VI. Динамические задачи

Метод усреднений в динамических задачах 128

Квазистатические периодические нагрузки и частотный метод определения характеристик ползучести и релаксации 138

Вязко-упругие колебания и волны ；. . .144

VII.Нелинейные задачи линейной теории термовязко-упругости

Связные задачи термовязко-упругости. Метод последовательпих 1приближений 152

Контактные задачи с переменными границами областей контакта . .157

. Нелинейная теория связи напряжений с деформациями

Общие нелинейные соотношения [3] 164

Частные случаи механической анизотропии .167

Главная нелинейная теория вязко-упругости [3].. 172

Кв азил инейная теория вязко-упругости 175

Главная квазилинейная теория вязко-упругости 179

Математическое обоснование нелинейной теории вязко-упругости . .186

Обращение нелинейных операторов, связывающих напряжения и деформации

Основные теоремы об обращении нелинейных операторов теории вязко-упругости [83] 191

Обратные соотношения изотропной нелинейной теории вязко-упругости198

Обратные соотношения главной нелинейной теории вязко-упругости 205

вазилинейная теория вязко-упругости для изотропн ых несжимаемых сред

Прямые и обратные соотношения квазилинейной теории вязкоупругости212

Квазилинейная теория вязко-упругости несжимаемой среды 219

Главные теории вязко-упругости несжимаемой среды 226

XL Общие методы решения задач нелинейной теории термовязкоупругости

Температурно-временная аналогия и экспериментальное определение ядер 230

Метод последовательных приближений для задач нелинейной термо- вязко-упругости 233

Задача о расширении сферической полости в нелинейном вязкоупругом пространстве 238

Вязко-упругая деформациятонкостенныхконструкций 240

Общая теория физическиигеометрическинелинейной на

чально изотропной вязко-упругой среды

Геометрические и физические характеристики вязко-упругой среды при конечных деформациях 250

Общий постулат изотропии и уравнения связи между напряжениями и деформациями 253

Главная физически и геометрически нелинейная теория вязко-упругос- ти для изотропных материалов 257

Тензор повреждений и теория прочности

Тензоры и меры повреждений 258

Линейная теория накопления повреждений и меры повреждепий...263

Тензор повреждений 2-го рода в линейной теории 267

Связь тензора повреждений с деформациями в линейнойтеории исопоставление ее：с критерием (47.2) 272

Нелинейная теориядлительной прочности 275

Приложение277

Литература278

Посвящается памяти Ольги Константиновны Ильюшиной

Предисловие

Книга посвящена механике и термодинамике вязко-упругих сплошных сред при изотермических и неизотермических процессах деформирования. Областью применения этой теории является механика полимерных материалов и конструкций, а также металлов и других не вполне упругих тел.

Дан доступный для инженеров-исследователей вывод соотношений «напряжение—деформация—время—температура» с использованием общих свойств функционалов и моделей вязко-упругих сред; получены выражения функций и параметров состояния, являющихся функционалами деформации и температуры, выведены термодинамические соотношения, необходимые при решении инженерных задач с переменной температурой и учетом теплообразования.

Даны постановки основных и контактных задач о деформациях и прочности вязко-упругих тел и методы их решения. В качестве основного предложен метод аппроксимаций, дающий эффективное решение задач как изотермических, так и с нестационарным и неоднородным полем температуры, существенно влияющим на механические свойства материала. Метод проиллюстрирован на достаточно большом числе задач о напряжениях и деформациях в дисках, цилиндрах, оболочках и др. Рассмотрены задачи о квазистатических и динамических периодических движениях тел, колебаниях и волнах. Указаны разнообразные методы экспериментального определения основных физических функций вязко- упругих тел (статические, волновые, резонансные), а также ——решений некоторых основных интегральных уравнений, типичных для многих задач. Даны постановка и методы решения нелинейных задач линейной термовязко-упругости, так называемых связанных задач, с учетом теплообразования, вызванного деформированием тела, и контактных задач для однократных и повторных нагружений—разгрузок.

Установлены соотношения между напряжениями и деформациями физически нелинейной теории термовязко-упругости изотропных и ани~ зотропных сред; даны методы обращения нелинейных операторов, определяющих эти соотношения. Нелинейная теория неупругого поведения тел значительно упрощена на основе постулата изотропии (квазилинейная теория), выделения главных 6-образных сингулярностей ядер ползучести и релаксации (главная теория) и требования симметрии (аналог постулата Онзагера). Теория обобщена на случай конечных деформаций.

Дана теория тензора повреждений, приводящая к критериям длительной и усталостной прочности, подробно рассмотрено ее линейное представ-

10

ление с учетом внутренних моментов. Теория повреждений позволяет моделировать разрушение тел и служит основой для ускоренных методов испытаний на прочность.

Изложение основного эффективного аппарата теории, необходимого для прикладных исследований в области термовязко-упругости, содержится в главах I—VI, IX и XII, которые можно читать независимо от других.

Монография предназначена для инженеров, научных работников, аспирантов и студентов, занимающихся вопросами прочности, пластичности и ползучести тел и конструкций, а также общими вопросами механики и физики сплошных сред.

Материал монографии соответствует специальному годичному курсу лекций по математической теории вязко-упругости, который читается авторами на механико-математическом факультете МГУ с 1966 г. и был прочитан в Ташкентском ГУ в 1968 г.

Пользуемся приятной возможностью выразить благодарность профессорам Московского университета В. С. Ленскому, В. В. Москвитину, II. М. Огибалову и профессорам Цунезо-Сато (Васеда-университет, Токио) и Мисацо Ямамото (Столичный университет, Токио), принявшим в 1966/1967 гг. участие в обсуждении метода аипроксимаций и некоторых других разделов книги, а также А. Б. Ефимову за помощь при составлении § 27 л сотрудницам кафедры теории упругости МГУ Л. С. Харьковой, П. В. Трупашовой, В. И. Устиновой за большую помощь в подготовке рукописи.

Автроы

Общие линейные соотношения между напряжениям^ и деформациями для изотропных сред

Характеристики деформаций и напряжений

Механическими параметрами, характеризующими внутреннее состояние сплошной среды в некоторой точке М, являются вектор перемещения и, тензоры деформаций Е и напряжений S. В первой части книги рассматриваются только малые деформации и потому всегда можно выбрать некоторую ортогональную декартову систему координат 勺(％ = 1,2,3), в которой перемещение будет малой величиной. Выбирая, например, три бесконечно близких не лежащих на прямой физические точки среды, построим ортогональный правый (единичный) репер нашей системы, проведя ось %] через две, а плоскость (/i,g) через три точки.

Деформация называется малой порядка б, если во всей области тела V и для любого момента времени t

(1.1)(1.1)max| dui/dxj \ & б.

(1.1)

(1.1)

В указанной системе координат перемещение будет малым порядка б, т. е.

max \иг I W 〃5,(1.2)

где a ——характерный линейный размер области V (символ W означает «порядка или меньше») L

При любых перемещениях среды и любом определении тензора деформаций Е этот тензор однозначно определяется через вектор перемещения и и его первые производные по координатам в момент 力,т. е. каждая компонента Е есть однозначная функция 〃》и dujdxj； это утверждение записывается символически в виде оператора (по координатам)

Е = def (и).(1.3)

В случае малых деформаций с точностью до 6 (т. е. ошибкой не более 6) оператор (1.3) является аддитивным: если даны три поля перемещений Ui, U2, u3, a u3 = ux + u2, то

Е3 = def (% + u2) = def (nJ + def (u2) = Ex + E2,(1.4)

Иногда практики спрашивают, как велико допустимое 6 (т. е. для каких 6 теория еще верна). Ответ в основном таков: если расчет нужно производить с ошибкой не более 10бб% (например, 10%), то 6 a 6。(т. е. 6 a 0,1).

т. е. при сложении двух полей перемещений тензоры деформаций складываются.

В любой системе координат f тензор деформации £ =(£订) связан с перемещением и формулами Коши

£订=def 订(u) = d,j+ 咏)/2,(1.5)

причем 〃；, j есть ковариантная производная по координате ^ от ковариантной компоненты и» вектора и; в декартовой системе %», которую мы всегда будем иметь в виду, если не будет специальной оговорки, имеем

〃t,j = duildxj-(1.6)

Тензор напряжений при малых деформациях в системе координат %» однозначно определен; его компоненты есть истинные (и с точностью б совпадающие с ними условные) компоненты векторов внутренних напряжений на основных ортогональных площадках S =(0订)・

В механике начально изотропных сплошных сред, с которой в основном связаны рассматриваемые нами вопросы, существенное значение имеют разложения тензоров Е и 5 на девиаторы и шаровые тензоры. Для компонент £订 и о仃 в системе координат д эти разложения имеют вид1

£订=ё订+ £5订，

3£ = е = £口 + £22+ £зз 三 £簿；(1-7)

^ij — S〃+ Ob 订，

Зо = @ = an+ 022+ О33 三 Sz・(1-8)

Здесь %力 s»j— девиаторы D&、“；

——единичный тензор Кронеккера; 3s = 0——объемная деформация; о= 0/3 ——среднее гидростатическое напряжение.

Очевидно, для всякого девиатора Ds или О。

е 订5 订=0, stfia = О,(1-Ю)

т. е. компоненты девиатора линейно зависимы.

При ортогональных преобразованиях системы координат 力订 задаваемых формулами /J = /山笛 где 2订——известные косинусы углов между осями %/,力力 так что lim 1$7n = 8〃，тензоры £订， о订 имеют независимые инварианты

8 = Si, £订£订， ^ik^kj^ji^

® = 3o = Oji,о订0订,GihGhjGji

или независимые инварианты

= егг» eu — eijeih I ^гз I ~ det (〃，，

❷=Зо = di, q2 = SijSij, |£订| = det (sQ,(1.11)

1)Выражения вида q沮,@灯匕匕,a灯匕万..., содержащие повторяющиеся индексы, означают^ суммы @11 + “22 + “33；"1抄1 + “2 抄 2 + “3 抄 3； all^ll + …+ "12匕12 + a21 ^21 +…，

если повторяющийся индекс заключен в угловые скобки, например, @认 < г >, значит суммирования нет.

причем еи, аи называются соответственно интенсивностями деформаций и напряжений.

Из формул преобразования компонент любого тензора Л = (。〃) при преобразовании системы координат

〃〃 ,=^mn^im^jn(1.12)

следует, что существует только один тензор, компоненты которого сохраняются при таких преобразованиях, и с точностью до скалярного множителя он совпадает с 5订.Это свойство определяет фундаментальную роль тензора 5订 в теории механических свойств начально изотропной среды: если среде не может быть приписан какой-нибудь физический тензор- константа (подобно тензору модулей упругости анизотропного упругого тела), то ей можно присвоить только тензор-константу б/；.

Тензоры £订 и 0订 можно записать в виде

£订=et1e 订 + £3 订，

Sj = ^a + об 订，(1.13)

где направляющие тензоры

0订=е 订/£ги“j = s 订/j・(1.14)

Их главные инварианты (первый и второй) постоянны

0订5 订=ёa = 0,8 订 5订=8" = 0,

0订0订=1，8i齐订=1，(1.15)

и потому они в основном определяют направления главных осей тензоров £订,о订 и называются направляющими тензорами.

Главные компоненты тензора деформаций (&', £”, £‘") легко определяются через третий инвариант направляющего тензора *订

乙=|即丨=F‘w卜也作)

Определяя угол ф уравнением

cos ср = 3 了6乙，(1.17)

находим главные компоненты направляющего тензора /е

一2

/一 2 _冗一中—一

2

冗+ <p

―yr 3 ， 6

■/63

М亨 cos

3，

(148)

после чего находим

согласно (1.13)

£'=%星十8；

£〃 = £/〃 + 8；守〃=闕。'〃 + 8.

(1.19)

Аналогично ——для напряжений. При этом, конечно, О' + 3" + е〃‘ = 0, *'2 + 百〃2 + *，，，2 = ! ц 乙=*每伍〃'.

Учитывая линейную зависимость (1.10) компонент девиаторов 内厶 Su，для геометрически наглядного представления и анализа процессов деформации и нагружения элемента среды во времени целесообразно ввести

пятимерные ортогональные векторы деформации э и напряжения а, имеющие линейно независимые компоненты эт, am (т= 1, 2, 3, 4, 5). Компоненты эт, <5т связаны с 修力 $订 взаимно однозначными линейными соотношениями

3m ^ К状订， ％j = 6订m 3m,

07n ~ Pmi/ij, Sij = Pijm%，(1.20)

где 67n订，Pzjm — взаимно обратные' матрицы-константы [1]. При этом в пятимерном единичном ортогональном репере em (m = 1, 2,..,5) векторы э, о имеют выражения

э =, от = о (тп = 1, 2,…，5),(1.21)

тп тп7тп/7 т п тп1 、/

а их модули равны интенсивностям деформаций и напряжений

丨 3| = /э2 = Him =崛=V%髙,

1砌=了产=/ 以％^7= Us录灯.(1.22)

Из (1.20) следует, что если вектор о есть линейная изотропная одно- родая функция вектора э

ст = £(з), т. е. ат = Цэ^,](1.23)

то девиатор s〃 есть та же самая линейная изотропная функция девиатора е“

5订=£®j)・(1.24)

Наоборот, если дано (1.24), то следует (1.23). Понятия квазилинейных изотропных функций будут даны позднее, теперь же отметим, что эти функции обладают свойствами:

Рг77П^(эт) = £(В 订 m%) = ^(^ij)»

^mij^ei^ =厶(脇 〃е 订)=E®/(L25)

Из (1.20) следует, что направляющий тензор деформации 豆订(или напряжений Si]) взаимно однозначно определяет единичный вектор деформации э° = з/|з] (или, соответственно, напряжения <у° = <у/|а|), так что

э ^^ е〃з", ст —— о〃(г°.

Процессом нагружения элемента в некоторой точке М сплошной среды называется изменение с течением времени t тензора напряжений S. Процесс нагружения, следовательно, задается некоторой однозначной тен- зор-функцией времени, т. е. шестью независимыми однозначными функциями времени 0订(力). В начальный момент времени 力=0 будем считать о〃 = 0 л рассматривать процесс на конечном интервале времени

0 W力V恥・(1.26)

Если задан процесс нагружения, то, следовательно, заданы скаляр о = а{./3 и девиатор s^ = о〃 一 об订,т. е. заданы скаляр о и вектор а как функции времени. Наоборот, если заданы о (力)и сг«), значит задан процесс нагружения.

Аналогично процесс деформации задается шестью независимыми однозначными функциями времени £订(力)или скаляром 6(力) =Зе = £立 и вектором деформации з«).

Векторы а и э можно изображать в пятимерном евклидовом простран-

Р и с. 2.

Пятимерный образ процессов деформации и нагружения

стве, если с репером ^т(пг = 1,2,..., 5) связать ортогональную декартову систему координат и откладывать по ним компоненты векторов согласно (1.21). Тогда процесс деформации некоторого элемента — тела изобразится траекторией деформации э = з(力)и значениями скаляра 6(力)=Зе в различных ее точках, а процесс нагружения этого же элемента ——траекторией нагружения а = а(^) и значениями скаляра о(力)в ее точках (рис. 1). Если репер параллельно переносить по траектории деформации, то вектор напряжения а можно изображать в местном репере в текущих точках траектории деформации (рис. 2). Тогда получаем пятимерный образ процессов деформации и нагружения элемента тела, который является аналогом известному изображению движения материальной точки под действием силы. Этот образ особенно полезен для теории начально изотропных тел.

Тензор скорости деформации ©行 получается дифференцированием тензора деформации 8^ по времени, т. е. выражается через вектор скорости V = du/dt формулами Коши

3 =(巧不 + 力,力/2 = 8e订/0方=С订 + ®6订.(1-27)

Аналогично тензор скорости напряжений

о〃 = 8о 订/。力=6订 + ЗВ 订••(1.28)

Их интенсивности

% = 了@万"力・， Vu = yХ?^(1.29)

связаны с длинами дуг траекторий деформаций и нагружений

ds =匕办2 = У d^md3m = J/ de^de 讨=%成，

dS = У d^2 = 1/ do你d6m= Vds^dSij = Vudt,(1.30)

т. c. u^, Vu суть скорости движения изображающих точек (концов векторов э и <у) по траекториям; длины дуг

(1.31)(1.31)

(1.31)

(1.31)

суть их первые инвариантные геометрические характеристики, связанные с первыми дифференциалами векторов з и о. Единичные векторы

касательных к траекториям в точках, соответствующих моменту & суть

(1.32)(1.32)Pi — с/э/ ds^q】 —d。/ dW,

(1.32)

(1.32)

причем на основании (1.31) s и S взаимно однозначные, монотонно возрастающие функции времени 力 и потому э (Z) и а (力)можно рассматривать как однозначные функции s и S соответственно.

Процессы в момент t (и траектории в точках s и W) называются аналитическими, если существуют все производные векторов э и о> по s и S и в окрестности этих значений они представимы рядами Тейлора, так что

3(S + Е)】=3 (s) +通(s) + 4■戸需丄…

。(£ + n) h О Q)十 nqi (S)十 %T]2 請 + .・・(1.33)

Инвариантные величины х1? ^, определяемые равенствами

(1.34)(1.34)

(1.34)

(1.34)

суть главные кривизны траекторий, причем

(1.35)(1.35)一1闻一]dpi

(1.35)

(1.35)

P2 —I xi Ids?—IxiIds■

_1d2a1dqi

(1.36)(1.36)единичные векторы главных нормалей. Дифференцирование по s и S связано с дифференцированием по t соотношениями

(1.36)

(1.36)

dt 一一 $ ds — dE ■

и потому (1.34) выражается через производные е订，s^ по 力.

Пять векторов з】=р】=de/ds, |乂]| р2 = dz^/ds? = э2, ..., dSs/ds^ = =э5 образуют базис, в котором можно представить любой вектор э6 = = &бз/&$б, 37,..., з〃 так как пространство пятимерно

э I = ^?lm^mi (^ = 1，2,…,5), 〈2 = 1, 2,…，8〉•(1.37)

Поскольку из пяти скаляров | эт] один равен единице (包| = 1), траектория деформации в каждой точке имеет четыре параметра кривизны и кручения 乂и 乂2, 乂3, 乂4 и скаляры гргт зависят от них и их производных по s, как и все другие скаляры вида э；2, э； • эр (厶卩= 1,2,…，оо). Тождества (1.37) называются соотношениями размерности; для компонент девиатора е〃 они имеют тот же вид

=а = 1,2, •••,8〉，(〃z = l,2,・・•，5)・

dsas

(1.38) Пять взаимно ортогональных единичных векторов р】，р2,..., р5, построенных на базисе 37n(加 = 1,2,..., 5), образуют естественный ортогональный репер в текущей точке траектории деформации. Они связаны между собой

дифференциальными формулами Френе

dpjds = 乂 止2；dp2/ds = — 乂 J)】+ 乂 2P3；

©Рз/ds = — 乂 2P2 + 乂 3Р4； dpjds = — X3P3 + 乂却5；

dp5/ds = — 乂 4P4・(1.39)

Первые четыре из формул (1.39) дают выражения рт через эт

а последняя позволяет шестую производную эв = d^lds^ выразить через пять рт, т. е. дает (1.37) для 2 = 6; дифференцируя эту формулу повторно и пользуясь (1.39), найдем (1.37) для любого 2.

Поскольку 乂皿(加 ~ 1,2,3, 4)——инварианты при ортогональных преобразованиях системы координат в теле, как и |з| = %, а вектор э, т. е. его компоненты эm,изменяются,значит при таких преобразованиях внутренняя геометрия траектории не изменяется, т. е. траектория в пятимерном пространстве поворачивается как жесткая линия. Это справедливо и для траектории нагружения, значит весь образ процессов деформации и нагружения поворачивается как жесткое целое. Преобразование поворота осей Xi в теле при этом дает следующее преобразование компонент вектора в п ятимерном пространстве:

(1.40)(m,九=1,2, . . . , 5)(1.40)(m,九=1,2, . . . , 5)Cij — hp^jqepq —儿也 qBpqnSn, 9m ~ Pmij^ij = ^mn^n» ^mn = ^ip^jQpmijPpQn» (%/P，g = 1,2,3),

(1.40)

(m,九=1,2, . . . , 5)

(1.40)

(m,九=1,2, . . . , 5)

(1.41)(1.41)Матрица 羽小九, конечно, удовлетворяет условиям

(1.41)

(1.41)

3? = 3「3「= Л^г ams эг 3s = эг 3s ^rs» amr ms = 5rs

причем она содержит три степени свободы (не считая одного параметра р, входящего в 0团订，6匂m)，соответствующие трем степеням свободы при повороте осей координат в теле.

Существуют более общие преобразования вращения и отражения в пятимерном пространстве

а = а э zn тп па = а э zn тп пamr^mSamr^mS(1.42)(1.42)

а = а э zn тп п

а = а э zn тп п

amr^mS

amr^mS

(1.42)

(1.42)

сохраняющие постоянными э и поэтому сохраняющие неизменной внутреннюю геометрию траектории деформации, причем матрица, обратная а^п，равна транспонированной, обе матрицы ортонормированы и

(1.43)(1.43)1amn I = det 3吨)=土 1.

(1.43)

(1.43)

Такая матрица содержит 10 степеней свободы, отвечающих 10 различным парам плоскостей, и преобразование (1.42) соответствует различным физическим процессам деформации в теле, так как

е&‘ = 0订团3小 =Bijmamn^n = Pijm^pq^m^PQ / &р2%е@д・ (1.44)

Преобразование 匠皿九 является частным случаем a7n九,сохраняющим внутреннюю геометрию образа процесса (если положить также 0^' = атпбп^ но при 二тп в каждой точке траектории сохраняются неизменными также третьи инварианты девиаторов е”, s^ , тогда как при amn они изменяются, а это и означает, что физические процессы е〃 и 修，(1.44) различны.

Процесс деформации в некоторой точке М тела называется простым, если направляющий тензор деформации *订 не зависит от времени, и, следовательно, изменение тензора деформации в соответствии с первой формулой (1.13) происходит только за счет изменения во времени объемной деформации £ и интенсивности деформации £仇(или модуля вектора деформации э (1.22)). Единичный вектор деформации э° в процессе простой деформации остается постоянным, т. е. траектория деформации в пятимерном пространстве деформаций есть прямой луч, выходящий из начала координат. Длина дуги траектории деформации при этом равна модулю вектора деформации з. Аналогичное определение простого процесса можно дать и для любого физического симметричного тензора второго ранга. Для тензора напряжений простой процесс называется простым нагружением [2].

§ 2. Линейные соотношения между напряжениями и деформациями начально изотропных сплошных сред при изотермических процессах

Пусть в системе координат g даны два симметричных тензора второго порядка У =(勿，，Z = (z订)и пусть известно, что Z — линейная однородная функция У и не существует какого-либо другого тензора-константы. Какой вид будут иметь ковариантные (иначе — изотропные) соотношения между тензорами D уц и z〃？

Общий вид линейной однородной функции ——

2仃—a»jmny тп，(2・1)

Но на основе 6订 можно построить только два симметричных тензора-константы 4-го порядка

aijmn - (6订6m/a1，^ijmn -(田m6% + ^jm^in)a2^

где 旬，а?— произвольные константы, и таким образом

^ijmn = “I'ij'm" + 的①^^加 + ^jm^in)*(2・2)

Обозначая первые инварианты и девиаторы тензоров 沙订,纟订

3z =纟订6订，己订—z订一z8ij, 3y = yij^ij, t]ij = Ун — У^а (2.3) и внося (2.2) и (2.3) в (2.1) получим

za 二 zb»/ + Е订=ay8ij + 匕刀订，(2.4)

где а = 3al + 2a2，b = 2a?• Из (2.4) получаем однозначно

z = ay, J 订=bn 订，(2.5)

т. e. первые инварианты пропорциональны и соответству ющие компонен ты девиаторов пропорциональны, следовательно, девиаторы пропорцио нальны.

Теперь найдем наиболее общие линейные соотношения между тензорами напряжений и деформаций для изотермических процессов нагружения начально изотропного тела. Из изложенного выше следует, что объемная- деформация Зе = 0 будет зависеть только от процесса изменения во времени среднего напряжения о, а девиатор деформации Dz 三(％，一 толь-

L Левые и правые части ковариантных соотношений одинаково преобразуются при преобразовании системы координат /».

Рис. 3..Разбиение полного интервала времени на малые интервалы Дтт = Тщ — Tm-1Рис. 3..Разбиение полного интервала времени на малые интервалы Дтт = Тщ — Tm-1叭力）叭力）

Рис. 3..

Разбиение полного интервала времени на малые интервалы Дтт = Тщ — Tm-1

Рис. 3..

Разбиение полного интервала времени на малые интервалы Дтт = Тщ — Tm-1

叭力）

叭力）

ко от изменения во времени девиатора напряжений 1)0 三(s^), т. е. компонента е订 зависит от процесса изменения компоненты s^・

Пусть q)(Z) будет a(Z) или $订(力)，а 屮(力)будет соответственно £(%) = 6(力)/3 или 0仃(力).Поскольку мы рассматриваем малый элемент среды (или образец), в котором температура постоянна, напряжения и деформации однородны, а других физических воздействий (притока энергии) нет, то задание ф(т) на интервале О W t W % V 力8 вполне однозначно определяет 屮(力) в момент 力.Мы называем это утверждение принципом макроскопической определимости, некоторые авторы — принципом детерминизма. По-види- мому, первое название лучше соответствует смыслу этого предположения, ибо принцип детерминизма, по своему существу являясь более общим, должен включать зависимость 屮(£) в момент t не только от макроскопических величин ф(т) (во все предшествующие времена т), но и от их различных градиентов и других параметров, носящих, может быть, микроскопический характер.

На рис. 3 изображен график ф(т) на интервале 0 ^ т《& в точке t отрезком показана величина 屮(力).Полный интервал 0 ^ т 《兀％ =力8 N сечениями разбит на малые интервалы Дтт =工皿—r^-ц момент времени / совмещен с сечением т = tn. Заменяя истинное значение 屮 внутри интервала Дтт постоянным, например ф^-!) или ф(тт), мы истинный процесс нагружения заменяем аппроксимирующим, определяемым на интервалах Aq,..., Дтт,..., А% постоянными значениями функции ф

中(p1)，中(t2)，.・.，Ф^^)?***»屮(%)•(2.6)

Аппр оксимиру тощий процесс нагружения (2.6) однозначно определяет деформацию《九(力).Общий вид i|)n(0，если она линейная функция процесса нагружения (2.6), будет [3]

п

*Фп (0 = 2 ^п (^ Тт) Ф (тт) ДТт*(2・7)

т=1

Если при неограниченном увеличении числа разбиений п (и N) при условии, что max (Дтт)-> 0, существует предел для правой части (2.7), равный

\кф(%, т) ф(т) d% 0

力t + а

) Всюду в этой книге мы будем понимать интеграл \ как lim ^ приатО, оа

где а ——положительное число. В литературе нижний предел интегрирования в этом t+

случае обозначают 0~, т. е. \. Такое определение интеграла позволит нам исполь- о_

зовать аппарат обобщенных функций.

ТО.

屮⑴=\ кф (力 С)屮(F) de(2.8)

0

представляет общий вид линейного функционала от функции 屮(力)，где Кф (& т) называется ядром, функцией влияния или функцией памяти. Как следует из смысла функции влияния, она отлична от нуля только в интервале 0 W t V 九 Заметим также, что для большинства физических зависимостей функция Кф(^, т) оказывает более сильное влияние на величину 屮(力)для времен т, близких к 力 и это влияние затухает по мере удаления т от момента 九 Если это затухание настолько велико, что «материал ничего не помнит», то функцию влияния можно интерпретировать как 6- функцию Дирака 6(力 ——т), которую можно понимать как предел производящей функции D® 力)при % стремящемся к нулю

6 0) = lim0(aj),(2.9)

где

白(t/a) •

。3，£)=可中欢(2.10)

—8

и C(t) — произвольная абсолютно интегрируемая функция. На практике часто пользуются другим (некорректным) определением 6-функции [4]

3(%)=3(%)=° 11Pli 吋 °，^⑴成=1 ДЛЯ £〉0

3(%)=

3(%)=

оо при 力=0, Д

ъ"“)6(力ъ"“)6(力и свойством 6-функции для любой непрерывной /(£)

ъ

"“)6(力

ъ

"“)6(力

(2.И)(2.И)[/(£) при Ь>£>% —с) de = {」

(2.И)

(2.И)

(0 при t〉b, t<

Выбирая в качестве функции влияния K^(t, т) выражение Кб(力——т) и подставляя его в (2.8), получим на основании (2.11)

屮⑺=Кф(0-(2.12)

Таким образом, в рассматриваемом случае функция 屮 в момент времени £ зависит только от значений ф в этот же момент 九 Если мы положим в (2.8) функцию влияния K^(t, т) равной (— K)%S)(力一т), где 5⑺，n ^ 1 означает производную от б-функции »го порядка, то, интегрируя правую часть (2.8) по частям (см. сноску на стр. 19), получим

屮⑺=Кф(п> (力.(2.13)

Следовательно, придавая функции влияния К力(力 т) сингулярные значения в виде линейной комбинации из б-функции и ее производных, мы сведем интегральный оператор (2.8) к дифференциальному. Отсюда видно, что дифференциальные операторы являются линейными операторами специального типа, так как они резко локализованы, т. е. их значения в точке зависят от значений функции аргумента(р(с) не во всем отрезке изменения т, а только в бесконечно малой окрестности точки т =九

Основное соотношение (2.8) можно также получить, пользуясь теоремами представления общего вида линейных функционалов в различных

функциональных пространствах [5]. Для связи между напряжениями и деформациями в одномерной линейной теории вязко-упругости эти соотношения были получены в работах [6], [7] и обобщены на случай трехмерной модели вязко-упругой среды в [8].

Рассмотрим совокупность функций(р(т), определенных на отрезке [0, t] и назовем эту совокупность пространством Ht. При фиксированном t двум функциям пространства Ht 屮式工) и(р2(т) поставим в соответствие некоторое число, которое обозначим (фп(р2). Если выполняются следующие свойства:

G (фп 屮2)=(屮2，Ф1)，

6)(屮工 + 屮2,屮3)=(屮工，屮3)+ (ф2,ф3),

е) (а屮1，屮2)— 〃(屮1,屮2), где а —— любое действительное число;

2)(ф> 屮)》° Для любого ф, принадлежащего пространству Ht, причем (ф, ф) = 0 тогда и только тогда, когда ф = 0 на всем отрезке [0,打，то число @1，(р2) называется скалярным произведением функций 屮式工)и(р2(т). Для каждой функции ф(т), пользуясь понятием скалярного произведения, можем определить норму этой функции ][(р||, аналогично тому, как определяется длина вектора в евклидовом пространстве

II叫1 = "恥屮)(2，伍)

и ввести метрику, т. е. для каждой пары функций(рх и ф2 определить число г (фи 屮2)，аналогично тому, как в евклидовом пространстве определяется расстояние между двумя векторами

ф2) = |1Ф1 — ф2Ц-(2.15)

Последовательность функций {фп} называется фундаментальной в Hf, если для любого числа £〉0 найдется номер N(£)такой, что г(фп,фт)<^ е при п, т》%(£)• Пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом того же пространства. Пространство 左力 в котором введено скалярное произведение, удовлетворяющее свойствам а), б), в)!и с), и которое является полным по метрике (2.15), называется гильбертовым пространством. Важное свойство гильбертова пространства — представимость произвольного линейного функционала 少[屮]в виде скалярного произведения

^[ф]=(屮，屮*),(2.16)

где элемент ф*, принадлежащий этому же гильбертову пространству Н“ однозначно определяется функционалом 屮[ср], т. е. формула (2.16) дает общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Функционал 屮[ср] (т. е. оператор, значениями которого являются действительные числа) называется линейным, если он обладает следующими свойствами: 1)削屮工十中2]=屮[%]十屮【屮2】；2)屮[屮/f屮[(р], если r3n,屮)f 0.

Введем теперь для нашего случая конкретное выражение скалярного произведения для любых двух функций 屮工 и ф2» определенных на отрез* ке [О, Z]

(Фь 耽)=\ Р (力，F)屮 1 (Т)屮2 (© dq(2.17)

о

где р(^, т)——некоторая положительная функция памяти, т. е. функция, которая позволяет учитывать неравномерное влияние на 屮 в момент t величин ф(т) в различные моменты времени t 0 & t & £ ［9L Нетрудно показать, что введенное таким образом скалярное произведение удовлетворяет требованиям 〃), б), б) не) и пространство Ht будет полным относительно метрики (2.15), порождаемой скалярным произведением (2.17). Поэтому можем воспользоваться выражением общего вида линейного функционала (2.16) в этом пространстве. Согласно (2.17) имеем

屮［屮］=\ Р (厶工)Ф (t) ф* (т) dr = ^К^ (九 т) ф (т) Jr,(2.18)

оо

где принято обозначение р(力工)屮* (т) = Кф (力 t) .Выражение (2.18) полностью совпадает с выражением (2.8).

Применим теперь полученные результаты к установлению зависимости между напряжениями и деформациями в линейной вязко-упругой изотропной среде. Так как общая линейная зависимость между двумя произ - вольными симметричными тензорами У л Z (2.1) сводится к двум скалярным соотношениям (2.5), связывающим отдельно девиаторные и шаровые составляющие тензоров У и Z, то, выбирая в качестве У, например, тензор напряжений S, а в качестве Z тензор деформаций Е, получим, используя соотношения (2.8) или (2.18), следующие зависимости:

^ij (0 =\ К (九 т) s灯(т) d%(2.19)

о

t

6(%) = \ & (%, t) о (t) dt.(2.20)

о

Ядра уравнений (2.19) и (2.20) К(力 т) и Kt(t, т) называются ядрами сдвиговой и объемной ползучести соответственно. Поменяв теперь местами тензоры напряжений и деформаций, т. е. принимая в (2.5) вместо У тензор деформаций Е, а вместо Z тензор напряжений, получим, используя формулу (2.8) или (2.18), следующие соотношения:

4*(0 =5Г (九 т)旬⑴九，(2.21)

о

а (0 = J Гх (^, т) 0 (т) Jr.(2.22)

о

Ядра уравнения (2.21) и (2.22) Г (力 т) и Гх( t, т) называются ядрами сдвиговой и объемной релаксации соответственно.

Предположим теперь, что состояние материала не зависит от начала отсчета времени. Это означает, что если, например, девиатор напряжений s虱t ——己)некоторого процесса напряжений равен девиатору s〃(%) (рис. 4), то девиатор соответствующей деформации 勺式方——J) будет равен %式七. В этом случае ядро сдвиговой ползучести К(力 т) станет ядром разностного типа K(t — т). В самом деле, из уравнения (2.19) мы имеем

4挥一？= \ Kit^^ т)s^^dx.(2.23)

о

Рис. 4;И нвариантность цесса с (£) при (тсчета времениРис. 4;И нвариантность цесса с (£) при (тсчета временифизического проснесении начала"*физического проснесении начала"*

Рис. 4;

И нвариантность цесса с (£) при (тсчета времени

Рис. 4;

И нвариантность цесса с (£) при (тсчета времени

физического проснесении начала"*

физического проснесении начала"*

С другой стороны,

t

(2・24)(2・24)\ К е，т) s^ (т ~l)dr =期(t — E). о

(2・24)

(2・24)

Поскольку в формуле (2.23) функция влияния К(力 т) отлична от нуля только в интервале Е W t V t, то нижний предел интегрирования можно считать нулем.

Сравнивая (2.23) и (2.24), имеем

К«Т, —Е) = К(仃).(2.25)

Равенство (2.25) справедливо для любого Е, а это имеет место только в случае, если

К(力 т) = К(力一t).(2.26)

Аналогично все другие ядра А\(力，т), Г*(力 т), 1\(力，т) станут также ядрами разностного типа K^t — т),「(力一т), t\(力一т). Эти ядра не будут инвариантными относительно начала отсчета времени, если процессы, происходящие в материале (например, в бетоне), связаны со старением.

Подставим теперь выражения (2.21) в (2.19). Получим

%№)=(小)「(％£)

о 1 о

=у \ К (%, t) Г (% q)dt} /j (q) dq(2.27)

(где произведена замена порядка интегрирования по формуле Дирихле) С другой стороны, по свойству б-функции (2.11) имеем

е订• (%) 士 \。а — т1) 3 (q) %(2.28)

о

Сравнивая (2.27) и (2.28), заключаем, что ядра Я и Г должны быть связаны следующим соотношением:

(2.29)(2.29)К (厶 т) Г (т, q) dt = 6 (% — q).

(2.29)

(2.29)

七

Из выражения (2.29) видно, что по крайней мере одно из ядер К или Г должно иметь сингулярную составляющую, чтобы интеграл от произведения двух ядер дал сингулярность в виде б-функции. Если можно так выразиться, чем регулярнее будет одно из ядер, тем сингулярней другое. В самом деле, положим, например, в (2.29)

К «") = (%-工严т/(汽一1)!(2.30)

Интегрируя по частям п ——1 раз, получим слева n-кратный интеграл от функции К«)・ Поэтому

门力)= 66) (%),(2.31)

т. е. сингулярность в виде n-кратной производной от б-функции.

Тип б-особенностей ядер К, К^ Г, 1\ в (2.19) — (2.22) является фундаментальным свойством мгновенной реакции тела (при очень больших скоростях нагружения и деформации). Вязко-упругие тела обычно предполагаются мгновенно упругими, т. е. при очень больших скоростях деформации ведут себя как идеально упругие.

Но закон Гука получается из (2.21), (2.22) в предположении Г (力 т)= =2G6 (t — т), Гх (力 т) = Кб (力一т), где G — модуль сдвига, К — модуль объемного сжатия и такая возможность представления ядер Г, Гх является единственной.

Свойства классической вязкой жидкости получаются из (2.21), (2.22) в предположении более сильных особенностей: Г = 2卩6’ (力一т), Гх =九6'(力—— —— т). Как видно из соотношения (2.29), для упругих тел ядра К (力 т), Ki (力,т) будут иметь такие же особенности, как и ядра Г, Гх, для вязких же ядра К^ Кг не будут иметь особенностей.

В соответствии с изложенным в основных соотношениях между напряжениями —— деформациями —— временем (2.19)——(2.22) для изотроп

ных упруги不 тел положим

Г (小)=2G6 (t т) _『(小)，(2.32)

К«,т)=备3(力一 t) + N(£,t)(2.33)

и аналогично

I\«, т) = Кб (% — t) _ Fl (九 т),(2.34)

及(九工)=6(力 - T) 4- Ki (九 T),(2.35)

где ядра Г, К, Г1? Кг с волной наверху означают регулярную часть соответствующих ядер Г, К、1\, К* а коэффициенты G и К ——упругие модули сдвига и объемный модуль соответственно. Поэтому уравнение (2.29) примет теперь вид

t,<

\ ^(^т)Г(т, тг) dx+ ^v(t^ = 2GK (^тх).(2.36)

Подставляя (2.32) в выражение (2.21), получим

s订(力)=\ [2G6 (% — t) — Т 色 т)]期(т) dt = О'•

=2Ge灯(%) —，『(%,!；) %j ⑴ dx.(2.37)

0

Выражение (2.37) представляет собой уравнение Вольтерры второго рода и имеет всегда решение в виде

%j(%)= ^g~s^ ⑴ +，女(力，T)s仃⑺ d*(2,38)

6

причем ядро 宣(力 т) находится из решения уравнения (2.36) методом последовательного приближения

8

2G宜(九 Т)= nП叭仆)，(2.39)

n=l где

2GF⑴e")三手(九T),

2GF⑵(厶 T) = \:T⑴(九 %)T(豆，t) dq,

2GF⑺(九 © = \ F5T)(九 q) F (t1?t) dx.(2.40)

Таким образом, если мы экспериментально определим ядра Г(力,т) и 1\(& т), то ядра К(厶 т) и Кг (力 т) могут быть найдены аналитически и экспериментально, и путем их сравнения можно проверить основные положения теории.

В заключение приведем другую запись соотношений (2.19) —(2.22), которая принадлежит Больцману [10] и будет использована нами при решении задач линейной вязко-упругости. Предположим, что ядра релаксации и ползучести являются ядрами разностного типа. Обозначим f(%)=一足(£)，e(%) = -冗(力

К (力)=1Г (力衣т (%) = П；(力(2.41)

Функции /?(%) и П«) называются соответственно функциями сдвиговой релаксации и ползучести, а функции 笈式力) и ПК%) — функциями объемной релаксации и ползучести, штрих означает дифференцирование по аргументу. Функции Е, П, Ei, 口1 соотношениями (2.34) определены с точностью до констант, которые могут быть найдены из выражений (2.19)—— (2.22) интегрированием по частям с использованием (2.32)—(2.35). Подставим, например, в (2.19) выражения ядра К в виде (2.32) и воспользуемся (2.41). Интегрирование по частям дает

因(%)= ~^s^(%)十 \ 口‘(％ — т) s订•(© 就=о

=2g sa (%) + \ 口(％ — т) ds订•(т) — П (0) s灯(%).(2.42)

о

Таким образом,

/j (%) = \ П (£ — т)厶〃・(t),(2.43)

о

причем П(0) ；= 1/2G, и произвол в выборе константы объемной функции релаксации ликвидирован.

Аналогично получим

S订(%) = \ 五 G — t)d3(t), 0

(2・44)

6 (%) = \ Щ (力一t) do (т), 0

(2.45)

°(%)= §£i(%-t)de (т), 0

(2.46)

причем

口 (0) = 1/2G,A(0) = 2G,

П](0) = 1/К,修(0) = К.

(2.47)

Определение ядер ползучести и релаксац ии и их свойства

Для определения универсальных характеристик материала ——сдвиговых функций ползучести П(£) и релаксации 7?«)——проще всего использовать опыты на чистый сдвиг, которые можно произвести кручением тонкостенных трубок. Тонкостенная трубка внутреннего радиуса 〃，наружного 仇 расчетной длины I под действием крутящего момента М закручивается на угол 丫厶 где у = 2е12 = 2々2 — деформация сдвига; сдвигающее напряжение определяется равенством М = л(Ь2 — а2)а12, а12 = s^； все другие напряжения и деформации равны нулю. Если М (или а12) задать во времени, то угол 丫2 (сдвиг %2)может быть измерен в каждый момент; если, обратно, задать yZ, в опыте можно измерить М. Теоретические значения соответственно найдутся из уравнений (2.43) и (2.44), если предположить, что материал нестареющий:

t

£12 (%) = \ 口 (％ — t)恒2 (т), t

。12 (%) = \ E (% — т)軀2 (т). b

В опыте на ползучесть мгновенно прикладывается и поддерживается постоянным напряжение а12, т. е. задается

012(*)=0:2 %(力)，(3.2)

где h{f)——единичная функция Хевисайда, которая определяется как интеграл от б-функции

九(力)=\ d(T)л,

—ОО

Характерный график ползучести

Рис. 6.

Характерный график релакс血им

Т. е.

/1 при *》°， ()-[0 при t <0.

Внося

<ic51B (т) = о；2 唯曾.dx = о?26 (т) dx

в (3.1) и используя свойство б-функции

"(£,06 ⑺= 〃£,0)方⑴， о

получим расчетное значение деформации

212 =贺2口⑴无(力(3・3)

Измеренную в этом опыте величину деформации во времени обозначим

212 =/12 (力)无(力)•(3.4)

Сравнивая (3.3) и (3.4), получим выражение для функции ползучести » 0)

При всех напряжениях а^, для которых свойства материала остаются линейными, П(^), а значит /12 (^)/а?2, не зависит от о%； если же для о｝〉 > (а?2)тах с выбранной точностью 九2(力)/唸 П (力)зависит от 或2, значит при такдх напряжениях свойства уже нелинейны, и точность соотношений § 2 недостаточна. Обычный вид функции ползучести дан на рис. 5.

В опыте на релаксацию трубка мгновенно закручивается на угол ?Z и деформация 812 затем сохраняется постоянной, т. е.

£12 = £：2九(力)•(3.6)

Сравнивая теоретическое значение а12 =唯区(%)九(力)с экспериментально измеряемым а12 = g12(^)^(^), находим функцию релаксации « ? 0)

причем в области линейности g12(^)/ej2 не зависит от £；2・ Обычный вид функции релаксации дан на рис. 6.

Специфический недостаток опытов на ползучесть и релаксацию состоит в том, что из-за невозможности мгновенно приложить нагрузку или дать деформацию и измерить мгновенно функции /12, g12 начальные участки кривых ползучести и релаксации /12, g12 остаются неопределенными, в частности, неопределенными будут мгновенные значения /12(0) и ^12(0). По свойству мгновенной упругости должно быть

£12 (0)/012 (0) = /12 (。)/0?2 = 口 (。)= I/2G,

0:L2 (0)/812(0) = g]2 (0)7嗯=五(0) = 2G,(3.8)

так что П (0)7?(0) = 1. Следовательно, мгновенные значения входящих в (3.8) функций, а значит и мгновенного значения модуля сдвига G остаются в этих опытах неопределенными; функции А(力)и П (力)фактически определяются только для t ? 力min, где 力min —— некоторое малое время, характерное для методики опытов и измерительной аппаратуры. В обычных так называемых статических опытах это время может быть порядка секунд, в более безынерционных — порядка десятых, сотых или тысячных долей секунд, а для больших образцов и нагрузок значительно больше. На начальных участках при этом могут получаться заметно различающиеся кривые П и 7?, но для 力登 力min они близко совпадают между собой. Этот вопрос изучался в работах [11,12]. Кривые □(£) и очень резко изменяются в окрестности £ = 0 (И ——возрастает, R — убывает), и производные

(1П (0/Л = Х(^, dR(t)/dt = — Г (0(3.9)

обычно считают равными 4~оо (для П) и — оо (для Е)・

Заметим попутно, что формулы (3.9) определяют ядра ползучести и релаксации, введенные в § 2 и связанные между собой интегральным уравнением (2.36)・ В линейной области это уравнение с выбранной точностью области линейности будет тождеством, и потому взаимные опыты на ползучесть и релаксацию, определяющие П и 7?, а значит ^ и Т, исключают необходимость решать интегральное уравнение (2.36).

Неопределенность П и /? на начальном участке t V »тт, в частности, незнание истинного модуля G, не вносит неопределенности в решение таких задач, где можно пренебречь изменением нагрузок на тело за время 力mm； будем говорить в этом случае, что задачи соответствуют методу экспериментального определения Пи/?. Интересующий интервал времени деформации тела 力8 в таких задачах значительно больше Zmin. Как увидим позже (гл. V), в выражениях напряжений и перемещений в теле через нагрузки (например, силу Р) и перемещения границы (например, перемещение U) аддитивно входят интегралы типа

§ П (力 一 т) dP (т), ，笈(力—т) dU (т)・(ЗЛО)

оо

Для % А 力mm, считая согласно сказанному, что для 力 ——т V 力mm, т. е. т >£ —力min, приращения

dP(x) = dU(x) = 0,(3.11)

мы сможем вычислить (3.10) по приближенным формулам

t力一力min

\ие — т)"⑺ в \ П (t — т) dP (т),(3.12)

оо

tImin

、R (t — r) dU (т) ~\ 五(力一t)dU (т),

оо

в которые уже входят . вполне определенные в опытах величины Щт), R (т) прит ^ 力min・ В этом случае, конечно, ни при каком t не допускаются конечные скачки Р и U за малые времена порядка А$=力min・ Попытки решать несоответствующие опытам задачи, когда (3.12) несправедливы, конечно, не могут приводить к результатам гарантированной точности.

Объемные функции релаксации и ползучести, входящие в соотношения (2.45) и (2.46),

t

о(£)=，&(力一T)de(T),

:(3.13)

9(0= "LU —T)do(t) о

непосредственно находятся из опытов на релаксацию и ползучесть образца любой формы в камере с давлением. Пусть динамометр измеряет давление р(9 в камере, тензометр —— линейную деформацию удлинения AZ образца на базе Z; тогда, очевидно, для изотропного тела при любой форме образца напряженное и деформированное его состояние будет однородным, девиаторы s^ = е^ = 0 и постоянные по объему инварианты о, 0 будут

о = — р, 0 = Зе = 3AZ/Z.

В опыте на объемную ползучесть в камере мгновенно создается давление Ро = — а0, которое поддерживается постоянным во времени, и измеряется деформация т. е. находится функция

6«)=貝力М«)・(3.14)

Поскольку при этом о =。%(力),то теоретическое значение 0 находим из (3.13)

0 = %%«)妳).(3.15)

Сравнивая эти два выражения 0, находим ядро объемной ползучести

П1(0 = /«)/%・(3,16)

Аналогично в опыте на релаксацию: мгновенно прикладывая некоторое давление и измеряя мгновенную объемную деформацию 0О, в следующие моменты времени так уменьшаем давление р«), чтобы объемная деформация оставалась постоянной; следовательно, при заданной 0 = 8。九(力)получим

0=g(仙⑺.(3.17)

Но из (3.13) имеем теоретическое значение °

Следовательно, находим

/⑶不以力)用0，(3.19)

В области линейности свойств тела, конечно, /(^)/а0 и g(力)/6。не зависят от о° и Оо, т. е. 口式力)，/?i(力)—универсальные характеристики материала, причем они одинаковы при всестороннем равномерном растяжении и сжатии; если же для некоторых о()> о。max, ®о> 0отах они начинают зависеть от а0, 0О, значит происходит переход в область нелинейности свойств.

Для определения 片】, □] при известных 7? л И можно использовать любые другие опыты, отличные от опытов на чистый сдвиг, например опыты на растяжение образца, или более точные опыты на растяжение пластинки по направлению нормали к ее серединной плоскости (она должна быть приклеена к плоским металлическим плитам, укрепленным в захватах разрывной машины).

Многие полимеры в линейной области обладают ничтожно малой объемной релаксацией и ползучестью, т. е. функции /(力)и g(力)в (3.14), (3.17) оказываются постоянными. При этом из (3.13) имеем

0 = a1(0)6,6 = 口式0)0,

и, следовательно, обе характеристики выражаются через модуль объемного сжатия материала К

о =灭仇 7?i(0) и 1/П^О)工 К.(3.20)

Объемные деформации часто считают упругими. В некоторых задачах объемными деформациями и вообще можно пренебречь, так как модуль К очень велик, и тогда вместо (3.13), (3.20) можно использовать условие несжимаемости

6 = £露=0.(3.21)

Модуль К и мгновенный сдвиговый модуль G в линейной области деформации вещества являются истинными физическими константами, которые должны непосредственно определять упругие свойства мгновенных процессов деформации. Такие физически мгновенные деформации должны происходить на фронтах волн сильного разрыва.

На плоском фронте волны растяжения ——сжатия нормальное напряжение ап скачком возрастает от 0 ио 点 соответствующее удлинение — от 0 до 成，причем все другие деформации равны нулю. При 力-> 0

^П - 0液(力)，£九=£%(%)，(3.22)

а поскольку £ц — £九，£22 = £зз =。， ^ij = 0(% / 力 и 8 = £八，

^n = £九 ——0/3 = 2£九/3, а для напряжений Оц = ап, 022 = 033, о订=0 (X 子=j) имеем

Зо = (тп 十 а%?, Su = 0n — о = 2(0n —仃22)/3,

то из (3.1), (3.13) находим

4 一 脸=刑0)携=2G£北

Qn + 2喘=3/?式0)碌=3k*.

Следовательно, связь между 0n и % на фронте волны

% = (К 十 4G/3)%.(3.23)

Рис. 7.

Экспериментальное определение уп- руг^х характеристик вязко-упругих материалов ультразвуковым методом

За время dt фронт волны по нормали переместится в недеформирован- ное вещество на c^t (сг ——скорость распространения волны), и столбик 5dt деформируется на и1dt (^― скорость движения вещества при прохождении фронта), т. е. возникает деформация

% = %&•(3.24)

Количество движения этого столбика (pc1d^)p1(pc1d^——масса) возникает за счет импульса 6ndt, т. е.

% = Р&%・(3.25)

Внося (3.24) и (3.25) в (3.23), получим

/£(К + * .(3.26)

Для плоского фронта волны сдвига из аналогичных соображений получим выражение скорости ее распространения

。2=了灰(3.27)

На рис. 7 показаны тонкая пластинка (толщины Д) изучаемого вещества и наклеенные на ее плоскостях металлические пластинки. Полупроводниковый датчик Z)工(О?) и приемник D^^D^ ультразвуковых колебаний могут быть приставлены вертикально (D^ DJ или горизонтально (&, Р2) и позволяют измерить соответственно с】 или с2- На основании (3.26), (3.27) можно вычислить константы К s G. Для полимеров величины К и 2G имеют порядок 104 •10б кг/см2.

Значения наблюдаемых модулей Gh , полученные из статических экспериментов, гораздо ниже указанных значений G. Рассмотрим опыт на сдвиг при напряжении, которое при 力 W % возрастает с постоянной скоростью, а при 力〉力о остается постоянным [12]:

0r12 =%" -("-"0) 2"九(力一力0),(3.28)

где 纱=const = о；2“о (рис. 8). Продифференцируем (3.28) do^ (0 — =Vdt —^dth(t —力°)— (t — /0)冴5(力一力°) и подставим в (3.1); получим

t

号У = *\口⑴"(3.29)

%0 (I。)而I。)

Выражение (3.29) для 力=% является наблюдаемой величиной Пн, определяемой из опыта,

国二与券=矗=索11⑺红(3.30)

Рис. 8. Характерный процесс нагружения в опытах на ползучесть

Таким образом, наблюдаемый модуль GH зависит от времени t0, в течение которого касательное напряжение изменяется от нуля до заданного постоянного значения о% Для «статического» определения истинного модуля G необходимо провести серию экспериментов с различными большими скоростями нагружения 沙,отличающимися друг от друга на несколько порядков, и экстраполировать значение GH на предел 沙一> 8 (力о +0). Аналогично можно поступить в опытах на объемную ползучесть. Получив истинные значения К и G, можно найти истинный коэффициент Пуассона

w = (ЗК — 2G)/(6K + 2G)(3.31)

и убедиться в том, что полимеры обладают заметной объемной сжимаемостью и коэффициент v существенно меньше 0,5.

Сильная зависимость наблюдаемого модуля сдвига от скорости деформации показывает, что мгновенная упругость, выделяемая в выражениях (2.32) 一 (2.35),

t

”№) = \Р« —。) e万("dt о

с помощью б-функции

Г (力)=2G6(0 一 个 «) = 2吏⑺ + R(t)(3.32)

сохраняется очень малое время, т. е. функция Д^О ПРИ конечных малых временах очень велика и отрицательна. Такого типа функция есть производящая для б-функции, обозначаемая 少(а,力)и содержащая малый параметр а [13]. При а -> 0, 0(а,力)б(^), причем для любого а

8ОО

^D(^ 0^ = $6(0成=1.(3.33)

оо

Обозначим производящую для функции Хевисайда 无(力)

t

Я (a, t)=^D(a, т) Jr,(3.34)

о

так что dHIdt = D, и представим функцию релаксации 7?«) в виде

%«) = 2G [1 — 九Н(а, 01 - %/)，(3.35

где 1 —入《1 — константа, а регулярное ядро /?「«) обращается в нуль при 力=0,

Тогда из (3.32) найдем

Г(0 = 2G2G) — 九О(а/)] — Rr ⑴,

и закон вязко-упругих сдвигов (3.1) примет вид

tt

sij ⑴=2G [期(方)一九 g E (%力一f) de 灯⑴]_ g 瓦 4 — e) de^ (T)=

=2G 卜灯(力)一入 \ 0 (a,力一т)期(r) Jrj — \ % R — f) de仃⑺.

(3.37)

Пусть 力° ——малое время, в течение которого деформация возрастает от 0 до е% с постоянной скоростью 内丁 = 4订=е$/% и затем остается постоянной.

Для 力= % из (3.37) находим

s灯(力0) = 2G ,^-\ H (a,力0 — c) dt) %•^ \ Rr (^0 —。)de.

оо

(3.38)

По свойству 五厂(力)(3.36) при малых 力° последний интеграл можно отбросить и написать для наблюдаемого модуля сдвига выражение

5^ = 2GH = 2G jl 一 告§〃 (a, т) dr] .(3.39)

Отсюда получается квазистатический метод определения физических постоянных материала а,入 и G по трем опытам, если вид функции Я(а,力) выбран.

Пусть в трех опытах с различными скоростями и различными временами 力°,力о,力о найдены три различных наблюдаемых модуля сдвига

(3.40)(3.40)

(3.40)

(3.40)

Для каждого из них верна формула (3.39), и потому для а и 九 имеем два уравнения

б?н [1 - 4- J Я (a, г) dr] = G%б?н [1 - 4- J Я (a, г) dr] = G%■ 方0 ■J А”(％т)九° о■ 方0 ■J А”(％т)九° о(3.41)(3.41)

б?н [1 - 4- J Я (a, г) dr] = G%

б?н [1 - 4- J Я (a, г) dr] = G%

■ 方0 ■

J А”(％т)九

° о

■ 方0 ■

J А”(％т)九

° о

(3.41)

(3.41)

и второе, получаюцэеся замэной Gr, td на Gh,勿；после нахождения из них а и 儿 находим модуль сдвига G из уравнения (3.39), в когороз подстав^ лены, например, Gr = Gr, tQ =^ tQ.

(3・42)(3・42)В качестве примера возьмем для D-функции выражение

(3・42)

(3・42)

5%%);言^^・

ЗА. А. Ильюшин, Б. Е. Победря

С помощью (3.34) найдем выражение для наблюдаемого модуля (3.39);

"7 (8,攸=^ [arctg 偽一簿n |/\ + 第三/ ⑶，(3鋼 о

причем а можно назвать временем быстрой релаксации, так как при 力=а функция D уменьшается в 2 раза против ее значения при 力=0, а Е принимает значение 1/2 (ее максимум при 力=8 равен 1). Обозначая в указанных трех опытах

力()/а н3 %,方о 二^ 〃?<力о,力о == 〃■力о,

Gh/% = a, %/Gh = b,(3.44)

получим следующиеполучим следующиеуравнения для нахожденияуравнения для нахождения/ (т. е. а), % и G/ (т. е. а), % и G

получим следующие

получим следующие

уравнения для нахождения

уравнения для нахождения

/ (т. е. а), % и G

/ (т. е. а), % и G

(1 — а) 1(пх) — (1— b)I (тх) = (b — а)/®,

(3.45>(3.45>лGH

(3.45>

(3.45>

人=I (тх) - al (хУ，5 = 1 —%/ 切.

Все времена 力°,力о, Zo должны быть соизмеримыми с а. Применение этого метода [13] дает значительно большие значения модуля G, чем обычно наблюдаемые в статических опытах.

Регулярное ядро /?「(％)，входящее в (3.35), находится в рассматриваемом опыте при %〉％, так как при % & % его следует считать пренебрежимо малым.

В конкретных расчетах задач, соответствующих опытам, как увидим: ниже, нет настоятельной необходимости в аналитическом представлении (аппроксимаций) опытных кривых ползучести и релаксации, так как они могут быть использованы непосредственно, подобно кривым сопротивления в теории пластичности ⑵.Однако полезны и имеют распространение^ некоторые такие представления, удобные для расчетов.

В работе [14] рекомендуется ядро

五(力)=:胱旬l:(3.46У

В работе [15] предлагаются ядро и резольвента вида

R⑺=* / Г(1 + %

ОО/、

п ⑺=尹若 Г [(f+1)(1+а)] •(3.47》

В работе [16] даны детально табулированные ядро и резольвента

R (0 = 4е、叫"”，

п(0п(0[4F Q)]71 产九 F (咽[4F Q)]71 产九 F (咽(3.48>(3.48>

п(0

п(0

[4F Q)]71 产九 F (咽

[4F Q)]71 产九 F (咽

(3.48>

(3.48>

Имеются и другие представления [17]. Точность аппроксимаций должна быть проверена из сопоставления с опытными кривыми для малых, и больших времен.

Мы отметим еще удобные для расчетов представления ядер с помощью суммы экспонент, причем и D-функция может быть взята в виде

D (а, ^) = ~ е^/а, Н (а, ^) = 1 —

(3.49)(3.49)/ 3 力。)=/\ Н(% 力)必=1 一 * (1 - eF/a), 0

(3.49)

(3.49)

и константы а,九，G находятся из (3.44), (3.45). Регулярное ядро 7?厂(力)в (3.35) можно взять в виде

аa)=》4(1一”仆)，(3.50)

г=2

причем выбор /^-функции вида (3.49) будет удачным, если окажется а» 袋 娶＞&. Имеются некоторые соображения [18], показывающие, что времена а/ возрастают пропорционально квадрату индекса

(3.51)(3.51)а» = axZ2 (i = 2, 3,...),

(3.51)

(3.51)

и тогда нахождение коэффициентов /» в (3.50) по опытной кривой 7?(0 значительно упрощается. Модельной назовем функцию релаксации, получающуюся из (3.35) при а,入,G, определяемых на основании (3.49) из (3.44), (3.45), и при а»—согласно (3.51), где положено % =а. Она имеет BUR

N

R(t) = 2G\i— £cn(1 —产/川矶，q = M(3.52)

L n=i」

Входящая в эту формулу сумма представляет монотонно возрастающую во времени неотрицательную функцию, причем

N

% R (g) = G (i— 1s с j》0(3.53)

представляет собой длительный модуль сдвига. Модельная функция ползучести, соответствующая функции релаксации (3.52), имеет вид

N

口(力)=壶口+ X Ка 一产吟],

n=l(3.54)

员三 %/%, &三 4/产，〈к j= 1,2, . .N〉，

где bn находятся из системы 2^ уравнений, получаемых приравниванием коэффициентов при различных степенях р

仇"to —瓦白口万=0口0力(z, / =丄，2, . . ., N),(3.55)

口灯三(p — 1/l^p 一 1也)…(p — 1/Zn)(夕 一 1) (P — 1/22).(p — I/%”

где вычеркнуты (р — l/厶)и (р — "/').

Важным вопросом экспериментального изучения ползучести-релаксации является вопрос о границах линейности свойств материала. Уже отмечалось, что эта граница с заданной точностью б определяется независимостью экспериментально определяемых функций (3.5), (3.7), (3.16), (3.19) от заданных постоянных напряжений 0：2戸0 и деформаций £；2 и 0О. Если при всех рассматриваемых значениях времени 力 W 力8 интенсивности напряжений и деформаций, а также инварианты а и 0 не выходят за указанные в опытах на ползучесть и релаксацию максимально допустимые значения, то следует ожидать, что ошибка расчета не будет больше б. В действительности диапазон линейности может оказаться еще шире в тех задачах, когда выходящие за максимальные пределы напряжения и деформации действуют сравнительно малое время и дают незначительный вклад в процесс. Строгие оценки точности рассматриваемой нами линейной теории относятся к теории нелинейных вязко-упругих свойств, которая будет рассмотрена позднее.

II. Механические модели вязко-упругих тел и температурно-временная аналогия

Простейшие модели вязко-упругой среды

Физическая природа вязкости твердых тел значительно сложнее, чем жидких и газообразных. Однако существуют математические модели элементарной ячейки тела, позволяющие независимо от структурного строения вещества достаточно правильно описывать реологические соотношения между физическим и геометрическим параметрами этой ячейки. Элементарным Гуковским элементом таких моделей является пружина единичной длины, сила натяжения которой F' пропорциональна ее удлинению £‘• Пусть имеется однородное параллельное поле таких пружинок, заключенное между удаленными на единицу длины параллельными плоскостями, ортогональными полю, и пусть М，——число пружин, приходящееся на единицу площади. Тогда MfFf = o' мы называем напряжением поля гуковских элементов. Оно, очевидно, пропорционально &'

『=Е&\(4.1)

причем постоянная Е называется модулем упругости. Пачку М‘ пружин, согласно (4.1), можно изображать как одну пружину, имеющую напряжение о'.

Простым вязким (ньютоновским) элементом модели является либо пара наложенных друг на друга с прослойкой вязкого клея тонких нерастяжимых лент, могущих скользить одна вдоль другой, либо цилиндр с поршнем, имеющим отверстие, причем обе полости заполнены вязкой жидкостью; длина пары лент или цилиндра и выступающей части штока равна единице. Сила Fff натяжения вязкого элемента нропорциональпа скорости движения, т. е. de〃/d£ = ©〃，где £〃—— относительное удлинение элемента (ход поршня). Если Мгг—плотность поля вязких элементов, то на единицу площади плоскости поперечного сечения поля действует напряжение МУ — о", и оно, очевидно, пропорционально скорости Упрощенно пачку N вязких элементов будем изображать как один элемепт для которого

о〃 = W 三陇〃.(4.2)

Через р, обозначен коэффициент вязкости пачки. На рис. 9 изображены модели упругого и вязкого элементов. Для сокращения записи в (4.2) введен символ d, означающий оператор дифференцирования по времени

d 三 dldt, de"三 d£〃/d力三 ©〃・(4.3)

Оператор, обратный d, будем обозначать d~x и понимать под ним интегральный оператор, решающий (4.2) относительно &〃

О

(4・4)(4・4)Вообще для любой функции /(力)положим

(4・4)

(4・4)

d-1^ =、力 d£. о

Подчеркнем, что всегда в (4.4) нижний предел интегрирования будем считать нулевым, а это равносильно предположению о том, что в начальном состоянии при 力=0 все величины y(t) = d~\r равны нулю (хотя бы функция Хевисайда 无(力)или другие производные от нее функции).

Оператор n-кратного дифференцирования обозначим d"

(4・5)

и обратный ему — через d~n

t ТпТ力

d ^ =、•••，/ (G) dqdR …d% = @三項 \ (力一 F)g % ⑺ dt. (4.6) ооо

-V

n

Мы допускаем теперь, что вязко-упругое тело можно представить как совокупность частиц, составленных из всевозможных комбинаций пачек пружинок и вязких элементов («поршней»). Если множество таких частиц соединить в одну систему, то из анализа взаимодействий можно получить соотношения, связывающие напряжения и деформации (эти же соотношения в первой главе были получены исходя из совершенно иных соображений). Тем самым мы сможем отождествить эти два подхода и пользоваться моделями для пополнения полученных в первой главе сведений о вязко- упругих телах, например, установить температурно-временную эквивалентность, получить некоторые термодинамические соотношения и т. д.

Элементарный кубик тела со стороной а, который можно представить как ящик с жесткими плоскими гранями, состоит из связного множества упругих и вязких элементов; каждый конец любого элемента соединен с концом одного или нескольких элементов или прикреплен к одной

из граней】 ящика. Грани' ящика по ребрам не соединены между собой, и потому вектор силы (макронапряжения о〃), действующей на грань «Ь>, равен сумме сил, действующих в закрепленных на ней элементах. Относительные смещения граней (макродеформации 勺力 очевидным образом складываются из деформаций цепочек элементов, соединяющих грани; таких цепочек, соединяющих, скажем, две противоположные или две соседние грани, будет конечное множество (если общее число элементов конечно) или счетное множество (при бесконечном числе элементов).

Из рассмотрения деформации элементарного кубика, как и из общих соображений [1], следует, что между параметрами системы, т. е. деформациями кубика и множества элементов, и напряжениями кубика и множества элементов будут существовать два основных типа структурных соотношений:

кинематические структурные соотношения, связывающие между собой деформации элементов и кубика (например, сумма проекций дефор - мации элементов всех цепей, соединяющих две противоположные грани, на нормали к граням постоянна и равна относительному удлинению кубика в этом направлении);

динамические структурные соотношения, связывающие между собой напряжения в элементах и на гранях кубика.

К этим структурным соотношениям добавляются для каждого упругого элемента физическое соотношение (4.1), а для вязкого — (4.2).

Полная система структурных и физических соотношений такова, что путем исключения внутренних параметров &', &〃，о', о" будет получаться в пространственном случае — 6, в плоском — 3, в одномерном — 1 функциональных во времени соотношений между напряжениями и деформациями кубика, т. е. макроскопические динамические параметры。订 будут выражены через кинематические параметры 々力 и наоборот. Если структурные соотношения линейны, то таковыми будут и функциональные.

Рассмотрим сначала одномерную модель Максвелла, составленную из параллельных пружины и поршня, соединенных последовательно (рис. 10). Как видно из рисунка, кинематические структурные соотношения модели сводятся к одному

£‘ + £〃 = 8.；(4.7)

Динамические структурные соотношения, связывающие напряжения и отражающие структуру соединения элементов в、узел, будут

о' = о〃 = о,(4.8)

т. е. здесь два соотношения.

Физические соотношения, связывающие напряжения и деформации, совпадают с (4.1) и (4.2)

О’ =笈£‘， О〃 = |X8，，=卩 d£〃.(4.9)

Мы имеем всего пять соотношений (4.7), (4.8), (4.9) для четырех величин: 2‘, £〃, о', о". Следовательно, можно свести эту систему к одному уравнению. В самом деле, находим из (4.9)

胃=才您，e〃 = (T%7卩

и подставляем в (4.7), используя (4.8)

(4.10)(4.10)[1/Е + 产/卩]о = е.

(4.10)

(4.10)

Рис. 10.Модель МаксвеллаРис. 10.Модель МаксвеллаРис. 11.Модель ФохтаРис. 11.Модель Фохта

Рис. 10.

Модель Максвелла

Рис. 10.

Модель Максвелла

Рис. 11.

Модель Фохта

Рис. 11.

Модель Фохта

Применив к правой и левой частям последнего выражения оператор dr получим

£ = 2/Е+о/卩.(4.11)

Это и есть уравнение Максвелла. Его можно представить в виде t

& (%) = \ К (% — у) о (т) d%(4.12)

о

где ядро К(£) на основании (4.10) запишется как

X (0 = 6 R)/B + 初力)/氏(4.13)

Обратное соотношение можно получить интегрированием (4.11) t

О ⑴=Jr (^ - т) 8 (т) dq(4.14)

о

где ядро Г(^) имеет вид

Г (0 = 26 (0 - E2e-Et№".(4.15)

Рассмотрим теперь модель Фохта, т. е. модель, составленную из тех же элементов, что и модель Максвелла, но соединенных параллельно (рис. 11).

Кинематических соотношений в этом случае будет два

8z = е" = 8,(4.16)

а структурных динамических — одно

а^ + ^ = а. -(4.17)

Физические соотношения (4.9) останутся без изменения. Следовательно, и в этом случае мы имеем пять соотношений для четырех величин и, еле-

довательно, можем свести эти соотношения к одному для внешних параметров

о = Es + ре = [Е + jxd] 8.(4.18)

Последнее соотношение можно представить в виде (4.14), причем ядро в этом случае

г (О = Е6 (0 一 呼⑴=^ [Eh (0 一 时(力，(4.19)

а ядро K(f) в выражении (4.12)

К⑴=е-现/*i・(4.20)

Для сложного элемента, составленного из п последовательно соединенных максвелловских элементов (рис. 12), будет п кинематических структурных соотношений

X 或 + N 或=&•(4.21)

总=1fc=i

Динамических —

О； = о； = о； = о； = • .. = о； = W = о. .(4.22)

Физические соотношения запишутся в виде

成=о；/%, 成=d-y/Nk(4.23)

Снова имеем для 4汽 величин 4汽十 1 соотношений, которые можем свести, как и ранее, к одному

пп

(4.24)(4.24)(4.25)(4.25)О Е !Ж + d-у Е l/卩互=8.

(4.24)

(4.24)

(4.25)

(4.25)

/e=1左=1

Обозначив

пп

V 1 _ 1V1 _ 1

q霑一瓦，3而一旧，

fc=-l Л A K=1 G Г

мы получим соотношение (4.10). Таким образом, последовательное соединение максвелловских элементов приводит снова к элементу Максвелла.

Аналогичным образом мы можем убедиться, что параллельное соединение элементов Фохта приводит к элементу Фохта.

Существенно новая модель получается при параллельном соединении п максвелловских элементов (рис. 13). Запишем п структурных кинематических соотношений

成 + 成=&(4 = 1,2, .・.")成 + 成=&(4 = 1,2, .・.")(4.26)(4.26)

成 + 成=&(4 = 1,2, .・.")

成 + 成=&(4 = 1,2, .・.")

(4.26)

(4.26)

и п + 1 структурных динамических соотношений

п

(4.27)(4.27)% = о石，(及=1, 2,. . ., zz); N。足=。・

(4.27)

(4.27)

石=1

Рис. 12.

Последовательное соединение п эле» ментов Максвелла

Рис. R3・

Параллельное соединение п элементов Максвелла

Рис. 14.

Последовательное соединение п эле- ментов Фохта

Физические соотношения даются уравнениями (4.23). Подставляя (4.23) в (4.26)

［贵+击仃］成=2(428)

и используя (4.27), получим

О = 1 戸工已 6 三 >1 ［d//L/J е-(4・29)

Ек Hfc

Составим теперь матрицу n-го порядка, на главной диагонали которой будут стоять элементы d/历次 + l/世储 остальные элементы равны нулю- Обозначим через Р определитель этой матрицы ?

?= n ［d/马 + 1 品］=ea厂鼠/死(4.30)

k=l|i=o

где fj — произведение указанных в скобках двучленов, так что, на-

пример, “°1/» 〃九仰Е*Е2*• • Еп*

1) Иначе говоря, мы приводим (4.29) к общему знаменателю и умножаем на него левую и правую части.

Обозначим через Рг — алгебраическое дополнение элемента d® + 1仙 и через Q — их сумму, умноженную на d,

(4.31)(4.31)p= u m喝+ 1/回］,

(4.31)

(4.31)

Q= £d= 3bdid/ t=l左=1

где индекс (Z) у П сверху означает, что в произведении пропускается множитель для значения * =力.

Тогда соотношение (4.29) можно записать в операторном виде

Ра = Q&(4.32)

Дифференциальные операторы Р и Q являются операторами 九no порядка, причем у оператора Q отсутствует слагаемое с нулевым порядком дифференцирования. Как видно из построения, все коэффициенты операторов Р и Q (т. е. 〃耳,b耳)положительны.

Рассмотрим теперь модель, составленную из последовательно соединенных фохтовских элементов (рис. 14). Кинематические соотношения

Х" = £,£；=吟(f = 1,2, . . ., п),(4.33)

i=i

динамические

о = о/ + %〃，品=1, 2,…，п)(4.34)

и физические (4.23) сводятся к одному

ё=3畐餐。.(4・35)

Составив снова диагональную матрицу на элементах Е» + 卩如 и обозначив через Q определитель этой матрицы, а через Р сумму алгебраических дополнений всех элементов, получим выражение (4.31), причем в этом случае оператор Q будет дифференциальным оператором n-го порядка, а Р — оператором (п — 1)~го порядка.

Отвлечемся теперь от конкретных схем и представим себе сложную связную систему, составленную из М пружцнок и N поршеньков. Обозначим, как и ранее, деформации и напряжения пружинок через £/ и о/ (i = 1, 2,..., М), а деформации и напряжения поршеньков 立〃 и o/'(j = =1, 2,..., N). Предположим, что имеется L кинематических nS динамических структурных соотношений в виде

^s м2』^s м2』NN^^0f (*0f (*3&3&

^s м2』

^s м2』

N

N

^

^

0f (*

0f (*

3

&

3

&

Элементы могут быть соединены между собой совершенно произвольно, даже с перекосами связей, но ввиду того, что мы рассматриваем одномерную модель, нас интересуют только составляющие деформаций и

Рис. 15.

Схематическое изображение распш・ ренной матрицы алгебраической системы уравнений (4.38)

напряжений по вертикали, а поэтому все косинусы углов наклона элементов будут также входить в коэффициенты А, 5 уравнения (4.36). Некоторые из этих коэффициентов могут быть равны нулю, но так как деформации элементов связаны с общей деформацией, то обязательно найдутся коэффициенты /丸,Bk, отличные от нуля.

Физические соотношения будут по-прежнему записываться в виде (4.23) и их будет N + М^ Для 2 (М + N) + 2 величин £；, W, £；, е，£ и о мы имеем всего 厶 + S + Л/ + N структурных и физических соотношений. Так как система связная, то должно существовать одно соотношение между внешними параметрами о и £, т. е. число соотношений доляшо быть на одно меньше, чем число искомых величин. Следовательно,

£ + S + " + N = 2(M+N) + l или(4.37)

L + S = M + N+i.

Внося из (4.23) выражения £；, 8* через о；, о； в первую группу соотношений (4.36), получим вместо (4.36)

МN

n 夕+ 2 Bjk 可=8声，(及=1, 2,…，S);

г=1j=l

м , d《n “ /(4.38)

W “；"? + 2 工/U = 4d叽(及=1,2,..., L).

2=i» j=i

Соотношения (4.38) представляют собой разрешающую систему уравнений; она по физическому смыслу должна быть совместной. Другими словами, ранг матрицы системы должен быть равен рангу расширенной матрицы. Изобразим эти матрицы (рис. 15): первая группа системы (4.38) изображена в верхней части рисунка, причем о считается неизвестной, и поэтому член Bka перенесен в левую часть. Расширенная матрица изображена пунктирной линией. Заштрихованная часть матрицы содержит в качестве множителя оператор d. Систему (4.38) можно свести к уравнению

о = Qe/Р или Ра = Qe.

(4.39)(4.39)Дифференциальный оператор Р представляет собой определитель (М + + j?V + 1)-го порядка. Как следует из рис. 15, порядок дифференциального оператора Р будет равен р — min {厶 М}, а оператора Q — q = = min {L, M + 1}. Таким образом, порядок оператора Q равен или на единицу больше порядка оператора Р, как бы ни была составлена модель из

(4.39)

(4.39)

пружинок и поршеньков. Если число кинематических соотношений L меньше или равно числу пружинок М, то порядки дифференциальных операторов одинаковы. Если М -\- 1 <Z L, то р = М, q = Л/ + 1, т. е. порядок дифференциального оператора Q на единицу выше, чем оператор Р.

Как видим, любая модель, составленная из пружинок и поршеньков, приводит к выражению (4.32).

Рассмотрим более общее линейное соотношение вида (4.32) или (4.39), причем операторы Р и Q имеют вид

р = 2 jd* Q = £ bd・(4.40)

г=0г=0

В соотношениях (4.40) коэффициенты ат и Ьп отличны от нуля, причем числа тип выражают порядок операторов Р и Q, которые можно рассматривать как полиномы от d. Предположим, чю корни многочлена Р(九) действительны, отрицательны и все различные, причем среди них нет нулевого:

九1，九2,…，九m,・(4.41)

Разложим рациональную функцию М(九)=Q(九)/Р(九)，введенную уравнением (4.39), на элементарные дроби

М (d) = С^^ + 再—т+1 ¥-吁1 + .... + М + с0 + Ji/(d — 九1) +

+ c_2/(d —九 2)+ ….+ c_m/(d — ^m)-(4.42)

Так как уравнение c_ke/(d ——九丸)=о адекватно уравнению ° ——九九о = =，一丸£, то первое можно записать в виде

t

О к и \ 6旌(F& (т) dt. о

Поэтому, учитывая (2.42), уравнение (4.39) можно записать в следующем виде:

^П-?П^П-7П + 1

°(")=С九"，产-m £(")+ сп-m+1 d力717n+1 E(大)+…

•••+Q与? + Q8 (")+ C-工 、e(J)A £ (Г) Jr 一卜…о

t

•(t) dr,(4.43)

0.

Если операторы P и Q соответствуют какой-либо модели, состоящей из упругих и втзких злементов, то из (4.43) получим

t

о (力)=^ Г (Z — т) 8 (т) dt,(4.44)

о

где т

F (力)=一 с^ (0 + “6 (力)+ 2 "%，(4.45)

fc=i

т. е. регулярная часть ядра Г представляет собой сумму экспонент.

Как следует из анализа различных моделей, коэффициенты структурных соотношений (4.36) связаны с геометрией расположения элементов относительно ограничивающих макроэлемент плоскостей. Ядра ползучех сти и релаксации для реальных материалов в изотермических процесса- являются монотонными функциями времени. Если бы среди корней многочлена Р или Q (4.41) были комплексные, возникали бы недопустимые свойства ядер. Следовательно, общие свойства коэффициентов структурных соотношений таковы, что все корни многочленов Р, Q действительны, к тому же по свойству ядер они отрицательны. Связных моделей из вязкоупругих элементов, для которых Р (九),Q (九)имели бы комплексные корни, построить невозможно.

Переходя к пространственным изотропным моделям вязко-упругого тела, составленным из пружин и поршней с линейными свойствами, мы для области малых деформаций кубического макрообъема должны будем повторить рассуждения, проведенные выше, для каждой пары параллельных плоскостей, а затем еще рассмотреть относительный сдвиг пары параллельных плоскостей без их удаления. Очевидно, что девиатор напряжений s订 будет связан только с девиатором деформаций е^, а гидростатическое напряжение о ——с деформацией объема 0, причем вид связей (4.39) для тех и других сохраняется. Пусть для изотропной среды девиаторы тензоров напряжения и деформации связаны зависимостью

PS»/ = Q/j,(4.46)

а шаровые составляющие —

РЗ = Q 8,0 = 38.(4.47)

Отсюда для одномерного случая, т. е. для случая, когда только одна составляющая тензора напряжения, например ап, отлична от нуля, из (4.46) и (4.47) имеем [19]

[QP‘ + 2PQ']oii= 3QQ‘£n.(4.48)

Следовательно, если шаровые части (4.47) связаны идеально упруго, то дифференциальные операторы, стоящие при Оц и 8Х1 в выражении (4.48), имеют одинаковый порядок и в выражении ядра (4.45) для этого^случая q = 0.

Соотношения (4.46), (4.47), как и в одномерном случае, приводятся к виду

tt

S订(%)= \ Г(力—t) °灯(t) dt,0 (%) = \ л (力一t) e (t) dt, (4.49〉

о0

причем оба ядра будут выражаться суммой экспонент и иметь нерегулярности типа 6-функции.

§ 5. Зависимость вязкости от температуры, температурно-временная аналогия и экспресс-методы испытаний

Модель вязко-упругого тела в виде совокупности упругих и вязких элементов, как уже'доказано, приводит к тем же общим соотношениям между напряжениями ——деформациями ——временем, что и функциональный метод, и это важное свойство свидетельствует о полноте модели. Последовательно рассматривая модель, можно получить многие дополнитель-

ные сведения, в первую очередь —— влияние температуры на указанные соотношения, и затем построить термодинамику модели. Соответствующие новые соотношения будут строго справедливы для модели, но можно априори предвидеть, что они с некоторой степенью точности будут справедливы и для вязко-упругого тела. И действительно, имеющиеся опытные и теоретические данные подтверждают это утверждение.

Наиболее сильное влияние температуры, естественно, сказывается на поведении вязких элементов, а значительно более слабое ——на поведении упругих. Мы будем рассматривать практически интересный диапазон изменения температур, в котором модули упругих элементов с некоторой точностью постоянны.

Зависимость коэффициентов вязкости различных вязких жидкостей от температуры Т является очень существенной. В табл. 1 приведены некоторые из имеющихся многочисленных экспериментальных данных о коэффициенте вязкости pi [20] в зависимости от температуры 7(7 — по Кельвину,卩• Ю3 切。з) 1).

Таблица 1

Температура, °K/G

Жидкость273/0 i 283/10Жидкость273/0 i 283/10293/20303/30313/40323/50333/60293/20303/30313/40323/50333/60

Жидкость

273/0 i 283/10

Жидкость

273/0 i 283/10

293/20303/30313/40323/50333/60

293/20303/30313/40323/50333/60

ВодаБензолГлицеринАцетонПиридин C6H5NВодаБензолГлицеринАцетонПиридин C6H5N10,098,006,6,475,664,14,85,87з,3,252,962,9,588,297,10,098,006,6,475,664,14,85,87з,3,252,962,9,588,297,17,9213,109,007,57121,139,53,973,6113,6—17,9213,109,007,57121,139,53,973,6113,6—548230712454823071249 6 0 6 94 3 8 4 341,2,6.9 6 0 6 94 3 8 4 341,2,6.9 5 2 96 9 0 -6 4^ пл^ 4^-5.9 5 2 96 9 0 -6 4^ пл^ 4^-5.Полуэмпирическая зависимость коэффициента 卩 от 7 приближенно представляется формулой [21]Полуэмпирическая зависимость коэффициента 卩 от 7 приближенно представляется формулой [21]卩=Ло ?о/т,卩=Ло ?о/т,(5・1)(5・1)Более точной аппроксимационной формулой являетсяБолее точной аппроксимационной формулой является卩=/ %Ь/(Т—С),卩=/ %Ь/(Т—С),(5-2)(5-2)где константы Л0\ /',匕。,b, С различны для различных веществ, причем 7〉С・В табл. 2 даны входящие в (5.2) значения b л О в градусах Кельвина для некоторых жидкостей.Таблица 2где константы Л0\ /',匕。,b, С различны для различных веществ, причем 7〉С・В табл. 2 даны входящие в (5.2) значения b л О в градусах Кельвина для некоторых жидкостей.Таблица 2Жидкость .ьсЬоВода479,2153,42117Бензол873,147,921248Глицерин743,1204,38184Ацетон83,11201,1852,3Пиридин C6H5N691,582,931366Жидкость .ьсЬоВода479,2153,42117Бензол873,147,921248Глицерин743,1204,38184Ацетон83,11201,1852,3Пиридин C6H5N691,582,931366кг* сек/см2 = 0,981 *106 пуаз.кг* сек/см2 = 0,981 *106 пуаз.

Вода

Бензол

Глицерин

Ацетон

Пиридин C6H5N

Вода

Бензол

Глицерин

Ацетон

Пиридин C6H5N

10,09

8,00

6,

6,47

5,66

4,

14,8

5,87

з,

3,25

2,96

2,

9,58

8,29

7,

10,09

8,00

6,

6,47

5,66

4,

14,8

5,87

з,

3,25

2,96

2,

9,58

8,29

7,

17,9213,10

9,007,57

121,139,5

3,973,61

13,6—

17,9213,10

9,007,57

121,139,5

3,973,61

13,6—

5482307124

5482307124

9 6 0 6 9

4 3 8 4 3

41,2,6.

9 6 0 6 9

4 3 8 4 3

41,2,6.

9 5 2 9

6 9 0 -6 4^ пл^ 4^-5.

9 5 2 9

6 9 0 -6 4^ пл^ 4^-5.

Полуэмпирическая зависимость коэффициента 卩 от 7 приближенно представляется формулой [21]

Полуэмпирическая зависимость коэффициента 卩 от 7 приближенно представляется формулой [21]

卩=Ло ?о/т,

卩=Ло ?о/т,

(5・1)

(5・1)

Более точной аппроксимационной формулой является

Более точной аппроксимационной формулой является

卩=/ %Ь/(Т—С),

卩=/ %Ь/(Т—С),

(5-2)

(5-2)

где константы Л0\ /',匕。,b, С различны для различных веществ, причем 7〉С・

В табл. 2 даны входящие в (5.2) значения b л О в градусах Кельвина для некоторых жидкостей.

Таблица 2

где константы Л0\ /',匕。,b, С различны для различных веществ, причем 7〉С・

В табл. 2 даны входящие в (5.2) значения b л О в градусах Кельвина для некоторых жидкостей.

Таблица 2

Жидкость .

ь

с

Ьо

Вода

479,2

153,4

2117

Бензол

873,1

47,92

1248

Глицерин

743,1

204,3

8184

Ацетон

83,11

201,1

852,3

Пиридин C6H5N

691,5

82,93

1366

Жидкость .

ь

с

Ьо

Вода

479,2

153,4

2117

Бензол

873,1

47,92

1248

Глицерин

743,1

204,3

8184

Ацетон

83,11

201,1

852,3

Пиридин C6H5N

691,5

82,93

1366

кг* сек/см2 = 0,981 *106 пуаз.

кг* сек/см2 = 0,981 *106 пуаз.

Предполагаем, что вязкие элементы модели вязко-упругого тела однотипны, т. е. коэффициент вязкости рт некоторого тп-го элемента при температуре Т имеет выражение

卩 пг(7)= Р^гОТ.(5.3)

где 〃т ——некоторая функция температуры, одинаковая для всех вязких элементов модели данного тела, а 陽 от температуры не зависит.

Как уже отмечалось ранее, сопротивление некоторого вязкого элемента модели характеризуется оператором 卩^d/dM действующим на соответствующую деформацию, т. е.

% • d/dt = 1^ат*(1/(1Т = pi^・d/d，，(5.4)

где через tf обозначено приведенное время

t

d，= dt'/aTt tr = ^dt/aT.(5.5)

о

Рассматривая pi^・d/d力 при ат = const = 1 как изотермический оператор вязкости m-го элемента модели, из (5.4) заключаем, что pi^・d/d，будет соответствующим экзотермическим оператором. Формально они отличаются только обозначением времени (t заменено на 力').Следовательно, все соотношения, полученные ранее для изотермических процессов, сохраняются для неизотермических, если в них истинное время t заменить на приведенное tr (5.5). В каждом малом элементе тела температура Т будет некоторой функцией времени t и значит, согласно (5.5), приведенные времена tf будут определенными функциями истинного времени 力 вообще говоря, различными в разных точках тела.

Установленное свойство модели вязко-упругого тела, произвольным образом составленной из упругих и вязких элементов, определяет температурно-временную (Т ——^-аналогию: соотношения между напряжениями, деформациями и приведенным (5.5) временем для изотермических и неизотермических процессов нагружения макроэлемента тела тождественно совпадают; температура и время имеют взаимозаменяемое влияние на указанные соотношения в том смысле, что в них входит лишь комбинация «время — температура» tf (5.5).

Для оценки вкладов в приведенное время 力',вносимых истинным временем t и температурой Т, воспользуемся аппроксимационными формулами (5.1), (5.2). Из сопоставления их с (5.3) находим соответственно

〃т =厶旗瓦疗； 〃т = АеЬ1^т~сК

Нормируя эти выражения так, чтобы при характерной постоянной для данной модели температуре Т = Т$ = const приведенное время совпадало с истинным, т. е. чтобы

(〃t)t=Ts = 1»(5・6)

находим константы AQ, А

In 4。= — b/Ts, h 4 = - b人Ts 一 С)

и, следовательно, для натурального логарифма ат (конечно, при Т〉С, следовательно 僚 > С) имеем

[ 瓦 Т—%1 Ь т—%

=—= %二0一.(% - 3+7 一 % *

(5.7)

Для десятичных логарифмов。丁 запишем эти формулы в виде

Т — %.7 — %

— 1g аг =耽 В1 + т —?s »

где обозначены (lg е = 1g 2,71828...)

%=^lge; т = ^^； 仇=義一，・(5.9)

Для практических целей расчета вязко-упругих тел, работающих в атмосфере Земли, в качестве температуры приведения удобно взять среднюю лабораторную температуру

Ts = 7。= 293° К, То - 273 = 20° С, аТо= 1.(5.10)

Тогда простейшая аппроксимационная формула

IТ — 293

—1g От = % ——j；—(5.8 )

содержит только одну константу материала п0, которая находится из двух опытов на ползучесть (см. ниже): при температуре Т = 7。= 293 и еще при одной .температуре Т^ (например, 7\° = То+40), откуда находим ат】。 и, следовательно, л(

”° = — Т； —2931g %” ■

Более точная аппроксимационная формула

1Т — 293

一 1g От = % В + Т —293

содержит две константы которые находятся из трех опытов на ползучесть при постоянных температурах 7。= 293, Т； и Т； (по значениям 旬°, 0T屮，"t2。) *

Поскольку температура приведения Ts произвольна, ее можно выбрать еще по-другому из условия

Ts = С + ЮО, ₽i = 100,(5・叫

в результате чего она становится константой вещества. Из таблицы значений постоянных b, С для различных жидкостей следует, что для многих из них Ъ ~• 700. Следовательно, для приближенной оценки можно принять 九1 = 700・lg е/10б. При таких значениях n^ §i (5.8") для «т содержит только одну константу материала — температуру приведения Ts, которая должна быть найдена из двух опытов на ползучесть при постоянных температурах 7°, Т^. из которых находится 1g «т0 — 1g атД и потому для Ts получается уравнение

(瓦 + A。 — 僚)他+ 7。一 僚)1g (。门/5)= nx (a。一го).

Сравним два изотермических процесса при различных температурах 7\ и Т2 за времена 匕 и ^2. Приведенное время при Т = const, согласно (5.5),力'=力/〃丁； оно будет одинаковым в этих процессах при условии tJaTi = t^aT2- Используя для оценки выражения 〃т (5.8), получаем

力2% = а^/ал = ЮП21,(5.11)

4 А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря

где n2i — показатель порядка ускорения времени за счет повышения температуры, имеющий значение, согласно (5.8'),

п21 -У。293 (А — TJITBz(5.1Г)

и, согласно (5.8"), 力 &В1 (% — Т2)

21 -(网 + 71 — 239)⑸十 72 一 293,.

На основании этих формул и значений констант b, С, Ьо, указанных в табл. 2。видно, что при разности температур двух процессов порядка 2\ ——?2 = 100 могут получаться значения показателя ускорения времени 〃2i порядка 3 — 4.

Вытекающая из температурно-временной аналогии особенность в поведении модели вязко-упругого тела существенно ускоряет процессы ползучести —релаксации при повышенных температурах,— дает основание к использованию экспресс-методов испытаний их термомеханических свойств и вообще ускоренного моделирования поведения тел под действием нагрузок.

Связь между напряжениями — деформациями — временем — температурой на основании (7 — ^-аналогии получается из (2.43) — (2.46) заменой времен ^ на f, т на т', причем, конечно,

о

где ат берется для Т (т). Основные прямые соотношения

s订=，五(尸—t') dea СИ，

:,г (5.12)

o = \& (尸一S de B) о

и обратные соотношения г

旬=，u(尸一0厶订。)，

；(5.13)

e = \ii](尸―и)〃о(1), о

внешне ничем не отличающиеся при различных постоянных и переменных температурах, на самом деле отражают очень сильное влияние температур и существенным образом изменяют понятия одинаковых или эквивалентных процессов деформации и нагружения.

Процесс деформации малого объема тела определяется заданием во времени девиатора 6订(力)и скаляра 0 (力)；процесс нагружения ——заданием s订 ⑴ и о «). Если в двух процессах деформации при одинаковой постоянной температуре функции е〃(力)и 0 ⑴ одинаковы, то процессы тождественны..'

Термо-реологически тождественными будем называть два процесса деформации, протекающих при различных переменных температурах 7\ (力)и 7\ G)，если заданные в них девиаторы 居，朗)и скаляры ^⑴,6?)

(5.14)(5.14)

(5.14)

(5.14)

функциями приведенных временфункциями приведенных временявляются соответственно одинаковыми

функциями приведенных времен

функциями приведенных времен

т. е. совпадают между собой при соответствующих значениях истинного времени 力=左 и 力=£?，определяемых равенствами

" 1 -力2；dt 21dti = 。7\ (方 2)/〃不(" i) •(5.15)

Из (5.12) следует, во-первых, что для термо-реологически тождественных процессов деформации напряженные состояния в соответствующие моменты времени одинаковы; и, во-вторых, что каждому данному изотермическому процессу деформации соответствует бесконечное множество термо-реологически тождественных неизотермических процессов деформации.

Аналогично понятие и свойства термо-реологически тождественных процессов нагружения элемента. Пусть, например, дан изотермический процесс простого нагружения (при температуре 7\)

Sj?=入 1 (力i) /1j,"1 =["1/a7\ ,(5.16)

которому, согласно (5.13), соответствует простой процесс деформации

eij = Hi (力i) %；Hi (力i) = \ 口 (左一Ti)玖1 (q)・

о

Рассмотрим неизотермический процесс при Г2 = ?2 (力2)

S订.=入2 ("2)Aj(5.17)

и найдем Х2 (力2)из условия 九2 (力2)=九i (左)ПРИ 力i =友=力'；имеем

Если функции 厶工，九2 удовлетворяют условию

入2 (力2)= ^*1 ( ^Ti入2 (力2)= ^*1 ( ^Ti/2?也2/2?也2(5.18)(5.18)

入2 (力2)= ^*1 ( ^Ti

入2 (力2)= ^*1 ( ^Ti

/2

?也2

/2

?也2

(5.18)

(5.18)

九2 ("2)=入1九2 ("2)=入1для любого 力2, то процессы будут реологически тождественными. Например, два изотермических процесса простого нагружения реологически тождественны, если

九2 ("2)=入1

九2 ("2)=入1

(5.19)

т. е. в постоянном отношении ат2 /〃т\ изменен масштаб времени нагружения.

Свойство вязко-упругой модели тела, выражаемое температурно-вре- меннбй аналогией, постулируется как принцип температурно-временной эквивалентности полимеров для практически важного диапазона изменения температур, соответствующего высокоэластическому состоянию►

Рис. 16.

Экспериментальное определение коэффициента температурного смещения

Ряд авторов [22] приходит к выражению коэффициента температурного смещения 〃т в виде (5.8) на основании экспериментов. Этот коэффициент может быть найден из многих изотермических опытов при различных температурах. Например, из опытов на ползучесть можно построить серию кривых ползучести

口 = И 亿 7),

(5.20)(5.20)отложив по оси абсцисс lg t (рис. 16). Если при параллельном переносе кривых П при различных Т вдоль оси lg t их можно слить в одну кривую, значит они отличаются только масштабом времени, т. е. (5.20) можно записать в виде

(5.20)

(5.20)

(5.21)(5.21)П = П (力/〃т)・

(5.21)

(5.21)

Но из (5.13) для кривой ползучести, при s订=s当 Д (力，получается И = И (%'),力'=t/ат-

Значит 〃т в (5.12), (5.13) и т. д.— коэффициент преобразования серии графиков (5.20), т. е. 1g ат при переходе от кривой Т к кривой Ts, является горизонтальным смещением кривой П при Т до совмещения с кривой П при 7s・

Правильность принципа (7 ——^-эквивалентности (его степень точности) проверяется, следовательно, степенью точности совмещения кривых (5.20) при горизонтальном переносе их к какой-нибудь одной.

出=8,86; р! = 101,6° С.出=8,86; р! = 101,6° С.(5.22)(5.22)В работе [22] утверждается достаточная точность принципа (Т ——力)一 эквивалентности для полимеров, причем в качестве первого приближения рекомендуется формула (5.8), в которой коэффициенты

出=8,86; р! = 101,6° С.

出=8,86; р! = 101,6° С.

(5.22)

(5.22)

Приводятся температуры НапримерПолимерПолистирол ....Полиуретан ....Натуральный каучукПриводятся температуры НапримерПолимерПолистирол ....Полиуретан ....Натуральный каучук

Приводятся температуры Например

Полимер

Полистирол ....

Полиуретан ....

Натуральный каучук

Приводятся температуры Например

Полимер

Полистирол ....

Полиуретан ....

Натуральный каучук

7s, входящие в (5.8), для многих полимеров.

ts °к408〜418283

247—251

При значениях (5.22) из (5.8) получается следующая зависимость—1g ат , «т и показателя (5.11) от температуры (принимая 7\= Ts = 250):

г

Т (°К)

一 lg а Т

ат

Пг1

1

250

0

1

0

2

270

1,5

[0-1,5

1,5

3

300

3,0

10~3

з,о

4

320

4,0

10“

4,0

Следовательно, повышение температуры на 70° имеет показатель (5.11) 九41= 4, т. е. «ускоряет течение времени» в 104 раз.

Использование принципа эквивалентности для проведения экспресс- испытаний и для других целей очень заманчиво и является одной из немногих возможностей прогнозирования поведения материалов в течение длительного времени. Однако условие его справедливости и точности, т. е. возможность преобразования серии кривых (5.20) к виду (5.21), должно тщательно проверяться на прямых опытах с достаточно большим диапазоном изменения истинного времени. Реалистической оценкой ошибки в значениях показателя преобразования времени п12 (5.11) будет 10— 20%, т. е. при сокращении масштаба времени на п12 порядков за счет повышения температуры ошибка в истинном времени может быть на (0,1 〜 ~ 0,2) П12 порядка.

П1. Некоторые термодинамические функции и законы сохранения

Простейшие вязко-упругие модели

Система дифференциальных уравнений движения вязко-упругого тела с учетом установленных в предыдущих параграфах соотношений напряжения ——деформации ——времени ——температуры является замкнутой при условии, что температура задана. Но в некоторых задачах температура может быть и неизвестной. Тогда для замыкания системы уравнений необходимо использовать еще уравнение баланса тепла или другое, связывающее температуру с уже введенными механическими параметрами.

Рассмотрим термодинамику простейших моделей (Максвелла и Фохта) [23]. Для всех моделей изотермические физические соотношения одинаковы

о'=灰‘， о〃 -卩£〃•(6.1)

Структурные кинематические и динамические соотношения различны. Для модели Максвелла они имеют вид

£‘ + £” = 8,о' = о" = о;(6.2)

для модели Фохта

К = J = £,о，+ о〃 — о.(6.3)

Упругие элементы моделей подчиняются закону Гука, и поэтому их внутренняя энергия и энтропия будут зависеть от температуры и упругой деформации. Свободную энергию вязких элементов можно считать зависящей только от одной температуры.

Обозначим разность между температурой Т и некоторой фиксированной То в начальный момент

8 = 7 - 7о・(6.4)

С учетом теплового расширения физические соотношения (6.1) примут вид

/ = Е(£，- а®), о〃 =肥〃，(6.5)

(линейного) расширения.(линейного) расширения.где а ——коэффициент теплового

(линейного) расширения.

(линейного) расширения.

Таким образом, термодинамические функции моделей Максвелла и Фохта: энергию, энтропию, свободную энергию можно рассматривать как функции температуры 8 и упругой деформации £‘. Свободную энергию любой из моделей Т (7, £‘) представим в виде разложения в ряд Тейлора, сохранив только квадратичные члены с 8 л е'

^ (7, £')=屮0 + 屮出 + 屮2£' + 屮1出2 + 屮 12呢'+ 屮22£".(6.6)

Свободная энергия Т связана с внутренней энергией и и энтропией S соотношением

W = и - TS.(6.7)

Первый закон термодинамики связывает внутреннюю энергию притока тепла с работой внешних сил

d卫=6Q + ode,(6.8)

где первый член правой части представляет собой приток тепла, а второй —— работу.

Второй закон термодинамики утверждает существование энтропии S, определяемой равенством

TdS - W^dt = 6Q, W*dt > 0,(6.9)

где И7* ——функция рассеивания энергии в единице объема (в единицу времени). Для обратимых процессов W* = 0, для необратимых — представляет собой часть работы внутренних сил, необратимо переходящих в тепло.

Рассматриваемые нами модели вязко-упругого тела могут быть только мгновенно обратимыми, так как при очень больших скоростях деформации вязкие элементы практически не деформируются. Вообще же процессы в них необратимы, и работа вязких элементов полностью и необратимо переходит в тепло. Поэтому для рассеяния W* имеем

М = о”" = “〃2》о,

印％/ = o"d£〃 =战〃 dJ > 0.(6.10)

Подставляя выражение притока тепла (6.9) в (6.8) и используя (6.7), получим основное термодинамическое соотношение, одинаковое для обеих моделей

d^ + S dT = od£ - W*dt = o'd£‘，(6.11)

поскольку для первой модели о" = о' = о, d£ ——d£” = d£‘, а для второй d£” = d£‘ = d& о — о" = o'. Отсюда находим, учитывая (6.6),

S = @4707 = 5 + 屮 i2£‘ + 2屮1舟，(6 12)

o' = d^ld^ =也 + 屮 12® + 2屮22 £‘・

Сравнивая полученное выражение o' с (6.5), находим постоянные

屮2 =。，2屮22 = Е,屮12 = —аЕ;(6.13)

обозначим постоянную

7。"4^ = - 2屯/。=以(6.14)

Константа ^ аддитивно входит в выражение энтропии (6.12) и потому может быть отброшена. В результате получаем следующие выражения Т,

и и = У + 85 + 7戸 + с:

(6Л5)(6Л5)2Т =-(計 + 叫 82 + е唸

(6Л5)

(6Л5)

2m = 粉令2 + eg，2 + 2c令+ 2a笃石£北

5 = 一霹"传+。晒)8 +a豆£t,

причем через 8т обозначена упругая составляющая полной деформации^8, упругого элемента

(6.16)(6.16)£т = е — а&・

(6.16)

(6.16)

Смысл постоянной с в (6.15) найдем из закона сохранения энергии du = =6Q + ode, который, согласно (6.15), (6.2) и (6.3), запишем для обеих моделей в виде

6Q = ^dT 十 FaTdJ — ^d^.6Q = ^dT 十 FaTdJ — ^d^.(647)(647)

6Q = ^dT 十 FaTdJ — ^d^.

6Q = ^dT 十 FaTdJ — ^d^.

(647)

(647)

Применяя его к ненапряженной модели в начальном состоянии при температуре Т = Г。(8 = 6), т. е. при о" = 0 и S = Е(£‘ 一 а®) = О, и давая этой модели свободно расширяться за счет сообщаемого тепла 6Q, получим приращение деформации е' из do' = 0, т. е. de' = ad&. Следовательно, из (6.17)

(6.18)(6.18)6Q = (с + Еа27о) dT.

(6.18)

(6.18)

(6.19)(6.19)Отсюда ясно, что с + Еа2Т0 есть начальная объемная теплоемкость при постоянном (нулевом) давлении ср, и таким образом

(6.19)

(6.19)

Ср — Еа2To.

Из (6.15) получаем простые выражения 屮,S и 〃 через параметры состояния моделей 8, 8т

(6.20)(6.20)2子=一舒令2+万党5 = >^+ аеет,

(6.20)

(6.20)

2 u = 2e拇+ 2aE (7。十令)£t и~ ■肃令2十E£点

Уравнение (6.9) теперь дает закон изменения температуры модели при заданном во времени притоке тепла 6Q, причем W^dt определено (6.10)

(6.21)

Поскольку в любой модели произвольно мы можем задавать лишь внешние (порождающие) параметры, т. е. либо о (力)и 6Q/d力 либо £ «) и SQIdt, либо их комбинации, то уравнение (6.21) должно быть дополнено структурными соотношениями (6.2) или (6.3) и физическими (6.5), после чего уравнение (6.21) может быть разрешено.

Свободная энергия, энтропия, внутренняя энергия являются всегда функциями параметров состояния (в наших моделях любой пары 露 е' или 令,8т, или 8, о'). Но сами параметры состояния всегда являются не~

которыми операторами над порождающими параметрами (*&, о, 8), причем операторы эти и отражают физические свойства тела [1].

Оператор дифференцирования по приведенному согласно температурно-временной аналогии времени 力'будем по-прежнему обозначать буквой d

(6.22)(6.22)d 三 d[dt‘, dt^ =出/@т,卩= 卩о^т.

(6.22)

(6.22)

Для модели Максвелла из структурных и физических соотношений найдем

/8T*т= f'+cod-i»Е‘ = Ет + а 仇/8T*т= f'+cod-i»Е‘ = Ет + а 仇ег = 8 — а令,ег = 8 — а令,со =—; cod-1eT .со =—; cod-1eT .(6.23)(6.23)8 = ет - 8Т = T^d-i- •8 = ет - 8Т = T^d-i- •

/8T

*т= f'+cod-i»

Е‘ = Ет + а 仇

/8T

*т= f'+cod-i»

Е‘ = Ет + а 仇

ег = 8 — а令,

ег = 8 — а令,

со =—; cod-1eT .

со =—; cod-1eT .

(6.23)

(6.23)

8 = ет - 8Т = T^d-i- •

8 = ет - 8Т = T^d-i- •

(6・24)(6・24)(6.25)(6.25)Здесь d"1 ——обратный для d оператор, т. е. если U = dv = dp/df,

(6・24)

(6・24)

(6.25)

(6.25)

то

у = \ Udtf=d^U. о

причем для операторов d, d"1, постоянных с^... и функций времени /1Э... справедлива обычная линейная алгебра сложения и умножения

d (寸工 + &%) = ad% + c2d/2,

d-1(G“ + CJ2) = qd-工 ％ + 々к%, dd"1 = d-1d = 1,...

Из (6.23) находим параметр состояния £丁 (т. е. и £‘)

(6.26)(6.26)(6.27)(6.27)鳥=\ e“y)d&T (с) о

(6.26)

(6.26)

(6.27)

(6.27)

и параметр модели, не являющийся параметром состояния,

s\ef(j')ET 0 dY.

Из (6.10) и (6.20) теперь находим выражения рассеяния, свободной энергии и энтропии через общую деформацию £ (f) и температуру 仆(力')

¥ =_彘02十4•代L十》魂Т ^der⑺， о 0

s = ^^ + aE^e-^f~^dzT (Y),(6.28)

0

W*=^W3"f2)d£T (口) d£T

Связь между напряжением о и деформацией £ для этой модели имеет вид

V

о = Е&т = Е ^е-^^ d^T (т)(6.29)

о

力'力'Для модели Фохта имеем непосредственно из структурных соотношений (6.3)

力'

力'

(6.30)(6.30)(6.31)(6.31)£"=£' = £=\也(尸—Y) d£ (t‘), 0

(6.30)

(6.30)

(6.31)

(6.31)

Г

£丁 = £‘ 一 ОС*® = £т =^h(tf — t‘)d&T(T‘), 0・

где h (力)一функция Хевисайда. Из (6.20) и (6.10)

屮=一蔡宙^^； S =奈8 + aе力; 乙丄0//0

я из о = o' + o"=廃т + 声'находим

o = E£t +阿窑.(6.32)

Отметим, что для модели Максвелла ядра релаксации напряжения Д, свободной энергии 砂 и функции рассеяния Q (6.28)

R«—§ =Xe-3f

争 & —自，尸-% =等 e—3(2f，-Ef),(6.33)

Q (尸一E,尸一n) = ^-e~^-^

связаны между собой соотношениями

得&一8)= 2个(廿一ё,0),

Q (尸t, y 一 n)=_言乎(尸一8,尸一哨，(6・34)

причем энтропия имеет выражение через R

S =-雾=晟心 Т \ R & 一 т)丽丁(『)・(6.35)

Обобщенные максвелловские модели

Рассмотрим теперь более сложную модель, составленную из п максвелловских элементов, соединенных параллельно, как показано на рис. 13. Для этой модели кинематические структурные соотношения состоят из п уравнений

(7.1)(7.1)修 + % 干 е, (i = 1, 2,..., n).

(7.1)

(7.1)

Структурных динамических соотношений будет п -Ь 1, и они имеют вид

п

5 = Oj,5 = Oj,W 6 = о.

5 = Oj,

5 = Oj,

£=1

Физические соотношения остаются прежними, причем мы исполь зуем ранее принятые обозначения, опуская штрихи для приведенного времени и индекс «О» у 卩订

& = Е^ть о； = Me г, (7 3) 8yi= 8^ — а-О, 8Т = 8 — а-д, <г = 1,2,..., п>.

Связь между напряжениями и деформациями записывается в виде операторного соотношения

Тг^， д =雲，(7.4)

г=11 гг

Выражение свободной энергии 屮 в соответствии с (6.20)

屮(J, Т) = F ⑼ + 工旦党.(7.5)

i=l|

Точно так же для функции рассеяния имеем обобщение формулы (6.10)

ж* = 2 8?.(7.6)

г=1

Энтропия

S = T—聲+(7.7)

а теплоемкостью сгр будем называть

о

С = % —仪2 X 旦(7.8)

г=1|

В формулы для свободной энергии (7.5), энтропии (7.7) и функции рассеивания (7.6) подставим выражения упругих и вязких деформаций через полные

(Z9)(Z9)夕®Т// Sq" '&т

(Z9)

(Z9)

5 = 1+3户，%=(十%h1•

(7.10)(7.10)После этого выражения свободной энергии, энтропии и функции рассеивания принимают вид

(7.10)

(7.10)

Для простоты в (7.8) мы предположили, что ср не зависит от 仇 Заметим, что в (7.4) и (7.10) участвуют однотипные выражения

эквивалентные дифференциальным уравнениям относительно щ

Д| + со；〃£ = £т , <г = 1, 2,п>.

Решения таких уравнений при нулевых начальных условиях имеют вид

%=可^戸£Т三卜"5)曲7⑴(7.11)

40

и выясняют смысл стоящего перед £丁 дробного оператора. Теперь для свободной энергии, энтропии и рассеяния рассматриваемой модели имеем 124]

n 11

子=一募巒+年》&« ё』(50厶Тg电(3), i=l о 0

5 =尤0+ a》司卜叫(J)強T⑴，(7.12)

i=l 0

n t t

仍=g g Hе』*тЕ戏丁⑹电(r).

г=1 О О

Уравнение связи между напряжением, деформацией и температурой (7.4) запишется в виде n t

Те,\е-Ч^^т (т).(7.13)

2=1 О

Справедливость полученных соотношений можно проверить непосредственно п одстановкой выражений (7.10) и (7.4) в основное соотношение (6.11)

аТ + 5 ЙГ + W4t = о",(7.14)

которое при этом обращается в тождество.

Обратим внимание на отмеченный ранее (6.34) факт, что ядро интегрального выражения функции рассеяния в (7.12) получается из ядра интегрального слагаемого свободной энергии дифференцированием последнего по времени и умножением на —1.

Если вместо (7.12) пользоваться выражениями функций состояния через параметры состояния %,仆 и порождающими параметрами 或 вида (7.5), (7.6), (7.7), то нужно знать функциональные связи е；, е» с основными порождающими параметрами о, е, входящими в уравнения механики сплошной среды. Согласно (7.9), (7.11) получаем

8； — а-» =痂=j^^jrr = \ е'^~^ 戏丁 (т),

3 о

8г = dg =(0声T厶 еT = £ —(%令，(i = 1, 2,…，九). g (7.15) Единственное здесь ядро, как видно из (7.12), служит базисным для всех других ядер.

§ 8.§ 8.Сложная линейная модель

§ 8.

§ 8.

Рассмотрим теперь общую модель, составленную из М упругих и 7V вязких элементов, которые связаны так, что нет свободных элементов и нет непосредственной связи между любыми двумя однотипными из них, так как такие пары образуют единичные элементы. Свободная энергия модели равна упругой энергии гуковских элементов с точностью до аддитивной функции температуры, т. е. имеет прежнее выражение (7.5). Рассеяние также равно мощности всех вязких элемейтов, т. е. имеет выражение (7.6).

Пусть модель определена S структурными динамическими

МN

2 瓦左 о； + £ 3汴 а — 8庐=О, (А = 1, 2,…，S)(8.1)

г—1;=1

и L структурными кинематическими соотношениями (L = N + М — —+ 1)

МN

W 4认X 4用，=4庐Т,(力=1, 2,…，E),(8.2)

г=1;=1

причем по-прежнему Ет = £ — а8и £ + S = Af + N + l・ Последние соотношения могут быть на основании физических законов (7.3) сведены к следующим:

мd 丁N «а

2 4:上-^+ W =4m8T，(及=£ 2,…，L).(8.3)

г=1 勺 XI 巧

•Система ЛГ + N + 1 уравнений (8.1), (8.3) относительно ЛГ + TV 十 2 переменных (включая о и £丁) может быть сведена к одному операторному -соотношению

о = -у-бг, (8・4)

где Q и Р — дифференциальные операторы. Их вид разбирался в предыдущей главе. Из системы (8.1), (8.3) или из рис. 15 видно, что эти соотношения могут быть разрешены относительно Qi и а；,

'Qi ” Qj (z = 1, 2, M),

6=f5 。尸下 5 (j = 1,2,…，N), (8.5)

причем порядок операторов Qi и Р совпадает, как видно из матрицы на рис. 15, а порядок операторов Q； иР либо совпадает, если число кинематических соотношений L меньше или равно числу упругих элементов М, либо порядок оператора Qj на единицу больше порядка оператора Р, если число кинематических соотношений L больше М・

Если рассматриваемая модель является кинематически допустимой, то корни многочлена Р (九)действительны, отрицательны и все различны, причем, если отсутствует упругий элемент, соединенный параллельно с •остальной системой, то среди этих корней нет нулевого. Если порядок оператора Р (d) равен т, то имеем т корней

入1，入2,…，人小， (8.6)

Раз ложим теперь рациональные функции М% (九)л N；(九) z ““(i = 1, 2,…，

Mf@) - QMV/P(九)，M⑸=Q《)/P(X), ) = ； 2：・二 n),(8，7) на элементарные дроби

у м» (入)= ^^^ + d〔 + … + ^―2^-,

户户)=启+凸+…+

В разложениях (8.8) отсутствуют члены 譽 и 粤, ибо многочлены

Q；仇)и Q；(九)обязательно имеют хотя бы по одному нулевому корню. Поэтому дифференциальные операторы М» (d) и N； (d) можно представить следующим образом:

需三Nj(d) = b"・ +甘吊+…+点

В выражениях (8.5) для о%, а； мы, следовательно, должны суммировать слагаемые типа (7.11)

14一%*】14一%*】8у =8у =t^ех^^т (т)・t^ех^^т (т)・(8.10>(8.10>

14一%*】

14一%*】

8у =

8у =

t

^ех^^т (т)・

t

^ех^^т (т)・

(8.10>

(8.10>

Следовательно, получаем

(8.11)(8.11)哈=£ =言2翫,e"(S %⑺三,fЦ (е- T) d%⑴， '""=1 оО

(8.11)

(8.11)

»mtt

g・=^;=击 2 bkj \ e""F ^т ⑺三 \ % (力一т) % (t),

7?不=1 nn

где обозначения ядер П； (^), V；(力)очевидны. Свободную энергию (7.5) запишем в следующем виде:

力t

¥(7, 8)=卡⑼+ 4^，Р (力一g，力一砌 d% (q) d% 值),(8.12>

о 0

где ядро P (t ——тх, t ——т2) представляет собой сумму экспонент

М mm

? (力一 G力一 f)=旦夫N £翫网C"f=

Аналогично выражается и функция рассеяния (7.6)

仍=\ \ Q (力一％ 力一t2) d% (%) d% (%),(8.14)

о о

где

N т ш

q(力一 ％ I# = £击2 Е瓯犷…十入…=

j=l 廿 j K=12=1

=2 卩乱•《 — /)%& — /)•(8,5)

Выражение энтропии получим, дифференцируя с обратным знаком выражение (7.5) по температуре и используя соотношения (8.11)

5 =一5 =一理 ~дТ理 ~дТМт 2с+嚏 №(£})}Мт 2с+嚏 №(£})}ТоТоdT +dT +

5 =一

5 =一

理 ~дТ

理 ~дТ

Мт 2

с+嚏 №(£})}

Мт 2

с+嚏 №(£})}

То

То

dT +

dT +

(8.16)(8.16)十 а \ 7?s (力一т) d% (т)=杰 8 + а \ Rs (力一т) d% (т), оо

(8.16)

(8.16)

где

Мтт

Rs (力一т) = > * {(2。”) 3 @餡"幻}, с = — То ~|^ . (8.17)

Для явного выражения связи (8.4) между напряжением и деформацией воспользуемся разложением рациональной(Jункции М (入)=Q (九)/Р 仇) на элементарные дроби

E(v=』+』+・・・+A；，E(v=』+』+・・・+A；，(8.18)(8.18)

E(v=』+』+・・・+A；，

E(v=』+』+・・・+A；，

(8.18)

(8.18)

после чего получим

° = ^ (d) % = М (d)% =(8.19)

t

={1 _ ^ d-i + 1-J d-1 + • • •十 1 一工dj% =W (力一T) d% ⑴, mо

где ядро релаксации X (力 ——т) является суммой экспонент

т

Е« —т)=》％『М")・(8.20)

fc==i

Подставим теперь в (7.14) полученные выражения T, S, W^, о. Тогда получим условия, накладываемые на коэффициенты, в термодинамических функциях

МN ,Мт

e 守肮=一 X分 = X 沪(X。阻)•(8.21)

Информация, получаемая из рассмотрения конкретной модели, слишком велика. В термодинамические функции коэффициенты aki, bki, Е», 卩% входят не обособленно, а в некоторой комбинации. Обозначим, например, через ^ki и yki (Л, Z = 1, 2,..., т) следующие комбинации:

2警=®，工兴=%.(8.22)

г=1 t;=1 吗

Соотношения (8.21) в новых обозначениях примут вид

九kB/U = — 丫kl，% = £ B&2・(8.23)

Ядра свободной энергии 部(8.13) и рассеяния Q (8.15) с учетом обозначений (8.22) записываются в виде

тп т

叭力 一 J 力一。2)= X》

q(力 一 ％" f)= - £ 玄九毋Q(f (f,(8.24)

k=l Z=1

откуда следует, что и для этой общей модели выполняется соотношение между Q и 家 вида

Q (力一Ti, t - !2)=-言"呼(" 一 ％ 力一%).

Вязко-упругая среда (одномерный случай)

Вязко-упругую среду будем идентифицировать моделью с бесконечным числом упругих и вязких элементов, т. е. будем считать, что для нее имеется бесконечное число независимых параметров состояния *&, 修(i = 1, 2, ...,оо) или, что то же *&, 8тг'

8=7一禽，%2=(£； 一 靖)/瓦，G = l,2,8〉，(9.1)

где Ei — некоторые постоянные.

Предполагается, что образец материала однородно деформируется вдоль оси х напряжением а (力)，так что упругая составляющая его деформации £ (办，t. ё.

£т = £ — а&,(9.2)

однородно распределена по объему вместе с температурой 8 (办.Основными порождающими внешними параметрами являются любые два (世 8т) или (8, о), причем параметры равны нулю при 力=0.

Среда предполагается линейной в том смысле, что все параметры состояния (9Л) и а, являющиеся согласно общей теории [1] функционалами -& и 8т, получаются из них с помощью линейных операторов по времени ■t 1t

8 = 8, %t = \ 品(力—т)"%(项 o =、R(t — 0d% (т), оо

где 7?订 7? — положительные убывающие функции. Требования

Ri Q)〉О, Е (%) > 0, dRt {^Idx > 0, dR Q)/dz > 0(94)

имеют физический смысл: напряженность i-io упругого элемента пропорциональна £т»; при постоянной деформации образца и температуре, т. е. при £т (力)=必无(方)，из (9.3) имеем

^Ti (方)=马(力)£弘 0 = E (0 8Т, и так как 仃订 о по знаку совпадающие с 乱 релаксируют, то справедливы неравенства (9.4).

Свободную энергию единицы объема 4f (*&, £牙1，£丁2，・・・，£т»，・・・)в рассматриваемом линейном случае необходимо представить однородной квадратичной формой по 8т^ с точностью до аддитивной функции температуры 4f (8), которую мы также будем считать квадратичной

ОО

屮=-费+ ^》£孑「(9万)

г=1

Заметим, что вследствие введения в (9.1) постоянных множителей 了后之 в (9.4) нет необходимости вводить коэффициенты для формы &т» £「》. На основании (9.3) выражение (9.5) перепишем в виде

t t

屮=一囁^ + 吃\\部 " 一 %" - /) d% (%) d% (0)，(9.6)

о о

причем ядро 砂 связано с R»

个(力一G,力一%) = X居(力一G)%(力一%),(9.7)

т. е. оно положительное, симметрично относительно своих аргументов

争Q, 5)=少(弘/) = 2包⑺2 @)(9.8)

и монотонно убывает по (/, у), поскольку ядра Ri (/) положительны для /〉0 л являются монотонно убывающими по /

砂(/, у) > 0, д^1дх < 0,д寧 18у < 0.(9.9)

Представимость ядра 砂(力,у) свободной энергии (9.6) в виде суммы (9.8) является фундаментальным его свойством, приводящим ко многим важным следствиям.

Полный дифференциал 屮 по 力 на основании (9.6) t

6屮=一哥 67 十也Т \个《 一 J 0) d% (j) + о

十 ^- \ ^驴(t - T1, t - %) d% (T1)d% (0)，(9,10)

5 А. А. Ильюшин, Б. E. Победря

Из основного термодинамического соотношения, с другой стороны, он равен

戦=-567 -印*配 + о*.(9.11)

Для получения выводов из сравнения (9.10) и (9.11) теперь мы используем свойство модели тела; допустим, что она является мгновенно упругой, т. е. мгновенная деформация обратима и для такой деформации рассеяние равно нулю; при этом выражение 印*6力 не содержит слагаемых

% 6Т + 伙 бе.(9.12)

Тогда, учитывая вытекающее из (9.2) соотношение

6® = * — ссбТ(9ЛЗ)

и сравнивая (9.11) и (9.10), получим t

S =霊 + a ，个(力 - G，0)""(%)， о

о = \ 砂(力一q, 0) d% (j),(9.14)

0

t t

W* =^\ \备砂(“ —Ti» 力一T2)。％ (Ti) d% “2)・

и 0

Действительно, при варьировании параметров в мгновенном процессе мы можем независимо изменять dT л d£, полагая 印* = 0. Коэффициенты при 6Т м б£ в (9.10) и (9.11) должны совпадать, а вариация 6力—0; предполагается, что последний интеграл в (9.10) не зависит от ©(力).В результате получаем 5 и б (9.14), после чего для любого процесса из (9.11) находим рассеяние в виде (9.14). Среду с рассмотренными свойствами называем максвелловской.

Сравнивая выражения о (9.3) и (9.14), находим связь между Я,砂；с учетом (9.8) имеем.

ОО

R6 = W (%, 0) = 2 2 (0)居⑺，(9.15)

i=i

причем для энтропии получаем выражение t

S =詳 + а ,五(力 一 t) d% ⑴=累 + ао.(9.16)

о

Из (9.8) и (9.15) следует, что ядро релаксации 凡 которое мы считаем известным, представимо суммой положительных монотонно убывающих функций. Такое разложение, конечно, неоднозцачно, так как существует бесконечное множество обладающих этим свойством полных систем функций q)i (/), линейный агрегат которых с любой точностью аппроксимирует заданную R (%).

По свойствам Ri (/) любую систему <р» (/) можно нормировать так, чтобы

Фг (^)|х=о ==ф| (0) = 1.(9.17)

Пусть ядро релаксации R (/) представлено в виде конечной или бесконечной суммы

五(%) = 2 С例(%),、(9.18)

где Ci — заданные для системы 恥 и данного R константы. Обозначая

吊(/) = VCj屮i (%),凭(。)=M°办 G =丄，2,.. .〉，(9.19)

причем этот выбор единствен, если Ri пропорционально 恥，получим, что (9.18) и (9.15) совпадают. Из (9.8) теперь получим однозначно

争(/ 2/)=2 С押i(/)⑵①)=2凭(/)金(/(9，20)

Поскольку ряд (9.18) равномерно сходящийся (значит и абсолютно равномерно сходящийся), то по свойству R» (х) и ср» (/) ряд (9.20) обладает теми же свойствами, так как ф^ (/)V 1. Поскольку ряд для производной

五‘⑺=XС用⑺=一 £ % I屮;⑺1(9.21)

также равномерно и абсолютно сходящийся (по свойствам R», ср。，то (9.20) можно дифференцировать по / и у и затем при интегрировании по dx, dy менять порядок.

Обозначим в соответствии с (9.14) ядро функции рассеяния И7* через W t九

W^^W^t-T^t^ т2) d% (J)於丁(r),(9.22)

о о

причем, очевидно,

w (t — Tjl, t — т2) =^冇砂(％ — J % — т2)+ W\ (t — T1? t — R),

(9.23) где W± (/, у)——любая функция, для которой

t t

\ § %i (% — J, % — П)〃％ (%) 〃％ (%)三 0.(9.24)

6 о

В соответствии с (9.20) имеем при / = % ——т「у = t ——т2

^亲部8，引=2瓦⑺五tG/) + "o(/,汾，

%(瑞g = ^ $因(/)冗@)一爲⑺氏仅)1，(9.25)

причем условие (9.17) выполняется.

Таким образом, для ядра имеем

一 W(2,y) = X 居(y)^^ =2a會匂)^^，(9.26)

Выражение (9.26) положительно для любых /, у; это видно из (9.4), (9.19).

Понятно, что если вместо более простого выражения W (9.26) мы возьмем (при W± = 0)

w=一4*备?("一х"-6)=

=^ 2 [公("一Tl)又 2 (4 - T2)+ 凭(4 - Tl)凡(4一t2)] , (9.27)

функция рассеяния ТУ* (9.22) не изменится.

Положительность функции 屮 十 с^212ТQ очевидна по построению ядра З5 (%, у). Поскольку, согласно второму началу термодинамики W^ должна быть неотрицательна,

tt

俨=一eа (\ 0(% - t)厶Г (*(， 屮；(£ 一 T) & ⑴)》0,(9.28)

оо

это условие накладывает дополнительные ограничения на функции R» (х) или 取(/), поскольку 8т (£) может быть произвольной. Требование убывания Ri (/) по модулю, т. е.

Ri (х) > 0,质(/) > 0,(9.29)

мы будем предполагать выполненным для любого /〉0.

Полные системы функций * (/), позволяющие представить практически встречающиеся кривые релаксации R (/) в виде (9.18), существуют, причем они таковы, что условие (9.28) будет заведомо выполнено. Действительно, если бы мы для определения функции рассеяния воспользовались скоростями изменения во времени параметров £； т. е. записали бы Ж* в виде

仍=玄碎2(9.30)

г=1

и представили / в виде t

£； = \ 匕(％ — р)厶丁 ⑴，(9.31)

о

то получили бы t t

仍=\ \ 巾 « —— 3)d&T (%) d% (工2),(9.32)

о 0

где

W(x, y^^V^V, (y\(9.33)

i=l

Значит должно существовать преобразование (9.26) к виду (9.33), где 匕(/) какая-то система функций. Это требование накладывает ограничения на системы (pf (/).

Заметим, что вместо (9.5)、и (9.30) можно было бы взять более общие положительные квадратичные формы

.屮+嘉=М W *用阮，仍=N %总号，(9.34)

но они приводимы к (9.5), (9.30), и потому важно только существование или несуществование определяющего выражения 就 в виде (9.31), которое можно было бы взять и в более общем виде, не выявленном при рассмотрении механических моделей; наиболее общим линейным представлением 税 через внешние параметры £丁 и 8 является•

tt

£； = \ 匕(力一t) d% (т) +，7\ (% — т) d8 ")•(9.35)

оо

Мы не станем заниматься по аналогии с данным выше построением термодинамики на основе (9.5), (9.30), где & взято в виде (9.35) и £丁》имеет аналогичное выражение

tt

8Ti = \ 国 « — t) d% (т) ± \，(力-T) d® ⑴.(9.36)

о0

Отметим лишь, что приводимость формы И7* к виду (9.28) является достаточным, но не необходимым требованием, налагаемым на вид функций 恥3)・

Достаточным условием W*》0 является практически более удобное требование положительности каждого отдельного слагаемого в (9.28), т. е. для любого <f = 1,2,...〉

_、、％« — G)瓦 G — 3)°% (т1) "丁 (。2)> 0.(9.37)

о о

Теорема. Требование (9.28) всегда выполняется для любого практически задаваемого ядра релаксации R (/), поскольку оно представимо в виде (9.18), т. е. существует по крайней мере одна система функций ф； (х), для которой условие (9.28) выполняется для любого R (%)・

Для доказательства покажем, что существует система q)j =(р^0 такая, что каждое слагаемое суммы (9.19) равно соответствующему слагаемому суммы (9.33)

一20®)期⑺=匕(汾匕⑺.

Отсюда имеем единственное решение

Ro(R)= e%“， 匕⑺=—VМ^г ТгО» 九i〉。， G = 4, 2, 3,…〉, (9.38) где % — любые положительные числа.

Теперь из (9.18) имеем

ОО

五(/)= £q卄；(9.39)

и мы уже знаем, что в таком виде представимы все практически задаваемые ядра. Из (9.6), (9.20) и (9.28) получаем

屮=-翡 + ^ ""(力 一 q - З) d% (Q) d% (r2) о 0

W* = \ \ W。(2* — q — T2)d%(T1) d%(3)= о 0

(9.40)(9.40)=2 Kci [\ Фю t) d% ⑴丁 > 0, 0

(9.40)

(9.40)

где

(9.41)

и теорема доказана.

Достаточным условием положительности W* (9.28) для любой допустимой системы функций 恥 вследствие положительности коэффициентов С» является

t ±

—\ \ 0 « — П)屮;(力一j) % (%) d% (т2) > 0(9.42)

о о

для всех значений i, для которых С» 娱 0. Возможно, что это условие и необходимо.

Выбирая другую допустимую систему, в которой

7?! (0) 7?1 (/) = С]% (/) = /?(/),(9.43)

и полагая

&三0, %》2, C1 = R (0),(9.44)

получим из (9.28) для рассеяния

11

W* =-击"五(" 一 g)五‘("-R)"%(G)d%(R)(9・45)

о 0

и из (9.6), (9.20) для свободной энергии

屮=—齋+击《五⑴T・(946)

о

На основании (9.3) имеем t

(t — т) d% (r) = о — 7? (0) 8T,(9.47)

0

и потому окончательные выражения

5=黑+刊 м=0(ё— ^一磊)，

О = \区(％ 一 t) d%(T); 屮=一粵 +^Г，(9・48)

о

причем 汐*》0 для всех допустимых R (办.Такой же результат получится, если вместо (9.43), (9.44) принять все 左^ одинаковыми, с точностью до множителя совпадающими с R [25]

Ri (%) = 4出 Q),(9.49)

т. е. предположить, что все внутренние параметры состояния с точностью до множителей релаксируют одинаково.

§ 10. Сплошная вязко-упругая среда максвелловского типа

Линейная теория вязко-упругости сплошной начально изотропной среды приводит к соотношениям Больцмана между напряжениями — деформациями —температурой (если, конечно, использовать приведенное время) t•

s订=\ 7? (% — t) de^ (т),о = \ 五工(力一力 dQT "),(Ю.1)

о0

где $订,6订一девиаторы, 8 = T — 7°, 0 = divu,

(10.2)(10.2)0 г = 0 — За&.

(10.2)

(10.2)

Основными порождающими внешними параметрами, следовательно, являются девиатор е^7 скаляр 0 у и параметр состояния——температура Т = =То 十 8, причем в (10.1) 8 явно не входит, т. е. предполагается, что если в процессе, начинающемся из естественного состояния (力=0, е〃 = 0, 6 = 0, 8 = 0), изменяется только температура (% > 0, 令步 0), напряжений не возникает. Эти же параметры являются порождающими и для функций состояния и рассеяния, причем в случае 力 >0, е^ = 0 = 0, 令/ 0 изменяются только функции состояния.

Можно было бы повторить рассуждения предыдущего параграфа о внутренних параметрах состояния типа £之 и параметрах типа £订 причем относительно первых свободная энергия должна быть квадратичной функцией, а скорости изменения вторых определяют рассеяние. Но эти внутренние параметры в линейной теории будут линейными операторами основных порождающих параметров, и потому свободная энергия с точностью до аддитивного слагаемого и рассеивание будут однородными инвариантными квадратичными функционалами порождающих параметров, т. е. двухкратными свертками вида

t t

* + "i^7 = 4" \ § 呢(％ — G" — т2)彰打(J)彰仃(т2) + о.

+ "^ \ ) >。" —" — П)d% (q) JOj (т2),

(23)

仍=* % (% — J % — R)厶万(q)彰仃(r2) + о 0

十印9 (力 — q,力-t2)d% (g)d8r (t2).

Работа внешних сил (для единичного объема)

可力跄=обе + s挑旬..(Ю.4)

Дифференциал Т находится следующим образом: t

6Y + 黑 67 = &打(力)，乳(£ — т, 0) de^ (т) +оtt t

+ 60y ⑴ 3 呢(t -т) 〃6т (т) 4т 6% • f ^- *е (% —工1,力一兀2)X

оо 0

t t

X de^j (тг) de^ (т2) + 6力・ ^" ^ ^"^ -^о (^ — % 力一П)d%(G)^「(硝.(10.5) о о

Из основного термодинамического соотношения

6Y + Sdt = Кб + s#期一W^t.(Ю.6>

для мгновенно упругой среды макс вел л о веко го типа получаем

Sij = \% (力一7 °)% «), о

о = \ % (% — % О) dQT (т), о

t

S =显 + За \ 叽(％ — 3 0) d9r ⑴，(Ю.7)

о

t t

-W* — у 5 ^ 鼻 % (“ - ％ 4 — R)"ё订(%) d旬(°2)十 о о

f t

十"^ \ \ -^ 争8 (力 - J, 力 - 匕)d% (Ti)d%(°2). о о

Сравнивая выражения s^ л о в (10.7) и (ЮЛ), заключаем

叱(力-匚 0)=五 « — т),3% (t 一 ％ 0) = & (% — т),(10.8)

и потому для энтропии имеем выражение, совпадающее с (9.46),

5 = ^- + За J 7? (^ - т) d0r (т) = -^- + Зао.(10.9)

о

Поскольку правая часть равенства (10.3), определяющего свободную энергию 屮,образована как сумма квадратов параметров состояния типа &, причем вследствие ее инвариантности (невозможности произведений типа de и (q) dQT (т2)) эта сумма состоит из двух сумм квадратов, функции 箏е (%, у) и 5^0 (%, у) должны быть представимы суммами .

OQ

"。з,汾=2人位)乙®),

：i(10.10)

仔е(/, 2/)=2 F ⑺ Е(У),

и потому, согласно (10.8),

ОО

К (力=£ 乙(°)人(2)，

(10.11)(10.11)k =1

(10.11)

(10.11)

五1(2)= 2 F(0)F⑺，

k=l

Сравнивая теперь выражения (10.3) и (10.7) для И7*, находим

(10.12)(10.12)-叽(瑞汾=2 〃(2)厂^匂%

(10.12)

(10.12)

—WQ(x, у) = ^rlk(x) rlk(y).

Формулы (10.10), (10.12) дают общие представления ядер 争，W в (10.3).

Дальнейшие рассуждения, аналогичные приведенным в § 9, позволяют получить частные представления 砂 и W через ядра релаксации Л, Е】.

Если К, 2?i представлены положительными суммами экспонент, т. е. в (10.11) при & > 0,踪〉。

乙(с)=乙(°) e-入储， F(%)= F⑼尸£,(Ю.13)

и потому

五3) = 2&L产， &3)= 2aL味(10 伍)

e也—厂M。)，以=r;k (。)，

то из (10.10) находим

(10.15)(10.15)"ё（2,力=?以6-%计"）=五（/ +以

(10.15)

(10.15)

% （瑞刀=2 С,入^（*）= &（2 + У\

а из (10.12)

0。 (瑞汾=?統&e一"(н") = - k (/ +/

WoQ, y)=』以以6一入/叶。)=一瓦3+ 汾.(10.16)

При этом 呢，仔°, 忆，恥 положительные, причем рассеяние

%7* = _ '\R' 也_Ti 一з)de 灯(g)deij (T2)— о о

—\ \ & (2% — G — %) d%(G) 〃％ (%) > 0,(10.17)

о о

так как положительно каждое слагаемое, например первое,

• + 4[J宀—^12(т)] + ・・•}>().

Физическая схема модели малого объема тела, соответствующая полученным формулам для свободной энергии и рассеяния (10.17), такова: объем вещества моделируется множеством простых максвелловских элементов, обладающих спектром времен релаксации 1/Xfe.

Можно выбрать другую схему: модель состоит из множества одинаковых линейных релаксирующих элементов общего вида, но с одинаковым ядром релаксации, совпадающим с R (/). При этом в (10.10) следует положить

「々⑺=耦e⑺，nГ*(0)=五(0)

(10.18)

и аналогично ——для rlh (%), после чего (10.11) обратятся в тождества, а из (10.10) и (10.12) получим

蚪(/，刀=击 e⑺е(/ 呼8 = 爲 &⑺修 (汾，(10.19)

一忆(怎У)= T^T E⑺"®)，- %。3,汾=^6у五1⑺% (办

После этого из (10.3) с учетом (ЮЛ) получим для свободной энергии простую формулу

屮=苏7 + 2R：0) + "2/?1 (0) »« = S仃Sjj),(10.20)

означающую, что эта энергия совпадает с упругой энергией элемента при мгновенной разгрузке (с точностью до теплового слагаемого). Дифференцируя (ЮЛ), находим

，五'(％ — T)d〃j ⑴=J - R (0) ^, о

$ 瓦(力 一 т) d% ⑴=金一& (0) %,(1621)

о

после чего из (10.3) с учетом (ЮЛ) получим выражение рассеяния

тт7* °'力・％ 6%,丄 d^T о ■ daС них

При этом, конечно, необходимо, чтобы во всех точках тела в любой момент времени выполнялось условие W* ? 0, для чего достаточно, чтобы для любых допустимых функций типа деформаций сдвига (/) и объемного расширения (g) имели место неравенства

t t

一 \ \ К (% — q)斤(％ — ％) Ь (%)刃(R) > 0, о 0

—\ \ &(• — Ti)五 1 (% — 0)dg (q) dg (t2)》0.(10.23)

о о

Энтропия S во всех случаях, включая и общий, отражаемый формулами (10.23), (10.10), (10.11), (10.12), имеет одинаковое выражение (10.9). Коэффициент с во всех формулах § 10 представляет собой теплоемкость единицы объема тела в начальном ненапряженном состоянии при Т = = J7。，что ясно из второго закона термодинамики

Тд S dQ + W^ 6力(10.24)

приводящего к равенству

矍"=6Q — 3«Т6о + WW.(10.25)

При о = s»j = 6, 7 = Г。и постоянном (нулевом) давлении 6о = 0 получается с8 7 = 6Q, значит с ——теплоемкость единицы объема в указанных условиях.

§ И. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

7575§ И. Уравнение те пдо про водно ст и

75

75

Теплообразование за счет рассеяния энергии W* и теплопроводность могут создавать неоднородные и нестационарные температурные поля, которые, вообще говоря, не определяются независимо от полей напряжений и деформаций. В бесконечно малый объем тела dV = d/】dx2 dx3 в момент 力 через его грани за время dt вследствие теплопроводности поступает некоторое количество тепла 6Q, определяемое через вектор теплового потока q очевидным соотношением

6Q dP = — div q dt dV,

II потому

(11.1)(11.1)3Q = — div q dt.

(11.1)

(11.1)

Второе начало термодинамики (10.24) дает уравнение притока тепла для единичного объема тела при малых деформациях

(11.2)(11.2)鉄=4M—“ivq.

(11.2)

(11.2)

(11.3)(11.3)Рассмотрим произвольный объем V внутри тела с поверхностью S. Умножим левую и правую часть (11.2) на dV и проинтегрируем по объему V. Учитывая очевидное тождество

(11.3)

(11.3)

получим производную энтропии тела в объеме V

察三,-^dV = \^- W^dV - j ^Г q • grad TdV-\±q.vd^, vvva

Введем обозначения

OS考)_ di—dS伊OS考)_ di—dS伊\ 今 W^dV — \ 亲 q • grad Г dV. "v\ 今 W^dV — \ 亲 q • grad Г dV. "vТогда получимТогда получимdSydSydtdtdS^dS^(11.4)(11.5)(11.6)(11.4)(11.5)(11.6)

OS考)_ di—

dS伊

OS考)_ di—

dS伊

\ 今 W^dV — \ 亲 q • grad Г dV. "v

\ 今 W^dV — \ 亲 q • grad Г dV. "v

Тогда получим

Тогда получим

dSy

dSy

dt

dt

dS^

dS^

(11.4)

(11.5)

(11.6)

(11.4)

(11.5)

(11.6)

Как видим, скорость изменения полной энтропии Sy в объеме V состоит из двух частей: скорости @5$)/@/ за счет внешнего притока тепла через поверхность, которая может быть положительной и отрицательной; скорости 兆中I8t, которая происходит за счет теплообразования W* и теплопроводности. Согласно второму закону термодинамики S伊 не может убывать, а в необратимых процессах возрастает.

Из (11.5) видно, что необратимость бывает двух типов. Первое слагаемое правой части (11.5) обусловливает возрастание энтропии за счет функции рассеяния, условие положительной определенности которой получено в предыдущем параграфе. Второе слагаемое обусловливает не-

обратимость за счет теплопроводности. Положительность второго интеграла следует из закона Фурье, связывающего поток тепла с градиентом температуры

q =—九 grad Т,(11.7)

где 入〉0 — коэффициент теплоп]роводности. Для простоты мы будем считать 入,как и теплоемкость с, постоянными.

Теперь, пользуясь результатами § 10, получаем уравнение теплопроводности. Внося выражения энтропии S (10.9) и вектора теплового потока q (11.7) в (11.2) и заменяя абсолютную температуру Т в выражении T6S на среднюю, получим

e 戸=ST 一 3ЗСт。缁 4-仍，(I 1.8)

причем рассеяние W* выражается формулой (10.3) через деформации е订(х, %), 6 = а» и температуру 8 = Т — 2% с помощью ядер релаксации R (7), %«)・ В частных случаях это будут формулы (10.17) и (10.22).

Мы явно выпишем связь, устанавливаемую уравнением теплопроводности (11.8), между напряжениями, деформациями и температурой для случая, когда ядра релаксации Л и Лх удовлетворяют условиям (10.23). Внося значение W^1 (10.22) в (11.8), имеем

(e+ 3006)嘗=必7 + 0 ^e一7^)十 2 簪 ~.

(11.9)

Здесь объемная теплоемкость с и теплопроводность 九 должны быть выражены в механических единицах (с ~ кг/см2 С°,九 〜кг/см сек). Коэффициент с + Зао обычно с большой точностью можно заменить на % отбросив малую Зао, так как с порядка 10 как/ С°, а порядка или меньше 10~4 (С0)"1. Если еще можно пренебречь объемной релаксацией вещества, считая объемное изменение упругим, т. е. о = Лх (0) 0, получим простейший вид уравнения теплопроводности с учетом внутреннего теплообразования

где Qu = s订$订，e订一девиатор деформаций, причем

$仃=\ е« —© %(т). о

IV. Основные соотношения линейной теории вязко-упругости для анизотропных сред

Принцип линейной суперпозиции

До сих пор предполагалось, что среда обладает механической изотропией, т. е. ее механические свойства одинаковы по всем направлениям. Для таких сред в первой главе было получено представление произвольного ли- нейгого оператора, связывающего напряжения и деформации в интегральном виде. В общем случае анизотропной среды линейный оператор представляет собой матрицу

0订(%)=日订з [%《)]・(12.1)

Предположим теперь, чго шестерка функций £订(%), определенных на отрезке [О, Н, представляет собой некоторую функцию Е ⑴，принадлежащую гильбертову пространству 耳❷,в котором введено скалярное произведение для функций Е' и Е" и норма || Е |[ функции Е,

(Е\ Е〃)= \ 8i • (т)圆(т) р (厶 т) К,

一 '(12.2)

II Е $ ^(т) 8{j (т)р(^, t)dx.

Функция р (& т), как и в главе I, является некоторой положительной функцией памяти. Легко видеть, что для существования интегралов (12.2) необходимо и достаточно существование интеграла

，回(т)]2р«, т) dr о

для каждой компоненты £订 тензора деформации.

Предположим теперь, что формула (12.1) определяет собой некоторый вектор-функционал в фиксированный момент t, т. е. ставит в соответствие каждой шестерке функций £订 шестерку чисел о〃. Тогда по теореме Рис- са ——Фишера произвольный линейный непрерывный вектор-функционал

можно представить в виде скалярного произведения

О灯(力)=\ 厶饵(%") 〃2 (Т) dt・(12.3)

о

Тензор Ftjki называется тензором ядер релаксации. Обратив наши рассуждения, т. е. считая деформации некоторым линейным оператором от напряжений, мы получим соотношения

片№) = \ Kijkl (力 т) %, (т) dr.(12.4)

о•

Тензор Ktjhi называется тензором ядер ползучести. Разумеется, и в этом случае, если потребовать инвариантность соотношений (12.3) и (12.4) относительно начала отсчета времени, то ядра Г订冗(и К^к1 станут ядрами разностного типа. Из ковариантности соотношений (12.3) и (12.4) вытекает, что ядра Fijhi и Kijki являются тензорами четвертого ранга. Значит в общем случае они имеют 81 компоненту. Однако, учитывая симметрию этих тензоров

^ijhl = ^jikl Г订3(12.5)

Kijki — Kjthi = Kijik,

получаем 36 независимых компонент каждого тензора.

Из термодинамических соображений на основе принципа Онзагер можно вывести соотношения взаимности

^ijkl — 1\/订，Ktjhl = Kkiij,'(12.6)

в результате чего число независимых ядер сокращается до 21. Соотношения (12.5) и (12.6) очень важны для теории вязко-упругости, так как позволяют с помощью преобразования Лапласа свести уравнения (12.3) и (12.4) к соответствующим уравнениям анизотропной теории упругости.

Выделяя, как и в изотропном случае, сингулярную часть ядер релаксации и ползучести, имеем

0〜

^ijkl (^ * —6 (力一工)一口削(力，T),

Ktjhi (力，工)=Kijki 6 (力一т) + 宣订丸％ (力 t),(12.7)

о о

где Г^^/ и Kijki ——тензоры модулей упругости и податливости соответственно, а Г^к1 и Kijki — регулярные части тензоров ядер релаксации ползучести. Вводя тензоры функций релаксации и ползучести для ядер разностного типа по формулам

1\眼（方一t）=-1\眼（方一t）=-d2汕（方一T）d2汕（方一T）&々2 " -T)=&々2 " -T)=aiijki (t — т)0 (大 - T)aiijki (t — т)0 (大 - T)(12.8)(12.8)

1\眼（方一t）=-

1\眼（方一t）=-

d2汕（方一T）

d2汕（方一T）

&々2 " -T)=

&々2 " -T)=

aiijki (t — т)0 (大 - T)

aiijki (t — т)0 (大 - T)

(12.8)

(12.8)

五》泳 2 (°) ^ij^Z > ^ijki (°)= Кен,五》泳 2 (°) ^ij^Z > ^ijki (°)= Кен,и принимая дополнительные условияо

五》泳 2 (°) ^ij^Z > ^ijki (°)= Кен,

五》泳 2 (°) ^ij^Z > ^ijki (°)= Кен,

§ 12. ПРИНЦИП ЛИНЕЙНОЙ СУПЕРПОЗИЦИИ79

соотношения (12.3) можем переписать

t

6№)= g 生阿(4一t) d72 (T) dta2 [0)

или

0

6j (%) = ^ijki^ki (%) — \ ^\jki (^ — T) £々1 (T) dt, 0

а (12.4)-

£ij (%) = \ 内削(% — T) d〃2 ⑴

0(12.11)

или

0；〜

8ij (0 = ^ijkl^kl ⑴ + \ ^ijkl (^ — T) ^kl (T) dt・

0

Найдем интегральные соотношения между ядрами Кцкг (力,т) и [订&( (力 т), для чего подставим в формулу (12.3) выражение (12.4)

tT

0订⑴=\ I\/2 (厶 К)九\ Kklmn (т, Tz) omn В) dY = 00

f t

=\{\「岡(力 t)K^mn(q 1) dt} Omn В) dY・(12.12)

0 V

С другой стороны, с помощью 6-функции Дирака имеем очевидное тождество t，

О灯⑴=\ 6 (% — t) ^ijmn^mn В) dY,(12.13)

О

где тензор ^ijmn образован из дельт Кронеккера следующим образом:

△ijmn — Mmbjn + 6卽6初】/2・(12.14)

Сравнивая (12.12) и (12.13), получаем условие, которому должны отвечать тензоры ядер релаксации и ползучести для того, чтобы уравнения (12.3) были разрешимы в виде (12.4)

\ ^ijkl (九 t) Khimn ", Y) dt‘ = △ijmnS (力一t')・(12.15)

0

Пользуясь соотношениями (12.7), получаем систему уравнений для О0

определения тензора К〃^ по заданному Г^^г о о

'tjklKi倬I = %jmn,(12.16)

а для определения регулярной части тензора ядер ползучести имеем бесконечный ряд

^ijkl (力 р) = 2 г能(%, т), п=1

где

喝(…) ~「汴в (%"),

F第М%, t) =，Г^п (^, тл) Tmn^i (тг, т) dY.

「偏(方，t) = \ 图京(方"‘)Pmnki (к T)九‘.(12.18)

Частные случаи механический анизотропии

Соотношения (12.9) и (12.10) записаны в некоторой фиксированной декартовой прямоугольной системе координат xt. Если мы от этой координатной системы перейдем к другой, также декартовой и прямоугольной /；,

(13.1)(13.1)(13.2)(13.2)(13.3)(13.3)力纟——^^ц %),

(13.1)

(13.1)

(13.2)

(13.2)

(13.3)

(13.3)

то в силу ковариантности соотношения (12.10) примут вид

6/ (%) = \ ^ijkl (^? ^) ^kl (^) dt, о

где

8Ь = ^ik^jl^kb

(13.4)(13.4)Подставляя соотношения (13.3) в (13.2) и сравнивая с (12.10), получим

(13.4)

(13.4)

Г*仃卜2 = ^im'^jn^kp^ lr^'mnpr (力工)・

(13.5)(13.5)Невырожденная матрица косинусов 4订，определенная в (13.1), задает преобразование системы координат /» в %；. Совокупность таких преобразований образует группу преобразований 3-мерного пространства. Роль единичного элемента играет тождественное преобразование I с матрицей 6订,а роль обратного элемента ——обратная матрица Я^ц

(13.5)

(13.5)

g =毋订石••

Матрицы 4订 и ^ij взаимно обратны

励八务互-^ih^4订，见" -%月，(13.6)

Эти матрицы не меняют расстояния между двумя точками 力工 /[=力冗/耳 и называются ортогональными, а порождаемая ими группа преобразований ——полной ортогональной группой 3-мерного евклидового пространства; она состоит из всех вращений и отражений 3-мерного пространства.

Очевидно,

4驚4% =6旧(13.7)

Из сравнения (13.7) и (13.6) видно, что обратная ортогональная матрица равна своей транспонированной; определитель ортогональной матрицы ра- вен 土1. Группа преобразований, порождаемая совокупностью ортогональных матриц с определителем, равным 十1, называется собственной ортогональной группой или группой вращений.

Наличие в материале механической симметрии (плоскостей симметрии, осей симметрии различных порядков) приводит к сокращению числа независимых компонент тензоров [订九^ и К订九八 С каждым классом такой симметрии связана некоторая группа, которая является подгруппой полной ортогональной группы.

Если матрица ^ fj порождает некоторую группу симметрии, то тензоры, Vijki и Ktjhi должны быть инвариантными относительно этой группы, т. е. Tijki — Pg，

Всякий тензор, который инвариантен относительно некоторой группы преобразования {Т}, может быть выражен как сумма конечного числа тензоров со скалярными коэффициентами. Это конечное множество тензоров, каждый из которых является инвариантным относительно группы преобразований {7}, называется тензорным базисом группы преобразований {7}.

Таким образом, для каждой группы преобразований {7}, характеризующей определенный класс анизотропии, можно построить некоторый тензорный базис и на его основе конструировать различные тензоры, инвариантные относительно этой группы {Т7}, в частности четырехвалентный тензор ядер релаксации 1\/九厶

В качестве примера рассмотрим два типа анизотропии, наиболее часто встречающиеся в полимерных материалах.

Трансверсальная изотропия. Механические свойства материала этого класса анизотропии остаются неизменными при повороте на произвольный угол относительно некоторой оси (например, 3-й) и при любом отражении относительно плоскости, содержащей эту ось.

Тензорный базис трансверсальной изотропии составляют два тензора

6з2，Yij = ^li^lj + б?»%"(13.8)

Четырехвалентный тензор ядер релаксации [订耳％ будет составлен в этом случае из следующих комбинаций:

УаУкь Уа^з^зь 63力3力303厶(13.9)

т. е.

^ijkl = ^iXijXkl + a2 (XikXjl + 丫/丫加 + а3 (丫33后6立 + Y也力343" +

+ AQR 也々63[十n5(г&也2 + Tj^3i^3Z + 丫a 63 自力+ 丫〃63£%),

(13.10)

где А】, А?,.，., A5 — скалярные функции t — т. Связь между напряжениями и деформациями в этом случае будет иметь вид

t

5i (力)千 \ {[& (力一т) + 2A2 (% — т)] en (т) + A】(力一т) e22 (t) + о*

十 Аз« —т) £33(t)}dq

t

62 (力)=\ {Ai (力一t) en (r) + [Ai (力一t) + 2A2 (力一项 822 (t) + 6

+ A3 (力一т) £33 (т)} dt,

G33 (0 = \ {Аз (力一Т)[£11 (т) + 822 (^)1 + О

十[Ai (t — т) + 2A2 (力一t)] £33 (т)} de,(13.11)

6 А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря

О23 (%) = \ As (力一т) £23 (工)dt, о

t

013 ⑴=^ лб (^ — т) “3 (т) d% о

012 (0 = \ А2 (% —工)£12 ⑴九. о

Ортотропия. Материал, обладающий свойствами этого класса анизотропии, имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии. Тензорный базис в этом случае

x订.=6让6〃， Pfj - %6泌， 丫讶=^i3^j3*(13.12»

Тензор ядер релаксации, построенный на базисе, имеет вид

Г订kZ (%) = Al (%) [к必外2 + 乂诚出1 +乂"乂融]+ Л2 (0 [PijPfcZ + BikB〃 +

+ BizB泳]+ Аз (%) [Xij^kl + TifcTjZ + XuXjk] +

+ 八4 (%) [KfjBkZ + ₽i7Xfcd + A5 ⑴[KjkB〃 + 乂加泳 + Bik乂〃 +

+ В"乂泳]+ Л6 (Q [^ijXki + Yij^fcz] + & (%) [乂我丫露 + %疗泳 +

+ Xilt^jl + 丫i/K泳]+ 八8(力)【В办丫k2 + PfczYij] +

+ Л9(0 [PifcYjz + В我丫汴 + 丫i/cB〃 + 丫”B汴].(13.13)

Таким образом, будеттолькодевять независимых и отличных от нуля ядер

五1111 = А],五222 2= А?,五3333 = А,

五 1122 = А4,五 ПЗЗ— Аб,五2233 = Ag,

五1212 = Л5,五1313= &,五2323 = &.(13.14)

Связь между напряжениями и деформациями имеет следующий вид:

Он (0 = ) {Ai (% —工)£ц (工)+ A4 (t — т) 822 (T) + Аб (% — т) 833 (т)} dt, о

022 (力)=\ {a4(力-t)£11 (t)+ Л2 (力-t)£22 (t)+ a8 (4-t)£33 (t)} "% 0

О33 (%) = \ {Л6 (t — т) £П (т) + 八8 (% — т) £22 ") + Аз« — т) 833 (т)} d% о

012 (%) = \ А5 (% — т) 812 (т) dt, о

013 «) = \ А7 « — D £13 (т)九， о

О23 (0 = \ А(力一т)82?(т) dx.(13.15>

о

Скалярные ядра релаксации А» (% = 1, 2,..., 5) соотношений (13.11)； и А» (Z = 1, 2,..., 9) соотношений (13.13) можно найти из опытов на релак-

сацию с образцами, ориентированно вырезаемыми из анизотропного материала так, как это делается для определения модулей и коэффициентов Пуассона.

Пользуясь соотношениями (13.11) и (13.15), можно найти скалярные ядра тензора ядер ползучести. Например, выделяя сингулярную часть тензора о

ядер ползучести по формуле (12.5), получим следующий тензор К^( в случае ортотропии:

/ —

Ei

1V21— 后2

231 &

0

0

0 \

Vl2

1

V32

0

0

0 ]

V13

1V23 一石

1 £"з

0

0

0・(13.16)

[ 0

0

0

1/G12

0

0

\ 0

0

0

0

I/G13

0

\ 0

0

0

0

0

16з/

Здесь Ei — так

называемые

модули упругости;

Gu — модули сдвига;

”订一коэффициенты Пуассона ортотропной анизотропии, между кото

рыми существует дополнительная связь

"12e2 = "21e1；%3 上 3 = "31e1；"23 e3 = "32ё2，(13.17)

Коэффициенты, входящие в выражения (13.16), можно определить из динамических экспериментов, замеряя скорости распространения волн различных типов.

Тензор теплового расширения

Для того чтобы учесть влияние температуры на напряженное состояние вязко-упругого тела, рассмотрим свободное деформирование этого тела под действием однородного поля температур. Если 8 — разность менаду температурой в рассматриваемый момент и температурой исходного состояния, то деформация должна быть, очевидно, однородной и все компоненты тензора деформаций обязаны быть пропорциональны 8, т. е.

£订=а订 8,(14.1)

где а订一так называемый тензор теплового расширения. Из его определения видно, что он является симметричным' тензором второго ранга. Для выявления строения этого тензора обычно пользуются важным постулатом кристаллизаций, который носит название принципа Неймана. Этот принцип формулируется следующим образом.

Элементы симметрии любого физического свойства кристалла должны включать элементы симметрии точечной группы кристалла.

Естественным обобщением этого принципа на квазикристаллические и аморфные тела будет то, что характер симметрии любого физического свойства тела должен зависеть от характера симметрии его строения.

При наложении температурной деформации на механическую в соотношениях между тензорами напряжений и деформаций вместо последних следует поставить сумму

£订—(14.2)

Если в основных линейных соотношениях, данных в § 1, выберем вместо шестерки функций £订 ⑴ шестерку функций (14.2), то с учетом температурной изотропии получи^ обобщение соотношений (12.1) и (12.8), а именно

。订(%) = , ГW (% — r) [£/czKT)— ”心⑴I dt = о

t

=\ Rw (% — T) d [ekZ (t)—嗚舟(т)1,(14.3)

о

£订⑴一出抖(0 = \ Kuki (%一T)*2(T)九=\ 5咏2 (£:- t) 8办2 ⑴及 оо(14.4)

В силу сформулированного выше постулата Неймана мы можем для среды с известной симметрией построить тензор теплового расширения а〃 в явном виде.

Пусть среда является изотропной. В этом случае, мы знаем, тензорный базис состоит из одного тензора Кронеккерэ 6〃. Поэтому для изотропной среды тензор а^ имеет вид

% =叫•，(М.5)

где а — константа, называемая коэффициентом теплового расширения. Впрочем, мы этим уже неоднократно пользовались в предыдущих главах.

Тензорный базис для трансверсально-изотропной среды состоит из двух тензоров (13.8)・ Поэтому для трансверсально-изотропной среды тензор теплового расширения а^； имеет вид

aii = 8lT% + 如自抖?汀(14.6)

т. е. уже имеется два коэффициента теплового расширения ссг и а2.

Поэтому связь между напряжениями и деформациями для трансверсально-изотропной среды будет иметь вид

Он") = \{[Ai(£ — т) + 2Л.2(t — т)] [£ц(т) — %0(т)] + о

+ А】 (％ — т) [822 (т) — а# (т)]十 Аз (% — т)[83з (т) — a舟(т)]} dr,

；О22 (%) = \{Ai(% — т) [fin(t)—仪出(т)] [A-i(^ — т) + 2A2 (t — т)] X о

文居22 (© 一81 令(T)] + а3 (力一© [£33 (t) 一 出分(©]} d* (14.7) t

033 (4) = \ {а3 (4,t) Ei (t) + £22 ⑺一2%田(f)]+ [Ai (力 -f)+ о

+ 2 A2 (力一。)][£33 ⑺ - 82® ⑺]}九，

023 (%) = ' As (力 -。) £23 ⑴ m, '0'

6з (£) = \ Аб (% — F) £13 (Т) Л, 012 (%) = \ 八2 (% — © £12 (0 dt・ оо

Для ортотропной среды тензорный базис состоит из трех тензоров （13.12）.

Поэтому тензор теплового расширения 仪订 имеет вид

a打=a济万+ a2?ii +备丫灯，（伍.8）

а связь между напряжениями и деформациями будет выглядеть так:

t

Ou （力）=\ ｛Al （力一t） ［8h （Г）-a舟（F）］ + л4 （^ 一 T）［822 （°）- 0

—仪2今（с）］ + Аб （力一т） ［833（Т）— “3® “）］｝ ЙТ,

g22 （力）=\ ｛A1 （力一T） ［8n（T）-8力（T）］ + л2 （^ - t） ［822 （1）- 0

一a28 "）］+ a8 （力一T）［833 ⑴一аз8 （"］｝九，

Озз （力）=，｛Аб （力 一 ^） ［8ц “）一 а» （т）］ + Аз （^ — t） ［822 （t）— о

一则8（T）］ + л3 （力一f）［£3з （Т）-备0 （f）］｝ d% t

023 （力）=\ A9 （力一f）823 （t） d* о

Ou （力）=，A?（力—°） &1з （т） d* 6

%2 （力）=\ 人5 （力一T） 812 （^） de.（14.9）

о

Структурная анизотропия. Рассмотрим ма гериал, подобно стеклопластикам составленный из идеально упругого каркаса и изотропной вязкоупругой связки, имеющей известные ядра релаксации R （力，& «）• В таком случае неупругие свойства тела определяются только этими ядрами и поэтому в зависимости от структуры точно или приближенно тензор функций релаксации Г订^ в （12.10） можно представить в виде

г订以⑴=n加 г g） +Г；加 I\ （力），（14.10）

где「的,Г乩 ——тензоры-константы структуры, определяемые, как и Г в （12.10）, из опытов и обладающие свойствами симметрии （12.5）, （12.6）; Г （0 = - & «）, 口 （0 = 一 R' «）•'

Упрощения （14.10） для частных видов анизотропии в § 13 уже указаны. Например, для ортотропных стеклопластиков будут справедливы соотношения （13.15）, в которых надо положить для любого А: = 1, 2,…，9:

л/e （方）=Х/С 6 （力）一m !| （2） - * rх （力），（14.11）

причем 曬 ・ X® 册（左=1, 2,…，9）— упругие постоянные структуры.

V. Постановка и решение линецных задач теории термовязко-упругости

Основные типы задач линейной теории вязко-упругоети

Уравнения движения сплошной среды при малых деформациях имеют вид

Sj,j + Р/ = P〃t，(15.1)

где 〃t ——вектор перемещения, Ft ——массовые силы; индексы, стоящие после запятой, означают дифференцирование по соответствующим координатам

0*〃三或)8仏底-a試J (%力左"=& 2, 3)・

Квазистатическими называются задачи, которые связаны с процессами, протекающими настолько медленно, что инерционными членами, входящими в правую часть уравнений движения, можно пренебречь. В этом случае уравнения (15.1) имеют вид уравнений равновесия

Sj,j + р储=0.(15.2)

Связь между тензором деформации и вектором перемещений, как и в линейной теории упругости, задается соотношениями Коши

£订={ui.j + 也 j.z)/2,(15.3)

причем для интегрируемости этой системы шести дифференциальных уравнений (3 j = 1, 2, 3) для щ при заданных £订 необходимо выполнение условий совместности Сен-Венана

П(订)三 ^ihl e^mn ^Z m^hn ~ °,(15.4)

где eihi ——альтернирующий тензор.

Для постановки задачи линейной теории вязко-упругости, кроме уравнений связи между напряжениями и деформациями, рассмотренными в предыдущих главах, необходимо еще задание граничных условий.

Пусть поверхность S, ограничивающая исследуемое тело, состоит из двух частей Sx и S2 и пусть на части поверхности £】заданы нагрузки SiQ

。刃 4 %i = Sm(15.5)

где lj ——косинусы углов между нормалью к поверхности S и /-й координатной осью. На части поверхности S2 заданы перемещения uiQ

(15.6)(15.6)"eI 22 =以0.

(15.6)

(15.6)

Более общими граничными условиями будут так называемые «контактные» граничные условия, имеющие следующий вид:

а!^ 0m右 + 瞼 〃m 及〃 =MN(15.7)

где 石乂 一 модули Юнга контактирующих упругих тел; а优 §鋒 一 постоянные величины; 2 ——характерный линейный размер; N(?—— так называемые «контактирующие» силы; 乂 ——индекс площадки, причем поверхность S состоит из суммы всех таких Sx.

Нетрудно видеть, что условия (15.5) и (15.6) являются частным случаем условия (15.7), когда 乂 принимает значения 1 и 2, причем

据=6加， Ргт = О,W?)= &о,

а 饿=0, Pim = 6加，N?〃/Ex = UiQ.

Возможны, конечно, и более общие линейные условия, которые будут рассматриваться в конкретных задачах.

В зависимости от влияния температурного поля на степень сложности возникающих математических трудностей основные задачи линейной теории термовязко-упругости можно разделить на три типа по степени возрастания сложности:

Задачи, в которых можно пренебречь изменением механических свойств материала (эти свойства считаются определенными заданием ядер ползучести и релаксации) за счет изменения температур.

Задачи, в которых учитывается влияние температуры на механические свойства тел, причем температурное поле в теле является нестационарным (меняющимся во времени), но однородным (не зависящим от координат).

Задачи, в которых также учитывается существенное влияние температуры на механические свойства материала, но температурное поле в теле является нестационарным и неоднородным.

Прежде всего займемся рассмотрением задач первого типа, уравнения связи между напряжениями и деформациями для которых, согласно предыдущему, можно представить в виде

t

S万(%) = \ а (% — t) de灯(т),(15.8)

о

к

a^^^R^t - x)dQT(t), о

0 г = 0 — Зад, 0 = div и,(15.9)

где 8 = 7 ——TQ ——температура, представленная по шкале, в которой имеет место условие: при % = 0, 8 = 0, т. е. в начальный момент температура тела постоянна (7 = Го).

Соотношения (15.8) и (15.9) можно обратить, т. е. выразить деформации через напряжения t

% (0 = \ II (% — т) ds» ⑺，(15.10)

о

t

0Т (0 = \ 口1 (% - с) do (©•(15.11)

Температура 8 входит линейно и только в соотношения, связывающие шаровые части тензоров напряжений и деформаций, но не входит в соотношения, связывающие девиаторы s〃 и 6订,что характерно для изотропных тел в задачах первого типа.

Преобразование Лапласа — Карсона

Для решения задач первого и второго типов линейной теории используем преобразование Лапласа — Карсона [26] и предпосылки метода аппроксимаций [28], [35]. Это преобразование заключается в том, что всякой функции / (力),определенной на интервале 0《力 V 8 и называемой в дальнейшем оригиналом, ставится в соответствие функция /* (р) комплексной переменной р по следующему закону:

8

/・(Р)=р\е-叫⑴或.(16.1)

Функция /* (р) носит название изображения функции / (%). Как видно из (16.1), преобразование Лапласа ——Карсона является линейным.

Если известна функция /* (р), то / ⑴ находится с помощью обратного преобразования Мелина

叶g8

&)= Т?7 彳广65(16.2)

a—ioo

причем интегрирование ведется в комплексной плоскости вдоль вертикальной прямой с асбциссой о.

При решении частных задач более эффективным оказывается преобразование (16.1) с действительным параметром р； для нахождения оригиналов ниже будет указан более простой метод, не требующий проебразо- вания Мелина.

Пусть имеется характерное для теории вязко-упругости соотношение между функциями времени / (0, g (力)и 屮(%) в следующем виде:

t

屮 «)= "e—t)dg ⑺.(16.3)

о

От левой и правой частей соотношения (16.3) возьмем интеграл вида (16.1). Получим соотношение в изображениях

ООt

•ф* (р) = Р \ e-p^t^fit — т) dg (т). оо

Поменяв местами порядок интегрирования в соотношениях (в предположении, что функции /ng допускают такую замену) и вводя новую переменную под знаком интеграла х — t —— т, получим

8888

W (р) = Р \ dg (Т)，〃力一с) e'^dt =，dg (т) е-ртр \ / ⑺e~pxdx — 0Tоо

“ OQ8

=/*(Р)\ e-"dg (Т)=尸(р) jg (0) + 卩\ e~P^g (Т) Jr].

Оl0

Принимая, что при 力=0 функция g равна нулю, получаем изображение (16.3)

炉(P)=/*(P)g*(P)・(16.4)

Этим результатом, известным в литературе, как теорема свертывания, мы будем часто пользоваться в дальнейшем.

Применим формулы (16.3) и (16.4) к соотношениям (15.8) — (15.11).

Получим в изображениях связь напряжений с деформациями

盼.0昨0*盼.0昨0*=五*(Р)南(Р),

盼.0昨0*

盼.0昨0*

=Е；(Р)10*(Р)— ЗаМ (р)],

=П*(р) s右(р),

—3 а^* (р) = И；(J)) о*(Р)・(16.5)

Из последних соотношений видно, что между ядрами П (力)и 口】(％), с одной стороны, и ядрами R (力)и Rr (%), с другой ——в изображениях имеется простая связь

R'(p) п-(р) = 1,

瓦(р)И； (?) = 1.(16.6)

Это обстоятельство означает, что на соотношения (16.5) можно смотреть, как на уравнения, связывающие напряжения и деформации в линейной обычной теории упругости, где величине Е*(р) соответствует в линейной теории упругости удвоенный модуль сдвига 2G, а величине R】(р) —— модуль всестороннего сжатия К. Чтобы сделать аналогию более полной, будем наряду с уже введенными обозначениями применять также следующие:

尸=2G\ 五；=К*.(16.7)

Звездочки над модулями здесь означают, что в оригиналах этим модулям соответствуют интегральные операторы по времени типа свертки. Имея в виду это обстоятельство, можно формально вводить различные операторы, например,

,* = 3月_2优一3冗一力.

6К* + 2G* 6冗十 Е* '(')

入* = К* - 2G*/3 = E； — E*/3,

卩* = 3*=五*/2;(16.9)

尸_9月G* _ 9冗E*

—3K* 十 G* — 6E； + E*

так, что этим операторам в линейной упругости соответствуют коэффициент Пуассона, коэффициенты Ламе и модуль Юнга.

Отметим важную особенность оператора Пуассона v*. В случае, если оператор Пуассона есть число v* = v, то, как видно из (16.8), операторы 7?* и 7?! подобны и их отношение представляет собой число

К：К：—3 (1 — 2v)—3 (1 — 2v)R*.R*.(16.11)(16.11)

К：

К：

—3 (1 — 2v)

—3 (1 — 2v)

R*.

R*.

(16.11)

(16.11)

И обратно, если между операторами Rr и Е* существует зависимость Ri = а/?*, то оператор V* есть число. В самом деле, из (16.8) следует .3。— 1

V = д.

6。十1

Соотношения (15.8) — (15.11) можно представить в другом виде, согласно предыдущим главам. А именно

±t

Si 然)=\门力一t)隹・(t) dt = 2G%(£) — \f (% — t) de 订(t), о0

о (%) = \I\ (t 一 r)[9 (r) — 3%& ⑴]dr = К [9 ⑴ 一 3%& (QI — о t

—\几(％ — © [9 (t) — 3端(r)] dt(16.12)

о

и обратно tt期⑴=\ К(£ — t) Sfj(t) dx^-~ s^ (0 + $^ « — 力灯⑴ dq о0и обратно tt期⑴=\ К(£ — t) Sfj(t) dx^-~ s^ (0 + $^ « — 力灯⑴ dq о0

и обратно tt

期⑴=\ К(£ — t) Sfj(t) dx^-~ s^ (0 + $^ « — 力灯⑴ dq о0

и обратно tt

期⑴=\ К(£ — t) Sfj(t) dx^-~ s^ (0 + $^ « — 力灯⑴ dq о0

(16.13)

Здесь, как и ранее, ядра с волной вверху означают регулярную часть соответствующих ядер без волны.

Для применения преобразования Лапласа — Карсона к соотношениям (16.12), (16.13) проделаем с соотношением

屮⑴=卜(力—t)g(t)dt(16.14)

о

(где /ng — регулярные функции, причем g (0) = 0) те же выкладки, которые были проведены для (16.3). Тогда получим в изображениях

^Чр)-^Г(р)§ЧрУ(16.15)

(16.16)(16.16)Применив формулы (16.14) и (16.15) к соотношениям (16.12) — (16.13), получим в изображениях

(16.16)

(16.16)

^(Р) = [к 一 ^] [0* (Р) — За畲⑺]

л обратно

e：j(Р)=[击 + 定？：] s；j (р),

8*(р)— 3%®*(р)=[亲 4—^―] o*(p).

Разрешая уравнения (16.16) относительноРазрешая уравнения (16.16) относительное务(р), получим I Г(р)е务(р), получим I Г(р)* ,、$订(p)%(P)= л2G—(?)* ,、$订(p)%(P)= л2G—(?)=击S；(p)4———тр4(p). (16.18)

Разрешая уравнения (16.16) относительно

Разрешая уравнения (16.16) относительно

е务(р), получим I Г(р)

е务(р), получим I Г(р)

* ,、$订(p)

%(P)= л

2G—(?)

* ,、$订(p)

%(P)= л

2G—(?)

G2G — F(W

Сравнивая (16.17) и (16.18) и обозначив

1 Т*(Р)— 搶

имеем

2G 友“)—Q*S).

1 一 Q* (?)

Разложим выражение (16.20) в ряд по степеням Q* (р); получим налах следующее выражение:

ООt

%(0 = ~^" 4i(O + ST)SiJ (Т)^г，

n=0 U⑴ о

где

不(。)《)=不(力)，

不⑴⑴=\貝。)(力 _ t)不(t)dq

о

(16.19)(16.19)(16.20)(16.20)в ориги-(16.21)в ориги-(16.21)(16.22)(16.22)f (九)⑴=\ 貝х)« - t) f (r) dt. о

(16.19)

(16.19)

(16.20)

(16.20)

в ориги-

(16.21)

в ориги-

(16.21)

(16.22)

(16.22)

Как видно из соотношений (16.19) и (16.21), в разложении правой части (16.20) в ряд величину 1/2 G можно использовать как малый параметр.

§ 17. Постановка квазистатических задач первого и второго типов и общее решение в изображениях

Будем считать, что температурное поле в теле задано однородным, это существенно только при учете влияния его на ядра ползучести П и релаксации R, и нестационарным, т. е. температура 7 = 7° + 8 задана функцией истинного времени 九 Приведенное по (Г ——^-аналогии время

片=\d“〃 т о

тем самым является однозначно определенным по % л одинаковым во всех точках тела. Следовательно, задаваемые на поверхности силы SiQ, N戶 и перемещения 〃》(), а также объемные силы pF^ и температуру-& можно рассматривать, как заданные функции координат и приведенного времени У. Понятно, что любая функция истинного времени 屮 ⑴ есть некоторая другая функция 屮(力‘)， но, учитывая обычное правило сохранять обозначение функции при замене независимой переменной, мы пишем 屮(У) вместо 叩(Q・

Обращаем на это внимание: во всех задачах второго типа внешние силы и перемещения считаются заданными функциями приведенного времени У; кроме того, штрих сверху писать не будем (вместо У всегда пишем 力).

Таким образом, в математической записи всех соотношений, в которых не используется конкретный вид заданных функций времени S»。，N^\ 〃》о，今，задачи первого и второго типов неразличимы, т. е. решение какой- нибудь задачи первого типа всегда есть решение некоторой соответствующей задачи второго типа. Постановки и общие решения таких задач одинаковы.

Соотношения Больцмана между девиаторами s»力 ％)л скалярами о, 0т = 0 — За今 в изображениях (16.5)

$ij = R%,eij = n*Si；,/?*П* = П*7?* = 1,

'(17.1)

0* = e1ВГ,0Т = 口1。，E工口1 = 口1e:=(

вместе с соотношениями Коши для изображений компонент деформаций е^ и вектора перемещения и*

2旳=〃3 j + 〃j, г,£引=Cij + 0 6订/3,

0* = Ui, i,e点=圆一8&/3(17.2)

замыкают систему дифференциальных уравнений равновесия

。班 j + p招=°,а尸 s“・ + o*6订.(17.3)

Если задачу мы хотим решать в перемещениях, то можно исходить из замкнутой системы трех уравнений Ляме для перемещения ui9 получающихся исключением в (17.3) о订 и £订 на основе (17.1) и (17.2):

占г 0：『+ 〃；,方十 2рП^； = 0.(17.4)

Здесь множитель — оператор, содержащий «коэффициент Пуассона» V*》 выражается через основные операторы, входящие в (17.1)

厂g=% + 2IT 瓦.(17.5)

Если задачу мы хотим решать в напряжениях, то уравнения (17.3) замыкаются шестью условиями совместности деформаций Сен-Венана» вытекающими из (17.2)

е,力=—£切，кк 十 ^iktjk + £水，tk,(17.6)

в которых деформации должны быть выражены через напряжения по формулам

£订・=ГТ [%7T у • 0*3 J 十 ос伊6灯.(17.7)

令二у Fr fc6. • + -^г,泌朽+尸j,及垣，=°・令二у Fr fc6. • + -^г,泌朽+尸j,及垣，=°・Следовательно, в этом случае уравнения (17.4) замыкаются шестью уравнениями совместности Бельтрами [27]

令二у Fr fc6. • + -^г,泌朽+尸j,及垣，=°・

令二у Fr fc6. • + -^г,泌朽+尸j,及垣，=°・

формулам

+ v* 丁 31 ЗП Е；

v* • 3 - 7?*П*ЗП*7?* — 1(17.9)

[= 3 + 2К*П； = ЗИ〕；十 2 *

Как видно из (17.3), (17.4), (17.8), температурад явно не входит в дифференциальные уравнения, она может входить только в граничные условия задачи.

Рассмотрим контактные граничные условия двух типов на поверхности тела S, причем одни из них (первого типа) задаются на определенной неизменной во времени части другие ——на S2 (Е】+ S2 = S).

Граничные условия 1-го типа в точке Sx: задаются три определенных взаимно ортогональных единичных вектора г» г2, г3 и компоненты вектора перемещения и и вектора поверхностной силы S

U0rm 三 〃/т» =厶mr，比i 厂加=〃mr,(17.10)

S・％ 三 Sjni 三 о订夕nt = Sn&曲rnt = Snr^

где umr9 Snr — заданные величины, причем общее число заданных в точке величин 〃7nг，^пг равно 3, так что либо /п = 1, 2, 3 и тогда Snr не заданы (задан вектор перемещения), либо п = 1, 2, 3 и тогда итГ не заданы (задан вектор напряжения), либоп = 1, 2,九=3, либо т = 1, п = 2, 3, т. е. заданные части векторов u, S ортогональны.

Граничные условия 2-го типа в точке S2： задаются гх, г2, г3 и связь между Shu

S*r； 一 Е2 u*г； = Ni,

(о订〃 一E2ut) ra = Ni, (Wjlj — Е2щ)尸〃 =N；,(17.11)

где Ni — заданные величины, причем либо 2 = 1, 2, 3, так как заданы три условия (17.11), либо I = 1, 2 и тогда одно условие может быть типа (17.10) либо 2 = 1 и тогда два других условия — типа (17.10). В (17.10), (17.11) Z；——направляющие косинусы нормали, rki — направляющие косинусы векторов I•冗,Е2 一 постоянная или функция координат, имеющая размерность модуля, деленного на длину.

Полученные выше в изображениях дифференциальные уравнения, соотношения и граничные условия с точностью до обозначений совпадают с системой уравнений классической теории упругости.

Задачу при граничных условиях (17.10), (17.11) общего вида можно решать либо на основе уравнений (17.4), либо на основе (17.3), (17.8) с использованием формул Коши (17.2) и соотношений (17.1). Для краткости мы часто будем иметь в виду первую постановку, как содержащую меньшее число дифференциальных уравнений (одно векторное уравнение Ляме для вектора и^^ а напряжения 仃订 будем считать выраженными через перемещения по формулам

國=e[以+ c^9з灯 — {!^物*6川,(17.12)

где входящие операторы выражаются через основные

『% = П*Х- %, 冃莊=3112；.(17.13)

Граничные условия (17.10) на основании (17.12) в перемещениях принимают вид

卜晶 + id^ »*勺 К = TSJ + ^^ ^^.(17.14)

а граничные условия (17.11) приводятся к виду

(£力 + T^2^f1^ 一 ％口*叫 F - ГМ + 4^£r ^Чгн. (17.15)

Коэффициент Пуассона v* выражается через основные операторы:

(17.16)(17.16)3 一 Е*П； ЗГТК； — 1

(17.16)

(17.16)

6 + Е*П； ― 6П*Е；十1

Усложнения, вносимые контактными граничными условиями (17.15), весьма существенные, определяются оператором, с точностью до множителя совпадающим с П*

(17.17)(17.17)¥* = £2П\丫 = %口⑺

(17.17)

(17.17)

и входящим коэффициентом при искомых функциях 〃》.

Задача теории упругости получается путем отбрасывания звездочек в (17.4), (17.12), (17.14) и других, т. е. заменой

斤一

2G,

口 ’ 2G，

V*-> V,

丫.->丫 =

2GZ'

冗f

K,

n；f+ '

Mf M,

8.—＞令，

(17.18)

Щ 一>

0*^0,

£订一£u，

0讶一 0订

и обратно: первая и вторая задачи термовязко-упругости в изображениях получаются из задачи теории упругости заменой, обратной (17.18): 2Gf f 斤，К-> e；. vf 炉…

Следовательно, и решение нашей задачи в изображениях получается из решения задачи теории упругости путем восстановления звездочек, т. е. обратной заменой (17.18). Будем считать, что задача теории упругости решена, т. е. будем пользоваться многочисленными результатами, полученными в статической теории упругости и строительной механике упругих систем.

Вместо коэффициента Пуассона v и оператора v* введем более удобный параметр соо и оператор со* формулами

2G 1 — 2v ^0^ "З^^ 1+ v，2G 1 — 2v ^0^ "З^^ 1+ v，2=$FU； =2=$FU； =1— 1 — 2v*ЗП*Е；=(十"1— 1 — 2v*ЗП*Е；=(十"2 + so，2 + so，И — s*2 +(o*И — s*2 +(o*(17.19>(17.19>

2G 1 — 2v ^0^ "З^^ 1+ v，

2G 1 — 2v ^0^ "З^^ 1+ v，

2=$FU； =

2=$FU； =

1— 1 — 2v*

ЗП*Е；=(十"

1— 1 — 2v*

ЗП*Е；=(十"

2 + so，

2 + so，

И — s*

2 +(o*

И — s*

2 +(o*

(17.19>

(17.19>

Тогда коэффициенты, входящие в дифференциальные уравнения (17.4), (17.8) и граничные условия (17.11), (17.14), (17.15), запишутся в виде^

V* — 1 — co*1 — v* — 1 + 2w*产=石2口\V* — 1 — co*1 — v* — 1 + 2w*产=石2口\(17.20>(17.20>

V* — 1 — co*

1 — v* — 1 + 2w*

产=石2口\

V* — 1 — co*

1 — v* — 1 + 2w*

产=石2口\

(17.20>

(17.20>

= 2 +(o*, (十 у I »

1 + v* — 1

I — 2v* — s* 2

а сами уравнения и граничные условия — в виде

卡％ е г + Ui,方=—2рГГЬг；(17.21)

。二,7 = — pb：；(17.22〉

0:3 kk + (2 + ①*)0，订=_p (提誤F% 枕订 + Л,状^・十月,k^nij ；

(17.23)

〃/mi = 〃砥г,(17.24)

(力什4^叫F = 口*点+告令

《屈卜与寿ё*4 一 丫*叫F = n*w； +亲8*5(17.25)

Последние два граничных условия при Y； = 0 (т. е. Е2 = 0) совпадают с точностью до обозначений и потому для целей дальнейшего анализа важно только первое условие (17.24), не вытекающее из (17.25), и условие (17.25). у* существенно входит в левую часть уравнения (17.25), как и з*. Выражение напряжений через перемещения (17.12) примет вид

。:尸 ?(4+ 土誤6& -亲8a).(17.26)

Рассмотрим задачу теории упругости на основе уравнений Ляме (17.21) и граничных условий (17.24), (17.25), воспользовавшись линейностью системы и принципом суперпозиции. Вектор перемещения 〃》в некоторой точке х тела является линейным функционалом правых частей перечисленных уравнений; коэффициенты входящих в них слагаемых П*, ос仆"7з* не зависят от координат и потому и* будет линейной функцией этих коэффициентов, причем неоднородной, так как в первое условие (17.24) в правой части входит коэффициент 1.

Значит, общее решение задачи всегда будет иметь вид

^i = /г + H*R -J- -±т ТТг1^*,

0订-五*/订+屮u十3a7?1屮T可8* +

十[a-①*)x"忆次十2 3我 中k，k * a l飞f- Al①Tk, k®*] 6刃 一

一 За冗令*%•.(17.27)

Все функции /* и ф* будут зависеть только от «упругих характеристик» з*, у* и координат и будут линейными функционалами по координатам «нагрузок» u^ir, Snr, N：・ Оператор з* входит в левые части уравнений Ляме и граничных условий только в комбинациях

3]=3]=2 +со* 3s* '2 +со* 3s* '(17.28)(17.28)

3]=

3]=

2 +со* 3s* '

2 +со* 3s* '

(17.28)

(17.28)

Вид формулы (17.27) для компонент напряжений вытекает из вида 〃；， формул (17.2) и выражения (17.26), причем все двухиндексные коэффициенты выражаются через /* , ф* ,哪！ оператором «деформация», т. е.

為=(启+行)/2,呜• = зL・+屮乙・)/2,

фТг； — (фТг,; +фТ；,г)/2,(17.29)

а /*,х,.・・ —— обычная дивергенция.

Поскольку мы считаем задачу теории упругости уже решенной, значит в (17.27), в случае, если решение дано в перемещениях, векторы /* , (р* , фтг известны, а в случае, если решение дано в напряжениях, тензоры 角，屮3 屮后厶 换,/“ 5右 н скаляры 我,卜 喉,к и ^тк.и известны как функции координат и, что особенно важно, операторов 6, у* на основе обратной замены (17.18).

Отметим, что вектор /* в (17.27) возник в связи с заданием на границе вектора перемещения итг, согласно первой формуле (17.24), и он будет равен нулю, если все итг не заданы или равны нулю, вектор 屮彳 возник в связи с заданием хотя бы одной из сил 尸乞(17.21), Snr (17.24), Ni (17.25) и он обращается в нуль, если массовые силы 力乞 равны нулю и не задано ни одной из сил Sn『,NI, т. е. заданы только граничные условия в перемещениях; вектор ср%» возник в связи с заданием граничных условий в напряжениях (17.24) или контактных (17.25) и он становится несущественным только при 0=0.

Чтобы подчеркнуть связь функций /, ф,屮丁 с заданными внешними перемещениями, силами и температурой, переобозначим векторы

U；=几 Р；；=區 Т；^^(17.30)

введем новые обозначения для тензоров

U；j =% + '戰 瓜,E",

p% =編+'謂一血，2u，

T；j = ^Ртц + 1 ^^-陶,上%,(17.31)

которые в отличие от (17.29) выражаются через векторы U；, Р*, Т； оператором «напряжение», что видно из (17.26);

u仃=告0；,/ +u；風)+^^u1禽力

居=j + Р；, i) + 或

T；尸击(T；,j + T；,G + 片* 捲,®•・(17.32)

Система равенств (17.32) определяет тензоры U点，尸以， 爲，если известны перемещения (17.27), т. е. функции Ui, Р*, 7\ в формулах

涼=U； + П*Р； + осТ»,(17.33)

при этом напряжения 呜 находятся по формулам (17.27)]

向=/T% + 儿 + 3 妬；冗严.(17.34)

Напротив, если известны напряжения (17.27), т. е. тензоры, входящие в правые части (17.34), то перемещения 〃； выражаются формулами (17.33), причем должна быть решена известная система дифференциальных уравнений

}(Zi, j + Zj,t) = Zij — (1 — co*) 2*6仃， Z* = % Zgj = -y Zkk

(17.35)

при однородных граничных условиях, исключающих движение тела, как абсолютно твердого; это решение имеет вид

(17.36)(17.36)Z» = Z» — (1 — з*) Z» ,

(17.36)

(17.36)

где围，齊—известные линейные интегральные операторы по координатам от Z以，Z*. Уравнения (17.35) и решения (17.36) справедливы для

любого из векторов

齿,R,

т；：

М = М* —

(1—3*)

5*,

R = R* —

(1 一 3*)

R'*,(17.37)

冗=北* 一

(1 — 3*)

冗*.

Если заданы 。；力 尸,；力 7%, значит заданы и входящие в (17.37) векторы со штрихом и двумя штрихами, и зависимость последних от £ определяется только зависимостью соответствующих первых от з* ({/• , U» — 0T Uij и т. д.)

В сопротивлении материалов и строительной механике определяются некоторые величины V типа прогиба (прогиб, перемещение, угол поворота, деформация, искривление ...) и величины S типа напряжения (напряжение, перерезывающая и сжимающая силы, реакции, изгибающий и крутящий моменты, ...) по заданной системе величин Р типа сил (внешние силы и моменты, давление, вес, квазистатические силы инерции и коэффициенты перегрузки,...), величин U типа перемещения (перемещения, углы поворота, выбираемые зазоры в опорах и креплениях,...) и температуре , которая в первых двух типах задач равна нулю или одинаково изменяется по времени во всех точках конструкции. Решение, т. е. формулы для выражений V, S через U,尸，杼，всегда имеет вид

卩=Uy + 金* рV + aTy 令，

(17.3S)(17.3S)5 = 2GUs + Ps + 3%KTs®,

(17.3S)

(17.3S)

где a ——коэффициент линейного расширения; G ——модуль сдвига; К —— модуль объемного сжатия; Uv、S$ ——некоторые известные линейные функции от U и коэффициента Пуассона v; Ру, Ps — то же от Ри v, и Ts — от V, причем все они, конечно, зависят от геометрических характеристик тела и от положения точки в конструкции, для которой находятся Р и S. Чаще вместо модулей G и К в (17.38) входят модуль Е и v, т. е.

44飞 Pv = ~^Qv,2GU s = EV Sl3KTs = E仇，44飞 Pv = ~^Qv,2GU s = EV Sl3KTs = E仇，Us = «+”)％,Ts = (1 — 2v)❷s・Us = «+”)％,Ts = (1 — 2v)❷s・

44

飞 Pv = ~^Qv,2GU s = EV Sl3KTs = E仇，

44

飞 Pv = ~^Qv,2GU s = EV Sl3KTs = E仇，

Us = «+”)％,Ts = (1 — 2v)❷s・

Us = «+”)％,Ts = (1 — 2v)❷s・

В изображениях, следовательно, получаем соотношения вида (17.33), 17.34)

V^ = Uv + ^Pv + ^Ty^\

S* = R^Us + Ps + 3a 瓦北目*,(17.39)

где величины U*, Р*, Т* со звездочками получены из U, Р, Т формальным приписыванием звездочек заданным перемещениям, нагрузкам, моду-

7 А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря

лям и коэффициенту Пуассона и переходом к со* (17.19), (17.20), причем

尸；=仔十 Qv, U*s =；犷 Vs,

缁=辞»国-(n.40)

Все трудности обращения соотношений (17.33), (17.34), (17.39) связаны только с тем, насколько сложно зависят входящие в них функции U； Р\ Т* от коэффициента Пуассона, т. е. от оператора о/, и от у* (в случае контактных граничных условий 2-го типа).

§ 18. Обращение некоторых операторов

Теорема свертки: даны изображения двух функций времени <Ж； (р)， 舒* (р) и дано уравнение, определяющее изображение искомой функции /G)

/*(Р)= "；(Р)£(Р)・(18」)

Тогда функция / (%) определяется в виде

t

/(О = "о (0)舒⑺十，舒(％ — Т)d〃o(Т)三舒(О)Жо⑴ + о

+ \"0(力一 t)d多(t).((8.2》

о

Тождественность двух последних выражений вытекает из интегрирования по частям, что предполагается допустимым для 牙 и ”°. Из симметрии (18.2) относительно 夕 и 4 следует, что операторы Ж*,多* — коммутирующие, т. е. выражения

УЛр^Чр)-Г(р^Лр}(18.3>

дают изображение одной и той же функции.

Применяя (18.1), (18.2) к функции со* =斤 Г1；/3, находим два выражения оригинала з (力)

t

Зсо ⑴=R (0) Л】(力)+ , Л】« — t) dR (t) = И】(0) 7? (0 + 0

十 \ 7?(力一t) с?П1(т).(18.4)

0

Обратная функция 冗* = 1/з* = ЗП*/?1 имеет оригинал

t

£ п ⑺=□ (0) % ⑴十 \ & « 一 t) dH (т)=五 1 (0) И (0 + о

t

+ \H(% — T)d&")・(18.5>

о

Эти обращения операторов со* и 1/з* = л*" являются основными для всего дальнейшего изложения.

Как уже отмечалось, операторы (/?*, П*) и (/?；, 口；) являются попарно взаимно обратными

五*П* = 1ГЕ*=1,+ = "*' 、亲=А*,-

Л + ^П* _ лл* + В — /П* + вп*2

С + 0П* — СЕ* + 0 — СГТ 十刀口*2

и аналогично для R；, II；. Далее имеем

4口* 十 ЗИ； _ А 十 35з* _ 4л* + 36

СП* 十 /Ш； — С + 30s* — Сл + 3D

и вообще с операторами *,•••, з*, л* можно обращаться как с числами и производить различные алгебраические действия над функциями операторов.

В задачах теории термовязко-упругости наряду с ядрами ползучести и релаксации рассматриваются еще только известные функции ф (/冗,6) типа нагрузок (перемещений, температуры), которые обращаются в нуль в начальный момент ф (/冗，0) = 0, а также суммы выражений /Л (/耳，力)， для которых известны только изображения

/* = #%Ф*,(18.6)

где v4zo — оператор-функция из основных R* (или ГТ) и з*. Если обращение "о*, т. е. "о«) — известно, то

/Мм 力)=S 〃о (欲"一С) d(p (&")三 £⑵"—t)吧U' 2 dT・

6о

(18.7)

В соответствии с § 17 мы представим ”； в виде

4； = 〃* ① *(&*, 丫 *),(18.8)

где 4* — один из операторов,

= (1,五*, □*,五；口；)(18.9)

а

丫* = £1Г,(18.10)

причем 8 ——независимый числовой параметр. Уравнение (18.6) имеет вид

(18.11)(18.11)f = N* ① *(Р*・

(18.11)

(18.11)

Излагаемый ниже (§ 19) метод аппроксимаций [28], [35] для решения задач вязко-упругости основан на аппроксимации Ф* некоторыми простейшими операторами, в первую очередь — степенями з*, я*.

Обращение степеней ①*, л*. Пусть ?* = 0,(8 = 0) и Ф* представлено суммой

(18.12)(18.12)①*= W Q®，,

(18.12)

(18.12)

П=—П1

где Фп ——постоянные (или функции координат 力耳).Для обращения

^п = 3 屮九—1,^п = 3 屮九—1,Для отрицательныхДля отрицательныхT-1 =冗*屮 0.T-1 =冗*屮 0.гдегдегдегде(18.13)(18.14)(18.15)(18.16)(18.17)(18.18)(18.19)(18.20)(18.20)(18.21)(18.13)(18.14)(18.15)(18.16)(18.17)(18.18)(18.19)(18.20)(18.20)(18.21)

^п = 3 屮九—1,

^п = 3 屮九—1,

Для отрицательных

Для отрицательных

T-1 =冗*屮 0.

T-1 =冗*屮 0.

где

где

где

где

(18.13)

(18.14)

(18.15)

(18.16)

(18.17)

(18.18)

(18.19)

(18.20)

(18.20)

(18.21)

(18.13)

(18.14)

(18.15)

(18.16)

(18.17)

(18.18)

(18.19)

(18.20)

(18.20)

(18.21)

(18.11) необходимо знать обращение функций

?Л = N* (3*产屮*, так как тогда

/ = s①九屮九.

Из (18.13) имеем рекуррентные формулы

фп = 3 фп-1 =冗 фп+1«

Поскольку ср。легко определяется

血=N*(p*, То (0 =\n« —t)d屮⑴， о

то для положительных степеней n ^ 1 из (18.15) имеем t

屮;=з*屮;，<Р1 (力)=\ 3 (% — т) Ар。(Т),

о

<Рп (%) = \ 3 (% — t) <icpn-i (t)・о

степеней п <； 0 из (18.15) имеем

屮一1(%) = \冗(力一 t)d(po (т),о

основании (18.14) находим

/«) = \No«-t)即⑴， о

ядро TV。(％) получается суммированием итерированных ядер

No(%) = RN(%) + OMN(0)3(%) +

+ \ з (% — t) dN (т)] + . . . + ①—1 [N (0) л: (t)十 о t

+ \ it (力一т) dNr (т)] + •.. о

N (%), з (%)、л;(力)известны. Выписанные явно выражения в

относятся к сумме трех членов

号+①-①迎。

(18.22)(18.22)При N = N^ = i, ^ = п2 = i, т. е. для уравнения

(18.22)

(18.22)

+ ①0 + ①13 ) ф*,

имеем оригинал (18.19), причем

N。（%）=①。 +①1（о⑴+①一們（）N。（%）=①。 +①1（о⑴+①一們（）(18.23)(18.23)

N。（%）=①。 +①1（о⑴+①一們（）

N。（%）=①。 +①1（о⑴+①一們（）

(18.23)

(18.23)

Обращение рациональных функций со*. Пусть ①* в (18.11) — рациональная функция з* (при £ = 0). Тогда она представима в виде суммы элементарных дробей и полинома. Полином по степеням уже рассмотрен выше, следовательно, остается рассмотреть уравнение (18.11) при

п3① *(3*)= 2П3=2п3① *(3*)= 2П3=21 +₽Х …(i+₽n «)2•1 +₽Х …(i+₽n «)2•ллBn + n*Bn + n*2'卜.2'卜.(18.24)(18.24)

п3

① *(3*)= 2

П3

=2

п3

① *(3*)= 2

П3

=2

1 +₽Х …(i+₽n «)2•

1 +₽Х …(i+₽n «)2•

л

л

Bn + n*

Bn + n*

2'

卜.

2'

卜.

(18.24)

(18.24)

где §п — действительные числа.

Достаточно рассмотреть только правильную дробь, т. е. обратить оператор

(18.25)(18.25)gB = 1/(1 + Вз*)=冗 */(В + 冗*)= 1 一 в/偉-]-疗),

(18.25)

(18.25)

так как степени g*,・..,g『обращаются так же, как со*71. Возьмем уравнение

(18.26)(18.26)(18.27)(18.27)/* = g 証*,

(18.26)

(18.26)

(18.27)

(18.27)

которое, согласно (18.25), переписывается в виде

Г + ^Т=^^

Переходя к оригиналам, получаем для / интегральное уравнение в нормальном виде

/ (4)=屮入⑴ 一 ％，①'(力 一 T) / ⑺也,(18.28)

о

где обозначены числа

九。=₽/(1 + В①(0)),①(0) = % = (1 — 2v)/(l + v)弋 1/4 (18.29 )

и функция

”入=九 o/BW,(18.30)

причем v — мгновенный коэффициент Пуассона вещества; з' — производная з по аргументу. Для нахождения резольвенты ядра 6 (力)в уравнении (18.28) существуют известные методы; согласно (18.4), (18.5)

36(%) = R (0) II；⑺ + Л】(0) Rf (t) + \ II； (t — т) Rf (r) dx (18.31) о

ограничена по модулю вследствие того, что ограничены и положительны не только все R и П, но и все IT(力)и (—Rf).

Пусть построена резольвента Г£ (%) ядра —九。①，(%) уравнения (18.28), т. е. его решение имеет вид

(18.32)

причем Гр ⑺ есть производная от нормированной бункмии Гр (%)

£ = 0, Г^ (0)= 1.(18.33)

Тогда изображением (18.32), согласно (18.2) и (18.30), будет

* =г渝=等？証*.

Сравнивая с (18.26), находим изображение g® и gp (力)

产1

g® 1 十 Bs(0)丄

gs⑴=/⑼°B⑴=万』г [l十У% (0必卜(18.34)

где резольвента Г₽ (%) равна сумме итерированных ядер

ОО

Г*8 (%) = 2 К Вт О т=1

Квт+i = \ &1 (力一т) К®硏(т) dx, К® (%) = — 1^ (0(18.35)

о

и о/ определена (18.31).

Другой метод построения g^ (%) основан на важном свойстве функций з (%) л л (%): представимости их в виде сумм экспонент с действительными декрементами. В самом деле, ядра 瓦 &, П, 口】представимы такими суммами (§ 3), значит согласно (18.4), (18.5) з и л; также представимы. Теперь из (18.34), (18.35) следует, что в таком же виде представима резольвента 1$ (力)и значит gB«).

Но все полюсы изображений таких функций з*, л*, gp, лежат на действительной оси плоскости комплексной переменной р, так как для функции ехр (а%) при действительном а изображение определяется правильной элементарной дробью

®р ")Г ==1 +，(18.36)

и значит все полюсы указанных функций действительны.

Для действительных р (т. е. для полюсов) функция g^ (р) (18.25) монотонна, так как со* и л* монотонны. Значит g^ (力)имеет единственный полюс р§ в точке

炉(廟=—1/В.(18.37)

Максимальное значение со* при действительных р есть максимальное значение со (%), т. е. согласно (18.4) значение(о ⑴ при о/ ⑴=0. Обозначим максимальное и минимальное значения положительной функции 9 (%) через Зтах, 3min・ В Случае П1 = const, например, это будут

l—2v1 口 Q)

①таX = %=『十丁 七Мax = 不 口⑼，

Зпнп — % е 西~' °,^min = 1/(Оо =冗(0),(18.38)

где 7?min есть значение R (^) в конечный момент времени t = tg, в пределах которого рассматривается задача. Значит при В〉一 l/comax и 卩 < ——l/o)min функция g虱р) не имеет полюса 夕卩,т. е. является целой функцией р.

Следовательно, для функции g& имеем следующие сходящиеся абсолютно и равномерно ряды при указываемых условиях:

g； = 1 — Bs* + (Bs*)2 一(Вз*)3 十・..

IB〉Anin，IB〉Anin，(18.39；(18.39；* Л* / Л* \2/ л* 、3

IB〉Anin，

IB〉Anin，

(18.39；

(18.39；

так как при этом в первом случае |0①*| < 1, а во втором — |冗*/§| < 1. Если заключен вне указанного в (18.39) интервала, т. е.

l/o)min>|₽|>l/o)o-4,(18.40)

то уравнение (18.37) может иметь действительный корень р^, и функция gg ——полюс в точке р = р^, т. е. будет иметь вид

g^ 伪)—G_i/〃 一 рв + С。+ Gi (s* —崛)+ G2 ®* — о)р)2 + ...

Gt = 1/B(<, С。= 一(o*；/2₽ (倩)2.(18.41)

Индекс «р» означает, что производные ^'(р), ^''(р) и функция о)*(р) берутся при р = рв и, конечно, являются действительными числами» На основании (18.39) восстанавливается оригинал функции gp (力)：

gp (^) = 1 — ₽(o + В?①0cd + \ з(£ — t) dco (t) — . ..(18.42)

_0_

Таким образом, поставленная в начале § 18 задача нахождения оригинала функции /, представленной ее изображением (18.6), для рассмотренных выше типов операторов Жо , т. е. когда они имеют вид

“=分七［4 (3*严 + вп (叫九 + 以 g氤］ (18.43)

и 4* одно из основных ядер 1, R*, П*, R{ , И； , решается обращениями (18.15), (18.18), (18.34), (18.39), (18.42). Для этого перепишем фп в виде

фп — 3♦屮тг—1 — 3 Пфо»

Фп (0 =①(/Рх (0 + \ 屮吋工(力一工)» ⑴ dx.(18.44)

о

Обозначая оригиналы степеней со*п через соп (力)

з丄=з*, (о2 = (з*)2,...,①九=(со*)71(18.45)

и записывая обращение уравнения в виде

炉=①；/三(3*严九 t

屮(力)='叫(方一T)"⑴(18.46)

и аналогично для л, получаем оригиналы степеней

31 (0 = з (力)，со2 (0 = %з +，① « — t) dco (т),... о

% (%) = Зо(д*1 (0 + \ 叫_1 (方一т) dco (т)г о

(伤.47)(伤.47)冗1 (t) = Л:⑴,П2 (/)=冗0г + \ n (方-t)ЛT (T),... 0

(伤.47)

(伤.47)

КП")=冗0冗昨1 (力)+ \г2 (方-t) dr⑴. 0

Формулу для оригинала g飢 согласно (18.39), (18.42) записываем в виде gpn (0 — 1 — Pn^l + 口孤2 — В沁3 十• • • = 1 + S (— B)m8m・ (18.48〉

Мы выделим две часто встречающиеся в задачах функции

g% 三 go (gB при В = 1/2) и g2 (gs при В = 2):

8% (力)三 go (力)=1 — 3 (力)/2 + • • •(18.49)

g2 (0=1 - 23 + 4 (оо(о + \ (о (力一工)d3 ⑴…

Оператор вида{

"о = 4*》［丄4nszt + 区公死,~|~ agв九T(18.50)

имеет оригинал

"()") = e4П、"(力-T加3九")卜3九-j不(方一T)dn九(t)十 _ и0

+ (力一t)dg^(t) ,(18.51)

о_'

и решение исходного уравнения (18.1) имеет вид (18.2). Подобное же решение задачи при. 丫* 旱 0 получается аналогичным путем, поскольку возможно разложение "^ по степеням у*, оригинал которого известен заранее и равен еП (力).

§ 19. Точные решения задач и метод аппроксимаций

Все трудности построения точных решений рассматриваемых задач линейной теории сводятся только к обращениям решений в изображениях, рассмотренных в § 17, т. е. переходам к оригиналам.в (17.33), (17.34) с использованием при необходимости (17.32), (17.37). Краевых задач для дифференциальных уравнений с производными по координатам тела не возникает, так как предполагается известным решение соответствующих задач теории упругости. Координаты точек тела, его размеры, области приложения нагрузок, предполагаемые постоянными во времени, являются параметрами, зависимость от которых в изображениях остается точно такой же, как в задачах теории упругости.

Поэтому можно взять любую точку тела (практически интересны только некоторые расчетные точки) и рассмотреть в ней величину V типа перемещения и величину 5 типа напряжения, для которых имеем выражения, представляющие решение линейных задач теории упругости или строительной механики

V = Uv + ^-Pv + аТ 用

S - 2GUs + Ps + 3aKTs仇 (19.1)

Здесь Uy, Us — однородные линейные функции или функционалы по координатам заданных граничными условиями величин типа перемещения (т. е. размерность которых не содержит силу); Ру, % — аналогичные функции заданных величин типа сил; Ту, Ts — не зависят от заданных сил и перемещений. Все эти шесть типов функций зависят от координат, размеров и, что теперь для нас самое главное,——только от коэффициента Пуассона v и от параметра у = Еп/2G (в случае контакта тела с внешним упругим телом), но не от G и К, которые только явно указанным образом входят в (19.1) и другие аналогичные формулы в § 17.

Вопрос о зависимости решений задач теории упругости от упругих констант полностью ясен в смысле зависимости от модулей G и К в отдельности, что и выражено в (19.1), но в общем случае еще не решен в отношении зависимости от коэффициента Пуассона.

Еще в работе [29] установлена независимость Ps от v в плоской задаче при заданных на всей границе усилиях (Us = @s = Uy — ^v = 0) для односвязных областей, а также для многосвязных, если на каждом контуре главный вектор и главный момент внешних сил равны нулю. Так, например, если S ——одно из напряжений; V ——одно из перемещений, то Ps не зависят от v, а

pv-Pv~-^-Pv, (19.2)

где P’v, Ру не зависят от v. Переходя в (19.1) к изображениям решений вязко-упругих задач, т. е., заменяя H2G —> П*, 3v/(l + v).1 — з*, ЗП*(о* = □；, получим для таких задач

S* = Pg, V*「П* [Р； 一(1 一 з*)Р；] = П* (Ру 一 Pv) +1 К Ру .

(19.3))

Более полные исследования зависимости решений от коэффициента Пуассона в плоских задачах даны в [30, 31], причем в работе [31] рассматриваются контактные граничные условия. Пользуясь результатами § 18,,

находим точное решение таких плоских задач с помощью ядер П и Пх

S = &, F = $ П (Z - т) [dPv (т) - dPv (т)]十 \Ц]« — с)"、⑴.(19.4) о о

Такой же результат получится во всех задачах с заданными на поверхностях тел силами, если напряжения не зависят от коэффициента Пуассона; итак, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Напряжения упругого и термовязко-упругого тел совпадают, перемещения получаются заменой нагрузок операторами ползучести (19.4). Доказательство очевидно из (17.33), (17.34), (17.32), (17.37).

Теорема 2. Если кривые сдвиговой и объемной ползучести данного тела подобны, то решение задачи термовязко-упругости при заданных любых массовых силах и любых контактных граничных условиях 1-го и 2-го рода (§ 17) получается из решения задачи теории упругости заменой нагрузок и внешних заданных перемещений на соответствующие операторы ползучести и релаксации. Если контактирующее тело вязко-упруго и его кривые сдвиговой и объемной ползучести подобны кривой ползучести данного тела, теорема также верна.

По условию теоремы П1 (%) = 〃П (%), следовательно, И； 三 1/Е； = —41T 三 а//?', т. е. кривые релаксации также подобны. R1 (力)-二 R (£)/〃， но 笈*11；三 Зз* — а, следовательно, з* = з。= а/3 = (1 — 2v)/(l + v)— постоянна и v ——мгновенный коэффициент Пуассона тела; в случае контакта с другим телом по условию Еп = arR и, следовательно, Еп — — а^, т. е. у* = WEn = 〃】=丫 постоянно и равно отношению мгновенного Еп к R (0) = 2G. Таким образом, в уравнениях (19.1), имеющих вид в изображениях

V^ = Uv + П*Р； + аТ； Г,

S* = R^Us + Ps+ ЗаЕ；缁仔\ (19.5)

функции U*, Р* содержат, причем линейно, только изображения нагрузок и заданных перемещений, а коэффициент Пуассона v и у в них, как и в Г постоянны (т. е. Т* = Т). Следовательно, оригиналами (19.5) бУДУт

V — Uy аТ?® +、口(“ — °) dPv (т), о

t t

s = Ps +、R 叱一哈 dUs ⑴ + 3ars \ & (% — t) d8 (r). (19.6) о 0

Понятно, что при переменных во времени нагрузках и задаваемых перемещениях Р, U,® будут функциями времени и в (19.6) под интегралами стоят их дифференциалы по времени в момент t. Теорема доказана: «внешние нагрузки» Uy, Ps, не содержащие множителями упругих констант С, К в (19.1), сохраняются в (19.6), а содержащие множителями модули 1/2G, 2G и К, заменились операторами с ядрами П, /? и &.

Приведенные, теоремы л、формулы (19.4), (19.6) дают простые точные .решения большого числа практических задач. В примерах нет особой необходимости, так как монографии, учебники, справочники содержат

'Много формул для максимальных напряжений, моментов, перерезывающих сил, перемещений, деформаций, кривизн, углов поворотов, которые легко переписываются в виде (19.1), и, значит, для вязко-упругих тел в виде (19.6). Если нагрузки (力s,力v) црикладываются мгновенно и остаются затем постоянными и перемещения (Uv, Us) и нагрев (^ = Т — —7。)一 также, то (19.6) переписывается в виде

V Uv +aTv^ + П ⑴Р%

5 = % + 3aTf& ⑺仆 + 区⑴％,(19.7)

*г. е. в (19.1) просто происходит замена модулей на ядра П, Л, Rr.

Теорема 3. Общее решение задачи термовязко-упругости при произвольных допустимых граничных условиях, налагаемых на перемещения на границе, включая постоянные 1-го рода (и 2-го рода, если контактирующее тело вязко-упруго л £*； = qE*), для тел, являющихся упруго несжимаемыми (К = 8), имеет вид

V = Uy + а^И + \ П (% - t) dPv (t), 6

s = Pl + ln(t-%)dU^ (r) + ar^ \%(力一工)的(矶(19.8)

оо

где Uy, Ту, Ру, Р&, Us получаются как предел соответствующих величин в (19.1) при ” f % (о)о0), а

Ц「(4』・(-)

Существование последнего предела следует из того, что в § 17 через Т& обозначается 屮亍①*, получающаяся непосредственно при решении задачи. Допустимые условия на перемещение означают, что общее увеличение объема тела должно равняться свободному температурному его расширению. Тогда (19.8) получаются в предположениях предыдущей теоремы, если в (19.6) заменить R、(力)=R (Z)/3a)0 и перейти к пределу ю0 f О.

Однако в общем случае и во многих практически важных задачах условия приведенных теорем не выполняются. В полимерах, например, часто совсем отсутствует объемная ползучесть, и потому Е](力)---1/Пх (力)— =К есть постоянный модуль объемного сжатия; следовательно, з* (1 — —2v*)/(l 4- v*) = /Г/ЗК есть оператор, а о)(%) — с точностью до множителя 1/ЗК ——ядро сдвиговой релаксации (18.4).

Если контактирующее тело (в случае контактного граничного условия 2-го рода) также упруго, то у* = ^П*, т. е. 丫 (%)— с точностью до множителя есть ядро сдвиговой ползучести (18.5). Следовательно,

»

①⑴=女五⑴， 丫 = FnH (%)= 證冗⑴， 冗(0 = 3KII (0,

(19.10)

т. е. пе выполнено условие второй теоремы, если только нельзя вообще пренебречь упругим изменением объема и считать Еп равным нулю.

В общем случае решения задач термовязко-упругости рассматриваемого типа получаются методом аппроксимаций: решения в изображениях (19.5) получаются из решений задач упругости (19.1) заменой 1/2G —> Л*,

2G f Е*, К f 冗，” =(1 - з*)/(2 + co*) и входящих в них линейно внешних сил и перемещений такими же величинами со звездочками. Утверждается, что функции U, Р, 0, входящие в (19.1), представимы (точно или в качестве аппроксимации) многочленами или рядами по степеням о)。и у, т. е. имеют следующий заданный вид:

%к = 2(4(kw)①；+ J^n{Kw^n + 彳1|_ f(^^)so )，(19.11)

где WK — (Uk, Pk, Tk) — одна из указанных в этих скобках букв, а индекс《К» — (К S). При этом Bn(Kw)牛 0 только при 丫 啜 0 (контакт 2-го рода); коэффициенты An(Kw), Bn(KW), Cn(KW)— известные линейные функции (функционалы по координатам) от внешних сил для (KW) = (ИР),. (SA), от заданных перемещений и температуры 8 для (KW)=(卩О), (5U) и не зависят от внешних сил, перемещений и температуры 存 для (ТПУ) 一二(PT), (S7). Решение задачи термовязко-упругости в изображениях (19.5) определяется следующими значениями входящих в него функций Wk =(。工 Рк, ?7)：

WK = Е (4n(KW) ^n + 3n(KW)r^ + ^n(KW) gn(KW)) ,(19.12)

где

03* (①*严，h：=(①*尸=(吟г

gn(Kw)=( + b〃(kw)⑴*，

а коэффициенты 幺/kw),…получаются из An(KW)(19.11) простой заменой внешних сил и перемещений — их изображениями (т. е. простым приписыванием звездочек внешним силам и заданным на границе перемещениям). После этого изображение решений задач вязко-упругости (19.5) составляется из шести слагаемых типа N*W^^ где N* = (П*, R*> Е；). Оригиналы выражений N*Wk теперь находятся методами, указанными в § 18 с помощью функций ①(£), г (力)，gs (力 Для последних слагаемых в (19.5), пропорциональных Т^, например, коэффициенты 4, 8, С а изображениях и в оригиналах одинаковы

^п(КТ)= ^п(КТ), Вп(кт)= Вп(кт),

Сп(кт)= Сп(кт), К = (Р, S).(19.14)

Обозначим входящие в правые части (19.5) слагаемые

р* ^Vv +Vp + V；,(19.15>

s* = s\ + s\ + si, где

5y = 7?X,醛=g, 5； = 3xff；*・(19.16》

Решение задач вязко-упругости имеет вид

V — Vу + Vp + Р&, S — Sy + Sp + S&,(19.17)

и нам остается найти входящие здесь оригиналы функций (19.16). Для

Wr = (Py, Sp) находим оригиналы

(Py, Sp) = Wk = W [、3几(％ — °) dAn(KW) (^)十 о

ии+ \冗九(％ — t) d斗(KW)⑴ + ygn(KW)(^一 t) dCn(KW)")•

и

и

о

(19.18)

Для остальных четырех вводим дополнительные обозначения

\ IT (力一x)dAn^VP)(т)=為(УР), \ II (方一t) dBn(VP) (т) = ^n(vp),

ооо

о

о

(19.19)

П (^ — r) 5C,n(yp)(r) = Cn(yP); \ 7?(力一t) dAn^su)(r)=耳九加)， оо

、R (tt) d3rl(SU)(t)=斗(su〃 \E (力一t) dCn(su)(t) = Cn(Su)；

о

0

м находим в соответствии с (19.16) и (19.12)

卩р = £ [、①n (% — t) ^Лп(ур)(т) +、冗n (t — т) d瓦(ур) (t) +

ооо

о

о

十 \gn(yp)(% — t) dCn(yp)(c)],

Sv = E [\ 3几《 — A dZn(su)⑴ + \ 冗八(% -1) d%(su)(t) +

о

Vs = a N [^n(VT)^con (^ — t)dO ⑴ + ВП(УТ)^ЛП (^ ——t)d仔⑴ +

о

(19.20)

о

ооSs= За 2 [-4n(ST)\ Зп (% — t) d® (t) + ^n(sT)^^>n (力一t) dN (т) +

о

о

о t

+ C^T)^gn(ST)(力—t) d仔(t)]・

0

Таким образом, задача решена с помощью функций <о (Z),兀 «) н go%

Возможность представления изображения решения в виде (19.5), (19.12) вытекает из ограниченности со* при преобразованиях Лапласа с действительным параметром р, так как при этом, очевидно,

。< ①min W 3 W 3max, (19.21) где пределы определены (18.38).

При 丫 = 0, т. е. в основных задачах и контактных с граничными условиями 1-го рода в (19.12) все Вп будут равны нулю, а Сп можно положить равными нулю согласно (18.39) при условии | В(о()| < 1. Но последнее нецелесообразно, если представление g^ (%) линейной функцией (о (力)， т. е. двумя первыми слагаемыми в (18.42), является недостаточно точнымг так как функция g^ (力)предполагается известной [35].

§ 20. Случай рациональных зависимостей решения (19.1) от коэффициента Пуассона

В основных задачах теории упругости решения являются рациона ль- ными функциями коэффициента Пуассона [32], причем встречаются следующие комбинации:

1 — g)q1 — 2v1n2

2卩=2G = ЗКз°, E = 9K 譚麻=9K (1 一 g»

九=1《|~|x=K(l—co。)， 彳；1V = $ (1 — 8°)，(20.1>

修=壶的-1)，1 _ 2v = 2T^7 = 3(1 - g»/2),

11I 八 1 — W 111 + 2coo To / 40 \

В абсолютном большинстве других задач [33] (включая задачи с контактными граничными условиями [34]) коэффициенты W = (U, Р, ®> в (19.1) также являются рациональными функциями коэффициента Пуассона, и сами решения (19.1) при 丫 = 0 (иногда и при 丫 / 0) могут быть записаны или аппроксимированы формулами

(20.2>(20.2>У = % + 3。匕+ пУт + Хт^?

(20.2>

(20.2>

S = So + 30sl + noS—1 + 2 1 十飲3。，

где со。= (1 — 2v)/(l + v), л0 = I/%, ₽пУ, ₽nS — числа, а все коэффициенты V и 5 являются линейными функциями внешних сил, заданных перемещений и температуры 8. Тогда решение задач вязко-упругости сразу записывается в виде сверток

tt

РИ(^) = ТУо+^со^-т) dWr^ + ^it- Т) dW^(X)+ оо

л.

+ 2\gaw(" t)d%n ⑴，(2°・3>

о

где W = (К 5). Если все внешние заданные параметры (нагрузки, перемещения, температура) при % = 0 прикладываются мгновенно и затем остаются постоянными во времени, то из (20.3) получаем

W(t) = WQ + ^ ⑴忆 + 冗(力)忆 1 + 2 gfmw(0 唯加(2°，4)

Для тел, не обладающих объемной релаксацией, т. е. при & = ПЩ = =k = const, из (18.4), (18.5) имеем

①⑴=7? (%)/ЗК, л (0 = ЗКП (^).(20.5〉

Функция gs (%), являющаяся оригиналом оператора

一 1_ ЗК 一 ЗКП*20 自

1 4- Зсо* — 3K 十(BE* — В + ЗКП*，；

либо раз и навсегда построена для данного материала в виде серии графиков на основании (18.42) или (18.34), либо найдена экспериментально [35, 36]. В последнем случае следует произвести испытания на релаксацию последовательно соединенного образца материала и идеальной пружины или параллельного их соединения на ползучесть (рис. .17). Пусть в первом случае (а) длина пружины 勾，ее жесткость к, сила Q =饱％； образец тела длины 厶， сечения F с характеристиками R (%), П (力. Перемещение конца

и = 4% + Z282 =左％ + Q /к(20.7)

может быть задано произвольно. При простом растяжении образца и напряжении ах = Q/F и о = %/3, 0 = о/К = о丿ЗК его удлинение е^ находится из уравнения

t

61g- 6 = \ II (力—力(а%g- do j ・(20.8》

о

Внося % в (20.7), находим t

Q = / — 0« — t)dQ ⑴， о

/ 9F Ккиа6К 而厶Q4

/ =而〃十瓦1(2°，9г

Изображение (20.9) имеет вид Q* = 1r — MTQ*, отсюда

Q*=G；/*, G；=f』h・(20.10)’

Решение (20.9) относительно Q теперь имеет вид t

Q = ^G, (t -r)df(x).(20.11)

о

Мгновенно задавая в опыте на релаксацию конструкции перемещение 〃о，т. е. м = uQh (%), / = %方 «), получим

G> «)= * =嶋肃 Q。⑴，(2042)，

Рис. 17.

Экспериментальное определение ядер (力)для тел, не обладающих объемной релаксацией

Рис. 18.

Экспериментальное определение ядерЭкспериментальное определение ядерg0 (Оg0 (Опри 0 V %при 0 V %

Экспериментальное определение ядер

Экспериментальное определение ядер

g0 (О

g0 (О

при 0 V %

при 0 V %

т. е., измеряя релаксационную силу Qo (力),строим функцию G (力)для

>нескольких пружин % различной жесткости. Но для G* имеем

_ ЗК_ л ЗКП*_ — ЗКП*

“ — зк-ьзтап* = Jзк 十 з九кп* =丄 一 зк/九十 зк!г『・

(20.13)

Сравнивая (20.13) с (20.6) и подбирая параметр 九 и жесткость % из условия

X = ЗК/В,(20.14)

.получаем изображение и оригинал g^

(20.15)(20.15)gB = 1 - G入，gB (力)=1 - G* (力),

(20.15)

(20.15)

т. е. задача решена, по данному В функция g^ (力)построена по измерению релаксации силы Qq. Условие (20.14) выбора жесткости пружины, соответствующей данному В, на основании (20.9) перепишем в виде

妬=最竺г，BN%,(20.16)

что пригодно для В》0,5. При В —> 0,5, kl1f g, X -> 6К и из (20.8), <(20.10)

© ⑴=幾t =黑=*，⑴，/ = 9仃£，(20.17)

тде Rr (t) — кривая релаксации образца при простом растяжении, которую в практике чаще всего и находят; действительно, уравнение (20.11) имеет вид

о

Таким образом, для оператора * —1—2—6К.4 Q\

gi/21 + co*/2- = 2 +co* = 6к 十 Е*(20.18)

оригинал

gi/2(%)= l-备&(%)•(20.19)

Для В》1/2 может быть использован опыт на ползучесть по второй схеме (6)рис. 17 или опыт на ползучесть по схеме рис. 18, когда измеряется движение точки последовательно соединенных образца и пружины, внешние концы которых закреплены. Все расчеты вполне аналогичны предыдущему.

Решение некоторых задач линейной теории термовязко - упругости

Если решение упругой задачи можно представить в виде (20.2), то решение соответствующей вязко-упругой задачи будет задано формулой (20.3), причем последнее решение является точным, если известны ядра со (力, л (力，g^nw, входящие в (20.3). В приведенных ниже примерах мы будем считать известными, например, из экспериментального определения, функции ①⑴，л (0, gi/2 ⑺，g2 (0 (18.49), (20.1), Я ⑴，& (%), П (%), Щ (力.

Брус любого сечения, имеющего контур х = х (X), у = у (^), 厂=(右2 * у2)% =厂(九),подвешен в точке z = 2 л растягивается вдоль оси z объемной силой плотности р = pg; температура постоянна Т = То, 仆=0. Максимальное напряжение 5 = Ощах (z = /), максимальное осевое перемещение『=Ртах (z = 0), угол наклона образующей к оси z в деформированном состоянии『'=屮(для любого z) имеют выражения (20.2), а именно

S = pZ, 卩'=一当=一晨(1 + 备)，

吟 Т 需一儡薔(Т + 1/5),(21.1)

где д!дп ——производная по нормали к контуру (см. [37], стр. 246). Поэтому точное решение этой задачи для вязко-упругих материалов согласно (20.3), получается, если в (21.1) произвести замены:

Для Р" р (— 1 + 亲)—一р ⑴ + \ л: (% — t) dp (т). оДля Р" р (— 1 + 亲)—一р ⑴ + \ л: (% — t) dp (т). одля 6Р一Р(%)，

Для Р" р (— 1 + 亲)—一р ⑴ + \ л: (% — t) dp (т). о

Для Р" р (— 1 + 亲)—一р ⑴ + \ л: (% — t) dp (т). о

(21.1/

Поперечный изгиб консольной балки прямоугольного сечения (размеры 2〃, 2Ь) силой р на конце (см. [37], стр. 325); поправка на максимальное касательное напряжение в элементарной теории за счет искривления сечений перерезывающей силой

S = (ADmax = g ；：j 尸 / (+)=各 / 偿)(1 - 3。)，(21 ・2)

где / (〃/b) — число (легко вычисляемое с помощью приведенной на стр. 325 [37] таблицы). Точное решение вязко-упругой задачи

t

S (%) = / (碗)*{p⑴ 一 \ s(4 - t)如⑴}.(21.2)，

о

8 А. А. Ильюшин, Б, E, Победря

Изгиб опертой по концам балки длиной 2Z, узкого прямоугольного поперечного сечения (высоты 2/г, ширины 1) равномерной нагрузкой интенсивности g = р по верхней плоскости (см. [37], стр. 52). Дополнительная кривизна оси Ах = Т за счет сжатия волокон, постоянная по длине

昨△仁巻(АА)=豁« + ±)・(21.3)

Отсюда /t

V ^-^T^i^-^dp (т) + 21 \ II (% - т) dp ⑴卜 (21.3)， оо.

Диск постоянной толщины радиуса Ь, вращающийся с переменной угловой скоростью Q при переменной во времени температуре Т. Принимая р (力)=pQ2, 8T (%) = За (Т — У7。)， где приведенное время t выражается через истинное t‘ формулой

（ 或‘

）。丁 （尸） о

получим выражения для тангенциального напряжения S = о® л радиального перемещения 〃「= Р на контуре г = Ъ (см. [37], стр. 81 с очевидным дополнением)

Y-T若翁，

嗅 + $ & =提佟 + 专)+ $(21.4)

Отсюда точное значение 5 и V в случае термовязко-упругости

t

s (%) = $ {旬(0 — 3 “о (力—т) dp ⑴}, о

(21.4厂 tt

P ⑴=g b8T (力)+ 磊 p \ JI】 (% — t) dp ⑴ + 3 \ U (% 一 r) dp ⑴}. о0

Длинный пустотелый цилиндр с внешним радиусом Ъ и внутренним а вращается с медленно меняющейся окружной скоростью v (%) на внешнем радиусе. Обозначим рр2/2 = q (%). Тангенциальное напряжение на внутреннем радиусе a S = Ое/厂=〃 в упругом случае имеет вид

="Н（1+ 募）（厂金费 +5）-金G（21・5）

Поэтому решение вязко-упругой задачи

t

s (%) =• ； {(5 + 3叫g q ⑴ + з (1 — 叫g \ g2 (% — t)歯⑴}. (21.5)' 0

Вращается тонкий кольцевой диск. Сохраняя обозначения предыдущего пункта, имеем [37]

S =姜[2 (1 + 綜卜3 + V)— (1 + 3v)备]-

(21.6)-(21.6)-=+ I2 (1 +姦М^т^ 十2)-方(ут^ -2)] •

(21.6)-

(21.6)-

Решение вязко-упругой задачи

оо

о

о

Вертикальная нагрузка р равномерно распределена по кругу радиуса а на границе полупространства. Радиальное и тангенциальное напряжения S = о「= Ое и перемещение V на границе в центре под нагрузкой^ имеют выражения ([37], стр. 365).

о _ _ (1 — 2”) р р Ззо 2Г。22rа2 2 十 со0 'о _ _ (1 — 2”) р р Ззо 2Г。22rа2 2 十 со0 '(21.7)(21.7)p_2(1 一и),=2,(23)лаЕла2G \2 + соо уp_2(1 一и),=2,(23)лаЕла2G \2 + соо уОтсюда точное значение S и Р в случае термовязко-упругостиОтсюда точное значение S и Р в случае термовязко-упругости(21.7/(21.7/

о _ _ (1 — 2”) р р Ззо 2Г。22rа2 2 十 со0 '

о _ _ (1 — 2”) р р Ззо 2Г。22rа2 2 十 со0 '

(21.7)

(21.7)

p_2(1 一и),=2,(23)

лаЕла2G \2 + соо у

p_2(1 一и),=2,(23)

лаЕла2G \2 + соо у

Отсюда точное значение S и Р в случае термовязко-упругости

Отсюда точное значение S и Р в случае термовязко-упругости

(21.7/

(21.7/

где ядро Qo получается итерацией двух известных ядер П и g0

Qo (%) = \П (% 一 т) dgi/2 (т) + §1/2П «)•(21.8)

о

На упругое полупространство нормально к граничной плоскости z = 0 действует сосредоточенная сила р в точке 尸=0 &?=公十力)_ Перемещения граничной плоскости при z = 0 ur = Vf и иг = Р‘‘ [271

『=_ (1 — 2”) р = _ 3， . g

(21.9)(21.9)— 2rGr — 2rGr * 2 + coo

(21.9)

(21.9)

V〃 = (1 — v)夕 夕/о3\

2лбгг 2nGr \2 + q)q 丿•

Решение вязко-упругой задачи в этом случае имеет вид

『《)= -》{、М - т)盯⑴ 一 \ Q。(% — 力 dp ⑴}, оо

tt

X(%)=急 № \ ГТ (% — т) dp ⑴一3 \ 0。(％ — т) dp ⑴},(21.9)'

оо

где ядро Qo определяется по формуле (21.8).

Сила р приложена в точке бесконечно большого тела вдоль оси z. Обозначим перемещение по оси х их =『，по оси z % =『'и напряжения Or = S', о? = Решение упругой задачи имеет вид [27]

2G・8Л不一“了 ［方+（3 _全）卜2G・8Л不一“了 ［方+（3 _全）卜Т//—РRZ

2G・8Л不一“了 ［方+（3 _全）卜

2G・8Л不一“了 ［方+（3 _全）卜

='2G・8r (1 — V)* 声，

с(21.10)

s’ = 8ггз；_”)[а - 2”)-'

及=-8M (:一 V)[а - 2”)+ *] •

Чтобы получить вязко-упругое решение задачи, нужно в формулах (2.10) произвести следующие замены:

(21.10)'

оо":二％ ->4^^ ⑴_、g2 (% 一t)dp ⑴卜":二％ ->4^^ ⑴_、g2 (% 一t)dp ⑴卜

о

о

":二％ ->4^^ ⑴_、g2 (% 一t)dp ⑴卜

":二％ ->4^^ ⑴_、g2 (% 一t)dp ⑴卜

где ядро 02 находится по известным ядрам П и g2 t

02 (力)=\口 (％ — T) dg2 (т) + g2 (0) n (力(21.11)

о

Круглая пластинка радиуса 〃, толщины Д, опертая по краю, с нагрузкой р, равномерной по кругу радиуса Ъ. Напряжения S = о「= о。в центре имеют выражения

S = - "& [4 (1 + V)1п£ + 4 - (1 - ”)(言门=

(21.12)(21.12)

(21.12)

(21.12)

(см. [38], стр. 138).

Вязко-упругое решение этой задачи таково:

§(%)=—森{8 [1 — } ШТ Р ⑴ +

(21.12)"(21.12)"+ [12 In 告 + 3 (=) J g gi/2 (% — T)匂'0

(21.12)"

(21.12)"

В шаре радиуса 〃 все частицы взаимно притягивают друг друга, т. е. на каждую единицу объема шара действует радиальная сила F = = —pg^M, где g——ускорение силы тяжести на поверхности шара. В этом

случае перемещение V = иг равно [27]

1 2r 1 — 2v「3 — v г2 1

=-4rPgQ2"-Mn^ +等)一言(1_П^)1■(21.13)

Вязко-упругое решение может быть представлено в виде

t

0(4) ^" pg。2厂{~!~ n1 (%)1~n (力)+ \ g2 (4 t) X

0

Xrf[ll1(r) + -|-n ⑺]+ g2 ⑴匹(0) + 等 n (0)]} • (21.13)，

Заметим, что внутри сферы, радиуса

厂⑴ 0g{5 + 4s (%)}%(21.14)

радиальная деформация представляет укорочение, а вне этой сферы —— удлинение. Таким образом, область сжатия в массивных вязко-упругих телах за счет взаимного притяжения частиц уменьшается со временем.

Рассмотрим более подробно задачу о трубе под давлением. Для плоских задач, обладающих осевой симметрией, уравнения равновесия сводятся к одному:

(21.15)(21.15)(21.16)(21.16)厂"^ + 4 — % =。・

(21.15)

(21.15)

(21.16)

(21.16)

В упругом случае мы имеем решение в виде

4 =工/厂2 + 3, * = — Л/r2 + В,

где Д и В ——некоторые константы, определяемые из граничных условий. В случае, если с внешней стороны трубы действует давление ръ (力)при 尸=В, а с внутренней давление ра (t) при г = а (рис. 19), то величины Л и В определяются следующим образом:

d 小 ^[Pb(t)-Pa «]A(%)=5^^d 小 ^[Pb(t)-Pa «]A(%)=5^^в (С =в (С =〃2，а «) 一 b2Pb (£)b2 一 a2〃2，а «) 一 b2Pb (£)b2 一 a2(21.17)(21.17)

d 小 ^[Pb(t)-Pa «]

A(%)=5^^

d 小 ^[Pb(t)-Pa «]

A(%)=5^^

в (С =

в (С =

〃2，а «) 一 b2Pb (£)

b2 一 a2

〃2，а «) 一 b2Pb (£)

b2 一 a2

(21.17)

(21.17)

В случаеВ случаеКак видно из (21.16) и (21.17), решение не зависит от упругих констант, а

В случае

В случае

потому такие же напряжения будут и в вязко-упругом теле, плоского напряженного состояния диска имеем

(21.18)(21.18)。=g(4 + 6)=等 3・

(21.18)

(21.18)

Поэтому радиальная составляющая тензора деформации

% = % + -у~ 8 = j 口(％ — т) d [3 Л (т) + ^ ⑴]+ о

t

Ч—§~\口i(* — t) d_B ⑴.(21.19)

о

Рис. 19.

Цилиндрическая толстостенная труба по д внутренним и внешним давлениями

Рис» 20.

Толстостенная труба, окольцованная тонкой оболочкой, под внутренним давлением

В случае плоского деформированного состояния трубы имеем вместо (2.18)

0(%)=等(1+-)3 ⑴.

(21.20)

Поэтому

外《) = ,И (力 一 t) d ［皆 4 (т) + ЗВ (矶 一2 \ Q。(%-t) dB (r), (21.21)

о

о

где Qo определяется по формуле (21.8).

Разберем теперь случай контактных граничных условий. Для этого рассмотрим задачу о трубе, окольцованной с внешней стороны упругой рубашкой (рис. 20)——тонкой оболочкой толщиной 无.Считаем, что температурное поле 8 задано как функция времени. Будем снабжать величины, относящиеся к рубашке, штрихом. Условие равновесия рубашки имеет вид

о% = рь Ь,(21.22)

но внешнее давление на трубе рь 二аг)г=ь. Поэтому имеем при г = b

& = — о「Ь/瓦

(21.23)

и условие контакта трубы и рубашки одном из следующих видов:

S = ха0 十 ％®,

еЗ = s0 может быть записано в

(21.24)

今 =-乂声0 + Xi仇

->где

v(l + V)—(1 —, v，2)宕％

— Efh

少（1-d），

(21.25)

£：［(l+v)a^(l+v,) az］

v(l + v)—(1 — V”)京^

(21.26)

加=不啓厂(2L27)

В этом случае величины Л и В； входящие в решение (21.16), будут иметь вид

…2(х + 1) + -^(х-1)…2(х + 1) + -^(х-1)в =в =勿^^+ра (乂+ 1)勿^^+ра (乂+ 1)02(X + 1) +石■(乂一4)02(X + 1) +石■(乂一4)(21.28)(21.28)

…2

(х + 1) + -^(х-1)

…2

(х + 1) + -^(х-1)

в =

в =

勿

^^+ра (乂+ 1)

勿

^^+ра (乂+ 1)

02

(X + 1) +石■(乂一4)

02

(X + 1) +石■(乂一4)

(21.28)

(21.28)

Обозначая S = Ое%=ь, имеем для упругой трубы

(х + 1)+-^г(х —1)(х + 1)+-^г(х —1)

(х + 1)+-^г(х —1)

(х + 1)+-^г(х —1)

2叽

(21.29)(21.29)不3?京-[1 — 0)0 —，Q (2 + Wo) I + 8 (За — 2?n + mcoo)(1 + "q。)(2 + tt)o) — (1 + A) (1 — coq)

(21.29)

(21.29)

где введены следующие обозначения:

及=^^， Тn =山(1 + 川， %=(1 一 "2)挈告.(21.30)

Параметр q* = (1 — у'2)1^Ь/Е'к связан с контактными граничными условиями и с точностью до множителя совпадает с введенным ранее l/丫* (17.17). Если объем вязко-упругого материала трубы изменяется упруго, то параметр q* пропорционален параметру о)*

严=М^,М = (1 一 У)等 2严=М^,М = (1 一 У)等 2(21.31)(21.31)

严=М^,М = (1 一 У)等 2

严=М^,М = (1 一 У)等 2

(21.31)

(21.31)

При больших ~ коэффициент % и 1. Тогда (21.29) можно записать в виде

+幣[加- с』｝(九32)

где

r— M—3 (?7i + аМ)-

Р = 3 + 2М， с =3十2” *

Поэтому, согласно формуле (20.3), имеем вязко-упругое решение за

дачидачиS«) =S«) =^欧（一）飙吁о^欧（一）飙吁о

дачи

дачи

S«) =

S«) =

^欧（一）飙吁

о

^欧（一）飙吁

о

(21.33)(21.33)+ 醬｛加8（力）一c ） gB （£ - t）的⑴卜о

(21.33)

(21.33)

Для больших значений blh величина М велика, и поэтому Р ^ 1/2, тогда ядро gp (力)u g”2 (力).В выражении других характерных величин Ое/「=а, 0Г[г=ь и т. д. участвуют те же операторы, что и в (21.33), и новых не появится.

§ 22. Задачи третьего типа

（нестационарное и неоднородное заданное температурное поле）

Основные уравнения. Здесь рассматриваются те же краевые задачи, что и в. предыдущих параграфах, но теперь температурное поле предполагается еще и неоднородным [39], т. е. температура Т является заданной функцией времени t и координат х （&）

Т = 7 （力 х）, 8 = Т — 7。=仔（力 х）.（22.1）

Предполагая по-прежнему справедливым принцип температурно-временной эквивалентности, мы теперь должны считать местное приведенное время

乙=\ g , t = t （力х, x）（22.2）

У aT（t,x）

функцией 力 и x, которая может быть разрешена также относительно 力，и потому истинное время t является известной функцией местного времени tx и координаты х. Преобразование необходимо только в тех случаях, когда мы должны учитывать влияние температуры на механические свойства тела, т. е. считать заданными и универсальными ядра сдвиговой релаксации и ползучести в виде функций местного времени tx

% = Е （力JП = П （%）;（22.3）

что же касается объемных %, П1? то их будем считать либо постоянными, либо зависящими от того же местного времени tx, которое входит в 7?, П, хотя в некоторых случаях и могут быть отклонения и необходимо вводить второе местное время.

Заметим, лто если влиянием температуры на механические свойства можно пренебречь, нестациЪнарность и неоднородность температурного поля несущественна, решение находится методами § 19, 20, если Ту, Ts считать линейными функциями （операторами по координатам） заданного поля температур и поступать с этими функциями так же, как с Ру, Р$, 力，Us.

Соотношения （22.2） являются преобразованием переменных 力 и а к новым переменным, которые мы запишем в виде прямых и обратных соотношений

% = \ 券=中（九 X）, 卜=屮（％, I）,（22.4）

и искомые перемещения 〃订 деформации &订,напряжения о订 будем рассматривать как функции либо старых （力,а）, либо новых （力^, |） переменных и в этом случае будем снабжать их обозначения волной сверху. Следовательно,

〃="（力 x）=食（力，自）， dj= Sj （"，x） = 0订（%*）…（22.5）

Такие же обозначения примем для граничных условий, т. е. заданные силы, перемещения, температуры будем обозначать

& =邑（力，х） = & （/, 1）,0=8 （力 x）=仔（％,》…（22.6）

Рассмотрим две основные формулировки задач рассматриваемого типа на примере задачи с заданными на границе перемещениями.

Если за независимые переменные принимаем (力 х), то уравнения равновесия, формулы Коши и граничные условия сохраняют обычный простой вид

do.. ди. ди. о

■ 戏2" = °， 2%j = + 两~ = 2期 + — 9%, о乩• = 5电 на £,

' ' ' (22.7) но сильно усложняются связи напряжений с деформациями, которые в переменных tx, | сохраняют обычный простой вид

0" - S" +06订，0 = £订6万，0" - S" +06订，0 = £订6万，&尸§五& - %)版嘴且dq, (22.8)

0" - S" +06订，

0 = £订6万，

0" - S" +06订，

0 = £订6万，

J = ^2?!(tx — тж) a。；；"1*) dq, 0т = 9 — За®.

Если, напротив, за независимые переменные принять (力^, J), то связи напряжений с деформациями берутся прямо в виде (22.8), но уравнения (22.7) должны быть преобразованы и получаются очень сложными.

Для получения замкнутых систем уравнений в тех и других переменных рассмотрим функцию

(22.9)(22.9)Z = Z (九勺)=Z (%，J)

(22.9)

(22.9)

в которой переменные (力伤)，(％, £) связаны соотношениями (22.4)

(22.10)(22.10)% = /（%，4），^ ~ Ф （力зс，Ei），

(22.10)

(22.10)

柒=勺，勺=扇♦

Пусть задана Z (力 /») и преобразования (22.10); для получения (22.8) в необходимом нам виде надо преобразовать интеграл

/ = 7=«尸)dq,(22.11)

ок

т. е. производную Z выразить через производные Z. Пользуясь тождест-

вами

dt dt

-dtx dt "喝 dt — aT dtx ，

dt

—° _ a% a% + % a气 一 做 a、 + %%，

находим dZ dtx

=“т，薪=-〃т两=〃тw(22.12)

01

dZ @屮丄 dZdZ

孤外1如叭 "T次'

dZ 西

=g也也竺」里（22.13）

6力%дx. д^dtJ吟。气0马

Соотношения (22.8) записываются теперь в следующем виде в переменных (力 g):

Si№ х) = \ Е [/ (力 х) — / (% х)]说噤 * dt, о

0(力，х) =、％[/(力 X)—/(% X)] °е^；'幻 dq(22.14)

о

0Т = 0 (力 X)— За8 (九 x), Sj = s^ + об”.

Эти соотношения вместе с уравнениями (22.7) представляют замкнутую систему уравнений и краевую задачу в переменных (力 х). Сложность задачи определяется сложностью соотношений (22.14). Ядра интегральных соотношений (22.14)

(22.15)(22.15)冗(九 ％ х)=五[/(厶 х) — /(% х)], 而1(九 g X)= & [/ (力 X)一 / ", X)]

(22.15)

(22.15)

теперь уже сложные, неуниверсальные, зависящие от заданного температурного поля:

(22.16)

Преобразование Лапласа — Карсона теперь может оказаться эффективным только для некоторых специфических методов решения задач, о которых будет сказано ниже. Вообще же подстановка (22.16) в уравнения (22.7), переписываемые в виде

史= 0 dxi Т дх-史= 0 dxi Т дх-9 = %t = div u,9 = %t = div u,期=4"（或+試）_扌е6行期=4"（或+試）_扌е6行(22.17)叫 + $乩=S〃 на S,(22.17)叫 + $乩=S〃 на S,

史= 0 dxi Т дх-

史= 0 dxi Т дх-

9 = %t = div u,

9 = %t = div u,

期=4"（或+試）_扌е6行

期=4"（或+試）_扌е6行

(22.17)

叫 + $乩=S〃 на S,

(22.17)

叫 + $乩=S〃 на S,

приводит к сложной системе интегродифференциальных уравнений. Решение этой задачи, довольно громоздкое, возможно методом итераций,

если (22.16) проинтегрировать по частям и записать в виде

际=五(0)句(厶 х) — \期(r, x)*R (力 t, x) dt,

0t

о = 7?工(0) 0r (力，x)—衿(％ x)言危(九％ X)dt・(22.18)

о

Если за независимые переменные принять (%, |), то связь напряжений с деформациями имеет простой вид (22.8), но уравнения (22.7) или (22.17) необходимо преобразовать к новым переменным. Согласно (22.10), (22.9)

Xi к производным Z(22.19) "(乙，I).Xi к производным Z(22.19) "(乙，I).имеем следующий переход от производных Z по по 务 и %:

Xi к производным Z

(22.19) "(乙，I).

Xi к производным Z

(22.19) "(乙，I).

6Z dZ . dZ

Здесь г]» есть указанные интегралы с обратным знаком, в которых после интегрирования ди% заменены, согласно (22.10), на ^ и ср (%,Е), т. е. “i ——известные функции от новых переменных 乙 и 己订

Если температуру 7, 8 выразить в новых переменных 厶，自订 т. е. записать

(22.20)(22.20)Т = 7 (%, 1),仆=仔(％),

(22.20)

(22.20)

〜

ат = a^ = ат (乙，1),% = ，аT d厶=(р (乙，三)，

о

то имеем другое выражение 巾

(22.21)

На основании (22.19) формулы Коши принимают вид

(22.22)(22.22)

(22.22)

(22.22)

и уравнения равновесия (22.7)

右з右зOjjZj — S； на E.OjjZj — S； на E.(22.23)(22.23)

右з

右з

OjjZj — S； на E.

OjjZj — S； на E.

(22.23)

(22.23)

Вопрос о целесообразности использования преобразования Лапласа —— Карсона в рассматриваемых задачах выясняется в зависимости от метода их решения.

В случае динамических задач в правых частях дифференциальных уравнений (22.23) необходимо добавить рд^и^д^

(22.24)(22.24)。2气 _ р 5/ 1 ди.\

(22.24)

(22.24)

Учитывая (22.6), для простоты письма можно не отмечать волной сверху искомые и данные величины, подразумевая, что все они в зависимости от выбора переменных (力,х) или (^, |) рассматриваются (а заданные —— выражены) как функции тех или других.

工 этого обозначим(22.25)(22.26)(22.27)厂％: d%.(22.28)1Й вид工 этого обозначим(22.25)(22.26)(22.27)厂％: d%.(22.28)1Й видМетод однородных (в изображениях ——упругих) решений задач третьего типа. Пример. За редким исключением задачи рассматриваемого типа являются весьма сложными. Если температура Т не зависит от х (следовательно, ат не зависит от х), т. е. поле температур нестационарно, но однородно, то из (22.19)刀》三 6, и получается задача, рассмотренная ранее (§ 16, 17).

工 этого обозначим

(22.25)

(22.26)

(22.27)

厂％: d%.(22.28)

1Й вид

工 этого обозначим

(22.25)

(22.26)

(22.27)

厂％: d%.(22.28)

1Й вид

Следовательно, можно построить метод однородных приближений, аналогичный методу упругих решений в теории пластичности, если в качестве независимых переменных выбрать (%,己,.Дли ди.

2Е石欧• +小就"，

ди.

0 =线自 j = & -^

и перепишем соотношения Коши (22.22) в виде

£订=(〃订 + 仇м)/2 + Ezj, 0 = 〃i,t + ❷，

а их изображения Лапласа по переменной tx ——в виде

%=(m力+ 〃打)/2 + E务，

0* = Ui,i + ©*, причем

£； = р £ £订(厶,自)e~pt^ dtxi= p^& (%, I) 6

6о

Соотношения (22.8) в изображениях имеют обычнь

。讶=Sa +。6灯，S" = 7? e牙，。=^?10т-

Внося сюда (23.3), получим

о г； = ■^五(％, j + ui, г) + (&^ R ) Uk.k^ij — За%® 6仃 + 邑力

(22.29) где обозначено

u = (爲一扌五)日d.，

S刃=、{五(％ - %)^^ EiK%,自)+ [& (/-Q -

j-H (% — %)] ^―@ (% 自)端?•} dxx.(22.30)

Уравнения равновесия (22.23) в изображениях принимают вид обычных уравнений однородной линейной теории упругости с фиктивными объемными силами 歹彳,фиктивными поверхностными силами S各厶 и пере-

менным по объему температурным полем 8* (р,自)

(e1 + 亲五)〃k,ki 五%,kk - 38五1^|y + /=°,

-^7? (〃t, j + 〃九t) %厂卜伊1^* 五丿〃&," = ЗаА]/& %-—5订乙 на £.

(22.31)

Причем введено обозначение фиктивной массовой силыПричем введено обозначение фиктивной массовой силы

Причем введено обозначение фиктивной массовой силы

Причем введено обозначение фиктивной массовой силы

(22.32)(22.32)OS..

(22.32)

(22.32)

F・=—H. -L £

Z 能j 十J，

* — ds^ * 卓2 一 3务 +汇2.'

Метод однородных решений состоит в последовательности решения следующих задач.

1-е приближение: полагая F* = 5以 =0, получаем задачу в изображениях второго типа с массовой силой — 3a/?i grad 8* и неравномерным растягивающим нормальным напряжением 3a/?i 8* на поверхности S. Эта задача решается развитым ранее методом аппроксимаций: находится поле перемещений 〃》и напряжений о^ как функции «%,自).Поскольку r]j «%,自)нам всегда заранее известны из (22.19), по найденным 〃i, о万 находим в первом приближении Е^, 0 (22.25), затем их изображения (22.28) и, следовательно, 5二(22.30), поскольку Л*, К； — известные изображения ядер Д, Е】. По полю о^ определяем величину S^ и ее изображение (22.32), а в результате находим фиктивную силу 招.

2-е и дальнейшие приближениях при найденных в предыдущем приближении F\ и 5% для следующего (второго) приближения (22.31) вновь представляют краевую задачу с массовыми — 3a/?igrad 8* + F\ и поверхностными За/?^ 仆*厶一8^Ц силами, которая также решается методом аппроксимаций и позволяет найти следующее (второе) приближение 〃乃 о万,а значит Е^, 0, 2» и их изображения, т. е. следующее приближение F\ и 5以.

Сходимость этого метода обеспечена по крайней мере для нестационарных температурных полей малой неоднородности по координатам. Условия и границы сходимости для сильно неоднородных полей температуры должны еще быть выяснены.

Изложенный метод, конечно, не требует перехода к изображениям на каждом шаге приближений, если известно решение задачи однородной теории упругости для произвольных массовых и поверхностных сил, т. е. известно общее решение уравнений (22.31) в изображениях для произвольных F； и S仃,так как оригинал такого решения строится по методу аппроксимаций. Алгоритм просто сводится к вычислению последовательных приближений 5订, N» по полю 〃厶 о^, определяемому значениями 5»储 f t в предыдущем приближении.

Задачи с контактными граничными условиями 1-го и 2-го рода по существу ничем принципиальным не отличаются от рассмотренной основной задачи термовязко-упругости.

В качестве примера рассмотрим простейшие задачи термовязко-упругости с неоднородным напряженным состоянием, неоднородным и нестационарным заданным температурным полем.

Растяжение тонкого бруса массовыми силами. Пусть напряжение в сечении х бруса известно о = о （力 а）, температура 7 = Т。+ 8 （力 х） задана. Местное время

% =，成/"丁（/,%）= /（力）） о

вычислено （построен график tx по t при различных а）. Найти перемещение и （力 х） вдоль оси, зная кривую ползучести при растяжении Пг （%）. Имеем согласно （22.14） разрешающее уравнение

0

Если поле сил стационарно, т. е. о （力 力）=о （力）h （%）, то

^ = ад -|- Пг （^х） о （/）, и = а^ （t, х） dx •[- \ о （с） Пг （^） dx. оо

（22.33）

Деформация полой сферы внутренним давлением. Перемещение на внутренней поверхности г — а обозначим U （%）, давление аг = ——р （t）, наружная поверхность свободна, распределение температуры 8 （力厂） дано, так что 力「= / （力厂）найдено. Принимая условие упругой несжимаемости 6т = 6 — За® = 0, получаем

£「+ 2% = диг]дг + 2ur/r = Зад,

затем находим

иг= ^г\у （0〃2 + Зое 卜2® （力 г） dr], £5=u/г,8Г = 3a® - 2〃J厂.

Из （22.14） находим

^r — ^=^[f （九厂）一/ （% 咽 ^【％ （% 尸）一£屮（T, r）] dr = 0

=3\反（九 T, Г） [a dd （T,厂）—*dU «） 一^dt j 厂 38^,力力] о0

где R （力 т,厂）=Е [/ （力 厂）一/ （厂，厂）].Теперь из уравнения равновесия находим

空=把产，……2 H dr

и из условия 厂=b, о「= 0 находим связь между давлением р （%）, температурой 8 （力 厂）и перемещением U （力）

p = 6 咨，衣（九 * Г） [^^#+ 学jp2 ^^> dp 一^^ rfr], a 0a

причем это уравнение может быть упрощено за счет перестановки порядка интегралов и введения обозначений

耳（厂，力T） = 、頁（九*厂）*， F（a^九t）=万亿4"儿=.，

十=a2、尸（a，九工）dU （T） + за^ г2 dr ^ （^,力工）""累" dt — Оа О

а О

При заданном давлении р （力）перемещение U （力）находится из этого интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода обычным методом итераций. При заданном U （力）явно получен закон изменения р （力）внутри тара. В частности, релаксация давления р （力）при достаточно быстро созданном перемещении и стационарном поле температур, U （力）=UQ h （^）, *& （力 厂）— =8 （厂）无（力）определяется формулой

帯=a2UQF （a,力，0） + 3a ^ F （r, t, 0） -& （г） r2dr — а ^ Л （^, 0,厂）8（厂）冬 aa

или в явном виде — через ядро релаксации R （力厂）

bbb

屮=Ud \ R ⑺ J^ + a 屮⑺ dr 伊 2 \ R （J） %_； R ⑺].

aar（22.34）

Рассмотреннаязадачаошареможетбыть решенаметодомпоследовательных приближенийбезпредположенияоб упругойнесжимаемости, с

учетом сдвиговой и объемной релаксации материала.

VI. Динамические задачи

Метод усреднений в динамических задачах

Интегро-дифференциальные уравнения динамики и малый параметр. Выражения напряжений о 订=об 订 + S^ через деформации [£订— = l/306fj + 6订] и избыточную температуру 8= Т —— Го (2.37) могут быть записаны в следующем виде:

^ц - (^ —九*)婚订 + 2 (卩-卩*) £刃一зa (2卩一rх) 86灯，(23.1)

где 九，卩 ——константы Ляме,

Х = Ях (0) — y^(0) = K — ^G, 2科=7? (0) = 2G (23.2)

и 九\ 卩\ Г； — операторы по времени, умножение которых на некоторую функцию времени и координат z (力 х) означает:

2

о

2pi*z = \ F « — t) z (у) dt, о

F；z = ^ Гх (^ — т) z (т, x) dr,(23.3)

о

причем I\ (%), Г (力)一производные Rx (力)и 2?(力)с обратным знаком, т. е. полоя^ительные, монотонно убывающие функции времени

个g)= -五，⑴，£⑴=一瓦⑴，

〜〜，(23.4)

г, А》0,Г, Гт<0

с интегрируемыми на любом интервале % ? 0 квадратами.

Используя соотношения Коши 2£订—〃^宁 + 〃八》и внося выражения (23,1) в (15.1), получим динамические уравнения вязко-упругости в следующем виде:

р乐 厶(и) + р% — 6卩а餘一Z4 (u) + 3近「储(Z = 1,2, 3)(23.5)

или в векторной форме

pii =厶(u) + pF — 6pia grad ^ — I* (u) + 3疔；grad 8,(23.6)

причем L (u) — оператор Ляме,

L (u)=(九 + 卩)grad div u + piAu,(23.7)

I/ (u) — то же для 九* и р* и £» (и),厶;(и) — их компоненты

厶(口)=(九+卩)票+心"订

L(23.8)

書(u) =(九* + 卩*)設+ QA也.

Для уравнений (23.5) имеем обычные граничные условия в перемещениях на £〃，(23.9)'

U = u0 (力，%) и в напряжениях на ^s,

Gjjlj 三九®4 + 2|x8fjZj —九*6厶一2p,*8^jZj — За (2卩一i\*)

8厶=邑0 (力力)(23.9)"

и начальные условия, например, в виде

(23.10)(23.10)% = 0 u = U (力)，ii = V (力),

(23.10)

(23.10)

где и0 (力 a), Si。(a), U (а), V (а) — заданные вектор-функции указанных аргументов.

Таким образом, краевая динамическая задача для вязко-упругого тела при заданном поле температуры сводится к системе интегро-дифференциальных уравнений и граничных условий простой заменой констант Ляме 九 л |1, входящих в динамические уравнения классической теории упругости, на операторы 九一九* и р —— 卩*, определяемые формулами (23.2) и (23.3).

Естественно, что то же правило сохраняется и для других уравнений динамики, используемых в прикладной теории упругости, строительной механике и сопротивлении материалов. В динамические уравнения теории оболочек, балок и стержней входят цилиндрическая жесткость

12(1—叫，

изгибная жесткость EY или жесткость на растяжение EF, где h — толщина оболочки; У ——момент инерции площади поперечного сечения балки F относительно поперечной оси. Входящий в выражение D коэффициент Пуассона v слабо влияет на ее величину и может считаться постоянным (0,33 〜0,5). Следовательно, все жесткости пропорциональны Е и потому, заменяя Е оператором Е ——Е*, где Е ——мгновенный модуль Юнга, и имея правило умножения Е* на некоторую функцию времени / (%), обращающуюся в нуль при / = 0, получим

(23.11)(23.11)E*z = Е、Гг@ — т) z (т)dr, о

(23.11)

(23.11)

p //\ _1 d& (力)

丄Г(力)百-Ji-，

А. А. Ильюшин, Б. E. Победря

причем Rr (%) —— универсальная функция релаксации материала при растяжении. Таким образом, в прикладной теории вязко-упругости динамические уравнения получаются из соответствующих уравнений упругих колебаний заменой модуля Е на оператор, однозначно определяемый функцией релаксации Нг (力).

Уравнения продольных колебаний однородного стержня, поперечных колебаний неоднородной по толщине балки и пластинки имеют вид [95]

р д^и 百病—翼=—⑺(力-dx2J眦0М d2wB执2十需=卜-g1）整"九+豕 0М d汕D我2+ V4W = ^ rr (i — r) V4w(瑞 у, x)dx +^р д^и 百病—翼=—⑺(力-dx2J眦0М d2wB执2十需=卜-g1）整"九+豕 0М d汕D我2+ V4W = ^ rr (i — r) V4w(瑞 у, x)dx +^оо(23Л2>(23Л2>

р д^и 百病

—翼=—⑺(力-

dx2J眦

0

М d2w

B执2

十需=卜-g1）整"九+豕 0

М d汕

D我2

+ V4W = ^ rr (i — r) V4w(瑞 у, x)dx +^

р д^и 百病

—翼=—⑺(力-

dx2J眦

0

М d2w

B执2

十需=卜-g1）整"九+豕 0

М d汕

D我2

+ V4W = ^ rr (i — r) V4w(瑞 у, x)dx +^

о

о

(23Л2>

(23Л2>

здесь и (右,力),w (а, /), w(X, у, т) —— соответствующие продольные и поперечные перемещения; Е — мгновенный приведенный модуль, Q — нагрузка на единицу длины балки; Р —— на единицу площади пластинки, М —— масса единицы длины балки или единицы площади пластинки; В и D — приведенные жесткости. В случае анизотропных тонкостенных конструкций каждый из модулей Ет анизотропии должен быть заменен оператором Ет ——Ет, аналогичным (23.11). Например, согласно результатам § 14 уравнение поперечных колебаний ортотропной пластинки из гомогенного полимера, армированного упругими нитями или пленками, получается из (23.12) заменой

a f雹丽+ 2薪4a f雹丽+ 2薪4d^w出京，d^w出京，

a f雹丽+ 2薪4

a f雹丽+ 2薪4

d^w

出京，

d^w

出京，

где а» ——некоторые структурные постоянные.

В силовых конструкциях из полимерных материалов всегда применяется армирование. Армирующая структура практически часто является вполне упругой и несет основную нагрузку, связующие же силы создают пространственную неизменяемость конструкции, воспринимая относительно малые или второстепенные напряжения, и одновременно повышают вязкость конструкций и влияют на их колебания. Из этого следует, что для силовых конструкций положительные ядра Г операторов (23.3), (23.11) и входящие в (23.12) Гг пропорциональны некоторым положительным малым параметрам, т. е. все они удовлетворяют условиям

0< Jr(r)rfT<l； ' J(0：>；0(23.13}

о

для любого 九 При этом во всех указанных уравнениях мы можем операторы V, р,*, Е* заменить на £入*, £卩*, аЕ*, рассматривая е как малый положительный параметр. Излагаемый ниже метод усреднений для решения динамических задач теории вязко-упругости предполагает существование малого параметра, в качестве которого мы принимаем е, причем в окончательных результатах, получаемых этим методом, следует положить е = 1,. так как малость интегральных членов обеспечивается условием (23.13).

Одним из многих известных методов динамическая задача для вязкоупругого тела может быть сведена к конечной или бесконечной система

обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений по времени [96]. Замена дифференциальных операторов второго порядка по координатам (х) от вектора и конечно-разностными их представлениями в (23.5), (23.9) непосредственно приводит задачу к такой системе. Значительно меньшее число уравнений при подходящем выборе координатных функций, умножаемых на искомые амплитудные функции времени, будет получаться по методу Бубнова ——Галеркина.

Точно или приближенно одним из указанных или другими методами динамическая система линейных уравнений вязко-упругости, т. е. (23.5), (23.9), (23.12) и другие, может быть приведена к системе обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений вида

t

0п + 仇=£ \ 几i (力一t) » (t) dt + £怎⑴，(n, i = 1,2, . .АГ), о

(23.14) где N — число «степеней свободы» тела; 0П (/) — амплитудные функции времени; Pni ——известные действительные постоянные величины; Vni (/)—— линейные функции всех входящих в исходные уравнения ядер Г (например, Г, Г1? Гг.・.)с действительными постоянными коэффициентами; q, Ft (£)— амплитуды малых внешних нагрузок; повторяющийся индекс Z означает суммирование от 1 до 7V

N

Рni^i = S ^ni^i» • • •

г=1

Предполагается, что система уравнений 0П + Pn^i — 0 определяет свободные нормальные колебания около положения устойчивого равновесия тела, т. е. характеристическое уравнение

\k^ni + Pni\ = 0(23.15)

имеет 2N чисто мнимых сопряженных корней /с^ =—— 夕工 "n、n+i = ±2pn, 戸n〉0 ——действительные. Методом вариации произвольных постоянных или другим методом решения системы 0П + 尸九出力=О

0n = Ani cos 夕£十 Вni sin р/(23.16)

систему (46.14) можно привести к «стандартному» виду [96], если % = е, вообще же — к виду

t

穿=£/mi (力)6 + £ ， Sm J行)* ⑴ dt + £司(力)，(23.17)

0

где £]——некоторый параметр; Ст (тп = 1, 2, . . ., 27V) — 2N независимых функций времени, которым пропорциональны Anii Bni. В матричной форме система (23.17) имеет вид

t

^ = £/⑴ c 十 eд з (力 t)C(t)dt + £]厂(大)，(23.18)

о

где C s F — матрицы-столбцы из 2N элементов; / и со — квадратные матрицы из 2N строк и столбцов. Заметим, что элементами матрицы ① будут

ядра типа

(о — Г (Z — т)(о — Г (Z — т)sinpmtsinpn厶 cos pwTsinpnZ,sinpmtsinpn厶 cos pwTsinpnZ,sinpmr cos pnt cos pm t cos pntsinpmr cos pnt cos pm t cos pnt(23.19)(23.19)

(о — Г (Z — т)

(о — Г (Z — т)

sinpmtsinpn厶 cos pwTsinpnZ,

sinpmtsinpn厶 cos pwTsinpnZ,

sinpmr cos pnt cos pm t cos pnt

sinpmr cos pnt cos pm t cos pnt

(23.19)

(23.19)

где Г (t ——т)——входящие в исходные уравнения ядра; рт, рп — частоты свободных колебаний. Согласно (23.13) существует и мал интеграл по любому интервалу Z > 0 нормы ||со||, т. е. параметр 8, отличающий малость правой части (23. 18), можно считать равным 1.

Метод усреднений, предложенный Боголюбовым для решения систем дифференциальных уравнений[97, 98], распространен на системы интегро- дифференциальных уравнений в работах [99,100], в [96] даны первые фундаментальные результаты применения его к задачам динамики вязко-упругих систем. Рассмотрим частный вид изученных в указанных работах «стандартных» систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, которые являются естественным обобщением системы (23.18) и могут иметь приложения в нелинейной динамике вязко-упругих тел

^ = £尸(力 С) + £ \ 〃 (力％ С (т)) dx,(23.20)

о

где С, F и Н — N-мерные векторы. В линейном случае (23.18), £ — малый параметр порядка интеграла (23.13),

£"(力 t, e)=①(力 t) е (t), e F (t, c) = f (方)C (方)，

причем, согласно. (23.19) и учитывая свойства Г и fmi, со и / ограничены по норме, и потому выполнены условия Липшица

IE (力 З)-歹伉。2)ll < Hl IIG - c2||,

岡(力，T, G) 一 Я (九 T, C2)|| w 卩2 IIG 一 ail(23.21)

при любых t, t》О.

Приводящий задачу динамики вязко-упругих тел к наиболее простым дифференциальным уравнениям вариант усреднения системы (23.20) состоит в следующем [95]. Рассматривая входящий в F и Н (23.20) вектор С как параметр, допустим, что существует предел

тt

g(C) = lim А-^ [F(Z, C) + ^(Z, т, C)dx\dt.(23.22)

Существование такого предела для линейной системы (23.18) очевидно. Функция g (С) представляет собой среднее по t значение правой части (23.20) на бесконечном интервале времени (при & = 1).

Вектору С поставим в соответствие TV-мерный вектор Е, удовлетворяющий уравнению

d^/dt = £g (J).(23.23)

В случае линейной системы (23.18) уравнение (23.23) будет линейным с постоянными коэффициентами.

Утверждается, что при весьма общих условиях решение системы (23.23) будет как угодно близко к решению системы (23.20) на как угодно большом конечном интервале времени при достаточно малом конечном 8, где £ — величина порядка значения интеграла (23.23), взятого по этому интервалу; следовательно, с определенной точностью 0 = g. Это верно и для

бесконечного интервала времени 力,если решение (23.23) устойчиво для любого 力? 0.

Пусть система (23.20) с начальными условиями 力=0, С = С° удовлетворяет условиям:

^мерные векторы F (力，С) и Я (力 т, С) определены и непрерывны для всех t, т ^ 0 и по вектору С, принадлежащему области D евклидова пространства EN, и пусть в D имеют место условия (23.21);

Для каждого С из области D существует среднее значение g (С) (23.22);

Решение системы (23.23)三(0, удовлетворяющее начальному условию £ = 0, Е (0) = С。, определено для 力? 0 л вместе с его р-окрестностью находится в области。

Вектор-функция g(C) (23.22) в области D ограничена и удовлетворяет условию Липшица

II g (&) — g (^2)II W Из |!& —。2 II-(23.24)

Условие 1 при некоторых предположениях обеспечивает существовав ние и единственность решения системы (23.20) при начальных условиях 力=0, С = С。. При выполнении условий 1——4 имеет место следующая теорема близости решений систем (23.20) и (23.23): для любого 刀〉0 и £〉0 существует такое 80, что при £ V % на интервале 0 & % 0 矗-力 выполняется неравенство

||С(0 一 Е ⑼I V%(23.25)

Для доказательства вычтем уравнение (23.23) из (23.20) и результат проинтегрируем от 0 до 力：учитывая одинаковые начальные значения векторов С и ^, получим после простых преобразований

С — Е = £、耳(К С ⑴)九 + £(т, s, С (s)) ds — g 侮(т))1 =

00'

=八十厶十/，(23.26)

где ^обозначены

/2 = £/2 = £s, С (s)) — 〃(％ s, J С (s))] ds,s, С (s)) — 〃(％ s, J С (s))] ds,(23.27)(23.27)

/2 = £

/2 = £

s, С (s)) — 〃(％ s, J С (s))] ds,

s, С (s)) — 〃(％ s, J С (s))] ds,

(23.27)

(23.27)

I^^dx^F "也⑴)一g 偌⑺)+$я(T, 5,g ⑶)同.

Первые два интеграла (23.27) просто оцениваются по норме, согласно условиям 1, 3

Н厶1区叩1 ，||e⑴-自⑼dq

:т(23.28)

IIЛ 1区 £卩2 , dt j С (s) 一 三(s) II ds. о о

Для оценки интеграла / разделим интервал 0 W 力 W 厶 е~1/2 на п равных частей и распространим интеграл I на весь этот интервал, считая, что при t〉力 & 厶£一'/2 подынтегральная функция, стоящая в квадратных

скобках, равна нулю. Обозначая

嬴=e(切，& =辽/汽0，(Z = 1, 2, ..., ?г),(23.29)

получим

/=「+ /〃，

+ S ［X (q s,三(s)) — H (r, s, a)］ ds + g (gi) — g (E (0)} de,

°(23.30)

г=2 8\［尸(* ^) - g (*) + \ H (叫 S,*)曲］dx.

i=1 々一 10

На основании условий 1, 4 имеем оценку:

<8 2 \ \^^М 九方 + 卩2£〃 g (友一s) ds + ^M 九)£ dx ==w】书3)"厶2 + y^iML3 2弋^士 ・(23.31)

Для оценки /‘‘ заметим, что на основании условия 2 существует функция а (力 Е), для каждого 占 стремящаяся к нулю при ^ -> оо, причем

|$p(T,S) + $ 〃(qs,E)ds — g (切叫《以& E).(23.32)

Обозначим

&(£,%)L* (/—,蚤］,? 2, 3, . . .,

丿(23.33)

羯(£,汽)=sup ta f疋 1) , Bl (% 孔)=sup та,

0 二忘工/n \ 了 £/Q^^L/n \ у 8/

причем при 80, af 0 (i = 1,.・汽)，Bi -> °・ Тогда

(23.34)(23.34)IIГII < U*［雹(£,八)+ В(£，八)+ 2 2 &(£, n)J .

(23.34)

(23.34)

Из (23,31), (23.34) следует, что всегда можно найти такие 汽 и £()〉£, при которых на интервале 0 £ % £ 厶£一'/2 будет выполнено условие || / || < б, где 6〉0 (любое число). В результате из (23.26), (23.28), (23.31), (23.34) имеем

Н0一e1|<6+£阿，12")一E(6|巾+呼2，d412(S)一E(5州頂. оо о

(23.35)

Это неравенство - для Z (%) = || С — W ［|》0,

z < 6 + epi z (т) dr + 叩2 \ ©4 z ⑻ ds(23.36)

оо 0

имеет решение

(23.37)(23.37)z < 6 ехр(£卩击 + £n2 ^) & 6 exp (卩1 |AГ + y 卩2厶)Ь.

(23.37)

(23.37)

Отсюда следует, что, выбирая

6 = min (% р) ехр (—卩i /ё"— у 卩2七)厶，

получим Z V min (n, p), т. e. C (力)в силу 3 не выйдет из области D и Z будет меньше п, т. е. теорема доказана. Эта теорема распространяется и на бесконечный интервал времени 力》0, если исходная система (23.20) не имеет особенных точек и решение системы (23.23) асимптотически устойчиво.

Изложенный метод доказательства и оценок накладывает слабые ограничения на ядро Н уравнения (23.20) и потому недооценивается близость решений этого уравнения и уравнения (23.23), т. е. величина Z = || С ——Е || оценивается неравенством Z V 4 了£・

Для реальных ядер, встречающихся в теории вязко-упругости, решения С и 5> по-видимому, всегда будут еще более близкими, т. е. оценкой будет Z ^ Ле. Это следует, например, из точного решения уравнения (23.18) с экспоненциальным ядром со.

Решение некоторых динамических задач методом усреднений [95]. Рассмотрим вынужденные поперечные колебания опертых балок и плит, описываемые уравнениями (23.12). Представим заданную погонную нагрузку Q (n,力)рядом Фурье по %

0(%, 0 = 81Мфт (0 sin ^ , (т = 1,2, (23.38)

где предполагается суммирование по т, фт (力)一данные функции времени; I— длина балки.

Прогиб представим в виде

W (/, 0 = ?m ()sin 罕•(23.39)

Из (23.12) находим интегро-дифференциальное уравнение

Тт 十 ^m^m = е1Фт + e^m ^ Гг (t — Т)Тт(Т)dt,(23.40)

0

где обозначено

Хт =(加叫)2 ]/瓦必(23.41)

Аналогично поступим при изучении колебаний свободно опертой прямоугольной пластинки с размерами 〃, Ь:

Р (^, у, 0 = гхМ^тп sin ^- sin ^ ,

w = Twn ⑴ sin 時 sin 響，(23.41У

Из (23.12) получим

Ттп + ^тп^тп = ^iTjnn + ^тп ^ 1\(力一工)Ттп(Т)dt,(23.42)

О

Уравнения (23.40), (23.42) совпадают с точностью до обозначений и имеют вид типичного уравнения колебаний вязко-упругой системы с одной степенью свободы

7" ± 九2T. _ %屮 + 8Х2 5 Г (^ — т) Г (т) dr.(23.43)

о

Таким уравнением, очевидно, точно описываются вязко-упругие колебания многих других систем (ортотропных пластинок и цилиндрических оболочек и др.), а приближенно ——всех систем, которым придана только одна степень свободы.

Приведение уравнения (23.43) к «стандартному» виду производится с помощью преобразования

Т Сг ⑴ cos 九力 + G (%) sin kt,(23.44)

причем, удовлетворяя уравнению (23.43), полагаем

。1 cos At + С2 sin kt = 0,

一 & sin 九力十 C2 cos kt = ^f(t),(23.45)

t

/ (%)三电屮 + 以2 \ Г (% — t) T (r) dr.о

=—/(%)sinM=—/(%)sinMОтсюда находим

=—/(%)sinM

=—/(%)sinM

C2 = у / (0 cosX^

警=—у ф sin 九力一&九 sin 九《Г (力一т) [С1(т) cos Хт 4~ С2(т) sin Xr]JrF о警=—у ф sin 九力一&九 sin 九《Г (力一т) [С1(т) cos Хт 4~ С2(т) sin Xr]JrF оили после некоторых преобразований получаем систему интегро-дифференциальных уравнений в «стандартном» виде (23.20)

警=—у ф sin 九力一&九 sin 九《Г (力一т) [С1(т) cos Хт 4~ С2(т) sin Xr]JrF о

警=—у ф sin 九力一&九 sin 九《Г (力一т) [С1(т) cos Хт 4~ С2(т) sin Xr]JrF о

(23.46)

t

警=-у- ф cos 九力 + 以 cos 入力，Г1 (% — т) [Ci (т) cos Хт + С2(т) sin Хт] dr. о

Следуя методу усреднений^ в случае малых внешних сил (片 —：8), находим вектор g (23.22):"

(23.47)(23.47)gl = — gio — gll°l — gl2c2， g2 = g20 + g21cl.十 g22c2,

(23.47)

(23.47)

где постоянные gi0 имеют значения

弘。72

g2o =之 hm

}\屮(%) sin 九% dt, ' о

t

，-g(p(%)cos 九% d 九

о

(23.48)

а постоянные g^ Q, / = 1, 2) равны пределам при Т —> 8：

gu =%lim亲\山sin入力 отgi2 =九 lim ；•，山 sin 九%Отg2i =九 lim } \ dt cos 九力 о7gu =%lim亲\山sin入力 отgi2 =九 lim ；•，山 sin 九%Отg2i =九 lim } \ dt cos 九力 о7，Г (% — т) sinXr dr, 0，Г (% — т) sinXr dr, 0g Г (% ——т) cos 九t dr, 6g Г (% ——т) cos 九t dr, 6(23.49>(23.49>g22 =九 lim 击 \ 成 cos 九力 g Г (% — т) sin 九t dt.g22 =九 lim 击 \ 成 cos 九力 g Г (% — т) sin 九t dt.оооо

gu =%lim亲\山sin入力 о

т

gi2 =九 lim ；•，山 sin 九%

О

т

g2i =九 lim } \ dt cos 九力 о

7

gu =%lim亲\山sin入力 о

т

gi2 =九 lim ；•，山 sin 九%

О

т

g2i =九 lim } \ dt cos 九力 о

7

，Г (% — т) sinXr dr, 0

，Г (% — т) sinXr dr, 0

g Г (% ——т) cos 九t dr, 6

g Г (% ——т) cos 九t dr, 6

(23.49>

(23.49>

g22 =九 lim 击 \ 成 cos 九力 g Г (% — т) sin 九t dt.

g22 =九 lim 击 \ 成 cos 九力 g Г (% — т) sin 九t dt.

о

о

о

о

Параметр 8 в (23.46) можно считать равным 1. Учитывая условие (23.13)г из (23.49) получаем выражения g^ через два основных Фурье-образа ядра Г

§11~ 一 g22 = 2fS (九),ООrs = ^ Г (т) sin 九t dr, oj§11~ 一 g22 = 2fS (九),ООrs = ^ Г (т) sin 九t dr, ojgl2 = g21 — ГС (九),Гс = ^ Г (т) cos Хт dt. оgl2 = g21 — ГС (九),Гс = ^ Г (т) cos Хт dt. о(23.50>(23.50>

§11~ 一 g22 = 2fS (九),

ОО

rs = ^ Г (т) sin 九t dr, oj

§11~ 一 g22 = 2fS (九),

ОО

rs = ^ Г (т) sin 九t dr, oj

gl2 = g21 — ГС (九),

Гс = ^ Г (т) cos Хт dt. о

gl2 = g21 — ГС (九),

Гс = ^ Г (т) cos Хт dt. о

(23.50>

(23.50>

Усредненная система уравнений (23.46) имеет вид (23.23), т. е.

(23.51)(23.51)^ + у (FsEl +。戍2)= —gio,

(23.51)

(23.51)

第g- (r成1 - Fs三2)= g20•

Характеристическое уравнение этой системы имеет корни

и потому после подстановки ее решения в (23.44) получим следующее выражение функции Т (力)с двумя произвольными постоянными .4, В:

Т = ［a cos 九(1 + 厶卜 + 8 sin 九(1 + ^ 氏)力］J 行1V 十 十年］/需cos (九力+ Wi -州2),(23.52)

F 丄s十丄e

屮 1 = arctg Г5/Гс,屮2 = arctg q1Q/g2Q.

Как видно из (23.41), (23.41)',厶,а значит Гс, Г^, g10, g2o для вязко- упругих тел имеют множество дискретных значений, и перемещения выражаются суммами по всем значениям 九〉0 величин Z, умножаемых на соответствующие координатные функции. Первое слагаемое (23.52) представляет свободные затухающие колебания системы, причем декремент затухания пропорционален синус-образу Фурье ядра Г, возрастание частоты —косинус-образу ядра. Второе слагаемое представляет гармони-

ческие вынужденные колебания с частотой 九，амплитудой

(23.53)(23.53)2 ] /g；o + g；o

(23.53)

(23.53)

и смещением фаз Т2—^ (23.52). При малых силах порядка & излагаемый метод усреднения дает отличную от нуля амплитуду (23.53) только в случае резонанса, т. е. если «внешние силы» q)m (23.38),(pmn (23.41) при каких- яибудь тп, п имеют вид

屮=〃 cos 九力 + b sin 九力； (23.54) при этом из (23.48), (23.52) находим

gio = b/2九， g20 = 〃/2九， 4r2 = arctg Ыа. (23.55)

В случае, если сила % 屮 в (23.43) не является малой, полагая % = 1, необходимо еще уравнения (23.46) привести к «стандартному» виду. Для .этого находим из (23.46) при & = О

(23.56)(23.56)°i = Ci (%)^ \ ф (t) sin Zrdr,

(23.56)

(23.56)

о

t

C2 = C2 (t) -|- -^- \ 屮(t) cos Xrdr

0

л для Ci，О? получаем «стандартную» систему с малым параметром]

-^^ =—九& sin 九力 \ Г (t — т) [С】 cos Zr + Сг sin Zr] dr — &①(力)sin 九力 о

(23.57)

"^"=九& cos 九力、Г* (% ——t) [Ci cos Zr 十 C2 sin Zr] dr + &①(t) cos Kt, и

где

tt

①⑴=^Г (^ — r) dr ф (E) sin Z (t —§ 龙= оо

=\ 屮⑹庞 \ Г (% - t) sin 九(t — 2) dt.(23.58)

теперь к системе (23.57) можно применить метод усреднений, уже использованный для системы (23.46) при &】—&.

§ 24. Квазистатические периодические нагрузки и частотный метод определения характеристик ползучести и релаксации

Пусть слой толщины 〃, нижняя плоскость которого неподвижна, подвергается действию касательного напряжения а12 = s^ на верхней плоскости, и происходит сдвиг 丫 = 2&12 = 2е12 в плоскости (1,2) (рис. 21).

777////〃П7〃7〃П77777777777777777777777Л777777////〃П7〃7〃П77777777777777777777777Л777

777////〃П7〃7〃П77777777777777777777777Л777

777////〃П7〃7〃П77777777777777777777777Л777

Рис. 21.

Схема опыта на периодическую сдвиговую ползучесть:

Ob = 62° sin(ot

Нагрузка Qi2 предполагается периодической с частотой(о, например, о^ = =о{^ sin <0%. Смещение верхней плоскости 〃】=〃丫 л его скорость "^ = =% = 〃丫 будет порядка ау&. Если будет выполнено условие

豈^ 穿岛Мау" (244) где & ——скорость упругой волны сдвига, К '——податливость:

。2 =联 G/Р, К* =(812)тах/。；2, (24.2)

но силы инерции в уравнении движения pd^Jdt2 = до12/дх2 будут малыми и Оо^/ад = 0，т. е. 012 = ai2 (0 с той же точностью, с какой выполняется неравенство (24.1): напряженное и деформированное состояние слоя будет однородным и периодический процесс квазистатическим. Как видим, при сколь угодно больших частотах со такое состояние достигается в достаточно тонком слое вещества.

Измерения амплитуды деформации е12 = 丫/2 при заданном периодическом изменении напряжения а12 = о% sin 8t позволяют изучать ядро ползучести П, включая значения при очень малых (П 七 По) и больших (П 七 Поо) временах, а испытания при различных постоянных температурах, реализуемых за счет теплоотвода через плоские границы слоя,— находить температурную зависимость П от Т7 и, значит, находить функцию 〃т・

Аналогичные опыты при заданной амплитуде деформации слоя е^ = =e°12sin(o^ позволяют изучать ядро сдвиговой релаксации R (%).

Опыты в камере с пульсирующим давлением о = aosinco^ позволяют измерять амплитуду изменения объема образца, помещенного в камеру, и изучать ядро объемной ползучести ^ (%), все расчеты и оценки точности метода получаются такими же, как и при сдвиге, если произвести простую замену букв в соответствующих формулах; мы рассмотрим подробнее только опыты на сдвиг.

Периодическая ползучесть. Опыты на сдвиг могут быть не только типа колебаний слоя, это могут быть опыты с трубками и т. п., поэтому рассмотрим простое периодическое нагружение по всем компонентам девиатора напряжений (в слое амплитуды всех компонент, кроме s^, были равны нулю)

smn = S黑/3f = s^ (COSS% +^Zsin(0^). (24.3)

Если мы хотим рассмотреть smn =。^九 cos①力 то величину s^n берем равной a^n, s^n = а^п, и в дальнейшем нас будет интересовать действительная часть (24.3); если же smn = ^тп sins力 то s^n =——力唸九 и в (24.3) нас снова будет интересовать действительная часть выражения.

Деформации етп в рассматриваемом квазистатическом однородном (по координатам) процессе найдем, с одной стороны, теоретически, с другой ——из опыта.

В первом случае используем основные виды закона связи

6啲=，К (% — t) s^n (r) dt = \ 口 (％ — t) dsmn (t),00(24.4>

К (t) = Hob (力)+ IV ⑴， По = 1/2G.

Внося сюда значение (24.3), получим t

= к・ ®, £)= § к ⑴ е^зт九.(24.5)

Податливость К* (со, t) можно выразить и через П (£), но для дальнейшего будет удобнее рассмотреть вместо П (力)его дополнение до предельного значения П (оо) = 口^,

Пд — К ⑦=Р ⑺， Р(8)= 0,(24.6)

предполагая, что 口8 吩 . Тогда из (24.4), (24.5)

k (力)=口06 (0 - Pf (力), Р・®,力)=，Р⑴e-м九，

°(24.7》

К* (со,力)=口8 — P (t) L — i^^^ t).

Свойства функций К (^), Р (力)таковы, что они по времени довольно быстро затухают и стремятся к нулю при 力 f оо, по крайней мере в том смысле, что числовые значения интегралов

\ Р (т) dt, ^ К (т) Jr о о

начиная с времен 力,соизмеримых с временем релаксации, очень мало изменяются. Это значит, что измеряемые в опытах амплитуды и фазы деформаций при данных а^п сначала быстро возрастают, а затем стабилизируются. Именно эти стабилизированны е значения и должны измеряться в опытах, на основе чего должны быть построены частотные зависимости отношения амплитуды деформации | етп | к амплитуде напряжения а^п и угол смещения фазы

(24.8)(24.8)/ ®) = I emn I /唸九，g ®) = tg ф.

(24.8)

(24.8)

С теоретической точки зрения это будут измерения, относящиеся к моменту 力一> 8, так что

K*((o) = n8 — i(oP*®),K*((o) = n8 — i(oP*®),оо。*((0)= \ рg) L dt,ооо。*((0)= \ рg) L dt,о

K*((o) = n8 — i(oP*®),

K*((o) = n8 — i(oP*®),

оо

。*((0)= \ рg) L dt,о

оо

。*((0)= \ рg) L dt,о

е mnSmnе mnSmn8к*@)=、К ⑴宀 dt.8к*@)=、К ⑴宀 dt.(24.9)(24.9)

е mn

S

mn

е mn

S

mn

8

к*@)=、К ⑴宀 dt.

8

к*@)=、К ⑴宀 dt.

(24.9)

(24.9)

Функции Р] ®), К： ®) называются в физике Фурье-образами функций

Если Фурье-образ некоторой функции F (力)，определенной только при / ^ 0 с интегрируемым квадратом,

(24.10)(24.10)(24.11)(24.11)(24.12)(24.12)^^ ои ®⑴匕^^ ои ®⑴匕находятся формуламнаходятся формуламf (耳⑴)2出$ 8 О

(24.10)

(24.10)

(24.11)

(24.11)

(24.12)

(24.12)

^^ ои ®⑴匕

^^ ои ®⑴匕

находятся формулам

находятся формулам

построен, т. е. найдена для з ? О зависимость

F* ^)= \ F (力 е'F* ^)= \ F (力 е'ОО

F* ^)= \ F (力 е'

F* ^)= \ F (力 е'

о

то функция F ⑴ определяется интегралом Фурье

F(t) = ^F*^) J"d3. о

В нашем случае, следовательно, ядра ползучести К через частотные! зависимости^ податливостей К： (со),

°.(24.13)

p (力)三 口8 一 口 G)= ； j p*(3)户£ 山. о

Измеряемые величины (24.8) есть отношение амплитуд \етп | к | swn| = =о黑,т. е. согласно (24.9) есть |К；| = Кз и фаза смещения амплитудного значения | етп | относительно амплитудного значения [swn|. Введем обозначения амплитуды и фазы:

к-①)==I 6一诃=Кз” = Кс ®)‘- %к§ ®),

(24.14)

Кз = ]/^虑 + 兄， tg фз = /-；з}, получим из (24.9)

кe = \ k (力)cos ①力必， KЗ = 、 k (%)sin co力 dt. оо

Теперь, сравнивая (24.14) и (24.8), находим ТГ^ и ср, а следовательно, и Xs = Kasin (р, Кс= Кз cos ф

Кз = / (①)，-^- = g ®) = tg 屮3,

с

OQ

Кс =匕[ 2 —^ К (t) cos з力 d%

ОО

Ks =匕：・一3 = ^K (t) sinco^ dt.(24.15)

Отсюда, используя обращение (24.13), находим ядро К ⑴

К (力)=-~- \ Кс (①)cos 3t do = ~ \ K§ (①)sin cods.К (力)=-~- \ Кс (①)cos 3t do = ~ \ K§ (①)sin cods.(24.16)(24.16)оо

К (力)=-~- \ Кс (①)cos 3t do = ~ \ K§ (①)sin cods.

К (力)=-~- \ Кс (①)cos 3t do = ~ \ K§ (①)sin cods.

(24.16)

(24.16)

о

о

Функция К* (о) (24.9) называется' комплексной податливостью, ее действительная часть есть измеряемая в опытах функция податливости / (①)•

Иериодическая релаксация. В этом случае деформация задается как периодическая функция времени

и в опытах измеряют амплитуду и фазу напряжения smn.

Рассмотрим процесс в действительных переменных. Пусть деформация изменяется по закону

(24.17)(24.17)^тп = етпп, sin (0力.

(24.17)

(24.17)

Найдем теоретическое значение напряжения

ооsmn = ^ Б (^ — т) demn (т) = е^Лсо、石(力—t) cos cor dr =

о

о

t

=бтп^ \ Е ⑴ COS (О (力一Т)dt 0

или

гдегде凡(з,力)cos з力 + Ks (co,力)sin ⑴九凡(з,力)cos з力 + Ks (co,力)sin ⑴九(24.18>(24.18>t(o \ 7? (t) cos cot dt, 6t(o \ 7? (t) cos cot dt, 6(24.19)(24.19)① § 7? (t) sin сот dt・ о① § 7? (t) sin сот dt・ оКак и в случае ползучести, ввиду особенности кривой релаксации, через некоторое время процесс деформации (например, слоя, рис. 21) стабилизируется, и величины Rc, Rs при данной частоте со становятся постояннымиКак и в случае ползучести, ввиду особенности кривой релаксации, через некоторое время процесс деформации (например, слоя, рис. 21) стабилизируется, и величины Rc, Rs при данной частоте со становятся постоянными7?c (co) = co \ R ⑴ cos cor dt, о7?§ (co) = co \ 7? (r) sin cor dr. b7?c (co) = co \ R ⑴ cos cor dt, о7?§ (co) = co \ 7? (r) sin cor dr. b(24.20}(24.20}Закон изменения напряжения янной амплитудой и фазойSmn ~ Ssn, sin(3% + 屮з),Закон изменения напряжения янной амплитудой и фазойSmn ~ Ssn, sin(3% + 屮з),(24.18) становится периодическим с посто-(24.18) становится периодическим с посто-(24.21 >(24.21 >

где

где

凡(з,力)cos з力 + Ks (co,力)sin ⑴九

凡(з,力)cos з力 + Ks (co,力)sin ⑴九

(24.18>

(24.18>

t

(o \ 7? (t) cos cot dt, 6

t

(o \ 7? (t) cos cot dt, 6

(24.19)

(24.19)

① § 7? (t) sin сот dt・ о

① § 7? (t) sin сот dt・ о

Как и в случае ползучести, ввиду особенности кривой релаксации, через некоторое время процесс деформации (например, слоя, рис. 21) стабилизируется, и величины Rc, Rs при данной частоте со становятся постоянными

Как и в случае ползучести, ввиду особенности кривой релаксации, через некоторое время процесс деформации (например, слоя, рис. 21) стабилизируется, и величины Rc, Rs при данной частоте со становятся постоянными

7?c (co) = co \ R ⑴ cos cor dt, о

7?§ (co) = co \ 7? (r) sin cor dr. b

7?c (co) = co \ R ⑴ cos cor dt, о

7?§ (co) = co \ 7? (r) sin cor dr. b

(24.20}

(24.20}

Закон изменения напряжения янной амплитудой и фазой

Smn ~ Ssn, sin(3% + 屮з),

Закон изменения напряжения янной амплитудой и фазой

Smn ~ Ssn, sin(3% + 屮з),

(24.18) становится периодическим с посто-

(24.18) становится периодическим с посто-

(24.21 >

(24.21 >

причем амплитуда напряжения s^n и фаза его относительно деформации (24.17) имеют выражения

露П =乩1风，tg q?s = &：(3)/& (①),；％ = m五^ (①)+ 比(①).

(24.22)

Частотный модуль 7?w = 2G^ и фаза(po непосредственно измеряются в опыте, как отношение амплитуд s^n/^n и времени запаздывания амплитудного значения smn = s^^ относительно амплитудного^значения^деформа- ции етп = етп. Опыты повторяются с различными частотами со, и строятся частотные зависимости Аз и tg(pw

五з = / ®), tgq)3 = g ®)・(24.23)

Теперь находятся&®)= &sinL凡号鵠Теперь находятся&®)= &sinL凡号鵠五 s'®)五 s'®)=五з COS фз ^^=五з COS фз ^^(24.24)(24.24)五3万 二一 •H +g2(s)五3万 二一 •H +g2(s)

Теперь находятся

&®)= &sinL凡号鵠

Теперь находятся

&®)= &sinL凡号鵠

五 s'®)

五 s'®)

=五з COS фз ^^

=五з COS фз ^^

(24.24)

(24.24)

五3万 二一 •

H +g2(s)

五3万 二一 •

H +g2(s)

После этого, используя интегральные соотношения Фурье, из (24.20) на- ходим функцию релаксации материала по любой из формул

OQ

e (力) = ^"、凡(①)C0S 3力-^" I 0

(24.25>(24.25>五⑹=善"sW)smm鲁， о

(24.25>

(24.25>

e (0 = ； j五3Sin (①力+①3)等 0

Для представления о характере зависимостей (24.23), которые изучены для различных полимеров [40], рассмотрим экспоненциальную кривую релаксации

五⑴士2Gef「(24.26)

Из (24.20) находим

2G '

=①%cos①力dt = 丄亠，

J ；32 + «2

0 1

(24.27)

EsW)二

=① f W sin a)t dt =小7 .

2Gj

)V— 3vR2 + 0)2

0

Следовательно, на основании (24.22), (24.23) имеем

(24.28)(24.28)Rg = Д(со) = 2G ①/]/ 俨 +(о2, /褐=к(碱=跳6

(24.28)

(24.28)

На рис. 22 даны эти частотные зависимости модуля / (①)и фазы g (①)от периодов колебаний, точнее от p/s. При со -> оо из кривых находят мгновенный модуль сдвига 2G.

W®)=亲[凡 ®) —А®)],W®)=亲[凡 ®) —А®)],(24.29)(24.29)

W®)=亲[凡 ®) —А®)],

W®)=亲[凡 ®) —А®)],

(24.29)

(24.29)

Рис. 22.

Частотная [зависимость модуля сдвига и запаздывания фазы для экспоненциальной функции 兄(£)

По аналогии с электротехникой в механике вязко-упругих колебаний введено понятие импенданса; это комплексная величина

вполне определяющая вязко-упругие свойства материала. Если рассмотреть колебания с периодическим изменением скорости деформации ётп = =自思户'3方,то легко находим

^тп^щп — W (①).

Существенная роль частотных характеристик материалов К* (со), Е* (①)для сдвиговых и объемных свойств обнаруживается в теории колебаний и распространения волн.

§ 25.Вязко-упругие колебания и волны

Три типа динамических явлений в вязко-упругой среде могут быть изучены сравнительно просто: явления на фронтах сильного разрыва, явления вынужденных установившихся колебаний и асимптотические свободные колебания.

На фронте волны сильного разрыва, возникающем в результате мгновенного приложения нагрузки или сообщения скорости на границе тела, деформации и напряжения изменяются скачком, т. е. скорость их изменения во времени очень велика в бесконечно тонком слое, нормальном к скорости распространения фронта волны. В момент 左 мгновенно изменяются деформации

еИ (方1 + 0) - 6订(左一0) =0 (^1 + 0) - 0 (力1 -0)= aе.

(25.1) В окрестности t = ^, следовательно, 6订 получают приращение 厶0订无(力——т\)； 0 — приращение А6为(力—— 力J, их дифференциалы Ае订5 (力—— 左)2九 Д06 (力一左)山，и потому приращения напряжений от момента t — ^—0 до ^ = ^ + 0

4К +丁 G4К +丁 GAs灯=J Я (^ — т) А〃抖(т — J) dt = Е (0)厶6订， Ao =厶i (0) Д9, (25.2) т. е. для скачков имеет место идеальная мгновенная упругость с мгновенными модулями R (0) = 2G н R* (0) = К. Следовательно, существуют два известных типа волн ——волны сжатия и волны сдвига, распространяющиеся со скоростями

4

К +丁 G

4

К +丁 G

р

измерения которых используются, как уже отмечалось в § 3, для нахождения 7?1 (0) = К и R (0) = 2G. Таким образом в вязко-упругом теле скорости волн такие же, как и в идеально упругом, но их интенсивность затухает, энергия фронтов рассеивается [41].

У становившиеся вынужденные колебания вязко-упругого тела под действием периодических нагрузок и перемещений границы подобны периодическим квазистатическим деформациям, рассмотренным в § 24, но они могут существовать в телах конечных и бесконечных размеров при неодноррднйх напряженных состояниях.

Перемещениям среды

щ (九 х) = щ (х) cos ①力 + 〃t (x) sin co力(25.4)

соответствуют деформации

£订 «, х) = £工(х) cos 3t + £订(x) sin ①力(25.5)

и напряжения

d?(力 x) = о工(х) cos ①力 +。订(x) sin ①厶(25.6)

причем по прошествии некоторого времени, как уже отмечалось,向 и 曲 не будут зависеть от времени t и будут выражаться через деформации £工,£打 законом Гука, в котором модули упругости будут зависеть от частоты ①

= 1\% + (°1с —^ °，е® — [г1 歩订 + ^rls —1~ П)&'6订]三

三 0垃一。订S, .(25.7)

电=rs8ii +(Г151-1\) 6% + [仄旳 +(Fic1- 1\) 0z，^ij]三

二3 ^ijs + ^ijci

7?s = Гс = ^ Г (т) cos сот dt, Г1С = \ I\ (t) cos orcdt =五心， оо

—& = 1\ = \ Г ") sin(от dr, Г15 = \ I\ (t) sincor dr = — Rlc. оо

Внося (25.4), (25.5), (25.6) в уравнения движения и полагая, что массовые силы отсутствуют, получим систему шести уравнений

—ро>2以=о泣;=% (〃t) — ^s (щ^(25.8)

-pco2^i =0切,；=Ls (%) + 4 (以)，

причем L (м)——оператор статических уравнений Ляме, в котором постоянные Ляме выражены либо через Гс (со) и /\с(①)，либо через Г8 (①)и Г15 (со):

Е (и)=(九 + 卩)勿 + рД%,

" = !\с —$Гс，，％=等1\口叫厶с(и)?(25.9)

'$ = Fis g-1\,Ns = ~^- ^s П"只厶s (u)・

А. А. Ильюшин, Б. E. Победря

Граничные условия должны быть заданы в виде 〃》= 〃‘t()cos ①力 + 心о sin ①力 на 2〃 и 5» = S；o cos ①力 T- S；o sin з% на Ss, т. e.

〃纟=〃io(X), Ui = UiQ (x) Ha 工d,

о万Zj = Sto(x),。订"j== S^o (x) на 2g,

(25.10)

следовательно, на каждом элементе поверхности задано 6 граничных условий

В системе уравнений (25.8) можно исключить любой из векторов 就， 〃”,после чего получим для любого из них уравнение

度(％) + 6 W) + 2P炉厶(％) + (рз2)2 % = 0.(25.11)

Векторная форма оператора Ляме позволяет переписать систему уравнений (25.8) в виде

厶с(U‘)+ рз21f =厶(u〃)， 厶(U〃)+ps2u"=:一 厶上壮).

Поскольку

div L (u) = (A + 2 卩)Д0,

rot L (u) = 2卩AQ,

0 = div u,

2Q = rot u,

то, применяя эти операции к (25.12), получим уравнения для 0

(Г1С + I 几)АС 十 pde，= (% + IQ А*

(九 + I Г)Аб" + рз2&，= 一 3s + I г J Ag

и для Q

I\ASr + 2PdQ，= Г8ДЙ",

ГСДЙ" + 2P(q2q〃 _ - rsAQ\

(25.12)

(25.13)

(25.14)

Для примера рассмотрим задачу о периодических сдвиговых колеба* ниях слоя (рис. 21). Граничные условия для перемещения и? = и (力 у)= =优cos ①力 + 优'sin st принимаем в виде

у = 0,〃，=〃〃= 0,

У —~ а, и = 0,〃 ：— 2〃С]2〃о,(25.1.5〉

〃 = 2〃е；2sin ①力= 〃о sin з九

Так как другие компоненты вектора и равны нулю (旬—и3 — 0), то div и = div и' = div и", и потому уравнения (25.8) принимают вид

西 +P " = -g可,

dV

+ P〃 =g /・

(25.16)

Здесь обозначены:

Р = з/ ^Р g(3)=—T^ = Z・Р = з/ ^Р g(3)=—T^ = Z・(25.17)(25.17)

Р = з/ ^Р g(3)=—T^ = Z・

Р = з/ ^Р g(3)=—T^ = Z・

(25.17)

(25.17)

Решение, удовлетворяющее условиям (25.15), имеет вид

,—9 о — ch pia sin р2a sh ?iy cos 夕2y + sh pia cos 夕2a ch pry sin 夕2y

U "叫2sh2 pia + sin2 p2aJ

(25.18)

〃〃 — 2〃£。sh pia cos 夕2a sh pry cos 夕2y + ch pia sin 夕2a ch /ng sin 夕2y

—12sh2/?ia + sin2 p2a$

где обозначены

(25.19)

Напряжение а12 (25.6), т. е. его составляющие а12, О12, находится по формулам (25.7) на основе значений перемещений (25.18). Вычислим их при ?/ = 0, для чего находим сначала деформации

，।—1/〃优\—о— pi ch pia sin「2。+ P2 sh pia cos p2a

£12]u=o —■ 2\dy )y=Q a 12sh?pia 十silica

〃 1—1/W\—оpi sh pia cos 夕2a + ,2 ch pia sin 夕2a

12 1y=0—2\ dy 丿 y=o—叫2sh2 pia + sin2 p^a *

t

(25.20)

после чего имеем при у = 0

012 -五战12 + 五Cе2 =五s (212 + g£12),

62 — — -^cei2 + 五$£12 —凡(—g£12 + £12)・

(/XI)

Производя вычисления и обозначая

】/(+H + g2 弘 八1 + V1 + g2L

(25.22)

получим

О12/ (①)/五$£；2 =厂 ch pi〃 sin p2a + sh p№ cos p2a,

(25.23)

£2/ (①)/E$£；2 = ch pi〃 sin「2〃 —尸 sh py cos [p2a.

При условии

pa = a(0У 2p/凡 V |/3

(25.24)

выражения (25.23) совпадают с квазистатическими, найденными в § 24, с ошибкой не более 3%, так как амплитуда напряжения о^ = У^ +(^12, вычисляемая из (25.23) при условии (25.24) с указанной точностью, будет

理一唯2 /Гf?=唯联出+死=唯凡.(25.25)

(25.26)(25.26)Это следует из точного выражения амплитуды напряжения при 5 = О

(25.26)

(25.26)

о；?8 Vsh2 pia 十 sin2 夕2〃

если с точностью ра^/3 сравнительно с единицей заменить синусы аргументами.

На плоскости у = а деформации, соответствующие перемещению (25.18), имеют выраженияНа плоскости у = а деформации, соответствующие перемещению (25.18), имеют выражения1 -2 1 -21 -2 1 -2о ，2 sh pia oh pia — pi sin 尸2a cos ,2。 a 12sh2尸 i" + 5e2夕2"о ，2 sh pia oh pia — pi sin 尸2a cos ,2。 a 12sh2尸 i" + 5e2夕2"，i sh p、a ch p\a + ,2 sin .2。cos p2a，i sh p、a ch p\a + ,2 sin .2。cos p2a(25.27)(25.27)aash2 ?1。+ sin2 ?2ash2 ?1。+ sin2 ?2aнапряжения выражаются формулами (25.21).Для неограниченно толстого слоя, заменяя амплитуду перемещения 2a& = 〃о (25.15) и полагая a — оо, получим из (25.27) деформации(е12)а — 〃0卩2丿2，(£l2)a ~ иоР1/^(25.28)напряжения выражаются формулами (25.21).Для неограниченно толстого слоя, заменяя амплитуду перемещения 2a& = 〃о (25.15) и полагая a — оо, получим из (25.27) деформации(е12)а — 〃0卩2丿2，(£l2)a ~ иоР1/^(25.28)и из (25.21) напряжения(&2)а = 4■五 s〃0(P2 + SP1)=个言-М1 + ]/1 + g2,(012)a = у Rs〃0 (— gP2 + Pl)= 7— 纟Их амплитуда儿/赤f=W^「rf=号乎 了瓦.и из (25.21) напряжения(&2)а = 4■五 s〃0(P2 + SP1)=个言-М1 + ]/1 + g2,(012)a = у Rs〃0 (— gP2 + Pl)= 7— 纟Их амплитуда儿/赤f=W^「rf=号乎 了瓦.(25.29)(25.29)(25.30)(25.30)Как видно, например, из рис. 22, амплитуда напряжения достигает мак- симума при некоторой частоте (от, определенной равенствомКак видно, например, из рис. 22, амплитуда напряжения достигает мак- симума при некоторой частоте (от, определенной равенствомs = % 备("凡)=0.s = % 备("凡)=0.(25.31)(25.31)Это ——резонансная частота, измерение которой в опыте является несложной задачей, если такие резонансные частоты, определяемые для различных конечных толщин слоя 〃, позволяют определить характеристики Аз, Е (£)•Свободные затухающие колебания. Пусть некоторое время на тело действуют силы /, Si，после чего тело совершает свободные затухающие колебания. В таком случае силы, перемещения, деформации, напряжения будут иметь интегрируемые квадраты в бесконечном интервале времени и потому могут быть представлены интегралами ФурьеЭто ——резонансная частота, измерение которой в опыте является несложной задачей, если такие резонансные частоты, определяемые для различных конечных толщин слоя 〃, позволяют определить характеристики Аз, Е (£)•Свободные затухающие колебания. Пусть некоторое время на тело действуют силы /, Si，после чего тело совершает свободные затухающие колебания. В таком случае силы, перемещения, деформации, напряжения будут иметь интегрируемые квадраты в бесконечном интервале времени и потому могут быть представлены интегралами Фурьеип (厶 х)=々 \ * (①,х) e~iuitd^.оemn (九 X)= ± \ £mn (СО, х) ids,оип (厶 х)=々 \ * (①,х) e~iuitd^.оemn (九 X)= ± \ £mn (СО, х) ids,о(25.32)(25.32)ОптОпт(①，X)L3td5(①，X)L3td5Причем 2£房九=Um,n + 〃/г,тп, 6 ~ ^т,т] ^тп = ^тп 6 ^тп/З, а ДЛЯ На- пряжений, например smn, получим

На плоскости у = а деформации, соответствующие перемещению (25.18), имеют выражения

На плоскости у = а деформации, соответствующие перемещению (25.18), имеют выражения

1 -2 1 -2

1 -2 1 -2

о ，2 sh pia oh pia — pi sin 尸2a cos ,2。 a 12sh2尸 i" + 5e2夕2"

о ，2 sh pia oh pia — pi sin 尸2a cos ,2。 a 12sh2尸 i" + 5e2夕2"

，i sh p、a ch p\a + ,2 sin .2。cos p2a

，i sh p、a ch p\a + ,2 sin .2。cos p2a

(25.27)

(25.27)

a

a

sh2 ?1。+ sin2 ?2a

sh2 ?1。+ sin2 ?2a

напряжения выражаются формулами (25.21).

Для неограниченно толстого слоя, заменяя амплитуду перемещения 2a& = 〃о (25.15) и полагая a — оо, получим из (25.27) деформации

(е12)а — 〃0卩2丿2，(£l2)a ~ иоР1/^(25.28)

напряжения выражаются формулами (25.21).

Для неограниченно толстого слоя, заменяя амплитуду перемещения 2a& = 〃о (25.15) и полагая a — оо, получим из (25.27) деформации

(е12)а — 〃0卩2丿2，(£l2)a ~ иоР1/^(25.28)

и из (25.21) напряжения

(&2)а = 4■五 s〃0(P2 + SP1)=个言-М1 + ]/1 + g2,

(012)a = у Rs〃0 (— gP2 + Pl)= 7— 纟

Их амплитуда

儿/赤f=W^「rf=号乎 了瓦.

и из (25.21) напряжения

(&2)а = 4■五 s〃0(P2 + SP1)=个言-М1 + ]/1 + g2,

(012)a = у Rs〃0 (— gP2 + Pl)= 7— 纟

Их амплитуда

儿/赤f=W^「rf=号乎 了瓦.

(25.29)

(25.29)

(25.30)

(25.30)

Как видно, например, из рис. 22, амплитуда напряжения достигает мак- симума при некоторой частоте (от, определенной равенством

Как видно, например, из рис. 22, амплитуда напряжения достигает мак- симума при некоторой частоте (от, определенной равенством

s = % 备("凡)=0.

s = % 备("凡)=0.

(25.31)

(25.31)

Это ——резонансная частота, измерение которой в опыте является несложной задачей, если такие резонансные частоты, определяемые для различных конечных толщин слоя 〃, позволяют определить характеристики Аз, Е (£)•

Свободные затухающие колебания. Пусть некоторое время на тело действуют силы /, Si，после чего тело совершает свободные затухающие колебания. В таком случае силы, перемещения, деформации, напряжения будут иметь интегрируемые квадраты в бесконечном интервале времени и потому могут быть представлены интегралами Фурье

Это ——резонансная частота, измерение которой в опыте является несложной задачей, если такие резонансные частоты, определяемые для различных конечных толщин слоя 〃, позволяют определить характеристики Аз, Е (£)•

Свободные затухающие колебания. Пусть некоторое время на тело действуют силы /, Si，после чего тело совершает свободные затухающие колебания. В таком случае силы, перемещения, деформации, напряжения будут иметь интегрируемые квадраты в бесконечном интервале времени и потому могут быть представлены интегралами Фурье

ип (厶 х)=々 \ * (①,х) e~iuitd^.о

emn (九 X)= ± \ £mn (СО, х) ids,о

ип (厶 х)=々 \ * (①,х) e~iuitd^.о

emn (九 X)= ± \ £mn (СО, х) ids,о

(25.32)

(25.32)

Опт

Опт

(①，X)L3td5

(①，X)L3td5

ОО

^-^ Г((0, t) етп (①，х) е-办旬①, о

где при достаточно больших t

ОО

门①，£)т「((о)= \ r(t)e^dt,

\(25.33)

:Ti(s,力)f г；®) =\ 1\ (力)图3方必. о

Следовательно, для достаточно больших t

^п (со, х) =(г；- Г73) 9*6mn + Г *8*wn,(25.34)

и уравнения движения принимают вид

Е* (*) + 9^ип + рь； = о.(25.35)

Оператор Ляме

Е* (© 三(Г； + Г76)9；п + Г72Ди；.(25.36)

Граничные условия в напряжениях имеют обычный вид

причем тором t

силы Fn (厶 х), Sm (厶 x), как уже говорилось, исчезают при неко- =力0 и потому

ООto

К；(①,X) = W %(%,x)i他=3$%(44)№出力 00

力(25.38)

S；(①，x) = $• § Sn & x) e-^dt

0

^mn^n = Sm,

(25.37)

конечны. Из (25.35) при div F = 0 и rot F = 0 получаем уравнения Гельмгольца для дилатации 0* и вихря rot u* = 2Q*

△е*+ 偌戸* =。，G = ]/世+ М‘(25.39)

△Q*+(部 Q*=0,'「J/尹.'

В качестве примера вновь рассмотрим полупространство, на границе которого в момент £ = 0 приложен импульс (ось 力】=右 в глубь полупространства)

8

S] = Оц = «6 (£),s[= q^ 6 (力)е»з力必=g,(25.40)

о

dx2dx2причем 〃i = 〃i (力 а), 0 = 〃i,i (力力)，о] = & ®,力)=(Г1 Ц- 2Г73) 0* и потому из (25.39)

dx2

dx2

(25.41)

Решение этого уравнения

гшхгшх

On = 4е а + Be C1 ,

удовлетворяющее условию (2.40) и

зх sin Фс ЗЗС cos %

*;b i 7

Ou = ge,

(25.42)

исчезающее при а —> оо, имеет вид

(25.43)

где с — модуль q, % — аргумент q с обратным знаком

e (①)=у/~y }/Л(/s + y 五5) + (五 1С + y 2).

(25.44)

Как видим, Фурье-образ о],— убывающая функция ①.Картина распространения волн по глубине ж и по времени t дается обращением (25.43)

Ji (厶 ％) = W Re \。；1 (①,％) е"зЗз = о

8 XW Sin ф/ XW COS \

0

(24.45)

В случае пропорциональных экспоненциальных ядер релаксации

R (0 = R©“,Ri = &()е-味R (0 = R©“,Ri = &()е-味(25.46)(25.46)

R (0 = R©“,Ri = &()е-味

R (0 = R©“,Ri = &()е-味

(25.46)

(25.46)

входящие в (24.25) величины имеют следующие явные выражения через(о:

К с ^ %。з2 +(В2，К с ^ %。з2 +(В2，& =飞& =飞В(о呼 + В'2 ,В(о呼 + В'2 ,с — Сос — Со夕d+ B?夕d+ B?tg 2 乳=уtg 2 乳=у(25.47)(25.47)

К с ^ %。з2 +(В2，

К с ^ %。з2 +(В2，

& =飞

& =飞

В(о

呼 + В'2 ,

В(о

呼 + В'2 ,

с — Со

с — Со

夕d+ B?

夕d+ B?

tg 2 乳=у

tg 2 乳=у

(25.47)

(25.47)

F = ^UE^‘岳耍Е・

Переходные процессы. Периоды образования стационарных вынужденных колебаний, рассмотренных выше, и перехода к предельному процессу, описываемому уравнениями (25.35), (25.39), являются более сложными для исследований и могут быть изучены, в частности, тремя методами. Первый ——прямой метод решения системы уравнений рВ» = о万行 + + F» вместе с основными соотношениями между напряжениями — деформациями ——временем ——температурой, записываемыми в конечных разностях.

Другой метод основывается на представлении решений в виде рядов или интегралов Фурье (25.32), причем не делается предельного перехода

《25.33), а выражения напряжений

8

Smn&X) = ^\ F(SK)етп (①,х) e-Wco, о

8

(25.48)(25.48)о (力，х) = ±\ Гх (①，t) 0* (со, х) e-wtds, о

(25.48)

(25.48)

Г (со, t) = ^ Г(т) 6»3叽,1\ (①,t)= о

и перемещения un (力 х) (25.32) преобразовываются к двукратным интегралам е помощью замены г (①，力)，1\ (①，力 на

ОО

丫(①，t) = :T* (①)—г (①/) = \ ? (T) e^dx,

ОО

丫1 (①/) = Г1 (①)一:T1 (①，力)=\ :[\ ⑺ 。』*

зто — функции с интегрируемым квадратом модуля, и потому они могут быть представлены интегралами Фурье

' ОО

丫 (①,%)…=W \ g (з, р) e-^dp,о

Yi (①，力)6出3方=У gi (①，p) e^dp, О

ooоо

g (①，p)= \ 丫(①，力)з(Р-3)方或， gl (①，Р)=\ 丫1®/)0(83)方成. ОО

В результате можно получить систему уравнений, аналогичную (25.35), с коэффициентами, зависящими от у (①，р).

Распространен метод преобразования Лапласа, непосредственно приводящий основную систему динамических уравнений к виду, внешне совпадающему с (25.35), (25.36), если положить ① =ip. Решения этой системы могут быть построены для многих случаев, но переходы к оригиналам будут достаточно сложными, хотя формально решения и записываются в виде интегралов Мелина.

VII. Нелинейные задачи

линейной теории термовязко-упругости

К таким задачам мы, во-первых, относим так называемые связные задачи, в которых температурное поле не определяется независимо от поля напряжений и деформаций вследствие нагревания вещества за счет диссипации энергии, а поле механических величин вследствие зависимости ядер ползучести и релаксации от температуры не определяется независимо от температурного поля; во-вторых, контактные задачи с переменными границами площадей контакта, зависящими от времени как вследствие ползучести релаксации, так и вследствие изменений нагрузок во времени. В этой главе дается также одна специальная линейная задача ——о расчете выгорающего полого цилиндрического заряда, заключенного в упругую тонкостенную оболочку.

Связные задачи термо вязко - упругости. Метод последовательных приближений

Здесь мы дадим только постановку квазистатических связных задач и принципиальную схему общего метода решения, отличного от конечно-разностного, который с помощью счетных цифровых машин также позволяет решать некоторые простейшие задачи [42]. Допустим, что нестационарное неоднородное поле температуры ^ = Т — TQ задано функцией координат Xi и истинного времени %, а значит и приведенного местного времени t （§ 5）. Уравнения медленного ползущего движения среды о^и + pbj = 0 л законы связи напряжений с деформациями в приведенном времени

Su = \ k （力-T） % ⑺， 0=。\ % （力一F）dQT ⑺ о 0

лишь постольку содержат явное выражение 8 （厶 ж）, поскольку массовые силы Fi и поверхностные силы 5f0 или перемещения и^ заданы как функции истинного, а не приведенного времени.

Предполагая пока заданные внешние параметры （%, 5», 〃，и ® известными функциями координат и приведенного времени t, мы с помощью преобразования Лапласа ——Карсона получим в изображениях обычную задачу термоупругости: решение дифференциальных уравнений

1^10 + △〃； = ^壮一2рП*冗 （26.1）

должно удовлетворять граничным условиям

6% + 以Z)=亲 8% + ITS； на 纹，涼=Wo на Su, (26.2)

причем для любой из заданных в истинном времени /и величин ср = (/?, SI, “to, 8) изображения произведены по приведенному времени t

“Т Си，х)“Т Си，х)①(九x)e-"d九①(九x)e-"d九(26.3)(26.3)

“Т Си，х)

“Т Си，х)

①(九x)e-"d九

①(九x)e-"d九

(26.3)

(26.3)

т. е. фактически являются пока неизвестными функциями (р, х).

Общий вид решения линейной задачи, определяемой уравнениями (26.1) и условиями (26.2), уже исследован в § 17, и мы предполагем, что это решение при произвольных 歹；，5；, 〃；，8* фактически построено в изображениях. Используя метод аппроксимаций, мы находим решение задачи в оригиналах, т. е. по заданному полю векторов F» (力 х), S» (厶 х),、 uiQ (力 х) и температуры 8 (力 х) находим явные выражения перемещений / (力 х), деформаций £订(力 х) и напряжений 。订(力 х). Любая из этих величин 屮(力 х), как следует из метода аппроксимаций, будет иметь вид. суммы

й(九 X)三(0灯，£灯，以)=x/x (厶)，(26.4),

где Lr^ — некоторый оператор по координатам. Этот оператор линеен относительно функционалов вида

(26.5))(26.5))'g^ (х,力—力普沁d% о

(26.5))

(26.5))

где 屮一любая из группы (歹订 S», ui0, 8). Например, для 屮】=8

/1= j%s(x,「t)粤尸 dt о

и аналогично — /2 для вектора(р2 = F (при этом G2F (х, t — т) будет матрицей); /3 — для вектора ф3 = S', поверхностной силы; /4 — для вектора граничного перемещения 屮&二 и。. Операторы 厶跟， Е^ по координатам будут просто известные интегралы по объему тела; 厶玄，厶累。一интегралы по поверхности тела.

Фактическое вычисление интегралов (26.5), а значит и последующие решения связной задачи термовязко-упругости для 。订,£订,м» теперь требует только определения поля температуры 8 (力 х), так как при зтом заданные функции истинного времени %, ср = (%, 5订“初 8 — на границе) станут известными функциями приведенного времени t.

Для определения поля температуры 8 (%, х) мы уже получили уравнение теплопроводности (§ 11)

cd®/4% =九 А® + W*,(26.6)

где с,九 —— постоянные теплоемкости и теплопроводности, выраженные в механических величинах, а И7* — рассеивание в единице объема тела, например (10.22)

—。鸣j %30H

Наиболее просто ставится задача при однородных тепловых граничных условиях, когда на поверхности тела

§/® + Bd^ldn = 0 на S,(26.8)

где 4,3 — заданные функции координат точки на поверхности S, причем d^/dn = 8”4・

Начальное условие для 8, как и для всех других искомых величин (о万，и^, — однородно: %и = 0, 8 = 0 в объеме тела.

В более общем случае теплообмена на границе тела граничное условие имеет вид

/8 + 笈心t = Ф &, х),(26.9)

где А, В» — функции координат на S (в простейшем случае А п В, где 8» = 8厶 —— постоянные величины, могут быть различны на разных участках 2).

Окончательное решение задачи может быть построено либо в приведенном времени t (в принципиальной схеме вычислений оно выглядит более простым), либо в истинном времени 力и.

В первом случае, умножая уравнение (26.6) на ат, получим

с d^/dt =九。也今 + W：,(26.10)

где 〃т ——известная положительная, монотонно убывающая функция температуры *& (§ 5) и

*де. .0工"

忆=%・奇一五宕厂琶・(26.11)

Граничное условие (26.9) изменяется в том смысле, что правая часть Ф (力и, х) будет, подобно величинам ср, неизвестной функцией ①((力，х) приведенного времени 力.Однородные граничные условия (26.8), на использовании которых мы проведем рассуждения, не изменяются при замене 方и на 力.Они включают важные случаи нагрева тела за счет деформации и практически интересны.

Допустим, что разработан какой-нибудь алгоритм решения уравнения (26.10) при граничном условии (26.8) для любой заданной функции Wt (力 х). Тогда можно построить следующий процесс последовательных приближений.

Нулевое приближение величины Wt находится по формулм (26.4), (26.5), в которых величины 屮(х,力)заменяются заданнымиф (х,力и) путем простой замены 力и на t; иначе говоря, для подсчета 巾的 по формуле (26.11) берется решение задачи термоупругости при 〃「= 1; такое решение всегда известно.

Первое приближение для температуры 合】(力我,х) находится из (26.10), (26.8) при РИ；。(力 х), после чего находится первое приближение приведенного времени

力=< ——-=/ (力и, х);力и = / 工(％, х)

父 Т"н，х)

и значит первое приближение выражений, заданных 屮(力и, х) как функции от приведенного 左.Вычисляя квадратуры (26.6) при 力=々,т = q, из

находим первое приближение для выражения деформаций е^ (%, х) и напряжений о炉(力「х); следовательно, находим первое приближение Wtl (力 х), после чего из (26.10), (26.8)——второе приближение для поля ® = $2 (力2, х). Теперь находится второе приближение выражения приведенного времени 力2 через 力и, второе приближение 〃т, выражений (26.5), (26.4) и второе приближение Wt2. Дальнейшие шаги суть повторение указанных.

Другой аналогичный процесс строится в истинном времени на основе уравнений (26.6), условий (26.8) и выражений (26.4), причем функционалы /卜(26.5) переписываются в виде

'"=\ Gk⑴【X, / (%, х) — / (ти, х)] 衣一—~ dtH, (26.12)

здесь уже 屮(х, Z„) — вполне определенные заданные функции х,力и, но неизвестна / (^и, х)=九 В первом приближении полагаем /х =力и, находим Wq, 也 ⑸，х), затем находим второе приближение /2 (%, х) и т. д.

Существенная разница этих двух процессов состоит в том, что второй является во всех приближениях полностью линейным, так как уравнение (26.6) линейно относительно 8, первый же в части определения поля 8 — нелинейным, так как 〃丁 ——функция температуры. Однако сходимость первого, по-видимому, будет более быстрой. Ввиду громоздкости решений и неизбежной необходимости использования ЭВЦМ для расчетов мы не приводим примеров полного решения связных задач, хотя функционалы (26.4), (26.5) для ряда примеров построены выше (§ 21).

Задача о выгорании вязко-упругого цилиндра^ находящегося под действием внутреннего давления р (力)и заключенного в упругую обойму, принадежит к связным задачам, так как темпертурное поле нестационарно, неоднородно и зависит от деформаций; такого решения еще не построено. Но вследствие монотонности р (力),которая в практически интересных задачах обычно предполагается, нагрев за счет деформаций будет мал сравнительно с нагревом за счет теплопроводности. Мало того, если вязко-упругий цилиндр изготовлен из полимерного материала с малой теплопроводностью, а скорость его выгорания с внутренней поверхности достаточно велика, теплопроводностью также можно пренебречь и считать температуру цилиндра постоянной (8 = 0). Для этого случая решение теперь уже полностью л идейной задачи, но с переменной границей, построено.

Проще всего это решение получить непосредственно из решения задачи Ляме при условиях на постоянных границах цилиндра: г — а, аг =——ра\ т = Ь, % = — q,

если использовать условие контакта с цилиндрической оболочкой толщины А с жесткостью на растяжение В = Eh/(i — v2)

1, В n

石， " + 不"=0.

Определяя из (26.14) q и внося его значение в (26.13), получим выраже^ ние о「，которое в изображении Лапласа — Карсона будет

& =［依—3 - (1 — 3) G*］占-(26.15)

где оператор G* имеет следующее выражение через основные операторы:

①* =条=^e*n； p* =号五;，(26.16),

G* = 2/ (［十 2(о*)

一 2к^ + ［3 4- А:2 4- 2р* (1 — к2)］(о* + (1 — ^) р*со*2 '丄

Обращение таких операторов, т. е. определение функции G (力)，уже рассмотрено. Например, в случае объемно несжимаемого цилиндра 區=со), р* «—> оо, з* —> 0, имеем

р*з* 二 I *, G* = 丁*武，G ⑴=gp (0，『中^

и т. д. Следовательно, решение задачи о цилиндре в обойме, ранее уже рассмотренной (§ 21), мы записываем теперь в виде

書(力 х) =(r?i^2- Р (0 - -^~^^ ^G(t-^x)dp (т).(26.18)

«Давление» р «) до сих пор мы оставляли в виде произвольной вспомогательной функции времени t. Выберем теперь это давление так, чтобы на заданной переменной во времени границе 厂=г «), х — г (力)/〃 =力(力), где 〃 ——начальный внутренний радиус цилиндра, действительное давление было заданной функцией времени

(26.19)(26.19)X = Ха ⑴， Or = —Р (0-

(26.19)

(26.19)

После простых преобразований получаем интегральное уравнение Воль* терра 2-го рода для вспомогательной функции р (力)

р«) = F (t) — ^H (^, т) р (т) dr(26.20》

о

с функцией F «) и ограниченным ядром Н: / — 1

万(方，T) ==Gf(t - t),

' 丿 (Go-/)W«) + 1_Go ' 丿

9(26.21》

尸⑺ (1一曾吟("p")、/

(Go - k2)W(力)十 1. - Go

Методом итераций или другим решение уравнения (26.20) может быть найдено, «давление» р (力)известно; формула (26.18) после этого даст радиальное напряжение в теле цилиндра (х > ха (力))；тангенциальное напряжение будет иметь выражение

。。=-^t^P^-^^^-^P^(26.22〉

давление на обойму

q(t) = ^G(t — x)dp (т).(26.23)

о

Особенность полученного решения состоит в том, что ядро Н (厶 т) не является разностным, но, исключая р в (26.20) на основе (26.23)

р = \ GT (力—r)dq (т),(26.24)

о

можно получить интегральное уравнение для q (力)можно получить интегральное уравнение для q (力)с разностнымс разностнымядром.ядром.

можно получить интегральное уравнение для q (力)

можно получить интегральное уравнение для q (力)

с разностным

с разностным

ядром.

ядром.

§ 27. Контактные задачи

с переменными границами областей контакта

Основными контактными задачами, различающимися по методам их решения, являются: задача о нагружении штампа, в которой предполагается, кто взаимное сближение контактирующих тела ⑴ не убывает во времени, задача о первой разгрузке, в которой а (0 сначала возрастает и затем убывает во времени, задача о повторных нагружениях — разгрузках, задачи качения и скольжения штампа по границе другого тела. По всем этим задачам имеются исследования [43]. Первая задача имеет простейшее решение [44]: если известно решение задачи упругого контакта, то решение для вязко-упругого тела получается заменой упругих констант операторами по основным функциям релаксации и ползучести, доказательство будет дано ниже. Задачи о разгрузках и повторных циклах исследованы в работах [45, 46, 47], и схема их решения также будет приведена. Имеются некоторые исследования динамических контактных задач [48].

Нагружение выпуклого штампа. Для примера рассмотрим процесс вдавливания симметричного выпуклого штампа в вязко-упругое полупространство. Обобщения на случай криволинейных границ вязко-упругих тел после этого решения становятся^ очевидными. За основу принимаем приведенное в § 21 решение задачи о действии сосредоточенной силы Р (力) на границу полупространства. Для краткости письма обозначим функцию времени Q ⑴ и операторы над какой-нибудь функцией / (£)

Q⑴=Q。(0 -4[п(0 -|п(о)g%«)一

Г “/2(" _ T)dn(T)] = -^- [口⑴ + 扌 %G) — • •， о

(27.1)

Q{f^}-\Q(t-^df{x)'0一峙=1,

6

где П, g%— основные ядра, установленные в § 19—21, а выписанные два члена дают приближенное представление функции Q (力)с ошибкой не более з^ /4 сравнительно с единицей. Оси х17 х21 берем на поверхности, ось 力з направим в глубь полупространства.

Перемещение 〃з (力》х2, t) границы полупространства имеет выражение (21,9)

〃з=?{Р(т)/г},г =Vx[ ^(27.2)

Операторная запись （27.2）, следовательно, является сокращенной записью выражения

t

”3（r，t） =、Q（t — T）d[P ⑴/〃 о

Если на поверхности 力3 = 0 действует не сосредоточенная сила Р （Z）, а некоторая распределенная по границе полупространства нагрузка р （力1，力2，力），т0 перемещения от такой нагрузки в силу линейности задачи можно получить, заменив в （27.2） Р ⑴ на р （费， 寂，力）и проинтегрировав по области контакта.

"3 （r,力）三缈=* &包尹f}电眼，（27.3）

‘max ⑴

где Smax （力）一 максимальная область, затронутая давлением р （力工,力？, ТУ к моменту т = Z, а

E = U（/-Ei）2 + （g —扇）2

——расстояние от переменной точки интегрирования р до точки с координатой 厂.

Рассмотрим контакт жесткого гладкого выпуклого осесимметричного штампа, ограниченного слабо искривленной поверхностью

& = g （尸）+ const.

В начальный момент штамп касается полупространства в точке 厂=0力 затем нагружается силой 尸。（0 и вдавливается в полупространство （рис. 23）. По кругу радиуса г = a （t） штамп контактирует с полупространством. В круге поверхность штампа прилегает к поверхности полупространства и потому имеется условие контакта:

必（J 力）=а （力）+ g （г） для 厂 & 〃 ⑴，（27.4），

р （г,力）=0для 厂 > а «）.（27.5）

Здесь а （力）=〃з （0, t）——перемещение штампа относительно бесконечно удаленных точек полупространства.

Для того чтобы поверхность полупространства у границы области контакта оставалась гладкой, необходимо, чтобы при 厂=а （力）давление контакта р （г, t） было конечно. Поскольку из конечности р （г,力）следует конечность Q {р （г, т）}, то по мере надобности будем использовать одно из этих условий.

Из （27.3）, （27.4）, （27.5） получаем соотношения

§ 殳迎『）3 = а ⑴ + g ⑺， 厂 < а （0，（27.6}

Smax ⑴

?（厂，力）=0, г>а⑶，（27.7）

p （r, t） конечно при 厂=〃（力）.

Контактная задача состоит в том, чтобы по заданному перемещению а （力）найти силу 尸。（力）,действующую на штамп или наоборот. Однако более удобна параметрическая формулировка задачи: по заданному радиусу

(27.11)(27.11)

(27.11)

(27.11)

Рис. 23.

Вдавливание штампа формы。(г) в полупространство

круга контакта а (力)необходимо из условий (27.6), (27.7) определить контактное давление р (厂,力),силу Ро (力)и перемещение штампа а «)・

В рассматриваемый период нагружения штампа при возрастающем а (力)радиус а ⑴ монотонно растет, и потому область Smax (0 интегрирования в (27.6) совпадает с границей г — a (t) выполнения этого условия. Введем новую функцию

9 0") = Q{P (^ т)}.(27.8)

Дл я ее определения из (27.6), (27.7) получаем контактную задачу теории упругости

5 包号哄=a") + g&),Y")，(27.6)，

g(厂，力)= 0,厂〉a⑴.(27.7)‘

q (r, Z), конечно при 厂=〃(方).

Решение этой контактной задачи известно

g&,力)=gVS")三亲 \ Ag(p) 5(Г，p，аg))如， о

a⑴=硏⑴三 \ Ag(p)pArth|/ 1-壽/p，(27.9)

о

где

2兀

X arctg ^^^^，(27.10)

a (t) 了戸十 p2 ——2rp cos q>

Д — лапласиан.

Поскольку (27.9) справедливо в любой момент нагружения, из (27.8) найдем контактное давление р (г,力)

p&/)= 0-1{次(г，t)},

где Q~i —— оператор, обратный по отношению к т. е. ядро Q^1 (力 —— т) является резольвентным по отношению к ядру Q (力 ——т), определенному (27.1). ，

Итак, решение построено: перемещения внутри тела будут равны упругим, т. е. параметрически через а (力)зависят от времени,

%(3, 0 = 〃/ (“к *)，

а напряжения, включая р (厂,力),получаются из упругих заменой упругих констант на операторы, причем они зависят от всей истории процесса контакта.

Проинтегрировав давление р (厂,t) по кругу контакта, можно найти силу У% (力)，действующую на штамп

а (т)

=等，1 { \ Ag (p) 了淤⑴…p^}・(27.12)

о

Соотношения (27.9) для а «) и (27.11) для 尸。(力)дают параметрическую зависимость контактной силы от перемещения. Из них ясно, что в этой параметрической форме, приводимой к виду

а (0 = а? (0 \ Ag (р) Arth уТ^рЕ龙， о

1

〃з ⑴ \ Ag (р) у 二14 砲= ^Q{P.⑴}三 о

三部 О"®。⑴，(27.13)

и

Р = 〃 ⑴ E, \g^ = ~ A；g (啕，

где △匕 ——оператор Лапласа по переменной 自,соотношения вязко-упругого контакта получаются из таких же соотношений задачи теории упругости простой заменой произведения Q (О)Ро на оператор Q {尸。(т)}. Это — общее свойство всех контактных задач в стадии нагружения (возрастания а при возможном убывании 尸。)до конца решает вопрос для стадии нагружения. Конечно, форма поверхности g (р) штампа не может быть совершенно произвольной, точнее, вопрос о выпукло-вогнутых формах иногда требует дополнительного выяснения пределов применимости (27.12).

Если в окрестности точки контакта поверхность тела представлена сферой радиуса R,

g(Р)= Р2/22? + const, Ag (р) = 1/7? = const,

то из (27.12), исключая а «), получаем известное обобщение решения задачи Герца

急 RM") = Q {马⑴} = \ Q (力一T)dа (T). о

Стадия разгрузки. Пусть до момента 力= J радиус 〃(力)как-то возрастал и с этого момента убывает (рис. 24). Особенность этого этапа заключается в том, что область интегрирования Smax (27.6) больше области действия условия контакта (27.6)'. Требуется так преобразовать (27.6),

Рис. 24. Задаваемое изменение радиуса круга контакта со временем

Рис. 25.

Область зависимости перемещения штампа от истории процесса (сплош* ная линия)

чтобы область интегрирования совпадала с областью действия этого условия. Введем новую функцию

gi(r")=gi(r")=缈 &, %),缈 &, %),*W力i.*W力i.a") 十 g ⑺，£)忆a") 十 g ⑺，£)忆(27.14)(27.14)

gi(r")=

gi(r")=

缈 &, %),

缈 &, %),

*W力i.

*W力i.

a") 十 g ⑺，£)忆

a") 十 g ⑺，£)忆

(27.14)

(27.14)

где w (r,力)= 〃з — известное уже перемещение в стадии нагружения, и, следовательно, функция gx (г,力)известна при t < * для любого 厂.Вместо (27.6) теперь необходимо поставить условие контакта в виде

(27.6)"(27.6)"§ ll£|^dE = g]&,t), r<a(0-

(27.6)"

(27.6)"

Smax

Зафиксируем некоторый момент разгрузки 力？〉力「 Равенство (27.6)" справедливо в прямоугольнике

О W 力 М%2,О W 力 М%2,и потому можем его придем к равенствуи потому можем его придем к равенству« p(p")迎S/切« p(p")迎S/切0 W 厂0 a(力2), умножить на обратный операторДЛЯ t ^^^ 力2=屯г卜式Г，t)}.0 W 厂0 a(力2), умножить на обратный операторДЛЯ t ^^^ 力2=屯г卜式Г，t)}.0-1 (27.1); тогда0-1 (27.1); тогда(27.15)(27.15)

О W 力 М%2,

О W 力 М%2,

и потому можем его придем к равенству

и потому можем его придем к равенству

« p(p")迎

S/切

« p(p")迎

S/切

0 W 厂0 a(力2), умножить на обратный оператор

ДЛЯ t ^^^ 力2

=屯г卜式Г，t)}.

0 W 厂0 a(力2), умножить на обратный оператор

ДЛЯ t ^^^ 力2

=屯г卜式Г，t)}.

0-1 (27.1); тогда

0-1 (27.1); тогда

(27.15)

(27.15)

力2{g«，e)}，Гm"⑸)；0(厂,%)=0,厂>〃(力),力2{g«，e)}，Гm"⑸)；0(厂,%)=0,厂>〃(力),В момент 力2 имеем

力2

{g«，e)}，Гm"⑸)；0(厂,%)=0,厂>〃(力),

力2

{g«，e)}，Гm"⑸)；0(厂,%)=0,厂>〃(力),

(27.16)(27.16)§丄(泸I迎=оT Sa©)

(27.16)

(27.16)

причем р (г,为)конечно при г = 〃 (Z2).

Условия (27.16) суть условия некоторой фиксированной упругой контактной задачи, решение которой известно,

a (切「 t

P&"2)=击 \ Д [^1 { gi (P，^ н (^, P, a (0) dp. 0т

ta (/)t

Qf{a")}= \ ^^{g^r^Hir^^^dp,(27.17)

т0т

где H (厂,p, a (力))——известная функция (27.10). Момент ^2 был, произвольным, следовательно, в любой момент разгрузки решение построено.

11 А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря

После некоторых преобразований получим

а^^аУ^)^ Q{ Qt{屮")一冲"1)]无(j - 7(%)}}, (27.18)

a (0

00(力「2h ， p(p)pdp;

о .

h ——единичная функция Хевисайда; Т (力)——момент нагружения такой, что а (Т (力))=a (力)(рис. 25). Поскольку в выражении (27.18) t 巨工》見》 ^ T (x) ^ T (z), получаем, что перемещение штампа (как и пермещения внутри тела) не зависит от истории процесса контакта до момента Т (%), кохща впервые радиус области контакта станет равныai а (力),т. о. перемещение зависит лишь от «горба» траектории нагружения — разгрузки (сплошная линия на рис. 25). Напряжение в теле, как и контактное давление, не зависит от истории контакта начиная с Т (力),т. е. зависит от «усеченной» траектории нагружения ——разгрузки (пунктирная линия на рис. 25).

Повторные нагружения ——разгрузки. После нагружения и разгрузки при повторном нагружении область контакта снова начинает увеличиваться. До момента t3 (рис. 26, а) облась интегрирования больше области контакта 5 (力)и ни один из двух предыдущих методов не пригоден. Не приводя выкладок, дадим качественную картину процесса повторной нагрузки на основе результатов, полученных в работе [45], и диссертации этого автора [46].

На контактное давление (а следовательно, и на напряжения в полупространстве) влияет не вся история контакта, а лишь ее часть, когда область контакта была меньше области S (力)(пунктир на рис. 26,6), на перемещения влияет только «горб» траектории, т. е. та часть траектории, когда область контакта была больше S (力)(сплошная линия на рис. 26,6).

В частности, в момент % (рис. 26,〃), когда область контакта достигла своего максимума при первой нагрузке, перемещения становятся равными упругим при том же размере области контакта и далее перестают зависеть от истории процесса контакта, а напряжения, напротив, «вспоминают» всю историю контакта. Начиная с момента % решение можно строить так же, как и при первом нагружении.

Этап повторной разгрузки решается тем же методом, что и этап первой разгрузки (рис. 26, в). Как и при первой нагрузке, контактное давление и напряжения в вязко-упругом полупространстве зависят от «усеченной» траектории нагружений ——разгрузок (рис. 27, пунктирная линия) и не зависят от истории процесса контакта в интеравалах, в которых область контакта была больше S (力)・ Перемещения точек полупространства зависят лишь от «горбов» траектории (сплошная линия на рис. 29).

Итак, первые четыре этапа контакта исследованы. Решения для следующих этапов строятся аналогично и имеют аналогичные свойства. Так, если в момент n-го нагружения область контакта превосходит область контакта во все предыдущие моменты, то перемещения в полупространстве перестают зависеть от истории процесса контакта и будут равны перемещениям упругой контактной задачи. Контактное давление, как и напряжение внутри тела, зависит в этот момент от всей истории процесса контакта.

Рис. 26・

Изменение радиуса круга контакта со временем

а — до момента i3 область интегрирования больше области контакта; 6 ——Ti, Тг-'после- довательные моменты времени, когда радиус круга контакта становится равным а«）； в ——дальнейшее изменение радиуса к руга контакта

Рис. 27.

Области зависимости перемещения штампа от истории процесса

Рис. 28.

Изменение со временем координат точек границы контакта

Все рассуждения проводились на примере осесимметрической кон* тактной задачи, но аналогичные построения приводят к решению плоской и других контактных задач вязко-упругости, и решения имеют те же свойства, что в осесимметрическом случае. Не обязательно штамп должен быть выпуклым; в случае двух и более областей контактов пригодны те же методы построения решения по этапам. В плоской контактной задаче понятие процесса повторных нагружений — разгрузок может быть расширено: некоторые случаи неустановившегося движения штампа по полуплоскости можно рассматривать как процесс повторных нагружений- разгрузок на передней а （力）и задней Ь （力）границах зоны контакта （рис. 28）, где a （t） и b （力）——координаты точек границы контакта. Такого вида движением штампа можно приблизить его произвольное неустановившееся движение. Приведенные методы построения решения вязко-упругой задачи распространяются на задачу контакта в условиях полного сцепления и некоторые другие.

VIII. Нелинейная теория связи напряжений с деформациями

За последнее время в полимерной промышленности появилось большое количество новых материалов, которые ведут себя при нагружении довольно сложно и не описываются линейными уравнениями теории вяз- ко-упругости. Для металлов, сплавов, бетонов явления ползучести и релаксации вообще плохо описываются линейной теорией [49].

Теории, основанные на чисто молекулярном представлении, пока еще малоэффективны и дают только качественное описание явлений. Однако практика требует количественных аналитических расчетов для физически и геометрически нелинейных материалов. Использование эмпирических соотношений или простейших реологических моделей для описания поведения под нагрузкой тел из таких материалов дает только грубое приближение. Поэтому необходима разработка уравнений состояния, достаточно общих для того, чтобы описывать как линейные, так и нелинейные реологические свойства, хотя первые работы в этом направлении относятся к середине прошлого века [50—52].

В последнее время рядом авторов были предприняты попытки исследования основных положений механики сплошных сред, исходя только из общих математических и физических концепций, используя, например, изотропию пространства и среды и т.п. [1, 3, 53—58]. В этой главе, излагаются общие методы определения нелинейных функциональных связей, используется постулат изотропии и условия взаимности, существенным образом упрощающие теорию, а также понятие главной нелинейной теории, являющейся уже вполне приемлемой для практических целей. Деформации при этом предлагаются малыми.

Общие нелинейные соотношения 13]

Эвристические соображения, использованные в гл. I, распространим на случай физически нелинейных систем. Разобьем интервал времени О W т & 力 на некоторые подынтервалы 0 = т0, т1?...,тЛ = t (рис. 3). Напряжения, действующие в соответствующие моменты времени, обозначим: 0订(т0), о订(兀1),・・・,0订(тЛ). Каждое из этих напряжений действует в течение некоторого малого промежутка времени Ад = 5 — тг_1? так что все эти промежутки полностью заполняют интервал 0 W с 0 力.Температуру физически малого объема V будем считать пока постоянной и примем основное допущение: тензор деформации е^ в момент t зависит от всей

истории развития напряжений afj (т) О W t & 力.Таким образом, деформация в момент t образована действием всей совокупности импульсов компонент тензора напряжений afj (т0)Ат0, a^j (тх) Ат1?...,а^ (тл)Атп. Каждый такой импульс делает вклад в величину деформации с некоторой функцией влияния.

Для каждой компоненты тензора напряжений функция влияния будет своя, а для того чтобы учесть все линейные вклады таких импульсов, нужно просуммировать их для каждой компоненты тензора деформации, т. е.

2 K^jki (”，％) 0腹(％) △%•(28.1)

р=0

В линейной теории рассматривались только такие вклады (см. § 2).

Следующим приближением будет совместное влияние двух предшествующих импульсов напряжений о订 в моменты 工川 и т^. Это влияние будет пропорционально произведению импульсов от каждой компоненты тензора напряжений в соответствующие моменты времени на совместную функцию влияния пары

2 2 &汴"1卜2,2 (%, тр, %) 〃“](%) 0^2 (%) Ар/%.(28.2)

р=0 q=0

Импульс в момент тр не может оказать влияния на импульс в момент времени rQ при 工卩〉t。， ибо учитывается только история напряжений образца в прошлом, а будущее влиять на историю не может. Поэтому-то в написанной выше сумме второе суммирование производится до р. Следующим приближением будет совместное влияние трех импульсов компонент тензора напряжений, действующих в три разные момента времени с функцией влияния совместного действия трех этих напряжений, и т. д. Общий вклад в тензор деформации от этих импульсов будет равен сумме всех линейных вкладов, квадратичных, кубичных и т. д.

Переходя к пределу при п ь-> оо и устремляя наибольший интервал времени Ат» к нулю, получаем из приведенных выше рассуждений соотношения для произвольной анизотропной нелинейной вязко-упругой среды в следующем виде:

(") = \ k*仇(力，口)8办(q) dxi + о t t

+ \ \ К乳財2 (力，q,小)加亿(q) a品 e) к% + ...

о о

t t

• • • + \ • • • \ ^-ijiiji. • Jn (%，°1，• • •，°n) 0右力(°1) • • •

О О

• • • °玩/九(^n) dq • . •'吃 + . ..(28.3)

Из построения соотношений (28.3) очевидны многие свойства введенных ядер К§爲….％九(力 q,..., тл), зависящих от： n + 1] переменных 厶 q, &,…；小・ Во-первых, эти ядра К芻力…％% (力 q, тл) должны быть сим-

метричны по переменным т^ (X = 1,2,...,п), так как, например, для ядра К(2)имеем

" к洶財2（力e1，t2）5办"1）。切2（t2）九1/2 二

О О

-\ 0如1 （e1） dq、k"%"/% （%，p1，t2）0働2（p2）dp2 ~

о

(28.4)(28.4)=% \，К黑齒2 (%, G,小)6办(亮)*2 (r2) dqdj.

(28.4)

(28.4)

Далее,Далее,о о•

Далее,

Далее,

в случае отсутствия существенной необратимости изменения

/区⑺(九 а, ••••%)3 = 1,2,...,初апм …％”，(汽=1,2,..., 8)./区⑺(九 а, ••••%)3 = 1,2,...,初апм …％”，(汽=1,2,..., 8).(28.5)(28.5)состояния рассматриваемого тела, когда отдаленные по времени дефекты «залечиваются», чем более удаленным является хотя бы один из рассматриваемых моментов времени xh (% = 1,2,...,〃), тем меньше функция влияния; если два момента тх и т2 удаляются от момента 力 их влияние ослабевает, если к моментов времени т1? T2,...,rfc удаляются от момента t, их влияние ослабевает еще сильнее. Значит, можно написать следующие неравенства:

/区⑺(九 а, ••••%)3 = 1,2,...,初

апм …％”，(汽=1,2,..., 8).

/区⑺(九 а, ••••%)3 = 1,2,...,初

апм …％”，(汽=1,2,..., 8).

(28.5)

(28.5)

Их этих рассуждений, видно, что ядра К^ не могут зависеть от разности любых двух аргументов т^,тг (左用 ％)(左,％ = 1,2,...,п), так как иначе бы совместное влияние напряжений в некоторый момент 17n (т 力 A, 加 f 2) и двух напряжений в моменты 工丸 и q оставалось бы неизменным, а сами моменты хк и т； как угодно удалялись от момента 力.

Таким образом, если соотношения (28.3) инвариантны относительно начала отсчета времени, то ядра 衣然曲^…％“(力 G，т2,...,тп) будут яд

рами разностного типа, т. е.

К爲 =•%〃(%，%,•••, tn) = К 编…％?•九(力—х^ .. . ,t — ,%)•(28.6)

Ядра 衣!多?九…％九 (力 т1?...,тп) представляют собой тензор 2 (1 + ^) ранга и называются ядрами ползучести n-го порядка. Для произвольной анизотропии существует симметрия этих ядер по индексам 力,/; ip, jp и по парам индексов ipjp, %%伪，q = 1,2,...,n).

Если существует симметрия по парам индексов X/ и ip/p, то будем говорить, что выполнены «условия взаимности» [59]

=*皆/缶…%1%-1订力П"+1…7%•(28.7)

Для упругой среды эти условия выполнены всегда в силу существования упругого потенциала; в случае линейной теории условия (28.7) выполняются, если использовать принцип Онзагера [60, 61].

Соотношения (28.3) можно обратить, т. е. поменять местами тензоры деформаций и напряжений в наших рассуждениях и выразить тензор напряжений через тензор деформаций

0灯(") = \貝%1 (力q) £订" (q)"q+, ' r皆伉片也焦,n,小)现印(g)父 0о о

X &2)2 «2) 〃兀回小 + • • • + \ •…、-^b^iji -.Лп jn (%, Ti,…，％) X о о

X ^iiii (°i) • • • £%% “71)dt工…d^n + ...(28.8)

Ядра 貝必-AJn (力 兀工，・・•，兀九) представляют собой также тензор 2 (1 + п) ранга и называются ядрами релаксации n-го порядка. Строгое доказательство разрешимости соотношений (28.5) в виде (28.7) и явное выражение ядер релаксации Г総九(力 т1?...,тп) через ядра ползучести будут даны в следующей главе.

Частные случаи механической анизотропии

Наличие определенной симметрии среды приводит к наложению дополнительных условий на ядра К^ и Г(п) уравнений (28.3) и (28.7). Рассмотрим изотр опные среды. Как уже было отмечено в гл. IV, свойства этих сред инвариантны по отношению ко всем преобразованиям ортогональной группы. Поэтому тензоры К^ и [5)в прямоугольной декартовой системе координат можно представить в виде комбинации дельт Кронек- кера.

Тензоры ползучести и релаксации первого порядка согласно формулам (2.2) выражаются в следующем виде:

К%(力t) = k⑴⑴(力r)^SH + k⑴⑵(力E) ◎"Y+诟6氷].；(29.1)

Тензоры ползучести и релаксации второго порядка имеют вид

к鼠тП (£, G, г) = k⑵⑴(力"工"2)诟叫田睜+ K⑶⑵色q,小)x

x 也也/配 + ^ifikn^lm] + К⑵⑶(%, q, t2) [^i^ ji^mn + ^il^jk^mn +

+ ^im^jn^kl + ^in^jm^kl] + К⑶⑷(力久，t2) [^i^jm^ln +

+ ^ik^jn^lm + ^il^jm^kn + 6j 夜加 6^ + ^im^jk^ln +

十 6恤6〃6^ + ^in^jk^lm + 6卽3曾6^].(29.2)

Аналогичные соотношения можно записать и для ядер более высокого порядка [59]. Подставляя эти представления в соотношения (28.3) и проведя соответствующие свертки, мы получим следующие выражения [62]】：

(0 = *)(%) + 碍)(%) +虜)(%) + …，

*)⑴=6万， k⑴⑴(力n) *MG)dJ + 2 ， К⑴⑵(力G)0订(L)九1, оо

t t

鹃(0 =毓\ \ К⑵⑴(%, GE) OkE (tl)山“2)布工九2 + о о

+ 2&八\ К(2)⑵(小工"2)О/〃( J) 0底(Т2)九小2十 о о

£ t

十 4 ， \ к⑵⑶(%，g, T2)Oee (j)期(匕)dx^ 十 о 0

+ 8 \ \ К⑵⑷(力，q, r2) 0林(％) jj(T2) Z1dp2,(29.3)

о о

1 Соотношения (29-3) для суммы однократных и^двукратпых иитсгралов даны в [63].

圖)(0 =诟 \ \ \ К⑶⑴(£, G, т2, 口)％ (J)0〃 (т2) oww (т3) djdt2dtз+ ООО

t t t•

+ 6。力 \ \ \ К⑶(2)(九 J"2"3)味(J) 0bH“2)。從不2)也的2dТз + ООО

t t t

6 5 И К ⑶⑶"，J T2, r3) 6kk (J) 0〃(J) %j (q)几仙2九3 + ООО

+ 12 \ \ \k埶4)(九。1宀八3)0方《1)*(1：2)期(工3)九1%也3 + ООО

t t t

24 W К⑶⑸(% J, r2, r3) %E (G)。曾 “2)0叮(工3)dqdjdR + ООО

t t t

48 \ \ \ К⑶(6)(力 q, т2, R) °泳(G) 5z “2)叱(R) d块讨门十

0 0 0 t t t

+ 86 办 - V K⑶⑺(力兔，口，T3)義,(q) аm (砌 6林(T3) dqdj 九 3, ООО

Кажущаяся несимметрия записи уравнений (29.3) объясняется тем, что ядра ползучести К®)(從)(力 q, . . ., %) симметричны по переменным т1?工2，. . •，工九，и интегрирование по каждой переменной производится в одних и тех же пределах от нуля до 九 Поэтому, например,

力t

\ \ К⑵⑶(力,J、Т2) [^i^ji^mn + ^il^jk^mn + ^im^jn^kl + 62r^/目 X

0 0

t t

义。也(％) Omn (%) dxrdx2 = \ \ К⑵⑶(力 q,%)[。打(豆)Cmm (%) + О о

+。珏(Z) 0mm (R) + 0mm (J)。订(％) + ^mm (J)毋(R)] 〃豆九2 = t t

(29.4)(29.4)=4 \ \ К⑵⑶(仆1』)0mm (J)。灯 “2)%//•

(29.4)

(29.4)

О О

Часто для сокращения записи мы будем пользоваться операторной записью. Вводя интегральный оператор, мы будем обозначать его той же буквой, которой обозначено ядро этого оператора, снабжая сверху эту букву символом \/. Например, из (29.3)

t方t

\\\ К(з)(5)(力 п,М"з) % (豆)5/ (т2) % (т3) djdt2dq 三 ООО

=К^^^ (29.5)

Разумеется, точно так же можно записать соотношения (28.8)； используя выражение тензоров релаксации 貝爲…九“(力 q,・・・,тп) в виде (29.1) и (29.2).

В главе IV были выписаны тензорные базисы для среды с трансверсальной изотропией (13.8) и для ортотропной среды (13.12). На основе этих тензоров можно сконструировать тензоры ядер релаксации или ползучести для сред с соответствующим видом анизотропии.

Рассмотрим сначала трансверсально-изотропную среду. Тензоры ядер ползучести （и релаксации） первого порядка, т. е. тензоры четвертого ранга К$"（力 q）, выражаются через тензорный базис （13.10）

m曲⑵Q = r⑴⑴（力Q + k⑴⑶（力q）也川3就32 +

+ Y詆3i®] + К⑴⑶（力q）也九Y八+打九Y泊+ К⑴⑷& G） X （29.6） X 5з力3力3 九Ззв + К⑴（5）（^ rj [yik83j83i + yj^sfisi +

+ Уи^3]^3к + yjfisi^Sh^

Тензоры ядер ползучести второго порядка K^imn （厶 Z，т2） записываются в следующем виде:

К% 九（厶 JS） - К ⑵⑴（力，J r2）d3id3jd3kd3l бзтбзп +

+ К⑵⑵（九 J Т2）Гг；П/Гтп + М2）⑶（%, J, %） %5з加斤mn +

+ К⑵⑷（力，J т2） [^i^3j^3k^3lXmn + ^Зг^зХщ^Зтп ^зп ] +

+ К⑵（5）（%, J,工2, ） 丫订63"632637n63rl + К⑵（6）（厶 ％L，工2）[丫万丫卜2637n©зп +

+ 丫订°3k бз/Тпгп] + 衣⑵（7）（力，q, ^2） [ХгК^И^тп + XjkYilYmn + XimXlrl^jn + + XjmXniXin] + K2）⑻（九 q, T2） IX^Kr^ln + %iMlm\ +

+ K（2）（9）（£, J, T2） [^3i^kXjlXmn + ^3j^3kXilXmn + ^i^lXjliXmn +

+ ^3j^lXik（mn + ^3163772 YfczYjn + ^Sj^mXlzlXin +

-Г ^i^nXklXjm + бз^зпПгГгт] + £（2）（10）（九 “ ％）沁3沁з/lbn丫配 + + 6з心з加九丫^] + K（2）（U）（力 ％, T2） [бзгбз/сГутГ/^ + ^j^XimXln + + ^Si^SiXjmXlin + ^3i^3kXjnXlm + ^З^згТгтТ/сп + ^3；6з/г YinYZm + + ^3i^3lXjntkm + ^^j^dlXinYkm + Ti/c^3j^3m YIn + 丫汴63^63從丫阮 + + 丫底％Ззт 丫 Ы + Тг А^ЗпТ^т + 丫幫 63t^ЗтиПп + Xjk^3i^3n^lm + + Хз1^3пПт + Хи^ЗпХкт]十 К⑵（设）（九 ％, %） М/зк 自疗切 + + Xjm^l£^3lXin + Yi/cTj7^3m^Зп + 'X^il^m ^зп ] + К⑵（⑶（力 q, T2） X 义[丫仃Md從丫g + 丫灯632 637n7kn + 丫订бз/зп丫卜团 + ГАзкбзтгПт] + 十 К⑵（14）[^i^jm63id3n + 丫水七团自沁?九 + Тг1^]т^3к^3п 十

+ Yfk 丫 jn6343m + ХиТгт^Зк^Зп + 七应务^俗 3m + YjzYin^Bfc^m +

+ Xil7jn^3k ^зти ] + К⑵（15）（力，豆，。2）[丫认台3力32637n63九]+ К^6з2з,6зт6з?г + +匕力3力зк63Ти6зп + 丫〃63捡3上6377г 637г+丫恤济е63/3力3九+

4~ Xjm^31c^3l^3i^3n +丫仇63k63263?63m 十丫加63^6326326阮1 ] + + 衣（2）（16）（九 q,小）[63拉з/^тбзс63rl 十 ^3i^3jXlm^3k ^3n] + + ^3i^3;Yjfn^3zS3m + ^3i^3j^ln^3k ^3m ]十灭⑵①）（力，J, %） X X [YiiYjmTfcn + ^jk^inYIm + YjzYimTfcn + 丫”丫in丫Em + 丫ij/Tjn丫2m +

+ YizYjnTfcm 十 丫ikYjm丫Zn + ^jk（im（Zr»] •（29.7）

Аналогичным образом конструируются тензоры ядер ползучести более высокого порядка.

Подставляя выражения （29.6） и （29.7） в уравнения （28.3）, получим общие соотношения между напряжениями и деформациями трансверсально-

изотропных сред

&订⑴-岗)⑴ + 増⑺ + …+ &?(%) + •••,(29.8)

где 圖 ⑺ задаются соотношениями (13.11), а 嚕(%) имеют следующий вид:

eS (%) = \§ {К⑵⑵(厶 т1? т2)[ % (j) +。22 (J)】[0n (R)十 &2(4)1 + о о

T一к⑵⑸(力 T1?t2)033 (T1)。33 (p2)+ 2K⑵⑹ 0зз (t1) X

X ["1"2)+。22"2)]十 4K⑵⑺(%, %,1:2)d。"1)[011(T2)卜32"2)] +

T 2K ⑶⑻(^, T1, T2) [on (j) Ji "2)+022 (p1)02.2 (p2)卜

T - 2。12 (p1) 012 (p2)1 + 4K⑵Q" (4,t1, R)033 (%) Oaa "2)+

+ 4K⑵°)(力 J, %) [013 (p1)013 (p2)+023(G)。23 (p2)1 +

+ 8K⑶a4)(力, J,%)0аз (t1) ОаЗ (T2)+

十 8K⑵(17)(力豆，％) Ga (G) 01a “2)+ 02a (%) O2a(T2)]} dj dR.

〈々 = 1,2〉

朗)(")=\ \ { К ⑵⑴(""1"2)。33(J)。33 "2)+ k ⑵⑶(力"1, Т2)X 0 0

X[011"1) + 32(J)]) [。11(%) +。22(з)]+2К(2)⑷(力 j, 0) Х

X ^33 (Tl) [^11 (T2)+。22 (工2)1 T 2K⑵3°)(t, Tx, T2) [on (工1)。11 (т2)4 +。22 (Tl) 622 (T2)+ 2^12 (j) c12 (T2)l + 4衣(“*"(厶 G,工2)X (29.9) X [。13 (П)。13 (%) + Зз (J)。23 (R)]} 〃J d%・

；£醴‘(")=' \ 8K⑵⑺(力，J T2)^12 (Tl) [^11 (T2)+022 (t2)1 + О О

+ 8K(2)(12)(厶 ％宀)033 (%) J? (%) + 1 6«⑵ В)", J, %) X X。13 (q)023 (T2)+ 16K⑵a"(2 , G,t2)012(p1) X

X [0ii(R)+ ”2(R)]}djdt2・

ваз (4) = \ \ {8心(9)色 J,/) ОаЗ "1)[。11(R)+。22 (%)] +

О О

+ 16j^2)QD (%, T1, T2) [0al(J)013 (T2)+ 0a2 (T1)023 (t2)1 +

+ 8K⑵(15)(力 J, %)。33(G)Оаз(3)} d J d%.

〈a = 1, 2〉，

Рассмотрим теперь ортотропные среды. Ядра ползучести первого порядка выписываются в следующем виде:

К晶9T)= k⑴⑴色t)包产^ + &終〃 +%終加+ K⑴⑶(4")X

X [PijP/cZ + ?il^il + В泳Biz] +《⑴⑶(厶 E) [Xij^kl + 丫证丫〃 + + YjfcTiz] + К⑴⑷(力t)%0底+ К⑴⑵色t)%•丫k? +

+ К⑴⑹色т) B炉^ + K^\t, т)瓦产底+ k⑴⑻(力")七生叶 + к⑴⑼(九 t) 丫濟^ + 衣⑴ao)(%") m铮〃 ++ (29.10)

+ ^jk^il + ^jl^ik^ + К⑴(")(％，P)【&卜丫" + &Mk + 口九丫林 + 十 ^jlXik] + К⑴a2)(力t)[瓦仃〃 +隔丫泳+ В泳Y江+財

После подстановки выражений ядер ползучести (29.10) и подобных выражений ядер ползучести второго порядка, т. е. тензоров шестого ранга (последние приводятся в работе [64]), получим соотношения между напряжениями и деформациями для ортотропных сред в виде (29.8), где выражения £伊(力)задаются в (13.15), а £肾(力)имеют вид

竣?(力)=， "r⑵⑺(力 Z，%)。11(T1)。11"2)+ К⑵(a+3)(九 j,马)X о о

X 022(T])022(T2)+ k(2)(a+6)(九 工]，t2)633 (^) 633(T2) +

+ к⑵("+9)(力,J, T2)O12(T1)O12(T2) + K(2)(a+12)(^, T1? T2)O23(T1)(523(T2)-|-

+ K(2)(a+15)(力 %, %)。31"1)。31"2)+ К⑵(a+® (九 J, j) X

x ^11 (Tl) ^22 (T2)+ K(2)(a+21) (%, J, j) &2 (工1)。33 “2)+

+ K(2)(a+24)(九 x1? т2) o33 (тг) бп (т2)} dxr dx2.

党2 ⑴=\ \ {К ⑵"У (九 J %) Si (J) %3 (%) + К ⑵(丫+з°)(%, J, T2) X О О

X。22 (J) %В (%) + К⑵(丫+33)(%, J, %)。33 (J) M(Т2) +

+ К⑵"36)(£,%,%)&(%) (%)}九1九2・(29.11)

〈々В В 方丫，a, В, 丫 = 1, 2, 3〉

Число независимых компонент для тензоров различных рангов, инвариантных относительно некоторых групп, характеризующих данный вид анизотропии, подсчитано в [65]. Условия взаимности (28.7) позволяют сократить число независимых скалярных ядер, входящих в соотношения между напряжениями и деформациями. Так, например, при выполнении этих условий, в уравнениях (29.3) для изотропных сред появляются дополнительные соотношения

k⑵⑵=к⑵⑶,及⑶(2) = k⑶(3),К⑶(5)= К⑶⑺.(29.12)

В уравнениях (29.9) для сред с трансверсальной изотропией будут выполняться дополнительные условия на ядра в виде

К ⑵(U)= К ⑵(14)К ⑵(U)= К ⑵(14)(29.13)(29.13)

К ⑵(U)= К ⑵(14)

К ⑵(U)= К ⑵(14)

(29.13)

(29.13)

К⑵⑷=К⑵⑹К(2乂7)= k(2)(8),

Для ортотропных сред в соотношениях (29.11) следует в этом случае считать равными следующие ядра:

К⑴⑷=k⑴⑺，

К⑴⑹=К⑴⑼

К⑴⑹_ К⑴⑻

2K(2)⑵=R(2)(19)

2K ⑵(10)=R(2)(30)

2K⑵(16) _ К(2)(29)

2К⑵⑶=К⑵(25)

2 K⑵(и)=衣⑵(33)

2K⑵(17)「/2)(32)

2 K⑵⑷ =к⑵(20)

2K ⑵(12)= к ⑵(36)

2K ⑵(18) = K(2)(35),(29.14)

2K⑵⑹=r⑵(23)

2 K⑵(13)= К ⑵(28)

r⑵(22)^ К⑵(26)二 К⑵⑵乙

2 K(2)⑺=衣⑵(27)

2K(2)(14)= К ⑵(31),

К(2)(37)=К(2)(38)= k ⑵(39)

2K⑶⑻__ к⑵(24)

2 K⑵(⑸—-к⑵(34)

§ 30. Главная нелинейная теория вязко-упругости [3]

Как было уже отмечено в § 28, нелинейные ядра К(п> (力 q, . . ., тп) зависят от аргументов т1? т2, . . ., тп таким образом, что чем дальше удаляются моменты времени т^, тг (A, Z = 1, 2, . . ., п) от момента t, тем меньше функция влияния (см. (28.5)), т. е. значение этих ядер. Ясно также, что чем ближе моменты времени т1? т2, . . ., xk (k = 1, 2, . . ., п) к моменту t, тем больше влияние, оказываемое напряжениями в эти моменты на деформацию в момент времени 九 Эти соображения говорят в пользу того, что ядра К(п)(^, т1? . . ., тп) содержат сингулярные составляющие в виде б-функций Дирака. С другой стороны, из формулы (28.4), имеем

\ \ k鼠，з2 (4，工1，工2)0")1 (q)。/2 (p2)"p1 "p2 = 0 0

~ 2 \ a仇(q) dq \ К*11M2支(%, G, 3)必力(3)d%.(30.1)

оо

Рассматривая внешний интеграл правой части (30.1) и используя представления ядер первого порядка, данное в § 2 в виде суммы сингулярной и регулярной составляющих, заключаем, что в ядрах К订切山力(力 G，R) должна содержаться сингулярная составляющая в виде б-функции по разности двух аргументов t и t- Рассматривая внутренний интеграл правой части (30.1) и применяя те же соображения, заключаем, что ядра K^i^hj, «，q, т2) должны содержать также сингулярную составляющую по разности аргументов q и т2. То же самое, очевидно, относится и к аргументам t и т2. Другими словами, ядра К^ должны иметь следующий вид:

К⑵(力 J, R) = 6 (q — R)[蔚2)(力 ％) + 展汾(%, 3)] +

+ 6(% — q) K^ (力，т2) + 6 (力一з) К貝(力 ％) +；

+ к£)(6 (t — q) 6 а—3)+ 6(力一з)6 e — %)] +

+ 宜肾6 (右一Tj) 6(% — з) + 衣俨(力 G, R),(30.2)

где учтена симметрия ядер К^ по： аргументам тх и т2 и волной сверху обоз^ начены регулярные функции указанных аргументов.

Выписывая формулу, аналогичную (28.4) для интеграла любой кратности п, получаем t t

\ • • • \ К&)仇…％ 九(力 q, • • •, j) 6山(G)• • •。跟九(。卜)• • • ％ % (%) • • • о 0

it

• • • 6rl%"口九k• • • dq • . . dxn =2 \' 0'仇('i)* • •0%九(1k)...

оо

n—1(30.3)

• • •。％%4工工♦ • • d^k • • • dxn \ K；j?6\...tnjn (力 J,…4)。匕力0"入 о

Отсюда из тех же соображений немедленно следует, что ядра К^ должны содержать сингулярные составляющие по разности любых двух аргументов xk и Xi (А, 2 = 1, 2, • • ., п), а также 力 л t冗(А = 1, 2,・.・,п). Для сокращения записи множество индексов 垃由…％} яДеР 长(九)заменим одним

индексом а и будем писать вместо Kijij^-*injn просто К^. Чтобы установить общие сингулярные свойства ядер Х^ (力—— 工1，.・.,力——тп), введем некоторые обозначения для его аргументов [3]

Xi = t 一 т^, хц = 一 Xji = g — Xj = Ту — a, (% = 1, 2, . . ., w). (30.4)

(30.5),.• ., ^n) ~(30.6)(30.5),.• ., ^n) ~(30.6)Введем также двухиндексный символ 0订(х) по формуле 6(/0, когда% = /, 6(/灯)，когда ? R/.

(30.5)

,.• ., ^n) ~

(30.6)

(30.5)

,.• ., ^n) ~

(30.6)

Тогда наиболее общая форма сингулярных ядер К(* (力 q =К歐％,・..，ап) = К^)(а) будет иметь вид п

К0位) = X К您也力⑺氏缶(/)...％q⑺.

(iq, /q = 1,2,...，九)；В%% — 1・

Ядра K^ (а) должны быть симметричны по д (Z= 1, 2, . . ., п). Величины К(磔気・・iqjq образуют объект 2^-ранга и являются регулярными функциями п — q числа переменных а», причем не все компоненты этих объектов отличны от нуля, так как многие из них дают при подстановке в соотношения (28.3) либо £订=0, либо £订=ОО при конечных отличных от нуля напряжениях. Поэтому в разложении (30.6) могут участвовать не все комбинации'

氏缶В%% = 6 (/厶)6(02)• • • 6(/%) 6 (”练+i加+i)• • . 6(/%)，•(30.7)

Например, для объекта 衣(九)(^-D в выражениях (30.7) А ? 1, среди г1? /и ・・・,％п Jn должны обязательно присутствовать все числа от 1 до п. Какое-то число должно встречаться не более одного раза, другое не более двух раз и т. д. Если число 1 встречается хх раз, число 2 ——х2 раз и т. д., число п ——хп раз, то нужно составить все различные комбинации (30.7), в которых выполняется условие

% + % + . • • + 乂 n = M, Q W九,M V 2n ——1.

Это и означает, что число различных независимых компонент объекта К^1：2 ・ £九/九 будет! п (п — 1)/2 + 1, причем все они являются константами. Аналогичное исследование можно провести и для компонент объекта К^^~лп 九，которые будут регулярными функциями одной переменной.

Назовем главной частью ядер К(*&) два последних слагаемых в разложении (30.6), т. е. из всей совокупности объектов, входящих в (30. 6), в главную часть ядер К^(х) входят только объекты

к然匕乙?・х (/) и К^Лп九⑺• (30.8)

Нелинейная теория вязко-упругости, в которой учитывается только главная часть ядер К^ (а), называется главной нелинейной теорией вязко-упругости. Уравнения связи между напряжениями и деформациями в этой теории для произвольно анизотропной среды мы получим, подставляя в уравнения (28.3) вместо ядер К(^)их главную часть (30.8). Аналогично получаются и обратные соотношения, выражающие напряжения через деформации.

Рассмотрим изотропную среду. Чтобы получить уравнения связи между напряжениями и деформациями главной нелинейной теории вязко-уиругости для этой среды, нужно вместо скалярных ядер, входящих в соотношения (29.3), подставить главную часть этих ядер. В результате мы получим два различных типа слагаемых. Слагаемые первого типа не будут содержать интегралов вообще, а слагаемые второго типа будут содержать только однократные интегралы. Для того чтобы записать эти соотношения в более компактном виде, воспользуемся сверткой членов, входящих в слагаемые первого типа, основанной на применении формулы Гамильтона ——Кели [66], которая позволяет записать функциональную зависимость одного симметричного тензора второго ранга 匕订 от другого 〃订 в явном виде

0灯: А (八，厶，厶)6订 + a (ЛН а，/3)"订 + /3 (厶，厶，/3) ai ha uh(30.9)

где 厶，72, /3 — три независимых инварианта тензора a^ (см. § 1). Для свертки членов, входящих в подынтегральное выражение слагаемых второго типа, применим обобщенную формулу Гамильтона ——Кели для функциональной зависимости симметричного тензора второго ранга от двух тензоров такого же типа [67, 68]. В результате многочисленных выкладок имеем

法⑴=/1 (Q)诟+ % (Q)。订⑴+ /3 (Q) *⑴0打⑴+ t

+ - {% (P)站+典(p)。订⑺+拆(p)加№) +%(P)。瓜力凤№)+ 0

+ 05 (P)。我")"3") + 96 (p)2k ⑴。^⑴ +。认⑴。卜 7 ⑴]+

+ 07 (°) [^г/с ^)^Щ (0。叮(б + °г/с (X)^kl (0 Olj (01 +

+ 08 (°)[。我")Oja ⑴勿(力)+ 6k (%) O/U (0。叮(A】+(30.10)

+ 09 (P) [Ck (£) “Z (%) gm ")。的(t) + Gk")6Mt"zm«)。用(力}dq

где Q представляет собой совокупность аргументов функций /丸(А = 1,2, 3) от трех независимых инвариантов тензора напряжений, взятых в момент времени 力 а 尸一совокупность аргументов ядер q^= 1,2, . . ., 9), в которую наряду с аргументом t ——т входят следующие инварианты:

0(%)，0⑴，ве),%⑴，OH(OoZw (O^mUO，

^l^)^lm ^)^тк^10^⑴叫⑴，0加.)0^")0^(t)，

“Z (力)Sm ")。加")，。^⑴ Sm ⑴小⑴ ％k ")•(30.11)

Точно так же можно получить обратные соотношения. Для этого нужно в выражениях (30.10) и (30.11) формально поменять местами тензор напряжений о订 и тензор деформаций &〃.

Тензор деформаций и напряжений можно разбить на девиаторные и шаровые составляющие и написать уравнения связи между ними.

Тогда

t

&(%) = fi(Q) +\ 岂(尸)九，(30.12)

о

а девиатор деформации будет иметь вид, аналогичный (30.10), где будут отсутствовать члены с 5订，а функции /丸(6 = 2, 3) и ядра qk (А = 2, 3, ...,9) будут заменены на соответствующие функции и ядра с волной наверху.

Соотношения (30.10) могут быть записаны по-другому, в так называемой прямой тензорной записи, т. е. без использования индексного представления тензоров

Е ⑴=/1 (Q) / + %(Q) s (0 + /з (0)及(о +■

+\ {% (p" +#2 (尸)S⑴+ 03 (p) S⑴+ 04 (〃)夕⑺卜 0

十击(尸)炉(t)十以(尸)[S⑴s⑴十S⑴5⑴]+

十07(p)[S2g5⑴+ S (T)户⑴]+方(P)炉⑴5⑴+

+5⑴仅⑴]+击(Р)[52⑴炉⑴+户⑴52⑴]}公，(30.10)

где I ——единичный тензор. В дальнейшем мы будем использовать как запись (30.10), так и запись (30.10)'.

В заключение заметим, что если в соотношениях (30.10) исключить аргументы, соответствующие моменту времени t в подынтегральном выражении, то соотношения (30.10) примут вид

8и (0 = /1 (Q) %• + /2 (Q)。订⑴ + /з (0) Sk ⑴。次?•(%) +

+ \ {d (P) 6订 + g； (P)。订⑴ + 齿(？)。诚⑴ “j")}九(30.13)

о

или

Е (%) = /1(。"+%《”(%)+、/з(。)S2 ⑴十

^\qi(P)I+ Q^S^ + q^S^ ⑴} d% о

где Q является, как и прежде, совокупностью независимых инвариантов тензора напряжений в момент 力 а 尸 в этом случае представляет собой совокупность следующих аргументов:

力一I，0化)，。価⑴，det I s加.(30.14)

Квазилинейная теория вязко - уиругост и

Назовем квазилинейной теорией вязко-упругости теорию, базирующуюся на соотношениях (29.3) изотропной среды, в которой справедливы следующие два предположения:

Справедлив постулат изотропии [69], который в применении к соотношениям (29.3) означает квазилинейность (тензорную линейность) этих соотношений Ц], [3].

Выполнены, условия взаимности, определенные в (28.7).

Из предположения 2 следует, что в соотношениях (29.3) будут выполнены условия

К⑶⑵(力g，马)=r⑶⑶亿%%)，К(3)(2)色g，马，0)=

= к(3)(3)(力 q,马"3)，К0)®)色豆，马，Q = K®)⑺(力 б马宀)，(31.1)

А из предположения 1 —

К⑶⑷(力q, T2) = к(3)(5)«, %0卢3)=k⑶⑵色匕马，Q - 0.

(31.2>

Однако из этих двух предположений вытекает еще одно важное следствие. А именно, в соотношения (29.3) не будут входить скалярные степени тензора о订 порядка 九》3 [59]. Скалярной степенью тензора о〃 порядка т называется следующее выражение:

SM(J)0鳥乱3 “2)“mT% (t*l) 0卜諸1 "m)・(31.3)

В самом деле, предположим, что это не так и в соотношениях (29.3) встречается выражение вида (31.3). Тогда оно должно являться некоторой частью тг-кратного импульса n ^ т, т. е. в разложении деформации по интегралам возрастающей кратности (28.3) под знаком n-кратного интеграла будет стоять выражение

噌三K*.♦・'тп'тп…％ 兀 «，°1，♦ • '• г °п) 8山"1) ♦ • •

• •。^几“团)^yi^tS^^*(31.4)

Так как тензор К^ является изотропным, т. е. представляется в виде всевозможных наборов из дельт Кронеккера, составляющих тензор 2( 1 + п) ранга, то одним из таких наборов будет выражение вида

Xi自炒2许小.• •自*1)/加,工(31.5)

где Xjj есть либо 5订,либо 8iip8jjp (m < р W 九尸,а У — набор из дельт Кронеккера В%%(т^ < q,尸《汽). В этом случае выражение (31.4) будет иметь вид

/£?)= К^п^ (^, Тх, . . Тт, . .%) {Xjjb切处?^ • • • ^1т—1^т^1т^ 乂

X 6仇(n)0/?％ (7)・• . ^^ (5)•一0%%(%) H}・(31 • 6)

Используя предположение 1, т. е. тот факт, что выражение (31.5) симметрично, например, по паре индексов ij и %仇，будем иметь из (31.6)

，呼=К(П)(* (力,J, . .^т» • • • ? ^n) {^■iiji^ih^Wa • • •

• • b^Tm^m/S挑(Tl) • • •，％Jm "团)• • • %in(Tn) H }=

=K(Tn) {X^j^^^ (тг)。阻2 (工2)^гзгз (Т3)* * * (31.7)

…％—2 %—1 (F -1) 87n—/ (f) У。％十1 j 7n+i (F +1)…％ jn(Tn) H}

Подчеркнутое выражение в (31.7) представляет собой тензорную степень тензора о订 порядка m ——1 и может быть оставлено в выражении (31.7) по предположению 2 только в случае, если оно линейно, т. е. тп《2. Если же m ^> 2, то ядро в (31.7) должно быть положено равным нулю. Таким образом, в соотношения (29.3) могут входить только скалярные степени тензора первого и второго порядков.

Как следствие из этой теоремы получается независимость соотношений, связывающих напряжения и деформации в теории малых упруго-пластических деформаций от третьего инварианта, если считать справедливым постулат изотропии (для доказательства нужно представить ядра К^ в виде б-функций). В частности, если имеется изотропная функциональная связь между двумя тензорами b方 и 〃订,то при выполнении условий взаимности общая квазилинейная зависимость одного тензора от другого будет

В случае, если ?п = тг, то р = % и выражение X灯 имеет вид 6万.

иметь вид

b订=①1 (a，厶)5订+①2 (八，厶)"订，

где，i и，2 ——прямые два инварианта, что следует после применения формулы Гамильтона ——Кели (30.9) к доказанной выше теореме L

Скалярной степенью первого порядка тензора о^ является, очевидно, величина

0(т)三 За (т).(31.8)

Обозначим скалярную степень второго порядка девиатора тензора напряжений через

s (q, R)= sMq) skl (r) = crMQ ^м(R)— Зег (q) cr (r)・ (31.9)

Тогда соотношения (29.3) можно переписать в виде [70]

8 V8 *

电(%) = 2』X ре供)⑴，е ⑴=3 X £ m 一 2р + 1) /а(力)， n=i р=1n=l 0=0

tt

e俨)(%)=卜…，貝群工(力 q, • •® (q) • •・：@ (^n—2p+i)x

о0

X s(Tn—2@+2，tn—2@+з) • • • s (тп—2, xn—i) Sjj (т*п) dtj., • • ♦, dtn，

(31.10) tt

8(切)⑴=、...、-K^p+i (力，q, • • •, %) ® (q) • • • ® (%：—2p)x о0

X s (тп—2@十1， tn—2@+2)• • • s (t^—i, tn) dt]. . . dxn

или, используя операторную запись (29.5), в виде

因• = 2工工p&鶴❷1"切

n =工 p =1

ОО р

6=3》£ 5 — 2卩+1)左算工或 т%%(31.10)z

n=I 0=0

где v — антье (целая часть) от (п + 1)/2, v — [(п + 1)/2],卩 —[п/2]— антье от п /2, а ядра К^ представляют собой линейную комбинацию ядер K(")(p). Точно так же запишутся и обратные соотношения.

Если в соотношениях (31.10) положить v = п ——1, то соответствующая теория будет называться n-кратной по девиаторам. В частности, квазилинейную теорию вязко-упругости назовем квадратичной по девиатору [71], если в соотношениях (31.10) положить v равным 1, а следовательно, л 卩=1, В этом случае в соотношениях (31.10) останутся для каждого ядра n-го порядка только два скалярных ядра ——К^ и К§? Поэтому они

Легко доказать и обратное утверждение. Если тензор 力万 является квазилинейной изотропной функцией от тензора。灯 и ие зависит от третьего инварианта тензора а^, то справедливы условия взаимности.

1 2 А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря

примут ВИД

eij (%) = 2 *犷(%)'

71=1 t t

爵(力)=卜・・\ {鹏力(%"],•・•,％) 0 (G). . .0 (%)幅+ о о

+ к^ (力"1, . . ., J)[d — 1) @ (q). . . @ (%_2)s(%T,吃)м+ + 20 (тг) .. . 0 (тп_г) sij(tn)]}dt1..・dj(31.11)

или

% = 士 {&界@%“ 十 灯)[5 - 1) У—2s嶋 + 20n-\j} •(31.1»

n=I

Точно так же запишутся и обратные соотношения выражения тензора напряжений через тензор деформации. Если потребовать инвариантности соотношений (31.11) относительно начала отсчета времени, то ядра К^ (厶 q, • • ., тл) (а = 1, 2) станут ядрами разностного типа. Предположим теперь, что связь между девиаторами тензоров напряжений и деформаций не зависит от среднего напряжения или от средней объемной деформации. Тогда, если ограничимся первыми тремя членами разложения (31.10), связь между этими тензорами представляется в виде [3]

гt / t

ец (0 =，К$” (%, G)sij (^i) dq + 4\ \ \ K$" (^, t1? т2, т3) X 00 0 0

X s (тъ r2) Stj (q) dq 九2 dq.(31.12)

Если рассматриваемый материал подвержен естественному старению или в процессе деформации происходят реакции (окисление, полимеризация и т. д.), то ядра К§)и К^ не будут разностными и будут содержать все четыре аргумента независимо, как и показано в (31.12). Если в процессе деформации изменяются температура, влажность и т. п., то ядра будут сложными функционалами соответствующих параметров, являющихся функциями t. Рассмотрим стабильные материалы, в которых деформация сопровождается изменениями конфигураций и может сопровождаться «залечиваемыми» нарушениями механических связей, происходящими только вследствие внутренних напряжений и температуры. Тогда все ядра должны быть инвариантны относительно смещения начала отсчета времени, т. е. иметь разностный вид. Обозначим

К$)三 К (% — t) = 2G6 (% - t) + 左(力一т),

4k£)(t, q, t2, т3) = 4X£)(力—q, % — 7, t — т3)三

三K3(4-J方一小，力一砌,(31.13)

где ядро K3 (t ——r1? t ——r2, t ——r3)——симметрично по каждому аргументу. Тогда уравнения связи между девиаторами тензоров напряжений и деформаций (31.12) могут быть представлены в виде

tt t t

eij (0 = \ 口(％ — t) ds订•(t) + \ \ \ Кз (% — t1? t — r2, t — r3) X 00 0 0

X s (q, %) s^ (q) % dQ dq.(31.14)

Теория, базирующаяся на соотношениях (31.14), называется «кубичной» теорией вязко-упругости.

§ 32. Главная квазилинейная теория вязко-упругости

Из самого названия этой теории ясно, что она является пересечением двух теорий ——главной нелинейной и квазилинейной. Поэтому получить общие соотношения между напряжениями и деформациями главной квазилинейной теории вязко-упругости можно двумя путями: либо оставить в соотношениях главной нелинейной теории (30.10) только тензорно-линейные члены, либо в соотношениях квазилинейной теории вязко-упругости (31.10) оставить только главные части ядер К,)(30.8). Следуя первым путем, мы получим соотношения, связывающие девиаторы тензоров напряжений и деформации и средние значения этих тензоров

旬⑴=[А {^ W, s,(力 t)} + t

+'義{4 - 1；。(%)，。"), s&力), s(t"), S (九 t)}dt]s订(力) +

0,

+ \ 夕3 У — t；。(%),。⑴，S (力 £), s (%t), S (九 t)} Stj ⑴九；(32.1) 0

6(4)=九{0⑴，S&力)} +

十 \ % У —吟。(%),。⑴，s (%,力)，S (т, T), S (%")} dt. 0

Следуя вторым путем, мы получим явное выражение для функций 九 и /2 и ядер q「^2, J от инвариантов о (%), о (т), s (九方)，s (т, r), s (力 т) в виде бесконечной суммы полиномов по этим инвариантам.

Аналогичными рассуждениями формально можно построить обратную главную квазилинейную теорию, т. е. соотношения типа (32.1) записать в виде

Sij С) = [g2 {9 (%), е(%, %)}十 t

+ \ P2 У — t； 0 ⑴，0 (t), e (力力)，e (т, т), е «")} dt] %• (%) + о

t

+ \ Рз У — t； е (%), 0 (t), е (力力 е “")，е & т)}阳⑴ dt; (32.2) о

t

0⑴=81 {0 () e (厶 4)} + ) Pl ¥ - % e ⑴，0 (t)，e (力4)，e (% 吟 e (力项九・ о

Очень важно отметить, что соотношения (32.1), (32.2), вообще говоря, не являются взаимными, т. е. (32.2) не есть решения (32.1) относительно напряжений и обратно.

Однако при некоторых свойствах ядер, т. е. для некоторых материалов, соотношения (32.1), (32.2) могут оказаться взаимными с некоторой степенью точности. Этот вопрос будет рассмотрен ниже.

Соотношения главной квазилинейной теории вязко-упругости (32.1) и (32.2) являются достаточно общими. Как их частные случаи, можно получать различные теории, предлагавшиеся некоторыми авторами в последнее время [72, 73]. Так, если исключить аргументы, соответствующие моменту

t в ядрах qk или 夕丸(А = 1, 2, 3), то получим теорию, основные соотношения которой часто записываются в виде

旬(力)=% 9(%)，sa,力)} Sij (力)+ \g3 {方一5 0"), S(q t))5^(T) dr,о

0(0 =/19(力 S (力力)}+ \击{力一吟 о(т), s(r, T)}dT(32.3)

о

и обратно

t

S订(大)=g2{9 (力)，e(力 力)}%•(力)+ "3{大一叫 6(t), ё(р")}з(T)九，о

t

0 (力)=gi{0 (力 e (力力)} + ， 21" - T； 6 ⑴，e (J t)}九.о

К такому же виду приводятся теории, основанные на обобщении на 3-мерный случай выражения [74—77]

t

屮(£)= о (£) + 九 \ К (力一t) о (т) dx.(32.4)

о

В частности, выбирая конкретный вид функций от инвариантов, получим нелинейную теорию вязко-упругости, предложенную в [78]

t

旬(力)=[1 + 3 9u)] s引(f)]+ $r(Z — т) [1 +(D &)] S"⑴ dt. (32.5) 0

Разумеется, все нелинейные теории одномерной вязко-упругости, в которых связь между напряжениями и деформациями задается в виде однократных интегралов, являются частным случаем главной квазилинейной теории вязко-упругости [79].

В соотношение (32.1) входят члены, которые обеспечивают мгновенное изменение деформации при мгновенном изменении напряжений. На опыте наблюдается, что при мгновенных, достаточно малых нагрузках большинство материалов ведет себя, как линейно-упругие. Поэтому имеет смысл сохранить в соотношениях (32.1) только линейные члены, которые ответственны за мгновенную упругость. Тогда соотношения (32.1) примут Run

tt

% (t) = \ П (力一t) ds^ (r) + \ % " — G о (力 s «")} $订(r) dq о0

tt

6 (力)=\ IT] (t — т) do (r) + g 的{力一т, б (т), s (т, т)} dt (32.6) оо

и аналогично

tt

s，i)⑴=\ 7?(力一т) djj “)+ \ ■ У — % 6 ⑴，e “")} 4j ⑴九， оо

о(£) = \ 7?! (t — т) d6 (т) + \ Pi {力一％ 6 "), е (т, т)} dx. (32.7) оо

Теорию, базирующуюся на соотношениях (32.6) и (32.7), назовем главной квазилинейной теорией вязко-упругости с мгновенной линейной упругостью.

Если будем рассматривать теорию, n-кратную по девиаторам, определенную в предыдущем параграфе, то в соотношениях (32.1) и (32.6) нелинейные ядра будут зависеть в явной форме от инвариантов s (т, т), s (厶力) и s (厶 t). Проиллюстрируем подробно вывод соотношений главной квазилинейной теории на примере теории, квадратичной по девиаторам.

Соотношения между напряжениями и деформациями квадратичной по девиаторам теории вязко-упругости представлены уравнениями (31.11). В этих уравнениях для каждого ядра n-го порядка отличны от нуля только два скалярных ядра К^ и К^К Из общего разложения этих ядер в виде (30.6) в главной квадратичной по девиаторам теории вязко-упругости нужно держать только два главных члена (30.8):区七壊二？」九」(а) и K^j^.^j^^ 1,2). Однако, как уже отмечалось ранее, не все компоненты этих объектов будут независимыми. Обозначим независимые компонент ты объектов К献久п$п и К寓口工心 Q) через К丁 ц 或(力—т) соответственно, а независимые компоненты объекта К^黑二;匕 ％_】через 成(t — т) (左=1, 2,・・・,М), где М ——число независимых компонент. Тогда соотношения (31.11) примут вид

电•(力)=*)(力)+虜)(力)+虜)《)+・・•

居(大)=亂.3居%(大)+招&j (方)+ 6"、就(大一 t) @ (T) dx +

0 t

十、R (力一t)s订(t)dq(32.8)

о

翁(力)=%k；?® (力)+招2 [S (小)%+ 20 (%)Sjj (%)]+

+%\[说(力一t) ®2⑴+成(方一t) 0⑴0⑴]dx + 1

t

+ 6灯、[bi (t — t) s (т, т) ,-f~ 2&2 (力一t) s (力 т)] dx + о t

+ 2 \ {优(力一c) ® (t) “j ⑴ + bl (力一t)[@(t)Si招)+s£#)®«)]}d% 0

噜(力)=^K?^ (力)+ 2磴[0⑴S (力大)财+ 02⑴^ (01 + t

+ \ [4 (大一t) 03 ⑺ +成(力一T) 02 (0 0 (力)+ 0

+ 4(^т)0 (т) ©2 (0] dt + 26i} \ {比(力 一 t) ® (т) s (% т) + о

Ь1 (力一т) [20 (r) S (力 т) + 0 (力)S (т, т)] +

+ & « — т) 2 (© s«,力)+ 2© (力)s (力 t)] dt +

+ 2\ b：(力一t) @2⑴5.. (r) + ^(t-^ r)[26 (r)沁(т) © ⑴ + 0

+ Q4t)Sij(t)] + E(力一 т)[02 (力)s订⑴ + 2© (0© (© Sjj ⑴]} dr

Введем следующие обозначения

■у ® ⑺三。(Т) = От, у© (0 三。G) =

ОО8

4(5)= 2 к?@1 ⑴，4 (а) = ^理 + X ку或т (力)，

П=171 = 2

ОО П—1

仇 &,。小 一 © = 2 2 或(％ — б a-⑴ и-】(%),

n=l 4=1

oo n—1

& (J,。屮 一 t) = W 2 c^b^ (力一 т) 6fiT ⑴(%),

n=2 к =1

oo n

вз (J, 6" — 0 = W X 宾Г成(4一Р)A"⑴ @1(%)，

n—2 k=2

oo n

3，『，。小一p) = W 工索二隸(力一©yf+1 ⑴ »"3()(32.9)

72=3 К =3

где С* ——число сочетаний из п по А, причем Со = 1. Для сокращения записи введем еще комбинации функций 笈》(Z = 2, 3, 4)

+ S 吼*У(32.10)

Тогда соотношения (32.8) примут вид (32.1), где

/1 = 4(5)® ⑴ + g s (力 ％)必*(：),/2 = 2А2(6f),

0i = 3](。制 6, ^ — т) 0 (т) + О? (。6 d, t — t)s (т, т) +

+ 2^з (^т, Sy 力一工)s (t, r) + Z)4 (q, Q, i — t) s (厶力)，

勺2 = ® ⑴品⑸，d,力一т) + 2邑(『，d, t — т),(32.11)

03 = b； (% — 工)+ 2@ (т) В2 (бт, 0九 t — t) + ® ⑺ ％ (q, 5, % — т).

Рассмотрим теперь главную квадратичную по девиаторам теорию вяз- ко-упругости с мгновенной линейной упругостью. Тогда регулярные функции 4» и 3)(2 = 1, 2; / = 1, 2? 3, 4), определенные в (32.9), не будут зависеть от о〃 и соотношения (32.9) запишутся в виде

4 = К*4=^招1,

当 G" 一 t) = £ 必(力 一 t) [О(т)р-\

ОО

区a,力一 0 = 2碎(力一 © [@⑴广-2,

71=2

oo

邑@" 一 t) = 2碎《 一 t)к⑴广Т,

・71=2

"oo

в& а，力 一 t) = 2 b^(t-x)[&⑴广—2.(32.12)

71=3

В этом случае соотношения (32.11) примут вид

町⑴=k?❷⑴6订+ К氏j⑴+ 6订，当a,力一T)0 (T) dx + 0

+ 、 結(％ - T) s订⑴ dx + 6订 、 [5zG，4-T)+^т —工^-1 X

X S(T, т) dr + 2^B2 (q, ^ — т)0 (т) Sq (t) dr,(32.13)

о

что совпадает с записью (32.1), если

%=招%⑴，% =招1,

91 = [в2(бт, i — т) + бт ав?9£_—]s(т, т),

^2 = °，

拆=Ь； (% - Т) + 2/ (『，力一t) @ ⑴.(32.13/

Положим теперь в соотношениях (32.12) и (32.13)

〃；(I)=專吗L),□] (0) = 3灯，

员(I) = an (:尸立,Г1 (0)=居 1,

6В2(Ор, t —工)=~^~ P(0p,力一t)三 P G，t — т),

дВг i3 八

62(0Т，力-工)+ Op = ¥"-5Г 尸2 (Op，力-工)三

8⑴"[^1 (7,"一T) -a1 (方 一 T)1 =

=备备办9*t — Т)三击BQ,力-t).(32.14)

Разбивая тензор деформации £订 «) на линейную 圆(力)и нелинейную £订(％) части, получим из (32.13)

Sj = 8订 + £订，e 订=eij + e刃，8 =? + 8",

爲⑴=\ 口(力一т) ds^ (т),(32・15)

о

с (%) = \П](%-т)П ⑴； о

Cij (0 = ^РГ(^, £ — t) о (т) s»j (т) dt, о

е〃 (％) = \ 0；(Ор,力—т) 。2 (т) dx + \ Р； (。丁, t — x)s (т, т) dr. (32.16)

Таким образом, в главной квадратичной теории вязко-упругости с мгновенной линейной упругостью, представленной соотношениями (32.15) и (32.16), имеется два линейных ядра II и П^ и два существенно различных нелинейных ядра Р (ат, t —— т) и Рх (qt,Z — т), так как третье нелинейное ядро 尸2 (Ор，力—工) выражается через Р 9丁，t — т), согласно соотношениям (32.14), следующим образом [61]:

,дР — т) 9с

Р (6, t 一 t) + j^ — -^ P2 (oT, t 一 t).(32.17)

Если условия взаимности не выполняются, то ядра Р и Р2 в соотношениях (32.16) являются взаимно независимыми.

Из соотношений (32.14) и (32.12) видно, что

Pi (О, Z — t) = За； (t 一 t), P (0,力 一 t) = 2比(t — t).

Поэтому при малых ат девиатор деформации 6订(力)будет совпадать с линейной частью девиатора е^ (%), а шаровая часть 0 (Z) будет отличаться от линейной 0'(О за счет величины s (% т). Если девиаторы напряжений также малы, то получаются соотношения линейной теории вязко-упругости в виде (32.15).

Чтобы получить главную линейную по девиаторам теорию вязко-упругости с мгновенной линейной упругостью, необходимо соотношения (32.15) оставить без изменения, а в соотношениях (32.16) опустить второе слагаемое. Следует заметить, что «обратные» соотношения главной теории, как линейной, так и квадратичной по девиаторам, для уравнений (32.15) и (32.16) можно записать в таком же виде, поменяв местами напряжения и деформации.

t

о

о

t

s》(方)=\ Q'(й，力L t) e⑴ea⑴九， 0

tt

0”(%) = \ 0； (&，力一t) ®2 (t) dt + \ Q； (Qs 力一t) e (t, t) Jr, (32.19) о0

Sjj = Sij + S^j, о =。+ о ,

где е (q,马)三 ем(G)ehi (r2); 九三 6 (t).

Проанализируем теперь соотношения главной кубичной теории вязкоупругости. Рассмотрим уравнения кубичной теории (31.12).

Учитывая сингулярные свойства нелинейного ядра ползучести К3 (力 —— т1? t —— т2, t —— т3) и пользуясь обозначениями (30.5) и (30.6), представим это ядро в виде

/ 3) = К(1)⑵+ к3⑵0订⑷+ К%⑷昵(力)兔1*) +

+ M%m就订⑺久в ⑷ pmn ⑷ G, 7,幺 l,m,n = 1, 2, 3).(32.20)

Мы знаем, что не все компоненты объектов К&)(q = 1, 2, 3, 4) являются независимыми. Назовем, как и ранее, главной частью ядра Х3 (а) два последних слагаемых в разложении (32.20), т. е. в главную часть ядра К3 (力) входят только объекты М% (а) и К%77m. Теорию,, в которой учитывается только главная часть ядра Х3 (力),и назовем главной «кубичной» теорией вязко-упругости [3]. Независимых компонент объекта К^. которые являются числами, будет только четыре:

(32.21)(32.21)忆⑷*(4)*(4)

(32.21)

(32.21)

Независимых компонент объекта К(з), которые являются регулярными функциями одной переменной, будет также четыре:

К【弘2 (&),^1112 Зз), ^1123 (&),-^1213 (&)•(32.22)

Подставляя главную часть ядра Х3 (/) (32.20) в уравнения (31.12) и производя несложные вычисления, получим выражения компонент девиатора деформаций е^ через девиатор напряжений в главной квадратичной теории ползучести в виде t

句 «) = [1/2G + Л (%; s)] s订(%)+，[宜(％ — t) + 3 (%, t; s)] s“・(t) dt,

о(32.23)

где 4 «; s)——временной коэффициент модуля упругости и В (力 т; s)— коэффициент нелинейности ядра ползучести. Благодаря тому, что независимых компонент объектов К®) и К^ только по четыре: (32.21) и (32.22), имеют место следующие выражения через инвариант напряжений 8s и простые ядра 宜》:

/ (%； s) = Ks (力力)+ “宜1 (力一t) s (九 t) + 宜2 (力一t) s (r, t)]dt, о(32.24)

В (九 t; s)=宜3 (% — t) s (九力)+ 2宜1 (力一t) s (%, т) + 宜& (%—t) s(t, т).

Если положим 京з = 0, то из (32.23) имеем

t

旬(%) = [(1/2G) + 4 (%; s)]沁(力)+ \ [К (力 一 t) + о

十 2kl (t — t) s (%, т) + 宜& (% — t) s (t, t)] Sjj (t) d% (32.25)

причем 4 имеет прежнее выражение (32.24). Простейший вариант теории получается, если отбросить еще и 衣「В этом случае нелинейные поправки выражаются только через интенсивность напряжений о^ (/) — s (力力). Из (32.24) при этом получаем выражения временного коэффициента модуля упругости и коэффициента нелинейности ядра ползучести

t

4 = Ко^ (%)十，宜2 (% — Е)觉(t) dt,

°9(32.26)

В = K^t^x)喲(t).

Их естественными обобщениями являются выражения

Л = Ф1 (%) + \ 五2 (% — t)①2 Е ⑴]九,

(32.27)(32.27)О

(32.27)

(32.27)

В = K^(t — X)屮1Е⑼，

что соответствует соотношениям (32.1), в которых не учитываются средние напряжения.

Если предположим, что материал при мгновенных нагрузках ведет себя как линейно-упругий, то следует в дополнение к предыдущему положить равными пулю еще коэффициент К и ядро 女？• В этом случае связь между девиаторами напряжений и деформаций будет иметь вид

jt

%j (力)=\ К (% — т) % ⑴ dt 十 \ Кз (% —工)s (t, t) 5力・(t) dt, (32.28) о0

где ядро К (力 разбивается на сингулярную и регулярную части К (力)по формуле (31.13), а ядро К3 (力)является регулярным. Теорию, основанную па уравнениях (32.28), в дальнейшем и будем называть главной «кубичной» теорией вязко-упругости с мгновенной линейной упругостью.

§ 33. Математическое обоснование нелинейной теории вязко-упругости

Эвристические соображения, высказанные нами при выводе нелинейных соотношений между напряжениями и деформациями в § 28, привели нас к уравнениям (28.3) и (28.8). Эти же уравнения можно получить, разумеется, исходя из основных положений функционального анализа, подобно тому как в первой главе были получены линейные соотношения. Для этого можно воспользоваться теоремой, высказанной Фреше [80]: каждый функционал 屮[ср] непрерывный над полем непрерывных функций ср (т), определенных на отрезке [0,力],может быть представлен выражением

屮[⑺=?%必2]，(33.1)

где

工 г ，?(33.2)

屮"叫=N卜) K(九g/)中(G) • • •屮(4)九工. . .小

k =1 и о

и К^п^ (%, q,...,小)— непрерывные функции по q,...,小，определенные для функционала 屮 независимо от ср (t). Эта теорема обобщает теорему Вейерштрасса для непрерывных функций (которые могут быть представлены как предел полиномов) на случай бесконечного числа аргументов. Вместо конечных сумм (33.2) можно рассмотреть бесконечные. Если функционал 屮[ср] представим в виде бесконечной суммы

8 : j(33.3)

屮仰]=£ \…\ Кб)(九q,・• .，％)屮(Q…屮(j)dq… ％,

n=l 00

сходящейся при || ср (т) 11V Е (兄 ——радиус сходимости) и называемой функциональным степенным рядом, то такой функционал называется аналитическим [52]. Если под функцией <р (т) понимать тензорную величину, то определения (33.1) и (33.3) нуждаются в обобщении. Эти обобщения были сделаны в работах [53, 54, 81].

Рассмотрим одно из возможных обоснований соотношений (28.3) и (28.8) с позиций функционального анализа. Для этого введем некоторое гильбертово пространство Не абстрактных функций Е (t), под которыми будем понимать совокупность шести функций £订(守，t), определенных на отрезке [0, t] и представляющих собой тензор меры деформации некоторого процесса в какой-то неподвижной системе, координат 曾.Введение тензора

£订 может быть достаточно произвольным, лишь бы позволяло описывать деформированное состояние среды. И поэтому связь этого тензора с вектором перемещения мы не устанавливаем.

Скалярное произведение двух элементов Е' и Е" пространства Нг запишем в виде

X『(33.4)

(Е，,Е〃)= \ Е，⑴ Е〃“) ре (仃)dt =卜订(Т, t) ” @")ре (%, t) dt,

оо

где ре (厶 т)——некоторая положительная функция памяти [9, 56]. Норма элемента Е пространства Нг будет выражаться тогда в виде

II ЕII = {j 疆• (Т, С)寸(У, т) pN%,t)九}：(33.5)

о

В дальнейшем нам понадобится вводить ограничения на величину этой нормы типа ИЕ И W 幺. Из соотношения (33.5) видно, что удовлетворение этому неравенству достигается либо выбором бесконечно малых деформаций, либо «укорачиванием» памяти, т. е. выбором функции памяти ре (厶 t), сильно затухающей вне некоторой левой окрестности точки t [81].

Аналогично рассмотрим гильбертово пространство %, для которого все рассуждения сохраняются (в выражениях (33.4), (33.5) все буквы £ следует заменить на S) и которое будет трактоваться нами как пространство тензоров напряжения. Необходимым и достаточным условием существования конечной нормы (33.5) является существование для каждой функции £订(Е“, т), 0订(占‘,т) конечных интегралов

t

\[£订@，t)]2pe (九 t)dt<8・(33.6)

о

В дальнейшем будем считать, что требования (33.6) выполнены.

Рассмотрим теперь некоторый оператор F, отображающий пространство Нг на пространство %

S = F (Е).(33.7)

По определению пространств Hz и HQ этот оператор представляет собой оператор-матрицу, так как он каждому вектору £ (力)шестимерного пространства тензора деформаций ставит в соответствие вектор а (力)шестимерного пространства напряжений (см. гл. I). Будем считать для простоты, что начальные напряжения отсутствуют, т. е.

F (0) = 0.(33.8)

Отличительной чертой рассматриваемых нами операторов являются их представимость в виде функционалов, зависящих от параметра ⑴.В самом деле, пусть, например, оператор F переводит каждую функцию ср (т) некоторого пространства %, определенную на отрезке [0,力8〕，в функцию 屮(т) пространства 〃ф, определенную на том же отрезке. Для каждого фиксированного 力(力 < 力8) оператор F можно рассматривать как функционал 屮[ср], переводящий каждую функцию(pf (т), определенную на отрезке [0,打 и совпадающую на этом отрезке с функцией ср (т), в некоторое число 屮.Поэтому в дальнейшем мы будем отождествлять понятия оператора и функционала, понимая под последним оператор с фиксированным пара-

188 VIII. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ СВЯЗИ НАПРЯЖЕНИЙ С ДЕ①ОРМАХДИЯМИ метром t (т. е. и с фиксированным правым концом отрезка, являющимся областью определения рассматриваемых функций).

Пре дно ложение. Предположим, что оператор F в (33.7) является аналитическим в окрестности нуля, т. е. в нуле существуют производные по Фреше всех порядков [5] L Физически это предположение отражает так называемый общий постулат изотропии, выражающий реономные тензорные свойства материалов [1].

Теорема. При выполнении указанного предположения оператор (33.7) можно представить в виде

S = £ 薫Е%(33.9)

где обозначено t t

爲Еп= \\ l\ (力 j,・•・，％) E(j)…Ea)dj・・.d%・(33.10)

о о

Эта запись на основании принятых в начале параграфа сокращений означает

8 f t

0"⑴=*"力…7"(力г,...，％) £2而(q) • . . n=l 00

• • • ^in jn (^n) ^^i • • • dtn.(33.10)

В самом деле, по условию существует в нуле производная по Фреше первого порядка оператора F, т. е.

/Е)=%(Е) + 当(Е),(33.11)

где 露(Е) ——оператор, линейный по 8 и называемый производной по Фреше оператора /\ а

稣評0 при ||E|R0.(33.12)

Для каждого фиксированного 力 как уже отмечалось, оператор F^ (Е) представляет собой линейный функционал, который в наиболее общем виде можно представить как скалярное произведение (2.16). Поэтому из определения (33.4) следует, что

t/

Fo (Е)= \ 1\ (т) Е(т) ре (^, т) dr = ^ Г (^, т) Е (т) de.(33.13)

оо

По условию, однако, существует производная Фреше любого порядка, например порядка п. Это означает, что существует многочлен степени п

РП(Е) = 〃]Е + а2Е2 + .・・ +(33.14)

такой, что

F (Е) = Рп (Е) + Вп (Е),(33.15)

Определение производных по Фреше от оператора дано ниже.

где

||Вп(Е)||/|1Е||->0 при ||Е|К0.

Последнее означает, что для любого фиксированного п ядра, входящие в выражения (33.9) или (ЗЗЛО)', должны быть ограничены в левой окрестности точки t на основании (33.5).

Из предположения 1 следует, что оператор F можно записать в виде

%Е) = 3(E) + ^ 爲(Е) + . . . +』R护(Е),(33.16)

где

砂(e)=献a小)

Для выражения второго слагаемого воспользуемся теоремой о том, что каждый билинейный функционал гильбертова пространства может быть представлен в виде [82]

击川(Е)三 &E2 = (4iE, Е),(33.17)

где 幺1 ——линейный ограниченный оператор, определенный всюду в Н」 Так как этот оператор можно представить в виде (33.13), то имеем

t р

々"川(Е) = 5 Д Гг (^ тО Е(тг) drj Е (т) ре (^ т) Л = о о

=\\『2(%, J, ^2)Е (i^i) Е(R)dXyd%2 = о о

t t

=~2~\ \°2("，G，S)Е(J)Е (т2) dx-^dx^(33.18)

о о

в предположении симметрии ядра Г2 (力 т17 т2) по переменным тх и т2.

Предположим теперь, что интегральное представление справедливо для (п ——1)-й полярной формы. Докажем ее для формы степени п, чем завершим доказательство.,

На форму апЕп = «ПЕ1. ..Е^ можно смотреть, как на линейный one- ратор апЕ1Е2. . . Еп^1? действующий на пространстве：反е. Его в силу теоремы Рисса можно представить в виде скалярного произведения (Л ^^^Е, Е), где 4九у — (п ——1)-линейный оператор, который в силу предположения представляется в интегральной форме. Следовательно,

4г 况"(E)=』g …,I\(%,%, • ••,%)£(%).. .E(%)dq. . о 0

(33.19)

Если потребуем, чтобы уравнения состояния были инвариантны относительно начала отсчета времени, то все ядра будут иметь разностный вид, т. е.

1\ (力 G, Q, • • •, Tn) — Гn (力 一 G，力一工2, • • •,力一j).(33.20)

Таким образом, доказанная теорема по существу обосновывает факт, выведенный нами в главе VII из эвристических соображений.

Нетрудно видеть, что точно такими же рассуждениями, которые были использованы при выводе вида оператора F, можно воспользоваться для установления вида оператора G

E = G(S)k 2 &仙(33.21)

В следующем параграфе мы докажем, что оператор G в соотношении (33.21) является обратным по отношению к F.

Предположим, что все ядра имеют сингулярности только в точке 力 а внутри интервала [0,打 являются непрерывными функциями. Тогда, оставляя в разложении (33.9) только один член, мы получим уравнение состояния линейной вязко-упругости, рассмотренное в первой главе

t

S ⑴=ЕЕ (力)+ \ 1\«, т) Е (т)九，(33.22)

о

где Е — матрица, не зависящая от времени 】,а 1\ (力 т)——регулярная часть ядра 1\ (力 т). Из главы IV известно, что уравнения (33.22) разрешимы относительно Е (力)для среды любого вида материальной анизотропии и записываются в виде

t

Е(%)=\К](%, t)S")九.(33.23)

о

Это означает, что оператор 耳；——линейный относительно Е, определенный соотношением (33.11), имеет обратный G。= [^о]-1» который является линейным относительно S.

1 Строго говоря, независимость Е от времени следует из (33.9) только для ядер разностного типа.

IX- Обращение нелинейных операторов, связывающих напряжения и деформации

Основные теоремы об обращении нелинейных операторов теории вязко- упругости [83]

В предыдущей главе указывалось, что уравнения состояния, в которых деформации выражены через напряжения, во всех развиваемых нелинейных теориях могут быть обращены и записаны как уравнения, в которых напряжения выражаются через деформации. Необходимо подчеркнуть важность взаимности указанных соотношений. Фигурирующие в них нелинейные ядра ползучести и релаксации должны быть связаны какими-то интегральными уравнениями (не зависящими от о订 и £订)и обладать соответствующими свойствами, вытекающими из их взаимности. Теория нелинейной вязко-упругости в принципе может считаться завершенной только после установления особенностей ядер и всех свойств взаимности, к которым мы и переходим.

В общей постановке задача, таким образом, состоит в том, чтобы найти обращение аналитического оператора F (Е), представляющего собой оператор-матрицу в окрестности нуля (33.8)

S =歹(Е).(34.1)

Теорема 1. Существует оператор G (5) = Ьт(Е), обратный к 歹(Е), и представляется в виде (33.21).

Введем некоторый вспомогательный оператор-матрицу Q, переводящий элемент Е гильбертова пространства Нг в самого себя

Q (Е, S)三 Е — 左[F (Е) - S],(34.2)

где S играет роль параметра, и составим операторное уравнение

Е = Q (Е, S).(34.3)

Легко видеть, что если Ех является реш ением уравнения (34.1), то оно одновременно является и решением уравнения (34.3), и наоборот. Таким образом, для того чтобы найти решение операторного уравнения (34.1), необходимо и достаточно найти решение уравнения (34.3).

II Q (Е\ S)-Q (Е〃, 5) ||< а || Е^Е^Ц, а<1,II Q (Е\ S)-Q (Е〃, 5) ||< а || Е^Е^Ц, а<1,Воспользуемся для этого принципом сжатых отображений, который заключается в следующем. Пусть оператор Q (E,S) (34.3) отображает некоторую окрестность нулевой точки пространства в себя и для каждых двух элементов Е' и Е", принадлежащих этой окрестности, выполняется условие

II Q (Е\ S)-Q (Е〃, 5) ||< а || Е^Е^Ц, а<1,

II Q (Е\ S)-Q (Е〃, 5) ||< а || Е^Е^Ц, а<1,

где а — некоторое число. Оператор 0, удовлетворяющий условию (34.4), называется оператором сжатия. Теорема Банаха утверждает, что в этом случае имеется единственное решение уравнения (34.3), которое может быть получено методом последовательных приближений при нулевой начальной точке. Эта последовательность приближений строится следующим образом:

Е] = Q (О, S),

Е2 = Q (Е], S),(34.5)

Er = Q (E^-i，S).

Из условия (34.4) вытекает оценка для приближений (34.5)

IIЕ2 — Е】И И Q (%, S) —。(0) 5)||<а|| Е】||,

IIЕ3 一 Е2II = Q (Е2, 5) —。(％ S) И《ос И Е2 — Е] К 整 || Е] ||,

II Ем -En||= \\Q (Е期 S) — Q (Ex, 3) || 久 a州 E】||.

Поэтому

II Eep — E浦区["切 ]+妳+0一2++a^])jE1||-

=El R D 固| = £ Q (0, S) II- (34.7)

Неравенство (34.7) означает, что последовательность Еп сходится к пределу Е, который и является решением уравнения (34.3), причем единственным, так как, если бы их было два, например Е' и Е〃，то из (34.7) и (34.4) для них следовало бы

II Е‘ 一 Е〃|| = II Q (Е； S)-Q (E〃：S) ||《a|| Е，— Е〃||,(34.8)

что возможно только при Е' = Е", так кака строго меньше единицы.

Итак, для того чтобы применить принцип сжатых отображений к конкретному виду оператора Q (34.2), необходимо доказать, во-первых, что он любую точку Е не выводит из нулевой окрестности и, во-вторых, что он является оператором сжатия. Первое требование выполняется, если потребовать, чтобы для всех Е

||Е[|《г(34.9)

выполнялось условие

||Q(0, S)|| & (1 - a".(34.10)

В самом деле, в этом случае справедлива оценка

II。(Е, S) !К II 0 (Е, S) — Q (0, 5) II 十 II Q (0, S) ||《"+ (1 — ос)厂=厂.

(34.11)

Для определения условия, налагаемого вторым требованием, заметим, что оператор Q дифференцируем по Фреше, и поэтому для любых Е' м Е", принадлежащих r-окрестности нулевой точки, найдется такое Е〃‘ из этой окрестности, что

II Q (Е\ 0 — Q (Е〃, 5) К |® (Е，〃川I Е - Е"||,(34.12)

где Q，означает производную по Фреше оператора Q (34.2)

11^(Е,5)||<II К】||И 1\ - V (Е)К ИхIIIIГ21||| ЕII，(34.13)

где ||Г2|| — максимум нормы второй производной по Фреше от оператора 歹(Е), вычисленного в нулевой окрестности Е. Принимая за а правую часть (34.13)

а = -^i IIIIГ2II 厂，(34.14)

выберем настолько малую окрестность нулевой точки 产,чтобы выполнялось условие а V 1. Для того чтобы выполнялось условие (34.10), ограничим нулевую окрестность S следующим неравенством:

2 Kli°(Q2 = Е(34.15)

Итак, в самом деле мы получили обращение оператора £ Доказательство представимости его в виде (33.21) будет дано в теореме 2.

Введем оператор

Г п = К^п.(34.16)

который действует на функции t

X (力)三 X 三宣1 (S) = \ K1 (力 с) 5 ⑴ dr(34.17)

о следующим образом:

tтт

升三 fnX" = \К1 (力兀)灭\..・\l\(t, G, —F)X(q)・.・X оо0

X X (rn) dq. . . dxn.(34.18)

Назовем i-й гамма-формой m-го порядка выражение

.屮％ 三 Г & m),(34.19)

где

' (+1, если 加=0

В= если /сRO； °《"<加；2《》<加；论十"A1, ..+备=加 (aQ2; *<p< 0；

(paP либо 戈“К либо гамма-форма ар-го порядка. Две f-x гамма-формы m-го порядка считаются одинаковыми, если они состоят из одних X и (рар, причем совпадает их порядок следования. Например, формы 爲乂玄?Х и Г3Х2ХХ считаются различными.

Теорема 2. Оператор G, обратный к F, является пределом равномерно сходящейся к нему иоследовательности операторов G^ (5), получаемых методом последовательных приближений

G^S) = X — £f\[Gn7(S)]k.(34.20)

后=2

Для доказательства применим изложенный выше принцип сжатых отображений. Положим

仇(0) = 0; Gn (S) = Q %т (S); 5].

А. А. Ильюшин, Б. E. Победря

Согласно (34.2) имеем

Gn (S) = Gx (S) —穴1 £ 爲[^i (S)『+ 爲S

и, используя обозначения (34.16) и (34.17), получаем (34.20). Оценка

G (5) — 柒(S)И《二ИG】|& 鼻И К】||||SИ

показывает, что стремление последовательности Gn (S) к предельному оператору G (5) происходит равномерно при выполнении оценки (34.15): [51| V「"， что и требовалось доказать. Кроме того, используя обозначения (34.16)——(34.18), заключаем из (34.20), что оператор G представляется в интегральном виде (33.21).

Пусть задан некоторый оператор F^, имеющий вид оператора-полинома

N

S = Fn 三 £ i^E%(34.21)

n=l

Очевидно, он отличается от оператора F, представимого в виде бесконечной суммы (33.9) только малыми высшего порядка малости по сравнению с ||Е|р\ Согласно доказанной теореме, оператор, обратный к Fn, будет содержать бесконечную сумму интегралов возрастающей кратности. Однако целесообразно в полученном представлении отбросить члены, имеющие высший порядок малости по сравнению с ||5||叫 т. е. получить аппроксимацию оператора G с той же точностью, с какой оператор F^- аппроксимирует оператор F. В связи с этим докажем теорему.

Теорема 3. Если некоторый оператор FN представим в виде (34.21), то операция нахождения оператора Gr, обратного к Fn, складывается из N числа шагов, при этом оператор Gn будет иметь вид

NN N

Gn = X - £ 举 + £ £ Г 亿 m),(34.22)

左=1i=i m=；+i

где последняя сумма берется по всем различным гамма-формам.

В самом деле, изложенный выше метод последовательных приближений дает

Gn, о = О, Gn, i = X 三匕，

NN

Gn,2 = x — £fkX* = X 毋=爲，

用=2左=2

Gn,3=X -》義(忆)"，

用=2

N

Gn,n = X — 21入(Ynt)上

左=2

Отсюда видно, что каждое приближение к содержит все формы (6 — 1)-го приближения, к которым добавляются гамма-формы, образованные из форм(р“Р предыдущего приближения так, чтобы порядок полученных гам- ма-форм не превышал N. После TV-го шага мы получим вид (34.22), и в результате (N + 1)-го шага будут появляться только гамма-формы (N + 1)-

го порядка, которыми мы пренебрегаем. Отсюда следует, что по заданным ядрам Гп оператора Fn (п = 1, 2, . . ., TV) в явном виде находятся все резольвентные ядра Кп.

В самом деле, сначала найдем ядро Кг и, фиксируя в (34.22) X, имеем

N

KF = — 官 + 2 Г(/, m).(34.23)

m=i+l

Эти соотношения должны быть тождествами при любых значениях функций S (力)・ Поэтому, положив в левой и правой частях (34.23) S (小) = =5 (q ——Y]f), найдем явное выражение для ядра К».

В качестве примера рассмотрим оператор F3 (Е), т. е. оператор вида

S = % (Е)三 RE +Т2Е2 +Кез.(34.24)

Мы знаем, что существует обратный оператор G3 (S), который, пренебрегая высшими членами порядка малости по сравнению с ||5||3, можем записать в виде

Е = G3 (S) = &S + &§2 + 直3sз.(34.25)*

Найдя оператор Кг методом последовательных приближений, запишем оператор G3 в (34.25) по формуле (34.22)

G3 =戈一父2 —賢 + f2XX2 + Г2Х2Х.(34.26)

Найдем сначала явный вид оператора К2. Воспользуемся формулой (34.23): 直2s2 = — X2 или в расписанном виде

力tt

， “2 (力宀"2) s (q) S (7)九1% = - ， Ki (力三)dg Х о оо

X \ \f2 & 自1恋2)龙0三2 \ a &, G)S(G)九1 \ % (三2,7)S(T2) d% 0 000

(34.27)

откуда te三

A2 (小 1宀)=一 ， K1 (力自)d4 s2 & L,三2)K1 &, G) K1 &, 3 喝眼. 06、

V(34.28)

Аналогично для оператора К3 имеем из (34.23)

/С =-戈з + ВХ戈2 + В 戈2Х,

откуда получаем

t匕匕匕

及3 (力 G,匕，Q) = 一 ， e (力 0 凭 \ 内又 & 氧，&疋3)S &, G)X

0七Q Q

x К1 (&, 5)к1 (鼻，匕)介1悠2我3 +

t匕Я

+ 2 、 m (九三)我 \ 圈 \ r2(g, L,扇)К1 &, /)喉х00Рз

&P P

义 \ Ki &, p) dp \ \ Г2 (p, pi, a) & (pi, q)灯卩2, %) d“dp2・(34.29) OJТЕ

Из предыдущего следует, что для среды с начальной анизотропией произвольного вида тензор напряжения и тензор деформаций в некоторой фиксированной системе координат связаны следующими соотношениями:

陋⑴=喟)⑴+鳴(%) + ・・・ +喝)(%) + ・・•， t

喝)⑴=- 1学仇(力G)(G)/(34.30)

0

tt

оо

口№)=唱(0 +噌⑴+• • •十曙(力) + ・•・， t

唱⑴=\К也^(九 口)*;(匕) dq,(34.31)

0

&，；)(")=\ 一，\ ^-nijiiji.., %〃*‘ 兀1, • • ТгОо'о'О • • О"(%) d"n工…dTn・ 6 о

Причем, если в рядах (34.30) ограничиться первыми N членами разложений, пренебрегая членами высшего порядка малости по сравнению с E|]N, то, пренебрегая также членами высшего порядка малости по сравнению с IIS ||N, получим выражение каждого ядра К时九./п (力 Tj, • • •, ^n) (n = 2, 3, . . ., TV) в явном виде через линейное резольвентное ядро 夂1订五九(力 G)и исходные нелинейные ядра TmiJiljl...imjm (力 q,・・・，cQ (m = 1, 2, . . ., TV).

Рассмотрим для примера изотропную среду. Подставляя в (34.24) значения изотропных ядер 1\ в виде (29.1), Г2 в виде (29.2) и аналогично Г3, получим сначала методом последовательных приближений резольвентные ядра К] из выражений

СО

宣竺(г, т)= 2 ^^)^1 & D,(34.32)

где

F”加(%")三IT"(з),】

i^)ijkl (%, с) = \ 國7)"pq(%,G)可加(久，r) dq.(34.33)

0

Г1 и £ означают регулярную часть ядер Гх и А\. Каждое такое ядро 實〉 выражается по формуле (29.1) через два скалярных ядра 貝;)и Г^, которые имеют вид

t

1 Lt' (%, с) = 3 \ Г^ (厶 q) Гц (q, т) dq + о tt

+ 2 \ Г<Г1}(厶 ％) Г12 (%, т)九]+ 2 \ F『(力宀)^(ТьТ)^, оо

「(34.34)

噜(仆)=2 j Г<Гг)(厶 Q) J(G") %

о

А затем для нахождения ядер К? воспользуемся формулой (34.27), которую будем записывать сокращенно в виде

輕2 = — KJ2KlДр(34.35)

Используя представления ядер Х2 и Г2 в виде (29.2), получаем для скалярных ядер К?» (力 G，3)(% = 1, 2, 3, 4) соотношения

k21 = - {[3k口f21 + 2K12F21 + 4Klif23] [9К口К11 + 4K12长12 +

+ 6XnX12 十 6if12 7^11] + [ 6ХПГ22 + 4K12^22 + 8Kli『24】X 义[ЗКцКц + 2KliКм + 2 K12KlJ + 8K12Г23 [ЗКцКц +

十 КцК12 + Ki2Kи] + 16Kl2「24KliKn}；(34.36)

K22 — — 4 [ЗКцГ^ + 2К12Г22 + 4KliГ1?』&2K12；

K23 — — {27Г12Г2з [4K12Kl2 十 ЗЛ11Kl2 + 3K 12Kl1] +

+ 8k以2/&/12 + K12M1]}；

"24 = - 8K12F24£12K12，

Точно так же можно выписать подобные соотношения для скалярных ядер K3i Q = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), подставляя выражения для изотропных ядер К3 в формулу

(匕匕2

^3ijabcdef (厶 e1，p2, e3)= 一 \ 《Ujтип伉三)m，\17睜$窯高扇自)x ОТ1 Т2 Т3

义 Kipqab (El, G)Klrscd (占2, %) -^luue/ (三3, 口)^1^2^3 +

+ 2 \ Klijmn (厶自)您 \ dg] \ ?rPqrs 怎 £,矗)Klpqab &"з)凭2 义 ОО т8

X，Klr^uv &, р) dp \ \ pykZgh(Р, Pl, Z?2)KlkZcd(Pl, G)K^ghef X 0叮a

X(Р2, Qdpidp»(34.37)

В заключение заметим, что для обращения соотношений (33.21), т. е. для получения решения этих уравнений в виде (34.1), нужно оператор Q в выражении (34.2) выбрать в виде

Q (S, Е)三 S — fi[G (S) -E],(34.38)

где теперь E будет играть роль параметра, и решить операторное уравнение 5=Q(S,E)(34.39)

прежним методом. Все теоремы, доказанные в этом параграфе, разумеется, справедливы и в этом случае.

§]35. Обратные соотношения

изотропной нелинейной теории вязко-упругости

Для того чтобы по заданным соотношениям между напряжениями и деформациями изотропной нелинейной теории вязко-упругости (29.3) получить обратные, т. е. соотношения, в которых напряжения выражаются через деформации, можно, пользуясь результатами предыдущего параграфа, подставить значения ядер релаксации и ползучести для изотропной среды вида (29.1), (29.2) и т. п. в соотношения типа (34.37). Трудоемкость такой операции очевидна. Поэтому рассмотрим другой подход для получения этих соотношений. Для этого представим линейный оператор fi в виде суммы двух операторов

(35.1)(35.1)(35.2)(35.2)f*i =『и. + г12,

(35.1)

(35.1)

(35.2)

(35.2)

таких, что выполняются условия

Гn (。€)= 0»产12 (8/)=。,

「1 三{.^ijmn}^「1 三{.^ijmn}^(35.3)(35.3)где, как и ранее, I означает единичный тензор 6万，Ре — девиатор тензора деформаций D& = {%)}, a 3s = &林(及=4, 2, 3). Разбиение (35.1) возможно, причем оно единственно. В самом деле, согласно (2.2) можем принять

「1 三{.^ijmn}^

「1 三{.^ijmn}^

(35.3)

(35.3)

Г12 = {^" ^2^ij^mn + 立2 (6im6jn 十 Sj^Sin)!

и разложение (35.1) единственно, так как единственно разложение (2.2). Очевидно, например, из (2.5), что оператор 直° обратный к Fi, также допускает единственным образом разбиение

^i =宜 и + 宜 12,(35.4)

причем операторы 宜口 и 几 являются взаимно обратными, так же как и операторы К12 и Г12.

Разобьем тензоры напряжений S и деформаций 8 на девиаторы и шар о- вые тензоры по формулам (1.7), (1.8)

Е：= D. +>Ц5 =房 + 也(35.5)

и подставим эти разложения в выражение оператора Q (34.38). Используя условия (35.2), имеем

Q (S, Е)三 О。+。/ 一 f12 [G (S) —乙]一九[G (S)-切.(35.6)

Как видно, оператор (35.6) можно представить в виде суммы двух операторов.

Q(S,E) = Qi (S,E)+ Q2(S,E),y

Qi (S, E)三。/ 一 Гп [G (S) — ⑺，(35.7)

<?2 (S,E)三 Po - Г12 [G (S) — AU

Очевидно, что все теоремы, доказанные в предыдущем параграфе, остаются справедливыми, и оператор F(E), обратный по отношению к G (S), находится методом последовательных приближений.

Принимая условия отсутствия начальных напряжений, имеем для первого приближения

S(D = Q (О, Е),S6 = о⑴/ + 民D,

о⑴/= Qi(0,E)三，[£]/,(35・8)i

0^)=02(0, E)三02 [a], для второго приближения получаем

£2)= Q (S⑴，Е),£2)= 0(2)/ 十矶2),

о®/ = Qi (S⑴，Е)三一 fn [G (S(D)],(35.8) 2

球)=❷(S⑴,E)三一 f12 [G (S⑴)]

и аналогично для любого шага тг + 1

5(м)= Q (S(n\ Е), S^+D = ^п+1)1 + 刀产D,

о(Ю/ = &(£(? Е)三 ^п)1 - fu [G (5(®) — 叫，(35.8)71

刀卢1)=❷(S(? E) = D^ 一 Г12 [G (5(n)) 一 А].

Очевидно, что если оператор G (S) имеет вид конечной суммы интегралов кратности, возрастающей до порядка N

N

E = Gn 三 у 宜nSn,(35.9)

то он отличается от оператора G, представимого в виде бесконечной суммы (33.21) только малыми высшего порядка малости по сравнению с ||S||n. Поэтому, как и ранее, в операторе, обратном по отношению к Gn, из бесконечной суммы интегралов возрастающей кратности, получаемой по схеме (35.8), следует отбросить члены, имеющие высший порядок малости по сравнению с ||E||n. Следовательно, для обращения оператора Gn потребуется ровно N шагов последовательных приближений (35.8). Отсюда также следует, что по заданным скалярным нелинейным ядрам ползучести изотропной вязко-упругой среды К(沱)(m) (n = 2, 3,. . ., TV; m= 1, 2,...,卩), где 卩 ——число независимых скалярных ядер порядка тг, входящих в соотношения (29.3), и линейным ядрам релаксации F⑴⑴ и [⑴⑶ находятся все резольвентные нелинейные ядра 「5)(7n)(汽 = 2, 3,..., TV; т = 1, 2,...,卩) квадратурами.

Воспользовавшись разбиением тензоров деформаций и напряжений на девиаторные и шаровые составляющие (35.5), запишем соотношения между напряжениями и деформациями в нелинейной изотропной теории вязкоупругости (29.3) в следующем виде:

Е = Е— Е" + Е〃 + ...

Е‘ = е¥ + /, Е" = У/ + D'；、Е'〃 = У/ + О],…(35.10) где,

&'=近 110,

=宜 2102 + 宜 22S,

У〃 =卜31。3 + 女 320S + 女 37s(3),(35.11)

D{=k^D. + k^ Dl(35.12)

〃=直33炉 Do + 直34s “ 十左350D} + 我36 D^

В соотношениях (35.11) и (35.12), кроме уже известных (29.5), (35.5), (31.9) введены дополнительные обозначения

戈三 Sk (J) s%j (匕)}；代三 Ek (J) s%z (%) 5Zi(T3)},(35.13)

S⑶三 Sjk (J) skl(T2) s优(q);(52 三0 (口) о (т2);炉三О (%) 0 (R) о (т3),

так что полная запись соотношений (35.10), (35.11) имеет вид

%№) = %•«) + %•(%) + £；")+・・・，，

J = £% + ◎・，£% = £〃站 + % 吟=Е〃❷j + 吗，・・・(3540)'

где

£‘(%)= \Кц (厶 t)o ⑺ dq о

£"(%) = " {灭21 «，J %)。(G) 0 (R) + *22 (力 J To) Sjj “I)Sjj (%)} >< 0 0•

义(h1d4, t t t

£”⑴=\\,{Mi(h J，％，q) ° (q)° (%)°(г)+Кз2(h q, %, r) 0 0 0

X 0 (G) s 涼％) s^(q) + K37 (九 J, %, %) s 灯(q) s 汴(R)s^ (q)} X

X dxr dx2 dr3,(35.11)'

4j ⑴=\К12«") s订(t) Jr, 0

<J (0 = V {K23 G,J,S)0 (G) SiM) + K24 & J, J) sik (q) S 屈 R)} X 0 0.

X dxt Jt2,

吗(%) = " § {Кзз (厶 G"2, %) 0 (q) о (т2) s^ (т3) + Кз4 (厶 J%, R)义 ООО

X Sri (q) s位(7)s灯(q) + Кзб & J,匕，％) о (j) s^ (т2) s^ (r) + 十衣36& ts) su (тг) skl (r2) szi (r3)} dr1 dr2 dr3, (35.12)'

Из соотношений (35.10)——(35.12) следует, что оператор Е = G (S) можно разбить на сумму двух операторов

G；(S)=G](S)/ + G2(S),(35.14)

причем оператор Gx (S), который представляет собой сумму правых частей (35.11), является скаляром, а оператор G2 (S) представляет собой сумму правых частей (35.12).

Подставляя разбиение (35.14) в выражение (35.6), заключаем, что оператор Q(S,E), фигурирующий в методе последовательных приближений, можно представить в виде суммы двух операторов

Q (S, Е) = © (S, Е) / + ❷(S, Е),(35.15)

(35.16)(35.16)причем оператор Qi является скаляром Qi (S, Е)三 о — f u [G] (S) — в], Q2 (S, Е)三 Do — Г12 [G2 (S) — A] •

(35.16)

(35.16)

Пользуясь теоремой об обращении оператора G (S), получим соотношения между напряжениями и деформациями нелинейной изотропной теории вязко-упругости, взаимно обратные с (35.10)——(35.12)

S = S' + S"+ 5〃尸十...

S'=o'/ + 2, S,f^^I + D^ 5〃/ =。〃'/ + 〃；，...(35.17)

гдеv

O’ = 1 ц£,

0” = I121^2 十 Г22^>

产=『3© + 爲2£ е + Гз7 е(з),(35-18)

Do = Г*12 少

£=爲3£a+十24分，(35.19)

笈=f3382 Dz + f34e Dz + f 35£0之 + f36 0a

В (35.19), как и в (35.13), приняты обозначения

刀：三{分卜(G)出(％)}, Dl = {e注(q) 6以(т2) % (R)},

е(з)三 e订(J) e汴(R) ”t (飞)，e2 = 8 (q) £ (r2),(35.20)

83^8(^)8(^)8^3).

Полная запись соотношений (35.17)——(35.19) имеет вид

0"•⑸=或(力)+虑(力)+吗(力)十...

% =。‘%• + <., % = 0〃6"•十 S:；.，%=/%•+ <；.

где t

o'(力)='%(力 x)s(x)dx,

о

。"⑴=V {「21 (力 J, R) £ (J) £ (/) + °22 (力g"2)崂(J) 6订(%)} X о 0

XdqdR,t t t

о"(£) = \ §，{Г31 (^, q, 6,工3)& (口)£ (%)£ (工3)T「32 (力 Ti> R, R)又

0 0训

(35.18)

X £(G)%j (%)«力(У)卄 Гз7(М G, %, П)出(Z)e泳(工2)勿鼠飞)}义

X dt! dx2 drSj

s；№)= \口2(力 Т) ^ (т) dx, о t ;

s%/)= \\{г23(力g"2)£(J)%(R)+ 心4(力 J T2) eik (Ti) ekj (T2)} X о 0

X dt1dl：2, t t t'

s；；•⑴="\ {Рзз (厶 5 %"з) e (J) £ "2) Gj (J) + % (力 J,R, %) X 000

X ^1^ е1а (r2) ei； (r3) + Гзб (^, j, r2, R)£(G)Gk(R)%#з) +

+ “б (力 J R,叫)etk (%) eki(T2) ev(T3)} dq dR d% (35.19)'

В качестве примера рассмотрим оператор G (S) в виде суммы первых трех членов бесконечного ряда (35.10). Воспользовавшись формулой (35.14), получим

， G (S) = G] (S) / 十 G2 (S),

G] (S)=左11。十左2普2 + k22s + 宜3笛3 + 応20s + 左37s(3),

(35.21)

G2 (S)=左 12% + 宜2304 + k24 ^0 + 我330叨0 + K^Dq -(- +*350少^ +左360^.

По теореме 3 предыдущего параграфа операция нахождения оператора F (5), обратного к оператору G (S), состоит из трех шагов последовательных приближений (35.8), причем оператор F (S) имеет вид

歹(Е)=С(Е)(+/(р,,,,

F1 (Е) = Гц8 + Г21£2 + i%2 е 十 f 3183 + Г32ее 4* Г37 е(з),

(35.22)

ь2 (e) = Г12/)е +『28£a + 个2403 + i33£鹤€ +「34ea + + 1^35g^е + 『36度.

Имеем, согласно (35.8)1, первое приближение в виде

о⑴=fn8, D^ - ЗА；(35.23)1

для второго приближения

0(2)=『"£ — Гn [^21Tu€ гn8 + к22(1\2a，1\2"〉], 绯)=一 f12 [к23гП8 i\2a + k^d, гм, (З5.2з)2

где〈少€.少£〉三%

и, наконец, для третьего приближения

%(£)= #з)= Гце — Гц {^2i [Гне Гп8 — 2Гп8 Ги ^21 fii8 Гп8 —

-2I\i£f11 宜22(『120€，『120€〉] + 左22 [^T^-0е "120€〉-

—2 ^Г12-£)е • Г*12K23 Ац£ Г 12-Ое> —■ 2〈『12少£ • f*12宜24 ^12。€ 义

X f12/^e>] + ^зхГц^Гiifif n8 + K32 [ГцЕ (f 12-Ое * Г12/^е)>] +

(35.23)3(35.23)3+ 左37 [(f12e • Г128-Г128>]},

(35.23)3

(35.23)3

尸2(£)= D^= Г 12-Ое — f 12 {於23 [『11£十12。€ — Г*11еТ12 (^2зГц8Г 12^е)~Г

+ к24fli2爲宁 12少£— Г 12-ОеГц (-^21Гц8Г118 + 左22〈。12a X

义『12刀£〉)] + 玄24 [Г12^еГ12^е — 2Г12^еГ，12 (^23^'11еГ'12-^8 +

+ 我24f12a『12&)] + 左33 [『口£г11近12al + 及34[】120€ X

X「12刀£〉Г12/^е] + 左35 [Гц^Г 12-Oef 12-^e] +

+ 宜36 [Г12ЙеГ12РеГ12^е]},

где (Dz Dz-Dzy = е^.

Приравнивая члены одинакового строения в (35.23) 3 и (35.22), получаем выражение резольвентных нелинейных ядер релаксации Гпт (п = 2,3; m = 1, 2, . . Зп ——2) через линейные ядра Г11? Г12 и нелинейные ядра ползучести Кпт (п = 2, 3; щ = 1, 2,..・,Зтг — 2) в следующем виде

“1= —Гц^хГцГц,

Г22 = 一 гп^22г12г12,

Г2з=-Г12К2зГпГ12,

Г24 = —(I2 K24广12fli2 ,

(35.24)

Г31 = 一 3左力1也也1.+ 2i\i瓦£1(九左«jQ,

f32 = — I\1 及32『11『12十 12 + 十11 宣21『11 (十 1I.K22rl2f 12)+ 2rliiKz’QlZ 乂 义(f12"22f11(12),

Гзз = 一 ГрЛззГпГнГ^ + 九良23几(九玄3fl1九)+ Г12ЛГ23Г12 X х (ГиК^ГпГп),

1 34 — - f\l 友 34Tl2 fli2i 12 + 个12宜231\2(f11及22十12十12),

Г35 = 一 Г12^з5ГпГ12Г12 + ЗГ12Х24Г12 (Г12К23ТпГ12),

i、36 = ~• Г 12-^36^ 12^ 12^12 + 2Г12 К2^ 12 (『12左24fli2fli2),

Г37 = - гпд7г12г12г12 + 2Гп^22Г12 (Г12^24Г12Г12),

где, например, запись последней строки означает t已"

Г137 (4E,t2,T3)- 一 、 Гh (力，E) dg \ \ \ K37 (e, К,e2,三3)X

0Т1 та т3

t

文*2 &, J)m2 &,项工 (氧，工3)d近喉& +. 2 -加&三)dg X 0

乂 ， d^ K22 怎£，亮)口2 (扇，R)病2 ， Г12 (^, p) dp X d ^30

X \ \ 衣24 (E，&1, &2)Г12(Pl"l) I\2 cp2，工2)dp~dp2・(35.25)

Аналогично расшифровываются и все остальные формулы в (35.24). За-

Рис. 29.

Область интегрирования по перемен• ным g, & в соотношении (35.27)

метим, что в первом слагаемом выражения (35.25) справедливо следующее тождество:

• —f11X37f12f12f 12 =— Г 12^з?Г цГ 12Г12.(35.26)

В самом деле, производя замену порядка интегрирования по переменным

Е, Ji, в первом слагаемом правой части (35.25) имеем (см. рис. 29)

tEWE

一 \ % (Ю 我 \ \ \ &7 & L, &, Ез) % 图，Q % &"2)х (35.27) ОTi тат3

X Az (Ез,兀3)dJi d& 砲3 — — \ Г12 (Si, tx) dgi 义

义 \ \ \ к37 (三，自1,三2,三3)「11 (力 S) T12 (Sl> ^2)f12 (三2,t3)"三回8d自3. 日1 T2 Тз

Аналогично можно доказать тождество

(35.28)(35.28)Г12^23гп(г12к24г12г12)三 г12к24г12(г12ДзГпГ12)

(35.28)

(35.28)

Используя тождества (35.28) и (35.26) и им эквивалентные, из соотношений (35.24) заключаем, что при выполнении условий взаимности (28.7) в уравнениях (35.10) — (35.12)

2K22 & G, R)= К23 (厶 q, 7),

K32 (%, %, R, %) = K33 (力，Ti, т2, t3),(35.29)

衣35 (%, G, S, У) = ЗК37 (力，％, t2i ^3)

и в уравнениях (35.17) — (35.19)

2г22 ("，T1,T2) = f23 ("，%, t2),(35 30)

Г32 (力吃，R, R)— Г*33 & J /,。3),

Г35 (九 G，7,飞)=ЗГ*з7 (九 q, %，°3)・

Итак, существует полная эквивалентность прямых и обратных соотношений, связывающих напряжения и деформации. Точно так же, как нелинейные ядра релаксации выражаются через нелинейные ядра ползучести, нелинейные ядра ползучести выражаютея через нелинейные ядра релаксации. Например, соотношения (35.24) останутся справедливыми, если сделать следующую замену:

宣11，广12f 直12，

Г21n ~К2n,К?九Г2п,(九=1, 2, 3, 4),

『Зтп 女Зтп?直3mТзт， (m = 1,2,...,

§ 36. Обратные соотношения

главной нелинейной теории вязко - упругости

Соотношения главной нелинейной теории вязко-упругости получаются из общих соотношений нелинейной теории вязко-упругости* (28.3), если в разложении каждого нелинейного ядра К^‘ (а) (30.6) оставить только главные части этих ядер (30.8). Следовательно, соотношения главной нелинейной теории вязко-упругости имеют также вид (28.3), где ядра ползучести К^2无…(力 q, . ••, тп) имеют специальное строение в виде суммы двух слагаемых, в первое из которых входят различные произведения б-функций на регулярную функцию одной переменной, а во второе —— константа, умноженная на произведение 6-функций соответствующих аргументов. Разумеется, полученные соотношения можно свернуть, в результате чего первое слагаемое будет иметь вид только однократного интеграла, а второе вообще не будет содержать никаких интегралов. Однако, если такую свертку не проводить, соотношения главной нелинейной теории вязко-упругости ничем формально не будут отличаться от общих соотношений нелинейной теории вязко-упругости (28.3) или (34.31). Эти соотношения можно обратить, согласно методу, изложенному в § 34. В результате получим соотношения (34.30), причем каждое нелинейное ядро М"九…％% (力 q, .. тп) (汽=2, 3, • . .) находится квадратурами по известным ядрам T^Wl (力 q) и К锵由…^〃(力 q, • • •, rn) (n = 2, 3,…). Однако полученные таким образом ядра Г^1-'лп^п ^у Т1?%^ бу

дут содержать, вообще говоря, все члены разложения (30.6), а не только главную часть. Поэтому обратные соотношения главной нелинейной теории ползучести (34.31), вообще говоря, не являются соотношениями главной нелинейной] теории релаксации (34.30), и наоборот. В самом деле, пусть, например, в соотношениях (34.31) отличны от нуля только первые три слагаемые. Тогда, согласно (34：28), имеем

t

几(方，G, 7)=一\l\ (九 E) dg X о

义 \ \ % & 乳疋2)п е, 口)с & q dgi d^.(36.1)

Так как линейное ядро Гх (力 t) всегда можно представить в виде суммы сингулярной и регулярной составляющих

1\(%") = Гб (% - t) + ГД^-т),(36.2)

где Г —— константа, а 1\ (力 —— т) —— регулярная функция, то соотношения (36.1) можно записать в следующем виде:

—爲(厶 J Q =「К?(力 G,%)— tt

一 зр A &(九三宀)f\ & 一 Q ^+\ &(小i, a ZE — r)闻 + t t

+ 3r \ ， 乂 色 乳,三2)?1(L 一 G)頁& 一 з)陶騎2 +

+ \冗(方,E)我\ \ & &乳,扇)亶&, G)"&宀)喝睑. (36.3) 06 с

Учтем теперь, что главная часть ядра К2 （30.2） имеет вид

& （九 t1? з） = 6 （q — т2） ［Л （t — G）+ 幺（力 一 Q）］ +

十 6 （% — g） В （t — т2）十 6 （% —匕）8（% — q） +

47 c ［6 （力一％） 6（G — 0） + 6（% — з） 6 “2 — G）］ +

土064 一g）6（方一a）.（36.4）

Поэтому имеем

一Г2 （t, T1, j）=fК2 （4, G,小）一2r2 ｛1\ （力 — T1） в （t — T2） -卜

十 1\ （力—т2） В （t — q）十 6 （力一q） ^ В （Z — g） Гх （5 — t2） dj 十

+ 6 （力一q） \ В （力一g） I\ （三—q） dg +

+ 2c ［Г\ （q — т2） 6 （t — тг）十 I\ （R'G）6 （力一，2）］ +

+ 少 口1（G — Q 6 （力一％） +「1 “2 — G）6 （力一3）］｝ +

+3? ｛2\ d （力一三）曽（E 一 q）f］（三一 R）證+

max （и, Q）

t

+ \ 8 （方一自2）A （力-t1） A （自2 -t2）d32 +

t

+ \ 8（"—三1）*（" — г2）Г1 （5i — j） dgi +

+ （2C + D） r （t - q） Г1 （大-T2）｝ + \ A （力一E） dg X о

x ｛（20十少）『1 0 - G）頁但一 3 + -『1但一 Q 5 （三一 最） X

X / & 一 %）竭 + ， 售（三 一 g）3 e一氢）『1 & 一 7）宅 +

匕

+ 2、4 （三一Ei） 1\ （乳一G）1\ & 一з）喝｝ .（36.5）

max（Ti,T2）丿

Из последнего выражения видно, что ядро Г2 （厶 q, т2） кроме главной части содержит и регулярную часть, т. е. является ядром общего вида. Это свойство справедливо, очевидно, для ядер любого порядка п Т\ （力 G，• • •, tQ, что нетрудно усмотреть из формулы （34.23）, принимая во внимание определение у-форм （34.19）.

Предположим теперь, что функция Гх （力）такова, что ее максимальное значение на отрезке ［0,力］мало по сравнению с величиной Г （36.2）, так что величина

со = max （Гх （т）/Г）（36.6）

（ХУ

много меньше единицы （з<^ 1）, поэтому величиной со можно пренебречь по сравнению с единицей. Разделив правую и левую части соотношения

Рис. 30.

Характерный график функции релаксации для сильно релаксирующих материалов

(36.5) на число Г3 и заменяя функцию Гх (力)/Г ее максимальным выражением со, мы видим, что ядро Г2 (力 q, т2) с точностью до членов порядка малости со является ядром того же типа, что и ядро Х2 (力 тх, т2). Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если материал слабо релаксирует, т. е. является малой по сравнению с единицей величина

s = Гх/Г,(36.7)

где Гх ——максимальное значение, принимаемое на отрезке [0, t] производными тензора функций релаксации 区灯^ (办，а Г ——минимальное значение компонент тензора модулей упругости этого материала

I\= max 7?да (т),Г = min [五力泳八。)],(36.8)

то соотношения главной нелинейной теории релаксации (34.30) и главной нелинейной теории ползучести (34.31) являются взаимно обратными с точностью до величины со.

Для изотропных материалов, у которых изменение объема сопровождается упругими деформациями, очевидно, величиной 1\ является максимальное значение производной функции релаксации R (/), а величиной Г — удвоенный модуль сдвига G.

Заметим, что ядро Г2 (力 тх, т2) останется главным ядром и в том случае, если в правой части соотношений (36.5) удержать величины порядка со, при этом необходимо допустить, что отношение максимального значения функций 4 (力)и 8 (力)в (36.4) на отрезке [0, Н к наименьшему из числовых значений С, D существенно меньше единицы.

Рассмотрим сильно релаксирующие материалы, т. е. материалы, в которых функция релаксации сильно убывает в течение некоторого достаточно малого промежутка времени t * (рис. 30). В этом случае ядро релаксации Г (力)можно выразить через функцию релаксации в следующем виде:

, h (0) 一 E (力),,

几(%)=(36.9)

—、/=『'，при 力〉力

или одной формулой

几(力)=吗三f 竺,где a = Ch (e -广).(36.9)，

Как видно из рис. 30, для достаточно больших времен t (t 発 力*) функция Тх (£) является малой величиной по сравнению с Г* = Е (0). Поэтому для достаточно больших времен t, как видно, например, из соотношений (36.5), можно пренебречь величиной со (36.7) по сравнению с единицей. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если материал сильно релаксирует, т. е. для времен, значительно больших некоторого характерного времени 力*, величина со (36.7) является малой по сравнению с единицей, где Гг ——максимальное значение тензора ядер релаксации 1\订^ (力)на отрезке (力*, Z), а Г — минимальное значение тензора модулей упругости этого материала

Гх = max (九阿⑴)，

Г = min[2?i；H(0)],

то соотношения главной нелинейной теории релаксации (34.30) и главной нелинейной теории ползучести (34.31) являются взаимно обратными с точностью до величины со для времен, достаточно удаленных от характерного времени 力*.

Рассмотрим главную нелинейную теорию вязко-упругости для изотропной среды. Пусть выполнены условия теоремы 1 или теоремы 2, которые заключаются в том, что величина со много меньше единицы, где

max [*⑴，r⑴], если выполненыусловия теоремы 1,

kвыполнены условия теоремы 2,

Г = min [2G, ЗК].(36.11)

Тогда соотношения (30.10), (30.10)' являются взаимно обратными с соотношениями自

S (0 = g] (U) / + g2。)Е (%) + g3 (U) E2 (0 + t

+ \ 3 (P) / + 卩2 (P) E (力)+ Рз (P) E (r) +

оI

十卩4 (卩)E2 (0 + p (Q E2 (r) + P6 (Q [E (力)E ⑴ + E(r) E(0] + 十卩7 В) [E2 (0 E (r) + E (г) E2 (力 + a (V) [E2 (r) E ⑴ +

+ E (£) E2 ⑴]+ a (Q [E2 (0 E2 (т) + Е2 (т) Е2 ⑴],(36.12)

где U представляет собой совокупность аргументов функций gfc (友=1, 2, 3) от трех независимых инвариантов тензора деформаций, взятых в момент t, а V — совокупность аргументов ядер Pk (倉=1, 2, . . ., 9), в которую наряду с аргументом t ——т входят инварианты, построенные на базе тензора деформаций, аналогичные инвариантам (30.11).

Для того чтобы получить выражения функций g^ (6 = 1, 2, 3) и ，用= 1, 2, . . ., 9) через заданные функции 九 侬=1, 2, 3) и 佈 伍= = 1, 2, . . ., 9), можно воспользоваться схемой (35.8), рассмотренной в предыдущем параграфе. Для этого нужно принять в качестве оператора

G(S) правую часть соотношения (29.3) и подсчитать операторы (35.7), а затем, принимая во внимание малость величины со (36.9), образовать функции g/f и pi (А = 1, 2, 3; 2 = 1, 2, . . .,9). Однако можно идти другим путем. А именно, принимая в качестве оператора G (S) правую часть (30.10)1, произвести разбиение этого оператора на & (S) и G2 (S) по формуле (35.14) и, считая операторы Ги и Т12 в выражении (35.16) числами, получить по схеме (35.8) оператор F (Е) непосредственно в виде (36.12), а отсюда и выражение искомых функций g^ и р( (6 =/, 2, 3; 2 = 1, 2, ... 9).

Если же условия теорем 1 и 2 не выполняются, то под главной нелинейной теорией вязко-упругости понимается либо главная нелинейная теория релаксации (30.10), обратные соотношения которой не являются соотношениями главной нелинейной теории ползучести, либо главная нелинейная теория ползучести (36.12), обратные соотношения которой имеют вид (29.3), т. е. не являются соотношениями главной нелинейной теории релаксации. Таким образом, соотношения главной нелинейной теории релаксации, равно как и главной нелинейной теории ползучести, неразрешимы в конечном виде, за исключением некоторых частных случаев.

Рассмотрим, например, простейшее нелинейное соотношение главной «кубичной» теории вязко-упругости [3], когда в нелинейном ядре К3 (х) (32.20) берется только объект К^ (32.21), компоненты которого, как уже упоминалось, являются числами. При этом, согласно (32.24) А = Ks (力 力, А = 0 л соотношение (32.23) имеет вид

t

3 (0 = [(1/2G) + Ks (力 t)]镰⑴ +，友(％ — т) ⑴ dt. (36.13) о

Если в качестве ядра релаксации Г (%), резольвентного относительно К (力),выберем, согласно модели Максвелла, Г «)= — ^G2m^2Gmt, то для регулярной части ядра К (力 имеем 宜⑴=zn = const. Поэтому имеем из (36.13)

t

旬・(%) = [(1/2G) + Ks (%")]叩(%) + m[Sij(^ 阮(36.14)

о

В случае ползучести

$灯=S% = const, s (力力)=So = s?jS?j =(吸)2’(36.15)

鼻包=(1/2G) + KsQ + mt(36.16)

s“・

(по 厶 / в (36.16) не суммируется), т. е. скорость ползучести постоянна и нелинейно зависит от напряжения только начальная деформация

得=[(1/2G) + KsQ]s^(36.17)

В случае релаксации е〃 = e?j = const из (36.14) находим точное решение

Sjj ⑴=4- Н ⑴际(36.18)

где s (0 находится в виде неявной функции времени из уравнения

3KGsq (1 — *) — In * = 2GM(36.19)

причем постоянные s° и sg находятся из соотношений

(詣 + KsJ So = %, s% = 1/2g + Ks0，% =端％ (36.20)

А. А. Ильюшин, Б. E. Победря

Ограничиваясь в (36.18)——(36.20) малыми первого порядка относительно К, получим закон релаксации

(36.21)(36.21)'石"=2Ge~2Gmt + 口” (g-2Gm力—3e~GGmt)

(36.21)

(36.21)

el2

(здесь no i, у не суммируется). Как видим, при t 二二 0 нелинейность (при заданных &) уменьшает начальное напряжение s* но при 方一＞ 8 увеличивает остающееся напряжение.

В общем случае соотношения главной нелинейной теории ползучести (30.10) можно обратить и представить в виде (36.12), но под gu р【(％ = 1, 2, 3; Z)1, 2, . . ., 9) понимать уже не функции, а функционалы от соответствующих аргументов, причем, если фиксирован конкретный процесс деформации в (30.10), то можно найти нелинейные ядра релаксации (36.12) через известные нелинейные ядра ползучести методом последовательных приближений, изложенным выше.

Для примера рассмотрим соотношения главной квадратичной по девиаторам теории вязко-упругости. Пусть нам заданы соотношения главной квадратичной по девиаторам теории ползучести с мгновенной линейной упругостью (32.15) и (32.16). Так как в главной квадратичной теории вязко-упругости сохраняются только квадратичные члены по девиаторам, то обратные соотношения по девиаторам будут получены после второго приближения. Средние напряжения и деформации учтены в этой теории полностью. Поэтому для получения обратных ядер релаксации по заданным ядрам ползучести необходимо выполнить формально все приближения. Ограничение числа приближений вызывает приближенность значений резольвентных ядер.

Поэтому обратные соотношения запишутся в виде (32.18) и (32.19), где ядра Q\ Qi и ?Q2 представляют собой функционалы по переменным 0 (т), к определению которых мы и перейдем. Применяя сокращенную запись в операторном виде, соотношения (32.18) и (32.19) можно записать так:

。万=i^j + 6 订丸6 + Q^+ ^[Q^ + &e]・ (36.22)

После того как линейные ядра релаксации Г и Tj найдены, например методом итераций, нелинейные ядра релаксации Q, Q1? Q2, между которыми тоже, конечно, существует связь типа (32.17)

Q (%,力一С) + & 丝勺f = ■!。2 (&, % — t),(36.23)

находятся по следующим формулам [70]:

^(п+1) (0т, % — t)=

^y(t^.^dl\p,^ (n)，I — n) Г! (n — t) r (n — t) d% От

Qi(n+i)(&, £ t)=

=一 \*G _ E) dg \ P； (o⑺(n), E 一 n) [Гх (n — t)]2 dn, (36.24) От

Q2(n+l) (Bp,必t)

=一 \ * (£ 一 E) W "； (Og)⑴)，E 一 n) [F (n — T)]2 對， 0т•

где

о(п)(п) =，1\ (п — т) е (т) dt — \ 1\ (п — т) dt \ dg Xооо

X {р； (“*1)(Е), Е - Е) "п (Е -氢)]2 02 &)电 +о

+ Р； (“nF (&, Р — 占)仃(Е — El) е &, El)喝(36.25)

о

при 汽 > 1, причем за нулевое приближение принято выражение

0(0)(п) = \ А (п - т) 6 ⑺血・(36.26)

Итак, если известна функция 0 (т), то нелинейные ядра релаксации Q', Q；，Q； находятся по формулам (36.24). Точно в таком же смысле можно понимать соотношения (36.12) как обратные по отношению к (30.10), и наоборот.

X. Квазилинейная теория вязко-упругости для изотропных несжимаемых сред

§ 37. Прямые и обратные соотношения квазилинейной теории вязко-упругости

Соотношения квазилинейной, т. е. тензорно-линейной, теории вязкоупругости представлены уравнениями (31.10)'. Эти уравнения удобно за- хшсать в следующем виде:

88 世

Е =宜工普 + 2 左nd + 2 2 (n-2p + i)Kn尹户-2%P, n=2n=2 p=0(37 ])

oo v

& = K12Da + 2》£ pKn^^^D^ n=2 0=1

где^первыми слагаемыми выделена для удобства линейная часть и использованы принятые ранее обозначения

(e = e/ + ") =(£灯=£6 灯 + 旬)，

(S = о/ + 4)三(0灯=об灯 + s»),

@三 3% s 三 SijCrOs#%), 白三 0(f1)0(3).. . o(j)，(37.2)

t

Kn^pn = \ Кп* (力久,• • г ^п) о (。工)• • • о (%) dq • • ♦ "%， о

где V — антье (целая часть) от (п + 1)/2 : v = [(п + 1)/2], И — антье от n/2 s |х = [п/2].

Для наглядности распишем несколько членов бесконечных сумм, входящих в (37.1):

Е = ku" + k12po + K21oV + 宜22 [200。+ Si] +

+ 宜訂0" + 宜32 [2?4 + 2@s/] + 宜33 [4s0。] +

+ 左4普叮 + 女42 [2@3& + 39W1 + K^ [4®s5 + s2/] +

+ K^I + 衣52 ^Dq + 4@3s/] +

+ Кз [^2sDa + 2as2/] +K54 [6s2。/ +(37.3)

Если нам известно обращение линейных операторов 宜口 и 左^, т. е. известны резольвентные операторы Гп и Г12, то соотношения (37.1) можно обратить, воспользовавшись схемой (35.8), производя разбиение оператора^ (S) на сумму двух операторов по формуле (35.14), причем за оператор Gi (S) следует принять правую часть первого соотношения^(37.1), а за оператор G? (S) — правую часть второго соотношения (37.1). В результате получим обращение соотношений (37.1) в виде

сооо у.

О = Гц.8 + W Гп16П + 2 2 (П — 2р + 1) fnp+i6n 20瑞 n=2n=2 p=l

00 v

D ° = r12Pe + 2 N £ 篦n 0+1『叫"5(37.4)

71=2 P=1

где наряду с обозначениями (37.2) приняты во внимание ранее введенные

0 三 Зе, е 三 е〃(q) е订(R)・(37.5)

Аналогично выражение (37.3) можно записать

S = 1\声2 + Т12Ре + Г21е2/ + Г22 [29Ре + 叫 +

+ Г31831 + Т32 [20Ws + 20е/] +%з 围&]十

+ 匸止"+ T42 [2炉0ё + 30W] +T43 [46ёа + 巒а +(37.6)

+ Тб185/ + Гб2 [204Ре + 40W] +

+ Ъз [402еЛе + 20<?2/] +Тб4 [&eWz] +

+

Резольвентные ядра Гптп (匕豆，• • •，тп) (тп == 1, 2, . . ., [(п + 3)/2]) находятся после выполнения п приближений по изложенному выше методу либо по формуле (34.23)

『22 = -l\lk22Tl2tL2 三一 Г12К22ГПГ12,

Г31 = — ГцК31rlihuFn + 2i\ik21rli (гцк21fliii\i),

Г32 = 一 i\i%21ii「/12 + Гпх21гп(гпк22г12г12)+

+ 2ГпК22Г12 (^K^fiiT^)三-九及32丸£也2 +

+ 亍12左22Tl2 (Гц^21ГIlf 11)十 2r12宜22rli (t^宣22rli^12),(37.7)

f 33 = 一 Г 12-^831,12r，12Г，12 + f 12^22f 12 (f'12宜22fl2rl2)，

Если в соотношениях (37.1) положить v — N — 1, то получим соотношения квазилинейной теории ползучести, ^кратной по девиаторам. Как следует из предыдущего, обратные соотношения с точностью до величин высшего порядка малости по сравнению с ||Е Ц^ можно записать в виде (37.4), причем в последних v ^ ^. Таким образом, соотношения квазилинейной теории релаксации, N-кратной по девиаторам, являются взаимно обратными соо тношениями квазилинейной теории ползучести, ДГ-кратной по девиаторам (37.1), и поэтому (37.1) и (37.4) вместе являются соотношениями квазилинейной теории вязко-упругости, TV-кратной по девиаторам.

В частности, положив ” =卩=1 в соотношениях (37.1) и (37.4), получим квазилинейную теорию вязко-упругости, квадратичную по девиаторам [71]. Соотношения этой теории получаются из (37.3) и (37.6), если в последних сократить только два первых столбца слагаемых. Следовательно, из (37Л) или (37.3) имеем

t£ t

£ (%)三 $ 9 (力)=,Kn (/ — т) о (г) d( + , 4 ( о ⑴)о ⑶ d( +ОО т=0

(37.8)(37.8)+ 2，§B ( o(t))s(q, %)«块&, О 0 т—о

(37.8)

(37.8)

t力力 £

О О Р=ОО О Р=Ооо旬(力)=\及12(方一t)Stj(t)dt + \\c ( 0")爲"1)0"2)包/

О О Р=О

О О Р=О

о

о

где нелинейные функционалы Д, В и С имеют следующий вид:

t8 方方

4 ( о⑴)=N \ • •,，爲 1 (* — q,才一％— %) о

р=оп=2 ОО

о(1九)dt? • • • dt^,

8 ( о ⑴)=X \ • • • \ &2 (力一Q, % —《…/ — %)❷(%) &(Q)… p=o九=2 00

...0(1九)de3 d14 dxn,

ttдВ ( с(т))

с ( 0(。))= В (о(т))4-о-^— .(37.9)

р=0L т=о」

Соотношения, обратные к (37.8), запишутся точно в таком же виде tt t

о ⑴=\ Гп (% — t) е (t) dt + \ 厶(0(r))8 (t) dr + ОО P=o

+ 2 55^(0 ⑴)e(G, t2) dqMr, о о

Su (力)=\ r12 (t — t)幻⑴ dt + § \ N (0 "))侬(q) 0(3)dq dR, оо 0

где нелинейные функционалы L, M н N находятся из выражений

8 / t

L (8 ")) == ^]〈 • • • \ -^nl (/^i> %3? • • •, £^n) & “2)• • •

n=2 ОО

oo tt

M (0 (t))=》§•••，ГП2 (t — Tlt t — т2,...» t — тп) 0 (t3) 0 (t4)... П=2 00

…6 (rn) dr3 dq .・・ dj,(37.10)

Y(e ⑴)=[м(0(T))+ e ^|^].

Каждое нелинейное ядро Гп1, Гп2 (汽=2, 3, ... 8), входящее в выражение функционалов L, М, находится в квадратурах по заданным нелинейным ядрам Кп1，Кп? (п — 2, 3,.・.,8), если известны линейные ядра Кц и К】?：

Г21 =-九宜/Ju,

Г22 = 一 rnХ22Г12r12 三一九/ 2九九，

Гз1 =-厶10电 1%\ + 2ГпХ21Гп (ГпХ^ГиГп),

『32 — — Al玄32fli/12^12 +『11 女21fli2 (f\l宜22fl2f 12)十

+ 2 丸1 宜22九(Г 12宜22nl『12)= 一 ГП^32ГПГ12Г12 +

十宜22户12储1宜21九九)+ 2*我22九(九左2・#/12)(37.11)

Заметим, что каждое ядро ГП1 (汽=2, 3,・・.,оо) определяется по известным ядрам Кт工(тп = 2, 3,・・・,汽),в то время как в обращении ядер ；九2 (汽=2, 3,..・,8)участвуют как ядра Хт1, так и ядра Кт2 (т 二 2, 3, . . ., п^.

Рассмотрим соотношения [3] кубичной теории вязко-упругости (31.12), (3.13)

期(力)=- к а — t) s仃⑴ dT + о

t t t

十 \ \ \ Кз (力 一 J,力一T2,力一q) s (q, 7)s订• “3)&G &% &口 (37.12) ООО

или в операторной записи

Dz = KDa Н- K3sDa.(37.12)'

Для обращения соотношений (37.12) воспользуемся тем, что оператор G(S), представляющий собой правую часть выражения (37.12), является оператором третьего порядка. Поэтому справедливо доказанное выше утверждение, что для получения обратного оператора F (Е) достаточно проделать три шага изложенного выше метода последовательных приближений. Применяя схему последовательных приближений (35.8), получаем

。!" =0(。，/人)=个0£,(37 ]3)

D^ Q (D^\ De) - VDZ - ГД <fDe.rD^ Dz.''

Так как мы должны ограничиться только членами порядка малости О (63), если сами тензоры е^, s订 считать порядком малости О (6), то третье приближение даст нам только члены высшего порядка малости по сравнению с О (63) из-за отсутствия в (37.13) членов порядка малости О (62). Итак, обращение получено. Его можно записать в виде

Da =『& + Г3^е(37.14)

или в полной записи

t

S力⑴=' r « — T)期⑴dx + о

t/t

+ \ \ 、 г3 ("一G,力一t2，方-T3)6 (t1，t2)4方(t3),(37.14)‘

0 0 0

где учтена симметрия ядра Г3 по всем трем своим аргументам и использовано обозначение (37.5). Ядро Г3, как видно из записи вторых слагаемых в (37.13) и (37.14), выражается в виде

f 11

\ \ \ f £-J，方-'2,力-%) %z (J)%2(e2)e"(T3)dqdi:2dt3 - ООО

tт

=—\ Г (力一T) dx \ Х3(т 一 т1? т — т2, т — т3) dx1dx2dx3 х оо

6p2J3

X \ r(q-£)%z(£)dEi\ Г (小一 &)%/(&)砲2、Г(Тз-^)^(^зЖ. ООО

(37.15)

Полагая в (37.15) е^ (力)=б^ 5 (力 ——q) и произведя некоторые вычисления, получим

tt t t

г|3(力-ti, t - T2, t - Т3) = - \ °(" - t)dt \ \ \ к3 (t一Ei,t一

06 t2 T3

一g2, e - Е3) Г (^i 一t1) гт & -t2)Г11 (自3 -t3)嘔学&.(37.16)

tt t tSij«) =，r (力 т) e订⑴ 九 + \ \ \ r3(^T1,T2,T3) e (J,Q)e灯"з) dx1dx2dx3l 00 0 0tt t tSij«) =，r (力 т) e订⑴ 九 + \ \ \ r3(^T1,T2,T3) e (J,Q)e灯"з) dx1dx2dx3l 00 0 0Заметим также, что если ядра К, Х3 за счет процессов старения, полимеризации или др. не будут ядрами разностного типа, то уравнения квадратичной теории вязко-упругости будут содержать ядра неразностного типа:

tt t t

Sij«) =，r (力 т) e订⑴ 九 + \ \ \ r3(^T1,T2,T3) e (J,Q)e灯"з) dx1dx2dx3l 00 0 0

tt t t

Sij«) =，r (力 т) e订⑴ 九 + \ \ \ r3(^T1,T2,T3) e (J,Q)e灯"з) dx1dx2dx3l 00 0 0

(37.17) tt t t

e订G) = \ k (力t) s订⑴九+\ \ \ % "，G，%(3) s (q,ь居式а川中匕九3.

000 0 0

0

0

причем нелинейные ядра релаксации Г3 выражаются через ядра ползучести следующим образом:

T1 Q тзT1 Q тзГз (力 J,t2,t3)- — 、 r (力,t)dt \\ к3,(* 三1，三2,三3)г (三1，t1)义

T1 Q тз

T1 Q тз

(37.18)(37.18)о

(37.18)

(37.18)

义 Г (^2, Т2)Г (三3,工3)dgldg2dgз・

Приведем другой метод для получения обратных соотношений в кубичной теории вязко-упругости [3]. Соотношения (37.12)'л (37.14) выражают свойство взаимности в квадратичной теории вязко-упругости: каждое из этих уравнений (ij = 11, 12, 13, 22, 23, 33) является решением системы взаимных нелинейных интегральных уравнений. Свойства «резольвенты» ядра Х3, т. е. ядра Г3, должны быть аналогичны свойствам К3, в частности, должно соблюдаться свойство симметрии для Г3 по всем аргументам. Необходимо подчеркнуть важность взаимности соотношений (37.12) и (37.14); ядра К, Г, К3, Г3 должны быть связаны какими-то интегральными уравнениями (не зависящими от е, s) и обладать соответствующими свойствами, вытекающими из их взаимности.

Интегральное соотношение между инвариантами е (q, т2), s (q, т2) получим так. Обозначим t方

(37.19)(37.19)①(九 q) = \ \ к3 (力，tl，t2, t3) S(1丄，T2) dqdR О О t t

(37.19)

(37.19)

/ (力t3)= \ \г3 (力 TlJ,t3)6 (q, R)dqd% о о

Напряжения smn и деформации етп являются малыми порядка б: smn, Cmn ~。(5). Тогда s, е 〜。(б2),屮，/ 〜。(б2). Основные соотношения (37.17) принимают вид

/#) = \【К «, t) + 屮(力 т)] s灯(t) dt,

:(37.20)

sij⑴=\ [F (力t) + / (力，初旬(t)阮 о

Перемножив s订(力)и s^Q/) и затем просуммировав по ij (а, у ——различные моменты времени), получим с ошибкой порядка б6, искомое интегральное соотношение между sue

s (羽 у) = s。位,у) + s，(с,办(37.21)

где

S°(2,幻=\ \ Г (/,三):Г ®, п) е (& 哨施&Ъ о о

S'(2, У) =，\ [Г 3, Е)/®, m + Г®,刀)/(芻 ЕН е& ⑴侬п・ о о

Решением нелинейного интегрального уравнения (37.21) относительно е, очевидно, является выражение, получаемое перемножением значений 6灯(37.20) в моменты времени х, у

е (с, у) = е。(％ у) + er (с, у),(37.22)

где

X

决(2,汾=V к 3, У К ®, п)5& п)^п, о о

х

е' 3,刀=\ \ [К (с,Е)屮(％ т]) + К (仇 П)屮位,bl s (三,П) djd”， о о

причем, конечно, отброшены члены порядка 66. Для нахождения, в частности, модуля напряжений (причем модулем девиатора напряжений мы называем интенсивность oj

|b| = (Smn (力)smn (力))％ =【S (力 t)]^2 = 0微(力)(37.23)

достаточно в (37.21) положить х = у = t; выражение модуля деформации

I I = (етп ⑴ emn ⑴)％ = (е (力 9产=£仅⑴(37.24)

получим из (37.22) при в = у = t.

Как видим, интенсивность напряжений аи (力)выражается не через интенсивность деформаций в предшествующие моменты времени t 0 力 a qe- рез билинейную форму етп 履)етп ⑺ & т] < t).

Интегральное уравнение, связывающее второе ядро ползучести К3 со вторым ядром релаксации Г3, получим так: внося значение s (а, у) из (37.21) и (37.22) и используя (37.19), мы получим соотношение, содержащее К3 , Г3 и е (х, у), которое должно быть тождеством относительно е (力,у). Это тождество будет содержать члены порядка б6, образующие сумму

% иЯ -л

е& у) = \、К(2疋)К @, т])庞 dr)、、:Г (g, 〃) Г (т], и) dudu, (37.25) о оо о

и члены порядка б4, образующие сумму

X у

\ \ [К(2疋)Фо ®, n)К (у, п) То (%, Ю1 s° 化,п)您&1 +

о о

+ ^К(хЛ)К ®,哨 s，& т])无 dr],(37.26)

о о

где s'(力,у), s° (力,у) имеют выражения (37.21) и

X X

屮о(2,幻=\ \ Кз(2, а п，у) s。(Е, Т]) dgdri，(37.27)

о о

причем слагаемые порядка б6 отброшены. Требуя тождественного обращения в нуль (37.26) и (37.27), получим два интегральных уравнения для Г, К, Гз,

Менее громоздкие уравнения таким же методом получим из (37.20) подстановкой s»j в выражение е〃. Для слагаемых порядка б получим

ё打⑺=\\ к(力,T) г(t,三)旬⑸喝R(37.28)

о о

и для слагаемых порядка б3 (отбрасывая малые порядка б5)——

\\ [К (力 т) / (% 5) + Г(тЛ)屮。(力 т)] % (三)d喚，(37.29)

о о

где ф0 (х, у) имеет выражение (37.27), s (瑞 у) — (37.28), / (л;, у) — (37.26).

Соотношения (37.28), (37.29) должны быть тождествами при любых независимых значениях функций е〃 (а) и е (а, //). Поэтому, полагая

е〃・ 3) = 6 (х — г), е (а, у) = 8 (х — р) 8 (у — q),(37.30)

где использована б-функция, получим (37.28) интегральное уравнение для К л Г1

£ К(2, g) Г (5,汾嗎=6 3 — 力(37.31)

по существу совпадающее с известным интегральным уравнением (2.29) линейной теории вязко-упругости. Из (37.21), (37.27) и (37.30) найдем

s。(I, ^^h^^p)h^-q)r & р) Г (% 办(37.32)

屮о (爲刀=\ 方(Е — р) г (Е, р)宠，无 5 — g) г (n，д) % Q, L % у)师 оо

х

где 九(а) =、5 (三)d^, б ⑺=dh (a)/da.

.Из (37.19)8

/з, у) = h (х — р) h (х — q) Г3 3, р, q, /(37.33)

Внося (37.32), (37.33) в (37.29), получим интегральное уравнение, связывающее ядро 衣з и резольвенту Г3

\ К (力，т) Г3 (% р, q,r)dt = —Ф (力 р, д, г),(37.34)

о

где

①(力 R q")=上"，Г)现 ， ， 门三,p)门% q) & (力 三, q D 嘴W (37.35) rp q

и P, g"Wt・

Так как резольвента ядра К (力,т) есть Г (力 т), то решение уравнения (37.34) известно и дает выражение резольвенты в следующем виде:

tppp

-:Г3 (力 p, g,Г)=- 五(力,T)dC % (g 自,% О Г 代,?)X 0p qr

X Г(Т],^)Г(^Г)dgdT]^-(37.36)

Вследствие симметрии всех соотношений можем написать и обратное соотношение, т. е. выражение Х3 через Г3 в виде (37.36), если все буквы Г заменить на К л буквы К заменить на Г

力РТР

—Кз(力,р, q,厂)=一 \к(力°)&4\\Гз",&,%»к&р) х

Ор q г

xK^q^K^r^d^.(37.37)

§ 38. Квазилинейная теория вязко-упругости несжимаемой среды

Экспериментальные исследования, проводимые с различными материалами для исследования их механических свойств, показывают, что у многих материалов объемные свойства не зависят от времени и изменяются в большинстве случаев по упругому закону. Только сравнительно продолжительные по времени опыты регистрируют релаксацию объемных свойств материалов [84]. Если в результате нагружения материал не изменяет своего объема или изменяет его незначительно, то такой материал называют несжимаемым. Иногда к понятию несжимаемости прибегают и в том

случае, когда имеют дело с достаточно сжимаемыми материалами, с тем, чтобы упростить решение поставленных задач. Особенно часто этой идеализацией пользуются при решении геометрически или физически нелинейных задач механики твердого деформируемого тела. Таковы, например, задачи нелинейной теории упругих оболочек, многие задачи теории малых упруго-пластических деформаций и др. Для решения задач нелинейной теории вязко-упругости важно рассмотреть различные квазилинейные теории вязко-упругости для несжимаемых сред.

Воспользуемся результатами предыдущего параграфа. Так как для несжимаемых материалов в случае малости деформаций, имеем

(38.1)(38.1)£ = ~д~ 6 = § Ejj = О,

(38.1)

(38.1)

то операторная связь между напряжениями и деформациями для произвольной нелинейной среды

(38.2)(38.2)｛5 =ь田）｝三｛。仃=工№加｝

(38.2)

(38.2)

устанавливается с точностью до некоторой скалярной функции, называемой функцией давления

_1

(38.3)(38.3)p =@義公

(38.3)

(38.3)

Эта функция определяется при решении задачи. Соотношения (38.2) в этом случае принимают вид

S = F(D^ + pI или

(38.4)(38.4)刀О = F（а）・

(38.4)

(38.4)

Уравнения равновесия для квазистатических задач в этом случае будут

D.iv Dg + grad р = — pF или

sg・ + P,t = — p%・(38.5)

Так как в случае несжимаемой среды левая часть первого уравнения (37.1) обращается в нуль, то должна обращаться в нуль и правая часть. Поэтому имеем

Kni (力,q, • • •, j)=。， (九=1,2,..., 8)；

(38.6) кn р+1 (力,t1, . • ・, %)= 0,(九=1,2,…，8；p = 0, l,...,|i=[n/2]).

Поэтому в девиаторных соотношениях (37.1) отличными от нуля будут только следующие ядра:

Кпр^ (&%•••,%), (n = 1, 2, . . ., оо； р = ” —似， (38.7)

V = [(п + 1)/2],卩=[п/2],

т. е. для каждого п отлично от нуля только одно ядро, если п —— нечетное, и ни одного, если п ——четное. Тогда соотношения (37.3) для несжимаемых сред примут вид

Е 三少^ =卜12刀。+ 及зз [4sZ)a] + K54 [6s2/)a] + 宜75 [8s3Z)c] + •..

(38.8)

или, опуская второй индекс у ядер Кпт (力 q, . . ., тп),

乙=1s K^m+i^Dc.(38.9)

Перейдем теперь к обращению соотношений (38.9). Для этого заметим, что последние являются частным случаем соотношений (37.1) при выполнении условий (38.6). Поэтому, согласно предыдущему, соотношения, обратные к (38.9), можно записать в виде (37.4), в которых следует учесть условия (38.6). Для нахождения нелинейных ядер релаксации rwn (Z, q, . • ., тп) (резольвентных по отношению к нелинейным ядрам ползучести Кпт (Z, тх, . . ., тп)) (п == 1, 2, . . ., оо； тп = 1, 2, . . ., [(п + 1)/2]) воспользуемся соотношениями типа (37.7). Для сравнения воздействий, оказываемых различными интегральными операторами на некоторую пробную, достаточно гладкую функцию ср (т), определенную в промежутке [О, Z], введем понятие порядка оператора а. Пусть оператор будет порядка единицы, если его ядро представляет собой произведение б-функций вида

△п (力 тх, . . ., тп) == б (Z — q) 5 (力一马)...5 (力一тп). (38.10)

Оператор Кп будет иметь порядок а, если существует следующее соотношение порядков:

、КП (力 ti, . . . , Tn)(p(r1)...(p(Tn)dT1...dTn~ о

〜а § 厶八(九 q, . . . , тп) ср (q). . . ср (rn) dq . . . d%・(38.11)

о

Тогда, если линейный оператор ползучести имеет порядок а, то, как следует из (2.29), резольвентный линейный оператор релаксации будет иметь порядок 1/а. В частности, если оператор Кг имеет порядок, равный нулю, то обратный оператор 1\ будет иметь порядок, равный бесконечности. Логично распространить это утверждение и на нелинейные операторы. Другими словами, если некоторый оператор ползучести Кп имеет порядок а, то резольвентный по отношению к нему оператор релаксации Гп будет иметь порядок 1/а. Тогда, воспользовавшись общими соотношениями (34.23) или их частными случаями (35.24), (37.7), (37.11), можно выразить порядок нелинейных операторов через известный порядок линейных операторов. Пусть, например, порядок оператора Кг есть а, тогда, как нетрудно установить, порядок любого нелинейного оператора Кп есть а9, где g = (п + 1)/2. Таким образом,

а(пп)/2,售〜a-S+D/2.

Так как в формулах обращения нелинейных операторов (37.7) для нахождения любого оператора ГП1 (п = 2, 3, . . .), кроме kg (тп = 2, 3, . • ., п; Z = 1, 2,...,[(九十 3)/2]), требуется знание только оператора ^, то,, учитывая, что для несжимаемых сред операторы (38.6) имеют нулевой порядок, а оператор Гп ——порядка бесконечности, получаем из (37.7), что операторы ГП1 (п = 2, 3. . .) имеют порядок а^(п+1^2, т. е. бесконечность. Поэтому первый столбец в соотношениях (37.6) будет неопределенным (бесконечность, умноженная на нуль).

Придавая величинам е и 0 порядок малости а при стремлении к нулю, получим, что выражение Гпт8п имеет порядок малости а(п~1)/2 при стремлении к нулю, т.е. только выражение Гп8 имеет нулевой порядок малости—— является величиной конечной, а следовательно, при 孔〉1 все выражения Гпт^п обращаются в нуль.

Далее, операторы f nw (п = 2, 4, . . .; т = n/2 + 1) имеют порядок 必九+1)/2-1, так как оператор Г115 имеющий порядока (а-> 0), входит в формулу обращения этих операторов в первой степени. Поэтому порядок всех таких операторов равен нулю.

Операторы Гпт (汽=2, 3, 4, ; т?г = 2, 3,…，[(п + 1)/2]) имеют порядки a9, q = 2щ —(汽丄 5)/2, т. е. изменяются от нуля до бесконечности. Однако, как видно из (37.6), эти операторы действуют на нулевые функции 0 и дают поэтому либо нули, либо неопределенности. Принимая для величин 0 порядок малости а при их стремлении к нулю, получаем, что выражения

fnrn [2e*2m+3e* 20g + (п — 2т + 3) 0n-2m-2^m-l]

имеют порядок малости а^1^2, т. е. равны нулю для всех n ^> 1.

Единственные операторы, которые вычисляются независимо от Гп —— причем среди функций, на которые они действуют, нет функций 0 — это операторы fпгп (八 = 3, 5, 7, . . .; тп = (八 + 1)/2). Поэтому соотношения (38.9) обращаются в виде

4 = М Вт+1/&. (38.13)

Резольвентные операторы Г2т+1, входящие и в эти соотношения, получаются из выражений (37.7), если принять во внимание (38.6).

Соотношения (38.9) можно обратить, разумеется, и непосредственным применением метода последовательных приближений, рассмотренным в предыдущей главе. В этом случае оператор 0, определенный соотношением (35.6), будет скалярным оператором, причем в связи с отсутствием в (38.9) операторов четных степеней, номера шагов последовательных приближений будут только нечетными. В этом случае для нахождения обратного оператора и резольвентных нелинейных ядер удобно воспользоваться теоремой 3 параграфа 34, причем в соотношении (34.22) и (34.23) будут фигурировать только скалярные операторы, а индексы к,力，т, по которым производится суммирование, могут быть только нечетными. В результате имеем, например,

VV vv

(38.14)(38.14)Гз=- 1\Кз『/]*,

(38.14)

(38.14)

у~727VVV d

гб= - I\K5l\I\r』I\+ 31\к31vl (Кз1\1\1\)・

Рекуррентные соотношения для определения резольвентных операторов Г2т+1 (т?г = 1, 2, • • •) получены в [85].

Для того чтобы получить TV-кратную теорию вязко-упругости (где N — любое положительное нечетное число), следует в соотношениях (38.9) и (38.13) ограничиться первыми М слагаемыми

(38.15)(38.15)мм

(38.15)

(38.15)

D? = 2'衣2mti^mDo； Do = 2 2m^mDZl

m=07n=0

где

M = (N — 1)/2.

(38.16)

В частности, если N = 1, то получим линейную теорию вязко-упругости, при N = 3 имеем кубичную теорию вязко-упругости, обратные соотношения которой подробно исследовались в предыдущем параграфе.

Если материал не является несжимаемым, а изменяет свой объем по линейному упругому закону, то к соотношениям (38.15) следует добавить еще соотношения

о = К6,6=о/К,(38.17)

где К ——объемный модуль сжатия.

Все соотношения, выведенные в этом параграфе, основывались на определении квазилинейной теории вязко-упругости, данном в §31. В это определение входит обязательное выполнение условий взаимности (28.7). Если эти условия не выполняются, то из квазилинейности (тензорной линейности) соотношений (29.3) изотропной теории вязко-упругости следует, что в уравнения связи между напряжениями и деформациями входят в качестве инвариантов не только скалярные степени тензоров деформаций или напряжение первого и второго порядков (которых было бы достаточно в случае квазилинейной теории), но, вообще говоря, и скалярные степени этих тензоров порядков 3, 4, 5 и 6. Это обстоятельство сильно усложняет теорию. Можно определить квазилинейную теорию вязко-упругости без выполнения условий взаимности как теорию, основанную на соотношениях (29.3) изотропной среды, в которой выполняются следующие предположения (ср. § 31):

соотношения, связывающие напряжения и деформации, квазилинейны;

эти соотношения содержат только скалярные степени (не выше второй) тензоров напряжения или деформации.

Тогда получим соотношения, частным случаем которых является (37.1), (37.4)

ОО8 P

£ =+ 2 S Knp^n-^

(38.18)(38.18)П=2П=2 0=0

(38.18)

(38.18)

dz =宜 12入 + 2 2

n=2 p=l

OO8 世 ’

(38.19)(38.19)71=2П=2 p=l

(38.19)

(38.19)

oo v+p

Do =九A + 2 N %.田r+1产1a.

n=2 p=l

Для наглядности распишем несколько членов бесконечных сумм (38.18) и (38.19) аналогично записям (37.3) и (37.6)

e = K^I 十宜 12少。+ 及21。2/ + 宜22S/ + 及23日4 +

+ 女 3d/ + 宜 32统/ + 直 33日24 + 宜 34sA +

+ k41。" + K^sl + K^sU + 左 44@3 A + K^QsDq +

+ %1。5/ + K^sl -I-冗3@s2/ + k54y + K^sD. + k56s20。+

(38.20)

S =+ Г12/)g +т2声2/ +f22以十上芻00ё +

十彳31_£3/ + r320^1 +f33^О€ +f3402 +

十十4户4/g+ V^2el 十广43仪/ +f448叨€ + f^Q^E 4

+ Гб18/ + Гб203е/ +『53婚/ + q464a + 丸 5^2 + 孔 6卢& + (38.21)

Резольвентные нелинейные ядра Гпт (力 тх,..・,тп) (тп = 1, 2,.. п + 1) находятся по изложенному выше способу после выполнения п приближений

『21 — — 1\1及21卞1上11,

Г22 = 一 ruK22T12f12,

°23 =°23 =-Г12К2зГХ1Г12,-Г12К2зГХ1Г12,

°23 =

°23 =

-Г12К2зГХ1Г12,

-Г12К2зГХ1Г12,

Гз1 = 一 几玄 jiEEi + 2 九冗Ei (Гн^хГцГн), 爲2 = 一 Г11^32Г11Г12Г12 + Ai女2i九(九玄2九几)+

(38.22)(38.22)+ 21\1 左22^12 (f12左22『11Г12),

(38.22)

(38.22)

Гзз = - %良33 几工％ + ^К^^К^^) + +九宜23%倡1宜2『J11),

f*34 =—『12&34九R2r 12 十?12龙23^12 T12K23rl2rl2)，

Для случая несжимаемой среды справедливо условие (38.1), причем связь между напряжениями и деформациями устанавливается с точностью до функции давления р (38.3). Поэтому из (38.18) следует, что в этом случае справедливы соотношения (38.6). Все остальные ядра Кпт (力 тх,..., тп), входящие в соотношения (38.18) — (38.20), будут отличны от нуля. Поэтому соотношения связи между напряжениями и деформациями квазилинейной теории вязко-упругости без выполнения условий взаимности для несжимаемой среды будут иметь вид

а = W 2 knmp^^s^D..(38.23)

71=1 7П=1

Для того чтобы обратить соотношения (38.23), воспользуемся методом, изложенным в § 34.

Оператор G (S), входящий в выражение (34.38), представляет собой правую часть (38.23), т. е. является скалярным оператором от Dg зависящим от функции давления р, как от параметра. Применяя схему последовательных приближений, считая известным линейный оператор Гп, резольвентный по отношению к линейному оператору %ц, получим

К пт (力 G, • •・，Tn)(孔 z= 2, 3, •••, 8； m = 1, 2, ..., v = [(л + 1)/2]) и линейному ядру Гп (力 т) в квадратурах

(38.25)(38.25)Г31 = — I\1 左 31rli + f 11^21^11^21 Гц,

(38.25)

(38.25)

Г32 = — Г ii^32 ГцГцГц,

а полная запись, например, первой строки (38.25) такова:

「21 (厶 J, ^2)^ — \ Al (厶 E)恋\ 长21 (E, J, Л)Г*ц(Л> ^2)d% (38.26)

В заключение заметим, что соотношения квазилинейной теории вязкоупругости, квадратичной по девиаторам (31.11), в случае несжимаемой среды превращаются в соотношения линейной теории вязко-упругости. Если же рассмотреть квазилинейную квадратичную по девиаторам теорию вязкоупругости без выполнения условий взаимности, то на основании приведенного выше анализа уравнения связи между напряжениями и деформациями этой теории будут иметь вид

• = X knPnTDo,

(38.27)

00 = 2 ^пРП1^^

ИЛИ

t 方

(38.28)(38.28)6订⑴=\ к { р (т); t — т} si5 (т) dt О Р=0

(38.28)

(38.28)

S灯⑴=\f{ P⑴;力一寸旬⑴红 0 t=o

т. е. сводятся к уравнениям линейной теории вязко-упругости, в которых ядра К{р (т);力一t} л Г{р (т); t — т} являются функционалами от функции давления р

К { Р (t)； * с}三 X、…，Kr (力"1, 3, • • • , %) P(3)• • ♦ т=0n=l О О

•• р (工八)dt? • • • &Тп，

(38.29)

力8 力t

F { Р (t)；力一工}三》\\ 1\ (力 J，R, • • • P(3)• • •

т=0n=l ОО

• • Р "n) dt? • • • d%n.

1 5 А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря

§ 39. Главные теории вязко-упругости несжимаемой среды

Нелинейные ядра релаксации Гп (厶 q, . . ., tn) и ползучести Кп (Z, q…. ...,тп), входящие в соотношение (38.9) и (38.13) квазилинейной теории вязко-упругости для несжимаемых материалов, могут иметь сингулярные составляющие в виде 6-функций, что нетрудно установить на основе тех же рассуждений, какие были использованы при выводе соотношений § 30. Поэтому эти нелинейные ядра могут быть представлены в виде (30.6)

A27ПТ1 (力工1, • • n) =1s к乳+1 3力•••% %В21 (/) • • • Pig jq (^) > 0=0

(%, % = 1, 2,.・.，тг); В；。?•。三 1,(39.1)

где использованы обозначения х ——из (30.4) и §订(力)——из (30.5).

Как уже было ранее определено, главной частью ядер К2т+1 (厶 т1,...,тп) называются два последних слагаемых в правой части выражения (39.1), т. е. из всех объектов, входящих в (39.1), в главную часть ядра К2m+1 (厶 ％，•••，嬴)входят объекты

К 窯27n (”)И ^2т+1 ъ]г..л2т 4-1 У2т+1*(39.2)

Аналогично (39.1) можно представить и нелинейные ядра релаксации р2пг+1('，G，• •^п)•

Теорию, базирующуюся на соотношениях (38.9), в которых учитывается только главная часть ядер ползучести (39.2), назовем главной квазилинейной теорией ползучести для несжимаемой среды. Теорию, основные соотношения которой имеют вид (38.13) и в которых учитывается только главная часть ядер релаксации, назовем главной квазилинейной теорией релаксации для несжимаемой среды.

Ввиду того что объекты (39.2) обладают симметрией по каждым индексам 〃，jk и по каждой паре индексов %左力;，iljl (", I = 1, 2, ..., 2т, 2т + 1), независимых компонент этих объектов для каждого т лишь небольшое число. Учитывая это обстоятельство, а также симметрию ядер 衣2仅г (力 G，• •・，工2的1) s F2mli (力，J, ••・，Rwi), получим для главной квазилинейной теории ползучести для несжимаемой среды уравнения связи между напряжениями и деформациями в следующем виде D：

%j (%) =+ 2 [Mm+lS7n (力,力)]+ \ 4 (Z, T； s) Sjj (力)+

I m—Q0J

+ \ [К (力一t) + 5 (力 т; s)] s订• “) dt.(39.3)

Здесь функции инвариантов

8 2Ш-1[(1-1)/2]

4(仆；s)三2肅|(-Т)?而(/T巾£ X

X S* (厶 t) s'-2k (力，r) sm+k-l (% r),

8 2m[〃2]

3 (小;S)三N £K綿(「t) W而"抵瑞?之sk (M)x.т—1 2=о不=0' 丿 ' I ‘

X sJ2气力，© sm+»2", т),(39.4)

I) Некоторые теоремы, касающиеся получения соотношений (39.3), даны в [85].

где функции q{x} и [х] означают:

(1 при / = О,при

(39.5)(39.5)(целая часть от /, при 2〉О, 岡{о, при /0 0.

(39.5)

(39.5)

Аналогично, соотношения связи между напряжениями и деформациями главной квазилинейной теории релаксации для несжимаемой среды будут иметь вид

ООt

S"•⑴=[2G + 2 зти+т (力,力)]+ ， m (力,к e)叫 e仃⑺ +

+ \ [F (力一p)+N (力吟明旬⑴dx,(39.6)

о

где

ОО 2m-1[(Z7)/2]

"2牛)三2/ Г-+1(.-г) 2疝亡斯已}乙计X

X ek (力 ％) б，* «")m+k-i (% 1),(39.7)

oo 27n[Z/2]

m=l 2=0X=0' 丿 '丿

X 眇(力 t) e\2/c 色T)严+”2 ", T).

Соотношения, обратные по отношению к (39.3) (или, соответственно к (39.6), не являются, вообще говоря, соотношениями главной теории. Однако в некоторых частных случаях, например при выполнении условий теорем 1 и 2 § 36, соотношения (39.3) и (39.6) являются взаимно обратными и называются уравнениями связи между напряжениями и деформациями главной квазилинейной теории вязко-упругости для несжимаемой среды.

Естественным обобщением соотношений (39.3) будут

旬⑴={(1/2 G) + & [s (%")] + \ 4[力一E s(力力 s(力 т), s (% r)] dt} X

t

x S, (%)十 \ {K (力一t) + %3 [t — t; s (%,%), 0

s (九 т), s (% r)]} s^ (t) dt.(39.8)

Точно так же для (39.6) имеем

吗(力)={2G + M"e«")] +\强口一中(小)，(39.9)

Iо

e (力 т), e (т, т)] dt}用⑴十 g {F « — t)十

+ 1% 口 一工；e (力力ё (力t)e(Gt)]} e"⑴九

Если при мгновенном нагружении материал ведет себя как линейно-упругий, то соотношения связи между напряжениями и деформациями главной квазилинейной теории ползучести с мгновенной линейной упругостью

для несжимаемых сред будут иметь вид

用⑴=(1/2 G) s灯⑴+ 2 5 «2^+1(% —工)sm (% t) s订⑴ dt.(39.10)

m=o о

Соотношения главной квазилинейной теории релаксации с мгновенной линейной упругостью для несжимаемых материалов таковы:

Sij (0 = 2Geij (0 + 2 \ Г*27и+1 (力一工)屮(Е т) е订•⑴ dr.(39.11)

m=0 0

Все рассуждения об обращении нелинейных соотношений главных теорий вязко-упругости, приведенные в § 36, остаются справедливыми и для соотношений этого параграфа.

Если отказаться от выполнения условий совместности и определить главную квазилинейную теорию вязко-упругости на основе уравнений (38.23) и (38.24), то соотношения главной квазилинейной теории ползучести для несжимаемой среды без учета условий взаимности будут иметь вид

〃j «) =，G + B1[s «"), p ⑼ + ^B2[t — x'1s (力力),s (力 t),

t

S (% P), p ⑴d ⑴]d屮订⑴ + \ {К (% — t) +

k % [% — t; s (%"), s (力 т) s (r, r), p (力 p ⑴]} s“・⑴ dq (39.12) а соотношения главной квазилинейной теории релаксации для несжимаемой среды без учета условий взаимности будут таковы:

t

s“・(力)=Ы 十 N1 [e (3),夕⑼ + \ M【％ — Е e (3), 6 (仆)， 0

e «"), P ⑴,P ⑴]叫用⑴ + \ {F (% — t) +

+ N3 R — t; e (^ t), e (Z, r), e (q t), p ⑴，p (r)]} e订⑴ dt.(39.13)

Если материал ведет себя как линейно-упругий при мгновенном нагружении, то уравнения (39.12) превратятся в

t

⑸⑴=(1/2 G)Sij(t) + \ К (% 一 工)s打⑴ de + о

+ \ 3 R — t; s (% т), p (т)] s仃⑴ dq(39.14)

о

а уравнения (39.13) запишутся в виде

sa (0 = 266订(力)+ \ Г (% — с) ец (т) dt + о

t

+ \ Лф —叫 е (с, t), р (т)] е^ (т) dt,(39.15)

о

где р (£)——функция давления (38.3). Причем, явный вид функций В s N, входящих в (39.14) и (39.15), соответственно

8 [(П+1)/2]

в и — Т； S (т, т), р (т)] = X 2 Кпт (力一т) pzm+1 ⑴ s^T (忆 т), n=l m=l

(39.16) oo [(71+D/2]

N It — 5 e (T, r), p (r)] = 2 S rnm (力—т) pn~2m^ (т)叫 1(% т). n=l m=l

В заключение заметим, что уравнения главной кубичной теории вязкоупругости с мгновенной линейной упругостью являются частным случаем уравнений (39.10) и (39.11), в которых нужно взять только по два первых слагаемых бесконечных сумм

t/

〃j (力)=\ К (% — t) $订")de + § Кз (% —工)s (% т) s石(т) dr,

°,:(39.17)

$訂⑴=《F (力一т) % (t) dt + \『3 (力一t) e (r, r)期⑴ dt. о0

XI. Общие методы решения задач нелинейной теории термовязко-упругости

Температурно - временная аналогия

и экспериментальное определение ядер

В основе температурно-временной аналогии, установленной в § 5, лежат свойства моделей вязко-упругого тела: сильной зависимости коэффициента вязкости 卩 от температуры Т и слабой зависимости от Т упругих характеристик. При этом предположение о линейности системы (an = pinen) является несущественным. В случае нелинейной модели зависимость напряжения ап в n-м вязком элементе от скорости его деформации £九,в соответствии с теорией размерности, должна иметь вид

Gn = / (卩九电九)，(40.1)

е. при £九 должен существовать множитель, по размерности содержащий время. Если природа вязкости всех вязких элементов одинакова, то все (хп должны одинаковым образом зависеть от температуры 7, а функция / для всех элементов должна быть одинакова. Следовательно, вводя «местное» время

t

"=dt]ar, 尸=dx/aT ⑴，(40.2)

о

мы преобразуем (40.1) к виду

&"(%*)，(40・3)

где pin ——константа, т. е. получим соотношение нелинейной изотермиче- кой модели. Таким образом, влияние температуры на свойства линейных и нелинейных систем одинаково и сводится к замене во всех изотермических соотношениях (главы VII, VIII, IX) истинного времени 力 на «местное» время f согласно (40.2). Например, в соотношениях (29.3) должны быть произведены замены 力 на ，， тг на t；, xN на 工齐，где

d，= dt[aT ； dt； = dq/o% ...办工=dxN/aTl(40.4)

力иt

\(§； °i = \ &€1/〃т (Ei)； • • • ^n = \ 呢nIат (En).

ооо

В результате все рассмотренные выше соотношения нелинейной теории вязко-упругости формально не изменятся, ибо их вид останется прежним и только входящие в эти соотношения буквы 力 Т], . . ., тп, обозначающие физические времена, заменяются на штрихованные буквы 力t；, . . ., t%, обозначающие приведенные времена. Это относится как к общим нелинейным соотношениям вязко-упругости (28.3), так и к соотношениям квазилинейной (31.11), кубичной (31.14), квадратичной по девиаторам (32.15), (32.16) и др. теории вязко-упругости.

При решении задач теории вязко-упругости, как и в линейном случае, трудности, возникающие в связи с переменной температурой тела, существенно зависят от того, является ли температура тела функцией только времени или времени и координат. В первом случае из температурно-временной аналогии следует, что задача сводится к изотермической и никаких дополнительных трудностей не возникает. Все изменение изотермического решения состоит только в том, что если внешние нагрузки и перемещения заданы как функции истинного времени 力 их нужно преобразовать к функциям от，согласно (40.2) и для этих функций построить изотермическое решение. Во втором случае сохраняются все существенные трудности, отмеченные в линейной теории (гл. V). Все методы последовательных приближений для решения задач нелинейной вязко-упругости основаны на предположении, что соответствующая линейная задача решена. В пятой главе были изложены некоторые методы для решения разного рода задач линейной теории термовязко-упругости, в том числе и задач, в которых температурное поле является нестационарным и неоднородным. Поэтому в этой главе будет предполагаться, что линейная задача термовязко-упругости решена.

Рассмотрим вопрос об экспериментальном определении ядер некоторых теорий нелинейной вязко-упругости.

Набор простейших экспериментов на ползучесть позволяет полностью определить линейные и нелинейные ядра, входящие в основные соотношения (32.15) и (32.16) главной квадратичной по девиаторам теории ползучести при мгновенной линейной упругости [71].

Ползучесть при сдвиге. Для проведения такого эксперимента необходимо в камере высокого давления осуществить простой процесс нагружения

о = а0Д(^), s〃 = s浙(%), (40.5)

где h (力)——единичная функция Хевисайда, определенная в первой главе. При заданных напряжениях в виде (40.5) мы получим некоторую экспериментальную кривую

/оо (0 =…";丄 Н—= П (Z) + б0 \ 尸'(％, /)互 (40.6)

При малых о。второе слагаемое в (40.6) пренебрежимо мало по сравнению с первым. Поэтому, находясь в области линейной вязко-упругости, мы получим функцию ползучести П ⑴，которая не зависит ни от а0, ни от s%

е^ (t)/sij = П (%). (40.7)

Для больших Оо при известной П (%) получим функцию сдвиговой ползучести для нелинейной теории. Подставляя (32.15) и (32.16) в (40.6) и используя (40.5), получим

/С0 ⑺=口(2)+0。IP a，力一尸限，0)1, (40.8)

откуда

р 9。，％) - Р(3, 0)=丄。® £ П")・(40.9)

Ползучесть при объемном сжатии. Этот эксперимент является случаем предыдущего при s〃 = 0. Для малых а0 определяем линейное ядро Ui «), а при большиха0—функцию объемной ползучести Рх (%) через наблюдаемую экспериментально функцию(рОо (力)

中。。(£)=曙="У = niW + & [А (%，t) 一 ° 8。，0)1,

откуда(40.10)

А (%, /) - ％ (&, 0) = &№£吆!.(40.11)

В камере высокого давления можно создавать только отрицательные а0. Эксперимент с положительными а0 трудно реализуем. Однако для положительных о。можно воспользоваться следующим экспериментом.

Ползучесть при простом растяжении. Для осуществления такого эксперимента нужно создать в образце однородное напряженное состояние, при котором Оц = Пн h (^), а все остальные составляющие тензора напряжений равны нулю.

Тогда имеем

@(力)=0口 (力)=。?1无(力)，

su«) = 4~o^(力(40.12)

522 (0 = S33 (%)=一哈无(力)/3,

s (九力)=等* (o:i)2 h (力).

Для малых о：】 формулы (32.15) дают

4 = & + $ 6’ =等。汕(0 + % 吟口工(0-(40.13)

Из опыта 1 нам известно ядро П (力).Замеряя наблюдаемую экспериментальную величину

业。（0业。（0®i (£) _ % ⑴ I %i ⑴ 7哈)2 =価7 砾齐'®i (£) _ % ⑴ I %i ⑴ 7哈)2 =価7 砾齐'(40.14)(40.14)получаем при ®u(£).哈получаем при ®u(£).哈малых a?i=w00(力)，малых a?i=w00(力)，П1 (f) = 9 0方01- n (力))П1 (f) = 9 0方01- n (力))(40.15)(40.15)

业。（0

业。（0

®i (£) _ % ⑴ I %i ⑴ 7哈)2 =価7 砾齐'

®i (£) _ % ⑴ I %i ⑴ 7哈)2 =価7 砾齐'

(40.14)

(40.14)

получаем при ®u(£).

哈

получаем при ®u(£).

哈

малых a?i

=w00(力)，

малых a?i

=w00(力)，

П1 (f) = 9 0方01- n (力))

П1 (f) = 9 0方01- n (力))

(40.15)

(40.15)

И при больших О；1

(40.16)(40.16)也。。（力）=半+ 等［Р （。°,£）一 Р（0。，0）］ +

(40.16)

(40.16)

I* 03。,力）一 2（。。, 0）］ 一 备 В （о。,力）一 Р1（0。, 0）］.

Величины Р (а°,力)нам известны из опыта 1, величины Р2 (а°,力)определяются из опыта 1 и соотношений (32.17). Отсюда мы определяем ядро Р1 (0。, 0

А (О。, о - А (о。, 0) = 27 付(0 -豊 一 ■

一整[Р(。。,力)+ Р2 (明 £) 一 Р (0。, 0) 一 尸2(認 0)]}. (40.17)

Таким образом, мы получили все материальные функции, используемые в теории как функции параметра о° в виде набора экспериментальных кривых. Так как все эти функции монотонно убывают по t вместе со своими производными, то их можно хорошо аппроксимировать набором экспонент п

2 &(о°)е—W(40.18)

г=1

хотя бы методом наименьших квадратов. Число п в (40.18) принимают обычно равным от 1 до 3.

Сделаем теперь замечание относительно метода экспериментального определения ядер 宜,宜】,宜？，宜з,宜4, входящих в уравнения (32.23), (32.24) главной кубичной теории ползучести [3].

Легко убедиться, что в одномерных опытах, когда только одна компонента девиатора s订 является произвольной (например, в случае растяжения ——сжатия или чистого сдвига), все пять ядер не могут быть определены, а могут быть найдены лишь четыре независимых:

龙(方)，区 13 (0 =宜 1 (力)+ 定3 (力)，(40 19)

宜12(力)=2宜式力)+爲⑶，爲⑺.•

При этом опыты на ползучрсть позволяют найти только ядро R (力)и сумму ядер: 衣 1з (力)+ 宣I? (0 + 宣5 (力)• Одномерные опыты при постоянной скорости нагружения достаточны для определения всей группы комбинаций ядер (40.19). Следовательно, если в экспериментальном обосновании теории ограничиться только результатами одномерных опытов, то ядра 宜 1，宣2 или 宜з можно отбросить. Например, при ^3 = 0 из (32.23) имеем

%")=["^ + 4 "； s)卜灯(力)十、[宜(4 -T)+ 2£](£ - T) s (t, T) + о

+ 宜4 (£ — t) s (Т, t)] Sjj (t) d%(40.20)

причем 4 имеет прежнее выражение (32.24).

Метод последовательных приближений для задач нелинейной термовязко-упругости

Рассмотрим связь между тензорами напряжений и деформаций самого общего вида. Пусть, например, имеют место операторные соотношения (33.7) и (33.21)

(41.1)(41.1)S = b(E), Е = G(S),

(41.1)

(41.1)

где, как и ранее, предполагается, что операторы 歹 и G ——дифференцируемые достаточное число раз по Фреше. В частности, из существования пер-

вой производной по Фреше следует, что оператор F может быть представлен в виде

尸(Е)=Ь；(Е) + 当(Е),(41.2)

где II J (Е)|| /|| Е В f 0 при || Е [| f 0, а 或(Е) — оператор, линейный по & и поэтому представимый в интегральном виде. Если он инвариантен относительно начала отсчета времени, то его ядро будет ядром разностного типа.

Будем рассматривать квазистатические задачи. Уравнения равновесия имеют вид (15.2)

。订,j + Р/ =。，(41.3)

а тензор деформации связан с вектором перемещений 〃》соотношениями Коши (рассматриваются малые деформации). Пользуясь этими соотношениями (15.3) и видом оператора F, получим выражение тензора напряжения как некоторого оператора от вектора перемещений и

Sj =死£и}・(41.4)

В соотношениях (41.1) и (41.4) можно учесть влияние температуры. А именно, если обозначим через £订 тензор, состоящий из суммы тензоров собственно деформаций £订 и деформаций, обусловленных температурным воздействием а^Г, где а^ ——тензор теплового расширения,

%j — Sj —徇7 =等(〃t,j + 〃九。，(41.5)

где

то соотношения (41.1) и (41.4) изменяются заменой и и 8 на и и 8 соответ

ственно:

S=b(E),6=G(S),(41.1丫

。订=Fu {u}.(41.4)‘

Пусть, кроме того, заданы граничные условия (15.7), вообще говоря, контактного типа

а年。卜弘 г В华〃*8〃 = М2(41.6)

В силу разложения (41.2) оператора F соотношения (41.4) и (41.4)' можно записать в следующем виде:

。订=瑞{& +笈订{7} •(41.7)

Тогда уравнения равновесия (41.3) примут вид

^F^^^pF^^B^^(41.8)

а граничные условия (41.6)

a総%GU + В8外阜• = N产一a伊%・而}尔(4L9)

Метод последовательных приближений для решения задач нелинейной термовязко-упругости заключается в следующем. Полагаем вначале в

и (41.9)笈i= 0, т. е.笈订｛近｝ = 0. Тогда получается линейная задача, заключающаяся в определении трех функций перемещений 〃(.°)по трем уравнениям равновесия

誥務而 °)｝=-р/(41・8)о

при удовлетворении краевых условий

烁％• ｛U(o)｝ Zj 十限^ 半=№)・(41.9)°

Эту задачу можно решить одним из методов, рассмотренных в пятой главе. Пусть и(°)——решение соответствующей линейной задачи, так называемое нулевое приближение поставленной нелинейной задачи. Определяем теперь «фиктивные» массовые и поверхностные силы как выражения, стоящие в правых частях соотношений (41.8) и (41.9) соответственно. Тогда для получения первого приближения u(D нужно решить линейную задачу для определения вектора перемещения из уравнений

言瑞｛G⑴｝ = -p中三р招一捻■色j ｛評｝,(41.8)〃

удовлетворяя граничным условиям

^F^^｝厶• +限成)军=m幻⑴三N^-庶%⑸叱乙.(41.9)〃

Решение последующих приближений осуществляется с помощью введения «фиктивных» массовых и поверхностных сил по схеме

号務｛濟｝ .. _ pF^ - pF, - -^-В^ ^\(41.8Г

^f^｝1,+^и^ mх)⑺三№幻一齋办而7".(41 •旷

Указанный метод применим для соотношений довольно общего характера и справедлив для нелинейной среды с анизотропией произвольного вида. Если, например, уравнения связи между напряжениями и деформациями имеют вид суммы интегралов возрастающей кратности (34.30), то для получения операторов 斤订(41.4) в этом случае нужно в соотношениях (34.30) всюду под £订 понимать £订，которые необходимо заменить на их выражение через вектор перемещения и и температуру Т по формуле (41.5).

Если рассматривается изотропная среда, то в этом случае тензором теплового расширения будет дельта Кронеккера, умноженная на скалярную величину а (см. § 4). Поэтому соотношения (41.5) для изотропной среды аюжно записать в следующем виде:

eij 三期=亍(%,У 〃?•，0『以・，Л；,

〜(41.10)

6 三 6 — 3aт = a•，卜-зат.

Итак, операторы 歹订(41.4) для изотропной термовязко-упругой среды получаются подстановкой в соотношения (35.17)——(35.19) выражений 6订 и 0 (на которые следует заменить 6订 и 0 соответственно) по формулам (41.10). В качестве примера выпишем операторы 歹订 для квазилинейной

теории термовязко-упругости. Имеем из (37.4)

尸ij{u} — g『1186打 + Г12 [}(〃t,j + Uj^|-〃九卜6订]+

+ 2 Mi6灯 + 2 2 гПР十1 [(论一2p +1)X (4i.il) 71=271=2 0=1

X 6*2%飞打. + ZpS" 2Р+1 成T [_^_ ("3j + Uj9i) —> ""^如,及u]},

где скалярные величины 0 и е определяются из выражений

3=〃％к-ЗаТ, (Гг = 0),(41.12)

е = -|-(^i,7uij + 〃t,j〃j,i)^~(〃k,k)2・

Два первых слагаемых в правой части (41.11) образуют оператор 歹当， остальные слагаемые — оператор 笈订(41.7).

В частности, операторы 歹订 для главной квазилинейной теории термовязко-упругости ,квадратичной по девиаторам с мгновенной линейной упругостью, будут на основании (32.18), (32.19) иметь вид

几面=務{u} + % {u},

F?j {u} = 6订•§ & (力一t)曲⑴十、五(方一т) d [$ (щ^ (т) + Uj9i (т))-— оо

—学姝,k")] ,(41.13)

3s {u}-亂 6。；(瓦"_ t)录⑴九十 \ Q； (&, t-x)e (% t) dt} + оо

+ §Q' (&,力一т) 0 ⑴[等(以,《)+%・,《))^~〃/с,Ю b/d%

о.

где величины 0 (т) и е (т, т) определяются по формулам (41.12). Операторы 務•{/ л 笈订{近} можно записать в сокращенной записи в следующем виде:

(41.13)'(41.13)'居=%瓦9 + R「等(uifj +. %•,0g- "%禽J ,

(41.13)'

(41.13)'

% - 6 万[о6 + &6] + Oe [~!~ (%j + "j,D —1~ 珠,卜6万].

Для случая квазилинейной теории термовязко-упругости несжимаемой среды операторы 歹订 имеют следующий вид (38.13):

% 而=務• {и} + %• {и}，

(41.14)(41.14)(41.15)(41.15)務{и}=寓[~4~ (uiJ + 〃八》],

(41.14)

(41.14)

(41.15)

(41.15)

3订{и} = "4~ -S Ктп+В (以,j + uj,i)^ m=l

где

e~-^-(uitjuitj + uitjujt^.

Если в качестве уравнений связи между напряжениями и деформациями выбрать уравнения (37.17) кубичной теории вязко-упругости, то операторы Fij примут вид

招心}=居{%+ %面，

務{『} = 4•，五(力一工)d [〃£,? ") + 〃j,t ⑴]'(41.16)

о

t t t

位} = ； N Гз (力 G, т2, т3) е (%, к) [% (% + ”Мп)] dx^dx3. ООО

Если же воспользоваться уравнениями (39.17) главной кубичной теории вязко-упругости с мгновенной линейной упругостью, то

及而}=體向+ %向，

t

歹凱7} = 4"\ 笈(％ — t) d m,?•⑴ + % ")]'(41.17)

0

X订{В —4"\Гз(£ —t)e(G T) [^j(t) + u^i(x)\ dr. о

Соотношения (41.16) и (41.17) можно объединить, воспользовавшись операторной записью для F?j{u} и В^ {и},

務•{u}=等左(也

/(41.18)

3订{u} = }『3ё(К•+ X)，

где оператор Rr будет одним и тем же для обоих случаев, а под оператором Г3 следует понимать тройной интеграл в (41.16), если рассматривается кубичная теория вязко-упругости, и одинарный интеграл в последнем выражении (41.17), если рассматривается главная кубичная теория вязкоупругости с мгновенной линейной упругостью.

Если добавить к соотношениям (37.17) или (39.17) еще линейный упругий закон для связи шаровых частой тензоров напряжений и деформаций

о = К6, е = }о,(41.19)

то уравнения (41.8) примут вид

Н [А + Г3е] (Д^) + —[灭 Н~(笈 + °зе“ 9,г + & = — Р%

(41.20) где вектор

Q 三T3%[~!~ (也,7 + %•,2)1~86力•].(41.21)

Вводя некоторые функциональные пространства для функций, равных нулю в некоторой пограничной полосе, и определив с их помощью понятия обобщенного решения поставленной задачи квадратичной теории вязко-упругости, можно аналогично тому, как это делается в работе [86], доказать для рассматриваемой задачи сходимость метода упругих решений.

§ 42. Задача о расширении сферической полости в нелинейном вязко-упругом пространстве

Применим метод последовательных приближений, изложенный в § 41г к решению задач главной квадратичной по девиаторам теории термовязкоупругости с мгновенной линейной упругостью. Воспользуемся соотношениями (41.13)'. Тогда уравнения равновесия (41.8) примут вид

-^-左(△〃/ —(齐1 Н—%*)必=За方]7\t — pF，— 3订,j｛〃｝,(42.1)

а краевые условия (41.9) —

瓏)｛｝左(〃也j + "用)+ 6百(瓦-而e｝ 4 +酶* -У—=

=W —瓏哨衍｛〃｝"衣十 3oCi^ R^T^,(42.2)

где оператор 笈订｛貪｝ (41.13) запишем несколько по-иному

方打｛"｝ = e Qe ("3厂г 〃j,0 + 6 炉—J- 02 —丁 0｝炉 +

T- -1- 6订02 (〃k,幽,k + uk, lUk.l) + 6"｛Q -• 6&｝a78 -

1- 2a7 (%,) + 电,t) + 9826"0172.(42.3)

В качестве примера рассмотрим задачу о давлении на вязко-упругое пространство со стороны сферы [70]. Пусть на сфере радиуса г = а действует давление р (%), изменяющееся со временем. Предположим, на бесконечности давление отсутствует. Пусть температурное поле нам известно из решенной задачи о распределении температур по заданным граничным и начальным условиям. (Решение последней задачи для сферической полости в неограниченной среде имеется, например, в [87].)

Ввиду сферической симметрии задачи единственной отличной от нуля компонентой вектора перемещения будет радиальная его составляющая и, для которой из уравнений (42.1) получается одно уравнение

(凡+ 二学-半] = 一~^Brr -

\ 13/ \ dr2 г dr г2 / dr

1- (8〃 一 &9)+ 3艮0号^ •(42.4)

Граничные условия (42.2) имеют вид

о” |『三｛* 票 + (^1 — 77) 0 + Brr — 3冗ат｝』=一 Р (%)‘(42.5) где отличные от нуля компоненты тензора Вц находятся из (42.3)

% =0嚟+依一g"-$外02 +閻隱?+ 2偿力+

+ 应 一 63]认6 — 32以黑 + 9a2"宀(42.6)

в в» = bw = @е ? + |*2i —1~ О? —1~ 2｝户 + "[l'雾)+

+ 2 偿，]+ 传一6“] аТ6- 3@аТ ? + 9a20/2.

Обозначим обращение линейного оператора

3+等f广=%.(42.7)

Пусть функция П3 (/) найдена каким-либо образом. Тогда метод упругих решений позволяет получить каждое приближение поставленной задачи в квадратурах.

Заметим, что функцию П3 (力)можно найти приближенно методом аппроксимаций или точно, если известно ядро g2/3 (^) для данного материала. Для этого обозначим через 6 итерированный оператор П1Г (й = ПХГ). Тогда оператор П3 можно представить следующим образом (см. § 20):

立3 =甘"%•(42.8)

Если ядро gz/з (办 неизвестно, то можно воспользоваться методом аппроксимаций

П3 弋 ％ (а + 庇 + сн),(42.9)

где а, Ь, с находятся методом наименьших квадратов [28]. Таким образом, ядро П3 «) имеет следующий вид:

П3 (/) = \ М (£ — t) dg2/3 (т) + g% (0) Щ (0 弋 〃口1 (0 -|-(42.10)

о

+，口1 (力一t) d [bs (т) + сл: (r)] + [bs (0) + сп (0)] Щ ⑴. 6

Выберем за нулевое приближение решение задачи (42.4), (42.5) при Вгг = 5(ю = 0. Получаем неоднородное уравнение Эйлера, общее решение которого имеет вид

Г

u = c^ + c^ + 3方3瓦^卜2?(瑞4)姦，(42.11)

где константы С\ и С2 определяются из граничных условий.

Удовлетворяя линейным краевым условиям (42.5), получим в качестве нулевого приближения

〃⑻=备mР+ 3%冗也。一 3立з居甘以窓] +

г

+ 3%瓦备卜27(瑞 上)姦，(42.12)

9(0) = 3%瓦以,

где Та — значения температуры на сфере радиуса а. Если температура в теле не меняется (Т = 0), то соотношения (42.12) упрощаются

”)=立卩爲，0(о) = 0,(42.13)

или в полной записи

心=£ \ 口《 一 工)如⑴，0® = °-(42.13)，

о

При выполнении второго равенства (42.13) нелинейные операторы релаксации 0, Q, Q2 не будут зависеть от координат и поэтому они перестановочны с операторами дифференцирования.

Подсчитываем нулевое приближение тензора 3订

(42.14)(42.14)礎=з华=整"(iip号.

(42.14)

(42.14)

Подставляя эти значения в правую часть уравнений (42.4) и в граничные условия (42.5), получим неоднородное уравнение Эйлера с правой частью

(42.15)(42.15)/(Г)三一仃3匕±8^ +~^-(5" — ^09)] J

(42.15)

(42.15)

частное решение для которого можно найти, например, методом вариации постоянных

C^-^f^dr,C2=-^^f (г) dr.(42.16)

Получим решение первого приближения в виде

收=*{仔 i: - Г) % (tip)2 十 p} 一 备也& (加2，(42/7)

По заданному значению 6。)подсчитываем нелинейные ядра Q, Q】,Q?, затем по формулам (42.6) находим величину Сгг и С99, подсчитываем / (г) (42.15) и сразу находим решение, пользуясь (42.16) и удовлетворяя измененным граничным условиям. И так далее. Отсюда видно, что любое приближение поставленной задачи находится в квадратурах.

§ 43. Вязко-упругая деформация тонкостенных констр\кций

Решения задач, относящихся к равновесию и деформированному состоянию вязко-упругих пластин и оболочек, так же, как и упругих, основываются на гипотезе Кирхгофа — Лява.

Деформации £订 и искривления 乂订 срединной поверхности могут быть выражены через компоненты вектора перемещений по известным в теории оболочек формулам деформации £“ слоя, расположенного на расстоянии z от срединной поверхности D

£% = £订 + z 乂订.(43.1)

Последнюю формулу можно записать в виде двух равенств, одно для шаровых составляющих тензоров, другое для девиаторов

e；j — е 订 + 旗订，8* = 8 + zx,(43.2)

где

乂 = ~у%)6^,^ij — ^ij — б；产.(43.3)

Всюду в этом параграфе (Z, / = 1, 2).

Если оболочка достаточно тонка, так что отношением толщины ее к радиусу кривизны можно пренебречь по сравнению с единицей, то мы получим следующие формулы для определения усилий 7订,действующих в плоскости оболочки:.

九

%= \ Gjdz(43.4)

и перерезывающих сил Q»: 九

Qt= \ Szdz.(43.5)

Перерезывающие силы Q», несмотря на равенство нулю соответствующих им по физическому закону компонент тензора деформаций, согласно гипотезе Кирхгофа —— Лява, отличны от нуля и определяются только из уравнений равновесия.

Аналогично выпишем формулы для моментов М^ 九

М^ = \ z%jdz.(43.6)

h

Девиатор тензора напряжений имеет в этом случае выражение

s犷—о訂一6万％© =亏(Он + б?)].(43.7)

Для каждой компоненты s订 из (43.7) имеем 2121

Sil =0工1^-022,S22 —°22§~°11，S12 = 0工2・(43.8)

Поэтому, если мы введем дополнительно к формулам (43.4), (43.6) еще выражения для усилий и моментов в виде

h

5订=\ S"&,(43.9)

h

修尸\叫办，(43.10)

то получим связь усилий S^ и 7订 из (43.8), а моментов 五订 и М^ по следующим формулам:

S,22 =等(7221~ 711) 5н22 =等(m22^"^ 11J »(43.11)

S]2 =

16 А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря

и обратно

7\i = 2 (邑1 Н ^- §22)3^11 = 2 何и Ч—^ ”22),

丁22 = 2 卜22 НY Su) УЛ?22 = 2 (，22 + g "11)，(43.12)

Предположим, что материал оболочки можно считать несжимаемым. Точность этого допущения можно приблизительно оценить, анализируя зависимость упругого решения от коэффициента Пуассона. Предположим также, что связь между девиаторами напряжений и деформаций задается согласно кубичной теории вязко-упругости соотношениями (37.17)

Su ⑴=\ F « — т)邑(т) dr + о

i f /

+ \ \\Гз(М т1» т2» тз)е*(ТЬ т2)4 (Т3)dx^x. dx3. (43.13) “00

Выражение ei (工】,т2) благодаря тому, что материал является несжимаемым, можно представить, учитывая (43.2), в виде [2]

е* "1,工2)= W (q)焉(％)=感(G) £% (工2)= %i(G)与j “2)+(43.14)

+ z[£方(J) 乂订"2) + %)(%) 乂订(G)] + 炉乂灯(J)乂灯 "2)■

Если введем три билинейные формы £ (q, т2), 乂 (q, т2)] и К (т1? т2) по формулам

S (J, %) = %j (%) £订(％) = £11 (口)El (工2)+ &22 (G) £22 (%) +

“+ 2e12 (Ti) ei2 (т2),

乂 (Z，R) = 乂и(G) 乂订(R) = 乂11 (%) 乂11 "2)十 乂22 (J) 乂22 "2)+

+ 2乂12 (t1) 乂 12 (t2)，(43.15)

入"1,工2)= £灯"1) & j “2)+ %j (R) &j (J) = £11 (J) 乂11 “2)+

+ £22 (G) 乂22 (%) + 2%2 (G) 乂 12 “2)+ 乂11 (J) £11 (R) +

+ 乂22 (p1) £22 "2)十 2乂12 (p1) 812 "2)，

то инвариант e* (q, т2) можно представить в виде

е* (J %) = £(X %) + z入(т1? т2)卜 z2x (q, %)•(43.16)

Подставим теперь выражение (43.13) с учетом (43.16) в формулы (43.3) и (43.10). После интегрирования по z получим для усилий

% = 5务+ 圈，(43.17)

展i 工 h\f (t -吟 ％№) d工=h \ R (t — r)公仃(r),(43.18)

о0

必=\£灯（П）dм\г3（厶T1?/宀）代（豆宀2）+与乂（g宀2）m皿2 + 00 01

+ 诃 \&$(“) dq \ , °з (力 J %, тз)入(G, R) dxr dr2 (43.19) оо 0

и для моментов

"打= "^ + "伊，(43.20)

刀^ =先\ F " 一 A Y灯⑴九三务，五(力一 T) d^⑴，(43.21)

о0

招=先\乂灯 &) dq，“3 (力 G, %, Г) [e (% т2) + 霄乂 (％ R)] X оо о]

о 0о 0X dt1dt2 + ■^■\£仃"3)也3，，г3(力 J,t2…)入(J %)九1九2.

о 0

о 0

(43.22)

Для того чтобы обратить соотношения (43.18), (43.19), (43.21), (43.22), воспользуемся результатами девятой главы. Согласно изложенному там методу последовательных приближений для обращения нелинейных операторов, найдем обратные соотношения, т. е. выраясения деформаций л искривлений через усилия и моменты двумя приближениями. Имеем для деформаций

tt

*⑴=々"\ к (力一T) S可⑴dx三T~S 口 ("一T) dS灯⑴，(43.23)

оо

tit

端⑴=药 S力• (R) d/4 爲鱼 q”2,飞)[-^5 (q, %) + * H(豆,甸 X О001

X dx^dx2 + ^~\ 反订 “3)"°3，\ K3 (九 G, %, %) P(G, R)dq dx% оо 0

(43.24) и аналогично для искривлений

*⑺=界，К (力一 T) %⑴dt三界\ n (力一 T) d®⑴，(43.25) о0

嗚(£) = ~^~\"ij(Q)dT,, K3 (厶 q, r,%) [s (j, t2)+ ~g^~H(ti, r)]x 00 0

X dq dg 十 *^~ \ Sj j(Q)灭3〈 \ K3 (力,G, 7, Тз)Р (q, %) dq dq, 000(43.26)

где введены следующие обозначения:

%j =吟+ 确，＞4尸 х?；+ 隔(43.27)

S «1,七2)= S灯"i) 8^ (т2) = Su (q) Su «2) + S22 (q) S22 ct2) +

+ 2sl2 (q) S12 "2)?

Н(q, т2) = H^j (тх) Н灯(3)= ^n (^i) Н±1 (т2) + 〃22(G)Н22(3)+

十2"12"1)h12(7)，(43.28)

Р(G, %) — S灯(г1)丘订(3)+ Н灯(G)5朽(匕)=Su (q) Ец (t2) +

+ S22 (q) &22(3)+ 2512 (q) H12 (t2) + "口(q) Sn (3) +

+ 0r22 "1) $22 "2) + 2%2(G)S12 (匕)・

Нелинейное ядро ползучести K3 находится по известному нелинейному ядру релаксации Г3 по формуле (37.37).

Если в качестве соотношений для связи между напряжениями и деформациями выбрать соотношения главной кубичной теории вязко-упругости с мгновенной линейной упругостью, то связь между нелинейными составляющими усилий Sij и моментов Hfj , с одной стороны, и тензорами деформаций £〃 и искривлений 乂订，с другой — будет иметь вид

5告=,又(大一t) {[說(T, p) + 分乂(% t)] 8万⑴ + о

(43.19)'(43.19)'(43.22)，(43.22)，+ "£'(% с)%；")}"%

(43.19)'

(43.19)'

(43.22)，

(43.22)，

「3 (力—©{〔£ (% t) + -^ 0

И, аналогично, обратные соотношения, выражающие нелинейные части деформаций и искривлений через усилия и моменты

4=^K3(t^x)^ S (% т) + 界 Н (% t)] S”•⑴ + о

+ -^Р(^ x^H^^dr,(43.24)'

*j =醬,Кз« —t){[S (т, т) + 要•" (％ t)]%j ⑴ + 0

+ P(t, r) Sij (r)| dx.(43.26)'

Причем «обратные» соотношения понимаются в том смысле, в каком они трактовались в § 36 при обсуждении обращения соотношений главных нелинейных теорий вязко-упругости. В этом случае нелинейное ядро ползучести К3 выражается через нелинейное ядро релаксации по формулам гл. X.

Заметим, что если положить нелинейные ядра К3 и Г3 равными нулю, то записанные выше соотношения будут представлять собой физический закон связи усилий, моментов, деформаций и искривлений для линейной теории вязко-упругости. Пользуясь температурно-временной аналогией и заменяя во всех выписанных выше соотношениях физическое время t на приведенное f, а также в случае надобности тензор деформации £订 на комбинацию £订;——а6〃7\ получим основные соотношения для линейной и кубичной теорий термовязко-упругости.

Отметим возможные постановки задач теории оболочек в рамках кубичной теории вязко-упругости. Прежде всего отметим три важных частных случая, часто имеющих место на практике [2].

Во-первых, случай безмоментного напряженного состояния, который имеет место при 五订=0 (г, / = 1, 2). В этом случае билинейные формы S (q, R)и Р (q, %) (43.28), а поэтому и 乂(q, %) и 九(％, t2) (43.15) обращаются в нуль. Тогда физические соотношения между деформациями, искривлениями и усилиями и моментами имеют в этом случае следующий вид:

tt t

S订⑺=九 \ £订 “з) dq {「(力一R) + \ \「3 (九 J t2, q) £ (忆 ％) ^1^2}

(43.29) и обратно

211

£订(力)=引5灯(R)dq{K (*-0)十篇\к3& J, R, 匕) 5"1宀质体2}. оо о

(43.30)

В случае главной кубичной теории вязко-упругости с мгновенной линейной упругостью соотношения (43.29), (43.30) принимают вид

s灯(力)=无 \ {「(力一т) + Г3 (力一т) £ (т, т)} £订(т) d*(43.29)'

о

8и (力)="^ \ {К (力一т) + 备 К3 (力一т) 5 (т, т)} 5订(т) de. (43.30)/ о

Во-вторых, чисто моментное напряженное состояние. Такое состояние имеет место при отсутствии удлинений срединной поверхности, т. е. осуществляется, например, при изгибе пластинок. Для такого напряженного состояния компоненты тензора деформаций £订 обращаются в нуль. В этом случае билинейные формы £ (%, %) и 入(％ R)(43.15), а потому и S (% %), Р(J %) (43.28) также обращаются в нуль. Поэтому имеем

s；№)= 0,

о

十需 «?3 (力 ％, R, %)乂(%, %)九0%}(43.31)

о о

и обратно

£灯(力)=0,

К и(力)=号 $ h"(Q)dq{K (力一飞)+ о

+ 塞\\*з (厶 ％ R, У)" (G, %) dqd%} •(43.32)

о 0

Аналогично для главной кубичной теории вязко-упругости получим t

.h订⑺=先\F（"一 T） +需г3 （力一 f）" （叫©}翼订"） d* （43.3》 о

忆山）=^\{к（*т）+黑Кз（力一с）Н（% t^H^dT. （43.32）^ о

Наконец, простейшее сложное напряженное состояние оболочек будет иметь место в случае, если обращается в нуль билинейная форма X （q, &）. Это может случиться, например, при

（43.33）（43.33）x12 == y22 == °，x11 =^= 0,£口 — °,

（43.33）

（43.33）

£12 == £22 ==。，£工工 ~/^ 0，y11 ==。.

В этом случае физические соотношения （43.19）, （43.20） примут вид

GG0, %） ［e（G, %） +（43.34）0, %） ［e（G, %） +（43.34）^ц （^）=无 ,£订 "3）"3 {Г （4 - t3）+ _ ,Г3 0 оо 0

G

G

0, %） ［e（G, %） +

（43.34）

0, %） ［e（G, %） +

（43.34）

+ ^| 乂（G,e2）］近回△},

"）-金卜订（T3） dq {r （力一r） + S \?3 （力"项 a）［£ （豆，r） -r 0о 0

+ 券乂（*'R^dTidy}

и обратно

（力） = +,S订• "3） "T3 {k （*一T3）+ ^\\к3 （力e1, 匕,F） ［S （T］，T2）+ 000

+ ^"（G，小）］九回ь} ,（43.35）

Y可（2）=^T^ h灯（马）"r {К （*一 R）+ \§居（九J小,%）义 оо 0

X ［s （т1? т2） + ^^ H （q, R）］ dqdtz}.

Точно так^же, в случае главной кубичной теории вязко-упругости

邑j （力）=无 \ {F « — T） + г3 （力一T） ［e （”） + /"（* T）］卜"⑴ dq о

（43.34）z

网⑴=君审（力 一 Т） + Гз « - Т） ［е （* 0 + 需乂 “"）］}&《）dt, о

£灯⑴="4" \ {k《 - T）+ 表 / （力 一 0 p（T, T） +

о

（43.35）'（43.35）'+崇h （%。）］卜"⑺d%

（43.35）'

（43.35）'

冲（0=^5{к « 一 т） + Кз （力一 т） ［s （% Р） + 黑а （% т）］}% ⑺ dx. о

Qi =Qi =дМц ! дМ\?дх @у，дМц ! дМ\?дх @у，J ду дхJ ду дх(43.37)(43.37)

Qi =

Qi =

дМц ! дМ\?

дх @у，

дМц ! дМ\?

дх @у，

J ду дх

J ду дх

(43.37)

(43.37)

Р и с. 31.

Моменты и перерезывающие усилия при изгибе пластинки

Возможны две основные постановки задачи о равновесии оболочек и пластинок.

Постановка задачи в усилиях и моментах. Для этого имеем пять уравнений равновесия элемента оболочки, из которых первые три представляют собой уравнения для равновесия проекции усилий Т订 и Q» (2, j = 1, 2) на оси координат 力,у, z, а два остальных являются уравнениями равновесия моментов Мц и моментов перерезывающих сил Q^ вокруг осей х и у, К этим уравнениям следует добавить три уравнения совместности, которые связывают шесть величин: £订 и 乂订 с тремя компонентами вектора перемещений ик (к = 1, 2, 3). Пользуясь физическими соотношениями, в уравнениях совместности нужно все геометрические величины заменить на усилия и моменты. Для решения задач в такой постановке необходимо еще граничные условия выразить в усилиях и моментах.

Постановка задачи в перемещениях. Для этого необходимо из уравнений равновесия исключить перерезывающие силы。订 а остальные усилия и моменты выразить, пользуясь физическими соотношениями, через три компоненты вектора перемещений.

Рассмотрим вопрос об изгибе вязко-упругой пластинки под действием сил, распределенных по ее поверхности и направленных по оси z (рис. 31).

Пусть q (力,у)——распределенная по площади пластинки нагрузка. Условие равновесия сил, действующих на элемент пластинки (рис. 31) в проекции на ось z, дает

響+符丁д=。■ (43.36)

Условие равновесия моментов дает следующие выражения для перерезывающих сил:

Подставляя значения перерезывающих сил (43.37) в уравнение (43.36), получим основное уравнение для изгиба пластинки

д'Мцde?д'Мцde?+ 2墻+等+ i+ 2墻+等+ i(43.38)(43.38)

д'Мцde?

д'Мцde?

+ 2墻+等+ i

+ 2墻+等+ i

(43.38)

(43.38)

Если w (%, у)——прогиб срединной поверхности пластинки в точке (力,у), то кривизны Xj； выражаются через прогиб по следующим известным формулам:

(43.39)(43.39)%j =笫，灯，«，/ = 1，2).

(43.39)

(43.39)

Граничные условия могут быть различного типа. Например, на краю может быть задано перемещение w и его производная по нормали

(43.40)(43.40)笫= %(S), 而=①2(5).

(43.40)

(43.40)

Могут быть заданы приведенная перерезывающая сила и изгибающий моментМогут быть заданы приведенная перерезывающая сила и изгибающий моментМп = фз (S), Qs 十 у =屮4 (S),Мп = фз (S), Qs 十 у =屮4 (S),(43.40)，(43.40)，либо смешанные условия, типичным примером которых являются условия на свободно опертом краюлибо смешанные условия, типичным примером которых являются условия на свободно опертом краюW = 0, Mr = 0.W = 0, Mr = 0.(43.40)〃(43.40)〃Если граничные условия имеют вид (43.40)', то можно подставить из физических соотношений значения моментов в уравнения совместности для кривизн 乂订,что позволяет искать решение задачи непосредственно б моментах, не обращаясь к прогибу пластинки.Запишем физические соотношения в случае главной кубичной теории вязко-упругости (43.29) ' для нашего случая в сокращенной записиЕсли граничные условия имеют вид (43.40)', то можно подставить из физических соотношений значения моментов в уравнения совместности для кривизн 乂订,что позволяет искать решение задачи непосредственно б моментах, не обращаясь к прогибу пластинки.Запишем физические соотношения в случае главной кубичной теории вязко-упругости (43.29) ' для нашего случая в сокращенной записи力灯=我『乂订+ ggf 3乂К办,力灯=我『乂订+ ggf 3乂К办,(43.41)(43.41)гдегдеГ иГ3Г иГ3——интегральные операторы по времени от выражений, стоя——интегральные операторы по времени от выражений, стоящих от них справа.Квадратичная форма х, согласно (43.39) и (43.15), выражается через прогиб w следующим образом:щих от них справа.Квадратичная форма х, согласно (43.39) и (43.15), выражается через прогиб w следующим образом:(43.42)(43.42)Воспользуемся соотношениями (43.12) и выразим моменты через вектор перемещения, учитывая (43.39) и (43.41),Воспользуемся соотношениями (43.12) и выразим моменты через вектор перемещения, учитывая (43.39) и (43.41),fs〉门胪6fs〉门胪622(s 34 〉F £40+鋼(s 34 〉F £40+鋼1 -21 -2〉г竺12〉г竺12〉г竺6〉г竺6++22〉F+〉F+1 -2+1 -2+s)s)s)s)3)43.43)43.4л5-80+л5-80+

Могут быть заданы приведенная перерезывающая сила и изгибающий момент

Могут быть заданы приведенная перерезывающая сила и изгибающий момент

Мп = фз (S), Qs 十 у =屮4 (S),

Мп = фз (S), Qs 十 у =屮4 (S),

(43.40)，

(43.40)，

либо смешанные условия, типичным примером которых являются условия на свободно опертом краю

либо смешанные условия, типичным примером которых являются условия на свободно опертом краю

W = 0, Mr = 0.

W = 0, Mr = 0.

(43.40)〃

(43.40)〃

Если граничные условия имеют вид (43.40)', то можно подставить из физических соотношений значения моментов в уравнения совместности для кривизн 乂订,что позволяет искать решение задачи непосредственно б моментах, не обращаясь к прогибу пластинки.

Запишем физические соотношения в случае главной кубичной теории вязко-упругости (43.29) ' для нашего случая в сокращенной записи

Если граничные условия имеют вид (43.40)', то можно подставить из физических соотношений значения моментов в уравнения совместности для кривизн 乂订,что позволяет искать решение задачи непосредственно б моментах, не обращаясь к прогибу пластинки.

Запишем физические соотношения в случае главной кубичной теории вязко-упругости (43.29) ' для нашего случая в сокращенной записи

力灯=我『乂订+ ggf 3乂К办,

力灯=我『乂订+ ggf 3乂К办,

(43.41)

(43.41)

где

где

Г иГ3

Г иГ3

——интегральные операторы по времени от выражений, стоя

——интегральные операторы по времени от выражений, стоя

щих от них справа.

Квадратичная форма х, согласно (43.39) и (43.15), выражается через прогиб w следующим образом:

щих от них справа.

Квадратичная форма х, согласно (43.39) и (43.15), выражается через прогиб w следующим образом:

(43.42)

(43.42)

Воспользуемся соотношениями (43.12) и выразим моменты через вектор перемещения, учитывая (43.39) и (43.41),

Воспользуемся соотношениями (43.12) и выразим моменты через вектор перемещения, учитывая (43.39) и (43.41),

fs〉门胪6

fs〉门胪6

2

2

(s 34 〉F £40

+鋼

(s 34 〉F £40

+鋼

1 -2

1 -2

〉г

竺12

〉г

竺12

〉г

竺6

〉г

竺6

+

+

2

2

〉F

+

〉F

+

1 -2

+

1 -2

+

s)s)

s)s)

3)

4

3.

4

3)

4

3.

4

л5-80

+

л5-80

+

Подставив выражения (43.43) в основное уравнение (43.38), получим

1 @2缈 @2x1 @2缈 a2x ]_

(43.44)(43.44)十g=u.

(43.44)

(43.44)

Уравнение (43.44) является уравнением эллиптического типа. Поэтому для его решения можно применить метод упругих решений. Обозначим через L дифференциальный оператор

L 3）= 乂”笫 + VW约 + 謁蕊-4^等_4券窯，（43.45）

где 乂 выражается через w по формуле (43.42). Тогда уравнение (43.44)

можно переписать в следующем виде:、

(43.46)(43.46)-^Г3ь 3) — ^0

(43.46)

(43.46)

Метод упругих решений заключается в следующем. Предположим, что граничные условия имеют вид (43.40); найдем нулевое приближение

Полагаем L (ip) = 0. Следовательно, преобразование Лапласа от оператора L (ш) также равно нулю

L* (^) = 0.

Решаем упругую задачу для уравнения

『，％•= — ^夕*,(43.46)，

удовлетворяя граничным условиям (43.40), записанным в преобразованном по Лапласу виде.

Получаем упругое решение ш*0).

Совершая обратное преобразование Лапласа, получаем линейное вязко-упругое решение в нулевом приближении 必“)(с, у,力).

Подсчитываем теперь по формуле (43.45) значение оператора Е{4о)}.

Берем трансформанту Лапласа от выражения 厶{加①)} и определяем «фиктивную» нагрузку

^=^и^ + /•

Теперь находим первое приближение.

Решаем упругую задачу для уравнения

「В公=一^不，(43.46)〃

удовлетворяя граничным условиям (43.40). Получаем упругое рептение %).

Делаем обратное преобразование Лапласа и получаем прогиб, как функцию времениш(1)(ж, у,力).

По формуле (43.45) определяем значение оператора L {s(i)}.

Преобразуем по Лапласу полученное выражение 乙{例】)}, определяем «фиктивную» нагрузку

办=幻下{41)} +炉

и переходим к определению следующего приближения. Ели граничные условия заданы в моментах (43.40)/ или смешанного типа (43.40)", то в указанную схему вносим на каждом шаге исправления в граничных условиях, выразив их с помощью соотношений (43.43) через прогибы и переводя в правую часть нелинейные члены этих соотношений, как было показано в главе X.

Если для пластинки с определенными граничными условиями известна функция Грина упругой задачи для сосредоточенной силы, приложенной в произвольной точке пластинки, то вязко-упругое решение нелинейной задачи сводится к квадратурам. Приведенная схема для решения таких задач, как видно, легко поддается алгоритмизации для решения на электронно-счетных вычислительных машинах.

XIL Общая теория физцчески и геометрически нелинейной начально изотропной вязко-упругой среды

з 44. Геометрические и физические характеристики вязко-упругой среды при конечных деформациях

В этой главе мы рассмотрим общую теорию для физически и геометрически нелинейных вязко-упругих тел. Геометрическая нелинейность появляется за счет учета конечности деформаций. Для их рассмотрения необходимо ввести некоторые геометрические соотношения.

Пусть в момент времени т — 0 тело находится в недеформированном состоянии. Каждая материальная точка этого состояния в прямоугольной системе координат 〃* с единичными векторами репера е^ описывается радиусом-вектором а.

В момент времени х — t положение этой материальной точки описывается радиусом-вектором R с прямоугольными декартовыми координатами ук (деформированное состояние), в любой момент t (О V t V 力)положение этой материальной точки будем задавать радиусом-вектором г с прямоугольными (эйлеровыми) координатами ха (промежуточное состояние). Тогда закон движения сплошной среды задается уравнениями

г = г (〃％ т),户=ха (〃3 т)(44.1)

или

г = г (у*, т),х^ = 讲(ук, т).(44.2)

В уравнениях (44.1) и (44.2) 〃* и ук трактуются как лагранжевы координаты. В момент времени t =力 уравнения (44.1) будут иметь вид: R = R (〃*,力).Вводим векторы репера криволинейной системы координат и симметричные так называемые «метрические» тензоры по формулам

n= 小=笠， ^ г^*г^6^ = %.11%. (44.3)

дада

Вектор и, определяемый равенством

г (〃％ 力一а (砌=и (風 t),(44.4)

называется вектором перемещения, а тензор

£u=У(gu-6")(44.5)

—тензором деформации. Векторы скорости, ускорения определяются по

формуламформуламV三V⑴=^ = 俨0工=u外к，v⑵=需 =yа（2）еа = vk（2）取.V三V⑴=^ = 俨0工=u外к，v⑵=需 =yа（2）еа = vk（2）取.Линейный элемент промежуточного состояния имеет вид ds2 — gijd^da^ = 8a^dxadx^.Дифференцируя равенство (44.6) по времени п раз, имеемЛинейный элемент промежуточного состояния имеет вид ds2 — gijd^da^ = 8a^dxadx^.Дифференцируя равенство (44.6) по времени п раз, имеем(44.6)(44.6)直)где直)где(ds?)=丄纽彰以凉=А^ dx^dx^, dxn(ds?)=丄纽彰以凉=А^ dx^dx^, dxn必7)必7)дх к』дх к』a0")加丫⑺a0")加丫⑺(44.8)(44.8)

формулам

формулам

V三V⑴=^ = 俨0工=u外к，v⑵=需 =yа（2）еа = vk（2）取.

V三V⑴=^ = 俨0工=u外к，v⑵=需 =yа（2）еа = vk（2）取.

Линейный элемент промежуточного состояния имеет вид ds2 — gijd^da^ = 8a^dxadx^.

Дифференцируя равенство (44.6) по времени п раз, имеем

Линейный элемент промежуточного состояния имеет вид ds2 — gijd^da^ = 8a^dxadx^.

Дифференцируя равенство (44.6) по времени п раз, имеем

(44.6)

(44.6)

直)

где

直)

где

(ds?)=丄纽彰以凉=А^ dx^dx^, dxn

(ds?)=丄纽彰以凉=А^ dx^dx^, dxn

必7)

必7)

дх к』

дх к』

a0")加丫⑺

a0")加丫⑺

(44.8)

(44.8)

—так называемые тензоры Ривлина — Эриксена [67],

(44.9)

—производные метрического тензора по времени, причем символы частного дифференцирования относятся к разложению по базисным векторам неде- формированного состояния, а символы V» обозначают ковариантную производную с метрическим тензором g^. Для n ^ 1 справедливо соотношение

£(九)=U

Нетрудно видеть, что тензоры А^ и 而rg〃

£^")=芸£>?")，

(44.10)

связаны соотношениями

(44.11)

В случае малых деформаций тензоры 1*)и 2Е?)совпадают.

В промежуточном состоянии выделим произвольный объем Q, ограниченный замкнутой поверхностью S. Для этого объема справедливы урав-

нения 1)

i^=^

“寡 dQ= $pFdQ+ \dP,

\p 僵 Xr]"Q =，P【Fxr]“a + \[dPxr]‘ 66z

紛U = "gdC - g 守迎 + ^P-g+ “F•嘗dQ

Й2ZC

联—,po d£2 =—,击 夕严迎 + \ } pgdQ, qx6

(44.12)

(44/3)

(44.14)

(44.15)

(44.16)

где р —где р —плотность материи; F ——плотность массовых сил; dP ——элементплотность материи; F ——плотность массовых сил; dP ——элемент

где р —

где р —

плотность материи; F ——плотность массовых сил; dP ——элемент

плотность материи; F ——плотность массовых сил; dP ——элемент

поверхностной силы; U ——внутренняя

энергия; S ——энтропия; о — про-

изводство энтропии; q^dH — поверхностный приток тепла в единицу времени через площадку с единичным вектором нормали v; q — плотность массового притока тепла в единицу времени; Т — температура. Система уравнений (44.12) — (44.16) справедлива для любой сплошной среды и не является замкнутой. Для конкретизации среды необходимо ввести доиол- нительные соотношения, связывающие геометрические и физические характеристики. Если рассматриваются изотермические процессы, то для того, чтобы получить замкнутую систему уравнений рассматриваемой среды, достаточно к уравнениям (44.12)——(44.14), например, добавить уравнения, связывающие напряжения и деформации при постоянной температуре 1). Если рассматриваются неизотермические процессы, то к системе уравнений (44.12) — (44.16) следует добавить связи между физическими и геометрическими характеристиками среды, которые в дальнейшем будем называть просто уравнениями состояния. При этом необходимо, вообще говоря, дополнительно задать функции внутренней энергии U, энтропии S и производства энтропии % входящие в (44.15), (44.16).

Из уравнения (44.12) следует уравнение неразрывности в форме Эйлера или Лагранжа

第+ Р券=。；上了而第+ Р券=。；上了而(44.17)(44.17)

第+ Р券=。；上了而

第+ Р券=。；上了而

(44.17)

(44.17)

где р0 — плотность в недеформированном состоянии; g и а — определители матриц метрических тензоров промежуточного и недеформированного состояния соответственно. В прямоугольной системе координат 必 а = 1.

Выделим в произвольной точке промежуточного состояния два бесконечно малых тетраэдра, один из которых построен на векторах прямоугольного, а второй ——на векторах криволинейного репера. Отнесем вектор dP к площадке d工 тетраэдра с единичным вектором нормали V = ”力‘ =vaea и назовем вектором напряжений Р«). Тогда для первого тетраэдра Р“)= tava и ta =力а для второго P(v)= Р% и Р'=夕订ij, где 尸В и р叮—эйлеров и лагранжев тензоры напряжений соответственно, причем 俨В — Р^ —_у # Уравнения (44.13) и (44.14) дадут

(44.18)(44.18)p^ = pF+Vp;

(44.18)

(44.18)

Выделим аналогичный тетраэдр в недеформированном состоянии и отнесем вектор dP к площадке da с единичным вектором нормали п = п^, которая в результате деформации превращается в площадку d£. Полученный вектор S5)назовем вектором напряжений, отнесенным к недеформиро- ванному состоянию. Тогда S(n)= Si 九订 причем векторы S' можно разложить по векторам репера недеформированного состояния S' = a^e； и по векторам репера промежуточного состояния

(44.19)(44.19)S〃 = S% = S%b・

(44.19)

(44.19)

。讶 называется истинным тензором напряжения, а S^ ——тензором обобщенных напряжений. Уравнения (44.13) и (44.14), написанные для произвольного объема, в недеформированном состоянии тогда дадут

1) Другие скалярные параметры, характеризующие процесс, например интенсивность облучения, здесь не рассматриваются.1) Другие скалярные параметры, характеризующие процесс, например интенсивность облучения, здесь не рассматриваются.(44.20)(44.20)

1) Другие скалярные параметры, характеризующие процесс, например интенсивность облучения, здесь не рассматриваются.

1) Другие скалярные параметры, характеризующие процесс, например интенсивность облучения, здесь не рассматриваются.

(44.20)

(44.20)

Тензор обобщенных напряжений, в отличие от истинного, является сим-

метричным

Рдх^

(44.21)

Если теперь составим квадратичную форму

d/2 = P^d^da^ = t^dx^dx^,

(44.22)

то, дифференцируя ее по времени п раз, получим

dxnK / 丿drn*

(44.23)

где

•联(44.24)

Из соотношения (44.22) легко видно, что

p（n）= d^ _修）显里

(44.25)

Общий постулат изотропии и уравнения связи между напряжениями и деформациями

При составлении уравнений состояния необходимо учитывать два основных принципа. Во-первых, уравнения не должны зависеть от выбранной системы координат, во-вторых, должны учитывать симметрию свойств материала. Если некоторые характеристики среды можно выразить через другие на основании общих уравнений механики сплошной среды (44.12) —— (44.16), то их следует исключить из уравнений состояния [88]. Другими словами, в уравнения состояния должны входить только независимые величины.

Для достаточно широкого класса вязко-упругих изотропных материалов сформулируем общий постулат изотропии [1]. Уравнения состояния задаются в виде шести функций процесса, т. е. шести функционалов по времени от следующих величин:尸订(т)——тензора напряжений; 5^а/3а! (т) — тензора дисторсии [89]; Т — температуры и других скалярных параметров, характеризующих процесс

(45.1)(45.1)fKL {誓⑴，Р灯⑴，Т«),・・.} = 0・ т—О

(45.1)

(45.1)

Если функционалы (45.1) таковы, что уравнения (45.1) разрешимы явно относительно напряжений 尸订,что выполняется в некоторой области; если потребовать, например, существование непрерывных функциональных производных д/кь1дР^ и существование обратного оператора [8/к17ap订「匕 то уравнения состояния (45.1) примут вид

呷力)=涉[7⑴，…

[ да т=0

Уравнения состояния, как указывалось, должны быть инвариантны относительно вращения эйлеровой системы координат как твердого целого, т. е. уравнения состояния не зависят от наблюдателя и должны быть инвариантны относительно преобразований

'讲 С) = Q^ (т)涉 + 于(т), Y = р — £(45.3)

где Q0^ Q* = Q^ Q“b =災.На основании требования (45.3) и теоремы о том, что каждый ортогональный четный полиномиальный инвариант, зависящий от трех векторов в трехмерном пространстве, может быть представлен в виде функции от шести скалярных произведений, а каждый нечетный инвариант—суммой скалярного тройного произведения [90], уравнения состояния (45.2) можно представить в следующем виде:

PKL(t)=Т(45.4)

или

PKL⑴=PKL { е订⑴，Т ⑴，• . .},(45.5)

т==0

где запись (45.5) означает, что PKL являются функциями метрического тензора деформированного состояния g^ (力)или недеформированного а»

Отнесем теперь выражение (45.5) к координатам недеформированного состояния. Согласно соотношениям (44.21), имеем

= 屮仃:£订・(1), 7«),...}三耳订.{ е.. (t), T(t),...}.(45.6)

Р р=0т=0

В фиксированной прямоугольной декартовой системе координат S订 и £订 будут квадратичными симметричными матрицами третьего порядка. Как уже было замечено ранее, в случае рассмотрения изотермических процессов уравнения (45.6) замыкают систему уравнений теории вязко-упругости.

Предположим теперь, что процесс является аналитическим, т. е. функции £订(т) разлагаются в ряд Тейлора D

%《)=2 С (О^г^(45・7)

и принадлежат гильбертову пространству на отрезке [0, Н. Ряд (45.7) можно оборвать при' некотором, достаточно большом п. Это означает, что нужно считать неразличимыми два процесса, для которых первые п членов ряда (45.7) совпадают, а остальные различаются.

Функциональная связь между напряжениями и деформациями изучалась нами в седьмой главе, причем при выводе результатов § 33 предположение о малости деформации не было использовано. Таким образом, основной результат этого параграфа о представлении нелинейного функционала по времени в виде суммы интегралов возрастающей кратности справедлив, и в этом случае мы имеем

ОО /t

п=1 оО

1) Разложение в ряд Тейлора можно заменить разложением в ряд Фурье [91, 92], чтобы избавиться от требования аналитичности процесса.

причем ядра F*"(厶 q, • • %) в случае изотропной среды имеют вид (29.1), (29.2) и т. п., где вместо тензора 6订 могут быть поставлены соответствующие метрические тензоры [62].

Подставим теперь выражение (45.7) в разложение функционала (45.6) по полилинейным формам. В результате получим функцию от бесконечного или конечного числа п производных £订 по времени

8

受=耳"5一т],电•⑴，唱⑴，…，噌)⑴，…}.(45.9)

Обозначим матрицу ^ через %, а след матрицы 8^/ через〈£». По теореме Спенсера ——Ривлина [93] правая часть (45.9) представляет собой матричный полином, базис которого будет состоять из следующих матриц:

/；年；琛；£庐£+£l£内；£診£ + £匸咪；稣變 + 饒琛；e^LeM + ^м^r\ 琛£，£助 + ^l^]%£訳m+ £凶變％;琛昵£м 十£妝變琛；

£к££«£м£添 ~F £%£№££«£不；^^l^m^n Ч- ^n^m^l^jc? ^^l^m^n *4~ ^n^m^l^^j

£庐沙私£川 + £n£m绛£卜；^^l^m^n^s + ^s^n^m^l^(4<).1О)

а коэффициенты при полиномах будут зависеть от следов матриц

£m£n 或毘；£м 或虚；或崑；^L^M^N^P^kj ^L^M^N^k]ElAw 或;

£上或；味； ^L^M^N^P^Qj £lisLsM^N^P} %£l£m£n； ^L^Mj 融呢；

2-222 2

£左，^L^k^N^P^k J^L^M^Jt^P^k ?^L^^N^kj ^M^L^Ii^L}

%也£縊；或(45.11)

и скаляров, которые мы опустили; числа к, L, М, N、Р, Q представляют собой всевозможные различные наборы из п.

Введем в линейном шестимерном пространстве Eq базис e^Q = 1,2,... ・..,6). Тогда каждой квадратной симметричной матрице третьего порядка £订 можно поставить в соответствие шестимерный вектор э = эаеа, причем так, что каждой компоненте матрицы £订 будет поставлена в соответствие компонента эа. Потребуем теперь, чтобы метрика введенного пространства выражалась по формуле &订£订=э э. Тогда, положив

(45.12)(45.12)£11 = э1? £]2 = 34/J2, е22 = Э2» е23 ~ 85/1^2, £33 ~ З3, %1 = Зб/Г 2,

(45.12)

(45.12)

мы устанавливаем взаимно однозначные соответствия между симметричными тензорами трехмерного пространства и векторами шестимерного евклидова пространства, в котором имеется ортонормированный базис еа • е^= Зав・ Повторяя рассуждения работы [1], можем вывести обобщенные формулы Френе для векторов репера, движущегося вдоль кривой в этом пространстве.

Устанавливая по формуле

илиили百=〈G〉％百=〈G〉％(45.13)(45.14)(45.13)(45.14)

или

или

百=〈G〉％

百=〈G〉％

(45.13)

(45.14)

(45.13)

(45.14)

взаимно однозначное соответствие между длиной дуги s в пространстве £*6 и временем 力 имеем

^ = X2... %%m(S产…б⑺)\^ = X2... %%m(S产…б⑺)\(45.15)(45.15)

^ = X2... %%m(S产…б⑺)\

^ = X2... %%m(S产…б⑺)\

(45.15)

(45.15)

где суммирование ведется по всем индексам, причем А:х + Л2 + • • • + ^п — =т,及工 + 2厶2 十..•十 пкп = п. Составим из векторов

(45.16)(45.16)эп 三 йэ k-Jds 三 d^Hdsn

(45.16)

(45.16)

скалярные произведения этп = эт^п^ тогда, введя обозначения

аП ^^ 而 e'3m出22.• •力九九，(力1, 応，• • •，'?I = 1，2, . .72)D,

〈八=1, 2, .. ., 6〉,1办沱〈八=1, 2, .. ., 6〉,1办沱(45.17)(45.17)k •=， 覚欣.—k •=， 覚欣.—

〈八=1, 2, .. ., 6〉,

1办沱

〈八=1, 2, .. ., 6〉,

1办沱

(45.17)

(45.17)

k •=， 覚欣.—

k •=， 覚欣.—

выразим векторы «присоединенного» ортонормированного репера р^ через векторы з九;рп = %册,з» = К^р». Для этих векторов рп можно записать обобщенные формулы Френе

(45.18)(45.18)〃р72f

(45.18)

(45.18)

京* ^ — xn-lPn l + XnPn+l，

где xn ——так называемые кривизны, для которых существуют рекуррентные соотношения

% =%7 + (-^ + 及7HT)+ 乃卄1 + 2%?一也_J 3"，

(2, / = 1, 2,...,孔+1),乃no 三°，及m三0 (加>2；.

Теорема [94]. Производную по времени от тензора деформации любого порядка /п > 6 £九 можно выразить через первые шесть производных, и функционал (45.9) можно представить в виде полинома по базисным матрицам (45.10), где К, L, М、N、S — всевозможные различные наборы из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. В случае, если в уравнениях (45.9) участвует конечное число п производных &订,то коэффициентами при разложении функционала будут полиномы от следов матриц (45.11). В самом деле,

裁。d翳)中睁+…+紆卜

=款[及3产+…十P1S叫=£1因RS6 +…]sm +…

(45.20)

Заметим, что все этп являются функциями от〈&声)〉и производных s, причем последние являются также функциями от〈&»&；〉, что можно установить последовательным дифференцированием (45.13). Отметим также, что все (е^е；> можно выразить через диагональные члены <ейей> и их производные, причем n-я производная от этп выражается через инварианты типа 〈£忙8忙〉,где наибольшее из к равно целой части от [6 + п/2]. Производная по s от рп при 孔〉6 будет выражаться через первые шесть по формулам (45.18). Дифференцирование хп и KiQ повысит порядок производной этп по s. Итак, при дифференцировании &讶 по времени п раз для 孔〉6 мы

выражаем все производные через первые шесть производных, причем коэффициенты этих выражений являются функциями инвариантов 〈£歩). Если мы их разложим в ряд по〈&»£$〉и оставим только п членов, то, подставляя эти выражения в разложение функционала и применяя снова теорему Спенсера——Ривлина, получаем доказательство теоремы. Все сказанное справедливо и для неаналитических процессов. В этом случае за э£ (Z = 1, 2, . . ., 6) требуется принять шесть независимых векторов.

Главная физически и геометрически нелинейная теория вязко-уиругости для изотропных материалов

Для изотропной среды в случае конечных деформаций справедливы соотношения между напряжениями и деформациями в виде (29.3). Эти соотношения могут быть обращены с помощью теорем обращения § 34, так как при доказательстве этих теорем малость деформаций не предполагалась. Ядра релаксаций и ползучести мояшо представить в виде (30.6) для выяснения их сингулярных свойств. Выделение главной части этих ядер (30.8) отражает свойство сильного затухания функций влияния по мере удаления моментов времени JR,...,% от рассматриваемого момента / и приближения их к нулю. Это свойство является специфическим для вязкоупругих материалов и никак не использует понятие малости деформации. Поэтому уравнения состояния главной физически и геометрически нелинейной теории ползучести будут иметь вид (30.10) или (30.10)', а уравнения состояния главной физически и геометрически нелинейной теории релаксации —(36.12), причем и в этом случае для взаимности соотношений (30.10)' и (36.12) достаточно выполнение предпосылок двух теорем § 36.

Если главные оси тензора деформаций не поворачиваются в процессе деформирования (например, в задачах со сферической и цилиндрической симметрией) и компоненты тензора деформации изменяются пропорционально одному параметру, то уравнения состояния главной физически и геометрически нелинейной теории релаксации запишутся в виде

S (0 = g! (Л, /乙，〃乙)/ + g2 (人，U, nit) E (方)+ t

+ g3 (乙，//f, ///t) E2 (力)+ \ [P1 (t — T；乙，/乙，Шт) / + о

+ 卩2 (力一t；乙，〃т, 〃/р) Е (т) + Рз (力一т； Д, 〃『〃/р) Е2 (т)]с?т,

(46.1)

где Iv II v IIIt — три независимые инварианта тензора деформаций в момент времени t, а Д, IIХ1 ПЦ — те же инварианты в момент времени т, I ——метрический тензор.

Аналогично уравнения состояния главной физически и геометрически нелинейной теории ползучести в случае соосности тензоров напряжения в процессе нагружения и изменения компонент этих тензоров пропорционально одному параметру будут иметь вид

E«)= /i(Z,", m.)z + /2(Л,/Л,ИЛ) s(t} + f3lji4Tib С) X t

х © ⑴ + \ [鱼(力 一 е； * /7Р,方。)/ + % (力 一 T； Л,比,方Т) X о

Х5(т) + 禽(力一 Т； Л, 7/т, g S2(т)] d%(46.2)

где 工 П, Ш —независимые инварианты тензора напряжений.

17 А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря

XIIL Тензор повреждений и теория прочности 1}

Тензоры и меры повреждений

В механике сплошной среды внутренние взаимодействия между частицами твердого тела характеризуются тензорами напряжений о订 и моментов различных порядков 卩订卜,卩订kz, деформации частицы ——соответствующими конфигурационными тензорами &订,丫〃&, Уии^^ . Процесс нагружения частицы определяется заданием функций времени 0订⑴，卩订卜(力，•. процесс деформации ——заданием функций е订(力)，丫订& (力),....

Принцип макроскопической определимости состояния частицы [1] утверждает, что если на некотором интервале времени 0《тг《力 задан процесс нагружения и немеханические параметры, то в момент t состояние частицы однозначно определено: в частности, тензоры &订,¥〃&••• в момент t являются однозначными функционалами функций о订(т),卩》泳(т), ..., Т (т) (Т — температура).

Нагружение частицы сопровождается изменением параметров микроструктуры элементарных составляющих (кристаллов, кристаллитов, блоков, цепочек), возникновением и развитием некоторых образований (микродефектов, микротрещин), накопление которых в некоторый момент времени может привести к нарушению сплошности макрочастицы, ее разрушению.

В механике материалов известны два типа критериев макроскопического разрушения твердых тел. Первый и наиболее распространенный в инженерной практике отражается различными механическими теориями прочности [102]: предполагается, что при однократном нагружении или небольшом числе нагружений состояние макрочастицы будет в момент t прочным, если некоторые универсальные функции компонент тензоров напряжений и деформаций fm (о订,％±), тп = 1, 2, . . . (в случае изотропных материалов ——функции их инвариантов /а, /а, /；, /е,…) меньше нуля; если одна из этих функций достигает значения нуль, наступает разрушение соответствующего номера функции вида. Неравенства типа

fm (о订，£w) W Cm,(47・1)

как показывают разнообразные опыты, действительно являются критериями прочности материалов, обладающих линейными или нелинейными склерономными упругими свойствами вплоть до разрушения. Естественно, что для таких материалов функции /т могут быть выражены через о”

Содержание этой главы полностью соответствует работе [101].

либо через е订 и значит макроскопической характеристикой возникающих при разрушении микродефектов в частице является сам тензор напряжений (или деформаций). Очевидно, однако, что тензор напряжений не может быть характеристикой при многократных нагружениях, так как одно и то же напряженное состояние после некоторого числа циклов приведет к разрушению. Для вязко-упругих тел условия типа (47.1) не могут быть критериями прочности даже для простых видов нагружения, и в тех многих практических случаях, когда они применяются, указывается вид или время нагружения. Например, при мгновенном нагружении, поскольку такой процесс является упругим, условия (47.1) могут быть критерием прочности.

Второй тип критериев макроскопического разрушения отражает рео- номность механических свойств твердых тел, но относится к одному из простейших напряженных состояний, обычно к простому растяжению —— сжатию цилиндрического образца[15, 103]. Предполагается, что существует положительная возрастающая во времени функция U (%), называемая повреждением (дефектом), приращение которой пропорционально некоторой универсальной функции напряжения о (%), причем разрушение наступает, как только U достигает характерного для данного материала (и температуры) значения С7ра3р. Отсюда следует, что время разрушения £ для данного закона нагружения а (т) 0 ^ т ^ ^ определяется уравнением

(47.2)(47.2)「也 =1

(47.2)

(47.2)

о

где tr (о)——время разрушения образца в условиях ползучести (при постоянном напряжении о). Соотношение (47.2) также является удовлетворительным критерием разрушения для некоторого класса функций о (т), хотя исходная гипотеза произвольна и не учитывает очевидного влияния истории нагружения в интервале 0 0 с W 力 на величину приращения дефекта U в момент t.

Обобщение критерия (47.2) на случай сложного напряженного состояния и сложного нагружения макрочастицы, как и обобщение критерия (47.1), требует более полного и общего определения объекта, который характеризует накопление повреждений макрочастицы.

Пусть g по-прежнему (Z = 1, 2, 3) — система декартовых ортогональных координат, связанная с макрочастицей. Состояние частицы в момент 力=0 будем называть начальным и считать известным; это значит, что начальные напряжения о% моменты 卩如，деформации 唸，у?泳 при заданной начальной температуре &° имеют стандартные начальные значения, внешние воздействия отсутствуют, и без приложения внешних сил и изменения температуры частица сколь угодно большое время сохраняет состояние. Предполагается, что если одинаковые внешние воздействия на две макрочастицы приводят к одинаковым деформациям, одинаковым и одновременным разрушениям, словом, к одинаковым макроэффектам, то начальные состояния частиц одинаковы. Для любого момента 0 0 t W 力 предполагается, что состояние макрочастицы является однородным. Это существенное предположение оправдывается, например, тем, что стадия накопления дефектов до начала образования магистральной трещины при усталостных испытаниях сталей составляет около 90% полного времени до разрушения и даже при наличии концентраторов (в образцах с надрезами) порядка 50% [104]; но в последнем -случае не исключено, что 40% времени образец продолжает сопротивляться при наличии уже произошедшего в месте концентрации макроразрушения.

Если при t = 0 частица анизотропна и обладает определенной симметрией, то известна группа преобразований симметрии Г; для изотропной частицы эта группа представляет любые преобразования вращения и отражения системы координат /“

Ниже мы будем предполагать, что начальное состояние макрочастицы является естественным, т. е. 明 = 0, 鷗 = 0, а также 端欠 — 0, у队 = =0,・•・.Последние равенства следует понимать так: если начальные стандартные значения 卩订佗,・・・ отличны от нуля и известны, то в качестве параметров процесса можно взять разности их текущих и начальных значений, причем влияние начальных значений будет отражаться только группой преобразований Г.

Постулируем существование макрообъекта П (力色)，называемого повреждением (дефектом), характеризуемого в системе координат & в момент £ числами (компонентами) 11工,П2, . . ., Пп и обладающего следующими свойствами:

П является функцией состояния макрочастицы, т. е. однозначно определяется процессом нагружения о订(т),卩订н (t),..・,Т (т); функционал

П { о”・(t), %•&"),..・，7 (т)} (47.3) т=0

предполагается вполне непрерывным на некотором классе достаточно гладких функций нагружения вплоть до состояний, как угодно близких к разрушению.

П характеризует накопление повреждений (дефектов) и состояние, непосредственно предшествующее разрушению макрочастицы: существуют некоторые неотрицательные меры, называемые мерами повреждений

m7n (口)- " (口工，口2,…,"n； ')，m = 1, 2,...，hТ/ W 几，(47.4)

которые являются функциями компонент П и Г, инвариантными относительно группы преобразований симметрии Г, и существуют соответствующие положительные константы материала Ст (т?г = 1, 2,.・・,тп/) такие, что если для любого т

Мт (П) < 為， (47・5) то состояние макрочастицы прочно, если для какого-нибудь т = к

Ah (П) = & (47.6)

(для остальных Мт V Ст), то происходит разрушение типа 《"»・

П является нулевым на интервале 0 ^ т ^ Z, т. е. все его компоненты TIj^, . . ., Пп и меры Мт (П), (т = 1, 2, т ) равны нулю, если на этом интервале равны нулю параметры нагружения о〃 (т),卩〃招(т), ....

Повреждение П в момент t как функционал трехмерных тензоров о订(т),卩订& (т), ... (47.3) может быть только трехмерным тензором или совокупностью тензоров некоторых порядков. В последнем случае и меры повреждения Мт (П) определяются по совокупности компонент этих тензоров.

Простейший вариант теории накопления повреждений макрочастицы строится в предположении, что тензор П является симметричным тензором второго порядка. При этом не исключается, что он может быть и скаляром, который в различных вариантах может быть построен на основе такого тензора, но учитывается недостаточность одного только скаляра, если, в соответствии с опытом, допустить возможность хотя бы двух раз-

личных видов разрушения (от отрыва и от сдвига) и, следовательно, необходимость хотя бы двух мер тензора П. Учитываются также изложенные выше соображения относительно критериев разрушения первого типа, которые хотя бы для частных видов нагружений и свойств тел требуют пропорциональности тензора П тензору напряжений о〃, и потому в этом частном случае П является тензором второго порядка.

Необходимо выбрать еще тензор моментов в выражении (47.3) для учета влияния концентрации напряжений и масштабного эффекта. В простейшем случае речь может идти о моментах первого порядка (трехиндекс- ных |Xjj/f), характеризующих среднее значение градиента напряжений макрочастицы, и моментах второго порядка (четырехиндексных 卩订；口), характеризующих среднее значение вторых производных от истинных напряжений по координатам в макрочастице («пилообразность» эпюр). Поскольку тензор П должен отражать накопление микродефектов, т. е. в среднем однородное состояние макрочастицы, выбор делается в пользу моментов второго порядка. При решении вопроса о скорости прохождения через макрочастицу магистральной трещины, напротив, главную роль играли бы моменты первого порядка. Другое соображение в пользу выбора 卩订^ в выражении (47.3) является формальным: для квазиизотропной макрочастицы, обладающей центральной симметрией, на основе этого тензора можно построить истинный тензор второго порядка (каковым предполагается П), тогда как на основе псевдотензора 卩订卜 этого сделать нельзя.

В дальнейшем мы будем считать, что задача теории вязко-упругости решена и тензоры напряжений и моментов заданы как функции координат точки тела Xi и момента времени 力

о订=6订(力色)， Hijfti =卩订ki ", &)・(47.7)

Заметим лишь, что в ряде случаев, как, например, для тела с шероховатой поверхностью, в качестве моментов можно взять просто вторые частные производные от истинных напряжений о#, если только соответствующее число производных от них имэет смысл,

причем, очевидно, вследствие симметрии (47.8) и при отсутствии массовых •сил на основе уравнений равновесия

HijfcZ =卩 jikZ =卩 ijZk =内江衣，l^ijkl — °・(47.9)

По принципу Сен-Венана, эти моменты будут существенны только вблизи поверхности тела, что и будет указывать на преимущественно быстрый рост дефектов на поверхности.

Для вполне упругих хрупких тел критерий прочности первого типа может быть записан с учетом моментов

©订，l^klmn) W 唸(47.10)

где о。一 константа материала, имеющая размерность напряжения.

Из (47.8) и теории размерности следует, что существует характерный линейный масштаб L и два типа безразмерных независимых параметров

呜=0订/备,喝I =卩订k"/生(47.11)

и соотношение (47.10) приводится к виду

(呜，P»klmn) W 1 •

В случае линейно-упругого изотропного тела все тензоры второго порядка, получающиеся линейными свертками 卩订/^, выбираемыми в виде- (47.8), т. е.

5订卩订興，5kl卩tjKi, ^m^ijkb

на основании уравнений Ляме сводятся к единственному тензору

Ни = V%,(47.12〉

и потому простейший моментный критерий прочности с учетом тензора моментов второго ранга 卩订

/ 9订，卩以)W*(47.13)

должен выражаться через инварианты тензоров 仃订,卩卜入 Ограничиваясь представлением /(0订,卩卜()в виде квадратичной форми (что соответствует основным вариантам статических критериев прочности), заключаем, что в простейшем случае она является линейной функцией восьми инвариантных величин

/ =厶 1<Ъск + “2 (а/с?с)2 + 4зО订0订 + £2 (4卩kk + 人％%7n +

+ /0订卩订)+D図7(1Ш)2 + 4卩订卩订1.(47.14)

Обычно в критериях вовсе не учитываются моменты, и потому в первом приближении последние два слагаемых, имеющие малость порядка L4, следует отбросить; функция / содержит шесть существенных констант 厶1 > • •・，&б・

В общем случае тензор повреждений

П = (口订)

мы будем считать функционалом симметричных тензоров второго порядка Sj (Т) И 卩订(Т)

П = п { Ог； (т),卩仪«)}•(47.15)

т=0

В применении к рассмотренному выше случаю изотропного упругого хрупкого материала и однократного нагружения П будет функцией о〃， 卩订,причем линейная часть разложения компонент будет содержать четыре константы

口订=C/订+ (&0к+厶2e3卩卜卜)5订+ 上2&卩".(47.16)

Согласно постулату, мера повреждения должна быть функцией инвариантов П. Если ограничиться только линейным представлением (47.16), а меру М (П) представить только квадратичной формой, то в нее войдут только два первых инварианта П^6г； = П^^, 口订口订 и всего шесть существенных констант

М (П) = ты + а ⑴出2 + С^щ.(47.17)

Отбрасывая, как и выше, малые порядка Z4, получим выражение, с точностью до обозначений констант совпадающее с (47.14). Это существенно: квадратичные представления критериев хрупкого разрушения, непосредственно построенного по совокупности двух тензоров 仃订 и 卩订 и на основе меры повреждения, вычисляемой с помощью тензора, являющегося линейной функцией цензоров о^л 卩订,совпадают с точностью до£4.

§ 48. Линейная теория накопления повреждении и меры повреждений

Согласно постулату о тензоре повреждений П в случае (47.15) для компонент 11订 можно получить выражения в виде сумм интегралов по времени возрастающей кратности от произведений значений компонент о^% и рь^д в различные моменты интервала О W т W 力 причем в эти выражения войдут соответствующие функции влияния (см. § 28). В этих общих представлениях тензора П нет ничего специфического, кроме возможности использовать еще частный постулат изотропии, которая существенно упрощает учет нелинейных эффектов.

В первую очередь необходимо построить линейную теорию накопления повреждений, в которой тензор повреждений П может 6屮ь представлен в виде суммы тензора повреждений первого рода, обозначаемого Р и возникающего за счет напряжений о〃 (т), и тензора повреждений второго рода Р‘, возникающего за счет моментов 卩订(т),

И = Р + Р, 口 订=“j + “/・(48.1)

Задача сводится к определению ядер интегральных представлений компонент тензоров Р s Р‘ типа

t

p".(大)=\ Fijki (^, t) 0н⑴ dr, о

t

儿(力)=\①珀(力t)卩以⑴dt о

или, что эквивалентно, типа сверток Стильтьеса

t

%•«)= '弘阳(力 Е)&Он(Е)，

。/(48.2)

及⑺=-%也(力t)加^")-

6

Из известных соображений ядра ср и 屮 следует считать зависящими от разности аргументов & =力 ——т, для изотропных материалов имеющих к тому же вид

屮泌篤)=4"屮⑸[6挑6〃 + 6h6注]+①2 (Е) 6灯6kz(48.3)

(для ^)цк1 — аналогичный), вследствие чего (48.2) преобразуется t

% = ，仰4 — E)厶订")十%屮2 (力一t)也味⑴]，

:(48.4)

% =\ [w(" — e)4网⑴ + %屮2 (力-t)"卩^ (T)Ь о

Вводя первые инварианты и девиаторы тензоров

Зо = 0左论,Sij = о订об»

31A = Nkjf,勿%) =n修卩6百， (48.5)

3冗=Pkk、Ej u1 PijJtbfj,

3几‘=P/，冗% = pц -^6h ,

(48.4) преобразуем к виду

t

冗订=\屮（力——1）曲刃"），

t

冗=\中1(力一T) do(t)g

0

0

(48.6)

几工=\少（"-"dm团（T）， о

n/ = \屮1(力-t) dpi (t), 0

причем

Ф1 = Ф + 3屮2，

屮1 ="+ 3屮2.

儆7)

Если можно пренебречь влиянием моментов 卩订 на накопление повреждений, или если, как в случае влияния шероховатости или других концентраторов, моменты возникают за счет краевых эффектов и только в малых областях тела, определение ядер ф и(рх может быть сделано на основании результатов «опытов на ползучесть» образцов без концентраторов. Прикладывая мгновенно к такаму образу напряжения

S12 =。；@方(力)，sa = о = 0,(i, / =^= 1, 2),(48.8)

где o?2 ——постоянное;1 卩万=0,[ A (力)——единичная функция Хевисайда, из (48.6) найдем

冗 12 =。；2屮(力，冗ij == л = О, (X, / 手 1,2).(48.9)

Инварианты такого тензора 冗》才 совпадают с л12 и значит мера повреждения [1 (П) — функция только 冗12・ Из условия разрушения (47.6) pi (П) есть константа материала в момент разрушения ts, следовательно

Р12 =冗 12 (力8)=。；2屮伉)~ const.(48.10)

Предполагая' теперь, что из серии опытов с различными постоянными значениями о；2 мы знаем зависимость времени разрушения t8 от напряжения и；2 и обратную функцию о% = S$ (力$), мы из (48.10) находим ядро ф (力) с точностью до постоянного множителя. Аналогично из опыта на всестороннее равномерное растяжение по данной зависимости времени разрушения ta от постоянного напряжения а0 или обратной функции д° = 5а (%) найдем ядро(рх (力)・ Этот теоретически простой опыт приведен лишь для выяснения смысла ядра 屮广 Фактически это можно сделать, например, на основании опыта на растяжение цилиндрического образца. В этом случае при ползучести

Оц ~ o?i 方(力)， Sj =。，(炉 / 11),(48.11)

причем из (48.4), (48.5) имеем

Рц/^11 =屮(%) + 屮2 (%)，Р22/О11 =卩Зз/°11 =屮2 (力，

Ри = О, G//),(48.12)

а из серии опытов нам известна зависимость растягивающего напряжения o；i от времени разрушения tr

吟=Sr (幻・(48.13)

Если бы мы знали 卩口 при t = tr, то из (48.12) нашли бы(р2 侑)через 屮 伪)и pu (/г), а из (48.7) нашли бы 収,т. е. установили бы связь между функциями 5$, 5。и Sr. Но для этого теперь необходимо использовать одну из мер повреждения.

Будучи инвариантом П? любая мера повреждения в случае 卩打=0 является функцией его главных значений 网，必，Рз или инвариантов р^^ PijPijjdet I,订I，или инвариантов

*hи -冗订冗订， ^A =(1圜г订].(48.14)

Примерами двух простейших мер, характеризующих для одного и того же материала два возможных вида накопления повреждений, являются алгебраически наибольшее главное значение компонент тензора П, например 〃1 (pi N 夕2》Рз)，и наибольшая разность двух главных компонент Pi — Рз，соответствующие разрушениям от отрыва и сдвига

Mi (П) = р、— Р2,〃2 (П)=夕1・(48.15)

Различные другие варианты мер повреждений можно построить на основе известных критериев прочности первого типа (47.1), формально заменяя в них компоненты тензора напряжений о订 на р订 с некоторыми множителями, сохраняющими инвариантность. Например, общий вид квадратичных форм мер повреждений, соответствующих (47.15), будет

"тп；(U)= V + Pzn^2 + YmM，(48.16)

где m = 1, 2,...——номера мер и возможных видов разрушений: ат, Pm, Тт — соответствующим образом подобранные на основе опытных данных константы (одна из трех — несущественная).

В общем случае при 卩订=0 меры — функции всех трех инвариантов

Мт (П) = "т("，"〃，“А)= Мт(Р1，卩2‘ Рз)，(48.17)

и критерии разрушения имеют вид

"ш (冗，冗го Q)= Ст・(48.18)

Пользуясь произволом масштаба компонент 口仃 и мер повреждения Мт (П), последние можно нормировать. Для определенности и с достаточной общностью мы далее будем предполагать, что существуют две (в частности, совпадающие) меры повреждения — сдвиговая (индекс 1) и смешанная (индекс 2)

М] = TH】 (П), М2 = М2 (П),(48.19)

нормированные следующим образом.

Из предельного условия Мх (П) = Сх в случае ползучести при чистом сдвиге и отсутствии моментов (т. е. при П12 = р12 > 0,卩卄=口订=° при 厶 j 牛 1, 2) должно следовать р12 = 1.

Из предельного условия М? (口)=邑 в случае ползучести при простом растяжении и отсутствии моментов (П1Х = ри > р22 =夕зз, Ра = °, % / 7) должно следовать 卩口 = 夕工 = 1・

Обозначая тензор П через П3 и Пг в случае чистого сдвига (П12 = 1, 口订=0,厶/娱 1, 2) и простого растяжения (Пх1 = 1 > П22 = П33, П订=0, i 土 J), соответственно, мы найдем значения констант

C]=Ml (口6), c2 = "2 (口)(48・20)

после чего критерии становятся нормированными

Mi (П) & М](ns),”2 (П)《M2 (口)(48.21)

18 А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря

Поскольку Пг, вообще говоря, содержит компоненты П22 = П33 牛 0г а М2 (Пг) = & = const, то при простом растяжении (без моментов) .

?22 三网=^зз 三夕з =厶=const < 1,(48・22>

и pr ——число, характеризующее макрочастицу при данной температуре. Для некоторых частных видов меры М2, например, в случае (48.15), р2 = & остаются неопределенными, вообще же М2 (Пг) содержит число р「・

Теперь из (48.10), (48.11) находим нормированное ядро ф

Ф (力)=1/5； (0,(48.23>

а затем нормированные(р2 и Ф1

屮2 (力)=4/S=⑴ 一 1/5；(力)，

/ (0 = 3/从(方)一 2/S$ (%).

В случае меры М2 (П), приводящей при простом растяжении к условию Pi = 1, имеем еще из (48.12)

屮2 (0 - Pe/Sr (0,(48.25)

т. е., согласно (48.24), экспериментально определяемые кривые Ss (力)и и Sr (力)подобны

(48.26)(48.26)必（力）=（1 一 Pr） Ss （方）,

(48.26)

(48.26)

и, следовательно, константа рг вполне определена из сопоставления Ss и Sr. Если опыт не подтверждает условия подобия (48.26), значит мера М? (П) применительно к случаю простого растяжения не зависит от р2 — р3.

Применим критерий по мере М2 к случаю ползучести при всестороннем равномерном растяжении без моментов, когда /^ = р22 = р33 = г = =o°(Pi (力)；находим число л =^ ра и потом определяем функцию 屮工

金=為-若犷(48・27)

При условии (48.26) имеем

«)=昌二：)&&)，(48.28)

и так как 0 & 风 & 8, то 0 < 夕。М оо.

Таким образом, ядра (р,(р1г(р2 вполне определены, и тензор 夕订 в линейной теории, согласно (48.4), определяется через процесс нагружения

% 而订•("И 111

'" =、 Sje — t) + 6仃! [ s「« —тг) s$ « —t) d°kk ⑴，(48・29)

а его девиатор и первый инвариант, согласно (48.6),— через девиатор напряжений s〃 и среднее напряжение а

力 一! ^（力 — t），

冗=Ра \ о

do （т）

S。（力一幻

При условии (48.26) тензор повреждений 1-го рода определяется процессом нагружения и единственной функцией Sr (力)

“尸)士型名器给(48.31)

Тензор повреждений 2-го рода в линейной теории

Истинные напряжения og, (Z, j = 1, 2, 3) с большой точностью характеризуют внутренние взаимодействия в твердых телах любой структуры в масштабах, соизмеримых даже с межатомными расстояниями, но определение их в неоднородных телах (типа поликристаллических) возможно только для частных случаев (периодического расположения правильных монокристаллов и т. п.) или при некоторых гипотезах (типа теории самосогласованного поля). Поэтому вводятся понятия средних напряжений Ои и средних моментов 卩订 различных порядков, которые должны определяться более простыми краевыми задачами для соответствующих моделей тел (однородных квазиизотропных или квазианизотропных с малыми градиентами параметров анизотропии и неоднородности).

Критерий точности моментной теории ——степень эквивалентности си стемы истинных напряжений о右(X, / = 1, 2, 3) системе 立力 卩订,т. е. эквивалентности до степени точности, с которой вторая характеризуем первую по некоторому инвариантному критерию. Поскольку накопление повреждений связано с системой о%, критерием будет степень соответствия мер повреждений для первой и второй систем. Для первой системы。讶 существует только тензор повреждений 1-го рода '□订=fpih . . .; для второй — первого (рп, . . .) и второго 伪厶,...)родов Пг； = р订 + 龙丁. В качестве критерия точности теории, определяющей в теле систему о〃, 卩切 можно выбрать степень совпадения главных компонент тензоров 11订 и 口药,или некоторых других их инвариантов в наиболее напряженных точках или объемах. Прймер б^дет приведен ниже.

Экспериментальное определение ядер гр, гри 屮2, входящих в выражения компонент тецзора повреждений 2-го рода, может быть основано на возможности реализации процесса ползучести

0幫(力徵)=九Sj (陈)九(土)，

卩订(力3)=^tj M九(，(49.1)

где 3〃(冰)，^1)(X)：) — какие-нибудь известные функции - координат 力卜 точки тела; % ——параметр,' характеризующий интенсивность нагрузки. Для простоты мы допустим еще, что реализовано условие

3|1 =卩卜卜=0.(49.2)

По формулам (48.31), (48.4) находим

Ри = - s；/ - К' — Р‘ °讶 + PrOkN田,(49・3)

Pij =入口订屮(')， 口订=Pij +Р力

При этих выражениях П〃 находим меры повреждений “「М2； точнее — их максимумы по 支к, которые обозначим по-прежнему Мх (П), М2 (П); точки максимумов加)，42) для каждой из них могут быть различными н, таким образом, (49.3) дают две соответствующих системы П^, зависящих от t. В рассматриваемом опыте на ползучесть наблюдения покажут, в какой

из точек 森,處 впервые будут происходить разрушения; пусть это будет 力?)и пусть для каждого числового значения 九=九「будет определено время разрушения 力入,т. е. будет найдена функция

九Г = аГ(h).(49.4)

Внося в (49.3) при 力=疚 значение X = Хг и обозначая получающийся при этом для точки %價 тензор П через^ Щ, найдем меру М2 (Щ), которая, очевидно, будет содержать только три функции времени

М2 (Щ) = / 也⑷，S，⑷，屮俄)]・(49.5)

Из условия (48.21)

м2 (ПТ) V м2 (Пг)(49.6)

теперь находим выражение искомого ядра 屮(力)через известные функции Sr (力)и Лг «). После этого аналогичным образом можно найти 也(力)и 也(力)из опытов, в которых 卩忙卜 / 0. Заметим, что, считая Sr (力)найденной при 卩订=0, мы тем самым имеем в виду 卩订,возникающие за счет концентраторов типа шероховатости поверхности, надрезов, отверстий и т. п. В общем случае, который мы не рассматриваем,卩订 могут возникать еще за счет неоднородности структуры, и тогда определение 屮 и 屮 будет аналогичным, но более сложным.

Как и при определении ядер (р, в рассматриваемых опытах желательно осуществить простейшее напряженное состояние. Одним из них является простое растяжение цилиндрического образца, но теперь не гладкого, а имеющего шероховатую поверхность, например, вследствие обточки по данному классу. При этом можно реализовать тензоры напряжения (49.1)

0" = 1,期=0,(%,/#1,1),%=0h = 01，(49.7)

卩1] —卩22 /~~ 0,卩 12 ~— 0, остальные 卩灯—О

и, согласно (49.3),

"и = s ；%)，Р?2 = Рзз = PrPii, Р" = °, ('//>,(49.8)

向 1 = — р；2 = О屮1排(f), Р；2 = 01 阿2屮(0, остальные pf^ == О,

где 卩и，阿2 — некоторые постоянные. Тензор 口入 имеет компоненты

Пи = Ох [-^- + Нп^(oj > 口22 =。1[;^ -山排("，(49.9)

П33 =-眈, П12 =。髙2屮⑺，остальные 口灯=0.

Вычисляя меру М2 (□*), из (49.5) найдем ядро 屮(力)，поскольку

” = A，(f)(49.10)

находится из опыта.

Пусть, например, “2 (П) есть алгебраически наибольшее значение главных компонент тензора П, т. е.

м (П) = П1= "и 产 + ]/—♦(49.11)

В нашем случае

(П) = О] I 2S「(力)+ М[ 2S「(力 + 团2(')] + 卩12唄f)},

(49.12) так что М2 (Пг) = 1. Внося сюда значение ах (49.10), из (49.5) получаем уравнение для 屮

[4^- + m屮(川2 +磕炉⑴=-4^t・(49.13)

Если опыты дают Лг (力)=Sr (力)，то 屮(t) = 0, т. е. моменты не влияют на меру повреждений и тензор П их не содержит.

Если влияние является положительным и отклонение Лг от Sr малым % ⑺=邑 «)[!-£(/)],

так что при 卩и〉О, О & £ У 1, то найдем

屮(0 = 〃 |/Х^Г - ^w], 2 = (М)",(49.14)

где I — константа структуры шероховатости поверхности образца, имеющая размерность длины, если моменты имеют размерность вторых производных от напряжений по координатам.

Таким образом, одна из простейших форм выражения тензора повреждений второго рода такова:

工产 2, [a，(；_ t) 一 印：一 m 亭灯⑺,(49.15)

причем предполагаются 卩林=0, так что и р^ ——0. Константа I в соответствии с теорией моментных напряжений, определяющей 卩订 в теле, находится из опыта на основании формул (49.13), (49.14).

Если в опыте на растяжение реализуются условия (49.7) и еще pi12 = О, то из (49.13) получаем точное выражение ядра тр, совпадающее с (49.14), и потому точное выражение (49.15). Заметим, что функция Лг (力),входящая в ядро (49.15), не является универсальной для различных шероховатостей, т. е. для различных 厶 а будет, вообще говоря, существенно зависеть от масштаба /.

Представление о величинах 卩订，夕订 и оценку Лг(^) можно получить, например, при следующих предположениях. Поверхность растягиваемого постоянным средним напряжением ах круглого образца мало отличается от цилиндрической и имеет осевую симметрию; материал является однородным, изотропным и остается упругим до разрушения. Концентрация напряжений за счет неровностей поверхности возникает только в тонком слое и потому определяется решением следующей плоской задачи (обобщенно-плоская деформация) теории упругости для полуплоскости: на поверхности у = у° sin 爸,где L ——длина волны возмущений плоской границы у = 0, у。一 амплитуда возмущений, внешние силы отсутствуют; при у = 8 тензор истинных напряжений имеет компоненты ап = о】〉0, о% = 0 (Z, / =^ 1,1), причем о/ = о^ = 0 всюду, и среднее значение 唳 на интервале 0 ~ L при любой у = const 注 z/0 равно нулю. Решение

такой задачи дает следующие выражения истинных напряжений:

-^- = 1 + % (2 — 〃) е» sin 〃，£- = %〃е" sin и,

Т = % (1 — %) е" cos и, * Озз = V(Ои + 点—J),(49.16)

27， у-^， %=~^<°,3.

Средние значения напряжений (49.16), которые обозначаем соответственно о“{О11, Oi2，・・・}， на любой глубине у = const > 弘 будут au = 力, 6/ = 0, (Z, / 皐 11), т. е. совпадают с (49.7).

Назовем истинными моментами 卩订 величины (47.12), определяемые тен- аором (49.16), т. е.

Ни = — R = 2%0i(^-『「sE〃，(49.17)

卩；2 = 2%0i ^-^-^ е» cos 〃，остальные 鬲=0,

а их значения на плоскостях и= н/2, 5н/2..., причем в качестве компонент тензора моментов 卩订(с числовыми индексами), который используется в (49.1); тогда

Йн = — &2 = 2% (穿 j 尸，山尸 0・(49.18)

Из (49.14) получаем постоянную Z

/ - 4n /盍，(49.19)

Теоретическое значение функции Ar(Z) для рассматриваемого типа шероховатости поверхности получим из критерия эквивалентности тензора повреждения ‘立订，определяемого истинными напряжениями (49.16), и тензора повреждения И订,определяемого системой средних напряжений ап = 弓，о〃 = 0, (3 /. / 11) и моментов (49.18) на плоскостях и = н/2, 5л/2, причем в качестве меры повреждений М2 примем главные максимальные компоненты ЛП11 и Пп. Для "Иц, согласно (48.31) и (49.16), имеем в случае ползучести

Пи = — ^ = -jr-^ [1 + % (2 — у) е「”] •(49.20)

Для определения Пп находим из (49.3) при 方口 = 1, Ъ^ = 0,(炉 羊 1) л Ju (49.18), полагая 九=а1?

рu s ⑴ > ри 阿但屮(大)，(49.21)

так что

Пп=-^^[1+^(0^ (01-(49.22)

Разрушение начнется в точке максимума компонент 'Иц, Пп, т. е. при 〃 = %, где коэффициент к концентрации истинного главного

напряжения о£ ——наибольшийнапряжения о£ ——наибольшийА = —口；詈х,- = 1 + %(2 — у0) 6-"。= 1 + 2〃о・А = —口；詈х,- = 1 + %(2 — у0) 6-"。= 1 + 2〃о・(49.23)(49.23)Приравнивая выражения ЛПП и Иц при 〃 =必 в момент разрушения t и полагая по определению (49.4) функции Ar (t)01 = a?(力)，Приравнивая выражения ЛПП и Иц при 〃 =必 в момент разрушения t и полагая по определению (49.4) функции Ar (t)01 = a?(力)，ваходим ядроваходим ядроm号沪=（蚩）』•m号沪=（蚩）』•Сравнивая это^ выражение с (49.14), имеемАг«)：=击 Sr (/)•Сравнивая это^ выражение с (49.14), имеемАг«)：=击 Sr (/)•(49.24)(49.25)(49.24)(49.25)Следовательно, тензор повреждений 2「го рода для рассматриваемого вида шероховатости поверхности изотропного тела можно записать в простейшей формеСледовательно, тензор повреждений 2「го рода для рассматриваемого вида шероховатости поверхности изотропного тела можно записать в простейшей форме^, = Ы)、耳ту，^, = Ы)、耳ту，(49.26)(49.26)т. е., подобно (48.31), он определяется процессом 卩仃(力)и универсальной функцией Sr (力).При этом 卩订 определены как вторые частные производные от истинных напряжений。各，и потому они обратно пропорциональны Z2, как видно, например, из (48.18). Следовательно, в теории изотропного тела с концентраторами периода Е моменты М^ можно ввести так, чтобы они имели размерность напряжений и были порядка средних напряжений с некоторым безразмерным коэффициентом концентрации 乂, зависящим 'от структуры концентраторов.Полагая для таких телт. е., подобно (48.31), он определяется процессом 卩仃(力)и универсальной функцией Sr (力).При этом 卩订 определены как вторые частные производные от истинных напряжений。各，и потому они обратно пропорциональны Z2, как видно, например, из (48.18). Следовательно, в теории изотропного тела с концентраторами периода Е моменты М^ можно ввести так, чтобы они имели размерность напряжений и были порядка средних напряжений с некоторым безразмерным коэффициентом концентрации 乂, зависящим 'от структуры концентраторов.Полагая для таких тел(49.27)(49.27)мы получаем из (49.26)мы получаем из (49.26)dMjjCr)・ 5Тa 一 工)dMjjCr)・ 5Тa 一 工)(49.28)(49.28)

напряжения о£ ——наибольший

напряжения о£ ——наибольший

А = —口；詈х,- = 1 + %(2 — у0) 6-"。= 1 + 2〃о・

А = —口；詈х,- = 1 + %(2 — у0) 6-"。= 1 + 2〃о・

(49.23)

(49.23)

Приравнивая выражения ЛПП и Иц при 〃 =必 в момент разрушения t и полагая по определению (49.4) функции Ar (t)

01 = a?(力)，

Приравнивая выражения ЛПП и Иц при 〃 =必 в момент разрушения t и полагая по определению (49.4) функции Ar (t)

01 = a?(力)，

ваходим ядро

ваходим ядро

m号沪=（蚩）』•

m号沪=（蚩）』•

Сравнивая это^ выражение с (49.14), имеем

Аг«)：=击 Sr (/)•

Сравнивая это^ выражение с (49.14), имеем

Аг«)：=击 Sr (/)•

(49.24)

(49.25)

(49.24)

(49.25)

Следовательно, тензор повреждений 2「го рода для рассматриваемого вида шероховатости поверхности изотропного тела можно записать в простейшей форме

Следовательно, тензор повреждений 2「го рода для рассматриваемого вида шероховатости поверхности изотропного тела можно записать в простейшей форме

^, = Ы)、耳ту，

^, = Ы)、耳ту，

(49.26)

(49.26)

т. е., подобно (48.31), он определяется процессом 卩仃(力)и универсальной функцией Sr (力).При этом 卩订 определены как вторые частные производные от истинных напряжений。各，и потому они обратно пропорциональны Z2, как видно, например, из (48.18). Следовательно, в теории изотропного тела с концентраторами периода Е моменты М^ можно ввести так, чтобы они имели размерность напряжений и были порядка средних напряжений с некоторым безразмерным коэффициентом концентрации 乂, зависящим 'от структуры концентраторов.

Полагая для таких тел

т. е., подобно (48.31), он определяется процессом 卩仃(力)и универсальной функцией Sr (力).При этом 卩订 определены как вторые частные производные от истинных напряжений。各，и потому они обратно пропорциональны Z2, как видно, например, из (48.18). Следовательно, в теории изотропного тела с концентраторами периода Е моменты М^ можно ввести так, чтобы они имели размерность напряжений и были порядка средних напряжений с некоторым безразмерным коэффициентом концентрации 乂, зависящим 'от структуры концентраторов.

Полагая для таких тел

(49.27)

(49.27)

мы получаем из (49.26)

мы получаем из (49.26)

dMjjCr)・ 5Тa 一 工)

dMjjCr)・ 5Тa 一 工)

(49.28)

(49.28)

В рассмотренном выше примере (49.18)

Мu = 一〃22 =生尸， m" = 0 (Е, // 11,22), Y =左 一 1, (49.29) причем наиболее напряженной является поверхность образца v = v0 ^ 0. Для процессов, отличных от простой ползучести образца, например, при несимметричных циклах растяжения и изгиба, напряжение ах расчетного волокна будет заданной функцией времени ат ⑴，и тензоры повреждений

i-ro и 2-го родов будут иметь компоненты

Р11 = \⑺，А2 = Рзз = РгРи, Pij = 0»(^ =/=/)»

Ри = 一 р22 = xpu, Pij =。，(力，=丄4,22),(49.30)

口1 = Иц = “Р11, 口2 = 口22 = (Pr — 乂)厶1，口3 = 口33 = PrPw

Пусть задана мера 儿厶 в виде функции главных значений П

(49.31)(49.31)“2 (П) = /(пп п2, п3).

(49.31)

(49.31)

Тогда время разрушения t для рассматриваемого процесса。/(力)находится из уравнения

/ (你и，(必一乂)An PrPii) = / (1, pr,厶)，(49.32)

где pn определено (49.30). При / = 口】，в частности, имеем

(49.33)(49.33)К 而 1")1

(49.33)

(49.33)

т. е・ вполне естественное условие прочного сопротивления.

СвнзЬ тензора повреждений с деформациями в линейной теории и сопоставление ее с критерием (47.2)

Между напряжениями и деформациями изотропных вязко-упругих тел существуют известные соотношения

s订 «) = , Е (力一с)出(т); о (力)=\ & (力—t)曲(t) J(50.1)

о0

где e〃 ——девиатор деформаций, 0 — объемное расширение, R (力)，笈1 (力)— функции сдвиговой и объемной релаксации; обратные соотношения определяются функциями сдвиговой и объемной ползучести П (力)и 口式力)

%(0> -口№-1 )咨订⑴；9(0 = 5 口；(力；一工)加⑺J；(50.2)

0oj

Для таких материалов тензор повреждений 夕订，очевидно, может быть выражен через деформации формулами, аналогичными (48.30), так что должны иметь место равенства

С 曲灯⑺ _ t de., (r)

(50.3)(50.3)W"e(D，

(50.3)

(50.3)

где Se, Se — некоторые ядра. Внося выражения (50.1) в (50.3), после простых преобразований найдем следующие выражения Se и Sa через S§ и S。】

Аналогичные выражения Ss и & через Se и Se получаются из (50.2) и (50.3) при замене ядер R, % на П, Пх.

Таким образом, в линейной теории критерии прочности с равными основаниями можно выразить как через процесс нагружения, так и через процесс деформации, так как выражения мер повреждений через тензор 夕订 сохраняются в обоих случаях одинаковыми. 。。

Переходя к некоторым оценкам особенностей линейной теории, мы рассмотрим различные процессы нагружения цилиндрического образца продольной силой и сопоставим линейную теорию с критерием повреждений (47.2)./

В случае простого растяжения гладкого образца напряжением ^(^} линейная теория приводит к уравнению

S)三\上竺 = 1(50 5)、

критерий же (47.2)——к уравнению

р^ - \―空一=1,(50.6>

причем функции Sr (力 и tr (%) взаимно обратные: при ползучести первая дает разрушающее напряжение % = S^ в функции времени, вторая — время разрушения 力=力「в функции напряжения о】.

Примем известную степенную аппроксимацию

J(01)=力0 (亲)°,SrP) = Oo(乎У，邪=1(50.7>

и перейдем к безразмерным

E = W，(50.8>

так что дано текущее напряжение S =，S (tj) и находятся моменты времена 51 > 占2, определяемые соответственно из уравнений

龙"三，& 一叫吃S(T)) = 1,

：2(50.9>

龙2)三， [S (叫a由]=1. о

Заметим, что обычно а > 1,р < 1, причем сф = 1 всегда.

Рассмотрим несколько существенно различных процессов нагружения- в случае ползучести, т. е. при S (n) ^SQh (刀)，из (50.9) следует точной совпадение времен £ = ^ = S『,что естественно.

Нагружение с постоянной скоростью S (?])=，刀・ Из (50.9) имеем

аа]а

£ = (-^У^& = (1 +(50.10)

е. зависимости от скорости У одинаковы, а отношение

а1-а

^ = оГ~(1 + а)-17^

равно 1 при а = 0, а = 1,а = оо, причем максимальное отклонение от 1 для любого а》0 составляет менее 20%.

Мгновенная нагрузка и затем разгрузка с постоянной скоростью S(Л)= Во —网)九(刀).Из (50.9) имеем

凯 + 若扌=S°, 嗔2 = So — [5j+a 一 (1 + a)匕 i/a+a). (50.11)

Причем, конечно, для Z = l,2 должны выполняться условия 5oa< &г < < 凡/匕 так ЧТО 凡〉[(1 + ?”W(i+a).

Циклическая нагрузка⑤(刀)=S()(1 + тп sin з”) h ⑴)причем [m[^ 1. Обозначим、

汽 1 = 2nN* = cogi,九 2 — 2jt 2V2 =① E2,(50.12)

где Ni, TV? — числа циклов, определяемые соответственно по первой и второй формулам (50.9) при данных 50, со и т. Находим

自(吗九)五5； = 1, 卷(")至Sf = 1,(50Л3)

где•

(

MT \ a2 兀

1 + m 2 ^fc I »& (加)=~^ \ (1 + 〃z sin x)^dx,

k=o /о

(50.14) причем Ik определяется формулой

2 л

^^fcosxdx 3 = 0,M・・・，Ni-D・(50.15)

Как видим, первая формула (50.13) дает зависимость времени разрушения 费 от среднего напряжения 50, амплитуды т и частоты ①，вторая же — только от So и т.

Приведенные примеры показывают, что линейная теория и критерий (47.2) для многих процессов нагружения о】(力)дают сопоставимые значения времен разрушения, и в этих случаях линейная теория дает возможность учесть влияние сложного напряженного состояния при сложном нагружении, т. е. имеет преимущество общности. Только опыт может установить область и границы ее применимости, но при надлежащем выборе мер повреждений М (П) она, по-видимому, будет давать подходящие оценки запасов прочности.

Все недостатки линейной теории, которые легко обнаруяшваются на специально подбираемых существенно негладких функциях нагружения о】(力)типа одиночных отдаленных по времени импульсов, связаны только •ее линейностью.

Обозначим

(Р +(р2 = Ф(50.16)

м перепишем (50.5) в виде'

Pi ⑴=，①(力 © &О1 «)•(50.17)

о

Пусть：。] (т) отлично от нуля на интервале 0 V 力 4 Р & 匕• Для того чтобы на дефект рг (力)при 力 > % не влиял интервал %, необходимо и достаточно, чтобы Ф (力 т) = Ф (t ——т)・ Если мы хотим, чтобы на дефект р* (力)при 力〉左 не влиял интервал t —友 > 0, необходимо, чтобы Ф при с〉％, т. е. при о】(т) = 0, не зависела от t ——т. Если учесть, что Ф = const явно противоречит опытам по длительной прочности многих материалов, то придем к выводу, что ①(力——т)丰 const при о】* 0 и Ф = const при о】=0, т. е., что Ф зависит не только от t — т, но еще и от о】. Значит условие независимости р* от t при 力〉九 относится к существенно нелинейным свойствам тензора П. В линейной теории доказано, что

①—)=煮三Г(50.18)

Из рассмотренных примеров видно, что линейная теория может давать правильные результаты не только для процессов, мало отличающихся от простой^ползучести. Понятно, что меры повреждений при этом должны вычисляться в стадии действия нагрузок.

§ 51. Нелинейная теория длительной прочности

В интервале времени 0 W т W 力 выбираем последовательность моментов времени т17 т2,...,。九,.：・,》0 и рассматриваем вклад, вносимый в тензор П к моменту t импульсами напряжений 0订(аналогично ——моментов iiij)

^iih(G)"G；。厶九(h) °t2也(R)dg2t2，• • •,

каждый из которых имеет свою функцию влияния. Обозначим n-кратный интеграл

f t

/J (") = \ …、^ijiijr • *i^n ^ 一。1，• • •，力—％) %5(G)• • • 00

---^n^dTn.(51.1)

d7 n = dqd% . . . dtn.

Тогда по известной теореме функционального анализа постулат о тензоре повреждений П = (/?幫)дает для его компонент

8

П№)= 2 Pg (力(51.2)

n=l

Упрощения (51.1) основываются на свойствах симметрии структуры вещества. Для многих квазиизотропных тел справедлив частный постулат изотропии [1], позволяющий (51.1) привести к виду

pg+D = \ [Рпакк (т) он+ Qn%j ⑺]配(51.3)

о

где Рп, Qn — инварианты, представляющие суммы n-кратных интегралов Nn / t

Рп = 2 \ • • • \ 歹俨(“一。，力一—小)№dTп,(51.4)

fr=l оо

Nn 土t

Qn =》、•，•、歹黑)(％ * % 方 一 q, . •. , % — xn) I^dTni 肛=1 оо

и Zn) — полная свертка по всем индексам типа «/с» (инвариант) тензора порядка 2п

0〃厶⑹ * (%)%(%)，(5L5)

Nn — число независимых сверток, F^\ 尸俨一некоторые функции влияния. Например, для 八=2 имеем N2 = 2,

/$D = Окк(G)^тт «2)= 9о (тх) о (т2),(51.6}

/肾=%m (Q0km(T2) ms (G,马).

Заметим, если в выражении (51.1) выполнены условия взаимности (28.7), то на основании результатов § 31 в (51.4) будут входить только два инварианта 1^ вида (5%.6) и их различные степени.

Главная нелинейная теория получается при сохранении в (51.4) функций F伊)，耳护，отражающих наиболее сильные взаимодействия, т. е. пропорциональных произведению (п — 1) б-функции Дирака [3]. В результате из (51.2) получаем

Рц = 6u\ рокк ⑺血 + ， Qo仃⑴ ^?(5L7)

о0

где P, Q — произвольные функции t ——т и значений трех инвариантов тензора о〃 в точках ^ и т:

Р = Р (力一с; о ⑴，б(т); s «"), s (厶 t), s (т, т);/3).(51.8)

Q — аналогично; 73 — совокупность невыписанных явно инвариантов, которые не входят в Р и Q, если выполнены условия (28.7) [59].

В частности, мы получим достаточно общую главную теорию, полагая

Р =尸1 (о (t), s “，t)) + 歹(％ — т) Р2 (о (т), s (т, т)),(51.9)

Q = Qi (о ⑴，s “"))+ F(t^x)Q2 (о (t), s (% т)),

причем функции Р1? Р2, Q】，Q2 и F, F могут быть найдены из опытов на чистый сдвиг или растяжение в камере с регулируемым давлением. При °2 = Q2 = ° эта теория дает обобщение на сложные напряженные состояния критерия (47.2), так как из (51.7), (51.9) получаем

吼№)=[pg卜(力)6万+ Q也⑴]必，(51.10)

pi = 2 (。⑴，s «")), Qi = Q] (о ⑴,s (%")).

Если в (51.9) P, Q считать зависящими также от о «), s 伉 т), то тензор Рц может оставаться постоянным после прекращения действия нагрузки.

Меры повреждений и критерии разрушения в нелинейной теории могут быть выбраны теми же, что и в линейной теории [105].

ПРИЛОЖЕНИЕ

Соотношения между упругими постоянными

Упругие постоянные

Основная пара

(入,A)

(K，G)

(G, V)

(E, v)

(E, G)

(К, з)

(G, з)

лг—у G

2Gv

G(E — 2G)

К (1 — co)

2G(一 ①)

1—2夕

(1+v) (1—2v)

3G — E

Зсо

世(G)

G

G

E

G

3 方及①

G

世

2(1 +v)

К

А2

*+可卩

К

2G(1 + ⑺

E

EG—

К

2G

3(1 — 2v)

3(1 — 2v)

3 (3G — E)

而

Е

(3九+ 2*)卩

9KG

2(1 +-)G

E

E

9Ксо

2G

九+卩

3T+G

2 +(о

3£ —2G

丄旦1

1 — со

1 — co

2仇+卩）

6К +2G

V

V

2 G 1

2 + со

т+®

2卩

2G

1 — 2夕

1 —2v

6与-2

3 九 + 2[1

зТ

1 + V

1 + V

Литература

3.4.3.4.5.6.5.6.М.— Л •)Соболев. анализа.М.— Л •)Соболев. анализа.8.9.10.11.8.9.10.11.

3.

4.

3.

4.

5.

6.

5.

6.

М.— Л •)

Соболев. анализа.

М.— Л •)

Соболев. анализа.

8.

9.

10.

11.

8.

9.

10.

11.

1* А. А. Ильюшин. Пластичность (Основы общей математической теории). М., 1963.

А. А. Ильюшин. Пластичность. Гос-

техиздат, 1948.

Л. А. Ильюшин^ П. М, Огибалов, Кв азилинейная теория вязко-уп

ругости и метод малого параметра.— Механика полимеров, 1966,. № 2. Д. Иваненко, Л. Соколов. Клас

сическая теория поля.

ГИТТЛ, 1951.

Л. А. Люстерник^ В. И. Элементы функционального М. 1965.

Е. R. Love. Linear superposition in viscoelasticity and theories of delayed effects.— Austral. J. Phys., 1956, 9, 1.

H. Konig, J. Meixner. Lineare Sy- steme und lineare Transformatio-

nen.—- Math. Nachrichten, 1958, 19. M. E. Gurtin, E. Sternberg. On the linear theory of viscoelasticity.— Arch. Ration. Meeh, and Analys, 1962, 11, 4.

D. Coleman, Ж. Noll. An approximation theorem for functionals with applications in continuum mechanics. 7— Arch. Ration. Meeh, and Analys,(I960, 6, 5.

£• Boltzmann. Zur Teorie der ela-

stischen Nachwirkung.— An. Phys, und Chem., 1876, Erg.-Bd. 7.

M. Л. Колтунов. Влияние режимов

нагружения на механические характеристики, ползучесть и релаксациюстеклопластика.— Вести.

Моск, ун-та, 1965, т. 4.

М. А. Колтунов. О выделении главной части наследственных функций влияния для описания релаксационных процессов в начальный период.— Механика полимеров, 1967, № 4.

М. А. Колтунов. Определение характеристик упруго-вязких сред по данным квазистатических опытов.— Механика полимеров, 1967, № 5.

А. П. Вронский. Явление последействия в твердом*теле.— ПММ, 1941, т. 5, № 1.

Ю. Н. Работное. Ползучесть элементов конструкций. Изд-во «Наука», 1966.

儿Г. 4. Колтунов. К вопросу выбор» ядер при решении задач с учетом ползучести и релаксации.— Механика полимеров, 1968, № 4.

М. Я. колтунов. Функции влияния в теорий оболочек с наследственными свойствами. Исследования по теории пластин и оболочек, сб. V. Изд-во Казанского гос. ун-та, 1967.

F. Bueche. Viscosity of polymethacrylates.— J. Appl. Phys., 1955, 26* 738.

A. Фрейденталъ^ X. Гейрингер. Математическая теория неупругой, сплошной среды. ИЛ, 1962.

Краткая химическая энциклопедия. М., 1961..

Е、Andrade. Viskosity and plasticity. N. Y., 1951.

Дж. Ферри. Вязко-упругие свойства полимеров. ИЛ, 1963..

Б» Е. Победря. Термодинамика вязко-упругих моделей.——Прикладная математика и программирование v 1969, вып. 1.

Д» Бленд. Теория линейной вязкоупругости. Изд-во «Мир», 1965.

石.Е. Победря. Связанные задачи термо-вязко-упругости.——Механика полимеров, 1969, № 3.

В. 4. Диткин^ 4. П. Прудников. Справочник по операционному исчислению. «Высшая школа», 1965.

Л. Ляв. Математическая теория упругости. М.— Л., ОНТИ НКТП СССР, 1935.

4.4. Ильюшин. Метод аппроксимаций для расчета конструкций по линейной теории термо-вязко-упру- гости. —Механика полимеров, 1968, № 2.

Г. В. Колосов. Влияние коэффициентов упругости на распределение напряжений в плоской теории упругости.—Изв. электротехн. ин-та, вып. 7. Л., 1931.

J. Dundurs, Dependence of streqs on Poisson*s ratio in plane elasticity.—Internal. J. Solids and Structures, 1967, 3, 6, 1013—1021.

J. Dundurs. Effect of elastic constants on stress in a somposite under plane deformation.— J. Composite Materials, 1967, 1, 3, 310—322.

В. Д. Купрадзе. Методы потенциала в теории упругости. Физматгиз, 1963.

С. Г. Михлин. О функциях Коссера.— Сб. «Проблемы математического анализа. Краевые задачи и интегральные уравнения», Л. 1966.

В. Е. Лобедря. О разрешимости задач теории упругости контактного типа.— ПММ, 1969, № 4.

А. А. Ильюшин. Экспериментальный метод решения одного интегрального уравнения теории вязкоупругости. —Механика полимеров, 1969, № 4.

Д, Л. Быков. Об использовании результатов вспомогательных экспериментов при решении задач линейной теории вязко-упругости.—— Механика полимеров, 1968, № 6.

С. П. Тимошенко. Теория упругости. Л.— М., 1934.

Хютте. Справочник. ГНТИММ, т. 2. М.— Л., 1933.

Л. Л. Ильюшин^ 〃. М. Огибалов. Некоторые основные вопросы механики полимеров.— Механика полимеров, 1965, № 3.

В. Gross. Mathematical structure of the theories of viscoelasticity. Paris, Herman, 1953.

А. Ю. Ишлинский. Продольные колебания стержня при наличии линейного закона последействия и релаксации.—ПММ, 1940, № 1.

Р. С. Петрову С. Грач. Распространение волн в вязко-упругом материале со свойствами, зависящими от температуры, и с термомеханическими связями.—— Прикладная механика, серия Е (США, пер. с англ.), 1964, т. ЗК № 3.

Н. X. Арутюнян. Контактные задачи теории ползучести.— ПММ, 1967, № 5.

Е. Н. Lee、Л R, М. Radok. The contact problem for viscoelastic bodies.— J. Appl. Meeh., 27, 3, 1960.

А. Б. Ефимов.Осесимметричная

контактная задача для линейно-вязко-упругих тел.— Вести. Моск, ун-та, 1966, серия 4, № 3.

А, В. Ефимов. Контактная задача для вязко-упругих тел. Канд. дисс. М., 1966.

А. Б. Ефимов, Осесимметрическая контактная задача для вязко-упругих тел.— Сб. «Прочность и пластичность». Изд-во 《Наука», 1970.

Л, Л. Fалии、Л. Л. Шматкоеа»

О движении жесткого штампа по границе вязко-упругой полуплоскости.— ПММ, 1968, № 3.

Механические свойства новых материалов.— Библ. с6・ 《Механика». Изд-во «Мир», 1966.

4. L. Cauchy. Recherches sur Гёаи- libre et le mouvement 1п1ёг1еиг aes corps sloides ou fluides, elastiques

ou non elastiques.— Bull. Soc. philomath., 1823, 9, 13.

G. Green. On the propagation of light in crystallized media.— Trans. Cambridge -Philos. Soc., 7, 1838— 1842.

卩.Volterra. Lemons sur les fonctions de lignes. Paris, 1913.

W. Noll. On the continuity of the solid and fluid states. J. Ration Meeh, and Anal., 1955, 4, 1.

W. Noll. A mathematical theory of the mechanical behaviour of continuous media.— Arch. Ration. Meeh, and Anal., 1958, 2, 197.

C. Truesdell^ R. A. Toupin. The Classical fieldtheories.— In: Hand-

buch der Physik, Bd. III/l, 1960.

C. Truesdell^ W. Nall. The non-linear field theories of mechanics.— In: Handbuch der Physik, Bd. Ш/3, 1965.

A. C. Erin gen. Non-linear theory of continuous media. N. Y., 1962.

Л. И. Седов. Введение в механику сплошной среды. Физматгиз, 1962.

Б. Е. Победря. Об уравнениях состояния вязко-упругих изотропных сред.— Механика полимеров, 1967, № 4.

В. D. Coleman、С. Truesdell.* On the* reciprocal relations, of Onsager.— J. Chem. Phys., 1960, 33.

T. G. Rogers. Asymetric relaxation and* compliance matrices in linear viscoelasticity.— Z. angew. Math, und Phys., 1963, 14, 4.

Б. E. Победря. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной вязко-упругости.— ДАН СССР, 1967, 173, № 1.

К. Okano. Non-linear constitutive equations vor isotropic viscoelastic, materials.— Japan J. Appl. Phys., 1962, 1, 5, 302.

Б. E. Победря, M. M. Мешкова, Уравнения состояния квадратичной теории вязко-упругости для ортотропных бред.— Прикладная механика, 2970, № 4.

Л.或.Ламдиньш^ В. П. Таму ж. Тензоры упругости высших порядков.— Механика полимеров, 1965,. №6.

Ф. Р. Гантмахер. Теория матриц. Изд-во《Наука», 1967.

Е.瓦 Rivlin^ J. L. Ericksen. Stress- deformation relations for isotropic materials.— J. Ration. Meeh, and Anal., 1955, 4, 2.

R. S・ Rivlin. Further remarks on the strees-deformations, relations for” isotropic materials. J. Ration. Meeh* and Anal., 1955, 4, 5.

4.4. Ильюшин. О связи между напряжениями и малыми деформа-*- циями в механике сплошных сред.—、 ПММ, 1954, № 6.

3. Е. Победря. О методе последовательных приближении в нелинейной теории вязко-упругости. — Механика полимеров, 1969, № 2.

4. Л. Ильюшин, Б. Е. Победря, К вопросу о нелинейной теории вязко-упругости.— Сб. «Прочность и пластичность» (Труды IV Всесоюзной конференции по прочности и пластичности). Изд-во «Наука», 1969.

Я. Я. Бураясов. О наследственной теории ползучести полимерных материалов.—Изв. АН СССР. Механика, 1960, 2.

Е. White, Tokita Nobore. An additive fuctional theory of viscoelastic deformation with application to amorphous polymers, solutions and vulcanizates.—J. Phys. Soc. Japan, 1967, 22, 3.

Я. X. Арутюнян. Некоторые теории ползучести. Гостехиздат, 1952.

С. 3. Вульфсон. Некоторые вопросы нелинейной теории ползучести.—— Сб. «Исследования по расчету оболочек, стержневых и массивных конструкций», Госстройиздат, 1963.

Z. Rychawsni, А. Fox. Some fundamental concepts of the theory of nonlinear viscoelasticity.— Arch, mech. Stosowanej, 1966, 18, 6.

A. P. Ржаницын. Общий нелинейный закон наследственной ползучести.— Механика твердого тела, 1966, 6.。

В. В. Москвитин. Об одной простейшей возможности учета нелинейности в вязко-упругих средах.—— Механика полимеров, 1967, № 2.

〃. М・ Огибалов^Ю. 3. Суворова. Механика армированных пластиков. М., 1965.

М. Frechet. Sur les fonctionelles continues.— Ann. Ecole normale super, ser., 3, 1910, 27.

・ B. D. Coleman, W. Noll、Foundations of linear viscoelasticity.—Rev. Modern Phys., 1962, 33, 2.

H. Морен. Методы гильбертова пространства. Изд-во «Мир», 1965.

Б. Е. Победря. Об уравнениях состояния в нелинейной теории вязкоупругости.— Механика полимеров, 1967, № 3.

А. Wilczynski. Doswiadczalne ba- dania wlasnofci mechanicznych poli- chlorku winylu.—Meeh. teor. i sto- sow., 4, 2, 1966.°

M, M. Солдатов. К нелинейной теории вязко-упругости.— Механика полимеров, 1966, № 4.

И. Вррович, Ю. Красовский. О методе упругих решений.— ДАН, 1959, 126, 4.

1\ Пар ку с. Неустановившиеся температурные напряжения.① измат- гиз, 1963.

А. Е. Green, В. St Rivlin. The mechanics of non-linear materials with memory. Part L— Arch. Ration. Meeh, and Anal., 1957, 1, 1.

E, Kroner, Кontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspannungen.— Ergebn. Angew. Math., 1958, 5.

Г. Вейль. Классические группы, их инварианты и представления. М., 4947.

4・ Е. Green, Е. S. Rivlin, 4. J. М. Spencer. The mechanics nonlinear materials with memory, Part IL— Arch. Ration. Meeh, and Anal., 1959,3,1.

4. E. Green, E. S. Rivlin. The mechanics of non-linear materials with memory. Part III.— Arch. Ration. Meeh, and AnaL, 1960, 4, 5.

4. J. M. Spencer,五.S・ Rivlin. The invariants of six symmetric 3x3 matrices.— Arch. Ration. Meeh, and Anal., 1961, 7, 1.

Б. E. Победря. О нелинейной вязко-упругости.— Механика полимеров, 1965, № 6.

Г. С. Ларионов. Исследование колебаний релаксирующих систем методом усреднения.— Механика полимеров, 1969, № 4.

/. /. Ильюшин, Г. С. Ларионов, /. Н. Филатов. К усреднению в системах интегро-дифференциальных уравнений.— ДАН СССР, 1969, т. 188, № 1.

Н. Н. Боголюбов. О некоторых статистических методах в математической физике. Изд-во АН УССР, 1945.

98. Г. С. Л ар ио но в,А. Н. Филатов.

О методе усреднения в нелинейной механике. — Изв. АН УзССР, серия техн, наук, 1969, № 2.

Л. Н. Филатов. Сб. «Исследования по аналитической механике». Ташкент, 1965.

Л.瓦 Филатов. Усреднение в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях. Ташкент, 1967.。

Л. А. Ильюшин. Об одной теории длительной прочности.— Механика твердого тела, 1967, № 3.

М. М. Фило ненко-Бородич. Механические теории прочности. Изд-во МГУ, 1961.

Л. М. Качанов. О прочности оболочек в условиях ползучести.— Доклады в Летней школе по теории оболочек. Тарту, июль, 1966.

С 3. Серенсен и др. Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность. Машгиз, 1963.

4. /. Ильюшин^ 〃. М. Огибалов^ О критерии длительной прочности полимеров.— Механика полимеров, 1966, № 6.

ОПЕЧАТКИ

Стр.

Строка

Напечатано

Следует читать

К)

6 св.

I-VI, IX и XII

I—VII, X, XI и ХШ

17

19 св.

в

э в

t+a

t+a

19

4 сн.

52

ф-ла (5.22)

«1

П1

62

ф-ла (8.11)

е j =

8У =

85

ф-ла (14.11)

=入k3 (2)—а4р(0 —

=九卜 3 (%) — “F (%) —

1( 7

21 сн.

ср"*

Фу/ со*

А А. Ильюшин, Б. Е. Победря

1 — 2v* = 3s* — 8

V* _ 1 1 — s*

1 — 2v* = "3 ~凉L 窗

4 = Е £ 薫7npzm+为21&,(33.24)

n=l m=I

и поверхностных распределений моментов.

ocUoRh

ТЕОРИИТЕРМОВЯЗКр-УПРУГОСТИ

Академия наук СССР

Научный совет

«Научные основы прочности и пластичности

Основыматематической теориитермовязко-упругости

А. А. ИЛЬЮШИН, Б. Е. ПОБЕДРЯ

1970

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

МОСКВА

Ильюшин] А. Л. П о б е д р я В. Е. Основы математической теории термовязкоупругости. Изд-во «Наука». 1970.

В книге изложены механика и термодинамика сплошных деформируемых тел и сред в вязко-упругом твердом состоянии при постоянных и переменных температурах с учетом теплообразования. Изучены статические и квазистатические течения, а также ди - намические процессы в изотропных и анизотропных телах при малых и конечных деформациях. Дана теория накопления макроскопически однородных повреждений усталости. Предложен эффективный метод решения задач линейной и нелинейной теории термовязко-упругости метод аппроксимаций) с примерами интересных расчетов на прочность и деформируемость дисков, цилиндров, пластин.

Рассчитана на научных и инженерно-технических работников, аспирантов и студентов, з анимающихся вопросами прочности тел и конструкций из полимеров и других не вполне упругих материалов.

Иллюстраций 31, Библиогр. 105 назв.

Алексей Антонович Ильюшин, Борис Ефимович Победря

Основы математической теории термовязко-упругозти

Утверждено к печати

Научным советом «Научные озновы прочности и пластичности»

Редактор Н. Н. Шаталин а

Художник В. Н. Назаров Технический редактор Н. П. Кузнецова

Сдано в набор 14/1 1970 г. Подписано к печати 1/VI 1970 г. Форчат 70Х108%.. Усл. печ. л. 24,5. Уч.-изд. л. 1,83 Тираж 2800 экз. Тип. зак. 153.Т-09439

Бумага № 2. Цена 1 р. 32 к.

Издательство «Наука». Москва К-62, Подсосенский пер., 21

2-я типография издательства «Наука*. Москва Г-99, Шубине кий: пер., 10

Оглавление

Предисловие9

бшие линейные соотношения между напряжениями и деформациями для изотропных сред

X арактеристики деформаций и напряжений 11

Линейные соотношения между напряжениями и деформациями начально изотропных сплошных сред при изотермических процессах . .18

Определение ядер ползучести и релаксации и их свойства 26

Механические модели вязко-упругих тел и температурновременная аналогия

Простейшие модели вязко-упругой среды 37

Зависимость вязкости от температуры, температурно-временная аналогия и экспресс-методы испытаний 46

Некоторые термодинамические функции и законы сохранения

Простейшие вязко-упругие модели 54

Обобщенные максвелловские модели 58

Сложная линейная модель 60

Вязко-упругая среда (одномерный случай) 64

Сплошная вязко-упругая среда максвелловского типа 71

Уравнение теплопроводности 75

Основные соотношения линейной теории вязко-упругости для анизотропных сред

Принцип линейной суперпозиции 77

Частные случаи механической анизотропии 80

Тензор теплового расширения 83

остановка и решение линейных задач теории термовязко* упругости

Основные типы задач линейной теории вязко-упругости 86

Преобразование Лапласа—Карсона 88

Постановка квазистатических задач первого и второго типов и общее шение в изображениях 91

Обращение некоторых операторов 98

6

Точные решения задач и метод аппроксимаций 105

Случай рациональных зависимостей решения (Д9Л) от коэффцццепта Пуассона；・・・• •. '・..・ НО

Решение некоторых задач линейной теории термовязко-упругости . .113

Задачи третьего типа (нестационарное и неоднородное заданное темпе-