еа — Е(а — £)] 8&а + Es^da〉
(а—е) /2а
или, после вычисления интегралов и упрощений,
6=以+施一ё)2-翁，
На графике зависимости 6 от с (рис. 122) деформированию материала из естественного состояния соответствует кривая О А, а деформированию от значения % равного а, до значения —а — кривая АВС. Обе кривые представляют собой дуги парабол. При значении с = — а имеем т. е. знак напряжения 6 становится противоположным тому, который был при £ = +а.
Нетрудно показать, проводя аналогичное рассуждение, что при последующем увеличении деформации £ от —а до +а будем иметь
(а+0/26 =] Ea^da +о(а+0/26 =] Ea^da +о11[—Ea + E(a + с)] 6da + Es—dcc,[—Ea + E(a + с)] 6da + Es—dcc,(а+0/2(а+0/2ВВ
(а+0/2
6 =] Ea^da +
о
(а+0/2
6 =] Ea^da +
о
1
1
[—Ea + E(a + с)] 6da + Es—dcc,
[—Ea + E(a + с)] 6da + Es—dcc,
(а+0/2
(а+0/2
В
В
или
_Е zЕа?
0=石2一 抑(a + 2)+而
(см. кривую CD А на рис. 122).
При с = а вновь получаем
Таким образом, петля гистерезиса состоит из кусков двух парабол. Площадь, ограниченная этой петлей, равна Еа^/^ и представляет собой потерю энергии на одно циклическое деформирование материала.
В теории колебаний систем за меру затухания колебаний принимают отношение потери энергии при одном колебании к полной энергии системы. Последняя пропорциональна квадрату амплитуды колебания. В нашем примере мы имеем, таким образом, затухание, пропорциональное амплитуде.
Не проводя детального исследования, заметим, что можно дать полную картину затухания колебаний с одной степенью свободы, основываясь на изложенном выше представлении материала как совокупности идеально пластических волокон с разными пределами упругости. Пусть, например, стержень длиной 厶 материал которого подчиняется только что описанным законам деформирования, одним концом жестко заделан, а на другом конце несет массу т. Если стержень растянуть, а затем предоставить самому себе, то, пренебрегая собственной массой стержня, придем к дифференциальному уравнению
—dF =—dF =-F ｛欧+ ±(а - £)2-F ｛欧+ ±(а - £)2
—dF =
—dF =
-F ｛欧+ ±(а - £)2
-F ｛欧+ ±(а - £)2
где т — масса, х = d — удлинение стержня, а — первоначальное значение удлинения и F — площадь сечения стержня.
Умножим обе части равенства на 2dx/dt и проинтегрируем по времени. Получим
«а — ж)3«а — ж)3-„ + С-„ + С
«а — ж)3
«а — ж)3
-„ + С
-„ + С
В начальное мгновение, т. е. когда х = Xq = al)скорость конца стержня dx/dt равна нулю. После определения из этого условия постоянной интегрирования С, приходим к соотношению
К концу первого пол уколебания будем вновь иметь dx / dt = 0. Следовательно,
где 力 1 — значение ж к концу первого пол у кол ебания. Произведя сокращение на множитель 力о —力1, отличный от нуля, и введя обозначения 力о/В% = %, 力1 = — (1 —自)力о, приходим к квадратному уравнению для определения 自：
自+ 1/6%(2 Т)2 —% = о,
откуда
延=2% — 3 ±，9 一 12% + 6%2.
Считая параметр % малым и сохраняя перед радикалом знак плюс, так как 0 < ^ < 1, получаем, с точностью до малых порядка %2,
Таким образом, уменьшение амплитуды к концу полуколебания приблизительно пропорционально квадрату начальной амплитуды.
Определение величины ж как функции времени приводит к эллиптическим функциям, и продолжительность пол укол ебания выражается соответствующим эллиптическим интегралом. Трудности, связанные с операциями над эллиптическими функциями, могут быть обойдены при приближенном решении задачи по методу малого параметра, роль которого может играть параметр %, введенный выше.
В качестве второго примера, иллюстрирующего применение статистики к описанию законов деформирования тел, рассмотрим растяжение тела, составленного из волокон, деформирование которого подчиняется закону линейной наследственности
雰 + ТО =+ 6п£.
atat
Модуль быстрых деформирований волокон 6 и модуль весьма медленных деформирований bn/г = с будем считать у всех волокон одинаковыми. Разными у волокон будут, таким образом, коэффициенты релаксации г и пропорциональные им в данном случае коэффициенты последействия п. Если в начальный момент времени 力=0 имеет место с = 0 и о = 0 （естественное состояние волокна）, то закон деформирования волокна может быть записан в виде
t
0（力）=儿（力）-b（r -几）e-Т（ I）2（t）dt.
о
Для среднего напряжения 6 имеем выражение
3（.） = j 卜（t） —
Оо
так как Ьп = сг.
Переставив порядок интегрирования, получим
Вводя обозначение
К（力）=（6 — с） I re~rxp（r）dr^о
приходим к известному закону теории наследственности Больцмана- Вольтерра
6⑴=反⑴-]k（力-T）2（T）丸О
где К（力）—ядро релаксации.
Остановимся на одном частном виде функции распределения 目（丁）. Пусть
'О, 0 < г < а,0（丁）= < m小
а < г < оо < ос <
г
Так как
/、7 f MdrМF
Оа
то из трех величин а, М и а произвольно можно задать лишь две. Далее имеем
К（力）=他—с） I re~rx ^^dr.
Вводя переменную 自 = гх, получим
К（х） = М=^ е飞 J 騎.
При стремлении переменной ж к нулю интеграл, стоящий в правой части равенства, сходится к конечному пределу, так как при 力=0 представляет собой гамма-функцию аргумента а.
Таким образом, при малых значениях переменной ж полученное нами ядро имеет особенность вида 1/жа, следовательно,
W-e)T(a)
"(力(力一t)a 5
если разность 力一工 невелика.
Экспериментальные данные показывают, что ядро релаксации имеет при малых значениях аргумента именно такой характер.
Заметим, что определение функции распределения по данному виду ядра 0(т) приводит к решению интегрального уравнения
(6 — с) re~rxp(r)dr = К(力)о
относительно функции 目(丁).
Интеграл, стоящий в левой части уравнения, представляет собой преобразование Лапласа гр(г).
Применяя известное обращение Меллина, получим для р(г) формулу
(6 — c)rp{r) = f K(x)erx dx.
2兀2 J
Здесь положительное число s выбирается таким, чтобы бесконечная прямая, параллельная мнимой оси, по которой проводится интегрирование, была бы расположена правее всех особых точек ядра К (ж) в комплексной плоскости х.
Существуют способы приближенного подсчета интеграла обращения Меллина, которые пригодны для случая ядра К (ж), заданного таблицей или эмпирической формулой [35].
§ 16. О равнопрочном сечении балки
Согласно элементарной теории сопротивления материалов в каждом нормальном сечении балки, подверженной изгибу, возникают нормальные и касательные напряжения.
Нормальные напряжения представляются формулой
Мх
где М — величина изгибающего момента, ж — расстояние рассматриваемого места сечения от нейтрального слоя (проходящего через
центр тяжести сечения и представляющего в случае простого изгиба плоскость, перпендикулярную плоскости изгибающей пары 7И), / — момент инерции сечения относительно нейтральной линии (прямой пересечения нейтрального слоя с плоскостью сечения).
Касательные напряжения определяются по формуле
_ QS
где Q — перерезывающая сила, развивающаяся в данном сечении, S — статический момент части площади сечения, ограниченной контуром сечения и прямой, параллельной нейтральной линии, проведенной через рассматриваемое место сечения, 6 — ширина отрезка только что упомянутой прямой, находящейся в пределах контура сечения.
Для осуществления условий обеспечения прочности необходимо, чтобы в любом месте сечения выполнялось одно из неравенств, приводимых ниже, в зависимости от выбранной теории прочности [59, 65], а именно:
в случае теории Галилея-Ренкина
孤 I + W°2 +4工2 < 兄，
где Rz — допускаемое напряжение при растяжении;
по теории Сен-Венана
-у-1°| + 冲^，。2 + 4* < Rz,
где v — коэффициент Пуассона;
следуя теории Кулона,
+ 4T2 ， 凡；
согласно теории Мора,
где ^ = Rz /Rd ^ Rd — допускаемое напряжение на сжатие;
исходя из теории Мизеса-Генки
，02 + 3/ ' Rz
и, наконец, по теории одного из авторов [163]
輔I + W°2 +4工2 < 兄.
Все приведенные выше неравенства могут быть объединены в одной формуле:
1 2u，02 + 77K2 ， 几.
Действительно, давая величинам ц и m значения 0 и 4, получим неравенство Галилея-Ренкина; значениям ц = v и m = 4 соответствует неравенство Сен-Венана; ц = 1, m = 4 — Кулона; ц = △, m = 4 — Мора, ц = 1, m = 3 — Мизеса-Генки и ц = 1/2, m = 4 — теория [163].
Возникает вопрос: нельзя ли сечению придать такое очертание, при котором неравенство прочности обратилось бы в равенство во всех его точках, т. е. сечение стало бы равнопрочным?
Для решения этого вопроса предположим, что такое сечение существует. Почти очевидно, что оно должно быть симметричным относительно нейтральной линии и прямой, перпендикулярной этой линии и проходящей через центр тяжести. Примем эти две прямые за оси декартовых координат х и у^ причем ось g — за нейтральную линию.
Тогда имеем
S = 2 g (自)自騎，/ = 4 д ®『延 и Ь = 2у (ж), жО
где а — половина высоты сечения (размер в направлении оси ж), g(力)— половина ширины сечения в месте, находящемся на расстоянии ж от нейтральной линии.
Задача заключается в нахождении у как функции ж из условия, что всюду
-^01 + Ц^，02 + mF =几，
где
2g(詆成
ММ0ММ0QS 二 Q ，
ММ
0
ММ
0
4g(?片庚
Подставляя значения о и т в условие равнопрочности и замечая, что можно считать 7И > 0 и, ж > 0 имеем
1 — ц М 1 + 卩 1丁丁‘ + 丁71 — ц М 1 + 卩 1丁丁‘ + 丁7М^+тy^d^ = RZМ^+тy^d^ = RZ
1 — ц М 1 + 卩 1
丁丁‘ + 丁7
1 — ц М 1 + 卩 1
丁丁‘ + 丁7
М^+тy^d^ = RZ
М^+тy^d^ = RZ
откудаоткудаVrn у （自）自騎=Vrn у （自）自騎=2 丿（1+卩『'2 丿（1+卩『'илиили
откуда
откуда
Vrn у （自）自騎=
Vrn у （自）自騎=
2 丿（1+卩『'
2 丿（1+卩『'
или
или
УУ1 - и 、4
У
У
I——优 ^一 “2优2
2/（1+卩『
Таким образом, функция g（c）, дающая очертание сечения балки, удовлетворяет однородному интегральному уравнению Вольтерра первого рода с ядром
К （ж,自）=К （ж,自）=л/mQ^
К （ж,自）=
К （ж,自）=
1 - н \24
IMx I 専 — M2x2
2 丿（1+卩）2
На прямой х = а ядро обращается в бесконечность. Действительно, из условия прочности волокна, наиболее удаленного от нейтрального слоя （力=а）, следует равенство
牛 а = Rz, или RZI = Ма>
и, следовательно,
2 丿（1+卩『
4M2 /、
=（1 + 卩产 （а 一е）（a + 乩е）,
после чего интегральное уравнение, полученное выше, принимает вид
，у^й （1 + 卩）Q，у^й （1 + 卩）Q2М2М丿у （自）d自.，（a -优）（a +卩优）丿у （自）d自.，（a -优）（a +卩优）
，у^й （1 + 卩）Q
，у^й （1 + 卩）Q
2М
2М
丿у （自）d自.
，（a -优）（a +卩优）
丿у （自）d自.
，（a -优）（a +卩优）
Пользуясь общей теорией интегральных уравнений типа Вольтерра, можно было бы показать, что это уравнение, несмотря на особенность ядра при 力 = а, не имеет решений, отличных от нуля.
Покажем это иным путем, ограничиваясь для простоты случаем теории прочности Кулона, т. е. когда m = 4, ц = 1. В этом случае уравнение принимает вид
У⑺,濕一力2 = gg⑻d^
где введено обозначение q = 2Q/М.
Если бы решение g(力)полученного уравнения существовало, то функция д(с), представляющая это решение, была бы непрерывной и дифференцируемой. Действительно, при разрывной функции g(力) касательное напряжение
T=iv=i-^\^y^ ад
также претерпевало бы разрывы и условие равнопрочности не было бы осуществлено. Дифференцируемость функции g(力)следует из существования производной у интеграла от непрерывной функции. Поэтому, дифференцируя обе части интегрального уравнения, получим
откуда
1 dy _ хqx
У dxа2 —优2,а?—优2
т. е. дифференциальное уравнение для функции у = у (ж). Его первый интеграл имеет вид
In g = — ^ In (а — с) — ^ In (а + с) + Zа?—力2 十 |n q
или, после упрощений.
Здесь С — постоянная интегрирования.
Подставляя найденное решение в интегральное уравнение, приходим к равенству
=-С + С exp (q,濕—力2), откуда получаем, что С = 0. Следовательно, интегральное уравнение не имеет решений, отличных от нуля.
Таким образом, получается любопытный результат: не существует сечения балки, которое было бы равнопрочным во всех своих точках. Этот результат имеет существенное значение для отыскания н айвы годнейшего очертания сечения балки при заданном изгибающем моменте М перерезывающей силе Q и заданном габарите сечения (например, прямоугольника, за пределы которого не должно выходить сечение).
Сечение в заданных габаритах, обладающее минимумом площади при выполнении условий прочности, не может быть равнопрочным во всех точках. Иначе говоря, в условии прочности
+ 7m2 < Rz
для отдельных зон сечений будет иметь место знак неравенства.
§17. Об остаточных напряжениях при крутке
Задача об отыскании остаточных напряжений в круглом пруте при кручении за предел упругости элементарна, если считать, что прут имеет бесконечно большую длину и его поверхность свободна от напряжений. В этом случае, который рассматривался многими авторами, сечения, нормальные к оси прута, остаются плоскими и не искажаются в плане, т. е.
£г = 0, £0 = 0, уг0 = 0. (2.17.1)
Здесь и в дальнейшем будем пользоваться цилиндрической системой координат tBz, ось z которой является одновременно и осью прута [36]. Так как при кручении прута сечения остаются на неизменном расстоянии друг от друга и лишь поворачиваются вокруг оси прута, то
Таким образом, единственной, не равной нулю компонентой деформации оказывается 衣^ выражение для которой, согласно известной формуле сопротивления материалов, имеет вид 工,
衣8 =白一⑵ 17.3)
где 2 — так называемый погонный угол крутки. /
При кручении прута за предел упругости напряжение т20 определяется в зависимости от деформации у2е по диаграмме/
т = т (у)(2.17.4)¥
для каждого конкретного материала (рис 123.).Р”с 侬
Последняя строится исходя из экспериментально устанавливаемой за
висимости
06 —06(G),06 —06(G),(2.17.5)
06 —06(G),
06 —06(G),
где Oj и £j — соответственно так называемые интенсивность напряжений и интенсивность деформаций [24]. Применительно к данному случаю
0£ =Т碇禽，G =木衣8・(2.17.6)
Зависимость (2.17.4) может быть получена и непосредственно, а именно при кручении за предел упругости полых тонкостенных труб.
Крутящий момент, соответствующий данной крутке цилиндрического образца, представляется формулой
Мкр = 2л^ xZQr2dr.(2.17.7)
о
Считая здесь в соответствии с (2.17.4) т20 функцией у2е и производя, согласно (2.17.3), замену переменной интегрирования г на 衣^ получим
Ya
”кр = |^]。⑺『办.(2.17.8)
о
Здесь для краткости переменная интегрирования обозначена через % а верхний предел % представляет собой значение у2е при г = а. Так как согласно (2.17.3)
% = »а,(2.17.9)
то Мкр может быть представлен в виде
Мкр = 2тшЗф&),⑵ 17.10)
где функция
Ya
①(加)=4 ［。⑺寸办(2.17.11)
О
может быть заранее построена по известной для данного материала диаграмме (2.17.4) чистого сдвига т = т (у). В случае крутки в пределах упругости
。⑺=G%(2.17.12)
и формула (2.17.10) при учете соотношения (2.17.9) и выражения (2.17.11) для функции Ф (加)приводится к известному виду
Мкр = GIp3 Ip = I ла4.⑵ 17.13)
Здесь G — модуль упругости сдвига.
Обозначим через % предел упругости при сдвиге. Очевидно, что формула (2.17.13) справедлива, пока
Стах = / Р ° < %, ИЛИ ^кр，⑵ 17.14)
После перехода за предел упругости можно, согласно (2.17.10) и (2.17.11), по заданному крутящему моменту Мкр определить угол сдвига % и далее, используя (2.17.9), найти погонный угол крутки 合.
При снятии крутящего момента происходит так называемая упругая разгрузка, подчиняющаяся закону
^-^ = G^Z.-^.(2.17.15)
Здесь 5 и у2е — напряжение и деформация, которые имели место при действии крутящего момента Мкр1 丛 и у^е — остаточные напряжение и деформация. Если скручивающий момент снят полностью, то
^nr2dr = 0.(2.17.16)
о
Заметим, что в соответствии с (2.17.3)
端=25⑵17.17)
где 2° — остаточный погонный угол крутки.
Интегрируя обе части равенства (2.17.15) по г в пределах от 丁 = 0 “о 丁 = а, предварительно умножив их на 2兀丁2 и используя соотношения (2.17.7), (2.17.3), (2.17.17) и (2.17.13), получим, с учетом равенства (2.17.16):
Мкр = GIP ®-№).⑵ 17.18)
Отсюда имеем формулу для остаточной крутки:
2。=»—僚.⑵ 17.19)
Зная 2°, можно найти, согласно (2.17.3), (2.17.15), (2.17.17) и (2.17.18), закон изменения остаточных напряжений 丛 по сечению прута. Имеем
以=(2.17.20)
Все остальные компоненты напряжений равны нулю как при действии крутящего момента, так и после его снятия, ибо соответствующие им компоненты деформаций (2.17.1) и (2.17.2) остаются без изменения.
На рис. 124 показана эпюра напряжений т2е в случае прута из
материала, лишенного упрочнения. Диаграмма для такого материала приведена на рис. 125.
Можно показать, что в этом случае крутящий момент Мкр связан с углом погонной крутки соотношением
必。= 2曰偿-鳥)，4竽〉мр〉辱'⑵17.21)
где % — предел текучести материала.
Пластическая деформация возникает в зоне
г > rs,г > rs,⑵ 17.22)⑵ 17.22)
г > rs,
г > rs,
⑵ 17.22)
⑵ 17.22)
где rs определяется из условия
⑵ 17.23)⑵ 17.23)GM% = %.
⑵ 17.23)
⑵ 17.23)
Остаточная погонная крутка находится по формуле (2.12.19).
Пример 1. Если крутящий момент равен
“31 з
то 2 = 2ts/aG и зона пластической деформации начинается на расстоянии rs = а/2 от оси прута.
Эпюра остаточных напряжений 丛 показана на рис. 126. Напряжения 丛 достигают по модулю максимума в двух местах: на расстоянии 丁 = а/2 от оси прута, где
о I
°ze|r=a/248“，
и у боковой поверхности прута, где
77
7
7
равенравен2 =2 =48 Мкр 乳苏,48 Мкр 乳苏,
равен
равен
2 =
2 =
48 Мкр 乳苏,
48 Мкр 乳苏,
Угол крутки 2 за пределом упругости в рассматриваемом примере
а угол остаточной крутки определяется формулой
1717 % = 17 т5
森"= з! Щ7 =方訴.
Рассмотрим более сложную задачу об отыскании остаточных деформаций и напряжений в круглом полубесконечном пруте и в пруте конечных размеров.
Будем предполагать, что полу-
бесконечный прут, а также прут конечных размеров образуются из бесконечно длинного прута (скрученного за предел упругости и далее разгруженного) посредством нормальных к его оси плоских разрезов, не сопровождающихся заметной дополни тельной пластической дефор
мацией.
Вблизи разрезов закон распределения остаточных напряжений существенно отличается от соответствующего закона в случае бесконечно длинного прута, так как на торцевых сечениях напряжения “ обращаются в нуль. Кроме того, появляются остаточные напряжения т% которые в бесконечно длинном пруте отсутствовали. В наличии этих напряжений нетрудно убедиться, если рассмотреть равновесие части прута (рис. 127), ограниченного торцом, каким-либо другим нормальным сечением и цилиндрической поверхностью г = г^ < а. По сече-
Рис. 127
нию, не являющемуся торцом, действуют остаточные напряжения “, создающие момент относительно оси z (этот момент равен нулю лишь при 丁1 = а). С другой стороны, напряжения т2е на торце отсутствуют. Следовательно, равновесие рассматриваемой части возможно лишь при наличии напряжений тг05 действующих по цилиндрической поверхности 丁 = 丁1 ц создающих противоположный момент вокруг оси z.
Остаточные напряжения тг0 обусловливают искажение сечений в их плоскости, так как соответствующая им компонента деформации Хе будет теперь отлична от нуля. Это означает, что радиусы сечений искривятся. В результате, как будет показано ниже, в цилиндрических слоях, состоящих из волокон, расположенных вблизи оси прута, крутка по сравнению с бесконечно длинным прутом уменьшается. Наоборот, в цилиндрических слоях, расположенных ближе к боковой поверхности, крутка увел и ч и вается.
Любопытно отметить, что если разрезы сделаны весьма близко друг к другу, то остаточная крутка внутренних слоев, не претерпевших пластических деформаций, окажется равной нулю. Крутка же слоев волокон, которые имели деформацию за предел упругости, будет определяться только величиной пластической (в данном случае и остаточной) деформации. Напряжение тг0 при этом отсутствует.
Обозначим через и (г, z) остаточное перемещение 吟 отсчитываемое от исходного состояния прута до его деформации за предел упругости и последующей разгрузки. Перемещения и^. и и^ в нашем случае равны нулю.
Отличные от нуля остаточные деформации 总 и у^е выражаются через и (г, z) формулами
о _ дщ 1 ди* _ ди
⑵ 17.24)⑵ 17.24)= ^前=而，
⑵ 17.24)
⑵ 17.24)
За； + 1 ди^tzq _ ди〃
dr г ^0丁 drг
представляющими общеизвестные выражения компонент тензора деформаций в цилиндрических координатах [24] с учетом равенств Uq = =и (г, г) , 〃2 = 〃2 = 0. В соответствии с законом упругой разгрузки
⑵ 17.25)⑵ 17.25)be — We = G(Хгб — *е)，тГ0 — т^0 = G (уге — Ур0).
⑵ 17.25)
⑵ 17.25)
Здесь, аналогично (2.17.15), “，тг0 и у2е, уг0 — напряжения и деформации, которые имели место при кручении за предел упругости бесконечно длинного прута заданным крутящим моментом 7Икр; через 丛，理 и Y?e，*е обозначены остаточные напряжения и деформации в полубесконечном и конечном куске прута после снятия момента Мкр и последующих разрезов. В (2.17.25) следует положить
т「е = 0, Хе = 0, Y^o = »〃，、
⑵ 17.26)
be =t @8)=工(白丁)= Qe (丁)，
где величину погонной крутки 2 (до разгрузки прута) и функцию т^е (г) можно определить, пользуясь формулами и соотношениями (2.17.8), ⑵ 17.9),⑵ 17.3) и ⑵ 17.4).
Из (2.17.25), используя (2.17.26), получаем теперь
We = be (丁)- G^r + GyM，工^ = G*e・(2.17.27)
Заменяя здесь остаточные деформации у* и 囁 их выражениями согласно (2.17.24), имеем
$е = %е (丁) - G*t + G^,
、⑵ 17.28)
Напряжения 丛 и 碎е должны удовлетворять уравнению равновесия
挚 + 争+ @ = 0.⑵ 17.29)
or oz r''
Подставляя (2.17.28) в (2.17.29), получим после очевидных упрощений дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных
д-и 1 ди 〃 д-и/、
歹 ++⑵ 17.30)
для отыскания функции и (г, z).
Будем искать решение (2.17.30) в виде
и = ^rz + £(4 ch 于 + & sh 于)Л (*)⑵ 17.31)
для куска прута конечных размеров и
u = ^rz^^Cke~akaJ1 (*)⑵ 17.32)
—для полубесконечного прута.
Формулы (2.17.31) и (2.17.32) легко получаются при интегрировании уравнения (2.17.30) посредством метода разделения переменных. При этом учитывается, что перемещение и (г, z) обращается в нуль на оси прута (т. е. при г = 0) и, кроме того, отбрасывается слагаемое, соответствующее повороту прута без деформации. При непосредственной проверке формул (2.17.31) и (2.17.32) подстановкой в уравнение (2.17.30) необходимо учесть, что дифференциальное уравнение бесселевой функции первого порядка имеет вид
〃 (Хж) + 3 J； (Хж) + (九2 —J】(九力)=°.(2.17.33)
Выражения (2.17.28) для остаточных напряжений прута конечной длины принимают теперь, после использования формулы (2.17.31), следующий вид:
丛=%е (丁)- G»t + G»*t+
+ G£(4sh* + &ch*)*(*),⑵ 17.34)
点=吓点=吓Rch* + &sh*)x
点=吓
点=吓
⑵ 17.35)
Если использовать известное соотношение теории бесселевых функций,
九力4 (九力)=nJn (大力)-九力j九+i (九力),⑵17.36)
положив в нем n = 1, 九 = o^/a, 力 = 丁, то формулы (2.17.34) и (2.17.35) приведутся к виду
Ее =、е (丁)- G(^-^)r +
+ ^ £ ^(4 sh 于 + Bk ch 乎卜1(2.17.37)
Te = -^工^(4ch* + B〃sh 学)丿2 (*) •
Соответствующие формулы для полубесконечного прута, если в (2.17.28) подставить соотношения (2.17.32) и сделать аналогичные выкладки, таковы:
We = be (丁) 一 G (合一》*) 丁 一 ^ £ SkCkLgaj、
。⑵ 17.38)
壅=-^ £ akCke~^/aJ2 (号)•
На боковой поверхности г = а остаточное напряжение т% отсутствует. Это приводит к трансцендентному уравнению
丿2(期)=0(2.17.39)
для отыскания корней м；.
Первые пять отличных от нуля корней уравнения (2.17.39) суть
«1 = 5.136; «2 — 8.417; осз = 11.620;
⑵ 17.40) ос4 = 14.796; ос5 = 17.960.
Для определения коэффициентов 4 и Bk следует воспользоваться условием обращения в нуль остаточных напряжений 叁 на торцах прута конечной длины, т. е. при
На основании формулы (2.17.34) на торцах получимНа основании формулы (2.17.34) на торцах получимО = “ (г) - G^r + G^r + G £ 豈玖 А ( * ),⑵ 17.42)О = “ (г) - G^r + G^r + G £ 豈玖 А ( * ),⑵ 17.42)0 = Qe (r) - G^r + G^r + G0 = Qe (r) - G^r + G^r + Gsh ¥ + 母 ch Jish ¥ + 母 ch Ji⑵ 17.43)⑵ 17.43)Умножим правые части соотношений (2.17.42) и (2.17.43) на 2兀丁2 и далее проинтегрируем их в пределах от 丁 = 0 “о 丁 = а. Используя при п = 2 формулу теории бесселевых функцийУмножим правые части соотношений (2.17.42) и (2.17.43) на 2兀丁2 и далее проинтегрируем их в пределах от 丁 = 0 “о 丁 = а. Используя при п = 2 формулу теории бесселевых функцийxnJn_i (Хж) dx = ^xnJn (九力) и учитывая равенство (2.17.39), имеемxnJn_i (Хж) dx = ^xnJn (九力) и учитывая равенство (2.17.39), имеем(2.17.44)(2.17.44)⑵ 17.45)⑵ 17.45)Таким образом, в обоих случаях получаем?442兀卜ze (г) г1 dr - G»* + G»** = 0. оУчитывая (2.17.7) и (2.17.13), имеемТаким образом, в обоих случаях получаем?442兀卜ze (г) г1 dr - G»* + G»** = 0. оУчитывая (2.17.7) и (2.17.13), имеем⑵ 17.46)⑵ 17.46)»*=»—"кр/С/р.»*=»—"кр/С/р.⑵ 17.47)⑵ 17.47)
На основании формулы (2.17.34) на торцах получим
На основании формулы (2.17.34) на торцах получим
О = “ (г) - G^r + G^r + G £ 豈玖 А ( * ),⑵ 17.42)
О = “ (г) - G^r + G^r + G £ 豈玖 А ( * ),⑵ 17.42)
0 = Qe (r) - G^r + G^r + G
0 = Qe (r) - G^r + G^r + G
sh ¥ + 母 ch Ji
sh ¥ + 母 ch Ji
⑵ 17.43)
⑵ 17.43)
Умножим правые части соотношений (2.17.42) и (2.17.43) на 2兀丁2 и далее проинтегрируем их в пределах от 丁 = 0 “о 丁 = а. Используя при п = 2 формулу теории бесселевых функций
Умножим правые части соотношений (2.17.42) и (2.17.43) на 2兀丁2 и далее проинтегрируем их в пределах от 丁 = 0 “о 丁 = а. Используя при п = 2 формулу теории бесселевых функций
xnJn_i (Хж) dx = ^xnJn (九力) и учитывая равенство (2.17.39), имеем
xnJn_i (Хж) dx = ^xnJn (九力) и учитывая равенство (2.17.39), имеем
(2.17.44)
(2.17.44)
⑵ 17.45)
⑵ 17.45)
Таким образом, в обоих случаях получаем
?44
2兀卜ze (г) г1 dr - G»* + G»** = 0. о
Учитывая (2.17.7) и (2.17.13), имеем
Таким образом, в обоих случаях получаем
?44
2兀卜ze (г) г1 dr - G»* + G»** = 0. о
Учитывая (2.17.7) и (2.17.13), имеем
⑵ 17.46)
⑵ 17.46)
»*=»—"кр/С/р.
»*=»—"кр/С/р.
⑵ 17.47)
⑵ 17.47)
Сравнение этой формулы с (2.17.19) дает равенство
2* = 2°.2* = 2°.⑵ 17.48)
2* = 2°.
2* = 2°.
Последнее означает, что член 合*tz в формуле (2.17.31) определяет остаточные перемещения бесконечно длинного прута до разреза его по сечениям (2.17.41).
В теории бесселевых функций известны формулы
(X2 - h2) ] xJn (Iж) Jn (!i力)dx =x [IiJn (大力)/ (1i力)-九J九(й力)/ (九力)], о
(2.17.49)
jж [Jn (九力)]2 dx = ^ {[% (Хж)]2 + о
Исключая из них производные от бесселевых функций Jn (九力)и Jn (|i力)посредством равенства (2.17.36), приходим к соотношениям
(X2 — ц2) ] xJn (Хж) Jn (цж) dx = о
=x [九丿九+](九力)丿九(цж) 一 nё^П+1 (h*^) Jn (九力)],⑵ 17.51)
]ж [Jn (大0)]2 dx = о
-2^-2^⑵ 17.52)⑵ 17.52)
-2^
-2^
⑵ 17.52)
⑵ 17.52)
Заменяя в этих соотношениях переменную интегрирования ж на г, принимая верхний предел интегрирования равным а и, кроме того, считая 九=ас/а, |1 = ock/а, п = 1 и учитывая (2.17.39), получим формулы
⑵ 17.53)⑵ 17.53)⑵ 17.54)⑵ 17.54)
⑵ 17.53)
⑵ 17.53)
⑵ 17.54)
⑵ 17.54)
Умножим теперь правые части соотношений (2.17.42) и (2.17.43) на 丁丿1 (色丁) и проинтегрируем их в пределах от 丁 = 0 “о 丁 = а. Приняв во внимание формулы (2.17.53) и (2.17.54), а также (2.17.45), имеем
⑵ 17.55)⑵ 17.55)О = т.е (г) Л ^r) rdr + G^^g [Л (ос,)]2 , о
⑵ 17.55)
⑵ 17.55)
0—、8 (丁)J1о0—、8 (丁)J1оrdr^G- аrdr^G- а(4 sh ? + 0 ch(4 sh ? + 0 chу [J1 (&)『•у [J1 (&)『•⑵ 17.56)⑵ 17.56)
0—、8 (丁)J1о
0—、8 (丁)J1о
rdr^G- а
rdr^G- а
(4 sh ? + 0 ch
(4 sh ? + 0 ch
у [J1 (&)『•
у [J1 (&)『•
⑵ 17.56)
⑵ 17.56)
Решая уравнения (2.17.55) и (2.17.56) относительно Д^ и Bj и меняя индекс г на к, получимРешая уравнения (2.17.55) и (2.17.56) относительно Д^ и Bj и меняя индекс г на к, получим2卷筒…(号"г,ОВ—Ga 工/“(「)/(*"О2卷筒…(号"г,ОВ—Ga 工/“(「)/(*"О⑵ 17.57)⑵ 17.58)⑵ 17.57)⑵ 17.58)В случае полубесконечного прута в результате подобных же выкладок получаемВ случае полубесконечного прута в результате подобных же выкладок получаем
Решая уравнения (2.17.55) и (2.17.56) относительно Д^ и Bj и меняя индекс г на к, получим
Решая уравнения (2.17.55) и (2.17.56) относительно Д^ и Bj и меняя индекс г на к, получим
2卷筒…(号"г,О
В—Ga 工/“(「)/(*"О
2卷筒…(号"г,О
В—Ga 工/“(「)/(*"О
⑵ 17.57)
⑵ 17.58)
⑵ 17.57)
⑵ 17.58)
В случае полубесконечного прута в результате подобных же выкладок получаем
В случае полубесконечного прута в результате подобных же выкладок получаем
Таким образом, задача об отыскании функции и (г, z) свелась к отысканию определенных интегралов, входящих в состав формул ⑵ 17.57) и ⑵ 17.58) или ⑵ 17.60).
Величина поворота какой-либо элементарной площадки сечения прута выражается формулой
8=^(招 + 力・(2.17.61)
Подставляя сюда выражение и (г, z) согласно (2.17.31) и используя (считая п = 1) формулу теории бесселевых функций
九力4 (九力)+ nJn (九力)=XxJn_i (Хж),(2.17.62)
получим для со выражение
一% + h(*若 + &曲*)^(*).一% + h(*若 + &曲*)^(*).⑵ 17.63)⑵ 17.63)
一% + h(*若 + &曲*)^(*).
一% + h(*若 + &曲*)^(*).
⑵ 17.63)
⑵ 17.63)
⑵ 17.64)⑵ 17.65)⑵ 17.64)⑵ 17.65)
⑵ 17.64)
⑵ 17.65)
⑵ 17.64)
⑵ 17.65)
В частности, для сечения z = 0 имеем в центре прута (г = 0)
а у боковой поверхности (г = а)
①=；£ ^AkJo (aQ.
Для полубесконечного прута в свою очередь имеет место формула
①= 2% + ；E貴以ёf ""丿。①= 2% + ；E貴以ёf ""丿。⑵ 17.66)⑵ 17.66)
①= 2% + ；E貴以ёf ""丿。
①= 2% + ；E貴以ёf ""丿。
⑵ 17.66)
⑵ 17.66)
В случае идеально пластического материала функция 工敬(г) (см. пример 1) имеет вид
be (丁) = G^r при г < rs,be (丁) = G^r при г < rs,、е(т)=% при 丁〉％,、е(т)=% при 丁〉％,⑵ 17.67)⑵ 17.67)
be (丁) = G^r при г < rs,
be (丁) = G^r при г < rs,
、е(т)=% при 丁〉％,
、е(т)=% при 丁〉％,
⑵ 17.67)
⑵ 17.67)
причемпричемОпределение постоянных 4, В^ или Ск требует знания мулы (2.17.57), (2.17.58) и (2.17.60)) значений интеграловОпределение постоянных 4, В^ или Ск требует знания мулы (2.17.57), (2.17.58) и (2.17.60)) значений интегралов(см. фор-(см. фор-
причем
причем
Определение постоянных 4, В^ или Ск требует знания мулы (2.17.57), (2.17.58) и (2.17.60)) значений интегралов
Определение постоянных 4, В^ или Ск требует знания мулы (2.17.57), (2.17.58) и (2.17.60)) значений интегралов
(см. фор-
(см. фор-
卜ze(T)= Л (*)小, о卜ze(T)= Л (*)小, о⑵ 17.68)⑵ 17.68)
卜ze(T)= Л (*)小, о
卜ze(T)= Л (*)小, о
⑵ 17.68)
⑵ 17.68)
каждый из которых разбивается на два, а именно:
rdr иrdr иrdr.rdr.⑵ 17.69)⑵ 17.69)rs
rdr и
rdr и
rdr.
rdr.
⑵ 17.69)
⑵ 17.69)
G^r ^ о
Первый из них, согласно формуле (2.17.44), равен
⑵ 17.70)
Интегрируя по частям и используя соотношение, которое следует из (2.17.36) при п = 0, а именно
⑵ 17.71)⑵ 17.71)
⑵ 17.71)
⑵ 17.71)
второй интеграл (2.17.69) можно привести к виду
а/ 一а/ 一—aJo (期)+ % Jo ( ； $)—aJo (期)+ % Jo ( ； $)d<.(2.17.72)d<.(2.17.72)
а
/ 一
а
/ 一
—aJo (期)+ % Jo ( ； $)
—aJo (期)+ % Jo ( ； $)
d<.(2.17.72)
d<.(2.17.72)
Таким образом, учитывая также (2.17.67), получим чтоТаким образом, учитывая также (2.17.67), получим чтоЗдесь для интеграла от функции J。(z) введено обозначениеЗдесь для интеграла от функции J。(z) введено обозначениеJ* (z) = Jo ⑶ dz.оJ* (z) = Jo ⑶ dz.о⑵ 17.74)⑵ 17.74)
Таким образом, учитывая также (2.17.67), получим что
Таким образом, учитывая также (2.17.67), получим что
Здесь для интеграла от функции J。(z) введено обозначение
Здесь для интеграла от функции J。(z) введено обозначение
J* (z) = Jo ⑶ dz.о
J* (z) = Jo ⑶ dz.о
⑵ 17.74)
⑵ 17.74)
Согласно известной рекуррентной формуле теории бесселевых функций
⑵ 17.75)⑵ 17.75)4+1 (z) + Jn-1 (г) = фл ⑶•
⑵ 17.75)
⑵ 17.75)
Используя эту формулу при гг = 1, получим окончательно
Qe (г) Ji оQe (г) Ji о
Qe (г) Ji о
Qe (г) Ji о
=^^ 2/ (藹^) - щ； Jo(0Ck) + J*(0Ск) 一 J* (禺^) • (2.17.76)
Посредством формулы (2.17.76) выражения (2.17.57), (2.17.58) и (2.17.60) для коэффициентов 人， 瓦 网 Ck можно преобразовать к виду
-Ck = Bk = -Ак cth一х
2а Ga^JlM
хх2Ji2Ji—щ； J。(aQ + J* (aQ — J*—щ； J。(aQ + J* (aQ — J*⑵ 17.77)⑵ 17.77)
х
х
2Ji
2Ji
—щ； J。(aQ + J* (aQ — J*
—щ； J。(aQ + J* (aQ — J*
⑵ 17.77)
⑵ 17.77)
Дальнейшие расчеты по формулам (2.17.63) или (2.17.66) сводятся к простым вычислениям.
Пример 2. Определим, какие остаточные деформации и напряжения окажутся в пруте, рассмотренном в примере 1, если его разрезать на две полубесконечные части. В примере было rs = а/2 и, следовательно, в соответствии с (2.17.77)
Ск —Ск —2ts а 1G a^jl (осд.)2ts а 1G a^jl (осд.)2Ji2Ji310(%)+ J* (%)-J*310(%)+ J* (%)-J*
Ск —
Ск —
2ts а 1
G a^jl (осд.)
2ts а 1
G a^jl (осд.)
2Ji
2Ji
310(%)+ J* (%)-J*
310(%)+ J* (%)-J*
Пользуясь таблицами бесселевых функций [8], получаем, используя （2.17.40）, следующие значения первых четырех коэффициентов:
& =警 0.0556, Q = -^0.0116,
Оз =—警 0.0008, & =-警 0.0004.
Заметим, что значения функции J* （ж） при ж > 1.00 не табулированы и их приходится вычислять [8] по формуле
J* （ж） = Jo （ж） dx = ^ [Jo （ж） Яо （力）+ / （力）％ ⑺]= о
=^{J。з）；一81（*）+/（力）8。（力）}
или посредством численного интегрирования функции Jo （力）・
На основании （2.17.32） имеем для нашего примера формулу для перемещений
и = ^rz + 警 0.0556е—5」36z/a/（5.136：）-
-0.0116е-8Л172/а Ji（8.417：） - O.m8e~U Q2Oz/a^ （11.620：）-
-0.0004eT4.796z/aj] （14.796 0 ,
и, согласно примеру 1,
5 — 24aG —
Заметим, что в нашем примере rs = — следовательно,
% = G»% = G^%
где 2 — угол погонной крутки при первоначальном деформировании за предел упругости.
Оставляя только два члена в разложении по бесселевым функциям, имеем
и = а?» 0.3542/ +0.0556А（5.136小 &一5」36z/a —
-0.0116J1 卜・4吗）8.4ga
Поворот элементов прута определяется формулой （2.17.66）, которая для нашего примера принимает вид
со （г, г） = а» 0.3542| +0.1428J0（5.136：）5」36z/a —
-O.O488Jo（8.417：） е~^^/^ + ....
Для сечения z = 0 имеем при 丁 = 0 и при г = а соответственно
со （0, 0） = 0.0940а», со （0, а） = —0.0220а».
Определим, наконец, остаточные напряжения в элементах сечений z = 0, г = а/2 и z = а. Для этого следует воспользоваться формулами （2.17.38）, которые в нашем примере приводятся к виду
点=“ （г） - Цбйг + G»a —0.2856е-5」36z/a J】（5.136小 +
+ 0.0976/（8.417：） 8/ga + ...,
霓=G»a —0.2856e-5」36z/aj2（5.136：） +
+ 0.0976/（8.417；） 8/ga + ..., где функция т^е （г） в соответствии с примером 1 определяется формулами
“（丁）= G^r при 0，丁，а/2,
Qe （丁） = G»a/2 = % = const, когда a ^ r ^ a/2.
Безразмерные значения напряжений т% и 以 приводятся в табл. 5 и 6; см. также графики （рис. 128 и 129）.
Таблица 5
Z
г/а
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0
0
0.0012
0.116
0.276
0.250
0
а/4
0
0.0120
0.0463
0.0765
0.0604
0
а/2
0
0.0044
0.0146
0.0212
0.0156
0
а
0
0.0004
0.0012
0.0016
0.0011
0
Таблица 6
Z
г/а
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
а/4
0
0.0426
0.0986
0.0841
-0.0092
-0.116
а/2
0
0.0619
0.129
0.105
-0.0143
-0.138
а
0
0.0701
0.141
0.112
-0.0165
-0.145
ОО
0
0.708
0.142
0.113
-0.0167
-0.146
Как видно из графиков, а также табл. 5 (значения т^е/т5) и табл. 6 (значения ^/G^a), остаточные напряжения в сечениях, расположенных на расстоянии радиуса от края прута, почти не отличаются от соответствующих напряжений в полубесконечном длинном пруте.
§ 18. Трение качения
Впервые трение качения изучалось А. Кулоном [225], установившим экспериментально зависимость трения качения от силы давления катка на основание (грунт), по которому каток перемещается. А. Морен [73] в результате своих экспериментальных исследований дал для силы трения качения F формулу
F =九Q /凡
где Q — сила давления катка на основание, R — радиус катка и X — коэффициент, имеющий размерность длины, называемый коэффициентом трения качения.
Дюпюи [71] заметил, что коэффициент трения качения Хне является для разных материалов величиной постоянной и, кроме того, зависит от радиуса катка. На основании своих опытов он заключил, что
九=сд/^5
и формула для силы трения качения приняла у него вид
F = cQ/R.
О. Рейнольдс [241] объяснил возникновение силы трения качения при перекаты ван и и абсолютно упругого катка по абсолютно упругому основанию отн оси тел ьн ы м скольжением соприкасающихся поверхностей вследствие их деформации.
Г. Фромм [228] на основании теории Рейнольдса, сводившей изучение трения качения к изучению трения скольжения в соприкасающихся поверхностях, решил задачу о подсчете силы трения при фрикционной передаче.
Трение при качении по не вполне упругим основаниям теоритически не рассматривалось.
В настоящей работе изучается качение абсолютно жесткого катка по релаксирующему и упруговязкому грунтам. Возникновение силы трения объясняется при этом несимметричным распределением сил давления катка на грунт по поверхности соприкосновения.
Законы, которым подчиняются напряжения и деформации в релаксирующем и упруговязком грунтах, выбраны наиболее простыми. Математическая формулировка их аналогична известным законам релаксации и упруговязкого течения, данным Максвеллом [234] и Томпсоном [243].
Пусть каток шириной 6 и радиусом R катится без скольжения с постоянной скоростью с по деформируемому грунту.
В этом случае все силы, действующие на каток, который примем абсолютно жестким, уравновесятся. Эти силы следующие (рис. 130).
Силы, извне приложенные к катку (включая силу тяжести), которые, будучи приведены к геометрическому центру катка, образуют пару с моментом L, горизонтальную силу F и вертикальную силу Q (силу давления на грунт).
Сила сцепления грунта с катком F', удерживающая каток от скольжения и обусловленная, главным образом, трением первого рода поверхностей катка и грунта.
Распределенные по поверхности соприкосновения катка с грунтом вертикальные силы реакции грунта на каток. Удельное давление R, производимое этими силами, будем считать постоянным вдоль образующих цилиндрической поверхности катка и зависящим лишь от расстояния 自 до вертикальной плоскости, проходящей через ось катка. Поверхность соприкосновения катка с грунтом представляет часть цилиндрической поверхности, передний край которой удален от вертикальной плоскости, проходящей через ось катка, на некоторое расстояние 自2〉0 (начало соприкосновения катка с грунтом), а задний на расстояние ^ < 0 (конец соприкосновения).
Условия равновесия сил, приложенных к катку, имеют вид
R 一加=0, Q —］如(自)騎=0, L + RR —］如(自)自騎=0
(с малой погрешностью, происходящей за счет искривленности поверхности соприкосновения).
Для ведомого колеса момент L = 0 и последнее уравнение определяет силу F, необходимую для поддержания постоянной скорости с движения катка:
R =互]如(自光騎.
Сила F называется силой трения качения, а произведение FR = =М — моментом трения качения. Таким образом,
m =\如(詆騎.
Сила трения качения возникает вследствие некоторого смещения 九 равнодействующей сил давления грунта на каток в сторону движения благодаря отсутствию симметрии поверхности соприкосновения (自2 > I自i|) и неравномерного распределения сил давления по этой поверхности. Это смещение 九 может быть найдено из соотношения
F R =九 Q
и представляет собой плечо трения или коэффициент трения качения.
Если же каток ведущий, то к нему приложен движущий момент L, а сила F, направленная в сторону, обратную движению кат- ка(см. рис. 130, пунктир), представляет собой сопротивление объекта, приводимого катком в движение.
Третье уравнение равновесия (равенство нулю суммы моментов всех сил относительно наинизшей точки катка) приводит при этом к равенству
L = FR + ] bp(誰 dg.
Здесь FR представляет момент полезного сопротивления, а формула для момента трения М остается точно такой же, как и выше.
Для осуществления качения необходимо, чтобы имело место неравенство
F, = F< fQ,
где / — коэффициент трения скольжения поверхности катка по поверхности грунта. Иначе возникает проскал ьзы ван и е.
При движении катка самая низкая точка А опустится ниже поверхности недеформированного грунта на некоторую глубину 次，представляющую одновременно осадку грунта под осью катка (рис. 131). Осадка
в некоторой другой точке В с точностью до малых четвертого порядка равна так как
П =足一自2^ 亲 2 и у = у。一 п.
Здесь ^ и г| — координаты точки грунта В относительно подвижной системы координат 自”，начало которой находится в наинизшей точке катка Д, а ось “ вертикальна. Так как эта система координат перемеща
ется поступательно со скоростью с вправо вместе с катком, то абсцисса 自 точки В с течением времени уменьшается и, очевидно, dg/d力 = —с. Поэтому скорость оседания грунта в какой-либо точке В под катком составляет величину
也=一丄空=9乙
dt - 2R ^ dt -
Заметим, что производную по времени от удельного давления катка на грунт можно выразить через производную по абсциссе 自 соответствующей точки грунта. Действительно,
dp _ dp d^ _ dp
dt d^ dt 0
В начале соприкосновения катка с грунтом （自=&〉0） осадка g равна нулю （это будет следовать из законов, которым подчиняется грунт） и, следовательно, 0 = 次 一 酸/2凡 откуда
Уо —遂/2R.
В конце соприкосновения （自=自1 < 0） осадка, вообще говоря, не нуль, но удельное давление следует считать равным нулю, так как
грунт в этом месте отходит от катка. Таким образом,
0(自1) = 0 (自1 < 0) •
Что касается удельного давления в начале соприкосновения (自=自2〉0), то оно может быть и равно нулю и отлично от нуля в зависимости от того, какому закону подчиняется грунт.
Релаксирующим грунтом будем называть грунт, подчиняющийся закону
0 = Ку + 噜,
где К и |i — физические константы грунта. Константу К (размерность кг/см3) назовем модулем жесткости грунта, а ц (размерность кгс/см3) — коэффициентом внутреннего трения. Площадка такого грунта, нагруженная постоянным давлением 九 опускается вниз. При этом из дифференциального уравнения
噜+长沙=01
следует
и при любых начальных данных осадка с течением времени стремится к значению gi = pj /К. Если нагрузку 力 снять, то согласно тому же дифференциальному уравнению получим
и через каждый интервал времени Т =(i/К, называемый периодом релаксации, осадка будет уменьшается в е ^ 2.72 раза.
Таким образом, релаксирующий грунт ведет себя аналогично абсолютно упругому основанию теории балок), если рассматривать достаточно большие промежутки времени действия нагрузок. Из равенства У1 = 01 /К следует возможность излома и разрыва поверхности при кусочно непрерывной нагрузке на грунт 九 что представляет определенный недостаток принятого закона реологического поведения грунта. Это может быть устранено введением соответствующих функций влияний осадки одной точки грунта на осадку других и сведением задачи к интегральным уравнениям, как это было сделано в теории балок К. Вигхардом [245].
При качении абсолютно жесткого катка по релаксирующему грунту с постоянной скоростью удельное давление согласно вышеизложенному распределяется по поверхности соприкосновения следующим образом: p = ку + !1穿=k （次一+吟自.
Сила давления катка на грунт будет выражаться формулой
Q = j 如（自）d^ = b^K 0o 自2 — ||） — К ^o^i - ^） + ^ 信—言）｝ а момент трения соответственно
己2
"=]60 （自）自騎=
Если учесть, что
次=+巌 И 。=0（自1）= * 0。- +言）+乩^自1'
то выражения для Q и М могут быть упрощены исключением у^ и приведены к виду
Q =，｛今№ 一用+龍仮+后）卜
M =F + *（2處+用｝，
причем величины 自i и 自2 оказываются связанными соотношением
0 = К传一言）+2財自
Введем безразмерные координаты граничных точек участка контакта
〃=鳥（и < 0） и ° =点2 ®〉0） •
Тогда три предыдущих соотношения примут вид
0 =川2 + (Ш,
где q^m и а = 2財/KR — также безразмерные величины.
Эти три соотношения решают задачу об определении силы трения качения. Действительно, исключив из первых двух соотношений о посредством третьего, имеем
'=j |(〃2 — а叫万—а? + ^(2〃2 — ош),
т = ^ [(〃2 _ а叫2 _ j] + ^ 2 (〃2 _ &叫彳，
и теперь по данным Q,b,K,凡也 а следовательно, и ос, из первого соотношения определим и. Подставив найденное значение и во второе соотношение, получим величину момента трения качения и затем силу трения качения F = М/R.
Числовой пример. Пусть каток радиуса R =50 см, ширины 6 =5 см, нагруженный силой Q=250 кг, катится со скоростью с=2.5 см/с по релаксирующему грунту с константами К=5 кг/см3 и ц=50 кгс/см3 (период релаксации такого грунта Т = ц//С=10с). При этом q=0.004, а ос=1.
Из уравнения
0.004 = - (а? — 1 •叫 2 _ 〃з _(2〃2 _ 1 .叫
находится значение и = —0.0135, после чего т оказывается равным 0.000290, а момент трения
М = тЬКВ? = 902кг • см,
что соответствует силе трения F=18.04 кг и плечу трения 九=М/Q = =FR/Q =3.6 см.
Далее, так как
V = (а? — ос〃)，= 0.1170,то границы поверхности соприкосновения определяются значениями 自:自 1 = Ru = —0.67см и 自2 = Rv = 5.85 см
и осадка грунта под центром катка
Уо =壶巌=0.34 см.
В таблице 7 приведены значения силы трения качения для данного числового примера при других значениях скорости с, а на рис. 132 изображен график, построенный на основании этой таблицы. Сила трения,
Таблица 7
с, см/с
F, кг
и
V
с, см/с
F, кг
и
V
0.00
0.00
-0.1817
0.1817
1.50
20.00
-0.0310
0.1398
0.10
5.17
-0.1623
0.1812
2.00
19.17
-0.0198
0.1273
0.25
10.78
-0.1357
0.1788
2.50
18.04
-0.0135
0.1170
0.75
19.18
-0.0734
0.1656
10.00
10.68
-0.0010
0.0632
1.00
20.10
-0.0538
0.1565
40.00
5.14
-0.0001
0.0316
1.25
20.30
-0.0403
0.1476
160.00
2.62
-0.0000
0.0158
Рис. 132Рис. 132равная нулю при скорости с=0, возрастает в данном случае до значения 20.3 кг при с = 1.25 см/с, а затем при дальнейшем повышении скорости уменьшается и асимптотически стремится к нулю. На рис. 133 изображен график изменения значений 〃 и v в зависимости от скорости
Рис. 132
Рис. 132
Рис. 133
движения катка с; они асимптотически стремятся к нулю при возрастании скорости, причем особенно быстро стремится к нулю значение и.
Если скорость движения катка столь мала, что величина а = = 2цс/KR оказывается во много раз меньше величин \и\ и и, то с точностью до малых высших порядков имеем
<7 = ； (〃2_а〃)Е_〃з +式2〃2一 &叫 4； (г?户 + 岡з = | 岡з.
m = I [(〃2 — от)? — и^ + ^ 2 (〃2 — ош戸 + 〃з =
-I (—2а〃з)+ ^財з = ^岡з
Исключая \и\, получаем
1М цс Q
и далее, после подстановки ранее принятых обозначений:
〃 = *Q，尸= /Q・
Полученная формула для силы трения качения F справедлива при достаточно малых скоростях с движения центра катка. Она имеет структуру формулы Марена. Для абсолютно упругого грунта (ц = 0) и для абсолютно жесткого (К = оо) сила трения качения обращается в нуль. При малых скоростях с сила трения качения по релаксирующему грунту пропорциональна его радиусу.
Пусть, напротив, скорость движения катка столь велика, что значения \и\ и V оказываются во много раз меньше а. Тогда, сохраняя в выражениях для q и m лишь члены с высшими степенями а, имеем
1 「з 1
Q = - (〃2 _ &叫 2 _ 〃з + ^(2〃2 _ &叫=^ (-а〃),
ттг = 3 [(а? — оса)?— 〃、+^ 2(〃2 —а叫万 + 〃3 ^ ^ (_а〃"(т/ < 0).
После исключения и приходим к равенству
4 т =-4 т =-
4 т =-
4 т =-
откуда, подставив
ькн3 ькп2ькн3 ькп2a=髒a=髒
ькн3 ькп2
ькн3 ькп2
a=髒
a=髒
4
получим М = -у Q^R/^cb^ а для силы трения качения F выражение
F =F =з4 Q2з4 Q23V^ 7jicbR3V^ 7jicbR
F =
F =
з
4 Q2
з
4 Q2
3V^ 7jicbR
3V^ 7jicbR
Эта формула, справедливая при достаточно больших скоростях с движения катка, показывает падение силы трения качения при увеличении скорости с центра катка и его ширины. Квадратный корень из
радиуса, стоящий в знаменателе полученной формулы, сближает ее с экспериментальной формулой Дюпюи. Как любопытную особенность следует отметить независимость силы трения качения от коэффициента жесткости К релаксирующего грунта при достаточно больших значениях скорости с. Это объясняется малым значением осадки грунта под быстро перемещающимся катком, вследствие чего член Кд, стоящий в выражении закона релаксирующего грунта р = Ky-\-\idy/dt^ становится существенно большим по сравнению с [idy/dt.
На рис. 132 пунктирными линиями 1, 2 изображены графики зависимостей силы трения от скорости согласно полученным приближенным формулам
з
KR3\^，財ЬА
для приведенного выше примера.
Обе приближенные формулы дают одно и то же значение
при значении скорости с, равном
Вблизи этого значения скорости обе формулы, конечно, неверны, и для подсчета силы трения следует обратиться к исходным соотношениям. Тем не менее значения 乃 и с^ могут служить для оценки порядка числового значения максимальной силы трения качения F и с, при которой сила максимальна. Для приведенного числового примера имеем Fj = 40.8 кг и ci = 0.762 см/с.
При значении скорости с, равном нулю, из исходных соотношений
Q = & ｛今№ 一母）+龍假+旨）｝，
0 = k （后一后）+ 2"%
получаем
что позволяет вычислить половину хорды участка смятия под достаточно долго стоявшим на одном месте катком.
Так как уо =矍/2凡 то осадка релаксирующего грунта под осью катка составит в этом случае величину
Уо =Уо =“9Q2V заМНА“9Q2V заМНА
Уо =
Уо =
“9Q2
V заМНА
“9Q2
V заМНА
Выражения, полученные для 自2 и у。，сходны с формулами Герца для смятия двух соприкасающихся тел [64].
Обратимся теперь к вязкоупругому грунту, подчиняющемуся закону
dt ~ k dt 十 0'
где А: и v — физические константы грунта. Константу к назовем модулем податливости, a v — коэффициентом текучести.
Площадка поверхности упруговязкого грунта, нагруженная постоянным давлением 目。，опускается вниз с постоянной скоростью, равной vpo-
Если же площадку нагружать в течение весьма короткого времени 工 от нуля до удельного давления ® то осадка gi площадки к концу этого промежутка времени может быть оценена интегрированием соотношения dy/dt = kdp/dt + vp в пределах от 0 до т. Так как у = 0 и 0 = 0 при 力=0, то получим
У1 = kpi + vpdt.о
При малом значении коэффициента текучести v интегралом, стоящим в правой части равенства, можно пренебречь, ибо он менее величины урн. Поэтому при быстро возрастающих нагрузках
У - кр、
т. е. грунт ведет себя аналогично упругому основанию теории балок. Одномерный характер закона упруговязкого грунта ведет к тем же недостаткам описания явлений, что и закон релаксирующего грунта.
Если каток катится по упруговязкому грунту, то согласно вышеизложенному следует вновь положить dy/dt = o^/R и dp/dt = —cdp/ d自. Подставив эти выражения в исходное соотношение, получим
法=一。噥+呐
т. е. неоднородное линейное дифференциальное уравнение для функции 0 （自）.Интегрируя это уравнение, считая скорость с катка постоянной, имеем
Здесь А — константа, определяемая из граничного условия 目（自2）= = 0, так как при 自 = 自2 осадка грунта равна нулю и грунт лишь начинает деформ и роваться под катком.
При 自 = 自“ т. е. в месте отхода грунта от катка, давление р также обращается в нуль. Следовательно, справедливы два соотношения:
° = 4ехР （点自1） + 焉自1 + ^ & < 0），
。=4 exp （储2）+ 焉自2 + %^。=4 exp （储2）+ 焉自2 + %^& > 0）,& > 0）,
。=4 exp （储2）+ 焉自2 + %^
。=4 exp （储2）+ 焉自2 + %^
& > 0）,
& > 0）,
связывающие три неизвестные величины: 4,自i 网自2・
Сила давления катка на грунт представляется формулой
Q = Ьp （自）d^ = b {4^Q = Ьp （自）d^ = b {4^W点自2-exp沐］W点自2-exp沐］++
Q = Ьp （自）d^ = b {4^
Q = Ьp （自）d^ = b {4^
W点自2-exp沐］
W点自2-exp沐］
+
+
+ ^；（巌一言）+ ^& —自 1）
а момент трения соответственно
己2
"= м謳 = 与 自2exp C自2）- 自lexp （爲1
I V、 CK /、 CK
—4子 exp （恭2）-exp （恭1—4子 exp （恭2）-exp （恭1VVVV++
—4子 exp （恭2）-exp （恭1
—4子 exp （恭2）-exp （恭1
V
V
V
V
+
+
+ 忌（虔一用+ 謠（后一留卜
Выражения для величин Q и М могут быть упрощены, если исключить из них константу А посредством двух предыдущих соотношений. Получим
Q = ^信一亂"=端黄遂信一言）
Если теперь положить
у4 Aу4 Aгде ж — безразмерная величина, придем к формулам для безразмерных величин q и момента трения т:
у4 A
у4 A
М = I (ж^ - ж?) - I (W —若)•
Кроме того.
О = ае% + Ж1 + 1 卜1 =恭 1 < 0 j,
О = аеЖ2 + 力2 + 1 (力2 =太自2 > 0 j .
Здесь
V2A 4V3R 八v4A
uR q = ^bQ^ m=^M・
Полученные четыре соотношения, содержащие 力i,力2, Q и m, решают задачу о нахождении силы трения при качении абсолютно жесткого катка по упруговязкому основанию. Действительно, первые два
соотношения в результате исключения константы а определяют х\ в виде функции 力2・ Тем самым величины gum оказываются функциями параметра 力2, и после его исключения получим
т = т ⑷) или М = FR =т = т ⑷) или М = FR =с%%с%%у4Я Шу4Я Ш
т = т ⑷) или М = FR =
т = т ⑷) или М = FR =
с%%
с%%
у4Я Ш
у4Я Ш
Значения 力 1,力2,夕 и т оказываются при малом коэффициенте текучести V и достаточно большой скорости движения центра катка с малыми, что позволяет искомую функциональную зависимость т = =т (q) искать посредством разложения величин х^, q и т в ряд по степеням малого параметра 力2； при этом, как оказывается, требуется удержание малых величин достаточно большого порядка.
Исключая константу А из первых соотношений, получим
(1 + g)е-宓1 = (1 + 力2)e一数,
или, с точностью до малых шестого порядка:
/2345 \
（s（~W + *T）=
/2345
/1 I \加 I Ж2 优2 丄优2优2
=（1 +数）（1 .数+彳—^ +五一瓦
откуда
一；（W -硝+ ；闺一硝T （若-喲+嘉阳一嘲=0.
Получившееся равенство можно рассматривать как уравнение для определения величины х\. Отбрасывая тривиальный корень х\ = 力2, который, конечно, не подходит, ибо 力2〉0, а 力1 < 0, можно получить первое приближение для величины 力i, пренебрегая величинами третьего и четвертого порядков относительно параметра 力2・ Имеем
一；（з + 力2）+ ； （W + 力 162 + 显）=0,
или
откуда
I 值-”2）±，沁22 - 3* = [I -数 ± !（1 + !数一^
Решению задачи соответствует малое значение ж^, поэтому из двух возможных знаков в решении квадратного уравнения следует взять знак минус. Итак, с точностью до членов второго порядка относительно 力2
2 2力1 =一62 + 3力2・
Для получения величины х\ с точностью до малых четвертого порядка положим
力 1 = 一力2 + !^2 + 0力^ + У^2
и подставим это выражение в исходное уравнение для х^. Оно удовлетворится с точностью до малых шестого порядка, если взять р = —4/9 и у = 44/135.
Таким образом, получаем, что
力1 =一62 + !力^ - ^^ + 悪力胃，
и если подставить значение х\ в выражения для величин q и т, то придем к формулам
q =；（易一W） = I" +m = ^ （建一電）一；（易-若）=^"
в которых сохранены лишь первые члены разложения. Ограничиваясь ими и исключая 力2, имеем
т = v^ISq^ .
В результате момент М и сила трения качения F представляются формулами
Таким образом, при сделанных предположениях сила трения при качении абсолютно жесткого катка по упруговязкому основанию оказывается прямо пропорциональной коэффициенту текучести v и обратно пропорциональной скорости движения катка с. Сила трения качения уменьшается при увеличении радиуса катка R и его ширины Ь.
§ 19. О качении жестких и пневматических колеспо деформируемому грунту
Ниже делается попытка разработать теорию образования колеи при качении жестких и пневматических колес по деформируемому грунту, а также объяснить процесс укатывания дороги и влияния скорости движения на перекаты ван и е. Попутно определяется величина момента трения качения при разных условиях движения.
Математическое описание упомянутых вопросов возможно лишь в случае принятия далеко идущих упрощающих предположений. Эти предположения касаются, с одной стороны, законов, управляющих деформацией грунта, и, с другой стороны, геометрии колеса и законов деформирования пневматической шины （далее для краткости именуемой пневматиком）. Предполагается, что распределение давления в любом нормальном к оси колеса сечении поверхности соприкосновения обода с грунтом одинаково. Таким образом, задача о перекатывании приобретает плоский характер. Обод колеса в процессе деформации остается цилиндрическим （в случае пневматика — уже не круглым）. В принципе возможна и более общая постановка исследования, при
которой поверхность соприкосновения, равно как и самый обод колеса, предполагаются нецилиндрическими.
1°. О механических свойствах грунта. Закон деформирования грунта. Вопрос о кол ееобразован и и тесно связан с механическими свойствами грунта. Несмотря на то что механике грунтов посвящено большое число исследований, мы не имеем до настоящего времени достаточно простых и удовлетворительных законов, управляющих деформацией грунта при действии на него поверхностных сил. Так, например, закон Герстнера
р = сж,(2.19.1)
закон Прандля
р = К = const(2.19.2)
(здесь р — удельное давление на грунт; ж — осадка грунта, с — коэффициент пропорциональности, К — пластическая постоянная), хотя и являются весьма простыми, но не описывают деформации грунта во времени.
Известно, что если штамп давит с некоторой силой на грунт, то деформация грунта изменяется с течением времени. При этом погружение штампа в грунт происходит тем более интенсивно, чем больше давление на грунт. Если давление постоянно и не слишком велико, то осадка грунта под штампом с течением времени стремится обычно к некоторому пределу. Мы примем в дальнейшем, что предельные значения осадок пропорциональны соответствующей силе давления, т. е. что закон Герстнера справедлив для предельных осадок, если только они не превышают некоторого критического значения 8. Примем при этом, что давление 目 и осадка ж связаны между собой дифференциальной зависимостью
0 = о力 + 禺嘗，(2.19.3)
где с — постоянная Герстнера; ц — коэффициент, характеризующий вязкость грунта [20, 4].
Мы будем считать, что указанная дифференциальная зависимость справедлива, пока в процессе изменения р и ж скорость изменения осадки dx/dt остается положительной, а сама осадка меньше некоторой характерной для грунта постоянной 8.
Если ж < 8, но р становится в процессе изменения меньше произведения сж, то деформация грунта прекращается и зависимость (2.19.3)
х = Xi (р < сж, ж < 8),х = Xi (р < сж, ж < 8),(2.19.4)(2.19.4)
х = Xi (р < сж, ж < 8),
х = Xi (р < сж, ж < 8),
(2.19.4)
(2.19.4)
заменяется условием постоянства осадки
К = сЗ,К = сЗ,V = ц8.V = ц8.(2.19.5)(2.19.5)
К = сЗ,
К = сЗ,
V = ц8.
V = ц8.
(2.19.5)
(2.19.5)
где 力 1 — осадка, соответствующая моменту перемены знака разности р — сх^ т.е. моменту обращения dx/dt в нуль (максимальная осадка). После повторного изменения знака разности р — сх (т. е. при р > > сх) вновь оказывается справедливой дифференциальная зависимость (2.19.3) с начальным значением х = х^.
Если ж > 8, т. е. при достаточно больших деформациях грунта, зависимость (2.19.3) заменяется следующей:
(2.19.6)(2.19.6)dx _ ро — схdx _ ро — схdt ц®dt ц®(2.19.7)(2.19.7)Рис. 134Рис. 134
(2.19.6)
(2.19.6)
dx _ ро — сх
dx _ ро — сх
dt ц®
dt ц®
(2.19.7)
(2.19.7)
Рис. 134
Рис. 134
Здесь предполагается, что р > К. Если в процессе изменения давление 0 становится меньше К, то деформирование грунта прекращается и, таким образом,
ж = const при 目 < К, ж > 8.
Можно построить наглядную механическую модель, деформация которой следует указанным выше закономерностям.
На рис. 134 представлено распределение областей значений р и ж, соответствующих закономерностям (2.19.3)-(2.19.6).p=K + vdx/dt
Рассмотрим теперь в качестве примера 勺片“；^ деформацию грунта под действием посто-+卩％历/
янной нагрузки р = р0. Если 目。< К, то,/
обращаясь к дифференциальному соотно- /dx/dt = О шению (2.19.3), получим
откуда после разделения переменных и интегрирования имеем
(2.19.8)
Постоянная интегрирования определена из условия 力=0 при 力=0. При t —>ос нетрудно получить из соотношения (2.19.8)
Ро = сх.
Таким образом, для предельных нагрузок оказывается справедливым закон Герстнера.
При весьма малых значениях 力 а следовательно, и малых ж, т. е. в начале процесса, имеем
卩卩ссРоРоC〈 P0C〈 P02—力(2.19.9) 2Po2—力(2.19.9) 2Poоткудаоткудаж ，200力/!1.ж ，200力/!1.⑵19.10)⑵19.10)
卩
卩
с
с
Ро
Ро
C〈 P0
C〈 P0
2
—力(2.19.9) 2Po
2
—力(2.19.9) 2Po
откуда
откуда
ж ，200力/!1.
ж ，200力/!1.
⑵19.10)
⑵19.10)
Характерно, что выражение для осадки грунта ж не зависит в этом случае от коэффициента с. Это обстоя тел ьство можно объяснить, если непосредственно обратиться к соотношению (2.19.3); очевидно, что при малых ж должна быть велика скорость изменения осадки dx/dt (см. также (2.19.7)) и, следовательно, второй член соотношения (2.19.3) должен быть больше первого.
Таким образом, при малых ж
dxdx(2.19.11)(2.19.11)
dx
dx
(2.19.11)
(2.19.11)
что и дает после интегрирования формулу (2.19.10). Если ввести безразмерные переменные
2С
⑵19.12)⑵19.12)——t И 力
⑵19.12)
⑵19.12)
цроРо
то соотношение (2.19.8) примет вид
У = — In (1 —力‘)—xf.У = — In (1 —力‘)—xf.⑵19.13)⑵19.13)
У = — In (1 —力‘)—xf.
У = — In (1 —力‘)—xf.
⑵19.13)
⑵19.13)
График зависимости 力‘ от tf изображен на рис. 135. При У —> оо ж т ро/с
Если окажется, что ро/с > 8, то выражения, полученные ранее, будут справедливы только для мгновения 力*, при котором осадка ж
достигает значения 8. Поэтому, согласно формулам (2.19.12) и (2.19.13), имеем
户=号］n 上е3(2.19.14)
с2 ро - с5с'丿
При 力〉3 дифференциальное соотношение (2.19.3) должно быть заменено соотношением (2.19.5), из которого при р = Ро — const следует, что
嘗 _ Ро—g — const(V = |18, К = с8),⑵ 19.15)
т. е. после достижения осадкой ж характерного значения 3 дальнейшее погружение штампа будет происходить равномерно. Таким образом, при ж ^ 8 и соответственно х1 ， 。3/目()можно пользоваться для определения закона изменения осадки во времени графиком рис. 135, а в дальнейшем заменить его прямой, касающейся графика в точке с абсциссой
2
где t* определяется формулой (2.19.14). На рис. 136 изображена подобная кривая для случая, когда уравнение упомянутой прямой имеет вид ，=Зс'/2 - 0.306.
2°. Теория колееобразования. Случай колеса с жестким ободом. В этом пункте мы рассмотрим вопрос об образовании и развитии колеи при движении по грунту колеса с жестким ободом. При этом будем предполагать, что обод колеса представляет собой цилиндрическую поверхность и при повторных проходах колесо движется по той же самой колее. Будем считать, что деформирование грунта происходит по законам, изложенным в 1°.
Итак, рассмотрим колесо радиуса 凡 погруженное силой Р. Пусть ось колеса перемещается со скоростью о слева направо (рис. 137). Обозначим через hn глубину колеи после n-го прохода. Так как грунт предполагается лишенным свойств упругости, то при движении колеса по грунту соприкосновение последнего с колесом прекращается в наи- низшей точке колеса.
Длина проекции на горизонтальную плоскость области соприкосновения колеса с грунтом (см. рис. 137) определяется с достаточной точностью по формуле
а = y/2R (Лп — Лп_1).⑵ 19.16)
Обозначим через 自 расстояние от какой-либо точки поверхности соприкосновения колеса с грунтом до вертикальной плоскости, про-
ходящей через ось колеса. Тогда (см. рис. 137) осадка грунта, соответствующая этой точке, может быть представлена в виде
力=% —U(2.19.17)
Чтобы найти скорость изменения осадки dx/dt^ следует продифференцировать выражение (2.19.17) и учесть, что расстояние уменьшается со скоростью о движения колеса.
Таким образом,
⑵19.18)⑵19.18)
⑵19.18)
⑵19.18)
Так же как и ранее, будем различать два случая: ж<8иж>8. В
первом случае, согласно соотношению (2.19.3), получим
⑵19.19)⑵19.19)
⑵19.19)
⑵19.19)
Далее имеем
⑵ 19.20)⑵ 19.20)Р = ^pbd^,о
⑵ 19.20)
⑵ 19.20)
где 6 — ширина обода колеса.
Подставляя сюда выражение для 目 из (2.19.19) и производя интегрирование, получим
⑵ 19.21)⑵ 19.21)]с7а37 да?@%
⑵ 19.21)
⑵ 19.21)
bP = Chn(1 ~C6R+[lhn2R~ 乩萧・
Из формулы (2.19.16) следует, что
2
— ^п-1 + ^-⑵ 19.22)
Используя это соотношение, можно представить формулу (2.19.21) в виде
打=加一1。+ *方+m(立+施).⑵19.23)
Последнее равенство может служить уравнением для определения величины а при заданных величинах с, ц, и, R, а также при заданной глубине колеи Лп_1 перед очередным проходом колеса. После определения величины а можно по формуле (2.19.22) найти глубину колеи после прохода колеса.
Принимая % = 0, можно последовательными решениями уравнения (2.19.23) проследить рост глубины колеи в зависимости от числа проходов, а именно
九 1 -坛=仙 + 器-九3 =九2 + 募 и т. д.,(2.19.24)
где а“。2,•… ——соответствующие длины проекций на горизонтальную плоскость поверхности контакта колеса с грунтом.
Рассмотрим частный случай ц = 0. Тогда уравнение (2.19.23) примет вид
[3
-P = chn^a+^.⑵ 19.25)
Подставляя сюда величину а из формулы (2.19.16) и вводя обозначения
△九九=hn- Лп_15⑵ 19.26)
получим不尸—cy/2R^hn ^hn-i —Введем безразмерные переменные ип и△九71 = Y^n 5^n —1 — У^П — 1 , где-|△^г) •⑵ 19.27)8n, полагая⑵ 19.28)⑵ 19.29)1 +ип.(2.19.30)получим不尸—cy/2R^hn ^hn-i —Введем безразмерные переменные ип и△九71 = Y^n 5^n —1 — У^П — 1 , где-|△^г) •⑵ 19.27)8n, полагая⑵ 19.28)⑵ 19.29)1 +ип.(2.19.30)
получим
不尸—cy/2R^hn ^hn-i —
Введем безразмерные переменные ип и
△九71 = Y^n 5
^n —1 — У^П — 1 , где
-|△^г) •⑵ 19.27)
8n, полагая
⑵ 19.28)
⑵ 19.29)
1 +ип.(2.19.30)
получим
不尸—cy/2R^hn ^hn-i —
Введем безразмерные переменные ип и
△九71 = Y^n 5
^n —1 — У^П — 1 , где
-|△^г) •⑵ 19.27)
8n, полагая
⑵ 19.28)
⑵ 19.29)
1 +ип.(2.19.30)
В новых переменных уравнение (2.19.27) примет видВ новых переменных уравнение (2.19.27) примет вид，〃тг]+ ^^пj = 1・Полагая n = 1 и замечая, что 3。= 0, имеем，〃тг]+ ^^пj = 1・Полагая n = 1 и замечая, что 3。= 0, имеем⑵ 19.31)⑵ 19.31)⑵ 19.32)⑵ 19.32)откудаоткуда"1 = (I)" Л。"1 = (I)" Л。⑵ 19.33)⑵ 19.33)Следовательно, согласно (2.19.28), (2.19.30) и ⑵ 19.33) получаем
В новых переменных уравнение (2.19.27) примет вид
В новых переменных уравнение (2.19.27) примет вид
，〃тг]+ ^^пj = 1・
Полагая n = 1 и замечая, что 3。= 0, имеем
，〃тг]+ ^^пj = 1・
Полагая n = 1 и замечая, что 3。= 0, имеем
⑵ 19.31)
⑵ 19.31)
⑵ 19.32)
⑵ 19.32)
откуда
откуда
"1 = (I)" Л。
"1 = (I)" Л。
⑵ 19.33)
⑵ 19.33)
h\ = △/}>] = Y〃]=
⑵ 19.34)⑵ 19.34)д/^ (1.31 + |〃2)= 1,д/^ (1.31 + |〃2)= 1,⑵ 19.35)⑵ 19.35)Для определения 〃2 получаем согласно (2.19.31)
⑵ 19.34)
⑵ 19.34)
д/^ (1.31 + |〃2)= 1,
д/^ (1.31 + |〃2)= 1,
⑵ 19.35)
⑵ 19.35)
《i (1.71 + |〃з) = 1,《i (1.71 + |〃з) = 1,⑵ 19.36)⑵ 19.36)
《i (1.71 + |〃з) = 1,
《i (1.71 + |〃з) = 1,
⑵ 19.36)
⑵ 19.36)
так как 济 = 〃i = 1.31. Корень этого уравнения 〃2 = 0.40.
Далее для определения 〃з имеем следующее уравнение:
Зп3.0Зп3.05.04.03.02.01.05.04.03.02.01.0
Зп
3.0
Зп
3.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
так как 匣 = 〃i + 〃2 = 1.31 + 0.40 = 1.71. Его корень 〃з = 0.28 и т. д.
02468 и 051015 и
Рис. 138Рис. 139
На рис. 138 приведен график изменения 8П в зависимости от числа проходов колеса. Согласно формуле (2.19.29) глубина колеи hn пропорциональна переменной 8П.
Чтобы судить о характере изменения глубины колеи в результате большого числа проходов колеса, заметим, что с возрастанием числа
проходов п величины 8n_i возрастают, а ип — убывают до нуля. Поэтому согласно (2.19.31), приближенно имеем
%—1阿=1,⑵ 19.37)
откуда
ип = ^ = 1/^.⑵ 19.38)
нечных разностях:也=1нечных разностях:也=1Выражение (2.19.38) может быть записано в виде уравнения в ко-
нечных разностях:
也=1
нечных разностях:
也=1
⑵ 19.39)
где Дп = 1.
Этому уравнению можно поставить в соответствие дифференциальное уравнение
⑵ 19.40)⑵ 19.40)而_ 1dn a
⑵ 19.40)
⑵ 19.40)
Разделяя переменные и производя интегрирование, получим
з = п + с^(2.19.41)
где с — постоянная интегрирования, которую можно определить, задаваясь каким-либо достаточно большим значением п и соответствующим значением 6П, определяемым из уравнения (2.19.31).
Из соотношения (2.19.41)
3= %зт + о).(2.19.42)
Эта формула позволяет судить о характере изменения глубины колеи при большом числе проходов. На рис. 139 изображена кривая, соответствующая зависимости (2.19.42), причем при построении кривой взята начальная точка с абсциссой 几=5. При этом с оказалось равным 0.4. На том же графике воспроизведены точки диаграммы рис. 138 для п = 1, 2, 3, 4.
Заметим, что глубина колеи, согласно формуле (2.19.42), неограниченно возрастает по мере увеличения числа проходов. Такой результат является, разумеется, следствием допущения отсутствия свойств упругости как у грунта, так и у самого колеса. Действительно, согласно (2.19.16) колея не возрастает лишь при контакте колеса с грунтом по линии (т. е. при а = 0), что соответствует бесконечно большим удельным давлениям, которые в принятой схеме не допускаются. Дорога, таким образом, не укатывается в отличие от случая пневматика (см. 3°).
Перейдем теперь ко второму случаю: ж > 8. Согласно уравнению (2.19.5) и учитывая формулу (2.19.18), имеем
目=К + 乩3 凉=К + |13о .目=К + 乩3 凉=К + |13о .⑵ 19.43)⑵ 19.43)
目=К + 乩3 凉=К + |13о .
目=К + 乩3 凉=К + |13о .
⑵ 19.43)
⑵ 19.43)
Подставляя это выражение в (2.19.20), получим
;尸= ^pd^ = кa =恥。券. о;尸= ^pd^ = кa =恥。券. о(2.19.44)(2.19.44)
;尸= ^pd^ = кa =恥。券. о
;尸= ^pd^ = кa =恥。券. о
(2.19.44)
(2.19.44)
Последнее соотношение определяет а, т. е. длину участка соприкосновения колеса с грунтом. Далее, по формуле (2.19.22) можно найти изменение глубины колеи после прохода колеса. В отличие от предыдущего случая это изменение не зависит от глубины колеи до очередного прохода колеса. Из (2.19.44) следует, что наибольшее значение величина а принимает при о = 0 или практически при весьма медленном движении колеса.
В этом случае
а = Р/6К(2.19.45)
и в соответствии с формулой (2.19.22)
22
% = 3 = / 2 ,(2.19.46)
что находится в согласии с теорией колееобразования Н.Н. Иванова [20].
При больших скоростях движения колеса в формуле (2.19.44) можно опустить первый член и соответственно получить приближенно
[2
Р =(13。% = цЗ^ДЛ,⑵ 19.47)
откуда имеем
Таким образом, изменение глубины колеи уменьшается с увеличением скорости, чем можно объяснить лучшую проходимость грунта при повышенных скоростях движения.
В общем случае уравнение (2.19.44) с учетом формулы (2.19.16) может быть приведено к виду
⑵ 19.55)⑵ 19.55)Если ввести безразмерные переменные △“ и % связанные с величинами V и △% соотношениями
⑵ 19.55)
⑵ 19.55)
△九=2 力(2-19-50)
”=噹*%(2-19.51)
то уравнение (2.19.49) примет в новых переменных вид
，Л^ + Мг| = 1,(2.19.52)
откуда
△п = 1+2" 2M『+4".(2.19.53)
При
и = 0 получаем
= 1,
следовательно, в соответствии с формулой (2.19.46)
р2
△%= 2 2 •(2.19.54)
2b2K2R'丿
Если значение и велико, то из (2.19.52) имеем приближенно
А1
△г| =— и.
Заменяя в (2.19.55) △“ и инх выражениями через △% и о, без труда придем к формуле (2.19.48).
Заметим, что если глубина колеи до прохода колеса была меньше характерной константы 3, а после прохода оказалась больше, то поверхность соприкосновения колеса следует разделить на две области. В первой области а > I > ^ (рис. 140), осадка точек грунта ж < 8 и, следовательно, для подсчета давления 目 надлежит применять формулу (2.19.19). Для второй области Z 〉自 〉0, напротив, ж > 8 и следует пользоваться формулой (2.19.43).
Расстояние Z от границы, разделяющей эти области, до вертикальной плоскости, проходящей через ось колеса, может быть определено из уравнения
Соотношение (2.19.20) представится теперь в виде
⑵ 19.57)⑵ 19.57)
⑵ 19.57)
⑵ 19.57)
О2
причем выражение для 目 в первом интеграле следует брать в соответствии с формулой (2.19.43), а для второго интеграла — (2.19.19).
Таким образом,
J卜（"l杀）+м（"П 一杀）斎芯J卜（"l杀）+м（"П 一杀）斎芯К +(13о 斎)dg + о
J卜（"l杀）+м（"П 一杀）斎芯
J卜（"l杀）+м（"П 一杀）斎芯
⑵ 19.58)
Произведя интегрирование, придем к уравнению
⑵ 19.59)⑵ 19.59)
⑵ 19.59)
⑵ 19.59)
содержащему три неизвестные: a, I, hn.
Совместно с уравнениями (2.19.56) и (2.19.22) получаем систему трех уравнений для определения этих неизвестных по данным ^п—1 ? R〉А 尸，, ш з, V.
В частном случае, если hn_\ = 0, о = 0 (т. е. скорость движения колеса весьма мала), имеем
^Р = К1 + с^а-^-с^1-^,⑵ 19.60)
где
Z =，2А (自一3) и а =，2А/и・(2.19.61)
Дальнейшее исследование этого уравнения требует уже численного задания входящих в него величин 尸,6, R,c,b и К.
Изложенные выше рассуждения могут быть применены для определения сопротивления качению колеса по грунту. Величина этого сопротивления характеризуется моментом М который определяется по формуле
М ="自0 騎.(2.19.62)
о
Если ж < 6, то, следуя формуле (2.19.19), имеемЕсли ж < 6, то, следуя формуле (2.19.19), имеем⑵ 19.63)⑵ 19.63)
Если ж < 6, то, следуя формуле (2.19.19), имеем
Если ж < 6, то, следуя формуле (2.19.19), имеем
⑵ 19.63)
⑵ 19.63)
После интегрирования и использования формулы (2.19.22) получим
⑵ 19.64)⑵ 19.64)
⑵ 19.64)
⑵ 19.64)
(2.19.65)(2.19.65)Величина а, входящая в состав этой формулы, определяется из уравнения (2.19.23):
(2.19.65)
(2.19.65)
1 о_ ,丄1°丄
不尸=0拉九—1a+ -С- + |W
Нетрудно видеть, что при hn-i = 0 и ц = 0
⑵ 19.66)
подставляя а в (2.19.64), имеем
м = Щ^・м = Щ^・⑵ 19.67)⑵ 19.67)
м = Щ^・
м = Щ^・
⑵ 19.67)
⑵ 19.67)
Сила трения качения выражается формулой F = М/R. Следовательно,Сила трения качения выражается формулой F = М/R. Следовательно,-8 V cbR2-8 V cbR2⑵ 19.68)⑵ 19.68)что совпадает с формулой Гранвуане (см. [158, 164]). При достаточно больших скоростях движения, считая 九九—i = 0 и сохраняя в формулах (2.19.64) и (2.19.65) лишь члены, имеющие множитель о, получимчто совпадает с формулой Гранвуане (см. [158, 164]). При достаточно больших скоростях движения, считая 九九—i = 0 и сохраняя в формулах (2.19.64) и (2.19.65) лишь члены, имеющие множитель о, получим1 “а5b 1 15#14d а产=——9 .Ь в 8#1 “а5b 1 15#14d а产=——9 .Ь в 8#⑵ 19.69)⑵ 19.69)⑵19.70)⑵19.70)Исключая отсюда а, придем к формуламИсключая отсюда а, придем к формулам“8/8尸冗2“8/8尸冗2⑵ 19.71)⑵ 19.71)R 15 V 加о#R 15 V 加о#⑵19.72)⑵19.72)
Сила трения качения выражается формулой F = М/R. Следовательно,
Сила трения качения выражается формулой F = М/R. Следовательно,
-8 V cbR2
-8 V cbR2
⑵ 19.68)
⑵ 19.68)
что совпадает с формулой Гранвуане (см. [158, 164]). При достаточно больших скоростях движения, считая 九九—i = 0 и сохраняя в формулах (2.19.64) и (2.19.65) лишь члены, имеющие множитель о, получим
что совпадает с формулой Гранвуане (см. [158, 164]). При достаточно больших скоростях движения, считая 九九—i = 0 и сохраняя в формулах (2.19.64) и (2.19.65) лишь члены, имеющие множитель о, получим
1 “а5
b 1 15#
14
d а
产=——9 .
Ь в 8#
1 “а5
b 1 15#
14
d а
产=——9 .
Ь в 8#
⑵ 19.69)
⑵ 19.69)
⑵19.70)
⑵19.70)
Исключая отсюда а, придем к формулам
Исключая отсюда а, придем к формулам
“8/8尸冗2
“8/8尸冗2
⑵ 19.71)
⑵ 19.71)
R 15 V 加о#
R 15 V 加о#
⑵19.72)
⑵19.72)
С увеличением скорости сопротивление качению здесь умень-
шается.
В случае ж > 8 в соответствии с формулой (2.19.43) будем иметь
М = Ь 自(К + “о ^ 1 d^М = Ь 自(К + “о ^ 1 d^⑵19.73)⑵19.73)
М = Ь 自(К + “о ^ 1 d^
М = Ь 自(К + “о ^ 1 d^
⑵19.73)
⑵19.73)
о
или, после интегрирования:
[23不"=Ку +両?矗[23不"=Ку +両?矗⑵ 19.74)⑵ 19.74)Величина а должна быть при этом найдена из (2.19.44):Величина а должна быть при этом найдена из (2.19.44):соотношениясоотношения:尸=Ka-\-^v^.:尸=Ka-\-^v^.⑵19.75)⑵19.75)
[23
不"=Ку +両?矗
[23
不"=Ку +両?矗
⑵ 19.74)
⑵ 19.74)
Величина а должна быть при этом найдена из (2.19.44):
Величина а должна быть при этом найдена из (2.19.44):
соотношения
соотношения
:尸=Ka-\-^v^.
:尸=Ka-\-^v^.
⑵19.75)
⑵19.75)
При |i = 0 аналогично вы шеизложен ному получим
吟爲И F = ^吟爲И F = ^⑵19.76)⑵19.76)
吟爲И F = ^
吟爲И F = ^
⑵19.76)
⑵19.76)
⑵ 19.77)⑵ 19.77)Напротив, при К = 0 и при больших значениях о будем приближенно иметь
⑵ 19.77)
⑵ 19.77)
-M = ^v^
^尸=恥。 о^尸=恥。 о2R2R⑵19.78)⑵19.78)
^尸=恥。 о
^尸=恥。 о
2R
2R
⑵19.78)
⑵19.78)
Исключая из последних соотношений а, получим
М =М =2 /2p3区3 V 卩Bob '2 /2p3区3 V 卩Bob '⑵19.79)⑵19.79)следовательно, сила трения качения выражается формулойследовательно, сила трения качения выражается формулой⑵ 19.80)⑵ 19.80)Она убывает с возрастанием скорости (ср. с [158]).В последнем случае (ж > 8)нетрудно исследовать влияние скорости движения центра колеса о на силу трения качения и в общем виде. Если ввести безразмерные величины ос, \|/, т и % связанные с величинами а, Р, М и V соотношениямиОна убывает с возрастанием скорости (ср. с [158]).В последнем случае (ж > 8)нетрудно исследовать влияние скорости движения центра колеса о на силу трения качения и в общем виде. Если ввести безразмерные величины ос, \|/, т и % связанные с величинами а, Р, М и V соотношениямиа = Ra, Р = KbRvf^ М = KbR^m, о = —%(2.19.81)а = Ra, Р = KbRvf^ М = KbR^m, о = —%(2.19.81)то формулы (2.19.74) и (2.19.75) примут видто формулы (2.19.74) и (2.19.75) примут вид1 213m = -ос + -иа ,1 213m = -ос + -иа ,屮=a + ；и『.屮=a + ；и『.11⑵ 19.82)⑵ 19.83)⑵ 19.82)⑵ 19.83)
М =
М =
2 /2p3区
3 V 卩Bob '
2 /2p3区
3 V 卩Bob '
⑵19.79)
⑵19.79)
следовательно, сила трения качения выражается формулой
следовательно, сила трения качения выражается формулой
⑵ 19.80)
⑵ 19.80)
Она убывает с возрастанием скорости (ср. с [158]).
В последнем случае (ж > 8)нетрудно исследовать влияние скорости движения центра колеса о на силу трения качения и в общем виде. Если ввести безразмерные величины ос, \|/, т и % связанные с величинами а, Р, М и V соотношениями
Она убывает с возрастанием скорости (ср. с [158]).
В последнем случае (ж > 8)нетрудно исследовать влияние скорости движения центра колеса о на силу трения качения и в общем виде. Если ввести безразмерные величины ос, \|/, т и % связанные с величинами а, Р, М и V соотношениями
а = Ra, Р = KbRvf^ М = KbR^m, о = —%(2.19.81)
а = Ra, Р = KbRvf^ М = KbR^m, о = —%(2.19.81)
то формулы (2.19.74) и (2.19.75) примут вид
то формулы (2.19.74) и (2.19.75) примут вид
1 213
m = -ос + -иа ,
1 213
m = -ос + -иа ,
屮=a + ；и『.
屮=a + ；и『.
1
1
⑵ 19.82)
⑵ 19.83)
⑵ 19.82)
⑵ 19.83)
Последнее соотношение представляет собой квадратное уравнение для величины а. Решая его, имеем
-1 + д/1 + 2〃屮и
Подставляя это выражение в (2.19.82), получим зависимость т от % что и будет характеризовать влияние скорости движения колеса на силу трения.
На рис. 141 изображен график зависимости ан т от и, построенный при значении 屮=0.01.
При малых значениях 〃，согласно (2.19.83), имеем ос = \|/ и, более точно:
ос = V — \^и,(2.19.85)
Если теперь ввести (2.19.85) в соотношение (2.19.82) и пренебречь степенями и выше первой, придем к формуле
m, = ^屮2 - ^屮%.(2.19.86)
При больших значениях и вернемся к формуле (2.19.79). В безразмерных величинах (2.19.81) эта формула имеет вид
m〃 = |VV7^.⑵ 19.87)
3°. Теория колееобразования в случае пневматических шин. При построении теории качения по грунту колеса с пневматической шиной необходимо учитывать деформацию самого пневматика. Вследствие этого задача о колееобразовании становится более трудной, чем в случае жесткого колеса. Задача остается достаточно сложной даже после введения далеко идущих упрощающих предположений.
Принятые допущения сводятся к следующим: 1) деформирование грунта подчиняется законам, изложенным в 1°; 2) деформация пневма-
тика в каждой точке считается пропорциональной давлению пневматика на грунт; 3) поверхность пневматика принимается цилиндрической.
Геометрическое соотношение, связывающее осадку ж какой-либо точки поверхности грунта в зависимости от ее расстояния 自 от вертикальной плоскости (рис. 142), проходящей через ось колеса, с достаточным приближением таково:
力 + 沙 + 矗="пт + ^R ⑵ 19.88)
Здесь у — деформация пневматика; 九九—i ——глубина колеи, образовавшейся до очередного (n-го) прохода колеса; а — расстояние наиболее удаленных передних точек поверхности соприкосновения колеса с грунтом от той же вертикальной плоскости.
В отличие от абсолютно жесткого колеса, соприкосновение пневматика с грунтом будет прекращаться позади этой вертикальной плоскости на некотором расстоянии а! от нее. Поэтому глубина колеи hn
(Р℃・ 143)/22
hn +⑵ 19.89)
Для абсолютно жесткого колеса, разумеется, а' = 0.
Получим сначала формулы, связывающие нагрузку на колеса с размерами поверхности соприкосновения пневматика с абсолютно жестким грунтом. В этом случае а' = а, следовательно, +а
尸=]bp d^(2.19.90)
где 6 — ширина пневматика.
Согласно принятому допущению о законе деформирования пневматика в формуле (2.19.90) следует положить
Р = В%Р = В%⑵ 19.91)
Р = В%
Р = В%
где [В — характерная для данного пневматика упругая константа, зависящая, в частности, от давления в камере пневматика.
В случае абсолютно жесткого грунта 九九—i = 0, ж = 0 и соотношение (2.19.88) приводится к виду
2 户2
g=%-玩•(2.19.92)
Подставляя (2.19.92) в (2.19.91) и затем в (2.19.90), получим после интегрирования формулу
尸=需。3,⑵ 19.93)
откуда
。=僚.⑵ 19.94)
В результате деформации пневматика ось колеса опустится на величину
у = J -翠1-.(2.19.95)
“ 2Ау 3202b2A')
Диаграммы, изображающие характер зависимостей (2.19.93) и (2.19.95), близки к экспериментально наблюдавшимся А.К. Би руля [4].
Коэффициент [В можно получить в результате соответствующей обработки экспериментальных данных.
Рассмотрим наиболее простой случай качения пневматика с очень малой скоростью в предпол ожен и и, что грунт уже имеет деформацию 力〉3 (т. е. дорога в какой-то мере укатана). Очевидно, что деформация грунта (рис. 143) начнется лишь на расстоянии Z < а от упоминавшейся выше вертикальной плоскости, когда осуществится равенство
⑵ 19.96)⑵ 19.96)р = ^у = К,
⑵ 19.96)
⑵ 19.96)
т. е. давление пневматика на основание достигнет характерной для грунта константы К.
Не уменьшая общности исследования, можно положить в формуле (2.19.88) Лп_1 = 0, после чего
Подставляя сюда 自= Z,g = K/|3,力=0, имеем
2
К/В = % -限
⑵ 19.98)
откуда
Z— 2RK/0.
⑵ 19.99)
Заметим, что если
a2 = 2RK/0,
(2.19.100)
то Z = 0 и, следовательно, при
a2 < 2RK/0
(2.19.101)
колея не углубляется. Так как в этом случае а! = а (см. рис. 143), то на основании формулы (2.19.93), учитывая (2.19.101), получим неравенство
(2.19.102)(2.19.102)d .4Kb 2RK
(2.19.102)
(2.19.102)
которое можно рассматривать как условие прохода пневматика по предварительно несколько укатанной дороге без образования следа.
a2 Кa2 КПусть условие (2.19.102) не выполняется. Тогда на участке поверхности соприкосновения а > ^ > I давление пневматика на грунт меньше постоянной К и определяется изменением его деформации. Грунт здесь не деформируется. Далее на участке Z > ^ > 0 грунт уже деформ и руется и согласно принятому закону (2.19.5) давление на грунт при малой скорости движения равно постоянной К. В соответствии с соотношением (2.19.96) деформация пневматика остается при этом постоянной. Наконец, на задней части контактной поверхности, где деформация пневматика начнет уменьшаться, соответственно будет убывать и давление на грунт; что же касается деформации грунта Л, то она тут постоянна и равна осадке грунта в точке 自= 0. Чтобы найти осадку в этой точке, следует в формуле (2.19.97) положить у = К/^ и 自 = 0. Получим, имея в виду, что здесь следует положить х = h^
a2 К
a2 К
(2.19.103)
На рис. 144 изображен график распределения давления р под пнев- матиком.
Аналитическая зависимость, представляющая это распределение, имеет следующий вид:
р = К, Z > ^ > 0,(2.19.105)
/2 _ 戸 2
р = У 2了 ,0〉自〉一/(2.19.106)
Полная нагрузка на колесо выражается очевидной формулойПолная нагрузка на колесо выражается очевидной формулойО2a工尸=0騎+ 0騎+ pd^, D JJJ—M02где о0—a'—a'далее l2]0 dg = ]/Cdg = KZ,ооО2a工尸=0騎+ 0騎+ pd^, D JJJ—M02где о0—a'—a'далее l2]0 dg = ]/Cdg = KZ,оо⑵19.107)⑵19.107)(2.19.108)(2.19.108)(2.19.109)(2.19.109)
Полная нагрузка на колесо выражается очевидной формулой
Полная нагрузка на колесо выражается очевидной формулой
О2a
工尸=0騎+ 0騎+ pd^, D JJJ
—M02
где о0
—a'—a'
далее l2
]0 dg = ]/Cdg = KZ,оо
О2a
工尸=0騎+ 0騎+ pd^, D JJJ
—M02
где о0
—a'—a'
далее l2
]0 dg = ]/Cdg = KZ,оо
⑵19.107)
⑵19.107)
(2.19.108)
(2.19.108)
(2.19.109)
(2.19.109)
Собирая результаты интегрирования, получаемСобирая результаты интегрирования, получаем(2.19.110)(2.19.110)
Собирая результаты интегрирования, получаем
Собирая результаты интегрирования, получаем
(2.19.110)
(2.19.110)
Так как осадка пневматика при 自=0 равна
У^ = ^(2.19.112)
и, с другой стороны, в этом месте давление на грунт равно постоянной то
成=К(2.19.113)
откуда
從=，2KR/|3.(2.19.114)
Из формулы (2.19.98) имеем
а2 = 2KR/0 +产.(2.19.115)
Таким образом, из соотношения (2.19.111) можно, учитывая (2.19.114) и (2.19.115), после приведения подобных членов получить следующее уравнение для определения величины Z:
Г33■
(2.19.116)
Зная Z, нетрудно найти глубину образующейся колеи по формуле
(2.19.117)
которую легко усмотреть на рис. 144, а также из (2.19.103) и (2.19.115).
Произведем упрощение уравнения (2.19.116) в предположении, что I — малая величина по сравнению сан, следовательно, по сравнению с (2КА/|3)"2 = с/ (см. “ормулв gi9.114) и (2.19.115).
Пренебрегая в (2.19.116) степенями I выше второй, получим приближенно
(2.19.118)(2.19.118)
(2.19.118)
(2.19.118)
откуда
尸尸2KR2KRСледовательно, глубина колеи, согласно (2.19.117) и (2.19.119), после каждого прохода колеса возрастает на величину Л = X/2R. Формула (2.19.119) справедлива лишь в том случае, если выражение, стоящее в скобках, положительно. В противном случае, т. е. когда
尸
尸
2KR
2KR
(2.19.120)
в согласии с условием (2.19.102), колея углубляться не будет, т. е. следует считать, что 九=0.
В рассмотренном примере мы приняли скорость движения колеса достаточно малой и пренебрегли в выражении (2.19.5), т. е.目 = К+3|io, членом, содержащим о. При учете этого члена исследование становится более сложным и, как можно показать, кривая деформирования грунта под пневматиком не будет иметь точек излома при 自= 1. Кроме того, деформация грунта будет продолжаться и позади вертикальной плоскости, проходящей через ось колеса, т. е. при 0〉自〉一〃(〃 < а'). Однако глубина образующейся колеи будет тем меньше, чем больше значение скорости движения колеса.
Рассмотрим другой частный случай, соответствующий закону Герстнера р = сх. Этот закон получается (см. 1°) как частный случай закона ⑵ 19.3):
dxp = ex 禺С凉，
если вновь принять, что скорость движения колеса очень мала. Пусть колесо совершает свой первый проход по грунту, т. е. примем hn-i = = 0. Тогда соотношение (2.19.88) для этого случая представится в виде ⑵ 19.97).
Деформация грунта начнется сразу же с мгновения соприкосновения колеса с грунтом, т. е. в месте, где 自 = а, и закончится при 自 = 0 (рис. 145).
Используя соотношения, справедливые для точек пневматика и точек грунта при а〉自〉0:
р = сж, 0 = [3g,(2.19.121)
исключим ж и ?/ из равенства (2.19.97). Получим
(； + ^)р=^—爰.(2.19.122)
Отсюда деформация пневматика в точке 自=0 равна
[2
g。=声。=*%•(2.19.123)
22Рис. 145Рис. 145h^y=2R~2R'h^y=2R~2R'(2.19.127)(2.19.127)
2
2
Рис. 145
Рис. 145
h^y=2R~2R'
h^y=2R~2R'
(2.19.127)
(2.19.127)
При этом, согласно (2.19.97), при 自=0 имеем
(2.19.124)
С другой стороны, согласно той же формуле, учитывая, что при 自=—а! имеет место х = h^y = 0^ приходим к равенству
h=g%、(2.19.125)
следовательно, исключая из формулы (2.19.124), согласно (2.19.125), осадку грунта Л, получим почти очевидное равенство /2
Уи = *(2.19.126)
Нетрудно видеть, что соотноше
ние (2.19.97) в пределах —а' < ^ < 0 принимает вид
Используя (2.19.125), включая Л (см. также рис. 145), получим
(2.19.128)(2.19.128)a- 广
(2.19.128)
(2.19.128)
У = 2R~ 2R
Отсюда приходим к следующей формуле для давления на этом участке поверхности соприкосновения колеса с грунтом:
0 = В0 = В//2 上 2\2R-2R//2 上 2\2R-2R(—о!〈自 < 0).(—о!〈自 < 0).(2.19.129)(2.19.129)
0 = В
0 = В
//2 上 2
\2R-2R
//2 上 2
\2R-2R
(—о!〈自 < 0).
(—о!〈自 < 0).
(2.19.129)
(2.19.129)
Здесь а! определяется соотношениями (2.19.123) и (2.19.126) и пред
ставляется в виде
(2.19.130)
Для силы Р давления колеса на грунт имеем выражение
Оа
；尸=]pd^pd^.
-а'О
士L—b 一p3а e + 032士L—b 一p3а e + 032(2.19.132)(2.19.132)
士L—
b 一p3а e + 032
士L—
b 一p3а e + 032
(2.19.132)
(2.19.132)
Подставляя в первый интеграл выражение 目 из (2.19.129), а во второй — из (2.19.122) и произведя интегрирование, получим
2R~ 2R~ с + 0玩2R~ 2R~ с + 0玩(2.19.134)(2.19.134)
2R~ 2R~ с + 0玩
2R~ 2R~ с + 0玩
(2.19.134)
(2.19.134)
Заменяя здесь а! через а, согласно (2.19.130), приходим к формуле
(2.19.133)
Вместе с тем согласно соотношению (2.19.125) и с учетом (2.19.130), получим
^ = I (%А)^ = I (%А)竺竺(2.19.135)(2.19.135)
^ = I (%А)
^ = I (%А)
竺
竺
(2.19.135)
(2.19.135)
Подставляя а, определяемое соотношением (2.19.133), имеем после упрощений следующую окончательную формулу для глубины колеи, образовавшейся после первого прохода колеса:
При следующем проходе колеса деформация грунта начнется не в точке ^ = а^ несколько ближе к вертикальной плоскости, проходящей через ось колеса в той точке, где давление на грунт со стороны пневматика достигнет значения ch, как это следует из механических свойств грунта, описанных в 1°.
Таким образом, схема деформирования пневматика и грунта имеет в этом случае примерно тот же характер, что и в разобранном примере для случая ж > 8. При последующих проходах колеса начало деформации грунта под пневматиком будет все более и более приближаться к упомянутой вертикальной плоскости, пока, наконец, деформация грунта не прекратится. В этом случае можно считать, что грунтовая дорога «укатана».
Если движение колеса происходит по одной и той же колее, то нетрудно получить выражение для предельной глубины колеи Лтах. Так как в пределе грунт не деформ и руется, то согласно формулам (2.19.95) и (2.19.96) максимальное давление пневматика на грунт составляет величину
Отсюда для искомой предельной глубины колеи получим формулу
⑵ 19.137)⑵ 19.137)
⑵ 19.137)
⑵ 19.137)
4°. Некоторые замечания о деформировании грунта гусеницей. Для повышения проходимости механического транспорта нашел большое применение так называемый гусеничный ход. Преимущество гусеничного хода заключается в том, что вес движущихся частей передается на большую площадь грунта и, следовательно, удельное давление на грунт уменьшается сравнительно с движением на колесах. Вследствие уменьшения удельного давления деформация грунта оказывается меньше и, таким образом, проходимость транспорта улучшается.
Современные гусеницы состоят из большого числа звеньев сравнительно малой длины. Поэтому при анализе можно представлять гусеницу в виде некоторой тонкой ленты, жесткость которой при изгибе вокруг оси, параллельной движению, бесконечно велика, а жесткость вокруг другой оси, перпендикулярной первой и лежащей в плоскости ленты, напротив, исчезающе мала.
Механической моделью такой ленты является гусеница со звеньями бесконечно малой длины.
При таком представл ен и и гусеницы можно считать, что любая нагрузка, распределенная вдоль ленты симметрично относительно ее средней линии, передается на грунт таким образом, что давление оказывается постоянным на каждом звене гусеницы и меняется лишь при переходе от одного звена к другому. Следовательно, если по середине гусеничной ленты, которая лежит в грунте, движутся колеса с жестким ободом, то деформация грунта будет происходить так, как если бы ширина обода колеса равнялась ширине ленты. Таким образом, если, например, катки гусеничного хода имеют жесткий обод, то для подсчета деформации грунта под гусеницей можно воспользоваться формулами, приведенными в 2°, считая размер 6 равным ширине гусеничной ленты.
Благодаря наличию пружинной связи между катками гусеничного хода и основным корпусом можно приближенно считать, что вес всей перемещающейся конструкции распределяется равномерно между катками. Точно так же если по гусеничной ленте катится колесо с пневматиком, то дело происходит так, как если бы ширина пневматика равнялась ширине ленты. При этом исходные гипотезы удовлетворяются более точно, чем при движении пневматика непосредственно по грунту. Действительно, гусеничная лента полно-
стью обеспечивает равенство осадок точек грунта, расположенных на прямых, перпендикулярных движению колеса, т. е. на образующих эквивалентного пневматика, ширина обода которого равна ширине ленты .ленты.
Таким образом, все формулы п. 3° могут быть распространены и на случай движения гусеничного хода с катками, имеющими эластичные покрытия.
§ 20. Прокатка и волочение при больших скоростяхдеформирования
При расчете напряжений, возникающих при прокатке и волочении материала, обычно принято считать, что пластические деформации материала подчиняются закону Треска-Сен-Венана, согласно которому максимальное касательное напряжение в каждой точке материала постоянно и не зависит от скорости деформации. Так, например, поступил Т. Карман [232], решая задачу о прокатке.
А.А. Ильюшин [24], рассматривая задачу о волочении через коническую матрицу без трения, принял, что максимальное касательное напряжение зависит линейно от скорости деформации.
Ряд соображений об игре сил при прокатке дал А. Надаи [236].
В настоящем небольшом исследовании приводится схема приближенного расчета усилий при прокатке и волочении материала с учетом трения о внешние стенки и зависимости напряжений от скорости деформации. Как будет показано, задача при некоторых упрощающих предположениях сводится к интегрированию одного (в случае волочения) или двух (в случае прокатки) обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
1°. При рассмотрении задачи о прокатке составим уравнения движения элемента (рис. 146 и 147) прокатываемой полосы между двумя сечениями ж и x-\-dx. Если обозначить среднее по сечению нормальное напряжение через ож, а удельное давление через Q, то получим уравнение
pbwx = ^ (報匕)+ q sin а + Qfqcosa^ (2.20.1)
где р — плотность материала, wx — среднее ускорение элемента, 6 — переменная толщина полосы, / — коэффициент трения материала полосы о вальцы, 0 — число, равное +1, если скорость элемента больше окружной скорости вальцов, и —1 — если имеет место обратное соотношение.
Для большинства случаев инерционным членом pbg можно пренебречь. Кроме того, с достаточным приближением можно считать
sin а ^sin а ^ж才ж才cos ОС ^ 1,cos ОС ^ 1,(2.20.2)(2.20.2)
sin а ^
sin а ^
ж
才
ж
才
cos ОС ^ 1,
cos ОС ^ 1,
(2.20.2)
(2.20.2)
где ж — расстояние сечения от прямой, проходящей через центры вальцов, и R — их радиус.
ааУУРис. 146Рис. 146g；/==========— g； Lg；/==========— g； L6о% + —^厶6о% + —^厶Рис. 147Рис. 147
а
а
У
У
Рис. 146
Рис. 146
g；/==========— g； L
g；/==========— g； L
6о% + —^厶
6о% + —^厶
Рис. 147
Рис. 147
Для толщины полосы 6 можно принять (см. рис. 146) следующую зависимость от ж:
(2.20.3)
где 历—ширина полосы после ее обжатия вальцами.
Упругим эффектом при деформировании полосы можно также полностью пренебречь и принять, что обжатие полосы прекращается в сечении 力 = 0. Следовательно,
(2.20.4)(2.20.4)Ьд = I — 2R,
(2.20.4)
(2.20.4)
где I — расстояние между центрами вальцов.
Если до прокатки толщина полосы была 历，то из соотношения
(2.20.5)(2.20.5)历=历+ ^
(2.20.5)
(2.20.5)
нетрудно найти длину а части полосы, которая подвергается обжатию.
Следуя Карману, примем напряжения ож и —q приближенно равными главным нормальным напряжениям полосы. Тогда максимальное
касательное напряжение для каждого сечения будет равно
_ 1Стах = 2_ 1Стах = 2(dr - q) •(dr - q) •(2.20.6)(2.20.6)
_ 1
Стах = 2
_ 1
Стах = 2
(dr - q) •
(dr - q) •
(2.20.6)
(2.20.6)
Будем считать, что это напряжение линейно зависит от скорости деформации сдвига, т. е.
Стах = К + — ЦУгпах?(2.20.7)
где К — пластическая постоянная, ц — коэффициент вязкости материала, Ymax — скорость деформации сдвига (см. [166]). Последнюю можно подсчитать из следующих соображений: пусть vx — средняя скорость точек сечения ж в направлении оси ж; если Q — объем материала прокатываемого в единицу времени на единицу ширины полосы, и полоса при прокатке не уширяется, то
% Р(2.20.8)
так как течение полосы происходит в направлении отрицательной части оси х.
Так как материал считается несжимаемым, то для скоростей деформирования в направлении осей х и у при установившемся процессе прокатки имеем
dvx Q dbQ db
% =毎=庐林， %—庐林.
Принимая, как было сделано выше для напряженного состояния, оси х и у за главные оси деформации, получим для максимальной скорости сдвига в каждом сечении выражение
V—丝匆(2 20 9)
Утах 一 6 tg 一 厶2卜4・4U・＞丿
Приравнивая (2.20.6) и (2.20.7) и учитывая (2.20.9), найдем
q —一0£ + 2 (/c + й》^^) 。⑵20.10)
Выражение, стоящее в скобках в правой части этого равенства, есть известная функция ж, если, конечно, на основании соответствующим образом поставленных экспериментов пластическая постоянная К и коэффициент вязкости ц определены для данного материала и для температуры, при которой совершается прокатка.
При желании можно при решении задачи о прокатке учесть инерционные члены. При этом ускорение элемента полосы определяется на
основании известных соотношений гидродинамики по формуле
dvx Q2 dbWx=Vx^ = ~Vdx'dvx Q2 dbWx=Vx^ = ~Vdx'⑵20.11)⑵20.11)
dvx Q2 db
Wx=Vx^ = ~Vdx'
dvx Q2 db
Wx=Vx^ = ~Vdx'
⑵20.11)
⑵20.11)
Подставляя выражение wx и q, согласно формулам (2.20.11) и (2.20.10), в уравнение движения (2.20.1), имеем
黑=^(。詢+(”*) f+2(К + И鶴)•(2.20.12)
Вводя функцию尸-0宓AВводя функцию尸-0宓A⑵ 20.13)⑵ 20.13)
Вводя функцию
尸-0宓A
Вводя функцию
尸-0宓A
⑵ 20.13)
⑵ 20.13)
представляющую силу, с которой растягивается полоса в данном сечении, получим для этой функции дифференциальное уравнение
■^-=屮(力，e)尸 + 屮(力，ё), (2.20.14) где
Р W ⑺=f A 2 (尹 *) (к + 口畿).
⑵20.15)
Скорость точек сечения 力=0 больше окружной скорости вальцов wR〉где w — угловая скорость вальцов. Поэтому сила трения имеет направление положительной части оси ж и на участке, примыкающем к этому сечению, следует положить 6 = +1. Точка другого крайнего сечения х = а имеет скорость, меньшую wR, и, следовательно, на участке, примыкающем к сечению 力 = а, трение направлено в отрицательную сторону оси ж (затаск полосы); на этом участке надлежит считать 0 = =—1.
Некоторое среднее сечение ж = с (0 < с < а), имеющее скорость, равную окружной скорости вальцов, служит разделом рассмотренных двух участков полосы.
Обозначим через Р° м Ра усилия, приложенные по краям (рис. 148) полосы, которые могут иметь место при различных системах прокатных станов (при прокатке без дополнительных сил следует положить Pq и Ра равными нулю). Тогда для определения функции Р (ж) внутри интервала 0 < ж < а следует проинтегрировать уравнение (2.20.14) на участке 力》0, полагая е = +1 при условии 尸(0) = R и 6 = —1 на участке 力，а при условии Р (а) = Ра.
Если прокатка при заданных силах Pq и Ра возможна, то полученные кривые 尸 1 (ж) и 巳(力)пересекутся в некоторой точке с абсциссой х = с. Эта точка является, очевидно, границей обоих участков. Найдя
ее, уже нетрудно определить из соотношения
⑵ 20.16)⑵ 20.16)WR=^
⑵ 20.16)
⑵ 20.16)
необходимую скорость вращения вальцов для получения заданной про- и зводи тел ьн ости стана. Для расчета мощности, расходуемой станом, нужно подсчитать удельное давление q по границе контакта вальцов
с полосой. Для этого следует воспользоваться формулой (2.20.10), где нужно положить ож = Р/b. Зная q как функцию ж, по формуле
Т =/] q (力)de — / q (x)dx(2.20.17)
оc
определяем окружное усилие на вальцах.
После этого мощность, расходуемая на прокатку, может быть вычислена по формуле
W = h (wRT + 尸-尸+ 叼，⑵20.18)
\Оо 01 /
где Л — ширина полосы и Wf — мощность, расходуемая на преодоление трения в самом стане.
Для подсчета трения, а также для расчета вальцов на прочность и усталость следует вычислить полную силу давления вальца на полосу, т. е. интеграл от функции q (ж) в пределах от 0 до а. Решение уравнения (2.20.14) и вычисление интегралов, встречающихся в приведенных формулах, можно осуществить одним из приближенных способов [33].
2°. Задача о волочении требует примерно той же схемы расчета, что и задача о прокатке. Составим прежде всего уравнения движения элемента материала, подвергающегося волочению (рис. 149). Если
§ 20. Прокатка и волочение при больших скоростях деформирования 463 через On обозначить среднее значение растягивающего напряжения по сечению материала, нормальному к оси симметрии, и через q — удельное давление на границу материала по поверхности матрицы, то уравнение представится в виде
⑵ 20.19)⑵ 20.19)pFwz = 7 ⑸ F) + q sin a + /q cos a.
⑵ 20.19)
⑵ 20.19)
где F — площадь поперечного сечения материала, р — его плотность, a ——угол наклона касательной к образующей поверхности матрицы с осью z, f — коэффициент кулонова трения материала о стенки. Если трение не подчиняется закону Кулона, то последний член правой части уравнения должен быть соответственно изменен.
Пусть Q — объем материала, проходящий через матрицу в единицу времени. Тогда средняя скорость движения частиц, расположенных по какому-либо сечению, выразится формулой
⑵ 20.20)
так как, согласно принятому на рис. 149 направлению оси г, движение материала происходит в отрицательном направлении. При стационарном процессе волочения получим для ускорения выражение
⑵ 20.21)
Зная очертания матрицы, нетрудно построить функции
a = a(z), F = F (г) и=2兀＜tga.
где г — радиус сечения материала, находящегося на расстоянии z от левого края матрицы.
Будем считать, что в первом приближении аналогично задаче о прокатке q = —о「, где о「— нормальное напряжение на площадках, нормали к которым проходят через ось z.
Примем, кроме того, деформированное и напряженное состояния по сечению материала однородными. Главные напряжения и главные скорости деформирования можно положить приближенно равными:
°1 = ^Z4 ^2 — ^3 = ^гч
⑵ 20.22)⑵ 20.22)dvz _ Q dFdz F dz '
⑵ 20.22)
⑵ 20.22)
Для осесимметрического течения материала примем уравнения пространственного деформирования вязкопластической среды, полученные нами ранее [166]. Так как по направлению оси z происходит растяжение и, кроме того, деформация % является наибольшей из всех трех главных деформаций 门，％, £з, то уравнения деформирования примут вид
422
Ol = gK+|l£i, O2 = —gK+|i£2, оз = --К +11£3,(2.20.23)
откуда
。1 ~ ^з = ^z ~ ^r = 2K + |i (о】—оз) + 2К + -^-^ 石~•(2.20.24)
Следовательно,
-От = q = - On = 2К + 翼 ^ •⑵ 20.25)
Подставляя значение q в уравнение движения элемента и вводя обозначение
P = gzF,(2.20.26)
придем к уравнению где
/ 、 sin а + f cos а屮(z)=戸，
屮⑶(sma + /cosa) [2K + f石 一 P戸石 являются известными функциями z. Начальным условием при волочении обычно следует считать
尸(а) = В = 0,где а — координата правого края матрицы. В результате решения
Рис. 150
уравнения найдем усилие, которое необходимо развивать в материале с левой стороны матрицы. При волочении последовательно через две матрицы (рис. 150) начальное условие для первой матрицы будет тем же, а для второй растягивающее усилие в материале с правой стороны уже не будет равно нулю и определится из решения задачи для первой матрицы.
§ 21. Разрушение не вполне упругих материалов
В технике, наряду с расчетами на прочность, существенную роль играют расчеты на разрушение тех или иных материалов, необходимые для успешного осуществления технологических процессов. Особенно большое значение имеет расчет на разрушение в сельскохозяйственной механике, где большинство процессов связано с разрушением части
проходящих через машину материалов растительного происхождения.
К сожалению, нет еще достаточно строгой и сколь-л ибо удовлетворительной теории разрушения материалов. Многочисленные теории прочности, применяемые в расчетах упругих систем, теряют силу при приложении их к расчету не вполне упругих систем, где существенное значение имеют и время действия сил на тело, и скорость, с которой эти тела подвергаются деформированию.
Ниже изучаются условия разрушения простейших не вполне упру
гих тел в статических и динамических условиях на примере тела,
Рис. 151Рис. 151одномерное деформирование которого подчиняется линейному закону
Рис. 151
Рис. 151
結「0 =磽+ bg (2.21.1)
где о — напряжение и £ — соответствующая деформация, а 6, г и п — физические константы.
В [160] указана модель, поведение которой в точности подчиняется тому же закону (2.21.1). Модель (рис. 151) состоит из двух последовательно соединенных безынерционных пружин и также безынерционного поршня, перемещающегося с зазором в цилиндре, наполненном вязкой жидкостью, плотность которой не учитывается. Внутренняя пружина, обладающая жест-
костью с, прикреплена одним концом к поршню, а другим — к неподвижному дну цилиндра. Внешняя пружина жесткости 6 растягивается (или сжимается) силой о, воздействуя с той же силой на поршень.
Полное удлинение модели £ (сумма удлинений обеих пружин), как нетрудно установить, связано с приложенной к модели силой соотношением
do b + c de Ьс/、
瓦 + 丁° = 6豆+(2・2L2)
где |i — коэффициент вязкого сопротивления перемещению поршня в цилиндре.
Достаточно положить
"+ ° = г, - = п,(2.21.3)
чтобы равенства (2.21.1) и (2.21.2) стали идентичными. Согласно (2.21.3) следует, что всегда г > п.
Поведение не вполне упругого (или, что то же, упруговязкого) тела, подчиняющегося закону (2.21.1) при разных обстоя тел ьствах нагружения и деформирования, описано в [160].
1°. Гипотезы разрушения не вполне упругого материала. Наличие двух упругих начал соответственно двум пружинам модели дает основание предполагать возможность двух видов разрушения не вполне упругого материала при простейшем напряженном состоянии, например бруса при растяжении. Одному виду разрушения соответствует разрыв первой (внешней) пружины модели. Это разрушение назовем внешним; оно будет иметь место, когда напряжение или соответственно на модели растягивающая сила о превышают некоторое предельное значение o&.
Другому виду разрушения соответствует разрыв второй (внутренней) пружины модели; назовем его внутренним. Разрыв второй пружины произойдет, когда приходящееся на нее усилие превысит некоторое характерное значение о* = о$. Удлинение % внутренней пружины составляет величину £ —门，где 门 = o/b — удлинение первой пружины. Так как усилие, возникающее во второй пружине, равно
02 — С£2 = о (е — ^) ,(2.21.4)
где, согласно (2.21.3),
с = Ьп/(г — п),
то ее разрушение наступит при осуществлении неравенства
Введем обозначение
Тогда условие разрушения представится в виде неравенства
(2.21.7)
левая часть которого, очевидно, соответствует удлинению второй пружины модели.
Для большей наглядности в дальнейшем будем рассматривать условия разрушения лишь на модели. Таким образом, разрушение будет иметь место при выполнении одного из следующих условий:
о〉Ф)или。卜―/〉о*. (2.21.8)
Так как при монотонном растяжении из естественного состояния усилие, возникающее во второй пружине, всегда меньше усилия в первой пружине, то внутреннее разрушение модели, т. е. выполнение второго условия, возможно лишь при о* < оь, что и будем предполагать в дальнейшем.
Можно указать предельное удлинение модели £тах, при достижении которого непременно произойдет разрушение. Действительно, наибольшее удлинение первой пружины, не вызывающее ее разрушения, равно £1 = оь/А тогда как у второй пружины предельно возможное удлинение —£2 — О*/с Поэтому
£тах = £1 + £2 =片 + ^ (2.21.9)
—наибольшее из всех возможных удлинений модели без разрушения. В действительности разрушение может произойти и при меньшем удлинении, но, конечно, не ниже значения с* = о*/。，если по-прежнему О* < (?ь.
2°. Разрушение постоянной силой. Если к модели приложена сила о, превышающая значение о&, то разрушение произойдет немедленно (внешнее разрушение). Если же сила о меньше предельного значения о* < о&, то разрушение вообще не произойдет. Наконец, если значение силы является промежуточным между о* и о&, то разрушение будет внутренним и наступит спустя некоторое время после приложения нагрузки.
Нетрудно показать (см. [160]), что при действии постоянной нагрузки со модель деформ и руется по закону
-6 + 力。。+ ёо--6 + 力。。+ ёо-；+ ОО exp,；+ ОО exp,卩卩⑵ 21.10)⑵ 21.10)
-6 + 力。。+ ёо-
-6 + 力。。+ ёо-
；+ ОО exp,
；+ ОО exp,
卩
卩
⑵ 21.10)
⑵ 21.10)
что следует в результате интегрирования дифференциального уравнения (2.21.2), связывающего величины деформации £ и усилия о при начальном условии £ = £о при 力=0. Здесь следует принять £о = оо/А потому что сила, приложенная к недеформированной модели, вызовет немедленное удлинение с。первой пружины. Получим
Подставляя это выражение в условие разрушения (2.21.5), придем к неравенству
со 1 —ехр(—9力)〉o*,d/|i = —⑵ 21.12)
которое удовлетворяется, если значение времени t будет превышать
значение
⑵21.13)⑵21.13)
⑵21.13)
⑵21.13)
Примерный график зависимости между мгновением tp наступления разрушения и величиной нагрузки о。представлен на рис. 152. Так
как при о = оь происходит уже внешнее разрушение, то при о〉о& ордината кривой графика скачком обращается в нуль, т. е. разрушение наступает мгновенно. Если о* < о。< о&, то разрушение наступает в мгновение 力*, всегда превышающее значение
片口с片口сObObОь — О*Оь — О*
片口
с
片口
с
Ob
Ob
Оь — О*
Оь — О*
Значение ts становится бесконечно большим при о。= о$ = о*, что очевидно.
Факт разрушения материалов спустя некоторое время после приложения нагрузок экспериментально подтверждается.
3°. Разрушение внезапно вызванной деформацией. При внезапно вызванной деформации £о в самом начале оказывается нагруженной лишь первая пружина, следовательно, усилие, возникшее в модели, будет равно
00 =儿0.00 =儿0.⑵ 21.15)
00 =儿0.
00 =儿0.
Положив Со =儿о, получимПоложив Со =儿о, получим⑵ 21.17)⑵ 21.17)Вновь нетрудно получить, интегрируя соотношение (2.21.2), закономерность изменения усилия о в модели при условии постоянства деформации £ = £о, а именно
Положив Со =儿о, получим
Положив Со =儿о, получим
⑵ 21.17)
⑵ 21.17)
=т.(2.21.16)=т.(2.21.16)
=т.(2.21.16)
=т.(2.21.16)
〉о*,⑵ 21.18)〉о*,⑵ 21.18)> о*.> о*.
〉о*,⑵ 21.18)
〉о*,⑵ 21.18)
> о*.
> о*.
Если 6ео > оь, то, очевидно, произойдет внешнее разрушение модели после внезапного деформирования. Если же 儿。< о&, то разрушение может быть лишь внутренним, для чего необходимо выполнение условия
или, после упрощения.
⑵21.19)
Левая часть неравенства возрастает при неограниченном увеличении интервала времени 力 но остается меньше значения 6с£о/(^ + с)- Поэтому для разрушения необходимо, чтобы оказалось
⑵ 21.20)
Мгновение разрушения 力* при выполнении этого условия определяется из равенства
Таким образом,
力* = —⑵21.22) О + С \6 СЕО /
Разрушение материалов спустя некоторое время после вызванной деформации также нередко встречается.
4°. Разрушение равномерным деформированием. Если растяжение модели производить с постоянной скоростью, то усилие, возникающее в модели, можно определить непосредственно, используя соотношение (2.21.1), положив в нем £ = vt. Приходим к дифференциальному уравнению
^ + то =配(1 + 几力),(2.21.23)
общий интеграл которого имеет вид
° = Се—” + ?力 + (二”.(2.21.24)
Напомним, что константы тик связаны с 6, с и ц формулами ⑵ 21.3).
При растяжении из естественного состояния усилие о = 0 при 力=0, что позволяет определить константу интегрирования С В результате получим
^^l^^.e-rt^^⑵ 21.25)
Внешнее разрушение должно произойти в мгновение 力匕，при котором наступит равенство
(1 —「％) + 干=о»⑵21.26)
Однако может случиться и так, что внутреннее разрушение наступит в более раннее мгновение 力*. Так как условием внутреннего разрушения является удовлетворение неравенства (2.21.5), то значение 力* определится из уравнения
。 U-三少(1-е-^)—学］=。*,⑵21.27)
или, после очевидного упрощения и замены с на nb/(г — п).
Как легко усмотреть из уравнений, определяющих мгновения разрушения 力& и 力*, внутреннее разрушение сможет произойти, если о* < < ^ъ и, кроме того, скорость деформирования о достаточно мала. При достаточно большой скорости, напротив, всегда будет иметь место внешнее разрушение.
Можно подсчитать работу, которую совершит внешняя сила о, производя разрушение модели, или, что то же, удельную работу, потребную для разрушения материала при растяжении с постоянной скоростью. Так как элементарное перемещение точки приложения силы о составляет величину vdt^ то работа разрушения представляется интегралом
А = Gvdt. (2.21.29)
Здесь верхний предел интегрирования tp следует полагать равным наименьшему из чисел tb и t*.
Чтобы произвести фактический подсчет работы, затрачиваемой на разрушение, и оценить влияние скорости о, перейдем к безразмерной величине т, связанной с временем t соотношением
工=rt.(2.21.30)
Тогда закон изменения усилия о теперь уже как функции т, согласно (2.21.25), примет вид
。=三当(「「) + *(2.21.31)
а выражение для работы, затраченной на разрушение, соответственно
4 = ；(wd=^^ ^^(°0+ £—% — ° + ^ •(2.21.32)
о~
Здесь tp = rtp^ где tp — интервал времени, по истечении которого наступает разрушение, т. е. наименьшее из чисел 力匕 и 力$, являющихся соответственно корнями трансцендентных уравнений (2.21.26) и (2.21.28), которые можно теперь преобразовать к виду
“(1 -=(2.21.33)
7 nb v
2
Наименьший из корней этих уравнений и следует подставить в формулу (2.21.32) для удельной работы А.
Следует отметить два крайних случая: 1) деформирование с очень большой скоростью о; 2) деформирование с ничтожно малой скоростью.
При большом значении о разрушение вследствие разрыва внешней пружины модели наступит очень скоро. В этом случае и для определения мгновения разрушения 扣 следует воспользоваться уравнением (2.21.33). Замечая, что
「= 1⑵21.35)
можно, считая 工目 малым, уравнение (2.21.33) представить так:
⑵21.36)
TGb bvTGb bvОтсюда с точностью до малых второго порядка
TGb bv
TGb bv
(2.21.37)
Заметим, что интервал времени т*, соответствующий внутреннему разрушению, при тех же предположениях значительно больше тр, полагаемого равным %. Действительно, уравнение (2.21.34) для определения т*, считая его малым, можно преобразовать к виду
т* — 1+(1 — т* + ^ —.(2.21.38)
Пренебрегая малыми третьего порядка и выше, получим
(2.21.39)
Составляя отношение 却 и т*, имеем
(2.21.40)
откуда непосредственно видно, что при достаточно большой скорости деформирования о интервал времени 工目 окажется меньше т* в сколь угодно большое число раз.
При очень быстром разрыве и соответственно малых значениях Тр = q, выражение (2.21.32) для работы, расходуемой на разрушение,
представляется следующим образом:
А =А =г — пг — п丁 一九+丁 一九+n \11 • 21 • 2 • о /2n \11 • 21 • 2 • о /2莊力•⑵21.41)莊力•⑵21.41)
А =
А =
г — п
г — п
丁 一九+
丁 一九+
n \11 • 21 • 2 • о /2
n \11 • 21 • 2 • о /2
莊力•⑵21.41)
莊力•⑵21.41)
4=乐4=乐Подставляя сюда вместо 工目 его приближенное значение тоь/Ьо, получим
4=乐
4=乐
(2.21.42)
т. е. как раз ту работу, которую надлежало бы затратить для растяжения первой пружины модели до создания в ней усилия о&. Этот результат можно предвидеть сразу. В самом деле, при быстром растяже
нии вторая пружина модели вследствие наличия вязкости не успевает сколько-нибудь заметно продеформироваться.
Чтобы подсчитать работу, потребную на внешнее разрушение при не слишком больших скоростях, следует рассмотреть соотношение (2.21.33) совместно с равенством, следующим из формулы (2.21.32), а
именно
九十ё 丿+2 _ nbd '九十ё 丿+2 _ nbd '(2.21.43)(2.21.43)
九十ё 丿+2 _ nbd '
九十ё 丿+2 _ nbd '
(2.21.43)
(2.21.43)
и исключить из них 却，чтобы определить работу разрушения как функцию скорости. Для практических целей проще задаваться частными
значениями 却,и, определяя по ним значения скорости о из уравнения (2.21.33), подсчитать по второму уравнению соответствующее этой скорости значение А.
На рис. 153 дан график зависимости между безразмерными величинами Ub и 例：
⑵ 21.44)(2.21.45)⑵ 21.44)(2.21.45)nbv, г - n
⑵ 21.44)
(2.21.45)
⑵ 21.44)
(2.21.45)
nbA _(^ +— 1)+
2- = "7
при частном значении отношения (г — п)/п = b/с = 2, т. е. когда внешняя пружина имеет жесткость в два раза большую, чем внутренняя.
Не представляет труда построить аналогичные графики и для других значений отношения b/с и, кроме того, произвести по ним пересчеты на фактическую скорость о и соответствующую ей работу разрушения А, если известны физические константы материала。仇 仇 г и п.
График, изображенный на рис. 153, перестает быть справедливым при достаточно малом значении скорости о, так как вместо внешнего разрушения при малой скорости деформирования произойдет разрушение внутреннее. Действительно, при малых скоростях о значение “ будет велико, вследствие чего, согласно (2.21.33), можно положить 学=% + = (1 — с—。ь) ^却 + 口，“^(2.21.46)
nbv九'/九nbv 丁
Вместе с тем значение т* в этом случае определится в соответствии с (2.21.34) следующим образом:
22
-г- = т* — 1 + е т* — 15 т*~г—h 1.(2.21.47)
nbvnbv
Очевидно, что т* будет меньше %, если
* _+ 1⑵21.48)
nbv п nbv
т. е. когда о* в достаточной мере меньше о& или о мало.
Можно ограничиться для т* значением r2o*/nbv, которое будет тем точнее, чем меньше скорость деформирования v. При этом работа, затрачиваемая на разрушение, выразится приближенно формулой (2.21.32), в которой следует положить о@ = о* ц т* достаточно большим, а именно:
4 =亭& +「* - О + W卜 ^己 ⑵21.49)
Подставляя сюда т* = ^o^/nbv, получим
⑵ 21.50)⑵ 21.50)
⑵ 21.50)
⑵ 21.50)
что также можно было усмотреть непосредственно. В самом деле, приведенное выше значение А представляет собой работу, которую нужно затратить для растяжения обеих пружин до создания в них усилия о* при чрезвычайно медленном нагружении модели. В этом случае потери на сопротивление поршня в вязкой жидкости ничтожны вследствие весьма малой скорости деформирования.
Чтобы определить работу, расходуемую на внутреннее разрушение (разрыв пружины жесткости с) при не слишком малой скорости деформирования о, следует, очевидно, обратиться к уравнениям (2.21.32) и (2.21.34), т.е.
т* — 1 + е '*т* — 1 + е '*т%* nbvт%* nbvг — пг — ппп2а*+「* -1)+у =2а*+「* -1)+у =Аг3 nbv2Аг3 nbv2⑵ 21.51)⑵ 21.51)
т* — 1 + е '*
т* — 1 + е '*
т%* nbv
т%* nbv
г — п
г — п
п
п
2
а*+「* -1)+у =
2
а*+「* -1)+у =
Аг3 nbv2
Аг3 nbv2
⑵ 21.51)
⑵ 21.51)
из которых можно в результате исключения т* по заданному значению скорости V подсчитать величину работы А.
Замечая, что имеют место равенства
пЬАто*пЬАто*⑵ 21.52)⑵ 21.53)⑵ 21.52)⑵ 21.53)
пЬА
то*
пЬА
то*
⑵ 21.52)
⑵ 21.53)
⑵ 21.52)
⑵ 21.53)
можно, задаваясь последовательными частными значениями т*, построить графически зависимость между безразмерными величинами
⑵ 21.54)⑵ 21.54)nbvпЬА
⑵ 21.54)
⑵ 21.54)
“6 = 2 S °б =2~ •
После этого уже легко перейти к представлению работы разрушения А как функции скорости деформирования о.
На рис. 154 построен такой график для прежнего значения отношения b/с = (丁一 几)/几 = 2. Он, разумеется, справедлив лишь для достаточно малых скоростей деформирования, ибо при больших скоростях произойдет внешнее разрушение, и тогда следует пользоваться уже графиком, изображенным на рис. 152.
Значение скорости деформирования о = о。，отделяющее область внутреннего разрушения от внешнего, можно найти, решая совместно
два уравнения (2.21.33) и (2.21.34), положив в них % = т* = то? т. е.
⑵ 21.55)⑵ 21.55)Q + ^T(1 -ё)=丽"。-1 + e =丽，
⑵ 21.55)
⑵ 21.55)
относительно q и о。. Если приравнять частные от деления друг на друга левых и отдельно правых частей последних равенств, то придем к уравнению
ObOb⑵ 21.56)⑵ 21.56)то Н(1 — е )
Ob
Ob
⑵ 21.56)
⑵ 21.56)
то — 1 + е т°
относительно одного лишь неизвестного с。. После этого уже просто определяется искомое граничное значение о。.
Числовой пример. Пусть по-прежнему г — п/п = Ь/с = 2и^ кроме того, оь/о* = 3. Тогда безразмерное значение мгновения разрушения то определится из уравнения
2 (1 — е т°) + то2 (1 — е т°) + тоТ0-1+「°Т0-1+「°3.3.⑵ 21.57)⑵ 21.57)
2 (1 — е т°) + то
2 (1 — е т°) + то
Т0-1+「°
Т0-1+「°
3.
3.
⑵ 21.57)
⑵ 21.57)
График функции
Ф&)=2(—『；。⑵ 21.58)
то - 1 + е и
изображен на рис. 155. Значение, равное 3.00, эта функция принимает при то ^ 2.33. Соответствующее граничное значение скорости о。оказывается равным
勺0.25⑵21.59) rib ')nb
Для приведенного примера о/ф)= о/Зо* (о = const). Поэтому кривую зависимости работы А, идущей на разрушение, от скорости деформирования о, или, что в принципе то же, кривую зависимости между безразмерными величинами иъ = rzbo/丁20b и а& = пЬА/г^ можно построить, соответственно изменив масштаб кривой внутреннего разрушения, изображенной на рис. 154, и дополнив ее кривой внешнего разрушения (см. рис. 153). В результате приходим к кривой
рис. 156, левая часть которой соответствует внутреннему разрушению, правая — внешнему, а абсцисса их общей точки — граничному значению скорости V.
Подобным же образом можно описать процесс разрушения и при изгибе. При этом изменились бы лишь константы основного уравнения. В самом деле, уравнения
^+тс =磽+ Ме
И
嘗军)(%+т
(приведенные в §12 гл. 2 настоящей книги) для изгиба балки на двух опорах, нагруженной посередине силой 尸=尸(力)，совершенно аналогичны.
5°. Разрушение динамической нагрузкой. Пусть стержень из не вполне упругого материала подвергается действию растягивающего удара со стороны массы т, обладающей начальной скоростью (рис. 157). Если пренебречь влиянием собственной массы стержня, то напряженное и деформированное состояния по его длине будут однородными.
Напряжение о материала при таком допущении окажется равным —(т]F)产〃/^产，где F — площадь сечения стержня, и — перемещение правого конца стержня. Имеем
〃 ml d%
Напряжение о и относительное удлинение £ не вполне упругого стержня связаны соотношением do/d力 + то = bd^/dt + Ьпг\ подставляя сюда напряжение для о, получим дифференциальное уравнение для определения относительного удлинения £：
修 +凜)+d + ne)⑵2L61)
В начальное мгновение естественно считать относительное удлинение £ и напряжение о равными нулю. Принимая это мгновение за начало отсчета времени и учитывая равенство lds/dt = du/dt, получим, что при 力=0 имеют место следующие начальные условия полученного дифференциального уравнения для £ = £(%):
e = 0^ = bS=°-⑵ 21.62)
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
£ = 2^" +。2^2右 + Сз^з*(2.21.63)
где 力,丫2 м 7^ — корни характеристического уравнения.
Все его коэффициенты положительны. Следовательно, корни не могут быть положительными и возможны лишь два случая: или все три корня отрицательны, или один корень отрицателен, а два другие — сопряженные комплексные. Покажем, следуя Раусу, что в последнем случае действительная часть комплексных корней отрицательна.
Представим характеристическое уравнение в виде
(2.21.64)(2.21.64)з ,2 . bF bFn с
(2.21.64)
(2.21.64)
丫 +麻什市=°・
Согласно теореме Виета имеем
-(力 + Y2 + yз) = T =a1,
Y1Y2 + Y2Y3 + Y3Y1 =Y1Y2 + Y2Y3 + Y3Y1 =bFbF(2.21.65)(2.21.65)
Y1Y2 + Y2Y3 + Y3Y1 =
Y1Y2 + Y2Y3 + Y3Y1 =
bF
bF
(2.21.65)
(2.21.65)
bFn
-Y1Y2Y3 = -—г = аз・
Обозначим модуль вещественного отрицательного корня через х, вещественную часть комплексных корней — через а, а мнимую — через р. Тогда
力=—х, 丫2 = —а + 仅 и уз = —ос — рг.(2.21.66)
Ранее было показано, что коэффициент интенсивности релаксации г должен быть больше коэффициента интенсивности последействия п, так как при переходе к модели не вполне упругого тела следует положить т = (6 + с)/ц и п = с/ц. Поэтому
bFbFс
。1。2 = 丁г〉。3 =几(2.21.67) mlml
т. е. г > п, или
一 (一х — 2ос) [一х (一ос + (ЗЕ) + (一ос + (ЗЕ) (一ос 一 (ЗЕ) —
-X (-ос — в。)]〉比(-a + 仅)(-a -仅)，(2.21.68) что после упрощения принимает вид
2比％ + 2a (ос2 + р2 + 2хос) = 2a [(а + х)2 + p2j > 0.(2.21.69)
Здесь выражение в квадратных скобках всегда положительно. Следовательно, это неравенство возможно лишь при условии а〉0, что и доказывает предположение об отрицательности вещественной части комплексных корней при г > п [162].
Общее решение дифференциального уравнения представляется теперь в виде
£ = Се~^ + £—^ (4 cos W + 5 sin 阂.(2.21.70)
Итак, в обоих рассмотренных случаях корней характеристического уравнения относительное удлинение, в начальный момент возраставшее, так как при 力=0 ds/dt = o/Z > 0, будет в дальнейшем убывать: либо апериодически, когда все три корня характеристического уравнения отрицательны, либо в результате затухающих колебаний массы, производившей удар. При этом предполагается, что масса остается после удара связанной с концом стержня.
Для отыскания решения, удов л етворя ющего начальным условиям, удобно исходить из общего решения дифференциального уравнения в виде
£ = 6^" +。2£便 + се,(2.21.71)
где 力—отрицательный корень и Ci — действительное число, а次，73, °2 и Сз — в зависимости от обстоятельств либо действительные, либо
480 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды комплексные числа. Из начальных условий следует:
0 = G +。2 +03,
^ =力01 + Y202 + Y303,（2.21.72）
0 =宕。1 + 百。2 + 73е3 •
Отсюда, решая систему линейных уравнений, получим
22
（X - Y2）（Y2 - Y3）（Y3 - Y1）5
Q =、『_｛（⑵ 21.73）
22
（力-Y2）（Y2 - Y3）（Y3 一力厂
После отыскания 力，攻，Уз, 2, °2, °з нетрудно найти напряжение о как функцию времени. Имеем
工+Г" =磽+版ё =
=016（力 + n） e丁" +026（Y2 + n）變方 + Qb（Y3 + n）醋* ⑵21.74） откуда
О = AQe~rt + 4L * + A2e~y2t + 人^一叫（2.21.75）
где константы 4“ 厶2,厶3, как легко убедиться, равны соответственно:
4=66^^, А2 = с2ь^^, 4з = СзЬ^^, ⑵ 21.76）
X + T丁2 + т了3 + t
а константа До определяется из условия обращения напряжения о в нуль в начальный момент времени, т. е. из условия
4о + 4] + 厶2 + 厶3 =。・（2.21.77）
Разрушение бруса наступит, как было найдено ранее, при выполнении одного из условий: о 〉 о& （внешнее разрушение）, [Ьп/（г — п）]（£ — о/6） > о* （внутреннее разрушение）.
Подставляя сюда значения он% получим условия в следующем виде. Должно осуществиться одно из неравенств
601包土^@" 一 e一勺 +
+ ^|^（£彼-e~rt）。3^^ （醋右-e~rt） > ofe （2.21.78） или
bn+ -^е^£ + 2?eY3t _
Yi + Ty2 + 丁y3 + T
一亠储]」+02亠 +039]>。*.⑵21.79）
г — ПYl+丁丫2 + 丁уз + 丁
Так как в выражения &, Q и Сз скорость о ударяющей массы входит множителем, то при достаточно большом значении скорости выполнение одного из приведенных выше условий непременно осуществится и, следовательно, наступит разрушение бруса. В момент разрушения скорость массы т, вообще говоря, будет отличаться от нуля и, следовательно, не вся кинетическая энергия массы пойдет на разрушение. Можно подобрать такое значение начальной скорости о, при котором в мгновение разрушения скорость массы т окажется равной нулю и, следовательно, вся ее энергия затратится на разрушение стержня. При этом для разных значений массы будут получаться различные минимальные разрушающие скорости о и соответственно различные значения кинетической энергии mv2/2.
Может быть и так, что для одной и той же массы получатся две минимальные скорости — одна сравнительно небольшая, соответствующая внутреннему разрушению, и другая значительно большая, соответствующая внешнему разрушению. Приведенные выше формулы слишком сложны, чтобы можно было исследовать этот интересный вопрос в достаточно общем виде.
§ 22. Продольные колебания стержня при наличиилинейного закона поел ед ей стви я и релаксации
Многие материалы, находящие применение на практике, не вполне упруги. Из класса не вполне упругих материалов следует особо выделить материалы, обладающие свойством релаксации и свойством
последействия. Под свойством релаксации понимается обычно способность тела изменять интенсивность своего напряженного состояния при неизменном деформированном состоянии, а под свойством последействия —способность тела деформироваться по прекращении изменения действующей на него нагрузки.
Материал, деформирование которого подчиняется линейному закону
寡+ 6п£,(2.22.1)
обладает и тем и другим свойством [172]. В самом деле, если растягивающее (или сжимающее) напряжение о = о。постоянно, то при любом своем начальном значении деформация £ (относительное удлинение или укорочение) стремится к одному и тому же пределу Eg = (bn/r) о。.
Точно так же, если деформация £ = £о удерживается постоянной, то предельное значение напряжения оказывается равным о^ = (丁/匕几)^。, каково бы оно ни было в исходное мгновение времени [172].
Материалы подобного рода относятся к так называемым материалам с наследственными свойствами. Их напряженное состояние о(力) зависит от предшествующей истории изменения деформации £(力).Математическим аппаратом, описывающим деформирование материалов с наследственностью, являются интегральные уравнения Больцмана- Вольтерра. Однако если ядро уравнения является экспоненциальной функцией разности аргумента (времени) и переменной интегрирования, то интегральное уравнение сводится к дифференциальному (2.22.1) и решение многих задач упрощается.
Здесь мы рассмотрим продольные колебания стержня, поведение материала которого подчиняется приведенному выше закону (2.22.1).
(2.22.2)(2.22.2)Ограничимся случаем однородного стержня длиной Z постоянного поперечного сечения F. Если расстояние какого-либо сечения от одного из его концов обозначить через ж, а малое перемещение сечения в направлении его оси через и (ж, t), то при малых смещениях будем иметь _ ди 'дх
(2.22.2)
(2.22.2)
Выделим элемент стержня длиной dx. Уравнение движения этого элемента имеет вид
pRd力気=R (о + 祭de) - Fo,(2.22.3)
откуда
(2.22.4)
Покажем теперь, что задача о продольных колебаниях этого стержня может иметь лишь единственное решение при условии упругой заделки его концов (в частности, при свободных или при жестко закрепленных концах), а также задания перемещения сечений 〃，их скоростей du/dt и, кроме того, напряжений о в начальное мгновение 力о= 0 как функций переменной ж, т. е. продольной координаты сечений стержня.
Знание распределения напряжений о по длине стержня существенно потому, что одним и тем же деформациям в материале, обладающим свойством релаксации и последействия, могут соответствовать различные напряжения (они зависят от истории деформирования материала).
Пусть 〃i(力，力)и 〃2(力，力) —— два решения задачи, удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям, a oi(力，力)и 02(力，力) —— соответствующие напряжения.
Вследствие линейности всех соотношений разность и = и\ — и^ будет также решением задачи, но с нулевыми начальными данными, т. е.
〃(力,0)=0, 叱") =0, *,0)=0. (2.22.5)
Покажем, что и тождественно равно нулю. Для этой цели рассмотрим интеграл
nb2( 丁 — п)nb2( 丁 — п)(2.22.6)(2.22.6)
nb
2( 丁 — п)
nb
2( 丁 — п)
(2.22.6)
(2.22.6)
Заметим, что первые два члена подынтегрального выражения соответствуют сумме потенциальных энергий обеих пружин, введенной в [172] модели, деформирование которой следует закону (2.22.1).
Составим производную этого интеграла по времени. Имеем
Замечая, чтоЗамечая, что3。3。р瓦^初р瓦^初ди дхди дх(2.22.7)(2.22.8)(2.22.7)(2.22.8)
Замечая, что
Замечая, что
3。
3。
р瓦^初
р瓦^初
ди дх
ди дх
(2.22.7)
(2.22.8)
(2.22.7)
(2.22.8)
в результате интегрирования по частям получаем
3〃 Зо ди I f д2и , ди I f ^е ,
О0о О
Производя теперь подстановку и приведение подобных членов, приходим к равенству
祟=嘅卜j 卜 + W 力｝偽-柒(2・22」。) О
Считая заделку концов стержня упругой, следует положить:
о(0,力)=/ш(0,力) и о仏力)=—4%仏力)，(2.22.11)
где k и kf — коэффициенты жесткости заделки.
Таким образом,
0^2= -киМ^- ~kfU(l,t)^^ 二
=；^ G [〃(0,切2 + 火也仏朗2)•⑵22.12)
Далее из соотношения (2.22.1) следует
Зе 13。 гdi _ 2dt =/一昨Зе 13。 гdi _ 2dt =/一昨⑵22.13)⑵22.13)
Зе 13。 г
di _ 2dt =/一昨
Зе 13。 г
di _ 2dt =/一昨
⑵22.13)
⑵22.13)
следовательно, с помощью (2.22.12) и (2.22.13), согласно соотношению (2.22.10), имеем
巣=-謂 G ["(0")『+ "["а")『)+ ] t;一；无卜l T) dx.о
⑵22.14)
Подставляя сюда выражение (2.22.6) для W, приходим к равенству
+ *[〃((М)『 + */[〃仏切2+ *[〃((М)『 + */[〃仏切2(то — п6е), b(f)也(то — п6е), b(f)也(2.22.15)(2.22.15)
+ *[〃((М)『 + */[〃仏切2
+ *[〃((М)『 + */[〃仏切2
(то — п6е), b(f)也
(то — п6е), b(f)也
(2.22.15)
(2.22.15)
другого мгновения должно быть
rib2( 丁 — п)rib2( 丁 — п)2+ 22+ 2dx +dx +2'2'
rib
2( 丁 — п)
rib
2( 丁 — п)
2
+ 2
2
+ 2
dx +
dx +
2'
2'
+ ^к [и (0,力)]2 + ^火也仏掰2 < 0. (2.22.16)
Неравенство здесь вообще невозможно, а чтобы имело место равенство, необходимо соблюдение тождеств
0 = 0, £=絹三 о, 絹三& u^,t)=O, 〃仏力)=0. ⑵ 22.17)
В результате получаем
〃三 0,(2.22.18)
что и доказывает единственность решения.
Условие превышения коэффициента релаксации г над коэффициентом последействия п оказалось существенным для приведенного доказательства. Если бы этого не было, то стержень имел бы способность к возбуждению собственных колебаний, что физически нереально (для модели, приводимой выше, случай г< п соответствует отрицательному значению коэффициента вязкости).
Для дальнейших исследований удобно исключить из рассмотрения величины о и £. Дифференцируя основное соотношение по ж, имеем
，⑵22.19)
oxotoxoxotox
а так как
3o @2〃du(、
⑵ 22.20)
то имеем
外〃д2и _ д3ид2и(、
Р 0,3 + Рг 0,2 — ^Ро 2о, + ^пя 2・⑵22.21)
ototox otdx
Полученное дифференциальное уравнение третьего порядка в частных производных надлежит решать при изучении колебаний стержня при наличии релаксации и последействия простейшего типа.
Вид уравнения дает основание предполагать, что, наряду с затухающими волновыми движениями, в стержне возможны движения апериодического характера.
Для построения решения уравнения (2.22.21) относительно искомой функции — перемещения 〃(力，力)воспользуемся обычным методом Фурье разделения переменных. Полагая
⑵ 22.22)⑵ 22.23)⑵ 22.24)⑵ 22.22)⑵ 22.23)⑵ 22.24)и(х,力)=X(x)T(t), получаем
⑵ 22.22)
⑵ 22.23)
⑵ 22.24)
⑵ 22.22)
⑵ 22.23)
⑵ 22.24)
X (р7〃 + 叩7〃)= Х〃 (ЬТ + пЪТ), или
рТ'〃 + 丁рТ〃 _ Х〃 2
Ы + nbT = Н '
где а2 — произвольная постоянная, перед которой здесь следует сохранить знак минус.
Разберем в качестве примера задачу о продольных колебаниях стержня с заделанными концами. В этом случае граничные условия имеют вид
u(0,t) =0, 〃仏力)=0 или Х(0)=0, Х«) = 0.(2.22.25)
Так как в данном случае
⑵ 22.26)⑵ 22.26)X = A cos ах + В sin ах,
⑵ 22.26)
⑵ 22.26)
то Д = 0 и функция X (ж) не будет тождественно равна нулю лишь при выполнении условия
al = ттг 兀,al = ттг 兀,⑵ 22.27)
al = ттг 兀,
al = ттг 兀,
где m — целое число.
Для функции Т ⑴ получаем дифференциальное уравнение
7〃 + 丁 т〃 + д(Т + 几丁)= °,(2.22.28)
где
夕=虻=竺优 Q > 0.(2.22.29)
Р
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
九 з + 丁九 2 + 夕(九 + 几)=°.(2.22.30)
Все его коэффициенты больше нуля, следовательно, оно не может иметь положительных корней. Возможны два случая: или все три корня отрицательны, или один корень отрицателен, а два других — сопряженные комплексные. В последнем случае вещественные части комплексных корней отрицательны, если только г > п. Действительно, обозначим корни соответственно через a+仅，ос —рг, у. Тогда, согласно
теоремам Виета, имеем
2а + у = —г, ос2 + р2 + 2осу = q,(ос2 + р2) у = —nq. (2.22.31)
Разделим друг на друга соответственно левые и правые части последних двух равенств. В результате, предполагая, что
-п > -г,(2.22.32)
имеем
片 f^R = —〉2а + %(2.22.33)
а + 0 + 2оф
откуда
2ос[(ос + у)2 + р2] < 0,(2.22.34)
что и доказывает отрицательность а.
Далее, если обе части второго равенства Виета умножить на у и вычесть из них соответственно левые части третьего, то получим
2а『=Q(n + у).
(2.22.35)
По только что доказанному
2储 < 0.
(2.22.36)
Следовательно,
п + у < 0,
(2.22.37)
откуда
—г < у < —п,
(2.22.38)
если принять во внимание также первое из равенств Виета (2.22.31).
Покажем теперь, что появление трех отрицательных корней характеристического уравнения возможно лишь при достаточно малых по сравнению с г значениях п и Q, заключенных в некоторых пределах.
Чтобы исследовать этот вопрос, предположим, что все корни уравнения (2.22.30) отрицательны и равны соответственно yi, У2, Уз, причем пусть
Yi < Y2 < Уз < 0.(2.22.39)
Равенства Виета (2.22.31) в этом случае примут вид
Yi + Y2 + Уз = -г, YiY2 + Y2Y3 + Y3Y1 = 9, 力攻丫3 = 一几 0(2.22.40)
При принятых обозначениях корень ^ наименьший по модулю, поэтому
С другой стороны, деля соответственно левые и правые части второго и третьего равенств друг на друга, получим
11 — — или ；~~~.(2.22.42)
力 Y2 了3 n1力1 他1 1了31 n
Отсюда при условии
I力 I + 卜2〔 + |мз| = 丁⑵ 22.43)
следует, что наименьшее значение величина 1/п принимает при
W = |攻| = |мз| = т/З.⑵ 22.44)
Таким образом, в случае отрицательных корней всегда должно иметь место неравенство
п < 丁/9.(2.22.45)
Считая корень уз известным, можно найти оставшиеся два корня решая квадратное уравнение
九2 + |(т + Y3)九 I + q + "з + ^ = о, ⑵ 22.46)
которое получится при делении левой части характеристического уравнения на двучлен 九一уз・
Решение этого квадратного уравнения имеет вид
(2.22.47)⑵ 22.48)(2.22.47)⑵ 22.48)(2.22.49)(2.22.49)-(丁 + Y3)士，(丁 + Y3)2 - 4(q + гуз + 履)
(2.22.47)
⑵ 22.48)
(2.22.47)
⑵ 22.48)
(2.22.49)
(2.22.49)
2•
Чтобы корни были вещественными, необходимо (丁 + Уз)? - 4(q + ry3 + 宕)》0.
Далее, в силу принятого условия (2.22.39),
-(丁 + Y3)士，(丁 + уз)2 - 4(q + гуз + 璃) YО < Y3.
Решение неравенств (2.22.48), (2.22.49) относительно q в свою очередь приводит к неравенствам
—Мз(2丁 + Зуз) < q，；(户-2ry3 - 3君).(2.22.50)
При уз = 0 (в этом случае п— 0 и последействие отсутствует) имеем условие
При увеличении модуля уз верхняя и нижняя границы возможного значения q возрастают, приближаясь вместе с тем друг к другу.
При наибольшем значении |уз|, т.е. при уз = — "3, три вещественных корня имеют место лишь при
⑵ 22.52)⑵ 22.52)q =户/3.
⑵ 22.52)
⑵ 22.52)
В этом случае все три корня равны между собой.
Разделим теперь левую и правую части третьего из равенств (2.22.40) соответственно на левую и правую части второго, получим
⑵ 22.53)⑵ 22.53)XY2Y3_
⑵ 22.53)
⑵ 22.53)
X Y2 + Y2Y3 + Y3X откуда
1 + уз/х + уз/у2
Следовательно, уменьшение модуля уз сопровождается уменьшением коэффициента последействия п.
Решение дифференциального уравнения (2.22.28) для функции Т(力)имеет вид
Т = D］》t +02i2方 +03泗*(2.22.55)
где 九i,九2,九з ——корни характеристического уравнения (2.22.30).
Заметим, что согласно (2.22.28), (2.22.29) для каждого т имеет место своя система значений корней характеристического уравнения 九 1 ,т ,九2,тп ,九3,тп •
Общее решение дифференциального уравнения колебаний (2.22.21) представляется в виде
"包力)=e (01"®3 + 02,泪23 +03,泪3叫 sin ^p.
W-(2.22.56)
Остается удовлетворить начальным условиям. Пусть в начальное мгновение 力=0 известны: перемещение и элементов стержня, их скорость du/dt и ускорение d^u/dt1 = р-19о/дх как функции координаты х.
Разлагая эти функции в ряды по синусам кратных углов в интервале 0，力，厶 получим
/4. тп* ди(х, 0)°. шл®
ЩХ, 0) = 2_^Лт sm ——=乙 ％ sin —
⑵ 22.57)
д2и(х, 0). m«兀优
Производя подсчет du/dt и д2и/д1^ из общего решения, полагая в нем Z = 0 и сравнивая коэффициенты при sin тяж/Z, получаем уравнения
Q +02 +03 — 4
九101 + 九202 + 九303 = b,⑵ 22.58)
九;01 + x2 D2 + 九^03 =0
для определения констант Dj,。2, °з (индекс т в уравнениях опущен).
Детерминант системы (2.22.58)
△=(九1 —九 2)(九 2 —九 з)(九 з —九 1),⑵ 22.59)
вообще говоря, отличен от нуля, за исключением случая кратных корней.
Если же при некотором значении т встречаются кратные корни, то следует поступить так, как это обычно делается в теории линейных дифференциальных уравнений. Например, если 九2 =九з, то решение уравнения (2.22.28) представляется в виде
7 = 6占i+02叁*+ 03力e九2*(2.22.60)
после чего для определения Q,。2, °з приходим к уравнениям
0]+02 — 4
九 1。1 + ^2 D^ +。3 = В}(2.22.61)
九;01 + x2 D2 + 2九203 = c
с детерминантом
△=(九1 —九 2产.(2.22.62)
Наконец, в исключительном случае трех равных корней решение уравнения (2.22.28) имеет вид
т = 01m 右 +。2 力 ji* +。3 产 i"(2.22.63)
и детерминант становится равным 2.
Таким образом, все константы общего решения могут быть найдены.
Заметим, что обращение детерминанта (2.22.59) в нуль возможно в конечном числе случаев и лишь когда корни характеристического уравнения отрицательны, что возможно только при
п < "9 и 0 < q < г2/3.(2.22.64)
Но в силу (2.22.29) последнее неравенство будет справедливо лишь для конечного числа значений т.
Это обстоя тел ьство решает вопрос о сходимости ряда (2.22.56), которым представлено решение задачи. При 力 = 0 ряд сходится, так как он представляет начальные значения и в интервале 0，力，Z. При 力〉0 у членов ряда появляются множители вида е", так как корни характеристического уравнения (2.22.30) либо отрицательные, либо комплексные с отрицательной вещественной частью. Эти множители могут лишь улучшить сходимость ряда (% < 0).
При 力一> оо колебания будут затухать. Заметим, что колебания представлены членами вида
eat(Di cos pZ + D2 sin pZ) (oc < 0). (2.22.65)
Но из характеристического уравнения (2.22.30) следует, что при возрастании q один из корней стремится (убывая по модулю) к значению —п. Так как два других корня при больших значениях q становятся комплексными с отрицательными вещественными частями, то согласно первому из равенств (2.22.31)
2a = —г — у (2.22.66)
(где у — значение отрицательного корня, а ос — значение вещественной части комплексного корня), при возрастании q величина а стремится, возрастая по модулю, к значению —(г — п)/2.
Далее из второго равенства (2.22.31) следует
р2 = Q - 2осу - ос2 > Q - ^^丁 - Г2, (2.22.67)
т. е. с возрастанием q, а следовательно, согласно (2.22.29) и числа т полуволн колебания стержня, возрастает частота колебаний р. Таким образом, собственные колебания стержня с линейным законом последействия и релаксации сопровождаются сравнительно быстрым затуханием высоких тонов колебания с «освобождением» основного тона, если он существует.
В самом деле, может случиться, что для т = 1 все три корня характеристического уравнения окажутся отрицательными и соответствующее движение будет апериодическим. Кроме того, как было показано выше, для колебаний стержня с поеледействием и релаксацией возможен и такой случай, когда основной тон существует и, быть может, существует несколько следующих тонов (соответственно для m = 2, 3 и т. д.). Затем для ряда чисел т соответствующие им тоны пропадают из-за апериодичности движения и далее при больших числах т появляются вновь.
Обратимся теперь к изучению волновых движений стержня. Ограничимся здесь рассмотрением распространения волн простейшего типа. Для этой цели найдем частные решения уравнения (2.22.9), в виде
и(х, t) = С exp[ipt + г(с + г/)ж],(2.22.68)
величины р, с, / будем считать действительными. Подставляя выражение (2.22.68) в дифференциальное уравнение (2.22.21), замечаем, что оно удов л етвори тся при условии
ртр? + 〃р@з — Ьп(с + г/)2 + ibp(c + г/)2,(2.22.69)
или, разделяя вещественную и мнимую части, имеем
几(尸一 с2) + 2pcf = ^@2р,目(产—с2) - 2пс/ = —g@3p,⑵22.70)
откуда
lp3p(r-n)_
(2.22.71)(2.22.71)(2.22.72)(2.22.72)(2.22.73)(2.22.73)6 2(储+用-他
(2.22.71)
(2.22.71)
(2.22.72)
(2.22.72)
(2.22.73)
(2.22.73)
2_1 2 Р2+^_ о
О П + р
где
Л > 0, s〉0.
Решая систему (2.22.71), получим
产=-S 士，$2 + 九2,02 = 5 士 ,$2 + 九2,
где перед радикалом достаточно удержать знак плюс, так как знак минус меняет лишь роли / и с в решении.
Таким образом,
/ = 士 J—s +，§2 + 京 и с = 士 Js +，§2 + 庐. (2.22.74) Если взять вещественную часть найденного частного решения уравнения, то получим
и = Ce~^x cos(加 + сж),(2.22.75)
откуда следует, что р представляет собой частоту, с характеризует длину волны (九=2兀/о), а / — затухание волны при ее продвижении вдоль стержня.
Выражения для / и с показывают, что затухание волны и скорость распространения р/с зависят от частоты р, т. е. имеет место дисперсия простейших волн.
Если частота 目 весьма мала, то
Л =Л =Р рЗ(丁 — п) _ р г — п b 2(黯 + р?) b 2黯Р рЗ(丁 — п) _ р г — п b 2(黯 + р?) b 2黯@3 + о(@5),@3 + о(@5),_ Р 2Р2+^ _3 +(_ Р 2Р2+^ _3 +((2.22.76)(2.22.76)2上 2 P T 、 //P 而 +2上 2 P T 、 //P 而 +22(丁 — n)pp32b黯(丁 — n)pp32b黯(г — n)p rn(г — n)p rn⑵ 22.77)⑵ 22.77)
Л =
Л =
Р рЗ(丁 — п) _ р г — п b 2(黯 + р?) b 2黯
Р рЗ(丁 — п) _ р г — п b 2(黯 + р?) b 2黯
@3 + о(@5),
@3 + о(@5),
_ Р 2Р2+^ _3 +(
_ Р 2Р2+^ _3 +(
(2.22.76)
(2.22.76)
2
上 2 P T 、 //P 而 +
2
上 2 P T 、 //P 而 +
2
2
(丁 — n)pp3
2b黯
(丁 — n)pp3
2b黯
(г — n)p rn
(г — n)p rn
⑵ 22.77)
⑵ 22.77)
т. e. затухание имеет порядок 0 (р2) частоты р и тоже весьма Для с2 имеем в этом случае выражениет. e. затухание имеет порядок 0 (р2) частоты р и тоже весьма Для с2 имеем в этом случае выражениемало.мало.
т. e. затухание имеет порядок 0 (р2) частоты р и тоже весьма Для с2 имеем в этом случае выражение
т. e. затухание имеет порядок 0 (р2) частоты р и тоже весьма Для с2 имеем в этом случае выражение
мало.
мало.
222bn2bn22 PI° ^ P 先 +2bn22 PI° ^ P 先 +2bn= pg + "M，= pg + "M，(2.22.78)(2.22.78)
2
2
2bn
2bn
2
2 PI
° ^ P 先 +
2bn
2
2 PI
° ^ P 先 +
2bn
= pg + "M，
= pg + "M，
(2.22.78)
(2.22.78)
и, следовательно, скорость распространения волныи, следовательно, скорость распространения волны
и, следовательно, скорость распространения волны
и, следовательно, скорость распространения волны
сс(2.22.79)(2.22.79)
с
с
(2.22.79)
(2.22.79)
не зависит от частоты.Точно так же при весьма большой частоте рне зависит от частоты.Точно так же при весьма большой частоте р
не зависит от частоты.
Точно так же при весьма большой частоте р
не зависит от частоты.
Точно так же при весьма большой частоте р
(2.22.80)(2.22.80)h = PK0 + o(p 丿，S = p 希 0+о(1),h = PK0 + o(p 丿，S = p 希 0+о(1),(2.22.81)(2.22.81)
(2.22.80)
(2.22.80)
h = PK0 + o(p 丿，S = p 希 0+о(1),
h = PK0 + o(p 丿，S = p 希 0+о(1),
(2.22.81)
(2.22.81)
и скорость распространения волныи скорость распространения волны
и скорость распространения волны
и скорость распространения волны
(2.22.82)(2.22.82)
(2.22.82)
(2.22.82)
вновь не зависит от частоты.
Затухание / выражается в этом случае в виде
⑵ 22.83)⑵ 22.83)
⑵ 22.83)
⑵ 22.83)
т. е. стремится к некоторой постоянной.
Решение задачи Коши для стержня бесконечной длины, подобное тому, какое имеется для абсолютно упругого стержня, получить пока не удалось [115]. Существенно при этом отметить качественную разницу между абсолютно упругим стержнем и стержнем с релаксацией и последействием. Если в первом случае можно искать волновые решения с разрывом непрерывности скоростей и применять их к практическим расчетам, то во втором случае это уже недопустимо, ибо задача требует задания вторых производных смещения (или напряжений) вдоль стержня.
§ 23. Плоские движения сыпучих сред
1°. Принято считать, что сыпучая среда (песок) находится в состоянии равновесия, если касательное напряжение tv на произвольно ориентированной элементарной площадке с нормалью п не больше модуля соответствующего нормального напряжения oV5 умноженного на коэффициент трения /, характеризующий данную среду. Очевидно, что идеально сыпучая среда не может обладать растягивающими напряжениями, т. е. всюду должно быть
ov < 0.(2.23.1)
Таким образом, при равновесии сыпучей среды на всех элементарных площадках, относящихся к любой точке среды, соблюдается неравенство
HI，—加V.(2.23.2)
Если через каждую точку среды можно провести такую элементарную площадку с нормалью п*5 для которой имеет место равенство
卜v*|，—/ov*,(2.23.3)
то состояние равновесия среды называется предельным.
Теория предельного состояния равновесия сыпучей среды явилась предметом обстоятельного изучения рядом авторов, первым из которых был Кулон [224]. В.В. Соколовский [55] дал исчерпывающее исследование плоского случая теории предельного равновесия среды, для которой
RI，％ - 加v® < 0),(2.23.4)
где % — так называемый коэффициент сцепления среды.
Частными случаями среды Соколовского являются идеально пластическое тело (/ = 0, % — пластическая постоянная) и собственно сыпучая среда, рассмотренная выше (% = 0).
Движение сыпучей среды, насколько нам известно, исследованию не подвергалось.
Ниже строятся уравнения плоского движения собственно сыпучей среды и рассматриваются некоторые примеры таких движений.
2°. Введем следующие гипотезы, характеризующие поведение сыпучей среды при ее движении.
Среда неупруга и несжимаема.
Значение напряжений в среде не зависит от скоростей ее деформирования.
Направления главных осей напряженного состояния и главных осей тензора скоростей деформации совпадают в каждой точке движущейся среды.
Напряженное состояние среды удовлетворяет тем же условиям, что и напряженное состояние предельного равновесия сыпучей среды, т.е. условиям (2.23.2), (2.23.3).
Гипотезы I, II, и IV в разъяснениях не нуждаются. Пояснение к гипотезе III будет приведено несколько ниже.
. Пусть и (ж, у) , V (ж, у) — проекции скорости какой-либо точки на оси неподвижной декартовой системы координат 力у;。^，。夕‘工冗夕 —— компоненты тензора напряжения в той же системе; X и У — компоненты массовых сил. Наконец, через р обозначим плотность сыпучей среды.
Перечисленные гипотезы позволяют построить следующую систему пяти уравнений, содержащих пять искомых функций 〃，о,。冗，。夕，工宏夕 трех независимых переменных 力，у,力：
(ди、 ди , ди\, дтху
(2.23.5) /dv , dv , dv\ , дтху ,
P(J?+"菸+。丽丿=PY + U +侖,
ди dvdv/dx + ди/ду _ 2тху ди/дх — dv / дуож — зуди dvdv/dx + ди/ду _ 2тху ди/дх — dv / дуож — зу6х + Оу6х + Оу22(2.23.6)(2.23.7)(2.23.8)(2.23.6)(2.23.7)(2.23.8)Первые два уравнения представляют собой дифференциальныеПервые два уравнения представляют собой дифференциальныеуравнения плоского движения произвольной сплошной среды. Равенуравнения плоского движения произвольной сплошной среды. Равенство (2.23.6)ство (2.23.6)выражает условие несжимаемости среды. В силу провыражает условие несжимаемости среды. В силу проглавные оси тензора скоростей деформации и тензораглавные оси тензора скоростей деформации и тензорапорции (2.23.7)порции (2.23.7)напряжений соответственно совпадают. Наконец, алгебраическое соотношение (2.23.8), как нетрудно показать, является условием предельного состояния какого-либо элемента сыпучей среды. Действительно, круг Мора (рис. 158),изображающий напряженное состояние какого-либо элемента сыпучей среды, непременно должен касаться прямыхT=士%. (2.23.9)В противном случае, либо не будетнапряжений соответственно совпадают. Наконец, алгебраическое соотношение (2.23.8), как нетрудно показать, является условием предельного состояния какого-либо элемента сыпучей среды. Действительно, круг Мора (рис. 158),изображающий напряженное состояние какого-либо элемента сыпучей среды, непременно должен касаться прямыхT=士%. (2.23.9)В противном случае, либо не будетвыполнено ни для какой площадки условие предельного напряженного состояния (2.23.2), либо круг будет пересекать прямые (2.23.9) и для бесчисленного множества площадок будет нарушено неравенство ⑵ 23.2).Соединим точку касания круга одной из прямых (2.23.9) с центром круга. Из рассмотрения получившегося прямоугольного треугольникавыполнено ни для какой площадки условие предельного напряженного состояния (2.23.2), либо круг будет пересекать прямые (2.23.9) и для бесчисленного множества площадок будет нарушено неравенство ⑵ 23.2).Соединим точку касания круга одной из прямых (2.23.9) с центром круга. Из рассмотрения получившегося прямоугольного треугольникаимеемимеем5 +02 .Стах =2 Sin ф.5 +02 .Стах =2 Sin ф.⑵23.10)⑵23.10)
ди dv
dv/dx + ди/ду _ 2тху ди/дх — dv / дуож — зу
ди dv
dv/dx + ди/ду _ 2тху ди/дх — dv / дуож — зу
6х + Оу
6х + Оу
2
2
(2.23.6)
(2.23.7)
(2.23.8)
(2.23.6)
(2.23.7)
(2.23.8)
Первые два уравнения представляют собой дифференциальные
Первые два уравнения представляют собой дифференциальные
уравнения плоского движения произвольной сплошной среды. Равен
уравнения плоского движения произвольной сплошной среды. Равен
ство (2.23.6)
ство (2.23.6)
выражает условие несжимаемости среды. В силу про
выражает условие несжимаемости среды. В силу про
главные оси тензора скоростей деформации и тензора
главные оси тензора скоростей деформации и тензора
порции (2.23.7)
порции (2.23.7)
напряжений соответственно совпадают. Наконец, алгебраическое соотношение (2.23.8), как нетрудно показать, является условием предельного состояния какого-либо элемента сыпучей среды. Действительно, круг Мора (рис. 158),
изображающий напряженное состояние какого-либо элемента сыпучей среды, непременно должен касаться прямых
T=士%. (2.23.9)
В противном случае, либо не будет
напряжений соответственно совпадают. Наконец, алгебраическое соотношение (2.23.8), как нетрудно показать, является условием предельного состояния какого-либо элемента сыпучей среды. Действительно, круг Мора (рис. 158),
изображающий напряженное состояние какого-либо элемента сыпучей среды, непременно должен касаться прямых
T=士%. (2.23.9)
В противном случае, либо не будет
выполнено ни для какой площадки условие предельного напряженного состояния (2.23.2), либо круг будет пересекать прямые (2.23.9) и для бесчисленного множества площадок будет нарушено неравенство ⑵ 23.2).
Соединим точку касания круга одной из прямых (2.23.9) с центром круга. Из рассмотрения получившегося прямоугольного треугольника
выполнено ни для какой площадки условие предельного напряженного состояния (2.23.2), либо круг будет пересекать прямые (2.23.9) и для бесчисленного множества площадок будет нарушено неравенство ⑵ 23.2).
Соединим точку касания круга одной из прямых (2.23.9) с центром круга. Из рассмотрения получившегося прямоугольного треугольника
имеем
имеем
5 +02 .
Стах =2 Sin ф.
5 +02 .
Стах =2 Sin ф.
⑵23.10)
⑵23.10)
Здесь о“。2 — главные напряжения элемента сыпучей среды,
22⑵23.11)⑵23.11)
2
2
⑵23.11)
⑵23.11)
—максимальное касательное напряжение того же элемента, или, что то же, радиус круга Мора, и ср — угол наклона касательной к оси абсцисс.
⑵23.12)⑵23.13)⑵23.14)⑵23.15)⑵23.12)⑵23.13)⑵23.14)⑵23.15)Так как
⑵23.12)
⑵23.13)
⑵23.14)
⑵23.15)
⑵23.12)
⑵23.13)
⑵23.14)
⑵23.15)
то
sincp = 〃，1 + 产.
Учитывая теперь, что
и, кроме того,
5 + °2 — Осс + Оу
22
приходим на основании формулы (2.23.10) к соотношению (2.23.8).
Для дальнейшего условие предельного состояния, т. е. соотношение (2.23.8) или эквивалентное ему равенство (2.23.10), удобно представить в другой форме. Считая для определенности 仃 >。2 (|。1| < 欣), получим, используя формулу (2.23.11),
5 一02.0] -02
2= Sin 屮 2•
⑵23.16)
Отсюда
Cl =肉02,
⑵23.17)
где
7+；；：； -（S +产7）（用V。）・
⑵23.18)
Таким образом, предельное напряженное состояние сыпучей среды характеризуется, в частности, тем, что отношение главных напряжений в любой ее точке одно и то же.
4°.Теперь представляется возможным пояснить гипотезу III, введенную выше.
Представим себе сыпучую среду в форме прямоугольника (рис. 159), по граням которого действуют нормальные сжимающие напряжения °冗 и °夕(касательное напряжение 工冗夕 равно нулю). Если
^Х = k(5y ； ОЖ , Од < °； I。夕 I〉I。冗 I, ⑵ 23.19)
то среда находится в состоянии предельного равновесия. Естественно предположить, что размеры прямоугольника могут изменяться лишь в направлении действия напряжений。冗 и。夕.При этом соотношения (2.23.19) должны сохраняться. В силу симметрии углы прямоугольника
не будут искажаться. Следовательно, в данном случае тензор вознине будут искажаться. Следовательно, в данном случае тензор возникающей бесконечно малойкающей бесконечно малой
не будут искажаться. Следовательно, в данном случае тензор возни
не будут искажаться. Следовательно, в данном случае тензор возни
кающей бесконечно малой
кающей бесконечно малой
деформации (а так же тензор скоростей деформации) коаксиален тензору напряжений.
Рассмотрим теперь частицу движущейся среды в форме бесконечно малого прямоугольника, стороны которого ориентированы по главным направлениям тензора скоростей деформации.
Спустя бесконечно малый промежуток времени dt длины сторон прямоугольника претерпят относительные удлинения
eAdt, e2dt, (2.23.20)
где ci и 62 — главные скорости деформации. Углы прямоугольника исказятся при
этом на величины высших порядков.
Таким образом, если отвлечься от перемещения частицы, соответствующего перемещению ее как абсолютно жесткого тела, то деформация происходит точно так же, как и в примере деформации среды в форме прямоугольника со сторонами, параллельными осям х и у. В силу симметрии силы, приложенные к периметру такого бесконечно малого прямоугольника, должны быть нормальны к его сторонам, т. е. тензор напряжений должен иметь те же главные направления, что и тензор скоростей деформации.
Влияние изменения направления действия сил на стороны выделенной частицы вследствие ее бесконечно малого поворота за время dt приводит к поправкам высшего порядка малости. То же относится и к влиянию массовых сил и сил инерции. Таким образом, гипотеза III представляется обоснованной.
Заметим, что при условии
ci > е2ci > е2⑵ 23.21)
ci > е2
ci > е2
главные напряжения 仃,и。2 должны удовлетворять неравенству
6〉02.6〉02.⑵ 23.22)
6〉02.
6〉02.
А так как оба они отрицательны, то
Наибольшее по модулю главное сжимающее напряжение в теории сыпучей среды называется активным. Другое главное напряжение именуется пассивным.
5°. Обращаясь к кругу Мора или к аналитическим соотношениям сопротивления материалов, получаем уравнение
tg2e=(2.23.24)
6х — Gy
для отыскания угла 0 между главным направлением тензора напряжения и осью х. Уравнение (2.23.24) допускает два решения, отличающиеся друг от друга на угол 兀/2, в соответствии с наличием двух взаимно перпендикулярных главных направлений двумерного тензора второго ранга.
Для тензора скоростей деформирования имеем аналогичную формулу
tg22=,(2.23.25)
一буд
где 2 — угол между главным направлением тензора скоростей деформации и осью ж, а
⑵ 23.26)⑵ 23.26)_ ди _ dv _ dv диё£宏 =丽，气u=现，e叩=菸+画
⑵ 23.26)
⑵ 23.26)
—скорости соответствующих удлинений и скорость сдвига.
В силу гипотезы III правые части формул (2.23.24) и (2.23.25) должны быть равны друг другу, что и приводит к уравнению (2.23.7).
(0vr dvr 1 dvr Vq \ д(зг 1 3tre Or — Oe I 厂(0vr dvr 1 dvr Vq \ д(зг 1 3tre Or — Oe I 厂6°. Уравнения движения непрерывной среды (2.23.5) и условие несжимаемости (2.23.6), отнесенные к полярной системе координат, имеют вид
(0vr dvr 1 dvr Vq \ д(зг 1 3tre Or — Oe I 厂
(0vr dvr 1 dvr Vq \ д(зг 1 3tre Or — Oe I 厂
⑵ 23.27)
争+"+ 1祭=0.⑵23.28)
or r r dQ
Здесь vr и vQ — проекции скорости частицы соответственно на направление радиус-вектора и на перпендикулярное к нему направление; Fr и Fq — проекции массовых сил на те же направления; ог, ое и тг0 — компоненты тензора напряжений в полярных координатах.
Уравнения (2.23.7) и (2.23.8) в полярных координатах примут соответственно вид
dvQ 1 dvr vQдт т Зе 丁dvQ 1 dvr vQдт т Зе 丁dvr1 dvQvrdr丁 3erdvr1 dvQvrdr丁 3er⑵ 23.29)⑵ 23.29)/ Or + Oe/ Or + Oe⑵ 23.30)⑵ 23.30)
dvQ 1 dvr vQдт т Зе 丁
dvQ 1 dvr vQдт т Зе 丁
dvr1 dvQvr
dr丁 3er
dvr1 dvQvr
dr丁 3er
⑵ 23.29)
⑵ 23.29)
/ Or + Oe
/ Or + Oe
⑵ 23.30)
⑵ 23.30)
7°. В случае движения с радиальной симметрией, при котором скорости всех частиц направлены по соответствующим радиус-векторам, имеем
Vr = Vr (г,力), Vq = 0.Vr = Vr (г,力), Vq = 0.(2.23.31)(2.23.31)
Vr = Vr (г,力), Vq = 0.
Vr = Vr (г,力), Vq = 0.
(2.23.31)
(2.23.31)
На основании пропорции (2.23.29) немедленно приходим к выводу, что
^Г0 — 0.^Г0 — 0.(2.23.32)
^Г0 — 0.
^Г0 — 0.
Второе из уравнений (2.23.27) при условии р凡=0 обращается в тождество, а первое приводится к виду
p (醬Г需)=需+宁+р耳・ (223.33)
Из условия несжимаемости
禁 + ^ = °⑵ 23.34)
получаем, что
vr =旦2(2.23.35)
где Q(力)——некоторая функция времени, имеющая простой механический смысл, так как представляет собой с точностью до множителя величину потока песка через окружность произвольного радиуса, окружающую начало координат. Выражение 2兀Q (力)называется мощностью потока в случае так называемого источника (плоская задача). При этом
Q （力）〉0Q （力）〉0(2.23.36)
Q （力）〉0
Q （力）〉0
и
—_ Q (力)_ Q (力)о 97、 err = —— =2- < egg = — = —2-〉(2.23.37)
or丁一丁 丁一
Следовательно, в соответствии с вы шеи зл ожен н ы м главное напряжение является в данном случае активным, т. е.
|о「| > %|.(2.23.38)
Нетрудно убедиться, что условие предельного напряженного состояния (2.23.30) приводится при учете неравенства (2.23.38) и тождества (2.23.32) к виду
(,1 + 产一⑵ 23.39)
Напротив, в случае стока, т. е. при
Q ⑴ < 0,(2.23.40)
активным напряжением является ое и условие предельного напряженного состояния оказывается следующим:
08= (，1 + 产 + /);⑵ 23.41)
Для решения конкретных задач следует заменить в уравнении (2.23.33) скорость vr ее выражением через Q ⑴，согласно формуле (2.23.35), и напряжение ое — через о「，пользуясь одним из равенств (2.23.39) или (2.23.41) в зависимости от знака Q (力).Соответственно получим, полагая Fr = 0, уравнение
Р@第-» 需+ *，n = l-(v^r-/)2>0 ⑵23.42) для источника и
Р (崎—告)=需—* т=(УГТГ + /)2-1 ⑵ 23.43) в случае стока.
РаРа8°. Уравнения (2.23.42) и (2.23.43) можно использовать и для отыскания предельного равновесия сыпучей среды, имеющей форму полого бесконечного цилиндра. Для этой цели следует считать мощность источника или стока бесконечно малой величиной и положить в упомянутых уравнениях Q(力)=0, после чего они обращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения. Интегрируя их, получаем, что при одном и том же давлении ра на внутренней границе цилиндра г = а давление 0b на внешней границе г = b должно быть равно значению
Ра
Ра
(2.23.44)
в случае бесконечно медленного расширения цилиндра и
0bmах = ( ~ J Ра⑵23.45)
при бесконечно медленном его обжатии.
Промежуточным значениям давления 0b соответствует непредельное состояние равновесия цилиндра, при котором равенство (2.23.3) может не достигаться ни в одной точке среды.
Интересно отметить, что при обращении в нуль одного из давлений ра или рь равновесие сыпучей среды невозможно.
9°. При внезапных очень больших давлениях, действующих на песчаную среду в течение весьма малого промежутка времени, определение поля скоростей среды сводится к решению дифференциальных уравнений в импульсах напряжения.
Пусть, например, на внешней границе покоящегося полого песчаного цилиндра внезапно возникло давление 目匕,имеющее характер импульса с интенсивностью /&. Интегрируя левую и правую части уравнения (2.23.43) по времени в исчезающем малом интервале времени 0 ，力，力о, получим обыкновенное дифференциальное уравнение
=區.⑵23.46)
dr г г
Здесь Q — мощность внезапно возникшего стока и sr — импульс напряжения о「.
Интеграл уравнения (2.23.46)
厚⑵23.47)
должен удовлетворять двум граничным условиям:
s「(а) = 0, sr (6) = — Д.(2.23.48)
Это дает возможность определить мощность стока Q; имеем
Q =-Q =-тп1ьтп1ьPR"。)" —jPR"。)" —j(2.23.49)(2.23.49)
Q =-
Q =-
тп1ь
тп1ь
PR"。)" —j
PR"。)" —j
(2.23.49)
(2.23.49)
Учитывая формулу (2.23.35), получим следующий закон распределения скоростей в песчаном цилиндре в мгновение времени, непосредственно следующее за импульсом:
⑵ 23.50)⑵ 23.50)mlb 1p[(b/a『 —I”'
⑵ 23.50)
⑵ 23.50)
При m —> 0 получаем известное выражение
р In (b/a) 丁р In (b/a) 丁⑵ 23.51)
р In (b/a) 丁
р In (b/a) 丁
для распределения скоростей идеальной несжимаемой жидкости в результате импульсивного обжатия полого цилиндра.
10°. Последующее движение полого песчаного цилиндра определяется исходным уравнением (2.23.43) при соответствующих граничных условиях на внешней и внутренней границах цилиндра.
Уравнение (2.23.43) после умножения обеих его частей на г~т допускает частное интегрирование по переменной г, в результате которого образуется соотношение
r-wor = Р (+ / ⑴， (2.23.52) \ m + 2 т at J
где / ⑴—произвольная функция времени. Эту функцию нетрудно исключить из дальнейшего рассмотрения следующим приемом. Согласно соотношению (2.23.52) и граничным условиям имеют место равенства
— Lpa = р— Lpa = р-Ь^рь = Р-Ь^рь = Р—ш —2 аm + 2b —m —2m + 2—ш —2 аm + 2b —m —2m + 2二第）+"），二第）+"），^噺 +了(，m dt )7^噺 +了(，m dt )7⑵ 23.53)⑵ 23.53)
— Lpa = р
— Lpa = р
-Ь^рь = Р
-Ь^рь = Р
—ш —2 а
m + 2
b —m —2
m + 2
—ш —2 а
m + 2
b —m —2
m + 2
二第）+"），
二第）+"），
^噺 +了(，
m dt )7
^噺 +了(，
m dt )7
⑵ 23.53)
⑵ 23.53)
Приравнивая друг другу разности левых и правых частей последних равенств, получаем уравнение
⑵ 23.54)⑵ 23.54)a — о dQ a — о q2 _ a pa — о рь m dtm + 2p
⑵ 23.54)
⑵ 23.54)
в котором величины ра и 0b могут быть функциями времени, а также и внешнего и внутреннего радиусов цилиндра а и Ь. Последние связаны соотношением
⑵ 23.55)⑵ 23.55)廿=片+ с2,
⑵ 23.55)
⑵ 23.55)
где с — постоянная. Это соотношение выражает постоянство площади сечения цилиндра при его деформации и является в сущности следствием условия несжимаемости (2.23.34).
Переменные Q (t) и а (力)，содержащиеся в уравнении (2.23.54), также связаны между собой. Действительно, значение скорости vr на внутренней границе цилиндра равно производной da/dt. Используя это
обстоя тел ьство, получаем, согласно формуле (2.23.35),
da dtda dt=*(力).=*(力).⑵ 23.56)⑵ 23.56)
da dt
da dt
=*(力).
=*(力).
⑵ 23.56)
⑵ 23.56)
d2a11? + ad2a11? + am a~mpa - (fl2 +Pbm a~mpa - (fl2 +Pb⑵ 23.57)⑵ 23.57)
d2a1
1? + a
d2a1
1? + a
m a~mpa - (fl2 +Pb
m a~mpa - (fl2 +Pb
⑵ 23.57)
⑵ 23.57)
Исключая посредством соотношений (2.23.55) и (2.23.56) из уравнения (2.23.54) переменные Q (力)и 6(%), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно единственной искомой функции а (力)：
-m-2/ 2 .2\ -m/2-1'
7n а —丿2
Это уравнение при ра = pb = const интегрируется в квадратурах, а в случае, если ра и 0b не зависят от времени, допускает понижение порядка.
Если ра = Рь = 0, то проще всего исходить непосредственно из уравнения (2.23.54). Замечая, что
dQ (力)_ dQ (a) dadQ (力)_ dQ (a) dadtdtda dtda dt=%⑷乌丝aaa=%⑷乌丝aaa⑵ 23.58)⑵ 23.58)
dQ (力)_ dQ (a) da
dQ (力)_ dQ (a) da
dt
dt
da dt
da dt
=%⑷乌丝
aaa
=%⑷乌丝
aaa
⑵ 23.58)
⑵ 23.58)
можно представить его, используя соотношение (2.23.55), в видеможно представить его, используя соотношение (2.23.55), в виде1 dQ _ m a~2 — (a2 + c2)"〔 Q da - m + 2。* _ ⑷十 J)*/21 dQ _ m a~2 — (a2 + c2)"〔 Q da - m + 2。* _ ⑷十 J)*/2a.a.⑵ 23.59)⑵ 23.59)Обе части последнего равенства являются логарифмическими производными по переменной а, вследствие чего имеемОбе части последнего равенства являются логарифмическими производными по переменной а, вследствие чего имеем
можно представить его, используя соотношение (2.23.55), в виде
можно представить его, используя соотношение (2.23.55), в виде
1 dQ _ m a~2 — (a2 + c2)"〔 Q da - m + 2。* _ ⑷十 J)*/2
1 dQ _ m a~2 — (a2 + c2)"〔 Q da - m + 2。* _ ⑷十 J)*/2
a.
a.
⑵ 23.59)
⑵ 23.59)
Обе части последнего равенства являются логарифмическими производными по переменной а, вследствие чего имеем
Обе части последнего равенства являются логарифмическими производными по переменной а, вследствие чего имеем
Q = c\a---^ + crm/Tmm^Q = c\a---^ + crm/Tmm^(2.23.60)(2.23.60)
Q = c\a---^ + crm/Tmm^
Q = c\a---^ + crm/Tmm^
(2.23.60)
(2.23.60)
где。一 постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий движения. Далее, согласно соотношению (2.23.56), получим
l/(m+2)l/(m+2)ada.ada.(2.23.61)(2.23.61)
l/(m+2)
l/(m+2)
ada.
ada.
(2.23.61)
(2.23.61)
где a。— начальное значение внутреннего радиуса цилиндра. Интеграл (2.23.61) при a —> 0 сходится, что позволяет получить выражение для
продолжительности времени исчезновения внутренней полости цилиндра
voao L ' 丿 」
x ］卜-—⑷ + 廿)f/2『*+2)ada. (2.23.62) о
Здесь о。一 начальное значение скорости частиц на внутренней границе цилиндра.
11°. Заметим, что уравнением (2.23.42), которое описывает процесс осесимметрического расширения песка, можно пользоваться лишь в том случае, если в результате его решения напряжение о「оказывается отрицательным. В частности, по этой причине уравнение (2.23.42) не может быть использовано при решении задачи о расширении полого цилиндра, если давление на его границах отсутствует. Случай возникновения отрицательных давлений физически соответствует распадению сплошной среды на отдельные частицы, каждая из которых совершает движение по инерции. Возможны и такие случаи движения песка, при которых происходит постепенное разъединение среды на частицы со своеобразной «волной распадения». Наконец, в некоторых случаях может происходить и обратное явление — собирание песка в квазисплошную среду на внешней границе ускоренно расширяющегося полого цилиндра.
12°. Рассмотрим теперь другой случай движения песка при наличии радиальной симметрии, а именно: пусть движение таково, что радиальная составляющая скорости частиц vr отсутствует и, следовательно, в силу уравнения несжимаемости (2.23.28) трансверсальная составляющая Vq является функцией только координаты г и времени 力.
Тогда на основании пропорции (2.23.29) получаем, что
о「= ое.(2.23.63)
Кроме того, очевидно, что знак касательного напряжения тг0 должен совпадать со знаком скорости деформации сдвига
_ dvQ %
иначе не будет соблюдено соответствие между направлениями наибольшего по модулю (активного) напряжения и деформации сжатия элементов песчаной среды. Для определенности будем считать знак напряжения тг0 положительным.
Условие (2.23.30), которому удов л етворя ют компоненты тензора напряжения, сводится в нашем случае к соотношению
тге = —ао「，(2.23.64)
где
а = 〃，1 + /2 = sin ср.(2.23.65)
В свою очередь уравнения движения песчаной среды (2.23.27) принимают вид
⑵ 23.66)
°5 ^Tr0 2treО
⑵23.67)
Умножим обе части уравнения (2.23.66) на —а и учтем соотношение (2.23.64). Получим равенство
ар^ =祟，⑵ 23.68)
используя которое совместно с уравнением (2.23.67), придем к формуле
⑵ 23.69)⑵ 23.69)
⑵ 23.69)
⑵ 23.69)
⑵ 23.70)⑵ 23.70)(2.23.71)(2.23.71)
⑵ 23.70)
⑵ 23.70)
(2.23.71)
(2.23.71)
для определения напряжения тг05 если известна скорость движения частиц Ое как функция переменных г и Л
Подставляя, согласно последней формуле, выражение тг0 в равенство (2.23.68), получаем следующее уравнение в частных производных относительно искомой функции ие:
drdt г dtI Зт г у
которое можно представить также в виде
(rve) = 2a-^-(rve) •orotг or
Уравнение (2.23.70) принадлежит к гиперболическому типу. Его характеристиками являются в плоскости rt два семейства прямых t = =const И г = const.
13°. Нетрудно, не обращаясь к общей теории дифференциальных уравнений гиперболического типа, получить некоторые полезные дифференциал ьные соотношения, имеющие место на этих характеристиках. Действительно, так как
dddd(2.23.72)(2.23.72)\дг J ~ dr2\дг J ~ dr2"丁 +而7位'"丁 +而7位'⑵ 23.73)⑵ 23.73)
d
d
d
d
(2.23.72)
(2.23.72)
\дг J ~ dr2
\дг J ~ dr2
"丁 +而7位'
"丁 +而7位'
⑵ 23.73)
⑵ 23.73)
то на первом семействе характеристик (力=const, dt = 0) имеем
(2.23.74)
Используя уравнение (2.23.70), можно исключить из последнего равенства смешанную производную от искомой функции ие по переменным г и Л В результате приходим к первому дифференциальному соотношению
d (需)=d (需)=1 3小 /^瓦 + 20v1 3小 /^瓦 + 20vdr.dr.(2.23.75)(2.23.75)
d (需)=
d (需)=
1 3小 /
^瓦 + 20v
1 3小 /
^瓦 + 20v
dr.
dr.
(2.23.75)
(2.23.75)
Аналогично получаем дифференциальное соотношение, справедливое на втором семействе характеристик (г = const, dr = 0), а именно
d(需)斗畔传+引也 (2.23.76)
К сожалению, дифференциальные соотношения (2.23.75) и (2.23.76) не допускают интегрируемых комбинаций, вследствие чего исходное уравнение (2.23.70) существенно упростить нельзя.
14°. Конкретные задачи могут быть решены посредством обычного метода замены дифференциальных соотношений (2.23.75) и (2.23.76) приближенными конечно-разностными. Таким образом, можно, например, решить задачу Гурса об отыскании функции ие по заданным ее значениям на двух характеристиках.
Сюда относится задача об определении движения песка, если известны значения скорости о® как функции переменной г для начального мгновения времени и закон изменения ее во времени на одной из границ среды.
При решении задач подобного рода следует иметь в виду возможность постепенного образования или, напротив, исчезновения зон, в которых деформация сыпучей среды отсутствует. В этих зонах равенство (2.23.3) в общем случае не выполняется. Кроме того, возможно
образование линий разрыва г = const значений скорости. На этих линиях следует считать, что
Ы = -М.⑵ 23.77)
15°. Простейшим примером образования линии разрыва является случай стационарного движения песка, занимающего область а & г & b при следующих условиях на границах:
о® (а) = о： = const,(2.23.78)
W(b) = 0.(2.23.79)
Такое движение оказывается невозможным. Действительно, согласно уравнению (2.23.70), либо должно иметь место равенство о® = 0, либо функция * удовлетворяет уравнению в обыкновенных производных 工 + ? = 0,(2.23.80)
решение которого имеет вид
W = С/г.(2.23.81)
В обоих случаях нельзя удовлетворить одновременно обоим граничным условиям (2.23.78) и (2.23.79).
Если же рассмотреть более сложный случай движения песка, при котором vr # 0, то, как можно показать, при тех же граничных условиях (2.23.78) и (2.23.79) задача допускает решение. Это решение в пределе, при vr —> 0, приводит к разрыву скорости ие на линии г = а^ причем всюду, где г > а, ие —> 0.
Заметим, что то же самое имеет место для аналогичной задачи идеально пластической среды.
Об ударе вязкопластического стержняо жесткую преграду
Нестационарные задачи движения вязкопластических тел уже продолжительное время привлекают внимание исследователей [54, 115, 182]. Анализ имеющихся точных и приближенных решений нестационарных задач вязкопластического течения частично приведен в [37].
В предлагаемой работе дается постановка и приближенное решение задачи об ударе о жесткую преграду вязкопластического стержня конечной длины. Задача об у пругопл асти ческом ударе стержня о жесткую преграду была рассмотрена В.С. Ленским [185].
1°. Постановка задачи. Стержень конечной длины из несжимаемого вязкопластического материала, движущийся поступательно в направлении своей оси со скоростью —о。，в мгновение 力=0 ударяется о жесткую преграду (рис. 160). Движение стержня будем предполагать
квазиодномерным, напряжения и скорости считаются осредненными по
(2.24.1)(2.24.1)связь среднего по сечениюсвязь среднего по сечениюРис. 160Рис. 160сечению стержня. В данном исследовании напряжения о и скорости деформации dv/dx вязкопластической среды принимается в виде
(2.24.1)
(2.24.1)
связь среднего по сечению
связь среднего по сечению
Рис. 160
Рис. 160
dv dxdv dx{(0 + о6)/血 同〉06, 0,101，06.
dv dx
dv dx
Здесь о(力，力)—скорость сечения стержня с лагранжевой координатой ж в мгновение 3 Gs > 0 — пластическая по-
стоя иная — предел текучести, ц — коэффициент вязкости материаластоя иная — предел текучести, ц — коэффициент вязкости материала
стоя иная — предел текучести, ц — коэффициент вязкости материала
стоя иная — предел текучести, ц — коэффициент вязкости материала
стержня. Продольная координата ж отсчитывается от преграды вдоль
оси стержня в направлении против его движения.
Скорость распространения упругих возмущений в рассматриваемой среде бесконечно велика, так как бесконечно велик модуль Юнга этой среды. Поэтому примем, что возмущение охватывает сразу весь стержень и скорость сечений при любом 力〉0 отличается от о。во всех его точках. Почти очевидно, что о，0 во всех сечениях стержня. Стержень разделяется на две части: в одной из них (0，力，力о (力)),которую можно назвать вязкопластической областью, напряжения превосходят по модулю Os и здесь имеет место вязкопластическая деформация; другую (力о (力)，力，Z) естественно именовать жесткой областью. Напряжения здесь по модулю меньше о$, и эта часть стержня движется как твердое тело. Координата подвижной границы вязкопластической и жесткой областей х = xq (力)должна быть определена в ходе решения задачи; напряжения и скорости непрерывны.
Основное уравнение движения элементов стержня имеет следующий вид:
(2.24.2)(2.24.2)dv _ do° dt dx
(2.24.2)
(2.24.2)
где р — плотность материала стержня, предполагаемая постоянной, t — время. В силу (2.24.1) получаем, что в вязкопластической области скорость сечений о = о (力，力)удовлетворяет уравнению теплопроводности
(2.24.3)(2.24.3)do _ 2 d2。2卩 G /
(2.24.3)
(2.24.3)
dt~a d^^" 6(0'*'鄧(力)),
а в жесткой области — уравнению
黑=0(g⑴ 4力，2).(2.24.4)
Согласно последнему имеем
о = — о。(t) (力о (力)'力 < Z),(2.24.5)
где о。(t) — модуль скорости сечений жесткой области стержня — пока неизвестная функция времени. Уравнение движения жесткой области можно представить в виде
= pF。[Z- g ⑴]虫粤=。[g ⑴ + 0, t] Fo, (2.24.6)
где M = pFo [I —力о (力)]—переменная масса жесткой части стержня, Fq — площадь его сечения до деформации.
Ввиду непрерывности напряжения на подвижной границе х = xq (力) соотношение (2.24.6) приводится к виду
虫(2.24.7) atр —优о (切
Далее, в силу непрерывности скоростей и напряжений на подвижной границе х = xq (力)имеем
0 [ж0 ⑴，力]=一。0 ⑴， 总0[с0 (力)"] = 0.(2.24.8)
Приведем также граничное и начальное условия задачи. Они имеют вид
о (0,力)=0 (力〉0); о (ж, 0) = — о。(0 < ж Z);
(2.24.9) 伙)(0)=伙)；力0 = 0.
Таким образом, дело сводится к определению функций v (ж, t), о。⑴ и жо ⑴，удовлетворяющих и условиям (2.24.3), (2.24.7)—(2.24.9).
2°. Система основных уравнений в безразмерной форме. Исследование удара вязкопластического стержня о жесткую преграду свелось, таким образом, к задаче с подвижной границей для уравнения теплопроводности, не приводящейся к традиционным краевым задачам математической физики.
Для удобства перейдем к безразмерным переменным
自=力儿 工=a2〃产，"信工)=_0 (力")/0о,(22410)
5⑴=g(力)儿 〃0 (工)=00⑴/。0,
после чего в соответствии с (2.24.3), (2.24.7)—(2.24.9) приходим к совокупности соотношений для определения неизвестных функций и (^, т),
% (т), 〃о ⑴：
⑵ 24.11)⑵ 24.12)⑵24.13)⑵24.14)⑵ 24.11)⑵ 24.12)⑵24.13)⑵24.14)^ =盟(О w自4 5,
⑵ 24.11)
⑵ 24.12)
⑵24.13)
⑵24.14)
⑵ 24.11)
⑵ 24.12)
⑵24.13)
⑵24.14)
"画⑴户]="0⑴，Д^固⑴户]=0,
〃 (0戸=0) (т > 0), и (^, 0) = 1 (0 < ^ ^ 1),
dt 1 — 5 (t)'〃o (0) = 1, 5 (0) = 0-
Здесь s =巾/|1。0 — параметр Сен-Венана — безразмерная комбинация определяющих параметров, характеризующая движение.
3°. Приближенное решение. Воспользуемся идеей метода Капмана-Польгаузена теории пограничного слоя [32] и представим функцию и (自")приближенно в виде1)
2〃о (т)- 〃о ⑴(0，自，％ ⑼，
〃(自戸)=〈5(Л)% к)⑵24.15)
“о (т)(% ⑴，自，1) •
Функция (2.24.15) удовлетворяет всем условиям (2.24.12), если условиям (2.24.14) удовлетворяют 〃о (т) и % (т). Естественно, что функция (2.24.15) не удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.24.11) точно. Потребуем, чтобы она удовлетворяла ему в среднем, т. е. обращала в тождество интегральное соотношение, которое получается в результате интегрирования уравнения (2.24.11) по всей вязкопластической области (0，自，自о (с)).
Интегрируя по частям и используя (2.24.12), получим
J寫"自=^ J "g。）"自一"同（。）户］密= оо
"（自户）騎-〃0（Т）"（自户）騎-〃0（Т）
"（自户）騎-〃0（Т）
"（自户）騎-〃0（Т）
Таким образом, искомое интегральное соотношение представляется в виде
工)騎-〃0 (Т) t = оВ силу (2.24.15) имеем方⑴工)騎-〃0 (Т) t = оВ силу (2.24.15) имеем方⑴m=。m=。⑵ 24.16)⑵ 24.16)]"(自户)騎=!"0⑴%⑴, 0]"(自户)騎=!"0⑴%⑴, 0_ 2〃о (t)_ 2〃о (t)⑵ 24.17)⑵ 24.17)
工)騎-〃0 (Т) t = о
В силу (2.24.15) имеем
方⑴
工)騎-〃0 (Т) t = о
В силу (2.24.15) имеем
方⑴
m=。
m=。
⑵ 24.16)
⑵ 24.16)
]"(自户)騎=!"0⑴%⑴, 0
]"(自户)騎=!"0⑴%⑴, 0
_ 2〃о (t)
_ 2〃о (t)
⑵ 24.17)
⑵ 24.17)
Подставляя (2.24.17) в (2.24.16) и используя (2.24.13), получаем
學=——f •(2.24.18)
dt 5 (t)[1 - 5 (t)] Uo (t)
Из системы уравнений (2.24.18) и (2.24.13), учитывая условия (2.24.14), можно определить функции 〃о ⑴ и 自о ⑴ и получить приближенное решение рассматриваемой задачи. Удобно ввести новые зависимые переменные
р = u0 (t)/s,g=蜀(Т).⑵ 24.19)
Тогда система (2.24.18), (2.24.13) примет вид
也=12 — 匂dp =1
⑵ 24.20)⑵ 24.20)dt - Р (1 -爲)' dt 1 - y/q
⑵ 24.20)
⑵ 24.20)
Эта система не содержит параметра Сен-Венана s. Ее начальные условия, согласно (2.24.14), соответственно будут
0(0)= 1/也q(o)=o.0(0)= 1/也q(o)=o.⑵ 24.21)⑵ 24.21)
0(0)= 1/也q(o)=o.
0(0)= 1/也q(o)=o.
⑵ 24.21)
⑵ 24.21)
Поделим друг на друга раздельно левые и правые части уравнений
(2.24.20). Получаем
案…(f ) + *案…(f ) + *⑵ 24.22)⑵ 24.22)
案…(f ) + *
案…(f ) + *
⑵ 24.22)
⑵ 24.22)
Качественное исследование уравнения (2.24.22) проводится без затруднений. Для области(0》0, 0，q，1), представляющей интерес для рассматриваемой задачи, интегральные кривые представлены на рис. 161. В начале координат имеется особая точка типа узла; интегральные кривые выходят из начала, касаясь прямой q = 4目，и вблизи начала координат удовлетворяют соотношению
⑵ 24.23)⑵ 24.23)q = 4р + 0 (從).
⑵ 24.23)
⑵ 24.23)
Сепаратриса разделяет интегральные кривые, выходящие из начала, на два класса. Кривые класса 1 характеризуются возрастанием ординаты q до некоторого максимума, меньшего единицы, располагающегося на кривой р = q/3 (1 — ^/q), далее они поворачивают к оси абсцисс и пересекают ее в некоторой конечной точке под одинаковым углом. У интегральных кривых класса 2 ордината непрерывно возрастает, так что кривые этого класса пересекают линию q = 1 и в об
ласть (0》0, 0，q，1) не возвращаются. В силу начальных условий (2.24.21) рассматриваемой задаче соответствуют интегральные кривые класса 1; направление движения изображающей точки по интегральной кривой при возрастании времени показано на рис. 161 стрелками.
4°. Приближенное пред став л ен и е решения для больших значений параметра Сен-Венана. Форма стержня после удара. Проведенное исследование позволяет сделать следующие каче-
ственные выводы. Вязкопластическая область в начале движения расширяется, ее размер % (т) =，q ⑴ возрастает до достижения некоторого максимума при т = to (s), после чего начинает убывать. В некоторое мгновение 工=口(s) вязкопластическая область исчезает и одновременно обращается в нуль скорость 〃о (т) жесткой области и тем самым всего стержня, т. е. движение стержня полностью прекращается. Во всех случаях определенная часть стержня, примыкающая к свободной границе х = Ц остается недеформированной.
При малых 工 асимптотические представления основных характери
стик движения имеют вид
自о (т) = д/12T + о (дА) , 〃о (工)=1 — st.(2.24.24)
При т, близких к 口，характеристики движения таковы:
% (T) = 2,口 一工 + g ("口 -工),〃о (T) = s (口 -工)•⑵24.25)
В общем случае система (2.24.20) требует для своего решения численного интегрирования; результаты интегрирования для нескольких значений параметра Сен-Венана s представлены на рис. 162-164. Для случая очень больших s =。//乩。。решение можно выписать в явном виде. В самом деле, в этом случае во все время движения q =蜀(т) мало, так что можно пренебречь，^ сравнительно с единицей в правых частях уравнений системы (2.24.20). После этого решение системы (2.24.20), удов л етворя ющее условиям (2.24.21), немедленно получается в явном виде:
111口 =—1口 =—⑵ 24.26)⑵ 24.26)
1
1
1
口 =—
1
口 =—
⑵ 24.26)
⑵ 24.26)
Можно пользоваться решением (2.24.26), если 1 — _у^ будет отличаться от единицы не более чем, например, на 0.1. Простое вычисление показывает, что для этого нужно, чтобы s было более 200.
Изложенный способ расчета можно уточнить без существенного усложнения. Заменим в правых частях уравнений (2.24.20) множитель (1 — ^/q) на ос и будем считать а пока некоторой постоянной. Легко видеть, что при этом решение уравнений (2.24.20) ), удовлетворяющее условиям (2.24.21), представится в виде
q = 4 {(в — т) ± (в — 工)4卜 Р = ос(р - т), q = В, В=；・⑵24.27)
Теперь следует установить связь а с параметром s, или, что то же самое, определить зависимость р =屮(s) . Если функция о (s) станет известной, то формулы (2.24.27) определят приближенное решение,
§ 24. Об ударе вязкопластического стержня о жесткую преграду 515 причем наиболее интересные параметры — максимальная величина вязкопластической области ^ и полное время движения 口 — оказываются равными
琴=单I = 1.37，屮(s), 口 =丄=屮⑶.⑵24.28)
yocsas
Уместно взять а равной среднему значению (1 —，^) 1 на всем интервале движения. При этом функция 0 = q)i (s) определится неявно. Имеем
1
1 f dy
а =—= ,—.
% J 1 -，40(у - g4)о
т. е.
s =,dy ] •⑵24.29)
1 -，40(g 一 д4).
о
График зависимости р = q)i (s), соответствующий соотношению (2.24.29), представлен на рис. 165. Можно получить и явное аналити
ческое представление решения задачи, если взять константу а равной (1 — ^^/q)) , где ^^/q) означает среднее значение ^ за все время движения. В силу (2.24.27) имеем
]-〈匈=1 - |j J(B _ 工)_ 0-3 偉—"4de = о
=_2「(3黑(]/2：-1
31a
Отсюда функция р = g (s) определяется в следующем конечном виде:
[V4s + 1.052 - 1.05]2
Р = Ф2(S)= 12(2.24.30)
4s
Приближенные формулы дают удовлетворительную точность уже при s〉2.
Определим теперь форму стержня после удара. Из условия несжимаемости материала стержня имеем
R"。/(1 + 器｝⑵ 24.31)
где F = F (ж) — площадь сечения деформированного стержня, U — продольное смещение в фиксированное мгновение времени, F — площадь сечения недеформированного стержня. В мгновение окончания удара 力=力1 имеем для произвольного сечения ж:
dU _ [ dv (ж, t), дх 、 дх оdU _ [ dv (ж, t), дх 、 дх ос** (ж)с** (ж)呼%" -ГOX呼%" -ГOX、 夾 ■、 夾 ■(2.24.32)(2.24.32)t*(m)t*(m)
dU _ [ dv (ж, t), дх 、 дх о
dU _ [ dv (ж, t), дх 、 дх о
с** (ж)
с** (ж)
呼%" -ГOX
呼%" -ГOX
、 夾 ■
、 夾 ■
(2.24.32)
(2.24.32)
t*(m)
t*(m)
Здесь 力* (ж) и 力** (ж)》力* (ж) — корни уравнения х = Xq (力),т* (自) и 工** (自)一соответствующие им безразмерные величины, г = Re = =po()Z/|i ——параметр Рейнольдса. В силу (2.24.15) и (2.24.32) находим
зй _ 」"°⑴/⑴一目心зй _ 」"°⑴/⑴一目心=-—尸=-2г/ © .(2.24.33)=-—尸=-2г/ © .(2.24.33)
зй _ 」"°⑴/⑴一目心
зй _ 」"°⑴/⑴一目心
=-—尸=-2г/ © .(2.24.33)
=-—尸=-2г/ © .(2.24.33)
На рис. 166 для различных значений параметра Сен-Венана s построен график / (〜характеризующий изменение формы стержня после удара.
К вопросу об ударе вязкопластическогостержня о жесткую преграду
Рассматривается задача об ударе вязкопластического стержня о неподвижную преграду. В общем случае решение задачи сводится к рассмотрению уравнения теплопроводности с подвижной границей.
Здесь предлагается приближенный метод решения, при котором масса стержня заменяется рядом сосредоточенных масс, расположенных в середине безынерционных частей стержня равной длины. Тем
самым задача сводится к последовательному решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений с изменяющимся по мере развития удара числом искомых функций — скоростей сосредоточенных масс.
1°. В работе [93] приведено приближенное решение задачи об ударе о неподвижную преграду стержня постоянного сечения и конечной длины /, материал которого подчиняется закону деформирования
dx、0,|o|，Os・dx、0,|o|，Os・(2.25.1)(2.25.1)
dx
、0,|o|，Os・
dx
、0,|o|，Os・
(2.25.1)
(2.25.1)
Здесь о = v (ж, t) — скорость сечения стержня, находящегося до удара на расстоянии ж от левого торца; о (力，力)—напряжение в том же сечении (см. рис. 160 в §24 настоящей книги); о$ — предел текучести; ц — коэффициент вязкости материала стержня.
При решении задачи было принято, что сечения стержня в процессе удара остаются плоскими, распределение напряжений в каждом сечении — равномерным. Картина удара предполагалась следующей. В начальное мгновение 力=0 вязкопластические деформации стержня развиваются в слое бесконечно малой толщины у его левого торца ж = =0. Далее при 力〉0 образуется вначале непрерывно расширяющаяся область вязкопластических деформаций, в которой всюду |о| > о$. Левая граница этой области примыкает к торцу 力=0, а правая, на которой |о| > о$, движется по заранее неизвестному закону х = Xq (力) к свободному торцу стержня х = I.
В некоторое мгновение расширение области вязкопластических деформаций при остан авл и вается и ее правая граница, не достигнув торца х = Ц начинает движение в обратном направлении. Справа от границы х = Xq (力)наступает теперь «ожествление» материала стержня.
Таким образом, вязкопластическое деформирование стержня происходит в изменяющейся с течением времени области 0 ^ х ^ xq (t) с переменной правой границей. Вне этой области стержень не деформируется, являясь как бы абсолютно жестким. К мгновению окончания удара t = Т «ожествление» достигает левого торца стержня и все его сечения оказываются неподвижными.
Функция V (ж, t) в области вязкопластических деформаций удовлетворяет уравнению теплопроводности
dv 2 g20 / 2 卩 a力 dx' pdv 2 g20 / 2 卩 a力 dx' p(2.25.2)(2.25.2)
dv 2 g20 / 2 卩 a力 dx' p
dv 2 g20 / 2 卩 a力 dx' p
(2.25.2)
(2.25.2)
которое получается после исключения функции о = о(力，力)из закона деформирования (2.25.1) и дифференциального уравнения движения стержня
(2.25.3)(2.25.3)3。_ до
(2.25.3)
(2.25.3)
° 3力 дх '
В равенствах (2.25.2) и (2.25.3) р — плотность материала стержня, которая принимается постоянной.
В начальное мгновение 力=0 скорости всех сечений стержня одинаковы, направлены в стороны отрицательной части оси ж и равны по модулю о。. Поэтому
V (ж, 0) = — о。。х I.V (ж, 0) = — о。。х I.(2.25.4)(2.25.4)
V (ж, 0) = — о。。х I.
V (ж, 0) = — о。。х I.
(2.25.4)
(2.25.4)
На левой границе области вязкопластических деформаций, где стержень соприкасается с неподвижной преградой, при 力〉0 имеет место тождество
(2.25.5)(2.25.5)о (0,力)=0.
(2.25.5)
(2.25.5)
Наконец, на подвижной границе, т. е. при х = xq (力),соблюдаются соотношения
Р(" —証Р(" —証X = x(](t)X = x(](t)dvdv=0.=0.X = x(](t)X = x(](t)(2.25.6)(2.25.6)
Р(" —証
Р(" —証
X = x(](t)
X = x(](t)
dv
dv
=0.
=0.
X = x(](t)
X = x(](t)
(2.25.6)
(2.25.6)
Первое из них выражает закон движения «жесткой» правой части стержня ж0 (力)'力'/. Второе, в силу закона деформирования (2.25.1), следует из равенства на подвижной границе х = Xq (力)напряжения о(力，力)по модулю пределу текучести о§.
Приближенное интегрирование уравнения (2.25.2) при учете начального условия (2.25.4) и граничных условий (2.25.5) и (2.25.6) проведено в [93] методами теории пограничного слоя. Там же в координатах
(2.25.7)
построены графики, иллюстрирующие при разных значениях параметра Сен-Венана
卩о0卩о0(2.25.8)
卩о0
卩о0
закон перемещения правой границы х = Xq (力)области вязкопластических деформаций, а также графики изменения скорости жесткой части стержня с течением времени.
2°. Предварительное предположение о характере изменения области вязкопластических деформаций во времени составляет основу
исследования [93]. Ниже приводим другое приближенное решение, где такое предположение уже не требуется.
Идея этого приближенного решения, как уже указывалось, заключается в замене действительного стержня некоторым схематическим. Масса стержня представляется в виде п сосредоточенных масс, расположенных в средних сечениях соответствующих п, равных по длине долей стержня (рис. 167). Материал стержня между сосредоточенными
т/п
Рис. 167
массами принимается лишенным свойства инерции, однако следующим закону деформирования (2.25.1). Тем самым вместо рассмотрения уравнения теплопроводности с переменной границей можно свести задачу к последовательному решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений с изменяющимся по мере развития удара числом искомых функций. За последние принимаются скорости о“。2, • • •,。九 сечений, в которых расположены сосредоточенные массы.
В начальное мгновение удара 力= 0 скорости всех сечений одинаковы и равны — о。. Выясним теперь вопрос о поведении безынерционных стерженьков длиной 1/п^ заключенных между сосредоточенными массами, а также и стерженька вдвое меньшей длины между абсолютно жесткой преградой и первой массой.
Напряжение о в любом сечении каждого из безынерционных стерженьков изменяется с течением времени. В силу закона (2.25.1) стерженек не деформ и руется, если напряжение в процессе удара не превзойдет предела текучести о$. Если же в каком-либо стерженьке напряжение по модулю окажется большим предела текучести о$, то его деформация, в силу того же закона (2.25.1), будет следовать уравнению
Ок = Ц ®/с —。/с —1) 7 — ^s (4 = 2, 3, . . . , 72 — 1) • (2.25.9)
Это уравнение справедливо для всех стерженьков, кроме первого и последнего. Уравнение деформирования первого стерженька при |о| > >。6 имеет вид
2九
°1 = |11?1-——Os
Последний (п + 1)-й стерженек (длиной Z/2n) никогда не будет деформироваться, так как напряжение в нем всегда равно нулю из- за отсутствия сосредоточенной массы на его правом конце.
Первый стерженек (также длиной 1/2п) начинает деформироваться в мгновение t = +0 при любой начальной скорости о。. Начальное напряжение в нем определяется, согласно формуле (2.25.10), выражением
。1 (0) — —。6・(2.25.11)
Второй стерженек в зависимости от начальной скорости либо начинает деформироваться сразу же вместе с первым, либо не будет деформироваться вовсе. Действительно, если предположить, что второй и остальные стерженьки не деформируются, то они образуют твердое тело массы т, движущееся по закону
т* = -dF,⑵ 25.12)
где F — площадь поперечного сечения стержня.
Согласно соотношениям кинетостатики напряжение во втором стерженьке окажется равным
(2.25.13)
а в третьем еще несколько меньше, а именно
=(2.25.14)
и т. д.
Очевидно, что в начальное мгновение второй стерженек ( а также третий и другие) не будет деформироваться, если
102(0)1 < 3,(2.25.15)
что, согласно формулам (2.25.13) и (2.25.11), имеет место при
。0 < 2 厦⑵25.16)
Условие (2.25.16) всегда будет нарушаться при достаточно большом числе п. Поэтому в практически приемлемых случаях рассмотрения задачи первый и второй стерженьки начинают деформироваться одновременно. Если же остальные стерженьки при этом останутся «жестки-
ми», то дифференциальные уравнения движения рассматриваемой механической системы представляются уже следующей совокупностью:
:警=f 几®2 - 301) , 5 一 1) ^警=一午几(°2 一01) + зr
⑵ 25.17)
при начальных условиях
о】(0) = 02 (0) = —。0・ (2.25.18)
Первое из уравнений (2.25.17) представляет собой закон движения первой массы, а второе — всех остальных, составляющих как бы единое твердое тело.
В начальное мгновение времени t = +0, согласно второму уравнению (2.25.17) и начальным условиям (2.25.18), имеем
5 —兄 (2.25.19)
Сила。6厂 приложена ко второй массе. Так как ускорения второй и остальных масс одинаковы, то третий стерженек будет в мгновение времени t = +0 сжат силой
^=7^°^ ⑵25.20)
а остальные соответственно меньшими силами. Отсюда следует, что при какой угодно величине начальной скорости о。напряжения в третьем и остальных стерженьках в начальное мгновение по модулю не достигают предела текучести о§. Следовательно, их деформирование может наступить лишь спустя некоторое время или не начаться вовсе.
В общем случае 力〉0 напряжение в третьем стерженьке в предположении, что четвертый стерженек и все последующие остаются жесткими, равно
°з =°з =П — 2П — 2九一1九一1й(02 - 01) / =06й(02 - 01) / =06⑵ 25.21)⑵ 25.21)
°з =
°з =
П — 2
П — 2
九一1
九一1
й(02 - 01) / =06
й(02 - 01) / =06
⑵ 25.21)
⑵ 25.21)
Если в процессе изменения функций о】(力)и 。2 (力)напряжение оз по модулю достигнет предела текучести о$, то вязкопластические деформации захватят и третий стерженек. После этого движение системы будет описываться уже совокупностью трех дифференциальных уравнений:
丈幣=(°3 - 2。2 +。1), ⑵25.22)
5 - 2)(03 - 02)
а напряжение в четвертом стерженьке — выражением
⑵ 25.23)⑵ 25.23)
⑵ 25.23)
⑵ 25.23)
Если Ml достигнет значения о$, то начнет деформироваться четвертый стерженек.
Таким способом можно и далее последовательно строить системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс расширения вязкопластической области стержня по мере развития удара. Если, например, в данное мгновение в состоянии пластического деформирования находится k стерженьков, то движение системы описывается совокупностью k дифференциальных уравнений, которую удобно представить в следующей матричной форме:
警=cAv + bf.(2.25.24)
Здесь А = [aij] — квадратная матрица порядка k, составленная из коэффициентов системы дифференциальных уравнений, имеющая вид
-3
1
0
0
0 ..
• 0
0
1
-2
0
0
0
• 0
0
А = п2
0
1
-2
1
0 ..
• 0
0
,⑵ 25.25)
0
0
0
0
0
. -2
1
0
0
0
0
0 ..
—г
где z = 1/(п — А: + 1), V и / — А:-мерные векторы (Т — знак транспонирования)
о = ®1,02,…，必]7 , / = [0, 0,п/(п — к -\- 1)]Т⑵25.26)
и, наконец, с и 6 — постоянные множители, равные
с = \F [Im、b = gsF/т.⑵ 25.27)
Очевидно, что расширение области вязкопластических деформаций прекратится, если напряжение в каком-либо очередном стерженьке в процессе своего изменения не сможет достичь предела текучести. В этом случае напряжение в предшествующем стерженьке, достигнув некоторого максимального значения, начнет убывать и в какое- то мгновение времени станет равным по модулю о$. Как показывают
расчеты, напряжения в остальных стерженьках, расположенных еще левее, останутся несколько большими предела текучести.
Решение задачи следует теперь продолжать, предполагая, что число деформирующихся стерженьков стало на единицу меньше, и следить за изменением напряжения в ближайшем деформирующемся стерженьке слева от «ожествившихся». Например, если четвертый стерженек так и не начал деформироваться, то после «ожествления» третьего стерженька следует вновь вернуться к совокупности уравнений (2.25.17), принимая за начальные значения скоростей v\ и。2 те их величины, которые соответствуют мгновению осуществления равенства [о/ = =о$. Далее надлежит следить за изменением напряжения во втором стерженьке, пока, наконец, не прекратится деформация и в самом первом стерженьке. Таким образом, можно шаг за шагом построить всю приближенную картину удара стержня о неподвижную преграду.
3°. Для численного решения задачи при разных значениях параметра Сен-Венана s можно с успехом применить электронные вычислительные машины. Так, изложенным выше методом было решено несколько конкретных примеров на вы числи тельной машине М-20.
Решения задачи были получены в результате рассмотрения уравнений (2.25.24), для которых к пробегает значения 2, 3,... ...,(г — 1), г, (г — 1), ..., 2, 1. Здесь г < (п — 1) — наибольший порядковый номер стерженька, перешедшего в вязкопластическое состояние.
Для удобства вычислений уравнение (2.25.24) было предварительно преобразовано к безмерным величинам 〃左"и 自 согласно равенствам
以=-%"k(к—12 …，丁)；力=^0 自=Р⑵ 25.28)
в которых, кроме обозначений, упоминавшихся ранее,工，自，〃左 一 соответственно безразмерные скорость, время, координата. В результате оно стало следующим:
黑= 4〃_/.⑵ 25.29)
Интегрирование уравнения (2.25.29) производилось численно [29] посредством итераций в соответствии с формулой
〃(汁 1)= 〃⑺ + ? [д^О+П + Аи^Д - Л/,⑵25.30)
где 〃(力一столбцовый А:-мерный вектор с компонентами 〃i, 〃2,〃k・ Величина шага Л выбиралась из условия сходимости итерационного
процесса, а именно
^川 Y 1, ⑵ 25.31)
где к
II Д|| < m@x，2 Iaij I < 4几2. (2.25.32)
4°. Решение задачи проводилось для нескольких значений безразмерной начальной скорости стержня 〃о в интервале 0.05-10.0. Значения параметра Сен-Венана (2.25.8) соответственно равнялись s = =20.0, 10.0, 2.0, 1.0, 0.50, 0.25, 0.10. В результате вычислений были получены величины скоростей каждого стерженька и\, и^^ …，иг для последовательных мгновений времени. Далее устанавливались интервалы времени, в течение которых каждый стерженек находился в пластическом состоянии вплоть до его «ожествл ен и я», и тем самым выяснялся закон скачкообразного перемещения границы вязкопластических деформаций стержня 自=自 Q).
Вначале было изучено, как влияет на решение задачи количество делений основного стержня на различное число частей. С этой целью задача решалась для каждого из приведенных выше значений начальной скорости 〃о при делении стержня на 10, 20 и 40 частей. При этом программа вычислений была составлена таким образом, чтобы можно было предусмотреть любое число делений в пределах 50.
В результате анализа полученных данных можно сделать вывод, что времена продолжительности удара при одной и той же величине начальной скорости 〃о хорошо совпадают друг с другом при различных количествах делений стержня на части. Однако максимальные значения зоны распространения пластических деформаций ^тах оказываются в общем случае отличными друг от друга.
На рис. 168 представлены сравнительные данные решений для двух конкретных значений начальной скорости: 〃о = 0.5 и 〃о = 2.0. Для каждой начальной скорости внешняя ступенчатая линия изображает функцию 自⑴ в случае деления стержня на 10 частей, внутренняя — на 40. Между ними расположена ступенчатая линия, соответствующая делению стержня на 20 частей.
В первом из приведенных примеров (〃о = 0.5) максимальные значения области пластических деформаций ^тах совпадают друг с другом при разных числах делений стержня. Во втором (〃о = 2.0) величины 自max несколько различны.
Из трех вариантов вычислений более точно определяется величина протяженности зоны пластических деформаций при делении стержня
на 40 частей. Поэтому, имея в виду возможно лучшее приближение функции 自=自(т) к ее истинному виду, следует использовать лишь результаты расчетов в случае деления на 40 частей.
Решение задачи при различных значениях начальной скорости представлены в виде графиков. На рис. 169 изображены графики функции 自=(т), определяющей закон перемещения границы вязкопластических деформаций стержня. На рис. 170 построены графики.
иллюстрирующие изменения безразмерной скорости жесткой части стержня.
5°. С целью проверки точности решения задачи было предпринято аналитическое ее решение с соответствующими числовыми расчетами для случая деления стержня на 10 частей при значении начальной скорости 〃о = 0.05. Этот вариант легко считается «вручную», так как пластические деформации в процес
се удара распространяются толькорис 曾。
на три первых стерженька. Решение
получено точным интегрированием систем дифференциальных уравнений на каждом участке в соответствии с изложенным выше приемом. Начальные условия для каждой последующей системы дифференци-
альных уравнений определялись решением соответствующих трансцендентных уравнений с высокой точностью.
Таблица8
Описание процесса деформирования стержня
Безразмерное время деформирования стерженьков
при «точном» интегрировании
при машинном интегрировании
Переход в пластическое состояние первых двух стерженьков
0.0
0.0
Переход в пластическое состояние третьего стерженька
0.00163
0.00194
«Ожествление» третьего стерженька
0.0266
0.0285
«Ожествление» второго стерженька
0.0373
0.0388
Деформирование стержня полностью прекращается
0.0401
0.0423
В приведенной таблице указаны мгновения времени начала деформирования каждого стерженька и последующего его «ожествле-
ния» как согласно точному интегрированию систем дифференциаль-
ных уравнений, так и численному — на машине М-20.
Сопоставим, наконец, результаты решений задачи, полученные методами, изложенными выше и в статье [93]. Ограничимся значениями начальных скоростей 〃о = 0.1; 〃о = 2.0 и 〃о = 4.0 (соответствующие параметры Сен-Венана равны s = 10, s = =0.5 и s = 0.25).
На рис. 171 приведены графики этих решений. Непрерывными линиями изображены решения, определенные в работе [93], ступенчатыми — описанным здесь методом. Следует отметить, что результаты вычисления 自max, характеризующей распространение пластической деформации, полученные двумя указанными способами, оказываются практически одинаковыми. Заметное различие между решениями наблюдается для времени
продолжительности удара и то лишь при больших начальных скоростях, в частности при uq = 4.0 (см. рис. 171).
Числовые результаты, полученные методом, изложенным в данной статье, и совершенно отличным от него методом, приведенным в [93], близки друг к другу. Это в известной мере дает основание полагать, что решения задачи обоими приближенными методами достаточно точны.
Ввиду простоты описанного здесь метода его можно рекомендовать для использования на практике.
К динамике грунтовых сред
1°. Грунтовые массы представляют собой сложные образования, содержащие, наряду с основным веществом грунта (например, глиной), пустоты, частично заполненные водой. При действии на грунт больших давлений, возникающих при взрыве, происходит своеобразная «упаковка» грунта, приводящая к заметному (порядка 30%) увеличению его объемного веса. В этом отношении показательны опыты Н.М. Сытого по образованию шахт глубиной до нескольких десятков метров посредством взрыва в глинистых грунтах стволов. В глубокое, сравнительно узкое (диаметром 10-15 см) отверстие опускался длинный марлевый мешок, наполненный пироксилиновым порохом. Отверстие заполнялось водой, после чего инициировался толовым запалом взрыв. В результате в грунте образовывалось цилиндрическое отверстие диаметром около 1 м, окруженное уплотненным грунтом, годное для различных технических применений (устройство колодцев, уплотнение фундаментов и т. п.).
Для математического описания подобных явлений представляет интерес следующая схема деформации грунта. При давлениях, не превышающих некоторой характерной для данного грунта константы 0$, движение грунта происходит по закону несжимаемой идеальной жидкости данной плотности ро- При давлении, равном ps, происходит «упаковка» грунта до плотности pi, после чего грунт вновь деформ и руется как идеальная жидкость, но уже новой постоянной плотности pi.
Таким образом, уравнение состояния грунта можно записать в следующей форме: при возрастании давления (нагружение)
{
РО,0<05,
Pl,0〉05；
при убывании давления (разгрузка):
На рис. 172 показана примерная диаграмма зависимости между давлением р и объемной деформацией грунта 0 = 1 — ро/р и идеализированная диаграмма, соответствующая указанной выше схеме.
Рис. 172Рис. 172На диаграмме 01 = 1 — ро/рь
Рис. 172
Рис. 172
Идея пренебрежения касательными усилиями в сплошной среде （например, в металле） при наличии больших давлений принадлежит М.А. Лаврентьеву.
Рассмотрим систему уравнений, описывающих осесимметрическую деформацию грунта под действием давления %, приложенного к внутренней поверхности полого цилиндра бесконечной длины. В соответствии с принятой схемой следует различать три области деформирования грунта: внеш-
нюю （6》丁 》т/）, где давление р < ps и плотность р = р。； среднюю （丁!》丁 》丁；）, где р = ps и происходит «упаковка» грунта, и, наконец, внутреннюю （丁； 》丁 》а）, где р > ps и р = pj > ро （а и 6 соответственно внутренний и внешний радиусы цилиндра, искомые переменные величины）. Обозначим через и （г,力）радиальную скорость точек грунта. Функция и （г,力）удовлетворяет в соответствующих обла-
стях следующим уравнениям:
диди _\ др、
dt * " Зтро дг
or г丿
> （b^r^ 吸）,
диди/
диди _ 1 др"
dt“ drpi dr
*+"=0
or г
（r^r^a）.
Давление р = р（г,力）должно удовлетворять тем или иным граничным условиям на переменных границах т = аит = 6и изменяется вместе с плотностью р = р （―力）непрерывно при переходе из одной области в другую （если область 丁；，丁，т? не вырождается в окружность）. Граничные условия （при расширении идеального газа внутри полого цилиндра по закону политропы степени п） имеют вид:
Ра = const • a-2n, 0b = 0.
drsdtdrsdtВ случае бесконечных размеров внешней области грунт в ней неподвижен, а давление равно критическому ps. Средняя область вырождается в окружность изменяющегося радиуса г = rs. При переходе через эту окружность давление р и плотность р терпят разрыв, причем имеют место соотношения [32]
drsdt
drsdt
Р （п 一 0"） - 06 = "Р° 〃2 （n,力）• pi — po
В силу условия несжимаемости
/ ,、 a daU^=rdi^/ ,、 a daU^=rdi^
/ ,、 a da
U^=rdi^
/ ,、 a da
U^=rdi^
где а。— начальное значение радиуса отверстия.
Решение задачи сводится к интегрированию дифференциального уравнения
生=2 "2 （…％） + о。£ + 叫 / / 仇（Р「。）£ ） — с "а а [ Pipi。— роа。_ / \ pi а — ро^о 丿
где ж = （da/d力）2, а функция ра определяется в соответствии с особенностями задачи.
Начальное значение ж определяется из соотношения
Для решения упомянутого дифференциального уравнения приближенными методами следует знать значение производной переменной ж по аргументу а в начальный момент времени.
Нахождение этой производной связано с раскрытием неопределенности довольно сложного вида. Результат существенно зависит от характера изменения давления ра. Если, например, давление возникает мгновенно и далее изменяется по закону политропы степени 几 = 1.5 （см. выше）, то
dx _ 2 （5ро - Зр» ра|=о - 2рор$
da £_0Зрорпао
На рис. 173 приведен график, иллюстрирующий результаты численного интегрирования приведенного выше дифференциального уравнения для одного конкретного случая: pa\t=Q = 178000 кгс/см2, ps = = 1000 кгс/см2, п = 1.5, ро = 2 г/см3, pi = 2.5 г/см3, а。= 5 см, Отах = 51 СМ, Т = 0.003 С.
В момент, когда переменная ж превращается в нуль, все точки грунта остан авл и ваются. Полное время расширения отверстия определяется несобственным интегралом
Г =Г =daа。daа。
Г =
Г =
da
а。
da
а。
4仇-Ps)piPo (pi - Po)4仇-Ps)piPo (pi - Po)Рис. 173Рис. 173
4仇-Ps)piPo (pi - Po)
4仇-Ps)piPo (pi - Po)
Рис. 173
Рис. 173
Для гипотетической среды с большой степенью уплотнения (pi》ро) Н.В. Зволинский получил приближенное дифференциальное уравнение
z — Oq d?z lz + a?
z dt2 + 2 г2 \dt J -
2
где z =嘰.
В ряде случаев это уравнение интегрируется в элементарных функциях. Так, для случая внезапно приложенного и в дальнейшем постоян-
ного давления ра > ps получается
_ , / 仇 一 Ps) Pl .
T6 --t\ /\- -н a5
V Po(Pi - Po)
Если давление p > ps возникло внезапно и в течение некоторого времени 力i оставалось постоянным, а затем скачком снизилось до значения Rs, то радиус зоны уплотнения грунта будет также неограниченно расти. Для больших значений t имеет место асимптотическая “орму- ла гs = const •力 X.
В случае изменения давления р по адиабатическому закону уравнение интегрируется в квадратурах. Отыскание окончательного радиуса
уплотненной зоны грунта сводится при этом к решению некоторого алгебраического уравнения.
Аналогично может быть рассмотрена задача о расширении сферического отверстия в грунте, деформирование которого подчиняется той
же схеме.
Глава 3
ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 1. Растяжение бесконечно длинной идеальнопластической полосы переменного сечения
При растяжении полосы постоянной ширины усилием Q, равномерно распределенным по ее торцам (рис. 174), пластическое состояние
У
g ° х ^^ д=2 后
Рис. 174
наступает при
q = 2k)(3.1.1)
где k — пластическая постоянная материала. При этом во всех точках полосы возникает напряженное состояние, характеризующее следующими компонентами тензора напряжений:
°ж = 2 瓦 о； — 0,工?夕—0・(3.1.2)
В случае растяжения полосы переменной ширины, материал которой лишен упрочнения, т. е. обладает свойством идеальной пластичности, достижение предельного напряженного состояния
во всех ее точках, как правило, невозможно. Наряду с элементами, находящимися в пластическом состоянии (область I на рис. 175), почти всегда окажутся целые области полосы, где деформации останутся в
пределах упругости (область II). Решение соответствующей упругопластической задачи представляет, конечно, исключительно большие математические трудности. Замечательно, что тем не менее, если полоса мало (точнее, бесконечно мало) отличается от полосы постоянной ширины, в некоторых специальных случаях «сплошное» пластическое напряженное состояние полосы (в рамках линейных уравнений теории возмущений) все же оказывается возможным. Так будет, в частности, если «возмущение» границы исходной полосы постоянной ширины представляет собой синусоиду, протяжение которой равно или в нечетное число раз меньше удвоенной ширины «невозмущенной» полосы. В силу линейности уравнений, которыми описывается напряженное состояние «возмущенной» полосы, то же имеет место и для «возмущений», являющихся конечной или бесконечной суммой таких простейших синусоидальных возмущений.
В последнем случае амплитуды составляющих возмущений должны достаточно быстро убывать по мере уменьшения длины их волны, так как иначе соответствующие ряды для компонентов напряженного состояния полосы могут оказаться расходящимися (см. ниже).
Итак, пусть граница полосы имеет малое периодическое возмущение в два раза большей длины, чем ширина полосы 2Л, причем четные гармоники отсутствуют. Попытаемся построить «сплошное» пластическое напряженное состояние такой полосы. Компоненты тензора напряжений, которые обозначим через ож,。夕 и хху^ удов л етворя ют при этом условию идеальной пластичности
(0宓-0д)2 + 4名g=4廿，(3.1.3)
а также уравнениям равновесия
牡 + 弊=0攀竺=о(3.1.4)
ох оуохоу
с граничными условиями
Ож COS ХУ + ТХу COS ?/V = 0, ТХу COS ХУ + Оу cos уу = 0.(3.1.5)
Здесь XV и yv — соответственно углы между нормалью v к границе полосы и осями х и у. Граничные условия должны удовлетворяться на криволинейных границах полосы и ее торцах. Так как в дальнейшем полоса принимается бесконечно длинной, то условия на торцах можно заменить требованием ограниченности решения уравнений (3.1.4) и равенством равнодействующей распределенных сил на торце растягивающему усилию 2qh, направленному вдоль оси х.
Пусть уравнения, которыми определяются криволинейные границы полосы, имеют вид (рис. 176)
g = ± (% + 3 cos ас),(3.1.6)
где Л — половина ширины исходной прямолинейной полосы, 3 — малая величина, представляющая амплитуду «возмущения» границы исходной полосы; а — параметр (волновое число), связанный с длиной волны «возмущения» X формулой
九=2 兀/а.(3.1.7)
Рис. 176Рис. 176В дальнейшем все величины, имеющие размерность длины, будем считать безразмерными, отнесенными к некоторой характерной единице длины. Параметр 3 является безразмерной величиной.
Рис. 176
Рис. 176
Рис. 177
Естественно предположить, что при малой амплитуде «возмущения» 3 по сравнению с шириной полосы 2Л напряженное состояние «возмущенной» полосы。^，。夕戸冗夕，будет мало отличаться от напряженного состояния исходной полосы.
Соответственно решение уравнений (3.1.3) и (3.1.4) будем искать в виде
報=0? + a或，0g=0:+3%，"夕=円夕+忆夕， (3.1.8) где Зо；,3%,3т4g — малые «возмущения» напряженного состояния исходной полосы, ширина которой постоянна. Подставляя выражения (3.1.8) в систему уравнений (3.1.3) и (3.1.4) и учитывая формулы (3.1.2), получаем соотношения
學+季=0 学+學=0 或=力(3.1.9)
дх дудх дух у
В последнем из них опущены члены второго порядка относительно малых величин 8о^, 8о^ и 3%.
Из первых двух соотношений (3.1.9) исключим переменную т4g. Тогда, используя третье соотношение (3.1.9), придем для определения
Q к гиперболическому уравнению
д2dx _ ^^
Воспользуемся следующим частным решением этого уравнения:
qx = С cos ах cos ay,(3.1.11)
где。一 некоторая постоянная.
Подставив это решение в уравнения (3.1.9), получим для функции % следующее выражение:
Тху = С sin ах sin ay + D,(3.1.12)
где D — новая постоянная.
Для определения постоянных Си。следует обратиться к граничным условиям задачи.
Нетрудно показать, используя уравнения (3.1.6), что с точностью до малых второго порядка относительно амплитуды возмущения 8 косинусы углов нормали к «возмущенной» границе полосы с осями ж и у представляются формулами
cos XV ^ a8sin ах, cos yv ^ 1.(3.1.13)
В результате граничные условия (3.1.5) преобразуются к виду
報 a cos ах + тху = 0, тху а sin ах + о^ = 0.(3.1.14)
Подставляя сюда значения ож, о^ и хху^ согласно формулам (3.1.8), и учитывая равенства (3.1.2), опуская малые высшего порядка, получим соотношения
2k a sin ах + т^ = 0, о； = 0.(3.1.15)
Эти соотношения должны выполняться на криволинейной границе полосы (3.1.6). Однако с той же степенью точности достаточно потребовать их выполнения при у = ±Л, т. е. на невозмущенной границе. Допускаемая при этом ошибка имеет второй порядок малости из-за малости самих величин 工；夕 и %. Учитывая формулы (3.1.11) и (3.1.12) и последнее из соотношений (3.1.9), граничные условия можно представить следующим образом:
—2k a sin ах = С sin ах sin ah + D,
С cos ах cos ah = 0.(3.1.16)
Каждое из них обязано выполняться при любом значении ж, поэтому константа D должна быть равной нулю. Учитывая это, приходим к
§ 1. Растяжение бесконечно длинной идеально пластической полосы 535 равенствам
—2k а = С sin ah^ Ccosah = 0.(3.1.17)
В рассматриваемом случае константа С отлична от нуля, иначе границы полосы оказались бы прямолинейными. Согласно второму равенству (3.1.17) это возможно лишь в случае, если параметр а выражается формулой
а = п (2п + 1) /2Л,(3.1.18)
что соответствует следующей длине волны синусоидального «возмущения» границы:
九=4%/(2几 + 1).(3.1.19)
Здесь п — целое число.
Учитывая далее соотношение (3.1.18) в первом равенстве (3.1.17), имеем
。=兀к(： + 1)(—1 广т .(3.1.20)
В результате в соответствии с формулами (3.1.2), (3.1.8), (3.1.11), (3.1.12) и (3.1.20) получаем следующие выражения для компонент тензора напряжений полосы переменной ширины:
報 =2k + 3 (—1)п-1 欣 * + ° cos ax cos ay,
Og = 3 (—I)71—】兀k (2； + 1)cos ас cos ад,(3.1.21)
и欣(2九 + 1)..
тху =二sin ax sin ад,
где параметр а определяется формулой (3.1.18).
В общем случае, если симметричное возмущение границы имеет вид бесконечной суммы
у - h = ^2^ an cos 兀(2 眾 1)力 + % sin 兀,(3.1.22)
то «возмущения» напряженного состояния выражаются формулами < =^ =牛上(T)nT (2п + 1) an cos 兀 ^RD/ +
(2九+ 1)] 兀(2九+ 1)
+ %sm 2无力 cos「^g,
/ = ^£(Т「т(2n + D anSin"(2募+明-
一 (2募+% sin k(2募+"6 (3.1.23)
Соответствующие ряды сходятся лишь в том случае, если бесконечная сумма (3.1.22) представляет собой достаточно гладкую функцию, в силу чего коэффициенты ап и рп убывают быстрее, чем, например, 1/п2. Необходимым условием этого является требование гладкости границы полосы. Полоса, имеющая изломы границы (рис. 177), по этой причине не может перейти в «сплошное» пластическое состояние.
Подобным образом может быть исследован и случай антисимметричного «возмущения» границы полосы в форме
у = ±Л + 8 cos аж,(3.1.24)
а также и самый общий случай периодического «возмущения».
Растяжение идеально пластической плоскойполосы, ослабленной пологими симметричнымивыточками. Полиномиальное решение
Рассмотрим течение плоской полосы шириной 2Л из идеально пластического материала, ослабленного пологой выточкой (рис. 178). В
дальнейшем все величины, имеющие размерность длины, отнесем к величине h. Уравнение границы выточки представим в виде
У = ± (1 - 3力В ,§ = ^，У = ± (1 - 3力В ,§ = ^，(3.2.1)(3.2.1)
У = ± (1 - 3力В ,§ = ^，
У = ± (1 - 3力В ,§ = ^，
(3.2.1)
(3.2.1)
где с — глубина выточки, 3 — малый безразмерный параметр.
Решение для компонент напряженного и деформ и рован ного состояний будем искать в виде
Gij =或7 + з0%, " = "。+ 3"一旳=叫 + 34p 。=。° + 3 J,где。叮，£jj — соответственно компоненты напряженного и деформиро-ванного состояний; и, V — компоненты скорости перемещения; индексноль наверху приписан компонентам исходного невозмущенного состо-яния; штрих наверху — компонентам возмущенного состояния.
Имеют место формулы Коши
Исходными являются: условие пластичности
(о冗—。夕)+ ^^ху = 4k , k — const,(3)
условие несжимаемости
% + % = 0,⑷
условие изотропии
кУ _ £宓у(5)
一Gy £宓一£y
Для невозмущенного состояния будем иметь
0? =24,0:一也=0, 2?+*=0,北=0.(3.2.3)
В дальнейшем все величины, имеющие размерность напряжения, отнесем к величине предела текучести при растяжении 2k.
Для компонент возмущенного состояния, согласно (3.2.2), (3)—(5), (3.2.3), получим
о— 0,(3.2.4)
(3.2.5)(3.2.5)
(3.2.5)
(3.2.5)
Случай, рассмотренный в [200], имеет место при с? = £；, при этом
Мд =
Напряженное состояние может быть определено, согласно [200]:
(3.2.6)(3.2.6)報=[1 + 23 (1 - у)],。冗=23 (1 — g), ^xy = 23力.
(3.2.6)
(3.2.6)
Учитывая (3.2.5), (3.2.4), (3.2.2) и переходя к компонентам скорости перемещений, получим два уравнения для возмущений скорости перемещений:
диdvдиdv
a 优дудуа 优(3.2.7)
目="=const.
Вводя функцию тока W, будем иметь
(3.2.8)(3.2.8)(3.2.9)(3.2.9)W = W° + 3U. д у д х
(3.2.8)
(3.2.8)
(3.2.9)
(3.2.9)
Согласно (3.2.8), (3.2.2), (3.2.7) получим
д ж2д ж2Uw，aw，/ aw，
д ж2
д ж2
ду-ду 5 дх
Решение уравнения (3.2.9) следует искать в виде полиномов второй степени по х, у. Области материала AOBE, CODF движутся как жесткое целое, поэтому из условия сопряжения нормальных компонент скорости на AD и СВ положим
(3.2.10)(3.2.10)J — / = 0 при с = у；〃'+ J = 0 при ж = —у.
(3.2.10)
(3.2.10)
Искомое решение, удовлетворяющее (3.2.9), (3.2.10), имеет вид
W = рх (ж2 —,
(3.2.11) и1 = 2рху> vf = р(Зж2 — д2).
Течение в области АОС (ВОD) происходит как жесткое целое, причем
и° = V sin ос, v° = V cos ос, V = const.(3.2.12)
Из (3.2.12), (3.2.11), согласно (3.2.2), получим
u = V sin ос + 23目力g, V = — V cosa + Зр(Зж2 —犷).(3.2.13)
Уравнения линий тока течения (3.2.13) имеют вид
Ф = — (V cos а) х — (V sin a) g + Ьрх (ж2 —力).(3.2.14)
Для вертикальной компоненты скорости будем иметь
”(1-筝)d勿 (3・2・15)
где t — время.
Полное время Т процесса течения образца получим, согласно (3.2.15), (3.2.13), из уравнения
Т =息才(1 + V^ (3,2 —犷))dy, с = -у tga. (3.2.16)
Из (3.2.16) с точностью до малых высшего порядка найдем
T=v^—(1-3 tg2oc)] , 0<а< %(3.2.17)
V cos ос 3 V cos а ')4'‘
Время, за которое частица свободной границы М достигнет границы жесткой области М^ (а, а) (рис. 178), определяется по формуле
Тм = ] ?, х = а — (у — a) tga.(3.2.18)
Из (3.2.18), (3.2.13) найдем
т1 6р /1+а8 2 I
Тм — — а) 1 — 77I -оЬ -a +
V cos осV cos а、 33
+ За (1 — а) tg ос — (1 + а2) tg2 ос^ . (3.2.19)
Двигаясь как жесткое целое, частица 陷 достигает окончательного положения ”2 (рис. 179) за время Т — Тм・ Следовательно, расстояния Si = М1М2)аналогично S2, определяются из соотношений
Si = I/ (Г — Тм) (cos ос + sin ос), S2 = V (Т — Тм) (cos а — sin а).
(3.2.20)
Уравнение свободной границы в координатах Xj определяется из соотношений у = ах = а -\- S (а), откуда
х = у -\- S (у).(3.2.21)
Величины S(y) в (3.2.21) определяются согласно (3.2.20), (3.2.19), (3.2.17), причем а заменяется на у.
Растяжение анизотропной идеальнопластической полосы
Рассмотрим напряженное состояние растягиваемой полосы из анизотропного идеального жесткопластического материала, ослабленной выточками. Возьмем прямоугольную систему координат ху, причем ось ж выберем по направлению приложенного усилия.
540 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа Пусть уравнения границы полосы имеют вид
g = ± (% + 3/(力))，Л = const, 3《1,(3.3.1)
где 2Л — ширина исходной прямолинейной полосы, 3 — величина, характеризующая глубину выточки.
Условие пластичности для материала, свойства которого не зависят от гидростатического давления, запишем в виде
F (報-Gy, ^ху) = 0.(3.3.2)
Решение для компонент напряжений будем искать в виде (3.2.2.).
В исходном невозмущенном состоянии(3 = 0), согласно (3.3.2), имеем
R (成，0)=& 成#0,呜=。力=0・
Раскладывая (3.3.2) в ряд Тейлора в окрестности исходного напряженного состояния,
R (成 + з (必-"),/)=
П尸оП尸о
"(成，。)+ З际F & - О +=。，(333)
и выделяя члены при 8, получим линеаризованное условие пластичности
或 Y + 2&=。，2R =(|£)/(3.3.4) где индекс градус наверху означает, что производные взяты при значениях напряжений в исходном невозмущенном состоянии.
Уравнениям равновесия удовлетворим, полагая
, д2и , д2и , % =旷％ =中&
Из (3.3.4), (3.3.5) будем иметь
д2и д2ид2и
дудхдхду
Величина 2k связана с анизотропией.
изотропный случай.
Методом разделения переменных найдем
U = A cos т (ку + ж) cos ту/1 + к?у.
=(3.3.5) дхду
=0.(3.3.6)
При 4 = 0 будем иметь
решение уравнения (3.3.6)
А = const.(3.3.7)
Из (3.3.5), (3.3.7) найдем
о； = —4皿2(2廿 + 1) cos m (ж + ky) cos ту/k2 + ly—
Qy = — Дт2 cos m (ж + ky) cos m у^+Тт/,(3.3.8)
厶 =厶病 k cos m (ж + ky) cos my k2 + ly—
Линеаризированныe граничные условия, аналогично [179], имеют вид
о； = 0 при у = ±Л,(3.3.9)
o° ^^ — тху = 0 при у = ±h.(3.3.10)
Удовлетворим граничным условиям. Из (3.3.8), (3.3.9) найдем cos ту/ к2 + lh = 0, nz = ± g 九十",几=0,±1,...(3.3.11)
Согласно (3.3.7), (3.3.10) имеем
—Дm2 V^+Tsin m (ж + kh) (—l)n —屮(力)=0,屮(ж)=成% •
(3.3.12) Положим
тогда / (力)=тогда / (力)=屮(力)=5 sin m (ж + kh), В = const > 0,
тогда / (力)=
тогда / (力)=
cos m (ж + kh). Из (3.3.12) получим
(3.3.13)(3.3.13)=（一1广+i石川"炉+ ]
(3.3.13)
(3.3.13)
Из (3.3.8), (3.3.11), (3.3.13) найдем компоненты напряжений
4 = Ж!"廿+°cos ^Ш з+初)cos4 = Ж!"廿+°cos ^Ш з+初)cos兀(2九+ 1)2h兀(2九+ 1)2hу-у-
4 = Ж!"廿+°cos ^Ш з+初)cos
4 = Ж!"廿+°cos ^Ш з+初)cos
兀(2九+ 1)2h
兀(2九+ 1)2h
у-
у-
-4，戸 + 1 sin(力 + ку) sin 兀(2；”
/ _ (-兀 3 + 1) z к)cos 兀 3 + %
'_ г^ТТ 2Дг^ТТ( + c°s2九У，
44_(-1广+i石_(-1广+i石k cos1 (力+初)cosVk cos1 (力+初)cosV
4
4
_(-1广+i石
_(-1广+i石
k cos1 (力+初)cosV
k cos1 (力+初)cosV
-，炉 + 1 Sin(力 + ky) sin 兀(2；”g
2hVk2 + 1
При к = 0, получаем результаты § 1 настоящей главы.
Растяжение идеально пластическойанизотропной плоской полосы, ослабленнойпологими симметричными выточками.
Полиномиальное решение
Рассмотрим течение растягиваемой полосы из анизотропного жест- коп л астического материала.
Исходные соотношения имеют вид:
уравнения равновесия
筝 + 争=0, 攀 + 幣=о(3.4.1)
дх дудх ду
где ож, о^, гху — компоненты напряжения в декартовой системе координат 力®
условие пластичности
F (0况,0g,工况夕)—0.(3.4.2)
Используя замену переменных
^х = о + S cos 20,。夕=о —Xcos2e, тху = Е sin 20,(3.4.3)
где
О = ^ & + Од) , X & +。夕)2 + 金,tg26 =
согласно (3.4.3), запишем условие пластичности (3.4.2) в виде
(3.4.4)(3.4.4)F (о, Е, 0)= 0.
(3.4.4)
(3.4.4)
В дальнейшем будем предполагать, что условие пластичности не зависит от величины среднего давления о. Условие пластичности примем
§ 4. Растяжение идеально пластической анизотропной полосы 543 в форме [21]
& -。夕)2 + 4名=4х2 (е), 0 = I arctg 2"“ •(3.4.5)
Соотношения ассоциированного закона пластического течения, согласно (3.4.5), примут вид [21]:
% + % = 0,(3.4.6)
%g=^ ^ху - ^(5c -。U)，介—案，九》0,(3.4.7)
где £ж, £^, гху — компоненты скорости пластической деформации.
Имеют место формулы Коши
диdvdv\
где % о — компоненты скорости перемещения.
Из (3.4.6), (3.4.7) следует
tg 2屮=J｝； =tg2(e-|i),tg 2屮=J｝； =tg2(e-|i),(3.4.8)(3.4.8)
tg 2屮=J｝； =tg2(e-|i),
tg 2屮=J｝； =tg2(e-|i),
(3.4.8)
(3.4.8)
где
tg2e =凯二， tg2|i =
0力-Oy/%
Согласно (3.4.8) угол |i = 6 —屮 между главными направлениями тензоров напряжений и скоростей деформаций характеризует анизотропию материала.
Для несжимаемого анизотропного идеального жесткопластического материала характеристики ортогональны и совпадают с линиями максимальных скоростей сдвигов. Вдоль характеристик имеют место
соотношения Гейрингер, а также возможны разрывы касательных к харатеристикам компонент скоростей перемещения.
Рассмотрим течение плоской полосы шириной 2Л из идеального жесткопластического анизотропного материала, ослабленной пологими выточками (рис. 180). В дальнейшем все величины, имеющие размерность длины, отнесем к величине h.
Уравнение границы выточки представим в виде
g = ± (1 — З*) j 3 =。/瓦g = ± (1 — З*) j 3 =。/瓦(3.4.9)(3.4.9)
g = ± (1 — З*) j 3 =。/瓦
g = ± (1 — З*) j 3 =。/瓦
(3.4.9)
(3.4.9)
где С — глубина выточки, 6 — безразмерный малый параметр. Решение будем искать в виде (3.2.2)
В исходном состоянии, согласно (3.4.5)—(3.4.7),
О? = 2х0, о；=电=о, х0 = X (0), е° = 0,(3.4.10)
4 =-吟=2 九％о,询=-Х°х0, % =寫(3.4.11)
Согласно (3.4.10), (3.4.11)
(3.4.12)
Из (3.4.12) следует, что деформация сдвига 再夕 имеет место, если хо # 0.
Уравнения равновесия (3.4.1) для компонент возмущений сохраняют вид
дх ду 5 дх дудх ду 5 дх ду(3.4.13)(3.4.13)
дх ду 5 дх ду
дх ду 5 дх ду
(3.4.13)
(3.4.13)
Линеаризируя условие пластичности (3.4.5), согласно (3.4.10), получим
(3.4.14)
Граничные условия на свободной границе полосы (3.4.9) имеют вид ож cos (пж) + хху cos (пу) = 0, хху cos (пж) +(5У cos (пу) = 0, (3.4.15) где п — нормаль к свободной границе. Линеаризируя соотношения (3.4.15), согласно (3.2.2), (3.4.10), (3.4.9), получим
(3.4.16)(3.4.16)14g = ±4比0 力, о； = ° ПРИ У = ±1・
(3.4.16)
(3.4.16)
Линеаризируя соотношения (3.4.6), (3.4.7), согласно (3.2.2), (3.4.10),
(3.4.11) получим
点=!о2-+ 2九勿0,点 + W = 0,点=!о2-+ 2九勿0,点 + W = 0,(3.4.17)(3.4.17)
点=!о2-+ 2九勿0,点 + W = 0,
点=!о2-+ 2九勿0,点 + W = 0,
(3.4.17)
(3.4.17)
^ХУ =九° 2 - ^- 14g -九’介0.^ХУ =九° 2 - ^- 14g -九’介0.(3.4.18)(3.4.18)Из (3.4.17), (3.4.18) следуетИз (3.4.17), (3.4.18) следует
^ХУ =九° 2 - ^- 14g -九’介0.
^ХУ =九° 2 - ^- 14g -九’介0.
(3.4.18)
(3.4.18)
Из (3.4.17), (3.4.18) следует
Из (3.4.17), (3.4.18) следует
点У+0点=九° 2 +点У+0点=九° 2 +.\ 2Хо \Хохо /2хо.\ 2Хо \Хохо /2хо/_介0/_介0(3.4.19)(3.4.19)Переходя к компонентам скоростей перемещений (3.4.17), (3.2.2), найдемПереходя к компонентам скоростей перемещений (3.4.17), (3.2.2), найдемизиз(3.4.19),(3.4.19),ди a J ди %两+丽+ 2a厥=20石,ди a J ди %两+丽+ 2a厥=20石,(3.4.20)(3.4.20)
点У+0点=九° 2 +
点У+0点=九° 2 +
.\ 2
Хо \Хо
хо /2хо
.\ 2
Хо \Хо
хо /2хо
/_介0
/_介0
(3.4.19)
(3.4.19)
Переходя к компонентам скоростей перемещений (3.4.17), (3.2.2), найдем
Переходя к компонентам скоростей перемещений (3.4.17), (3.2.2), найдем
из
из
(3.4.19),
(3.4.19),
ди a J ди %
两+丽+ 2a厥=20石,
ди a J ди %
两+丽+ 2a厥=20石,
(3.4.20)
(3.4.20)
при помощи(3.4.21)при помощи(3.4.21)Перейдем к определению напряженного и деформированного состояний. Удовлетворяя уравнениям равновесия (3.4.13) функции напряжений
при помощи
(3.4.21)
при помощи
(3.4.21)
_ д2и
из (3.4.21), (3.4.14) получим уравнение
(3.4.22)(3.4.22)д-ид-ис д-и с
(3.4.22)
(3.4.22)
дхду дхду
Решение уравнения (3.4.22) будем искать в виде полинома с постоянными коэффициентами
(3.4.23)(3.4.23)U = Дж3 + Вх2y + Сху2 + Dy3 + Mx2 + Ny1 + 2Рху.
(3.4.23)
(3.4.23)
Согласно (3.4.21), (3.4.23) получим
(3.4.24)(3.4.24)о； = 2Сж + 60g + 2N, о； = 64 力 + 2Ву + 27И,Кд = —- (В* + Су + 尸).
(3.4.24)
(3.4.24)
Удовлетворяя граничным условиям (3.4.16), из (3.4.24) найдем
或=4х0 &力-(1 + 4a2) g + (1 + 4a2)],
(3.4.25)
% = 4x0 (1 一 沙)，匕夕=4x0 [力 一 2a (1 — g)].
Удовлетворяя уравнению несжимаемости при помощи функции тока
，=鳴霜(3・4・26)
согласно (3.4.20), (3.4.25) получим
—— 2a = 8目[力一 2a (1 - g)].(3.4.27)
ох оу охоу
Решение уравнения (3.4.27) следует искать в виде полинома (3.4.23), заменив функцию U на 屮.
Из (3.4.23), (3.4.26) получим
£ = —^ = — [5力2 — 2Сху + 30g2 + 2Ny + 2尸回,
/ = ^ = 34/ + 2Bxy + Q/2 + 2Мх + 2Ру.(3.4.28)
Из (3.4.23), (3.4.27) найдем
34 - 2Ва — 0 = 4， В - 2Са — 3。= 8a， М - N - 2Ра = —8”.
(3.4.29)
Характеристики, линии разрыва скоростей перемещений (рис. 180) имеют вид
у — vx = 0, vy -\- х = 0, o=tga.(3.4.30)
Будем полагать, что компоненты скорости перемещения по нормали к характеристикам, равны нулю
ufv — vf = 0 при y — vx = 0, tzz + vv1 = 0 при х -\-vy = 0. (3.4.31)
Из (3.4.31), (3.4.28) получим
A^Bv^Cv2^ ON = & 厶庐—吕产 + с。—。= &
М + Nv2 + 2 尸。=0, —Mv2 — TV + 2Pv = 0.М + Nv2 + 2 尸。=0, —Mv2 — TV + 2Pv = 0.Из (3.4.32), (3.4.29) следуетИз (3.4.32), (3.4.29) следуетМ = —N =М = —N =8apv2о + а (1 — d)8apv2о + а (1 — d)Р = -Р = -М (1 - d)М (1 - d)(3.4.32)(3.4.33)(3.4.32)(3.4.33)
М + Nv2 + 2 尸。=0, —Mv2 — TV + 2Pv = 0.
М + Nv2 + 2 尸。=0, —Mv2 — TV + 2Pv = 0.
Из (3.4.32), (3.4.29) следует
Из (3.4.32), (3.4.29) следует
М = —N =
М = —N =
8apv
2о + а (1 — d)
8apv
2о + а (1 — d)
Р = -
Р = -
М (1 - d)
М (1 - d)
(3.4.32)
(3.4.33)
(3.4.32)
(3.4.33)
Выпишем систему уравнений для определения коэффициентов Д,В,С,Г:
34 - 2Ва — 0 = 4，
В — 2Са — 3D = 8aR,
9%(3.4.34)
A + Bv + Cv2 + Dv3 = 0.
Av3 - Bv2 ^Cv - D = 0.
Решение системы уравнений будет иметь вид
4 = * 3 = * О*，D = ^.(3.4.35)
где
△ = — [(1 + 4a2) o' _ 12ao5 十药步十药产十 12ao + (1 + 4a?)],
△i = -16目(1 — а2) о? (1 + о?),
△2 = —4目[3d + 6ad + ба。？ — Зо],
△з = —4目[(1 — 4a2) о, + 6ad 十 з^4 + з^2 — Qav + (1 — 4a2)],
△4 = —4* [— (1 + 4a2)o’ + 2a°3 十 2ao + (1 + 4a2)].
Таким образом, согласно (3.4.35), (3.4.23), (3.4.28), компоненты скорости возмущений определены.
Для изотропного тела a = 0, о = 1, тогда из (3.4.25), (3.4.23), (3.4.28) следует
^х=^у= 4比0 (1 — g),厶夕=4x0Ж,(3.4.36)
屮=0力(ж2 —力),〃‘ =2pxy^ / = 0(Зж2 —力),р = &：. (3.4.37)
§ 5. Линеаризация. Граничные условия, условиясопряжения, условие пластичности
Предположим, что искомое решение зависит от некоторого параметра 8. Будем искать решение в виде рядов по степеням этого параметра
ОСОСОС
(3.5.1)(3.5.1)Gij = £ 3九居,s = £ 3nzm,.
(3.5.1)
(3.5.1)
n=0n=0n=0
Линеаризация по параметру 3 заключается в разложении всех исходных соотношений: уравнений равновесия, граничных условий, соотношений связи eij — о叮 и т. п. в ряды по этому параметру. Далее выделяются члены разложения при одинаковых степенях этого параметра, которые определяют систему уравнений, позволяющую развить метод последовательных приближений, если решение при 3 = 0 (компоненты нулевого приближения 吟)，&!；)) является известным.
Уравнения равновесия (17) линейны относительно компонент напряжений, поэтому они имеют место для любого приближения
济⑺
++崇=。（W）・（352）
Соотношения связи между компонентами перемещений и деформаций также линейны относительно компонент деформаций и перемещений, поэтому они сохраняют свой вид для любого приближения
(3.5.3)(3.5.3)
(3.5.3)
(3.5.3)
Рассмотрим граничные условия в напряжениях. Ограничимся случаем, когда граничные условия заданы на контуре Lj в плоскости двух переменных а, р. Пусть на границе заданы нормальные и касательные усилия
Оу — Ру, Ту — Рна L ].(3.5.4)
Для определенности рассмотрим полярные координаты г, 0. Уравнение границы Lj представим в виде
г = e3九丁九⑼=T。+3九戸=e3九丁九+1(6).(3.5.5)
n=0n=0
Подставляя в (3.5.4) разложение (3.5.5) и учитывая, что для компонент ov, tv справедливы разложения, аналогичные (3.5.1), получим при 丁 = То разложения
(п) -т о
em+n « Qy Г drm m!—乙 drm m!' m,n=07n=0
em+n a 国 — \a t
m,n=07n=0
Ограничиваясь четвертым приближением, из (3.5.6) получим, что при г = го имеет место
⑺ I d^o) dPv
0№ + 丁片=方г
f + "】 +f + "】 +^ 丁；^ 丁；dr2 2dr2 2,d^}б/?” 戸,dPv+ 丁丁 2 = *e + 万T2,,d^}б/?” 戸,dPv+ 丁丁 2 = *e + 万T2,d%S" 丁； d%£）丁； do£） do『）+石十戮+ 丁必+ 丁丁2 +d%S" 丁； d%£）丁； do£） do『）+石十戮+ 丁必+ 丁丁2 +22
f + "】 +
f + "】 +
^ 丁；
^ 丁；
dr2 2
dr2 2
,d^}б/?” 戸,dPv
+ 丁丁 2 = *e + 万T2,
,d^}б/?” 戸,dPv
+ 丁丁 2 = *e + 万T2,
d%S" 丁； d%£）丁； do£） do『）
+石十戮+ 丁必+ 丁丁2 +
d%S" 丁； d%£）丁； do£） do『）
+石十戮+ 丁必+ 丁丁2 +
2
2
_ d3Pv г?丄 dp" 丄 dPv 内 к п =万产戮+ *修丁2 +万丁 3, (3.5.7)
<r)<r)+聆++聆+dr2 2dr2 2£^2 if£^2 if+ 嗒^ +用「3 + fU+dr 4! dr dr+ 嗒^ +用「3 + fU+dr 4! dr dr+ "2 + B+ e丿 +『22 ++ "2 + B+ e丿 +『22 +d%£)丁； 丁2dr3 2d%£)丁； 丁2dr3 2
<r)
<r)
+聆+
+聆+
dr2 2
dr2 2
£^2 if
£^2 if
+ 嗒^ +用「3 + fU+
dr 4! dr dr
+ 嗒^ +用「3 + fU+
dr 4! dr dr
+ "2 + B+ e丿 +『22 +
+ "2 + B+ e丿 +『22 +
d%£)丁； 丁2dr3 2
d%£)丁； 丁2dr3 2
d4 Pv Г]б/З” Г]Г2dr4 4!dr3 2d4 Pv Г]б/З” Г]Г2dr4 4!dr3 2/2" ( rf\/2" ( rf\dPv 万丁 4.dPv 万丁 4.
d4 Pv Г]б/З” Г]Г2
dr4 4!dr3 2
d4 Pv Г]б/З” Г]Г2
dr4 4!dr3 2
/2" ( rf\
/2" ( rf\
dPv 万丁 4.
dPv 万丁 4.
ванных граничных условий для tv: чтобы получить линеаризированныеванных граничных условий для tv: чтобы получить линеаризированныеРис. 181Рис. 181
ванных граничных условий для tv: чтобы получить линеаризированные
ванных граничных условий для tv: чтобы получить линеаризированные
Рис. 181
Рис. 181
Совершенно аналогично записываются выражения линеаризиро
граничные условия для tv, надо в (3.5.7) заменить % на а и R на R
В линеаризированных задачах теории пластичности необходимо уметь записывать граничные условия (3.5.4) через компоненты основной системы координат. Для этого следует учесть угол поворота напряжений при переносе их на исходную окружность (г = То). Рассмотрим рис. 181. Угол 01 образован нормалью к контуру 匕；6* =力一6 —
угол поворота напряжений при переносе их на исходный контур. Из известных формул теории упругости будем иметь
Ov = о「cos2 9* + ое sin2 9* + 2“ sin 9* cos 9*,
tv =(例—o「)sin 9* cos 9* + тг0 (cos2 9* — sin2 9*) .(3.5.8)
Если уравнение границы тела Li записать в виде х = х(Q)у = =g (е), то
cos 91 =cos 91 =У，近2 +力2У，近2 +力2sin 力=sin 力=ж，近2 +纟2ж，近2 +纟2(3.5.9)(3.5.9)
cos 91 =
cos 91 =
У，近2 +力2
У，近2 +力2
sin 力=
sin 力=
ж
，近2 +纟2
ж
，近2 +纟2
(3.5.9)
(3.5.9)
где точка наверху означает дифференцирование по 9. Согласно (3.5.5) можно записать
力 =(丁。+ 8f) cos 9, у = (丁。+ 8f) sin 9,
勿=—(丁。+ 8f) sin e + 8r cose,(3.5.10)
沙=(丁。+ 8f) cos 9 + 8f sin 9.
Учитывая, что
cos 9* = cos ®i cos 9 + sin 9j sin 9,
(3.5.11)
sin 0* = sin 0i cos 9 — cos 力 sin e,
из (3.5.11), (3.5.9), (3.10) получим
cos e* = 丁。+ 防 ，sin e* = /".(3.5.12)
J (丁。+ 5f)2 +(5f)2J (T。+ 5f)2 +(5f)2
Обозначая & = rjг。、найдем
cos e* = 1 + 3。1 + З?。？ + З^Сз ++ ...,
с о ，(3.5.13)
sin е* = 3sl +3 S2 + 3 S3 + 3 S4 + ...,
где
a =0,02 =一；左;，03 = ^^ -左 1 右2,
04 — :R；R2 - 4R；左；一jR，- R；左2 -左 1 左3 - ^2 + 3Ri 左 1 R2,
Si ——左1,$2 ——左 2 + Ri 丘1,(3.5.14)
S3 =-左3 + Ri 左 2 - R^ 左 1 + 左 1 A2 + 5 注;，
S4 ——左 4 + Ri 左 3 + 左 1 а3 _ R；左 2 + 左 2A2 + 5 斤;左2 -
—2R] а?左1 + R】左1左2 — 2 R】左；+ R；左1 •
Используя (3.5.1), (3.5.7), (3.5.8), (3.5.13), (3.5.14), получим искомые линеаризированные граничные условия: при г = го должны иметь
т 丄 d^ dPvт 丄 d^ dPvместо соотношения
т 丄 d^ dPv
т 丄 d^ dPv
4? - (<4°)- 4o))左1 =器丁 i；
б/?” 戸 dPv
=*m+万丁 2,
暢）—（＜4。）— ^ {r.-晶儿）—（°?）—。「）儿 +
。华+才白+。华+才白+黯00)r]dr2 2黯00)r]dr2 2十加3 3!十十加3 3!十
。华+才白+
。华+才白+
黯00)r]dr2 2
黯00)r]dr2 2
十加3 3!十
十加3 3!十
+ 2 Qe）—（4。））（2丘2 —品左；）+
-2魏（左2 -晶左I）- 2粵左⑺-2/X1 +
,d^ , d^ , d^ d3Pvr^ , SPV, dPv
+ 丁丁2 + 丁丁 "2 + 7rT3 =石市期 + *T"2 + 万T 3,
(3.5.15)
理）一2理左2 -（0济一或6）（电_品左2 +用儿一儿& 一掰）-
+ ^国-（。e）-。步）（电-品晶）一（播一T））同+
+ 与［閱一（。e）-。步）儿］? + ^ ［閱一（。e）-。步）儿］『2 =
6/3 R 片d2adR
=万产期+犷白T2 +方^
Четвертое и последующие приближения получаются аналогично; из-за громоздкости их выражения опустим.
Перейдем к условиям сопряжения решений. На Ls — границе упругой и пластической областей, должно иметь место
[。「] — [о®] — [^го] — [〃「] — [〃е] — [е「] — [%] — [е「е] — 0・(3.5.16)
Уравнение контура Ls запишем в виде
% =〉]鼠丁九^ (е) = <0б+ЗТб, 丁6 =〉] b^Tn+i,6(9)•(3.5.17)
п=0п=0
Учитывая разложения (3.5.1), подставляя в (3.5.16) выражения (3.5.17), получим исходное линеаризированное условие сопряжения. Очевидно, что условия сопряжения могут быть получены из (3.5.7), если заключить левые части в квадратные скобки, поменять в них ОуП^ на Ор ,. . . , а тп на 丁九^.
Выпишем условия сопряжения для компоненты /①：
. d^ . ^2^0) Ws 丄 d^
=О,=О,% +丁丁15 + 石厂方 + 丁丁 2s
=О,
=О,
d。屮d%「吭 d3j°)rt
d + 丁曰 + ▼方 + B^ +
+峪…衿2s +号"23+峪…衿2s +号"23=0,=0,(3.5.18)(3.5.18)dr3 3! +dr3 3! +…孥3 +把G…孥3 +把G*d2。g)*d2。g)
+峪…衿2s +号"23
+峪…衿2s +号"23
=0,
=0,
(3.5.18)
(3.5.18)
dr3 3! +
dr3 3! +
…孥3 +把G
…孥3 +把G
*d2。g)
*d2。g)
при r = rOs.
Условия сопряжения для компонент ое, тг0, urz tz0, er, ее, er0 имеют вид, вполне аналогичный (3.5.18).
Приведем условия сопряжения для компоненты иг\
心ш)+心ш)+du^du^drи^ Г],drи^ Г],i + "】s +i + "】s +dr2 2dr2 2Г +Г +"26 =0,"26 =0,ns +ns +諸〃0)Ns d3〃£)喙 drs 3!諸〃0)Ns d3〃£)喙 drs 3!dr2 2dr2 2++du^ d〃0)+ 后丁 3s + 7r 3 +du^ d〃0)+ 后丁 3s + 7r 3 +d2〃f)d2〃f)T16丁26T16丁260, (3.5.19)0, (3.5.19)
心ш)+
心ш)+
du^
du^
drи^ Г],
drи^ Г],
i + "】s +
i + "】s +
dr2 2
dr2 2
Г +
Г +
"26 =0,
"26 =0,
ns +
ns +
諸〃0)Ns d3〃£)喙 drs 3!
諸〃0)Ns d3〃£)喙 drs 3!
dr2 2
dr2 2
+
+
du^ d〃0)
+ 后丁 3s + 7r 3 +
du^ d〃0)
+ 后丁 3s + 7r 3 +
d2〃f)
d2〃f)
T16丁26
T16丁26
0, (3.5.19)
0, (3.5.19)
, d^ d2u^ T；s d^af) ns 「is十万十万十万丁耳г
d4и^ Г]5 du^ d〃0) du^
万厂 NT + 后T 46 + 7r 丁 36 + 右
dr2dr2丁15丁35 +丁15丁35 +d3u^ rlsr2sd3u^ rlsr2sdr3 2!dr3 2!=0=0
dr2
dr2
丁15丁35 +
丁15丁35 +
d3u^ rlsr2s
d3u^ rlsr2s
dr3 2!
dr3 2!
=0
=0
при r = rOs.
Рассмотрим граничные условия в перемещениях:
"а = "а。, "в = "во на Z；2・(3.5.20)
Уравнение границы L? представим в виде (3.5.5). Подставляя в (3.5.19) разложение (3.5.5) и учитывая, что для компонент иа, 〃卩 справедливы разложения, аналогичные (3.5.5), получим при 丁 = 丁。 разложения, вполне аналогичные (3.5.6), (3.5.7).
Отметим, что граничные условия, условия сопряжения в случае плоской и осесимметричной задач в декартовых, цилиндрических и сферических координатах совпадают с вышеприведенными с точностью до обозначений.
Рассмотрим условие пластичности
(о冗-。夕)2 + 4备=4廿 (k = const) .(3)
Подставляя в (3) разложения (3.5.1), приравнивая члены при одинаковых степенях 3, получим
(。宇-甯)『+瓚=4廿，
E [(4w)-。廿))(。"一向一(4吁向)+ 4《7)《7向]=。 m》1).
W_(3.5.21)
В дальнейшем, если не оговорено особо, будем полагать 刷=0; тогда
0,）一或）—2他 n = sign
。「-明=О,
(即-碍)；М + 2% = о,(即-碍)；М + 2% = о,(3.5.22)(3.5.22)
(即-碍)；М + 2% = о,
(即-碍)；М + 2% = о,
(3.5.22)
(3.5.22)
（＜4Ш）-嘅）nk + 4 喘项=。，
(<41VL 喫))水 + 1 (G(ii) _ 碍))2 + 2现项)+ 曙=°, Уравнениям равновесия (3.5.2) удовлетворим, полагая
(3.5.23)
Из (3.5.22) и (3.5.23) получим
д2и(п) д2и(п)、д2и(п) д2и(п)、дх2дх2(3.5.24)(3.5.24)
д2и(п) д2и(п)、
д2и(п) д2и(п)、
дх2
дх2
(3.5.24)
(3.5.24)
не вышене вышегде F^n~^ (ж, у) — функция, зависящая от компонент
не выше
не выше
(п — 1)-го приближения.
Решение уравнения (3.5.24) представляется как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Однородное уравнение, соответствующее (3.5.24), имеет вид
¥и(喲 УМ с
(3.5.25)(3.5.25)5— - -0— — о
(3.5.25)
(3.5.25)
дх2 ду
и не зависит от порядка приближения. Последнее обстоя тел ьство имеет место во всех случаях, рассмотренных ниже. Поэтому в дальнейшем
для краткости будем ограничиваться определением решения однородного уравнения (3.64) и аналогичных ему для первого приближения.
Полагая в (3.64) п =1, запишем решение уравнения (3.5.25) в виде
U⑴(ж, g) = U^ (力 一 g) + (/J (力 + g).(3.5.26)
Из (3.5.23) и (3.5.26) найдем
。「= ^ =у) + /2 (力 + д),
现=厶（①一у） 一 Л （力+ g） •现=厶（①一у） 一 Л （力+ g） •(3.5.27)(3.5.27)
现=厶（①一у） 一 Л （力+ g） •
现=厶（①一у） 一 Л （力+ g） •
(3.5.27)
(3.5.27)
Уравнения, определяющие перемещения в пластической области для материала, несжимаемого и по упругим составляющим деформаций, для условия пластичности (3) при 闕=0 после линеаризации примут вид
(3.5.28)(3.5.28)а/) а。⑴—а/) ^1)_940)-40)(I)
(3.5.28)
(3.5.28)
дх 十 Зу -5 ду + дх碎)％屮
(3.5.29)(3.5.29)
(3.5.29)
(3.5.29)
Рассмотрим первое приближение. Первому уравнению (3.5.29) удовлетворим, полагая
小二-少八暇(3.5.30)
дудх'
Из (3.5.30) и второго уравнения (3.5.29) получим
岑亠"
дхду
откуда
w(/)=w,)(力 _ g) + 屮?(力 + g) .(3.5.32)
Из (3.5.32) и (3.5.30) можно определить выражения перемещений, а далее — деформаций:
=屮，)(х-у) + 碍)(力 + g),
//）=屮，）（力一 g） 一碍）（力+g）,
е(/)=州 + М2 (/)=+ М2 (7) = о
%％— 5(3.5.33)
^ = х-у, Т[ = х + у.
Отметим также, что решение волновых уравнений (3.5.25), (3.5.31) может быть найдено методом разделения переменных в виде тригонометрических рядов.
Определение последующих приближений сводится к решению неоднородного уравнения (3.5.31) с известной правой частью.
Рассмотрим условие пластичности
(о「— ое)2 + 4т^е = 4廿 (k = const) .(3.5.34)
ны при одинаковых степенях 5, вполне аналогично (或。)-(4。) +4d；产=4廿，
£ [《" _。")(或f))) +4熏)4厂
Положим《？ = 0; тогда
(4。)—(4°)= 2"瓦 г| = sign ((4。)— о|
of)- of)= 0,(&П)_ o『))11k +《?
(跚)一。俨))^ + 24闆)=0,
-<Г) ng + y跚-£)2 + 旣仇即一 Уравнениям равновесия удовлетворим, полагая ⑴_1竺^ 丄任(i)_沙 (D_
% 一 丁 a丁十产加2 ,08 --
Из (3.5.36) и (3.5.37) получим
2 32ф(1)Аф。)32ф(1)
дгог加2
Будем искать решение в виде
ф(【)=R (г) cos (п9 + 9О).
(3.5.21 丿 получим
^] = о m》1).
(3.5.35)
『))，
2
=0,(3.5.36)
卜関2 = 0, • •.
_д_ (1 зф
3Т (丁加丿，
(3.5.37)
(3.5.38)
Подставляя в (3.5.34) разложения (3.5.1), приравнивая к нулю чле-
Тогда из (3.5.38) следует, что R (г) удовлетворяет уравнению
户彗 _ rdR + 几2r = &(3.5.39)
dr dr
откуда
R = Qo + QiM при n = О,
R = Г (Си + C12 In г) при n = 1,
при n ^ 2, (3.5.40)при n ^ 2, (3.5.40)R = Г (。九1 COS (，几2 — 1 In 丁) + Cn2 sin (，几2 — 1 In 丁))
при n ^ 2, (3.5.40)
при n ^ 2, (3.5.40)
(Qo, Qi, Си5。⑵。九1, СП2 = const)
Окончательно получим
of) =。00 H—； cos(0 + 0O) +
ОО
+ ^e {[0九1 (1 - n2) + ^/п2 - lCn2] COS (，几2 一 lln T) + 71=2~
+ [_，几2 — 1(7九1 + СП2 (1 — n2)j sin (，几2 — 1 In 丁) } COS (n9 + 9O),
(3.5.41)(3.5.41)of) = of)
(3.5.41)
(3.5.41)
d^ — sin (e + eo) + ；£ n^ n2 — 1 x 71=2
X [°九2 COS (，几2 - 1 In 丁) — Cni sin (，几2 — 1 In 丁)] sin (n9 + 9O) •
Уравнения, определяющие перемещения в пластической области для материала, несжимаемого и по упругим деформациям, после линеаризации будут иметь вид
а〃0)丄 吧 丄 1 a〃f)_ n a〃f)_ 也?丄 i a〃S)_ ° ©")- e\°)(i)
dr 丁 丁 3e 5 dr 丁 丁 3e ' j°)_'
du^ + "，n)+ 1 3"俨
dr r 丁 3e
^_变 ]30）= 2 （葭）一品。））d？ + （e「一認）關 dr丁丁 加亠о（°）_ о（°）
Рассмотрим первое приближение. Полагая
(I)_ —1竺(I) _ 竺
удовлетворим тем самым первому из уравнений (3.5.42), из второго получим
叫⑴ 1 d^ 1叫⑴_дг2 т ог т2 加2 -
Полагая
屮⑴=r* (r) sin (ne + eo), из (3.5.43) будем иметь
諸用1 dR*n2 +( x
5h = 0.(3.5.44)
drr drr2
Уравнение (3.5.44) совпадает с (3.5.39), его решение известно (3.5.40). Компоненты перемещения и деформации в пластической области определяются по формулам
и^ = ? - (С；1 + с；2 In 丁) cos (е + ео)-
—£ П [с^] COS (，几2 — 1 In 丁) + C*2 sin (，几2 — 1 In r^ COS (ne + eo),
71=2~
〃£)= (C；] + C；2 (1 + In 丁))sin m® + %) +
+ e (G1 +，几2 - 10二) COS (，几2 一 1 ln T) + 71=2 l
+ (_，几2 — IC" + C*2^ sin (，几2 — 1 in 丁) sin (ne + eo), (3.5.45)
£0)= _£$)= -^^ — ^^ cos(9 + 9O) +
+ -，2 几,几2 _ 1 [c^i sin (，几2 — 1 In r
71 = 2
—С*2 cos ^д/п2 — 1 In 丁) j cos (n9 + 9O),
國=0・
Определение последующих приближений сводится к решению неоднородного уравнения (3.5.44) с известной правой частью.
Растяжение идеально пластической полосы.Полиномиальные решения
Рассмотрим напряженное состояние растягиваемой полосы из идеального жесткопластического материала, ослабленной пологой выточкой. Уравнения криволинейных границ полосы примем в виде
g = ± (% + 8^ж2) , q = const.(3.6.1)
Условие пластичности имеет вид
(報一0U)2+ 4名У=4廿.(3)
Линеаризируя условие пластичности (3), получим
必一"=0,(3.6.2)
к (迎-*)+^=0，(3.6.3)
к(43)-喈))+ 厶制？ = °-(3.6.4)
Линеаризированные граничные условия (3.5.7) в декартовой системе координат примут вид
"=& 口夕-^kqx = 0 при у = h,(3.6.5)
或)—8 包2川=0, т^ + 4kq2x2 = 0 при g = h,(3.6.6)
о£)+ 16包3力3 = & 工^ + 8 包％з = ° ПрИ у = h.(3.6.7)
Полиномиальное решение в первом приближении запишем в виде
<4 = " = 4包仇-沙)，% = 4kq岔.(3.6.8)
Представим функцию нагружения U⑵ в виде полинома четвертой степени:
и(2)= 4g4 + 4g3 + 43g2 + A4xy3 + 45cg2 + 人力什
+ A7x2y2 + 4862g + ^^У + 4。力2 + 41力3 + Д12^4, (3.6.9)
где неизвестные постоянные 4 определяются из соотношений (3.6.3), (3.6.6), (3.6.8), (3.6.9)
4 = —^k^h^ 厶6 = 4kq2 卜2, 小——44产 人=8k『h、
4 = T，4。= —4 包 2必，4】 = —胃，42 = Т・
(3.6.10)
Таким образом, из (3.6.9), (3.6.10) окончательно получим
0§)= 一8包2 ((g - /1)2 一 力(g - %)+ 62),
*)=一8包2 (@一九)2 一力@一回一力2),(3.6.11)
《3 = -4包2-九)2 一 4力(g 一九)+22)
Для нахождения третьего приближения представим функцию нагружения U⑶ в виде полинома пятой степени:
U⑶=В1У^ _р В2y4 + 丛沙3 + 54g2 + 55cg4 十 56cg3 十
+ B?xy2 + В^ху + &力2g + 510力2g2 + 5]]力2g3 十小263g 十
+ 513 力 3g2 + 514 力 4g + 515 力 2 + 516 力 3 + 517 力 4 + 吕18 力 *(3.6.12)
где неизвестные постоянные Bj определяются из соотношений (3.6.4), (3.6.7), (3.6.8), (3.6.11)
29kqз26kqsh46kqsh2
d 40kq3h320 句 3
/ = -%|“，以 =他3 凭 以 =_毁电，国 = _46厂优
510 = 52 匂3瓦 Bn =512 = —16 匂3瓦
3(3.6.13)
513 — 8kq3, Bj4 = 2kqз,
§15 = 4倣:八，5i6 = 8包3九2,小7 =-2包3九， B18 =
Растяжение идеально пластического цилиндрического стержня 561 Таким образом, из (3.6.12), (3.6.13) окончательно получим
ор)= —4包з (；(29g — 20%) (g — Л)2 — 20xy2 + 40九力g —
—20Л2ж — 26Лж2 + 29力2g — 4ж3^ ,
碍)=一4包3 (；(29g - 20%)(g -%产-12xy2 +
+ 24hxy — 12Л2ж + 6Лж2 — 6力2g + 4ж3^ , (3.6.14)
т^ = 一4匂з (争(у - Л)3 - 29cg2 十 ^2hxy -
—23Л2ж — 12Лж2 + 12х2у + 2ж3 ].
Растяжение идеально пластическогоцилиндрического стержня при условиипластичности Треска
Рассмотрим осесимметричное течение растягиваемого бесконечно длинного круглого стержня переменного сечения из идеального жест- коп л астического материала при условии полной пластичности.
Уравнение поверхности стержня представим в виде
p = (a + 3/(z)), з《1.(3.7.1)
Запишем условия предельного состояния:
/1 =(Ор — 6г)2 + 4鳥-4^2 = О,
(3.7.2)
/2 = Оо — 2 [(ор + 6г) 士 2川=0.
Компоненты скорости деформации связаны с компонентами скорости перемещения формулами Коши:
(3.7.3)(3.7.3)dvоди1 f dv t ди\
(3.7.3)
(3.7.3)
2p =丽，淀=宀％ =反，恥而+瓦丿.
Соотношения пластического течения имеют вид
где 九1, 九2 ——неопределенные множители. Решение будем искать в виде
Ор =寸 + 3《 ер — е° + §£р, и = и° -\- 3《，九=九° + ЗА/, (3.7.5) где индекс «штрих» приписан компонентам возмущения, индекс «градус» — компонентам начального невозмущенного состояния(6 = 0):
中=龍=\z =0， 尤=2m 畸=瑞=嗫=〃。=V。= 0.(3.7.6)
Линеаризируя условие пластичности (3.7.2), используя (3.7.5), (3.7.6), получим
《>=<4 =。；=/， 『=；(。；+ <4+。；)•(3.7.7)
Уравнения равновесия для компонент возмущенного состояния,
учитывая (3.7.7) , имеют вид
(3.7.8)
Полагая
/ = -ЗФ/dz, Q = АФ/9р,
(3.7.9)
из (3.7.8) получим
^2Ф^2Ф1 ЗФ с
(3.7.10)
Решение уравнения (3.7.10) представим в виде
Ф = С7о 5р) sin nz,
(3.7.11)
где /о (кр) — функция Бесселя нулевого порядка, тогда из
(3.7.9) най-
дем
с/ = —CtiIq (пр) cos nz, 《z = —Cnh (кр) sin nz.
(3.7.12)
Обратимся к граничным условиям. С точностью до
малых 2-го
порядка имеем
cos пр ф 1, cosrzz # —3d/(z)/dz.(3.7.13)
Предполагая, что боковая поверхность свободна от напряжений, используя (3.7.5), (3.7.6), (3.7.13), запишем л инеаризованные граничные условия
0；=a а-或^^=a p =aVz. (3.7.14)
Из 1-го граничного условия получаем
Уравнение (3.7.15) имеет бесчисленное счетное множество корней:
ап = rik, k е N.
(3.7.16)
Из 2-го граничного условия имеем
—С 耿厶mQsin^z —成阴=0. а' аz dz
(3.7.17)
Полагая / (z) = A cos n^z/а, найдем
0=4%出)，keN.
(3.7.18)
Максимальная длина выточки будет п\ = 2.4048.
Согласно (3.7.12), (3.7.16), (3.7.18), определим искомое напряженное
состояние
4) =品=0；4) =品=0；-40?九" ah(nk)-40?九" ah(nk)coscosПкПк/о/о% = а/](叫 ‘1% = а/](叫 ‘1nk7Znk7Z(3.7.19)(3.7.19)
4) =品=0；
4) =品=0；
-40?九" ah(nk)
-40?九" ah(nk)
cos
cos
Пк
Пк
/о
/о
% = а/](叫 ‘1
% = а/](叫 ‘1
nk
7Z
nk
7Z
(3.7.19)
(3.7.19)
Рассмотрим уравнения для компонент скорости перемещения. Из (3.7.4), используя (3.7.5), (3.7.6), получим л инеаризован ны й закон пластического течения
(3.7.20)(3.7.21)(3.7.20)(3.7.21)£〔 + К + & = &《=°-
(3.7.20)
(3.7.21)
(3.7.20)
(3.7.21)
Согласно (3.7.3), (3.7.20) будем иметь
dvдиVс dv , ди „
—h -I— =0,0—h- 0.
apozpoz ар
Здесь и далее индекс «штрих» у компонент и hv опущен. Положим
и = -d^/dz, V = aW/3p,(3.7.22)
тогда из (3.7.21) получим уравнение
а2Ф/аР2 - а2Ф/аг2 +(i/p)(aw/ap)= о,
совпадающее с уравнением (3.7.10). Представляя решение в виде W = =DIq (mp) sin mz, из (3.7.22) получим
и = —Dm/o (^р) cos mz, v == Dml^ (mp) sin mz, D = const.
(3.7.23)
Выражения (3.7.23) могут быть использованы для определения поля скоростей перемещений.
Растяжение идеально пластическогоцилиндрического стержня при условиипластичности Мизеса
Рассмотрим растяжение идеально пластического цилиндрического стержня при условии пластичности Мизеса. Соотношения теории идеальной пластичности при условии пластичности Мизеса в цилиндрической системе координат имеют вид
(Ог — а)? + & — о/ + Q — Or)2 + 6fz = 6廿，k = const, (3.8.1)
£r — X (2o「一 Oe — On), 九》0, £q = X (2oe — c^ — o「),
(3.8.2)(3.8.2)8 -九(2。2 - Qr -08)? Srz = 3MTz,
(3.8.2)
(3.8.2)
где o「，Trz, ... ^ £r, srz^ ... — соответственно компоненты напряжений и скоростей деформации в цилиндрической системе координат rQz. Рассмотрим круглый цилиндр, уравнение поверхности которого
представим в виде
丁 = а + 3/ ⑶， а = const,丁 = а + 3/ ⑶， а = const,(3.8.3)(3.8.3)
丁 = а + 3/ ⑶， а = const,
丁 = а + 3/ ⑶， а = const,
(3.8.3)
(3.8.3)
где 3 — малый параметр(3《 1).
Цилиндр растягивается вдоль оси г, боковая поверхность свободна от напряжений. Граничные условия на поверхности запишем в виде
Or COS (nr) + Tr2 COS (nz) = 0, Trz COS (几丁) + On cos (rzz) = 0,(3.8.4)
где n — нормаль к поверхности.
Смещение точек цилиндра происходит в меридиональных плоскостях, положим
(3.8.5)(3.8.5)и = и (г, z), о = 0, w = w (г, г),
(3.8.5)
(3.8.5)
где u)v)w — компоненты скорости перемещения вдоль г, 0, г. Имеют место формулы Коши
дииdw
(3.8.6)
Уравнения равновесия имеют вид
Or — о。Or — о。dr dzdr dz(3.8.7)(3.8.7)
Or — о。
Or — о。
dr dz
dr dz
(3.8.7)
(3.8.7)
Решение будем искать в виде
Gij =吟• + 3必，旳=喘+ 3心，
" ="。+ 3"’， w = w° + 3毋，九=九° + 3九'，(3.8.8)
{ = о；=琴 z = 0, o° = const, o°2 = 3廿.(3.8.9)
В силу (3.8.1), (3.8.8), (3.8.9) линеаризированное условие пластичности имеет вид
2壮—о； — W = 0.(3.8.10)
Линеаризированные уравнения (3.8.2) в силу (3.8.8), (3.8.9), (3.8.10) примут вид
点=九。(2( - оg — 0:) - Xzc)°5 4 =九°(2品一0:一必)一九'0岂
К = 2Xzo°, g；z = 3九°《2・(3.8.11)
Из (3.8.6), (3.8.10), (3.8.11) получаем
(3.8.12)(3.8.12)(3.8.13)(3.8.13)察一辱3『(《 -成)，碧+察= 6%,ди и dw
(3.8.12)
(3.8.12)
(3.8.13)
(3.8.13)
Удовлетворяя третьему уравнению (3.8.12), положим
/1 3W /1 3W
"=—万一，w =一万一
r ozг or
Из (3.8.13), (3.8.12), (3.8.10) находим
(3.8.14)(3.8.14)
(3.8.14)
(3.8.14)
Из (3.8.14), (3.8.8), (3.8.7) получаем
生丄/1 ^Ф1外出_3 82w色变、_
(3.8.15)(3.8.15)dr6九。у 丁 dz3丁3丁2az r2 drdzг3 3z 丿
(3.8.15)
(3.8.15)
3z6九。y T 8丁3丁2 3丁2 丁3 3丁 丁2 8у 丿
исключив о；, по
dz4 dr-dz- 4
Решение ура
лучим уравнение для определения W (г, z):
1外出 外w 2 03w3 ^W3 aw c
rdrdz2 1 dr4丁 dr3 1 产犷『3 дг —
внения (3.8.16) ищем в виде
W (〃 z)=屮(т) sin vz.(3.8.17)
Тогда из (3.8
.16) и (3.8.17) получим
civ 2 и, Фср Т
г
卜(当 + V?) р" + (—多一；)9’ + v41P = 0.(3.8.18)
Положим
в
2二（E甸，f （一甸.
Тогда (3.8.18
\dr2
)можно записать следующим образом:
一；^+e)卜"一；屮‘+ 口2屮)=。■(3.8.20)
Общим реше
нием уравнения (3.8.20) является сумма общих реше-
ний уравнений
屮？ — ^屮1 + ц2ф1 — 0,屮Z — — Ф2 + 口2 屮 2 — О,(3.8.21)
которые подстановками
Ф1 (г) = %1 (|1丁), Ф2 (丁)=喲2 (м)(3.8.22)
приводятся к уравнениям
『户QI +旧Qi + (1户一 1) Qi = 。, с сс с3.8.23
F戶QZ + mq$ + (F户 一 1) Q2 = 0.
Общие интегралы уравнений (3.8.23), как известно, являются линейными комбинациями функций Бесселя и Неймана первого порядка. Так как функции Неймана при 丁 = 0 обращаются в бесконечность, то в решение они не входят.
Для того чтобы W (〃 z) не содержала мнимых членов, возьмем в ее выражении произвольные постоянные сопряженными, то есть положим
(3.8.24)(3.8.24)W (г, z) = г [СцЛ (цг) +。口厶(Дт)] sinvz.
(3.8.24)
(3.8.24)
Из (3.8.15) и (3.8.17) найдем
1 〃/ 1 〃1 〃/ 1 〃112v2v+ 丁屮 Н- —гФ+ 丁屮 Н- —гФT VT VггCOSVZ.COSVZ.(3.8.25)(3.8.25)
1 〃/ 1 〃
1 〃/ 1 〃
1
1
2v
2v
+ 丁屮 Н- —гФ
+ 丁屮 Н- —гФ
T V
T V
г
г
COSVZ.
COSVZ.
(3.8.25)
(3.8.25)
Согласно (3.8.25), (3.8.17), (3.8.14), (3.8.13), (3.8.6) имеем
Go =Go =COS VZCOS VZ1 〃/1〃 I一Ф厂中 + TVTV1 〃/1〃 I一Ф厂中 + TVTV2v \ / 2v+ 丿屮一声中2v \ / 2v+ 丿屮一声中COSVZ / 1/〃1〃 I飞厂(天屮-Aф +COSVZ / 1/〃1〃 I飞厂(天屮-Aф +11VV_З-I—r v 丁_З-I—r v 丁)4)4
Go =
Go =
COS VZ
COS VZ
1 〃/1〃 I
一Ф厂中 + TVTV
1 〃/1〃 I
一Ф厂中 + TVTV
2v \ / 2v
+ 丿屮一声中
2v \ / 2v
+ 丿屮一声中
COSVZ / 1/〃1〃 I
飞厂(天屮-Aф +
COSVZ / 1/〃1〃 I
飞厂(天屮-Aф +
1
1
V
V
_З-I—
r v 丁
_З-I—
r v 丁
)4
)4
/ sinvz 八2 1 f 1 ff ：Гz = %F(^屮一声屮+^屮/ sinvz 八2 1 f 1 ff ：Гz = %F(^屮一声屮+^屮(3.8.26)(3.8.26)
/ sinvz 八2 1 f 1 ff ：Гz = %F(^屮一声屮+^屮
/ sinvz 八2 1 f 1 ff ：Гz = %F(^屮一声屮+^屮
(3.8.26)
(3.8.26)
〃‘ =—%cosvz,г〃‘ =—%cosvz,гwz = Iq/sinvz, с；—斗屮 cosvz —wz = Iq/sinvz, с；—斗屮 cosvz —V /-ф COSVZ, гV /-ф COSVZ, г
〃‘ =—%cosvz,г
〃‘ =—%cosvz,г
wz = Iq/sinvz, с；—斗屮 cosvz —
wz = Iq/sinvz, с；—斗屮 cosvz —
V /
-ф COSVZ, г
V /
-ф COSVZ, г
/ V£е =^q)COSVZ, Т/ V£е =^q)COSVZ, ТV2 1 / 丄 1 〃 7ф- 7Ф +；фV2 1 / 丄 1 〃 7ф- 7Ф +；ф/ v // sin vz
/ V
£е =^q)COSVZ, Т
/ V
£е =^q)COSVZ, Т
V2 1 / 丄 1 〃 7ф- 7Ф +；ф
V2 1 / 丄 1 〃 7ф- 7Ф +；ф
"” cosvz, % = p—
Эти выражения легко упростить, если воспользоваться уравнениями (3.8.21) и равенством 屮 = s +屮2・ После сложения уравнений (3.8.21) имеем
屮〃 —；q/ = -v2 ^e"3ф! + ё一3屮2)•
Продифференцировав равенства (3.8.21) и сложив, получаем
屮〃/ —；屮〃 + Зя/ = —v2 (е2屮1 + £_Wq)$) •
Подставив эти равенства в (3.8.25) и (3.8.26), будем иметь
必=必=COS VZCOS VZ1贬1贬6^Ч-ге36^Ч-ге3,21 _2S + ^S 一 К 3屮2 + 声中2,21 _2S + ^S 一 К 3屮2 + 声中2
必=
必=
COS VZ
COS VZ
1贬
1贬
6^Ч-ге3
6^Ч-ге3
,21 _2
S + ^S 一 К 3屮2 + 声中2
,21 _2
S + ^S 一 К 3屮2 + 声中2
W = ^^v G(2 —еУ) d — js + ； G —е У) ф2 — 7ф2
/ COSVZ/ COSVZ1 — ез^ф^-И—е 31 — ез^ф^-И—е 3
/ COSVZ
/ COSVZ
1 — ез^ф^-И—е 3
1 — ез^ф^-И—е 3
(3.8.27)(3.8.27)厶=醤« ((1-ез) Ф1 + (1 - е —в) Ф2),
(3.8.27)
(3.8.27)
/Ф1 + ф2 /.(Р1 + ф2
и = —vcosvz, w =sinvz二
4 = ； cosvz-必)，
/ v / £e =——^ COSVZ (屮1 + 屮2),£^ = VCOSV2；
<г = ^((1-Л)Ф] + (1-еЛ)Ф2).
Так как q)j = С^гЦ (цг),屮2 = СусгЦ (fir), то 屮： = 2С/о (乩丁),屮6 = =2c/0 (口丁).
Тогда выражения (3.8.27) примут вид
^г =募^v(Сц/i (цг) 一爲CIq (цг) + СцЛ (fir) - e_tC% (叮)),
品=^^v( @ 一 ё专)"/。(⑺-"M (旧)+
+(2 - e一登)C7。(m)一0口厶(m)}
必=^^v ((1 — e晉)。/° 5) + (1 - e+) C/o (口吟),
<.=*V2 (a - ё冬)0й厶(旧)+ (1 - e-t) 0口厶(財)),(3.8.28)
U’ = —VCOSVZ (С|1/1 (цг) +。口厶(口丁)),
wz = I sinvz (C/o (旧)+ C7o (口丁))，
2； = " cosvz (СцЛ (lir) +0口厶(口丁)- 2C/0 (旧)-2C/o (口丁))，
4 = -V°：Vz (СцЛ (цг) +。口厶(叮)),
^z = ~ cosvz (С/о (й丁) + с70 (口丁))，
dz = ^^v2 ((1 —居)Сц/1 (цг) + (1 — е~, Cilh (pr)^ .
Линеаризируя граничные условия (3.8.4), получим
о； = 0, ，一或¥ = 0, г = а.(3.8.29)
Удовлетворяя выражения (3.8.28) условиям (3.8.29), найдем
—汽Z -汽z
。|1厶 M。）一 e^C/o M。）+。口厶（口。）— e~^ CIq （jla） = О,
/ = —^^^ ((1 - е费)醯厶 Ош) + (1 — e-t) С跖(財)).(3.8.30) Из первого условия находим
О = —円 /о = /о М。)， ％ = /о(М),
У厶-卩а
厶=/1 （ц^）,【1 =厶（R。）•厶=/1 （ц^）,【1 =厶（R。）•(3.8.31)(3.8.31)
厶=/1 （ц^）,【1 =厶（R。）•
厶=/1 （ц^）,【1 =厶（R。）•
(3.8.31)
(3.8.31)
Тогда из второго условия
Cvcosvz(广-Й2) (v\/3ZnIn -11/о - Л То)Cvcosvz(广-Й2) (v\/3ZnIn -11/о - Л То)6九。就6九。就У?/]—卩 Л)У?/]—卩 Л)(3.8.32)(3.8.32)
Cvcosvz(广-Й2) (v\/3ZnIn -11/о - Л То)
Cvcosvz(广-Й2) (v\/3ZnIn -11/о - Л То)
6九。就
6九。就
У?/]—卩 Л)
У?/]—卩 Л)
(3.8.32)
(3.8.32)
Положим / = A cos г, А = const, тогда искомое решение будет определяться выражениями (3.8.28), где значение коэффициента С находится из соотношения (3.8.32), а С — из (3.8.31).
§ 9. Н апря жен ное состояние идеальнопластического полого цилиндра,близкого к круговому
Рассмотрим возмущенное напряженное состояние полой цилиндрической трубы из идеально пластического материала.
Уравнения равновесия в цилиндрической системе координат р, 0, z имеют вид
Зор1 ^Тре3tpz. Op -Ge _ n3tpe. 1 ЗоеЗрp Зеdz р — 'Зр р ЗеЗор1 ^Тре3tpz. Op -Ge _ n3tpe. 1 ЗоеЗрp Зеdz р — 'Зр р Зе.^^z. 2tpe+亦+ 一.^^z. 2tpe+亦+ 一рр=О,=О,
Зор1 ^Тре3tpz. Op -Ge _ n3tpe. 1 Зое
Зрp Зеdz р — 'Зр р Зе
Зор1 ^Тре3tpz. Op -Ge _ n3tpe. 1 Зое
Зрp Зеdz р — 'Зр р Зе
.^^z. 2tpe
+亦+ 一
.^^z. 2tpe
+亦+ 一
р
р
=О,
=О,
(3.9.1)(3.9.1)3tpz . 1 ^^z . 3。2 . tpz — c
(3.9.1)
(3.9.1)
-11 01= U。
Зр р Зе dz р
—о +—о +Условия пластического состояния представим в виде
—о +
—о +
—° + /)=脸，(例一о + |k) Qz — о + |к)=碌,
(3.9.2)(3.9.2)& — о + |k) Qp — о + |к) = *
(3.9.2)
(3.9.2)
а также
°р — о + 3用)Wz = tpetpz, — о + 3用)tp# = tpeWz，
Oz - о + У丿 Тре = Tpz”(3.9.3)
Запишем граничные условия
Op cos (пр) + Тре cos (пе) + тр2 cos (nz) = Рр,
тре cos (пр) + о® cos (пе) + т02 cos (nz) = Ре, (3.9.4)
Tpz COS (пр) + Wz COS (ne) + On COS(П7)= Pz,
где n — нормаль к боковой поверхности, 吊，Р§)Pz — проекции усилий на оси р, 9, г .
Решение будем искать в виде
Ор = Ор + Op, ое = о；+(4 Oz=E+c4，
,,,(3.9.5)
Тр0 — %，亚2 — %N，
где индекс градус приписан компонентам исходного состояния, штрих — компонентам возмущенного состояния.
В качестве исходного рассмотрим напряженное состояние цилиндрической трубы радиусов а, 6 (а < 6), находящейся под действием внутреннего давления р и осевой нагрузки q.
В исходном состоянии
啥吟 脸=限=脸=0.(3.9.6)
Из (3.9.6) и уравнений равновесия (3.9.1) получим
J。ООО ОG。
争生二史學學=0.(3.9.7)
dp р^еdz
Условия пластичности (3.9.2), (3.9.3) в исходном состоянии (3.9.6) могут быть удов л етворен ы в трех случаях:
ООО
中 一0。+ / = 0,崂一0。+ / = 0,或一0。+ /#0;(3.9.8)
999
Og — о° + 3用=。，。^ —。° + 3用=。’<7° — о° + 3用 # 0；(3.9.9)
222
о° — o° + I А: = 0, Op — o° + I A: = 0, о； — о。+ I A: # 0.(3.9.10)
Уравнение боковой поверхности полого цилиндра (внутренней или внешней) представим в виде
丁 = <о + з/ (е, z) •(3.9.11)
В дальнейшем отнесем величины, имеющие размерность длины, к го и перепишем соотношение (3.9.11) в виде
р = 1 + 8/ (е, г),3《1, р = "〈о.(3.9.12)
Согласно (3.9.12) с точностью до малых высшего порядка будем иметь
cos (пр) ^ 1, cos (пб) —39//ае, cos (пг) ^ —6df/dz. (3.9.13)
В рассматриваемом случае в граничных условиях (3.9.4)
尸р = —R, р = const,居=0,尸z = 0. Из (3.9.4), (3.9.5), (3.9.13) найдем
(3.9.14)(3.9.14)《+ 3^/ ® Z)= °5 《8 -皖黑=0,a-呢h=。nрИ p = 1.
(3.9.14)
(3.9.14)
Рассмотрим случай (3.9.8), тогда
寸=* 史=寸+ 2瓦
(3.9.15)
Из (3.9.7), (3.9.15), (3.9.4) следует
嵋=谭=—0,広=2k — p,
р = const.
(3.9.16)
Из (3.9.5), (3.9.2), (3.9.3), (3.9.8) получим
《=W =。； = <A
《8 — 0・
(3.9.17)
Согласно (3.9.17) уравнения равновесия примут вид
ар dz — 5 р 加 dz — 5 ар
1也电也 p 加 dz p
=0. (3.9.18)
Положим
о _ az，％ _ ар，
m_p ^e •
(3.9.19)
Согласно (3.9.18), (3.9.19) получим
82w1 з2wа2w
1 aw с
(3.9.20)
ар? р2 盼 ay
н—- 0р ар
Решение уравнения (3.9.20) представим в виде
W = R (р) cos mQ cos nz.(3.9.21)
Разделяя переменные в (3.9.20), для функции А(р) получим уравнение Бесселя
R〃 + R//p + (п2 - щ2/р2) R = о.(3.9.22)
Следовательно,
W = (Ci Jm (пр) + CzNm (пр)) cos mOcos пгФ,(3.9.23)
где С，。2 = const, Jm(np), Nm(np) — соответственно функции Бесселя и Неймана.
Из (3.9.19), (3.9.23) найдем
с/ = —п (& Jm (пр) + CzNe (пр)) cos те sin nz,
《z = —n (Ci J^ (np) + C?N1m (np)) cos mQ cos nz,
— — (Ci Jm (np) + C?N1m (np)) sin mQ cos nz.
(3.9.24)
В случае (3.9.15), (3.9.17), согласно (3.9.14), получим
Op = 0, df/90 = 0, Тр0 — 6o°df/dz = 0.
(3.9.25)
Решение будем искать в предположениях
Gij —。叮（P, Z）•
(3.9.26)
Положим / = Д sin nz, А = const, тогда из (3.9.25) будем иметь
Q45) + GMnd) = о, С、『т ⑺ + бСЛ" + 8Ло° = 0. (3.9.27)
Из (3.9.27) найдем
G = —^Ann^—p + ^k^Nm^n), G = *4兀几(一Р + 2k)Лп("・(3.9.28)
Из (3.9.24), (3.9.28) получим
У = -уЗДя(-р + 2k) [No (п) Jo Sp) - Jo ⑺ No (*] si2У = -уЗДя(-р + 2k) [No (п) Jo Sp) - Jo ⑺ No (*] si22
У = -уЗДя(-р + 2k) [No (п) Jo Sp) - Jo ⑺ No (*] si
2
У = -уЗДя(-р + 2k) [No (п) Jo Sp) - Jo ⑺ No (*] si
2
п nz, (3.9.29)
厶=^-8Дя(-р + 2k) [No (п) Jo Sp)-丿0 ⑺ M (*] cosrzz,
TL —，(p) •
В случае осевой симметрии 龟 = 0.
3. Рассмотрим случай (3.9.9), тогда
0；=或，中=區+ 24.
(3.9.30)
Из (3.9.7) и (3.9.30) следует
中=中（Р），°；=尤=中一 2k.
(3.9.31)
Из (3.9.5), (3.9.2), (3.9.3), (3.9.9) получим
^=^ = ^z= /， %Z = °-
(3.9.32)
Согласно (3.9.32) уравнения равновесия примут вид
函+ 3而+下一'
(3.9.33)
Положим
/ _ 1 aw / _ 1 aw / _ 1 aw ° — p ap' % — p2 加 ‘ ％ — p az.
(3.9.34)
Согласно (3.9.33), (3.9.34) получим
82w1 з2wa2w1 aw
ар?p2 盼ayр ар -。・
(3.9.35)
Функция А(р) определяется из следующего уравнения:
R〃 — R'/p + (n2 + 加7P2) R = 0,
(3.9.36)
откуда
R = p(G人(几р) + GM(几р)), где V =，1 -病.
Следовательно
W = p(Ci Jv(np) + С2Л^,(пр)) cos m9cos nz.(3.9.37)
Из (3.9.34), (3.9.37) получим
с/ = ；[Q(Jv5p) +przJ：(72p)) + G(M(几Р)+ pnA^zv(np))] cos m9 cos пг, Тр0 =费[Q 人(几p) + GM(几P)] sin m9 cos 几z,(3.9.38)
《z = n[CiJv(np) + GM(几p)] cos m0 sin nz.
В случае (3.9.31), (3.9.32) положим /= В cos m9 cos пг, 5 = const. Из (3.9.14) и (3.9.38) получим два соотношения
(3.9.39)(3.9.39)(3.9.40)(3.9.40)G 人(几)+ 02M(几)=35(p + 2矶
(3.9.39)
(3.9.39)
(3.9.40)
(3.9.40)
G《5) + GM(" = —哼， откуда
& =吗+2k)
02 = 一呼["7к"+几8 + 2用人(叫.
Поле напряжений определяется из (3.9.38), (3.9.40). В осесимметричном случае % = 0, m = 0, тогда
с/ = -[Ci(Ji (пр) + pnJ； (пр)) + G(M (几Р)+ р^М (几Р))] cos 几z,
(3.9.41)(3.9.41)\z =几[Q Ji (几р) + C2M(np)]sin nz, Тр0 = О,
(3.9.41)
(3.9.41)
。2 = —一Y [рЛ (п) + п (р + 2k) J； (п)] •
4. Рассмотрим случай (3.9.10), тогда
史=哈循=尤+2k.(3.9.42)
Из (3.9.7), (3.9.42) следует
寸=寸(Р)， 谭=谭(Р), 近=Е(Р), 龍=尤 + 2瓦(3.9.43)
Из (3.9.5), (3.9.2), (3.9.3), (3.9.10) получим
0；=疝=01 = <A 4 = 0-
(3.9.44)
Согласно (3.9.44) уравнения равновесия примут вид
曳 1岂%—1^4 ^ _n
Зр р Зе' р Зе dz'
不+ s布+歪+下=°・
(3.9.45)
Положим
о
募备=^，厶=翡一（3946）
Согласно (3.9.45), (3.9.46) будем иметь
臥w 1臥w 外出 2 3W _
(3.9.47)
Решение уравнения (3.9.47) представим в виде (3.9.21), тогда для функции А(р) получим уравнение
А〃 + 2Rf / р — (п2 — т2/р) /^ — О,
(3.9.48)
откуда
R = [&人/2 (Ер) +。2乂/2 (гпр)]/д/р, где ц = д/1 - 4m2.
Следовательно
屮=十[。1 丿卩/2 (Ер) + QN卩/2 (Ep)] cos me cos nz.
Из (43.9.46), (3.9.49) получим
(3.9.49)
с/ = ^^ [°]丿卩/2 (〃кр) + °2%/2 (〃几Р)] sin mOcosn^,
1
3
G (配4/2 (кр 一 ^人/2 (еp)) +
+ 02 (也m/2 (Ер) - ^M/2 (ер)))
cos mQ cos nz^
^Qz
—/ [01 J卩/2 (Еp) +02%/2 (〃几p)] COS 7710 Sin HZ.
(3.9.50)
P = L (3.9.51)P = L (3.9.51)(3.9.52)(3.9.52)(3.9.53)(3.9.53)
P = L (3.9.51)
P = L (3.9.51)
(3.9.52)
(3.9.52)
(3.9.53)
(3.9.53)
В случае (3.9.42), (3.9.44), согласно (3.9.14), получим
"噜/(e,z) = o,4「皖黑=0,祟=。при
Решение будем искать в предположениях
吃•=吃• (р, е) •
Согласно (3.9.52) уравнение (3.9.48) принимает вид
r〃 + 2玄+号R=0,
Рр2
откуда
R (р) = Cip(T+a/2 + QpJ+a/? при ц =，1 — 4m2 # О,
(3.9.54)
R (р) = 3 (Ci +。2 In р) при |i =，1 — 4m2 = 0.
VP
Так как
(3.9.55)
屮=Reos те,
из (3.9.46), (3.9.56), (3.9.54) получим
/ = ； (С]р(т+А/2 + С2р(-1+ц)/2^ sin me,
(3.9.56)
匚”&р(—3+卩)/2 — l^C2P(―3+卩)/2)Cosme,
(3.9.57)
tL —，(р) •
Из (3.9.46), (3.9.56), (3.9.55) найдем
с/ =© + Q In р) sin me, PVP
(3.9.58)
4е = ^^。2 (2 — In р) — a] cos me, %z = < (p) •
Положим / = D sin mo, D = const, тогда из (3.9.51), определим G и Q：
(3.9.57)
G =
2mK2 - K(1 +卩)
Ki (1 —卩)一2m К?
2m卩
2m卩
(3.9.59)
где
К = 2430, № = bDm (―目 + 2k).
—(ц+3)/2О'；—(ц+3)/2О'；Подставляя (3.9.59) в (3.9.57), будем иметь
—(ц+3)/2
О'；
—(ц+3)/2
О'；
\2mK2(Рц — 1) — /Ci (1 — ц) — р" (1 + ц)] sin nW,
—(ц+3)/2「
4шц ^2тК2^ (ц - 1) + (1 + ц) +
+ К] (1 — ц2) (р卩—1) j sin me, (3.9.60)
tL —，(р) •
Из (3.9.51), (3.9.58) получим
(3.9.61)(3.9.61)(3.9.62)(3.9.62)a = -(/s 02 =仆/(2喇，
(3.9.61)
(3.9.61)
(3.9.62)
(3.9.62)
где
К = 2430, Кз = §Dm2 (―目 + 24) — 2430.
Подставляя (3.9.61) в (3.9.58), определим поле напряжений
с/ ———广[Кз In р — 2K]] sin 77Z0,
4二 / [Кз (2 — In р) + 2Ki] cos m9,TL —，(p) •
Н апря жен ное состояние идеальнопластических тел вблизи сферической полости
Рассмотрим возмущенное состояние полой сферы из идеально пластического материала при условии полной пластичности.
Уравнения равновесия в сферической системе координат р, 9, ср имеют вид:
旣 + Е需 + 姦察 + ^(2* -伪一o.+xpectgo) = 0,
嚮 + ^需 + 就案 + %& 一 %)ctg0 += °- (3・1。■1)
智+千黑+壶噤+沁叫+ 2«tge)=。.
Условия пластического состояния определяются соотношениями:
(Ор - о + gk)(o(p _ О + gk) - Трф = 0,
& 一 о + |к)(0р - О + |用)一《8 = о,(3.10.2)
(Оф — о + gk)(oe — о + |^) 一君屮=0, о = g(0p + о® + оф)5
а также
22
(Оф — о + 鼻及)％® = %(рТе(р,(Ор — о + « ^)т0<р = %8%屮，
J2J(3.10.3)
(с>е — о + g^Hpcp = треТе(р.
Граничные условия запишем в виде
Ор/ + тр0т + “屮几=Рр,тре/ + оет + ^п = Ре,тр(р/ + ^т + ОфП = Рф,
(3.10.4)
где 1〉т〉п — направляющие косинусы нормали; Р?〉Р§> Р@ — проекции усилий на оси р, 9, ср.
Решение будем искать в виде (3.2.2).
В качестве нулевого состояния возьмем напряжения для полой сферы внутреннего радиуса а и внешнего 6, находящейся под действием внутреннего и внешнего давлений р и pj соответственно.
ОрР = —4k In р — 0,о；。=党0 = —4k In р + 2k — 0,
тре =喘=曙=&
где величины, имеющие размерность длины, отнесены к а.
Из (3.10.5) и уравнений равновесия (3.10.1) получим
济+函=丽=0.
Условия пластичности (3.10.2), (3.10.3) в исходном
(3.10.5) могут быть удовлетворены в трех случаях:
(3.10.5)
(3.10.6)
состоянии
1)
党-0° + y = 0,
國- e
尸 + |k = о,
0；一0。+ !k # 0；
(3.10.7)
2)
國 - °。+ |к = 0,
球- e
尸 + |k = о,
К 一"° + ^ # 0;
(3.10.8)
3)
球-о。+ |к = 0,
卩 + |k = 0,
°? - °。+ |用 # 0.
(3.10.9)
р = Ро + 3pi(e, ф) (3«1)
Представим уравнение сферической полости в виде
(3.10.10)
Разложения в ряд по малому параметру 3 для направляющих косинусов при р = ро имеют вид
Z = 1 - 82
+ • • •
_ 1
ро sin 0
—丄学
\ ро加
(3.10.11)
+ • • •, pi = pi(e,屮)•
Примем в первом приближении
-1,
m^一丄姿，^樂.(3.10.12)
ро с/0ро sin е а(р
Из (3.10.4), (3.2.2), (3.10.12) при р = ро получим
0p =一而p"。能=飞而而，。р<p =0屮^i^/.(3.1°.13)
Рассмотрим случай (3.10.7), тогда
Ge —端 Gp — Ge + 2k,心=。・(3.10.14)
Из (3.2.2), (3.10.2), (3.10.3), (3.10.7) получим:
。［=d=《=к Те(р -。・。［=d=《=к Те(р -。・(3.10.15)(3.10.15)
。［=d=《=к Те(р -。・
。［=d=《=к Те(р -。・
(3.10.15)
(3.10.15)
Это позволяет записать уравнения равновесия (3.10.1) следующим образом:Это позволяет записать уравнения равновесия (3.10.1) следующим образом:а。' 1 а* 1 a* i , п瓦+ 3加+丽加+ A'tge = о,а。' 1 а* 1 a* i , п瓦+ 3加+丽加+ A'tge = о,a* 丄 1 а。'丄 з / 3森丄 1 a。'丄 з /Зр + Р Зе + Р% — Зр + Р а(р + Р%a* 丄 1 а。'丄 з / 3森丄 1 a。'丄 з /Зр + Р Зе + Р% — Зр + Р а(р + Р%(3.10.16)(3.10.16)Введем функцию 屮=屮(р, 0, ср) таким образом, чтобы выполнялись равенстваВведем функцию 屮=屮(р, 0, ср) таким образом, чтобы выполнялись равенства
Это позволяет записать уравнения равновесия (3.10.1) следующим образом:
Это позволяет записать уравнения равновесия (3.10.1) следующим образом:
а。' 1 а* 1 a* i , п
瓦+ 3加+丽加+ A'tge = о,
а。' 1 а* 1 a* i , п
瓦+ 3加+丽加+ A'tge = о,
a* 丄 1 а。'丄 з / 3森丄 1 a。'丄 з /Зр + Р Зе + Р% — Зр + Р а(р + Р%
a* 丄 1 а。'丄 з / 3森丄 1 a。'丄 з /Зр + Р Зе + Р% — Зр + Р а(р + Р%
(3.10.16)
(3.10.16)
Введем функцию 屮=屮(р, 0, ср) таким образом, чтобы выполнялись равенства
Введем функцию 屮=屮(р, 0, ср) таким образом, чтобы выполнялись равенства
1 3屮 ,_ 1 d\\f / _1 3屮1 3屮 ,_ 1 d\\f / _1 3屮(3.10.17)(3.10.17)
1 3屮 ,_ 1 d\\f / _1 3屮
1 3屮 ,_ 1 d\\f / _1 3屮
(3.10.17)
(3.10.17)
(3.10.18)(3.10.19)(3.10.18)(3.10.19)
(3.10.18)
(3.10.19)
(3.10.18)
(3.10.19)
Тогда последние два уравнения (3.10.16) удовлетворяются, а первое уравнение принимает вид
p2 3p2 十 p3 3p 十 р4 盼十 р4side 西2 十 p4 加 В - и.
Полагая
w(p,e,屮)=R(p)Y(e,屮)，
из (3.10.18) для определения R(p) получим уравнение Эйлера, решение которого имеет вид
А(р) = &р(з+%)/2 + С2р(3-%)/2, х = У9-4п(п + 1).(3.10.20)
Методом разделения переменных найдем решение для У(0, ср):
У® 屮)=£ £ (amn cos m(p + 6mn sin m(p)P^(cos e),(3.10.21)
n=0 7n=0
где 耳限以况6)— присоединенный полином Лежандра.
Тогда из (3.10.20) и (3.10.21) получим
w(p,e,屮)=
-ЕЕ (Gp(3+%)/2 + С2^~^^2)(атп cos Шф + bmn sin m(p)p^(cose). n=0 7n=0
(3.10.22)
Напряжения в этом случае определяются из (3.10.17) и (3.10.22):
Н^Еe h 户+出)/2 + Q户Т)/2 一 x
九=0m=0 L'-
x (amn cos m(p + bmn sin m(p) P* (cos 9),
x (amn cos m^ + 6mn sin m^ ^^n^°S 9^, (3.10.23)
*=&£ t [a (雯)pf )/2 + G (甘)p』/：х 九—0—0
х (6mn sin m^ — amn cos mgmP* (cos 0), 《屮=0.
С помощью граничных условий (3.10.13) можно определить постоянные 。1,。2・ Для ЭТОГО ПОЛОЖИМ
pi(e,屮)=ЕЕ(атп cos m(p) + bmn sin m(p)P^n(cos 9).(3.10.24)
n = O 7n=0
Тогда, согласно (3.10.24), (3.10.23) и (3.10.13), при р = р。= 1 получим
G =—匕4a『)/2, Q =-山 ка(】+%)/2.
Коэффициенты amn, bmn вычисляются следующим образом:
]2兀兀
атп = —pi(9, ф) Р^1 (cos 9)cos m(p sin 0d9d(p, J^mn J J
0 0
bmn 二
2兀兀
二 ^— j ] pi (仇屮)P* (cos 9)sin m^ sin 9d9d(p,, mn 0 0
^mn -
_ 2欣口(九 + 叫！(2 при m = 0,
(2九 + 1)(九一гл)!' £m I 1 при m > 0.
Рассмотрим случай (3.10.8), тогда
Gp — Ge? 党=。；+ 2 瓦 心=。・(3.10.25)
Из (3.2.2), (3.10.2), (3.10.3) и (3.10.8) получим
о；=品=《=/, тр0 =。・о；=品=《=/, тр0 =。・(3.10.26)(3.10.26)
о；=品=《=/, тр0 =。・
о；=品=《=/, тр0 =。・
(3.10.26)
(3.10.26)
Согласно (3.10.26) уравнения равновесия (3.10.1) примут вид
ар р sin э а(р '3嗨 1也 1 此Зр р Зе psin е 3(рар р sin э а(р '3嗨 1也 1 此Зр р Зе psin е 3(р电I ^_也=0Зе sin е 3(р'+ ；(3《(p + 24pCtge) = о.电I ^_也=0Зе sin е 3(р'+ ；(3《(p + 24pCtge) = о.(3.10.27)(3.10.27)
ар р sin э а(р '
3嗨 1也 1 此
Зр р Зе psin е 3(р
ар р sin э а(р '
3嗨 1也 1 此
Зр р Зе psin е 3(р
电I ^_也=0
Зе sin е 3(р'
+ ；(3《(p + 24pCtge) = о.
电I ^_也=0
Зе sin е 3(р'
+ ；(3《(p + 24pCtge) = о.
(3.10.27)
(3.10.27)
Положим
=案， 4<p = —psine 案， Ч = -sine|i5 w = w(p,仇屮)•
Тогда (3.10.27) сводится к одному уравнениюТогда (3.10.27) сводится к одному уравнению(3.10.28)
Тогда (3.10.27) сводится к одному уравнению
Тогда (3.10.27) сводится к одному уравнению
(3.10.29)(3.10.29)282屮I 4 3屮I a2屮I ◊厶八3屮 1 a2屮 n p т + 4p/ h—у + 3ctge/у = о. 'Зр2 ' Зр 加2 丁 3 加 sin2 е д^
(3.10.29)
(3.10.29)
Будем искать частные решения уравнения (3.10.29) в виде (3.10.19). Применяя обычную схему разделения переменных, получим решение уравнения (3.10.29) в виде:
W = £ £ (&р(-з+%)/2 + Qp(-з"/2) X п=0 7n=0
х (атп cos m(p + bmn sin m(p)(sin е)1+аP^,a\cos е), (3.10.30)
。1。2= const, % =，9 + 4九,九=—(rz+ а)(гг+ a+1),ос = v 1 — ^2?
где成叫cose) —полином Якоби.
Из условий (3.10.28) и (3.10.30) определяются напряжения:
— ЕЕ (&р(-3+%)/2 + Qp(-Зг)/2)х
n=0 7n=0
х (6mn cos m(p + атп sin m(p)m(sin ey+aP^,a\cose)^
《=-р-е£ £ (^C^~^ +「Qp(「/2A n=0 7n=0 ''
x (amn cos m^ + 6mn sin m(p)(sin Q)1+aP^,a\cos Q),
4 = - sin e^ £ (&p(—3+%)/2 + 02P(—3r)/2)x
n=0 7n=0
x (amn cos m(p + bmn sin m(p) x
x (1 + oc) sin eacosep^a^(cose) + (sin 6)1+«^^1S£^),
<p = 0・
Рассмотрим случай (3.10.9). Тогда имеем
球=唸 國=啸+ 24.(3.10.31)
Из (3.2.2), (3.10.2), (3.10.3) и (3.10.9) получим
0；=品=《=/，《=0・(3.10.32)
Согласно (3.10.32) уравнения равновесия (3.10.1) примут вид
攻 + 1 电 + 也 + * = 0,(3.10.33)
ар р 加 p sin e a(p p pe
沛+ ^两 +2vpetge = o.
В этом случае введем функцию 屮=屮(р, 0, ср) таким образом, чтобы выполнялись равенства
°' = ^ё 寫，《=点黑，% 七(^—力，(3.10.34)
. Напряженное состояние тел, близких к коническим 583 Тогда из (3.10.33) и (3.10.34) будем иметь
Р而+ 2р瓦—2屮+済—ctge蓊南=0・(3.10.35) Из уравнения (3.10.35) определяется функция 屮：
^=И (ар(Т+%〃2 + С2Р(Тг)/2)Х n=0 7n=0
х (атп cos m(p + bmn sin m(p)(sin ^У^аP^,a\cos 9), (3.10.36)
% = д/9 + 4九,九=—(rz + a)(rz + а + 1), а = д/1 + т^.
Напряжения в этом случае определяются согласно (3.10.36), (3.10.34):
£ (ар(Т+%)/2 + С2р(Тг〃2)Х П=0 7n=0
х (amn cos т^ + 6mn sin m^ x
x (1 + a) cosesin 旷尸£,a)(cose) + (sin e)i+a3PK；(cose),
<P =鳥玄 E ©P(T+%)/2 + Qp(t"/2)x
n=0 7n=0
x (amn sin m^ — 6mn cos m(p)m(sin 6)1+°尸看e(cose),
x (amn cos m(p + bmn sin m(p)(sin e)1+aP^a)(cose),《屮=0・
. H апря жен ное состояние идеальнопластических тел, близких к коническим
Рассмотрим напряженное состояние идеально пластических тел, близких к коническим.
Сферическое деформированное состояние реализуется в телах конической формы, когда нагрузки, приложенные на боковой поверхности, постоянны вдоль образующих конуса.
584 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа Как показано в [21], уравнения равновесия имеют вид
禦 + 鳥髭 + & - %)ctge = О, 需 + 鳥^+ 2^ctge = o, 。Г= ；® +。(f)，(3.U.1)
Условие предельного состояния имеет вид
& — Оф)2 + 4君屮=4廿，k = const.(3.11.2)
Уравнение границы запишем в виде
0 = 0о + S/ (ср), 0о = const,(3.11.3)
где 3 — малый параметр, 3《1.
Предположим, что боковая поверхность свободна от усилий, тогда на границе
(3.11.4)(3.11.5)(3.11.6)(3.11.4)(3.11.5)(3.11.6)Оф cos (п(р) + те(р cos (п9)= О, те(р cos (п(р) + ое cos (几6)= О, где п — нормаль.
(3.11.4)
(3.11.5)
(3.11.6)
(3.11.4)
(3.11.5)
(3.11.6)
Решение будем искать в виде
0叮=。叮+ 3°叮5卜 =2瓦 Ge =±2kln^^,5 — ±24 In $皿；干 2m Te(p —。・
Линеаризированное условие пластичности (3.11.2), в силу (3.11.5) и (3.11.6), принимает вид
品一《 = 0,(3.1L7)
а уравнения (3.11.1) приводятся к виду
里 + 工咏=(3.11.8)
Зе sm е 3(р
第+志芻+2《ctg"0・(3」L9)
Удовлетворим уравнению (3.11.9), полагая
《=品=一工禦，％(3.11.10)
屮 0 sin e ^e5°屮 sin2 e 3(p
Тогда уравнение (3.11.8) принимает вид
盼 ctg%esideaj—0・(3.11.11)
Положим
ф (ф, e) = ф (ф) e (e),(3.11.12)
тогда уравнение (3.11.11) сводится к системе двух уравнений
ф〃 + щ2ф = o,(3.11.13)
2
0〃 - ctge®/ + ^V® = 0,(3.11.14)
sin e
где т = const.
Решением уравнения (3.11.13) является функция вида
Ф (ср) = Ci cos m(p.(3.11.15)
Для решения уравнения (3.11.14) произведем замену
x = cos 9, o，e，兀,一1，％， 1,(3.11.16)
в результате которой рассматриваемое уравнение примет вид
-)堂+A=。,
или
(x - 1)2 0〃 + m2e = 0.(3.11.17)
Полагая в уравнении (3.11.17)
® = (1 — %) ri (自)，自=In -——-,—оо '自 < оо, (3.11.18) получим уравнение с постоянными коэффициентами
4 (t|/z — t\) + m2r| = 0,(3.11.19)
решение которого будем искать в виде
r|© = e^.(3.11.20)
Характеристическое уравнение имеет вид
4 九2 — 4X + тп^ — 0.
Тогда
586 Гл. 3. Линеаризированные задачи мсесткопластического анализа ]1у/1 ——ТП~
2)九1 =/<7,九2 = 2-S q = —2, H < 1，m#o；
3)九1 = 0,九2 = 1, т = О;
4)九1 =九2 = ；,771 = ±1.
ТакимТакимобразом, согласно (3.11.21), (3.11.20), (3.11.18) и (3.11.16),
Таким
Таким
получаем
(3.11.22)(3.11.22)1) 0(9)= (Сз cos UA-C4 sin и) sin e.
(3.11.22)
(3.11.22)
Vm2 — 1 1 1 + cos 0и = In , m > 1:
21 - cos e51 1'
2)2)6（8）=（0（為丫 + a（為）小明6（8）=（0（為丫 + a（為）小明
2)
2)
6（8）=（0（為丫 + a（為）小明
6（8）=（0（為丫 + a（為）小明
\m\ < 1,m^^
3)3)3（。3（咨黑）+3（。3（咨黑）+(1 — cos 9), m = 0;(1 — cos 9), m = 0;4)4)®(e)=(s(^)+C，sine,®(e)=(s(^)+C，sine,m = ±1.m = ±1.
3)
3)
3（。3（咨黑）+
3（。3（咨黑）+
(1 — cos 9), m = 0;
(1 — cos 9), m = 0;
4)
4)
®(e)=(s(^)+C，sine,
®(e)=(s(^)+C，sine,
m = ±1.
m = ±1.
В дальнейшем будем рассматривать только случай 1).
Согласно (3.11.10), (3.11.12), (3.11.15), (3.11.16), (3.11.22) компоненты напряжений принимают вид
о® — о(р —
(7777*2 — ] \
=—((4 cos 〃 + 5 sin и) ctg 9 (Д sin и — В cos и) —— I cos m(p,
(3.11.23)
《屮=—^Д^ (4 cos 〃 + 5 sin и) sin m(p, A, В = const.
Линеаризируя граничные условия (3.11.4) с учетом (3.11.3), (3.11.5) и (3.11.6), получаем
品=& 《-《案=& е = %・(3.11.24)
Функцию / зададим в виде
f = D cos m(p, D = const,
§ 12. Растяжение идеально пластического прямоугольного бруса 587 тогда, подставляя выражения (3.11.23) в граничные условия (3.11.24), получим систему для определения коэффициентов Д и В:
д _ cos uoVm2 — 1 — sin ио cos 0o
cos uq cos 0o + sin uoVm2 — 1 5
7?q sin % = 4 cos uq -\- В sin 〃o,(3.11.25)
где
,m2 — ]1 + cos 0o
〃0 = In
21 — cos 0o
ЗАМЕЧАНИЕ: если вместо уравнения (3.11.9) удовлетворить уравнению (3.11.8) с помощью замены
/ _ / _ aw/ _ / _ awaw • ° 而 sme,aw • ° 而 sme,
/ _ / _ aw
/ _ / _ aw
aw • ° 而 sme,
aw • ° 而 sme,
то вместо уравнений (3.11.11) и (3.11.17) получим
外出3W 1 臥w済+ 3dge丽一蒔斤外出3W 1 臥w済+ 3dge丽一蒔斤=о=о
外出3W 1 臥w
済+ 3dge丽一蒔斤
外出3W 1 臥w
済+ 3dge丽一蒔斤
=о
=о
и
(х2 — if 0〃 + 4k (x2 — 1) О, + m20 = О,
которое, в итоге, сводится к гипергеометрическому уравнению »(а, В,%г|北)=О,
где
0 (е) = (— sin2 e)s т| (^), g = (1 + cose)/2, s = (—1 + ,1 — пг2)/2,a = -1 + y/1 — m2^0 = 2 + y/1 — m2^ 丫 = 1 + y/1 — m2.
§ 12. Растяжение идеально пластическогопрямоугольного бруса, ослабленного пологимивыточками, при условии полной пластичности
Возьмем брус прямоугольного сечения, ось z направим вдоль оси бруса, длины сторон вдоль осей х〉у обозначим соответственно через 2a, 2b (рис. 182).
Рассмотрим пластическое течение бруса под действием растягивающей силы, действующей вдоль оси z.
Уравнения сторон бруса представим в виде
力=± (а + 3力(g, z)),(3.12.1)
д = ±(6 + 3/2 Q,z))・(3.12.2)
Считая материал бруса идеально жесткопластическим, запишем условия предельного состояния для главных компонент напряжений 仇 в виде:
01=02,。3—01=/(0),0=(01+02 + 03)/3.(3.12.3)
Ребро призмы Треска, интерпретирующей в пространстве главных напряжений условие постоянства максимального касательного напряжения, имеет место при / (о) = const.
Условия связи главных компонент напряжений в декартовой системе координат ж, у, z записываются в виде
0£=01 百 + 02m1 +03 若, “g=0"也 + G2Tn\Tn2 +03 几皿2,
Z ] + 777» ] + Th ] — 1, " 1" 2 + 77117712 + 几1几2 = 0 (123) (xyz) , (3.12.4)
где li〉mi〉rii — направляющие косинусы; недостающие соотношения получаются круговой перестановкой индексов (123), (xyz).
Из (3.12.3), (3.12.4) найдем
(竈 一。+ / (°) /3)(Од — о + / (о) /3) —宜夕=О,
(0况一0+ / ⑹ /3) ьz 一 ^xy^xz =。(力g7)-(3.12.5)
Решение будем искать в виде (3.12.5).
Невозмущенное состояние(8 = 0) примем в виде
Е = const, о° - / f = 0, 成== т° =叁=т° = 0.
(3.12.6)
Линеаризируя соотношения (3.12.5), учитывая (3.12.6), получим
(3.12.7)(3.12.7)К =К =где индекс градус у производной df/до означает ее значение при о = =где индекс градус у производной df/до означает ее значение при о = =Из уравнений равновесия иИз уравнений равновесия и(3.12.7) будем иметь(3.12.7) будем иметьд2и , д2иТхд-исдх2 ду- dz2 5д2и , д2иТхд-исдх2 ду- dz2 5%g 一 °，%g 一 °，(3.12.8)(3.12.8)'冗—夕—az' z~ K dz^'冗—夕—az' z~ K dz^au / _ duau / _ duОтметим, что для условия пластичности Треска df°/до = 0, К = = 1. В дальнейшем ограничимся случаем гиперболичности уравнения (3.12.8) и положим К = ц2. Тогда уравнение (3.12.8) примет видОтметим, что для условия пластичности Треска df°/до = 0, К = = 1. В дальнейшем ограничимся случаем гиперболичности уравнения (3.12.8) и положим К = ц2. Тогда уравнение (3.12.8) примет видд2и , д2и2^。 с—~п п Ц —~п~ — 0.дх2 ду2 dz2д2и , д2и2^。 с—~п п Ц —~п~ — 0.дх2 ду2 dz2(3.12.9)(3.12.9)Решение уравнения (3.12.9) представим в видеРешение уравнения (3.12.9) представим в видеU = С cos тх cos пу sin ^, 九=±,勿尹 + 几2,。= const. (3.12.10)U = С cos тх cos пу sin ^, 九=±,勿尹 + 几2,。= const. (3.12.10)Согласно (3.12.8), (3.12.10) будем иметьСогласно (3.12.8), (3.12.10) будем иметь^х=^у=厂 ％；^х=^у=厂 ％；66XzXz= ——cos тх cos пу cos —,= ——cos тх cos пу cos —,卩卩卩卩
(3.12.7)
(3.12.7)
К =
К =
где индекс градус у производной df/до означает ее значение при о = =
где индекс градус у производной df/до означает ее значение при о = =
Из уравнений равновесия и
Из уравнений равновесия и
(3.12.7) будем иметь
(3.12.7) будем иметь
д2и , д2иТхд-ис
дх2 ду- dz2 5
д2и , д2иТхд-ис
дх2 ду- dz2 5
%g 一 °，
%g 一 °，
(3.12.8)
(3.12.8)
'冗—夕—az' z~ K dz^
'冗—夕—az' z~ K dz^
au / _ du
au / _ du
Отметим, что для условия пластичности Треска df°/до = 0, К = = 1. В дальнейшем ограничимся случаем гиперболичности уравнения (3.12.8) и положим К = ц2. Тогда уравнение (3.12.8) примет вид
Отметим, что для условия пластичности Треска df°/до = 0, К = = 1. В дальнейшем ограничимся случаем гиперболичности уравнения (3.12.8) и положим К = ц2. Тогда уравнение (3.12.8) примет вид
д2и , д2и2^。 с
—~п п Ц —~п~ — 0.
дх2 ду2 dz2
д2и , д2и2^。 с
—~п п Ц —~п~ — 0.
дх2 ду2 dz2
(3.12.9)
(3.12.9)
Решение уравнения (3.12.9) представим в виде
Решение уравнения (3.12.9) представим в виде
U = С cos тх cos пу sin ^, 九=±,勿尹 + 几2,。= const. (3.12.10)
U = С cos тх cos пу sin ^, 九=±,勿尹 + 几2,。= const. (3.12.10)
Согласно (3.12.8), (3.12.10) будем иметь
Согласно (3.12.8), (3.12.10) будем иметь
^х=^у=厂 ％；
^х=^у=厂 ％；
6
6
Xz
Xz
= ——cos тх cos пу cos —,
= ——cos тх cos пу cos —,
卩
卩
卩
卩
(3.12.11)(3.12.11)t；z — Cm sin mx cos ny sin —,
(3.12.11)
(3.12.11)
%z = Cncosmxsmnysm £， Txy = 0.
Предположим, что боковые грани свободны от напряжений, тогда граничные условия на (3.12.1), (3.12.2) запишутся в виде
0:с" + T况g皿 + ^XZ^ = 0,
T况g"+ ^у ^^ + тn zП - 0,T况g"+ ^у ^^ + тn zП - 0,(3.12.12)(3.12.12)
T况g"+ ^у ^^ + тn zП - 0,
T况g"+ ^у ^^ + тn zП - 0,
(3.12.12)
(3.12.12)
“z" + ^yz ^^ +02 九=0,
где Z, m, n — направляющие косинусы нормали к граням бруса.
Рассмотрим грань (3.12.1). В этом случае нормаль к невозмущенной грани совпадает с осью х. После линеаризации, согласно (3.12.1), будем иметь
2 = 1, т = Т嘗)几=—з浆. (3.12.13)
Из граничных условий (3.12.12), учитывая (3.12.4), (3.11.5), (3.12.6), получим
<4=0， Vz-尤铝二。ПРИ х = а.(3.12.14)
Аналогично, для грани (3.12.2)
%=0，力2-或浆=。ПРИ У = b・(3.12.15)
Из (3.12.14) найдем
cosma = 0, 坦^ = (—1)^ В^ cos пу sin —,(3.12.16)
d zz卩
откуда
兀(2k + 1)та = —k 士 …
/1 = (一1产1 ^^ cos ny cos ^ + D(y).(3.12.17)
В дальнейшем, не умаляя общности, положим 0 = 0. Аналогично из (3.12.15) найдем
兀(2k + 1) 及_ e丄172 о —~) к — 0)土 1)• • •
『2 = (―1产1 ^^ cos mx cos ^.(3.12.18)
Максимальная длина выточки будет при 4 = 0, тогда, согласно (3.12.17), (3.12.18), получим
та = nb =兀/2,
следовательно
冗冗冗冗2a2a2b2b(3.12.19)(3.12.19)
冗
冗
冗
冗
2a
2a
2b
2b
(3.12.19)
(3.12.19)
Согласно (3.12.11), (3.12.19) определим искомое напряженное состояние для компонент возмущений:
0；=厂2壮0；=厂2壮0九储0——cos -— cos卩2a0九储0——cos -— cos卩2a吗26吗26coscosZa2 + 坟22a加Za2 + 坟22a加
0；=厂2壮
0；=厂2壮
0九储0
——cos -— cos
卩2a
0九储0
——cos -— cos
卩2a
吗
26
吗
26
cos
cos
Za2 + 坟2
2a加
Za2 + 坟2
2a加
厶=sin cos sin Y ”(3.12.20)
£z 2a 2a 2b2a 加' 丿
/ C兀 兀优.兀g . Za2 +块2 /
V^e-cos^sin-sm w ,%夕=0.
Соотношения (3.12.1), (3.12.2) соответственно запишутся в виде
力 = ±+ & coscos j,(3.12.21)
g = ± 厶 + 02 cos 器 cos * j 坟［,(3.12.22)
0九卩0九卩
0九卩
0九卩
В общем случае решение следует искать в виде бесконечной суммы
(3.12.23)(3.12.23)U = ^2。叮 cos ш^ж cos nj?/sin ^£.
(3.12.23)
(3.12.23)
Согласно (3.12.8), (3.12.23) могут быть определены компоненты напряжений. Если функция 力(g, z) определена, то из граничного условия (3.12.14), (3.12.8) и (3.12.23) получим
о° °，^' Z)= ^2 cijmi sin 皿£力 cos njysin ^^. (3.12.24) 叮
Из (3.12.24) можно найти。叮.Тем самым все компоненты напряжений будут определены. В этом случае из граничного условия (3.12.15) и выражения для 厶 можно получить значение функции Д (力，z)・ Таким образом, произвольно может быть задано уравнение одной боковой
выточки.
§ 13. Растяжение идеально пластическогопрямоугольного бруса, ослабленного пологимивыточками, при условии пластичности Мизеса
Рассмотрим растяжение идеально пластического прямоугольного бруса, ослабленного пологими выточками, при условии пластичности Мизеса.
Соотношения теории идеальной пластичности запишем в виде:
(3.13.1)(3.13.1)
(3.13.1)
(3.13.1)
(報-0g)2 + & - oj + &-0 J + 6 (扌g + 电 + 嗫)=6/ (0), (3.13.2)
0=3+ ^у +02 ),
где。冗，“夕，…； ％, ^хуч • • • — соответственно компоненты напряжений и скоростей деформации в декартовой системе координат ж, g, z.
Имеют место формулы Коши
диdvdwдиdvdw
диdvdw
диdvdw
(1.10.11) где u)%w — компоненты скорости перемещения вдоль осей ж, у, z.
Рассмотрим брус квадратного поперечного сечения (рис. 182). Уравнения поверхностей боковых граней представим в виде (3.12.1), (3.12.2) при b = а.
Брус растягивается вдоль оси г, боковые грани свободны от напряжений. Граничные условия на боковых поверхностях удовлетворяют условиям (3.12.2).
На грани ADEF (рис. 182), аналогично ВСHG)согласно (3.12.1) направляющие косинусы нормали с точностью до малых высшего порядка примут вид (3.12.13).
Решение будем искать в виде
0叮=0各+3必， 2叮=喘+3心， u = u° -\- buf,X = X° + 3XZ,
(3.8.8) где
史=,3/ (о。),成=呜=G =叁=也=о, о° = |с>° > 0.
(3.13.3)
Согласно (3.12.12), (3.12.13), (3.8.8), (3.13.3) получим
必=0， 口u=0， Vz 干史禁■=a 力=±a.(3.13.4)
Аналогично для граней ABGF^ DCНЕ (рис. 182) будем иметь
I =ттг = 1, п =(3.13.5)
"=0， 必u=0， %z 干史裟=°，g=±a■(3.13.6)
велла для компонент напряжениигде м — функции напряжений.Решение будем искать при предположенияхХ1 = -Х2 =无 羽=о.Из (3.13.8), (3.13.7) получим或=Y =一号，壮=a / ==一旦_ dxdz'dydz-Согласно (3.13.9) в плоскости ху для компонент место напряженное состояние чистого сдвига: Q =,(3.13.7)(3.13.8)0, (3.13.9) возмущения имеетвелла для компонент напряжениигде м — функции напряжений.Решение будем искать при предположенияхХ1 = -Х2 =无 羽=о.Из (3.13.8), (3.13.7) получим或=Y =一号，壮=a / ==一旦_ dxdz'dydz-Согласно (3.13.9) в плоскости ху для компонент место напряженное состояние чистого сдвига: Q =,(3.13.7)(3.13.8)0, (3.13.9) возмущения имеетУдовлетворим уравнениям равновесия при помощи формул Макс-Удовлетворим уравнениям равновесия при помощи формул Макс-
велла для компонент напряжении
где м — функции напряжений.
Решение будем искать при предположениях
Х1 = -Х2 =无 羽=о.
Из (3.13.8), (3.13.7) получим
或=Y =一号，壮=a / =
=一旦
_ dxdz'dydz-
Согласно (3.13.9) в плоскости ху для компонент место напряженное состояние чистого сдвига: Q =
,(3.13.7)
(3.13.8)
0, (3.13.9) возмущения имеет
велла для компонент напряжении
где м — функции напряжений.
Решение будем искать при предположениях
Х1 = -Х2 =无 羽=о.
Из (3.13.8), (3.13.7) получим
或=Y =一号，壮=a / =
=一旦
_ dxdz'dydz-
Согласно (3.13.9) в плоскости ху для компонент место напряженное состояние чистого сдвига: Q =
,(3.13.7)
(3.13.8)
0, (3.13.9) возмущения имеет
Удовлетворим уравнениям равновесия при помощи формул Макс-
Удовлетворим уравнениям равновесия при помощи формул Макс-
Линеаризируя условие пластичности (3.13.2), используя (3.13.3), (3.8.8), получим
尤(2о； - о； - ")- % (о； + 必 + ") = 0, % =某.(3.13.10)
Согласно (3.13.9) условие (3.13.10) тождественно удовлетворяется. Из (3.13.1), (3.13.3), (3.8.8)получаем
成=吟=一九°(史 + %)， 成=九° (2広 -%), 九°=2 J：瓦,
^ху = 2i=吟N =。，"。 =_九。(史 + 历)力，(3.13.11)
。° = —Х° (о° + %) у、 w° =九° (2E — %) z.
Согласно (3.13.11), (3.13.9), (1.10.11), (3.13.1) будем иметь
h =九(2% - 一九支，
ди 3/ди dw。/
两+酢灰+ K = 6F
(3.13.12)
a/ dw _ 。/
友+丽=6九V
Положим
(3.13.13)
Согласно (3.13.9), (3.13.12), (3.13.13) будем иметь
дх2 - 31 ^2， dxdzdxdz^
ду2д/dydzdydz
(3.13.14)
Искомое решение представим в виде
Х = Р cosрх cosру e~^z, ц = д/2р = const, W = Q cos рх cos ру £-"z, Q = 6九°Р = const.
(3.13.15)
Согласно (3.13.9), (3.13.13), (3.13.14), (3.13.15) найдем
0；=-0； = -2尸02 cos pc cos 0д e一^0', 0； = 0, T^ = О,
(3.13.16)(3.13.16)Kz = V^Pp2 sin px cos py e~^pz,t；n = —V2Pp2 cos px sin py e~^pzu1 = —6X° Pp sin px cos py e~^pz,o' = 6X°Pp cospx sin py e~^pzwz = 0,
(3.13.16)
(3.13.16)
e-^"，к=а 或g=0,e-^"，к=а 或g=0,>Ж cospy g-^PN,>Ж cospy g-^PN,£； = —£； = — 6X° Pp2 COS pX COS py 点 z = 6a/2X° Pp2 sinp；
e-^"，к=а 或g=0,
e-^"，к=а 或g=0,
>Ж cospy g-^PN,
>Ж cospy g-^PN,
yzyz—6д/2Х°Pp2 cos px sin py e~^pz
yz
yz
Из граничных условий (3.13.4), (3.13.6) и условий (3.13.16) получим 兀(1 + 2к)
0 =^, к = 0, ±1,,
力 3,z) = — ( —1)力 3,z) = — ( —1)k A 兀(1 + 2k)k A 兀(1 + 2k)云 2a云 2a"1”-屮,(3.13.17)"1”-屮,(3.13.17)力包z）=（一坟力包z）=（一坟R 兀(1 +2k)R 兀(1 +2k)с>° 2aс>° 2ac『（l产％以=з 2ac『（l产％以=з 2a
力 3,z) = — ( —1)
力 3,z) = — ( —1)
k A 兀(1 + 2k)
k A 兀(1 + 2k)
云 2a
云 2a
"1”-屮,(3.13.17)
"1”-屮,(3.13.17)
力包z）=（一坟
力包z）=（一坟
R 兀(1 +2k)
R 兀(1 +2k)
с>° 2a
с>° 2a
c『（l产％以=з 2a
c『（l产％以=з 2a
Тогда выражения (3.13.16) примут вид
//d£(1+2B)2 兀(1+2к)优 n(l+2k)y
ж y2a2a2a
°； = a 4 = a
Vz = pkVz = pk兀2 (1 + 2k)兀2 (1 + 2k)2vW2vW\in 仆迎 cos崂a2a2a\in 仆迎 cos崂a2a2a
Vz = pk
Vz = pk
兀2 (1 + 2k)
兀2 (1 + 2k)
2vW
2vW
\in 仆迎 cos崂a2a2a
\in 仆迎 cos崂a2a2a
,d£(1+2B)2 兀(1+2к)优.兀(l+2k)g —%"f 2 伝2cos 2a sin 2a e 奴,d£(1+2B)2 兀(1+2к)优.兀(l+2k)g —%"f 2 伝2cos 2a sin 2a e 奴J = _3九。尸к兀（1 +2k）sinJ = _3九。尸к兀（1 +2k）sina/9 о D 兀(1 + 2k)0 = 3九万% — cosaa/9 о D 兀(1 + 2k)0 = 3九万% — cosa兀(l+2k"c°s 兀(l+2k)%—厘2 2a2a兀(l+2k"c°s 兀(l+2k)%—厘2 2a2a兀0+2к" sin 兀(1+2к)у 吟”2a2a，(3.13.18)毋=О,兀0+2к" sin 兀(1+2к)у 吟”2a2a，(3.13.18)毋=О,,,心。。冗2(1+2用2 冗(1+24"k(1+2^T/-二二—3九 П 2a2 cos —cos —4 = °,点夕=°,,,心。。冗2(1+2用2 冗(1+24"k(1+2^T/-二二—3九 П 2a2 cos —cos —4 = °,点夕=°,
,d£(1+2B)2 兀(1+2к)优.兀(l+2k)g —
%"f 2 伝2cos 2a sin 2a e 奴
,d£(1+2B)2 兀(1+2к)优.兀(l+2k)g —
%"f 2 伝2cos 2a sin 2a e 奴
J = _3九。尸к兀（1 +2k）sin
J = _3九。尸к兀（1 +2k）sin
a
/9 о D 兀(1 + 2k)
0 = 3九万% — cos
a
a
/9 о D 兀(1 + 2k)
0 = 3九万% — cos
a
兀(l+2k"c°s 兀(l+2k)%—厘2 2a2a
兀(l+2k"c°s 兀(l+2k)%—厘2 2a2a
兀0+2к" sin 兀(1+2к)у 吟”
2a2a，(3.13.18)
毋=О,
兀0+2к" sin 兀(1+2к)у 吟”
2a2a，(3.13.18)
毋=О,
,,心。。冗2(1+2用2 冗(1+24"k(1+2^T/
-二二—3九 П 2a2 cos —cos —
4 = °,点夕=°,
,,心。。冗2(1+2用2 冗(1+24"k(1+2^T/
-二二—3九 П 2a2 cos —cos —
4 = °,点夕=°,
Vz = ^^°^Vz = ^^°^兀 2(1 +2к)兀 2(1 +2к)伝2伝22-sin2-sin兀(l+2k"c°s 兀(l+2k)%—%z 2a2a兀(l+2k"c°s 兀(l+2k)%—%z 2a2aJ _ _qi° p,冗 С + 2卜)「os ?z — 3九 Pk 缶2 C0SJ _ _qi° p,冗 С + 2卜)「os ?z — 3九 Pk 缶2 C0S兀(1 + 2k) ж .兀—^Sin-兀(1 + 2k) ж .兀—^Sin-(1+2к)% —(1+2к)% —《1+2")《1+2")2a2a
Vz = ^^°^
Vz = ^^°^
兀 2(1 +2к)
兀 2(1 +2к)
伝2
伝2
2
-sin
2
-sin
兀(l+2k"c°s 兀(l+2k)%—%z 2a2a
兀(l+2k"c°s 兀(l+2k)%—%z 2a2a
J _ _qi° p,冗 С + 2卜)「os ?z — 3九 Pk 缶2 C0S
J _ _qi° p,冗 С + 2卜)「os ?z — 3九 Pk 缶2 C0S
兀(1 + 2k) ж .兀
—^Sin-
兀(1 + 2k) ж .兀
—^Sin-
(1+2к)% —
(1+2к)% —
《1+2")
《1+2")
2a
2a
Решения (3.13.17), (3.13.18) могут быть просуммированы по k.
Уравнения поверхностей боковых граней бруса (3.12.1), (3.12.2), согласно (3.13.17), запишутся соответственно в виде
(3.13.19)(3.13.19)e = 土3 (一及cos兀0产七У),
(3.13.19)
(3.13.19)
,/ 丄兀(l+2k)兀(l+2k"
片±(a + 3(T)^^^cos^^е 奴丿・
Условие пластичности для анизотропного материала записывается в виде
4(Ож — Оу)2 + в(Од — Oz)2 + С(Oz —報)2 +
+ 6 (Dt^ + 历詳 + RgJ = 6/ ⑹，(3.13.20)
Д, B,... = const.
Полученные результаты могут быть распространены на случай анизотропного материала при В = С〉Е = F.
Растяжение идеально пластическогопрямоугольного бруса, ослабленного пологимивыточками. Продолжение
Рассмотрим пространственное идеально пластическое состояние призматических тел переменного прямоугольного сечения при условии соответствия напряженного состояния граням и ребрам кусочно линейных условий текучести.
Обозначим через。叮，£叮 компоненты тензоров напряжения и скорости перемещения соответственно. Условие предельного состояния запишем в виде
R(o 订•)=0.(3.14.1)
OFOFСогласно ассоциированному закону течения будем иметь
OF
OF
(3.14.2)
(3.14.3)(3.14.3)Припишем компонентам исходного состояния индекс градус наверху, компонентам возмущенного — индекс штрих наверху:
(3.14.3)
(3.14.3)
Gij — ^ij + ^ij ? Eij — ^ij + ^ij •
В качестве исходного примем однородное напряженно-деформированное состояние в декартовой системе координат 力,g, z:
°ж — G15 。； = °2? 。2 — g3 5 ^ху —也—& —。，(3.14.4)
еж — е15 吟—e2? 2? — e3? £?夕=^yz —北=。，(3.14.5)
где 或，吟一главные компоненты напряжения и скорости деформации. Линеаризируя соотношения (3.14.1), (3.14.2) при условиях (3.14.3)(3.14.5), получим
aid +。2。$ +。3必=0, & == const (г = 1, 2, 3), (3.14.6)
成="0(磬d + 磬成 + 器圆)+"%，= К5(3.14.7)
где индекс градус означает, что значения производных функций F,屮£ ВЗЯТЫ При О£ =或.
В дальнейшем будем полагать, что условие пластичности не зависит от среднего давления о =(報 +。夕 + 0之)/3. Тогда в формулах (3.14.6), (3.14.7)
。1 +a2 +03 = 0, Wi + w2 + w3 = 0.(3.14.8)
Обозначим 3屮?/3弓—忆)согласно (3.14.7), (3.14.8), получим
£j - Ц (a10] + 6€202 + 66303)+ 乩 &， 6叮=%6， 儿1 + 儿2 + 663 =0.
(3.14.9)
Соотношения связи между главными компонентами напряжений и скоростей деформации ос, % и компонентами。叮，£叮 в ортогональной системе координат X)у> z для изотропного тела запишем в виде
報=01 百 + 02m1 + 0з 若， “g=0"也 + 02^1^2 +03 几皿2, (3.14.10)
% = £1 庁 + 诊皿；+ £з 若， ％夕=白/也 + £2^17712 + £з 几 1 几2, (3.14.11)
Zj + m^ + rzj = 1, Z1Z2 + ТП1ГП2 + П1П2 = 0,(3.14.12)
(123, xyz〉Imn),
где Zj, 77ij, ni — направляющие косинусы, обозначения (123, xyz, Imn) означают, что недостающие выражения получаются круговой перестановкой индексов 1, 2, 3, х, у, z и косинусов 厶 m, п.
Полагая, наряду с (3.14.3):
/£ = /? + 〃 Ei = т? + 必 ®=* +必,
Z； = 771g = rz? = 1,礎=戏=mJ = m^ = rz； = ?2g = 0,(3.14.13)
линеаризируя соотношения (3.14.10)-(3.14.12), получим
或=$，о；=必。；=&,
口 夕=。?厶 + а2Ш1， %N = а2Ш3 + G3n2 5 tJn = G3nl +。黑，(3.14.14)或=孔 4=邑k=叽
点夕=e?^2 + е2Ш1，^yz ~ е2Ш3 + еЗП25 еж^ ~ еЗП1 + е1^35 (3.14.15) 乂 = 771$ =喝=0,/2 + ш1 — 0, Ш3 +^2 = 0, 叫 +殴=0. (3.14.16)
Из (3.14.14)-(3.14.16) найдем
%夕=。冗夕％g， %N = axz^xz 5 %N = ayz^yz 5%夕=。冗夕％g， %N = axz^xz 5 %N = ayz^yz 5(3.14.17)(3.14.17)
%夕=。冗夕％g， %N = axz^xz 5 %N = ayz^yz 5
%夕=。冗夕％g， %N = axz^xz 5 %N = ayz^yz 5
(3.14.17)
(3.14.17)
где, согласно ассоциированному закону течения, аху,。屮 axz》0.
Для напряженно-деформированного состояния, определяемого соотношениями (3.14.3)-(3.14.5), согласно (3.14.14), (3.14.15), соотношения (3.14.6), (3.14.9) можно переписать в виде
ар + а?" + аз。； = О,ар + а?" + аз。； = О,(3.14.18)(3.14.18)
ар + а?" + аз。； = О,
ар + а?" + аз。； = О,
(3.14.18)
(3.14.18)
点=ц° (历 1<4 + 历2. + 历з。；)+ 屮。1 (123, xyz).(3.14.19)
К семи соотношениям (3.14.18), (3.14.19), (3.14.17) следует присоединить три уравнения равновесия:
芻 + 霊 + 礬=。(№)•(ЗН。)
Перейдем в соотношениях (3.14.11), (3.14.12) к компонентам скоростей перемещений по формулам Коши:
_ (4 + *)% =2，
где 吗一компоненты скорости перемещений.
Десять соотношений (3.14.17)-(3.14.20) определяют замкнутую систему десяти уравнений относительно десяти независимых переменных 必，"工w.
Удовлетворим уравнениям равновесия при помощи функций напряжений Максвелла:
/ _ ^Х2 ^Хз ,_ ^Хз /xyz\、
Решение будем искать в виде
Хс = Агетхепу^\ 屮=Bemxenyelz, и[ = С iemx епу ^z.
(3.14.23) где Ai, В)Ci)m)n)h = const.
Согласно (3.14.21)-(3.14.23) из (3.14.17)-(3.14.20) найдем
01 (42九2 + 43几2) +a2 (43m2 + 4 九2) +a3(4 h2 + 42m2) = 0, (3.14.24)
Cj m = !1°(历1 (42九2 +43几2) +历2 (人m2 + 4九2) +
+ 历3 (厶1 几2 + 42m2) ) + 5。1 (3.14.25)
(xyz^ 123, тп*,
2а^тп + аху (С^п + С^т) = 0 (力gz, 123, тп* .(3.14.26)
Подставляя в (3.14.26) значения & из (3.14.25), получим систему трех уравнений:
Ц° {& [п2 (历3几2 + 623m2) + 九2 (历2几2 + 622m?)] +
+ 厶2 [九2 (历1 几2 + 621m2) + 7712 ^bi^Tl^ + 623m2)] +
+ Дз [m2 (历2几2 + b22mГ + n2 (历 1几2 + 621Ш2)] } +
+ 2"； ” + 5 (am? +。2病)=0 (力弊，123, mn* . (3.14.27)
Присоединяя к трем уравнениям (3.14.27) уравнение (3.14.24), получим однородную систему четырех уравнений относительно четырех неизвестных Д^5 В. Приравнивая определитель этой системы к нулю, получим уравнение для определения зависимости значения 九 от т, п, выражение которого вследствие громоздкости здесь опустим.
Рассмотрим случай задания условия пластичности (3.14.1) в виде плоскости в пространстве главных напряжений:
aoi + 儿2 + ооз = 0, а + 6 + с = 0 (а, b^c = const) .(3.14.28)
Линеаризируя соотношения (3.14.28), учитывая (3.14.14), получим
а，+ 6^2 + о。! — & а。； + 6c4 + °。； = °，(3.14.29)
Согласно ассоциированному закону пластического течения
с? = р°а,吟=|i°6, с? = |1°с, ц° > 0,(3.14.30)
点=dа，2；=dа k = 因，d〉。■(3.14.31)
Отметим, что условия (3.14.29), согласно (3.14.31), можно записать в виде
^х + "4 +。乂 = °-(3.14.32)
屮=a*i (3.14.33)(3.14.31), (3.14.33). Из屮=a*i (3.14.33)(3.14.31), (3.14.33). ИзОбозначая компоненты перемещения и\ v\ w\ удовлетворим соотношениям (3.14.31), полагая
屮=a*i (3.14.33)
(3.14.31), (3.14.33). Из
屮=a*i (3.14.33)
(3.14.31), (3.14.33). Из
/^2Ф/, ^2Ф/^2Ф
Величины 4,叽心 определены согласно
(3.14.33), (3.14.21) будем иметь
ХУ ~ 2 dzХУ ~ 2 dz+噤）（呼oz /+噤）（呼oz /abc).abc).(3.14.34)(3.14.34)Из уравнений (3.14.20), (3.14.17), (3.14.34) получимИз уравнений (3.14.20), (3.14.17), (3.14.34) получим
ХУ ~ 2 dz
ХУ ~ 2 dz
+噤）（呼
oz /
+噤）（呼
oz /
abc).
abc).
(3.14.34)
(3.14.34)
Из уравнений (3.14.20), (3.14.17), (3.14.34) получим
Из уравнений (3.14.20), (3.14.17), (3.14.34) получим
(xyz^ abc).
(3.14.35)
Три уравнения (3.14.35) и соотношения (3.14.29) определяют замкнутую систему четырех уравнений относительно четырех неизвестных <,^,<,Ф.
Положим
о； = С^е^е^. о； = С^^^. о； = C3emxeny^z.
(3.14.36)
Ф = Aemxenyelz, (&, А, т,п» = const).
Из (3.14.35), (3.14.39), согласно (3.14.36), найдем
2mС、= —АпХ [аху (ап1 + 6m2) + axz (а^ + cm2)]
(123, тп\ xyz, abc),
Из (3.14.37), (3.14.38) получим уравнение
аху)^ (ап1 + 6m2)2 + 小^帝(b九？ + cn2)2 +。冗之几？ (cm2 + a九?『=0,
(3.14.39) или
九4 (^。冗之几？ + b2ayzm2^ + 九2 ^2m2n2c (axza + ayzb) +
+аху^ (an2 + 6m2)2j + c2m2n2 [axzm2 + 旬之足)=0. (3.14.40)
Согласно (3.14.34), (3.14.36) будем иметь
点夕—^4九(。几2 + 匕九В emxenyekz (xyz, abc^ mnX) .(3.14.41)
Из (3.14.41), (3.14.39) получим
аху^ху + ay^yz + axz^xz = S(3.14.42)
Выражение (3.14.42), согласно (3.14.17), можно переписать в виде
(3.14.43)(3.14.43)
(3.14.43)
(3.14.43)
Таким образом, искомая связь (3.14.39), (3.14.40) между величинаТаким образом, искомая связь (3.14.39), (3.14.40) между величина
Таким образом, искомая связь (3.14.39), (3.14.40) между величина
Таким образом, искомая связь (3.14.39), (3.14.40) между величина
Из (3.14.32), (3.14.43) следует
必心=°жеж + %4 + НК + 2 (^Хуг，ху + 7% + 匕二 J —。・(3.14.44)
ми т, п,九 может быть установлена из условия (3.14.44).
На рис. 183 уравнению (3.14.28) соответствует грань PQ в девиаторной плоскости.
Предположим, что
о?# 0, о；=о?=0. (3.14.45)
Согласно (3.14.45) исходное напряженное состояние соответствует точке Р на рис 183.
Из (3.14.30) получим 成—吟= =|i° (a — 6). При a ^ b, p° # 0 величина M —吟 отлична от нуля, тогда, согласно (3.14.45), (3.14.17), аху = 0, <^ = =0, axz, ayz # 0. В этом случае из (3.14.39) получим
Из (3.14.46) получимИз (3.14.46) получим2 _ cm2 _ cn2入=r52 _ cm2 _ cn2入=r52 та2 таT5几=±/盘'九=±T5几=±/盘'九=±(3.14.47)При одноосном растяжении вдоль оси z имеет место 理〉0;",吟 < < 0, тогда с > 0, a, 6 < 0, следовательно, если т,п — мнимые величины,九一также мнимая величина, и искомое решение может быть определено в видеох = Ci cos тх cos пу cos Хг (xyz, тп乂 123),(3.14.47)При одноосном растяжении вдоль оси z имеет место 理〉0;",吟 < < 0, тогда с > 0, a, 6 < 0, следовательно, если т,п — мнимые величины,九一также мнимая величина, и искомое решение может быть определено в видеох = Ci cos тх cos пу cos Хг (xyz, тп乂 123),т4g = 0, txz = axzAmnkcosmxsinny coskz (eg, mn), (3.14.48)т4g = 0, txz = axzAmnkcosmxsinny coskz (eg, mn), (3.14.48)v! = 4anXcos тх sin пу sin Хг (ufvfwf, abc, mnX, xyz).v! = 4anXcos тх sin пу sin Хг (ufvfwf, abc, mnX, xyz).Граничные условия на боковых гранях тела будут иметь видГраничные условия на боковых гранях тела будут иметь вид^xl ^ ^xyV ^ ^xz(l = о (xyz. Ipq),где Z,R, q — направляющие косинусы нормали к граням тела. Уравнения граней зададим в виде^xl ^ ^xyV ^ ^xz(l = о (xyz. Ipq),где Z,R, q — направляющие косинусы нормали к граням тела. Уравнения граней зададим в виде(3.14.49)(3.14.49)力=士（加 + 力（g,z））,力=士（加 + 力（g,z））,力/加《1,力/加《1,(3.14.50)(3.14.50)g=±(坛 + /2(勿7)),.Из (3.14.50), (3.14.51), (3.14.48) при 乙g=±(坛 + /2(勿7)),.Из (3.14.50), (3.14.51), (3.14.48) при 乙『2/九2《1-『2/九2《1-(3.14.51)(3.14.51)0 будем иметь0 будем иметь必=a 厶-影。2 =。при必=a 厶-影。2 =。при力=%1,力=%1,(3.14.52)(3.14.52)
Из (3.14.46) получим
Из (3.14.46) получим
2 _ cm2 _ cn2入=r5
2 _ cm2 _ cn2入=r5
2 т
а
2 т
а
T5几=±/盘'九=±
T5几=±/盘'九=±
(3.14.47)
При одноосном растяжении вдоль оси z имеет место 理〉0;",吟 < < 0, тогда с > 0, a, 6 < 0, следовательно, если т,п — мнимые величины,九一также мнимая величина, и искомое решение может быть определено в виде
ох = Ci cos тх cos пу cos Хг (xyz, тп乂 123),
(3.14.47)
При одноосном растяжении вдоль оси z имеет место 理〉0;",吟 < < 0, тогда с > 0, a, 6 < 0, следовательно, если т,п — мнимые величины,九一также мнимая величина, и искомое решение может быть определено в виде
ох = Ci cos тх cos пу cos Хг (xyz, тп乂 123),
т4g = 0, txz = axzAmnkcosmxsinny coskz (eg, mn), (3.14.48)
т4g = 0, txz = axzAmnkcosmxsinny coskz (eg, mn), (3.14.48)
v! = 4anXcos тх sin пу sin Хг (ufvfwf, abc, mnX, xyz).
v! = 4anXcos тх sin пу sin Хг (ufvfwf, abc, mnX, xyz).
Граничные условия на боковых гранях тела будут иметь вид
Граничные условия на боковых гранях тела будут иметь вид
^xl ^ ^xyV ^ ^xz(l = о (xyz. Ipq),
где Z,R, q — направляющие косинусы нормали к граням тела. Уравнения граней зададим в виде
^xl ^ ^xyV ^ ^xz(l = о (xyz. Ipq),
где Z,R, q — направляющие косинусы нормали к граням тела. Уравнения граней зададим в виде
(3.14.49)
(3.14.49)
力=士（加 + 力（g,z））,
力=士（加 + 力（g,z））,
力/加《1,
力/加《1,
(3.14.50)
(3.14.50)
g=±(坛 + /2(勿7)),.
Из (3.14.50), (3.14.51), (3.14.48) при 乙
g=±(坛 + /2(勿7)),.
Из (3.14.50), (3.14.51), (3.14.48) при 乙
『2/九2《1-
『2/九2《1-
(3.14.51)
(3.14.51)
0 будем иметь
0 будем иметь
必=a 厶-影。2 =。при
必=a 厶-影。2 =。при
力=%1,
力=%1,
(3.14.52)
(3.14.52)
У =九 2,У =九 2,(3.14.53)(3.14.53)"=3 金-装。2 =。ПpИ
У =九 2,
У =九 2,
(3.14.53)
(3.14.53)
Из (3.14.52), (3.14.53), (3.14.48) получим
(3.14.54)(3.14.54)mhi = ^ + 兀厄, 几九2 = ^ + 兀用2,41,^2 = ±0,1,2,...
(3.14.54)
(3.14.54)
Отсюда при 自 = 用2 = 0 найдем т = 兽
п,] у о
Функции 力，『2, при которых имеет место решение, определяются согласно (3.14.52), (3.14.53), (3.14.48).
Таким образом, решение в классе мнимых значений т, п,九 возможно при определенных соотношениях сторон бруса. В общем случае решение следует искать в классе комплексных чисел, определяемых согласно (3.14.40).
Отметим, что грани 03 — oi = 1 условия пластичности Треска соответствуют значения а = —1, 6 = 0, с = 1. Из (3.14.46) получим п = =0,九=±771. Таким образом, деформирование происходит в плоскости xz и решение совпадает с результатами работы [179].
Рассмотрим ребро, определяемое пересечением двух плоскостей текучести:
0101 +a202 +。3。3 = 1,历01 + 6202 + 6303 = 1,&,仇=const,
a1 +a2 +a3 =0， 历 + 62 + 63 =0■
(3.14.55)
Линеаризируя (3.14.55), получим
Old +。2。$ +。3必=0,61 Cj + Ь2G‘2 + 匕3必=0.(3.14.56)
Из (3.14.56) следует
gx = Gy = gz = с/.(3.14.57)
Согласно ассоциированному закону течения
门=|11。1 +|12历，£2 = Ц1«2 +Ц2^2, ^3 = Ц1 «3 + Ц2^3, 冉，乩2》°,
点=!401+|4 历，sy = ^a2 + н2^2? 成=!403 + !463, i4，i4》0.
(3.14.58)
Из (3.14.58), (3.14.57), (3.14.55) найдем
或或 + %斗 +。£ = °-(3.14.59)
Уравнения равновесия (3.14.20), согласно (3.14.57), (3.14.17),
14.21), примут вид
2爲+ a也(需 + 黑)(需 + 需)=0 (叫z, 123).
(3.14.60)
К трем уравнениям (3.14.60) следует присоединить условие несжимаемости
ди dv dw(.
Решение системы четырех уравнений (3.14.60), (3.14.61) относительно четырех неизвестных с/, 〃'，J, wz ищем в виде
J = 01e側%九%九2,/ = c^^^. wf =03認%九%3
(3.14.62)(3.14.62)/ = Aemxenyelz, (&, A, m,n^ = const)
(3.14.62)
(3.14.62)
В дальнейшем положим
& = ап 乂 & = 6Хш, & = стп.(3.14.63)
В данном случае здесь и ниже величины а, 6, с — произвольные постоянные.
Из (3.14.62), (3.14.63), (3.14.61) получим
а + 6 + о = 0.(3.14.64)
Из (3.16.62), (3.16.63), (3.16.60) найдем три уравнения
2Ат + Хп (аХу (ак? + 6m2) + azx (а九？ + cm2)) = 0 (力gz, mnX, abc)
(3.14.65)
Умножая уравнения (3.14.65) соответственно на ап\ 6Xm, стп, складывая их, учитывая (3.14.64), получим уравнение
ахуУ? (an2 + 6m2)2 + ayzm1 (耿？ + сп2)2 + аж^п2 (cm2 + а九？『=0
(3.14.66)
Уравнения (3.14.39), (3.14.66) по форме совпадают между собой.
В случае грани (3.14.28), (3.14.39) величины а, 6, с — являются физическими величинами, в случае ребра (3.14.66) величины а, 6, с, согласно (3.14.63), — произвольные постоянные.
Определяя из (3.14.36) постоянные &, согласно (3.14.63), из (3.14.36), (3.14.62) найдем соответствие между напряженным и деформированным состоянием для случаев грани и ребра:
о； » 〃- . » М о； » 毋， & »(3.14.67)
Отметим, что, согласно (3.14.62), (3.14.63), (3.14.21), (3.14.17), соотношение (3.14.66) можно переписать в виде (3.14.43), принимая во внимание (3.14.59), получим, что и в данном случае имеет место (3.14.44).
В случае ^х = ^у = ^г = ^^ % = 0, согласно (3.14.22), будем иметь
#Хз _ кхз к*] — /к〕/к?32x3
Принимая Хс в виде (3.14.23), из (3.14.68) найдем
厶2九2 + Л3П2 = ДзШ2 + 4九2 = 4 几2 + 42m2, А^тп = 0. (3.14.69)
Полагая далее т,几 # 0, получим
4 =厶2,厶3 = 0,九2 = m2 + n2.(3.14.70)
Согласно (3.14.23), (3.14.70) искомое решение может быть определено в виде
qx = Qy = qz = q = 4 九2 cos mx cos ny cos 九z, 九=± v ^2 + ^2,
т4g = 0, xxz = — Amksin mx cos ny sin kz (eg, mn) .(3.14.71)
Согласно (3.14.71), (3.14.53), (3.14.54) будем иметь
ттг/и =兀/2 + 兀厄，几坛=兀/2 + 兀用2, 厄，А = ±0,1, 2 ... (3.14.72)
При к】=用2 = 0： m/n = h^/hi.
§ 15. Линеаризированные уравненияпространственного течения идеально пластическиханизотропных тел
Предположим, что напряжённое состояние соответствует ребру призмы Треска (условие полной пластичности)
01 =02,03 -01 = X.
(3.15.1)
Учитывая условия (3.12.4) из (3.15.1) получим
ож = О - |s + ^п^^ху =夕几1几2,
Од = о - ；Х + Xr^,“z = Еп^з,
(3.15.2)
。2 =。— gX + S72 3 5 ^yz — S72 2^3 ?
Е = E(ni,几2,几з),几;+ 几^ + 几^ = 1.(3.15.3).
В дальнейшем индекс градус наверху припишем компонентам начального состояния, индекс штрих наверху — компонентам возмущения. Рассмотрим случай, когда нормаль п (® 几2Е3) совпадает с осью г, тогда п^ = п^ = 0, П3 = 1. Линеаризируя соотношения (3.15.2), (3.15.3) получим
或=% = / - #, о； = / + |寸，
(3.15.4)(3.15.4)п3 = 0，V 夕=& tJz = Хо*, xyz = Хо?2$,
(3.15.4)
(3.15.4)
—дпу
几1 + Q一几2•
0匹1 。
(3.15.5)(3.15.6)(3.15.7)(3.15.8)(3.15.9)(3.15.5)(3.15.6)(3.15.7)(3.15.8)(3.15.9)
(3.15.5)
(3.15.6)
(3.15.7)
(3.15.8)
(3.15.9)
(3.15.5)
(3.15.6)
(3.15.7)
(3.15.8)
(3.15.9)
Введём обозначения
济而 0 = 4 济际= Е 45= const.
Согласно (3.15.4), (3.15.5) получим
о； = о； =。’ 一(4；z + 5九)， о； = o' + 2(AV + ВТ ).
Согласно (3.15.4) уравнения равновесия примут вид
想丄组£丄如/ - 0dz дх ду '
Уравнениям равновесия (3.15.7) удовлетворим, полагая
/ _ / _ 6U / _ 6U / _ 6U
Из (3.15.7) и (3.15.8) получим уравнение
д-и , д-ид-и , о л д-и …п д-и п
дх дуdz dxdz dydz
Рассмотрим выражение скорости диссипации N =仇广切 которое, согласно (3.17.2), примет вид
TV = Oij ^ij = Зое — Ее + Х(若％ + 風％ + 几翡之 +
+ 2几1几2% g + 2几2 几3 汕 + 2几1h3%2), (3.15.10)
£ = ；& + % + 8)・
Соотношения ассоциированного закона течения определяются из условия экстремума функционала
А = N — XF —乩(求 + 題 + 展一1),(3.15.11)
где
歹=X — X(?2i,几2,几з) = 0,(3.15.12)
X, |i — множители Лагранжа.
Соотношения ассоциированного закона течения запишем в виде
歌 + 西 + 阮(3.15.13)
a f
几1% + • • • + 2Tl'Tiz^xy + • • •=九内丁, — L(3.15.14)
1 / 九 ax 、
九1% + n2^ху + к3%z =元5 万^ + \^nlh
几 1% 夕 + 7122 g + n^yz —元(一5 読^ +
丄丄、
^l^xz + 几22gz + 几38 -元5 読^ + 用
(3.15.15)(3.15.15)получим дляполучим для九。=丛 2。= 0,北=一I大。4,出=一!九。g,九。=丛 2。= 0,北=一I大。4,出=一!九。g,“о _ 尢。(1 ах“о _ 尢。(1 ах+ о+ о£? + 吟=£? + 吟=(3.15.16)(3.15.16)Из соотношений ассоциированного закона течения исходного состояния
(3.15.15)
(3.15.15)
получим для
получим для
九。=丛 2。= 0,北=一I大。4,出=一!九。g,
九。=丛 2。= 0,北=一I大。4,出=一!九。g,
“о _ 尢。(1 ах
“о _ 尢。(1 ах
+ о
+ о
£? + 吟=
£? + 吟=
(3.15.16)
(3.15.16)
Линеаризируя соотношения (3.15.14), (3.15.15), получим
九/ = К — 3九°叫4 - ЗХ°п^В,(3.15.17)
(3.15.18)(3.15.18)点 z + 54K — Gi* +e12 也,^yz + 55K —。12Kl +。22 几2
(3.15.18)
(3.15.18)
где
0Си = 9 九次 + g — М —0Си = 9 九次 + g — М —2Хо а^ги I。2Хо а^ги I。。12 = 9y 45 - £%。12 = 9y 45 - £%2E0 3九13九22E0 3九13九2о以=耿。"+^一吟о以=耿。"+^一吟2Xo ^2П2 |o2Xo ^2П2 |o(3.15.19)(3.15.19)
0
Си = 9 九次 + g — М —
0
Си = 9 九次 + g — М —
2Хо а^ги I。
2Хо а^ги I。
。12 = 9y 45 - £%
。12 = 9y 45 - £%
2E0 3九13九2
2E0 3九13九2
о
以=耿。"+^一吟
о
以=耿。"+^一吟
2Xo ^2П2 |o
2Xo ^2П2 |o
(3.15.19)
(3.15.19)
Переходя в (3.15.18) к компонентам скоростей перемещений по формулам Коши, присоединяя условие несжимаемости (3.15.13), учитывая (3.15.4), (3.15.8), получим систему уравнений для нахождения компонент перемещения:
ди А/ dw _дхдуdz
ди dw с 4 dw^г +两+34赤ди dw с 4 dw^г +两+34赤ди диKn 林+ K12 西,ди диKn 林+ K12 西,(3.15.20)(3.15.20)
ди dw с 4 dw
^г +两+34赤
ди dw с 4 dw
^г +两+34赤
ди ди
Kn 林+ K12 西,
ди ди
Kn 林+ K12 西,
(3.15.20)
(3.15.20)
ди友+ди友+3仅仅,一* au au 两+ 33赤一 ％ 丽+ K22西,3仅仅,一* au au 两+ 33赤一 ％ 丽+ K22西,
ди
友+
ди
友+
3仅仅,一* au au 两+ 33赤一 ％ 丽+ K22西,
3仅仅,一* au au 两+ 33赤一 ％ 丽+ K22西,
гдегдеК22 =乎К22 =乎(3.15.21)(3.15.21)
где
где
К22 =乎
К22 =乎
(3.15.21)
(3.15.21)
Из (3.15.20) получим уравнение для определения wz:
д1 w д1 w д1 w д1 w д1 w _ дх2 + ду2 dz2 + dxdz + dydz -
=W (a1公+2a1豔+ "2版).(3.15.22)
Компоненты 〃'，v1 определяются из соотношений (3.15.20). Для изотропного тела имеет место
А = В = 0.=0,②о = 2к),(3.15.23)
следовательно
Gi=^-以 012 = -欧，022 = £?一吟. (3.15.24)
Таким образом, согласно (3.15.23), (3.15.24), для изотропного тела имеют место уравнения д-и д-и д-и _
迎迎_迎一丄厶。 。四 。"+從。一 2。)
(3.15.25)
В случае отсутствия начального деформирования 再 = 吟 = 再夕 = О имеют место результаты, полученные в [21].
§ 16. Решение линеаризированных уравненийпространственного состояния идеальнопластических тел
Рассмотрим решения волнового уравнения для определения компо
нент напряжений:нент напряжений:32Hz 321y — 321y32Hz 321y — 321y(3.16.1)(3.16.1)
нент напряжений:
нент напряжений:
32Hz 321y — 321y
32Hz 321y — 321y
(3.16.1)
(3.16.1)
或=%=0；=/ = 一 請，"z =黑，%z =警，Kg=@
(3.16.2)
d1 wd1 wd1 w5- + 5- - ^- — 2дхдуdz（。宓2д-w 1加时+『ди _dW dwdvdz—dw-2gz 丽-dw1 дуd1 wd1 wd1 w5- + 5- - ^- — 2дхдуdz（。宓2д-w 1加时+『ди _dW dwdvdz—dw-2gz 丽-dw1 ду(3.16.3)(3.16.4)(3.16.5)(3.16.3)(3.16.4)(3.16.5)и неоднородного волнового уравнения для компонент скоростей перемещений
d1 wd1 wd1 w
5- + 5- - ^- — 2
дхдуdz
（。宓2
д-w 1加
时+『
ди _dW dw
dv
dz
—dw
-2gz 丽-
dw1 ду
d1 wd1 wd1 w
5- + 5- - ^- — 2
дхдуdz
（。宓2
д-w 1加
时+『
ди _dW dw
dv
dz
—dw
-2gz 丽-
dw1 ду
(3.16.3)
(3.16.4)
(3.16.5)
(3.16.3)
(3.16.4)
(3.16.5)
Решение уравнения (3.16.1) будем искать в виде
W = A cos тх cos пу sin 九 z, где Д, т, п,卜一константы.
Из (3.16.5), (3.16.2)
或 = % = о； = / = —4九cos me cos rzg cos 九z.(3.16.6)
Подставляя (3.16.5) в (3.16.1), имеем
九 2 =m2 + 几2(3.16.7)
Из (3.16.5), (3.16.3) найдем
6%'6%'6%'.
——Н=26 cos mx cos пу sin 九z,
(3.16.8)(3.16.8)В — —4(ТП。冗2 + 72 Ogz),В — —4(ТП。冗2 + 72 Ogz),дх2 ду2 dz-“'
(3.16.8)
(3.16.8)
В — —4(ТП。冗2 + 72 Ogz),
В — —4(ТП。冗2 + 72 Ogz),
где
Решение уравнения (3.16.8) следует искать как сумму общего и частного решений:
毋—^одн + w4-(3.16.9)
Решение однородного уравнения (3.16.8) можно записать в виде
仅:口н = Cui cospa? cos qy cos гz + Сц2 cospx cos qy sin гг+
+。121 cosrc sin qy cos tz + . . . +。222 sin px sin qy sin rz, (3.16.10)
户=@2 + q2, Cijk = const •
Частное решение уравнения (3.16.8) будем искать в виде
w^ = 41 sin тх cos пу sin 九z+
+ 厶2 cos mx sin ny sin 九z + 4з cos mx cos ny cos 九z,
41 =a16 + 历沙 + Sd 42 =a2 力 + b2y + е2г,
(3.16.11)
43 =a3力 + 63g + °3d&,仇,Q = const •
Подставляя (3.16.11) в (3.16.8), учитывая (3.16.7), получим
771al + 几匕2 + 九。з = 5,(3.16.12)
ma^ + nbi = 0,几匕3 + 九。2 = °, Xci + ma^ = 0.(3.16.13)
Согласно (3.16.13), (3.16.11)
Th =。1力 + b、y + ciz, 厶2 =+ b2y + с2г,
m(3.16.14)
— + с3г,т 九
где величины 历，。“。2 — произвольные постоянные, а константы 。“ 匕2,。3 связаны соотношением (3.16.12).
Согласно (3.16.14) простейшее частное решение может быть выбрано в предположени и сз = 5/储 а все остальные величины &,仇，q равны нулю:
w^ = (В/X)г cos mж cos п?/cos Хг.(3.16.15)
Таким образом, согласно (3.18.10), (3.18.15), общее решение уравнения (3.16.8) можно записать в виде
w = С cospx cos qy cos г z + (5/九)г cos mx cos ny cos Хг,
p2 + q2 = r2, m2 + n2 = X2, X = ^, & В = const.(3.16.16)
Рассмотрим толстостенную плиту толщиной |z| ， h. Уравнения боковой поверхности плиты представим в виде
z = ± (% — 3/(力，у)),/ = К cos mx cos пу, К = const. (3.16.17)
Граничные условия на боковой поверхности плиты будут иметь вид
。1 = & 匕夕=£'力z = ^‘ z = ±瓦(3.16.18)
Согласно (3.16.2), перепишем (3.16.18) в виде
^^=0, W = f(X, у), z = ±Л.(3.16.19)
Из (3.16.19), (3.16.6) следует
sinX/i = 0,九=皆，k = 1,2,3,…(3.16.20)
Из (3.16.19), (3.16.17), (3.16.5) найдем
W = К cos тх cos пу cos ^^, А = К^ ш2 + п2 = ^-. (3.16.21)
Согласно (3.16.21) величины т^п в (3.16.17) не являются произвольными, а связаны соотношениями (3.16.21).
Из соотношений (3.16.4), (3.16.21), (3.16.16) следует ди.
= —2axzKmsin тх cos пу cosХг+
+ Ср sin рх cos пу cos 九z + ^mz s^ mx cos пУ cos 九z, (3.16.22)
dv c
百工 = —2ayz Кn cos mx sin ny cos Хг+
+ Cq cospx sin rzgcos 九z + ^nz cos mx s^n ^gcos 九z. (3.16.23)
Из (3.16.22), (3.16.23) получим
〃‘ =—2axz ^^ sin mx cos ny sin 九z +，sin px cos ny sin 九z+
+ gm sin mx cos ny (z九sin 九z + cos 九z), (3.16.24)
vf = —2ayz ^|^ cos mx sin ny sin 九z + 号 cos px sin ny sin 九z+
+ ^-3 n cos mx sin ny (z九sin 九z + cos 九z) . (3.16.25)
Постоянные С, В определяются из ограничений кинематики течения.
§17. Об устойчивости вязкопластического теченияполосы и круглого прута
Постановка вопроса об устойчивости вязкопластического течения принадлежит А.А. Ильюшину [153], который составил дифференциальные уравнения и граничные условия плоскопараллельного течения вязкопластической среды и решил задачу о нахождении течений, близких к плоскому равномерному деформированию полосы и плоскому же деформированию цилиндра, сделав при этом интересные выводы об устойчивости этих течений. В процессе выкладок А.А. Ильюшину
удалось преодолеть большие трудности, связанные с лагранжевым методом рассмотрения течения вязкопластического тела.
Ниже мы решаем вопрос об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута, пользуясь иным методом, связанным с эйлеровым способом описания движения сплошной среды (см. также [167]).
Задача о полосе является более простой, и ее решение приводится для сравнения с результатом А.А. Ильюшина. Задача о круглом пруте является пространственной задачей, и для ее решения мы привлекли уравнения пространственного деформирования вязкопластической среды, полученные нами ранее.
В случае плоского течения вязкопластической среды между максимальным касательным напряжением《ах и максимальной скоростью сдвига утах принимается зависимость
(3.17.1)(3.17.1)卜 тах| = К + |1|угпах | ?
(3.17.1)
(3.17.1)
где К — пластическая постоянная, а ц — коэффициент вязкости. Помимо этого, принимается предположение о том, что главные направления тензора напряжений совпадают в каждой точке среды с главными направлениями тензора скоростей деформирования.
Если через и и v, как обычно, обозначить проекции скорости какой- либо частицы среды на оси х и у прямоугольной системы координат, а через оЖ5 о^ и тху — компоненты тензора напряжений, то сделанные предположения немедленно приводят к соотношениям
。冗=2|i林 + К cos 2» + о.。冗=2|i林 + К cos 2» + о.К cos 2» + о,К cos 2» + о,—К sin 2%—К sin 2%(3.17.2)(3.17.2)
。冗=2|i林 + К cos 2» + о.
。冗=2|i林 + К cos 2» + о.
К cos 2» + о,
К cos 2» + о,
—К sin 2%
—К sin 2%
(3.17.2)
(3.17.2)
где о — среднее арифметическое нормальных напряжений。冗 и о^, а й — угол между направлением, соответствующем наибольшему главному напряжению, и осью ж, причем
Н （窮+窮）/（芻嗚）Н （窮+窮）/（芻嗚）(3.17.3)(3.17.3)
Н （窮+窮）/（芻嗚）
Н （窮+窮）/（芻嗚）
(3.17.3)
(3.17.3)
При выводе вышеприведенных соотношений принималось, что ди/дх > 0, т. е. элементы среды, имеющие направление, параллельное оси ж, удлиняются. В противном случае, если ди/дх < 0, то следует во всех соотношениях изменить знак, стоящий перед пластической постоянной К.
При пластическом течении объемная деформация крайне незначительна, вследствие чего обычно принимают среду несжимаемой. Условие несжимаемости приводит к известному соотношению
案+需=。・(3」7.4)
Написанных соотношений оказывается достаточно, чтобы, используя уравнения движения непрерывной среды
請 + 需+ рх = рд，蜜 + 芻+ py = pq (3"・5) и условия на границе в форме
О£ COS ПХ + Тху COS уп = Хп (s) , Тху COS ХП + Og cos уп = Yn (s),
(3.17.6) решать задачи о плоском течении вязкопластической среды. Здесь р — плотность среды, X, У — проекции массовой силы, действующей на частицу среды, wx и wy — проекции ускорения этой частицы, Хп (s), Yn (s) — проекции сил, действующих на элементы границы, положение которых определяется параметром s,几一внешняя нормаль к ограничивающему среду контуру.
Заметим, что в большинстве случаев в уравнениях движения можно опускать массовые силы и инерционные члены вследствие их малости по сравнению с другими членами, входящими в те же уравнения.
Рассмотрим течение, определяемое законом
и = сож, о = —зу,(3.17.7)
где со — функция времени, не меняющая знака в процессе своего изменения. Для определенности будем считать, что со > 0.
Имеем для этого течения
tg2» = 0,(3.17.8)
и можно положить 2 = 0. Далее, так как ди/дх = со > 0,
0冗=К + 21Ko + о,。夕=—К — 21Ko + о, “夕=0.(3.17.9)
Примем напряжение。夕 равным нулю, тогда
о = К + 21Kо, 報=2К + 41Ko.(3.17.10)
Такое напряженное состояние соответствует растяжению прямоугольной полосы нормальными силами, равномерно распределенными по ее краям и перпендикулярными оси у. При этом края полосы, параллельные оси ж, свободны от усилий (рис. 184).
Если же принять ож = 0, то получим
(3.17.11)(3.17.11)о = — (К + 21Kо), Оу = — (К + 41Kо),
(3.17.11)
(3.17.11)
что соответствует сжатию полосы силами, действующими на края, параллельные оси ж, причем силы нормальны к этим краям (рис. 185).
Рис. 184Рис. 184—b § н а а а Н А Нттттттттттт 。，
Рис. 184
Рис. 184
Рис. 185
Остановимся на первом случае и исследуем течение полосы, очертание которой близко к прямоугольному. Пусть в начальное мгновение края полосы, перпендикулярные оси ж, прямолинейны. Края же, па
раллельные этой оси, претерпевают малое «возмущение» (рис. 186) и
описываются уравнениями
(3.17.12)(3.17.12)у = b -\- 8cos ах, у = —Ь — 8cos ах.
(3.17.12)
(3.17.12)
Здесь 6 — половина ширины исходной прямолинейной полосы, течение которой будем называть основным или «невозмущенным»; 3 — амплитуда возмущения, значение которой мало по сравнению с Ь.
Возмущение границы имеет, таким образом, синусоидальный характер), симметричный относительно оси х. Будем считать, что по длине полосы укладывается целое число полуволн возмущения, для чего положим а = тп/Ц где т — целое число.
Если возмущение краев полосы, параллельных оси ж, носит более сложный характер, то, пользуясь рядами Фурье, его можно представить в виде суммы простых синусоидальных возмущений.
Можно предположить, что при малой амплитуде возмущения 3 по сравнению с шириной полосы 26 течение возмущенной полосы будет мало отличаться от соответствующего невозмущенного течения, если полоса по-прежнему подвергается действию нормальных усилий, распределенных по торцам х = 0, х = I. На этом основании разности между скоростями возмущенного и основного движений считаются малыми величинами по сравнению со скоростями основного движения. Обозначим эти разности через 〃 и о, причем
и = и1 — 〃°, V = V1 — о°,（3.17.13）
где vJ и V1 — проекции скорости частицы в возмущенном движении, а 〃° = сож и о° = —сод — проекции скорости в основном движении.
Нетрудно видеть, что угол наклона оси ж к направлению наибольшего главного напряжения будет малой величиной. Действительно, согласно （3.17.3）,
tg2公一（小需）/（察-瑞"
（患+患YR+窮-瑞卜々（需+器），（3J7M так как разность ди/dx — dv/ду принимается малой по сравнению с 2со. Таким образом,
芻 + 籽（3.17.15）
Для компонентов тензора напряжений возмущенного движения （3.17.2） получим выражения
о； — 2ц—Ь К cos 2^z + с/ 2цсо + К + о。+ 2ц——ho — о? + 2ц——h о,
о； = 2乩^~ - К cos 2# + с/
—2цсо — К + о° + 2ц—— + о = 2ц—— + о, （3.17.16）
—К sin 2# ^—К sin 2# ^” 2КМ” 2КМ
—К sin 2# ^
—К sin 2# ^
” 2КМ
” 2КМ
(3.17.17)(3.17.17)Здесь, вследствие малости угла М принято cos 21y 1, sin 21y 2тУ,
(3.17.17)
(3.17.17)
а величина о представляет собой разность между средними арифметическими главных напряжений возмущенного и основного течений. Так как скорости 〃° и о° основного течения удов л етворя ют уравнению несжимаемости, то для возмущенного движения имеем
(3.17.18)(3.17.18)диdv _ диdv —
(3.17.18)
(3.17.18)
дхду дхду
Отсюда следует существование для рассматриваемого мгновения такой функции 屮(力,д), для которой справедливы соотношения
и =и =3屮3屮дхдх(3.17.19)(3.17.19)
и =
и =
3屮
3屮
дх
дх
(3.17.19)
(3.17.19)
Используя эти соотношения, получим для угла»', согласно формуле (3.17.15), выражение
(3.17.20)(3.17.20)
(3.17.20)
(3.17.20)
а для компонентов тензора напряжений возмущенного движения (3.17.16) соответственно
<4=。？ —2 乩焉^+d
% = 2 "^^% = 2 "^^+ 5+ 5
% = 2 "^^
% = 2 "^^
+ 5
+ 5
хуу дх2ду2 /2cd 13优2ду2 / 4cd(3* ду2 /
(3.17.21)
Граничные условия (3.17.6) на криволинейных краях возмущенной
полосы в данном случае имеют вид
cos хп + cos уп = 0.
“(3.17.22)
Т4g cos хп + о； cos уп = 0.
Очевидно, что
cos хп = cos ( а + ^ ) = — sin ос,(3.17.23)
где а — угол между касательной к границе полосы и осью ж, причем
Вследствие малости 3 угол а мал, и можно положить
(3.17.25)(3.17.25)sin ос = ос = tg ос
(3.17.25)
(3.17.25)
и далее
cos хп = a8sin ах,
cos уп = sin хп = sin ( ^ + а) = cos ос = 1cos уп = sin хп = sin ( ^ + а) = cos ос = 1(3.17.26)
cos уп = sin хп = sin ( ^ + а) = cos ос = 1
cos уп = sin хп = sin ( ^ + а) = cos ос = 1
Замечая, кроме того, что Q отличается на малую величину от о?, а % и о； сами представляют собой малые величины, получим, пренебрегая малыми порядка выше первого, условия на границе (3.17.22) в виде
o?a3sin ас + 14g = 0, о； = 0.(3.17.27)
Эти соотношения должны иметь место на самой границе полосы. Однако граница является малым возмущением прямых у = b и у = — —Ь. Поэтому с точностью до малых порядка выше первого достаточно требовать удовлетворения написанных выше соотношений на самих этих прямых и тем самым брать величины 心夕，о； при значении координаты у, равном ±6.
Подставляя выражения (3.17.21) компонент тензора напряжений возмущенного течения в уравнения движения (3.17.5) и опуская в этих уравнениях компоненты массовых сил и инерционные члены, получим два уравнения
(3.17.28)(3.17.28)
(3.17.28)
(3.17.28)
для определения двух неизвестных функций о и 屮. Дифференцируя первое уравнение по переменной д, а второе — по ж и исключая смешанную производную функции о, приходим к уравнению
(3.17.29)(3.17.29)0：a4w_ 2 (星 _ 2、°4wI 星外屮
(3.17.29)
(3.17.29)
4со дх4 \4cd у дх2ду2 4со Зу’
содержащему одну неизвестную 屮，так называемую функцию тока.
Уравнение (3.17.29) для функции 屮 принадлежит к эллиптическому типу. В самом деле, согласно второй из формул (3.17.10),
星 _ 2K + 411co _ £
(3.17.30)(3.17.30)4cd 4cd 2 cd "，
(3.17.30)
(3.17.30)
и можно представить это уравнение в виде
屮=0.屮=0.(3.17.31)(3.17.31)
屮=0.
屮=0.
(3.17.31)
(3.17.31)
В предельных случаях, при К = 0 и при ц = 0, уравнение обращается соответственно в уравнение функции тока медленного движения вязкой жидкости:
▽4w=0,▽4w=0,(3.17.32)
▽4w=0,
▽4w=0,
и медленного течения идеально пластического вещества.
屮=0.屮=0.(3.17.33)(3.17.33)
屮=0.
屮=0.
(3.17.33)
(3.17.33)
Последнее уравнение уже имеет гиперболический характер. Если ввести обозначение
3 — 4uco + 2K'3 — 4uco + 2K'(3.17.34)(3.17.34)
3 — 4uco + 2K'
3 — 4uco + 2K'
(3.17.34)
(3.17.34)
то уравнение для определения функции тока (3.17.29) можно представить в виде
(3.17.35)
По предположению со > 0, поэтому, согласно равенству (3.17.34),
(3.17.36)(3.17.36)—1 < V < +1.
(3.17.36)
(3.17.36)
Предельного значения +1 коэффициент v достигает при бесконечно большой скорости деформирования со, а значения —1 при скорости деформирования, равной нулю. При этих предельных значениях v вязкопластическое вещество описывается соответственно уравнениями пуазелевого движения вязкой жидкости и уравнениями идеально пластического вещества [179].
Частное решение уравнения для функции тока 屮 будем искать, сообразуясь с граничными условиями в виде
(3.17.37)(3.17.37)V = Ф (ag) sin ах,
(3.17.37)
(3.17.37)
где параметр а = тн]1 меняется с течением времени обратно пропорционально длине растягиваемой полосы.
Подставляя выражение (3.17.37) для функции 屮 в дифференциальное уравнение (3.17.35) и вводя новую переменную
получим для функции ср(Z)= ср (ад) обыкновенное дифференциальное уравнение
屮〃"(力)-2V屮〃(力)+ 屮⑴=0.(3.17.39)
Его можно с помощью произведения двух коммутативных дифференциальных операторов представить в форме
(亲+丫)(亲&(3.17.40)
где у = ос + ргиу = ос — рг — два сопряженных комплексных числа, причем
а =，(1-v)/2, В =，(l+v)/2.(3.17.41)
Нетрудно убедиться, что
уу = ос2 + р2 = 1, у? + у? = 2 (ос2 — р2) = — 2v(3.17.42)
и проверить тем самым справедливость такого представления уравнения (3.17.39). Решение уравнения (3.17.40) состоит из произвольной линейной комбинации функций cos уг, cos уг, sin у г и sin yz. В симметричных точках относительно оси ж проекции скоростей на ось у, в силу формул (3.17.12), должны иметь противоположные знаки. Поэтому V (ж, —у) = —V (ж, у)\ а так как, согласно выражению (3.17.37), о = = d\f/дх = a cos ах^ (ау), то функция 屮(ад) должна быть нечетной. Таким образом, решение уравнения (3.17.40) для 屮(力)следует взять в виде
Ф(Z)= С sin yZ + С sin уЛ(3.17.43)
При таком выборе вида решения функция ср (力)принимает вещественные значения и зависит от двух произвольных постоянных1), входящих в состав сопряженных комплексных констант С и С.
Эти константы надлежит в дальнейшем определить так, чтобы удовлетворялись граничные условия задачи.
Для отыскания среднего арифметического главных напряжений воспользуемся уравнениями (3.17.28). Подставив в эти уравнения функцию 屮，согласно (3.17.37) и (3.17.38) и учитывая, что из формулы (3.17.34) для коэффициента v
或=署，2定=輩， (3.17.44)
1) Следует иметь в виду, что задача решается для фиксированного мгновения. В противном случае надлежало бы считать С и С функциями времени.
имеем
絹=(2L*)统+・気=普№(力一'(切
篇=- (2广冬)蟲Y爲一警时⑴8S3
(3.17.45)
Интегрируя первое выражение соотношений (3.17.45), приходим к формуле
0 = - ；；V W (力)-V屮’⑴]cos ае + / (g)，力=ад, (3.17.46) где / (g) — произвольная функция от переменной у.
Подставляя выражение для о во второе уравнение (3.17.45), получаем
|^^ [(p,/Z (t) - 2v(p"⑴ + ф (力)]cos ax -尸(g) = 0.(3.17.47)
Сумма, стоящая в квадратных скобках, согласно (3.17.39), равна нулю. Таким образом, функция / (д) сводится к некоторой постоянной, которую обозначим через А.
Для компонент тензора напряжений возмущенного движения о； и с/ имеем, учитывая формулы (3.17.21), выражения
о； =+ о =
у дхду
=211a2 cos acq/ (力)—：；丫 [q),,/ (力)—vq/ (力力 cos ax + A =
=—T^ W"(%)— & + 2v)屮'(掰 cos。力 + 4 (3.17.48)
/ = £ 給 _ 腎)=_* VW + 9 (切 sin 3
Обозначим через h = ab значение 力 соответствующее границе полосы у = Ь. Тогда, согласно граничным условиям, напряжение о； должно обратиться в нуль при t = ±九 и, следовательно, при любом значении ж
2
—2|i] ： [ф,,/ (Л) — (1 + 2v) q/ (Л)] cos ас + 4 = 0,(3.17.49)
так как q/ (力)и q/〃 (力) 一 четные функции. Отсюда заключаем, что постоянная А равна нулю и
q/〃 (Л) - (1 + 2v) q/ 仇)=0.(3.17.50)
Подставляя в это равенство выражение (3.17.43) для функции ср (力)， получаем соотношение
у (у2 + 1 + 2v) С cosyh + у (у2 + 1 + 2v) С cos уЛ = 0.(3.17.51)
Учитывая, что 2v = — (у2 + у2) и уу = 1, имеем
у (у2 + 1 + 2v) = у (1 - у2) = у - у, у (у2 + 1 + 2v) = у - у. (3.17.52)
Следовательно,
С cosyh — С cosyh = 0.(3.17.53)
Поэтому С = D cos уЛ и О = D cos уЛ и
屮⑴=О (cos^/i sin yt + cos yh sin 了力),(3.17.54)
где D — новая постоянная, имеющая вещественное значение.
Для отыскания этой постоянной воспользуемся первым граничным условием (3.17.27). Подставив в него выражение (3.17.44) для о? и (3.17.48) для tjg, а затем заменяя функцию 屮(力)ее выражением (3.17.54), получим
4со8 — aD [(1 — у2) cosy/г sin yh + (1 — у2) cosyh sin yh] = 0. (3.17.55)
Отсюда
(3.17.56)(3.17.56)2 cdS
(3.17.56)
(3.17.56)
p (p sin 2ah + a sh 20无)
причем в последних преобразованиях использованы соотношения
(3.17.57)(3.17.57)1 - у2 = 1 - ос2 + р2 - 2a便=2р2 - 2осрг,1 — у2 = 2^2 + 2a 位
(3.17.57)
(3.17.57)
и равенства
sin (у + у) Л = sin 2ah, sin (у — у) Л = sin 〃2伙=ish2^h. (3.17.58)
Сумма, стоящая в квадратных скобках выражения (3.17.55), положительна при всех значениях h. Постоянная D, таким образом, всегда ограничена и обращается в нуль, только если амплитуда возмущения границы полосы 3 равна нулю. Отсюда следует, что в таком случае в процессе деформирования возмущения не возникнут.
Пусть 3*0. Заметим прежде всего, что согласно (3.17.48) на торцах полосы касательное напряжение исчезает, так как
sin al = sin тл = 0.(3.17.59)
Нормальное напряжение Q на торце 力 = 0 отличается от соответствующего напряжения 磋 для невозмущенной полосы на малую величину. Подставив (3.17.44), (3.17.37) и (3.17.46) в первую из формул (3.17.21), имеем
或—^~——2ца2ф,⑴ cos ах — ：； (q/〃 ⑴—vq/ (力))cos ас, (3.17.60) где cos ах следует заменить единицей.
Равнодействующая всех нормальных усилий на торце, как и следовало ожидать, остается, с точностью до малых второго порядка, без изменения. Действительно, величина этой равнодействующей определяется интегралом
6+56+5
尸=]必 dg = 2(6 + 3)^^ — |^ ] [ф^ {ay) + ^ {ay]\dy.
—6—5—6—5
(3.17.61)
Последний интеграл вследствие малости подынтегрального выражения и возмущения полосы на торце может быть взят в пределах от —Ь до +仇 чему соответствует интегрирование по переменной t = ау в пределах —h до +%. В результате, учитывая выражение (3.17.54) для функции 屮⑴，получаем
尸= 2(6 + 3)当一 1 + v
—:;J [(1 — у2) cosy/г sin уЛ + (1 — у2) cosуЛ sin y/i] . (3.17.62)
Выражение в скобках, будучи умноженным на а。，согласно (3.17.55), равно 4со8. Произведя очевидное сокращение, приходим к формуле
(3.17.63)(3.17.63)
(3.17.63)
(3.17.63)
для равнодействующей усилий на торце невозмущенной полосы. То же имеет место, разумеется, и для любого сечения полосы.
Рассмотрим какую-либо точку границы с абсциссой х. Возмущение границы в этом месте равно
Вертикальная составляющая о возмущения скорости основного течения, согласно (3.17.19), (3.17.37) и (3.17.54), выражается формулой
V = aD cos ах [cos yh sin уЛ + cos уЛ sin ^川 =a。sin 2a h cos ax.
(3.17.65) Возмущение будет иметь тенденцию расти, если эта составляющая имеет тот же знак, что и возмущение % т. е. если
-=吆 sin2ah > 0.(3.17.66)
т| 5
Такое возмущенное движение назовем, следуя А.А. Ильюшину, неустойчивым.
Заметим, что так как Л = аЬм а =，(1 — v)/2, то ah = aby/ (1 — v)/2 и с учетом формулы (3.17.34) условие неустойчивости (3.17.66) можно представить в виде
2几兀 < 2ah = 2*б'^^^ < (2n + 1)兀，(3.17.67)
где п — целое число.
В процессе деформирования длина полосы Z увеличивается, а ширина 6 уменьшается, поэтому одно и то же возмущение попеременно возрастает и убывает, пока, наконец, величина 2а/г не становится меньше 兀,после чего движение становится окончательно неустойчивым, по А.А. Ильюшину, и полоса должна разорваться.
При сжатии полосы имеет место обратная картина, в частности, возмущения, возрастающие при растяжении, будут при сжатии убывать.
Переходя к решению задачи об устойчивости вязкопластического течения цилиндра, остановимся прежде всего на выводе уравнений пространственного течения вязкопластической среды. Выделим элемент среды в форме малого параллелепипеда, ребра которого ориентированы по главным направлениям тензора напряжений. Примем в качестве первой гипотезы о поведении среды, что главные оси тензора напряжений совпадают с главными осями тензора скоростей деформации в каждой ее точке.
Пусть £j, £2 и £3 — главные скорости деформирования элемента среды и
Зе = £i + £2 + £з(3.17.68)
—относительная скорость изменения его объема. Величины
назовем скоростями формоизменения элемента среды; здесь и далее "1, 2, 3.
В случае несжимаемости материала £ = 0 и, следовательно,
& = %.(3.17.70)
Предположим, в качестве второй гипотезы, что скорость деформирования вязкопластического тела остается неизменной, если главные напряжения 仇 увеличиваются или уменьшаются на одну и ту же величину. Это означает, что существенное значение здесь имеют не сами главные напряжения 仇,а разности
域=仇—d(3.17.71)
где
о = ； G +。2 + °з)(3.17.72)
—среднее нормальное напряжение — первый инвариант тензора напряжений.
Разности Oj — о с точностью до некоторой аддитивной постоянной Г, определяемой посредством закона деформирования конкретного материала, будем называть напряжениями формоизменения S^. Таким образом,
& =「+ 仇—о.(3.17.73)
Очевидно, что
& +S2 + S3 = 3「，(3.17.74)
т. е. величина Г равна среднему арифметическому напряжений формоизменения Sc.
Пусть все скорости формоизменения Si отличны от нуля. Тогда в виде основного закона деформирования вязкопластического тела примем следующее соотношение между напряжениями формоизменения Si и одноименными скоростями деформирования *:
Si = К sign sc + |iSj.(3.17.75)
Здесь К — характерная для данного материала пластическая постоянная и ц — коэффициент вязкости.
Так как
S] + §2 + S3 = 0,(3.17.76)
то одна из скоростей формоизменения Si должна по модулю равняться сумме модулей двух других. Обозначим такую скорость через 门 и будем ее считать, имея в виду последующее, положительной. Тогда 霞
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута 625 и £3 окажутся отрицательными, и в силу закона (3.17.75) получим
Si = К + |isj, S2 = —К + 11S2, S3 = —К + 11S3.(3.17.77)
Согласно равенству (3.19.74) имеем теперь
「= ；(&+ S2 + S3)= -；к,(3.17.78)
вследствие чего соотношения (3.19.73) приводятся к виду
К + |isj = — -/С +。1 — 5
К + (is? — -；" + °2 - d(3.17.79)
К + |15з = — -/С + Оз — о.
Отсюда, принимая материал несжимаемым и учитывая равенство (3.17.70), получаем окончательные формулы, связывающие главные напряжения 仇 с главными же скоростями деформирования q в случае £1 > 0, £2 < 0, £3 < 0, т.е. £i = IbI + Ез|, а именно
4 〃
6 =小+ 0 +叫，
°2 = —|к + о + 闌2,(3.17.80)
2
03 = -小 +0+ 開3, причем и〉。2, oi〉оз・
Если £j < 0, но 回 I больше и %, и £3, то в формулах (3.17.80) следует изменить знак перед пластической постоянной на обратный.
Рис. 187Рис. 187Действуя согласно правилам преобразования компонент тензора напряжений и тензора скоростей деформации, можно представить закон пространственного деформирования вязкопластической среды в произвольной системе координат и получить полную систему уравнений для решения задач пространственного течения.
Рис. 187
Рис. 187
01 =02 + 2k,02 =03・01 =02 + 2k,02 =03・(3.17.81)(3.17.81)Заметим, что при ц = 0 (рис. 187), т. е. при отсутствии у материала вязких свойств (а также при исчезающе малых скоростях деформирования) соотношения (3.21.80) обращаются в условия полной пластичности X аара-Карм ан а [229, 175]:
01 =02 + 2k,02 =03・
01 =02 + 2k,02 =03・
(3.17.81)
(3.17.81)
Рассмотрим теперь особый случай, когда одна из скоростей формоизменения, например §2, обращается тождественно в нуль. Подчиним тогда деформирование вязкопластического тела несколько видоизмененному по сравнению с (3.17.75) закону
& = K + rsi, —K&S2& К, S3 = —К + ^з・(3.17.82)
Здесь принято, что Si > 0. Таким образом, значение напряжения формоизменения S2 остается неопределенным.
Учитывая равенство (3.17.70), получаем при 貶 = 0, что
S3 = —S1(3.17.83)
и, следовательно, согласно первой и третьей формулам (3.17.82), а также равенству
「=；(&+S2 +S3) = ；S2,(3.17.84)
принимает теперь вид
К + |isi = ；$2 + 01-0,
S2 = 3S2 + °2 - 5(3.17.85)
— К + 11S3 = 3S2 + оз — о, откуда с учетом (3.17.69)
。1 — оз = 2K + |i ® — £3) •(3.17.86)
Так как в данном случае 门〉％〉£з 网。1〉。2〉。3, то из (3.17.86) следует соотношение
Ппах = К + — ЦУгпах ? Утах = ^1 —改,(3.17.87)
которое имеет ту же структуру, что и рассмотренный выше закон (3.17.1) для плоского деформирования вязкопластической среды.
Значения главного напряжения。2, равно как и напряжения формоизменения S2, в рамках принятого закона (3.19.82) остаются неопределенными. Однако из (3.17.85) следует также, что
02 =以色 + 52,(3.17.88)
и, во всяком случае, главное напряжение ⑦ при плоском деформированном состоянии отличается от полусуммы главных напряжений 仃 и
оз в соответствии с (3.17.82) не более, чем на значение пластической постоянной М).
Итак, рассмотрим растяжение круглого цилиндра под действием нормальных сил, равномерно распределенных по его торцам. В силу симметрии и однородности деформации надлежит считать
% = % = -% < &(3.17.89)
где £ж, % и % — скорости деформации в системе координат, ось z которой совпадает с осью цилиндра, причем & > £ж,冲 Таким образом, по оси z направлена главная ось тензора скоростей деформирования, соответствующая наибольшему значению скорости продольной деформации. В цилиндрических координатах закон (3.17.80) связи компонент тензора напряжений и тензора скоростей деформации представится теперь в виде
4
Ое = О— |к + 開 е,(3.17.90)
2
= О — 3 К + |1£г.
При этом роль главных напряжений 1, 2 и 3 упомянутых тензоров играют г, 9 и г.
Так как боковая поверхность цилиндра свободна от усилий и напряженное состояние однородно, то следует положить
о「=0, о® = 0.(3.17.91)
Тогда, согласно (3.17.90) и (3.17.91), получаем
ougK + y%,= 2К + -ц£^.(3.17.92)
Если через vz, о「，о® обозначить составляющие скорости какой- либо частицы цилиндра в цилиндрических координатах, то при растяжении цилиндра следует положить проекцию * равной нулю. На основании известных формул имеем в этом случае
dvzdvr 。「dvzdvr 。「(3.17.93)(3.17.93)
dvzdvr 。「
dvzdvr 。「
(3.17.93)
(3.17.93)
1) Близкое к изложенному рассмотрение законов пространственного деформирования не вполне упругих и вязкопластических тел см. в гл. 2 настоящей книги.
При растяжении скорость деформирования sz положительна; обозначим ее через со. Очевидно, что течение
vz = coz, vr = —^①丁， Vq = 0,(3.17.94)
где со〉0, имеет требуемые скорости деформирования. Растяжение цилиндра, определяемое этим законом, назовем невозмущенным.
Исследуем течение тела, ограниченного поверхностью вращения, близкой к поверхности круглого цилиндра. Пусть в некоторое мгновение времени уравнение образующей этой поверхности в цилиндрических координатах имеет вид
<o = R + 3cosaz,(3.17.95)
где R — радиус исходного цилиндра, 3 — малая величина, представляющая амплитуду «возмущения» поверхности цилиндра, на — параметр, характеризующий длину волн возмущения. Примем, что на длине цилиндра I укладывается целое число т полуволн возмущения поверхности и, следовательно,
а = тп/1.(3.17.96)
Комбинируя простейшие гармонические возмущения с разным числом полуволн т, укладывающихся по длине цилиндра, можно получить возмущенную поверхность достаточно произвольного вида.
Вследствие малости элементарного возмущения следует ожидать, что течение тела с возмущенной границей будет мало отличаться от течения цилиндра, если сохранить те же растягивающие нормальные усилия, действующие по торцам.
Можно поэтому считать, что главная ось тензора скоростей деформирования с наибольшей скоростью продольной деформации в возмущенном движении будет лежать в меридиональной плоскости (рис. 188) и образовывать малый угол 2 с осью z. Пусть о" о$, og — главные напряжения в какой-либо точке сечения тела с возмущенной границей
и £j, £2 и ез — значения главных скоростей деформации в той же точке. За первое главное направление тензора напряжений, а также тензора скоростей деформирования примем направление, близкое к оси г, а за третье — перпендикулярное первому и лежащее, как и первое, в меридиональной плоскости.
Согласно известным формулам преобразования компонент тензора напряжений и компонент тензора скоростей деформации (см. также круги Мора на рис. 189, 190) имеем в данном случае соотношения
壮=；($ + &) + ； ($ - &) cos 2%
^r = \ (d + 必)-；(d -必)cos 2%(3.17.97)
(z = - ；« —必)sin 22
и аналогично
4 — I (ei + ез) + I (ei - ез) cos 2%
4 = | ® + 4) - I ® - &)cos2%(3.17.98)
九=I (ei - g)sin2&
Кроме того, конечно,
品=达・(3.17.99)
Так как первое направление является главным направлением течения, то согласно закону деформирования вязкопластической среды
аналогично (3.17.90) полагаем
(3.17.100)(3.17.100)，=『+ # +陷,2
(3.17.100)
(3.17.100)
0$ =0' 一 3 k + 得,2
0!=/ 一 3 k + R或.
Подставляя значения & и о$ в формулы (3.17.97) для компонент тензора напряжений и пользуясь также формулами (3.17.98) для компонент скоростей деформации 曝 以 и у^, получим
о； = с/ + ； К + К cos 2» + fie；,
о； = с/+ ；К — К cos 2» + 陷，(3.17.101)
厶=-К sin 22+ ；必
и, кроме того,
d = J —gK + 開彳.(3.17.102)
Для основного течения соответственно имеем
。2 =0° ++ 11丛 或=0。-+ 開3 = 0,
II(3.17.103)
仪=0, 或=о。一 |к + 崎=0.
Используя эти соотношения, можно представить выражения (3.17.101) в виде
о； — о? + о - К (1 一 cos 2合)+ В (К - £?),
J — -К sin 2» + ^闻■z，
о； = о + К (1 — cos 2») + ц(£^ — £：),
<4 =。+ R 僞- £；),
где теперь о = о7—о0 — возмущение среднего арифметического главных напряжений.
Вводя для разности проекций скоростей возмущенного и основного движений обозначения
приходим в соответствии с (3.17.93) к равенствам
и, кроме того.и, кроме того./ — £° =a。； _ dzо 0dvz dz4 - eo =dvr dr-=dvr dr£$ - ee_ vrvr丁гrdvr,dvz^rz '-dzor/ — £° =a。； _ dzо 0dvz dz4 - eo =dvr dr-=dvr dr£$ - ee_ vrvr丁гrdvr,dvz^rz '-dzor(3.17.106)(3.17.106)(3.17.107)(3.17.107)
и, кроме того.
и, кроме того.
/ — £° =
a。； _ dz
о 0
dvz dz
4 - eo =
dvr dr
-=
dvr dr
£$ - ee
_ vr
vr
丁
г
r
dvr
,dvz
^rz '
-dz
or
/ — £° =
a。； _ dz
о 0
dvz dz
4 - eo =
dvr dr
-=
dvr dr
£$ - ee
_ vr
vr
丁
г
r
dvr
,dvz
^rz '
-dz
or
(3.17.106)
(3.17.106)
(3.17.107)
(3.17.107)
Полагая cos 2й ^ 1 и sin 2» ^ 2» вследствие малости угла 2 и принимая во внимание равенства (3.17.106) и (3.17.107), представим выражения (3.17.104) в форме
(3.17.108)(3.17.108)h=02 +0 + й碧，，=一2k合+ 加（第 + 第
(3.17.108)
(3.17.108)
/. dvr. Vr
% = 0 +乩齐，①=0 +丁
Здесь для определения угла 2 следует воспользоваться известной формулой
(3.17.109)(3.17.109)
(3.17.109)
(3.17.109)
Так как величины dvz/dz и dvz/дг^ представляющие собой возмущение скоростей деформирования, малы по сравнению со скоростями деформирования основного течения £® = со и £® = —со/2, то с точностью до малых второго порядка имеем
(3.17.110)(3.17.110)
(3.17.110)
(3.17.110)
(3.17.111)(3.17.112)(3.17.111)(3.17.112)
(3.17.111)
(3.17.112)
(3.17.111)
(3.17.112)
В результате выражение (3.17.108) для напряжения，может быть представлено в виде
rz ~ \2^J \ dz dr J ~dr J
так как
о? = 2K + |цсо.
Вязкопластическая среда принимается несжимаемой. Поэтому имеет место уравнение
碧 + 需 + ^ = & или ^ ") + ^ (…)=0-(3.17.113)
Оно образуется в результате вычитания левых частей уравнения
Вторая формаВторая форма(3.17.114)(3.17.114)несжимаемости возмущенного и основного течении, уравнения (3.17.113) позволяет заключить, что
Вторая форма
Вторая форма
(3.17.114)
(3.17.114)
Т。2=-而，Т。Т=並，
где % — некоторая функция переменных г и г, а также и времени, которое в нашей задаче фиксировано.
Для компонент тензора напряжений возмущенного движения из (3.19.108) и (3.19.111) получаем выражения
дгдгГ dz2Г dz2,丄а,丄а:TN = RS:TN = RS(3.17.115)(3.17.115)
дг
дг
Г dz2
Г dz2
,丄а
,丄а
:TN = RS
:TN = RS
(3.17.115)
(3.17.115)
(3.17.116)(3.17.116)пе = c + 祭,s g〉0.
(3.17.116)
(3.17.116)
Отбросим инерционные члены и массовые силы в уравнениях пространственного движения среды и перейдем к цилиндрическим координатам. При наличии осевой симметрии имеем
3 тdzили3 тdzилиdr dz r 'dr dz r '(3.17.117)(3.17.117)а（тог）а（тог）а (丁5) _n а (те) a D _ nа (丁5) _n а (те) a D _ n
3 тdz
или
3 тdz
или
dr dz r '
dr dz r '
(3.17.117)
(3.17.117)
а（тог）
а（тог）
а (丁5) _n а (те) a D _ n
а (丁5) _n а (те) a D _ n
Подставляя сюда выражения (3.17.115) для напряжений 必，，о； и Од для определения функций о и % получим
до aТ济+ % Tдо aТ济+ % T片卜3z 丁 N drdz2 Зт片卜3z 丁 N drdz2 Зт+ |15+ |15"iff =&"iff =&=0.(3.17.118)=0.(3.17.118)
до a
Т济+ % T
до a
Т济+ % T
片卜
3z 丁 N drdz2 Зт
片卜
3z 丁 N drdz2 Зт
+ |15
+ |15
"iff =&
"iff =&
=0.(3.17.118)
=0.(3.17.118)
Исключая из последних уравнений функцию о, имеем
色1色色1叁 门 м а 1 * I 1工3 1* дг г дг дг г дг 亠 dr г drdz2 г dr dr г dz2
与翁+ ；賣=°・(3・17・119) г oz 丁 dz
После выполнения операций дифференцирования последнее уравнение представляется в форме
+ 2(1 ——；信)+s* = 0・ (3.17.120)
Граничные условия на возмущенной боковой поверхности цилиндра могут быть представлены аналогично условиям (3.17.22) и (3.17.27) на криволинейных краях полосы. Для этого достаточно заменить координаты х и у соответственно на г и г и напряжения о?, о^ и т4g на 成，о； и 匕z・ В результате получаем условия
о°a8sin az +，=0, о； = 0,о°a8sin az +，=0, о； = 0,(3.17.121)(3.17.121)
о°a8sin az +，=0, о； = 0,
о°a8sin az +，=0, о； = 0,
(3.17.121)
(3.17.121)
причем аналогично задаче о растяжении полосы значения напряжений ，и о； можно брать на границе невозмущенного течения, т. е. при г = =R.
Сообразуясь с видом граничных условий, будем искать решение дифференциального уравнения для функции % в виде
(3.17.122)(3.17.122)% = sin azcp (ar).
(3.17.122)
(3.17.122)
Подставляя это выражение в уравнение (3.17.120) и производя сокращения, получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции ср (аг):
屮"⑴一押"⑴+ (与 - 2v)屮"⑴一%⑴+屮⑴=0. (3.17.123)
В нем за независимую переменную t принято произведение ат, а коэффициент V представляет выражение
(3.17.124)(3.17.124)_ 1 — s _ Зсо卩—о? _ Зсо卩—4K
(3.17.124)
(3.17.124)
V = s == Зсф + 4K '
причем —1 < V < 1. Левая часть уравнения для 屮(力) может быть представлена с помощью произведения двух коммутативных дифференциальных операторов
(*-；^+『) (*-；^+У)屮=°'(3.17.125)
где, как и выше,
у = а +阻 у = ос — гр, а = ,(1 — v)/2, 0 =，(1 + v)/2. (3.17.126)
Отсюда следует, что решение дифференциального уравнения (3.17.123) для ср(Z)является суммой общих решений двух дифференциальных уравнений второго порядка. Подстановкой
^(t)=力W(力)，(3.17.127)
где 屮(力)—новая неизвестная функция, эти уравнения приводятся к известным уравнениям для функции Бесселя первого порядка [34]:
w"⑴+ % (%)+ w(%)=0^
〉〈(3.17.128)
w"⑴+ % (%)+卜-方)w(力)=0,
Таким образом, функция 屮(力)является линейной комбинацией функций 力/ (丫力)，力/ (yZ), tN\ (丫力)и tN\ (了力)，где / (z) означает функцию Бесселя первого порядка и N、⑶ 一 функцию Неймана также первого порядка.
Функция Неймана первого порядка при значении аргумента 力 равном нулю, имеет простой полюс. Поэтому вследствие ограниченности возмущения скоростей
vr = -^ = -г cos azcp ⑴,
т 力 2(3.17.129)
vz =cosazq/ (t)
r oz t
на оси цилиндра следует опустить функции Неймана в выражении для функции 屮(力).Поэтому примем для функции 屮(力)выражение
Ф ⑴=Си ⑴ + Си ⑴,(3.17.130)
где через 〃(力)и 〃 (力)будем обозначать функции
Нетрудно видеть, что при такой форме записи функция ср (力)принимает действительные значения и зависит от двух произвольных действительных констант, входящих в состав сопряженных комплексных постоянных С и С. Из изложенного выше (см. (3.17.125)) следует, что сопряженные функции и и й удовлетворяют уравнениям
“〃 —；〃‘ =—/а,.〃 —；可=—у2й.(3.17.132)
Комплексную постоянную С можно найти из граничных условий задачи. Для этой цели определим напряжение о и затем подсчитаем напряжения о； и 匕之 на боковой поверхности цилиндра. Подставим в уравнения (3.17.118) функцию %, выраженную через функцию 屮(力) согласно (3.17.122), и определим из них частные производные функции о по переменным г и z. Получим
案=—|is cos az {v :屮〃 (ат) — \q/(ат) — ^cp (ar) j> ,
^! = (is sin az {:屮〃/ (ат)-斗屮〃 (ат) + 号屮' (ат)—子屮’ (a丁)} •
(3.17.133)
Из последнего соотношения частным интегрированием по z приходим к равенству
0 = —(is cos az :屮〃/ (a丁)—与屮〃 (ат) + (与-y;)屮'(a丁) + r(丁)，
(3.17.134) где F (г) — неизвестная функция переменной г. Для отыскания этой функции подставим полученное выражение в первое из соотношений (3.17.133). Имеем
|is cos az 匕屮〃〃 (ат) — ^^q/“ (ат) + (空—2v—^ 屮〃 (ат)—
—(与一2v\) q/(ат) + }屮(ат) = —Fz (г). (3.17.135)
Выражение в квадратных скобках этого равенства после замены переменной аг на переменную t обращается с точностью до множителя в левую часть уравнения (3.17.123) и, следовательно, равно нулю. Функция F (г) сводится, таким образом, к некоторой постоянной, которую обозначим буквой А. Выражение (3.17.134) для среднего напряжения
о= —{is。？ cos azо= —{is。？ cos az士М(м) —总屮〃 (м) +士М(м) —总屮〃 (м) +о принимает теперь вид
о= —{is。？ cos az
о= —{is。？ cos az
士М(м) —总屮〃 (м) +
士М(м) —总屮〃 (м) +
q/ (ат) + А.
(3.17.136)
Далее, согласно (3.17.115), выполняя подстановку (3.17.122), приходим к равенству
必=о + в^ (；f|) =o + RS(l+v)a3cosaz ^屮‘(ат) — ^^屮(ат).
(3.17.137)
Заметим, что согласно (3.17.124) здесь
l+v = l + ^^ = -.(3.17.138)
После введения переменной t и подстановки выражения (3.17.136) получим
3卩sa cos az0 =;3卩sa cos az0 =;" (力)-%"⑴ +
3
卩sa cos az
0 =;
3
卩sa cos az
0 =;
+ (方—1 — 2v)屮‘(力)+ 1 ； v(p ⑴ + A. (3.17.139)
Согласно второму граничному условию всюду на боковой границе невозмущенного цилиндра напряжение о； должно обращаться в нуль. Поэтому 4 = 0 и
屮〃/ 仇)-；屮〃d)+ (分一1 - 2。) (/ d)+ 中屮仇)=0, (3.17.140)
где h = ar — значение переменной 力 соответствующее границе. Подставим в последнее соотношение выражение (3.17.130) функции ср через функции и и й и заметим, что дифференцирование (3.17.132) дает
ит- ；〃〃 + ^ J =—『认 / — 3〃 + ^工=-у2^.(3.17.141)
Тогда из (3.17.140) следует
_(72 + 1 + 2v) "’ d)H^-" (")C+
+ -(Y2 + 1 + 2v) uf (Л) + ^^й (Л) 0 = 0. (3.17.142)
Замечая, что согласно (3.17.126) 2v = —у2 — у2 и 1 = уу, имеем
у2 + 1 + 2v = у (у - у) , у2 + 1 + 2v = у (у - у) ,1 + v = - (у - у)2 /2.
(3.17.143)
Используя эти равенства, получаем из (3.17.142)
==，(3.17.144)
iu (Д) + - (у - у) й (h)/h уи (Д) + - (у - у) тх (Д)/Д
где D — действительная постоянная, так как отношения, стоящие в левой и правой частях получившегося равенства, являются сопряженными.
Заменяя в (3.17.130) постоянные С и С на D, получим для функции Ф выражение
〃(%)>• (3.17.145)〃(%)>• (3.17.145)
〃(%)>• (3.17.145)
〃(%)>• (3.17.145)
Вторая формула (3.17.115) — для касательного напряжения 匕之— после замены % выражением (3.17.122) и аг на t принимает вид
/卩sY sin az'rz =1/卩sY sin az'rz =1屮"⑴一*⑴+屮⑴•屮"⑴一*⑴+屮⑴•(3.17.146)(3.17.146)
/卩sY sin az
'rz =1
/卩sY sin az
'rz =1
屮"⑴一*⑴+屮⑴•
屮"⑴一*⑴+屮⑴•
(3.17.146)
(3.17.146)
Оно обращается в нуль на крайних сечениях цилиндра. Подставляя сюда представление (3.17.130) функции ср через функции и и й и учитывая (3.17.132), получаем
，=-弋т°“ [(1-Y2) Си (力)+ (1 — у2) Си ⑴]• (3.17.147)
Выражая здесь постоянные С и С в соответствии с (3.17.144) через D и принимая во внимание, что 1 — у2 = у (у — у) и 1 — у2 = у (у — у), в силу (3.17.126) имеем
卩sd sin az4 fу卩sd sin az4 fу
卩sd sin az4 f
у
卩sd sin az4 f
у
-7 7〃' (^) + I(Y - ?) ^^(3.17.148)
На границе невозмущенного течения, т. е. при t = h^ напряжение t>n представляется формулой
х ^и (Л) uf (Л) — ^и (Л) и1 (Л) — (у2 — у2) U ^^ ^ . (3.17.149)
Полученное выражение можно несколько преобразовать. Для этой цели рассмотрим функцию
В (力)=『" (力)〃‘(力)-Fa (力)"‘⑴.(3.17.150)
Подсчитаем ее производную и воспользуемся выражениями 〃” и 蹴 из равенств (3.17.132). Получаем
В'⑴=(Y2 - ?2) 〃'(t)"(力)+ ；卜2〃 (力)"(t) - 了2〃 (t) и1 (力)]• (3.17.151)
Отсюда
吟翠=С —力"'⑴"'(力)(3.17.152)
и, следовательно,
в (t) = (у2 - у2) t "'⑴，⑴威 +石力(3.17.153)
о
где Е — константа интегрирования. Для ее определения заметим, что разложение функции В (力)по степеням переменной t начинается с членов третьей степени относительно 力 ибо функция и (力)разлагается в ряд
и (力)=yZЛ (yZ)=『产/2 - 丫％4/16 + . . .(3.17.154)
и аналогичное разложение имеет функция 〃(力).Разложение по степеням t интеграла, стоящего в правой части последнего равенства, также начинается с членов третьей степени. Вследствие этого, сопоставляя разложения левой и правой частей равенства, приходим к заключению, что константа Е равна нулю. Используя полученное представление функции В (力)，можно выражение (3.17.149) для напряжения 匕之 на границе течения представить в виде
h
xrz = —8|isa3 sin aza^D [ j 〃 ")〃 ")“力一 〃(无)彳(无),(3.17.155)
о~
так как у — у = —2便 и у2 — у2 = 4а0〃.
Выражение в квадратных скобках представляет собой величину существенно положительную. Действительно, полагая
и = tv и 〃 =力方，(3.17.156)
где о и 行 一сопряженные функции переменной 力 разложение которых начинается уже с первых степеней 力 имеем
* =+ (о 万)'+ ^, 景=“万.(3.17.157)
Теперь нетрудно убедиться, что выражение, стоящее в квадратных скобках равенства (3.17.155), представляет собой сумму следующих положительных слагаемых:
hh
tvf (Z) vf (Z) dt + ” ⑴;⑴ d力 + ^o (九)方(九).(3.17.158)
оо
Подставляя выражение (3.17.155) для (之 ПРИ t = h в первое граничное условие (3.17.121), получаем для постоянной D выражение
D^^/LccpW 卜'"'％%」(?”)L (3.17.159) / I Lo
в котором все множители существенно положительны. Таким образом, константа D ограничена и всегда положительна.
Чтобы судить об устойчивости течения, определим проекцию возмущения скорости на направление г. Подставим (3.17.145) в первую из формул (3.17.129), имеем
2a cos az °2a cos az °й⑴+й⑴+(3.17.160)(3.17.160)
2
a cos az °
2
a cos az °
й⑴+
й⑴+
(3.17.160)
(3.17.160)
Для подсчета значения этой проекции на границе течения следует положить t = h^ после чего
2
vr =。с j。“ D \yuf (Л) v! (Л) + уй (Л) и1 (Л)] .(3.17.161)
Сумма, стоящая в квадратных скобках последнего выражения, может быть преобразована заменой функций 〃 и 〃 их представлением (3.17.131) через функции Бесселя комплексных аргументов. Согласно
известным соотношениям между функциями Бесселя [34]
"’⑴=^ 卜力j1(沟]=yUi (沟 + Y储(沟]=Y2^o (沟 (3.17.162) и, аналогично,
汇⑴=了2力九伍).(3.17.163)
Используя (3.17.131), (3.17.162) и (3.17.163) в формуле (3.17.161), получаем
vr = a2h cos azD [ Ji (уЛ) Jo (泌)+ / (%九)丿0 (丫九)]•(3.17.164)
Обозначим через “ расстояние точек возмущения границы от цилиндрической поверхности невозмущенного течения. Имеем
г\ = го — R = 3cos az.г\ = го — R = 3cos az.(3.17.165)(3.17.165)
г\ = го — R = 3cos az.
г\ = го — R = 3cos az.
(3.17.165)
(3.17.165)
Если величины иг и г| имеют одинаковые знаки, т. е. о「/г| > 0, то амплитуда возмущения поверхности имеет тенденцию возрастать. Напротив, при разных знаках у величин vr и % или при о「/г| < 0, возмущение должно убывать.
Составляя с помощью (3.17.164) и (3.17.165) отношение о「/г| и учитывая, что величина D, согласно выражению (3.17.159), существенно положительна, приходим к заключению, что знак отношения о「/г| определяется знаком суммы, стоящей в квадратных скобках выражения (3.17.164).
При больших значениях Л можно воспользоваться асимптотическим выражением бесселевых функций [34]:
Jo⑶^Jo⑶^/⑶^/⑶^(3.17.166)(3.17.166)
Jo⑶^
Jo⑶^
/⑶^
/⑶^
(3.17.166)
(3.17.166)
вследствие чего
J1 （汕）J0（7%）+J1 （沖）J0 （Y九）^
+ =_2cosy (3.17.167)
Таким образом, асимптотическое представление для отношения vr/v\ имеет вид
^—，^ cos 2a瓦(3.17.168)
Так как
h = aR =h = aR =тл _ mVnVтл _ mVnV(3.17.169)(3.17.169)
h = aR =
h = aR =
тл _ mVnV
тл _ mVnV
(3.17.169)
(3.17.169)
где V — объем цилиндра, то Л принимает достаточно большие значения лишь при большом числе т полуволн возмущения и при небольшой по сравнению с радиусом длине цилиндра I. По мере растяжения цилиндра Л убывает и отношение vr/v\ может несколько раз переменить свой знак.
При малых значениях Л течение неустойчиво, так как отношение о「/г| становиться положительным. В этом можно убедиться путем непосредственного подсчета по таблицам А. Динника [15, 72] выражения
y = / (淖)九(浊)+ / (冲)Jo (泌)=UolA + %乙 (3.17.170)
где Ug)U\ и %,所一соответственно вещественные и мнимые части функций Jo (丫九)и Ji (уЛ).
Приведем табл. 9, содержащую значения У по (3.17.170) для некоторых значений параметра у. На рис. 191 представлены кривые для зависимости (3.17.170), построенные с помощью этой таблицы.
Рис. 191
Так как согласно (3.17.126)
Y =，(1-v)/2 + 巾(l+v)/2 = ей,(3.17.171)
то аргумент комплексного числа 工 связан с коэффициентом v соотношением
V = — cos 2т(3.17.172)
и, следовательно, в соответствии с (3.17.116) и (3.17.124)
1 Зсф
-=1 + V = 1 — cos 2T.
Таким образом, малым значениям угла 工 соответствует малая скорость деформирования со.
Из рассмотренного поведения кривых на рис. 191 делаем заключение, что при малых скоростях деформирования в принципе возможны устойчивые течения в небольшом интервале значений числа h. При
больших значениях числа Л (что может иметь место при большом числе т полуволн возмущения границы цилиндра) должна появиться устойчивость течения и при больших значениях скорости деформирования. Это следует из асимптотического представления отношения vr/v\ при больших значениях h.
Таблица 9
h
X = exp —г
2汽.
Y2 = exp —г
Зк . Уз = exP
0.0
0.000
0.000
0.000
0.2
0.096
0.091
0.082
0.4
0.185
0.176
0.160
0.6
0.285
0.248
0.230
0.8
0.310
0.303
0.288
1.0
0.337
0.338
0.332
1.2
0.339
0.351
0.361
1.4
0.317
0.343
0.377
1.6
0.274
0.316
0.371
1.8
0.217
0.274
0.357
2.0
0.152
0.222
0.332
2.2
0.087
0.166
0.302
2.4
0.022
0.112
0.269
2.6
-0.021
0.064
0.237
2.8
-0.055
0.026
0.216
3.0
-0.071
0.002
0.195
3.2
-0.072
-0.008
0.190
3.4
-0.058
-0.003
0.198
3.6
-0.033
0.014
0.221
3.8
-0.003
0.040
0.260
4.0
0.029
0.072
0.313
Можно показать, как и в задаче о полосе, что при сжатии цилиндра должна наблюдаться обратная картина и течение, устойчивое при каком-либо значении скорости деформирования со, становится неустойчивым, если переменить направление деформирования. Поэтому при малом значении числа Л неустойчивые течения могут возникать лишь
при сравнительно медленных течениях. А так как ширина этих областей значений Л незначительна по сравнению с областями устойчивого движения, то получение, например, шейки при сжатии цилиндра весьма затрудни тел ьн о, хотя и возможно. Вместе с тем получение волн возмущения малой длины на поверхности цилиндра возможно при широких диапазонах изменения скорости деформирования, ибо при этом число Л принимает большие значения.
С небольшим видоизменением теория, развитая выше, может быть применена к изучению деформирования пластической среды, имеющей упрочнение [113]. Величины vr и vz будут играть при этом роль перемещений. Этим путем можно попытаться объяснить явление образования шейки при растяжении и сжатии цилиндрических образцов.
Наконец, та же теория может быть применена к решению задачи о медленном течении вязкой жидкости в трубе, радиус сечения которой периодически изменяется [171].
§ 18. Об устойчивости вязкопластического течениякруглой пластины
1°. Рассмотрим тело вращения, симметричное относительно некоторой срединной плоскости ху. Пусть
Z = ± [% + с(т)], 丁 =，力2 + д2 (3.18.1)
—уравнения поверхностей, ограничивающих в рассматриваемое мгновение это тело, где С (т) — некоторая функция, принимающая малые значения по сравнению с величиной Л и такая, что она может быть разложена в ряды по функциям Бесселя.
Пусть указанное тело деформ и руется под действием осесимметрической нагрузки, приложенной к боковой цилиндрической поверхности тела.
Можно ожидать, что вследствие малости функции С (г) деформирование тела будет мало отличаться от деформирования круглой пластинки толщиной 2Л под действием нормальных усилий, распределенных по ее цилиндрической поверхности.
Обозначим через 吟 &, 成 и 或 компоненты тензора напряжений круглой пластины, а через 〃g, 〃2, 〃2 一 компоненты скоростей ее точек относительно цилиндрической системы координат г0г при С (г) = 0. Перечисленные величины определяют исходное однородное деформирование, а соответствующие величины о；, i!rz^ о；, ofQ и ufr, 吆，〃厶 ——
644 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа «возмущенное» деформирование (течение) круглой пластинки, когда С(т) # 0・
Будем рассматривать разности о； — *，一 &，°；—或，Г — —о®, а также иг = 〃；一吟〃之 = ufz — v^ и uQ = 吗一圖 как малые величины и называть их возмущениями величин, определяющих основное движение. То же относится к разности среднеарифметических нормальных напряжений о = о7 — о0:
『=；& + 壮 + 疝，。° = ； & +。? + Ge) •(3.18.2)
Определим сначала компоненты тензора напряжений и тензора скоростей деформирования, относящихся к основному течению. Предположим для определенности, что пластина растягивается нормальными силами, равномерно распределенными по боковой поверхности с интенсивностью q.
В силу осевой симметрии движения 观 = 0. Поэтому величины
禦=邑 禦 Т ¥ = W(3-18.3)
являются главными скоростями деформации пластины в исходном, невозмущенном течении пластины. Считая деформацию пластины однородной, положим
А*-①⑴，(3.18.4)
где со (力)一положительная функция времени.
Примем материал пластины несжимаемым (точнее, лишенным объемной деформации). Тогда, как известно, должно соблюдаться условие
Зс。=禦 + 黎 + ? = 0,(3.18.5)
где Зе° — скорость объемной деформации.
Рассматривая теперь (3.18.5) как дифференциальное уравнение относительно перемещения 吟 получим в результате интегрирования соотношения
^ = 1^+^,(3.18.6)
в котором А ⑴一произвольная функция времени. Ее следует положить равной нулю, так как на оси симметрии пластины, то есть при 丁 = 0, перемещение 吟 конечно, равно нулю.
Имеем теперь
竣=需=；* = ^ =扌①(3.18.7)
и, следовательно, при со = со (力)> О
同J =£：+*.(3.18.8)
С главными компонентами тензора скоростей деформации 珊 唸 £? свяжем, как и в [166], формулами
£： =+ £°, * = S； + £°, £? = S? + £°(3.18.9)
так называемые скорости формоизменения s®,即 sg. Согласно (3.18.5) материал несжимаем (е° = 0), и, таким образом,
ег — 5г ? ее — s；, с? = s?.(3.18.10)
Следовательно, в соответствии с (3.18.4) и (3.18.7)
碎 > 0, s；〉0,s? < 0.(3.18.11)
Согласно предположенным в [166] уравнениям пространственного деформирования вязкопластической среды представим главные напряжения о“。2, оз в виде
G• = G + ^ - Г (〃 = 1, 2, 3),(3.18.12)
где
3「= S1 + $2 + S3, О = ； G1 + 02 + Оз) ,。1》。2》。3・
Величины Sc, которые называются напряжениями формоизменения, подчиним, как и в [166], закону
Si = К sign sc + |iSj.(3.18.13)
Учитывая равенства (3.18.10) и неравенства (3.18.11), главным осям 1, 2 и 3 тензора напряжения и совпадающим с ними главным осям тензора скоростей деформации следует поставить в соответствие оси г, Q и z. Получаем
Sz = —К — ц£2, St = K + |i%, Se = К + |1£0, Г = |к. (3.18.14)
Возвращаясь к (3.18.12), (3.18.4) и (3.18.7), приходим к исходным для дальнейшего соотношениям, связывающим главные компоненты тензора напряжений о?, о®, og с функцией со(%):
或=0° + S% -「= о° + |к + 加①，о? = J + S? -「= J - |к - рю, 國=J + S： —「= о° + |к + 加 со.(3.18.15)
Верхнее и нижнее основания пластины (z = ±九)свободны от усилий. Поэтому следует положить 成=0, вследствие чего
о° = gk + цсо, 或=о； = 2K + |цсо = q.(3.18.16)
Последнее соотношение определяет со, характеризующую скорость деформирования полосы, ибо вследствие граничных условий на боковой ее поверхности следует положить о® = q. Если пластина не растягивается, а сжимается, то достаточно во всех приведенных выше выражениях изменить знак у пластической постоянной.
2°. Для возмущенного движения направления двух из главных осей тензора напряжения будут несколько отличаться от направлений осей основного движения, а именно: ось 2, соответствующая направлению 0, останется в силу симметрии неизменной, оси же 1 и 3, соответствующие направлениям гиг, отклонятся от этих направлений на малый угол 2 (рис. 192).
Из рассмотрения круга Мора (рис. 193) нетрудно получить соотношения
H = T + —cos2* = Т —Kfcos2%
，=若国 Sin 2%(3.18.17)
где Oj и 03 — главные напряжения, относящиеся к возмущенному движению.
Аналогично (рис. 194) для скоростей деформирования имеем / .//// .///
/£1 + £з 丄 £1 一 £зf £1 + £3£] 一 £з Q
屮= 212C0S 2% 员= 22C0S 2%
九=(£1 -或)sin 2%九=(£1 -或)sin 2%(3.18.18)(3.18.18)
九=(£1 -或)sin 2%
九=(£1 -或)sin 2%
(3.18.18)
(3.18.18)
где £j и £3 — главные скорости деформирования, относящиеся к возмущенному движению.
Так как главным осям 1 и 3 соответствуют оси г и г, то94
d = с/ + gK + 陷，必=с/ - 3К + 陷，(3.18.19)
откуда
屮=『屮 +乩屮 修 =К +(3.18.20)
Следовательно,
Qr = q — ^К К cos 2» + ^г, qz = q — ^К — К cos 2» + 開；,
(z = К sin 2合 + ^^zr.(z = К sin 2合 + ^^zr.(3.18.21)(3.18.21)
(z = К sin 2合 + ^^zr.
(z = К sin 2合 + ^^zr.
(3.18.21)
(3.18.21)
В последних равенствах
(3.18.22)(3.18.22)/ _ диг _ За； диг _ со диг% дг дг дг 2 дг 5/ duz ди^ duzduz
(3.18.22)
(3.18.22)
「而=宣+而=-
rz dz dr dz 3丁,'
где ur nuz— возмущения компонент основного движения, а о — возмущение среднего напряжения. Учитывая малость % равенства (3.18.21) можно привести к виду
(3.18.23)(3.18.23)о； = о。+ |к + 加① + ° +=或 + ° +
(3.18.23)
(3.18.23)
/ — о 4 7. a〃z — о I I a〃z
。2 =。— gK — |K0 +。+ R 不《=久 +。+ H~^5
а так как 碎=2K + Зцсо/2 и о? = 0, то
о： = 2К + ^乩① + о + |i^； , о； = о + |ij； •(3.18.24)
Далее имеем (см. рис. 194)
电2"占。(需+若)/®+需)-(…謂｝
(3.18.25)
или, с точностью до малых второго порядка.
Поэтому третье из равенств (3.18.21) может быть преобразовано к виду
3°. В дифференциальных уравнениях возмущенного движения отбросим инерционные члены и массовые силы, считая влияние их на движение незначительным. После этого уравнения примут вид
h 1= 0, h F1=0.(3.18.29) or oz ror oz r
Подставляя сюда компоненты тензора напряжений, получим два соотношения
связывающие три неизвестные функции о, иг и uz. Для получения третьего соотношения следует воспользоваться условием несжимаемости среды
禦 + 氏 + 幣=0. (3.18.31) or r oz
Отсюда следует, что функции иг и uz могут быть представлены в виде
u 一u ——1叁r ozг oru 一u ——1叁r ozг or(3.18.32)(3.18.32)
u 一u ——1叁r ozг or
u 一u ——1叁r ozг or
(3.18.32)
(3.18.32)
где % — некоторая подлежащая определению функция.
Подставляя выражения (3.18.32) для иг и uz в уравнения (3.18.30), получаем
1 3。一丄1 丄1 口赤--^s~Xzzz + (1 - s) I -Xrr^ - prz1 3。一丄1 丄1 口赤--^s~Xzzz + (1 - s) I -Xrr^ - prz1 до1 до111111~Xrrr2%rr нзХг г г г~Xrrr2%rr нзХг г г г(3.18.33)—(1 — S)~Xrzz-(3.18.33)—(1 — S)~Xrzz-Дифференцируя первое равенство по переменной г, а второе — по г и вычитая из одного другое, приходим к дифференциальному уравнению в частных производных для функции %:Дифференцируя первое равенство по переменной г, а второе — по г и вычитая из одного другое, приходим к дифференциальному уравнению в частных производных для функции %:Xrrrr —工％"Г Н ^%ТТ 3 Xr +2v f Xrrzz — ~XrZZ ) +%NNNN = 0, (3.18.34)Xrrrr —工％"Г Н ^%ТТ 3 Xr +2v f Xrrzz — ~XrZZ ) +%NNNN = 0, (3.18.34)гдегде1 — s Зцсо — 4K v ——.s Зцсо + 4K1 — s Зцсо — 4K v ——.s Зцсо + 4K(3.18.35)(3.18.35)В рассматриваемом случае со > 0 и, следовательно, —1 < v < 1.Будем искать частное решение уравнения, определяющего функцию %, в видеВ рассматриваемом случае со > 0 и, следовательно, —1 < v < 1.Будем искать частное решение уравнения, определяющего функцию %, в виде% = RgZ (力.% = RgZ (力.(3.18.36)(3.18.36)Подставляя выражение (3.18.36) в уравнение (3.18.34), приходим к равенствуПодставляя выражение (3.18.36) в уравнение (3.18.34), приходим к равенству心-汐" + 肌〃-Z + 2v〃一:我)Z〃 + RZ"" = 0,(3.18.37)心-汐" + 肌〃-Z + 2v〃一:我)Z〃 + RZ"" = 0,(3.18.37)которое, если ввести обозначениеQ = Rff - R g может быть представлено в виде(Q〃 — Q'/丁)Z + 2vQZ〃 + RZffff = 0.которое, если ввести обозначениеQ = Rff - R g может быть представлено в виде(Q〃 — Q'/丁)Z + 2vQZ〃 + RZffff = 0.(3.18.38)(3.18.38)(3.18.39)(3.18.39)Переменные, зависящие от г, сократятся, если потребовать одновременноПеременные, зависящие от г, сократятся, если потребовать одновременноQ〃 — Q'/t = mQ〉 Q = Rff — R! / r = nR,Q〃 — Q'/t = mQ〉 Q = Rff — R! / r = nR,(3.18.40)(3.18.40)
1 3。一丄1 丄1 口赤--^s~Xzzz + (1 - s) I -Xrr^ - prz
1 3。一丄1 丄1 口赤--^s~Xzzz + (1 - s) I -Xrr^ - prz
1 до
1 до
1
1
1
1
1
1
~Xrrr2%rr нзХг г г г
~Xrrr2%rr нзХг г г г
(3.18.33)
—(1 — S)~Xrzz-
(3.18.33)
—(1 — S)~Xrzz-
Дифференцируя первое равенство по переменной г, а второе — по г и вычитая из одного другое, приходим к дифференциальному уравнению в частных производных для функции %:
Дифференцируя первое равенство по переменной г, а второе — по г и вычитая из одного другое, приходим к дифференциальному уравнению в частных производных для функции %:
Xrrrr —工％"Г Н ^%ТТ 3 Xr +2v f Xrrzz — ~XrZZ ) +%NNNN = 0, (3.18.34)
Xrrrr —工％"Г Н ^%ТТ 3 Xr +2v f Xrrzz — ~XrZZ ) +%NNNN = 0, (3.18.34)
где
где
1 — s Зцсо — 4K v ——.
s Зцсо + 4K
1 — s Зцсо — 4K v ——.
s Зцсо + 4K
(3.18.35)
(3.18.35)
В рассматриваемом случае со > 0 и, следовательно, —1 < v < 1.
Будем искать частное решение уравнения, определяющего функцию %, в виде
В рассматриваемом случае со > 0 и, следовательно, —1 < v < 1.
Будем искать частное решение уравнения, определяющего функцию %, в виде
% = RgZ (力.
% = RgZ (力.
(3.18.36)
(3.18.36)
Подставляя выражение (3.18.36) в уравнение (3.18.34), приходим к равенству
Подставляя выражение (3.18.36) в уравнение (3.18.34), приходим к равенству
心-汐" + 肌〃-Z + 2v〃一:我)Z〃 + RZ"" = 0,
(3.18.37)
心-汐" + 肌〃-Z + 2v〃一:我)Z〃 + RZ"" = 0,
(3.18.37)
которое, если ввести обозначение
Q = Rff - R g может быть представлено в виде
(Q〃 — Q'/丁)Z + 2vQZ〃 + RZffff = 0.
которое, если ввести обозначение
Q = Rff - R g может быть представлено в виде
(Q〃 — Q'/丁)Z + 2vQZ〃 + RZffff = 0.
(3.18.38)
(3.18.38)
(3.18.39)
(3.18.39)
Переменные, зависящие от г, сократятся, если потребовать одновременно
Переменные, зависящие от г, сократятся, если потребовать одновременно
Q〃 — Q'/t = mQ〉 Q = Rff — R! / r = nR,
Q〃 — Q'/t = mQ〉 Q = Rff — R! / r = nR,
(3.18.40)
(3.18.40)
что возможно лишь при условии т = П)причем функция А(т) должна быть решением обыкновенного дифференциального уравнения
Rff - Rf/r^a2R = 0, где Н = 一*(3.18.41)
В этом случае
Q〃 —Q〃 =—『q = 口4 凡 q = _〃2 凡(3.18.42)
и равенство (3.18.37) приводится после сокращения на R(r) к виду
Z〃〃 - ZvHz" + dz = 0,(3.18.43)
представляющему собой обыкновенное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение
九4 — 2v『九2 + d = о(3.18.44)
имеет корни
±гу = ±〃 (а + 仅),士诃=±〃 (а — рг),(3.18.45)
где
а = 7(1-V)/2,В =，(l+v)/2.(3.18.46)
Следовательно, общее решение дифференциального уравнения (3.18.43) имеет вид
Z (z) = & sin yaz +。2 cosyaz + C3 sin yaz + & cos^az. (3.18.47)
Из условия симметричности движения относительно срединной ПЛОСКОСТИ(Z = 0)
〃z (—z) = —uz (г).(3.18.48)
А так как
〃z = ^ = ^6Z⑶，(3.18.49)
то Z (—z) = —Z (z), то есть функция Z (г) должна быть нечетной и, следовательно, произвольные постоянные С? и & должны обращаться в нуль.
Выражение для Z (г) окажется вещественным, если взять его в форме
Z {z) = A sin yaz + A sin yaz^(3.18.50)
где Д и Д — две сопряженные функции времени.
Решение уравнения (3.18.41) выражается через функции Бесселя и Неймана первого порядка, а именно [166]:
R (г) = B^rJi (ar) + BztN、(а吟.(3.18.51)
Функция Неймана 7Vl имеет в нуле простой полюс, и так как иг и uz ограничены при 丁=0, то В2 надлежит положить равной нулю. Таким образом, частное решение уравнения для % можно представить в виде
(3.18.52)(3.18.52)% =(4 sin yaz + Д sin yaz) г Ji (ат).
(3.18.52)
(3.18.52)
При этом без потери общности положено 以=1.
Для определения функции о обратимся к первому из соотношений (3.18.33) для частной производной этой функции по г.
Подставляя в него выражение (3.18.36), получаем
1 + V Зо卩 dr1 + V Зо卩 dr丁г Iг у丁г Iг у(3.18.53)(3.18.53)
1 + V Зо
卩 dr
1 + V Зо
卩 dr
丁г Iг у
丁г Iг у
(3.18.53)
(3.18.53)
Далее заметим, что
(3.18.54)(3.18.54)
(3.18.54)
(3.18.54)
и, кроме того, согласно уравнению (3.18.41), определяющему 凡
(3.18.55)(3.18.55)
(3.18.55)
(3.18.55)
Поэтому, произведя интегрирование по переменной г, получаем
^ ^Z"'—vZ，+/(z").^ ^Z"'—vZ，+/(z").(3.18.56)(3.18.56)
^ ^Z"'—vZ，+/(z").
^ ^Z"'—vZ，+/(z").
(3.18.56)
(3.18.56)
С помощью второго соотношения (3.18.33) и уравнений (3.18.41) и (3.18.42), которым удов летворяют функции R (г) и Z (г), нетрудно убедиться, что Д (之，力)= 0 и, следовательно, произвольная функция зависит лишь от времени. Для определения ее, а также комплекснозначной функции 4, входящей в выражение (3.18.50) для Z (г), следует обратиться к граничным условиям.
4° Верхнее и нижнее основания тела вращения (круглой пластины), деформирование которого мы рассматриваем, свободны от напряжения, поэтому на поверхностях z = ±[九 + 寸(г)] должны удовлетворяться условия
Qr cos nr + xrz cos nz = 0, \z cos nr + o^ cos nz = 0. (3.18.57)
Так как углы отклонения нормали п от оси z считаются малыми, то можно положить (см. рис. 193) cos nz ^ 1 и cos nr ^ —д^/дг. Кроме того, вследствие малости возмущения границы ^ (г), достаточно требовать удовлетворения этих условий не на криволинейных граничных поверхностях, а на плоскостях z = ±Л.
Таким образом, с учетом малости，граничные условия (3.18.57) представлены следующим образом:
о； = 0 и (z=o；^| при z = ±h.(3.18.58)
В последнем условии напряжение о； может быть заменено на * так как происходящая от этого погрешность имеет уже второй порядок малости.
Выражение (3.18.23) для о； с учетом формул (3.18.32), (3.18.36) и (3.18.56) может быть преобразовано к виду
zdz丁 dzdr
f^T ‘一材］+盟3+ *№")• (3.18.59)
Так как при z = ±九 напряжение о； обращается в нуль при любом значении г, то заключаем, прежде всего, что функция времени, входящая в выражение (3.18.56) для о, равна нулю и должно иметь место равенство
Z 〃/— a2q + 2v)Z = 0 при z = h.(3.18.60)
Подставляя сюда выражение (3.18.50) для Z, получаем
у (1 + 2v + у2) A cos yah + у (1 + 2v + у2) Д cos yah = 0.(3.18.61)
Так как
d = (,(1 - V)/2 + Ед/(1 + V)/2)= -V + 〃，1 - у2,何=1,
(3.18.62) то
2v = -у2 - у2, у (1 + 2v + у2) = у (1 - у2) = у - у,
°(3.18.63)
у (1 + 2v + у2) = - (у - у).
Поэтому равенство (3.18.61) может быть представлено в виде пропорции
人 _ 方 _ 。cos yahcos yah
где функция времени D имеет действительное значение, так как первые два отношения являются взаимно сопряженными. Таким образом, имеем
(3.18.65)(3.18.65)Z (z) = D (cos yah sin у az + cos yah sin yaz).
(3.18.65)
(3.18.65)
Далее, согласно формулам (3.18.27), (3.18.32), (3.18.36) и (3.18.41)
(3.18.66)
Подставляя сюда выражение (3.18.65) для функции Z, получаем
；z = — ^^- О。[(1 — у2) cos yah sin yaz + (1 — у2) cos yah sin yaz].
。丁(3.18.67)
Полагая в этом выражении z = h и замечая, что
1 - у2 = 1 - ос2 + Р2 - 2a位=2|3 (В —沁)(3.18.68)
и, точно так же,
1 - у2 = 2р (р + ш),(3.18.69)
приходим к формуле
《z = _^-^1d (2psin 2aah + 2ocsh 2раЛ).(3.18.70)
Следовательно, второе граничное условие (3.18.58) приводится к виду
或 II = - ^1 ^ВДD (2р sin 2aah + 2осsh 2раЛ).(3.18.71)
Это условие может быть выполнено лишь при определенном виде функции & а именно, при С = 3J。(ат). Действительно, в этом случае, согласно (3.18.51), учитывая, что Bi = 1, имеем
^ = a8Jg (ат) = —аЗА (ат) = —аЗ*,).(3.18.72)
Производя сокращения, получим для функции времени D выражение
° _ (1 + у) &]8 73)
цра 2psin 2aah + 2ocsh 2раД'< ••丿
В общем случае будем считать функцию С (г) такой, что она допускает разложение в ряды по функциям Бесселя или представление в виде интеграла Фурье-Бесселя. В этом случае решение рассматриваемой задачи получится в виде комбинации частных решений, найденных
выше. Ограничимся поэтому исследованием частного вида такого возмущения поверхности.
5°. Рассмотрим составляющую скорости какой-либо точки этой поверхности, направленную параллельно оси вращения тела. Эта скорость отличается на величину uz от соответствующей скорости 〃纟 основного движения. Так как в основном движении не происходит искажения плоских границ пластины, то, если знак uz совпадает со знаком возмущения ^ (г), это возмущение имеет тенденцию к увеличению и, обратно, при разных знаках этих величин имеет место тенденция к известному сглаживанию возмущенной границы.
Для uz имеем
uz = ^ = ^Z = г or г
=-[/ (ат) + arJ^ (ат)] D (cos yah sin yaz + cos yah sin yaz).
丁(3.18.74)
Подставляя сюда значение D и замечая, что согласно известным формулам теории бесселевых функций Ji (ат) + arJ^ (ат) = аг Jo (ar), получаем
_ (1 + V)o°5Jo (ат) cos yah sin yah + cos yah sin yah/、
Uz卩02psin 2aah + 2ocsh 2раД '( • •丿
Знак отношения uz/^ (г) решает вопрос о тенденции возмущения к возрастанию или, напротив, убыванию. Подставляя сюда значение функции uz при z = h и ^(r) = 3J。(ат), получаем, что для точек границы тела
uz _ (1 + V)о；sin 2сш无()
Сцр 2psin 2aah + 2ocsh 2раД'''
Знаменатель отношения положителен, поэтому его знак определяется знаком функции sin 2aah. Так как v = (Зцсо — 4К) / (Зцсо + 4К), то
(3.18.77)(3.18.77)
(3.18.77)
(3.18.77)
и при достаточно большой скорости деформирования 纟=—со (со > 0) любое возмущение поверхности тела по закону С = 3J。(ат) имеет тенденцию к возрастанию (неустойчивая деформация по терминологии А.А. Ильюшина [153]). В самом деле, всегда можно подобрать такую скорость деформирования, чтобы осуществилось неравенство 0 < 2aah < 兀.
§ 19. Вязкопластическое течение анизотропнойполосы, ослабленной пологими выточками
Рассмотрим задачу об устойчивости течения полосы из изотропного вязкопластического материала, ослабленного пологими выточками.
Условие пластичности для анизотропного вязкопластического материала запишем в виде
4 (。冗一。夕一Ц(£ж — Ед))? + 45 {^ху — В”夕)2 +
+。(。:С — ^у — М% — ^у^ ^Уху —乩“夕)=4k , (3.19.1)
где k — пластическая постоянная, ц — коэффициент вязкости, Д, В, С — постоянные, характеризующие анизотропию материала.
Согласно ассоциированному закону пластического течения, для компонент скорости деформации из (3.19.1) получим
“ =2九[4 (0£一0g一m% - %))+ 。(“g一乩%g)], % = 一%,
%g=九[° (0£一^у 一 м% 一 ^у^ + 45 (。况g一Ц^ху)],九》0.
(3.19.2)
Решение будем искать в виде
0"=^j + 3d •,旳=£- • + 渇•，九=九° + ЗМ ссс с(3.19.3)
" ="。+ 3认 0 =0。+ 力，=T? = 0,
где 3 — малый безразмерный параметр.
Учитывая (3.19.3), пролинеаризируем соотношения (3.19.1) и (3.19.2). Для нулевого приближения получим
Р & - 2re?) - q/夕=4廿，20M -衣？ = 0,(3.19.4)
где
0 = 4(。？一 2rM) - Сце^, q = C 2ц £°) 一 45 開%,
①=9九0 =岁=
Из соотношений (3.19.4) можно определить зависимости 成 = =再(成)и再g=再夕(成).
Для первого приближения получим
^-^-^^^«^ -це^) = 0, 2a必У一2儿:夕+眺:=0, (3.19.5)
где а = ^ (Део2 — Ссо + 45), 6 = ца + 1.
Условию несжимаемости материала
% + % = & 広 +两=о
удовлетворим, полагая
/aw/aw
Удовлетворяя уравнениям равновесия
дх ду 5дх ду '
положимположим/_ 四 也 / _ д2и
положим
положим
"X =可，% =犷，%7 = -厥珈，
(3.19.6)(3.19.6)(3.19.7)(3.19.7)病一宿+①^^ + 21讶病一宿+①^^ + 21讶-2"砌;-2"砌;Согласно (3.19.5), (3.19.6), (3.19.7) получим систему для нахождения функций U = U{x^y) ^^ = Ф(ж, у):
(3.19.6)
(3.19.6)
(3.19.7)
(3.19.7)
病一宿+①^^ + 21讶
病一宿+①^^ + 21讶
-2"砌;
-2"砌;
С d2U ,外w) 外出 Сдхду у дх ду2 丿 дхду
Решение этой системы запишется в виде
u = u、+ ilh,w=w1+诃2,
где
Ui = Ci cos (mx + аз%) ch 限力 + C? sin (тж + осз^) sh 0з%+
Сз cos (mx + щ^) ch^t + & sin (mx + щ^) sh 也力(3.19.8)
°2 = 2 sin (mx + аз%) ch 限力—。2 cos (mx + осз^) sh 0з%+
。3 sin (mx + 0C4力)ch ^t —。4 cos (mx + щ^) sh 也力
Wi = Dq[C2 cos (mx + аз%) ch 限力—G sin (mx + a^t) sh 0з力一
—& cos (mx + «4^) ch^t + Сз sin (mx + щ^) sh 因川，(3.19.9)
Wi = OoQ sin (mx + аз%) ch^t + & cos (mx + осз^) sh ^t—
—。4 sin (mx + щ^) ch ^t — Сз cos (mx + щ^) sh 也力
t = rriy) Do = |^, ос = -р (Х1 = ос2 + р2 + 4,由=2а|3,
В =；,叩 ®2 +46), а? = (ои + /就 + 解),p2 = j；(一为 + J就 + 解),аз = ^ (-а + ос2), Вз = ^ (В — 俄)，0С4 = -| (oc + oc2) , p4 = -| (P + p2)•
Для простоты дальнейших вычислений будем считать, что
U = U\(x〉y)> W = Wi(c,g).(3.19.10)
Из (3.19.7), (3.19.8), (3.19.10) найдем выражения для компонент напряжений:
о； = пг2[ ((Р3 - 0С3) & + 2азВзС2)cos (mx + аз%) ch 0з%+
+ ((Рз - «з) Q - 2аз0зС1) sin (тх + аз%) sh 0з%++ ((協-а翁03 + 2(X40404)COS (7?2Ж + gС4力)ch 04力 +
+ ((協—«4)。4 — 2(/404。3)sin (шж + 0C4力)sh 04力],(3.19.11)
о； = —m2[Ci cos (тж + аз%)ch^^t + Qsin (mx + аз%) sh 0з%+
+ Сз cos (mx + 0C4力)ch 04力 +。4 sin (mx + 0C4力)sh 04% ],
Vg-m2[ (аза - 03。2)cos (mx + аз4) ch 仙力+
+ 偉3°1 + «3^2)sin (шж + аз%) sh 0з%+
+(oС4С3 - 0404)COS (mж + 0C4力)ch 04力+
+ 偉403 + 0404)sin (mx + 0C4力)sh 04%]• (3.19.12) Уравнение границы представим в виде
g = ± (6 + 8cos тх), где б, у отнесены к единице длины.
Линеаризированные граничные условия будут иметь вид
"=°, т^ + mo° sin тх = 0, g = ±6.(3.19.13)
Граничные условия должны выполняться при любом значении ж при у = ±6. Поэтому из (3.19.11), (3.19.13) получим систему уравнений для нахождения неизвестных постоянных Су, Q, °з, °4：
。1。1 + 历02 + e1。3 + 由04 — 0；
(3.19.14)(3.19.14)-02。1 + 6202 - e2。3 + 办。4 =0；
(3.19.14)
(3.19.14)
1 。3。1 + 63。2 + e3。3 + &04 = 0；
Ia4。1 + 64。2 + e4。3 + d4c4 — 0?/ m, где Л = mb,
。2 = sin 0С3Л ch Р3Л, a4 = -0С3a2 + 0362, 匕2 = cos a^h sh рзЛ, 64 = азь2 + 03。2, 62 = sin &4九 ch р4Л, 64 = —(/462 + 04 d2,&2 = COS ОС4Л sh 04%, c/4 = OC4C/2 + 04^2.。2 = sin 0С3Л ch Р3Л, a4 = -0С3a2 + 0362, 匕2 = cos a^h sh рзЛ, 64 = азь2 + 03。2, 62 = sin &4九 ch р4Л, 64 = —(/462 + 04 d2,&2 = COS ОС4Л sh 04%, c/4 = OC4C/2 + 04^2.。1 =cosa3% ch Р3Л, a3 = 0С3a1 + 03 历，
。2 = sin 0С3Л ch Р3Л, a4 = -0С3a2 + 0362, 匕2 = cos a^h sh рзЛ, 64 = азь2 + 03。2, 62 = sin &4九 ch р4Л, 64 = —(/462 + 04 d2,
&2 = COS ОС4Л sh 04%, c/4 = OC4C/2 + 04^2.
。2 = sin 0С3Л ch Р3Л, a4 = -0С3a2 + 0362, 匕2 = cos a^h sh рзЛ, 64 = азь2 + 03。2, 62 = sin &4九 ch р4Л, 64 = —(/462 + 04 d2,
&2 = COS ОС4Л sh 04%, c/4 = OC4C/2 + 04^2.
历=sin a^h sh Р3Л, 匕3 = 0Сз«1 - Вз历，
ei = cos щЛ ch р4Л, &3 — Щ61 + р4^1, di = sin a4九 sh 04九，
击=a4^1 - 0481, Из системы (3.19.14) получим
△1 = «2 sin 0С3Л sh p3/i sh 204% + (p2 ch 0% — 0 ch p2^) cos a^h sh 04%—
—(В + p2)COS ОС4Л COS «2^ sh Р3Л,
△2 = a? cos 0С3Л ch р3Л sh 2р4Л + (p2 ch рЛ + p ch p2^) sin ос3Л ch 04%—
—(B + 02)sin &4九 COS «2^ ch Р3Л,
△з = — «2 sin &4九 sh р4Л sh 203% + (p2 ch p/i + p ch p2^) cos 0С4Л sh Вз%+
+ (В — p2)COS ОС3Л COS «2^ sh Р4Л,
△4 = — ос2 cos &4九 ch р4Л sh 203% + (р2 ch рЛ — р ch р2^) sin ос4Л ch р3Л+
+ (В — р2)sin ОС3Л COS «2^ ch Р4Л,
△ = («2 + р2) ch 202 % — («2 + Р2) ch 2рЛ + (р2 — р2) COS 2(X2^-
Рассмотрим какую-либо точку границы с абсциссой х. Вертикальная составляющая J возмущения скорости основного течения, согласно (3.19.6), (3.19.9), (3.19.10), выражается формулой
J = — 4*% (Si cos mx + S2 sin тх),
Si = |р (cos 2(/2九—ch 202九)—
—«2 (sin ah cos «2^ ch 0/i sh 02九一cos ah sin «2^ sh 0/i ch 02%) +
+ 02 (sin ah sin azh ch ^h ch p2^ + cos ah cos «2^ sh ^h sh p2^),
S2 = ^ («2 sh 202九—p2 sin 2oc2^) +
+ «2 (sin ah sin azh sh ^h ch 02九一cos ah cos «2^ ch ^h sh p2^) +
+ P2 (sin ah cos «2^ sh 0/i sh 02九一cos ah sin «2^ ch 0/i ch 02%) •
Поведение амплитуды возмущения Si, S2 определяет устойчивость течения полосы. В случае изотропии $2 = 0.
§ 20. Вязкопластическое течение полосы,ослабленной пологими выточками.Полиномиальное решение
Рассмотрим вязкопластическую полосу, ослабленную двумя симметричными выточками, уравнения которых запишем в виде
g = ± (九 + ”2) , q/h《l, q = const,(3.20.1)
где 2Л — наименьшая ширина полосы.
Уравнения равновесия при отсутствии массовых сил и при условии квази стати ч еского плоскопараллельного течения имеют вид
牡 + 攀=0, 争 + 學=о.(3.20.2)
ох дуох ду'
Условие пластичности для вязкого материала имеет вид
((0宓-^у) - m% - Eg))2 + 4 (^ху -й%g)2 - 4廿，(3.20.3)
где k — предел текучести, ц — коэффициент вязкости.
По формулам Коши
_ ди _ dv_ ди _ dv(3.20.4)(3.20.4)
_ ди _ dv
_ ди _ dv
(3.20.4)
(3.20.4)
где 〃, о — компоненты скорости перемещения вдоль осей ж, у.
Согласно ассоциированному закону пластического течения для компонент скорости деформации из (3.20.3) получим
% = 2九((0宓 -0g)-R (% - %)),% = 一%,
(3.20.5) ^ху = 4九(T宓g一乩%夕),九〉0.
Решение будем искать в виде
。"=吟+ 3必+宙吟，旳=^j + ^ij +风各，
九=九。+ ЗХ + 宙九〃，и = и° + 6^ -\- №и“、(3.20.6)
° = о° + 3。' + 32u/z5 或=g = с? = 0.
В дальнейшем положим, что 九° = 0. Откуда
°ж — 2k, с?=吟=0(3.20.7)
(начальное состояние недеформированное).
Для компонент возмущенного состояния уравнения равновесия (3.20.2) и формулы Коши (3.20.4) сохраняют свой вид.
Учитывая (3.20.6), (3.20.7), линеаризируем соотношения (3.20.3) и
Для первого приближения получим
必一 "一 R (4 一 斗)=&(3.20.8)
点+斗=0，点夕=0， Х = ±.(3.20.9)
Линеаризированные граничные условия имеют вид
о； = 0, 14g = 4 包力 при у = h.(3.20.10)
Согласно (3.20.4) и (3.20.9) для нахождения компонент 〃'，J получим систему двух дифференциальных уравнений:
ди А/ _ ди а/ _
дх ду 5 ду дх '
решение которой, согласно (3.20.1), запишем в виде
£ = Вху, / = —^5 (力2 + 力—％2) .(3.20.11)
Так как J = qx1 при g = %, то
В = —2g.(3.20.12)
Тогда из (3.20.4), (3.20.11), (3.20.12) получим
4 = 一2制，4 = 2qy, ^ху = 0.(3.20.13)
Используя соотношения (3.20.8), (3.20.13), исключим из уравнений равновесия напряжение Тогда
дх ду 5 дх ду
Решение этой системы запишется в виде
< =&с - с2y + Сз, 4 =。2力-&g +。4,(3.20.14)
где & — неизвестные постоянные, определяемые из граничных условий (3.20.10):
01=04 = 0, Q = 4匂，03 = 4匂儿(3.20.15)
Таким образом, из (3.20.8), (3.20.13), (3.20.14), (3.20.15) окончательно получим
qx = 4kq(h -у) - ^qy, о^ = 4kq(h - у).厶夕=4 包力.(3.20.16) В случае отсутствия вязкости (ц = 0) имеют место результаты [179]. Для второго приближения линеаризированные соотношения (3.20.3) и (3.20.5), согласно (3.20.8), (3.20.9), запишем как
°ж - В - R& -闫)=-；%，(3.20.17)
或+4=a 或夕=&/，"’=急，(3.20.18)
Линеаризированные граничные условия имеют вид
о/= 8包％2, 匕夕=—4『(к力2 + 2|i力％) при у = h. (3.20.19)
Согласно (3.20.4), (3.20.13), (3.20.16), (3.20.18) для нахождения компонент 〃"，о" получим систему двух уравнений:
решение которой имеет вид
〃〃 =-8q23n2, В = |厂沙3.
Следовательно,
或=一8厂广 吗=8q2g2, / = _^xy,(3.20.20)
Из (3.20.16), (3.20.17), (3.2.20) имеем
國=о/ — 16q2 (к/ + 乩力)(3.20.21)
Тогда, исключая из уравнений равновесия напряжение 國，получим
夕辞=32匂力2+
ox oyox оу
Решение этой системы запишется в виде
В =0162 一 2D2ну - (16包2 -01)力 +03力-D4y +05,
(3.20.22)
匕У=0222 - 2 (16kq2 - 01) ху - D2y2 + 046-°3g + °6, где Di — неизвестные постоянные, определяемые из граничных условий (3.20.19):
Di = 8kq\ 。2 = —4包2, А = —8包2%, D4 = —(ц + 2k)q2h^05 = -8(!i + k)q2h2, 06 = -4包2%2.
(3.20.23)
Таким образом, из (3.20.21), (3.20.22), (3.20.23) окончательно находим
о = —8包2 [仇 一 g)2 + 力仇 一 g) + ж2] - 8|1Q2 [h(h -y) + 2g2],W = -8 包2 [仇一g)2 + 力d-у)- ж2] - 8kq2 Mh - у),匕夕—-4包2 [(九-沙产 + 4ж(Л - g) + ж2] - 8|iq2/i^.
§ 21. Растяжение толстой вязкопластическойплиты, растягиваемой в своей плоскости
Рассматривается вязкопластическое течение толстой прямоугольной плиты, растягиваемой в своей плоскости, ослабленной пологими выточками.
Предположим, что срединная плоскость плиты совпадает с плоскостью хОу)обозначим через 2Л толщину плиты, так что |z|，h.
Условие вязкопластического состояния запишем в виде
(0£—0- 3 4 — %) (0д—0- 3 4 —吗)=("g-吟夕)2 ,
112
(^y — О— g k — R%) (。2 — О— g k —開2)— (%N — ^yz) ,(3.21.1)
(0£-I g 4 - %) (02 — 0- g 4 -開z)=(』一R%j ,|i, k = const,
а также
(0£一0—3 k — R%) (%N 一 ^yz )=("g一乩%g)("N - A%z),
(0g一0一3 4 一開д)("N 一 ^Xz}-("g一^Xy} {^yZ 一 ^yZ ) ,(3.21.2)
^Z 一0— 3 k 一開N)(T宓g一乩%g)=^yz 一 ^yz ) ^XZ - A%z) • Начальное напряженное состояние примем в виде
о? = 4, о； = к, о? = 0,电=也=& = О,
£?+*+£?= & ^ху —吐—^cz —。・(3.21.3)
Положим
0£=。2 + 30£, 0g=。；+ ^У 5 ^Z = ^ ~\~ 3久，
% = £? + Me， % =吟 + 3叽 ％ = £? + *；(3.21.4)
где штрих наверху припишем компонентам возмущения, 3 — малый параметр.
Линеаризируя условие пластичности (3.21.1), (3.21.2), получим
(3.21.5)(3.21.6)(3.21.7)(3.21.5)(3.21.6)(3.21.7)<4 =『+ 乩点， "=с/ + Ц£^, О； = J + Ц£^,
(3.21.5)
(3.21.6)
(3.21.7)
(3.21.5)
(3.21.6)
(3.21.7)
где, согласно (3.21.3),
Подставив соотношение (3.21.5) в уравнения равновесия沪+祭+県=0 Qgz),ox oy dz ''
имеем
工+阳裁(需+等)=。，
80‘丄 呢z丄風+乩2工Г +乩80‘丄 呢z丄風+乩2工Г +乩++=О,=О,а。' дМ a^z尻+由市+"2丽+а。' дМ a^z尻+由市+"2丽+О.О.(3.21.8)(3.21.8)Перейдем в соотношениях мещений по формулам КошиПерейдем в соотношениях мещений по формулам Коши(3.21.8) к компонентам скоростей пере-(3.21.8) к компонентам скоростей пере-旳=I (ui,j + 吟,J，и, присоединяя условие несжимаемости,点 + 4 + К = &旳=I (ui,j + 吟,J，и, присоединяя условие несжимаемости,点 + 4 + К = &(3.21.9)(3.21.9)(3.21.10)(3.21.10)получим четыре уравнения с четырьмя неизвестными о7, и^:диА/dw _дхдуdz 'получим четыре уравнения с четырьмя неизвестными о7, и^:диА/dw _дхдуdz 'а。' I 因公+ 2а。' I 因公+ 2(礬+(礬+阪)+ I (2* + ^ + К)阪)+ I (2* + ^ + К)=0, (3.21.11)=0, (3.21.11)
80‘丄 呢z丄
風+乩2工Г +乩
80‘丄 呢z丄
風+乩2工Г +乩
+
+
=О,
=О,
а。' дМ a^z
尻+由市+"2丽+
а。' дМ a^z
尻+由市+"2丽+
О.
О.
(3.21.8)
(3.21.8)
Перейдем в соотношениях мещений по формулам Коши
Перейдем в соотношениях мещений по формулам Коши
(3.21.8) к компонентам скоростей пере-
(3.21.8) к компонентам скоростей пере-
旳=I (ui,j + 吟,J，
и, присоединяя условие несжимаемости,
点 + 4 + К = &
旳=I (ui,j + 吟,J，
и, присоединяя условие несжимаемости,
点 + 4 + К = &
(3.21.9)
(3.21.9)
(3.21.10)
(3.21.10)
получим четыре уравнения с четырьмя неизвестными о7, и^:
диА/dw _
дхдуdz '
получим четыре уравнения с четырьмя неизвестными о7, и^:
диА/dw _
дхдуdz '
а。' I 因
公+ 2
а。' I 因
公+ 2
(礬+
(礬+
阪)+ I (2* + ^ + К)
阪)+ I (2* + ^ + К)
=0, (3.21.11)
=0, (3.21.11)
寨 + 乂公 + 缴)+ 2(2^ + ^ + В)=。
до亠и](д2и 臥苏、 dz 2 у dxdz дх2 丿
Решение будем искать в виде
с/ = 4 cos тх cos пу cos Хг, £ = В sin тх cos пу cos 九z,
v1 = С cos тх sin пу cos Хг, w1 = D cos mx cos ny sin Хг, (3.21.12)
где A,B,C,D,m,n,人一константы.
Для того чтобы решение системы (3.21.11) не было тривиально, потребуем, чтобы ее определитель был равен нулю. Подставив функции (3.21.12) в (3.21.11), получим
0тn 九т乩病+ЦП2+阳产 11с5由加п1|1Л底+цт2 +卩2产21с5 A2九九=0.九1с5由加1с5 A2九九^ +也^.2+卩2九20тn 九т乩病+ЦП2+阳产 11с5由加п1|1Л底+цт2 +卩2产21с5 A2九九=0.九1с5由加1с5 A2九九^ +也^.2+卩2九2(3.21.13)(3.21.13)
0
т
n 九
т
乩病+
ЦП2
+阳产 1
1с
5由加
п
1
|1Л
底+
цт2 +卩2产
2
1с
5 A2九九
=0.
九
1с
5由加
1с
5 A2九九
^ +也^
.2
+卩2九
2
0
т
n 九
т
乩病+
ЦП2
+阳产 1
1с
5由加
п
1
|1Л
底+
цт2 +卩2产
2
1с
5 A2九九
=0.
九
1с
5由加
1с
5 A2九九
^ +也^
.2
+卩2九
2
(3.21.13)
(3.21.13)
В результате получим уравнение для определения зависимости между m, n, X.
ц ((Ц1Х2 + ц (т2 + п2)) п2 + 他九2 + в (病 + n2)) т2) х
х(3九2 — m2 — n2)(X2 + m2 + n2) +
+ (щX2 + ц (m2 + n2)) (|i2^2 + 乩(病 + n2))(X2 — m2 — n2)2 = 0.
(3.21.14)
Из системы уравнений (3.21.13) найдем
Ст卩&
n2 + m2) +卩2 (九2 - 九2) + 因九2
(3.21.15)
（勿
产 + m2) + 卩］(九2 - m2) + 卩2m2 5
° _ Вт + Сп
(3.21.16)
4 = -^тВ -
(3.21.17)
Обратимся к граничным условиям. Уравнения поверхности плиты зададим в виде
z = ±(h —3/(力,д)).(3.21.18)
В дальнейшем положим
/ (ж, у) = К cos тх cos пу, К = const.(3.21.19)
Предположим, что поверхности плиты (3.21.18) свободны от напряжений:
。:с" + ^хуР + ^xzQ = 0 (力 У z),(3.21.20)
где l)p)q — направляющие косинусы.
Из (3.21.20), (3.21.18), (3.21.4) найдем
о； = 0, с； +用4=0,必 +4黑=0, г = ±Л.(3.21.21)
Согласно (3.21.5) перепишем (3.21.21) в виде
或=3 祟=弋&Z,案=-£%z,z = ±/».(3.21.22)
Из (3.21.12) следует
/石九 + Dm .. .
C九 + Dti.
%z = sin mx cos пу sin 九z,
2‘ =
二 cos mx cos пу sin 九z,
о； = (4 + |iDX)cos тх cos пу cos Хг.(3.21.23)
Тогда из (3.21.22), (3.21.23) получим
cosХЛ = 0, ХЛ = ^ + 兀к, к = 0, ±1,...(3.21.24)
累=—^Vz = —Km sin mx cos ny,(3.21.25)
^ = — ^syz = — Kn sin ny cos mx.(3.21.26)
Из (3.21.25), (3.21.26) следует
k = 盡(或+ °咽=急(6 + °几)•(3・21・27)
Подставляя в (3.21.27) выражения (3.21.15), (3.21.16), получим
(m2 + 几2) Mi —乩2)= 0.(3.21.28)
Константы В)D)А согласно (3.21.15)—(3.21.17), выражаются через одну постоянную С, которая определяется из (3.21.27) через заданную амплитуду возмущения К.
Сдавливание круглого в плане пластическогослоя шероховатыми плитами
Рассмотрим сдавливание круглого в плане пластического слоя из идеального жесткопластического материала шероховатыми плитами (рис. 195).
Исходные соотношения осесимметричного состояния идеально пластического тела при условии полной пластичности в цилиндрической системе координат г, 0, z имеют вид: уравнения равновесия
(3.22.1)(3.22.1)dr dz г где o「, oe,。之,тГ2 — компоненты напряжения;
(3.22.1)
(3.22.1)
условие полной пластичности
(О「一 On)2 + 4{z = 4廿， k = Const, (3.22.2)
g =(O「+ On) /2 士 瓦 (3.22.3) где k — предел текучести при сдвиге.
(3.22.4)(3.22.5)(3.22.6)(3.22.4)(3.22.5)(3.22.6)Определим для дальнейшего знак в (3.24.3). Обозначим главные напряжения 仃》。2》。3・ Имеют место соотношения
(3.22.4)
(3.22.5)
(3.22.6)
(3.22.4)
(3.22.5)
(3.22.6)
Ое = 02, О1 - Оз = 2瓦 Ор + Oz = О1 + Оз・
Возможны два случая:
°1 = 02,2) 02 =03.
В первом случае (3.22.5) из (3.22.4) следует
^p+^z = 2。1 - 2瓦 Ое = I(Ор + On) + k.
Во втором случае (3.22.5) из (3.22.4) следует
Ор + On = 2оз + 2k, Ое = I(Ор +gz) - k
При сжатии слоя 仃〉0,。2〉0,。3 < 0, следовательно, имеет место соотношение (3.22.6).
Условие несжимаемости:
£г + £о + е2 — 0-(3.22.7)
Условие изотропии:
红二三=(3.22.8)
где £r, £e, 8, srz — компоненты скоростей деформации.
Имеют место формулы Коши
где и> w — скорости перемещения вдоль осей г, z.
Положим
丁 = R + р, R = const, d< = dp.(3.22.10)
При переходе к переменным р, z следует заменить г на р:牛，汽^,
Переходя к безразмерным переменным, в дальнейшем все компоненты, имеющие размерность длины, будем полагать отнесенными к величине Л, компоненты, имеющие размерность напряжений — к величине предела текучести k.
В качестве малого параметра 3 примем величину
3=5， R》l.(3.22.11)
Из (3.22.10), (3.22.11) следует
1 _]_ 丄 ]_6
(3.22.12)(3.22.12)丁 А + р Я 11 + 5р
(3.22.12)
(3.22.12)
1 +就
При 3 = 0 имеют место соотношения плоской задачи.
Уравнения равновесия (3.22.1), согласно (3.22.12), в переменных pz примут вид
"+ * + 岬二。е)=0,雙 + Т =。・(3.22.13) ар oz 1 + 6рар oz 1 + 5р'
Соотношения (3.22.10) примут вид
диЪиdw1 / ди dw \
Решение будем искать в виде (3.5.1).
2. Согласно (3.22.13), (3.5.1), (3.22.2), (3.22.6) в исходном нулевом состоянии будем иметь
Зор 1_ л
(3.22.14)
(3.22.15)
（。；-。丁 + 4成=4,
(3.22.16)
或= ；（『）+L
(3.22.17)
В первом приближении из (3.22.13), (3.5.1), (3.22.2), (3.22.6) будем
иметь
嘗+需+ 尚=°，(3・22/8)
券+碧+总=a(3・22・期
« -d)(球-。2) + 4a总=0,(3.22.20)
Go — 2(°р +。；)•(3.22.21)
Во втором приближении из (3.22.13), (3.5.1), (3.22.2), (3.22.6) получим
察 + 零 + & - °；)-(°； -。?)Р = °5(3.22.22)
肃+ 騎+«-*Р = 0，(3.22.23)
«-吩и -。2) + 4a*=-j ® -疗 + 4*L(3.22.24) 或=(或 +。2)/2.(3.22.25)
В третьем приближении из (3.22.13), (3.5.1), (3.22.2), (3.22.6) будем иметь
富 + 争 +(。： _ © _ @ 一d)P +(gp _或)p? = a (3.22.26) 容1 + ^^ +《1 _《Р + 仪p2 = 0，(3.22.27)
G〃-喲④ -或)+ 4煨总=-[« - 。?) & -н)+ 4Q J ,(3.22.28)才= &〃 +土) /2.
Аналогично для n-го приближения найдем
о (п) О (п)п —^/、
絹 + £ (-l)w ((4吁pw = 0, (3.22.29)
о (п) О (п) п — 1
£ (Т产皮fT)p^ = о,(3.22.30)
(理)一寸))й -或)+4电)仪= n —1
=-E (-1产[(。厂向一。"叫(。伊)一。")],(3.22.31)
。护=(建)+。")/2.
В исходном нулевом приближении, согласно Прандтлю [203], из уравнений (3.22.14)—(3.22.17) будем иметь
О； = Р + 历 + 2,1-*(3.22.32)
о? =p + bo,(3.22.33)
总=-d(3.22.34)
о； = p + 历 + д/1 —之2 + 1, 历=const.(3.22.35)
В первом приближении, согласно (3.22.18)—(3.22.21),
(3.22.32)—
(3.22.35), получим
(3.22.36)
^i + 哩 + z = 0
(3.22.37)
(0； 一 火)，1 一 z2 + 2Qz = 0.
(3.22.38)
Для определения компонент напряжений в первом приближении в
уравнениях (3.22.36) положим
4 = 4 ⑶，諄 +，1 —之2 — 1 = —а], ai = const.
(3.22.39)
Из (3.22.36), (3.22.39) получим
О； = О1Р + 历 + Ф1 (z), 历=const.
(3.22.40)
Из (3.22.37), (3.22.38) будем иметь
О； = 6Z1P + 岳 一 z^/^.
(3.22.41)
Из (3.22.40), (3.22.41) найдем
/2、
⑶ +，1 一 炉 + 24• z = 0.
(3.22.42)
Из (3.22.39) получим
4 = (1 -。1) - ^z，l -炉 一 arcsin г + ci, s = const.
(3.22.43)
Из (3.22.42) будем иметь
Ф1 (z)=-———.p .
(3.22.44)
Согласно (3.22.40), (3.22.41), (3.22.43), (3.22.44), (3.22.21)
запишем
компоненты первого приближения в виде
^ =a" + 历—2一7^，
(3.22.45)
о； = °1р + 历—z?/2,
(3.22.46)
« = (1 -。1) z - ^，1 -炉—arcsin г + ci,
(3.22.47)
e2 “к
(3.22.48)
Во втором приближении, согласно (3.22.22)—(3.22.25), (3.22.32)(3.22.35), (3.22.45)-(3.22.48), будем иметь
丽 + 正 +力仅)一%(z)P = 0,
^1 + 碧 + 屮 1 (z) - фо (z) Р = О,
(0?-。?) /о ⑶ + 441 • фо ⑶=®i ⑶， где
力=0;一0号%=球一吟屮i=a，屮。=总，
1(3.22.49)
®i⑶=- 2 (拧+ 4硝•
В силу линейности задачи представим компоненты напряжений в виде двух слагаемых:
0：=*+*，。？=匕+匕，a=也+也，
(3.22.50)
причем
符+染+力⑶=。'
(3.22.51)
寥+等+ S⑶=0,
(3.22.52)
(* -爲)％ ⑶ + 4al • Фо ⑶=®i ⑶，
(3.22.53)
а также
符 + 爵= %（z）P，
(3.22.54)
(3.22.55)
(*一%)%⑶+4a2 •屮。⑶=°-
(3.22.56)
Предположим, что
&i = &i ⑶•
(3.22.57)
Далее положим
證 + 力(z) = -。2， 。2= const.
(3.22.58)
Из (3.22.51), (3.22.58) найдем
* = a2P + 匕2 + 巾2 (z),匕2 = const.(3.22.59)
Из (3.22.52), (3.22.57) получим
爲=а2P + 匕2 + @1 ⑶，(3.22.60)
здесь и в дальнейшем обозначение черта сверху означает интеграл от функции по переменной z:
6 — Ф1 (z) dz.
Из (3.22.59), (3.22.60), (3.22.53) будем иметь
(巾2 + 6 (z)) /о (z) + 4al • фо ⑶=0 ⑶•(3.22.61)
Из (3.22.58) получим
T；N1 = — (。2之 + /1 (z)) +。2,。2 = const.(3.22.62)
Из (3.22.61) найдем
Ф2 =仇 ⑶夫.①。⑶ _ 6 ⑶.(3.22.63)
Из (3.22.59), (3.22.60), (3.22.62), (3.22.63), (3.22.25) будем иметь
% = a2P + 匕2 — ®i (z) + " /：m，(3.22.64)
胃=a2P + 匕2 — 6,(3.22.65)
仪=一 (gz + 7i) +。2,(3.22.66)
% = а2Р + 62-ф1 + &(3.22.67)
где функции /о,九 屮1,力 определяются согласно (3.22.49), (3.22.32)(3.22.34), (3.22.45)—(3.22.47).
При определении компонент 唸，о& ^z2 положим
(3.22.68)(3.22.69)(3.22.68)(3.22.69)也=Р% + m (z) •
(3.22.68)
(3.22.69)
(3.22.68)
(3.22.69)
Из (3.22.54), (3.22.68) получим
3爲 _ dmар dz'
Из (3.22.69) найдем
—謂P + R】(z)・(3.22.70)
Из (3.22.55), (3.22.64) получим
崇=屮0 ⑶ p 一加.(3.22.71)
Из (3.22.68) найдем
3点=@0 ⑶ p -了0.(3.22.72)
Из (3.22.70), (3.22.72), (3.22.64), (3.22.56) будем иметь
р + 月-Фор + /о) /о + 4 (р/о + т) фо — 0-(3.22.73)
Уравнению (3.22.73) удовлетворим, полагая
%+ 4俞о = О,(3.22.74)
(乃 +Л)/о + 4тФо = 0.(3.22.75)
Из уравнения (3.22.74) определяется функция т (г), из (3.22.75)— функция 行(г), таким образом, согласно (3.22.64), (3.22.67), (3.22.72), компоненты 唸,匕，工设 опРеДелень1-
Выражения компонент 中，总 имеют весьма громоздкий вид, приведем выражение компоненты 必 определяющей сдав л и вающее напряжение вдоль вертикальной оси.
Согласно (3.22.50), (3.22.65), (3.22.49), (3.22.47), (3.22.34), (3.22.71) будем иметь
о；=(―曲 + ^-^ р + 62 — («1 — 1)
—3vzi -炉—^у (1 — г2)3 — 3z arcsin z + gz + 實，(3.22.76)
a1,a2,62,01,d2 = Const .
При z = 1 выражение (3.22.76) принимает вид
^z — (一a2 + g) P + 62 - 5 (a1 一 1) 一 ^" +01 +02.(3.22.77)
Таким образом, согласно (3.22.77), сдавливающее давление во втором приближении, как и в нулевом (3.22.33), и в первом (3.22.46) приближениях сохраняет линейный характер по величине р.
В третьем приближении, согласно (3.22.26)—(3.22.28), (3.22.32)(3.22.35), (3.22.45)—(3.22.48), (3.22.64)—(3.22.67), структура исходных уравнений будет иметь вид
о ///о ///
詁 + £ + 力-力 р + %р2=。，
+ ф2 - Ф1Р + ФОР
(* -喲 /о + 4Тр^фо = vo+vip + W2P2, где /г, фг, \|/г — известные функции переменной z.
Согласно (3.22.50)-(3.22.53) достаточно рассмотреть систему уравнений
^- + ^^ — /1Р + /оР2 = 0,(3.22.78)
-^^ + ^j— Ф1Р + фор2 — &(3.22.79)
(* -成)/о + 4《，屮0 = Wip + 屮2P2.(3.22.80)
Положим
《，=—/ip + /op2 — mi (z) р — mo (z) •(3.22.81)
Из (3.22.81), (3.22.78) получим
军=粤+弊(3.22.82)
ap dz dz''
Из (3.22.82) найдем
。丁 = ^ 讐『+喏P + R2(z)・(3.22.83)
Из (3.22.79), (3.22.81) будем иметь
= (pip — Фор2 + 力—2/оР + ^i •(3.22.84)
Из (3.22.84) получим
。1 = Ф1Р-ФоР2 + Л - 2%р + mi •(3.22.85)
Из (3.22.80), (3.22.83), (3.22.85), (3.22.81) будем иметь
+ 4 [/op2 — (/1 + nil) p — mo](po — WiP + W2P2・ Удовлетворяя соотношению (3.22.86), положим
(l^^ + 而)% + 4%屮0-w2,
(3.22.86)
(3.22.87)
(^^ -而 + 2%) - 4 (力 + 7711) (ро =w1 ,
(3.22.88)
(尸2 — т1) /0 — ^ОфО — 0.
(3.22.89)
—帀 + 2/о I р + F2 — m? /о+
屮。丿p
Функция т\ определяется из (3.22.87), функция то из (3.22.88), функция 尸2 из (3.22.89).
Таким образом, в третьем приближении, согласно (3.22.85), компоненты напряжения имеют квадратичную зависимость от величины р.
В общем виде достаточно рассмотреть систему уравнений
(3.22.90)(3.22.91)(3.22.92)(3.22.90)(3.22.91)(3.22.92)需 + ^^ =力 Р + f 2P2 + • • • + /пРП,3trz . d^rz — I. П
(3.22.90)
(3.22.91)
(3.22.92)
(3.22.90)
(3.22.91)
(3.22.92)
— Ф1 + 屮 2P + • • • + фпР ，
(Op - On) /о + 4%2屮0 =屮1 + W2P + • • • + VnPn5 где 力，屮£,屮£ — известные функции переменной z. Следует положить
%z — /ip + /ар? + • • • + /прп — ^о — nip — ... — mn-ipn 1 • (3.22.93)
Из (3.22.90), (3.22.93) получим
Зор dmo drnydmn-i 九一]q/、
Из (3.22.89) найдем
= NP + 2^P + • • • ++ 4(Z)•(3・22・95)
Из (3.22.91), (3.24.94) будем иметь
^^ = — (/1 + 2『2р + . . . + nfnpn-i) + mi + . . . + (n — 1) mn_ipn~2.
z(3.22.96)
Из (3.22.96) получим
On = фГр + Ф2Р2 + • • • + ф^ГрП —(力 + 2/2Р + • • • + 几/пр"—)十
+ Йй + ... + (几一1) т^рп~2. (3.22.97)
Из (3.22.92), (3.22.93), (3.22.95), (3.22.97) будем иметь рекуррентную систему уравнений
1 dmn y九 dz1 dmn y九 dz/о + 4/пфо — Vn ?/о + 4/пфо — Vn ?
1 dmn y
九 dz
1 dmn y
九 dz
/о + 4/пфо — Vn ?
/о + 4/пфо — Vn ?
1 dmn_2九一1 dz1 dmn_2九一1 dzdmodzdmodz—Фп-1 + ^/п^ /о + 4 (/п_! — mn-i) фо = Vn-ъ
1 dmn_2
九一1 dz
1 dmn_2
九一1 dz
dmodz
dmodz
Ф1 + 2於 + 而2 I /о + 4 (% — т^) фо — Жь
(£г + 力一帀T)/о — 4mo(po = Vo-(3.22.98)
Из первого уравнения (3.22.98) определяется функция mn_i, из второго — mn-2 и т. д., из предпоследнего уравнения (3.22.98) определяется функция то, из последнего уравнения (3.22.98) — функция Fn. Таким образом, решение может быть полностью определено.
Согласно (3.22.29)-(3.22.31), (3.22.93), (3.22.95), (3.22.97) структура n-го приближения для компонент напряжений представляет полиномы (п-1)-й степени по переменной р с переменными коэффициентами, зависящими от переменной z.
Рассмотрим определение констант в выражениях компонент напряжений ОрП^, С4r.
Полагая край плиты свободным от напряжений, следует положить
1
]Opdp = 0, при р = 0.(3.22.99)
Из (3.22.99), (3.5.1) получим
111
]o；dp + 3 ] o；dp + …+ 叫 理)dp = 0 при р = 0.(3.22.100)
=0, при р = 0,=0, при р = 0,Из (3.22.100) будем иметь
=0, при р = 0,
=0, при р = 0,
(3.22.101)
1
(3.22.102)(3.22.102)(3.22.103)(3.22.103)］《dp = 0, при р = 0,
(3.22.102)
(3.22.102)
(3.22.103)
(3.22.103)
—1
1
］篦①如=0, при р = 0.
—1
+ 3+ 3兀 、兀213 Z? 兀Z?产丿p +厂广兀 、兀213 Z? 兀Z?产丿p +厂广2z arcsin z+ "1 一炉2z arcsin z+ "1 一炉
+ 3
+ 3
兀 、兀213 Z? 兀Z?
产丿p +厂广
兀 、兀213 Z? 兀Z?
产丿p +厂广
2z arcsin z
+ "1 一炉
2z arcsin z
+ "1 一炉
Предполагая симметричный характер деформирования, получим
Tpz = 0 при
z = 0.
(3.22.104)
Из (3.22.104), (3.5.1) получим
总(。) = з a (。)=。，…，
《？（Р,О）=О・
(3.22.105)
Из (3.22.34) следует
*(。)=±i,
z = ±1.
(3.22.106)
Предполагается отсутствие на свободном крае плиты усилий. Положим
Q (±1) = &《？ (р, ±1)=。・
(3.22.107)
Из (3.22.101), (3.22.32) получим
6。—兀/ 2.
(3.22.108)
Согласно (3.22.45), (3.22.46), (3.22.105) будем иметь
/,г2 2 (а］ — 1) г2 2г arcsin г
—+历 21 ^^5
(3.22.109)
4 = (1 - а» z - ^，1 -炉 一 arcsin z.
(3.22.110)
Из (3.22.110), (3.22.107) получим
a1 =兀/2 + 1.
(3.22.111)
Из (3.22.109), (3.22.102) будем иметь
历=兀2/4_ 13/6.
(3.22.112)
Согласно выражениям (3.22.32)—(3.22.35),(3.22.45)—(3.22.48),
(3.22.108), (3.22.111), (3.22.112) найдем
On=p + d + 3 ( 2+1)p +J_T_T
%z = -z + 3 -扛-^，1-之2 — arcsin z + …，(3.22.113)
oe = p + ^ + l + ,1 - 炉+
+ 3+ 3兀z?+ z arcsin z2"1 - R "1 - R兀z?+ z arcsin z2"1 - R "1 - R
+ 3
+ 3
兀z?+ z arcsin z
2"1 - R "1 - R
兀z?+ z arcsin z
2"1 - R "1 - R
ди дз и с瓦+並+尸・ди дз и с瓦+並+尸・(3.22.114)(3.22.114)
ди дз и с
瓦+並+尸・
ди дз и с
瓦+並+尸・
(3.22.114)
(3.22.114)
Выражение для сдав л и вающего напряжения oz (3.22.113) при z = 1
принимает вид
На рис. 196 представлено изменение。之 при 3 = 0.1.
Рассмотрим определение поля скоростей перемещений.
Условие несжимаемости (3.22.7), согласно (3.22.9), примет вид
Условие изотропии (3.22.8), согласно (3.22.9), записывается в виде
2 (案-票卜—係 + ff) & — 0z) = 0.(3.22.115)
В нулевом исходном приближении, согласно (3.5.1), (3.22.114), (3.22.115), имеют место соотношения
筝 等=0,(3.22.116)
2(型号)也一 (Г + Т)(。—(3АМ
Следует положить
Согласно (3.22.116), (3.22.118), получим
〃。=-р + Цо (г).(3.22.119)
Из (3.22.17)-(3.22.19) найдем
цо = 2,1 -炉 + go, g0 — const.(3.22.120)
В дальнейшем положим g。= 0.
Согласно (3.22.118)-(3.22.120) компоненты скорости перемещений в нулевом исходном приближении определены.
В первом приближении, согласно (3.5.1), (3.22.114), (3.22.115), имеют место уравнения
霧 + 碧+ 〃° =。，(3・22・121)
2僚-碧)4僚+碧)&T =
=-2 黑-箱 ％ + 黑 + 箱(4 - • (3.22.122)
Согласно выражениям (3.22.118)—(3.22.120), (3.22.32)—(3.22.34), (3.22.45)—(3.22.47), (3.22.121), (3.22.122) будем иметь
(^T + 芻)=P T。⑶’(3.22.123)
（霁-翁）〜僚+*）厂""。⑶,（3・22」24）
где
Ro⑶=2a +翁(4 -壮).
Положим
〃'=Rip? + 冉(z), Ri = const,(3.22.125)
(3.22.126)(3.22.127)(3.22.128)(3.22.126)(3.22.127)(3.22.128)о/ = qipz + 修⑶，％ = const.
(3.22.126)
(3.22.127)
(3.22.128)
(3.22.126)
(3.22.127)
(3.22.128)
Из (3.22.123)-(3.22.126) получим
201P + QiP + ^j = P - Ho,
(2@ip — %p —碧)z —(碧 + %z)，1 -炉=R。.
Из (3.22.113) следует
(3.22.129)(3.22.129)對冻11（卩oZ -3）對冻11（卩oZ -3）(3.22.130)(3.22.130)201 + % = 1,201 一 gi = 0,
(3.22.129)
(3.22.129)
對冻11（卩oZ -3）
對冻11（卩oZ -3）
(3.22.130)
(3.22.130)
Согласно (3.22.125)-(3.22.130) компоненты скорости перемещения в первом приближении определены.
Следует сделать ряд замечаний. Наличие в выражении для компонент скорости со' (3.22.126) слагаемого %pz определяет непараллельное сближение плит. При определении последующих приближений эта особенность будет иметь место. Отмеченное обстоя тел ьство показывает, что используемый прием не позволяет получить приемлемое поле скоростей для параллельного сближения плит. Приемлемое поле скоростей может быть определено из построения численного решения для поля скоростей перемещений.
Построение возможного поля скоростей, совместимого с полем напряжений, указывает на действительный характер построенного поля напряжений и, следовательно, предельных нагрузок.
Условие предельного состояния для неоднородного материала запишем в виде
& — Oz)2 + 4总=4廿(р, z) •(3.22.131)
Предположим, что характер неоднородности имеет вид
k = k0 (z) + Ml (z) + £pk2 (z) + зЗр2& (z) + ... + snpn-1A：n (z) • (3.22.132)
Очевидно, что характер неоднородности, определяемый (3.22.132), позволяет сохранить возможность использовать алгоритм определения решения (3.22.90)-(3.22.98).
Определим нулевое исходное решение. Согласно (3.22.14)—(3.22.16), (3.22.132) получим
或=p + 历 + 2AД&(Z)-z2,
成=р + 历，历=const,成=р + 历，历=const,(3.22.133)(3.22.133)
成=р + 历，历=const,
成=р + 历，历=const,
(3.22.133)
(3.22.133)
a=-z・
В первом приближении, аналогично (3.22.36)—(3.22.38), согласно (3.22.132), будем иметь
絹 + 碧 + J緒(Z)—炉— 1 = 0,(3.22.134)
(3.22.135)(3.22.135)°tpz + 亜 + z = о
(3.22.135)
(3.22.135)
3p十3z十 5
« -壮)J緒(Z)—炉 + 2Qz = 2% ⑶厄⑶.(3.22.136)
Следует положить
Q — Q (z), ^^ + J储(z)—炉 一 1 = 一。1,。1 = const • (3.22.137)
Из (3.22.134), (3.22.133) получим
(3.22.138)(3.22.139)(3.22.138)(3.22.139)о； = aip + 历 + Ф1 (z),历=const.
(3.22.138)
(3.22.139)
(3.22.138)
(3.22.139)
Из (3.22.135), (3.22.137) получим
о； — сир + 历一z?/2.
Из (3.22.136)-(3.22.139) найдем
一之2 + 2az = 2% (z)自(z) •一之2 + 2az = 2% (z)自(z) •(3.22.140)(3.22.140)
一之2 + 2az = 2% (z)自(z) •
一之2 + 2az = 2% (z)自(z) •
(3.22.140)
(3.22.140)
Функция Ф1 (z) определяется согласно (3.22.140):
2回⑶自⑶-Q _ y
\Д弘z)一炉2
Следовательно, согласно (3.22.137)—(3.22.139), компоненты первого приближения определены. Аналогично определяются последующие приближения.
§ 23. Сдавливание пластического слояискривленными и наклоннымишероховатыми плитами
Рассмотрим сдавливание пластического слоя искривленными и наклонными шероховатыми плитами.
Напряженное состояние пространственного слоя толщиной 2Л, сжатого вдоль оси z шероховатыми параллельными плитами, при условии полной пластичности определяется соотношениями
^хz — az, tgz — bz,a, b — const.
l abz2 ,, а
^х — —ас — byh d + Т^ху^
On = —ах — bg + о, с = const,
_ ab"g=⑷+戸)_ ab"g=⑷+戸)(4 ±，用2 一 (a2 + 62)72),(4 ±，用2 一 (a2 + 62)72),(3.23.1)(3.23.1)
_ ab
"g=⑷+戸)
_ ab
"g=⑷+戸)
(4 ±，用2 一 (a2 + 62)72),
(4 ±，用2 一 (a2 + 62)72),
(3.23.1)
(3.23.1)
где G%j — компоненты тензора напряжений, кпредел текучести на сдвиг.
Рассмотрим задачу о сдавливании пластического слоя двумя концентрическими сферическими поверхностями.
Уравнения равновесия в сферической системе координат имеют вид 警 + 驚 + 壶嚮 + I(20厂时 0ф + Mctge) = О,
幣+ 彳驚 + 击嚮+ ；(3"е + Зе —%)ctge) =0,(3.23.2)
+ 1-* + 1 (3tp(p + 2亚屮 ctg е) = 0.
Op p ae psm e p ' 卩屮
Соотношения, определяющие условие полной пластичности, запишем в виде
2ktpetp(p2k^рэ^э(р
J ^0(pJ tpq
(3.23.3)(3.23.3)k . tp(pte(pо(р = о- в н,
(3.23.3)
(3.23.3)
тре
』+变0 + 2 = 2m。=^①+0…屮). ^э(рtp(ptpeJ
В дальнейшем перейдем к безразмерным величинам: компоненты напряжения отнесем к величине предела текучести на сдвиг к, величины, имеющие размерность длины, — к величине h.
Введем замену переменных
Р = R + z.Р = R + z.R^ = х, R = const.R^ = х, R = const.(3.23.4)(3.23.4)
Р = R + z.
Р = R + z.
R^ = х, R = const.
R^ = х, R = const.
(3.23.4)
(3.23.4)
Выражения (3.23.4) представим в виде
1 = 1 :m e = ^ + 3g,屮=3力，(3.23.5) p 」十oZ2К
где 3 — малый безразмерный параметр.
Используя соотношения (3.23.5), перейдем в уравнениях равновесия
к переменным xyz:
3。2 丄 1 d^yz 丄1dTxz 丄
dz (1 + 6z) ду (1 + 6z) cos (Bg) dx
+(1 *)(2oz _ Gy _ ox _ %N tg(3g)) = 0
a“z丄a“z丄1 ЗОу (1 +6z) ду1 ЗОу (1 +6z) дуIдтХу
a“z丄
a“z丄
1 ЗОу (1 +6z) ду
1 ЗОу (1 +6z) ду
(1 + 6z) cos(6g) dx
+(] + 6z)(^yz — (^y —。冗)tg(Зд)) = 0,(3.23.6)
d^XZ I 1 a^xy I1д^Х I
dz (1 + Bz) ду (1 + Bz) cos (By) dx
+ (1 + 6z) (3“N — ^xy tg(3g)) = 0.
При 3 = 0 уравнения (3.23.6) переходят в уравнения равновесия в декартовой системе координат ж, у, z.
Решение ищется в виде
65=或•+ 3%・.(3.23.7)
В качестве исходного нулевого приближения используется решение (3.23.1).
В первом приближении, согласно (3.23.6), (3.23.7), (3.23.3), имеем
а%/ I ^^yz дх дуа%/ I ^^yz дх ду
а%/ I ^^yz дх ду
а%/ I ^^yz дх ду
дхду
丄3&z
a弋①у 3。?/ дхду
6"yz
дхду
-^yz，
(3.23.8)
<4 = / +<4 = / +/ /0.0,\°_°07y^xy^xz 十 ^xy^xz) ^yz — ^xy^xz^yzdz)?/ /0.0z\0_00 zy^xy^yz 十 ^xy^yz丿 ^XZ — ^xy^yz^xz/ /0.0,\°_°07y^xy^xz 十 ^xy^xz) ^yz — ^xy^xz^yzdz)?/ /0.0z\0_00 zy^xy^yz 十 ^xy^yz丿 ^XZ — ^xy^yz^xz(3.23.9)(3.23.9)壮=『+壮=『+/ / o.o ,\°_° ° 7/ / 0.0/\0_0 0/y^xy^xz 十 ^xy^xz 丿 ^yz — ^xy^xz^yz + \^xy^y Z 十 ^xy^yz 丿 ^XZ — ^xy^yz^xz/ / o.o ,\°_° ° 7/ / 0.0/\0_0 0/y^xy^xz 十 ^xy^xz 丿 ^yz — ^xy^xz^yz + \^xy^y Z 十 ^xy^yz 丿 ^XZ — ^xy^yz^xz訂訂++++/ /0|0/\0_00/y^XZ^yZ 十 ^xz^yz丿 ^xy — ^xz^yz^xy/ /0|0/\0_00/y^XZ^yZ 十 ^xz^yz丿 ^xy — ^xz^yz^xy=0, (3.23.10)=0, (3.23.10)
<4 = / +
<4 = / +
/ /0.0,\°_°07
y^xy^xz 十 ^xy^xz) ^yz — ^xy^xz^yz
dz)?
/ /0.0z\0_00 z
y^xy^yz 十 ^xy^yz丿 ^XZ — ^xy^yz^xz
/ /0.0,\°_°07
y^xy^xz 十 ^xy^xz) ^yz — ^xy^xz^yz
dz)?
/ /0.0z\0_00 z
y^xy^yz 十 ^xy^yz丿 ^XZ — ^xy^yz^xz
(3.23.9)
(3.23.9)
壮=『+
壮=『+
/ / o.o ,\°_° ° 7/ / 0.0/\0_0 0/
y^xy^xz 十 ^xy^xz 丿 ^yz — ^xy^xz^yz + \^xy^y Z 十 ^xy^yz 丿 ^XZ — ^xy^yz^xz
/ / o.o ,\°_° ° 7/ / 0.0/\0_0 0/
y^xy^xz 十 ^xy^xz 丿 ^yz — ^xy^xz^yz + \^xy^y Z 十 ^xy^yz 丿 ^XZ — ^xy^yz^xz
訂
訂
+
+
+
+
/ /0|0/\0_00/
y^XZ^yZ 十 ^xz^yz丿 ^xy — ^xz^yz^xy
/ /0|0/\0_00/
y^XZ^yZ 十 ^xz^yz丿 ^xy — ^xz^yz^xy
=0, (3.23.10)
=0, (3.23.10)
где
工?之 =az, t；n — bz,^xy工?之 =az, t；n — bz,^xyabab(а2 + 62)(а2 + 62)
工?之 =az, t；n — bz,^xy
工?之 =az, t；n — bz,^xy
ab
ab
(а2 + 62)
(а2 + 62)
Из (3.23.1), (3.23.8) получим
禦+第+爭=-4
дх ду dz
(3.23.11)(3.23.11)(3.23.12)(3.23.12)°%y _L 纽 I 九z _
(3.23.11)
(3.23.11)
(3.23.12)
(3.23.12)
a优十3g十az —"'
争 +争 = -4 + 3仔+外电.
дх ду dzу 6 a J ху
Следуя идеям Прандтля, положим
^xz — ^xz(Z)' ^yz — ^yz(Z)'
тогда из (3.23.12), (3.23.10), (3.23.1) получим, что т^ = 14g (z). Решение
системы (3.23.11) имеет вид
(3.23.13)(3.23.13)(3.23.14)(3.23.14)厶(z) = a】z — 2az2 + ci, a】，о】=const,
(3.23.13)
(3.23.13)
(3.23.14)
(3.23.14)
t；n (z) = Ь^z — 2bz2 +。2, 历，。2 = const,
必=一。1力 一 hy + с — /з (z) + 力(z) + R (z),
о； = -а^х 一历g +。一 /з (z) + 於(z) + F (г),о； = -а^х - Ь、у + с + F (г),
力（z）=力（z）=/ /0.0,\°_°07
力（z）=
力（z）=
y^xy^xz 十 ^xy^xz丿 ^yz — ^xy^xz^yz
力(z)=力(z)=/з⑶=/з⑶=/ /0|0/\0_00/
力(z)=
力(z)=
/з⑶=
/з⑶=
y^xy^yz 十 ^xy^yz丿 ^xz — ^xy^yz^xz
/ / О . О / \ О О О / y^xz^yz 十 ^xz^yz丿 ^xy — ^xz^yz^xy
Величина т^ (z) определяется согласно (3.23.10), (3.23.13).
Согласно (3.23.14), при искривлении плит сдав л и вающее давление oz при z = ±1 в первом приближении сохраняет линейный характер, распределение касательных напряжений тЖ25 %之 по толщине слоя становится нелинейным. В первом приближении для искривленных плит сохраняется песчаная аналогия, установленная в [156].
В случае плиты, образованной коническими сечениями при 0 = =const, введем замену переменных
р = R + g, R(6 —兀/2) = z, R^ = ж, R = const.(3.23.15)
Выражения (3.23.15) представим в виде
, e=”3z,屮=3力，3=看.(3.23.16)
В первом приближении аналогично (3.23.6), (3.23.8), согласно (3.23.16), (3.23.7), (3.23.2), (3.23.1), имеем
呪丄呢z _ о о
后十电"十-ат -后"十~дту - 也'
學+攀+季=+沙g - 2吗+成+0?，(3.23.17)
дх ду dz дх dz у z ж ' 丿
дх ду dz ~ dxy± dzy w соотношения (3.23.9), (3.23.10) сохраняются.
Из (3.23.1), (3.23.17) получим
а^х 丄 °%у 丄 a%z — о о
前+ 毎 + 箱
争+芻+樂…2-耨，(3•23」8)
耍+学+ % = -3"・ дх ду dz
В этом случае решение имеет вид
< =一。1力-Ь\у + gg2 + ° _ ^公 一 ％ J) + 力 J),
"=—。1力-Ь1У +，力 + ° — у г2 - /3 (%) + Л (z),
о； — —。1力—历沙 + gg? + ° — ^“2，(3.23.19)
必2(7)=a17-3 ^ydz + Cl, Cl = const,
C2 = Const,C2 = Const,%z(z) = biz + 2z — £ ^ydz + c2,
C2 = Const,
C2 = Const,
H/ 1 arcsin ( z+ 62
Согласно (3.23.19) влияние искривления в первом приближении приводит к появлению слагаемого by2/2, характеризующего отклонение сдав л и вающего напряжения oz от линейной зависимости, определяемой песчаной аналогией [156].
В случае наклонной плиты, образованной сечениями ср = const, введем замену переменных
р = R + 力， R (е —兀/2) = g, R(p = z, R = const.(3.23.20)
Выражения (3.23.20) представим в виде
:16=^+3勿 Ф = 8г,(3.23.21)
р 」十о®2
В первом приближении аналогично (3.23.6), (3.23.8), согласно (3.23.21), (3.23.7), (3.23.2), (3.23.1), имеем
畢 + 举 + 咏=粤L + 学X - 3*,(3.23.22)
ox oy dz oy dz xy
соотношения (3.23.9), (3.23.10) сохраняются.
Из (3.23.1), (3.23.22) получим
符+需++ 2斗焉，
尝 + 需 + 尝3*，(3.23.23)
争+争+祭=-3az.
ox oy dz
В этом случае решение имеет вид
<4 = 一。1力-历沙 + |^2 + с- ^г2 - /3 (z) + 力(z),
.=_。1力-b^y + ^川 + ° _ ^公 _ у?? (z) + /2 (z),
о； = -а^х - b\y + ^川 + ° _ ^公，(3.23.24)
厶 ⑶=。1之 + 2z -胃]也dz + c15 s = const,力z(z) = biz-3 ^.ydz + c2, c2 = const.
Согласно (3.23.24) влияние искривления в первом приближении приводит к появлению слагаемого ах2/2, характеризующего отклонение сдав л и вающего напряжения gz от линейной зависимости, определяемой песчаной аналогией [156].
ЛИТЕРАТУРА
Монографии
Аннин £.〃., Бытев В. О., Сенашев С. Я. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. — Новосибирск: Наука, 1985.
Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести.— М.: Высш, школа, 1961.
Биркгоф Г. Гидродинамика. — М.: ИЛ, 1963. — 244 с.
Бируля А. К. Эксплуатационные показатели грунтовых дорог. — М.; Л.: Гостранстехиздат, 1937. — 106 с.
Бриджмен П. Исследования больших пластических деформаций и разрыва. —М.: ИЛ, 1965.
Бровман М. Я. Применение теории пластичности в прокатке. — М.: Металлургия, 1965.
Быковцев Г. И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. — Владивосток: Дальнаука, 1998.
Ватсон Д. Н. Теория бесселевых функций / Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1949. - Ч. 1, 779 с. Ч. 2. 220 с.
Галин Л. А. Упруго- пластические задачи. — М.: Наука, 1984.
Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. — М.: Стройиздат, 1949.
Геккелер И. В. Статика упругого тела. — Л.; М.: Гостехтеориздат, 1934. - 287 c.
Гофман О., Закс Л Введение в теорию пластичности для инженеров.— М.: Машгиз, 1957.
Громов Н.П. Теория обработки металлов давлением. — М.: Металлургия, 1967.
Губкин С. К. и др. Основы теории обработки металлов давлением.— М.: Машгиз, 1959.
Динник А. Продольный изгиб. Кручение. — М.: Изд-во АН СССР, 1955.— 392 с.
Друянов Б. А., Непершин Р. И. Теория технологической пластичности. — М.: Машиностроение, 1990.
Ерхов М. И. Теория идеально пластических тел и конструкций. — М.: Наука, 1978.
Задоян М. А. Пространственные задачи теории пластичности. — М.: Наука, 1992.
Зейтц Ф. Физика металлов /Пер. с англ.——М.; Л.: Гостехтеориздат, 1947.- 364 с.
Иванов Н. Н. Грунтовые дороги. — Л.: Гостехтеориздат, 1931. — 256 с.
Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. — М.: Наука, 1966.
Ивлев Д. Д.\ Быковцев Л И. Теория упрочняющегося пластического тела. —М.: Наука, 1971.
Ивлев 〃.〃., Ершов Л. В. Метод возмущений в теории упруго- пластичного тела. — М.: Наука, 1978.
Ильюшин А. А. Пластичность. — М.: Гостехиздат, 1948.
Ишлинский А. Ю. Прикладные задачи механики, Т. 1, 2. — М.: Наука, 1986.
Качанов Л. М. Основы теории пластичности. — М.: Наука, 1969.
Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. — М.: МГУ, 1979.
Кнетс И. В. Основные современные направления математической теории пластичности. — Рига: Зинатне, 1971. — 147 с.
Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. —М.: ИЛ, 1953. — 460 с.
Колмогоров В. JL Механика обработки металлов давлением. — Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. техн, ун-та, Урал, политехи, ин-та, 2001.
Королев А. А. Конструкция и расчет машин и механизмов прокатных станков. — М.: Металлургия, 1969.
Кочин Н. Е.)Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика.— М.: Гостехтеориздат, 1948. — Т. 2, 612 с.
Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. — Л.; М.: Изд-во АН СССР, 1935. - 541 с.
Кузьмин Р. О. Бесселевы функции. — Л.; М.: Гостехтеориздат, 1933.— 152 с.
Лурье А. И. Операционное исчисление в применениях к задачам механики. —М.; Л.: ОНТИ, Глав. ред. общетехн. лит-ры, 1938. — 224 с.
Ляв А. Математическая теория упругости / Пер. с англ. — М.; Л.: ОНТИ. Гл. ред. общетехн. лит. и номогр., 1935. — 674 с.
Мирзаджанзаде А. X. Вопросы гидродинамики вязкопластических и вязких жидкостей в применении к нефтедобыче. — Баку: Азнефтеиз- дат, 1959. — 409 с.
Михин Н. М. Трение в условиях пластического контакта. — М.: Наука, 1968.
Михлин О. Л Основные уравнения математической теории пластичности. -М.: Изд. АН СССР, 1934.
Москвитин В. В. Пластичность при переменных нагружениях. — М.: МГУ, 1965.
Мосолов П. П.)Мясников В. П. Механика жесткопластических сред.— М.: Наука, 1981.
Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. — М.: ИЛ, 1954.
Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 2. — М.: Мир, 1969.
Новожилов В. Вр Кадашевич Ю. И. Микронапряжения в конструкционных материалах. — Л.: Машиностроение, Ленин градское отделение, 1990.
Павлов И. М. Теория прокатки. — М.: Металлургиздат, 1950.
Перлин И. Л. Теория прессования металлов. — М.: Металлургиздат, 1964.
Прагер В. Проблемы теории пластичности. — М.: Физматгиз., 1958.
Прагер В., Ходж Ф. Теория идеальнопластических тел.——М.: ИЛ, 1956.
Работное Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1988.
Рахматулин X. А., Сагомонян А. Я., Алексеев Н. А. Вопросы динамики грунтов. — М.: Изд-во МГУ, 1964. — 240 с.
Ревуженко А. Ф. Механика упругопластических сред и нестандартный анализ. — СО РАН, Изд-во Новосибирского университета, 2000. — 428 с.
Ржаницын А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. — М.: Стройиздат, 1954.
Слезкин Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Гостех- теориздат, 1955. — 520 с.
Соколовский В. В. Теория пластичности. — М.: Высш, школа, 1969.
Соколовский В. В. Статика сыпучей среды. — М.: ГИТТЛ, 1954.
Стороэюев М. В., Попов Е. А. Теория обработки металлов давлением. —М.: Высш, школа, 1971.
Тарновский И. Я. и др. Теория обработки металлов давлением. — М.: Металлургиздат, 1963.
Теория пластичности. Сборник переводов. — М.: ИЛ, 1948.
Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов. / Пер. с англ. — М.: Гостехтеоретиздат, 1957. — 536 с.
Толоконников Л. А. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Высш, школа, 1979.
Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. — М.: Мир, 1964.
Томленое А. Д. Теория пластического деформирования металлов.— М.: Металлургия, 1972.
Унксов Е. /7. Инженерные методы расчета усилий при обработке металлов давлением. — М.: Машгиз, 1966.
Феппель А., Феппель 〃. Сила и деформация. — М.; Л.: ОНТИ, Гл. ред. общетехн. лит. и номогр., 1936. — Т. 2, 408 с.
Филоненко-Бородич М. М. Механические теории прочности. — М.: Изд-во МГУ, 1961. — 91 с.
Фрейденталь А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. — М.: Госиздат физмат литературы, 1962.
Хилл Р. Математическая теория пластичности. — М.: ГИТТЛ, 1956.
Христианович С 4, Михлин С. Л, Девисон Б. Б. Некоторые вопросы механики сплошных сред. — М.: Изд. АН СССР, 1938.
Целиков А. И. Основы теории прокатки. — М.: Металлургия, 1965.
Циглер Л Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механика сплошной среды. — М.: Мир, 1966.
Dupuit J. Essai et experiences sur le tirage des voitures et sur le frottement de second espece. — P.: Carilian-Goeury, 1837. — 167 p.
Hayashi ^. Tafeln der Besselschen, Theta, Kugel und anderer Funktio- nen. — B.: Springer, 1930. — 126 s.
Morin A. J. Lemons de mecanique pratique. Resistance des materiaux.— P.:L. Hachette, 1853. — 456 p.
Sobotka Z. Reology of materials on ingenering structure. — Prague, Academia, 1984. — 548 p.
Tomsen E. C., Yang Ch. T., Kabayaschi S. Plastic deformation in metal processing. — N.Y., 1965.
Обзоры
Гейрингер Л Некоторые новые результаты теории идеально пластического тела, Проблема механики. Сб. Статей. — М.:Ил,1955
Ишлинский А. Ю. Пластичность (обзор) // Механика в СССР за тридцать лет (1917—1947) М.; Л.: Гостехиздат, 1950. — С. 240—253; // Механика, идеи задачи, приложения. — М.: Наука, 1985.
Ишлинский А. Ю. Развитие механики в СССР, в кн.: Октябрь и научный прогресс. — М.: АПН, 1967. — С. 567—626; // Механика, идеи задачи, приложения. — М.: Наука, 1985.
Клюшников В.Д. О законах пластичности для материалов с упрочнением // ПММ. — 1958. — Т. 22, вып. 1.
Койтер В. Общие теоремы в теории упруго-пластических сред. — М.: ИЛ, 1961.
Ольшак В., Мруз 3., Пежина /7. Современное состояние теории пластичности. —М.: Мир, 1964.
Прагер В. Теория пластичности: обзор новейших успехов, см. [48].
Рейтман М. И., Шапиро F. С. Теория оптимального проектирования в строительной механике, теории упругости, и пластичности. Итоги Науки. Изд. ВИНИТИ, 1966.
Ходж Ф., Гудьер Д. Упругость и пластичность. — М.: ИЛ, 1960.
Статьи
Артемов М. А. Об одном предельном виде условия идеальной пластичности // Изв. РАН. МТТ. - 1996. - № 2. - С. 134-137.
Артемов М. АИвлев Д. Д. О влиянии внутреннего механизма вязкости на идеально пластическое повебдение материала // Г1ММ. — 1983.— Т. 47, вып. 3. - С. 524—527.
Артемов М.А.^ Ивлев Д. Д. Об одном случае предельного состояния тел // Изв. РАН. МТТ. - 1996. - № 3. - С. 43-45.
Артемов М. А., Ивлев Д. Д. Об идеально-пластическом состоянии призматических тел переменного прямоугольного сечения // ДАН РАН. - 1997. - Т. 353, № 1. - С. 47-50.
Артемов М. А.^ Ивлев Д. Д. Об общих соотношениях теории идеальной пластичности при кусочно-линейных условиях текучести // ДАН РАН. - 1996. - Т. 350, № 3. - С. 332-334.
Артемов М. А., Ивлев Д. Д. О статических и кинематических соотношениях в теории идеальной пластичности при кусочно-линейных условиях текучести // Изв. РАН. МТТ. — 1995. — № 3. — С. 104-110.
Артемов М. АИвлев Д. Д. О линеаризированных уравнениях кинематически определяемых задач // Изв. РАН.МТТ. — 1995. — № 6.— С. 104-106.
Артемов М. А.^ Ивлев Д. Д. О кинематически определяемых состояниях в теории идеальной пластичности // Вестник Воронежского госуни- верситета. — 1996. — № 2. — С. 78-85.
Баренблатт Г. И., Ишлинский А.Ю. Об ударе вязкопластического стрежня о жесткую преграду // Прикл. математика и механика.— 1962. - Т. 26, вып. 3. - С. 497-502.
Береж.ной И. А., Ивлев Д. Д. О влиянии вязкости на механическое поведение пластических сред // ДАН СССР. — 1965. — Т. 163, № 3.— С. 595-598,
Бережной И.А.^ Ивлев Д. Д. Об определяющих неравенствах в теории пластичности // ДАН СССР. - 1976. - Т. 227, № 4. - С. 824-826.
Бережной И. А., Ивлев Д. Д. Диссипативная функция в теории пластичности // Механика деформируемого тела, Межвузовский сборник, Куйбышев. — 1977. — Вып. 3. — С. 5—22.
Береж.ной И. А., Ивлев Д. Д. Об интегральных неравенствах теории упругопластического тела // Г1ММ. — 1980. —— Т. 44, вып. 3. —— С. 540-549.
Бережной И.А.^ Ивлев Д. Д.、Макаров Е. В. О диссипативных функциях в теории вязкопластических сред // Проблемы механики сплошной среды, к бОлетию акад. В.В. Новожиловы. — Л.Судостроение,1970.— С. 67-70
Береж.ной И. А., Ивлев Д. Д. , Макаров Е. В. О деформационных моделях теории пластичности и сплошных сред // ПММ. — 1970.——Т. 34, вып. 3. - С. 553—557.
Бережной И. А., Ивлев Д. Д.、Макаров Е. В. О диссипативных функциях в теории вязкопластических сред // Проблемы механики сплошной среды, к бОлетию акад. В.В. Новожиловы. — Л.Судостроение,1970. —— С. 67-70
Быковцев Г. И. О кручении призматических стержней из анизотропного идеальнопластического материала // Изв. АН СССР, ОТН,Механика и машиностроение. — 1961. — № 3. — С. 151—157.
Васильева А. М. Растяжение круглого стержня переменного сечения из идеальнопластического материала // Изв. РАН. МТТ. — 1997. —№5.— С. 155-157.
Васильева А. М.^ Ивлев Д. Д. О напряженном состоянии идеальнопластического полого цилиндра, близкого к круговому // Изв. РАН. МТТ. - 1997. - № 4. - С. 113-119.
Васильева А. М., Ивлев Д. Д.、Михайлова М. В. О растяжении полосы и бруса переменного прямоугольного поперечного сечения из идеальнопластического материала // Изв. РАН. МТТ. — 1996. — № 6. — С. 79—87.
Генки Л О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах. Теория пластичности. — М.;ИА, 1948.——С. 80-101.
Григорьев Е.А., Ивлев Д.Д., Шитова Л. Б. Об образовании шейки при течении анизотропной жесткопластической полосы // Изв. РАН. МТТ. - 1989. - № 2. - С. 183-185.
Григорьев И. U.)Ивлев Д. Д. О сдавливании круглого в плане идеально пластического слоя шероховатыми плитами // Изв. РАН, МТТ.— 2000. - № 1. - С. 129-140.
Ершов Л. В. Приближенное решение осесимметричных упругопластических задач // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. — 1959.— №3.
Ершов Л. В. Упругопластическое состояние вблизи сферической полосы // Изв. АН СССР ОТН., Механика и машиностроение. — 1960.— № 6. - С. 155-156.
ПО. Ершов Л. В.)Телиянц В. Н. Об общих соотношениях малого параметра в осесимметричных задачах теории малых упругопластических деформаций // ПМТФ. - 1961. - № 3. - С. 104-106.
Ершов Л. В., Ивлев Д-Д^ Романов А. В. Об обобщениях решения Прандтля о сжатии пластического слоя шероховатыми плитами // Современные проблемы механики и авиации. — М.Машиностроение, 1982.
Ефремов В. Л Идеальнопластическое напряженное состояние тел вблизи сферической полости // Известия РАН, МТТ. — 1999. — № 3.— С. 70-75.
Жуков А. М. К вопросу возникновения шейки в образце при растяжении // Инж. сб. — 1949. — Т. 5, вып. 2. — С. 34-51.
Захарова Т〃. Об образовании шейки при растяжении идеально пластической изотропной полосы // ДАН РАН. — 1998. — Т. 358, № 3.— С. 340-342.
Зверев И. Н. Распространение возмущений в вязкоупругом и вязкопластическом стержне // Прикл. математика и механика. — 1950. — Т. 14, вып. 3. — С. 295—302.
Ивлев Д. Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и статики сыпучей среды // ПММ. — 1958. — Т. 22, вып. 2. — С. 90-96.
Ивлев Д. Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при условии пластичности Треска и его обобщениях // ДАН СССР. — 1959. - Т. 124, № 3. - С. 576-548.
Ивлев Д. Д. К построению теории идеальной пластичности // Г1ММ.— 1958. - Т. 22, вып. 6. - С. 850-855.
Ивлев Д. Д. К теории разрушения твердых тел // Г1ММ. — 1959.— Т. 23, вып. 3. — С. 618—624.
Ивлев Д. Д. К теории идеальной пластической анизотропии // Г1ММ.— 1959. - Т. 23, вып. 6. - С. 1107-1114.
Ивлев Д.Д. Об экстремальных свойствах условий пластичности // □ММ. - 1960. - Т. 24, вып. 5. - С. 951-955.
Ивлев Д. Д. Об идеально пластическом течении материала с учетом остаточных микронапряжений // Г1ММ. — 1962. — Т. 26, вып. 4.— С. 709-714.
Ивлев Д. Д. К теории сложных сред // ДАН СССР. — 1963. — Т. 148, № 1. - С. 64-66.
Ивлев Д. Д. О диссипативной функции в теории пластических сред // ДАН СССР. - 1967. - Т. 176, № 5. - С. 1037-1039.
Ивлев Д. Д. Об общих соотношениях теории идеальной пластичности и статики сыпучей среды // ПММ. — 1972. — Т. 36, вып. 5. — С. 957—959.
Ивлев 〃.〃., Романов А. В. Об одном классе точных н еавтом оде л ьн ы х задач теории идеальной пластичности // Нелинейные модели и задачи механики деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1984.
Ивлев Д-Д- К теории предельного состояния пористых тел // Изв. РАН. МТТ. - 1992. - № 3. - С. 163-166.
Ивлев Д. Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности // Проблемы механики сплошной среды, Сборник работ к 60-летию акад. В.П. Мясникова. Владивосток, 1996. — С. 112-115.
Ивлев Д. Д. О статической определимости предельного состояния твердого тела при отрыве // Прикладная механика, Киев. — 1996.——Т. 32, №6.-С. 48-51.
Ивлев Д. Д. Об определяющих соотношениях теории идеальной пластичности / / Известия И ТА ЧР, Чебоксары, сводный том. — 1996.— № 3,4; 1997. - № 1,2. - С. 21—42,
Ивлев Д. Д. О соотношениях ассоциированного закона течения и нагружения в теории идеальной пластичности // Известия НАНИ ЧР, Чебоксары. — 1997. — № 4. — С. 78-100.
Ивлев Д. Д. О соотношениях ассоциированного закона пластического течения в обобщенных переменных // Известия И ТА ЧР, Чебоксары, сводный том. — 1997. — № 3,4; 1998. — № 1,2. — С. 7—15.
Ивлев Д. Д. О пространственном течении идеальнопластического материала, сжатого шероховатыми плитами // Изв. РАН. ММТ, № 1,1998.— С. 5-12.
Ивлев Д. Д. Об общих соотношениях теории идеальной пластичности // ДАН. - 1998. - Т. 361, № 6. - С. 765—767.
Ивлев Д. Д. О соотношениях ассоциированного закона пластического в обобщенных переменных // ДАН РАН. — 1998. — Т. 363, № 6.— С. 775-776.
Ивлев 〃.〃., Ишлинский А.Ю. Полная пластичность в теории идеальнопластического тела //ДАН РАН. — 1999.——Т. 368, № 3.——С. 333-334.
Ивлев Д. Д.\ Ишлинский А.Ю., Максимова Л. А. Условия изотропии и обобщенный ассоциированный закон пластического течения // Изв. РАН, МТТ. - 1999. - № 6. - С. 39-.
Ивлев Д. Д.\ Ишлинский А. Ю., Максимова Л. А. Условия изотропии и обобщенный ассоциированный закон пластического течения // ДАН РАН. - 2000. — Т. 371, № 1. — С. 49-51.
Ивлев Д. Д.\ Ишлинский А. Ю., Максимова Л. А. О свойствах течений изотропной среды // Изв. РАН, МТТ. — 2000. — № 5, с .
Ивлев Д. Д.\ Ишлинский А. Ю., Максимова Л. А. О течениях изотропных сред // Изв. ДАН РАН. — 2000. — т , с .
Ивлев Д.Д., Мартынова Т.Н. О сферическом деформированном состоянии пластических сред // ПМТФ. — 1961. — № 1, с..
Ивлев Д. Д.\ Мартынова Т. Н. О предельном состоянии осесимметричных тел при условиях сопротивления сдвигу и отрыву // Известия АН СССР. ОТН, механика и машиностроение. — 1963. — № 4. — С. 79—85.
Ивлев Д. Д.\ Максимова Л. А. Об идеальном жесткопластическом течении плоской полосы // ДАН РАН. — 1998. — Т. 363, № 4. — С. 483-485.
Ивлев Д. Д.\ Максимова Л. А. О возмущенном течении растягиваемой идеальнопластической полосы // ДАН РАН. — 1998. — Т. 363, № 5.— С. 632-633.
Ивлев Д. Д.\ Максимова Л. А. О плоских течениях идеально жесткопластической среды // ДАН РАН. — 2000.——Т. 370, № 1. — С. 43-45.
Ивлев Д. Д.\ Максимова Л. А. О свойствах соотношений общей плоской задачи теории идеальной пластичности // ДАН РАН. — 2000.——Т. 373, № 1. -С. 39-41.
Ивлев Д. Д.\ Максимова Л. А. О вдавливании индентора в идеальную жесткопластическую полосу // Изв. РАН, МТТ. — 2000. — № 3.— С.131-136.
Ивлев Д. Д.\ Непершин Р. И. К задаче о внедрении гладкого клинообразного в плане штампа с плоским основанием в жесткопластическое пространство // Изв. АН СССР, МТТ. — 1968. — № 6. — С. 115-118.
Ивлев 〃.〃., Непершин Р. И. Внедрение гладкого сферического штампа в жесткопластическое полупространство // Изв. АН СССР, МТТ.— 1974. -№ 4. - С. 159-166.
Ивлев Д. Д., Романов А. В. Об условиях текучести идеальнопластического тела // Изв. РАН, МТТ. — 1992. — № 5. — С. 107-109.
Ивлев Д. Д.\ Рыбакова Т. И. Об устойчивости вязкопластической полосы // ДАН РАН. - 1998. - Т. 358, № 5. - С. 630-632.
Ивлев 〃.〃., Шитова Л. В. Об одной модели предельного состояния тел // Изв. РАН. МТТ. - 1996. -№ 1. - С. 62—65.
Ильюшин А. А. Деформация вязкопластического тела // Учен. зап. МГУ, Механика. — 1940. — Вып. 39. — С. 3-81.
Ильюшин А. А. Об испытаниях металлов при больших скоростях // Инж. сб. — 1941. — Т. 1, вып. 1. — С. 13-26.
Ильюшин А. А. Вопросы теории течения пластического вещества по поверхности // ПММ. — 1954. — Т. 18, вып. 3.
Ильюшин А. А. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения // ПММ. — 1955. — Т. 19, вып. 6. — С. 693-713.
Ишлинский А.Ю. Эйлерово описание деформирования одной изотропной среды Публикуется по доработанной рукописи, относящейся к 1936-1937 г.г.; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.: Наука-1986.-с.333-335.
Ишлинский А.Ю. Трение качения // Прикл. Математика и механики. —1938. — Т. 2, вып. 2. — С. 245—260.
Ишлинский А. Ю. Заметка к статье А.Н. Герасимова «Проблема упругого последействия и внутреннее трение». ПММ. — 1939.——Т. 3, вып. 2. — С. 163-164; Прикладные задачи механики. Т. 1.— М.:Наука-1986.-с.218-220.
Ишлинский А. Ю. Линейные законы деформирования не вполне упругих тел // Докл. АН СССР. - 1940. - Т. 26, № 1. - С. 22-26.
Ишлинский А. Ю. О равнопрочном сечении балки // Учен. Зап. НГУ.— 1940. — Вып. 39. — С. 87-90; Прикладные задачи механики. Т. 1.— М.:Наука, 1986. — с.114-118.
Ишлинский А.Ю. Продольные колебания стержня при наличии линейного закона последействие и релаксации // ПММ. — 1940. — Т. 4, вып. 1. — С. 79-82; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. -с.206-217.
Ишлинский А. Ю. Гипотеза прочности формоизменения // Учен. Зап. МГУ. — 1940. — Вып. 46. — С. 104-114; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.62-83.
Ишлинский А.Ю. Теория сопротивления перекаты ван и ю (трение качения) и смежных явлений // Всесоюз. конф, по трению и износу в машине. — М.; Л.: Изд-во АН СССР, Т. 22, 1940. — С. 155-264.
Ишлинский А. Ю. Плоская деформация при наличии линейного упрочнения // ПММ. — 1941. — Т. 5, вып. 1. — С. 57-10; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.48-61.
Ишлинский А. Ю. Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута 〃口ММ. — 1943. — Т. 7, вып. 2. — С. 109-130; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.221-250.
Ишлинский А. Ю. Об устойчивости вязкопластического течения круглой пластины // ПММ. — 1943. — Т. 7, вып. 6. — С. 405-412； Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.250-262.
Ишлинский А. Ю. Прокатка и волочение при больших скоростях деформирования // ПММ. — 1943. — Т. 7, вып. 3. — С. 226—230; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.262—268.
Ишлинский А. Ю. Некоторые применения статистики к описанию законов деформирования тел // Изв. АН СССР.ОТН. — 1944. — № 9.— С. 583-590; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986.— с.167-175.
Ишлинский А.Ю. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бренелля // ПММ. — 1944. — Т. 8, вып. 3. — С. 201—224; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.17—42.
Ишлинский А.Ю. Задача о медленном течении вязкой жидкости в круглой трубе переменного сечения // Прикл. математика и механики. —1944. — Т. 8, вып. 5. — С. 395—400.
Ишлинский А.Ю. Уравнения деформирования не вполне упругих и вязкопластических тел // Изв. АН СССР.ОТН. — 1945. — № 1 /2.— С. 34-35; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.134-161.
Ишлинский А. Ю. Пространственное деформирование не вполне упругих и вязкопластических тел // Изв. АН СССР.ОТН. — 1945. — № 3.— С. 250-260; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986.— с.162-166.
Ишлинский А. Ю. Разрушения не вполне упругих материалов // Учен. Зап. МГУ, Механика. — 1946. — Т. 1, вып. 117. — С. 90-108; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.191-205.
Ишлинский А.Ю. Об уравнениях деформирования тел за пределом упругости // Учен. зап. МГУ, Механика. — 1946. — Вып. 117. — С. 90-108; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986.— с.62—83.
Ишлинский А. Ю. Об остаточных напряжениях при крутке // Укр. мат. журн. — 1952. — Т. 4, № 2. — С. 155—167; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.119-133.
Ишлинский А. Ю. О плоском движении песка // Укр. мат. журн.— 1954. — Т. 6, № 4. — С. 430-441; Прикладные задачи механики. Т. 1.— М.:Наука, 1986. — с.320-332.
Ишлинский А. Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Укр. мат. журн. — 1954. — Т. 6, № 3. — С. 314—325; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.84-103.
Ишлинский А. Ю. Растяжение бесконечно длинной идеальнопластической полосы переменного сечения // ДАН АН УССР, Киев. — 1958.— № 1. — С. 12—15; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986.— с.43-48.
Ишлинский А. Ю.)Кондратьева А. С. К теории динамического испытания грунта ударником ДОРНИИ // Совещ. По проходимости колесных и гусеничных машин по целине и грунтовым дорогам (Москва, 25—29 мая 1948 г.). - М.: Изд-во АН СССР, 1950. - С. 56-61.
Кадашевич Ю. И., Новожилов В. В. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения // Прикл. математика и механики. —1958. — Т. 22, вып. 1. — С. 78—89.
Кочетков А.М. Приближенное решение некоторых задач нестационарного движения вязкопластической среды // Прикл. математика и механика. — 1950. — Т. 14, вып. 4. — С. 433-436.
Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости // Теория пластичности. Сб. пер. — М.: Ил, 1948. — С. 20—23.
Леви М. Об интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных, относящихся к внутренним движениям в твердых пластических телах, когда эти движения происходят параллельных плоскостях // Теория пластичности. Сб. пер. — М.: Ил,1948. — С. 34-40.
Ленский В. С. Об упругопластическом ударе стержня о жесткую преграду // Прикл. математика и механика. — 1949. — Т. 13, вып. 2.— С. 165-170.
Максимова Л. А. О линеаризированных уравнениях пространственных течений идеальнопластических тел // ДАН РАН. — 1998.——Т. 385, № 6. - С. 772-773.
Максимова Л. А. О течении полосы из идеального жесткопластического материала, ослабленного пологими выточками // Изв. РАН, МТТ.— 1999.— №3. —С. 65-69.
Максимова Л. А. К задаче о вдавливании штампа в идеальнопластическую среду, «Прикладные задачи механики сплошных сред», Межвузовский сборник научных трудов, Воронежский Госуниверситет, Воронеж, 1999. - С. 164-168.
Максимова Л. А. О сжатии слоя из идеально жесткопластического материала жесткими анизотропно шероховатыми плитами // ДАН РАН. - 2000. - Т. 372, № 1. - С. 50-52.
Максимова Л. А. О предельном состоянии слоя, сжатого шероховатыми плитами // ПММ. — 2000. — Т. 64, вып. 6.
Матченко Н. М.)Толоконников Л. А. Плоская задача теории идеальной пластичности анизотропных материалов // Известия АН СССР ,МТТ. - 1975. —№ 1. -С. 69-170.
Мизес Р. Механика твердых тел в пластически деформированном состоянии // Теория пластичности. Сб. пер. — М.: Ил,1948. — С. 57—69.
Миронов Б. Л Линеаризированные уравнения теории идеальной пластичности // ДАН РАН. — 1999. — Т. 364, № 5. — С. 617-619.
Михайлова М. В. Растяжение идеальнопластического цилиндрического стержня при условии пластичности Мизеса // Изв. РАН. МТТ. — 1997.— № 5.— С. 158-162.
Михайлова М. В. О пространственном напряженном состоянии идеальнопластического слоя, сжатого шероховатыми плитами // ДАН РАН
Михайлова М. В. О пространственном течении идеальнопластического слоя, сжатого шероховатыми плитами // ДАН РАН
Михайлова М. В., Петров Н. И. Полиномиальное решение линеаризированных уравнений теории малых упругопластических деформаций в полярных координатах // Изв. РАН, МТТ, № 5.
Михлин С. Г. Математическая теория пластичности // Христианович С. А., Михлин С. Л, Девисон Б. Б. Некоторые новые вопросы механики сплошной среды. / Под ред. Н.Е. Кочина. — М.: Изд. АН СССР, 1938. - С. 157-216.
Непершин Р. И. Пластическое течение при сжати диска между параллельными плитами // Машиноведение, № 1, 1968. — С. 97-100.
Онат 石Прагер В. // Механика. — М.: ИЛ, 1955. — № 4. — С. 93-97.
Петров Л В., Чекмарев Г. Е. О плоской задаче деформирования тел из упрочняющегося материала / / Известия И ТА ЧР, Чебоксары, сводный том 1997 № 3,4, 1998 № 1,2. - С. 57-60.
Прандтль 〃. О твердости пластических материалов и сопротивлении резанию // Теория пластичности. Сб. пер. — М.: Ил, 1948.
Прандтль Л. Примеры применения теоремы Генки к равновесию пластических тел // Теория пластичности. Сб. пер. — М.: Ил, 1948.
Ревуженко А. Ф., Чанышев А. И., Шемякин Е. И. Математические модели упругопластических тел / Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. — Новосибирск, Наука, 1985.
Ревуженко А. Ф., Шемякин Е. И. К вопросу о плоском деформировании упрочняющихся и разупрочняющихся пластических материалов // Прикл. механика и техническая физика. — 1977. — № 3. — С. 157—173.
Рыбакова Т. И. Об устойчивости вязкопластического течения анизотропной полосы / / Известия И ТА ЧР, Чебоксары. — 1996. — № 1.— С. 41-45.
Рыхлевский Я. Об обобщении одной классической задачи теории идеальной пластичности // Механика. Сб. пер. — М.: ИЛ, 1967.——№ 3.—— С.150-158.
Сайр М., Циглер Л К задаче Прандтля о штампе // Механика. Сб. пер. - М.: ИЛ, 1969. - № 2. - С. 117-128.
Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости // Теория пластичности. Сб. пер. — М.:Ил,1948. — С. 11-19.
Сен-Венан Б. Дифференциальные уравнения внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах, и граничные условия для этих тел. Некоторые приложения // Теория пластичности. Сб. пер.— М.: Ил, 1948.- 24-33.
Снитко Н. К. К теории упругопластического состояния квазиизотроп- ных тел и методы вычисления скрытноупругих напряжений // Изв. АН СССР. ОТН. - 1942. - № 7-8. - С. 63-73.
Соботка 3. Осесимметричные и трехмерные задачи предельного равновесия неоднородных сплошных сред // Механика, сб. пер. — М.: ИЛ, 1961. - С. 143-153.
Хаар 4., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах // Теория пластичности. Сб. пер. — М.: Ил,1948.— С. 41-56.
Христианович С. А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре // Мат. сб.— 1936. — Т. 1, № 4. — С. 511-534.
Христианович С. АШемякин Е. И. К теории идеальной пластичности // Инж. ж. МТТ. — 1967. — № 4, с..
Шемякин Е. И. О хрупком разрушении твердых тел // Изв. РАН. МТТ, № 2, 1997. - С. 145-150.
Шемякин Е. И. Очерки геомеханики (горное давление и основа механики горных пород) // Научн. сообщ. ИГД им. А.А. Скочинского, вып. 313/99. — С. 7—38.
Шемякин Е. И. Синтетическая теория прочности // Физическая мезомеханика. —1999. — Т. 2, № 6. — С. 63-69.
Шестериков С. А. К построению теории идеальнопластического тела // ПММ. — 1960. — Т. 24, вып. 3.
Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии // Механика. Сб. переводов и обзоров иностр, период лит., 1957.— № 1. - С. 102-122.
Bishop J. F. W. On the complete solution to problems of deformation of a plastic-rigid material //J. chech. Phys. Of Solid. — 1953. — V. 2, № 1.
Boltzmann L. Zur Theorie der elastischen Nachwirkung. - Sitzungs- berichte der Mathematich-Naturwissenschaftlichen Klasse der Keiserlichen Akademie der Wissenschaften. — 1874. — Bd. 70, H. 2. — S. 275.
Burgers J. Plasticity of crystalline substances in particular of metals // Verb. Knkl nederl. acad. wet. Afd. Natuurk. 1 sect. — 1935. —V. 15, №. 3.— P. 173-212.
Coulomb C. Application des regies de maxim is et minimis a quelques problemes de statiquc, relatifs a 1'architecture // Met. Acad. Sci., Paris.— 1776. — T. 7.
Coulomb Ch. A. Theorie des machines simples // Mem. acad. sci., Paris.— 1785.-T. 10.-P. 161-331.
Drucker D. C. A more fundamental approach to plastic stress-strain relations // Proc. Jst US Nat. Conqr. Appl. Meeh. — 1951. — 487.
Eason G., Shild R. T. The plastic indentation of a semi-infinite solid by perfectly rough circular punch // ZAMM. — 1960. — V. 11. — P. 33.
Fromm H. Berechnung des Schlupfes beim Rollen deformierbarer Scheiben // Ztschr. angew. Math, und Meeh. — 1927. — Bd. 7, H. 1.— S. 27-58.
Haar A., Karman Th. von. Zur Theorie der Spannungszustange in plastis- chen und sandartigen Medien // Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Gott. Math.- phys. KI. - 1909. — H. 2. — S. 204-208.
Hencky H. Zur Theorie plastischer Deformationen und der hierdurch im Material hervorgerufenen Nachspannungcn // Ztschr. angew. Math, und
Meeh. — 1924. — Bd. 4, H. 4. — S. 323-334. [Генки Г. К теории пластических деформаций и вызываемых ими в материале остаточных напряжений // Теория пластичности. Под ред. Ю.Н. Работнова. — М.: Изд-во иностр, лит., 1948. — С. 114-135.]
Hohenemser К., Prager W. Uber die Ansatze der Mechanik isotroper Kon- tinua // Ztschr. angew. Math, und Meeh. — 1932. — Bd. 12, H. 4.— S. 216-226.
Karman Th. Beitrad zur Theorie des Walzvorganges // Ztschr. angew. Math. Und Meeh. - 1925. - Bd. 5, H. 2. - S. 139-141.
Levy M. Memoire sur les equations generales des mouvements interieurs des corps solides ductiles au dela les limites ou L5elasticite pourriait les ramener a leur premier etat // C. r. Acad. sci. Papis. — 1870. — T. 70.— P.1323-1225.
Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases // Phil. Trans. Roy. Soc. London. - 1867. - V. 157, pt. 1. - P. 49-88.
Mises R. Mechanic der plastischen Formanderung von Kristallen // ZAMM. - 1928. - Bd. 8, H. 3. 161-184.
Nadai A. The forces required for rolling steel strip under tension //J. Appl. Meeh. - 1939. - V. 6, №. 2. - P. 54—62.
Prandtl L. Spannungsverteilung in plastischen Korpern // Proc. 1-st Intern. Congr. for Appl. Meeh., Delft. — 1924. — Delft: J. Waltman, 1925.— P. 43-54.
Reuss A. Berucksichtigung der elastischen Formanderung in der Plas- tizitatstheorie // Ztschr. angew. Math. und. Meeh. — 1930. — Bd. 10, H. 2.— S. 266-274.
Reuss A. Vereintachte Berechnung der plastischen Formanderungs- gesch-windingkeiten bei Voraussetzung der Schubspannungsfliesbedingung ZAMM. - 1933. - Bd. 13, 365.
Reuss E. Anisotropy caused by strain // Proc. IV Intern. Congr. for Appl. Meeh., Cambridge: University Press, 1935. — P. 241.
Reynolds O. On rolling friction // Phil. Trans. Roy. Soc. London. — 1876.— V. 166, pt. 1. -P. 155-174.
Saint- Venant B. Memoire sur retablissement des equations differentielles des mouvements interieurs operes dans les corps solides ductiles an dela des limites ou Felasticite pourrait les ramener a leur premier etat // Liouville J. Math. - 1871. - V. 16. - P. 308-316, 373-382.
Thompson J. H. C. On the theory of visco-elasticity: a thermodynamical treatment of visco-elasticity and some problems of the vibrations of visco-elastic solids // Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A. — 1933.— V. 231, №. 703. - P. 339-407.
Volterra V. Sulle equazioni integrodifferenziali della theoria dell5 elastici- ta // Atti della Reale Accademia dei Lincei. — 1909. — V. 18, №. 2.— P. 295.
Weighard ^. Uber den Balken auf nachgiebiger Unterlage // Ztschr. angew. Math, und Meeh. - 1922. - Dd. 2, H. 3. - S. 165-184.
Научное издание
ИШЛИНСКИЙ Александр ЮльевичИВЛЕВ Дюис Данилович
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
Редактор Н.Б. Бартошевич-ЖагельОригинал-макет: В.В. Худяков
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 20.01.03. Формат 60x90/16.Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 44. Уч.-изд. л. 44.
Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
ISBN 5-9221-0141-2
1
В его правой части при г > п стоит заведомо отрицательная или равная нулю величина. Поэтому выражение, стоящее в левой части равенства в фигурных скобках, с течением времени может лишь убывать. Вместе с тем в начальное мгновение о, и (и, следовательно, £ =
11ТП 2 —[
УДК 539.3; 539.214
ББК 22.251
И97
Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. -М.:①ПЗМАТЛПТ, 2001, 2003. - 704 с. - ISBN 5-9221-0141-2.
Монография посвящена одному из основных разделов механики деформируемого твердого тела — математической теории пластичности, где авторам принадлежат результаты, имеющие фундаментальное значение для теории и приложений. Изложено построение общих соотношений теории идеальной пластичности, упрочняющегося материала, а также материалов со сложными реологическими свойствами. Дано приложение теории к технологическим процессам обработки материалов давлением, деформированию и течению пластических, вязкопластических тел и т.д.
Предназначена для научных работников, инженеров, аспирантов, студентов старших курсов, специализирующихся в области механики неупругого деформирования тел и конструкций.
© ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003© ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003ISBN 5-9221-0141-2
© ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003
© ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003