Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОГЛАВЛЕНИЕ
Евгений Иванович Шемякин к 75-летию со дня рождения 7
Список основных научных трудов Е. И. Шемякина 11
Шемякин Е.И. Вопросы прочности твердых тел и горных пород 26
Ивлев Д. Д. Об идеях и результатах Е. И. Шемякина в механике предельного состояния твердых деформируемых тел и горных пород 46
Александров В.М., Серов М.В. Продольная трещина в преднапряженном упругом слое с защемленными гранями 52
Аннин Б.Д., Максименко В. И., Тягний А. В. Напряженно-деформированное состояние двухслойной клееклепаной панели с трещиной 59
Анофрикова Я. С., Коссович Л.Ю., Черненко В.П. Асимптотическое интегрирование трехмерных уравнений наследственно-упругой среды в случае тонкостенной оболочки 67
Баженов В.Г., Зефиров С.В., Павленкова Е.В. Экспериментально-численный метод изучения деформационных и прочностных характеристик упругопластических материалов при кручении с растяжением 74
Белякова Т. Н., Зезин Ю.П., Крапивин К. Ю., Ломакин Е. В. Релаксакция напряжений в наполненных эластомерах 83
Богданов А. И., Звягин А. В. Взаимодействие трещины гидроразрыва с разломом . . .87
Буренин А. А., Ярушина В.М. К моделированию деформирования материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию 100
Вервейко Н.Д., Фролов А. Л. Кинематика предельного осесимметричного состояния сыпучих материалов со сцеплением 107
Гаджиев Г.Х., Мирсалимов В.М. Минимизация параметров разрушения составного цилиндра контактной пары 115
Георгиевский Д. В. Жесткие зоны в статически определимых и неопределимых задачах вязкопластического течения 135
Глаголев В. В., Маркин А. А. О связи критических термомеханических характеристик в процессе разрушения 142
Гольдштейн Р. В., Осипенко Н.М. Структуры разрушения в условиях интенсивного сжатия 152
Горский А. В., Горский П.В. К теории общих двумерных задач теории идеальной пластичности для анизотропного неоднородного сжимаемого материала 166
Горшков А. Г., Леоненко Д. В., Старовойтов З.И., Яровая А. В. Термоупругий изгиб круговой трехслойной пластины на упругом основании 173
Горячева И. Г. Изнашивание упругих тел в условиях неполного проскальзывания . . .181
Гузь А.Н., Бабич Я. Ю. Структурная неустойчивость и предел прочности при сжатии однонаправленных композитных материалов 199
Гузь А.Н., Зозуля В. В., Меньшиков А. В. Контактное взаимодействие берегов эллиптической трещины под воздействием нормальной гармонической нагрузки 204
Гуткин М.Ю., Кривцов А.М., Морозов Н.①Семенов S". Проблемы нанотехнологии 221
Даль Ю.М. Упругая полоса, нагруженной на границе двумя сосредоточенными силами 243
Демьянов Ю.А., Звягин А. В., Малашин А. А. Проблемы динамики спортивного лука и аэродинамики его стрелы 249
Задоян М.А., Варданян С. В. О прочности неоднородных, составных конических труб 260
Захаров М.А., Кукушкин С. А., Осипов А. В. Теория фазовых переходов первого рода и зарождение доменной структуры в одноосных сегнетоэластиках-сегнетоэлектри- ках и многоосных сегнетоэлектриках 265
Зубчанинов В. Г. К модели неполной пластичности материалов Е. И. Шемякина .... 284
Ивлев Д. Д., Матченко Н.М. О предельном состоянии при отрыве 288
Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. Эндохронная теория неупругости, учитывающая конечные деформации 291
Каштанов А. В., Петров Ю. В. Континуальный подход к описанию процесса динамического разрушения 296
Каюмов Р.А., Мухамедова И. 3., Сулейманов А.М. Моделирование процесса старения и деструкции пленочно-тканевого композиционного материала 305
Кийко И. А., Показеев В. В. Колебания и устойчивость вязкоупругой полосы в потоке газа 314
Киселев А. Б., Нечаева О. В. Численное моделирование процессов необратимого деформирования и разрушения двухслойной сферической оболочки, заполненной жидкостью, при столкновении с препятствием 320
Кончакова Н.А. О построении реальных линий скольжения в модели хрупкого разрушения твердых тел 339
Кравчук А. С. О методах идентификации механических свойств материалов и топологии конструкций 346
Кравчук А. С., Ремуза 3. Начальное пластическое течение при внедрении осесимметричного штампа произвольной формы в жесткопластическое полупространсвто . . 363
Кузнецов Е.Е., Матченко И. Н., Матченко Н.М. Формулировка условия предельного состояния изотропных сред в инвариантах собственных упругих состояний 369
Кулиев В.Д. Некоторые математические вопросы плоской теории упругости 376
Линьков А.М. О численном моделировании зависимости типа Омори 389
Ломакин Е. В., Белякова Т.А., Зезин Ю. П., Смирнов Н.Н. Экспериментальные исследования вязкогиперупругих свойств наполненных эластомеров в условиях релаксации 396
Максимова Л. А. О статически определимых соотношениях в осесимметричной задаче теории идеальной пластичности 406
Манжиров А. В., Казаков К. Е. Плоские и осесимметричные контактные задачи для вязкоупругих стареющих тел с поверхностно неоднороднымипокрытиями 411
Маркин А. А., Соколова М. Ю. Собственные состояния анизотропных материалов и частный постулат изотропии 423
Мещеряков Ю.И. Роль мезо-макро энергообмена в процессах динамического деформирования и разрушения структурно-неоднородных материалов 434
Мещерякова Т. В., Петрова В. Е. Влияние внутренних дефектов на состояние поверхности раздела между двумя упругими материалами при продольном сдвиге 461
Мирсалимов В.М., Калантарлы Н.М. Решение задачи механики разрушения о зарождении трещины в круговом диске 468
Миронов Б. Г. К теории статически определимых состояний идеально пластических тел 476
Морозов Я. Ф., Петров Ю. В., Смирнов В. И., Кривошеев С. И. Прогнозирование динамической вязкости разрушения горных пород 484
Немировский Ю. В. Динамический изгиб эллиптических и круговых слоистых плит из жесткопластического материала 497
Непер шин Р. И. Разрезание идеально пластической полосы клиновыми ножами .... 502
Никитин Л. В. Заглубленный трубопровод под воздействием сейсмических волн . . . 512
Панин В. Е. Основы физической мезомеханики деформируемого твердого тела как многоуровневой системы 524
Победря Б. Е. О термодинамических критериях прочности в механике композитов . . 545
Радаев С. Ю. О внедрении жесткой пирамиды в анизотропное идеально пластическое полупространство 569
Радаев Ю.Н., Бахарева Ю.Н. Теория пространственной задачи математической теории пластичности 576
Ревуженко А. Ф. Неархимедово пространство как основа математического аппарата геомеханики 605
Редкозубое С. А., Юденков А. В. Системы краевых задач и сингулярных интегральных уравнений для полианалитических функций в статической теории упругости.... 627
Россихин Ю.А., Шитикова М. В. Вязкоупругая модель ударного взаимодействия твердого тела и упругой изотропной пластинки 635
Рыхлевский Я. Об энергетическом пределе упругости анизотропного тела 649
Сарайкин В. А. Уравнения движения блочной среды 652
Сенашов С. И., Яхно А. Н. Эволюция решений уравнений плоской теории идеальной пластичности 659
Сильвестров В. В., Землянова А. Ю. Задача об усилении пластины с эллиптическим вырезом посредством накладки 666
Смирнов Н.Н. «Космический мусор» и его математические модели 684
Соснин О. В., Любашевская И. В. Оценки интенсивности процессов ползучести элементов конструкций из неизотропного материала 755
Спорыхин А. Н., Гоцев Д. В., Ененко И. А. Локальная неустойчивость горизонтальных выработок некруговой формы в упруговязкопластических массивах 766
Спорыхин А.Н., Шашкин А. И. Моделирование отказов крепей горных выработок . . 779
Стажевский С. Б. Кольцевые структуры земли: механика образования, вклад в сейсмичность, металлогению, геоэкологию 790
Товстик 〃. Е, Викторов И. В. Локальные формы потери устойчивости конструктивно ортотропных оболочек 800
Хромов А.И., Буханъко А.А., Степанов С.Л. Концентраторы деформаций и разрушение пластических тел 809
Цвело дуб И. Ю. Некоторые обратные задачи неупругого деформирования и разрушения неоднородных тел 820
Черепанов Г. Л. Саморазрушение 823
Чернышов А.Д., Савичев И. С., Чернышов О. А., Даньшин А. А. Задача о нахождении граничных функций для криволинейных упругих тел при сложных граничных условиях 829
Чигарев А. В., Корчеменко С. В. Совместное решение прямой и обратной задач распространения волн в неоднородной упругой среде 839
Швайко Н. Ю. К теории скольжения с гладкими и сингулярными поверхностями нагружения 849
Щеглова Ю.Д. О статически определимых соотношениях общей плоской задачи теории идеальной пластичности 859
ЕВГЕНИЙ ИВАНОВИЧ ШЕМЯКИНК 75-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ
Евгений Иванович Шемякин — выдающийся ученый-механик, автор фундаментальных исследований в области механики деформируемого твердого тела и горных пород, замечательный педагог и организатор науки.
И. Шемякин родился 9 декабря 1929 г. в Новосибирске. Отец Евгения Ивановича Иван Леонтьевич Шемякин был участником русско-японской войны 1904-05 гг., скончался на сто втором году жизни. Родной дядя — Афанасий Леонтьевич Шемякин был одним из лидеров крестьянской партии в 1-й Государственной Думе при Николае втором.
В 1947 г. Евгений Иванович закончил с золотой медалью среднюю школу в с. Долинка Карагандинской области и поступил на математико-механический факультет Ленинградского государственного университета, который окончил в 1952 г. по специальности «Механика» (кафедра теории упругости и волновых процессов в твердых телах). Среди его учителей: В. И. Смирнов, В. В. Новожилов, С. Г. Михлин, Г. И. Петрашень, Г. И. Марчук, многие замечательные педагоги Санкт-Петербургского университета.
В дальнейшем научную деятельность Е. И. Шемякина в большей степени определило общение с Г. И. Марчуком и С. А. Христиановичем.
В 1955 г. Е. И. Шемякин закончил аспирантуру и защитил кандидатскую диссертацию на тему «Распространение волн в неидеально упругих средах». С 1955 по 1960 гг. Е. И. Шемякин работает научным сотрудником в Институте химической физики АН СССР (г. Москва).
После образования Сибирского отделения Академии наук СССР Е. И. Шемякин переехал в Новосибирск. С 1960 по 1970 гг. он заведует лабораторией механики горных пород в Институте теоретической и прикладной механики СО АН СССР. В 1962 г. Е. И. Шемякин защитил диссертацию на тему «Распространение волн при подводном и подземном взрывах» на соискание ученой степени доктора технических наук. В это время Евгений Иванович совмещает работу в Академии наук СССР с преподаванием в Новосибирском государственном университете, в 1965 г. ему присвоено ученое звание профессора, с 1967 по 1987 гг. заведует кафедрой механики сплошной среды механико-математического факультета НГУ.
В 1970 г. Евгений Иванович переходит на работу в Институт горного дела СО АН СССР на должность заместителя директора, с 1971 г. он становится и. о. директора, а затем директором института. На этом посту он оставался до июля 1987 г.
В декабре 1976 г. Е. И. Шемякин избирается членом-корреспондентом АН СССР по отделению механики и процессов управления (механика горных пород). В 1980 г. он становится заместителем председателя Президиума Сибирского отделения АН СССР и остается на этом посту до 1986 г. В декабре 1984 г. Евгений Иванович избран действительным членом АН СССР по отделению геологии, геофизики, геохимии и горных наук (горное дело, геофизика, геология).
С 1987 по 1992 гг. начинается новый период в государственной и общественной деятельности Евгения Ивановича он переезжает в Москву и работает Председателем Высшей аттестационной комиссии при Совете Министров СССР (на правах министра).
В 1991 г. Е. И. Шемякин приглашается в Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, где он заведует кафедрой волновой и газовой динамики механико-математического факультета.
Научная деятельность Е. И. Шемякина связана с изучением необратимых деформаций и разрушения твердых тел (включая действие удара и взрыва на горные породы), созданием математических моделей действия взрыва, позволяющих рассчитывать механический эффект хрупкого разрушения твердых тел применительно к задачам горного дела. Основные методы исследования — теоретическое (математическое) и экспериментальное моделирование процессов деформации и разрушения в твердых телах и горных породах. Использование вычислительных методов при исследовании и применении теории подобия и эквивалентных материалов в экспериментах.
И. Шемякину принадлежит исследование распространения волн напряжений, сейсмического эффекта при мощном подземном взрыве. Использованы представления о предельном состоянии грунта, характеризуемым предельным сопротивлением сдвиговому и объемному деформированию. Установлена асимптотика распространения возмущений подтвержденная экспериментами. Е. И. Шемякиным исследованы сейсмические эффекты при мощном подводном взрыве, сопровождающимся распространением нестационарных возмущений в слое жидкости, находящимся в контакте с упругим полупространством. Изучены свойства поверхностной волны давления, распространяющейся по границе раздела воды и скального основания, моделирующего дно. Обнаружено, что свойства волны во многом напоминают свойства обычной релеевской волны на границе свободного упругого полупространства.
Работы по исследованию динамических и механических эффектов, сопровождающих мощные подземные и подводные взрывы, получили важные практические приложения.
Цикл работ Е. И. Шемякина связан с моделированием крупномасштабных природных процессов и явлений. Одним из ярких примеров таких исследований является предложенная в 1995 г. Е. И. Шемякиным гипотеза о происхождении алмазоносных кимберлитовых трубок. Анализ месторождений алмазов и существующих объяснений их происхождения привел к революционной гипотезе о том, что возникновение кимберлитовых трубок связано с падением на Землю крупных метеоритов, их ударом и высокоскоростным прониканием. В этих работах, аккумулирующих опыт, идеи и методы современной механики, сформулированы новые задачи о взаимодействии больших космических тел с Землей. Сама постановка таких задач приобретает особую значимость в связи с растущим осознанием человечеством глобальных экологических угроз, в том числе связанных с космосом, и необходимостью разработки различных способов защиты.
Ряд результатов связан с изучением деформации вращающихся планет с использованием экспериментальных данных о сложном нагружении деформируемых тел — обнаружение в лабораторных опытах нового типа так называемых дифференциальных перемещений позволило ввести ряд гипотез — о перемещениях внутренних масс Земли под действием сил тяготения Луны и Солнца, о влиянии Юпитера на солнечную активность, о происхождении магнитного поля Земли.
В Институте горного дела СО РАН Е. И. Шемякиным создана научная школа в области механики твердого тела, горных пород и сыпучих материалов. Работы школы по исследованию сложного нагружения пластических тел, построению математических моделей и решению задач деформирования горных пород и сыпучих сред, исследованию новых упорядоченных структур деформирования, направленного переноса масс Земли под действием приливных сил, а также прикладные работы по горному давлению, обработке пластических и порошковых материалов, управлению течением сыпучих материалов в бункерах и рудоспусках получили признание у нас в стране и за рубежом.
И. Шемякин является основателем научной школы «Теоретические и экспериментальные исследования необратимых деформаций и разрушения твердых тел при ударе и взрыве» объединяющей ведущих специалистов из научно-исследовательских институтов Москвы и Новосибирска. Основные направления деятельности школы — разработка математических моделей процессов необратимого деформирования и разрушения твердых тел и методов решения краевых задач о деформировании и разрушении твердых тел, включая прикладные задачи горной науки.
И. Шемякин активно работает в коллективе ученых ИГД, проводит научные семинары и конференции. Е. И. Шемякин возглавляет фундаментальные исследования по направленному физико-химическому изменению свойств и состояния горного массива, а также по физическим основам процессов разрушения горных пород в ННЦ ГП — ИГД им. А. А. Скочинского.
Результаты научных исследований Е. И. Шемякина опубликованы в 250 печатных работах, в том числе в шести монографиях.
Творческий потенциал, ясность суждений, доходчивость изложения, наглядная физическая интерпретация сложных механических явлений, неизменная доброжелательность привлекают к Евгению Ивановичу студенческую молодежь, аспирантов, научных сотрудников, многочисленных слушателей его лекций и семинаров. Среди учеников Евгения Ивановича кандидаты и доктора наук, работающие в научных центрах и вузах России.
На протяжении многих лет Е. И. Шемякина ведет активную научно-организационную и общественную работу. С 1970 по 1989 гг. Е. Й. Шемякин являлся главным редактором журнала «Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых» (ФТПРПИ), избирался членом Советского райкома КПСС г. Новосибирска, членом Новосибирского областного совета профсоюза, работал членом областного Совета народных депутатов (с 1977 г.), председателем областного Совета научно-технических обществ.
Научно-организационная деятельность Е. И. Шемякина получила особенно широкий размах с 1980 г., когда он был привлечен академиком Г. И. Марчуком к работе в Президиуме Сибирского отделения Академии наук СССР в качестве заместителя председателя.
Заслуги Е.И. Шемякина в государственной, общественной и научной деятельности получили высокую оценку в нашей стране и за ее, пределами. Он является лауреатом Государственной премии (1984 г.), действительным членом Академии естественных наук Российской Федерации и Академии горных наук, почетным членом Международной инженерной академии.
Награжден правительственными наградами: орденами «Знак Почета» (1967 г.), Трудового Красного Знамени (1975 г.), Дружбы народов (1981 г.), медалями.
Широки и разнообразны международные контакты Е. И. Шемякина. Еще в 1968 г. он представлял на Международной конференции по прикладной механике (Стэнфорд, США) доклад «О затухании волн напряжений в горных породах»,
участвовал в работе симпозиумов: в ФРГ (1976 г.) — «Проблемы освоения глубоких месторождений полезных ископаемых», в Швеции (1982 г.) — «Новые технологии разработки рудных месторождений». В 1982 г. Е. И. Шемякин избирается вице-президентом Международного общества по механике горных пород, в 1984 г. возглавляет Научный совет по механике горных пород и горному давлению. В знак признания научных достижений Евгений Иванович в 1992 г. избирается членом Академии наук Чехословацкой Республики, в 1993 г. — членом Королевского общества инженеров (Швеция), в 1994 г — председателем национальной группы геомехаников.
Свое 75-летие Евгений Иванович Шемякин встретил в расцвете сил, полный творческих идей и научных замыслов. Ученики, сотрудники, друзья желают Евгению Ивановичу творческого долголетия, многих сил, свершений и посвящают ему эту книгу.
СПИСОК ОСНОВНЫХ НАУЧНЫХ ТРУДОВ
Е.И. ШЕМЯКИНА
1954
Распространение волн в упругом полупространстве, возбужденном поверхностной касательной силой 〃 Учен. зап. ЛГУ. Сер. мат. №177, вып. 21 (совм. с В. Л. Файншмидт).
Отчет о полевых испытаниях сейсмической экспедиции ЛГУ 〃 Фонды ЛГУ (совм. с А. П. Волиным, А. Г. Рудаковым).
1955
Распространение нестационарных возмущений в вязкоупругой среде 〃 Докл. АН СССР. Т. 104, № 1. С. 34-37.
Задача Лэмба для среды с упругим последействием 〃 Докл. АН СССР. Т. 104, №2. С. 193-196.
1956
Спецотчет 〃 Фонды ИХФ АН СССР. 710. 3. (совм. с К. И. Марковой).
Спецотчет (статья в Тр. в/ч 27177) 〃 Фонды ИХФ АН СССР. № 1499 (совм. с К. И. Марковой).
1957
Распространение нестационарных возмущений в слое жидкости, находящемся в контакте с упругим полупространством 〃 ПММ. Т. 21, вып. 1 С. 57-66 (совм. с К. И. Марковой).
Действие подводного взрыва на грунт (Куйбышевская экспедиция ИХФ АН СССР) 〃 Фонды ИХФ АН СССР (совм. с В. Н. Родионовым, А. Н. Ромашовым).
Спецотчет 〃 Фонды ИХФ АН СССР (совм. с О. И. Недзвецким, К. И. Марковой).
Спецотчет 〃 Фонды ИХФ АН СССР. №027 (совм. с С. А. Христиановичем, А. А. Грибом, А. Г. Рябининым).
Спецотчет — Закрытая монография (совм. с кол. под рук-вом Ю. С. Яковлевой).
Спецотчет — Закрытый справочник (совм. с кол. авторов под рук-вом Ю. С. Яковлевой).
1958
Об одном методе интегрирования граничных нестационарных линейных задач о распространении возмущений в неидеально-упругих средах 〃 ПММ. Т. 22, вып. 3. С. 289-300.
К изучению ближней зоны подземного взрыва 〃 Фонды ИХФ АН СССР (совм. с К. И. Никитиной).
1959
О расширении газовой полости в несжимаемой упруго-пластической среде 〃 Тр. Уч. совета по нар. хоз. использованию взрыва. СО АН СССР. № 3.
О применимости идеально-упругой модели среды и модели Больцмана к описанию волновых процессов в реальных грунтах скального типа 〃 Тр. Уч. совета по нар. хоз. использованию взрыва. СО АН СССР. № 3 (совм. с В. И. Гоголевым, И. Г. Лопуховой).
1960
Спецотчет (экспедиция №2, ИХФ АН ССР) 〃 Фонды ИХФ АН СССР (совм. с А. Н. Ромашовым, О. И. Недзвецким и др.).
Спецотчет (совместный с в/ч 70170) 〃 Фонды ИХФ АН СССР (совм. с О. И. Недзвецким, В. И. Гоголевым и др.).
Спецотчет 〃 Тр. в/ч 70170. №2 (27).
Спецотчет Ц Тр. в/ч 70170. №1 (39) (совм. с О. И. Недзвецким, В. И. Гоголевым).
Спецотчет 〃 Тр. в/ч 70170. №2 (27).
1961
Разлет песчаного шара под действием продуктов заряда, сосредоточенного в центре 〃 Тр. Уч. совета по нар. хоз. использованию взрыва. СО АН СССР. № 18 (совм. с В. Н. Родионовым).
Разлет сферического объема грунта при взрыве в центре симметрии 〃 ПМТФ. №3. С. 36-42 (совм. с В. Н. Родионовым, Б. А. Виноградовым).
Задача Лэмба для внутреннего источника 〃 Док л. АН СССР. Т. 140, № 4. С. 780-782
Движение свободной поверхности однородного грунта при подземном взрыве 〃 ПМТФ №4. С. 82-93 (совм. с Н. И. Онисько).
Расширение газовой полости в несжимаемой упруго-пластической среде (к изучению действия взрыва на грунт) 〃 ПМТФ. №5. С. 91-99
Волны нагрузки при подземном взрыве в горных породах 〃 ПМТФ. № 6. С. 78-87 (совм. с Н. С. Медведевой).
Спецотчет 〃 в/ч 70170. инв. 5259 (совм. с В. И. Гоголевым, И. Ф. Ванягиным).
1962
Докторская диссертация. Л.: Военно-морская академия им. А. Н. Крылова.
Сейсмический эффект взрыва в мягких грунтах 〃 Тр. ин-та физики Земли. №21 (совм. с Д. А. Хориным, А. Н. Ромашовым).
Изобары напряжений в упругом полупространстве 〃 ПМТФ. № 3. С. 59-65 (совм. с В. С. Никифоровским).
Исследование динамического поля напряжений в горных породах 〃 Тр. Уч. совета по нар. хоз. использованию взрыва. СО АН СССР. № 23 (совм. с В. С. Никифоровским).
1963
Волны напряжений при подземном взрыве в горных породах 〃 ПМТФ. №5. С. 83-99
Об изучении упругих волн при подземном взрыве 〃 Тр. Уч. совета по нар. хоз. использованию взрыва. СО АН СССР. №23 (совм. с Б. Сибиряковым).
О волнах напряжений в прочных горных породах 〃 ПМТФ. № 5 С. 10-15.
1964
О динамической сжимаемости прочных горных пород и металлов в диапазоне до 100 кбар. 〃 ПМТФ. №3. С. 9-15 (совм. с С. А. Христиановичем).
О волнах напряжений в твердых телах 〃 Тезисы докладов II Всес. съезда по механике.
Исследование движения материала на уравновешенном вибрационном конвейере 〃 Вопросы механизации в горной промышленности. № 1. М.: Недра.
1965
О поведении прочных горных пород при динамических нагружениях (доклад на Всес. совещ. по горному давлению) 〃 Тр. ВНИМИ. № 59.
1966
О поведении прочных горных пород при динамических нагружениях 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. № 1. Новосибирск: Наука. С. 12-19.
1967
К теории идеальной пластичности. (Докл. на Всес. конфер.) 〃 Изв. АН СССР. МТТ. №4. С. 86-97 (совм. с С. А. Христиановичем).
О задачах равновесия идеально пластического тела при малых деформациях 〃 Тезисы докладов IV Всес. конфер. по прочности и пластичности. Наука, (совм. с С. А. Христиановичем).
1968
О волнах напряжений в твердых телах в случае пространственного состояния 〃 Тезисы докладов Ш Всес. съезда по теор. и прикл. механике. М.
Об одной механической модели очага мелкофокусного землетрясения 〃 Сб. Математические методы в геологии. Алма-Ата.
Динамические задачи механики горных пород 〃 II Всес. конфер. по механике горных пород. Новосибирск, а также в. Тр. II конфер. И ГД СО АН СССР, 1971.
О волнах напряжений в горных породах в случае пространственного состояния 〃 Тр. II Всес. конфер. По механике горных пород. Новосибирск, а также в Тр. П. конфер. ИГД СО АН СССР, 1971.
О волнах напряжений в твердых телах 〃 Тезисы докладов ХХП междун. конгресса по прикл. механике. США, Стэнфорд.
Динамические задачи теории упругости и пластичности, Курс лекций. Новосибирск: Изд-во НГУ. 336 с.
1969
О плоской деформации пластического упрочняющегося материала при сложном нагружении // Йзв. АН СССР. МТТ. №5. С. 138-149 (совм. с С. А. Христиановичем).
1971
Выступление в дискуссии 〃 В кн. Проблемы механики горных пород. Новосибирск: Наука.
1972
Применение упруго-пластического анализа и задачи измерения напряжений в горных породах 〃 Материалы Ш Семинара по измерению напряжений. И ГД СО АН СССР. Новосибирск: Наука.
1973
О применении упруго-пластического анализа в задачах измерения напряжений и деформаций в горных породах 〃 Тр. Ш Всес. семинара. СО АН СССР.
Напряженно-деформируемое состояние в вершине разреза при антиплоской деформации горных пород 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. № 1. Новосибирск: Наука. С. 3-8
Анизотропные модели в механике сплошной среды (анизотропия пластического состояния) (Доклад на Всес. семинаре по моделям сплошных сред) 〃 Бюл. числ. методы. ВЦ СО АН СССР. №4. Новосибирск.
Проблемы подземной разработки рудных месторождений 〃 Доклад на Общем собрании СО АН СССР. За науку в Сибири (совм. с Н. Г. Дубыниным)
Применение упруго-пластического анализа при измерении напряжений в массиве горных пород методом разгрузки керна с центральной скважины 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. №6. Новосибирск: Наука (совм. с М. Ш. Штейн).
О паспорте прочности горных пород 〃 Тр. IV совещания по измерениям напряжений и деформаций в горн, породах. СО АН СССР.
О закономерности неупругого деформирования пород в окрестности подготовительной выработки 〃 Материалы IV семинара. Кн. Горное давление в капит. и подгот. выработках. СО АН СССР.
X юбилейная сессия Ученого совета по народно-хозяйственному использованию взрыва 〃 Физика горения и взрыва. Т. 9, № 1 (совм. с А. Н. Дерибасом, В. Н. Родионовым).
Рецензия на кн. «Напряженное состояние земной коры» 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. № 5. Новосибирск: Наука.
1974
Об эффекте поперечных деформаций в механике сплошной среды 〃 ПМТФ. № 1. С. 154-158.
О механике деформирования сыпучего материала при больших сдвигах 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. №3. Новосибирск: Наука. С. 130-133 (совм. с А. Ф. Ревуженко, С. Б. Стажевским).
Исследование в области сейсмики взрыва в горной промышленности 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. №4. Новосибирск: Наука (совм. с В. Н. Мосинец).
Напряженно-деформированное состояние в вершине разреза при антиплоской деформации упруго-пластических тел 〃 ПМТФ. №2. С. 110-116
Кинематика деформирования сыпучей среды с невязким трением 〃 ПМТФ. №4. С. 119-124 (совм. с А. Ф. Ревуженко).
К изучению механизма движения при коровых землетрясенях 〃 Изв. АН СССР. Физика Земли. № 12. С. 22-31 (совм. с В. И. Щегловым).
О паспорте прочности горных пород 〃 Материалы IV семинара по измерению напряжений. ИГД СО АН СССР. Новосибирск: Наука.
1975
Некоторые математические модели деформирования сплошных сред со структурой 〃 Сб. Тр. семинара по аналит. методам и выч. технике в механике горных пород. ИГД СО АН СССР. Новосибирск: Наука (совм. с А. Ф. Ревуженко).
Некоторые модели деформирования горных пород и грунтов 〃 Некоторые проблемы выч. и прикл. механики. СО АН СССР. Новосибирск: Наука. С. 140-145 (совм. с А. Ф. Ревуженко, С. Б. Стажевским).
Две задачи механики горных пород, связанные с освоением глубоких месторождений угля и руды 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. № 6. Новосибирск: Наука. С. 29-45
О механизме деформирования сыпучих материалов в случае плоской деформации 〃 Сб. Тр. семинара по аналит. методам и применению выч. техн, в механике горных пород. ИГД СО АН СССР. Новосибирск: Наука (совм. с А. Ф. Ревуженко).
1976
Новые методы расчета нагрузки на крепи 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. №3. Новосибирск: Наука. С. 21-40 (совм. с А. Ф. Ревуженко, С. Б. Стажевским).
Некоторые новые краевые задачи механики сыпучих и пластических сред 〃 IV Всес. съезд по теор. и прикл. механике. Киев.
Некоторые модели деформирования горных пород и грунтов 〃 Взрывное дело. Сб. № 76/33. Недра (совм. с С. Б. Стажевским).
К изучению механизма разрушения прочных горных пород ударными нагрузками 〃 Сб. научн. трудов. ИГД. СО АН СССР. Новосибирск: Наука.
О разрушении горных пород ударными нагрузками 〃 Тр. межд. симпозиума по разрушению. Братислава.
Проблемы геомеханической службы диагностики и контроля состояния и свойств породных массивов 〃 Сб. научн. трудов. ИГД. СО АН СССР. Измерение напряжений в массиве горных пород. Новосибирск: Наука (совм. с М. В. Курленей).
Новые краевые задачи механики сыпучих и пластических сред 〃 VI Всес. съезд по теор. и прикл. механике. Аннотации докладов (совм. с А. Ф. Ревуженко, С. Б. Стажевский).
1977
Плоская деформация упрочняющегося и разупрочняющегося материала 〃 ПМТФ. №3. С. 156-174 (совм. с А. Ф. Ревуженко).
О несимметрии пластического течения в сходящемся симметричном канале 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. №3. Новосибирск: Наука. С. 3-9 (совм. с С. Б. Стажевским, А. Ф. Ревуженко).
Развитие методов механики горных пород и горного давления и создание геомеханических основ совершенствования технологии угольных шахт и рудников на больших глубинах 〃 Наука, Фундаментальные исследования (физикоматематические и технические науки) (совм. с А. Ф. Ревуженко, М. В. Курленей и др.).
Основные проблемы горной науки, рассматриваемые в ИГД СО АН СССР 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. № 5. Новосибирск: Наука.
Внедрение: эффективность, стимулирование 〃 Экономика и организация промышленного производства. № 3.
1978
Проблемы освоения глубоких месторождений угля и руды 〃 Тр. юбилейной научной конфер. Варна-София, Болгария.
Влияние горнодобывающей промышленности на окружающую среду 〃 Тезисы Всес. симпозиума. Якутск.
Некоторые проблемы экономического стимулирования научных исследований 〃 Сб. Проблемы развития современной науки (совм. с В. В. Каменским, М. А. Белоусовым).
Резервы прочности при деформировании пластического течения 〃 Тр. Всес. конгресса «Прочность материалов и элементы структуры при комплексных статических напряжениях». Киев (совм. с В. М. Жигалкиным, Г. А. Линдиным).
О соотношении фундаментальных и прикладных исследований в горной науке 〃 Сб. Фундаментальные и прикладные исследования в условиях НТР.
1979
Динамическое разрушение твердых тел. М.: Наука. 252 с. (совм. с В. С. Ники- форовским).
Несимметричные пластические течения в сходящихся симметричных каналах 〃 Док л. АН СССР. Т. 246, №3. С. 572-577 (совм. с А. Ф. Ревуженко, С. Б. Ста- жевским).
Некоторые постановки краевых задач L-пластичности 〃 ПМТФ. № 2. С. 128-137 (совм. с А. Ф. Ревуженко).
О перспективе формирования научного потенциала Сибири и Дальнего Востока 〃 Тезисы докладов II Межд. семинара стран-членов СЭВ «Об опыте работы по аттестации научн. и научно-пед. кадров и специалистов» (совм. с А. Д. Костылевым, Г. И. Грицко).
Проблемы освоения глубоких месторождений угля и руды 〃 В кн. Горные удары, методы оценки контроля удароопасности массивов горных пород». Фрунзе.
Вибрационная машина и человек 〃 Тр. межд. симпозиума «Действие вибрации на человека». Удина, Италия (совм. с Н. П. Беневоленской, А. Я. Тишковым).
1980
Способ проходки горных выработок. А. с. 877 002 от 15.01.80. (совм. с А. Ф. Ревуженко).
Об устойчивости течения сыпучих материалов в сходящихся каналах 〃 Тезисы докладов IV Всес. конфер. «Механика сыпучих материалов». Одесса.
О стрелянии горных пород 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. № 5. Новосибирск: Наука. С. 3-12 (совм. с А. П. Бобриковым, В. И. Крамаренко, А. Ф. Ревуженко).
Целевой подход к решению проблем производства металлов из руд месторождений 〃 Сб. Подготовка и переработка руд Горевского месторождения (совм. с Ю. Н. Ермолиным).
О математическом описании дезинтеграции пород иерархичной дефектной структуры 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. № 6. Новосибирск: Наука.
1981
Развитие научных основ создания новой технологии добычи угля 〃 Тезисы докладов VII Всес. конфер. по механике. Днепропетровск.
Способ разработки месторождений полезных ископаемых. А. с. №867 112 от 21.05.1981 (совм. с В. Н. Власовым, К. Т. Мезенцевым).
Весовой дозатор. Полож. решение от 1.10.1981, приоритет от 16.04.1981 № 3 278 611/18-10 (совм. с А. П. Бобриковым).
Консольная поддержка для клепки. А. с. № 867 518 от 14.05.1981 (совм. с А. И. Лабецким, Б. Н. Серпениковым, И. И. Тейхрибом).
Устройство для образования зародышевых трещин. А. с. № 907 247 от 21.10.1981 (совм. с О. И. Черновым).
Способ образования трещины в плоскости, перпендикулярной оси скважины. А. с. № 883 424 от 21.07.1981 (совм. с В. Н. Власовым, О. И. Черновым, Э. П. Тараном и др).
1982
Способ контроля напряженно-деформированного состояния горных пород. А. с. № 933 997 от 09.02.1982 (совм. с Г. И. Кулаковым).
Способ определения напряжений в массиве горных пород. А. с. № 945 431 от 23.03.1982 (совм. с В. К. Аксеновым, М. В. Курленей).
Способ разработки мощных месторождений полезных ископаемых. А. с. №955 770 от 25.02.1982 (совм. с В. Н. Власовым, Э. П. Таран).
Способ контроля площади зоны разрыва горных пород. А. с. № 959 008 от 14.05.1982 (совм. с О. И. Черновым, М. В. Курленей, Н. Г. Кю).
Способ разработки крутопадающих месторождений полезных ископаемых. А. с. № 968 406 от 22.06.1982 (совм. с В. Н. Власовым, Н. П. Ряшенцевым, М. В. Курленей, П. Т. Гайдиным).
Способ разработки месторождений полезных ископаемых. А. с. № 970 929 от 01.07.1982 (совм. с В. Н. Власовым).
Рудоспуск. А. с. № 976 109 от 21.07.1982 (совм. с С. Б. Стажевским, М. В. Кур- леней, В. А. Коваленко и др.).
Течение сыпучих материалов в бункерах 〃 Тезисы докладов II Европ. симпозиума «Хранение и течение сыпучих твердых тел». Брауншвейг (совм. с С. Б. Стажевским).
Задачи механики сыпучих сред в горном деле 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. №3. Новосибирск: Наука. С. 19-25 (совм. с А. Ф. Ревуженко, С. Б. Стажевским).
Способ управления обрушением и перемещением материалов. А. с. № 996 729 от 14.10.1982 (совм. с М. В. Курленей, Н. П. Ряшенцевым, Е. И. Васильевым, С. Г. Молотиловым).
Бункер. А. с. № 1 002 194 от 09.11.1982 (совм. с С. Б. Стажевским).
1983
Проблемы разработки месторождений полезных ископаемых на больших глубинах 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. № 3. Новосибирск: Наука (совм. с М. В. Курленей, А. А. Бовиным).
О формах сотрудничества и перспективах развития академической и отраслевой науки в области твердотельной электроники и микроэлектроники 〃 Электронная промышленность. Вып. 1 (118) (совм. с А. В. Ржановым).
Проблемы глубокого рудника 〃 Тр. научн. конфер., поев. 30-летию высш, горно-геолог. ин-та. София (совм. с А. А. Бовиным, М. В. Курленей).
О возможном механизме перемещения внутренних масс Земли 〃 Докл. АН СССР. Т. 272, №5. С. 1097-1099 (совм. с А. П. Бобриковым, А. Ф. Реву- женко).
Способ создания трещины с надрезом. А. с. № 1 033 913 от 08.04.1983 (совм. с Г. Ф. Бобровым, М. В. Курленей, О. И. Черновым).
Деформограф. А. с. № 1 040 444 от 10.05.1983 (совм. Г. И. Кулаковым).
Способ сооружения анкерной крепи. А. с. № 1 046 531 от 08.06.1983 (совм. с С. Б. Стажевским, Н. Д. Юрьевым).
Однородный сдвиг сыпучего материала 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. № 5. Новосибирск: Наука. С. 17-21 (совм. с А. П. Бобриковым, А. Ф. Ревуженко).
Весовой дозатор. А. с. № 1 049 750 от 22.06.1983 (совм. с А. П. Бобриковым, А. Ф. Ревуженко).
Деформограф. Патент в США №4 405 231 от 29.09.1983 (совм. с Г. И. Кулаковым).
Способ контроля размера трещин в образцах. А. с. № 1 054 674 от 15.07.1983 (совм. с М. В. Курленей, Н. Г. Кю).
Устройство для образования зародышевых трещин в скважинах. А. с. № 1055 874 от 22.07.1983 (совм. с О. И. Черновым, Л. Н. Шепелевым, М. В. Курленей).
Устройство для укладки легкоповреждаемых предметов. А. с. № 1 057 383 от 01.08.1983 (совм. с А. Ф. Ревуженко, А. П. Бобриковым, П. П. Игнатьевым).
Способ проходки горных выработок. А. с. № 1 056 681 от 22.07.1983 (совм. с В. Н. Опариным, А. В. Ефремовым).
Секция механизированной крепи. А. с. № 1073 479 от 15.10.1983 (совм. с Б. А. Фролиным, Г. С. Мурзиным).
Способ разрушения твердого материала. А. с. № 1 074 995 от 22.10.1983 (совм. с О. И. Черновым, Н. Г. Кю).
Механизм течения сыпучих материалов и давления на стенки бункеров 〃 Тезисы докладов Горно-металлургического конгресса. Фрайберг, ГДР (совм. с С. Б. Стажевским).
Развитие научного приборостроения в рамках СЭВ в связи с задачами прогноза горного давления 〃 Механика горных пород при подземном строительстве и освоении месторождений на больших глубинах. Л.: Наука (совм. с М. В. Курленей, В. И. Паниным).
Elaboration of parallel boreholes method for investigation of stress state and deformation in rock masses 〃 Field measurements in geomechanics, Proc. Int Symp., Zurich (совм. с В. H. Поповым, M. В. Курленей).
1984
Датчики измерения касательных напряжений. А. с. № 1 101 696 от 07.03.1984 (совм. с А. П. Бобриковым, Э. В. Захаревичем, А. Ф. Ревуженко).
Итоги и задачи реализации научных достижений СО АН в народном хозяйстве 〃 Материалы Общего собрания СО АН СССР, Новосибирск, февраль.
О формах течения сыпучих материалов и напряжениях в бункерах 〃 Тезисы докл. Межд. Конгресса «ХИСА-84» (совм. с С. Б. Стажевским).
Устройство для подачи легкосыпучего материала. А. с. № 1 121 587 от 01.07.1984 (совм. с А. П. Бобриковым, А. Ф. Ревуженко, С. Б. Стажевским, В. Г. Безбородым, П. Д. Минтюковым, В. Н. Прониным).
О возможном механизме перемещения внутренних масс Земли 〃 Материалы Межд. геологического конгресса, Москва, август (совм. с А. Ф. Ревуженко).
Устройство для испытания образцов сыпучих материалов. А. с. № 1 132 192 от 01.09.1984 (совм. с А. Ф. Ревуженко, А. П. Бобриковым, Э. В. Захаревичем).
1985
Устройство для направленного разрушения горных пород гидроотрывом. А. с. № 1 153 630 от 03.01.1985 (совм. с М. В. Курленей, Г. С. Мурзиным, Б. А. Фроловым, О. И. Черновым).
К усилению стеносилосов 〃 Строительная механика и расчет сооружений, февраль (совм. с Б. А. Скориковым, С. Б. Стажевским).
Обзор оценки виброзащищенных импульсных систем 〃 Материалы Межд. симпозиума «Человек и вибрация», апрель. М. (совм. с Н. П. Беневоленской, А. Д. Костылевым).
Способ контроля площади зоны гидроразрыва горных пород. А. с. № 1 157 507 от 22.01.1985 (совм. с С. А. Болотовым, М. В. Кур леней, Н. Г. Кю, О. И. Черновым).
Способ смешивания сыпучих материалов и устройство для его осуществления. А. с. № 1 172 582 от 25.04.1985 (совм. с В. Г. Безродным, А. П. Бобриковым, Б. В. Назаровым, В. Н. Прониным, А. Ф. Ревуженко).
Уровень удароопасности горного предприятия, отрабатывающего месторождение, опасное по горным ударам 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. № 2. Новосибирск: Наука (совм. с М. В. Кур леней, Г. И. Кулаковым).
Математические модели упругопластических тел 〃 Сб. Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. Новосибирск (совм. с А. Ф. Ревуженко, А. И. Чанышевым).
Способ определения степени удароопасности массива горных пород. А. с. № 1 186 798 от 22.06.1985 (совм. с В. Н. Опариным, М. В. Курленей, Г. Ф. Бобровым, Ю. С. Кузнецовым и др.).
О сложном нагружении упруго-пластических тел 〃 Сб. Современные проблемы механики сплошных сред (совм. с А. Ф. Ревуженко).
Антенна для системы передачи сигналов через толщу горных пород. А. с. № 1 197 896 от 15.08.1985 (совм. с О. И. Черновым, М. В. Курленей, С. А. Болотовым, Н. Г. Кю).
Устройство для гравитационного разделения частиц. А. с. № 1 167 803 от 08.03.1985 (совм. с А. П. Бобриковым, Г. Р. Бочкаревым, А. Ф. Ревуженко).
Способ смешивания сыпучих материалов. А. с. № 1 197 713 от 15.08.1985 (совм. с А. Ф. Ревуженко, А. П. Бобриковым).
Способ получения композиционных заготовок и устройство для его осуществления. А. с. № 1 199 452 от 22.08.1985 (совм. с А. Ф. Ревуженко, А. П. Бобриковым, В. Н. Прониным).
Способ определения параметров расслоения горных пород в массиве и устройство для его осуществления. А. с. № 1 196 505 от 08.08.1985 (совм. с М. В. Кур леней, О. И. Черновым, Н. Г. Кю, Г. В. Черемных).
Способ уплотнения порошков материалов. А. с. № 1202 706 от 08.09.1985 (совм. с А. Ф. Ревуженко, А. П. Бобриковым).
Способ определения напряженного состояния горных пород. А. с. № 1 209 863 от 08.10.1985 (совм. с С. Н. Попов, М. В. Кур леней, О. И. Черновым, Юн Руслан, Н. Г. Кю).
Податливый анкер. А. с. № 1 418 476 от 13.08.1985 (совм. с С. Б. Стажевским, А. Ф. Ревуженко, В. Н. Власовым, П. Т. Гайдиным).
1986
Секция механизированной крепи. А. с. № 1245 711 от 22.03.1986 (совм. с Б. А. Фроловым, Г. С. Мурзиным, Езеф Кор бул и (ВНР), В. Н. Хориным, Б. К. Мышляевым, И. X. Гогия, Ю. В. Матвиец).
Пневматическое реверсивное устройство для образования скважин в грунте. А. с. № 1 250 619 от 15.04.1986 (совм. с В. В. Каменским, А. Д. Костылевым, Б. В. Суднишниковым, С. К. Тупициным, К. К. Тупициным, В. Д. Плавских, Н. П. Чепурной).
Эффект зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземных выработок 〃 Докл. АН СССР. Т. 289, №5. С. 1088-1094 (совм. с Г. Л. Фисенко, М. В. Курленей, В. Н. Опариным и др.).
Зональная дезинтеграция горных пород вокруг подземных выработок Часть I. Данные натурных наблюдений 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. № 3. Новосибирск: Наука (совм. с Г. Л. Фисенко, М. В. Кур леней, В. Н. Опариным).
Устройство для подачи сыпучих материалов. А. с. № 1 261 852 от 08.06.1986 (совм. с С. Б. Стажевским, Н. Д. Юрьевым, А. С. Смоляковым, А. Н. Лазин- цевым).
1000 открытий в одном сибирском институте 〃 Наука в СССР.
Зональная дезинтеграция горных пород вокруг подземных выработок Часть П: Разрушение горных пород на моделях из эквивалентных материалов 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. №4. Новосибирск: Наука (совм. с Г. Л. Фисенко, М. В. Курленей, В. Н. Опариным).
К вопросу о классификации горных ударов 〃 ФТПРПИ. СО АН СССР. № 5. Новосибирск: Наука (совм. с М. В. Кур леней, Г. И. Кулаковым).
Кольцевые скважинные датчики для геомеханических исследований 〃 Сб. научн. трудов. ИГД. СО АН СССР (совм. с М. В. Кур леней, Г. И. Кулаковым). Новосибирск: Наука.
Способ определения степени удароопасности горных пород. А. с. № 1 257 215 от 15.05.1986 (совм. с В. Н. Опариным, М. В. Кур леней, Г. Е. Яковицкой).
About regularities of formation of stressed-strained state of discrete materials at discharge from bunkers 〃 Abstracts of I-st World Congress Particle Technology. Inc. 6-th European Sy pm. Communition. An event of particle technology. Ntirn- berg, April (совм. с С. Б. Стажевским).
About regularities of formation of stressed-strained state of discrete materials at discharge from bunkers 〃 I-st World Congress Particle Technology. P. Ш, Mechanics of Particulate Solids. Pneumatic and Hydravlic Conveying Mixing. An event of particle technology. Nurnberg, April (совм. с С. Б. Стажевским).
Ways of Raising Rock Caverns Contouring Efficiency 〃 Proc. Of Int. Symp. Large Rock Caverns, V. 2, Helsinki, Finland, August (совм. с А. Л. Исаковым).
Способ перевода ударооопасности массива в неудароопасное состоние. А. с. № 1 295 005 от 08.11.1986 (совм. с В. Н. Опариным, Г. Ф. Бобровым, М. В. Курленей, О. И. Черновым, Ю. С. Кузнецовым).
Способ циклической отбойки горных пород при образовании выработок в удароопасных месторождениях. А. с. № 1 302 778 от 08.12.1986 (совм. с В. Н. Опариным, В. Н. Власовым, М. В. Курленей, Ж. Г. Мухиным, Г. Е. Яковицкой).
1987
Механика деформируемого твердого тела в СО АН СССР 〃 ПМТФ. № 4. С.66-86 (совм. с Б. Д. Анниным, А. С. Ф. Ревуженко).
О некоторых особенностях реакции горных пород на взрывные воздействия в ближней зоне 〃 Докл. АН СССР. Т. 293, № 1. С.67-70 (совм. с М. В. Курленей, В. Н. Опариным, А. Ф. Ревуженко).
Устройство для образования сферических расширений в скважинах. А. с. № 1 307 053 от 18.06.1987 (совм. с О. И. Черновым, М. В. Курленей, Н. Г. Кю, С. Н. Поповым, Г. В. Черемных, Л. Н. Шепелевым, Р. Юн).
Способ определения напряженного состояния массива горных пород и устройство для его осуществления. А. с. № 1 314 774 от 05.08.1987 (совм. с М. В. Кур- леней, А. Д. Костылевым, Е. Б. Ткачом, В. В. Трубициным).
Устройство для разрушения монолитных объектов. А. с. № 1 351 253 от 18.12.1987 (совм. с Г. С. Мурзиным, К. В. Лукьяновым, Б. А. Фроловым, О. И. Черновым).
О книге «Динамика упругих тел» 〃 Прикладная механика. Т. ХХШ. №4. С. 129-130
1988
Способ определения максимальных напряжений в горном массиве вокруг выработок на больших глубинах. А. с. № 1 373 814 от 12.04.1988 (совм. с Г. Л. Фисенко, В. Н. Опариным, М. В. Курленей).
О повышении роли аттестации в улучшении подготовки научных и научнопедагогических кадров ... 〃 Бюллетень ВАК СССР. № 1.
О повышении роли аттестации в улучшении подготовки научных и научнопедагогических кадров …〃 Вести. АН СССР. №7.
О свободном разрушении твердых тел 〃 Докл. АН СССР. Т. 300, №5. С.1090-1094.
Выступление на общем собрании АН СССР 〃 Бюллетень ВАК СССР. №4.
New problems in rock mechanics 〃 Сб. Modeling of Mine Structures.
Способ проведения горных выработок на больших глубинах. А. с. № 1 427 931 от 01.06.1988 (совм. с Г. Л. Фисенко, В. Н. Рева, В. Н. Опариным, Ф. П. Глу- шихиным).
Способ охраны параллельных горных выработок, располагаемых в одной горизонтальной плоскости в удароопасных породах на больших глубинах. А. с. № 1 458 597 от 15.10.1988 (совм. с Г. Л. Фисенко, В. Н. Рева, В. Н. Опариным, М. В. Курленей).
Способ проведения горных выработок на больших глубинах. А. с. № 1 470 020 от 01.12.1988 (совм. с Г. Л. Фисенко, В. Н. Рева, В. Н. Опариным, М. Л. Розенбаум).
О свободном разрушении твердых тел 〃 Докл. АН. СССР. Т. 300, № 5. С.1090-1094.
New problems in rock mechanics 〃 Modeling of mine structures (edited by A. Kidybinski). P. 17-24.
1989
Анизотропия упрочняющегося пластического материала. Влияние истории нагружения. Сообщение 〃 Препринт № 34-89 ИГД СО АН СССР. Новосибирск. 28 с. (совм. с В. М. Жигалкиным, О. М. Усовой).
Анизотропия упрочняющегося пластического материала. Влияние истории нагружения. Сообщение II 〃 Препринт № 35-89 ИГД СО АН СССР. Новосибирск. 34 с. (совм. с В. М. Жигалкиным, О. М. Усовой).
Анизотропия упрочняющегося пластического материала. Влияние истории нагружения. Сообщение Ш 〃 Препринт № 36-89 ИГД СО АН СССР. Новосибирск. 42 с. (совм. с В. М. Жигалкиным, О. М. Усовой).
О структурно-дилатансионной прочности горных пород 〃 Докл. АН СССР. Т. 305, № 5. С. 1077-1080 (совм. с А. Ф. Ревуженко, С. Б. Стажевским).
1990
Горное производство: фундаментальные проблемы сохранения среды обитания 〃 Вести. АН СССР. №2. С. 26-33 (совм. с В. Н. Родионовым).
Проблема освоения подземного пространства крупных городов 〃 Геодезия и картография. № 7.
Моделирование движения внутренних масс Земли 〃 Тр. межд. конфер. по механике, физике и структуре материалов. 23-я Аристотелевская конф. Салоники, Греция (совм. с А. Ф. Ревуженко).
Горное производство: фундаментальные проблемы сохранения среды обитания 〃 Вести. АН СССР. № 2.
Проблемы освоения подземного пространства крупных городов 〃 Геодезия и картография. №7. С. 16-17.
Моделирование движения внутренних масс Земли 〃 Международная 23-я Аристотелевская конф, по мех-ке, физике и структуре материалов. Греция (совм. с А. Ф. Ревуженко).
Theoretical models of powder mixing 〃 International Conference on Powder Metallurgy? Wembley Conference Centre, London, UK, Vol. 3, The Institute of Metals (совм. с А. П. Бобриковым, В. И. Крамаренко, А. Ф. Ревуженко).
1991
О свободном разрушении твердых тел, 2 〃 Докл. АН СССР. Т. 316, №6. С. 1371-1374.
Проблемы освоения подземного пространства 〃 Подземное и шахтное строительство. № 1.
Волны напряжений при подземном взрыве 〃 Сб. памяти акад. В. В. Новожилова. №4. СПб. С. 7.
Приливное деформирование планет: опыт экспериментального моделирования 〃 Геотектоника. №6. С. 21-34.
1992
О возможной природе солнечной активности 〃 Докл. РАН. Т. 326, № 1. С. 59-62.
1993
Введение в теорию упругости. М.: Изд-во МГУ. 96 с.
Новая гипотеза о происхождении алмазных трубок 〃 Докл. РАН. Т. 332, № 1. С. 93-95.
Геомеханические и экологические аспекты освоения подземного пространства 〃 Подземное пространство мира. № 4.
Геомеханические и экологические аспекты освоения подземного пространства 〃 Тр. межд. конфер. по механике горных пород. № 1.
О подвижности больших оползней 〃 Докл. РАН. Т. 331, №6. С. 742-744.
1994
Физико-механические основы нетрадиционных технологий добычи полезных ископаемых 〃 Науч, сообщ. И ГД им. А. А. Скочинского. №300. М.: Наука. С. 20-36.
1995
Происхождение алмазных трубок (физико-механическая гипотеза) 〃 Вести. МГУ. Серия мат. и механика. № 2. С. 70-77.
1996
Задача о хрупком шарнире 〃 Изв. РАН. МТТ. №2. С. 138-144.
Об одном эффекте сложного нагружения 〃 Вести. МГУ. Серия мат. и мех. № 5.
О краевых задачах теории упругости для областей с угловыми точками (плоская деформация) 〃 Докл. РАН. Т. 347, № 3. С. 343-345.
1997
О всплывании полостей в горном массиве 〃 Докл. РАН. Т. 356, № 6. С. 817-820 (совм. с В. И. Машуковым, С. Б. Стажевским).
О хрупком разрушении твердых тел (плоская деформация) 〃 Изв. РАН МТТ. №2. С. 145-150.
1998
Геомеханическая модель магнитного поля Земли 〃 Сб. науч, трудов ин-та динамики геосфер РАН. С. 18-26.
О хрупком разрушении твердых тел 〃 Вести. МГУ. Сер. Мат. и мех. № 3. С. 66-72.
Геомеханика глубоких подземных сооружений 〃 Бюлл. Белорусской горной Академии № 1(2).
Хрупкое разрушение горных пород 〃 Горный вестник. № 3. Изд-во Академии горных наук.
1999
Синтетическая теория прочности 〃 Физическая мезомеханика. Т. 1, №6.
Синтетическая теория прочности I 〃 Межд. конф., ИПМ РАН, ноябрь.
Выступление и доклад 〃 Материалы сессии памяти X. А. Рахматуллина, Ташкент, апрель.
Горное давление и закон Архимеда 〃 ВНИМИ. № 1.
Горное давление и закон Архимеда 〃 Материалы Недели горняка в МГТИ.
Geomechanical and Ecological Aspects of Underground Structural Designs 〃 Proc, of Int. Congress on Rock Meeh. Paris, France (совм. c W. Rodionow, H. M. Cyrnikow).
Проблемы геомеханики и освоение подземного пространства 〃 ВНИМИ, январь-март. С. 15-19.
Очерки геомеханики (горное давление и механика горных пород) 〃 Науч, сообщ. И ГД им. А. А. Скочинского. М.: Наука.
Деформации и разрушение горных пород при подземном взрыве 〃 Сб. Взрывное дело. № 92/49 М.
Синтетическая теория прочности. Часть 1. Физическая мезомеханика. Т. 2. № 6. Томск. С. 63-69
2000
Деформации и разрушение горных пород 〃 Науч, сообщ. И ГД им. А. А. Ско- чинского. №317. М.: Наука.
Синтетическая теория прочности. Часть 2. Физическая мезомеханика. Т. 3, №5. Томск. С. 11-17
Об инвариантах напряженного и деформированного состояния в математических моделях сплошной среды 〃 Докл. РАН. Т. 373, № 5. С. 632-634.
Волны напряжений при подземном взрыве 〃 Сб. Взрывное дело. № 93/50. М.
Деформации и разрушение горных пород 〃 Науч, сообщ. И ГД им. А. А. Ско- чинского. №317. М.: Наука.
2001
Деформация и разрушение горных пород при подземном взрыве 〃 Тр. межд. конфер. по механике горных пород, май.
Деформация и разрушение горных пород при подземном взрыве 〃 МГУ, ноябрь.
Об одном эффекте сложного нагружения 〃 Сб. Упругость и пластичность, поев. 90-летию А. А. Ильюшина. М.: Изд-во МГУ.
О кольцевой прочности 〃 Тр. межд. научно-технической конф. Минск.
Деформация вращающихся планет (новые материалы) 〃 Тезисы докладов Все- рос. конфер. по теор. и прикл. механике. Пермь.
Диссипативная функция в моделях идеальных упруго-пластических тел 〃 Докл. РАН. Т. 376. №4. С. 488-491.
Деформации и разрушение горных пород 〃 Материалы Недели горняка. М.: Изд-во МГГУ.
Геомеханика призабойной части угольного пласта 〃 Проблемы механики деформируемых тел и горных пород, поев. 70-летию Л. В. Ершова. М.: Изд-во МГГУ. С. 117-130.
Диссипативная функция в моделях идеальных упругопластических сред 〃 Проблемы механики неупругих деформаций, поев. 70-летию Д. Д. Ивлева. М.: Физматлит. С. 383-392.
2002
О деформации вращающихся планет (новые материалы) 〃 Тр. секции РАЕН об окружающей среде.
2003
Сейсмический эффект мощных подземных взрывов 〃 Горный журнал. №3.
Сейсмический эффект мощных подземных взрывов 〃 Тр. ин-та динамики геосфер РАН.
О сдвиговой прочности горных пород 〃 Вести. МГУ, серия мат. и мех. № 3. С. 76-81.
Сейсмический эффект мощных подземных взрывов 〃 Горный журнал. № 3. С. 11-15.
А. Ю. Ишлинский — механик-«прочнист» 〃 Проблемы механики, поев. 90-летию А. Ю. Ишлинского. М.: Физматлит. С. 39-44.
2004
Сейсмовзрывные волны в процессах горного производства. М.: ННЦ ГП - ИГД им. А. А. Скочинского. 75 с.
О сдвиговой прочности горных пород 〃 Мезомеханика. Т. 7, №6. С. 5-10.
Динамические задачи теории упругости и пластичности 〃 Материалы Ломоносовских чтений, ноябрь. М.: Йзд-во МГУ.
2005
О деформации вращающихся планет (новые материалы) 〃 Материалы Ломоносовских чтений, март. М.: Изд-во МГУ.
Механика горного массива 〃 Материалы Недели горняка. М.: Изд-во МГГУ.
Список сокращений
ВНИМИ — Всесоюзный научно-исследовательский маркшейдерский институт;
ИГД СО АН СССР — Институт горного дела Сибирское отделение Академии наук СССР;
Изв. АН СССР. МТТ — Известия Академии наук СССР. Механика твердого тела;
МГУ — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова;
МГГУ — Московский государственный горный университет;
ПММ — Прикладная математика и механика;
ПМТФ — Прикладная механика и техническая физика;
Фонды ИХФ АН СССР — Фонды Институт химической физики Академии наук СССР;
ФТПРПИ СО АН СССР — «Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых» Сибирское отделение Академии наук СССР (Soviet Mining Science).
ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ И ГОРНЫХПОРОД
Е.И. Шемякин
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Синтетическая теория прочности
Введение. Развитие представлений о прочности твердых тел продолжается в двух противоположных аспектах:
—предотвращение нежелательного разрушения конструкций или элементов конструкций из металлов, сплавов и горных пород;
—создание системы направленного управляемого разрушения (отделение от массива в горнодобывающих процессах, разделение тела на части, дробление и измельчение твердых деформируемых материалов).
И та и другая постановки опираются на особенности деформирования твердых тел вплоть до разрушения, на установление, разработку критериев «разрушения». И та и другая требуют знания некоторых основных механических свойств материала и характеристик процесса нагружения (деформирования).
В этих проблемах при постановке задач и при выборе методов исследования важно было опираться на современные разделы механики сплошных сред и на опыт исследований в физике твердого тела, т. е. фактически на уровни исследований разного типа (конечные объемы материала в механике и молекулярный или кристаллический уровень в физике твердого тела).
По-видимому, впервые эти проблемы сопоставлены очень ответственно, с соответствующими оценками и выводами, в школе академика В. Е. Панина, в которой введено понятие «мезомеханики» как раздела физики, объемлющего указанные пнтересн: что нужно знать и на каком уровне микроисследований о твердом теле (металлы, сплавы, горные породы), чтобы судить о поведении макроструктур, т. е. дать расчетные, технологические ответы на два вопроса, поставленные в начале [1].
С самого начала развития теоретических основ прочности преобладали позиции Сен-Венана и Треска. Первый, являясь блестящим основателем теории пластичности, образно сопоставил наблюдения за линиями скольжения, которые в истории получили название Людерса-Чернова, с теоретическими выводами о линиях максимальных касательных напряжений и пришел к выводу, что экспериментальные данные Треска могут быть положены в основу теории в силу схожести тех и других (линий скольжения и изолиний максимальных касательных напряжений). Это единственно основательное предположение, полученное в условиях плоской деформации и не дающее никаких оснований для перехода к трехмерной ситуации. Это очень важное обстоятельство в развитии общей теории пластичности и вязкой жидкости, о чем еще не раз будет сказано далее.
которого лежат представления о предельных условиях гладкого типа (Губер, Мизес и их обобщения). Тем не менее практический интерес к сингулярным поверхностям (Треска-Сен-Венана, Кулона-Мора) также привлекал внимание серьезных исследователей: здесь достаточно упомянуть ранние работы академика А. Ю. Ишлинского [2] и замечательные работы Д. Д. Ивлева и В. Д. Клюшникова и их последователей [3, 4].
В определенном смысле предлагаемое изложение, безусловно навеянное историей и последними работами школы академика В. Е. Панина, надо считать примыкающим к направлению исследований, идущих за Т. Карманом и С. А. Христиановичем [5-7].
Опыты по исследованию нагружения деформируемых тел на эквивалентных материалах. В начале 70-х годов в связи с вопросами о деформировании и разрушении горных пород в Институте горного дела СО РАН были начаты работы по моделированию процессов поведения материалов при различных нагрузках на эквивалентных материалах 9. Работы оказались достаточно плодотворными, позволили обсудить поставленные во введении вопросы и получить ряд новых выводов. Это дало возможность провести кардинальное обсуждение путей построения современной теории прочности и назвать один из ее вариантов синтетическим (смысл этого термина будет ясен из предлагаемого материала).
Как всегда, при постановке исследований, связанных с одновременным экспериментальным и теоретическим исследованием, необходимо было поставить под вопрос самые простые, исходные представления, чтобы точнее и проще оценить получаемые результаты. Этому способствовал состав исследователей, который включал и сильных теоретиков (А. Ф. Ревуженко) и опытных экспериментаторов (С. Б. Стажевский, А. Г1. Бобряков). В этом обзоре все эти ученые являются полноправными авторами публикуемых результатов.
Первым этапом исследования было создание (изобретение) «ящика» — прибора для осуществления однородного сдвига в эквивалентном материале. При этом самым существенным было реализовать «жесткую» машину, которая работает в режиме заданных перемещений (деформаций) и позволяет зарегистрировать так называемую ниспадающую ветвь (или запредельное поведение материала, или послепиковую прочность). Это было очень важно, приобрело в механике твердого деформируемого тела особенное значение, а машин, реализующих такой режим, тогда практически еще не было. Напомним, что к первым машинам такого типа относились машины СН-3, предложенные А. А. Ильюшиным [8]. Конечно из дальнейшего изложения будет ясно, почему авторам [9-11] не удалось сразу реализовать состояние чистого сдвига, но будет также понятно, что реализация простого сдвига (в отличие от схемы Роско) принесла новое представление о несимметричной схеме деформирования и о локализации деформаций.
Прежде чем обсудить основные результаты испытаний и выводы, остановимся на основных представлениях механики сплошной среды, которые широко использовались для этого в прошлом.
Для описания исходного напряженного состояния элемента зададим главные нормальные напряжения
6》02》03 (1.1) и триэдр главных направлений.
При этом, в отличие от обычной формы главных инвариантов напряженного состояния, примем другой набор, связанный с максимальным касательным напряжением
_ СП — СГз_ СП — СГз(1.2)(1.2)
_ СП — СГз
_ СП — СГз
(1.2)
(1.2)
и нормальным напряжением на этих же площадках
проходящих через второе главное направление и делящих пополам углы между первым и третьим главными направлениями.
Эти величины имеют четкий физический смысл: Т — усилие проскальзывания, а о冷一препятствие для проскальзывания.
Для полного инвариантного описания исходного напряженного состояния (1.1) необходимо ввести третью величину [5, 6, 12]
ИЛИИЛИMa =Ma =2(72 一 01 —032(72 一 01 —036 — °36 — °3(1-4)(1-4)Ma =Ma =
ИЛИ
ИЛИ
Ma =
Ma =
2(72 一 01 —03
2(72 一 01 —03
6 — °3
6 — °3
(1-4)
(1-4)
Ma =
Ma =
Так что набор трех инвариантов Г = Ттах,。冷 и 从。доставляет необходимые и достаточные условия описания произвольного напряженного состояния твердого деформируемого тела [5, 6, 13]. Не вдаваясь в подробности использования «языка» площадок для описания напряженно-деформированного состояния твердых тел, отметим, что наряду с Т и ап эти инварианты обеспечивают все нюансы представлений Треска-Сен-Венана и Кулона-Мора, а параметр Лодэ-Надаи 从。[2], определяющий вид напряженного состояния, играет очень важную роль, указывая на работу площадок с экстремальными значениями касательных напряжений на этих площадках, ориентированных относительно главных направлений известным образом:
Т12 =Т12 =(Т1 — (Т2(Т1 — (Т2
Т12 =
Т12 =
(Т1 — (Т2
(Т1 — (Т2
02 +0302 +036 + 02
02 +03
02 +03
Так что можно различить напряженное состояние полной пластичности
и неполной пластичности (например, чистого кручения)
Эта классификация не рассматривалась ранее детально, хотя можно считать, что именно ее имели в виду Надаи и его ученик Лодэ. Это описание напряженного состояния позволяет детализировать различные ситуации, возникающие при нагрузках в твердом теле.
Здесь очень важно подчеркнуть два обстоятельства, которые имели в виду авторы экспериментов с эквивалентными материалами при постановке опытов [9].
Первое, по-видимому, подразумевал еще Сен-Венан, а именно: в опытах наблюдаются в основном картины по деформациям элемента (перемещениям, точнее говоря), а предвычисляются — по напряжениям (площадки максимального касательного напряжения, их ориентация в декартовой, лабораторной системе координат). Это сопоставление и было основным в теории Сен-Венана, на чем основана его гипотеза о совпадении главных направлений тензора напряжений и скоростей деформации сдвига (плоский случай!). Затем этот экспериментально наблюдавшийся факт лег в основу практически всех построений пространственной теории пластичности, хотя наблюдался только в достаточно простых условиях. Более того, аналогичные обобщения проникли и в теорию вязкой жидкости (уже независимо от Сен-Венана). Обычные в настоящее время, эти обобщения не имеют других обоснований — и это очень печально, хотя именно выход из условий плоской деформации и, особенно, условий простого нагружения позволит определить дальнейшую судьбу теории пластичности, ползучести, прочности твердых тел.
В связи с этим продолжим схему рассуждений, связанных с введением группы основных инвариантов, определяющих деформирование твердых тел.
Дело в том, что введение той или иной группы инвариантов для описания напряженного состояния (1.2)-(1.4) не связано, вообще говоря, с деформированием твердых тел. Какими бы ни были системы нагружения деформируемого тела внешними силами, всегда, по Коши, можно ввести тензор напряжений (в отличие от закона Паскаля для жидкости и газа) и посчитать удельные усилия на отдельные площадки (напряжения). То есть напряжения вычисляются по заданным внешним усилиям и положению (включая повороты и изменения размеров) площадок. В этом принципиальная разница между определением напряжений и деформаций в теории упругости и в теории необратимых деформаций (пластичности, ползучести, разрушения).
Поэтому обратимся к введению группы инвариантов для описания деформаций, скоростей деформаций на ином уровне.
Конечно, формально можно ввести, следуя (1.2)-(1.4), группу инвариантов
Гтах =(1.5)
_*
_ 2g?2 ——實
Me =；；
Но это не имеет смысла нигде, кроме изотропной теории упругости, где это очевидно.
Для пояснения рассмотрим простой закон связи Т = Т(Г) при 从。=〃е = 0. Этого достаточно для обсуждения и для иллюстрации основной идеи. Эта связь между максимальным касательным напряжением Г и величиной главного сдвига Г явится основной в предлагаемой модели синтетической прочности твердых тел и поэтому подлежит детальному обсуждению. Поэтому основные новые результаты по моделированию с эквивалентными материалами относятся к исследованию этой фундаментальной характеристики прочности. В статье [9] обсуждалась типичная картина деформирования материала (эквивалентного) на «жесткой» машине типа «ящик» (рис. 1).
Рис. 1
описывают поведение материала после максимума (постпиковое поведение, запредельное и т. п.) и указаны как возможные реализации при разных краевых условиях опыта.
Прежде чем обратиться к обсуждению основных результатов, остановимся на описании самого опыта.
Рис. 2
Вместе с ростом напряжений до некоторых максимальных ттах (критических) значений происходит рост деформаций сдвига (искажение первоначального прямого угла между избранными волокнами). Это и есть реальное преодоление прочности 1). Что происходит с материалом, когда 从=dT/dT падает:从 V 仰(Мо — упругое сопротивление сдвигу)? Еще Батдорф и Будянский [14] обратили внимание в одной из первых послевоенных работ, что сопротивление сдвигу на разных площадках, по-разному ориентированных относительно главных направлений тензора деформаций, будет разным. Это обстоятельство как основное использовал в своих построениях М. Я. Леонов [15]. Действительно, давайте рассмотрим две картинки: распределение (тензорное) напряжений Tmax относительно главных направлений
Как было условлено, основное внимание уделено сдвигам, а объемными деформациями пока пренебрежем.
тензора напряжений (1.1) и (1.3) и распределение (тензорное) деформаций (или скоростей деформации) [5, 6] с учетом локализации деформаций. В этой ситуации, если есть линейная связь (закон Гука или Ньютона в случае вязкой жидкости и Г Г), то все в порядке. Этот закон гарантирует сохранение линейной связи, а значит изотропности состояния среды при всех последующих значениях Т > > о, Г (Г > 0). А если закон является нелинейным, а тем более различным при △Т > 0, ЛТ < 0, то вопрос о «соосности» вееров по Г и Г (или Г) в общем случае теряет смысл: «нарисованные» по тензорным правилам напряжения по- прежнему имеют смысл, а деформации распределяются отнюдь не по тензорным правилам — происходит локализация [5, 6, 9]. Это сейчас наблюдается многими, но мало кто признает, что это одновременно означает отказ от тензорного описания деформаций и даже от скоростей деформаций. Веера распределений напряжений и деформаций (скоростей деформаций) не совпадают. Утверждение этого факта было едва ли не самым главным результатом, приведшим к следующей серии испытаний (см. [6]).
Впервые этот факт был рассмотрен академиком С. А. Христиановичем и автором в [6], где была явно отмечена необходимость сложного нагружения (по А. А. Ильюшину) [8], так как иначе нельзя было обнаружить этого различия в описании напряжения по Коши и деформаций с локализациями.
Теперь вернемся к описанию результатов опытов с «ящиком». В опытах, если оставить пока в стороне детали реализации, было обнаружено:
существование ниспадающей ветви и ее зависимости от масштаба опыта (линии I-III на рис. 2), появление размера (блоков) в изначально изотропном эквивалентном материале, проявление «проскальзывания» (перемещения) по берегам площадок скольжения;
несимметрия функционирования ожидаемых площадок с Т = ттах и их проявление оказались связаны с появлением локальных поворотов. При достижении Г ^ Ттах возникающие площадки проявляют себя по разному: до разгрузки элементы движутся друг за другом, а после разгрузки и движения в обратном направлении появляются кинематические возможности поворота. В целом проявилась новая, ранее неизвестная возможность деформаций твердого тела за предел упругости: разделяться на регулярные блоки, так что эти блоки поворачиваются и образуют в новом состоянии сплошное тело.
Эта схема деформаций с существенной локализацией в окрестности площадок с Г = Ттах была независимо обнаружена в опытах в Новосибирске и Томске, что было отмечено общей премией Сибирского отделения АН СССР по работам этого направления [1, 9].
А = ТтахА = ТтахПредел упругости, переход к необратимым деформациям и разрушению. В рамках предлагаемой теории основное внимание будет уделено площадкам главного сдвига с возможной локализацией и площадкам с максимальным касательным напряжением (Треска-Сен-Венан). Поэтому вернемся еще раз к обсуждению принципиально важных опытов, выполненных Лодэ [12] и приведших разных авторов к разным выводам. На рис. 3 повторены результаты замечательного рис. 46 из книги А. Надаи, по которым можно сделать заключение о влиянии среднего главного нормального напряжения 。2 на rmax = (ai — оз)/2. Там же нанесены данные, связанные с указанным выше набором инвариантов (1.2-1.4):
А = Ттах
А = Ттах
(1.8)
Рис. 3
где А ——второй инвариант девиатора (тензора) напряжений. Данные этого рисунка всюду в развитиях различных вариантов теории пластичности считаются основным аргументом в пользу применений гладких условий пластичности типа Губера- Мизеса взамен сингулярных типа Треска-Сен-Венана. Как следует из сравнения опытных данных и [5, 6], в диапазоне 1 》〃。》一1 влияние среднего главного направления реализуется через параметр 从°. Из этих данных можно сделать разные выводы. Таким образом, можно считать, что при переходе к «языку» площадок скольжения нет необходимости вводить гладкие условия пластичности — достаточно при описании перехода учесть параметр Лодэ.
Таким образом, в синтетической теории прочности можно (и следует) делать оценку величины перехода к необратимым деформациям в соответствии с [16-18], но при этом — что главное — надо прослеживать «историю» наступления «пластичности» (в широком смысле слова) по конкретным площадкам (их ориентации, прежде всего) и по параметру 从广 Это означает, в первую очередь, учет анизотропии сопротивления сдвигам в среде, которая (анизотропия) возникает на переходе к необратимым деформациям и учитывается либо параметром 从。，либо сингулярностью условий пластичности, либо чисто формально учетом третьего инварианта. После работ Надаи и Лодэ следующими были Ю. Янг [17] и В. В. Новожилов [16], см. также обзор в книге А. А. Лебедева и Г. С. Писаренко [19].
Отмеченный факт и новая интерпретация данных Лодэ привлекли внимание авторов [5, 6] также в связи с попытками выйти за рамки плоской деформации и предпринять попытки обобщения результатов испытаний на трехмерный случай (опыты Тэйлора-Квини в книге Л. М. Качанова [18]). Если, следуя Т. Карману (что проделали авторы [5, 6] сначала независимо, а потом с удовлетворением обнаружили, что Т. Карман мог бы получить этот же результат, используя введенные им впервые понятия неполной и полной пластичности), ввести зависимость 从。(〃^) или 从°(〃△€), то эта зависимость будет иметь различный характер при переходе от линейных связей между напряжениями и деформациями (скоростями деформаций) к нелинейным (необратимые деформации, например), [5, 6]. Эта зависимость тем больше отклоняется от биссектрисы 从。=从или 从。=从厶^ (что означает подобие тензоров), чем больше необратимые деформации по сравнению с предельными упругими (рис. 4 [18]).
Опытный результат (рис. 4) был отмечен в упомянутой классической работе [18], но, к сожалению, практически не использовался при построении трехмерных (пространственных) моделей необратимого деформирования твердых тел и их разрушения.
Это же обстоятельство, по-видимому, имеет значение и при построении модели вязкой жидкости и турбулентности.
Но отсутствие подобия тензоров напряжений и деформаций (скоростей деформаций) не единственное препятствие на пути часто необоснованных переходов
от плоского случая (плоская деформация или обобщенное плоское напряженное состояние) к пространственной (трехмерной) ситуации. Есть еще фактор локализации деформаций, на который было обращено внимание в самом начале работ в Новосибирске и Томске, и возможность в связи с этим отказа от тензорного описания деформаций (скоростей деформаций) и перехода к описанию кинематики деформирования с помощью перемещений (скоростей перемещений) и введения независимых, дополнительных кинематических параметров. Такими важными параметрами явились повороты элементов, о которых было сказано при описании опытов с эквивалентными материалами на «ящике». Введение таких параметров очень важно для описания необратимых деформаций в твердых телах, включая образование блоков (размера) в первоначально однородных и изотропных телах и появление их поворотов друг относительно друга для обеспечения сплошности «разрушенного» тела. Эти повороты, в отличие от вычисляемых по полю перемещений (или скоростей), являются новыми
независимыми переменными [11].Губер-Мизес
Введение этих дополнительных па-Л
раметров в теоретическом плане приводит к постановке новых краевых задач, а в практическом — означает оценку оста-О
точной прочности «разрушенного» мате- в\
Риала-Треска-Сен-Венан
Для иллюстрации влияния параметра
Лодэ рассмотрим нагружение материаларис. 5
с изменением величин главных напряже
ний без поворота главных направлений тензора напряжений. На рис. 5 в сечении девиаторной плоскостью указано положение поверхности Tmax = const в соответствии с (1.8), там же указано положение поверхностей по Сен-Венану-Треска и по Губеру-Мизесу.
Если иметь ввиду «историю» действия площадок с максимальным касательным напряжением, то можно «расширить» представление о простом нагружении. Если
точка, отмеченная * на этой поверхности, перемещается по нормали к любой из линий Т-СВ или Г-М либо вообще вне этих линий, то это может отвечать упрочнению —увеличению rmax > rs вместе с 7, главные оси неподвижны. Нетрудно рассмотреть различные реализации нагружения.
Введем исходное, соответствующее точке *, напряженное состояние о?, а^, о^
о о
2—
соответствующее тем самым неполной пластичности 从。# 1, п будем увеличивать напряжение с индексом «О» пропорционально с параметром к〉1:
ТогдаТогдаб = ко], О3 =卜隽б = ко], О3 =卜隽6 — °3 _ 7-2 -—乃6 — °3 _ 7-2 -—乃о о0] — 0зо о0] — 0з22=кт"тах,=кт"тах,
Тогда
Тогда
б = ко], О3 =卜隽
б = ко], О3 =卜隽
6 — °3 _ 7
-2 -—乃
6 — °3 _ 7
-2 -—乃
о о
0] — 0з
о о
0] — 0з
2
2
=кт"тах,
=кт"тах,
что может отвечать упрочнению материала:
к = ^max/^max > 】•
Но для рассматриваемого варианта с влиянием 从。появляется новая возможность —растут касательные напряжения на других площадках с экстремальными значениями:00
6 —=7 671- сг2=
2-*2-
о о
22—
При этом приближение к理(или кТ^ к величине Tmax означает переход к полной пластичности — движение точки * либо к А, либо к С, т. е. изменение 从。 либо к “о = 1, либо к 从° = — 1. В любом из этих вариантов существенно не перемещение * вовне линий Т-СВ либо Г-М, а изменение 从。，так как это означает включение, кроме главных, площадок с Т12 или Т23.
Таким образом, несмотря на внешнее сходство предельных условий, важно различать «историю» развития площадок с касательными напряжениями, отвечающую = 1 и = ±1, так как эта история отвечает «физически» различной анизотропии сопротивления сдвигам в неупругом состоянии. С этой точки зрения «простым» является нагружение при 从。=const при любом начальном значении 从。 из общего промежутка 1〉〃。〉一 1. Иначе говоря, параметр нагружения к должен быть едиными для 01,03 и для。2・
С этой точки зрения — возникновение анизотропии сопротивления сдвигам в первоначально изотропном упругом теле при переходе в неупругое состояние — надо различать 从。=const и 从。переменное. Последнее может означать, что при приближении * к 4 или к С перераспределяется роль площадок с экстремальными, касательными напряжениями, при этом на одних площадках они растут, а на других могут убывать. Произойдет разгрузка, и будут нарушены условия «простого» нагружения. Есть еще одна формулировка: «простым» на «языке» площадок следует считать продолжение деформирования на площадках, где наступила пластичность, включая дополнительное включение других площадок. Это «простое» нагружение происходит до тех пор, пока не наступит разгрузка на площадках с наступившей до этого пластичностью.
Наконец, при переходе от одного напряженного состояния (например, А или С вдоль линии Т-СВ или Г-М обязательно наступит разгрузка по подходящей
системе площадок. С этой точки зрения, «история» возникновения точки * и ее движение вдоль указанных линий является опорной позицией в синтетической теории прочности, несмотря на почти гладкие аппроксимации предельных линий Т-СВ или Г-М.
Обратим внимание на то, что переход к площадкам скольжения (и их кинематическому смыслу) привлек внимание к так называемой ниспадающей ветви на зависимостях «напряжение-деформация», если эти зависимости могут быть построены и допускают недвусмысленную интерпретацию.
Последнее очень важно, так как при построении паспортных зависимостей материала часто используют, например, данные об одноосном растяжении тонких образцов. При этом предполагается симметрия деформирования в упругом и неупругом состояниях вплоть до разрушения, под которым понимается не только появление линий Людерса-Чернова, шейки, но и разделение образца на части. Машины с заданными перемещениями (жесткое нагружение) лишают этой иллюзии, в отличие от пресса Гагарина, — на них разрушение регистрируется более четко [8, 9].
Что происходит, например, на ниспадающей ветви в рассматриваемой модели где основное внимание уделяется деформации сдвига, а не уплотнениям (или разрыхлениям) материала, т. е. без учета дилатансии материала? Что происходит, например, на зависимости т-7 на ниспадающей ветви? Опыты на ящике и другие опыты такого типа показали, что при переходе к ниспадающей ветви материал ведет себя внешне (по отношению нагрузкам) неустойчиво — Ат < 0 при > > 0. Но, по-видимому, на ниспадающей ветви это уже другой материал, к которому неприменимы прежние требования к устойчивости (по А. А. Ильюшину или Д. Друккеру). Этот новый материал, родившийся из старого после перехода в соответствии с критериями (1.8), означает новую возможность реализации синтетической прочности — материал разделяется на блоки, которые мало изменяясь в объеме, скользят друг по другу и поворачиваются настолько, чтобы составить сплошной материал [20-22].
Обратим внимание на материал, иллюстрирующий вышесказанное. Пусть за пределом упругости имеет место зуб текучести, т. е. вместо плавно и резко ниспадающей ветви происходит скачок напряжений при ниспадающей деформации. Кстати сказать, на некоторых материалах типа мягкой стали независимо от конструкций испытательной машины это явление наблюдалось с удивительным постоянством. В одной из работ нашей группы [9] этот пример позволил прояснить эту особенность поведения материала на ниспадающей ветви как переход к новой, блочной структуре материала, первоначально изотропного и однородного.
Действительно, падение касательного напряжения от величины ттах до т0Ст после нагружения в упругом режиме с модулем сдвига 从о указывает, что на площадке скольжения происходит реальное относительное перемещение берегов площадки величины 8, которое вычисляется через указанные велпчпны:
§ — Ттах — Тост 工
где L — размер образца. Не нужно большой фантазии, чтобы сообразить, что если скольжение происходит в заданном образце размера L и по нескольким площадкам скольжения числом п, то величина 8 есть суммарное значение по всем этим площадкам. На это суммарное перемещение (проскальзывание) расходуется та часть упругой энергии, которая высвободилась при падении от величины ттах ДО Тост・
О сдвиговой прочности горных пород
Задача о прочности горных пород в окрестности подземной выработки. В задачах механики горных пород основной является задача о прочности (устойчивости) горных пород в окрестности подземной выработки. Основной моделью для таких рассуждений является круговая выработка определенного диаметра на заданной глубине и ориентировке оси выработки относительно главных напряжений 01,02,03 со своими главными направлениями. (Наиболее распространенным случаем является выбор главных направлений, связанный с направлением (вертикалью) силы тяготения а\, и боковых напряжений, направления которых перпендикулярны главному направлению силы тяготения) [5, 6, 23] (рис. 6).
Рис. 6. Общий вид подземной выработки
Самым ответственным моментом в создании такой выработки как подземного сооружения является изменение соотношений между главными напряжениями в окрестности выработки (главные направления при этом будем считать неизменными). Хотя соотношение между главными напряжениями и направления главных направлений могут изменяться и в ходе горных работ. Если принять пока для простоты, что на глубинах 1-2-3 км исходное напряженное состояние (ш situ) было равномерным гидростатическим:
где р — литостатическое давление, то после проходки выработки, будь то скважина (горизонтальная или вертикальная) или шахтный ствол, напряженное состояние изменится.
Важно отметить, что это изменение не есть следствие фантазий, предположений о модели деформируемости среды, а отражение законов равновесия (или динамики, квазистатики в процессе проходки или бурения). Уже сам этот процесс (проходка забоя) является трехмерным, слабо изученным процессом [5, 6]. Так, например, если главные направления напряженного состояния 01,02,03，выбрать в соответствии с цилиндрической системой координат горизонтальной или вертикальной выработки, то в ходе подготовки выработки (скважины), при отходе от забоя, обязательно происходят два процесса.
Первый из них связан с тем, что радиальное напряжение обязательно падает по величине, даже если со стороны выработки (скважины, например) оказывается возможным организовать подпор, как правило, по величине меньший, чем было радиальное напряжение до проходки скважины.
Второй частью процесса является развитие касательных напряжений за счет различия в главных напряжениях исходного состояния или возникших при создании выработки. Так, в рассматриваемом примере (вертикальная или горизонтальная выработка — скважина в равномерном in situ напряженном состоянии) возникают касательные напряжения, которых не было до работ, а именно за счет возникающего различия в главных напряжениях. Этот этап является наименее изученным в напряженно-деформированном состоянии призабойной зоны [5, 6, 23]. В этой зоне происходит сложный переход от исходного состояния (гидростатического в этом примере) к состоянию в окрестности выработки. При этом важно оценить сдвиговую прочность, так как именно эта прочность принципиально отличает твердые тела от жидких и газообразных. Так, возникающие касательные напряжения связаны с разностями главных напряжений и равны
6 — 03 = 2Т, сч —。2 = 2712, 。2 —。3 = 2丁23, (2.2)
01 =0D， 02 =0T， 03 = z (2.3)
(。夕 > аг > сгг в окрестности вертикальной выработки, например).
Т. Карман при этом считал, что (jz необязательно теряет свою (упругую) связь с деформациями, существовавшую до проходки выработки или скважины. Главное, что с достижением предельной сдвиговой прочности наступает новое состояние. Возникновение анизотропии сопротивления сдвигам в результате роста касательных напряжений является едва ли не самым примечательным механическим эффектом создания выработок (скважин) в горном массиве.
Вообще говоря, о величинах касательных напряжений уместнее высказаться позже (в связи с паспортом прочности горных пород), но одно общее свойство твердых тел и горных пород должно быть отмечено. Это свойство конечного предельного сопротивления сдвигу для всех реальных тел. Здесь же уместно привести замечание об отпоре крепи или о противодавлении со стороны жидкости в скважине. Реальный отпор или крепь, которые должны заменить удаленный материал, создать технически очень трудно, имея в виду величины отпора в сотни и тысячи тонн на квадратный метр. Во всяком случае, в задачах горного дела реальная крепь играет другую роль, удерживая (главным образом) возможный вывал за счет ползучести или разрушения призабойной зоны.
внимание на этот основной процесс — изменение сопротивления сдвигу на различных площадках, включая новые современные злементн: появление ниспадающей ветви (post-peak behavior of rock under loading) co всеми эффектами парадоксального для сплошной среды проявления (см. ниже). Таким образом, изучение напряженно-деформированного состояния в окрестности выработки (скважины) сведено к исследованию сдвиговой прочности горного массива как определенного свойства.
При этом основное изменение объема, включая критическое разрыхление до вывала в обнаженное пространство, будет обусловлено эффектом дилатансии — изменением объема, связанным со сдвигом [24]. Это изменение объема позволит ввести в рассмотрение фильтрацию жидкости и газа (нефти и конденсата, в том числе) в объеме в окрестности скважины (выработки), подвергнутом изменению напряженного деформированного состояния.
Структурно-дилатансионная прочность горных пород. Ниже используем представление о структурно-дилатансионной прочности горных пород, позволяющее рассмотреть различие поведения горных пород при растяжении, сжатии и сдвиге вплоть до разрушения. Такое представление часто используется в литературе и служит для качественного описания деформирования и разрушения твердых тел [25].
В рассматриваемой модели были указаны определяющие соотношения на основе структуры материала, состоящего из зерен и связующего. При этом максимальное касательное напряжение на площадке главного сдвига Г и нормальное напряжение на той же площадке связаны известными соотношениями:
Т = — tg (夕 + v)an + с, (2.4)
где ап = 6 ； "з, @ коэффициент с (сцепление) определяется через параметр £ — коэффициент в скелете без зерен (без связующего) и напряжения pi и р2 от усилий, переданных от зерен поровому материалу-связующему:
厂 _ Ei + 92
При одноосном растяжении величину р2 можно отождествить с пределом всего материала на растяжение: ^2 = сграст. Структура среды характеризуется углом дилатансии.
Таким образом, для описания прочности горной породы в рамках принятой модели следует:
—угол трения рассчитывать с учетом дилатансии;
—сцепление практически считать по прочности связующего (заполнителя) на растяжение.
Эти ранее не учитываемые результаты оказываются настолько существенными, что могут дать наиболее значительный вклад в понимание прочности таких «составных» синтетических материалов, как горные породы и композиты.
Основные особенности сдвигового деформирования. Рассмотрим прежде основные особенности сдвигового деформирования, принимая гипотезу Т. Кармана о том, что наступление предельной деформации сдвига (и максимального касательного напряжения) на основных площадках с касательными напряжениями Т не нарушает упругих (или других) связей между напряжениями и деформациями во втором главном направлении. В этом приближении можно считать, что на системах площадок с напряжениями 02 и 723 повторится
(возможно, с некоторыми небольшими вариациями) та же самая ситуация, что и на главных площадках с касательным напряжением Т; роль и значение этих площадок учитываются параметром Лодэ — параметром вида напряженного состояния. Поэтому рассмотрим внимательнее поведение среды при сопротивлении сдвигу на диаграмме Т = Т(Г), где Т — максимальное касательное напряжение, а Г — главный сдвиг, Г = £〔 一 £3 (при совпадающих главных направлениях напряженного и деформированного состояний) (рис. 7). На этом рисунке из [26] представлены описательные результаты реальных испытаний опытных образцов
Рис. 7. Зависимость максимальных касательных напряжений от главных сдвигов с учетом ниспадающей ветви
грунтов (в том числе с эквивалентными материалами) и горных пород [25, 26]. После практически обратимых деформаций до пика касательных напряжений дальнейшее сопротивление сдвигу с ростом деформаций падает. Это состояние — послепиковое поведение — иногда называют разупрочнением, имея в виду уменьшение касательного напряжения с одновременным ростом сдвига.
Это — самый важный для современных задач горного дела и механики грунтов участок необратимого поведения горной среды, который стал доступным после
создания «жестких» машин для испытаний грунтов и горных пород, взамен машин с заданным нагружением по усилиям (напряжениям). Таким методом испытаний, в частности, стал «ящик» сибиряков, который явился планомерной реализацией идей А. А. Ильюшина о создании машин с нагружением по деформациям, а не по программе напряжений, как до него. В последние годы внимание ученых привлечено к исследованию послепикового поведения горных пород, хотя, по мнению автора, это внимание совершенно недостаточно.
Что обнаружилось в этих новых результатах?
Возникновение структуры в изначально однородном и изотропном материале, вполне согласованной подготовленными площадками максимальных касательных напряжений (возможно, с учетом трения и дилатансии по площадкам реального скольжения) [25, 26].
Несимметрия функционирования площадок скольжения (в отличие от предсказаний механики сплошной среды), которая явно проявляется уже при малых деформациях на пределе обратимых напряжений как основной процесс (несимметрия) при развитии деформаций вплоть до разрушения.
В области, где элементы горной породы и грунтов находятся в послепиковом состоянии, деформация в целом, в конечном объеме осуществляется как скольжение блоков (практически жестких) друг по другу с вращением этих блоков относительно друг друга так, чтобы составить квазисплошную среду [24, 25].
В целом, это новое представление о деформации грунтов и горных пород за счет сдвигов и преодоления прочности на сдвиге сводится к тому, что в рассматриваемом конечном объеме реально проявляются различные площадки скольжения, разделение тела на блоки, и, значит, несущая способность такой среды должна рассчитываться по этой схеме вплоть до разрушения среды [24, 25].
Что же является новым? Введение новой группы инвариантов, описывающих напряженно-деформированное состояние горной породы в окрестности подземной выработки (скважины), взамен величин главных напряжений, но, конечно, в силу инвариантности, пригодных и для других ситуаций в горном массиве.
В соответствии с этим вместо (2.1) или аналогичных утверждений предлагается рассмотреть три инварианта:
7 6Т1 — (Тз
(2.5)
2(72 — 6 —03
Нетрудно видеть, что этот набор инвариантов опирается на параметры Т и 0n и вводит в рассмотрение параметр Лодэ-Надаи, характеризующий роль прочности массива по другим площадкам Т12 и
_ — 712从 о — j=； •
Это простое физическое истолкование, по-видимому, более адекватно обсуждению вопросов о прочности твердых тел [24, 25, 26].
Набор инвариантов (2.5), конечно, представляет определенные удобства при оценке прочности массива в конкретных ситуациях (так, например, сечение поверхности Т(ап, /1а) при 从° = 0 дает вполне удовлетворительное описание огибающей кругов Мора, как это широко принято). Введение Г отвечает тому, что было сказано выше о предельной прочности сдвигу в твердых телах. С этой точки
зрения введение инварианта Т означает, что предельная прочность достигается на площадках скольжения с максимальным касательным напряжением, положение которых обычно известно из предыдущего состояния, чаще всего упругого:
2(Т2 — сп — сгз Сз — 712
从(7 =, 開 b =,
6 — сгзт
Это позволяет ввести новый «паспорт прочности» (рис. 8) в переменных (2.5). Точка, представляющая напряженное состояние, находится под предельной поверхностью, когда рассматривается исходное напряженное состояние, близкое к гид-
Рис. 8. Паспорт прочности трехосного напряженного состояния
ростатическому, равновесному. Затем, при развитии горных работ по сооружению выработки или при бурении скважины точка перемещается на поверхность и движется вдоль нее в соответствии с ростом Т п о72 no абсолютной величине. Если и происходит реальный рост сопротивления сдвигу на площадках скольжения, то за счет трения. Влияние параметра Лодэ-Надаи сказывается на включении других площадок Т12 и & в работу.
Но этого недостаточно. Достижения предельного напряженного состояния (в смысле величин (2.5)) недостаточно для суждения о достижении предела прочности или исчерпании несущей способности сплошной среды в конкретных ситуациях (в окрестности скважины, выработки, на откосе, при оползнях и т. д.).
Главным дополнительным рецептом исследования послепикового поведения горных пород является исследование деформаций
Если при последовательном нагружении исходного «〃 situ) состояния не возникает вопрос ни о соответствии знаков в (2.1) и (2.6), ни о соответствии главных направлений напряженного и деформированного состояний, то в целом для характеристики необратимых деформаций и разрушения необходимо также ввести три новых инварианта:
Г = £1 — £3，
(27)(27)£ = £1 + £з,
(27)
(27)
从m =
£1 — £з
И дело здесь не только в том, что Г = Т(Г) — зависимость, которая должна быть определена в «чистых» условиях, т. е. при 〃。=从^ = 0, в состоянии основного сопротивления материала сдвигу, а еще и в том, что на ниспадающей ветви напряжения и деформации не связаны однозначной зависимостью (вспомните идеальную пластичность!), а представляют собой независимо и по отдельности определяемые из законов механики велпчпны:
—напряжения (усилия) определяются из законов равновесия или движения;
—деформации (и перемещения) — из законов сохранения массы с учетом дилатансии [24].
Конечно, отсутствие прямых зависимостей между напряжениями и деформациями является основным свойством при описании остаточной прочности Тост.
О роли напряжения az при равновесии объемного элемента можно сказать только одно: при условии плоской деформации вклад этой компоненты оказывается несущественным по сравнению с изменением других напряжений. В целом напряженное состояние в окрестности слабо подкрепленного пласта в окрестности скважины оказывается близким к состоянию чистого сдвига 从ь=о.
Для иллюстрации рассмотрим равновесие кольца из материала, окружающего выработку (рис. 6, 9). Под действием внешних сил материал находится в равновесии, если в нем созданы напряжения аг, о夕，az, при этом имеет место уравнение
(2.8)(2.8)илиилиа^г +ог一с о_qdr г '
(2.8)
(2.8)
или
или
03=总…），
т. е. изменение о夕 целиком определяется изменением аг по радиусу г. В рассуждениях всюду рассматриваются изменения напряжений, т. е. приращения напряжений по сравнению с исходным, в данном случае гидростатическим, в других ситуациях надо ввести неоднородность в правой части (2.8).
Это явление, связанное с ролью кольцевых усилий, до сих пор не получило бы признания, если бы не работы наших теоретиков в области механики грунтов и горных пород [5]. Дело в том, что непонимание этого явления связано с отсутствием подробных, детальных опытных фактов и наблюдений за поведением материалов на ниспадающей ветви. Поэтому очевиден наш интерес к ниспадающей ветви на диаграмме Т = Т(Г) (а как следствие, и на диаграмме а = о(£)одноосного сжатия) (рис. 7). В области Г > Т^ах (послепиковое давление) развиваются не только общие деформации, но и деформации сдвига (а значит, и дилатансия)— и этот эффект в изменении объема (сумма изменений объема за счет изменения среднего напряжения изменения объема за счет сдвига) оказывается самым существенным (рис. 8).
Трудно переоценить эту гипотезу по сравнению с другими (изменение объема скелета, объема пористости, эффекта проницаемости), так как проявление площадок скольжения, связанной с ним дилатансии являются, по-видимому, основными причинами для закона фильтрации. Изменение объема вследствие дилатансии оказывается в интересующей нас области (для задач нефти и газа) генеральным [23, 24]. В связи с этим надо рассматривать и влияние остаточной сдвиговой прочности Тост [29] (рис. 9), которую надо оценивать в массиве, а не по образцам, как
Рис. 9. Зависимость £ от Г (дилатансия) [28] (а), идеализация данных рис. 7 (6)
Ттах. Можно сказать, что последняя определяется по прочности по М. М. Про- тодъяконову (половина прочности при одноосном сжатии), а первая — Т0Ст — М. М. Протодъяконову (мл.) или С. Е. Чиркову [30].
2.4. Равновесие кольца из материала? окружающего выработку Для иллюстрации рассмотрим равновесие кольца из материала, окружающего выработку (скважину) (рис. 10). Под действием внешних сил материал кольца находится в равновесии, если в нем созданы напряжения аг,。夕，az, при этом имеет место уравнение равновесия (2.8).
Рис. 10. О законе равновесия и роли кольцевых напряжений. Уравнение равновесия плоского кольца [27]: при аг 0, г а 女^ =———— дг гг2
т. е. Да = 0 — чистый сдвиг
важно, тогда
^тах^ ~ Т°ст『*,
где г* — радиус кольца с наибольшим кольцевым напряжением, г* > а. При этом механические параметры в массиве и на образцах определяются как указано выше.
По мере удаления от выработки (г растет) или неподкрепленной (слабо подкрепленной) скважины (аг по величине растет) о夕 растет. Это важный вывод, так как именно кольцевые напряжения «душат» скважину, препятствуя фильтрации в нефтегазовых задачах, но защищают выработку от горного давления в типичных горных задачах.
В заключение пункта подчеркнем, что именно здесь проявляется конечность сопротивления сдвигу в твердых телах.
Таким образом, вне конкретных представлений о математической модели прочности только уравнения равновесия определяют напряженное состояние горного массива в окрестности выработки — таким важным эффектом оказывается возникновение кольцевых напряжений в окрестности выработки или скважины. Перемещения и деформации определяются из другого закона механики — закона сохранения масс.
Список литературы
Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под. ред. В. Е. Панина. Новосибирск: Наука, 1995. Т. 1. 298 с. Т. 2. 320 с.
Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением 〃 Укр. матем. журнал. 1954. Т. 6. № 3.
Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. Наука, 1966.
Клюшников В.Д. Новые представления в пластичности и деформационная теория 〃 ПММ. 1959. Т. 23. Вып. 4.
Христианович С.А., Шемякин Е.И. К теории идеальной пластичности 〃 МТТ. 1967. №4.
Христианович С.А., Шемякин Е.И. О плоской деформации пластического материала при сложном нагружении 〃 МТТ. 1969. № 5. С. 138-149.
Карман Г, Хаар А. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах 〃 Теория пластичности. М., 1948.
Ильюшин А. А. Деформация вязко-пластического тела 〃 Ученые записки МГУ. 1940. Вып. 39.
Ревуженко А. Ф., Стажевский С.В., Шемякин Е.И. О механизме деформирования сыпучего материала при больших сдвигах 〃 ФТПРПИ. 1974. № 3. С. 130-133.
Ревуженко А. Ф., Стажевский С.В., Шемякин Е.И. О несимметрии пластического течения в сходящемся симметричном канале 〃 ФТПРПИ. 1977. № 3. С. 3-9.
Ревуженко А. Ф. О деформировании сыпучей среды. Ч. 4. Микровращения 〃 Физ.-техн, проблемы разработки полезных ископаемых. 1983. № 6. С. 8-17.
Надаи А. Пластичность. ОНТИ СССР, 1936.
Шемякин Е. И. Две задачи механики горных пород, связанные с освоением глубоких месторождений угля и руды 〃 ФТПРПИ. 1975. № 6.
Батдорф С., Будянский Б. Математическая теория пластичности, основанная на концепции скольжения 〃 Механика. 1962. № 1.
Леонов М.Я., Швайко Н.Ю. Сложная пластическая деформация 〃 ДАН СССР. 1954. Т. 150. №5.
Новожилов В. В. О физическом смысле инвариантов напряжения 〃 ПММ. 1951. Т. 15, вып. 2.
Янг Ю.И. 〃 Вестник инженеров и техников. 1931. № 6.
Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.
Писаренко Г С., Лебедев А. А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. Киев, 1976. 415 с.
Ревуженко А. Ф., Шемякин Е. И. Некоторые постановки краевых задач Л-пластично- сти 〃 ПМТ①• 1979. №2. С. 128-137.
Шемякин Е. И. О хрупком разрушении твердых тел 〃 МТТ. 1997. № 2. С. 145-150.
Шемякин Е. И. Сейсмовзрывные волны в процессе горного производства. М.: ННЦ ГП - ИГД им. А. А. Скочинского, 2004. 76 с.
Христианович С.А., Желтов Ю.П. О гидравлическом разрыве нефтеносного пласта 〃 Изв. АН СССР, ОТН. 1955. №5. С. 3-41.
Шемякин Е.И. Синтетическая теория прочности 〃 Физ. мезомех. 1999. Т. 2. № 6. С. 63-69.
Ревуженко Л. Ф., Стажевский С.6., Шемякин Е.И. О структурно-дилатансионной прочности горных пород 〃 ДАН СССР. 1989. Т. 305. С. 1077-1080.
Ревуженко А. Ф., Стажевский С.В., Шемякин Е.И. Задачи механики сыпучих сред в горном деле 〃 ①ТПРШ4. 1982. № 3. С. 19-25.
Стажевский С. Б. Приложение механики сыпучих сред к решению некоторых задач механики горных пород 〃 ФТПРПИ. 1987. № 3. С. 3-15.
Адигамов ". С. 〃 др. Об учете дилатансии и разупрочнения при деформировании горных пород / Сб. поев. 70-летию И. Т. Айтматова. Бишкек, 2001.
Замахаев В. С. Переходные процессы в пластах при первичном вскрытии 〃 Бурение (Приложение к сб. «Нефть и капитал»). 2001. № 2.
Чирков С. £ Влияние масштабного фактора. М.: Наука, 1969.
ОБ ИДЕЯХ И РЕЗУЛЬТАТАХ Е.И. ШЕМЯКИНА
В МЕХАНИКЕ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ТВЕРДЫХДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ И ГОРНЫХ ПОРОД
Д.Д. Ивлев
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, Чебоксары
Евгению Ивановичу Шемякину принадлежат результаты в различных областях механики деформируемого твердого тела: теории вязких и пластических сред, деформированию и разрушению взрывом и ударом, механике горных пород и др. Характерной особенностью исследований Е. И. Шемякина является практическая направленность, создание расчетных методов и моделей.
Начальные исследования Евгения Ивановича связаны с динамическими задачами распространения нестационарных возмущений в вязкоупругих средах, волн нагрузки при подземных взрывах и т. д. Задачи динамики твердых тел и горных пород продолжают оставаться в сфере научных интересов Е. И. Шемякина. В определенной степени под влиянием С. А. Христиановича, Евгений Иванович выполнил исследования по фундаментальным вопросам теории пластических сред.
Сергей Алексеевич Христианович — один из выдающихся ученых-механиков 20-го столетия, ему принадлежит важный вклад в теорию пластичности. Еще в 1936 году С. А. Христианович опубликовал работу «Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре». Эта работа может быть поставлена в ряд основополагающих исследований классиков теории пластичности: Прандтля, Генки, Мизеса, Гейрингер и др. Именно результаты этой работы были положены в основу выдающихся исследований В. В. Соколовского.
Работа С. А. Христиановича и Е. И. Шемякина [1] посвящена теории идеальной пластичности. Авторы отмечают популярность условия пластичности Мизеса, но делают выбор в пользу условия пластичности Треска, утверждающего сдвиговой характер пластического деформирования при постоянстве максимального касательного напряжения
Tmax = F ；[ = J, Ts = CORSt,(1.1)
где Ттах — максимальное касательное напряжение, rs — предел текучести на сдвиг ai — главные напряжения.
В рассматриваемой модели идеально пластического тела [1] различаются состояния неполной
а{ -а3= 2rs, 6 > 02 >。3(1・2)
и полной пластичности
СЛ一03=2北，6 =02, ИЛИ 02 =03・(1.3)
В случае неполной пластичности предполагается наличие связи
。2 =厂”£+(1 - 2z/)£2] , (1.4)
где £ — средняя деформация, £2 — главная деформация, направленная вдоль главного напряжения。2・
При постоянных значениях к, г/, согласно (1.4), имеет место закон Гука, предполагается, что при пластическом деформировании величина ^ может зависеть от величины главного сдвига £1 — £3.
Наличие связи (1.4) позволяет проследить изменение напряжения 02 в зависимости от изменения деформаций.
Авторы [1] отмечают: «не производя разгрузки по имеющимся площадкам скольжения, можно изменить среднее 02 & пределах 内〉。2〉。3・ 〃Р〃。2 =。3 или。2 = 6 наступает полная пластичность.
Из сказанного выше следует, что, вообще говоря, пластическое течение может наступать только через полную пластичность, так как только при этом все деформации могут превзойти упругие. Течение при неполной пластичности является в некотором смысле исключительным 〃 может быть реализовано, & частности, в случае квазистатического деформированного состояния, когда течение происходит между двумя почти параллельными поверхностями^.
Таким образом, в работе [1] утверждается, что в процессе деформирования идеально пластического тела происходит процесс перехода от статически неопределимого состояния неполной пластичности к статически определимому состоянию полной пластичности.
Это утверждение имеет принципиальное значение для теории идеальной пластичности и теории предельного состояния тел.
В качестве иллюстрации рассмотрены два примера: деформирование кольца, ограниченного гладкими жесткими поверхностями, подвергнутого сжатию (растяжению) по толщине и внутреннему давлению, а также волочение длинной толстостенной трубы. В обоих случаях прослеживается процесс перехода зоны статически неопределимого состояния в предельное статически определимое состояние полной пластичности. В работе [1] обсуждается случай осевой симметрии, авторы приходят к выводу: «при увеличении деформаций всегда возникает состояние полной пластичности^.
В работе [2] на примере плоской деформации рассматривается деформирование пластического материала при сложном нагружении. Используются представления о сдвиговом механизме пластического деформирования, предполагается, что начальное пластическое состояние достигается при выполнении условия пластичности Треска.
«Простейшим видом сложного догружения является „ортогональное догружение", для которого главные оси тензора приращений напряжений составляют угол 7г/4 с главными осями тензора деформаций. Ортогональным будет & начальный момент догружение растянутого трубчатого образца крутящим моментом при постоянной растягивающей нагрузке, в этом случае направления главных осей тензоров деформаций 〃 напряжений первоначально совпадают». На основе экспериментальных данных (Нахди и Роули, А. М. Жуков и др.) устанавливаются зависимости между приращениями тензоров напряжений и деформаций, определяющие появление приобретенной анизотропии материала. Анализ полученных соотношений позволяет сделать вывод: «е задачах пластичности для упрочняющегося материала приращения деформаций не однозначно
определяются приращениями напряжений, а зависят также от граничных условий задачи. В модели идеальной пластичности это свойство проявляется наиболее отчетливое. И далее: ^Следует предположить, что идеально пластический материал также становится анизотропным в результате пластической деформации^.
Отметим, что обычно в теории идеально пластической анизотропии рассматривается начальноанизотропные среды (Мизес, Хилл и др.) с фиксированными величинами, характеризующими анизотропию.
Условие пластичности изотропного идеально пластического тела в случае плоской деформации имеет вид
(о)- о/ + 4% = 4,(2.1)
где ах, ау, тху — компоненты напряжений, отнесенные к величине предела текучести на сдвиг т$.
Условие (2.1) можно удовлетворить при помощи замен
。力=о — cos 2 仇 ау = а + cos 2 仇 тху = sin 2 仇
。=^(。力 +。)电20=士二.(2.2)
Из уравнений равновесия и (2.2) следует
± + 2 sin + 2 cos =0, ± + 2 cos 26»黑—2 sin 26»黑=0(2.3)
охохоуоуохоу
Предполагается [2], что о叮=а^(ж, у,р), где р — параметр нагрузки.
После дифференцирования соотношений (2.3) по параметру нагрузки 夕，из (2.3) следует
磐+2点112厘 + 2 cos 26»国=2整охохоу оу
(2.4)
粵 + 2 cos 2碎—2 sin = 2欢oyoxoy ox
где точка наверху означает дифференцирование по р.
Для определения скоростей перемещений, согласно [2], имеет место система уравнений
dу k% — eg
+ 祟)cos2Q -(醬-件)sin2Q = 2°『a,(2.5)
где vx, vy — компоненты скорости перемещения, £力,£у, £ху — компоненты деформации, А/ — модуль объемного сжатия, 〃力—модуль сдвига.
Система уравнений (2.4), (2.5) принадлежит к гиперболическому типу. Уравнения характеристик системы уравнений (2.4) имеет вид
|| = —tg (夕 士力4),(2.6)
системы уравнений (2.5)
g = -tg(Q±^/4).(2.7)
Уравнения (2.6), (2.7) в плоскости ху не совпадают, следовательно, направление приращения максимальных величин сдвиговых усилий и сдвигов не совпадают между собой, что ведет к развитию приобретенной анизотропии.
В работе [1] определены соотношения вдоль характеристик (2.6), (2.7) следующим из (2.4) и (2.5), обобщающие известные соотношения Генки и Гейренгер. Полученные соотношения позволяют развить алгоритм определения приобретенной анизотропии.
В работе определена также система уравнений, определяющая изменение деформированного состояния в зависимости от изменения напряжений для упрочняющегося тела.
В работе [3] Е. И. Шемякин рассматривает приобретение анизотропии при нагружении первоначально однородным изотропным пластическим материалом. В частности, рассмотрен случай, когда в ходе нагружения материал становится ортотропным.
И. Шемякину принадлежит изучение изменения пространственного напряженного состояния среды при мощном подземном взрыве [4, 5]. Рассмотрены случаи распространения цилиндрических и сферических волн. Используется представление о полном предельном состоянии среды. В случае сферических волн предполагается, что
— ar = к + т(ог +。夕)， ое = о夕， к,т = const, 0 < m < 1, (2.8) где аг, ое, о夕—компоненты нормальных напряжений в сферической системе координат 广夕夕.
Установлена асимптотика распространения возмущений: в области предельного состояния уменьшение амплитуд с расстоянием г происходит обратно пропорционально 『2—а, где а = (1 + т)/(1 — т). В упругой среде затухание обратно пропорционально г.
Полученные результаты позволили предложить новые оценки для сейсмического действия мощных подземных взрывов.
И. Шемякиным изучено распространение нестационарных возмущений в слое жидкости, находящемся в контакте с упругим полупространством. Изучен сейсмический эффект мощного подводного взрыва. Рассмотрены свойства «поверхностной» волны давления, распространяющейся по границе раздела жидкости и упругого полупространства, моделирующего скальное основание дна. Изучено взаимодействие волн в слое жидкости, ограниченным свободной поверхностью и дном. Выявлено влияние возмущений, возникающих за счет преломлений и отражений, распространяющихся волн.
В работе [4] обсуждаются вопросы построения модели твердой деформируемой среды, в которой при быстрых нагружениях обнаруживается значительное влияние внутреннего трения. Среда моделируется совокупностью «шариков», плотно упакованных и прочно сцепленных между собой. При деформировании среды может происходить как объемная деформация, так и сдвиговая, связанная с проскальзыванием шариков друг по другу, с нарушением сцепления и трением. При определенных условиях среда может работать в режимах упругого деформирования, гидродинамического состояния или близкому к нему состоянию идеальной текучести и, наконец, состояние внутреннего трения, соответствующему нарушению сцепления между «шариками» и значительной величине трения между ними. Механизм внутреннего трения описывается зависимостью предельного касательного напряжения от среднего давления, причем эта связь может быть нелинейной.
Введение подобной модели связано с опытными данными, о затухании волн напряжений в прочных горных породах, указывающих на более быстрое убывание амплитуд, предсказываемых «упругим» и «гидродинамическим» приближениями.
На основе предложенной модели рассматриваются явления затухания сферических волн в твердых телах и результаты экспериментов по динамическому сжатию железа и кварца в плоской ударной волне. Показано, что результаты расчетов определяют порядок затухания волн, наблюдаемый в экспериментах.
Особое внимание в работах Е. И. Шемякина уделяется механике горных пород. В задачах механики горных пород основным является вопрос прочности (устойчивости) горных пород в окрестности подземной выработки. Основной моделью для исследования является круговая выработка, расположенная на заданной глубине и имеющая определенную ориентацию. В процессе выработки происходит перераспределение напряжений, сопровождаемое деформированием горной среды. Е.И. указывает на исключительную важность определения развития касательных напряжений для оценки сдвиговой прочности. Именно сдвиговая прочность характеризует сопротивление разрушению твердых тел. С достижением предельной сдвиговой прочности в полной мере проявляется анизотропия сопротивления сдвигам. Именно возникновение анизотропии в результате роста касательных напряжений является едва ли не самым примечательным механическим эффектом, сопровождающим создание выработок. Другим важным явлением, сопровождающим выработку, является дилатансия — изменение объема, связанное со сдвигом. Далее одним из основных моментов необратимого поведения горной среды в процессе выработки является уменьшение касательного напряжения с одновременным ростом сдвига, так называемое разупрочнение материала. Отмеченные эффекты явились предметом пристального внимания коллектива ученых СО РАН под руководством Е. И. Шемякина. В результате определилось новое представление о деформировании грунтов и горных пород в результате сдвигов, когда в реальном теле появляются различные площадки скольжения, разделяющие тело на блоки. Естественно, что в подобных весьма сложных процессах важно выделить основные характерные параметры, позволяющие ввести надежные оценки прочности. В качестве основных параметров характеризующих напряженное состояние предлагается рассматривать три инварианта
丁 _ <71 + (Тз_ 2(Т2 — 6Т1 — аз、、
丿—55 , 从о —, 6》。2》。3・(3」)
Именно параметр Лоде
Мег -—2，—2
позволяет оценить роль прочности массива по «промежуточным» главным сдвиговым усилием &, 丁12・
Введение инвариантов, характеризующих кинематику деформирования
Г = £1 — £з, £ = £1 + £з, 从е = , 門〉后2 > 后3・(3.3)
позволило установить, что на ниспадающей ветви — разгрузке, напряжения и деформации не связаны между собой однозначной зависимостью (аналогично поведению приращений деформаций на ребрах поверхностей текучести) а представляют собой независимо и по отдельности, определяемые из законов механики величины.
Е. И. Шемякину принадлежит последовательное развитие представлений о сдвиговом характере предельного состояния и разрушения твердых деформируемых тел и горных пород, учет влияния промежуточных максимальных сдвиговых усилий и сдвигов, обоснование перехода к полному предельному состоянию, как реализации максимальной возможности сопротивления горных пород разрушению. Развитие представлений об особой роли анизотропии и дилатансии, сопровождающих образование блочного характера разрушения горных пород. Обоснование наличия свободы механизма сдвигов, независимо от вида напряженного состояния.
Широкий спектр теоретических и экспериментальных исследований Е. И. Шемякина и его сотрудников существенно обогатил и продвинул механику деформируемого твердого тела и горных пород [5].
Список литературы
Христианович С.А., Шемякин Е.И. К теории идеальной пластичности 〃 Инж. ж. МТТ. 1967. №4. С. 86-97.
Христианович С.А., Шемякин Е.И. О плоской деформации пластического материала при сложном нагружении 〃 Инж. ж. МТТ. 1969. № 5. С. 138-149.
Шемякин Е. И. Анизотропия пластического состояния 〃 «Численные методы сплошной среды». Новосибирск: Изд-во АН СССР СО, ВЦ, 1973. Т. 4, № 4. С. 150-162.
Шемякин Е. И. О волнах напряжений в прочных горных породах 〃 ПМТФ. 1963. № 5.
Шемякин Е.И. Сейсмовзрывные волны в процессе горного производства 〃 Москва, Нац. научный центр горного производства — Институт горного дела им. А. А. Скочинского. 2004. С. 1-75.
Христианович С. А., Шемякин Е. И. О динамической сжимаемости прочных горных пород и металлов 〃 ПМТФ. 1964. № 3.
Шемякин Е. И. Работы, представленные в авторском списке в настоящем сборнике.
ПРОДОЛЬНАЯ ТРЕЩИНА В ПРЕДНАПРЯЖЕННОМУПРУГОМ СЛОЕ С ЗАЩЕМЛЕННЫМИ ГРАНЯМИ
В.М. Александров, М. В. СеровИнститут проблем механики РАН,Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Рассмотрена плоская задача о продольной трещине в слое, симметрично расположенной относительно его граней. Слой подвергнут большой деформации в своей плоскости однородными усилиями. Затем грани слоя защемлены и к берегам трещины приложено равномерное давление. Предполагается, что материал слоя описывается упругим потенциалом гармонического типа. Считается, что дополнительные напряжения, вызываемые наличием нагруженной трещины в слое, малы по сравнению с основным нелинейным напряженным состоянием слоя. Это дает возможность линеаризовать задачу по определению дополнительных напряжений на фоне основного напряженного состояния. Такая линеаризованная задача сведена к интегральному уравнению первого рода с сингулярным ядром относительно производной от функции, описывающей раскрытие трещины. Для различных значений безразмерного параметра, характеризующего преднапряжение слоя, построены асимптотические решения указанного интегрального уравнения при малых и больших значениях безразмерного параметра, характеризующего толщину слоя. Дан конкретный пример.
Аналогичные задачи о трещинах в преднапряженных телах рассматривались, например, в монографиях [1, 2]. Данная задача изучена здесь впервые.
Постановка задачи и исходные соотношения. Рассмотрим бесконечный слой с продольной, симметрично расположенной относительно его граней трещиной. Будем предполагать, что материал слоя можно описать упругим потенциалом гармонического типа. В начальном состоянии слой с трещиной находится в условиях однородного в его плоскости поля нормальных напряжений. Начальные нормальные и касательные напряжения на площадках, параллельных граням слоя, отсутствуют. При сделанных предположениях перемещения и напряжения в начальном состоянии определяются формулами [3]
叫=(% — 1)叼=(% — 1)入丁％・(％ = const, j = 1,2,3),(1)
吟• = 2从/\丁 (%一入2),入(入1 + 入2 + 入3 - 3) = -2从(/\2 - 1).
Здесь Xj — лагранжевы координаты, yj — декартовы координаты начального состояния, А и /1 — упругие постоянные, Aj — коэффициенты удлинений вдоль осей Xj, они всегда положительны. Область, занятая слоем в начальном состоянии, определяется условиями: \у\| < оо, |沙2丨 W h, \уз\ < оо. Трещина в слое в начальном состоянии занимает область: |%| < а,续=0, \уз\ < оо.
малы. В этом случае задачу определения дополнительных напряжений и перемещений можно линеаризовать на фоне основного нелинейного напряженно-деформированного состояния (1). При этом дополнительные перемещения щ и 〃2 точек слоя, вызванные нагрузкой q, удовлетворяют следующим уравнениям равновесия плоской деформации [3]
97 №"1 , 7 d2Ui ,Q 仇2—h °20—H Q97 №"1 , 7 d2Ui ,Q 仇2—h °20—H Q№"2№"2^1^2^1^2=О,=О,д1 и\д1 и\^1^2^1^2=О,=О,⑵⑵
97 №"1 , 7 d2Ui ,Q 仇2—h °20—H Q
97 №"1 , 7 d2Ui ,Q 仇2—h °20—H Q
№"2
№"2
^1^2
^1^2
=О,
=О,
д1 и\
д1 и\
^1^2
^1^2
=О,
=О,
⑵
⑵
ЬЦ?У，历=(1+Хз + 2,
а = /Хе], /3 = /X 〃-1
а дополнительные напряжения。21 и 022 связаны с дополнительными перемещениями соотношениями [3]
+ (/3 + 2)+ (/3 + 2)°22°22=%(1+a)=%(1+a)(3)(3)
+ (/3 + 2)
+ (/3 + 2)
°22
°22
=%(1+a)
=%(1+a)
(3)
(3)
(аналогичные формулы для дополнительных напряжений ап и 012 нам далее не понадобятся).
Сведение задачи к интегральному уравнению. Рассмотрим сначала вспомогательную задачу со следующими граничными условиями:
"1 = "2 =0匂2 =九)，
021=0，察=不‘匂1）匂2=。）,021=0，察=不‘匂1）匂2=。）,⑷⑷
021=0，察=不‘匂1）匂2=。）,
021=0，察=不‘匂1）匂2=。）,
⑷
⑷
〒匂1) =7‘(%) (51 Wa)，子匂1)=0(① 1>a)，
где 2)(gi) — неизвестное пока раскрытие трещины. Для ее исследования будем искать решение уравнений (2) в форме [3]:
⑸⑸
⑸
⑸
Подставляя (5) в (2), убедимся, что первое уравнение (2) удовлетворяется тождественно, а второе приводит к следующему уравнению относительно функции Х(У1，У2)[3]：
Далее функцию х будем искать в виде интеграла Фурье:
Х = ± ] Х(),у2)ef 切办Х = ± ] Х(),у2)ef 切办⑺⑺
Х = ± ] Х(),у2)ef 切办
Х = ± ] Х(),у2)ef 切办
⑺
⑺
Подставляя (7) в (6), найдем для трансформанты Фурье Х(), у?) после решения обыкновенного дифференциального уравнения выражение
X = ©б) + С2(7)^|71Ы 2)版 + Сз(т)+ С4(7)^ЫЫ е—°旧缴.⑻
Теперь для определения величин С/(7) (/= 1,2, 3,4) представим разрывную функцию 不'(pi) вида (4) в форме интеграла Фурье:
?Ь) = ^ j Г(7) е-^1 S，?Ь) = ^ j Г(7) е-^1 S，⑼⑼
?Ь) = ^ j Г(7) е-^1 S，
?Ь) = ^ j Г(7) е-^1 S，
⑼
⑼
и перезапишем с помощью формул (3), (5), (7) и (9) граничные условия (4) в трансформантах Фурье. В результате с учетом формулы (8) придем к системе четырех алгебраических уравнений относительно величин С/(7). Решив эту систему, в частности, найдем
3(%,0) = *])'(S)dS [^1^^^ (〃制)九，(Ю) — аО
Н = ah,Н = ah,8 — 4(3а/3 + 4a — /3 — 2)а 入 з(В + 2)
Н = ah,
Н = ah,
А = 2(а/3 +/3 + 2)2
198 + /3 + 4a + 2)(3а/3 + 4a — /3 — 2)5
A _ 5炉2『+ 16a2/3 — 2a外 + 16『一4a/3 + 外 + 4/3 + 4
2(Q/3 + /3 + 4a + 2)(3a/3 + 4a — /3 一 2)，
A _ 2(a/3 + /3 + 2)
3 — а/3 + /3 + 4а + 2'
Величину 0 назовем контактной жесткостью. Видно, что при некотором значении а = &кр = (С + 2)(3/3 + 4)т < 1 величина 夕 обращается в нуль, а величины Ai и А? обращаются в бесконечность. Далее будем считать, что а > акр.
Перейдем теперь к основной задаче. Ее граничные условия отличаются от граничных условий вспомогательной задачи (4) только четвертым условием, которое теперь имеет вид
022 = -q 匂2 =0，回1wa)，袈=0匂2 =。，1g1|>a)，(11)
где q — равномерное давление, действующее на берега трещины.
Удовлетворяя с помощью соотношения (10) первой части граничного условия (11) (вторая его часть удовлетворена в ходе решения вспомогательной задачи (4)),
придем к следующему интегральному уравнению относительно функции 7‘(gi)：
К (中)d£ = -* (回 Y а),(12)
— a
сю2
长⑶=]Ци) sin uz du, W)=弋;”ЦА2.
0
Заметим, что для функции L(u) вида (12) имеют место асимптотические соотношения
Z/(〃)= 1 + О(е -2")— оо),(13)
e(") = J У+。(")(" 一0) •
U _ а3
В силу первого соотношения (13) и интеграла [4]
I sin uz du = ；(14)
о
убеждаемся, что интегральное уравнение (12) является сингулярным.
Если а = 1 и A3 = 1, то в силу последней формулы (1) имеет место равенство: Xi =入2 = 1・ В этом случае уравнение (12) переходит в интегральное уравнение задачи о трещине в предварительно ненапряженном слое с защемленными гранями. Такая задача была рассмотрена ранее [5]. Заметим также, что в этом частном случае
夕=Ai = Аз = -, А2 = 1 У 0 = 3 -
где G и и — модуль сдвига и коэффициент Пуассона.
Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя. Введем безразмерный геометрический параметр £ = Н/а и построим главный член асимптотики решения интегрального уравнения (12) при малых значениях £. Для этого произведем в уравнении (12) замены переменных по формулам
введем обозначение
8(丁)= 7’ (тН - а)
и устремим £ к нулю в верхних пределах изменения 丁 п 方.В результате придем к следующему интегральному уравнению относительно функции g«):
I g(t) К(т — t) dr =—早 (0 < t < oo).(15)
о
Решение уравнения (15) может быть найдено методом Виннера-Хопфа [6].
(16)(16)Для построения решения в аналитическом виде аппроксимируем функцию L(u) вида (12) выражением
(16)
(16)
и рассмотрим уравнение вида (15) с ядром
К*⑶ = I L*{u) sin uz du,(17)
о
оtкуда найдем 以*(方).
Известно [7], что при таком подходе относительная погрешность
sup心⑴-⑴I心⑴「t
не будет превосходить относительной погрешности
sup \L(u) - L^(u)\ |L(u)|-1.(18)
и
Заметим, что функция !/*(〃)，определяемая формулой (16), стремится к единице при 〃 — оо, как это и требуется первым соотношением (13). Второе из соотношений (13) накладывает ограничение на связь между А и В выражения (16). Именно
А2 = 1 + А?
В- — 2-Аз'
Наконец, вторую из постоянных А и В найдем из условия минимизации величины (18).
Теперь в результате применения техники метода Винера-Хопфа (которую не описываем) к интегральному уравнению вида (15) с ядром (17) получим
+- В erf [\/(A — В)方]),(19)
где erf (力)—интеграл вероятности.
На основании формулы (19) главный член асимптотики решения при малых £ интегрального уравнения (12) можно приближенно представить в виде [8]
М …宁)j*D・(2。)
Асимптотическое решение при большой относительной толщине слоя. С помощью интеграла (14) представим ядро К(2)интегрального уравнения (12) в форме
К(2)=、歹(2), (21)
где функция 歹(2)— регулярная часть ядра. Раскладывая F⑶ в степенной ряд по 2, найдем
尸⑶=t九+1,n=0
• о
Можно показать [7] на основании первого соотношения (13), что ряд (22) абсолютно сходится при |^| < 2. Отсюда следует, что дальнейшее использование разложения (22) возможно при £〉1.
Подставляя выражения (21) и (22) в интегральное уравнение (12) и переходя в нем к безразмерным переменным и величинам по формулам
诉=个，？ =* 夕(？) =7”)
ааи
(штрихи далее опускаем), получим
(23)
n=0
Обращая сингулярный оператор, стоящий в левой части уравнения (23), найдем [7]
夕(％) = —2——-Wi —I J dr I 夕⑹成.(24)
Будем искать решение интегрального уравнения (24) в виде
夕匂 1)=工 Sn(gi)£—2"(25)
Подставляя выражение (25) в уравнение (24) и приравнивая в нем слева и справа члены при одинаковых степенях £, придем к бесконечной системе соотношений, из которых последовательно могут быть найдены функции 夕^(gi). Приведем результат такого решения уравнения (24) с точностью до членов порядка е-8:
9匂"=-7^7 Г + 券+口；""乳(з 就-1)] +
+ ^- [I ао + Ia0旬仅加 + ^) + ； "2(5尤 + 5加-T)] } +。.(26)
Пример. Рассмотрим случай, когда а = 1 и /3 = 2. Ограничимся нахождением зависимости от £ коэффициента интенсивности N нормальных напряжений в вершине трещины (на ее продолжении). Воспользуемся формулой [2]
N = - lim 61“"，а — % .
На основании результатов (19), (20) при малых значениях £ имеем
а на основании результата (26) при больших значениях £ найдем
彘，卜+券+"亨+%+x*+需+争)]+。6)■
(28)
Полагая
А = 1.327, В = 0.6603, добиваемся, чтобы погрешность аппроксимации (16) не превосходила 8.5 %. Для коэффициентов а°,。1 и 做 имеем
。0 = —3.753, сц = 1.336, з = —0.5576.
В таблице для различных £ (первая строка) даны значения величины —
посчитанные по формуле (27) (вторая строка) и формуле (28) (третья строка).
£
2
2.2
2.387
2.5
2.724
3
4
N qVa
0.489
0.512
0.534
0.546
0.570
0.598
0.691
N
0.453
0.503
0.534
0.548
0.570
0.591
0.636
%
7.800
1.831
0
0.308
0
1.275
8.679
В последней строке в процентах дано расхождение между значениями величины —полученными при больших и малых £. Видно, что в диапазоне 2.2 < s < 3 имеет место отличное смыкание между асимптотическими решениями.
Критерии разрушения для преднапряженных тел, использующие коэффициент N интенсивности нормальных напряжений в вершине трещины, даны в [1].
Список литературы
Гузь А. Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1983. 296 с.
Александров В.М., Сметанин Б. И., Соболь Б. В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 224 с.
Гузь А. Н. Комплексные потенциалы плоской линеаризованной задачи теории упругости (сжимаемые тела) 〃 Прикладная механика. 1980. Т. 16, № 5. С. 72-83.
Брычков Ю.А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 288 с.
Сметанин Б. И. Некоторые задачи о щелях в упругом клине и слое 〃 Инж. ж., МТТ. 1968. №2. С. 115-122.
Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1962. 280 с.
Ворович И. И., Александров В.М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.
Александров В.М., Сметанин Б. И. Равновесная трещина в слое малой толщины 〃 ПММ. 1965. Т. 29, вып. 4. С. 782-785.
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕДВУХСЛОЙНОЙ КЛЕЕКЛЕПАНОЙ ПАНЕЛИ С ТРЕЩИНОЙ
Б.Д. Аннин, В.Н. Максименко, А. В. Тягний
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирский государственный технический университет
Решается задача о взаимодействии двух пластин, соединенных клеевым слоем и заклепками. Одна из пластин ослаблена эллиптическим отверстием или разрезом (трещиной). Задача сводится к решению интегральных уравнений со слабой логарифмической особенностью относительно неизвестных касательных усилий в связующем слое.
При проектировании конструкций возникает необходимость оценивать опасность дефектов типа трещины в двухслойных клееклепаных панелях из изотропных и анизотропных материалов. Ниже с помощью функций Грина решаются задачи определения напряженно-деформированного состояния (НДС) плоской двухслойной клееклепаной панели с трещиной в одном из анизотропных слоев. Задачи сводятся к системе интегральных уравнений, и дается алгоритм их численного решения. Предлагается метод учета изгиба слоев в зоне повреждения. Приводятся результаты расчетов.
Рассмотрим бесконечную прямолинейную анизотропную пластину 7 толщины 九О, ослабленную эллиптическим отверстием с полуосями а и 6, ориентированными вдоль осей Ох и Оу (рис. 1). В частном случае при b = 0 отверстие ста-
Рис. 1Рис. 1
Рис. 1
Рис. 1
толщины /г⑵.Пластины дополнительно скреплены m заклепками диаметром d, поперечные сечения которых с центрами в точках 2°） = х^ + 〃у°） занимают область
А = U。⑺（/ = 1,2,…,ОоГШ = 0）.
К каждой из пластин приложена система внешних нагрузок, действующих в ее плоскости （на рис. 1 показано растяжение пластин в направлениях Ох и Оу）. Определим НДС такого комбинированного соединения.
Примем ряд допущений [2, 3, 6]. Толщина пластин и клеевого слоя малы по сравнению с характерными размерами области соединения. Склеивающий слой и заклепки передают только усилия сдвига. Пластины находятся в обобщенном плоском напряженном состоянии. Ослабление пластин за счет постановки заклепок не учитывается. При прохождении трещины через заклепочное отверстие не учитывается влияние этого отверстия и его заполнение заклепкой. Заклепочное соединение рассматривается как упругая связь между пластинами по области О°） площади S = 7rd2/4, аналогичная клеевой, с иной характеристикой жесткости. Усилия, действующие со стороны клея （заклепки） на каждую из пластин, считаются объемными, равномерно распределенными по толщине （учет эксцентриситета приложения усилий будет дан позже）.
Перемещения пластин 〃（1"）（2）вдоль оси Ох и о（1"）（2）вдоль оси Оу （2 = =力 + 5g）, деформации сдвига 7力（2）, 7夕（2）и касательные напряжения тх = 丁力（2）, Ту = %（2） в клее должны удовлетворять заданной системе внешних нагрузок, приложенных к пластинам, и условиям совместности смещений пластин и клея:
2 e Во,2 e Во,⑴⑵⑴⑵〃⑴（2）- 〃⑵（2）= 7力（/）△。⑴（2）-。⑵（2）= 7g（?）△
2 e Во,
2 e Во,
⑴
⑵
⑴
⑵
，4Д
Gx,y（^ = < qx,y^（f
где G — модуль сдвига клея, qx,期—податливость заклепочного соединения. Перемещения пластин / и 2 представимы в виде
〃⑴⑶=〃f）（2）+ 〃『）（2）,。⑴⑶=К"（2）+ 0『）（2）,（3）
"⑵⑶=u^⑶+⑶+ "0 -以g，0⑵⑶=0f）⑶+ 0产⑶+00 +以力，（4）
где “о,。0, & — параметры, характеризующие перемещение и поворот пластины 2 как жесткого целого относительно пластины /; “;"）（2）, v^\z） — перемещения от действия неизвестных распределенных усилий （—尸丁也用⑶/配）со стороны связующего слоя; u^\z）, v^\z） — перемещения от действия заданных внешних усилий, приложенных к пластинам; для пластин с эллиптическим отверстием и без него под действием растягивающих усилий на бесконечности выражения для u^\z}, v^\z} приведены в [7].
Ох — u^\z, t）, v^\z, t） и вдоль оси Оу — Uy^\z, t）,碎）（2,方），то перемещения “俨⑶，о『）（2）можно представить следующим образом （п = 1,2）:
"俨⑶=^y||н（2,方）/（方）+増）（2,方兀⑴]dxt dyt,
九 D（5）
。伊⑶=卜/）（2,方）/（方）+唄（2,方几⑴]dxt dyt.
Аналитические выражения решений для сосредоточенной силы в неограниченной анизотропной пластине и в пластине с эллиптическим отверстием приведены в [7].
Уравнениям （1） с учетом （2）-（5） можно придать вид
-^^t^ +]]肉 1（2,方）%⑴ + e2（2,方）％⑴]dxt dyt -uy + uQ= Hi ⑶，
施1（2,方）% ⑴ + k22（2,方）％ ⑴]dxt dyt +=r2（2）；
阮1（2，方）=之宰旦kg = ^*U，n=l 〃n=l〃
阮紘（2/）=泸，n=l “n=l“
h1 ⑶="？）（2）- U^\z\必⑶=。?）⑶-T）（2）.
Систему уравнений необходимо дополнить условиями равновесия пластин:
^Tx{t）dxtdyt =0, ^Ty{t）dxtdyt = 0, || \тх（1）у - ту（1）х\ dxt dyt = 0.（7）
DDD
Выражения （6） представляют собой интегральные уравнения Фредгольма, ядра которых kii（2,方），k12（2,方），k21（2,方），k22（2,方）имеюt интегрируемую логарифмическую особенность.
При b = 0 эллиптическое отверстие вырождается в разрез （трещину）, в окрестности вершин трещины напряжения имеют известную особенность. Если %（2）, Ту⑺ известны, то коэффициенты интенсивности напряжений отрыва （КИН） К\ и сдвига К? [5],
Ki（±a） = lim Од（力，0），27rlz — а|, &（土a） = lim 丁力夕（力，0），27rlz — a|, 力—土a±0力一士a±0
вычисляются по формулам работы [2].
Численная реализация. При численной реализации уравнений область D разбивается на М прямоугольных или квадратных ячеек О°）, каждая площади S°）с центром в точке 2°）=力°）+ 〃g（"） （/ = 1, М）, причем одной заклепке соответствует одна ячейка площади S（"）= S （/ = 1,2,..., m, m < M）. Размер ячеек в области Do должен быть уменьшен в предполагаемой области увеличения градиента напряжений 丁力（2）, %（2）. Неизвестные напряжения 丁力（2）, %（2）считаются
постоянными внутри каждой ячейки О°)и равными соответственно Тх \ 丁?)(/ = =1,2,..., М).
Дискретный аналог уравнений (6), (7) можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных 丁?)，丁了)：
[k『)d。+ k^lK^ - шу^ + u0 =砂)，
P = 1,2,..., M;
[感"Т?)+ ^l^Ty^\ + G 力8)+ 。0 =砂)，⑻
MM гг
仆⑺=0, £ T^S^ = 0, £ \т^у^ + *)力。)S^ = О,2=12=1丄」
knj(z^\t)dxt dyt,knj(z^\t)dxt dyt,n ^ j или p ^ I,n ^ j или p ^ I,D(z)"°)+ Л kjj^Xi^dxt dyt,D(z)D(z)"°)+ Л kjj^Xi^dxt dyt,D(z)
knj(z^\t)dxt dyt,
knj(z^\t)dxt dyt,
n ^ j или p ^ I,
n ^ j или p ^ I,
D(z)
"°)+ Л kjj^Xi^dxt dyt,
D(z)
D(z)
"°)+ Л kjj^Xi^dxt dyt,
D(z)
Интегралы, входящие в выражение для коэффициентов 卜^：丿 находятся численно. При 夕# /, т. е. z^ 阴 D^, применяется дважды (по координатам хну) квадратурная формула Гаусса наивысшей алгебраической точности для постоянной (единичной) весовой функции с N узлами [1].
Если р = I, т. е. 2(。)6 D^, то внутри области интегрирования возникает интегрируемая особенность типа 1п(2(。)—方)при t — z^. В этом случае область D⑴ разбивается на четыре прямоугольные подобласти, при этом точка z^ совпадает с одной из угловых точек каждой из этих подобластей. Интеграл по каждой из этих подобластей находится двукратным применением квадратурной формулы Гаусса без выделения особенности при N = 2 + 3.
Подобранные значения N обеспечивают приемлемую точность вычисления интегралов; дополнительное увеличение N приводит к незначительному (не более чем на 1 %) уточнению найденных из системы уравнений (8) значений 丁工)，Ту\
Растяжение двухслойной бесконечной панели. Рассмотрим задачу о двуосном, совместном на бесконечности растяжении двухслойной клееклепаной панели с одним из слоев, имеющим трещину. Данная задача совпадает в постановке с предыдущей задачей в предположении, что область D бесконечна (что не исключает наличия отслоения в клее по ограниченной области). Следуя [6], нетрудно показать, что решение этой задачи может быть представлено в виде суммы решений двух задач. Первая задача — о совместном деформировании
двухслойной неповрежденной клееклепаной панели (при возможном отслоении) под действием исходных растягивающих погонных усилий
Tх =e員)⑴小1)+(片)⑵小％ ту =e个)⑴М1)+ (喑)⑵小％
приложенных на бесконечности. Ввиду отсутствия трещины в пластинах реализуются одинаковые равномерные деформированные состояния. Вторая задача — о действии некоторого равномерного давления р на берега трещины в панели исходной конфигурации. Характерная асимптотика напряжений около вершины трещины и, соответственно, коэффициенты интенсивности напряжений будут равны в основной и второй из двух вспомогательных задач. Решение последней задачи имеет локальный, быстрозатухающий характер.
В нашем случае связь между р на берегах трещины во второй задаче и погонными усилиями Тх и Ту дается формулой
_ С1ТЖ + с2Ту〃 —с，
Сз
71/1 _ 71 — 7У(2) (2)\
「 _ 沙12 —沙12「1 —沙12沙21 I 1 —沙12沙21 I
-户国%⑵丛2)，I *)ёf)十h⑵咪丿，
Сз =九⑴02 +Сз =九⑴02 +]—沙12沙21九⑴川)Eг)]—沙12沙21九⑴川)Eг)++1 _ 7]—沙21沙121 _ 7]—沙21沙12
Сз =九⑴02 +
Сз =九⑴02 +
]—沙12沙21九⑴川)Eг)
]—沙12沙21九⑴川)Eг)
+
+
1 _ 7
]—沙21沙12
1 _ 7
]—沙21沙12
Предполагается, что материал пластин — ортотропный и главные направления упругости совпадают с осями координат; Е^, Е^ — модули упругости пластин в направлениях О/, Оу, ^心二)—коэффициенты Пуассона.
Учет изгиба. В реальной конструкции при появлении и распространении трещины в одном из слоев за счет перераспределения через клеевой слой внутренних усилий в пластинах возникает изгибный момент, способствующий дополнительному раскрытию трещины и увеличению КИН. Если одноосному рас-
Рис. 2Рис. 2
Рис. 2
Рис. 2
тяжению подвергается двухслойная панель конечной ширины 21У, то изгибному моменту сопротивляется составное сечение панели Q размером 2W(h^ + h^), изображенное на рис. 2 (толщиной клея пренебрегаем); ось О£ перпендикулярна плоскости хОу (см. рис. 1). Обобщая метод работы [6] учета изгиба на случай двух склеенных ортотропных пластин, получим следующее выражение для КИН с учетом изгиба М：
= ] + а无⑴s⑴;A⑵)Umax (] _kh(9)
J p9£dxd£
/=[P^)^ - &)2d/代 Co = 7,
Здесь J — момент инерции поперечного сечения двухслойной пластины относительно нейтральной оси О'х' (рис. 2), р® — редукционный коэффициент, Е⑴, 石(2)— модули упругости пластин / и 2 в главных направлениях, совпадающих с направлением приложения нагрузки, Q — поверхность поврежденного трещиной поперечного сечения двухслойной панели (заштрихованные области на рис.2), К[ — КИН отрыва, определенный из решения задачи о действии давления р на берегах трещины в бесконечной двухслойной поврежденной пластине, Кц = =ру/тга f(a/W) — КИН отрыва при растяжении усилиями р пластины 7 ширины 2W с трещиной длины 2a [5], go ——определяет положение нейтральной оси относительно произвольно выбранной системы координат Оху^.
Результаты расчетов. На рис. 3 квадратиками и кружками представлены значения КИН К\ /ру/тта, полученные в работе [6] при испытании на растяжение двух одинаковых панелей. Каждая панель состоит из двух склеенных достаточно
0,50,50,90,90,80,80,60,6чета изгибачета изгибаС учетом изгиба о • Эксшфименты М.С учетом изгиба о • Эксшфименты М.1520口，мм1520口，мм
0,5
0,5
0,9
0,9
0,8
0,8
0,6
0,6
чета изгиба
чета изгиба
С учетом изгиба о • Эксшфименты М.
С учетом изгиба о • Эксшфименты М.
1520口，мм
1520口，мм
Рис. 3
длинных пластин, ширины 2W = 150 мм, в одной из пластин — центральная трещина, толщина клея △ = 0,381 мм. Упругие постоянные пластин:石=71,0 ГПа, и = 0,33 (в расчете они принимались как ортотропные со слабой степенью анизо-
тропии* Ех = Еу = Е, ^ху = %力=。,33, GХу = G,力=0,999 x {石/[2 x (1 + 忆g)]}), клея: G = 0,414 ГПа, толщина каждой пластины Д = 1,6 мм. При определении КИН расчетным методом рассматривалась возможность возникшего из-за концентрации напряжений в клее отслоения эллиптической формы, характеризуемого отношением Ь*/а (рис. 3).
Для каждого из вариантов отслоения в зависимости от длины трещины были рассчитаны значения К\/рд/тш (пунктирные линии), а также с помощью формул (9) — КИН K'lp^fi^ с учетом изгиба (сплошные линии). Результаты расчета показывают, что наиболее точное совпадение с опытными значениями дает учет изгиба и отслоения Ь*/а = 0,1. Отслоение такой формы и размера наблюдалось в эксперименте [6].
Для сравнения эффективности вариантов присоединения ремонтной накладки к поврежденной пластине рассмотрим соединение, схематично изображенное на рис. 4. Пластина из композитного ортотропного материала (Е^“ = 17,85 ГПа,
Рис. 4
Еу^ = 53,84 ГПа, G^ = 8,64 ГПа, ^^ = 0,25;九⑴=2 мм) с трещиной подвержена растяжению усилиями (o/)(D・ К пластине симметрично относительно центра трещины присоединена композитная накладка (Е^ = 27,6 ГПа,石产)=276,1 ГПа, = 10,35 ГПа, £)= 0,25,九⑵=2 мм) одним из трех способов: посредством заклепок, клеевым и клееклепаным. Заклепки диаметром d = 4 мм предполагаются в расчете абсолютно жесткими, расстояние между любыми двумя ближайшими заклепками в направлениях Ох и Оу равно 20 мм. Клеевое соединение (G = =0,26 ГПа, △ = 0,2 мм) имеет форму прямоугольника с размерами 40 х 80 мм. Область соединения (в первом квадранте) разбивалась на 65 элементов, что обеспечивало погрешность менее 1 %.
Результаты расчетов представлены на рис. 4. Как следует из графиков, клеевое соединение значительно эффективнее клепаного. Дополнительное крепление клее-
вого соединения жесткими заклепками незначительно понижает КИН (до 8 % при а = 15 мм). Здесь же кружками показаны результаты расчета клепаного соединения, полученные с помощью методики и программы расчета клепаных панелей [4] с использованием бесструктурной теории точечных связей Г. П. Черепанова [8]. Наблюдается их хорошее качественное и количественное соответствие. Некоторое занижение полученных результатов — до 9% при а = 13 мм — объясняется, no- видимому, различными схемами моделирования заклепочного соединения.
Больший подкрепляющий эффект достигается, когда накладка полностью закрывает трещину. В случае выхода трещины за накладку эффект подкрепления падает.
Список литературы
Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Физматгиз, 1959.
Максименко В. Н., Павшок В. Н. Расчет подкрепленной пластины с трещиной в случае нелинейной работы накладок и склеивающего слоя 〃 Прочность и аэроупругость авиац. конструкций. Казань: КАИ, 1988. С. 27-33.
Максименко В.Н., Тягний А. В. Расчет напряженного состояния клееклепаных слоистых пластин с трещиной 〃 Ученые записки ЦАГИ. 1990. Т. 21, № 5. С. 92-101.
Максименко В.Н. Влияние приклепанных ребер жесткости на развитие трещин возле отверстия. Журнал прикл. механ. и техн. физ. 1988. № 2. С. 133-140.
Механика разрушения и прочность материалов: Справочное пособие: В 4 т. / Под общей редакцией В. В. Панасюка. Киев: Наукова думка, 1988.
Ратвани М.М. Исследование напряжений в клееных слоистых конструкциях, ослабленных трещинами 〃 Ракетная техника и космонавтика. 1979. Т. 17, № 9. С. 77-85.
Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968.
Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХУРАВНЕНИЙ НАСЛЕДСТВЕННО-УПРУГОЙ СРЕДЫВ СЛУЧАЕ ТОНКОСТЕННОЙ ОБОЛОЧКИ
Я. С. Анофрикова, Л. Ю. Коссович, В.П. Черненко
Саратовский государственный университет,Мурманский государственный технический университет
Выводятся асимптотически оптимальные двумерные уравнения состояния для безмоментной и изгибной составляющих в случае наследственно-упругой тонкостенной оболочки путем асимптотического интегрирования трехмерных уравнений состояния. Определяющие соотношения взяты в интегрально-операторной форме. Ядром интегрального оператора является дробно-экспоненциальная функция.
Постановка задачи. Рассмотрим тонкую оболочку вращения с относительной полутолщиной т] = h/R (2Д — толщина оболочки, R — характерный радиус кривизны ее срединной поверхности), выполненную из наследственно-упругого материала с условием упругого объемного расширения.
Уравнения состояния возьмем в форме
E^ij = (1 + 万)о 叮一万8叮 о (i,j= 1,2,3),(1)
з
где £叮，aij — компоненты тензора деформаций и тензора напряжений, о = £。分分,
〜分=1
石，万一интегральные операторы, имеющие вид
e = e(1 - f*),方=沙+丄_^]?*.(2)
Здесь Е — мгновенное значение модуля Юнга, ^ — мгновенное значение коэффициента Пуассона, Г* — резольвентный оператор, ядром которого является дробно-экспоненциальная функция Работнова [1]:
t
Г* •= к] 3—1/2(—/3,方一方*)/(方*)必*,(3)
о
=0f(d+1)/2)‘
Выражая деформации £叮 через перемещения Vi в выбранной системе координат, получим
Е（1 —「*）（靑叮 + 靑設 ％） = 々 + Ц^ Г*）（3 + сзз）；
e（1 - r*）fS =。33 -卜 + 丁 P*）（02 +0方）；（4）
〈 丿卜% daj Hi dai HiHj daj “ 且忆 9必 J丿
=（1+沙+三"*）。5
где i,j = 1,2, I = 1,2,3,厶八 Ri — коэффициенты первой квадратичной формы и главные радиусы кривизны срединной поверхности.
Преобразование исходных уравнений. Произведем в уравнениях （4） растяжение масштабов независимых переменных по формулам
必=R^^, &з = R〃& t = Rc^\aT.（5）
Здесь i,j = 1,2, 3 =（E/[2（1 + ^加y々 p — плотность материала оболочки, q — показатель изменяемости, а — показатель динамичности и считается, что дифференцирование по безразмерным переменным не меняет асимптотического порядка исходных величин.
Оценим также величины к, 0, вводя показатели их интенсивности г и с:
/3 =（麻 丁炉厂i/2/З*, к =（麻с）-1/2к*.（6）
Рассмотрим интегральный оператор （3）. Так как 3_i/2（—/3,方）можно представить в виде
3_i/2（-/3,t） = /33_1/2（-l,/32t）,
то
Г* • /⑴=〃"（-）/2k*，j 3.1/2（—1,（/3*）2（7 - 丁*））/（7*） dT* =
О
=—（—с）/2р**./（т）.
Уравнения (4) в безразмерных переменных (5) имеют вид
石(13/2?**)*
=时一卜+ Ц^ 〃。 -(一0/2广*)0方+033)；
成1)/2Р**) 07 3) =。33 -(沙 + ^^)/2l)①“ + %)；
⑺
成 1行**)Q|)尸ft + L等 g (1-殆)3)=
=（1 + ^ + 三^ 〃"（一）付**"跳，
где R* = Ri/R,椁=где R* = Ri/R,椁=r алAiAj dajr алAiAj daj
где R* = Ri/R,椁=
где R* = Ri/R,椁=
r ал
AiAj daj
r ал
AiAj daj
Асимптотическое интегрирование в случае q = а. Сосредоточим внимание на рассмотрении случая q = а, соответствующего безмоментному типу напряженно-деформированного состояния (НДС). Необходимым условием применения классических двумерных теорий оболочек и пластин являются неравенства q < 1, а < 1. Считаем, что
(8)(8)О W 广一с W а.
(8)
(8)
При данном условии процесс асимптотического интегрирования будет аналогичен случаю упругой задачи [2, 3]. Асимптотику НДС оболочки возьмем в виде
3 = R(严。？ + 犷+"?), % = R(〃^ + 〃%。1)，。"=石(0纟 + 〃点)，(9)
3 =石(吟+ 〃吟)，％ =e(〃3一3q爲 + 〃2 -q点)，033 =e例2 -2。^3 + -2%』3)■
Здесь считается, что все величины с индексами «О» и «1» имеют одинаковый асимптотический порядок. Величины с индексом «О» задают НДС, симметричное относительно срединной поверхности оболочки (а^-, о^, о? — четные функции《； а^, о^ — нечетные функции《)，а величины с индексом «1» — НДС, антисимметричное относительно срединной поверхности (吟,。厶，v- — нечетные функции《; 必，^з — четные функции Q.
Подставляя асимптотику (9) в уравнения (7), разделяя каждое из полученных уравнений на четную и нечетную относительно координаты《части, пренебрегая
членами порядка 0壮-竺 и интегрируя их по《，мы устанавливаем зависимость неизвестных величин от нормальной координаты:
点=或+,2成)，唸=恋)+ 62成)
(все величины с индексом в скобках не зависят от переменной《)，а также выводим уравнения связи между ними:
(1 一产(一)/2L)@噎 +通4唄+青产嚟)=
六也⑼+ ^娑-咖。唄)=
=(1 + ^ + 三^ )/2『)増;
丄叱望.
4 a& 质‘
(1 - 〃。-(-)/2г**)或)=-卜 + ^^ 〃a-(-)/2г**)d？ + 理))；(10)
=4° - (^ + ^^)行**)理);
1212/ 67/ 67
1
2
1
2
/ 67
/ 67
и перемещениях в виде
2现(1T*)(；U + 4*〃7\ -AL2， UOc% C% C? C7Cxj2现(1T*)(；U + 4*〃7\ -AL2， UOc% C% C? C7CxjEh(l - Г*)Eh(l - Г*)1 d Uj Ai dai1 d Uj Ai dai1 341 3411= Тг-= Тг-AiAj docj ” AiAjAiAj docj ” AiAj
2现(1T*)(；U + 4*〃7
\ -AL2， UOc% C% C? C7Cxj
2现(1T*)(；U + 4*〃7
\ -AL2， UOc% C% C? C7Cxj
Eh(l - Г*)
Eh(l - Г*)
1 d Uj Ai dai
1 d Uj Ai dai
1 34
1 34
1
1
= Тг-
= Тг-
AiAj docj ” AiAj
AiAj docj ” AiAj
=(i + ^ + ^^r*)^-,
где Ti — продольные усилия, S叮—сдвигающие усилия, 〃分—тангенциальные перемещения, w — нормальное перемещение точек срединной поверхности, определяемые формулами
Tl2Ehf,现.=2石储?，
Ui = Rr]qv^, w = R产 o，).
Асимптотическое интегрирование в случае q=(a+l)/2.B случае q = =(а + 1)/2, соответствующем изгибной составляющей, асимптотику НДС оболочки возьмем в виде
з = н(〃"?+产&), % =r(〃"鸡+〃什%』)，% = E(〃Jq成+〃"以)，QI)
^ij =石(〃17。% + 唄响)，0/=e(〃2一2q。^ + 〃3-2七3,
033 = E(〃3-3q^3 + 〃27t3).
Величины с индексом «О» задают НДС, антисимметричное относительно срединной поверхности оболочки (а^, о^, о? — нечетные функции £ о^,鸿—четные функции 《)，а величины с индексом «1» — НДС, симметричное относительно срединной поверхности (吟•，点，v\ — четные функции £ 以，о』—нечетные функции Q.
Подставляя асимптотику (11) в уравнения (7), разделяя каждое из полученных уравнений на четную и нечетную относительно координаты《части, пренебрегая членами порядка O(rj2~2q) и интегрируя их по《，мы устанавливаем зависимость неизвестных величин от нормальной координаты:
媪=△°，«3 = w30)> 成=或?，吟=喈,
國=71),國=《理)， 吟 =《碣)，
或=点)+也?，或=4或+43虑)，^33 =或)+ T 成)
(все величины с индексом в скобках не зависят от переменной《)，а также выводим уравнения связи между ними:
(1 —)/2『)(；g + 庆；〃％у) = О?—卜+ i^ 代(―)/2f**)叫；
=（1 + ^ + 三^ 〃。-（一）/2『）*
（12）（12）（1） 1%0
（12）
（12）
=或）-（^ + ^^）/2f**）理）;
а。？* q （0）а。？* q （0）1 + 沙 + ^^ 〃a-（-）/2L）0优1 + 沙 + ^^ 〃a-（-）/2L）0优〃"（一）/2l）（*+増）.〃"（一）/2l）（*+増）.
а。？* q （0）
а。？* q （0）
1 + 沙 + ^^ 〃a-（-）/2L）0优
1 + 沙 + ^^ 〃a-（-）/2L）0优
〃"（一）/2l）（*+増）.
〃"（一）/2l）（*+増）.
Уравнения （12） позволяют записать разрешающие уравнения для асимптотически главных компонент НДС в усилиях, моментах и перемещениях в виде
1 - 31 - 31 一41 一4-^Eh\l -Г）-^Eh\l -Г）1-A1-A3而 1-Л+黑1-Л3而 1-Л+黑1-Л1 一41 一41 一41 一4
1 - 3
1 - 3
1 一4
1 一4
-^Eh\l -Г）
-^Eh\l -Г）
1-A
1-A
3而 1-Л
+
黑
1-Л
3而 1-Л
+
黑
1-Л
1 一4
1 一4
1 一4
1 一4
=（1+沙+丁Р*）可7,
2^（1-Г*）&實 + 青計"厂^=7L（" + 1广）纵
'yAj daj Ai dai AiAj daj 4% 3必 J
где Gi — изгибающие моменты, 8切—крутящий момент, А — продольные усилия, Sij — сдвигающие усилия, 〃分—тангенциальные перемещения, w — нормальное перемещение точек срединной поверхности, определяемые формулами
@ = _|石/a71r^1）, нг. = |石疟〃17局）,
Т「2Е同,S盯=2Е/,
〃分=R^qv^\ w = R产 о，).
Следует отметить, что двумерные уравнения движения наследственно-упругой среды в случае безмоментной и изгибной составляющих полностью совпадают с аналогичными уравнениями теории упругости [3], так как трехмерные уравнения движения в напряжениях не зависят от механических свойств материала и при сделанном предположении (8) об интенсивности параметров, описывающих наследственно-упругие свойства материала, процесс асимптотического интегрирования аналогичен упругому случаю.
Список литературы
Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1976. 338 с.
Kaplunov J.D., Kossovich L. Yu., Nolde EK Dynamics of thin walled elastic bodies. San Diego: Academic Press, 1998. 226 p.
Коссович Л. Ю., Каплунов Ю.Д. Асимптотический анализ нестационарных упругих волн в тонких оболочках вращения при ударных торцевых воздействиях 〃 Известия Саратовского ун-та. 2001. Т. 1, вып. 2. С. 111-132.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ИЗУЧЕНИЯДЕФОРМАЦИОННЫХ И ПРОЧНОСТНЫХХАРАКТЕРИСТИК УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ
МАТЕРИАЛОВ ПРИ КРУЧЕНИИ С РАСТЯЖЕНИЕМ
В.Г. Баженов, СВ. Зефиров, Е.В. Павленкова
НИИ механики Нижегородского государственного университетаим. Н. И. Лобачевского
Предлагается численная методика построения диаграмм деформирования упругопластических материалов на основе экспериментов кручения осесимметричных сплошных образцов при учете больших деформаций и неоднородности НДС. Проведены исследования и получены критические значения параметров, определяющие границу области устойчивых процессов деформирования цилиндрических образцов при различных соотношениях скоростей деформаций кручения и растяжения.
Введение. Обычно при построении диаграмм деформирования упругопластических тел используются результаты экспериментов на кручение трубчатых образцов и на растяжение стержней в предположении однородного напряженного состояния [1]. Это ограничение не позволяет определить напряженно-деформированное состояние (НДС) образцов в момент разрушения, так как необходимо получить диаграмму при больших деформациях в условиях неоднородного НДС. В работе предлагается экспериментально-численная методика построения диаграмм деформирования на основе физического и численного моделирования монотонных кинематических процессов кручения сплошных осесимметричных образцов при учете больших деформаций и неоднородности НДС. Приводятся результаты численного исследования процессов упругопластического деформирования цилиндрических образцов переменной толщины при кинематическом нагружении кручением с растяжением. Получены критические значения параметров нагружения, определяющие границу области устойчивых процессов деформирования образцов при различных соотношениях скоростей деформаций кручения и растяжения. Результаты расчетов сопоставляются с экспериментальными данными при чистом кручении и растяжении образцов из стали 12X18 НЮТ до разрушения.
Методика численного решения. При решении осесимметричных задач с кручением будем исходить из принципа минимума мощности работы в форме Журдена, записанного в цилиндрической (г, /3, z) системе эйлеровых координат {Oz — ось вращения):
[]^rr^ ^гг +200 + ^zz^ ^zz + 2(7T28 Crz + 2(7T08 Or{3 + 2(7028广"a+
+ Л (рйг6 йг + рИ^б б。+ puz8 uz) r dQ — I (夕『8 ur + 夕。8 6。+ pz6 uz) rdG = 0.
*也込）"Q -込居;。,*也込）"Q -込居;。,
*也込）"Q -込居;。,
*也込）"Q -込居;。,
Здесь Q — область, занимаемая меридианальным сечением сплошной среды (в плоскости rOz), ограниченная контуром G,。切,е^ — компоненты тензоров напряжений Коши и скоростей деформаций, 6〃 — компоненты вектора скоростей перемещений,夕分—компоненты поверхностной нагрузки (5,7 =『，/3, 2). В силу осевой симметрии все искомые функции зависят от радиальной и осевой координат и не зависят от окружной.
Задачи с осевой симметрией имеют особенность на оси вращения. Для численного решения целесообразно преобразовать уравнения движения путем введения новых искомых функций вида vr = rur, vz = ruz, 0 = г-1^,夕—угол закручивания по окружной координате [3. С учетом этого тензор скоростей деформаций и тензор скоростей вращения элемента среды как жесткого целого можно представить в виде
©ГТ = Г Vrr — Г Vr, @00 = Г Vr, @22 = Г 方
⑵⑵erz = j ^-1w^ +也7 -厂2力 J , 力0 = }广4『，@02 = j 也,^zr =；(广-1 方。，T - r-2Vz -广-1方:,)， 白r0 = _；L4一 ⑦0，=；也
⑵
⑵
Общее уравнение динамики с учетом соотношений (2) преобразуется к виду
ddvr . ddvr 丁+県十ddvr . ddvr 丁+県十二 ” 6vr + p{ur - r0^5v^ dQ - pr6vr dG = 0,
ddvr . ddvr 丁+県十
ddvr . ddvr 丁+県十
«r0r2^~ + 00。/^^ + 0L2(26T6 + 广0州6)dQ - p^dO dG = 0.aG
(3)
Учет упругопластических свойств материала осуществляется в рамках теории течения с нелинейным изотропным упрочнением:
⑷⑷eij = ё^ + ^(药•)‘=药•一；28 叮,2 = %,或=。,
⑷
⑷
о 力=о 叮 + P5%j, P = — W
己务，©% — упругая и пластическая составляющие тензора скоростей деформаций, cr-j, (е^У — тензор-девиатор напряжений и скоростей упругих деформаций, Р — давление, е — скорость объемной деформации,
aijaij з 病(〃)，％ = *吟，aijaij з 病(〃)，％ = *吟，x= у I ] J%%必・⑸оx= у I ] J%%必・⑸о
aijaij з 病(〃)，％ = *吟，
aijaij з 病(〃)，％ = *吟，
x= у I ] J%%必・⑸
о
x= у I ] J%%必・⑸
о
Связь между девиаторными составляющими тензоров скоростей напряжений и скоростей упругих деформаций осуществляется на основе обобщенного закона Гука в метрике текущего состояния:
Dj，「2G (%•)',户=-Кёе, Dj^ =吃—5k九—Q%%，(6)
где К, G — модули объемного сжатия и сдвига, Dj — производная по Яуманну, учитывающая поворот частицы среды как жесткого целого.
Определяющая система уравнений решается методом конечных элементов [2]. Расчетная область аппроксимируется лагранжевой сеткой из четырехузловых конечных элементов. В узлах сетки определяются векторы перемещений, скоростей перемещений и ускорений, компоненты тензоров напряжений и деформаций — в центрах элементов. Заменив интегрирование по области Q суммированием по конечным элементам, пренебрегая силами Кориолиса в инерционных членах, получим дискретный аналог уравнений движения для каждого узла сетки:
(加混力=(月)•， a = r,z,
()皿=)
Здесь т — узловая масса, Jz — узловой момент инерции, N — количество узлов сетки.
Применив явную схему интегрирования во времени, определение скоростей перемещений, перемещений и текущих координат узлов сетки сведем к рекуррентному счету по формулам:
(丸+1L=("『L + (*+1/2L•△*+ 1,公+1 =公 + 号+ 1/2△*+1,⑻
Здесь △卢+1/2 = (△/+】+ △/)/2, △/+】=卢+i _ Скорости перемещений (6^+i/2)7 и углов закручивания ^+1^2 вычисляются в полуцелые моменты времени /+1/2, перемещения (u^^j, углы закручивания 9『и координаты а^+1 — в целые (井+i).
Известно, что схема (8), являясь схемой второго порядка точности, не обладает свойством монотонности, и на разрывных решениях возникают осцилляции, амплитуды которых соизмеримы с амплитудами самих разрывов. Одним из эффективных способов устранения этих осцилляций является консервативное сглаживание [3].
Реализация изложенной методики осуществлена в рамках пакета прикладных программ «Динамика-2» [4], который может быть использован при компьютерном моделировании как динамических, так и квазистатических процессов деформирования элементов конструкций (испытуемых образцов), при этом скорость нагружения задается так, чтобы вклад сил инерции был пренебрежимо мал.
Id『，(9)Id『，(9)Метод построения диаграмм деформирования при кручении. В эксперименте на кручение регистрируется зависимость внешнего крутящего момента от угла закручивания Мэ = Мэ(^) торцевого сечения образца. Крутящий момент от напряжений。。之 в поперечном сечении рабочей части образца определяется по формуле
Id『，(9)
Id『，(9)
М = Л O0zr dS = 27r s
При численном моделировании интегрирование в (9) заменяется суммированием по конечно-элементной сетке вдоль радиуса. Дискретный аналог (9) с выделением вклада от ячейки, примыкающей к боковой поверхности образца (г = Ri), запишется в виде
m = 2不 е(公%+1/2(二+1/2)2△/+1 +27T(%)N] + 1/2(LN1 + 1/2)2^N1 + 1,(1。)
i=l
где &+i/2 = I(П+1 + 々)，△&+】=П+1 —々，〃 =LN + 1, — нумерация узлов, Ni — количество ячеек конечно-элементной сетки вдоль радиуса поперечного сечения образца.
При построении диаграммы деформирования полагается, что упругие характеристики материала известны. В крайнем сечении рабочей части образца задается угловая скорость кручения. На данном временном шаге численного решения определяются компоненты тензора напряжений во всех ячейках сетки с использованием построенной на предыдущих этапах нагружения диаграммы деформирования, дополненной линейной экстраполяцией. Далее определяется ячейка и поперечное сечение с максимальными значениями параметра Одквиста и интенсивности напряжений. Определяются расчетное (10) и экспериментальное (Мэ) значения крутящего момента. При расчете внутренних ячеек сетки в данном сечении выход за пределы ранее построенной диаграммы деформирования исключается заданием достаточно малой угловой скорости кручения. Тогда значение 。。之 во внешней ячейке определяется по формуле
— 1
Мз — 2тг ^2(々+1/2)△片+1
al = ,.(11)
27F(TNi + 1/2)△nVi+l
Далее производится корректировка интенсивности напряжений в данной ячейке пропорционально отношению значений а^ и a^z, полученных при численном решении и по формуле (11) соответственно. Корректировка интенсивности напряжений (Ji = j^ 内产务 производится до достижения заданной точности в определении крутящего момента. Затем осуществляется пересчет компонент тензора напряжений и параметра Одквиста в тех ячейках расчетной области, которых коснулась корректировка диаграммы деформирования.
В итоге однократного прямого численного расчета получим диаграмму деформирования материала о〃 = а^(х), соответствующую экспериментальной зависимости внешнего момента Мэ = Мэ(^) с заданной точностью.
Пример получения диаграммы деформирования для стали 12Х18Н10Т. Решалась задача о кручении образца переменного сечения. Геометрические параметры образца следующие (рис. 1): Ri = 5 мм, R^/R\ = 1.65, общая длина образца L = 142 мм, длина рабочей части L\/R\ = 20, конического переходника — L^/L\ = =7 • 10-2, цилиндрического захвата — L3/L1 = 0.14. Образец был выполнен из стали 12X18 НЮТ с упругими характеристиками К = 1.667 • 105 МПа, G = =7.692 • 104 МПа, р = 7.8 • 103 кг/м 3, от = 220 МПа. Расчетная область (рис. 1) аппроксимировалась 1330 конечными элементами.
Рис. 1
пластический момент при значении предела текучести ат,夕—полный угол закручивания. Рассчитанная с использованием полученной диаграммы деформирования зависимость Мк = Мк(9) практически совпала с экспериментальной. Относительное удлинение рабочей части образца и в расчете и в эксперименте составляло менее 0.6%.
На рис. 2 пунктирной линией изображена диаграмма деформирования 3〃 = =аДх)/(7г, полученная из экспериментов кручения, а сплошной — из экспериментов растяжения [5] идентичных образцов. Наблюдается хорошее соответствие диаграмм.
04080120 х, %
Рис. 2
При кручении локализация деформаций проявляется значительно меньше, чем при растяжении, поэтому диаграмма деформирования построена до деформаций, почти вдвое больших, чем при растяжении.
В опытах А. М. Жукова [6] и других исследователей деформации не превышали 20%, так как достичь больших величин деформаций было невозможно из-за потери устойчивости трубчатых образцов. Предлагаемая методика является обобщением и развитием методики условных трубок, предполагающей проведение экспериментов на двух сплошных цилиндрических образцах с различными, но близкими величинами диаметров [7]. Преимуществом изложенной методики является возможность получения диаграммы деформирования по результатам эксперимента на одном сплошном образце переменного сечения. Полученные результаты имеют значение для обоснования независимости диаграммы деформирования от вида напряженного состояния при больших деформациях.
Исследование совместного действия растяжения и кручения. С использованием полученной диаграммы деформирования (рис. 2) проводилось исследование напряженно-деформированного состояния образца при комбинированном монотонном нагружении растяжением с кручением. Ввиду наличия плоскости симметрии рассчитывалась половина образца (рис. 1).
Введем безразмерный параметр q, характеризующий вид нагружения, и безразмерный параметр нагружения £:
& = Е1/2.& = Е1/2.(12)(12)
& = Е1/2.
& = Е1/2.
(12)
(12)
Здесь L\ и R\ — начальные длина и радиус рабочей части образца, uz, в — осевое перемещение и угол закручивания торцевого сечения.
При чистом кручении q = оо, £ =，при одноосном растяжении q = О, § = при комбинированном нагружении 0 < ^ < оо, ^ =言，1 + С . Скорость нагружения для склерономных материалов роли не играет, ее подбирали таким образом, чтобы она не оказывала заметного влияния на результаты расчетов.
00Рис. 3Рис. 31.51.5110.50.5020406080 е %020406080 е %0*5丄0*5丄
0
0
Рис. 3
Рис. 3
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
020406080 е %
020406080 е %
0*5丄
0*5丄
На рис. 3 представлены интегральные характеристики процесса деформирования в зависимости от параметра нагружения £, рассчитанные при различных значениях q (отмечены цифрами рядом с кривыми): q = 0, 0.5, 1, 2, 3, 4, 8 — сплошные линии, q = оо — штрихпунктирная. На рис. 3, а, б приведены графики безразмерных осевой силы F и крутящего момента М:
戶=告，F = 2тг］県广办，FT = 7гН2T = 1.728 • 104 H, (13) о
R
(14)(14)而=水，М = 2тг| О0〃2 办，мт = ^7г^ат = 33.25 Н • м. о
(14)
(14)
На рис. 3, г изображены зависимости полной работы А осевой силы F и крутящего момента М от параметра нагружения £:
uzв
А =4 = ] Fd^ + |M^ = |iyde.(15)
ООО
Здесь А = 8.492 • 102 Н • м — работа, совершенная осевой силой при растяжении (q = 0) до момента образования шейки,齿(£) — обобщенная сила:
F + MF + M(16)(16)
F + M
F + M
(16)
(16)
(⑺(⑺шейкизначе-шейкизначе-
(⑺
(⑺
шейки
значе-
шейки
значе-
Графики безразмерной обобщенной силы W приведены на рис. 3, в:
ТУ = W = LqFt = 8.64 • 103 Н • м.
Моментам потери устойчивости пластического деформирования в виде соответствуют моменты достижения обобщенной силой W максимальных
ний, отмеченных на рис. 3 точками на кривых. На рис. 3, г им соответствуют точки перегиба на графиках 4(g). После момента потери устойчивости при 0 < q < < 1 осевая сила F (рис. 3, а, сплошные линии) и крутящий момент М (рис. 3, б) резко падают. При 1 < q < оо максимальные значения осевой силы F достигаются
процессе образования шейки, а значения крутящего момента М уменьшаются из-за уменьшения радиуса поперечного сечения шейки. Резкое изменение интегральных параметров объясняется тем, что параметром нагружения £ не учитываются локализации деформаций. Рост осевой силы в зависимости от параметра Одквиста х в шейке на поверхности образца происходит плавно и после момента потери устойчивости (рпс.3,а, пунктирные линии).
На рис. 4 приведено распределение параметра Одквиста х вдоль поверхности образца, рассчитанное при значениях q =
=0, 4, оо. Пунктирные линии соответствуют моменту достижения обобщенной силой W максимальных значений (рис. 3, е), сплошные — достижению макси
мальных значений параметром Одквиста на поверхности образца: при чистом кручении — х = 150 %, при чистом растяжении — х = 70 % в шейке, при комбинированном нагружении — х = 150 % в шейке. Как видно из рисунка, при q = 0, 4 после достижения обобщенной силой W критических (максимальных) значений
в эксперименте на кручение (q = оо) приводит к поперечному срезу в этом сечении при х = 150 % на поверхности образца.
До момента падения осевой силы во всем объеме образца происходит процесс активного нагружения. В месте образования шейки активный процесс продолжается до разрушения. В экспериментах шейка образуется в средней части образца. Ее положение зависит от многих случайных факторов. В расчетах начальный диаметр образца вблизи плоскости симметрии уменьшался на 10-2 %, что приводило к образованию шейки на плоскости симметрии. При чистом растяжении численные и экспериментальные результаты хорошо согласуются как по предельной нагрузке, так и по форме и размерам шейки [8].
На рис. 5 изображены критические значения осевой силы F и крутящего момента М, соответствующие моментам потери устойчивости пластического деформирования образца в виде шейки при совместном действии растяжения и кручения, для различных значений q. Из ри
сунка видно, что линия, отделяющая область устойчивого деформирования от неустойчивого, имеет точку перегиба и при q — оо асимптотически приближается к оси ординат, так как при чистом кручении не происходит потери устойчивости деформирования в виде шейки.
Анализ результатов расчета показал, что процессы деформирования до момента потери устойчивости близки к лучевым, а закритическое поведение характеризуется траекториями малой кривизны.
На рис. 6 представлена зависимость изменения параметра Одквиста х и параметра Надаи-Лоде для напряжений 从。от параметра нагружения £ в шейке вблизи поверхности образца при различных значениях q. После момента достижения обобщенной силой W максимальных значений (соответствующие значения на графиках отмечены точками) наблюдается рост этих параметров. Отметим, что при комбинированном нагружении (0 < q < оо) до момента потери устойчивости наблюдается изменение вида напряженного состояния в сторону растяжения. Наи-
более сильно этот эффект проявляется при q = 1, что связано с уменьшением радиуса рабочей части образца за счет растяжения. Изменение вида напряженного состояния в сторону сдвига после момента потери устойчивости происходит наиболее резко при чистом растяжении (q = 0).
До момента потери устойчивости происходит медленное изменение процесса деформирования в сторону растяжения, так как образец утоняется при растяжении. После момента потери устойчивости поведение параметра q в шейке аналогично поведению осевой силы F. В начальный момент потери устойчивости деформации от кручения в шейке растут в большей степени, чем от растяжения. Но из-за уменьшения радиуса поперечного сечения величина крутящего момента уменьшается. Следует отметить, что изменение процесса деформирования в сторону кручения незначительно. Так, при q = 4 значение q в шейке возрастает до 5.
Авторы выражают благодарность сотрудникам НИИ механики Л. Н. Крамареву и Д. А. Казакову за предоставленные результаты эксперимента.
Список литературы
Дегтярев В.П. Деформации и разрушение в высоконапряженных конструкциях. М.: Машиностроение, 1987. 105 с.
Баженов В. Г., Зефиров С. В., Кибец А. И. О численной реализации вариационно-разностной моментной схемы решения нелинейных задач динамики нетонких оболочек при импульсных воздействиях 〃 Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Всесоюз. межвуз. сб. Горьк. ун-т. 1988. С. 66-73.
Баженов В. Г., Зефиров С. В. О консервативном сглаживании разрывных волн напряжений в МКЭ 〃 Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. Серия Механика. Вып. 1(3). Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2001. С.166-173.
Баженов В.Г., Зефиров С. В., Кочетков А. В. 〃 др. Пакет программ «Динамика-2» для решения плоских и осесимметричных нелинейных задач нестационарного взаимодействия конструкций со сжимаемыми средами 〃 Мат. моделирование. 2000. Т. 12, № 6. С. 67-72.
Баженов В. Г., Зефиров С. В., Казаков Д. А., Осетров С. Л.、Садырин А. И. Экспериментальное и численное исследование локализации пластических деформаций в стержне при растяжении до разрушения 〃 Межвузовский сборник Проблемы прочности и пластичности. Вып. 63. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2001. С. 49-53.
Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 400 с.
Васин Р.А., Ильюшин А. А., Моссаковский П. А. Исследование определяющих соотношений и критериев разрушения на сплошных и толстостенных трубчатых цилиндрических образцах 〃 Механика твердого тела. 1994. № 2. С. 177-176.
Баженов В. Г., Кибец А.力Лаптев П. В., Осетров С. Л. Экспериментально-теоретическое исследование предельных состояний упругопластических стержней различного поперечного сечения при растяжении 〃 Проблемы механики. Сб. статей к 90-летию со дня рождения А. И. Ишлинского. Под ред. Климова Д. М. и др. М.: Физматлит, 2003. С.116-123.
РЕЛАКСАКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В НАПОЛНЕННЫХЭЛАСТОМЕРАХ
Т.Н. Белякова, Ю.П. Зезин, К. Ю. Крапивин, Е. В. Ломакин
Механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова
Элементы конструкций из полимерных материалов, такие как уплотнения, заряды твердотопливных ракетных двигателей, трубопроводы, могут эксплуатироваться в напряженном состоянии в течение нескольких лет. Для оценки влияния релаксационных процессов на напряженно-деформированное состояние подобных
элементов используются соотношения теории вязкоупругости, параметры кото
рых определяются по экспериментальным данным, полученным в испытаниях на ползучесть и релаксацию [1]. Точность прогноза в значительной мере зависит от временной базы испытаний. Чем больше длительность испытаний, тем точнее определяемые значения параметров принятых соотношений и тем выше точность прогнозируемых уровней напряжений и деформаций в исследуемом элементе конструкции. В ряде случаев работоспособность элементов конструкций определяется релаксацией напряжений в материале. При
мером могут служить задачи, рассмотренные в работе [2]. Для оценки изменения напряжений в подобных элементах достаточно использовать данные по релаксации напряжений. Подробный обзор методов и оборудования для испытаний полимерных материалов на релаксацию напряжений представлен в работе [3]. Как правило, испытания на релаксацию напряжений при растяжении или сжатии проводят либо на универсальных испытательных машинах, либо на специальных приборах [4]. В этих случаях одновременно возможно испытывать лишь один образец. При этом увеличения длительности испытания приводят к ограничениям по диапазону уровней деформации.
Для преодоления подобных затруднений в Институте Механики МГУ разработа
на методика проведения длительных ис
пытаний на релаксацию одновременно на Рис. 1. Схема устройства для длитель- нескольких образцах.ных испытаний полимерных материа-
Испытания проводятся с использованием лов на релакса^ю напряжений
специального приспособления, схема которо
го представлена на рис. 1. Основой приспособления является жесткая рама /. Образец 2 устанавливается в захватах 3, 4. Нижний захват 3 связан с рамой /, верхний — с подвижным резьбовым штоком 5, имеющим возможность свободно перемещаться в направляющих 6, 7, выполненных в раме /. К нижней части
рамы жестко присоединен неподвижный шток 8 для установки приспособления в нижнем захвате стандартной установки для испытаний на растяжение. В верхнем захвате установки закрепляется подвижный шток 5, на котором закрепляется резьбовая гайка-упор 9. При нагружении образца до заданного уровня деформации гайка-упор 9 опускается в крайнее нижнее положение. Затем при перемещении активного захвата установки для испытаний на растяжение задается необходимый уровень деформации образца. После этого гайка-упор опускается до соприкосновения с седлом /0, выполненным заодно с неподвижной траверсой 11 основной рамы /. При этом фиксируются заданные перемещения подвижного штока 5, верхнего захвата 4 и деформация образца.
Далее подвижный шток 5, неподвижный шток 8 и все приспособление освобождаются из захватов испытательной установки. После этапа нагружения до заданного уровня деформации образец в деформированном состоянии, закрепленный в приспособлении, может храниться в лабораторных условиях длительное время. Периодически приспособление с деформированным образцом вновь устанавливается в захватах испытательной установки для оценки текущего значения растягивающего напряжения в материале. С этой целью подвижному штоку 5 и жестко связанному с ним захвату задается перемещение, незначительно превосходящее заданное. Превышение перемещения контролируется по величине зазора между гайкой-упором 9 и седлом /0, который задается не более чем 0.1 мм. При этом на образце развивается усилие, незначительно превышающее соответствующее текущему значению растягивающего напряжения.
Деформация образца измеряется по реперным точкам, предварительно нанесенным на его поверхности. При такой процедуре измерения релаксирующего напряжения целесообразно представлять экспериментальные данные в виде зависимостей от времени релаксационного модуля:石（％） = о（右）/£（%）, где о（右）— напряжение, определенное на г-м этапе перемещения, соответствующем времени релаксации 厶，£（厶）—соответствующее значение деформации. Далее можно получить «уточненную» кривую релаксации о（办）=Е也）気,где £о ——заданный уровень деформации.
На рис. 2 представлена экспериментальная кривая релаксации （/）, «уточненная» кривая релаксации （2） и осредненная кривая релаксации 3 для промышленной саженаполненной резины. Исследуемая резина представляет собой промышленный материал для уплотнений узлов нефтедобывающего оборудования. Основой резины является смесь натурального и синтетического бутадиенстирольного каучуков. Содержание сажи в эластомере составляет около 50% по массе. Как видно из представленных данных, различия в экспериментальных и «уточненных» значениях напряжений укладываются в полосу естественного разброса экспериментальных данных.
На рис. 3 представлены экспериментальные зависимости от времени релаксационного модуля 石（方）при растяжении для саженаполненного эластомера. Отметим, что использование предлагаемой методики позволило одновременно провести серию из пяти испытаний образцов эластомера на релаксацию напряжений при различных уровнях деформации длительностью более 5000 часов （7 месяцев）. Из представленных данных можно сделать вывод, что материал проявляет существенную нелинейность вязкоупругих свойств, что проявляется в сильной зависимости релаксационного модуля от уровня деформации. Для математического описания представленных экспериментальных данных используем простейший вариант нелинейной теории вязкоупругости [5]. Для исследуемого случая одноосного
Рис. 2. Экспериментальные зависимости релаксационного модуля саженаполненного эластомера при различных уровнях деформации: / — 0,105; 2 — 0,185; 3 — 0,286;4 - 0,38; 5 - 0,56Рис. 2. Экспериментальные зависимости релаксационного модуля саженаполненного эластомера при различных уровнях деформации: / — 0,105; 2 — 0,185; 3 — 0,286;4 - 0,38; 5 - 0,56Рис. 3. Экспериментальная функция нелинейности вязкоупругих свойств саженаполненного эластомера для фиксированных значений времени: / — 103 с; 2 — 104 с; 3 — 105 с; 4 — 106 с; 5 - 107 сРис. 3. Экспериментальная функция нелинейности вязкоупругих свойств саженаполненного эластомера для фиксированных значений времени: / — 103 с; 2 — 104 с; 3 — 105 с; 4 — 106 с; 5 - 107 с
Рис. 2. Экспериментальные зависимости релаксационного модуля саженаполненного эластомера при различных уровнях деформации: / — 0,105; 2 — 0,185; 3 — 0,286;
4 - 0,38; 5 - 0,56
Рис. 2. Экспериментальные зависимости релаксационного модуля саженаполненного эластомера при различных уровнях деформации: / — 0,105; 2 — 0,185; 3 — 0,286;
4 - 0,38; 5 - 0,56
Рис. 3. Экспериментальная функция нелинейности вязкоупругих свойств саженаполненного эластомера для фиксированных значений времени: / — 103 с; 2 — 104 с; 3 — 105 с; 4 — 106 с; 5 - 107 с
Рис. 3. Экспериментальная функция нелинейности вязкоупругих свойств саженаполненного эластомера для фиксированных значений времени: / — 103 с; 2 — 104 с; 3 — 105 с; 4 — 106 с; 5 - 107 с
растяжения эти соотношения можно записать в виде t
0⑴=Eacf® + ] r（方一丁）打（£）打，（1）
о
где Ео ——«мгновенный» модуль упругости; Г（方一丁） 一 ядро релаксации; t — время; /（£） — экспериментально определяемая функция, введенная для учета вязкоупругих свойств материала. В условиях релаксации напряжений, £ = const, запись （1） можно переписать в виде
Ео + ]г（—丁）而,（2）
- о■
где 石（方，£）— релаксационный модуль.
Предположим, что существует некоторое критическое значение деформации £*， ниже которого материал можно считать линейным вязкоупругим, /（£）= 1 при £ V £*. Тогда для экспериментального определения функции /（£）можно использовать полученные зависимости релаксационного модуля от времени и соотношение （2）. Легко видеть, что для деформации £ = £〔〉£* можно записать
册⑶
Далее примем, что критическое значение деформации равно наименьшему уровню в исследованном диапазоне 0,105. На рис. 4 представлена экспериментальная зависимость /（£）. Различными значками отмечены точки, соответствующие фиксированным значениям времени в диапазоне от 103 до 107 с. Из представленных данных можно сделать вывод, что экспериментальную зависимость /（£） можно с удовлетворительной точностью аппроксимировать степенной функцией
/（e）= 0,286£-。，563.（4）
На рис. 4 сплошной линией показана аппроксимирующая кривая.
Рис. 4. Обобщенная зависимость релаксационного модуля от времени для различных уровней деформации: / — 0,105; 2 — 0,185; 3 - 0,286; 4 - 0,38; 5 - 0,56Рис. 4. Обобщенная зависимость релаксационного модуля от времени для различных уровней деформации: / — 0,105; 2 — 0,185; 3 - 0,286; 4 - 0,38; 5 - 0,56
Рис. 4. Обобщенная зависимость релаксационного модуля от времени для различных уровней деформации: / — 0,105; 2 — 0,185; 3 - 0,286; 4 - 0,38; 5 - 0,56
Рис. 4. Обобщенная зависимость релаксационного модуля от времени для различных уровней деформации: / — 0,105; 2 — 0,185; 3 - 0,286; 4 - 0,38; 5 - 0,56
Определение функции /（£）с учетом （2） дает возможность представить экспериментальные зависимости релаксационного модуля 石（方）в виде единой обобщенной зависимости 石（力）=石（力）//（&）. На рис. 5 представлена обобщенная зависимость релаксационного модуля от времени для исследуемого саженаполненного эластомера. Некоторый разброс экспериментальных точек может быть обусловлен недостаточно точной аппроксимацией экспериментальных значений функции нелинейности /（£）.
Выводы. Разработано устройство, позволяющее проводить испытания на релаксацию напряжений полимерных материалов одновременно на нескольких образцах. С использованием нового устройства получены экспериментальные кривые релаксации （до 7 месяцев） промышленного саженаполненного эластомера. Показано, что для описания полученных экспериментальных данных целесообразно использовать простейший вариант нелинейной теории вязкоупругости. Для исследуемого эластомера определена функция нелинейности его вязкоупругих свойств, позволяющая представить данные по изменению релаксационного модуля во времени в виде единой обобщенной зависимости.
Список литературы
Работное Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 472 с.
Турусов Р.А., Стратонова М.М., Милькович В. И. Релаксация напряжений в полимерном диске 〃 Механика полимеров. 1971. № 6. С. 1064-1070.
Джунисбеков Т.М., Кестельман В. Н., Малинин Н. И. Релаксация напряжений в вязкоупругих материалах. Алматы: Гылым, 1998. 308 с.
Огибалов П.М., Малинин Н.И., Нетребко В.П., Кишкин Б.П. Конструкционные полимеры. М.: Изд. МГУ, 1972. Кн. 1. 322 с.
Москвитин В. В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972. 328 с.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТРЕЩИНЫ ГИДРОРАЗРЫВАС РАЗЛОМОМ
А. И. Богданов, А. В. Звягин
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Одним из способов эффективного увеличения нефтеотдачи является гидроразрыв пластов. Для этого в скважину под давлением закачивается жидкость с заполнителем, которая после формирования трещины откачивается. Создаваемая в результате расклинивания трещина увеличивает приток нефти. Задача гидроразрыва нефтяного пласта была впервые поставлена и в некоторых приближениях решена С. А. Христиановичем и Ю. П. Желтовым [1, 2]. Тем не менее она сохраняет свою актуальность, поскольку протекание гидроразрыва в очень сильной степени зависит от геомеханических характеристик, в которых производится гидроразрыв. Важнейшими параметрами, влияющими на процесс гидроразрыва, являются характеристики поля внешних напряжений в пласте и геометрия уже существующих в нем разломов. Под разломом мы будем понимать залеченную трещину, заполненную механически менее прочным материалом. Как показывают расчеты и эксперименты [1, 2], с ростом длины трещины гидроразрыва давление быстро падает и выравнивается, поэтому для достаточно протяженной трещины его можно считать почти постоянным, поскольку скорость жидкости гидроразрыва уже невелика. Важными с точки зрения практики являются возможные сценарии развития гидроразрыва при встрече основной трещины с разломом. В экспериментах [3] с помощью механического расклинивания существующего разреза, моделирующего основную трещину, прослеживалась ее эволюция при взаимодействии с залеченной вспомогательной трещиной (в условиях эксперимента
Рис. 1. Три возможных сценария эволюции гидроразрыва после его слияния с разломом вспомогательная трещина создавалась путем механического разделения образца с последующей склейкой) (рис. 1). Как показали эти эксперименты, после слияния основной и вспомогательной трещин возможны три основных сценария эволюции основной трещпнн:Рис. 1. Три возможных сценария эволюции гидроразрыва после его слияния с разломом вспомогательная трещина создавалась путем механического разделения образца с последующей склейкой) (рис. 1). Как показали эти эксперименты, после слияния основной и вспомогательной трещин возможны три основных сценария эволюции основной трещпнн:
Рис. 1. Три возможных сценария эволюции гидроразрыва после его слияния с разломом вспомогательная трещина создавалась путем механического разделения образца с последующей склейкой) (рис. 1). Как показали эти эксперименты, после слияния основной и вспомогательной трещин возможны три основных сценария эволюции основной трещпнн:
Рис. 1. Три возможных сценария эволюции гидроразрыва после его слияния с разломом вспомогательная трещина создавалась путем механического разделения образца с последующей склейкой) (рис. 1). Как показали эти эксперименты, после слияния основной и вспомогательной трещин возможны три основных сценария эволюции основной трещпнн:
—при средних углах наклона /3 (рис. 1,6)наблюдался первоначальный поворот основной трещины по направлению вспомогательной с последующим повторным поворотом и восстановлением первоначального направления движения.
Для выяснения механических причин, приводящих к такому развитию событий, была рассмотрена задача взаимодействия основной трещины с разломом в следующей постановке.
Постановка задачи. Будем считать материал пласта упругой плоскостью, находящейся под действием сжимающих напряжений (aj, ац) < 0, \aj\ > \ац\ (рис. 2), приложенных на бесконечности. Начало координат совпадает с центром трещины гидроразрыва, проходящей в плоскости xOz, ось Ох совпадает с направлением движения гидроразрыва. Будем считать, что разлом представляет
Рис. 2. Взаимодействие трещины с разломом. Возможные области: АВ — открытая часть разлома; С A, BD — участки взаимного проскальзывания берегов разлома
собой закрытую трещину достаточно большой длины, расположенную под углом /3 к оси Ох, причем при отсутствии трещины гидроразрыва упругая среда находится в состоянии равновесия и ведет себя как сплошная. Будем также считать, что на берегах разлома в случае нарушения условий равновесия справедлив закон сухого трения типа Кулона-Мора. Рассматривается плоско-деформированное состояние среды. Будем считать, что под давлением жидкости гидроразрыва в упругой среде возникают дополнительные напряжения о叮 и деформации £叮，равные нулю на бесконечности. Тогда для них должны быть выполнены уравнения теории упругости в случае плоскодеформированного состояния:
—уравнения равновесия (^х = х\,у =力2)
aij,j =。；⑴
—уравнение совместности для напряжений
△(61 +022)=0；(2)
—закон Гука
£叮=胃上一 ^(^11 +022州別・(3)
Компоненты деформаций выражаются через перемещения:
ev = 2 ("分J +(4)
На бесконечности дополнительные напряжения равны нулю. На трещине гидроразрыва заданы компоненты вектора напряжений:
^тп = °, ^пп =—(兄 +。2)= —(5)
где Pq (Д)> |。2|) — давление жидкости гидроразрыва (считается постоянным вдоль трещины), — избыточное давление.
Полные напряжения будут складываться из напряжений, приложенных на бесконечности, и дополнительных напряжений, возникающих под действием давления жидкости:
0?1 = (7/ + (Т",0% =0// +022,0?2 =012.(6)
Предполагаем, что на берегах разлома могут реализоваться три возможных вида граничных условий.
Если нормальное к берегу трещины разлома полное напряжение является сжимающим, т. е. меньшим нуля, а касательное напряжение меньше предельного по закону Кулона-Мора, среда ведет себя как сплошная.
Если полное нормальное напряжение является сжимающим, а касательное напряжение превышает свое предельное значение, оно считается равным предельному, и происходит проскальзывание берегов относительно друг друга.
Полное нормальное напряжение не может быть положительным. В этом случае оно считается равным нулю, и в таких областях ставятся граничные условия на свободной поверхности, т. е. равенство нулю вектора полных напряжений.
Таким образом, на берегах разлома возможно возникновение областей, на которых реализуются разные граничные условия. Так, на рис. 2: область АВ — это область возможного раскрытия трещины разлома; С А и BD — области возможного проскальзывания берегов. Сами области должны определяться в ходе решения задачи, причем возможен переход точек из одной области в другую.
Это означает, что разлом и его эволюция моделируется следующими граничными условиями.
В случае выполнения условий
\4г\<^\^Л 点 V。⑺
в данной точке на берегах разлома будем считать упругую среду непрерывной.
В случае нарушения первого неравенства условий (6) в данной точке должны выполняться условия предельного равновесия (участки С А и BD (рис. 2)):
*丁 = к • sign (К]) • а^п, К] = 0.⑻
В случае нарушения второго из неравенств (6) в точке разлома должны быть выполнены условия (участок АВ (рис. 2))
儿=。，点=。.⑼
В (7)-(9) использованы следующие обозначения: 0?丁,0?冷—полные в соответствии с (6) касательное и нормальное напряжение на берегу разлома; к — коэффициент трения; [иТ] = “^ — 〃% 一 скачок касательной составляющей вектора
перемещения; [un] = “^ — “^ — скачок нормальной составляющей вектора пере- мещения：81ёП（^）= {-1, кк°о.
Расположение точек ABCD заранее неизвестно и определяется в ходе решения задачи методом последовательных итераций. На первом шаге итераций полагается, что вся трещина состоит из элементов с граничными условиями третьего типа. Если на данном элементе нарушается закон Кулона-Мора （7）, то его тип меняется на второй. Если в элементе второго типа наблюдаются растягивающие напряжения, то он заменяется на элемент первого типа. Процесс продолжается до стабилизации границ областей с точностью до одного элемента.
Описание и тестирование численного алгоритма. Для решения задачи применялся метод граничных элементов. Вернее, одна из его разновидностей — метод разрывных смещений. Основой метода является разложение решения в конечный ряд по базовым функциям, удовлетворяющим уравнениям теории упругости. В качестве базовых в данной разновидности используются решения двух следующих краевых задач.
Задача I.
у = 0] \х\ < Д: \Цу\ = Dy； （jXy = 0.（1。）
Задача П.
у = 0; \х\ < Д:[〃力]=。力；о~уу = 0.（11）
В （10）, （11） знак скачка используется в форме [/] = /+ - /_, где /± — краевые значения функции при g = 0士，Dx, Dy — постоянные.
Воспользуемся представлением Колосова-Мусхелишвили [4] для случая плоской деформации:
嘖=4 Re"⑶；
Qyy - crxx + i' 2axy = 2 •（济〃（2）+ “⑶）；（12）
2Mux + i. 〃g） = （3 — 4z/）夕（2）— 20’⑶一吹2）.
В первой краевой задаче о力夕（力，0） = 0 при всех значениях х, т. е. Im （力夕〃（力）+?//（/）） = 0, что позволяет считать верным условие 2'（2）= —2夕〃（2） на всей комплексной плоскости:
“（2）= ；7（2）,“（2）= —^Т〃（2）仪2）= —}27⑶ + ；Т（2）.（13）
Тогда выражения для напряжений и перемещений в силу （12）, （13） примут следующую форму:
0力力=Re 7 ⑶—glmT〃⑶，oyy = Re 7 ⑶ +gImT〃⑶；
axy = —gReT〃（2）, 2/1 • иж = （1 - 2z/） ReT（^） - g Im 7⑶；（14）
2/i •= 2（1 - z/） ImT（2）- g ReT'⑶.
Второе граничное условие в （10） выполняется автоматически, а первое приводит к решению краевой задачи [5] для функции Т（2）:
[ImT（x）] = ] Г 〃 Dy,
решением которой будет интеграл типа Коши
h
1 —沙 27r J t — 2/7Г( 1 —沙丿 2 十 /1
Первая и вторая производные найденной функции будут соответственно равны
_ @Dy (1JА_ @Dy (I1、
_2开(1-丄 ⑴
(16)
Напряжения при известных функциях (15), (16) могут быть вычислены согласно (14).
Рассмотрим вторую краевую задачу. Будем искать потенциалы в форме
夕(2)= -；Q(2), ^ = - j {zQ\.(17)
В этом случае напряжения и перемещения будут иметь следующий вид:
о” = 2ReQ*2)- gIm Q〃⑶；
022 = glmQ〃⑶；
内2 = - ImQt) - gReQ〃⑶；(18)
2〃 • 〃力=2(1 - z/) ReQ(2)- gImQ'(2);
2〃 •= (1 - 2z/) ImQ(2)- gReQ'⑶.
За счет выбора вида функций (17) второе условие краевой задачи выполнено автоматически, а первое приводит к краевой задаче для функции Q{z) [ReQ(^)]= =Dxfi/{\ — z/), решение которой, как и в предыдущем случае, дается интегралом типа Коши:
Q(2)= —(19) 27r2(1 -沙)2 + 九
Это позволяет определить производные функции Q, входящие в (18):
(20)
Полученные «пробные» функции (15), (19) позволяют построить решение некоторых задач теории упругости численно. Преимущество данного метода в применении к механике разрушения состоит в том, что базовые решения позволяют считать трещины линиями с разрывом перемещений, не различая их берегов. Трещины разбиваются на линейные элементы данной длины 2/ц. На каждом элементе считаются неизвестными раскрытие О冷分 и сдвиг DTi，Для любой искомой функции решение в точке с координатами (力，у) представляется в виде суммы
(21)(21)/(力,у) = £(Dni・ А^н,* + 6『&出介,
(21)
(21)
где А\ Вг — вклады г-го граничного элемента соответственно для первой и второй задачи о единичном разрыве перемещения в вычисляемую величину / в данной точке.
Пусть вся граница области, включая трещины, содержит N граничных элементов. Для нахождения 2N неопределенных коэффициентов Dn ^, DT ^ выполним граничные условия в центре каждого элемента. Таким образом плоская краевая задача в случае линейных граничных условий сводится к решению системы 2N линейных уравнений.
Рассмотрим в качестве примера криволинейную трещину под действием внутреннего давления Д).
Приблизим трещину прямолинейными граничными элементами длины 2九分.
О
Рис. 3. К вычислению коэффициентов влияния г-го граничного элемента в точке М
В глобальной системе координат, одной для всех граничных элементов, каждый из них характеризуется координатами своего центра (力 13gi〃) и углом наклона)〃 (рис. 3).
В данной задаче в центре каждого граничного элемента необходимо выполнить граничные условия апп = —Pq, апт = 0. Здесь вектор т направлен по касательной, а вектор п — по нормали к соответствующему граничному элементу. Введем локальную систему координат, связанную с рассматриваемым граничным элементом. Тогда положение точки М в ней задается координатами (力，у). Введем для удобства записи модули и аргументы комплексных векторов АМ и ВМ\
\АМ\ = a, arg АМ = а; \ВМ\ = b, argBM = /3. (22)
При введенных обозначениях действительные и мнимые части функций, входящих в выражения для напряжений (14), (18), в соответствии с (15), (16), (19), (20) будут такими:
Re Г = Nin (b/a); Im Г = N(/3 - a);Re Г = N (-* + 胃)；
ReT〃 =ReT〃 =ImT〃 =ImT〃 =(23)(23)
ReT〃 =
ReT〃 =
ImT〃 =
ImT〃 =
(23)
(23)
ReQ = ImT; Im Q = — Re T; Re Q' = ImT7;
Im Q‘ = — Re 7; Re Q〃 = Im T〃； Im Q〃 = - Re T〃.
В (23) для сокращения записи введено обозначение N = 〃/(2тг(1 — z/)).
Пусть в точке М введена локальная система координат с векторами базиса т, п. Обозначим 7 угол между вектором т и осью х. Тогда напряжения в этой системе координат определены через компоненты в системе координат (力，у) формулами преобразования:
=県广"-。"；COS 27 +。咽 Sin 27；
。师=^ + ^ + 県「cos 27 -0咽 sin 2);(24)
0九7 = """ 丁"" sin 2)+ axy cos 2).
В качестве точки М можно взять центр j-ro граничного элемента. В этом случае выражения, позволяющие вычислить коэффициенты влияния г-го граничного элемента на 7-百，будут такими:
7 =力•一 7i；g =一(/叮-/1力sin7i +匂叮一g1"cos)〃；
a = J(/叮—/1分+ Rcost/2 +匂匕一％分+居sin^y ；
b = 小(力叮一/ 1分—坛 cos%)2 + 匂匕一у).—殳 sin%)2.(25)
a = Sign (у) . arccos(①匕—屯分 + 自 cos)" cos^ + (沙匕一伊分 + 自 sin)" sin^ ；
炉=sign 匂).arccos(化匕一出1分一自 cos)» cos^ + ®u -沙1分一自 sin)» sin^
Подстановка выражений (25) в (23) и затем в (14) позволяет вычислить компоненты напряжений ахх, ауу, аху в локальной системе координат г-го граничного элемента для нормального скачка перемещения. Подставляя найденные значения напряжений в (24), получим соответствующие коэффициенты влияния при коэффициенте РПг. Проделав то же самое и подставив в (18), можно вычислить коэффициент влияния при скачке DT^
Пусть NNij, NTij — коэффициенты влияния нормального и касательного скачка перемещений для величины апп соответственно. Аналогично TN小 ТТ^ — коэффициенты влияния для величины апт. Тогда граничные условия в центре j-ro граничного элемента позволяют получить два уравнения:
NNijDni + NTijDT = —Ро5
..(26)
TNijDni + TTijDTi = 0,= 1,…，К.
В (26) предполагается суммирование по повторяющемуся индексу i. Коэффициенты влияния элемента самого на себя (г = J) получаются предельным переходом при стремлении точки М к центру граничного элемента. После определения искомых скачков перемещения, выбирая в качестве точки М произвольную точку, можно вычислить в ней интересующие компоненты напряжений. Данный алгоритм решения был реализован в виде программ для различных возможных наборов граничных условий.
Для тестирования программы проведено сравнение результатов численного решения задачи для одиночной трещины с аналитическим решением, которое представлено выражениями компонент напряжений:
{cos{ (о-+ —sin^sin 俱仇 + *2)}；
^ху = Ро 二—sin О COS 圻 +1 •
(27)
В формулах (16) приняты следующие обозначения:
а — половина длины трещины гидроразрыва;
夕=Arctg ^; 仇=Arctg ^—;夕2 = Arctg ①： ；
Г =，力2 + у2 . Г1 = у (ж — а)2 + у2 ; 『2 =，(力 + а)2 + у2 .
Для тестирования на предполагаемой линии разлома определялись компоненты напряжений численно и аналитически. Их сравнительные графики представлены на рис. 4. Как показывают результаты, расчеты хорошо соответствуют аналитическому решению.
Результаты расчетов. Отлаженная программа была использована для анализа возможных сценариев развития гидроразрыва при его сближении с разломом. В качестве альтернатив рассматривались три возможных случая.
При больших углах наклона /3 трещина гидроразрыва продолжит свое движение «проткнув» разлом.
При малых углах наклона /3 трещина гидроразрыва сольется с разломом и продолжит свое движение вдоль него.
При промежуточных углах наклона /3 возможно первоначальное слияние гидроразрыва с разломом, а затем образование трещины в направлении, близком к первоначальному направлению гидроразрыва.
Целью работы являлось определение и анализ напряженно-деформированного состояния среды на берегах разлома в момент их слияния. При этом первый сценарий (рис. 1,а) считался предпочтительным при возникновении больших растягивающих напряжений на площадках, перпендикулярных линии разлома. Второй (рис. 1,6) — при отсутствии больших растягивающих и сдвиговых напряжений на берегах разлома. Третий (рис. 1,6)— при наличии больших сдвиговых напряжений.
Данные сценарии развития были выбраны по результатам экспериментов, приведенных в работе [3]. Вариант (а) будет наиболее вероятным в случае отсутствия раскрытия разлома на продолжении трещины гидроразрыва при наличии больших растягивающих напряжений атт. Вариант (6) вероятен при раскрытии разлома в окрестности края трещины гидроразрыва и одновременном отсутствии больших сдвиговых и нормальных напряжений на его берегах. Вариант (е) возможен при первоначально раскрытом разломе и одновременном сдвиговом разрушении одного из берегов.
0.0005
| —Аналитическое решение]
■*-4и:сленное решение |
0.0003
0.0001
-0.0001
-0.0003
-0.0005
-0.0007
—0.0СЮ9
-0.0011
-0.0013
| —Аналитическое решение] МТксленное решение |
0.0005
I —Аналитическое решение] ЗГксленное решение |
Рис. 4. Зависимость напряжений на предполагаемой линии разлома у =
-0.0015_1—0 8 -0.6 -0.4 -0.200.20.40.60.8
0.0006
^^(①-I」)，
ст。/2G = 0.0004, значения напряжений на бесконечности соответственно равны(rxx/2G =
=-0.002,(Tyy/2G = —0.001, а = 1
С целью анализа возможных вариантов были проведены расчеты для разных углов /3 наклона разлома к трещине гидроразрыва. Определялись компоненты напряжений и перемещения в окрестности берегов. Были выявлены следующие закономерности эволюции поля напряжений и перемещений.
Для малых углов /3 по мере приближения основной трещины к разлому первоначально возникает область сдвига берегов. Затем в окрестности края основной трещины возникает зона раскрытия, которая по мере сближения трещин смещается в верхнюю половину разлома. При слиянии раскрыта только верхняя часть.
При этом растягивающих напряжений нет. Типичное распределение напряжений и раскрытие разлома в момент слияния показано на рис. 5 для /3 = 15°.
Рис. 5. Распределение напряжений и раскрытие разлома при сомкнутых трещинах для /3= 15°
При больших углах /3 раскрытие разлома отсутствует и наблюдаются большие растягивающие усилия на продолжении трещины гидроразрыва. Для примера на рис. 6 для /3 = 75° приведены графики напряжений на правом (дальнем по отношению к гидроразрыву) берегу трещины.
При умеренных значениях угла /3 (30°—50°) наибольшие касательные напряжения возникают в верхней части разлома в области сдвига. При этом в момент слияния есть область раскрытия разлома. Распределение места возникновения, величины и ориентации площадки действия показаны на рис. 7.
Величины предельных значений углов, разделяющих три возможных сценария, как и следовало ожидать, зависят от многих параметров задачи: от величины
Раскрытие разломаРаскрытие разломаРаспределение напряжений вдоль разломаРаспределение напряжений вдоль разломаРис. 6. Распределение напряжений и раскрытие разлома = 75°Рис. 6. Распределение напряжений и раскрытие разлома = 75°4sHi4sHiпри сомкнутых трещинах дляпри сомкнутых трещинах для
Раскрытие разлома
Раскрытие разлома
Распределение напряжений вдоль разлома
Распределение напряжений вдоль разлома
Рис. 6. Распределение напряжений и раскрытие разлома = 75°
Рис. 6. Распределение напряжений и раскрытие разлома = 75°
4sHi
4sHi
при сомкнутых трещинах для
при сомкнутых трещинах для
избыточного давления в жидкости; от условий на бесконечности; от значений прочности среды при отрыве и сдвиге. Но все же их можно достаточно четко определить при заданных значениях всех вышеуказанных величин. Так, для значений оо/2G = 0.00065, о蒜/2G = 0.002, о筋/2G = 0.001 первый сценарий работает для диапазона углов /3》60°, второй при 0° < /3 W 25°, третий — в оставшемся интервале 25° < /3 < 60°.
На рис. 8 дана иллюстрация деформации разлома для двух значений расстояния между концом основной трещины и линией разлома. Видно, что в момент слияния область раскрытия дополнительной трещины смещается в верхнюю часть. Следует учитывать, что для улучшения визуализации, смещения увеличены в 200 раз.
Зависимость расстояния, на котором достигается максимальное
касательное напряжения, от угла наклона разлома (S = 120 соответствует месту встречиосновной трещины с трещиной разлома)
2502502002001501501001005050102030405060708090100102030405060708090100000
250
250
200
200
150
150
100
100
50
50
102030405060708090100
102030405060708090100
0
0
Зависимость величины максимального касательного напряжения от угла /3наклона разлома
0,0016
0,0014
0,0012
0,001
0 0,0008
0,0006
0,0004
0,0002
0
0102030405060708090100
050050-10-1030302525202015151010-15—20-15—20Рис. 7. Характеристики места достижения, величины и угла ориентации площадки, на которой достигается максимальное значение касательного напряженияРис. 7. Характеристики места достижения, величины и угла ориентации площадки, на которой достигается максимальное значение касательного напряженияЗависимость угла наклона а площадки максимального касательного напряжения(угол отсчитывается от нормали к разлому) от угла beta наклона разлома
05
0
05
0
-10
-10
30
30
25
25
20
20
15
15
10
10
-15
—20
-15
—20
Рис. 7. Характеристики места достижения, величины и угла ориентации площадки, на которой достигается максимальное значение касательного напряжения
Рис. 7. Характеристики места достижения, величины и угла ориентации площадки, на которой достигается максимальное значение касательного напряжения
Рис. 8. Геометрия берегов разлома для двух взаимных положений основной трещины и трещины разлома
Выводы. Проведенные расчеты качественно совпадают с результатами экспериментов по расклиниванию образца трещиной нормального разрыва при наличии в образце линии ослабленных связей. Анализ напряженно-деформированного состояния показал возможность реализации всех трех экспериментально наблюдаемых сценариев эволюции трещины. Показано, что повторный поворот основной трещины обеспечивается возникновением больших касательных напряжений на площадках, ориентированных близко к нормали для трещины разлома. Это может привести к возникновению новой трещины сдвига, направление которой близко к направлению основной трещины. На примере сравнения с аналитическим решением показана эффективность выбранного численного метода граничных элементов.
Список литературы
Khristianovich S.4., Ze It о v Y.P. Formation of vertical fractures by means of highly viscous liquid 〃 Proc., Forth World Pet. Congress, Rome, 1995. V. 2. P. 579—586.
Христианович C.A., Желтов Ю.П. О гидравлическом разрыве нефтеносного пласта 〃 Изв. АН СССР. ОТН. 1955. №5. С. 3—41.
Roy Хи £., Yonggang У. Huang, Ares J. Rosakis Dynamics crack deflection and penetration at interfaces in homogeneous materials: experimental studies and model predictions 〃 Journal of the mechanics and Physics of Solids. 2003. №51. P. 461-486.
Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи теории упругости. М.: Изд-во АН СССР, 1954.
Г ахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.
К МОДЕЛИРОВАНИЮ ДЕФОРМИРОВАНИЯМАТЕРИАЛОВ, ПО-РАЗНОМУ СОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯРАСТЯЖЕНИЮ И СЖАТИЮ
А.А. Буренин, В.М. Ярушина
Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН
Наличие микродефектов в строении реальных материалов, например горных пород, приводит к тому, что сопротивление их растяжению и сжатию оказывается существенно различным. Такое свойство неоднократно моделировалось в механике [1-4], как на стадии обратимого, так и на стадии необратимого деформирования. Укажем еще на одну возможность подобного отклика деформируемого материала на сжимающие или растягивающие нагрузки.
Классическая теория упругости может быть построена [5] на основе потенциала деформаций, имеющего смысл термодинамического потенциала U(o叮) Гиббса, при изотермическом приближении для модели упругой средн:
ev = 2+ ""力=• (1・1)
Здесь 〃分—компоненты вектора перемещений точек среды, о叮，е^- — компоненты тензоров напряжений и малых деформаций. В случае изотропной среды функция U зависит от инвариантов тензора напряжений. Более того, требования линейности теории приводят к зависимости потенциала деформаций U только от двух инвариантов тензора напряжений. Выберем в качестве таковых
0=；0林=；(01+02+03)；» = у| {(01 — 0)2 + 3 — 0)2 + 3 — 0)2}.
(1.2)
Первый из них, а, — среднее давление, второй, S, — интенсивность напряжений (с точностью до множителя напряжение на октаэдрической площадке). Закон Гука следует из (1.1) и (1.2), если положить
u=歹 + 須，(1.3)
『3(1-2〃『3(1-2〃ЕЕ72 1 + 沙「Wk72 1 + 沙「Wk
『3(1-2〃
『3(1-2〃
Е
Е
72 1 + 沙
「Wk
72 1 + 沙
「Wk
При этом Е и и — модуль Юнга и Действительно, вычислив производныеПри этом Е и и — модуль Юнга и Действительно, вычислив производныекоэффициент Пуассона соответственно.коэффициент Пуассона соответственно.
При этом Е и и — модуль Юнга и Действительно, вычислив производные
При этом Е и и — модуль Юнга и Действительно, вычислив производные
коэффициент Пуассона соответственно.
коэффициент Пуассона соответственно.
даа0打даа0打
да
а0打
да
а0打
= I 方_1{[2(01 - еГ)-c2 — 0) - е3 - еГ)] /也 +
+ [23 — 0)一e1 — G - 3 - ет)]加分m+
lili = mimi = 电电 =1, liTrii = rriiTii = 电^ = 0, lilj + miTrij + 电 电・=8叮， где /分，加分，ni — направляющие косинусы главных направлений тензора напряжений, найдем
as acr I au2 ax 1 + 沙з沙父
Для того чтобы материал по-разному сопротивлялся растяжению и сжатию, в (1.3) достаточно положить
и = *М +如2—立и(1.4)
Действительно, рассматривая случай одноосного растяжения-сжатия, будем иметь
Fl =俏 + b - ск) 61 = (^ - ск) 61, k = Signan.(1.5)
В зависимости от знака ан сопротивление материала деформированию будет различным. При с > 0 его сопротивление сжатию будет большим по сравнению с сопротивлением растяжению. Рассматриваемый случай во многом аналогичен предложению В. П. Мясникова [3] определять разносопротивляющиеся среды заданием упругого потенциала
屮=^А+〃/2/1М，(1.6)
厶=e/ck； a = ё叮⑦分.
И все же определение упругой среды, связанное с заданием удельной свободной энергии (1.6), оказывается более общим по сравнению с заданием ее свойств с помощью потенциала Гиббса (1.4). В последнем случае, в отличие от (1.6), сопротивление материала всестороннему сжатию одинаково сопротивлению всестороннему растяжению. Это обстоятельство связано с выбором инварианта X, который при всестороннем сжатии тождественно равен нулю. С целью избежания данного парадокса достаточно взять в (1.4) в качестве S инвариант “打勺分. Не представляют теперь труда обобщения (1.4), вполне аналогичные проведенным в [3].
Выбранный инвариант S тензора напряжений обладает замечательным свойством: это однородная функция своих аргументов Si = |。分—а\:
(2.1)
При этом
ftF + IF + IF^I = 1 (E^k).(2.2)
\ 3 dsi 3 dsj3 ds^ / I aj =(Tk =0
Данное обстоятельство позволяет предложить иное построение линейной теории упругости, в которой в качестве S выбираем инварианты тензора напряжений, обладающие свойствами (2.1) и (2.2), но кусочно-линейно зависящие от оу.
S = max \ai —内 | (z ^ J)S = max \ai —内 | (z ^ J)(2.3)(2.3)
S = max \ai —内 | (z ^ J)
S = max \ai —内 | (z ^ J)
(2.3)
(2.3)
или
(2.4)(2.4)3
(2.4)
(2.4)
S = - max \ ai — a\.
Свойства систем уравнений, следующих при построении теории упругости на основе выбора в качестве S зависимостей (2.3) и (2.4), изучались Г. И. Быковцевым [7]. Им отмечались экстремальные свойства теории, получающейся при таком выборе, поскольку любая выпуклая кривая S = const в девиаторной плоскости располагается между шестиугольниками (2.3) и (2.4) (рис. 1). Классическая теория упругости, когда S выбирается в форме (1.2), соответствует окружности S = const на рис. 1. Отметим, что если в зависимостях (1.1), (1.3) использовать инвариант напряжений в форме (2.3) или (2.4), то в случае одноосного напряженного
состояния и всестороннего растяжения-сжатия получаем совпадение с классической теорией упругости. Следует заметить, что при записи зависимостей деформаций от напряжений приходится вычислять производные S. Когда же напряженное состояние соответствует особым точкам поверхностей S = const при S, вычисляемых согласно (2.3) или (2.4), эти производные не определены. В этом случае считаем, что
丁 , 0 < а < 1, (2.5) O(Ji O(Ji O(Ji
где X(i)= const, X(2)= const — уравнения плоскостей, образующих ребро, а — некоторая неизвестная функция, определяемая в процессе решения краевых задач. Соотношение (2.5) отражает тот факт, что в угловой
точке поверхности S = const нормаль к ней может принимать любое промежуточное направление между нормалями к гладким поверхностям, образующим ребро.
Соотношением (2.5) в задачу вводится новая неизвестная функция, но при этом в систему уравнений теории добавляется дополнительное соотношение X(D = =Х(2). Следует учитывать и ограничение 0 < а < 1. Таким образом, при использовании кусочно-линейных зависимостей (2.3), (2.4) возникает дополнительная трудность, связанная с тем, что объем деформируемого тела разбивается на части, где деформирование подчиняется разным уравнениям в соответствии с тем, что напряженное состояние соответствует разным граням и ребрам поверхностей S = =const. Но в некоторых случаях на таком пути можно получить существенные
упрощения в методах решения краевых задач теории, даже если использовать ее усложнения, связанные с учетом необратимого деформирования [8, 9].
Разное сопротивление растяжению и сжатию следует при использовании инвариантов (2.3), (2.4) при задании свойств среды потенциалом (1.4) так же, как и ранее. Материал среды в этом случае оказывается нормально изотропным при всестороннем растяжении-сжатии. Это обстоятельство опять же связано с тождествами S = 0 в этом случае.
Свойства разного сопротивления растяжению и сжатию возможно модельно учесть и в рамках классического потенциала Гиббса (1.3) (с = 0 в (1.4)). Для
^ =号(°+ m1+2切 2).^ =号(°+ m1+2切 2).(2.9)(2.9)
^ =号(°+ m1+2切 2).
^ =号(°+ m1+2切 2).
(2.9)
(2.9)
этого достаточно принять в качестве S функцию
(2.6)(2.6)S = max (Si — pSj).
(2.6)
(2.6)
Сечение поверхности S = const девиаторной плоскостью при выборе S в форме (2.6) при разных значениях /3 показано на рис. 2. В (2.6) /3 — некоторая новая
постоянная, характеризующая разномодульность материала. С целью конкретизации упругих постоянных а, Ь, В рассмотрим одноосное напряженное состояние 。22 = озз = 0. Пусть ап > 0. На поверхности S = const такому напряженному состоянию соответствует ребро, образованное пересечением граней
X ⑴=S1 — /3S2, X ⑵=Si — 13sз・ (2.7)
На нем производная
而=з + з
не зависит от а, и тогда, следуя (1.1), (1.3), (2.7), получаем
(2.8)
При сгц < 0 вполне аналогично получаем
При В = 1 одноосное напряженное состояние описывается классическим законом Гука с модулем Юнга 石=^ + Ь, а упругие постоянные а и 6 определяются согласно (1.3). Если же /3 ^ 1, то параметры а, Ь, /3 могут быть определены из опытов на одноосное растяжение-сжатие, когда ап = 022 = Озз = ст < 0, а
е =е =11 dU а11 dU а(2.Ю)(2.Ю)
е =
е =
11 dU а
11 dU а
(2.Ю)
(2.Ю)
Из (2.8)-(2.10) получим
Зеa =-
(2.Н)(2.Н)(§ +疗
(2.Н)
(2.Н)
5〃 一 3§ + 4，乎 _ з〃§
где
Зе^Зе^9е+019е+01ЗеаЗеа
Зе^
Зе^
9е+
01
9е+
01
Зе
а
Зе
а
что при выборе S в виде (2.6) и потенциала в форме (1.3), модуль всестороннего сжатия равен а/3 и не зависит от знака напряжений. Если разносопротивляе- мость при объемном деформировании существенна, зависимость (1.4) или выбор зависимостей (2.3), (2.4), (2.6) следует обобщить. Рассмотрим такие возможные обобщения.
Простейшие обобщения математической модели на случай, когда разно- сопротивляемость материала всестороннему сжатию и такому же растяжению учитывать необходимо, свяжем с выбором следующих инвариантов тензора напряжений в зависимости (1.4):
S = max \ai — aj| + q\a\, (3.1)
(3.2)(3.2)S = I max |g — a| + h\a\.
(3.2)
(3.2)
Здесь q, h следует трактовать в качестве новых постоянных материала. Сечения девиаторной плоскостью а = 0 поверхностей равного уровня функций (3.1) и (3.2) в точности совпадают с такими же сечениями S = const функций (2.3), (2.4), приведенными на рис. 1. Но, в отличие от (2.3), (2.4), поверхности (3.1), (3.2) являются не призмами, а замкнутыми поверхностями, представляющими собой пару симметричных пирамид, опирающихся друг на друга в девиаторной плоскости. Вершины этих пирамид располагаются на гидростатической оси с^ = =о? = оз в точках а = 士X/q для функции (3.1) и а = ±£/九 для функции (3.2). Данные модели содержат в себе две новые постоянные материала с и q, или си h. Вместе с упругими модулями а и 6 их следует определить экспериментально из
Рис. 3Рис. 3независимых опытов на одноосное растяжение и сжатие.
Рис. 3
Рис. 3
Разное сопротивление растягивающим и сжимающим усилиям возможно модельно описать, оставаясь в рамках классического представления для потенциала Гиббса (1.3) (с = 0 в (1.4)). Для этого выберем для S представление
S = max (S分—(3Sj) + (q — kh)ka. (3.3)
Поверхности равного уровня функции (3.3) представляют собой две пирамиды с вершинами, лежащими на гидростатической оси ел = о? = Оз (рис. 3), опирающиеся на
неправильный шестиугольник, лежащий в девиаторной плоскости. Он в точности
совпадает с сечением плоскостью 内 +。2 +。3 = ° поверхности S = const, определенной зависимостью (2.6), и изображен на рис. 2. Вершина правого конуса
располагается в точке
=02 =03 = 0 =一,
а вершина левого — в точке
а 1 = а2 = O's =(J =.
При переходе из одной точки среды к другой конусы будут меняться. Их вершины будут скользить вдоль гидростатической оси, а угол раствора будет оставаться постоянным.
Величина объемной деформации, вычисленная согласно (1.1), (1.3) с использованием (3.3), будет иметь вид
& = ^ (° +—卜九产)•(3.4)
При одноосном растяжении (ан > 0) напряжения соответствуют ребру Z/D = =Si — /3^2 + (« — h)a, X⑵=Si — 13sз + (q — h)a кусочно-линейной функции (3.3). Согласно (2.5) на данном ребре
(3.5)(3.5)Тогда из (1.1), (1.3) получим
(3.5)
(3.5)
号(a+^(2 + 0 + q一 介)(2(q 一九)一2 一
Одноосное сжатие (ап < 0) соответствует ребру X⑴=Si - /3^2 一(q + 九)6 X ⑵=Si — (3S3 — (q + h)a, где
言是（2 + C-匂 + 九））；公= ^ = Y（2（q +『2 + /3）,
и согласно (1.1), (1.3) для деформаций получим
(3.6)(3.6)еП =号(а + b( 1 + 2/3 + q + 九产),
(3.6)
(3.6)
ё万=e/ =号("一^(1 + 2e + q + g)(1 + 2/3 - 2(q + g)))•
Нетрудно убедиться, что деформации, вычисленные по формулам (3.5) и (3.6), различаются между собой.
Заметим, что по сравнению с зависимостью (2.6), функция (3.3) содержит две новые постоянные: q, h, которые вместе с а, 6 и /3 могут быть определены из экспериментов на всестороннее сжатие и одноосное растяжение-сжатие:
а =а =Зе-Зе-w1 + 2吵2/3(^1 - 4耽)w1 + 2吵2/3(^1 - 4耽)"С2…产,"С2…产,
а =
а =
Зе-
Зе-
w1 + 2吵2/
3(^1 - 4耽)
w1 + 2吵2/
3(^1 - 4耽)
"С2…产,
"С2…产,
(3.7)(3.7)8 = 6吵3 一吵4卩-2叫-3唳'
(3.7)
(3.7)
_ 3唳（5次一2吵2）叫
q~2 （2 我-3唳）（次-4次）-2（2 叫-3唳）
3 次侬1 + 14次）叫
2 （2办一3次）（也一4次）十2（2叫一3吵3）
где 21, М，2з, @4 — величины, выражающиеся через экспериментально наблюдаемые 厂，е~, (Тц, вц, е^, (Тц, вц,眩 при помощи соотношений
咖=9工一 3J耽=9工-3j,27+ 4 (也一次,也一4次 卜也一4次丿'_ £22 А 9СГ^ 丿次一4^2.咖=9工一 3J耽=9工-3j,27+ 4 (也一次,也一4次 卜也一4次丿'_ £22 А 9СГ^ 丿次一4^2.--4并4并
咖=9工一 3J耽=9工-3j,
27+ 4 (也一次,
也一4次 卜也一4次丿'
_ £22 А 9
СГ^ 丿次一4^2.
咖=9工一 3J耽=9工-3j,
27+ 4 (也一次,
也一4次 卜也一4次丿'
_ £22 А 9
СГ^ 丿次一4^2.
-
-
4并
4并
Заметим, что в рамках предлагаемых модельных представлений проявляется эффект дилатансии, характерный для сыпучих и микроразрушенных сред [10].
Если необходим учет необратимых деформаций (деформаций ползучести), то во всех приведенных соотношениях е分следует рассматривать как обратимые деформации, а полные деформации d叮 представить в виде суммы:
d叮=2(""J + "九分)=ё叮+0打'
Для деформаций ползучести 夕叮 следует постулировать закон ползучести, например в форме Нортона:
Такая математическая модель неустановившейся ползучести изучалась в [8, 9], но без учета различия в сопротивлении материалов растяжению и сжатию.
Список литературы
Амбарцумян С. А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982. 320 с.
Мясников В.П., Олейников А. И. Основные общие соотношения изотропно-упругой раз- носопротивляющейся среды 〃 ДАН СССР. 1992. Т. 322, № 1. С. 57-60.
Быковцев Г. И., Лаврова Т. Б. Модель анизотропно упрочняющейся среды, имеющей различные законы упрочнения при растяжении и сжатии 〃 Изв. АН СССР. МТТ. 1988. №2. С. 146-151.
Ломакин Е.В., Работное Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела 〃 Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 6. С. 29-34.
Ивлев Д. Д. К построению теории упругости 〃 ДАН СССР. 1961. Т. 138, № 6. С.1321-1324.
Ивлев Д. Д. К построению гидродинамики вязкой жидкости 〃 ДАН СССР. 1960. Т. 135, №2. С. 280-282.
Быковцев Г. И. Общие свойства уравнений нелинейной теории упругости при кусочнолинейных потенциалах 〃 ПММ. 1996. Т. 6, вып. 3. С. 505-515.
Быковцев Г. И., Ярушина В.М. Об особенностях модели неустановившейся ползучести, основанной на использовании кусочно-линейных потенциалов 〃 Проблемы механики сплошных сред и элементов конструкций: сборник научных трудов (к 60-летию со дня рождения проф. Быковцева). Владивосток: Дальнаука, 1998. С. 9-26.
Буренин А.А., Ярушина В.М. Плоское напряженное состояние в условиях нелинейной неустановившейся ползучести 〃 Дальневосточнный математический журнал. Владивосток: Дальнаука, 2002. Т. 3, № 1. С. 64-78.
Ревуженко А. Ф., Шемякин Е.И. Об эффекте поперечных деформаций в механике сплошной среды 〃 Прикладная математика и техническая физика. 1974. № 1. С. 154158.
КИНЕМАТИКА ПРЕДЕЛЬНОГО ОСЕСИММЕТРИЧНОГОСОСТОЯНИЯ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ СО СЦЕПЛЕНИЕМ
Н.Д. Вервейко, А. Л. Фролов
Воронежский государственный университет
Построена система уравнений в частных производных для поля скоростей осесимметричного предельного состояния связной сыпучей среды с дилатансией, частицы которого обладают трением качения. Для случая материала, частицы которого обладают большим коэффициентом трения качения, траектории представляют собой семейство логарифмических кривых, переносимых параллельно вертикальной оси. Для случая течения вблизи оси симметрии получены приближенные выражения траектории в виде семейства гипербол с различными горизонтальными асимптотами.
Фрагментарность материала во Вселенной обладает общей экспоненциально убывающей закономерностью, отмеченной академиком Е. И. Шемякиным в ряде его работ [1, 2], и поэтому деформирование и течение реальных горных материалов различной природы на макроуровне необходимо проводить с учетом их фрагментарности.
Экспериментальные и теоретические исследования деформирования сыпучих материалов, проведенные А. Ф. Ревуженко и его сотрудниками под руководством Е. И. Шемякина, показали необходимость учета перемещения и микровращения частиц сыпучей среды и влияния микровращения на объемное деформирование [3]. Связь между сдвиговой и объемной деформациями сыпучего материала отмечалась и исследовалась также в [7].
Математические модели для описания течения и деформирования сыпучих материалов с использованием различных подходов пластичности представлены в [1-9].
Ниже предлагается анализ напряженно-деформированного состояния сыпучего материала с использованием гипотезы несимметричности тензора напряжений, порожденной парами сил на частицах сыпучей среды, возникающих при их повороте-качении.
Формулировка условия пластичности Мизеса-Соколовского-Кулона в пространстве полных несимметричных напряжений с использованием классической зависимости момента трения качения от давления Мрр = /р позволяет перевести условие пластичности в пространство симметричных напряжений и получить его в виде семейства поверхностей от параметра / — коэффициента трения качения.
Семейство поверхностей нагружения в пространстве главных напряжений включает в себя: конусы с осью, равнонаклонной к главным осям сч, 。2 и 03, гиперболоиды вращения, параболоид и эллипсоиды вращения. Коаксиальность пространств напряжений и скоростей деформации и ассоциированный закон течения приводят к ассоциированной сжимаемости модельной среды и возможности как разрыхления, так и уплотнения в зависимости от вида напряженного состояния.
Будем полагать, что сыпучая среда достигает пластического состояния, когда выполняются условия пластичности, т. е. когда напряженное и моментное состояния удовлетворяют условиям пластичности:
①а(о,加)=。，Q = 1,2.
Считаем, что процесс пластического течения связной сыпучей среды происходит при одновременном проскальзывании и вращении частиц, т. е.①i = 0 — при пластическом проскальзывании частиц, а ①2 = ° ——при вращении частиц. Случай Ф1 < 0 и Ф2 < 0 соответствует жесткому состоянию связной сыпучей среды. Условие Ф1 = 0, а Ф2 < 0 определяет пластическое течение сыпучего материала без вращения частиц, при этом моментные напряжения и антисимметричные компоненты тензора напряжения отсутствуют и микрополярная теория связной сыпучей среды совпадает с классической теорией пластичности. Условие Ф1 < 0 и Ф2 = 0 соответствует отсутствию пластического проскальзывания при наличии пластического вращения, что можно реализовать при приложении моментных напряжений.
Полагаем, что напряженное состояние пластически деформируемой микропо- лярной сплошной среды в пространстве полных напряжений удовлетворяет условию пластичности Мизеса-Шлейхера-Кулона-Соколовского [8]:
①1 =/?-(У + а/к)2 = 0,
где /，= 1/2 • о%。%, штрих означает девиаторную часть тензора напряжений, У — сцепление, а — коэффициент внутреннего трения. Отметим, что сумма квадратов вторых инвариантов симметричной и антисимметричной частей тензора напряжений равна квадрату второго инварианта:
Т-/2 _ 7-/2 I 7-/2/2 一12(0)2匕].
Для случая малого влияния моментных напряжений на вращение условие пластического течения материала, соответствующее относительному вращению частиц, в пространстве напряжений имеет вид [8]
①2= % -产/窘=0.
Исключая антисимметричные компоненты тензора напряжений из условия пластичности, получим
Ф = ф1 = j ^ij^ij) - • /"У + 尸/窘=°- ⑴
На рис. 1 показано множество условий пластичности (/ — условие пластичности Кулона-Мизеса-Соколовского, 2 — замкнутое условие пластичности). Условия пластичности в пространстве второго инварианта симметричного тензора напряжений и первого инварианта тензора напряжений представляют собой семейства: гипербол (а〉/), параболы (а = /) или эллипсов (а < /). При условии малости коэффициента трения качения (а ^ /) условие пластичности (1) переходит в условие пластичности Мизеса-Шлейхера, которое при малом угле внутреннего трения (а ^ 0) переходит в условие пластичности Мизеса. При а < / условие пластичности (1) является замкнутым и представляет собой семейство эллипсов.
Рис. 1Рис. 1
Рис. 1
Рис. 1
⑵⑵Ассоциированный закон пластического течения выражает собой тот факт, что вектор скорости симметричной части пластической деформации £(叮)ортогонален к поверхности текучести ①i пространстве симметричной части тензора напряжений:
⑵
⑵
Аналогичный результат имеет место и для антисимметричной части скорости пластического деформирования.
В рамках теории, рассматривающей пластическое течение сыпучих материалов в скоростях, естественно распространить понятие дилатансии на отношение скорости объемного деформирования £ к скорости сдвига 力：
£kk£kk
£kk
£kk
Ассоциированный закон течения позволяет вычислить скорость дилатансии:
(3)(3)△ _ (а ①/а/1ь) _ -&(1 + асг) + 产СГ о —
(3)
(3)
8 ①/8 及6 1 + m)2 —" y
На рис. 2 приведен график △(о), из которого следует: при а > / материал всегда уплотняется; при а = / с увеличением а уплотнение устанавливается; при а < / первоначально уплотняющийся материал с увеличением а разрыхляется.
Рис. 2Рис. 2
Рис. 2
Рис. 2
Замкнутое условие эллипс (рис. 3, а):Замкнутое условие эллипс (рис. 3, а):пластичности в пространстве 1^, а представляет собойпластичности в пространстве 1^, а представляет собой
Замкнутое условие эллипс (рис. 3, а):
Замкнутое условие эллипс (рис. 3, а):
пластичности в пространстве 1^, а представляет собой
пластичности в пространстве 1^, а представляет собой
Эллипс проходит через точку 了？。= 1, ст = 0 и пересекает ось а в точках: а\ = =—1/(/ + а) и о? = 1/(/ —&) (рис. 3). Максимальное значение 1^ принимает в точке Отах = &/(产一也・
На рис. 3,6 показано поведение △ в зависимости от а при замкнутом условии пластичности. Как видно из рис. 3 точка, в которой Л = 0, соответствует максимальному значению 厶 и △ асимптотически убывает при возрастании о, так что первоначальное сжатие элемента сыпучего материала при возрастании а меняется на разрыхление элемента.
Эксперименты по трехосному деформированию связных и несвязных сыпучих материалов [9] обработаны и приведены к зависимости △ от вида напряженного состояния 广=01/(72 (。2 =。1)・ Использование этих экспериментальных данных позволяет определить численные значения коэффициента трения качения / для различных сыпучих материалов при известных а и Y. Для этого преобразуем выражение для △(о) к виду
二—2/У)+3&
戶(г + 2/У『—6а 伉 + 2/У)+ 9
здесь ®2 = /2 — &2, у = у/оз, f = r/Y = сч/У. Зависимость △(/) аналогична А(а) (рис. 3, 6).
Для сопоставления экспериментальных данных [9] с теоретическими результатами (3) вычислим △ для случая осесимметричного трехосного нагружения:
—(6 -5戶斤+ 15+ 10戶一4aр
-於 1 -(6 + 戶斤 + 3 + 2乎 + зар ,
В случае малого сцепления У — 0, выражение для △ принимает вид
△ _ —(6 —5外斤+ 15+ 10科
-(6 +戶斤+ 3 + 2乎 ,
Как следует из последнего выражения, величина △ имеет вертикальную асимптоту
『 = —(3 + 282)/(6 + 82),
нулевую точку
Л(0) = (15+ 1052)/(3 + 252) = 5
и горизонтальную асимптоту
△а=-(6 + 582)/(6 + 屏).
На рис. 4 представлена зависимость величины Л от г и 52. Из графика видно, что с увеличением г, т. е. с уменьшением поперечных усилий на элементе, △ убывает от положительных значений до отрицательных.
В работе [9] приведены экспериментальные данные для различных песков по определению «дилатансии» Ад, введенной Роу, в зависимости от вида напряженного состояния г. Эксперименты показали, что Лд|г=0 = 5, что совпадает с теоретическим значением из (9), и △尺(广)=0 при 广 е (3, ...,8) для различных песков.
Рассмотрим осесимметричное деформирование исследуемой модели материала. Уравнения равновесия имеют вид
, a^rz) ,/ / Т 、. (Jr ~ О'0 — с
⑷
Система трех уравнений (1) и (4) в напряжениях относительно четырех компонент тензора напряжений ar, ао, az,。(『之)является незамкнутой.
Скорости деформации определяются через скорости перемещения формулами Коши:
dUrUrdUz1 fdUr , dUz\八
好=亦，£6 = 7，% =而，£(忆)=D(而+万)，£(2)=ё仰)=°・
Для замыкания системы уравнений в напряжениях (1), (4) воспользуемся ассоциированным законом пластического течения (2), получим
?=2入 仙_(；+ a2 一产)Via - ay),
dUr 丄 dUz
Последние уравнения связывают компоненты скорости перемещения и компоненты тензора напряжений связной сыпучей среды. Выделим из них три линейно независимых уравнения:
dUr _ 1 Ur
dr А т '
ЖdzЖdz1 Ur瓦T1 Ur瓦T⑸⑸
Ж
dz
Ж
dz
1 Ur
瓦T
1 Ur
瓦T
⑸
⑸
dUr dUz _ 1 Urdz dr A r
— Bhb — аУ 八 be — Bhb — аУсто — /З/icr — аУ &1
где °】=°?=…/…у，& =「+
+ 一 /2.
Система уравнений (4) является переопределенной для компонент скорости перемещения Ur и Uz, и третье уравнение дилатансии является недостающим уравнением для замыкания системы в напряжениях (1), (4).
Система уравнений в частных производных допускает интегрирование в некоторых случаях. Для случая /》a, Z?i — О2Tl после интегрирования первого и второго уравнения (5) получим компоненты скорости перемещения:
Ur = C\{z)r (вдоль 2 = const),
Uz = G(2)+。2(广) (вдоль Г = const).
Рис. 5Рис. 5
Рис. 5
Рис. 5
Дифференциальное уравнение для траектории частиц сыпучего материала с учетом последних уравнений будет иметь вид
dz _UZ _ С2
dr Ur
где G =C1(2),c2 =c2(广)+e1(2).
Из последнего уравнения после интегрирования получим уравнение для траектории частиц:
^ = ^ 1пг + С,
которое задает семейство траекторий частиц сыпучего материала (рис. 5).
Поле скоростей осесимметричной задачи вблизи оси симметрии определяется уравнениями [8]:
TГ — Ur (T0(2)，2)个
% ⑶ Г'
u, = и,（广,3（力-2%?（（：；0）卜-3 +u, = и,（广,3（力-2%?（（：；0）卜-3 +(3/3 - l)cr® + 3aY 1 I 7г- 20^ - 2aY(3/3 - l)cr® + 3aY 1 I 7г- 20^ - 2aY
u, = и,（广,3（力-2%?（（：；0）卜-3 +
u, = и,（广,3（力-2%?（（：；0）卜-3 +
(3/3 - l)cr® + 3aY 1 I 7г- 20^ - 2aY
(3/3 - l)cr® + 3aY 1 I 7г- 20^ - 2aY
Траектории частиц связной сыпучей среды вблизи оси симметрии для стационарного течения при Ur (『о(2),2)= const, Uz(r, ^o(r)) = const и 『0(2) = const имеют вид
_са(7 + 5) In(7 + b)
2 — (b+(l+ a)))戸(f)))6+(1 +a)7
-丁o(2)- 220 - 2"In 1)20 + b\,
где a = ((3/3 - l)o? + 3aT)/7, b = -2/3a2 - 2aY, c = const.
Последнее выражение задает семейство траекторий весомых частиц сыпучего материала вблизи оси симметрии (рис. 6).
Траектории весомых частиц сыпучего материала вблизи оси симметрии представляют собой семейство гипербол, имеющих горизонтальные асимптоты 2 = =const. Таким образом, частицы сыпучего материала вблизи плоскостей 2 = const перемещаются почти горизонтально, и лишь вблизи оси симметрии происходит вертикальное перемещение.
В общем случае следует рассматривать совместную систему уравнений в напряжениях и скоростях перемещений.
Список литературы
Ревуженко А. Ф., Шемякин Е.И. Кинематика деформирования сыпучей среды с невязким трением 〃 Прикл. мех. и техн, физика. 1974. № 4. С. 119-124.
Ревуженко А. Ф., Стажевский 0.6., Шемякин Е.И. О структурно-дилатансионной прочности горных пород 〃 ДАН СССР. 1989. Т. 305. № 5. С. 1077-1080.
Ревуженко А. Ф. Механика сыпучей среды. Новосибирск: ЗАО ИПП «ОФСЕТ», 2003. 420 с.
Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 с.
Соколовский В. В. Статика сыпучей среды. М.: Наука, 1990. 272 с.
Кондауров В. И., Никитин Л. В. Теоретические основы реологии геоматериалов. М.: Наука, 1990. 206 с.
Определяющие законы механики грунтов: Сб. Механика. Новое в зарубежной науке / Под. ред. В. Н. Николаевского. М.: Мир, 1975. № 2.
Валюхов С. Г., Вервейко Н.Д., Смотрова О. А. Микрополярная модель связных сыпучих материалов. Воронеж: Изд-во Воронежск. ун-та, 1999. 87 с.
Rowe Р. W. Theoretical meaning and observed values of deformation parameters for soil 〃 Proceedings of the Roscoe Memorial Symposium. Cambridge University. 1972. P. 143-192.
МИНИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ РАЗРУШЕНИЯСОСТАВНОГО ЦИЛИНДРА КОНТАКТНОЙ ПАРЫ
Г.Х. Гаджиев, В.М. Мирсалимов
Азербайджанский технический университет, Баку
Рассматривается задача механики разрушения для составного цилиндра контактной пары в процессе работы. Считается, что втулка контактной пары подкреплена с натягом с помощью внешнего цилиндра, а вблизи поверхности трения имеется 7Vo прямолинейных трещин длины 22k (卜=1,2,..., 7Vо) • На основе модели шероховатой поверхности трения и минимаксного критерия проведен теоретический анализ по определению микрогеометрии поверхности трения и натяга соединения, обеспечивающего минимизацию параметров разрушения составного цилиндра контактной пары. В качестве примера рассмотрен расчет для контактной пары применительно к скважинным штанговым нефтяным насосам.
Постановка задачи. Практика работы контактных пар нефтепромыслового оборудования показывает, что при многократном возвратно-поступательном движении плунжера разрушение втулки составного цилиндра контактной пары происходит на пятнах фактического касания в тонких приповерхностных слоях за счет образования микротрещин, с которыми втулка «живет» значительную часть ресурса работы.
В связи с этим необходимо осуществлять предельный анализ деталей контактной пары, чтобы установить, что предполагаемые исходные трещины, расположенные самым неблагоприятным образом, не будут расти до катастрофических размеров и не вызовут разрушения в течение расчетного срока службы.
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние составного цилиндра контактной пары в процессе работы.
В процессе работы контактной пары «составной цилиндр-плунжер» происходит силовое взаимодействие между контактирующими поверхностями втулки и плунжера, возникают силы трения, приводящие к изнашиванию материалов сопряжения. Для определения контактного давления необходимо рассмотреть [1-3] износоконтактную задачу о вдавливании плунжера в поверхность втулки. Пусть к внутренней поверхности втулки с механическими характеристиками G п 〃 на некотором участке прижимается плунжер с механическими характеристиками Gi и 从1. Принято, что втулка подкреплена с натягом с помощью внешнего цилиндра с механическими характеристиками G。и 从°. Функция натяга заранее неизвестна и подлежит определению в процессе решения задачи из дополнительного условия. Принято, что выполняются условия плоской деформации.
Пусть в упругой втулке, подкрепленной с натягом внешним цилиндром, вблизи поверхности трения имеется Nq прямолинейных трещин длины 22k (k = 1,2,..., TVo). Режимы работы контактной пары, в которой могут возникнуть остаточные деформации, считаются недопустимыми.
В центрах трещин разместим начала локальных систем координат 力卜0卜沙卜， оси 力卜 которых совпадают с линиями трещин и образуют углы &卜 с осью х
(см. рис. 1). Считается, что берега трещин свободны от внешних нагрузок. Отнесем составной цилиндр к полярной системе координат гв, выбрав начало координат в центре концентрических окружностей Lq, L и Li с радиусами Rq, R н R、соответственно. Будем считать, что внутренний контур втулки близок к круговому. Как известно, реальная внутренняя поверхность втулки никогда не бывает абсолютно гладкой, а всегда имеет неровности, являющиеся неизбежным следствием процесса технологической обработки. Рассмотрим некоторую произвольную реализацию шероховатой внутренней поверхности втулки.
Представим неизвестную границу внутреннего контура втулки 〃 в виде
г = р⑼；р⑼=Ru + eH⑼, Я(^) = £(4 cos^ + ^ sin^), (1.1) k=Q
где £ — малый параметр, равный Rmax/Ro； Rmax ——наибольшая высота неровности профиля втулки составного цилиндра.
Здесь функция Н(£) подлежит определению в процессе решения задачи оптимизации.
Аналогично неизвестный заранее внешний контур плунжера близок к круговому и может быть представлен в виде
р^З) = R^£Hx{e\ Н^З) = cos^ + ^ sin^), (1.2) k=Q
в котором функция Н1（£） подлежит определению в процессе решения задачи оптимизации.
Условие, связывающее перемещения втулки и плунжера, запишется [1] в следующем виде:
也="0）（仇 ，е，%）•（1.3）
Здесь 8（夕）—осадка точек поверхности втулки и плунжера, определяемая формой внутренней поверхности втулки и плунжера, а также величиной прижимающей силы Р,夕2 —仇—величина угла （площадка） контакта. В зоне контакта, кроме нормального давления, действует касательное напряжение т『е, связанное с контактным давлением 夕（仇方）по закону Амонтона-Кулона:
丁2（仇方）=/0（仇方），
где / — коэффициент трения пары «втулка-плунжер».
Касательные усилия （усилия трения） 丁沔（仇方）способствуют тепловыделению в зоне контакта. Общее количество тепла в единицу времени пропорционально мощности сил трения, а количество тепла, выделяемое в точке зоны контакта с координатой 仇 будет равно
QG" = KfM 仇力（1.4）
где V — средняя за период скорость перемещения плунжера относительно втулки.
Общее количество тепла Q（仇方）будет расходоваться следующим образом: поток тепла во втулку Qb（仇方）и аналогичный поток Qi （仇方）тепла на повышение температуры плунжера, т. е.
Q = Qb + Qi・
Так как частота движения плунжера достаточна велика, рассматриваем задачу определения температуры как стационарную.
Для радиального перемещения втулки составного цилиндра будем иметь
修=/д + 修山 + г/*.（1.5）
Здесь /у — радиальные термоупругие перемещения точек контактной поверхности втулки; ^1山—перемещения, вызванные смятием микровыступов поверхности втулки; и\^ — перемещения, вызванные износом поверхности втулки.
Аналогично, для перемещений точек поверхности плунжера будем иметь
也=^у + 也 hi + 也0・（1.6）
Скорость изменения перемещений поверхности трения при абразивном износе будет равна [3]
% = КькР（仇 t） （k= 1,2）,（17）
где Kbi и Кь2 — коэффициенты изнашивания материала втулки и плунжера соответственно.
Для определения перемещений /у, ^1Ш необходимо решить следующую задачу термоупругости для составного цилиндра:
АТ = 0 во втулке,
А То = 0в подкрепляющем цилиндре;
при г = 0（e）
при г = R
-4r2&i（T - К） = -Q*；
（1.8）
при г = R、
+ a2（Т - К）=0；
при г = 0（e）
=—夕（夕），岀力=一/夕（夕）на площадке контакта,
（1.9）
=0,岀力=0вне площадки контакта;
при г = R
成-分以=或一分或，
/1 in、
при г = R、
卄=0; 陽=0,
（Ml）
戚=0;* = 0 на берегах трещин.
（1•⑵
Здесь А, Ао — коэффициенты теплопроводности втулки и подкрепляющего цилиндра соответственно; △ — оператор Лапласа; а\ — коэффициент теплоотдачи с внутренней поверхности втулки; &2 ——коэффициент теплоотдачи с наружной цилиндрической поверхности цилиндра во внешнюю среду; Тс — температура окружающей среды; п, t — нормаль и касательная к контуру трещины; Ат\ — теплопоглощающая поверхность;厶丁2 — охлаждающая поверхность; Q* — часть количества тепла, выделившегося при трении и приходящаяся на нагрев втулки; Q* = Qb на площадке контакта, Q* = 0 вне площадки контакта; %, ^ — соответственно радиальная и касательная составляющие вектора перемещений точек контура L; аг, ое, 丁沔—компоненты тензора напряжений; g（J） — искомая функция натяга; г2 = — 1.
Аналогично ставится задача термоупругости для определения перемещений контактной поверхности плунжера:
=0，
при г =p1（夕）入2崇"+ Q⑴-K）=。при Г = Pl （夕）0几=一夕（夕）；Tnt = 一/夕（夕）= °；丁冷力=°при г =p1（夕）入2崇"+ Q⑴-K）=。при Г = Pl （夕）0几=一夕（夕）；Tnt = 一/夕（夕）= °；丁冷力=°на контактной площадке, вне контактной площадки;на контактной площадке, вне контактной площадки.на контактной площадке, вне контактной площадки;на контактной площадке, вне контактной площадки.（1.13）（1.13）（1-14）（1-14）
при г =p1（夕）
入2崇"+ Q⑴-K）=。
при Г = Pl （夕）
0几=一夕（夕）；Tnt = 一/夕（夕）
= °；丁冷力=°
при г =p1（夕）
入2崇"+ Q⑴-K）=。
при Г = Pl （夕）
0几=一夕（夕）；Tnt = 一/夕（夕）
= °；丁冷力=°
на контактной площадке, вне контактной площадки;
на контактной площадке, вне контактной площадки.
на контактной площадке, вне контактной площадки;
на контактной площадке, вне контактной площадки.
（1.13）
（1.13）
（1-14）
（1-14）
Здесь для интенсивности поверхностного источника тепла в зоне трения имеем: Qi(J) = am.Ti.2fVp⑼；&加.冷.2 — коэффициент разделения теплового потока для плунжера.
Величины 仇 и 夕2, являющиеся концами участка соприкосновения плунжера с втулкой, неизвестны заранее. Для их определения используем условие [4], показывающее, что давление 夕(夕)непрерывно переходит в нуль, когда точка 夕 выходит за участок соприкасания:
夕(仇)=0;夕(夕2)=0. (1.15)
Для нахождения функции натяга соединения и профиля поверхности трения нужно постановку задачи дополнить условием (критерием), позволяющим определить искомый натяг и функции H(J), Hi(J). Согласно теории [5] квазихруп- кого разрушения Ирвина-Орована, параметром, характеризующим напряженное состояние в окрестности трещины, является коэффициент интенсивности напряжений. Следовательно, ответственной за разрушение материала втулки составного цилиндра контактной пары можно считать величину коэффициента интенсивности напряжений в окрестности вершины трещины.
Исследуя основные параметры разрушения и влияние на них микрогеометрии поверхности трения и натяга посадки соединения составного цилиндра, свойств материалов и других факторов, можно обоснованно управлять разрушением конструкторско-технологическими методами, в частности натягом соединения втулки и внешнего цилиндра, а также геометрией поверхности трения.
В качестве критерия для определения натяга соединения (функция д(0)) и микрогеометрии поверхности трения (функции Н(夕)и Hi(夕))принимаем обеспечение минимизации величины максимального коэффициента интенсивности напряжений в окрестности кончика трещины во втулке.
Минимизация максимального значения коэффициента интенсивности напряжений будет способствовать повышению работоспособности втулки составного цилиндра контактной пары.
Таким образом, требуется определить натяг соединения g(J) и функции Н⑼, Я1(^) так, чтобы созданное ими в процессе работы узла трения напряженное поле препятствовало росту трещин.
Без нарушения общности поставленной задачи принято, что искомая функция натяга g(J) и Н(£), »1(夕)могут быть представлены в виде рядов Фурье.
Следовательно, коэффициентами а^, bk разложения искомой функции натяга, ag, bg и а±, Ь± функций Н(£) и Hi(J) надо так распорядиться, чтобы обеспечивалась минимизация максимального коэффициента интенсивности напряжений. Это дополнительное условие позволяет определить искомые функции g(J), Н(£) и Я1(^).
Случай одной трещины. Для решения поставленной задачи оптимального проектирования необходимо совместное решение износоконтактной задачи с задачей механики разрушения.
Температурные функции, напряжения и перемещения в составном цилиндре и плунжере ищем в виде разложений по малому параметру, в которых пренебрегаем, для упрощения, членами, содержащими £ степени выше первой.
Каждое из приближений удовлетворяет системе дифференциальных уравнений плоской термоупругости.
Значения компонент тензора напряжений при г = р⑼ получим, разлагая в ряд выражения для напряжений в окрестности г = Rq.
Используя метод возмущений, с учетом сказанного краевые условия задачи термоупругости для составного цилиндра можно привести к следующему виду:
для нулевого приближения
△方『)=0во втулке,
△А°)= 0в подкрепляющем цилиндре;
при
г = Rq
or
472aM俨=~Q^\
при
г = R
/0)_/0).
oror
при
г = R\
出⑼
AoH a2
or
при Г = Rq
成⑼=一夕⑼⑼;
，（0）
на площадке контакта,
聲 。）=0;
Tr0
=0
вне площадки контакта;
при г = R
成⑼一或。）=内。）一第。），
一储⑼+*（夕）；
при
г = R\
《⑼=05 吟⑼=0, 或⑼=0； 司°)= 0
на берегах трещин;
ДЛЯ
первого приближения
△方夕)=0 во втулке,
△А" = 0 в подкрепляющем цилиндре;
при
г = R
出⑴
при
广=Ri
or
+ Q2A"=。；
при г = Rq
成⑴=N 一0⑴(夕)； 鑑D =T-fp⑴⑼
成⑴=N;鑑1)= T
на площадке контакта,
вне площадки контакта;
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
при г = R
成⑴一霭）=寸⑴一用
以⑴-然⑴=4⑴-猫⑴+ g⑴⑼；
(2.8)
при г = R、
4 ⑴=0;
喫)=0;
(2.9)
на берегах
трещины
成⑴=0;
^=0.
(2.10)
Здесь
N = -H(0)^ + 2t^ T=储⑼-成⑼).
1 dH(0)n
•凡必при凡'
Яо曲н⑺ar •
(2.11)
Аналогично находим краевые условия задачи термоупругости для плунжера в каждом приближении.
Решение сопряженной краевой задачи теории теплопроводности ищем методом разделения переменных.
Распределение избыточных температур для втулки, % = Т — К, и подкрепляющего цилиндра, to = Tq — Тс, находим формально в следующем виде:
方俨=Go + C2Q^nr + 工(C^)r" + C^r~k^ coskJ + k=l
+ 工(^А^гк + А^г~к^ sinkO,
方?)= Си + C^ytnr + 工｛c\^rk + C^r~k^ coskJ +
A" = °30 + C^nr + 工(C；『M +。方厂卜)cos kJ +
+ 工(^A^rk + A^r~k^ sinkO,
A" = C31 + C^Enr + 工(C；?M + cf：W cos kJ +
+ t (4i)rfc + 4i^"fc) sink仇 (2.12)
Постоянные g, Go, Jo, &o,。化。^), <\ A^, C^,。揖，A^, A^ определяются из граничных условий (2.1) задачи в нулевом приближении. Соот-
ветственно, коэффициенты С”，Qi, %, &1, С『，。犷，厶【3 4f3。；3。/3 4\4歹находятся из краевых условий (2.6) задачи в первом приближении.
Для решения задачи термоупругости в каждом приближении используем термоупругий потенциал перемещений [6]. В рассматриваемой задаче термоупругий потенциал перемещений в нулевом и первом приближениях определяется решением следующих дифференциальных уравнений:
△反⑼=А^0)=户世效方俨，(2.13)
△ь⑴=沪^业俨；△碎)=沪(2.14)
Ищем решение уравнений (2.13) в виде
(2.15)(2.15)ь⑼=工[/黑c°s八夕+疗⑹sm八q, n=0
(2.15)
(2.15)
歹⑼=工[fno cos пв +汇卜)sin八q . n=0
Для функций /*(『)，f*)(r), 虑(г)Для функций /*(『)，f*)(r), 虑(г)и f力)(г) получаем обыкновенные диф
Для функций /*(『)，f*)(r), 虑(г)
Для функций /*(『)，f*)(r), 虑(г)
ференциальные уравнения, решение которых находим методом вариации постоянных.
После определения термоупругого потенциала F⑼(г, 9) для втулки и 冗夕) для подкрепляющего цилиндра в нулевом приближении с помощью известных [6] формул вычисляем напряжения аг , о。 ， 丁『》 и перемещения и» , 丿 во _о(0) _о(0) _о(0)—Ь(0) —Ь(0)
втулке и напряжения аг , о。 , 丁『》 и перемещения и» 丿，в подкрепляющем цилиндре.
Найденные напряжения и перемещения для втулки и подкрепляющего цилиндра не будут удовлетворять краевым условиям (2.2)-(2.5). Таким образом, необходимо для составного цилиндра найти второе напряженно-деформированное =6(0)=6(0)=6(0)=6(0)=6(0)=о(0)=о(0)=о(0)=о(0)
состояние (Jr лДля втулки и，
"^(°) для подкрепляющего цилиндра такое, чтобы выполнялись краевые условия (2.2)-(2.5).
Для определения второго напряженно-деформированного состояния в составном цилиндре имеем следующие граничные условия:
при г = Rq
*（。）=一0⑼⑼-邓。）;芸。）=Y⑼；при r = R*（。）=一0⑼⑼-邓。）;芸。）=Y⑼；при r = Rна площадке контакта,на площадке контакта,вне площадки контакта;(2.16)вне площадки контакта;(2.16)
*（。）=一0⑼⑼-邓。）;
芸。）=Y⑼；
при r = R
*（。）=一0⑼⑼-邓。）;
芸。）=Y⑼；
при r = R
на площадке контакта,
на площадке контакта,
вне площадки контакта;
(2.16)
вне площадки контакта;
(2.16)
成⑼—行犷+ （球⑼—〒犷）=風⑼—污* +卜产一行W）,
诉⑼一爾⑼+ （以⑼一力°））=以⑼—В” +①⑼一行产）+ g⑼（e）；⑵⑺ при广=品
項⑼=_可⑼；芯⑼=_方⑼；（2.18）
на берегах трещины
需 -鑑叱用°—*?•（2.19）
Краевые условия задачи （2.16）-（2.19） с помощью формул Колосова-Мусхе- лишвили [4] можно записать в виде граничной задачи для отыскания двух пар комплексных потенциалов ①?）（2）, W?）（2）для втулки и ①⑼（2）, W⑼（2）для подкрепляющего цилиндра:
吸（То） +晒疝-e2步辰①”（外）+噌（То）] = x（。）⑼-（喫）-iT^ ,
①俨⑺+①俨⑺-mef①俨/⑺+ W俨⑺]=①⑼⑺+①⑼⑺-
一me 卜①（0）/（丁）+ W（О）（7）]+力一炉2,
「】（2.20） 现①俨⑺-①俨⑺+f同叫丁）+田俨⑺]&ё=
=^ {к0両⑺-①⑼⑺+?①⑼/（丁） + W⑼⑺/[ } + 2GA（丁），（2.21）
ко①⑼⑺-①⑼（e） + ［元①⑼‘（7 1） + W⑼（e）］ 0。= 一2Go伊⑼一方⑼）‘，（2.22）
①俨⑴+①俨⑴+捷俨’⑴+ W俨⑴=-（行3 + 2•（2.23）
Здесь къ = 3 — 4〃； k° = 3 — 4〃°； 丁0 = ^o exp （г^）; 丁 = Rexp（/）; с = =R\ exp〃e）; t — аффикс точек берегов трещины;
Л - V2 =（聲⑼一行W）—（球⑼一行W）; /（Т）= g⑼‘⑺+ d⑺；
夕⑺=俨⑼一方⑼）-（吸-w°）;
x⑼⑻={°（一加⑼⑼x⑼⑻={°（一加⑼⑼вне контактной площадки, на площадке контакта.вне контактной площадки, на площадке контакта.
x⑼⑻={°（一加⑼⑼
x⑼⑻={°（一加⑼⑼
вне контактной площадки, на площадке контакта.
вне контактной площадки, на площадке контакта.
Комплексные потенциалы ①j°）（2）, W?）（2）и ①（°）（2）, W（°）（2）ищем в виде
①俨⑶=①？⑶+吸⑶+吸⑶；W俨⑶=W?（2）+噂）⑶+*。）（2）,
（2.24）
①？（2）= £ dkzk W?（2）= t Cki,（2.25）
fc = —oofc = —oo
£i①2⑶=万；27r t — 21£i①2⑶=万；27r t — 21*°）（2）=工厂22Z27r*°）（2）=工厂22Z27rt — 21t — 21Tie^1Tie^1（/ 一 2］）（/ 一 2］）J⑴J⑴必,必,
£i
①2⑶=万；
27r t — 21
£i
①2⑶=万；
27r t — 21
*°）（2）=工厂22Z27r
*°）（2）=工厂22Z27r
t — 21
t — 21
Tie^1
Tie^1
（/ 一 2］）
（/ 一 2］）
J⑴
J⑴
必,
必,
еад『）（и+р^「а—「ТНТ1 （1 —еад『）（и+р^「а—「ТНТ1 （1 —必,必,Ту _! Ti2（1-П （1 - гТ1）2Ту _! Ti2（1-П （1 - гТ1）2+++ *⑴「人+ *⑴「人1 - 7厅 1гТ1 （1 -гТ1）21 - 7厅 1гТ1 （1 -гТ1）2]_ 2（1 -TiTi）]一々「（「勿if]_ 2（1 -TiTi）]一々「（「勿if（2.26）（2.26）
еад『）（и+р^「а—「ТН
Т1 （1 —
еад『）（и+р^「а—「ТН
Т1 （1 —
必,
必,
Ту _! Ti
2（1-П （1 - гТ1）2
Ту _! Ti
2（1-П （1 - гТ1）2
+
+
+ *⑴「人
+ *⑴「人
1 - 7厅 1
гТ1 （1 -гТ1）2
1 - 7厅 1
гТ1 （1 -гТ1）2
]_ 2（1 -TiTi）
]一々「（「勿if
]_ 2（1 -TiTi）
]一々「（「勿if
（2.26）
（2.26）
①⑼（2）= £3（。）（2）= t bkzk.（2.27）
/с= —сю/с = —ОО
Здесь Ti =方£”3 + 2?; 21 = £—23（2 — 2?）; gi（力 1） — искомая функция, характеризующая разрыв смещений при переходе через линию трещпнн:
⑦出=22fM ^ ［咛（3。） — "［（3。） +'（"（3。） - ”「（3。））］ •
Используя （2.22）-（2.25）, для отыскания комплексных потенциалов ①，）（2）, W；°）（2）и ①（°）（2）, W（°）（2）граничные условия （2.20） представим в следующем виде:
①？ к0） +①？ （То）-产卜0①у （То） + 3?（Т0）］ = X⑼⑼-⑼-行犷），
（2.28）
①?⑺+①?（То） - тёf①？⑺+w?⑺］=
=①⑼（丁）+ ①⑼（丁）- 0ёf①（。"（丁）+ W⑼（丁）］ + 力一炉2 -（/з-га）,（2.29）
k岡。）（Т）-①?⑺+即 f①？⑺+w?⑺]=
（2.30）（2.30）=* ｛如亚⑺-①⑼⑺+?①⑼/（丁） + W⑼⑺濟[&" +
（2.30）
（2.30）
+ 2Ggi（丁）一（夕 1 —分02）.
Здесь
/3 一炉4 =①屮⑺+碎）⑺-0°f①"⑺+虱°（Т）］,夕1 502 = къ^\T） - Ф*о\T） + ?①"⑺ + 虱°）（Т）］ e2ie,碎）⑺=吸⑺+吸⑺； M ⑺=吸⑺+吸⑺•
Обозначим левую часть краевого условия （2.28） через функцию о（°）—分丁（°）. Имеем
①⑼（T） +①⑼（T）— 中。f①⑼‘（T） + W⑼（T）] + /1 — //2 — （/з -分力）=0⑼—分丁⑼•
（2.31）
Считаем, что на круговом контуре L （丁 = R exp （i9）） функция о（°）—分丁（°）, представляющая собой самоуравновешенную систему сил, действующую на подкрепляющий цилиндр со стороны втулки, разлагается в комплексный ряд Фурье:
。⑼—打⑼=£ Акегкв.（2.32）
Для определения комплексных потенциалов ①（°）（2） и W（°）（2）будем иметь на контуре L условие （2.30） и условие （2.21） на контуре Li （л = R\ exp （г^））.
Функции ①（°）（2）и W（°）（2）аналитичны внутри поперечного сечения подкрепляющего цилиндра Д < |^| < R\ и могут быть представлены [4] рядами （2.26）. Используя метод степенных рядов Н. И. Мусхелишвили [4], находим коэффициенты ад；, Ьк потенциалов ①⑼⑶ и W⑼（2）.
Для определения неизвестных пока величин 4k рассмотрим решение задачи для втулки Rq < |^| < R. Комплексные потенциалы ①（°）（2） и W（°）（2）позволяют после некоторых преобразований представить граничные условия для отыскания функций ①，'⑶ и W，）（2）в виде （2.27） и
①俨⑺ + ①俨⑺-卜①У（т） + ^Чт）^ е2^= £（2.33）
现①*①?⑺+卜①？⑺+w?⑺]С?"。=
=士 ^в（2.34）
Здесь
4 =目4 =目4l=^ [例诵rк-a—kR-p + k） +忆2],kgRi +（卜—^akRk + bk_2歴一2] •
4 =目
4 =目
Относительно функций X（°）（J）, д（°"（т）,夕'（丁），（夕i - 〃夕2）,（行%°）- гт^） будем считать, что они разлагаются в ряды Фурье:
д（0"⑺= g &。£泳е =破° + ± （4° cos кв + 优° sin keyk = —cok = l
СЮ. .СЮ
X⑼⑼=E 4嗅叫d（T）= E
fc= —ook= —00
-(夕12)=玄 或^叫 (/з-г/4)=玄 D^e^.к = —сюк= —сю
Здесь коэффициенты 。黑 и D^ зависят от искомой функции д^ (т) и определяются с помощью теории вычетов.
Краевые условия (2.27), (2.32) служат для определения коэффициентов dk,。卜， а граничное условие (2.33) — для нахождения величин 4k. В результате находим
_ Л0Я2 - (A^ + 用)届_ (飞°)+ 戸i)Ao
°"——J У，(2 35)
= (瞰+ £)爲.= Et _ 2(小°)+ e冰。•
т "1+/’1 Я4 -(1 + 阮)(屈 + 凡)'
〃=(1 + k)(序-間财-(a"» - R”Kk (「
k _ (1 -后)(-/2)(2- A广+2) m
с—2砲2 = 2。0 - {А^ + 用)；Ck—2 • Ri = (1- k)dkRk + Zk • Rk - 4;
Mk = AkR~k^ -(40) + FQR产；
(1 + kb)dQ = 4 + 羯 + 2G (禹。+ 成 + D^
(1 + kb)d_kR-k = Ak + Al+ 2G (&。+ 闻 + О标
(1 + kb^Rk =厶―卜 + Alk + 2G ^k + U j + °*。.
В правые части формул для определения коэффициентов。卜，匕卜，с/д；, с^ входят коэффициенты разложений функции натяга д⑼(9) и контактного давления 夕(°)(夕) в нулевом приближении, а также интегралы от искомой функции д『)(方).
Удовлетворяя функциями (2.23)-(2.25) краевому условию (2.22) на берегах трещины, получаем комплексное сингулярное интегральное уравнение относительно неизвестной функции д；°)(力i):
I ^Rn(t,x^g^\t) + Sn(t,x^g^\t)^ 袭=7r严(g),厶，
严(g)=_[①？(g) + ①？(g) + /闽叫g) + W?(g)] — Q卅一行瑞)•
(2.36)
дополнительное равенство, выражающее условие однозначности смещений при обходе контура трещпнн:
I g?⑴袭=0.(2.37)
С помощью комплексных потенциалов (2.23)-(2.25), формул Колосова-Мусхе- лишвили и интегрирования кинетического уравнения изнашивания (1.7) материала втулки в нулевом приближении находится радиальное перемещение z/；°) контактной поверхности втулки. Аналогично рассматривается задача термоупругости для плунжера. Используя решение задачи термоупругости для плунжера и кинетическое уравнение изнашивания материала плунжера в нулевом приближении, находится радиальное перемещение z/f)контактной поверхности плунжера. Найденные величины z/；°)и z/j°)подставляются в основное контактное уравнение (1.3) в нулевом приближении. Для алгебраизации основного контактного уравнения в нулевом приближении искомые функции контактного давления ищутся в виде разложений:
夕⑼(仇方)=夕8(夕)+加?(6>)+…；
Ро(^) = Q? + £ (a? cos kO + 优 sin kJ);
仁(2.38)
夕?(夕)=а} + £ (必 cos kO + 段 sin kJ);
k=l
Подставляя соотношение (2.37) в основное контактное уравнение в нулевом приближении, находим функциональные уравнения для последовательного определения 夕8(夕)，夕?(夕)и т. д.
Для построения алгебраической системы для нахождения искомых коэффициентов &卜，练 приравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях.
В результате получаем бесконечную алгебраическую систему относительно а£ (к = 0, 1,2,...),观(к = 1,2,...) и 風，矶 и т. д.
Из-за неизвестных величин 夕? и 夕? система уравнений оказывается нелинейной.
Сингулярное интегральное уравнение (2.35) при условии (2.36) с помощью процедуры алгебраизации (см. прил. в [8]) сводится к системе М алгебраических уравнений для определения М неизвестных д『)(方加)(加=1,2,..., М):
f 工厶卜?(^闽1 (厶方g厶叫)+gf)(^)Su (厶方厶叫)]=严(叫)，
J⑵ 39)
м
52 4 (方加)=0(广=1,2,— 1), m=l
где
= cos 2彳^ 17Г (m = 1,2,,
xr = cos — (г = 1,2, ...,М - 1).
Если в (2.38) перейти к комплексно-сопряженным значениям, получим еще М алгебраических уравнений. Полученные системы уравнений относительно。卜，Ь^, 点，Ск, &к,练，g^\tm)(加=1,2,..., М) позволяют при заданном натяге g⑼(夕) найти контактное давление, напряженно-деформированное состояние составного цилиндра контактной пары при наличии трещины во втулке (КИН), распределение температуры и абразивный износ деталей контактной пары.
В поставленной задаче оптимального проектирования коэффициенты А^° (к = 0, ±1, ±2,...) подлежат определению. Следовательно, полученная объединенная алгебраическая система пока не является замкнутой.
Для коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности концов трещины в нулевом приближении имеем
К^-гК^ = ^ Е (Th。％) ctg 兀
m=l
у правой вершины,① 4。)
m=l
у левой вершины трещины.
Для построения недостающих уравнений требуем минимизации максимального значения коэффициента интенсивности напряжений:
К优min,(2.41)
при ограничениях, связанных с несущей способностью, теплостойкостью контактной пары, отсутствием пластических деформаций, а также
К优х < Кт,
где Кth — характеристика порогового значения вязкости разрушения материала втулки, определяемая опытным путем. В нулевом приближении (поверхность трения гладкая) задача оптимизации сводится к определению коэффициентов (параметров управления) разложения функции натяга д^ (^) в ряд Фурье. Величины д^ (tm) линейно зависят от коэффициентов А^° ряда Фурье функции натяга g(°)(6Q. Следовательно, и величина коэффициента интенсивности напряжений (2.39) (целевая функция) также линейно зависит от параметров управления (управляющих переменных).
Таким образом, используя минимаксный критерий, рассматриваемую задачу оптимизации в нулевом приближении можно свести к задаче линейного программирования.
Численный расчет выполнялся методом последовательных приближений [9] и симплексным алгоритмом. В разложении функции натяга д(°)(£) ограничивались семью членами.
После нахождения нулевого приближения переходим к отысканию решения в первом приближении.
На основе полученного решения с помощью функций (2.23) и формул
n = ^ + №； Т = % + Q,
Ж = _н(夕)呼^ + 2門°). ｝乌黑,orAo dO
方=（碍。）一干。））.j嘿-h⑹字,
闻一庁2 = -2在2f吸＜丁0)+ 3俨(丁0)] • £ 暗 -
-8(0谓｛蹴(飞)+碎%0)- e2汨辰歐(飞)+吸(飞)]｝
находим функции TV и Г при г = Rq.
Термоупругие потенциалы перемещений в первом приближении определяются решением дифференциального уравнения (2.14). Это решение имеет вид, аналогичный (2.15), с очевидными изменениями. Соответствующие этим термоупругим _ь(1) _ь(1) _ь(1) _ь(1) _ь(1)
потенциалам напряжения и перемещения аг ,。筋 ,丁『》，^戸 ,^筋 для втулки и аг , о(9 , 丁『》，Для подкрепляющего цилиндра определяются по известным формулам [6].
Найденные компоненты напряжений и перемещений не удовлетворяют граничным условиям (2.7)-(2.10) задачи в первом приближении. Следовательно, необходимо отыскать второе напряженно-деформированное состояние для составного цилиндра.
Краевые условия для отыскания второго напряженно-деформированного состояния примут следующий вид:
^⑴=N 一2⑴(6»)-泳⑴；亍* = т - fp⑴⑼一〒犷 при г = Rq на площадке контакта,
行= N -行〒:『)=Г -亍* вне площадки контакта;
(2.42)
春⑴—分帮⑴=宦⑴—污胃)+卜^⑴一行W)一卜R⑴一行"))при г = R, 或⑴一点")=不d _分司⑴+ (理⑴—分方⑴)一m⑴一分需")+ g⑴(夕)；
(2.43)
力^⑴=—"⑴；方⑴=—"”при r = Ri,(2.44)
碍"=—碍"；亍常=—亍常на берегах трещины.(2.45)
Граничные условия (2.41)-(2.44) можно записать в виде краевой задачи для отыскания двух пар комплексных потенциалов: ①俨⑶，吟⑶И①⑴⑶，W⑴(2). Комплексные потенциалы ищем в виде, аналогичном (2.23)-(2.26), с очевидными изменениями. Дальнейший ход решения задачи для составного цилиндра такой же, как в нулевом приближении.
Как и в нулевом приближении, удовлетворяя краевым условиям на круговых границах, получаем систему уравнений для определения коэффициентов а±, Ь±, d±,成.В правые части формул для а±, b±, d±, с± входят коэффициенты разложений функции натяга g⑴(9) и контактного давления 夕(】)(£), а также интегралы от искомой функции gf‘⑴.
Удовлетворяя комплексными потенциалами краевому условию (2.44) на берегах трещины, получаем комплексное сингулярное интегральное уравнение типа (2.35) относительно gf)(方).
Как и в нулевом приближении, полученное комплексное интегральное уравнение относительно gf)(方)，g^(t) при дополнительном условии типа (2.36) с помощью процедуры алгебраизации сводится к системе М алгебраических уравнений для определения неизвестных значений g^\tm) (m = 1,2,..., М).
С помощью комплексных потенциалов первого приближения, формул Колосова- Мусхелишвили и интегрирования кинетического уравнения изнашивания (1.7) материала втулки в первом приближении находится радиальное перемещение z/；" контактной поверхности втулки. Аналогично рассматривается задача термоупругости в первом приближении для плунжера. Используя решение задачи термоупругости для плунжера и кинетическое уравнение изнашивания материала плунжера в первом приближении, находится радиальное перемещение z/J)контактной поверхности плунжера. Затем найденные величины z/f) и ^^ подставляются в основное контактное уравнение в первом приближении. Для алгебраизации основного контактного уравнения в первом приближении искомые функции контактного давления ищутся в виде разложений:
р⑴ Gt) =pl(e)+ tp\(e)+ …；
加夕)=毗+ t (小cos卜夕+ % sin k夕)；
I(2.46)
孙⑼=41 +cos kO + 段,1 sin к夕)；
k=l
Подставляя соотношение (2.45) в основное контактное уравнение в первом приближении, находим функциональные уравнения для последовательного определения Pq(^),夕|(夕)и т. д. Повторяя процедуру построения алгебраической системы для определения искомых коэффициентов а±,風，получаем бесконечную алгебраическую систему относительно ° (к = 0, 1,2,...), 段 ° (к = 1,2,...) и &3，風 i и т. д.''''
Из-за неизвестных величин 舛 и 6^ система уравнений оказывается нелинейной.
Полученные системы уравнений относительно a?', b?L d^, с[), а^ 0,段 °,从「 風 1, g^\tm) (m = 1,2,..., M) позволяют при заданном натяге g⑴(夕)и известных функциях H(J), Hi(J) найти контактное давление, напряженно-деформированное состояние составного цилиндра контактной пары при наличии трещины во втулке (коэффициенты интенсивности напряжений), распределение температуры и износ деталей контактной пары.
В поставленной задаче коэффициенты 厶^" (к = 0, ±1, ±2,...) функции натяга g(i)(J) и коэффициенты а£, b£, а厶，b厶 функций Н(£), »1(夕)подлежат определению.
Таким образом, полученная объединенная алгебраическая система не является пока замкнутой.
Для коэффициентов интенсивности напряжений в первом приближении имеем
К^ - iK^ =河 1 严g「％)ctg 号計 7r
у правой вершины,①彳?)
ку)-上(—I严+喝)(tПJtg 号号17r
у левой вершины трещины.
Для построения недостающих уравнений используем минимаксный критерий
кДах т min(2.48)
при отмеченных выше ограничениях.
Величины д；"(方м) линейно зависят от коэффициентов 4^" ряда Фурье функции натяга g⑴(9) и коэффициентов а£, Ь^, а±, Ь± рядов Фурье функций Н(£),
Следовательно, и величина коэффициента интенсивности напряжений (2.46) (целевая функция) также линейно зависит от параметров управления 4*", ag, bg, а±, Ь± (управляющих переменных).
Таким образом, задача оптимизации в первом приближении также может быть сведена к задаче линейного программирования.
Численный расчет выполнялся методом последовательных приближений [9] и симплексным алгоритмом.
Расчеты проводились применительно к втулке составного цилиндра глубинного скважинного штангового насоса исполнения НН2С-57-30-12 для различных скоростей движения плунжера. Результаты расчетов функции натяга (коэффициенты даны в мм) и функций Н⑼ и Н\ (6^) (коэффициенты даны в мкм) приведены в табл. 1 для скорости движения плунжера V = 0,2 м/сек.
Таблица 1. Значения коэффициентов Фурье оптимального натяга и шероховатости поверхности трения
а^
破
圖
а5
碗
а?
0,1236
0,0821
0,0743
0,0655
0,0527
0,0490
0,0283
0,0172
货
质
货
U
优
优
岁
0,0769
0,0542
0,0485
0,0399
0,0274
0,0212
0,0118
а?
а?
а5
成
濕
0,2793
0,2549
0,2177
0,1915
0,1670
0,1218
0,0993
0,0634
b?
贫
的
£
碌
碌
毋
0,2572
0,2029
0,1836
0,1491
0,1072
0,0881
0,0544
а；
а；
а]
*
04131
0,3885
0,3064
0,2611
0,2109
0,1651
0,1332
0,0914
瓦
昼
区
以
区
田
0,2932
0,2611
0,2090
0,1842
0,1413
0,1238
0,0791
Если же трещина одним концом выходит на внутреннюю поверхность втулки, то равенство (2.36) заменяется дополнительным условием, выражающим конечность напряжений у края трещины.
Случай произвольного числа трещин. Пусть теперь в упругой втулке составного цилиндра вблизи поверхности трения имеется Nq прямолинейных трещин длины 22k (卜=1,2, ...,N) (рис. 1). Рассмотрим задачу оптимального проектирования, а именно задачу по определению функции натяга соединения втулки и подкрепляющего цилиндра, а также микрогеометрию поверхности трения (функций Н(0) и Hi(6Q) так, чтобы обеспечивалась минимизация максимальной величины коэффициента интенсивности напряжений в окрестностях вершин трещин.
Решается задача (износоконтактная задача и задача механики разрушения для составного цилиндра) для этого случая аналогично задаче для одной трещины. Комплексные потенциалы ①2(2), 屮2(2) и ①3(2), Зз(2) обобщаются на случай произвольного числа трещин. Удовлетворяя краевым условиям на берегах трещин, получим в каждом приближении систему 7vo сингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных функций gk(力卜)(k = 1,2,..., TVo) •
К системе сингулярных интегральных уравнений для внутренних трещин следует добавить дополнительные условия
I 9k⑴袭=0 (k = 1,2,…，No), gk⑴必=g黑⑴+£gf)⑴.(3.1)
Система сингулярных интегральных уравнений при отмеченных выше условиях (3.1) в каждом приближении с помощью процедуры алгебраизации сводится к системе NqxM алгебраических уравнений для определения NqxM неизвестных gn(tm)(八=1,2,…，No； m = 1,2,
^7 У^ У^ Qk 9 k (tm} Rnk (^ktm, £nXr^ + gk(tm) S^k (2卜方 ^n^r) = fn , u(3.2)
м
工 Pn(^m) = 0 (八=1,2, ...,No； r = 1,2,- 1).
m=l
Построение разрешающих уравнений контактной задачи осуществляется в каждом приближении аналогично случаю одной трещины.
Для коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности концов трещин в каждом приближении имеем
碇-^п = " 玄点(^)ctg 兀(3.3)
m=l
—у правой вершины трещины (п = 1,2,..., 7Vо； г = 0, 1),
К)? 一К以=6 £(-1 产⑴(^)电注讶1 兀 (3.4)
Оптимальное решение, т. е. найденные коэффициенты ag, b214 a厶，b厶 позволяют подойти к выбору класса шероховатости поверхности трения, обеспечивающего совместно с оптимальным натягом повышение несущей способности узла трения.
Зная функции Н(£) и Н\ ⑼,можно определить все основные характеристики микрогеометрии профиля поверхности трения [10, 11], которые обычно принято указывать на чертежах деталей в стадии изготовления.
Упрощенный способ решения. В случае нескольких трещин объем вычислений возрастает. Рассмотрим упрощенный способ решения задачи по определению оптимального натяга и микрогеометрии поверхности трения.
Ограничимся в разложении искомых функций g(J), Н⑼ и Н\ (^) в ряды Фурье в совокупности таким количеством членов, которое совпадает с числом вершин трещин. В случае 7Vo внутренних трещин во втулке будем для трех искомых функций ограничиваться 27Vo коэффициентами разложений этих функций в ряды Фурье. Требуем, чтобы коэффициенты интенсивности напряжений в окрестности кончиков трещин были равны нулю. Добавляя 27vo линейных алгебраических уравнений к основным разрешающим уравнениям (о которых говорилось выше), получаем замкнутую алгебраическую систему для определения всех неизвестных, в том числе и коэффициентов 區，优，矶，% п 矶，b[ разложений искомых функций в ряды Фурье.
Так как число дополнительных уравнений всего 27vо, то здесь появляются различные варианты выбора: какие из коэффициентов 囁，优，矶，吸 и 矶，b± прежде всего следует определить. Можно предложить следующий вариант их определения. В нулевом приближении (ag, b214 a厶，b厶 отсутствуют) из этих 27Vo уравнений определять 圖，敏.В первом приближении из 27Vo уравнений определять коэффициенты ag, bg, а厶，b厶，а функцию g⑴(9) считать равной нулю. В частности, можно одну из контактных поверхностей (например, функцию Hi ⑼)считать известной.
Пусть часть трещин Ni одним концом выходит на внутреннюю поверхность втулки. Тогда число вершин будет 27Vo — N> В этом случае, когда часть трещин являются поверхностными, в разложениях искомых функций g⑼,»(夕)и »1(夕) в ряды Фурье в совокупности ограничимся (2Д)— Ni) коэффициентами.
Требуем, чтобы коэффициенты интенсивности напряжений в окрестности вершин были равны нулю. Добавляя эти (27Vo — Ni) линейных алгебраических уравнений к основным разрешающим уравнениям, получаем и в этом случае замкнутую алгебраическую систему для определения всех неизвестных.
Упрощенный способ решения задачи минимизации параметров разрушения втулки составного цилиндра контактной пары целесообразно применять при наличии большого числа трещин, когда использование симплекс-метода вызывает большой объем вычислений. Для численного решения полученных систем в этом случае используется метод последовательных приближений и метод Гаусса с выбором главного элемента. Таким образом, предложенные способы минимизации параметров разрушения дополняют друг друга.
Заключение. Полученные в работе основные разрешающие уравнения позволяют при заданном натяге и профиле поверхности трения численными расчетами, путем определения коэффициентов интенсивности напряжений, прогнозировать рост имеющихся трещин во втулке составного цилиндра фрикционной пары; установить допустимый уровень дефектности и максимальные значения рабочих нагрузок, обеспечивающие достаточный запас надежности. Решение задачи оптимального проектирования по определению натяга соединения втулки и подкреп-
ляющего цилиндра и микрогеометрии поверхности трения позволяет на стадии проектирования выбирать оптимальные геометрические параметры элементов контактной пары, обеспечивающие повышение несущей способности.
Список литературы
Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980. 303 с.
Александров В.М., Коваленко Е. В. Аналитическое решение контактной задачи об изнашивании сопряжения вал-втулка 〃 Трение и износ. 1987. № 6. С. 985-995.
Горячева И. Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. 256 с.
Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.
Парку с Г. Неустановившиеся температурные напряжения. М.: Физматлит, 1963. 252 с.
Панасюк В. В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1976. 443 с.
Мирсалимов В.М. Неодномерные упругопластические задачи. М.: Наука, 1987. 256 с.
Гаджиев Г.Х., Мирсалимов В.М. Обратная задача механики разрушения для составного цилиндра контактной пары 〃 Проблемы механики. Сб. научных ст. к 90-летию А. Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. С. 196-207.
Демкин Н. Б., Рыжов Э. В. Качество поверхности и контакт деталей машин. М.: Машиностроение, 1981. 244 с.
Крагельский И. В., Добычин М. Н., Комбалов В. С. Основы расчетов на трение и износ. М.: Машиностроение, 1977. 526 с.
ЖЕСТКИЕ ЗОНЫ В СТАТИЧЕСКИОПРЕДЕЛИМЫХ И НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ЗАДАЧАХВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ
Д. В. Георгиевский
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Обсуждаются особенности понятия статической определимости и неопределимости краевой задачи применительно к вязкопластическим течениям, где имеются как область течения, так и неизвестные заранее жесткие зоны. На примере некоторых классических стационарных течений, моделирующих процессы в грунтах и верхних слоях земной коры [1], раскрывается статическая неопределимость без принятия дополнительных кинематических и динамических гипотез.
Статическая определимость и неопределимость краевых задач. Как известно, понятие статической определимости краевой задачи в механике сплошной среды, так же как и понятие статической определимости системы в сопротивлении материалов [2], связано с возможностью найти в задаче напряжения, усилия и моменты, не прибегая к поиску перемещений и, скоростей v или других кинематических величин. Факт статической определимости либо неопределимости краевой задачи существенно зависит от задаваемых граничных условий.
Течение несжимаемой вязкопластической среды, занимающей область Q(t) С 2?з, характеризуется наличием в любой момент как областей течения Qy(t) С Q, так и жестких зон Qr(t) С Q с границами их раздела Х『(方)(Qy U Qr U
= Q):—
= {x 6 Q: T(x,方)> Ts}, Qr(t) = {x 6 Q: T(x,方)< rs},
4⑴={x 6 Q: T(x,方)=Ts},
где rs — предел текучести материала при сдвиге, Т — квадратичный инвариант напряжений (с точностью до коэффициента интенсивности напряжений аи),
Т = y/(g+piy\q+piy2 = au/V2, р = -tra/3,(1.2)
a J — единичный тензор второго ранга.
В Qy имеет место скалярное определяющее соотношение
Г = T(U), Пт T(U) = J >。，(1.3)
где T(U) — неубывающая материальная функция и квазилинейная тензорная связь
2(1-4)
Частным случаем зависимости (1.3) является соотношение Шведова-Бингама [3]
Г = rs + /ли, хе С/,(1.5)
где 从—динамическая вязкость, U — квадратичный инвариант тензора скоростей деформаций р = def v:
U = ,2g : g , tr г; = 0.(1.6)
Области Qr перемещаются как абсолютно жесткие тела, вообще говоря переменной массы, т. е.
U = Q или 2 =。， х е Qr.(1.7)
Их движение в каждый момент определяется, например, тремя координатами центра масс и тремя углами Эйлера. Кроме того, во всех точках Q выполнены уравнения движения с массовыми силами F:
Div g °(F —储=0, xgQ.(1.8)
Специфика и основная сложность задач вязкопластического течения заключается в том, что области Qy и Qr, а следовательно, и граница их раздела Х『 не задаются заранее, а находятся в процессе решения наряду с полями v и а. В этом смысле данные задачи принадлежат к классу краевых задач с неизвестной границей. Зачастую именно движение поверхностей Х『представляет главный практический интерес для исследователя [4-6].
Заметим, что для нахождения областей С/ п С『согласно определению (1.1) достаточно знать поле напряжений g(x, t), которое ищется сразу во всех точках Q. Поэтому в статически определимых задачах границы жестких зон разыскиваются без использования кинематики, что значительно облегчает общее решение, поскольку краевые задачи относительно скоростей v(x,力)и перемещений и(х,力) ставятся уже в известной области Qy либо Qr.
Приведем пример, иллюстрирующий данное утверждение. Пусть имеется одномерное стационарное течение тяжелой вязкопластической среды вдоль наклонной плоскости, расположенной под углом /3 к горизонту. Включим в базис обезраз- меривания плотность р, ускорение силы тяжести g и толщину слоя h. Будем разыскивать скорости и напряжения в виде
01=0°(/2), 02 三 0,011 =022 =033 =一0°(/2),012=尸(/2),(1.9)
причем 0。6 C^Q), о。6 C2g了)“。G c^Q).
Система уравнений движения (1.8)
aof + sin /3 = 0, -po/ - cos /3 = 0, x 6 Q(1.10)
с условиями на границе 力2 = 1
尸(1)=0, p°(l)=p：TM(Ml)
имеет решение во всей области слоя Q:
尸=(1 -x2)sin/3,夕=成™ + (1 —/2)cos/3,(1.12)
что означает статическую определимость задачи. Вычисляя по (1.12) инвариант (1.2) напряжений Г = |а°| = (1 — х^) sin/3 и подставляя его в определение (1.1), получим
= {力2 = 1 — Ts/sin/3 = £}, С/ = {О V 力2 V £}, Qr = {< < ^2 < 1}・(1.13)
Жесткая прослойка, примыкающая к границе 力2 = 1， присутствует всегда, причем в тривиальном случае rs》sin /3 область течения отсутствует и весь слой Q
занят неподвижным жестким ядром Qr (силы тяжести не хватает для преодоления предела текучести).
Пусть ts < sin /3, т. е. множество Qy непусто. Обратная к (1.3) функция U(Т) известна, в частном случае (1.5) она равна
—/2)sin/3 —Ts]/〃三(£ —/2)sin/3/〃， 0 < ж2 < <,门
〔О, ^ < Ж2 < 1.
Так как согласно (1.6) U = 2\v^\ = |^о/|, то, интегрируя (1.14) по 力2 с условием прилипания При 力2 = 0, получим Профиль скорости。° (力2)：
。_/政(2£ —Z2)sin/3/(2〃)， О < ж2 < c，
—(§2sinC/(2〃)， < < ж2 < 1'
и расход Q через сечение слоя:
Q = ]o°(/2)d/2 = С© ；了".(1.16)
о
Таким образом, задача полностью решена.
Ниже приведем еще два иллюстративных примера нахождения жестких зон в статически неопределимых задачах вязкопластического течения.
Течение Пуазейля в плоском слое. Пусть течение осуществляется в плоском слое Q = {—оо < Xi < оо, О V 力2 V 九} с неподвижными границами 力2 = О и Х2 = h под действием постоянного по оси х\ перепада давления рд = —к < < 0. Массовые силы отсутствуют (F = 0). В данной задаче естественно включить в базис обезразмеривания величины р, h и к. Дальнейшие соотношения п. 2 выписаны в безразмерном виде.
Скорости и напряжения в Q разыскиваются в виде, аналогичном (1.9):
01=0°(/ 2), 02 三 0, 011 =022 =033 =一(0° 一力 1)， 012 =尸(/2),(2.1)
где о。e C^Q), v° e C2(Qy), a° e C^Q),夕° — известное в некотором сечении давление. Интегралом единственного оставшегося уравнения движения (1.8) сг°‘ = =—1 будет линейная функция
尸(力2)=/ —力2, х 6 Q.(2.2)
Постоянная / пока неизвестна, и для ее нахождения необходимо привлечь кинематические соотношения. Следовательно, задача Пуазейля в плоском слое согласно принятой в работе терминологии статически неопределима.
Вычисляя по (2.2) инвариант напряжений (1.2) Г = |а°| = |/ —数丨，согласно (1.1) получим, что вязкопластическое течение реализуется в двух не связанных между собой областях:
С/= {О V 政 < &и§1 < 力2 < 1}, & = / —Ts, Wi=/ + Ts, (2.3)
а жесткая зона Qr содержит один интервал:
◎г = {& V 力2 V £1},4 = {力2 = & U 力2 = £1 }•(2.4)
Из соотношения Шведова-Бингама (1.5) (U = |о°[) имеем два случая в зависимости от знака о°‘：
a)。°’ > 0. Тогда
〃。°’ = / —力2 — Ts, о < ж2 < Со-(2.5)
С учетом граничного условия о°(0) = 0 решение уравнения (2.5) будет следующим
用)(力2)= 宁力2 — ^・(2.6)
о°‘ < 0. Тогда
^о, = 1 -x2 + rs, <1 < ж2 < 1.(2.7)
Принимая во внимание граничное условие о°(1) = 0, выпишем в указанной области решение уравнения (2.7):
%)(政)=宁(政-1)-4^.(2・8)
Напряжение (2.2) получено всюду в Q, а скорости (2.6), (2.8) только в Qy с точностью до неизвестной пока постоянной I. Найдем ее из следующих соображений. Область Qr (2.4) занята жесткой зоной, в которой среда движется поступательно вдоль оси 力1, т. е.
。°(力2)=。⑴(So)=。⑵(Sl)， So V 力2 V §1(2.9)
в силу непрерывности функции。° во всем слое Q. После подстановки в дополнительное условие (2.9) выражений (2.6), (2.8) и (2.3) определяется I, а именно I = =1/2.
Выпишем решение всей задачи:
尸(/2)= ｝一62,0V /2 V 1,尸(/2)= ｝一62,0V /2 V 1,(2.Ю)(2.Ю)
尸(/2)= ｝一62,0V /2 V 1,
尸(/2)= ｝一62,0V /2 V 1,
(2.Ю)
(2.Ю)
— 丁)政—^， О<х2<Со =
1/1\211
(2.H)(2.H)°° (/2)=彳 % (j _偌)=0。*,2 —偌=& V 政 V а = 2 + 偌，
(2.H)
(2.H)
^ ](；+禽)(数-1) - ^Г^ ' j+^=6 <^2< I.
Заметим, что v° е C^Q), причем。。，(&) = vo,(^i) = 0, однако。。〃 кусочно постоянна и на границах жесткой зоны терпит разрывы.
Жесткая зона Qr (2.4) присутствует всегда, если rs > 0, и может занимать всю область Q, если сдвиговых усилий, вызванных перепадом давления вдоль оси 力1, недостаточно для проталкивания материала. В этом случае в системе имеет место покой (стопор). Условие осуществимости вязкопластического течения, а следовательно, и массопереноса по оси х\ имеет вид rs < 1/2, или, в размерных переменных, rs < kh/2. Видно, что оно не включает в себя ни вязкость 从，ни плотность р.
Предполагая отсутствие стопора, rs < 1 /2, нетрудно по (2.11) вычислить расход Q через все сечение слоя О V 力2 V 1：
1
Q = ］。°(/2)d/2 =击(1 - 3Ts +47?).(2.12)
о
Величина Q (2.12) на интервале 0 < rs < 1/2 монотонно убывает от значения 1/(12〃) при ts = 0, т. е. от расхода в течении Пуазейля вязкой несжимаемой жидкости, до нуля.
Заметим, что статическая неопределимость была раскрыта благодаря условию (2.9), означающему, что деформаций в Qr нет. Никаких дополнительных гипотез, пусть даже интуитивно очевидных, например а°(1/2) = 0, фактически делающих задачу статически определимой, не принималось.
Течение Куэтта-Тейлора. Рассмотрим плоское деформирование вязкопластического материала между двумя концентрическими цилиндрами, которые вращаются с разными угловыми скоростями si и 以2・ Массовых сил нет. Включим в базис обезразмеривания радиус внутреннего цилиндра, а также плотность р и динамическую вязкость 从 среды.
Область Q в полярных координатах имеет вид: Q = {1 < г < R, 0崑夕< 2тг}, на ее границах заданы скорости
т -— 1: о『0, vq ,(3.1)
г = R: vr = 0,。6 =以2兄・(3.2)
Будем разыскивать решение в Q в виде осесимметричного (гб>)-сдвига:
。6 =。°(广)，W =0， rr =066 =022 =一0 °，=0°(丁)，(3.3)
где о。6 C^Q), о。6 C2(Qy), a° 6 С4(C),夕о — известное постоянное давление. На основании (3.3) и определяющих соотношений (1.4), (1.5) найдем
' J 。(3・4)
= ts sign.
Как и для любого стационарного одномерного сдвига, вектор ускорения тождественно равен нулю. Единственное уравнение движения (1.8) в проекции на радиус сг°‘ + 2а°/г = 0 дает касательное напряжение во всем зазоре:
сг°(г)=刍，х 6 Q.(3.5)
Если бы на одном из цилиндров был задан крутящий момент, то константу В можно было бы сразу найти. Однако заданы кинематические граничные условия, что говорит о статической неопределимости задачи.
Поскольку напряжение (3.5) знакоопределено в Q, достаточно рассмотреть случай В > 0, а следовательно, vre > 0. Тогда возможная граница £『 = {『 =£},
отделяющая зону вязкопластического течения С/ = {『V £} от жесткой зоны Qr = ={г > £}, определяется из условия сг°(£) = rs:
(3.6)
Заведомо ясно, что Qr не может охватывать всего зазора между цилиндрами, так как в этом случае не реализуется сдвиг, задаваемый граничными условиями (3.1), (3.2) (если только, разумеется, &i # &2)・ В зависимости от параметров задачи возможны два случая: ^ ^ Д и 1 < ^ < Д. В первом из них область Qr отсутствует, а во втором примыкает к внешнему цилиндру и вращается как абсолютно жесткое целое с угловой скоростью &2・
Обыкновенное уравнение (3.4), записанное в Qy,
(3.7)
(3.8)(3.8)с учетом граничного условия (3.1) имеет решение
(3.8)
(3.8)
О°(『)=~Tsr 1口广 + Е ( 1 ——2 ) +
Постоянная В, входящая в (3.6), должна быть найдена из условия того, что внешний цилиндр вращается с угловой скоростью &2・ Однако в зависимости от того, имеется жесткая зона или ее нет, это условие формулируется по разному: 。。(§) = s2s или v°(R)=以2兄 соответственно.
£》R. Подставляя в (3.6) г = R, из условия v°(R)=以2兄 определим В:
月=月=2A2Я2 - 12A2Я2 - 1(以2 —匂 + Ts Ini?).(以2 —匂 + Ts Ini?).(3.9)(3.9)
月=
月=
2A2
Я2 - 1
2A2
Я2 - 1
(以2 —匂 + Ts Ini?).
(以2 —匂 + Ts Ini?).
(3.9)
(3.9)
Условие реализации случая (а), как видно из (3.6), следующее: В》tsB^, т. е. с учетом (3.9)
- 1 -21nR(3.10)
Итак, если выполнено неравенство (3.10), то весь зазор охвачен вязкопластическим течением.
1 < ^ < Д. Подставляя в (3.8)广=£, выпишем условие。。(§) = &2§：
^@2-匂)=С- 1 -21П<.(3.11)
Из трансцендентного уравнения (3.11) можно найти £, а затем и величину 石， равную, согласно (3.6), ts^.
Аналогичные выкладки при В < 0 дают следующий общий результат в задаче Куэтта-Тейлора. Если
-1^2 -^11》兄2 — 1 -21пД(3.12)
то весь зазор между концентрическими вращающимися цилиндрами находится в состоянии вязкопластического сдвига. В противном случае внутренний радиус £
жесткой зоны, примыкающей к внешнему цилиндру, находится из уравнения
2 心2 _1 =户 _ 1 _ 2 In &2 心2 _1 =户 _ 1 _ 2 In &(3.13)(3.13)
2 心2 _1 =户 _ 1 _ 2 In &
2 心2 _1 =户 _ 1 _ 2 In &
(3.13)
(3.13)
Поле скорости
+ 匂广，1 < г < <,+ 匂广，1 < г < <,(3.14)(3.14)
+ 匂广，1 < г < <,
+ 匂广，1 < г < <,
(3.14)
(3.14)
、以2广，& 《 r С R, непрерывно дифференцируемо в Q. В (3.14)
M = ±TsQ,(3.15)
где £ — корень уравнения (3.13). Если же весь зазор охвачен сдвигом, то
石=(以2 —匂 ± Ts InR),(3.16)
и второй строки в формуле (3.14) нет. Верхние знаки в (3.14)-(3.16) следует брать при 以2 > 匂，а нижние — при &2 < ^ь
Список литературы
Шемякин Е.И. Динамические задачи теории упругости и пластичности. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1968. 336 с.
Феодосъев В. И. Сопротивление материалов. М.: Изд-во МГТУ, 1999. 590 с.
Ильюшин А. А. Деформация вязкопластичных тел 〃 Ученые записки МГУ. Механика. 1940. Т. 39. С. 3-81.
Магомедов О. В., Победря Б.Е. Некоторые задачи вязкоупругопластического течения 〃 «Упругость и неупругость». М.: Изд-во МГУ, 1975. Вып. 4. С. 152-169.
Георгиевский Д. В. Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел. М.: Изд-во «УРСС», 1998. 176 с.
Георгиевский Д. В. Некоторые неодномерные задачи вязкопластичности: жесткие зоны и устойчивость 〃 Изв. РАН. МТТ. 2001. № 1. С. 61-78.
О СВЯЗИ КРИТИЧЕСКИХ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХХАРАКТЕРИСТИК В ПРОЦЕССЕ РАЗРУШЕНИЯ
В. В. Глаголев, А. А. Маркин
Тульский государственный университет
Рассматривается процесс симметричного разделения, когда движение внешней нагрузки приводит к образованию новых поверхностей вдоль заданного направления. В окрестности плоскости разделения выделяется слой, свободная энергия которого аккумулируется в поверхностную. При условии стационарности процесса получена связь между выражением типа J-интеграла и термомеханическими характеристиками материала. Проводится сравнение полученных результатов с известными.
Вариант определяющих соотношений стадии разупрочнения. Для описания поведения материала вплоть до разрушения предлагается рассматривать наряду с устойчивым （по Дракеру） деформированием материала стадию неустойчивого деформирования （разупрочнения）. Разупрочнение рассматривается как продолжение процесса деформирования, при котором внутренние взаимодействия, характеризуемые напряжениями, могут уменьшаться с ростом деформаций. В этом случае модель конечного упругопластического деформирования [1] дополняется стадией материального неустойчивого деформирования, при котором выполняется условие
q^-W <Q,
где ал — обобщенная яуманновская производная тензора истинных напряжений, W — тензор скорости деформаций.
Вопрос о возможности реализации однородного материально неустойчивого деформирования рассматривается в работах [2, 3]. При этом показано, что такое состояние возможно при специальных граничных условиях. В реальных условиях [2] происходит локализация разупрочняющегося （разрушающегося） материала в узких полосах. Полагаем, что стадия разупрочнения начинается при достижении главной максимальной положительной компонентой тензора Генки критического значения, а направление образования новых поверхностей ортогонально соответствующему главному направлению.
Рассмотрим вариант соотношений, моделирующих поведение материала на стадии разупрочнения при активном деформировании:
ал = —）笳，
（1-1） 巾
где ал — обобщенная яуманновская производная девиатора напряжений, W — девиаторная составляющая тензора скорости деформаций, а — первый инвариант тензора напряжений, 0 = W - Е > Q, К（_）> О, G（_）> 0 — параметры процесса активного деформирования. Будем рассматривать только тот класс материалов, для которых 頁（_）и G（_）являются постоянными.
В дальнейшем ограничимся случаем деформирования, когда главные оси деформаций совпадают с одними и теми же материальными волокнами и с главными осями тензора напряжений. При этом соотношения (1.1) интегрируются и принимают вид
(1.2)(1.2)万一強=2G（_）（或一Е）,о — 0k = К（_）（饅-夕）,
(1.2)
(1.2)
где ? — текущее значение коротационной меры Генки, 0 = Е - г — текущее значение 1-го инварианта меры Генки.
Индексом (к) (рис. 1) обозначены критические значения напряжений и деформаций, соответствующие началу разупрочнения. Тензоры истинных напряжений и тензоры Генки данного состояния назовем критическими. Таким образом, соот-
Рис. 1. Полная диаграмма деформированияРис. 1. Полная диаграмма деформирования
Рис. 1. Полная диаграмма деформирования
Рис. 1. Полная диаграмма деформирования
ношения (1.2) справедливы при условиях %》, $》0. Из (1.2) следует связь между приращениями главных значений тензора напряжений и тензора Генки, которая имеет вид
-专S；-/ 工。；)， (1.3)
где 4z 企 + 启丿Н -■ 歹а =…成"
分 J = 1, 3.
Положим, что тензор напряжений на стадии разупрочнения изменяется по
закону
(1-4)(1-4)d = —е^ |У|,
(1-4)
(1-4)
где 0）=髙=/『+质2 +唠где 0）=髙=/『+质2 +唠—направляющий тензор критического напряжения, \qf\ =
где 0）=髙
=/『+质2 +唠
где 0）=髙
=/『+质2 +唠
-интенсивность приращений напряжений, а 0)= #, z =
=1,3, — соответствующие главные значения направляющего тензора.
Выразим интенсивность напряжений из (1.4) в виде
(1.5)(1.5)Тогда
(1.5)
(1.5)
3"Ж*
Подставляя (1.5) в (1.3), представим связь между напряжениями и деформациями в следующем виде:
£〔=£〔=。6。6~н(1 + &)，~н(1 + &)，(1.6)(1.6)
£〔=
£〔=
。6
。6
~н(1 + &)，
~н(1 + &)，
(1.6)
(1.6)
^ =子(一命(茎+ 岁))，(1.7)
е! = Т(3~н(1 +出)}(1.8)
При 笈=—玻 находим компоненты тензора Генки, соответствующие полному разупрочнению, и обозначим их индексом «т».
Описание процесса стационарного разделения (метод установившегося разделения). С целью выяснения влияния учета стадии разупрочнения на условия разделения, а также для сравнения предлагаемого подхода с известными рассмотрим термомеханику установившегося процесса продвижения «физического» разреза в сплошной среде.
Пусть разделение тела происходит симметрично относительно плоскости ОХ1Х3 (плоскости разделения), являющейся плоскостью его симметрии, в результате внешнего механического воздействия (рис. 2). Поверхности Х2 = ±8о/2 ограничивают слой взаимодействия [4]. Под толщиной слоя взаимодействия 8° понимается начальная (в недеформированном состоянии) толщина материала, который в процессе деформирования перейдет в состояние разупрочнения и последующего разрушения. Соответствующий характерный размер определяет толщину «физического» разреза. Наряду с неподвижной декартовой системой отсчета Xi又2X3, вводится движущаяся с постоянной скоростью а = aei (скоростью образования новых поверхностей) декартова система X|X，Xg (рис. 2), где ei — орта оси Система координат связана с сечением О'ОП (являющимся концом разреза), где происходит образование новых материальных поверхностей. Будем предполагать, что процесс образования новых поверхностей стационарен. Таким образом, с точки зрения наблюдателя, связанного с подвижной системой координат, области разупрочнения, устойчивого обратимого и необратимого деформирования не меняются во времени. При Х{ < 0 взаимодействие внутри слоя прекращается (образуются новые поверхности). На отрезке 0 < Х{ < О' S' слоя взаимодействия локализован материал, находящийся в состоянии разупрочнения.
Перемещение окрестности срединной поверхности слоя взаимодействия при плоской деформации запишем в виде
u(d，抬)=〃i(d)ei + 〃2(壮,△必)©2,(2.1)
Рис. 2. Схема нагружения и областей деформированияРис. 2. Схема нагружения и областей деформирования
Рис. 2. Схема нагружения и областей деформирования
Рис. 2. Схема нагружения и областей деформирования
где "2(*，△砲='"4；政)△/2 +。(△砲=/(%)△必 +。(△砲，"，分=1,2,- координаты начального состояния.
Согласно (2.1) приведем отличные от нуля компоненты тензора-аффинора [5] и обратного ему тензора в отсчетной координатной системе:
①11 = 1 +抖，①??dx\①11 = 1 +抖，①??dx\1 +鬲1 +鬲①2「幻必，①^①2「幻必，①^(2.2)(2.2)
①11 = 1 +抖，①??dx\
①11 = 1 +抖，①??dx\
1 +鬲
1 +鬲
①2「幻必，①^
①2「幻必，①^
(2.2)
(2.2)
① 22=1+/,= ^7).
Напряженное состояние слоя взаимодействия в зоне разупрочнения O'O"S"S' при плоской деформации описывается тензором Коши вида [4]
2 =。22©2©2 + оззезез.(2.3)
Полагая процесс изотермическим, запишем основное термодинамическое соотношение [5] для замкнутой области, которое примет следующий вид:
I ^ + w)pQd^Q = I qo・v或о,(2.4)
s(0)緬)
где ⑦—скорость удельной (отнесенной к массе) свободной энергии; w — скорость удельной диссипации; q° — вектор напряжения, отнесенный к начальной площади; d2o — элементарная длина граничного контура в недеформированном состоянии; d»o ——элементарная площадь материальной плоскости в недеформированном со-
стоянии, V — поле скоростей на контуре; 0о ——плотность материала, отнесенная к начальному объему.
Из условия стационарности поле скоростей частиц и скорость свободной энергии в подвижной координатной системе выражаются по формулам [6]
v(x')=v(x')=AuAu力Дх') = а即 diдх{力Дх') = а即 diдх{(2.5)(2.5)
v(x')=
v(x')=
Au
Au
力Дх') = а即 diдх{
力Дх') = а即 diдх{
(2.5)
(2.5)
Подставляя (2.5) в (2.4) и используя теорему Остроградского-Гаусса, представим основное термодинамическое соотношение в следующем виде:
(2.6)(2.6)
(2.6)
(2.6)
(0)о
где п\ 丿—проекция внешней нормали к контуру на направление разделения (ось ОХ；).
Для определения векторов напряжений q°, отнесенных к начальной вектор- площадке, воспользуемся их представлением через тензор Пиолы-Кирхгоффа:
Чо = п0 • F,(2.7)
Из термомеханического анализа разупрочняющегося материала, ограниченного контуром О" S" S'О' (см. рис. 2), в [6] получено определение удельной поверхностной энергии по формуле
7=亨0。.也+学一^，")
где й)ь — скорость диссипации разупрочняющегося материала, приходящаяся на единицу начальной толщины разделенного слоя; ^ — удельная свободная энергия материала в сечении S'S〃，накопленная к началу стадии разупрочнения:
s〃
4 = 2 qg •翼或о.(2.9)
Отметим, что полученное определение поверхностной энергии в виде (2.8) универсально в том смысле, что оно не зависит от распределения областей обратимого и необратимого деформирования вне слоя взаимодействия и является характеристикой материала. Для конкретизации выражения поверхностной энергии необходимо установить связь между изменением свободной энергии и диссипации на стадии разупрочнения. Если рассмотреть два крайних варианта — диссипация на стадии разупрочнения равна работе напряжений и диссипация отсутствует, то для поверхностной энергии справедлива следующая оценка:
亨/Wk W 7 W 亨 00麻 + ”•(2.1。)
Отметим, что в случае вертикальной ниспадающей ветви Ар = 0 для свободной энергии получим
7=，0о 麻.(2.11)
Таким образом, поверхностная энергия есть свободная энергия, накапливаемая в сечении слоя О'О" (см. рис. 2), если пренебречь разупрочнением.
Для определения значения 4P из (2.9) примем во внимание, что нагрузка на соответствующие берега полностью определена напряженно-деформируемым состоянием разупрочняющегося материала слоя взаимодействия. Поле перемещений в силу гипотезы однородности £2 по 力$ внутри слоя взаимодействия имеет вид
"2 =(产-1)4，(2.12)
а определяющие соотношения (1.7) при ^н = 0:
а(2.13)
= 111 (1 += Const .
Выражая q^ с учетом (2.7), (2.2), (2.3), используя (2.11), (2.12), получим
=2(马(^一 一(2.14)
Пренебрегая в (2.14) деформацией £，и считая разность (ит — 〃卜)величиной малой, как и деформации, для (2.9) имеем
4 =(2.15)
Таким образом, значение Ар соответствует работе напряжений на стадии разупрочнения в слое взаимодействия.
Если ⑦卜=2(£卜)определяется из полной диаграммы [7], например на растяжение, то, используя те же значения и в случае неодноосного напряженного состояния слоя, мы полагаем, что эти зависимости, во всяком случае для изотропных процессов, универсальны. Отсюда, согласно (2.11), следует постоянство толщины слоя, так как поверхностная энергия универсальна. В работе [6] приводится оценка толщины слоя через межатомное расстояние и предел упругости по деформациям.
Установление связей между критическими значениями термомеханических характеристик. С целью нахождения связей между критическими значениями термомеханических характеристик выбираем в качестве контура, ограничивающего материал, замкнутый контур 2 = В'Н‘N'К'К"N"Н"В"S"В\ показанный на рис. 2. При этом точки В' и В" расположены на участках берегов разреза, где отсутствует внешняя нагрузка. Представим термомеханическое соотношение (2.6) в следующем виде:
$ W + ^) — q。或° =丿⑴ + 厶一о = о, (3.1)
гдегде)⑴= I)⑴= I00几?⑦-qo •00几?⑦-qo •或0,或0,厶=厶=00八？ W + ^) - qo •00八？ W + ^) - qo •或0, 器=M〃S 〃夕长,或0, 器=M〃S 〃夕长,(3.2)(3.2)
где
где
)⑴= I
)⑴= I
00几?⑦-qo •
00几?⑦-qo •
或0,
或0,
厶=
厶=
00八？ W + ^) - qo •
00八？ W + ^) - qo •
或0, 器=M〃S 〃夕长,
或0, 器=M〃S 〃夕长,
(3.2)
(3.2)
D = - IRo八俨^)或о = 2 I p()w d^2.(3.3)
B'H'^H"B"bo/2
На участках В'S' и S"В" co стороны слоя взаимодействия действуют симметричные нагрузки qg; с учетом (2.2), (2.3), (2.7), (2.9) и условия:
八了 = -1； qo = i^i =。，
2 =麻， w = wK при - у < 4 < у， 储=S〔
из (3.2) получаем
厶=-00瓦(麻 + W)- 4，(3.4)
где ⑦卜=2(£卜)и w/g = г(7(£к) — значения плотности свободной энергии и диссипации в точках отрезка [S'S〃] слоя взаимодействия.
Подставляя (3.3), (3.4) в (3.1) приходим к следующему представлению 7(^-ин- теграла:
/⑺=00瓦麻+00瓦^用+ 0 + 4少(3.5)
Отметим, что значение J^^-интеграла, определенное формулой (3.1), не изменится, если вместо контура В' Н' N' К К" N" Н" В" использовать любой другой охватывающий его контур В'Н'Е'Е"Н"В" (рис. 2), расположенный в упругой области. Это следует из того, что интеграл вдоль замкнутого в упругой области контура НгЕгЕ,гН,гN,rК,гKrNrНг по определению (2.6) равен нулю. Таким образом, J(z)-интеграл инвариантен относительно выбора контура интегрирования и является универсальной постоянной упругопластического материала, разделяемого по симметричной схеме, если универсально распределение диссипации. Из выражения (3.5) следует, что J^^-интеграл определяется термомеханическими постоянными материала и работой на стадии разупрочнения Ар. Связь (3.5) с учетом инвариантности J^^-интеграла относительно изменения формы контура в упругой области составляют основной результат.
Примеры определения J^^-интеграла через критические термомеханические характеристики. Рассмотрим частные значения для -интеграла, соответствующие различным моделям материала и распределениям упругих и пластических областей.
Материал упругий вплоть до разделения, ниспадающая ветвь вертикальна (стадия разупрочнения отсутствует), тогда ^卜=0, п из (3.5) следует классическое выражение J^^-интеграла Райса, Черепанова [8-10] через поверхностную энергию в виде
丿⑴=2т = 0отАЛ).(4.1)
Однако классический результат соответствует модели трещины типа математического разреза, и при использовании линейно-упругого поведения материала для выражения поверхностной энергии через вязкость разрушения К【с в случае плоского напряженного и деформируемого состояния получаются различные результаты. Так, с одной стороны, для плоского напряженного состояния высвобождение энергии деформации в критическом состоянии Gk[8—10], равное
удвоенному значению поверхностной энергии, определяется в виде Gk = 2)= —
а для состояния плоской деформации: Gk = 2)= (1 — ^2)При такой модели, считая вязкость разрушения универсальной постоянной материала, поверхностная энергия зависит от вида напряженного состояния и не является характеристикой материала.
Из модели трещины, соответствующей «физическому» разрезу и связи (2.11), полагая ⑦卜=2(£卜)и 8° универсальными характеристиками материала, получаем, что поверхностная энергия не зависит от вида напряженного состояния и является постоянной материала.
Материал идеально пластический, несжимаемый вплоть до разрушения, разупрочнение не учитывается. В этом случае = 0 и диссипация, накапливаемая в критическом состоянии, определяется выражением
(4.2)(4.2)pQ^k = 4
(4.2)
(4.2)
где А — отнесенная к объему материала работа напряжений до достижения критического состояния.
В случае изотропного идеально пластического материала работа напряжений имеет вид
(4.3)(4.3)4 = 7к3k,
(4.3)
(4.3)
где т^ =万卜••万卜—свертка девиаторов напряжений; э^ = ^ •• ^ свертка девиаторов деформаций.
При плоском деформированном состоянии с учетом ai = 0, полагая материал пластически несжимаемым, получим
(4.4)(4.4)7k3k=
(4.4)
(4.4)
5八о5八оПолагая, что распределение диссипации на участках В"Н" и В'Н‘ определя
5八о
5八о
ется линейным законом:刨必)=ется линейным законом:刨必)=приходим к следующей оценке величины
ется линейным законом:刨必)=
ется линейным законом:刨必)=
удельной (на единицу длины) диссипации, накапливаемой в приграничных слоях
берегов разреза:
(4.5)(4.5)D = PqHqwk.
(4.5)
(4.5)
Таким образом, выражение J^^-интеграла из (31) с учетом (4.2)-(4.5) принимает вид
(4.6)(4.6)/⑺=00(九0 + ^O)w =0к£к(瓦+九0),
(4.6)
(4.6)
На рис. 3 приведена зависимость между。2 и £2, соответствующая представлению -интеграла в виде (4.6), когда заштрихованной площадью пренебрегают по сравнению с незаштрихованной. Если в выражении (4.6) положить, что пластическая деформация достигается лишь в слое взаимодействия (тонкая пластическая
02 Л
Рис. 3. Диаграмма растяжения в рамках идеальной упругопластической модели
зона), а 九о = 0, то получим известное значение J^^-интеграла для 5^-модели
где 8k = £卜瓦—критическое раскрытие трещины.
Результат (4.7), вообще говоря, справедлив для тонкой пластической зоны в квазихрупких телах. Для сред с явно выраженными пластическими свойствами при условии плоской деформации основной вклад в интеграл (4.6) несет диссипация вне слоя взаимодействия на некотором характерном размере До (зона пластического деформирования) для данного материала. Если вся область пластических деформаций ограничена зоной обратимого деформирования, то До значительно превосходит величину 8° и определяет критическую величину J(")-интеграла:
J ⑴=Pah^w 卜•
Отметим, что J^^-интеграл определен для состояния плоской деформации и является характеристикой данного вида напряженного состояния, следовательно, не может служить универсальной характеристикой разделения (разрушения).
В заключение сформулируем основные выводы.
На основе термомеханического анализа стационарного направленного разделения получена инвариантная характеристика типа J^^-интеграла, позволяющая связать полную энергию диссипации устойчивого в смысле Дракера деформирования в зоне разрушения, критическую свободную энергию начала стадии разупрочнения и работу напряжений неустойчивого деформирования. Таким образом, если известна полная упругопластическая диаграмма и границы области диссипации, то из (3.5) определяется критическое значение J(")-интеграла.
Полученные результаты, основанные на гипотезе локализации разрушения в слое с однородным напряженно-деформируемым состоянием, не противоречат классическим результатам механики упругопластического разрушения при замене участка разупрочнения вертикальной ветвью.
Представляется рациональным принять в качестве универсального критерия перехода от стадии устойчивого (по Дракеру) деформирования к разупрочнению условный энергетический критерий: разупрочнение начнется при достижении удельной работой напряжений критического значения 4k =⑦卜 + Wk при условии, что параметр объемного изменения удовлетворяет соотношению 夕卜》0, где 夕卜 —— критическое значение первого инварианта тензора Генки. Данный критерий не зависит от вида напряженного состояния и в случае пренебрежения стадий разупрочнения может служить универсальным критерием разделения (разрушения), при этом разделение начнется в направлении, ортогональном главной максимальной деформации.
Список литературы
Маркин А. А. Об изменении упругих и пластических свойств при конечном деформировании 〃 Изв. АН СССР МТТ. 1990. №2. С. 120-126.
Черепанов Г.П. О закритических деформациях 〃 Пробл. прочности. 1985. № 8. С. 3-8.
Рыжак Е.И. К вопросу об осуществимости однородного закритического деформирования при испытаниях в жесткой трехосной машине 〃 Изв. АН СССР МТТ. 1991. № 1. С. 111-127.
Глаголев В. В., Кузнецов К. А., Маркин А. А. Модель процесса разделения деформируемого тела 〃 Известия РАН. МТТ. 2003. № 6. С. 61-68.
Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.
Глаголев В.В., Маркин А.А. Модель установившегося разделения материального слоя 〃 Известия РАН. МТТ. 2004. №5. С. 121-129.
Лебедев А. А., Чаусов Н. Г. Феноменологические основы оценки трещиностойкости материалов по параметрам спадающих участков диаграмм деформаций 〃 Пробл. прочности. 1983. № 2. С. 6-10.
Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.
Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.
Панасюк В. В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. Киев: Наукова думка, 1991. 416 с.
СТРУКТУРЫ РАЗРУШЕНИЯ В УСЛОВИЯХИНТЕНСИВНОГО СЖАТИЯ
Р.В. Гольдштейн, Н.М. Осипенко
Институт проблем механики РАН
В условиях интенсивного сжатия с большой долей всестороннего давления может реализоваться гипотетический вариант хрупкого разрушения с образованием трещиноподобного вытянутого поперек оси наибольшего сжатия дефекта, названного трещиной сжатия. Дефект может развиваться, если в его концевых областях реализуется локальное разрушение материала, сопровождаемое эффективным уменьшением объема (уплотнением). Предложена плоская модель разрушения (образование трещин сжатия) с различными вариантами механизмов разрушения материала в концевых областях таких трещин. Модель позволяет объяснить процессы разрушения в окрестностях концентраторов напряжения при сжатии горных пород, а также расширяет диапазон механизмов развития структур разрушения (кливажа) в геомеханике. Сходные процессы разрушения наблюдаются и в элементах конструкций и сооружениях из бетона в зонах сжатия при наличии концентраторов напряжений.
Введение. Разрушение горных пород в условиях больших глубин отличается от соответствующих процессов в обычных конструкционных материалах. Это отличие связано прежде всего с большим геостатическим и/или гидростатическим давлением. До настоящего времени в механике разрушения материалов этому обстоятельству не придавалось, как правило, большего значения. В самом деле, например, в задачах теории трещин хрупкого разрушения однородное всестороннее давление не оказывает влияния на величину коэффициента интенсивности напряжений в вершине трещины. Поэтому, принимая в качестве критерия разрушения обычное в механике разрушения условие равенства этой величины ее критическому значению, легко вывести из рассмотрения фактор однородного всестороннего воздействия. В частности, для трещин нормального разрыва имеет значение только разница между внешним давлением по нормали к плоскости трещин и давлением в полости трещины. Этот взгляд объясняется присутствием особенности в поле упругих напряжений в малой окрестности вершины трещины, в силу которой влияние любых конечных напряжений становится пренебрежимо малым.
Такой подход к проблеме разрушения в последнее время дополняется различными моделями, в которых в критериях разрушения учитываются дополнительные параметры. К их числу относятся, в частности, градиенты напряжений, параметры, учитывающие конкретный характер локального поведения материала в концевой области трещин, его пластические и вязкие свойства, а также структура в микромасштабе. Большой интерес вызывают процессы разрушения, сопровождающиеся развитием упорядоченных структур разрушения. Они характерны, в частности, для массивов геофизических сред, подверженных сжатию и сдвигу [1]. В связи с этим упомянем работы, посвященные структурам разрушения при сдвиге [2], а также формированию иерархической системы нарушений [1, 3].
к одноосному сжатию, основная роль принадлежит локальным процессам разрушения в окрестностях типичных для данной среды неоднородностей. Эта модель, в частности, объясняет эффекты квазихрупкого разрушения пород в окрестностях горных выработок при отсутствии внешних растягивающих напряжений. Возникающие магистральные разрывы и расслоения ориентированы вдоль главных сжимающих напряжений. В их концевых областях реализуется локальное разрушение при растяжении, вызванном структурными концентраторами напряжений (порами, включениями и др.).
Наряду с таким механизмом разрушения, при действии которого магистральные разрывы и эшелонные структуры разрывов возникают при относительно слабом сжатии в поперечном к оси разрывов направлении, материалы (породы), работающие в условиях интенсивных сжимающих нагрузок, в том числе на значительных глубинах земной коры, могут иметь специфические формы разрушения, связанные с изменением их первоначальной структуры и порового пространства. К ним, в частности, можно отнести механизмы квазихрупкого разрушения, сопровождающегося изменением объема материала — уплотнением за счет заполнения порового или свободного пространства, либо частичным удалением материала или изменением его фазового или структурного состояния.
Рис. 1. Разрушение при интенсивном сжатии. Стрелки показывают направление максимального сжатия. Схема процесса соответствует [6]
Здесь обратимся к одному из вариантов такого механизма разрушения, начальная фаза которого иллюстрируется рис. 1, где показано разрушение в окрестности отверстия в образце горной породы при сжатии, по данным авторов, и схема разрушения в аналогичном варианте по работе [6].
Можно видеть, что образующаяся при разрушении вытянутая полость расположена по нормали к главным сжимающим напряжениям, продукты разрушения смещены в сторону отверстия, которое при этом оказывается частично заполненным. Разрушение началось на границе отверстия в области максимального сжатия и затем, по мере развития полости, очаг разрушения передвигался от границ
отверстия вглубь окружающего материала, отслеживая траекторию концентрации максимального сжатия. Локальный механизм разрушения в очаге разрушения на границе полости, судя по снимку, соответствует схеме разрушения гетерогенной среды при напряжениях, близких к одноосному сжатию. Трещины, разделяющие фрагменты породы в полости разрушения, ориентированы вдоль главных сжимающих напряжений в концевой области растущей полости.
Таким образом, гипотетически возможен механизм разрушения с образованием полости, вытянутой поперек направления главного сжатия, рост которой связан с локальным разрушением материала в концевых областях под действием концентрации напряжений преимущественного сжатия, а продукты разрушения обладают некоторой подвижностью, позволяющей по мере развития процесса переносить область концентрации напряжений (и очаг разрушения) на внешний контур.
Продвинутая стадия такого механизма разрушения, по-видимому, наблюдалась в работе [7], где зафиксированы трещиноподобные образования в образцах из пористых модельных материалов в окрестностях концентраторов напряжений (отверстий различной формы), развивающиеся по нормали к сжимающим напряжениям и заполненные тонко измельченными продуктами разрушения. Длина дефектов много больше их толщины, что дает повод назвать их трещинами сжатия. Следует отметить, однако, что автор работы [7] объясняет появление этого вида дефектов влиянием касательных напряжений. Укажем еще отмеченный ранее вариант [8] развития нарушений, развивающихся при сжатии (трещин сжатия) в тонких покрытиях и пластинах в том случае, когда края образующихся дефектов- трещин могут наползать друг на друга, выходя из плоскости пластин. Такая форма разрушения характерна, например, для ледяного покрова [8].
Поскольку образующийся в процессе разрушения по описанной схеме вытянутый дефект геометрически подобен трещине (его продольный размер много больше характерной толщины), а процессы разрушения в его окрестностях сосредоточены в концевых областях, условия его предельного равновесия в упругой среде аналогичны условиям равновесия трещин-разрывов, имеющих начальное раскрытие. Поэтому для анализа разрушения может быть привлечен аппарат механики разрушения. Далее приведены некоторые результаты анализа характерных ситуаций с указанными объектами (они названы ниже трещинами сжатия).
Предельное равновесие трещин сжатия. Рассмотрим плоскую модель трещины сжатия, представляющую собой вытянутую прямолинейную полость, заполненную продуктами разрушения и нагруженную напряжениями сжатия, ось которого нормальна к оси трещины. Полость имеет некоторое начальное раскрытие 九о・ Очевидно, что такой объект допускает различные формы реакции заполнителя на смещение берегов под действием внешних нагрузок. Приведем некоторые простые оценки.
Если перемещение заполняющих полость продуктов разрушения невозможно, а изменение (уменьшение) объема среды при прохождении концевой области фиксировано, в каждом сечении трещины сжатия (вдали от концевой зоны) оказывается фиксированным изменение толщины слоя среды, имеющего начальный размер 九о, т. е.
До — △九=const, (1)
где АД — изменение толщины слоя после прохождения через него концевой области.
циент интенсивности напряжений в этом случае будет таким же, как в задаче о расклинивании плоскости тонким клином [9]:
К/〜—垃I位，(2)
V7t£*
где 2* — область, свободная от контакта с клином в передней части трещины,从— коэффициент Пуассона.
Знак минус связан с тем, что эффективный клин уменьшает начальную толщину слоя, т. е. имеет отрицательную толщину. Из (2) следует, что концентрация напряжений сжатия в концевой области не зависит от общей длины трещины сжатия. Поэтому, если условие предельного равновесия трещины сжатия имеет такой же вид, как и для трещин нормального отрыва,
Ki = Ki。(3)
где Kic ——предельное значение (трещиностойкость материала) при данном виде нагружения; условие (3) свидетельствует о возможности двух режимов существования дефекта — неустойчивом распространении (К/ 》К/с) и остановке (при К/ < К/с). (Здесь и далее знак К【при сжатии принят для удобства положительным).
Ситуация меняется, если продукты разрушения имеют возможность перемещения в полости трещины сжатия. Пусть, например, в асимптотическом варианте они подобно жидкости обеспечивают равномерное противодавление внешним нагрузкам (при некотором дефиците объема в связи с уплотнением среды при разрушении в концевой области). Результирующая разница напряжений на берегах трещины сжатия будет иметь вид
△о = Ох —夕，(4)
где (Too — внешнее напряжение сжатия, р — величина противодавления со стороны продуктов разрушения.
Перейдем для иллюстрации к средним показателям смещений. Среднее раскрытие трещины в упругой плоскости под действием однородного напряжения на ее берегах в данном варианте нагружения имеет вид [9]
^ = || 〃(力)dx = £^ (1 -犷)2,(5)
о
где 2 — полудлина трещины сжатия.
Оценим два варианта деформирования эффективной среды разрушенного материала в полости трещины сжатия.
. Среда линейно квазиупруга с некоторым модулем упругости Е*.
Тогда можно записать для среднего смещения:
или, учитывая (5),
Обращаясь к (4), получим из (7)
△ст =△ст =° оо° оо1 +泉1 +泉7Г7Г⑻⑻
△ст =
△ст =
° оо
° оо
1 +泉
1 +泉
7Г
7Г
⑻
⑻
Величина Ла уменьшается с увеличением длины трещины сжатия.
Определим коэффициент интенсивности напряжений для рассматриваемой схемы однородного нагружения эффективной трещины, используя известное решение теории трещин [9] для плоскости с однородно нагруженной трещиной:
Ki =,.(9)
(1 - м2)石瓦
Из (9) следует, что К/(2) — немонотонная функция. Ее максимум достигается при
При достижении критического уровня К/ согласно критерию (3), для начального дефекта размера 2° происходит страгивание трещины сжатия в неустойчивом режиме, т. е. перескок ее в положение 厶 на ниспадающей ветви функции (9), после чего для дальнейшего увеличения размеров трещины сжатия необходимо увеличить нагрузку. По нашему мнению именно такой режим развития трещин сжатия наблюдался в экспериментах с пористым модельным материалом, описанных в [7].
. Сопротивление деформированию подвижного слоя разрушенного материала —нелинейная функция нагрузки при сохранении способности перемещений внутри этого слоя, создающих однородное противодавление. Возможны различные варианты эффективной нелинейной упругости для описания активного нагружения системы. Воспользуемся соотношением, обнаруженным при взаимодействии блоков при упругом деформировании блочного массива [10]:
(12)(12)2a〜а£
(12)
(12)
где а — эмпирическая константа.
Для этого варианта нелинейности, повторяя вычисления пункта (а), получим, аналогично (8) и (9):
(的初2 +吟的1 -犷/门 (13)
Соответственно,
К/ =К/ =2a(7г(1 -42)评2a(7г(1 -42)评+ ао0c(7Г(1 — М2+ ао0c(7Г(1 — М2(14)(14)
К/ =
К/ =
2a(7г(1 -42)评
2a(7г(1 -42)评
+ ао0c(7Г(1 — М2
+ ао0c(7Г(1 — М2
(14)
(14)
дальнейший рост происходят в устойчивом режиме — для увеличения размеров трещины сжатия необходимо увеличивать внешнюю нагрузку (а^).
Таким образом, в зависимости от деформационных свойств слоя разрушенного материала и его подвижности возможны различные варианты развития трещин сжатия — от глобально устойчивого до неустойчивого, причем в промежуточном варианте размеры трещин сжатия ограничены.
Вернемся к варианту (а) квазиупругого деформирования продуктов разрушения и учтем возможность изменения объема материала при его разрушении в концевой области, а также существование начального свободного объема в области инициирования трещины сжатия (о°). Введем коэффициент изменения объема при разрушении среды в концевой области (коэффициент разрыхления):
(15)
где Ок — объем в конечном (разрушенном) состоянии, Он — объем в начальном состоянии.
Диапазон значений к < 1 соответствует ситуации уплотнения, к〉1 — разрыхления. Баланс текущих объемов (площадей в плоской задаче) для трещины сжатия в упругом массиве можно представить в виде
九+ °о =九02k (1 —告)+ 专△°(1 —从2)”，(16)
где первое слагаемое в правой части описывает изменение объема в слое разрушенного материала, а второе — изменение объема полости трещины в результате прогиба ее берегов под действием нагрузки (△о). Из (4) и (16) получим
△ст =△ст =(⑺(⑺1 + 里—к + 衣°°°十面2十石*
△ст =
△ст =
(⑺
(⑺
к 7Г(1 — /I2)?
В (16)-(17) считается, что толщина слоя 九° постоянна.Легко видеть, что при к = 1 п 的=。(⑺ преобразуется в (2.8). Соответственно для прежней схемы однородного нагружения трещины сжатия получим, аналогично (9):В (16)-(17) считается, что толщина слоя 九° постоянна.Легко видеть, что при к = 1 п 的=。(⑺ преобразуется в (2.8). Соответственно для прежней схемы однородного нагружения трещины сжатия получим, аналогично (9):К/ =К/ =1 + L+争к 7г(1 — а2)?1 + L+争к 7г(1 — а2)?(18)(18)
В (16)-(17) считается, что толщина слоя 九° постоянна.
Легко видеть, что при к = 1 п 的=。(⑺ преобразуется в (2.8). Соответственно для прежней схемы однородного нагружения трещины сжатия получим, аналогично (9):
В (16)-(17) считается, что толщина слоя 九° постоянна.
Легко видеть, что при к = 1 п 的=。(⑺ преобразуется в (2.8). Соответственно для прежней схемы однородного нагружения трещины сжатия получим, аналогично (9):
К/ =
К/ =
1 + L+争к 7г(1 — а2)?
1 + L+争к 7г(1 — а2)?
(18)
(18)
Для демонстрации эффекта изменения режима разрушения представляет интерес вариант。° 纟 °,卜=1- Для этого варианта из (18) получим
WE*
—г cTqq
(19)(19)Ki = —,
(19)
(19)
］万(1一从2)石旌
ииФункция (19) при некоторых значениях параметров имеет два экстремума.Функция (19) при некоторых значениях параметров имеет два экстремума.Пример функции (19) показан на рис. 2 для ряда значенийПример функции (19) показан на рис. 2 для ряда значений7Г(1 —/?)£*7Г(1 —/?)£*片=0; 095；片=0; 095；0.10.1=0.5 (соответственно, кривые 7, 2, 3 на рис. 2). Если по-прежнему=0.5 (соответственно, кривые 7, 2, 3 на рис. 2). Если по-прежнему
и
и
Функция (19) при некоторых значениях параметров имеет два экстремума.
Функция (19) при некоторых значениях параметров имеет два экстремума.
Пример функции (19) показан на рис. 2 для ряда значений
Пример функции (19) показан на рис. 2 для ряда значений
7Г(1 —/?)£*
7Г(1 —/?)£*
片=0; 095；
片=0; 095；
0.1
0.1
=0.5 (соответственно, кривые 7, 2, 3 на рис. 2). Если по-прежнему
=0.5 (соответственно, кривые 7, 2, 3 на рис. 2). Если по-прежнему
Рис. 2. Характер развития трещин сжатия (пояснения в тексте) выполняется критерий разрушения в форме (3), возможны четыре фазы развития трещины сжатия.
Сначала в окрестности начального свободного объема (например, поры или отверстия) появляется очаг разрушения размера 2a (на рисунке соответствует левой точке пересечения горизонтали с кривой 3). Затем разрушение тормозится (первый падающий участок на рис. 2). Для увеличения размера трещины сжатия нужно увеличивать нагрузку. При достижении длины £оа, соответствующей минимуму К，трещина сжатия становится неустойчивой, и ее длина увеличивается вплоть до достижения устойчивой ветви функции (19) (точка 21a на рис. 2). Промежуточное устойчивое состояние на участке 2a < £оа может иметь прогностическое значение при оценке устойчивости глубоких скважин.
Влияние коэффициента разрыхления к сказывается в обеспечении немонотонности функции к/(2) в формулах (9) и (19). Предельное значение к], при котором механизм разрушения не может реализоваться (т. е. К/ — 0), можно оценить, используя (18), по соотношению
1 +包
(2。)
В частности, при vq = 0 имеем
Рассмотренный механизм приводит к устойчивому росту трещины сжатия, если 。0 — 0 н 卜—0・ В самом деле, из (18) следует асимптотическое выражение
Концевая область трещин сжатия. Сопротивляемость среды развитию трещин сжатия согласно условию предельного равновесия (3) определяется величиной критического коэффициента интенсивности напряжений сжатия (К；/ — аналогом трещиностойкости в механике хрупкого разрушения. Принятое выше предположение о существовании этой величины как характеристики материала
нуждается в уточнении, так как, в отличие от трещин нормального разрыва или сдвига, в рассматриваемом варианте механизма разрушения существенны процессы в полости трещины сжатия, протекающие в узкой щели, поперечный размер которой позволяет продуктам разрушения оказывать влияние на процессы в концевой области. Рассмотрим два характерных примера такого влияния на эффективную сопротивляемость среды развитию трещин сжатия.
Пусть, например, условием локального разрушения является достижение предельных касательных напряжений г* В таком случае поперечные нормальные напряжения ау на контуре концевой области с учетом давления со стороны продуктов разрушения будут иметь вид
分тах 〜2丁*+夕.(23)
Оценка эффективной величины сопротивляемости среды развитию трещины сжатия (К；с) может быть получена из предположения, что в предельно равновесном состоянии напряжение ау тах достигается на контуре с радиуса Д/2. Тогда, по аналогии с трещинами нормального разрыва:
К；с 〜(2丁* + 夕)д/^К •(24)
Используя далее (7) и (8), что соответствует ситуации о。~。；卜 ~ 1, получим
Р 7； m=m1一从)(25)
1 + mh
Отсюда
2т* +(2т* + erg) _
к/^-?后.(26)
1 + т-h
Из (26) следует, что функция KJC(^) имеет две очевидные асимптотики:
К；с 〜и К^с 〜(2т* + 2八.(27)
В промежутке между ними это слабо возрастающая функция длины трещины сжатия.
Сравнивая критический уровень коэффициента интенсивности напряжений по (26) и уровень Ki по (9) для условий предельного равновесия (3), получим оценку размеров трещины сжатия:
Г Д — Е——J .(28)
I 2^(1-m2)^(2^ + 1) 丿
В (28) знак « —» соответствует моменту достижения критических условий на восходящей ветви функции К/(2), т. е. началу неустойчивого распространения трещины сжатия, знак «+» — моменту остановки трещины сжатия и переходу к устойчивому развитию. Таким образом, в целом характер развития трещин сжатия сохраняется (см. рис. 2). Возрастание К^с с ростом размеров трещины сжатия ускоряет переход ее к устойчивому развитию.
Во втором примере в качестве внутренней задачи разрушения материала в концевой области трещины сжатия рассмотрим механизм квазихрупкого разрушения структурированной (гетерогенной) среды под действием напряжений преимущественного сжатия, частично описанный в [4, 5, 12]. Коротко напомним его. Структурированную среду можно представить в виде эффективной сплошной среды, содержащей элементы структуры, трансформирующие внешние сжимающие напряжения в локальное растяжение. Это последнее способно при определенных условиях вызвать разрушение окрестного материала, но, поскольку действие указанных элементов имеет локальный характер, акты разрушения охватывают небольшой участок окрестностей данного элемента, так что глобальное разрушение становится возможным, только если области разрушения, возникающие у типичных соседних элементов среды, могут объединиться друг с другом, образуя магистральный дефект. Если в масштабе этих процессов разрушение имеет хрупкий характер, т. е. условия предельного равновесия отдельного нарушения можно представить как условия равновесия хрупкой трещины нормального разрыва, критерий инициирования разрушения в макрообъеме сводится к достижению критического уровня коэффициентом интенсивности напряжений для микротрещин, возникающих у отдельных типичных элементов структуры и имеющих длину порядка расстояния между такими типичными элементами:
К/(厶)=К", (29)
где К" — трещиностойкость в масштабе микротрещины.
Заметим при этом, что в условиях плоской задачи образующийся при слиянии микротрещин дефект поддерживается в предельно равновесном состоянии локальными растягивающими напряжениями в окрестности одиночных элементов структуры в вершинах дефекта, в то время как внешнее напряжение, действующее по нормали к линии микроразрывов, воздействует на них по всей поверхности дефекта (как в случае однородного нагружения трещины нормального разрыва).
Для такой схемы разрушения условие (29) можно представить в виде
К/Cl)—К/(°2)=К北， (30)
где К/(сч) — коэффициент интенсивности напряжений в вершине дефекта от действия локальных сил растяжения, К/(О2)——коэффициент интенсивности напряжений от действия внешнего поля нормальных напряжений.
Поскольку квазихрупкие микроразрывы имеют преимущественную ориентацию вдоль главных сжимающих напряжений [11], величина K/(ai) определяется в основном этими напряжениями, в то время как К/(О2) зависит от напряжений растяжения-сжатия по нормали к главному сжимающему напряжению.
Для слабо взаимодействующих дефектов упомянутые функции Кц (г = 1,2) можно считать линейными функциями соответствующих напряжений. Это следует из решений задач механики разрушения для тел с трещинами (см., например, [13]). Поэтому можно записать
К/З) ~ 02
2 =2 =Очевидно, что при инициировании магистрального разрыва необходимо объединение по крайней мере двух микротрещин. Поэтому для условий инициирования L соотносится с полурасстоянием между активными элементами структуры:
2 =
2 =
(32)
Учитывая (30) и (31), можно сказать, что предельные условия описываемого механизма разрушения в пространстве главных напряжений представляют собой линейную функцию. Разрушение происходит при выполнении неравенства
6》6》Kic -力（凡几）Kic -力（凡几）(33)(33)
6》
6》
Kic -
力（凡几）
Kic -
力（凡几）
(33)
(33)
Здесь и далее в качестве главных напряжений а\ приняты максимальные по модулю напряжения сжатия в плоской задаче.
В полученном соотношении (33) неизвестна функция /i(R,八).Она связана со структурными параметрами материала и может быть найдена как коэффициент в линейной функции (33) при обработке результатов экспериментов, если известна трещиностойкость на уровне масштаба локального разрушения в окрестностях единичного структурного элемента.
В плоской модели представим пористую среду как плоскость, содержащую круговые отверстия радиуса R, расположенные на среднем расстоянии 2Е друг от друга.
Примем для пористого тела, содержащего одинаковые поры, соотношение между размерами пор и пористостью 八 в виде
(34)
Предельное равновесие системы отверстий при слиянии двух трещин, растущих от соседних пор, определяется соотношениями (30), (31), в которых функция /i(R,八)，по данным [12], приближенно выглядит как
/1 = ——(35) ' 80(1-п1/3) ' 丿
Напряжения。2, ориентированные поперек оси сжатия, могут быть как растягивающими, так и сжимающими. Очевидно, что в первом случае они увеличивают интенсивность напряжений в вершинах микроразрывов у отдельных пор, а во втором — уменьшают. В связи с этим отметим существование двух характерных режимов развития магистральных разрывов, образующихся при слиянии микротрещин соседних пор.
Если напряжения。2 растягивающие (или равны нулю), магистральная трещина развивается вдоль оси сжатия неустойчиво, т. е. рассекает весь нагружаемый объем. В случае сжимающих напряжений。2 рост магистральной трещины в неустойчивом режиме прекращается при некоторой ее длине, зависящей от величины о). Для увеличения длины необходимо увеличить интенсивность напряжений сжатия ар Для этого режима разрушения условия развития магистрального разрыва связаны со слиянием трещин, возникающих у типичных элементов структуры пористого тела — отдельных пор. Базовый акт такого слияния — достижение растущей трещиной в устойчивом режиме длины, составляющей половину расстояния до следующей типичной поры.
Величина KJ* в качестве характеристики материала может быть определена в эксперименте с контролируемым соотношением напряжений。1/(72・ Приведем в
качестве примера оценку К；^ для песчаника с размером пор 〜0,5 мм, прочностью при сжатии 〜40 МПа и пористостью 八〜0,1. Из (30) и (35) при 02 = 0 получим: К；^ ^ 0,1 МПа^/м, что на порядок меньше макротрещиностойкости материалов этого класса.
Возвращаясь к трещине сжатия, запишем условие инициирования локального разрушения в виде (30) как условие слияния двух пор. Отметим, что по крайней мере для варианта, в котором обе компоненты напряжений в концевой области трещины сжатия суть сжимающие напряжения, можно считать, что микротрещины в окрестностях пор развиваются устойчиво вплоть до слияния с соседними. Будем предполагать в качестве базового механизма, что при слиянии пор в концевой области инициируются микротрещины в направлении поперек оси трещины сжатия. Уравнение предельного равновесия таких трещин в момент слияния пор по (30) и (35) выглядит следующим образом:
a^V^Ra^V^R(36)(36)
a^V^R
a^V^R
(36)
(36)
где 八—пористость, R — радиус поры, KJ* — трещиностойкость в масштабе очага разрушения по отношению к нормальному разрыву.
Размещая очаг разрушения в концевой области трещины сжатия, будем считать, что напряжение 02, действующее в очаге разрушения на контуре полости в направлении вдоль оси трещины сжатия, эквивалентно давлению со стороны продуктов разрушения (。2 ~夕)・ Тогда напряжение ai в направлении нормали к оси трещины сжатия в состоянии предельного равновесия эквивалентно напряжению а у тах в концевой области трещины сжатия. При таком механизме разрушения в концевой области примем поперечный размер этой области пропорциональным расстоянию между порами, т. е.
(37)(37)2工.
(37)
(37)
Используя асимптотику напряжений ау в окрестности вершины трещины (24), получим, аналогично (23)-(26):
КК+0/2.КК+0/2.илиили80(1 -п1/3) (8п1/3- 1) *80(1 -п1/3) (8п1/3- 1) *(38)(39)(38)(39)
КК+0/2.
КК+0/2.
или
или
80(1 -п1/3) (8п1/3- 1) *
80(1 -п1/3) (8п1/3- 1) *
(38)
(39)
(38)
(39)
Величина KJC, как и в предыдущем варианте, оказывается слегка возрастающей функцией длины трещины сжатия с асимптотикой при больших длинах:
80(1 —/?/з)80(1 —/?/з)к 8"—1 •к 8"—1 •(40)(40)
80(1 —/?/з)
80(1 —/?/з)
к 8"—1 •
к 8"—1 •
(40)
(40)
напоминает таковой при условии предельного локального сдвига, рассмотренный выше.
Таким образом, механическое воздействие продуктов разрушения в полости трещины сжатия на процессы разрушения в концевой области приводит к отказу от концепции постоянства критических условий предельного равновесия в масштабе трещины сжатия (KJC # const). Вместе с тем представленные схемы механического воздействия показывают, что изменение К^с связано с микромеханизмами процесса разрушения, в которых константами материала являются его локальные свойства (в рассмотренных примерах г* и К；^ в масштабе микроразрушения) по крайней мере для рассмотренных механизмов разрушения.
Прогнозируемые при этом изменения характера развития макродефекта — трещины сжатия — относительно невелики и в рассмотренных вариантах сводятся к ускорению выхода на устойчивую ветвь развития.
Развитие структур разрушения. Качественная модель. Упорядоченные структуры, состоящие из некоторого количества трещин ограниченной длины и имеющие вид кулис или эшелонов, часто наблюдаются в горных породах [1, 3, 4, 14]. Один из механизмов формирования такой структуры как акт повышения ранга структуры предложен в [5]. Он основан на следующей качественной модели процесса.
Если по некоторым причинам развитие индивидуального дефекта — трещины — ограничено определенным размером в однородном внешнем поле напряжений, появление следующей трещины может быть инициировано в окрестности предыдущей в области действия концентратора напряжений. При этом расстояние от концентратора напряжений — вершины трещины — до нового очага разрушения определяется из условия достаточности размеров очага, в котором достигаются критические условия разрушения для элементарного представительного элемента гетерогенной среды (например, для слияния двух пор).
Аналогичный подход может быть применен и по отношению к трещинам сжатия, поскольку индивидуальные трещины сжатия, как показано выше, в случае действия эффекта выравнивания внутреннего давления в полости, заполненной продуктами разрушения, имеют ограниченные размеры.
При отсутствии прямых экспериментальных данных, подтверждающих приведенную схему процесса, будем считать, что размер очага должен соответствовать его критической длине при начале неустойчивой фазы развития (см. рис.2). Расположение очага относительно вершины остановившейся трещины сжатия определяется локальным полем напряжений — либо в направлении максимума касательных напряжений, либо в направлении комбинации главных напряжений, дающей наиболее опасное сочетание для инициирования слияния пор. В первом случае очаг зарождается в направлении под углом 夕 〜90° к оси трещины сжатия. Во втором варианте угол 夕〉90°. На рис. 3 показан пример оценки положения очага разрушения по углу 夕 для различных значений пористости (п).
Оценка проведена по (30) с учетом (35) для главных напряжений в окрестности вершины трещины сжатия, подвергнутой однородному нагружению. Условие инициирования разрушения в окрестности вершины трещины сжатия в этом случае приобретает вид
C0S И1 + Sin C0S 5 - Sin ^))' ⑷)
где г — малое по сравнению с длиной трещины сжатия расстояние от ее вершины, К/(2)——коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины сжатия.
На рис. 3 можно видеть, что максимум К； (а следовательно, и очаг разрушения) смещается в сторону уменьшения угла 夕 при увеличении пористости горной породы.
Рис. 3. Ориентация положения очага разрушения по отношению к вершине предыдущей трещины сжатия
Расстояние г до очага разрушения определяется его необходимыми размерами и должно быть не менее этого размера. Появление очага разрушения инициирует развитие следующей трещины сжатия ограниченных размеров и далее формирование эшелонной структуры таких трещин в соответствии со схемой в [2]. В целом в различных комбинациях двухосного растяжения-сжатия (гипотетически) возможны различные виды структур разрушения. В настоящем анализе не рассматривались структуры, происхождение которых связывается с развитием локализованных сдвигов, а также влияние дополнительных факторов, таких как поровое давление, фазовые переходы и др. Структуры разрушения способны разбивать нагружаемые объемы на отдельности и тем самым играть роль механизмов кливажа и расслоенности массивов в геологических и тектонических явлениях. По оставшимся в породе следам механизмов разрушения и параметрам трещиноватости можно оценивать условия инициирования и развития наблюдаемых структур.
Отметим, что рассмотренный механизм упорядоченного разрушения может провоцировать наступление неустойчивых стадий процесса разрушения вблизи выработок. В связи с этим обратим внимание на работу [15], где выполнен анализ влияния неустойчивости деформирования вблизи выработки на процесс горного удара.
Список литературы
Садовский М.А., Писаренко В. Ф. Случайности и неустойчивость в геофизических процессах 〃 Изв. АН СССР.①нзнка Земли. 1989. № 2. С. 3-12.
Ревуженко А. Ф., Стажевский С.В., Шемякин Е.И. О механизме даформирования сыпучего материала при больших сдвигах 〃 ФТПРПИ. 1974. № 3. С. 130-133.
Шемякин Е〃. О свободном разрушении твердых тел 〃 ДАН СССР. 1991. Т. 316, № 6. С.1371-1373.
Гольдштейн Р. В. Разрушение при сжатии 〃 Успехи механики. 2003. Т. 2, № 2. С. 3-20.
Гольдштейн Р. В., Осипенко Н.М. Структуры в процессах разрушения 〃 Изв. РАН. МТТ. 1999. №5. С. 49-71.
Okland D, Cook J.M. Bedding-related instability in high-angle wells 〃 SPE/ISRM Eurock 98. 1998. P. 413-422.
Lajtai E. Z. Brittle fracture in compression 〃 Int. J. of Fracture. 1973. V. 10, № 4. P. 525-536.
Goldstein R. И, Osipenko N.M. Some questions on ice and ice cover fracture in compression 〃 In: Ice-structure interaction. IUTAM-IAHR Symp. St. John's, New foundland, Canada, Berlin, Hidelberg: Springer-Verlag, 1991. P. 251-266.
Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука 1974. 640 с.
Чанышев А.И., Ефименко 〃〃 Математические модели блочных сред в задачах геомеханики 〃 ①ТПРШ4. 2003. № 3. С. 73-84.
Brace W.F., Bombolakis E.G. A note of brittle crack growth in compression 〃 J. Geophys. Res. 1963. V. 68, № 12. P. 3709-3713.
Гольдштейн P. В., Ладыгин B.M., Осипенко H.M. Модель разрушения слабопористого материала при сжатии и растяжении 〃 ФТПРПИ. 1974. № 1. С. 3-13.
Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988. 364 с.
Dyskin А. И, Germanovich L.N., Ustinov К. В. Modeling 3D crack growth and interaction in compression 〃 In: Proc. 1st Austral-Asion Congress on Appl. Meeh. (ACAM-96), Melbourne, Inst, of Eng. 1996. V. 1. P. 139-144.
Bazant Z.P., Lin F. B., Lippman H. Fracture energy release and size effect in borehole breakout 〃 Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech. 1993. V. 17. P. 1-14.
К ТЕОРИИ ОБЩИХ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИДЛЯ АНИЗОТРОПНОГО НЕОДНОРОДНОГОСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА
А. В. Горский, П.В. Горский
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, Чебоксары
Определяются соотношения для двумерных задач теории идеальной пластичности при условии полной пластичности. Учитываются свойства анизотропии, неоднородности и сжимаемости материала, определяемые направляющими косинусами главного напряжения, координатами точек пространства и средним напряжением.
В качестве предела текучести берется функция вида k = к(а, пь П2, пз, х, у, z). Соотношения определяются для общей плоской задачи теории идеальной пластичности. Полученные соотношения обобщаются для случаев общей осесимметричной и общей сферической задач теории идеальной пластичности.
Условие полной пластичности имеет вид [1, 4]
6 =。2, оз =。1 ± 2k,(1)
где k = k{a,ni,n2,n3,x,y,z).
Среднее напряжение определяется формулой
о = ；(6 +。2 + %)•(2)
Компоненты 八分—направляющие косинусы главного напряжения 03 с осями координат х, у, z.
Для направляющих косинусов 八分 выполняется соотношение
nf + П2 + п| = 1.(3)
Пользуясь условием (3), предел пластичности можно записать как функцию от шести переменных:
k = k(a,ni,n2,n3,x,y,z) = к(。，八1，八2,力，，2).(4)
Компоненты напряжения ах, ау, тху, ... имеют вид [1-3]
。力=о 干石士 тху = ±2Ы1П2,
@ =0干3士2k八g，rxz = ±2Ы1П3,(5)
。之=о 干石士 2bzз， ryz = ±2Ы2п3,
。=w С 力 + bg + w)・
Уравнения равновесия имеют следующий вид:
Oox丄 dx
дтХу Ng
1 9tXz dz
+ Q =0，
dx
Зед ду
dz
+ ь2 =。，
⑹
9txz 丄
dy
丄daz dz
+ 用=0,
где Fi — компоненты массовой силы.
Предположим, что ах, ау, тху, ... зависят от координат 力,g п не зависят от координаты 2, следовательно:
сг = сг(力，у), 电=电(力,у), г = 1,2,3.(7)
Из соотношений (5) и уравнений равновесия (6), при условиях (7) получим
±±++++22пп一班一班++221 - 2±1 - 2±1 -31 -3++++22++пп++22++пп++++22221 - 31 - 322++++++士 尺2 = °,士 尺2 = °,
±
±
+
+
+
+
2
2
п
п
一班
一班
+
+
2
2
1 - 2
±
1 - 2
±
1 -3
1 -3
+
+
+
+
2
2
+
+
п
п
+
+
2
2
+
+
п
п
+
+
+
+
2
2
2
2
1 - 3
1 - 3
2
2
+
+
+
+
+
+
士 尺2 = °,
士 尺2 = °,
土
oxoy
3 No 十 No 1 丿
Зег 1 介3衣d(j ,
+2^-八1八2^- + охдаоу
+ 2(2k八1
1 dk t dk 2、3几 1 . о
3 дп\ дп\ / ох
\dm/ ду
+ 2（-@灰+灰*）^ + 2（师+孤;…2）用=。，
丄 drxz I dryz I Dда } ^dk da ,
± 飞―+ 戈+歹3 = 2— П1П3— + 2— n2n3— +
ox oy J do ox do oy
+ 2丁 S3к + 2 丁 М3寸 +
\0П\Пз / ОХ \0П\Пз 丿 оу
\ 已几2Пз / OX \已几2Пз / Оу
eДeД+nlaa+aa+ aa 1 -3+nlaa+aa+ aa 1 -32 ±2 ±nl a -a+aa+aa1 - 3nl a -a+aa+aa1 - 3用 +用 +⑼⑼
e
Д
e
Д
+
nlaa
+
aa
+ aa 1 -3
+
nlaa
+
aa
+ aa 1 -3
2 ±
2 ±
nl a -a
+
aa
+aa1 - 3
nl a -a
+
aa
+aa1 - 3
用 +
用 +
⑼
⑼
必=±2"|^ + 野2)+"
Для определения характеристик системы присоединим к (8), (9) соотношения
w
厂 dg = do,
— d 力 + —
ox0
— dy = dnb(10)
— d 力 + —
ox0
^ dg = dn2.
Полученная система дифференциальных уравнений (8)-(10) принадлежит к гиперболическому типу.
да да дп\ drii дп^ 3几2да да дп\ drii дп^ 3几2(П)(П)Систему уравнений (8)-(10) рассмотрим как алгебраическую относительно шести неизвестных переменных:
да да дп\ drii дп^ 3几2
да да дп\ drii дп^ 3几2
(П)
(П)
дх' Ад' дх ' Ад ' дх ' ду
Составим определители △ п △分 системы уравнений (8)-(10), где i = 1,... ...,6. Уравнения характеристик и дифференциальных соотношений вдоль них определяются из условий △ = △〃=().
Уравнения а-, /3-, 7-характеристик находятся из условия Л = 0:
2。2。(12)
2。
2。
где
А =(4кЛ/八 1 + 3^ (-1 + 2*))八2 + 3^ (-1 + 2*)八i,
8 = 9（言一券2 +12"（需用+券"2）碱n 一
-4k2N（N + 2（若 +〉0,
С = k(N + 2nfM) + 3ni (券(—1 + *) + / пщ2) .(13)
Уравнение третьей 7-характеристики имеет вид
(14)
Дифференциальные соотношения вдоль характеристик находятся из условия △5 = 0 либо Лб = 0. Использование условий А分=6, г = 1, ...,4, приводит к вырождению дифференциального соотношения вдоль третьей 7-характеристики.
Дифференциальные соотношения вдоль трех характеристик имеют вид
gggg±do + — • dni + —±do + — • dni + —• d八2 ±!(加h1 +九2h2 +九3h3)• dz = 0,(15)• d八2 ±!(加h1 +九2h2 +九3h3)• dz = 0,(15)гдегдеgg=N -3言"+ k ((N(一硝 + 2*M)(?….(3 ± 4=N -3言"+ k ((N(一硝 + 2*M)(?….(3 ± 4
g
g
g
g
±do + — • dni + —
±do + — • dni + —
• d八2 ±!(加h1 +九2h2 +九3h3)• dz = 0,(15)
• d八2 ±!(加h1 +九2h2 +九3h3)• dz = 0,(15)
где
где
g
g
=N -3言"+ k ((N(一硝 + 2*M)(?….(3 ± 4
=N -3言"+ k ((N(一硝 + 2*M)(?….(3 ± 4
91 = ^券 9 -6"改 N(1 +改工),
92 = -6言 ^ "(工)…+ 弘+ 9*)92 = -6言 ^ "(工)…+ 弘+ 9*)+八1八2++八1八2+dka几2dka几2—(N + 2nl M)—(N + 2nl M)2—Ап\П^М а,。,)2—Ап\П^М а,。,)+ a,。,)+ a,。,)2а,0，72а,0，7+ П2 ( 9 - (TV + 9*)+ П2 ( 9 - (TV + 9*)+ 18п1П2 - 9八3 >,+ 18п1П2 - 9八3 >,-八2（N + 2麻й）+ 八1（N + （15 士
92 = -6言 ^ "(工)…+ 弘+ 9*)
92 = -6言 ^ "(工)…+ 弘+ 9*)
+八1八2+
+八1八2+
dka几2
dka几2
—(N + 2nl M)
—(N + 2nl M)
2
—Ап\П^М а,。,)
2
—Ап\П^М а,。,)
+ a,。,)
+ a,。,)
2
а,0，7
2
а,0，7
+ П2 ( 9 - (TV + 9*)
+ П2 ( 9 - (TV + 9*)
+ 18п1П2 - 9八3 >,
+ 18п1П2 - 9八3 >,
+ 2M9 券改 E((l-*)+ 2M9 券改 E((l-*)
+ 2M9 券改 E((l-*)
+ 2M9 券改 E((l-*)
历一喘嶼+ 3"卜（一2砲（紛^干6||承2 （紛工+
+ (-N±碟力^必++ (-N±碟力^必+(N 干 б|| 區)П1П2(N 干 б|| 區)П1П2
+ (-N±碟力^必+
+ (-N±碟力^必+
(N 干 б|| 區)П1П2
(N 干 б|| 區)П1П2
++后= -*44
+
+
。几1 ° \axj а,(3,у
+ 3k bfl ni(l-ni) +(N + 2n> -(N ± 6f| *)施)(紛;+
+ (-3 ± 2f1(-5 + 6后)…2 凿…
限=叱3券Z小+ n2 (黑)…)+屮2(3干2(1 + 3*)||)(黑)…—
(16)
Здесь M, N определяются из соотношений (13), L = п\ (*)—八2・
При решении конкретной физической задачи в численных расчетах рацио
нальней использовать определитель системы (8)-(10): △5=0 (либо Лб = 0).
При таком подходе уменьшается количество арифметических операций, что ведет к сокращению времени вычислений:
о
II
оо0 若0 若оооо咅 0咅 03 О3 О(⑺(⑺
о
о
0 若
0 若
о
о
о
о
咅 0
咅 0
3 О
3 О
(⑺
(⑺
о о
+
I I co
о оо о++
о о
о о
+
+
При соответствующей замене, аналогично [4], получаются соотношения для общей осесимметричной и общей сферической задач теории идеальной пластичности в случае анизотропного неоднородного сжимаемого материала:
2±2±++k - 2 a万+а -аk - 2 a万+а -аnn^7±^7±++2±2±1 - 31 - 3++nn++++竺C§竺C§nn次万土次万土nn19)19)次万±次万±nn用 +用 +
2±
2±
+
+
k - 2 a万
+
а -а
k - 2 a万
+
а -а
n
n
^7
±
^7
±
+
+
2±
2±
1 - 3
1 - 3
+
+
n
n
+
+
+
+
竺C§
竺C§
n
n
次万
土
次万
土
n
n
19)
19)
次万
±
次万
±
n
n
用 +
用 +
Схема перехода
задача
плоская
осесимметричная
сферическая
система координат
декартова
цилиндрическая
сферическая
координаты
х, д, г
仏％ ё
仇屮，p
индексы
1, 2, 3
1, з, 2
3, 1, 2
дифференциалы
d/, dg
dp, d?
d。，sin。• dg
компоненты 兄
соотношения (9)
соотношения (19)
соотношения (20)
Соотношения Н〃 для общей осесимметричной задачи имеют вид
Соотношения Ri для общей сферической задачи имеют вид
R、= ±2/9R、= ±2/9/ 1 дк/ 1 дк.1 ак 2 I+而^灰八1.1 ак 2 I+而^灰八1дк дёП^дк дёП^± 2к Зтм 八з +± 2к Зтм 八з +h2 =h2 =兄3 = ±2《-；兄3 = ±2《-；++++± 2k八2(3八3 + 2八 1 ctgJ) + 0ь3,(20)± 2k八2(3八3 + 2八 1 ctgJ) + 0ь3,(20)aa1 n-si+aa1 n-si+± 2к [1 - 2(* + *) + П1Пз ctgj] + 0田.± 2к [1 - 2(* + *) + П1Пз ctgj] + 0田.
R、= ±2/9
R、= ±2/9
/ 1 дк
/ 1 дк
.1 ак 2 I
+而^灰八1
.1 ак 2 I
+而^灰八1
дк дёП^
дк дёП^
± 2к Зтм 八з +
± 2к Зтм 八з +
h2 =
h2 =
兄3 = ±2《-；
兄3 = ±2《-；
+
+
+
+
± 2k八2(3八3 + 2八 1 ctgJ) + 0ь3,(20)
± 2k八2(3八3 + 2八 1 ctgJ) + 0ь3,(20)
aa
1 n
-si
+
aa
1 n
-si
+
± 2к [1 - 2(* + *) + П1Пз ctgj] + 0田.
± 2к [1 - 2(* + *) + П1Пз ctgj] + 0田.
При к = к。= const для изотропного однородного несжимаемого материала при соответствующей подстановке соотношения (9), (12)-(16), (18)-(20) переходят в соотношения, приведенные в [1-3].
Для изотропного неоднородного несжимаемого материала при к = k^G^x, у, 2) соотношения (9), (12)-(16), (18)-(20) при соответствующих подстановках переходят в соотношения для общих двумерных задач теории идеальной пластичности [4-6].
В общем случае при к = к(а, пь П2, пз, х, у, ^) (с координатами pOz для общей осесимметричной задачи и 。夕夕—для общей сферической задачи) соотношения (9), (12)-(16), (18)-(20) определяют поле напряжений общих двумерных задач теории идеальной пластичности в случае анизотропного неоднородного сжимаемого материала.
Список литературы
Ивлев Д. Д., Максимова Л. А. О свойствах соотношений общей плоской задачи теории идеальной пластичности 〃 ДАН. 2000. Т. 373, № 1. С. 39-41.
Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001. 704 с.
Ивлев Д. Д. Механика пластических сред. Т. 2. Общие вопросы. Жесткопластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. М.: Физматлит, 2002. 448 с.
Горский А. В., Горский П. В. О расчете напряжений в неоднородном идеально пластическом теле 〃 Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2004. Т. 10, вып. 2. С. 52-69.
Горский П. В. О вдавливании кругового штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство 〃 Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2004. Т. 10, вып. 3. С. 62-75.
Горский А. В. О вдавливании клинообразного штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство 〃 Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2004. Т. 10, вып. 3. С. 62-75.
ТЕРМОУПРУГИЙ ИЗГИБ КРУГОВОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙПЛАСТИНЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
А.Г. Горшков, Д. В. Леоненко, Э.И. Старовойтов, А. В. Яровая
МАИ (технический университет)
Деформирование трехслойных пластин в терморадиационном поле при динамических нагрузках исследовалось в работах [1-4], при статических воздействиях — в [5-7]. Поведение трехслойного стержня на упругом основании изучено в [8]. Здесь рассмотрена поперечно нагруженная упругая круговая трехслойная пластина в температурном поле, покоящаяся на деформируемом основании.
Постановка задачи и ее решение проводятся в цилиндрической системе координат г, ф, z. Для изотропных несущих слоев толщины Дь 九2 приняты гипотезы Кирхгофа. Несжимаемый по толщине заполнитель (Дз = 2с) легкий, т. е. в нем мы можем пренебречь работой касательных напряжений. На границах слоев перемещения непрерывны. На контуре пластины предполагается наличие жесткой диафрагмы, препятствующей относительному сдвигу слоев.
Пусть в начальный момент времени на трехслойную круговую пластину, находящуюся на упругом основании, начинают действовать симметричная вертикальная нагрузка qo(^) и тепловой поток интенсивности 仅，направленный перпендикулярно несущему слою 1 (рис. 1). На границе заданы усилия 穹，用，М^, Q°. Задача определения соответствующего температурного поля рассмотрена в [4, 5], поэтому считаем температуру T{z, t) известной.
Рис. 1
В силу симметрии нагрузки тангенциальные перемещения в слоях отсутствуют: 〃^)= 0 (к — номер слоя), а прогиб пластины, относительный сдвиг в заполнителе и радиальное перемещение координатной плоскости не зависят от координаты ф, т. е. 〃(『)，⑦什)，w(r). В дальнейшем эти функции считаются искомыми. Все перемещения и линейные размеры пластины отнесены к ее радиусу 门，через h^ обозначена относительная толщина k-ro слоя.
ний в слоях Ur через искомые функции:
и^ = и^г сф — ZW,r (с W 2 W С + 九1),
U^ = 〃 + 2⑦一ZW,r (-С < 2 < С),(1)
U^ = U — Сф — ZW,r ( —С —九2 < 2 < —C),
где 2 — координата рассматриваемого волокна (расстояние до срединной плоскости заполнителя), и + сф — величина смещения внешнего несущего слоя за счет деформации заполнителя, и — сф — смещение второго несущего слоя, запятая в нижнем индексе обозначает операцию дифференцирования по следующей за ней координате.
Деформации в слоях следуют из (1) и соотношений Коши: 2е^-= “分切+“力分. Физические уравнения состояния принимаются в виде
s*=2Gk(7；)3* (a =几°)，風=2G3(T3)認，⑵
=3KM")(義)-q0山)(k = 1,2, 3),
где 5次)，з公)—девиаторные и 。(卜)，^(k) _ шарОвые части тензоров напряжений и деформаций; sg? — касательные напряжения в заполнителе; Gk(T^),衣卜(筮)— температурно-зависимые модули упругости материала k-ro слоя; &°卜—коэффициент линейного температурного удлинения; ” — приращение температуры.
Используя соотношения (2), выделим силовую и температурную составляющие в нормальных компонентах тензора напряжений:
= 4? - ^\ а^ =2Gk3^ +3Kk^kl ар} = 3KkaQkTk (k= 1,2,3).
(3) Введем внутренние усилия и моменты в слоях пластины, также выделяя в них силовую и температурную части:
T. = rae-Tt = f Т^-£ T^ = f [ 4?^-Еk = l卜=1k = \ 踪k=\hk
Л/。= Mae —鸣=€Z dz - £ [ a^zdz,
k = l 卜=1k=X hkk = \ 除
Hae= M^+ C (现)-T^ , Ht =m⑶ + C g⑴-叁⑵)•⑷
Уравнения равновесия пластины выводятся из вариационного принципа Лагранжа:
О - ЛУ = 0, 0 = 01 +О2,(5)
27r
SA\ = ]](qo — Qr)Swv dr 眸，84 = ] (Т^Зи + /^闲 + M^6w,r +Q°5w)眸， sо
ЛУ = [ [ [ £ [ (а^б£^ + о£ 厄屮)dz rdrd^p,(6)
где ЗА — вариация суммарной работы внешних нагрузок qo(^) и контурных усилий 穹，用，М^, Q°; 5W — вариация работы внутренних сил упругости (интеграл распространен по всей срединной поверхности заполнителя 6); qR — реакция основания.
Подставив выражения (3) в соотношения (6), (5) и проведя соответствующие преобразования, получим систему уравнений равновесия в усилиях, описывающую термоупругое деформирование круговой трехслойной пластины с легким заполнителем, лежащей на упругом основании (индекс «е» внизу опустим):
Тг,г + - (Тг — Т^) = 0, Нг,г +- (Нг — 8夕)=О,
Mr,rr +- (2Mr,r -М屮,г) = — Qo + 勿？,⑺
а также граничные термосиловые условия (г = 1):
耳=7^ + ", Hr = Н： + 济，Mr = M^ Mt, Mz +； (Mr -心)=Q°. (8)
Отметим, что здесь температура Г(2,方)в явном виде включена только в силовые граничные условия (8). В уравнения (7) она не входит, так как производные от температурных слагаемых по радиусу равны нулю, а в разностных членах соответствующие добавки взаимно сокращаются.
Предполагается, что связь между реакцией основания и прогибом пластины описывается моделью Винклера, согласно которой
qR = ^ow,(9)
где 庆о — коэффициент жесткости упругого основания (коэффициент постели).
После выражения внутренних усилий (4) через искомые перемещения и подстановки их в (7), с учетом (9) получим систему дифференциальных уравнений в перемещениях:
e2(a1" + 做⑦—a3®r ) = 0,e2(a2" + a4^ —a5姒r)=0,
e3(a3" +a5矽—a6姒r)-儿0^ =一如，(10)
e3(9)= ； ("2(g)),r = 9，rrr+ 孑，
e2(9)= (； (rg),r )严三 g,rr - %
где Z/2, Ьз — дифференциальные операторы второго и третьего порядков соответственно.
Коэффициенты ai определяются в (10) интегральными соотношениями, следующими из вывода зависимостей внутренних усилий от искомых перемещений, так как модули упругости материалов в слоях изменяются по толщине вместе с температурой:
33
a1 = £ KkO, a2 = e(k10 一 &0), a3 = £ KkL a4 = k32 + e2(k10 + k20), k=lk=l
з
。5 =衣32 + С(К11 - &1),。6 = £ Кк2,
к = 1
Kkm = I [кк{Тк) + ^Gk(Tk^ zmdz (m = 0,1,2).(11)
Задача отыскания функций 〃(广)，⑦什)，w(r) замыкается присоединением к (10) граничных условий. При жесткой заделке контура пластины
и = ^ = w = w,r = 0.(12)
При шарнирном опирании
и = ф = w = Мг = 0.(13)
С помощью первых двух уравнений системы (10) в третьем из них можно обнулить коэффициенты перед функциями 〃 п ⑦.После двукратного интегрирования система приводится к виду
u = b\w,r +e1广 +e2"，⑦=历^严 +e3 广 + e4"，
,21, 1
w,rrrr +— w,rrr —f w,rr w,r + к w = q,(14)
『rr
q = QqD, D = 创(创°4 抬=^op?
仇 _ 的创一a2a5历 _ ag -a2a3
dl (14 — G-2СЦСЦ — G-2
где G, Q, °з, °4 — константы интегрирования.
В связи с ограниченностью предполагаемого решения в начале координат для сплошных пластин необходимо положить G =以=0. Общее решение третьего уравнения в (14) будет иметь вид
w = С5 Ьег(лт) + Сб bei(w) + С7 ker(w) + Cgkei^Kr) + wo, (15)
где функции Кельвина нулевого порядка 夕冷(лт) = Ьег(лт), bei(^r), кег(лт), kei(^r) образуют фундаментальную систему решений [9]; wo — частное решение.
Частное решение wo уравнения (10) получим, используя ядро Коши K(『，s):
Wo (г) = I К(『，s)q(s)曲，(16)
о
K（r,s）= a（s）0 1m+g（s）0 2m+e3（5）0 3m+a⑶夕心）,
a（s）=
Wl(s)
W(s)'
Q(s)=
恥⑸ W(s)'
,a（s）
_叫⑸
W(s)，
0a)
。3（丁）
。4 m
0
。2m
03（广）夕4（广）
夕K*
= °
依md（丁）
典⑺
，W10
四8夕式广）
d〃m
找〃m
依〃m
d〃m
1
依〃md〃m
。16
0
。3（丁）
。4 m
。1（丁）
。2m
0
。4m
*m=
0
0
夕储 夕式广）
,W3(r)
=
0
0
夕К乃 夕式广）
d〃m
1
依〃m
d〃m
d〃m
找〃m
1
d〃m
0a)
。3m 0
叫（广）=
仪⑺ d’m
喝⑺
依m。
黑т0
諸〃m
找〃m
依〃m1
Частное решение (16) и ядро Коши удовлетворяют условиям [9]
W(0)=屈⑼=Wo (0)=屈“⑼=0,
K(s, s) = K'(s, s) = K"(s, s) = 0, K"'(s, s) = 1,(17)
где штрих вверху обозначает производную по г.
Функция ker х и ее первая производная в нуле не ограничены (ker 0 = оо, ker'O = оо). Так как прогиб и его первая производная в центре пластины должны быть конечными, то в решении (15) для сплошных пластин, учитывая (17), необходимо положить С7 = Cg = 0. В результате для сплошной пластины искомое решение принимает вид
и = b\w,r + С1Г； 屮=Ь2@,т + С3Г, lx; = С5 ber(w) +。6 bei(w) + iz?o(L)・ (18)
Константы интегрирования Ci, С3, С5, Сб определяются из условий закрепления контура рассматриваемой трехслойной пластины, находящейся на упругом основании. При жесткой заделке контура пластины
Ci = С3 = О,Ci = С3 = О,°5 =°5 =血⑴ bei 庆—64Wo(l)64 ber к — Ьз bei 庆 '血⑴ bei 庆—64Wo(l)64 ber к — Ьз bei 庆 'e6 =e6 =血⑴ber k 一出姒）（1）出bei庆一64 ber庆血⑴ber k 一出姒）（1）出bei庆一64 ber庆(19)(19)
Ci = С3 = О,
Ci = С3 = О,
°5 =
°5 =
血⑴ bei 庆—64Wo(l)
64 ber к — Ьз bei 庆 '
血⑴ bei 庆—64Wo(l)
64 ber к — Ьз bei 庆 '
e6 =
e6 =
血⑴ber k 一出姒）（1）出bei庆一64 ber庆
血⑴ber k 一出姒）（1）出bei庆一64 ber庆
(19)
(19)
Если контур пластины шарнирно оперт, то константы интегрирования следуют из (13):
G = —biw,r (1), С3 = -b2w,r (1),
0 = [t^(l) + m] be* + 沃姒)(1)0 =[I^(1) + 八厶]ber 现 + 仍姒)(1)色0)
5^7 bei 庆一台8 ber 庆 ''67 bei к — bg ber 庆 '
ь3 = ^^ [beri 儿 + beii 用， 比 = ^^ [- beri 儿 + beii 用， 乐 = ^- (bei2а-bei 庆)，
% =万(一be[2 片+ ber 庆)，b7 =电一b3)(a3瓦 +。5b2)一a6ь5 一060b3,
b8 =(b6 一b4)(a3瓦 + a5b2)-a6ь6 一a60b4,
姉(1) = (a6 -仰瓦-a5b2)M⑴ + (a60 + 仰瓦 + a5b2)^(1).
Таким образом, общее решение (18) с частным решением (16) и константами интегрирования (19), (20) описывает термоупругие перемещения в круговой трехслойной пластине, лежащей на упругом основании, при заделке или шарнирном опирании ее контура.
Численные исследования проводились для защемленной по контуру пластины, слои которой набраны из материалов Д 16Т-фторопласт-Д 16Т. Геометрические параметры пластины отнесены к ее радиусу 『1, относительные толщины слоев: 九1 =九2 = 0,04,九з = 0,4. Коэффициенты жесткости соответствуют слабым (庆° = =1 МПа/м), средним (庆о = 100 МПа/м) и жестким (庆о = 5000 МПа/м) основаниям.
Для рассматриваемой пластины теплотой, ушедшей на нагревание внешнего металлического слоя, пренебрегаем (в силу малой теплоемкости). Его температура принимается равной температуре заполнителя в месте склейки: Т⑴=Т^\с, t). Вся теплота, воспринимаемая пластиной за время 方，идет на нагревание полимерного заполнителя. Температура второго несущего слоя также принимается равной температуре заполнителя в месте их склейки: Т⑵=Т^\—с, t). Температурное поле в заполнителе определено в [5]. При тепловом потоке qt = 5000 Дж/(м2 • с) температура во внешнем слое достигает значения Ti = 597 К в момент времени 方о = 60 мин, что соответствует достаточному разогреву дюралюминия, но меньше температуры плавления заполнителя-фторопласта. Во втором слое температура постоянна.
Для описания зависимости модулей упругости материалов несущих слоев (металлов) от температуры используется формула, предложенная Беллом [5]:
{G(T), К(Т),矶丁)} = {G(0), К(0), 4。)}夕(Т),
夕(Т) = {夕(Т) = {1,о < тщ < 0,06,
夕(Т) = {
夕(Т) = {
1,03(1—7/(27*)), 。,06 V W 0,57,〈丿
где 7^ — температура плавления материала; G(0), К(0),石(0)——значения модулей при так называемой нулевой температуре. Например, зная G。 при некоторой температуре 7Ь, получим G(0) = G。/夕(%). При более высоких гомологических температурах, Т]Т* > 0,57, возможно малое отклонение поведения материала от линейного закона (21).
Зависимость параметров упругости полимерных материалов (заполнителя) от температуры принимается в виде
{G(T), К(Т)} = {Go, Ко}/夕i(T),夕i(T) = (1 + B(AT/T，PsgnAT),
AT = Г-To,
где To — начальная температура; Go, Ко — значения параметров при температуре То- Все термомеханические характеристики используемых материалов приведены в [5].
На рис. 2, а-с показано изменение прогиба вдоль радиуса рассматриваемой пластины с коэффициентами постели, соответствующими слабой, средней и высокой жесткости основания соответственно: 7 — изотермический изгиб, 2 — термоупругое нагружение в момент времени 方° = 60 мин. Если основание малой жесткости, то температура вызывает увеличение прогиба на 18 %. При основании средней жесткости воздействие температуры сказывается в несколько меньшей степени, здесь прогиб увеличивается на 11 %. На основаниях высокой жесткости прогиб перестает быть максимальным в центре пластины, изменяется его форма. Влияние температуры на перемещения в пластине еще более ослабевает.
Радиальные напряжения на внешних плоскостях слоя 1 показаны на рис. 3: 1,2 — изотермические на плоскостях ^ = с и z = с + h\\ 3, 4 — термоупругие
ввРис. 2Рис. 2
в
в
Рис. 2
Рис. 2
при 方о = 60 мин на тех же плоскостях. Здесь за счет температуры напряжения существенно смещены в отрицательную область.
Радиальные напряжения на внешних плоскостях несущего слоя 2 показаны на рис. 4: 1,2 — изотермические на плоскостях 2 = —с —九2 и 2 = —с; 3, 4 — термоупругие в момент времени 方° на тех же плоскостях соответственно. Влияние температуры здесь выражается в увеличении напряжений на плоскости склейки с заполнителем в заделке на 30%. В центре пластины они практически остались прежними. Максимум сохраняется на контуре. В окрестности г = 0.7 напряжения меняют знак.
Радиальные напряжения на граничных плоскостях заполнителя показаны на рис. 5: 7, 2 — изотермические на плоскостях z = —с и z = с; 3, 4 — термоупругие в момент времени 方° на тех же плоскостях. Существенно изменяются напряжения на границе с первым слоем, где происходит нагревание заполнителя. Здесь они полностью сдвигаются в отрицательную зону. В склейке со вторым слоем температурные изменения напряжений малы.
Приведенное в работе общее решение (11), (12) можно использовать для исследования любого случая изгиба симметричной термосиловой нагрузкой трехслойной круговой пластины с легким заполнителем на упругом основании при наличии отверстия или без него.
Список литературы
Горшков А. Г., Старовойтов З.И., Яровая А. В. Гармонические колебания трехслойной цилиндрической вязкоупругопластической оболочки 〃 Прикл. механика. 2001. Т. 37, №9. С. 100-107.
Старовойтов 3.〃.，Леоненко Д. В., Яровая А. В. Импульсные локальные нагружения круговых трехслойных пластин 〃 Прикл. механика. 2003. Т. 39, № 8. С. 86-94.
Старовойтов 3.〃.， Леоненко Д. В., Яровая А. В. Колебания круговых трехслойных пластин под действием резонансных нагрузок 〃 Прикл. механика. 2003. Т. 39, № 12. С. 114-120.
Старовойтов Э. И., Яровая А.В., Леоненко Д. В. Локальные и импульсные нагружения трехслойных элементов конструкций. Гомель: Изд-во БелГУТ, 2003. 367 с.
Старовойтов Э. И. Вязкоупругопластичесие пластины и оболочки. Гомель.: Изд-во БелГУТ, 2002. 343 с.
Яровая А. В. Циклические нагружения слоистых вязкоупругопластических тел в терморадиационном поле 〃 Изв. РАН. МТТ. 2004. № 3. С. 116-124.
Горшков A.F., Старовойтов З.И., Тарлаковский Д.В. Теория упругости и пластичности. М.: Физматлит, 2002. 416 с.
Яровая А. В., Старовойтов С. А. Трехслойный стрежень на упругом основании 〃 Материалы, технологии, инструменты. 2003. № 2. С. 9-11.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.
ИЗНАШИВАНИЕ УПРУГИХ ТЕЛ В УСЛОВИЯХНЕПОЛНОГО ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ
И. Г. Горячева
Институт проблем механики РАН
Предложен метод исследования эволюции напряженного состояния и формы поверхностей при изнашивании в условиях действия осциллирующей тангенциальной силы и неполного проскальзывания поверхностей в области контактного взаимодействия. Метод базируется на введении двух масштабов времени: времени одного цикла изменения тангенциальной силы и времени, которое соответствует заданному числу циклов. Для оценки формоизменения поверхности при изнашивании используется закон Арчарда. На базе предложенного подхода проведен анализ кинетики изменения напряженного состояния в контакте параболического индентора с упругим полупространством.
Частичное проскальзывание возникает в условиях вибраций малой амплитуды и характеризуется наличием зон сцепления и проскальзывания в области контактного взаимодействия. Такой режим трения реализуется в случае, если тангенциальная сила Q, приложенная к взаимодействующим телам, по модулю не превышает предельной силы трения, т. е. |Q| < 从Р, где 从—коэффициент трения, Р — нормальная нагрузка.
Если Q осциллирует, повторяющееся проскальзывание имеет место в зонах скольжения, следствием чего является износ взаимодействующих поверхностей (явление фреттинга). Формоизменение поверхности в результате ее изнашивания приводит к перераспределению контактных напряжений, что, в свою очередь, влияет на скорость ее износа. Численный анализ эволюции контактных давлений в сопряжении цилиндрического штампа и упругой полуплоскости при фреттинге проведен Яхансоном [1]. Результаты свидетельствуют о значительном отличии контактных давлений от начальной эпюры Герца после некоторого числа циклов изменения тангенциальной нагрузки.
В настоящей работе предлагается аналитический метод исследования эволюции напряжений при фреттинге. При построении решения используются подходы, изложенные в [2, 3].
Постановка задачи. Рассматривается контакт двух упругих тел, форма поверхности которых в недеформированном состоянии описывается четными функциями 2 =力(力)и ^ =—力(力)в системе координат xOz (рис. 1).
Тела находятся под действием нормальной нагрузки Р и осциллирующей тангенциальной силы Q&), удовлетворяющей условию
-Q* ⑴ WQ*, |Q*Y 从Р,
которое обеспечивает существование зон сцепления и проскальзывания в области контактного взаимодействия. При рассматриваемом виде нагружения и геометрии взаимодействующих тел область контакта (—a«),a«)) состоит из центральной зоны сцепления (—с(方)，с(方))，окруженной двумя зонами проскальзывания [3]. В зонах проскальзывания имеет место изнашивание поверхностей. Предполагается,
Рис. 1. Схема контакта двух упругих тел, находящихся под действием осциллирующей нагрузкиРис. 1. Схема контакта двух упругих тел, находящихся под действием осциллирующей нагрузки
Рис. 1. Схема контакта двух упругих тел, находящихся под действием осциллирующей нагрузки
Рис. 1. Схема контакта двух упругих тел, находящихся под действием осциллирующей нагрузки
что линейная скорость износа 9^(力，方)/9方 связана с контактным давлением 夕(力，方) и скоростью проскальзывания (厶^ 力))соотношением
(1.1)
где Kw — коэффициент износа, s(力，方)—проскальзывание в точке х, \х\ е е (c(U，a(U), которое определяется соотношением: s(力，方)=их\(х, t)— 〃力2(力，方)— —»力(方).Здесь 〃力i(力，方)и 〃力2(力，方)—тангенциальные перемещения поверхностей в точке х в момент времени 方，5x(t) — относительное смещение контактирующих тел в тангенциальном направлении под действием тангенциальной силы Q&).
Формоизменение поверхности при изнашивании приводит к перераспределению контактных напряжений. Заметим, что в течение одного цикла изменения тангенциальной силы значительно меняются тангенциальные напряжения, относительное проскальзывание поверхностей и размер зоны сцепления; в то же время контактные давления и размер области контакта меняются незначительно. Существенные изменения последних величин связаны с увеличением числа циклов осцилляции тангенциальной силы. Поэтому анализ контактных характеристик в работе проводится на двух масштабных уровнях, связанных со временем одного цикла и с количеством циклов осцилляции тангенциальной силы.
Износ в течение одного цикла. Рассмотрим TV-й цикл нагружения, характеризуемый давлением 夕(力，N) и размером области контакта a(N). При изменении тангенциальной силы в течение цикла меняются размер зоны сцепления c(t), касательные контактные напряжения qN(x, c(t)), величина проскальзывания sn(x, c(t)). В случае одинаковых упругих характеристик взаимодействующих тел функция sn(力，с(方))для c(t) W 力 W a(N△方)определяется соотношением [4]
sn(力,c⑴)=-^^CnE C⑴)In I。；)： I 代(2.1)
где E* — приведенный модуль упругости, Е* = —~% {Е и v — модуль упру-
2(1 —沙)
гости и коэффициент Пуассона материалов взаимодействующих тел). Поскольку sn(x, c(t)) является функцией х и с, из (1) следует
也了=(力,方)I *^ •庄 I.(2.2)
Обозначим через Aw(k, N) приращение износа за TV-й цикл нагружения. Интегрируя (3) по промежутку времени △方，соответствующему N-му циклу, и используя теорему о среднем, получим (|力| > с*):
N△力e*
Aw(x, N) = Kw夕(力,方)11| I dt 2Kwp(x, N) 々：c) dc =
=2К/(力,N)尿(力,c*)| ~ Kw M(z,N — 1)|sn—i(力,c*)| + p(x, N)\sn(x,c^\],
(2.3)
где c* — минимальный размер зоны сцепления, имеющий место при Q&)= =Q*,帀(х, N) и Wn(力，с*) — функции распределения давления и проскальзывания в некоторый промежуточный момент времени на TV-м цикле. При выводе (4) было использовано условие sn(力，力)=0, а также предположение, что функция \sn(x, с)| одинакова в первой и во второй частях цикла (при росте и убывании силы Q(方)).
Таким образом, для того чтобы рассчитать приращение износа Aw(x, N) за TV-й цикл нагружения, необходимо определить относительное проскальзывание sn (力，с*)・ Из (2) следует, что в случае одинаковых материалов контактирующих тел функция sn(x, с*) определяется выражением (|力| > с*)
sn(/,e*)=一击 ]q忒w,e*)財芸|成， (2.4)
где функция «n(力，с*) задается соотношением [4]
о(力'N) - q*(力,N),\х\ < с*,
а функция q* (力，N) есть решение интегрального уравнения
[吗'N), 岡 <(2.6)
J ж - 42 ox
— с*
Здесь функция Д(х, N) — зазор между поверхностями в недеформированном состоянии на TV-м цикле.
Для определения размера зоны сцепления с* к уравнению (6) следует добавить интегральное соотношение
с*
I q* (力,N)dz = 〃P-Q*,(2.7)
— с*
являющееся следствием уравнения равновесия, и условие непрерывности касательных напряжений в точке перехода зоны сцепления в зону проскальзывания:
q*(c*,N) =0.(2.8)
Заметим, что минимальная величина зоны сцепления с* а также функция q*(x, N) не меняются от цикла к циклу, т. е. q*(x, N) = q* (力，0) = q*(z). Справедливость этого утверждения следует из единственности решения системы уравне-
ний (2.6)-(2.8), а также из того обстоятельства, что вследствие отсутствия износа в зоне сцепления величина зазора в ней не меняется, т. е.九(力，N) = Д(х, 0)=
=/(/)=力(力)+/2(力)，岡＜ e*.
Решение системы уравнений (2.6)-(2.8) имеет вид [5]
27r, *，C*2 — t2 (t — x)27r, *，C*2 — t2 (t — x)|力| W C*,|力| W C*,(2.9)(2.9)
27r, *，C*2 — t2 (t — x)
27r, *，C*2 — t2 (t — x)
|力| W C*,
|力| W C*,
(2.9)
(2.9)
где размер зоны сцепления находится из условия
(2.Ю)(2.Ю)
(2.Ю)
(2.Ю)
Расчет контактных характеристик после 7V циклов. Будем полагать, что все частицы износа, отделившиеся от поверхности, покидают зону контакта. Поэтому форма зазора между поверхностями, образующегося в результате изнашивания поверхностей в зонах проскальзывания после N циклов изменения силы Q&), определяется соотношением
h(x,N)=力(力)+ 为(力)+ 工 Aw(x,n).(3.1)
n=l
Для определения контактных давлений воспользуемся соотношением между упругими перемещениями границы uz(x, N) полуплоскости в направлении оси Oz и действующими на нее нормальными давлениями 夕(力，N) [2]:
2 a(N)
=] ^\x-^,N)d^C,(3.2)
где С — неизвестная постоянная, а также условием контакта на TV-м цикле:
也 1(力,N) + 以2(力,N) = O(N)-从力,N).(3.3)
Здесь uz\(x, N) и 〃之2(力，N) — перемещения по нормали поверхностей контактирующих тел вследствие их деформации, O(N) — сближение контактирующих тел. Из (3.2) и (3.3) следует интегральное уравнение для определения контактных давлений 夕(力，N) на N-м цикле:
差 1П| 空了 卜負 N)成=M“N), N)-从力,N),(3.4)
где зазор 九(力，N) определен в (3.1).
Неизвестный размер площадки контакта a(N) находится из уравнения равновесия I 夕(力，N) dx = Р и условия непрерывности давлений на границе области контакта:夕(a(N),N) = 0, справедливого в случае гладких функций /1(х) и %(力)・
Поскольку, как следует из (3.1), h(x, N) = G(z,N — 1) + △刨力,N), где функция Aw(x, TV) определена в (2.3), уравнение (3.4) может быть преобразовано к следующему виду:
糸ln| "?}卜(S' N) d£ + Kw\s(x, N)|夕(力,N)=
= M“N),N— D — h(x,N— 1)—K^|s(力,N— 1)|夕(力,N— 1),|力| <a(N). (3.5)
Таким образом, при решении уравнения (3.5) используются значения контактных давлений, зазора и функции проскальзывания, определенные на (N — 1)-м цикле.
Метод расчета и анализ результатов. В качестве примера исследована эволюция контактных характеристик и внутренних напряжений при взаимодействии параболического индентора (力(力)=力2/(2兄)，R — радиус кривизны индентора) с упругим полупространством. Из анализа полученных уравнений следует, что
решение задачи зависит от трех безразмерных параметров: Kw = Kw, Р =
Для расчета эволюции контактных характеристик при изнашивании использовалась пошаговая процедура. Вследствие симметрии исследуемых функций (контактных давлений и тангенциальных напряжений) система, состоящая из уравнения (3.5), условия непрерывности давлений и уравнения равновесия, была преобразована к следующему безразмерному виду:
In。工 J\s{x,N)\p{x,N)=
о
= ^(G(N,N— 1)—方份,N— \)-Kw\s(x,N - 1)|双于,N— 1), 岡 <G(N), (4.1)
2 I p(x, TV) dx = P, /伍(N),N)=0.
о
Здесь p(x, N) = 2p(xR, N)/(tvE*), а все величины, имеющие размерность длины 伍，豆，无，可，отнесены к радиусу цилиндра R. На каждом шаге полуширина площадки контакта делилась на N отрезков (не обязательно равной длины), а функция /(于，N) на каждом отрезке аппроксимировалась линейной функцией. После подстановки этой функции в (4.1) и интегрирования в аналитическом виде система (4.1) сводилась к системе линейных уравнений, которая решалась методом Гаусса.
На рис. 2 приведены эпюры контактных давлений для различного числа циклов N при Kw = 0.0495, Р = 0.631 • I。-？ q = 0.789 • 10-6 (левая половина рисунка) и Q = 0.310 • 10-5 (правая половина рисунка). Для выбранных значений параметров отношение Q*/〃Р равнялось 0.875 и 0.509 соответственно. Результаты показывают, что функция давлений претерпевает существенные изменения при фреттинге. Значения давлений возрастают внутри зоны сцепления и убывают
x/R
Рис. 2. Эволюция давлений в контакте цилиндрического индентора и упругого полупространства при изнашивании в условиях частичного проскальзывания
в зонах проскальзывания. При возрастании числа циклов давление на границе зон проскальзывания и сцепления （力=±с*） растет. Асимптотический анализ полученной системы уравнений показывает, что давление в точках х = ±с* стремится к бесконечности при N — оо[7].
Рис. 3. Изменение размеров площадки контакта a（^） при изнашивании
Рис. 3 иллюстрирует эволюцию полуширины области контакта при фреттинге, т. е. зависимость G（N） для различных значений коэффициента износа Kw и параметра Q, характеризующего амплитудные значения тангенциальной силы, приложенной к индентору. Размер области контакта возрастает и стремится к некоторому постоянному значению, которое рассчитывается аналитически. Увеличение значения коэффициента износа Kw сокращает время приработки. Размер площадки контакта в процессе изнашивания и его асимптотическое значение тем меньше, чем меньше величина Q.
Решение системы уравнений, полученной выше, позволяет также рассчитать эволюцию зазора между поверхностями, а также напряженного состояния в подпо-
верхностных слоях материала, что является существенным для анализа характера разрушения поверхностей при фреттинге.
Список литературы
Johansson L. Numerical simulation of contact pressure evolution in Fretting 〃 Journal of Tribology. 1994. V. 116. P. 247-254.
Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980.
Горячева И. Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001.
Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989.
Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.
Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. 236 с.
Goryacheva /. G., Rajeev Р. Г, Farris T.N. Wear in partial slip contact 〃 Trans, of ASME. J. Tribology. 2001. V. 123, №4. P. 848-856.
МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ПРИЛОЖЕНИИ К НЕКОТОРЫМЗАДАЧАМ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
МД. Греков
Санкт-Петербургский государственный университет
Дается краткий обзор работ по применению метода возмущений к задачам о криволинейных трещинах и границах раздела двух сред. Предложен единый подход к решению подобного рода задач методом возмущений в случае плоской деформации и плоского напряженного состояния. Реализация этого подхода продемонстрирована на примере слабо искривленной границы раздела двух сред и межслойной трещины. Построен алгоритм нахождения любого приближения. Приводятся результаты расчетов концентрации напряжений у криволинейной границы раздела в первом приближении.
Введение. Существует целый ряд весьма важных проблем механики сплошных сред, решение которых можно построить при помощи метода возмущений. Во многих случаях этот метод связан с возмущением границы сплошной среды, для которой соответствующая краевая задача имеет простое решение или может быть достаточно просто решена в замкнутом виде.
В задачах теории упругости при использовании метода возмущений границы, как правило, привлекаются интегральные представления и интегральные уравнения. Таким путем были исследованы полуограниченные трещины с фронтом, близким к прямой линии [1, 2], а также трещины, близкие к круговым [3-7]. В этих трехмерных задачах поверхность данной трещины, или возмущенная поверхность, и базовая поверхность расположены в одной плоскости. Примером возмущенной поверхности, не совпадающей с базовой плоской, является «сморщенная» поверхность трещины, возмущенная из плоской круговой [8], и поверхность слабо искривленной трещины при плоской деформации [9]. Метод возмущений в работах [8, 9] основан на использовании фундаментального решения Кельвина [10] и соответствующих гиперсингулярных интегральных уравнений. Метод возмущений в сочетании с сингулярными интегральными уравнениями был применен к анализу криволинейных трещин, близких к прямолинейной, в работах [11, 12] и к трещине в виде дуги окружности в [12].
Кроме задач о трещинах, метод возмущений применялся также к задачам о деформации упругого тела, имеющего волнистую внешнюю границу или границу раздела его разнородных частей. Так, Гао [13] исследовал концентрацию напряжений у волнистой поверхности в двумерном и трехмерном случаях, используя функции Грина и решения соответствующих задач [14, 15].
Вместе с тем необходимо отметить, что для решения плоской задачи теории упругости разработан весьма мощный метод комплексных потенциалов Колосова [16, 17], который во многих случаях позволяет применять метод возмущений границы, не привлекая для этого интегральные представления и интегральные уравнения. Методом возмущений, основанным на использовании потенциалов Колосова и соотношений Мусхелишвили [17], были построены решения задач о криволинейной трещине [18, 19]. При помощи комплексных представлений
Мусхелишвили и метода возмущений были также решены двумерные задачи о включении, близком к круговому, а также о двухкомпонентном композите с границей раздела, слабо отклоняющейся от плоскости [20].
Основной недостаток работ, связанных с применением метода возмущений, заключается в том, что в них ищется только первое приближение. Кроме того, все решения в этих работах найдены различными способами даже в случае плоской задачи. В то же время исходя из комплексных представлений Колосова-Мусхели- швили в случае плоской задачи теории упругости можно предложить единый путь построения решения методом возмущений. Этот путь позволяет указать алгоритм нахождения любого приближения для широкого круга краевых задач. Некоторые из таких задач рассмотрены в работах [21-28].
Ниже автор преследовал цель показать возможности единого подхода в построении решений методом возмущений на примере задач о слабо искривленной границе раздела двух сред и межслойной трещине, в которых невозмущенная поверхность представляет собой плоскость.
Постановка задач. Рассмотрим упругое двухкомпонентное тело, находящееся в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния. За исключением достаточно малого слабо искривленного участка, межфазная поверхность данного композита является плоской. Таким образом, имеем двумерную задачу теории упругости для двухкомпонентной плоскости комплексного переменного 2 =力1 + 分力2, составленной из двух полуограниченных областей: Q^ = = {2: Re (2 —s)=0, (― 1产 Im(2 — q)〉0} (k = 1, 2). Граница раздела Г такого композита состоит из прямолинейного участка идеального контакта Г5 = = {2:2 三 s = /i, |xiI > 1} и криволинейного участка Гс. Считаем, что на Гс либо сохраняется идеальный контакт, либо произошло расслоение, и тогда Гс представляет собой межфазную трещину (рис. 1). Границу Г рассматриваем как малое возмущение вещественной оси 力1, которую будем называть невозмущенной или базовой границей.
Рис. 1Рис. 1
Рис. 1
Рис. 1
Граница Г определяется уравнением
⑴⑴《=3 + 5g(g),
⑴
⑴
где
g(g) = £g(g), g(g)=[俨"⑵
Слабое искривление границы Г означает, что выполняются следующие условия:
£〉0, £«1, 1/(力 1)|</,l/^Xi)! < М (М = const).(3)
Малый параметр £ равен отношению амплитуды отклонения кривой Г от прямолинейной формы к полудлине отрезка [—1,1] невозмущенной границы. Функция /(力1) задает форму криволинейного участка Гс и является непрерывно дифференцируемой.
Условия идеального сцепления записываются в виде
и~ = 〃+,= а+.(4)
Если Гс — трещина, то будем считать, что на ней действуют самоуравновешен- ные усилия 夕(s), т. е.
=夕©, 2 6 Гс.(5)
В равенствах (4), (5) используются следующие обозначения:
〃士 = lim “(2), о士 = lim 0(2),〃 = 〃i + 沁 2, о = ann + iant,
2 — C士 分02 — C±〃0
где 〃i, 〃2 — компоненты вектора перемещений соответственно вдоль осей 力鹿 力2； crnn, ant — нормальное и касательное усилия на площадке с нормалью п, орты п и t образуют правую систему координат (в (4) и (5) направление вектора t совпадает с направлением касательной к Г).
На бесконечности заданы напряжения о叮 и угол поворота материальной частицы ”
lim о打・(2)=lim 以⑶=, z 6 Q^.(6)
Основные соотношения. Согласно [17] и [29] напряжения и перемещения в каждой области Q^ выражаются через две голоморфные в соответствующей области функции 埶⑶，屮卜⑶ при помощи равенств
G（2）=%埶⑶+埶⑶+G（2）=%埶⑶+埶⑶+2 G Qk,2 G Qk,⑺⑺
G（2）=%埶⑶+埶⑶+
G（2）=%埶⑶+埶⑶+
2 G Qk,
2 G Qk,
⑺
⑺
⑻⑻卜⑶，%=1,
⑻
⑻
где а — угол между направлением площадки (вектором t) и осью 力1, отсчитываемый против часовой стрелки; ^ = (3 — ^)/(1 + ^) при плоском напряженном состоянии,庆卜=(3 — 4^) при плоской деформации, 从卜—соответственно коэффициент Пуассона и модуль сдвига среды Сд；.
Соотношения (7), (8) являются основой для использования единого подхода к решению методом возмущений многих двумерных задач теории упругости. Такой подход был применен при решении ряда задач в работах [21-28].
Метод возмущений. Введем новые функции ①卜(2) (k = 1,2), голоморфные в областях Ck = {2：2еСк}, с общей границей Г = Гс UГ5, Гс = ={z: z = ^, \Х{\ < /}:
埶⑶=-埶⑶-2裁⑶-纵⑶,2 6 ^к.
Тогда соотношение (7) преобразуется к виду
G(2)=以①m2)+ ①к(2)-(①k0) + ①k(2)-(2 -可①n2))「2必，2 6 Qfe. (9)
В силу условий непрерывности (4) и соотношения (9), функции ①卜(2), определенные в Ск, являются непрерывным продолжением одноименных функций из Ск через прямолинейные участки границы Г5. Вывод равенства (9) является первым шагом на пути построения решения методом возмущений. В отличие от (7) равенство (9) является приближенным, так как в области Q^ П Q^ функция ①卜 переопределена, а в области С \ {Q^UQ^UFUF} не определена. Здесь С — множество точек всей плоскости. Оно является точным, если Г совпадает с вещественной осью, т. е. если £ = 0 или /(力1) = 0.
Полагая в (9) |^| — оо при а = 0 и а = тг/2, с учетом (4) и (6) приходим к следующим зависимостям:
从2(发同+ "彳)=从1(左2播+限，^22° - ^12° = ^22° -分才广
a1 一a?=^22° -汨？°，a之一<4 = ^22° -沁学，(10)
磋=卜。衿 + 礎°)+z 舌k=l,2,
где 碗 = lim 埶⑶ при 2 e Qj {k,j = 1,2).
Перейдем к пределу в (9) при 2 —《G Г, считая, что а — а。， где а° —— угол между положительным направлением касательной к Г в точке《и осью х\. Используем очевидное соотношение
—2 必о = 1 _2 辽d(/i)
Тогда краевые условия (4), (5) приводят к следующим соотношениям, которым должны удовлетворять предельные значения функций ①卜 на Г U Г:
(6© + ①2©)+ —(① 1© + ①2©厂—2辽g(力 1)(①「© -①;+©)-
—2辽9(力1) (") — %+©)] =0, ser, (11)
и, если Гс — участок идеального сцепления, то
(从2①1信)-从з①2©)+ + (从2向①1© -从1①2©厂—
-2反g(g) (从2①「© 一从1%+©)-2反g(g) (从2①「© 一从1%+©)2 辽 g'(/i)1 + 辽 g'(/i)2 辽 g'(/i)1 + 辽 g'(/i)[(从2① 1(G)-从 1 ①2©) +[(从2① 1(G)-从 1 ①2©) +
-2反g(g) (从2①「© 一从1%+©)
-2反g(g) (从2①「© 一从1%+©)
2 辽 g'(/i)
1 + 辽 g'(/i)
2 辽 g'(/i)
1 + 辽 g'(/i)
[(从2① 1(G)-从 1 ①2©) +
[(从2① 1(G)-从 1 ①2©) +
+ [-lex] (从2① 1© -从 1 ①2©) - 2反9(力1) (从2①「© -从 1%+©)] = 0, q e г,
(12)
если Гс — межфазная трещина, то
(從①1© -从1儿2①2©)+ + (从2旬①i© -从1①2©厂=0, S G rs, (13)
①[⑹-①义C+2反"力1)①「© +
+ ]：?；；])(①j©+ 力—2辽/(д)¥П^)=夕©， sePc， (И) где Ф^(0 =哄，①⑶,《erUf.
Равенство (11) вытекает из условий непрерывности усилий, равенства (12), (13) — из условий непрерывности перемещений, а (14) — из условия на трещине (5).
Представим функции ①卜(2) в виде разложений по степеням малого параметра £：
IОО П
埶(2)= £ ^j■埶冷⑶，k=l,2,(15)
n=0'
а граничные значения коэффициентов разложения ①卜冷(2)на Гс и Гс и функцию р© — в виде соответствующих рядов Маклорена в окрестности 力2 = 0, рассматривая переменную х\ как параметр:
峠© =玄系嘴f)，P© =玄導；*)(g)•(16)
m=0m=0
Подставим эти разложения в (11)-(14) и воспользуемся очевидным равенством
11 +分"11 +分"=t (-»r，m=0=t (-»r，m=01^1 < 1.1^1 < 1.
1
1 +分"
1
1 +分"
=t (-»r，m=0
=t (-»r，m=0
1^1 < 1.
1^1 < 1.
Приравняв коэффициенты при £几(n = 0, 1,...) в полученных соотношениях нулю, приходим к следующим краевым условиям в n-м приближении:
(Ф1п(^1) + ①2冷(力 1))+ - (Ф1п(^1) + ①2冷(力 1))— = Hing),力 1 G (-X, +OO), (17)
и, если Гс — часть межфазной границы [25], то
(从2①1九(/1)-从1儿2①2冷(/1))+ + (从2々①1九(/1)-从1①2八(/1)厂=h2九(/1),
力 1 6 ( — 00, +оо),
если Гс — межфазная трещина, то
(從①1九(/1)-从1儿2①2тг(/1))+ + (从2旬①1九(/1)-从1①2八(/1))- = 0,1力1| > I, (19)
① ^(3)-① in(3)= 83几(/1),1/11V/.(20)
Для каждого приближения функции Н\п,印冷,^Зп выражены через комплексные потенциалы всех предыдущих приближений следующим образом:
Hi冷(力 1) = Нп(力 J при mk =T]k = 1,
Я2п(^1) = ЯП(Х1) при mk =卩储 仇=—庆，(21)
% (/1) = % (/1) при m1=0, m2 =%=1 (k=l,2), где
Но(力 i) = О,
Нп[((-1)гт2Ф^(Ж1)+ m⑺2①^(g))+ -
-(m25①累(力1) + (-1г加1①^(力1)厂-
-2(-1)-% ("需⑵)-g项2/1川-2(-1)ТT X
X £ ??):(硏力1)У(m2①忆)(g) - g(2L27+1 词7(g))+ ++ (加2(2广—27 + 1)①;7(g)—加岡3(g)) } (r = n - m, n = 1,2,
(22)
Как видно из (17)-(20), краевые задачи для всех приближений однотипны. Соответствующие условия отличаются только правыми частями. Это дает возможность указать алгоритм нахождения комплексных потенциалов для любого приближения.
В случае сплошной межфазной границы решаем задачу (17), (18). Согласно [29] решение этой задачи имеет вид
гдегде从1左2厶九(2)+"九(2)从1左2厶九(2)+"九(2)①1几(2)= <①1几(2)= <М2 + Ml ^24山九(2)—八九(2)М2 + Ml ^24山九(2)—八九(2)Ml +从2现1Ml +从2现1+响，+响，+。卜，+。卜，Im2〉0,Im^ < 0,Im2〉0,Im^ < 0,① 2tz(2)=—① 1t2(2)+ /in (^) + Cn,① 2tz(2)=—① 1t2(2)+ /in (^) + Cn,+ oo+oo厶几(2)= ； [必，A九27r2 J t — Z27r2 J t — Z+ oo+oo厶几(2)= ； [必，A九27r2 J t — Z27r2 J t — Z(23)(24)(25)(23)(24)(25)
где
где
从1左2厶九(2)+"九(2)
从1左2厶九(2)+"九(2)
①1几(2)= <
①1几(2)= <
М2 + Ml ^2
4山九(2)—八九(2)
М2 + Ml ^2
4山九(2)—八九(2)
Ml +从2现1
Ml +从2现1
+响，
+响，
+。卜，
+。卜，
Im2〉0,
Im^ < 0,
Im2〉0,
Im^ < 0,
① 2tz(2)=—① 1t2(2)+ /in (^) + Cn,
① 2tz(2)=—① 1t2(2)+ /in (^) + Cn,
+ oo+oo
厶几(2)= ； [必，A九
27r2 J t — Z27r2 J t — Z
+ oo+oo
厶几(2)= ； [必，A九
27r2 J t — Z27r2 J t — Z
(23)
(24)
(25)
(23)
(24)
(25)
a，。= a，；。0 = a 彳 + a^；a，。= a，；。0 = a 彳 + a^；a{n = Cn = 0;八=1,2,(—iy im2〉0.
a，。= a，；。0 = a 彳 + a^；
a，。= a，；。0 = a 彳 + a^；
Комплексные потенциалы для задачи о межфазной трещине найдем из условий (17), (19) и (20). Прежде всего заметим, что в этом случае также имеет место равенство (24). С учетом этого равенства уравнение (19) принимает вид
①^п(з) +/^^(3)= мп(х^ +。冷，|力1|〉I,(26)
гдегде_ 41(庆 2 + 1)_ 41(庆 2 + 1)М2 + Ml ^2М2 + Ml ^2
где
где
_ 41(庆 2 + 1)
_ 41(庆 2 + 1)
М2 + Ml ^2
М2 + Ml ^2
Таким образом, приходим к задаче (20), (26), решение которой на основании [17] и [29] запишем в следующем виде:
=[丫几⑶+ Л/п(2)+ 此，Imz > 0,
гдегде[_y,(2)//3 + 点， Im^<0,1 丿
где
где
丫几⑶=厂J ["厂⑴必,(28)
27rzy ⑶ J t — z
-I
Ьп(^1) = -M+(xi) + H3n(x^ + a\n - afn, Л^(д) = lim ⑵,
ZTg + 分 0
”2)=”2)=y(U = y+(U =y(U = y+(U =,I" v /•,I" v /•
”2)=
”2)=
y(U = y+(U =
y(U = y+(U =
,I" v /•
,I" v /•
Рис. 2Рис. 2В этом случае первое равенство в (10) сводится к следующему:В этом случае первое равенство в (10) сводится к следующему:Mi (^2 + 1)灯=从2(向+ 1向『.Mi (^2 + 1)灯=从2(向+ 1向『.(30)(30)
Рис. 2
Рис. 2
В этом случае первое равенство в (10) сводится к следующему:
В этом случае первое равенство в (10) сводится к следующему:
Mi (^2 + 1)灯=从2(向+ 1向『.
Mi (^2 + 1)灯=从2(向+ 1向『.
(30)
(30)
При выводе решения (27) использовалось свойство голоморфности функций 厶冷(？) вне отрезка вещественной оси [-1, I], вытекающее из равенства Hi冷(力卩= =0 при |力/ > I. Ветви многозначных функций в (28) определяются равенствами д/Т = 1, I7 = 1, где 7 — любое комплексное число.
Таким образом, соотношения (23)-(25) дают возможность определить любое n-е приближение в задаче о сплошной межфазной границе, а (24), (27) и (28)— в задаче о межфазной трещине. Напряженно-деформированное состояние композита находится затем по формулам (9) и (15).
Следует отметить, что нулевое приближение отвечает либо сплошной прямолинейной границе раздела, либо прямолинейной межфазной трещине. Последняя, по-видимому, впервые была рассмотрена в работе [30]. Решение задач о прямолинейной межфазной трещине в различной постановке можно найти также в [29, 31, 32] и многих других работах.
Концентрация напряжений на границе раздела. В качестве примера рассмотрим двухкомпонентную плоскость со сплошной границей раздела Г, криволинейный участок которой Гс определяется функцией
/(力 1) =(q = 2,3,...)・(29)
На рис. 2 приведены графики функции / при q = 2 (кривая /) и q = 8 (кривая 2).
Полагаем, что на бесконечности действуют
только продольные растягивающие усилия, т. е. 济声 > 0, а^ =君户=а/ = 0 (к = 1,2).
Ограничимся далее первым приближением, при помощи которого оценим концентрацию напряжений att на границе раздела. Из формул (15) и (23)-(25) при учете (29) и (30) находим комплексные потенциалы в первом приближении:
гдегде①1(2)=R『+出『/⑶X <，现2 A +少424 — 〃42、1 + /1 'Im2〉0,Im^ < 0,‘石1 -石2Im2〉0,Im 2 V 0,① 2（2）=+浴『/（2）X <〃 +『现13 +笈2、1 + /1 '=加!！qz_—27r(q — 1)!!十 27rzj (1.户尸/2-1-必，①1(2)=R『+出『/⑶X <，现2 A +少424 — 〃42、1 + /1 'Im2〉0,Im^ < 0,‘石1 -石2Im2〉0,Im 2 V 0,① 2（2）=+浴『/（2）X <〃 +『现13 +笈2、1 + /1 '=加!！qz_—27r(q — 1)!!十 27rzj (1.户尸/2-1-必，厶2厶2(31)(31)(32)(32)(33)(33)л1 庆 1 + 14л1 庆 1 + 14
где
где
①1(2)
=R『+出『/⑶X <
，现2 A +少42
4 — 〃42
、1 + /1 '
Im2〉0,
Im^ < 0,
‘石1 -石2
Im2〉0,
Im 2 V 0,
① 2（2）
=+浴『/（2）X <
〃 +『
现13 +笈2
、1 + /1 '
=加!！qz_
—27r(q — 1)!!十 27rz
j (1.户尸/2-1
-必，
①1(2)
=R『+出『/⑶X <
，现2 A +少42
4 — 〃42
、1 + /1 '
Im2〉0,
Im^ < 0,
‘石1 -石2
Im2〉0,
Im 2 V 0,
① 2（2）
=+浴『/（2）X <
〃 +『
现13 +笈2
、1 + /1 '
=加!！qz_
—27r(q — 1)!!十 27rz
j (1.户尸/2-1
-必，
厶2
厶2
(31)
(31)
(32)
(32)
(33)
(33)
л1 庆 1 + 1
4
л1 庆 1 + 1
4
胆 q = 2k,1 川' q = 2k+l.
Анализ показывает, что при ту < 1, т. е. при более жесткой среде Qi по сравнению с ^2, наибольшие напряжения att возникают при х\ = 0. Этому значению соответствует точка на кривой Г с наименьшим радиусом кривизны. Подставим (31)-(33) в (9). Тогда, полагая в полученных выражениях 2 — ±50 и а = 7г/2, после некоторых преобразований приходим к следующим зависимостям для соответствующих коэффициентов концентрации напряжений S±:
-+S~ = max = 1 + еК\, S+ = max loo2^11-+S~ = max = 1 + еК\, S+ = max loo2^11=1+£&,=1+£&,(34)(34)где检4 + 少42 + 3Ai - 3r]A2 \К —(庆1 石1 + 石2(35)где检4 + 少42 + 3Ai - 3r]A2 \К —(庆1 石1 + 石2(35)Ki =Ki =+ ЗВ1-ЗВ2\〃 +庆2/+ ЗВ1-ЗВ2\〃 +庆2/
-+
S~ = max = 1 + еК\, S+ = max loo2
^11
-+
S~ = max = 1 + еК\, S+ = max loo2
^11
=1+£&,
=1+£&,
(34)
(34)
где
检4 + 少42 + 3Ai - 3r]A2 \К —(庆1 石1 + 石2
(35)
где
检4 + 少42 + 3Ai - 3r]A2 \К —(庆1 石1 + 石2
(35)
Ki =
Ki =
+ ЗВ1-ЗВ2\
〃 +庆2/
+ ЗВ1-ЗВ2\
〃 +庆2/
Результаты вычислений, проведенных по формулам (35) для случая и\ = и?= =0.25, представлены на рис. 3, 4. На рис. 3 приведены зависимости коэффициентов Kj (7 = 1,2) от параметра 〃 при значениях показателя степени q = 2,8, 16 (кривые 7, 2, 3 соответственно). Сплошные линии отвечают коэффициенту К〔， пунктир — коэффициенту К?.
Сопоставляя формулы (34) с кривыми на рис. 3, можно заметить, что коэффициент концентрации зависит не только от параметра £, т. е. от относительной амплитуды искривления границы раздела, но и от формы этого искривления. Как видно из рис. 2, при увеличении показателя степени q уменьшается радиус кривизны в нижней точке искривленного участка. На рис. 4 построены зависимости коэффициента Ki от этого радиуса кривизны р при значениях параметра 〃 = =0,0.3,0.6,0.9 (соответственно кривые 7—4).
Заметим, что при 〃 = 0 область С? отсутствует и граница раздела Г вырождается в границу области Qi с выемкой, форма которой определяется функцией (29)
с учетом множителя £. Как и следовало ожидать, коэффициент концентрации в этом случае максимален. Простейшая степенная аппроксимация кривой 7, изображенной на рис. 4, имеет вид [26]
К,=а^ + (36)
где а = 1.07, b = -0.601, с = 0.915.
Необходимо отметить, что при 〃 > 1 более жесткой средой является среда Г^, для которой кривая Гс имеет вид выступа. В этом случае значению 力i = 0 отвечает вершина выступа, которая не является концентратором напряжений. В то же время концентраторами напряжений являются точки на Гс, прилегающие к концам искривленного участка, включая угловые точки границы раздела х\ = ±/ при q = 2.
Заключение. Техника решения двух рассмотренных задач методом возмущений опирается на метод комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили и предполагает наличие общего решения базовой задачи в квадратурах, т. е. соответствующей краевой задачи для тела с невозмущенной границей. Спектр таких базовых задач достаточно широк. К ним относятся задачи для областей, конформно отображаемых рациональной функцией на круг, а также задачи для неогра-
ниченных областей с разрезами и нитевидными включениями, расположенными на прямой линии или окружности. Последние могут являться также границами раздела двух сред. Для всех таких задач, используя метод возмущений, можно построить алгоритм нахождения любого приближения в квадратурах, аналогично тому, как это было сделано выше.
Наиболее сложной проблемой при анализе решений, полученных методом возмущений, является проблема выбора нужного приближения и оценка его точности в каждом конкретном случае. Сравнение первого приближения (34) для случая 〃 =0, q = 4 с результатами, найденными методом конечных элементов, показало, что при £ < 0.5 различие коэффициентов концентрации напряжений составляет не более 7%, а при £ < 0.9 — не более 19%. Близкие результаты при аналогичном сравнении были получены Гао [20] для полуплоскости с волнообразной границей. К сожалению, эти оценки показывают лишь близость двух приближенных решений, но не дают ответа относительно точности каждого. По-видимому, для более точной оценки следует привлечь соответствующие результаты, полученные методом граничных элементов.
Список литературы
Rice J.R. First order variations in elastic fields due to variation in location of a planar crack front 〃 J. Appl. Meeh. 1985. V. 52. P. 571-579.
Gao 〃.，Rice J.R. Shear stress intensity factors for a planar crack with slightly curved front 〃 J. Appl. Meeh. 1986. V. 53. P. 774-778.
Панасюк В. В. 〃 Доклады АН УССР. 1962. № 2. С. 891-895.
Gao Я., Rice J.R. Somewhat circular tensile crack 〃 Int. J. of Fracture. 1987. V. 33. P. 155-174.
Gao H. Nearly circular shear mode cracks 〃 Int. J. Solids Struct. 1988. V. 24, № 2. P. 177-193.
Martin P.A. Mapping flat cracks onto penny-shaped cracks: shear loading 〃 J. Meeh. Phys. Solids. 1995. V. 43. P. 275-294.
Martin P.A. Mapping flat cracks onto penny-shaped cracks, with application to somewhat circular tensile cracks 〃 Quart. Appl. Math. 1996. V. 54. P. 663-675.
Martin P.A. On wrinkled penny-shaped cracks 〃 J. Meeh. Phys. Solids. 2001. V. 49. P. 1481-1495.
Martin P.A. Perturbed cracks in two dimensions: an integral equation approach 〃 Int. J. Fracture. 2000. V. 104. P. 317-327.
Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: Главы. Редакция обществ.-техн. лит. и номографии, 1935. 676 с.
Гольдштейн Р.В., Салганик 尸.〃.Плоская задача о криволинейных трещинах в упругом теле 〃 Изв. АН СССР. МТТ. 1970. № 3. С. 69-82.
Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1981. 324 с.
Gao ". Stress concentration at slightly undulating surfaces 〃 J. Meeh. Phys. Solids. 1991. V. 39, №4. P. 443-458.
Green A.E., Zerna W. Theoretical elasticity. 2nd Edn. L.: Oxford University Press, 1968. 15. Mindlin R.D. 〃 Physics. 1936. V. 7. P. 195.
Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости. Л.-М.: ОНТИ, 1935.
Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.
Баничук Н. В. Определение формы криволинейной трещины методом малого параметра 〃 Изв. АН СССР. МТТ. 1970. №2. С. 130-137.
Cotterell В., Rice JR Slightly curved or kinked cracks 〃 Int. J. Fracture 1980. V. 16, №2. P. 155-169.
Gao ". A boundary perturbation analysis for elastic inclusions and interfaces 〃 Int. J. Solids Structures. 1991. V. 28, № 6. P. 703-725.
Греков М.А. Слабо искривленная трещина в изотропном теле 〃 Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2002. Вып. 3 (№ 17). С. 74-80.
Греков М.А. Два подхода к анализу криволинейных трещин 〃 Проблемы механики деформируемого твердого тела / Межвуз. сб. к 70-летию акад. Н. Ф. Морозова. СПб: Изд-во СПбГУ, 2002. С. 82-89.
Греков М.А., Макаров С.Н. Метод возмущений в задаче о трещине, расположенной около слабо искривленной границы упругого тела 〃 Нелинейн. проблемы мех. и физ. деформ. тв. тела. Вып. 6. СПб: Изд-во СПбГУ, 2002. С. 128-134.
Греков М.А., Макаров С.Н. Двухкомпонентная упругая среда с волнистой межслойной поверхностью. Нелинейн. проблемы мех. и физ. деформ. тв. тела. Вып. 7. СПб: Изд-во СПбГУ, 2003. С. 275-285.
Греков М.А. Метод возмущений в задаче о деформации композита со слабо искривленной границей раздела 〃 Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 1. С. 81-84.
Греков М.А., Макаров С. Н. Концентрация напряжений у слабо искривленного участка поверхности упругого тела 〃 Изв. РАН. МТТ. 2004. № 6. С. 53-61.
Малькова Ю. В. Метод возмущений в задаче о наклонной трещине (сопоставление с точным решением) 〃 Нелинейн. проблемы мех. и физ. деформ. тв. тела. Вып. 7. СПб: Изд-во СПбГУ, 2003. С. 79-87.
Чеченин А.Н. Метод возмущений в задаче о трещине, близкой к дуге окружности 〃 Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. Вып. 7. СПб: Изд-во СПбГУ, 2003. С. 139-150.
Греков М.А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб: Изд-во СПбГУ, 2001. 192 с.
Williams М. L. The stresses around a fault or crack in dissimilar media 〃 Bull. Seismol. Soc. Amer. 1959. V. 49, №2. P. 199-204.
Rice J.R., Sih G. C. Plane problems of cracks in dissimilar media 〃 Trans. ASME. Ser. A. J. Appl. Meeh. 1965. V. 34. P. 766-793.
Черапанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.
СТРУКТУРНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ И ПРЕДЕЛПРОЧНОСТИ ПРИ СЖАТИИ ОДНОНАПРАВЛЕННЫХКОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
А.Н. Гузь, И.Ю. Бабич
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев
Предел прочности однонаправленных композитных материалов (КМ) при сжатии может определяться по упругой неустойчивости армирующих элементов в структуре этих материалов, что подтверждается результатами экспериментальных данных [2, 5, 6, 9]. Анализ результатов по возможным механизмам разрушения КМ (в частности, связанных с явлением структурной неустойчивости) проведен в работе [7]. Поскольку сжимающая нагрузка прикладывается не только к армирующим элементам, но и к связующему, а также реализуется сравнительно коротковолновая форма потери устойчивости (что наблюдается на срезах композитов [9]), возникает необходимость привлечения трехмерной теории устойчивости. Обзор работ по устойчивости волокнистых и слоистых материалов в рамках кусочно-однородной среды приведен в [1]. Ниже на основе решения пространственной осесимметричной и плоской задач о структурной (внутренней) неустойчивости однонаправленных КМ рассмотрены две моды разрушения и определены пределы прочности в зависимости от концентрации наполнителя. При этом исследования проведены в рамках строгого подхода, основанного на модели кусочно-однородной среды с привлечением трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел [3]. Приведено сравнение полученных результатов с результатами приближенного подхода [9], где для описания работы связующего применялась одномерная модель, а для наполнителя — теория тонкостенных стержней.
Рассмотрим пространственную осесимметричную задачу о неустойчивости деформирования композитного материала, состоящего из периодически повторяющихся трансверсально изотропных слоев наполнителя (армирующих элементов) и связующего (матрицы), которые чередуются вдоль оси ОХз, при равномерном сжатии воль осей ОХ\ и ОХ2 усилиями интенсивности Р. Все величины, относящиеся к армирующим слоям и матрице, будем отмечать индексами «а», «т». Каждый из слоев отнесем к своей системе координат, начало которых разместим на их средних поверхностях. Считаем, что ось изотропии совпадает с осью ОХ3.
Величины докритического состояния для г-го слоя определяются следующим образом:
игг(г) V 丿V V V да дт 7
…33 1⑴
200200А.Н. Гузь, И.Ю. Бабич
200
200
Для описания работы как наполнителя, так и связующего используем систему линеаризированных уравнений устойчивости в перемещениях [4]:
^ij §im^ij §imа2а2dxidxjdxidxjа2а2dxmdxjdxmdxj+ (1 — ^im ) ^im ^J m2 +OXi+ (1 — ^im ) ^im ^J m2 +OXi+ ^in ( ^ 5mn)5jm+ ^in ( ^ 5mn)5jmUj = 0 (m = 1,2, 3). (2)Uj = 0 (m = 1,2, 3). (2)
^ij §im
^ij §im
а2
а2
dxidxj
dxidxj
а2
а2
dxmdxj
dxmdxj
+ (1 — ^im ) ^im ^J m2 +
OXi
+ (1 — ^im ) ^im ^J m2 +
OXi
+ ^in ( ^ 5mn)5jm
+ ^in ( ^ 5mn)5jm
Uj = 0 (m = 1,2, 3). (2)
Uj = 0 (m = 1,2, 3). (2)
Поскольку решения основных уравнений (2) должны удовлетворять условиям периодичности и симметрии, то необходимо удовлетворить лишь условиям на плоскостях раздела слоев:
(3)(3)^"ЗЗ \x^ = h — ^33i\x^ = — ha '^3ri\x^ = h — ^r3i\x^ = — ha '
(3)
(3)
Uri \x^ = hm — Uri\x^ = — ha， Uri \x^ = hm — U3i\x^ = — ha，
где ha и hm — полутолщины слоев наполнителя и связующего.
де [4]де [4]段=続嚅+ ^ch蒜嚅）丁段=続嚅+ ^ch蒜嚅）丁Изучим две формы (моды) потери устойчивости, а именно: изгибную (сдвиговую) и симметричную (моду растяжения). Для сдвиговой моды решения системы уравнений (2) для г-х слоев связующего и наполнителя можно представить в ви
де [4]
де [4]
段=続嚅+ ^ch蒜嚅）丁
段=続嚅+ ^ch蒜嚅）丁
X? = b ch / % + ^ 由 / 或)/。(贷 4 ^o (^n) = 05⑷
=о,=о,
=о,
=о,
где величины 爲⑺ определяются согласно [4]. Далее, используя (3), (4) и формулы для возмущений напряжений и перемещений, получаем характеристическое
уравнениеуравнениеdet 11 oiij II =。； i, j = 1,..., 4.det 11 oiij II =。； i, j = 1,..., 4.(5)(5)
уравнение
уравнение
det 11 oiij II =。； i, j = 1,..., 4.
det 11 oiij II =。； i, j = 1,..., 4.
(5)
(5)
&13 = WS |妍；&14 = &з(肾); q23 =-4册卷；a24 = a23(肾)； q33 =4^照；a34 = a33(肾)； a43 =一4:炉£； a44 = a43(焉)；&13 = WS |妍；&14 = &з(肾); q23 =-4册卷；a24 = a23(肾)； q33 =4^照；a34 = a33(肾)； a43 =一4:炉£； a44 = a43(焉)；⑹⑹⑺⑺
&13 = WS |妍；&14 = &з(肾); q23 =-4册卷；a24 = a23(肾)； q33 =4^照；a34 = a33(肾)； a43 =一4:炉£； a44 = a43(焉)；
&13 = WS |妍；&14 = &з(肾); q23 =-4册卷；a24 = a23(肾)； q33 =4^照；a34 = a33(肾)； a43 =一4:炉£； a44 = a43(焉)；
⑹
⑹
⑺
⑺
Здесь введены такие обозначения:
Q11 =^-/Т；Q12 = Q11(瘵);
a21 = А^/ЗГ； ^2=а21(еГ)；
^31 = </ЗГ；Q32=Q31(£F)；
q41 = A^(3^]a42 = a41(仔)；
出=1f^ (^ -留1 + 0。) ； A3 = (<^2 + 司3)物
4£ = G。（出一歹 ь; 4* =忠（4字 GT 产，缪）；
/T = /3夕=也3方夕一）；/37=阳=也3汽厂）；/3夕=毋=/3修=用=1;""=^彤；J = Kkg,几=2,3,4.
В случае моды растяжения в соотношениях (6) величины /3? имеют вид
В случае плоской задачи для ортотропных слоев исследования проведены в [4]. Если величины ^『加)и 崑⑺)Для плоской задачи соответственно заменить величинами и ^2V 丿 для пространственной осесимметричном задачи, то характеристические уравнения для обоих случаев будут совпадать, только для плоской задачи нужно учесть, что以矶明=7r胪(*//.
Изучим явление внутренней неустойчивости на основании решения характеристических уравнений вида (5), (6). Под явлением внутренней неустойчивости в композитном материале будем понимать потерю устойчивости в структуре
产］04/硏产］04/硏материала, наступающую при определенных соотношениях между жесткостными характеристиками и объемными концентрациями наполнителя и связующего, позволяющими определить величину критической нагрузки и форму потери устойчивости независимо от формы элемента конструкции и вида граничных условий для него. То есть явление внутренней неустойчивости проявляется, если зависимость ркр =夕(&кр) имеет четко выраженный ми
产］04/硏
产］04/硏
нимум. В этом случае определяется величина критической нагрузки ркр и форма потери устойчивости, соответствующая параметру волнообразования &кр = тгД/"1. Если же величине критической нагрузки соответствует параметр волнообразования равный или близкий к нулю, явление внутренней неустойчивости в материале не наступает, поскольку в результате минимизации по s получаем, что ркр = =夕(0), а следовательно &кр = 0 и /кр = оо «кр — длина полуволнны формы потери устойчивости).
На рис. 1 изображена зависимость величины 夕a/Ef от параметра ша для изгиб- ной формы потери устойчивости в случае
ортотропных слоев с механическими ха
рактеристиками: 石『/石夕=0,8;石『/石夕=0,5; z/設=0,30; z/啓=0,20;噁=0,25; Ef/石證=0,5; Ef/E^ = 0,5;片2 = 0,25；片з =。，32； ^з =。，1°； G^/EF = 0,25; Ga/Ef = 0,10; 石厂/研=0,01. Индексы 1-4 соответствуют объемным концентрациям наполнителя S。= 0,17; 0,09; 0,05; 0,03. Потеря устойчивости в структуре материала по изгибной форме происходит не при любых соотношениях между
механическими и геометрическими характеристиками слоев.
На рис. 2 показаны зависимости критической деформации екр от параметра Sa в случае изотропных слоев (уа =厂=0,25) применительно к форме потери устойчивости по моде растяжения для различных значений Еа/Gm = 50, 100, 200, 250. Сплошные линии построены в рамках трехмерной линеаризированной теории устойчивости, а штриховые соответствуют приближенной теории [9]. Приведенные результаты (рис. 2) в рамках как точной, так и приближенной теории соответствуют явлению внутренней неустойчивости (зависимости ркр =夕(&кр) имеют четко выраженный минимум). При существенном уменьшении жесткости связующего различие между результатами точной и приближенной теории уменьшается.
Для изотропных наполнителя и связующего на рис. 3, 4 представлены зависимости предела прочности при сжатии Осж от объемной доли волокна Sa соответ-
Рис. 2
ственно для композиций «волокно из 石-стекла (Е° = 7,4 • 104 МПа) — эпоксидная смола (Gm = 1,48 • 103 МПа)» и «волокно из М-стекла (石。=10,8 • 104 МПа)— эпоксидная смола (Gm = 1,08 • 103 МПа)». Штриховые кривые получены по приближенным формулам [9]_
a^ = GmSm~1^(8)
(j^ = 2Sa[SaEmEa/(3Sm)^^(9)
соответственно для сдвиговой моды и моды растяжения. Следует заметить, что формула (8) получена при = 0. Поэтому, согласно определению, принятому выше, явление внутреннего разрушения в композитном материале по сдвиговой моде не наступает, поскольку при этом теоретический предел прочности соответствует значению /кр = оо. В то же время формула (9) получена посредством минимизации соответствующего выражения при 以° # 0, т. е. имеет место явление внутреннего разрушения по моде растяжения.
ходить по сдвиговой моде. Таким образом, внутреннее разрушение может проявляться на участках ab кривых /, 2 как по моде растяжения, так и по сдвиговой моде, а при больших концентрациях наполнителя лишь по моде растяжения (участки Ъс и Vd кривых 2). В рамках приближенной теории ни при каких значениях Sa (при принятом механизме) не может проявляться внутреннее разрушение по сдвиговой моде.
Отметим, что участок bd кривой 7 получен по аналогии с [9] при качественно иной трактовке механизма внутреннего разрушения (зависимость ркр =夕(&кр) находилась при ша = 0).
Список литературы
Бабич И. К)., Гузь А.Н., Чехов В. Н. Трехмерная теория устойчивости волокнистых и слоистых материалов 〃 Прикл. механика. 2001. Т. 37, № 9. С. 3-43.
Грещук Л. Б. О видах разрушения однонаправленных композитов при сжатиии 〃 Прочность и разрушение композитных материалов: Тр. II сов.-амер, симпоз. Рига: Зинатне, 1983. С. 304-312.
Гузь А. Н. О построении теории устойчивости однонаправленных волокнистых материалов 〃 Прикл. механика. 1969. Т. 5, № 2. С. 62-70.
Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев: Наук, думка, 1971. 276 с.
Гузь А.Н. О механике разрушения композитных материалов при осевом сжатии (хрупкое разрушение) 〃 Прикл. механика. 1982. Т. 18, №11. С. 21-29.
Гузь А.Н. Механика разрушения композитных материалов при сжатии. Киев: Наук, думка, 1990. 629 с.
Гузь А.Н. Об описании и исследовании некоторых неклассических проблем механики разрушения и соответствующих механизмов 〃 Прикл. механика. 2000. Т. 36, № 12. С. 337.
Гузь А.Н., Шульга Н.А., Бабич И.Ю. и др. Динамика и устойчивость материалов. Киев: Наукова думка, 1993. 432 с. (Механика композитов в 12 т.; Т. 2.)
Розен Б. Механика упрочнения композиций 〃 Волокнистые композиционные материалы. М.: Мир, 1967. С. 54-96.
КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ береговЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ТРЕЩИНЫ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМНОРМАЛЬНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ
А.Н. Гузь, В. В. Зозуля, А. В. Меньшиков
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев,Centro de Investigacion Cientifica de A. C. Yucatan, Mexico
Методом граничных интегральных уравнений решена задача о нормальном гармоническом нагружении упругого пространства с плоской эллиптической трещиной при учете контактного взаимодействия ее берегов. Исследована зависимость коэффициентов интенсивности напряжений от волнового числа и коэффициента трения. Проведено сравнение с результатами, полученными без учета контактного взаимодействия берегов.
Введение. В настоящее время во всем мире активно ведутся исследования, направленные на повышение безопасности и увеличение срока эксплуатации разнообразных хозяйственных объектов. Механика твердого деформируемого тела является основой для конструирования и постройки всякого рода сооружений, а также всевозможных машин и механизмов.
Решение задачи о прочности конструкции, состоящей из различных материалов, значительно усложняется наличием в структуре любого твердого тела различных дефектов (трещин, полостей и т. п.), существенным образом влияющих на прочность конструкции. Такие дефекты образуются в процессе производства материала, его обработки, создания элементов конструкции, а также ее последующей эксплуатации. Появление и развитие трещин резко уменьшает работоспособность, надежность и срок эксплуатации отдельных конструкционных элементов и всей конструкции в целом. В инженерной практике катастрофическое распространение трещин нередко приводит к полному или частичному разрушению конструкции, поэтому разработка методов и методик определения величины предельной разрушающей нагрузки для тел с трещинами является одной из актуальных проблем механики твердого деформируемого тела [1-5].
При решении задач для тела с трещинами под воздействием динамической (гармонической) нагрузки обычно предполагают, что в процессе деформирования тела противоположные берега трещин перемещаются относительно друг друга, последовательно проходя фазы начального недеформированного состояния, растяжения и сжатия (соответственно pnc. 1, а, 6, е), при этом допускается взаимное проникновение берегов трещин. Однако в реальности противоположные берега трещин всегда взаимодействуют между собой с образованием изменяющихся во времени областей нормального контакта, скольжения и сцепления, а на берегах трещин имеют место силы контактного взаимодействия, поэтому взаимного проникновения берегов при сжатии не происходит [6]. Все вышеупомянутое приводит к существенному изменению напряженно-деформированного состояния в окрестности края трещин. Поэтому отказ от учета контактного взаимодействия берегов трещин под воздействием динамической нагрузки приводит к упрощенному описанию физических процессов и искажению получаемых механических
Рис. 1. Берега трещины под воздействием гармонической нагрузкиРис. 1. Берега трещины под воздействием гармонической нагрузкиВерхний берегВерхний берегss
Рис. 1. Берега трещины под воздействием гармонической нагрузки
Рис. 1. Берега трещины под воздействием гармонической нагрузки
Верхний берег
Верхний берег
s
s
характеристик. К сожалению, в подавляющем большинстве известных авторам работ влиянием контактного взаимодействия берегов трещин неоправданно пренебрегают.
Математическая постановка задачи о динамическом нагружении упругого тела с трещинами, позволяющая учесть контактное взаимодействие их берегов, была предложена авторами в работах [6-10], в которых также были получены эквивалентные исходной задаче граничные вариационные неравенства и разработаны итерационные алгоритмы численного решения рассматриваемой задачи. В работах [6, 8-18] было получено численное решение некоторых задач о гармоническом нагружении плоскости с одной [6, 8-10] и несколькими коллинеарными разрезами [6, 9, 10], а также трехмерного пространства с плоскими круговой [6, 11-13] и эллиптической [6, 14-18] трещинами, произведена оценка влияния контактного взаимодействия берегов трещин на распределение основных характеристик механики разрушения.
Отметим, что в указанных работах контакт между противоположными берегами трещин предполагается односторонним (нормальная составляющая вектора контактных сил взаимодействия — неотрицательна). Как уже отмечалось ранее, не допускается взаимного проникновения берегов (ситуация е, приведенная на рис. 1,6), в частности, в задаче с нулевым начальным раскрытием берегов трещин нормальная компонента вектора разрыва перемещений, характеризующего взаимные перемещения берегов трещины, должна быть неотрицательной. На поверхности трещины в области контакта берегов возникают зависящие от величины коэффициента трения подобласти сцепления и скольжения берегов трещины, в которых противоположные берега трещин удерживаются силами трения или движутся относительно друг друга со скоростью, зависящей от величины вектора контактных сил, соответственно.
Ниже, на основе предложенного в упомянутых работах подхода, с учетом контактного взаимодействия рассматривается пространственная динамическая задача для материала с плоской эллиптической трещиной под воздействием гармонической волны растяжения-сжатия или сдвига, распространяющейся перпендикулярно поверхности трещины.
Постановка задачи. Рассмотрим трехмерное линейно-упругое, однородное и изотропное пространство, содержащее плоскую эллиптическую трещину. Будем предполагать, что берега трещины не имеют начального раскрытия.
Введем прямоугольную декартову систему координат, оси Ох\ и 0力2 которой лежат в плоскости трещины, а ось Охз перпендикулярна ее плоскости (см. рис. 2).
Тогда поверхность трещины имеет следующий вид:
С = {0 W g，a cos /3, 0 W 政 W bsin/3,
а》b, /3 = tan-1(a/6tan(/;), 0 < 夕 V 2丁 力з = 0},
где а и 6 — большая и малая полуоси эллипса соответственно.
Рис. 2. Плоская эллиптическая трещина под воздействием нормальной гармонической нагрузкиРис. 2. Плоская эллиптическая трещина под воздействием нормальной гармонической нагрузкиПерпендикулярно поверхности трещины распространяется с частотой s = 2тг/Т и амплитудой Фо гармоническая волна растяжения-сжатия или сдвига, описываемая следующей скалярной потенциальной функцией:
Рис. 2. Плоская эллиптическая трещина под воздействием нормальной гармонической нагрузки
Рис. 2. Плоская эллиптическая трещина под воздействием нормальной гармонической нагрузки
①0,方)=①М,
где i — мнимая единица; ka = s/c。——обобщенное волновое число (для волн растяжения-сжатия а = =1, для волн сдвига а = 2); ci =，(/\ + 2〃)/。и С2 = =，〃/0 — скорости распространения продольных и поперечных волн соответственно; X п 〃 一 постоянные Ламе; р — плотность материала.
ким образом, нагрузка наким образом, нагрузка наВ процессе деформации тела противоположные берега трещины взаимодействуют между собой, а в изменяющейся во времени и неизвестной заранее области контакта берегов Qcont С Q возникают отличные от нуля силы контактного взаимодействия q(力，方).Та- берегах трещины р(力，力)имеет следующий вид:
ким образом, нагрузка на
ким образом, нагрузка на
р(х,方)=р*(х,方)+ q(x,方)，X е С, t 6 ^5 : = [0; Т],
где р*(х,方)—нагрузка, вызванная падающей волной.
Учитывая сформулированные во введении условия, при которых происходит контактное взаимодействие, на берегах трещины для нормальных и касательных компонент векторов сил контактного взаимодействия и разрыва перемещений должны выполняться, соответственно, односторонние ограничения Синьорини и закон трения Кулона:
△〃冷(х,"》0, ^(х,"》。，△〃冷(х,"^(х,方)=0, х 6 Q, t е^,(1)
|q「(x,方)| < kTqn(x, t)今 9力△u「(x," = 0,
|qT(x, t)| > kTqn(x,t)今 9tAuT(x,t) = -AT(x, t)qT(x, t), x 6 Q, t
где △〃(/," — вектор разрыва перемещений, dt — производная по времени; кт — коэффициент трения, Ат(х, t) = |仇△〃「(х,方)|/|q「(x,方)| — коэффициент, зависящий от свойств контактирующих поверхностей.
Отметим, что в силу выбора системы координат нормальные и касательные компоненты векторов сил контактного взаимодействия и разрыва перемещений имеют следующий вид:
△〃冷(X," = △〃з(х,“，△u「(x," = (Aui(x,t),Au2(x,t)),
Qn(x,t) =«з(х,“，q「(x," = (%(х，и，«2(х,“).
Интегральные уравнения задачи. Представим компоненты векторов нагрузки и разрыва перемещений экспоненциальными рядами Фурье:
(+оо1Г +оо1
沁(x," = R“ 工 夕，(х)е^ 卜 Auj(x,t) = Re<^ 工 △吟(x)e“ 卜
= -сю丿 сю丿
^k = зк, J = 1, 3,
с коэффициентами Фурье
夕$(х)=券］pj(x, t)eT3kt 必，Ли^ (x)=券］Auj(x,力)6-2以力 dt (4) оо
Коэффициенты Фурье р^ (х) и △〃，(х) связаны следующей системой граничных интегральных уравнений ［6, 9, 10］:
з
若(х) = — £ J %(x,y,Gk)△吟(y)dy, q=l,3, k = —oo,+oo. (5)
Введем обозначения:
0扌,cos(X) = £ ］勿(x,方)cos (皿方)必，成sin(x) = 1 勿(X，方)sin (皿方)dt, ⑹ о0
△唠,cos(x)=看］△"_7.(x,方)cos (以к方)必,△若,sin(x) = ^ ］ △"_7.(x,方)sin (以k方)必.(7) о0
Тогда, используя формулу Эйлера, запишем комплекснозначные коэффициенты Фурье (4) в следующем виде:
夕貝 X)=域 cos(x)—泌 sin (х), △吟(x) = △吟 cos(x)—込心 sin (x).
Таким образом, система граничных интегральных уравнений (5) может, с учетом приведенных выше представлений для коэффициентов Фурье векторов контактных сил взаимодействия и разрыва перемещений, быть записана для q = 1,3, к = 0, +оо следующим образом:
夕q,cos(x)- 〃夕q,sin(x)-
3
=-E (禱 е(х，У，8к) + 汴仍(x,y,sQ) (△吟 з(У)—込味 E(y))dy，(8)
где 硝e(x, у,&к) и 円,(x, y,&k) — действительная и мнимая части функции Fqj(x,y,3k), а физические значения компонент векторов нагрузки pj(x, t) и разрыва перемещений Auj (х, t) задаются тригонометрическими рядами Фурье:
沁(X,方)=0弋(х) + 炉夕,es(x) COS+ 域sin(x) sin (s/H),⑼
△出(X,方)=+ 工△暇。s(x) COS+ △吟SE(X)Sin(10)
Комплексные ядра граничных интегральных уравнений £^(х,у,以卜)，действительная и мнимая части которых входят в систему граничных интегральных уравнений (8), могут быть получены из тензора фундаментальных перемещений Грина, имеющего для линейно-упругого, однородного и изотропного пространства следующий вид [3-6, 9, 10, 12]:
и爪卜押一х^
где 6ij — символ Кронекера, г — расстояние между точками х и у, а функции х и ⑦ для случая гармонического нагружения определяются следующим образом:
+厶+ 1+厶+ 1+ - +1+ - +1
+厶+ 1
+厶+ 1
+ - +1
+ - +1
+ 从2八『①)/出+ 从2八『①)/出+ nr(y)ns(x)+ nr(y)ns(x)дуг dxiдуг dxiдуг дх,дуг дх,
+ 从2八『①)/出
+ 从2八『①)/出
+ nr(y)ns(x)
+ nr(y)ns(x)
дуг dxi
дуг dxi
дуг дх,
дуг дх,
人=/^Г/ci, Z2 =汕"/e2・
Дважды применив к U叮(力，沙，以卜)дифференциальный оператор теории упругости
Pik[']=入电九[・]+〃("％[•] + 八 аД[・]), где 9n[ • ] — производная по нормали, получаем следующее выражение для Fis(x,y,uky.
£s(力,仇心)=N电匂)72s(力)^_ A. Uir(x,y,uk) +
+ X〃 %(啦 ni(x)丽 Usr(x,y,3k) + 而 ^UiEwk)) +
Us分(力,у, Gk) + 瓦-^^ Un(x, у, Gk) +
Для плоской стационарной трещины, учитывая ориентацию системы координат и вид вектора внешней нормали, получаем следующие выражения [8, 12, 13]:
歹 13(X,y,Gk)=用 i(x,y,Gk)=用 3(X,y,Gk)=用 2(x,y,s) = 0,(11)
田 1(х,у,8к)=田 1(х,у,8к)=222 剪①—/if /_也 I 1 即 13 ax6、r dr r2[ dr2 r dr r drr22 剪①—/if /_也 I 1 即 13 ax6、r dr r2[ dr2 r dr r drr2歹 12(X,y,Sk)=用 i(X,y,Gk)=歹 12(X,y,Sk)=用 i(X,y,Gk)=М (伊一/1)(g2 一妆)М (伊一/1)(g2 一妆)47r47r产产(12)дг2 г dr г dr 戸丿'(13)(12)дг2 г dr г dr 戸丿'(13)
田 1(х,у,8к)=
田 1(х,у,8к)=
2
2
2 剪①—/if /_也 I 1 即 13 ax6、
r dr r2[ dr2 r dr r drr2
2 剪①—/if /_也 I 1 即 13 ax6、
r dr r2[ dr2 r dr r drr2
歹 12(X,y,Sk)=用 i(X,y,Gk)=
歹 12(X,y,Sk)=用 i(X,y,Gk)=
М (伊一/1)(g2 一妆)
М (伊一/1)(g2 一妆)
47r
47r
产
产
(12)
дг2 г dr г dr 戸丿'
(13)
(12)
дг2 г dr г dr 戸丿'
(13)
用 2(Х,У，&к)=用 2(Х,У，&к)=222剪(g2 -改)2 ( 3冲+工型空r dr 产 I 苏 r Hr r dr 戸2剪(g2 -改)2 ( 3冲+工型空r dr 产 I 苏 r Hr r dr 戸F33(x,y,^) = —F33(x,y,^) = —I 4A(A + 从)Ax I 2(* + 4入从 + 4/?)I 4A(A + 从)Ax I 2(* + 4入从 + 4/?)(14)(14)产产дгдг• (15)• (15)
用 2(Х,У，&к)=
用 2(Х,У，&к)=
2
2
2剪(g2 -改)2 ( 3冲+工型空
r dr 产 I 苏 r Hr r dr 戸
2剪(g2 -改)2 ( 3冲+工型空
r dr 产 I 苏 r Hr r dr 戸
F33(x,y,^) = —
F33(x,y,^) = —
I 4A(A + 从)Ax I 2(* + 4入从 + 4/?)
I 4A(A + 从)Ax I 2(* + 4入从 + 4/?)
(14)
(14)
产
产
дг
дг
• (15)
• (15)
Таким образом, согласно (11) комплексная система граничных интегральных уравнений (8) принимает для к = 0, +оо следующий вид:
讨,cos (х)-脑,sin (х)=
2
=-Ё ("е(Х，У，5:) + 汴 11r(Х,у,5)) (△吟 cos®)—込域sin(y))dy， 7 = 1 Q
成cos(x)-泌,sin(X)
2
=(喟(х,У№)+ 词『(х,у,^))(△吟cos(y)-込吟,sin(y))dy， 7 = 1 Q
成cos(x)-分成sin(X)=
=-](项ё(X,у№)+分理^X,yw))(△收。S(у)-込國^(у))必・
(16)
Системы линейных алгебраических уравнений. Для численного решения задачи аппроксимируем поверхность трещины Q множеством плоских многоугольных элементов Q/, I = 1, N, на каждом из которых распределение векторов нагрузки и разрыва перемещений берегов трещины будем предполагать постоянным.
Применив метод коллокаций [4], из системы граничных интегральных уравнений (16) получаем, для каждого к = 0,+оо, следующую приближенную систему комплексных уравнений:
Pl,cos(xm)-壮sin(xm)=
2 N
ЕЕ] ("'(Xg У，^k) + 闾产(Xg у, SQ) dy(△吟cos(M)-込味in(%)) “У，
成 cos(x?n)—泌,sin(xM)=
2 N
=-EE j (歹茅(Xgy,5)+ 汴步(Xgy,s))dy (△吟,cos(M)—込心 sin(%))， E 2 = 1 Qz
诡 cos(x?n)—淤,sin(xM)=
=-E(理'(Xg У，心)+ 汴投(Xg У，心))dy(△臓 cos(M)—込臓 sin(M)) “У，
(⑺
где точки xj и yj расположены в геометрическом центре граничного элемента Qj.
После разделения для всех к = 0, +оо действительных и мнимых частей, система комплексных уравнений (17) переходит в систему линейных алгебраических уравнений с действительными корнями, имеющую следующую матричную форму:
eДeДRemRemRemRemTmReTmReTmReTmRem礎m礎F F F F----F F F F----ImReImRemmоооооооооооооооо88р и и и и и-р и и и и и-ппррр р р р р р_р р р р р р_•ш•шsing .^sing .^о оо оо оо оооооооооTmRe FFTmRe FF
e
Д
e
Д
RemRem
RemRem
TmReTmRe
TmReTmRe
m
礎
m
礎
F F F F----
F F F F----
ImRe
ImRe
m
m
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
8
8
р и и и и и-
р и и и и и-
п
п
р
р
р р р р р р_
р р р р р р_
•ш
•ш
sing .^
sing .^
о о
о о
о о
о о
о
о
о
о
о
о
о
о
TmRe FF
TmRe FF
и
"I 嘴(xi,y,s)dy
Qi
］嘴(X2,y,&k)dy
Qi
［嘴(xi,y,s)dy
I F^^.y^^dy
］嘴(xi,y,&k)dy "
I 破》e(x2,y,^k)dy
■pk,Re —
I F^^N,y,uk)dy
"I F^^,y,uk)dy
Qi
I 呼｝(X2,y,Sk)dy
Qi
I F^^N,y,uk)dy
I F^^r^y^^dy
］呼『(X2,y,&k)dy
Q2
I 需(XN,y,S)dy
I F^^r^y^^dy "
］呼｝(X2,y,Sk)dy
r qp —
I F^^N,y,uk)dy
I F^^N,y,uk)dy
I F^^N,y,uk)dy
丄 q,cos —
4，cos(yi) 4，со8(У2)
， 丄 q,sin —
一或 sin(yi) 一 Pg,sin(y2)
_4，cos(yTV)_
Xsin(yTV)_
△”q,cos(y 1)△”；,cos(y2).△〃q,cos(yN)△”q,cos(y 1)△”；,cos(y2).△〃q,cos(yN)n,sin,si/ly/ly•m .m△ △/ly/ly•m .m△ △一△”q,sin(yN)_一△”q,sin(yN)_
△”q,cos(y 1)
△”；,cos(y2)
.△〃q,cos(yN)
△”q,cos(y 1)
△”；,cos(y2)
.△〃q,cos(yN)
n,si
n,si
/ly/ly
•m .m
△ △
/ly/ly
•m .m
△ △
一△”q,sin(yN)_
一△”q,sin(yN)_
Отметим, что матричная система (18) может быть разделена на две взаимно
следующего вида:следующего вида:независимые матричные системы
следующего вида:
следующего вида:
mReF FmReF Fnenem R m R‘2 ‘2 ‘2 ‘2k Ik Ik 2k 2F F F F----nenem R m R‘2 ‘2 ‘2 ‘2k Ik Ik 2k 2F F F F----Г l,cosTTk _广 l,sin，—P与2,cos2,cos_ 2,sin _Г l,cosTTk _广 l,sin，—P与2,cos2,cos_ 2,sin _cos.^ k Ik 3 -и и -cos.^ k Ik 3 -и и -cos.^-p p -cos.^-p p -
mRe
F F
mRe
F F
nenem R m R‘2 ‘2 ‘2 ‘2k Ik Ik 2k 2F F F F----
nenem R m R‘2 ‘2 ‘2 ‘2k Ik Ik 2k 2F F F F----
Г l,cos
TTk _
广 l,sin
，—
P与
2,cos
2,cos
_ 2,sin _
Г l,cos
TTk _
广 l,sin
，—
P与
2,cos
2,cos
_ 2,sin _
cos.^ k Ik 3 -и и -
cos.^ k Ik 3 -и и -
cos.^
-p p -
cos.^
-p p -
Таким образом, в рассматриваемом случае, в силу взаимной независимости систем линейных алгебраических уравнений (19) и (20), нормальные и касательные компоненты решения задачи связаны только ограничениями (2), ограничивающими сверху величину модуля касательной компоненты сил контактного взаимодействия берегов в зависимости от коэффициента трения и величины «удерживающей» нормальной компоненты сил. Поэтому в процессе решения становится возможным вначале определить нормальные компоненты решения, которые далее используются при корректировке касательных компонент.
Итерационный алгоритм. Для решения задачи был применен основанный на вариационных принципах теории упругости итерационный алгоритм, который можно условно разделить на следующие части:
задается начальное распределение вектора нагрузки р*(х,方)на поверхности трещины;
задача решается без учета ограничений (1), (2);
полученное решение корректируется с учетом ограничений (1), (2);
в случае, если требуемая точность не достигнута, совершается переход к следующему итерационному шагу.
Подробную информацию о свойствах подобных итерационных алгоритмов можно найти в работах [6, 9-11].
Регуляризация и вычисление расходящихся интегралов. Представим функции хнф, также их производные, присутствующие в выражениях для интегральных ядер (12)-(15), рядами Маклорена по степеням 厶 и /?• После необходимых
алгебраических операций получим представления интегральных ядер Е^(х, y,Gk) в виде сумм с выделенными особенностями [6, 11-13, 15-17]. В упомянутых работах показано, что интегральные ядра содержат неинтегрируемые гиперсингулярные (порядок особенности больше размерности области интегрирования) особенности следующих видов:
](/1 -g1)(妆-g2)(/1 一g1)2 (妆一纱)2
и неинтегрируемые слабосингулярные (порядок особенности меньше размерности области интегрирования) особенности следующих видов:
1(/1 —伊)(/2 -g2)(/1- gif (/2— g2)2
Отметим, что ввиду наличия в интегральных ядрах ^-(х, у, ^) при совпадении точек наблюдения и нагружения неинтегрируемых особенностей, порядок которых превышает размерность области интегрирования (в рассматриваемом случае интегрирование ведется по двумерной поверхности), интегралы, присутствующие в системах линейных алгебраических уравнений (19) и (20), должны рассматриваться в смысле конечной части расходящегося интеграла по Адамару [6, 19, 20].
Учитывая вид гиперсингулярных (21) и слабосингулярных (22) особенностей, содержащихся в интегральных ядрах £^(х,у,以卜)，приходим к выводу, что для вычисления элементов систем линейных алгебраических уравнений (19), (20) необходимо вычислить следующие гиперсингулярные:
j尸(X, ^),¥1(X,储)，J”(x, ^),J：2(x, ^),
и слабосингулярные пнтеграль匚
#°(X,⑦)，4 1(X,信)，J戸(X, О),J?(x,⑦)，
где
J芋= I E 一纱产 dy.
В работах [19, 20] для регуляризации подобных расходящихся интегралов был применен метод, основанный на применении второй интегральной формулы Остроградского-Грина для оператора Лапласа, позволяющей связать интегралы по двумерной поверхности с интегралами по контуру этой поверхности:
I /(у) А2р(у) ^Q - I р(у)Л2/(у) dQ = I f ⑺％д⑺ dS - ] g(y)%/(y) dS,
где △? = d2/dyl+d2/dyl — двумерный оператор Лапласа, AC — граница области Q, An — производная по внешней нормали п(у).
Преимуществом данного метода является его применимость не только для вычисления интегралов с неинтегрируемыми сильными особенностями, но и для интегралов со слабыми особенностями, что позволяет применить этот метод при интегрировании всех расходящихся составляющих интегральных ядер (12)-(15), упрощая численное вычисление элементов систем линейных интегральных уравнений (19) и (20).
/а,Ь（「猫）=/а,Ь（「猫）=Полученные после регуляризации интегралов с особенностями интегралы представляют собой криволинейные интегралы первого типа, которые могут быть вычислены с использованием следующих регулярных интегралов по отрезкам [20]:
/а,Ь（「猫）=
/а,Ь（「猫）=
Aj 阊 2 + Bj;iy + Cj;i
Примеры численного решения задачи. Волна растяжения-сжатия. В качестве примера численного решения задачи о взаимодействии трещины с нормальной гармонической волной растяжения-сжатия приведем результаты, полученные для круговой и эллиптической (а/b = 2) трещин, расположенных в материале со следующими механическими характеристиками: модуль Юнга Е = 200 ГПА, коэффициент Пуассона = 0.3, плотность материала 7800 кг/м3.
Полученные с использованием итерационного алгоритма значения вектора разрыва перемещений в окрестности фронта трещины используются для вычисления коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) нормального отрыва и поперечного и продольного сдвигов.
При нормальном падении волны растяжения-сжатия касательные напряжения и перемещения отсутствуют, поэтому КИН поперечного и продольного сдвигов равны нулю, а для решения задачи достаточно вычислить КИН нормального отрыва.
Отметим, что если для круговой трещины в силу осесимметричности задачи значения КИН нормального отрыва совпадают в каждый фиксированный момент времени в любой точке, расположенной на фронте трещины, то для эллиптической трещины значение КИН непосредственно зависит от расположения точки на фронте трещины. В работах [14-16, 18] содержатся результаты исследований подобной зависимости для различных параметров эллипса и частоты нагружения. Соответствующие результаты для фиксированного приведенного волнового числа k2a = 1.0 представлены на рис. 3, на котором приведены максимальные во времени значения К^^ для круговой и эллиптической трещин. Видно, что для эллиптической трещины КИН достигает своего максимума в вершинах малой полуоси эллипса /3 = 7г/2, а минимума — в вершинах большой полуоси /3 = 0.
О результатах вычисления КИН нормального отрыва при различных значениях приведенного волнового числа k2a можно судить по рис. 4 (круговая трещина), 5 и 6 (эллиптическая трещина), на которых приведены графики \К^^/К^\, где К产t — соответствующее статическое значение, которое в рассматриваемом случае определяется по формуле [1, 2]
К沪tfsin2 /З+g cos2 , * = ] _
где 石(k) — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра второго рода: 万/2 ,
石(k)= I у 1 - /с2 sin2 3 dO.о
Отметим, что полученное решение удовлетворяет односторонним ограничениям (1) и является устойчивым относительно изменения числа удерживаемых коэффициентов Фурье и точности пространственной и временной аппроксимаций.
Рис. 3. КИН 1, к2a = 1.0, кривая / — круговая трещина, 2 — эллиптическая трещина
Рис. 4. КИН 1 для круговой трещины, кривая / — без учета контакта берегов, 2 — с учетом
Результаты, полученные при решении задачи без учета контактного взаимодействия (кривые /), совпадают с результатами других авторов [3-5].
Подчеркнем, что учет контактного взаимодействия берегов изменяет решение не только количественно, но и качественно, изменяются как величины максимумов КИН нормального отрыва (отличия могут достигать тридцати-сорока процентов), так и значения волновых чисел, при которых вышеупомянутые максимумы достигаются.
Рис. 5. КИН 1 для эллиптической трещины, /3 = 0: кривая / — без учета контакта берегов, 2 — с учетом
берегов, 2 — с учетомберегов, 2 — с учетомРис. 6.Рис. 6.контактаконтакта
берегов, 2 — с учетом
берегов, 2 — с учетом
Рис. 6.
Рис. 6.
контакта
контакта
Волна сдвига. В качестве примера численного решения задачи о взаимодействии трещины с нормальной гармонической волной сдвига приведем результаты, полученные для круговой [6, 13] и эллиптической [17] трещин при совпадении оси сдвига с осью Ох\ и осью 0力2 (см. рис. 7). Коэффициент Пуассона = 0.25.
На рис. 8-10 приведены результаты вычисления максимальных во времени значений динамических КИН поперечного и продольного сдвигов в окрестности
вершин малой и большой полуосей эллипса соответственно. Результаты, полученные при различных значениях приведенного волнового числа, нормированы
соответствующими статическими значениями, которые могут быть вычислены при помощи следующих выражений [1]:
K#at _ _(«С sin /3 + 儿8 cos /3),
k:仍=^^:：2口：?("6 sin (3 - bC cos /3),
рис уП = a2 sin2 /3 + 庐 cos2 /3,
a^k^T cos7c _ab2k^r siny
(后—沙)E(k) + 沙k’K(k)'(后 + 沙b%-2)E(k)—沙6%一2K(k)
7г/2K(k) = jо7г/2K(k) = jоde\/1 —依 sin2 Оde\/1 —依 sin2 Огде K(k) — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра первого рода:
7г/2
K(k) = j
о
7г/2
K(k) = j
о
de
\/1 —依 sin2 О
de
\/1 —依 sin2 О
КИН нормального отрыва в рассматриваемом случае равняется нулю.
Видно, что в задаче для круговой трещины коэффициенты интенсивности напряжений, растяжения-сжатия и сдвига достигают своих максимальных значений при значительно меньших волновых числах, чем в задаче для эллиптической трещины.
Отметим, что результаты, полученные без учета контактного взаимодействия (кривые /), совпадают с результатами, приведенными в работах [3-5]. Результаты, полученные для коэффициентов интенсивности напряжений сдвига при сравнительно незначительном коэффициенте трения (кривые 2), лишь незначительно отличаются от результатов, полученных без учета контактного взаимодействия берегов трещины. Дальнейшее увеличение коэффициента трения приводит к постепенному уменьшению коэффициентов интенсивности напряжений продольного и поперечного сдвига, причем начиная с некоторого значения коэффициента трения статические коэффициенты интенсивности напряжений превосходят динамические КИН практически во всем диапазоне волновых чисел (кривые 3). Различие между максимальными значениями КИН сдвига, полученными с учетом и без учета трения, при коэффициенте трения кт = 0.3 может достигать сорока процентов.
Выводы. В заключение еще раз подчеркнем необходимость учета контактного взаимодействия при решении задач механики разрушения тел с трещинами, находящихся под воздействием динамического нагружения.
Список литературы
Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М., 1974. 640 с.
Chen Е.Р., Sih G.C. Scattering waves about stationary and moving cracks. In: Mechanics of Fracture 4: Elastodynamic Crack Problems (Edited by G. C. Sih). Noordhoff Inti. Publ., Leyden, 1977.
吋 х/к”吋 х/к”1КГ/КГ11КГ/КГ1Рис. 8. КИН 2 （0 = 0） н КИН 3（/3 = тг/2） для круговой трещины, кривая / — без учета контактного взаимодействия берегов （結=0）, кривые 2 （結=0.02） и 3 （к『=0.3）— с учетомРис. 8. КИН 2 （0 = 0） н КИН 3（/3 = тг/2） для круговой трещины, кривая / — без учета контактного взаимодействия берегов （結=0）, кривые 2 （結=0.02） и 3 （к『=0.3）— с учетом
吋 х/к”
吋 х/к”
1КГ/КГ1
1КГ/КГ1
Рис. 8. КИН 2 （0 = 0） н КИН 3（/3 = тг/2） для круговой трещины, кривая / — без учета контактного взаимодействия берегов （結=0）, кривые 2 （結=0.02） и 3 （к『=0.3）— с учетом
Рис. 8. КИН 2 （0 = 0） н КИН 3（/3 = тг/2） для круговой трещины, кривая / — без учета контактного взаимодействия берегов （結=0）, кривые 2 （結=0.02） и 3 （к『=0.3）— с учетом
Партон В. 3., Борисковский В. Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988. 240 с.
Balas /., Sladek /., Sladek У. Stress Analysis by Boundary Element Methods, Elsevier, Amsterdam, 1989. 688 p.
Zhang Ch., Gross D. On Wave Propagation in Elastic Solids with Cracks, Computational Mechanics Publications, Southampton, UK, Boston, USA, 1998.
Guz A.N., Zozulya V. V. Elastodynamic unilateral contact problems with friction for bodies with cracks 〃 International Applied Mechanics. 2002. V. 38, № 8. P. 895-932.
吋X/к記寸吋X/к記寸\к^/к^\\к^/к^\Рис. 9. КИН 2 (0 = 0) н КИН 3(/3 = тг/2) для эллиптической трещины, а/Ъ = 2, 7 = О, кривая / — без учета контактного взаимодействия берегов (к『=0), кривые 2 (к『=0.02) и 3 {кт = 0.3) — с учетомРис. 9. КИН 2 (0 = 0) н КИН 3(/3 = тг/2) для эллиптической трещины, а/Ъ = 2, 7 = О, кривая / — без учета контактного взаимодействия берегов (к『=0), кривые 2 (к『=0.02) и 3 {кт = 0.3) — с учетом
吋X/к記寸
吋X/к記寸
\к^/к^\
\к^/к^\
Рис. 9. КИН 2 (0 = 0) н КИН 3(/3 = тг/2) для эллиптической трещины, а/Ъ = 2, 7 = О, кривая / — без учета контактного взаимодействия берегов (к『=0), кривые 2 (к『=0.02) и 3 {кт = 0.3) — с учетом
Рис. 9. КИН 2 (0 = 0) н КИН 3(/3 = тг/2) для эллиптической трещины, а/Ъ = 2, 7 = О, кривая / — без учета контактного взаимодействия берегов (к『=0), кривые 2 (к『=0.02) и 3 {кт = 0.3) — с учетом
Зозуля В. В. О динамических задачах теории трещин с областями контакта, сцепления и скольжения 〃 Доклады АН УССР. Сер. А. 1990. № 1. С. 47-50.
Гузь А.Н., Зозуля В. В. Динамическая задача для плоскости с разрезом. Учет взаимодействия берегов 〃 Доклады АН СССР. 1991. Т. 318, № 2. С. 304-307.
Гузь А. Н., Зозуля В. В. Хрупкое разрушение материалов при динамических нагрузках.: Неклассические проблемы механики разрушения. В 4 т. / Под ред. А. Н. Гузя. Т. 4, кн. 2, Киев, 1993. 236 с.
Рис. 10. КИН 2 （0 = 7г/2） и КИН 3 （夕=0） для эллиптической трещины, а/Ь = 2, 7 = тг/2, кривая / — без учета контактного взаимодействия берегов （к『=0）, кривые 2 （к『=0.02） и 3 （衣丁 = 0.3） — с учетом
Guz A.N., Zozulya У. У. Fracture dynamics with allowance for a crack edges contact interaction 〃 International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation. 2001. V. 2, №3. P. 173-233.
Zozulya V. И, Menshykov O.K Use of the constrained optimization algorithms in some problems of fracture mechanics 〃 Optimization and Engineering. 2003. V. 4, № 4. P. 365-384.
Zozulya V. И, Menshikov A. V. On one contact problem in fracture mechanics for a normally incident tension-compression wave 〃 International Applied Mechanics. 2002. V. 38, № 7. P. 824-828.
Zozulya У. И, Men Chikov А. У. Contact interaction of the faces of a penny-shaped crack under a normally incident shear wave 〃 International Applied Mechanics. 2002. V. 38, № 9. P. 1114-1118.
Zozulya V. И, Menshykov О. V. Influence of the crack edges contact interaction on fracture mechanics criterions 〃 In: CD-ROM Proceedings of 16th ASCE Engineering Mechanics Division Conference, University of Washington, Seattle, USA, 2003.
G〃之 AN, Menshykov O.K, Zozulya V. V. Surface contact of elliptical crack under normally incident tension-compression wave 〃 Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 2003. V. 40, №3. P. 285-291.
G〃z A.N., Zozulya V. И, Men Chikov A. V. Three-dimensional contact problem for an elliptic crack interacting with a normally incident harmonic compression-expansion wave 〃 International Applied Mechanics. 2003. V. 39, № 12. P. 1425-1428.
Guz A.N., Zozulya V. И, Men Chikov A. V. General spatial dynamic problem for an elliptic crack under the action of a normal shear wave, with consideration for the contact interaction of the crack faces 〃 International Applied Mechanics. 2004. V. 40, № 2. P. 156-159.
Меньшиков А. В. Влияние контакта берегов эллиптической трещины на распределение коэффициента интенсивности напряжений нормального отрыва 〃 Доп. НАНУ (Доклады Национальной академии наук Украины). 2004. № 7. С. 43-48.
Zozulya У. И, Gonzalez-Chi P.L Weakly singular, singular and hypersingular integrals in elasticity and fracture mechanics 〃 Journal of the Chinese Institute of Engineers. 1999. V. 22 ⑹.P. 763-775.
Zozulya V. И, Men'shikov V.A. Solution of three-dimensional problems of the dynamic theory of elastycity for bodies with cracks using hypersingular integrals 〃 International Applied Mechanics. 2000. V. 36, № 1. P. 74-81.
ПРОБЛЕМЫ НАНОТЕХНОЛОГИИ
М. Ю. Гуткин, А.М. Кривцов, Н.①.Морозов, Б.Н. Семенов
Институт проблем машиноведения РАН,Санкт-Петербургский государственный университет
В последнее десятилетие в связи с развитием нанотехнологий возрос интерес к механическим свойствам объектов наноразмерного масштабного уровня. Вместе с тем, хорошо известно, что значения механических характеристик нанообъектов, определенные экспериментальным путем, существенно отличаются от макрообъектных модулей. Причина заключается в том, что механические свойства нанообъектов зависят от структуры материала на молекулярном и атомном уровне. Макроскопические континуальные модели недостаточно точно учитывают внутреннюю структуру материала и полностью игнорируют его дискретные свойства. В рамках работы рассмотрены аналитические и компьютерные модели, адекватно описавающие механические свойства наноразмерных структур. Проведен анализ возможностей применения методов классической механики к наноразмерным объектам с оценкой их адекватности и необходимых ограничений.
Анализ развития науки и техники в последние десятилетия свидетельствует о том, что наибольший прогресс связан с проникновением технологий на микро- и наноуровень. Если XX век можно назвать веком макромасштабов, то XXI век, по-видимому, пройдет под флагом «микро» и будет ознаменован реальным, а не чисто теоретическим вторжением человечества в микромир. Свидетельством этого являются интенсивно ведущиеся во всех индустриально развитых странах мира теоретические и экспериментальные исследования в области нанотехнологии. При исследовании проблем нанотехнологии постоянно возникают общемеханические вопросы, связанные с деформированием, прочностью, разрушением, дефектами, неустойчивостью нанообъектов. В этой ситуации механике, как фундаментальной науке, очень важно не оставаться в стороне от этого процесса, а использовать весь свой огромный запас знаний и методов для построения промежуточного звена, связывающего микро- и макромир, столь необходимого современной науке. В связи с этим дебатируется вопрос о возможности участия механиков в осуществлении и обосновании указанных работ. Эти обсуждения неслучайны. Механика за свою многовековую историю накопила и разработала мощнейшие методы исследования. Однако при переходе на микро- и наноуровень далеко не все понятия классической механики могут оставаться без изменения, их использование требует особой осторожности, а в некоторых случаях и серьезного пересмотра. Наиболее острую дискуссию вызывает вопрос о возможности применения методов механики сплошных сред к объектам, размеры которых сравнимы с межатомными расстояниями. Среди ученых-механиков нет единого взгляда на эту проблему. Одна часть ученых считает, что методы механики сплошных сред неприменимы к нанопроблемам, другая часть, напротив, придерживается мнения, что это возможно в полном объеме. Представляется, что, как обычно, истина лежит где-то посередине: методы механики возможно применять к задачам нанотехнологии, но они, эти методы, нуждаются в определенной модификации.
В рамках этой статьи приведем некоторые примеры применения методов классической механики к проблемам наномеханики, в частности, оценим влияние наноразмерности структур на их механические свойства и на примере формирования неуглеродных нанотрубок опишем процесс их самоорганизации.
Особенности описания нанообъектов
Масштабный эффект на наноуровне. Часто при описании физико-механических свойств наноструктур принимается, что основные механические характеристики наноразмерного масштабного уровня совпадают со значениями, полученными из макроскопических экспериментов. Однако, когда речь идет о структурах, содержащих всего несколько слоев атомов, не может не сказываться противоречие между очевидной дискретностью рассматриваемого объекта и континуальностью его описания. Несоответствие между значениями модулей упругости, полученными из микро- и макроэкспериментов, отмечалось многими исследователями [1, 2]. Для иллюстрации возникающих здесь проблем рассмотрим двухмерный нанокристалл (рис. 1), бесконечно протяженный в направлении х и имеющих конечное число атомарных слоев в направлении у, подвергнутый однородному двухосному нагружению. На рис. 1 показаны две альтернативные возможности определения толщины Н нанокристалла: в одном случае Н = (N — 1)Д, во втором — Н = Nh, где Д — расстояние между атомарными слоями.
Л
О hО hРис. 1. Растяжение двухмерного нанокристаллаРис. 1. Растяжение двухмерного нанокристаллао ьО hо ьО hhh
О h
О h
Рис. 1. Растяжение двухмерного нанокристалла
Рис. 1. Растяжение двухмерного нанокристалла
о ь
О h
о ь
О h
h
h
def£2 I/ =——def£i I也=一—def£2 I/ =——def£i I也=一—
def£2 I
/ =——
def£i I
也=一—
def£2 I
/ =——
def£i I
也=一—
Для определения модулей упругости нанокристалла воспользуемся формулами
,= -I ；
(72=0£1 1(72=0
(1.1)
(71 =0£2 I(71 =0
Здесь и — коэффициент Пуассона, Е — модуль Юнга; а — нормальное напряжение, £ — деформация. Индексы 1 и 2 отвечают растяжению соответственно в направлениях 力 п у; о = s/H, где Н — ширина сечения, определяющаяся неод-
позначно. Непосредственное вычисление по формулам (1.1) с учетом геометрии кристаллической решетки позволяет получить следующие формулы [3]:
/=%X),/=%X),N - 1也= р 〃сю,N - 1也= р 〃сю,石1 = R- Eoo ；石 2 = NN--石1 = R- Eoo ；石 2 = NN--(1.2)(1.2)
/=%X),
/=%X),
N - 1也= р 〃сю,
N - 1也= р 〃сю,
石1 = R- Eoo ；
石 2 = N
N--
石1 = R- Eoo ；
石 2 = N
N--
(1.2)
(1.2)
где N — число слоев атомов; N* — параметр, отражающий неоднозначность в выборе толщины нанокристалла: Н = N*h, N — \《N*《N. Индекс оо соответствует бесконечному кристаллу (N — оо). Значения модулей упругости, рассчитанные по формулам (1.2), приведены в табл. 1, где Е『ах _ значение модуля Юнга, соответствующее N* = N.
Таблица 1. Зависимость модулей упругости от числа атомарных слоев
N
ЕГ^/Е^
沙2
沙2/^оо
e2 / еоо
2
2.00
0.18
0.53
1.06
3
1.50
0.23
0.69
1.04
4
1.33
0.26
0.77
1.03
5
1.25
0.27
0.82
1.02
10
1.11
0.30
0.91
1.01
20
1.05
0.32
0.96
1.01
50
1.02
0.33
0.98
1.00
100
1.01
0.33
0.99
1.00
Таким образом, дискретность наноструктур приводит к значительному отклонению в значениях модулей упругости от их макроскопических значений — так, для особо тонких нанокристаллических пленок, согласно табл. 1, модули упругости могут в два раза отличаться от своих макроскопических значений. Можно показать, что масштабный эффект, связанный с дискретностью наноструктур, значительно сильнее, чем эффекты, связанные с учетом поверхностных напряжений [4]. Кроме того, в определении размера нанообъекта существует принципиальный произвол, приводящий к неоднозначности многих макроскопических характеристик, таких как напряжение, модуль Юнга, удельная объемная энергия деформирования. Важным свойством наноструктур является также то, что форма и размеры нанокристалла вносят дополнительную анизотропию в его упругие свойства.
Определение изгибной жесткости нанообъектов. Многие нанообъекты, в частности нанотрубки, могут подвергаться большим деформациям, не теряя при этом упругих свойств. Рассмотрим, следуя [5], изгиб монокристаллической полосы — рис. 2. Вычисление изгибной жесткости дает [5]
— 1)N(N+ 1), (1.3)
где С — жесткость межатомной связи, а° — равновесное расстояние между атомами, N — число атомарных слоев. Таким образом, изгибная жесткость на наноуровне может быть определена однозначно, однако ее связь с модулями упругости материала, неоднозначными на наноуровне, оказывается, вообще говоря, отличной от принятой в классической механике.
Рис. 2. Изгиб монокристаллической полосы
При расчете напряженно-деформированного состояния нанотрубок часто используется теория упругих оболочек, учитывающая только силовое взаимодействие между формирующими трубку атомами. Однако существование однослойных нанотрубок свидетельствует о необходимости учета моментного взаимодействия между атомами. Действительно, согласно формуле (1.3), в рассмотренной модели, учитывающей только силовое взаимодействие между атомами, изгибная жесткость обращается в нуль для однослойного кристалла (N = 1). В работе [6] показано, что использование моментного взаимодействия на наноуровне позволяет с единых позиций описать упругое деформирование однослойных и многослойных наноструктур, определить поправку к изгибной жесткости, не обращающуюся в нуль для однослойных нанообъектов.
Методы динамики частиц и молекулярной динамики. Метод частиц состоит в представлении тела совокупностью взаимодействующих частиц (материальных точек или твердых тел), движущихся согласно законам классической механики. С математической точки зрения задача сводится к численному решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из наиболее хорошо разработанных вариантов этого метода является метод молекулярной динамики [7], где в качестве частиц выступают атомы и молекулы, составляющие материал. В настоящее время потенциалы межатомного взаимодействия для важнейших материалов достаточно хорошо известны, а современные многопроцессорные вычислительные системы позволяют рассматривать объемы материала размером до кубического микрометра, что соответствует примерно миллиарду частиц (куб 1000 х 1000 х 1000 частиц). Таким образом, метод молекулярной динамики позволяет моделировать с высокой степенью точности практически любые наноструктуры, что делает его важнейшим теоретическим инструментом, необходимым для успешного развития нанотехнологий. Фактически, для нанообъектов метод молекулярной динамики становится таким же основным методом расчета, как метод конечных элементов на макроуровне. При описании больших объемов материала уже невозможно придерживаться молекулярной концепции, и частицы должны представлять собой элементы более крупного масштабного
уровня (мезоуровня), такие как, например, зерна материала. Такой подход начал интенсивно развиваться в последние годы в механике [8] как альтернатива континуальному описанию материалов при сильном деформировании и разрушении. Подобный метод часто, по традиции, также называют молекулярной динамикой, хотя более правильно говорить о динамике мезочастиц.
Бурное развитие вычислительной техники позволило на новом уровне вернуться к проблеме описания сред с микроструктурой, дополняя компьютерным моделированием решение проблем, недоступных для аналитического решения. Компьютерное моделирование становится важным звеном, занимающим промежуточное положение между теорией и реальным экспериментом. Основываясь на теоретических моделях, компьютерный эксперимент осуществляется в результате численного расчета, где сложность модели может сколь угодно увеличиваться по мере развития вычислительных средств, что дает возможность добиваться все более точного соответствия условиям экспериментальных исследований. Таким образом, с одной стороны, повышаются возможности теоретических исследований, а с другой стороны, появляется возможность многократно дублировать дорогостоящие экспериментальные исследования. Не имея возможности существовать независимо от аналитической теории, создающей расчетную модель, и эксперимента, обеспечивающего соответствие между моделью и реальностью, компьютерное моделирование оказывается важным звеном, объединяющим теорию и эксперимент.
Несомненное преимущество метода частиц по сравнению с методами, основанными на концепции сплошной среды, заключается в том, что он требует значительно меньше априорных предположений о свойствах материала. Действительно, использование только простейшего потенциала взаимодействия (например, типа Леннарда-Джонса) позволяет моделировать такие сложнейшие эффекты, как пластичность, образование трещин, разрушение, температурное изменение свойств материала, фазовые переходы. Для описания каждого из этих эффектов в рамках сплошной среды требуется отдельная теория, в то время как при моделировании методом частиц эти эффекты получаются автоматически, в результате интегрирования уравнений движения. В частности, необратимость механических процессов достигается за счет перехода механической энергии длинноволновых движений материала в тепловую энергию хаотического движения частиц.
Для иллюстрации сказанного запишем уравнения, использующиеся при решении задач методом динамики частиц. Рассматривается совокупность из N взаимодействующих материальных точек (частиц), находящихся также под действием некоторого внешнего силового поля. Уравнения движения частиц имеют вид
NN
тгк =工 Ф(гы)гы + 工 ^(rkn,vkn)rkn +(p(rk) + 也(弘,宜卜)，(1.4)
n=ln=l
где dk н 宜卜 ——векторы положения и скорости k-й частицы, defdefdef ,,def ।।
Г/сп =— Ukn =宜 krkn = \Гкп |, ^kn = | 宜
m — масса частицы, Ф(г) и W(『，o) описывают консервативную и неконсервативную составляющие взаимодействия между частицами,夕(？) и ^(r, v) описывают внешние консервативное и неконсервативное силовые поля. В уравнениях (1.4) учитывается только парное силовое взаимодействие между частицами. В более общих моделях рассматривается парное моментное взаимодействие или непарное многочастичное взаимодействие. Рассмотрим подробнее силовые факторы. Консер-
вативная составляющая взаимодействия Ф(г) определяется следующим образом:
吧:/6，貝广)吧一П‘m， (1.6)
где /(г) — скалярная сила взаимодействия между частицами, 口(广)—потенциал взаимодействия. Величина Ф(г) является важнейшим силовым фактором, во многих задачах по моделированию все остальные силовые факторы в уравнениях (1.4) отбрасываются и рассматривается чисто консервативная система взаимодействующих частиц.
Неконсервативная составляющая взаимодействия W(『，o) предназначена для описания внутренней диссипации в материале, во многих задачах она может отсутствовать. Внешние силовые поля 夕(？) и ф(г, v) обычно используются для двух целей: для задания внешних массовых силовых воздействий (гравитационного, электромагнитного) и для задания силовых граничных условий. В первом случае указанные силы распределены во всем объеме пространства, где проводится расчет, во втором случае они локализованы вблизи некоторых поверхностей, часто являющихся границами области расчета. Кроме того, неконсервативное воздействие 2(乙宜)часто используется для отвода энергии из системы посредством внешней диссипации, простейшим вариантом которой являются силы вязкого трения
^r,v) = -Bv, В > 0. (1.7)
Данное воздействие также используется для поддержания определенного уровня теплового движения в системе, в этом случае коэффициент В в формуле (1.7) является знакопеременным и зависит от уровня тепловой энергии всей системы.
Моделирование методом частиц с математической точки зрения представляет собой решение задачи Коши для уравнений (1.4). Начальные условия включают в себя координаты и скорости каждой частицы. Генерация начальных условий является отдельной и весьма нетривиальной задачей, так как начальное расположение частиц и их скорости существенно влияют на свойства полученного компьютерного материала. Задание начальных условий происходит на двух масштабных уровнях, которые условно можно назвать макро- и микроскопическим. На макроскопическом уровне задается внешняя форма объектов моделирования и их макроскопические скорости. На микроуровне задается вид упаковки частиц (структура материала) и скорости хаотического движения (тепловое движение). Скорость каждой частицы в начальный момент времени складывается из макроскопической скорости, мало изменяющейся от частицы к частице, и случайной компоненты, получаемой при помощи генератора случайных чисел. Случайная компонента характеризуется заданным значением дисперсии или среднеквадратического отклонения, определяющим интенсивность хаотического (теплового) движения.
Потенциал взаимодействия в динамике частиц играет такую же роль, что и определяющие уравнения в механике сплошной среды. Однако структура потенциала неизмеримо проще, чем у определяющих уравнений, так как он представляет собой скалярную функцию расстояния, в то время как определяющие уравнения представляют собой операторы, в которые входят тензорные характеристики напряженного состояния и деформирования, а также термодинамические величины. Конкретный вид потенциала взаимодействия частиц определяется из сравнения механических свойств компьютерного и реального материалов. Для простейших характеристик, таких как, например, упругие модули, это сравнение может быть
проведено аналитически. В остальных же случаях соответствие устанавливается на основе тестовых компьютерных экспериментов.
Отметим, что для моделирования нелинейных процессов в сплошных средах применяется также семейство методов, в которых частицы используются как численный прием для интегрирования континуальных уравнений динамики сплошной среды, что отличает их от метода частиц, рассматриваемого в данной работе. Это метод частиц в ячейках М. Эванса и Ф. Харлоу, метод крупных частиц О. М. Белоцерковского и Ю. М. Давыдова, метод гидродинамики гладких частиц и другие методы. В перечисленных методах за основу берутся континуальные уравнения сплошной среды, а частицы играют роль дискретных элементов, позволяющих свести уравнения в частных производных к разностной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. По своей сути эти методы являются континуальными, дискретность в них чисто вычислительная. Метод частиц и метод молекулярной динамики, рассматриваемые в данной работе, отличаются от перечисленных методов тем, что в них за основу берутся уравнения движения самих частиц (обыкновенные дифференциальные уравнения), определяемые балансом количества движения и потенциалом взаимодействия между частицами, т. е. данные методы являются истинно дискретными. Отметим, однако, что, как было показано В. Хувером, при определенном выборе параметров моделирования метод гидродинамики гладких частиц (континуальный) и метод молекулярной динамики (дискретный) могут давать идентичные траектории частиц. Все это свидетельствует о глубинном родстве перечисленных методов и возможной эквивалентности микро- и макроскопических подходов.
Ограниченное применение метода частиц в механике твердого тела и наномеханике до настоящего времени связано с тем, что этот метод требует значительных компьютерных ресурсов. Интенсивное развитие многопроцессорных вычислительных систем в России, в частности разработка многопроцессорных вычислительных технологий под руководством А. В. Забродина в Институте прикладной механики им. М. В. Келдыша [9], делает возможным моделирование механических свойств материалов на различных масштабных уровнях с высокой степенью достоверности. Метод частиц обладает тем преимуществом, что, в силу ограниченности радиуса взаимодействия между частицами, он допускает почти полное распараллеливание процессов, происходящих в смежных областях пространства. Это позволяет эффективно применять данный метод на многопроцессорных вычислительных системах, полностью реализуя их возможности по увеличению быстродействия и управлению большими объемами данных.
Учет моментного взаимодействия на наноуровне. Парные потенциалы взаимодействия, такие как потенциал Леннарда-Джонса, Ми или Морзе, широко применяются для моделирования молекулярных систем. Они имеют ясный физический смысл, и, несмотря на свою простоту, позволяют на качественном уровне описать свойства многих веществ. Однако хорошо известно, что они имеют принципиальные недостатки, не позволяющие использовать их более широко. Одним из важнейших недостатков является то, что парные потенциалы, как правило, могут обеспечить устойчивость только плотноупакованных кристаллических решеток. В двумерном случае это треугольная решетка, в трехмерном — гранецентрированная кубическая или какая-либо аналогичная ей решетка. Решетки с более низкой плотностью упаковки, такие как простая кубическая решетка, оказываются неустойчивыми и в двумерном, и в трехмерном случае для большинства парных потенциалов. Причина этого состоит в том, что расстояние между вторыми соседями (по диагоналям куба) оказывается на неустойчивом участке диаграммы сила-
расстояние. Иными словами, при увеличении расстояния возникает не возвращающая, а дестабилизирующая сила. Это приводит к тому, что, например, деформирование квадратной ячейки в ромбическую оказывается энергетически выгодным. Также неустойчивыми оказываются структуры, характерные для ковалентных кристаллов —шестиугольная решетка на плоскости (структура графита) и структура алмаза в пространстве. Традиционное решение этой проблемы состоит в применении многочастичных потенциалов взаимодействия [10]. Подобные потенциалы зависят от углов между связями, что позволяет сделать устойчивыми структуры с низкой плотностью заполнения. Однако форма подобных потенциалов оказывается весьма сложной, а физический смысл входящих в них констант — туманным. Константы вычисляются из соответствия физическим свойствам моделируемых веществ, однако при переходе от одной кристаллической структуры к другой (скажем, графит-алмаз) приходится полностью менять потенциал взаимодействия.
Альтернативный подход состоит в учете моментного вклада в межатомное взаимодействие. Известно, что ковалентные связи направленные, что свидетельствует о возможности передачи ими моментных взаимодействий. Необходимость учета моментного взаимодействия давно подтверждена для описания полимеров, где без учета торсионного взаимодействия (взаимодействия, отвечающего повороту вокруг направления связи) невозможно адекватно описать структурные свойства полимерных молекул. В работе [11] показано, что учет парного моментного взаимодействия (дополнительно к парному силовому) может обеспечить устойчивость кристаллических структур с низкой плотностью упаковки. Моментное взаимодействие имеет ясный физический смысл, что делает его более предпочтительным, чем многочастичное взаимодействие.
Модель формирования неуглеродной нанотрубки
Впервые нанотрубки были обнаружены в 1991 г. при электродуговом разряде между графитовыми углеродами. С этого времени начинаются интенсивные исследования их свойств и способов получения. Благодаря своим необычным свойствам нанотрубки нашли широкое практическое применение и стали основой многих технологических решений. Однако с момента открытия нанотрубок перед исследователями стоит ряд вопросов, важных для перспектив их практического использования, связанных с природой и механизмом их формирования, прогнозированием их физико-механических свойств. Ответ на некоторые из этих вопросов может быть получен в рамках механики. Существуют различные способы получения неуглеродных нанотрубок. В рамках этой статьи продемонстрируем применение методов механики сплошных сред к задачам нанотехнологии на примере моделирования процесса формирования неуглеродных нанотрубок, основанного на принципе свертывания нанопленок, например, на основе InGaAs/GaAs, используемых для создания масок для полупроводниковых наногетероструктур [12],[15], или же на основе оксидов (например, MgO/SiO2), которые могут использоваться в качестве наполнителей при изготовлении композитов, и др. В [15, 16] был предложен способ создания трехмерных наноструктур на основе свободных напряженных гетеропленок. Технологическое решение задачи изготовления подобных структур основано на способности напряженных наномасштабных структур к самоорганизации. Неуглеродные нанотрубки представляют собой двух- и/или многослойные структуры с отличающимися по слоям постоянными кристаллических решеток. Процесс изготовления подобных нанотрубок может быть схематично описан следующим образом: на подложку через тонкий промежуточный слой последовательно
наносятся наномасштабные слои с различными постоянными кристаллической решетки. В простейшем случае двуслойной структуры верхний слой имеет меньшую постоянную решетки, чем расположенный под ним слой. В результате образуется напряженная наногетероструктура, удерживаемая в плоском состоянии подложкой. Затем вспомогательный слой удаляется, например травлением или каким- либо иным способом, и после освобождения от удерживающих связей предварительно напряженный бислой сворачивается в трубку, диаметр которой может быть оценен через величину рассогласования кристаллических решеток и параметры (толщины и упругие постоянные) образующих его слоев. Заметим, что в силу наномасштабности слоев используемые при моделировании постоянные материала отличаются от объемных постоянных и должны соответствовать данному масштабу нанострутуры [3, 13]. Управляя процессом отслоения можно обеспечить устойчивость формирования нанотрубки. Процесс отслоения бислоя от подложки может быть рассмотрен как процесс разрушения, инициированный ослаблением связей между бислоем и подложкой. Могут быть определены условия, при которых может начаться процесс отслоения и геометрические параметры сформировавшейся нанотрубки. Описание собственно динамики процесса отслоения в рамках механики разрушения является сложной математической задачей. Однако в зтом случае наномасштабность слоя несколько упрощает задачу и дает возможность в рамках «балочной» модели разрушения методами классической механики при помощи уравнений Лагранжа второго рода смоделировать процесс сворачивания двухслойной сверхнапряженной пластины в нанотрубку. Ограничиваясь всего двумя лагранжевыми переменными: длиной отслоившейся части и текущей кривизной образующейся нанотрубки, удается описать динамику процесса и оценить влияние свойств и толщин слоев на формируемую наноструктуру. Управляя скоростью отслоения на основе построенного решения, удается определить максимальную скорость отслоения, обеспечивающую устойчивость формирования нанотрубки. Обычно процессы отслоения происходят в жидкой среде. Скорость формирования нанотрубки зависит от лобового сопротивления жидкости и присоединенной массы, влияние которых может быть учтено введением в правую часть уравнения обобщенных сил, определяемых сопротивлением среды закручиванию напряженного слоя в нанотрубку. Сформировавшаяся нанотрубка может состоять из нескольких витков исходного напряженного гетерослоя, на поверхностях которого могут возникать значительные контактные напряжения, существенно влияющие на физико-химические свойства нанотрубки.
Постановка задачи. При построении механической модели рассмотрим тонкую двухслойную пластину ДЛИНЫ L С упругими модулями 石1, V\ И 石2, ^2・ Считаем промежуточный жертвенный слой бесконечно тонким, а подложку абсолютно жесткой, что дает право моделировать ее жестким полупространством. Первый слой пластины толщины 九i прикреплен к жесткому полупространству, второй же слой толщины 九2, имеющий предварительную начальную деформацию растяжения во, идеально соединен с первым слоем (по плоскости у = 0). Таким образом, в исходном состоянии механическая система представляет собой напряженный бислой, удерживаемый связями по границе жесткого полупространства. Предположив, что радиус образующейся при отслоении от полупространства трубки много больше толщины исходного бислоя, будем считать его постоянным по всей длине в каждый момент времени. Полагаем также, что при изгибе данной пластины справедлива гипотеза плоских сечений.
Пусть участок пластины длины I отслоился и свернулся в кольцо радиуса R. Пусть в и ас = 1 /R — деформации растяжения и изгиба нейтрального слоя. Тогда
плотность потенциальной энергии изогнутой в кольцо пластины такова:
П（£о,£,庆）=П（£о,£,庆）=Ei2(1 一疗)Ei2(1 一疗)-—d九2 一 d■]ку)2 dy +г] I (£о + £ —攸产匈L _加—d-d'-—d九2 一 d■]ку)2 dy +г] I (£о + £ —攸产匈L _加—d-d'(2.1)(2.1)
П（£о,£,庆）=
П（£о,£,庆）=
Ei
2(1 一疗)
Ei
2(1 一疗)
-—d九2 一 d■
]ку)2 dy +г] I (£о + £ —攸产匈
L _加—d-d'
-—d九2 一 d■
]ку)2 dy +г] I (£о + £ —攸产匈
L _加—d-d'
(2.1)
(2.1)
Здесь d — расстояние нейтральной оси до плоскости у = 0, определяемое упругими постоянными и толщинами пластин:
/ = (§24 - 1)瓜=e2(1 一疗) c = &
2(1+^) 5
Квадратичную форму П переменных £о, £ 以 庆 представим в виде
гдегдеn = (aнe2 +a22居儿2 +a10空0 +a20加ае0) /"儿2、+ 口0, 2(1 -По =九 2rап = 1 + 5，аю = 2£〃，2(1 -也)n = (aнe2 +a22居儿2 +a10空0 +a20加ае0) /"儿2、+ 口0, 2(1 -По =九 2rап = 1 + 5，аю = 2£〃，2(1 -也)a22 =a22 =l + (4 + 6§ + 4C)〃 + U〃212(1+5)l + (4 + 6§ + 4C)〃 + U〃212(1+5)a20 =-a20 =-5(1 + 81 +⑴5(1 + 81 +⑴(2.2)(2.2)
где
где
n = (aнe2 +a22居儿2 +a10空0 +a20加ае0) /"儿2、+ 口0, 2(1 -
По =九 2rап = 1 + 5，аю = 2£〃，
2(1 -也)
n = (aнe2 +a22居儿2 +a10空0 +a20加ае0) /"儿2、+ 口0, 2(1 -
По =九 2rап = 1 + 5，аю = 2£〃，
2(1 -也)
a22 =
a22 =
l + (4 + 6§ + 4C)〃 + U〃212(1+5)
l + (4 + 6§ + 4C)〃 + U〃212(1+5)
a20 =-
a20 =-
5(1 + 81 +⑴
5(1 + 81 +⑴
(2.2)
(2.2)
Заданием величин /, £ n 庆 однозначно определяется и положение, и напряженно-деформированное состояние во всех точках пластины. Следовательно, величины /, £ п 庆 можно рассматривать как обобщенные лагранжевы кординаты.
Потенциальная энергия пластины V и возможная элементарная работа 6А, затрачиваемая на отслоение, в этих координатах таковы:
L-lL
(2.3)(2.3)V = I По dx + I II(£o, 庆)dz,0L-l
(2.3)
(2.3)
ЗА = -)8/ при 61 > 0, 0 = 0 при 61 < 0.(2.4)
Здесь 7 — плотность энергии, необходимая для образования трещины единичной длины, т. е. аналог плотности поверхностной энергии Гриффитса.
Из принципа возможных перемещений, записанного в обобщенных координатах I, £ к к, следует, что уравнения равновесия имеют вид
国= 涼(2・5)
Полагая, что / 市 0, получаем при равновесии
* —”—(i+а“(26)
口* = 口(£o, £*,庆*) = [1 — ] ；"§〃( 1 + 夕)]口0，
А(1+р)По<7.(2.7)
Здесь°
=口(0,0…)=3(1+抒间 ox
0一口(0金,0) - 1 + (4 + 68 + 线2)〃 + 84〃2・
Динамика изменения радиуса нанотрубки при заданном законе отслоения. При описании динамики изменения радиуса нанотрубки функциями времени будем считать только координаты I и R, величину же £ будем полагать равной £о・
Пусть s — лагранжева координата рассматриваемого поперечного сечения пластины, равная длине дуги, отсчитываемой от конца отслоившейся части. Декартовы координаты данного сечения могут быть представлены в виде
х = L — / + R • sin ———, 0《s < I, x = L — < s《L〉
у = R・у = R・0 s < l, у = 0, I < s L.0 s < l, у = 0, I < s L.(2.9)(2.9)
у = R・
у = R・
0 s < l, у = 0, I < s L.
0 s < l, у = 0, I < s L.
(2.9)
(2.9)
Скорость этого сечения в декартовых координатах может быть выражена через I, R и скорости изменения этих величин:
х = I'х = I'(cos^T)+瓦(cos^T)+瓦l - 6 l — 6 cosl - 6 l — 6 cosУ = / • smУ = / • sm+耳+耳11(2.Ю)(2.Ю)
х = I'
х = I'
(cos^T)+瓦
(cos^T)+瓦
l - 6 l — 6 cos
l - 6 l — 6 cos
У = / • sm
У = / • sm
+耳
+耳
1
1
(2.Ю)
(2.Ю)
Из этих формул следует, что заданием величин /(方)и R(t) однозначно определяется положение всех точек системы, причем как тех, которые находятся в движении, так и находящихся в покое. Следовательно, динамика изменения координат Z(方)и R(方)может быть описана уравнениями Лагранжа второго рода.
Из выражений (2.10) следует, что кинетическая энергия системы такова:
т =(01 加 + 02 九2)(/ — R sin ^)［庐 + 丘斗一历(^^ — I sin ^ — R COS + r\ +
+岳+岳—R sin — + I cos —).—R sin — + I cos —).(2.H)(2.H)
+岳
+岳
—R sin — + I cos —).
—R sin — + I cos —).
(2.H)
(2.H)
Здесь 0i н 02 — плотности первого и второго слоя соответственно. При отслоении по закону
(2.12)(2.12)I — Iq ~\~ Iq ' t
(2.12)
(2.12)
изменения радиуса нанотрубки описываются уравнением только по координате R: ^- fl = -f^+Resist-(2.13)
Входящая в правую часть уравнения (2.13) функция Resist определяется сопротивлением среды, которое будет введено ниже.
Функция 11(£о,£*, 1/R), входящая в выражение (2.3), как следует из формул (2.1), (2.2), (2.5), (2.6), (2.8), может быть представлена в виде
11 = (一嗇)"豈^ 。口。，⑵ 14)
где R* = 1/庆*.
ZR,ZR,(2.15)(2.15)п 。5п 。5(01 広 + 02九2)А： (1 + §〃)(01 広 + 02九2)А： (1 + §〃)(2.16)(2.16)и затем положив в немdg _ Zo dr gR*'и затем положив в немdg _ Zo dr gR*'般9而2 ， 而 dg而，般9而2 ， 而 dg而，d2 r _ d2 r d<2 d.d2 r _ d2 r d<2 d.22(2.17)(2.17)и пренебрегая влияниеми пренебрегая влияниемсреды, в которойсреды, в которойт. е. считая Resist = 0, придем к уравнениют. е. считая Resist = 0, придем к уравнениюпроисходит формирование нанотрубки,происходит формирование нанотрубки,2厂〃夕一2厂〃夕一2『sin 工 I 彳 + 夕 cos 工)+ r,2(2— cos — - 2 sin — +sin — - |+产r /\ r rrT3产/2『sin 工 I 彳 + 夕 cos 工)+ r,2(2— cos — - 2 sin — +sin — - |+产r /\ r rrT3产/+ sin — - — + 2 rz (1 - cos — - — sin — ++ sin — - — + 2 rz (1 - cos — - — sin — +49(1 - r)49(1 - r)г тг тг г гг г г2 3 q г2 3 q г.(2.18).(2.18)Записав, используя выражения (2.10), (2.3) и (2.13), уравнение (2.12) в безразмерных переменных:
ZR,
ZR,
(2.15)
(2.15)
п 。5
п 。5
(01 広 + 02九2)А： (1 + §〃)
(01 広 + 02九2)А： (1 + §〃)
(2.16)
(2.16)
и затем положив в нем
dg _ Zo dr gR*'
и затем положив в нем
dg _ Zo dr gR*'
般9
而2 ， 而 dg而，
般9
而2 ， 而 dg而，
d2 r _ d2 r d<2 d.
d2 r _ d2 r d<2 d.
2
2
(2.17)
(2.17)
и пренебрегая влиянием
и пренебрегая влиянием
среды, в которой
среды, в которой
т. е. считая Resist = 0, придем к уравнению
т. е. считая Resist = 0, придем к уравнению
происходит формирование нанотрубки,
происходит формирование нанотрубки,
2厂〃夕一
2厂〃夕一
2『sin 工 I 彳 + 夕 cos 工)+ r,2(2— cos — - 2 sin — +sin — - |+
产r /\ r rrT3产/
2『sin 工 I 彳 + 夕 cos 工)+ r,2(2— cos — - 2 sin — +sin — - |+
产r /\ r rrT3产/
+ sin — - — + 2 rz (1 - cos — - — sin — +
+ sin — - — + 2 rz (1 - cos — - — sin — +
49(1 - r)
49(1 - r)
г т
г т
г г г
г г г
2 3 q г
2 3 q г
.(2.18)
.(2.18)
Здесь qЗдесь q=巫 Jo_^ aR*=巫 Jo_^ aR*гдегдеvn = I sin ^-^ -丘(1 - cos ^-^vn = I sin ^-^ -丘(1 - cos ^-^(2.19)(2.19)
Здесь q
Здесь q
=巫 Jo_
^ aR*
=巫 Jo_
^ aR*
где
где
vn = I sin ^-^ -丘(1 - cos ^-^
vn = I sin ^-^ -丘(1 - cos ^-^
(2.19)
(2.19)
—параметр, определяемый заданной скоростью отслоения,
толщинами и упругими модулями слоев пластины.
Учет влияния среды на формирование нанотрубки. В вышеприведенных уравнениях не учтено влияние среды, в которой происходит формирование нанотрубки. Так как обычно процессы отслоения происходят в жидкой среде, влияние на скорость формирования трубки будут оказывать лобовое сопротивление жидкости и присоединенная масса. Это влияние может быть учтено введением в правую часть уравнения обобщенных сил Resist, определяемых сопротивлением среды закручиванию напряженного слоя в нанотрубку. Сопротивление, оказываемое жидкостью на элементарную площадку ds, определяется лобовым сопротивлением
12
Plob = — 2 0/ •
и присоединенной массой
夕inert = * 0/ •。冷，
где А — волновое число, определяемое формой поверхности.
Обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате R, определяется соотношением при закручивании трубки менее чем на полоборота (Z < тгД):
(2.20)(2.20)I(Plob + 夕inert) ° (cOS 区 —1) ds.0
(2.20)
(2.20)
При дальнейшем заворачивании трубки, т. е. /〉тгД, предполагаем, что лобовое сопротивление определяется текущим диаметром нанотрубки.
Сопротивление, определяемое вторым слагаемым в (2.20) (присоединенная масса), практически не меняется после формирования первого витка трубки (I > 2тгД) и может быть оценено через присоединенную массу цилиндра радиуса R, движущегося в жидкости, и массу жидкости внутри трубки, которая также практически не меняется.
Анализ динамики изменения радиуса нанотрубки. При численном решении уравнения (2.18) предполагалось, что в начальный момент существует небольшое начальное отклонение с кривизной, равной равновесной кривизне сформировавшейся нанотрубки. То есть уравнение (2.18) интегрировалось при начальных данных
广(00)= 1,户(00) = 0,00 « 1・
Уравнение (2.18) содержит один параметр q, который может быть представлен в виде
где icrit назовем критической скоростью, определяемой соотношением
'crit = & R* •
Влияние отношения，o/，crit на характер изменения радиуса нанотрубки показано на рис. 1-8. Заметим, что численный анализ показал, что начальное отслоение незначительно влияет на закон изменения радиуса формирующейся трубки и что при 办 W Zcrit радиус ограничен:厂(夕)< 2, а при 办 > 厶「让 радиус нанотрубки монотонно возрастает.
г 7
1.010205145 1.010205145
а6
Рис. 3. График изменения радиуса трубки в зависимости от времени при скорости отслоенияq = 0.2 (а — без учета влияния среды, 6 — с учетом влияния среды)
Из рпс.3,а; 4, а следует, что при 夕—оо система выходит на стационарный
режим, при которомрежим, при котором丁(夕)=厶， г, = г" = 0.丁(夕)=厶， г, = г" = 0.
режим, при котором
режим, при котором
丁(夕)=厶， г, = г" = 0.
丁(夕)=厶， г, = г" = 0.
1.1111111111.111111111Рис. 4. График изменения радиуса трубки в зависимости от времени при скорости отслоения q = 0.6 (а — без учета влияния среды, 6 — с учетом влияния среды)Рис. 4. График изменения радиуса трубки в зависимости от времени при скорости отслоения q = 0.6 (а — без учета влияния среды, 6 — с учетом влияния среды)d (nm)d (nm)d—К? (щ11Tб)d—К? (щ11Tб)ааРис. 5. Зависимость микротвердости от размера зерна для разных атомных плотностей границ (разных q) в нанокристаллических Си (а) и Fe (6) [24]. Значения q проставлены на кривых. Экспериментальные точки взяты из работ [21] (а) и [22] (6)Рис. 5. Зависимость микротвердости от размера зерна для разных атомных плотностей границ (разных q) в нанокристаллических Си (а) и Fe (6) [24]. Значения q проставлены на кривых. Экспериментальные точки взяты из работ [21] (а) и [22] (6)d (nm)d (nm)66
1.111111111
1.111111111
Рис. 4. График изменения радиуса трубки в зависимости от времени при скорости отслоения q = 0.6 (а — без учета влияния среды, 6 — с учетом влияния среды)
Рис. 4. График изменения радиуса трубки в зависимости от времени при скорости отслоения q = 0.6 (а — без учета влияния среды, 6 — с учетом влияния среды)
d (nm)
d (nm)
d—К? (щ11Tб)
d—К? (щ11Tб)
а
а
Рис. 5. Зависимость микротвердости от размера зерна для разных атомных плотностей границ (разных q) в нанокристаллических Си (а) и Fe (6) [24]. Значения q проставлены на кривых. Экспериментальные точки взяты из работ [21] (а) и [22] (6)
Рис. 5. Зависимость микротвердости от размера зерна для разных атомных плотностей границ (разных q) в нанокристаллических Си (а) и Fe (6) [24]. Значения q проставлены на кривых. Экспериментальные точки взяты из работ [21] (а) и [22] (6)
d (nm)
d (nm)
6
6
Из уравнения (2.16) следует, что величина г* является корнем уравнения
ОтсюдаОтсюда(2.21)(2.21)
Отсюда
Отсюда
(2.21)
(2.21)
£0«б① up』Bqo』oIW£0«б① up』Bqo』oIWd (nm)d (nm)尸/2 (nm-1/2)尸/2 (nm-1/2)Рис. 6. Зависимость микротвердости образцов нанокристаллического NiAl в свежеизготов- ленном (пустые квадраты — эксперимент [29], штриховая линия — теория [26]) и отожженном (черные квадраты — эксперимент [29], сплошная линия — теория [26]) состояниях от среднего размера зернаРис. 6. Зависимость микротвердости образцов нанокристаллического NiAl в свежеизготов- ленном (пустые квадраты — эксперимент [29], штриховая линия — теория [26]) и отожженном (черные квадраты — эксперимент [29], сплошная линия — теория [26]) состояниях от среднего размера зерна
£0«б① up』Bqo』oIW
£0«б① up』Bqo』oIW
d (nm)
d (nm)
尸/2 (nm-1/2)
尸/2 (nm-1/2)
Рис. 6. Зависимость микротвердости образцов нанокристаллического NiAl в свежеизготов- ленном (пустые квадраты — эксперимент [29], штриховая линия — теория [26]) и отожженном (черные квадраты — эксперимент [29], сплошная линия — теория [26]) состояниях от среднего размера зерна
Рис. 6. Зависимость микротвердости образцов нанокристаллического NiAl в свежеизготов- ленном (пустые квадраты — эксперимент [29], штриховая линия — теория [26]) и отожженном (черные квадраты — эксперимент [29], сплошная линия — теория [26]) состояниях от среднего размера зерна
Второй корень 『** уравнения (2.19) не рассматривается, так как г^ — оо при q — 0.
Критической скоростью отслоения Zcrit является такая скорость, при превышении которой в квазистатике (R = const) силы инерции вращательного движения превосходят силы упругости при всех R > R*, так как максимум функции /(г)= = 4(广—1)/广2 равен единице.
Из формул (2.6), (2.8) и (2.15) вытекает, что критическая скорость отслоения следующим образом зависит от параметров системы:
杀二e2求(1+а，з公
cnt2J(i + 切)(1 + 叟铝 +(4 + 6§ + 线2)〃 +
где
В частности, при £ = 〃 =《=1,5 = С2 = с имеем
^crit = -С£0・
Заметим, что в этом случае критическая скорость отслоения зависит от предварительной деформации и скорости звука в пластине и не зависит от геометрических размеров пластины.
0.00.10.20.30.4
d-i/2（口m一勺
Рис. 7. Зависимость предела текучести от среднего размера зерна для чистой меди. Даныэкспериментальные точки из [22, 30-33] и теоретические кривые [28]. Сплошная криваяполучена с учетом диффузии по тройным стыкам границ зерен, штриховая — без учета.Пунктирная прямая — классическая зависимость Холла-Петча
Рис. 8. Модель появления сидячей дислокации в тройном стыке границ зерен в результате реакции между скользящими зернограничными дислокациями при сверхпластической деформации [42, 43]. Каждый последующий проход дислокаций через тройной стык увеличивает вектор Бюргерса сидячей дислокации, вызывает миграцию самого тройного стыка и рост угла раствора между границами зерен в стыке
На рис. 3, 6; 4, 6 приведены также графики изменения радиуса трубки при учете сопротивления (лобового) среды, в которой происходит формирование нанотрубки. Сравнение результатов расчетов без учета сопротивления среды и с учетом показывает, что при учете сопротивление формирование трубки не успевает за отслоением уже при q ~ 0.64.
Таким образом, анализ решения задачи формирования нанотрубки при заданной скорости отслоения показывает, что существует предельная скорость отслоения, зависящая от соотношения упругих параметров и толщин слоев, при превышении которой формирование трубки не успевает за отслоением напряженного слоя от подложки. Последствия этого отставания могут быть различны. Если длина отслоившейся части больше двух длин окружности равновесной трубки, то сформировавшаяся при этом структура может отличаться от трубки. Если эти величины одного порядка, то отслоившаяся структура после завершения отслоения может находится в колебательном (с затуханием) режиме. Учет сопротивления среды приводит к замедлению формирования нанотрубки и к уменьшению предельной скорости почти в два раза.
Особенности пластической деформациив нанокристаллических материалах
Структурные особенности типичных нанокристаллических материалов (НКМ) с размером зерна порядка 5-30 нм, в частности малый размер зерен, большая (иногда до 50%) объемная доля межзеренной фазы и высокая пористость этой фазы, приводят к тому, что в НКМ ведущую роль играют те механизмы пластической деформации, которые в обычных крупнозернистых материалах проявляются достаточно редко, при особых условиях нагружения. К таким механизмам относят интенсивное межзеренное скольжение, диффузионную ползучесть по границам зерен и их тройным стыкам, а также ротационную деформацию [18, 19]. Активизация этих механизмов отражается на макроскопических характеристиках образцов НКМ. К наиболее ярким эффектам можно отнести отклонения от классического закона Холла-Петча, который устанавливает линейную зависимость предела текучести или напряжения течения материала от обратного квадратного корня из размера зерна, ту 〜kd~x^, где к — коэффициент Холла-Петча, справедливую для большинства крупнозернистых материалов. Испытания на микротвердость уже первых образцов нанокристаллических металлов, полученных в конце 80-х годов прошлого века, показали значительные отклонения от закона Холла-Петча: коэффициент к сильно уменьшался [20, 21] или даже менял знак [22, 23]. В последующие годы эти первые наблюдения получили подтверждение в большом количестве экспериментов (см. обзоры в [18, 19]), и проблема их объяснения стала весьма актуальной, причем дискуссия ведется до сих пор. Существующие на сегодня теоретические модели можно разделить на две основные группы.
К первой группе относятся модели, рассматривающие НКМ как композитный материал, состоящий из кристаллитной (внутризеренной) и зернограничной фаз. Иногда в рассмотрение в качестве отдельных фаз включаются также тройные стыки границ зерен и четверные узлы тройных стыков. Предел текучести такого композита записывается по какому-либо правилу смеси как сумма пределов текучести каждой из фаз, домноженных на весовые коэффициенты, которые в простейшем случае выбираются как объемные доли фаз, составляющих композит. Например, в одной из первых таких моделей [24] для внутризеренной фазы брался предел текучести обычного поликристалла, удовлетворяющего закону Холла-Петча,
а для межзеренной фазы — аналогичное соотношение с малыми поправочными множителями, учитывающими повышенную пористость границ зерен. Правило смеси, записанное по аналогии с правилом смеси для модуля сдвига композита с хаотически ориентированными включениями в виде сплющенных эллипсоидов (границ зерен), можно преобразовать к следующему упрощенному виду [24]:
= (3.1)
где 哺—некоторое напряжение «трения», необходимое для скольжения дислокаций в монокристаллической матрице, кт — коэффициент Холла-Петча для матрицы, q — безразмерная величина, меньшая единицы, которая характеризует влияние пористости, 5 — средняя толщина границ зерен. Выражение (1) описывает нелинейную зависимость ry{d~^2), достигающую максимума и затем убывающую в области малых d. Эта зависимость показала хорошее соответствие с результатами экспериментов [21] (рис. 5, а) и [22] (рис. 5, 6). Подробный разбор этой и более поздних моделей приведен в [18, 19].
Вторую группу составляют модели, основанные на детальном анализе физических механизмов пластичности в НКМ. Здесь можно выделить модели, описывающие изменения в поведении решеточных дислокаций в нанозернах (например, [25]), развитие межзеренного скольжения и миграции тройных стыков границ зерен [26], диффузионную ползучесть по границам зерен [27] и по их тройным стыкам [28]. Заметим, что в моделях последних лет [26-28] стали использоваться статистические методы, основанные на учете логнормального распределения зерен по размерам и предположении о том, что в относительно более крупных зернах пластическая деформация осуществляется путем обычного скольжения решеточных дислокаций, а в более мелких — одним из перечисленных механизмов. Усредненные выражения для предела текучести таких НКМ со случайным размером зерна показали хорошее соответствие с экспериментальными данными.
Например, на рис. 6 показаны теоретические и экспериментальные зависимости микротвердости от среднего размера зерна, полученные для образцов нано- кристаллического NiAl, испытанного в свежеизготовленном (штриховая линия) и отожженном (сплошная линия) состояниях [26]. Предполагалось, что в первом случае в мелких зернах основным механизмом пластической деформации является межзеренное скольжение и миграция тройных стыков границ зерен, что дает зависимость типа
+ (3.2)
а во втором — диффузионная ползучесть по границам зерен, которая дает
仆=^ + В足. (3.3)
Здесь Р, Q, S, А и В — комбинации параметров соответствующих моделей. В обоих случаях предполагалось, что в крупных зернах, в которых механизмом пластичности служит обычное решеточное скольжение, остается справедливым обычное соотношение Холла-Петча. Процедура осреднения предела текучести по размерам зерен с учетом логнормального их распределения приводит к кривым, показанным на рис. 2.
Аналогичный подход использовался в работе [28], где предполагалось, что в мелких зернах кроме диффузионной ползучести по границам зерен активную роль
играет также диффузионная ползучесть по тройным стыкам этих границ. Для такой ползучести характерна зависимость ту 〜d4.
Совместный учет обоих видов диффузионной ползучести в процедуре осреднения дает результат, показанный на рис. 7 для чистой меди. Благодаря учету ускоренной диффузии по тройным стыкам удалось существенно приблизить теоретическую кривую к экспериментальным точкам, взятым из работ [22, 31-33].
В то же время в такого рода моделях пока не нашли отражения такие важные факторы, как остаточная пористость по границам зерен, зарождение и скольжение частичных решеточных дислокаций, двойникование, распад малоугловых границ зерен, появление новых зерен и их вращение. Как показывают последние экспериментальные исследования и компьютерное моделирование, все эти явления в той или иной степени проявляются при деформации НКМ [19]. В настоящее время делаются первые попытки построения теоретических моделей, нацеленных на описание действия этих механизмов пластичности в НКМ, причем как в двумерной [19, 34-37], так и в трехмерной [38] постановке. В последнем случае речь идет о моделях гетерогенного зарождения скользящих петель различных (частичных решеточных, полных решеточных и зернограничных) дислокаций на уже существующих в НКМ дислокационных петлях.
Другой интересной и важной особенностью НКМ является то, что некоторые из них оказываются способны к сверхпластической деформации, причем при более низких температурах и более высоких скоростях деформации, чем традиционные мелкозернистые сплавы [39-41]. При этом поведение напряжения течения в процессе деформации качественно отличается от случая обычных материалов —сверхпластическая деформация НКМ сопровождается очень сильным упрочнением, при котором напряжение течения достигает очень высоких значений, и последующим длительным разупрочнением, которое заканчивается разрушением образца. Теоретические модели этих процессов были недавно предложены в работах [42, 43]. Они основаны на исследовании поведения зернограничных дислокаций, скользящих по границам зерен и вступающих друг с другом в реакции на их тройных стыках (рис. 8). В результате таких реакций на тройных стыках формируются сидячие зернограничные дислокации с увеличивающимся вектором Бюргерса (рис. 8, а, б), которые препятствуют скольжению новых зернограничных дислокаций (рпс.8,6). Это обеспечивает сильное упрочнение материала [21]. С другой стороны, скольжение зернограничных дислокаций приводит к миграции тройных стыков и увеличению угла раствора между границами зерен в стыке (рпс. 8, 6-е), что ведет к разупрочнению материала. Построенные теоретические зависимости напряжения течения от деформации [43] находятся в хорошем качественном соответствии с результатами измерений. Количественного согласия удается достичь при учете испускания сидячими зернограничными дислокациями полных скользящих решеточных дислокаций (рис. 9), которые обеспечивают локальную аккомодацию упругой энергии системы [44]. Сравнение результатов этой модели с экспериментальными данными [40], полученными на образцах нанокри- сталлического алюминия, показано на рис. 10. Видно, что теоретическая кривая лежит в том же диапазоне значений, что и экспериментальная. Зубчатость теоретической кривой связана с вкладом в сверхпластическую деформацию решеточного скольжения, когда каждое испускание решеточной дислокации сопровождается заметным падением величины напряжения. Нерешенной пока проблемой является учет возможности роста нанозерен в процессе сверхпластической деформации, отмеченного в некоторых экспериментах [41].
Рис. 9. Модель испускания решеточных дислокаций сидячими стыковыми дислокациями [44]
Рис. 10. Экспериментальная (штриховая линия) [40] и теоретическая (сплошная линия) [44] зависимости напряжения течения от деформации образца нанокристаллического алюминия
Заключение
Рассмотренные выше модели показывают, что при переходе к наноразмер- ным структурам необходимо учитывать изменение механических свойств этих структур. Применение методов механики деформируемого твердого тела должно осуществляться с учетом этих изменений.
Список литературы
Быков “.〃., Коновалов Д. Н. Особенности сопротивления вязкоупругих материалов при потере устойчивости тонкостенных конструкций 〃 Труды XXXVI Межд. семинара «Актуальные проблемы прочности», Витебск. 2000. С. 428-433.
Байдаровцев Ю.П., Савенков Г.Н., Тарасенко В. А. Метод определения прочностных характеристик ультратонких слоев 〃 Высокомолекулярные соединения. Серия А. 1999. Т. 41, №8. С. 1302.
Кривцов А.М., Морозов Н. Ф. О механических характеристиках наноразмерных объектов 〃①нзнка твердого тела. 2002. Т. 44, № 12. С. 2158-2163.
Кривцов А.М., Морозов Н. Ф. Две причины проявления масштабного фактора при описании механических свойств наноструктур / Сборник статей к 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского / Под ред. Д. М. Климова. М.: Физматлит, 2003. С. 485-488. 832 с.
Иванова £4, Кривцов А.М., Морозов Н.⑦.Особенности расчета изгибной жесткости нанокристаллов Ц Доклады Академии наук. 2002. Т. 385, № 4. С. 494-496.
Иванова £4, Кривцов А.М., Морозов Н. Ф., Фирсова А.Д. Учет моментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур 〃 Доклады Академии наук. 2003. Т. 391, №6. С. 455-458.
Allen М.Р., Tildesley А. К. Computer simulation of liquids. Oxford: Clarendon Press. 1987.
Кривцов A.M., Кривцова H.B. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела 〃 Дальневосточный математический журнал. 2002. Т. 3, № 2. С.254-276.
Забродин А. В. Супер ЭВМ МВС-100, МВС-1000 и опыт их использования при решении задач механики и физики 〃 Математическое моделирование. 2000. Т. 12, № 5.
Erkoc S. Empirical many-body potential energy functions used in computer simulations of condensed matter properties. Physics Reports. 1997. V. 278, № 2. P. 80-105.
Иванова E.A., Кривцов A.M., Морозов H.⑦.，Фирсова А.Д. Описание кристаллической упаковки частиц с учетом моментных взаимодействий 〃 Изв. РАН. Механика твердого тела. 2003. №4. С. 110-127.
Ивановский А. Л. Неуглеродные нанотрубки: синтез и моделирование 〃 Успехи химии. 2002. Т. 71, №3. С. 203-223.
Miller R.E., Shenoy У. В. Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements 〃 Nanotechnology. 2002. №11. P. 139-147.
Кривцов 47И., Морозов H. Ф. Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов 〃 ДАН. 2001. Т. 381, № 3. С. 825-827.
Prinz У. М., Griltzmacher D., Beyer A., David С., Ketterer В. A new technique for fabricating three dimensional micro- and nanostructures of various shapes 〃 Nanotechnology. 2001. V. 12, №4. P. 399-402.
Prinz V. Ya., Chekhovskiy А. И, Preobrazhenskii V. И, Semyagin A.K., Gutakovsky B.R. A technique for fabricating InGaAs / GaAs nanotubes of precisely controlled lengths 〃 Nanotechnology. 2002. V. 13, № 2. P. 231-233.
Поляков H. H., Зегжда C.A., Юшков М.П. Теоретическая механика. М.: Высшая школа, 2000. 592 с.
Гуткин М. Ю., Овидько И. А. Физическая механика деформируемых наноструктур. Т. I. Нанокристаллические материалы. СПб: Янус, 2003. 194 с.
Gutkin М. Yu., Ovid'ko I. A. Plastic Deformation in Nanocrystalline Materials. Berlin- Heidelberg-N. Y.: Springer, 2004. 197 p.
Nieman G.眩，Weertman J.R., Siegel R. W. Microhardness of nanocrystalline palladium and copper produced by inert-gas condensation 〃 Scr. Metall. 1989. V. 23, № 12. P. 2013-2018.
Jang /. S. C., Koch С. C. The Hall-Petch relationship in nanocrystalline iron produced by ball milling 〃 Scr. Metall. Mater. 1990. V. 24. №8. P. 1599-1604.
Chokshi A.H., Rosen A., Karch Gleiter H. On the validity of the Hall-Petch relationship in nanocrystalline materials 〃 Scr. Metall. 1989. V. 23, № 10. P. 1679-1684.
Lu K., Wei W.D., Wang J. T. Microhardness and fracture properties of nanocrystalline Ni-P alloy 〃 Scr. Metall. Mater. 1990. V. 24, № 12. P. 2319-2323.
Gryaznov KG, Gutkin M. Yu., Romanov A.E., Trusov L.l. On the yield stress of nanocrystals 〃 J. Mater. Sci. 1993. V. 28, № 16. P. 4359-4365.
Pande C. S., Masumura R.A. Processing and Properties of Nanocrystalline Materials / Ed. C. Suryanarayana, J. Singh, F. H. Froes. Warrendale, PA, TMS, 1996. P. 387.
Gutkin М. Yu., Ovid'ko I.A., Pande С.S. Yield stress of nanocrystalline materials: Role of grain boundary dislocations, triple junctions and Coble creep 〃 Phil. Mag. 2004. V. 84, №9. P. 847-863.
Masumura R.A., Hazzledine P.M., Pande C. S. Yield stress of fine grained materials 〃 Acta Mater. 1998. V. 46, № 13. P. 4527-4534.
Fedorov A. A., Gut kin M. Yu., Ovid'ko /. A. Triple junction diffusion and plastic flow in fine-grained materials 〃 Scr. Mater. 2002. V. 47, № 1. P. 51—55.
Volpp Г, Goring E, Kuschke W. -M., Arzt E. Grain size determination and limits to Hall- Petch behavior in nanocrystalline NiAl powders 〃 Nanostruct. Maters. 1997. V. 8, № 7. P. 855-865.
Youngdahl C.J., Sanders P. G, Eastman J. A., Weertman J.R. Compressive yield strengths of nanocrystalline Cu and Pd 〃 Scr. Mater. 1997. V. 37, № 6. P. 809-813.
Suryariaray ana A., Frey C.A., Sastry S. M.L., Waller B.E., Bates S.E., Buhro W.E. Mechanical properties of nanocrystalline copper produced by solution-phase synthesis 〃 J. Mater. Res.,1996. V. 11, №2. P. 439-448.
Sanders P. G., Eastman J. A., Weertman J.R. Elastic and tensile behavior of nanocrystalline copper and palladium 〃 Acta Mater. 1997. V. 45, № 10. P. 4019-4025.
Sanders P. G., Eastman J.A., Weertman J.R. Tensile behavior of nanocrystalline copper 〃 In: Processing and Properties of Nanocrystalline Materials, ed. by C. Suryanarayana, J. Singh, F.H. Froes (TMS, Warrendale, PA 1996). P. 379-386.
Bobylev S. И, Gutkin M. Yu., (Md'ho /. A. Decay of low-angle tilt boundaries in deformed nanocrystalline materials 〃 J. Phys. D: Appl. Phys. 2004. V. 37, № 2. P. 269-272.
Bobylev S. И, Gutkin M. Yu., Ouid'ho /. A. Transformations of grain boundaries in deformed nanocrystalline materials 〃 Acta mater. 2004. V. 52, № 13. P. 3793-3805.
Гуткин M. Ю., Овидько И.А., Скиба H. В. Эмиссия частичных дислокаций границами зерен в нанокристаллических металлах 〃 ФТТ. 2004. Т. 46, № 11. С. 1975-1985.
Бобылев С.В., Гуткин M.Q., Овидько И.А. Цепной распад малоугловых границ наклона в нанокристаллических материалах 〃 ФТТ. 2004. Т. 46, №11. С. 1986-1990.
Гуткин М. Ю., Овидько И. А. Зарождение дислокационных петель и пластическая деформация нанокристаллических материалов 〃 Отправлено в Изв. АН. МТТ. 2004.
McFadden S. X, Mishra A. S., Valiev A.Z., Zhilyaev A.P., Mukherjee A. К. Low- temperature superplasticity in nanostructured nickel and metal alloys 〃 Nature. 1999. V. 398, № 6729. P. 684-686.
Mishra A. S., Valiev A.Z., McFadden S. X, Islamgaliev R.K., Mukherjee A.K. High- strain-rate superplasticity from nanocrystalline Al alloy 1420 at low temperatures 〃 Phil. Mag. A. 2001. V. 81, № 1. P. 37-48.
Mukherjee A.K. An examination of the constitutive equation for elevated temperature plasticity 〃 Mater. Sci. Eng. A. 2002. V. 322. P. 1-22.
Gutkin M. Yu., Ovid'ko Skiba N. V. Strengthening mechanism for high-strain-rate superplasticity in nanocrystaline materials 〃 J. Phys. D: Appl. Phys. 2003. V. 36, № 12. P. L47-L50.
Gutkin M. Yu., (Md'ho I.A., Skiba N. V. Strengthening and softening mechanisms in nanocrystalline materials under superplastic deformation 力 Acta mater. 2004. V. 52, № 6. P. 1711-1720.
Гуткин М.Ю., Овидько И. А., Скиба H. В. Зернограничное скольжение и эмиссия решеточных дислокаций в нанокристаллических материалах при сверхпластической деформации 〃 ①ТТ. 2005. Т. 47, № 6.
УПРУГАЯ ПОЛОСА, НАГРУЖЕННОЙ НА ГРАНИЦЕДВУМЯ СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ СИЛАМИ
Ю.М. Даль
Санкт-Петербургский государственный университет
Решения плоской задачи теории упругости для полосы, загруженной сосредоточенными силами, оказываются обычно мало пригодными для практического использования [1-5]. Ниже приведено решение этой проблемы в форме двух аналитических функций ①(2)и W(2)комплексного переменного 2.
Постановка задачи. Рассмотрим упругую изотропную полосу S ширины b = =const. Поместим начало декартовой системы координат хОу посередине полосы, ось Ох направим вдоль ее кромок L+ (—оо < х < +оо, у = +Ь/2)и L~ (—оо < < х < +оо, у = -Ь/2). Пусть в точках Ni(c, +b/2) и №(& -6/2) действуют сосредоточенные сжимающие силы Р, направленные по нормали к L+ и L~ (рис. 1, а). Требуется определить напряженно-деформированное состояние в S.
Рис. 1
Представим основные соотношения плоской теории упругости в терминах функций комплексного переменного [7, 8]. Тогда, как известно, в области S необходимо отыскать две аналитические функции ①(2)и W(2), удовлетворяющие краевому условию
①⑴ + 師 + 捷/⑴ + W⑴=-P[6(t — (с + 〃b/2)) + 8(方—(c Tb/2))],(1.1)
где 方=力 ± ib/2 (при знаке «+» точка t е L+; при знаке «—» точка t е 工一)； символом 8(.・.) обозначена дельта-функция Дирака; штрих (') означает здесь и всюду в дальнейшем производную по соответствующей переменной; черта сверху определяет операцию комплексного сопряжения.
Компоненты напряжения и угол поворота s окрестности точки 2 G S вычисляются по формулам
0力力+ 0" +汕石* = 4①(2),
^УУ - ^хх + 2b力g = 2 [2①〈2)+ W(2)],
где Е* = Е при обобщенном плоском напряженном состоянии и Е* =石/(1 —从2) для плоской деформации; здесь и ниже Е — модуль Юнга,从—коэффициент Пуассона [8].
Составляющие вектора перемещения: и — по направлению оси Ох и v — по направлению оси Оу, определяются посредством первообразных
0(2)= I①⑶dz, 以2)= IW⑶dz
из равенства
(“ + 沁)=卜夕(2)- 2①(2)-⑦(2)] ,(1.3)
где 庆=3 — 4〃 一 для плоской деформации п 庆=(3 — 〃)/(1 + 〃) 一 при обобщенном плоском напряженном состоянии.
Метод решения. Представим краевое условие (1.1) в следующем эквивалентном виде:
①⑴ + 師 + (方干砌①/⑴ + W⑴=-P[5(t — (c + 〃b/2)) + 8(方—(с —分"2)儿(2.1)
2 =以0 = ^1口© + ^(2.2)
(в левой части этого равенства знак « —» перед ib берется при t 6 L+; знак «+» выбирается, когда t е 工一).
Воспользуемся конформным отображением полосы S на нижнюю полуплоскость С.
Полагая здесь 2 = z + 〃gi4《 = регв, после отделения вещественных и мнимых частей получаем взаимно-однозначное соответствие между точками областей S и С:
X = - \lip,+7Г< 夕 <0,р》0).
7Г7Г 2
Как видим, лучи 夕=const (—тг W 夕 W 0) преобразуются в прямые у = const (—b/2 W g W +Ь/2), а полуокружности р = const (—тг W 夕 W 0) — в отрезки прямых х = const, заключенные между линиями у = ±Ь/2. Таким образом, верхняя половина полосы S (—сю < х < +оо, О W g W +Ь/2) отображается на правый квадрант С+ 6 С. Нижней половине S (—оо < х < +оо, —b/2 W g < 0) отвечает левый квадрант С~ е С (рис. 1,6).
Кромки Z/+ и L~ полосы переходят, соответственно, в положительную (〃 > 0) и отрицательную (〃 < 0) части границы 〃 полуплоскости С. Точки Ni(c,+Ь/2) е 6 L^ и N2c —b/2)6 L~ определяются на ней координатами
力=产/% 〃2 =—員7r№.(2.3)
Введем обозначения:
①© =①3©), w© = WQ©).
Очевидно, что функции ①(《)и W(《)，будучи голоморфными в нижней полуплоскости С, при К|》1 имеют вид
①(q = ；+。(1/0，Ж) = !+ 0(1/0，
где 7 и /3 — комплексные постоянные.
Граничное условие в области С выглядит следующим образом:
①⑺ + ①⑺ + Е〃)— 〃bsign(〃)]^4 + 田⑺=
=-P [6-(e + 翔 + 6(3⑺-(e -，(2.4)
где
‘ + 1, если 〃>0,
sign (〃)= < 0, в случае 〃 = 0,
、一1, когда 〃 V 0.
Принимая во внимание свойство дельта-функции [10, с. 186]:
(s° — корень функции /(s)), имеем
-p [6(з®) - (e+ ^)) +6(3例)-(c - ^))]=
=-e"/b) + 6(〃 +
На основании этого равенства представим краевое условие (2.4) в виде
①(〃)+ ①(〃)+ 心(〃)-〃bsign(〃)] + W(〃)=
=—P^ [eC7V^b[6^ -片7r/Ь) + 8(〃 + 員7r/Ь)]] (2.5)
или (после выполнения операции комплексного сопряжения) следующим образом:
①(〃)+ ①⑺)+ 心(〃)-〃bsign(〃)]① ⑺ + W(〃)=
(2.6)(2.6)(2.7)(2.7)=—P^ [片7r/Ь[8(〃 -不7r/Ь) + 8(〃 + 不7r№)]].
(2.6)
(2.6)
(2.7)
(2.7)
Необходимое и достаточное условие голоморфности функции ①(《)в С:
；[= 0.
27rz J 4 — q
Подставив сюда ①(〃)из выражения (2.6), получаем
+ oo+oo1 [孰n)dn = —f27r分 J ° - q b 27r分 J+ oo+oo1 [孰n)dn = —f27r分 J ° - q b 27r分 J通一产勺+通+ d通一产勺+通+ dn — qn — q门/外: d〃.门/外: d〃.(2.8)(2.8)
+ oo+oo
1 [孰n)dn = —f
27r分 J ° - q b 27r分 J
+ oo+oo
1 [孰n)dn = —f
27r分 J ° - q b 27r分 J
通一产勺+通+ d
通一产勺+通+ d
n — q
n — q
门/外
: d〃.
门/外
: d〃.
(2.8)
(2.8)
Отсюда
Согласно (2.2) имеем
q =—在 ^/ь.(2.9)
Внеся (2.9) в предыдущую зависимость, устанавливаем
р (c + z)7?/b
①⑶=——(2.10)
Функция ①(2), определяемая этой формулой, удовлетворяет краевому условию
①⑴ + 師=~P[5(t — (с + 〃b/2)) + 8(方—(с — 〃b/2))].(2.11)
Сопоставляя между собой (1.1) и (2.11), приходим к выводу, что
捷/⑴+ 3(" =0.(2.12)
Из (2.10) следует
/^ё"Н/Ь/J卡勺
一—.(2.13)
Введя обозначения 力+ =力 е 工+,力—=力 е 工一，имеем 力+ =力 + 56/2,力—= =X — ib/2.
Учитывая эти соотношения, из (2.12) и (2.13) получаем
方+①‘（厂）=_W（厂）=-Q -分/）方+①‘（厂）=_W（厂）=-Q -分/）Ртге”7r"(с2c7r№Ртге”7r"(с2c7r№+ 4/Ь)+ 4/Ь)户（戸/6_户（戸/6_е2ж7г/Ь\2е2ж7г/Ь\2
方+①‘（厂）=_W（厂）=-Q -分/）
方+①‘（厂）=_W（厂）=-Q -分/）
Ртге”7r"(с2c7r№
Ртге”7r"(с2c7r№
+ 4/Ь)
+ 4/Ь)
户（戸/6_
户（戸/6_
е2ж7г/Ь\2
е2ж7г/Ь\2
Отсюда
u+ +「=及^气u+ +「=及^气е2c 亓/b + е2ж7г/Ье2c 亓/b + е2ж7г/Ьb(-Ьb(-Ь_ е2ж7г/Ь)2_ е2ж7г/Ь)2丿，u+ -u~ = о,丿，u+ -u~ = о,и+ = ReW(方+), U~ = ReW(厂).По формуле Палатини [10, с. 227]и+ = ReW(方+), U~ = ReW(厂).По формуле Палатини [10, с. 227]W⑶=W⑶=1Т и+⑺+ U—分2b1 7Г(Ж - z)2bJ ch ——oo61Т и+⑺+ U—分2b1 7Г(Ж - z)2bJ ch ——oo6sh”、u+⑵_「⑴ b J ch 吧 ch"(/ —%)sh”、u+⑵_「⑴ b J ch 吧 ch"(/ —%)dx.dx.Подставляя (2.14) в (2.16), окончательно находимПодставляя (2.14) в (2.16), окончательно находимс+7r/6)262 , ch 7r(*一")(c2c7?/bС2/7?/6)2с+7r/6)262 , ch 7r(*一")(c2c7?/bС2/7?/6)2dx.dx.(2.14)(2.15)(2.16)(2.17)(2.14)(2.15)(2.16)(2.17)
u+ +「=及^气
u+ +「=及^气
е2c 亓/b + е2ж7г/Ь
е2c 亓/b + е2ж7г/Ь
b(-Ь
b(-Ь
_ е2ж7г/Ь)2
_ е2ж7г/Ь)2
丿，u+ -u~ = о,
丿，u+ -u~ = о,
и+ = ReW(方+), U~ = ReW(厂).
По формуле Палатини [10, с. 227]
и+ = ReW(方+), U~ = ReW(厂).
По формуле Палатини [10, с. 227]
W⑶=
W⑶=
1Т и+⑺+ U—分
2b1 7Г(Ж - z)2b
J ch —
—oo6
1Т и+⑺+ U—分
2b1 7Г(Ж - z)2b
J ch —
—oo6
sh”、u+⑵_「⑴ b J ch 吧 ch"(/ —%)
sh”、u+⑵_「⑴ b J ch 吧 ch"(/ —%)
dx.
dx.
Подставляя (2.14) в (2.16), окончательно находим
Подставляя (2.14) в (2.16), окончательно находим
с+7r/6)
262 , ch 7r(*一")(c2c7?/bС2/7?/6)2
с+7r/6)
262 , ch 7r(*一")(c2c7?/bС2/7?/6)2
dx.
dx.
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Обратимся теперь к выводу асимптотических зависимостей для функции Ф (z). Запишем краевое условие (2.12) в следующем эквивалентном виде:
(方干 分ь)①/(方)+ 3(方)=0(2.18)
(перед ib знак « —» берется при t е L^, а знак «+» в случае t е 工一).
Умножим обе части равенства (2.18) на
dt
27r分 t — z'
Проинтегрируем полученное соотношение по контуру I узкой полоски, одна кромка которой совпадает с верхней (нижней) границей полосы S, а другая отстоит от нее на расстояние £ = о(Ь) (интегралы берутся со знаком минус, потому что контур I обходится по часовой стрелке относительно области, заключенной внутри него):
W⑶=[-z ± 々bsign(g)]①‘⑶，0.5 b - \у\ < £.(2.19)
При выводе выражения (2.19) было введено неявное предположение о допустимости переноса краевых условий (2.18) с границы полосы у = ±〃Ь/2 на параллельную прямую у = ±(〃b/2 — ге).
Из формул (1.2) и (2.10) следует
о-уу(х) + iaxy(x) = 2Ф(х) + 力①'(/) + W(z).(2.20)
На оси симметрии аху(х) = 0, поэтому W(力)=ReW(力)—вещественная функция. На основании (2.10) имеем
СЮ
I 2Ф(х) dx = Р.
Принимая во внимание условие равновесия
I Оуу(х) dx = Р,(2.21)
заключаем, что в равенстве (2.20) функция
3(/)=一/①’(/).
Как это соотношение, так и условие(Jxy(x) = 0 будут удовлетворены, если
W ⑶2①e), 閑=。⑴.(2.22)
Исходя из условий Коши-Римана можно доказать, что асимптотические формулы (2.19) и (2.22) справедливы с точностью до порядков О(е/Ь)2 и О(у/Ь)2 соответственно.
График безразмерных напряжений
Syg/b,0) = —竺绊
воспроизведен на рис. 2. Вычисления проводились по формулам (1.1), (2.10), (2.19), (2.22) при значении параметра с = 0; кружками отмечены данные [1].
Полученные выше результаты легко распространить на случай произвольного давления 夕(方+)=夕(方一).
Список литературы
Filon L.N. On an approximate solution for the bending of beam of rectangular gross-section under any system of load, with special reference to points of concentrated or discontinuous loading II Philosophical Transaction of the Royal Society of London, Series A. 1903. V. 201, №334. P. 65-154.
Папкович П. Ф. Теория упругости. Л.-М., 1939. 509 с.
Белоносов С.М. Плоская задача теории упругости для бесконечной полосы при заданных на границе напряжениях и смещениях 〃 ДАН. 1960. Т. 131, № 6. С. 1042-1045.
Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.
Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 509 с.
Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости. Л.-М., 1935. 215 с.
Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.
Зельдович Я. В., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. М.: Наука, 1972. 592 с.
Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ СПОРТИВНОГО ЛУКАИ АЭРОДИНАМИКИ ЕГО СТРЕЛЫ
Ю.А. Демьянов, А. В. Звягин, А. А. Малашин
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова,МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЛЕСА
В задаче о стрельбе из спортивного лука основным и самым сложным этапом является разгон стрелы, когда она из состояния покоя приводится в движение силами натяжения со стороны тетивы и ускоряется вплоть до вылета (схода с тетивы), и анализ устойчивого полета стрелы, обеспечивающего ее вход в мишень. Скорость вылета стрелы зависит от силы натяжения тетивы, материала и формы (геометрии) древка, массы, формы наконечника и оперения самой стрелы, угла отклонения тетивы при натягивании лука для проведения выстрела, способа закрепления тетивы на древке. Очень важно так подобрать параметры лука и стрелы, чтобы разгон и вылет стрелы происходил во время первой фазы колебания (разгибания) древка при возврате его в исходное положение. При этом стрела должна находится на тетиве (не обгоняя ее) для обеспечения максимального пути разгона. Это обеспечит максимальную скорость вылета стрелы.
Уравнения динамики древка лука и его тетивы в конечных перемещениях получаются из рассмотрения сил и моментов, действующих на них. При больших начальных перемещениях древка и больших углах отклонения тетивы при проведении выстрела получается сложная нелинейная задача. В силу того что лук представляет собой сложный объект не только геометрически, но и физически (при изготовлении древних боевых луков, а также современных спортивных луков использовались высокотехнологичные приемы, касающиеся способа изготовления древка, его структуры — цельной или композитной, тетивы, способов ее закрепления), окончательное решение сформулированной задачи в общем виде, no- видимому, может быть получено только численно.
Зависимость натяжения от геометрических и физических параметров задачи в нелинейной постановке, т. е. в случае больших перемещений и поворотов, показывает, что для малых углов отклонения тетивы от равновесного состояния зависимость ее натяжения от угла отклонения слабая, натяжение во время разгона можно считать постоянной величиной. Для некоторых форм луков и степени натяжения тетивы (когда угол отклонения от первоначального положения составляет не более 15°-20°) возможно провести анализ и найти решение задачи в линейной постановке.
Основной сложностью при исследовании аэродинамики стрелы является тот факт, что в течение всего времени разгона стрела летит в возмущенном воздушном потоке от движения древка и тетивы.
Вывод уравнения движения древка лука и тетивы. Представим древко гибким однородным стержнем [1-2].
Основные характеристики стержня: S — лагранжева координата, D — площадь поперечного сечения; Е, G — модуль Юнга и модуль сдвига; рь — плотность; р = =pbD — линейная плотность стержня; Q, М — векторы сил и моментов, действующих на площадке поперечного сечения; V, W — векторы скорости и ускорения
точки срединного волокна; о,屮一векторы угловых скорости и ускорения вращения данного сечения; / — момент инерции элемента относительно мгновенной оси вращения; q,卩一линейные плотности внешних сил и моментов; R°, R — начальный и текущий радиус-вектор срединного волокна; т, п, р — единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали к срединному волокну.
Уравнения движения стержня получим, рассматривая равновесие сил и моментов, действующих на выделенный элемент стержня длины dS:
0W=^+ q; 4w=^+txQ +卩.(1)
Уравнения (1) дополняются кинематическим условием
包=包(2)
dsdt — dtdS< 丿
и упругой связью моментов сизменением кривизныивращения срединного во
локна:
= EJ^Ixb — Х/зо)； Мп = Е Jn(Xn — Xn0)5 "丁 = 6丿丁(丫丁 — X〈o)・⑶
Здесь yn, X/з — кривизны проекции волокна на плоскость, ортогональную главной нормали и бинормали; х「— кручение волокна; величины с нулевым индексом —значения кривизн и вращения в недеформированном состоянии. В случае учета сжатия стержня необходимо ввести деформацию срединного волокна и ее связь с продольным усилием:
Q「= Ее.(4)
В наших расчетах будем считать древко нерастяжимым, £ = 0, а движение происходит в плоскости ху.
Введем 夕—угол наклона срединного волокна к оси Ох — и спроектируем уравнения на подвижные оси т = (cos 0, sin 6), п = (—sin 仇 cos 夕).Разложение вектора скорости и вектора внутренних сил: V = 〃t + on, Q = Гт + Nn. Уравнения можно переписать в виде
р(и-角)=7 — N少+ 6；M =石//
°® + 序)=М + 7v + uf - vOf = 0;(5)
p" = m7n + m vr + uof = e.
Здесь точками обозначены производные по времени 方，а штрихами — по координате S.
Представим тетиву идеальной нерастяжимой нитью. Для идеальной нерастяжимой нити уравнения аналогичны уравнениям (5), в которых отлична от нуля только проекция силы на касательную к нити, а все остальные внутренние силы и моменты равны нулю. Обозначим: 0° — линейная плотность тетивы; Т — ее натяжение,夕—угол наклона касательной к оси Ох.
pQ(U= 7; Uf -=0;
' 丿(6)
0о(匕 + US)="； 『+ Ud = 9・
Для постановки задачи необходимы начальные и граничные условия.
Постановка задачи. Пусть 2Е п 2/ — длины древка и тетивы;夕。——угол наклона тетивы в момент выстрела (рис. 1, б). Постановка начальных условий в данной задаче требует предварительного решения задачи равновесия стержня под действием сил натяжения тетивы и силы, действующей со стороны руки, удерживающей лук. Будем моделировать эту силу как сосредоточенную и приложенную в середине древка. С — точка взаимодействия тетивы и стрелы массы т. Уравнение движения стрелы играет роль граничного условия для тетивы в точке S = 0:
mVgt) = —27(0, "sin 伙0,方)(7)
с начальными условиями: %(0,0) = 0, Т(0,0) = Тз 伙。,。)=細・
На границах S = ±/ скорость нити совпадает со скоростью концов стержня.
Для стержня на концах S = ±Е задана сила Т, а момент М должен быть равен нулю. Действующая сосредоточенная сила q(方)=2 • Т(/,方)• sin 伙/，方)определяется также в ходе решения задачи из условия, что скорость точки S = 0 стержня равна нулю. Условимся о том, что ось Ох параллельна натянутой тетиве лука
Рис. 1. Натянутый лук (а), лук в момент выстрела. Т — натяжение тетивы, q — сила,действующая на древко во время выстрела
(рис. 1,а), а ось Оу является осью симметрии задачи. Начало системы координат совместим с неподвижной точкой древка лука — точкой приложения силы q. Для окончательной постановки задачи необходимо определить величину силы натяжения в момент выстрела как функцию угла ^о- Для этого необходимо решить задачу равновесия древка под действием сил Т, q.
Решение задачи статики о начальной форме лука до выстрела. Рассмотрим задачу определения натяжения в случае отсутствия силы (q = 0) (рис. 1, а). В условиях статического равновесия уравнения (5) примут вид
7(S) - N(S).少(S) = 0, ЛГ(S) + N = 0,
N'(S) + T(S)少(S) = 0, M(5) = EJ •少(S).
Граничные условия: S = 0, х = 0, 6 = О, N = 0; S = L, х = I, Т = -7о(^cos^ + + using), М = 0.
Введем безразмерные величины:
S* = S/L, Т* = Т/Т。，N* = N/To,"=(石丿)/⑵巧，⑼
M* = M/(L7b), /о = l/L.
В дальнейшем звездочки опустим. Последнее уравнение в (8) примет форму
М(5)="少⑻.(10)
Первые два уравнения интегрируются и, с учетом граничных условий при S = =0, дают следующие выражения для сил:
Т = —cos 夕， N = sin0，D = e.(11)
Подстановка (8) позволяет получить уравнение для определения формы древка к?俨'(S) = — sine(S), которое после умножения на 夕 интегрируется:
—(8)2 = cosJ + const = cosJ - cos 仇.(12)
Постоянная интегрирования в (12) определена условием равенства нулю момента в точке S = 0, угол в этой точке обозначен, как 仇.Таким образом, определение формы лука свелось к интегралу
衣 J cos 8 — cos &
В выражении (13) величина 圻 является неизвестной и определяется длиной тетивы. Учитывая
cos 8cos 8dxdx ds 八
cos 8
cos 8
蒜=cos 仇 ^ = ^cos^ =
приходим к уравнению
v2 ж 「 k = Jоv2 ж 「 k = Jоcos J dOcos J dOV cos J — cos 仇V cos J — cos 仇(14)(14)
v2 ж 「 k = J
о
v2 ж 「 k = J
о
cos J dO
cos J dO
V cos J — cos 仇
V cos J — cos 仇
(14)
(14)
Таким образом, определение формы древка натянутого лука свелось к интегралам (13-14). Неизвестные величины 仇，к определяются, если проинтегрировать по углу от нуля до 仇 и учесть, что длина древка равна 1, а длина тетивы равна 办.
В результате получим два уравнения с двумя неизвестными:
dOdOоо，cos J — cos 仇，cos J — cos 仇L 仇оL 仇оcos J dOcos J dOV cos J — cos 仇V cos J — cos 仇(15)(15)
dO
dO
о
о
，cos J — cos 仇
，cos J — cos 仇
L 仇
о
L 仇
о
cos J dO
cos J dO
V cos J — cos 仇
V cos J — cos 仇
(15)
(15)
Запишем уравнения (13), (14) через рог0 рода f(夕，X),石(夕，入)争2wsW半=Запишем уравнения (13), (14) через рог0 рода f(夕，X),石(夕，入)争2wsW半=эллиптические интегралы первого и вто-эллиптические интегралы первого и вто-V5 卜石(夕,sin у) -F (°，sin у)],V5 卜石(夕,sin у) -F (°，sin у)],
Запишем уравнения (13), (14) через рог0 рода f(夕，X),石(夕，入)
争2wsW半=
Запишем уравнения (13), (14) через рог0 рода f(夕，X),石(夕，入)
争2wsW半=
эллиптические интегралы первого и вто-
эллиптические интегралы первого и вто-
V5 卜石(夕,sin у) -F (°，sin у)],
V5 卜石(夕,sin у) -F (°，sin у)],
.6sin -
.2
夕=arcsin卢
•力
sin —2
Уравнения (15) запишутся через полные эллиптические интегралы в виде
^ = V2[2^(|,sin^-F(|>Sin^].(16)
Исключение к из уравнений (16) позволяет свести определение 圻 к решению алгебраического уравнения относительно А = sin —:
2E(f,A)=(l+Z0)^(f,A),(17)
после чего определяется величина
； =(18)
Воспользуемся для решения уравнения (18) асимптотикой полных эллиптических интегралов, удерживая члены до А4 включительно. В результате задача сведется к решению биквадратного уравнения
А4 +Л2_ 64(1 Jo) = 0(19)
15 + 9Z()15 + 9Z()
Анализ показывает, что корень уравнения существует при любых 0 < Zo < 1：
仇J 24 — 8Zq — 3 — Zo
…•(2。)
Учитывая полученные результаты, можно аппроксимировать зависимость А2 линейной:
А2 = 1 — Zo = sin? ^- = ^ (1 — cos%),
откуда находим
圻=arccos (2Zq - 1).(21)
При этом зависимость натяжения от /о будет определяться аналитическим выражением
^ = |(1+ 0,25 • (1 — /о) + 0,140 625 • (1 —而产).(22)
Решение задачи (рис. 1,6) определения натяжения для лука в момент выстрела проводится аналогично. Здесь присутствует сила q, которая должна быть уравновешена нормальной силой N в точке S = 0. Выражение для сил таково:
(23)(23)Г = - cos (夕 + 初， N = sin (夕 + 初，力1 = /о • cos%.
(23)
(23)
Как и в рассмотренном случае, формаКак и в рассмотренном случае, форма(13), (14):(13), (14):нити определяется интегралами типанити определяется интегралами типаV 2 _ f dgk J，cos 夕一cos ⑺V 2 _ f dgk J，cos 夕一cos ⑺^ -2^ -21 _ k1 _ k•m•m01+ 2a01+ 2aFF夕1夕1=arcsin=arcsin1 - COS g01 — cos (J。+ 8i)1 - COS g01 — cos (J。+ 8i)
Как и в рассмотренном случае, форма
Как и в рассмотренном случае, форма
(13), (14):
(13), (14):
нити определяется интегралами типа
нити определяется интегралами типа
V 2 _ f dg
k J，cos 夕一cos ⑺
V 2 _ f dg
k J，cos 夕一cos ⑺
^ -2
^ -2
1 _ k
1 _ k
•m
•m
01
+ 2
a
01
+ 2
a
F
F
夕1
夕1
=arcsin
=arcsin
1 - COS g0
1 — cos (J。+ 8i)
1 - COS g0
1 — cos (J。+ 8i)
(24)(24)[/9=,где 01 =仇)+价;
(24)
(24)
J д/COS 夕一cos ⑺
д/2 Zo cos % _ [ cos(g — 8o)dg j cos (夕 一 Jo) dgk J 夕一cos ⑺ J夕一cos ⑺00
В результате получаются алгебраические уравнения для определения 7Ь,圻
^^^^^ ①кн①WKHBH ①ond①胃mBdm①g^^^^^ ①кн①WKHBH ①ond①胃mBdm①g2342341010203040Угол в градусах203040Угол в градусах50605060
^^^^^ ①кн①WKHBH ①ond①胃mBdm①g
^^^^^ ①кн①WKHBH ①ond①胃mBdm①g
2
3
4
2
3
4
10
10
203040
Угол в градусах
203040
Угол в градусах
5060
5060
巫书也=v^cosOo [2E &sin 然刁—2E (si, sin 然刀]-
-® COS Jo [f ^, sin ”仇)一 F (gi, sin ” 仇)]+
+ 2 sin ")\/cos & — cos (仇)+ 价)•
(26)
Решение уравнений (26) позволяет найти для заданного угла оттяжки тетивы 夕。значение натяжения и угла 圻，который реализуется на конце древка. Это дает возможность восстановить полностью форму древка в начальный момент времени, а значит, завершить постановку граничных и начальных условий в задаче о выстреле из лука. Результаты расчетов зависимости натяжения от угла отклонения тетивы представлены на рис. 2. Их анализ показывает, что натяжение слабо убывает при углах отклонения до 20° и затем начинает достаточно быстро возрастать.
7
6
5
4
3
2
1
О
Одним из основных этапов является расчет движения тетивы совместно со стрелой, которую будем рассматривать как сосредоточенную массу. Для изучения особенностей и выявления характерных параметров была рассмотрена задача нестационарного движения нити с сосредоточенной массой в линейной постановке.
Решение задачи динамики лука в линейной постановке. Как сказано выше, для некоторых типов луков (отклонения тетивы не более 15°, натяжение постоянно и равно 40-50 кг) динамическая задача может быть решена в линейной постановке. Уравнение движения древка в данном случае может быть записано как уравнение динамики сжатой балки [3]:
Рассмотрим симметричный случай. Пусть стрела касается тетивы в середине. Системы уравнений динамики для древка и тетивы записываются в следующем виде:
g(S = ±L) = Y(S = ±Z),
< |^ (S = ±L, i) = F±^ = ^^(S = ±1, i),(27)
g(S,。)= go(S),
0) = 0,
‘2立上
as2 — at2'y(S = ±Z) = y(S = ±L),
< y(S,0) = K(S),(28)
打(0,t) _ 打 ay(0,9at2as
где y{S, t), y(S,方)—поперечные смещения древка и тетивы, а2 =号,庐=
Решение системы (28) находится методом характеристик. С учетом того что до прихода первой отраженной волны имеет место соотношение
ь丽
последнее уравнение в системе (28) принимает следующий вид:
а% 卄 py(o,t) v
где Vq — скорость тетивы в месте касания со стрелой.
С учетом начальных условий данное уравнение позволяет найти скорость стрелы до прихода первой поперечной волнн:
И)⑴=吼(127" (叫，
夕ar(5,0)
где % =
В момент прихода отраженной волны, т = —, угол наклона тетивы в месте контакта со стрелой меняется скачком. Соотношение между скоростями и деформациями на этапах до и после прихода очередной поперечной волнн:
ay(o,t)_ ЗУ(0, t — 2т)V(t — 2т) V(t)
dS = dS
позволяет построить рекуррентные дифференциальные уравнения для определения скорости стрелы на каждом этапе через скорость на предыдущем. Так, уравнение для определения скорости на этапе после прихода первой отраженной волны имеет следующий вид:
где 吒 ——скорость стрелы и струны до прихода второй отраженной поперечной волны. С учетом начальных условий решение этого уравнения таково:
吒⑴=招0厂м((2 - 4А)ге-Лт — 1 —+ 2AteAr ),
Зависимость
ЗУ(Z, t) _ ЗУ(0/ — г) V(t — г)as =
позволяет определить углы наклона тетивы в местах крепления и определить силу 现(方)，действующую на древко от тетивы. Тем самым мы доопределяем систему (27), решение которой находится, например, методом разделения переменных:
y(S,方)=£ (41 cos 必S + 儿2 sin 必S + Вц ch 氏S + B^ sh /3^5) cos 27rg方， i=0
EI &
= 2 力2 у 必,&分，〃分—корни соответствующих характеристических уравнений.
Хотя формализм нахождения решения понятен, соответствующие уравнения получаются очень сложными и громоздкими, и решение их может быть проведено численными методами.
Необходимо отметить, что здесь возникает множество оптимизационных задач по нахождению физических и геометрических параметров лука для обеспечения максимальной дальности стрельбы при удобстве обращения с ним, которые предстоит решать. (Такие как скорость вылета стрелы, дальность полета, масса лука и стрел, длина древка, сила натяжения тетивы и т. д.)
Некоторые результаты расчетов зависимости скорости стрелы в период разгона от времени при вариации определенных параметров представлены на рис. 3-5.
Рис. 3. Зависимость скорости стрелы от времени и длины древка (Li : L2 ： Ьз = 2: 1,5: 1)
Рис. 4. Зависимость скорости стрелы от времени и силы натяжения тетивы (Ti :心：爲=
Рис. 5. Зависимость скорости стрелы от времени и угла отклонения тетивы (в градусах)
В рамках поставленной задачи возможны следующие направления продолжения исследований. Дальнейшие численные расчеты динамики спортивного лука в случае больших углов отклонения тетивы и больших смещений древка. Решение в случае сложной механической модели лука, закрепления тетивы (например, блочное закрепление, которое устанавливается на многих современных луках). Полученные аналитические решения в линейной постановке и результаты расчетов могут служить тестовой характеристикой для численных вычислений в нелинейном случае и при сложной геометрии лука.
Получение аналитического решения в квазистационарной постановке для всего периода разгона стрелы. В первом приближении саму тетиву можно рассматривать как гибкую нерастяжимую нить. Для обычного лука скорость вылета стрелы находится в пределах 50-60 м/с. Скорость распространения поперечных волн в тетиве (〜300—400 м/с) оказывается много больше скорости движения стрелы (особенно на первоначальном этапе разгона). В зависимости от типа лука и его натяжения происходит 20-40 отражений поперечных волн на участке от места соприкосновения стрелы с тетивой до места заделки. При большом натяжении углы излома тетивы на этом участке малы. Все эти обстоятельства позволяют рассматривать движение тетивы как квазистатический процесс. Такой подход упрощает нахождение решения и имеет широкое техническое применение.
Проблемы аэродинамики стрелы лука. За время 0,1-0, 3 с стрела, представляющая собой прямолинейную трубочку с тяжелым наконечником и с хвостовым оперением, разгоняется силами со стороны тетивы (гибкая нерастяжимая нить диаметра 2 + 8 мм) из состояния покоя до скоростей 50 -4- 200 м/с (рекорд скорости показан для стрелы длиной 30 см и весом 15 г и равен 300 м/с). Диапазон чисел М — от 0 до трансзвука. В данном диапазоне скоростей необходимо учитывать сопротивление стрелы, ее хвостового оперения и тетивы в воздухе для уточнения динамики, а после схода стрелы с тетивы — проблему устойчивости во время полета и входа в мишень.
Однако эта проблема оказывается намного сложнее, чем на первый взгляд можно было ожидать. Дело в том, что в течение 〜0,1 с, пока разгоняется стрела, древко лука (особенно его концы) а также тетива создают возмущения в воздухе, в который она летит. Нетрудно оценить, что к моменту схода стрелы с тетивы протяженность этой области составляет 〜30 метров и увеличивается со временем. Поэтому в течение значительного времени полета стрелы к мишени (удаленной обычно на десятки метров), а часто в течение всего полета, стрела будет двигаться в переменном по пространству и времени потоке. Тем самым относительная скорость движения стрелы, которая и определяет аэродинамические характеристики, в первую очередь хвостового оперения стрелы, оказывается зависимой от этих обстоятельств.
Таким образом, возникает новая проблема определения поля нестационарных возмущений в воздухе, обусловленных элементами лука, и вытекающая проблема определения аэродинамических характеристик стрелы в таком потоке.
Если еще учесть, что начальная скорость стрелы для некоторых луков близка к скорости звука, то очевидно, что весь ее полет проходит в возмущенной среде.
Как показывает многовековая практика, самым лучшим видом оперения оказывается птичье перо, свойства которого даже в настоящее время практически не изучены. По-видимому, птичье перо позволяет получать большие подъемные силы практически при отсутствии сопротивления.
Эта проблема заслуживает тщательного экспериментального исследования. В силу сложности подобных аэродинамических исследований для этого, возможно
потребуется определение соответствующих характеристик из своеобразного «летного» эксперимента, которым будет стрельба из лука стрелой с соответствующим оперением.
Список литературы
Светлицкий В. А. Механика стержней. Ч. 1-2. М.: Высшая школа, 1987.
Звягин А. В., Малашин А. А. Постановка и решение задачи динамики спортивного лука 〃 ДАН. 2004. Т. 399, № 1. С. 47-51.
Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.
Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.:①нзматгнз, 1962.
Демьянов Ю.А., Малашин А. А. Аэродинамика стрелы спортивного лука 〃 Тезисы докладов XII школы-семинара «Современные проблемы аэрогидродинамики». М.: Изд-во МГУ, 2004.
О ПРОЧНОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ, СОСТАВНЫХКОНИЧЕСКИХ ТРУБ
МД. Задоян, СВ. Варданян
Институт Механики НАН Армении
Рассматриваются вопросы прочности составных конических труб, которые изготовлены из упрочняющихся по степенному закону несжимаемых материалов. Также считается, что материалы труб имеют неоднородности, зависящие от их конусообразности. Предполагается, что труба находится под воздействием внутреннего, равномерно распределенного давления.
Напряженное состояние в неоднородном коническом трубе. Рассмотрим несжимаемую, упрочняющуюся по степенному закону, неоднородную (т. е. к = =к(£), где а < 夕 < /3) толстостенную коническую трубу с внутренним углом а и внешним углом /3. Предполагается, что коническая труба нагружена внутренним и внешним давлениями pi и 夕2 соответственно, а продольные перемещения и касательные напряжения как на поверхностях, так и по всему объему трубы равны нулю. В дальнейшем, принимая 夕i = 0 или 夕2 = 0, можно будет проанализировать случай действия внутреннего или только внешнего давления. Такое напряженно- деформированное состояние для неоднородной трубы в сферической системе координат можно представить с использованием [1] в следующем виде:
…06 + 34k(J)X?, %=06 + 64k"?,sin Jsin 0
oe = —pi + 64 k(£)Xаoe = —pi + 64 k(£)XаCOS2 J——L曲,sin JCOS2 J——L曲,sin J(1-1)(1-1)X = 3б-1，1 1sin2^-1^X = 3б-1，1 1sin2^-1^_ 3"” sin 8'_ 3"” sin 8'4仇4仇
oe = —pi + 64 k(£)X
а
oe = —pi + 64 k(£)X
а
COS2 J
——L曲,
sin J
COS2 J
——L曲,
sin J
(1-1)
(1-1)
X = 3б-1，
1 1sin2^-1^
X = 3б-1，
1 1sin2^-1^
_ 3"
” sin 8'
_ 3"
” sin 8'
4仇
4仇
где приняты следующие обозначения:
川41-1川41-101 -0201 -022 3т7(а，Я，2 3т7(а，Я，00jg》=к⑼少jg》=к⑼少,т+1,т+1ааsinsin2m+12m+1-de.-de.
川41-1
川41-1
01 -02
01 -02
2 3т7(а，Я，
2 3т7(а，Я，
0
0
jg》=к⑼少
jg》=к⑼少
,т+1
,т+1
а
а
sin
sin
2m+1
2m+1
-de.
-de.
0T =一010T =一01к 『丄 б —02丄 01 —02 COS”к 『丄 б —02丄 01 —02 COS”cosm6>^产小0'cosm6>^产小0'(1.2)(1.2)
0T =一01
0T =一01
к 『丄 б —02丄 01 —02 COS”
к 『丄 б —02丄 01 —02 COS”
cosm6>
^产小0'
cosm6>
^产小0'
(1.2)
(1.2)
"一初 + 50'）' 。二詣（奇煮0 sgn（pi -他）•
Если коническая труба находится под воздействием внутреннего давления, то Pi = р и р2 = 0. Согласно теории наибольших касательных напряжений, когда отсутствует осевая сила (1.2), получаем:
(1.3)(1.3)р cosm а
(1.3)
(1.3)
Составная неоднородная коническая труба. Рассмотрим две неоднородные конические трубы с различными модулями упругости. Величины для внутренней и внешней труб обозначим индексами г = 1,2 соответственно. Как показано на рис. 1, внутренняя и внешняя трубы ограничены (а^^^7И7^ W 夕 < /3 соответственно). Величина 7 характеризует угол натяга и подлежит определению. При нагревании внешней конической трубы внутреннее отверстие
Рис. 1Рис. 1
Рис. 1
Рис. 1
у нее увеличивается и дает возможность свободно вставить в него внутреннюю трубу. При остывании между трубами возникает контактное давление 夕卜，которое тоже подлежит определению.
При посадке внешний угол внутренней трубы сократится, и точки конической трубы на контактной поверхности получат отрицательное смешение —。1, которое в свою очередь принесет положительное смешение。2, а пх сумма должна равняться натягу Л. Учитывая, что △ = 8『，где 8 — значительный малый угол, который надо определить, из уравнений (1.2) п。2 一。1 = 5г для контактного давления pk имеем
Pk = 2” sWlJp’Bjjg,圖，。=^/m^^ + j\/m^^^m^ (2.1)
Таким образом, при посадке внутренняя труба оказывается под действием внешнего давления 夕卜，а внешняя труба будет под действием точно такого же внутреннего давления [2].
Если составную трубу нагрузить внутренним давлением, то обе ее части будут работать как одно целое, и в составной трубе возникнут напряжения, определяемые формулой (1.3). Принимая во внимание слабые нелинейно упрочняемые ма-
териалы, возможно алгебраически просуммировать предварительные напряжения натяга [3]. Во внутренних, наиболее напряженных точках рабочие напряжения и напряжения натяга имеют разные знаки. Поэтому суммарное напряжение здесь снижается и составная труба способна выдержать большее давление, нежели обычная. Надо отметить, что вследствие натяга увеличиваются напряжения в зоне контакта у внешней трубы. Поэтому натяг △ должен подбираться для заданного рабочего давления р так, чтобы была обеспечена прочность не только внутренней, но и внешней конической трубы. Для эквивалентных напряжений во внутренней и внешней трубах имеем
bekvA =阮(&)bekvA =阮(&)cosm а sin2m аcosm а sin2m а7、COSm ) (0,7、COSm ) (0,(2.2)(2.2)
bekvA =阮(&)
bekvA =阮(&)
cosm а sin2m а
cosm а sin2m а
7、COSm ) (0,
7、COSm ) (0,
(2.2)
(2.2)
Из условия равнопрочности конических труб, aekvA = crekvB, для контактного давления получим
Рк =Рк =kl(Q) COSm Q 衣2()) COSm 7J(q, 7)sin2m q J(), /?) sin2m 7kl(Q) COSm Q 衣2()) COSm 7J(q, 7)sin2m q J(), /?) sin2m 7(2.3)(2.3)
Рк =
Рк =
kl(Q) COSm Q 衣2()) COSm 7
J(q, 7)sin2m q J(), /?) sin2m 7
kl(Q) COSm Q 衣2()) COSm 7
J(q, 7)sin2m q J(), /?) sin2m 7
(2.3)
(2.3)
Выражения (2.1) и (2.3) определяют значение 8:
6 =6 =pD V/m 2J(q,0)丿pD V/m 2J(q,0)丿7/ x COSm Q 7/ x COSm 7 \ 1//m…7/ x COSm Q 7/ x COSm 7 \ 1//m…/q(Q)sinm 7 cosm q 衣2())丄 1/q(Q)sinm 7 cosm q 衣2())丄 1(2.4)(2.4)
6 =
6 =
pD V/m 2J(q,0)丿
pD V/m 2J(q,0)丿
7/ x COSm Q 7/ x COSm 7 \ 1//m
…
7/ x COSm Q 7/ x COSm 7 \ 1//m
…
/q(Q)sinm 7 cosm q 衣2())丄 1
/q(Q)sinm 7 cosm q 衣2())丄 1
(2.4)
(2.4)
подставляя (2.3) в (2.2), имеем
^ekvA =^ekvA =00sin2m 7 cosm 7sin2m 7 cosm 7+ /(<%))+ /(<%))(2.5)(2.5)
^ekvA =
^ekvA =
0
0
sin2m 7 cosm 7
sin2m 7 cosm 7
+ /(<%))
+ /(<%))
(2.5)
(2.5)
где приняты следующие обозначения:
J(a,)) ki(a)J(a,)) ki(a)cos小О sin2m+1 Оcos小О sin2m+1 О曲曲匂⑻券N曲="仪7),匂⑻券N曲="仪7),k2())k2())cos^+i 6> sin2m+1 0cos^+i 6> sin2m+1 00曲=以2(g)70曲=以2(g)7(2.6)(2.6)
J(a,)) ki(a)
J(a,)) ki(a)
cos小О sin2m+1 О
cos小О sin2m+1 О
曲
曲
匂⑻券N曲="仪7),
匂⑻券N曲="仪7),
k2())
k2())
cos^+i 6> sin2m+1 0
cos^+i 6> sin2m+1 0
0
曲=以2(g)
7
0
曲=以2(g)
7
(2.6)
(2.6)
Для того чтобы получить условие Гадолина [2, 3], надо найти то значение 7, которое даст минимум выражения (2.5). Физически это означает следующее: надо найти такое значение 7, которое обеспечивает наилучшую прочность составной
конической трубы. Из (2.5) получаем
k “ZE 2（7）七 +冠（"2、k “ZE 2（7）七 +冠（"2、7777++=0cos=0cos(2.7)(2.7)Предположим, что неоднородность конических труб имеет одинаковый характер, но меняется по-разному. Если считать, что имеет место экспоненциальная неоднородноеть, то 阮(夕)=е~叫 к2(夕)=b叫 и, еледовательно,以1(e)=ё一4(0一a), 以2(夕)=£一"。―))，a (2.7) перепишется в видеПредположим, что неоднородность конических труб имеет одинаковый характер, но меняется по-разному. Если считать, что имеет место экспоненциальная неоднородноеть, то 阮(夕)=е~叫 к2(夕)=b叫 и, еледовательно,以1(e)=ё一4(0一a), 以2(夕)=£一"。―))，a (2.7) перепишется в виде
k “ZE 2（7）七 +冠（"2、
k “ZE 2（7）七 +冠（"2、
7
7
7
7
+
+
=0
cos
=0
cos
(2.7)
(2.7)
Предположим, что неоднородность конических труб имеет одинаковый характер, но меняется по-разному. Если считать, что имеет место экспоненциальная неоднородноеть, то 阮(夕)=е~叫 к2(夕)=b叫 и, еледовательно,以1(e)=ё一4(0一a), 以2(夕)=£一"。―))，a (2.7) перепишется в виде
Предположим, что неоднородность конических труб имеет одинаковый характер, но меняется по-разному. Если считать, что имеет место экспоненциальная неоднородноеть, то 阮(夕)=е~叫 к2(夕)=b叫 и, еледовательно,以1(e)=ё一4(0一a), 以2(夕)=£一"。―))，a (2.7) перепишется в виде
COS^+l )(—心―а)近Q _ 鱼, Sin2m+1 7 Vcos^aV J 十
+ m+ m(osin2m-17\ cos 7(osin2m-17\ cos 7++sin2m+17A cosm+1 7 7sin2m+17A cosm+1 7 70C°S 夕&. 2m+l nJsm 丁 00C°S 夕&. 2m+l nJsm 丁 0曲=0.曲=0.(2.8)(2.8)
+ m
+ m
(osin2m-17
\ cos 7
(osin2m-17
\ cos 7
+
+
sin2m+17A cosm+1 7 7
sin2m+17A cosm+1 7 7
0
C°S 夕
&. 2m+l n
Jsm 丁 0
0
C°S 夕
&. 2m+l n
Jsm 丁 0
曲=0.
曲=0.
(2.8)
(2.8)
Рис. 2Рис. 2наибольшую прочность. Для конкретных значений углов конусообразности трубынаибольшую прочность. Для конкретных значений углов конусообразности трубы
Рис. 2
Рис. 2
наибольшую прочность. Для конкретных значений углов конусообразности трубы
наибольшую прочность. Для конкретных значений углов конусообразности трубы
Полученное уравнение (2.8) представляет собой трансцендентное уравнение относительно 7, и его можно решить с помощью приближенного метода.
Подставляя численное решение (2.8) в (2.5), получим условие Гадолина. Сравнивая (2.5) с (1.3), можно анализировать полученную прочность составных конических труб.
. Рассмотрим случай, когда материалы конической составной трубы линейно-упругие (т = Т) и имеют одинаковый тип неоднородности. Под одинако
вым типом неоднородности понимается следующее: в уравнении (2.8) для составной конической трубы 从=z? = 1. Принятые допущения приведут к следующему алгебраическому уравнению:
/. 2. 2\
2 cos)a)sm а _ sin+
sin3 7 Vcos a cos 7 丿
02
+ f2sin7+(用))^^ 曲=0. (2.9)
\cos 7/ J sin，О
Полученное уравнение в трехмерном пространстве (а, /3,7) определяет поверхность, представленную на рис. 2.
Уравнение (2.9) позволяет получить такое значение 7，при котором составная труба будет иметь
можно численно определить значение 7.
Предположим, что составная коническая труба имеет внутренний диаметр а = 30° и внешний диаметр /3 = 45°. Для такого типа труб будем определять значение 7, которое в данном случае обеспечивает наилучшую прочность составной трубы. Численное решение полученного уравнения в интервале (30°,45°) будет 7 = 34.6027°. Из (2.6) для соответствующих случаев будем иметь: /(а,))= =0.3668, J(a, 0) = 0.8071, /(7,/3) = 0.3957. Для того чтобы увидеть разницу прочности составной конической трубы по сравнению с одинарной трубой, до-
статочно сравнить соответствующие эквивалентные напряжения. Для этой цели
следует рассматривать их отношение
С ekvС ekvcos аcos аJ(a, (3) sin2 аJ(a, (3) sin2 а(/(),/3)^+/(а,))\ cos 7(/(),/3)^+/(а,))\ cos 7sin2 Qsin2 Q=0.4797.=0.4797.(2.10)(2.10)COS QCOS QПолученный результат доказывает тот факт, что из составных конических труб, как и в случае цилиндрических труб, можно получить более прочные трубы, которые могут служить достаточно долго.При рассмотрении случая 从=^ = — 1, т. е. когда коэффициент упругости 卜(夕) материалов составных конических труб начиная от соответствующего минималь-Полученный результат доказывает тот факт, что из составных конических труб, как и в случае цилиндрических труб, можно получить более прочные трубы, которые могут служить достаточно долго.При рассмотрении случая 从=^ = — 1, т. е. когда коэффициент упругости 卜(夕) материалов составных конических труб начиная от соответствующего минималь-ногоногозначения ” увеличивается, имеем обратную картину. В этом случае получает-значения ” увеличивается, имеем обратную картину. В этом случае получает-Рис. 3Рис. 300ся, что одна целая коническая труба более прочная, чем составная коническая труба.2. Теперь рассмотрим случай, когда оба материала составной конической трубы нелинейные одинакового порядка т = - и имеют одинаковый тип неоднородности 从=z/ = 1. В этом случае уравнение (2.8) примет следующий вид:ся, что одна целая коническая труба более прочная, чем составная коническая труба.2. Теперь рассмотрим случай, когда оба материала составной конической трубы нелинейные одинакового порядка т = - и имеют одинаковый тип неоднородности 从=z/ = 1. В этом случае уравнение (2.8) примет следующий вид:3/2COS /3/2COS /• 2sin 7• 2sin 7р — ()—a) sin ар — ()—a) sin аsin)、, COS”? 7 /sin)、, COS”? 7 /странствестранстве33+扑+扑11cos-2cos-2I sin2 7I 3/2) cos / -I sin2 7I 3/2) cos / -cos"? gcos"? gsin2 Оsin2 О曲=0.曲=0.77(а, /3,7)показан на(а, /3,7)показан наСоответствующий график вСоответствующий график в(2.Н)трехмерном про(2.Н)трехмерном прорис. 3. Из интервала (30°, 45°) для случая наи-рис. 3. Из интервала (30°, 45°) для случая наи-большей прочности будем иметь: 7 = 33.4511°. Аналогично предыдущему случаю можем вычислить отношение эквивалентных напряжений:большей прочности будем иметь: 7 = 33.4511°. Аналогично предыдущему случаю можем вычислить отношение эквивалентных напряжений:
С ekv
С ekv
cos а
cos а
J(a, (3) sin2 а
J(a, (3) sin2 а
(/(),/3)^+/(а,))
\ cos 7
(/(),/3)^+/(а,))
\ cos 7
sin2 Q
sin2 Q
=0.4797.
=0.4797.
(2.10)
(2.10)
COS Q
COS Q
Полученный результат доказывает тот факт, что из составных конических труб, как и в случае цилиндрических труб, можно получить более прочные трубы, которые могут служить достаточно долго.
При рассмотрении случая 从=^ = — 1, т. е. когда коэффициент упругости 卜(夕) материалов составных конических труб начиная от соответствующего минималь-
Полученный результат доказывает тот факт, что из составных конических труб, как и в случае цилиндрических труб, можно получить более прочные трубы, которые могут служить достаточно долго.
При рассмотрении случая 从=^ = — 1, т. е. когда коэффициент упругости 卜(夕) материалов составных конических труб начиная от соответствующего минималь-
ного
ного
значения ” увеличивается, имеем обратную картину. В этом случае получает-
значения ” увеличивается, имеем обратную картину. В этом случае получает-
Рис. 3
Рис. 3
0
0
ся, что одна целая коническая труба более прочная, чем составная коническая труба.
2. Теперь рассмотрим случай, когда оба материала составной конической трубы нелинейные одинакового порядка т = - и имеют одинаковый тип неоднородности 从=z/ = 1. В этом случае уравнение (2.8) примет следующий вид:
ся, что одна целая коническая труба более прочная, чем составная коническая труба.
2. Теперь рассмотрим случай, когда оба материала составной конической трубы нелинейные одинакового порядка т = - и имеют одинаковый тип неоднородности 从=z/ = 1. В этом случае уравнение (2.8) примет следующий вид:
3/2
COS /
3/2
COS /
• 2
sin 7
• 2
sin 7
р — ()—a) sin а
р — ()—a) sin а
sin)、, COS”? 7 /
sin)、, COS”? 7 /
странстве
странстве
3
3
+扑
+扑
1
1
cos-2
cos-2
I sin2 7
I 3/2
) cos / -
I sin2 7
I 3/2
) cos / -
cos"? g
cos"? g
sin2 О
sin2 О
曲=0.
曲=0.
7
7
(а, /3,7)показан на
(а, /3,7)показан на
Соответствующий график в
Соответствующий график в
(2.Н)
трехмерном про
(2.Н)
трехмерном про
рис. 3. Из интервала (30°, 45°) для случая наи-
рис. 3. Из интервала (30°, 45°) для случая наи-
большей прочности будем иметь: 7 = 33.4511°. Аналогично предыдущему случаю можем вычислить отношение эквивалентных напряжений:
большей прочности будем иметь: 7 = 33.4511°. Аналогично предыдущему случаю можем вычислить отношение эквивалентных напряжений:
(2.12)(2.12)L = 0.4859. °ekv
(2.12)
(2.12)
Таким образом, ясно, что если 卜(夕)уменьшается по экспоненциальному закону, как отмечено выше, то при выборе полученного значения 7 получаем наилучшую прочность составной трубы. Из (2.12) видно, что составная коническая труба почти вдвое прочнее одинарной.
Список литературы
Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности. М.: Наука, 1992. 384 с.
Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1979. 559 с.
Задоян М.А. Задача Гадолина для конических труб 〃 ДАН Армении. Сер. Механика. 2003. Т. 103, № 1. С. 31-38.
ТЕОРИЯ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ПЕРВОГО РОДАИ ЗАРОЖДЕНИЕ ДОМЕННОЙ СТРУКТУРЫ
В ОДНООСНЫХ СЕГНЕТОЭЛАСТИКАХ-СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКАХ И МНОГООСНЫХСЕГНЕТОЭЛЕКТРИКАХ
МД. Захаров, С. А. Кукушкин, А. В. Осипов
Институт проблем машиноведения Российской академии наук,Новгородский государственный университет
В рамках классической теории зарождения-роста исследуются термодинамика и кинетика переориентации доменов из одного состояния в другое (процесс переключения) в одноосных сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках и многоосных сегнетоэлектриках при воздействии на них механического и электрического полей. Подобная переориентация наблюдается и при мартенситных переходах в металлических сплавах, и в материалах с памятью формы. На основании многомерной кинетической теории фазовых переходов первого рода описаны все стадии переключения в сегнетоэлектрических и сегнетоэлектрических кристаллах. Найдены выражения, описывающие зависимость критического размера домена и стационарный поток доменов в зависимости от величины приложенных механического и электрического полей. Оценены время установления (инкубационный период) и время существования стационарного потока зародышей переполяризации-передеформации. Выведена замкнутая система уравнений, описывающая кинетику переключения с учетом изменения переполяриза- ции и предеформации в процессе фазового превращения. Получены уравнения, позволяющие рассчитать ток переключения и поток деформации, их изменение во времени при переориентации доменов. Проведено качественное сопоставление основных характеристик переключения с соответствующими экспериментальными данными.
Введение
Сегнетоэлектрические кристаллы и пленки широко применяются в микроэлектронике и других областях техники [1]. Наиболее существенным свойством сегнетоэлектриков является их способность изменять направление поляризации на противоположное [1-5]. При этом возникает ток переключения [2-6].
Кинетическая теория перехода системы в состояние с доменами другой симметрии в другую при температурах ниже точки Кюри, или, как в дальнейшем мы будем называть этот процесс, переключения, в сегнетоэлектриках со 180° доменами была развита в цикле работ [7, 8]. Исследования, проведенные в этих работах, показали, что процесс переключения доменов в электрическом поле является фазовым переходом первого рода и может быть описан системой кинетических уравнений, формально подобной системе уравнений, описывающей другие фазовые переходы первого рода. Полученные в результате решения этой системы уравнений формулы позволяют вычислить величину тока переключения в зависимости от микро- и макроскопических параметров и структуры сегнетоэлектрического кристалла. В частности, было показано [7, 8], что ток переключения однозначно
связан с такими параметрами, как межфазное поверхностное натяжение и кинетический коэффициент, описывающими смещение атомов из одной подрешетки кристалла в другую. Важнейшими характеристиками переключения являются величина тока переключения и его длительность [2-6]. В зависимости от значения этих характеристик, возможны те или иные применения сегнетоэлектричесих материалов в технических устройствах.
Сегнетоэлектрики-сегнетоэластики (СС), сочетая в себе свойства как сегнетоэлектриков, так и сегнетоэластиков, находят широкое применение в качестве оптических затворов и ключей, элементов логики и памяти, конденсаторов и пьезоэлементов [9, 10] Симметрия СС характеризуется отсутствием центра инверсии выше точки фазового перехода, что приводит к существованию в подобных кристаллах пьезоэффекта в параэлектрической фазе [1]. В связи с этим возникающая ниже точки Кюри спонтанная деформация носит не электрострик- ционный характер, как в чистых сегнетоэлектриках, а пьезоэлектрический, и, следовательно, ее величина оказывается пропорциональной спонтанной поляризации. Другой характерной чертой СС являются возможность менять ориентацию доменов, образующихся в низкосимметричной фазе, путем наложения внешнего поля определенной величины и направления. При этом, как и в случае обычных сегнетоэлектрических кристаллов, процесс переключения СС сопровождается возникновением тока переключения. Переключение СС имеет и свои особенности, обусловленные, в частности, линейной связью деформации и поляризации. Так, при переключении СС наряду с переориентацией поляризации, в силу указанной связи, имеет место и переориентация деформации. Типичными представителями одноосных СС являются сегнетова соль KNaC4H《Об х 4H2。и дигидрофосфат калия КН2РО4.
Важнейшей особенностью многоосных сегнетоэлектриков (МС), типичным примером которых является титанат бария BaTiO?, является то, что возникающий параметр порядка является многокомпонентным. Следствием этого является зависимость переполяризации от направления внешнего поля, что приводит к образованию как 180°, так и 90° доменов.
Экспериментальные и теоретические исследования процессов переключения в сегнетоэлектриках и родственных им материалах, внимание к которым постоянно растет (см., например, [1-10]), представляет собой одну из интереснейших и важнейших задач не только физики диэлектрических кристаллов, но и теории структурных фазовых переходов в целом, в частности механики деформируемого твердого тела. Построение теории переключения в СС и МС является важным шагом к развитию теории мартенситных превращений в металлах и сплавах, а также материалах с памятью формы. Это вытекает из того, что процессы переориентации доменов (процессы переключения) в сегнетоэлектриках-сегнетоэластиках аналогичны процессам зарождения новой фазы при мартенситных переходах.
Цель настоящей работы состоит в описании термодинамики и кинетики переключения в СС и МС. Многосные СС, к которым, в частности, относятся такие вещества, как тригидроселенит натрия NaH3(SeO3)2, мы не рассматриваем в данной работе, поскольку описание процесса переключения в таких системах подобно описанию переключения в МС.
Работа имеет следующую структуру. В первой части рассматривается термодинамика переключения в СС и МС с учетом различных видов симметрии пироэлектрической фазы МС. Вторая и третья части работы посвящены исследованию кинетики переключения. Переключение в МС рассматривается на основе многомерной кинетической теории фазовых переходов первого рода. При этом вводится двухмерная неравновесная функция распределения переполяризованных доменов
по числу элементарных ячеек в них и соответствующее двухмерное кинетическое уравнение Фоккера-Планка (Зельдовича), а также находится критический размер домена как функция переключающего поля. В четвертой части работы вычисляется ток переключения как для МС, так и для СС. Там же находится поток передеформации для СС. Последняя характеристика присуща исключительно сегнетоэластикам. Завершает работу анализ результатов и их качественное сравнение с соответствующими экспериментальными данными. Рассмотрение ведется параллельно для СС и МС.
Термодинамика доменной структуры
Термодинамика доменной структуры в СС при наличии механической нагрузки. Рассмотрим СС, представляющий собой пластину толщины L и находящийся в пространственно-однородном (т. е. монодоменном) состоянии при температуре ниже точки Кюри. Будем полагать, что спонтанная поляризация возникает только вдоль одной из осей кристалла, а спонтанная деформация является исключительно сдвиговой и возникает вокруг той же оси кристалла. Направим ось поляризации вдоль оси х и условимся считать, что диэлектрические и механические свойства СС в иных направлениях не обнаруживают каких- либо аномалий. Указанные допущения означают, что в данной системе координат спонтанная поляризация одноосного СС полностью определяется х-компонентой вектора поляризации %, а спонтанная деформация — сдвиговой ^^-компонентой тензора деформации Uyz. Типичным примером СС с такими электромеханическими свойствами могут служить кристаллы сегнетовой соли (изменение симметрии 222 т 2).
Поместим рассматриваемый кристалл во внешние электрическое и механическое поля. При этом неполный термодинамический потенциал одноосного СС, находящегося в указанных полях, при температуре вблизи точки Кюри, согласно [1], представим в виде
⑴⑴фазово- тензорафазово- тензора①=①о(2 Л + j Q(T — K)〃2 + ；財—ах^Ех - a^(jyz, где т] — параметр порядка сегнетоэлектрического-сегнетоэластического го перехода, обладающий трансформационными свойствами компоненты
⑴
⑴
фазово- тензора
фазово- тензора
второго ранга и компоненты вектора одновременно;①о(夕,丁)一 часть термодинамического потенциала, не зависящая от параметра порядка; р и Т — давление и температура среды, в которой находится кристалл; а п /3 — коэффициенты разложения термодинамического потенциала в ряд по степеням г/; Тс — температура Кюри; Ех — х-компонента электрического поля; ayz — ^/-компонента тензора механических напряжений.
Из условия экстремальности термодинамического потенциала (1) получим соотношение, связывающее параметр порядка и приложенные поля:
⑵⑵а(Т - £)〃 + /3〃з = aiEx + a2ayz.
⑵
⑵
Вместе с тем на основании термодинамического потенциала (1) можно получить электрическое и механическое уравнения состояния единицы объема СС:
РХ =-РХ =-=a2〃, т,ех=a2〃, т,ех⑶⑶
РХ =-
РХ =-
=a2〃, т,ех
=a2〃, т,ех
⑶
⑶
где равновесное значение параметра порядка определяется уравнением (2). При этом х-компонента вектора поляризации и ^/-компонента тензора деформации связаны очевидным условием [1]
Рх — Ugzdi 期
Из уравнения (2) следует, что в отсутствие внешних полей (石力=0, ayz = 0) в области температур выше точки Кюри устойчивым является симметричная фаза (〃 =0). С точки зрения исследования переключения СС нас будет интересовать температурная область, лежащая ниже точки Кюри, в которой устойчивому состоянию СС соответствует отличный от нуля параметр порядка (низкосимметричная фаза), и, как следствие, отличные от нуля поляризация и деформация. При этом равновесные значения параметра порядка определяются следующим образом:
⑷⑷丄，а(Т — К)〃1,20 = ±丫 \ 丿
⑷
⑷
и возникают спонтанная поляризация и спонтанная деформация низкосимметричной 巾 азн:
% 1,20 =a1〃1,20 =,
\—(5)
=a2〃1,20 = ±a2.
При описании фазовых переходов первого рода в растворах важную роль играет величина, называемая пересыщением. В работах [7, 8] при построении теории переключения в одноосных сегнетоэлектриках использовалась аналогичная величина — переполяризация. Для описания кинетики переключения в одноосных СС введем подобную переполяризации величину
⑹⑹△〃 = 〃 一50,
⑹
⑹
которую условимся называть переполяризацией-передеформацией. Наряду с поля- ризацией-передеформацией определим и относительную переполяризацию-пере- деформацию как
同_ ]=同一切iol =包l^iol l^iol 力 о
Заметим, что на основании введенных в (6) и (7) величин и связи спонтанной поляризации и спонтанной деформации с параметром порядка (3) можно естественным образом определить переполяризацию, используемую в теории переключения одноосных сегнетоэлектриков [7, 8], и передеформацию следующим образом:
△Р = pх - р力 10 =a1(〃 一 〃10)=
(8)(8)Кж1о|
(8)
(8)
△ U = Uyz - U；? =a2(〃 - So) =a2斬,
Su 三 1 = &，
\uyz\
где АР и ^р — переполяризация и относительная переполяризация; ZXU и ^ — передеформация и относительная передеформация соответственно. Отметим, что в случае одноосного СС величины относительной переполяризации и относительной передеформации совпадают.
Рассмотрим случай достаточно слабых электрического и механического полей, приложенных к кристаллу. Тогда передеформация-переполяризация и относительная переполяризация-передеформация могут быть легко определены как функции этих полей. С этой целью разложим левую часть уравнения (2) в ряд по степеням (〃 —〃io) и, учитывая (8), получим
△〃 =△〃 =G-l Ех + a2 bgz2а(Тс — Т)'G-l Ех + a2 bgz2а(Тс — Т)'⑼⑼сцЕх + a^yz2a(£ - 7)伙сцЕх + a^yz2a(£ - 7)伙(Ю)(Ю)
△〃 =
△〃 =
G-l Ех + a2 bgz
2а(Тс — Т)'
G-l Ех + a2 bgz
2а(Тс — Т)'
⑼
⑼
сцЕх + a^yz2a(£ - 7)伙
сцЕх + a^yz2a(£ - 7)伙
(Ю)
(Ю)
Таким образом, в процессе переключения СС линейная комбинация электрического и механического полей является аналогом пересыщения или переохлаждения при обычных фазовых переходах.
Поскольку, согласно [1], ниже точки Кюри диэлектрическая восприимчивость X^xyz =。彳/2а(К — Г), а упругая податливость s^^ =。々/2a(К — Г), то выражения (9) и (10) можно переписать в виде
(П)(12)(П)(12)
(П)
(12)
(П)
(12)
Таким образом, переориентация доменов в одноосных СС может осуществляться как электрическим полем (как в случае чистых сегнетоэлектриков), так и механическим напряжением (нагрузкой) (как в случае чистых сегнетоэластиков). В этом смысле наложение электрического поля вдоль полярной оси эквивалентно созданию сдвигового механического напряжения [9]. В общем случае переключающим полем одноосного СС может служить суперпозиция указанных полей. С другой стороны, рассматриваемый кристалл, имеющий исходное пространственно-однородное (т. е. монодоменное) состояние, можно рассматривать и как сегнетоэлектрический домен, и как сегнетоэластический домен (упругий двойник), поскольку одноосный СС одновременно является одноосным сегнетоэлектриком и собственным сегнетоэластиком. В этой связи процесс переключения сегнето- электрического-сегнетоэластического домена, возникающий, когда относительная переполяризация-передеформация достигает своего максимального значения, и сопровождающийся переориентацией «истинного» параметра порядка 〃， приводит к одновременному переключению как сегнетоэлектрического, так и сегнетоэласти- ческого доменов. Другими словами, переключение одноосного СС сопровождается переполяризацией и передеформацией исходной монодоменной низкосимметричной фазы. При этом возникают как ток переполяризации, так и поток передеформации.
Термодинамика доменной структуры в МС при наличии электрического поля. Рассмотрим многоосный сегнетоэлектрический кристалл, находящийся в пространственно-однородном (т. е. монодоменном) состоянии при температуре ниже точки Кюри. Условимся для определенности считать, что высокосимметричная фаза кристалла имеет точечную группу симметрии тЗт. Клас-
сическим примером сегнетоэлектрика с указанной симметрией параэлектрической фазы могут служить кристаллы титаната бария BaTiO?.
Поместим рассматриваемый кристалл во внешнее электрическое поле напряженности Е. Выберем декартову систему координат таким образом, чтобы направления ее осей х, у и z совпадали с направлениями соответствующих поворотных осей четвертого порядка кубической группы тЗт исходной высокосимметричной фазы кристалла. Неполный термодинамический потенциал в МС, находящемся во внешнем электрическом поле, при температуре вблизи точки Кюри по аналогии с записю потенциала (1) можно записать в виде
①=①0(夕,Л + ；Q(T - K)稍 + 上1〃4 + }%优吟 + 〃況 + 〃绩)-a〃е, (13) где 〃 = {〃力，〃^，〃之} — параметр порядка собственного сегнетоэлектрического фазового перехода, компоненты которого обладают трансформационными свойствами компонент полярного вектора; Фо(р, Т) — часть термодинамического потенциала, не зависящая от параметра порядка; р и Г — давление и температура среды, в которой находится кристалл; а, /31 и /З2 — коэффициенты разложения термодинамического потенциала в ряд по степеням 〃； К — температура Кюри; а — некоторая положительная константа.
Найдем теперь равновесные значение параметра порядка и соотношения, связывающие компоненты параметра порядка и внешнее поле по аналогии с тем, как эти соотношения были получены для СС. С точки зрения исследования переключения МС нас будет интересовать температурная область, лежащая ниже точки Кюри, в которой устойчивому состоянию соответствует отличный от нуля параметр порядка (низкосимметричная фаза) и, как следствие, отличная от нуля поляризация. При этом следует отметить, что в отличие от одноосных сегнетоэлектриков, имеющих одну низкосимметричную фазу, многоосные сегнетоэлектрические кристаллы могут иметь две и более низкосимметричные фазы, каждая из которых устойчива в соответствующей температурной области. Так, например, термодинамический потенциал (13) при Т < Тс допускает существование трех различных низкосимметричных фаз [1]. Первая низкосимметричная фаза, которую в дальнейшем будем именовать «фаза I», отвечает решениям системы уравнений вида
22 c 2 а(К — Т)
〃分 1,20 = %」,20 = °， 〃/с 1,20 =^，
尸 2 —尸2 —о尸 2— 2а(Тс —т)(14)
胃 1,20 —勺 1,20 —г 1,20 — а
g,k =力,у, 2).
Можно получить подобные выражения для второй («фаза П») и третьей («фаза Ш») низкосимметричных фаз, которые мы здесь не приводим.
Отметим, что устойчивость той или иной низкосиметричной фазы в определенном температурном интервале определяется соотношениями между коэффициентами разложения термодинамического потенциала (15). В этой связи описание переключения многоосного сегнетоэлектрика должно учитывать специфику той низкосимметричной фазы, которая реализуется в данных термодинамических условиях.
сти МС:сти МС:△〃 = |〃 一 〃io|,△〃 = |〃 一 〃io|,& =& =切—б0| △〃 l^iol切 1O「切—б0| △〃 l^iol切 1O「(15)(15)
сти МС:
сти МС:
△〃 = |〃 一 〃io|,
△〃 = |〃 一 〃io|,
& =
& =
切—б0| △〃 l^iol切 1O「
切—б0| △〃 l^iol切 1O「
(15)
(15)
которые условимся называть переориентацией и относительной переориентацией соответственно. Отсюда, учитывая связи между компонентами параметра порядка ту и компонентами вектора поляризации Р, определяемые соотношениями (14), введем обобщение понятий переполяризации и относительной переполяризации следующим образом:
△Р 三 |Р — Рю|а|〃 一 〃ю|, £р 三 面(16)
Рассмотрим температурную область Т\ < Т < Тс, где устойчивой является тетрагональная фаза 4mm, т. е. фаза I. Пусть параметр порядка и спонтанная поляризация данной монодоменной низкосимметричной фазы имеют вид 〃 = ={0, 0, &} и Р = {О, О, Pz} соответственно. Поместим сегнетоэлектрик во внешнее электрическое поле, которое направлено либо противоположно к исходной поляризации фазы I (Е = {О, О,-Е°}), либо перпендикулярно (Е = {0,石夕，0}). В результате наложения внешнего поля исходная фаза сегнетоэлектрика имеет некоторую избыточную энергию и в этих внешних условиях не отвечает абсолютному минимуму термодинамического потенциала (13), являясь метастабильной. В то же время устойчивой должна быть фаза, поляризация которой направлена по внешнему полю. Как следствие, в кристалле происходит образование зародышей новой энергетически выгодной фазы. При этом в системе образуются либо 180° домены, когда приложенное поле имеет противоположное направление к исходной поляризации, либо 90° домены, если переключающее поле перпендикулярно. Первый частный случай, гомогенное образование 180° доменов, рассматривался ранее при исследовании переключения одноосных сегнетоэлектриков [7, 8] и одноосных сегнетоэлектриков-сегнетоэластиков (см. предыдущий параграф). В этой связи дальнейшее рассмотрение ограничим описанием зарождения и роста 90° доменов.
Для 90° доменов при параметре порядка 〃ю = {0,0, 〃之io} и поле Е = {0, Еу, 0}, соотношения, связывающие переполяризацию с компонентами электрического поля, имеют следующий вид:
= 0,=, △&=(),(17)
где хУу = о?{(3\/(3^)/а(Тс — Г) — ^-компонента тензора диэлектрической восприимчивости.
Отсюда
△〃 = △也=АР = 〃△〃 = ХууЕу,g еXggEg ХууЕу"8)
“|^ю| а%10 210 •
Данные выражения определяют переориентацию △〃 и переполяризацию АР как функции приложенного поля на примере переключения сегнетоэлектрика, находящегося в тетрагональной пироэлектрической фазе. Как видно из соотношений (18), роль пересыщения при обычных фазовых переходах первого рода в случае зарождения в сегнетоэлектрике 90° доменов играет напряженность электрического поля, приложенного перпендикулярно к поляризационной оси кристалла. Следует отметить, что при переполяризации исходного образца с образованием
180° доменов аналогом пересыщения является поле, параллельное поляризационной оси [7, 8].
Аналогично можно рассмотреть переключение в температурной области Т? < < Т < Ti и переключение в тригональной фазе.
Кинетика начальной стадии зарождения доменов
Кинетика начальной стадии зарождения доменов в МС. В начале рассмотрим переключение в МС, поскольку это исследование будет носить наиболее общий характер, а затем приведем основные характеристики кинетики переключения для СС.
Для описания кинетики переключения МС, наряду с поляризацией Р = = {%,*,£}, которая использовалась выше, удобно ввести соответствующую удельную величину р = {рх,Ру,Р%\，приходящуюся на одну элементарную ячейку кристалла, т. е. дипольный момент р = Ps, где s — объем ячейки.
Для дальнейшего анализа введем явное предположение, касающееся формы зарождающихся сегнетоэлектрических доменов. Отметим, что форма доменов, как, впрочем, и их ориентация, не может быть произвольной, поскольку в диэлектрике на границе раздела зародыш-среда должно выполняться условие непрерывности тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля [2]. В связи с этим форма зародышей может быть выбрана, например, цилиндрической с боковой поверхностью, ориентированной параллельно полю, или, в более общем случае, эллипсоидальной с одной из главных осей, направленной по полю.
Рассмотрим зарождение цилиндрического домена высоты Лис радиусом основания R. Будем полагать, что элементарными структурными составляющими доменов являются элементарные ячейки кристалла с поляризацией р. При образовании зародыша переполяризации свободная энергия сегнетоэлектрического кристалла изменяется на величину △歹，которая согласно классической теории зарождения-роста может быть определена следующим образом:
△歹=—^(力-/2) + oS — ^^А/ + o(2ttR2 + 2тгАН), (19)
где /1 и /2 суть свободные энергии, приходящиеся на одну элементарную ячейку среды и зародыша соответственно, причем А/ = /1 — /2； ^ =穴聲Н n S = 27rA2 + + ^RH — объем и площадь поверхности цилиндрического домена соответственно; а — натяжение доменной стенки.
Величина А/ может трактоваться как «эффективная движущая сила», приводящая к росту энергетически выгодных доменов с поляризацией, направленной по внешнему полю. Для нахождения А/ обратимся к исходному термодинамическому потенциалу (19), который запишем в виде Ф = Фо — ЕР, здесь Фо — часть потенциала, не зависящая от поля. Тогда свободные энергии элементарных ячеек с поляризацией по полю, против поля и перпендикулярно полю соответственно равнн: Ф = Фо —石夕，Ф = Фо + Ер и Ф = Фо, где р — удельная поляризация, введенная выше. Отсюда видно, что в случае переключения сегнетоэлектрического кристалла с образованием 180° доменов энергия системы понижается на величину dfp [7, 8], а при образовании 90° доменов выигрыш в энергии равен А/ = Ер.
возникающие при деформации кристаллической решетки упругие напряжения могут привести к сегнетоэластическому переходу, что и наблюдается в СС.
Поставим в соответствие двум степеням свободы цилиндрического зародыша (А и Я) новые переменные 八 п а, где 八—число элементарных ячеек, содержащихся в зародыше объема V; а = H/R — характеристическое отношение линейных размеров домена. Тогда свободная энергия зародыша, записанная в новых переменных, примет вид
△歹(八，а) = —+ 2жт(£)/ (^4??)(20)
Критический размер домена определяется седловой точкой (nc, aj на энергетической поверхности △歹=△歹(八,а):
9AF(n,a) = ° 必歹⑺,а) = °
дп•
Тогда
Отсюда минимальная работа образования зародыша критического размера равна
3 2
Amin =(@,(23)
Полученные выше выражения для размеров критического домена и минимальной работы образования определяются как функции внешнего поля, что позволяет непосредственно вычислять эти параметры.
Для описания кинетики переключения сегнетоэлектрического кристалла с учетом предполагаемого трехмерного роста зародышей новой фазы введем двухмерную неравновесную функцию /(八，а,方)распределения переполяризованных доменов по числу элементарных ячеек в них и формам, нормированную на число доменов N(方)в единице объема кристалла, т. е.
I I /(п, a, t) dn da = N(t).о о
Временная эволюция двухмерной неравновесной функции распределения определяется решением соответствующего двухмерного кинетического уравнения Фоккера-Планка [11-13]:
a/(n,a,t)_ a qa/(n,a,t)_ a q++aKrig,t) 1 aAF(n,a) z 八an + квт an
a/(n,a,t)_ a q
a/(n,a,t)_ a q
+
+
++дада++1 dAF^n, a)1 dAF^n, a)/(八,a,"/(八,a,"(24)(24)
+
+
да
да
+
+
1 dAF^n, a)
1 dAF^n, a)
/(八,a,"
/(八,a,"
(24)
(24)
традиционного в кинетике фазовых переходов первого рода приближения Фоккера-Планка) с последующим применением линейного преобразования, которое позволяет перейти к новым разделяющимся переменным состояния зародыша [11, 12]. При этом точность линеаризованного в окрестности седловой точки уравнения Фоккера-Планка соответствует постоянным (т. е. независящим от переменных описания зародыша) коэффициентам диффузии в пространстве размеров и форм, значения которых вычисляются в седловой точке.
Найдем стационарное решение кинетического уравнения (24), описывающее начальную стадию переключения исследуемого сегнетоэлектрического кристалла. Вначале, следуя [11-13], рассмотрим работу AF = AF(n,а) образования зародыша, определяемую выражением (23), в окрестности седловой точки (пс, ас). В указанной окрестности квадратичное приближение величины △歹 имеет вид
△歹(八,Q)△冗-4(八-八с)2 + 6(Q - ctc)2,(25)
где △久—минимальная работа образования зародыша критического размера (19); А = (Л/)4/96тгсг3сс；2 и В = 2不戸占.
Как видно из структуры выражения (25), переменные описания зародыша (п, а) разделяются на термодинамически неустойчивую (п) и термодинамически устойчивую (а). Отметим, что наличие одной термодинамически неустойчивой переменной описания зародыша является характерной особенностью всех многомерных фазовых переходов первого рода [11, 12].
Используя формулу Гиббса и работу образования зародыша (25), нетрудно получить равновесное распределение доменов по размерам и формам:
筛 5，а) = ехрехр 許)х
(26)
八八,a,0) = 0,八八,a,0) = 0,Найденная равновесная функция распределения доменов позволяет дополнить кинетическое уравнение (24) стандартными начальным и граничными условиями:
八八,a,0) = 0,
八八,a,0) = 0,
/S，a<)〉 ]/(几，а/)
(27)(27)(28)(28)/eqS，a)冷一 о' /eqS，a)
(27)
(27)
(28)
(28)
feqga)『0' feq(n,a)『0c
Будем искать решение уравнения (24) в виде
/(八，a," = Сeхp (_玖)二广))夕(八,方),где нормировочная константа С выбирается так, чтобы
。卜 Хр(—
При таком выборе константы С функция распределения 夕(八，方)оказывается нормированной на число доменов в единице объема кристалла, т. е.
I0(八,方)dn = N⑴.о
В результате подстановки (28) двухмерное кинетическое уравнение (24) сводится к обычному одномерному уравнению Зельдовича
3夕(几/)=0 色"S，"dt n дп дп3夕(几/)=0 色"S，"dt n дп дп(29)(29)
3夕(几/)=0 色"S，"dt n дп дп
3夕(几/)=0 色"S，"dt n дп дп
(29)
(29)
с начальным и граничными условиями
]9(几/)' ^РеаМ]9(几/)' ^РеаМ0.0.(30)(30)
]9(几/)
' ^РеаМ
]9(几/)
' ^РеаМ
0.
0.
(30)
(30)
Зная работу образования домена критических размеров (25) и выражение для коэффициента диффузии в пространстве размеров Dn, можно определить основную кинетическую характеристику начальной стадии переключения сегнетоэлектрика —стационарный поток зародышей переполяризации. Согласно [7], стационарный поток определяется выражением
I = NvDnI = NvDn1V7T1V7T^△ь(八,а)дп2^△ь(八,а)дп2F 詛, ⑶)п=псF 詛, ⑶)п=пс
I = NvDn
I = NvDn
1
V7T
1
V7T
^△ь(八,а)
дп2
^△ь(八,а)
дп2
F 詛, ⑶)
п=пс
F 詛, ⑶)
п=пс
где Nv — число элементарных ячеек в единице объема кристалла, которое можно оценить как Nv 〜1/s.
國)=67Г/Зо國)=67Г/ЗоДля определения стационарного потока I необходимо знать коэффициент диффузии в пространстве размеров Dn. Пользуясь техникой, развитой в работах [7, 8], нетрудно получить выражение для коэффициента диффузии с учетом трехмерного роста переполяризованных областей. Оно имеет вид
國)=67Г/Зо
國)=67Г/Зо
(32)
где /3° — кинетический коэффициент. Подставляя соответствующие параметры в уравнение и выражая движущую силу через напряженность электрического поля, приложенного к кристаллу, для потока 180° доменов имеем
а для потока 90° доменова для потока 90° доменов/ = BaNp3/ = BaNp3expexp2тгсг%2k"(pE)22тгсг%2k"(pE)2/ = BaNv3/ = BaNv3expexp8тта3ш2k"(pE)28тта3ш2k"(pE)2(33)(34)(33)(34)
а для потока 90° доменов
а для потока 90° доменов
/ = BaNp3
/ = BaNp3
exp
exp
2тгсг%2
k"(pE)2
2тгсг%2
k"(pE)2
/ = BaNv3
/ = BaNv3
exp
exp
8тта3ш2k"(pE)2
8тта3ш2k"(pE)2
(33)
(34)
(33)
(34)
Nv/3a(H3)'/253cЕ3c +Nv/3a(H3)'/253cЕ3c +(35)(35)уравнение (24) при постоянном коэффициенте а. Выражение для этого потока имеет вид
Nv/3a(H3)'/253cЕ3c +
Nv/3a(H3)'/253cЕ3c +
(35)
(35)
2kBТ{рхЕх + UyZ(Tyz}
в котором uyz и ayz — компоненты тензора деформации и напряжения соответственно, Н — высота домена цилиндрической формы, а — поверхностное натяжение доменной стенки.
Кинетика зарождения доменов. Основная стадия
Зарождение доменов в МС. Уравнение (24) представляет собой уравнение непрерывности в пространстве размеров, где соответствующий поток J(n, t) состоит из двух частей — «гидродинамической» 咚夕(八，方)и «флуктуационной» 0冷(9夕(八，方)/9八).Первая составляющая потока отвечает изменению функции распределения переполяризованных доменов за счет их роста со скоростью Vn, а вторая описывает флуктуационное изменение размеров доменов.
Следует отметить, что на стадии массовой переполяризации эволюционное уравнение (24) может быть упрощено, поскольку основную роль на этой стадии играет гидродинамическая часть потока [7, 8]. Поэтому, пренебрегая флуктуационным членом, перепишем основное кинетическое уравнение (24) в виде
答尸+奈%切=0.(36)
Изменение переполяризации в кристалле обусловлено образованием большого количества зародышей переполяризации, меняющих внутреннее поле материнской среды. Однако общее число элементарных ячеек, являющихся «элементарными носителями» удельной поляризации (дипольного момента)夕，при этом сохраняется. Поэтому, следуя [7, 8], кинетическое уравнение (36) необходимо дополнить уравнением баланса
丿(瓦)齐=与^n，(37)
atj
о
где Рю — равновесная поляризации;丿(石°)(夕/Pio) — источник переполяризации, создаваемый внешним электрическим полем Е°； £(方)——относительная переполя- ризация;(夕/Qo) j Vn屮(n,t) dn — скорость «потребления поляризации» доменами о
новой фазы.
Кинетическое уравнение (36) и уравнение баланса (37) представляют собой полную систему, описывающую стадию массовой переполяризации многоосного сегнетоэлектрика, когда основной спектр зародышей достиг критического размера. Для решения этой системы уравнений необходимо знать выражение для скорости роста зародышей новой фазы Vn в явном виде. Отметим, что скорость роста существенным образом зависит от механизма доменного роста. Для определенности условимся считать, что низкосимметричная фаза рассматриваемого сегнетоэлектрика имеет тетрагональную точечную группу симметрии 4mm. Такая симметрия характерна для пироэлектрических фаз некоторых многоосных сегнетоэлектриков, в частности титаната бария. Условимся также считать, что равновесная спонтанная
поляризация в отсутствие внешнего электрического поля возникает вдоль оси OZ. Тогда, пользуясь техникой определения скорости роста зародышей в пространстве размеров, предложенной в работах [7, 8], найдем
咚=з"八2/3,(38)
где to ——временной параметр, зависящий от конкретного механизма доменного роста.
В частности, при образовании 180° и 90° доменов, растущих по нормальному механизму роста
点(4。)
где индексы 1 и 2 относятся к росту 180° и 90° соответственно, £о — диэлектрическая проницаемость вакуума;左石 n Т — постоянная Больцмана и температура; угг и хуу — компоненты тензора диэлектрической восприимчивости соответственно; /3° — кинетический коэффициент.
Метод аналитического решения подобных систем применительно к одноосным сегнетоэлектрикам был предложен в работах [7, 8]. Воспользуемся результатами работы [8], полученными с помощью метода [13], и выпишем решение системы (36)-(38). Так, поток доменов переполяризации-передеформации к моменту времени t имеет вид
_ /(&0) exp [-7"⑴9k(T⑴)]
—i + (i/"⑴⑴)•
Плотность зародившихся переполяризованных и передеформированных доменов к моменту времени t определяется следующим образом:
N⑴= /(&о)〃夕 к(Т ⑴).(42)
Наконец, временная зависимость относительной переполяризации-передеформации есть
•(43)
В уравнениях (41)-(43)
£?7=£?7О
Rmin — минимальная работа образования зародышей новой фазы для МС (23), /(§〃о)——поток зародышей переполяризации-передеформации в начальный момент времени для одноосного СС, или поток переполяризации МС,
Т =хк(рк(х) dx,
i J
о
—перенормируемое время,
to](备)森(k+lMV(&0)T，to](备)森(k+lMV(&0)T，(44)(44)
to](备)
森(k+lMV(&0)T，
to](备)
森(k+lMV(&0)T，
(44)
(44)
，/(&о)£оО，/(&о)£оОexPJS 小S 黑)]exPJS 小S 黑)]откудаоткудаТ =Т =力0 Ртахtk^Q力0 Ртахtk^Qпри X呼7⑴при p> 力о(45)можно определить попри X呼7⑴при p> 力о(45)можно определить по
，/(&о)£о
О
，/(&о)£о
О
exPJS 小S 黑)]
exPJS 小S 黑)]
откуда
откуда
Т =
Т =
力0 Ртахtk^Q
力0 Ртахtk^Q
при X呼7⑴
при p> 力о
(45)
можно определить по
при X呼7⑴
при p> 力о
(45)
можно определить по
здесь 夕卜(力)—вспомогательная функция, определяемая из решения уравнения (d夕k/dz) = exp (―力卜夕卜)при условии 夕卜(0) = 0 [13]. Коэффициент к зависит от механизма роста зародышей, и, как можно показать, в данном случае к = 1.
Функция распределения числа переполяризованных и передеформированных областей по размерам имеет вид
Здесь р =八i/з безразмерный радиус зародышей.
Переключившуюся область максимального размера формуле
q=&九7⑴
卩max/，
Зарождение доменов в СС. Формулы (41)-(44) описывают и эволюцию доменов в одноосных СС, поскольку они универсальны и описывают кинетику любых фазовых переходов первого рода. При этом такие параметры, как 方о, Amin и пс имеют следующий вид:
(46)(46)Amin5c) = ^НшУ/2апУ2,Amin5c) = ^НшУ/2апУ2,(47)(47)
(46)
(46)
Amin5c) = ^НшУ/2апУ2,
Amin5c) = ^НшУ/2апУ2,
(47)
(47)
где 八旷=^НшУ^(т/(^\рхЕх + uyz(jyz]\ Н —высота домена цилиндрической формы, остальные величины мы определяли выше. Коэффициент к, входящий в уравнения (41)-(44), также равен единице.
Ток переключения и поток передеформации
Ток переключения в МС. Временная зависимость плотности тока переключения в любых сегнетоэлектрических кристаллах определяется соотношением [2-6]:
Jp = —2Qo*(48)
При этом доля объема кристалла, вовлеченная в фазовый переход, весьма мала, а скорость ее изменения равна нулю. Поэтому на начальной стадии переключения ток поляризации-передеформации отсутствует. Указанный ток возникает только на втором этапе фазового превращения, т. е. на стадии массовой переполяризации. Для вычисления тока переключения обратимся к кинетическим уравнениям (36)(38). Уравнение баланса (37) было получено нами без учета заполнения объема кристалла передеформированными или переполяризованными доменами, что справедливо только на начальной стадии массовой переполяризации. Для вычисления плотности тока переключения, как следует из уравнения (48), необходимо знать долю еще не переключенного объема кристалла. Для определения этой величины необходимо переписать уравнение баланса (37) таким образом, чтобы учесть степень заполнения объема кристалла доменами переполяризации: Z = 1 — Q. При такой записи уравнение (37), переписанное в дифференциальной форме, будет выглядеть следующим образом:
竺=а — с —(& — a dz
dt~ т г (1 — Z) dК 丿
где go ——относительная переполяризации в начальный момент времени, 丁 — временной параметр, зависящий от механизма доменного роста и типа образующихся доменов. Для МС со 180° доменами
丁⑴=ЕХ*квТ,(50)
а для МС со 90° доменами
丁⑵=ЕХууквТ,(51)
где /3； = NoZ/exp (—%/квТ). Здесь % — высота энергетического барьера для реориентации дипольного момента элементарной ячейки р в отсутствие внешнего поля, Nv — число элементарных ячеек в единице объема кристалла, — частота колебаний атомов в ячейке.
Решение кинетического уравнения (36) совместно с уравнением баланса (49) позволяет найти все основные характеристики процесса переключения. Однако для нахождения тока переключения нет надобности решать столь сложную нелинейную систему уравнений, поскольку, как видно из уравнений (48), важно найти лишь производную от доли непереключенного объема кристалла по времени. Для этого, по аналогии с [7, 8] запишем выражение для Z в переменных put, учитывая, что р = 3、и ^{п, t)dn = g(p, t)dp. Дифференцируя Z по времени и используя соотношения (36) и (38), а также граничное условие д(р, = 0, получим
где N — число доменов. Отсюда
Тогда с учетом определения (48) ток поляризации является решением урав
нения
12Gpi12GpitotoMaMa(54)(54)
12Gpi
12Gpi
to
to
Ma
Ma
(54)
(54)
Таким образом, уравнение (55) совместно с уравнением баланса (49) составляет полную систему, позволяющую вычислить зависимость тока поляризации от времени и внешнего поля.
Из соотношений (48), (49) и (55) получим
Уравнение (56) определяет зависимость относительной переполяризации от времени. При этом начальными условиями являются нулевые условия для тока поляризации и его производных по времени, а также переполяризации. Зависимость потока зародышей от относительной переполяризации, входящая в уравнение (56) была определена нами выше (см. (33), (34)).
Система уравнений (48), (49)-(56) с учетом соответствующих начальных и граничных условий является замкнутой. Ее решение позволяет найти все основные кинетические характеристики процесса переключения исследуемого многоосного сегнетоэлектрического кристалла, а именно плотность тока переключения, относительную переполяризацию и поток зародышей.
Поток передеформации в СС. Временная зависимость плотности тока в одноосном СС может быть определена, как и в случае чистого МС.
Специфика переключения СС состоит в том, что наряду с током переполяризации возникает и «поток передеформации», обусловленный переключением сегне- тоэластических доменов. По аналогии с определением тока переполяризации (48) определим поток передеформации следующим образом:
Ju = -2U图， (56)
где dQ/dt — скорость изменения доли объема Q сегнетоэлектрика-сегнетоэласти- ка, который еще не успел переключиться; U；? — исходное значение спонтанной передеформации СС. Уравнения (57) и (49)-(56), в которых
丁 二, (57)
P0 Uyz
а плотность потока зародышей определяется из уравнения (35), составляют полную систему уравнений, определяющую поток передеформации. Потоки передеформации и переполяризации в СС связаны друг с другом соотношением Jp = =XJu, в котором А = Px\q/U^.
Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом
Так, согласно [1, 2, 14], температура Кюри титаната бария Тс 〜393 К; при температуре Г 〜373 К равновесная спонтанная поляризация 巴^ 〜1・2 • 10-1 Кл • м-2; диэлектрические восприимчивости вдоль и перпендикулярно полярной оси Хс ^ 60 н Ха ~ 300 соответственно; молекулярный вес М 〜0.233 кг • моль-1; плотность р 〜6.02 • 103 кг • м-3. Объем элементарной ячейки кристалла титаната бария можно оценить как s 〜М/pNа = 0.64 • 10-28 м3 (Na — постоянная Авогадро), тогда 〜= 1.6 • 1028 м-3. Кинетический коэффициент /3° зависит от энергии активации процесса смещения атома в сегнетоэлектрике и, согласно [7, 8], может быть оценен как /3° 〜1031 м-2 • с-1.
Рис. 1. Зависимость плотности тока переполяризации Jp от времени и величины поля: / — Е = 2-106В-м-1; 2 — Е = 4 • 1()6 в • Ml 5 - Е = 6 • 106 В • м-1; - Е = 8 • 106 В • м-1;
5 — Е = 1 • 107 В • м-1. Площадь образца S 〜10-9 м2
Согласно результатам, полученным в работах [4, 15, 16, 17, 19], величина поверхностного натяжения доменной стенки в случае титаната бария лежит в интервале от о 〜0.1 • 10-3 Дж • м-2 до о 〜10 • 10-3 Дж • м-2. Такой разброс в экспериментальных данных по поверхностному натяжению влечет качественный характер дальнейших оценок. Мы поэтому примем для оценок, что поверхностное натяжения доменной стенки а 〜0.7 • 10-3 Дж • м-2. При таком значении поверхностного натяжения в случае образования 180° доменов 方° Ю-12 с, 丁〜10-7 с, а 〜5.7 • 10-4 На рис. 1 приведены графики временных зависимостей плотности тока переполяризации Jp (方)в кристалле титаната бария BaTiO? в зависимости от величины приложенного электрического поля, полученные на основании решения системы (48), (49)-(56). Проводя подобный анализ, можно построить зависимости передеформации-переполяризации в СС. На рис. 2 представлены зависимости потока передеформации-переполяризации в типичном представителе сегнетоэлек- триков-сегнетоэластиков, — кристаллах сегнетовой соли — в зависимости от величины приложенной механической нагрузки и электрического поля.
Рис. 2. Зависимость плотности переполяризации-передеформации J。от времени и величины поля: / — Ех = 1,13 • 104 В • м-1, Оу% = 0,73 • 104 Н • м-2 или Ех = 1,2 • 103 В • м-1, Qpz = 7,27 • 104 Н • м-2; 2 - Ех = 1,13 • 104 В • м-1,(ryz = 0,37 • 104 Н • м~2 или Е力= =0,6 • 103 В-м-1,(Jyz = 7,27- 104 Н-м-2; 3 - Ех = 1,13 • 104 В-м"1,(ryz = 0 или Ех = 0, Oyz = 7,27 • 104 Н • м-2. Площадь образца S 〜10-9 м2
переполяризации и передеформации в реальных сегнетоэлектриках и сегнетоэла- стиках [1, 2, 20].
Список литературы
Струков Б. А., Леванюк А.П. Физические основы сегнетоэлектрических явлений в кристаллах. М.: Наука, 1995. 304 с.
Иона Ф., Ширане Д. Сегнетоэлектрические кристаллы. М.: Мир, 1965.
Shur У. Ya., Rumyantsev E.L., Makarov S. D. Kinetics of Phase Transformations in Real Finite Systems: Application to Switching in Ferroelectrics 〃 J. Appl. Phys. 1998. V. 84, № 1. P. 445.
Tagantsev A.K., Stolichnov /., Colla E.L., Setter N. Polarization Fatigue in Ferroelectric Films: Basic Experimental Findings, Phenomenological Scenarios, and Microscopic Features 〃 J. Appl. Phys. 2001. V. 90, № 3. P. 1387.
Шур В.Я.，Николаева У. В., Шишкин Е. И. 〃 др. Кинетика доменной структуры и токи переключения в монокристаллах конгруэнтного и стехиометрического танталата лития 〃①ТТ. 2002. Т. 44, № 11. С. 2055.
Duiker Н.М., Beale Р.Я, Scott J.F. et al. McMillan. Fatigue and Switching in Ferroelectric Memories: Theory and Experiment 〃 J. Appl. Phys. 1990. V. 68, №11. P. 5783.
Кукушкин C.A., Осипов А. В. Термодинамика и кинетика начальных стадий переключения в сегнетоэлектриках 〃 ФТТ. 2001. Т. 43, № 1. С. 80.
Kukushkin S.A., Osipov А. У. Thermodymamics and Kinetics of the Switching Effects in Ferroelectrics 〃 Phys. Rev. B. 2002. V. 65, № 17. P. 410.
Смоленский Г. А., Крайник H. H. Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики. М.: Наука, 1968. 184 с.
Лайнс М., Гласс А. Сегнетоэлектрики и родственные им материалы. М.: Мир, 1981. 736 с.
Шнейдман В. А. К кинетике фазовых переходов первого рода. Нестационарная многопараметрическая нуклеация 〃 ЖЭТФ. 1986. Т. 91, № 2(8). С. 520.
Куни Ф.М., Мелихов А. А. Многомерная кинетическая теория фазовых переходов первого рода 〃 ТМ①.1989. Т. 81, № 2. С. 247.
Кукушкин С. А., Осипов А. В. Кинетика зарождения тонких пленок из многокомпонентного пара 〃 ФТТ. 1994. Т. 36, № 5. С. 1258.
Барфут Дж. Введение в физику сегнетоэлектрических явлений. М.: Мир, 1979. 352 с.
Hayashi М. Kinetics of Domain Wall Motion in Ferroelectric Switching. I. General Formulation 〃 J. Phys. Soc. Jpn. 1972. V. 33. P. 616.
Burtsev E. И, Chervonobrodov S. P. Some Problems of 180°-Switching in Ferroelectrics 〃 Ferroelectrics. 1982. V. 45. P. 97.
Molotskii M., Kris A., Rosenmann G. Fluctuon Effects in Ferroelectric Polarization Switching 〃 J. Appl. Phys. 2000. V. 88, № 9. P. 5318.
Tagantsev A.K., Stolichnov /., Colla E.L., Setter N. Polarization Fatigue in Ferroelectric Films: Basic Experimental Findings, Phenomenological Scenarios, and Microscopic Features 〃 J. Appl. Phys. 2001. V. 90, № 3. P. 1387.
Nettleton R.E. Lattice-Dynamical Theory of Switching Barium Titanate Single Crystals 〃 J. Appl. Phys. 1967. V. 38, № 7. P. 2775.
Duiker H.M.* Beale P.D. Grain-Size Effects in Ferroelectric Switching 〃 Phys. Rev. B. 1990. V.41, № 1. P. 490.
К МОДЕЛИ НЕПОЛНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ МАТЕРИАЛОВЕ.И. ШЕМЯКИНА
Г. Зубчанинов
Тверской государственный технический университет
Рассматриваются две математические модели состояний неполной пластичности материалов Е. И. Шемякина и автора статьи. Получен парадоксальный результат о возможности пластического скольжения материала на главных площадках при касательных напряжениях, меньших предела текучести.
И. Шемякин широко известен научной общественности своими выдающимися работами в области геомеханики горных пород и теории пластичности. Он обладает удивительной научной интуицией. Примером тому может служить его простая модель неполной пластичности [1, 2], развивающая теорию А. Хаара и Т. Кармана о состояниях полной и неполной пластичности материалов [3]. Основные уравнения этой модели
Tmax ==瓦。2 =入夕 + 2G£2,。0 = КО,(1)
где ai (г = 1,2, 3) — главные напряжения, удовлетворяющие условию сч 〉。2〉。3, 夕=£1 + 后2 + £з ——относительное изменение объема,勺—главные деформации, 。0 = (。1 +。2 +。3)/3 — среднее напряжение, А = 2G〃/(1 — 2〃) — постоянная Ламе, G = Е/2(1 + 〃) 一 модуль сдвига, Е — модуль Юнга,从—коэффициент Пуассона, К =应/3(1 — 2〃)— модуль объемной деформации, к — предел текучести при плоском чистом сдвиге.
Из (1) видно, что пластическая деформация происходит на площадке максимальных касательных напряжений согласно условию пластичности Треска- Сен-Венана. Предполагается, что выполняется закон упругого изменения объема, в направлении второго главного напряжения выполняется соотношение закона Коши-Гука. Предполагается, что материал модели — идеальный упругопластический. Данная модель может быть обобщена на пластически упрочняющиеся материалы:
Tmax = G0rmaX, 02 =入0 + 2G£2, 00 = k0,⑵
где Гтах = Г13 = £i — £3 — максимальный главный сдвиг, Gp — пластический модуль сдвига.
Таким образом, в модели Е. И. Шемякина считается, что в случае активного процесса нагружения при переходе из упругого состояния в состояние неполной пластичности имеет место пластический сдвиг на площадке, где действует Ттах и сохраняется упругая связь между напряжениями и деформациями по второму главному направлению.
Из (2) находим главные напряжения аь 03, так что
6 = А^ + G^\ + £3) + G@(£i — £3),
＜。3 =入夕 + G(£i + £3) — G@(£i — £3),(3)
02 =入0 + 2G£2 •
Разрешая (3) относительно 勺(г = 1,2,3), получаем
⑷⑷卜「乱6 f 3 + -з)] - (丁) (， < £2 =百匕2 一〃(03 +01)],
⑷
⑷
"b3 -从(内 +02)] + 广 1 2 В ("^ - 1.
Из (3), (4) видно, что в напряжениях аь 03 либо £i, £3 реализуется неполная упругая деформация. Если положить в (3), (4) Ер =石，〃@ =从，то получим законы Коши-Гука для полной упругой деформации:
内=X6» + 2G£i, O2 = ^ + 2G£2, ct3 = ^ + 2G£3.(5)
Если положить Е = Ер,从=从@, то получим законы деформационной теории пластичности А. А. Ильюшина для состояния полной пластичности:
01 = % g + 2G户1,02 = % g + 2G户2,03 = % g + 2G户3,(6)
где
人0 - 2(1+-
—пластические модули; Ер — пластический или секущий модуль,从@ — пластический коэффициент поперечной деформации.
Т1з = G0r1з, Т12 = } [G0r13 + G(fi2 - Г23)], Т23 = } [G0rl3 - G(fi2 - Г23)],Т1з = G0r1з, Т12 = } [G0r13 + G(fi2 - Г23)], Т23 = } [G0rl3 - G(fi2 - Г23)],⑺⑺Из (3), (4) также следует
Т1з = G0r1з, Т12 = } [G0r13 + G(fi2 - Г23)], Т23 = } [G0rl3 - G(fi2 - Г23)],
Т1з = G0r1з, Т12 = } [G0r13 + G(fi2 - Г23)], Т23 = } [G0rl3 - G(fi2 - Г23)],
⑺
⑺
где T叮=5 —(tj)/2, Г叮=立(分 V 力 分，7 = 1,2,3) — главные касательные напряжения и главные сдвиги соответственно.
Пластический сдвиг Гтах = Г13 имеет место на площадке, где действует Tmax = Т13. На двух других площадках скольжения сдвиг полуупругий (полупла- стический).
Можно предложить несколько иную модель состояния неполной пластичности материала:
£1 = ^ (内—从时з)一 从登，£2 = ^■一从6片03, 方=普 3 一 从时 1) - 从£, (8)
где Ер,从0 — параметры в плоскости пластического деформирования; Е, ^ — параметры в направлении 2 упругого деформирования. При этом учтено, что от напряжений с^, 03 в своей плоскости деформации сч/Ер, 03/% — пластические, а их следствие в поперечном направлении 2 — упругая составляющая деформации 从(内+03)/马■
286286В. Г. ЗубчаниновВ. Г. ЗубчаниновИз (8) получаемИз (8) получаем£1 - £3 = 1 彳4p(01 —03),£1 + £2 + 完=---- (01 +02 +03)+02£1 - £3 = 1 彳4p(01 —03),£1 + £2 + 完=---- (01 +02 +03)+02]—4 — 4, Ер]—4 — 4, ЕрПолагаяПолагая1 — 241 — 4 P —4^т-eБpeеp ，3(1 - 24)3(1 — 4 P —4)приводим (9) к виду< £1 + £2 + £3 = (内 +。2 +03)，£2 =(01 + 03)ИЛИГmах = ；аX , e=前，^ = ^_ 一台(内 + 方).1 — 241 — 4 P —4^т-eБpeеp ，3(1 - 24)3(1 — 4 P —4)приводим (9) к виду< £1 + £2 + £3 = (内 +。2 +03)，£2 =(01 + 03)ИЛИГmах = ；аX , e=前，^ = ^_ 一台(内 + 方).(10)(10)Из (10) получаемИз (10) получаем01 =寸,+ 2G户1 + 02 = X*6» + 2G*£2,03 =寸0+ 2G户3 +01 =寸,+ 2G户1 + 02 = X*6» + 2G*£2,03 =寸0+ 2G户3 +(11)(11)гдегде(1 + 4*)(1 - Mp _ M)(1 + 仰)(1 - 24)'(1 + 4*)(1 - Mp _ M)(1 + 仰)(1 - 24)'2G*2G*2G0 =2G0 =E * E1 +从0E * E1 +从0(12)(12)
286
286
В. Г. Зубчанинов
В. Г. Зубчанинов
Из (8) получаем
Из (8) получаем
£1 - £3 = 1 彳4p(01 —03),
£1 + £2 + 完=---- (01 +02 +03)+02
£1 - £3 = 1 彳4p(01 —03),
£1 + £2 + 完=---- (01 +02 +03)+02
]—4 — 4, Ер
]—4 — 4, Ер
Полагая
Полагая
1 — 241 — 4 P —4^т-eБp
eеp ，3(1 - 24)3(1 — 4 P —4)
приводим (9) к виду
< £1 + £2 + £3 = (内 +。2 +03)，
£2 =(01 + 03)
ИЛИ
Гmах = ；аX , e=前，^ = ^_ 一台(内 + 方).
1 — 241 — 4 P —4^т-eБp
eеp ，3(1 - 24)3(1 — 4 P —4)
приводим (9) к виду
< £1 + £2 + £3 = (内 +。2 +03)，
£2 =(01 + 03)
ИЛИ
Гmах = ；аX , e=前，^ = ^_ 一台(内 + 方).
(10)
(10)
Из (10) получаем
Из (10) получаем
01 =寸,+ 2G户1 + 02 = X*6» + 2G*£2,
03 =寸0+ 2G户3 +
01 =寸,+ 2G户1 + 02 = X*6» + 2G*£2,
03 =寸0+ 2G户3 +
(11)
(11)
где
где
(1 + 4*)(1 - Mp _ M)
(1 + 仰)(1 - 24)'
(1 + 4*)(1 - Mp _ M)
(1 + 仰)(1 - 24)'
2G*
2G*
2G0 =
2G0 =
E * E
1 +从0
E * E
1 +从0
(12)
(12)
При Ер = Е,从0 = 〃 пз (11), (12) следуют равенства А = А* = Ар и соотношения (3) закона Коши-Гука для состояния полной упругости материала. При Е = Ер, 从=〃0 получаем А = А* = Ар, ^ = ^* = idp и из (11) получаем соотношения деформационной теории пластичности А. А. Ильюшина для состояния полной пластичности. Для состояния неполной пластичности из (12) для второго направления соотношение закона Коши-Гука не следует, точно так же, как и в исходных соотношениях (10) новой модели состояния неполной пластичности. Из (8), (11) следует
Г12 =Г12 =「23 =「23 =(13)(13)
Г12 =
Г12 =
「23 =
「23 =
(13)
(13)
Г13 =
где
2耳告
причем третье соотношение Г13 = Г12 + Г23 является следствием двух первых.
Для плоского чистого сдвига (ai = —03 = 丁，02 = 0) находим
Г12 = Г2з =Гтах = Г13 = -^ = 7.(14)
Полученный результат парадоксален, так как в состоянии неполной пластичности пластическое скольжение происходит по всем трем площадкам, а не по одной, как подсказывает концепция А. Хаара и Т. Кармана. В частности, если 丁 = к, где к — предел текучести, то пластическое скольжение начинается также и на площадках действия главных касательных напряжений Т12 = Т23 =卜/2, вдвое меньших предела текучести. Этот удивительный результат следует и для модели Е. И. Шемякина. Более того, он подтвержден экспериментально при испытании на кручение трубчатых стальных образцов с промежуточными полными разгрузками и повторными догрузками. Другой пример: ai = 2оз = т, 02 = 0, также приводится к случаю состояния неполной пластичности. Главные касательные напряжения Ттах = Т1з = г, Ti2 = Т32 = т/2 приводят к соотношениям
т11
Гтах = Г13 =万Г12 = Г32 = Г 万, которые качественно не изменяют сделанного вывода.
Остается открытым вопрос: сохраняется соотношение между напряжениями и деформациями в виде закона Гука в каком-либо направлении в состоянии неполной пластичности, как в модели Е. И. Шемякина, либо нет, как в предлагаемой модели. Вопрос же о том, что в состоянии неполной пластичности возможно упругое деформирование в некоторых направлениях, не вызывает сомнений. Однако это не дает повода считать, что пластическое скольжение реализуется по А. Хаару и Т. Карману только на одной площадке.
Список литературы
Шемякин Е. Я. А. Ю. Ишлинский — механик-прочнист 〃 Проблемы механики. М.: Физматлит, 2003. С. 39-44.
Шемякин Е. И. О сложном нагружении 〃 Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 2001. С. 124-132.
Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических сыпучих средах 〃 Теория пластичности. Сб. перев. М.: ИЛ, 1948. С. 41-56.
Зубчанинов В. Г. Процессы и состояния полного и неполного пластического деформирования материалов при сложном нагружении 〃 Механика материалов и прочность конструкций. СПб: Изд-во СПбГПУ, 2004. № 489. С. 141-152.
О ПРЕДЕЛЬНОМ СОСТОЯНИИ ПРИ ОТРЫВЕ
Д. Д. Ивлев, Н.М. Матченко
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, Чебоксары,Тульский государственный университет
Условие полной пластичности в случае предельного сопротивления сдвигу записывается в виде [1]
= 2k,=02 или02 =。3, k = const,
6》02》03,'
где о» — компоненты главных напряжений.
Условие отрыва в виде
。1 =。2 = d, 03 V d, d = const,(1.2)
рассмотрено в [2].
Ниже рассматривается условие отрыва
(Т ]d, (Т2°з, d ^― const.(1.3)
Рассмотрим соотношения связи главных компонент напряжений а^ и компонент напряжений о叮 в декартовой системе координат xyz
о力=aUf + a2mf + 03*, тху =力/也 + 02mlm2 +。3八屮2,^ 彳)
(冲2,123, Imn),
где Ц,加分，八分—направляющие косинусы, определяющие ориентацию компонент главных напряжений в декартовой системе координат xyz, скобки означают, что недостающие выражения получаются круговой перестановкой индексов и косинусов.
Для направляющих косинусов имеют место соотношения ортогональности
Zf + mf + nf = 1, /也 + 加1加2 + 八1 八2 =。，(123, Zmn). (1.5)
Из (1.3), (1.4), (1.5) получим
тху = (d 一 ^)/也，
ау
=" + (d — 〃)成)
%2 = (d — ^)/2/3,
(1.6)
=+ (d-联,
丁力2 = (d — ^)/1/3,
疗+后+ g = 1，
z/ =02 =03・
Из (1.6) следует
и =
二｝ (3。- d), о 二
= W ^X + bg +02)。
(1.7)
Уравнения равновесия имеют вид
(1.8)(1.8)3°力丄 дтХу 丄 9tXz — с 9тХу 丄 d(Jу ^Tyz 京+汇+文=也丁 +而+而
(1.8)
(1.8)
At/z 丄 dryz daz _ n
Из (1.6), (1.8) получим
^一工、工也一羽也+ ("沙)国号+/2学+/3学+/学+ /手]=0,
ox ox oy ozox oy oz oy oz
行 + 后 + % = 1,(冲2,123).
(1.9)
Обозначим уравнение характеристической поверхности
以0,賑=謂，％ 观=|^・(110)
Характеристический определитель системы уравнений (1.9) имеет вид
(1 • grad^)[(l • grad^)2 - (grad^)2] = 0, 1 = /代 + Z2j + %зк (l.H)
где i, j, k — единичные орты вдоль осей х, у, 2. Из (1.11) следует
cos(l • grad?/；) = 0, cos (1 • grad?/；) = 1.(1.12)
Из (1.12) следует, что характеристические поверхности пересекаются вдоль направления первого главного напряжения с^ = d, п что поверхности отрыва с^ = =d являются характеристическими.
Рассмотрим соотношения, определяющие компоненты скоростей перемещения и, о, w при отрыве (1.3). Для определения величины £〔 имеют место соотношения [2]
(2.1)(2.1)£1 = % += ^хут- + % + ^yz = ^xzt~ +%
(2.1)
(2.1)
Из (2.1), (1.6) получим два соотношения
8/ 十 &ху十 ^xzTxyTxz8/ 十 &ху十 ^xzTxyTxz@^+%，(2.2)@^+%，(2.2)
8/ 十 &ху十 ^xz
TxyTxz
8/ 十 &ху十 ^xz
TxyTxz
@^+%，(2.2)
@^+%，(2.2)
где о определяется согласно (1.7)
Запишем условие (1.3) в виде
6 — d = 0,。2 —。3 = °・6 — d = 0,。2 —。3 = °・(2.3)(2.3)
6 — d = 0,。2 —。3 = °・
6 — d = 0,。2 —。3 = °・
(2.3)
(2.3)
Рассматривая соотношения (2.3) в виде обобщенного потенциала, получим
£ 1 = a,£2 =从，完=一从,£2 +完=。，》》0，〃)0.(2.4)
290290Д.Д. Ивлев, Н.М. Матченко
290
290
Из (2.4) следуют выражения для инвариантов
£ = £1 + £2 + £3 =入
(2.5)
/2 = £1后2 + £2后3 + £1克=-从 2, A=£1£2克=一入从 2.
Из (2.5) получим
£/2 =厶.(2.6)
Выражение (2.6) в компонентах скорости деформации в декартовой системе координат имеет вид
(£力 + £g + ^z){^x^y + ^y^z + £之£力—£(£力 + £g + ^z){^x^y + ^y^z + £之£力—£2 xy2 xy~£yz~£yz
(£力 + £g + ^z){^x^y + ^y^z + £之£力—£
(£力 + £g + ^z){^x^y + ^y^z + £之£力—£
2 xy
2 xy
~£yz
~£yz
= £力£夕£之 + ^^xy^yz^xz — ^-X^yz — %g*Z — ^Z^xy' (2.7)
Три соотношения (2.2), (2.7) образуют замкнутую систему уравнений относительно трех неизвестных “，о, w. Система уравнений является нелинейной.
Соотношения, определяющие кинематику деформирования при отрыве (1.3) можно также получить следующим образом.
Согласно условиям предельного состояния (2.3) имеет место изотропное состояние материала.
Из соотношений, вполне аналогичных (1.4)
£力=£1次 + £2m? + £3*,
(2.8)
“g = q/也 + £2加1m2 + £3 八 1八2,(力g2,123, Zmn),
а так же (1.5), (1.6), (2.4), (2.5) получим
+ 1 一疗=2時，"£‘"2 _ /也=2,
+ 1 - /2 = 2碣， 5』3 _ 川3 = 2mlm3,(2・9)
+ 1 - 4 = 2欣，~/ = 2rn
Из (2.9) следуют три соотношения
卜力一£疗+从(1 -次)]，卜g - £后+从(1 -后)]=(£ху - £/也一从/也产，(2.10) где
£ = £力+%+%, 从=，-/2 ,^1 = ^_ \ /也=^^,(冲2；123).
Список литературы
Хаар, Карман. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах. Теория пластичности. Сборник переводов. М.: ИЛ, 1948.
Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966.
ЭНДОХРОННАЯ ТЕОРИЯ НЕУПРУГОСТИ,УЧИТЫВАЮЩАЯ КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Ю.И. Кадашевич, С.П. Помыткин
Санкт-Петербургский государственный технологический университетРАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Предлагается простейший эндохронный вариант теории неупругости для конечных деформаций, учитывающий временные эффекты.
В работе [1] авторы предложили новый подход к построению эндохронных вариантов теории пластичности при учете больших (конечных) деформаций, а в [2] был сделан обзор результатов, полученных авторами по указанным проблемам. Не видно препятствий к распространению подхода на учет временных эффектов при простом и сложном нагружении.
За основу, для наглядности, примем простейший вариант эндохронной теории пластичности при малых деформациях, предложенный еще К. С. Валанисом в [3]. Эти уравнения имели вид
爭=2Gt 争,(1)
丿 drdr
J,(2)
Здесь о* — девиатор тензора напряжений, £务—девиатор тензора деформаций, 丁 — аналог предела текучести, G — модуль сдвига, К — модуль объемного сжатия.
Если предположить, что параметр 丁 зависит от интенсивности скорости деформирования А = dr/dt (точка — производная по физическому времени 方)，то получим простейший вариант эндохронной теории, учитывающий временные эффекты. Для выяснения сути предлагаемого подхода рассмотрим частный случай соотношений (1), когда 丁 = к° •入，卜0 = const. Тогда определяющие уравнения для малых деформаций запишутся так:
小k。学=2Gk0禁(4)
Нетрудно проследить, что эти соотношения описывают простейшие эффекты ползучести и релаксации.
Введем приведенные деформации и приведенные напряжения по формулам (используя в дальнейшем безындексную форму записи тензоров):
Е = Q%Q, Г = Q%Q, Е = QTQQ, Г = ^^.(5)
ортогонального тензора поворота, F — градиент деформации, “ — правый тензор удлинения.
Отметим здесь, что из (5) определяется мера деформации по формуле
⑹⑹e = Q^QTDQdt^QT.
⑹
⑹
После введения (5) определяющие соотношения (4) примут следующий вид (|а| =，а : а — норма тензора а):
тТ + Т\Е\ =2GtB,(7)
2 = 0,
<s = g + <sQ — Q<s,
Q = QQT.
Проведем теперь над уравнением (7) операцию обратной свертки Q^)QT, тогда получим систему определяющих соотношений в форме
⑻⑻та +(j\D\ = 2GtD,
⑻
⑻
7 = 7(入 1O),
3 = D
(При решении конкретных задач принималась связь т = ко • X, ко = const.) Следует отметить, что, как и в теории пластичности, задачи жесткого нагружения решаются достаточно просто. Задачи же мягкого нагружения требуют более тонкого анализа.
Для решения конкретных задач сложного нагружения надо указать способ определения тензора Q. Различные предложения по этому вопросу можно найти в [2]. Мы ограничимся наиболее простой гипотезой Q =尸〃一 L Приведем некоторые полезные на наш взгляд вспомогательные результаты, которые можно использовать при решении конкретных задач.
Если градиент F имеет структуру
аu е2 0、f=0к220,
\0。к22丿
ТО
\ 0\ 01 о о1 о оОООООО(cos /3-sin/3О(cos /3-sin/3Оsin/3 cos /3Оsin/3 cos /3Оо о1о о1tg/3 =tg/3 =k11 +k22k11 +k22
\ 0
\ 0
1 о о
1 о о
О
О
О
О
О
О
(cos /3
-sin/3
О
(cos /3
-sin/3
О
sin/3 cos /3
О
sin/3 cos /3
О
о о
1
о о
1
tg/3 =
tg/3 =
k11 +k22
k11 +k22
Если же
АнО \ ОАнО \ О瓦2k22О瓦2k22О瓦2Оk22瓦2Оk22
Ан
О \ О
Ан
О \ О
瓦2
k22
О
瓦2
k22
О
瓦2Оk22
瓦2Оk22
тотоQu = У cos 2/3, Q12 = —Q21 = - sin/3, Q23 = Q32 =”111 + ycos 2/3Qu = У cos 2/3, Q12 = —Q21 = - sin/3, Q23 = Q32 =”111 + ycos 2/3Q22 = Q11 — Q23, Q33 = Q22 — 1,tga = 瓦 2, tg/3 = — Sina,+ %22Q22 = Q11 — Q23, Q33 = Q22 — 1,tga = 瓦 2, tg/3 = — Sina,+ %22。/ 0 1 1Q = 3炉・6・-10 0vcos 2/31 n n。/ 0 1 1Q = 3炉・6・-10 0vcos 2/31 n nтотоЕслиЕсли/ RuQ = -^12\-^13/ RuQ = -^12\-^13
то
то
Qu = У cos 2/3, Q12 = —Q21 = - sin/3, Q23 = Q32 =”11
1 + ycos 2/3
Qu = У cos 2/3, Q12 = —Q21 = - sin/3, Q23 = Q32 =”11
1 + ycos 2/3
Q22 = Q11 — Q23, Q33 = Q22 — 1,
tga = 瓦 2, tg/3 = — Sina,
+ %22
Q22 = Q11 — Q23, Q33 = Q22 — 1,
tga = 瓦 2, tg/3 = — Sina,
+ %22
。/ 0 1 1
Q = 3炉・6・-10 0
vcos 2/31 n n
。/ 0 1 1
Q = 3炉・6・-10 0
vcos 2/31 n n
то
то
Если
Если
/ Ru
Q = -^12
\-^13
/ Ru
Q = -^12
\-^13
卩 A” 一 1尺 23 = ^^卩 A” 一 1尺 23 = ^^h22 = ^^,居2 = ^^，^22-^33= I.
卩 A” 一 1尺 23 = ^^
卩 A” 一 1尺 23 = ^^
Все указанные результаты легко получаются из анализа общей формы представления тензора Q и требования симметричности тензоров и = QTF и и~{= = LQ・
Для выявления новых эффектов, вытекающих из предложенного подхода, рассмотрим некоторые конкретные задачи. Например:
Задача простого сдвига (Q2 = const). На рис. 1 приведены кривые развития напряжений ац и 012 при прямом нагружении. Наибольший интерес представляет поведение напряжения ап： после достижения максимума происходит релаксация этой компоненты напряжений. Аналогичный эффект был экспериментально обнаружен и описан в работе [4] под названием «эффект осцилляции». (Для простоты в расчетах принято, что Q2 = 1,咼=1, 2G = 1).
Задача ползучести (^12 = 0). В этом случае возникает и развивается, кроме деформации 勺2, и деформация
Задача релаксации (О12 = 0). Происходит релаксация не только напряжения 012, НО И СГЦ.
Интересные эффекты возникают и при других историях нагружения типа (7ц = const или О” = const. К сожалению, опытные данные для анализа этих задач авторы не обнаружили. Сопоставление теоретических результатов и опыта стоит на повестке дня.
Замечание 1. Во всех указанных примерах приняты естественные граничные условия для тензора F:
к 叮(°) = 1，分=力 к叮=°,
Интересные неожиданные результаты получаются, если допустить, что kij(0)市 # 0 при i # j. Рассмотрим случай изохорического растяжения: ki2(°) = 1, изученный Рубиным [5]. При этом。22 = Аз = —。11/2. На рис. 2 приведены качественные кривые развития напряжений(7ц и 012, которые показывают характер проявления эффекта. Поведение осевых и сдвиговых напряжений совпадает с дан-
10.90.8070.60*50.40.30.2о Л10.90.8070.60*50.40.30.2о Л
1
0.9
0.8
07
0.6
0*5
0.4
0.3
0.2
о Л
1
0.9
0.8
07
0.6
0*5
0.4
0.3
0.2
о Л
ными работы [5]. Ясно, что значение 卜打⑼ должно быть уточнено на основе экспериментальных данных.
Замечание 2. В данной статье предложен вариант теории на основе использования понятия градиента деформации. Исходя из соображений, изложенных
в [2], можно предложить вариант теории и на основе использования понятия градиента напряжения или обоих градиентов совместно. Результаты будут иметь как сходство, так и различия. Выбор оптимального варианта теории, по-видимо- му, может быть сделан лишь после проведения специальных экспериментальных исследований.
Список литературы
Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Анализ сложного нагружения при конечных деформациях по эндохронной теории неупругости 〃 Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения. М.: КМК ЛТД, 1998. С. 72-76.
Кадашевич Ю. И., Помыткин С.П. Новый взгляд на построение эндохронной теории пластичности при учете конечных деформаций 〃 Научно-технические ведомости СПбГТУ. СПб, 2003. Т. 33, № 3. С. 95-103.
Valanis К. С. A theory of viscoplasticity without a yield surface. Pt. I-П. 〃 Archiwum Mechaniki Stosowanej. 1971. V. 23, № 4. P. 517-551.
Montheillet F., Cohen M., Jonas J. J. Axial stresses and texture development during the torsion testing of Al, Cu, a-Fe 〃 Acta Metallurgies. 1984. V. 32. P. 2077-2089.
Rubin M.B. Plasticity theory formulated in terms of physically based microstructural variables. Part II. Examples 勿 International Journal of Solids and Structures. 1994. V. 31, № 19. P. 2635-2652.
КОНТИНУАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ПРОЦЕССАДИНАМИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ
А. В. Каштанов, Ю. В. Петров
Санкт-Петербургский государственный университет
Предлагается способ изучения динамического разрушения, основанный на описании состояния разрушаемого образца специфическим уравнением континуальной механики, эквивалентным структурно-временному критерию разрушения. Исследованы такие различные задачи динамического разрушения, как расчет временных зависимостей прочности и прогнозирование динамической трещиностойкости.
Введение. Развитие процесса разрушения определяется напряженным состоянием тела и его структурой. В линейной механике критерий разрушения связывают с критическим значением локальных растягивающих напряжений (для бездефектного материала) или коэффициента интенсивности напряжений (для материала с макротрещиной). В условиях динамического нагружения ситуация меняется. Как показывает ряд экспериментальных исследований, знания только одного критического параметра недостаточно для адекватного описания процесса разрушения.
Одним из эффективных способов исследования задач, связанных с динамическим разрушением, является структурно-временной критерий [1], который позволяет учесть дискретность процесса динамического разрушения, предполагая дискретную структуру как пространственной, так и временной шкалы. При этом соответствующий «размер» на временной шкале называется инкубационным (структурным) временем разрушения и имеет физический смысл характерного времени релаксации при микроразрушении материала [1, 2].
Авторами предлагается эквивалентный подход к изучению динамического разрушения, основанный на описании состояния разрушаемого материала специфическим уравнением континуальной механики, для которого естественным образом формулируются начальное условие и критерий разрушения на макроскопическом масштабном уровне. Показано, что предложенный подход является обобщением классических критериев разрушения, а именно критериев критического напряжения и критического коэффициента интенсивности напряжений, на случай динамического разрушения. При этом так же как и структурно-временной критерий, континуальный подход полностью определяет и статическую, и динамическую прочность материала, оперируя только парой констант, значения которых могут быть измерены в опытах по статическому разрыву. Это позволяет существенно упростить и удешевить методику тестирования материалов, так как все прочие характеристики процесса динамического разрушения оказываются расчетными параметрами, априорное знание которых не требуется для определения предельных нагрузок. При помощи предложенного подхода исследованы такие задачи динамического разрушения, как расчет временных зависимостей прочности и прогнозирование динамической трещиностойкости.
Континуальное описание процесса динамического разрушения. Рассмотрим уравнение состояния разрушаемой среды в виде
* = ； (q⑴-q(方-7))，q⑴=岑^，⑴
где t — время,夕(方)—функция состояния, характеризующая текущий уровень разрушенности (поврежденности) материала, 丁 — положительная константа (инкубационное время),尸(方)—локальная интенсивность силового поля, Fc — критическое значение величины 尸(方)，определяемое экспериментально. В частности, для бездефектного материала 尸(方)совпадает с величиной локальных растягивающих напряжений: F(t) = о(方)；если в материале содержится макротрещина, то величина F(t) принимается равной коэффициенту интенсивности напряжений в материале: f⑴=Ki⑴.
Начальное условие для уравнения (1) ставится в виде
М) = 0,(2)
где 方о ——момент приложения ненулевой нагрузки к изначально «бездефектному» материалу, т. е. q«o) = 0. Критерий разрушения записывается в виде
伙方 *) = 1,(3)
где 方* — время до разрушения. То есть разрушение рассматривается как эволюционный (временной) процесс, переводящий материал из состояния 夕=0 в состояние 夕=1 за некоторое время 方* по закону (1).
Покажем, что предложенный подход эквивалентен структурно-временному критерию разрушения [1, 2]:
t
I 尸冗.(4)
t — т
В самом деле, выбирая в качестве нулевого момента времени момент приложения нагрузки, т. е. считая, что F(t) = 0 при 方 < 0, п интегрируя уравнение (1) на промежутке [0, t], с учетом условия (3), будем иметь
t
о
что эквивалентно критерию (4).
Заметим, что при 丁 — 0 уравнение состояния (1) с начальным условием (2) принимает вид
、伙方0)=0
а критерий разрушения (3) может быть переписан как 尸(方*) = Fc. Таким образом, подход (1)-(3) является обобщением таких классических критериев разрушения, как критерий критического напряжения о(方)W Ос 以 критерий Ирвина критического коэффициента интенсивности напряжений Ki (方)W К" на случай «немгновенных» событий разрушения, когда при достижении критического уровня локальной интенсивности силового поля разрыв происходит не мгновенно, а за время т, которое
называется «инкубационным временем» или временем релаксации. Согласно кинетической концепции [3-5], разрушение рассматривается как непрерывно развивающийся во времени процесс, который начинается сразу же после приложения к телу нагрузки и состоит в разрыве межатомных связей и постепенном накоплении разорванных связей в материале. В [3] показано, что фактор времени является фундаментальной характеристикой прочности. Игнорируя время, затрачиваемое на разрушение, нельзя правильно понять основу явления прочности.
Изучим более детально область допустимых значений функции состояния 夕 6 е (—оо, 1] ■
отрицательные значения 夕 можно интерпретировать как состояния с «подавленной» относительно условно бездефектного состояния дефектностью (например, уменьшение подвижности дислокаций или «залечивание» микротрещин при всестороннем сжатии);
夕=0 означает, что материал в этот момент времени является условно бездефектным;
положительным значениям 夕 соответствуют состояния с увеличенной относительно условно бездефектного состояния дефектностью (например, растущая в результате приложения нагрузки трещина);
夕=1 соответствует полностью разрушенному материалу.
Итак, предложенный подход можно считать дифференциальной формой записи структурно-временного критерия разрушения. Заметим, что оба критерия оперируют лишь парой констант (Fc, г), значения которых могут быть измерены в опытах по статическому разрыву материала, при этом они полностью определяют как статическую, так и динамическую прочность материала. Однако, в отличие от интегральной формы записи, в уравнение (1) явно входит функция состояния О, определяющая степень «разрушенности» (поврежденности) материала на различных стадиях процесса разрушения. Это позволяет не просто сформулировать критерий разрушения, но детально изучить сам процесс динамического разрушения.
Расчет временных зависимостей прочности. В качестве первого примера обратимся к анализу разрушения условно бездефектных материалов. Рассмотрим одномерную задачу об отколе упругого полубесконечного стержня под действием нагрузки, имеющей вид треугольного импульса с амплитудой А и длительностью 厶.Будем считать, что стержень расположен вдоль положительной части оси Ох. Тогда падающий на свободный конец импульс можно записать в виде
где с — максимальная скорость импульса на свободный конецгде с — максимальная скорость импульса на свободный конец{?{?"О, t》0."О, t》0.волн, время t отсчитывается от момента падения стержня, Н(方)—функция Хевисайда; H(t)=волн, время t отсчитывается от момента падения стержня, Н(方)—функция Хевисайда; H(t)=Отраженный импульс имеет видОтраженный импульс имеет вид[H(ct + 力)-H(ct + 力-cti)],
где с — максимальная скорость импульса на свободный конец
где с — максимальная скорость импульса на свободный конец
{?
{?
"О, t》0.
"О, t》0.
волн, время t отсчитывается от момента падения стержня, Н(方)—функция Хевисайда; H(t)=
волн, время t отсчитывается от момента падения стержня, Н(方)—функция Хевисайда; H(t)=
Отраженный импульс имеет вид
Отраженный импульс имеет вид
0+=4(」+0+=4(」+[H(ct —力)—H(ct — x — cti)].
0+=4(」+
0+=4(」+
Суммарное напряжение в каждой точке стержня: а = а_ + а^. Очевидно, что максимум растягивающего напряжения впервые достигается в точке х = с^/2. В дальнейшем будем рассматривать процесс разрушения именно в этой точке, а время будем отсчитывать от момента возникновения в данной точке растягиваю-
щих напряжений, т. е. переходим к новой координате《
t - |. Тогдаt - |. Тогда。⑹=А^ Я(С + 幻 +(1-|) н⑹ + (т + ^) Ж- М(5)
t - |. Тогда
t - |. Тогда
砍)」(5 О,伙一％) = О,砍)」(5 О,伙一％) = О,⑹⑹Для рассматриваемой задачи уравнение состояния материала (1) принимает вид
砍)」(5 О,
伙一％) = О,
砍)」(5 О,
伙一％) = О,
⑹
⑹
где С — некоторая постоянная, определяемая из начального условия, J(《)= =I 匕(《)—о(《—г)] d《.Критерий разрушения (3) можно переписать как 夕(《*) = 1. Сначала рассмотрим случай 厶》г, когда длительность импульса растягивающих напряжений больше инкубационного времени (рис. 1):
тельных импульсовтельных импульсов
тельных импульсов
тельных импульсов
с e ［一办，一办 + 丁）
с e [一办 + 7,0)
畋Yd—）
20，丁）
с e ［丁力）
0© =芳*Т（纸一2，十 t）
С e比力+ 丁）
То есть в случае длительных импульсов величина минимальной разрушающей амплитуды 厶* при заданной длительности импульса 厶 и соответствующее время
до разрушения стержня《* определяются формулами
Теперь рассмотрим случай коротких импульсов:办 W 丁 (рис. 2).
С е 。）
22小一）
с e [0, -％ + T)
眩）=2」力（一（一»
с e [—% + 丁力)
砍)=万*(n2—2)
с e 比，丁）
伙Q = ^(% -(一 T)2)
С e比力+ 丁）
2Toet i
Рис. 2. Характер изменения уровня разрушенности материала в процессе откола для коротких импульсов
Следовательно, в случае коротких импульсов величина минимальной разрушающей амплитуды 厶* и соответствующее ей время 《*, до разрушения стержня определяются формулами
A* = оe 丁， с* = 丁・
Возвращаясь к исходным переменным, получим уравнения, описывающие временную зависимость прочности во всем диапазоне длительностей разрушения с учетом инкубационного времени разрушения:
2Т
4 = <；1方* = 丁 +(7)
Ос 1 — 3丁，
Как и следовало ожидать, уравнения (7) полностью идентичны аналогичным уравнениям, полученным при помощи структурно-временного критерия [6]. На рис. 3, 4 изображены временные зависимости прочности, полученные для некоторых материалов. Экспериментальные данные (на рисунках обозначены точками) взяты из [7], где проводилось экспериментальное исследование хрупкого разрушения твердых тел в волне растягивающих напряжений с помощью техники плоского соударения пластины-ударника с пластиной-мишенью.
-
-°
0
-2
—4 -
_6 -”u 宀員
0100200300 4, MPa
Рис. 3. Временная зависимость прочности для ПММА (% = 72 МРа, г = 0,65/is)
lg«*,s)
-
-
2
0
-2
—4 -
—6 -
004004008008001200 4, MPa1200 4, MPa
0
0
400
400
800
800
1200 4, MPa
1200 4, MPa
Рис. 4. Временная зависимость прочности для алюминия (% = ЮЗ МРа, г = 0,75 /is)
Приведенный пример решения задачи о развитии трещины при отколе наглядно иллюстрирует необходимость введения зоны с «подавленной дефектностью», соответствующей отрицательным значениям функции состояния среды и возникающей в результате воздействия волны сжатия на материал (рис. 1, 2). Именно учет времени, затраченного на «выход» из этой зоны, позволил правильно определить суммарное время, необходимое для разрушения образца, и корректно описать процесс развития откольной трещины.
Прогнозирование динамической трещиностойкости. Обычно для анализа процесса динамического разрушения образцов с трещинами используют критерий,
аналогичный статическому критерию критического коэффициента интенсивности напряжений. При этом вводится понятие динамической вязкости разрушения, которая является функцией материала, зависящей от истории нагружения. Однако данный подход неудобен для использования в конкретных приложениях, поскольку сложно заранее предсказать скорость нагружения. Он также оказывается неэффективным в силу неустойчивости поведения динамической вязкости разрушения, которая может зависеть как от истории, так и от способа приложения нагрузки [8, 9]. Так, в экспериментах [10] разрушение происходило на стадии возрастания коэффициента интенсивности, и под скоростью нагружения понимался наклон линейной части кривой нагружения. Однако если рассматривать пороговые импульсы нагружения (например, разрушающие импульсы заданной длительности и минимальной амплитуды), то разрушение может произойти и после достижения максимума коэффициентом интенсивности. В этом случае возможна ситуация, когда динамическая вязкость убывает при стремлении длительности разрушающего импульса к нулю [8], вместо того чтобы возрастать, как это наблюдается в экспериментальных исследованиях [10]. То есть динамическая вязкость разрушения не является параметром материала и возникает необходимость в альтернативном способе тестирования прочностных свойств материалов. Такую возможность предоставляет структурно-временной критерий [11] и эквивалентный ему континуальный подход (1)-(3).
В качестве примера рассмотрим задачу об упругой плоскости, содержащей полубесконечную трещину, расположенную вдоль отрицательной части оси Ох и подвергающуюся симметричному ударному воздействию вида 夕(方)=PtH(t), где p(t) — прикладываемая по берегам трещины нагрузка, Р = const — скорость нагружения, Н(方)—функция Хевисайда. Тогда коэффициент интенсивности напряжений определяется как [11] К1 ⑴=|р夕(С1,С2)*/2Н⑴， где ci и с2 — °/2 _ с2
скорости продольных и поперечных волн в материале, ^р{с\, С2)= ^ — \ ————.
Cl V 7ГС1
То есть для рассматриваемой задачи q(t)=輩^*/2〃
Тогда уравнение состояния (1) принимает вид
0 =
卢/2 +
t < Г,
(8)
0 =
爲^5/2 — —)5/2]+с,
方》7，
где С — некоторая постоянная.
Сначала рассмотрим малые времена нагружения 0 < t < г:
"=爲://2 + °'台户/2.伙0) =0"=爲://2 + °'台户/2.伙0) =0⑼⑼
"=爲://2 + °'台户/2.
伙0) =0
"=爲://2 + °'台户/2.
伙0) =0
⑼
⑼
Время 方* до разрушения образца можно найти из критерия разрушения (3):
4РЗ 戸/2 = 1
15тКс * — *
Этому времени соответствует скорость нагружения Р =心丁"以5/2 и 衣打= 5T
=Ki(方*) = К"赤.Заметим, что при этом величина минимальной скорости нагружения 2, приводящей к разрушению образца, равна: 2 =т~3^.
4夕
Если скорость нагружения Р < Р*, то за время t < г образец не разрушится, и, согласно формуле (9), уровень поврежденности образца к моменту времени 丁 будет равен
伙Т)=苗产.
Дальнейшее разрушение образца при 方》丁 описывается вторым из уравнений (8):
следовательно,
(一Т)5勺.
Тогда время до полного разрушения образца определяется формулой
а соответствующая этому времени скорость нагружения Р [方*/ —
—(方丁)5/2厂1. Значит Kid = K1&) = к£ /5/2_；_т)5/2・
Итак, из уравнения состояния (1) получены уравнения, описывающие временную зависимость динамической вязкости разрушения во всем диапазоне длительностей разрушения с учетом инкубационного времени разрушения:
方* V T，
5； 色2(10)
Заметим, что они полностью совпадают с выражениями, полученными при помощи структурно-временного критерия [11]. Полученный результат используем для анализа экспериментальных данных работы [10] (рис. 5). Инкубационное время 丁 рассчитывается из соображений наилучшего приближения экспериментальных точек кривой (10).
Заключение. Предложенный континуальный подход обобщает классические критерии разрушения и, так же как структурно-временной критерий, является эффективным средством для исследования задач, связанных с динамическим разрушением. Он дает возможность детально исследовать процесс разрушения и не только прогнозировать поведение динамической вязкости (для задач с трещинами), но и рассчитывать временные зависимости прочности при различных условиях нагружения. При этом динамические параметры, описывающие процесс
—5 —4—3—2—10123 以，s
Рис. 5. Зависимость динамической вязкости разрушения от времени до разрушения для сплава 2024-ТЗ (Kic = 30 МРаУт, г = 55 /is)
разрушения, являются расчетными характеристиками. Для их оценки достаточно знать пару констант материала, которые могут быть непосредственно определены в опытах по статическому нагружению и полностью описывают прочностные свойства материала.
Список литературы
Morozov N.尸.,Petrov У. У. Dynamics of fracture 〃 Springer, 2000. P. 98.
Петров Ю. В. «Квантовая» макромеханика разрушения твердых тел 〃 СПб: ИПМ РАН, 1996. 51 с.
Журков С.Н., Абасов С. А. 〃 Высокомолекулярные соединения. 1961. Т. 3, вып. 3. С. 450.
Журков С. Я., Бетехтин В. И., Бахитбаев А.Н. 〃 ФТТ, 1969. Т. 11, вып. 3. С. 690.
Журков С.Н. 〃 Изв. АН СССР. Неорган. материалы. 1967. Т. 3, вып. 10. С. 1767.
Глебовский П.А., Петров Ю. В. 〃 ①ТТ. 2004. Т. 46, вып. 6. С. 1021.
Беллендир Э.Н. Автореферат канд. дисс. 〃 Л.: ФТИ им. А. Ф. Иоффе, 1990.
Shockey D.A., Erlich DC., Kalthoff /. F. 〃 Eng. Frac. Meeh. 1986. V. 23. P. 311.
Березкин A.H., Кривошеев С. 〃., Петров Ю. В. 〃 ДАН. 2000. Т. 375, № 3. С. 328.
Owen D.M., Zhuang Z., Rosakis A. J. 〃 Int. J. Frac. 1998. № 90. P. 153.
Петров Ю.В., Ситникова E. В. 〃 ЖТФ. 2004. T. 74, вып. 1. С. 58.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СТАРЕНИЯИ ДЕСТРУКЦИИ ПЛЕНОЧНО-ТКАНЕВОГОКОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА
Р.А. Каюмов, И. 3. Мухамедова, А.М. Сулейманов
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Под термином «пленочно-тканевый композиционный материал» (ПТМ) будем понимать композит с тканой армирующей основой из высокопрочных синтетических нитей и пленочного покрытия из эластомеров или термопластов, которые служат для защиты армирующей основы от воздействия атмосферных факторов и придания воздухонепроницаемости материалу. Невысокие капитальные затраты, малая материалоемкость, мобильность и быстрота монтажа сооружений типа тентовых и пневматических конструкций из ПТМ позволяют весьма эффективно использовать их в сельском хозяйстве, при освоении новых промышленных районов, в военной технике и гражданской обороне. Из эксплуатационных факторов, таких как температура, влага, механические нагрузки, ультрафиолетовая (УФ) радиация солнца, последняя является наиболее агрессивным фактором старения ПТМ.
Существующие модели деформирования и критерии разрушения композиционных материалов при длительном и динамическом действии нагрузок не описывают некоторых экспериментальных результатов. Например, изучение причин разрушения композитов в мягких оболочках, определенное время находившихся в эксплуатации, показало, что места разрывов материала во многих типах конструкций как правило не совпадают ни с одним из мест наибольших растягивающих усилий, найденных расчетным путем. Экспериментальные исследования авторов показали, что при действии растягивающих усилий, в результате кинематического взаимодействия ортогонально расположенных армирующих нитей, в матрице композита возникают локальные зоны перенапряжений, которые совместно с внешними агрессивными факторами и определяют время «жизни» материала. Поэтому при расчетах длительной прочности КМ нельзя рассматривать их как сплошную среду, а необходимо подходить с позиций структурной механики.
Ниже изложен один из подходов к решению проблемы определения долговечности ПТМ, испытывающего не только механические воздействия, но и подвергающегося ультрафиолетовому облучению.
Регулярность структуры пленочно-тканевого материала позволяет в качестве представительного элемента выделить для моделирования материала только одну его ячейку, образованную двумя соседними парами нитей основы и утка. Геометрия среза этой ячейки представлена на рис. 1.
При построении модели деформирования во времени полимерных материалов обычно исходят из теории наследственности:
£ = £ + £‘,£ = £ + £‘,67 с где е = —,67 с где е = —,tI H(t _ 丁)0(7)dr. оtI H(t _ 丁)0(7)dr. о⑴⑴
£ = £ + £‘,
£ = £ + £‘,
67 с где е = —,
67 с где е = —,
t
I H(t _ 丁)0(7)dr. о
t
I H(t _ 丁)0(7)dr. о
⑴
⑴
Здесь Е — модуль упругости исследуемого материала, Н — ядро ползучести, £ — полная деформация, £‘ — деформация ползучести, е — упругая часть деформации. Одним из самых простых является ядро Абеля, которое хорошо описывает ползучесть различных полимерных материалов [5]:
丁)=с》0, 0VQV1.(2)
Подставляя (2) в соотношение (1), при а = const можно получить 环=£%)=0T^方1-0.(3)
Для отыскания констант с, а используются экспериментальные значения £； и aj в различные моменты времени tj (j = 1,..., m). Подстановка их в выражение (3), дает систему нелинейных алгебраических уравнений относительно с, а которую можно записать в следующей форме:
{?円={/(c, Q)} , {?门={吁,屯...,吟}Т,⑷
где индекс Г означает операцию транспонирования, {...} — знак вектора. С целью обеспечения условий (2) можно сделать замену переменных
211
с = s ,1 — а =
1+6*2
Для определения неизвестных s,夕 составляется квадратичная невязка системы уравнений (4):
"=({/(S,0)} - {£3^})T({/(s,0)} - {e双口}),(5)
сильно. Это говорит о том, что необходимо использовать нелинейную теорию наследственности. Ее можно представить в виде
t
⑹⑹£ = ^ 匕 + ] h[方一丁，仪丁)] 0") dr],о
⑹
⑹
В качестве нелинейного ядра используем модификацию ядра Абеля, в котором считаем с = с(о), а = а(о). Искомые функции должны удовлетворять соотношениям (2). На рис. 2 приведены результаты обработки экспериментальных данных
Рис. 2. Аппроксимация процесса ползучести ПВХ нелинейным ядром (2), (7)Рис. 2. Аппроксимация процесса ползучести ПВХ нелинейным ядром (2), (7)
Рис. 2. Аппроксимация процесса ползучести ПВХ нелинейным ядром (2), (7)
Рис. 2. Аппроксимация процесса ползучести ПВХ нелинейным ядром (2), (7)
на ползучесть пленочного покрытия из ПВХ (поливинилхлорида). Было использовано ядро Абеля (2), где с, а являются функциями от напряжений вида
с = (so + Sicr)2,Q = 1——(7)
,1 + (a。+ aicr)2
Точками изображены экспериментальные данные, сплошной линией — расчетные кривые.
Однако только нелинейность теории не позволяет описывать процесс ползучести на всем промежутке времени деформирования вплоть до разрушения. Учет же процесса накопления повреждений позволяет достаточно хорошо описать экспериментальные диаграммы. Было рассмотрено два подхода. При использовании иерархического подхода [9] для выбора структуры уравнений ползучести учитывалась возможность того, что степень поврежденности материала влияет на ядро ползучести. В частности, модернизированное ядро Абеля принималось в виде
с(5》0, 0 < а® < 1.с(5》0, 0 < а® < 1.(8)(8)
с(5》0, 0 < а® < 1.
с(5》0, 0 < а® < 1.
(8)
(8)
Здесь s — параметр поврежденности материала, кинетическое уравнение для которого принималось в форме
⑦=/(о,5,⑦=/(о,5,/0,5 =/0,5 =В 0m20…，В 0m20…，cj ⑼=о,cj ⑼=о,⑼⑼
⑦=/(о,5,
⑦=/(о,5,
/0,5 =
/0,5 =
В 0m2
0…，
В 0m2
0…，
cj ⑼=о,
cj ⑼=о,
⑼
⑼
и разрушения в общем различны (гипотеза Качанова [5]). Данную гипотезу для нашего случая можно записать в следующем виде
£ = £ + £*, £*=£‘ + £“,£ = £ + £*, £*=£‘ + £“,(10)(10)
£ = £ + £*, £*=£‘ + £“,
£ = £ + £*, £*=£‘ + £“,
(10)
(10)
здесь ес, £“ — деформации, вызванные ползучестью и накоплением микроповреждений. При обработке экспериментальных данных использовалось простейшее выражение для в виде
(11)
На рис. 3, 4 представлены результаты аппроксимации данных экспериментов о пятиступенчатом нагружении углепластикового цилиндрического образца (с одинаковым напряжением для всех пяти участков и с одинаковым временем разгрузки между ними). Для £‘ при использовании второго подхода принимались выражения (1) (2).
Рис. 3. Результаты, полученные при использовании иерархического подходаРис. 3. Результаты, полученные при использовании иерархического подхода0.0070.0060.0050.0040.0030.0020.0010.0070.0060.0050.0040.0030.0020.001Рис. 4. Результаты, полученные при использовании гипотезы КачановаРис. 4. Результаты, полученные при использовании гипотезы Качанова
Рис. 3. Результаты, полученные при использовании иерархического подхода
Рис. 3. Результаты, полученные при использовании иерархического подхода
0.007
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0.007
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
Рис. 4. Результаты, полученные при использовании гипотезы Качанова
Рис. 4. Результаты, полученные при использовании гипотезы Качанова
Под воздействием ультрафиолетового облучения в материале происходят фазовые превращения и изменения механических свойств полимерной матрицы ПТМ, которые назовем фотодеструкцией материала. В результате вторичных реакций происходит распространение этого процесса — диффузия деструкции — в толщу материала на некоторую глубину h. Введем в рассмотрение некоторый параметр процесса деформирования и (в общем случае это тензорная величина), описывающий процесс деструкции материала от воздействия ультрафиолетового облучения, который назовем параметром фотодеструкции. Для него ниже будем использовать соотношения эволюционного типа.
В случае сложного напряженного состояния для записи определяющих соотношений, связывающих статические, кинематические, структурные параметры материала и параметр фотодеструкции, будем использовать матрично-векторную форму записи, а именно: строчными буквами обозначим скаляры и векторы, прописными — матрицы (особые случаи будут оговариваться).
Определяющие соотношения для стареющего вязкоупругого материала при воздействии ультрафиолетового облучения можно записать в виде
t
£ = 5(т + I H(t, а, ш,и, 0,v,...) dr.(12)
о
и ядра ползучести, t — время,夕—температура, о,... — структурные параметры типа удельного объема различных добавок-модификаторов, регулирующих механические и эксплуатационные характеристики матрицы ПТМ (например, пластификаторы, наполнители, стабилизаторы и т. п.). Для и в качестве определяющего примем кинетическое уравнение
du/dt = fu((j,3,e,u,储…(13)
Процесс проникновения фотодеструкции вглубь материала будем описывать уравнением, аналогичным соотношению (13):
dh/dt = Д(сг, и, h,6,.(14)
Для параметра поврежденности соотношение (9) примет вид:
dw / di =儲①,з, 6, и, V,(15)
Жесткостные характеристики материала, входящие в матрицу D = S~! можно в первом приближении считать явными функциями, зависящими от времени 方 ввиду старения материала, от структурных параметров, накопления микроповреждений, температуры, параметра фотодеструкции:
D = Dз u,仇“,方).(16)
Условие прочности материала можно описывать уравнением вида
f(a,e,u,u,g,9) = 1.(17)
Здесь g — структурные параметры, включающие в себя, в частности, предел прочности или характерную длину микротрещины. Может быть использовано упрощенное условие прочности в виде [5]
8=1,力=方* =方 max・(18)
В данной работе для проведения качественного анализа поведения исследуемого КМ задача формулировалась в упрощенной постановке. Во-первых, исследовалась прочность матрицы, разрушение которой является основной причиной последующего разрушения тканевой основы ввиду появления доступа к ней воздействия ультрафиолета. Во-вторых, считалось, что представительный элемент ПТМ находится в плоском деформированном состоянии. В-третьих, процесс деформирования ПТМ рассматривался при осреднением параметре температуры. В-четвертых, деформации и перемещения считались малыми. В-пятых, для простоты считалось, что матрица ПТМ изотропная и остается изотропной в процессе деформации, а для упругих характеристик принималась гипотеза старения. Тогда матрицу D можно представить зависящей от двух функций — модуля упругости Е и коэффициента Пуассона 从.
Ниже приведены выражения, входящие в(12)-(16) и использованные для конкретных расчетов. В частности, было принято, что 从=0.49,
石⑴=•竺(19)
力 + g2 gi
Кинетическое уравнение относительно s записывалось в следующей форме:
穿=。(鳥)(Г^Г(ГТ< [1 +(£)]Х穿=。(鳥)(Г^Г(ГТ< [1 +(£)]Х(20)(20)
穿=。(鳥)(Г^Г(ГТ< [1 +(£)]Х
穿=。(鳥)(Г^Г(ГТ< [1 +(£)]Х
(20)
(20)
Здесь (Ji — интенсивность напряжений, а остальные идентификаторы означают некоторые характеристики материала.
Параметр и аппроксимировался по области рассматриваемой ячейки некоторой функцией с коэффициентами, для которых принимались соотношения типа (18). Для этого был введен параметр “° — уровень фотодеструкции на поверхности х = =0, подвергаемой облучению, а закон распределения степени фотодеструкции по глубине считался линейным:
(21)(21)” ="о (1 —， х h,
(21)
(21)
〃 =0, х > h.
Относительно глубины проникновения фотодеструкции и уровня фотодеструкции на поверхности 力=0, подвергаемой облучению, использовались эволюционные уравнения (считаем их пропорциональными интенсивности облучения 7) в виде
> 0,22> 0,22(1 +
> 0,22
> 0,22
Здесь о/ — интенсивность напряжений на поверхности 力=0, а также введены константы т〃，ти,которые должны быть определены из эксперимента.
Критерий разрушения принимался в виде (18).
Дискретизация задачи по пространственным координатам осуществлялась методом конечных элементов, в качестве которых были приняты шестиузловые треугольные элементы с квадратичной аппроксимацией перемещений. Для обеспечения плоского деформированного состояния принималось, что матрицы D~x и Н пропорциональны:
Н =(24)
где функция А принимается в виде (2), (15).
Кинетическое уравнение относительно параметра поврежденности s было принято в виде (23), где оо = 1, ^ = 0.
На каждом шаге по времени глубина проникновения фотодеструкции h, интенсивность напряжений и параметр фотодеструкции на поверхности аппроксимировались по продольной координате квадратичной функцией:
h =。匂)=仇+ Ф1У +。2力，с0 =0匂)=00 +屮\У +夕2 g2,
"о =广匂)=го+ггу + г2у2.
ствующими, а напряжения определялись из решения упругой задачи. В другие моменты времени вектор деформации ползучести {е'} можно приближенно вычислить следующим образом:
еп+1 = О 1еп+1 = О 1so Дт ст Дтс(тп Дт
еп+1 = О 1
еп+1 = О 1
("一7。广 ("一门)a …-炉
Tn G (力tz- 1,力tz) ,72 = 0,,
^n+1 =^n+1 =△力 + Шп, (^o)n+l =△力 + Шп, (^o)n+l =△力 + (〃o)72,△力 + (〃o)72,
^n+1 =
^n+1 =
△力 + Шп, (^o)n+l =
△力 + Шп, (^o)n+l =
△力 + (〃o)72,
△力 + (〃o)72,
…
По предложенной методике были проведены численные эксперименты с целью выявления закономерностей поведения ПТМ, его долговечности при варьировании геометрических и механических параметров. В частности, исследование влияния кривизны нити основы на долговечность выявило интересный и неожиданный эффект. Существует такая геометрия основы hsl ^ О.ЗЗа, при которой долговечность 方* будет наименьшей. Более крутое или более пологое плетение повышает долговечность (см. рис. 5). Исследование упругой задачи показало, что возможной
Рис. 5. Изменение долговечности 力* в зависимости от соотношения общей толщины a/dnit и от кривизны основы hsi/dnitРис. 5. Изменение долговечности 力* в зависимости от соотношения общей толщины a/dnit и от кривизны основы hsi/dnit
Рис. 5. Изменение долговечности 力* в зависимости от соотношения общей толщины a/dnit и от кривизны основы hsi/dnit
Рис. 5. Изменение долговечности 力* в зависимости от соотношения общей толщины a/dnit и от кривизны основы hsi/dnit
причиной минимума для долговечности 方* является тот факт, что в точке D (см. рис. 1) интенсивность напряжений наибольшая именно при hsl = 0.33а. При варьировании коэффициента Пуассона матрицы оказалось, что 方* имеет максимум при 从matr = 0.25.
Расчеты показали также, что уменьшение жесткости матрицы, увеличение общей толщины а ПТМ, уплощение утка при постоянной толщине армирующей основы, увеличение шага плетения увеличивают долговечность 方*.
脑^^^^^^^^^^^^^^^^^■:
681ИИИИИИИИИИИИИИИИИИИИИИИИ11； 0.6 !ИИ111^^И1^^^ИИИИИ1；1111；ИИ11 0.4 11111111111111111111「^^
0.2^111(^
Рис. 8Рис. 80"2640.60.810"2640.60.81Рис. 9Рис. 9
Рис. 8
Рис. 8
0"2640.60.81
0"2640.60.81
Рис. 9
Рис. 9
На рис. 6 представлено распределение параметра поврежденности s в области ячейки ПТМ в момент времени 方*/2, а на рис. 7 — перед началом разрушения материала. На рис. 8 показано распределение параметра фотодеструкции и в текущий момент времени 方*/2, а на рис. 9 — перед началом разрушения (облучение происходит по поверхности х = 0).
Список литературы
Сулейманов А.М., Куприянов В.Н. Модель для оптимизации структуры пленочнотканевых материалов 〃 Вестник отд. строительных наук РААСН. Вып. 2. М., 1999. С.219-223.
Ермолов В. В. Прошлое и будущее пневматических строительных конструкций 〃 Пневматические строительные конструкции. М.: Стройиздат, 1983. 439 с.
Работное Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.
Тканые конструкционные композиты 〃 Под ред. Т. В. Чу и Ф. Ко. М.: Мир, 1991. 432 с.
Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.
Образцов И. Ф., Яновский Ю.Г. Роль иерархического адаптивного подхода в механике гетерогенных сред 〃 Изв. РАН. Мех. тв. тела. 1999. № 6. С. 95-117.
Ахундов М. Б. Повреждаемость и деформирование нелинейных наследственных сред при сложном напряженном состоянии 〃 Механика композитных материалов. 1991. № 2. С.235-239.
Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории вязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.
Композиционные материалы. Справочник 〃 В. В. Васильев, В. Д. Протасов, В. В. Болотин и др. М.: Машиностроение, 1990. 512 с.
Москвитин В. В., Хабиб Р.И. Некоторые вопросы деформации вязкоупругих тел с учетом влияния накопленных повреждений 〃 Механика полимеров. 1978. № 5. С. 802-807.
Скудра А.М., Булаве Ф.Я., Роценс К. А. Ползучесть и статическая усталость армированных пластиков. Рига: Зинатне, 1971. 238 с.
Суворова Ю. В., Думанский А.М., Стрекалов В. Б., Махмутов И.М. Прогнозирование характеристик сопротивления усталости углепластиков по результатам испытаний на ползучесть и длительную прочность 〃 Механика композитных материалов. 1986. № 4. С.711-715.
Уржумцев Ю. С. Прогнозирование длительного сопротивления полимерных материалов. М.: Наука, 1982. 222 с.
Терегулов И. Г., Каюмов Р.А., Сафиуллин Д.X. Моделирование работы оболочек из нелинейно вязкоупругого композитного материала 〃 Труды Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т. 3. Нижний Новгород, 1994. С. 227-235.
Алексеев К.П., Каюмов Р.А., Мухамедова И. 3., Терегулов И. Г. Экспериментальное исследование ползучести композиционных материалов на трубчатых образцах из органопластика 〃 Механика композиционных материалов и конструкций. 2004. Т. 10, № 2. С.199-210.
Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 366 с.
Гамлицкий Ю.А. Нелинейная механика резин и резинокордных композитов. Теория, эксперимент и методы испытаний 〃 Каучук и резина. 2001. № 5. С. 30-38.
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОУПРУГОЙПОЛОСЫ В ПОТОКЕ ГАЗА
И. А. Кийко, В. В. Показеев
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова,Московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ»
Исследуется нестационарный панельный флаттер полосы из линейно вязкоупругого материала. Показано, что критическая скорость определяется по мгновенному модулю в тех случаях, когда ядро релаксации содержит одно или два экспоненциальных слагаемых.
Первые результаты по флаттеру вязкоупругой прямоугольной пластины были получены в работах [1-3] с использованием методов Бубнова-Галеркина и усреднения [4]. Было обнаружено, что критическая скорость потока примерно в два раза меньше, чем для соответствующей упругой пластины с мгновенным модулем Юнга, и это отношение не зависит от «вязких» свойств материала. В публикации [5] получен, казалось бы, естественный результат, поскольку речь идет об асимптотической устойчивости: для случая «малой» вязкости оценками показано, что скорость потока, найденная по предельному модулю, обеспечивает достаточное условие устойчивых колебаний. В предлагаемой работе получен принципиально новый результат: одним точным и одним приближенным решениями задачи о флаттере вязкоупругой полосы устанавливается, что критическая скорость практически равна критической скорости, определяемой по мгновенному модулю.
Постановка задачи. В прямоугольной системе координат полоса занимает область О < g < 2, \х\ < оо. Полоса обтекается потоком газа с вектором скорости d = on。， no = (cos 0, sin в), параллельным плоскости полосы. Невозмущенными параметрами потока —夕о, 0о,。0 (соответственно давление, плотность, скорость звука). Материал полосы — линейно вязкоупругий, напряжение с деформацией связано соотношением
СТ = E0^e(t) - £0|r(i - 7)£(7)而)三瓦(1 一 Е0Г)е(^).
Здесь Eq — мгновенный модуль, £о ——параметр вязкости, Г«) — ядро релаксации, предельный модуль равен
еоо =e0( 1 - £0p0), Го = I f⑴ dt. о
Колебания полосы описываются уравнением [5]
Dq (1 — £о『)A2w + 研审 + ^ (^ + опо • gradw^ = 0,(1)
ее материала, 7 — показатель политропы газа. Уравнение (1) исследуется при граничных условиях шарнирного опирания:
у = 0, w = 0, = 0; у = 2, w = 0, = 0, (2)
и начальных данных, определяемых типом возмущения. Задача состоит в том, чтобы определить наименьшее значение скорости потока 0Kp такое, что при о < 0Kp возмущенное движение будет устойчивым, а при。〉。陋 ——неустойчивым.
Предположим, что ядро релаксации содержит одно экспоненциальное слагаемое Г(方)=ехр(—Д), и введем безразмерные координаты 力/2, g/2, время Д и скорость М =。/а。，сохранив за координатами и временем прежние обозначения. В безразмерных координатах уравнение (1) примет вид
(1 - АГi)A2w + а3Мп0 • gradw + 创绊 +。2冬^ =。；(3)
" dt
здесь введены следующие обозначения:
А = £о/С，Г1 = exp(-t),创=12(1 — ^(З^^/^а^Ео),
。2 = 12(1 - 伊а3 = 12(1 -夕0少/(瓦玛.
Продольное обтекание полосы. В случае 夕=0 возмущение, ограниченное в бесконечности и удовлетворяющее граничным условиям шарнирного опирания:
у = О, W = 0,—V = 0;W = 0,—V = О,
дуду
выберем в начальный момент времени в виде
t = 0, w = С\ ехр (—zctx) sin7r?/, dw/dt = С2ехр (—гах) sin;r?/, а Е R.
Соответственно этому примем
w = 4(方)ехр (—〃qz) sin ку,(4)
подставим в уравнение (3) и проведем преобразование Лапласа по времени. С учетом условий 4(0) = Ci, 4；(6) = Q придем к уравнению вида (s — параметр преобразования)
=О,(5)(6)=О,(5)(6)从(1 — АГ 1 (<§)) • 4(s) + ai(s4(s) — G) + d^s^A(^s) — sC\ — C2) - ic^d^MA(^s)
=О,
(5)
(6)
=О,
(5)
(6)
в котором введены обозначения: Ti(s) = l/(s+ 1), 〃 = (a2 + 7г2)2. Из (5) следует равенство
~= R(s)
в котором
p2(5)=(S + 1)(a2as +a2。2 +a1。1),
乃(s) = a2sз + (ai + 。2)$2 + (〃 + 创 —шазМ)з + (1 —入)〃 —гаа^М.
Оригинал изображения (6) восстанавливается очевидным образом:
4 ⑴=4d" + 廿2 力 + &e 叫(7)
\Sm — Sj )〈Sm — Sk 丿
В последних формулах sm — корни уравнения 兄(s) = 0. Решение (7) экспоненциально убывает (асимптотически устойчиво), если для всех корней многочлена выполняются условия Re sm < 0; если же у какого-то из корней Re sm > 0, решение асимптотически неустойчиво. Границе областей устойчивости и неустойчивости отвечает случай, когда Re sm = 0, при условии, что остальные два корня многочлена расположены в левой полуплоскости. При М = 0 (свободные колебания) все корни многочлена удовлетворяют условию Re sm < 0; с ростом М, как показывают расчеты, один из корней (пусть это будет si) наиболее быстро приближается к мнимой оси и при некотором М* становится чисто мнимым. Поэтому для определения критической скорости флаттера предположим, что многочлен 兄(s) имеет чисто мнимый корень s： = iy. Тогда значение М* находится из системы уравнений:
从(1 - А)-(旬 + з)力 + аазМ*у = 0,
(从 + ajg —出峭 _ aa^M* = 0.
В результате для М* получим равенство М* = (〃 + ai — a2g?)沙/(&。3), в которое вместо у следует подставить положительный корень биквадратного уравнения д4 — (6 — 1)^2 _(] _ 入)6 = 0 с положительным дискриминантом; здесь 6 =从/〃2 и всегда выполнено условие 0 < А < 1.
Скорость М* зависит от параметра волнообразования а; по определению принимаем "р = М*(акр), где &кр находится из условия mina М*.
Конкретные расчеты проведены для значений параметров: Pq/Eq = 5 • 10-5, р = 8 • 103 кг/м3, 7 = 1,4, о = 0,3, а。= 330 м/сек, 2/九=3 • 102 (Z = 0,6 м, Д = =0,002 м); результаты сведены в табл. 1, во всех случаях оказалось акр = тг с точностью до четвертой значащей цифры после запятой.
Таблица 1. Значения Мр (продольное обтекание полосы)
Параметры вязкости
А = 0
А = 0,1
А = 0,2
А = 0,3
/3 = 0,1
0,096 029
0,096 065
0,096 102
0,096138
/3 = 0,01
0,096 029
0,096 033
0,096 037
0,096 040
Значению А = 0 соответствует мгновенно-модульная скорость, вычисляемая по формуле: М^р = 2тга1/(азЛ/о2).
Из данных таблицы следует принципиально важный результат: Мкр и М^ различаются только в четвертом знаке после запятой, и эта разница убывает с ростом времени релаксации. В области М < "р прослежено движение всех корней многочлена 兄(s) с ростом М.
Поперечное обтекание полосы. В случае 夕=тг/2 движение полосы в безразмерных координатах описывается уравнением
(1 - АГi)A2w + 例"^ +审=。・(8)
Решение задачи исследуется в трехчленном приближении по Бубнову- Галеркину
w = G ⑴ sin 7rg + Q ⑴ sin 27rg + C3 ⑴ sin 37rg(9)
с использованием преобразования Лапласа. С учетом начальных условий
況句,0) = G,o sin ку + С20 sin 27rg + Сз,о sin Зтгу,
M(，0) = G,i sin7vy + °2,i sin27rg + C3?i sinЗтту
получим следующую систему линейных уравнений для определения образов Ck(s) функций ск(方)：
((1 —》1(S)7F + 卩2(5))。1 — W а^МС^ = Ql(s),
+ ((1- *(s) 16六 + 乃(5))。2 -fa3MC3 = Q2(s),(10)
Уа3"е2 + ((1 - I(s) 81 戸 + 乃(5))C3 = Q3(s).
Здесь》i(s) = X/(s + 1), Qk(s) = P\{s)Ck^ +。2。卜,1, Q(s) = a2s + 创，乃⑶= =sQ(s). Определитель системы (10) имеет вид
024 一百仰^024 一百仰^(1 - A1(S)7T4 + £(5)-| 仰"
0
24 一百仰^
0
24 一百仰^
|a3M (1—*(s)16M + P2(s)
0^a3M(1 - Ai(s)817t4 + ^(s)
где R(s) есть многочлен девятой степени с действительными коэффициентами. Движение полосы будет устойчивым, если для любого корня s分 многочлена 爲 выполняется неравенство Res分 < 0. В результате критическая скорость М* флаттера определяется условием Res分=0 хотя бы для одного из корней многочлена, при условии что оставшиеся корни имеют отрицательные действительные части. Приближенные значения критической скорости флаттера при поперечном обтекании полосы и тех же значениях параметров приведены в табл. 2.
Таблица 2. Значения Мр (поперечное обтекание полосы)
Параметры вязкости
А = 0
А = 0,1
А = 0,2
А = 0,3
/3 = 0,1
1,725 343
1,725 347
1,725 350
1,725 354
В = o,oi
1,725 3430
1,725 3432
1,725 3436
1,725 3440
Из данных табл. 2 по-прежнему следует, что "р практически совпадает с критической скоростью флаттера, рассчитанной по мгновенному модулю.
Устойчивость полосы при произвольном направлении вектора скорости потока. Предположим, что вектор скорости потока образует угол 夕 с положительным направлением оси Ох. Для прогиба в уравнении (3) примем представление в форме трехчленного приближения по Бубнову-Галеркину:
w = (Ci ⑴ sin7rg +。2 ⑴ sin 27rg + C3 ⑴ sin Зтту) exp (—沁力).
После уже описанной процедуры придем к системе линейных уравнений в изображениях Лапласа относительно Ck(s):
(入1〃1 + 历)• Ci(s) - -a3Msme • C^s) = Qi(s),
|仰”点11% C1(S)+ (*从2 + 历)•02(5)-《仰"五口0• е3(5)= Q2(S),(n)
目sin 0 •e2(5)+ (入1从3 + Ь2)•e3(5)= Q3■
Здесь Ai(s) = 1 - A/(s + 1),历⑶=4(s) - iaMa^ cosJ,从卜=(a2 + /с27г2)2, k
2, 3; многочлены Qk(s) определяются начальными данными.
Поведение решений C£t) системы (11) характеризуется корнями ее определителя —т. е. корнями некоторого многочлена Rg(s) девятой степени; как и прежде, выявлен корень si, наиболее быстро приближающийся к мнимой оси с ростом М, также определена критическая скорость флаттера: Мкр = mina M*(a) при условии Rg(iy) = 0, гу = s；・ Результаты вычислений приведены в табл. 3 (значения параметров те же: /3 = 0,1, А = 0,1).
Основной вывод остается прежним: критическая скорость флаттера Мкр практически совпадает с М^.
Таблица 3. Значения Мр (обтекание под углом 0)
0
АС。
&
0
0,096 030
0,096 066
587Г/128
0,714 590
0,714 807
^59тг/128
0,103 973
0,104 012
597Г/128
1,737 783
1,737 786
7г/4
0,136045
0,136096
е = 7г/2
1,734 042
1,734 046
Зтг/8
0,253 543
0,253 636
627г/128
1,727 324
1,727 327
567г/128
0,516660
0,516835
7г/2
1,725 344
1,725 347
Второй важный результат состоит в том, что, как и в упругой задаче, вблизи 6 = 7г/2 существует угол 6q (в приведенных расчетах 6q ^ 59тг/128), в области которого (слева) Мкр резко возрастает — график "卩(夕)имеет вертикальную касательную в точке с абсциссой J。； при переходе 夕 через 6q резко меняется характер колебаний полосы.
Наконец, отметим, что для случая, когда ядро релаксации содержит два экспоненциальных слагаемых: Г«) = £iexp(—仇方)+ % exp (―%方)，анализ движения комплексных корней соответствующего многочлена проводился по уже описанной методике. Для прогибов вида (4) и (9) определялась критическая скорость флаттера при продольном и поперечном обтекании полосы соответственно. Значения критической скорости флаттера вязкоупругой полосы (и соответствующие мгновенно-модульные значения) приведены в табл. 4.
Таблица 4. Значения Мкр
Параметры вязкости
Ai = 0,3,仇=0,1;为=0,2, /?2 = 0,05
0
0
7г/2
^кр
0,096174
1,725 357
0,096 030
1,725 344
По-прежнему критическая скорость флаттера "р практически совпадает с М^. Для продольного обтекания параметр волнообразования а ^ 3,14152 отличается от тг только в пятом знаке после запятой.
Список литературы
Ларионов Г. С. Устойчивость колебаний вязкоупругой пластинки при больших сверхзвуковых скоростях 〃 В сб. «Вопр. вычисл. и прикл. матем.». Ташкент, 1970. Вып. 3. С.156-163.
Ларионов Г. С. Нелинейный флаттер упруговязкой пластины 〃 Изв. АН СССР. МТТ. 1974. №4. С. 95-100.
Матяш В. И. Флаттер вязкоупругой пластинки 〃 Механика полимеров. 1971. № 6. С.1077-1083.
Ильюшин А. А., Ларионов Г. С., Филатов А. Н. К усреднению в системах нелинейных интегро-дифференциальных уравнений 〃 ДАН СССР. 1969. Т. 188, № 1. С. 49-52.
Кийко И. А. Флаттер вязкоупругой пластины 〃 Прикл. матем., механика. 1996. Т. 60, вып. 1. С. 172-175.
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВНЕОБРАТИМОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯДВУХСЛОЙНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ,ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ, ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ
С ПРЕПЯТСТВИЕМ
А. Б. Киселев, 0.8 Нехаева
Механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова
Введение. Задачи механики необратимого деформирования и разрушения материалов и конструкций при интенсивных кратковременных нагрузках давно привлекают внимание исследователей ввиду своих многочисленных приложений на практике (см. [1-5] и др.).
Рассматриваемая ниже конструкция представляет собой двухслойную сферическую оболочку, заполненную жидкостью (водой). Внешний слой выполнен из теплозащитного материала, моделируемого термовязкоупругой средой максвелловского типа. Второй слой, значительно более тонкий, выполнен из алюминиевого сплава. Динамика необратимого деформирования и микроразрушения этого металлического слоя описывается моделью повреждаемой термоупруговязкопластической среды. При этом для математического моделирования зарождения и развития микроповреждений в материале вводится тензорный параметр поврежденности. Первый инвариант этого тензора описывает так называемое вязкое разрушение материала — появление и развитие повреждений типа сферических микропор. Второй инвариант девиатора этого тензора поврежденности описывает сдвиговое разрушение материала, характерное для динамических задач — разрушение типа образования полос адиабатического сдвига.
В процессе деформирования твердых слоев конструкции может происходить их макроразрушение. В качестве критерия начала такого разрушения для алюминиевого слоя используется энтропийный критерий предельной удельной диссипации, а для теплозащитного слоя — критерий типа Давиденкова-Фридмана.
Поведение заполнителя оболочки (воды) описывается широкодиапазонным уравнением состояния Н. М. Кузнецова, дополненным в области очень низких давлений специальной аппроксимационной формулой, полученной в результате обработки таблиц экспериментальных данных.
Задача необратимого динамического деформирования и разрушения оболочечной конструкции с заполнителем решается численно в двумерной осесимметричной постановке методом типа Уилкинса на лагранжевой расчетной сетке.
В качестве примера рассматривается задача столкновения конструкции с жестким плоским препятствием, имеющая непосредственное отношение к проблемам космической науки и техники, в частности к проблеме образования космического мусора [6].
ортогональна ей, начало системы координат О выбирается в центре сферической оболочки. Геометрия и размеры конструкции показаны на рис. 1.
Сфера радиуса 52 мм
Теплозащитный слой, 12 ммТеплозащитный слой, 12 мм
Теплозащитный слой, 12 мм
Теплозащитный слой, 12 мм
Рис. 1
^^хх 丄 ^^ху 丄 Оху дх ду g，О。竄期 I acgg I Qyy —。即 ду ду g^^хх 丄 ^^ху 丄 Оху дх ду g，О。竄期 I acgg I Qyy —。即 ду ду gУравнения движения твердых слоев оболочки имеют вид
^^хх 丄 ^^ху 丄 Оху дх ду g，
О。竄期 I acgg I Qyy —。即 ду ду g
^^хх 丄 ^^ху 丄 Оху дх ду g，
О。竄期 I acgg I Qyy —。即 ду ду g
⑴
Здесь и, v — компоненты вектора скорости вдоль осей х, у соответственно; р — плотность материала; ахх, ауу, оее, аху — компоненты тензора напряжений, которые раскладываются на шаровую а = (о力力 + ауу + оее)/3 и девиаторные части:
хх = ь + Sxx, "ии = о + $期期, bee = ст + Sqq ,
Oxy = Sx期; Sxx + Syy + See = °, aoo — кольцевое напряжение; здесь и далее точка над символом означает материальную производную по времени.
Уравнение неразрывности (закон сохранения массы) запишется в следующем виде:
С + 0 (J力 + ^уу + ©ее) =。，(2)
где
. ди . dv .1 / ди , dv\ . о
石；%L而 = 2= /(3)
—компоненты тензора скоростей деформаций.
eV Q9 Qл — QQ— Qyy I °уу .eV Q9 Qл — QQ— Qyy I °уу .⑷⑷•^ I See."药+可•^ I See."药+可^xy = ^xy =^xy = ^xy =^xy 丄 ^xy242〃^xy 丄 ^xy242〃Модель внешнего теплозащитного слоя. Внешний теплозащитный слой оболочки описывается уравнениями термовязкоупругой среды максвелловского типа:
eV Q9 Q
л — QQ— Qyy I °уу .
eV Q9 Q
л — QQ— Qyy I °уу .
⑷
⑷
•^ I See.
"药+可
•^ I See.
"药+可
^xy = ^xy =
^xy = ^xy =
^xy 丄 ^xy
242〃
^xy 丄 ^xy
242〃
Здесь
•— △ ^xx + £yy + ©ее •_ • ^xx + £yy + £вв
^xx — bxxg, &gg — ЬУУg
2ee =金苏一2ee =金苏一©力力 + Ugg + ©ее3©力力 + Ugg + ©ее3
2ee =金苏一
2ee =金苏一
©力力 + Ugg + ©ее
3
©力力 + Ugg + ©ее
3
—компоненты девиатора тензора скоростей деформаций;从—модуль сдвига; 〃 — динамическая вязкость материала; значком V обозначена яуманновская производная от компонент девиатора тензора напряжений, которая в рассматриваемом двумерном осесимметричном случае приводится к следующему виду:
3叫—十3哂石丿，
S死= S°6, s咽= S)g + ^^(
Уравнение для шаровой части тензора напряжений имеет вид
о = К&力 + £уУ + £ее — oiv(T — ТВ)),(5)
где К — объемный модуль материала; av — коэффициент объемного расширения; То — начальная равновесная температура, соответствующая условию начального ненапряженного состояния материала.
Уравнение притока тепла в рассматриваемом адиабатическом приближении запишется в виде
q2q2q2q2
仆。力+ ae7 =争+学+也.(6)
2〃2〃2〃〃
Здесь с。— теплоемкость при постоянных напряжениях.
Модель внутреннего алюминиевого слоя. Внутренний металлический слой оболочки моделируется повреждаемой термоупруговязкопластической средой [7-10]. В этой модели рассматривается микроразрушение двух типов: вязкое с образованием микропор сферической формы и с образованием полос сдвига. Достигается это следующим образом [10]. Вводится симметричный тензор по- врежденности s叮.Первый его инвариант s =以/泳/3 описывает объемную повре- жденность, а второй инвариант а = Js；产务 —интенсивность девиатора тензора поврежденности 以务=以切一以％〃3 — сдвиговое разрушение. При этом считается, что в областях интенсивного растяжения параметр s описывает накопление повреждений типа микропор, которые могут залечиваться при сжатии. Параметр s можно интерпретировать как относительное сокращение эффективной несущей нагрузку площадки вследствие появления распределенных внутри образца микропор.
Таким образом, s можно считать объемным содержанием микропор в материале. В неповрежденном материале s = а = 0, с накоплением повреждений s п а растут, оставаясь меньше 1.
При построении представленной ниже модели повреждаемой среды используются термодинамические принципы механики сплошной среды, и поэтому она является термодинамически корректной [10]. Механические, тепловые и структурные процессы являются взаимосвязанными. Итак, определяющие уравнения для алюминиевого слоя имеют следующий вид:
^УУ^УУ^хх + £уу + ©ее3^хх + £уу + ©ее3+京++京+(1-5(1-а)(1-5(1-а)⑺⑺©力力 + Ugg + ©ее3©力力 + Ugg + ©ее3I Syy4 ° Syy .十 2从十(1-5(1-a)I Syy4 ° Syy .十 2从十(1-5(1-a)£xx + £yy + ©ее I Sj^A • C See .3(1 — 5(1 — a)豆Г ，£xx + £yy + ©ее I Sj^A • C See .3(1 — 5(1 — a)豆Г ，24 ・。 Sxy .(1 — 5 (1 — a) Su24 ・。 Sxy .(1 — 5 (1 — a) Su
^УУ
^УУ
^хх + £уу + ©ее
3
^хх + £уу + ©ее
3
+京+
+京+
(1-5(1-а)
(1-5(1-а)
⑺
⑺
©力力 + Ugg + ©ее
3
©力力 + Ugg + ©ее
3
I Syy4 ° Syy .
十 2从十(1-5(1-a)
I Syy4 ° Syy .
十 2从十(1-5(1-a)
£xx + £yy + ©ее I Sj^A • C See .
3(1 — 5(1 — a)豆Г ，
£xx + £yy + ©ее I Sj^A • C See .
3(1 — 5(1 — a)豆Г ，
24 ・。 Sxy .
(1 — 5 (1 — a) Su
24 ・。 Sxy .
(1 — 5 (1 — a) Su
о = К ( exx + Syy + se —羽(7 — 7°) + В К ln( 1
s〃 = Js厶+ S^ + S^ + 2S"
仆# + avdT = Sxx^x + Syy 驾期 + See 吼 + 2sxy 諡期 + AU + Act2;
s 丿s 丿 4〃o'‘
+ & . "，" . H(a~ -
4〃o、 八
о+ = -^ loln^, 0-=产 hw;
а = Са = С(1 — 5(1 — Q)(1 — 5(1 — Q)• я• яs〃s〃(1 — 5(1 — Q)(1 — 5(1 — Q)
а = С
а = С
(1 — 5(1 — Q)
(1 — 5(1 — Q)
• я
• я
s〃
s〃
(1 — 5(1 — Q)
(1 — 5(1 — Q)
материале модули К,卩，刀 ％ Yq следующим образом зависят от параметровматериале модули К,卩，刀 ％ Yq следующим образом зависят от параметровВ формулах (7) введены следующие ранее не встречавшиеся обозначения: Н⑺—единичная функция Хевисайда; %,从о, 〃о, ^о — предел пластичности, модуль сдвига, динамическая вязкость и объемный модуль неповрежденного материала соответственно; В, о*, С, 4, S^〉0 — константы материала, связанные с накоплением микроструктурных повреждений в материале; Su = ,S^ ・ S切 — интенсивность девиатора напряжений; кроме того, принято, что в поврежденном
материале модули К,卩，刀 ％ Yq следующим образом зависят от параметров
материале модули К,卩，刀 ％ Yq следующим образом зависят от параметров
поврежденности ш и а:
к = м(1 — 5; м =仰(1 — 5(1 — &); 〃 = 〃o(i — 5(1 — &)；
у = К(1-5(1-®；
吟，吟 一пластические и упругие деформации соответственно: % +% = %少
Считается, что модули К,从о зависят от температуры, давления, плотности, накопленных пластических деформацией как в модели Штейнберга-Гуинана [11]:
к = Ко(1 + /3蜀严卜—％ (^У/3- ЦТ - ТВ));
YQQ^+^r ^Ут^ Ко=。при Т〉Тт；
моо= о%моо= о%〃о = 〃оо 丝 Moo〃о = 〃оо 丝 Moo
моо
= о%
моо
= о%
〃о = 〃оо 丝 Moo
〃о = 〃оо 丝 Moo
Здесь £& = j| • ((£乡力)2 + ©уу +(£%е)2 + 2(е^)) — интенсивность пластических деформаций; Тт - температура плавления материала; Ко, 仰о, ^nO, С，h, b, 7о, h — константы материала, известные для многих конструкционных материалов, полимеров [11].
Отметим, что введенные в модели повреждаемой среды (7) «нестандартные» константы В, о*, А, С, 5* могут быть определены с использованием экспериментов по плоскому соударению пластин с откольным разрушением, как это было сделано, например, в работе [12].
Критерии начала макроразрушения слоев оболочки. Развитие интенсивного вязкопластического течения и накопление микроструктурных повреждений являются, по терминологии академика Е. И. Шемякина, предразрушением материала. В качестве критерия начала макроразрушения во внутреннем металлическом слое (появления в материале трещин — новых свободных поверхностей) используется энтропийный критерий разрушения предельной удельной диссипации,
впервые введенный в работах [7, 9] и хорошо себя зарекомендовавший при решении многих динамических задач [5-9, 12, 19, 20]. Применительно к модели (7) в адиабатическом приближении, когда термическая диссипация dy отсутствует, он имеет следующий вид:
D =丄(dm + dp)必=0*, оD =丄(dm + dp)必=0*, о⑻⑻
D =丄(dm + dp)必=0*, о
D =丄(dm + dp)必=0*, о
⑻
⑻
где 方* — время начала разрушения, О* — константа материала (предельная удельная диссипация); d；n — механическая диссипация, dp — диссипация континуального разрушения:
dM = Sxx^x + Syy^y + 5死铝 ° + 2S)0%;
dp =八力2 + Ад?.
Отметим также, что константа О* может быть определена из экспериментов по плоскому соударению пластин с откольным разрушением [7, 9, 12].
Для модели термовязкоупругой среды (4)-(6), описывающей поведение внешнего теплозащитного слоя,
=+++= 0.
27777
Однако в качестве критерия макроразрушения для достаточно хрупкого теплозащитного слоя использовался другой критерий — критерий типа Давиденкова- Фридмана [2, 21]. Состоит он в следующем.
Во-первых, вектор напряжений ап в плоскости ху в расчетной ячейке на площадке с единичной нормалью 八(cos 夕，sin 夕)раскладывается на нормальную ап и касательную аТ составляющие:
ап = апп = ахх cos2 夕 + аху sin 2夕 + ауу sin2 夕，
= (kn|2 一潞)；=sin20 + Oyy cos20] .
Затем находятся направления нормалей п, на которых достигается максимум ап и ат, и соответствующие значения максимумов о*ах и о^ах. далее находится максимум М из трех величин:
Здесь ав, тв — так называемые временные сопротивления материала разрушению отрывом и сдвигом соответственно (табличные прочностные характеристики конструкционных материалов).
Если оказывается, что М > 1, то считается, что произошло разрушение расчетной ячейки теплозащитного слоя оболочки.
Модель поведения заполнителя оболочки (воды). Определяющие уравнения для воды — широкодиапазонные уравнения состояния [13]:
匹=30 吃成 з-i)-_ о.。]?瓦歹)+ 4.7 瓦(豆-273)⑼)
Pwo 1 + 0.7- 1)
при pw》1;
匹d — 470 . -wFq + 4 7 pwF(Tw - 273)(9〃)
PwQ
при 0 <p < 1.
Здесь
q = 10(1 — pw) + 66 (1 —瓦У — 270(1 —瓦У при 0.8 < pw < 1,
q = 6.6(1-瓦尸7 成25 при о < pw < 0.8.
В формулах (9‘)，(9〃) pwo = Ю5Па — начальное давление в воде, pWQ — начальная плотность, pw = pw/pWQ,歹=(1 + 3.5瓦-2臨 + 7.27臨)/ (1 + 1.09 •现)•
Однако уравнения состояния (9‘)，(9〃) при pw/pwQ « 1, т. e. когда начинается кавитация в воде, при которой образуется парожидкостная смесь, дают не вполне удовлетворительные результаты. Поэтому в работе [15] при pw/pwo « 1 предложено давлением в жидкости считать давление на линии насыщения вода-водяной пар, подробные таблицы для которого приведены в справочнике [14]. Данные таблиц хорошо аппроксимируются следующей формулой [15]:
(Ю)(Ю)р = 610 • ехр(0.1 Tw • In 1.35).
(Ю)
(Ю)
Давление pw считается в паскалях (Па), температура Tw — в градусах Кельвина (К). Температура в жидкости Tw определяется из уравнения внутренней энергии cwTw = pw^, где cw — теплоемкость воды.
Pw
Уравнения движения жидкости имеют следующий вид:
. dpw. dpw
а уравнение неразрывности:
Pw + PwPw + Pw=0.=0.
Pw + Pw
Pw + Pw
=0.
=0.
Постановка граничных и начальных условий. Считается, что в начальном состоянии при t = 0 конструкция находится в ненапряженном состоянии: £叮=0, Qij = 0; Т = То-
Граничные условия на оси симметрии при у = 0 для твердых слоев оболочки имеют следующий вид [16]:
面=/+2*。= 0, 学=0.
ох оуоу
Граничные условия на оси симметрии при у = 0 для воды:
• дР 八с
石，。 =。，用=o■
Граничные условия на контактной поверхности жестких слоев: в случае, когда нормальные напряжения ап и касательные напряжения \ат\ не превосходят некоторых предельных значений а* > 0 и а* > 0 соответственно, слои находятся в контакте: щ = 〃2,。1 =。2, в противном случае происходит отрыв одного слоя от другого. В этом случае для слоев реализуются условия на свободной поверхности:
11 =。， 0" 2 =。。
На контактной поверхности вода-алюминиевый слой ставятся следующие граничные условия:
I2 = -Pw,
Граничные условия на жесткой преграде — условия непроникания и скольжения без трения жестких слоев оболочки вдоль преграды. Возможен отрыв конструкции от преграды, восстановление контакта. Граничные условия на поверхностях слоев, не находящихся в контакте с другими средами, — условия на свободной поверхности.
О методе численного расчета. Задача решается численно на лагранжевой расчетной сетке, движущейся и деформирующейся вместе со средой, по явной конечно-разностной схеме второго порядка точности типа Уилкинса [11, 17, 5]. Вопросы численной реализации граничных условий подробно рассмотрены, в частности, в работах [5, 16, 22, 23]. Конечно-разностная сетка по жидкости строится с использованием простого в реализации численного алгоритма, предложенного в работе [18] и основанного на геометрическом подходе.
Результаты расчетов. Некоторые из результатов расчетов для начальной скорости Vo = 250 м/с удара конструкции по жесткой преграде представлены на рис. 2-18. При этом скорость звука в теплозащитном слое, алюминии и воде равны соответственно 7970 м/с, 6455 м/с и 1402 м/с. Предел прочности алюминия О* = =30 кДж/кг. Начальная температура То = 273 К.
На рис. 2 показаны конфигурации конструкции и расчетной сетки в момент времени, соответствующий времени пробега упругой волной половины длины теплозащитного слоя, который будем в дальнейшем условно называть «пластиком». Вертикальной линией на рис. 2 и на последующих аналогичных рисунках показано положение жесткой стенки. Темным цветом помечены разрушенные расчетные ячейки, которые из дальнейших расчетов исключаются. Из рис. 2 видно, что произошло частичное отслоение пластика от алюминиевого слоя.
t=0.994343 mcs
Рис. 2
На рис. 3 представлены распределения давления и температуры в тот же самый момент времени, что и на рис. 2.
На рис. 4 показана конструкция в момент времени, соответствующий времени пробега упругой волны по пластику.
Пластик Алюминий Вода
Давление, МПа
0.05"""/…"
0.04 :::飞
0.01 ；":^^^^^||〕1111111丄上上上工1:::;11::::；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；:；；:;1:^^^
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.0100.010.020.030.04
И)
2()
0
—20
45
30
13
0
-40-15
Пластик Алюминий
10
6
4
2
0.001
о
Температура, К
0.05「*~~-]^33^^^^^^^^£|^「~~~~~,~~~~~~~
0.04 I产ZWlllll^^^^yiflll^^^^^^^^^*
0.03 ™| Jll^^^产工〕；〕「E「W；〕〕IHl|^y「^^^
0.02 -i目lli〕〕/iili/iili/i「^^^
o.oi “i^^^yi；〕/ll曰IITE〕T〕TI「^^^^^^^^
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.0100.010.020.030.04
Рис. 3
Распределения давления и температуры для этого же момента времени показаны на рис. 5.
На рис. 6 конфигурация конструкции показана в несколько более поздний момент времени, чем на рис. 4, 5.
Распределения давления и температуры для этого же момента времени представлены на рис. 7.
В момент времени, показанный на рис. 8, алюминиевая оболочка пришла во взаимодействие с преградой.
Давление и температура в этот момент времени представлены на рис. 9.
К моменту времени, показанному на рис. 10, упругая волна пробежала более половины длины алюминиевого слоя оболочки. Образовалась дискообразная область контакта этого слоя с преградой, появились первые разрушенные ячейки в алюминии.
Давление и температура в этот момент представлены на рис. 11.
На рис. 12 показан момент времени, соответствующий времени пробега упругой волны по алюминиевому слою. Видно, что в дискообразной области этого слоя начинает развиваться откольное разрушение.
Давления и температура в этот момент показаны на рис. 13.
73.6
273
272.8272.9283
t=0.985251 mcs
Рис. 4
Давление, МПа
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
О
-0.05 —0.04 —6 03 —0*02 —0.0100.010.020.030.04
Температура, К
0.05
0.04 I 一一一一一一一一一I茎:一:-:I-
0.01 "|111111「^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^М|11||||||『
0
-0.05 —0.04 -0.03 -0.02 —0.0100.010.02 0.030.04
Пластик Алюминий
10
量。
—50
-70
Пластик
…L5
—3U
"…J-45
Алюминий
j
—0.8
0.4
0.1
0.001
о
273.1
'…：：：'273.5
272.9
272.7
283
t=0.980369 mcs
Рис. 6
Пластик Алюминий ВодаПластик Алюминий Вода
Пластик Алюминий Вода
Пластик Алюминий Вода
Давление, МПа
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
СкО.Об —0*05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.010
鼻i™0
Illi IIIIII о л
1厘_3514
0.0(
0.010.020.030.04
—65—350
Температура, К
—0.06 —0.05 —0.04 —0.03 —0.02 —0.01 00.010.020.030.04
272.1 ' 272.7 一 283
t=0.977036 mcs
Рис. 8
Пластик Алюминий Вода
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
—0.06 —0.05 —0.04 -0.03
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
Давление, МПа
—0.02 —0.01 О
0.010.020.03
130
0
)60
；45
30
-3015
—80
0
Т5
—90—30
Пластик Алюминий
；2
1.5
0.001
О
Температура, К
s274.5
273.5
-0.06 -0.05 - 0.04 - 0.03 -0*02 - 0.01 О
0.010.020.03
272.5272.8283
七=0.970748 mcs
Рис. 10
Давление, МПа
0.04 -；g^|丄 111^^^^^^^^^^^^^^^^Ш：:т
0.03 4lillllllllllllll；^^^^
o.oi恚鹏〕1и「1И1111111「^^^
0 ■^^^■-J -0.06 -0.05 —0.04 —0.03 —0.02 —0.0100.010.020.03
Температура, К
0.05"
0.03 一-”-"
0.02 .一
-0.06 一0.05 —0*04 -0.03 —0.02 -0.0100.010.02 0.03
七=0.968186 mcs
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
о
Рис. 12
Пластик Алюминий Вода
Давление, МПа
280
240
200
160
120
80
40
10
0.1
0.001
—0.06 —0.05 -0.04 —0.03 —0.02 —0.01
—450 О
Пластик Алюминий Вода
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
Температура, К
■
Й05
：'зсс
295
290
285
275
~— 284.9
283.9
—0.06 —0.05 —0.04 —0.03 —0.02 —0.01
О
0.010.02
0.03
—273 —270
282.9
Объемная поврежденность и сдвиговая деформация в алюминиевом слое представлены на рис. 14.
Объемная поврежденность 0.04
0.03
0.02
0.01
—605—0.04—0.03—0.02—0.0100.010.02
Сдвиговая деформация 0.04
0.03
0.02
0
0.01
—0.05—0.04—0.03—0.02—0.0100.010.02
Рис. 14
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
Диссипация в алюминиевом слое показана на рис. 15.
К моменту времени, показанному на рис. 16, волна пробежала сквозь воду. Пластик полностью отслоился от алюминиевой оболочки и разрушился на отдельные фрагменты. Алюминиевая оболочка получала сквозные разрушения в области контакта с преградой, в ее периферийной зоне.
Распределения давления и температуры представлены на рис. 17. Видно, что значительного разогрева элементов конструкции при данной скорости удара (Vo = =250 м/с) не произошло.
И, наконец, на рис. 18 показано распределение диссипации и объемной повре- жденности по алюминиевому слою. Микроразрушения сдвигового типа незначительны.
Рис. 15
132.000
28.000
24.000
-±力000
一^ч 6.000
■4.000
t=964723 mcs
Рис. 16
Заключение. Таким образом, создана программа численного моделирования необратимых динамических процессов деформирования, микро- и макроразрушения осесимметричной двухслойной оболочечной конструкции, заполненной жидкостью, при внешнем ударном воздействии на нее. Проведены численные расчеты и выявлены основные закономерности.
Работа выполнена при поддержке Президентской программы поддержки ведущих научных школ Р①(НЦ1-19.2003.1) и Р①①Н (03-01-00127).
Список литературы
Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М.: ФМ, 1961. 400 с.
Никифоровский В. С., Шемякин Е. И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука, 1979. 272 с.
Давление, МПй
0.05
0.04 —:畫畫畫I 事 ^^^^^^^^^^11
0.03 一j^^^^^^^1]||||||||||||||||「^^^^
0.02一: ^^^^^У：1|11|1111-1111，11111111;^^^^
0.01 工^^^: ：^^^]曰曰曰曰曰【11111111:^^^^
一0.06 -0.05 -604 —0.03 -6 02 -6 010
Температура, К
0.05
Пластик Алюминий ВодаПластик Алюминий Вода—400—4000.0010.001—35—7000Пластик Алюминий Вода—35—7000Пластик Алюминий Вода0.010.020.030.010.020.03—0.06 -0.05 —0.04 —0.03 —0.02 —0.010—0.06 -0.05 —0.04 —0.03 —0.02 —0.010:11111111111二 III »290 ■283.92800.010.020.03273270282.9:11111111111二 III »290 ■283.92800.010.020.03273270282.90.04
Пластик Алюминий Вода
Пластик Алюминий Вода
—400
—400
0.001
0.001
—35—7000
Пластик Алюминий Вода
—35—7000
Пластик Алюминий Вода
0.010.020.03
0.010.020.03
—0.06 -0.05 —0.04 —0.03 —0.02 —0.010
—0.06 -0.05 —0.04 —0.03 —0.02 —0.010
:11111111111二 III »290 ■
283.9
280
0.010.020.03
273270282.9
:11111111111二 III »290 ■
283.9
280
0.010.020.03
273270282.9
Рис. 17
Динамика удара / Зукас Дж. А., Николас Г, Свифт X. Ф. и др. М.: Мир, 1985. 296 с.
Майборода В. П., Кравчук А. С., Холин Н. Н. Скоростное деформирование конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1986. 264 с.
Высокоскоростное взаимодействие тел / Фомин В.М., Гулидов А. И., Киселев А. Б. и др. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. 600 с.
Space Debris. Hazard Evaluation and Mitigation. Ed. by N. N. Smirnov / Artz- Meador P.D., Chobotov V.A., Flury 眩，Kiselev 4 8, Nazarenko A.I., Nikitin V.F., Potter A.E., Smirnov N.N., Yasaka T. L. and N. Y.: Taylor and Francis, 2002. 229 p.
Киселев А.Б., Юмашев M. В. Деформирование и разрушение при ударах и нагружений. Модель поврежденной термоупругопластической среды // ПМТФ. 1990. № 5. С.116-123.
Киселев А. Б., Юмашев М.В. Математическая модель деформирования и разрушения твердого топлива при ударном нагружении 〃 ПМТФ. 1992. № 6. С. 126-134.
Киселев А. Б., Юмашев М. В. О критериях динамического разрушения термоупругопластической среды 〃 Вестн. Моск, ун-та. Матем. Механ. 1990. № 4. С. 38-44.
Киселев А. Б. Математическое моделирование динамического деформирования комбинированного микроразрушения термоупруговязкопластической среды 〃 Вестн. Моск, ун-та. Матем. Механ. 1998. № 6. С. 32-40.
Wilkins M.L. Modelling behavior of materials 〃 Structural Impact and Crashworthiness (Proc. Int. Conf.). L. and N.Y., 1984. P. 243—287.
Диссипация, кДж/кгДиссипация, кДж/кгОбъемная поврежденность 0.04Объемная поврежденность 0.04136.00032.000>8.000■24.000'ОООi.000—12.000•8 ..000-4.000136.00032.000>8.000■24.000'ОООi.000—12.000•8 ..000-4.0000.030.030.020.020.40.40..30.20.1О0..30.20.1О0.010.01—0.05—0.04—0.03—0.02—0.0100.010.02—0.05—0.04—0.03—0.02—0.0100.010.02Рис. 18Рис. 18
Диссипация, кДж/кг
Диссипация, кДж/кг
Объемная поврежденность 0.04
Объемная поврежденность 0.04
136.000
32.000
>8.000
■24.000
'ООО
i.000
—12.000
•8 ..000
-4.000
136.000
32.000
>8.000
■24.000
'ООО
i.000
—12.000
•8 ..000
-4.000
0.03
0.03
0.02
0.02
0.4
0.4
0..3
0.2
0.1
О
0..3
0.2
0.1
О
0.01
0.01
—0.05—0.04—0.03—0.02—0.0100.010.02
—0.05—0.04—0.03—0.02—0.0100.010.02
Рис. 18
Рис. 18
Kiselev А. В., Lukyanov A. A. Mathematical modeling of dynamic processes of eversible deforming, micro- and macrostructure of solids and structures II Int. J. of Forming Processes. 2002. V. 5, № 2—4. P. 351—362.
Кузнецов H.M. Уравнения состояния и теплоемкость воды в широком диапазоне термодинамических параметров 〃 ПМТФ. 1961. № 1. С. 112-120.
Варгафтик Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972.
Киселев А. Б. Численное моделирование деформирования и разрушения тонкостенной сферической оболочки из сплошного вязкоупругого композита, заполненной жидкостью, под действием взрыва заряда, расположенного в центре конструкции 〃 Вестн. Моск, ун-та. Матем. Механ. 1997. № 5. С. 41-48.
Киселев А. Б. О граничных условиях для задач МДТТ с центральной и осевой симметрией 〃 Вестн. Моск, ун-та. Матем. Механ. 1995. № 6. С. 105T07.
Уилкинс М. Л. Расчет упруго-пластических течений 〃 Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 212-263.
Кулачкова Н.А., Сахабутдинов Ж.М. Построение расчетных сеток для областей сложной конфигурации 〃 Числ. методы в мех. спл. среды. 1985. Т. 16, № 3. С. 68-76.
Киселев А. Б., Нечаева О. В. Численное моделирование динамического деформирования и разрушения толстостенной сферической оболочки 〃 Вестн. Моск, ун-та. Матем. Механ. 2004. № 5. С. 53—58.
Киселев А. Б., Нечаева О. В. Численное моделирование динамического деформирования и разрушения толстостенной цилиндрической оболочки 〃 Вестн. Моск, ун-та. Матем. Механ. 2005. № 2. С. 33—37.
Киселев А. Б., Лукьянов А. А., Тьерсилен М. Численное моделирование динамики распространения криволинейных трещин гидроразрыва 〃 Вестн. Моск, ун-та. Матем. Механ. 2004. № 1. С. 36-41.
Киселев А. Б. Численное исследование в трехмерной постановке процесса соударения упругопластических тел с жесткой преградой 〃 Вестн. Моск, ун-та. Матем. Механ. 1985. №4. С. 51—56.
Киселев А. Б. К расчету трехмерной задачи высокоскоростного соударения упругопластического стержны с жесткой преградой 〃 Вестн. Моск, ун-та. Матем. Механ. 1988. №2. С. 30—36.
О ПОСТРОЕНИИ РЕАЛЬНЫХ ЛИНИЙСКОЛЬЖЕНИЯ В МОДЕЛИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯТВЕРДЫХ ТЕЛ
Н.А. Кончакова
Воронежский государственный университет
Вычисление величин перемещений в зоне пластического деформирования, а также исследование свойств среды при достижении напряжениями критических значений являются базовой проблемой как в теории разрушения, так и в теории пластичности и позволяет судить о реальном поведении материала за пределом упругости. В механике горных пород проблема определения положения линий разрушения материала при заданных внешних нагрузках, непосредственно связанная с вычислением поля перемещения в окрестности подземной выработки, является одной из основных инженерных задач [1—7]. В работах, посвященных изучению процессов деформирования горных пород и разрушения твердых тел, отмечается возникновение в среде упорядоченных структур различных типов за счет локализации сдвигов. Образование линий сдвига, их вид и расположение тесно связаны со свойствами материала, критериями локализации пластических деформаций [8]. Система линий скольжения выделяет в материале элементарные блоки, которые получают возможность движения вдоль поверхностей скольжения. В этом случае трехмерные малые структурные образования являются носителями пластического течения по схеме «сдвиг + поворот» [9]. Математическая модель, положенная в основу указанной схемы, хорошо подтверждается экспериментальными данными по изучению пластической деформации на мезоуровне [10]. Исследование поведения сплошных сред для различного рода нагружений [11] показывает, что ряд материалов в точке нагружения, отвечающей максимуму диаграммы «максимальное касательное напряжение — главный сдвиг», разделяется линиями (поверхностями) локализованной деформации на отдельные блоки, которые при дальнейшем деформировании скользят друг по другу, не разрушаясь. Энергия, высвободившаяся при упругой разгрузке, расходуется на скольжение по вновь образованным поверхностям. В этом случае непрерывная диаграмма т(т) имеет ниспадающую ветвь, реализация которой отражает новое состояние материала, отличное от исходного, и говорит о несимметрии площадок скольжения до разгрузки и после нее. На различных площадках можно наблюдать различное сопротивление сдвигу. Введение нового набора инвариантов, отличного от общепринятого и впервые опубликованного в работе [12], позволяет проследить изменение сдвиговой прочности среды в послепиковом состоянии. Тело становится анизотропным по отношению к сдвигу. В целом реализуется возможность твердого тела деформироваться за пределом упругости, разделяясь на регулярные блоки. Пластическая деформация в зоне предразрушения реализуется за счет движения (перемещения) элементарных блоков вдоль поверхностей скольжения и поворота на некоторый угол, так что эти блоки поворачиваются и образуют в новом состоянии квазис- плошное тело [13]. Это положение отражает основные позиции синтетической
теории прочности, которая исследует так называемую послепиковую прочность твердых тел.
Во многих экспериментах по исследованию прочностных свойств горных пород и твердых тел описан процесс разрушения материала вдоль некоторой сетки линий, формирующейся в среде вследствие внешних воздействий [11]. Величину главного сдвига, зафиксированную в момент разделения тела на элементарные блоки, обозначим Ге. Полная фрагментация рассматриваемого объема материала классифицируется как состояние его предразрушения [14]. В изначально изотропном однородном материале появляется размер (локализованные структурные элементы, блоки). При этом возникают кинематические возможности поворота. Условие сохранения величиной главного сдвига постоянного значения Ге есть критерий сохранения материала в состоянии пластического течения. Таким образом, соотношение 7 = const = Ге есть уравнение, необходимое для описания пластической деформации в терминах площадок скольжения. Величина Г выступает в роли независимого дополнительного критерия, описывающего пластическую деформацию в случае хрупкого разрушения. Условие постоянства значения главного сдвига при достижении напряжениями критического значения представляет собой критерий прочности при сдвиговых деформациях. Для случая плоской деформации применительно к модели хрупкого разрушения этот критерий имеет вид [15]
& —=「2，(2.1)
где £力，£g, £力夕—компоненты тензора деформаций. В зоне предразрушения необходимо подчинить деформации связи Г = Ге. При хрупком разрушении образуется некоторая область в окрестности зоны концентрации напряжений (вершины трещины, отверстия, выработки в горном массиве), в которой распределение напряжений соответствует распределению напряжений в идеально пластическом состоянии, а появление линий максимального касательного напряжения изменяет структуру материала. Таким образом, в зоне предразрушения имеют место соотношения идеальной пластичности одновременно с критерием (2.1).
Система дифференциальных уравнений, описывающая поведение рассматриваемого материала, имеет вид [14, 16]
(2.2)(2.2)• *32沙 |^=0.• *32沙 |^=0.материальный поворот структурного эле-материальный поворот структурного эле-筝—cos2沙亭+ sin2沙岁=0,oxoxoy
(2.2)
(2.2)
• *32沙 |^=0.
• *32沙 |^=0.
материальный поворот структурного эле-
материальный поворот структурного эле-
丽+ sin 2⑦
Здесь ^ = —, ^ =-
мента среды в рассматриваемой точке, и, v — компоненты вектора перемещений, ⑦—угол наклона главных направлений тензора деформаций к оси Ох. В случае несжимаемой среды величины деформаций связаны с ⑦ соотношениями
-jfe cos 2^, £у = jre cos 2^,
£磔/ = Ге sin 2^, tg 2^ =
Система (2.2) принадлежит к гиперболическому типу. Дифференциальные уравнения характеристик и соотношения вдоль них имеют вид
dy = ctg ⑦ dx, 6 + ⑦=а,〜⑵3)
dy = — tg ⑦ dx, ш — ^ф = p.
Соотношения (2.3) определяют сетку V7 ± ^ реальных линий скольжения а и /3, аналогичных линиям скольжения в теории напряжений. Характеристики системы (2.2) имеют ясный физический смысл: линии скольжения — это реально наблюдаемые в экспериментах линии разрушения материала, а также линии образования регулярных блочных структур в первоначально однородном теле [5, 7]. Если известно поле линий скольжения (2.3) и значения на них параметров а и /3, то в каждой точке известны s п ⑦，т. е. повороты элементов и углы наклона главных направлений тензора деформаций [16].
Пусть материал подчиняется квадратичному условию пластичности
(ах -ау)2 -Ь4а^ = 4Т2.
Рассмотрим твердое тело, имеющее отверстие. Это может быть полость в однородном материале или выработка в горном массиве. Определение положения линий разрушения материала в окрестности полости при заданных напряжениях на бесконечности и на контуре отверстия является весьма важной инженерной задачей в геомеханике и других отраслях. Экспериментальные исследования она [1-4] показывают, что она существенно меняется в окрестности выработки, т. е. в зоне хрупкого разрушения. Известно, что вблизи отверстий формируется зона концентрации напряжений. С другой стороны, в окрестности отверстия возникает зона подготовки к разрушению, следовательно, здесь справедливы соотношения теории пластичности для напряжений и система (2.2) для деформаций. В случае плоской деформации задача сводится к решению задачи о деформировании пластины с круговым отверстием. Поле напряжений, а также положение и конфигурация упругопластической границы для указанной задачи известны [17]. При известной геометрии пластической области система (2.2) позволяет полностью определить поле перемещений в зоне предразрушения из условия существования полного дифференциала компонент вектора перемещений [16]. Известно решение Д. Д. Ивлева [18] для определения перемещений в пластической области методом малого параметра. Исследования выполнены для модели упругопластического тела. Однако при изучении напряженно-деформированного состояния горного массива необходимо наряду с пластическими свойствами породы в окрестности выработки учитывать анизотропию сопротивления сдвигу (послепиковую прочность материала), и, следовательно, в математической модели наряду с уравнениями теории пластичности должны присутствовать соотношения критерия прочности при сдвиговых деформациях, а значит, система уравнений (2.2). Линиями разделения среды на малые части являются линии характеристик системы. Сетка реальных линий скольжения (2.3) выходит из точек упругопластической границы С и «нарезает» пластическую область на изолированные блоки площадками обоих семейств (рис. 1). Точки пересечения характеристик линий ат и /Зп в зоне необратимых деформаций назовем узлами сетки и обозначим (т, п), значения функций s s(力，у) и ^ =⑦(力，у) в рассматриваемом узле обозначим 以加,冷 и ⑦加,^ соответственно. Координаты узлов сетки линий скольжения 力加,冷 и ут^п при известных значениях s = ш(х, у) п ⑦=ф(х, у) в узлах вычисляются с использованием дифференциальных уравнений характеристик, преобразованных в разностные
соотношения [19] (рис. 1):
力=(叼—叼+s-1") -Ctg 耽+ST2+2耽+ST"+L
勿 + s—分+ s,分+1 =(力汁s—1,分分+1) • (— tg 也+s"+l 十2也+s-1,2+1 ).
(3.1)
Система (3.1) позволяет по известным координатам узлов 〃 + <§,〃+ 1), (г + s — —1, г) одного слоя сетки реальных линий скольжения и углам наклона главных направлений тензора деформаций в этих узлах получить координаты исследуемого узла (г + s — 1,г + 1), расположенного на следующем внутреннем слое сетки характеристик в пластической области. Добавляя к полученным координатам значения перемещений в исследуемом узле, получим действительное положения узла линий скольжения с учетом действующих внешних напряжений. Последовательно соединяя кривой узлы каждой характеристики, можем построить сетку реальных линий скольжения в окрестности выработки, а значит, будем иметь представление о реальной геометрии разрушения материала.
Рассмотрим процесс двуосного несимметричного растяжения толстой пластины с круговым отверстием. Напряжения = А и о/ = В — взаимно ортогональные усилия, действующие на бесконечности в направлении осей Ох и Оу соответственно, р — давление на контуре отверстия, С — упругопластическая граница (рис. 2). В работе [19] проведен анализ перемещений и напряжений в окрестности упругопластической границы и выявлены особенности поведения угла ⑦.
I I I ! I I I I I
Рис. 2Рис. 2片=4片=4
Рис. 2
Рис. 2
片=4
片=4
Система уравнений (3.1) позволяет вычислить положение характеристик системы дифференциальных уравнений для деформаций и проанализировать эволюцию развития пластической области при заданных величинах внешних воздействий. По известным величинам s(力，у) и ф{х, у) на С строится решение задачи Коши в пластической области и определяются координаты точек пересечения линий скольжения и величины перемещений в этих точках. Вычисление перемещений в узлах линий скольжения дает возможность определить реальное положение элементов среды вследствие деформирования. Решение задачи Римана в пластической области базируется на результатах решения задачи Коши. Величины ш(х, у) и 2(力，у) во внутренних узлах сетки линий скольжения вычисляются согласно соотношениям
где a^ij,⑦分,—значения угла поворота элементарных блоков и угла наклона главных направлений тензора деформации в соответствующих узлах сетки реальных линий скольжения.
Рис. 3 иллюстрирует пошаговое развитие влияния пластической деформации на положение точек среды в окрестности отверстия в случае хрупкого разрушения. Методом характеристик получены решения основных краевых задач для системы (2.2). На рис. 3 представлены графики отверстия (линия /), упругопластической границы (линия 2) и линий, объединяющих узлы внутренних слоев точек пересечения сетки линий скольжения (линии 3—6) для нагружения:
= А = 3.0 и о/ = В = 2.5, величина внутреннего давления на контуре отверстия составляет: р = 0.1. Известно, что геометрия упругопластической границы полностью определяется действующими напряжениями. Как и в случае решения Л. Галина [17], для заданных параметров нагружения выполняется условие полного охвата и упругопластическая граница (кривая 2) удалена от контура отверстия (кривая /). Поведение внутренних слоев узлов линий-характеристик отражает развитие пластической деформации в зоне предразрушения. В частности, первый внутренний слой (линия 3), являющийся решением задачи Коши для системы (2.2), описывает заключительную стадию пластического деформирования
и служит исходным для расчета положения узлов сетки линий скольжения внутри области необратимых деформаций. Анализ положения кривых 4-6 (решение задачи Римана в области предразрушения) позволяет проследить усиление действия пластических деформаций на точки среды в окрестности отверстия. Кривая 6 — последний внутренний слой точек пересечения сетки реальных линий скольжения. Ее поведение вблизи контура дает основания утверждать, что отверстие вытягивается в направлении большего из действующих растягивающих напряжений. Следующий шаг по направлению к отверстию приводит к тому, что отдельные узлы сетки оказываются внутри отверстия, и физического смысла такое решение не имеет.
Последовательное определение координат точек сетки линий-характеристик системы (2.2) от упругопластической границы до отверстия с учетом пластических перемещений и соединение их ломаной в соответствующую кривую дает сетку линий разрушения материала.
Заключение. Определение геометрии сетки реальных линий скольжения и вычисление поля перемещений в окрестности выработки в горном массиве являет собой развитие синтетической теории прочности. Зарождение структурных элементов в горном массиве вследствие деформирования подтверждено экспериментальными исследованиями и физически обосновано работами в области мезомеханики. Решение упругопластической задачи с привлечением критерия (2.1), а следовательно, и системы (2.2), позволяет проследить эволюцию разрушения горных пород в терминах перемещений в окрестности выработки: от зарождения пластической области до отверстия, и определить положение реальных линий скольжения в зоне предразрушения. Конфигурация характеристических линии, близко расположенных к отверстию (линия 6, рис. 3), позволяет судить о по-
ведении точек самого отверстия при пластической деформации всего массива: отверстие принимает вытянутую форму в сторону большего из действующих усилий. Величины перемещений дают возможность оценить степень «искажен- ности» контура нагруженной выработки вследствие действующих напряжений на бесконечности. Фактически мы можем судить о действительной конфигурации контура отверстия после разрушения.
Автор сердечно благодарит Е. И. Шемякина за ценные замечания и внимание к работе.
Список литературы
Шемякин Е. И. Две задачи механики горных пород, связанные с освоением глубоких месторождений руды и угля 〃 Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1975. № 6. С. 29-45.
Shemyakin E.I. New problems in rock mechanics 〃 Modeling of mine structures (edited by A/Kidybinski). 1988. P. 17-24.
Шемякин E. И., Фисенко Г. Л., Курленя М. В., Опарнин В. Н. 〃 др. Зональная дезинтеграция горных пород вокруг подземных выработок. Ч. 1: данные натуральных наблюдений 〃 Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1986. №3. С. 3-15.
Шемякин Е.И., Фисенко Г. Л., Курленя М. В., Опарнин В.Н. 〃 др. Эффект зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземных выработок 〃 ДАН СССР. 1986. Т. 289, №5. С. 1088-1094.
Никифоровский В. С., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука, 1979. 271 с.
Ставрогин А.Н., Протосеня А. Г. Прочность горных пород и устойчивость выработок на больших глубинах. М.: Недра, 1985. 271 с.
Шемякин Е.И. Напряженно-деформированное состояние в вершине разреза при антип- лоской деформации упругопластического тела 〃 ПМТФ. 1974. № 2. С. 110-116.
Ревуженко А. Ф. Механика упруго-пластических сред и нестандартный анализ. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2000. 426 с.
Бушманова О.П., Ревуженко А. Ф. О пластическом деформировании в условиях локализации сдвигов на дискретной системе линий 〃 Физ. мезомех. 2002. Т. 5, № 3. С. 9-16.
Панин В. Е. Основы физической мезомеханики 〃 Физ. мезомех. 1998. Т. 1, № 1. С. 5-22.
Панин В.Е., Дерюгин Е.Е., Хэджиконтис В., Мэвромэто К., Эфртаксиас К. Масштабные уровни локализации пластической деформации и механизм разрушения монокристаллов LiF при сжатии 〃 Физ. Мезомех. 2001. Т. 4, № 4. С. 21-32.
Шемякин Е. И. Синтетическая теория прочности. Часть I 〃 Физ. мезомех. 1999. Т. 2, №6. С. 63-69.
Аннин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. Новосибирск: Изд. Сибирского отделения РАН, 1999. 342 с.
Шемякин Е.И. О хрупком разрушении твердых тел (плоская деформация) 〃 Изв. РАН. Механ. Тверд. Тела. 1997. № 2. С. 145-150.
Шемякин Е. И. О хрупком разрушении твердых тел, II (о сдвиговой прочности горных пород) 〃 Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2003. № 3. С. 76-81.
Кончакова Н.А. О построении моделей сплошных сред с несимметричными тензорами 〃 Вестн. Моск, ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2002. № 4. С. 42-48.
Галин Л. А. Упруго пластические задачи. М.: Наука, 1984. 232 с.
Ивлев Д.Д. Определение перемещений в плоской упруго-пластической задаче 〃 В кн.: Упруго пластические задачи. М.: Наука, 1984. С. 166-171.
Кончакова Н.А. Анализ перемещений и напряжений в окрестности упругопластической границы в задаче Л. Галина 〃 Вестн. Моск, ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2004. №2. С. 44-51.
О МЕТОДАХ ИДЕНТИФИКАЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХСВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ И ТОПОЛОГИИ КОНСТРУКЦИЙ
А. С. Кравчук
Московская государственная академия приборостроения и информатики
Введение. Задача идентификации распределений деформационных и/или жесткостных характеристик материала по объему относится к числу актуальных и быстро развивающихся направлений механики деформируемого твердого тела. Актуальность проблемы обусловлена в первую очередь тем, что измерить значения таких параметров, как модули упругости внутри области, геометрию дефектов непосредственно, без разрушения материала или изделия, очевидно, нельзя. Во-вторых, в процессе работы, при наложении постоянных (статических) или переменных во времени внешних воздействий свойства материала меняются —меняются модули упругости, пределы прочности и пластичности, меняется граница вследствие износа и т. д. Кроме того, наступает усталость материала, сопровождаемая появлением трещин внутри области (конструкции), наличие которых определить визуально также нельзя. Следует упомянуть и то обстоятельство, что в технологических процессах изготовления композиционных материалов, процессах поверхностного упрочнения очень сложно, а зачастую и невозможно контролировать результат — распределение компонентов композита в области, толщину и модули упругости упрочненного слоя и т. д.
Естественно, что определенную информацию можно получить, изготавливая образцы путем их вырезания из объема и последующих испытаний традиционными средствами. Однако хорошо известно, что такая методика может приводить к существенному изменению свойств извлеченного (вырезанного) образца по сравнению со свойствами соответствующей подобласти в неразрушенном материале. Существуют ситуации, когда операция вырезания образцов в принципе невозможна —это относится к задаче определения свойств биотканей in vivo, а также к контролю качества уникальных изделий или сплошному (не выборочному) контролю качества изделий в поточном производстве.
Еще одна весьма актуальная техническая проблема поставлена развитием современной микротехники и микромеханики: речь идет об определении тензора модулей упругости и других механических и геометрических характеристик изделий и материалов, характерные размеры которых находятся в микронном диапазоне.
Характер задач идентификации определяется в первую очередь используемыми техническими средствами и методами диагностики — характером внешних воздействий, типом измеряемых параметров, средствами сбора и методами обработки измеренной информации. Отметим, что в настоящей работе термин «диагностика» как раз и подразумевает методы и средства идентификации механических и геометрических параметров конструкции материала или изделия. Отметим также, что задачи идентификации в общем случае являются нелинейными и поэтому для их решения применяются итерационные методы — как правило, это метод Ньютона и различные его модификации. Важным для приложений примером линейной задачи диагностики является так называемая задача Радона [12]. Оригинальные
результаты Радона изложены в статье [39], опубликованной еще в 1917 г. Перевод этой статьи на русский язык можно найти в книге [22]. Многочисленные и далеко идущие обобщения задачи и метода Радона имеются в книгах [3, 4].
Математические модели диагностики (идентификации) изучаются, как известно, достаточно длительное время и именуются «обратными задачами математической физики» [1, 7, 17, 23]. По постановке и методам исследования и решения обратные задачи можно разделить на два связанных друг с другом класса: обратные коэффициентные задачи и задачи идентификации источников. В последних речь идет об локализации внутренних воздействий на структуру — типа источника землетрясения или источников электрического потенциала в мозге или на поверхности эпикарда.
В обратных коэффициентных задачах речь идет об определении коэффициентов уравнений или — в более общем случае — об определении операторов, описывающих реакцию системы на внешние воздействия. Именно эти задачи являются предметом настоящей работы.
Главной особенностью обратных задач является, как хорошо известно [23], их некорректность, проявляющаяся в сильной зависимости идентифицируемых параметров от малых изменений величин, доступных измерениям в эксперименте. Проблема некорректности решается с использованием различных методов регуляризации, описание которых можно найти в монографиях [1, 7, 17, 23]. В настоящей работе эти методы анализироваться не будут.
Задачи идентификации можно классифицировать по моделям поведения (определяющим соотношениям) материала. Проблема выбора структуры определяющих соотношений является критической, поскольку заранее, до проведения экспериментов, неизвестно, является материал упругим или неупругим, имеются ли внутренние дефекты и т. д. Неудачный выбор модели поведения материала для обработки результатов экспериментов с целью идентификации параметров может привести к ситуации, когда результаты обработки будут описывать данные уже проведенных экспериментов с высокой степенью точности, однако при переходе к реальной конструкции и реальным условиям эксплуатации теоретический прогноз поведения конструкции будет неудовлетворительным.
Описание задачи идентификации. Пусть деформируемое тело или деформируемая конструкция занимает область Q с границей X. Предполагается, что механические свойства материала, равно как и геометрические параметры некоторых элементов конструкции, трещин и включений, заранее не известны и подлежат определению в процессе решения задачи с использованием информации, полученной из экспериментов неразрушающего типа. Такие эксперименты могут быть реализованы путем внедрения жестких штампов. Поверхности штампов должны быть достаточно гладкими, с тем чтобы избежать появления необратимых деформаций или разрушения (разумеется, в тех случаях, когда речь не идет об идентификации параметров пластичности или прочностных характеристик). В каждом эксперименте измеряются главный вектор и главный момент приложенных к штампу усилий, смещение и поворот штампа. Кроме того, могут также измеряться (если это возможно) смещения некоторых точек поверхности X, а также поверхностные усилия на закрепленной части поверхности и в области контакта.
Как будет показано ниже, для идентификации параметров неоднородных тел необходимо провести серию экспериментов для разных положений штампа. В некоторых случаях достаточно ограничиться измерениями для различных глубин внедрения штампа.
Пример. Приведем простой пример, иллюстрирующий необходимость использования многих экспериментов в случае, когда свойства материала зависят от координат.
Пусть состояние некоторой системы описывается одной скалярной функцией 夕=夕(х), являющейся решением следующей краевой задачи:
▽ •(。▽夕)= /(х), (2.1)
夕|х =夕х(х), х G X (граничное условие типа Дирихле), (2.2)
о(▽夕)• v|s = j^y (граничное условие типа Неймана), (2.3)
где V — оператор Гамильтона, о(х) — функция, описывающая физические свойства исследуемого материал (например, в задачах теории потенциала функция о(х) будет равна электрической проводимости материала),夕х(х), 7х“ — заданные (измеренные в эксперименте) функции, /(х) ниже будет предполагаться известной (в расчетах — равной нулю).
Задача идентификации заключается в том, чтобы найти функцию о(х) по известным из эксперимента функциям 夕х(х), 7х“(х). Очевидно, что попутно придется определять функцию 夕，описывающую состояние материала (системы, объекта).
Пусть задача решается в трехмерном пространстве i?3, область Q е i?3 является, по предположению, ограниченной. Тогда функции 夕х(х), 7х“ будут функциями двух переменных, описывающих границу S области Q. В то же время искомые функции о(х),夕(х) зависят от трех пространственных переменных. Таким образом, требуется найти две функции трех пространственных переменных по двум заданным функциям двух переменных. Такая задача, вообще говоря, решения не имеет.
Возникшая проблема решается путем введения дополнительной независимой переменной s, в качестве которой может выступать номер измерения. Теоретически такая переменная может быть непрерывной (равной, например, глубине погружения штампа), на практике она будет дискретной и конечной. Как показывают численные эксперименты, в случае, когда множество экспериментально измеренных функций достаточно велико, идентификация может быть проведена с любой наперед заданной точностью. К сожалению, критериев отбора, необходимых для идентификации экспериментов, не существует — имеются лишь некоторые соображения, связанные с понятием базиса в пространствах функций, заданных на границе, и с теоремами о следах.
Математическая постановка задачи идентификации и алгоритм ее решения. Пусть s — параметр, о котором было сказано выше; будем предполагать, что этот параметр принимает дискретное конечное множество значений: s = 1,2,...
TVexp. Введем в рассмотрение вектор-столбец идентифицируемых параметров Х『=(Х=, X},…,Х^)т и вектор-столбец R^^ = (R：⑶,兄^⑶,…,R；⑶)丁 измеренных в s-м эксперименте реакций (индексом 丁 помечена операция транспонирования). Предположим теперь, что модель поведения материала фиксирована, так что каждому набору X = (Xi, Х2,..., Хм)Т значений параметров модели можно поставить в соответствие вектор реакций R^ = (i?^, R^\ ..., R^)T для эксперимента номер s; фактически это соответствие получается путем решения соответствующей краевой задачи, коэффициенты уравнений в которой заменяются значениями X = (Xi, Х2,..., Хм)Т, а в граничных условиях используются задава-
емые в эксперименте величины. Введем невязку (рассогласование) F = F(X, Xv) по формуле
Ж，х^)= £н尸吓，(3.1)
где 7VeXp — количество фактически выполненных экспериментов, R^ = R^S\X), R^^ = R『(s)(x： Как правило, количество измеренных реакций превосходит количество идентифицируемых параметров, т. е. р > М, с тем чтобы уменьшить влияние разброса данных экспериментов. Очевидно, что метод решения задачи идентификации, основанный на минимизации невязки (3.1), представляет собой метод наименьших квадратов, с той лишь особенностью, что искомые неизвестные входят в минимизируемую функцию не непосредственно, а через реакции R^s\
Функция F = F(X, Xv) имеет, как правило, много локальных минимумов, поэтому для решения задачи минимизации необходимо использовать методы решения многоэкстремальных задач. Одним из таких методов является генетический алгоритм [33], позволяющий локализовать окрестности локальных минимумов. После нахождения этих окрестностей обычно применяют итерационный метод Ньютона, и далее после нахождения (с заданной точностью) значений локальных минимумов выбирают из них глобальный.
Продемонстрируем основные этапы алгоритма идентификации на примере конечномерной задачи идентификации параметров стержневой системы.
Постановка задачи идентификации параметров стержневой системы. Эта задача является модельной, иллюстрирующей основные моменты теории и методов. Она была предложена и использована автором в курсе лекций для студентов научно-технического факультета университета Франш-Комте (г. Безансон) [36].
Исследуется система стержней (балок), расположенных в одной плоскости, в предположении, что данная система не является механизмом. Пример такой системы показан на рис. 1.
Состояние каждого стержня характеризуется 6 силовыми параметрами
{F⑴,2И⑴；
где F("), F°) — силы, приложенные к концам г, j стержня (предполагается, что стержни соединены сваркой в концах, а точки соединения — узлы — пронумерованы целыми числами 1,2, ...,NU), М⑺, №)— моменты в тех же узлах. Система на рис. 1 состоит из 14 стержней, и для нее NU = 7. Общее число силовых параметров, при помощи которых составляются уравнения равновесия, равно 84. Из этих уравнений следует, что система из недеформируемых стержней является гиперстатической порядка 24. Для решения прямой задачи об определении внутренних силовых и кинематических параметров вводится гипотеза о деформируемости стержней. Предполагается, что:
все, стержни, сходящиеся в узле к, испытывают одно и то же перемещение U(k)；
соединения стержней в узлах являются абсолютно жесткими, т. е. углы поворота стержней (прямых сечений или касательных к нейтральным линиям) относительно оси Oz декартовой системы Oxyz совпадают; обозначим угол поворота в узле к через 夕(卜).
Эти предположения приводят к появлению 21 новой неизвестной (для системы на рис. 1), так что общее количество неизвестных будет равно 45. Разрешающая
система уравнений состоит из уравнений равновесия и уравнений состояния для каждого стержня. В качестве уравнений состояния будем использовать гипотезу о пропорциональности продольной силы в стержне относительному удлинению и гипотезу Бернулли для изгиба. Общее количество полученных таким способом уравнений будет равно 42. Недостающие 3 уравнения следуют из условий закрепления, например, можно предположить, что поступательное смещение и угол поворота в первом узле равны нулю.
Исключая силовые параметры и предполагая, что во всех граничных узлах заданы значения перемещений и углов поворота, приведем эту систему к виду
4qUq = E (4.1)
где Uq — вектор-столбец всех кинематических параметров (перемещений и углов поворота), упорядоченных, например, по возрастанию номеров узлов, F — вектор- столбец, определяемый заданными извне воздействиями на систему; индекс Q указывает на то, что неизвестные в системе относятся к внутренним узлам. Очевидно, что в рассматриваемом примере dim U = 9, dimF = 9, dim А = 9x9.
Положительная определенность матрицы А, обеспечивающая разрешимость и единственность решения прямой задачи, определяется условием положительности энергии деформации, что в свою очередь обеспечивается гипотезой о строгой положительности жесткостей всех стержней на растяжение и изгиб.
Границу S исследуемой системы образует совокупность узлов 1, 2, 6, 7; внутреннюю область Q, во внутренних точках которой измерения по предположению невозможны, образуют узлы 3, 4, 5.
Задача диагностики заключается в том, чтобы, измерив перемещения и соответствующие им усилия на границе, найти механические характеристики (жесткости на растяжение и на изгиб) внутри и топологию — координаты внутренних узлов.
Идентификация. Отметим прежде всего некоторые особенности задачи идентификации. Во-первых, в рассматриваемой постановке внутренняя структура пред-
полагается заданной в том смысле, что известно количество внутренних стержней и способ их соединения.
Как отмечалось выше, результатов одного эксперимента, вообще говоря, недостаточно для решения. В самом деле, в одном эксперименте можно задать 12 кинематических параметров и измерить соответствующие им 12 силовых. Поскольку система по предположению линейна, то связь между силовыми и кинематическим параметрами определяется матрицей 12 х 12, число независимых элементов которой даже в случае учета условий взаимности будет содержать 78 коэффициентов, являющихся функциями идентифицируемых параметров; количество этих параметров при учете только внутренних стержней будет равно 26.
Следовательно, возникает проблема выбора и проведения серии независимых экспериментов, результаты которых позволят решить поставленную задачу идентификации.
С этой целью выберем эксперименты, в которых поочередно в каждом граничном узле будем задавать единичное перемещение в направлении оси О力，в направлении оси Оу и единичный угол поворота, оставляя все остальные узлы жестко закрепленными. Очевидно, что в евклидовом пространстве Н】？ такая система образует декартов базис. По этой причине соответствующие эксперименты назовем базисными.
Для математической формулировки задачи идентификации введем вектор перемещений граничных узлов U。，вектор усилий 瓜"в этих же узлах и матрицу связывающую эти векторы:
A^U^ = 8°, I = 1,2,..., Яхр, dimUx = dimFs = NS = 12.(4.2)
Верхний индекс (/) в соотношениях (4.2) указывает номер базисного эксперимента: I = 1,2,..., TVexp； максимально возможное число этих экспериментов без учета соотношений взаимности равно NS2.
Абстрактная формулировка задачи идентификации, принадлежащая А. Кальдерону [12], такова: имея отображение
Uy 一 &,(4.3)
найти параметры, характеризующие внутреннюю структуру диагностируемой системы. Подчеркнем, что в отображении (4.3) фигурируют данные, измеренные во всех базисных экспериментах.
Начиная с этого момента необходимо зафиксировать набор параметров, подлежащих идентификации. Для системы на рис. 1 будем идентифицировать:
—координаты внутренних узлов (в количестве 6),
—упругие характеристики внутренних стержней — жесткость на растяжение Rt и жесткость на изгиб 兄匕；количество этих параметров равно 20.
Таким образом, полное число идентифицируемых параметров равно 26. Через эти параметры выражаются элементы матрицы 4a в системе уравнений (4.1). Если систему (4.1) рассматривать как систему уравнений и относительно уравнений состояния Uq, и относительно идентифицируемых параметров, то она будет, во- первых, незамкнутой, во-вторых, нелинейной.
Дополнительная информация, достаточная для решения задачи идентификации, содержится, как уже отмечалось, в отображении (4.3). Для формулировки алгоритма решения введем вектор X идентифицируемых параметров, так что система (4.1) будет иметь вид
(4.4)(4.4)A^(X)U^ =歹(X).
(4.4)
(4.4)
Ниже для простоты зависимостью правой части уравнения (4.4) от X будем пренебрегать (дать соответствующее обобщение на случай F = F(X) несложно). Метод Ньютона решения задачи идентификации формулируется следующим образом:
задается начальное (нулевое) приближение вектора идентифицируемых па
раметровраметровX = Х(°)X = Х(°)(4.5)(4.5)
раметров
раметров
X = Х(°)
X = Х(°)
(4.5)
(4.5)
и вычисляются элементы матрицы 4a в нулевом приближении: =4а(Х(°);(4.6)
решается система уравнений
A^u^ = F^\i,2,...,Nexp(4.7)
относительно параметров состояния U*")для всех входных данных, извлекаемых из всех базисных экспериментов;
с использованием формулы (4.2) вычисляются усилия R°"), отвечающие кинематическим параметрам п сравниваются с измеренными в эксперименте по некоторой норме (пример нормы — оценки невязки был приведен выше):
5 = ^F^ -F^^l(4.8)
где индекс «V» указывает на то, что соответствующая величина измерена в эксперименте.
Если 8 W с, где с — заданная точность идентификации, то вычисления заканчиваются; если же 5 > е, то полагаем
X = X ⑴=X ⑼ + AX(4.9)
и переходим к вычислению приращения ЛХ; верхний индекс «1» здесь и ниже указывает, что соответствующая величина относится к первому приближению;
вычисления приращения ЛХ связаны с процедурой линеаризации в соотношениях (4.1) и (4.2), что и объясняет название метода — ньютоновский (или квази-ньютоновский). Имеем
A^X^)U^ = 4a(X⑼ + △X)[U*")+ △ug]
A^X^)U^ + A^X^^U^ + (國)• 3)。俨)，(4.10)
где матрица Dq определяется по формуле
^ =•(4.11)
Аналогичная операция производится для уравнения (4.2):
(А^(Х^) + △X)(U(*°)+ △[/(〃))
4^)и(2 + 4^)аи⑴ + (О*) • △Х)и(*°)=歹£° + △8"), (4.12)
ГДеI •(4.13)
丄 дХ 1х=х(。)
Подчеркнем, что в уравнении (4.12) фигурирует вектор кинематических параметров, в том числе в граничных узлах; очевидно, что в граничных узлах ^U^ = 0;
уравнения (4.10) служат для того, чтобы исключить переменные состояния △U『—выразить их через искомые приращения ЛХ:
= △U『QX) = -А^[Ь^\и^]^Х.(4.14)
При построении данного решения использовано то обстоятельство, что
^,г)=«г).(4.15)
Зависимость △[/^'(△Х) является, очевидно, линейной;
используем выражение (4.15), для того чтобы найти невязку усилий на границе в соответствии с формулой (4.12):
△理)=A^AU^\AX) + (或)• 3)и(2,(4.16)
где
△或=理，『)—或。).(4.17)
Система уравнений (4.16), записанная для всех базисных экспериментов, представляет собой линейную и в общем случае переопределенную систему уравнений для нахождения приращений ЛХ, по которым далее вычисляется первое приближение для значений идентифицируемых параметров;
решаем систему (4.16) методом наименьших квадратов. Для компактной записи решения перепишем эту систему в таком виде:
Р”Х = △RA(4.18)
где Р(") — прямоугольная матрица размера NS/dimX; представление всегда возможно ввиду линейности оператора в правой части системы (4.16).
Введем матрицу р = (p⑴,Р⑵，…，Р(“Xp))т и вектор =(△ь⑴，△ь⑵,… ...,△"№))т. Тогда систему уравнений, соответствующую всем базисным экспериментам, можно записать следующим образом:
РЛХ = △£(4.19)
а ее решение по методу наименьших квадратов — в виде
△X = (рТр)Т(рТ/^).(4.20)
Отметим, что матрица РТР системы, возникающей при использовании метода наименьших квадратов, является плохо обусловленной, поэтому перед решением соответствующей системы необходимо производить регуляризацию;
после вычисления первого приближения по формуле
X ⑴=Х(。)+/МХ,(4.21)
в которой скаляр /3 выбирается из условия наивысшей скорости сходимости (обычно это делается экспериментально), происходит переход к этапу (б) описанного алгоритма с заменой Х^ на X(D.
В заключение этого пункта заметим, что известная двойственность формулировок прямых задач в кинематических или силовых переменных позволяет сформулировать альтернативный вариант алгоритма, когда итерации начинаются
с решения задач относительно силовых переменных, а коррекция идентифицируемых параметров производится путем минимизации невязок кинематических переменных на границе. Очевидно, что возможен также смешанный вариант — с одновременным использованием переменных силового и кинематического типа.
Ниже будут приведены численные результаты, которые получались по следующей схеме. На первом этапе производилась генерация «экспериментальных» данных, которые получались из решения некоторой совокупности обычных краевых задач — типа Дирихле или Неймана для заданного распределения коэффициентов уравнений по области, которые принимались за «истинные» (вектор Xv — см. выше). После этого реализовался итерационный процесс типа Ньютона, нулевое приближение Х(°)в котором выбиралось не совпадающим с Xv. Естественно, что сходимость имела место не при всех Х(°); приведенные в статье результаты соответствуют выбору Х(°)в области сходимости алгоритма Ньютона.
Импедансная томография. Постановка задачи. Пусть теперь состояние системы описывается скалярным дифференциальным уравнением второго порядка (2.1) с граничными условиями (2.2), (2.3). Примером физической системы, состояние которой подчиняется уравнению (2.1), является область, заполненная электропроводящим материалом, который характеризуется электрической проводимостью о(х). В области распределены источники электрического потенциала с плотностью /(х), на границе Ё задается распределение электрического потенциала относительно некоторой заземленной точки (или куска поверхности) или распределение электрического тока через границу. Плотность тока j в области определяется через потенциал 夕 в соответствии с законом Ома:
j(z) = а(х)^^х)].(5.1)
Обратная задача для уравнения (2.1) заключается в том, чтобы найти распределение проводимости в области Q на основе результатов измерений потенциалов и токов на границе. К данной задаче сводится математическая модель одного из видов биомедицинской диагностики — так называемой импедансной, или потенциальной, томографии [38]. Эта задача в двумерной постановке была решена по методу конечных разностей [2] и по методу конечных элементов [6].
типа (если толькотипа (если толькоРис. 2. Круг с круговыми полостямиРис. 2. Круг с круговыми полостямиХорошо известно, что все основные свойства уравнения (2.1) обобщаются на системы дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического а(х)》с。= const > 0), к которым относятся, в частности, уравнения линейной теории упругости. Следовательно, прежде чем переходить к обратным задачам для уравнений механики деформируемого твердого тела, имеет смысл изучить основные особенности обратных задач для уравнения (2.1). Более того, некоторые частные задачи теории упругости могут быть приведены к уравнению вида (2.1), например задача о кручении неоднородных стержней в постановке Сен-Венана.
типа (если только
типа (если только
Рис. 2. Круг с круговыми полостями
Рис. 2. Круг с круговыми полостями
Идентификация круговых полостей в круговой области. Приведем некоторые результаты работы [6], полученные под руководством автора. Рассматривается область в виде круга с двумя симметрично расположенными круговыми
полостями — рис. 2. Идентифицируемыми параметрами являются координаты центров круговых полостей и их радиус. Дискретизация производится по методу конечных элементов.
ФФОО
d = 6£8d = 6.63 d = 6*39d=6」4
OOOO
d = 5*89d = 565d = 5/0d=5.16
d = 49 d = 4£6d = 49 d = 4£6Рис. 3. Разрешающая способность методаРис. 3. Разрешающая способность метода
d = 49 d = 4£6
d = 49 d = 4£6
Рис. 3. Разрешающая способность метода
Рис. 3. Разрешающая способность метода
Рис. 4. Число итераций 〜относительная ошибкаРис. 4. Число итераций 〜относительная ошибка
Рис. 4. Число итераций 〜относительная ошибка
Рис. 4. Число итераций 〜относительная ошибка
Разрешающая способность метода в целом иллюстрируется результатами, представленными на рис. 3. Различные реконструированные изображения соответству
ют различным значениям расстояния между центрами полостей, указанным под
изображениями. Можно видеть, что существует некоторое предельное расстояние,
при котором полости различить нельзя. Это расстояние и называют разрешающей способностью соответствующего метода идентификации.
Скорость сходимости метода Ньютона иллюстрируется зависимостью «число итераций 〜относительная ошибка», представленной на рис. 4.
Отметим, что при решении задач идентификации по методу конечных разностей [2] идентифицировались значения электрической проводимости во всех узлах сетки. Это привело к тому, что при числе неизвестных порядка 100 решение с приемлемой точностью получалось лишь после 400-500 итераций. Значительное уменьшение итераций (см. рис. 4)
было достигнуто, во-первых, за счет уменьшения количества идентифицируемых параметров и, во-вторых, за счет оптимального выбора параметра регуляризации (этап ж) алгоритма, описание которого дано в п. 4.
Плоская задача теории упругости. Впервые задачи идентификации для уравнений теории упругости были поставлены в монографии [28].
В настоящей работе решается частная задача об идентификации параметров кусочно-однородной линейно-упругой конструкции, представленной на рис. 5.
Отметим, что в данной задаче о нагружении кусочно-однородной конструкции
Рис. 5. Плоская задача теории упругостиРис. 5. Плоская задача теории упругостижестким эллипсовидным штампом независимая переменная s, о которой говорилось выше и которая необходима для корректной постановки задачи идентификации, возникает естественным путем как полуширина зоны контакта. Впервые такого рода задача была решена в работе [31] по методу конечных элементов для области, составленной из трех прямоугольников, защемленных по трем сторонам.
Рис. 5. Плоская задача теории упругости
Рис. 5. Плоская задача теории упругости
Решение прямых задач, возникающих в методе Ньютона, осуществлялось по методу граничных элементов. Идентификации подлежали 4 упругих модуля и координаты точек 石， С,石1, С\. Было установлено, что последовательность приближенных решений сходится
Рис. 6. Распределение нормальных усилий при наличии особенностиРис. 6. Распределение нормальных усилий при наличии особенностик точному решению, если только начальное приближение выбрано не слишком далеко от точного решения. Скорость сходимости уменьшается, если угол /DAB превосходит критическое значение, когда в точках А и D возникают особенности напряжений.
Рис. 6. Распределение нормальных усилий при наличии особенности
Рис. 6. Распределение нормальных усилий при наличии особенности
Приведем в заключение эпюры нормальных усилий на отрезке AD, соответствующие значениям угла ADAB, превосходящим критическое значение (рис. 6), а также для случая отсутствия особенностей (рис. 7).
Некоторые частные задачи: обзор результатов. Идентификация трещин 6 упругих телах. Задача идентификации трещин в упругих телах представляет собой частный, но очень важный случай общей задачи идентификации неоднородностей структуры в области. Особенность ее заключается в наличии зон концентрации напряжений вблизи края трещины, а также в том, что на поверхности трещины возникают граничные условия в виде неравенств, отражающие условия непроникания.
Идентификация трещин производится, как правило, с применением ультразвука, поэтому соответствующая математическая модель содержит волновое уравнение. Если трещина возникает и распространяется в однородном материале, то при решении прямых задач можно использовать мощные классические методы, опирающиеся на понятие фундаментального решения и граничные интегральные уравнения.
Итерационные процедуры для решения задач об идентификации трещин строятся по указанной выше схеме. Подсчет невязки осложняется необходимостью вычисления особенностей в вершине трещины.
статье [41], в которой также используются уравнения теории упругости и граничные интегральные уравнения, дано сопоставление различных способов минимизации невязки, заимствованных из теории оптимизации.
Анализ соотношений чувствительности в задаче идентификации трещин в балке выполнен в [42]; эти соотношения, как известно, позволяют связать приращения идентифицируемых величин с изменениями наблюдаемых. В работе продемонстрирована также эффективность применения аппарата вэйвлетов для обработки информации в задачах идентификации.
Трехмерная задача об идентификации трещины в упругом теле решена в работе [44] с использованием метода конечных элементов. Здесь же имеется обширная библиография по проблеме идентификации трещин, в том числе с использованием метода конечных элементов.
Идентификация вязкоупругих свойств. Рассмотрим задачу идентификации параметров ядер интегральных зависимостей Больцмана-Вольтерра линейно термовязкоупругого тела:
t
Oij = I [G叮就（方一丁）/加丁）一0（方一丁）曲（吸， （7.1）
где G打班（方）—компонента тензора ядер релаксации,夕（方）—компоненты тензора связи напряжений с температурой 夕[9, 21],方一время; остальные обозначения те же, что в п. 4.
Для построения математической модели идентификации примем следующие ггшотезн:
материал изотропен в отношении механических и тепловых свойств;
процессы в материале установившиеся и соответствуют гармоническим воздействиям с частотой
материал проявляет свойства вязкости только по отношению к сдвиговым деформациям;
вся работа части напряжений, соответствующей вязкости материала, переходит в тепло, причем мощность Q (локальная) источников тепла определяется по формуле [21]
t t
Q(" = I I 31(2方一丁 一 〃)曲饮丁)公打〃)，(7.2)
где Gi (方)—ядро сдвиговой релаксации.
Обозначая амплитудные значения всех функций, характеризующих состояние тела, теми же символами, что и исходные функции, получим систему уравнений
—движения:
/ {2〃(力)-G；(力,6s)岡 + K^^k^dij} + р^щ = 0,(7.3)
—теплопроводности:
2t t
診(^) = —2汕C一多 £今£名 I I G1(2t - Т 一哈 exp (i3(2t - 丁 一哈)&rdrj,
(7・4)
где 从—модуль сдвига (мгновенный), К — модуль всестороннего растяжения- сжатия, р — плотность материала,
t
(7.5)(7.5)G；〃5 = I G\(t — r) exp (—гшт) dr,
(7.5)
(7.5)
k — коэффициент теплопроводности, Cp — удельная теплоемкость, To — температура приведения.
Поскольку в уравнение движения температура не входит, то задача идентификации вязкоупругих свойств решается теми же способами, что и задача идентификации упругих модулей, однако теперь появляются следующие осложняющие решение проблемы идентификации обстоятельства:
каждую из серий прямых задач, возникающих в итерационных процедурах, необходимо решать в комплексных переменных или же решать каждый раз две отдельные задачи в вещественных переменных;
для восстановления ядра сдвиговой релаксации Gi (方)необходимо построить его образ Фурье; другими словами, каждый из требуемых в соответствии с алгоритмом решения обратной задачи опытов необходимо провести с различными частотами;
уравнение (7.3) имеет структуру уравнения Гельмгольца, что может приводить к проблемам при построении решения вблизи резонансных частот.
Для построения алгоритма идентификации теплофизических параметров примем дополнительное предположение (не слишком ограничительное) о том, что
G^^H^d-T^d-^.(7.6)
к
Внося это выражение в уравнение (7.4) и повторяя выкладки, проведенные при выводе уравнения (7.3), получаем уравнение
為(冷=-2分吃夕+导名£小)*(汕)吋)*3) = 0,(7.7)
в котором, как и в предыдущих выражениях, символом «*» помечено преобразование Фурье.
Таким образом, полученный результат — стационарное уравнение теплопроводности, обратную коэффициентную задачу для которого можно решать методами, развитыми в п. 3, после соответствующих модификаций, связанных с появлением комплексных переменных.
Описанный метод опубликован в работе [16].
Другой подход к решению задачи идентификации вязкоупругих и термовязкоупругих характеристик материалов, в которых не используется предположение о периодичности внешних воздействий, развит в работах [34, 30] и некоторых других. Здесь для определения функций релаксации изотропного материала построено интегральное уравнение первого рода, доказаны теоремы о разрешимости и единственности. Заметим, что здесь речь не идет об определении зависимости параметров ядер от координат.
Идентификация параметров материалов с нелинейными определяющими соотношениями. При использовании нелинейных определяющих соотношений проблема идентификации параметров этих соотношений зачастую представляет собой весьма трудную задачу даже для однородного материала. Примером такой задачи является проблема описания «рэчета» (ratchet) — нарастания пластических деформаций при малых постоянных нагрузках в одном направлении (например, при приложении растягивающей нагрузки вдоль оси цилиндрического образца) и циклическом нагружении в другом (например, циклического кручения) [27, 25] (впервые это явление было описано Б. М. Малышевым).
Общий подход к решению данной проблемы для однородных материалов и слоистых композитов предложен в работе [40], в которой алгоритм параметрической идентификации (типа изложенного в пп. 2, 3 настоящей работы) дополнен генетическим алгоритмом [33], позволяющим локализовать зоны возможных минимумов невязки теоретических и экспериментальных результатов.
Алгоритм идентификации параметров определяющих соотношений для нелинейно упругих материалов предложен в [16]. Идея метода основана на использовании вариационного метода, описание которого дано в монографии [12]. Вводится функционал
Jnl6© =—三(章,力)『dC,(7.8)
где S — подлежащая определению тензорная функция, определяющая нелинейное поведение материала; к функционалу (7.8) необходимо присоединить ограничения, о которых шла речь в п. 5.
Главной проблемой является то, что в случае, когда относительно структуры функции S никакой информации нет, задача идентификации этой функции в области по результатам измерений на границе, по-существу, эквивалентна реконструкции оператора, отображающего кинематические граничные данные в силовые или наоборот.
Задача упрощается, если предположить, что функция S определяется конечным числом параметров Ai, А2,..., As, являющихся функциями только пространственных координат. В этом случае функционал (7.8) при фиксированных распределениях напряжений и деформаций будет зависеть только от этих параметров, и задача идентификации приводится к классической задаче нелинейного программирования: найти минимум функционала
…,4)=：工]|3⑴—三伊初,力)|2dCdC(7.9)
по переменным Ai, А2,..., As при соблюдении упомянутых выше ограничений на поля напряжений и деформаций.
Заключение. Таким образом, к настоящему времени развит аппарат для построения решений задач идентификации механических характеристик и внутренней топологии неоднородных материалов и конструкций. Имеется определенный опыт в построении численных решений, правда только для линейно-упругих материалов и двумерных задач.
Ввиду актуальности развития методов решения задач идентификации (о чем говорилось во введении), в ближайшее время следует ожидать появления работ по идентификации параметров материалов с нелинейными определяющими соотношениями [16], а также композиционных материалов [21], включая композиты с вязкоупругими свойствами [9]. Особую ценность имеют работы, связанные с идентификацией прочностных свойств в динамике. Модели накопления повреждений и разрушения при динамическом нагружения развиты в работе Е. И. Шемякина и В. С. Никифоровского [10].
Список литературы
Аниконов Ю. Г. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: СО Наука, 1978. 118 с.
Kravchuk A. S. Some problems of the impedance computed tomography (ICT): Realizations and Foundations. CACUTO Intern. Series Math. Sciences and Applications. 2001. V. 15. Finite Element Method: Three-Dimens. Problems. P. 135-142.
Гельфанд И.М., Граев M. И., Виленкин В.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Физматгиз, 1962. Вып. 5 (Обобщенные функции). 656 с.
Гельфанд Н.М., Гиндикин С.「.，Граев М.И. Избранные задачи интегральной геометрии. М.: Добросвет, 2000. 208 с.
Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции 〃 Изв. АН СССР. Сер. матем. 1951. Т. 15. С. 309-360.
Евстигнеев М.А.Развитие и исследование математической модели импедансной томографии 〃 Автореф. дисс. на соискание ученой степени канд. техн. наук. М.: МГАПИ, 2002.
Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ. 206 с.
Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: АН СССР, 1963. 271 с.
Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.
Никифоровский В. С., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука СО, 1979. 271 с.
Кравчук А. С. Алгоритмы томографии в теории упругости 〃 Прикладная математика и механика. 1999. Т. 7, 63, вып. 3. С. 491-494.
Кравчук А. С. Основы компьютерной томографии. М.: Дрофа, 2001. 240 с.
Кравчук А. С. Развитие диагностического метода импедансной томографии. Труды Междунар, конф. «Нечеткая логика, интеллектуальные системы и технологии — НЛИСТ-97». Владимир: Изд-во ВлГУ, 1997.
Кравчук А. С. Развитие математической модели импедансной компьютерной томографии для биомедицинской диагностики 〃 Научные труды III Международной научнотехнической конф. «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики, экономики и права». Книга «Приборостроение». М.: Изд-во МГАПИ, 2000. С. 102-107.
Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: МГА- ПИ, 1997. 339 с.
Кравчук А. С. Об определении линейных и нелинейных свойств неоднородных материалов II Математическое моделирование систем и процессов. 2001. № 9. С. 67-77.
Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: СО Наука, 1980. 286 с.
Лионс Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.
Марченко В. А. Некоторые вопросы дифференциального оператора второго порядка 〃 ДАН СССР. 1950. Т. 76, № 3. С. 457-460.
Неразрушающий контроль и диагностика. Справочник / Под ред. В. В. Клюева. М.: Машиностроение, 1995. 487 с.
Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.
Радон И. Об определении функций по их интегралам вдоль некоторых многообразий. В кн.: Хелгасон С. Преобразование Радона. М.: Мир, 1983.
Тихонов А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
Яхно В. Г. Обратные задачи для уравнений теории упругости. Новосибирск: СО Наука, 1980. 280 с.
Bocher L., Delobelle Р. Etude experimental du comportement cyclic d'un acier du type 316L sous chargement multiaxial complexe en traction-torsion-pression interne et externe 〃 J. Phis. Ill France. 1997. T. 7. P. 1755-1777.
Bonnans /. F., Gilbert J.S., Lemarechal C., Sagastizabal C. Optimisation numerique. Springer-Verlag, 1997. 340 p.
Bouchou A., Delobelle P. Behaviour and modelization of a 17-20 SPH stainless steel under cyclic, unidirectional and bidirectional anisothermal loadings 〃 Nuclear Engineering and design. 1996. V. 162. P. 21-45.
Bui H.D. Introduction aux problemes inverse en mecanique des materiaux. Paris: Eyrolles, 1993. 200 p. Имеются переводы: на английский язык: Inverse Problems in the Mechanics of Materials: an introduction. CRC Press, 1994; на русский язык: Введение в теорию обратных задач механики материалов. Караганда: Изд-во Карагандинского госунивер- ситета, 1997. 379 с.
Calderon А.Р. On an inverse boundary value problem. Seminar on Numerical Analysis and its Applications to Continuum Physics. Soc. Brasiliera de Mathematica, Rio de Janeiro, 1980.
Cavaterra C., Graselli M. Identifying memory kernels in linear thermoviscoelasticity of Boltzman type 〃 Universita degli studi di Milano. 1993. Quaderno № 36/1993. 38 p.
Constantinescu A. On the Identification of Elastic Moduli from Displacement-Force Boundary Measurements. Inverse Problems in Engineering. 1995. V. 1. P. 293-313.
Dines K.A., Lytles R.J. Analysis of electrical conductivity imaging. Geophysics. 1981. V. 46, №7. P. 1025-1036.
Goldberg D. E. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Macine Learning. Addison- Wesley, Reading, MA, 1989. 600 p.
Graselli M. An inverse problem in three-dimensional linear thermoviscoelasticity of Bolz- mann type 〃 В кн.: Некорректно поставленные задачи в естественных науках / Под ред. акад. А. Н. Тихонова. М.: ТВП, 1992. С. 284-299.
Karkkainen Т.А. linearization technique and error estimates for distributed parameter identification in quasilinear problems 〃 Num. Funct. Anal. Optim. 1996. V. 17, № 3-4. P. 345-364.
Kravchuk 4.S. Identification des proprietes mecanique et de la topologie des structures. Besancon, Universite de Franche-Comte, UFR Science et Technique, 2002. 27 p.
Nishimura N. A numerical method of crack determination by boundary integral equation method. В кн.: Некорректно поставленные задачи в естественных науках / Под ред. акад. А. Н. Тихонова. М.: ТВП, 1992. С. 553-562.
The Physics of Medical Imaging. Medical Science Series / Ed. by S. Webb. Bristol; Philadelphia: Adam Hilger IOP Publ. 1988. 633 p. Имеется перевод: Физика визуализации изображений в медицине. М.: Мир, 1991. Т. 1. 407 с. Т. 2. 406 с.
Radon /. Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Inegralwrte langs gewisser Mannigfaltigkeiten 〃 Berichte Sachsische Akademie der Wissenschaften. Leipzig, Math.- Phys. KI. Bd. 69. S. 262-267.
Richard F., Rousseau /., Ferry £., Perreux D. Optimization du dimensionnement d'une structure composite: prise en compte du risque de defaillance 〃 Revue des composites et deas materiaux avarices. 1998. V. 8. N hors serie. Hermes.
Rus G, Gallego R. Optimization algorithm for identification inverse problems with the boundary element method 〃 Engineering Analysis with Boundary Elements. 2002. V. 26. P. 315-327.
Ser-Tong Quek et all. Sensitivity analysis of crack detection in beams by wavelet technique 〃 Int. Journal of Mechanical Sciences. 2001. V. 243. P. 2899-2910.
Vauhkonen M., Kaipio J.P., Somersalo E., Karjalainen P.A. Electrical impedance tomography with basis constraints 〃 Inverse Problems. 1997. V. 13. P. 523-530.
Weik 眩，Andra Я., Schnack E An alternating iterative algorithm for the reconstruction of internal cracks in a three-dimensional body 〃 Inverse Problems. 2001. V. 17. P. 1957-1975.
Wexler A., Fry B., Neuman M.R. Impedance — computed tomography algorithm and systems 〃 Appl. Optics. 1985. V. 24. P. 3985-3992.
НАЧАЛЬНОЕ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕПРИ ВНЕДРЕНИИ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ШТАМПАПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ В ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОЕПОЛУПРОСТРАНСВТО
А. С. Кравчук, 3. Ремуза
Белорусский государственный технический университет, Минск
Решения осесимметричных задач пластичности имеют большое практическое значение, поскольку позволяют определить теоретическую связь значения твердости с пределом текучести материала [1-3].
Необходимо отметить, что до настоящего времени для решения подобных задач использовались численные методы. При этом отсутствие аналитических решений, позволяющих определять распределения напряжений в области контакта индентора и пластической среды, существенно затрудняет применение существующих результатов на практике.
В настоящей работе на основе теории полной пластичности получена оценка распределения контактных напряжений, глубины внедрения осесимметричного индентора произвольной формы, а также коэффициента, связывающего твердость и предел текучести, в случае малой по отношению к размерам индентора области контакта при произвольных условиях трения на границе.
Определение действующих в области контакта напряжений. Пусть уравнение границы полупространства в плоскости zOr после внедрения индентора имеет вид (рис. 1)
2 = /(『)， (О где 2 = /(г) — непрерывно-дифференцируемая функция при г е [0, а[ U ]а, +оо[,
< 0 при г 6 [0, а[ и /'(『)= 7 = 0 при г 6 [0, +оо[, а — радиус области контакта.
Рис. 1. Схема внедрения индентора в пластическое полупространство
В дальнейшем будем использовать условия полной пластичности [2-4] 01=03 —2К, а2 = ai,(2)
где ai — компоненты главных напряжений, К = as/2, as — предел текучести при растяжении.
Уравнения равновесия в цилиндрических координатах имеют вид [2-4]
^ —1= и,
⑶⑶dr az г
⑶
⑶
А% , daz Trz n
R 石+ 了=°，
где аг, az, о夕—компоненты нормальных напряжений в цилиндрической системе координат, rrz — касательные напряжения.
Компоненты напряжений при условии полной пластичности (2) приводятся к виду [2-4] (рис. 1)
⑷⑷аг = а — К sin (2а), az = о + К sin (2а),
⑷
⑷
о夕=о — К, rrz = К cos (2а),
Q =夕 + 7г/4,
где о = } (ел + оз),夕 ——угол между направлением 2 и третьим главным направлением (рис. 1) [3, 4].
В дальнейшем будем предполагать, что (/'(『)『—малая величина. Рассмотрим
[3-4]:(5)[3-4]:(5)функцию а(『，2). На границе полупространства она имеет следующий вид
[3-4]:
(5)
[3-4]:
(5)
&(?,/(?))=尸(广)+s,
где
cj = <cj = <_ Зтг I /& =彳 + 2_ Зтг I /& =彳 + 2Г G [0,а[,Г G [0,а[,⑹⑹
cj = <
cj = <
_ Зтг I /
& =彳 + 2
_ Зтг I /
& =彳 + 2
Г G [0,а[,
Г G [0,а[,
⑹
⑹
г 6 [а, оо[,
⑦ 6 [0, 7г/4] в зависимости от условий трения на поверхности контакта.
Из (3) с учетом (4) получаем следующую систему уравнений:
⑺⑺си-си-|| — 2К cos (2а) || — 2К sin (2а) || + ； (К — К sin (2а)) = О,
⑺
⑺
си-
си-
粤-2К sin (2а)黑 + 2К cos (2а)黑 + — cos (2q) = 0.
ozoroz r
Используя (7), можно получить, что на границе выполняется следующая стема уравнений:
|| - 2K{cos %) - 2尸(广)sin (2s)}|| - 2K{sin (2q) + 2尸(广)cos (2s)|| -
+ — (1 - {sin (2s) + 2尸(广)cos (2s)}) = О,
Начальное пластическое течение при внедрении осесимметричного штампа 365
2K{sin (2g) + 2/z(r) cos (2cj)}-——h 2K{cos (2q) - 2尸(广)sin (2cj)-——h
+ — {cos (2s) - 2/z(r) sin (2&)} = 0.
(8)
Умножим второе уравнение системы (8) на /'(『)и сложим с первым. С учетом сделанных выше предположений о малости квадрата производной после некоторой перегруппировки слагаемых получаем следующее дифференциальное уравнение: 凿 +*「)} - 2斗。s(2s) {尊 + ||/，(「)} +
+ sin (25 {||(—尸(广))+ ||}] + ^ (1 — sin(25) - f(『)cos(25) = 0. (9)
В любой точке контура /(г) векторы типе координатами {1,/，(『)} и {—/，(『)，1} образуют в соответствии с допущениями о малости квадрата производной ортонормированный базис (рис. 2). Рассмотрим единичный вектор £,
ортогональный направлению а. Тогда вектор} можно представить как
±А^, где А — его длина, и для скалярных произведений векторов выполняется следующее соотношение: //、
(n・&)=tgQ -ь/2)(t.&)
Таким образом, можно получить следующее равенство:
匿(一产6)+ ||} = - etg (З) {祭 + || 尸6} .(10)
Используя (9), (10), получаем следующее дифференциальное уравнение первого порядка для определения функции а на границе полупространства с кусочнонепрерывной правой частью:
^ + 2^J = f (1-sin %)-尸⑺ cos (25),(Н)
г e [0, a[ U oo[.
Учитывая (5) и (6), представим функцию а в виде а = а + а , где а* удовлетворяет уравнению
(12)(13)(12)(13)^^ + 2К，= 0, г 6 [0, а[ U ]а, оо[, при условии а* = —К, г е [а, оо[, а о** — уравнениям
(12)
(13)
(12)
(13)
^ = ^(1 - sin (25 - f\r) cos (25), г 6 [0,а[,о** = 0, г 6 [а, оо[.
Решение (12) имеет вид
* =2К?(『)-2K(s— — s+) — К, г 6 [0, а[,
°[-К，广 е К °°[・
Решение (13) получаем в виде
о**о**К(1 + cos (2啰)InО,К(1 + cos (2啰)InО,ГГQQGG
о**
о**
К(1 + cos (2啰)In
О,
К(1 + cos (2啰)In
О,
Г
Г
Q
Q
G
G
Таким образом, решение (11) при г 6 [0, а[ имеет вид
оо=—2К尸⑺-2К=—2К尸⑺-2К-К +-К ++ К(1 + cos (2啰)In+ К(1 + cos (2啰)In(14)(14)С учетом геометрических предположений получаем в области контакта, чтоС учетом геометрических предположений получаем в области контакта, что(15)(15)2. Сопоставление распределения az в области контакта? получаемого в соответствии с (15), и результатов численного анализа, выполненного другими2. Сопоставление распределения az в области контакта? получаемого в соответствии с (15), и результатов численного анализа, выполненного другимиавторами. Наиболее широкие исследования выполнены вавторами. Наиболее широкие исследования выполнены вплоских (//(『)=0)плоских (//(『)=0)случае контакта дляслучае контакта дляи конических (f (г) = — ctg где /3 = 7 — 7г/2 — уголи конических (f (г) = — ctg где /3 = 7 — 7г/2 — уголраствора конуса, измеряемый индентеров. Из (14) и (15) в осесимметричного конического можно получить, чтораствора конуса, измеряемый индентеров. Из (14) и (15) в осесимметричного конического можно получить, что^ = 2ctg(/3) —(兀 + 2啰—2 +^ = 2ctg(/3) —(兀 + 2啰—2 +от оси симметрии (рис. 3)), случае контакта без трения штампа с полупространствомот оси симметрии (рис. 3)), случае контакта без трения штампа с полупространством+ (1 + cos (2⑦)+ sin (2⑦)ctg (/3)) In (“) • (16)+ (1 + cos (2⑦)+ sin (2⑦)ctg (/3)) In (“) • (16)рис з Схема внед- Результаты вычислений, выполненных с использовани- рения конуса ем (16), полностью совпадают с результатами, полученнымирис з Схема внед- Результаты вычислений, выполненных с использовани- рения конуса ем (16), полностью совпадают с результатами, полученными
о
о
=—2К尸⑺-2К
=—2К尸⑺-2К
-К +
-К +
+ К(1 + cos (2啰)In
+ К(1 + cos (2啰)In
(14)
(14)
С учетом геометрических предположений получаем в области контакта, что
С учетом геометрических предположений получаем в области контакта, что
(15)
(15)
2. Сопоставление распределения az в области контакта? получаемого в соответствии с (15), и результатов численного анализа, выполненного другими
2. Сопоставление распределения az в области контакта? получаемого в соответствии с (15), и результатов численного анализа, выполненного другими
авторами. Наиболее широкие исследования выполнены в
авторами. Наиболее широкие исследования выполнены в
плоских (//(『)=0)
плоских (//(『)=0)
случае контакта для
случае контакта для
и конических (f (г) = — ctg где /3 = 7 — 7г/2 — угол
и конических (f (г) = — ctg где /3 = 7 — 7г/2 — угол
раствора конуса, измеряемый индентеров. Из (14) и (15) в осесимметричного конического можно получить, что
раствора конуса, измеряемый индентеров. Из (14) и (15) в осесимметричного конического можно получить, что
^ = 2ctg(/3) —(兀 + 2啰—2 +
^ = 2ctg(/3) —(兀 + 2啰—2 +
от оси симметрии (рис. 3)), случае контакта без трения штампа с полупространством
от оси симметрии (рис. 3)), случае контакта без трения штампа с полупространством
+ (1 + cos (2⑦)+ sin (2⑦)ctg (/3)) In (“) • (16)
+ (1 + cos (2⑦)+ sin (2⑦)ctg (/3)) In (“) • (16)
рис з Схема внед- Результаты вычислений, выполненных с использовани- рения конуса ем (16), полностью совпадают с результатами, полученными
рис з Схема внед- Результаты вычислений, выполненных с использовани- рения конуса ем (16), полностью совпадают с результатами, полученными
Рис. 4. Сопоставление распределения контактных напряжений в случае плоского штампа и отсутствия трения
А. Ю. Ишлинским [2, 3] и Р. Т. Шилдом [5] для случая плоского штампа (/3 = тг/2 в (16)), взаимодействующего без трения (^ = 0) с идеально жесткопластическим полупространством (рис. 4).
Сопоставление результатов численного решения задачи о контактном взаимодействии конуса ((тг/2 — 7г/12) < /3 W тг/2) с и идеально жесткопластического полупространства без трения (⑦=0) [1, 6] с результатами вычислений с использованием (16) также подтверждают точность полученного решения.
Связь предела текучести со значением твердости по Мейеру для индентора произвольной формы. Твердость по Мейеру (НМ) определяется исходя из (14) и (15) следующим образом:
НМ =占=兀 D)rdr) = C(a)as,(17)
о
где
f /_ с1、(2 — sin(2明а ；1
С(а) =+ 4 cos (2^)J—f(r)rdr
В частности, в случае внедрения цилиндрического штампа с плоским основаниемк
hm = %+ *(2啰).
В случае отсутствия трения (⑦=0) HM/as = 3.07, что близко к значениям, полученным А. Ю. Ишлинским [2, 3] (HM/as = 2.84) и Р. Т. Шилдом [5] (HM/as = 2.845).
В случае использования в качестве индентора шара радиуса R получаем, что
НМ = % 在 + I +⑦ + ；cos(2t/0)-(2 —sin (2*)臨｝・
При условии полного сцепления поверхности шара и пластического полупространства 3 = 7г/4) величина HM/as близка к результатам численного анализа, выполненного в работе [7] при a/R < 0.12. Различие полученных в данной статье и [7] значений коэффициентов, связывающих твердость с пределом текучести, объясняется тем, что при численной реализации решения контактной задачи в [7] достаточно сложно с необходимой точностью учесть влияние логарифмической функции в (14).
Приближенное определение глубины внедрения штампа в зависимости от действующей силы. Пусть △ — глубина пластического внедрения. Тогда д(г) = /(г) — Л (при г е [0, а]) является уравнением границы индентора, касающегося идеально жесткопластического полупространства в начале координат. Очевидно, что△ = -д(а).(18)
Учитывая малость『⑺ и (17), можно получить, что сила F, действующая на штамп, и радиус области контакта а связаны следующим приближенным соотношением:
а ~ \Jf /(J.°s (^ + I +⑦ + ^cos(2 ⑦.(19)
Таким образом, из (18) и (19) в случае использования конуса в качестве индентора (рис. 3) получаем, что глубина внедрения приближенно определяется выражением Л^ ~ ctg(/3)a, а в случае использования шара — △$ ~ а2/(2 • R). Можно сравнить глубину внедрения, получаемую по (18) и численно [7], в случае внедрения шара с учетом полного сцепления контактирующих поверхностей для малых значений a/R (табл. 1).
Таблица 1
a/R [7]
F/(4 •岳.*) [7]
△s/(2A) [7]
△s/(2A) no (18)
0.07 0.1136
0.01185 0.0341
0.00125
0.00250
0.00105
0.00268
Выводы. На напряженное состояние в области контакта оказывают влияние пластическая постоянная среды, трение и состояние свободной границы в непосредственной близости от индентора.
В рамках теории полной пластичности, при использовании гипотезы о том, что свободная граница вокруг индентора остается плоской, решение (15) может быть использовано для оценки контактных напряжений при внедрении произвольной системы штампов в слой произвольной толщины.
Список литературы
Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 510 с.
Ишлинский А.Ю. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля 〃 ПММ. 1944. Т. 8, вып. 3. С. 201-224.
Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001. 704 с.
Соколовский В. В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 608 с.
Тимошенко С. 〃.，Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с.
Lockertt FJ. Indentation of a rigid-plastic material by a conical indenter 〃 J. Meeh, and Phys, of Solids. 1963. №. 11. P. 345.
Richmond O., Morrison M.L., Devenpeck M.L. Sphere indentation with application to the Brinell hardness test 〃 Int. J. Meeh. Sc. 1974. V. 16. P. 75-79.
ФОРМУЛИРОВКА УСЛОВИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО состоянияИЗОТРОПНЫХ СРЕД В ИНВАРИАНТАХ СОБСТВЕННЫХУПРУГИХ состояний
Е. Е. Кузнецов, И.Н. Матченко, Н.М. Матченко
Тульский государственный университет
Выделены инварианты собственного упругого состояния изотропной среды. Выписаны условия предельного состояния в этих инвариантах. Исследован генезис условия предельного состояния в зависимости от характеристик предельного сопротивления изотропного тела.
Закон Гука. Собственные упругие состояния. Закон Гука для изотропного тела имеет вид
£1 = 4101 + 412。2 + 41203,
£2 =41201 + 41102 + 41203，(1.1)
£3 =41201 + 412。2 + 4103，
где £i,后2, £з — главные деформации, ai, 。2, 。3 — главные напряжения, Ап = =1/Е,厶12 = —^/Е — коэффициенты податливости, Е — модуль упругости, ^ — коэффициент Пуассона.
Главные напряжения и деформации энергетически сопряжены. Закону Гука (1.1) соответствует энергия упругой деформации в виде квадратичной формы
2W = Л.11 (erf +(72 + £) + 2412(。102 +0203 +0301).(1.2)
Вычислим собственные значения и собственные векторы квадратичной формы
(1・2)：
Мо = 41 + 2412, 从1 = 〃2 = 41 -厶12,
仇0 = (%0,%0,У10)т 3加о = 1у10 = 1/^/3,
%I =匂11,0,g11) 一 2加 1 = 1 T gii = 1/V5,,
%2 = (-%2, 2g12,-g12)T 6加2 = 1 - %2 = 1/a/ё.
Таким образом, матрица коэффициентов собственных векторов упругих состояний имеет вид
1
7з
1
1
Уга =
1
7з
0
2 л/б
(а = 0, 1,2).
(1-4)
1
1
1
7Т
По терминологии Я. Рыхлевского [2], параметры 从о, 〃1,从2 называются истинными коэффициентами податливости, а собственные векторы у沁—собственными упругими состояниями.
Коэффициенты податливости можно представить в виде разложения по собственным упругим состояниям:
4切=从0%0力0 + l^iyiiyjl +从2%2力.2♦(1♦5)
Из (1.3) следует, что собственные значения упругих состояний у让 и у^ совпадают, т. е.从 1 = 〃2・
Заметим, что собственные векторы упругого состояния определяются неоднозначно. Приведенный выше вариант представления собственных векторов выбран так, чтобы подчеркнуть сдвиговый характер деформации формоизменения. При этом далее для определенности будем считать: ai》。2》。3・
Закон Гука (1.1) теперь можно записать в виде
£1 + £2 + £3 =从 0(01 +02 +03),
£1 - £3 = 〃1 (01 -03),(1.6)
2后2 - £1 - £3 =从 1(202 -01 -03).
Из (1.4) следуют следующие выражения для инвариантов собственных упругих состояний:
Ео =(£1 + £2 + £3)/а/^ ,石1 =(£1 - £з)/,
石2 = (2^2 — £1 -вз)/д/б,q 7)
丫0 = (。1 +。2 + ОЗ)/а/^, Ti =(6 - CT3)/V5,
Y2 = (2(72 -.
Несложно видеть, что инварианты 瓦 и 丫о соответственно характеризуют шаровую часть тензора деформаций и напряжений, а инварианты Ei,石2, 丫 1 и T2 — девиаторные части.
(1.8)(1.9)(1-10)(1.8)(1.9)(1-10)Разделив в третьем уравнении записи (1.6) левую и правую части на соответствующие части второго уравнения, получим
(1.8)
(1.9)
(1-10)
(1.8)
(1.9)
(1-10)
Me =从 о， где
—2實一£1 —實 —2(72 — 6 — 03
—параметры Лоде [3].
Закон Гука (1.6) теперь можно представить в виде
e0 =从0石0, e1 = 从1e1, Me =从0•
Таким образом, в качестве инвариантов собственного упругого состояния можно принимать инварианты 瓦，切，从t0, 丫1,从0.
Заметим, что в векторном пространстве главных напряжений модуль вектора напряжений определяется соотношением
S2 =才 + 馮 + 城=* + 丫? + 吗=* + Y汩 + */3).(1.11)
Частные случаи представления предельных условий. Рассмотрим возможность формулировки известных предельных условий через инварианты собственных упругих состояний.
Наиболее часто используемые условия Треска:
di - сг3 = 2rs,(2.1)
и Мизеса [1]:
(01 -02)2 + (02 -03)2 + (03 -01)2 = 67：，(2.2)
где ts — предел сопротивления сдвигу, можно записать в виде
Ti = V2k(2.3)
и
丫彳+ 丫"丫彳(1 + ||) = 丫?(1 + ；0)=26(2.4)
Предельное условие Кулона [1]:
(6 - оз) + tgoCi + 03) = 2禽，(2.5)
записывается в форме
Т! - -^ tgPX2 = Т! (1 -^atgp) = д/2 卜s —抬 tgpTo), (2.6) а предельное условие Мизеса-Шлейхера:
J (01 —02产 + (02 —03)2 + (03 —01)2 = a + b(6 + 02 + ^3)，(2.7)
в виде
J* +禺=丫1.1 + ；*=A^a + 3bYo.(2.8)
В соотношениях (2.3)-(2.6) р, ts, а, и b — характеристики предельного состояния. Ниже обсудим формулировки более общих условий предельных состояний.
Квадратичное условие предельного состояния. Рассмотрим идеально связные изотропные среды, предельное состояние которых не зависит от инварианта То.
Пусть характеристики сопротивления изотропного материала таковы, что удовлетворяют предельной поверхности второго порядка. Поскольку собственные значения и собственные векторы предельного состояния неизвестны, то представим предельную поверхность через инварианты собственного упругого состояния Ti и 丫2：
аТ2 + 6Т1Тз+сТ2 = 1,(3.1)
где а, Ь, с — параметры предельной поверхности.
Перейдем в (3.1) к девиаторным компонентам главных напряжений:
а® - S3)2 + V3b(s\ - S3)S2 + 3* = 2.(3.2)
Рассмотрим возможность экспериментального нахождения констант а, 6 и с в экспериментах на чистый сдвиг, одноосное растяжение и двухосное растяжение.
Из эксперимента на чистый сдвиг:
。1 = —。3 = Ts, 。2 = О т О = О т Si = —S3 = Ts, S2 = 0,(3.3)
имеем
4а^ = 2-а = 1/2丁；，(3.4)
где ts — предел упругого сопротивления при чистом сдвиге.
Аналогично из эксперимента на одноосное растяжение:
1 = ор, °2 = °з =。一о = ор/3 -> si = 2(Тр/3, $2 = S3 = —(7р/3,(3.5)
имеем
112
а — ^^ Ь - с = —,(3.6)
где Ор — предел упругого сопротивления при одноосном растяжении.
Из эксперимента на двухосное растяжение:
212
=。2 = О2р, 。3 =。— О = g О2р — Si = S2 = g О2р, <§3 = а2р, (3.7) имеем
112
a+口+标=(3.8)
V3Jcr2P
где 02P — предел упругого сопротивления при двухосном растяжении.
Разрешая (3.6) и (3.8) относительно бис, найдем
Квадратичная форма предельного условия (3.1) предполагает, что собственные значения и собственные векторы пластического состояния не совпадают с соответствующими параметрами упругого состояния.
Если же собственные векторы упругого и пластического состояний совпадают, то в квадратичной форме (3.1) слагаемое 匕丫1丫2 должно отсутствовать, следовательно, коэффициент 6 = 0 и на характеристики предельного сопротивления накладывается ограничение
a2s = as с = 3 (与-^) •(3.10)
В этом случае уравнение предельной поверхности принимает вид
а® - S3)2 + 3cs? = 2,(3.11)
т. е. собственные упругое и предельное состояния отличаются только собственными значениями. Из ограничения (3.10) следует, что в случае, когда собственные векторы упругого и предельного состояний совпадают, совпадают пределы упругого сопротивления при одноосном сжатии и растяжении.
Если же собственные значения предельного состояния одинаковы, т. е. а = с, то уравнение предельного состояния (3.6) переходит в условие Мизеса:
(si - S3)2 + 3^2 = 4k.(3.12)
Условие Мизеса, записанное через инварианты собственного упругого состояния, имеет вид
= 2т2,(3.13)
а пределы упругого сопротивления при одноосном растяжении и чистом сдвиге связаны соотношением rs = ^/2/3 ар. Отсюда вытекает гипотеза Мизеса: предельное состояние наступает при достижении энергией формоизменения некоторого критического значения.
Если же свойства материала таковы, что 6 = 0 и с = 0, то получим условие пластичности Треска:
|(si — $з)/2| = J.(3.14)
В этом случае пределы упругого сопротивления при одноосном растяжении и чистом сдвиге связаны соотношением 2Ts = Ор.
Из (3.14) следует, что предельное состояние наступает при достижении максимальным касательным напряжением некоторого предельного значения, постоянного для данного материала. Таким образом, фиксируется площадка максимального касательного напряжения.
Отношение второго инварианта собственного состояния к первому инварианту характеризует вид напряженного состояния:
(3.15)(3.15)W = T2/Tb
(3.15)
(3.15)
Можно установить связь между параметром та, параметром Лоде 〃。и фазовым инвариантом s。：
та = 二 ——— =从(т/д/^ = ctg+ 7г/3.V3 6Фазовый инвариант определяется из соотношения①-1 arccos (一 —°) 3 - °)、3\ [(6T1 - (T2) + (。2 -。3)+ (03 — 6)] /Поскольку диапазон изменения фазового инварианта О W Wта = 二 ——— =从(т/д/^ = ctg+ 7г/3.V3 6Фазовый инвариант определяется из соотношения①-1 arccos (一 —°) 3 - °)、3\ [(6T1 - (T2) + (。2 -。3)+ (03 — 6)] /Поскольку диапазон изменения фазового инварианта О W W(3.16)(3.16)(3.17)(3.17)7Г7Гто длято для
та = 二 ——— =从(т/д/^ = ctg+ 7г/3.
V3 6
Фазовый инвариант определяется из соотношения
①-1 arccos (一 —°) 3 - °)、
3\ [(6T1 - (T2) + (。2 -。3)+ (03 — 6)] /
Поскольку диапазон изменения фазового инварианта О W W
та = 二 ——— =从(т/д/^ = ctg+ 7г/3.
V3 6
Фазовый инвариант определяется из соотношения
①-1 arccos (一 —°) 3 - °)、
3\ [(6T1 - (T2) + (。2 -。3)+ (03 — 6)] /
Поскольку диапазон изменения фазового инварианта О W W
(3.16)
(3.16)
(3.17)
(3.17)
7Г
7Г
то для
то для
параметра Лоде диапазон изменения будет — 1 < 〃。< 1, а параметр та будет изменяться в диапазоне —< та <
Уз Уз
Условие пластичности (2.1) теперь можно переписать в виде
丫彳=(a + b 卩0 G + w4/3)-1丫彳=(a + b 卩0 G + w4/3)-1(3.18)(3.18)
丫彳=(a + b 卩0 G + w4/3)-1
丫彳=(a + b 卩0 G + w4/3)-1
(3.18)
(3.18)
т. е. предельное значение инварианта 丫1 является функцией параметра Лоде 从°.
Из условия (3.18) можно видеть, что максимальное предельное касательное напряжение является функцией параметра Лоде:
(3.19)(3.19)Tmaxl = [V2{a + б^а/д/З + С^/З)]-1/2
(3.19)
(3.19)
4. Полиномиальное представление предельной поверхности. Представим предельную поверхность в виде разложения по инвариантам собственного упругого состояния:
(4.1)(4.1)4丫? + 42 丫 1 丫2 + 43吗 + 4 丫 1 + 4 丫 2 = 1 + 46丫0 + 47 書， где Ai,..., Ay — характеристики предельного сопротивления материала.
(4.1)
(4.1)
Уравнение предельной поверхности (4.1), записанное через главные напряжения, имеет вид
(01 -03)2(01 +02从。+03从胃)+ (。1 -03)(04 +05从。)=
=1 +06(01 +02 +03)+07(01 +02 +03 广 (4.2)
Коэффициенты предельных поверхностей (4.1) и (4.2) взаимозависимы.
Для определения коэффициентов D、，…，D? необходимо провести семь экспериментов:
ЧИСТЫЙ СДВИГ(О1 = —Оз = Ts,从о = 0, 02 = О, О = 0)
4。足 +204 Ts = 1；(4.3)
одноосное растяжение (内=Ор, 02 = °з = °,色т = 一 1)
。；(。1 一02 +。3)+ 0 P(04 -。5)= 1 +06咻 + 07cФ(4.4)
одноосное сжатие (内=о? = 0, °з = —о。从。=D
疗(01 +。2 +。3)- 0 c(04 +05)= 1 - D^ac +070^；(4.5)
равномерное двухосное растяжение (内=。2 =叫，。3 =。，〃。= 1)
0^(。1 +。2 +。3)+。2P(。4 +。5)= 1 + 2。6。2P + 4。7。銹(4.6)
равномерное двухосное сжатие (内=0, о? = °з = —°2с, Ма = — 1)
а2с(^1 —。2 +。3)+ О2с»4 —。5)= 1 — 2。6。2c + 4£W^c；(4.7)
равномерное двухосное растяжение с поджатием (内=с^ =叫©。3 = =—02р,с, Мег = 1)
4о^р,с(О1 +。2 +。3)+ 2cT2p,c(^4 +。5)= 1 + ОбО2р,с + 07c^р,с；(4・8)
равномерное двухосное сжатие с растяжением (内=О2с,р,。2 =。3 = =—b2c,p,从(7 = — 1)
4c^е,p(01 -02 +03)+ 202&p(04 -05)= 1 -06。2&p + 07c^е,p♦(4.9)
Решая систему уравнений (2.3) по (2.9), получим
=Х1/ — Х2Н Q = 1+ Z1A 匕Z4 - Z3K6 — Z1X2 —Х0'4 — 2 (——十 X3Z4 — Z3X4=Х1/ — Х2Н Q = 1+ Z1A 匕Z4 - Z3K6 — Z1X2 —Х0'4 — 2 (——十 X3Z4 — Z3X4(4.Ю)(4.Ю)
=Х1/ — Х2Н Q = 1+ Z1A 匕Z4 - Z3K
6 — Z1X2 —Х0'4 — 2 (——十 X3Z4 — Z3X4
=Х1/ — Х2Н Q = 1+ Z1A 匕Z4 - Z3K
6 — Z1X2 —Х0'4 — 2 (——十 X3Z4 — Z3X4
(4.Ю)
(4.Ю)
где введены следующие обозначения:
112, 4
/1 = — - - -+ --,
bp°2c°2c,pbp
1 , 2
2]=
bpбе
11 , 42
力2 =H 7Г，
bpb2c2cbb2c,p
1 , 2
3 =1
bp°2c
2, 4
/3 = ,
b2pbeb2p,cbe
2 , 1
23 =1
b2pС
2,4,42
/4 =1H 77，
b2p,cbe2P3b2p,c
11114
% = F — 丁2H F
bp^2cb2c,pbp
°2c,pbp
11 ,41
^2 =— Г+E
<7p6T2c2c
8 +]
502c5бТ2с,р'()
11, 14M 丿
Уз = f2225
b2PQ02p,cQ
^2р,сС
14141
% =—2+T
b2p,c^c82P"2р,с
1+ ± + _81
b2p,c ^с 5<72р5<72р,с
В зависимости от соотношения между базовыми характеристиками предельного состояния: Ts, Ор, Ос, О2р, О2с, О2р,с，О2с,р, полиномиальная запись предельной поверхности, (4.1) или (4.2), позволяет реализацию различных частных представлений.
В зависимости от соотношения констант Dg и О? предельная поверхность (4.1) в пространстве с координатами То, 丫1,从。будет замкнутой с двух концов по оси То (戏 > 4。7)или с одного конца (册 О).
Список литературы
Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. 192 с.
Рыхлевский Ян. О законе Гука 〃 Прикладная математика и механика. 1984. Т. 48, вып. 3. С. 420-435.
Шемякин Е. И. Синтетическая теория прочности. Ч. 1 〃 Физическая мезомеханика. 1999. Т. 2, №6. С. 63-70.
НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПЛОСКОЙТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В.Д. Кулиев
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Ниже рассматривается представление Папковича-Нейбера перемещений и напряжений через три гармонические функции. Построены общие решения полярносимметрических задач плоской теории упругости при отсутствии массовых сил и вращения тела как абсолютно твердого. Показано, что введение бигармониче- ской функции Эри к плоским полярно-симметрическим задачам упругости менее эффективно. Предложен новый эффективный способ комплексного представления смещений и напряжений в форме Колосова-Мусхелишвили.
Предложен также новый метод решения канонических сингулярных задач теории упругости кусочно-однородных сред.
Предварительные замечания. Ниже односвязную ограниченную область будем обозначать О+.
Определение аналитической функции по известной действительной части. Имеет место:
Утверждение 1. По заданной в односвязной области。+ гармонической функции ①о(力，У)аналитическая функция х(2), действительная часть которой равна ①о (力，У), определяется формулой
и)
=①0(г -吗丁 + 吗；dy + iC =
=2Ф0 (宁，宁)-①。(/。，%) + ге, (1.1)
где С — некоторая действительная постоянная,(力о, Уо) — фиксированная точка, а (力，у) — переменная точка О+. Криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования в силу того, что АФ0 = 0 е области О+.
Утверждение 1 доказано в [1].
В частности, если Фо (——,———丿 аналитична в начале координат, то можно положить 2о = 0, н формула (1.1) примет особенно простой вид
Х^)=2Ф0(|,|) -Фо(О,О)+гС.(1.2)
Из формулы (1.1) (или (1.2)) нетрудно видеть, что условия Коши-Римана аналитичности х(2), которые представляются в комплексной форме d%/dz = О, удовлетворяются автоматически. Следовательно,空= oz dz
Представление Папковича-Нейбера перемещений и напряжений через три гармонические функции. Приведем соответствующие зависимости для перемещений:
2〃〃（力,у） = 4（1 - г/）① 1（力,у） -“）,
2从0（力,g） = 4（1 - z/）①2（力,g）-0乎
ay（1.3）
口（力,g）=/①1 （/,g） + g①2（力,g）+①o（/,力
△①尸0a = 0,1,2） и напряжений （плоская деформация）:
0力（力,g）=
'nа2п-
班 дx
+
4(i需
_ а2п"
0仙,g)=
+
4(i需
а2п'
丁力g(力,g)二
'ж у
而 дх ду •
（1-4）
Здесь /2 — модуль сдвига, 〃 — коэффициент Пуассона, △ — двумерный оператор Лапласа в декартовой системе координат.
Известно, что в случае плоской задачи теории упругости одна из трех гармонических функций Попковича-Нейбера может быть выбрана произвольно [2- 4].
Ниже предлагается заменить предварительный выбор какой-либо из трех гармонических функций Папковича-Нейбера некоторой связью между двумя функциями, а именно: считать, что они связаны между собой условиями Коши-Римана, т. е. являются сопряженными гармоничными функциями.
Из （1.3） и （1.4） следует, что функция ①о（力，У） имеет размерность силы, а функции ① 1（力，у） и ①2（力，У）— размерность силы, отнесенной к длине. Стало быть, функции ① 1（力，у） （или ①2（力，У）） и ①о（力，У）не могут быть сопряженными гармоническими функциями; сопряженными гармоническими функциями могут быть ① 1（力,у） и ①2（力,у）.
Имеет место:
Утверждение 2. Если гармонические функции ①《力,у） и ①2（力,У）удовлетворяют условиям Коши-Римана
g _选 也_a①2дх ду ' ду дхg _选 也_a①2дх ду ' ду дх（1.5）（1.5）
g _选 也_a①2дх ду ' ду дх
g _选 也_a①2дх ду ' ду дх
（1.5）
（1.5）
то компоненты тензора напряжений определяются формулами
а2па2па2пду2дхдхдуа2па2па2пду2дхдхду（1.6）（1.6）
а2па2па2п
ду2дхдхду
а2па2па2п
ду2дхдхду
（1.6）
（1.6）
Утверждение 2 доказано в [1].
В полярной системе координат имеем: а） для компонентов смещения
(1.7)(1.7)2〃〃т(У，夕)=х(Ф1 cosJ + ①2 sing) - г (cosJ*^ + sinJ*^) - "^,
(1.7)
(1.7)
2从"e(广,0)="(①2 cos 0一①1 sin 0)-(cos 0 a j + sin е a； ) - - 加°；
б) для компонентов тензора напряжений
+(1.8)+(1.8)0‘('")=韋—k°s"#+sin0好)一(1-2“)(cosJ+ sinJ崇)
+
(1.8)
+
(1.8)
+ 嗡 一 嗤)，
= — * —+sinJ*) +(cos 疇— sin 嗤)+
+ 2( 1 一 (cos。噤 + sin。禁),
+ Y-
причем
АФ, = 0 0 = 0, 1,2).
Здесь х — коэффициент Мусхелишвили, △ — двумерный оператор Лапласа в полярной системе координат.
Имеет место:
Утверждение 3. Если гармонические функции ①i(『，夕)и ①2(广，夕)удовлетворяют условиям Коши-Римана
(1・9)(1・9)a①1 _ 1 分①2
(1・9)
(1・9)
аФ1 _ а①2 г дО дг ，
(1/0)(1/0)то компоненты тензора напряжений определяются формулами
(1/0)
(1/0)
/ 八、 1 ап 1 а2п
口（广，夕）=广COS0①1 （广，夕）+广sin夕①2（广，夕）+①0（广，夕）.
Утверждение 3 доказано в [1].
Если функция ① 1(广，夕)известна, то сопряженная с ней функция ①2(广，夕)определяется формулой
(г,
①2(丁,夕)=-I + 广*^ 曲 + e(LU)
где С — произвольная действительная постоянная,(广0，夕0) ——фиксированная точка, а (г,夕)—переменная точка О+. Этот интеграл не зависит от выбора пути интегрирования.
Гармонические функции ①о(广，夕)и ①i(『，夕)можно представить в виде следующих комплексных интегралов Меллина:
①0(广,夕)=± pj_ ])[Bi cos(p - 1)(9 + 石2 sin(夕一\)e}r{~p dp, L
(1.12)
① 1 (广，夕)=cospO + Ao sin向广卩dp, 27r2 J 0(0 - 1)
L
где L — прямая, проведенная на плоскости комплексной переменной р параллельно мнимой оси в области пересечения двух полос Меллина,厶1(夕)，＜2(夕)，石 1(夕)и 石2(夕)—неизвестные функции; они определяются из решения конкретных краевых задач плоской теории упругости.
Подставив (1.126) в (1.11), с учетом р е Им, где Пм — полоса Меллина, находим
①2(广,夕)=* ] pj_ ])(—4 sinpO + & cosp0)r~p dp + C. (1.13)
Подставив теперь (1.12) и (1.13) в (1.7), убеждаемся, что компоненты смещения иг(г, 0) и 〃6(广，夕)определяются с точностью до слагаемых вида
2〃〃т2 = хС sin 0, 2〃〃б2 = хС cos 0.
Эти слагаемые описывают перемещения жесткого тела в своей плоскости и никакого влияния на деформацию и напряжения не оказывают. Поэтому можно предположить, что С = 0. Следовательно, из (1.13) имеем
①2(广，夕)= 片 @J ])(-Ai sin涉 + 4 cospO)r~p dp. (1.14)
Таким образом, компоненты смещения определяются формулами (1.7), (1.12) и (1.14).
При решении с помощью преобразования Меллина обширного класса задач механики хрупкого разрушения однородных и кусочно-однородных сред с трещинами удобно воспользоваться следующими формулами, которые получаются из (1.7) и (1.8) с учетом (1.9):
2〃需嘿一学需)一(Г①
2"需2"需=-(X + 1)=-(X + 1)singsinga①1dra①1dr0伞，")=矍2 + 2 kos61 瞰-0伞，")=矍2 + 2 kos61 瞰-++',а2Ф1а2Ф1',а2Ф1а2Ф11 a①而丿卜1 a①而丿卜…一争+2…一争+2+ г+ гcos夕cos夕cos夕” 一sin6»dr2cos夕” 一sin6»dr2/1严①] yr drdO/1严①] yr drdOw)= ^而w)= ^而I炉①0 r drdOI炉①0 r drdOsin (9 ” + cos 6»dr2sin (9 ” + cos 6»dr2/1 а2Ф1 yr drdO/1 а2Ф1 yr drdO(1.15)(1.15)Введем преобразования о；, а*, т*в,Введем преобразования о；, а*, т*в,напряжений a^, аг, тге инапряжений a^, аг, тге иоо диг а〃е1производной по г смещении,, следующими формулами:оо диг а〃е1производной по г смещении,, следующими формулами:СЮСЮСЮо} = ] a^rp dr, a* = | arrp dr, т*в = ] тгдгр dr,ОООСЮСЮСЮо} = ] a^rp dr, a* = | arrp dr, т*в = ] тгдгр dr,ООО(1-16)(1-16)
2"需
2"需
=-(X + 1)
=-(X + 1)
sing
sing
a①1
dr
a①1
dr
0伞，")=矍2 + 2 kos61 瞰-
0伞，")=矍2 + 2 kos61 瞰-
+
+
',а2Ф1а2Ф1
',а2Ф1а2Ф1
1 a①
而丿卜
1 a①
而丿卜
…一争+2
…一争+2
+ г
+ г
cos夕
cos夕
cos夕” 一sin6»dr2
cos夕” 一sin6»dr2
/1严①] yr drdO
/1严①] yr drdO
w)= ^而
w)= ^而
I炉①0 r drdO
I炉①0 r drdO
sin (9 ” + cos 6»
dr2
sin (9 ” + cos 6»
dr2
/1 а2Ф1 yr drdO
/1 а2Ф1 yr drdO
(1.15)
(1.15)
Введем преобразования о；, а*, т*в,
Введем преобразования о；, а*, т*в,
напряжений a^, аг, тге и
напряжений a^, аг, тге и
оо диг а〃е1
производной по г смещении,, следующими формулами:
оо диг а〃е1
производной по г смещении,, следующими формулами:
СЮСЮСЮ
о} = ] a^rp dr, a* = | arrp dr, т*в = ] тгдгр dr,ООО
СЮСЮСЮ
о} = ] a^rp dr, a* = | arrp dr, т*в = ] тгдгр dr,ООО
(1-16)
(1-16)
(р е пм).
Из (1.16) в силу формулы обращения Меллина находим
0ё(广,')=★ ]磽(仏0)厂(0+0如02(几夕)=★ ] 0焉(仏0)厂(0+" dp,
丁2(L，夕)=言]丁焉(仏0"一(0+1)dp,L
or27r2 ] \ or J
Согласно формулам (1.12), (1.15), (1.16) окончательно находим
幅(夕,夕)=A cos (р + \)0 + В\ cos (р - 1)夕 + 4 sin (夕 + 1)夕 + 石2 sin (p - 1)仇
丁焉(夕,夕)=—[[―4(夕 + l)sin (p+ 1)(9 —3(夕一l)sin (p- 1)(9 +
+ 厶2(夕 + 1) COS (p + 1)夕 + 石2(夕一1) COS (p - 1)外
0久夕，夕)=一*I [Ai(p + 3) cos (p+ 1)夕 + 石1 (夕一l)cos (p- 1)0 +
+ A2(p + 3)sin (p+ 1)夕+ 石2(夕一l)sin (p- 1)仞，
(T)(仏')=-2G(，1) У"—沙)[Acos (夕+ 1)(9 +A2 sin (p + 1)(9] +
+ (0一1)若(夕,夕)｝，
(禦)(化')=2gJ _ 1) 也"一沙)[4Sm(夕+ 1)(9 —4 cos (0+ 1)(9] +
+ (0一1)丁焉(夕,夕)｝，
(1-18)
где G = 〃一 модуль сдвига.
Эти формулы в [1] получены двумя способами, один из которых приведен выше.
Полярно-симметрические статические задачи плоской теории упругости изотропных сред при отсутствии массовых сил.
Определение. Полярно-симметрическими задачами называют задачи, в которых деформации, напряжения и перемещения не зависят от полярного угла 仇 При этом предполагается, что напряжения распределены симметрично относительно начала координат.
Очевидно, что для задач такого класса тгд = 0, т. е. — — = 0. Следуя аг г
Папковичу-Нейберу, в дальнейшем будем предполагать, что для полярно-симметрических задач вращения тела как абсолютно твердого не происходит, т. е. ^^ + + 也=0.'
г
Из этих двух дифференциальных уравнений следует, что 〃е = 0.
Имеет место:
Утверждение 4. Для того чтобы произвольная задача плоской теории упругости однородных изотропных тел при отсутствии массовых сил 〃 вращения тела как абсолютно твердого была полярно-симметрической, необходимо 〃 достаточно, чтобы сопряженные гармонические функции ① 1(广，夕) 〃①2 (广，夕)определились формулами
Ф^г,0) = С什 cos 仇 ① 2(几夕)= C^rsme,(2.1)
а гармоническая функция ①о(广，夕)——формулой
Фо(г^) = С^1пг + Со.(2.2)
Здесь Cf, Cq, Со — произвольные постоянные.
Доказательство. Необходимость. Пусть иг не зависит от полярного угла, а 〃е = 0. Тогда докажем справедливость формул (2.1) и (2.2).
Из (1.7) имеем:
嘗=0,=
①1 sin夕一①2 cos夕=0,
Ф1 cosJ + ①2 sinJ = g(『)，
где g(『)—некоторая непрерывно дифференцируемая функция, подлежащая определению.
Отсюда
①1(广,夕)=g(广)cos仇 ①2(几0)=g(广)sin仇
游① °1 %(2.3)
Функция g(『) определяется из условий Коши-Римана (1.9), а функция Фо — из (2.Зв). Таким образом, получаем
9И =。什，①о(『,夕)=q 1п『+ С。.(2.4)
Согласно формулам (2.3а), (2.36) и (2.4) приходим к (2.1) и (2.2).
Достаточность. Подставляя (2.1), (2.2) в (1.7), находим
"『 = ? + g广，w = 0(e1 = 一^, e2 = ^5)■
Утверждение 4 доказано.
Таким образом, имеем:
плоская деформация
= (1+以1 —2沙)U - 2沙)疋，
= (1 + 以1-2沙)卜2 + (1 - 2沙)混卜(2.5)
г
s =。， "e =0， e = 2c2, 金z=0，=^(0z +00)；
обобщенное плоское напряженное состояние
о> = Е (1 + ^)0 - (1 - ^)g，
+(26)
rre = 0, ur =h02L，r
s = 0, 〃e =。， 夕=2G, W =。， ％ =—
Здесь s — компонент тензора вращения,夕—поверхностное расширение при деформации. Постоянные Ci и С^ определяются из решения конкретных краевых задач.
Замечание 1. Другой способ определения иг, 〃е (и тем самым ое, аг, т『е) в виде (2.5) (или (2.6)) из системы уравнений Ламе приведен в [1].
Следствие 1. Функция напряжения Папковича-Нейбера П(г, 0) для полярно-симметрических задач в силу (1.10в), (2.1) 〃 (2.2) определяется формулой
n(r,e)= C^r2 + C^nr + CQ.
Замечание 2. Как правило, общие решения полярно-симметрических задач получают с помощью бигармонической функции — функции напряжения Эри. В [1] (см. с. 618-619) показано, что этот способ менее эффективен, чем предложенный выше.
Построим решения одной полярно-симметричной задачи о всестороннем растяжении пластинки, ослабленной круговым отверстием. Условия на бесконечности имеют вид
=。j=夕，嗡=0・(2.7)
Кроме того, предполагается, что аг = 0 при г = R, где R — радиус кругового отверстия.
Йз (2.6) и (2.7) следует
e2 = 工 售(2.8)
Удовлетворяя условию аг = 0, при г = R в силу (2.6а) и (2.8) имеем:
С = * 岳售(2.9)
Подставляя (2.8) и (2.9) в (2.6), окончательно находим
ar-+ 7Tr0 -。，
W = 0, 〃r = W [° — ")/ + (I + ^)岳]'
что совпадает с известными решениями (см., например, [5]).
Эффективный способ комплексного представления смещений и напряжений в форме Колосова-Мусхелишвили. Формулы для компонентов тензора напряжений (1.6) совпадают с формулами Эри, а формулы для компонент смещения (1.3) — с формулами Лява и Мусхелишвили, полученными другими способами.
Выведем формулу Гурса.
Пусть
夕⑶=①i(z,g) +及2(力,力(3.1)
где ①i(力，у) и ①2(力，У) — сопряженные гармонические функции Папковича- Нейбера.
Функция 夕(2)является аналитической функцией в области 。+ ^-плоскости.
Пусть теперь х(2)обозначает аналитическую в области О+ ^-плоскости функцию, действительной частью которой является гармоническая функция ①о(力，У) Папковича-Нейбера. Тогда аналитическая функция х(2) определяется формулой (1.1).
Из (1.3в) с помощью (3.1) и (1.1) получаем формулу Гурса:
2П =济⑶+ 2夕⑶+ 乂⑶+ х(2)・(3.2)
Следуя Н. И. Мусхелишвили, введем обозначения
①⑶="⑶，⑦⑶=x⑶，w⑶="⑶.(3.3)
Из (1.1) следует, что
仪2)= М(х, g) + 〃N(力,g),
Mg g)=嘗，△"(/, У)= " △①o(力,У)= 0,
a ①a(3.4)
N(力,g)=一方j,(力,g)=湎△①o(力,g)=0,
dM _ dN dM _ dNdx dy ' dy dx *
Следовательно, ^(2)является аналитической функцией в области。+ ^-плоскости.
Формулы (1.3) и (1.4) с учетом (1.5) и (3.4) можно записать в следующем виде:
для компонентов смещения
(3.5)(3.5)^и(х, у)= 〃① 1 - 2И -力方-Ум，
(3.5)
(3.5)
2〃и(/, у)= 〃①2 + N + X— - у京；
для компонентов тензора напряжений
0仙,g）=2農+0仙,g）=2農+дМ дхдМ дх(3.6)(3.6)丁力g（力,g）=丁力g（力,g）=dN а2Ф2 а2Ф1"+…一丁dN а2Ф2 а2Ф1"+…一丁
0仙,g）=2農+
0仙,g）=2農+
дМ дх
дМ дх
(3.6)
(3.6)
丁力g（力,g）=
丁力g（力,g）=
dN а2Ф2 а2Ф1
"+…一丁
dN а2Ф2 а2Ф1
"+…一丁
Теперь перейдем к комплексному представлению смещений и напряжений в форме Колосова-Мусхелишвили.
Умножая вторую из формул (3.5) на г и складывая с первой, получаем
2〃 (“ + w) = х(Ф1 + 及 2)— (М — г TV) — (х + гу)
Отсюда, замечая, что
夕（2）= Ф1 + 〃① 2, 夕'（2）=工-分後，⑦（2）= M ~iN,
получаем формулу Колосова-Мусхелишвили
2〃 (“ + W)= 〃夕(2)— 2 夕/(2)— 2(2).
Из (3.6) получаем
0 y — ^ X + 25%g = 20 y — ^ X + 25%g = 2
0 y — ^ X + 25%g = 2
0 y — ^ X + 25%g = 2
Отсюда, в силу (3.1), (3.3) и (3.4) приходим к формулам Колосова-Мусхелишвили
% +。力=4 Re ①(2),
Од — 0力 + ^Тху = 2 眨①'(2)+ w(2)].
Замечая, что
п _ ди dv _ dv дидх ду' дх ду'
из (3.5) находим
0=0=〃 一1 3① 1 _ м — 1/1 дх 从〃 一1 3① 1 _ м — 1/1 дх 从m①⑶=^^ [①⑶+m①⑶=^^ [①⑶+
0=
0=
〃 一1 3① 1 _ м — 1
/1 дх 从
〃 一1 3① 1 _ м — 1
/1 дх 从
m①⑶=^^ [①⑶+
m①⑶=^^ [①⑶+
〃 +1м〃 +1мIm①（2）=*[①⑶_丽卜Im①（2）=*[①⑶_丽卜
〃 +1
м
〃 +1
м
Im①（2）=*[①⑶_丽卜
Im①（2）=*[①⑶_丽卜
отсюда
夕 + 2 G
X + 1
X — 1т/\
=①⑶，
причем
ae _ 貝—\ аз
дз _ 〃 — 1 а&
дх м + 1 ду"
ду〃 + 1 班
〃 +1 a①2
Формулы Колосова-Мусхелишвили в полярной системе координат вышеприведенным способом получены в [1].
Новый метод решения канонических сингулярных задач теории упругости кусочно-однородных сред. Предлагается более эффективный метод решения канонических сингулярных задач теории упругости класса N (для этого класса принцип Сен-Венана не выполняется [6]) для кусочно-однородных упругих сред.
Решения этих задач определяются с точностью до некоторых произвольных постоянных, которые характеризуют интенсивность внешнего поля и должны быть определены из соответствующей внешней задачи.
Рассмотрим интегральное преобразование Меллина
F^p) = ^ f(r)rP dr,(4.1)
о
где р — комплексный параметр Меллина.
Пусть /(『)=r~q (0 < Re^ < 1). Тогда
1
戶二(夕)=-Irp~q dr = (Rep〉一1 + Req),о° "
百j(p) = I rp~q dr =!~q^y (Rep < -1 + Req).
Отсюда имеем [7]
(4.2)(4.2)F*(p) = 27r58(夕一q + 1), Re (p - q + 1) = 0,| Im (p - q) | < oo.
(4.2)
(4.2)
Из (4.1) и (4.2), в силу формулы обращения Меллина, находим
а+гоо
(4.3)(4.3)I 27r58(0_q + ])广一(0+1)dp = r~q
(4.3)
(4.3)
(a = Re q — 1), что и следовало ожидать.
В канонических сингулярных задачах теории упругости класса N для кусочнооднородных сред с однородными (т. е. свободными от внешних нагрузок) граничными условиями функции изображений для напряжений и производных смещений по Меллину (1.18) выражаются через дельта-функцию Дирака в виде (4.2).
Справедливость этого утверждения следует из самой постановки краевых задач теории упругости класса N (см., например, [6]).
Здесь и в дальнейшем под названием кусочно-однородная среда понимается: различные однородные изотропные упругие материалы жестко сцеплены вдоль некоторых лучей (полупрямых), выходящих из некоторой точки, например из начала координат.
Под термином «жесткое сцепление» понимается: нормальное и касательное напряжения, а также компоненты вектора перемещения на границе раздела двух однородных изотропных упругих сред не терпят разрыва.
Под словом область понимается часть упругого тела, находящаяся между двумя полупрямыми, выходящими из одной точки.
При решении краевых задач плоской теории упругости класса N для кусочнооднородных сред следует поступать следующим образом:
1°. Используя формулы (1.18), записанные в отдельных областях, удовлетворить однородным граничным условиям и условиям жесткого сцепления. В результате приходим к линейной однородной алгебраической системе уравнений, служащей для определения неизвестных функций, входящих в формулы (1.18), для каждой из областей. В каждой отдельной области число неизвестных функций равно четырем.
2°. Приравнять к нулю определитель системы уравнений. В результате получим некоторое характеристическое (трансцендентное) уравнение следующего типа
X (0，口1, 口2,…，口N)= 0・(4.4)
Здесь Пт (m = 1,..., TV) — параметры исследуемой задачи (например, отношение модулей сдвигов, коэффициенты Пуассона и др.); р — комплексный параметр Меллина.
3°. Доказать, что функция X (夕，III, 口2, • • •，口N)при фиксированных значениях параметров исследуемой задачи имеет простые нули в точках р = Pj, находящихся на прямых линиях, параллельных мнимой оси p-плоскости и проходящих через точки полосы —1 < Rep < 0, | Imp| < оо. Найденные точки р = pj, где pj =力・— —1, Req^ е ]0,1 [, IImp| < оо, будут носителями дельта-функции Дирака 8(夕—勿)• Следует отметить, что если, например, комплексное число «о =入0 + 分丁0 (》о G е ]0, 1 [, то > 0) является корнем уравнения (4.4), то его сопряжение @о =入0 — —分弋 также является корнем уравнения (4.4), в противном случае напряжения и смещения не будут действительными функциями, что недопустимо с физической точки зрения.
4°. По найденным корням уравнения (4.4) р = Pj из системы уравнений, упомянутой в 1°, определить неизвестные функции, которые затем следует умножить на 27r“8(夕—р^ + 8(夕一р^], если pj — комплексные корни, и на 27r58(夕—pj), если корни pj действительные.
5°. Й, наконец, компоненты тензора напряжений и вектора смещений определяются с помощью формулы обращения Меллина (1.17).
Аналогичным образом следует поступать при решении антиплоских задач теории упругости класса N для кусочно-однородных сред.
При решении различных задач теории упругости класса N (или S) функция в (4.4): X = X (А, Пь П2,..., Пдг), где А — действительный параметр, оказывается вещественнозначной функцией. Имеет место
Утверждение 5. Пусть вещественнозначная функция Х(А,П?,П^...,П^)
—функция с простыми нулями е точках Ai, А2,..., Ап- Тогда
8(X(“ =上 k『(XQ) = *) •(4.5)
Здесь 口,行=1,N) означает, что параметры исследуемой задачи П^ фиксированы, так что Х(А) = Х(А, Пр П^,..., 口脑.
Доказательство. Функцию Хевисайда Я(Х(А)) представим в виде
Я(Х(А)) = £(4.6)
m=l
где
_ J 1, если X'0m) > 0,Qm = \-1, если Xz(Am) < 0.
Очевидно,
8(X('))=為 H(XW)=京
откуда, с помощью (4.6), приходим к (4.5).
Утверждение 6. Для канонических однородных сингулярных краевых задач плоской теории упругости кусочно-однородных сред класса N в любом сектор-материале (области) имеют место
_1 дае _1/ 1、
где А 6 ]0, 1[(夕=入一1) — корень соответствующего характеристического уравнения типа (4.4), /• 〃 Gj — коэффициент Пуассона 〃 модуль сдвига некоторого j-го сектор-материала соответственно. Утверждение доказывается 6 силу (1.18) 〃 (4.3) (е (4.3) q = А 6 ]0, 1[); функция 歹*(夕)=2т6(р - X + 1) е (4.3) умножается на функцию о》(夕，夕)，определяемую по формуле (1.18)), а также — формулы обращения Меллина (см., например, (1.17) 〃 (4.4); в (4.4) а = А - 1).
В [1] построены решения конкретных задач вышеизложенным методом.
Список литературы
Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи. М.: Физматлит, 2005.
Нейбер Г. Концентрация напряжений. М.: ГИТТЛ, 1947.
Папкович 〃.⑦.Теория упругости. М.: Гостехизат, 1939.
Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.: Наука, 1967.
Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.
Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.
Слепян Л.Н., Яковлев Ю. С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение, 1980.
О ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ЗАВИСИМОСТИТИПА ОМОРИ
А.М. Линьков
Институт проблем машиноведения РАН
Близкое к экспоненциальному затухание автершоков после землетрясений (закон Омори) дает важную информацию о свойствах и состоянии горных пород. Аналогичное затухание наблюдается для сейсмических событий в шахтах после интенсивных воздействий на породы. Численное моделирование этого эффекта представляет один из шагов при объединении вычислительной геомеханики с сейсмологией. В работе вскрываются трудности, возникающие при численном моделировании зависимости типа Омори, и описывается подход, позволяющий их преодолеть. Он состоит в использовании ESC (Е1а811с11у-5о!1еп1п^-Сгеер)-модели при описании взаимодействия поверхностей закрытых трещин и в учете, как минимум, двух линейных масштабов при задании статистической информации о трещинах. Пример иллюстрирует результаты, полученные при моделировании зависимости типа Омори.
Введение. Успехи вычислительной геомеханики, с одной стороны, и шахтной сейсмологии — с другой, побуждают к объединению этих двух мощных средств оценки состояния пород. Это направление, начатое в работе [1], было темой специального обсуждения [2]. За последнее десятилетие оно получило быстрое развитие (см., например, [3-7]). Детальный обзор как достижений, так и путей совершенствования подходов в этой области дан в статье [8].
Сейчас представляется возможным завершать геомеханические расчеты выходной информацией, формулируемой в сейсмических терминах, таких как место и время сейсмического события, его магнитуда, сейсмический момент, пространственно-временное распределение событий, зависимость частоты событий от их интенсивности и т. п. Эти расчетные данные можно сопоставлять с данными сейсмических наблюдений и объединять математическое моделирование и наблюдения сейсмики в единую систему шахтного мониторинга состояния массива.
При создании такой системы встает вопрос о настройке параметров математической модели в соответствии с особенностями конкретного горного предприятия или отдельного забоя. Настройка должна быть достаточно проста, чтобы ее могли легко осуществлять работники сейсмической службы. Соответственно, используемая модель должна быть, по возможности, простой, число используемых в ней параметров — минимальным, а сами параметры должны иметь ясный физический смысл. При разработке такой модели и соответствующей компьютерной программы автор данной статьи столкнулся с трудностью воспроизведения временной зависимости сейсмических событий, называемой иногда (например, [6]) закономерностью или законом Омори. Поскольку эта зависимость может служить для оценки напряженного состояния пород около выработок, полезно описать суть проблемы и как ее удается решить.
Аналогичная зависимость наблюдается в шахтах для сейсмических событий, возникающих после взрывной отбойки или иных интенсивных воздействий на горные породы (см., например, [6, 9]). Как отмечено во введении, для оценки напряженного состояния пород, а также для прогноза опасных динамических событий эту зависимость имеет смысл учитывать и отражать при численном моделировании.
Нетрудно видеть, что при численном моделировании зависимости типа Омори необходимо отразить, как минимум, три фактора, обусловливающие ее возникновение. Во-первых, поскольку каждый из сейсмических импульсов есть следствие выделения упругой энергии, необходимо учесть упругость пород. Во-вторых, поскольку каждый из сейсмических импульсов есть следствие потери устойчивости, необходимо учесть причину неустойчивости — хрупкость 木пород. В-третьих, поскольку события развиваются в виде
Iцепочки и затухают во времени, необходимо учесть фактор
времени.
IКак показано в [8], простейшая модель, которая пригодна
гдля адекватного отражения трех названных факторов, есть
?ESC (Е1а811с11у-5о!1еп1п^-Сгеер)-модель (рис. 1). Она состо-
<I I ит из трех элементов. Один из них (верхний на рис. 1) от-
Sражает мгновенную реакцию на внешние воздействия; он
I содержит характеристику хрупкости — модуль разупрочне
ния М, что обеспечивает возможность потери устойчивости Рис. 1. ESC-модель и выделения энергии при достижении предельной нагрузки.
Два других элемента, вязкий с вязкостью 〃 и упругий с модулем упругости Ез включены параллельно друг другу; они образуют элемент Кельвина; он дает характерный масштаб времени — время ретардации tr = 〃/石%. ESC-модель представляет естественное обобщение стандартного линейного тела, отличаясь лишь учетом разупрочнения в верхнем элементе [2]. Конечно, в общем случае определяющие соотношения, отвечающие модели, векторные (для элементов контактов) или тензорные (для элементов объемов).
Подчеркнем, что модель позволяет описывать как сейсмические, так и асейсмические события. Лишь первые из них непосредственно фиксируются сейсмическими наблюдениями. Вторые проявляются в таких наблюдениях только косвенно: они контролируют интервалы между импульсами. Эта важная связь между сейсмическими и асейсмическими движениями проявляется, в частности, в законе Омори. Численное моделирование сейсмики методами механики твердого тела устанавливает ее в явном виде.
Расчетная схема. Для моделирования обсуждаемой зависимости используем расчетную схему, аналогичную схеме, впервые предложенной в [1], а именно: рассмотрим очистную выработку, геометрия которой изменяется по шагам извлечения угля или руды. Распределим в некоторой области, охватывающей выработку, исходные дефекты — трещины. Если, как обычно бывает, отсутствует подробная информация об их положении, ориентации, размерах и механических свойствах, то координаты центров трещин и углы их наклона можно задать статистически по закону равномерного распределения; их линейные размеры — по экспоненциальному закону; механические свойства взаимодействующих поверхностей закрытых трещин (начальное и остаточное сцепление, угол контактного трения, модуль контактного разупрочнения, упругость и вязкость элемента Кельвина)— как независимые случайные величины или величины, коррелированные с длиной трещины. Задается также напряженное состояние пород до начала горных работ
и удаляются трещины, для которых исходные напряжения на их поверхностях превышают предельные, отвечающие, например, условию Кулона.
После этого проводится расчет напряжений, возникающих вследствие горных работ. Для этого можно использовать разные методы (МКЭ, МГЭ, метод конечных разностей и т. п.) В случае очистных выработок, для которых выполнялось моделирование, обсуждаемое ниже, удобно использовать гиперсингулярный метод граничных элементов. Его детали представлены, например, в [10] для трехмерных задач и в [11] — для двумерных. На каждом шаге горных работ для каждой трещины проверяется, не возникло ли на ее поверхности предельных растягивающих или сдвигающих усилий. При возникновении растягивающих усилий трещина раскрывается и напряжения на ее поверхностях обращаются в нуль. Если трещина остается закрытой, но предельные касательные нагрузки на ней достигли предела, то проверяется, будет ли последующее деформирование неустойчивым — в форме сейсмического события — или устойчивым — в форме асейсмической деформации. Простые критерии для такой проверки даны в [8]. При асейсмическом движении определяется изменение сдвигов во времени и оценивается характерное время. Для этого в общем случае решается дифференциальное уравнение, приведенное в [8]. Однако, как показывают оценки, в качестве характерного времени асейсмической деформации допустимо принять время ретардации. Это существенно упрощает расчеты, что использовалось при получении приводимых ниже результатов.
Раскрытие трещин, сейсмические и асейсмические сдвиги ведут к дополнительным изменениям напряженного состояния, что в свою очередь может вызвать раскрытие, сейсмические и асейсмические сдвиги новых трещин и т. д. В итоге могут возникать цепочки событий. Выбирая надлежащим образом параметры ESC-модели и статистических распределений, можно получать цепочки, включающие, в основном, раскрытие трещин или сейсмические события или асейсмические сдвиги; можно включать события всех трех типов, причем с заранее предписанным соотношением между числом событий этих групп.
Трудность в моделировании зависимости Омори. Можно было ожидать, что среди цепочек будут возникать и цепочки, отвечающие зависимости Омори. Однако оказалось, что для получения требуется более тонкий подход. Опишем суть трудности и способ ее преодоления.
Рассмотрим случай плоской деформации. Пустъ в прямоугольной области с размерами X по горизонтали и У по вертикали, окружающей всю выработку или только ее краевую часть, распределены N дефектов (трещин) со средней полудлиной I. Обычно (см., например, [12]) концентрацию р трещин характеризуют отношением, которое в плоской задаче содержит квадрат полудлпнн: р = l2N/S, где S = XY — площадь области. Для наших целей предпочтительнее определить концентрацию как корень из этой величины, чтобы она была пропорциональна длине; это удобнее потому, что взаимное влияние трещин, приводящее к возникновению цепочек событий, распространяется на расстояния, обратные длине. Поэтому будем характеризовать концентрацию безразмерным параметром 网，представляющим отношение средней полудлины трещин к среднему расстоянию L = ={S[N между ними:用=1/L.
Понятно, что при малой концентрации трещины практически не взаимодействуют, и, следовательно, цепочек не возникает. Напротив, при достаточно высокой концентрации взаимодействие может оказаться столь сильным, что произойдет своего рода цепная реакция: трещины, достигшие предельного состояния, будут так сильно влиять на своих соседей, что цепочка включит большую часть трещин,
и события охватят всю рассмотренную область. Реализуется ли цепная реакция и какая концентрация может считаться малой, а какая большой, выясняется с помощью численных экспериментов.
Проведенные эксперименты показали, что малой можно считать концентрацию, при которой средняя полудлина трещины не превышает одной пятой от среднего расстояния между трещинами (0 W 0.2). При этом цепочек практически не возникало. При pi = 0.5 происходило два цикла перехода в предельное состояние; при pl = 1 это число возрастало до четырех; при /)/ = 3 — до восьми. Однако даже в случае 用=3 число событий не превышало 10% от общего числа трещин, а сами события локализовались в области исходного возмущения, не распространяясь на весь прямоугольник. Дальнейшее увеличение pi вело к цепной реакции: при 用= =5 число событий достигало половины исходного числа трещин (10000); события охватывали всю область. Таким образом, концентрации, при которых цепочки возникают, но не в форме цепной реакции, отвечают интервалу 0.5，网 W 3. В этом интервале и следует изучить возможность моделирования зависимости типа Омори.
Алгоритм вычислений при попытках ее моделирования построен таким образом, что на очередном шаге горных работ вначале фиксируются все мгновенные события (раскрытие трещин и неустойчивые сдвиги — сейсмические события), вызванные изменением геометрии выработки; асейсмические события, требующие времени для своего развития, пока не учитываются. Этому отвечает первый цикл нулевой стадии асейсмических событий. Зарегистрированные мгновенные события, изменяя напряженное состояние, в свою очередь возбуждают новые мгновенные события. Этому отвечает второй цикл нулевой стадии. Такие циклы продолжаются до исчерпания мгновенных событий. После этого начинаются расчеты для первой стадии асейсмических событий. На ней выявляются трещины, испытывающие асейсмические сдвиги под совместным влиянием выработки и всех мгновенных событий на описанных циклах нулевой стадии. Для простоты принимается, что эти сдвиги происходят за среднее время, равное времени ретардации tr ESC-модели. Асейсмические события, произошедшие на первой стадии, в свою очередь меняют напряженное состояние, что служит возбуждению новых циклов мгновенных событий. Последние могут дать старт второй стадии асейсмических событий, заканчивающихся за среднее время 2方『，и т. д. Таким образом, вычисления контролируют циклы мгновенных событий на стадиях асейсмических событий, отвечающих моментам времени jtr, где 7 — номер стадии (J = 0, 1,2,...). Если число зарегистрированных стадий, включая нулевую, превышает две, а число сейсмических событий, инициированных ими, резко падает, то это отвечает зависимости типа Омори.
Можно было ожидать, что в интервале умеренных концентраций (0.5 W 用 W 3) события будут развиваться в несколько стадий и зависимость типа Омори удастся воспроизвести. Однако численные результаты оказались иными. При умеренных концентрациях число стадий асейсмических событий не превышало двух, хотя число циклов мгновенных событий па нулевой стадии составляло от двух до восьми. При высоких концентрациях (川》5) число стадий было больше двух, иногда достигая десяти, но распределение сейсмических событий оказывалось хаотичным, а не убывающим во времени. В итоге зависимость Омори численно не моделировалась.
Этот неожиданный результат оказался устойчивым. Он сохранялся при изменении размеров выработки, области распределения трещин, их числа, среднего расстояния между ними, сцепления на берегах трещин и других параметров. Столь же неожиданным оказалось решение проблемы.
Решение проблемы: моделирование зависимости Омори. Решение проблемы содержит новый элемент, который может быть полезен в аналогичных исследованиях временных зависимостей. Он заключается во включении в расчеты как минимум двух линейных масштабов. Остановимся на нем подробнее.
В рассматриваемой задаче, как и в некоторых других задачах, касающихся зависимости типа Омори, имеется два характерных размера. Один из них, меньший, связан с расстоянием Ла, на которое выработка продвигается за шаг. Возмущение, возникающее от очередного продвижения, вовлекает в цепочки сейсмических и асейсмических событий дефекты, отстоящие от забоя на расстояние, как правило не превышающее ЮЛа. Средний размер активируемых дефектов имеет порядок Ла; вероятность инициирования дефектов с гораздо большим размером в обсуждаемой области мала. Именно дефекты в этой зоне дают основную часть сейсмических событий, участвующих в формировании зависимости типа Омори.
Второй характерный размер соответствует ширине выработки 2a = 2ao + к、а, образовавшейся за к шагов продвижения забоя. Влияние суммарного пролета распространяется на расстояния до 10 • 2а и вовлекает в деформирование дефекты размера порядка а. Учет таких дефектов необходим для моделирования зависимостей типа закона Гутенберга-Рихтера; он важен для оценки вероятности редких сейсмических событий высокой интенсивности.
Численное моделирование сейсмических и асейсмических событий с учетом обоих линейных масштабов при статистическом распределении дефектов каждой из групп неожиданно дало зависимости типа Омори на шагах продвижения выработки. Оказалось, что редкие события второй группы, число которых на шаге не превышало трех, а обычно было равно одному или двум, служат катализаторами цепочек, воспроизводящих затухание сейсмики во времени. В описанных выше расчетах возникало две и более стадии асейсмических событий.
Для примера на рис. 2 приведены гистограммы распределения во времени (по стадиям) числа сейсмических событий, индуцированных на разных шагах продвижения выработки. По горизонтальной оси отложены стадии начиная с нулевой (J = 0,..., 5), а по вертикальной оси — число сейсмических событий, нормированное на их количество на нулевой стадии (сразу за продвижением забоя). Исходный пролет выработки составлял 4 м, шаг продвижения забоя 2 м, глубина горных работ 2000 м, коэффициент бокового давления 0.7, сцепление на берегах трещин 2.5 МПа, угол контактного трения 20°, средний модуль контактного разупрочнения коррелирован со средним размером трещин так, что число сейсмических и асейсмических событий было примерно одинаково. Трещины обеих групп распределены в их областях равномерно по координатам и углу наклона; функция распределения их размеров экспоненциальная. Первая группа трещин имеет среднюю полудлину Z = 1 м и распределена в полосе длины Х〔 = 60 м и ширины Н = 40 м; полоса расположена симметрично относительно выработки. Вторая группа имеет среднюю полудлину Z = 9 м и распределена симметрично относительно выработки в квадрате со стороной X?=巴=800 м. Число трещин в первой группе N\ = 2000; во второй: N? = 8000. Этому соответствует концентрация трещин первой группы рц = 0.91; второй: рц = 1.01; обе концентрации относятся к случаю, когда события развиваются без цепной реакции.
Гистограммы рис. 2 отвечают (в порядке удаления от зрителя) нулевому, одиннадцатому и шестнадцатому шагу продвижения выработки; при этом ее пролет равен 4 м, 28 м и 36 м соответственно. Из рисунка следует, что в согласии с данными шахтных наблюдений число сейсмических событий, возникающих на очередном шаге горных работ, резко уменьшается во времени. Также в согласии с наблюдениями на фоне затухания иногда проявляются всплески сейсмичности;
Рис. 2. Гистограммы распределения сейсмических событий по стадиям на нулевом, одиннадцатом и шестнадцатом шагах продвижения выработки
такой всплеск виден, в частности, на средней из гистограмм. В целом убывание можно аппроксимировать экспоненциальной зависимостью ехр(—а方/方『)，где показатель а в рассматриваемых случаях оказывается порядка единицы, т. е. затухание происходит с характерным временем порядка времени ретардации ESC-модели.
Заключение. Главный вывод состоит в следующем. Экспоненциальное затухание сейсмических событий во времени, отвечающее зависимости типа Омори, удается воспроизвести численно, если учесть две группы дефектов с разными линейными масштабами. При этом большие, но сравнительно редкие дефекты второй группы служат катализаторами для проявления зависимости типа Омори на многочисленных малых дефектах первой группы.
В заключение заметим, что устойчивость обнаруженного эффекта на шагах продвижения выработки, включая первые из шагов, наводит на мысль, что каталитическое воздействие больших дефектов может быть важным не только в рассматриваемой задаче. Возможно, оно проявляется и в других проблемах, связанных с эмиссией импульсов при изменениях напряженного состояния среды, например при механических испытаниях материалов или при землетрясениях. Было бы интересно проверить — численным моделированием и по сейсмическим данным,— в какой мере каталитическое воздействие больших дефектов ответственно за наблюдаемые закономерности автершоков.
Список литературы
Salamon M.D. G. Keynote address: Some applications of geomechanical modelling in rockburst and related research 〃 Proc. 3rd Int. Symposium RaSiM-3, «Rockbursts and Seismicily in Mines», R. P. Young (ed.). A. A. Balkema, Rotterdam, 1993. P. 297-309.
Linkov А.М. Keynote lecture: New geomechanical approaches to develop quantitative seismicity 〃 Proc. 4th Int. Symposium RaSiM-4 «Rockbursts and Seismicity in Mines», S. J. Gibowicz, S. Lasoski (eds). A. A. Balkema, Rotterdam, 1997. P. 151-166.
Hofmann G, Sewjee A., van Aswegen G. First steps in the integration of numerical modeling and seismic monitoring 〃 Proc. 5th Int. Symposium RaSiM-5, «Rockbursts and Seismicity in Mines», G. van Aswegen, R. Durrhiem & D. Ortlepp (eds). A. A. Balkema, Rotterdam. 2001. P. 397-404.
Lachenicht A., Wiles Г, van Aswegen G. Integration of deterministic modelling with seismic monitoring for assessment of the rockmass response to mining, part II: applications. Modelling of damage and instabilities in the rock mass by means of non-linear rheological model 〃 Proc. 5th Int. Symposium RaSiM-5, «Rockbursts and Seismicity in Mines», G. van Aswegen, R. Durrhiem & D. Ortlepp (eds). A. A. Balkema, Rotterdam, 2001. P. 412-419.
Sellers E.J., Napier J. A. L. A point kernel representation of large-scale seismic activity in mining 〃 Proc. 5th Int. Symposium RaSiM-5, «Rockbursts and Seismicity in Mines», G. van Aswegen, R. Durrhiem & D. Ortlepp (eds). A. A. Balkema, Rotterdam, 2001. P. 405-411.
Spottiswoode S.M. Keynote address: Synthetic seismicity mimics observed seismicity in deep tabular mines 〃 Proc. 5th Int. Symposium RaSiM-5, «Rockbursts and Seismicity in Mines», G. van Aswegen, R. Durrhiem & D. Ortlepp (eds). A. A. Balkema, Rotterdam, 2001. P. 371-377.
Napier J. A. L. Scale effects in numerical simulation of time-dependent mine seismic activity 〃 Rock Mechanics in National Interests, J. Tinucci & Heasley (eds). Swets & Zeitlinger Lisse, 2001. P. 1297-1304.
Linkov A.M. Integration of numerical modeling and seismic monitoring: General theory and first steps 〃 Proc. Int. Conference «New Developments in Rock Mechanics», Yunmei Lin (ed.). Rinton Press, N. Y., 2002. P. 259-264.
Расчет и экспериментальная оценка напряжений в целиках и краевых частях пласта угля (методические указания) / И. М. Петухов (ред.). Л.: Изд-во ВНИМИ, 1973.— 130 с.
Линьков А.М., Зубков В. В., Хаиб М.А. Метод решения трехмерных задач о пластовых выработках и геологических нарушениях 〃 Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1997. № 4. С. 3-24.
Линьков А.М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. СПб: Наука, 1999. — 382 с.
Kachanov М. Elastic solids with many cracks and related problems 〃 Advances in Applied Mechanics. 1993. V. 30. P. 259-445.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯВЯЗКОГИПЕРУПРУГИХ СВОЙСТВ НАПОЛНЕННЫХ
ЭЛАСТОМЕРОВ В УСЛОВИЯХ РЕЛАКСАЦИИ
В. Ломакин, Т.А. Белякова, Ю.П. Зезин, Н.Н. Смирнов
Механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова
Проведены экспериментальные исследования процесса релаксации напряжений для резины плотности 1200 кг/м3, включающие испытания на релаксацию при нормальной температуре в условиях одноосного растяжения и сжатия при различном уровне деформаций. Для описания вязкогиперупругого деформирования наполненных эластомерных материалов используются определяющие соотношения, являющиеся обобщением нелинейной теории упругости и линейной теории вязкоупругости Больцмана-Вольтерра. Разработан метод определения параметров взаимосвязанных гиперупругих и реологических характеристик деформирования. На основании экспериментальных данных отмечена зависимость релаксационных свойств исследуемых эластомеров от уровня деформации и предложен подход к описанию этой зависимости, основанный на применении определяющих соотношений нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов. Наблюдается вполне удовлетворительное соответствие теоретических и экспериментальных зависимостей.
Введение. Возрастающее использование резиноподобных материалов во многих областях современной техники приводит к необходимости описания с высокой точностью кратковременных и длительных характеристик деформирования и разрушения эластомерных элементов конструкций. Повсеместное использование эластомеров в нефтегазовой промышленности, машиностроении, гражданском строительстве, кораблестроении, авиационной и аэрокосмической технике ставит широкий круг исследовательских задач. В него прежде всего входит проведение всестороннего комплекса экспериментальных исследований. Первостепенное значение имеет формулировка математической модели, позволяющей описать напряженно-деформированное состояние наполненных полимерных материалов с учетом физической и геометрической нелинейности, накопления повреждений и разрушения, а также разработка экспериментальных методов определения материальных функций и функционалов, входящих в определяющие соотношения. Наконец, возникает необходимость в уточнении существующих алгоритмов численных расчетов для анализа поведения конструкций из физически нелинейных эластомерных материалов при различных условиях нагружения и деформирования.
В условиях больших деформаций линейное приближение для описания упругих свойств эластомеров не может быть использовано, и необходимо считать материал гиперупругим с соответствующим представлением упругого потенциала как функции инвариантов тензора конечных деформаций. Кроме того, вязкие свойства многих эластомеров зависят от характеристик процесса деформирования, в том числе от уровня деформаций, и являются нелинейными. При этом гиперупругие и реологические свойства материалов взаимосвязаны, и необходима разработка соответствующих методов их определения.
В данной работе приведены результаты экспериментальных исследований на релаксацию в условиях растяжения и сжатия при нормальной температуре образцов резины. Для описания данных экспериментов использованы интегральные определяющие соотношения, позволяющие одновременно учесть как гиперупругие, так и вязкоупругие свойства, что является необходимым условием при моделировании реального поведения эластомерных материалов и конструкций. Разработан метод определения параметров взаимосвязанных гиперупругих и реологических характеристик деформирования. На основании экспериментальных данных отмечена зависимость релаксационных свойств исследуемых эластомеров от уровня деформации и предложен подход к описанию этой зависимости.
Результаты экспериментальных исследований. Проведены экспериментальные исследования процесса релаксации напряжений в образцах из резины плотности 1200 кг/м3 в условиях одноосного растяжения и сжатия при различном уровне деформаций и нормальной температуре. В испытаниях на релаксацию использовались цилиндрические образцы, начальный диаметр и начальная высота Но которых составляли соответственно 10 мм и 12 мм. В табл. 1-4 представлены результаты экспериментов на релаксацию в условиях одноосного сжатия при уровнях деформаций соответственно: £“ = -0.185; -0.284; -0.305; -0.421 (Еп = -0.1679; -0.2437; -0.2585; -0.3324), где £口 =为一1 — относительная осевая деформация, которая часто называется инженерной деформацией, Ец = =(А2 - 1)/2 — осевая деформация Грина-Лагранжа, Ai = H/Hq, Н — текущая высота образца. Скорость деформирования на этапе нагружения составляла 0.0082-0.01 с-1. В таблицах приведены в зависимости от времени 力[с] значения инженерного напряжения ан = F/Sq [МПа], F — действующая осевая нагрузка, So — начальная площадь сечения образца, а также значение соответствующей компоненты тензора напряжений Коши: Su = (1 + £ц) ап [МПа], в предположении, что изменение объема образца отсутствует.
Таблицы 5-9 содержат результаты экспериментов на релаксацию в условиях одноосного растяжения при уровнях деформаций соответственно: £“ = 0.105; 0.185; 0.269; 0.507; 0.56 (石口 =0.1105; 0.2021; 0.3052; 0.6355; 0.7168). Скорость деформирования на этапе нагружения составляла 0.00345-0.0035 с-1.
Определяющие соотношения вязкогиперупругости и определение материальных констант. Пусть 芯 и 力分，г = 1,2, 3, начальные и актуальные координаты материальной точки соответственно. В качестве меры конечных деформаций могут быть использованы тензоры деформаций Коши-Лагранжа С = F1 F и Коши-Эйлера С = FF、где Fij = dxi/дSj — градиент движения. Тензор С выражается через тензор кратностей удлинений А в виде С = А2, главные значения которого представляют собой удлинения материальных волокон по главным О
направлениям тензора,入分=dsi/dsi, г = 1, 2, 3. Связь тензора деформаций Коши- Лагранжа с тензором деформаций Грина-Лагранжа Е задается соотношением Е = =(С-1)/2 [1].。°
Инварианты тензора деформаций Коши-Лагранжа С имеют вид 厶=tr(C)= =入彳 + 入^ + A|, A = ：(/，- tr(C2))=入彳^ + AfAf +，》^, /3 = det(C). В предположении несжимаемости эластомерных материалов справедливо /3 = 1.
Таблица 1. Результаты эксперимента на релаксацию в условиях одноосного сжатия при значении инженерной деформации Ей = —0.185
Таблица 2. Результаты эксперимента на релаксацию в условиях одноосного сжатия при значении инженерной деформации Ей = —0.284
t
—
-Xu
t
―加
-Xu
21
1.3895
1.1325
34
2.3708
1.6975
26
1.3510
1.1010
36
2.2765
1.6300
36
1.2725
1.0371
38
2.2340
1.5996
46
1.2484
1.0175
40
2.2058
1.5793
56
1.2356
1.0070
44
2.1703
1.5540
66
1.2292
1.0018
50
2.1349
1.5286
86
1.2132
0.9887
60
2.0878
1.4949
106
1.1988
0.9770
70
2.0641
1.4779
156
1.1811
0.9626
80
2.0430
1.4628
206
1.1715
0.9548
90
2.0288
1.4526
256
1.1651
0.9496
111
2.0052
1.4357
306
1.1587
0.9444
186
1.9462
1.3935
356
1.1507
0.9378
261
1.9203
1.3749
410
1.1491
0.9365
411
1.8801
1.3462
1010
1.1234
0.9156
561
1.8519
1.3259
1610
1.1106
0.9052
711
1.8377
1.3158
2810
1.1026
0.8986
895
1.8259
1.3073
4610
1.0849
0.8842
2 695
1.7528
1.2550
5810
1.0834
0.8829
4 495
1.7174
1.2297
7610
1.0801
0.8803
6 295
1.6891
1.2094
9410
1.0545
0.8594
8 095
1.6820
1.2043
13610
1.0417
0.8490
11695
1.6584
1.1874
19 370
1.0337
0.8425
15620
1.6395
1.1739
Для описания вязкогиперупругого деформирования эластомеров предлагается использовать определяющие соотношения, полученные путем обобщения нелинейной теории упругости и линейной вязкоупругой модели Больцмана-Вольтерра. Результирующее напряжение представляет собой сумму гиперупругой и вязкоупругой компонент [2, 3]:
%•=吟+呜.(1)
Гиперупругая составляющая тензора напряжений о} для изотропного несжимаемого материала может быть получена дифференцированием упругого потенциала W (/i,A), представленного в виде полинома по инвариантам тензора конечных деформаций (厶—3) и (А — 3) [4]. Так, пятиконстантный полиномиальный гиперупругий потенциал будет иметь вид
w=e10 (厶-3) +С01 (A - 3) +。20 (厶-3)2 + си (/1 - 3) (А - 3) +002 (a - 3)2 .
(2)
——Xu372.69491.8729422.52711.7563472.46801.7153522.42831.6877572.40541.6717672.36921.6466772.33631.6237872.30991.60521072.27701.58251472.24411.55973672.14541.49115472.11251.46827272.09601.456710872.06321.433919872.02041.40422 8871.99731.38813 7871.98081.37674 6871.96111.363064871.93481.34478 2871.92161.3356100871.91171.3287118871.89861.319513 6871.88541.3104——Xu372.69491.8729422.52711.7563472.46801.7153522.42831.6877572.40541.6717672.36921.6466772.33631.6237872.30991.60521072.27701.58251472.24411.55973672.14541.49115472.11251.46827272.09601.456710872.06321.433919872.02041.40422 8871.99731.38813 7871.98081.37674 6871.96111.363064871.93481.34478 2871.92161.3356100871.91171.3287118871.89861.319513 6871.88541.3104Таблица 3. Результаты эксперимента на релаксацию в условиях одноосного сжатия при значении инженерной деформации Ей = —0.305Таблица 3. Результаты эксперимента на релаксацию в условиях одноосного сжатия при значении инженерной деформации Ей = —0.305t— Ell—Eii—6i—Xu100.10280.09751.07460.9641200.20550.18442.05111.6296300.30830.26082.96282.0494410.4210.33244.03742.3377510.4210.33243.67922.1303610.4210.33243.56152.0621810.4210.33243.46432.00581010.4210.33243.41821.97912010.4210.33243.27491.89623010.4210.33243.21701.86265000.4210.33243.14531.821210000.4210.33243.06681.77572 4000.4210.33242.96281.71558 2800.4210.33242.86471.6586709800.4210.33242.70271.564994 6800.4210.33242.70271.5649154 9800.4210.33242.64971.5342166 2600.4210.33242.64971.5342t— Ell—Eii—6i—Xu100.10280.09751.07460.9641200.20550.18442.05111.6296300.30830.26082.96282.0494410.4210.33244.03742.3377510.4210.33243.67922.1303610.4210.33243.56152.0621810.4210.33243.46432.00581010.4210.33243.41821.97912010.4210.33243.27491.89623010.4210.33243.21701.86265000.4210.33243.14531.821210000.4210.33243.06681.77572 4000.4210.33242.96281.71558 2800.4210.33242.86471.6586709800.4210.33242.70271.564994 6800.4210.33242.70271.5649154 9800.4210.33242.64971.5342166 2600.4210.33242.64971.5342Таблица 4. Результаты эксперимента на релаксацию в условиях одноосного сжатия при значении инженерной деформации Ей = -0.421Таблица 4. Результаты эксперимента на релаксацию в условиях одноосного сжатия при значении инженерной деформации Ей = -0.421
—
—Xu
37
2.6949
1.8729
42
2.5271
1.7563
47
2.4680
1.7153
52
2.4283
1.6877
57
2.4054
1.6717
67
2.3692
1.6466
77
2.3363
1.6237
87
2.3099
1.6052
107
2.2770
1.5825
147
2.2441
1.5597
367
2.1454
1.4911
547
2.1125
1.4682
727
2.0960
1.4567
1087
2.0632
1.4339
1987
2.0204
1.4042
2 887
1.9973
1.3881
3 787
1.9808
1.3767
4 687
1.9611
1.3630
6487
1.9348
1.3447
8 287
1.9216
1.3356
10087
1.9117
1.3287
11887
1.8986
1.3195
13 687
1.8854
1.3104
—
—Xu
37
2.6949
1.8729
42
2.5271
1.7563
47
2.4680
1.7153
52
2.4283
1.6877
57
2.4054
1.6717
67
2.3692
1.6466
77
2.3363
1.6237
87
2.3099
1.6052
107
2.2770
1.5825
147
2.2441
1.5597
367
2.1454
1.4911
547
2.1125
1.4682
727
2.0960
1.4567
1087
2.0632
1.4339
1987
2.0204
1.4042
2 887
1.9973
1.3881
3 787
1.9808
1.3767
4 687
1.9611
1.3630
6487
1.9348
1.3447
8 287
1.9216
1.3356
10087
1.9117
1.3287
11887
1.8986
1.3195
13 687
1.8854
1.3104
Таблица 3. Результаты эксперимента на релаксацию в условиях одноосного сжатия при значении инженерной деформации Ей = —0.305
Таблица 3. Результаты эксперимента на релаксацию в условиях одноосного сжатия при значении инженерной деформации Ей = —0.305
t
— Ell
—Eii
—6i
—Xu
10
0.1028
0.0975
1.0746
0.9641
20
0.2055
0.1844
2.0511
1.6296
30
0.3083
0.2608
2.9628
2.0494
41
0.421
0.3324
4.0374
2.3377
51
0.421
0.3324
3.6792
2.1303
61
0.421
0.3324
3.5615
2.0621
81
0.421
0.3324
3.4643
2.0058
101
0.421
0.3324
3.4182
1.9791
201
0.421
0.3324
3.2749
1.8962
301
0.421
0.3324
3.2170
1.8626
500
0.421
0.3324
3.1453
1.8212
1000
0.421
0.3324
3.0668
1.7757
2 400
0.421
0.3324
2.9628
1.7155
8 280
0.421
0.3324
2.8647
1.6586
70980
0.421
0.3324
2.7027
1.5649
94 680
0.421
0.3324
2.7027
1.5649
154 980
0.421
0.3324
2.6497
1.5342
166 260
0.421
0.3324
2.6497
1.5342
t
— Ell
—Eii
—6i
—Xu
10
0.1028
0.0975
1.0746
0.9641
20
0.2055
0.1844
2.0511
1.6296
30
0.3083
0.2608
2.9628
2.0494
41
0.421
0.3324
4.0374
2.3377
51
0.421
0.3324
3.6792
2.1303
61
0.421
0.3324
3.5615
2.0621
81
0.421
0.3324
3.4643
2.0058
101
0.421
0.3324
3.4182
1.9791
201
0.421
0.3324
3.2749
1.8962
301
0.421
0.3324
3.2170
1.8626
500
0.421
0.3324
3.1453
1.8212
1000
0.421
0.3324
3.0668
1.7757
2 400
0.421
0.3324
2.9628
1.7155
8 280
0.421
0.3324
2.8647
1.6586
70980
0.421
0.3324
2.7027
1.5649
94 680
0.421
0.3324
2.7027
1.5649
154 980
0.421
0.3324
2.6497
1.5342
166 260
0.421
0.3324
2.6497
1.5342
Таблица 4. Результаты эксперимента на релаксацию в условиях одноосного сжатия при значении инженерной деформации Ей = -0.421
Таблица 4. Результаты эксперимента на релаксацию в условиях одноосного сжатия при значении инженерной деформации Ей = -0.421
При этом гиперупругая составляющая напряжения о% при одноосном напряженном состоянии представляется соотношением
= (1 + £")= ~Ph + *
где гидростатическое давление ph определяется из условия равенства нулю напряжения в поперечном направлении: Х% = ~Ph + 入2^^ = 0, откуда
°= (1+£11)ап =Ai^--A2^-.
В простейшем случае вязкоупругая составляющая напряжений о务 может быть представлена соотношениями линейной теории вязкоупругости Больцмана-Воль- терра и в случае одноосного деформирования несжимаемого материала записывается в видеt
行1⑴=j R(方一丁)/11 (丁)⑶
о
Таблица 5. Результаты эксперимента на релаксацию в условиях одноосного растяжения при значении инженерной деформации £ц = 0.105
6i
Xu
30
0.8309
0.9182
45
0.7819
0.8640
90
0.7328
0.8097
210
0.7027
0.7765
510
0.6582
0.7273
1362
0.6438
0.7114
6132
0.6340
0.7005
68 382
0.5352
0.5913
273 630
0.5214
0.5762
Таблица 6. Результаты эксперимента на релаксацию в условиях одноосного растяжения при значении инженерной деформации £ц = 0.185
t
6i
Su
53
1.1158
1.3223
77
1.0706
1.2687
107
1.0349
1.2263
227
0.9944
1.1784
587
0.9546
1.1312
1787
0.9320
1.1044
4 187
0.9142
1.0833
6917
0.8963
1.0621
8 807
0.8827
1.0460
12 407
0.8696
1.0305
16 367
0.8607
1.0199
82 967
0.7577
0.8979
441 114
0.6287
0.7450
Таблица 7. Результаты эксперимента на релаксацию в условиях одноосного растяжения при значении инженерной деформации £ц = 0.269
t
6i
Xu
78
1.4730
1.8692
93
1.3409
1.7016
108
1.3178
1.6723
163
1.2612
1.6004
213
1.2381
1.5712
273
1.2050
1.5292
393
1.1907
1.5110
573
1.1627
1.4754
933
1.1440
1.4517
1353
1.1159
1.4161
9 603
1.0736
1.3624
79 803
0.9091
1.1536
171603
0.8266
1.0490
438 903
0.8877
1.1264
686 403
0.8266
1.0490
Таблица 8. Результаты эксперимента на релаксацию в условиях одноосного растяжения при значении инженерной деформации £ц = 0.507
t
6i
Su
147
1.6677
2.5132
171
1.4474
2.1812
231
1.3883
2.0921
351
1.2883
1.9414
651
1.2701
1.9141
1551
1.2569
1.8941
3 081
1.2250
1.8460
8 805
1.1888
1.7915
63612
1.0859
1.6365
234612
0.9701
1.4619
252612
0.9615
1.4489
Определяющие соотношения (3) применимы только при малых деформациях в геометрически линейной постановке и могут рассматриваться как первоначальная оценка соответствующих характеристик деформирования. При переходе к конечным деформациям аналогом соотношения (3) служит зависимость
歹⑴=一?叮+ F⑴IG(方-T) dE⑺FT⑴， (4) о
Таблица 9. Результаты эксперимента на релаксацию в условиях одноосного растяжения при значении инженерной деформации £ц = 0.56
61
Xu
162
1.7606
2.7466
177
1.6654
2.5980
192
1.6118
2.5144
252
1.5226
2.3753
312
1.4870
2.3197
402
1.4572
2.2732
702
1.3977
2.1804
1002
1.3621
2.1248
1302
1.3502
2.1063
3 102
1.2966
2.0227
4 602
1.2669
1.9763
8 946
1.2311
1.9206
17 546
1.1717
1.8278
80550
1.0980
1.7115
177 150
1.0659
1.6628
260 550
1.0665
1.6637
778 950
1.0369
1.6176
переходящая в формулу (3) при малых деформациях, когда осевая деформация Грина-Лагранжа совпадает с инженерной: Еп = £ц.
Функция релаксации R(方)может аппроксимироваться суммой экспоненциальных функций:
i=l
На основании соотношений (1), (3), (5) в случае одноосного нагружения с постоянной скоростью деформаций 金口 в течение времени 方° ДО деформации £ц = =ёц^о и последующей релаксации напряжение в образце представляется в виде
N j —
⑹⑹di(£ii⑴)+ ©ii 工瓦，0 < t < t0,
⑹
⑹
并1(£11⑴)+金11 е区「方》方0.
Таким образом, предполагается, что при описании напряженно-деформированного состояния эластомерных материалов можно выделить квазистатическую гиперупругую составляющую напряжений и вязкоупругую составляющую, описывающую зависимость деформационных свойств материала от истории деформирования. При медленном нагружении напряжение стремится к гиперупругой составляющей при данной деформации. В работе [2], где ставится задача описания деформирования резиноподобных материалов при высоких скоростях нагружения порядка 103 с-1 (ударных нагрузках), предлагается определять коэффициенты
для гиперупругой составляющей напряжений о务 в определяющих соотношениях исходя из экспериментов при малых, по сравнению с предполагаемыми, скоростях нагружения (0.001 с-1). Таким образом, считается, что влиянием зависимости деформационных свойств материала от скорости нагружения можно пренебречь, если предполагаемые скорости деформирования на несколько порядков превышают скорости деформирования в эксперименте, описывающем гиперупругую составляющую напряжений.
£11-0.421-2.3767-0.305-1.5950-0.284-1.3974-0.185-0.88770.1050.48300.1850.60720.2690.79350.5070.95220.561.0005£11-0.421-2.3767-0.305-1.5950-0.284-1.3974-0.185-0.88770.1050.48300.1850.60720.2690.79350.5070.95220.561.0005Таблица 10. Асимптотические значения релаксационных характеристик (гиперупругая составляющая напряжений)Таблица 10. Асимптотические значения релаксационных характеристик (гиперупругая составляющая напряжений)i兄810.94422.335 • 10-620.52679.74 • 10-530.62841.129 • 10-з40.85738.586 • 10-з54.99600.106i兄810.94422.335 • 10-620.52679.74 • 10-530.62841.129 • 10-з40.85738.586 • 10-з54.99600.106Таблица 11. Материальные константы ядра релаксации по данным эксперимента при значении инженерной деформации Ей = -0.421Таблица 11. Материальные константы ядра релаксации по данным эксперимента при значении инженерной деформации Ей = -0.421
£11
-0.421
-2.3767
-0.305
-1.5950
-0.284
-1.3974
-0.185
-0.8877
0.105
0.4830
0.185
0.6072
0.269
0.7935
0.507
0.9522
0.56
1.0005
£11
-0.421
-2.3767
-0.305
-1.5950
-0.284
-1.3974
-0.185
-0.8877
0.105
0.4830
0.185
0.6072
0.269
0.7935
0.507
0.9522
0.56
1.0005
Таблица 10. Асимптотические значения релаксационных характеристик (гиперупругая составляющая напряжений)
Таблица 10. Асимптотические значения релаксационных характеристик (гиперупругая составляющая напряжений)
i
兄
8
1
0.9442
2.335 • 10-6
2
0.5267
9.74 • 10-5
3
0.6284
1.129 • 10-з
4
0.8573
8.586 • 10-з
5
4.9960
0.106
i
兄
8
1
0.9442
2.335 • 10-6
2
0.5267
9.74 • 10-5
3
0.6284
1.129 • 10-з
4
0.8573
8.586 • 10-з
5
4.9960
0.106
Таблица 11. Материальные константы ядра релаксации по данным эксперимента при значении инженерной деформации Ей = -0.421
Таблица 11. Материальные константы ядра релаксации по данным эксперимента при значении инженерной деформации Ей = -0.421
Рис. 1. Аппроксимация гиперупругой составляющей напряжений по данным экспериментов на релаксациюРис. 1. Аппроксимация гиперупругой составляющей напряжений по данным экспериментов на релаксацию
Рис. 1. Аппроксимация гиперупругой составляющей напряжений по данным экспериментов на релаксацию
Рис. 1. Аппроксимация гиперупругой составляющей напряжений по данным экспериментов на релаксацию
В случае, когда исследуемые скорости деформирования сопоставимы с экспериментальными, для определения коэффициентов в соотношении (2) для гиперупругой составляющей напряжений о务 предлагается использовать метод, основанный
на определении асимптотических значений напряжений в процессе релаксации при различных уровнях деформаций. В табл. 10 приведены определенные на основании приведенных экспериментов (табл. 1-9) значения напряжений [МПа] при времени релаксации, стремящемся к бесконечности. Эти данные, представляющие собой зависимость а^(£“)，аппроксимируются при помощи потенциала (2), при этом константы материала равны Go = 0.5879, Coi = 0.1354, С^о = =0.6988, Си = -1.7884,以2 = 0.7736
(рис. 1).
При известной гиперупругой составляющей напряжений из соотношения (6) и испытаний на релаксацию можно
определить коэффициенты 石分 п а分 в вязкоупругих соотношениях. Для описания напряженно-деформированного состояния материала в условиях действия сжима
ющих нагрузок примем за основу данные эксперимента на релаксацию в условиях одноосного сжатия до деформации: £“ = —0.421. Соответствующие коэффициенты Ei [МПа] и а〃，полученные аппроксимацией данных табл. 4, приведены в табл. 11.
Теперь, когда известны и гиперупругие, и вязкоупругие константы материала, можно рассчитать теоретические кривые деформирования и последующей релаксации при сжатии. Полученные зависимости показаны на рпс.2,а,6 для разных масштабов времени. Экспериментальные значения отмечены на графиках звездочками; цифрами 1-4 обозначены теоретические кривые релаксации при уровнях
Рис. 2. Теоретические кривые деформирования и последующей релаксации на основании соотношений линейной теории вязкоупругостиРис. 2. Теоретические кривые деформирования и последующей релаксации на основании соотношений линейной теории вязкоупругостипри сжатиипри сжатии
Рис. 2. Теоретические кривые деформирования и последующей релаксации на основании соотношений линейной теории вязкоупругости
Рис. 2. Теоретические кривые деформирования и последующей релаксации на основании соотношений линейной теории вязкоупругости
при сжатии
при сжатии
деформации £“ = —0.185; —0.284; —0.305; —0.421 соответственно. Анализ определенных таким образом теоретических кривых позволяет отметить зависимость функции релаксации от уровня деформаций, которая не может быть описана при помощи соотношений （3） линейной теории вязкоупругости.
Оставаясь в рамках геометрически линейного подхода к описанию деформирования, можно учесть физически нелинейное сопротивление наполненных полимерных материалов при помощи нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов. Определяющие соотношения эндохронной теории в общем случае трехосного напряженного состояния имеют вид
t
S叮⑴=01⑴]Ri （方1⑴-方i（t）） d3打•（丁）,о
t
⑺⑺cT⑴=02⑴ I r2 （方2⑴-方2（7））力"（7）- зaлт（t）］,о
⑺
⑺
92（3） d£力⑹92（3） d£力⑹
92（3） d£力⑹
92（3） d£力⑹
Здесь Ri（方）—функция релаксации при сдвиге, R^（t） — функция релаксации при объемном деформировании, S^ и Э^ — девиаторы тензора условных напряжений и тензора инженерных деформаций соответственно, о（方）—гидростатическая компонента тензора напряжений, ”（方）—объемная деформация, ЛТ — разность температур, а — коэффициент линейного теплового расширения,方分（方），г = 1,2,— приведенные времена. Функции fi（t） и 夕乂方），г = 1,2, могут представлять собой функции времени, инвариантов тензора напряжений и тензора деформаций, тем-
пературы, поврежденности материала и других физических и химических параметров.
Для описания наблюдающейся зависимости релаксационных характеристик от уровня деформаций в случае несжимаемого материала в исследуемом ограниченном диапазоне деформаций можно ввести функцию 夕i(£ц(t)) = Ai — -厶2産(印1 ⑴—е。)，£о = -0.421, р = 1.4534, 4 = 1.953, А2 = 0.953,力(/i= =夕 1(£11(方))，方 1 =九 Теоретические кривые деформирования и последующей релаксации при сжатии, полученные на основе модифицированных соотношений (7), представлены на рпс.3,а,6 для разных масштабов времени (обозначения теоретических кривых и экспериментальных точек на графиках те же, что и на рпс.2а,6). При этом предполагалось, что зависимость вязкоупругих свойств материала от уровня деформации начинает проявляться заметным образом, когда абсолютное значение деформации превышает некоторую критическую величину £$, т. е. при £ < —£$ в случае сжатия. В качестве £$ в данной работе использовалось минимальное по величине значение деформации при сжатии в исследуемом диапазоне:吗=—0.185. Приведенные на рис. 3 кривые демонстрируют хорошее
Рис. 3. Теоретические кривые деформирования и последующей релаксации при сжатии на основании соотношений нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материаловРис. 3. Теоретические кривые деформирования и последующей релаксации при сжатии на основании соотношений нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов
Рис. 3. Теоретические кривые деформирования и последующей релаксации при сжатии на основании соотношений нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов
Рис. 3. Теоретические кривые деформирования и последующей релаксации при сжатии на основании соотношений нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов
соответствие экспериментальных и теоретических зависимостей, рассчитанных по формулам (7). Незначительное отклонение наблюдается только для деформации £11 = —0.305 в силу выбранной монотонной зависимости функции релаксации от уровня деформаций.
Заключение. На основании проведенных экспериментальных исследований релаксационных характеристик резины в условиях одноосного растяжения и сжатия при нормальной температуре предложен вариант описания механических свойств наполненных эластомерных материалов при помощи определяющих соотношений гипервязкоупругости, которые представляют собой обобщение нелинейной теории упругости и линейной теории вязкоупругости Больцмана-Вольтерра. Разработан метод определения взаимосвязанных гиперупругих и реологических свойств эластомеров. Представление зависимостей между вязкоупругой составляющей напряжений и деформациями в виде нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов позволяет учесть, оставаясь в рамках геометрически линейного подхода, зависимость ядра релаксации от уровня деформаций, что приводит
к удовлетворительному соответствию между теоретическими и экспериментальными зависимостями. Более точное описание поведения экспериментальных кривых может быть достигнуто введением приведенного времени. Следует отметить, что достаточно высокий уровень деформаций в исследованном диапазоне приводит к необходимости учета конечных деформаций с использованием соотношений (4) или их модификаций для вязкоупругой составляющей напряжений.
Список литературы
Черных К. Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1988. 256 с.
Yang L.M., Shim V. Р. W., Lim С. Т. A visco-hyperelastic approach to modelling the constitutive behaviour of rubber 〃 International Journal of Impact Engineering. 2000. V. 24. P. 545-560.
LS-DYNA Theoretical Manual. May 1998. Livermore Software Technology Corporation.
Rivlin R. S. 〃 Proceedings of First Symposium on Naval Structural Mechanics. 1960. P. 169-198.
Быков Д. Л., Коновалов Д. H. Нелинейная эндохронная теория стареющих вязкоупругих материалов 〃 Известия РАН. Механика твердого тела. 2002. № 4. С. 63-76.
О СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СООТНОШЕНИЯХВ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОЙПЛАСТИЧНОСТИ
Л. А. Максимова
Санкт-Петербургский государственный инженерно-экономический университет —филиал в г. Чебоксары
Рассматриваются статически определимые соотношения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности.
Известно [1], что статически определимое состояние осесимметричной задачи теории идеальной пластичности имеет место при условии полной пластичности
6 = оз + 2庆，02 =。3,(1.1)
где ел,。2,。3 — главные напряжения,庆 предел текучести на сдвиг.
Соотношения полной пластичности (1.1) в цилиндрической системе координат рв z имеют вид
Ор = ^ + 2ас/2 , тpQ = 2 KI]!?, 。6 = ^ + 2庆以 tqz = 2 K1?1з, 。之=^ + 2/Тр% = 2/^/〔/з,
(1.2)
где %i, %2, %з — направляющие косинусы, определяющие ориентацию пряжения ел в ортогональной системе координат рО z.
главного на-
Имеет место
疗+ —= 1，
(1.3)
а также
^ = о — g 庆,СТ = - (сгж + СГ^ +
(1.4)
В общем случае имеет место
庆=Н(т,/1,/2,/з)・
(1.5)
В осесимметричном случае
трО = T0z = °・
(1.6)
Из (1.2), (1.6) следует
八2 =
(1・7)
Согласно (1.2), (1.3), (1.6), (1.7) получим
。о = ^ + 2庆/孑，тpg = 0, tqz = 0,
。6 =。2 = %Tpz = 2acZi Z3,
= ^ + 2 庆 g,次 + 4 = 1.
(1.8)
Положим
厶=cos0,
Согласно (1.9) запишем соотношения
/з = sin 夕.
(1.8) в виде
(1.9)
(МО)(МО)
(МО)
(МО)
о。= z/ + 庆 + 庆 cos 2夕,
°e = %
02=^ +庆一庆cos 2夕,
Трб = °, 丁6之=°,
Tpz =庆 sin 2夕，
^ = 2(。0 + 吸)_从
Из (1.4), (1.5), (1.7), (1.9), (1.10) следует
9р - о/ +4寸，=4庆2,06 = } (00 +02)一度，左=儿廿，夕).
(1.П)
Из (1.10) следует
(1.12)
Согласно (1.12) величина 夕 определяет угол наклона первого главного напряжения ел к оси р в плоскости р z.
Условия (1.10), (1.11), (1.12), являются условиями полной пластичности в осесимметричной задаче теории идеальной пластичности.
2. Статическая определимость в общем случае имеет место, когда наряду с тремя уравнениями равновесия имеют место три конечных соотношения [1]
/1(^-) = 0, /2(0#=。，/з(о#=0・(2.1)
Условия статической определимости осесимметричной задачи теории идеальной пластичности в общем случае имеют вид
/1 (00，06,02, т0 2) = 0, f2(Op,Oe,Oz,Tpz)=。・
(2.2)
Соотношения (2.2) не предполагают выполнения условия полной пластичности (1.1) и могут быть представлены в виде
F(О р, О z, 丁р z) =。，。6 = ^0 ^ р-> ^ z-> р z}'
Следуя [2], введем переменные
6 + °3 тСГ1—СГ3<72 — (Тп
(2.3)
(2.4)
Отметим, что условие полной пластичности (1.1) имеет место при 〃 = ±1. В осесимметричном случае имеют место соотношения
O0 = Otz + ^COs2。， Tpz = /€Sin2(/；,
1(2.5)
W =0几一左cos2夕，06 =02, 0九=2 (00 + *)•
Из (2.3), (2.4), (2.5) следует
р(0^，左，夕)=0, 0б =06(0九，儿，夕).(2.6)
Из (2.6) получим
庆=儿(0小夕)，0б =06(0小夕).(2.7)
Из (2.4), (2.7) следует
М = "° 庆""=从(0九，夕)•(2.8)
Из (2.5), (2.7) найдем
—*)2+4?^ =4経，
= f^n,^),庆=儿(0九，夕).■
Соотношения (2.5), (2.8), (2.9) определяют условия статической определимости осесимметричной задачи теории идеальной пластичности, когда условие полной пластичности (1.1) может не иметь места: |〃| # 1.
Итак, согласно (1.10), (1.11), (2.5), (2.9) в случае статической определимости осесимметричной задачи в плоскости р z выполняются соотношения
9p - 0/ + 4TM = ”2, 左=庆e九，夕)，
12丁(2.10)
0冷=5 Со + ° J， tg2 夕=—
В случае условия полной пластичности имеет место
。6 = 0г —庆，〃 =±1.(2.11)
В общем случае статически определимой задачи зависимость
0ё =貝0九，0)，1从1 # 1(2.12)
не связана ограничениями (2.11).
Рассмотрим идеально пластический изотропный несжимаемый материал, свойства которого не зависят от среднего давления. В этом случае условие (2.11) примет вид
ад = -^ (ст。+ az)—庆， 庆=const.(2.13)
В общем случае статически определимого состояния согласно (2.12) получим
^ = / Q ^Р + ^)) •(2.14)
Наложим на напряженное состояние。分^ гидростатическое давление а, из (2.14) будем иметь
^ + ^ = / Q © + °z) +°) •(2.15)
Предполагая, что соотношение (2.14) не зависит от а, дифференцируя соотношение (2.15) по а, найдем
% = L w=}(小02)+。.(2.16)
Из (2.16) следует
/ = } 5 +。之)+ 67 + С，С = const.(2.17)
Из (2.15), (2.⑺ найдем
ое = ； (о。+。之)+ С, С = const.(2.18)
Итак, для изотропного несжимаемого идеально пластического материала при условии полной пластичности имеет место (2.13), в общем случае статической определимости имеет место (2.18), где постоянная С может быть отлична от константы 左.
Уравнения равновесия в осесимметричном случае имеют вид
”’(3.1)
Из (2.5), (2.9), (3.1) получим
*3 20-2^П2夕奈 +
op \оап op д^ op /op
+*Sin20 +2左cos 20李 += 0,
\o(Tn oz 9夕 oz /oz p
學+(壯•學+ * •约点П2。+ 2儿3 2今一 az \ д(уп opдр /др
cos2^+ 2Z.sin+ 上=0.
\о(Тп oz ㈡夕 az /az p
(3.2)
Система уравнений (3.2) принадлежит к гиперболическому типу, уравнения характеристик имеют вид
2庆 cos 29 + 丁 sin 29 + 2ае-一 a 夕дсп2庆 cos 29 + 丁 sin 29 + 2ае-一 a 夕дсп(3.3)(3.3)
2庆 cos 29 + 丁 sin 29 + 2ае-一 a 夕дсп
2庆 cos 29 + 丁 sin 29 + 2ае-一 a 夕дсп
(3.3)
(3.3)
Из (3.3) получимИз (3.3) получим2庆cos 29 + —— sin 29 -2庆2庆cos 29 + —— sin 29 -2庆2庆cos 29 + 丁 sin 29 + 2左大一 a 夕э(тп2庆cos 29 + 丁 sin 29 + 2左大一 a 夕э(тп(3.4)(3.4)В случае, когда -= 0, из (3.4) следует пВ случае, когда -= 0, из (3.4) следует портогональность характеристик:ортогональность характеристик:
Из (3.3) получим
Из (3.3) получим
2庆cos 29 + —— sin 29 -2庆
2庆cos 29 + —— sin 29 -2庆
2庆cos 29 + 丁 sin 29 + 2左大一 a 夕э(тп
2庆cos 29 + 丁 sin 29 + 2左大一 a 夕э(тп
(3.4)
(3.4)
В случае, когда -= 0, из (3.4) следует п
В случае, когда -= 0, из (3.4) следует п
ортогональность характеристик:
ортогональность характеристик:
Вдоль характеристик (3.3) имеют место соотношенияВдоль характеристик (3.3) имеют место соотношенияdz(2庆cos 2夕 + ^ sin2夕)-dp(2庆sin 2夕-^ cosdz(2庆cos 2夕 + ^ sin2夕)-dp(2庆sin 2夕-^ cos+ dzP+ dzPsin 2夕-^ cos 2夕) + dp(2庆cos2夕 + |^ sinsin 2夕-^ cos 2夕) + dp(2庆cos2夕 + |^ sin++=0. (3.6)=0. (3.6)
Вдоль характеристик (3.3) имеют место соотношения
Вдоль характеристик (3.3) имеют место соотношения
dz(2庆cos 2夕 + ^ sin2夕)-dp(2庆sin 2夕-^ cos
dz(2庆cos 2夕 + ^ sin2夕)-dp(2庆sin 2夕-^ cos
+ dz
P
+ dz
P
sin 2夕-^ cos 2夕) + dp(2庆cos2夕 + |^ sin
sin 2夕-^ cos 2夕) + dp(2庆cos2夕 + |^ sin
+
+
=0. (3.6)
=0. (3.6)
В случае условия полной пластичности (1.1) согласно (1.10), (1.11) в выражении (3.6) следует положить
0Q_0e = A(cos2g+l), 丁牛=Asin2夕， 庆=庆((7冷，夕).(3.7)
В общем случае статически определимой задачи имеем
00一06 =0九 + 左cos 2。-06>(0九，夕)， rpz =左sin 2夕，(3.8)
где(те(сг冷，夕)，庆(о冷，夕) —независимые функции.
Список литературы
Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001.
Христианович С. А., Шемякин Е.И. К теории идеальной пластичности 〃 Изв. АН СССР. Мех. тв. тела. 1967. № 5.
ПЛОСКИЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОНТАКТНЫЕЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОУПРУГИХ СТАРЕЮЩИХ ТЕЛС ПОВЕРХНОСТНО НЕОДНОРОДНЫМИ ПОКРЫТИЯМИ
А. В. Манжиров, К.Е. Казаков
Институт проблем механики РАН
Использование различного рода покрытий зачастую является наиболее эффективным способом увеличения контактной прочности тел и вместе с ней увеличения ресурса работы реальных узлов механизмов и деталей машин. Технологическая революция последнего периода позволила создавать чрезвычайно разнообразные материалы покрытий, предназначенные для работы в различных условиях. Для изучения процессов контактного взаимодействия тел с разнообразными покрытиями были развиты соответствующие математические модели. Среди них в первую очередь следует отметить модели упругих, упругопластических, классических вязкоупругих, вязкоупругих стареющих, однородных и неоднородных тел и покрытий. Традиционно сложными по-прежнему остаются задачи для тел с неоднородными покрытиями. Контактные задачи для таких тел при условии неоднородных по глубине покрытий были исследованы в [1-4]. В статье впервые рассмотрены модели тел с поверхностно неоднородными (т. е. неоднородными относительно точек поверхности) покрытиями, сформулированы плоские и осесимметричные контактные задачи, получены разрешающие смешанные двумерные интегральные уравнения, предложены методы их решения.
Плоская контактная задача. Исследуем контактное взаимодействие вязкоупругого слоя с покрытием, лежащего на недеформируемом основании, и жесткого штампа в случае плоской деформации (рис. 1). Предположим, что в поверхность неоднородного вязкоупругого слоя с покрытием вдавливается гладкий жесткий штамп с силой P(t) с эксцентриситетом ее приложения e(t). Область контакта
со временем не изменяется, длина линии контакта равна 2a. Форма основания штампа задается функцией д⑺.Упругое покрытие толщины h (h 2а) лежит на нижнем вязкоупругом слое произвольной толщины Н, изготовленном в момент времени т? и стареющим однородно, а его свойства зависят от продольной координаты [5].
Для вывода интегрального уравнения задачи заменим штамп некоторой распределенной нагрузкой 夕(力，方)=—q(力，方)，действующей на том же участке (—а < ж < < а) и равной нулю вне его. Вертикальное перемещение верхней грани описанного выше слоя можно записать в форме [1]
t
= I /(/,w,T)K⑵(方一T2,丁 一 T2)而，
尸q(z,方)=k(w^) q(w,方)d6，
-a
к⑵(5 =段+ ”)(5],
где Z — тождественный оператор, ^ и 石2(方—丁2)——коэффициент Пуассона и модуль Юнга вязкоупругого слоя, К⑵(t, т) — ядро ползучести при растяжении, С(2)(方，丁) — мера ползучести при растяжении, R(x) — функция жесткости покрытия, зависящая от условий его соединения со слоем произвольной толщины, причем в случае гладкого контакта покрытия и слоя
а в случае идеального контакта
Ei(z)[l — %(叫⑶
[1+%з川1 -2%(z)]'9 丿
z/i (力)и 石i(z) — коэффициент Пуассона и модуль Юнга неоднородного покрытия, к[(х — ^)/Н] — известное ядро плоской контактной задачи [3, 6], которое имеет вид
k(s)= ] —^- cos (su) du,о
причем в случае гладкого контакта нижнего слоя с недеформируемым основанием
⑷⑷)= ch2“ — 1
⑷
⑷
(丿—sh2〃 + 2〃，
а в случае идеального контакта
、2〃sh2〃一 4〃с
Е(〃) = р〃 = 3 —4也.(5)
2〃ch2〃 + 4〃2 + 1 +諸
Приравнивая вертикальные перемещения верхней грани покрытия перемещению штампа как жесткого целого, с учетом (1) получим интегральное уравнение исследуемой контактной задачи в виде
^^ + ^^伍一峪尸^^у = 6⑴-9(z)， -aW/Wa, (6) где 8(方)—осадка штампа, а а(方)—угол его поворота.
Уравнение (6) дополним условиями равновесия штампа на слое:
⑺ЭТОГО⑺ЭТОГО]q& 方)成=P⑴，]%(w,方)= e(t)P⑴=2h⑴. — a—a
⑺
ЭТОГО
⑺
ЭТОГО
Построим решение интегрального уравнения (6) при условиях (7). Для сделаем в (6), (7) замену переменных по формулам
/*=力a一1,g*=《"一1, t* = tr^ 1,
9*(/ *) = 9(/)a一19*(/ *) = 9(/)a一1A = Ha~\ 8*(方 *) = 8 ⑴ G, &*(方 *) = q⑴,
9*(/ *) = 9(/)a一1
9*(/ *) = 9(/)a一1
_ 2(1 — ^)q(z/)_ 2(1 — ^)q(z/)e2（方一72）e2（方一72）, m*(力 *)=, m*(力 *)=EqHEqH2amz)(1 - /)'2amz)(1 - /)'C*（方*）=分（丁 72）厶0C*（方*）=分（丁 72）厶0产（户）=2£匚*，"*（方 *）=产（户）=2£匚*，"*（方 *）=27И⑴(1 —内27И⑴(1 —内e2（方一T2）『e2（方一T2）『力*y*貝/*,w*,方*) = ] /(/*, w*，*)&(方*,T*)而,1力*y*貝/*,w*,方*) = ] /(/*, w*，*)&(方*,T*)而,1⑻⑻К^.Т^ = k⑵（方一T2,丁 一 丁2）丁0,К^.Т^ = k⑵（方一T2,丁 一 丁2）丁0,1尸*q*(/*，方*)= I k*(/*,f*)g*(w*,方*)成*,1尸*q*(/*，方*)= I k*(/*,f*)g*(w*,方*)成*,状（/Y*）= M号）=也—状（/Y*）= M号）=也—Опуская звездочки, получим смешанное интегральное уравнение в видеОпуская звездочки, получим смешанное интегральное уравнение в видеc(t)m(x)q(x,方)+ (Z — У)尸q(力,方)=8⑴ + q⑴力—g(z),— 1 W 力 W 1,c(t)m(x)q(x,方)+ (Z — У)尸q(力,方)=8⑴ + q⑴力—g(z),— 1 W 力 W 1,⑼⑼с дополнительными условиямис дополнительными условиями1]q&t)d£ = P⑴,-11]q&t)d£ = P⑴,-11]%(w,方)延="(方).1]%(w,方)延="(方).(10)(10)Вводя обозначенияВводя обозначенияQ（力，方）=，m（力）g（力,方）,1Q（力，方）=，m（力）g（力,方）,1к(力,0)=к(力,0)=Кт ⑺ \Лп(а'Кт ⑺ \Лп(а'k(z，8k(z，8/Q(力，方)=I K{x^Q^ С/Q(力，方)=I K{x^Q^ С(11)(11)
_ 2(1 — ^)q(z/)
_ 2(1 — ^)q(z/)
e2（方一72）
e2（方一72）
, m*(力 *)=
, m*(力 *)=
EqH
EqH
2amz)(1 - /)'
2amz)(1 - /)'
C*（方*）=分（丁 72）
厶0
C*（方*）=分（丁 72）
厶0
产（户）=2£匚*，"*（方 *）=
产（户）=2£匚*，"*（方 *）=
27И⑴(1 —内
27И⑴(1 —内
e2（方一T2）『
e2（方一T2）『
力*
y*貝/*,w*,方*) = ] /(/*, w*，*)&(方*,T*)而,
1
力*
y*貝/*,w*,方*) = ] /(/*, w*，*)&(方*,T*)而,
1
⑻
⑻
К^.Т^ = k⑵（方一T2,丁 一 丁2）丁0,
К^.Т^ = k⑵（方一T2,丁 一 丁2）丁0,
1
尸*q*(/*，方*)= I k*(/*,f*)g*(w*,方*)成*,
1
尸*q*(/*，方*)= I k*(/*,f*)g*(w*,方*)成*,
状（/Y*）= M号）=也—
状（/Y*）= M号）=也—
Опуская звездочки, получим смешанное интегральное уравнение в виде
Опуская звездочки, получим смешанное интегральное уравнение в виде
c(t)m(x)q(x,方)+ (Z — У)尸q(力,方)=8⑴ + q⑴力—g(z),— 1 W 力 W 1,
c(t)m(x)q(x,方)+ (Z — У)尸q(力,方)=8⑴ + q⑴力—g(z),— 1 W 力 W 1,
⑼
⑼
с дополнительными условиями
с дополнительными условиями
1
]q&t)d£ = P⑴,
-1
1
]q&t)d£ = P⑴,
-1
1
]%(w,方)延="(方).
1
]%(w,方)延="(方).
(10)
(10)
Вводя обозначения
Вводя обозначения
Q（力，方）=，m（力）g（力,方）,
1
Q（力，方）=，m（力）g（力,方）,
1
к(力,0)=
к(力,0)=
Кт ⑺ \Лп(а'
Кт ⑺ \Лп(а'
k(z，8
k(z，8
/Q(力，方)=I K{x^Q^ С
/Q(力，方)=I K{x^Q^ С
(11)
(11)
преобразуем интегральное уравнение (9) и дополнительные условия (10) к следующему удобному для анализа виду:
。⑴Q(力,方)+ (Z - y)/Q(/,方)=
—1 W < 1,
11(13)(13)
1
1
(13)
(13)
Таким образом, мы получили разрешающее двумерное интегральное уравнение (12), содержащее интегральные операторы как с постоянными, так и с переменными пределами интегрирования, а также дополнительные условия (13).
Будем искать решение уравнения (12) при условиях (13) в классе функций, непрерывных по времени в L^[—\, 1] (см., например, [1, 7]). Для этого построим сначала ортонормированную в L^[—\, 1] систему функций такую, чтобы она содержала const/，тп(力)，а остальные функции базиса можно было представить в виде произведения функций, зависящих от х и весовой функции 1 /，тп(力).Система функций, удовлетворяющая оговоренным выше условиям, может быть построена на основании [8]
2日仍•⑹成=^, PnW =二gp 厶=j 奈J 代p。())=8
Р=]丿0厶丿2… (+1丿0 厶丿1丿2Jn— 11Г…/2九-1... rnJn/几+1Р=]丿0厶丿2… (+1丿0 厶丿1丿2Jn— 11Г…/2九-1... rnJn/几+1Jn/2冷Jn/2冷
Р=]
丿0
厶
丿2
… (+1
丿0 厶
丿1
丿2
Jn— 1
1
Г
…/2九-1
... rn
Jn
/几+1
Р=]
丿0
厶
丿2
… (+1
丿0 厶
丿1
丿2
Jn— 1
1
Г
…/2九-1
... rn
Jn
/几+1
Jn
/2冷
Jn
/2冷
Отметим, что при m(x) = const многочлены pn(化)являются ортонормированными полиномами Лежандра.
Заметим, что гильбертово пространство L^[—\, 1] можно представить в виде прямой суммы ортогональных подпространств: L^[—\, 1] = L^ [—1, 1]㊉ £/『)[—1, 1], где L^ [—1, 1] — евклидово пространство с базисом 夕°(力)，夕 1(力)，a L^ [—1, 1] — гильбертово пространство с базисом pk(r) (к = 2, ..., оо). Можно также заметить, что подынтегральную функцию и правую часть можно представить в виде суммы функций, непрерывных по t в L^ [—1, 1] и £/『)[—1, 1] соответственно, т. е.
Q（x,t） = Qi（力，方）+ Q2（z，U，/（力，方）=力（力，方）+ /2（力,方），（14）
где
Q1 （力，力）=20 ⑴00（/）+ 21 ⑴夕 1 （/），/（力，方）= /（）+ J J -
力（力，方）=[⑴00（/）+ ——（方）一夕 1（/）,LV Л」 L V Л）_
/2（力，方）=一熒（/），g（/）=\/加（/）[go00（/）+ gwi （/）+熒（力）]•
На основании [9] можно ввести оператор ортогонального проектирования, который отображает пространство L^[—\, 1] в “）[-1, 1]:
1
0"（力，方）=I貝f,方）m0（力）。0（f） +。1（力）夕1（引d&
Очевидно, что ортопроектор & = Z — 0i переводит пространство 厶]—1,1] в L^ [—1, 1]. Кроме того, имеют место следующие соотношения:
01 +02 =Z, Rf（x,t） = f《x,00您（力,方）=Qz（rM）, i= 1,2.（15）
Заметим, что в представлении для Q（力，方）нам известно Qi（力，方），которое определяются дополнительными условиями （13）:
20（方）=吧，21 ⑴=Аp ⑴,（16）
y丿0（/0/2 —方）
а слагаемое Qz（力，方）требуется найти. Для правой части наоборот — требуется определить /《力，方），а 力（力，方）задано функцией основания штампа. Отмеченные особенности позволяют классифицировать полученную в итоге задачу как частный случай обобщенной проекционной задачи, поставленной и решенной в [10].
Следуя [10], подействуем на уравнение （12） оператором ортогонального проектирования &• В результате получим уравнение для определения Q^（x, t） с известной правой частью:
。⑴ Q2（力，方）+ （Z — y）02<Q2（力，方）=—熒（力）—（Z — y）02/Ql（Z,〃
Его решение можно построить в виде ряда по собственным функциям оператора &/, который, как можно показать на основании [10], является вполне непрерывным, самосопряженным и сильно положительным оператором из L^[—l, 1] в L^ [—1, 1]. Система собственных функций такого оператора составляет базис пространства L^[—\, 1] [9]. Спектральная задача для оператора & может быть записана в форме
V^A^k^ = 7k 0卜（力），
（⑺（⑺夕底力）=工 W，Pi3, k = 2,…,oo, i=2
（⑺
（⑺
К （力,W）=工 工 RmnPm （化）рП ⑹,m=0 n=0
сю
工r^夕俨=7k成），m = 2,, 00. n=2
Представляя искомые функции уравнения (12) в виде
Q(x,t) = 20⑴夕0(力)+21⑴01(力)+£2k⑴0m力),
k=2
(18)(18)/(/,方)= v^8⑴ + Q⑴一90 00(/)+
(18)
(18)
++V|0V|00 1(/)-e gk^k(x),k=20 1(/)-e gk^k(x),k=2
+
+
V|0
V|0
0 1(/)-e gk^k(x),k=2
0 1(/)-e gk^k(x),k=2
в итоге получим, что неизвестные функции 2k(方)(k = 2,..., оо) можно найти по формуле
gk + (T-V) \zQ^K^ + 2]⑴Kf
次⑴=_(Z + M4)，
(19)(19)K?‘=工r0九成),К?‘=e品九成)，k = 2,…,00, n=2n=2
(19)
(19)
t
Wkf(r, t) = IR 鼠方,丁)/(几 T) dr,
1
где 兄^(方，丁) (k = 1, ...,oo) — резольвента ядра
К式方，T)=К式方，T)=节仙亿7)c(t) + 7fc节仙亿7)c(t) + 7fc(20)(20)
К式方，T)=
К式方，T)=
节仙亿7)c(t) + 7fc
节仙亿7)c(t) + 7fc
(20)
(20)
Следует отметить, что полученное решение имеет следующую структуру:
(21)(21)
(21)
(21)
т. е. удается выделить в решении в явном виде весовую функцию т⑺,а значит и связанную с ней заменой (8) функцию жесткости покрытия 兄(力).
Теперь, отыскав Q^{x, t), подействуем оператором Pi на уравнение (12):
c⑴。1Q1 (/,方)+ (Z - y)0MQ(/,方)=
a(t) - go 00(/)+ a⑴一91 夕 1(/).(22)
_ L V_
Равенство (22) непосредственно дает формулы для угла поворота а(方)и осадки 8⑴：
Q⑴=j j J ^ {,1 + c⑴2i⑴ + (Z - У) R^QZQ^t) + R\\Z\(t) + 工 К?)2k⑴},
° 2 1e (23)
8⑴=8⑴=+ go + C(力)2o ⑴ ++ go + C(力)2o ⑴ +
8⑴=
8⑴=
+ go + C(力)2o ⑴ +
+ go + C(力)2o ⑴ +
(24)(24)+ (z — У) RqqZq^) + 凡121 ⑴ + 工 K『)2k⑴
(24)
(24)
-k=2.
Таким образом, построено аналитическое решение (в рядах с любой наперед заданной точностью) плоской контактной задачи для вязкоупругого слоя с тонким неоднородным покрытием.
Осесимметричная контактная задача. Исследуем контактное взаимодействие вязкоупругого слоя с покрытием, лежащего на недеформируемом основании, и жесткого кольцевого штампа в осесимметричном случае (рис. 2). Предположим, что в поверхность неоднородного вязкоупругого слоя с покрытием вдавливается кольцевой гладкий жесткий штамп с силой P(t), приложенной по его оси. Область
Рис. 2. Осесимметричная задачаРис. 2. Осесимметричная задача
Рис. 2. Осесимметричная задача
Рис. 2. Осесимметричная задача
контакта со временем не изменяется и ограничена окружностями радиусов а и 6 (а < Ь). Форма основания штампа задается функцией д(『). Упругое покрытие толщины Д (九 « (Ь — а)) лежит на нижнем вязкоупругом стареющем слое произвольной толщины Н, изготовленном в момент времени 万，а его свойства зависят от радиальной координаты [5].
Как и прежде, для вывода интегрального уравнения задачи заменим штамп некоторой распределенной нагрузкой 夕(广，方)=—q(r, t), действующей на том же участке (a W 广 W Ь) и равной нулю вне его. Вертикальное перемещение верхней грани описанного выше слоя можно записать в форме
以（几方）=*4+岂1万或（Z -以（几方）=*4+岂1万或（Z -(25)(25)
以（几方）=*4+岂1万或（Z -
以（几方）=*4+岂1万或（Z -
(25)
(25)
t
Vf(r,p, t) = I /(广,小 T)K⑵(方一T2,丁 一 T2)而,
丁0
b
0公，方)=k (芸,君)q(p, t)pdp,
где Z — тождественный оператор, и? и 石2（方—丁2）——коэффициент Пуассона и модуль Юнга вязкоупругого слоя, К（2）（方，丁） — ядро ползучести при растяжении, С（2）（方，丁） — мера ползучести при растяжении, R（r） — функция жесткости покрытия, которая в зависимости от условий на его нижней грани вычисляется либо по формуле （2）, либо по формуле （3）, k{r/H, р/Н） — известное ядро осесимметричной контактной задачи [1, 6]:
k（r,p） = I L{u）IQ{ru）IQ{pu） du,о
причем аналогично предыдущему в зависимости от условий на нижней грани основания функция L（u） определяется либо по формуле （4）, либо по （5）.
（26）（26）（27）（27）этогоэтогоПриравнивая вертикальные перемещения верхней грани слоя перемещению штампа как жесткого целого, с учетом （25） получим разрешающее интегральное уравнение исследуемой контактной задачи в виде
（26）
（26）
（27）
（27）
этого
этого
+—= 8⑴一g（『），a < r < 6,
H£/2— 丁2 丿
где 8⑴—осадка штампа.
Уравнение （26） дополним условием равновесия штампа на слое:
ь
2тг]д（0, t）pdp = P（力）.
Построим решение интегрального уравнения （26） при условии （27）. Для сделаем в （26）, （27） замену переменных по формулам
（广*）2 = ^4，（炉）2 = 方* = 上, T* =工，= 3
入=产，宀，户=广，8*（方*）=产，g*（L*） =产，
b — a b — ab — ab — ab — a
q*（『*,方*） = 2（Q（y）,=厶2 （方一72 ）q*（『*,方*） = 2（Q（y）,=厶2 （方一72 ）EqHEqHc* （方*）=c* （方*）=e2（方一T2）e2（方一T2）ВоВо,P*（方 *）=,P*（方 *）=2{b-a）R{rXl-^y2P⑴（1 —期2{b-a）R{rXl-^y2P⑴（1 —期开ё2（/ - 72）（户-/），开ё2（/ - 72）（户-/），
q*（『*,方*） = 2（Q（y）,=
厶2 （方一72 ）
q*（『*,方*） = 2（Q（y）,=
厶2 （方一72 ）
EqH
EqH
c* （方*）=
c* （方*）=
e2（方一T2）
e2（方一T2）
Во
Во
,P*（方 *）=
,P*（方 *）=
2{b-a）R{rXl-^y
2P⑴（1 —期
2{b-a）R{rXl-^y
2P⑴（1 —期
开ё2（/ - 72）（户-/），
开ё2（/ - 72）（户-/），
（28）（28）
（28）
（28）
力*
丿*/（广炉，方 *） = I ~Г*,р*, 丁 *）K2（t*,T*）dT,
1
k2（广，丁*） = k⑵（方一T2,丁 一 丁2）丁0,
1
0*q*（广*,方*） = Ik*（丁*,炉）g*（炉,方*）炉d炉，
k* （广炉）=k* （广炉）=6 J J К*）*? + * J （a*）泞 + * '6 J J К*）*? + * J （a*）泞 + * 'AAAA0
k* （广炉）=
k* （广炉）=
6 J J К*）*? + * J （a*）泞 + * '
6 J J К*）*? + * J （a*）泞 + * '
A
A
A
A
Опуская звездочки, получим смешанное интегральное уравнение в виде
(29)(29)с⑴加(『)《(『,方)+ (Z - V)P^(r,方)=8(t) - g(『)，0 < г < 1,
(29)
(29)
с дополнительным условием
1
(30)(30)]q(〃 t)pdp = Р⑴. о
(30)
(30)
Вводя обозначения
Q(r,方)=，m(广)q(r, t), к(")=Q(r,方)=，m(广)q(r, t), к(")=k(r,p)k(r,p)16/(广，方)=\K(r,p)Kp,t)pdp,о16/(广，方)=\K(r,p)Kp,t)pdp,о(31)(31)
Q(r,方)=，m(广)q(r, t), к(")=
Q(r,方)=，m(广)q(r, t), к(")=
k(r,p)
k(r,p)
1
6/(广，方)=\K(r,p)Kp,t)pdp,о
1
6/(广，方)=\K(r,p)Kp,t)pdp,о
(31)
(31)
кксле-сле-(32)(32)(33)(33)преобразуем интегральное уравнение (29) и дополнительное условие (30) дующему, удобному для анализа виду:
к
к
сле-
сле-
(32)
(32)
(33)
(33)
。⑴ Q(『," + (Z —y)6Q(『，U = ^4v —。，广，1,vm(r) V m(r)
1
5).
0
Таким образом, мы получили разрешающее двумерное интегральное уравнение (32), содержащее интегральные операторы как с постоянными, так и с переменными пределами интегрирования, а также дополнительное условие (32).
Будем искать решение уравнения (32) при условии (32) в классе функций, непрерывных по времени в 工2(。，1) (см., например, [1, 7]). Для этого построим сначала ортонормированную в Z；2(0, 1) систему функций такую, чтобы она содержала const/у m(r), а остальные функции базиса можно было представить в виде произведения функций, зависящих от г и весовой функции 1 /，加(广).Система функций, удовлетворяющая оговоренным выше условиям, может быть построена на основании [8]
оо
厶A…〃r2A厶…^1厶A…〃r2A厶…^1"厶…11n"厶…11n
厶A…〃r2
A厶…^1
厶A…〃r2
A厶…^1
"厶…11n
"厶…11n
Заметим, что гильбертово пространство 工2（0, 1） можно представить в виде прямой суммы ортогональных подпространств:
e2（0,1）=或（0,1）㊉或（0,1）,
где Z/?）（0, 1） — евклидово пространство с базисом р虱г）, а Ь^\о, 1） — гильбертово пространство с базисом р虱г） （к = 1, ..., оо）. Можно также заметить, что подынтегральную функцию и правую часть можно представить в виде суммы функций, непрерывных по t в40）（0,1） и^^О,!） соответственно, т. е.
Q（r,t） = Qo（r,t） + Q^r,t\ f（r,t） = /о（几方）+ 力（几方），（34）
где
Qo（广，方）=伙）⑴定（广），/（几方）= _，
/0（几方）=[V^o^W -ро]ро（Й，力（几方）=-91（广），9（L）=vML）血就（广）+91（叫•
Аналогично проделанному для плоских задач введем оператор ортогонального проектирования Z/2（0, 1） на L^\o, 1）:
1
。0貝几方）=]f（P，t）pAr）p«p）pdp.о
Очевидно, что оператор Pi = Z — 0° проектирует пространство Z/2（0, 1） на Z/J）（O, 1）. Кроме того, имеют место следующие соотношения:
% + 01 = Z, 先貝几方）=力（几方），0您（几方）=Qz（广,方），г = 0,1.（35）
Заметим, что в представлении для Q（『，方）нам известно Qo（『，方），которое определяются дополнительным условием （32） （оо（方）=°о（方）/д/^）, a Qi（广，方）требуется найти. Для правой части требуется определить /о（У，方），а /1（几方）задано функцией основания штампа. Отмеченные особенности позволяют классифицировать полученную в итоге задачу как частный случай обобщенной проекционной задачи [10].
Подействуем на уравнение （32） оператором ортогонального проектирования Pi, тогда получим уравнение для определения Qi（『，方）с известной правой частью:
c（UQi（『,"+ （Z —y）0i6Qi（『,"=—gi（『）一（Z—y）0i6QoK，“.
Его решение можно построить в виде ряда по собственным функциям оператора 016, который, как можно показать на основании [10], является вполне непрерывным, самосопряженным и сильно положительным оператором из L^ （0, 1） в L^f^O, 1）. Система собственных функций такого оператора составляет базис пространства L^^，1） [9]. Спектральная задача для оператора Pi может быть
записана в форме
。16以（广）=缘以K）,以（广）=e⑦:齊m，к =
К（”） = Е t ТтпР?п（Г）Р其р）,
т=0 п=0
工 Ттпф^ = （Зк'Фт^，加1…
Представляя искомые функции уравнения （32） в виде
Q（广，U = 。о⑴院（厂）+工玖⑴或（丁），
/（广，力）=[V^O^W -Po]Po（H -工 9kWk”
получим в результате, что неизвестные функции。卜（方）（k = 1, ..., оо） можно найти по формуле
+ рк
Kk = 工 70九或），k=l,…、
n=l3 ⑴
t
弘/（广,方）=]R观方,丁）/（丁,T） dr,
1
где R虱t,T）（k = 1,…，oo） — резольвента ядра
曜5（39）
Следует отметить, что полученное решение имеет следующую структуру:
公，方）=^7ук。⑴耳т+…，（40）
т. е. удается выделить в решении в явном виде весовую функцию m（r）, а значит и связанную с ней заменой （28） функцию жесткости покрытия Н（『）.
Теперь, отыскав Qi（『，方），подействуем оператором 0° на уравнение （32）:
。⑴。oQo（『,方）+ （Z-V）PoW（^,t） = [Vh5^-gMr\ （41） Отсюда получим формулу для осадки штампа
8⑴=8⑴=+e⑴00（方）+ （Z - y）+e⑴00（方）+ （Z - y）〃。。0⑴+工&玖⑴-k= 1■〃。。0⑴+工&玖⑴-k= 1■（42）（42）
8⑴=
8⑴=
+e⑴00（方）+ （Z - y）
+e⑴00（方）+ （Z - y）
〃。。0⑴+工&玖⑴
-k= 1■
〃。。0⑴+工&玖⑴
-k= 1■
（42）
（42）
Таким образом, получено аналитическое решение осесимметричной контактной задачи о взаимодействии жесткого кольцевого штампа с вязкоупругим стареющим слоем при наличии поверхностно неоднородного упругого покрытия.
Выводы.
Рассмотрены модели тел с поверхностно неоднородными покрытиями.
Сформулированы плоские и осесимметричные контактные задачи для таких тел.
Получены смешанные двумерные интегральные уравнения для плоского и осесимметричного случаев.
Построены решения смешанных уравнений, основанные на применении обобщенного проекционного метода [10].
Список литературы
Арутюнян Н.Х., Манжиров А. В. Контактные задачи теории ползучести. Ереван: Изд- во НАН РА, 1999. 318 с.
Арутюнян Н.Х., Манжиров А. В., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. М.: Наука, 1991. 176 с.
Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 488 с.
Манжиров А. В. Контактные задачи для неоднородно стареющих и вязкоупругих тел 〃 Механика контактных взаимодействий / Под ред. И. И. Воровича, В.М. Александрова. М.: Физматлит, 2001. С. 549-565.
Манжиров А. В. Износ поверхностно неоднородного шероховатого упругого слоя кольцевым штампом 〃 Труды III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием, 13-16 октября 2003 г., Ростов-на-Дону, Азов, Россия. Ростов-на- Дону: Новая книга, 2004. С. 260-264.
Ворован И. И., Александров В.М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.
Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.
Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 1962. 500 с.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 496 с.
Манжиров А. В. Смешанные интегральные уравнения контактной механики и трибологии 〃 Смешанные задачи механики деформируемого тела. Труды V Российской конференции и международным участием, 22-24 августа 2005 г., Саратов, Россия. Саратов: Изд-во Саратовск. гос. ун-та, 2005.
СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНЫХМАТЕРИАЛОВ И ЧАСТНЫЙ ПОСТУЛАТ ИЗОТРОПИИ
А. А. Маркин, M.Q. Соколова
Тульский государственный университет
В собственных подпространствах изотропного материала и всех типов анизотропных материалов формулируется аналог частного постулата изотропии, что позволяет построить асимптотически корректные нелинейные определяющие соотношения.
Связь между процессами деформирования и нагружения анизотропных материалов представляется в шестимерном декартовом пространстве, которое разделяется на два независимых трехмерных подпространства. В одном (диагональном) трехмерный вектор ставится в соответствие диагональным компонентам тензора, а в другом (сдвиговом) подпространстве трехмерный вектор соответствует смешанным компонентам симметричного тензора. Рассматриваются трехмерные базисы диагонального подпространства, различным образом ориентированные относительно материального базиса. При этом базисные векторы сдвигового подпространства остаются неизменными. В частности, рассматривается основной базис, векторы которого совпадают с векторами материального базиса, а также базисы А. А. Ильюшина и В. В. Новожилова и базис Шемякина-Христиановича. Выполняется условие независимости шестимерной траектории от выбора диагонального базиса.
В соответствии с определением Я. К. Рыхлевского [1], для изотропного и всех классов анизотропных материалов получены собственные значения и собственные направления шестимерных тензоров второго ранга. Эти тензоры в шестимерном пространстве являются образами трехмерных тензоров анизотропной линейной упругости четвертого ранга. В шестимерном пространстве выделяются собственные подпространства, которым соответствуют кратные собственные значения тензоров линейной упругости. Каждое собственное подпространство порождает единичный базисный тензор, изотропный относительно собственной группы ортогональных преобразований. Данное обстоятельство позволяет сформулировать для каждого собственного подпространства аналог частного постулата изотропии А. А. Ильюшина и построить асимптотически корректные нелинейные определяющие соотношения для анизотропных материалов.
Шестимерные образы процессов деформирования. Рассмотрим процесс деформирования в некоторой фиксированной точке среды, задаваемый симметричным тензором деформации 巨(方).В декартовом базисе еье2,ез, е分• ej = 8叮， симметричный тензор задается шестью компонентами:
£ = £^е 分 е^, £ij = £ji, i, j = 1,2,3.(1 • 1)
Тензору деформаций ? поставим в соответствие шестимерный вектор
(1.2)(1.2)э = эааа, а = 1,2, 3,4, 5,6.
(1.2)
(1.2)
Процессу деформирования среды в фиксированной точке 巨(方)в шестимерном пространстве ставится в соответствие траектория деформаций, которая является годографом вектора э = э⑴.
В разложении (1.2) векторы аа образуют ортонормированный базис шестимерного пространства 瓦：
а。• а。= 8а0・(L3)
В дальнейшем будем придерживаться правила индексации величин в трехмерном пространстве Ез буквами латинского алфавита, в шестимерном пространстве 瓦—буквами греческого алфавита.
Соответствие между тензором ? и вектором э устанавливается требованием равенства квадрата длины вектора э и свертки тензора ?:
э・э=Е・・М.(1.4)
Связь между компонентами тензора ? и компонентами вектора э определяется линейным оператором /3 таким, что
町=炉务%，% =阳沁(1.5)
Из соотношений (1.1), (1.4), (1.5) следует, что оператор /3 удовлетворяет условиям симметрии
% =呼第=型，(1.6)
условиям ортогональности
666
工(甯)2 = 1，e 2(需)2 = 1(工嚣附=0 (»kj.戶), a=la=la=l
e(%产=1，工少奇闻• =。(a # С)，(1.7)
а также условиям
第•用=砂，鸣•m=8網，(1.8)
из которых следует, что оператор /3 задается одной таблицей.
Дополнительное условие, накладываемое на оператор /3, является следствием требования, в соответствии с которым образ тензора, представляемого в главных осях, является трехмерным вектором. Пусть векторы е i, е2, ез являются главными (собственными) векторами тензора ?, тогда диадное представление этого тензора имеет вид
£ = £1 ei ei +£2е2е2 +в3е3е3,(1.9)
где £1,£2,£з — главные (собственные) значения тензора ?.
Вектор э в этом случае принадлежит трехмерному подпространству пространства 凡，er。разложение по базису имеет вид
э = 31al + 32a2 + э3а3 = з〃&,(1.Ю)
где з〃 = £分.
Из представления (1.10) и связи (1.5) следует, что если базис главных осей тензора ? и базис аь а2, аз его трехмерного образа э совпадают, оператор /3 имеет только три ненулевые компоненть匚
(1-П)(1-П)С11 =屏2 =玛3 = 1•
(1-П)
(1-П)
Если же базис ai, а2, аз произвольно ориентирован по отношению к базису главных осей е i,占2,旨3, то матрица оператора /3 принимает вид
/с} (4^ 0 0 0、
cf С2 с| 0 0 0
(Я =
cf с^ с| 0 0 0
•(1-12)
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
\0 0 0000/
Здесь с, = ^分• ад； — косинусы углов между базисами е^ и а^.
Рассмотрим случай, когда тензор ? задается в произвольном базисе еь е2, ез, не совпадающем с главным. Тогда матрица, связывающая компоненты тензора и его шестимерного образа, имеет вид
/с} С2 4 ооо \
cf С2 С3000
⑺=
с； eg с| 000
,(1.13)
0 0 0 1/v^00
0 0 001/v^0
[000001/v^ 丿
где 4 = е^ • ад；.
Изменение ориентации векторов аь а2, аз по отношению к базису материального пространства еь е2, ез позволяет строить для одного и того же тензора ?, отнесенного к фиксированному базису еь е2, ез, векторный образ с различными компонентами эь Э2, Э3. При этом компоненты 34 = /2, 无 = £23, Зб = £31 не изменяются.
Каждому единичному базисному вектору аа шестимерного пространства в трехмерном пространстве Ез соответствует симметричный тензор 不°). Компоненты тензоров совпадают с компонентами матрицы оператора (3, т. е.
(1-14)
Тем самым определены компоненты А-^ тензора, образом которого в шестимерном пространстве является вектор э = аа. Так как компоненты А^ отнесены к базису е〃，диадное разложение тензора 4(°) имеет вид
(1.15)(1.15)N9)= %е®.
(1.15)
(1.15)
Таким образом, шестимерному векторному базису аа в пространстве Е3 соответствует базис тензоров второго ранга, определяемых выражениями (1.15).
В зависимости от выбора взаимной ориентации векторов ai, а2, аз по отношению к векторам ei,е2,ез будем получать различные наборы соответствующих базисных тензоров 4(°). При этом будут изменяться тензоры А^Х\А^\А^\ а тензоры N(4)=鼻(е© + e2ei), N⑸=_L (e2e3 + e3e2), N⑹=^ (e3ei + e©) остаются неизменными.
Рассмотрим некоторые частные наборы базисов и их геометрическую интерпретацию.
Основной базис соответствует совпадению векторов ai, а2, аз и ei©©. Тогда N⑴=е©, N⑵=е2е2, N⑶=е3е3.
Базисы А.А. Ильюшина, В. В. Новожилова имеют вектор ai, равно наклоненный к векторам ei, е2, ез, а векторы а? и аз расположены в октаэдрической плоскости. В зависимости от ориентации векторов а2 и аз в этой плоскости получим тензорный базис А. А. Ильюшина [2]
N⑴N⑴(eiei + е?е2 + езез),(eiei + е?е2 + езез),%⑵=^ (2eiei - е2е2 — е3е3),%⑵=^ (2eiei - е2е2 — е3е3),(е2©2 - езез)(е2©2 - езез)
N⑴
N⑴
(eiei + е?е2 + езез),
(eiei + е?е2 + езез),
%⑵=^ (2eiei - е2е2 — е3е3),
%⑵=^ (2eiei - е2е2 — е3е3),
(е2©2 - езез)
(е2©2 - езез)
и базис В. В. Новожилова [3]
N⑴=^ (eiei + е2е2 + е3е3),N⑴=^ (eiei + е2е2 + е3е3),N⑵ =^ (2е3е3 - eiei - е2е2),N⑵ =^ (2е3е3 - eiei - е2е2),
N⑴=^ (eiei + е2е2 + е3е3),
N⑴=^ (eiei + е2е2 + е3е3),
N⑵ =^ (2е3е3 - eiei - е2е2),
N⑵ =^ (2е3е3 - eiei - е2е2),
N⑶=^ (е2е2 - е©).
Базис Шемякина-Христиановича [4] получим из условий
ai = ^ (ei + е3), а2 = е2, а3 = ^ (ei - е3).
Тензорный базис в этом случае определяется выражениями
%⑴=^ (е© + е3е3), N⑵=е2е2, N⑶=^ (е© - е3е3).
Ориентация рассмотренных векторных базисов относительно материальных осей, направленных вдоль векторов ei,е2,ез, показана на рис. 1.
Рис. 1. Ориентация векторных базисов: а — основной базис; 6 — базис Ильюшина; в — базис Шемякина-ХристиановичаРис. 1. Ориентация векторных базисов: а — основной базис; 6 — базис Ильюшина; в — базис Шемякина-Христиановича
Рис. 1. Ориентация векторных базисов: а — основной базис; 6 — базис Ильюшина; в — базис Шемякина-Христиановича
Рис. 1. Ориентация векторных базисов: а — основной базис; 6 — базис Ильюшина; в — базис Шемякина-Христиановича
Рассмотренные примеры показывают, что при неизменном выборе базиса трехмерного пространства еь е2, ез изменение оператора /3, удовлетворяющего условиям (1.12), приводит к ортогональному преобразованию (повороту и отражению) базиса а1,а2,аз шестимерного пространства. Поскольку ортогональное преобразование базиса шестимерного пространства не влияет на вид траектории деформаций, то ее внутренняя геометрия не зависит от выбора базиса а1,а2,аз.
Пусть соответствие между тензором ? в трехмерном пространстве и вектором э в шестимерном пространстве фиксировано, т. е. оператор /3 выбран и в дальнейшем не изменяется. В свою очередь базис трехмерного пространства еь е2, ез подвергается ортогональному преобразованию с оператором Q = ^-е^е^, причем
е• = е^ • Q = QT • ei? QT = Q~{.(1.16)
Тогда каждому тензору А^ (1.15) может быть поставлен в соответствие тензор (%9)У =啰県；=啰炉••侖=0т • N9)• Q,(1」7)
и, соответственно, каждому вектору аа в шестимерном пространстве соответствует вектор а[, являющийся образом тензора (А^у. Векторы а[ связаны с векторами аа ортогональным преобразованием шестимерного пространства т:
а] = а。• ш.(1.18)
Умножим обе части соотношения (1.18) на вектор а。：
а] • а。= аа • m • а^,
и в правой части равенства получим
та(з = а] • а。= (а])。.
Найдем компоненты вектора а[ в базисе а。，используя (1.5), (1.17) и (1.4):
加。0 = (а])。= /3?(厶9))打=^qikqijA^ =也qikqijВ4
и, окончательно, получим выражения для компонент оператора т в базисе аа шестимерного пространства:
= С? BRiqikqij •(1・19)
Для базиса А. А. Ильюшина выражения для компонент т^в были получены в работе [2], для базиса В. В. Новожилова — в работе [3], для обобщенного базиса А. А. Ильюшина — в работе [5].
Важно отметить, что полная группа ортогональных преобразований шестимерного пространства является 21 -параметрической. Ортогональные преобразования Q трехмерного пространства являются трехпараметрическими. Поскольку оператор преобразований m пространства Eg связан с преобразованиями Q, то при фиксированном /3 ортогональные преобразования т образуют трехпараметрическую подгруппу полной группы пространства 石6・
Собственные упругие состояния изотропных и анизотропных материалов. В каждой точке траектории деформаций э(方)построим соответствующий тензору напряжений S = S叮е分е^, S^ = S切，вектор напряжений о = сгааа. Связь между компонентами тензора S и вектора о определяется соотношениями (1.5).
Пусть напряжения и деформации связаны тензорно-линейными соотношениями
S = N или S叮=Nijki^ki,(2.1)
где N = NijkiGiejek^i — тензор упругости четвертого ранга, компоненты которого симметричны по парам индексов:
ij kl = Njbkl = N”ik = Nkldj.
Линейной связи между тензорами напряжений и деформаций (2.1) соответствует линейная связь между векторами а и э, которая записывается при помощи тензора второго ранга п =八。汕^。：
а = п-э.〜(2.2)
Тензор п является образом четырехвалентного тензора N в пространстве Eq. Установим связь между компонентами па^ и Мдк%. Для этого запишем (2.2) в индексной форме и выразим сга, э^ через С切，£就 по формулам (1.5):
Оа =八 а030；С S叮=Па[3 0%%kl・
Умножим обе части последнего равенства на /3為冷 и на основании (1.8) получим
РтпРа ^ij =炉吼八00С？Е胱，S切=%Т1оф阳£爲 откуда следует искомая связь
2加=吟7M猾以7M =资M加/4(2.3)
Соотношения (2.3) при выбранном операторе /3 устанавливают взаимно-однозначное соответствие между компонентами тензора четвертого ранга М海 и компонентами 八。0 изображающего его в пространстве Eq тензора второго ранга.
При исследовании структуры закона Гука в работе Яна Рыхлевского [1] было введено понятие собственных упругих состояний материала. Тензор деформаций С。называется собственным тензором оператора N, если выполняется условие
= Аайа.(2.4)
Здесь б。= (Ма •• Ма)—“2 3a — тензоры, нормированные таким образом, что
В шестимерном пространстве условие (2.4) принимает вид
八•①а =，а①а,(2.5)
где векторы ®а являются шестимерными образами тензоров
В работе [5] приведены разложения тензоров п по диадам основного базиса и базиса В. В. Новожилова для изотропного материала и различных типов анизотропии. Исходя их этих представлений найдем структуру собственных значений и расположение собственных векторов для тензоров п, соответствующих различным материалам.
Изотропные материалы. Представление тензора п для изотропного материала в основном базисе шестимерного пространства имеет вид
五 2s = ni(aiai + aia2 + aia3 + a2al + a2a2 + a2a3 + a3ai + a3a2 + a3a3) +
+ n2(aiai + a2a2 + a3a3 + a4a4 + a5a5 + a6a6), (2.6)
где 八1 = /\,八2 = 〃 一 константы Ляме.
Характеристическое уравнение (2.5) для изотропного материала имеет только два различных корня: Ai = ЗА + 从，入2 =入3 =入4 =入5 =入6 = 〃• Собственный вектор ®i, соответствующий значению Ai = Ni, определяется в основном базисе разложением
®i = -^ (ai + а? + аз).(2.7)
Любые векторы, лежащие в пятимерном подпространстве, ортогональном ®i, являются собственными векторами изотропного тензора п и соответствуют кратному собственному значению 必=为==猫=入5 = % В частности, в качестве таких векторов можно взять векторы базиса А. А. Ильюшина, ортогональные к ®i. При этом каждый из этих векторов является образом девиатора.
Разложение тензора изотропной упругости по собственному базису может быть представлено в следующем виде:
八"s = 7Vi®i®i + N^ (®2®2 + Ю3Ш3 +(04Ш4 +(05Ш5 + Об①6).(2.8)
Закон Гука в собственном базисе принимает вид
о = Мэ ⑴ + А^э ⑵，(2.9)
где э⑴=®i®i • э, э(2)= (®2®2 + юз®з + ®4®4 + ®5®5 + ®б®б) • э — проекции вектора деформаций в собственные подпространства.
Представление образа тензора деформаций в шестимерном пространстве в виде э = э⑴ + э(2)соответствует разложению этого тензора на шаровую и девиатор- ную составляющие. Важным свойством представления (2.9) является сохранение СООСНОСТИ векторов。⑵=(®2®2 + ®3®3 + ®4®4 + ®5®5 + ®б®б) • О И Э⑵ При Любых ортогональных преобразованиях пятимерного девиаторного подпространства. Это а,0=6
значит, что для любого ортогонального оператора 济(2)= 工 m^a^a^ и вектора а, 0=2
тэ(2)= э(2)•济⑵ из (2.9) следует, что 飞⑵=。⑵，济⑵• В соответствии с терминологией А. А. Ильюшина [2] это значит, что образ процесса в пятимерном девиаторном подпространстве не изменяется при его вращении и отражении в этом подпространстве.
Анизотропия типа кубической сингонии. Здесь и в дальнейшем векторы материального базиса еь е2, ез будем совмещать с главными осями анизотропии материала. Следуя В. В. Новожилову [6], главными осями анизотропии будем называть главные оси тензора напряжений, возникающих в ответ на чисто объемную деформацию.
Для материалов кубической сингонии диадное представление тензора п в основном базисе имеет вид [5]
псиЬ = nn(aiai + a2a2 + а3а3) + ni2(aia2 + a2al + aia3 + a3ai + а2а3 + а3а2) +
+ 八 44З4a4 + a5a5 + абаб), (2.10) где 八”，八 12,八44 — константы материала.
В этом случае корни характеристического уравнения (2.5) имеют вид
Ai = пп + 2п12 = Ni, А2 = A3 = пн - П12 = №, А4 = А5 = Аб =八44 = N3,
(2.Н)
а соответствующие собственные векторы представляются в базисе аа разложениями
(2.12)(2.12)®1 = ^^ (а】+ а? + аз), ®2 = ^^ (—а〔 — а? + 2аз),®з = ^ ⑶-ai), ®4 = а4, ®5 = а5,佻=аб.
(2.12)
(2.12)
В силу кратности корней 入2,入3 любой вектор, лежащий в плоскости ®2, ®з, является собственным. Кратность корней А4, А5, Аб означает, что любой вектор трехмерного подпространства с базисными векторами а<, as, ag является собственным.
Разложение тензора упругости кубического материала по собственному базису может быть представлено в виде
(2.13)(2.13)псиЬ =7V1®1®1 + №((02 ① 2 + ®3®3)+ ^V3(®4®4 + ®5®5 + ®6®6)«
(2.13)
(2.13)
Закон Гука в собственном базисе принимает вид
о = Мэ ⑴ + N?3 ⑵ + №з ⑹,о = Мэ ⑴ + N?3 ⑵ + №з ⑹,(2.14)(2.14)
о = Мэ ⑴ + N?3 ⑵ + №з ⑹,
о = Мэ ⑴ + N?3 ⑵ + №з ⑹,
(2.14)
(2.14)
где Э⑴=®1®1 • Э, Э(2) = (®2®2 + ®3®3)• 9, 9(3) = (®4®4 + ®5®5 + ®6®6)* Э — Проекции вектора деформаций э в собственные подпространства тензора псиЬ.
Из представления (2.14) следует, что ортогональные преобразования подобраза процесса, расположенного в плоскости векторов ®2, ®з, не изменяют его внутренней геометрии и взаимной ориентации проекций векторов деформаций и напряжений в эту плоскость. Аналогичным свойством изотропии относительно ортогональных преобразований трехмерного подпространства с базисом ©4,05, ®б обладает проекция образа процесса в это подпространство.
Материалы гексагональной сингонии и трансверсально-изотропный материал. Тензор упругости для этих материалов имеет диадное разложение по основному базису в виде
五 gs = nn(aiai +а2a2) + пзза3аз + ni2(aia2 + a2ai) +
+ ni3(aia3 + a3ai + a2a3 + a3a2) + (八 11 — ni2)a4a4 + n55(a5a5 + a6a6),(2.15)
где Иц,П12,П1з,П33,П55 — константы материала.
Для тензора (2.15) определены четыре различных собственных значения:
A1,2 = }(八11 + П33 + 八 12 土 J(八11 -八33 + 八 12)2 + 8/^3} 入3 =入4 =八 11 -八 12,
'5 ='6 =八55,и собственные векторы, которые имеют разложения по векторам основного базиса:®1,2 = аз соза 士 彳(ai + a2) sina, ®з = ^ (ai — a2),
®4 = a4,®5 = a5,®6 = аб・
Тензор упругости гексагонального материала имеет в базисе собственных векторов канонический вид
n9S = 7V1®1®1 + 7V2®2®2 + ^3(9383 + ®4®4)+ Ж(®5®5 + ®6®6),(2.16)
где TVi = Ai, 7V2 =入2, ^з = A3 =猫，乂 =木=凡・
Закон Гука для гексагонального и трансверсально-изотропного материалов в собственном базисе записывается в виде
о = Мэ ⑴ + №э ⑵ + №з（з）+ 7У4Э（4）,（2.17）
где Э⑴=®1®1 • Э, Э（2） = ®2®2 • Э, Э（з）= （®3®3 + ®4®4）* Э, Э（4）= （®5®5 + ®6®6）* Э — проекции вектора деформаций э в собственные подпространства тензора ri9S.
При ортогональных преобразованиях процесса а（з）（+） в плоскости векторов ®з, ®4, соответствующей кратным корням A3 = А4, сохраняется соосность векторов о（з）и э（з）, следовательно, подобраз процесса в этой плоскости изотропен. Аналогично следует, что изотропным в плоскости векторов ®5, ®б является подобраз о（4） и 9（4） •
Четыре различных собственных значения имеет тензор упругости и у материалов, относящихся к тригональной сингонии, однако собственные векторы этого тензора ориентированы относительно векторов основного базиса более сложным образом. Тригональные материалы также имеют два двумерных собственных подпространства. В каждом из этих подпространств проекции векторов напряжений и деформаций соосны и обладают свойством изотропии относительно собственных ортогональных преобразований.
Материалы, относящиеся к тетрагональной сингонии. Для этих материалов найдены пять различных собственных значений, поэтому только два значения кратны. Если обозначить Ai = TVi, А2 = N2, A3 = N3, А4 = W4, А5 = ^6 = =册，то тензор упругости для тетрагональных материалов в собственном базисе представляется в виде
衣 tg = N1C01С01 + 7V2®2®2 + N3CO3CO3 + TV4®4®4 + ^5（0505 + ®6®g）,
а закон Гука принимает вид
о = Nia ⑴ + Л^э ⑵ + №з（з）+ Nq ⑷ + №。⑹,（2.18）
где Э⑴=®1®1 • Э, Э（2） = ®2®2 • Э, Э（з）= ®3®3 • Э, Э（4）= ®4®4 • Э, Э（5）= （®5®5 + + ®б®б） • а — проекции вектора деформаций э в собственные подпространства тензора №.
При ортогональном преобразовании процесса а（5）（方）в плоскости векторов ©5, ®б сохраняется взаимная ориентация векторов о（5）и э（5）. Подобраз процесса о（5）, э（5） изотропен в этой плоскости.
Ромбическая, моноклинная и триклинная сингонии. У этих материалов тензоры упругости имеют шесть различных собственных значений. В этих случаях плоскости и подпространства изотропии отсутствуют. Все собственные подпространства являются одномерными. Закон Гука для этих материалов принимает вид
а=6
0=£%3（а）,（2.19）
а=1
где э（а）= ®а®а • э — векторы, которые являются образами собственных деформаций.
Отметим, что для материалов, описываемых соотношениями （2.19）, не сохраняется соосность векторов。（。） и 9（a） ни при каких ортогональных преобразованиях, так как все собственные значения тензора упругости различны и не существует собственных подпространств, отличных от одномерных.
Из анализа полученных выше результатов следует, что у линейно-упругих изотропных материалов и четырех типов анизотропных материалов, относящих-
ся к кубической, гексагональной, тригональной и тетрагональной сингониям, в шестимерном пространстве выделяются изотропные собственные подпространства, которым соответствуют кратные собственные значения тензоров упругости. Каждому собственному подпространству соответствует единичный базисный тензор 五（а）, представляемый суммой диагональных диад собственных векторов. Из данного условия следует изотропия базисных тензоров относительно группы ортогональных преобразований соответствующего собственного подпространства. Для любого ортогонального оператора 历（。）из группы ортогональных преобразований некоторого собственного многомерного подпространства выполняется условие
济（0）•五（0）•历9）=方9）. （2.20）
Операторы 济⑷ из （2.20） образуют в каждом собственном подпространстве, соответствующем кратным собственным значениям тензора упругости Х。，группу собственных ортогональных преобразований. Эта группа включает в себя как подгруппу преобразования рассматриваемого подпространства, порождаемые поворотами и отражениями в материальном пространстве и связанные с ними соотношениями （1.19）.
Для изотропного и каждого типа анизотропного материалов вектор деформаций можно представить разложениями вида э = £а（а）, в которых векторы э（。） представляют собой проекции вектора деформаций э в собственные подпространства. Проекции в собственные подпространства, соответствующие кратным собственным значениям, оказываются инвариантными относительно ортогональных преобразований т^, входящих в （2.20）. Впервые разложения для деформаций, обладающие свойствами инвариантности, были построены Б. Е. Победрей [7] и названы спектральными разложениями тензоров деформаций.
Нелинейные определяющие соотношения, частный постулат изотропии для анизотропных материалов. Для линейно-упругих материалов связь между процессом деформации э（а）（з（а）） в собственном подпространстве и соответствующим процессом нагружения может быть представлена в следующем виде:
О（а） = N013 g）（S ⑺）. （3.1）
В соотношениях （3.1） 9（a）（s（a）） — закон деформирования — зависимость вектора деформации от длины траектории s（a）； — упругая постоянная для собственного подпространства, соответствующего значению %; og）（s（a）） — закон изменения вектора напряжений.
По определению А. А. Ильюшина, траектория деформирования с построенным в каждой ее точке соответствующим вектором напряжений составляют образ процесса. Из выражения （3.1） и свойства （2.20） следует, что для линейно-упругих материалов образ процесса остается неизменным при ортогональных преобразованиях （поворотах и отражениях） траектории деформирования в каждом собственном подпространстве, не являющемся одномерным. В частности, для изотропного материала это условие выполняется в пятимерном девиаторном подпространстве. В случае кубической сингонии условие изотропии образов выполняется в плоскости векторов ®2, ®з и в трехмерном подпространстве ®4, ®5, ®б, в случае трансверсальной изотропии — в плоскостях ®з, ®4 и ®5, ®б，Тетрагональной сингонии соответствует изотропия образов в плоскости ®5, ®б.
Сформулированное А.А. Ильюшиным требование сохранения образов процессов было распространено на нелинейные определяющие соотношения для начально изотропных материалов при малых деформациях. Данное требование было названо
автором частным постулатом изотропии [2]. В соответствии с этим постулатом образы процессов, расположенные в пятимерном девиаторном подпространстве, не изменяются при ортогональных преобразованиях процесса деформации (нагружения). Многочисленные эксперименты [8] показали, что частный постулат выполняется с достаточной степенью точности для малых деформаций. Это связано и с тем, что частный постулат в силу закона Гука асимптотически выполняется на начальной (упругой) стадии процесса.
Представляется естественным следующее обобщение частного постулата на нелинейные анизотропные матерпалн: образы процессов, расположенные в собственных подпространствах тензора начальной упругости, соответствующих кратным собственным значениям, изотропны относительно группы собственных ортогональных преобразований.
Следствием данного утверждения является представление связи между векторами деформаций и напряжений в собственном подпространстве в виде
)(3(a)，x[a)，…p"(3-2)
i=l
В соотношениях (3.2) %(а)(^(а))——кривизны собственной траектории; т > > 1 — размерность собственного подпространства;也。)一функции интенсивности собственной деформации зд)= (э(а)• эд))»? и m — 1 кривизн; р；°)— единичные векторы собственного базиса Френе.
Естественным представляется асимптотическое требование вырождения закона (3.2) в закон Гука вида (3.1) при з(а)一 0, так как для любого материала при сколь угодно малых деформациях должна существовать начальная упругая стадия процесса, когда частный постулат выполняется по определению.
Список литературы
Рыхлевский Я. О законе Гука 〃 Прикладная математика и механика. 1984. Т. 48, вып. 3. С.420-435.
Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.
Черных К. Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988. 192 с.
Христианович С.А., Шемякин Е.И. К теории идеальной пластичности 〃 Инж. ж. МТТ. 1967. №4.
Соколова М.Ю. Структурные тензоры анизотропии в пространстве А. А. Ильюшина 〃 Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7, вып. 2. Механика. С.173-178.
Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.
Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1974. 206 с.
Васин Р.А. Об экспериментальном исследовании функционалов пластичности в теории упругопластических 〃 Пластичность и разрушение твердых тел. М. Наука, 1989. С. 40-57.
РОЛЬ МЕЗО-МАКРО ЭНЕРГООБМЕНА В ПРОЦЕССАХДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯСТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Ю.И. Мещеряков
Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург
Проведен анализ экспериментальных результатов по энергообмену между структурными уровнями динамического деформирования материалов. На основе одномерной модели динамического деформирования, в которой замыкание балансных уравнений проводится с помощью кинетического уравнения для функции распределения мезообъемов по скоростям, выводится критерий перехода от эволюционного к катастрофическому режиму энергообмена. Показано, что для смены режима энергообмена необходимо, чтобы скорость изменения дисперсии массовой скорости была больше скорости изменения средней скорости.
Введение. Одной из основных задач динамики материалов является установление связи между микроструктурными характеристиками материала и его откликом на динамическое нагружение. За последние несколько десятилетий было разработано большое число теоретических моделей, базирующихся на динамике микроструктуры и, в частности, на динамике дислокаций. Однако эта связь до конца не выяснена не только количественно, но и качественно. Одной из причин подобного положения является ошибочное представление о возможности установления закономерностей макроскопического отклика твердого тела на динамическое нагружение только на основе микроструктурных данных, полученных при исследовании материалов после динамического деформирования или разрушения. В действительности адекватное моделирование динамических процессов должно базироваться на данных микрокинетики, полученных в реальном масштабе времени, т. е. в процессе динамического деформирования или разрушения. Это требует разработки новых методов регистрации, способных in situ измерять динамический отклик материала не только на макроуровне, но и на более низких структурных уровнях. Единственной и наиболее информативной характеристикой динамического оклика материала до настоящего времени является временной профиль скорости свободной поверхности, регистрируемой при одноосном ударном нагружении плоских мишеней. Этот профиль характеризует изменение во времени средней массовой скорости или давления в материале и косвенно, через форму фронта волны, характеризует влияние микроструктуры.
Наряду с усовершенствованием экспериментальных методик, требуется разработка принципиально новых теоретических подходов к описанию сильнонеравновесных процессов в твердом теле, учитывающих нелокальный характер протекающих процессов и их самосогласованность. Поскольку движение элементарных носителей деформации в структурно-неоднородной среде стохастично, их кинетика в общем случае должна описываться на языке функции распределения частиц по скоростям или на языке ее статистических моментов. Нелокальность взаимодействия в таком подходе обеспечивается выбором потенциала взаимодействия частиц, а самосогласованность — замыканием на макроскопические уравнения
баланса импульса и массы. Аналогом подобного подхода является кинетическое уравнение Власова в физике плазмы, где нелокальность обеспечивается даль- нодействующим взаимодействием зараженных частиц, а самосогласованность — замыканием на макроскопические уравнения Максвелла [1].
Первым статистическим моментом функции распределения частиц по скоростям является средняя скорость частиц, обычно измеряемая в форме временного профиля скорости свободной поверхности при использовании скоростного интерферометра типа «VISAR». Второй статистический момент функции распределения —это дисперсия скорости частиц (или среднеквадратичное отклонение скорости), являющаяся усредненной макроскопической характеристикой кинетики структуры. Хотя методы молекулярной динамики давно используют эту характеристику для описания динамики структурно-неоднородных сред (в западной научной литературе она больше известна как «granular temperature»), сделаны только первые шаги в направлении создания последовательной макроскопической теории, включающей дисперсию [2-5]. Что касается экспериментальных методик измерения дисперсии на нескольких структурных уровнях, то их разработка ставится как одна из наиболее актуальных проблем динамики материалов [6-7]. К настоящему времени разработаны методики регистрации дисперсии скорости частиц в отдельности на мезоуровне-1 (1-10 мкм) [8] и мезоуровне-2 (50-200 мкм), [9]. Однако для учета процессов энергообмена между структурными уровнями требуется экспериментальная методика, которая позволяла бы регистрировать динамический отклик материала по крайней мере на трех структурных уровнях одновременно — мезоуровне-1, мезоуровне-2 и макроуровне.
Мезоскопический уровень деформации. Впервые мезоскопический структурный уровень был введен при рассмотрении процессов квазистатического деформирования [10-11]. Согласно первым работам, наиболее характерной чертой мезоуровня является пространственная и зарядовая гетерогенизация дислокационной структуры под действием напряжения 丁 на масштабах порядка длины свободного пробега дислокаций (рис. 1).
Рис. 1
Мезообъемы V с поляризованной дислокационной структурой рассматриваются как квазичастицы, имеющие эффективный дислокационный заряд q = АрА V, где △/)— плотность дислокационного заряда. Теоретически показано, что указанные квазичастицы имеют значительно больший радиус дальнодействия по сравнению с одиночными дислокациями.
Дальнейшее развитие мезомеханики показывает, что зарождение мезоструктуры при квазистатическом деформировании происходит не только при достаточно больших величинах пластической деформации, но и в упругой области деформирования. В последнем случае крупномасштабные структуры возникают в результате
нелинейного взаимодействия решеточных мод деформирования. Так, современная микродеформационая теория кристаллической решетки, базирующаяся на точном решении нелинейного уравнения синус-Гельмгольца [12], предсказывает развитие неустойчивости кристаллической решетки, подверженной воздействию в нелинейно-упругой области деформирования. Зарождение таких структур, как мезоротации, полосы локализованного сдвига, винтовые структуры, и их комбинаций происходит задолго до начала развитой пластичности. Если градиент деформации не превосходит некоторой критической величины, эти структурные образования могут исчезнуть при разгрузке материала, так что на этой стадии процесс их зарождения обратим. При более высоких градиентах деформации происходит бифуркационный переход от упругой стадии деформирования к пластической, в результате чего появляются реальные дефекты структуры мезоскопического масштаба, наблюдаемые в образцах методами микроструктурных исследований.
Как указывалось во введении, мезоскопический уровень деформирования и разрушения может подразделяться на два или более подуровней. Например, микроструктурные исследования откольной зоны в стали 30ХН4М показывают [13], что процесс динамического разрушения предполагает наличие по крайней мере двух масштабных уровней — мезоуровня-1 (10-20 мкм) и мезоуровня-2 (50-500 мкм). На рис. 2 представлены статистические распределения пространственных размеров для продольных (h и Н) и поперечных (d и О) ступенек откольной щели, подтверждающие многомасштабность процесса динамического разрушения.
Следует отметить, что в отличие от квазистатики, где под мезочастицами понимаются конкретные дефекты структуры материала, такие как скопления дислокаций, дефекты упаковки, вихревые структуры и другие структурные образования масштаба 0,1-10 мкм, в случае динамического деформирования понятие мезочастицы имеет более общий смысл. В последнем случае мезочастицы — это полевые пространственные структуры, отличительной особенностью которых является наличие скоррелированного по скорости движения точек среды. Время жизни подобных структур определяется продолжительностью процесса динамического деформирования. Поскольку в гетерогенной среде каждой мезочастице, как отдельному структурному образованию с одинаковой или близкой скоростью всех входящих в него материальных точек, присуща своя собственная скорость, динамически деформируемая среда характеризуется разбросом частиц по скоростям, а флюктуации скорости мезочастиц могут отбирать существенную часть импульса и энергии, передаваемых нагружаемой среде. Как показывают последние эксперименты [14], общепринятое представление о том, что 90% работы пластического деформирования материала немедленно преобразуется в тепло, не всегда соответствует действительности. Установлено, что на временах микросекундного диапазона длительностей нагружения только 30-35% этой работы преобразуется в тепло, т. е. идет на раскачку тепловых флюктуаций на атомном уровне, в то время как остальная часть работы расходуется на создание мезоструктуры. Механизмом структурообразования как раз и являются крупномасштабные флюктуации скорости среды на мезоуровне, количественной характеристикой которых служит дисперсия скорости мезочастиц.
Под энергоемкостью мезоуровня понимается часть кинетической энергии, которая передана среде в виде случайного распределения мезочастиц по скоростям. В процессе динамического деформирования материала происходит непрерывный энергообмен между макро- и мезоуровнем, а также между разными его подуровнями. В стационарных волновых фронтах этот энергообмен обратим. Это значит, что в первой половине фронта волны имеет место отбор энергии с макроуровня
О !!!О 102030d, мкм1,2О !!!О 102030d, мкм1,2ОО10203040h, мкм10203040h, мкм8 6 4 о,о, ^^ws^ GASBGH8 6 4 о,о, ^^ws^ GASBGH0,2-0,2-о-Оо-О50 100 150 200 250 300 35050 100 150 200 250 300 350Н, мкмН, мкм%%0,20,2200 400 600 800 1000 1200200 400 600 800 1000 12008 6 4 о,о, AEcnuCDp ^>^^«^л8 6 4 о,о, AEcnuCDp ^>^^«^лО, мкмО, мкмРис. 2. Пространственное распределение продольных （九,Л） и поперечных элементов от- кольной щели в стали 30ХН4МРис. 2. Пространственное распределение продольных （九,Л） и поперечных элементов от- кольной щели в стали 30ХН4М
О !!!
О 102030
d, мкм
1,2
О !!!
О 102030
d, мкм
1,2
О
О
10203040
h, мкм
10203040
h, мкм
8 6 4 о,о, ^^ws^ GASBGH
8 6 4 о,о, ^^ws^ GASBGH
0,2-
0,2-
о-О
о-О
50 100 150 200 250 300 350
50 100 150 200 250 300 350
Н, мкм
Н, мкм
%
%
0,2
0,2
200 400 600 800 1000 1200
200 400 600 800 1000 1200
8 6 4 о,о, AEcnuCDp ^>^^«^л
8 6 4 о,о, AEcnuCDp ^>^^«^л
О, мкм
О, мкм
Рис. 2. Пространственное распределение продольных （九,Л） и поперечных элементов от- кольной щели в стали 30ХН4М
Рис. 2. Пространственное распределение продольных （九,Л） и поперечных элементов от- кольной щели в стали 30ХН4М
на мезоуровень, в то время как во второй половине фронта протекает обратный процесс — энергия с мезоуровня переходит на макроуровень. В нестационарных волнах обратимость процесса энергообмена нарушается. Не вся энергия, получен-
ная мезоуровнем в виде дисперсии скорости мезочастиц, возвращается обратно на макроуровень — значительная часть ее может быть затрачена на образование необратимых структур мезоскопического масштаба — ротаций, полос локализованного сдвига и других образований.
Функция распределения частиц по скоростям и ее статистические моменты. Эксперименты по ударному нагружению материалов показывают, что зарождение мезоструктуры происходит не только в нелинейной области упругого квазистатического деформирования, но и в случае динамического нагружения. Установлено также, что распределение частиц по скоростям на мезоуровне свойственно не только пластическому фронту упруго-пластической волны, но и упругому предвестнику [15].
«Юм -SSKbo^m5& ojcuAduA §^bsc-cs<«Юм -SSKbo^m5& ojcuAduA §^bsc-cs<12
«Юм -SSKbo^m5& ojcuAduA §^bsc-cs<
«Юм -SSKbo^m5& ojcuAduA §^bsc-cs<
10
8
6"
4~
2-
Толщина мишени, мм
Рис. 3. Зависимость амплитуды упругого предвестника от толщины мишени в алюминииД-16: 1 — кварцевый датчик, 2 — скоростной интерферометр
Чтобы убедиться в этом, были проведены два типа экспериментов по ударному нагружению алюминиевого сплава Д-16. В первой партии опытов регистрацию скорости свободной поверхности плоских мишеней осуществляли с помощью кварцевых датчиков, в то время как во второй партии — с помощью скоростного интерферометра. Результаты испытаний представлены на рис. 3. Видно, что зависимость амплитуды упругого предвестника от толщины мишени наблюдается только в случае регистрации кварцевыми датчиками, т. е. на макроуровне. Отсутствие такой зависимости на мезоуровне свидетельствует о распределении мезочастиц по скоростям, приводящем к потере интерференционного контраста скоростного интерферометра.
В отличие от квазистатического деформирования, наиболее важной особенностью высокоскоростной деформации твердых тел является появление пространственных и временных корреляций среди элементарных носителей пластической деформации. Именно коллективные эффекты, как результат этих корреляций, приводят к зарождению структурных элементов, пространственный масштаб которых много больше масштаба исходных структурных элементов. Поскольку экспериментальная методика и теория, представленные в настоящем рассмотрении, базируются на статистическом подходе к многомасштабным процессам динамического
деформирования, ниже кратко представлены основные определения, касающиеся этого подхода. В основе описания неравновесных процессов в нем лежит понятие функции распределения частиц по скоростям (или плотности вероятности), обычно используемое в кинетической теории жидкости.
Согласно определению функции распределения частиц по скоростям, величина /(『，о,方)означает математическое ожидание числа частиц в объеме dr в момент времени от 方 до 方 + d方，имеющих скорости в диапазоне от и до о + dv. Условия нормировки требуют, чтобы интегрирование по всему пространству скоростей давало суммарное число частиц
I /(г, V, t) drdv = N. (3.1)
Последнее справедливо только в том случае, если мы имеем дело с однотипными частицами. Если имеется множество типов частиц, каждый из которых характеризуется своей собственной функцией распределения 启(广，。，方),то условия нормировки должны выполняться для каждого типа частиц:
(3.2)(3.2)fag и,方)drdv = Na,
(3.2)
(3.2)
где Na — это число частиц сорта а (здесь и далее пределы интегрирования по пространству скоростей опущены). Из условий нормировки (2.2) следует, что величина na(r, t), определяемая выражением
(3.3)(3.3)dvfa(r, V, t) = na(r, t),
(3.3)
(3.3)
имеет смысл средней плотности частиц сорта а. Для плотности массы получим
(3.4)(3.4)。(匸 t) =£ тапа = £ 加。］du fa", и, t).
(3.4)
(3.4)
Гидродинамическое течение среды характеризуется скоростью переноса массы. Определим массовую скорость с помощью соотношения
〃(广,方)=川(3.5)
где
{V а) = ^/na)^vfa{r, V,t)dva.
Кроме переноса массы со средней скоростью имеет место относительное движение частиц с локальной хаотической скоростью:
сa = △%,(二 U,方)=рa - "(二力).(3.6)
Ее средняя величина
(1/%(几方))］九(广,储方)(必一〃)d。==®а — 〃(『,")(3.7)
называется диффузионной скоростью. Введем еще одну характеристику относительного перемещения отдельных компонент мезоструктуры, которая определяет
перенос импульса. Плотность потока ж-проекции импульса для а-го сорта частиц (относительно гидродинамического течения со скоростью “) равно
^а \ dVafаСахСа = ТПаТ1а {сахСа^ .
Перенос различных компонент импульса определяется тензором
Pa,ik =加。八а〈％,分 ％卜)，(3・8)
который называется кинетическим тензором давления. В механике жидкости и газа тензор pg) постулируется как симметричный. Что касается мезомеханики, то кинетический тензор давления в общем случае не является симметричным, поскольку компоненты диффузионной скорости в (3.9) не одинаковы в разных направлениях как вследствие исходной анизотропии материала, так и вследствие несимметрии пространственных корреляций элементарных носителей пластической деформации на мезоуровне.
Заметим, что для однокомпонентной мезоструктуры диффузионная скорость равна нулю. В случае частиц одного сорта вместо выражений (3.4)-(3.8) имеем
f fvdv
= у dv' u =; Pik = j CiCkfdv' c = v -u.(3.9)
В этом случае для характеристики флюктуативных свойств динамически деформируемого тела удобно использовать понятие дисперсии скорости частиц:
D2 = ^v-u)2fdv.(3.10)
В целях удобства сопоставления с экспериментальными результатами в настоящей статье вместо дисперсии скорости частиц используется корень квадратный из дисперсии D (среднеквадратичное отклонение скорости).
Одним из необходимых шагов при построении любой кинетической теории, в том числе и для мезоструктуры, является определение равновесной функции распределения частиц по скоростям. В механике жидкости и газа таковой является максвелловская функция распределения
扑标匸 и,方)=п(т/2тткТ)3^2 exp[-m(v - и)2/2кТ].(3.11)
В случае мезоструктуры величину (т/2кТ) необходимо заменить на дисперсию скорости мезочастиц D2:
严(匸0,方)=小,U方)^^ехр[-£,(3.12)
где n(r, v, t) — это средняя плотность мезочастиц, 〃分(厂，о,方)—г-я компонента массовой скорости и D^(r, v, t) — дисперсия г-й компоненты массовой скорости, которая теперь играет роль «температуры» мезоуровня.
Первый статистический момент функции распределения, т. е. средняя скорость частиц 〃(匸方)，характеризует макроскопическое поведение среды в условиях динамического деформирования. Обычно получаемые с помощью интерферометра типа «VISAR» или скоростных датчиков временные профили средней скорости содержат информацию только о средней скорости среды. Что касается мезоскопических эффектов, то они определяются статистическими моментами более высокого порядка, такими как дисперсия скорости частиц и эксцесс или асимметрия функции
распределения. Их величина характеризует относительные скорости мезочастиц, хотя и на языке статистического описания среды. Последнее означает, что когда мы говорим о дисперсии скорости мезочастиц в условиях динамического деформирования материала, мы не можем конкретно определить параметры движения элементарного носителя деформации на мезоуровне. Мы не можем также идентифицировать тип мезочастицы — группа дислокаций, граница наклона, полоса локализованного сдвига или ротация. Все эти образования обычно наблюдаются при микроструктурных исследованиях материалов после ударного нагружения. Более того, последние теоретические исследования в области мезомеханики показывают [3], что в условиях динамического деформирования указанные образования не являются полностью сформированными структурами. Более естественным для динамики материалов является представление о мезочастицах как о полевых структурах, которые могут трансформироваться в дефекты структуры только при определенных условиях — временных или силовых.
Дисперсия скорости частиц не остается постоянной, а непрерывно изменяется вдоль временного профиля средней скорости частиц. Как показывает эксперимент, в стационарных волновых фронтах дисперсия достигает своего максимального значения в середине пластического фронта, что касается нестационарных волновых фронтов, поведение дисперсии не столь очевидно.
Мезо-макро энергообмен и распространение плоских волн в среде с дисперсией скорости мезочастиц. Анализ экспериментальных данных по ударному нагружению материалов показывает, что существует два режима энергообмена между макро- и мезоуровнями динамического деформирования — плавный, эволюционный, и катастрофический, при котором существенно увеличивается дисперсия скорости среды на мезоуровне, в то время как средняя скорость резко падает.
Проверка данного утверждения была проведена в процессе ударных испытаний многих материалов (см., например, [13]). В качестве примера на рис. 3, 4 приведены временные профили средней скорости и дисперсии скорости частиц на мезоуровне, полученные при плоском ударном нагружении двух мишеней из двух партий стали 30ХН4М, прошедших разную термообработку. Временные профили средней скорости и дисперсии скорости получены при использовании двухканального скоростного интерферометра [8]. Несмотря на то, что скорости ударника близки для этих опытов, временные профили средней скорости и дисперсии скорости обладают существенными различиями. В первом случае средняя скорость плавно достичь своего максимального значения, равного 310 м/с, в то время как во втором случае происходит срыв пластического фронта при скорости 160 м/с (точка В на профиле средней скорости). Поведение дисперсии скорости оказывается противоположным — как дисперсия, так и скорость ее нарастания существенно выше во втором случае. Второй пример соответствует «катастрофическому» режиму энергообмена между мезоуровнем и макроуровнем, при котором за время действия ударной нагрузки импульс средней скорости не успевает достичь своего максимального значения, в то время как дисперсия скорости возрастает взрывным образом.
Для вывода критерия смены режима энергообмена с эволюционного на катастрофический рассмотрим распространение одномерной плоской волны в среде, для которой свойственно распределение частиц по скоростям на мезоуровне. Без учета процессов теплопроводности движение среды описывается двумя балансными уравнениями:
—уравнением сохранения импульса
ди да“I、
"I)
—уравнением неразрывности
黑=I'(4Z
Здесь 历—это полная (упругая плюс пластическая) скорость деформации среды. Она может быть представлена в виде
尻 АТ дир1々а、
瓦=瓦+石・(43
Тогда уравнение неразрывности можно записать в виде
(4.4)(4.4)ди _ АТ дир1дх dt дх
(4.4)
(4.4)
Подобное представление известно в континуальной теории дислокаций, где последнее слагаемое записывается через так называемый тензор плотности потока дислокаций [16]:
тп .
(4.5)(4.5)дитдхп,
(4.5)
(4.5)
。泳=%i^； ит =幣
Здесь Jmn — это тензор плотности потока дислокаций, wmn тензор упругой дисторсии и Um — это полное (упругое плюс пластическое) смещение.
В одномерном случае нормальная компонента напряжения ai следующим образом записывается через шаровую компоненту (давление) Р и девиатор Si：
内=Р —Si.(4.6)
Для случая одномерного распространения плоской волны
0:=(入 + 2从)冴.(4.7)
С учетом (4.7) уравнения баланса импульса и массы (4.1)-(4.4) могут быть сведены к следующему уравнению гиперболического типа с источником в правой части:
д2и1 д2и _ d2upl 1A2c4n
где со =(入 + 2从)/ — продольная скорость звука.
Рассмотрим подробнее правую часть уравнения (4.8). В случае нестационарного пластического фронта скорость массопереноса 〃°‘，соответствующая пластической деформации может быть представлена состоящей из равновесной и неравновесной частей:
иР1 = и^1 + <,(4.9)
0\s -SHOO^OS аинаноимё aoHhHIBdBBHMaHBado0\s -SHOO^OS аинаноимё aoHhHIBdBBHMaHBado
0\s -SHOO^OS аинаноимё aoHhHIBdBBHMaHBado
0\s -SHOO^OS аинаноимё aoHhHIBdBBHMaHBado
O\s -SHOO^OS аинаноимё ^Ош£йл^лт«^ш5лоO\s -SHOO^OS аинаноимё ^Ош£йл^лт«^ш5ло
O\s -SHOO^OS аинаноимё ^Ош£йл^лт«^ш5ло
O\s -SHOO^OS аинаноимё ^Ош£йл^лт«^ш5ло
6
Рис. 4. Временные профили скорости свободной поверхности (/) и среднеквадратичного отклонения скорости (2) для мишеней стали 30ХН4М первой партии (а) и второй партии (6)
о/о dv,о/о dv,嘴/ = В I v/i dv,嘴/ = В I v/i dv,каждая из которых в соответствии с (3.9), определяется равновесной 加 и неравновесной /1 частями функции распределения мезочастиц по скоростям, а именно:
о/о dv,
о/о dv,
嘴/ = В I v/i dv,
嘴/ = В I v/i dv,
(4.Ю)
(4.Н)
где
(4.12)(4.12)/ = /о + /1
(4.12)
(4.12)
полная функция распределения частиц по скоростям на мезоуровне. В случае волнового движения среды равновесная часть функции распределения — это распределение Максвелла, сдвинутое относительно средней массовой скорости среды в волне и:
/『Б^ехР〉13^]. (4.13)
Для определения неравновесной части функции распределения /1 можно воспользоваться кинетическим уравнением релаксационного типа [16]:
(4.14)(4.14)
(4.14)
(4.14)
где тг — время релаксации функции распределения к равновесному состоянию. В динамически деформируемом твердом теле, из-за малой длительности времен релаксации на мезоуровне, изменение функции распределения мезочастиц по скоростям за счет релаксационных процессов происходит много быстрее, чем за счет конвективного массопереноса, в связи с чем первыми двумя членами в левой части уравнения (4.14) можно пренебречь, т. е.
OV Tr откуда
力=f。方常. (4.16)
В общем случае среднее ускорение частиц〈力)должно определяться из потенциала их взаимодействия как =—grad II. Однако потенциал взаимодействия мезочастиц не является центральным и к настоящему времени его вид не определен. Поэтому мы используем связь среднего ускорения с дисперсией скорости мезочастиц.
Распространение упруго-пластических волн в структурно-неоднородной среде является случайным процессом и в этом смысле ансамбль мезочастиц в динамически деформируемой среде не отличается от других типов статистических ансамблей, описываемых на языке функции распределения частиц по скоростям. Мы видели также, что в основе дальнодействия сил взаимодействия мезочастиц лежит механизм поляризации внутренней структуры вследствие разделения по знаку дислокационного ансамбля. Мы воспользуемся этой аналогией с плазмой для описания связи между макроскопическим откликом структурно-неоднородной
среды на ударно-волновое воздействие и кинетикой структуры на мезоскопическом масштабном уровне.
Для ансамбля частиц со случайным характером взаимодействия и с дальнодействием, к которым принадлежат также и мезочастицы, поведение функции распределения может быть описано кинетическим уравнением Фоккера-Планка [17, 18]:
*+* + £?一兴+ 总。2/).(4」7)
dt dr m dv dv
Левая часть этого уравнения описывает конвективный перенос плотности вероятности вследствие изменения функции распределения в координатах: «время — конфигурационное пространство — пространство скоростей». Правая часть уравнения указывает, за счет чего происходит это изменение. Первый член в правой части, так называемый дрейфовый член, характеризует усредненное изменение плотности вероятности в пространстве скоростей, в то время как второй член описывает влияние случайных флюктуаций скорости частиц.
。2 =〈△^"〉— коэффициент диффузии частиц в пространстве скоростей, характеризующий скорость изменения дисперсии скорости частиц 〈△^△о) = D2.
D\ =〈；；〉— коэффициент динамического трения, который характеризует скорость изменения среднего отклонения скорости частиц 〈△о) от их средней (потоковой) скорости в ударной волне. Величина 〈△о) — среднее изменение скорости, которое мало по сравнению с изменениями скорости на макроскопическом масштабе, например на пластическом фронте волны; At — промежуток времени, в течение которого скорость частицы изменяется на величину (△о). Таким образом, коэффициент динамического трения в уравнении Фоккера-Планка имеет смысл среднего ускорения мезочастицы, т. е. (Av) = D\ и определение среднего ускорения мезочастиц сводится к нахождению первого диффузионного коэффициента уравнения Фоккера-Планка.
В работе [18] показано, что между диффузионными коэффициентами D\ и D? имеет место следующее соотношение:
7 警.(4.18)
Это соотношение утверждает, что в гетерогенной среде, для которой свойственны флюктуации скорости частиц, диффузионные коэффициенты не являются независимыми величинами. Первый диффузионный коэффициент равен скорости изменения второго диффузионного коэффициента в пространстве скоростей. В свою очередь второй диффузионный коэффициент 。2 непосредственно связан с дисперсией скорости частиц〈△^△о) = D2 как
== £(4.19)
Отрезок времени △方，в течение которого скорость мезочастицы заметно изменяется, может быть взят равным tr — времени релаксации функции распределения частиц по скоростям. Это время соответствует такому изменению состояния системы частиц, при котором они успевают обменяться импульсами в результате взаимодействия друг с другом. Тогда
(4.20)
и выражение (4.18) может быть переписано в следующем виде:
(4.21)
Из этого соотношения следует, что первый диффузионный коэффициент может быть выражен через дисперсию скорости частиц D2. Тогда неравновесная часть функции распределения равна
力J(4.22)
С учетом (4.18) и (4.22) получим для неравновесной части средней скорости массопереноса
ОО00
嗎JJT加=2肃. (4.23) —00—сю
Полученное выражение гласит, что в отсутствие сдвиговой релаксации среды, когда девиаторная часть тензора напряжений равна нулю (Si = 0), неравновесный массоперенос осуществляется за счет изменения дисперсии скорости мезочастиц.
Обратимся теперь ко второму члену в уравнении (4.18). В общем случае напряжение apl также состоит из равновесной и неравновесной частей:
М =姆 + 或，(4.24)
где(7pZ характеризует величину напряжения на адиабате Гюгонио:
о『=pCiu.(4.25)
В тензоре напряжений о『=Р — Si величина Р характеризует шаровую компоненту, в то время как Si определяет релаксационные свойства среды. Здесь мы хотим учесть только влияние дисперсии на распространения пластических волн в гетерогенной среде и поэтому полагаем, что релаксационный член не дает вклада в перенос импульса, т. е. Si = 0. Перенос импульса во фронте волны при этом осуществляется за счет его перекачки с мезоуровня на макроуровень за счет изменения флюктуативной компоненты скорости частиц. Крупномасштабные флюктуации скорости частиц на мезоуровне играют такую же роль, как и термофлюктуации на микроскопическом масштабном уровне — они определяют среднее давление в среде. Поэтому шаровая компонента напряжения на мезоуровне Р может быть определена через дисперсию скорости мезочастиц D2, которая в данном случае играет роль температуры мезоуровня:
Р =户(4.26)
Подставляя в (4.18) выражения (4.19), (4.23), (4.25) и (4.37), получим
Первый и третий члены в правой части уравнения, относящиеся к равновесной части переноса импульса, взаимно уничтожаются, так как на адиабате Гюгонио этот процесс стационарен и х =以九 Иными словами, равновесные компоненты
иР1 скорости не дают вклада в изменение интегрального профиля пластического фронта волны на мезоуровне. Тогда уравнение (4.27) может быть записано в виде
2a_^2 д2 рв2\ б> /dD2\2a_^2 д2 рв2\ б> /dD2\(4.28)(4.28)Для производных в правой части уравнения могут быть записаны следующие выражения:Для производных в правой части уравнения могут быть записаны следующие выражения:а dtдх[ и дх \dt [и дх \dt [и дх \ J(4.29)а дхди=2^[ и ди \дх [и ди \дх [и ди \ J(4.30)а2 Гб=2^(2+ 4曲 2+ 2〃贵亚].. и ди \дх дх [и ди \а« и а〃(4.31)С учетом (4.29)-(4.31) уравнение (4.28) принимает вид『阴雾）]д2и*=2^[〃.2衿+碎?产衿+3力дх L и ди ]дх дх V и ди ]а dtдх[ и дх \dt [и дх \dt [и дх \ J(4.29)а дхди=2^[ и ди \дх [и ди \дх [и ди \ J(4.30)а2 Гб=2^(2+ 4曲 2+ 2〃贵亚].. и ди \дх дх [и ди \а« и а〃(4.31)С учетом (4.29)-(4.31) уравнение (4.28) принимает вид『阴雾）]д2и*=2^[〃.2衿+碎?产衿+3力дх L и ди ]дх дх V и ди ](4.32)(4.32)+ 2$ ［营門-2碎［营If］Г矍卜+ 2$ ［营門-2碎［营If］Г矍卜Нетрудно заметить, что в том случае, когда2(2狗=1,\ и ои /уравнение (4.32) сводится к уравнениюНетрудно заметить, что в том случае, когда2(2狗=1,\ и ои /уравнение (4.32) сводится к уравнениюд2 и _ ди f D dD\ 3力2 dt \ и дх 7д2 и _ ди f D dD\ 3力2 dt \ и дх 7(4.33)(4.34)(4.33)(4.34)ВыражениеВыражениеможет быть преобразовано следующим образом:может быть преобразовано следующим образом:(D dD\ _ D 3D ди \и дх J и ди дх'(D dD\ _ D 3D ди \и дх J и ди дх'или, с учетом (4.33),или, с учетом (4.33),ZD др\ _也丄 \ 7z дх ) dt СоZD др\ _也丄 \ 7z дх ) dt Со(4.35)(4.35)Подставляя (4.35) в (4.32), получим обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение для средней скорости и, описывающее процессы, в которых затухание пропорционально квадрату ускорения (〃')？：Подставляя (4.35) в (4.32), получим обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение для средней скорости и, описывающее процессы, в которых затухание пропорционально квадрату ускорения (〃')？：+(Х『=0.Решение этого уравнения в общем случае имеет вид+(Х『=0.Решение этого уравнения в общем случае имеет вид(4.36)(4.36)〃 =〃о + "1 In t〃 =〃о + "1 In t(4.37)(4.37)
2a_^2 д2 рв2\ б> /dD2\
2a_^2 д2 рв2\ б> /dD2\
(4.28)
(4.28)
Для производных в правой части уравнения могут быть записаны следующие выражения:
Для производных в правой части уравнения могут быть записаны следующие выражения:
а dt
дх
[ и дх \dt [и дх \dt [и дх \ J
(4.29)
а дх
ди
=2^
[ и ди \дх [и ди \дх [и ди \ J
(4.30)
а2 Гб
=2^(
2+ 4曲 2+ 2〃贵亚].
. и ди \дх дх [и ди \а« и а〃
(4.31)
С учетом (4.29)-(4.31) уравнение (4.28) принимает вид
『阴雾）
]д2и
*=2^[〃.2衿+碎?产衿+
3力дх L и ди ]дх дх V и ди ]
а dt
дх
[ и дх \dt [и дх \dt [и дх \ J
(4.29)
а дх
ди
=2^
[ и ди \дх [и ди \дх [и ди \ J
(4.30)
а2 Гб
=2^(
2+ 4曲 2+ 2〃贵亚].
. и ди \дх дх [и ди \а« и а〃
(4.31)
С учетом (4.29)-(4.31) уравнение (4.28) принимает вид
『阴雾）
]д2и
*=2^[〃.2衿+碎?产衿+
3力дх L и ди ]дх дх V и ди ]
(4.32)
(4.32)
+ 2$ ［营門-2碎［营If］Г矍卜
+ 2$ ［营門-2碎［营If］Г矍卜
Нетрудно заметить, что в том случае, когда
2(2狗=1,
\ и ои /
уравнение (4.32) сводится к уравнению
Нетрудно заметить, что в том случае, когда
2(2狗=1,
\ и ои /
уравнение (4.32) сводится к уравнению
д2 и _ ди f D dD\ 3力2 dt \ и дх 7
д2 и _ ди f D dD\ 3力2 dt \ и дх 7
(4.33)
(4.34)
(4.33)
(4.34)
Выражение
Выражение
может быть преобразовано следующим образом:
может быть преобразовано следующим образом:
(D dD\ _ D 3D ди \и дх J и ди дх'
(D dD\ _ D 3D ди \и дх J и ди дх'
или, с учетом (4.33),
или, с учетом (4.33),
ZD др\ _也丄 \ 7z дх ) dt Со
ZD др\ _也丄 \ 7z дх ) dt Со
(4.35)
(4.35)
Подставляя (4.35) в (4.32), получим обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение для средней скорости и, описывающее процессы, в которых затухание пропорционально квадрату ускорения (〃')？：
Подставляя (4.35) в (4.32), получим обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение для средней скорости и, описывающее процессы, в которых затухание пропорционально квадрату ускорения (〃')？：
+(Х『=0.
Решение этого уравнения в общем случае имеет вид
+(Х『=0.
Решение этого уравнения в общем случае имеет вид
(4.36)
(4.36)
〃 =〃о + "1 In t
〃 =〃о + "1 In t
(4.37)
(4.37)
Выражение (4.33) может быть преобразовано к виду
(4.38)(4.38)
(4.38)
(4.38)
При выполнении условия (4.38) волновое движение среды сменяется резким затуханием массовой скорости. Видно, что условие катастрофического срыва пластического фронта определяется как отношением дисперсии скорости к средней скорости, так и отношением скоростей их изменения (ускорений).
Проведем некоторые оценки, применяя полученное выше критериальное соотношение для обработки профилей скорости и дисперсии, представленных на рис. 4. Наиболее крутому участку пластического фронта АВ профиля средней скорости для первой партии стали 30ХН4М (см. рис. 4, а) соответствует скорость изменения о. dv 25 • 102 см/с ° 1 см
средней скорости о = 丁 =厂=3,14 • 1011
PPdt (344 - 320) -10-9 сс2
На этом же временном интервале скорость изменения дисперсии равна:
力 _ dD _25,9 • 102 см/с _ ° 达 ^п см
~ ~di ~ (344 - 320) • 10~9 с 一声
Абсолютные значения средней скорости и дисперсии скорости в точке А равны о = 290 м/с и D = 25,9 м/с. Таким образом, 2 = 0,047, — = 0.07 и f = VV\ V V J
=0,003 « 0,5, что отвечает эволюционному режиму энергообмена, при котором пластический фронт плавно выходит на свое максимальное значение.
Аналогичные расчеты для профилей средней скорости и дисперсии для профилей средней скорости и ширины распределения, представленных на рис. 2, дают соответственно: о = 160 м/с, D = 140 м/с,力=0,3 • 1011 м/с2, Ь = 0,75 • 1011 м/с2 и (2 2) = 2,18 > 0,5, что соответствует условию катастрофического режима энергообмена (4.38). В этом случае в точке В профиля средней скорости происходит срыв пластического фронта и на плато импульса сжатия скорость свободной поверхности оказывается существенно ниже скорости ударника, соответствующей симметричному соударению. Это уменьшение средней скорости произошло в результате перекачки импульса и энергии с макроуровня на мезоуровень. В данном случае «нехватка» скорости на плато составила V1mp — Ufs = 320 — 160 м/с = =160 м/с.
Таким образом, разные режимы отпуска стали 30ХН4М соответствуют разной степени скоростной однородности материала и подвижности его мезоструктуры, что в свою очередь соответствует разным режимам энергообмена между мезоскопическим и макроскопическим уровнями динамического деформирования.
Полученное в экспериментах и выведенное из простой модели условие смены режима энергообмена между мезо- и макроуровнями динамического деформирования может играть важную роль не только в материаловедении, но также в прогнозировании и предсказании землетрясений. К настоящему времени имеется густая сеть сейсмических станций, постоянно регистрирующих как плавные, эволюционные перемещения коры Земли, так и хаотические локальные подвижки. Эта информация может быть использована для применения критерия (4.38) в целях предсказания таких катастрофических явлений, как землетрясения или извержения вулканов.
Мезо-макро энергообмен и динамическая прочность материала. Чтобы отразить роль энергообмена между структурными уровнями в динамической прочности материала, запишем полный внутренний баланс энергии в динамически деформируемом твердом теле для случая, когда микро-, мезо- и макрокомпоненты внутренней энергии разделены [5]:
дЕе , едге , dEms , msdsms , дЕтс , тсдетсдЕе , едге , dEms , msdsms , дЕтс , тсдетс=0.=0.(5.1)(5.1)
дЕе , едге , dEms , msdsms , дЕтс , тсдетс
дЕе , едге , dEms , msdsms , дЕтс , тсдетс
=0.
=0.
(5.1)
(5.1)
дЕе—этодЕе—этоdEms 庆3dEms 庆3=0,=0,(5.5)(5.5)
дЕе
—это
дЕе
—это
dEms 庆3
dEms 庆3
=0,
=0,
(5.5)
(5.5)
Сумма первого и второго членов характеризует баланс упругой энергии;
это изменение упругой энергии, переданной деформируемой среде, изменение работы упругих сил. В этом случае возможны две ситуации:
1)匹у =(5.2)
(5.3)
Первое уравнение отражает баланс внутренней упругой энергии тела. Если баланс упругой энергии не выполняется, избыток внутренней энергии передается ЗЕ1ns
на мезоуровень. Здесь 出 —это изменение внутренней энергии на мезоуровне. Внутренняя энергии мезоуровня включает две составляющие:
(5・4)(5・4)Ems = pD2 + 碼.
(5・4)
(5・4)
Первый член характеризует энергию упругих флюктуаций, которая определена через дисперсию скорости частиц на мезоуровне D^. Второй член в общем случае определяется через потенциальную энергию 石跋 упругого взаимодействия мезочастиц через моментные напряжения. Изменение внутренней энергии мезоуровня осуществляется за счет формирования мезоструктуры и описывается членом
crm——• Если выполняется равенство
энергетический обмен между мезо- и макроуровнями отсутствует. В том случае, когда оба равенства (5.2) и (5.4) не выполняются, внутренняя энергии изменяется за счет процессов на макроуровне, описываемых следующими членами:
(5.6)(5.6)дЕтс д^с
(5.6)
(5.6)
Первый член характеризует изменение внутренней энергии за счет теплопроводности, второй член — это изменение энергии вследствие пластической работы в случае вязкого тела и зарождения трещин в случае хрупкого тела.
Применим выписанные выше балансные соотношения для вывода критерия динамического разрушения с учетом дисперсии скорости частиц на мезоуровне D2 и дефекта средней скорости Ли. Согласно развитому в настоящей статье подходу, в процессе динамического деформирования происходит непрерывный энергообмен между макро- и мезоуровнями. Этот энергообмен протекает в виде перекачки энергии с макроуровня, приводя к уменьшению средней скорости на величину △〃. Эта
dEms 巫3_a宀dEms 巫3_a宀(5.7)(5.7)
dEms 巫3_a宀
dEms 巫3_a宀
(5.7)
(5.7)
энергия идет на раскачку флюктуаций на мезоуровне. Количественной характеристикой интенсивности флюктуаций на мезоуровне является дисперсия скорости частиц D2. В режиме динамического равновесия энергия мезофлюктуаций равна оттоку энергии с макроуровня. Однако если энергия, переданная с макроуровня на мезоуровень, больше, чем мезоуровень может взять в форме флюктуаций скорости частиц, избыточная энергия диссипируется. Процесс диссипации описывается двумя последними членами уравнения (5.1). Поскольку в случае высокоскоростных процессов теплопроводностью можно пренебречь, единственным механизмом диссипации энергии остается вязкое или хрупкое разрушение материала.
Предположим для определенности, что избыток внутренней энергии тратится на работу вязких сил. Другими словами, мы принимаем, что доминирует вязкий механизм разрушения материала, в то время как отток энергии из зоны разруше-
ния вследствие баланс энергииния вследствие баланс энергиитеплопроводности пренебрежимо мал (^=0).В этом случае запишется как
ния вследствие баланс энергии
ния вследствие баланс энергии
Рассмотрим каждый член этого уравнения в отдельности. Первый член слева характеризует скорость изменения обратимой энергии мезофлюктуаций. Если принять потенциальную энергию моментного взаимодействия мезочастиц равной нулю (石得=0), получим
(5.8)(5.8)(5.9)(5.9)dEms ап2
(5.8)
(5.8)
(5.9)
(5.9)
что после интегрирования по времени дает
Ems = p/DZ
(5.10)(5.10)Второй член в левой части уравнения (5.7) характеризует потери энергии за счет формирования мезоструктуры. Это формирование протекает за счет уменьшения макроскопической скорости на △〃. Тогда ат = рсрАи и мы имеем
(5.10)
(5.10)
=一心"e亦
Интегрирование по времени дает
。侬^^~ = -р ^ucp^ /)Аи2.(5.11)
(5.12)(5.12)Правая часть уравнения (5.7) характеризует работу вязких сил. В нашем рассмотрении мы принимаем, что вся разница между потерей энергии на макроуровне и энергией мезофлюктуаций идет на работу вязких сил. Скорость изменения энергии за счет работы вязких сил на макроуровне равна
(5.12)
(5.12)
Здесь 〃 — это кинематическая вязкость и = 〃|^ — вязкое напряжение. После интегрирования по времени получим
〃 =〃/0 — это динамическая вязкость среды. Подстановка (5.9), (5.11) и (5.13) в (5.7) приводит к следующему балансному соотношению:
рст^ - pcmD2 =从△〃户рст^ - pcmD2 =从△〃户(5.14)(5.14)
рст^ - pcmD2 =从△〃户
рст^ - pcmD2 =从△〃户
(5.14)
(5.14)
Это уравнение можно записать в виде
(5.15)
Если под £°s = £纱 понимать критическую деформацию, при которой наступает вязкое разрушение материала, выражение (5.15) можно рассматривать в качестве критерия вязкого разрушения. В этом случае величины среднеквадратичного отклонения скорости Dcr и потери средней скорости △〃” также имеют смысл критических величин. Критерий (5.15) утверждает, что разрушение наступает при определенной величине отношения энергии потерь к энергии флюктуаций скорости на мезоуровне. Заметим, что обе последние величины могу быть измерены в опыте, что позволяет определить критическую деформацию для данного материала при ударном нагружении.
250250O/N -SOO&WO к^к맫ьоO/N -SOO&WO к^к맫ьо00 864208642 044444433333 222222222200 864208642 044444433333 2222222222о ‘ 24о ‘ 24440440460460480480о50о50о25о2580706050403020100 0 一 一 一 一 一 一 一5480706050403020100 0 一 一 一 一 一 一 一54O/Nsgodos0винвноюшэ BOHWUBdBBmsBHBBdoO/Nsgodos0винвноюшэ BOHWUBdBBmsBHBBdo
250
250
O/N -SOO&WO к^к맫ьо
O/N -SOO&WO к^к맫ьо
00 864208642 04
4444433333 2222222222
00 864208642 04
4444433333 2222222222
о ‘ 2
4
о ‘ 2
4
440
440
460
460
480
480
о
50
о
50
о
2
5
о
2
5
80706050403020100 0 一 一 一 一 一 一 一54
80706050403020100 0 一 一 一 一 一 一 一54
O/Nsgodos0винвноюшэ BOHWUBdBBmsBHBBdo
O/Nsgodos0винвноюшэ BOHWUBdBBmsBHBBdo
Скорость ударника, м/с
Рис. 5. Зависимости среднеквадратичного отклонения скорости (/), дефекта средней ско-рости (2) и откольной скорости W от скорости ударника для 2-миллиметровых мишенейиз стали 40ХСНМА
Равенство △“ = D соответствует равновесной ситуации, при которой потери средней скорости равны среднеквадратичному отклонению скорости. В этом случае материал обладает максимальной динамической прочностью, что хорошо иллюстрируется на рис. 5.
О влиянии процессов на фронте импульса сжатия на откольную прочность материала и сопротивление высокоскоростному внедрению. Как известно, откольное разрушение материала в плоских волнах нагрузки является результатом интерференции волн разгрузки, распространяющихся от свободных
поверхностей ударника и мишени внутрь мишени. При определенном соотношении между толщинами мишени и ударника внутри мишени создаются растягивающие напряжения, приводящие к отколу. Принято считать, что откольная прочность является достаточно объективной характеристикой динамической прочности материала на растяжение в микросекундном диапазоне длительностей нагружения [18]. В действительности при прохождении переднего фронта импульса имеет место предварительное сжатие материала. Прежде чем в откольной зоне будут созданы растягивающие напряжения, динамическое сжатие может достичь некоторой критической величины, в результате чего в материале произойдут необратимые структурные и прочностные изменения.
Время, мкс
Рис. 6. Временной профиль средней скорости и среднеквадратичного отклонения в стали 30ХН4М
На рис. 6 представлены зависимости скорости свободной поверхности плоской мишени из стали 30ХН4М и среднеквадратичного отклонения скорости от времени. Получаемый при регистрации скоростным интерферометром профиль средней скорости имеет несколько зон, которые четко прослеживаются во всех опытах: отрезок О А7 — упругий предвестник, ААХ — пластический фронт, АВ — переходная зона, ВС — пологий участок пластического фронта, CD — плато импульса сжатия, на котором скорость остается постоянной, DE — упругий предвестник разгрузки и EF — пластический фронт разгрузки, Ua — скорость свободной поверхности на переднем фронте импульса в точке, где резко изменяется угол наклона фронта, прежде чем последний перейдет в плато импульса, W — разность между максимальным значением скорости свободной поверхности и ее значением на заднем фронте в точке первого реверса скорости (иногда эту величину называют откольной скоростью, так как с ее помощью вычисляется откольное напряжение а = 0,5 0c°曲).
На макроскопическом уровне форма переднего фронта и длительность отдельных участков импульса сжатия характеризуют динамику процессов, протекающих на микроуровне в момент прохождения ударной волны. Количественной характеристикой макроскопического отклика среды на ударное нагружение является
пространственно-временной профиль средней скорости, обычно регистрируемый при ударных испытаниях плоских мишеней в условиях одноосной деформации. Количественной характеристикой флюктуационных процессов на микроуровне является температура как мера интенсивности хаотических движений атомов. На более высоких структурных уровнях, в частности на мезоуровне, количественной характеристикой флюктуационных свойств среды является дисперсия скорости частиц. В настоящее время установлено, что характер поведения дисперсии в процессе ударного нагружения зависит от того, является волна стационарной или нестационарной (см. рис. 4). Экспериментально и теоретически показано, что в стационарных волнах дисперсия достигает максимального значения в середине пластического фронта и стремится к нулю при приближении к вершине фронта [3]. Из рис. 6 видно, что в тот момент, когда дисперсия скорости становится равной нулю, угол наклона фронта резко уменьшается, что свидетельствует об изменении механизма релаксации напряжений. Начиная с этого момента релаксация осуществляется за счет другого механизма, причем его включение происходит не мгновенно, а в течение переходной стадии (отрезок АВ\ По окончании переходной стадии напряжение вновь начинает расти, но с другой скоростью. В сущности, переход на новый режим динамического деформирования можно рассматривать как структурный переход, инициированный ударным нагружением. Средняя скорость Ua, соответствующая началу переходной стадии, определяет динамический порог структурного перехода, который может быть обратимым или необратимым в зависимости от скорости деформации и факторов, рассмотренных ранее в п. 4. На рис.7 представлена зависимость скорости свободной поверхности, соответст-
300 250 200 150 100 50 0
050100150200250300Скорость ударника, м/с050100150200250300Скорость ударника, м/сРис. 7. Зависимости порога структурной неустойчивости Ua и откольной скорости Жот скорости ударника для бериллия
050100150200250300
Скорость ударника, м/с
050100150200250300
Скорость ударника, м/с
вующей этому порогу, от скорости ударника Ua = /(°уд) для поликристалличе- ского бериллия. Видно, что при скорости ударника 120 м/с на кривой зависимости Ua = /(t/уд) имеется излом, после которого угол наклона заметно уменьшается. На рис. 7 приведена также зависимость откольной скорости от скорости ударника W = /(t/уд). Откольное разрушение материала начинается при скорости ударника,
соответствующей излому на кривой зависимости Ua = /(t/уд). Это значит, что при скорости ударника / = 120 м/с в процессе структурного перехода в материале происходят необратимые изменения, в результате чего изменяется сопротивление материала ударному нагружению.
Были проведены испытания серии материалов — медь М-2, алюминиевый сплав Д-16, броневая сталь 40ХСНМА, мартенситно-стареющая сталь 02 Н18 К9М5-ВИ, никелевый сплав ХН75ВМЮ и др. Структурные переходы при динамическом сжатии наблюдаются для всех исследуемых материалов. Установлено, что чем выше порог неустойчивости материала на сжатие, тем выше его откольная прочность. Для проверки этого утверждения были проведены испытания двух партий высокопрочной конструкционной стали 38ХНЗМФА. Одна из партий испытана в состоянии поставки, другая подвергнута стандартной температурной обработки с закалкой и средним отпуском. Результаты испытаний представлены на рис. 8. Для первой партии стали (рис. 8, а) структурная неустойчивость наступает при скорости ударника Uy^ = 200 м/с, в то время как для второй (рис. 8, б)— при t/уд = 263 м/с. Для первой партии стали пороговая скорость структурной неустойчивости “еуст = 159 м/с, для второй Онеуст = 232,7 м/с. Соответственно, для первой партии откольная скорость изменяется от 159 до 180 м/с (средняя откольная скорость равна 169,5 м/с), для второй партии — от 180,7 до 203,3 м/с (средняя скорость равна 192 м/с). Таким образом, откольная прочность материала коррелирует с порогом динамической неустойчивости на сжатие. Эти результаты свидетельствуют о том, что опыты по откольному разрушению при одноосном нагружении плоских мишеней не дают объективной информации о величине динамической прочности материала на растяжение.
Нормальное напряжение, при котором происходит необратимый структурный переход на переднем фронте импульса сжатия в условиях одноосной деформации, следует рассматривать как независимую прочностную характеристику материала, определяющую порог устойчивости материала на динамическое сжатие. Учет этой характеристики важен не только при разработке теоретических моделей одноосного деформирования сред с внутренними параметрами, но и при расчете параметров высокоскоростного проникания. Как известно, глубина проникания удлиненных ударников в полубесконечную преграду определяется модифицированным уравнением Бернулли, которое получило название уравнения Алексеевского-Тейта [20]:
(6.1)(6.1)У + 0уд(иуд - Um)2/2 = аХ/2 + R.
(6.1)
(6.1)
Здесь 几—массовая скорость в материале мишени непосредственно перед ударником, У и Д — эмпирические константы, определяющие динамическую прочность материалов ударника и мишени соответственно. От величины R зависит, насколько поведение материала преграды отличается от поведения идеальной несжимаемой жидкости с той же плотностью. Микромеханизмы деформации, определяющие величину R, являются предметом современных исследований микропластичности. В известных работах о проникании высокоскоростных удлиненных ударников утверждается, что физический смысл параметров Y и R остается пока невыясненным [20-22]. В ряде работ величина R отождествляется с динамической твердостью материала Hd, которая связана с динамическим пределом текучести Yd корреляционной зависимостью [21]
6
Рис. 8. Зависимости порога неустойчивости Ua и откольной скорости Ж от скорости ударника для двух партий стали 38ХНЗМФА
В свою очередь динамический предел текучести связан с пределом упругости Гюгонио он как
у0 = он(1-2沙)/(1-沙)，(6.3)
где и — коэффициент Пуассона.
Из анализа общих закономерностей высокоскоростного внедрения, а также из анализа экспериментальных результатов следует, что прочностная характеристика сопротивления внедрению преград из пластичных (металлы) и хрупких (керамики) материалов определяется как инерционными силами, так и сопротивлением пластическому деформированию. Это значит, что если характер пластического деформирования меняется, например из-за изменения структурного механизма деформирования, то и прочностная составляющая сопротивления внедрению меняется также. Вместе с тем опыты по высокоскоростному внедрению ударников в преграду не дают информации об изменении механизма пластического деформирования.
Анализ волновых процессов показывает, что в носовой части ударника, в так называемой точке стагнации (критической точке потоков на преграде вблизи ударника), реализуются условия одноосной деформации [21]. В отличие от опытов по высокоскоростному внедрению удлиненных ударников, ударные испытания материалов в условиях одноосной деформации, как это можно заключить и из материала, изложенного выше, достаточно информативны. Это позволяет применить результаты испытаний при плоском соударении для определения прочностной характеристики материала R, в качестве которой можно использовать напряжение ai, соответствующее потере динамической устойчивости материала на сжатие, определяемой по описанной выше методике:
Oi = Рм Ср ^неуст / 2 •(6.4)
В табл. 1 представлены результаты расчета величины R по формулам (1) и (2) и напряжения о〃 по формуле (3) для ряда конструкционных материалов, испытанных в условиях одноосной деформации. Значения напряжения он на упругом предвестнике также получены в опытах по одноосному деформированию. Из таблицы следует, что значения R, определяемые по методике Тэйта, и значения
Таблица 1
Материал мишени
он, ГПа
Я, ГПа (
%，мм/мкс
инеуст，м/с
ГПа
Алюминий Д-16
0,35
0,6 ^0,7
5,35
80
0,58
Сталь 38XH3M①А
1,65
2,8^3,29
5,00
159
3,12
Мартенситностареющая сталь
4,10
7,0 ^8,2
5,02
383
7,39
порога динамической устойчивости на сжатие при одноосной деформации а^ для каждого исследованного материала совпадают. Это совпадение свидетельствует о том, что прочностная характеристика сопротивления внедрению R имеет вполне определенный физический смысл. Ее значение определяется порогом структурной неустойчивости материала при динамическом сжатии в условиях одноосной деформации.
В случае стационарных пластических волн неустойчивость материала при ударном сжатии инициируется при такой скорости деформации, когда дисперсия массовой скорости на мезоуровне-1 как способ релаксации внутренних напряжений уже отсутствует (см. рис. 6). В этот момент инициируется релаксация на более
%，м/с
Время, нс
6
Рис. 9. Профили скорости свободной поверхности в армко-железе (а) и бериллии (6)
крупномасштабном структурном уровне, мезоуровне-2. Возбуждение мезоуровня-2 в вязком материале может происходить и при массовой скорости ниже порога структурного перехода Од- Для пояснения последнего утверждения на рис. 9, а, б приведены зависимости скорости свободной поверхности для вязкого материала (армко-железо) и хрупкого материала (бериллий) от времени, зарегистрированные с помощью скоростного интерферометра, в котором пятно облучения мишени лазером совпадает с размером отдельного структурного элемента мезоуровня-2. На рис. 9, а профиль скорости свободной поверхности имеет явно выраженный осцилляционный характер, в то время как на рис. 9, 6 профиль гладкий. Поскольку размер облучаемого лазером участка поверхности мишени совпадет с размером структурного элемента на мезоуровне-2 (100-500 мкм), осцилляции скорости на профиле для армко-железа характеризуют релаксацию структур на этом масштабном уровне.
На рис. 10 качественно показана конфигурация волнового фронта с учетом дисперсии скорости частиц на двух масштабных уровнях. Согласно классифика-
Vmacro — ^ms2 — Vmsl
J9侬 1 = Dms2
в
ции, предложенной в [10], мезоуровень включает структурные элементы, средний размер которых находится в пределах 0,1-10 мкм, средний размер структурных элементов мезоуровня-2 принадлежит интервалу 50-500 мкм. На рис. 10 видно, что фронт волны, распространяющейся в гетерогенной среде, имеет сложную структуру, в которой отдельные участки фронта имеют разные скорости. Мгновенные значения скорости на мезоуровне-1 обозначены Vms\, а дисперсия скорости — Dms\. Средняя скорость на мезоуровне-1 показана штрихованной линией, при этом для мезоуровня-2 эта скорость является мгновенной. Разброс скоростей на мезоуровне-2 характеризуется дисперсией О〃$2・ Штрихпунктирными линиями показана средняя скорость на мезоуровне-2 Vms2, которая также является макроскопической массовой скоростью среды Vmc. Такая иерархия масштабных уровней имеет место в случае, когда Dms\ < Dms2 (рис. 10, а). В случае, когда O〃si > D32 (рис. 10,6), средняя (макроскопическая) скорость среды совпадает со средней скоростью на мезоуровне-1. В том случае, когда дисперсии скорости среды на мезоуровне-1 и мезоуровне-2 соизмеримы (рис.10,6), средние значения скорости на обоих уровнях совпадают и являются равными макроскопической скорости среды.
Зависимость скорости свободной поверхности от времени для бериллия соответствует характеру поведения дисперсии, показанному на рис. 10, 6, аналогичная зависимость для армко-железа соответствует характеру поведения дисперсии, показанному на рис. 10, а. В хрупком материале ниже порога структурной неустойчивости мезоуровень-2 «заморожен», так что релаксация внутренних напряжений осуществляется только за счет подвижности структурных элементов на мезоуровне-1. После того как релаксационные возможности материала на мезоуровне-1 исчерпаны, происходит рост внутренних напряжений до значения, при котором инициируется релаксация на мезоуровне-2. В вязком материале, таком как армко- железо, возбуждение мезоуровня-2 начинается практически сразу после упругого предвестника, так что релаксация внутренних напряжений в этом материале происходит одновременно на двух структурных уровнях.
Список литературы
Власов А. А. Нелокальная статистическая механика. М.: Наука, 1978. 264 с.
Ханту лев а // Вестник Санкт-Петербургского университета Т.А. Серия Механика. 1993. Вып. 3. С. 15-21.
Ханту лев а Т.А., Мещеряков Ю. И. Кинетика и нелокальная гидродинамика формирования мезоструктуры в динамически деформируемых средах // Физическая мезомеханика. 1999. Т. 2, №5. С. 5-17.
Khantuleva Т.А., Mescheryakov Yu. I. Nonlocal theory of the high-strain-rate processes in structured media. 〃 International Journal of Solids and Structures. 1999. V. 36. P. 3105-3130.
Khantuleva T.A. The shock wave as a nonequilibrium transport process // In: High- Pressure shock compression of solids IV. Old paradigms and new challengers». Editors: Yu-Ya Horie, Lee Davison, N. N. Thadhani. Springer, 2002. P. 215-254.
Asay J.R., Chhabildas L. C. Paradigms and Challenges in shock wave research // In: «High- Pressure shock compression of solids IV. Old paradigms and new challengers» Editors: Yu-Ya. Horie, Lee Davison, N. N. Thadhani. Springer, 2002. P. 58-119.
Asay J.R. Shock wave paradigms and new challenges // In: «Shock compression of condens matter-2001» Editors: M. D. Furnish, N. N. Thadhani, Yu-Ya. Horie. Melville, N. Y., 2002. P. 26-35.
Mescheryakov Yu.I., Divakov A.K. Multiscale kinetics of microstructure and strain-rate dependence of materials. // Dymat Journal. 1994. V. 1, № 4. P. 271-287.
Trott W.M., Castaneda J.N., O'Hare /./.，Baer M.R., Chhabildas L. C., Knudson M.D., Davis J.P.，Asay J. R. Dispersive velocity measurements in heterogeneous materials. SAND2000-3082, 2000.
Панин B.E., Гриняев Ю. В., Елсукова Т. Ф., Иванчин А. Г. Структурные уровни деформации твердых тел // Известия вузов. Физика. 1982. № 6. С. 5-27.
Владимиров В.И., Иванов В.Н., Приемский Н.Д. Мезоскопический уровень пластической деформации 〃 В кн.: Физика прочности и пластичности. Л.: Наука, 1986. С. 69-80.
Аэро Э. Л. Микромасштабные деформации в двумерных решеточных структурных переходах при критическом сдвиге 〃 Физика твердого тела. 2000. Т. 4 2, № 6. С. 1147-1153.
Mescheryakov Yu. I. Meso-Macro Energy Exchange in Shock Deformed and Fractured Solids // In.: «High-Pressure Shock Compression of Solids VI». Springer, 2002. P. 169-213.
Ravichandran G., Rosakis A. J., Hodowany /., Rosakis P. 〃 In: «Shock Compression of Condensed Matter-2001», ed. M. D. Furnish, N. N. Thadhani and Y-Y. Horie. 2002. AIP- 620. P. 557-562.
Мещеряков Ю. И., Диваков А. К., Фадиенко Л.П. О распределении частиц по скоростям на упругом предвестнике волны сжатия в алюминии 〃 Журнал технической физики. 1983. Т. 53. С. 2050-2054.
Косевич А.М. Дислокации в теории упругости. М.: Наука, 1978. 256 с.
Kihara 7., Aono О. Unified theory of relaxation in plasma. Basic theorem // J. Phys Soc. Japan. 1963. V. 18. P. 837-851.
Hubburd J. The friction and diffusion coefficients of the Fokker-Plank equation // Proc. Roy. Soc. I960. A 260. P. 114-126.
Глушак Б.П., Куропатенко В. Ф., Новиков С. А. Исследование прочности материалов при динамических нагрузках. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1992. 288 с.
Hohler И, Stilp S.A. Long-rod penetration mechanics // In: «High velocity impact dynamics. N. Y. John Wiley and Sons Inc., 1990. P. 321-404.
Тейт А. Теория торможения длинных стержней после удара по мишени 〃 Механика. 1968. №5. С. 125-137.
Лазарев S, Баланкин А. С., Изотов А.Д., Кожушко А. А. Структурная устойчивость и динамическая прочность неорганических материалов. М.: Наука, 1993.
ВЛИЯНИЕ ВНУТРЕННИХ ДЕФЕКТОВ НА СОСТОЯНИЕПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА МЕЖДУ ДВУМЯ УПРУГИМИМАТЕРИАЛАМИ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ СДВИГЕ
Т.В. Мещерякова, В. Е. Петрова
Институт проблем механики РАН,Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
Статья посвящена исследованию взаимодействия произвольно расположенных внутренних дефектов с межфазной трещиной и границей раздела двух упругих материалов под действием продольного сдвига. Используя методы суперпозиции и комплексных потенциалов, построена система сингулярных интегральных уравнений для данной задачи. В случае, когда внутренние дефекты являются микротрещинами, уравнения решены методом малого параметра, за малый параметр принято отношение длины микротрещины к длине межфазной трещины. Получено асимптотическое аналитическое выражение для коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) межфазной трещины, позволяющее проанализировать влияние расположения полей микротрещин и их ориентации на КИН.
Введение. При соединении материалов с разными упругими свойствами механическое взаимодействие между компонентами осуществляется через поверхность раздела. Таким образом, состояние поверхности раздела влияет на механические свойства и характеристики разрушения двухкомпонентного материала. Напряженно-деформированное состояние вблизи поверхности раздела определяется многими факторами: внешней нагрузкой, разностью упругих свойств материалов (а следовательно, и разностью деформаций), условиями передачи нагрузки через поверхность раздела. Также немалую роль в появлении дополнительных возмущений в напряжениях и деформациях играет наличие внутренних дефектов. В результате этих воздействий возникает сложное напряженное состояния на поверхности раздела материалов, что в свою очередь может привести к расслаиванию и появлению межфазного дефекта. Дальнейшее поведение межфазных дефектов может повлиять на прочность всего материала. Образование межфазной трещины могут инициировать и изначально присутствующие микротрещины, например технологические микродефекты.
В последние годы задачам о взаимодействии внутренних дефектов с межфазной трещиной и поверхностью раздела материалов уделяется большое внимание [1, 2]. История этих исследований начиналась в начале 1960-х с задачи о напряженно-деформированном состоянии в окрестности межфазной трещины, это работы Вильямса, Черепанова и др. (обзор работ см. в [1-4]). Несмотря на достаточно обширный исследовательский материал, эта задача недостаточно изучена.
Настоящая работа посвящена исследованию взаимодействия внутренних дефектов с межфазной трещиной и границей раздела материалов при продольном сдвиге. Имеются работы [5], посвященные этой проблеме, но в них задача решена численно для случая взаимодействия одной или двух микротрещин с межфазной трещиной. В данной работе, используя методы суперпозиции и комплексных потенциалов, а также известные комплексные потенциалы как фундаментальные
решения, задача приведена к системе сингулярных интегральных уравнений, методы решения которых хорошо разработаны. В случае, когда внутренние дефекты являются микротрещинами, решение уравнений представлено в виде ряда по малому параметру и получено асимптотическое аналитическое выражение для коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах межфазной трещины. Следует отметить, что задачи продольного сдвига аналогичны задачам теплопроводности для плоскости с термоизолированными трещинами. Поэтому в данной работе были использованы схема решения, предложенная ранее в [6] для задачи теплопроводности, и полученные там же комплексные потенциалы.
Формулировка задачи. Рассмотрим взаимодействие N внутренних дефектов длины 2/к с межфазной трещиной в двухкомпонентном материале при продольном сдвиге интенсивности г, приложенном на бесконечности. В данной задаче под дефектами подразумеваются трещины, но схема решения применима и для других видов сингулярностей. Двухкомпонентный материал представлен двумя
ось 2, перпендикулярной плоскости ху и параллельной нагрузке г. Предположим,ось 2, перпендикулярной плоскости ху и параллельной нагрузке г. Предположим,упругими изотропными материалами с модулями сдвига 从i и 从2, занимающими два полупространства 吒 以心，соединенные между собой вдоль поверхности раздела L, которая представлена на рис. 1 в виде линии. Введем глобальную систему координат ху с осью х, лежащей на границе раздела материалов L,
ось 2, перпендикулярной плоскости ху и параллельной нагрузке г. Предположим,
ось 2, перпендикулярной плоскости ху и параллельной нагрузке г. Предположим,
眩，从2Q Q Q Q Q Q QРис. 1眩，从2Q Q Q Q Q Q QРис. 1что все внутренние дефекты расположены в нижнем полупространстве 心(у < 0). Локальные системы координат х^у^ жестко связаны с внутренними трещинами, положение трещин определяется координатами их центров 2^ и углами наклона &卜 оси 力卜 к х. На поверхности раздела материалов имеется межфазная трещина длины 2/°.
眩，从2
Q Q Q Q Q Q Q
Рис. 1
眩，从2
Q Q Q Q Q Q Q
Рис. 1
Для решения задачи используем метод суперпозиции. Исходная задача о межфазной трещине и внутреннем дефекте раскладывается на сумму двух задач: а) задача для бездефектного двухсвязного материала в условиях продольного сдвига, решение которой
известно (здесь мы определяем напряжение 丁°，возникающее на линиях трещин); б) задача о двухкомпонентном материале с трещинами, на границах которых
приложены усилия, равные по величине, но противоположные по знаку нагрузке, указанной в задаче, т. е. —то и — 丁㊄.Нас интересует решение задачи б). Для того чтобы решить эту проблему, снова представим ее как суперпозицию двух задач: 1) внутренняя сингулярность в двухсвязном материале с бездефектной границей раздела и 2) межфазная трещина под действием нагрузки при отсутствии сингулярностей внутри материалов. Из решения задачи (1) находим напряжение г* на линии раздела материалов, а задачу (2) решаем при заданной нагрузке на межфазной трещине, складывающейся из суммы —то и —г* Результатом этой суперпозиции будет решение задачи о взаимодействии дефектов (сингулярностей) с межфазной трещиной.
Итак, сформулируем граничные условия для задачи (б). Считая, что соединение материалов идеальное (за исключением участка межфазной трещины), имеем: напряжения на всей линии раздела, включая межфазную трещину, равны
^yz=Tyz= ToW ОеЕ),^yz=Tyz= ToW ОеЕ),(2.1)(2.1)
^yz=Tyz= ToW ОеЕ),
^yz=Tyz= ToW ОеЕ),
(2.1)
(2.1)
перемещения на линии соединения материалов непрерывны
w+(x, 0) = w~(x, 0),\х\ > Iq,(2.2)
а для внутренних дефектов имеем
Tnyz = Tnyz = 丁冷(力)(1力冷1 V /冷)，八=1,…，N.(2.3)
Трещины, межфазная и внутренние, моделируются разрывом смещений:
2 夕 o(z) = w+(x,0) - w~(x,0) (|力|< 办)，
2夕冷(力)=w+(xn,0) - w~(xn,0) (|ж| < 小.)n = 1,
Используя тот факт, что неизвестная функция перемещений — гармоническая функция, представим ее в виде вещественной части некоторой аналитической функции /⑶ и ее производной //⑶=巧⑶.Для построения решения все граничные условия (2.1)-(2.3) задачи переписываются в терминах функции 歹^(2) и решается краевая задача для аналитической функции Fj{z). Определив эту функцию, напряжения в двухсвязном материале вычислим по формуле
Txzj - iTyzj = fj(z) = FAZY 7=1,2.(2.4)
Коэффициенты интенсивности напряжений межфазной трещины, характеризующие напряженное состояние в окрестности вершин трещин, вычислим по формуле [7]
細1 =干 lij \Д，1 - ХК(Х)・(2・5)
Перейдем к рассмотрению задачи (1) о внутренней сингулярности в двухсвязном материале и задачи (2) о межфазной трещине.
Внутренние дефекты в двухсвязном материале (задача 1). Комплексный потенциал этой задачи получен в [4]. Были использованы граничные условия (2.1) и (2.2), записанные через функцию F)⑶,и применялась теорема об аналитическом продолжении. Комплексный потенциал имеет вид
反(2)=[仪5/产恥:2 已’К 二股二(2.6) \KFq(z) + F°(^), z ev2, М2 + M1
Здесь функция 歹°(2) — это решение задачи о трещине (сингулярности) в неограниченном теле. Мы предполагали, что трещина расположена в нижнем полупространстве 匕，что означает, что решение W) содержит константы материала 2. Если предположить, что трещина расположена в материале 1, то 歹°(2) будет содержать константы материала 1. Причем решение в этом случае легко получить из (2.6), поменяв индексы 1 и 2.
Применив формулу (2.4), можно найти напряжения в любой точке двухкомпонентного материала, в том числе на линии раздела материалов L.
Межфазная трещина в условиях продольного сдвига (задача 2). Решение этой задачи можно найти во многих работах. Комплексный потенциал для данной задачи имеет следующий вид:
出巴(2)=, Z \ 7 = 1,2,
или, в интегральном виде в терминах функции разрыва смещений 夕°(力)：
AbS•⑶=AbS•⑶=MiMii 2 jd)⑴必 从I + Дп 7гг t — z—2。MiMii 2 jd)⑴必 从I + Дп 7гг t — z—2。(2.7)(2.7)
AbS•⑶=
AbS•⑶=
MiMii 2 jd)⑴必 从I + Дп 7гг t — z
—2。
MiMii 2 jd)⑴必 从I + Дп 7гг t — z
—2。
(2.7)
(2.7)
必=2 7ГТ0必=2 7ГТ0Для построения решения задачи о взаимодействии системы дефектов с межфазной трещиной удобнее использовать сингулярное интегральное уравнение задачи, которое легко получим, подставив комплексный потенциал (2.7) в (2.4), а затем в граничное условие (2.1). В результате имеем
必=2 7ГТ0
必=2 7ГТ0
(2.8)(2.8)从1 +从1
(2.8)
(2.8)
从~2
Взаимодействие межфазной трещины с микро дефектами (задача 6). Предположим, что внутренний дефект — это трещина. Комплексный потенциал для трещины продольного сдвига в однородном пространстве известен [7], а значит, известно решение (2.6) и можно найти напряжение г* на линии раздела материалов. Добавив (—г*) к то в правой части уравнения (2.8), получим следующее сингулярное интегральное уравнение для межфазной трещины, взаимодействующей с внутренними микродефектами:
=(2.9)
где P()k — регулярное ядро 兄卜(方，力)=Re [1/(方+ 2^ — /)]• Дополнив его уравнениями для внутренних дефектов
#N lkdt +d⑴?o(方，力)必+£ I—2。k^n k#N lkdt +d⑴?o(方，力)必+£ I—2。k^n kPnk(t, x)^fk(t) di =Тп ⑺,2 MlMиPnk(t, x)^fk(t) di =Тп ⑺,2 MlMи(2-10)(2-10)
#N lk
dt +d⑴?o(方，力)必+£ I
—2。k^n k
#N lk
dt +d⑴?o(方，力)必+£ I
—2。k^n k
Pnk(t, x)^fk(t) di =Тп ⑺,
2 MlMи
Pnk(t, x)^fk(t) di =Тп ⑺,
2 MlMи
(2-10)
(2-10)
где
Pnk(t, = Re —：：77不，
「3
与o(方，/)=Re
Lt — хе
и учитывая дополнительные условия, обеспечивающие однозначность смещений:
2о
(2.Н)(2.Н)I 心⑴必=0, п = 0,..., N,_%0
(2.Н)
(2.Н)
Некоторые решения.
Влияние внутренней трещины на напряженное состояние границы раздела материалов. Используем комплексный потенциал (2.6) для исследования влияния внутреннего дефекта, с координатой центра 2? и углом наклона &卜，на напряжения на поверхности раздела материалов. Как упоминалось выше, комплексный потенциал для трещины продольного сдвига в бесконечном однородном материале известен [7] и имеет вид
Подставив его в (2.6), а затем в (2.4) (применив соответствующее преобразование при переходе от локальной системы ХкУк к системе 力у) и выделив мнимую часть, получим
Tyz (^,0)=Tyz (^,0)=2 MlM2Ml + 从 22 MlM2Ml + 从 2ImIm(3.1)(3.1)
Tyz (^,0)=
Tyz (^,0)=
2 MlM2
Ml + 从 2
2 MlM2
Ml + 从 2
Im
Im
(3.1)
(3.1)
Это аналитическое выражение для напряжения на границе раздела материалов, вызванного влиянием внутренней трещины, позволяет проанализировать его изменение в зависимости от расположения трещины 2? и ее наклона &卜.
Взаимодействие межфазной трещины с микродефектами. Для случая, когда межфазный дефект имеет размеры, намного превышающие размеры внутренних трещин, т. е. 》2儿，получено асимптотическое решение задачи в виде ряда по малому параметру А = I/Iq [3, 4]. Предполагалось, что все микротрещины имеют одинаковый размер I. Для этого функции разрывов смещений представлены в виде рядов по степеням А:
夕厶=£ do，。，夕々=£屮•0=00=0夕厶=£ do，。，夕々=£屮•0=00=0(3.2)(3.2)
夕厶=£ do，。，夕々=£屮•0=00=0
夕厶=£ do，。，夕々=£屮•0=00=0
(3.2)
(3.2)
По степеням малого параметра раскладываются и регулярные ядра Р^о, ^пк, Д)к・ Подставляя полученные выражения в систему уравнений (2.9)-(2.11) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях А, получим рекуррентную систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов 夕馬 в разложениях (3.2). Решение получено с точностью до А2:
К(х) = Ко(х) + 犬 d)2(x)， (з.з)
夕%i = 0,夕%。 — решение для межфазной трещины,夕^ — учитывает влияние микродефектов на межфазную макротрещину.
Подставив решение 夕(1 = 0,夕厶。(3.3), в формулу (2.5), получим коэффициенты интенсивности напряжений для межфазной трещпнн:
"к = 2?//о・"к = 2?//о・
"к = 2?//о・
"к = 2?//о・
На рис. 2 изображены графики зависимости кщ/т^)^2 (формула (3.4)) в правой вершине трещины от угла наклона микротрещин &卜 при расположении поля
микротрещин, изображенном на рис. 3. Сплошной линией обозначена кривая при 〃1/从2 = 0,5, пунктирной для 从i/〃2 = 1- Было принято, что размер каждой микро
трещины равен 2/ = О2о, параметр А = 0,1.
Следует отметить значительное влияние угла наклона микродефектов (изменяющегося от 0° до 180°) на коэффициент интенсивности напряжения. В случае, когда отношение 从i/從=1, значение КИН совпадает с результатами, полученными для однородной плоскости с макротрещиной и полем микродефектов в условиях продольного сдвига [8].
рис зНа рис. 2 прямая кщ/t^/Iq = 1 соответствует слу
чаю кш = тдДо =備，т. е. коэффициенту интенсивности напряжений межфазной трещины при отсутствии микродефектов. Графики,
лежащие выше этой прямой, показывают, что соответствующее поле микродефектов ослабляет материал. Кривые, лежащие ниже этой прямой означают, что
дефекты способствуют некоторому упрочнению материала.
уравнений. Для построения уравнений был использован метод суперпозиции, позволивший разложить геометрически сложную задачу на подзадачи более простой геометрии. Полученные решения этих подзадач служат и для отдельного исследования частной проблемы и для построения исходной задачи. Для задачи о взаимодействии внутренних микротрещин с межфазной трещиной получено аналитическое асимптотическое решение.
Список литературы
Han X, Ellyin F., Xia Z. Interaction among interface, multiple cracks and dislocation 〃 Int. J. Solids Structures. 2002. V. 39. P. 1575-1590.
Suo Z. : Singularities interacting with interfaces and cracks 〃 Int. J. Solids Structures. 1989. V. 25. P. 1133-1142.
Petrova И, Tamazs И, Romalis N. A survey of macro-microcrack interaction problems 〃 ASME Applied Mechanics Reviews. 2002. V. 53 (5). P. 117-146.
Таму ж В. П., Петрова В. Е. О взаимодействии макротрещины с микродефектами 〃 Прикладная механика. 2002. № 10. С. 3-34.
Wang X. D., Meguid S.A. On the general treatment of interacting cracks near an interfacial crack 〃 Int. J. Eng. Scien. 1996. V. 34, № 12. P. 1397-1408.
Petrova V., Herrmann K. Thermal crack problems for a bimaterial with an interface crack 〃 Proc. Int. Conf, in New Challenges in Mecomechanics, Denmark, August 2002. P. 591-597.
Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова Думка, 1976. 444 с.
Петрова В. Е., Таму ж В. П. Взаимодействие магистральной трещины с микротрещинами в условиях продольного сдвига 〃 Трехмерные задачи структурно-неоднородных сред / Под. ред. А. Н. Спорыхина. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1991. С. 135-140.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯО ЗАРОЖДЕНИИ ТРЕЩИНЫ В КРУГОВОМ ДИСКЕ
В.М. Мирсалимов, Н.М. Калантарлы
Азербайджанский технический университет, Баку
Рассматривается напряженно-деформированное состояние кругового диска, на границе которого заданы смешанные условия. Принято, что в круговом диске имеется полоса предразрушения со связями между берегами. Задача о равновесии диска с зародышевой трещиной сводится к решению нелинейного интегро- дифференциального уравнения с ядром типа Коши. Из решения этого уравнения находятся нормальные и касательные усилия в полосе зарождения трещины. Условие появления трещины формулируется с учетом критерия предельной вытяжки связей материала.
Постановка задачи. Для инженерной практики исследование задач о зарождении дефектов типа трещин в круговых дисках имеет важное значение.
Пусть на границе кругового диска заданы нормальное перемещение 。『（方） и касательная составляющая поверхностных усилий №（方）.По мере нагружения в круговом диске будут возникать зоны предразрушения, которые моделируем как области ослабленных межчастичных связей материала. Взаимодействие берегов этих областей моделируется путем введения между берегами полосы предразрушения связей, имеющих заданную диаграмму деформирования.
Физическая природа таких связей и размеры областей предразрушения, в которых осуществляется взаимодействие берегов областей межчастичных связей, зависит от вида материала.
Таким образом, зародышевая трещина моделируется полосой предразрушения со связями между берегами, которые рассматриваются как области ослабленных межчастичных связей материала.
Поскольку указанные зоны （прослойки） малы по сравнению с остальной частью диска, их можно мысленно удалить, заменив разрезами, поверхности которых взаимодействуют между собой по некоторому закону, соответствующему действию удаленного материала.
В исследуемом случае возникновение трещины представляет собой процесс перехода области предразрушения в область разорванных связей между поверхностями материала. При этом размер зоны предразрушения заранее неизвестен и должен быть определен в процессе решения задачи.
Исследования [1-5] возникновения областей с нарушенной структурой материала показывают, что в начальной стадии зоны предразрушения представляют собой узкий вытянутый слой, а затем с ростом нагрузки внезапно появляется вторичная система зон, содержащих материал с частично нарушенными связями.
Для математического описания зарождения дефекта типа трещины в диске в рассматриваемом случае решаем смешанную статическую задачу плоской теории упругости для диска, когда в материале имеется полоса предразрушения.
Полоса предразрушения ориентирована в направлении максимальных растягивающих напряжений, возникающих в диске. Берега полосы предразрушения
взаимодействуют так, что это взаимодействие (связи между берегами) сдерживает зарождение дефекта (трещины). При действии внешних нагрузок на диск в связях, соединяющих берега полосы предразрушения, будут возникать нормальные 夕夕(力) и касательные q力夕(力)усилия. Следовательно, к берегам полосы предразрушения будут приложены нормальные и касательные напряжения, численно равные 夕夕(力) и qxy(x) соответственно. Величины этих напряжений заранее неизвестны и подлежат определению в процессе решения краевой задачи механики разрушения.
Обозначим рассматриваемую область, заключенную между окружностью Е。 радиуса R и прямолинейной полосой предразрушения 工1 = [а, “ вдоль оси абсцисс, через S+, и область, дополняемую до полной комплексной плоскости, через . При этих предположениях задача сводится [6] к определению пары функций комплексного переменного ①(2)и W(2), аналитических в области S+ и удовлетворяющих следующим краевым условиям на контуре Lq：
R小0①⑴-師卜师+呵]} = 2M⑴， (1.1)
Im {①⑴+師-输]手В⑴+ W⑴]} = -%⑴.(1.2)
Здесь к。— постоянная Мусхелишвили;从—модуль сдвига материала диска.
Условия нагруженности на берегах полосы предразрушения Ej и Е[ будут равны
①+(/)+①-(/)+/①一(力)+(/)=初(力)-分戒(力)на L^,(1.3)
① 一(/) + ①+(/) + /①+’(/) + W+(/)=q^(z) - 分q务(/)на
Основные соотношения поставленной задачи должны быть дополнены уравнением, связывающим перемещения раскрытия берегов полосы предразрушения и усилия в связях. Это уравнение, без потери общности, в рассматриваемой задаче можно представить [5] в виде
0+(力,0)-0-(/,0) 一 ""+(力,0)- "一(力,0))=e(力,cT)④(/)一紀明(/))，(1.4) где функцию С{х, а) можно рассматривать как эффективную податливость связей, зависящую от натяжения связей; а = Jq^ + 夕^夕—модуль вектора усилий в связях.
Решение краевой задачи. Переходя в соотношениях (1.1) и (1.2) к сопряженным значениям после некоторых преобразований на контуре Lq получим граничные условия в виде
7①/⑴+ W(U7①/⑴+ W(U= 4/(", (2.1)= 4/(", (2.1)
7①/⑴+ W(U
7①/⑴+ W(U
= 4/(", (2.1)
= 4/(", (2.1)
J [tW) + W)] +^ 小⑴ += 2z№⑴.(2.2)
На основании (2.1) и (2.2) на окружности Е。будем иметь соотношение
%一1)[①⑴+師]+!J彳①/⑴+w⑴=2 [24*⑴+ 分№("].
В это равенство подставим функции о『(方)14 7v^(方)в виде рядов Фурье:
/ \ к/ \ к
e 県(五)；⑴=е тк (五)，k = —сю/с = —сю
в результате получим
(ко — 1)(ко — 1)「р21卄⑴+ 3("=「р21卄⑴+ 3("=
(ко — 1)
(ко — 1)
「р21
卄⑴+ 3("=
「р21
卄⑴+ 3("=
=2｛玄 "+ 2从(# d眩+i (炉+玄Т-к -@小^忆k+i “=o L」k=i L=2｛玄 "+ 2从(# d眩+i (炉+玄Т-к -@小^忆k+i “=o L」k=i Lна Lq. (2.3)на Lq. (2.3)Следуя Д. И. Шерману [7] на Lq введем новую неизвестную вспомогательную функцию s⑴ е Я в видеСледуя Д. И. Шерману [7] на Lq введем новую неизвестную вспомогательную функцию s⑴ е Я в виде2G⑴=% - 1)[①⑴-研一|J f ①/⑴ + W⑴.(2.4)2G⑴=% - 1)[①⑴-研一|J f ①/⑴ + W⑴.(2.4)Складывая (2.3) и (2.4), будем иметьСкладывая (2.3) и (2.4), будем иметь
=2｛玄 "+ 2从(# d眩+i (炉+玄Т-к -@小^忆k+i “=o L」k=i L
=2｛玄 "+ 2从(# d眩+i (炉+玄Т-к -@小^忆k+i “=o L」k=i L
на Lq. (2.3)
на Lq. (2.3)
Следуя Д. И. Шерману [7] на Lq введем новую неизвестную вспомогательную функцию s⑴ е Я в виде
Следуя Д. И. Шерману [7] на Lq введем новую неизвестную вспомогательную функцию s⑴ е Я в виде
2G⑴=% - 1)[①⑴-研一|J f ①/⑴ + W⑴.(2.4)
2G⑴=% - 1)[①⑴-研一|J f ①/⑴ + W⑴.(2.4)
Складывая (2.3) и (2.4), будем иметь
Складывая (2.3) и (2.4), будем иметь
①⑴=①⑴=g⑴I 1 卡如一1如一1仁0g⑴I 1 卡如一1如一1仁024("1)腺+]+m百％24("1)腺+]+m百％
①⑴=
①⑴=
g⑴I 1 卡如一1如一1仁0
g⑴I 1 卡如一1如一1仁0
24("1)腺+]+m百％
24("1)腺+]+m百％
+ 3rf -на Lo. (2.5)
Подставляя (2.5) в (2.4), находим
屮⑴=Q⑴+ Ri⑴+兄2⑴ на Lq.(2.6)
Здесь приняты следующие обозначения:
QW = 一^⑴⑴J⑴;(2.7)
R1⑴=eR1⑴=e眾+2 - g+
R1⑴=e
R1⑴=e
I 从(用 + 3) (] к - 2 \
k=2 L」
ММ(ко — 1)А(ко — 1)АRR
М
М
(ко — 1)А
(ко — 1)А
R
R
(2.8)
Из соотношений (2.5) и (2.6) на основании теоремы об аналитическом продолжении и свойств интеграла типа Коши будем иметь
①*（2）=
二0二0①⑶-①⑶-&⑴dt t — z&⑴dt t — z]^冲(к+ 1) 如-1包)[R]^冲(к+ 1) 如-1包)[RW*(2)= <W*(2)= <w⑶一*1!В"一自⑶，二0w⑶一*1!В"一自⑶，二0_I [智必+r2(2),27r2 J t - Z二0_I [智必+r2(2),27r2 J t - Z二02 6 S+,2 6 S~.2 6 S+,2 6 S~.z 6 s+,2 6 S~,(2.9)(2.Ю)z 6 s+,2 6 S~,(2.9)(2.Ю)
二0
二0
①⑶-
①⑶-
&⑴dt t — z
&⑴dt t — z
]^冲(к+ 1) 如-1包)[R
]^冲(к+ 1) 如-1包)[R
W*(2)= <
W*(2)= <
w⑶一*1!В"一自⑶，二0
w⑶一*1!В"一自⑶，二0
_I [智必+r2(2),27r2 J t - Z
二0
_I [智必+r2(2),27r2 J t - Z
二0
2 6 S+,
2 6 S~.
2 6 S+,
2 6 S~.
z 6 s+,
2 6 S~,
(2.9)
(2.Ю)
z 6 s+,
2 6 S~,
(2.9)
(2.Ю)
В приведенных соотношениях (2.9)-(2.10) функции ①*(2) и W*(2)являются аналитичными в разрезанной вдоль прямолинейного отрезка Li = [а, “ (полосы предразрушения) полной комплексной плоскости и исчезают на бесконечности, т. е.①*(2)= 0, W*(2)= 0. Искомая вспомогательная функция 以(方)е Я на Lo ищется в виде ряда Фурье
& ⑴=&о + £ к=1& ⑴=&о + £ к=1(2.Н)(2.Н)
& ⑴=&о + £ к=1
& ⑴=&о + £ к=1
(2.Н)
(2.Н)
где &卜(k = 0, ±1, ±2,...) — вообще говоря, неизвестные комплексные коэффициенты.
Подставляя (2.11) в первые формулы (2.9) и (2.10) и используя интегральную теорему Коши, находим общие формулы, выражающие искомые функции:
①(2)=①*.) + £& 信)，2GS+,(2.12)
k=Q
оо / 、k
W(2)= W*(2)+ £5 ⑴，2GS+.(2.13)
k=Q
Здесь
玖=^t % +以+2"疗 ；(2」4)
Dk = ~^ + ^!) 4+2 - ja-fc-2 + ^ (1 —雷)以+2 -
-1亍…+『(一修)％+PLj
Для определения функции ①*（2）и, следовательно, функции W*（2）известным способом [6] приходим к задаче линейного сопряжения
[①*⑴-a*（"]+ 一[①*⑴-a*⑴「=0;（2.15）
[①*⑴+ a*（"]+ + [①*⑴+ a*⑴「=/⑴.
Здесь
a*（2）=不 *（2）+ 2 不：（2）+ 帀 *（2）；
/⑴=2（% -何力g） +e（练+夕卜）（五）；
练=-2 G + ； +豆+2 - I 2 + 7 1 1 Qk + ； + ；绿；
/Сo - 1 /2例一1 例一
Pk = -2 J （1 - Й：）以+2 -+
I 1 т I k + 1 不 I 2从（衣 + 1） м I 2/i（k + 1） " I 从（衣 + 1）厂 ,
Так как напряжения в диске ограничены, то решение краевой задачи （2.15） следует искать в классе всюду ограниченных функций.
Искомое решение задачи （2.15） запишется в виде
（2.16）（2.16）①*（2）- С*（2）= 0,
（2.16）
（2.16）
b
① *（2）+ С*（2）=① *（2）+ С*（2）=，（？ 一 а）（? — b） /⑴ dt
① *（2）+ С*（2）=
① *（2）+ С*（2）=
2穴分，，（t — a） （t — b） （t — n）
При этом должны выполняться следующие условия разрешимости краевой
задачи:
（2.17）（2.17）ьь
（2.17）
（2.17）
=q. j //⑴必
,，（方-a）（/ - b）,，（方-a）-b）
Эти соотношения служат для определения неизвестных параметров а и 6 полосы предразрушения.
В полученные соотношения входят неизвестные напряжения в полосе предразрушения. Перейдем к построению интегрального уравнения для определения неизвестных усилий qy — iqxy. Условием, определяющим неизвестные напряжения в связях между берегами полосы предразрушения, является дополнительное соотношение （1.4）.
В рассматриваемой задаче это дополнительное условие удобнее записать для производной раскрытия перемещений берегов полосы предразрушения. Используя соотношение
3
2/1 - （u +沁）=к0①（2）-①⑶ -2①/⑶-w⑶
и граничные значения функций ①(2) и С(2), получим на отрезке а，允，b следующее равенство:
①+(,)-旷m 係+ < (。+•(2.18)
Используя формулы Сохоцкого-Племеля [6] и, учитывая формулы (2.16), находим
ъ
①+(/)-①—(力)=//⑴叱1.(2.19)
ЪЪQu⑴加Qu⑴加++Полученное выражение (2.19) подставим в левую часть (2.18) и, учитывая соотношение (1.4), после некоторых преобразований получаем систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций qy и qxy：
Ъ
Ъ
Qu⑴加
Qu⑴加
+
+
J，(力-а)(Ь -力)(，х)J，(力-а)(Ь -力)(，х)，(力-a)(b -t)(t - x) _
J，(力-а)(Ь -力)(，х)
J，(力-а)(Ь -力)(，х)
ььqxy9 必qxy9 必++= Н^(*е"⑺)；⑵ 2。)
ь
ь
qxy9 必
qxy9 必
+
+
，(力-a)(b - t) (t - %) 一
=备款。"网)2D
Здесь
fy⑴=Re力⑴；fxy⑴=Im力⑴；
力(方)=_£ [以 + (k + 1)g卜 + Dk](耳).
k=Q
Каждое из уравнений (2.20) или (2.21) представляет собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение с ядром Коши и может быть решено только численно. Для их решения можно использовать коллокационную схему с аппроксимацией неизвестных функций.
Полученные соотношения (2.12)-(2.13) с учетом формул (2.16), (2.17) и уравнений (2.20), (2.21) позволяют получить окончательное решение задачи, если будут определены коэффициенты &卜(к = 0, ±1, ±2,...).
Для составления бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных од (к = 0, ±1, ±2,...) подставим (2.12)-(2.13), с учетом (2.16) и разложений
，(方-а)(方-b);
т=0
в условие (2.3). После некоторых преобразований условие (2.3) сводится к виду
Е I + Е < f = Е(2.22)
m=0m=0m=0m=0
Сравнивая в обеих частях полученного соотношения коэффициенты с одинаковыми степенями { 14 ,，находим две бесконечные системы линейных алгебраических уравнений:
4 + 禹=Со + Q (т = 0),(2.23)
Ввиду громоздкости выражений для Ат, 4^, Ст, С^ (т = 0, 1,2,...) они не приводятся.
Перейдем к алгебраизации интегральных уравнений (2.20) и (2.21) с дополнительными условиями (2.17).
Сначала в интегральных уравнениях (2.20) и (2.21) и в дополнительных условиях (2.17) все интервалы интегрирования приводятся к одному интервалу [— 1, 1]. С помощью [8, 9] квадратурных формул все интегралы заменяются конечными суммами, а производные в правых частях уравнений (2.20) и (2.21) заменяются конечно-разностными аппроксимациями. При этом учитываются граничные условия при 〃о = ±1 qy(d) = Сд(Ь) = 0; qxy(a) = qxy(b) = 0 (это соответствует условиям о+ (а, 0) - 0- (а, 0) = 0; о+ (Ь, 0) - L (А 0) = 0; 〃+ (а, 0) - 〃- (а, 0) = 0; 〃+ (Ь, 0)- —〃—(Ь, 0) = 0). В результате алгебраизации вместо каждого интегрального уравнения с соответствующими дополнительными условиями получаем М + 2 алгебраических уравнений для определения напряжений в узловых точках и размеров полосы предразрушения.
Даже в частном случае линейно-упругих связей полученные системы уравнений оказываются нелинейными из-за неизвестного размера полосы предразрушения.
В связи с этим для решения полученных систем в случае линейных связей использовался метод последовательных приближений [9].
В случае нелинейного закона деформирования связей для определения усилий в полосе предразрушения использовался также алгоритм, подобный методу упругих решений [10]. Полагается, что закон деформирования межчастичных связей (сил сцепления) является линейным при 『W 匕.Первый шаг итерационного процесса счета состоит в решении системы разрешающих уравнений для линейно-упругих межчастичных связей (сил сцепления). Следующие итерации выполняются только в том случае, если на части полосы предразрушения имеет место V(ж) > 匕.Для таких итераций решается система разрешающих уравнений для квазиупругих связей (1.4) с эффективной податливостью, переменной вдоль полосы предразрушения и зависящей от величины модуля вектора усилий в связях, полученного на предыдущем шаге расчета.
рушения, полученные на двух последовательных шагах, мало отличаются друг от друга. Объединенная алгебраическая система в каждом приближении решалась численно методом Гаусса с выбором главного элемента.
Состоянию предельного равновесия вершины полосы предразрушения соответствует выполнение условия
где П — потенциальная энергия деформации. Левая часть этого условия, как известно, состоит из двух слагаемых, первое из которых представляет собой скорость высвобождения энергии деформации при образовании новой поверхности полосы предразрушения, а второе определяет скорость потребления энергии деформации связями. Другими словами, состоянию предельного равновесия соответствует выполнение условия
Gb ⑹=Gn (2).(2.24)
Энергетическое условие (2.24) является необходимым, но не достаточным для состояния предельного равновесия полосы предразрушения. Для определения предельного равновесия полосы предразрушения необходимо введение дополнительного критического условия. В качестве такого условия принимается условие предельного раскрытия полосы предразрушения. Считается, что разрыв связей на берегах полосы предразрушения (力=力о) происходит при выполнении условия
『(力0) = J"2(力 0) +02(力 0)=九(2.25)
где 8k - предельная длина связи; "(б0) = "+(/0,0)—"一(/0,0);о(б0) =0+(б0,0)— -/0,0).
Совместное решение полученных уравнений и (2.25) позволяет при заданных характеристиках связей определить критическую величину внешней нагрузки и размер полосы предразрушения для состояния предельного равновесия.
Список литературы
Панасюк В. В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. Киев: Наукова думка, 1991. 416 с.
Сох B.N., Marshall D. В. Concepts for bridged cracks in fracture and fatigue 〃 Acta metall mater. 1994. V. 42, №2. P. 341-363.
Goldstein R. И, Perelmuter M.N. Modeling of bonding at the interface crack 〃 Internal J. of Fracture. 1999. V. 99, № 1-2. P. 53-79.
Гольдштейн P. В., Перельмутер M.H. Трещина на границе соединения материалов со связями между берегами 〃 Изв. РАН. МТТ. 2001. № 1. С. 94-112.
Гольдштейн Р. В., Перельмутер М.Н. Рост трещин по границе соединения материалов 〃 Проблемы механики: Сб. статей к 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского / Под ред. Д. М. Климова. М.: Физматлит, 2003. С. 221-238.
Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
Шерман Д. Я. Об одной задаче теории упругости 〃 ДАН СССР. 1940. Т. 27, № 9.
Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1976. 443 с.
Мирсалимов В.М. Неодномерные упругопластические задачи. М.: Наука, 1987. 256 с.
Ильюшин А. А. Пластичность. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 376 с.
Биргер И. А. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести 〃 Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 2. С. 113-119.
К ТЕОРИИ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СОСТОЯНИЙИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Б. Г. Миронов
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, Чебоксары
Известно [1], что статически определимые состояния идеально пластических тел имеют место при условии полной пластичности. В общем случае статически определимые состояния имеют место, когда наряду с тремя уравнениями равновесия определены три предельных условия [2], таким образом, шесть уравнений определяют замкнутую систему относительно шести компонент напряжений. Ниже рассматриваются статически определимые состояния идеально пластических тел в случаях, когда условие полной пластичности не имеет места.
Рассмотрим статически определимые состояния идеально пластических тел. Уравнения равновесия имеют вид
需+舒+争=。(呐)•(Ll)
Предположим, что имеют место три конечных соотношения [2]:
/1(^') = 0, /2(0#=。， /з(^) = 0,(1.2)
где aij — компоненты тензора напряжений.
Соотношения связи между компонентами о叮 тензора напряжений и компонентами о〃 главных напряжений имеют вид
0力=6次 + cT2mf + 03*,
F =6力也 +。2加1加2 +。3八i八2 {xyz, 123, Imn),(1.3)
где /分，加分，八分—направляющие косинусы, определяющие ориентацию главных напряжений в декартовой системе координат х, у, z.
Имеют место соотношения
lilj + mirrij + UiUj = 6ij,(1.4)
где §ij — символ Кронекера.
Используя (1.3), соотношения (1.2) можно переписать в виде
f \(01,02,03, li,/1i) = 0,
/2(01,02,03,/分,人，电)=0,(1.5)
/3(01,02,。3, /分,加分,电)=。.
Наличие направляющих косинусов Ц, mi, ni в соотношениях (1.5) определяет свойства материала в зависимости от направления и характеризует анизотропию материала.
Согласно (1.4) из (1.3) имеем выражения для компонент главных напряжений:
6 =0力h +0"2 +0/3 + 2丁力g/也 + 2T^г^2^з + 2?■力 /1/3,
02 = cT^mf + Одп4 + 吸加！ + ^Тхут\т2 + 2% 如 2加3 + 2тжгШ1Шз,(1.6)
03 =0力八1 + 0g八2 +02八3 + 2丁力g八1八2 + 2丁g2八2八3 + 2丁力2八1八3,
а также условия отсутствия касательных напряжений на главных площадках:
62 = cT^Zimi + Qyl2m2 +。“3加3 +
+ Txy{lim2 + /2加1) + 7"(/2加3 + /3加2)+ Txz(hm3 + /3加1) = 0, 023 =0如 W1 +0严2 八2 +02m3 八 3 +
+ Txy{min2 + m2ni) + TyZ(m2n3 + m3n2) + %貝加1八3 + 加3 八 1)=。, 013 =0力 /1 八 1 +0u12n2 +02/3 几 3 +
+ 八 2 + /2 八 1) + Tyz(l^n3 + /3 八 2)+ %式/w3 + 办八 1) = 0.
(1.7)
Предельные состояния в случае плоской задачи при различных условиях пластичности рассмотрены в [1].
В случае, когда предельные соотношения не зависят от компонент о〃 главных напряжений, из (1.5) следует [3]
九心山川=0,/2%,加分,电)=0,/3а,m分,电)=0.(1.8)
Тогда из (1.8) имеем
li = const, mi = const, 八分=const.(1.9)
Согласно (1.9) в качестве соотношений (1.8) можно взять соотношения (1.7).
Удовлетворим уравнениям равновесия (1.1) при помощи функций напряжений Максвелла:
=5 -餘 的 123).(1.10)
Согласно (1.10) из (1.7) получим
/3加3 IT 一 (/2加3 + /3m2)g 彳 + /2加2 IT + 办m3 一 (/1加3 ++
dydydzdz2dx2dxdz
+ 厶加1 2 + 12m22 — (%1加2 + %2加1) к J + 1\ТП\?$ = О. (1.11)
dz1дх2дхду
Уравнение характеристических поверхностей ⑦(力，у, 2)= 0 системы (1.11) имеет вид
(l,V^)(m,V^)(n,V^) =0,(l,V^)(m,V^)(n,V^) =0,(1-12)(1-12)
(l,V^)(m,V^)(n,V^) =0,
(l,V^)(m,V^)(n,V^) =0,
(1-12)
(1-12)
где 1 = hi + Z2j + %зк, m =加代 + m2j + m3k, n = пц + n2j + n3k, V^ = ^i ++ Vvi + ⑦之卜，^ = |^, ^y = ^, ^z = ^, i, j, к — единичные орты вдоль осей
координат х, у, z, выражения в скобках (1.12) обозначают скалярное произведение векторов.
Соотношение (1.12) может быть записано в виде
(厶% + /2% +办也)(加1% + Гn22y +m3也)(几1% +八2% +八3九)=0.(1.13)
Из (1.12) следует, что направления главных напряжений о〃 являются характеристическими, а сама система уравнений (1.11) принадлежит к гиперболическому типу.
Предположим, что условия пластичности (1.5) согласно (1.4) можно привести к виду
/〃 = /£(71,02,。3), 加分=加乂。1,。2,。3), rii = Пг(СГ1,СГ2,СГ3).(2.1)
Подставив (1.3) в (1.1) и учитывая (2.1), получим
Т 俏 + 26 W + 2。2g 等 + 2。3山* 0也 + 6 "器 + /2+
OX \O(J\O(J\O(J\у、\ O(J\ O(J\ /
+02(^然+б2含)+03(九1礬+配磬))+饗(①3 +6小黑+?3許)++ M研器+б3需)+戏(九席+九3黑))+礬(碍+ 2g裁+
+ g畑))+祭(^1^3 +内g +喘)+
+02(б1赛+m3需)+673(九1需+九3需))+符(若+ 2内* +
+ 2c料 + 2叩| ^ + ^^ + ^(1^ + 1^+^^ + оегз姻丿 dy \\、 姻
+m2需)+方(九1费需))+礬(М3+e储忌+厶*) +
+。2(加1需 + 加3需)+。3(?11|^ + П3需))=0(№,123). (2.2)
Уравнение для определения характеристической поверхности ф{х, у, 2)= 0 системы уравнений (2.2) имеет вид
(а,Ь,с)=О,(2.3)
где (а, Ь, с) — смешанное произведение векторов:
а = (1, 3 + 6 ((/ V^)l + (1, ▽啰爲 +
+。2 ((黑 ^) m + (m, WO 曾)+ a3 ((券，V^) n + (n, V^)券),
b = (m, V^ m + 内((許,v^)l + (1, v^)許)+
+。2 ((貶，▽力 m + (m, WO 貶)+ a3 ((鵠，▽力 n + (n, W9 需),
с = (п, V^) П + 6 ((設,V^)l + (1, v^)設)+
+。2 ((需▽力 m + (m, W)貶)+ a3 ((薯▽力 n + (n, V^)許).
(2.4)
Обозначив скалярные произведения векторов через ⑦％ = (1, V^), ^m = =(m, ▽⑦),2n = (n, V^), из (2.4) получим
a =(次 + 3 - 6)(T'l) ^m + 3 - 6)(鶴1)麻)1 +
+(3 -内)(£, 1)也 + 3 - %) (£, n)%)m +
+(Q - 01)(許1)也 + (°2 - °3)(^^，п) n,
(2.5)
Рассмотрим случай, когда условия предельного состояния (2.1) имеют вид
(2.6)(2.6)(2.7)(2.7)/分=/分(01),加分=加分(01,02,03),电=几分(01,02,03)•
(2.6)
(2.6)
(2.7)
(2.7)
Тогда из (2.5) получим
次 + (°2 -) (^^ ,1) ^m + (°3 - 01) (^^, 1) % =。,
(02 - 03)(£, n) ^m + 2m2rl + (02 - 03)(|^, n) ^n = °・
При 4(02 - оз)? (f^，11) (f^'11) " 1 система уравнений (2.2) согласно (2.7) имеет три характеристические поверхности:
次 + (02 - 01) (^^」)^m + (03 - 01) (^^」)^n = °,
2 廿2 "3)(工 n)…(1 ±- 4 3 "3)2 黑‘ n) M，n) ) % =。‘
(2.8)
и принадлежит к гиперболическому типу.
Предположим, что соотношения (1.5) имеют вид
/1(СГ1,СГ2,СГ3) = 0,/2(01,02,03) =。，/3(。1,。2,。3)= 0-
Соотношения (3.1) определяют статически определимые соотношения ных тел.
Тогда из (3.1) следует
0"分—e分, e分—const •
В соответствии с этим из (1.6) получим
。力/彳 + 0y1之 + b^g + 2%g/l%2 + 2Ту%1?1з + 2%°/1/з = Cl ,
0 如彳 + 0у* + (^废 + 2%尸1m2 + 2 Tgzm2加3 + 2%2加1加3 =c2,
0力八彳+ (Jy危 +02八^ + 2тхуn\n2 + 2丁"八2八3 + 2%之八1八3 =e3・
Согласно (1.10) из (3.3) следует
/2а2Х! а2Х!2 a2X1/2а2х2 а2х2 /2а2х2 /2а2х3
(3.1)(3.1)изотроп-изотроп-(3.2)(3.2)(3.3)(3.3)-2/也答+<4"・дхду 1 ду2-2/也答+<4"・дхду 1 ду2(3.4)(3.4)Характеристические поверхности системы уравнений (3.4) совпадаютХарактеристические поверхности системы уравнений (3.4) совпадаютс ха-с ха-рактеристическими поверхностями системы (1.11), а сама система принадлежит к гиперболическому типу. Случай (3.1) рассмотрен также в работе [4].4. Предположим, что условия пластичности (1.5) имеют видрактеристическими поверхностями системы (1.11), а сама система принадлежит к гиперболическому типу. Случай (3.1) рассмотрен также в работе [4].4. Предположим, что условия пластичности (1.5) имеют вид力(01) = 0,/2(02,03%，加分，电)=0，/3(02,03%，加分，电)=0-Тогда из (4.1) следует6=5, ci = const.力(01) = 0,/2(02,03%，加分，电)=0，/3(02,03%，加分，电)=0-Тогда из (4.1) следует6=5, ci = const.(4.1)(4.1)(4.2)(4.2)Согласно (4.2) в качестве первого уравнения системы (4.1) возьмем шениеСогласно (4.2) в качестве первого уравнения системы (4.1) возьмем шениесоотно-соотно-。力/彳 + % 后 +。之成 + 2%g/i%2 + 2т^г^2^з + 2%°/1/з =。1,。力/彳 + % 后 +。之成 + 2%g/i%2 + 2т^г^2^з + 2%°/1/з =。1,(4.3)(4.3)а в качестве двух других уравнений (4.1) возьмем соотношенияо 力厶加1 + ^/2^2 +。気3rmз ++ %簿1加2 + /2加1) + 7"a2m3 + /3加2)+ Txz(hm3 + /3^1) = 0,а в качестве двух других уравнений (4.1) возьмем соотношенияо 力厶加1 + ^/2^2 +。気3rmз ++ %簿1加2 + /2加1) + 7"a2m3 + /3加2)+ Txz(hm3 + /3^1) = 0,3 dy2 dydz 2 а/ 3 дх2 dxdz 1 dz2 2 дх2
(3.1)
(3.1)
изотроп-
изотроп-
(3.2)
(3.2)
(3.3)
(3.3)
-2/也答+<4"・
дхду 1 ду2
-2/也答+<4"・
дхду 1 ду2
(3.4)
(3.4)
Характеристические поверхности системы уравнений (3.4) совпадают
Характеристические поверхности системы уравнений (3.4) совпадают
с ха-
с ха-
рактеристическими поверхностями системы (1.11), а сама система принадлежит к гиперболическому типу. Случай (3.1) рассмотрен также в работе [4].
4. Предположим, что условия пластичности (1.5) имеют вид
рактеристическими поверхностями системы (1.11), а сама система принадлежит к гиперболическому типу. Случай (3.1) рассмотрен также в работе [4].
4. Предположим, что условия пластичности (1.5) имеют вид
力(01) = 0,/2(02,03%，加分，电)=0，/3(02,03%，加分，电)=0-
Тогда из (4.1) следует
6=5, ci = const.
力(01) = 0,/2(02,03%，加分，电)=0，/3(02,03%，加分，电)=0-
Тогда из (4.1) следует
6=5, ci = const.
(4.1)
(4.1)
(4.2)
(4.2)
Согласно (4.2) в качестве первого уравнения системы (4.1) возьмем шение
Согласно (4.2) в качестве первого уравнения системы (4.1) возьмем шение
соотно-
соотно-
。力/彳 + % 后 +。之成 + 2%g/i%2 + 2т^г^2^з + 2%°/1/з =。1,
。力/彳 + % 后 +。之成 + 2%g/i%2 + 2т^г^2^з + 2%°/1/з =。1,
(4.3)
(4.3)
а в качестве двух других уравнений (4.1) возьмем соотношения
о 力厶加1 + ^/2^2 +。気3rmз +
+ %簿1加2 + /2加1) + 7"a2m3 + /3加2)+ Txz(hm3 + /3^1) = 0,
а в качестве двух других уравнений (4.1) возьмем соотношения
о 力厶加1 + ^/2^2 +。気3rmз +
+ %簿1加2 + /2加1) + 7"a2m3 + /3加2)+ Txz(hm3 + /3^1) = 0,
(Тхт{П1 + 0nm2n2 +。加3 八3 +
+ TXy{min2 + 加2 八 1) + ryz(m2n3 + m3n2) + %貝加屮3 + 加3 八 1)=。・(4.4)
Согласно (1.10) из (4.3) и (4.4) следует
12 a2X1а2Х!丄/2^X1 ,/2а2х2 а2х2 ,/2а2х2
3 дуdydz 2 %2 з 3/2QXQZ 1 %2
,/2а2Хз / а2Хз ,/2а2Хз _「
/3加3- (/2加3 + /3加2)g彳 + /2加+
dydydz
dx2dxdz
+ hm2 23 一(厶m2 + /2加1)内 j= 0,
班2')дхду 加2
a2Xi z I Aa2Xi , a2Xi ,
^3^3—V 一(m2 八 3 + m3 八 2)^- + Wn2—+
oyoyozdz
+ 加2-(加1八2 += 0.
дх2дхду
(4.5)
Характеристические поверхности ф{х, у, 2)= 0 системы (4.5) имеют уравнения (m,V^) = 0, (n,V^)2 = 0.(4.6)
Из (4.6) следует, что направления второго и третьего главных напряжений являются характеристическими.
Предположим, что условия пластичности (1.5) имеют вид
力(01,02)=0， /2(6,02)=0，/334,人，电)=0.(5.1)
Согласно (5.1)
6=5, а2 = С2, ci, С2 = const.(5.2)
Тогда из (1.6) имеем
。力疗 + bg¥ + W® + 2т■力 g/也 + 2т^г^2^з + 2Txz1\〔з =。1,
(5.3)
о 如彳 +(7期* + агт| + 2тхутхт2 + 2% 如 2加3 + 2тжгШ1Шз = с2.
В качестве третьего уравнения (5.1) рассмотрим первое соотношение из (1.7):
cГ 力+ cf" 2m2 +0/3m3 + 丁叫(/1m2 + /2加1) + %式/2加3 + /3加2)+
+ %式/1m3 + /3加1) = 0. (5.4)
Согласно (1.10) из (5.3) и (5.4) получим
/2^X1 а2Х!丄/2^X1 ,/2а2х2 а2х2 ,/2а2х2
=C1,=C1,=3,=3,,/2а2х3/ а2х3 ,/2а2х3
=C1,
=C1,
=3,
=3,
切%2 a2xi2a2x2 a2x2 , ^2a2x2
I 2^X32 ^Хз 2^X3
13m3* - Q2m3 + 厶加2)齡 + 12m2喂 +
一 a2x3 〃 一 Аа2х3 一 a2x3
oxoxay
(5.5)
Уравнение характеристической поверхности ⑦(力，g, 2)= 0 системы (5.5) имеет вид
(n,V^)3 = 0.(5.6)
Из (5.6) следует, что направление третьего главного напряжения является характеристическим.
Предположим, что условия пластичности (5.1) задаются соотношениями (5.3) и уравнением
СГЖШ1П1 + 0nm2n2 +。加3 八3 +
+ 丁叫(加1 八 2 + 加2 八 1) + %之(加2 八 3 + 加3 八 2)+ тхг(т\п3 + Ш3П1) = 0.(6.1)
Тогда согласно (1.10) из (5.3) и (6.1) имеем
.2a2Xi a2Xi /2a2Xi /2а2х2 а2х2 /2а2х2
F - 2/з丽+乙豆丁+厶亡_2川з瓦瓦+ ^ +
I 72 а?Хз7 а?Хз " а?Хз _
+ ‘2歹一*也瓦% +人歹= C1,
m%2 a2xi2а2х2 а2х2 , ^2а2х2
,2 a々3 办 a2x3 , 2 a々з
+ m2h g 2 — 3,
дхдхду 1 ду2
a2XiI Aa2Xi , a2Xi ,
加3八3^7^(m2几3 + 加3八2)^"^ h ^2^2—^h
丄 а2х2 / I Аа2х2 , а2х2 ,
OXOX0Z已2
дхдхдуду2
(6.2)
Характеристические поверхности ⑦(力，g, 2)= 0 системы (6.2) имеют уравнения (1,V^) = 0, (n,V^)2 = 0.(6.3)
Из (6.3) следует, что направления первого и третьего главных напряжений являются характеристическими.
Список литературы
Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001. 704 с.
Ивлев Д. Д., Ишлинский А.Ю. Статически определимые соотношения теории пластичности и предельное состояние и разрушение тел 〃 Изв. РАН. МТТ. 2003. № 3. С. 84-89.
Миронов Б. Г. О предельно анизотропном состоянии идеально пластической среды 〃 ДАН. 2002. Т. 385, №6. С. 770-773.
Ивлев Д. Д., Максимова Л. А. О предельных статически определимых состояниях деформируемых тел 〃 Изв. РАН. МТТ. 2005. № 4.
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ВЯЗКОСТИРАЗРУШЕНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД
Я. Ф. Морозов, Ю. В. Петров, В. И. Смирнов, С. И. КривошеевСанкт-Петербургский государственный университет,Петербургский государственный университет путей сообщения
Одна из основных проблем тестирования динамических прочностных свойств материалов с трещинами связана с зависимостью динамической прочности от истории и способа приложения нагрузки. Здесь под прочностью обычно понимают критическое значение коэффициента интенсивности напряжений, пороговой амплитуды нагрузки, а также времени до разрушения. Зависимость от способа приложения нагрузки проявляется как изменение предельных величин при изменении продолжительности действия, амплитуды, скорости нарастания внешнего усилия, а также целого ряда других факторов. Эти и другие эффекты импульсной прочности материалов подтверждаются многочисленными экспериментальными исследованиями [1-5], однако до сих пор не имеют объяснения с точки зрения используемых в инженерной практике феноменологических моделей, что и обусловливает дальнейшие исследования в этом направлении.
Пороговое разрушение. Анализ разрушения проводится с помощью структурно-временного критерия следующего вида:
t
]K(s) ds < Ks,(1.1)
t — т
где Ki(方)—коэффициент интенсивности напряжений, зависящий от времени, Kic — статическая вязкость разрушения материала, 丁 — инкубационное время.
Применение критерия (1.1) позволяет изучить поведение пороговых (предельных) характеристик разрушения, таких как пороговая амплитуда нагрузки 2, время до разрушения 方*, динамическая вязкость разрушения K【d и их комбинации. Покажем это на примере следующей задачи, соответствующей экспериментам [6, 7].
Рассмотрим бесконечную упругую плоскость с прямолинейной полубесконеч- ной трещиной, к берегам которой прикладывается прямоугольный импульс с амплитудой Р и продолжительностью 加.
Напряженное состояние в окрестности вершины трещины определяется из решения следующего уравнения [8]:
справедливого во внутренних точках бесконечной плоскости с полубесконечным разрезом В? \ {(/, у): у = 0,力 < 0}, дополненного граничными условиями на берегах разреза: Г± = {(/,у): у = ±0, х < 0}: ау =—夕(方)，о力夕=0, и начальными условиями и|力《о = 0, которые обеспечивают однозначность решения задачи Vt > > 0: u = const +。(川)，广—0, /3〉0 [9]. Здесь и = и(力，у,方)=и(力i,数，方)一вектор
перемещения, X，〃一 коэффициенты Ламе. Компоненты тензора напряжений связаны с вектором перемещения уравнениями
Oij = A div и + 〃Oij = A div и + 〃（1.3）（1.3）
Oij = A div и + 〃
Oij = A div и + 〃
（1.3）
（1.3）
Максимальное разрывающее напряжение на продолжении трещины характеризуется асимптотикой
+ 01）,「0.V 27ГГ+ 01）,「0.V 27ГГ（1-4）（1-4）
+ 01）,「0.
V 27ГГ
+ 01）,「0.
V 27ГГ
（1-4）
（1-4）
Так, например, если к берегам трещины приложена нагрузка
p（t） = P[H（t）-H（t-t^（1.5）
где Р — амплитуда импульса нагрузки,方о ——его длительность, Н«） — функция Хевисайда, то выражение для коэффициента интенсивности имеет следующий вид ［Ю］：
Ki⑴=Р夕（ci,。2）\Vt H⑴-д/Г^Я^- t0）］ ,（1.6）
где
夕（5,3）夕（5,3）4с2 Jc； - с^С1У7ГсТ4с2 Jc； - с^С1У7ГсТ
夕（5,3）
夕（5,3）
4с2 Jc； - с^
С1У7ГсТ
4с2 Jc； - с^
С1У7ГсТ
—функция скоростей Продольных（С1） И СДВИГОВЫХ（С2）волн.
Ищем время до разрушения t* при пороговой амплитуде нагрузки Р* из критериального соотношения
（1.7）（1.7）t
（1.7）
（1.7）
max7"（t） = KicT, /⑴=］K、（s） ds,
где К/（方）определяется в соответствии с выражением （1.6）. После интегрирования находим
/⑴=I Р0（5 , c2）卜3/2h⑴_（方一7）3/2Н（方一丁）一（方一方0）3/2h（方一方0） +
+ （方一丁 一方0）3/2h（方-t -方0）］.
Максимум функции /（方）достигается при 方=方*,
7 + 方0 + 2 jT2 — 丁方 0 + 总7 + 方0 + 2 jT2 — 丁方 0 + 总（1.8）
7 + 方0 + 2 jT2 — 丁方 0 + 总
7 + 方0 + 2 jT2 — 丁方 0 + 总
Пороговую амплитуду нагрузки Р* находим из критериального условия /（方*）= =Klc • 丁：
（1.9）（1.9）3 Ki#
（1.9）
（1.9）
2 3（ci,C2）/o（£*）
где
/()(力 *)=卜?/2H(方 *)—(方* — 丁 )3/?Н(方* — T)—(方* — to^^H (t* —方 о) +
+ (方* — т — to^^H(t* — т —方о)] • (110)
Динамическая вязкость разрушения К^ — это величина коэффициента интенсивности напряжений К/(方)в момент разрушения 方*, т. е. Ку =頁/(方*). Подставляя в (1.6) значение Р = /^ из (1.9), находим
3 К\ст \y/t^H(t*) — \/t* — to H(t* — to)]^Id=2，
где функция /。(方*) определяется согласно (1.10).
Отметим, что если продолжительность импульса нагружения бесконечно мала, то динамическая вязкость разрушения количественно будет равна половине своей статической велпчпнн:
Kid(方0)|『0 = g Кс,*(方
ZAle丨力 0—>0Z
Для примера на рис. 1.1 приведены зависимости времени до разрушения от длительности нагрузки t* = /(to), на рис. 1.2 — зависимости пороговой амплитуды нагрузки от ее длительности Р* = /(to), на рис. 1.3 — зависимости безразмерной динамической вязкости разрушения K^/Kic = /(方о) от длительности нагружения. Указанные зависимости приведены для следующих горных пород: известняк, габбро-диабаз, мрамор, песчаник, гранит и глина. Их механические характеристики даны в табл. 1 9.
Таблица 1
№
Горная порода
а с, МПа
Kic, МПад/м
d, мм
г, мкс
1.
Известняк
12.40
1.31
7.11
15
2.
Габбро- диабаз
44.04
2.36
1.83
40
3.
Мрамор
6.19
1.34
30.00
44
4.
Песчаник
31.18
1.19
0.93
54
5.
Гранит
19.50
1.08
1.95
69
6.
Глина
1.63
0.12
3.45
75
Как видно из графиков на рис. 1.1-1.3, оценивать относительную динамическую прочность материалов по приведенным зависимостям затруднительно: один материал, по сравнению с другим, может иметь высокую пороговую амплитуду 2 или вязкость разрушения К^, но при этом малое время до разрушения 方*, и наоборот (указанные предельные характеристики — Р*, К^ 以 方*— являются функцией длительности действия импульса to)- С практической точки зрения удобно иметь зависимость некоторого интегрального (обобщенного) прочностного
Рис. 1.1. Зависимость времени до разрушения от длительности нагрузки: / — известняк, 2 — габбро-диабаз, 3 — мрамор, 4 — песчаник, 5 — гранит, 6 — глина
Рис. 1.2. Зависимость пороговой амплитуды нагрузки от ее длительности: / — известняк, 2 — габбро-диабаз, 3 — мрамор, 4 — песчаник, 5 — гранит, 6 — глина
показателя от независимой (управляемой в эксперименте) переменной to- В качестве такого показателя можно принимать различные комбинации (сочетания) указанных предельных характеристик. В частности, это может быть величина порогового силового разрушающего импульса U** Для рассматриваемой нагрузки прямоугольного временного профиля эта величина будет равна U* = Р* * to- Соответствующий график U*(方о) приведен на рис. 1.4.
Еще два показателя, не являющиеся, однако, классическими физическими величинами, — это произведение динамической вязкости разрушения на время
&d
Рис. 1.3. Зависимость динамической вязкости разрушения от длительности нагрузки: 1 — известняк, 2 — габбро-диабаз, 3 — мрамор, 4 — песчаник, 5 — гранит, 6 — глина
Рис. 1.4. Пороговый силовой импульс разрушения: 1 — известняк, 2 — габбро-диабаз, 3 — мрамор, 4 — песчаник, 5 — гранит, 6 — глина
до разрушения K【d •方* (рис. 1.5) и произведение величины пороговой амплитуды разрушения на время до разрушения Р* •方* (рис. 1.6). При этом физически более содержательной оказывается последняя величина (назовем ее условно количеством разрушения G), которую и предлагается использовать для оптимизации выбора наиболее прочного материала.
Действительно, указанная зависимость G«o) имеет характерный минимум, который обусловлен тем, что время до разрушения t* с увеличением длительности
Рис. 1.5. Зависимость величины K【d • t* от длительности нагрузки: 1 — известняк, 2 — габбро-диабаз, 3 — мрамор, 4 — песчаник, 5 — гранит, 6 — глина
Рис. 1.6. Зависимость количества разрушения от длительности нагрузки: 1 — известняк, 2 — габбро-диабаз, 3 — мрамор, 4 — песчаник, 5 — гранит, 6 — глина
нагрузки возрастает (рис. 1.1), а пороговая амплитуда нагрузки Р* наоборот — падает (рис. 1.2). Данное обстоятельство позволяет подобрать длительность нагрузки таким образом, чтобы добиться разрушения материала, как предполагается, с минимальными затратами энергии.
Так, например, для известняка такая длительность нагрузки равна 20.0 мкс, а для глины — 104.3 мкс. Минимальное количество разрушения Gmin для этих пород составляет соответственно 129.0 и 36.1 МПа • мкс.
Оптимальная длительность нагрузки и соответствующий ей минимум количества разрушения для всех шести горных пород приведены в табл. 2. Таким образом, при оптимальной длительности нагрузки наиболее прочной из всех шести горных пород оказывается габбро-диабаз, наименее прочной — глина.
Таблица 2
№
Горная порода
Минимальное количество разрушения, МПа • мкс
Оптимальная длительность нагрузки, мкс
1.
Известняк
129.0
20.0
2.
Габбро-диабаз
319.7
55.2
3.
Мрамор
229.0
55.5
4.
Песчаник
193.3
74.3
5.
Гранит
217.39
95.4
6.
Глина
36.1
104.3
Теоретически минимальное количество разрушения в данной задаче равно нулю. Это видно из диаграммы временной зависимости прочности — рис. 1.7. Так как трещина полубесконечная, а нагрузка на берегах равномерная, то при переходе к статическому режиму （方о — 0） пороговая амплитуда нагружения Р* будет бесконечно уменьшаться. Соответственно и количество разрушения Р* •方* будет стремиться к нулю. Это следствие ограниченности принятой математической модели по длительности нагружения.
Рис. 1.7. Временная зависимость прочности в испытаниях на трещиностойкость
В случае равномерного нагружения берегов трещины для перехода к статике при больших длительностях нагрузок следует перейти от модели бесконечной плоскости к рассмотрению пластины конечных размеров с краевой трещиной. Непрерывный переход от динамического нагружения к статическому может быть сделан, если нагрузка на берегах трещина не равномерная, а имеет некоторую конечную протяженность или, например, сосредоточена в точке.
На диаграмме временной зависимости прочности на рис. 1.7 каждой длительности нагружения соответствует единственная точка с координатами 2,方*. Перемещаясь в определенных пределах （в которых справедлива в указанном выше
смысле математическая модель задачи) по диаграмме, можно найти наименьшее количество нагружения Gmin, которому будет соответствовать минимальная площадь прямоугольника Р* • t*.
Запороговое разрушение. Как видно из выражения (1.8), разрушение материала при пороговых нагрузках происходит с задержкой: после снятия (окончания действия) нагрузки трещина стартует не сразу, а спустя некоторое время △方*, т. е. время до разрушения 方* =方。+ △方*, где
△方* = ； - 2*° + 2 J* -方0丁 + 需)•
Величина задержки разрушения △方* зависит от инкубационного времени: чем оно меньше, тем меньше задержка разрушения (рис. 2.1). В пределе при г = =0 задержка будет отсутствовать. Для реальных материалов 丁 #0, поэтому при пороговом нагружении всегда будет иметь место задержка разрушения.
Теоретически время до разрушения можно сделать сколь угодно малым, увеличивая до бесконечности амплитуду нагружения. Причем любая амплитуда,
сверху, например 方*, Р* U*. Пороговые характеристики, соответственно, будемсверху, например 方*, Р* U*. Пороговые характеристики, соответственно, будемпревышающая пороговую, Р〉2, будет приводить к разрушению, т. е. к началу роста трещины. С практической (технологической) точки зрения интерес представляет лишь тот случай, когда трещина начинает расти сразу после снятия нагрузки. Следуя [1, 11, 12], предельные характеристики разрушения для этого случая будем называть максимальными, а также запороговыми, и обозначать их звездочкой
сверху, например 方*, Р* U*. Пороговые характеристики, соответственно, будем
сверху, например 方*, Р* U*. Пороговые характеристики, соответственно, будем
называть также минимальными.
С учетом сказанного полагаем 方=方* =方о, где 方* — время до разрушения. Тогда динамическую вязкость разрушения можно определить из выражения, получаемого по критерию (1.1) после подстановки в него решения (1.6):
Kid _ 3 тН(tp)
欧-2 .京/2〃(方0)— & 一 7)3/2〃(方0 — T)
На рис. 2.2 приведена зависимость безразмерной вязкости разрушения от длительности нагружения или, что то же самое, от времени до разрушения. Как видно, по величине вязкости разрушения материалы расположились в обратном порядке по сравнению с пороговым разрушением. Так, например, если известняк при пороговом нагружении обладал наибольшей динамической трещиностойко- стью, то при запороговом нагружении — наоборот, наименьшей. Это связано с величиной инкубационного времени.
Действительно, поскольку при пороговом и запороговом разрушении справедливо соотношение
то становится очевидным, что величина 丁 характеризует меру отклонения критического значения динамического коэффициента интенсивности напряжений (Kid) от его статического значения (К【с)・ Поэтому кривая динамической вязкости раз-
&d
Рис. 2.2. Зависимость динамической вязкости разрушения от длительности нагрузки （запо- роговое разрушение）: / — известняк, 2 — габбро-диабаз, 3 — мрамор, 4 — песчаник, 5 — гранит, 6 — глина
рушения материала с меньшим значением инкубационного времени （в данном случае — известняка） будет располагаться ближе к статическому значению, т. е. к 1 （см. рис. 1.3 и 2.2）. И наоборот, кривая динамической вязкости разрушения материала с наибольшим значением инкубационного времени （глина） будет располагаться дальше всего от соответствующего статического значения.
Запороговую амплитуду нагрузки можно определить из выражения
3 К\сТ=2 9（。1,。2）/。（方*）'
/0 =方:（方 0）-（方0 - 7 ）3/2н（方0 - 7）■
Величина Р* в （2.1） — это наименьшая амплитуда нагружения, необходимая для того, чтобы «нейтрализовать» влияние инкубационного времени 丁 с тем, чтобы свести задержку разрушения △方* к нулю. Зависимость запороговой амплитуды нагрузки от ее длительности приведена на рис. 2.3.
Можно количественно оценить, насколько запороговая амплитуда нагружения превышает пороговую. На рис. 2.4 показана зависимость отношения запороговой и пороговой нагрузки P*/R от ее длительности. Как видно, наблюдается существенное увеличение амплитуды нагружения, особенно при коротких ударах. Так, например, для песчаника при 方° = 25 мкс отношение Р*/2 равно 2, а при 方° = =3 мкс — возрастает до 6.
Зависимость количества разрушения G = Р* •方* от длительности действия нагрузки приведена на рис. 2.5. В данном случае （так как 方* =方°） количество разрушения совпадает с величиной силового разрушающего импульса U* = Р* •方°. Так же как и в случае порогового разрушения, для каждой горной породы имеется определенный минимум величины G и соответствующая ему длительность нагружения. Указанные характеристики приведены в табл. 3.
Как видно из табл. 2, 3, величина G по сравнению с пороговым разрушением несколько уменьшилась — в среднем на 13-13.5 %.
Таблица 3
№
Горная порода
Минимальное количество разрушения, МПа • мкс
Оптимальная длительность нагрузки, мкс
1.
Известняк
113.5
17.4
2.
Габбро-диабаз
281.8
46.1
3.
Мрамор
201.4
50.6
4.
Песчаник
170.1
61.6
5.
Гранит
191.6
79.6
6.
Глина
31.9
85.9
Таким образом, как и в случае порогового разрушения, при оптимальной длительности нагрузки наиболее прочной из всех шести горных пород оказывается габбро-диабаз (maxG = 281.8 МПа • мкс), наименее прочной — глина (minG = =31.9 МПа • мкс).
Рис. 2.3. Зависимость запороговой амплитуды нагрузки от ее длительности: / — известняк, 2 — габбро-диабаз, 3 — мрамор, 4 — песчаник, 5 — гранит, 6 — глина
Если же говорить о сравнительной динамической трещиностойкости рассмотренных горных пород, то вывод будет не столь однозначным. Так, при пороговом разрушении наибольшую динамическую вязкость разрушения имеет известняк. Однако такое нагружение (пороговое) имеет место лишь в лабораторных условиях. В производственной практике, как правило, приходится иметь дело с запороговыми нагрузками. В этом случае породы по степени убывания динамической трещиностойкости располагаются в соответствии с уменьшением их инкубационного времени: глина, гранит, песчаник, мрамор, габбро-диабаз, известняк.
Р*/Р*
Рис. 2.4. Отношение запороговой и пороговой нагрузки Р*/К в зависимости от длительности ее действия: / — известняк, 2 — габбро-диабаз, 3 — мрамор, 4 — песчаник, 5 — гранит, 6 — глина
Рис. 2.5. Зависимость количества разрушения Р* •力* от длительности нагрузки (запоро- говое разрушение): / — известняк, 2 — габбро-диабаз, 3 — мрамор, 4 — песчаник, 5 — гранит, 6 — глина
Об определении инкубационного времени. Зная из эксперимента пороговую амплитуду разрушения Р* для данного материала при заданной длительности действия нагрузки 方о, можно расчетным путем найти инкубационное время разрушения г. Экспериментальная схема динамического разрушения образцов горных пород с помощью магнитно-импульсного метода приведена в работе [13]. Для различных горных пород были получены значения пороговой амплитуды нагрузки
при разных временах нагружения. Временная форма импульса нагрузки в этих экспериментах может быть аппроксимирована выражением
P(t) = Pm. (singt))2exp (辞)・(Н ⑴—W •叫， (3.1) где Г — длительность одного цикла (одной пульсации) нагружения,方。—константа, характеризующая скорость затухания приложенного импульса,八—количество осцилляций (локальных максимумов) импульса (от 1 до 5), Рт — амплитуда нагрузки, Н(方)—функция Хевисайда.
Рис. 3.1. Зависимость пороговой нагрузки разрушения от ее длительности для известняка
Для нагружающего импульса (3.1) может быть получена зависимость разрушающей нагрузки от длительности нагружения, аналогичная приведенной на рис. 1.2. На рис. 3.1 такая зависимость приведена для известняка при n = 1. Прямоугольниками показаны экспериментально определенные значения пороговой амплитуды нагружения. Подбором значения 丁 можно добиться того, чтобы теоретическая кривая наиболее близко подходила к экспериментальным точкам. Таким образом были получены значения инкубационного времени т, приведенные в табл. 1.
Следует отметить, что полученные значения инкубационного времени соответствуют масштабному уровню и схеме нагружения рассмотренной здесь задачи. В других схемах нагружения, например при отколе, инкубационные времена будут другими.
Список литературы
Морозов ". Ф., Петров Ю. В. Проблемы динамики разрушения твердых тел. СПб: Изд- во СПбГУ, 1997. 132 с.
Dally /.眩，Barker D.B. Dynamic Measurements of Initiation Toughness at High Loading Rates 〃 Experimental Mechanics. 1988. № 3. P. 298-303.
Dally /.眩，Shukla A. Dynamic crack behaviour at initiation 〃 Meeh. Res. Com. 1979. T. 6, №4. P. 239-244.
Knauss W. G. Fundamental Problems in Dynamic Fracture 〃 Advances in Fracture Research. Proceedings of the ICF-6 (S. R. Vallury et al. eds.). V. 1. Oxford-N. Y.: Pergamon Press, 1984. P. 625-652.
Ravi-Chandar K., Knauss W. G. An Experimental Investigation into Dynamic Fracture: 1. Crack Initiation and Arrest 〃 International Journal of Fracture. 1984. V. 25. P. 247-262.
Homma H., Shockey D. A. and Murayama Y. Response of Cracks in Structural Materials to Short Pulse Loads 〃 Journal of The Mechanics and Physics of Solids. 1983. V. 31, № 3. P. 261-279.
К alt hoff J. F., Shockey D.A. Instability of cracks under impulse loads 〃 Journal of Applied Physics. 1977. V. 48, № 3. P. 986-993.
Партон В. 3., Морозов E.M. Механика упругопластического разрушения. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1985. 504 с.
Поручиков В. Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. 328 с.
Черепанов Г.П. Дифракция упругих волн на разрезе 〃 Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. С. 615-622.
Морозов Н.①Петров Ю. В., Уткин А. А. О структурно-временном подходе при анализе динамического разрушения хрупких горных пород 〃 Записки Ленинградского горного института. 1991. Вып. 125. С. 76-86.
Петров Ю. В. Структурное время в теории динамического разрушения твердых тел 〃 Исследования по упругости и пластичности. Вып. 17. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995. С. 94-101.
Petrov У. И, Smirnov К/., Krivosheev S.I., Atroshenko S.4., Fedorov sky G.D., Utkin A. A. Impact loading of rocks 〃 Shock Waves in Condensed Matter: International Conference. Saint-Petersburg, Russia, 18-23 July, 2004. St.-Petersburg, 2004. P. 17-19.
ДИНАМИЧЕСКИЙ ИЗГИБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХИ КРУГОВЫХ слоистых плитИЗ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
Ю. В. Немировский
Институт теоретической и прикладной механики СОРАН, Новосибирск
Получено аналитическое решение задачи о динамическом поведении слоистых защемленных эллиптических и круговых пластин при воздействии нагрузок взрывного типа. Считается, что материалы слоев подчиняются условиям пластичности Мизеса-Хилла и ассоциированному закону пластического течения.
Для оценки эффективности плоских преград при воздействии нагрузок взрывного типа обычно исследуют зависимость параметров их остаточной повреждаемости от амплитуды или импульса ударной волны. Применительно к однородным изотропным плитам такие решения строятся на основе модели идеального жесткопластического тела, показывают достаточную эффективность результатов и вполне удовлетворительное совпадение с экспериментами. Решение многих задач и обзор полученных результатов для однородных балок и пластин можно найти в [1, 2]. Во многих областях современной техники существующие жесткие требования к надежности эксплуатации конструкций не могут быть обеспечены при использовании однородных материалов, и возникают серьезные надежды на использование композитных конструкций. Ясно, что на этом пути могут быть созданы эффективные конструкции защитных преград. Прежде всего здесь следует исследовать возможности слоистых преград. В настоящее время существует большое количество технологий, позволяющих создать слоистый пакет из практически любых материалов с существенно различными свойствами. К ним можно отнести, в частности, технологии склеивания, диффузионной сварки под давлением и сварку взрывом, плазменное или холодное газодинамическое напыление, магнитноультразвуковую наплавку, вакуумно-химическое осаждение, электронно-дуговую металлизацию и др. Для конструкций, предназначенных к восприятию взрывных нагрузок, наиболее приемлемой, по-видимому, следует считать технологию сварки взрывом как наиболее дешевую и обеспечивающую прочное соединение практически любых металлов на больших площадях [3-5]. При этом возникает проблема анализа поведения и оценки эффективности таких конструкций с точки зрения их повреждаемости при воздействии нагрузок взрывного типа.
Рассмотрим слоистую плиту из набора любых металлических материалов, расположенных симметрично относительно отчетной (срединной) плоскости. Будем предполагать, что каждый из слоев является идеальным жесткопластическим изотропным или ортотропным материалом, подчиняющимся условию пластичности Мизеса-Хилла:
(к = 1,2,..., п),(к = 1,2,..., п),ОО⑴⑴
(к = 1,2,..., п),
(к = 1,2,..., п),
О
О
⑴
⑴
и закону пластического течения:
©泳=^k (分=1,2);©12 =入卜 f 入 ＞。・(2)
OCTikO(Ti2k
Здесь (7分卜，。12卜—безразмерные напряжения (отнесенные к характерному пределу текучести);金泳，©i2k ——компоненты тензора скоростей деформаций;。口卜，... …，°13卜，°0卜一постоянные. Точка означает частную производную по времени. Если слоистый пакет собран из металлов, то для него правомерно использовать гипотезы Кирхгофа-Лява, в соответствии с которыми
统=—泳 i, ©12 = —2忘12 (г = 1,2),(3)
_ д2 w _ д2 w度分 =Ъ 一， 左12 = 石一5 —,OXiOX1OX2
w, z — безразмерные прогиб и координата по нормали к пластине, Xi — безразмерные координаты в плоскости пластины, ^,庆 12 — компоненты тензора кривизны и кручения плиты при деформации.
Выражения (3) с учетом (1) и (2) можно записать в виде
-2k1 = Xk^Uk^ik +a12k02k)， 一2后2 =入(2a22ko2k +a12koik),
—2忘1 =入卜2al3k(712k.
Отсюда получим
⑷⑷01k=一丁(2瓦1кк1 -瓦2кк2),02k=一丁(2历2k后2 -瓦2кк1),
⑷
⑷
012k=-3瓦3кК12,
7_a22k7_CLllk
0"k —2 ，022k —2 ，
4alika22k—«12fc4alika22k一CL\2k
瓦 2k = •
4ali小。22小—ai2k°i3/c
Подставляя выражения (4) в (1), получим
入k=入k=
入k=
入k=
A = bilk后+历2k端-瓦2к内1后2 +瓦3k居2・
В соответствии с принципом виртуальных мощностей для рассматриваемой плиты имеем уравнение
U2U2+。2金2 + 2(712^12)dV =+。2金2 + 2(712^12)dV =if 一sif 一s口…,口…,
U2
U2
+。2金2 + 2(712^12)dV =
+。2金2 + 2(712^12)dV =
if 一
s
if 一
s
口…,
口…,
которое с учетом выражений (3)-(5) примет вид
44。0成/（底一底—1）曲=。0成/（底一底—1）曲=Р - 2行 53 Pk(hk —九k—i)Р - 2行 53 Pk(hk —九k—i)k = lk = lwds+ (Qnw + Mn^dl.wds+ (Qnw + Mn^dl.LL⑹⑹
4
4
。0成/（底一底—1）曲=
。0成/（底一底—1）曲=
Р - 2行 53 Pk(hk —九k—i)
Р - 2行 53 Pk(hk —九k—i)
k = l
k = l
wds+ (Qnw + Mn^dl.
wds+ (Qnw + Mn^dl.
L
L
⑹
⑹
Здесь Р,九卜，рк — безразмерные давление, координаты раздела слоев (九о = =0) и плотности материалов слоев, Мп, Qn — внешние изгибающий момент и перерезывающая сила на контуре.
Для защемленной эллиптической плиты скорость прогиба можно представить
в виде
⑺
。1,。2 — безразмерные полуоси эллипса. Подставляя (7) в (6), в случае равномерно распределенного давления получим уравнение для функции 4(方)：
⑻⑻a = Р⑴山-办;
⑻
⑻
山=
2 ]]〉: Pk(hk — hk—i) ds
S k = l
2* dkW/(忌—忌—1) ds
“1 —n
工 Pk(hk - hk-i)ds
⑼
Wk = bilk 斤彳 + b22k 舄
-仇2k旬儿2 +瓦3k后2；
斤1 =与(丝 + ^1 — 斤2 =与(注 + g —斤 12 =
d\ V d\ а? 丿а? \/
8/1/2
(10)
Решение уравнения (8) при нулевых начальных условиях 4(0) = А(0) = 0 имеет вид
A(t) = diJ(t) - 2tJ
t
4⑴=d"⑴-d^t,丿⑴=j P(t) dz о
Время остановки 方* определяется из условия
4⑴=0 или 山/(方*)-办方* = 0, амплитуда остаточного прогиба будет равна
厶* =4(方*) =diJ^ - jd2t*2.
(И)
(12)
Решение для круглых защемленных пластин (。1 =。2 =。) в случае осесимметричного нагружения и защемления будет иметь тот же вид (12), если вместо выражений (9), (10) использовать выражения
山
2 j £ crQk^Xhl - hl_г)г dr 0д1
\^Pk(hk - hk-i) r dr
(13)
(14)a /(14)a /^k = bilk 后 + b22k 危—瓦2k 庆 1 庆2,
(14)
a /
(14)
a /
Для шарнирно опертых пластин получим аналогичное решение, если вместо (14) использовать выражения
(15)(15)Решение (12) можно использовать также в случае создания конструкции с профилированными слоями. Это позволяет поставить и решить задачу о создании оптимальных проектов для эллиптических и круговых слоистых пластин при воздействии нагрузок взрывного типа. Для этого необходимо распределить материалы в конструкции таким образом, чтобы при сохранении общей массы конструкции:Решение (12) можно использовать также в случае создания конструкции с профилированными слоями. Это позволяет поставить и решить задачу о создании оптимальных проектов для эллиптических и круговых слоистых пластин при воздействии нагрузок взрывного типа. Для этого необходимо распределить материалы в конструкции таким образом, чтобы при сохранении общей массы конструкции:2 [ [ £ Рк® - М—1)曲=Мо = const, s I2 [ [ £ Рк® - М—1)曲=Мо = const, s I(16)(16)было достигнуто минимальное значение амплитуды остаточного прогиба А* или максимальное значение предельной нагрузки Р* = d^/d\. Соответствующая задача является классической задачей вариационного исчисления, и решение ее здесь обсуждать не будем.Для прямоугольного импульса с амплитудой Д)и временем действия 方° время остановки и амплитуда остаточного прогиба определяются выражениями方* =刑0/产，4 = ^!^(*一1)(兄》产).(17)Если толщины слоев ® =九卜一九k—i) постоянны, то предельная нагрузка Р* определяется равенствомбыло достигнуто минимальное значение амплитуды остаточного прогиба А* или максимальное значение предельной нагрузки Р* = d^/d\. Соответствующая задача является классической задачей вариационного исчисления, и решение ее здесь обсуждать не будем.Для прямоугольного импульса с амплитудой Д)и временем действия 方° время остановки и амплитуда остаточного прогиба определяются выражениями方* =刑0/产，4 = ^!^(*一1)(兄》产).(17)Если толщины слоев ® =九卜一九k—i) постоянны, то предельная нагрузка Р* определяется равенствомр* = 1ср* = 1сп 、2"。 - 2 f 勿%) +7=2/п 、2"。 - 2 f 勿%) +7=2/++1/n 、 n J-1'—I Mo - 2 ^2 勿％ 2 £ £ 8s 0 'J =2/J=2s=2■1/n 、 n J-1'—I Mo - 2 ^2 勿％ 2 £ £ 8s 0 'J =2/J=2s=2■工 w%a + 工 ^заз^ pJ =2J =2丿工 w%a + 工 ^заз^ pJ =2J =2丿c = 2^ ]](1^ f) ds, &k = W JJ В??曲 (k = 1,2,..., n),S — площадь пластины.Для трехслойной пластины из двух материаловp* = 001；1 (мо - 20282)2 + "°2q2 (Мэ - 20282州2 +。02Q2限 (⑻c = 2^ ]](1^ f) ds, &k = W JJ В??曲 (k = 1,2,..., n),S — площадь пластины.Для трехслойной пластины из двух материаловp* = 001；1 (мо - 20282)2 + "°2q2 (Мэ - 20282州2 +。02Q2限 (⑻
(15)
(15)
Решение (12) можно использовать также в случае создания конструкции с профилированными слоями. Это позволяет поставить и решить задачу о создании оптимальных проектов для эллиптических и круговых слоистых пластин при воздействии нагрузок взрывного типа. Для этого необходимо распределить материалы в конструкции таким образом, чтобы при сохранении общей массы конструкции:
Решение (12) можно использовать также в случае создания конструкции с профилированными слоями. Это позволяет поставить и решить задачу о создании оптимальных проектов для эллиптических и круговых слоистых пластин при воздействии нагрузок взрывного типа. Для этого необходимо распределить материалы в конструкции таким образом, чтобы при сохранении общей массы конструкции:
2 [ [ £ Рк® - М—1)曲=Мо = const, s I
2 [ [ £ Рк® - М—1)曲=Мо = const, s I
(16)
(16)
было достигнуто минимальное значение амплитуды остаточного прогиба А* или максимальное значение предельной нагрузки Р* = d^/d\. Соответствующая задача является классической задачей вариационного исчисления, и решение ее здесь обсуждать не будем.
Для прямоугольного импульса с амплитудой Д)и временем действия 方° время остановки и амплитуда остаточного прогиба определяются выражениями
方* =刑0/产，4 = ^!^(*一1)(兄》产).(17)
Если толщины слоев ® =九卜一九k—i) постоянны, то предельная нагрузка Р* определяется равенством
было достигнуто минимальное значение амплитуды остаточного прогиба А* или максимальное значение предельной нагрузки Р* = d^/d\. Соответствующая задача является классической задачей вариационного исчисления, и решение ее здесь обсуждать не будем.
Для прямоугольного импульса с амплитудой Д)и временем действия 方° время остановки и амплитуда остаточного прогиба определяются выражениями
方* =刑0/产，4 = ^!^(*一1)(兄》产).(17)
Если толщины слоев ® =九卜一九k—i) постоянны, то предельная нагрузка Р* определяется равенством
р* = 1
с
р* = 1
с
п 、2
"。 - 2 f 勿%) +
7=2/
п 、2
"。 - 2 f 勿%) +
7=2/
+
+
1/n 、 n J-1'
—I Mo - 2 ^2 勿％ 2 £ £ 8s 0 'J =2/J=2s=2■
1/n 、 n J-1'
—I Mo - 2 ^2 勿％ 2 £ £ 8s 0 'J =2/J=2s=2■
工 w%a + 工 ^заз^ p
J =2J =2丿
工 w%a + 工 ^заз^ p
J =2J =2丿
c = 2^ ]](1^ f) ds, &k = W JJ В??曲 (k = 1,2,..., n),
S — площадь пластины.
Для трехслойной пластины из двух материалов
p* = 001；1 (мо - 20282)2 + "°2q2 (Мэ - 20282州2 +。02Q2限 (⑻
c = 2^ ]](1^ f) ds, &k = W JJ В??曲 (k = 1,2,..., n),
S — площадь пластины.
Для трехслойной пластины из двух материалов
p* = 001；1 (мо - 20282)2 + "°2q2 (Мэ - 20282州2 +。02Q2限 (⑻
Максимальное значение предельной нагрузки Р** будет достигнуто, если в (18) толщина наружного слоя будет равна
8* _m)(002a201 —001a102)(19)
。02a201(0 — 2偿)+ СГ01Л1Р2
причем материалы должны быть расставлены так, чтобы числитель и знаменатель в (19) были отрицательными. В этом случае, как следует из (17), амплитуда остаточного прогиба будет минимальной.
Список литературы
Мазалов В. Н., Немировский Ю. В. Динамика тонкостенных пластических конструкций 〃 Проблемы динамики упругопластических сред. Сер. Механика. Новое в зарубежной науке. Вып. 5. М.: Мир, 1975. С. 155-247.
Комаров К. 〃，Немировский Ю. В. Динамика жесткопластических элементов конструкций. Новосибирск: Наука, 1984. 232 с.
Дерибас А. А. Физика упрочнения и сварки взрывом. Новосибирск: Наука, 1972. 188 с.
Яковлев И. В., Сиротенко Л.Д., Ханов А.М. Сварка взрывом армированных композитных материалов. Новосибирск: Наука, 1991. 119 с.
Fleck /., Laber A., Leonard R. Explosive welding of composite materials 〃 J. Compos. Mater. 1969. V. 3, №4. P. 669-701.
РАЗРЕЗАНИЕ ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЫКЛИНОВЫМИ НОЖАМИ
Р.И. Непершин
Институт проблем механики РАН
Приведено численное моделирование процесса разрезания идеально пластической полосы клиновыми ножами при плоской деформации. Учитывается конечная ширина клиновых ножей и контактное трение на наклонных гранях.
Введение. В начальный период внедрения клиновых ножей в полосу конечной толщины пластическая область образуется около ножей и сохраняет геометрическое подобие, не зависящее от глубины внедрения. Для идеально пластического тела эта задача имеет точное решение как для гладкого, так и для шероховатого клина [1, 2]. Если клиновые ножи имеют конечную ширину, то при большом внедрении ножей в толстую заготовку геометрическое подобие пластической области около ножей не сохраняется. Численное моделирование этого процесса вплоть до полного погружения клина в идеально пластическое полупространство приведено в [3].
При внедрении ножей в полосу конечной толщины при некоторой глубине внедрения пластическая область проникает через всю толщину полосы и приводит к снижению давления на ножи по сравнению с начальной стадией внедрения. На этой стадии начинается раздвижение жестких концов полосы. Поле линий скольжения для этой стадии разрезания применительно к процессу кузнечной рубки приведено в [4].
Ниже приведено численное моделирование процесса разрезания полосы конечной толщины клиновыми ножами конечной ширины при плоской деформации с учетом контактного трения для идеально пластической модели материала полосы [5]. На первой стадии внедрения ножей используются решения [1-3] с пластической областью около ножей, выходящей на поверхность полосы. На второй стадии внедрения используется поле линий скольжения [4] с переходом от первой стадии внедрения ко второй из условия равенства давления на ножи. Процесс моделирования заканчивается полным разделением полосы на две части на третьей стадии внедрения, при которой пластическая область между ножами уменьшается до нуля при раздвижении жестких концов полосы наклонными гранями ножей.
Постановка задачи и основные уравнения. Рассмотрим процесс разрезания полосы конечной толщины 2Н двумя сближающимися клиновыми ножами конечной ширины 2a. Траектория перемещения ножей ортогональна к поверхности полосы. Ширину полосы в направлении режущих кромок ножей принимаем достаточно большой по сравнению с толщиной и в сечении, перпендикулярном к режущим кромкам ножей, принимаем условия плоской деформации. Расстояние линии разрезания от боковых граней полосы также принимаем большим по сравнению с толщиной полосы. Материал полосы принимаем идеально пластическим.
координат. За характерный размер принимаем полуширину клиновых ножей а = =1; за характерное напряжение — предел текучести as = 1 материала полосы, за характерную скорость — скорость внедрения ножей в полосу V = 1 относительно ее центра О.
Безразмерными параметрами процесса являются: угол наклона а граней ножей с вертикальной линией симметрии, коэффициент пластического трения 0 V 〃 V < 0.5 на границе контакта ножей с пластической областью, коэффициент трения / по Кулону на границе контакта ножей с жесткими концами полосы на конечной стадии разрезания, полутолщина полосы Н и внешняя сила Fx, которая может быть приложена на концах полосы.
Для идеально пластической полосы в пластической области должны выполняться дифференциальные соотношения для напряжений и скоростей перемещений [5]:
do 干 d0 = O, dV& 千 Vr1dф = 0, (2.1) вдоль линий скольжения £ ы 〃，определяемых уравнениями
dy/dx = ^ф для §, dy/dx = — ctg ф для 〃， (2.2) где ф — угол между касательной к линии скольжения £ и осью х; а — среднее напряжение в плоскости пластического течения; V^ и V^ — проекции вектора скорости перемещения на линии скольжения £ ы 〃. Верхние знаки в соотношениях (2.1) относятся к линии скольжения £, а нижние — к линии скольжения 〃.
Первая стадия разрезания полосы. На рис. 1 показаны поле линий скольжения и годограф скоростей перемещений на первой стадии разрезания от момента линейного контакта ножей с полосой. Эта стадия всегда имеет место при
Рис. 1
малом начальном перемещении ножей s и описывается известным автомодельным решением [2], которое определяет нормальное давление р на границе контакта АВ клина с пластической областью:
夕=⑦ + }(1 + sin2T), 7 = ^ arccos2/1,(3.1)
где ⑦—угол центрированного веера поля линий скольжения, зависящий от угла наклона /3 свободной границы BE пластической области и параметров а п 〃：
—7 —©(3.2)
Угол /3 находим из решения трансцендентного уравнения [3] методом Ньютона:
sin /3 [д/5 + cos /3 cos 7/ sina] — } cos а/ cos 7 = 0.(3.3)
Вертикальное давление q на ножи определяется соотношением
(3.4)(3.4)q =夕 + 从 ctga.
(3.4)
(3.4)
При большой толщине полосы или малой ширине клиновых ножей автомодельное пластическое течение около ножей может сохраняться до критической глубины внедрения s*, при которой граница контакта АВ совпадает с конечной длиной наклонной грани ножей:
(3.5)(3.5)s* = 卜osq — д/5 cos т sin/з] / sin а.
(3.5)
(3.5)
При достаточной несущей способности жесткой области полосы между ножами и малой ширине ножей пластическая область, выходящая на поверхность полосы около ножей, может сохраняться при перемещении ножей на величину, превышающую критическое значение s*. В этом случае геометрическое подобие пластической области не сохраняется. Численная модель процесса внедрения клина конечной ширины с сохранением поля линий скольжения с особой точкой на конце наклонной грани клина (рис. 1) приведена в работе [3]. В этой работе приведен алгоритм расчета криволинейной выпучиваемой границы при погружении клина в пластическое полупространство. Форма криволинейной границы и глубина внедрения клина определяются в параметрическом виде в зависимости от угла центрированного веера ⑦ + 仇 возрастающего от начального значения ⑦，определяемого формулой (3.2). Вертикальное давление на ножи определяется формулой [3]
(3.6)(3.6)q = 〃ctga + } sinZ) + ⑦ + 夕 при s(J)〉s*,
(3.6)
(3.6)
где 2 к s* определяются выражениями (3.2) и (3.5); алгоритм расчета зависимости s(J) приведен в [3].
Вторая стадия разрезания полосы. При увеличении перемещения ножей s толщина перемычки h = Н — s уменьшается, и при перемещении s： давление на ножи на первой стадии разрезания оказывается равным давлению на ножи при проникании пластической области через толщину полосы между ножами. При s〉s： происходит снижение давления на ножи и раздвижение жестких концов полосы в соответствии со схемами поля линий скольжения и годографа скоростей [4], показанных на рис. 2-4.
При небольшой толщине полосы 2Н по сравнению с шириной ножей 2a переход ко второй стадии разрезания происходит при перемещении ножей s V s*. В этом случае на второй стадии разрезания граница полосы около ножа прямолинейна с углом наклона /3 (рис. 2).
Для толстой полосы переход ко второй стадии разрезания происходит при перемещении ножей s〉s*. В этом случае на второй стадии разрезания граница полосы около ножа криволинейна (рис. 3). Поля линий скольжения, показанные на рис. 2 и рис. 3 отличаются величиной угла 必 центрированного веера в точке В, который находится из условия равенства давления на ножи при переходе от первой стадии разрезания ко второй. Для обоих полей линий скольжения годограф скоростей перемещений имеет вид, показанный на рис. 4.
Поля линий скольжения на второй стадии разрезания полосы определяются треугольной областью АВС с однородным напряженным состоянием с длиной I контакта ножа с полосой, углом 7, который определяется вторым соотношением
Рис. 2Рис. 2Рис. 4Рис. 4
Рис. 2
Рис. 2
Рис. 4
Рис. 4
и двумя углами 屮\ и 心 центрированных вееров в точках А и В. Длина контакта I и угол ф\ определяются соотношениями
I = s/(cos а — д/2 cos 7 sin /3) при s <(4
или Z = 1 / sin а при s〉s*,
® = 7г/4 + 7 — а.(4.2)
Угол 21 определяет область центрированного веера линий скольжения АСЕ.
При известном угле 帆 определяем область центрированного веера линий скольжения BCD. В области CDFE линии скольжения находим численным интегрированием дифференциальных уравнений (2.2) совместно с дифференциальными соотношениями (2.1) для а и ф от круговых линий скольжения CD и СЕ (задача Гурса). В области AEG линии скольжения обоих семейств прямолинейны. В области GEFM линии скольжения находим из решения задачи Гурса от известных границ GE и EF, и в области GMN линии скольжения находим численным интегрированием уравнений (2.2) совместно с соотношениями (2.1) для а и ф от линии скольжения GM с граничным условием ф = —тг/4 на линии симметрии GN (смешанная краевая задача). Описанный алгоритм определяет конечную точку N, которая должна совпадать с началом координат О. Это условие используем для определения неизвестного угла 帆 при заданном перемещении ножей s:
W [^(s)] = 0,(4.3)
где gw — координата у точки N, рассматриваемая как неявная функция угла ① который находим численным решением уравнения (4.3) методом Ньютона, получая зависимость 耽⑶.
После решения уравнения (4.3) и построения полей линий скольжения, показанных на рис. 2 и рис. 3, с помощью первых соотношений (2.1) находим нормальное давление р на наклонные грани ножей с точностью до среднего напряжения ст。 в центре полосы:
夕=® + 2次 + j sin27 - aQ.(4.4)
Величину ст。находим из условия равновесия жестких концов полосы с учетом заданной внешней силы Fx численным интегрированием распределения напря-
жений на жесткопластической границе BN, которое с использованием первых соотношений (2.1) вдоль линии скольжения 〃 приводит к уравнению
в
(4.5)(4.5)冃 + 卜 dg — j/sina
(4.5)
(4.5)
0 - 4—Н —s + Zcosa—
где / — длина границы контакта ножа с полосой, определяемая соотношениями (4.1). Уравнение (4.4) с учетом зависимостей 耽(5)и oo(s), определяемых уравнениями (4.3) и (4.5), определяет зависимость 夕(s). Вертикальное давление q на ножи определяется формулой (3.4).
Перемещение ножей s, при котором происходит переход от первой стадии разрезания полосы ко второй, находим из условия равенства давления q для первой и второй стадий. Для тонкой (рис. 2) и толстой (рис. 3) полосы это условие приводит к неявным уравнениям относительно s в виде
；+ Q — 7 + ｝匕o(s) —/3]—⑦2(s) = 0 при s<s*,(4.6)
Q — 7 + ｝匕0(s) + 伙s) —/3]—⑦2(s) =。 при s〉s*,(4.7)
которые решаем численным методом Ньютона. Корни уравнений (4.6) и (4.7) определяют перемещение ножей s = s； при начале второй стадии разрезания полосы, которая сохраняется при условии ⑦？ > ° при s〉s：.
На второй стадии разрезания концы полосы раздвигаются с горизонтальной скоростью “ = хв/ув, где хв ^ Ув — координаты точки В на рис. 2 и рис. 3. Жесткая область полосы смещается по оси х на величину
(4.8)(4.8)dx = ds хв/ув,
(4.8)
(4.8)
где ds — малое перемещение ножа. При разрезании тонкой полосы (рис. 2) происходит увеличение длины границы контакта ножей с полосой вследствие смещения точки В, координаты которой определяются точкой пересечения смещенной грани ножа и наклонной границы полосы BD, проходящей через смещенную точку D:
s + /г> tg/3 ctga + tg/3.s + /г> tg/3 ctga + tg/3.у в = Н — s + ctga при хв < 1.у в = Н — s + ctga при хв < 1.(4.9)(4.9)
s + /г> tg/3 ctga + tg/3.
s + /г> tg/3 ctga + tg/3.
у в = Н — s + ctga при хв < 1.
у в = Н — s + ctga при хв < 1.
(4.9)
(4.9)
При разрезании толстой полосы (рис. 3) дифференциальное соотношение (4.8) используем для вычисления криволинейной границы поверхности среза полосы, образующейся выше точки В при внедрении ножа в полосу. Если при заданном s неравенство 力石 V 1 в (4.9) не выполняется, то находим величину s при которой жв = 1, и при дальнейшем перемещении ножей вычисляем криволинейную границу поверхности среза полосы выше точки В по алгоритму для толстой полосы.
Поле линий скольжения в пластической области на второй стадии разрезания полосы вырождается при перемещении ножей s, при котором угол 必 центрированного веера в точке В обращается в нуль. При этом точка G (рис. 2 и рис. 3) совпадает с центром полосы О. При дальнейшем перемещении ножей статически и кинематически возможным является поле линий скольжения с конечной областью однородного напряженного состояния между ножами с точкой Е лежащей на горизонтальной линии симметрии 沙石=0, хе = Н — s^. Перемещение s； принимаем предельным перемещением ножей, при котором заканчивается вторая стадия разрезания полосы и начинается третья стадия, рассматриваемая ниже.
Перемещение ножей при переходе к третьей стадии разрезания определяется уравнением
s；I,(4.10)
V 2 sin а
где хв определяется первой формулой (4.9) для тонкой полосы или хв = 1 для толстой полосы.
Третья стадия разрезания полосы. При увеличении перемещения ножей s〉s； принимаем модель пластического течения около ножей по схеме растяжения полосы с клиновыми вырезами, в которой форма и размеры пластической области определяются толщиной перемычки Н — s между ножами и раздвижение жестких концов полосы происходит по кинематике клинового механизма по наклонной границе контакта ножей с полосой вне пластической области.
На рис. 5 показано поле линий скольжения на третьей стадии разрезания полосы. В области перемычки OAD принимаем одноосное растяжение вдоль оси х, а в области АВС — одноосное растяжение вдоль наклонной границы клина со свободной границей АВ. Эти области соединяются линиями скольжения центрированного веера с углом ⑦=тг/2 — а. Растягивающее напряжение в сечении полосы
力=0 определяется выражением
(5.1)(5.1)О' х = 1 + 7г/2 —
(5.1)
(5.1)
На наклонной границе контакта клина с полосой выше точки В из условия равновесия находим нормальное давление с учетом коэффициента трения / по Кулону и определяем вертикальное давление на ножи: q= a+/：tgaH^(f「< Я, (5.2) /(cosQ — j sinct)
где ах определяется формулой (5.1), а I — длина контакта наклонной грани ножа с полосой.
При разрезании толстой полосы величина I постоянна и формула (5.2) определяет линейное снижение
давления на ножи вследствие уменьшения толщины перемычки при увеличении перемещения ножей s. При разрезании тонкой полосы величина I возрастает с увеличением s, и формула (5.2) определяет более быстрое нелинейное снижение давления на ножи. При положительном внешнем натяжении полосы Fx > 0 при перемещении ножей
s = Н - Fx/ax (5.3)
давление на ножи падает до нуля и дальнейшее раздвижение концов полосы происходит растяжением силой Fx до пластического разрыва перемычки. При отрицательной силе Fx давление на ножи остается положительным вплоть до смыкания ножей при s = Н.
При разрезании тонкой полосы при отрицательной силе Fx, представляющей собой сопротивление свободному раздвижению концов полосы на второй и третьей стадиях разрезания, среднее напряжение ст。в центре полосы, рассчитываемое по уравнению (4.5) для предельного поля линий скольжения второй стадии при ⑦？= =0, может удовлетворять неравенству
(5.4)(5.4)。0 < 2()— а) + /3 — }.
(5.4)
(5.4)
В этом случае уравнение (4.6) не имеет решения, так как давление на ножи для второй стадии разрезания оказывается выше давления для первой стадии разрезания, и вторая стадия пластического течения не возникает. При уменьшении толщины перемычки между ножами будет происходить переход от первой стадии разрезания к третьей при равенстве давлений на ножи, которое определяет величину перемещения ножей s^:
гдегде(cosq — / sin а),(cosq — / sin а),(5.5)(5.6)(5.5)(5.6)
где
где
(cosq — / sin а),
(cosq — / sin а),
(5.5)
(5.6)
(5.5)
(5.6)
q — давление на ножи на первой стадии разрезания, определяемое по уравнениям (3.1)-(3.4), ах — нормальное напряжение по толщине перемычки, определяемое формулой (5.1).
На рис. 6 показан годограф скоростей перемещений для третьей стадии разрезания полосы. Жесткие концы полосы раздвигаются по кинематике клинового
Рис. 6Рис. 6механизма при скольжении наклонных граней ножей относительно полосы по границе контакта выше точки В (рис. 5) со скоростью 〃 =tga. Область OAD (рис. 5) неподвижна. В точке D возникает разрыв скорости 〃/д/5, который распространяется вдоль линий скольжения AD и BCD. Скорости перемещений области АВС определяются выражениями
Рис. 6
Рис. 6
% = tg Q [ 1 + } (cos Q — sin Q)] ,% = — } tg Q(COS Q + sin Q).
(5.7)
При перемещении ножей на третьей стадии разрезания граница АВ пластической области отрывается от наклонной границы
ножей и становится свободной от внешних напряжений. Так как при перемещении ножей толщина перемычки и размеры пластической области уменьшаются, то отрыв границы АВ приводит к появлению криволинейной свободной поверхности около вершины ножей. В настоящей работе граница АВ принималась прибли
женно прямолинейной, так как скорость нормального отрыва этой границы от ножей мала по сравнению со скоростью перемещения ножей, и искривление этой
границы, по-видимому, незначительно.
Численные примеры. На рис. 7 показана верхняя половина полосы в конце процесса разрезания клиновыми ножами для параметров а = 0.15,从=0.1, / = =0.05, Н = 5, Fx = —0.2. На рис. 8 показана зависимость силы разрезания Р = 2q от перемещения ножей для этого процесса. Этот пример относится к случаю разрезания тонкой полосы, при котором Н < 1 / sin а и длина границы контакта полосы с ножами меньше конечной длины наклонной грани ножей. Форма разреза (рис. 7) определяется наклонной границей контакта с ножами и наклонной поверхностью полосы около ножей с углом /3 = 0.091. Первая стадия разрезания заканчивается при перемещении ножей s； = 2.48 при линейном возрастании силы разрезания до значения Р = 1.52 (рис. 8). Вторая стадия разрезания заканчивается при s； = 3.36 при нелинейном увеличении силы разрезания до значения Р = 1.58. На третьей стадии сила разрезания почти линейно снижается до конечного значения Р = =0.081, обусловленного силой сопротивления Fx = —0.2.
На рис. 9 показана зависимость силы разрезания от перемещения ножей для внешней силы Fx = —0.5 для приведенных выше значений параметров процесса разрезания тонкой полосы. В этом случае выполняется неравенство (5.4) и вторая стадия пластического течения не возникает. При перемещении ножей s^ = 3.51 происходит переход от первой стадии пластического течения к третьей при увеличении максимальной силы разрезания до значения Р = 2.14 и конечной силы разрезания до значения Р = 0.203. При этом форма разреза полосы практически не меняется.
На рис. 10 и рис. 11 показаны конечная форма разреза полосы и зависимость силы разрезания от перемещения ножей при увеличении толщины полосы до Н =
P
=10 при остальных параметрах процесса, показанного на рис. 7 и рис. 8. В этом случае вторая и третья стадии разрезания полосы возникают при перемещениях ножей s； = 4.88 n s； = 7.18 соответственно. Вторая и третья стадии разрезания происходят при большом перемещении ножей, которые внедряются в полосу при максимальной длине наклонной границы контакта, равной 1 / sin а. Поэтому выше наклонной границы контакта полосы с ножами образуется криволинейная поверхность среза, рассчитываемая по соотношениям (4.8). Внешняя граница полосы около разреза остается прямолинейной с углом наклона /3 = 0.091, так как переход от первой стадии разрезания ко второй происходит при длине границы контакта ножей с полосой, меньшей чем 1/sina.
Рис. 12
На рис. 12 и рис. 13 показаны конечная форма разреза толстой полосы и зависимость силы разрезания от перемещения ножей для параметров а = 0.2,从=0.12, / = 0.05, Н = 20,冃=0. В этом случае первая стадия разрезания полосы имеет два этапа. При перемещении ножей до значения s* = 4.28 сохраняется геометрическое подобие пластической области при нагружении материала полосы около ножей вдоль свободной границы на сжатие до предела текучести. На этом участке сила разрезания увеличивается линейно до значения Р = 3.56. При дальнейшем
Рис. 13
перемещении ножей длина границы контакта ножей с полосой остается постоянной и жесткая область выше ножей выдвигается по механизму сдвига вдоль изолированной линии скольжения [3], что приводит снижению давления на ножи в момент перехода ко второму этапу первой стадии разрезания полосы. На втором этапе первой стадии разрезания давление на ножи определяется зависимостью (3.6) с образованием криволинейной границы полосы около ножей.
Переход ко второй стадии разрезания полосы происходит при перемещении ножей s： = 8.28 при максимальной силе разрезания Р = 4.68. Вторая стадия разрезания происходит при монотонном снижении силы разрезания до значения Р = 2.48 при перемещении ножей s； = 18 в момент перехода к третьей стадии разрезания, на которой сила разрезания линейно падает до нуля. Форма криволинейной границы разреза и внешней границы полосы около разреза (рис. 12) определяются формой разреза в конце второго этапа первой стадии при s； = 8.28 и интегрированием соотношений (4.8) при раздвижении жестких концов полосы на второй и третьей стадиях разрезания.
Приведенные примеры моделирования процессов разрезания идеально пластической полосы выполнены до полного разделения полосы на две части за счет пластического течения, так как модель идеально пластического тела не содержит информации о разрушении материала. Известные феноменологические зависимости о предельной пластической деформации, приводящей к разрушению [6], могут быть использованы для ограничения перемещения ножей на второй или третьей стадии разрезания, после которого возможно разделение полосы вследствие разрушения материала.
Список литературы
Hill R. The Mathematical Theory of Plasticity. Oxford: Clarendon Press, 1985. [Pyc. nep.: Хилл P. Математическая теория пластичности. M.: Гостехиздат, 1956. 407 с.]
Соколовский В. В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. — 608 с.
Непер шин Р.И. Внедрение конечного клина в идеально пластическое полупространство 〃 Изв. РАН. МТТ. 2003. №4. С. 176-182.
Johnson 眩，Mellor Р. В. Engineering Plasticity. L.: Van Nostrand Reinhold, 1975. [Pyc. пер.: Джонсон У., Меллор Л. Теория пластичности для инженеров. М.: Машиностроение, 1979. - 567 с.]
Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001. - 704 с.
Колмогоров В.Л. (ред.). Пластичность и разрушение. М.: Металлургия, 1977. 336 с.
ЗАГЛУБЛЕННЫЙ ТРУБОПРОВОДПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН
Л. В. Никитин
Институт физики Земли РАН
Для обеспечения жизнедеятельности человека под землей находится огромное количество трубопроводов, кабелей, обсадных труб, свай и других стержнеобразных элементов инженерных сооружений. Они подвергаются различного рода динамическим нагрузкам в результате воздействия взрывных, ударных нагрузок или сейсмических волн. Известны случаи, когда в результате землетрясений происходили разрывы трубопроводов.
Воздействие сейсмических волн на заглубленные трубопроводы изучалось А. А. Ильюшиным и Т. Р. Рашидовым [1]. Трубопровод моделировался упругим стержнем, взаимодействующим с окружающей средой по закону типа Винклера, т. е. усилия на поверхности стержня считались пропорциональными смещениям стержня. Была рассмотрена стационарная задача о воздействии на трубопровод- стержень ударной волны, распространяющейся по среде в направлении оси стержня. Движения среды при этом считалось заданным. Исследовалось движение и напряженное состояние стержня. Принималось, что движение трубопровода не вызывает сколько-нибудь заметных изменений в движении грунта. Решение построено для взаимодействия по Винклеру как для случая, когда скорость импульса в среде меньше скорости звука в стержне (дозвуковое обтекание), так и при сверхзвуковом обтекании, когда скорость движения импульса в среде больше скорости звука в стержне. Была рассмотрена задача также в предположении о взаимодействии стержня со средой по закону сухого трения Амонтона-Кулона. Однако в этом случае удалось построить решение лишь для сверхзвукового обтекания.
В настоящей работе представлено развитие работы [1] на наиболее часто встречающийся на практике случай дозвукового обтекания при взаимодействии по закону сухого трения.
. Постановка задачи. Рассмотрим упругий стержень, заглубленный в грунте, в результате чего он находится под действием давления на его поверхности р (рис. 1). Отнесем стержень к оси х, направленной вдоль его оси. Рассмотрим движение трубопровода под воздействием ударной волны в грунте, фронт которой перпендикулярен оси стержня и движется со скоростью с. Уравнение движения стержня запишется в виде
да dv ,
Здесь а — нормальное напряжение в стержне, о — скорость его поперечных сечений, р — погонная плотность стержня, 丁 = fpL/S — приведенная предельная сила трения, L — периметр контакта стержня с окружающей средой, / — коэффициент сухого трения между стержнем и окружающей средой.
Величина 庆 в случае относительного движения стержня и среды совпадет со знаком разности скоростей стержня о и среды с, а в отсутствие проскальзывания принимает некоторое подлежащее определению значение, не превышающее
Рис. 1. Стержень-трубопровод в среде, в которой распространяется со скоростью с фронт волны, вовлекающий его в движение. По стержню распространяется со скоростью ап предвестник, движение которого тормозится трением
по модулю едпнпиь匚 | | < 1. Этим отражается существо закона сухого трения Амонтона-Кулона, заключающееся в том, что сила трения всегда направлена противоположно скорости движения стержня относительно окружающей его среды. В случае взаимодействия по закону Винклера сила трения принимается пропорциональной смещению стержня. В такой постановке рассмотрение ведется в работе [1]. К уравнению движения добавляется закон Гука а =石”，связывающий напряжения а с перемещением сечений и, где Е — модуль Юнга материала стержня. В дальнейшем удобно воспользоваться законом Гука в продифференцированном по времени виде
雲(L2)
Уравнения (1.1), (1.2) образуют систему для определения напряжения а и скорости сечений о. Вместо этих уравнений можно записать одно уравнение второго порядка относительно перемещения и:
2aдик丁
а—P =—P +—■
дхat2р
Здесь через а =(石/“枝 обозначена скорость упругих волн в стержне. В отличие от постановки по Винклеру система уравнений (1.1), (1.2) и уравнение (1.3) являются существенно нелинейными. В области, где движение происходит с проскальзыванием, уравнение (1.3) отличается от классического, хорошо изученного волнового уравнения лишь членом, представляющим собой константу, умноженную на переключатель сухого трения 庆.Трудность решения задач заключается в нахождении границ, разделяющих области покоя и движения. Величина 庆， будучи функцией скорости, является заранее не известной, искомой функцией. Зачастую из постановки задачи знак скорости является очевидным. Однако даже в этом случае нахождение решения представляет собой нетривиальную задачу, поскольку необходимо находить неизвестную границу раздела областей покоя и движения.
При движении без проскальзывания скорость сечений уже не является искомой функцией, так как совпадает с заданной скоростью окружающей среды. В простейшем случае покоя или постоянства скорости окружающей среды величина 庆 определится из уравнения
При этом на границе между областями проскальзывания и совместного движения величина 庆 обычно претерпевает разрыв. Таким образом, в общем случае, даже при относительном покое напряжения в стержне могут быть отличными от нуля. Это нужно иметь в виду при постановке начальных условий.
Если в начальный момент t = 0 стержень был покоящимся и ненапряженным, то начальные условия будут
о = 0, а = 0, 庆=0 при t = 0.(1.5)
В качестве граничных условий на торцах стержня могут быть заданы напряжение, скорость, связь между напряжением и смещением или связь между ускорением и напряжением.
Система уравнений (1.1), (1.2) является гиперболической. Характеристики системы и соотношения вдоль них имеют вид
dz = ±ad方， ^da — ар dv — кта dt = 0.(1.6)
Из анализа системы (1.1), (1.2) следует, что на поверхности сильного разрыва, т. е. разрыва функций а и v, распространяющегося со скоростью с, скачки напряжения (о) и скорости (и) должны удовлетворять условиям
(а) + cp(v) = 0, с(а) + E(v) = 0.(1.7)
Однородная система (1.7) имеет нетривиальное решение лишь при с = а. Таким образом, сильные разрывы могут распространяться только по характеристикам (1.6), вдоль которых имеем
(а) ± ap(v) = 0 при х = ±at + const.(1.8)
Можно показать [2], что фронты волн слабого разрыва, т. е. скачков тех или иных производных а и V, распространяются со скоростью, отличной от скорости звука. Причем если фронт слабого разрыва отделяет область покоя от области движения, т. е. является передним фронтом динамического возмущения, то он распространяется со скоростью, не превышающей по модулю скорость звука. Напротив, фронт остановки движения всегда распространяется со скоростью, превышающей по модулю скорость звука.
В областях проскальзывания 庆 принимает значение ±1. В этом случае система (1.1), (1.2) легко интегрируется, что приводит к обобщенному на случай сухого трения решению Даламбера
a = ｝庆丁力 + f(at + /)一夕(a方-/)，
apv = —｝左тa方 + /(at + /)一夕(a方-/)，(1.9)
a力+力at — x
石" =一^卄(a2 /一/2) + I /(〃)d〃+ I 0(W)dw,
о0
где / п 夕一произвольные функции, подлежащие определению из начальных и граничных условий, а также, возможно, соотношений вдоль фронтов волн.
Рассмотрим теперь ситуацию, в которой скорость о меняет знак. Пусть изменение скорости происходит вдоль фронта х =力*(方).Если решение перед фронтом известно, то с помощью (1.1) и (1.2) можно найти [2] ускорение вдоль фронта х = =⑴：
где а* = dx^/dt есть скорость фронта. Если в построенном по данным вдоль фронта решении о〉0, то движение будет возможно, если ускорение будет положительным при 庆=+1. Если это не так, то аналогичная проверка проводится для 0 Vo. Если один из этих случаев имеет место, то решение строится по данным о = 0, а = о(力*(方)，方).В противном случае вдоль х =力*(方)происходит остановка движения. При этом (1.4) служит для определения 庆 по распределению 。(力)， замораживающемуся в стержне при остановке движения.
Падение дозвуковой волны на полубесконечный стержень-трубопровод. Воздействие на трубопровод может быть различным. Рассмотрим для начала движение полубесконечного трубопровода под воздействием ступенчатой, полу- бесконечной ударной волны давления в грунте, фронт которой перпендикулярен оси стержня и движется со скоростью с. Характер возникающего движения существенно зависит от отношения скоростей ударной волны в грунте с и скорости звука в стержне а.
Остановимся сначала на наиболее распространенном на практике случае, когда скорость звука в стержне больше, чем скорость ударной волны в среде: а > > с. Тогда по стержню впереди ударной волны в среде будет распространяться волна, создающая движение в стержне относительно неподвижной среды. Взаимодействие между поверхностью стержня и средой препятствует этому движению. Позади ударной волны в среде, напротив, среда движется быстрее стержня, и силы взаимодействия разгоняют стержень на этом участке.
На рис. 2 изображена волновая картина в области движения 方力 с фронтами волн. Показано расположение фронта ударной волны х = ct и переднего фронта возмущений, распространяющегося с переменной скоростью ап. Отмечен момент времени 方*, в который скорости стержня и среды сравниваются.
В начальный момент считаем стержень покоящимся и свободным от напряжений, так что начальные условия имеют вид (1.5). В набегающей на стержень ударной волне давление равно —夕о, так что граничное условие на конце х = О будет
а = —ро при х = 0, t > 0. (2.1)
Если давление ро мало по сравнению с напряжениями, возникающими в стержне за счет сил трения, то его можно положить в (2.1) равным нулю (но не в падающей волне). В этом случае передний фронт возмущений не будет ударным и начнет двигаться с некоторой скоростью а°・ Ударный фронт в среде х = с方，не являясь характеристическим, разделяет области с различными значениями силы трения. Из этого следует, что в стержне фронт х = ct несет лишь слабый разрыв. Решение в областях Sj и S~ между передним фронтом, фронтом х = ct и осью 方 нужно искать одновременно по данным
о j = 0, о = 0 вдоль х = а° 方，
Рис. 2. Волновая картина в плоскости tx, на которой показаны фронт х = ct волны в среде и ломаная кусочно-линейная линия переднего фронта, распространяющегося со скоростями do, Qi, @2, и выходящая на асимптоту х = // + ct. Отмечен момент времени 力*, в который выравниваются скорости среды и стержня
oj=0；，вдоль /=况(2.2)
о] = 0 при 力=0,
где верхние индексы «+» и «—» относят величины к областям, расположенным соответственно ниже и выше фронта х = ct. С помощью формул (1.9) и условий (2.2) легко получить решение для напряжения, скорости и начальной скорости переднего фронта а。. Решение в области Sj будет
где т+
((J - /)2 + 4a20282y/2 一++
+ ，(2・3)
2 ++
喈=22 (a。方力)，才=/ 2 ° 2、 (°。方力)，(24)
— dQ)p
—предельная сила трения перед фронтом х = с方.
Решение в области S~ будет
< =—以(2・5)
Эти решения справедливы лишь до тех пор, пока скорость сечений стержня не сравнится со скоростью движения среды. Как видно из приведенных решений, это
произойдет в момент 方*, равный
(2.6)
в который скорость мгновенно на участке 0 < х < х^ = ct^ обращается в нуль. В этот момент в сечении 力=力* возникает волна с фронтом х = х^ + a(t —方*), вдоль которого скорость и напряжение (по модулю) убывают до нуля при встрече с начальным участком переднего фронта х = а°方.Выше фронта х = ct все сечения стержня приобретают скорость движения среды. Напряжение в части стержня 0 < х < ж* не меняется и определяется (2.4). Решение в области S0H между характеристикой х — х^ = а(方一方*) п фронтом х = ct находится по данным вдоль характеристики и условию равенства скорости сечений стержня скорости движения среды vs вдоль фронта х = ct:
(а + ао)(а - с)(а + ао)(а - с)[aaot — (а + а。— с)ж],[aaot — (а + а。— с)ж],
(а + ао)(а - с)
(а + ао)(а - с)
[aaot — (а + а。— с)ж],
[aaot — (а + а。— с)ж],
疗= "(а + /(2.7)
Сопоставление (2.6) с (2.4) показывает, что фронт 力一力* = a(t —方*) действительно несет слабый разрыв. Напряжения в области совместного движения среды и стержня Sq получим, если в (2.7) положим t = х/с:
咛=-apvs -咛=-apvs -Q(Q0 — С)丁+C(Q + @0)Q(Q0 — С)丁+C(Q + @0)(2.8)(2.8)
咛=-apvs -
咛=-apvs -
Q(Q0 — С)丁+C(Q + @0)
Q(Q0 — С)丁+C(Q + @0)
(2.8)
(2.8)
Далее передний фронт претерпевает излом и движется с другой, заранее не известной скоростью ai. Решение в области S/ между передним фронтом, двигающимся на этом участке со скоростью аь и характеристикой х — х\ = а(方一方i), где 力 1 = ао(а — с)方*/(а — ао),方i = (а — c)方*/(а — а。)，находится по данным
(2.9)(2.9)疗=0, 疗=О
(2.9)
(2.9)
вдоль переднего фронта и закона изменения количества движения вдоль вышеупомянутой характеристики:
Эти три условия позволяют найти две неизвестные функции в общем решении (1.9) и неизвестную скорость фронта ai. В результате имеем
疗=疗=@2 丁+
疗=
疗=
———2 ["1（方一力）一力+力1]， a — aQ
疗=疗=J" [a1 (方一方1)一/ + /]], (a — s)aJ" [a1 (方一方1)一/ + /]], (a — s)a(2.Ю)(2.Ю)
疗=
疗=
J" [a1 (方一方1)一/ + /]], (a — s)a
J" [a1 (方一方1)一/ + /]], (a — s)a
(2.Ю)
(2.Ю)
_ Q0(Q + C)
Аналогичным образом находятся решения в последующих областях.
Методом математической индукции можно установить, что для областей с произвольным арабским номером 八 и латинским N решения имеют вид
(4 = — <Ws(4 = — <Wsат+(a +а九)(а-c)ат+(a +а九)(а-c)[aant - (а + ап - с)ж],[aant - (а + ап - с)ж],球=% +球=% +a"+a"+(а + ап)(а — с)р(а + ап)(а — с)р(2.Н)(2.Н)
(4 = — <Ws
(4 = — <Ws
ат+
(a +а九)(а-c)
ат+
(a +а九)(а-c)
[aant - (а + ап - с)ж],
[aant - (а + ап - с)ж],
球=% +
球=% +
a"+
a"+
(а + ап)(а — с)р
(а + ап)(а — с)р
(2.Н)
(2.Н)
+ _ а т++ _ а т+о _ 20*(а - ап) хп —-о _ 20*(а - ап) хп —-(2.12)(2.12)Скорость переднего фронта на ношенияСкорость переднего фронта на ношенияп-м участке находится из рекуррентного соот-п-м участке находится из рекуррентного соот-Qn—1(Q + С)а + 2aпт — сQn—1(Q + С)а + 2aпт — с(2-13)(2-13)Ломаная линия переднего фронта выходит на асимптотуЛоманая линия переднего фронта выходит на асимптотух =х =+丸+丸(2.14)(2.14)
+ _ а т+
+ _ а т+
о _ 20*(а - ап) хп —-
о _ 20*(а - ап) хп —-
(2.12)
(2.12)
Скорость переднего фронта на ношения
Скорость переднего фронта на ношения
п-м участке находится из рекуррентного соот-
п-м участке находится из рекуррентного соот-
Qn—1(Q + С)а + 2aпт — с
Qn—1(Q + С)а + 2aпт — с
(2-13)
(2-13)
Ломаная линия переднего фронта выходит на асимптоту
Ломаная линия переднего фронта выходит на асимптоту
х =
х =
+丸
+丸
(2.14)
(2.14)
(b;V方一力 + 力^),0^ = - /、(6N方一力 + ^дT).
(а - bn)p
Фигурирующая в (2.11) величина 力^ есть расстояние от начала координат до точки пересечения прямой, образующей n-й участок переднего фронта с осью х. Комбинация х^ = х + а^, в которой только и входят координаты точек пересечения участков переднего фронта с осью х в формулы (2.11), определяется из рекуррентного соотношения [2]
так что предельная скорость переднего фронта а^ = lim ап = с и координата 力厶 равны соответственно
^оо = с,力限=—―с； "* .(2.15)
При больших временах решение принимает вид, одинаковый для областей с арабскими и латинскими индексами:
с а — с
о+ 生 ％ + 口——(ct -力)，(2.16)
(a -c)p
c
Как видно из вышеприведенных формул, напряжения в полубесконечном стержне всюду, включая области совместного движения, являются сжимающими и максимальны по абсолютному значению при х = ct, где они стремятся к значению а = —a^pVs/c. Растягивающих напряжений в данном случае не появляется. По-другому обстоит дело для стержня конечной длины и сверхзвуковой скорости.
Воздействие дозвуковой волны на стержень конечной длины. Рассмотрим теперь воздействие ступенчатой волны в грунте на стержень конечной длины I. Сначала решение будет по-прежнему описываться формулами (2.7), (2.9). В дальнейшем появятся отраженные от обоих концов стержня волны, фронты которых распространяются со скоростью звука в стержне а.
Рис. 3. Волновая картина в стержне длины I с указанием переднего фронта волны х = =@о力 фронта волны в среде ж = ct и фронтов отраженных волн, распространяющихся со скоростью звука в стержне аРис. 3. Волновая картина в стержне длины I с указанием переднего фронта волны х = =@о力 фронта волны в среде ж = ct и фронтов отраженных волн, распространяющихся со скоростью звука в стержне а
Рис. 3. Волновая картина в стержне длины I с указанием переднего фронта волны х = =@о力 фронта волны в среде ж = ct и фронтов отраженных волн, распространяющихся со скоростью звука в стержне а
Рис. 3. Волновая картина в стержне длины I с указанием переднего фронта волны х = =@о力 фронта волны в среде ж = ct и фронтов отраженных волн, распространяющихся со скоростью звука в стержне а
Решения в областях 1+ и 1_ (рис. 3) находятся по граничному условию oj = 0, при 力=/ по закону изменения количества движения вдоль фронта отраженной волны х = I — a(t — Z/ao) и условиям непрерывности а и v вдоль фронта х = ct:
==Q(QC + do С — QQo) 丁Q(QC + do С — QQo) 丁c(『-4)c(『-4)'+a2 ao 丁+ат+1一/ H—20a — a。 a — a。'+a2 ao 丁+ат+1一/ H—20a — a。 a — a。(3.1)(3.1)
=
=
Q(QC + do С — QQo) 丁
Q(QC + do С — QQo) 丁
c(『-4)
c(『-4)
'+a2 ao 丁+ат+1
一/ H—20
a — a。 a — a。
'+a2 ao 丁+ат+1
一/ H—20
a — a。 a — a。
(3.1)
(3.1)
(a - a0)p'(a - a0)p'Q丁+Qo(a + 的—с)
(a - a0)p'
(a - a0)p'
(/ -喻 (/ -喻 a
Здесь принято условие 2ao ＞。(。0 — с), обеспечивающее приход повторно отраженных от обоих концов стержня волн к концу стержня х = I позже, чем ударная волна в среде. С помощью (3.1) убеждаемся, что напряжения в областях типа I являются растягивающими. Максимального значения они достигают при
х = а(ао — с)//2aoe и равны
- c)(2ftoc + ас - аао)т+1门》
max ет —-q ，e
2aoe 一
В пределе при ста max а1 = т+//2. Напряжения в других областях либо не превышают тех, что имеют место в областях I, либо являются сжимающими. Скорости сечений стержня возрастают и, очевидно, в некоторый момент достигнут скорости движения грунта, после чего стержень будет двигаться с грунтом как единое целое.
Воздействие на трубопровод сверхзвуковой волны в грунте. Эффективная скорость распространения волн по трубопроводу может, например, за счет наличия зазоров в стыках оказаться меньше скорости ударной волны в грунте [1].
Рис. 4. Волновая картина в плоскости (/力)при воздействии сверхзвуковой волны в среде с > аРис. 4. Волновая картина в плоскости (/力)при воздействии сверхзвуковой волны в среде с > а
Рис. 4. Волновая картина в плоскости (/力)при воздействии сверхзвуковой волны в среде с > а
Рис. 4. Волновая картина в плоскости (/力)при воздействии сверхзвуковой волны в среде с > а
Решение для этого случая было получено в [1]. Передний фронт возмущения в стержне будет распространяться со скоростью с (рис. 1) и будет являться волной слабого разрыва, так что
о = 0, о = 0 вдоль х = ct.(4.1)
Сила трения будет, очевидно, активной, и поэтому нужно положить 庆=—1. Решение, которое будет справедливым до характеристики х =。方，получим в виде
о = — ； 丁 2—力), v = - 2СТ (ct - х).(4.2)
с — а(с — а )р
Для получения решения в угле между характеристикой и осью t имеем условие (1.8) вдоль х = at п, если пренебречь лобовым сопротивлением стержня, а = 0 на торце 力=0. Эти условия приводят к решению
атст ,
(4.3)(4.3)(T = - /， V = - T?- /.
(4.3)
(4.3)
с + а(с + a)p
В момент
力=力* = (с + а).*
скорость движения участка стержня 0 < ж < at* достигает значения скорости движения грунта. Этот участок стержня в дальнейшем движется с грунтом как единое целое со скоростью vs, а фронт х = at с момента 方=方* становится ударным, и после его прохождения сечения стержня также приобретают скорость vs, которая затем остается неизменной. При этом распределение напряжений на участке стержня 0 < х < at* будет
атат(Г = —X. с + а(Г = —X. с + а(4.4)(4.4)
ат
ат
(Г = —X. с + а
(Г = —X. с + а
(4.4)
(4.4)
На участке。方* < х < at распределение напряжений становятся иным:
а = -apvs + -- т~х.(4.5)
с + а
Как видно из (4.5), начиная с
=а(с + a)pvs(с — а)т~
напряжения становятся растягивающими, причем максимальных значений они достигают на ударном фронте ж = at и со временем возрастают. В предельном случае с = а передний фронт совпадает с характеристикой х =。方.Остается только одна область движения, расположенная между фронтом х = ct и осью 方，решение в которой вплоть до момента выравнивания скоростей 方=方* = 2pvs/r~ получается из (4.3) предельным переходом ста.
Проведенный анализ распространения нестационарных волн в стержне-трубопроводе, вызванных воздействием на него ступенчатой ударной волны в среде, показал, что при дозвуковой скорости ударной волны с < а в полубесконечном стержне возникают только сжимающие напряжения. Не превышающие по величине 丁一//2, но опасные растягивающие напряжения могут появиться в стержне конечной длины или при падении сверхзвуковой волны с > а, при этом они нарастают по линейному закону. Обнаружено также, что при дозвуковой скорости ударной волны впереди нее по стержню «вопреки теории» с переменной скоростью, асимптотически стремящейся к скорости с < а, распространяется предвестник. Этот не предвиденный ранее факт позволил найти решение практически важной задачи о воздействии импульса конечной протяженности на заглубленный трубопровод.
Воздействие на бесконечный трубопровод импульса конечной протяженности. Рассмотрим теперь стационарную задачу о движении со скоростью с < а прямоугольного импульса скорости постоянной интенсивности vs по полу- бесконечному стержню-трубопроводу. Как уже отмечалось, при взаимодействии трубопровода со средой по закону сухого трения, в противоположность случаю взаимодействия по Винклеру, возмущения в стержне не уходят на бесконечность. Оказывается, образуется предвестник, движущийся в среде, как показывают результаты раздела (3.1), со скоростью ударной волны в среде. Этот не предвиденный в [1] результат позволяет получить решения и при дозвуковой скорости.
В случае стационарной задачи целесообразно перейти к движущейся системе координат
у = х — ct,(5.1)
Рис. 5. Распределение напряжений в трубопроводе под действием конечного импульса протяженности d в стационарной системе координат у = х — ct. / — область совместного движения, 2 — предвестник, 3 — область разгрузкиРис. 5. Распределение напряжений в трубопроводе под действием конечного импульса протяженности d в стационарной системе координат у = х — ct. / — область совместного движения, 2 — предвестник, 3 — область разгрузкипоместив ее начало на фронте ударной волны напряжение и скорость в стационарном случае 〃(力，方)=и(у) следующим образом:
Рис. 5. Распределение напряжений в трубопроводе под действием конечного импульса протяженности d в стационарной системе координат у = х — ct. / — область совместного движения, 2 — предвестник, 3 — область разгрузки
Рис. 5. Распределение напряжений в трубопроводе под действием конечного импульса протяженности d в стационарной системе координат у = х — ct. / — область совместного движения, 2 — предвестник, 3 — область разгрузки
(рис. 5). Уравнение движения, запишутся через перемещение(рис. 5). Уравнение движения, запишутся через перемещениеdua =上/丁，0= -C тdydydua =上/丁，0= -C тdydy(5.2)
(рис. 5). Уравнение движения, запишутся через перемещение
(рис. 5). Уравнение движения, запишутся через перемещение
du
a =上/丁，0= -C т
dydy
du
a =上/丁，0= -C т
dydy
Впереди импульса в среде формируется распространяющийся со скоростью с предвестник. Движение в предвестнике происходит относительно покоящейся среды и, следовательно, решение там нужно искать при 庆=1. На переднем фронте предвестника перемещение и скорость отсутствуют:
(5.3)(5.3)〃+ = 0, ^- = 0 при у = d^.
(5.3)
(5.3)
Здесь индекс «+» указывает на принадлежность к предвестнику, а через d+ обозначена протяженность предвестника. За предвестником происходит совместное движение грунта и стержня, так что там
a pvs
а =, v = vs
с
(5.4)(5.4)Конечность импульса в среде подрывает состояние (5.4). С некоторого у = —d~ начнется разгрузка, и скорость в трубопроводе будет убывать. Тогда в области разгрузки V < vs и, следовательно,庆=—1. Величины, относящиеся к области разгрузки, будем помечать индексом «-». На заднем фронте импульса в грунте скорость обращается в нуль, так что там
(5.4)
(5.4)
du с7
(5.5)(5.5)U при у =
(5.5)
(5.5)
Сечения у = 0 и у = —двигаются с одинаковой скоростью 0s. Это условие приводит к следующему решению:
+ = 3 -小)27+ = 0%(/ -。2)
_ Е _ (d — у)Ет/г
с— с )
В области разгрузки 庆=-1, и эти же условия дают
_ _ 2d+2 -才-2dg -胃
2p(a2 — с2)，
(5.7)(5.7)а-=—乙-=—3 + &)Етср(а - с2)
(5.7)
(5.7)
Полученное решение, как следует из (5.7), справедливо лишь при d > d+. При более коротком импульсе зона совместного движения грунта и трубопровода исчезает и решение принимает вид
+ =疗7—2.(a2 .。2)，+ =疗7—2.(a2 .。2)，d+ = d~ = d,d+ = d~ = d,
+ =疗7
—2.(a2 .。2)，
+ =疗7
—2.(a2 .。2)，
d+ = d~ = d,
d+ = d~ = d,
(5.8)(5.8)-2.(。2)
(5.8)
(5.8)
Напряжения в трубопроводе всюду сжимающие. Аналогично может быть получено решение и для сверхзвукового случая. Растягивающих напряжений не возникает и в этом случае. Их появление возможно только в нестационарном
процессе.
Список литературы
Ильюшин А. А., Рашидов Т.Р. О действии сейсмической волны на подземный трубопровод 〃 Изв. АН УзССР. Сер. техн. 1971. № 1. С. 37-42.
Никитин Л. В. Статика и динамика твердых тел с внешним сухим трением. Московский лицей, 1998.
ОСНОВЫ ФИЗИЧЕСКОМ МЕЗОМЕХАНИКИДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА КАКМНОГОУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЫ
В.Е. Панин
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск
Рассмотрена методология многоуровневого подхода в физической мезомеханике. Пластическая деформация нагруженного твердого тела связывается с потерей его сдвиговой устойчивости на различных масштабных уровнях. Разрушение является заключительной стадией этого процесса. Поверхностные слои и внутренние границы раздела рассматриваются как важнейшие функциональные подсистемы в иерархии масштабных уровней деформации. Математический аппарат физической мезомеханики развивается как в рамках аналитических методов описания движения мезообъемов по схеме «сдвиг + поворот», так и путем численного моделирования их поведения в полях внешних воздействий. Подчеркивается концептуальная мультидисциплинарность физической мезомеханики.
Введение. Проблемы пластичности и прочности твердых тел до середины XX столетия рассматривались исключительно на основе феноменологических подходов механики сплошной среды. Они позволяли успешно решать широкий круг инженерных задач, связанных с поведением конструкционных материалов в самых различных условиях нагружения. Такой подход классифицируется как макромасштабный.
Однако для понимания механизмов пластической деформации и разрушения твердых тел необходимы были физические подходы на микромасштабном уровне. Такой прорыв физиков в микромир деформируемого твердого тела произошел в пятидесятые годы XX столетия, когда для исследования тонкой структуры кристаллов была использована электронная микроскопия. Последующие полвека физика пластичности и прочности переживала бум, связанный с интенсивным изучением закономерностей возникновения, движения и самоорганизации основного типа деформационных дефектов — дислокаций.
Современная теория дислокаций в кристаллах позволяет качественно объяснить многие закономерности поведения твердых тел в различных условиях нагружения. И первое время казалось, что достаточно преодолеть чисто математические трудности описания сложного поведения дислокационных ансамблей на микроуровне, чтобы теоретически рассчитать макроскопические характеристики деформируемого твердого тела. Однако рассчитать кривую «напряжение-деформация» на основе только микроскопических представлений теории дислокаций не удалось до сих пор. Все попытки прямого перехода от микроподходов физики к макроподходам механики оказались безуспешными. В последние два десятилетия стало ясно, что подобные попытки в принципе обречены на неудачу.
уровне. Было осознано, что деформируемое твердое тело нужно рассматривать как многоуровневую систему, в которой механизмы деформации на микро-, мезо- и макромасштабных уровнях органически взаимосвязаны.
Идея многомасштабности явлений в твердых телах при их пластической деформации и разрушении была сформулирована в томской школе физики твердого тела как концепция структурных уровней деформации твердых тел [1]. Структурные уровни деформации относятся к классу мезоскопических масштабов. Поэтому в литературе их также называют мезомасштабными уровнями деформации. При этом не всегда осознается, что многоуровневый подход является новой парадигмой, качественно отличной от одноуровневого подхода механики сплошной среды и теории дислокаций.
Новый подход был активно поддержан ленинградской школой физиков-прочнистов (В. А. Лихачев, В. В. Рыбин, В. И. Владимиров) и механиками СО АН СССР (ак. Н. Н. Яненко, ак. Л. В. Овсянников, ак. Е. И. Шемякин). Под редакцией ак. Н. Н. Яненко вышла совместная монография сибирских и ленинградских ученых «Структурные уровни деформации твердых тел» [2].
Два прошедших десятилетия были связаны с интенсивной разработкой многоуровневого подхода к решению проблем пластичности и прочности твердых тел. Первостепенными задачами были: разработать новые методы экспериментального исследования механизмов деформации на мезомасштабном уровне, вскрыть общие закономерности поведения деформируемого материала на мезоуровне, обосновать методологию самосогласования пластического течения на различных масштабных уровнях. Это позволяло строить многоуровневую механику деформируемого твердого тела, которая получила название «физическая мезомеханика».
Первые шесть международных конференций, посвященные физической мезомеханике, были проведены на базе Института физики прочности и материаловедения СО РАН (в г. Томске и близ озера Байкал). На международной конференции «Mesofracture'96» в г. Томске было предложено проводить данные конференции в разных странах раз в два года. Такие конференции были впоследствии проведены в Израиле, Китайской Народной Республике, Дании, Японии, Греции. С 1998 года в г. Томске на базе ИФПМ СО РАН издается на русском и английском языках международный журнал «Физическая мезомеханика».
Методология многоуровневого подхода в физической мезомеханике. Несмотря на внешнее различие методов описания деформации и разрушения твердых тел в физике (на основе теории дефектов кристаллической решетки) и механике сплошной среды (феноменологическое описание), их методологии качественно одинаковы. В основе лежат силовые модели сдвиговой деформации под действием средних приложенных напряжений. Тензоры напряжений и деформаций являются симметричными, рассматривается только скалярная плотность дислокаций, деформация описывается только как суперпозиция трансляционного движения дефектов кристаллической решетки. Главная задача в таком подходе — описать предел текучести, деформационное упрочнение материала в ходе его пластического течения и разрушение. В хорошо развитой теории дислокаций их ядра исключаются из рассмотрения и рассчитываются упругие поля взаимодействующих дислокаций в рамках исходной кристаллической решетки. Фактически это сводится к механике деформируемого твердого тела на микромасштабном уровне.
Экспериментальные и теоретические исследования мезоскопических структурных уровней деформации привели к качественно новой методологии описания деформируемого твердого тела как многоуровневой самосогласующейся системы.
Формирующиеся на различных масштабных уровнях разориентированные субструктуры являются масштабным инвариантом. Это лежит в основе построения многоуровневой модели деформируемого твердого тела, в которой учитывается вся иерархия масштабов структурных уровней деформации.
Почему новое научное направление получило название «физическая мезомеханика»? Приставка «мезо» вовсе не означала, что изучается только мезоскопический масштабный уровень. Она означает переход от континуального описания, где деформируемая среда представляется семейством материальных точек, к дискретному, где деформируемое твердое тело представляется как совокупность мезообъемов во всей иерархии масштабов.
При таком подходе движение дислокаций на микромасштабном уровне рассматривается как аккомодационная мода деформации при движении мезообъемов как целого. Экстраполяция движения мезообъемов на макромасштабный уровень приводит к уравнениям механики сплошной среды.
Дискретный подход к описанию движения мезообъемов как целого приводит к необходимости рассмотрения не только сдвиговых механизмов пластического течения, но и поворотных мод деформации. Пример гипертрофированного поворота зерна «А» как целого при развитии в нем одиночного скольжения представлен на рис. 1 [2]. Как следствие такого поворота возникает самосогласованное движение
Рис. 1. Поворот зерна А как целого при развитии в нем одиночного скольжения. В зоне вершины поворачивающегося зерна происходит экструзия материала. Ползучесть поликристалла сплава РЬ + 0,24 Sb при а = 0,4 • 107 Па, Г = 328 К • 1 000 [2]
всего конгломерата смежных зерен: А, В и С. В стыке трех зерен рождается мощный концентратор напряжений. Связанное с ним моментное напряжение релаксирует на более низком масштабном уровне локальными поворотами и экструзией материала в прилегающих приграничных зонах. В объеме поворачивающихся зерен формируется вихревая мезоструктура [2]. Другими словами, поворотные моды деформации развиваются во всей иерархии мезомасштабов. Поэтому при дискретном описании движения мезообъемов в мезомеханике элементарным актом деформации является не сдвиг, а сдвиг + поворот. Именно поворотные моды
деформации обусловливают самоорганизацию пластического течения на всех возможных масштабных уровнях. Закон этого самосогласования имеет вид [3]
£ rot 4 = 0, (1)
г=1
где Ji — поток дефектов на г-м масштабном уровне.
Стесненные повороты мезообъемов обусловливают возникновение промежуточных концентраторов напряжений, необходимых для непрерывного распространения сдвига как релаксационного процесса по своей природе. Согласно [4], стесненные повороты при движении мезообъемов как целого обусловливают существенный вклад в деформационное упрочнение материала.
Оценка поворотных мод деформации в континуальной механике всегда свидетельствовала об их несущественной роли, поскольку рассматривались повороты материальных точек. Как следствие, в континуальной механике пренебрегают и моментными напряжениями.
Таким образом, именно мезомеханика наиболее адекватно отражает суть дискретного подхода в многоуровневой механике деформируемого твердого тела.
Зачем мезомеханике нужна физика?
Все типы дефектов в кристаллах следует рассматривать как локальные мета- стабильные структуры, возникающие в зонах концентраторов напряжений различного масштаба. Поэтому физика пластической деформации должна рассматриваться на основе синергетических законов поведения неоднородных сильнонеравновесных систем, претерпевающих локально структурные превращения и следующих к равновесию путем эстафетного распространения локального структурного превращения в полях градиентов напряжений. Деформируемый кристалл непрерывно испытывает изменение своей исходной кристаллической структуры, формируя на различных мезомасштабных уровнях диссипативные субструктуры (рис. 2).
Поскольку пластическая деформация осуществляется по схеме «сдвиг + поворот», то в деформируемом твердом теле возникает вихревое механическое поле [5]. Именно оно формирует диссипативные субструктуры, которые носят сугубо функциональный характер, аккомодируя пластическое течение кристалла в вихревом механическом поле. Процесс структурных превращений в деформируемом кристалле развивается самосогласованно в иерархии масштабных уровней и должен описываться полевыми теориями дефектов в нагруженном твердом теле [6, 7]. Полевые теории должны отражать источники деформационных дефектов, развитие пластической деформации по схеме «сдвиг + поворот», возникновение вихревых диссипативных структур, самосогласование пластических сдвигов в иерархии всех структурных уровней деформации. Эти вопросы лежат на стыке физики и механики деформируемого твердого тела. Они и явились предметом исследования физической мезомеханики.
Возникновение в деформируемом образце мезополос локализованной деформации, распространяющихся по некристаллографическим направлениям, вызывает фрагментацию образца на более высоком масштабном уровне мезо П, рис. 2, в [8]. Это отражает потерю сдвиговой устойчивости всей внутренней структуры образца при сохранении его глобальной сдвиговой устойчивости как целого. На этой стадии пластического течения формируется новый мезоскопический структурный уровень деформации и его новые носители. Движение мезообъемов на структурном уровне мезо II происходит самосогласованно со всеми нижележащими мезоскопическими структурными уровнями деформации. Описать такой многоуровневый самосогласованный процесс принципиально невозможно на основе методологии
МикроМикроаа66Рис. 2. Схема масштабных уровней потери сдвиговой устойчивости в деформируемом твердом теле: а — микро; 6 — мезо I; 6 — мезо II; г — макроРис. 2. Схема масштабных уровней потери сдвиговой устойчивости в деформируемом твердом теле: а — микро; 6 — мезо I; 6 — мезо II; г — макровв
Микро
Микро
а
а
6
6
Рис. 2. Схема масштабных уровней потери сдвиговой устойчивости в деформируемом твердом теле: а — микро; 6 — мезо I; 6 — мезо II; г — макро
Рис. 2. Схема масштабных уровней потери сдвиговой устойчивости в деформируемом твердом теле: а — микро; 6 — мезо I; 6 — мезо II; г — макро
в
в
теории дислокаций, оперирующей движением дефектов в неизменной структуре исходного твердого тела. Тем более неспособна это сделать механика сплошной среды, которая не только не учитывает внутреннюю структуру исходного твердого тела, но и ее непрерывную эволюцию в ходе пластической деформации.
Методология физической мезомеханики предлагает качественно новый подход и к описанию процесса разрушения нагруженного твердого тела. В классической физике и механике разрушения проблема зарождения трещины до сих пор не ре-
шена. В теории распространения трещины в качестве основополагающих параметров рассматриваются критические значения концентрации напряжений в вершине трещины и степени поврежденности в зоне перед вершиной трещины.
В физической мезомеханике процесс разрушения рассматривается как завершающая стадия его деформации, связанная с глобальной потерей сдвиговой устойчивости нагруженного твердого тела как целого, рис. 2, г [9]. Принципиально важную роль в разрушении играют поворотные моды деформации. Они обусловливают зарождение трещины как возникновение несплошности материала при нескомпенсированных поворотах трехмерных мезоструктурных элементов деформации. Трансляционное распространение трещины формирует на своем пути локальные повороты мезообъемов, которые определяют критические концентраторы напряжений в вершине трещины, необходимые для ее распространения. При вязком разрушении твердого тела в зоне шейки развивается волновой процесс самоорганизации двух параллельных (в виде диполя) или сопряженных макрополос локализованной деформации, с которыми связаны материальные повороты противоположных знаков. Нескомпенсированность этих поворотов обусловливает возникновение в шейке трещины как аккомодационной поворотной моды деформации [10]. Таким образом, в основе мезомеханики пластической деформации и разрушения твердых тел должны лежать три составляющие.
Идентификация механизмов пластического течения на различных структурных уровнях деформации, приводящих к кардинальному изменению исходной внутренней структуры твердого тела и формированию в нем диссипативных субструктур как мезоскопических носителей пластической деформации.
Установление связи между внешним воздействием, изменением исходной внутренней структуры, формированием иерархии мезоскопических самосогласованных структурных уровней деформации и возникающими вследствие этого механическими полями.
Синергетический подход в методологии описания деформируемого твердого тела как неравновесной многоуровневой среды, которая в точках бифуркации теряет свою сдвиговую устойчивость на различных структурных уровнях и разрушается в условиях глобальной потери своей сдвиговой устойчивости на макромасштабном уровне.
Именно эти положения лежат в основе физической мезомеханики деформируемого твердого тела как многоуровневой системы.
Поверхностные слои — важная функциональная подсистема в многоуровневой модели деформируемого твердого тела. В соответствии с синергетическими принципами физической мезомеханики [10] пластическое течение деформируемого твердого тела развивается как суперпозиция волновых процессов потери его сдвиговой устойчивости на различных структурных уровнях. Каждый структурный уровень пластического течения связан с соответствующим масштабным уровнем концентраторов напряжений. Базовый концентратор напряжений возникает в месте приложения внешней нагрузки к деформируемому твердому телу. Он генерирует все первичные сдвиги. Их развитие в иерархии структурных уровней деформации зависит от исходной внутренней структуры материала и условий его нагружения.
В общем случае первичные волны пластического течения распространяются от базового концентратора напряжений в тонких поверхностных слоях образца, которые характеризуются низкой сдвиговой устойчивостью, аномально большой концентрацией вакансий и наличием широкого спектра атомных конфигураций. Это поверхностные волны переключений в терминологии синергетики.
Поток поверхностных дефектов недислокационной природы, зарождаясь около подвижного захвата, распространяется в направлении максимальных касательных напряжений ттах. Кристаллическая подложка деформируется при этом упруго и тормозит развитие потока поверхностных дефектов. В поверхностном слое формируется складка с сильно выраженной кривизной, в которой возникают микроконцентраторы напряжений. В складке зарождаются дислокации, которые уходят
272Л2нм (X) 0.0 (У)
Рис. 3. Формирование цепочек дислокаций на террасно-ступенчатой поверхности плоского образца дуралюмина; растяжение при Т = 293 宣；£ = 9.8 %; атомно-силовая микроскопия [11]
в поле градиента микроконцентратора напряжений в объем материала, обусловливая его пластическую деформацию рис. 3 [11]. Фронт поверхностных сдвигов распространяется дальше, генерируя новые цепочки дислокаций. Возникающая при этом локализация деформации относится к субмикронному диапазону.
Если специальным выбором материала заблокировать генерацию дислокаций в субмикронном диапазоне, можно наблюдать механизм зарождения в поверхностных слоях макрополос локализованной деформации в миллиметровом диапазоне [12].
На рис. 4 представлена схема распространения поверхностных волн переключения на поверхности плоского образца композита А1 + 10 % AI2O3 при его растяжении (при нагружении двумя подвижными захватами). Дисперсные частицы в объеме композита блокируют дислокационную деформацию, а высокий уровень деформирующих напряжений способствует развитию в нагруженном образце макрополос локализованной деформации. Первичные пластические сдвиги в направлении Ттах возникают в поверхностном слое образца около одного из подвижных захватов. Их фронт распространяется вдоль деформируемого образца, вызывая его изгиб и поперечное отклонение от заданной оси нагружения. Как следствие, квазипериодически в образце возникают полосы сброса в виде макрополос локализованной деформации, параллельные фронту первичных сдвигов. Расстояние между соседними полосами сброса составляет 1-2 мм. Генерация каждой полосы сброса сопровождается возникновением скачка на кривой «напряжение-деформация».
При достижении фронтом первичных поверхностных сдвигов второго подвижного захвата на противоположной головке образца происходит отражение фронта и его распространение в обратном направлении. При этом векторы поверхностных смещений скачком изменяют свое направление на сопряженное Tmax (рис. 4, 6).
Рис. 4. Эволюция поля векторов смещений на поверхности плоского образца композиционного материала А1 + 10% AI2O3 при растяжении: представлены две последовательные стадии движения полосы локализованной пластической деформации: справа налево (а) и слева направо (6) [12]Рис. 4. Эволюция поля векторов смещений на поверхности плоского образца композиционного материала А1 + 10% AI2O3 при растяжении: представлены две последовательные стадии движения полосы локализованной пластической деформации: справа налево (а) и слева направо (6) [12]
Рис. 4. Эволюция поля векторов смещений на поверхности плоского образца композиционного материала А1 + 10% AI2O3 при растяжении: представлены две последовательные стадии движения полосы локализованной пластической деформации: справа налево (а) и слева направо (6) [12]
Рис. 4. Эволюция поля векторов смещений на поверхности плоского образца композиционного материала А1 + 10% AI2O3 при растяжении: представлены две последовательные стадии движения полосы локализованной пластической деформации: справа налево (а) и слева направо (6) [12]
Направление поперечного смещения образца изменяется на противоположное. При многократном возвратно-поступательном движении фронта первичных поверхностных сдвигов вдоль оси нагружения образец испытывает поперечные автоколебания подобно струне скрипки. Рождающиеся при этом полосы локализованной деформации последовательно охватывают весь объем образца, осуществляя его пластическое течение сугубо очагово. Подобный процесс классифицируется в синергетике как движение бегущего импульса в возбудимой среде.
Характер полос сброса, возникающих при движении фронта поверхностных сдвигов, зависит от типа материала, вида и условий нагружения. Так, при растяжении поликристаллического алюминия в полосах сброса развиваются аккомодационные сдвиги по направлению Tmax, которое сопряжено направлению Tmax первичных поверхностных сдвигов. Их векторная сумма проявляется в виде периодически возникающих на рабочей части образца продольных векторов смещений, параллельных оси нагружения рис. 5 [13].
Если создать в поверхностных слоях деформируемого образца наноструктурные состояния, то в них развиваются две системы сопряженных макрополос локализованной деформации (рпс.6, а) [14, 15]. При больших степенях деформации они разделяются попарно, распространяясь вдоль образца в виде «двойных спиралей» (рис. 6, 6).
Материал в мезополосах, представленных на рис. 6, а, б, экструдирован над поверхностью растягиваемого образца. Это обеспечивает барьерный подслой, имеющий полосовую фрагментированную субструктуру, рис. 6, в. Данный подслой
Рис. 5. Монтаж фрагментов поля векторов смещений на поверхности образца алюминия; растяжение; £ = ?%;△ = 0,025 % х 250 [13]
формируется ультразвуковой обработкой поверхностного слоя исходного образца. Он эффективно задерживает потоки деформационных дефектов из поверхностного наноструктурированного слоя в объем материала. Сдвиги в поверхностном наноструктурированном слое развиваются по сопряженным направлениям максимальных касательных напряжений [15]. В отсутствие барьерного подслоя экструдированные мезополосы в поверхностных слоях не наблюдаются.
Рис. 6. Деформационный рельеф на поверхности (а, 6) и дислокационная структура в объеме (б), возникающие при растяжении холоднокатаных образцов титана с субмикрокристаллической структурой лицевого поверхностного слоя: а — сканирующая туннельная микроскопия, £ = 18 % х 170; 6 — оптическая микроскопия, £ = 16 % х 20; в — просвечивающая электронная микроскопия, е = 18 % х 12 000 [15]
Анализ экспериментальных результатов [10, 14, 15] показывает, что поверхностные слои нагруженных твердых тел являются автономным мезоскопическим структурным уровнем деформации. В них зарождаются и распространяются поверхностные волны переключения, которые играют принципиально важную роль в зарождении всех видов деформационных дефектов, которые затем распространяются в объеме образца на других структурных уровнях деформации. Таким образом, в многоуровневой модели деформируемого твердого тела ведущую роль играют поверхностные слои как мезоскопический структурный уровень деформации.
Рассмотренные выше поверхностные волны переключения относятся к разряду диссипативных процессов. Генерируемые поверхностными волнами дислокации подобны ингибитору в реакции Белоусова-Жаботинского, который должен отводиться в окружающую среду. На поверхности жидкости реакция Белоусова-
Жаботинского описывается параболическими уравнениями типа
|| = /(〃, о) + О△“，「I^ = -о + v(〃).
Здесь переменные “по — соответственно концентрации активатора и ингибитора, V(“) — монотонно возрастающая функция, s С 1.
Поверхностные слои нагруженного твердого тела является активной возбудимой средой. Движение фронта поверхностных дефектов происходит под действием максимальных касательных напряжений. Возникающие при распространении поверхностных волн локальные зоны изгиба-кручения создают встречные поля напряжений, которые периодически замедляют движение фронта поверхностных дефектов. Генерация в локальных зонах изгиба-кручения деформационных дефектов и их распространение в объем материала релаксируют встречные поля напряжений. Это обеспечивает дальнейшее распространение поверхностных волн переключения. Эффект пульсации скорости распространения локального пластического течения в макрополосе деформации убедительно показан в [16-18] при исследовании методом электронной спекл-интерферометрии поверхности образцов алюминия, алюминиевого сплава А2017 и стали S45C при растяжении.
Отличие твердого тела от жидкой среды, в которой наблюдалась реакция Бело- усова-Жаботинского, не позволяет механически использовать уравнения параболического типа при описании пластической деформации. В волновых уравнениях пластического течения необходим учет гармонической составляющей в виде второй производной от смещений по времени (см. ниже).
Физическая мезомеханика внутренних границ раздела. Все внутренние границы раздела также следует классифицировать как мезоскопический структурный уровень деформации [19]. При нагружении гетерогенной среды на внутренних
Рис. 7. Эстафетное зарождение на границе раздела «зона термического влияния — основной металл» мезополосовой структуры; сварное соединение в низкоуглеродистой стали Ст 10; растяжение при 293 К; е = 2 (а); 2,1 (6); 2,3 х 90 [20]
границах раздела возникают квазипериодические концентраторы напряжений, которые генерируют в пластичную матрицу деформационные дефекты (рис. 7) [20], а в хрупкий материал — трещины (рис. 8) [21, 22].
Несовместность упругих деформаций двух сред на границе их раздела приводит к возникновению на этой границе распределенных концентраторов напряжений [8-10, 23]. При нагружении гетерогенной среды они последовательно достигают критической величины и генерируют в объем материала деформационные де巾ектн: дислокации, мезополосы локализованной деформации, дисклинации. Данный процесс развивается как автоволновой на микро- или мезоструктурных
Рис. 8. Зарождение трещины (в покрытии) и двух сопряженных мезополос локализованной деформации (в подложке) на границе раздела «покрытие-подложка»; е = 8 % х 65 [21, 22]
уровнях. Наглядный пример такого автоволнового процесса на мезоуровне представлен на рис. 7 для сопряжения пластичных сред в сварном соединении [20].
Мезомеханика поведения среды с внутренней границей раздела рассмотрена в [23-25]. В [23, 25] методами континуальной механики решена задача о распределении нормальных и касательных напряжений на границах зерен в упруго нагруженном поликристалле [23] и термических напряжений в тонком слое между пуансоном и подложкой [25]. Показана пространственная периодичность этого распределения. В пластически деформируемой среде необходимо учитывать энергию ядер деформационных дефектов, рождающихся на границе раздела [24]. При континуальном описании их можно представить как систему взаимодействующих элементарных возбуждений.
Эту систему можно заменить физически адекватным полем дефектов, которое характеризуется двумя величинами: тензором плотности дефектов а и тензором плотности потока дефектов j. Теория калибровочных полей позволяет получить динамические полевые уравнения относительно этих величин [26, 27]. Рассмотрим уравнение, которое позволяет качественно проанализировать распределение плотности дефектов а в статических условиях:
51 V X Q = —(71 — 02 + у^ТЗ, (2)
где Si — константа теории, имеющая смысл энергии дефекта на единице длины; ел — материальные напряжения, обусловленные дефектами; 。2 — напряжения от внешних воздействий, которые положим равными нулю; к п)— соответственно модуль всестороннего сжатия и коэффициент теплового расширения; Г — абсолютная температура. Напряжения можно выразить через тензор плотности потока импульса с обратным знаком:
В выражении (3), как и в (2), 8 — единичный тензор; а.а означает, что по вторым индексам берется скалярная свертка. Подставляя (3) в (2), получим
V х а = (q2®/2 — а.а) + укТЗ.(4)
Предположим, что в материале имеет место одна система дефектов (например а°力),зависящая только от координаты у. В этом случае линия дефекта направлена по 2, а скачок смещений — по х. Из уравнения (4) получим
Уравнение (5) при Г = 0 имеет решение 1 /azx = у/2. Распределение плотности дефектов azx вдоль оси у в этом случае представлено на рис. 9, а. Видно, что в материале появляется граница при у = 0, по разные стороны от которой дефекты имеют противоположные скачки смещений и наблюдается локализация дефектов у границы.
Рис. 9. Распределение плотности дефектов вдоль оси у при Г = 0 (<2)и Г ^ 0 (б) [24]
При Т # 0 решение уравнения существенно меняется и имеет вид
= (2然7/8)1/2电[(^17251)1/2 加(6)
Распределение azx вдоль оси у представлено на рис. 9, б. В данном случае материал вдоль оси у разбивается на области, размер L которых определяется как
E = 7T(2S1/t€T)1/2(7)
Из выражения (7) видно, что при повышении температуры размер областей уменьшается, но увеличивается по абсолютной величине azx внутри области из-за присутствия сомножителя (2)庆T/Si)"? в выражении (6). Границы областей
贝7仃/2&)1/2 = 7г/2 ±П7Г, п = 0, ±1, ±2,...,
напоминают полосы сброса, поскольку дефекты имеют противоположные скачки смещений по разные стороны от границы. Если положить, что плотность дефектов
azx не может превышать некоторого критического значения асг, то появляется возможность качественно проанализировать ширину границы (мезополосы) Д:
Д = 2(2&/т仃)1/2 arctg[(2Si/)仃)i/2&cr],
или
h = (2Z//tt) arctg (Lacr/7r).(8)
Таким образом, ширина полос сброса Д связана с размером областей L между ними. При Z/Qcr/灰 > 1 выражение (8) приближенно можно представить в виде
Д = (21//тг)[тг/2 - 7r/(Lacr) + 7r3/(3L3afr)
а при (Lacr/7r)2 < 1 получим
Д = (2Z//tt)[Z/Qci7 灰—L3afr/3 + ...].
Представленные выше расчеты убедительно показывают, что при пластическом течении структурно-неоднородной среды на внутренних границах раздела могут генерироваться мезоскопические сдвиги, которые характеризуются ква- зипериодическим пространственным распределением. Убедительная иллюстрация этого представлена на рис. 7. Волновой характер последовательного вовлечения квазипериодических концентраторов напряжений на внутренней границе раздела «покрытие-подложка» экспериментально обнаружен в ряде работ при растяжении стальных образцов с упрочняющим покрытием [21, 22]. Каждый вовлекаемый концентратор напряжений на внутренней границе раздела генерирует микротрещину в покрытии и две сопряженные мезополосы локализованной деформации в пластичной подложке.
Есть все основания полагать, что пространственная квазипериодичность плоских скоплений дислокаций, испускаемых границами зерен в объеме деформируемого поликристалла, также является отражением волнового характера распространения внутризеренных сдвигов. Однако вихревое механическое поле в гетерогенной среде обусловливает формирование в кристаллической решетке сложных дислокационных ансамблей, которые отражают суперпозицию многочисленных волн пластического течения на различных структурных уровнях. Поэтому принято считать, что пластическое течение развивается как стохастически сложный диссипативный процесс. Это действительно так, если рассматривать дислокационную деформацию на микромасштабном уровне как ведущий механизм пластического течения.
Если принять, что ведущим механизмом пластической деформации являются волны переключений в поверхностных слоях деформируемого твердого тела, то волновой характер деформации удается проследить вплоть до разрушения материала.
Эволюция квазиоднородного пластического течения и заключительная стадия его макролокализации. По мере увеличения плотности дислокаций в деформируемом образце его жесткость возрастает, а зона активной деформации образца непрерывно сокращается [12]. Первичный и отраженный фронты поверхностных волн переключений непрерывно удаляются от концов рабочей части образца. Это эквивалентно сближению виртуальных захватов испытательной машины как базовых концентраторов напряжений.
Ориентированный по направлению ттах фронт первичной поверхностной волны непрерывно уменьшает среднюю скорость своего перемещения вдоль образца
и начинает скачкообразно менять свое направление на сопряженное ттах. В предельном случае зона активной деформации, испытывающая поперечные упругопластические автоколебания, сокращается до области встречи (или взаимного наложения) прямого и отраженного фронтов поверхностных волн переключений [27]. В этой зоне первичный и отраженный фронты образуют либо крест сопряженных макрополос локализованной деформации, либо диполь параллельных макрополос с противоположными направлениями сдвигов. Эта активная зона определяет место формирования шейки, в которой развивается волновой процесс глобальной потери сдвиговой устойчивости деформируемого образца.
Выявить макрополосы локализованной деформации в шейке при растяжении обычных поликристаллических образцов не всегда удается. Дислокационная деформация на микромасштабном уровне размывает макрополосы, и они оказываются слабо выраженными. Однако если заблокировать дислокационную деформацию, например созданием на поверхности или во всем объеме субмикрокристаллической или наноструктуры, то в поле векторов смещений четко проявляется генезис макрополос и волновой характер их эволюции на стадии падения деформирующего напряжения.
Рис. 10. Образование шейки и характер разрушения при растяжении холоднокатаного образца титана с субмикрокристаллической структурой на лицевой поверхности: оптическое изображение лицевой поверхности образца (а); поле векторов смещений на субмикрокристаллической поверхности (6); характер разрушения образца (б); £ = 17 % х 15 [15]
На рис. 10 приведен пример возникновения креста макрополос локализованной деформации в шейке образцов титана с субмикрокристаллической структурой поверхностного слоя при растяжении [15]. Поле векторов смещений на рис. 10, б позволяет четко идентифицировать структуру креста макрополос и характер сдвигов в зоне шейки, рис. 11. Анализ поля векторов смещений позволяет утверждать:
—шейка есть место встречи первичного и отраженного фронтов макролокализации деформации, ориентированных по сопряженным направлениям Ттах；
—уменьшение поперечного сечения образца в шейке определяется векторной суммой сдвигов в сопряженных макрополосах локализованной деформации;
—сложный характер суперпозиции сдвигов в зоне шейки обусловливает вихревой характер пластического течения материала шейки (и интенсивную его фрагментацию по В. В. Рыбину).
Данные результаты свидетельствуют о том, что пластическое течение в шейке развивается как самостоятельная стадия деформации. Механизмы этой деформации определяются едиными синергетическими принципами физической мезомеханики.
В общем случае вид фазовой волны самосогласования макрополос локализованной деформации определяет вид разрушения: вязкое с образованием шейки, квазихрупкое с распространением вдоль диполя макрополос магистральной трещины продольного или поперечного сдвига, нормальный отрыв с распространением магистральной трещины поперек образца.
Рис. 11. Схема самосогласования сдвигов в поле векторов смещений на рис. 10,6 [15]
В соответствии с принципами физической мезомеханики любой деформируемый образец, проявляющий деформационное упрочнение, обречен на макролокализацию пластического течения и разрушение. Отсутствие деформационного упрочнения является необходимым условием деформации образца в режиме сверхпластичности. Для выполнения этого условия необходимо обеспечить полное самосогласование деформации на микро- и мезомасштабных структурных уровнях, не допуская возникновения самосогласованных макрополос локализованной деформации. Если реализуется самосогласованное развитие мезополос локализованной деформации, то можно получить скоростную сверхпластичность.
Теоретические основы физической мезомеханики. Математический аппарат физической мезомеханики развивается в двух направлениях: разработка аналитических методов механики многоуровневых систем [5, 6, 26-44] и численное моделирование их поведения в полях внешних воздействий [45-52].
Движение мезообъемов может быть аналитически описано на основе объединения уравнений механики сплошной среды и калибровочной теории дефектов [5, 6, 26-32], рассмотрения в деформируемом твердом теле градиентов внутренних напряжений [34], анализа поведения диссипативных субструктур [35, 36], коллективных свойств ансамблей дефектов [37] или движения двумерных дефектов [38], использования неевклидовой модели деформирования материалов на различных структурных уровнях [39], введения в континуальное пространство иерархии
структурных уровней [40], применения аппарата теории дисклинаций [41]. В мезомеханике разрушения вводится иерархия масштабов накопления повреждений и трещин [42-44].
В качестве примера приведем полевые уравнения в многоуровневой модели деформируемого твердого тела [26]:
5V • j = — pV, V • = о,
х 7 = да/dt, &▽ х Q = -Bdj/dt - и(9)
По форме записи уравнения (9) аналогичны уравнениям Максвелла в электродинамике. При этом «токами» являются напряжения о, а «зарядами» — количество движения pV. Поле дефектов передает взаимодействие между системами эффективных напряжений а = aext + 0mt и системами эффективных количеств движения pV = pVM + pdu/dt. Здесь aext — внешнее приложенное напряжение; 6rmt _ обусловленное континуумом дефектов внутреннее напряжение; V и du/dt — скорости смещения мезообъемов, обусловленные соответственно потоком дефектов в мезообъеме и внешним воздействием; р — плотность среды.
На любой мезообъем движущихся дефектов в деформируемом твердом теле со стороны эффективного поля напряжений действует сила Лоренца, которая может кооперативно смещать ансамбль движущихся дефектов в мезообъеме в определенном направлении. Воздействие максимальных касательных напряжений на подсистему движущихся дефектов в условиях заданных граничных условий (сохранение направления оси приложенного напряжения) приводит к волновому характеру распространения пластического течения вдоль оси образца. Однако реальный механизм распространения сдвигов в деформируемом твердом теле зависит от диссипативных свойств среды.
Волновые уравнения для распространения потока дефектов в вязкопластичной среде имеют вид [26]
а。)
^亲-4 +(11)
Уравнения (10), (11) характеризуются наличием второй производной по времени от переменных а и j. Это отражает возможность распространения в деформируемом твердом теле потоков дефектов в виде плоских гармонических волн.
Анализ предельных случаев затухания показал [26], что при высоком уровне диссипации волны потоков дефектов очень быстро затухают. Однако в условиях слабой диссипации потоки дефектов в деформируемом твердом теле могут распространяться в виде плоских гармонических волн.
Условие слабой диссипации выполняется:
в поверхностных слоях нагруженного твердого тела (если они специально не упрочнены);
при распространении в объеме деформируемого твердого тела полос Людерса, мезо- и макрополос локализованной деформации (когда подвижность дислокаций в объеме материала равна нулю или очень низка);
—при разрушении материала, когда аккомодационные возможности потоков дефектов на микро- и мезоуровнях исчерпаны.
Уже в настоящее время на основе полевых уравнений решен ряд важных задач физической мезомеханики. Описаны волны пластических сдвигов в поверхностных слоях нагруженного твердого тела, рассмотрен вопрос о тонкой структуре пластического сдвига на мезомасштабном уровне, описана специфика поведения материала при различных скоростях нагружения, в условиях ползучести, знакопеременной деформации [27-32].
Численное моделирование поведения твердого тела в полях внешних воздействий проводится как на основе континуальной механики, где в определяющих уравнениях учитывается внутренняя структура [45, 46], так и в рамках дискретных методов на микро- и мезоуровнях [47-52].
При введении внутренней структуры в определяющие уравнения континуальной механики принципиально важен учет иерархии структурных уровней деформации. Это позволяет качественно оценить роль поверхностного слоя и внутренних границ раздела в развитии деформации на мезомасштабных уровнях, вклад моментных напряжений и поворотных мод деформации в сопротивление деформации и разрушение материала.
Дискретные подходы на микромасштабном уровне уже многие годы широко используются на базе аппарата молекулярной динамики. В физической мезомеханике существенный прогресс в разработке дискретных методов компьютерного моделирования связан с учетом в молекулярной динамике иерархии структурных уровней, с построением трехмерных моделей, развитием метода подвижных клеточных автоматов, применением метода Монте-Карло и квантово-химических подходов [47-52]. Это позволило моделировать среды со сложной внутренней структурой, в частности наноматериалы, рассчитывать из первых принципов мезообъемы как носители деформации на мезомасштабных уровнях, описывать иерархические процессы на поверхностях трения, учитывать протекание в деформируемом материале различных физико-химических процессов.
7. Мультидисциплинарность физической мезомеханики. Рассмотрение в физической мезомеханике любой среды во внешнем поле как многоуровневой системы принципиально изменяет круг приложений данной науки и делает ее концептуально мультидисциплинарной. Приведем несколько примеров.
В работах чл.-корр. РАН С. В. Алексеенко с сотрудниками обнаружены нелинейные волны в тонких пленках жидкостей, стекающих по поверхности твердого тела [53, 54]. Эти нелинейные волны проявляются как потоки жидкости в виде двойных спиралей. В их основе лежит мезомеханика взаимодействия тонкой пленки текущей жидкости и неподвижного твердого тела. Как отмечалось выше в п. 3 (рис. 6, б), если в поверхностном слое твердого тела создать наноструктуру в сочетании с барьерным подслоем с полосовой фрагментированной субструктурой, то при растяжении такого твердого тела его наноструктурированные поверхностные слои испытывают пластическое течение также по схеме двойных спиралей. Подобный механизм движения в виде нелинейных волн определяется мезомеханикой взаимодействия тонкого поверхностного слоя как вязкой среды и твердой непроницаемой подложки. Мезомеханика нелинейных волн оказывается универсальной для многих явлений на поверхности, внутренних границах раздела, в тонких пленках и многослойных материалах для электроники. Данное направление в мезомеханике имеет многочисленные приложения в других науках.
При нагружении структурно-неоднородных сред важным мезоскопическим уровнем деформации является движение отдельных структурных элементов как целого по схеме «сдвиг + поворот». На их границах раздела происходит фрагментация материала, которая заканчивается возникновением разрывов среды. По-
добные явления при деформации горных пород и сыпучих сред подробно изучены в школе акад. Е. Й. Шемякина.
Наконец, законы физической мезомеханики управляют многими явлениями в живых организмах. В цикле работ, выполненных в последние годы под руководством ак. С. Н. Багаева, сообщается о вихревом характере движения крови в аорте и лимфатической жидкости в лимфатических сосудах [55]. Это явление изучается в совместных работах Института лазерной физики и ИТПМ СО РАН. Описать вихревое движение крови и лимфатической жидкости можно только рассмотрением многоуровневой системы «поток жидкости — стенка сосуда». В работах ИФПМ СО РАН показано, что подобное вихревое пластическое течение происходит и в поверхностных слоях, сопряженных с кристаллической подложкой, при одноосном нагружении, рис. 12 [56]. Указанный тип движения характерен для многих сред, в которых имеется источник и необходимо обеспечить распространение потока на большие расстояния в сугубо диссипативной среде [57, 58].
Рис. 12. Схема нагружения (а) и профиль поверхностей (6) образца при сжатии [56]
Общность методологии физической мезомеханики для объектов живой и неживой природы убедительно показана в обзоре [59]. Конечно, для каждой среды характерна своя специфика. Но многоуровневость большого числа сред в живой и неживой природе обусловливает универсальные законы их поведения в полях внешних воздействий, которые могут быть описаны на основе подходов физической мезомеханики.
Список литературы
Панин В.Е., Гриняев Ю. В., Елсукова Т. Ф., Иванчин А. Г. Структурные уровни деформации твердых тел 〃 Изв. вузов. Физика. 1982. Вып. 25, № 6. С. 5-27.
Панин В. Е., Лихачев В. А., Гриняев Ю. В. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука, 1985. 229 с.
Панин В. Е. Физические основы мезомеханики среды со структурой 〃 Изв. вузов. ①нзнка. 1992. Т. 35, № 4. С. 5-18.
Панин В.Е. Методология физической мезомеханики как основа построения моделей в компьютерном конструировании материалов 〃 Изв. вузов. Физика. 1995. Т. 38, № 11. С. 6-25.
Панин В.Е., Гриняев Ю. В., Егорушкин В. Е. Спектр возбужденных состояний и вихревое механическое поле в деформируемом кристалле 〃 Изв. вузов. Физика. 1987. Вып. 30, № 1. С. 36-51.
Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Полевая теория дефектов. Часть I 〃 Физ. мезомех. 2000. Т. 3, №5. С. 19-32.
Гриняев Ю.В., Панин В.Е. Полевая теория дефектов на мезоуровне 〃 ДАН. 1997. Т. 353, № 1. С. 37-39.
Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В. Е. Панина. Новосибирск: Наука, 1995. Т. 1. 298 с. Т. 2. 320 с.
Panin V.E. Overview on mesomechanics of plastic deformation and fracture of solids 〃 Theor. Appl. Fracture Meeh. 1998. V. 30, № 1. P. 1-11.
Panin V.E. Synergetic principles of physical mesomechanics 〃 Theor. Appl. Fracture Meeh. 2001. V. 37, № 1-3. P. 261-298.
11 Кузнецов П. В., Панин В. Е. Прямое наблюдение потоков дефектов и сублимикронной локализации деформации на поверхности дуралюмина при помощи сканирующего туннельного и атомного силового микроскопов 〃 Физ. мезомех. 2000. Т. 3, № 4. С. 91-98.
Дерюгин ЕЕ, Панин В.Е., Шмаудер 3., Стороженко И. В. Эффекты локализации деформации в композитах на основе А1 с включениями AI2O3 〃 Физ. мезомех. 2001. Т. 4, №3. С. 35-47.
Панин В.Е., Панин С. В. Мезомасштабные уровни пластической деформации поликристаллов алюминия 〃 Изв. вузов. Физика. 1997. Т. 40, № 1. С. 31-39.
Panin А. И, Klimenov V.A., Abramovskaya N.L., Son A. A. Plastic flow at mesoscale for surface layers 〃 Mesomechanics'2000 / Ed. G. C. Sih. Beijing: Tsinghua University Press. 2000. V. 2. P. 579-584.
Панин А.В., Панин B.E., Почивалов Ю.И., Клименов В. А., Чернов И.П., Валиев Р.З., Казаченок М. С., Сон А. А. Особенности локализации деформации и механического поведения титана ВТ 1-0 в различных структурных состояниях 〃 Физ. мезомех. 2002. Т. 5, №4. С. 73-84.
Toyooka S., Widiastuti A., Zhang Q., Kato H. Dynamic observation of localized strin pulsation generated in the plastic deformation process by electronic specie pattern interferometry 〃 Jpn. J. Appl. Phys. 2001. V. 40. P. 873-876.
Тойоока С., Маджарова В., Жанг К., Супражди. Исследование элементарных процессов пластической деформации с помощью динамической электронной спекл-интерферо- метрии 〃 Физ. мезомех. 2001. Т. 4, № 3. С. 23-27.
Панин В. Е. Поверхностные слои нагруженных твердых тел как мезоскопический структурный уровень деформации 〃 Физ. мезомех. 2001. Т. 4, № 3. С. 23-27.
Панин R. Е, Фомин В.М., Титов В.М. Физические принципы мезомеханики поверхностных слоев и внутренних границ раздела в деформируемом твердом теле 〃 Физ. мезомех. 2003. Т. 6, № 2. С. 5-14.
Плешанов В. С. Мезомасштабные механизмы локализации пластического течения и разрушения и критерии диагностики механического состояния поликристаллов с макроконцентраторами напряжений 〃 Дис. ... докт. техн. наук. Томск ИФПМ СО РАН, 2003. 328 с.
Панин С. В., Дураков В. Г., Прибытков Г. А. Мезомеханика пластической деформации и разрушения низкоуглеродистой стали с высокопрочным деформируемым покрытием 〃 Физ. мезомех. 1998. Т. 1, № 2. С. 51-58.
Panin S. У. Plastic deformation and fracture caused by coating-substrate mismatch at mesoscale 〃 Theor. Appl. Fracture Meeh. 2001. V. 35, № 1. P. 1-8.
Гриняев Ю. В., Панин В.Е. Расчет напряженного состояния в упруго нагруженном поликристалле 〃 Изв. вузов. Физика. 1978, № 12. С. 95-101.
Панин В.Е., Плешанов В. С., Гриняев Ю. В., Кобзева С. А. Формирование периодических мезополосовых структур при растяжении поликристаллов с протяженными границами раздела 〃 ПМТ①.19诵.Т. 39, № 4. С. 141-147.
Cherepanov G. Р. On the theory of thermal stresses in a thin bonding layer 〃 J. Appl. Phys. 1995. V. 78, № 11. P. 6826-6832.
Гриняев Ю. В., Чертова H. В., Панин В.Е. Динамические уравнения ансамбля дефектов при наличии разориентированных субструктур 〃 ЖТФ. 1998. Т. 68, № 9. С. 134-135.
Панин В.Е., Гриняев Ю. В. Физическая мезомеханика — новая парадигма на стыке физики и механики деформируемого твердого тела 〃 Физ. мезомех. 2003. Т. 6, № 4. С. 9-36.
Гриняев Ю. В., Чертова Н. В. О структуре полной деформации в рамках континуальной теории дефектов 办 Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22, вып. 10. С. 10-13.
Гриняев Ю. В., Чертова Н. В. Механические свойства материалов и предмет описания калибровочной теории 〃 Письма в ЖТФ. 1999. Т. 68, № 7. С. 70-74.
Гриняев Ю. В., Чертова Н. В. Закономерность распространения плоских волн дефектов в вязко пластической среде 〃 Письма в ЖТФ. 1999. Т. 25, вып. 18. С. 91-94.
Гриняев Ю. В., Чертова Н. В. Динамическая теория дефектов и ползучесть твердых тел 〃 Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26, вып. 16. С. 57-62.
Гриняев Ю. В., Чертова Н. В., Чертов М.А. Анализ влияния скорости деформирования на характер диаграмм о — е Ц ПМТФ. 2002. Т. 43, № 4. С. 150-154.
Panin KE, Grinyaev Yu. И, Panin А. И, Panin S. У. Multilevel wave model of a deformed solid in physical mesomechanics 〃 Multiscaling in applied science and emerging technology. Proceedings of the Sixth Int. Conf, on Mesomechanics. Patras, Greece, 2004. P. 335-342.
Aifantis E. C. On the role of gradients in the localization of deformation and fracture 〃 Int. J. of Engineering Sci. 1992. V. 30. P. 1279-1299.
Ревуженко А. Ф. Диссипативные структуры в сплошной среде 〃 Изв. вузов. Физика. 1992. Вып. 35, №4. С. 94-104.
Шемякин Е. И. Синтетическая теория прочности 〃 Физ. мезомех. Часть I. 1999. Т. 2, № 6. С. 63-69; Часть II. 2000. Т. 3, № 5. С. 11-17.
Наймарк О. Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения 〃 Физ. мезомех. 2003. Т. 6, № 4. С. 45-72.
Лихачев В. А., Малинин В. Г. Структурно-аналитическая теория прочности. С.- Петербург: Наука, 1993. 471 с.
Мясников В.П., Гузев М.А. Неевклидова модель деформирования материалов на различных структурных уровнях 〃 Физ. мезомех. 2000. Т. 3, № 1. С. 5-16.
Ревуженко А. Ф. Об использовании в механике твердого тела концепции пространства, наделенного иерархией структурных уровней 〃 Физ. мезомех. 2003. Т. 6. — № 4. С. 73-83.
Владимиров В. И., Романов А.Е. Дисклинации в кристаллах. Л.: Наука, 1986. 223 с.
Sih G. С., Lin В. Mesofracture mechanics: a necessary link 〃 Theor. Appl. Fracture Meeh. 2001. V. 37, № 1-3. P. 371-396.
Goldstein R. И, Osipenko N.M. Ordering in fracture processes 〃 Book of Abstracts of Int. Conf. Fracture at Multiple Dimensions. Moscow: Inst. Probl. Meeh. Press. P. 22.
Внук M. П. Мезомеханика квазистатического разрушения 〃 Физ. мезомех. 2003. Т. 6, №4. С. 93-102.
Makarov Р. И, Schmauder S., Cherepanov О./., Smolin I. Yu., Romanova V.A., Balakhonov A.A., et al. Simulation of elastic-plastic deformation and fracture of materials at micro-, meso-, and macrolevels 〃 Theor. Appl. Fracture Meeh. 2001. V. 37, № 1-3. P. 311-334.
Макаров П. В. Моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне 〃 Физ. мезомех. 2003. Т. 6, № 4. С. 111-124.
Головнев И.①Головнева Е. И., Конев А. А., Фомин В.М. Физическая мезомеханика и молекулярно-динамическое моделирование 〃 Физ. мезомех. 1998. Т. 1, № 2. С. 21-33.
Головнева Е.И., Головнев И.①.,Фомин В.М. Моделирование квазистатических процессов в кристаллах методом молекулярной динамики 〃 Физ. мезомех. 2003. Т. 6, № 6. С. 5-10.
Psakhie S. G, Horie У., Ostermeyer G.P., Korostelev S. Yu., Smolin A. Yu., Shilko E. И, Dmitriev 厶./., Blatnik S., Spegel M., Zavsek S. Movable cellular automata method for simulating materials with mesostructure 〃 Theor. and Appl. Fracture Meeh. 2001. V. 37, № 1-3. P. 311-334.
Клосс X., Сантнер 3., Дмитриев А. И., Шилько Е.В., Псахье С. Г., Попов В. Л. Компьютерное моделирование поведения контактов материалов при трении методом подвижных клеточных автоматов 〃 Физ. мезомех. 2003. Т. 6, № 6. С. 23-30.
Псахье С. Г., Зольников К.П., Блатник С. О. проектировании 〃 создании интеллектуальных наноустройств на основе современных нанотехнологий // Физ. мезомех. 2003. Т. 6, №4. С. 125-128.
Яновский Ю.Г., Никитина Е.А., Теплухин 4 8, Басистов Ю.А., Филипенков П.А., Карнет Ю.Н. Новые компьютерные технологии для моделирования структуры и мик- ромеханических свойств гетерогенных вязкоупругих полимерных сред 〃 Физ. мезомех. 2003. Т. 6, №4. С. 129-142.
Алексеенко С. В. Волны, вихри и когерентные структуры в потоках жидкости 〃 Современные проблемы науки. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2004. С. 152-157.
Алексеенко С. В., Куйбин П.А., Окулов В. Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. Новосибирск: Изд. Ин-та теплофизики СО РАН, 2003. 503 с.
Багаев С. Н. Научное приборостроение для медицинской диагностики, терапии и хирургии 〃 Современные проблемы науки. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2004. С. 135-140.
Моисеенко Д.Д., Максимов П. В., Соловьев И. А. Стохастический подход к многоуровневому моделированию возмущений на границах раздела в нагруженном твердом теле 〃 Физ. мезомех. 2004. Т. 7, № 2. С. 19-24.
Егорушкин В.Е. Динамика пластической деформации волны локализованной пластической деформации в твердых телах 〃 Изв. вузов. Физика. 1992. Т. 35, № 4. С. 19-41.
Егорушкин В. Е. Динамика пластической деформации волны локализованной пластической деформации в твердых телах 〃 Физ. мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В. Е. Панина. Новосибирск: Наука, 1995. Т. 1. С. 50-77.
Панин В.Е., Панин Л.Е. Масштабные уровни гомеостаза в деформируемом твердом теле 〃 Физ. мезомех. 2004. Т. 7, № 4. С. 5-23.
О ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ КРИТЕРИЯХ ПРОЧНОСТИВ МЕХАНИКЕ КОМПОЗИТОВ
Б.Е. Победря
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Разработка критериев прочности является одной из основных и наиболее сложных фундаментальных задач современной механики деформируемого твердого тела. Эта задача стала особенно важной в связи с появлением новых композиционных материалов, компоненты которых описываются реологическими соотношениями, включающими явную зависимость от времени, пороговые эффекты и нелинейность. Важной является математическая разработка новых моделей механики композитов, с одной стороны, описывающих возможно более широкое число физических явлений, а с другой стороны — позволяющих эффективно решать задачи прочности.
В работе предпринята попытка разработать принципы построения моделей механики композитов, основанные на введении обобщенной термодинамики, когда рассматриваются в совокупности и в специальной форме все уравнения, являющиеся следствием постулатов механики сплошной среды (МСС) и термодинамики. Исследуется возможность формулировки критериев прочности композитов, компоненты которых обладают сложным реологическим поведением, на основе соотношений обобщенной термодинамики, когда вопросы прочности не отрываются от общей проблемы определения напряженно-деформированного состояния в композитах.
Постулаты механики сплошной среды. Будем рассматривать неполярную сплошную среду (моментные напряжения отсутствуют) и, поначалу, эйлерову систему координат. Три основных постулата МСС: закон сохранения масс
i\pdv = ^
закон об изменении количества движения
^^ pvdV = ^ pFdV + S(n) dXVVs
и момента количества движения
^]0xxvd『=]0xxFd『 + ]xx SS)心
VVs
дают, соответственно, уравнение неразрывности
第 + /)div V = 0(1)
и уравнения движения
。空—F+ Divg(2)
с симметричным тензором напряжения
广=с S叮=^ji) •
Все обозначения общеприняты [1], причем
SS)= g • п.
Справедливы кинематические соотношения, связывающие симметричный тензор скоростей деформации р (。叮)с вектором скорости:
v=j(V0v + v0V)卜叮=j(3j +。川))•(3)
Для замыкания системы десяти уравнений (1)-(3) относительно шестнадцати неизвестных:。叮，о叮，。分，р, требуется задание шести определяющих соотношений, связывающих тензор напряжений а и тензор скоростей деформации р:
2 = ^®)・(4)
Соотношения (4), вообще говоря, операторные. Если жидкость идеальная:
0 = 一N (0叮=一海#，
то надобность в тензоре скоростей деформации отпадает, ибо уравнения (2) приобретают вид уравнений Эйлера:
^=F—；grad 售(5)
Определяющие соотношения можно конкретизировать, например, требованием баротропности жидкости
0=心).⑹
Тогда имеем замкнутую систему пяти уравнений (1), (5), (6) относительно пяти неизвестных: з,夕，р.
Если жидкость вязкая (ньютоновская), то для напряжений
2 =一01 + 7 (0叮=一р5 盯 + %)
определяющие соотношения (6) дополняются законом Ньютона
,=Xijdivv + 从 ip (吃• = X\§ijVk,k + АЙЗ#,⑺
где Ai, /11 — коэффициенты вязкости. В этом случае имеем замкнутую систему семнадцати уравнений (1)-(3), (6), (7) относительно семнадцати переменных о〃， Tij,。叮，夕，р. Классическая жидкость обычно считается несжимаемой [2], и вместо уравнения (1) получим
div V = 0 (з,〃 = 0).(8)
Тогда имеем шестнадцать уравнений (2), (3), (7), (8) относительно шестнадцати неизвееtных:0分，丁叮，0叮，р.
Оставим пока определяющие соотношения (4), (6), (7) и займемся общими уравнениями МСС (1) и (2). Их можно записать в виде
|f + (叫 L =0，(9)
歹(03)+(P^j\i -0叮J =0月.(10)
Заметим, что определяющие соотношения, замыкающие систему (9), (10) или (1), (2), могут быть использованы с помощью обычной подстановки, например, вместо р его выражения через р согласно (6), а вместо т — выражения (7) через р, а вместо последнего тензора согласно (3) — его выражения через вектор скорости. В таком случае и для идеальной жидкости, и для вязкой будем иметь четыре уравнения (результат подстановки в (9), (10) или (1), (2)) относительно четырех неизвестных:。分，р.
Введем четырехмерное евклидово пространство В4 = R1 х В3, где 広—временное пространство, а А? _ координатное пространство x(/i,力2,力з) [3]. Будем считать, что греческий индекс а пробегает значения а = 0, 1,2,3. При этом индекс 0 относится к временному пространству: 9° = d/dt, а остальные индексы — к координатному: 9〃 = d/dxi, т. е.
ja〃at, & = о,——и (г = 1,2,з).
(1)
В этом же четырехмерном пространстве можно ввести вектор Я, например, с компонентами
(О
” = (〃叫)，(И)
(12)(12)(1 а также векторы z с компонентами
(12)
(12)
(+)
m а = (pVi, pViVj - О叮)，
где р — плотность, Vi — компоненты вектора скорости, а^- — напряжения. (0 (2) (3) (4)
Будем считать, что z, z, z, z — компоненты некоторого TV-мерного вектора z (в данном случае N = 4). Тогда уравнения (1), (2) можно записать в виде
(13)
где f — TV-мерный вектор источников (входных данных). В данном случае
(О(+)
/ =0,/=阳.(14)
Составим М-мерный вектор основных переменных у (М = 4), который выберем так:
/(О(+)\
У = / =夕，У = 3 ，(15)
где р — давление. Тогда для замыкания системы уравнений (13) требуется воспользоваться определяющими соотношениями
(16)(16)z。= za(y).
(16)
(16)
При этом иногда к числу таких определяющих соотношений причисляются и кинематические уравнения.
Заметим, что определяющие соотношения (4) могут содержать температуру. В этом случае система уравнений (13) не будет замкнутой даже при использовании определяющих соотношений (16), так как в них дополнительно входит переменная Т — температура. Ее можно включить дополнительной компонентой в вектор у (15):
/(1)( + )(5)、
У ==夕，У = 3, / =
Таким образом, в этом случае N = 4, а М = 5, поэтому система (13) не замкнута и при использовании (16). Для ее замыкания требуется привлечение основных законов термодинамики, которые мы рассмотрим в следующем пункте.
Отметим, что в механике деформируемого твердого тела (МДТТ) чаще используются лагранжевы координаты. В случае малых деформаций тензор деформации g линейно выражается через вектор перемещения и:
£=Defu ^j = j {uid + uj^.(17)
В этом случае плотность р определяется после нахождения кинематических характеристик:
О = 0о(1—夕)，夕三 £",(18)
е. соотношение (18) заменяет уравнение неразрывности. При этом для малых деформаций лагранжевы координаты приближенно совпадают с эйлеровыми, поэтому уравнения (2) или (10) можно записать в виде
。等=『j，j + pFi・(19)
Основные законы термодинамики. Для элемента объема первый закон термодинамики формулируется в виде
dU = 6Q-6А^\(20)
где 8А^ — изменение работы внутренних сил:
= - I aij deij dV,(21)
или в виде
dU + dK = 6Q +6 А^е\(22)
где 84(е) _ изменение работы внешних сил:
pF^dV+pF^dV+О(е) = dt
pF^dV+
pF^dV+
Здесь U — внутренняя энергия, К — кинетическая энергия:
Эквивалентность формулировок (20) и (22) следует из теоремы живых сил [1, 2]:dK = 84(е)+84 ⑴.
Приток тепла 5Q удобно выразить в виде
6Q = dt^pqdV-j 夕⑺),(23)
где q — массовый источник тепла, а 夕⑺)—поверхностный приток тепла: qS) = q . п =仇电.
Второй закон термодинамики формулируют в виде неравенства Клазиуса: TdS^SQ,(24)
где S — энтропия:
5=| psdV.(25)
В МСС удобно пользоваться равенством, вытекающим из (24):
TdS = 8Q + W* dt,(26)
где W* — функция рассеивания (некомпенсированное тепло, диссипация).
Наряду с интегральной формулировкой законов термодинамики, можно ввести и дифференциальную. Так из (20) имеем
du..
0吃^ = ~Qi,i + Pq + ^ij^ij，(27)
а из (22):
0^ (“ + ”/2)= —+ pFiVi + En3 + 做.(28)
Неравенство Клазиуса можно также представить в форме
Tp^^-q^ + pq.(29)
Аналогично из (26) имеем
70^ = 一仇"+ 做 +(30)
Уравнения (27) и (28) можно соответственно записать в виде
拼(0〃) + (puQi + qi,i = pq + (JijVij,(31)
^ (a + q2/2) + (puvi + pv2Vi/2\i + qid -巾得储=pq + °月3・(32)
Уравнение (30) для неизотермических процессов является еще одним уравнением МСС дополнительно к уравнениям (31) и (32).
Наряду с компонентами (11) и (12) TV-мерного вектора z, введем еще одну:
(5)
m = {ри, puvi + 仇)(33)
—для уравнения (31), и
z = (ри + pv /2, puvi + pv Vi/2 + 仇一c^ijVj)(34)
—для уравнения (32). Соответственно дополним TV-мерный вектор источников f (14) компонентой
/ = /90 + (JijVij
—для уравнения (31) и
『=做 + pF^(35)
—для уравнения (32).
Таким образом, и уравнение (31), и уравнение (32) входят в уравнение (13).
Кроме неравенства Клазиуса (29), в термодинамике пользуются неравенством Фурье
QiTi W 0.(36)
Используя (36), неравенство Клазиуса (29) можно записать в виде
磽?(力，
называемом неравенством Клазиуса-Дюгамеля. Его можно также представить в виде
0) + (厅зl + (毕).》pq.(37)
Введем компоненты М-мерного вектора:
ha = - (ps,ps% + 毕)，(38)
т. е.
胪=~ps,川=psvi + p(39)
И ИСТОЧНИК X：
x = —pq・
Тогда неравенство (37) записывается в виде
吟＜ Х・(40)
Назовем неравенство (40) энтропийным неравенством. В отсутствие источников (X = 0) оно таково:
九….(41)
Термодинамические потенциалы. Сплошная среда описывается кинематическими параметрами: перемещениями 〃分，скоростями 。分，деформациями £切， скоростями деформации 。分^・；статическими параметрами: напряжениями。小 давлением 夕；другими параметрами: плотностью р, температурой Т, тепловым потоком 仇 и др. Некоторые из этих параметров связаны между собой определяющими соотношениями (4), (7):
aij =尸Т)，
или (закон Фурье)
Часть параметров, которые называются термодинамическими параметрами состояния, полностью определяют состояние системы, и поэтому все остальные параметры через них каким-либо образом выражаются. Одним из термодинамических параметров состояния является температура Т (внутренний параметр состояния). Другие параметры (внешние) могут быть скалярами, векторами или тензорами второго, а также более высоких рангов. Некоторые из термодинамических параметров состояния могут быть связаны между собой уравнениями состояния.
Будем для простоты считать, что все внешние термодинамические параметры состояния суть тензоры второго ранга: g'(i), g'(2),...,g'(D, g'(2),..., При
этом существует К уравнений состояния:
2,(a)=下9)91),(k)(42)
которые могут быть разрешены в виде
(43)
где а = 1,2,, К, причем К может быть и бесконечностью.
Из всех возможных вариантов выберем тот, в котором за основные термодинамические параметры состояния принимаются либо
T,J ⑴,J ⑵，…，J(K),(44)
либо
(45)
Запишем более коротко список аргументов — термодинамических параметров состояния (44), (45) — в виде
Т，丛(46)
(47)
Любая комбинация функций состояния (например, U и S) и параметров состояния (например, (44) или (45)) будет функцией состояния. Поэтому наряду с внутренней энергией U(S,g‘) введем функции состояния (термодинамические потенциалы): свободная энергия Гельмгольца &(T,g‘)，потенциал Гиббса G(T, д') и энтальпия H(S, af). Легко устанавливается связь между этими термодинамическими потенциалами:
U(S,J) = & + ts = g+£+ ts = н + 纟
а=1a=l
双T, J) = U — TS = G +玄 *0)= н + 玄 *0)— TS,
QT°t(48)
кк
G(T, ^ = U-TS-^=H — TS,
a=la=l
H(S, У) = ^ - E W)= & + TS — £ *0)= G + TS.a=la=l
Очевидно, чтоОчевидно, что
Очевидно, что
Очевидно, что
(49)(49)dU = TdS+ £ *0)，d* —SdT+ 玄 *0)，dG=-SdT- £ 喈)£*),dH = TdS- ^ JR*.
(49)
(49)
Исключая из (20) и (26) 6Q и считая объем V бесконечно малым (элементарным), получим согласно (21)
dU = TdS — W*dt +。疗力(50)
Тогда из (49) и (50) имеем
d& = -SdT - W4t +。产切,
dG = -SdT- W*必 +。疗叮• 一 d 玄 о"*,a=l
dH = TdS- W* 必 + j -£ E七"
Из сравнения (49) и (50) получаем
W^dt = 0叮 d£叮•一 £ 喈)公*).(51)
а=1
Из неравенства W*》0, которое следует из (24) и (26), получим согласно (50)
『戶j》Еа=1
Если мы организуем термодинамический цикл (замкнутый процесс в термодинамическом фазовом пространстве 〃)，то из (20) и (26) получим
I Oij d^ij》0.(52)
Заметим, что если вместо фазового пространства 从 выбрать пространство напряжений, то неравенство (52) будет составлять содержание постулата Драккера [4], а если вместо фазового пространства 从 выбрать пространство деформаций, то (52) будет соответствовать постулату Ильюшина [5].
Наряду с термодинамическими параметрами состояния (46), (47), введем так называемые параметры диссипации: о叮' 丿 или %) , которые связаны между собой
некоторыми известными определяющими соотношениями типа (42) или (43):
2〃0)=尸⑵(e〃⑴，
или
где А = 1,2,..., L
Функция рассеивания W* примет вид
L
А= 1
так что соотношения (51) можно записать в виде
Lк
А=1а=1
Вектор основного процесса. Итак, пусть заданы уравнения МСС (13) [3]
(53)
где f — TV-мерный вектор входных данных, и известны определяющие соотношения (16)
z° = za(y),(54)
где у — М-мерный вектор основных переменных. Назовем у(方)основным процессом. Определяющие соотношения (54) должны удовлетворять ряду требований. Они должны быть локальными по пространственным переменным (постулат макроскопической определимости), инваринатными относительно преобразований в R3 и удовлетворять некоторым другим требованиям [6]. Не будем здесь подробно останавливаться на этих требованиях, но если все они выполнены, то определяющие соотношения (54) называются допустимыми. Система уравнений (53) будет замкнута в том случае, если размерности векторов п у одинаковы (М = N).
Но если система (53) замкнута и выполнены условия дополнительности (граничные условия и начальные данные), искомое решение задачи МСС должно удовлетворять энтропийному неравенству (41) (предполагаем, что источники отсутствуют х = 0)：
端 < 0.(55)
При этом, конечно, должны существовать соотношения, связывающие величины ha с основным процессом:
ha =九а(у).(56)
Выполнение неравенства (55) должно обеспечивать корректную постановку задачи нахождения основного процесса y(t). Требование, чтобы уравнения (53) описывали процесс распространения волн с конечной скоростью, должно вытекать из некоторых свойств величин ha. Потребуем, чтобы функция Д° в (56) удовлетворяла требованию положительной определенности выражения
а.а.*仍 Зу Зу*仍 Зу Зу
а.
а.
*仍 Зу Зу
*仍 Зу Зу
для любого М-мерного вектора а. Требование (57) похоже на требование положительности касательного модуля [6].
В силу того что для каждого основного процесса у(方)должно выполняться энтропийное неравенство (55), должны существовать TV-мерные векторы, называемые множителями Лагранжа А [7, 8], такие что согласно (53) и (55) имеет место неравенство
- А - (z- - f) < 0.(58)
Неравенство (58) можно также переписать в виде
仇。—А • za\a + А。• z。+ А • f < 0.(59)
Введем новый вектор ка:
ка = 5 +А".(60)
Тогда из (59) имеем
-^ + A,a.za + A.f <0.(61)
Пусть теперь существует преобразование, связывающее TV-мерный вектор А с М-мерным вектором основного процесса у (разумеется, взаимная однозначность такого преобразования возможна только при М = N):
А = А(у), у = у(А).(62)
Тогда, используя определяющие соотношения (54) и (56), можно с помощью (62) записать
Z。= z'°(A),九а = 〃а(А).(63)
Поэтому из (61) имеем
(—崇・A,a + A・f <0.(64)
Это неравенство должно выполняться для каждого поля А, а следовательно, и для его градиента А,а・ Тогда в силу (64) обязательно должно быть выполнено соотношение
/(65)
и, согласно (60):
九。 =一кa+a・|^.(66)
Таким образом, определяющие соотношения (63) можно считать потенциальными и, исходя из этого потенциала ка согласно (65) и (66) находятся необходимые для решения задачи определяющие соотношения (63).
Энтропийное неравенство. Энтропийное неравенство (55) в силу (64) и (65) можно записать в следующем виде:
(67)(67)А • f < 0.
(67)
(67)
Приступим к его исследованию.
Прежде всего заметим, что «касательный модуль» — матрица N х N — должен быть симметричным. Это следует из (65):
dza _ д2ка
Физический смысл множителей Лагранжа Л еще не был установлен. Вернемся к неравенству (58) и запишем его, используя основной процесс:
• У,а + А • f W О,• У,а + А • f W О,(68)(68)что, разумеется, выполняется для всех основных процессов у. Поэтому из (68)что, разумеется, выполняется для всех основных процессов у. Поэтому из (68)имеемимеемаГ _ a dzaЗу Зу •аГ _ a dzaЗу Зу •(69)(69)Так как основной процесс выбирается любым, положим, что он совпадает с z°:Так как основной процесс выбирается любым, положим, что он совпадает с z°:У = z°.У = z°.(7。)(7。)Тогда из (69) следуетТогда из (69) следует3戒А3戒А(71)(71)Дифференцируя (71) по у, получимAy Ay AyДифференцируя (71) по у, получимAy Ay Ay(72)(72)Однако согласно (57) левая часть соотношения (72) положительно определена. Поэтому якобиан в правой части (72) отличен от нуля и можно ввести преобразование (56).Покажем теперь, что система (53), (54) является гиперболической, если справедливо энтропийное неравенство (55), (56) и выполняется условие (57). В самом деле, запишем (53), используя (54) и (62), в видеОднако согласно (57) левая часть соотношения (72) положительно определена. Поэтому якобиан в правой части (72) отличен от нуля и можно ввести преобразование (56).Покажем теперь, что система (53), (54) является гиперболической, если справедливо энтропийное неравенство (55), (56) и выполняется условие (57). В самом деле, запишем (53), используя (54) и (62), в виде丝丝，А,а，А,а=f.=f.(73)(73)
• У,а + А • f W О,
• У,а + А • f W О,
(68)
(68)
что, разумеется, выполняется для всех основных процессов у. Поэтому из (68)
что, разумеется, выполняется для всех основных процессов у. Поэтому из (68)
имеем
имеем
аГ _ a dza
Зу Зу •
аГ _ a dza
Зу Зу •
(69)
(69)
Так как основной процесс выбирается любым, положим, что он совпадает с z°:
Так как основной процесс выбирается любым, положим, что он совпадает с z°:
У = z°.
У = z°.
(7。)
(7。)
Тогда из (69) следует
Тогда из (69) следует
3戒А
3戒А
(71)
(71)
Дифференцируя (71) по у, получим
Ay Ay Ay
Дифференцируя (71) по у, получим
Ay Ay Ay
(72)
(72)
Однако согласно (57) левая часть соотношения (72) положительно определена. Поэтому якобиан в правой части (72) отличен от нуля и можно ввести преобразование (56).
Покажем теперь, что система (53), (54) является гиперболической, если справедливо энтропийное неравенство (55), (56) и выполняется условие (57). В самом деле, запишем (53), используя (54) и (62), в виде
Однако согласно (57) левая часть соотношения (72) положительно определена. Поэтому якобиан в правой части (72) отличен от нуля и можно ввести преобразование (56).
Покажем теперь, что система (53), (54) является гиперболической, если справедливо энтропийное неравенство (55), (56) и выполняется условие (57). В самом деле, запишем (53), используя (54) и (62), в виде
丝
丝
，А,а
，А,а
=f.
=f.
(73)
(73)
Учитывая (65), из (73) имеем
д2кад2каал алал ал，А,а，А,а(74)(74)
д2ка
д2ка
ал ал
ал ал
，А,а
，А,а
(74)
(74)
откуда видно, что система уравнений (53) симметрична.
Эта система будет к тому же гиперболической, если в (74) выполнено условие
ааd2kQал алd2kQал ал• а》0.• а》0.
а
а
d2kQ
ал ал
d2kQ
ал ал
• а》0.
• а》0.
Положим теперь, что выполнено (70). Тогда согласно (74) и (53)
d2kQалалd2kQалал• 8A = 8z° = by,• 8A = 8z° = by,
d2kQалал
d2kQалал
• 8A = 8z° = by,
• 8A = 8z° = by,
а отсюда и из (72) следует
"•為у.^е.(75)
Однако в силу (57) правая часть (75) неотрицательна. Следовательно, неотрицательна левая часть, и система (53) гиперболична.
Итак, энтропийное неравенство можно не постулировать априори, а получить как требование, предъявляемое к решению — основному процессу. Впервые в термостатике такой подход был реализован Каратеодори [9].
Перепишем, наконец, равенство (69) в виде
dha = A・dz°.(76)
Модель идеального газа. Для идеального газа о叮=—夕8叮，термодинамическими параметрами состояния являются температура Г и плотность р. Определяющие соотношения связаны с термодинамическим потенциалом — внутренней энергией u(s, р). Идеальный газ — среда обратимая, поэтому (24) становится равенством:
TdS = 6Q.(77)
Подставляя (17) в (20), получим
dU = TdS-5A“(78)
Переходя к плотностям соответствующих величин, имеем из (78)
du = Тds -夕d(B), откуда
d(/)s)三 pds + s dp = 4 卜〃-与 d“ + s dp.(79)
Учитывая, что pdu = d{pu) — и dp, получим из (79)
次阖=-^(u- sT dp+ d(仆).(80)
Рассмотрим теперь систему уравнений (13) для идеального газа. Компоненты векторов z。указаны в (11), (12), (33), (34). Остановимся на варианте
(О(+)
= S/з), m ° = (pvt^ViVj + 夕8叮)，
z =(0" + 002/2, pUVi + pv2vi/2 + 仇+ 0 3).
Входные данные приведены в формулах (14), (35):
『=。，/ = pFi, f =(82)
где, как уже указывалось, массовые источники тепла отсутствуют (pq = 0).
Чтобы выяснить, каковы в этом случае множители Лагранжа А, обратим внимание на равенство (76). Полагая а = 0, имеем
dhQ = А • dz°.
Учитывая (38) и (39), получим согласно (83)
П (2 (l)n 3(七)( +)n(2 (5)
(84)(84)d(/)s) = -A • dz° = Xd 尹一工 A d z Q — AdzQ.
(84)
(84)
Подставляя в (84) выражения (81), получим
(О(Оз （+）з （+）⑸⑸d(/)s) = -Л初—£ X d(03)— Hd ( ри +Теперь рассмотрим тождестваd(/)s) = -Л初—£ X d(03)— Hd ( ри +Теперь рассмотрим тождества(85)(85)Из (86) и (87) имеемИз (86) и (87) имеемdd}叫 dvi + d^pvi).}叫 dvi + d^pvi).2=у ф + pVi dg,2=у ф + pVi dg,2=- ^dp + Vi d{pvi).2=- ^dp + Vi d{pvi).(86)(86)(87)(87)(88)(88)
(О
(О
з （+）
з （+）
⑸
⑸
d(/)s) = -Л初—£ X d(03)— Hd ( ри +
Теперь рассмотрим тождества
d(/)s) = -Л初—£ X d(03)— Hd ( ри +
Теперь рассмотрим тождества
(85)
(85)
Из (86) и (87) имеем
Из (86) и (87) имеем
d
d
}叫 dvi + d^pvi).
}叫 dvi + d^pvi).
2
=у ф + pVi dg,
2
=у ф + pVi dg,
2
=- ^dp + Vi d{pvi).
2
=- ^dp + Vi d{pvi).
(86)
(86)
(87)
(87)
(88)
(88)
Используя тождество (88), перепишем (80) в виде
d(0s) = —}(〃 — sT+^ - 卞)dp - ^ d(03)+ } d (仆 + 号).(89)
Сравнивая (89) и (85), имеем
(О 1/(О 1/55(+)(5)1Л =Х =—丄г(+)(5)1Л =Х =—丄г(90)(90)
(О 1/
(О 1/
5
5
(+)(5)1
Л =Х =—丄
г
(+)(5)1
Л =Х =—丄
г
(90)
(90)
Зная множители Лагранжа, воспользуемся взаимным энтропийным неравенством
(1)(1)3 (1+с)(1 + с) (5)(5)
Л/ + £ Л / +Л/<0.(91)
г=1
Подставляя в (91) выражения (90) и (82), получим
^ pF% — ^ pFiVi = 0, что и следовало ожидать.
(О
Заметим также, что множитель Лагранжа Л, умноженный на температуру, (О
дает согласно (48): ТА = g —。？/2, где g — плотность потенциала Гиббса G.
В термодинамике его называют химическим потенциалом.
Используя соотношения (90), можно доказать тождества (76) при а # 0:
d犷=А • dz<
В самом деле, согласно (39)В самом деле, согласно (39)
В самом деле, согласно (39)
В самом деле, согласно (39)
川=psvi + 争.
Тогда из (81) следует
(оз (空)eg2、
dtpsvi + 半)=—£(叫)一£ X d^pViVj + pbij) - Adlpuvi + * 3 + 仇 + 夕3)•
(92)
Используя тождество
=Vjd(pViVj) - у d(pvi)=Vjd(pViVj) - у d(pvi)
=Vjd(pViVj) - у d(pvi)
=Vjd(pViVj) - у d(pvi)
и выражение (80), получим
d^psvi + 毕)=^ 0(仆3)- ud(pvi) - ^ 必3)+ ^pdv^ +sd(pvi) + 芈―
—fl dT + ^ 0(号 3)+ у d(pVi) - Vj d^pviVj^ — ^ 3 d夕 + ^ 3 dp. (93)
Сравнивая выражения (93) и (92) и учитывая (90), получим тождество при dT = 0.
Модель идеального упругого тела. Считая деформации малыми, воспользуемся соотношениями Коши (17), которые запишем в виде
^ = I+ S•，/(94)
или в виде
當=Qz/k,(95)
где
Qijk = 2(3%k + S«k)・
Поэтому можно выбрать два варианта для уравнений (13). Первый из них согласно (19), (94), (27) следующий:
ии(4)(9)(Ю)/MRmQ = (町，0),也 ](io)•，/ = 2(3j + °九力，/ = av^ v •(4)(9)(Ю)/MRmQ = (町，0),也 ](io)•，/ = 2(3j + °九力，/ = av^ v •Второй вариант согласно (19), (95), (28) следующий:Второй вариант согласно (19), (95), (28) следующий:(с)/(4)(9)...,=(町，q?汴),(呼a2生 1、2 =("+矛万一产叫)(с)/(4)(9)...,=(町，q?汴),(呼a2生 1、2 =("+矛万一产叫)(96)(97)(98)(96)(97)(98)
и
и
(4)(9)(Ю)/
MRmQ = (町，0),
也 ](io)
•，/ = 2(3j + °九力，/ = av^ v •
(4)(9)(Ю)/
MRmQ = (町，0),
也 ](io)
•，/ = 2(3j + °九力，/ = av^ v •
Второй вариант согласно (19), (95), (28) следующий:
Второй вариант согласно (19), (95), (28) следующий:
(с)/(4)(9)
...,=(町，q?汴),
(呼a2生 1、
2 =("+矛万一产叫)
(с)/(4)(9)
...,=(町，q?汴),
(呼a2生 1、
2 =("+矛万一产叫)
(96)
(97)
(98)
(96)
(97)
(98)
и
（）（2（?（10）
f = Fj,子,…厅=0,f =月3.
В формулах (96)-(99) предполагается, что верхний индекс от (4) до (9) в левых частях соотношений соответствует следующим комбинациям индексов {i,j} в правых частях:
(5)- 22, (6)- 33,
⑺ 一 12 = 21, (8)-13 = 31, (9)- 23 = 32.< 丿
Рассмотрим второй вариант: (98), (99). Так как для упругого тела термодинамическими параметрами состояния являются температура Т и тензор деформации g, то имеем согласно (20) и (23)
(Ю1)
Из (98) имеем
(Ю2)(Ю2)z° =(3,£打•，" +02/2).
(Ю2)
(Ю2)
Поэтому, полагая вместо (38)
ha = - 丄
V Р
получаем согласно (83) и (102)
(2)
ds = —A dvi — Л^- d^ij — Adf u + —V(103)
где индексы у множителей Лагранжа А叮 введены в соответствии с условием (100). Используя тождество d(v2/2) = o〃do〃，получим из (101)
(Ю4)(Ю4)(Ю5)(Ю5)...,f, получим...,f, получимds = --Vidvi - ^ ai：j dsij + -•
(Ю4)
(Ю4)
(Ю5)
(Ю5)
...,f, получим
...,f, получим
Сравнивая (104) и (103), получаем
(21] (吵 1
X =个 Ло-=—。叮，Л =
В соответствии со взаимным энтропийным неравенством
(с)(с)(10)(10)
A/+Av-/zj + A/ <0,
где через 力 в соответствии с (100) обозначены величины /, согласно (105) и (99)
UiFi - ^ Ез =。，
т. е. тождество.
Задание модели МДТТ. Определяющие соотношения z° = z°(y) могут быть записаны в виде
z。= z°©y),(106)
где д' означает, что градиент понимается только по пространственным переменным Xi (г = 1,2,3). Частные случаи соотношений (106), которым подчиняются компоненты рассматриваемых нами композитов, подробно описаны в [11].
Рассмотрим некоторые из возможных описаний введенных моделей. При структурном описании модели МДТТ задаются кинематические, статические структурные соотношения, а также определяющие соотношения элементов структуры. Такое описание является полным. Из него могут быть получены разрешающие определяющие соотношения, построены термодинамические потенциалы, а также диссипативная функция. Заметим, что такое описание модели содержит гораздо больше параметров, чем требуется для решения задач прочности [1].
Другой способ описания носит название широкого. Он может быть осуществлен заданием одного из термодинамических потенциалов как функции параметров состояния и функции рассеивания как некоторых параметров (скалярных, векторных, тензорных), описывающих диссипации. При этом должно быть известно, каким образом параметры состояния и параметры диссипации связаны, например, с процессом деформации. В этом случае однозначно восстанавливаются определяющие соотношения, определено любое состояние среды, а значит, и состояние, предшествующее разрушению.
Широкое задание модели МДТТ может быть реализовано и без формулировки функции рассеивания. Если известно, что термодинамические параметры состояния, за которые часто принимаются структурные упругие деформации £；)°) [5], являются некоторыми функционалами процесса деформации:
(Ю7)
то справедливо представление [12]
/3) 2/3) 2(108)(108)
/3) 2
/3) 2
(108)
(108)
где согласно гипотезе Дюгамеля-Неймана: £； = £打・—а打"，i^ = Т — Tq. Здесь aij — тензор теплового расширения, а производные в (108) понимаются как функциональные [1]. При этом
e _ aF & HF 尻于)_ dF 巫洋)
J 巫/(a) at，
где S — энтропия, F — свободная энергия Гельмгольца, a W" — функция рассеивания [1].
В работе [12] показано, что если
反=ь(7)
а=1
то W* имеет вид
а=1
узкое зада-и функцииузкое зада-и функцииЕще одним способом задания модели МДТТ может служить ее ние. Оно заключается в задании определяющих соотношений среды
узкое зада-и функции
узкое зада-и функции
рассеивания W*, связанной с процессом деформации. В этом случае термодинамические параметры состояния, а следовательно, и термодинамические потенциалы восстанавливаются неоднозначно. Этим объясняется произвол в выборе условий прочности. Термонапряженное же состояние может быть полностью определено из решения задачи МДТТ, так как имеется замкнутая система уравнений.
Из широкого задания модели следует узкое, но не обратно. Только при выполнении дополнительных условий из узкого задания модели может следовать широкое. Тем самым определяется промежуточное задание модели. К такому заданию относится, например, «основная» гипотеза [12].
Она заключается в том, что существуют операторы (107), причем такого же типа, что и определяющие соотношения
av =尸^(Т‘ £)•
К другим таким моделям с промежуточным заданием относятся модели типа Максвелла, когда
или типа Фойгта, когда
При выполнении одного из названных условий из узкого задания следует широкое. Примеры задания моделей приведены в [11].
Энтропийный критерий разрушения и его связь с некоторыми критериями длительной прочности. Критерий длительной прочности, основанный на применении термодинамических принципов, получил название энтропийного критерия [13].
Для адиабатических процессов из основных законов термодинамики следует
t *
S⑴-S(方0) = ]勺必，(109)
力о
где S(方о)——энтропия в некоторый момент времени to-
Согласно энтропийному критерию прочности разрушение наступает в некоторый критический момент времени 方=方*, для которого S достигает своего предельного значения
S(方儿=S*.(ИО)
Это значение рассматривается как некоторая характеристика материала, найденная экспериментально либо из физико-теоретических расчетов. Иногда [13] величина S* определяется как энтропия, которую необходимо подвести к единице объема вещества, находящегося при абсолютном нуле, чтобы расплавить его.
(Hl)(Hl)Тогда энтропийный критерий можно сформулировать в виде
(Hl)
(Hl)
5。+ [必=&
0
где 方* — время до разрушения. Отсюда видно, что для использования энтропийного критерия длительной прочности необходимо знание функции рассеивания для выбранной модели.
Рассмотрим связь энтропийного критерия с некоторыми критериями длительной прочности [14]. Пусть деформирование образца производится при начальной температуре Tq, тогда согласно энтропийному критерию предельное соотношение записывается в виде
△S（7b） = S*-So ⑵）.
Если нагружение образца начинается при другой начальной температуре 方，то начальное значение плотности энтропии равно
S⑴= So（室）=So（To） + ]亨 dT,
7b
а критическое значение приращения плотности энтропии, соответствующее начальной температуре ", вычисляется следующим образом:
△S/） = S* — So⑵）-]7b△S/） = S* — So⑵）-]7b（112）（112）7b7b
△S/） = S* — So⑵）-]
7b
△S/） = S* — So⑵）-]
7b
（112）
（112）
7b
7b
Обратимся к процессу адиабатической деформации рассматриваемого материала. Пусть реологические свойства материала описываются уравнениями
а + аа = Ъе ,
т. е. рассматривается модель Максвелла, где
尹 у =
Разобьем интервал времени （0,方*） на 八 интервалов （tr-b ^г） так, чтобы внутри каждого из этих интервалов уровень напряжений и температура оставались постоянными:
= о"） = const
Ig （力 и
Т⑴ I=Т（2= const.
Тогда энтропийный критерий длительной прочности будет иметь вид
j 胃必= 4S（To）о
или
亡峪『（「△S（To），（113）
где т（г）=方（Т）—方（т—i）— продолжительность r-го интервала.
В случае, когда интервал （tr_i,tr） совпадает с （0,方*）, т. е. при одноступенчатом нагружении при постоянной температуре Т（『），из （113） получим
^t 匕6=4S（T（『）），（114）
где 方*（r）— время до разрушения при температуре Т（『）и действии а^г\
Учитывая (112) и (114), получим
ToTo
To
To
т. e.т. e.a匕⑺f_Учитывая (114) и (113), получимa匕⑺f_Учитывая (114) и (113), получим△S(7b)— I (c(T)/T) dT△S(7b)— I (c(T)/T) dT(115)(115)ИЛИИЛИn 「,丿 /гр、 "I工 A5(7b)-= △$(〃),1JI力*(Т)n 「,丿 /гр、 "I工 A5(7b)-= △$(〃),1JI力*(Т)
т. e.
т. e.
a匕⑺f_
Учитывая (114) и (113), получим
a匕⑺f_
Учитывая (114) и (113), получим
△S(7b)— I (c(T)/T) dT
△S(7b)— I (c(T)/T) dT
(115)
(115)
ИЛИ
ИЛИ
n 「,丿 /гр、 "I
工 A5(7b)-= △$(〃),
1JI力*(Т)
n 「,丿 /гр、 "I
工 A5(7b)-= △$(〃),
1JI力*(Т)
n _E[1n _E[1]T(r)△s(7b)]]T(r)△s(7b)]^dT^dT=1.=1.(116)(116)
n _
E[1
n _
E[1
]T(r)
△s(7b)]
]T(r)
△s(7b)]
^dT
^dT
=1.
=1.
(116)
(116)
Пусть
W(T(r)，项=1 —W(T(r)，项=1 —T(r)!「c(t)dT△s(7b) J T7bT(r)!「c(t)dT△s(7b) J T7b
W(T(r)，项=1 —
W(T(r)，项=1 —
T(r)
!「c(t)dT
△s(7b) J T
7b
T(r)
!「c(t)dT
△s(7b) J T
7b
Тогда (116) имеет вид
n
£&T(『),To)” = l.(117)
В изотермических условиях, т. е. при Т(『)=То для всех г:
е(то,то)= 1.
При этом соотношение (117) описывает известный закон линейного накопления повреждений.
Покажем, что при определенных условиях из энтропийного критерия длительной прочности может быть получена параметрическая зависимость Ларсона- Миллера [15]. Для этого предположим, что при начальных температурах Tq и Tq осуществлено нагружение напряжениями о叮，постоянными от начала нагружения и до момента разрушения 方=方*. Тогда, учитывая (112) и (114), предельные соотношения могут быть записаны в виде
2 安 &o)=4S(To),
2%)Z、(118)
⑺To
Рассмотрим такой диапазон температур и класс материалов, для которых можно принять, что с(Т) = с = const, т. е. (118) принимает вид
匿 焉ln 兼]■(119)
Пусть
Тогда (119) имеет вид
22
^*(。)2S(T。)，
т. е.
t* ⑺а/ — “6T2
貿T(「)“)bT(「)=矶 или
**(吟(120)
Логарифмируя (120), получим
В соотношении (121) содержатся две постоянные материала: с и △S(7b). Выражение в правой части играет роль известного параметра Ларсона-Миллера.
Результаты сравнения найденной зависимости с экспериментальными данными Робинзона [16] приведены в табл.1.
Таблица 1. Сталь Тимкен 16-25-6
№ п/п
1
2
677
41,61
40,61
2
16,9
10
649
41,61
41,61
3
40
621
41,24
42,30
4
0,2
677
39,05
38,31
5
19,7
2,0
649
40,00
39,96
6
10,0
621
39,86
40,91
Из экспериментов.
Как известно, вязкость материалов сильно зависит от температуры. Рассмотрим для примера модель Фойгта. Коэффициент вязкости 〃 согласно формуле Андраде [17] может быть выражен в виде
Lfgexp (削，(122)
где R — газовая постоянная, Uq, у, D — некоторые постоянные. Модуль, как правило, от температуры не зависит:
石=，，(123)
где a — коэффициент теплового расширения.
Для модели Фойгта
гв = -ав = -(а-= -(а- Е^ + ЕаТ).(124)
777777
Полагая W = 0, получим из (124)
F = 4 + К°,(125)
где согласно (122) и (125)
к =卜 D备 ёхр (一鲁),(126)
а согласно (123) и (125)
A=^aT = Dexp (-^).(127)
Подставляя (126) и (127) в (125), получим
ёв = Dexp 需)О+ 击 ^Оехр 776T) •
Для вязкоупругого тела
ТУ* = ст” = сгРехр (-導产)，
и энтропийный критерий длительной прочности имеет вид
О
Отсюда
& = "ехр (-^^)，
где k = (T/D)(AS*/a), т. е. приходим к формуле, аналогичной формуле Журкова [18].
Общий термодинамический критерий. Существенным недостатком рассмотренного в предыдущем пункте энтропийного критерия является прежде всего то, что он практически не делает различия между изотропной и анизотропной средами, по существу не зависит от вида напряженного состояния. Кроме того, он сформулирован так, что может быть применен только для адиабатических процессов. Энтропийный критерий является критерием длительной прочности и не описывает хрупкого разрушения.
Чтобы освободиться от некоторых из этих недостатков, заметим, что всякий симметричный тензор второго ранга может быть представлен в виде суммы тензоров, инвариантных относительно некоторой группы преобразований, связанной с рассматриваемым классом анизотропии [10]. Поэтому многие скаляры, к числу которых относится работа внутренних сил, могут быть представлены в виде суммы, ибо обладают очевидным свойством аддитивности, связанным с представлением тензоров.
Термодинамические потенциалы обладают свойством аддитивности, поэтому их можно представить в виде сумм:
U(S,苟)=Uo(S) + £ %©),双T，4)= ^o(T) + £ %©),а=1а=1
G(T, 4)= Go(T) + £ Ga(S，H(S, 4)= Ho(S) + £ a=la=l
где величины с нулевым индексом относятся к указанному скалярному аргументу, а остальные слагаемые — к каждому из N подпространств соответствующего тензорного параметра состояния.
Сформулируем теперь общий термодинамический критерий прочности. Разрушение материала наступает в момент, когда одна из аддитивных составляющих какого-либо термодинамического потенциала (например, внутренней энергии U。) достигает предельного значения Uj:
，吗(/3 = 0, 1,•••,№).(128)
Значение U^ соответствует разрушению, связанному с переходом в новое агрегатное состояние (например, с плавлением).
Величины 石% могут зависеть от скалярных параметров, например от инвариантов тензора напряжений или деформаций в момент времени 方*, предшествующий разрушению.
Для изотропной среды, например, критерий (128) дает
Ui (方0) - ] N曲〃 + I /曲‘ = U：,
J(129)
。2(方o) — ] s多 der-j + I s-j de务=,
力0力0
где aij =叫,о = акк/3, £切=弘叮/3,夕=£kk; Ui(方о) и 5(方о) — значения внутренней энергии в начальный момент времени.
Для адиабатических процессов следует, что в случае изотропной среды критерий (129) дает
Ui(方о) - I adO = U^ S(方о) - ] s叮 de叮=Ug.
В случае, когда для широкого задания модели достаточно знания термодинамического потенциала, функция рассеивания выражается через свободную энергию. Например, для линейной вязкоупругой среды [17]:
= 2 -СР jT + 11 Pijklif -тхЛ-т^ ^-(Т1)匠：(丁2)
L о о
t力
w* = ]] Qijkl^t - n,t - T2)庇:(71)公；(72),О О
гдегде
где
где
Q （方一丁1,方一丁2）=一方 P（力一丁1，力一丁2）■
В этом случае из сформулированного выше критерия (128) следует энтропийный критерий длительной прочности (111).
Следовательно, частными случаями термодинамического критерия прочности будут все критерии, рассмотренные в п. 9. В силу того что в термодинамическом критерии прочности (110), (111) рассматриваются скрытые параметры состояния и диссипации, которые можно трактовать как меры повреждаемости, то с их помощью можно описать критерии прочности Ильюшина [17] и Москвитина [20].
В отличие от энтропийного критерия, термодинамический критерий (128) может применяться не только к адиабатическим процессам. Кроме того, он описывает хрупкое разрушение для обратимых моделей, для которых функция рассеивания равна нулю.
Термодинамический критерий (109) не требует введения дополнительного кинетического уравнения. Для описания эволюции параметров прочностных характеристик может быть использован закон сохранения энергии, который для плотности внутренней энергии и записывается в одном из следующих видов:
du,,.0而=一仇,分+做+0产行，du,,.0而=一仇,分+做+0产行，=一仇,分+0q +0月%=一仇,分+0q +0月%
du,,.
0而=一仇,分+做+0产行，
du,,.
0而=一仇,分+做+0产行，
=一仇,分+0q +0月%
=一仇,分+0q +0月%
где qi — вектор теплового потока, a q — массовый приток тепла.
Для композитов плотность внутренней энергии представима асимптотическим разложением, и с помощью метода осреднения [6] могут быть найдены эффективные характеристики композита. На каждом шаге приближения термодинамический критерий прочности применим к приведенной анизотропной среде. Такая процедура была описана в рамках обобщенной термодинамики в работе [3].
Список литературы
Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995. 366 с.
Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970. Т. 1. 492 с. Т. 2. 568 с.
Победря 6.Е. Об обобщенной термодинамике в механике композитов 〃 Изв. РАН. МТТ. 2003. №4. С. 145-146.
Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979. 208 с.
Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Наука, 1963. 272 с.
Победря В. Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.
Liu I.-Shih. On the use of Lagrange multipliers for the exploitation of the entropy inequality 〃 Arch. Rat. Meeh. Anal. 1972. V. 46.
Miiller /. Thermodynamics. L., 1985.
Caratheodory C. Untersuchungen uber die Grundlagen der Thermodynamik 〃 Math. Annal. 1909. V. 67.
Победря В. E. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986. 264 с.
Победря 6.Е. Варианты моделирования в механике деформируемого твердого тела 〃 Фундаментальные и прикладные вопросы. Международ, конф. Сб. докладов. Хабаровск, 2003. С. 20-29.
Победря 6.Е. О связанных задачах механики сплошной среды 〃 Упругость и неупру- гость. Вып. 2. М.: Изд-во МГУ, 1971. С. 224-253.
Гольденблат И. И., Бажанов 8〃，Копнов В. А. Длительная прочность в машиностроении. М.: Машиностроение, 1977. 248 с.
Кишкин Б.П. Конструкционная прочность материалов. М.: Изд-во МГУ, 1976. 184 с.
Larson F.R., Miller /. A time-temperature relationship for rupture and creep stresses 〃 Trans. ASME. 1952. V. 74, № 5. P. 765-775.
Robinson E.L. Effect of temperature vibration the long-time rupture strength of steel 〃 Trans. ASME. 1952. V. 74, №5.
Ильюшин А.А., Победря 6.E. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.
Журков С.Н., Нурзуллаев Б.Н. Временная зависимость прочности твердых тел 〃 ЖТФ. 1953. Т. 23, № 10. С. 1-9.
Росадо Р.М. Применение энтропийного критерия длительной прочности к задаче о толстостенной трубе из материала Максвелла 〃 Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1991. № 1. С. 97-99.
Москвитин В. В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972. 328 с.
О ВНЕДРЕНИИ ЖЕСТКОЙ ПИРАМИДЫВ АНИЗОТРОПНОЕ ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКОЕПОЛУПРОСТРАНСТВО
С. Ю. Радаев
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, Чебоксары
Внедрение жесткой пирамиды в изотропное идеально пластическое полупространство рассмотрено в [1, 2]. В работе [3] рассмотрен случай внедрения наклонных пирамид. Ниже рассматривается внедрение жесткой пирамиды в анизотроп
Рис. 1Рис. 1ное идеально пластическое полупространство.
Рис. 1
Рис. 1
Условие пластичности Хилла [4] для анизотропного материала запишем в виде 4。力一0g)2 + B((Jn — oj + C(az — о力)2 + + 6(尸廓 + GTyZ + Ht^z) = 8尾，к。= const, (1-1) где aij — компоненты тензора напряжения, А, В, С, F, G, Н — константы анизотропии.
Анизотропия материала, определенная
условием (1.1), ориентирована в системе координат xyz. Введем систему коорди
нат 力igi2i, связанную с вдавливаемой пирамидой.
Предположим, что оси 2 n 21 совпадают. Ориентация осей 力i, у\ относительно х, у определяется углом а. (рис. 1). Имеет место:
^x =аУ =^x =аУ =cos 2a - %® sin 2q,
^x =
аУ =
^x =
аУ =
(1.2)(1.2)cos 2a + /侬 sin 2q,
(1.2)
(1.2)
Txy =2 sin 2a + 丁妇切 cos 2q,
丁力z = 丁力© cos а — Ту© sinct,Tyz = TgiZi COS Q + TX{Zl sin Ct.
Из (1.1), (1.2) получим
4- Ogi)2 + g (0切一0勿产 + C(0g - 0勿产 + 6 (ь吟+ ^^丁J[ zi +丁力iw) +
+ 2Z/((Tg — Oji) 丁*iUi + 2乙1(<7 力 1 — (7 Zl)TXlyr + 2Z/2(°gi — ^2i ^xxyx +
+ Ql(0g - azl){^yl -021) + Q2(Og -0勿)(03 一0切)+
+ Q2(Ogi —。勿)(。力1 —。沙1 ) + 6R%121Tg勿=8,( 1 .3)
где
N= [cos2 2a(4+^ + ^) +sin2 2a (|f)] ' В = C =^ + ^,歹=^ [sin2 2a(44 + В + C) + cos2 2a 6F], G = [G cos2 a + H sin2 a],
H = [H cos2 a + G sin2 a],
2工=sin4a (-2A - f f + 3Й , 2石=2& = sin2a(石-C),
(1.4)
Qi =(戸 j Q2 = Q3cos2q(|-|), A = sin2a(G — H).
Решение задачи будем искать в предположении, что имеет место статически определенное состояние материала [5]:
0力1 = ^ h- 2k(0)八，，丁力igi = 2к(g)八i八2,
%1 = z/+ 2k((9)呜，ryiZl = 2k(e)n2n3, * + t4 + ?^ = 1.(1.5)
^i = ^ + 2k(6)nl， rXlZl = 2k(<9)八屮3,
Здесь и ниже 八i,八2，八з — направляющие косинусы, определяющие ориентацию третьего главного напряжения 03 в декартовой системе координат x\y\Z\.
Предположим, что деформирование имеет место в плоскости gi = const. Деформирование материала происходит в плоскости x\Z\. Положим
TX[Zi # °, Tgyi = °，TyiZi
=0.
(1.6)
Из
(1.5), (1.6) следует
八 2 = 0.
(1・7)
Из
(1.5)-(1.7) следуют соотношения
х\ = ^п + к(夕)cos 2仇丁力igi = °,
^n = 2 (0力 1 +021)，
0gl = 0几—к(夕)，丁g121 = 0，
П1 = cos仇
(1.8)
aZl = an —卜(夕)cos 2仇丁力％ = k(J) sin 2仇
пз = sin 仇
Из
(1.3)-(1.8) получим
(1.9)
V «1 + «2 cos 23 + аз cos 40
где
а\ = ^ (В + С) + ° 4 ' cos 2a + (| 4 + | (石 + C)) cos2 2a +
+ I Fsin2 2a + 3 (Gsin? a + Я cos2 a), (1.10)
&2 = — I 宙 + С) + (C —石)cos 2a +(24 + ^ + ^) cos2 2a + 3F sin2 2a, (1.11)
&з = (石 + С) + ^ (С —石)cos 2a +cos? 2a +
о4\ z о о /
+ I Fsin2 2a - 3(Gsin2 a + Я cos2 a). (1.12)
В дальнейшем положим
歹=1+/8, G = 1+МЯ = 1 + М,歹=1+/8, G = 1+МЯ = 1 + М,(1-13)(1-13)4=1+ ad,В = 1 + М,С = 1 + с8,
歹=1+/8, G = 1+М
Я = 1 + М,
歹=1+/8, G = 1+М
Я = 1 + М,
(1-13)
(1-13)
где 6 — малый безразмерный параметр, характеризующий анизотропию материала.
Отметим, что при 8 = 0 соотношение (1.3) переходит в условие пластичности для изотропного тела:
eq = a；°)+ 8af), &2 = a?' + 8aP，Q3 = ag + 8a?,(1.14)
где
a? = 8, Q?)= 0, Q，)= 0,(1.15)
a,)= ^ (b + c) + ^^ cos 2a + (^ ° + I (b +。)) cos? 2a + ^ / sin2 2a +
Q?)= - ^ (b + с) + (с - b) cos 2q +Q?)= - ^ (b + с) + (с - b) cos 2q +c -2+b - 2+c -2+b - 2++ 3(g sin2 a + h cos2 a), cos2 2a + 3/ sin2 2a,
Q?)= - ^ (b + с) + (с - b) cos 2q +
Q?)= - ^ (b + с) + (с - b) cos 2q +
c -2+b - 2+
c -2+b - 2+
a： = I (b + с) + I (с — b) cos 2a + (^ + I + ^) cos2 2a + | / sin2 2a -
—3(p sin2 a + Д cos2 a). (1.16)
Из (1.9), (1.14), (1.15), (1.16) получим
k（夕）=k（夕）=111 + I (a? + a? cos 20 + a? cos1 + I (a? + a? cos 20 + a? cos=k ⑼(0)+ 必⑴(0)+ /kаl)(6>) + ...,=k ⑼(0)+ 必⑴(0)+ /kаl)(6>) + ...,(1.17)(1.17)
k（夕）=
k（夕）=
1
1
1 + I (a? + a? cos 20 + a? cos
1 + I (a? + a? cos 20 + a? cos
=k ⑼(0)+ 必⑴(0)+ /kаl)(6>) + ...,
=k ⑼(0)+ 必⑴(0)+ /kаl)(6>) + ...,
(1.17)
(1.17)
гдегдек ⑼(6>) = 1,к⑴(夕)=一吃(Q「+ Q「cos2夕 + a： cosk(")(J) = ^|^ (a? + a?' cos2夕 + a? cos2к ⑼(6>) = 1,к⑴(夕)=一吃(Q「+ Q「cos2夕 + a： cosk(")(J) = ^|^ (a? + a?' cos2夕 + a? cos222(1.18)(1.18)
где
где
к ⑼(6>) = 1,
к⑴(夕)=一吃(Q「+ Q「cos2夕 + a： cosk(")(J) = ^|^ (a? + a?' cos2夕 + a? cos2
к ⑼(6>) = 1,
к⑴(夕)=一吃(Q「+ Q「cos2夕 + a： cosk(")(J) = ^|^ (a? + a?' cos2夕 + a? cos2
2
2
(1.18)
(1.18)
99(1-19)(1-19)
9
9
(1-19)
(1-19)
гдегде〃⑴(6>)=〃⑴(6>)=(a。sin 20 + 2а?)sin 40)(a。sin 20 + 2а?)sin 40)88(1-20)(1-20)紹")(夕)=-j|^ (&?' sin 2夕 + 2a J sin 4夕)(q「+ q「cos 2夕 + a? cos4J).Решение задачи ищется в плоскости x\Z\. Имеют место уравнения равновесия紹")(夕)=-j|^ (&?' sin 2夕 + 2a J sin 4夕)(q「+ q「cos 2夕 + a? cos4J).Решение задачи ищется в плоскости x\Z\. Имеют место уравнения равновесия瓦Гk к 石Из (1.8) и (1.21) получим систему:嘗 + (М cos 23 - 2к sin 26») ^ + (〃 sin 23 + 2к cos 26»)書=°,瓦Гk к 石Из (1.8) и (1.21) получим систему:嘗 + (М cos 23 - 2к sin 26») ^ + (〃 sin 23 + 2к cos 26»)書=°,(1-21)(1-21)Q + (V sin 23 + 2k cos 26») ^ + (Vcos 23 - 2k sin 26») * = 0.Характеристики системы уравнений (1.22) имеют вид [5]—к' cos 20 — 2k sin 20 土，k,2 + 4k2Q + (V sin 23 + 2k cos 26») ^ + (Vcos 23 - 2k sin 26») * = 0.Характеристики системы уравнений (1.22) имеют вид [5]—к' cos 20 — 2k sin 20 土，k,2 + 4k2(1.22)(1.22)1,21,2к' sin 2。+ 2к cos 2。к' sin 2。+ 2к cos 2。(1.23)(1.23)Характеристики (1.23) взаимно ортогональны.Согласно [5] вдоль характеристик (1.23) имеет место соотношениеХарактеристики (1.23) взаимно ортогональны.Согласно [5] вдоль характеристик (1.23) имеет место соотношениеап ± [，А/2 + 4k2 d£ = const.ап ± [，А/2 + 4k2 d£ = const.(1-24)(1-24)Соотношение (1.24) обобщает известные интегралы Генки: при к = ко = const, А/ = 0 пз (1.24) следуетСоотношение (1.24) обобщает известные интегралы Генки: при к = ко = const, А/ = 0 пз (1.24) следуета ± 2к£ = const.а ± 2к£ = const.(1.25)(1.25)Интеграл из соотношения (1.24) разложим в ряд по степеням малого параметра 8, получимI，依2 + 4k2 曲=26> —(а「(9+ 呼 sin26>+ 鼻 sin46>) +Интеграл из соотношения (1.24) разложим в ряд по степеням малого параметра 8, получимI，依2 + 4k2 曲=26> —(а「(9+ 呼 sin26>+ 鼻 sin46>) +++ 2++ 2夕+夕++ 1+ 1sin 2 夕 +sin 2 夕 +sin4夕 + % 整 sin6夕- ( ^) sin6夕｝. (1.26)sin4夕 + % 整 sin6夕- ( ^) sin6夕｝. (1.26)
где
где
〃⑴(6>)=
〃⑴(6>)=
(a。sin 20 + 2а?)sin 40)
(a。sin 20 + 2а?)sin 40)
8
8
(1-20)
(1-20)
紹")(夕)=-j|^ (&?' sin 2夕 + 2a J sin 4夕)(q「+ q「cos 2夕 + a? cos4J).
Решение задачи ищется в плоскости x\Z\. Имеют место уравнения равновесия
紹")(夕)=-j|^ (&?' sin 2夕 + 2a J sin 4夕)(q「+ q「cos 2夕 + a? cos4J).
Решение задачи ищется в плоскости x\Z\. Имеют место уравнения равновесия
瓦Гk к 石
Из (1.8) и (1.21) получим систему:
嘗 + (М cos 23 - 2к sin 26») ^ + (〃 sin 23 + 2к cos 26»)書=°,
瓦Гk к 石
Из (1.8) и (1.21) получим систему:
嘗 + (М cos 23 - 2к sin 26») ^ + (〃 sin 23 + 2к cos 26»)書=°,
(1-21)
(1-21)
Q + (V sin 23 + 2k cos 26») ^ + (Vcos 23 - 2k sin 26») * = 0.
Характеристики системы уравнений (1.22) имеют вид [5]
—к' cos 20 — 2k sin 20 土，k,2 + 4k2
Q + (V sin 23 + 2k cos 26») ^ + (Vcos 23 - 2k sin 26») * = 0.
Характеристики системы уравнений (1.22) имеют вид [5]
—к' cos 20 — 2k sin 20 土，k,2 + 4k2
(1.22)
(1.22)
1,2
1,2
к' sin 2。+ 2к cos 2。
к' sin 2。+ 2к cos 2。
(1.23)
(1.23)
Характеристики (1.23) взаимно ортогональны.
Согласно [5] вдоль характеристик (1.23) имеет место соотношение
Характеристики (1.23) взаимно ортогональны.
Согласно [5] вдоль характеристик (1.23) имеет место соотношение
ап ± [，А/2 + 4k2 d£ = const.
ап ± [，А/2 + 4k2 d£ = const.
(1-24)
(1-24)
Соотношение (1.24) обобщает известные интегралы Генки: при к = ко = const, А/ = 0 пз (1.24) следует
Соотношение (1.24) обобщает известные интегралы Генки: при к = ко = const, А/ = 0 пз (1.24) следует
а ± 2к£ = const.
а ± 2к£ = const.
(1.25)
(1.25)
Интеграл из соотношения (1.24) разложим в ряд по степеням малого параметра 8, получим
I，依2 + 4k2 曲=26> —(а「(9+ 呼 sin26>+ 鼻 sin46>) +
Интеграл из соотношения (1.24) разложим в ряд по степеням малого параметра 8, получим
I，依2 + 4k2 曲=26> —(а「(9+ 呼 sin26>+ 鼻 sin46>) +
++ 2
++ 2
夕+
夕+
+ 1
+ 1
sin 2 夕 +
sin 2 夕 +
sin4夕 + % 整 sin6夕- ( ^) sin6夕｝. (1.26)
sin4夕 + % 整 sin6夕- ( ^) sin6夕｝. (1.26)
Согласно (1.26) получим выражения для интеграла вдоль характеристик (1.24) в виде разложения по малому безразмерному параметру 8 с точностью до второго приближения включительно.
Рассмотрим вдавливание четырехугольной пирамиды в анизотропное пластическое полупространство. Обозначим угол раствора четырехугольной пирамиды ZrOs через 2夕，ОО\ = Д — глубину погружения четырехугольной пирамиды в сечении у\ = const (рис. 2), АО — линия контакта с пирамидой.
Z1*Z1*Рис. 3Рис. 3
Z1*
Z1*
Рис. 3
Рис. 3
Определим предельное давление в зависимости от угла а (рис. 1), определяющего ориентацию пирамиды относительно осей анизотропии.
На рис. 3 представлено сечение пирамиды плоскостью у\ = 0 и у\ = const.
Согласно Хиллу [4], имеем
(2.1)(2.1)从+ /3 =0,
(2.1)
(2.1)
574574С. Ю. Радаев
574
574
(2.2)(2.2)/г2 sin。
(2.2)
(2.2)
зависимость между углами 夕 п 〃 имеет вид
cos (2夕一〃)=cos (2夕一〃)=cos д1 + sin дcos д1 + sin д(2.3)(2.3)
cos (2夕一〃)=
cos (2夕一〃)=
cos д
1 + sin д
cos д
1 + sin д
(2.3)
(2.3)
Рассчитаем предельное давление под гранью четырехгранной пирамиды. Будем считать, что свободная граница аа! свободна от напряжений, следовательно, имеют место соотношения (1.6)-(1.8).
Согласно [5] в области aff имеет место соотношение (1.24).
Из (1.24) получим
ап\АВО + ]，奴2 + 4k2 de =源⑼，=мо).(2.4)
о
Предельное давление ап, нормальное к граням mnO, qmO (рис. 2), имеет вид
ап = (1 — cos 2〃 + 2〃) — ^ ^ (а? + Q?)cos 2〃 + a： cos4〃) —
((2q「〃 + qJ sin 2〃 + ^- s
I q?)q「) sin 2〃 + ； (q,)q?)
+ 3(g sin2 a + h cos2 a),
Q?)= -^ (b + c) + (c - b) cos 2a +(2a + ^ + ^) cos2 2a + 3/ sin2 2q,
Q： = I (b + c) + I (c — b) cos 2q + (^ + I + ^) cos2 2q + I / sin2 2a -
—3(p sin2 a + h cos2 a). (2.6)
Из соотношения (2.5) при 5 = 0 в изотропном случае получаем предельное давление по Хиллу. Члены при 8, 8? определяют влияние анизотропии на предельное давление под гранью пирамиды.
Угол 从 определяется из соотношения (2.3).
Предельная нагрузка определяется из соотношения
Ро = Pi + Р2 + Рз + Р4 = 4sin(/;5(crni +。冷2 +。冷3 + 源4),(2.7)
где
S =九(2.8)
ani (z = 1,2,3,4) определяются из соотношений (2.5), (2.6), где угол а равен соответственно 0°, 90°, 180°, 270°.
Связь между величинами h, I, /3,夕 представлена в выражениях (2.1)-(2.3).
Список литературы
Ивлев Д. Д., Ишлинский А.Ю., Непер шин Р. И. О внедрении жесткой пирамиды в идеально пластическое полупространство 〃 Изв РАН. МТТ. 2002. № 4. С. 57-62.
Ивлев Д. Д., Ишлинский А. Ю., Непершин Р.И. Внедрение пирамиды в идеально пластическое полупространство 〃 ДАН РАН. 2002. Т. 385, № 6. С. 766-769.
Горский А. В., Горский П. В. О внедрении жесткой пирамиды в идеально пластическое полупространство 〃 Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. С. 255-261.
Хилл. Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. 407 с.
Ивлев Д. Д. Механика пластических сред. Т. 1. М.: Физматлит, 2001. 448 с.
ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИМАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Ю.Н. Радаев, Ю.Н. Бахарева
Самарский государственный университет
Приводится построение теории трехмерных уравнений математической теории пластичности для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Треска. Основополагающим для построения теории выступает ряд новых геометрических результатов, касающихся расслоенного поля главных направлений тензора напряжений и соответствующих изостатических траекторий. Проведен групповой анализ и построены инвариантные решения уравнений осесимметричной задачи в изостатических координатах.
Введение. Уравнения пространственной задачи теории идеальной пластичности впервые были получены Леви (М. Levy, 1871 г.) [1], который принял в качестве условия текучести уравнение грани призмы Треска (Н. Tresca) и присоединил в качестве определяющего уравнение, выражающее пропорциональность девиатора тензора напряжений и тензора скорости деформации. Теория Леви не нашла применения и представляет ныне лишь исторический интерес. Длительное время уравнения пространственной задачи оставались неизученными. И в настоящее время теория трехмерной задачи математической теории пластичности далека от завершения. Имеется весьма ограниченный круг методов и результатов, которые проливали бы свет на свойства пространственного пластического напряженно- деформированного состояния.
Пространственная задача в общем случае при условии пластичности Мизеса (R. von Mises) и ассоциированным с ним законом течения является статически неопределимой, и, кроме того, уравнения пространственной задачи не гиперболичны. Так, система уравнений пространственной и осесимметричной задачи теории идеальной пластичности при условии пластичности Мизеса, вообще говоря, не имеет вещественных характеристических направлений. Все это не оставляет шансов обобщить методы интегрирования (см. [2-5]), развитые ранее для плоской задачи, соотношения которой формально статически определимы и гиперболичны, что в конце концов и позволяет построить теорию полей скольжения, адекватно представляющую сдвиговой механизм пластического течения. Принципиально иная ситуация наблюдается в пространственной задаче при использовании критерия текучести Треска. Здесь уравнения пластического равновесия в ряде важных случаев становятся гиперболическими. Существование действительных характеристических поверхностей является большим математическим преимуществом. Если еще учесть, что характеристические поверхности суть поверхности скольжения, то с физической точки зрения трудно объяснить отсутствие действительных характеристических поверхностей в случае уравнений пространственной задачи при использовании критерия текучести Мизеса. Поверхности и линии скольжения не являются только математическими понятиями. Они существуют в действительности, и их можно выявить травлением отполированной поверхности или разреза деформированного металла. Линии скольжения играют чрезвычайно важную роль
как в теоретических, так и в прикладных исследованиях напряженного состояния пластически деформированного тела. Геометрия линий скольжения во многих случаях вполне определяет напряженное состояние. На этот факт, по-видимому, впервые указал Д. К. Чернов 9.
Распространение математического аппарата гиперболических уравнений, описывающих плоское течение идеально пластического материала, на общий трехмерный случай явилось предметом целого ряда исследований.
В 1909 г. Хаар и Карман (A. Haar, Th. von Karman) выдвинули условие полной пластичности [6], которое по существу устанавливает соответствие напряженного состояния ребру призмы Треска, и оказалось, что соотношения пространственной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности являются статически определимыми.
В 1923 г. Генки (Н. Hencky) [7] предложил использовать условие полной пластичности Хаара-Кармана в случае осесимметричного напряженного состояния, что привело его к статически определимой системе уравнений равновесия, которая оказалась гиперболической.
В 1944 г. А. Ю. Ишлинский [8] исследовал осесимметричную задачу теории пластичности, предполагая выполнение условия полной пластичности, доказав статическую определимость и гиперболичность основных уравнений. С помощью численного метода в этой же работе было получено решение задачи о вдавливании твердого шарика в идеально пластическую среду.
Соотношения пространственной задачи теории пластичности, когда, аналогично условию полной пластичности Хаара-Кармана, имеется два соотношения между главными напряжениями, были предложены и проанализированы А. Ю. Ишлин- ским [9], который также использовал обобщенный закон пластического течения, не предполагающий столь жестких ограничений на скорости пластических деформаций, устанавливаемые традиционным требованием пропорциональности тензора скорости пластических деформаций и девиатора тензора напряжений.
Результаты А. Ю. Ишлинского предвосхитили более поздние исследования Д. Д. Ивлева [10, 11], в которых было показано фундаментальное значение условия полной пластичности Хаара-Кармана для всей теории пластичности и развит соответствующий вариант теории пластичности: сингулярное условие текучести (в частности, ребро призмы Треска) и обобщенный ассоциированный закон пластического течения. Было установлено, что при условии полной пластичности уравнения пространственной задачи теории идеальной пластичности являются статически определимыми и принадлежат к гиперболическому типу. Характеристические направления при этом образуют конус, касающийся площадок максимальных касательных напряжений, построенных в вершине конуса. Характеристическими будут также направления, ортогональные главной оси тензора напряжений, соответствующей наибольшему (наименьшему) главному напряжению. Было, таким образом, доказано, что именно условие полной пластичности, и только оно, позволяет сформулировать общую теорию идеальной пластичности с единым математическим аппаратом статически определимых уравнений гиперболического типа, соответствующих сдвиговой природе идеально пластического деформирования.
В дальнейшем Д. Д. Ивлевым была исследована пространственная задача при произвольном кусочно-линейном условии текучести, и в результате показано, что
1) Дмитрий Константинович Чернов (1839-1921 гг.) — русский ученый, создавший научные основы обработки металлов давлением. По поводу вклада Д. К. Чернова в теорию пластичности см. предисловие к книге: Томленое А.Д. Теория пластических деформаций металлов. М.: Машгиз, 1951. — 200 с.
как в пространственном, так и в осесимметричном случае на ребре кусочнолинейного условия текучести уравнения математической теории пластичности являются гиперболическими и имеют характеристические элементы, совпадающие с площадками максимальных касательных напряжений.
Любопытно отметить, что как статические, так и кинематические уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности для граней призмы Треска, соответствующих кинематически определимым режимам течения, также являются гиперболическими; характеристические направления ориентированы так же, как и главные направления тензора напряжений. Полное исследование характеристик уравнений осесимметричной задачи при условии пластичности Треска читатель может найти в [3], с. 258-268.
Ниже развивается общая теория трехмерных уравнений математической теории пластичности с условием пластичности Треска и обобщенным ассоциированным законом течения для напряженных состояний, соответствующих ребру поверхности текучести, и возможная общая схема интегрирования пространственных статических уравнений. Основой теории выступает ряд геометрических результатов по исследованию поля главных направлений тензора напряжений, характеризуемых наибольшим (или наименьшим) главным нормальным напряжением, полученных в [12].
Рассматривается осесимметричная задача математической теории пластичности, сформулированная в изостатических координатах. Поиск новых автомодельных решений осесимметричной задачи осуществляется с помощью метода, развитого в [12, 13]. Приводится также вычисление групп симметрий системы дифференциальных уравнений осесимметричной задачи и определяются инвариантные решения. Показано, что стандартный групповой анализ позволяет получить, в частности, найденные ранее на основе соображений автомодельности и выбора автомодельной переменной в форме произведения степеней изостатических координат решения осесимметричной задачи.
Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы Треска. Рассмотрим уравнения равновесия для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Треска. Обозначим через а тензор напряжений; 1, m, п — ортонормированный базис из собственных векторов тензора напряжений; ai, 。2, 03 — соответствующие собственные значения (главные нормальные напряжения); к — предел текучести при чистом сдвиге.
Спектральное разложение тензора напряжений имеет вид
а = а\1 01 + СГ2ГП 0 m + а^п 0 п. (2.1)
В пространстве главных напряжений условие текучести Треска изображается поверхностью шестигранной призмы с ребрами:内 ± 2k = 02 =。3,。1 =。2 ± 2k = =03,01 =02 =03 土 九.
Для данного напряженного состояния, соответствующего ребру призмы Треска, всегда можно перенумеровать главные оси тензора напряжений так, чтобы выполнялось равенство с^ =。2 =。3 土 2k.
Последнее условие означает, что главное напряжение 03 является либо наименьшим, либо наибольшим главным нормальным напряжением.
Так как I, т, п — ортонормированный базис, то
101 + m0m + n0n = I, (2.2)
где I — единичный тензор.
Учитывая (2.1), (2.2) и уравнение ребра призмы
6 =。2 =。3 ± 2к,(2.3)
получим
о = (оз ± 2k)1 干 2/cn 0 n.(2.4)
Таким образом, тензор напряжений определяется скалярным полем 03 и единичным векторным полем п.
Уравнение равновесия div а = 0 после подстановки в него разложения (2.3) можно представить в следующем виде:
grad* 干 2kdiV (и * и) = 0 (п • n = 1).(2.5)
Следовательно, задача о равновесии тела, напряженное состояние которого соответствует ребру призмы Треска, формально статически определима (поскольку имеется ровно три уравнения для определения трех неизвестных: собственного значения 03 и, например, двух углов, задающих ориентацию единичного вектора п) 1), если граничные условия заданы в напряжениях. Уравнения равновесия могут быть формально рассмотрены независимо от кинематических уравнений, что является, несомненно, очень важным математическим преимуществом рассматриваемых напряженных состояний.
Обозначим через S отношение 03 к 干2k и приведем уравнение (2.4) к виду
grad S + div(n 0 n) = 0 (n • n = 1).(2.6)
В декартовых координатах векторное уравнение (2.5) эквивалентно системе трех скалярных уравнений (г, к = 1,2, 3):
АХ I dni I дпк с1、
Отметим также еще одну инвариантную форму уравнения (2.5):
▽X + (п • V)n + n(V • n) = 0,(2.7)
где V — пространственный оператор Гамильтона.
По поводу термина «статически определимая задача» и смысла, который в него вкладывается авторами, см. [2, с. 158, 159, с. 278-280]. В известной книге [3, с. 135] статически определимыми называются такие задачи, когда имеется полная система уравнений и граничных условий для определения напряженного состояния (притом независимо от деформаций). В [3, с. 259] используется также термин «локально статически определимая задача».
Термин «статически определимая задача» был введен Генки в 1923 г., чтобы охарактеризовать такие случаи, когда независимо от граничных условий имеется столько уравнений, сформулированных относительно напряжений, сколько неизвестных компонент напряжений. Мы используем термин «формально статически определимая задача», смысл которого в точности такой же. Формальная статическая определимость еще не гарантирует того, что действительно можно определить поле напряжений (даже если граничные условия сформулированы в напряжениях), не привлекая кинематических уравнений. В тех случаях, когда это действительно удается сделать, мы будем вести речь о фактической статической определимости. Различие между формальной и фактической статической определимостью было блестяще продемонстрировано Хиллом на примере формально статически определимой задачи плоского неустановившегося пластического течения: если найдется линия скольжения, пересекающая дважды границу раздела упругой и пластической зон, то одних лишь уравнений в напряжениях недостаточно для их определения единственным образом.
Для единичного векторного поля справедлива следующая формула:
(п • V)n = -п х rot п,(2.8)
с помощью которой векторное уравнение (2.6) может быть также представлено в виде
▽X - п х rot n + n div п = 0.(2.9)
Это уравнение в силу своего инвариантного характера служит основой для всех последующих рассмотрений и оказывается исключительно удобным для геометрического исследования поля 八.
В дальнейшем мы будем использовать также следующие равенства:
((п . V)n) • rot п = 0, ((п . V)n) • п = 0,
вытекающие из (2.7).
Исследуем характеристики уравнения (2.8). Для этого будем трактовать характеристические поверхности уравнения (2.8) как поверхности слабого разрыва полей S и п и воспользуемся условиями совместности Адамара-Томаса [14]:
[VS] = MN, [V 0 n] = N 0 Ь,(2.10)
где [ ] обозначает скачок заключенной в них величины при переходе через поверхность слабого разрыва; N — единичный вектор нормали к поверхности слабого разрыва; В, Ъ — некоторые поля, определенные на этой поверхности, причем равенства В = 0иЬ = 0не могут выполняться одновременно ни в какой точке поверхности, если рассматриваемая поверхность есть действительно поверхность слабого разрыва.
На основании уравнения (2.8) имеем
[▽X] - п х [rot n] + n [div п] = 0(2.11)
и, применяя условия совместности (2.9), получим
MN — п х (N х b) + (N • Ь)п = 0.(2.12)
Кроме того, так как п • n = 1, то п • (V 0 п)т = 0 и, следовательно, (п • b)N = =0, что приводит к
n . b = 0.(2.13)
Замечая далее, что
л х (N х Ь) = (и • b)N - (N • n)b,
и учитывая (2.12), уравнение (2.11) приводим к виду
MN + (N • n)b + (N • Ь)п = 0.(2.14)
Умножим обе части этого уравнения скалярно на вектор N, затем — на вектор 八.Складывая полученные уравнения, предварительно умножив первое на выражение —N • п, находим, что
(N・b)(l - 2(N - n)2) =0.(2.15)
Это уравнение распадается на два. Если N • b ^ 0, то необходимо
Если N • b = 0, то на основании В + 2(N • n)(N • b) = 0 имеем: В = 0, и тогда уравнение (2.13) дает
(N n)b = О,
откуда в силу того, что равенства В = 0иЬ = 0не могут выполняться одновременно,
N • п = 0.(2.17)
Итак, уравнение (2.8) принадлежит к гиперболическому типу. Нормали к характеристическим поверхностям в силу (2.15) образуют конус с углом полураствора 7г/4 и осью, ориентированной вдоль вектора п. Ясно, что характеристические поверхности являются также и поверхностями максимального касательного напряжения (поверхностями скольжения). Характеристическими являются не только поверхности скольжения, но и, согласно (2.16), интегральные поверхности поля п (т. е. поверхности, составленные из интегральных кривых поля п).
Исследуем уравнение (2.8) в предположении, что n х rot п 0 всюду в пластической зоне 1). В этом случае векторные линии поля п заведомо не будут прямолинейными. Решения уравнения (2.8), такие что векторные линии поля п являются криволинейными, будем называть невырожденными.
Умножая обе части уравнения (2.6) скалярно на n, rot п и n х rot п, получим
(2.18)(2.18)п • grad S + div n = 0,
(2.18)
(2.18)
rot n • grad S + (n • rot n) div n = 0,(2.19)
(n x rot n) grad X — |n x rot n| = 0.(2.20)
Уравнения (2.17)-(2.19) позволяют найти траектории, вдоль которых главное напряжение 03 не изменяется.
Пусть s — орт, направленный вдоль вектора n х rot п. В плоскости, образованной векторами s и п, рассмотрим орт t, наклоненный к s под некоторым углом а: t = cos as + sin ал.
Умножив уравнение (2.26) на sin а, а уравнение (2.28) — на cos а и сложив, приходим к
t • grad X + sin a div n — cos a |n x rot n| = 0.
Следовательно, если траектория касается направлений t, составляющих угол а,
с направлением s, то вдоль этой траектории
t • Va3 =0.(2.21)
Это означает, что главное напряжение 03 не изменяется вдоль рассматриваемой траектории.
В плоскости, образованной векторами s и rot п, рассмотрим орт h, наклоненный к s под некоторым углом /3:
h = cos/3s + sin/3 1r°；；.
Умножив уравнение (2.18) на sin /3, а уравнение (2.19) — на cos /3 и сложив, приходим к
h • VS + sin- cos/3 In х rot n| = 0.
|rot n|
Следовательно, если траектория касается направлений h, составляющих угол /3,
tg/3 = tg7|rotn|,
где 7 — угол между векторами rot п и п, с направлением s, то вдоль этой траектории
h • У/оз = 0.(2.22)
Это означает, что главное напряжение 03 не изменяется вдоль рассматриваемой траектории.
Можно указать еще одно направление р, производная от 03 вдоль которого равна нулю: если ориентировать вектор р ортогонально векторам s и п так, что
то с помощью уравнений (2.17), (2.18) можно найти
р • Va3 = 0. (2.23)
Нетрудно заметить, что направления t, h, р некомпланарны, если п • rot п 7^ 0. Таким образом, если n х rot п 7^ 0 и п • rot п # 0, то через каждую точку зоны пластического течения можно провести три различные траектории (касающиеся трех некомпланарных направлений t, h, р), вдоль которых наибольшее главное напряжение 03 не изменяется. Но это означает, что ▽03 = 0 всюду в пластической зоне и, следовательно, все главные напряжения постоянны. Но тогда уравнение (2.8) приобретает вид
п х rot n = n div п,
откуда сразу же следует, что div п = 0 и rot п = 0, что противоречит предположению п х rot п 7^ 0, следовательно, никаких решений уравнения (2.8) при одновременном выполнении условий n х rot п 7^ 0 и п • rot п 7^ 0 получить нельзя.
Поэтому наибольший интерес представляет тот случай, когда п • rot п = 0 и rot л # 0. В этом случае, который будет в деталях рассмотрен ниже, имеется два различных направления (поскольку ориентации h и р совпадают), вдоль которых главное напряжение 03 не изменяется, причем вдоль любого третьего направления, некомпланарного указанным двум, главное напряжение 03 заведомо будет переменным. Ясно, что два направления, о которых идет речь, касаются поверхности уровня поля 03. Как будет показано ниже, условие п • rot п = 0 допускает замечательную геометрическую интерпретацию, пользуясь которой можно существенно развить исследование невырожденных решений пространственных уравнений математической теории пластичности.
Расслоенные невырожденные пластические поля напряжений. Продолжая исследование невырожденных решений уравнений теории пластичности, рассмотрим прежде всего условие п • rot п = 0, которое выполняется для любого невырожденного решения.
В дальнейшем исследовании особую роль будут играть расслоенные векторные поля п.
Поле напряжений в области G назовем расслоенным (или слоистым), если существует семейство поверхностей А, заполняющее область G, такое что векторное поле единичных нормалей к поверхностям семейства А совпадает с полем п собственных векторов тензора напряжений.
Для того чтобы векторное поле п было расслоенным в области G, необходимо и достаточно, чтобы всюду в этой области выполнялось следующее соотношение:
п • rot п = 0. (3.1)
Сформулированное утверждение известно как теорема Якоби (см., например, [15], с. 10, 11). Векторное поле п, удовлетворяющее условию (3.1), часто называют голономным. Для произвольного векторного поля п, следовательно, можно ввести меру неголономности, определяя ее как скалярное произведение п • rot п.
Здесь мы опускаем детали вывода условия (3.1), но заметим, что оно выражает также тот факт, что дифференциальная форма ni dx\ + 八2 d/2 + 八з d/з после умножения на интегрирующий множитель 从 превращается в полный дифференциал (см., например, [16]; [17], с. 366-368):
〃(八 1 dx\ + 八2 d/2 + 八з d/з) = dW.
Ясно, что для интегрирующего множителя справедливо соотношение
从=I▽叫
Кроме того, можно утверждать, что если векторное поле п не является расслоенным, то его можно «подправить» безвихревым векторным полем ▽① так, что условие (3.1) будет выполняться для поля л' = л — ▽① и, следовательно, векторное поле п всегда можно представить в виде суммы безвихревого ▽① п расслоенного (и притом вихревого, т. е. с ненулевым вихрем) векторного поля л':
п = п, + VФ. (3.2)
Это утверждение следует из того факта, что дифференциальная форма 八 1 dx\ + + П2 dx2 + П3 dx^ всегда может быть приведена к каноническому виду ni dx\ + + 八2 d/2 + 八з dg = ^① + 〃—1 dW.
Поскольку безвихревое векторное поле заведомо является расслоенным, то из приведенного рассуждения следует, что произвольное единичное векторное поле всегда можно представить в виде суммы двух расслоенных полей, первое из которых вихревое, а второе — безвихревое.
Обоснуем утверждение о том, что для единичного векторного поля условие п х rot п = 0 выполняется, только если векторное поле п безвихревое.
Воспользуемся представлением (3.2), в котором можно считать, что л' • rot л'= =0. Так как n х rot п = 0, то rot п = Ап. Предположим обратное, т. е. векторное поле п — вихревое, следовательно, существует такая точка, где вихрь п ненулевой. Тогда можно считать, что А > 0 всюду в окрестности указанной точки. Последнее неравенство должно выполняться одновременно с неравенством |п[ > 0 в той же самой окрестности. Действительно, если в упомянутой окрестности \nf\ = 0, то
в силу (3.2) необходимо rot п = 0, что противоречит предположению о том, что поле п — вихревое в рассматриваемой окрестности.
Построим достаточно малый элемент S слоя поля л', проходящий через вихревую точку поля п. На указанном элементе поверхности построим замкнутый контур L, окружающий выбранную точку. На основании теоремы Стокса заключаем, что циркуляцию вдоль контура L слоистого поля л', заведомо равную нулю, можно также вычислить в виде
О = j г?・ dr = j и • dr = ]] |n[T г?・ rot ndS =]卜 |n[T / ndS, ll ss
следовательно, справедливо равенство
[卜 |n'| dS + ]卜 InT1 ri' •▽① dS = 0.(3.3)
ss
Так как n — единичное векторное поле и имеет место разложение (3.2), то
|VФ|2 + |n,|2 + 2VФ•n, = 1.(3.4)
Учитывая это соотношение, равенство (3.3) преобразуем к виду
[卜 |п'| dS + ]卜 InT1 (1 - РФ|2) dS = 0.ss
В силу A > 0 и |п[ > 0 из последнего уравнения следует, что
рФ|2 + |п,|2 = 1,
так как в противном случае сумма интегралов не будет равна нулю. Но тогда на основании (3.4) приходим к выводу, что
▽①• п‘ = 0.
Поэтому соотношение (3.3) сводится к следующему:
||A|n,|d5 = 0.
s
Выполнение этого соотношения оказывается невозможным, так как одновременно А > 0 и Щ〉0 на поверхности S. Полученное противоречие и доказывает сформулированное утверждение.
Как следует из результатов, полученных во втором пункте работы, единичное векторное поле п, удовлетворяющее уравнению (2.8), может быть либо безвихревым расслоенным, либо вихревым расслоенным, т. е. векторное поле п представляется либо только первым, либо только вторым слагаемыми в (3.2). Расслоенность векторного поля п и его ненулевая завихренность гарантируют исключение всех вырожденных случаев. Завихренность поля п выступает, таким образом, как признак невырожденности напряженного состояния.
При выполнении условия (3.1) слои поля п, т. е. поверхности семейства А, образуются векторными линиями поля rot п следующим образом: сначала выбирается некоторая поверхность А*, так чтобы поле п касалось ее в каждой точке, и на поверхности А* строится однопараметрическое семейство ортогональных к п траекторий, затем из каждой точки ортогональной траектории выпускаются векторные линии поля rot п и составляется слой поля п.
Для слоистого векторного поля п, слои которого суть поверхности уровня функции s(力 1,力2,力з), вектор кривизны 庆 векторной линии поля п может быть вычислен по формуле Дарбу (G. Darboux) (см. [15], с. 24):
(3.5)(3.5)庆=- Vin |Vcj|-1 + n(n • Vin IVcj|-1).
(3.5)
(3.5)
Средняя кривизна H поверхности s(力 1,力2,力з) = const вычисляется как поверхностная дивергенция единичного вектора нормали (см. [18, с. 272]):
-2Я = 也篇=▽•篇=匿一号(Х73) • ▽尸训，(3.6)
ИЛИ
Q TT —心=直+言Q TT —心=直+言• Vlnp^l-1.• Vlnp^l-1.(3.7)(3.7)
Q TT —
心=直+言
Q TT —
心=直+言
• Vlnp^l-1.
• Vlnp^l-1.
(3.7)
(3.7)
Здесь ▽a=const — поверхностный оператор Гамильтона. Если ^1, ^2 — гауссовы координаты на поверхности s(力 1,力2,力з) = const, то
▽a=const = 'К + '養
где i1, i2 — локальные контравариантные базисные векторы на поверхности. Если п — единичный вектор нормали к поверхности, то оказывается, что его поверхностная дивергенция совпадает с пространственной: ▽a=const • n = V • п.
Как было показано во втором пункте работы, для напряженного состояния, соответствующего ребру призмы Треска, поле собственных векторов тензора напряжений с наибольшим (или наименьшим) собственным значением должно удовлетворять уравнениям
rot div(n 0 n) = 0, n • rot n = 0, n • n = 1. (3.8)
В силу условия (3.1) векторы n, rot n, n x rot n взаимно ортогональны, и уравнения (2.17)-(2.19) приобретают следующий вид:
(3.9)(3.9)п • VS + V • п = О,
(3.9)
(3.9)
(V х п) • VS = 0,(3.10)
s-VS-|Vxn|=0,(3.11)
где s — орт, направленный вдоль вектора n х rot п. Напомним, что для расслоенного поля напряжений направления rotn и s — характеристические, ориентации векторов rot п и h совпадают.
На основании (3.10) заключаем, что для вихревого расслоенного поля напряжений, соответствующего ребру призмы Треска, величина 03 не изменяется вдоль векторной линии вихря вектора п.
Вдоль траектории, касающейся вектора t, величина главного напряжения 03 не изменяется (см. (2.20)). Вектор t ортогонален rot п и составляет с вектором s угол а:
Таким образом, в случае вихревого расслоенного поля напряжений через каждую точку зоны пластического течения проходят две ортогональные друг
другу траектории, расположенные на поверхности уровня поля 03, вдоль которых величина главного напряжения 03 не изменяется, причем вдоль любого направления, некомпланарного указанным двум, главное напряжение 03 заведомо будет переменным. Ясно, что ▽оз х (h х t) = 0, поэтому вместо системы (3.9)-(3.11) удобнее рассматривать соответствующую систему в проекциях на оси ортогонального триэдра h, t, h х t:
t • Va3 = 0, h-Va3 = 0, |Va3| ±= 0.(3.13)
cos a
Анализируя эту систему, заключаем, что вектор ▽03 располагается в плоскости, ортогональной вектору rot п, и составляет с главным направлением п угол а. Поэтому слои векторного поля п и поверхности уровня наибольшего (наименьшего) главного напряжения пересекаются под углом а.
Несложные вычисления приводят также к следующей замечательной формуле:
[▽оз] = 2k J (div n)2 + |rot n『,(3.14)
т. e. распределение 03, если поле n известно, может быть найдено интегрированием уравнения эйконала. Решения граничных задач для уравнения эйконала имеют характерные для теории пластичности разрывы первых производных.
Заключая эту часть работы, рассмотрим случай плоского деформированного состояния. Как известно, если тело подвергается плоскому деформированию, то напряженное состояние соответствует грани призмы Треска, а не ребру. Уравнения равновесия жесткопластического тела в случае плоской деформации имеют вид [4]
曾一2k- cos 26»=0,
м班2 丿(315)
粤 + 2k (cos+ sin= 0, 0X2\0X10X2 /
где p = (ai +02)/2,夕—угол наклона главного направления, соответствующего наибольшему собственному значению с^, к оси х\. Тем не менее если ввести обозначение S =夕/(2卜)и плоское векторное поле п с компонентами ni = cosJ, 八2 = sin仇 то уравнения (3.15) приводятся к двумерному уравнению (2.5). Тем самым устанавливается аналогия между статическими уравнениями плоского деформированного состояния и уравнениями для ребра призмы Треска, и находит объяснение гиперболичность соответствующих систем уравнений. Следует также отметить, что любое плоское векторное поле в трехмерном пространстве будет расслоенным. Поэтому поле напряжений, возникающее при плоской деформации тела, как частный случай входит в рассматриваемый класс расслоенных полей напряжений.
Интегралы уравнений равновесия для расслоенного поля напряжений. Векторное уравнение (2.5) имеет инвариантную форму. Преобразуем его к криволинейным координатам ^1, ^2, ^3. Ковариантные компоненты поля div(n 0 п) равны (см., например, [18], с. 208; [14], с. 45):
1 /2 к т\
div(n 0 n)/ = g~i/2gki Р ^^ +nrns[rs,l] (/ = 1,2,3),(4.1)
где gij — компоненты метрического тензора, р = det \\gtj\\, [rs, I] — символы Кристоффеля первого рода. Через nm обозначены контравариантные компоненты векторного поля п.
Используя формулу (4.1), представим уравнение (2.5) в ковариантной форме
аЕ ,-1/2 d(g1/2nknm)」с“ s
' 9ki—L+nrns\rs,l] = 0.(4.2)
Воспользуемся расслоенностью векторного поля п и выберем криволинейные координаты Г，?,? специальным образом: координатные поверхности 户= =const — суть слои поля п, а поверхности ^1 = const и ^2 = const — интегральные поверхности поля п (т. е. поверхности, составленные из интегральных кривых векторного поля п). Строго регламентированным, таким образом, является лишь выбор координатных поверхностей ^3 = const. Остальные координатные поверхности могут быть выбраны с известной долей произвола. Необходимо отметить, что возможность до известной степени произвольно выбирать координатные поверхности §1 = const и ^2 = const позволяет констатировать, что криволинейная сетка §1,§2,§з, вообще говоря, отличается от ортогональной изостатической сетки. Напомним, что изостатой (или линией главного напряжения) называется кривая, касательная к которой направлена вдоль главной оси тензора напряжений. Однако все три координатные линии системы координат ^1, ^2, ^3 являются изостатами, правда, координатные линии, соответствующие координатам 己，？，могут не быть ортогональными друг другу. Это обусловлено тем, что в силу а\ =。2 любое направление на слое ^3 = const является главным и, следовательно, любая траектория на этом слое будет изостатой. Поэтому выбор тех или иных направлений на слое ^3 = const в качестве координатных диктуется прежде всего тем, чтобы в результате получалась такая локальная система трех ориентаций, для которой был бы осуществим подбор криволинейных координат с локальным базисом, ориентированным точно также.
Ортогональная изостатическая криволинейная координатная сетка (т. е. сетка, координатные линии которой касаются трех взаимно ортогональных главных осей тензора напряжений) даже для расслоенного поля напряжений существует далеко не всегда. Если ортогональные изостатические координаты все же можно ввести, то поле напряжений необходимо является расслоенным. Обратное утверждение, конечно же, не является справедливым. Дополнительно заметим, что поверхности §1 = const и ^2 = const — характеристические для уравнения (2.5).
При таком выборе криволинейных координат имеем: д〔з = 0, р23 = 0, п1 = 0, п2 = 0, что позволяет существенно упростить уравнения (4.2):
组_卜八3)2磐=0
线2'线2
+ 933，岁 + 1933(序)2备 In (РззР)=。・
Так как (n3)2 = 1/дзз, то последние уравнения эквивалентны следующим:
JnE)=O, (4.3)
—h1V/^ + In д/р) = 0.
Уравнения (4.3) интегрируются вдоль линий главных напряжений. Инвариант /1 = S — In д/рзз сохраняет свое значение на каждом из слоев поля п. Инвариант А = X — In v^^ + 1口 д/^ не изменяется вдоль векторной линии поля п. Таким образом, если невырожденное напряженное состояние соответствует ребру призмы Треска, то поле главных направлений, определяющих ориентацию п, необходимо является расслоенным и, следовательно, в новых, специальным образом подобранных координатах уравнения равновесия приводятся к трем интегрируемым соотношениям (4.3).
Инварианты пространственных уравнений теории пластичности впервые были получены в работе [12]. В этой же работе была установлена связь между преобразованием области пластического течения с помощью координат ^, ^, ^ и каноническими преобразованиями, изучавшимися в свое время Пуанкаре (Н. Poincare). Канонические преобразования можно эффективно анализировать с помощью производящих функций. Как было показано в [12, 20], уравнения для производящих функций, которые подлежат определению в плоских и осесимметричных задачах теории пластичности, обладают важными свойствами инвариантности относительно преобразований Лежандра и Ампера.
Необходимое и достаточное условие интегрируемости системы (4.3) состоит в возможности разложения детерминанта g в произведение двух положительных функций:
g = Gi(a，Q)G2d). (4.4)
Ясно также, что если поле напряжений допускает ортогональную изостатическую координатную сетку ^1, ^2, ^3, то оно является расслоенным, и соотношения (4.3) следует рассматривать как интегрируемые соотношения вдоль взаимно ортогональных линий главных напряжений.
Автомодельные решения осесимметричной задачи теории пластичности. Осесимметричное пластическое течение, когда напряженное состояние соответствует ребру призмы Треска, можно разделить на следующие два типа 9: 1) тангенциальное напряжение является наибольшим (наименьшим) главным напряжением, а меридиональные главные напряжения равны; 2) тангенциальное напряжение равно одному из меридиональных главных напряжений, а максимальное касательное напряжение в меридиональной плоскости равно пределу текучести к. Первый случай исследуется элементарными средствами. Второй случай — состояние «полной пластичности» Хаара-Кармана. Если присвоить тангенциальному главному напряжению второй номер и обозначить через 03 наибольшее (наименьшее) из двух меридиональных главных напряжений, то приходим к соотношению,
характеризующему состояние «полной пластичности»:
6 =。2 =。3 士 2k,(5.1)
где k — предел текучести при чистом сдвиге. Пусть, ради определенности, а\ — наибольшее меридиональное главное напряжение, тогда
6 = °2 = оз + 2k.(5.2)
Автомодельные решения уравнений теории пластичности удобнее всего искать, используя специальные переменные ^1, ^2, ^3 и учитывая возможность отделения координаты §з. в случае осевой симметрии формулы, связывающие декартовы координаты 力 1,力2,力3 и криволинейные координаты WLgLgS, следует, очевидно, искать в следующем виде:
力1 = /(U，户)cosQ,力2 = /0，户)sinQ,力з = MU，户).(5.3)
Здесь £2 — специальные криволинейные координаты, определяемые по векторному полю п; функции / и Д подлежат определению; ^2 — угловая координата.
Так как криволинейная координатная сетка характеризуется свойствами д〔з = =0, ,23 = 0, а детерминант g разлагается в произведение двух функций (см. формулу (4.4)), то отображающие функции (5.3) необходимо должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений:
f ад ад , ад ад ,
线3线3 线1线3 线1线3'
,线2线3+线2线3+线2线3'(5.4)
對傍對偉НА储對1=^,『№(户)，
где /1 = /(CW^cosG /2 = /(^,^3)sin<2, /3 =从已戸).Тогда поверхности <3 = =const можно принять в качестве слоев поля 八 и затем с помощью интегралов (4.3) восстановить поле напряжений.
Подставим выражения (5.3) в систему дифференциальных уравнений (5.4). В результате находим
f df df ! dh dh
(5.5) Gi(U)G2d).(5.5) Gi(U)G2d).
(5.5) Gi(U)G2d).
(5.5) Gi(U)G2d).
В этой системе уравнений у функции Gi исключается зависимость от угловой координаты §2 в силу осевой симметрии.
Будем искать решения системы (5.5) в предположении, что автомодельная переменная представляет собой произведение степеней изостатических переменных с различными показателями:
/=u听冲⑹，九=f 3户仇h®,(5.6)
где £ = §1 ”з * — автомодельная переменная; а,/3, cq,仇，％ 8 — некоторые показатели.
Тогда, при условии, что существует показатель s, такой что
система двух уравнений в частных производных (5.5) сводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
'&/3歹2 + &q8 + 7/3)歹歹/ + £2,8歹，2 +
+ СЪ1/31Н2 + §318 + 内噴н 可 + e^Hf^} = о, (57)
I V€ Уn-/37)Y 4。+2吁2§3 46+2伪—2—2，
где в силу условия (5.6) cq = а +Д = /3 + 6ш, а остальные показатели независимы. Естественно предполагается выполнение условия аб — (3^ ^ 0.
С целью устранения переменных ^ и ^3 в (5.6) представим Gi n G? в следующем виде:
G](§1) = Ggl 4a+2а1+)(〃+2) — 2,G](§1) = Ggl 4a+2а1+)(〃+2) — 2,(5.8)(5.8)
G](§1) = Ggl 4a+2а1+)(〃+2) — 2,
G](§1) = Ggl 4a+2а1+)(〃+2) — 2,
(5.8)
(5.8)
где С\ и С^ — некоторые положительные константы, а 〃一 некоторый показатель. Вводя в плоскости £—"/2歹，§"/2Н полярные координаты
“/2歹=рее% 〃， §"/2» = 0sin 〃，(5.9)
преобразуем полученную систему (5.7), приняв С = С1С2，к виду
，40фy + 2(q8 + 7/3)'02 +7^产片 +
,+ 44(a8 + % + ^8)ppf] + 4<275(/2 + /A') = 0, © 10)
/2 =,
、 (ab -炉))2" COS2 L
Отметим, что в меридиональной плоскости 力2 = ° справедливы соотношения 产а 吋 /у=*+*, tg 〃 = и，
т. е. угол 〃 — полярный угол в меридиональной плоскости, отсчитываемый от горизонтальной оси.
Разделим первое уравнение полученной системы на второе уравнение этой же системы. Заметим что, если положить 从=s — 2, зависимость от автомодельной переменной £ будет устранена. При этих условиях вместо системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5.10) получаем 9 дифференциальное уравнение первого порядка относительно р, 〃：
l\^w cos2 〃 + l^w cos 〃^^ = 1 + ^^^^ ,(5.11)
где 1У = In p, а постоянные коэффициенты 厶 n /2 определяются следующим образом:
7— (4а/3 + 2Gmb + 炉7)+—炉丁)？
办二—9户+ /Ъ£7Ь)(а8 —户丁) sigR(^ _ %).
Исследуем знак коэффициента 厶，для чего необходимо исследовать знак квадратного трехчлена 4а/3 + 2(а8 + (3*3 + ^5ш^. Подсчитывая его корни,
^1,2 =^1,2 =_(ab + /З7) ± |ab — /?7|7b
^1,2 =
^1,2 =
для 厶，%2 находим выражения
7 _— &2)2(G — G1)(G — &2)
к = г о Гё^ '
%2 = _,8%2 = _,8(G1 — CJ2)(2g — Ш\ — &2)(G1 — CJ2)(2g — Ш\ — &2)4 УС4 УС
%2 = _,8
%2 = _,8
(G1 — CJ2)(2g — Ш\ — &2)
(G1 — CJ2)(2g — Ш\ — &2)
4 УС
4 УС
Предположим, что 厶 > 0, т. е. либо 7 и 5 одного знака и CJ2 < ^ < ^ь либо 7 и 5 разных знаков п ⑨ V s V &2・ Тогда, поскольку sign (78) sign Qi —以2)= 1,
4 一'
(5.12)(5.12)где J = s —匂，uff = ш — Ш2. Произведем замены переменных e3W = z~{ и sinz,= =и. Обозначая 万=z/y/T[ , уравнение (5.11) представим в форме
(5.12)
(5.12)
32 厶 + J + з" dv _ 歹2
I3 v^Bl du 1 — d
или в форме, разрешенной относительно производной:
(5.13)(5.13)2 dv _ J + J +(J + g〃)24 А _ 歹2
(5.13)
(5.13)
з du ~ 3vVg〃|V II 1 -u
Естественной областью определения этого уравнения служит внутренность эллипса, уравнение которого есть
71
а большая полуось определяется как
"J/4| J J["J/4| J J[
"J/4| J J[
"J/4| J J[
Нетрудно заметить, что при условии 厶〉0 необходимо J/ < 0, т. е.
4J J4J J
4J J
4J J
Уравнение (5.13) представляет собой нелинейное неавтономное дифференциальное уравнение, содержащее иррациональность в правой части. Аналитически уравнение (5.13) пока проинтегрировать не удается. Поэтому проанализируем
его численно 9. Результаты численного анализа и соответствующие графические построения приведены в [13].
Вводя вместо пары переменных v и и пару т, 〃 по формулам 行=71 sinTCOs〃， и = sin〃，приходим к уравнению, содержащему тригонометрическую иррациональность:
然(5.14)
которое, учитывая, что з'з" < 0 при условии /〔 > 0, может быть преобразовано к виду
彳=3 (「：——土 +tg 丁 tg(5.15)
аьg I cost у
Заметим, что уравнение (4.3), полученное в статье Р. Шилда [21],
yz sin у + 1 + 3 sin у + cos у tg V； = 0,(5.16)
определяющее поля напряжений в окрестности прямолинейных свободных гра- /г 1J1
ниц, является частным случаем уравнения (5.15), если принять =-,
произвести замены 丁 = тг/2 — х，〃 =⑦ и выбрать положительный знак. Можно сделать вывод, что полученное уравнение (5.15) является обобщением уравнения Шилда (5.16) и, следовательно, определяет все известные к настоящему времени автомодельные решения.
Предположим, что 厶 < 0, т. е. 1) 7 и 5 одного знака ns〉匂；2))n 8 одного знака и cj < &2； 3) 7 п 8 разных знаков и cj > 也 4))n 8 разных знаков и ш
Обозначая 行=n/，一厶,уравнение (5.11) представим в форме
(5」7)(5」7)(5.18)(5.18)dv V
(5」7)
(5」7)
(5.18)
(5.18)
3 v^Bl du1 - и2
или в форме, разрешенной относительно производной:
2 dv _ J + &〃 ± /+ J)? 4 厶
3 d" 3，|g&〃| у I\1 — и2
Естественной областью определения этого уравнения служит внутренность эллипса, уравнение которого есть
а большая полуось определяется как
72 =72 =(J+/У4| J J[(J+/У4| J J[
72 =
72 =
(J+/У4| J J[
(J+/У4| J J[
Поведение интегральных кривых уравнения (5.18) внутри естественной области определения представлено в работе [13].
Вводя вместо пары переменных 行 п 〃 пару г, 〃 по формулам 行=72 sin г cos l, и = sin〃，приходим к уравнению, совпадающему с (5.15).
Форма автомодельного решения в переменных т, 〃 определяется, как это следует из уравнения (5.15), единственным параметром
Этот параметр может быть выражен через показатели автомодельного решения:
3* = sign (沟•(5.20)
Уравнение (5.15) упрощается, если J + J' = 0 】)，т. е. когда показатель s подобран в соответствии с формулой
Тогда получаем наиболее простую и симметричную форму этого уравнения:
= 土tg? ^ +tgTtg〃・(5.21)
Исследуем полученное уравнение. Сначала вместо переменных г, 〃 введем новые переменные: А = tgr, z/ = tg〃，а затем заменим неизвестную функцию по формуле
А = “咏 + Ь0).
Подберем выражения для а (у) и Ь(〃) так, чтобы вид уравнения стал максимально простым. Положив b =干z/一 1 и а = (1 + ^)2^-, уравнение заменой независимой переменной
1
U = 9
удается свести к виду
* =1 _ Т
Здесь изменение независимой переменной и ограничивается интервалом (0, 1].
Полученное уравнение классифицируется как уравнение Абеля первого рода 2) и сводится к уравнению Абеля второго рода, если известно хотя бы одно его частное решение.
Распределение главных напряжений в области автомодельного решения. Вычисляя метрику, соответствующую преобразованию координат (5.3), на основании (4.3) можно найти распределение главного нормального напряжения 03 в зоне автомодельного решения.
С помощью несложных расчетов компоненту рзз метрического тензора можно получить в форме
(6.1)(6.1)933 = F 2°+)“户 20+32+ &/2)0 + 减〃)2 + (裱“)2・
(6.1)
(6.1)
Определитель g в соответствии с формулами (4.4), а также представлениями (см. (5.8))
G](§1) = С]§1 6а+2)з+)(4+2) — 2,G^^) = Q§3 60+2Вз+В(4+2) — 2&.2)
вычисляется в виде
(6.3)(6.3)g C^gl 6a+2)cj+)(/z+2)-2§3 6/3+2Bcj+B(/z+2)-2
(6.3)
(6.3)
Преобразуем выражение (6.1). Для этого воспользуемся первым уравнением системы (5.10), разрешим его относительно р'. Дискриминант квадратного относительно pf уравнения есть
(6.4)(6.4)。=—一六п―— [И - Zb)” COS2 L - 4C7282y〜+2]. p COS L
(6.4)
(6.4)
Для дальнейших рассуждений удобно ввести обозначение
D* = (&8 - /З7)4/)6 cos2 〃 - 4Су262^~ш+2.
Тогда система уравнений (5.10) примет нормальную форму
/ _ ab + /3)+ s)b p 丄P =序—f ±/ _ ab + /3)+ s)b p 丄P =序—f ±л/ О*л/ О*27bgmb — /?7)р2 COS L27bgmb — /?7)р2 COS L/ = sign (q8 - fз〃—COS L/ = sign (q8 - fз〃—COS L(6・5)(6・5)
/ _ ab + /3)+ s)b p 丄
P =序—f ±
/ _ ab + /3)+ s)b p 丄
P =序—f ±
л/ О*
л/ О*
27bgmb — /?7)р2 COS L
27bgmb — /?7)р2 COS L
/ = sign (q8 - fз〃—
COS L
/ = sign (q8 - fз〃—
COS L
(6・5)
(6・5)
Отметим, что из определения автомодельной переменной £ следует, что ^1 = =§1/”з—в/)・ Устранив таким образом переменную 白 и учитывая систему уравнений (6.5), на основании которой можно исключить производные 〃，/, запишем соотношение (6.1) для 933 в форме
(m-/З7)2干包] p COS L(m-/З7)2干包] p COS L(6.6)(6.6)
(m-/З7)2干包] p COS L
(m-/З7)2干包] p COS L
(6.6)
(6.6)
(6・7)(6・7)(6.8)(6.8)
(6・7)
(6・7)
(6.8)
(6.8)
После этого, определив дзз, найдем выражение для 03. Из анализа первых двух уравнений системы (4.3) можно сделать вывод о том, что сумма(73/2/с + In д/рзз может зависеть только от координаты 户：
§ + 111^ = ж3).
Тогда последнее уравнение этой системы позволяет заключить, что ^3 (ж3)-In^)=0.
Воспользуемся далее соотношением для определителя метрического тензора (6.3), устраним в нем переменную р и, интегрируя (6.8), установим вид
Функции /(§3)：
/(户)=(3/3 +1 +5(2+ ^)/2) In К31 + const.(6.9)
Таким образом, удается определить главное напряжение 03 в области автомодельного решения:
а3 = 2/cln I户 зм^(и；+1+м/2)-1р-1/2| + co^t.(6.10)
Остальные главные напряжения определяются в соответствии с равенствами (5.2).
Отметим, что, согласно (6.10), главное напряжение 03 зависит от £, g ^ 0 р. Численно анализируя систему (6.5), можно получить зависимости 〃 = 〃(£), р = р^) и тем самым выразить главное напряжение 03 только через переменные £, gU Мы будем избегать прямого анализа системы (6.5) и в целях простоты ограничимся лишь минимальным набором параметров, определяющих форму автомодельного решения.
Прежде всего, удобно, используя (6.10), подобрать такую величину, которая зависела бы только от автомодельной переменной £:
03 - k(4/3 + 28G + 2&8厂1 + 8(2 + 从))In |^3| =
=—% In『2； 卜aS —+ const. (6.11)
Рассмотрим далее частный случай. В определении автомодельной переменной £ положим 7 = 1 и 5 = —1, т. е. £ = ^1/^3. Предположим также, что оставшиеся параметры, определяющие форму автомодельного решения осесимметричной задачи, связаны соотношениями: a = aq, /3 =仇.Тогда, учитывая способ введения параметров s п 〃，заключаем, что s = 0, а 〃 = —2. Для того чтобы при этом решение соответствовало автомодельному решению Шилда, необходимо также положить a = 2/3.
Необходимое для построения распределения главного напряжения 03 соотношение (6.6) представляется тогда в виде следующей зависимости:
禽3 =(6」2)
где для О* имеет место равенство
9a 52 j
D = —— р cos 〃 - 4С
4厂
Соотношение (6.11) с учетом сделанных выше предположений о значениях показателей перепишем в форме
сз = —"1п 冬(学后干黑)卜 const,(6.13)
а систему уравнений (6.5), ограничившись выбором положительных знаков, в виде
ар +
(6.14)(6.14)线за窮COS L
(6.14)
(6.14)
3同立З cos J
где штрихом обозначается дифференцирование по переменной £.
Для рассматриваемого частного случая значения параметров 厶 и %2 вычисляются как
(6.15)(6.15)77 — За2
(6.15)
(6.15)
Ясно, что Zi > 0, и уравнение (5.13) для переменных “，行 будет иметь следующий вид:
dv dudv du歹2歹2(6.16)(6.16)
dv du
dv du
歹2
歹2
(6.16)
(6.16)
Проинтегрируем это уравнение (выбрав положительный знак) численно, задавая при 〃 = 0.1 значения 行 на отрезке [—0.8,0.8] с шагом 0.1. Произведем затем обратные замены переменных. В результате получим функциональные зависимости р = 0(〃) вдоль каждой из 17 интегральных кривых уравнения (6.16) на плоскости и,行.Используя второе уравнение системы (6.14) и разделяя в нем переменные, находим зависимости £ = £(〃) (или 〃 = 〃(£)) вдоль упомянутых интегральных кривых. В итоге можно найти зависимость безразмерного главного нормального напряжения к~{а^ от полярного угла 〃 в меридиональной плоскости.
Зависимости к~{аз от полярного угла 〃 и автомодельной переменной £, соответствующие значению показателя а = 1, в области 行〉0 приводятся на рис. 1, 2. Если 行=0, то необходимо /)= 0 и, следовательно, производные pf и / неограниченно возрастают. Зависимости к~{а^ от 〃 и £, соответствующие значению показателя а = 1, в области v < 0 даны на рис. 3, 4.
Ясно, что и в общем случае (см. (6.11)), положив
4/3 + 2 位 + 2а8)т + 8(2 + 〃)= 0,
можно заключить, что наибольшее (наименьшее) главное нормальное напряжение в области автомодельного решения зависит только от автомодельной переменной £.
Таким образом, удается построить автомодельные решения осесимметричной задачи теории пластичности, обобщающие решение Шилда, которые при некоторых значениях параметров, определяющих форму автомодельных решений, так же как и решение Шилда, зависят только от полярного угла 〃 в меридианальной плоскости.
Группы симметрий дифференциальных уравнений осесимметричной задачи математической теории пластичности. Общий групповой анализ пространственных уравнений теории идеальной пластичности на ребре призмы Треска, представленных в декартовых координатах, дан в [22, с. 73-77]. Там же приводятся инвариантные и частично-инвариантные решения трехмерных уравнений. Методы группового анализа применительно к системам дифференциальных
Рис. 1. Зависимость безразмерного главного напряжения к-1^ от полярного угла 厶 в области автомодельного решения 万〉0 для показателя а = 1
уравнений в частных производных изложены в классических монографиях [23, 24] 1).
Будем использовать канонические изостатические координаты / [12]. Пары изостатических координат §! ^3 и ш, связаны посредством следующих соотношений:
J = ] Jgi(S)成1,产=I 也2(w3) dp(7.1)
При использовании канонических изостатических координат J,亦 вместо системы уравнений (5.5) имеем следующие уравнения:
Далее ограничимся выбором положительного знака в правой части системы (7.2). Левые части этих уравнений обозначим соответственно через Е〔 и Е?.
°з
Рис. 2. Зависимость безразмерного главного напряжения к-1^^ от автомодельной переменной § в области автомодельного решения 万〉0 для показателя а = 1
В целях более компактного представления для переменных ш1, введем новые обозначения и1, и2.
Поставим задачу об отыскании непрерывных групп преобразований, относительно которых система дифференциальных уравнений в частных производных (7.2) будет инвариантной.
Для решения поставленной задачи рассмотрим, следуя [23], непрерывную однопараметрическую группу (группу Ли)
方 1 =方1 (J, Iа /, h, e)= u1 + £才(1?, !а /,九)+ …，
方2 =方2q1,絞，/, h, £)=絞 + £三2”，и2, /, Д) + ...,
〜〜亿3)
7 = /(гД 儿 £)= / + еН1^1, и2, /,
h =九(1?, /, /,九,£)=九 + ай?”，/, /,九)+,
где £ — параметр группы преобразований.
Группа преобразований индуцирует касательное векторное поле, которое определяется компонентами ([23], с. 55)
S =(才”，гД f, Д),三2”，/, f, Д), Н1^1, и2, f, Д), Н2^1, и2, f,九)).(7.4)
°з°зРис. 3. Зависимость безразмерного главного напряжения к-1^ от полярного угла 厶 в области автомодельного решения 万 < 0 для показателя а = 1Рис. 3. Зависимость безразмерного главного напряжения к-1^ от полярного угла 厶 в области автомодельного решения 万 < 0 для показателя а = 1
°з
°з
Рис. 3. Зависимость безразмерного главного напряжения к-1^ от полярного угла 厶 в области автомодельного решения 万 < 0 для показателя а = 1
Рис. 3. Зависимость безразмерного главного напряжения к-1^ от полярного угла 厶 в области автомодельного решения 万 < 0 для показателя а = 1
Составим инфинитезимальный оператор группы (7.3):
(7.5)(7.5)
(7.5)
(7.5)
По инфинитезимальному оператору однопараметрическая группа преобразований (7.3) восстанавливается единственным образом (с точностью до замены параметра £). Для этого необходимо проинтегрировать задачу Коши для автономной системы уравнений
(7.6)(7.6)# =才(少,方2, % =扌(少，宁J，行)，
(7.6)
(7.6)
2 = Hl (少,方2),刀，g=H2 (少,方2/,而)，
где 丁 — канонический параметр группы, с начальными данными
h.h.
h.
h.
Рис. 4. Зависимость безразмерного главного напряжения к-1^ от автомодельной переменной § в области автомодельного решения 万 < 0 для показателя а = 1Рис. 4. Зависимость безразмерного главного напряжения к-1^ от автомодельной переменной § в области автомодельного решения 万 < 0 для показателя а = 1
Рис. 4. Зависимость безразмерного главного напряжения к-1^ от автомодельной переменной § в области автомодельного решения 万 < 0 для показателя а = 1
Рис. 4. Зависимость безразмерного главного напряжения к-1^ от автомодельной переменной § в области автомодельного решения 万 < 0 для показателя а = 1
Рассмотрим далее один раз продолженную группу и ее касательное векторное поле S. Инфинитезимальный оператор продолженной группы имеет вид
「噥+寸言+呜+ H号+
(7・7)(7・7)++ hJ '+н； *、+ K /,
(7・7)
(7・7)
。（*）。 （幫。（券）。（景）
где выражается согласно формулам первого продолжения ([23], с. 58)
"a/ aj a/s a" (a/ 分步 a/「丿"a/ aj a/s a" (a/ 分步 a/「丿(В =1,2)(В =1,2)(7.8)(7.8)
"a/ aj a/s a" (a/ 分步 a/「丿
"a/ aj a/s a" (a/ 分步 a/「丿
(В =1,2)
(В =1,2)
(7.8)
(7.8)
и для сокращения записи принято, что /1 = / и /2 = ^^
Если замена переменных в соответствии с формулами (7.3) преобразует систему дифференциальных уравнений (7.2) в систему в точности того же самого вида
а/ а/ ! аК аК
то группу преобразований (7.3) называют группой инвариантности системы дифференциальных уравнений (7.2). Говорят также, что система дифференциальных уравнений (7.2) допускает группу (7.3).
Инфинитезимальный оператор один раз продолженной группы, относительно которой уравнения (7.2) инвариантны, обладает тем свойством, что если его применить к указанным дифференциальным уравнениям и поставить условия, что уравнения выполняются, то должны получаться тождественно нулевые выражения. Этим свойством пользуются для нахождения инфинитезимального оператора и группы инвариантности системы дифференциальных уравнений в частных производных.
Условие инвариантности первого уравнения системы (7.2) (, •Э)Е1 = 0 с учетом формул (7.8) для величин Н；・ и нормальной по переменной и2 формы Коши системы (7.2)
刃dhdh刃 dvdv2Y(汩+(券)Tdv2(詢］расщепляется наряд уравнений 9:as1dv2=0江=0江+ан】=о,ан1丄 ж +兆2Жdv1/ = о,ан1 ан2 _ nas1~dh —ан1F = 0.刃dhdh刃 dvdv2Y(汩+(券)Tdv2(詢］расщепляется наряд уравнений 9:as1dv2=0江=0江+ан】=о,ан1丄 ж +兆2Жdv1/ = о,ан1 ан2 _ nas1~dh —ан1F = 0.(7.1。)(7.1。)
刃
dh
dh
刃 dv
dv2
Y(汩+(券)T
dv2
(詢］
расщепляется на
ряд уравнений 9:
as1
dv2
=0江=0江+
ан】
=о,
ан1丄 ж +
兆2
Ж
dv1
/ = о,
ан1 ан2 _ n
as1
~dh —
ан1
F = 0.
刃
dh
dh
刃 dv
dv2
Y(汩+(券)T
dv2
(詢］
расщепляется на
ряд уравнений 9:
as1
dv2
=0江=0江+
ан】
=о,
ан1丄 ж +
兆2
Ж
dv1
/ = о,
ан1 ан2 _ n
as1
~dh —
ан1
F = 0.
(7.1。)
(7.1。)
Подобные процедуры проведем и для второго уравнения Е? системы (7.2). Получим условия инвариантности уравнения Е? в следующем виде:
兆22 f с 把2 £ I АН2 f 兆 1 £ I 口 1 把2
兆1 I汕£ 八把2ан1 £ e ah ан2 £ e
Определяющие уравненияОпределяющие уравнения(7.10) и (7.11) легко анализируются и приводят
Определяющие уравнения
Определяющие уравнения
к следующим выражениямк следующим выражениямдля компонент касательного векторного поля q:
к следующим выражениям
к следующим выражениям
(7.12)(7.12)н1 = g + ga н2 = ^±^д + с5,才=ad + a,扌=q/ + a,
(7.12)
(7.12)
где Ci,。2, °5, °б, С? — произвольные постоянные.
Полагая
6 =卄^, G =(7.13)
получим, что инфинитезимальный оператор группы инвариантности системы дифференциальных уравнений (7.2) может иметь только следующую форму:
+ &卜言)+°6言+ e7為+ e5言•亿14)
Решение системы дифференциальных уравнений (7.2)
/ =① ”,/), h = H(u1, и2) инвариантно относительно группы преобразований (7.3), если ①(少，方2)=①(1Д产)，h(少，方2) = h(1а产)， т. е. разности
①”,/),九—Н”,/) являются инвариантами.
Инфинитезимальный оператор группы инвариантности системы обладает свойством, что если его применить к инварианту системы дифференциальных уравнений (7.2) /(и1, и2, f, Д), то получим равное нулю выражение:
(厂 9)/ = 0.
Учитывая (7.14), это условие инвариантности можно представить в форме уравнения в частных производных первого порядка:
(3© + 玛川 + Сб) ~ +(3© —玛)絞 + а) * + 22喘 +
+ (2C[h + C5^=0. (7.15)
Для его решения рассмотрим характеристическую систему. Ее три независимых первых интеграла без труда находятся. Инвариантные решения системы дифференциальных уравнений (7.2) могут получаться только как зависимости между первыми интегралами.
Если считать, что С^ = С^ = Су = 0, что исключает тривиальные преобразования трансляции вдоль вертикальной оси симметрии и трансляции канонических изостатических координат, то инвариантные решения системы дифференциальных уравнений (7.2) приобретают следующую форму (ci = 3(С| + С'), С2 = 3(С| - С'))：
=Ф=Ф(7.16)(7.16)
=Ф
=Ф
(7.16)
(7.16)
Функции Ф и Ф должны удовлетворять системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получается при подстановке (7.16) в (7.2).
Вводя обозначения
3(。: +0,)-в 3(а -- ■
инвариантные решения окончательно представим в форме
/ =(Q-%l)(l+a/0)/6(/T %2)(1+0/。)/6 ①(3-%1尸(/3-%2)-0)，
…(7•⑺
h = ^^ (a-%1)(1+。/0)/6('%2)(1+0/。)/63(3-1"尸(/3-%2)-0).
Вводя автомодельную переменную и = (&一1田『^P~xv^, относительно ①(и) и Ф(и) получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
(-■ф'З)① з)+ w(u)①‘3))① з)= и 2。万—，
， I (^)2 及3))2 -(①'(。)。)2 + I (可-(黑)= 0.亿⑻
Здесь штрихом обозначается дифференцирование по автомодельной переменной V.
Такого вида решения и соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений были получены и проанализированы выше.
Список литературы
Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости 〃 Сб. ст.: Теория пластичности. М.: Гос. изд-во иностр, лит-ры, 1948. С. 20-23.
Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. 407 с.
Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.
Соколовский В. В. Теория пластичности. М.: Высш, шк., 1969. 698 с.
Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 с.
Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах 〃 Сб. ст.: Теория пластичности. М.: Гос. изд-во иностр, лит-ры, 1948. С. 41-56.
Генки Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах 〃 Сб. ст.: Теория пластичности. М.: Гос. изд-во иностр, лит-ры, 1948. С. 80-101.
Ишлинский А. Ю. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля 〃 Прикл. матем. и механика. 1944. Т. 8, вып. 3. С. 201-224.
Ишлинский А.Ю. Об уравнениях деформирования тел за пределом упругости 〃 Уч. зап. МГУ. Механика. 1946. Вып. 117. С. 90-108.
Ивлев Д. Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и статики сыпучих сред 〃 Прикл. матем. и механика. 1958. Т. 22, вып. 1. С. 90-96.
Ивлев Д. Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при условии пластичности Треска, и его обобщениях 〃 ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 3. С. 546-549.
Радаев Ю.Н. О канонических преобразованиях Пуанкаре и инвариантах уравнений пластического равновесия 〃 Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1990. № 1. С. 86-94.
Радаев Ю.Н., Бахарева Ю.Н. К теории осесимметричной задачи математической теории пластичности 〃 Вестник Самарского гос. ун-та. Естественнонаучная серия. 2003. №4 (30). С. 125-139.
Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964. 308 с.
Аминов Ю.А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990. 208 с.
Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: Го- стехтеоретиздат, 1947. 356 с.
Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1959. 468 с.
Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматгиз, 1963. 412 с.
Сокольников И. С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред. М.: Наука, 1971. 374 с.
Радаев Ю. Н. Предельное состояние шейки произвольного очертания в жесткопластическом теле 〃 Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1988. № 6. С. 69-75.
Шилд Р. Т. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии 〃 Сб. переводов «Механика». 1957. № 1. С. 102-122. [Рус. пер.: Shield R.T. On the plastic flow of metals under conditions of axial symmetry 〃 Proc. Roy. Soc. Lond. 1955. V. 233A, №1193. P. 267-287.]
Аннин Б.Д., Бытев В. О., Сенашов С. И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск: Наука, Сибирск. отд., 1985. 143 с.
Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
Олвер Л. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М: Мир, 1989. 639 с.
НЕАРХИМЕДОВО ПРОСТРАНСТВО КАК ОСНОВАМАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ГЕОМЕХАНИКИ
А.⑦.Ревуженко
Институт горного дела СО РАН
Строятся неархимедова числовая прямая и арифметическое пространство, содержащее неограниченное число масштабных уровней. Вводятся основные понятия неархимедова математического анализа. Как инструмент исследования, последний обладает большей разрешающей способностью, чем классический анализ. Обсуждаются возможные приложения в теории пластичности, геомеханике и других областях.
Введение. В геомеханике используется концепция арифметического архимедова пространства. Это означает, что точка пространства представляет собой совокупность трех вещественных чисел. В свою очередь вещественные числа и вещественная прямая удовлетворяют аксиоме Архимеда. Согласно данной аксиоме, если выбрать любой фиксированный шаг, то, двигаясь с этим шагом вдоль вещественной прямой, мы рано или поздно достигнем любой точки на данной прямой. Примем данный шаг за масштаб длины. Тогда в указанном смысле вещественную прямую можно назвать одномасштабной.
Далее, сама точка арифметического пространства представляется как элементарный, неделимый объект, т. е. как объект, который «не имеет никаких частей». Так ли это на самом деле? Общий ответ на подобные вопросы хорошо известен. Все зависит от разрешающей способности инструментов исследования. При взгляде с одной разрешающей способностью объект может выглядеть как элементарный, неделимый. При взгляде же с большим разрешением может обнаружиться сложная структура. Ситуация будет такой же и для точки арифметического пространства. Если мы рассматриваем точку с разрешением, которое дает классический анализ, то она представляется как элементарный неделимый объект. Если же степень разрешения увеличить, то мы увидим, что точка превращается в весьма сложное образование. Пространство в целом, если его рассматривать с новым разрешением, становится уже неархимедовым и многомасштабным.
Концепция точки арифметического пространства определяет и основные понятия математического анализа. Так, концепция вещественного числа определяет основные понятия классического анализа. Переход к неархимедовой числовой системе приводит к неархимедову математическому анализу. Как инструмент исследования последний будет иметь большую разрешающую способность, чем классический анализ.
Здесь возникает вопрос, связанный с тем, что классический анализ демонстрирует свою высокую эффективность при решении самых разных задач. Есть ли вообще необходимость в построении математического аппарата с «большим разрешением», чем то, которое дает классический аппарат? Без преувеличения можно сказать, что такая необходимость не только есть, но — более того — она была всегда. Еще со времен Евклида известна система упорядоченных величин, для измерения которых «точности» вещественных чисел оказывается недостаточно.
Это роговидные углы. Они образуют неархимедово упорядоченную систему, и для их измерения необходимо введение актуальных бесконечно малых величин [1].
Интересно отметить, что задачи геомеханики также приводят к необходимости использования неархимедова пространства и актуальных бесконечно малых величин. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Массив горных пород обладает блочной структурой, которая образует иерархию. Наличие структурных уровней характерно и для пластических твердых тел. Такое понимание достигнуто в результате работы ряда научных школ. Здесь большой вклад внесен трудами академика РАН Е. И. Шемякина и его научной школы [2-4]. В настоящее время наличие иерархии масштабных уровней становится общепризнанным фактом и должно учитываться при разработке любых математических моделей среды. В этом направлении можно выделить ряд подходов, связанных со специальными процедурами осреднения, введением различных внутренних переменных и т. д. Последовательное развитие моделей с внутренними переменными [5, 6] показывает, что иерархией масштабных уровней необходимо наделять саму независимую переменную. Последнее означает, что иерархией масштабных уровней наделяется и пространство, в котором разыгрываются те или иные процессы деформирования. К необходимости подобного шага приводит также анализ ряда проблем теории оптимального управления, обработки металлов давлением и т. д. [7-9].
Подводя итог, можно сказать, что потребность в создании теории актуальных бесконечно малых возникла очень давно, еще во времена Евклида. Позже она в том или ином виде появлялась в самых различных областях математики, механики и физики. Много поколений математиков различных эпох работало над ее разрешением. Достаточно сказать, что период созревания и становления теории актуально бесконечно малых связан с такими именами, как Веронезе, Гильберт, Кавальери, Лейбниц, Пуассон, Флоренский, и многими другими.
Обзор работ данного периода представляет самостоятельную и очень непростую задачу. Здесь мы ограничимся только ссылками на краткие исторические очерки и оригинальные работы [1, 10, 11]. Кроме этого, приведем одну цитату из книги Флоренского [12], которая в определенной мере характеризует весь указанный период становления теории: «... ни одна из линий не имеет высоты, или, иначе говоря, высота всякой линии равна нулю; но высоты линий, если брать их до перехода к пределу, стремятся к нулю с различной интенсивностью, с различной быстротою». Ниже со ссылкой на Буссинеска и Лейбница интенсивность стремления к нулю Флоренский называет напряжением. И далее он пишет: «Вот таким-то напряжением и представляем мы себе высоту поверхности, точек и линий. И представление это необходимо, — несистематически же давно существует в науке: разве не так именно мыслятся в физике элементарные магниты, двойной магнитный и электрический слой и т. д. Полное отрицание за ними протяжения просто уничтожило бы их магнитное или электрическое действие, придание же их протяжению конечных размеров нарушило бы элементарный характер этих образований. (Полагаю, что как применительно к этим физическим образованиям, так и в отношении разъясненных образов геометрических, следовало бы воспользоваться понятием актуально бесконечно малых...)».
Современная теория актуально бесконечно малых получила название нестандартного анализа (иногда ее называют также инфинитезимальным анализом [13]). Согласно [14] «... открытие нестандартного анализа состоит в том, что геометрическая прямая, или континуум, может нести в себе множество точек, более богатое, чем множество обычных действительных чисел. Это, кроме всего прочего, дает нам подходящие рамки для геометрического анализа физических явлений со многими масштабами». Методы нестандартного анализа (в их современном
виде) являются сравнительно новыми и уже находят применение для исследования различных задач. Результаты по общей теории нестандартных методов, ее приложениям и дальнейшие ссылки можно найти в [13-18].
В настоящей статье рассматривается одна из возможных числовых систем, содержащая в себе актуальные бесконечно малые величины. Показано, что на ее основе можно развить концепцию неархимедова пространства и математический аппарат, который может быть использован в геомеханике и теории пластичности.
Перейдем к построению неархимедовой числовой системы.
Область существенных чисел. Понятие предела. Примем, что натуральные числа
1, 2, 3, 4, 5,... п,...(1.1)
и арифметические операции над ними заданы изначально. Следовательно, изначально заданы и рациональные числа. Будем говорить, что натуральный ряд (1.1) имеет порядковый тип 1, или, более кратко, — тип 1.
Пусть у = /(х) — некоторый закон, который ставит в соответствие числам из ряда (1.1) определенные рациональные числа. Данный закон будем рассматривать как самостоятельный математический объект /. В неархимедовом анализе указанные объекты будут играть роль чисел. Рациональные числа г отождествим с законами вида /(ж) = г = const. Везде для нас будет важно поведение функций только при достаточно больших значениях х. Точнее, будем считать, что два объекта / и р представляют собой одно и то же число А, если существует натуральное N такое, что /(ж)=夕(力)при любых х > N. Последнее обстоятельство подчеркнем введением обозначения
А = Lim/(n) = Limp(n).(1.2)
Таким образом, объект А — это та же самая функция f, но при условии, что поведение /(х) при х《N значения не имеет. Объекты А будем называть числами или кофинитными числами, А по отношению к последовательности {/(八)} будем называть кофинитным пределом последовательности, а /(п) по отношению к А — приближением А.
Операцию взятия модуля, арифметические и другие операции с кофинитными числами введем через их приближения. Например, если В = Lim g(八)，то положим
I 4 = Lim I 貝八)I， = Lim 偿，贝八)# 0.nn g\n)
Через приближения введем и частичный порядок. Считаем, что А ^ В, если начиная с некоторого номера N /(п) < р(п).
Натуральные числа (1.1) заданы изначально. Причем они заданы в своем естественном порядке. На этом основании примем, что изначально задан и кофинитный предел последовательности (1.1). Обозначим его через s s будем считать эталонным числом. На этом же основании примем, что число 1/s =石 также является эталоном. В более привычных терминах об этом можно сказать так: для двух законов /(х) = х и g(力)=-введем фиксированные обозначения f = з h g = Е. Таким образом, по определению имеем: Limn = Это факт дает основание для уточнения записи (1.2), именно: предел в смысле Lim означает, что
п «стремится к а», т. е. вместо (1.2) можно теперь записывать
А = Lim /(八).
Во многих случаях такое понимание природы предела (1.2) облегчает и его вычисление, например,
Lim- Е2.
Далее, ясно, что для любого натурального N имеем
N < 石 V ?
Таким образом, в нашей числовой области появились актуальные бесконечно большие и бесконечно малые числа.
Продолжим теперь натуральный ряд (1.1) в область актуальных бесконечно больших чисел. Чем мы должны при этом руководствоваться? Идея построения чисел (1.1) связана с пересчетом отдельных предметов. Ясно, что для продолжения ряда этой идеи недостаточно. Будем исходить из следующей посылки. Натуральный ряд (1.1) обладает свойствами, которые позволяют на его основе построить вещественные числа и затем развить классический анализ. Именно данные свойства и перенесем на продолженный ряд
1, 2, 3,..., Ti,,(1.3)
имея в виду, что он должен послужить основой неархимедова математического анализа.
Примем, что
1° все члены ряда (1.3) положительны, сравнимы между собой и между ними есть линейный порядок;
2° число s принадлежит ряду (1.3);
3° если ряду (1.3) принадлежат числа 从 и v, то данному ряду принадлежат и числа 从 + и,从• и.
4° ряд (1.3) должен быть таким, чтобы в нем всегда нашлось число, превосходящее любое фиксированное число из области (1.2);
5° если ряду (1.3) принадлежат три числа 从，и п Г, то ему должны принадлежать еще два числа а, 丁 такие, что
Отметим, что перечисленные условия еще оставляют произвол в конструкции ряда (1.3). Однако для построения математического анализа данный произвол значения не имеет. Остановимся на следующей структуре ряда:
2, 3, . . . , 72, Ш+ 1, . . . , 2c<J, . . . ,. . . , Cj2 +.
…“，产+…1,…，产，…，"… (1.4)
Будем говорить, что данный ряд имеет порядковый тип 2, или — сокращенно — тип 2. Конечные натуральные числа (1.1) будем считать принадлежащими первому отрезку ряда (1.4).
Рассмотрим закон, который ставит в соответствие любому числу и из ряда (1.4) вполне определенное число Av = 4(и) из области (1.2). Такой закон задает последовательность порядкового типа 2:
4⑴，厶⑵，…，A(n),..., 4(5,…，4(u),…(1.5)
Закон 4(и) имеет более сложную природу, чем закон, фигурирующий в определении кофинитных чисел (1.2). В случае (1.2) закон сводился к заданию рациональной функции от натурального аргумента. В случае же (1.5) имеем
и = Lim u(n), 4Q) = Lim。。(加)；
av(m) = а [и(1), v(2),..., v(n),...; m],(1.6)
где а принимает рациональные значения. Таким образом, закон (1.5) можно рассматривать либо как функцию (1.6) от неограниченного числа натуральных аргументов, либо как оператор, который переводит функцию и(八)в другую функцию av(m).
Исключительно важным для нас будет случай, когда функция (1.6) предельно упрощается, именно когда
а [и(1), и(2),...; т] = а [и(т)].(1.7)
Если u(m) = 1, то 4(1) = а(1). Аналогично 4(2) = а(2) и т. д. Таким образом, в рассматриваемом случае первый отрезок ряда (1.5) представляет собой рациональные числа. Далее, согласно (1.6), (1.7),
4(5 = Lim a(m), 4G + 1) = Lima(m + 1);
(1.8)
2) = Lima(m2),..., 4(u) = Lima [u(m)].
Введем определение. Будем говорить, что последовательность Ai, А2,...
Ат,... непрерывно продолжена в точку и, или на номер и = Lim и(п), если
A [bim u(n)j = Lim A(u(n)).(1.9)
Таким образом, случай (1.7) означает, что члены последовательности (1.5), с бесконечными номерами получены непрерывным продолжением первого отрезка той же последовательности.
Вернемся теперь к общему случаю. Последовательность типа 2 будем называть фундаментальной, если для любого числа Г, принадлежащего натуральному ряду типа 2, найдется другое число Л из того же ряда такое, что для любых и, 〃〉А будет иметь место неравенство
1Л-Л1 < /•(1-10)
Пусть {Av} и {4J} — две последовательности типа 2. Последовательности будем называть эквивалентными, если для любого числа Г, принадлежащего натуральному ряду типа 2, найдется число Л из того же ряда такое, что для любого и > Л
儿-&Y$.(1.11)
Классы эквивалентности фундаментальных последовательностей типа 2 будем называть существенными числами.
Класс эквивалентности о, содержащий последовательность {Av}, будем обозначать как
о = limits”(1.12)
V
Существенное число а будем называть пределом последовательности {4。}, а члены последовательности будем называть приближениями числа о. Операцию взятия модуля, арифметические и другие операции над существенными числами введем через операции с их приближениями.
Пусть о㊄=limit 4"㊄—последовательность существенных чисел порядкового типа 2. Введем для нее определение фундаментальности, аналогичное определению (1.10). Легко доказать, что в этом случае диагональная последовательность {Avv} также будет фундаментальной. Существенное число, равное пределу данной последовательности, будем считать и пределом последовательности существенных чисел {о儿}. Таким образом, примем по определению, что
limit limit AVK = limit Avv.(1.13)
Таковы главные определения. Если в данных определениях натуральный ряд порядкового типа 2 заменить на натуральный ряд типа 1, то получится классическая концепция вещественного числа по Кантору.
Определение предела в смысле limit также (с точностью до эквивалентной формулировки) перейдет в определение предела Нт, которое вводится в классическом анализе. Таким образом, построенную выше область существенных чисел и определение предела в этой области можно рассматривать как естественное и непосредственное обобщение концепции вещественного числа и понятия предела классического анализа.
Как соотносятся между собой области существенных и вещественных чисел? Легко показать, что существенная область содержит подобласть, изоморфную области вещественных чисел. Пусть а = lim — некоторое вещественное число. Здесь {гп} — фундаментальная последовательность порядкового типа 1, гп — рациональные числа. Продолжим последовательность {гп} по непрерывности (1.8), (1.9) до последовательности {rv} порядкового типа 2. Легко показать, то данная последовательность также будет фундаментальной. Обозначим ее предел через
а* = limit rv.
Индекс «звездочка» можно рассматривать как оператор перехода от вещественного числа а к существенному числу а*. Если /3 — другое вещественное число, то (а + /3)* = а*+/3*, (а/З)* = а*/3* и т. д. Таким образом, в области существенных чисел есть подобласть, изоморфная области вещественных чисел. О числах данной подобласти будем говорить как о числах вещественного масштабного уровня в области существенных чисел. Будем говорить также, что существенное число а* = limit гу является ядром вещественного числа а = lim гп.
Для вещественных чисел, а значит, и для чисел вещественного масштабного уровня, известно утверждение, которое удобно сформулировать в форме аксиомы.
Первая аксиома разрешения. Если относительно двух вещественных чисел а и (3 известно, что
\а-/3\< 1/N(1.14)
для любого N 〃з натурального ряда порядкового типа /, то числа а и Р между собой совпадают', а = /3. Иными словами, е условиях (7.74) данные числа различить между собой невозможно.
В области существенных чисел степень разрешения гораздо выше: именно, здесь имеет место
Вторая аксиома разрешения. Два существенные числа а и т между собой совпадают, если
,,1
для любого Г из натурального ряда порядкового типа 2.
Строго говоря, данное утверждение является теоремой, так как следует из определения существенного числа. Формулировка же в виде аксиомы удобна для сравнения с Первой аксиомой, которая в свою очередь эквивалентна аксиоме Архимеда.
Понятие бесконечности в области существенных чисел. Последовательность (1.5) порядкового типа 2 назовем положительной неограниченной, если любой ее член положителен и для любого наперед заданного числа Г из натурального ряда типа 2 найдется другое число Л из того же ряда, что для любых ^ > Л будут иметь место следующие условия:
4。)> Г.
Любые две неограниченные положительные последовательности будем считать эквивалентными между собой. Данный класс эквивалентности обозначим через ^2 или +^2・ ①акт принадлежности последовательности {А“} к классу Q2 будем обозначать таким образом:
limit A(z/) = ^2・
Очевидно, что сам натуральный ряд (1.4) в класс Q2 входит. Значит, limits = =^2・ Последнее дает основание для того, чтобы обозначение (1.12) уточнить следующим образом:
а = liimt Ау.
В частности, имеем
limit - = 0.
Аналогично определяется и класс эквивалентности (—^2)・ Указанные классы будем называть «„плюс" и „минус" бесконечностями в области существенных чисел», или бесконечно удаленными точками в данной числовой области.
В указанной области есть еще точки, которые также следует отнести к бесконечно удаленным. Иногда бывает удобно объединить все подобные точки в один объект. Формальное описание данного объекта труда не представляет. Возьмем класс последовательностей А” таких, что
А” # 0 и limrt А” = 0.
Последовательности, обратные к указанным, объединим в один класс С；. Ясно, что С； и представляет собой объект, который можно назвать «бесконечностью» в
области существенных чисел. Вопрос о смысле индекса «2» в данных обозначениях рассмотрим ниже.
Иерархия видов числовых систем. Система рациональных чисел задана изначально. Данную систему в иерархию числовых систем включать не будем, так как она неполна и служит исходным материалом для построения всех остальных систем.
На первое место в рассматриваемой иерархии поставим систему вещественных чисел, на второе — рассмотренную выше систему существенных чисел. Для этого есть все основания. Система вещественных чисел построена на основе натурального ряда типа 1. Система существенных чисел построена на основе натурального ряда типа 2. Сам натуральный ряд типа 2 строится как продолжение ряда типа 1 с помощью операции Ыт.
Точно так же мы можем продолжить натуральный ряд типа 2 до ряда порядкового типа 3 и прийти к числовой системе типа 3. Если в системе номер 2 роль чисел играли функции от одного аргумента (1.2), то в системе 3 аналогичную роль будут играть операторы, или функции от бесконечного числа аргументов (1.6). Проще говоря, две последовательности {А“} и {А：} будем считать эквивалентными, если найдется некоторый номер Л из ряда (1.4) такой, что А” = А； при любом г/〉А. Класс эквивалентности, в который входит последовательность {А^}, обозначим как Limit А”. Для случая А^ = введем специальное обозначение
Limit у = J3)
В системе 3 число，(з)будет играть ту же роль, что и число s в системе 2, т. е. в рассмотренной выше системе существенных чисел.
Аналогично вводятся числовые системы с номерами 4, 5, 6 и т. д. Далее можно перейти к числовым системам с бесконечно большими номерами.
В построенной выше иерархии только числовая система 1 является архимедовой. В ее рамках действует Первая аксиома разрешения. Остальные числовые системы будут уже неархимедовыми. В них действуют Вторая и последующие аксиомы разрешения.
Здесь необходимо отметить, что уже числовая система 2 является весьма сложной. Она охватывает потребности всех приложений, которые видны в настоящее время. Поэтому ниже ограничимся только системой вида 2. Индекс «2» в обозначениях ±^2, ◎； связан с номером системы. Ниже его будем опускать.
Техника вычислений в области существенных чисел. Вещественные числа определяются своими рациональными приближениями. Однако вычисления через приближения весьма громоздки и — главное — не обладают достаточной наглядностью. Поэтому в классическом анализе выработан целый арсенал средств, который позволяет вести вычисления, не обращаясь к исходному определению вещественных чисел. Например, без обращения к приближениям мы можем установить, что
——=д/5 + 1; 2 sin ： cos ： = 1 ； e?714 = 1.
- 1 4 4 7
Средства классического анализа (с необходимыми изменениями формулировок) можно перенести и в область существенных чисел. Однако в этой области появляется необходимость и в выработке специальных средств, которых в классическом анализе нет. Они необходимы для работы с актуальными бесконечно малыми и бесконечно большими числами.
Начнем с вычисления положительного корня уравнения
X2 - ^ = О, X〉0.
Так как s = Limn, то естественным кандидатом на роль корня было бы число Lim Jn. Проблема, однако, состоит в том, что в нашем арсенале таких чисел пока нет. В исходном определении (1.2) под знаком Lim фигурируют только рациональные числа. Формальное расширение определения (1.2) трудностей не представляет. Пусть {as} — последовательность существенных чисел порядкового типа 1. Под символом Lim as будем понимать совокупность последовательностей, отличающихся от {as} конечным числом членов. Все операции введем по аналогии с (1.2). Отсюда сразу следует, что квадрат числа Limл/n равен Однако пока этот результат мало что дает. Нужно выяснить главный вопрос: принадлежит ли объект Lim Jn к области существенных чисел или нет? Иными словами, является ли область существенных чисел замкнутой по отношению к операции извлечения корня из положительного числа или нет?
Построим существенное число, квадрат которого равен s. Начнем с общего случая. Пусть Rsv — приближения числа as, т. е.
Os = limit Rs(4.1)
В свою очередь
Rsv = Lim/S [и(1),и(2),т],(4.2)
т
где fs — рациональные функции, зависящие от бесконечного набора натуральных аргументов. При этом значения аргументов первой группы задаются функцией и(к) такой, что Limu(k) принадлежит натуральному ряду типа 2; m и s — к
натуральные числа из ряда (1.1). При любом фиксированном s последовательность (4.2) является фундаментальной, так как ей соответствует вполне конкретное определенное число (4.1). Ограничимся случаем, когда фундаментальной будет и диагональная последовательность Lim/S [и(1), и(2),...;.
Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы придать смысл выражению
Lim as = Lim limit Lim % 血1), и⑵，…； m]. ss v m
Примем по определению, что
Lim limit Lim/S [и⑴，и⑵，u(k)…； m] = limit Lim /s [u⑴，и⑵，u(k)…；s]. S V mUS
(4.3)
Если для последовательности кофинитных чисел As = Lim rsm принять диагональное определение повторного кофинитного предела
Lim 4s = Lim Lim rsm = Lim rss,(4.4)
ss ms
то равенство (4.3) равносильно утверждению о перестановочности операторов Lim и limit.
Рассмотрим частный случай, когда числа as принадлежат к вещественному масштабному уровню. В этом случае функционал fs превращается в функцию
Л Ml), и⑵，…；т]=右,
и вместо (4.3) получаем
Lim limit Lim fs = limit Lim fs .(4.5)
s v m
Посмотрим, что отсюда следует для объекта д/cJ. Положим as = д/s и воспользуемся десятичными приближениями для квадратных корней. Тогда, согласно (4.5), объект д/cJ представляет собой существенное число. Опишем его приближения. На первом месте (номер этого приближения равен функции-константе u(k) = 1) стоит кофинитное число
L；m*l) = L；m[l,0; 1,4; 1,7; 2,0;
Здесь выписана последовательность чисел, д/Т", д/^, д/З, %/?, •…，вычисленных с точностью до одного знака после запятой.
На втором месте (с номером и(к) = 2) стоит та же последовательность, но с двумя десятичными знаками после запятой:
L；m*2) =L；m[l,00; 1,41; 1,73; 2,00;
Месту с номером к соответствует функция u(s) = к = const. На этом месте стоит кофинитное число
Lmifs(k) = Lnn 1,0... 0; J.41J4.〕, 1,7320 L ккк J
Здесь каждый из корней %/Т", д/^, д/З, • • • вычислен с /с-десятичными знаками после запятой.
Пойдем дальше. Возьмем теперь приближение с бесконечно большим номером а. Данный номер описывается функцией u(s) = s. Согласно (4.5), приближение д/cJ имеет вид
Lim/S(s) = Lim[l,0; 1,41; 1,73; 2; 2,0000;
Здесь на первом месте стоит приближение д/Т" с одним десятичным знаком после запятой; на втором месте — д/^ с двумя десятичными знаками, на третьем — д/З с тремя десятичными знаками и т. д., на n-м месте стоит д/й с 八 десятичными знаками после запятой. Далее в последовательности (4.5) идет приближение номер s + 1. Ему соответствует функция u(s) = s + 1, затем идет номер s + 2 п т. д.
Приведем пример приближения номер ш2. Здесь u(s) = s2 и
Lim%©) =Lim(l,0; 1,4142;
Под знаком Lim на первом месте стоит д/Т" с одним десятичным знаком после запятой, на втором месте — д/^ с четырьмя знаками, на третьем месте — д/З с девятью знаками после запятой, ..., на n-м месте стоит д/п с точностью до п2 десятичных знаков после запятой.
Аналогично строятся и приближения с большими номерами. Из самого построения видно, что квадрат построенного объекта равен существенному числу т. е. равен limit Limn. Таким образом, задача решена, и число л/cJ действительно
V п
принадлежит к области существенных чисел.
Итак, для числа д/cJ у нас есть два представления. Первое — через оператор limit и последовательность приближений порядкового типа 2 и второе представление —через оператор Lim и последовательность порядкового типа 1:
(4.6)(4.6)v<J = Lim [л/Т, a/5, V3,•••]
(4.6)
(4.6)
С вычислительной точки зрения второе представление является более удобным, чем первое. Например, из (4.6) сразу следует, что
+ 1
Представление (4.3) открывает путь для введения в неархимедовый анализ целого класса чисел, с которыми можно проводить выкладки без обращения к громоздким приближениям. Например, числа вида
山 + С ; Ee, 2石，
В заключение данного раздела рассмотрим еще одно применение формулы (4.3). Именно, число Lima(n) можно рассматривать как непрерывное продолжение последовательности {。(八)} на номер s = Limn:
Lim сг(п) = a(Limn).
С помощью формулы (4.3) можно построить продолжения и на большие номера:
+ 1) = Limo(八 + 1), о(&2) = Lima(n2)(4.7)
и т. д. Таким образом последовательности существенных чисел типа 1 можно по непрерывности продолжать до последовательностей порядкового типа 2:
о⑴，о(2),..., о(5, oQ + 1),о(и),...(4.8)
Ряды в области существенных чисел. В области вещественных чисел большую роль играет позиционная система записи чисел. Использование такой системы предполагает построение теории рядов. Аналогичные построения должны быть сделаны и в области существенных чисел.
Теория рядов сводится к теории пределов, изложенной на языке бесконечных сумм. В неархимедовом анализе мы ввели два типа предельных переходов — переход последовательностей типа 1 к пределу в смысле Lim и переход последовательностей типа 2 — к пределу в смысле limit. В соответствии с этим рассмотрим и два типа рядов.
Пусть
S(l)=ai； S(2) =a1 +02；…； S(tz) =a1 +a2 + …+a九；
Кофинитный предел последовательности удобно рассматривать как непрерывное продолжение последовательности {S^} на бесконечный номер
S(g) = LimS(八)=Lim(ai + 做 + …+。冷)・
Далее,
S(s — 1) = LimS(八—1) = Lim(ai + 出 + …+。冷一1),
SQ) — SQ — 1) = Lima
Обозначим через a^ непрерывное продолжение последовательности {an} на номер ” &j = Lima冷.Тогда
S(5 = SQ — 1) + 色.
Это дает основание для следующей записи:
Lim(ai + a? + • • • +。冷)=〉、。冷=сц + a? + • • • +•(5.1)
Таким образом, кофинитный предел можно трактовать как сумму ряда, имеющего конкретное число слагаемых, именно число слагаемых, равное эталонному бесконечно большому числу
Перейдем теперь к рядам, которые соответствуют предельному переходу в смысле limit. Пусть последовательность (4.8), имеющая тип 2, получена непрерывным продолжением своего первого отрезка. В этом случае можно записать
0м=a1 +a2 +…+a3 + …+ a0， где
аш = a(5 = Lima(n); av = a(u) = Lima(u(n)).
Продолжая последовательность и переходя затем к пределу, получим
limit av = limit (a i +。2 + • • • +
Из всего многообразия последовательностей порядкового типа 2 непрерывные последовательности представляют собой чрезвычайно узкий класс. Поэтому можно ожидать, что в подавляющем большинстве случаев условия непрерывности выполняться не будут. Удобно, однако, и в этом случае при переходе от членов последовательности Si, S2, • • •, S冷 к члену выделять отдельно непрерывную часть и разрыв. Для непрерывной части сохраним прежние обозначения. Для разрывов будем вводить новые подходящие обозначения и рассматривать их как аддитивную поправку к непрерывному продолжению.
Рассмотрим десятичную систему счисления. Начнем с чисел, которые принадлежат к вещественному масштабному уровню.
Пусть
Структура чисел вещественного уровня является самой простой. Здесь все бесконечные номера получены как непрерывное продолжение конечных номеров:
Сз = Lim Сп 5С&+1 = Lim CZ^+i,...
Рассмотрим числа следующего уровня сложности. Заменим Сз в (5.2) на Сз + + do, 几+1 — на(Х+i + di и т.д. Через d°,山，...обозначены разрывы. Тогда придем к числу
О = &о + j^j .О = &о + j^j .(5.3)(5.3)
О = &о + j^j .
О = &о + j^j .
(5.3)
(5.3)
Допустим теперь, что разрывы устроены так, что
= Lim dn, "з+i = Limd^+i,
Тогда в скобках получится число вещественного уровня и 力=&0 + JqL7-
(5.4)(5.4)Аналогично придем к комбинации
(5.4)
(5.4)
7 = "。+ 可 +正+
Здесь а。，•…，&k — числа вещественного уровня. Процедура (4.7) позволяет продолжить (5.4) до
£ —I g
И т. д.
Таким образом, если вещественное число в своей десятичной записи может иметь число цифр, большее любого конечного натурального числа, то в десятичной записи существенного числа количество цифр может превосходить любое актуальное бесконечно большое число.
Для описания неархимедовой прямой удобно использовать основание s:
X = X '2 + …+ g； + …+ J； +…
GGG十
Здесь 力，si, «2,.…—числа вещественного масштабного уровня. В самом простом варианте % = Lim^п,... Затем по схеме (5.3), (5.4) можно рассмотреть разрывы и получать числа все более сложной природы.
Понятие производной. Итак, выше мы построили область существенных чисел и ввели понятие предела в этой области. Последнее открывает возможность задания различных функций и построения математического аппарата для их анализа — неархимедова математического анализа. Для некоторых типов функций результаты классического анализа переносятся в неархимедов анализ практически без изменений. Рассмотрим один такой класс.
Пусть 丫 =歹(X) функция, в которой обе переменные X и Т принимают значения в области существенных чисел. Выберем последовательность {Х“}, сходящуюся к точке X:
limit Х^ = X, Х"#Х.
Подчеркнем, что операция limit может применяться только к последовательностям порядкового типа 2. Поэтому последовательность {Х“} относится именно к этому типу.
Возможно, что существует предел
г .,F(X) —F(X“)
limit —Y——3—-.(6.1)
vX — X 沙
Данный предел естественно назвать производной функции в точке X, взятой по пути {X"}. Если предел от пути не зависит, то будем его называть производной функции и обозначать как dF/dX или Ff (X). На функции, имеющие производные, можно перенести практически все результаты классического анализа: можно рассмотреть формулы для элементарных функций, правила дифференцирования сложных функций и т. д. Отличие от классического анализа будет состоять в том, что во всех выражениях могут фигурировать числа типа s, Е, Е3, шЕ, 2е,
е* = limit (1 + 丄)
и т. д. Например,
(ах? + Е"Х + е*)‘ = 2Gx + Е".
Для приложений, однако, основным будет случай, когда производные в смысле dF/dX не существуют. Последнее связано с тем обстоятельством, что область существенных чисел значительно богаче области чисел вещественных.
Во-первых, в этой области есть актуальные бесконечно большие и бесконечно малые числа. Во-вторых, существенная область не является линейно упорядоченной. Далее, в этой области есть неограниченное количество двойных единиц, а значит, и делителей нуля. Например,
j = limit Lim( — l)n; / # ±1;
产=1, (1+力(1一力=0.
Но самое главное отличие состоит в том, что область существенных чисел содержит бесконечно много линейных масштабов: ...,1, Е, Е2,..., Е",...
Как следствие, в неархимедовом анализе появляются такие понятия и задачи, для которых аналогов в классическом анализе нет.
Рассмотрим пример. Положим X = 〃s + 力 + £Е, где 〃，力，£ — переменные, принадлежащие вещественному масштабному уровню. В подобласти, образованной значениями X, есть линейный порядок. Поэтому о данной подобласти можно говорить как о неархимедовой прямой. Пусть X — это время, 丫 — смещение материальной точки и
Т = F (〃以 + 力 + £Е) = 10〃s + « - W2E.
Для наблюдателя в «геологическом» масштабе времени s движение точки выглядит как равномерное. Если же говорить о вещественном масштабном уровне х, то здесь номер геологической эпохи 〃 воспринимается как изначально существующая константа — 〃 = const, т. е. как «данность», которая может вообще не идентифицироваться как пункт на шкале времени. На этом уровне воспринимается только изменение переменной х Поэтому движение точки выглядит как равноускоренное. Для наблюдателя на микроуровне «изначально заданной» константой
будет уже 〃:＜； + / = const. Движение при увеличении £ будет выглядеть как равнозамедленное.
Другой пример описывает простой сдвиг сплошной среды. Предположим, что
(6.2)(6.2)Т = F (〃以 + 力 + £Е) = т •力2 + Те • £Е,
(6.2)
(6.2)
где 7，7е — постоянные вещественного уровня, X — вертикальная координата, 丫 — горизонтальная компонента смещения. Вертикальное смещение отсутствует. Согласно (6.2), величина поворота и сдвиг на макроуровне равны —)力 и 2)力 соответственно; на микроуровне имеем: —*/2 и ^е. Естественно, мы хотели бы располагать средствами, позволяющими анализировать деформации и повороты на любых масштабных уровнях среды. Ясно, что производной dF/dX для этих целей недостаточно.
Действительно, предположим, что мы хотим вычислить производную некоторой функции в точке X = 1. Для этого мы должны сравнить значения функции в точке X = 1 и точках X = 1 + -, 1 + Е, …，1 + Е2, …，1 + Е",… и т. д. То есть мы должны располагать значениями функции на микромасштабных уровнях с неограниченными номерами. Здесь возникает трудность, связанная с тем, что, во- первых, этих данных у нас может не быть, и, во-вторых, даже если такие данные и есть, они могут не представлять интереса. Фигурально выражаясь, производная в смысле dF/dX описывает настолько локальное поведение функции, что в ряде задач такое описание является недостаточным.
Данную ситуацию можно пояснить на следующих привычных образах. Пусть у = /(х) — функция обычных вещественных переменных хну. Предположим, что функция определена при всех х, но интересующий нас процесс зависит только от целых значений х. Как описать динамику такого процесса? Здесь проблем нет: динамика определяется «производной», которая равна разности / при ближайших
целых х.
Обратимся теперь к функции (6.2). Предположим, что нас интересует сдвиг на макроуровне. Данный сдвиг определяется значениями смещений при X, принадлежащих только вещественному масштабному уровню прямой ОХ, т. е. при X = х. Данные значения аналогичны целым значениям аргумента в рассмотренном выше примере. Принципиальное, однако, отличие состоит в том, что теперь у нас нет ближайших значений аргумента. То есть все равно необходимо вводить некоторую процедуру перехода к пределу. Возьмем последовательность значений X = х Н——， близких к значению X = х.
Тогда при 7 = 1
F (ж + 1/п) — F{x)1/几F (ж + 1/п) — F{x)1/几=2力+丄,=2力+丄,nn(6.3)(6.3)
F (ж + 1/п) — F{x)
1/几
F (ж + 1/п) — F{x)
1/几
=2力+丄,
=2力+丄,
n
n
(6.3)
(6.3)
где п может неограниченно возрастать, пробегая значения из натурального ряда (1.1). Проблема состоит в том, что в неархимедовом анализе отсюда нельзя заключить, что 1/п 0 и перейти в (6.3) от выражения 2х + - к 2力.Для решения проблемы нам необходим ряд порядкового типа 2.
Здесь возникает следующая идея. Продолжим последовательность 《2力+丄} по непрерывности на актуальные бесконечно большие номера. В результате получим последовательность порядкового типа 2. В данной последовательности уже можно перейти к пределу и получить в качестве «производной» следующее
выражение:
limit(2力 + 丄)=2/.
Введем теперь общее определение. Пусть
X1, X?, Х3,..., Х^2,...,
歹(Х1),歹(Х2),歹(Хз),…，歹(Х^),...
—две последовательности порядкового типа 1. Продолжим их по непрерывности до последовательностей порядкового типа 2, используя обозначения
= Lim Х^,Х&+1 = Lim Х72+1,...,
(6.4)(6.4)nn
(6.4)
(6.4)
X&2Lim X冷2, • • •, X" Lim , ♦ ♦ ♦,
(6.5)(6.5)F(X^) =LimF(Xn), ^(Х^+1) = Ьш1^(Хп+1),
(6.5)
(6.5)
戸(X,) = LimP(X济)，^(X") = LimF(X"S)),.・.
Предположим, что у последовательности {Х“} есть предел, который обозначим через X: limit X" = X. Ограничимся случаем, когда выполняются следующие условия:
1° Точки
X1, X?,..., х^,..., X принадлежат к одному и тому же масштабному уровню (например, к вещественному уровню).
2° Точка X принадлежит к области определения функции F.
3° Существует предел последовательности (6.5) и этот предел равен F (X).
4° Существует предел
г F(X)-F(X.)
limit—T-.(6.6)
Возьмем теперь другую последовательность {Х^}. Пусть {Х^} принадлежит к тому же масштабному уровню, что и {Хп} и, кроме того, после непрерывного продолжения сходится к той же точке X. Если предел (6.6) от выбора последовательности не зависит, то будем называть его частной производной функции F в точке X. К названию производной необходимо добавлять указание на класс путей, для которых эта производная построена. Например, если пути принадлежат к вещественному уровню, то о (6.6) будем говорить как о частной производной на вещественном уровне.
Функции фрактального типа. Теория фракталов находит применения в различных прикладных областях, в том числе и в геомеханике [19]. Фракталы — это объекты, которые остаются подобными себе при переходе к различным масштабам наблюдений. Наличие многих масштабов в неархимедовом пространстве позволяет строить и исследовать множество различных объектов, аналогичных фракталам.
Пусть область определения функции имеет вид
Х = х + бЕ + е2Е2 + ...
где х, ^ь ..., ^ш — переменные, принадлежащие вещественному масштабному уровню. Данная область представляет собой неархимедову прямую, содержащую конечное число уровней. Рассмотрим функции, которые ведут себя одинаково на разных уровнях. Предположим, что
歹(X) = /(х) + /®)Е + ... + /«т)Е-
где / — функция одной переменной, значения которой принадлежат вещественному масштабному уровню, например, /(х) = х2 и
歹(X)=力2 + £汨 + 豈е2 + …+ 比Е".(7.1)
Графиком функции будем называть совокупность пар чисел (X, F (X)) на декартовой плоскости с неархимедовыми осями ОХ и ОТ. На вещественном масштабном уровне график (7.1) представляет собой параболу 丫 = х2. При уменьшении масштаба до первого, второго и др. микроуровней вид графика остается без изменения. Налицо структура, аналогичная фрактальной. Есть, однако, и принципиальное отличие. Фракталы представляют собой объекты, расположенные в вещественном и, значит, архимедовом пространстве. Например, это может быть вполне определенное множество точек на плоскости или вещественной прямой (например, кривая Коха или канторовская пыль).
Кривая (7.1) является принципиально другой. Рассмотрим ее частный случай при х = 0:
丫 =歹(X) = £汨 + ^Е2 + …+ 比Е“(7.2)
Ясно, что при любых значениях ^i,..., ^т значения 丫 будут удовлетворять неравенству |Т| < 1 /N, где N — любое натуральное число из ряда (1.1).
Это означает, что вся область пространства, занятая графиком (7.2), целиком лежит внутри области, занятой объектом, который называется «вещественное число нуль». Иными словами, график функции целиком помещается внутри объекта, который раньше мы принимали за точку — элементарный, неделимый объект классического анализа.
Действительно, что представляет собой вещественное число нуль? Если держаться концепции вещественного числа по Кантору (а все другие концепции эквивалентны ей), то вещественное число 0 — это класс последовательностей рациональных чисел {广冷}, обладающих следующим свойством: для любого заданного натурального числа М найдется другое натуральное N из ряда (1.1) такое, что для любого п > N будет выполняться неравенство \гп\ < 1 /М. В данный класс входит одна стационарная последовательность {0}, а также последовательности, отличающиеся от нее конечным числом членов. Объединим их в кофинитное число LimO. Далее, в класс входит последовательность { —} п другие последовательности, отличающиеся от 4 —丿 конечным числом членов. Объединим их, положив Е = Lim — и т. д. Каждой последовательности {гп} соответствует определенная скорость ее сходимости к пределу 0. По этому признаку стационарная последовательность выделяется из всех последовательностей, так как ей соответствует «наибольшая» скорость сходимости. На этом основании данную последовательность в структуре вещественного числа будем считать особой и называть ядром вещественного числа. Таким образом, вещественное число нуль представляет собой ядро LimO,
окруженное ореолом кофинитных чисел
Е, г・Е, 炉，『•石2, r・E\ ^石；rjE, (7.3)
и т. д. Здесь 广 # 0 — любое рациональное число; j = Lim( —1)п — двойная единица. В целом данная совокупность является бесконечномерной и похожа на туманность с размытой внешней границей.
Здесь необходимо сделать одно уточнение. Мы везде работаем в рамках Второй аксиомы разрешения. Поэтому от кофинитных чисел (7.3) необходимо перейти к существенным числам вида
limit 石,Vlimit 石,Vlimit ^石,limit ^石,
limit 石,
V
limit 石,
V
limit ^石,
limit ^石,
В частности, в качестве ядра мы должны рассматривать не LimO, а число,
которое следует назвать существенным нулем — 0сущ.
limit Lim 0 = 0сущ.limit Lim 0 = 0сущ.V пV п
limit Lim 0 = 0сущ.
limit Lim 0 = 0сущ.
V п
V п
Данное замечание становится принципиальным при исследовании внутренней структуры трансцендентных чисел. Возьмем, например, неперово число е. По Кантору, данное число представляет собой совокупность последовательностей рациональных чисел таких, что
/1、几
lim rn = lim 1 H——
Среди данных последовательностей нет ни одной стационарной последовательности и, более того, нет ни одной последовательности, которая чем-то выделялась бы среди множества других. Поэтому для построения ядра числа е нужна новая идея.
Объединим последовательности, которые отличаются от последовательности I (1 + 丄) > конечным числом членов, в класс Lim (1 + 丄).Точно также обра-
являетсяявляется/]\ n+lj /1\п
является
является
зуем класс Lim 1 Н и т. д. Последовательность < 1 Н——
монотонно возрастающей и ограниченной. Следовательно, из состава числа е можно выделить следующую монотонно возрастающую и ограниченную последовательность кофинитных чисел порядкового типа 2:
1+п
1 + n1 + n2 < 2,25 < ... < (1 Н——)< ...< Lim ( 1 Н——) < Lim (1 + )< ...
1 + n
1 + n
<3. (7.4)<3. (7.4)...< Limf 1 +< ... < Lim「l +
<3. (7.4)
<3. (7.4)
n \ n /n L
Числам из данной цепочки соответствует все возрастающая скорость сходимости к числу е. В этом смысле можно сказать, что предельному объекту
г;(п)
соответствует предельно большая скорость сходимости. В этом отношении данный объект аналогичен стационарной последовательности, и именно поэтому его можно считать ядром вещественного числа е.
Вернемся теперь к графику функции (7.2). Теперь ясно, что график этой функции целиком попадает в состав вещественного числа 0. Аналогичный результат будет и в случае бесконечного числа уровней:
X = siE + ^Е? + ... + ^mEm + ... + %Е" + %+iE"+i + ... + qjE" + .. •
…+ S"E" + …(7.5)
Функции фрактального типа, определенные на прямой (7.5), отличаются от фракталов еще в одном отношении, именно числом своих уровней. Число структурных уровней фрактала превышает любое конечное число из натурального ряда (1.1); число же уровней фрактала, определенного на неархимедовой прямой, превышает любое актуально бесконечно большое число.
По той же схеме, которая рассмотрена выше, нетрудно доказать, что «точка +оо» представляет собой ядро Q, окруженное ореолом существенных чисел вида
limits,limits",limit Jcj2, ...
Поэтому если в аргумент и значения функции включить мегауровни, то график функции выйдет за пределы конечной части плоскости и попадет в ореол ядра Q.
Таким образом, неархимедов анализ представляет собой инструмент, позволяющий проникнуть во внутреннюю структуру как конечных вещественных чисел, так и бесконечно удаленных точек ±оо.
Области применения неархимедова математического анализа. Неархимедов математический анализ может найти применение во всех областях, для исследования которых разрешающей способности классического анализа оказывается недостаточно. Прежде всего необходимо отметить те задачи, которые, послужили стимулом для развития нового анализа. Часть из них перечислена в начале статьи. В работах [20-22] обсуждается вопрос о возможных приложениях неархимедова анализа в геомеханике и теории пластичности.
Пусть «сплошная» среда заполняет плоскую область неархимедова пространства. Необходимо предположить, что среда может заполнять только определенные масштабные уровни пространства, например вещественный и первый микроуровень. Обозначим через
X =/ + g上， y = g + 〃石
декартовы координаты, а через
и = u(X,Y) = 〃(/,“ £,〃)，
(8・1)
。=о(Х,У)=。(力,у; £,〃)
—компоненты вектора смещения. Здесь х, у, £, 〃 — переменные, принадлежащие вещественному масштабному уровню области существенных чисел. Рассмотренные выше конструкции производных легко переносятся на двумерный случай. Производные от функций (8.1) на вещественном уровне определяют средние деформации и повороты материальных объемов среды. Производные на уровне Е& и 石〃 определяют картину деформирования на микроуровне. Их разности позволяют описать проскальзывания и другие процессы, которые реализуются на
«стыке» масштабных уровней. Все указанные переменные можно использовать для формулировки определяющих уравнений среды.
Таким образом, понятия производных различных уровней позволяют давать описание тех или иных процессов на языке дифференциальных уравнений. Интересно отметить, что здесь, наряду с привычными явлениями, становится возможным описание и достаточно необычных явлений, например исчезновения тела в одном месте пространства и «мгновенного» появления его в другом месте.
Обозначим через Г неархимедово время. Ограничимся двумя его уровнями: вещественным и первым микроуровнем. Тогда Т = t + тЕ, где 方 п 丁 一 переменные вещественного уровня. Пусть X — смещение тела вдоль неархимедовой прямой ОХ и
x(方 + Tе)=0(方,T) + 2(方,丁)石， (8.2)
где 夕，⑦ принадлежат вещественному уровню 方》0; О W 丁 W 1. Зависимости функций 夕 от 方 п ⑦ от 丁 представляются естественными: смещения тела определенного масштаба зависят от времени того же самого масштаба. Зависимость @ от 方 также укладывается в привычные понятия. Здесь величина t — это некоторая данность, аналогичная номеру геологической эпохи для процессов, которые мы наблюдаем в масштабах собственной жизни.
Совершенно необычные явления происходят в случае зависимости функции 夕 от аргумента г. Предположим, что непосредственно мы можем наблюдать только вещественный уровень нашего пространства и времени. Тогда функция (8.2) будет восприниматься как 夕(方，0). Зафиксируем некоторый момент t° и предположим, что при t = t° зависимость 夕 от аргумента 丁 — есть. Это означает, что в фиксированный момент t° тело из положения 夕(t°, 0) исчезает и в «тот же самый момент» t° появляется в другой точке пространства 夕(t°, 1). Описание динамики такого процесса никаких трудностей не представляет. Скорость и ускорение тела в момент времени t° равны
39(/") 。 亠 a认/，7).严9俨,^). .2 , 8认尹, 外
3丁 Ат дт2 "
Не исключено, что подобные возможности можно использовать для описания квантовых переходов. Ясно, что указанные выше и любые другие области приложений должны, в первую очередь, определяться потребностями той или иной теории. Неархимедов анализ дает для этого достаточно богатый арсенал различных средств. Как уже отмечалось, данная область содержит неограниченное число линейных масштабов. Кроме того, она не является линейно упорядоченной. Однако в ней можно выделить либо подобласти с линейным порядком (неархимедовы прямые), либо подобласти, в которых линейный порядок есть только на достаточно больших масштабах. При этом локально, т. е. на маленьких масштабах, линейного порядка нет. В качестве самого простого примера можно указать обычную вещественную ось, которую мы рассматриваем с разрешением, большим, чем в классическом анализе. При таком разрешении каждое вещественное число превращается в ореол, состоящий из множества существенных чисел, которые окружают особый объект (тоже существенное число) — ядро вещественного числа. Между ядрами различных вещественных чисел линейный порядок есть. Такой же порядок есть и между любыми числами ореолов, относящихся к разным ядрам. Однако «локально», т. е. между числами, окружающими одно и то же ядро, линейного прядка уже нет. Более того, числа ореола образуют свое беконечномерное пространство, и это дает средства для самых различных теоретических построений.
Наличие многих линейных масштабов заставляет вернуться и к нашим представлениям о непрерывности движения материального тела в пространстве. Как исходное примем утверждение о том, что движение тела в обычном, архимедовом пространстве является «действительно» непрерывным. Двигаясь вдоль координатной оси, тело непрерывно проходит все промежуточные положения, так что в любой момент пройденный путь измеряется некоторым вещественным числом.
При новом взгляде на эту же ось мы видим, что каждая вещественная точка превратилась в размытую туманность с диаметром, заведомо большим, чем N х х Е, где N — любое натуральное число. Как же теперь преодолеваются новые «промежуточные» положения? По-видимому, здесь не остается ничего другого, как предположить то, что тело все «промежуточные» положения заведомо не проходит. Например, тело может двигаться только по вещественному уровню неархимедовой прямой, либо частично захватывать область первого микроуровня и т. д. По крайней мере, рассмотренный выше математический аппарат приспособлен для описания именно подобного характера движения.
Указанное движение аналогично движению колесного экипажа по дороге с неровностями, много меньшими диаметра колеса. Если мы прибыли из пункта А в пункт В, то можно ли на этом основании утверждать, что мы побывали в каждой промежуточной точке дороги, соединяющей эти пункты? Конечно, нет. Мы прошли только по верхушкам неровностей дороги, но тем не менее до пункта В добрались. Если воспользоваться экипажем с меньшим диаметром колеса, то мы охватим меньший масштаб неровностей и т. д.
Изложенные выше схемы и аналогия достаточно удобны и позволяют строить как различные модели движения отдельных точек, так и модели деформирования различных сплошных сред, обладающих иерархией масштабных уровней.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 05-05-65253.
Список литературы
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Геометрия. М.: Наука, 1987. 416 с.
Шемякин Е. И. Две задачи механики горных пород, связанные с освоением глубоких месторождений руды и угля 〃 Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1975. № 6.
Shemyakin E.I. New problems in rock mechanics 〃 Modelling of mine structures (edited by A. Kidybinski). 1988. P. 17-24.
Ревуженко А. Ф., Стажевский С. В., Шемякин Е.И. О механизме деформирования сыпучего материала при больших сдвигах 〃 Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1974. № 3. С. 130-133.
Введение в микромеханику. Онами М. 〃 др. / Под ред. М. Онами: Пер. с япон. / Под ред. Г. Я. Гуна. М.: Металлургия, 1987, 280 с.
Ревуженко А.⑦.，Шемякин Е. И. К вопросу о плоском деформировании упрочняющихся и разупрочняющихся пластических материалов 〃 Прикл. мех. и техн, физики. 1977. №3. С. 157-173.
Кротов В.Р., Букреев В. 3., Гурман В. И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. М.: Машиностроение, 1969. 288 с.
Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. 488 с.
Кротов В. Ф., Бровман М.Я. Экстремальные процессы пластического деформирования металлов 〃 Известия АН СССР, Механика и машиностроение. 1962. № 3. С. 148-153.
Медведев Ф.А., Лузин Н.Н. О неархимедовом времени 〃 Историко-математические исследования. Вып. 34. М.: Наука. 1993. С. 103-128.
Лейбниц Г. В. Избранные философские сочинения 〃 Тр. Московского психологического общества. Вып. 4. М.: Типо-литогр. т-ва И. Н. Кушнерев и К°, 1908. 364 с.
Флоренский Л. А. Мнимости в геометрии. М.: «Лазурь», 1992. 96 с.
Гордон Е.И., Кусраев А.Г., Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ. Ч. 1. Новосибирск: Изд-во Института математики, 2001. 315 с.
Альбеверио С., Фенстад Й., Хуэг-Крон Р., Линдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. М.: Мир, 1990. 616 с.
Девис М. Прикладной нестандартный анализ. М.: Мир, 1980. 236 с.
Хренников А. Ю. Неархимедов анализ и его приложения. М.: Физматлит. 2003. 216 с.
Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ? М.: Наука, 1987. 128 с.
Нельсон Э. Радикально элементарная теория вероятностей. Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН им. С. Л. Соболева, 1995. 124 с.
Vallejo L.E. Fractal analysis of granular materials 〃 Geotechnigue 45. 1995. № 1. P. 159-163.
Ревуженко А. Ф. О математическом аппарате для описания структурных уровней геосреды 〃 Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1997. № 3. С. 22-36.
Ревуженко А. Ф. Теория пластичности и математический анализ на неархимедовой прямой 〃 Физическая мезомеханика. 2001. Т. 4, № 3. С. 73-83.
Ревуженко А. Ф. Об использовании в механике твердого тела концепции пространства, наделенного иерархией структурных уровней 〃 Физическая мезомеханика. 2003. Т. 6, №4. С. 73-83.
СИСТЕМЫ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И СИНГУЛЯРНЫХИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ ПОЛИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙВ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
С. А. Редкозубое, А. В. Юденков
Институт проблем механики РАН
Предлагается единый метод решения краевых задач для полианалитических функций и связанных с ними систем сингулярных интегральных уравнений, построенных на основе первой задачи теории упругости для изотропного тела; рассматриваются некоторые его приложения.
Начало теории сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши было положено работами А. Пуанкаре (по теории приливов) и Д. Гильберта (по краевым задачам) почти непосредственно вслед за созданием классической теории интегральных уравнений Фредгольма.
Основные результаты были получены тогда, когда к исследованию сингулярных интегральных уравнений были привлечены результаты решения краевых задач теории функций комплексного переменного.
На сегодняшний день принято рассматривать сингулярные интегральные уравнения в тесной связи с соответствующими их характеристическим частям краевыми задачами. Причем если обычные сингулярные уравнения эффективно приводятся к уравнениям Фредгольма (регуляризуются) с помощью задачи Римана (метод регуляризации Карлемана-Векуа), то решение более сложных краевых задач (задачи Римана для нескольких неизвестных функций, многоэлементные задачи и т. д.) удобно свести к решению соответствующих систем сингулярных интегральных уравнений.
К краевым задачам для нескольких неизвестных функций можно отнести и краевые задачи для полианалитических функций.
Определение 1 [1]. Функция F(z), заданная в некоторой области D и С, называется полианалитической функцией порядка п, если она представима в виде
п— 1
*e/夕к⑶，⑴
k=Q
где 夕卜(2)(k = 0,...,八一1) — аналитические функции в D, 2 =力一
Полианалитическую функцию М(2) можно также определить как решение уравнения (обобщенное условие Коши-Римана)
k = o・⑵
средством для решения задач плоской теории упругости могут служить функции следующего вида [6]:
歹(2)=夕 о(2)+ 讶夕 1(2).(3)
Несложно заметить, что, согласно определению 1, указанную функцию следует отнести к полианалитическим функциям порядка 2, или бианалитическим функциям.
Известно, что решение первой основной задачи теории упругости можно свести к решению следующей краевой задачи:
dF _ 方戸丄/ dF _dF /⑷
где F⑶—искомая бианалитическая функция в некоторой области D, ограниченной контуром Z/；方 G I；; gk (к = 1,2) — заданные на контуре L функции.
Пользуясь представлением (3), краевую задачу (2) можно переписать следующим образом:
К⑴ + %d ⑴ + 夕1 ⑴=-HW + MW + ^iW] +gi ⑴，
_ (4 a)
+01(" =+0 1 ⑴]+92(方)■
В 1949 г. Ф. Д. Гахов, опираясь на краевую задачу (4), сформулировал ряд краевых задач для полианалитических функций, которые обобщали задачи теории упругости. С этого времени теория краевых задач развивалась многими российскими и зарубежными математиками.
Основной сложностью при решении краевых задач для полианалитических функций, основанных на задаче (4), являлось наличие в краевом условии неаналитической компоненты %.
Следует отметить, что, хотя полианалитические функции достаточно близки к аналитическим функциям, многие широко известные для аналитических функций утверждения (теорема единственности, инвариантность относительно конформного преобразования и др.) не выполняются для полианалитических функций. Это не позволяет создать теорию, в которой краевые задачи для полианалитических функций решались бы автономно, без применения методов теории аналитических функций. Решение краевых задач для полианалитических функций различных типов приходится сводить к системам краевых задач для аналитических функций. В процессе исследований появились два основных метода.
Первый метод был предложен еще в первых работах по краевым задачам для полианалитических функций М. П. Ганиным и В. С. Рогожиным. В дальнейшем его развитием занимались В. А. Габринович, И. А. Соколов, В. Б. Дамиянович и др.
В данном методе рассматривались области, близкие к круговым. Под областями, близкими к круговым, мы будем понимать области, на которые можно конформно отобразить внутренность единичного круга рациональными функциями.
Для иллюстрации данного метода рассмотрим задачу Римана для бианалити- ческих функций (здесь и далее используется терминология, предложенная в работе [4]).
Требуется определить неизвестную кусочно бианалитическую функцию 歹士 (z), исчезающую на бесконечности по краевому условию
% = G1⑴，*=G2(t)^^ + %2(t),⑸
где Gi(", G?(方)—известные функции (коэффициенты задачи), причем Gk(方)(k = = 1,2) удовлетворяет условию Гельдера со своими производными до порядка (2п — 一 к — 1) включительно (Gk⑴ 6 H^2n~k~^\ 弘⑴ 6 口⑺-D, L —единичная окружность.
Краевое условие (5) можно переписать следующим образом:
若/⑴+如厂⑴+沛⑴=Gi⑴[01⑴+ а/⑴+0]⑴]+ 91⑴，
(5а) 端⑴+如-沛⑴=Gs^^^+^rw -川⑴]+gi⑴，
где 夕^(2) — функции, аналитические внутри единичной окружности (°+), 夕£(2)— функции, аналитические во внешней области (D-).
Пусть L — единичная окружностью.
Воспользуемся тем, что на единичной окружности выполняется соотношение
и введем вспомогательные кусочно аналитические функции:
①t⑶=2夕『⑶+夕丁⑶+ Z^⑶，
①^⑶=2夕『⑶+夕丁⑶-Z^⑶，
1(6)
①「(？)=夕「(2)+ -夕」⑶+夕「(2),
ФГ(2)=夕「(2)+ ；夕」⑶一夕「(2).
Используя обозначения (6), перепишем уравнения (5а):
①j(" = Gi⑴"•①[⑴+gi⑴"，
⑺
⑴=G2⑴2+熒⑴•九
Краевые условия (7) представляют собой обычные задачи Римана для кусочно аналитических функций. В случае разрешимости задач (7) неизвестные аналитические компоненты искомой бианалитической функции находятся путем решения определенной системы линейных уравнений.
Преимуществом данного метода является то, что решение краевых задач для полианалитических функций удается непосредственно свести к решению обычных краевых задач для аналитических функций, теория которых достаточно хорошо развита. Очевидный недостаток метода — его привязанность к областям определенной формы.
Второй метод является обобщением метода, разработанного Н. И. Мусхели- швили при решении краевых задач теории упругости. Аналитические компоненты полианалитических функций ищутся покомпонентно. Данный подход был предложен К. М. Расуловым [7].
Рассмотрим краевую задачу (5а). Перепишем первое краевое условие следующим образом:
端⑴=Gi⑴0+ Qo⑴，⑻
где Qo⑴=—%0}⑴-01⑴+ Gi⑴长0J⑴+夕[⑴]+gi⑴.
Решая задачу （8） как задачу Римана для кусочно аналитической функции 夕？⑶，выразим функцию 夕？⑶ через значение функции 夕卡⑶，ее производной и Gi （方）и gi（方）.Подставим полученное выражение во второе краевое условие и получим после некоторых преобразований
0i⑴-G2⑴0]⑴+ I 4（方,丁）0t （丁）打+ ]б（方,T）。[（T）打=0⑴，（9）
где 4（方，丁），石（方，丁） — неизвестные ядра Фредгольма, Q^（t） — известная функция.
Решение задачи （9） можно свести к решению равносильного интегрального уравнения.
В данном методе не используется конкретный вид контура. Поэтому он теоретически может быть применен в случае произвольных областей, в том числе и двусвязных. Однако на практике построение ядер 4（方，丁） и B（t, г） для произвольной области связано со слишком большими сложностями. Даже в случае простейших контуров решение задач для полианалитических функций при применении изложенного метода остается громоздким.
В работах [8, 9] была построена на основе изложенных методов теория краевых задач со сдвигом для полианалитических функций, был исследован вопрос о возможности применения конформных отображений при решении краевых задач для полианалитических функций, построен общий численный алгоритм решения задач теории упругости как для изотропных тел, так и для анизотропных.
В то же время вопрос о системах сингулярных уравнений, соответствующих краевым задачам для полианалитических функций, оставался практически неразработанным. В работе [12] были построены системы сингулярных уравнений, характеристические части которых соответствуют краевым задачам для полианалитических функций.
Приведем систему сингулярных интегральных уравнений, соответствующую задаче （5）, （5а）.
Пусть L — простой замкнутый контур класса。£）, ограничивающий конечную область D.
Требуется определить неизвестные функции &i （方）и 以2（方）из системы интегральных уравнений:
（k1g1g2）⑴ =a1⑴ Bl⑴ + 加2⑴ +以2⑴]+⑺+"2（7）而 +
7Г2T — t
L
+k11（方,丁）匂（丁）打+ Ki2（方，丁 ）以2（丁）打=力⑴,
（10）
^^（t） = 02⑴切⑴+加2⑴-"2⑴]+芈]g⑺+*）一"2（7）而+
+к21^,T）u1（T）dr+ &2（方,丁）82（丁）打=/2 ⑴,
L2
где XU方，7） G X e）;⑶⑴,中⑴ 6 〃3"d）,力⑴ е н⑴（L） Q,n= 1,2）.
Будем считать, что уравнения системы нормированы, т. е.
源⑴一成⑴=1-
При нахождении индекса системы (10) и при ее регуляризации применим метод поэлементного выражения неизвестных функций, который был описан выше на примере задачи (5). Однако можно провести подсчет индекса, а следовательно, и регуляризацию каждого уравнения (10), независимо друг от друга. Преобразуем систему (10):
(KWW2)⑴=a1h1⑴+ М(^) + S2⑴]+①…⑺dr +
7Г2T — t
L
+k11(方,丁)匂(丁)打+ K:2(方，7 )以2(丁)打=力⑴,
(И)
(K2)⑴ =⑴ +-以2⑴]+ ^^ [⑺ 而 +
7Г2 Jt
22+ &1（方,丁）以1（丁）打+ 夕2（方，丁 ）以2（丁）打=/2⑴,
2
2
L
1^&2依丁)=&2(方,丁) +屮三・ 7Г2 t — T
Индекс характеристической части (11) совпадает с индексом характеристической части (10) и с индексом всей системы (10). Для его определения введем вспомогательные функции
1y1⑴=si⑴+①，⑴+以2⑴，(12)
*⑴=G1⑴+①厶⑴-以2⑴.
С учетом обозначений (12) характеристическая часть системы (11) примет вид
(K:Wi*)⑴=旬⑴叫⑴+I = /：⑴，
7Г2 T — t
'(13)
{K^WXW^ =a2⑴*⑴+[恥⑺广=方⑴.
7Г2 Jt
Система (13) представляет собой два обычных характеристических уравнения относительно неизвестных функций W\(t) и 恥(方).Индекс данной системы определяется по формуле ([2, 4] и др.)
IndK* = IndK = Ki +&,IndK* = IndK = Ki +&,(14)(14)
IndK* = IndK = Ki +&,
IndK* = IndK = Ki +&,
(14)
(14)
az⑴—必⑴ 回⑴+ 5("az⑴—必⑴ 回⑴+ 5("где Ki = Indгде Ki = Ind
az⑴—必⑴ 回⑴+ 5("
az⑴—必⑴ 回⑴+ 5("
где Ki = Ind
где Ki = Ind
Предложенный метод исследования систем сингулярных уравнений имеет два
достоинства. Первое — данный метод не опирается на определенный вид контура,
поэтому применим к любому достаточно гладкому контуру. Второе — исследование системы сингулярных уравнений, соответствующих краевым задачам для полиана- литических функций, сводится к исследованию системы из обычных сингулярных уравнений.
Данным методом к настоящему времени исследован достаточно широкий класс систем интегральных уравнений [11].
Изложенный прием, что вполне очевидно, применим при решении краевых задач для полианалитических функций порядка п. Изложим его основные этапы.
В краевых условиях для полианалитических функций выделяется аналитическая часть. Неаналитические компоненты компонуются в ядра Фредгольма.
Решаются 八 обычных задач для аналитических функций. (Система краевых задач факторизуется.)
В общем случае решается система из 八 уравнений Фредгольма.
В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим первую основную задачу теории упругости для единичного круга.
Преобразуем краевые условия (4а) следующим образом:
(力)+ I01(R =
L
LL
-月(方，丁)01(丁)打+ gi⑴,
(15)
(力)+ }-01(*而 =
LL
+ Jб（方，丁）01（丁）打+熒⑴,
где A(t,r) = ；， 石(力，丁) = ；
27r2 ОТ- t J27r2 ОТ — t J
Введем вспомогательные аналитические функции
①0(2)=必⑶ + }2。[(2)+ 金 [ 7:(7)而 I.),NТ — Z
丄 ,(16)
①1(2)=jE U01(2).
С учетом обозначений (16), перепишем систему (15) следующим образом
①0⑴=①。⑴ + I 4方,7)。 1 (丁)"7 -］石(方，丁)夕 1 (丁) "丁 + 91 ⑴，
；,ядра 4（方，丁）；,ядра 4（方，丁）①1 ⑴=一①1 ⑴ + I 4(方，丁)夕 1(丁)而 + I B(t,T^i(T)dT + g2(t\
；,ядра 4（方，丁）
；,ядра 4（方，丁）
С учетом того что на границе области выполняется условие t = и B(t, г) примут вид
Решение системы (17) будет иметь вид
①о(2)= "{°)+ 〃т 夕 1 ⑼—夕I ⑼2 - zlm 夕？⑼ +
Pi(t) dr .h 2C1,Pi(t) dr .h 2C1,丄 f gi(T)而
Pi(t) dr .
h 2C1,
Pi(t) dr .
h 2C1,
27r分 J T — t47r分 J
LL
(18)
①《2)=乎+忌夕1⑼+而2 +国前+±［^^ -言
где ci, С2 — произвольные константы.
Для упрощения преобразований отбросим константы, поскольку они не будут влиять на напряженное состояние тела.
С учетом обозначений (16) получим
=①。⑶；①С) = —2西 + 六［S(「⑺ dT.(19)
Z27r2 J T — t
L
Значение 夕'(О) можно определить, продифференцировав (19) и положив 2 = 0:
仪⑼+河=±]^^扑仪⑼+河=±]^^扑(20)(20)
仪⑼+河=±]^^扑
仪⑼+河=±]^^扑
(20)
(20)
Данное условие выполняется, если
(21)(21)
(21)
(21)
Условие (21) равносильно равенству нулю главного момента сил. Таким образом, можно определить Re 夕/ (0). Мнимую часть зафиксируем произвольно, например: Im 夕/⑼=0.
Тогда
J 「gi（T）—д2（т）J 「gi（T）—д2（т）dr.dr.LL
J 「gi（T）—д2（т）
J 「gi（T）—д2（т）
dr.
dr.
L
L
Данный результат совпадает с результатом, полученным классическим способом [7].
Таким образом, к настоящему времени можно говорить о трех методах исследования краевых задач для полианалитических функций.
Метод сведения к системе краевых задач для аналитических функций за счет специфических свойств контура.
Метод поэлементного нахождения аналитических компонент.
Метод сведения к системам обычных краевых задач для аналитических функций за счет образования из неаналитических компонент ядер Фредгольма.
В заключение хочется отметить, что ни одним из способов не удается в общем случае исследовать однородные краевые задачи для полианалитических функций с той полнотой, с которой это сделано для их аналитических аналогов. Не удается пока и ответить на вопрос, имеет ли однородная краевая задача для полианалитических функций решение в случае нулевых индексов краевых коэффициентов. Ответ на данный вопрос, если он будет получен, позволит значительно продвинуть теорию краевых задач для полианалитических функций и расширить область ее приложения.
Список литературы
Balk М. В. Polianalitic functions: Akademie Verlag, 1991.
Векуа H. П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1970.
Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций 〃 ДАН СССР. 1951. Т. 75, №6. С. 921-924.
Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.
Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977.
Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.
Расулов К.М. Об одном подходе к решению классических краевых задач для полианалитических функций и их обобщений 〃 Диф. уравнения. 1993. Т. 29, № 2. С. 320-327.
Редкозубое С. А., Юденков А. В. Решение задачи Карлемана для полианалитических функций в теории упругости для областей сложной формы 〃 Проблемы механики деформируемых тел и горных пород. Сб. статей под ред. академика РАН А. Ю. Ишлин- ского. М.: МГГУ, 2001. С. 263-270.
Редкозубое С. А., Юденков А. В. Задача типа Карлемана для бианалитических функций в теории изгиба тонкой пластинки 〃 Проблемы механики деформируемых тел и горных пород. Сб. статей под ред. академика РАН А. Ю. Ишлинского. М.: Йзд-во МГГУ, 2001.
Юденков А. В. Краевые задачи со сдвигом для полианалитических функций и их приложения к вопросам статической теории упругости. Смоленск: Смядынь, 2002.
Юденков А.В., Римская Л.Л. Об одном эффективном методе определения индекса для систем сингулярных интегральных уравнений специального вида со сдвигом Карлемана и комплексно-сопряженными значениями неизвестной функции 〃 Математические методы и информационные технологии. XI Международная научно-техническая конференция. Сб. статей. Пенза, 2003. С. 315-318.
ВЯЗКОУПРУГАЯ МОДЕЛЬ УДАРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА И УПРУГОЙ ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ
Ю.А. Россихин, М. В. Шитикова
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
Рассматривается удар твердого тела по вязкоупругому буферу, жестко связанному с упругой пластинкой, динамическое поведение которой описывается уравнениями, учитывающими инерцию вращения и деформации поперечного сдвига. Вязкоупругие свойства буфера описываются моделью Максвелла с дробными производными. Предполагается, что в момент удара в пластинке зарождается нестационарная волна поперечного сдвига, которая затем распространяется вдоль пластинки, а отраженная волна не успевает вернуться в место крепления буфера и пластинки до окончания процесса удара. Для определения искомых величин за фронтом волны поперечного сдвига используются одночленные лучевые разложения, а также уравнения движения твердого тела и области контакта пластинки и буфера. В результате приходим к системе двух линейных дифференциальных уравнений относительно перемещений нижней и верхней частей буфера. При помощи преобразования Лапласа удается получить решение этих уравнений в аналитической форме и найти зависимость контактной силы от времени. Численный анализ этой зависимости показывает, что максимум контактной силы возрастает, стремясь к максимуму контактной силы при значении параметра дробности, равном единице. Показано также, что в отличие от обычной модели Максвелла, для которой время контакта тела и буфера может возрастать до бесконечности начиная с некоторого значения времени релаксации, для модели Максвелла с дробной производной отскок тела происходит при любом значении времени релаксации.
Введение. Ударное взаимодействие вязкоупругого тела, поведение которого описывается моделью Максвелла с целыми производными, и упругой пологой сферической оболочки исследовалось в работах [1, 2]. Расчетная схема, используемая в этих работах, следующая: ударник движется вдоль нормали к срединной поверхности оболочки, а вязкоупругий буфер в виде пружины и демпфера, связанных последовательно друг с другом, одним концом крепится к ударнику, а вторым концом ударяет по оболочке. При решении задачи в [1, 2] использовался подход Тимошенко [3], поскольку оболочка была ограниченной, а в [2], в отличие от [1], учитывалось еще и местное смятие материалов оболочки и ударника. В обеих статьях поведение оболочки описывалось классической системой уравнений.
Аналогичная схема использовалась и в работе [4] для анализа ударного взаимодействия ударника и жесткой мишени. Поведение вязкоупругого буфера, прикрепленного одним концом к ударнику, описывалось моделью стандартного тела с дробными производными. Задача сводилась к изучению кратковременных колебаний осциллятора, которые протекали во временном интервале, равном полупериоду колебаний, т. е. времени контакта ударника и жесткой мишени.
ного сдвига, поведение вязкоупругого буфера описывается обобщенной моделью Максвелла с дробными производными [5], а для решения задачи используется подход, предложенный в работах [6-10]. При этом расчетная схема, описанная выше, интерпретируется следующим образом: твердое тело (ударник) ударяет по верхнему концу вязкоупругого буфера, нижний конец которого жестко связан с тонким телом (мишенью).
Постановка задачи и определяющие уравнения. Тело массы т движется вдоль нормали к круглой пластинке, восстановленной в ее центре, со скоростью Vo и падает на верхний конец вязкоупругого буфера, состоящего из вязкого демпфера и упругой цилиндрической пружины радиуса 『о, которая крепится жестко к упругой изотропной пластинке толщины Д (рис. 1). В момент удара в пластинке зарождаются ударные волны, которые затем распространяются вдоль пластинки со скоростями нестационарных упругих волн.
В дальнейшем будем предполагать, что в процессе удара в окрестности контактного пятна (область контакта пластинки и буфера) в напряженно-деформированном состоянии пластинки преобладают перерезывающие силы и деформации поперечного сдвига. Кроме того, пластинка достаточно протяженная, так что отраженные волны не успевают вернуться в место контакта до окончания процесса удара.
Без учета растяжения срединной поверхности поведение пластинки типа Уфлянда-Миндлина за фронтами ударных волн описывается следующей системой уравнений:
除+= Phw, Qr = Kg (^ -石『)，(1)
:+ ^^ + Qr = y|- Br,(2)
髙=D(祟+吟)，%祟)，⑶
где 广 n 夕一полярные радиус и угол, Мг и М屮—изгибающие моменты, Qr — перерезывающая сила, Вг — угловая скорость вращения нормали к срединной поверхности пластинки в направлении г, W = w — скорость прогиба, D — цилиндрическая жесткость, р — плотность, К — коэффициент сдвига,从—модуль сдвига, а — коэффициент Пуассона, точка над величинами означает производную по времени.
К уравнениям (1) и (2) нужно присоединить уравнение движения ударника
m (d + w) = —F(4)
и уравнение движения контактного пятна (место крепления буфера и пластинки), считая его абсолютно твердым телом:
ph^r^w = —2 仃oQr"=r()+ F,(5)
где а и w — перемещения верхнего и нижнего концов буфера, F — контактная сила.
Контактная сила F связана с разностью перемещений верхнего и нижнего концов буфера обобщенным законом Максвелла с дробными производными Римана- Лиувилля:
F + t”F = Е\т"9 - w),
⑹
где 笃—время релаксации, 7 (0 < 7 < 1) — параметр дробности, Е\ — коэффициент упругости пружины,
t
=色一方)7,7(7)
О
К уравнениям (1)-(5) следует добавить начальные условия
a\t=Q = w\t=Q = w\t=Q = 0,向仁 ° = %).(8)
Метод решения. Методы, применяемые для решения поставленной задачи вне области контакта и в области контакта, разные. Вне области контакта используется лучевой метод, а в области контакта — метод преобразования Лапласа.
Лучевой метод. Начнем с лучевого метода. Для этого будем интерпретировать ударную волну в пластинке (поверхность сильного разрыва) как слой толщины 8, внутри которого искомая функция Z изменяется от значения Z~ до значения Z+, оставаясь непрерывной. Тогда, интегрируя уравнения (1) и (2) по толщине слоя от —8/2 до 8/2, устремляя 5 к нулю и учитывая, что внутри слоя выполняется условие совместности [11]
Z = _夯 +⑼
где G — нормальная скорость волновой поверхности, 8/8方—5-производная по времени, находим динамические условия совместности
[Qr] = -phG\W\ -G[Qr] = K/^W],(10)
~G[Mr] = D[Br],(H)
где [Z] = Z+ - Z-.
Исключая из уравнений (9) величину [Qr], а из уравнений (10) — величину [Мг], определяем скорости квазипоперечной G⑵ и квазипродольной G^ волн:
GG(12)
где Е — модуль Юнга.
Если контактное пятно считать абсолютно твердым, то в окрестности контактного пятна и на его границе доминирующими величинами являются Qr и W, связанные друг с другом соотношением
Qr = -pG^hW.(13)
Метод преобразования Лапласа. Подставляя формулу (12) в уравнение (4) и применяя преобразование Лапласа к уравнениям (3) и (4), с учетом выражений (5)-(7) получим
夕(а + w) = —)7 石(6 -切)+ V()m,
Mp2w = -MBpw + 1E (a - w),1 + (…)"
где р — параметр преобразования, М = 07r吟儿 В = 2『「G⑵，черта над функцией означает трансформанту Лапласа этой функции.
Решая систему (13), находим
_+^~\ + Вр + В^ + ААс,、
q =而й(14)
/7(р)=夕3 + 夕3—飞 + 石夕2 + 石屮2—)^Ср^ВС^(15)
где, = 77), А = ЕХМ~\ C = E1(2M-1 4m-1), CQ = Егт~\
Подставляя величины (14) в выражение для контактной силы
戸(夕)=]?展；Ei@ 一硏,(16)
получим
(⑺
При 7 = 1 в формуле (17) /7(р) нужно заменить на
Ш = " + « + 石加 2 + (С + Вф + МСо,(18)
где S L
В упругом случае « = 0) функции /7(р) и /1(夕)совпадают, т. е.
%(夕)=Л (р) =р3 + 段>2 + Ср + BCQ.(19)
Если масса ударника т намного меньше массы контактного пятна М (С ~ С°) или если буфер установлен на абсолютно жесткой плите (w = 0), то формула (17) принимает вид
戸(夕)=-i—警——•(20)
Сила F(t) в пространстве оригиналов определяется по формуле обращения Меллина-Фурье:
ь⑴=*]戸伪)吋(仇)加.(21)
(22)(22)Для вычисления интеграла (21) необходимо определить все особые точки комплексной функции 歹(夕).Эта функция имеет точки разветвления р = 0 и р = =оо и простые полюсы при тех значениях р = р^, которые обращают в нуль знаменатель формулы (17), т. е. являются корнями характеристического уравнения
(22)
(22)
%(夕)=°・
можно записать выражения для контактной силы в виде
金 j \F(se-^ -戸(s产)]厂S力曲 + e res [戸加)册[,(23)
оk
где сумма берется по всем изолированным особым точкам (полюсам).
Рис. 2. Контур интегрирования
Можно показать, что уравнение (22) не имеет действительных отрицательных корней. Действительно, полагая р = —g, у〉0, п отделяя действительную и мнимую части, получим
—у3 + By2 — Су + BCq — cos 7Г7 + cos 7Г7 = 0,
(24)
力―)(У — ^)^sin 7Г7 = 0.
Из второго уравнения системы (24) находим, что у =石，п, подставляя полученное у в первое уравнение, приходим к противоречивому равенству В (Со — С) = 0.
Для нахождения комплексно-сопряженных корней уравнения (22) положим в нем р = ге". Тогда, отделяя действительную и мнимую части, получим систему из двух уравнений:
г3 [cos Зф + х cos (3 —))也 + r2B[cos 1^ + х cos (2 —))也 + Cr cos V； + BCq = 0,
戸[sin 3?/； + 力 sin (3 —))也 + rB [sin 2?/； + 力 sin (2 —))也 + C sin ⑦=0,
_(25)
где х = qr~y.
Из второго уравнения системы (25) находим величину г:
Г = а / 丄 1.门(-B[sin 2⑦ + 力 sin (2 - 7)也 ±
2 [sin 3-0 + ж sin (3 - 7)^] \
±2[sin 2?/； + 力 sin (2 - ))2卩-《[sinS?/； + 力 sin (3 - т)?/；]^?^^!?/；). (26)
Подставляя затем г из (26) в первое уравнение системы (25), получим при каждом фиксированном значении угла ⑦ уравнение относительно действительной положительной величины х (0 < ж < оо). Зная величину х, из выражения (26) определяем г при том же самом фиксированном угле ⑦ и, наконец, используя связь между величинами х, г и q, находим
q =力广).(27)
Для характеристического уравнения
Р2 + 屮 2r + 以=。，(28)
которое входит в выражение (20), система (25) принимает вид
cos 2?/； +)cos (2 - т)2 + С = 0,
戸 sin 2?/； +)sin (2 - т)2 = 0.
Из системы уравнений (29) при каждом фиксированном значении угла ⑦ находим
(29) sin 7V；sin
Расчеты показывают (см. п. 4), что как уравнение (22), так и уравнение (28) при любых значениях 7 (0 < 7 < 1) и q (0 < <; < оо) имеют два комплексносопряженных корня.
Поскольку корни характеристического уравнения (22) комплексно-сопряженные: р = re*W = —а ± то выражение (23) записывается в виде
歹⑴=4о⑴ + 厶 exp (—at) cos (s方 + 夕)，(30)
где
"j (厂(se*)L 曲，
万 J [Re/7(^-^)]2 + [Im/7(^-^)]2
0
Re/7(se-Z7r) = -s3 - s3-7<;cos7Г7 + Bs2 + s2-7B<;cos7Г7 - Cs + BCq,
Im/7(se-Z7r) = s?—)sin7n(g — s)q,
[Re/；(^)]2 + [Im/；(re^)]2
x ({宙 + r cos 2) Re/^(re^) + r sin ф Im Д (re1^)}2 +
+ {rsin^Re/^re^) - (В + гсозф) Im f^re^)}),
_ rsimp Re f!y (re^) — (B +TCOS* 1т/；(те^)
g " (B + r cos 吵)Re (re1") + т sin 吵 Im 叨)’
Im %(广e碑)=3L2 sin 2?/； + (3 - 7)产一飞 sin (2 -噴3 + 2Br sin ⑦ +
+ (2 - ?)Bqri sin (1 - 7)认
Первое слагаемое определяет дрейф положения равновесия, а второе описывает затухающие колебания вокруг движущегося положения равновесия. Колебательный процесс прекращается в тот момент времени, когда F (方)обратится в нуль, так как в этот момент времени происходит отскок тела от буфера.
При 7 = 1 первое слагаемое в выражении (31) пропадает, а вместо него появляется затухающая экспонента, соответствующая действительному отрицательному корню характеристического уравнения
力(夕)=0，(31)
при этом второе слагаемое сохраняется только в области колебательных движений, а в области апериодических движений вместо него появляется сумма двух затухающих экспонент. Поэтому при 7 = 1 возможно прилипание ударника к буферу при определенных значениях г.
Итак, при 7 = 1 в области колебаний
歹⑴=de~^ + Au~[e~at sin Q方-夕)，(32)
где рз = —/3 — действительный отрицательный корень уравнения (32), а 夕 1,2 = =—а ± zcj — два его комплексно-сопряженных корня,
d =: ”2252G2 + (аа — «)2, tg夕
/3 — 2a/3 + a + gVaa — 0
a = —d, b = 1 — a/3 — 2ad.
При 7 = 1 в области апериодичности
歹⑴=(are-^ + 仇力 + d{e-^E{V^(33)
где pi = —aq,夕2 =—仇，Рз = —71 — действительные отрицательные корни уравнения (32),
_ В — а\. _ В — /31
"1 (仇一ai)()i — ai)'1 (ai —仇)(71 —仇)’
力= в — м
1 - 3 一Y)(仇一节)・
В упругом случае (5 = 0) характеристическое уравнение
(34)(34)^В^ ^Cp^BCQ = Q
(34)
(34)
имеет один действительный отрицательный корень 夕3 = —/3° и два чисто мнимых корня:夕 1,2 = ±〃&о・ Поэтому выражение для F(t) имеет вид
吕一仇 龙+宕吕一仇 龙+宕где do = Ei%где do = Ei%,Co =e1%),Co =e1%),a0 = -do,历=1 -a0炉0・,a0 = -do,历=1 -a0炉0・歹⑴=sin Qo方一夕о),(35)
吕一仇 龙+宕
吕一仇 龙+宕
где do = Ei%
где do = Ei%
,Co =e1%)
,Co =e1%)
,a0 = -do,历=1 -a0炉0・
,a0 = -do,历=1 -a0炉0・
При С = Cq корни уравнения (34) имеют вид:夕3 = —В,夕 1,2 = ±〃д/^・
Если контактная сила в пространстве изображений задается формулой (20), то в пространстве оригиналов величины, входящие в выражение (31), определяются следующим образом:
厶0(方)=-A£{r,T£)e~t/T dr,(36)
о
VqEi sin7F7T(1+7200)-1
7r (т/те)-7(1 + 丁2。0)+ (т/те)7(1 + 丁2。0)-1 + 2 COS 7Г7 5
A = EiVo^-1[4 + J(2 - t产厂2)+ 4厂飞(2 - 7) cosуф]~^2,
_ 2т sin 吵 + q(2 — 丁)厂]_7 shi (] — 7)吵
0 2r cos^ + (;(2 - 7)^1-7 cos (1 - 7)^
Численный анализ полученных результатов. В качестве примера рассмотрим удар твердого тела (рис. 1), скорость которого в момент удара %)= 10 м/с, по пластинке толщины h = 0.1 м, на которой установлен буфер радиуса 『о = =0.1 м с жесткостью пружины 石1 = 252.53 кН/м. Материал пластинки обладает следующими характеристиками: Е = 200 ГПа, а = 0.3, р = 7850 кг/м3.
Чтобы исследовать поведение корней уравнений (22) и (28) в зависимости от q, приведем их к безразмерному виду
/；(Р*)=夕*3 + ^ВСо)-^\р^ + §2/3cJ/3 夕 *2 + «§Со)(2—7)/3(夕*产一)+
+0(5C0厂2/30* + 1 =0. (37)
Здесь0* =0宙e0尸/3,
/；(夕 *)=夕 *2 + 9T/2(夕* 产 г +1=0,(38)
где 夕* =夕С”?.
Как было показано ранее, эти уравнения при )*1 n q # 0 имеют только два комплексно-сопряженных корня, поведение которых в зависимости от параметра q изображено на комплексной плоскости 夕* (рис. 3) при следующих значениях входящих туда величин: С/Со = 1 (штриховые линии) и С/Со = 41.55 (сплошные линии). Значения параметра 7 указаны цифрами у кривых. Видно, что при С = =С。 все корни уравнения (38) выходят из 0 при q = 00 п приходят при q = 0 в точки, лежащие на мнимой оси; при С # С° корни выходят из 0 при q = оо и приходят при q = 0 в точки, которые не лежат на мнимой оси, а являются комплексными корнями уравнения (37). Из рис. 3 также видно, что при 7 # 市 1 корни этих характеристических уравнений не пересекают действительной отрицательной полуоси при любых значениях параметра q, т. е. у этих уравнений при 7 市 1 отсутствует область апериодичности. При 7 = 1 два комплексно-сопряженных корня пересекают действительную отрицательную полуось и начиная с этого значения q характеристическое уравнение имеет три действительных отрицательных корня, которые определяют апериодическое движение системы, что приводит к бесконечно большому времени контакта ударника и буфера. При С — —Со сплошные линии переходят в соответствующие штриховые линии.
Рис. 3. Корни характеристических уравнений:уравнение (38),уравнение (37)
На рис. 4, 5 показана зависимость контактной силы от времени при С = Со (рис. 4) и С 7^ Со (рис. 5), что соответствует массе ударника в 1 кг и 500 кг при следующих значениях параметра дробности: 7 = 1 (рис. 4, а и 5, а), 7 = 0.9 (рис. 4, б и 5,6), 7 = 0.7 (рис. 4, в и 5, в) и 7 = 0.5 (рис. 4, г и 5, а). Значения
О0.020.04 t, (с)00.020.04О0.020.04 t, (с)00.020.04Рис. 4. Зависимость контактной силы от времени в случае С = Cq при фиксированном значении параметра дробности: а) у = 1, б) у = 0.9, в) 7 = 0.7, г) 7 = 0.5,т£ = =0.002 с,те = 0.001 с, — те = 0.0001 сРис. 4. Зависимость контактной силы от времени в случае С = Cq при фиксированном значении параметра дробности: а) у = 1, б) у = 0.9, в) 7 = 0.7, г) 7 = 0.5,т£ = =0.002 с,те = 0.001 с, — те = 0.0001 с
О0.020.04 t, (с)00.020.04
О0.020.04 t, (с)00.020.04
Рис. 4. Зависимость контактной силы от времени в случае С = Cq при фиксированном значении параметра дробности: а) у = 1, б) у = 0.9, в) 7 = 0.7, г) 7 = 0.5,т£ = =0.002 с,те = 0.001 с, — те = 0.0001 с
Рис. 4. Зависимость контактной силы от времени в случае С = Cq при фиксированном значении параметра дробности: а) у = 1, б) у = 0.9, в) 7 = 0.7, г) 7 = 0.5,т£ = =0.002 с,те = 0.001 с, — те = 0.0001 с
времени релаксации т£ указаны в подписи к рисункам. Видно, что при каждом фиксированном значении 7 с уменьшением времени релаксации максимум контактной силы уменьшается, а время контакта увеличивается. Начиная со значения т£ = 0.001 с в случае С = Cq и т£ = 0.023 с в случае С # 以 время контакта становится бесконечно большим.
На рис. 6, 7 показана зависимость контактной силы от времени в случае С = =Со (рис. 6) и С 7^ Со (рис. 7) при фиксированных значениях параметра 笃， а в качестве переменного параметра выступает величина параметра дробности 7. Сравнивая кривые, изображенные на рисунках, можно заметить, что с уменьшением параметра дробности 7 все кривые испытывают размытие, т. е. величина этого параметра оказывает влияние и на максимальное значение контактной силы и на время контакта. При этом для 7 市 1 время контакта остается конечным при любых значениях т£.
ОО Л0.20.3 力，©00.10.20.3 力⑹
Заключение. Изучено влияние времени релаксации т£ и порядка дробной производной 7 на основные характеристики ударного взаимодействия тела и вязкоупругого буфера, установленного на пластинке Уфлянда-Миндлина. Показано, что оба параметра влияют на максимальное значение контактной силы и времени контакта, а именно: уменьшение параметров т£ и 7 приводит к уменьшению максимального значения контактной силы и к увеличению времени контакта. Однако, в отличие от 笃，изменение которого в основном связано с изменением температуры, изменение 7 вызывается другими причинами, например воздействием рентгеновского излучения, электромагнитного поля и т. д. [5]. Таким образом, параметр 7 можно считать структурным параметром, реагирующим на изменение структуры материала на молекулярном уровне.
Список литературы
Рис. 6. Зависимость контактной силы от времени в случае С = Cq при фиксированном значении времени релаксации: а) т£ = 0.002 с, 6) т£ = 0.001 с, в) т£ = 0.0001 с, 7=1,7 = 0.9,— 7 = 0.7,7 = 0.5Рис. 6. Зависимость контактной силы от времени в случае С = Cq при фиксированном значении времени релаксации: а) т£ = 0.002 с, 6) т£ = 0.001 с, в) т£ = 0.0001 с, 7=1,7 = 0.9,— 7 = 0.7,7 = 0.5
Рис. 6. Зависимость контактной силы от времени в случае С = Cq при фиксированном значении времени релаксации: а) т£ = 0.002 с, 6) т£ = 0.001 с, в) т£ = 0.0001 с, 7=1,7 = 0.9,— 7 = 0.7,7 = 0.5
Рис. 6. Зависимость контактной силы от времени в случае С = Cq при фиксированном значении времени релаксации: а) т£ = 0.002 с, 6) т£ = 0.001 с, в) т£ = 0.0001 с, 7=1,7 = 0.9,— 7 = 0.7,7 = 0.5
Timoshenko S. P. Zur Frage nach der Wirkung eines Strosse anf einer Balken 〃 Zeitschrift fur mathematische Physik. 1914. V. 62. P. 198-209.
Atanackovic T.M., Spasic D. 7. On viscoelastic compliant contact-impact models 〃 Trans. ASME. J. Applied Mechanics. 2004. V. 71, № 1. P. 134-138.
Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Application of fractional calculus to dynamic problems of linear and nonlinear hereditary mechanics of solids 〃 Applied Mechanics Reviews. 1997. V. 50, № 1. P. 15-67.
Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. A ray method of solving problems connected with a shock interaction 〃 Acta Mechanica. 1994. V. 102. P. 103-121.
Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. The impact of a sphere on a Timoshenko thin-walled beam of open with due account for middle surface extension 〃 Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technology. 1999. V. 121. P. 375-383.
Россихин Ю.А., Шитикова M. В. Удар упругого шара по балке Тимошенко и пластинке Уфлянда-Миндлина с учетом растяжения срединной поверхности 〃 Изв. вузов. Строительство. 1996. № 6. С. 28-34.
Rossikhin Yu. A., Shitikova М. И, Loktev A. A. The analysis of thin-walled building structures subjected to impact excitation / Proc. 4th Ph. D. Symposium in Civil Engineering, Munich, Germany. 2002. V. 1. P. 487-492.
60 И60 И404020200.30.30.20.2(кН)(кН)F⑴, (кН)F⑴, (кН)606020 Г20 Г40400*20.3力，(с)60*20.3力，(с)600ООРис. 7. Зависимость контактной силы от времени в случае。力 Со при фиксированном значении времени релаксации: а) т£ = 0.035 с, 6) т£ = 0.023 с, б) т£ = 0.015 с,7 = =1,7 = 0.9,— 7 = 0.7,7 = 0・5Рис. 7. Зависимость контактной силы от времени в случае。力 Со при фиксированном значении времени релаксации: а) т£ = 0.035 с, 6) т£ = 0.023 с, б) т£ = 0.015 с,7 = =1,7 = 0.9,— 7 = 0.7,7 = 0・5
60 И
60 И
40
40
20
20
0.3
0.3
0.2
0.2
(кН)
(кН)
F⑴, (кН)
F⑴, (кН)
60
60
20 Г
20 Г
40
40
0*20.3力，(с)
6
0*20.3力，(с)
6
0
0
О
О
Рис. 7. Зависимость контактной силы от времени в случае。力 Со при фиксированном значении времени релаксации: а) т£ = 0.035 с, 6) т£ = 0.023 с, б) т£ = 0.015 с,7 = =1,7 = 0.9,— 7 = 0.7,7 = 0・5
Рис. 7. Зависимость контактной силы от времени в случае。力 Со при фиксированном значении времени релаксации: а) т£ = 0.035 с, 6) т£ = 0.023 с, б) т£ = 0.015 с,7 = =1,7 = 0.9,— 7 = 0.7,7 = 0・5
Россихин Ю.А., Шитикова М. В., Локтев А. А. Удар шара о нелинейно-упругий буфер, установленный на плите перекрытия 〃 Изв. вузов. Строительство. 2004. №11. С. 16-22.
Rossikhin Yu.A., Shitikova М. У. The ray method for solving boundary problems of wave dynamics for bodies having curvilinear anisotropy 〃 Acta Mechanica. 1995. V. 109. P. 49-64.
ОБ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ ПРЕДЕЛЕ УПРУГОСТИАНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
Я. Рыхлевский
Варминско-Мазурский университет в Ольштыне, Польша
Идею о разложении упругой энергии тела по его собственным упругим состояниям я имел честь и удовольствие представить в 1983 г. на знаменитом московском семинаре, образованном Алексеем Антоновичем Илюшиным, и опубликовать в ПММ [1]. Мне весьма приятно, что эта работа стала известной сперва в СССР, а после перевода и издания на английском языке — и за его пределами.
Продолжения той работы были многочисленны и разнообразны. Одно из них было названо «Разложения упругой энергии и критерии предельности» [3]. Невидимому эта идея была мною представлена слишком сжато и недостаточно четко и, может быть поэтому, не вызвала интереса, которого она — на мой взгляд — заслуживала.
Задача, которую я ставлю, — обратить внимание на эту недостаточно замеченную идею.
Начнем с того, что 101 год тому назад один молодой человек, которого звали Максимилиан Губер, работавший во Львове, бывшем в то время старинным польским университетским центром, предложил считать критерием конца упругого состояния тела предельное значение накопленной энергии упругого формоизменения.
Десятилетие спустя ту же идею предложил Р. Мизес, ее развивали X. Хенки и другие. И, наконец, в 1937 г., после опубликования личных писем блистательного Дж. К. Максвелла, было вдруг обнаружено, что представленную Губером идею предложил Максвелл с исчерпывающей ясностью еще в 1856 г. в письме В. Томсону, позже лорду Кельвину.
Перейдем к существу темы. Первое серьезное описание критериев предела упругого поведения анизотропного тела было предложено Р. Мизесом [2] в виде
а - Н - а 1,
т. е.
Hijkl^ij^kl W 1・
Тензор четвертого ранга Н будем далее называть тензором предельности, а скаляр о • Н • о — мерой напряженности анизотропного упругого тела.
Ученики Губера считали своим естественным долгом заняться предельностью упругости анизотропных тел. Моим учителям Вацлаву Ольшаку и Войцеху Ур- бановскому показалось вначале, что прежде всего следует разобраться в вопросе о роли гидростатического давления в анизотропном теле. Несколько позже я пришел к выводу, что это не обязательно. Мне посчастливилось разобраться в смысле условия Мизеса по-другому и исчерпывающе.
Решающей идеей оказалось введение нового понятия — энергетического скалярного произведения напряженных состояний
где S есть тензор упругой податливости.
Будем называть напряженные состояния (а, /3) энергетически взаимно ортогональными, если а х /3 = 0. Механический смысл этого понятия таков: введенная ортогональность а х /3 = 0 означает, что напряжение а не работает на деформации S • /3, вызываемой напряжением /3, и наоборот.
Р. Мизес не придавал своему условию предельности никакого ясного физического смысла. Мне же удалось показать, что такой смысл, а именно энергетический смысл, всегда имеется и, более того, он определен однозначно анизотропной стуктурой тела. Точнее, справедлива следующая теорема.
Теорема. Для любого анизотропного линейно упругого тела, определенного тензором упругой податливости
S, £ = S・O,
и тензором упругой предельности
Я, а-Я-а < 1, существует в точности одно энергетически ортогональное разложение шестимерного пространства симметричных тензоров второго ранга
S = Hi ㊉...㊉ Нх, х W 6,
и 6 точности один набор попарно различных постоянных h\,... ,hx таких, что для любого напряжения
0=01+... +0》 Ok G Hk, k = 1,..., x，
мера напряженности тела равна
О • Н • О = — Ф((71) + . . . +①(外)W 1,
где
①(％)三 ％ • S • Ok, k = l,...，x， суть аддитивные части полной упругой энергии ①(о).
Доказательство приведено в [3] (оно не совсем простое).
Выражаясь языком механики, здесь показано, что любой квадратичный критерий предельности типа Мизеса: о • Н • о < 1, можно однозначно представить в виде энергетического неравенства
小①(01) +…+小①(外)' I'
где правая сторона есть взвешенная сумма упругих энергий.
Это энергетическое разложение определяется тензорами S, Н, т. е. строением рассматриваемого анизотропного тела.
651651Об энергетическом пределе упругости анизотропного тела
651
651
Список литературы
Рыхлевский Я. О законе Гука 〃 ПММ. 1984. Т. 48, № 3. С. 420-435.
Mises R. Mechanik der festen Кбгрег in plastisch-deformablen Zustand 〃 Nachrichten von der Koniglichen Geselschaft der Wissenschafien zu Gottingen, Math.-phys. kl. 1913. H.4. P. 583.
Рыхлевский Я. Разложения упругой энергии и критерии предельности 〃 Успехи механики. 1984. Т. 7, №3. С. 51-80.
Kowalczyk К., Ostrowska-Maciejewska /. Energy-based limit conditions for transversally isotropic solids 〃 Arch. Meeh. Warszawa, 2002. V. 54, № 5-6. P. 497-523.
Kowalczyk K., Ostrowska-Maciejewska /., Pocher ski R. B. An energy-based yield criterion for solids of cubic elasticity and orthotropic limit state 〃 Arch. Meeh. Warszawa, 2003. V. 55, №5-6. P. 431-448.
Kowalczyk-Grajewska K., Ostrowska-Maciejewska /. The influence of internal restrictions on the elastic properties of anisotropic materials 〃 Arch. Meeh. Warszawa, 2004. V. 56, № 3. P. 205-232.
Kowalczyk-Grajewska K., Ostrowska-Maciejewska J. Energy-based limit criteria for anisotropic elastic materials with constraints 勿 Arch. Meeh. Warszawa, 2005. V. 57, № 2, 3. P. 133-155.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ БЛОЧНОЙ СРЕДЫ
В.А. Сарайкин
Институт горного дела СО РАН
Модели, учитывающие структуру сплошной среды в процессе деформирования, в частности влияние внутреннего трения на закон затухания волн с расстоянием, локализацию пластичности на площадках, проявления блочности при течении сыпучих сред, представляют собой то направление механики твердого деформируемого тела, которое активно разрабатывается под руководством Е. И. Шемякина [1-3]. Сказанное относится также и к учету исходной структуры материала в модели горного массива как среды, состоящей из системы блоков. Это нашло отражение в работе [4] о динамике среды блочной структуры, выполненной при поддержке Е. И. Шемякина.
В предлагаемой статье обобщаются результаты, полученные в [4]: выводятся уточненные уравнения движения среды блочной структуры и учитывается неупру- гость взаимодействия блоков. В основу вывода положена гипотеза о том, что каждый блок есть абсолютно жесткое тело, а деформирование среды происходит за счет тонких прослоек между блоками. Эти прослойки содержат наряду с приповерхностными слоями блоков шероховатые поверхности раздела (контакта) блоков. Предполагается, что упругое деформирование внутри такого составного слоя сопровождается также необратимым смятием шероховатостей на контакте. Смятие на поверхностях блоков, всегда прижатых друг к другу горным давлением, происходит под действием нормальной силы не только по нормали, но и в касательном направлении.
Таким способом реализуется идея, которая заключается в том, что упругие высокочастотные колебания, возникающие внутри блоков, не могут проникать далеко по нарушенной среде и при передаче возмущения от блока к блоку их влияние локализуется в пределах одного-двух ближайших блоков. Основная часть передаваемого по горному массиву возмущения связана с интегральными характеристиками движения блоков. Они определяют огибающую возмущения, соответствующую поступательному и вращательному движению блоков массива и усредненным характеристикам контактного взаимодействия блоков.
Пусть по предварительно сжатому горному массиву распространяется динамическое возмущение. Уравнения движения центров масс блоков, описывающие это возмущение, дополнительное к исходному статическому состоянию, имеют вид m吗当=方,x)dS + F⑴，
⑴⑴丿已* =方,x) dS + M⑴，s丿已* =方,x) dS + M⑴，ss,、
⑴
⑴
丿已* =方,x) dS + M⑴，
s
丿已* =方,x) dS + M⑴，
s
Для учета неупругого контакта блоков возьмем в качестве определяющего то смятие, которое получается из задачи Герца о контакте двух шероховатых сфер равного радиуса R [5-7]. Если сферы выполнены из одинакового материала с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона ^, то имеем следующие зависимости смятия £ по нормали и ту в касательном к площадке контакта 0 ^ р < а направлении:
（炉，L -（1 -*
4=俱（「吟2厂，Во = （2-,）（!+，）,
Здесь Р, Т — величины сжимающей и соответственно сдвигающей центры сфер. При выводе зависимостей в [5, 6] предполагалось, что на части площадки контакта, в круге 0 ^ р ^ af, выполняются условия жесткого контакта, а в кольце af < р < а происходит проскальзывание прижатых поверхностей шаров. Касательное и нормальное напряжения в кольце связаны законом трения Кулона <J^T = =〃。黑т. Проскальзывание необходимо было ввести для того, чтобы обеспечить конечность касательного напряжения на площадке контакта.
Переведем значения приложенных сил в напряжения, считая напряжения равномерно распределенными в диаметральной плоскости шара: Р = —тгД2апп > > О, Т = —7tR2（t冷力.При этом, исключив радиус контакта а, можно представить смятие шаров через эти средние значения нормального сжимающего напряжения и касательного напряжения в виде нелинейных зависимостей
Распространим данные зависимости для учета смятия при контакте случайным образом шероховатых поверхностей блоков, считая теперь, что R — некоторый характерный размер шероховатости, а апп, ant — средние значения нормального и касательного напряжений, действующих на линии контакта. Предполагаем, что безразмерные постоянные множители а。，Ьо можно определить экспериментально.
Применим вышесказанное при выводе уравнений движения регулярной блочной структуры в плоской задаче. Далее полагаем, что ось ох декартовой системы координат ох у направлена по горизонтали вправо. Считаем, что среда составлена из одинаковых прямоугольных блоков с длинами сторон 2НХ, 2Ну, разделенных одинаковыми прослойками со средней толщиной hx — у вертикальных прослоек п hy — у горизонтальных. Таким образом, расстояния между блоками по горизонтали и вертикали равны 2hx, 2hy соответственно, а по середине проходит линия контакта блоков. Рассмотрим произвольный блок, поместив начало координат оху в его центре. Пусть Р（力，у） — положение точки на стороне блока до деформации, а Р（х\ д'） — координаты этой точки после деформации. При малых углах поворота \ш\ С 1 блока относительно его центра компоненты вектора перемещения и = =（& 通）равны
6（力，g）=z‘一力=〃 + 力 cos s — g sin s ^ 〃 一 зу,
通（力，g） = yf — у = v -\- x sin ш -\- у cos s 。
где величины и, v определяют перемещения центра блока.
Если рассматриваемый блок имеет по горизонтали (в направлении оси 力) номер г, а по вертикали номер j, то данные представления для перемещения в блоке с целочисленными координатами i,j будем записывать в виде
傘)(力,g) = Ui,j - 呑j(力,g) = з〃・ + ⑵
Чтобы записать перемещения соседних блоков в соответствующей рассматриваемому блоку локальной системе координат оху, в формуле необходимо сменить нумерацию, например, для блока, расположенного справа, номер i переходит в номер 5+1.
Далее полагаем, что толщины прослоек намного меньше линейных размеров блока: max(九力，九g) «min(瓦，%), и, следовательно, инерцией прослоек можно пренебречь. В этом приближении напряжения о叮，действующие внутри прослоек, удовлетворяют уравнениям равновесия. В системе координат OXY, связанной с прослойками, уравнения имеют вид
дахх . даху 八 Оаху . дауу 八 小
В вертикальных прослойках полагается, что ось OY проходит по середине — по линии контакта, при этом вторая координата меняется в пределах |Х| < 九力； в горизонтальных прослойках по средней линии проходит ось ОХ, а другая координата изменяется в пределах \Y\ < hy.
Напряжения в слое связаны с перемещениями U, V законом Гука:
〃丄( .dV _ (dU dV\
Oxx =+ (入+ 2⑴赤，(JXY = G+衣丿,
—упругие постоянные.—упругие постоянные.⑷
—упругие постоянные.
—упругие постоянные.
Где т=(1 + 沙)(1 -2沙)'G = 2(1+ 沙)
Перемещения внутри вертикальных слоев будем искать в виде разложений по
координате, меняющейся вдоль длины слоя:
и =篇• + Uo(X) + U1 (Х)У + “(Х)у2 +...,
V =哨J + И)(Х)+ У1(Х)У + 匕(Х)у2 + …(X V 0),и = Uo(X) + U1 (Х)У + U^X)Y^ +
V = %(X) + V1 (X)y + 心(X)y2 + ... (x > 0).
В разложениях учтены, подобно тому как это было сделано при решении одномерной задачи о соударении стержней [8], условия непрерывности на контакте нормального и касательного напряжения и скачки перемещений, возникающие из- за местного смятия и определяемые выражениями
/ ср \2/3/ ср \2/3，脸=历R从1-1，脸=历R从1-1ср \ 2/3ср \ 2/3
/ ср \2/3
/ ср \2/3
，脸=历R从1-1
，脸=历R从1-1
ср \ 2/3
ср \ 2/3
Здесь первый индекс указывает номер слоя и направление смятия по нормали (г = х), а второй — номер блока, расположенного слева от рассматриваемого отрезка слоя; верхний индекс указывает ориентацию прослойки.
Средние значения нормального и касательного напряжений на линии контакта вычисляются по формулам
ахх =(入 + 2G)ахх =(入 + 2G)“分+ij — 〃zj“分+ij — 〃zj2323aXY = GaXY = G伪+ij —伪 j — Hx (c<j^+i,j + gj)2hx伪+ij —伪 j — Hx (c<j^+i,j + gj)2hx
ахх =(入 + 2G)
ахх =(入 + 2G)
“分+ij — 〃zj
“分+ij — 〃zj
23
23
aXY = G
aXY = G
伪+ij —伪 j — Hx (c<j^+i,j + gj)2hx
伪+ij —伪 j — Hx (c<j^+i,j + gj)2hx
На границах должны быть выполнены условия непрерывности перемещений при переходе из блока с номером г, j в слой (при значении X =—九力)и, соответственно, из этого слоя в примыкающий блок г + 1, j (при значении X =九力)：
U(—%, У) = Gj(%, У), и(力，У) = u^-hx, У),
『(—％, У) = v^hx, У), 『(％, У)=伪+1 J(—%, У).
Подставив разложения функций U,V в граничные условия (5), получим условия сопряжения системы вертикальных прослоек с блоками. Так как в слое, расположенном между блоками с номерами г, j и г + 1, J, связь между локальными координатами в блоке г, j и в слое имеет вид 力=X + Нх + 九力，у = Y, а для локальных координат в блоке г + 1, j эта связь будет уже иной: х = X — Нх — hx, у = Y, и при этом в обоих случаях выполняется |Х| W hx, |У| W Ну, то
Uo(—%)= 〃分 J，Uo(%)= 〃分+ij,
%(—%) = ^i,j + ^t,jHx,%(%) = з+ij — g+ijH力，
(6)
Ui(一拉力)=一，分 j, Ui(拉力)=，分+ij，
5(士%) = 5(土%)=…=0，Vi(士%)=心(士％) = ... = 0.
Предполагая, что условия в третьей строке выполнены не только на границах слоя, но и во внутренних точках, разложения можно оборвать:
и(х, У) = Uo(X) + U1 (Х)У,『(X, У) = И)(Х).
Общий вид функций одной переменной, удержанных в разложениях, находим из уравнений равновесия (3). После подстановки разложений с учетом закона Гука (4) уравнения принимут вид
%/(Х) + U^X)Y = 0, (А + G)U；(X) + G%〃(X) = 0
и, следовательно, имеют решение
Uo(x)= 4 + 4Х, U1(X) = В + 石2Х, %(Х) = а + GX - ^^^2X2
Постоянные коэффициенты А^, В^, С^ найдем, удовлетворив системе граничных условий (6). В результате перемещения в вертикальных слоях, заключенных между блоками с номерами г и г + 1, определяются зависимостями
U —.Н(—X) + "分+iJ + "zj — I — "〃J + §oj x _
—(2+23*丿 У,
V =么尹(-X) +V =么尹(-X) +++з+ij + 3j — 〃% — »%(g+ij — gj)
V =么尹(-X) +
V =么尹(-X) +
+
+
2
I 3+1J —伪J + 〃% — 〃力(g+lj + gj) Y 丄入 + G G〃+1J - gj /
где Н(—X) — ступенчатая единичная функция Хевисайда.
Данным перемещениям в слое соответствуют напряжения
"xx = (' + 2 叫"xx = (' + 2 叫G〃+1J — G〃J уG〃+1J — G〃J уА°уу = ХТ^°хх‘А°уу = ХТ^°хх‘°ХУ°ХУGG伪+1J —伪 J — Vi,j —(无力 + 〃力)(G〃+1J + G〃j)2无力伪+1J —伪 J — Vi,j —(无力 + 〃力)(G〃+1J + G〃j)2无力+ A •+ A •^г+lj — g，^г+lj — g，
"xx = (' + 2 叫
"xx = (' + 2 叫
G〃+1J — G〃J у
G〃+1J — G〃J у
А°уу = ХТ^°хх‘
А°уу = ХТ^°хх‘
°ХУ
°ХУ
G
G
伪+1J —伪 J — Vi,j —(无力 + 〃力)(G〃+1J + G〃j)
2无力
伪+1J —伪 J — Vi,j —(无力 + 〃力)(G〃+1J + G〃j)
2无力
+ A •
+ A •
^г+lj — g，
^г+lj — g，
"分+lJ — Ui,j 2hx"分+lJ — Ui,j 2hx脸=历h从1脸=历h从111G4 a+2G)G4 a+2G)。分+ij — ^i,j — Hx (cj^+i,j + g〃j)。分+ij — ^i,j — Hx (cj^+i,j + g〃j)XX/入+ 2G八2/3/入+ 2G八2/3Аналогично можно получить перемещения и напряжения в слое, расположенном между блоками с номерами г, j и г, j + 1:Аналогично можно получить перемещения и напряжения в слое, расположенном между блоками с номерами г, j и г, j + 1:горизонтальномгоризонтальномU = ^H(-Y) +U = ^H(-Y) +“ZJ + l + Uj,j — §7,分 + Hg(5,j + 1 — G〃j)“ZJ + l + Uj,j — §7,分 + Hg(5,j + 1 — G〃j)22++++"ZJ + 1 — “ZJ + §7,分 + Hg(5,j + 1 + G〃j)"ZJ + 1 — “ZJ + §7,分 + Hg(5,j + 1 + G〃j)V =壮戶(-У) +V =壮戶(-У) +2hy0分j+i +0分j 一心i22hy0分j+i +0分j 一心i2У _ 入 + GY2GУ _ 入 + GY2GGzj + l — G〃J 22hy IGzj + l — G〃J 22hy I2hyI 2hy荻 丿，2hyI 2hy荻 丿，Sy = & + 2G) (^^X丿,Sy = & + 2G) (^^X丿,axx = AT2Gayy?axx = AT2Gayy?
"分+lJ — Ui,j 2hx
"分+lJ — Ui,j 2hx
脸=历h从1
脸=历h从1
1
1
G
4 a+2G)
G
4 a+2G)
。分+ij — ^i,j — Hx (cj^+i,j + g〃j)
。分+ij — ^i,j — Hx (cj^+i,j + g〃j)
X
X
/入+ 2G八2/3
/入+ 2G八2/3
Аналогично можно получить перемещения и напряжения в слое, расположенном между блоками с номерами г, j и г, j + 1:
Аналогично можно получить перемещения и напряжения в слое, расположенном между блоками с номерами г, j и г, j + 1:
горизонтальном
горизонтальном
U = ^H(-Y) +
U = ^H(-Y) +
“ZJ + l + Uj,j — §7,分 + Hg(5,j + 1 — G〃j)
“ZJ + l + Uj,j — §7,分 + Hg(5,j + 1 — G〃j)
2
2
+
+
+
+
"ZJ + 1 — “ZJ + §7,分 + Hg(5,j + 1 + G〃j)
"ZJ + 1 — “ZJ + §7,分 + Hg(5,j + 1 + G〃j)
V =壮戶(-У) +
V =壮戶(-У) +
2hy
0分j+i +0分j 一心i
2
2hy
0分j+i +0分j 一心i
2
У _ 入 + G
Y2G
У _ 入 + G
Y2G
Gzj + l — G〃J 2
2hy I
Gzj + l — G〃J 2
2hy I
2hy
I 2hy荻 丿，
2hy
I 2hy荻 丿，
Sy = & + 2G) (^^X丿,
Sy = & + 2G) (^^X丿,
axx = AT2Gayy?
axx = AT2Gayy?
В приведенных формулах величины смятия связаны с перемещениями блоков следующим образом:
X + 2GЕ
j + 乩 + (% + %)(gj+i + gj) 、
°2hy入 2hy Y
窃—回1窃—回1G"zj + l — “ZJ + Hy(CJZ^,J + 1 +) \
窃—回1
窃—回1
4(入+ 2G)зj+i -，
(入 + 2G/
入 + 2G .0分j+i —0分j/
Е
Если ни одна из граней блока i,j не является граничной, то уравнения движения （1） принимают вид
M апх dl + Fxid,（ апу dl + Fyid,at Jat JM апх dl + Fxid,（ апу dl + Fyid,at Jat J⑺⑺
M апх dl + Fxid,（ апу dl + Fyid,
at Jat J
M апх dl + Fxid,（ апу dl + Fyid,
at Jat J
⑺
⑺
j （比 + ^）^= I （xaw - yany） dl +
где Lij — контур блока, а проекции на оси координат вектора напряжений связаны с напряжениями в слое и вектором внешней нормали п =（八力，八夕）на контуре зависимостями Коши
^пх = ОХХПх + ОХУПу, Опу = ^ XY^x +。丫丫门期.
Подставив, с учетом значений полученных выше напряжений, эти зависимости в подынтегральные выражения в правых частях уравнений （7）, после вычислений получим уравнения движения произвольного блока （в коэффициентах уравнений при выводе была учтена малость толщин прослоек по сравнению с линейными размерами блоков）:
=（入 + 2G）/ （"分+ij - 2"分j + "分+
at
+ 2G）3 （僞一丛 и） + G 岩 g「通仆 + Fx^
加""；"=G*（3+ij — 2з〃・ + 筑—ij —瓦（毎+ij —伤—ij）） +
at
=夕学（毎+1J - 2伤j + 伤一1 j） +
at
（力力十^у）^У方/十^у
（A + 2G）8： - 3GH之_ （A + 2GM - 3G8：
小比，q_ 小朗
Отметим существенную нелинейность полученных уравнений движения, связанную не только с дробной степенью перемещений в слагаемых, определяющих смятия, но и с необходимостью учета разгрузки на поверхностях контакта. Имеется в виду, что указанные слагаемые определяют нелинейную зависимость только тогда, когда величина смятия растет со временем. Если же рост смятия прекращается, то далее, при разгрузке, оно фиксируется на достигнутом значении. При этом, поскольку рассматривается дополнительная задача, предполагается, что поверхности остаются сомкнутыми из-за действия значительных исходных сжимающих статических напряжений.
Если блочная среда занимает ограниченую область, то к данным уравнениям необходимо добавить краевые условия на границах. Учет кинематических условий — перемещений, поворота осуществляется подстановкой их в уравнения, описывающие движение блоков внутри среды, примыкающей к граничным блокам, движение которых в этом случае задано. Когда в краевых условиях заданы силовые характеристики, то вывод уравнений движения для граничных блоков необходимо осуществить так же, как это было сделано выше, только при вычислении контурных интегралов на граничной части контура блока следует подставить заданное граничное значение вектора напряжений.
Список литературы
Аннин Б.Д., Ревуженко А. Ф., Шемякин Е.И. Механика деформируемого твердого тела в СО АН СССР 〃 ПМТ①.1987. Т. 28, №4. С. 66-86.
Аннин Б.Д. Механика деформируемого твердого тела в СО РАН в 1988-1997 годы 〃 ПМТФ. 1997. Т. 38, №4. С. 28-45.
Ревуженко А.⑦.，Стажевский С.6., Шемякин Е.И. О структурно-дилатансионной прочности горных пород 〃 ДАН СССР. 1989. Т. 305, № 5.
Сарайкин В. А., Степаненко М. В., Царева О. В. Упругие волны в среде с блочной структурой 〃 Физ.-техн, пробл. разр. полезн. ископаемых. 1988. № 1. С. 14-21.
Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Москва: Мир. 1969. 864 с.
Johnson K.L. Surface interaction between elastically loaded bodies under tangential forces 〃 Proc. Roy. Soc. (London) 230A. 1955. P. 531-548.
Демидов С.П. Теория упругости. M.: Высшая школа. 1979. 432 с.
Кильчевский Н.А. Теория соударений твердых тел. Л.-М.: ОГИЗ. 1949. 254 с.
ЭВОЛЮЦИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙПЛОСКОЙ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ
С. И. Сенашов, А.Н. Яхно
Сибирский государственный аэрокосмический университет,Университет Гвадалахары, Мексика
Известно, что под действием симметрии, допускаемой системой дифференциальных уравнений, решения системы дифференциальных уравнений переходят снова в решения этой же системы. Используя это свойство, в работе построены новые точные решения системы идеальной пластичности в двумерном случае, которые выведены из хорошо известных решений: Надаи и решения Прандтля.
Введение. Групповой анализ дифференциальных уравнений широко применяется в исследовании систем уравнений в частных производных. С помощью группы симметрий, допускаемых системой дифференциальных уравнений, можно получить информацию о внутренней структуре системы, построить инвариантные и другие классы решений [1]-[6]. Основным свойством симметрий, допускаемых системой, является то, что под их действием любое решение системы уравнений переходит опять в решение этой же системы. Используя это свойство, становится возможным получать новые решения не интегрированием исходной системы, а применением групповых преобразований к уже известными решениями. Таким способом найдены многие интересные решения для различных дифференциальных уравнений. Отметим, что этот путь является особенно эффективным, если группа точечных преобразований достаточно богата, например является бесконечномерной.
Пусть 夕(于)—решение системы дифференциальных уравнений, Sa — некоторая точечная симметрия, допускаемая этой системой. Под действием симметрии Sa решение 夕(于)преобразуется в решение этой же системы Sa^(x), которое назовем 5-решением, т. е. решение, полученное посредством симметрии. Это семейство 5-решений зависит от группового параметра а, и при а = 0 мы имеем начальное решение. Такая процедура называется «размножением» [4] или «эволюцией» решений, причем новое решение, как правило, будет удовлетворять новым граничным условиям.
Классическая система уравнений плоской идеальной пластичности исследуется уже на протяжении более 100 лет, но точных решений найдено не так уж много:
решение Л. Прандтля, описывающее сжатие пластического слоя, толщина которого значительно меньше его протяженности;
решение А. Надаи, описывающее осесимметрическое поле напряжений вокруг кругового отверстия;
спирально-симметрическое решение В. В. Гартмана-Б. Д. Аннина, которое можно интерпретировать как течение в канале, образованном двумя стенками в форме логарифмической спирали [5];
решение В. В. Соколовского-А. Надаи, описывающее течения в сходящихся каналах с прямолинейными стенками.
Все перечисленные решения широко используются для тестирования численных методов, позволяют оценить прочность различных элементов конструкций
и т. п. Поэтому новые точные решения, несомненно, будут полезны механикам, инженерам и всем специалистам, имеющим дело с использованием пластичности.
План статьи является следующим. Во втором пункте будут кратко даны основные понятия группового анализа и ряд известных результатов для двумерной системы уравнений пластичности, которые будут необходимы при построении 5-решений. В третьем пункте будет получено 5-решение для решения Надаи. Полученное семейство решений позволяет описать поле напряжений вокруг отверстий различной формы, в частности отверстия в виде улитки Паскаля.
В заключительной части будет построено преобразованное решение Прандля. Подробно рассмотрены те 5-решения, которые могут быть использованы для описания плоских течений, возникающих при сжатии пластического слоя жесткими плитами. Для них построены линии скольжения. Эти линии скольжения отличны от циклоид, полученных Прандтлем. Нами были выделены только те решения, которые ограничены по оси OY и в силу этого могут служить для описания пластических течений, возникающих при сжатии материала жесткими параллельными плитами. Как показали проведенные исследования, построенные решения описывают интересные эффекты, возникающие в пластическом слое. Можно надеяться, что с их помощью удастся описать сжатие не только тонких слоев, как в случае с решением Прандтля.
Точечные преобразования двумерных уравнений пластичности. Дадим неформально некоторые основные определения, необходимые для дальнейшего изложения. Для более точного и подробного ознакомления можно обратиться к [1, 2]. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями и = 〃(/, у), и = и(/, у):
F^x,y,u,v) = 0, F2(x,y,u,v) = 0.
Данная система допускает симметрию или однопараметрическую группу точечных преобразований:
力/ = f\x,y,u,v,a\ 尸 |а=о =力， J = f{x,y,u,v,a\ f\a=o = У，
优=g\x,y,u,v,a), d|a=o = ", J = g?(力,g, 〃,。, a), 921a=o = a
если система имеет тот же вид в новых переменных 力'，yf, 〃'，v'. Здесь a — малый параметр. Оператор
соответствует точечному преобразованию, если его компоненты удовлетворяют уравнениям Ли
T =力 1а=0=/,“1а=0 = У，
du 1dv 2 /I
击=〃，U |a=o =", 林=〃，。la=。=。・
Под действием допускаемой группы симметрий любое решение и = и(х, у), о = =。(力，у) исходной системы уравнений переходит в решение вида 〃‘ = и，(认 у), 。/ = 力-J), которое назовем 5-решением.
Рассмотрим классическую систему плоской идеальной пластичности с условием текучести Мизеса [8]:
Зох I дтХу —八 ЗТху I 3(Jy —八Q 十 -十 -U，ох оу ох оу
(。力-crJ + 4囁= 4",(1)
где(jx,(Jу, тху — компоненты тензора напряжений, к — постоянная пластичности. В переменных
。力=о — k sin 2仇 (jy = а + к sin 2仇 тху = к cos 2夕
система (1) имеет вид
AcNgAcNg||cos2^j =0,||cos2^j =0,2k 丁 cos 2J丁 sin 2J = 0, ox \ oxoy /
Ac
Ng
Ac
Ng
||cos2^j =0,
||cos2^j =0,
⑵
где a — гидростатическое напряжение, ^ + тг/4 — угол между первым главным направлением тензора напряжений и осью ОХ.
Известно [3], что система (2) допускает бесконечную группу симметрий. Ее подгруппа точечных преобразований порождается следующими операторами:
Xi = дх, X? = ду, Х3 = хдх + уду,
Х4 = -хду + удх + Зе, Х5 = %,
Хб = §а + &% + 4k靦-*舔,
X =池 + 〃％, где
£1 = —x cos 20 - у sin 20 - g*, & = У cos 20 - x sin 20 + /*,
⑷⑷a (£, 〃) — произвольное решение следующей линейной системы уравнений: 1Ь 2Mllc°s2J +卦in20)=O，
⑷
⑷
Преобразования, соответствующие каждому оператору (3), переводят систему (2) в себя. Так, оператору X соответствуют следующие преобразования независимых переменных:
xf = X + а<, yf = у + а〃， (5)
где а — произвольный достаточно малый параметр, (£, 〃) есть произвольное решение системы (4). Так как X является допускаемым оператором, то любое решение системы (2) под действием преобразования (5) переводится снова в решение этой же системы. Отметим, что здесь выписаны только те переменные, которые изменяются при преобразовании, остальные переменные опущены.
Эволюция решения, описывающего пластическое течение около кругового отверстия. Система （1） в полярных координатах （『，0） имеет вид
丄 1 37Г0 丄一 0ф _ e 3TГ0 丄 1 3。0 丄 27г0 _ e
齐 + 可 +丁 к 丁 = u,⑹
（X - СГ0）2 + 4成,=4/с2.
Рассмотрим решение А. Надаи [7]:
aФ）序（1 +，1-m2）кTу ⑺
тгф = km—, m = t/k.
Данное решение описывает пластичное состояние вокруг кругового отверстия радиуса R, вдоль которого заданы равномерно распределенное нормальное давление р и касательное напряжение тгф, равное t:
ar\r = R = —Р，Тгф\г = я = t
В декартовой системе координат это решение имеет вид
/ （8）
« + " ++ 炉）2 — 7n2 A4
а（х, у） = —p +/И 卜“ 1 —.
屈（1 +，1 -加2）
Возьмем решение системы （4） в виде
£ = асг + k（Q sin 2夕一/3 cos 2夕）+ G,
〃 =/Зег - k（Q cos2夕 + /3sin2夕）+。2・
Положим а = 1, /3 = О, G =夕，G = °：
£ = о + ksin2e + 夕，〃 = -kcos2 仇（9）
тогда преобразования （5） примут вид
力‘=力 + “о + ksin2e + 夕），yf = У — akcos26.（10）
В этом случае 5-решение, полученное из （8）, будет иметь вид:夕=夕（力‘，J）, a = =o（X，J）.
В важном частном случае, когда касательное напряжение тгф равно нулю: ar\r=R = —夕，Tr@\r=R =方=。，
решение （7） имеет вид
（Jr = -р + 2к\п^, о。= — p + 2k （1+111三），тгф = 0.（И）
В декартовых координатах решение (11) запишется так:
(12)(12)夕=arctg I + р cr = -p + k + kln / 2g .
(12)
(12)
Используя (10) и первое уравнение системы (12), будем иметь
cos 20—_ 2 (/++ ksin2。+ @))3 — akcos2。)
“2 + д/2(/ + 砒。+ 衣 sin 23 + j?))? (у — ak cos 20)?'
sin 26 — "2 — J? _ (/ + a(cr + k sin 23 + p))2 — (y — ak cos 2^)2 力/2 + /2(/ +。廿 + 衣 sin 2。+ @))2 + (y — ak cos 20)?
Решая последнюю систему относительно cos 2仇 sin 2夕 получим
cos 2"—2 g + g + 0—了) Sin2"(…(…-"(ж + а(сг + 0 - k)) + у(ж + а(сг + @ - к)) + у
Теперь для того чтобы получить 5-решение, необходимо подставить преобразованные переменные 力'，у' в решение (12). Поэтому, с учетом (10), функция 0 будет иметь вид
夕=arctg 斗 + ^ = arctg —(13)
Для функции а из второго выражения системы (12) получим
。一夕 + k _ k In 岳 + k 目叱(7 + 心 + 0))2 .号干. (14)
5-решение (13), (14) в полярных координатах запишется таким образом:
夕=arctg；1к + -,
r cos ф ++ р —4
(15)
о =—夕 + k — kin尺2 + km К； + 2aM…)3 +
г + 2aLe + 0 — k) cos 0 + a (cr + 0 — k)
откуда видно, что 5-решение (15) описывает напряженное состояние вблизи отверстия вида: г = R — 2akcos。，которое является улиткой Паскаля, с граничными условиями
^\r=R—2ak cos ф — 一夕 + 瓦 ^\r=R—2ak cos ф —。+ ”/4‘
где a — произвольный параметр. Из механического смысла значения параметра R ясно, что он должен быть больше или равным 2ak. При a = 0 имеем начальное решение (12). Если вместо (9) использовать решение системы (4) с другими значениями констант а, /3, G, С?, получим различные формы улиток Паскаля.
Размножение решения Прандтля. Запишем решение Прандтля [8] системы (2) в виде
а = —kx + к(1 - у?)"?, 2夕=arccosy.(16)
Соответствующие уравнения линий скольжений имеют вид
х = -2 夕 + sin 2夕 + Ki, у = cos 2 仇
力=2夕 + sin 2夕 + &, У = cos 2 仇
Утверждение. Под действием преобразований группы симметрий, порождаемой операторами (3), линии скольжения системы (2) преобразуются снова 6 линии скольжения этой же системы.
При преобразованиях (5) решение Прандтля преобразуется так:
а = —кх + к sin 20 + ак^, g = cos2J + a〃，(17)
и линии скольжения перейдут в следующие кривые:
g = cos2J + a〃， 5=1,2.виде〃 =/Зег + G(6Q, E⑼exp儀)，〃 =F⑼ sin 关 + G(6»)cos 关，〃 =F⑼ sinh 费 + G(6>) cosh 沐g = cos2J + a〃， 5=1,2.виде〃 =/Зег + G(6Q, E⑼exp儀)，〃 =F⑼ sin 关 + G(6»)cos 关，〃 =F⑼ sinh 费 + G(6>) cosh 沐(18)(19)(20)(21)(18)(19)(20)(21)х =干 2夕 + а£ + sin 2夕 + К,Решения системы (4) можно искать в£ = асг + F⑼,exp 每)，
g = cos2J + a〃， 5=1,2.
виде
〃 =/Зег + G(6Q, E⑼exp儀)，
〃 =F⑼ sin 关 + G(6»)cos 关，
〃 =F⑼ sinh 费 + G(6>) cosh 沐
g = cos2J + a〃， 5=1,2.
виде
〃 =/Зег + G(6Q, E⑼exp儀)，
〃 =F⑼ sin 关 + G(6»)cos 关，
〃 =F⑼ sinh 费 + G(6>) cosh 沐
(18)
(19)
(20)
(21)
(18)
(19)
(20)
(21)
£ = Q(6>) sin 关 +/3(6») COS 关，
§ = q(6>) sinh 差 + /3(6») cosh 沐
где функции /, g, а, /3, F, G определяются как решения соответствующих систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Легко видеть, что при преобразованиях (18) решение Прандтля не претерпит значительных изменений (таким образом, в этом случае нет новых решений). При преобразованиях (19), (21) решение переходит в решение, неограниченное по оси OY, поэтому в статье не будем рассматривать решения такого вида, так как они не могут быть использованы для описания пластического слоя, сжимаемого жесткими параллельными плитами.
Рассмотрим действие оставшихся преобразований (20) на линии скольжения. Подставляя (20) в систему (4), получим уравнения для определения функций а, G:
+ /3 cos 26» + G sin 26» = 0, 0 — а cos 20 - F sin 26» = 0,①？)
歹 + /3 sin 2夕-G cos 2夕=0, G‘ - a sin 2夕 + 歹 cos 2夕=0.
Продифференцируем каждое из уравнений (22) по 0. Тогда, с учетом (22), получим уравнения
а〃 + а + 2尸=0,歹〃 + 歹—2с/ = 0,(23)
/3〃 + /3 + 2G，= 0, G〃 + G — 2。= 0.
Действительное решение для a, F имеет вид
а = Ci cos (1 ±75)6> —。2 sin (1 ±7^)6»,
歹=а sin(l ± v5)6» + c2 cos (1 ± v5)6>,
где Ci, G — произвольные постоянные.
Тогда согласованное с ним решение для /3, G второй системы (23), с учетом (22) запишется так:
(3 = ^±V2)(С2 cos (1 干 а/5)6> —G sin(l 干 л/5)6>),
G = (1 士 д/5)(C2sin(l 干 л/5)6» + а cos(l 干 а/5)6>) •
Для простоты и наглядности рассмотрим случай, когда Ci = 1, С2 = 0, выбираем также всюду нижний знак, тогда (20) будет иметь вид
cos (1 - д/5)%Ь1- (1 - д/5) sin (1 + V5)Jcos
〃 =sin (1 - л/5)%Ь1 ^ + (1 - a/5) cos (1 + V5)Jcos 差.
Преобразованные уравнения линий скольжения примут вид
х =干2夕 + a [cos (1 - д/5 )夕 sin (±夕 + с^) - (1 - д/5) sin (1 + д/5 )0 cos (±夕 + с，] +
+ sin 2 夕 + Ki,
у = cos 2夕 + a [sin (1 - д/5)%Ь1 (±夕 + с, + (1 - д/5) cos (1 + V5)Jcos (±夕 + с/],
(24)(24)г = 1,2.
(24)
(24)
Из соотношений (24) видно, что у нового решения линии скольжения также будут ограничены по оси у, поэтому его можно использовать для описания пластических течений между двумя жесткими и шероховатыми плитами. При малых значениях параметра а построенное решение мало отличается от решения Прандтля и описывает пластическое течение тонкого слоя. С увеличением параметра толщина слоя увеличивается и становится равной примерно 2(Д + а), где Д — толщина первоначального слоя, а > 0. При больших значениях параметра а решение уже существенно отличается от решения Прандтля. Оно может быть использовано для анализа пластических течений уже не только тонких слоев материала. При этих значениях параметра частицы пластического материала перемещаются уже по более сложным траекториям, отличным от циклоид решения Прандтля.
В заключение приведем вид построенного нового 5-решения, полученного из решения Прандтля (16) преобразованиями (5):
а = —кх + аа = —кх + а[cos (1 - л/5)%Ь1 ^ - (1 - д/5) sin (1 + V5)Jcos 差]+ k(l[cos (1 - л/5)%Ь1 ^ - (1 - д/5) sin (1 + V5)Jcos 差]+ k(l
а = —кх + а
а = —кх + а
[cos (1 - л/5)%Ь1 ^ - (1 - д/5) sin (1 + V5)Jcos 差]+ k(l
[cos (1 - л/5)%Ь1 ^ - (1 - д/5) sin (1 + V5)Jcos 差]+ k(l
у = cos 2夕 + ау = cos 2夕 + а[sin (1 — д/5 )夕 sin 差 + (1[sin (1 — д/5 )夕 sin 差 + (1-л/5) cos (1 + л/5 )夕 cos-л/5) cos (1 + л/5 )夕 cos
у = cos 2夕 + а
у = cos 2夕 + а
[sin (1 — д/5 )夕 sin 差 + (1
[sin (1 — д/5 )夕 sin 差 + (1
-л/5) cos (1 + л/5 )夕 cos
-л/5) cos (1 + л/5 )夕 cos
где а — произвольный параметр.
Список литературы
Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.
Кир яко в П.П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск, Изд-во СО РАН, 2001.
Senashov S.I.,Vinogradov А.М., Symmetries and conservation laws of 2-dimensional ideal plasticity 〃 Proc. Edinburgh Math. Soc. 1988. V. 31. P. 415-439.
Vinogradov A.M., KrasiUshchik /. S., Verbovetsky A.M. Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics, Monograph, Amer. Math. Soc. 1999.
Аннин Б.Д., Бытев В. О., Сенашов С.〃，Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1985.
Senashov S.I., Yakhno A.N.: in Modern Group Analysis VII, Developments in Theory, Computation and Application, MARS Publishers, SYMMETRY Foundation, N-7034, Trondheim, Norway. 1999. P. 149.
Качанов Л.М., Основы теории пластичности, М.: Наука, 1969.
Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001.
ЗАДАЧА ОБ УСИЛЕНИИ ПЛАСТИНЫС ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ВЫРЕЗОМ ПОСРЕДСТВОМНАКЛАДКИ
В. В. Сильвестров, А.Ю. Землянова
Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова
Методами теории функций комплексного переменного получено аналитическое решение задачи теории упругости о подкреплении бесконечной пластины с эллиптическим вырезом при помощи конфокальной эллиптической накладки, присоединенной к пластине жестко вдоль своей границы и вдоль границы выреза. На численных примерах рассмотрена зависимость напряжений в пластине и накладке от упругих и геометрических параметров, приведены графики.
В научной литературе подробно рассмотрены способы ремонта и усиления пластины с трещинами при помощи двумерных накладок [1-20], присоединенных к пластине вдоль своей поверхности [1-14], дискретно в отдельных точках [1416] или непрерывно вдоль кривых [17-20]. Подкрепленные стрингерами пластины с трещинами изучены в работах [11, 16, 21].
Задача о круговом вырезе в бесконечной пластине была решена в замкнутой форме много лет назад [22]. Обобщение решения на случай эллиптического выреза можно осуществить с помощью конформного отображения или найти иными способами [22]. В работах [10, 23, 24] изучены различные способы усиления пластин с круговыми вырезами при помощи накладок, приклеенных к пластине вдоль своей поверхности. Пластины с вырезами, подкрепленными вдоль своих границ ребрами жесткости, изучаются в [25, 26]. Задачи о ремонте кругового выреза в бесконечной пластине с помощью концентрической круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы или вдоль некоторой концентрической с ней окружности, рассмотрены в [27, 28].
Постановка задачи. Рассмотрим тонкую упругую бесконечную пластину S толщины Д с эллиптическим вырезом, усиленную тонкой упругой эллиптической накладкой Sq толщины 九о, полностью покрывающей вырез и расположенной конфокально с ним （рис. 1）. В плоскости комплексной переменной z = х + гу пластина S занимает внешность эллипса Г. ж2/а2 + y2/b2 = 1 （а〉Ь）, а накладка So — внутренность эллипса /о： ^2/^о + 寸咪=1 （"о > Ьо, а。〉а）. Фокусы 2 = =±с эллипсов I и /о совпадают: а2 — 1^ = 0^ — Ъ^ = с2. Накладка присоединена к пластине жестко вдоль своей границы /о и границы выреза I. Пластина и накладка являются однородными, изотропными и имеют модули сдвига и коэффициенты Пуассона 〃，^ п 仰，％ соответственно.
Пластина на бесконечности растягивается расположенными в ее плоскости главными напряжениями ai и 。2, действующими в направлениях, составляющих с положительным направлением действительной оси углы а п а + тг/2 соответственно, вращение на бесконечности пластины считаем равным нулю.
Линиями соединения пластина разбивается на области Si и S2, а накладка — на области S3 14 s4, где Si — конфокальное эллиптическое кольцо между эллипса-
Рис. 1Рис. 1
Рис. 1
Рис. 1
ми I и /о, S2 — внешность эллипса /о, S3 — внутренность эллипса I, а область S4 совпадает с
взаимо- условиявзаимо- условияПоверхности пластины и накладки касаются друг друга без трения, действуют только через линии соединения I и /о, на которых выполняются неразрывности смещений точек пластины и накладки:
взаимо- условия
взаимо- условия
(1-1)(1-1)(“ + 沁)i ⑴=(〃 + w)3(t) = (〃 + 沁)4 ⑴，tel,
(1-1)
(1-1)
(" + w)i(t) = (" + 沁)2⑴=(" + 沁)4⑴，方 G /0， и условия равновесия
(1.2)и К —(1.2)и К —h(Xn + iYn) i (t) + hQ(Xn + iYn)4(t) = hQ(Xn + 〃％)з ⑴，tel,
(1.2)
и К —
(1.2)
и К —
h(Xn + 〃％)i⑴ + ho(Xn + 分％)4⑴=h(Xn + zl^)2(t), t 6 Iq, где (〃 + 5o)(方)—вектор смещения точки t пластины или накладки, Хп
горизонтальная и вертикальная компоненты вектора напряжений, действующего на касательную площадку к линии I (или /о) в точке 方，а индексы к = 1,2, 3,4 соответствуют значениям того или иного параметра со стороны области S^. Все напряжения, здесь и далее, берутся в расчете на единицу толщины пластины или накладки. Считаем, что изгиб и другие пространственные эффекты концентрации напряжений на линиях соединения, а также в остальных точках пластины и накладки, пренебрежимо малы. Пластина и накладка находятся в условиях обобщенного плоского напряженного состояния, которое и требуется определить.
Решение задачи. Методом степенных рядов в сочетании с методом конформных отображений сведем задачу к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.
Вид комплексных потенциалов. Напряжения и смещения в каждой из областей Sk (k = 1,2, 3, 4) выражаются через две аналитические в соответствующих областях функции 夕卜(2),⑦认？) (комплексные потенциалы) по известным формулам Колосова-Мусхелишвили [22]. Функции 夕3(2), *(2) однозначны в области S3, а остальные функции можно представить в виде
夕 1（2）=—创 Ь1^（2）+ 夕 10（2）,夕 1（2）=—创 Ь1^（2）+ 夕 10（2）,夕 2（2）= Г2 + °20（2）,夕4（2）= 一。4 1П ^（2）+ 夕40（2）,夕 2（2）= Г2 + °20（2）,夕4（2）= 一。4 1П ^（2）+ 夕40（2）,⑦ 1(2)=庆必 1П^(2)+ ®0(2), 2 6 Si, 次⑶=「2 + 次0(2),2 G S2,(2.1)
夕 1（2）=—创 Ь1^（2）+ 夕 10（2）,
夕 1（2）=—创 Ь1^（2）+ 夕 10（2）,
夕 2（2）= Г2 + °20（2）,
夕4（2）= 一。4 1П ^（2）+ 夕40（2）,
夕 2（2）= Г2 + °20（2）,
夕4（2）= 一。4 1П ^（2）+ 夕40（2）,
矽4(2)=左0g4 1n^(2)+^40(2),2 6 S4,
Г = ^|^，Г，= ^f^e-2-,庆=丫，伙=*，
421 + 沙1 + %)
где w(z) = (2 + a/N — с? )/с, функции 夕卜0(2),⑦卜。.)(k = 1,2, 4) аналитичны и однозначны в области S^. В этих представлениях у функции "* — & берется та ветвь, которая однозначна в плоскости с разрезом по отрезку [—с, с] и при больших 2 ведет себя как 2. Так как приращение функции Inw(^) вдоль любого замкнутого контура /* С S1US2, охватывающего вырез, равно 27r5, то Inw(^) имеет тот же характер многозначности, что и 1п(2 — 2°) с фиксированной точкой zq внутри эллипса I. Йз равенства главных векторов сил, действующих на линию соединения I (или /о) слева и справа соответственно, следует
(2.2)(2.2)Д(1 + а)0и + 九0(1 + 左 0)a4 = 0.
(2.2)
(2.2)
Конформное отображение на кольцевые области. С помощью функции Жуковского [29] 2 = s(q) = c(q + 】)/2 перейдем от плоскости комплексного переменного 2 к плоскости комплексного переменного q = w(^). Функция 2 = s(q) осуществляет конформное отображение кругового кольца S；: R V |q| V Ro (兄=
=(а + \@ - & )/с, Rq = (ао + у «о - с2 )/с) на область Si, области S$: |q| > Rq на область S2, кругового кольца Sj: 1 < |<;| < i? на область S3 с разрезом по отрезку [—с, с], области Sj: R V |q| V Rq на область S4 (рис. 2). При этом границе выреза I
Рис. 2Рис. 2
Рис. 2
Рис. 2
соответствует окружность Е: |^| = R (R > 1), границе накладки /о — окружность Z/o： KI = Rq (凡 > R), а разрезу [—с, с] — единичная окружность ® = 1, причем точкам х + гО и х — гО на берегах разреза соответствуют точки q п《на верхней и нижней полуокружностях: Imq V 0, Imq〉0 n |q| = 1, Imq V 0. Вершины 2 = ±с разреза перейдут соответственно в точки q = ±1.
В новой переменной q вектор смещений (〃 + 分0)卜(2)в точке z Е S^ и главный вектор (X + iY)ZkZ напряжений, действующих справа на дугу 2k2 С 5卜(2卜— фиксированная точка), выражаются через комплексные потенциалы следующим образом:
2〃М〃 + 沁)k(2)= -成©, (2.3)
{X^iY)ZkZ = -i{X^iY)ZkZ = -i+ 3|К+ 3|К2 G Sk, k = 1,2, 3,4,2 G Sk, k = 1,2, 3,4,
{X^iY)ZkZ = -i
{X^iY)ZkZ = -i
+ 3|К
+ 3|К
2 G Sk, k = 1,2, 3,4,
2 G Sk, k = 1,2, 3,4,
「де S = ^(2), ，k = 1/7(2k)，K1 =儿2 =左，从1 =从2 =从，儿3 =左4 =左0，从3 =从4 =从0，以
加© =0k(s(C)=0к⑶，瞬© =以0(0)=以⑶(2.4)
—аналитические в S^ (k = 1,2, 3, 4) функции.
Функции 夕式s),期© аналитичны и однозначны в кольце Sj. Кроме того, в силу указанного выше соответствия между точками разреза [—с, @ и окружности К| = 1 они на этой окружности должны удовлетворять условиям 夕^(s)=夕^(G), 屮认0 = V^(G). Так как G = q~】при |q| = 1, то для выполнения последних условий комплексные потенциалы представим в следующем виде [22]:
М© = Е薪з(J +〕3 喔© = £现з(J +s е ^,(2.5)
п=0п=0
где спз, b冷з — неизвестные комплексные постоянные. Переобозначив 2Ьоо —匕20 = =“00，^п0 — ^(п+2)0 = ^п0，ПОЛуЧИМ
8 п—п—28
喔© = £九二[2= e加(「-S e(2.6)
n=0 In=0
夕;© = -ailns+ £ cnKn,
2；(s)=庆Gi Inq + doi +2；(s)=庆Gi Inq + doi +cc2J©2J©n^0n^0^2М = ^ + Ес_п2^^2М = ^ + Ес_п2^n=0n=0賜 © = ^^ + “02 +賜 © = ^^ + “02 +cc2J©2J©(2.7)(2.7)
2；(s)=庆Gi Inq + doi +
2；(s)=庆Gi Inq + doi +
c
c
2J©
2J©
n^0
n^0
^2М = ^ + Ес_п2^
^2М = ^ + Ес_п2^
n=0
n=0
賜 © = ^^ + “02 +
賜 © = ^^ + “02 +
c
c
2J©
2J©
(2.7)
(2.7)
/© = -a41ns+ £。冷4厂,
⑦;(0 =庆 o@4 1ns + 厶4 +⑦;(0 =庆 o@4 1ns + 厶4 +cc2J©2J©£ 源4 J, n^0£ 源4 J, n^0
⑦;(0 =庆 o@4 1ns + 厶4 +
⑦;(0 =庆 o@4 1ns + 厶4 +
c
c
2J©
2J©
£ 源4 J, n^0
£ 源4 J, n^0
«Специальная» форма рядов для функций 脾(s) взята с целью получения более простых уравнений для нахождения коэффициентов рядов.
Система уравнений для коэффициентов рядов. На основании формул (2.3) условия (1.1) запишем в виде
E к = 3, 4,
——(2.8)
庆依© - ^^夕紋© -瞬© = 〃丁卜0，© 一 ^^加© -麻©)
从* = 从0/〃，s e Eо， к = 1,2.
Аналогично, из условий (1.2), интегрируя первое по дуге эллипса I от точки 21 = а до точки 2 6 I против часовой стрелки, а второе — по дуге эллипса /о от 2о =。0 “О 2 G /о, получим
+亡у(依9 +斯时9+嘅9)=6-5
(2.9)
где Ci и Q суть значения левых частей первого и второго равенств в точках q = R и(; = Rq соответственно.
Предположим, что ряды (2.5)-(2.7) сходятся равномерно в соответствующих областях S^ вплоть до их границ и допускают почленное дифференцирование, причем полученные при этом ряды также сходятся равномерно. При выполнении этих условий, подставив ряды (2.5)-(2.7) в условия (2.8), (2.9), предварительно умноженные на шг^\ получим для нахождения неизвестных коэффициентов cnk, dnk, п = ±1,±2,рядов, бесконечную систему линейных алгебраических уравнений, первые из которых имеют вид
—从*(2庆。1 Ink + /■€(?—21 (R 4 — Rq — <zi(_R 2 —尺о 2)+ 2c2](_r2 —尺^))=
=—2/^o^4 In к — /^о。—24(R 4 — J?。4) + СЦ(R 2 — _R。？)— 2c24(А?—尺^),
N*(K^2、R4 - /^_21r一4 +a1(R2 + R一') - 2c21r2 + 2c_21h一2 - d_2i)=
=询勿3(兄4 -_ 2c23(R2 _2)=
=儿0e24h4 -左0e-24h 4 +a4(R2 + R ?) - 2c24Н2 + 2c_24h2 - d_24, 九丁伍 21 尺 4 - C_21 -R-- a1(尺2 + 尺_2) + 2c21尺2 - 2c_21 -R-+ d_21) +
+ 己24h4 一 ㊀一24R一4 一a4(r2 + r一2) + 2c24a2 一 2c_24h一2 + d_24 =
= c23(R4-R-4)+2c23(R2-R-2),
就21 鳳—KC—^Rq 4 + tti (您 + Rq 2) — 2c21 爲 + 2c—21% 2 — d_2i =
=-必一22r丁4 + 2c一22h「一 d_22 =
=从丁 (左0己24鳳-^OC-24^o"4 +a4(加 + r丁2)- 2c24R^ + 2c一24h「一 "一24), C21^o _ d—21 н0 4 - a \ (i?Q + #0 2) + 2c21 8^ _ 2c-21 н0 2 + d一21 +
+ 九* 伍24尺小一"248丁4 - a4(尺^ + 尺「)+ 2c248^ — 2c-248丁2 + d-24)=
从*(庆ciiR - kc_\\R~3 - SiR + d_iiR—3 - 5_цД-1)=
=а053(8-8_3) - e13(Д -8_3)=
=左 0e14r一左 0e_14h一3 - C14^ + 己一14r一3 - d-14^-1, 九* 1 (2 ReCj 1R - 2 Rec_jjR ° + d—nR〔)+
+ 2 Re c\^R — 2 Re c_\^R~^ + d_= 2 Re ci3(_R —
庆。11兄0 — hc—\\Rq — c\\Rq + 己_11兄0 ° — d—iiR。1 =
=ас(ГНос/2 — c_i2% °) — VRqc/2 + "12兄0 ° + Г&о Z/2 — d_i2% =
=从丁 (左054凡-I^qC-^Rq3 - C^Rq + d—14h)3 — %-14r丁1), 2 Re с” Rq - 2 Re c_ 11 Rq ^ + d_ 口 兄。+ 九* (2 Re c^Rq - 2 Re c_ \^Rq ^ + d_ 弘兄。)=
=Re ГRqc - 2 Re C—i^R^ - i c/2 + d_ 12兄()〔, 从*(必—uRT -左乙31兄一5 — Зс31Д3 - cuRT - dnR)=
=儿0己13h一 1 -儿 0己33h15 - 3e33R3 一 e13^-1 -山3R=
=庆0^—14兄—1 - KqC_34R~5 - Зс34^3 - C14^-1 -山4兄, 忆 1("iiRT - C-31^-5 + Зсз1Д3 + cnR~{ +dnR) +c_i4^-1 - c_^R~^ +
+ Зс34д3 + c^R-1 + 山4H = c^R-1 - сзз^-5 + ЗсззН? +。奥兄一】+ ^1зД KC-\\Rq 1 — ACC-31 i?0 5 — 3°31 蜀—Си Rq 1 — du Rq =
=庆"12% 1 —庇-32% 5 — ri?Q ^c/2 — j?fRqc/2 =
=从* 1(Ло"14% 1 —庆о"34% 5 — 3。34蜀—54% 1 — d^Ro), C-uRq 1 — C_3ii?0 5 + 3°3i爲 + С”％ 1 + 山1兄0 + 九*伍—14% 1 —己一34% ° + Зсз4^о +
+e14r]+ 山4凡)=- C-32^o"5 + TR^c/^ + rfR()c/2, 从*(儿e31h3 -左51r一1 + c_nR-x + 3e-31Д-5 - %—31R-3)=
=儿 0。33甯-儿 0。13『1 + 引3R一1 + зе3з^-5 + 加323 =
=儿0034岳-左0口4r一1 + e-14^-1 + зe-34^-5 — %—34h一% 届 1(。31岳—C11RT - c_nR~{ - Зс-31^-5 + %—31R—3) +
+ C34^3 - C14^-1 - C-14^-1 - 3己—34尺—5 + d_^R~3 =
=с33Д3 - 53兄一1 — C13^-1 - 3c33R-5 - %3兄一3,
^e31^0 -左e11/ 1 + 己一11h0 1 + 3c-3ii?o 5 - 不一31h0 3 =
=—庆 ГН[с/2 + 乙12兄]+ Зё-32^о"5 — d-32^o"3 =
=从* 1(左0。34蜀一左0。14h0 1 + "14% 1 + 3d—34/ 5 - %一34% 3),
e31 蜀-51砲1 - C-iii?^1 - 3ё-31 ^0-5 + 不一31 砲3 +
+ 伉(。34蜀-54^1 — "14成1 — Зс-34^5 + S-34^3)=
=-ГН[с/2 - ё-12^1 - Зс_з2^5 + %一32兄丁з, к = R/Rq.
(2.Ю)
Остальные уравнения системы имеют вид
从*(庇—5—2)1 岳—"-me_niR—n-2 — nCnR - (n - 2)。(吋2)1尺吋4 — d(n-2)l^n-2)==^0C(n-2)3^2-n — ^0Cn3^-n-2 — ПСпзН1 _ (—=
=^0C-(n-2)4^2-n — ^0С-п4^-П-2 — ПСП4^П —(П — 2}c^n_2^Rn~4 — dg—ZxRC,
忆 1 伍一(冷一2)1 岳—72 — e_n\R-n-2 + TlCn\Rn + (n — ^C^n^iBJ1-^ + ^(n-2)l^n-2) +
+ C_(n-2)4^2-n — C-n^R~n~2 + TlCnaRn + (八—4 + ^(n-2)4^n-2 = =C(n-2)3^2-n — СпзД-П-2 + ПСпзДП + (八—Z^S—Z/R72—4 + ^(n-2)3^n-2,
!^-(п-^\^~П — ^С_п\К^П~^ — TlCn\RQ — (n — 2)。(冷一2)1 硝—4 — ^(n-2)l^o=
=M71 (^OC-(n-2)4^o П 一儿0"几4% П 2 - ncn4^0 -(八一2)0(九_2)4r片4一
-d(九_2)48彳_2),
e-(П-2)1^о-П - C-nii?^n-2 + TlCniRg + (八一2)0(几_2)1r厂4 + "(八一2)1r厂2 + + Д*(е-(П-2)4^о П -"九4r0 П 2 + hеП4^0 + (八-2)0(九一2)4矶4+ 匈九一2)4r彳 2)=
kEn'Rn - /€С(п-2)1ДП-4 + (八—2)乙⑺—2)1^2—" + njiRf-2 — ^_п1Д-п)=
=”3即-^oc(n-2)3^n-4 + (八—2)q『2)3岳f + ncn3R-n~^ + d{n_^R~n =
=^0cn4^n - АСое(п-2)4^П 4 + (2)"(九一2)4序"+ 八"九4r 72 2 - d_n4^
九丁&iR72 — CS/lR72—4 —(八—2)c_(n-2)l Д2-П — Т1С-п\К~П~^ + d—n\Rf) +
+ cn4Rn - с(п_2)4Дп-42) J 吁 2)4 岳 f - nc_n4^-n~2 + df/f =
=Cn3Rn -e(吁2)3犷T一(八一2)e(П-2)3Д2-П -%「2)38一九，
KCnlRg - KC(n_2)lRg 4 + (n — 2)c_(n-2)i^o П + ^C_nii?0 n 2 — d_nii?0 n =
=2) J吁2)2屋f + 八2h不一2 - S-n2^n =
=从；1(左0e九4h行一片0。(八一2)4r片 4 +(n - 2)c_(n-2)4^o " +
+ nc^R-n~2 -d^R~n\
Cnl^o — с(п-2)1^о 4 _ (八 _ 2)乙(冷一2)1 尺:п - Tl^—nlR0 n 2 + d_n\RQ n +
+ ^*(cn4^o — c(n-2)4^o-4 — (n — 2)c_(n-2)4^o-n —冗已一冗止尸-?十 724Ho=
=—(八——八"^兄丁72—2 + 5_п2^о"П,八=4, 5,…
(2.11)
К системе (2.10), (2.11) необходимо также присоединить уравнение (2.2).
Полученная система, путем выделения вещественных и мнимых частей уравнений, а также уравнений для неизвестных cnk, dnk с четными и нечетными индексами 八 соответственно, распадается на четыре отдельные системы. После решения этих систем, для нахождения 8 свободных членов сок, dok, k = 1,2, 3,4, рядов (2.5)-(2.7) будем иметь три линейных уравнения:
从*(-2或 1 InR + KCqi -儿乙21R一4 +a1h一2 - 2c21A2 -厶1)=
=2儿0^03 -儿0己23h 4 - 2c23序-d03 =
= 一2/^o^4 In R + /^оОи 一а0С-24h 4 +a4h 2 一 2c24R2一心)4,
一2度01 In Rq + ACC01 -儿己一21h0 4 +a1r0 2 - 2c21r^ - <^01 =就02 -庇一22h0 4 - ^02-
(2.12)
При заданных напряжениях комплексные потенциалы (2.4) определяются с точностью до комплексных слагаемых. Замена функций 夕^(s) и V^(s) функциями 夕以S)+ С^ и V^(s) + D^ соответственно, не меняя напряженное состояние области 5卜，изменяет перемещения точек области Sk на один и тот же вектор, вообще говоря, разный для разных областей. Требование совпадения перемещений точек разных областей на их общих линиях соединения I и /о накладывает три условия (2.12) на слагаемые С^, О^. В силу этого 5 из этих слагаемых можно выбрать произвольно. Следовательно, за счет их подобающего выбора всегда можно добиться
(2.13)(2.13)Coi = C02 = Соз =。04 = &04 = 0,
(2.13)
(2.13)
после чего остальные постоянные doi, d°2 и d°3 находятся из уравнений (2.12).
Сведение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений к квазирегулярной. Матрицы бесконечных систем, получаемых из системы (2.2), (2.10), (2.11) разделением вещественных и мнимых частей неизвестных, имеют ленточную структуру. Для определенности рассмотрим систему для вещественных частей неизвестных. Введем новые неизвестные
41 =戸Rgcni,"冷1 = Ti^Rq dni, C—hi =相R nc_ni, hi =八3" nd_n\,
0—^2 =戸R。冷2,"—712 = Rq nd_n2, c冷3 =戸R^Cns, d冷3 = Rndn^,
八》1.八》1.cn4 =戸R^°n4, dn^ = ti^Rq dn4, c_n4 = n^R nc_n^, d—冷4 =戸R nd_n^,
八》1.
八》1.
(2.14)
Тогда полученные из (2.11) однородные вещественные уравнения в матричной форме примут вид: Gnx = 0, где
674 в・в. сильбестрор А・ю. Земляяо8a
( _4*▼一4
S — 2)4必
0
5 — 2)4
从*现
0
一现0 ("2)5
0
5 — 2)5
5 — 2)3
("2)3
n-2-伙а6-2九
0
从*现
0
0
—4*k九一2
]
0
S — 2)4抬
(n - 2)5序
5 — 2)5
5 — 2)3
("2)3
2-n-章-2九
LaJ
廿
0
1
葭我-2
—1
衣1
(几一2)4/
(n - 2)5序
5 — 2)4
5 — 2)5
("2)5
5 — 2)3
("2)3
("2)3
5
0
0
ккп~2
0
—1
0
0
5 — 2)4
5 — 2)5
("2)5
5 — 2)3
0
0
0
0
0
5 — 2)4
("2)5
("2)5
(「У
隔2
0
А* А) 2
-1
伍屮-2
1
0
h*
5 — 2)4
5 — 2)4
5 — 2)5
5 — 2)5
5 — 2)5
5 — 2)3
("2)3
—4*现k九一4
现0 一 (" 2)章-2П
0
从*
0
0
0
—2n
0
2)5抬
(n - 2)5序
5 — 2)4
("2)3
—从*现k九一4
0
从*
0
—1
0
0
0
S - 2)5必
(几—2)5Яо
("2)4
5 — 2)4
1 + (" 2)章-2九
一k1隔2
0
—1
0
屈一2n
0
S - 2)5抬
(n - 2)5序
5 — 2)5
("2)4
5 — 2)4
("2)3
-片区0 2
0
0
—1
0
0
0
0
5 — 2)5
5 — 2)4
5 — 2)4
0
0
-同0尺0
0
—1
0
0
0
("2)5
5 — 2)4
5 — 2)4
0
-h*RN?
-1
1
-h^kn~2
0
0
0
\ ("2)5
("2)5
5 — 2)4
5 — 2)4
5 — 2)4
R飞R飞三3
о
о
о
。
о
。
о
窓 кг IOM 金 кг
о
。
о
。
。
RA ft 在飞
金*3——
ft
金*?7——
。
。
о
。
Ig
о
о
о
о
о
。
о
。
。
о
。
о
о
о
о
。
о
о
о
о
Л
о
о
о
。
о
о
。
о
о
о
。
но 金 + u Z —音—Qт
о
。
。
—действительная матрица порядка 12 х 18, а
X = Re 卜/冷—2)1， c(n-2)3， c(n-2)4， c-(n-2)b c-(n-2)2， c-(n-2)4， ^(n-2)b
1 a(n—2)3» a(n—2)4»冷1，冷2，冷4， nl»п2» п4у
—действительная часть неизвестного вектора-столбца размерности 18. Неизвестные компоненты вектора х с d_^n_^x по dln4 в основной системе (2.2), (2.10), (2.11) расположены по диагонали. Разрешив систему Gnx = 0 относительно действительных частей этих неизвестных, получим новую систему следующего вида:
676 в・в. сильбестрор А・ю. Земляяо8a
С-(п-2)1
£11
£12
/3
(n -2)5 丄
0
("2)5
£15
С-(п-2)2
£21
£22
£23
£24
£25
С-(п-2)4
£31
£32
£33
£34
0
("2)5
^^+£35
%—2)1
2(i/「「
/+£41
("2)2
£42
£43
£44
0
£45
C(n-2)1
%1
2（1-几）尸「
%3
£54
0
£55
("2)2
C(n-2)3
%—2)4
%2
2（i）A「+%3
%4
0
%5
C(n-2)4
Cnl
£72
£73
£74
0
£75
C-nl
Cn3
宴1
nR~2 1
宾3
宾4
0
£85
C-n2
Cn4
£91
£92
+£93
£94
0
£95
£10,1
£10,2
/0,3
2(n- 1),
0
/0,5
<п2
2(n- 1)
71,1
£11,2
/1,3
£11,4
£11,5
^-п4 丿
、/2,1
/2,2
£12,3
£12,4
0
2(n-l).,
где 八=4, 5,, а через £叮 обозначены элементы матрицы, убывающие при 八—оо не медленнее, чем п-2. Поэтому начиная с некоторого номера 八 сумма модулей коэффициентов при неизвестных в правой части каждой фиксированной строки данной системы будет меньше 1 — £ с некоторым £〉0 при всех 1 < R < Rq.
Следовательно [30], при любых 1 < R < Rq бесконечная система, составленная из уравнений (2.2), (2.10) выделением их вещественных частей и из преобразованных систем Gnx = 0,八=4, 5,..., является квазирегулярной относительно действительных частей неизвестных (2.14). Аналогичное утверждение справедливо и для системы, полученной из уравнений (2.2), (2.10), (2.11) выделением их мнимых частей, а значит, и для системы (2.2), (2.10), (2.11) в целом.
Так как столбец правой части бесконечной системы (2.2), (2.10), (2.11) содержит лишь конечное число отличных от нуля компонент, то эта система относительно неизвестных (2.14) имеет единственное ограниченное решение, которое можно найти методом редукции или методом последовательных приближений [30]. Тогда бесконечная система (2.2), (2.10), (2.11) имеет единственное решение сп^, dnk, которое в силу ограниченности чисел (2.14) удовлетворяет неравенствам
|cni I < NR-nn~\ |%11 W NR~nn~\
|c-ni I < NRnn~\ |d_ni I < №犷厂3,
|c-n2| < NR^n~\ |d_n2| < W>-3,
|спз| < NR-3,%з| < NR~nn~\(2」5)
|cn4| < NR-nn~\ %4| < NR~nn~\
|c-n4| < NRnn~\ |d_n4| < №犷厂3,
N = const > 0, 八=±1, ±2,...
Выполнение условий (2.15) обеспечивает абсолютную и равномерную сходимость рядов (2.5)-(2.7) в соответствующих областях S^ (k = 1,2, 3,4) и на их границах, а также возможность почленного дифференцирования этих рядов. Таким образом, все произведенные в ходе решения задачи действия с рядами (2.5)-(2.7) корректны.
Распределение напряжений в пластине и накладке. Согласно [22] напряжения ах, ау, тху в точке z Е S^ находятся по формулам
9п —。力 + 25%Jk(2)=夕款© - J©夕^©) +，
^x + crjk(2)= 4Re[夕^/©/J©], 2 G 氏，k = 1,2, 3,4,
где q =(2 +「2 —経)/c и функции 夕Ms),瞬© даются рядами (2.5)-(2.7), коэффициенты которых находятся из системы уравнений (2.2), (2.10), (2.11) и равенств (2.12), (2.13). В силу неравенств (2.15) члены рядов, через которые выражаются производные 夕？(0, 戌〃(0 и 賦'«), убывают при 八— оо как 八一匕 八—з и 八—2 соответственно, независимо от расположения точки q G S^. С учетом этого в числовых расчетах брались усеченные ряды с 20 членами, что обеспечивает точность вычислений порядка 10-10. Численные расчеты проводились
для пластины и накладки одинаковой толщины Д = До с упругими параметрами 从=73 МПа, у = 0.42 п 仰=40 МПа, %)= 0.37 соответственно. Пластина на бесконечности растягивается напряжением а\ = о, действующим под углом 45° к действительной оси при нулевых остальных силовых данных. Большие полуоси эллипсов, служащих границами выреза и накладки, равны а = 1.1 с и а° = 1-2 с соответственно.
На рис. 3 сплошными линиями показана форма, которую принимают граница выреза и граница накладки под действием приложенной нагрузки, а штриховыми линиями — их исходная форма. Для наглядности смещения точек взяты с коэффициентом 〃/(8о с).
沙/c
Рис. 3
На рис. 4 приведены графики напряжений на верхних половинах линий соединения Z и Zo в зависимости от полярного угла 夕=arg 2 (0 ^ ^ ^ тг). Напряжения на нижних половинах этих линий (—тг < 夕 < 0) распределены симметрично. На рис. 4, a-в изображены графики нормального ап и касательного тп напряжений, действующих на касательную площадку к линии соединения I, и нормального напряжения as, действующего на нормальную площадку к этой линии; рис. 4, г-е соответствуют тем же напряжениям на линии /о- На всех рисунках, здесь и далее, цифры к = 1,2,3,4 обозначают графики того или иного напряжения со стороны области Sk, а цифра 5 — графики напряжений в пластине при отсутствии накладки. Легко видеть, что наличие накладки приводит к перераспределению напряжений на линиях Z и /о- В частности, значительно (почти в 3 раза) уменьшается нормальное напряжение as, действующее на границу выреза.
На рис. 5-7 приведены графики максимальных по абсолютной величине значений напряжений на границе выреза (рис. а—в) и границе накладки (рис. а—е) в зависимости от угла а направления растяжения пластины на бесконечности (рис. 5), от отношения △ = (а° — а)/с (рис. 6) и отношения 从* = 从о/〃 модуля сдвига накладки к модулю сдвига пластины (рис. 7). Во всех этих случаях геометрические, упругие и силовые параметры задачи, за исключением одного изменяющегося параметра а, или А, или 从*, взяты такими же, как и выше. В случае отсутствия накладки max |crs|/a на границе выреза при растяжении пластины на бесконечности напряжением сп = о под углом а = тг/4 равен 4.011 и достигается в точке с полярным углом J* = 0.962 тг, а напряжения ап и тп равны нулю. Из графиков видно, что накладка уменьшает напряжение as на границе выреза.
ап/а на Iаап/а на Iа
ап/а на Iа
ап/а на Iа
если направление действия большей полуоси эллипса I.если направление действия большей полуоси эллипса I.Наибольший подкрепляющий эффект достигается, напряжения с^ на бесконечности перпендикулярно
если направление действия большей полуоси эллипса I.
если направление действия большей полуоси эллипса I.
Список литературы
Erdogan 尸.，Arin К. A sandwich plate with a part-through and debonding crack 〃 Engineering Fracture Mechanics. 1972. V. 4. P. 449-458.
Keer L.M., Lin C. 7., Mura T. Fracture analysis of adhesively bonded sheets 〃 Translations of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1976. V. 98, № 4. P. 652-656.
Rose L.R.F. A cracked plate repaired by bonded reinforcements 〃 International Journal of Fracture. 1982. V. 18, №2. P. 135-144.
07г/67г/3 тг/2 07г/67г/3 тг/2
max|crs|/(T на I6max"以/ст на Igd
Chandra A, Guruprasad К. Numerical estimation of stress intensity factors in patched cracked plates 〃 Engineering Fracture Mechanics. 1987. V. 27, № 5. P. 559-569.
Rose L.R. F. Theoretical analysis of crack patching 〃 Bonded Repair of Aircraft Structures. Martinus Nijhoff Publishers, 1988. P. 77-105.
Chue C.H., Chang L. C., Tsai /. S. Bonded repair of plate with inclined central crack under biaxial loading 〃 Composite Structures. 1994. V. 28. P. 39-45.
Wang C. 〃., Rose £. A.F. Bonded repair of cracks under mixed mode loading 〃 International Journal of Solids and Structures. 1998. V. 35, № 21. P. 2749-2773.
Muller A., Fredell R. Analysis of multiple bonded patch interaction. Simple design guidelines for multiple bonded repairs in close proximity 〃 Applied Composite Materials. 1999. V.6. P. 217-237.
° 8 шах|сгп|/сг на Z° 8 шах|сгп|/сг на Zаа3306
° 8 шах|сгп|/сг на Z
° 8 шах|сгп|/сг на Z
а
а
3
3
0.4
о
0.050.50.951.4
4.5
3
L5
О△0.050.50.951.4О△0.050.50.951.40.1△0.050"50*951.40.1△0.050"50*951.40*4
О△
0.050.50.951.4
О△
0.050.50.951.4
0.1△
0.050"50*951.4
0.1△
0.050"50*951.4
0.3
62
Рис. 6
Ратвани М.М. Исследование напряжений в клеевых слоистых конструкциях, ослабленных трещинами 〃 Ракетная техника и космонавтика. 1979. Т. 17, № 9. С. 77-85.
Митче儿 Л, Вули Л, Чвирут Д. Исследование усиления тел с вырезами и трещинами накладками из композитного материала 〃 Ракетная техника и космонавтика. 1975. Т. 13, №7. С. 115-121.
Duong C.N., Yu J. The stress intensity factor for a cracked stiffened sheet repaired with an adhesively bonded composite patch 〃 International Journal of Fracture. 1997. V. 84. P. 37-60.
Umamaheswar Г, Singh R. Modeling of a patch repair to a thin cracked sheet 〃 Engineering Fracture Mechanics. 1999. V. 62. P. 267-289.
max|crn|/cr на I1.5~max|crn|/cr на I1.5~44110.5 '0.5 'аа33max|crn|/cr на 厶max|crn|/cr на 厶1.51.5110.50.5从*从*从*从*оооо
max|crn|/cr на I
1.5~
max|crn|/cr на I
1.5~
4
4
1
1
0.5 '
0.5 '
а
а
3
3
max|crn|/cr на 厶
max|crn|/cr на 厶
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
从*
从*
从*
从*
о
о
о
о
Tsamasphyros G.J., Furnarakis N. К., Kanderakis G.N., Marioli-Riga Z.R. Computational analysis and optimization for smart patching repairs 〃 Applied Composite Materials. 2003. V. 10. P. 141-148.
Гришин В.И., Бегеев Т.К. Коэффициенты интенсивности напряжений в пластине с центральной поперечной трещиной, усиленной накладками из композитного материала 〃 Механика композитных материалов. 1986, № 4. С. 696-700.
Lee К. У., Kim О. W. Stress intensity factor for sheet-reinforced and cracked plate subjected to remote normal stress 〃 Engineering Fracture Mechanics. 1998. V. 61. P. 461-468.
Chen Y.H., Hanh Н. G. Interaction of a stiffener with a crack in an anisotropic sheet 〃 Engineering Fracture Mechanics. 1989. V. 33, № 6. P. 887-895.
Arin K., Barnes R.A. A circular plate attached to another cracked plate through circumferential welding 〃 Proceedings of International Conference on Fracture Mechanics and Technology. Hong Kong. 1977. V. 2. P. 1213-1226.
Саврук М.П., Кравець В. С. Напружений стан п!дкр1плено! накладкою пластини з тр!щиною 〃 Физико-химическая механика материалов. 1991. Т. 27, № 4. С. 68-74.
Саврук М.П., Кравец В. С. Влияние подкрепляющих накладок на распределение напряжений в пластинах с трещинами 〃 Прикладная механика. 1993. Т. 29, № 3. С. 48-55.
Саврук М.П., Кравец В. С. Подкрепление пластины с трещинами двумя системами взаимно перпендикулярных стрингеров 〃 Прикладная механика. 1998. Т. 34, № 7. С. 64-72.
Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
Engels Н., Zakharov D., Becker W. The plane problem of an elliptically reinforced circular hole in an anisotropic plate or laminate 〃 Archive of Applied Mathematics. 2001. V. 71. P. 601-612.
Tse P.C., Lau K.J., Wong W.H. Stress and failure analysis of woven composite plates with adhesive patch reinforced circular hole 〃 Composites. 2002. V. 33. P. 57-65.
Савин Г.Н., Флейшман Н.П. Пластины и оболочки с ребрами жесткости. Киев: Нау- кова думка, 1964. 384 с.
Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 488 с.
Сильвестров В. В., Землянова А. Ю. Усиление пластинки с круглым отверстием с помощью заплатки, присоединенной вдоль концентрической окружности 〃 Известия Национальной Академии наук и искусств Чувашской Республики. 2003, № 3. С. 57-71. 28. Сильвестров В. В., Землянова А.Ю. Ремонт пластины с круговым вырезом посредством заплатки 〃 Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45, № 4. С. 176-183.
Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.
Канторович 〃. А, Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: ①нзматгнз, 1962. 708 с.
«КОСМИЧЕСКИЙ МУСОР » И ЕГО МАТЕМАТИЧЕСКИЕМОДЕЛИ
Н.Н. Смирнов
Механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова
Введение
С момента запуска первого искусственного спутника Земли 4 октября 1957 года, ознаменовавшего начало эры освоения космоса, Человечество продолжило по нарастающей отправлять на орбиту все новые и новые космические аппараты (КА), чтобы воспользоваться открывшимися новыми возможностями для связи, навигации, предсказания погоды, наблюдения Земли и природных ресурсов, научных и технологических исследований при микрогравитации и т. д. При этом никто не задумывался о возможном негативном воздействии на околоземное космическое пространство (ОКП). Затем пришло время оглядеться и оценить результаты техногенного воздействия и вызванные ими долгосрочные изменения в околоземном космическом пространстве.
Все возрастающая активность Человечества в космосе привела к образованию на околоземных орбитах большого количества так называемого космического мусора (КМ), представляющего собой различные объекты искусственного происхождения и их фрагменты, которые были некогда запущены в космос, а к настоящему времени оказались пассивными и не несущими более никакой полезной нагрузки по использованию либо разрушились по различным причинам. Эти космические объекты (КО), общее количество которых исчисляется миллионами, обладающие размерами от десятков микрон до одного метра, движущиеся с орбитальными скоростями и остающиеся на орбите в течение многих лет, сформировали новую среду в околоземном пространстве выше стратосферы — пояс «космического мусора». На низких околоземных орбитах космический мусор сосредоточен в основном на интервале высот от 200 до 2000 км и уже в настоящее время представляет серьезную угрозу для космических полетов и долгосрочных орбитальных проектов. Ниже 200 км уже достаточно сильно проявляется тормозящее воздействие верхних слоев атмосферы, поэтому пассивные объекты не могут долго существовать на низких орбитах, тормозятся и сгорают в атмосфере. Выше 2000 км концентрация объектов мала ввиду низкой предыдущей активности Человека на этих высотах. Исключение, конечно, составляют еще более высокие геостационарная и геосинхронные орбиты, но их будем рассматривать отдельно, так как космический мусор на высоких орбитах образует уже не непрерывный пояс (шаровой слой), окутывающий всю планету, а кольцо.
Серьезность угрозы столкновения с частицами космического мусора на низких околоземных орбитах состоит в том, что даже столкновение с металлической частицей сантиметрового радиуса для космического аппарата энергетически эквивалентно столкновению с автомобилем массой 1 тонна на скорости 100 км/час.
При сохранении существующих темпов засорения околоземного космического пространства ограничения на надежность долгосрочных космических программ,
задаваемые вероятностью столкновения с частицами космического мусора, в ближайшем будущем могут стать более жесткими, нежели ограничения по надежности собственно технических систем. Это приобретает особую важность для разработки теле- и радиокоммуникационных систем, включающих в качестве космического сегмента серию спутников на низких околоземных орбитах.
Проблема космического мусора начала серьезно изучаться ведущими научно-исследовательскими институтами космических держав начиная с 80-х годов XX века. Появление и эволюция среды космического мусора обсуждались в узких кругах специалистов на международных конференциях и рабочих совещаниях космических агентств (NASA, ESA, NASDA, РКА) начиная с 90-х годов. В начале же XXI века появление множества низкоорбитальных спутниковых систем различного назначения, а также строительство международной космической станции привлекли к проблеме космического мусора внимание широкого круга различных специалистов.
Фундаментальные исследования проблем, связанных с космическим мусором, были начаты на механико-математическом факультете МГУ в середине 80-х годов под руководством Героя Социалистического Труда, Лауреата Ленинской премии, профессора Г. А. Тюлина, продолжены и развиты его учениками в 90-е годы, и по настоящее время активно ведутся в созданной им в 1979 г. лаборатории необратимых волновых процессов и высокоскоростного метания. Часть результатов, включенных в данный обзор, была получена автором совместно с коллегами: проф А. Б. Киселевым, проф. А. И. Назаренко, доцентом В. Ф. Никитиным, и уже опубликована в соответствующих работах. Финансовая поддержка исследований в данной области в последние годы осуществлялась в рамках программы «Университеты России», гранта поддержки ведущих научных школ (НШ-19.2003.1) и частично грантов РФФИ.
Данные о загрязнении околоземного космическогопространства
Среди имеющегося разнообразия объектов космического мусора следует выделить два класса объектов. К первому классу причисляются относительно большие объекты, которые могут регулярно наблюдаться с Земли современными радиолокационными или оптическими средствами. Характерный размер таких объектов не менее 10-20 см для области низких и не менее 75 см для области геостационарных орбит. Большинство таких объектов каталогизировано и отслеживается национальными средствами контроля космического пространства. Количество таких объектов мало среди общего числа объектов космического мусора, однако их концентрация на два порядка больше концентрации таких объектов в естественных метеорных потоках. Ко второму классу объектов относятся объекты гораздо меньших размеров, не наблюдаемые с Земли. Таких фрагментов значительно больше в околоземном космическом пространстве, что подтверждается результатами отдельных локальных экспериментов и анализа повреждений поверхностей, долгое время экспонировавшихся на орбите.
В отличие от метеорных потоков, пребывание которых в околоземном пространстве ограничено временем пролета, антропогенный космический мусор представляет значительно большую опасность, так как его количество монотонно растет, а также в связи с тем, что время его пребывания на орбите существенно дольше (фактически, весь период существования). При орбитальной скорости спутников
порядка 8 км/с их столкновения с КА характеризуются средней относительной скоростью 10-12 км/с.
Существует единственный естественный механизм, препятствующий росту засоренности низких околоземных орбит, — это тормозящее воздействие верхних слоев атмосферы, приводящее к сходу спутников с орбиты и их сгоранию в более плотных слоях атмосферы. Однако этот процесс может быть крайне медленным, особенно для высоких орбит, где влияние атмосферы незначительно. Влияние верхних слоев атмосферы периодически возрастает в соответствии с 11-летним циклом изменения активности Солнца. При возрастании активности Солнца происходит повышение плотности верхних слоев («вспухание» атмосферы), что приводит к более эффективному торможению, особенно мелких объектов.
Наиболее эффективным методом борьбы с загрязнением околоземного космического пространства на сегодняшний день признано ограничение загрязнения и, по возможности, ликвидация техногенных источников космического мусора.
Современное состояние загрязнения околоземного космического пространства на низких околоземных орбитах. Количество мусора, отслеживаемого наземными средствами (фрагменты крупнее 10-20 см) непрерывно возрастало, и в настоящее время составляет более 9000 объектов (The Orbital Debris Quarterly News, July 2004) общей массой 2.7 • 106 кг. Более мелкая фракция (размера 1 -4- 10 см) содержит фрагменты, образующиеся в результате технологических операций (отделяющиеся элементы конструкций), а также в результате орбитальных взрывов и столкновений. Число таких фрагментов оценивается в 250 000-300 000, их общая масса порядка 3000 кг. Число частиц с размерами 0.1 4- 1 см, образовавшихся в результате орбитальных взрывов и столкновений, оценивается как 100 • 106. Изложенные здесь характеристики не каталогизированных объектов приведены по данным отечественной модели (SDPA) для анализа и прогнозирования космического мусора [80]. Сравнение соответствующих оценок по данным различных моделей [81] показывает, что различия могут достигать порядка для размеров частиц 0.1-1.0 см, 3-4 раз для частиц размером 1.0-10 см и 2-х раз для КО размером 10-20 см. Количество еще более мелких орбитальных фрагментов оценке не поддается. Активные и пассивные детекторы космического базирования позволяют определить кумулятивные потоки космического мусора и метеороидов в диапазоне 10-4 -4- 10-1 см. При этом неопределенность оценки кумулятивных потоков мелких частиц очень велика: 3 • 103 4- 2 • 105 фрагментов(1/м2 • год), что составляет разброс на два порядка по величине [11].
Для сравнения отметим, что в поясе космического мусора в диапазоне высот 200-2000 км постоянно присутствует до 200 кг метеороидов, проносящихся со скоростью 20 км/с. Средние размеры метеорных частиц составляют 0.1 мм, что существенно меньше средних размеров частиц космического мусора. Относительные скорости имеют тот же порядок величины, что и скорости элементов космического мусора, в то время как суммарная масса метеорного вещества на пять порядков меньше, чем соответствующая масса космического мусора.
Динамика изменения количества крупных объектов по годам в околоземном космическом пространстве представлена на рис. 1.1 (по данным Orbital Debris Quarterly News, ODQN, июль 2004). Нарастание соответствующих фракций космических фрагментов, различаемых по способам их образования, также представлено на рисунке. На 30 июня 2004 года каталог Космического командования США содержал 9148 объектов. В целом следует отметить, что за последние 40 лет наблюдается устойчивый линейный рост количества каталогизированных объектов, составивший в среднем 210 крупных объектов в год.
тоьм^Л.ЮО 03S^Mтоьм^Л.ЮО 03S^MОперационные элементыОперационные элементы寸00Z ZOOZ аж OO66I 9661 寸 б®Z69 0661 8861 9861 寸861 Z86I0861 §- 9Z6I 寸Z6I ZZ6I 0Z6I00961 9961 寸961 窯1 0961 Й619961寸00Z ZOOZ аж OO66I 9661 寸 б®Z69 0661 8861 9861 寸861 Z86I0861 §- 9Z6I 寸Z6I ZZ6I 0Z6I00961 9961 寸961 窯1 0961 Й619961
тоьм^Л.ЮО 03S^M
тоьм^Л.ЮО 03S^M
Операционные элементы
Операционные элементы
寸00Z ZOOZ аж OO66I 9661 寸 б®
Z69 0661 8861 9861 寸861 Z86I
0861 §- 9Z6I 寸Z6I ZZ6I 0Z6I
00961 9961 寸961 窯1 0961 Й61
9961
寸00Z ZOOZ аж OO66I 9661 寸 б®
Z69 0661 8861 9861 寸861 Z86I
0861 §- 9Z6I 寸Z6I ZZ6I 0Z6I
00961 9961 寸961 窯1 0961 Й61
9961
Рис. 1.1. Динамика изменения числа каталогизированных объектов
Данные о принадлежности каталогизированных объектов тому или иному государству представлены в табл. 1.1.
Состав космического мусора, т. е. доля в нем различных фракций, отличающихся механизмом образования, представлен на рис. 1.2 (ODQN, июль 2004).
Из рисунка видно, что около половины каталогизированных объектов образовались в результате взрывов на орбите. Меньшие по размерам фрагменты взрывного происхождения не заносятся в каталог ввиду ограниченности разрешающей способности наземных средств радиолокационного и оптического контроля.
Основанные на различных моделях значения пространственной плотности потока мелких частиц(1/км2 • год) на низких околоземных орбитах (по данным ООН, 1999) представлены на рис. 1.3.
Таблица 1.1
Страна/Организация
Спутники
Ступени ракет и мусор
Всего
Китай
39
285
324
Россия
1357
2 632
3 989
ЕКА
35
26
61
Индия
27
102
129
Япония
83
51
134
США
995
2 859
3 854
Прочие
327
7
334
Всего
2 897
6 251
9148
мусор 13%
Рис. 1.2. Состав каталогизированных объектов на низких околоземных орбитах
Высота (км)
Рис. 1.3. Плотность распределения потока мелкой фракции некаталогизированных объектов на низких околоземных орбитах
Эти данные суммируют результаты оценок по пяти моделям (Американской, Английской, Европейской, Итальянской и Российской). Видно, что разброс оценок увеличивается по мере уменьшения размеров частиц.
Пространственная плотность каталогизированных объектов(по состоянию на 21 августа 1997 г.)
Высота (км)Высота (км)Рис. 1.4. Концентрация наблюдаемых объектов в околоземном космическом пространствеРис. 1.4. Концентрация наблюдаемых объектов в околоземном космическом пространстве(ю/omsh) Льоотьос-Е EBHHDmluHB(ю/omsh) Льоотьос-Е EBHHDmluHB
Высота (км)
Высота (км)
Рис. 1.4. Концентрация наблюдаемых объектов в околоземном космическом пространстве
Рис. 1.4. Концентрация наблюдаемых объектов в околоземном космическом пространстве
(ю/omsh) Льоотьос-Е EBHHDmluHB
(ю/omsh) Льоотьос-Е EBHHDmluHB
Распределение наблюдаемых объектов во всем диапазонам высот (по данным ООН, 1999) приведено на рис. 1.4. Масштаб по вертикальной оси — логарифмический. Из графика видно, что максимальная плотность объектов наблюдается в поясе космического мусора на высотах от 200 до 2000 км. Всплеск на высотах 34-38 тыс. км соответствует объектам, находящимся на достаточно густо заселенных геосинхронных орбитах. На низких околоземных орбитах, как видно из графика (рис. 1.4.), наибольшая плотность объектов наблюдается на высотах 800-1000 км и 1500 км, что объясняется наиболее интенсивным использованием этих орбит и происходившими на них разрушениями космических аппаратов и последних ступеней ракет-носителей.
Приблизительные измерения потока мусора на НОО по размерам объектовПриблизительные измерения потока мусора на НОО по размерам объектов10100.00001 0.0001 0.0010.010.00001 0.0001 0.0010.0110010001001000Диаметр (см)Диаметр (см)Рис. 1.5. Распределение потока космического мусора и метеорного веществаРис. 1.5. Распределение потока космического мусора и метеорного вещества(口OLq/omHh) BdonmBd OJOHnAdM ОО『О9 н OJOHqlfBnHHHn o^omsc-i&o BdouAn SOHOE OHHOhou(口OLq/omHh) BdonmBd OJOHnAdM ОО『О9 н OJOHqlfBnHHHn o^omsc-i&o BdouAn SOHOE OHHOhou
Приблизительные измерения потока мусора на НОО по размерам объектов
Приблизительные измерения потока мусора на НОО по размерам объектов
10
10
0.00001 0.0001 0.0010.01
0.00001 0.0001 0.0010.01
1001000
1001000
Диаметр (см)
Диаметр (см)
Рис. 1.5. Распределение потока космического мусора и метеорного вещества
Рис. 1.5. Распределение потока космического мусора и метеорного вещества
(口OLq/omHh) BdonmBd OJOHnAdM ОО『О9 н OJOHqlfBnHHHn o^omsc-i&o BdouAn SOHOE OHHOhou
(口OLq/omHh) BdonmBd OJOHnAdM ОО『О9 н OJOHqlfBnHHHn o^omsc-i&o BdouAn SOHOE OHHOhou
На рис. 1.5 представлены данные совокупных измерений плотности потока частиц космического мусора как функции размеров частиц. Сравнение с приведенной на том же графике плотностью потока метеорных тел (пунктирная кривая) показывает, что плотность потока космического мусора превышает плотность потока метеорных тел для объектов размером более 0.1 см. Для частиц меньших размеров сравнение является затруднительным, так как измерения не позволяют надежно отличить рассматриваемые виды объектов.
В табл. 1.2 представлены оценки максимальных значений концентрации частиц космического мусора разных размеров (по данным модели SDPA, Назаренко, 2002 г.).
Таблица 1.2. Оценки концентрации
Оценки концентрации (1/куб. км) для диапазонов размеров частиц (см)
1
2
3
4
5
6
7
8
0.1-0.25
0.25-0.5
0.5-1.0
1.0-2.5
2.5-5.0
5.0-10
10-20
>20
3.84Е-4
3.13Е-5
6.03Е-6
9.79Е-7
1.98Е-7
6.76Е-8
2.15Е-8
5.17Е-8
Пространственное распределение концентрации зависит, в основном, от высоты и широты точки (в геоцентрической системе координат). Для северного и южного полушарий распределения отличаются мало и поэтому принимаются одинаковыми.
Пример нормализованного высотно-широтного распределения концентрации (для частиц размера 0.1-0.25 см) представлен на рис. 1.6. Для других размеров частиц распределения являются аналогичными. Во всех случаях абсолютный мак-
11-0.9-0.90.80.8，0.3，0.31 0.41 0.4S 9Широта, грS 9Широта, гр: 66^НормированнаяS3 концентрация: 66^НормированнаяS3 концентрацияРис. 1.6. Распределение концентрации по высоте и широтеРис. 1.6. Распределение концентрации по высоте и широте450750 -1050Высота, км ]35u1650 二上1950—gZ450750 -1050Высота, км ]35u1650 二上1950—gZГ 4+07Г 4+07•j…0.2•j…0.2
1
1
-0.9
-0.9
0.8
0.8
，0.3
，0.3
1 0.4
1 0.4
S 9
Широта, гр
S 9
Широта, гр
: 66
^Нормированная
S3 концентрация
: 66
^Нормированная
S3 концентрация
Рис. 1.6. Распределение концентрации по высоте и широте
Рис. 1.6. Распределение концентрации по высоте и широте
450
750 -
1050
Высота, км ]35u
1650 二上
1950—
g
Z
450
750 -
1050
Высота, км ]35u
1650 二上
1950—
g
Z
Г 4+07
Г 4+07
•j…0.2
•j…0.2
симум достигается в диапазоне высот 800-1000 км и диапазоне широт 75°—85°. Значения концентрации на малых широтах примерно в 5 раз меньше соответствующих максимальных оценок. В районе полюса концентрация еще меньше.
Современное состояние засорения околоземного космического пространства на геосинхронных (высоких) орбитах. Спутник, период обращения которого вокруг Земли совпадает с периодом вращения Земли, называется геосинхронным спутником, а орбита, по которой он обращается, называется геосинхронной орбитой. Геосинхронные орбиты могут характеризоваться большим или малым наклонением, что соответственно определяет величину смещений спутника относительно поверхности Земли во время одного оборота. Геостационарным называется геосинхронный спутник, находящийся на круговой орбите в плоскости экватора. Геостационарный спутник фактически зависает над одной точкой поверхности Земли. Параметры классической геостационарной орбиты составляют: высота — 35 787 км, период обращения — 1436.2 мин. Особенности геостационарной орбиты сделали ее привлекательной с точки зрения запуска телекоммуникационных и других спутников. Жесткие ограничения на параметры орбиты привели к очень плотной заселенности кольцевой области в окрестности геостационарной орбиты.
Темпы роста относительного числа космических объектов на геостационарных орбитах значительно выше, чем на низких орбитах: ежегодно населенность на геостационарных орбитах возрастает в среднем на 35-40 каталогизированных объектов, что составляет около 4% их общего числа.
В настоящее время число каталогизированных космических объектов на геостационарных орбитах составляет боле 900, из них около 300 являются активными. Распределение геостационарных космических объектов по наклонению и географической долготе на 8.10.99 г. приведено на рис. 1.7 [82]. Известно, что
16
1212880— 1800—150 —90 —120 —6030—3060901201501800— 1800—150 —90 —120 —6030—306090120150180d』6ННФН0ЮЕНd』6ННФН0ЮЕН44Долгота, гр
12
12
8
8
0
— 1800—150 —90 —120 —6030—306090120150180
0
— 1800—150 —90 —120 —6030—306090120150180
d』6ННФН0ЮЕН
d』6ННФН0ЮЕН
4
4
Рис. 1.7.
в процессе эволюции плоскости орбит пассивных геостационарных космических объектов постепенно отклоняются от экваториальной плоскости до 16 градусов. На рисунке популяция космических объектов старых запусков просматривается достаточно хорошо. Это объекты с ненулевыми наклонениями.
В области ГЕО ежегодно образовывалось в среднем 33.8 объекта на около- круговых орбитах. Эти объекты постоянно находятся в ГЕО-области. Кроме того, ежегодно образовывалось около 10 высокоэллиптических КО с наклонениями менее 15°, которые лишь часть времени (в районе апогея) находятся в области ГЕО.
Основная трудность построения детальных характеристик техногенного загрязнения в ГЕО-области связана с практически полным отсутствием данных об объектах размером менее 0.5-1.0 м. Это, в частности, видно из материалов работы [84], в которой приведены результаты анализа измерений объектов в рассматриваемой области, полученные с помощью специализированного телескопа NASA.
На рис. 1.8 представлены данные о высотно-широтной зависимости концентрации КО [82]. Характерной особенностью распределения каталогизированных КО в ГЕО-области является наличие ярковыраженного максимума концентрации в окрестности экватора в диапазоне широт ±0.1° на высоте 35786 ± 20 км. При отклонении от этого района на ±100 км по высоте и на ±1.0° по широте концентрация уменьшается на 3 порядка. При дальнейшем удалении от области максимума уменьшение составляет 4-5 и более порядков. Эта закономерность проявляется в том, что оценки концентрации в точке максимума оказываются сильно зависимыми от величины шага разбиения области GEO на ячейки.
Важной и довольно неожиданной особенностью представленных данных является то, что максимум концентрации каталогизированных КО в области ГЕО
d〉75 cM
0.9 —0.9 —Ks^rt&KSKOW KBHHB®odHlwdoHKs^rt&KSKOW KBHHB®odHlwdoH8 о.8 о.7 6 5 л Q^ J а а а о о о7 6 5 л Q^ J а а а о о ооою ОО Z ю ОО грю ОО Z ю ОО грВысота,Высота,:三三弓m0.85 一玄0.55625щИрота, грУ —0.65上一0.95:三三弓m0.85 一玄0.55625щИрота, грУ —0.65上一0.95
0.9 —
0.9 —
Ks^rt&KSKOW KBHHB®odHlwdoH
Ks^rt&KSKOW KBHHB®odHlwdoH
8 о.
8 о.
7 6 5 л Q^ J а а а о о о
7 6 5 л Q^ J а а а о о о
о
о
ю ОО Z ю ОО гр
ю ОО Z ю ОО гр
Высота,
Высота,
:三三弓m0.85 一玄0.55
625
щИрота, гр
У —0.65
上一0.95
:三三弓m0.85 一玄0.55
625
щИрота, гр
У —0.65
上一0.95
Рис. 1.8. Данные о концентрации каталогизированных КО в приэкваториальной области (до ±1°) в диапазоне высот 35700-35900 км. Максимум равен 2.56Е-7 км-3
оказался в 5 раз больше соответствующего максимума в области низких орбит. Следует, однако, заметить, что при шаге усреднения 100 км по высоте и 1° по широте максимум концентрации в рассматриваемом районе уменьшается в 35 раз.
Максимальные значения концентрации в области ГЕО для некаталогизирован- ных объектов разных размеров представлены в табл. 1.3 [85].
Таблица 1.3. Максимальные значения концентрации
Оценки концентрации (1/куб. км) для диапазонов размеров частиц (см)
1
2
3
4
5
6
7
8
0.1-0.25
0.25-0.5
0.5-1.0
1.0-2.5
2.5-5.0
5.0-10
10-20
20-75
1.77Е-5
1.57Е-6
2.57Е-7
4.38Е-8
1.07Е-8
4.29Е-9
2.09Е-9
1.44Е-9
Резкое изменение концентрации КМ в области ГЕО привело к тому, что характеристики потока КМ очень сильно зависят от элементов орбиты КА. В этих случаях для решения прикладных задач необходимо применять специализированные компьютерные модели. Отсутствие самоочищения геостационарной орбиты ввиду практически полного отсутствия там атмосферы приводит к накоплению на ней всех образующихся фрагментов. Средняя скорость столкновений на ГЕО значительно меньше, чем на низких околоземных орбитах, и составляет 0.15-0.75 км/с.
Прогнозы эволюции техногенных загрязненийв околоземном пространстве, возможность начала цепногопроцесса саморазмножения мусора
Целью долгосрочного прогнозирования засоренности околоземного пространства является предсказание количества объектов как функции времени, высоты и размеров. Эти прогнозы играют важную роль в оценке необходимости применения мер по снижению засоренности, эффективности таких мер, а также влияния новых видов космической деятельности.
Методы исследования эволюции космического мусора в настоящее время бурно развиваются [10, 15-17, 86, 90, 87]).
Наиболее распространенный подход, применяемый в зарубежных моделях (EVOLVE, MASTER и IDES), основан на отслеживании всех космических объектов методами небесной механики. На предшествующем интервале источники загрязнения моделируются на основе использования известных данных о запусках и имевших место аварийных разрушениях. Для будущих моментов времени используются соответствующие усредненные данные. Число и параметры разлета мелких фрагментов космического мусора при аварийных разрушениях определяются на основе применения специальных моделей фрагментации [88]. Характеристики вновь образующихся мелких фрагментов моделируются стохастически. Для каждого из фрагментов (или группы однотипных фрагментов) формируется 6-мерный вектор начальных условий. Дальнейший прогноз осуществляется на основе применения традиционных аналитических моделей движения спутников. Результаты затем усредняются по достаточно большому числу пробных расчетов.
Рассмотренный подход реализуется в компьютерных моделях достаточно просто, и этим объясняется его применение в разных моделях. Недостатком подхода является его трудоемкость, которая наиболее сильно проявляется при долгосрочном прогнозировании пространственного распределения мелких фрагментов. Очевидно, что долгосрочное прогнозирование 6-мерного вектора состояния миллионов мелких фрагментов является исключительно трудоемким и проблемным даже при использовании современных мощных компьютеров. Отмеченный недостаток усугубляется в том случае, когда в качестве дополнительного источника учитываются последствия взаимных столкновений объектов разных размеров. Тем не менее рассмотренный подход был успешно применен для моделирования процесса техногенного загрязнения ОКП на всем предшествующем интервале времени. В результате были определены характеристики текущего состояния техногенного загрязнения ОКП [89].
Характерной чертой рассмотренного выше подхода является сочетание детерминированных (в части применения моделей движения) и стохастических (в части моделирования мелких фрагментов) методов. Индивидуальное прогнозирование 6-мерных векторов состояния каждого фрагмента обеспечивает высокую точность результатов, в то время как моделирование процесса образования мелких фрагментов не является точным: при определении числа мелких фрагментов разных размеров возможны ошибки на порядок.
Отмеченное обстоятельство обусловливает возможность разработки менее трудоемких методов прогнозирования эволюции техногенного загрязнения ОКП на основе отказа от поштучного прогнозирования каждого объекта и применения упрощенной модели движения. Тем самым перед учеными стоят две альтернативные возможности: либо продолжать работать с существующими моделями, используя упрощенное описание разрушений и фрагментации, либо поведения функции
их распределения в рамках механики сплошной среды, учитывая особенности различных типов орбитальных разрушений. Именно такого рода подход применен в отечественной модели SDPA [67, 68, 87].
Рассмотренные выше подходы к прогнозированию эволюции техногенного загрязнения ОКП не включают учет взаимных столкновений КО как дополнительного источника загрязнения. Включение в традиционные модели более реалистичных моделей орбитальных разрушений и фрагментации, каждая из которых является затратной сама по себе, приводит к тому, что долговременные прогнозы становятся практически невозможными: расчетное время экспоненциально увеличивается с ростом числа столкновений при возникновении каскадного процесса самовос- производства мусора.
Помимо источников космического мусора, которые принимаются во внимание при моделировании нынешней обстановки засоренности околоземного пространства, необходимо также учитывать столкновения между объектами. В настоящее время столкновения между крупными объектами не играют значительной роли, так как вероятность их низка, однако в будущем при возрастании общего количества и массы объектов на орбите возможность таких «интерактивных столкновений», приводящих к лавинному нарастанию количества фрагментов при последовательных разрушениях, может вызвать возникновение цепного процесса саморазмножения космического мусора.
Анализ прогнозов эволюции заселенности низких околоземных орбит с учетом тенденций накопления космического мусора, взаимных столкновений и последующих разрушений с образованием множества фрагментов привел на определенном этапе исследований к выводу о возможности наступления цепного процесса саморазмножения космического мусора [5, 22, 23]. Характеристикой такого процесса считалась его самодостаточность, а именно дальнейшая независимость от внешних источников (новых запусков, орбитальных взрывов). При этом основным механизмом возрастания числа фрагментов на орбите становятся разрушения при достаточно частых соударениях. Возрастание количества фрагментов космического мусора при этом оценивалось как превышающее допустимые пределы безопасности даже для краткосрочных космических миссий, не говоря уже о долгосрочных программах. Таким образом, начало каскадного процесса саморазмножения космического мусора ассоциировалось с началом необратимой экологической катастрофы.
Причины нечеткости многих прогнозов оказались заложенными в традиционном детерминистском подходе, основанном на отслеживании всех космических объектов методами небесной механики и не позволяющем учитывать более реалистичные модели источников загрязнения.
Традиционный подход очень эффективен для описания космического мусора на ранних стадиях, когда число столкновений и орбитальных разрушений невелико. Описание разрушений, введенное в модель EVOLVE, существенно отличается от данных наблюдения за реальными разрушениями [24] по кумулятивному потоку крупных фрагментов. Это может привести к существенным отклонениям по прогнозу времени начала каскадного процесса самовоспроизводства космического мусора.
Прогнозы, сделанные при схожих предположениях о будущей космической активности, дали значение времени, оставшегося до развития необратимого процесса самовоспроизводства, от 25-50 лет [5, 22, 23] до 250-300 лет [9]. Разница на целый порядок не кажется удовлетворительной для подобных результатов, и это заставляет уделять большее внимание особенностям разных типов орбитальных
разрушений, которые являются важнейшей составной частью долговременных прогнозов поведения космического мусора.
Известные долговременные прогнозы каскадного эффекта основываются на существенных упрощениях условий и результатов орбитальных столкновений. Например, некоторые прогнозы учитывают лишь столкновения крупных (> 10 см) объектов. Частота подобных столкновений в настоящее время оценивается как одно за 30 лет. С другой стороны, вероятность столкновения меньших объектов, которое в моделях не учтено, на несколько порядков выше по величине. Таким образом, задача долговременного прогноза эволюции орбитального мусора в части его производства за счет столкновений (каскадного эффекта) еще далека от решения.
Рассматриваемый в настоящей статье теоретический подход к моделированию долговременной эволюции космического мусора с учетом различных вариантов разрушений — от столкновений до внутренних взрывов — позволяет преодолеть большие затруднения, возникающие при использовании традиционного подхода. Предложенный подход заменяет отслеживание космических объектов моделированием поведения плотности распределения всех объектов (как могущих быть отслеженными, так и всех прочих) с учетом множественности сценариев столкновений в рамках механики сплошной среды. Ценой, которую нужно заплатить за уникальные возможности, создаваемые подходом с позиций механики сплошной среды, является необходимость создания моделей, адекватно описывающих вероятность столкновений, разнообразие сценариев разрушения, влияние самоочищения низких околоземных орбит и вклад со стороны новых запусков. Эти модели будут включены в уравнения, описывающие эволюцию космического мусора, в качестве Источниковых членов. После этого модель может быть использована как для долгосрочного прогнозирования эволюции космического мусора, так и для сравнения результатов различных сценариев будущей деятельности человечества в космосе.
Предварительные оценки показывают, что вероятность столкновения малых объектов на несколько порядков выше, чем таковая для крупных (траектории которых каталогизированы). Таким образом, учет столкновений и соответствующей фрагментации малых неотслеживаемых объектов является существенным для адекватного описания каскадного процесса самовоспроизводства орбитального мусора. Кроме этого, столкновения малых объектов приводят к формированию значительного числа мелких частиц со скоростью, значительно меньшей скорости сталкивающихся объектов. Эти частицы будут быстро оседать под действием сопротивления воздуха верхних слоев атмосферы, что будет давать дополнительный вклад в самоочищение низких околоземных орбит. Тем самым столкновения различных типов обломков будут давать вклад как в самовоспроизводство мусора, так и в самоочищение орбит.
Математическая модель эволюции космического мусора,его производства и самовоспроизводства
В данном пункте предлагается новый подход к математическому моделированию космического мусора, основанный на методах механики сплошной среды. Этот подход альтернативен традиционным подходам, использующим методы небесной механики. Подход с использованием методов механики сплошной среды обладает рядом достоинств, поскольку позволяет описать динамику миллиардов частиц, заменяя традиционное отслеживание траектории каждой частицы моделированием поведения их плотности распределения.
Математическая модель. Для описания эволюции поля концентраций и скоростей фрагментов мусора будет использована система уравнений в частных производных, основанная на законах сохранения, с Источниковыми членами, учитывающими множественность последствий столкновений космических объектов.
Существенные различия в размерах частиц космического мусора и, таким образом, различия последствий столкновений для разных частиц приводят к необходимости введения в модель нескольких «фаз» или «взаимопроникающих континуумов», каждая фаза при этом характеризуется своей плотностью распределения pj. Частицы могут быть объединены в группы («фазы») согласно следующим атрибутам: характерному размеру 办，высоте перигея орбиты %•, эксцентриситету ⑦, наклонению орбиты %, баллистическому коэффициенту. Будем предполагать, что все частицы космического мусора могут быть сгруппированы в N различных фаз. Тогда закон изменения массы выразится в следующем уравнении баланса [9]:
醬+div 刃•％•=夕，^・=1,(3.1)
где vj является локальной скоростью j-n фазы, pj — распределенной массовой плотностью частиц мусора j-й фазы. Помимо распределенной массовой плотности можно ввести распределенную объемную плотность aj объектов мусора, выражающуюся в объеме объектов на единицу объема пространства, и числовую плотность nj числа объектов на единицу объема. Между этими характеристиками выполняется следующее соотношение:
Pj =ajPj=nj~^Pv (3・2а)
где pj — актуальная плотность материала частиц мусора, dj — эффективный характеристический диаметр. Соотношение (3.2а) предполагает компактную форму фрагментов (близкую к сферической); для плоских фрагментов, получающихся при разрушении тонкостенных оболочек, имеем иное соотношение между плотностью и числом частиц:
Pj = aj pj = UjTvd^Spj, (3.26) где 8 — толщина элементов оболочки.
Член Ij в уравнении (3.1) характеризует обмен массы j-й фазы с другими фазами: изменение массы 力й фазы из-за притока операционного мусора, фрагментации крупных космических объектов и удаления частиц с размерами ниже критического. При разрушении частицы мусора j-й фазы обломки могут пополнять другие фазы (так как их размеры становятся меньше, чем размер исходной частицы). Размеры некоторых фрагментов могут оказаться меньше минимальных размеров объектов, учитываемых в модели. Такие частицы либо не представляют угрозы космическим полетам, либо достаточно быстро замедляются атмосферой, чтобы иметь влияние на долгосрочный прогноз. Основываясь на этом анализе, можно предложить следующую структуру члена, ответственного за массообмен в уравнении (3.1):
N
Ij =，2 呵卜 + Mj J + Mj ех —出， (3.3) k=l
где к* — приток массы от k-й к j-й фазе из-за фрагментации частиц при столкновениях, Mj ор — вклад в массу j-n фазы со стороны операционного мусора, образующегося при новых космических миссиях, Mj ех ——приток массы к j-й фазе
в результате разрушения крупных космических объектов (орбитальные взрывы последних ступеней ракет и др.),从— уменьшение массы j-й фазы, не приводящее к увеличению массы других фаз.
Уравнение импульса для фазы в рамках подхода механики сплошной среды имеет следующий вид:
岩 + div 内〜0 〜=F/ + Fd, + P/・ + К/,(3.4)
где Fj характеризует массовые силы, F^ — влияние атмосферного сопротивления, Pj — давление солнечной радиации, Kj — приток импульса к j-n фазе по причине массообмена 1“
NP
Kj・=〉:Кjк"jк + ^^J op%，+ ^^J ex，—从jVg,(3.5)
k = l
где v7k — скорость подхода частиц k-й фазы перед превращением в j-ю. Для положительных значений 庆7k такие скорости обычно близки к vj, в противном случае частицы не останутся на орбите. Для отрицательных значений 庆^卜 частицы, присоединяющиеся к k-й фазе, должны иметь скорости, близкие к v^. В любом случае отклонения возможны, однако должно выполняться следующее условие согласования:
Np Np
£ £ j%v汴=о.(3.6)
k=lJ=1
Средняя объемная массовая сила из уравнения (3.4) может быть определена по формуле
Fj = -pjg^er,(3.7)
где g(x) — ускорение силы тяжести, ег — физическая компонента радиального базисного вектора в сферической системе координат. Член, описывающий атмосферное сопротивление в уравнении (3.4), может быть определен следующим образом:
Fw = -^fPa^t^j^j^,(3.8)
где 0a (х,方)—пространственное распределение плотности в верхних слоях атмосферы, сильно зависящее от высоты. При этом должны также учитываться изменения этой величины со временем. Одиннадцатилетний цикл солнечной активности приводит к 20-кратным изменениям значения плотности в верхней атмосфере, что существенно влияет на процесс оседания обломков космического мусора [18]. Уравнение (3.8) содержит коэффициент сопротивления при движении в разреженном газе частиц j-й фазы 0. Для сферических частиц этот коэффициент может быть определен по следующей формуле:
4 =(2# + 1) +(4虏 + 4# -1) +(3.9)
гдегде
где
где
та — средняя молярная масса газа в верхней атмосфере; к — константа Больцмана; Та — температура газа; Tj — температура поверхности частиц; кас — коэффициент аккомодации, учитывающий характер отражения молекул газа от поверхности движущейся частицы.
Движение мелких частиц в космосе испытывает существенное влияние со стороны давления солнечной радиации, которое необходимо учитывать в моделях долговременного прогноза [19, 20]. Существует два типа солнечной радиации: световое излучение (фотоны), распространяющееся со скоростью с = 3 • 108 м/с, и излучение частиц (солнечный ветер), распространяющееся со скоростью s = =4 • 105 м/с. Оба типа радиации создают давление на космические объекты и приводят к динамическим эффектам аберрации. Таким образом, член Pj, соответствующий в уравнении (3.4) давлению солнечной радиации, в действительности является суммой четырех членов, отвечающих за следующие з巾巾ектн:
прямое давление фотонной радиации 夕『；
прямое давление солнечного ветра 夕R;
н
эффект динамической аберрации Пойтинга-Робертсона 仝夕『匕；
эффект динамической аберрации солнечного ветра 仝卩忠丄，где— гелио
Рг =凱 РгРг =凱 Ргцентрическая скорость частиц;
Рг =凱 Рг
Рг =凱 Рг
(3.10)
Rh — расстояние от Солнца; qr = 0.101 • 1018 кг • м/с2, qg = 0.23 • 1014 кг • м/с2 — интенсивность солнечной эмиссии соответственно фотонов и корпускул.
Кроме того, частицы испытывают влияние солнечной радиации только находясь вне тени Земли. Таким образом, член Pj в уравнении (3.4) может быть определен по следующей приближенной формуле:
Р/ = п^Я(-Кя • R)匠 + 砌瑞—哼 + £)呐，(3.11)
где Rh, R — радиус-векторы частицы системах координат соответственно;где Rh, R — радиус-векторы частицы системах координат соответственно;в гелиоцентрической и геоцентрическойв гелиоцентрической и геоцентрической
где Rh, R — радиус-векторы частицы системах координат соответственно;
где Rh, R — радиус-векторы частицы системах координат соответственно;
в гелиоцентрической и геоцентрической
в гелиоцентрической и геоцентрической
прих < 0, прих > 0.прих < 0, прих > 0.
прих < 0, прих > 0.
прих < 0, прих > 0.
Функция Хевисайда Н (力)в формуле (3.11) равна нулю для частиц, попадающих в тень Земли. С использованием (3.2) формула (3.11) преобразуется к виду
p/ =*昨R，R）回+硝屁一（〜£）呐（3」2）
Формула (3.12) показывает, что для малых частиц средняя сила на единицу объема ведет себя как ；. Таким образом, эффект солнечной радиации является существенным в основном для мелких частиц.
Компоненты 庆^卜，присутствующие в членах Ij и Kj в уравнениях (3.1), (3.4), определяют потоки массы от k-й к j-n фазе в результате столкновения с различными космическими объектами. По определению они образуют антисимметричный тензор
也汴=—ACkj, к # 力 Kjj =。， k = j.(3.13)
Значения компонент этого тензора зависят от вероятностей столкновения частиц k-й и j-n фаз с другими частицами. Важнейшее значение имеют механизмы динамического взаимодействия и разрушения сталкивающихся объектов и распределение массы и скорости фрагментов, поскольку позволяют из всего спектра обломков, получающихся при фрагментации, вычленить частицы j-n фазы.
Вероятности орбитальных столкновений и анализ их риска могут быть определены согласно двум различным подходам: детерминистскому и стохастическому [21]. В настоящее время оба этих подхода находятся в стадии развития. Однако настоящая модель основывается на эйлеровом описании облаков частиц космического мусора без явного отслеживания траекторий частиц. Таким образом, члены 庆叮，присутствующие в уравнениях, характеризуют события, происходящие в определенной области пространства, а не для индивидуальной лагранжевой частицы. Это приводит к необходимости модифицировать формулы, выведенные с целью описать вероятность столкновения объектов с индивидуальной частицей.
Оценка числа частиц fc-й фазы, сталкивающихся с частицей /-百 фазы за интервал времени d方，может быть выражена формулой
dP^k = Sjknkv^dt,(3.14)
где о；^ — модуль относительной скорости; па；(х, t) — плотность числа частиц в пространстве; S* = 0.25 7r(dj + dk)2 — среднее сечение столкновения.
Для определения пространственного распределения вероятности столкновений необходимо учесть число частиц j-n фазы, пересекающих сечение площадью Sjk в заданном месте пространства в течение заданного интервала времени:
dP^ = SjkTijVj dt.(3.15)
Определим вероятности столкновений в единицу времени как
== s汴汽k唳，
Pf = ^ = Sjkri 得 j,
и после этого получаем оценку количества столкновений частиц j-й и k-й фазы в единицу времени в единичном объеме пространства (пространственно распределенную плотность столкновений):
厶 Еrel
鴻=号? =讣汴=S/W碟.(3.17)
Пространственно распределенная вероятность столкновения объекта из 7-百 фазы с объектами всех фаз является суммой вероятностей:
=工 рД-(3.18)
k=l
Из (3.17), (3.18) видно, что пространственно распределенные вероятности столкновений зависят от числовой плотности частиц, их скоростей и площадей сечения столкновений. Похожий результат был получен и прежде [9] с помощью прямых выводов из представлений кинетической теории.
Чтобы определить межфазный обмен массы, вызванный столкновениями и разрушениями (3.13), необходимо ввести специальные функции К}, характеризующие массу частиц 7-百 фазы, получающуюся в результате столкновения частиц k-й и /-й фаз. Эти функции зависят от скоростей столкновения, массы, плотности, структуры материала и т. д. Функции К似嚼,dk, dj pk, pl,…)являются для настоящей задачи внешними параметрами. Они могут быть определены из имеющихся решений проблем о высокоскоростных столкновениях и взрывной фрагментации, полученных в рамках детерминистских [26-29] или стохастических [25, 30] подходов. Детальное рассмотрение особенностей моделирования орбитального разрушения будет дано в следующих пунктах.
Функции К} по определению симметричны относительно нижних индексов:
Нумеруя фазы в порядке убывания размеров: di 》d?》• • •》d；v, можно получить, что
К" > 0 для j > k, I,
К" = 0 для j < к,1,
К^ < 0 для j = min (k, /).
Наконец, приток массы к 7-百 фазе от k-й фазы как результат фрагментации может быть определен следующим образом:
NPNP
=工 S 胱喟八卜仙隔(唠1,点,味…)-工 Sjiv^njniK^v^, dj,pj,...). (3.19) 2=12=1
Первый член в правой части выражения (3.19) характеризует положительный приток массы к j-й фазе в результате столкновения частиц k-й и /-й фаз. Второй член характеризует отрицательный поток массы из-за фрагментации частиц j-й фазы при столкновении с другими фазами.
Вычитая уравнение (3.1), умноженное на vj, из уравнения (3.4), можно получить уравнение импульсов в следующей форме:
Pj^- + ^vjgradvj = Fj+ Fd, + Pj+ J — "v厶(3.20)
или
_ dv?・_ dv?・Np=Fj + F^ + Pj + J2 ^jkiyjk - vj),k = lNp=Fj + F^ + Pj + J2 ^jkiyjk - vj),k = lj = 1, • • •, Np.j = 1, • • •, Np.(3.21)(3.21)
_ dv?・
_ dv?・
Np
=Fj + F^ + Pj + J2 ^jkiyjk - vj),k = l
Np
=Fj + F^ + Pj + J2 ^jkiyjk - vj),k = l
j = 1, • • •, Np.
j = 1, • • •, Np.
(3.21)
(3.21)
С целью определения числовой плотности частиц j-n фазы уравнение (3.1) трансформируется следующим образом:
帰 + div njVj =工 + njop + njex -峙， (3.22)
где %к — число частиц, перешедших из к-й фазы в j-ю в единицу времени;八^ор, nj ex,峙—скорости роста или убывания числа частиц из-за влияния внешних источников.
Уравнения (3.21), (3.22) совместно с определениями сил и Источниковых членов (玛田内下厶办) образуют замкнутую систему, позволяющую отследить эволюцию облаков фрагментов с учетом их взаимодействий, разрушения, радиации и аэродинамического сопротивления.
Асимптотический анализ долгосрочных прогнозов. Иногда с целью получения долговременного прогноза следует упростить математическую модель. Характеристическое время одного цикла движения облаков мусора и характеристическое время рассеяния этих облаков (около 1 месяца) существенно меньше, чем время эволюции всей системы. В этом случае для всех фрагментов j-й фазы, характеризующихся размером, орбитой, ее наклонением, баллистическим коэффициентом и т. д., можно пренебречь особенностями всех распределений внутри заданного диапазона высот. При этом модель позволяет определить число частиц космического мусора в зависимости от высоты. Осредняя уравнение (3.22) по долготе и широте, можно получить следующую форму модельного уравнения:
吟%+ 此， (3.23)
ot J 7 or 丿
где Nj(t, r) — число частиц j-п фазы космического мусора, распределенных в сферическом слое единичной высоты; Wj(t, г) = (d『/d方%• — радиальная скорость частиц (скорость оседания); Nj — скорость изменения числа частиц в этом сферическом слое как результат действия внешних источников:
r+A/z тг/2 27r
£%%（方,广0,夕）+电抑（方,广0,夕）+£%%（方,广0,夕）+电抑（方,广0,夕）+№也吟=
£%%（方,广0,夕）+电抑（方,广0,夕）+
£%%（方,广0,夕）+电抑（方,广0,夕）+
Т -7Г/2 О
+ 电0(方，丁,e,0)一修•(方，厂,C,夕))• r2 cos 0 dQ dd dr. (3.24)
Скорость Wj = (dr/dt)j обычно имеет отрицательный знак из-за тенденции частиц мусора к оседанию. Из-за этого некоторые авторы предпочитают вводить скорость оседания как "(方，广)=—%•(方，广)> 0. Скорость оседания обычно уменьшается с высотой из-за резкого уменьшения сил сопротивления:
дгдг<0.<0.(3.25)(3.25)
дг
дг
<0.
<0.
(3.25)
(3.25)
Уравнение, аналогичное (3.23), было использовано для целей прогноза состояния космического мусора в [33] и будет использоваться в дальнейшем в данном пункте.
Другое возможное упрощение основано на предположении, что все орбиты частиц космического мусора близки к круговым [31, 32, 9, 12]. Это предположение
основывается прежде всего на том, что большая часть наблюдаемых объектов движется по траекториям с очень малыми эксцентриситетами.
В этом случае векторное уравнение импульсов может быть записано для двух проекций: на радиус-вектор и на касательную к траектории. Вектор скорости 7-百 лагранжевой частицы в этой системе будет иметь следующие проекции:
vj = Wjer +。乃 е 夕=rer + r^e^,(3.26)
где『，夕一радиальная и угловая координаты; е『，е夕—единичные векторы базиса; точка над символом здесь означает производную по времени. В процессе движения частиц мусора соблюдается следующее отношение:
胆《1.(3.27)
Оно имеет место, поскольку скорость осаждения частиц мусора под действием атмосферного сопротивления в верхних слоях атмосферы очень мала.
Давлением солнечной радиации и потоком импульса за счет массообмена можно также пренебречь, поскольку для низких околоземных орбит выполняются следующие неравенства:
« 田心 I； \vjk ~ vj\ 1sl.(3.28)
Ускорение в (3.21) может быть записано в следующей форме:
* = (г -广状)* +(2户9 + r^)e^.(3.29)
В этом случае две проекции векторного уравнения (3.21) имеют вид:
р^г-гф2)=刃(票-?) = -Pj9^ - ^《pa(r,t)W；^,(3.30)
Рз^гф + гф) = 一；40a(几方)咤* = -}40a(广，方"9)2*.(3・31)
Предполагая, что изменение орбиты под действием атмосферы происходит очень медленно, можно пренебречь ускорением г по сравнению с другими членами уравнения (3.30):
г «.
Последний член в правой части уравнения (3.30) пренебрежимо мал по сравнению со вторым членом левой части вследствие выполнения (3.27). После этих предположений система уравнений (3.30), (3.31) принимает вид
гф2 = д(『)洋，(3.32)
2户 о + 广9 = —(з.зз)
где 7 — гравитационная постоянная, a M — масса Земли. Определяя угловую скорость ф из уравнения (3.32), можно получить скорость
Г = Wj =(3.34)
/Pj电
где функция 0a (广，方)может быть получена с помощью какой-либо из моделей стандартной атмосферы или из ее аппроксимаций.
Вводя аппроксимационную формулу для изменения плотности с высотой в верхних слоях атмосферы, можно еще более упростить уравнение (3.32). Если использовать формулу [32]:
Pag) = 0a (『о,"ехрPag) = 0a (『о,"ехр(3.35)(3.35)
Pag) = 0a (『о,"ехр
Pag) = 0a (『о,"ехр
(3.35)
(3.35)
и подставить ее в (3.34), то можно получить следующее выражение для одной из частных производных, присутствующих в (3.23):
dr »(</) I 2г уdr »(</) I 2г у(3.36)(3.36)
dr »(</) I 2г у
dr »(</) I 2г у
(3.36)
(3.36)
где H(г, t) — эффективная высота однородной атмосферы для высоты г; 0a(『о,方)—— известная плотность на высоте『о.
Подставляя (3.36) в (3.29), получаем следующее уравнение, описывающее изменение числовой плотности частиц в верхней атмосфере:
dNjdNj ,dNjdNj ,(3.37)(3.37)
dNjdNj ,
dNjdNj ,
(3.37)
(3.37)
Если использовать приведенную толщину сферического слоя △九，уравнение (3.37) может также приближено описать и оседание частиц, находящихся на эллиптических орбитах. При этом переменная г для эллиптических орбит должна трактоваться как высота перигея.
Предполагая, что ^ С 1, уравнение (3.37) можно привести к форме, которая и будет использоваться в дальнейшем.
Критерии возникновения цепного процесса саморазмножения мусора на низких околоземных орбитах и условия его обратимости. Последний член в уравнении (3.37) отражает приток частиц к 力й фазе за счет внешних источников и за счет фрагментации при столкновениях. Внешние источники могут быть введены в модель в качестве дополнительных управляющих параметров, и роль этих членов будет зависеть от принятых значений этих параметров, которые прогнозируют будущую деятельность человека в космосе.
Сосредоточимся теперь на внутренних механизмах самовоспроизводства мусора при столкновениях. Чтобы понять роль члена
NN
*** k=lk=l КР@
в уравнении (3.37), можно рассмотреть крайний случай, когда 7Vp = 1. В этом предположении существует лишь одна фаза (^п ^ 0). Частицы, произведенные при столкновениях, будут меньших размеров и должны перейти в другую фазу. Для однофазной же модели новообразовавшиеся частицы останутся в этой же фазе, что приведет тем самым к уменьшению среднего диаметра фрагментов.
В этом случае интенсивность фрагментации может быть определена формулой [9]
= 7rd2八2。「3,(3.38)
где Ф — среднее число частиц мусора, образовавшихся при одном столкновении и остающихся на орбитах в течение достаточно долгого времени, чтобы быть учтенными в долговременном прогнозе.
Начальные стадии эволюции орбитального мусора характеризуются его разреженностью, при этом столкновения частиц редки и средний диаметр частиц остается стабильным. Рост числа частиц в результате столкновений пропорционален квадрату их числовой плотности (3.38): ^п 〜п. После того как числовая плотность мусора превысит критическое значение, столкновения будут происходить более часто, числовая плотность частиц будет быстро увеличиваться, а их средний диаметр — уменьшаться. (Как видно из (3.2), увеличение числа частиц, образующихся при фрагментации, приводит к уменьшению среднего диаметра, характеризующего данную фазу.) Предполагая, что новые космические программы к этому моменту будут остановлены, можно ожидать стабилизации количества мусора на орбитах (если пренебречь его постепенным уменьшением из-за оседания):
Q 八=const (для компактных элементов), о
а = 7rd2方八=const (для плоских элементов).
Таким образом, интенсивность роста количества мусора будет пропорциональна 八4/3 для компактных элементов п 〜八 для плоских элементов, что следует из (3.38), (3.39). Сила сопротивления (3.8) возрастает с уменьшением размера частиц, тем самым ускоряется оседание мелких частиц, что приводит к увеличению эффекта самоочищения низких околоземных орбит (уменьшению а).
Уравнение (3.37) позволяет получить оценку критической числовой плотности, превышение которой ведет к каскадному эффекту самовоспроизводства мусора в заданном слое по высоте.
Предполагая, что число частиц на единицу объема равномерно распределено, можно заметить два конкурирующих механизма, управляющих изменением числа частиц в слое: с одной стороны, производство и самовоспроизводство, а с другой стороны — самоочищение из-за оседания (3.37). При этом критерий роста числа частиц будет следующим:
湍 + № > 0. (3.40)
Интенсивность роста числа частиц № является суммой самовоспроизводства в результате столкновений и производства за счет внешних источников (3.24). Поскольку производство за счет внешних источников зависит прежде всего от тактики космической деятельности, эта величина может считаться мало меняющейся и дающей малый вклад в момент наступления каскадного эффекта по сравнению с членом, отвечающим за самовоспроизводство. Таким образом, пренебрегая членами, отвечающими за внешнее производство, и подставляя выражения (3.34) и (3.38) для интенсивностей оседания и фрагментации, можно преобразовать неравенство (3.40) следующим образом:
процесс цепного саморазмножения космического мусора:
八〉工 J (3.41)
27rdз / p Hg Ф ' 丿
Неравенство (3.41) показывает, что увеличение числа обломков при столкновении Ф и диаметра частиц d приводит к уменьшению критической числовой плотности, а увеличение коэффициента сопротивления увеличивает ее. Критическая плотность уменьшается с высотой из-за экспоненциального уменьшения плотности атмосферы, которое подавляет все прочие зависящие от высоты множители.
Неравенство (3.41) может быть названо критерием начала экологической катастрофы в околоземном космическом пространстве, так как после наступления этого условия дальнейший рост числа фрагментов будет происходить независимо от внешних воздействий, приводя тем самым к пропорциональному возрастанию опасности столкновений с космическими аппаратами.
Оценка (3.41) показывает, что в зависимости от начальных условий каскадный процесс роста количества мусора из-за самовоспроизводства на различных высотах может начаться независимо. Однако формула (3.41) получена на основе большого числа существенных упрощений. Тем самым она прежде всего дает качественную оценку. Для получения количественных прогнозов требуется интегрировать дифференциальные уравнения (3.23) с учетом наличия многих фаз космического мусора (7 = 1,..., Np) и межфазного обмена.
Еще одна качественная оценка долгосрочного сценария эволюции орбитального мусора, основанная на неравенстве (3.41), состоит в следующем. Критическая числовая плотность возрастает с уменьшением диаметров частиц (% 》А/d^, кривая 7 на рис. З.1.). Средний диаметр частиц уменьшается при фрагментации, что вызывает рост числовой плотности. Последняя не может расти быстрее, чем
(3.42)(3.42)/ 6a
(3.42)
(3.42)
в отсутствие новых запусков.
Объемная концентрация мусора а уменьшается вследствие эффекта самоочищения, вызываемого атмосферным сопротивлением. Эволюционное уравнение для а выглядит следующим образом:
dt dr Я(г) тdt dr Я(г) т(3.43)(3.43)
dt dr Я(г) т
dt dr Я(г) т
(3.43)
(3.43)
Предполагая, что а распределено равномерно, можно получить оценку
дада<0,<0,(3.44)(3.44)
да
да
<0,
<0,
(3.44)
(3.44)
выполненную всегда, поскольку W < 0 и Н(г)/г « 1.
После того как с момента прекращения влияния внешних источников загрязнения космоса (прекращения новых запусков и орбитальных взрывов уже выведенных аппаратов) прошло характерное время 方*, для уменьшения а будет верна следующая оценка:
a W &оехр(» = &оехр(a W &оехр(» = &оехр(3Оа(т) ГVTt^\2 IT?) 丿3Оа(т) ГVTt^\2 IT?) 丿=&o exp=&o exp(3.45)(3.45)
a W &оехр(» = &оехр(
a W &оехр(» = &оехр(
3Оа(т) ГVTt^\
2 IT?) 丿
3Оа(т) ГVTt^\
2 IT?) 丿
=&o exp
=&o exp
(3.45)
(3.45)
где &о — начальная объемная концентрация мусора в момент прекращения внешнего его производства.
Формулы (3.42) и (3.45) позволяют получить верхнюю оценку числовой плотности фрагментов с учетом самоочищения (кривая 2 на рис. З.1.):
eхp(-(3.46)
Оценка (3.46) существенно зависит от значения объемного содержания мусора а。 в момент прекращения загрязнения космоса. Как видно из рис. 3.1, уменьшение среднего диаметра фрагментов как результат столкновений в конечном итоге делает текущую числовую плотность ниже критической для меньших диаметров (пересечение кривых / и 2 на рис. 3.1). Это ведет к прекращению каскадного процесса: самоочищение подавляет самовоспроизводство. Тем самым анализ показывает, что в будущем после прекращения космической деятельности самовоспроизводство должно смениться самоочищением низких орбит.
Рис. 3.1. Верхняя и нижняя границы для критической плотности космического мусора
Этот вывод в корне отличается от категоричных выводов работ [5, 22, 23] о необратимости каскадного процесса цепного саморазмножения. Характерное время, необходимое для того, чтобы самоочищение превысило самовоспроизводство, может быть получено с помощью решения нестационарной задачи с использованием полной системы уравнений. Но в любом случае, как показывают настоящие асимптотические оценки, никогда не поздно принять меры по уменьшению количества мусора. Уменьшение загрязнения космоса в дальней перспективе приведет к полному самоочищению низких околоземных орбит.
Численное исследование моделей долгосрочного прогноза с учетом саморазмножения космического мусора. Чтобы провести численные исследования по разработанной модели (включая, например, уравнения (3.23) и (3.24)), необходимо более аккуратно определить уровень ежегодного образования новых частиц мусора в единичном слое по высоте в результате космической деятельности:
r+A/z тг/2 27r
%• =] I I (电• op(方，广,С,夕)+ njex(t r, Q,夕)-Vj(i, r, Q,夕))广2 cosJdC 曲 dr.
『屮 °(3.47)
Формула (3.47) служит для прогноза будущей космической политики, основанного на анализе реализации предыдущих космических программ. Вычисление параметра Qj с помощью интеграла может быть заменено формулой, предложенной в [31]:n
Qj = ь[(1-+ FeAeDe]^,(3.48)
где N* = £ TVj d『；L — число запусков в год; 4〔 — среднее число частиц операционного мусора при успешном запуске; Ае — среднее число обломков, получающихся при орбитальном взрыве; D\, De — доля фрагментов, остающихся в течение достаточно продолжительного времени (более года) на орбите после успешного запуска и после взрыва соответственно; Fe — коэффициент, характеризующий число взрывов по отношению к числу запусков. Формула (3.48), будучи приближенной, тем не менее вполне пригодна для исследовательских целей, но она требует дальнейших существенных модификаций для получения количественных прогнозов.
Другим аспектом, требующим рассмотрения, является определение начальных условий и указание начального распределения фрагментов по фазам. Чтобы не делать модель слишком сложной, введем три фазы. Общее число каталогизируемых объектов (di > 10 см), и их распределение по высоте представляется первой фазой. В дополнение к ней вводятся еще две фазы, описывающие неотслеживаемые объекты: 1 см V d2 V 10 см и 0.1 см < с/3 < 1 см. Распределение неотслеживаемых объектов по высоте в грубом приближении предполагается аналогичным функции распределения отслеживаемых.
Учитываются столкновения следующих типов: (1, 1), (2, 2), (1,2), (1,3) и (2, 3). Число частиц, образующихся при столкновениях, было определено по аппроксимациям, предложенным [3]. Вкладом частиц третьей фазы в столкновения Фзз можно пренебречь из-за слишком малого размера образующихся при таких взаимодействиях частиц; частицы такого размера моделью не учитываются.
Для численных расчетов были приняты следующие прогнозы будущей космической деятельности: L = 120 запусков в год; Ai = 4 объекта на один запуск; Ае = 125 объектов на запуск; D\ = 0.63; De = 0.82; Fe = 0.03. Начальное распределение фрагментов всех трех фаз представлялось линейным, с двумя пиками, что является линейной интерполяцией распределения рис. 3.1. В обычных (не логарифмических) координатах начальный профиль распределения фрагментов соответствует сечению t = 0 на рис. 3.2). Вычисления производились в интервале высот 240 км < Д < 1400 км. Рисунок 3.2 показывает изменение во времени распределения по высоте фрагментов, принадлежащих третьей фазе [34]. Распределение более крупных фрагментов, принадлежащих 1 и 2 фазе, практически не меняется за достаточно короткий рассмотренный временной интервал. Были лишь зафиксированы изменения распределения 2-й фазы на высотах Д < 600 км и распределения 1-й фазы при Д < 450 км.
Пространственное распределение 3-й фазы за рассмотренный интервал в 70 лет претерпело существенные изменения. На малых высотах Д < 550 км произошло существенное снижение количества мусора. Периодические колебания числа фрагментов на этих высотах связаны с 11-летним циклом солнечной активности, приводящим к периодическому росту плотности ра на этих высотах. Для больших высот (600 км < Д < 800 км) амплитуды осцилляций снижаются, а среднее уменьшение числа фрагментов, происходящее в первые годы, сменяется ростом их числа из- за столкновений и фрагментации более крупных частиц, принадлежащих другим фазам. Для еще больших высот имеет место рост числа фрагментов.
На рис. 3.3 изображено изменение со временем пространственного распределения числа фрагментов 1-й и 2-й фазы в зависимости от высоты [9, 12] в слое толщиной 50 км. Из рисунка видно, что рост числа крупных фрагментов остается весьма малым в течение первых 200 лет. В настоящее время число фрагментов на орбитах много ниже критического. После достижения критических условий
Эволюция распределения по времениЭволюция распределения по времениаа(ю、1) оаовыжоу(ю、1) оаовыжоу2200021000200001900018000170001600015000140001300012000110001000090008000700060005000400030002000100022000210002000019000180001700016000150001400013000120001100010000900080007000600050004000300020001000Распределение количества частиц по высотеРаспределение количества частиц по высоте30040050060070080090010001100120013003004005006007008009001000110012001300Высота (км)Высота (км)
Эволюция распределения по времени
Эволюция распределения по времени
а
а
(ю、1) оаовыжоу
(ю、1) оаовыжоу
22000
21000
20000
19000
18000
17000
16000
15000
14000
13000
12000
11000
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
22000
21000
20000
19000
18000
17000
16000
15000
14000
13000
12000
11000
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
Распределение количества частиц по высоте
Распределение количества частиц по высоте
3004005006007008009001000110012001300
3004005006007008009001000110012001300
Высота (км)
Высота (км)
6
Рис. 3.2. Верхняя и нижняя границы для критической плотности космического мусора
Количество объектов
/%Высота над поверхностью Земли (км)
Рис. 3.3. Долгосрочный прогноз эволюции техногенных загрязнений в околоземном космическом пространстве
число столкновений катастрофически возрастает и доминирующим процессом становится самовоспроизводство мусора. Видно, что на разных высотах критические условия достигаются за различное время. Процесс самовоспроизводства мусора на больших высотах происходит позже из-за особенностей начального распределения фрагментов.
После достижения критической концентрации фрагментов на орбите пс эта орбита уже не может быть использована для космических полетов. При этом предполагается, что новые запуски на орбиту прекращаются и загрязнение орбиты останавливается. Рисунок 3.3 показывает, что после прекращения внешнего загрязнения быстрый рост числа орбитальных фрагментов сменяется их медленным уменьшением в результате процесса самоочищения. Тем не менее уменьшение количества мусора является очень медленным процессом по сравнению с его ростом в результате самовоспроизводства. Таким образом, орбита остается опасной для космических полетов в течение очень длительного времени.
Результаты, представленные на рис. 3.2 и 3.3, должны рассматриваться как качественный прогноз и служить лишь иллюстрацией свойств разработанной модели. Для получения количественных прогнозов в модель должны быть внесены более детальные составляющие модели, а именно: модели производства мусора в результате столкновений и орбитальных взрывов. Такие модели будут рассмотрены в следующих пунктах.
Основные результаты математического исследования моделей эволюции космического мусора. Разработанная математическая модель эволюции космического мусора основывается на подходе механики сплошной среды, что служит альтернативой классическим подходам с помощью методов небесной механики, являющимся в настоящее время основой уже существующих моделей. Модель способна отследить изменение многокомпонентных облаков космического мусора, которые включают фрагменты различных типов.
в противовес общепринятой точке зрения столкновения объектов различных типов приводят не только к самовоспроизводству мусора, но и к самоочищению низких околоземных орбит, связанному с тем, что частицы малых диаметров значительно сильнее подвержены действию атмосферного сопротивления.
Численные исследования, проведенные по разработанной модели, показали ее чувствительность к изменениям внешних управляющих параметров. Было показано, что каскадный процесс самовоспроизводства мусора может начаться не на всех орбитах одновременно.
В дальнейшем для получения количественных долговременных прогнозов эволюции орбитального мусора необходимо внесение в модель более подробных составляющих моделей, адекватно описывающих различные варианты разрушений в космосе, а также использование более точных начальных данных по плотности распределения различных фракций космического мусора на орбитах на текущий момент.
Образование космического мусора при различных типахразрушений спутников на околоземных орбитах
В данном пункте исследуются разрушения орбитальных объектов как главный источник образования космического мусора. Рассматриваются различные типы разрушения под воздействием неоднородных внутренних нагрузок, вызванные как внутренним взрывом объекта, так и высокоскоростным соударением с частицами космического мусора. Разработанный термодинамический критерий разрушения материала, основанный на величине критической энергии диссипации, позволяет определить число и скорость обломков, получаемых при разрушении. Сравнительный анализ показывает, что функция распределения числа обломков от их массы весьма сильно зависит от сценария разрушения, что может привести к существенному отличию результата от прогнозов по общепринятым моделям фрагментации. Разрушения, вызванные химическим взрывом и высокоскоростным соударением частиц с объектом, находящимся под внутренним давлением, порождают различные потоки обломков.
Разрушения космических аппаратов на орбите. Разрушение спутников по различным причинам, и прежде всего взрывы верхних ступеней, дают наибольший вклад в образование космического мусора [36]. Только в 1981 г. Don Kessler, NASA-JSC смог найти корреляцию между космическим мусором от орбитальных взрывов, зарегистрированных NORAD/ATCOM, и поведением последних ступеней ракет, остававшихся на орбите после выведения спутников [37]. С 1969 по 1981 гг. произошло 10 случаев разрушения вторых ступеней ракеты Delta, остававшихся на орбите после завершении миссии [38]. Время, прошедшее с момента запуска ракет до взрыва, составляло от 1 дня до 5 лет. На рис. 4.1 приведены схема второй ступени ракеты Delta и таблица, отражающая историю разрушения этих ступеней после того, как они были выведены на орбиту.
Одной из наиболее вероятных причин орбитальных разрушений является превышение давления в баках с горючим и окислителем с последующим разрушением перегородки между ними, смешивание остающихся компонент топлива и их возгорание, что с большой вероятностью приводит к взрыву [36-39]. Теоретические и экспериментальные исследования разрушений топливных баков показывают, что такие характеристики разрушения, как число, массы и скорости фрагментов сильно зависят от хода процесса высвобождения энергии в топливном баке [26, 27, 29, 40].
Таблица
Delta Sequence Number Порядковый номер
Launch Site Место запуска
Pavioad Name Выведенный спутник
Date of Launch Дата запуска
Date of Exolosion Дата взрыва
Time in Orbit Prior to Exolosion Время нахождения на орбите до взрыва
44
ESMC
INTELSAT II F2
01-11-67
Late 1971
5 Years
71
ESMC
INTELSAT II E
07-26-69
07-26-69
1 Day
89
WSMC
LANDSAT A
07-23-72
05-22-75
2 Years, 10 Days
98
WSMC
ITOS-F
11-06-73
12-29-73
1.5 Months
104
WSMC
ITOS-G
11-15-74
08-20-75
9 Months
107
WSMC
LANDSAT
01-22-75
02-09-76
1 Year
06-19-76
4 Months
109
WSMC
GEOS-C
04-09-75
03-78
3 Years
126
WSMC
ITOS-H
07-29-76
12-24-77
1 Year, 5 Days
132
ESMC
CMS
07-14-77
07-15-77
1 Day
139
WSMC
LANDSAT-C
03-05-78
01-27-81
2 Years, 1 1 Days
Рис. 4.1. Схема второй ступени ракеты Delta и таблица, отражающая историю разрушения этих ступеней после того, как они были выведены на орбиту (по данным источников США)
Другими возможными причинами орбитальных взрывов являются высокоскоростное столкновение фрагментов с отсеками, находящимися под давлением, и химические взрывы.
Целью настоящего исследования является создание физических и математических моделей разрушения, которые могли бы описать явление фрагментации при различных сценариях разрушений и определить число, массы и скорости обломков.
Данный пункт содержит описание физической модели явлений разрушения. Детальные математические модели высвобождения энергии при внутренних химических взрывах, внутреннем нагружении, деформации, накоплении повреждений и разрушении описаны в [26, 27, 41-46]. Чтобы не перегружать изложение математическими формулами, подробного изложения перечисленных моделей в данном пункте не приводится. Результаты же исследования фрагментации, происходящей по различным сценариям, и их сравнение с экспериментальными данными будут даны ниже.
Физическая модель процессов разрушения. Рассматривая различные возможные сценарии разрушения, можно прийти к следующей классификации типов разрушений.
Разрушения по причине химических взрывов. Такие типы разрушений возникают от внутренней нагрузки на структуру из-за выделения химической энергии.
Разрушения из-за превышения давления — возникают при постепенном равномерном нарастании внутренней нагрузки по причине физических воздействий на среду: нагрев, испарение и т. д.
Разрушения по причине столкновений — возникают при мгновенной нагрузке на структуру из-за превращений кинетической энергии сталкивающихся объектов.
Каждый из этих типов разрушения может иметь множество сценариев. Выделение химической энергии в предварительно смешанных горючих материалах, приходящих в контакт внутри космического аппарата, может проходить в двух режимах: медленное горение и детонация (быстропротекающий процесс, когда скорость распространения зоны реакции достигает нескольких километров в секунду) [41, 42]. Интенсивность нагрузки на стенки и максимальная нагрузка при медленном горении и детонации отличаются по величине на несколько порядков, что приводит к различным профилям нагружения, степени фрагментации, массам и скоростям обломков [43].
Предварительно неперемешанные горючие системы (высокочувствительное бинарное топливо), реагирующие в осциллирующем диффузионном режиме [29], вызывают неравномерную нагрузку на стенки, что приводит к появлению очень широкого спектра распределения числа обломков по их массе с несколькими максимумами.
Столкновения объектов, находящихся под давлением, с высокоскоростными частицами приводят к различным сценариям разрушения для газонаполненных объектов и объектов, содержащих жидкость.
Ниже мы дадим краткое описание моделей для нескольких сценариев разрушения.
Все случаи разрушения объектов на орбите содержат следующие характерные стадии:
—выделение энергии и нагрузка на структурные элементы спутника;
инамическая деформация структур и накопление повреждений;
азрушение стенок, рост трещин, образование и разлет фрагментов.
2.1. Модель выделения энергии. Внутренняя нагрузка на структуру может быть вызвана выделением химической энергии (в режиме горения и/или детона-
ции) либо превращением кинетической энергии при высокоскоростных столкновениях.
В случае химического взрыва реагенты (например, в топливных баках) могут присутствовать в различных фазах: жидкость, газ или твердое вещество. Таким образом, должна применяться математическая модель для химической реакции в многофазной среде. Такие процессы выделения энергии и «точечных взрывов» также могут быть описаны с помощью математической модели химически реагирующих многофазных потоков [48, 49].
В случае высокоскоростного столкновения спутника с частицей в зоне контакта формируется облако мелких быстро движущихся фрагментов, проникающих в газо- или жидкостнонаполненные отсеки, находящиеся под давлением. Резкое торможение этих фрагментов (с возможным их горением в содержащих кислород отсеках) приводит к выделению тепловой энергии в небольшой области внутри отсека, что похоже на взрыв. Динамика нагрузки на стенки после этого зависит от плотности высвобожденной энергии, процесса распространения ударных волн и их отражения от стенок отсека. Ввиду большой важности этого явления как для описания последствий столкновений космических аппаратов с быстролетящими фрагментами, так и для разработки средств защиты, процесс высокоскоростного удара по газонаполненному контейнеру будет рассмотрен отдельно в следующем пункте.
2.2. Модель динамической деформации стенок. Математические модели динамической деформации стенок отсеков под действием внутренней нагрузки описаны в [26, 27, 29, 44-46, 50]. Стенки отсека могут состоять из многослойного композитного материала, так что многофазные модели и здесь предпочтительны для описания процесса и расчета накопления повреждений. Материал стенок может быть рассмотрен как упруговязкопластическая [27, 29] или термовязкоупругая [46] среда. Определяющая система уравнений для осесимметричной задачи о динамической деформации термовязкоупругой композитной оболочки [46, 50] позволяет определить рост упругой энергии и механической диссипации в такой оболочке при динамической деформации.
2.3. Модели фрагментации. Нами использовался термодинамический критерий разрушения, основанный на величине критической диссипации энергии, накапливающейся при необратимых процессах: вязкой диссипации, накоплении повреждений при растяжении, сдвиге и расслоении фаз. При удовлетворении этому критерию: О》О*, возникает разрушение оболочки [26, 27, 50]. Число фрагментов, образующихся при разрушении оболочки, определяется из условия соблюдения баланса упругой энергии, аккумулированной в оболочке в момент ее разрушения, и работы, которую необходимо затратить на формирование трещин. Упругая энергия, аккумулированная в момент разрушения t* в произвольном участке оболочки площади Sa и толщины h, определяется по формуле
石=]]E*p()h • dS.
Sa
Эта энергия расходуется на образование трещин (поверхностей разрыва) вокруг фрагментов:
石•卜石=No。] t®(s)/(s)曲，о
где 7 — удельная энергия, поглощающаяся при формировании единицы площади поверхности,夕(s) — полупериметр фрагмента площади s,卜石(О V 卜石 W 1) — коэффициент поглощения упругой энергии, /(s) — плотность функции распределения фрагментов, Ng — число фрагментов, сформированных при разрушении участка оболочки а.
Таким образом, получаем следующую формулу:
No。『-空产 s"(s) ds = 0.
Вводя безразмерный коэффициент формы k = s/p1 и учитывая возможные пределы его изменения 0 < к ^ 1 /тг, получим некоторые ограничения на минимальный размер фрагментов, получаемых при разрушении данной секции:
SminSmin=7Г=7Г70оЕ*акЕ 丿70оЕ*акЕ 丿
Smin
Smin
=7Г
=7Г
7
0оЕ*акЕ 丿
7
0оЕ*акЕ 丿
Решение задачи разрушения позволяет нам определить лишь скорости, которые фрагменты имели в момент формирования трещин. После образования трещин каждый фрагмент уже не испытывает непосредственного влияния соседних, и решение задачи динамического деформирования термовязкоупругопластической оболочки на этом завершается. Дальнейшее изменение скорости фрагментов происходит под воздействием расширяющегося потока газа, образованного после разрушения оболочки. При этом вначале газ истекает через узкие щели, образовавшиеся между фрагментами, а ускорение фрагментов происходит под действием перепада давлений на внутренней и внешней поверхности. Затем, по мере разлета фрагментов, их взаимодействие с окружающим потоком газа начинает происходить в режиме свободного обтекания. Поэтому конечные скорости разлета обломков могут быть получены из решения следующих уравнений:
М•黑 -S01VL u|(vj -u), * = q
гдегде
где
где
S = Sj cos а + Q + *)G Sina; Cd = ◎(&,%),
fj = %/立， ^j = Pshsj,
rrij — масса фрагмента, vj — его скорость, u — скорость газа, р — давление в расширяющемся истекающем газе, s^ — площадь поверхности (одна сторона), Д — толщина фрагмента, Q ——аэродинамический коэффициент сопротивления, S — эффективная поверхность, обращенная к потоку, а — угол ориентации, — характерный размер фрагмента, fj — коэффициент формы,『о ——радиус кривизны фрагментов. Начальными условиями для этих уравнений являются:
方=方*; Vj = V j * ；X = ^oj,
где %•* — скорость оболочки непосредственно перед разрушением.
Фрагментация оболочек при равномерном нагружении. Рассмотрим разрушение тонкостенной цилиндрической оболочки отсека, вызванное взрывом кислородно-водородной смеси, заполнявшей отсек. Параметры смеси и отсека были выбраны согласно экспериментальным данным, описанным в [40].
На рис. 4.2 показан один из случаев фрагментации; данные приведены в виде диаграммы зависимости числа обломков от их массы при разрушении цилиндрической оболочки для случая детонации смеси внутри отсека.
Рис. 4.2. Диаграмма зависимости числа обломков от их массы при разрушении цилиндрической оболочки г = 30 см, длины 75 см для случая детонации стехиометрической смеси водорода и кислорода внутри отсека
Расчетная диаграмма соответствует данным г = 30 см, длина 75 см эксперимента ESOC-2 [40]. Начальные условия и параметры системы следующие: радиус бака, толщина стенок Д = 0.5 мм, плотность материала стенок р = 2700 кг/м3, удельная теплоемкость cv = 924.3 Дж/кг • К, коэффициент объемного расширения av = 6.72 • 10-5 К-1, модуль сдвига 从=27 ГПа, предел упругости Jmax = 0.68 ГПа, энергия на образование единицы площади поверхности разрыва 7 = 100 кДж/м2, экспоненциальный параметр функции распределения Л = 0.5. Сравнение теоретических и экспериментальных результатов показывает, что для той части спектра, которая соответствует крупным фрагментам, совпадение весьма хорошее. Некоторая разница для мелких фрагментов (теория дает большее их число, чем эксперимент) может объясняться тем, что в эксперименте не все мелкие обломки были собраны. В [40] было отмечено, что масса, потерянная в эксперименте ESOC-2, составляла 1.3% от общей массы оболочки, т. е. около 20 г. Разница масс для мелких фрагментов между теоретическими и экспериментальными данными значительно меньше этой величины.
Были рассмотрены различные режимы выделения энергии: горение, детонация и переход горения в детонацию [41, 42]. В последнем случае может возникать волна пересжатой детонации, которая приводит к очень высокой интенсивности нагрузки на стенку при своем отражении [43].
Результаты численного моделирования показывают, что процесс разрушения, распределение числа и массы обломков и их скоростей значительно различаются в зависимости от режима горения (интенсивности выделения энергии) внутри топливного бака, и эта зависимость не монотонна. Для самого медленного (горение) и самого быстрого (детонация) режимов высвобождения энергии число образовавшихся фрагментов меньше, чем для промежуточного режима, т. е. для перехода
горения в детонацию. Максимальные скорости фрагментов и время, прошедшее от зажигания до разрушения, для этих режимов изображены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Параметр
Горение
Переход
Детонация
время процесса (мс)
7017
4 272
1029
максимальная скорость разлета фрагментов (м/с)
900
2 500
1000
Еще одна серия численных тестов была посвящена исследованию так называемых параметров подобия для разрушения топливных баков. В работе [40] был предложен параметр подобия 夕о『о/九=4 = const, причем в [40] предполагалось, что одинаковые значения параметров подобия приводят к подобным функциям распределения числа фрагментов и их скоростей по их массам. Это означает, что для крупных фрагментов их число растет пропорционально объему материала оболочки.
Были проведены расчеты для начальных данных эксперимента ESOC-2, но с пропорционально увеличенными размерами радиуса и толщины оболочки:『о = =120 см, Д = 2 мм. Это увеличение размеров сохраняет величину параметра подобия А. Результаты показали, что число фрагментов увеличилось по величине почти на порядок вопреки предсказанию [40]. Увеличение скорости разлета фрагментов составило более 20%. Объем оболочки увеличился в 16 раз, но масса самых крупных фрагментов только в 8-9 раз, вопреки прогнозу.
Таким образом, результаты показали, что для такого сложного явления, как разрушение топливных баков, не может существовать простых параметров подобия, и экстраполяция данных экспериментов по модельным бакам на реальные конструкции другого размера является весьма сложной процедурой. Для приложения результатов модельных экспериментов к реальным топливным бакам необходимо использовать общие теоретические модели, а не простое изменение шкалы параметров.
Разрушения, вызванные неравномерным нагружением. Большинство орбитальных взрывов не являются следствием равномерной нагрузки на стенки отсеков. Некоторые взрывы были вызваны случайным перемешиванием компонент высокочувствительного ракетного топлива в баках вторых ступеней, остававшихся на орбите значительное время после запуска [36-39]. Такие условия для взрывов возникают, поскольку при окончании работы ступеней расход горючего и окислителя прекращается, однако часть топлива в баках остается в качестве резервного запаса. Смешивание и воспламенение компонентов происходит после повреждения разделяющей баки перегородки. В этом случае энергия, выделяемая при горении, соответствует не всей массе остающихся в баках компонентов, но массе вступившей в контакт и самовоспламенившейся смеси. Такой тип горения был исследован в [29, 51]; он приводит к неравномерному и иногда осциллирующему воздействию на стенки.
Сценарии фрагментации для равномерного и неравномерного нагружений могут различаться. Разрушение при неравномерной нагрузке начинается в зонах максимальных нагружений, где удовлетворяется критерий разрушения, а затем трещины могут проникнуть в менее нагруженные участки оболочки. Вторая стадия разрушения может быть вызвана этими трещинами, распространившимися из поврежденной области. Таким образом, менее поврежденные области (где величина аккумулированной упругой энергии Е*@ меньше) при разрушении формируют бо-
лее крупные обломки. Неравномерности внутреннего нагружения дают различные спектры распределения масс фрагментов.
Численные исследования нагружения стенок и разрушения оболочки при диффузионном горении в баках проводились для случая цилиндрического бака диаметра и длины 1 м при толщине стенки 2 мм и отверстии в перегородке радиуса 25 см [29]. Разрушение происходило, когда в одном из участков оболочки диссипация превышала критическое значение О*, определенное в независимых экспериментах по разрушению образцов. Распределение общего числа фрагментов по их массам приведено на рис. 4.3. Соответствующее распределение скоростей приведено на рис. 4.4 в виде диаграмм, показывающих минимальную, среднюю и максимальную скорости.
4 J_lg(^) Количество фрагментов
3
2-
1
° 一6 一5 -4 一3 0—2—1 1 lg(M) кг
Рис. 4.3. Диаграмма распределения числа фрагментов по массам при разрушении цилиндрической оболочки под воздействием внутреннего несимметричного нагружения
Из рис. 4.3 видно, что график зависимости числа фрагментов от их массы имеет два максимума, и тот из них, который соответствует крупным фрагментам, существенно отличается от изображенного на рис. 4.2, полученного для равномерного нагружения при детонации. Крупные фрагменты сформировались из менее нагруженных участков оболочки, а мелкие — из зон с наибольшей плотностью аккумулированной упругой энергии 石*。・
Распределение скоростей обломков (рис. 4.4) показывает, что средняя скорость для крупных фрагментов меньше, чем для мелких. Окончательная скорость разлета для самых мелких обломков не зависит от их массы и практически постоянна, что находится в хорошем соответствии с распределением скоростей, приведенным в [30]. Снижение скорости для крупных фрагментов связано прежде всего с тем, что неравномерная нагрузка для менее нагруженных областей приводит к меньшей аккумуляции как упругой, так и кинетической энергии. При этом такие области и образуют только самые крупные обломки.
500
400
300
200
100
0
11Рис. 4.4. Диаграмма распределения скоростей фрагментов по массам при разрушении цилиндрической оболочки под воздействием внутреннего несимметричного нагружения
1
1
Кумулятивный поток фрагментов (зависимость числа фрагментов от квадратного корня их массы) приведен для рассмотренного случая на рис. 4.5 (кривая 2). Для сравнения рис. 4.5 содержит также кумулятивный поток фрагментов, рассчитанный для случая равномерного нагружения оболочки того же размера при детонации кислородо-водородной смеси (кривая /). Разность кумулятивных потоков для одного и того же значения выделившейся энергии проистекает из- за разницы режимов горения и нагрузки. Для сравнения на рис. 4.6 приведены данные по кумулятивному потоку фрагментов, полученному при исследовании орбитального разрушения с помощью модели EVOLVE [24]. Качественное сравнение с рис. 4.5 показывает, что это разрушение было вызвано скорее неравномерной нагрузкой при горении, чем взрывом высокой интенсивности.
Результаты исследования орбитальных разрушений. Разработанные математические модели позволяют создать общий подход к моделированию разрушения орбитальных объектов. Результаты в части функций распределения фрагментов и их скоростей качественно соответствуют существующим моделям для различных типов разрушения и находятся в хорошем количественном соответствии с экспериментальными наблюдениями.
Основанные на физических принципах, разработанные модели разрушения позволяют решить и обратную задачу: определить возможный сценарий разрушения по данным распределения количества и скорости фрагментов.
Разрушение газонаполненного или наполненного жидкостью отсека при высокоскоростном соударении имеет ряд специфических особенностей, которые будут рассмотрены в пункте 6.
Исследования показали, что
распределения числа, массы и скоростей фрагментов не только зависят от общей энергии взрыва, но и имеют сильную нелинейную зависимость от сценария выделения энергии;
Кумулятивный поток фрагментов
4 口g(N)
2 一2 一1 一1 一0.00.10"20.30.40.50.6Рис. 4.5. Кумулятивный поток фрагментов, образованных при разрушении цилиндрическогобака диаметра 1 м, длины 1 м, с толщиной стенок 2 мм. / — симметричное нагружениерасходящейся детонационной волной; 2 — несимметричное нагружение при осциллирующемтурбулентном горении в двухкамерном цилиндрическом баке10000.00.10"20.30.40.50.6Рис. 4.5. Кумулятивный поток фрагментов, образованных при разрушении цилиндрическогобака диаметра 1 м, длины 1 м, с толщиной стенок 2 мм. / — симметричное нагружениерасходящейся детонационной волной; 2 — несимметричное нагружение при осциллирующемтурбулентном горении в двухкамерном цилиндрическом баке1000Кумулятивный поток фрагментовEvolve modelКумулятивный поток фрагментовEvolve model1001001010110.10.1001977-065 Himawari1977-065 Himawariо оо о—-о-Satellite catalog—-о-Satellite catalog55101015152020М (кг1/2)М (кг1/2)
2 一
2 一
1 一
1 一
0.00.10"20.30.40.50.6
Рис. 4.5. Кумулятивный поток фрагментов, образованных при разрушении цилиндрическогобака диаметра 1 м, длины 1 м, с толщиной стенок 2 мм. / — симметричное нагружениерасходящейся детонационной волной; 2 — несимметричное нагружение при осциллирующемтурбулентном горении в двухкамерном цилиндрическом баке
1000
0.00.10"20.30.40.50.6
Рис. 4.5. Кумулятивный поток фрагментов, образованных при разрушении цилиндрическогобака диаметра 1 м, длины 1 м, с толщиной стенок 2 мм. / — симметричное нагружениерасходящейся детонационной волной; 2 — несимметричное нагружение при осциллирующемтурбулентном горении в двухкамерном цилиндрическом баке
1000
Кумулятивный поток фрагментов
Evolve model
Кумулятивный поток фрагментов
Evolve model
100
100
10
10
1
1
0.1
0.1
0
0
1977-065 Himawari
1977-065 Himawari
о о
о о
—-о-
Satellite catalog
—-о-
Satellite catalog
5
5
10
10
15
15
20
20
М (кг1/2)
М (кг1/2)
Рис. 4.6. Кумулятивный поток фрагментов, образовавшихся при разрушении спутника Hi-mawari (полые кружки) и результаты соответствующего расчета с использованием програм-мы EVOLVE (темные точки)
для этой проблемы не существует единственного параметра подобия, и простое масштабирование результатов модельных экспериментов для решения проблемы невозможно.
Разработанные подходы и методы решения задач фрагментации оболочек под действием внутреннего нагружения могут быть эффективно применены и при решении других задач механики, не связанных с разрушениями в околоземном пространстве. Дальнейшее развитие разработанного подхода видится в обобщении его на случай трехмерной неосесимметричной задачи, а также в обобщении модели на случай достаточно толстых оболочек, когда образующиеся фрагменты могут не содержать граней, являющихся внутренними и внешними поверхностями. Определенные работы в этом направлении уже ведутся [54, 55].
Прогнозирование эволюции многофазной популяции космического мусора с учетом взаимных столкновений
Космический мусор, состоящий из частиц различных масс, скоростей и имеющих различные параметры орбит, моделируется многофазной сплошной средой, как это делается в пункте 3. При этом в определяющих уравнениях учитываются различные факторы, влияющие на эволюцию КМ, включая фрагментацию частиц при столкновениях. В основу предлагаемого исследования легла также модель прогноза и анализа космического мусора (ПАКМ) [33, 67, 68]. Эта модель использует усредненное описание для источников появления КМ, учитывает столкновения частиц различных размеров, в том числе некаталогизированных мелких фракций, приводящие к появлению новых частиц, а также самоочищение с течением времени низких околоземных орбит. Результаты исследований, излагаемые в данном пункте, были впервые опубликованы в работах [74, 75].
Математическая модель. Частицы КМ распределяются по N ансамблям (фазам) в соответствии со своими свойствами: характерным размером 办(j = = 1,2, ...,N), высотой перигея орбиты hpj, эксцентриситетом ej, наклонением орбиты 力，баллистическим коэффициентом 卜切.
Усредненное уравнение по широте и долготе для числа частиц j-й фазы Nj(t, г) в сферическом слое толщины АД было получено в пункте 3 и имеет следующий вид:
(5.1)
где wj(t, г) = (dr/dt)j — радиальная скорость частиц (скорость оседания); Nj — скорость изменения числа частиц по высоте слоя в результате внешних источников.
Скорость оседания частиц может быть описана по следующей формуле, принятой в модели ПАКМ:
叼—⑦)exp (—2)歹(2),(5.2)
2 Pjdj
где Су — безразмерный коэффициент аэродинамического сопротивления, 7 — гравитационная постоянная, М — масса Земли, 0，— плотность материала частицы, dj — диаметр частицы, 0a(广，方)—плотность атмосферы в точке перигея, г — полуось орбиты. Функция 歹(2)имеет вид
ь(2)=卩0(2)-厶(2)] + S•[厶(2)- 0.5 几(2)- 0.5 办(2)] + • •.
Здесь j(2)— функции Бесселя, 2 = rej/H, Н — функция, имеющая размерность длины (подробнее о ее физической смысле см. ниже). В случае круговой
орбиты ej = 0 и формула (5.2) сильно упрощается:
叼=-1 с#,丫・(5.3)
2 Pjdj
Функция pa(r, t) может быть определена по одной из моделей стандартной атмосферы (см. например, [69]) или по той или иной аппроксимационной формуле, например предложенной в работе [32]:
Pair л) = Ра^Л) ехр^- I(5・4)
где Н(г, t) — функция, имеющая размерность длины, задаваемая таблицей, как в [68], или формулой, аппроксимирующей таблицу; pa(rQ, t) — известная плотность атмосферы на высоте го.
Как правило, для получения аппроксимационной формулы рассматривается линейная зависимость
н(г,方)=a⑴ + /3(方)广，(5.5)
соответствующая линейному изменению так называемой молекулярной температуры с высотой [70].
Подставляя (5.5) в (5.4), получаем
Pag 方)=Pa(rQ,方)(黑(5・6)
где Я(г, t) определяется из [69]. Вводя обозначения с = 1//3,石=(а + /3)//3, (5.6) можно свести к виду
Ра (г, t) = t) (1 + 广叫 1(5.7)
Официально принятая в нашей стране трехслойная динамическая модель атмосферы [69], осредненная по суточному, полугодовому и геомагнитному эффектам, и аппроксимированная формулой (5.7) в диапазоне высот от 160 до 1450 км, дает максимальную ошибку аппроксимации 8.8 % [32]. Поскольку аппроксимация (5.7) будет использована в дальнейших расчетах, укажем константы в формуле (5.7): го = 160 км, 0a(『о) = 1.36 • 10-9 кг/м3, Е = 206.43 км, с = 7.5316.
Используя уравнения (5.3) и (5.4), получим из (5.2) следующее уравнение:
(5.8)
Введя положительную скорость оседания "(方，广)=—wj(t, г) > 0 и приняв, что H/2r « 1 (что согласуется с данными [70]), получим из (5.8) уравнение, принятое в модели ПАКМ:
+ №，(5.9)
где h — высота перигея.
Оценка вероятности столкновения. Среднее число столкновений космических аппаратов формы, близкой к сферической, с элементами КМ малых размеров может быть определено следующим образом ［33, 67, 68］:
27r
票=So⑴］夕(方,4)Kelt，4) dA = So⑴吟el⑴(5.10)
о
Здесь S — характерная площадь сечения КА; p(t) — плотность КМ; А — азимут направления возможного столкновения КА с частицами КМ;夕(方，А)— плотность распределения направлений потока КМ в данной точке пространства; 匕el(方，4)——зависимость тангенциальной составляющей скорости столкновения в данной точке пространства от азимута. Интеграл 『「el(方)имеет смысл средней скорости столкновений в данной точке орбиты.
Среднее число космических объектов, пролетающих через единичную поверхность КА, совершающего один оборот вокруг Земли за время Г, определяется формулой
Т27r
Q = ^ ］。⑴］夕(方,4)Kelt，4) dA dt.оо
Изучение и оценка вероятностей столкновений объектов, относящихся к различным группам — крупных каталогизированных объектов, среднего размера (от 1 до 20 см), малых (например, от 0.1 до 1 см) и других более мелких фракций представляет значительный интерес. Примем, что частицы КМ могут иметь различные размеры, включая самые мелкие, которыми нельзя пренебречь. Возможный размер частиц будет характеризоваться плотностью распределения 0(d), зависящей от диаметра d. Модифицируем формулу (5.10), принимая во внимание разнообразие размеров частиц. Удобно выразить пространственную плотность частиц размера большего чем d, через множитель от частиц размера, большего чем некоторый do：
p(d, t) = k(d)p(dQ, t).(5.11)
Здесь коэффициент k(d) не зависит от времени. Производную от коэффициента k(d) обозначим через /(d) = d(k(d))/dd. Тогда среднее число столкновений КА размера D с частицами, размеры которых находятся в диапазоне di W d W d?, может быть выражено формулой
N(O,di,d2)=歹启(厶,方)(方—方 о),(5.12)
где
Fd = ~l^D+ d)2^f(dydd.
山
Используя введенную величину N(D, di, d^ — среднее число столкновений одного КА диаметра D с частицами размеров d: di < d < 办，можно получить среднее число столкновений с группой объектов, имеющих размеры D: D\ ^ D ^ W О2 H движущихся в диапазоне высот 回九 + △川，с частицами размеров d: di W d W ^2 (обозначается как N(九，h + ЛД)р(7. Для этого необходимо просуммировать N(O,di,d2)для всех КО данных размеров, движущихся в данном высотном
коридоре. В результате получается следующая формула:
N(儿 Д + ^Dd = FDdN(h, h + △九)仪力Q(do,儿方o)(方一方о),(5.13)
где Snd рассчитывается по формуле
FDd = ^|| {x + y)2dk{x) dk(y\(5.14)
Эта формула дает число столкновений с объектами, имеющими размеры из диапазона [D\, D^\, с частицами размера \d\,d^\, где N(九，九 + △九)^。力—число каталогизированных объектов в высотном коридоре 回九 + △川.
В заключение этого пункта рассмотрим результаты расчетов матрицы S^d для частиц ряда размеров, представленных в табл. 5.1, 5.2 (где dj — левая граница 7ro размера).
Таблица 5.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
dj, м
0.001
0.002
0.005
0.010
0.022
0.046
0.100
0.200
2.5
10
k（力）
8 130.7
1 302.6
208.7
33.4
11.9
4.3
1.5
1.0
0.2 432
.000 075
Таблица 5.2. Компоненты матрицы Sd& (м2)
з/з
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
137.6
54.8
27.7
14.6
21.8
34.0
29.3
1546
16181
2
16.3
6.42
2.82
3.83
5.57
4.80
248.4
991.3
3
1.90
0.63
0.73
1.00
0.80
40.0
159.1
4
0.15
0.13
0.15
0.11
4.98
19.7
5
0.09
0.08
0.05
1.83
7.08
6
0.05
0.03
0.70
2.58
7
0.01
0.15
0.52
8
0.56
1,04
9
0.86
Относительно формулы (5.14) и компонент матрицы Sjjd (табл. 5.2) для КО различных размеров приходим к следующим выводам. Число столкновений частиц малых размеров (менее 1 см) друг с другом, так же как и число их столкновений с большими объектами, много больше, чем среднее число столкновений каталогизированных объектов (размера более чем 10-20 см). Этот результат свидетельствует о необходимости учета среднего числа столкновений частиц КМ различных размеров.
В результате анализа модели было получено статистическое распределение вероятных относительных скоростей столкновения спутников с элементами космического мусора в зависимости от параметров орбиты. Примеры таких распределений для спутников с наклонениями орбит 55°, 75° и 95° приведены на рис. 5.1.
Модель фрагментации при высокоскоростном столкновении частиц КМ. Предлагаемая модель позволяет рассчитать вероятности столкновений, относительные скорости, массы и размеры взаимодействующих объектов во всем диа-
Debris velocity relative to spacecraft, km/s
Рис. 5.1. Функция распределения относительной скорости столкновений спутника с элементами космического мусора для различных значений наклонения орбиты. E(V) — среднее значение скорости столкновений
пазоне высот. Результаты столкновений описываются моделью [26, 71]. Основные соотношения модели модифицированы для моделирования эволюции орбитального КМ и кратко излагаются ниже.
Рассмотрим высокоскоростное столкновение двух частиц, имеющих массы М\ и М2, скорости У[ и V2 которых в момент соударения равны по абсолютной величине V, поскольку движутся на одной высоте. Угол между векторами скоростей перед столкновением равен 2/3. Обозначим М = М\ + М,阮=М、/М, 卜2 = М/" Будем считать удар абсолютно неупругим. Это означает, что в момент удара частицы мгновенно изменяют свои скорости 九 心 на общую скорость Рм, которая рассчитывается из закона сохранения импульса:
VM =瓦匕 + 例匕，Vm =『Jl — 4kik2sin2 6(5.15)
Частицы, обладавшие до столкновения кинетической энергией Л/1vl2/2, M2V2 /2, приобретают после столкновения и внутреннюю энергию Ui, U2 (точнее, приращение внутренней энергии относительно внутренней энергии до соударения, уровень которой в частицах принимается за нулевой). Тогда из закона сохранения энергии имеем
откуда находится величина U. Примем, что внутренняя энергия распределена по частицам равномерно. Введем плотность внутренней энергии и = U/М, Ui = М、и,
U? = М". Тогда из закона сохранения энергии с учетом (5.16) получим
u=^k^(2Vsm^ = ｝瓦卜2匕^・(5.16)
Если массы частиц значительно отличаются (Mi « М2), то принимается, что только часть массы большой частицы М2, равная ГМ2 (0 < Г < 1), может быть фрагментирована, т. е. в формуле (5.17) вместо М? фигурирует ГМ2, как в модели [72].
Внутренняя энергия частиц после столкновения Ui, “ слагается из упругих 石1 = М1в1,石2 = ”2&2 и неупругих (диссипаций) D\ = M\d\,。2 = А/2d2 энергий, которые также равномерно распределены по частицам:
u1=e1+01, u2 =e2 +02, "i=Ci+di, "2=e2+d2.
Однако доля упругой энергии во внутренней энергии одной частицы, вообще говоря, не равна соответствующей доле для другой частицы.
После соударения в результате сложных термомеханических волновых процессов необратимого деформирования и микроразрушения, детальное описание которых мы оставляем без рассмотрения, частицы полностью разрушаются, т. е. распадаются на отдельные фрагменты. В качестве критерия макроразрушения примем энтропийный критерий предельной удельной диссипации: d < %*, где d* — предельная удельная диссипация, определяемая экспериментально [73].
Будем считать, что в момент разрушения частиц выполняются равенства di = =d；, с/2 = d； п константы d； и d； для материалов частиц известны. Естественно, что если, например, щ < d：, то разрушения первой частицы не происходит.
Упругая энергия, накопленная в частицах в результате соударения, будет
Е1 = кхи - М^,石2 =卜2。- Md；.
Часть упругой энергии Е\,石2 пойдет на разрушение частиц (создание новых свободных поверхностей). Пусть доля упругой энергии, затрачиваемая на разрушение, для частиц одинакова и равна к. Тогда энергия 石｛, Е^, идущая на разрушение частиц, будет
Е[ = кЕ\, Е^ = кЕ? (Ovk'l).
В случае к = 1 вся упругая энергия расходуется на разрушение.
Для описания распределения фрагментов по массе используется модифицированное распределение Вейбулла [71]:
N(<= No[l —ехр(—(7n/та) )], mmin < m < mmax.(5.17)
Здесь N(< m) — число осколков с массой, меньшей т; Nq — полное число осколков; т* — характеристическая масса распределения; Л > 0 — показатель качества дробления; mmin, mmax — соответственно минимально и максимально возможная массы фрагментов частицы. Предполагается, что из всего спектра фрагментов частицы с массой Ма (а = 1,2) можно выделить Ка ансамблей фрагментов с массами т『,т^,…，加先。：加^也 < 加『 < 加$ < ... < 加先。< m^ax. И пусть в ансамбль фрагментов с массой т^ попали все фрагменты с массами ，加^也叫 W, в ансамбль фрагментов с массой т^ — фрагменты
с массами ,叫加$ < та < ,тп$噌 и т. д. до ансамбля фрагментов с массой
т^а, в который попали осколки с массами ,加鼠—〔т%. ，та，\1V^0c ^Siax • Тогда число фрагментов ансамбля т^ (7 = 1,2,..., К^ составляет
N^ = N^b^-b^,/ 二：丿(5.18)
Здесь Nq — число фрагментов частицы а (а = 1,2) и принято, что Шд = —〃”min，〃”Ка + 1 — 〃”max'
Систему Ка уравнений (5.19) для расчета числа ансамблей фрагментов частицы можно дополнить следующими двумя уравнениями:
КаКа а
工 т扌N『=Ма,W/ =反，(5.19)
где Та — удельная энергия, необходимая для создания единицы поверхности разрушения; sj — площадь возникающей поверхности разрушения для фрагмента т}; Е^ = е^Ма, е£ — удельная (на единицу массы) энергия, затраченная на разрушение частицы.
Первое из уравнений (5.20) означает, что суммарная масса осколков частицы равна ее начальной массе Ма, а второе уравнение — что часть накопленной в частице упругой энергии 也М^ расходуется на создание поверхностей разрушения.
Из (5.20) получается уравнение
^卜总-吋Qn『=G.(5.20)
Для отыскания (2К。+ 1) неизвестных sj, N『, Nq имеется только 卜К@ + + 2) уравнений (5.19), (5.20). Очевидно, что уравнение (5.21) выполняется при следующих условиях:
7а^ =加扌唸 ^・=(5.21)
естественно, не единственно возможных. Примем условия (5.22), поскольку их физический смысл состоит в следующем: в правой части (5.22) стоит упругая энергия, которая заключена внутри фрагмента массы т^ и которая может расходоваться на разрушение, а в левой части (5.22) — половина энергии, необходимой для образования этого фрагмента[71]. Другая половина необходимой энергии черпается из соседних фрагментов частицы Ма, граничащих с рассматриваемой, поскольку граница sj является и частью границы соседних с т} фрагментов.
Теперь из уравнений (5.19), (5.20) получаем окончательно следующее решение:
< =^^， Nf = N臥常 Ц ^・=(5.22)
т. е. сначала по первой из формул (5.23) определяется полное число фрагментов Nq, а затем по остальным находится распределение фрагментов по ансамблям. Полное число фрагментов, на которое распадаются частицы в результате соударения, равно 7Vo = № + N^.
На минимально возможную массу осколков m^in в [71] получена следующая оценка:加备也 > —，которую необходимо учитывать при выборе ансамблей масс фрагментов. Здесь ра — плотность частицы а.
Скорость каждого фрагмента т^ складывается из скорости движения Vm, одинаковой для всех фрагментов, и скорости разлета от точки соударения о,= =у 2 • (1 — к)еа , которая получается, если принять, что все частицы имеют одну и ту же скорость разлета. Вектор скорости фрагмента о, направлен от точки соударения, и его направление является случайной величиной для каждого из Na фрагментов частицы a [71]. Диаметр 哼 частицы массы т^ можно оценить следующим образом: 齊 Js,/тг.
В качестве примера рассмотрим результаты моделирования столкновения двух частиц: стальной массы 2 г и алюминиевой массы 20 г. Высота круговой орбиты элементов 950 км, величина sin/3, входящая в формулы (5.16), (5.17), изменялась в пределах от 0 до 1. В табл. 5.3 представлены результаты расчета числа фрагментов различных масс, как оставшихся на орбите, так и сошедших с нее. Всего образовалось 1 797 954 фрагментов различных размеров, 943 717 — 52% из них — продолжили движение по орбите, оставшиеся 48 % частиц сошли с нее. Видно, что больше всего образовалось частиц размера 0.025-0.05 см. В табл. 5.4 также
представлено распределение числа фрагментов различных размеров по высоте
перигея.
Таблица 5.3. Число фрагментов различных размеров (как оставшихся на орбите после столкновения частиц, так и сошедших с нее)
№ частиц
Размеры фрагментов (нижняя граница, см)
.0025
.005
.010
.025
.050
.100
0.25
0.50
1.0
Оставшиеся на орбите:
ja = 1
5
486
28401
43053
1256
121
12
1
0
ja = 2
4 427
39976
217271
547 138
7 387
3716
452
16
1
Сошедшие с орбиты:
ja = 1
5
444
25 884
38 870
1069
96
9
1
0
ja = 2
4 033
36416
197 674
495 929
50402
3086
346
10
1
Таблица 5.4
Высота, км
Размеры фрагментов (нижняя граница, см)
.0025
.005
.010
.025
.050
.100
0.25
0.5
1.0
450
36
328
2010
5036
652
60
10
1
0
550
36
328
2010
5036
652
60
10
1
0
650
36
328
2010
5036
652
60
10
1
0
750
36
328
2010
5036
652
60
10
1
0
850
36
328
2010
5036
652
60
10
1
0
950
4 253
38 825
235 620
565013
55 383
3 539
414
14
1
Всего
4 433
40465
245 670
590193
58 643
3 839
464
19
1
Результаты моделирования столкновений элементов КМ. Рассмотрим различные КО, высота перигея которых не превышает 2000 км. Выделим высоту перигея hp из вектора параметров элементов КО. Предполагается, что из всех параметров КО только высота перигея существенно влияет на эволюцию распределения числа КО. Другие элементы орбит обозначим через Е. Будем подразделять объекты с различными элементами Е на некоторое конечное число ансамблей (групп) с элементами Ej, j = 1,2,..., /тах・
Использовалось статистическое распределение КО по высоте, баллистическим параметрам и скорости, позволяющее определять среднее число последствий одного столкновения КО различных размеров (рассматривалось 36 ансамблей частиц по размерам). При интегрировании уравнений (5.9) матрицы вероятностей столкновений КО различных размеров рассчитываются на каждом шаге по времени. В этой симметричной матрице P^d размера 8x8 значимы 36 величин. Их умножение на предварительно рассчитанные характеристики последствий столкновений позволяет определить компоненты сумм Nj, которые зависят от последствий столкновений, так же как и некоторые другие источники.
Моделировалась эволюция КМ в период с 1960 г. по 2000 г. Предсказания были сделаны как с учетом, так и без учета взаимных столкновений КО размера большего 0.1 см. Кроме того, рассматривалась версия «частичных столкновений», в которой столкновения всех КО, за исключением каталогизированных, принималось во внимание. Для версий со столкновениями данные о числе КО различных размеров в 2000 г. представлены в двух верхних строках табл. 5.5.
Таблица 5.5. Число частиц различных размеров в 2000 г.
Версии
Размеры частиц, см
0.1-0.25
0.25-0.5
0.5-1.0
1.0-2.5
2.5-5.0
5.0-10
10-20
>20
Все столкн.
77.7Е+6
7.57Е+6
1.58Е+6
203 000
81850
32 500
16 780
7 699
Частичн. столкн.
66.2Е+6
6.75Е+6
1.56Е+6
201000
81730
32 480
16 780
7 700
Без столкн.
65.7Е+6
6.21Е+6
1.55Е+6
200 000
81710
32 480
16 780
7 700
Естественно, что в случае учета столкновений число мелких частиц КМ больше, чем когда столкновения не учитываются (третья строка в табл. 5.5). Значительные изменений наблюдаются только для частиц размера больше 0.1-0.5 см. Учет столкновений приводит к тому, что число частиц становится на 18-22% больше, чем без учета столкновений. В случае «частичных столкновений» оценка становится средней между двумя другими. Данные табл. 5.5 свидетельствуют, что последствием столкновений КО различных размеров на рассмотренном временном интервале является 11-12% рост числа частиц размера 0.1-0.5 см. Влияние этого источника на популяцию крупных частиц КМ незначительно. Оценка вклада в уровень загрязнения частиц размера меньше 0.1 см требует дополнительного анализа.
На рис. 5.2 представлено высотное распределение числа КО в стокилометровом высотном слое в 2000 г., полученное по моделям как с учетом столкновений КО различных размеров, так и без учета такового, а также в промежуточном случае, когда не учитывались столкновения объектов размера более 20 см. Эти данные показывают, что максимальный вклад последствий столкновений происходит в высотном коридоре 800-1000 км от Земли при учете взаимных столкновений
Рис. 5.2. Сравнение плотностей распределения фрагментов космического мусора по высоте, полученных при различных стратегиях прогнозирования
и составляет в настоящий момент до 33% от общего уровня высотного слоя частиц данного размера. В промежуточном случае рост составляет 16%. Расчеты показывают, что вклад взаимных столкновений каталогизированных объектов пренебрежимо мал по сравнению со вкладом столкновений всех других рассматриваемых объектов. Однако вклад столкновений малых КО между собой и с большими объектами довольно важен — он составляет 14%.
Таблица 5.6. Вероятности столкновений фрагментов КМ различных размеров в 1960-2000 гг.
jd = 1
jd = 2
jd = 3
jd = 4
jd = 5
jd = 6
jd = 7
jd = 8
Jd = 1
41.0
18.3
12.5
4.90
7.9
11.4
20.60
5490
Jd = 2
1.5
1.6
0.50
0.73
1.00
1.78
463
Jd = 3
0.32
0.16
0.20
0.25
0.42
105
Jd = 4
0.01
0.026
0.026
0.041
9.24
Jd = 5
0.009
0.015
0.019
3.58
Jd = 6
0.004
0.009
1.18
Jd = 7
0.003
0.52
jd = 8
0.96
Анализ вероятностей столкновений фрагментов в рассматриваемом временном интервале (табл. 5.6) показывает, что общее ожидаемое число столкновений в настоящее время наиболее значительно для частиц размера 0.1-0.25 см, сталкивающихся с каталогизированными КО (5490). Общее число столкновений каталогизированных КО между собой относительно мало — 0.96.
Оценки общего числа фрагментов, появившихся в результате столкновений для всех возможных столкновений КО больших 0.1-0.25 см; 0.25-0.5 см; 0.5-1.0 см; 1.0-2.5 см (включая сошедшие с орбит объекты) показывают, что общая масса фрагментов равна 432 кг. Около половины этих фрагментов (43% по массе) сходит с орбиты в результате столкновения. Другая часть фрагментов (47 % по массе) относится к малым частицам размера менее 0.1 см. И только малая часть объектов (9% по массе) относится к частицам, большим 0.1 см. Таким образом, вклад столкновений в текущую популяцию частиц КМ размера 0.1-0.5 см, по нашему мнению, существен.
Выводы. На основании континуальной механической модели образования и эволюции техногенного космического мусора на околоземных орбитах проведен учет влияния фрагментации частиц при столкновениях на долгосрочные прогнозы заселенности околоземного пространства.
Сделаны расчеты вкладов столкновений частиц космического мусора различных размеров, находящихся на высотах до 2000 км, в рост числа техногенных объектов в околоземном космическом пространстве. Показано, что наибольший вклад столкновения частиц дают в диапазоне высот от 800 до 1000 км.
Появление в результате столкновений большого числа частиц малого размера приводит к ускоренному самоочищению околоземного космического пространства, поскольку такие частицы быстрее теряют высоту и сгорают в верхних слоях атмосферы. Принимая во внимание этот эффект, вклад столкновений в так называемый каскадный эффект роста числа частиц космического мусора на околоземных орбитах должен быть тщательно пересмотрен.
Высокоскоростное взаимодействие элементов космическогомусора с газонаполненными оболочками
Соударения космических объектов и взрывы орбитальных аппаратов являются одной из важнейших причин возникновения космического мусора на низких околоземных и геостационарных орбитах [52]. Кроме того, высокоскоростные столкновения космических аппаратов с элементами космического мусора сами по себе могут иметь катастрофические последствия для КА. Большинство КА содержат в качестве конструктивных элементов газонаполненные и жидконаполненные тонкостенные оболочки. Фрагментация газо- или жидконаполненных оболочек при высокоскоростном ударе имеет определенные особенности и существенно отличается от обычного пробивания препятствия или замкнутой полой конструкции [26].
Главная цель данной статьи состоит в исследовании особенностей перехода кинетической энергии облака осколков, образующегося в результате соударения частицы КМ с оболочкой, в энергию газа, заполняющего оболочку, и возникающих нагрузок на внутреннюю поверхность оболочки. Другой целью является выяснение обстоятельства, не является ли среда, заполняющая конструкцию, дополнительным «щитом», защищающим заднюю стенку оболочки от пробивания.
Модели разрушения при высокоскоростном соударении. Процесс фрагментации газо- или жидконаполненных оболочек при высокоскоростном соударении с частицами КМ имеет несколько характерных стадий. На первой стадии происходит фрагментация ударников (высокоскоростных частиц) и передней стенки оболочки в зоне соударения, в результате чего формируется струя мелких осколков, проникающая внутрь конструкции. Образование трещин, лепестков и выбитых из передней стенки пробок в зоне соударения обычно не приводит к разрушению оболочки на первой стадии процесса. Затем высокоскоростное
облако осколков формирует ударную волну в среде, заполняющей оболочку. В случае создания высокого давления в оболочке образовавшиеся на начальной стадии процесса трещины, пробоины и лепестки «прорастают» по стенке оболочки, что в конечном счете может привести к полному разрушению конструкции под действием внутреннего давления.
Облако мелких осколков очень быстро замедляется в среде, заполняющей оболочку. Торможение фрагментов пропорционально 1 /『о и растет с уменьшением характерного размера фрагментов го. С торможением осколков происходит переход их кинетической энергии во внутреннюю энергию окружающего газа или жидкости, а также разогрев самих осколков вплоть до плавления. Быстрое возрастание плотности энергии в малом объеме среды, заполняющей конструкцию, аналогично локальному взрыву. Высвобождающаяся энергия приводит к рождению внутри оболочки расходящихся ударных волн, которые отражаются от стенок оболочки и таким образом создают их неоднородное динамическое нагружение.
Для исследования процессов торможения облака осколков, разогрева частиц и окружающей среды, дробления частиц и формирования ударных волн, приводящих к переходу кинетической энергии облака осколков во внутреннюю энергию окружающей среды, необходимо использовать модели многофазных сплошных сред, учитывающие взаимодействие фрагментов и газа, термохимическое и механическое разрушение фрагментов.
Математические модели для описания течений таких неравновесных полидис- персных смесей и разрушения оболочек под действием динамических нагрузок подробно описаны в работах [48-58], поэтому перейдем к рассмотрению модели дробления капель, в которые могут превратится в случае плавления осколки проникающего элемента КМ и стенки оболочки.
Моделировать движение множества модельных капель будем следующим образом. Уравнение движения запишем в виде
где mi — масса г-й капли, v分—ее скорость, f^ — сила, действующая на каплю и слагающаяся в основном из силы сопротивления со стороны газа и стохастической силы взаимодействия с турбулизованным газом. Предполагается, что параметры газа оцениваются вблизи модельной капли. Подробное описание алгоритмов выборки представительного ансамбля модельных частиц для описания полидисперсного облака приведено в [56]. В дальнейшем индекс г, характеризующий частицу, опускаем.
Традиционно стохастическая сила, действующая на частицу в газе, определяется по Ланжевену: белый шум считается производным от винеровского процесса. Такое приближение используется, например, для описания броуновского движения. В нашем случае частицы значительно крупнее, чем те, которые участвуют в броуновском движении. Поэтому считается, что хаотическое изменение траекторий частиц имеет другую природу. На броуновские частицы воздействуют флуктуации молекулярного давления, а на частицы значительно более крупные — турбулентные пульсации газового потока вблизи частиц. Воздействие пульсаций скоростей в газе трансформируется для фазы частиц в силу сопротивления, которая зависит от разности скоростей частиц и газа. Поэтому в нашем случае можно определить стохастическую компоненту силы, воздействующую на каждую модельную частицу, посредством введения стохастической компоненты в скорость газа вблизи частицы. В этом случае сила 力 будет содержать как среднюю, так и стохастическую компоненты. Обозначив через w стохастическую компоненту
скорости газа вблизи модельной частицы, а через и — скорость газа, получим следующий закон для силы 力：
Л = I Cd（Re）0SOrelVrel, Vrei = U + W — V,。向=|vrel|,
где коэффициент сопротивления Q определяется следующим образом [49]:
Ps =Ps =
Ps =
Ps =
（…吁2 （1 + Ц1）犷 + 2）" при 心1,
Р （7- 1）М2 + 2 \227м2 -（7- 1）7
где локальные числа Рейнольдса и Маха равны соответственно Re = dorei/^ и М = =Orel/。. Здесь 7 — показатель адиабаты; 〃，^ — динамическая и кинематическая вязкость соответственно; р — плотность газа; р — давление; d — диаметр капли; а — локальная скорость звука в газе; индекс s относится к параметрам за ударной волной, а индекс w — к параметрам на поверхности капли.
При расчете вектора w используются следующие соображения. Пусть на частицу воздействует новая пульсация в момент времени 方*. Новая пульсация вектора скорости w описывается следующим выражением:
w = V2k • £,
где к — кинетическая энергия пульсаций, величина которой вычисляется вблизи частицы в соответствии с ка-эпсилон моделью турбулентности. Предполагается, что случайный вектор £ распределен нормально с единичной дисперсией, так что его плотность распределения равна величине
R（0 = ехр（—0.5 .图2）.
После того как пульсационная компонента скорости газового потока вблизи модельной частицы определена, она сохраняется постоянной для этой частицы до тех пор, пока не произойдет изменения пульсации. Предполагается, что у такого стохастического течения нет предыстории. Поэтому оно моделируется пуассоновским распределением. Согласно этому распределению, вероятность изменения пульсаций за временной интервал At есть
Рм = 1 - ехр （—△〃方с）,
где 方с — характеристическое время в пуассоновском распределении. В нашей модели величина 乃 зависит от параметров турбулентности вблизи модельной частицы. Для параметра tc принято следующее выражение:
产=卜/e, |w| < 3V2k,
产=0,|w|》Зл/^,
где £ — величина диссипации турбулентности в окрестности частицы. Представленная выше концепция для стохастического моделирования поведения отдельных фаз основана на детальном исследовании локальных характеристик газовой фазы детерминистическими методами и впервые была предложена в работе [58]. В настоящее время эта концепция широко используется многими исследователями для моделирования турбулентных течений газовзвесей.
Унос массы с частицы-капли описывается следующим выражением:
dm .
--=-m =一豈，athj
где qj — поток тепла, расходуемый на испарение;九;—удельная энтальпия фазовых превращений.
Внутренняя энергия капли (частицы) изменяется за счет обмена теплом с окружающим газом и за счет возможных фазовых превращений или химических реакций на поверхности:
de
где q — тепловой поток между газом и частицей q = i^dX Nu (Т — Ts), Re < 103,
q = 7rd2/)。向 St (% — Hw), Re》IO3,
2
Hr = CpT +Hw = CpwTw.
Числа Нуссельта Nu, Стентона St и коэффициент аккомодации га для г-й частицы-капли определяются по формулам
Nu = 2 + 0.16 • Re2/3 Рг1/3, St = ； Q(Re) Рг~2/3, ra = Рг1/3,
где Рг = /i/срА — число Прандтля, а число Рейнольдса Re определяется с учетом влияния турбулентных пульсаций скорости, которые вызывают осцилляции, и теплового потока между газом и частицей.
Когда частицы облака разогреваются до температуры плавления и превращаются в жидкие капли, динамическое взаимодействие с потоком газа приводит к неустойчивости поверхности и распылению капель.
Для получения критерия дробления капель предположим, что основной механизм развития неустойчивости сферических поверхностей тот же, что и плоских внутренних границ раздела сред.
Как было показано Биркхоффом [59] для плоских межфазных поверхностей, усиление амплитуды гармонических возмущений с длиной волны А может быть выражено следующей формулой:
(6.1)(6.1)(6.2)(6.2)5 = 5q exp (A(A)t),
(6.1)
(6.1)
(6.2)
(6.2)
где Jo — амплитуда начального возмущения,
_47r2PLp(虱—〃厶)2 pL — p . 空 ._ 8тг%
у (рь + a)?* Pl p A dt (pL + p)A3
Здесь а — поверхностное натяжение; индекс L относится к параметрам жидкой фазы; dvn/dt — ускорение межфазной поверхности в направлении нормали (положительным принято направление от жидкой к газовой фазе). Первый член в (6.2) описывает дестабилизирующий эффект разности динамических напоров, второй член — либо дестабилизацию (неустойчивость Релея-Тейлора при dvn/dt〉0), либо стабилизацию (при dvn/dt < 0), а третий член отражает эффект стабилизации, связанный с поверхностным натяжением. Как видно из формул (6.1), (6.2), неустойчивость границы возрастает при положительных Л(А)〉0.
Анализ формулы (6.2) показывает, что могут иметь место два типа неустойчивости капель: в случае различных тангенциальных скоростей и ^ ul или при ускорении потока dvi /dt〉0. Наличие ускорений всегда является дестабилизирующим для капли как на фронтальной, так и на тыльной поверхности.
Будем считать, что имеют место два предельных случая, когда работает только один из дестабилизирующих эффектов. Условие Л(А)〉0 может быть выполнено, когда длина волны гармонического возмущения больше критической велпчпнн:
仆〉2皿3 +々(6.3)
PLP(U - UL)
—для случая неустойчивости из-за различия динамических напоров;
[(6.4)
—для случая неустойчивости, вызванной ускорением потока.
Но длина волны возмущения, приводящего к дроблению капли, не может превысить ее диаметр d:
V d.(6.5)
Основное предположение (6.5), предложенное Нигматулиным [60], дает возможность установить следующий критерий для критического размера капель:
%〉2嗽「(6.6)
PlP〈u - ul)V \Pl — ol • \dvL/dt\
Неравенства (6.6) с учетом неравенства p < рь позволяют получить следующие безразмерные критерии дробления капель в турбулизованном потоке:
We =竺辺〉We* 2小(6.7)
Во = ¥ •亭〉В。*2/.(6.8)
Выражения (6.7), (6.8) дают только грубые оценки для критических чисел Вебера и Бонда, так как эти величины были получены в результате простого анализа неустойчивости плоской поверхности раздела. Поэтому более надежным является экспериментальное определение критических чисел We* и Во* .
Рассмотрим дробление, имеющее место в случае неустойчивости Релея- Тейлора при ускорении поверхности раздела сред. Уравнение движения одиночной капли в газовом потоке имеет следующий вид:
7rdзdvL 1 с 2 7rd2
=(6.9)
где Cd — коэффициент сопротивления: Q W 1. Уравнение (6.9) означает, что ускорение частиц в потоке газа происходит в основном за счет аэродинамических сил. Подставив выражение для dvL/dt из (6.9) в (6.8), получим
Во=沁 We, (6.10)
Таким образом, неравенство (6.8) дает другой критерий, справедливый для другого механизма дробления капель:
We〉We** ^4/. (6.11)
Анализ многочисленных сценариев дробления, проведенный в работах [60, 61], показал, что среди множества сценариев можно выделить два основных различающихся сценария: дробление в результате потери устойчивости и уноса массы и катастрофическое разрушение по типу взрывного в ударной волне (в случае больших величин do^/d方).
Первый механизм дробления имеет место при выполнении критерия (6.7). Другой —при выполнении критерия We〉We** . Анализ экспериментальных данных показывает, что величины We* и We** должны быть больше соответствующих теоретических оценок.
Главные характеристики процесса распыления могут быть учтены следующей аппроксимационной формулой, определяющей средний диаметр da капель, появившихся в результате распыления исходных капель диаметра d [42, 49]:
%We* V We V We**,(612)
We
WevWe**,
где n — число капель в единице объема, а критические числа Вебера определяются следующим образом [49, 61]:
We* = 12(1 + Lp-°), We** = 350,
где число Лапласа Lp = (dpLa)/^^).
Для расчета среднего диаметра капель d* после дробления типа взрывного (We〉We**) необходимо оценить часть энергии, аккумулированной каплей, которая пошла на дробление Е*. Предполагая, что энергия разрушения идет на образование новых свободных поверхностей, можно оценить число N и средний диаметр d* образовавшихся капель:
Энергия разрушения может изменяться в пределах между работой сцепления для разделения малых капель и кинетической энергией образовавшихся фрагментов:
Е* = Adrag - £ 竺，=j N*pC戒好迎(6.14)
i=l
Предполагая, что исходная капля распадается на N* одинаковых капелек, имеющих одни и те же скорости о* в радиальном направлении, и отделение мелких капель имеет место после того, как они переместятся на расстояние ^d*, что соответствует разрыву образующихся жидких мостов (перетяжек), получим следующую формулу:
N* 221
£ у = * 等，Adra9 = ^N,pCdv^dl(6.15)
i=l
Подставив (6.13), (6.15) в уравнение (6.14), получим выражение для среднего диаметра d* распыленных капель:
13明
Радиальная скорость разлета облака получившихся капелек ограничена:
抬 V Mei • I(6.17)
Анализ (6.16) показывает, что уменьшение поверхностного натяжения и увеличение относительной скорости и плотности газа приводит к уменьшению среднего числа образующихся капелек и увеличению их числа. Максимальное число капелек может быть оценено, если положить равной нулю кинетическую энергию расширения облака капелек (^ = 0).
Средняя скорость расширения облака может быть оценена с использованием двух формул (6.12) и (6.16) для da при We = We** . Обе формулы для режимов разрушения подтверждены в экспериментах, что указывает на то, что неизбежное расширение облака капель после разрушения косвенно учтено в этих формулах. С другой стороны, зависимость характеристических диаметров частиц от числа Вебера должна быть непрерывной. Окончательно получается следующая формула для а*：
*ICd(We - We**) We* + We**
При моделировании распыления капель в потоке газа также необходимо учитывать инерционность процесса. Дробление не происходит мгновенно: необходимо время для того, чтобы исходная капля распалась на мелкие капельки, т. е. необходимо определить время установления жидких перетяжек между каплями, их удлинения и разрушения. Разделение малой капли в потоке происходит под воздействием аэродинамических сил, которым противодействуют силы поверхностного натяжения:
7V & +。7Vd*.(6.18)
oо
Уравнение (6.18) можно переписать в следующем виде:
+ С°М1 - & = 0；6； ； °rel ⑼=0 ro.
ax4 0厶 a*
Введя новую переменную
/ 、dx
q(/)=Orel -五，
получим следующее уравнение:
或 + Cq2 _ 8 = 0；心0)= 0Т0,
имеющее решения
=旧0 - ^) exp (2Q(x0 -x)) + ^,
X
J(啖—^)exp(2C(g —吩 +'
определяющие скорость и время как функции координаты х. Полагая начальную координату равной 力° ^ d*, а это означает, что новая капля образуется только вблизи поверхности исходной капли и что расстояние, пройденное каплей до ее дробления, в результате разрушения жидких перетяжек имеет ту же величину (力一/о d*), получим из (6.19) следующие оценки:
О < —2Q(xg -力)V « 1,
2 рь
(6.20)(6.20)d*
(6.20)
(6.20)
方(d*)
О ，尹(咦-訓-2g)
Формулы (6.20) дают оценку характерного времени дробления исходной капли на капельки с характерным диаметром d*. Окончательно получается следующая оценка для времени дробления 方* капли диаметра d:
4Cd We*4Cd We*(6.21)(6.21)
4
Cd We*
4
Cd We*
(6.21)
(6.21)
Формула (6.21) показывает, что характерное время дробления капель уменьшается с ростом числа Вебера.
Численное моделирование движения облака частиц в газонаполненной оболочке. На основе разработанных математических моделей было проведено численное моделирование процесса распространения облака частиц, образовавшихся в результате нормального пробивания этого контейнера вблизи оси цилиндра, в газе, заполняющем тонкостенный цилиндрический контейнер. Радиус цилиндра равен 0.1 м, его длина равна 0.2 м, толщина стенок — 0.002 м. Было принято, что в результате соударения высокоскоростной частицы КМ с цилиндром в нем образовалось отверстие диаметра 0.01 м и в результате соударения из материала частицы и стенки контейнера сформировалось облако мелких осколков, которые характеризуются средним диаметром 0.0003 м со стохастическим отклонением 0.00005 м. Начальная температура частиц равна 700 °К со стохастическим отклонением в 50 °К; максимальная скорость в аксиальном направлении принята равной 1900 м/с, средняя скорость — 1500 м/с со стохастическим отклонением
в 400 м/с как в аксиальном, так и в радиальном направлениях. Средняя плотность материала частиц облака равна 2000 кг/м3, температура плавления 800 °К, вязкость и поверхностное натяжение в жидком состоянии равны соответственно 10-3 Н • с и 10-2 Н/м. Начальное давление газа внутри контейнера варьировалось от 0.01 МПа до 1.5 МПа, начальная температура Tq = 300 °К, молярная масса 0.028 кг/моль.
Такие исходные данные примерно соответствуют облаку осколков, которое образуется при ударе частицей размера 0.005 м со скоростью 5 км/с.
Расчет проводился с использованием метода коррекции потоков [62].
На рис. 6.1, 6.2 представлены расположение и температура модельных частиц в облаке (а) и распределение давления в газе (6) внутри контейнера для двух последовательных времен. Начальное давление в газе, заполняющем контейнер, было довольно низким: ро = 0.01 МПа (0.1 атм). Черточки на рис. 6.1, б, 6.2,6 указывают направление и величину вектора скорости. Размеры кружков, показывающих модельные частицы на рисунках, много больше их реальных размеров, но прямо пропорциональны им.
Из рис. 6.1, 6.2 видно, что облако осколков генерирует волны сжатия в газе, при этом скорость облака частиц в аксиальном направлении существенно выше скорости ударных волн в газе.
В случае относительно низкого начального давления газа в оболочке (夕о = =0.1 атм) ударная волна и облако частиц сталкиваются с дальней стенкой контейнера практически одновременно. Однако в результате дисперсии частиц в облаке площадь задней стенки контейнера, на которую приходится воздействие потока частиц, значительно больше площади передней стенки, на которую приходится первоначальный удар.
Для сравнения на рис. 6.3 представлены результаты эксперимента [63] по образованию облака осколков при высокоскоростном пробивании пластины алюминиевым сферическим ударником. Видно, что качественно характер распределения начальных скоростей частиц в облаке и стохастические параметры, принятые при моделировании облака осколков (рис. 6.1, 6.2), вполне соответствуют результатам эксперимента (рис. 6.3). Количественное же сравнение едва ли возможно, поскольку преграда в эксперименте была двухслойной: 4 мм титана и 1 мм вольфрама.
На рис. 6.4-6.6 представлены расположение и температура модельных частиц в облаке (а) и распределение давления в газе (6) внутри контейнера для двух последовательных времен в случае, когда начальное давление в газе, заполняющем контейнер, было довольно высоким:夕° = 1 МПа (10 атм). Аэродинамическое торможение и разогрев частиц в этом случае значительно больше, чем в первом, когда 夕о = О」атм. На фронте входящих в контейнер частиц облака осколков температура газа превышает температуру плавления частиц. В результате на фронте облака происходит дробление частиц, превратившихся в жидкие капли. Это дробление обусловлено их взаимодействием с окружающим газом, что хорошо видно на рис. 6.4, а. Заметим, что основная масса облака приходится на эти мелкие капли и только малое число низкоскоростных частиц сохраняет свои начальные размеры.
Резкое торможение фрагментов в плотном газе приводит к ситуации, когда ударная волна обгоняет облако фрагментов и отражается от дальней стенки контейнера, в то время как фрагменты еще находятся в центральной области контейнера (рис. 6.5). Мелкие капли тормозятся очень быстро и теряют свою кинетическую энергию значительно быстрее, чем крупные фрагменты. Поэтому крупные фрагменты, которые имели сначала значительно более низкие скоро-
Results Гог particles' tewperature distribution (К)
К：屮gis叱匸仆1切飞
乩汇IOe*O0Z ?.242e*G02 6.1Me*O02 5/M5e*G0Z 4.097e*002 3.©48е*(Ж
Heir ； ГиН 比 iT： fWlFt S ：VOOG.zdt7*&2『&=-0O5Heir ； ГиН 比 iT： fWlFt S ：VOOG.zdt7*&2『&=-0O5
Heir ； ГиН 比 iT： fWl
Ft S ：
VOOG.zdt
7*&2『&=-0O5
Heir ； ГиН 比 iT： fWl
Ft S ：
VOOG.zdt
7*&2『&=-0O5
о
II
Рис. 6.3. Рентгеновская фотография облака осколков, образовавшегося в результате пробивания 5 мм двухслойной (титан-вольфрам) пластины алюминиевым сферическим 10 мм ударником (скорость удара 5.4 км/с, момент времени t = 30.8 мс) [9]
сти, затем догоняют мелкие фрагменты (см. рпс.6.5,а). В рассмотренном случае эти крупные фрагменты первыми и сталкиваются с дальней стенкой контейнера (рис. 6.6, а). В течение некоторого времени отраженная ударная волна препятствует столкновению мелких капель с задней стенкой контейнера (рис. 6.6,6).
Моделирование нагружения внутренней поверхности газонаполненной оболочки в результате высокоскоростного соударения с частицами КМ. Высокоскоростное столкновение частицы КМ с полым тонкостенным контейнером приводит к образованию расширяющегося в радиальном направлении облака фрагментов, проникающих внутрь контейнера (рис. 6.3). По достижению дальней стенки контейнера облако приходит в соударение с обширной областью стенки, в результате чего уменьшается плотность кинетической энергии облака, приходящаяся на единицу площади стенки. Если кинетическая энергия фрагментов все же высока, то происходит пробивание дальней стенки оболочки. Таким образом, в случае отсутствия среды, заполняющей оболочку, высокоскоростное столкновение может привести максимум к образованию двух пробоин в контейнере.
В случае, когда контейнер заполнен газом, определенная часть кинетической энергии фрагментов трансформируется в энергию окружающего газа, что приводит к образованию ударных волн, распространяющихся во всех направлениях, взаимодействующих со стенками и приводящих к их дополнительному нагружению. Таким образом, внутренняя нагрузка на стенки слагается из импульса частиц, сталкивающихся со стенками, и давления газа, возрастающего в процессе отражения ударных волн. В результате нагруженной оказывается не ограниченная зона поверхности контейнера, а вся его внутренняя поверхность. Это приводит к значительно более широкому спектру возможных сценариев разрушения конструкции.
lesttlts for particles, temperature distribution CK)lesttlts for particles, temperature distribution CK)Code->Code->lesults for pressure (Pa)lesults for pressure (Pa)
lesttlts for particles, temperature distribution CK)
lesttlts for particles, temperature distribution CK)
Code->
Code->
lesults for pressure (Pa)
lesults for pressure (Pa)
%卩y1用colors
8.2806*062 ?<Z：4Ze*0Q2' 6.1Me*Q0Z 5,H5e*O0Z 4.G97e*GO2 3.040e*00(Z
E •，j
Hur ： f[Hi
Hilf：：
b~GZ7.zdt
Time =
4.?328e-0(M
fl：tppiiUj t.:i:.»b:i：rs
■乙 W0e*O06 ■ 5”G«te 例6 J 3.5?ee*QQ6 ■乙 5491006 ■ l.G84e*006 ■ l.Z8te*006
E * )
Мм ： Гн I [
UeM full
FiS：
b~Q2?.zdt
FEmt
4 ЛЗгВе-вШ
Code*>
iesuits…for…particles*一‘terrverature…Ai 豆 КШтОон一(КТiesuits…for…particles*一‘terrverature…Ai 豆 КШтОон一(КТ
iesuits…for…particles*一‘terrverature…Ai 豆 КШтОон一(КТ
iesuits…for…particles*一‘terrverature…Ai 豆 КШтОон一(КТ
Stopping colors
I
8.Z9te*O0Z
7.Z4Ze*QOZ
Б.194е*О02 5,H5e*06Z 4.097e*00Z
3 G£te*Q0Z
(+)
3"t； Ш
File：
h H ，円
Time
1"1006巴-€№
lesults for pressure (Fa)lesults for pressure (Fa)
lesults for pressure (Fa)
lesults for pressure (Fa)
Rapping colors
В ?.lQte*0O6 ■ 5.m€te*00b 且 3.S?fle*GG6 ■ Z.54€te*0G6 ■ 1.804e*006 ■ 1.28te*0G6
9
Ihrr ： fii.ll
Uert： full
FiM； b~O39.zdt
Tirffi.!
1.1005e-OO3
Code->
В зависимости от вида нагружения и прочности материала конструкции возможны три различных сценария. Интенсивная внутренняя неоднородная нагрузка может привести к разрушению всего контейнера, как если бы произошел взрыв внутри конструкции, и образованию осколков, распределенных по массам и скоростям разлета. Подробный анализ такого сценария был сделан ранее в пункте 4 и в работах [26, 29, 50-55]. Двойное воздействие ударными волнами и частицами может привести только к пробиванию задней стенки контейнера, на которую приходится максимальное совокупное воздействие. Зона нагружения и распределение нагрузок естественно зависят от плотности газа внутри контейнера. И, наконец, третий сценарий возможен, когда происходит такое перераспределение нагрузки на контейнер и резкое торможение частиц под действием аэродинамических сил, что суммарное воздействие на оболочку не превосходит ее предела прочности, и ее задняя стенка остается неповрежденной.
Для нахождения условий, при которых все три сценария могут иметь место, необходимо исследовать внутреннюю нагрузку во всех этих случаях. Приращение локального давления на оболочку может быть рассчитано по следующей формуле:
N(力) nr
Av(p) = p - Po + 工 人V「h/t*, t* = —, (6.22)
где cs — скорость звука в материале оболочки, т* — характерное время деформирования, Д — толщина оболочки,加分，V分—масса и скорость г-го фрагмента, п — единичный вектор внешней нормали, N(方，丁*) — число частиц, сталкивающихся со стенкой в течение промежутка времени (方，方+ т*). Результаты анализа показали, что для однородного облака число фрагментов ^(t, т*) пропорционально времени т*. Поэтому, как это видно из формулы (6.22), зависимость локального давления на оболочку Av(p) от параметра т* не очень сильная.
На рис. 6.7, a-в представлены профили приращения среднего давления над начальным на стенке контейнера Av(p) в момент времени t = 1.2 мс с учетом воздействия ударов частиц по стенке для различных начальных давлений в газе (ро = 0.1 атм; 0.5 атм; 5 атм; 10 атм; 15 атм), но для одного и того же облака осколков, движущегося внутри контейнера. Температура газа в контейнерах полагалась всегда одной и той же (300 °К). Таким образом, повышение давления фактически означало повышение плотности среды, заполняющей оболочку. Координата s отсчитывается от центра дна цилиндрического контейнера, по которому производится удар частицей КМ, до центра второго дна. Вертикальные линии на рис. 6.7 указывают расположения сочленений донных и боковой поверхностей цилиндра.
Из рис. 6.7 видно, что в случае низкого начального давления газа (рпс.6.7,а) максимальная нагрузка приходится на область дальней стенки контейнера вблизи оси симметрии. При более высоком начальном давлении газа (рис. 6.7, б), в противоположность предыдущему случаю, приращение давления распределено вдоль контейнера довольно равномерно. Максимальные значения давления также достигаются в дальней части контейнера вблизи его оси симметрии. Но максимум среднего приращения давления в этом случае практически на порядок меньше. При еще более высоком начальном давлении газа (рпс.6.7,б) картина распределения нагрузки на поверхность оболочки претерпевает еще большие изменения. Нагруженным относительно низким внутренним давлением оказывается только область оболочки вблизи переднего донышка. При таких начальных давлениях ро все фрагменты дробятся на мелкие капли и быстро тормозятся, не оказывая воздействия на дальнюю стенку оболочки.
Рис. 6.7. Профили приращения среднего давления над начальным на стенке контейнера в момент времени t = 1.2 мс с учетом ударов частиц по стенке для различных начальных давлений в газе: 0.01 МПа; 0.05 МПа; 0.5 МПа; 1 МПа; 1.5 МПа
В случае отсека, заполненного жидкостью, в зоне торможения из-за выделившейся энергии формируется перегретое расширяющееся газовое облако. Расширение паро-газового облака приводит к формированию расходящихся ударных волн. Отражение ударных волн в жидкости от упругих стенок происходит в форме волн разрежения, формирующих зоны кавитации около стенок. Коллапс этих зон кавитации обычно может приводить к разрушению стенок.
Соображения по созданию защиты КА. Предложенные более десяти лет назад концепции двухслойной разнесенной и многослойной разнесенной защиты КА от воздействия КМ [64-66] только к настоящему времени получили обоснования своей эффективности. Представленные выше результаты приводят нас к выводу, что газонаполненные контейнеры, после некоторой оптимизации вполне могут послужить надежной защитой конструкций космических аппаратов от разрушительных воздействий элементов космического мусора [91] (рис. 6.8). Концепция многослойной защиты предлагает использовать тонкие защитные эле-
Рис. 6.8. Сложная защита КА, состоящая из газонаполненных контейнеров
менты для неоднократного воздействия на ударяющие фрагменты, приводящего к их плавлению, разрушению и испарению. Наша новая концепция использования газонаполненных контейнеров приводит к непрерывному воздействию содержащегося в контейнере газа на проникающие элементы, в результате чего они быстро тормозятся, нагреваются, плавятся, распыляются и испаряются. Кроме того, использование газонаполненных защитных элементов делает возможным значительное увеличение площади зоны, на которую приходится энергия удара, поскольку газ обладает свойством передавать давление во всех направлениях. Это является существенным преимуществом предлагаемой концепции защиты КА.
Газонаполненные защитные элементы могут быть многоразовыми, поскольку скорость истечения газа из поврежденного сосуда невелика и потеря массы газа за время взаимодействия с частицей КМ незначительна. Влияние молярной массы газа и других параметров на скорость поглощения и преобразования энергии удара нуждается в дальнейшем исследовании.
Разработанные физико-математические модели для описания высокоскоростного удара по газонаполненным конструкциям могут быть использованы при исследовании возможных повреждений и разрушений космических аппаратов, сталкивающихся с частицами космического мусора. Такие столкновения становятся все более и более вероятными [52].
Выявленные особенности эффектов диссипации энергии высокоскоростных частиц при столкновении с газонаполненными оболочками могут быть полезны при разработке принципов защиты космических аппаратов множеством газо- или жидконаполненных защитных ячеек, которые аккумулируют и преобразуют кинетическую энергию удара, ослабляя тем самым воздействие частиц на космические аппараты.
Глобальные прогнозы нарастания техногенных загрязненийв ОКП и возможные превентивные меры
Осуществляемые с начала 80-х годов меры по уменьшению засорения сказались на динамике роста засоренности космического пространства. Сократились случайные и намеренные крупные разрушения спутников, благодаря чему замедлились темпы образования космического мусора. Наблюдается даже снижение количества мусора с длительным сроком пребывания на орбите, образуемого при
осуществлении полетов КА. Новые технологии и конструкции экранной защиты от мусора позволили значительно снизить ее вес и в то же время повысить эффективность.
В аэрокосмической области ведется работа по обоснованию эффективности типичных сценариев уменьшения засорения и связанных с ними затрат. Для оценки эффективности различных мероприятий, направленных на уменьшение засорения ОКП, необходим сравнительный анализ долгосрочных прогнозов эволюции космического мусора, выполненных на базе изложенных в пунктах 2-6 физико-механических моделей эволюции техногенной космической среды. Эти модели позволяют оценить влияние различного рода мероприятий на динамику состояния околоземного пространства.
Были рассмотрены следующие модельные сценарии будущей космической политики:
стандартный сценарий, предусматривающий применяемые в настоящее время меры по уменьшению засорения;
недопущение образования «операционного мусора» — объектов, связанных с программой полетов;
пассивация всех космических объектов в конце программы полета;
увод всех космических объектов с ГСО в конце программы полета;
спуск космических объектов с низких околоземных орбит в конце программы полета, в том числе снижение высоты орбиты для сокращения срока существования спутников (менее 25 лет) и немедленное возвращение в атмосферу.
Результаты долгосрочных прогнозов накопления частиц космического мусора размера более 1 см для различных сценариев космической деятельности человечества приведены на рис. 7.1.
Как показывают первоначальные исследования, наибольшую выгоду в краткосрочной перспективе может принести исключение случайных взрывов космических аппаратов и верхних ступеней. Однако в долгосрочной перспективе, вследствие увеличения числа и общей площади сечения находящихся на орбите космических объектов и возрастании вероятности столкновений, значительное сдерживающее влияние на рост засоренности может иметь перевод космических аппаратов на орбиты с ограниченной продолжительностью существования (25 или менее лет).
Заключение
На сегодняшний день проблема космического мусора является одной из глобальных проблем в освоении космического пространства.
Современное общество уже не мыслит себя без дополнительных возможностей, предоставляемых космическими станциями и малыми спутниками. Это и низкоорбитальная спутниковая связь, и наблюдения Земли, и прогнозы погоды, и работа эффективных навигационных систем, и теле-, радиокоммуникации, и получение новых материалов в условиях невесомости. Поэтому адекватная оценка опасности столкновения спутника с элементами космического мусора на различных орбитах необходима для прогноза длительности существования спутника и выбора наиболее безопасных орбит, что в свою очередь требует знания уровня заселенности различных орбит и прогноза его эволюции на последующие годы.
Возникновение в околоземном космическом пространстве новой многокомпонентной среды, характеризующейся большими орбитальными скоростями и крайне малыми скоростями оседания, фрагментацией при столкновениях и различными техногенными источниками, привело к необходимости создания новых моделей
fo I ①①『09 EdosmEd иой^^юо O5K^ ①OHq『①JLHUOHJLOfo I ①①『09 EdosmEd иой^^юо O5K^ ①OHq『①JLHUOHJLOПрежняя частота запусков и взрывов плюс орбитальные
fo I ①①『09 EdosmEd иой^^юо O5K^ ①OHq『①JLHUOHJLO
fo I ①①『09 EdosmEd иой^^юо O5K^ ①OHq『①JLHUOHJLO
"'―группировки; никаких мер по уменьшению засорения Прежняя частота запусков плюс орбитальные
--группировки; прекращение взрывов после 2010 г.
Прежняя частота запусков плюс орбитальные групшуовки;
*— прекращение взрывов и затопление верхних ступении, остающихся на НОО, после 2010 г./
Прежняя частота запусков плюс орбитальные/
••■•• группировки; прекращение взрывов, затопление / верхних ступений, остающихся на НОО, после / 2010 г. и затопление КА по окончании срока / службы (на НОО), после 2030 г.,
二二::二二二二二需Girl …二二::二二二二二需Girl …2 0002 050210021502 200
二二::二二二二二
需Girl …
二二::二二二二二
需Girl …
Год
Рис. 7.1. Прогноз изменения засоренности околоземного космического пространства части-цами более 1 см в диаметре для различных предполагаемых стратегий будущей космиче-ской деятельности
механики, описывающих эволюцию многофазного континуума, в котором каждое столкновение элементов приводит к потере части массы (оседание и сгорание в атмосфере) и образованию множества элементов, принадлежащих более мелким фракциям. Для решения задач фрагментации при орбитальных столкновениях разработаны новые механические модели и критерии разрушения газонаполненных оболочек и компактных элементов при высокоскоростном соударении. Разработанные модели механики позволили получить долгосрочные прогнозы эволюции образовавшейся техногенной среды для различных сценариев будущей деятельности в околоземном пространстве, а также выработать рекомендации по эффективной защите космических аппаратов от воздействия космического мусора.
Список литературы
Smirnov N.N. (Ed.) Space Debris Hazard Evaluation and Mitigation. L.: Taylor and Francis Publ., 2002. 208 p.
Chobotov V.A. (Ed.). Orbital Mechanics (2nd ed.). AIAA Education Series, Washington, D. C., 1996.
Chobotov V.A. Dynamics of orbital debris clouds and the resulting collision hazard to spacecrafts 〃 FBIS, Journal of the British Interplanetary Society. 1990. V. 43, № 5. P. 187-195.
Flury W. Space debris: a European view 〃 Proceedings of Space Debris Forum, JSASS, Tokyo, May 15, 1992. P. 37-54.
Kessler D.J. Collisional cascading: the limits of population growth in low Earth orbit 〃 Advances in space Res. 1991. V. 11, № 12.
Loftus J.P., Anz-Meador P.D., Reynolds R. Space debris minimization and mitigation plans and practices 〃 Space Debris Forum, JSASS, Tokyo, May 15, 1992. P. 16-27.
Yasaka Г, Ishii N. Breakup in geostationary orbit: a possible creation of a debris ring 〃 IAA-91-596. 42nd Congress of the International Astronautical Federation, Montreal, October 5-11, 1991. P. 1-12.
Perek L. Space debris as an issue for the international community 〃 Space Debris Forum, JSASS, Tokyo, May 15, 1992. P. 1-15.
Smirnov N.N., Dushin И, Panfilov /., Lebedev V. Space debris evolution mathematical modeling 〃 Proc. 1st European Conf, on Space Debris. ESA-SD-01. Darmstadt, 1993. P. 309-316.
Reynolds R. Documentation of Program EVOLVE: A Numerical Model to Compute Projections of the Man-Made Orbital Debris Environment 〃 System Planning Corp. Tech. Rpt. OD91-002-U-CSP, 1991.
Technical Report on Space Debris. United Nations Organization, A/AC, 105/720. N.Y., 1999.
Иванов В.Л., Меньшиков В. А., Пчелинцев JIA, Лебедев В. В. Космический мусор. Проблема и пути ее решения. М.: Патриот, 1996. 360 с.
Чернявский Г.М., Назаренко А. И. Моделирование околоземного засорения космического пространства 〃 «Столкновения в космическом пространстве» (под ред. А. Г. Ма- севича). М.: Космоинформ, 1995. С. 104-129.
Portee D. S. F., Loftus J.P. Orbital Debris: a Chronology 〃 NASA/TP-1999-208856. Houston, 1999.
Krisko P. Evolve 4.0 Preliminary Results 〃 Orbital Debris Quarterly News, 1999. V. 4, issue 1. P. 6-7.
Bendisch /., Klinkrad 〃.，К rag 〃.，Rex D., Sdunnus 〃.，Wegener Q, Wiedemann C. Results of the Upgraded Master Model 〃 50-th IAF Congress. Amsterdam, 1999. IAA-99-IAA.6.4.05.
Walker A., Stokes P.H., Wilkinson J.E., Swinerd G. G. Long-Term Collision Risk Prediction for Low Earth Orbit Satellite Constellation 〃 50-th IAF Congress. Amsterdam, 1999. IAA-99-IAA.6.6.04.
Касименко T. В., Рыхлова Л. В. Верхняя атмосфера как средство вычищения космического мусора 〃 «Столкновения в космическом пространстве» (под ред. А. Г. Масевича). М.: Космоинформ, 1995. С. 169-172.
Полякова Е. Н. Роль давления света в астрономии и космических исследованиях 〃 «Столкновения в космическом пространстве» (под ред. А. Г. Масевича). М.: Космоинформ, 1995. С. 173-251.
Микиша А.М., Смирнов М.А. Эволюция космических объектов на высоких орбитах под воздействием давления излучения 〃 «Столкновения в космическом пространстве» (под ред. А. Г. Масевича). М.: Космоинформ, 1995. С. 252-271.
Хуторовский 3.〃.，Каменский С. Ю., Бойков В. Е., Смелов В. Е. Столкновения космических объектов на низких орбитах 〃 «Столкновения в космическом пространстве» (под ред. А. Г. Масевича). М.: Космоинформ, 1995. С. 19-90.
Rossi A., Auselmo £., Par dint С., Cordelli A., Farinella Р・,Parinello Т. Approaching the Experimental Growth: Parameter Sensitivity of the Debris Evolution 〃 Proc. First Europ. Conf, on Space Debris. Darmstadt, 1993, ESASD-01. P. 287-292.
Acx D., Eichler P. The Possible Long Term Overcrowding of LEO and the Necessity and Effectiveness of Debris Mitigation Measures 〃 Proc. First Europ. Conf, on Space Debris. Darmstadt, 1993, ESASD-01. P. 607-615.
Anz-Meador P. D., Potter A.E. Density and Mass Distribution of Orbital Debris 〃 Aeba Astronaution. 1996. V. 38, № 12. P. 927-936.
Matney M.J., Theall J.R. The Use of the Satellite Breakup Risk Assessment Model (SBRAM) to Characterize Collision Risk to Manmed Spacecraft 〃 50-th IAF Congress. Amsterdam, 1999. IAA-99-IAA.6.5.09.
Smirnov N., Nikitine И, Kiselev A. Peculiarities of Space Debris Production in Different Types of Orbital Break-ups 〃 Proc. 2nd European Conf, on Space Debris. Darmstadt, 1997. P. 465-471.
Smirnov N., Kiselev A., Lebedev V. Mathematical Modeling of Space Debris Evolution in Low Earth Orbits 〃 Proc. 19th Int. Symposium on Space Technology and Science. Yokohama, 1994. 94-П-28 p.
Киселев А. Б. Простая математическая модель разрушения космического аппарата при взрыве 〃 Журнал Прикладной Механики и Технической Физики. 1995. № 2. С.159-165.
Smirnov N.N., Nikitine И, Kiselev A. Gas Explosions in Confined Volumes 〃 Proc. Int. Symposium on Hazards, Prevention and Mitigation of Industrial Explosions. Christian Michelsen Research AS, Bergen, 1996. V. 2. P. 515-561.
Chobotov V.A., Spencer D. B. Debris Evolution and Lifetime Following an Orbital Breakup 〃 Journ. Spacecraft. 1991. V. 28, № 6. P. 670-676.
Talent D. Analytic Model for Orbital Debris Environmental Management 〃 AIAA Paper No 1363, 1990. P. 1-10.
Назиров P. P., Рязанова ££, Сагдеев P.3., Суханов А. А. Анализ процесса самоочищения космоса от «мусора» 〃 Препринт ИКИ Рг-1670. М., 1990.
Nazarenko A. The Development of the Statistical Theory of a Satellite Ensemble Motion and its Application to Space Debris Modeling 〃 Proc. 2nd European Conf, on Space Debris. Darmstadt, 1997.
Лим И. E. Моделирование эволюции космического мусора с учетом его саморазмножения. Дипломная работа. Кафедра газовой и волновой динамики механико-математического факультета МГУ. М., 1995.
Interagency Report on Space Debris, OSTP, 1995.
«Orbital Debris from Upper Stage Breakup» (edited by J. R. Loftus) 〃 AIAA Proceedings of the Conference, 1987.
«Inventory of Orbiting Hypergolic Rocket Stages» technical memorandum SN-3-81-55. Technical planning office, NASA-JSC, March, 1981.
Webster /./., Kawamura T. У., Precluding Post-Launch Fragmentation of Delta Stages. McDonnel Douglas Space Systems Company Tech. Rept., 5.05.92.
«Investigation of Delta Second Stage On-Orbit Explosions» Report MDC-H0047. McDonnel Douglas Astronautics Company Huntington Beach, CA, 1982.
Fucke W., Fragmentation Experiments for the Evaluation of the Small Size Debris Population 〃 Proc, of the First European Conference on Space Debris ESA-SD-01, Darmstadt, 1993. P. 275-280.
Smirnov N.N., Panfilov /./., Deflagration to Detonation Transition in Combustible Gas Mixtures 〃 Combustion and Flame, Elsevier Publ. Co., 1995. V. 101, № %. P. 91-100.
Smirnov N. N., Tyurnikov M. V. A Study of Deflagration and Detonation in Multiphase Hydrocarbon-Air Mixtures 〃 Combustion and Flame. Elsevier Publ. Co., 1994. V. 96. P. 130-140.
Smirnov N.N. et al. Theoretical and Experimental Investigation of Combustion to Detonation Transition in Chemically Active Gas Mixtures in Closed Vessels 〃 Journal of Hazardons Materials. 1996. 1801-8.
Киселев А. Б., Юмашев M. В. Деформирование и разрушение при ударном нагружении. Модель повреждаемой термоупругопластической среды 〃 Журнал Прикладной Механики и Технической Физики. 1990. Т. 31, № 5. С. 116-123.
Kiselev А. В. The Model of Thermoelastoplastic Deformation and Fracture of Materials under Multiaxial Loading 〃 Fourth Int. Conf. On Biaxial/Multiaxial Fatigue, St. Germain en Laye, France, 1994.
Kiselev A. B. Mathematical Modelling of Dynamical Deforming and Combined Microfracture of Damageable Thermoelastoviscoplastic Medium, Advances Methods in Material Processing Defects (SAM Series), edited by M. Predeleanu and P. Gilormini. Elsevier Science В. V., Amsterdam, The Netherlands, 1997.
Su S.-У., Kessler D. /., Contributions of Explosions and Future Collision Fragments to the Orbital Debris Environment 〃 Advances in Space Research, 1985. V. 5, № 2. P. 25-34.
Smirnov N.N., Zverev N.I., Tyurnikov М. И, Two-phase Flow Behind a Shock Wave with Phase Transitions and Chemical Reactions 〃 Experimental Thermal and Fluid Science. 1996. V. 13, № 1.
Смирнов H.H., Зверев И.Н. Гетерогенное Горение. М.: Изд-во МГУ, 1992. 446 с.
Киселев А. Б. Математическое моделирование фрагментации тонкостенных сферических оболочек под действием динамического внутреннего давления 〃 Вестник Московского Университета, 1996. Т. 51, № 3. С. 52-60.
Smirnov N.N., Nikitin V.F. Unsteady-state turbulent diffusive combustion in confined volumes 〃 Combustion and Flame. 1997. V. 111, № 3. P. 222-256.
Экологические проблемы и риски воздействий ракетно-космической техники на окружающую природную среду. Справочное пособие / Под общей редакцией В. В. Адушки- на, С. И. Козлова и В. В. Петрова. М.: Анкил, 2000.
Киселев А. Б. Простейшие математические модели разрушения космического аппарата при взрыве 〃 Прикл. механ. и техн, физика. 1995. № 2. 159-165.
Киселев А. Б. Математическое моделирование взрывного разрушения сферических оболочек с образованием двух фракций фрагментов 〃 Вестн. Моск, ун-та. Матем. Механ. 1999. №2. 41-48.
Киселев А. Б. Модель фрагментации при высокоскоростном соударении частиц космического мусора 〃 Вестн. Моск, ун-та. Матем. Механ. 2001. № 3. 50-55.
Смирнов Н.Н., Никитин В. Ф., Легро Ж. К. Моделирование зажигания и горения турбулизованных пылевоздушных смесей 〃 Химическая физика. 1999. Т. 18, № 8. 62-86.
Высокоскоростное взаимодействие тел / В. М. Фомин, А. И. Гулидов, А. Б. Киселев и др. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999.
Dushin V.R., Nikitin V.F., Smirnov N.N. et. al. Mathematical modelling of particles cloud evolution in the atmosphare after a huge explosion 〃 Proc, of 5th Int. Colloquium on Dust Explosions. Pultusk-Warsaw. 1993. P. 287-292.
Birkhoff G. Hydrodynamics. Princeton, N. Y.: Princeton Univ. Press, 1960.
Нигматулин P. И. Динамика многофазных сред. Ч. 1, 2. М.: Наука, 1987.
Azzopardi B.J., Hewitt G.F. Maximum drop sizes in gas-liquid flows 〃 Multiphase Sci. and Tech. 1997. V. 9. 109-204.
Оран 3., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. М.: Мир, 1990.
Stilp A.J. Hypervelocity impact research 〃 Proc. Second Europ. Conf, on Space Debris. Darmstadt, Germany, 1997. P. 399-404 (ESA SP-393).
Christiansen E.L., Horn J.R., Crews J.L. Augmentation of orbital debris shielding for space station freedom 〃 AIAA 90-3665. Huntsville, AL, 1990.
Christiansen E.L. Advanced meteoroid and debris shielding concept. AIAA 90-1336. Baltimore, MD, 1990.
Cour-Palais B.G., Crews J.L. A multi-shock concept for spacecraft shielding 〃 Int. J. Impact Engng. 1990. V. 10. 135-146.
Назаренко А. И. Построение высотно-широтного распределения объектов в околоземном пространстве 〃 Проблемы загрязнения космоса (космический мусор). М.: Космин- форм, 1993. С. 114-126.
Назаренко А. И. Аэрординамическая аналогия взаимодействия поверхности космических аппаратов различной формы с космическим мусором 〃 Космические исследования. 1996. Т. 34, №3. С. 317-324.
Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для баллистического обеспечения полетов искусственных спутников Земли. Госуд. стандарт СССР. ГОСТ 25645.115-84. М.: Госкомитет СССР по стандартам, 1985.
Элъясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1965.
Киселев А. Б. Модель фрагментации при высокоскоростном соударении частиц космического мусора 〃 Вестн. Моск, ун-та. Матем. Механ. 2001. № 3. С. 50-55.
Kessler D., Cour-Palais В. Collision frequency of artificial satellites: creation of debris belt 〃 J. of Geophysical Research. 1978. V. 83. A6.
Киселев А. Б., Юмашев M. В. О критериях динамического разрушения термоупругопластической среды 〃 Вестн. Моск, ун-та. Матем. Механ. 1990. № 4. С. 38-44.
Smirnov N.N., Nazarenko А. /. Kiselev А. В. LEO technogeneous contaminants evolution modeling taking into account satellite's collisions. Space Debris 2000 (Ed. J. Bendisch) Sc. & Technol. Series American Astronaut. Society. 2001. V. 103. P. 99-112.
Смирнов H.H., Киселев AS, Назаренко А. И. Математическое моделирование эволюции космического мусора на низких околоземных орбитах. Вестник Моск, университета, сер. 1. Матем., механика. 2002. № 4.
Smirnov N.N., Nazarenko А. /. Kiselev А. В. Continuum model for space debris evolution with account of collisions and orbital breakups 〃 Space Debris Journ. 2000. № 2. P. 249-271, 2004.
Смирнов H.H., Киселев AS, Никитин В. Ф. К исследованию высокоскоростного взаимодействия элементов космического мусора с газонаполненными оболочками 〃 Вестник Моск, университета, сер. 1. Матем., механика. 2003. № 1. С. 54-66.
Смирнов Н.Н. Эволюция космического мусора в околоземном космическом пространстве. Успехи механики. 2002. Т. 1, № 2. С. 37-104.
The Orbital Debris Quarterly News 〃 Johnson Space Center Houston, TX, USA. V. 8. Issue 3, July 2004.
Назаренко А. И. Моделированием техногенного загрязнения околоземного космического пространства 〃 Астрономический Вестник. 2002. Т. 36, № 6.
Beltrami Л, Matney М., Nazarenko A. Comparison of Debris Fkux Models 〃 Report IADC-2001-AI 19.2-v2_0, 2001.
Nazarenko 4./., Yurasov V. S. Space Debris Modeling in the GEO Vicinity 〃 Third European Conference on Space Debris, Darmstadt, Germany, March 2001.
Материалы 17-го, 1999 г. (Тулуза), 18-го, 2000 г. (Колорадо), 19-го, 2001 г. (Кельн) и 20-го, 2002 г. (Гуилдфорд, Великобритания) совещаний IADC.
Jarvis К., Africano /. et al. Overview of GEO Devris Observations Using the CCD Debris Telescope 〃 Orbital Debris Quarterly News, NASA, JSC. V. 6. Issue 3, July 2001.
Lewis, Martin et al. GEO Modeling Comparison 〃 22nd IADC Meeting, April 2004.
Назаренко А. И. Моделирование эволюции распределения техногенных частиц и объектов. Проблема загрязнения космоса (космический мусор). М.: Космосинформ, 1993.
Назаренко А. И. Проблема «Космического мусора» в околоземной среде. Раздел 8. Экологические проблемы и риски воздействий ракетно-космической техники на окружающую среду. Справочное пособие под редакцией В. В. Адушкина, С. И. Козлова и А. В. Петрова. М.: Изд-во «Анкил», 2000. С. 382-432.
Reynolds А. С. et al. NASA Standard Breakup Model, 1998, Revision, prepared by Lockheed Martin Space Mission Systems & Services for NASA under Task Order HECSN74D, 1998.
Liou J. -C. et al. LEGEND — A Full-Scale Multi-Dimensional Debris Environment Model 〃 20th IADC Meeting, April 2002, UK.
Nazarenko A. I. Application of average contamination sources for the prediction of space debris environment. AAS/AIAA Space Flight Mechanics Meeting. Monterey, CA, February 1998. AAS 98-161.
Smirnov N.N., Chobotov V.A., Chobotov M. И, Kiselev 48, Nikitin V.F. The hypervelocity projectile shield design 〃 Provisional patent application, filling date 01/04/2002, Reg. Nr. 60/345, 601.
ОЦЕНКИ ИНТЕНСИВНОСТИ ПРОЦЕССОВ ПОЛЗУЧЕСТИЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ НЕИЗОТРОПНОГО
МАТЕРИАЛА
0.8 Соснин, И. В. Любашевская
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск
В работах [1-3] было показано, что деформационно-прочностное поведение материалов при температурах, существенно превышающих номинально-эксплуатационные, имеет некоторое сходство с поведением идеально пластических сред. При стационарных внешних термосиловых условиях напряженно-деформированное состояние в элементе конструкции достаточно быстро стремится к установившемуся состоянию, при этом поля напряжений и скоростей деформации становятся такими, что мощность рассеяния в каждой точке тела стремится к одной величине, даже если тело неравномерно нагрето. Это позволило использовать понятие средней по объему мощности рассеяния:叫=^ ]。叮〃叮 d『，где о叮 и 〃叮—компоненты тензоров напряжений и скоростей деформаций, и, как показали эксперименты, на многих типовых элементах конструкций из изотропного материала усредненная по объему величина рассеиваемой энергии % дает достаточно удовлетворительную характеристику поведения элемента конструкции в целом. Так, эксперименты на ползучесть при кручении тонкостенной трубки — однородное напряженно-деформированное состояние (НДС) — и толстостенной трубки — неоднородное НДС — показали, что длительность до разрушения 方力 обратно пропорциональна мощности рассеяния энергии на начальной стадии ползучести W^ = Wnt^. Таким образом, средняя по объему тела мощность рассеяния энергии и при неоднородном НДС дает такую же оценку длительности до разрушения, как и при однородном НДС. Так как о叮 и 〃叮 функционально связаны: 〃э = /(оэ,Т), где оэ п 〃э — эквивалентные величины напряжений и скоростей деформаций (для изотропных сред и процессов, близких к стационарным по внешним нагрузкам В и температуре Г, в качестве эквивалентных величин принимают интенсивности соответствующих тензоров сг^ и ^, а для более сложных сред и процессов — в виде некоторых функций от инвариантов этих тензоров и тензоров анизотропии), то выражение средней мощности можно записать в виде
% = ^ ] сч河叮 dV =①(Зэ) или % = ^ ] о叮 W dV = U("э)
и все дальнейшие рассуждения проводить в пространстве усредненных (или «приведенных») напряжений 3叮 или скоростей деформаций "叮.Выражения ①(Зэ)= =С или U(布э) = С в соответствующих пространствах представляют собой поверхности равных в среднем по объему тела мощностей рассеяния энергии, а следовательно, и равных длительностей до разрушения 方* элемента конструкции. С увеличением С время 方* уменьшается, при некотором значении Со время 方* —
0, и в соответствующем пространстве получаем аналог предельной поверхности
для идеально пластической среды, соответствующей мгновенному разрушению конструкции. И наоборот, при некотором малом значении время 方* — оо, т. е. материал конструкции вследствие только ползучести не разрушится. Таким образом, любую из вложенных друг в друга поверхностей Ф(аэ) = С^ (или, аналогично,疗⑺э) = ℃ можно рассматривать как предельную, но со своим параметром 方力，отражающим длительность процесса до разрушения. Предполагая, что поверхности усредненных мощностей ①(Зэ) = Ск или U("3) = °k обладают теми же свойствами, что и в случае однородного НДС, т. е. замкнуты, не вогнуты, и для них справедлив принцип максимума Мизеса (3切—鸣)•力切》0, или 5篦—%) • 3叮》0, где 3叮 и fjij — истинные напряжения и скорости деформаций, а 3务 и 嗚—допустимые, то, как и в идеальной пластичности, получим: для статически возможных полей напряжений, сохраняющих ту же величину средней по объему тела мощности рассеяния энергии 叫，требуются внешние нагрузки, меньшие, чем для истинных полей о叮，а для реализации той же 叫 для кинематически возможных полей скоростей деформаций требуются нагрузки, большие, чем для истинных полей 〃打・.Соответственно и в другой, более приемлемой для прикладных задач по ползучести, формулировке: при фиксированных внешних нагрузках статически возможные поля напряжений предсказывают среднюю мощность рассеяния Wqs, большую, чем при истинных значениях о叮，а следовательно, и меньшую длительность 方* до разрушения, а кинематически возможные поля скоростей деформации предсказывают меньшую величину 叫卜，чем для истинных полей 〃叮，и, следовательно, завышают длительность 方* до разрушения.
Приведенные в [1-3] результаты экспериментов по оценке процессов ползучести и длительности до разрушения некоторых типовых элементов конструкций из изотропного материала при стационарных внешних термосиловых режимах нагружения дали достаточно удовлетворительное подтверждение высказанным положениям.
При выводе соответствующих верхних и нижних оценок с использованием средней по объему тела величины мощности рассеяния Wq по существу использовалась геометрическая интерпретация поверхностей ①(Зэ) = °к или U(力э)= =。卜，при этом не предполагалось, что среда должна быть изотропной. Для более сложных сред геометрическая сторона вопроса вряд ли существенно изменится, вся сложность сведется к конкретизации вида функциональной зависимости аэ и 〃э от инвариантов соответствующих тензоров и тензоров анизотропии материала. И, хотя это высказывание далеко не очевидно, представляет интерес распространение полученные приближенные оценки и на случай слабоанизотропных материалов и элементов конструкций более сложных форм.
dA _ 5尸~dt = (А* - А)dA _ В2тп ~dt = (А* - А)dA _ 5尸~dt = (А* - А)dA _ В2тп ~dt = (А* - А)Рассмотрим кручение с растяжением круглого стержня: тонкостенного — однородное НДС, толстостенного и сплошного — неоднородное НДС. Материал стержня — алюминиевый сплав Д16Т, температура испытаний Т=250 ℃. В работе [4] представлены результаты этих экспериментов при однородном и неоднородном НДС, показавшие, что материал практически одинаково сопротивляется растяжению и сжатию при ползучести и существенно слабее при сдвиговых деформациях. Результаты экспериментов обработаны в соответствии с энергетическим вариантом теории ползучести по зависимостям:
dA _ 5尸
~dt = (А* - А)
dA _ В2тп ~dt = (А* - А)
dA _ 5尸
~dt = (А* - А)
dA _ В2тп ~dt = (А* - А)
—растяжение и сжатие стержня,
(1)
— кручение тонкостенных трубок.
t
Здесь А = I ^ij^ij dt — рассеянная энергия деформаций ползучести %,
恤=以"qacT],厶* = 14,715n = 6, m = 10,马=7,36 • 10~3, B2 =
L м」
= 0,591 [МПат-п+1 - час-1].
При сложном напряженном состоянии растяжения с кручением зависимость (1) должна выражаться как
> —(4*I 丿
Попытка представить эквивалентное напряжение аэ в форме интенсивности напряжений 内 по критерию Мизеса оэ =，拦 + 3丁2 или по критерию Треска-Сен- Венана оэ =，拦 + 4丁2 удовлетворительных результатов не дала, т. е. поведение материала следует описывать с позиций механики ползучести анизотропных сред.
В работе [5] предложены подходы к описанию процессов ползучести анизотропных материалов со свойствами, одинаковыми на растяжение и сжатие, но зависящими от направления приложения сил. Сдвиг тоже зависит от расположения площадки, но не зависит от направления касательного напряжения. Тогда в выражении (2) можно поставить вместо оэ квадратичную форму Тэ, которая является сверткой компонент тензора напряжений с тензором анизотропии (множитель Bq можно внести в компоненты а叮)：
dA _
x Ja11(022 —033)2 +a22(033 —011产 +a33(011 —022产 + 2旬20；2 + 2a23凋3 + 2a310^ •
(3)
Для изотропных материалов, когда ан =。22 =。33 = ^п, ai2 =。23 =。31 = =3石；/“ и числитель в первом уравнении (3) примет вид 7р =石。。?.
Применительно к представленному в [4] материалу (с учетом специфики проведенных экспериментов) можно предположить, что ап =。22 =。33, т. е. свойства материала на растяжение-сжатие во всех направлениях одинаковые, и ai2 =。23 = =。31 — сдвиговые свойства материала по всем плоскостям — тоже одинаковы. Тогда из (3) для нагрузок типа растяжение с кручением получим
тэ = \Aiicr2 +。12丁2, где г2 = сг；2 + о；з・(4)
Соотношение (2) примет вид
dA = (апа2 + а12т2)п/2
где коэффициенты ан и ai2 будут выражаться через В\ и В^. Рассматривая частные случаи однородного НДС — одноосное растяжение (сжатие) или кручение тонкостенных цилиндров — и сравнивая (1) с (5), получим
dA _ Bi(rn~dt = (4* - 4片dA _ В2тпIF = (4* _4广dA _ Bi(rn~dt = (4* - 4片dA _ В2тпIF = (4* _4广n/2 п а/ 6rn/2 п а/ 6r(4* —4)…(4* —4)…О；/产О；/产Выражение (4)Выражение (4)примет видпримет видгде ап = (Bi)2/n,где ап = (Bi)2/n,гдеa12 =(б2 严.гдеa12 =(б2 严.⑹⑹
dA _ Bi(rn
~dt = (4* - 4片
dA _ В2тп
IF = (4* _4广
dA _ Bi(rn
~dt = (4* - 4片
dA _ В2тп
IF = (4* _4广
n/2 п а/ 6r
n/2 п а/ 6r
(4* —4)…
(4* —4)…
О；/产
О；/产
Выражение (4)
Выражение (4)
примет вид
примет вид
где ап = (Bi)2/n,
где ап = (Bi)2/n,
гдеa12 =(б2 严.
гдеa12 =(б2 严.
⑹
⑹
⑺⑺Tэ =б:加J02 + (52/月］)2加丁2 =团/%》
⑺
⑺
Для рассматриваемого материала и зависимость (2) примет видДля рассматриваемого материала и зависимость (2) примет вид(月2/月1)2加=4,3, T.e. Q =，02 + 4,3T2,(月2/月1)2加=4,3, T.e. Q =，02 + 4,3T2,
Для рассматриваемого материала и зависимость (2) примет вид
Для рассматриваемого материала и зависимость (2) примет вид
(月2/月1)2加=4,3, T.e. Q =，02 + 4,3T2,
(月2/月1)2加=4,3, T.e. Q =，02 + 4,3T2,
⑻⑻dA = ВТ
⑻
⑻
1Г = (4* —4)w
На рис. 1 представлены результаты экспериментов при растяжении с кручением тонкостенных трубок. Эксперименты ставились при различных сочетаниях опт, но близких к значению оэ = const (контур отмечен штриховой окружностью). Здесь же представлены диаграммы 4(方)=о • £ + 丁 •) при этих напряжениях. Значки на контуре аэ = const соответствуют значкам 厶⑴.
Рис. 1Рис. 1
Рис. 1
Рис. 1
Предполагая существование потенциальной функции скоростей деформаций ползучести 〃分@, применительно к рассматриваемым экспериментам получим: △£ = Ка, △)= К • 4,3 т, где Ле = 〃 • △方，△)=力• At, At — некоторое фиксированное время. Отношение у/^3 т/а = tgа — наклон вектора, изображающего напряженное состояние в проводимом эксперименте. Тогда из соотношения △)/△£ = 4,3 т/a 今 Л7/(\/4^3 Ав) = л/^Зт/о, т. е., откладывая в рассматриваемой на контуре оэ точке по горизонтали экспериментальную величину ，4,3 △£ и экспериментальную величину △)по вертикали, мы должны получить
суммарный вектор Лёэ, совпадающий по направлению с вектором напряженного состояния, т. е. с нормалью к окружности оэ = const. Соответствующие экспериментальные значения Лёэ изображены на рисунке стрелками. Следует отметить, что их направление практически не изменялось в процессе эксперимента вплоть до разрушения образца. Результаты экспериментов, представленные на рис. 1, достаточно удовлетворительно подтверждают предложенную схему описания процесса ползучести неидеально изотропной среды и методику определения характеристик материала.
При высоких температурах начальная упрочняющаяся стадия ползучести практически отсутствует, и в начальный момент деформирования можно считать, что процесс идет в соответствии с закономерностями установившейся ползучести, т. е. 〃 =Во^-'. Тогда, обратив это выражение, можно найти зависимость вида
о =石―i/S—i)〃i/S—1), т.е. W =咁=D#,(9)
гдегде
где
где
Предполагая, что разупрочнение материала в третьей стадии проходит изотропно, пропорционально множителю (4*—4)一加，что отражается на величинах коэффициентов а^, можно вместо (3) использовать другую зависимость:
dA _ 體
IT = (4* 一4片‘
где Гэ с учетом несжимаемости имеет вид [5]
Гэ =+ С22 脆 2 + СЗЗ 捕 3 + 2。12 疋 2 + 2c23 脆 з + 2。31捕1 ,(Ю)
1С31 =,0311С31 =,031011a2203311
1
С31 =,
031
1
С31 =,
031
Cll =°22 = Сзз =c12 = ，°23 =,
△△△a12a23
°12 = °23 = °3i = 3a =°12 = °23 = °3i = 3a =△=旬1a22 +。22,a33 +a33a11・
°12 = °23 = °3i = 3a =
°12 = °23 = °3i = 3a =
Для изотропного материала, an =。22 =。33 = a = ^n
=3石；“，получим
rэ = V 崎 +脸+脸）+系（*2 +唳+嗡）•
Применительно к экспериментам по растяжению с кручением трубчатых образцов из рассматриваемого материала, когда ап = 32 = азз；。12 =。23 =。31, выражение (10) примет вид
или, с учетом того, что 7722 = 〃зз = —；力1 и 〃^ + 〃^ =；力2：
rэ = J丄〃2 + 丄力2 = B”П+ (б1/月2)2加力2 =б”“小，(11)
где,
〃э =+ {Вх/В^/п^ .
По аналогии с (8) и (9) получим
dA = 牙濟= 0晴
dt - (A* - A)m - (A* - A)m - (A* -
В частных случаях одноосного растяжения и чистого кручения тонкостенных трубок, как и в изотропном случае, произведение % = 7^ • Гэ в силу (7) и (11) переходит соответственно в Wq = о • 〃 при растяжении и в Wq = 丁 •力 при кручении.
Рассмотрим теперь результаты экспериментов при кручении сплошного круглого стержня — неоднородное НДС. Диаметр стержня О = 20 мм, I = 30 мм. В процессе эксперимента замерялся угол закручивания стержня 夕=夕(方)，и при заданном моменте внешних сил М [н • м] определялась работа деформаций ползучести на единицу рабочего объема стержня:
(13)
0
На рис. 2 точками обозначены результаты эксперимента в виде зависимости 4° = 4(方)при величине момента кручения М = 92,57 н • м.
Рис. 2
Фактически мы не знаем ни истинных полей напряжений, ни полей скоростей деформаций — эксперимент дает интегральную величину рассеиваемой энергии всего образца. Поэтому и расчетные значения будем сравнивать с усредненной по всему объему тела величиной рассеиваемой энергии 4°(方)• В начальный момент процесса при t = 0 имеем: 4(方)=4о(方)=0, тогда из (2)
\в^ dV
&Л)= У = Ф(аэ)
и для любого момента времени t > 0, считая, что процесс разупрочнения материала проходит изотропно, пропорционально средней по объему величине рассеянной энергии 4° (t) (т. е. изменяться во времени будет только знаменатель), получим
dAQ = Ф(аэ) 而-(4 -人广•
Какое бы статически возможное поле напряжений мы не выбрали, числитель остается постоянным в течение всего процесса от начала до разрушения. После интегрирования имеем
А)⑴=4* — [4£+i —(加+ 1)①(Зэ)廿忐，(14)
где применительно к эксперименту на чистое кручение в соответствии с (1)
①伉)= ^]石(15)
Условие равенства внешних и внутренних моментов позволяет определять параметры распределения статически возможных полей касательных напряжений:
(16)(16)М = I r{p)pdS.
(16)
(16)
s
=喺._ 2石2n + 2=喺._ 2石2n + 2Шрихпунктирной линией на рис. 2 нанесен расчет 4°(方)по (14) для статически возможного поля напряжений, соответствующего упругому распределению т'р)=
=喺.
_ 2石2
n + 2
=喺.
_ 2石2
n + 2
（丁0产（丁0产Уравнение равновесия (16) позволяет определить то = из (15) Ф51 = 7ГЛ
（丁0产
（丁0产
Сплошная линия соответствует расчету по (14) для предельного статически возможного поля напряжений т(р) = 丁。= const, где из условия равновесия (16) 70 = И ①S2 =月2(70严 ИЗ (15).
Рассмотрим кинематически возможное поле скоростей деформаций, например линейное:力仿)=Используя соотношение (1) при t = 0, получим 力= =-^ а напряжение 丁 = 丁(川，соответствующее линейному распределению 力， найдем из (16) и получим 丁(川=?不陋：；京3/(1), и по (15) Фкш = ЗП — ―].Штриховой линией нанесен расчет по (14).
Аналогичные результаты получены и для других уровней крутящего момента.
Из графика рис. 2 видно, что статически возможное упругое распределение поля напряжений существенно завышает интенсивность процесса. По-видимому, это будет крайний случай распределения полей напряжений, так как процесс ползучести выравнивает их, и все другие возможные поля напряжений должны дать интенсивность процесса ниже упругого. Кинематически возможное линейное распределение поля скоростей деформаций занижает интенсивность процесса, но, к сожалению, нельзя сказать, что оно является наименее интенсивным с точки зрения оценки процесса в среднем по объему. И тем не менее, как показывают эксперименты и расчеты по другим полям, все они попадают в эту вилку.
Рассмотрим результаты эксперимента по кручению с растяжением толстостенного трубчатого образца (точки на рис. 3) под действием крутящего момента М = =43,37 н • м и растягивающего усилия а = 68,67 МПа, внутренний и наружный
диаметры образца равны соответственно d = 10 мм, О = 20 мм, длина L = 26,8 мм. На рис. 3 сплошной линией изображены результаты оценочного расчета процесса по (14), исходя из статически возможного предельного поля касательных напряжений т(0)= то = const, где из (16) и (15) 丁。= и Ф5 = B\af, оэ =
27r(А — г )
=Jcr2 +4,3*.
Аналогичные графики были получены и для других уровней крутящего момента и растягивающих усилий.
Из представленных на рис. 2, 3 результатов следует, что, как и для случая
изотропных материалов, предложенные верхние и нижние оценки интенсивности процессов ползучести по мере средней по объему тела величины рассеиваемой энергии достаточно хорошо согласуются с данными экспериментов и для слабоанизотропных сред.
Рассмотрим изгиб балки, материал которой по разному сопротивляется растяжению и сжатию при ползучести. В работе [6] приведены результаты экспериментов на растяжение и сжатие образцов из алюминиевого сплава АМГ-3 при Т = 200 ℃ с характеристиками по зависимости W = Вап (только на установившейся стадии),八=7,2; для растяжения 石+ = 2,11 • 10-15, для сжатия В~ = =0,78 • 10-15[МПа1-п/ч], т. е. различие почти в три раза.
В работе [7] представлены результаты экспериментов по изгибу трех видов балок из этого материала при той же температуре (результаты экспериментов изображены точками на рис. 4): балка прямоугольного сечения b = 20 мм, Д = =10 мм (а); круглого сечения О = 15 мм (6); полукруглого сечения А = 11 мм (е). Экспериментальная величина рассеянной работы в среднем по рабочему объему балки, как и в изотропном случае, находилась по зависимости 4о(方)=M^p/V, где 夕 определяется в эксперименте через прогиб △ по зависимости 夕=8А/Е на рабочей длине балки L = 200 мм при М = 49,05 н • м. Расчетные диаграммы строились как 4о(方)=%方，где приближенные значения % рассчитывались по
Рис. 4
трем возможным состояниям с использованием уравнения равновесия и уравнения момента:
статически возможное поле напряжений, соответствующее предельному распределению о+ = \а~ I = а, постоянно по сечению; так как S+o+ = S~a~, имеем равенство площадей сжатой и растянутой областей; из уравнения моментов найдем напряжение а и далее суммарную мощность рассеяния: % = (В+ + В~)ап/2; соответствующая верхняя штриховая диаграмма отмечена цифрой /;
кинематически возможное поле скоростей деформаций с линейным распределением скоростей по сечению, т. е. пропорционально расстоянию до нейтральной оси, например, 〃 = для прямоугольного стержня. Выражая напряжение из зависимости 〃 = BQ-i и используя уравнение моментов, найдем распределение a(z) в растянутой и сжатой областях и 叫；расчетная диаграмма отмечена сплошной линией 2;
статически возможное поле напряжений с предположением, что средние мощности рассеяния в сжатой и растянутой областях одпнаковн: % = W^ = W^ , а напряжения распределены по предельному состоянию, т. е. в каждой точке растянутой области напряжение о+ (соответственно для сжатой а-), значения которых определяются из уравнений равновесия с учетом отсутствия растягивающей сплн: S+o+ = S~a~, и уравнения момента; расчетная штриховая диаграмма отмечена цифрой 3.
Таким образом, и для материала с разными свойствами ползучести при растяжении и сжатии верхние и нижние оценки дают удовлетворительное экспериментальное подтверждение. Следует отметить, что в этих случаях проявляется еще одна возможность оценки величин процессов ползучести из предположения, что, несмотря на анизотропию и различие в свойствах на растяжение и сжатие, материал поведет себя так, что мощность рассеяния будут стремиться к выравниванию. Этот подход и физически, с точки зрения термодинамики, более реалистичен. Диаграмма 3 лучше всех аппроксимирует эксперимент.
Представляет интерес обобщить представленные выше верхние и нижние оценки применительно к композитным конструкциям. Геометрическая интерпретация получения верхних и нижних оценок, вообще говоря, неочевидна, но прямой численный эксперимент показывает, что и для таких элементов конструкций приведенные выше оценки имеют место.
Рассмотрим колонну, состоящую из N стержней одинакового сечения S (арматура), скрепленных связующим, прочностными свойствами которого пренебрежем. Колонна нагружена растягивающим усилием Р при температуре Т. Прочностные свойства стержней различные, т. е. W^ = В^ап. Оценим интенсивность процесса ползучести колонны в смысле величины средней мощности рассеяния: % =
N
=而 £ Wk，Рассмотрим, как и в предыдущем пункте, три ситуации:
Статически возможное напряженное состояние —。卜 во всех стержнях одинаково и равно Ок = P/(S • N). Получим среднюю мощность рассеяния колонны в целом
k = lk = lk=l
Кинематически возможное деформированное состояние 〃卜 во всех стержнях одинаково. В этом случае, учитывая, что 〃 = В^а^-1, а следовательно,。卜=
=，но £ Ok = £ Pk/S = P/S, получим k=lk = l
=夕("产"/ (NS»
Состояние, когда мощность рассеяния Wq =叫卜=В^а^ во всех стерж- nn z \ 1 /п, п
нях одинаковая. В этом случае P/S = £ % = £工宙QT/72
k = lk=l 乃k=l
-n-i —n
и, окончательно: Wqw = Pn • 工(Bk『/n 〔ST -k= 1-
Легко видеть, что при В^ 一 Bq получим Wq = В()ап для всех трех состояний. Приведем численный пример: N = 5, S = 10 мм2, Р = 3000 Н. Характеристики ползучести материала 石卜=к • 10-15 (к = 1,..., 5)[МПа1-п/ч],八=7,2. Числовые значения средней мощности рассеяния Wqs = 0,19; Wo kin = 0.161; Wqw = =0,162[МДж/(м3 • ч)], в соответствии с ними получили полосу верхних и нижних значений 4о(方)=%方，как и в случае изгиба балок.
ные характера высокотемпературного деформирования некоторых типовых элементов конструкций из изотропных материалов могут быть использованы при оценках процессов ползучести и для случаев неизотропных сред и типовых элементов конструкций более сложных форм.
Список литературы
Соснин О. В., Любашевская И. В. Приближенные оценки высокотемпературной ползучести элементов конструкций 〃 ПМТФ. 2001. Т. 42. № 6. С. 124-135.
Соснин О. В., Любашевская И. В. О приближенных оценках высокотемпературной ползучести и длительной прочности элементов конструкций 〃 Пробл. мех. неупр. деформаций: Сб. статей. М.: Физматлит, 2001. С. 314-323.
Соснин О. В., Любашевская И. В. Методы идеальной пластичности в оценке высокотемпературной ползучести 〃 Пробл. мех. деформир. тел и горных пород. Сб. статей. М.: Изд-во Моск. гос. горн, ун-та, 2001. С. 299-312.
Соснин О. А, Горев В. В., Никитенко А. Ф. К обоснованию энергетического варианта теории ползучести. Сообщение 1,2 〃 Пробл. прочности. 1976. №11. С. 3-13.
Соснин О. В. Об анизотропной ползучести материалов 〃 ПМТФ. 1965. № 6. С. 99-104.
Соснин О. В. О ползучести материалов с разными характеристиками на растяжение и сжатие 〃 Журнал прикл. мех. и техн, физики. 1970. № 5. С. 136-139.
Горев Б. В. К обоснованию метода изгибных характеристик для расчетов на ползучесть изгиба элементов конструкций 〃 Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2001. Вып. 119. С. 36-42.
ЛОКАЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХВЫРАБОТОК НЕКРУГОВОЙ ФОРМЫ
В УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ МАССИВАХ
А.Н. Спорыхин, Д. В. Гоцев, И. А. Ененко
Воронежский государственный университет
Используя точные трехмерные уравнения устойчивости исследована локальная потеря устойчивости горизонтальной горной выработки, имеющей в поперечном сечении некруговую (эллиптическую или многоугольную) форму при упруговязкопластическом поведении массива горных пород. Дана оценка влияния на величину критического давления параметров горного массива.
Известно, что решение задач горной механики, относящихся к процессам проведения подземных выработок, бурения нефтяных и газовых скважин, сводится к постановке и решению задач локальной неустойчивости массива в окрестности выработок при неупругих деформациях [1-7]. Это обусловлено тем, что вокруг выработок и скважин напряжения уже на небольших глубинах превосходят предел прочности горной породы, в результате она переходит в состояние неупругого деформирования раньше, чем происходит локальная потеря ее устойчивости. Первый этап решения этой задачи заключается в нахождении напряженно-деформированного состояния бесконечного пространства, загруженного собственным весом с бесконечной цилиндрической выработкой, имеющей в поперечном сечении форму эллипса или правильного многоугольника, второй — в решении самой линеаризированной задачи устойчивости, т. е. в определении критической величины давления, равномерно распределенного по контуру выработки. В отличие от [4], в настоящей статье на основе точных трехмерных уравнений [3] исследуется локальная неустойчивость пород приствольной зоны горизонтальной горной выработки с учетом некруговой формы ее поперечного сечения.
Рассмотрим локальную неустойчивость горизонтальной выработки с эллиптической или правильной многоугольной формой поперечного сечения в упруговязкопластическом массиве. Примем, что свойства пород приствольной зоны моделируются соотношениями упруговязкопластического тела [4] с трансляционным упрочнением [8, 9]. Функция нагружения в этом случае имеет вид
F = (S? — с©)。一〃(吟。)(学一с©)。一 〃(弓・)。)-2k2,(1)
а соотношения ассоциированного закона течения:
认%7浩.(2)
Здесь с и ту — коэффициенты упрочнения и вязкости соответственно; к — предел текучести; S； = о, — об? — девиатор тензора напряжений; а =碎/3; 8? — символ Кронекера; £? — компоненты тензора деформаций; е? — компоненты тензора скоростей деформаций; dX — скалярный положительный множитель.
Здесь и далее верхние индексы «р» или «е» обозначают величины, относящиеся к пластической или упругой областям соответственно.
Заменим горный массив с выработкой, как это обычно делается, невесомой бесконечной пластиной с отверстием радиуса Аз — в случае эллиптической и Rb — в случае правильной многоугольной (В-угольной) формы поперечного сечения, по контуру которого действует равномерно распределенная нагрузка Qo- Величина «о такова, что образовавшаяся пластическая область полностью охватывает контур выработки. На бесконечности напряжения в пластине стремятся к величине gh (g — объемный вес породы, Д — глубина заложения выработки), т. е. начальное напряженное состояние в массиве (до проведения выработки) принимается гидростатическим.
При определении компонент основного напряженно-деформированного состояния все функции представляются в виде рядов
n=0
1 + 8d'cos2J --方2力2(1 - cos4夕 + ...)),1 + 8d'cos2J --方2力2(1 - cos4夕 + ...)),по степеням малого параметра 8, характеризующего отклонение от исходного невозмущенного состояния, т. е. отклонение окружности радиуса Rq от контура эллипса или контура правильного многоугольника. Уравнения контуров эллипса и правильного многоугольника следуя [8] примем в виде
1 + 8d'cos2J --方2力2(1 - cos4夕 + ...)),
1 + 8d'cos2J --方2力2(1 - cos4夕 + ...)),
修=£ 脚R，)= Rq
n=0
Ав =玄 5nRB} = RQ(l+5cosBe-^62df\l — cos2M6>+ ...)) (0 9 W 2тг). n=0
Нулевое приближение соответствует осесимметричному состоянию плоскости с круговым отверстием радиуса Rq и имеет в полярных координатах (г,夕)，согласно [10] следующий вид:
—в пластической области (А。< г < 1)
+ e+ e_4x4」。+ 246一"_4x4」。+ 246一"+ 3)+( Л(Е^)1+ 3)+( Л(Е^)1(3)(3)
+ e
+ e
_4x4」。+ 246一"
_4x4」。+ 246一"
+ 3)+( Л(Е^)1
+ 3)+( Л(Е^)1
(3)
(3)
24 +0.〃，24 +0.〃，⑷⑷
24 +0.
〃，
24 +0.
〃，
⑷
⑷
где 从—модуль сдвига, х = sign (如一9九)，& =
—в упругой области (1 < г < оо)
стр) = -gh - g, 戒=-gh + гт
Уравнение для определения радиуса)(°)упругопластической границы в массиве имеет вид
ко -涸(2〃 + с) - 2〃 + 4〃1пАо(1 -「* - 2^ :十。=0.(5)
Rq
Первое приближение для эллиптической формы отверстия согласно [10] запишем в виде соотношений:
—в пластической области (А。< ^ < 1)
Г 2用仇
W =号(小* 2 一 2 嗑)+ ? sin("lcos 2仇
丁丿〉=cos ф\ cos 2仇
芻；* [望E sin泪
舒⑴一舞一{羽 cos" + 2c2 cos" + 鹏Y) +
+ 4(2从6^ + c) inr sjnф^ }sin2夕£屮1)=
(6)
где
Cl = 6M^°： с) [з〃( 1 -2а)cos 必—v^ (〃( 1 + 3厂2a)+ 2c) sin 弘],
02 = 一 6M^； e) [^ (〃(1 — 5厂20)- 2c) COS 必 + (从(3 + 5厂2a)+ 4c) sin %],
^0 = V3 In Rq, 0} = V3 In “ = V3 Inr, "0=3^0 = V3 In Rq, 0} = V3 In “ = V3 Inr, "0=34回(1 -四
^0 = V3 In Rq, 0} = V3 In “ = V3 Inr, "0=3
^0 = V3 In Rq, 0} = V3 In “ = V3 Inr, "0=3
-1 + 2 In Ro),
—в упругой области (1 < г < оо)
4)= ^^ + 卜 AR()d[sin® + ^)g - ^) + 2cos必(J — ^)]} cos 26», oJ = — ^^ + {4ARod[j sin (弘 + Q —三 cos ф^ } cos 2仇 ⑺
*)= {-4Ai?0^[sin(^+- }) +2cos%G -制卜山2仇
Уравнение для определения радиуса упругопластической границы )(D в этом случае имеет вид
77,(1)=(2从 + с)?тиао,(1)=(2从 + с)?тиао44(]—6—2a44(]—6—2a++(24 + c)(24 + c))2/i(l -)2/i(l -—2a e—2a eу 2ARQdf cos 0% cos 2仇у 2ARQdf cos 0% cos 2仇(8)(8)
7
7
,(1)=(2从 + с)?тиао
,(1)=(2从 + с)?тиао
44(]—6—2a
44(]—6—2a
+
+
(24 + c)
(24 + c)
)2/i(l -
)2/i(l -
—2a e
—2a e
у 2ARQdf cos 0% cos 2仇
у 2ARQdf cos 0% cos 2仇
(8)
(8)
Первое приближение в случае правильной многоугольной (В-угольной) формы отверстия согласно [10] запишем в виде соотношений:
—в пластической области (兄。V 广 V 1)
N)=号N)=号g - 21n 今) + 24,& (\/炉 —]sin 0i - cos 0i) cos BO,
N)=号
N)=号
号(专 + g — 2 — 21n^~) + 24"(，炉 _ ] sin01 - COS01) cosM仇
2mi АЯо^2mi АЯо^ггcos ф\ sin Вб,cos ф\ sin Вб,
2mi АЯо^
2mi АЯо^
г
г
cos ф\ sin Вб,
cos ф\ sin Вб,
2"。^ 1 ) - ； ｛石，石2 - 1 亿1 sin Ф — C2 cos 0)-
总М [((1+赞)3如一而"sin如)出力 +
+ 石：e? ±£l(sin0i +，石2 _ 1 ln『COS0i)] ｝ sin 石仇
⑼
где
Cl =Cl =AR^d'AR^d'BM(2M + c)(B2- 1)BM(2M + c)(B2- 1)｛从(1 - ё-0力)(月2 - 1) COS 仇 +｛从(1 - ё-0力)(月2 - 1) COS 仇 +
Cl =
Cl =
AR^d'
AR^d'
BM(2M + c)(B2- 1)
BM(2M + c)(B2- 1)
｛从(1 - ё-0力)(月2 - 1) COS 仇 +
｛从(1 - ё-0力)(月2 - 1) COS 仇 +
+，炉-1 [从(7П2 - 1)(1 -「a力)-g(2〃 + C)] Sin。｝,
С2 =С2 =AR^d'AR^d'石4(24+0(62_1)石4(24+0(62_1)｛，回一1 [从(1 — e-* 宙2 + 1)一m(24 + c)] COS0O +｛，回一1 [从(1 — e-* 宙2 + 1)一m(24 + c)] COS0O +
С2 =
С2 =
AR^d'
AR^d'
石4(24+0(62_1)
石4(24+0(62_1)
｛，回一1 [从(1 — e-* 宙2 + 1)一m(24 + c)] COS0O +
｛，回一1 [从(1 — e-* 宙2 + 1)一m(24 + c)] COS0O +
+ 宙2(2〃е~Q力 + с) + (1 —「* (石2 - 1 加 sin фо｝,
4=+>(「「*+吐沪
加1 = 2；； с (] — £—a力)+ 2g—a力
ф =，炉-1 1口广， ф\ =，炉一1 ln仇=，炉-1 InRo,
аом^нТ+ат 兄。)；
—в упругой области (1 < г < оо)
- 4)]—singe,
M = ^AR^d1 (，加2 - 1 sin фа + cos 仇).
(Ю)
Уравнение для определения радиуса упругопластической границы)(D в данном случае имеет вид
⑴=—(2“ + с)*о (2“ + с) вARud' cos 仇 cos 石仇(11)
В (3)-(11) все величины, имеющие размерность напряжений, отнесены к пределу текучести к при чистом сдвиге, а имеющие размерность длины — к радиусу 7(°)упругопластической границы в нулевом приближении.
Для определения нулевого и первого приближений этой задачи использовались уравнения равновесия, условие пластичности (1), соотношения ассоциированного закона пластического течения (2), соотношения, связывающие полные упругие и пластические деформации, общие уравнения теории упругости, граничные условия, а также условия сопряжения решений в упругой и пластической областях.
Исследование устойчивости основных состояний горизонтальной выработки: (3)-(8) — поперечное сечение имеет форму эллипса и (3)-(5), (9)-(11) в случае выработки, имеющей в поперечном сечении правильный многоугольник, при принятии обобщенной концепции продолжающегося нагружения [3] сводится к решению системы дифференциальных уравнений в вариациях при соответствующих граничных условиях [4].
Уравнения равновесия для областей пластического Ур и упругого Vе деформирования массива имеют вид
▽分⑷ + 峭出)-ps%j =0, s = is(12)
Здесь и далее V — символ ковариантного дифференцирования, кружок вверху соответствует компонентам основного невозмущенного состояния (3)-(11).
Граничные условия на внутренней поверхности выработки и условия затухания возмущений на бесконечности в массиве запишем в виде
2(。； + 噌可出)=。，оо - 0.(13)
Условия непрерывности напряжений и перемещений на упругопластической границе 7 имеют вид
[N^}^^u^]=^ Ы=0.(14)
областях представима в форме
0切=£11國 +£22吟 +£3з*■+2〃£з+£12吟 +2仇力(15)
где коэффициенты。务 в пластической области имеют вид
I а%(—2力1 + 戸/22),I。力(力 1 — 2戸/22),
(16)
*=；a九(力1 + /力2), * = -2。用力2,
04 2
力?• = S^ —а = —7, s = iu, и = a -\- i3, р — множитель Лагранжа,
丿 ’丿 ’丿 (24+ e +
а в упругой области они имеют вид (16), где а = 0. В случае однородного докритического состояния эти соотношения совпадают с полученными в [4].
Соотношения (15)-(16) описывают напряженно деформированное состояние массива горных пород в пластической и упругой областях.
Уравнения (12)-(16) с учетом условия несжимаемости в области Vp массива представляют собой взаимосвязанную замкнутую систему уравнений для исследования устойчивости основного состояния (3)-(8) горизонтальной выработки с эллиптическим поперечным сечением, либо для исследования устойчивости основного состояния (3)-(5), (9)-(11) выработки с многоугольным поперечным сечением, когда имеется граница раздела областей упругого и пластического поведения материала при нагружении в массиве горных пород. Система уравнений (12), (15), (16) — система дифференциальных уравнений в частных производных относительно амплитудных значений векторов перемещений u, v, w и гидростатического давления р, соответствующих пластической и упругой зонам массива. Нетривиальное решение этой задачи соответствует потери устойчивости основного состояния. Для нахождения собственных значений задачи перемещения и гидростатические давления в зонах упругого и пластического деформирования горного массива аппроксимируем двойными тригонометрическими рядами
ОС ОСОС ОС
“ =£ £ Anm(r) cos (тб) cos (八2), 。= £ £ Bnm(r) sin (m^) cos (八2), n mn m
(⑺ сю сюсю сю
^ = £ £ Cnm(r) cos (加夕)sin (八2),夕=£ £ Dnm(r) COS (加夕)COS (八2). n m71m
Здесь n, m — параметры волнообразования.
Подставляя функции и, v, w, р в линеаризированные уравнения устойчивости (12) и учитывая (15), (16), а также условие несжимаемости, после ряда преобразований получим бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно Апт и Впт\
&4『)+ &▲(『)+ ^АУг) + &&〃(『)+ ^IV\r) + &硏广)+ &R(『)+ &石〃(广)+
+&R〃m = o,
§104(广)+ £114‘(广)+ f124"(广)+ f134(广)+ w14 б(厂)+ w15в(丁)+ f16 б "(L)=0，
(18)
где
§1 = {a2,T+ ; 5106 一a6）一 ^ （1 + m2） + 广0g2 -m2a］2 - "2从广 +
+ ；卜网2 - I （或,6 - 3* - 5或,『+ r%r + 或,2））］}cosm^ +
+ {a4 一a126 + 广a40一a8 —点# +
+ ; ［аи - ©0 -恋6 + 力（^^ 一 I Tre,r _ 4 aO + TrO,r0 + ;恋处）］jmsinm6>, & = {a1 +a2 - 2a3 —a5 +a7 + L（a1,T一a3,T）+
+仰,6 -旬16 一疗+广0力+或6 + /2 ［勺（3 +m2） +号0^ 一子67踪+
+ ;卜网2 +广成"- I或,6 + |^ +或,2 - 5成，］} cosб0+
+［2T：г_ _L 感g + 丁二仇2 + ；或处）］jmsinm^,
& = {广（旬_a3 + 寸）+ （广_1）从 一摄卜网2 - / （加2 + 3）一} ег^ + a^ r -
—В 或 + TrO,r0 + +wr,rr］ } cosm9 + {；。^，处 + 3或,J/ sinm9,
& =—二{2ra^ г + 2〃 + 丁% °} cos 加夕 + 丝 r^ sin
& =cos
§6 = {a20一a12 + - ［a106 — о6 一 2（7^ -a116 +a7 —广仰7 一 （/（5 + 3m2） +
+ ^- 0^ 一 子 a0,r + 0G2 - I a^r - " 丁*6 + / 0% _ ar,rr _ ； 丁二仇2）］^m cosmO +
+ I TrO,r + 4 aO — TrO,rO —；或处）］卜him仇
& = {a2 + La12 一a3 —；卜网2 + ^ （3 - m2） - ^a^ + 丁或"-I 或,e + + ^ （7% — 5cr;r + 丁即仇2］}mcosme + ^r^aI2,0 一a4 +a8 一广a47 一 | 7%）
тт—3丁%7 — ^o）}sinm^,—3丁%7 — ^o）}sinm^,
т
т
—3丁%7 — ^o）}sinm^,
—3丁%7 — ^o）}sinm^,
rn ''I rnJ
<9 = -^+^）cosM
Сю =m{a8,6 - 2a12 - ^12,r + - ［a7 -a6 - 2（7^ +2 卜网2 + ^ （1 -川）
-丁- 3。%））］ } cossin+
+ {: ［（°1° —a11 乂2 一 ；） + ^10,r +а6,6 + гтг0,г + аО —a110—"7,6 +
+ rm2a^ }cos2 mO + （少{； （2或—丸）—或,J sir?加仇
§11 =m{a7 — 012 —a5 + ； ［м（I一广）+ 提卜0j 一 ^ （I + m2）一 * 0^ +
+ ar,r + ~（TrO,0 — 3o%））］ } cos mO sin mO +
тгптгп+ {2以 + 2a9 +。9了 + ； °10,『+。5£ — °ii,r —。7£ — ^ii（2 + ；） } cos2 mO —
т
гп
т
гп
7 （2т% + 或6）+ т% ^ sin2 тО,
£12 =（2〃 + го? r + г% Л cos mO sin mO + {的—ап} cos2 mO — ^^ т^ sin2 тб,
&3 = 号{从 +。%} cos mO sin mO,
§14 = {a8,6 _ 2a12 一 ^12,r + 广0 j （1 + （*） ） — "2从广一:0^ + 乎［"7 —a6 _ 0^ +
+ 占（%\-*-三瑰-^,r -；（或,e - 3成川 Jcosm^sinm^ +
+ } {（a10 —旬1（2 - ；） + aю了+ 广或了 + 恋6 +a6,6 — au,r _
-a7,6 + 广佻} cos2 mо - /Ц" {2或-恋6 -丁或,J sin2 mO,
£15 = {广(2°12 + °12,т —。8£ + ^,r + - {ТГ0,0 — °2)) +
+ (m)(或£ + ra^r — 3或—〃)} cos加夕sinтО +
+ 加[丄(аю - ан)-广。8 + 2т“е] cos2 тО - Tre sin?加仇
(19)(19)a6 =号L(a12 + 或)+ 告)cos mO sin mо.n IrnJ
(19)
(19)
При этом в горном массиве в случае эллиптической выработки в пластической области Ур докритическое состояние определяется по формулам (3), (6), а в упругой области Vе — по формулам (4), (7) соответственно. В случае многоугольной выработки в пластической области Ур докритическое состояние определяется по формулам (3), (9), а в упругой области Vе — по формулам (4), (10) соответственно. Для упрощения записи здесь в (18) и далее индексы n, m у величин А, В опущены.
Граничные условия (13) на внутреннем контуре выработки в случае эллиптического поперечного сечения, при
广=兄0(1 + 8d‘cos26> - I £d'2(i — cos46> + ...)) (0 < ^ < 2тг)
и в случае выработки, имеющей многоугольное поперечное сечение, при
广=兄0 (1 + 8 cos 石夕一I £d'2 (I -cos2B^+ ...)) (0<^< 27Г)
с учетом (15), (16) представимы в виде
(20)(20)4 夕 1 + 4’夕 2 + А"屮 з +夕 4 + В 屮5 + В'屮 & + В"屮 7 = 0,
(20)
(20)
408 +在‘09 +б010 +石‘011 = °,
4012 +在‘013 + 4"014 +月015 +月‘016 = °,
где
夕 1 = 一; {仰 _ 3 _ 从 +夕 1 = 一; {仰 _ 3 _ 从 ++ %( 1 —俏一乎 ^ + I ©成一Tr0,0 —
夕 1 = 一; {仰 _ 3 _ 从 +
夕 1 = 一; {仰 _ 3 _ 从 +
—『о%。)] } cos тО + т—『о%。)] } cos тО + т一:鳩（1 +告）+*卜£Г+ ；理，卜in™9.
—『о%。)] } cos тО + т
—『о%。)] } cos тО + т
02 = ｛旬一仰 + 寸一；［（］一广）从 + g 卜0G2 -,（m2 + ］ + "2丁2）_千 ^ +
夕4 =-(从 +：「) cosmO,n夕4 =-(从 +：「) cosmO,n+ ; ^,r - 3或+或,6川｝ cosm^ + 奈 ｛;理处+或7 + ；或卜由加仇
夕4 =-(从 +：「) cosmO,n
夕4 =-(从 +：「) cosmO,n
rnrn夕з =—工{『о：г + 2〃 + т%,е} cos тв + 竺 т% sin тб,
rn
rn
rn
m夕 5 =m夕 5 =—“2 — 〃 Но 卜0G2 + — (1 — тп2)—rn L厂
m
夕 5 =
m
夕 5 =
一乎 b^ + ；(3或-或6 -L0[，]} cos mO +
06 =万^ {从+ 3或06 =万^ {从+ 3或夕7 =—夕7 =—T n m(/i + ст%)T n m(/i + ст%)-rc^ r - r% e} cosmO +《2(^)或-广。"sin mO,-rc^ r - r% e} cosmO +《2(^)或-广。"sin mO,ТПТПcos mO, 夕8 = ； {。10 —旬 1 + Tr0,o} cos mO — mai2 sin mO,cos mO, 夕8 = ； {。10 —旬 1 + Tr0,o} cos mO — mai2 sin mO,+ {"4 一 ； 7* + ^)什仇Г + ； ^0 — I 7*) } sinm(9,
06 =万^ {从+ 3或
06 =万^ {从+ 3或
夕7 =—
夕7 =—
T n m(/i + ст%)
T n m(/i + ст%)
-rc^ r - r% e} cosmO +《2(^)或-广。"sin mO,
-rc^ r - r% e} cosmO +《2(^)或-广。"sin mO,
ТП
ТП
cos mO, 夕8 = ； {。10 —旬 1 + Tr0,o} cos mO — mai2 sin mO,
cos mO, 夕8 = ； {。10 —旬 1 + Tr0,o} cos mO — mai2 sin mO,
09 = {a9 _旬1} COS77Z仇 夕io = ; {a10 一 ^11 + 不仇g} COS mO -旬2 sin 加仇
夕11 = {广。12 +sinm^, 夕 12 = {八〃— 从 + ；「} cosmO Tr0 sinm仇
nrnr
="+ "「cos тд - 2ZL 丁? sin mO, 夕 14 ="十"「cos mO,nrnrnr
夕 15 =2 cosmd2 TrO sin mt/, 夕 16 = ——— cos mu.
nrnrnr
(21)
Условия непрерывности напряжений (14) на упругопластической границе 7 = =т⑼ + 87(1)(0 < 夕 < 2тг) с учетом (16), (17) принимают вид
40g + 4/0Q + 4"0夕^ - Л,,ё^ + 4〃少夕彳-4〃少夕彳 +
+石K5 + R0G +R少⑴-g〃ё肪=0,
4K8 + 3k9 + б0g0 + RK11 = 0,
4K12 + AK13 + AffP^ - 4〃e若4 + 石«15 + RK16 = 0,
(22)
где Q = ^ - ^1 (г = 1,2,3,16).
При этом в случае эллиптического контура выработки положение упругопластической границы в массиве определяется соотношениями (5), (8), а для выработки, имеющей многоугольное поперечное сечение, — соотношениями (5), (11).
Из условия локальности возмущений Uj — 0 при 广—00 (J = 1,2, 3) следует
(4)е = 0, (4〃厂=0, (В)е = 0,(石〃厂=0.(23)
Найти точное аналитическое решение краевой задачи (18)-(23) не представляется возможным. Будем искать приближенное решение методом конечных разностей [11]. В результате получаем бесконечную систему однородных алгебраических уравнений, линейных относительно параметров Апт, Впт. Отсюда следует, что определение величины критической нагрузки «о, соответствующей локальной потере устойчивости горного массива около горизонтальной выработки с эллиптическим или многоугольным поперечным сечением, сводится к разрешимости
матричного уравнения. При вычислении определителя наряду с нахождением основного напряженно-деформированного состояния для каждой области 『°, Vе массива содержащего: в одном случае эллиптическую выработку — (3), (4), (6), (7), в другом многоугольную — (3), (4), (9), (10), необходимо учитывать уравнения (5), (8), (11), определяющие положения упругопластических границ 7 в горном массиве в первом и втором случаях сооответственно. Минимизация должна производиться по шагу разностной сетки, параметрам волнообразования по контуру т и образующей 八，параметрам материала и конструкции Aj. Таким образом, получаем задачу многомерной оптимизации величины «о в зависимости от т,八 при условии равенства нулю определителя полученной алгебраической спстемн:
det(Qo,加，八，%) = 0.
Вычисления проводились для случаев, когда горный массив содержал выработку, имеющую в поперечном сечении форму: 1) эллипса и 2) квадрата (В = =4) со сглаженными углами. На рис. 1, 2 представлена зависимость критического давления на контуре выработки от величины гидростатического давления gh для случая: 1) на рис. 3, для случая 2) на рис. 4. При этом было принято: Rq = 0,4, 6 = 0.06,从=1, параметры волнообразования n = m = 4. На рис. 1 кривая / соответствует с = 0,9; кривая 2 — с = 0,5; кривая 3 — с = 0,1; кривая 4 — с = 0,01. При этом 〃 = 0,001. На рис. 2 кривая 7 соответствуют 〃 = 0,5; кривая 2 — 〃 = 0,1; кривая 3 — 〃 = 0,01; кривая 4 — 〃 = 0,001. При этом с = 0,9. На рис. 3 кривая / соответствуют 〃 = 0,001; кривая 2 — 〃 = 0,01; кривая 3 — 〃 = 0,1. При этом с = = 0,1. На рис. 4 верхняя кривая соответствует случаю горной выработки, имеющей в поперечном сечении форму правильного четырехугольника со сглаженными углами, нижняя — выработке, имеющей форму окружности (В = 60). При этом с = 0,9; 〃 = 0,001.
Анализ численного эксперимента показал:
при увеличении глубины заложения выработки величина критического давления на контуре выработки возрастает (рис. 1-4);
с ростом коэффициента упрочнения с, область устойчивости увеличивается —рис. 1;
при увеличении вязкости область устойчивости увеличивается, в этом смысле можно говорить о стабилизирующей роли вязкости в среде — рис. 2, 3;
如ТО， 14
12
10
8
6 -
4
2-
О-•
—из рис. 4 следует, что в случае круговой цилиндрической выработки область устойчивости будет больше, чем в случае выработки, имеющей в поперечном сечении форму квадрата.
Полагая в соотношениях (3)-(11) 8 = 0, приходим к результатам работы [4] для случая круговой цилиндрической выработки.
Список литературы
Ершов Л. В. О проявлении горного давления в горизонтальных выработках 〃 ДАН СССР. 1962. Т. 145, № 2. С. 298-300.
Алимжанов М. Т. Проблемы устойчивости равновесия в задачах геомеханики 〃 Успехи механики. 1990. Т. 13, вып. 3. С. 21-57.
Гузь А.Н. Основы теории устойчивости горных выработок. Киев. Наукова думка, 1977. 202 с.
Спорыхин А.Н. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред 〃 Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1997. 359 с.
Спорыхин А.Н., Гоцев Д. В. Локальная неустойчивость горизонтальных выработок с многослойной крепью в упруго-пластических массивах 〃 МТТ. 2002. № 1. С.158-166.
Спорыхин А.Н., Шашкин А. И. Устойчивость равновесия пространственных тел и задачи механики горных попрод. М.: Физматлит, 2004. 231 с.
Шемякин Е. И. Очерки геомеханики (горное давление и основа механики горных пород) 〃 Научн. сообщ. И ГД им. А. А. Скочинского, В. 313/99. С. 7-38.
Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 320 с.
Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001. 701 с.
Спорыхин А.Н., Ковалев А. В., Щеглова Ю.Д. Неодномерные задачи упроговязкопла- стичности с неизвестной границей 〃 Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2004. 219 с.
Корнишин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. 230 с.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТКАЗОВ КРЕПЕЙ ГОРНЫХВЫРАБОТОК
А.Н. Спорыхин, А. И. Шашкин
Воронежский государственный университет
В работе рассматриваются задачи определения оптимальных толщин монолитных и многослойных крепей горных выработок с позиций трехмерной линеаризированной теории устойчивости упругопластических конструкций.
В механике горных пород одним из основных объектов исследования являются горные выработки. Локальная потеря устойчивости сильно напряженных частей массива возле выработки может быть начальным этапом процесса разрушения, особенно при пластических деформациях. Исследования устойчивости состояния равновесия горного массива возле выработок развиваются на протяжении последних 40-45 лет. Первой работой в этом направлении была опубликованная в 1962 г. статья Л. В. Ершова [9]. В настоящее время теория неупругой устойчивости [7, 8] является самостоятельным разделом механики, создавшим свои методы и подходы и имеющим приложения практически во всех отраслях промышленности и строительства.
К основным задачам теории устойчивости горных выработок можно отнести задачи об устойчивости вертикальных горных выработок (устойчивость шахтных стволов), об устойчивости горизонтальных горных выработок, об устойчивости подземных полостей, об устойчивости ленточных, цилиндрических и других целиков, об устойчивости крепей горных выработок.
В каждом из указанных классов задачи различаются как по принятой модели для описания свойств горных пород (упругое, упругопластическое, вязкоупругое и т. д.), так и по форме поперечного сечения выработки, по виду граничных условий на поверхности выработки (по принятой модели крепи) и по ряду других специфических особенностей.
Что касается вопросов о крепях, то здесь главной задачей является определение минимальной (оптимальной) толщины крепи, обеспечивающей устойчивость подземных выработок. Крепь может быть монолитной (однослойной) и разномодульной (многослойной). Использование многослойных крепей позволяет учитывать требования экономического характера по расходу материала, с одной стороны, и обеспечивать более надежную эксплуатацию — с другой. Проанализируем известные решения этой проблемы, основанные на использовании теории устойчивости деформируемых тел. Почти во всех выполненных до настоящего времени исследованиях [1, 2, 16 и др.] использовался приближенный подход Л. С. Лейбензона-А. Ю. Ишлинского, а сами постановки задач являлись сугубо приближенными. Так, в работе [1] отмечается, что «вопрос об исходных данных для расчета легких и экономичных подкрепляющих конструкций в подземных выработках нельзя считать решенным, поскольку в расчетных формулах не учтены те факторы, от которых в основном и зависят эти данные». Так, давление на внешнюю поверхность крепи (давление горных пород) в большинстве работ никак не определяется, т. е. считается независящим от физико-механических свойств
горного массива и глубины. Именно с таких позиций в работах [1, 2] определяются оптимальные толщины сферических крепей из несжимаемого идеально пластического материала. Обнаружено, что потеря устойчивости может произойти до того, как крепь исчерпает свою несущую способность, т. е. полностью перейдет в пластическое состояние. Проведенные исследования показывают [12, 18 и др.], что нагрузка на крепь в первую очередь определяется перемещениями горной породы и образованием зоны неупругого деформирования. Учесть эти факторы можно путем совместного расчета крепи с массивом горных пород. Далее при фиксированной нагрузке (давление горных пород) на внешнюю поверхность крепи определяется такой внутренний радиус (минимальный), при котором крепь теряет устойчивость. Оптимальная толщина находится по этому критическому внутреннему радиусу крепи.
В работе [16] впервые расчет крепи проводился совместно с расчетом проявления горного давления. В работах [3-5] с таких же позиций изучалась устойчивость многослойных крепей.
Уравнения, определяющие процесс деформирования упругопластических сред. Напряженное докритическое состояние будем определять в рамках геометрически линейной теории [14].
Связь между напряжениями и деформациями в упругой зоне устанавливается законом Гука. В зоне пластического деформирования горного массива и крепи воспользуемся моделью несжимаемой упругопластической среды с трансляционным упрочнением с поверхностью нагружения [11]
где с, к — параметры среды, sj — компоненты девиатора тензора напряжений, е^ — компоненты симметричного тензора деформаций. Здесь и далее индексы «р» и «е» вверху обозначают принадлежность величин к пластической или упругой области соответственно. Параметры среды для массива горных пород и крепи различны.
Постановка задач об устойчивости деформирования упругопластических сред. В рамках обобщенной концепции продолжающегося нагружения, сформулированной А. Н. Гузем [6], приходим к задачам устойчивости для тел с кусочно-однородными свойствами с известным положением границы раздела пластических и упругих зон, определяемой из решения задачи о докритическом состоянии. Таким образом, применение обобщенной концепции продолжающегося нагружения в трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформированных тел для упругопластических тел открывает обозримые возможности исследования достаточно широкого класса задач.
Рассмотрим класс сферических и цилиндрических задач горной механики, для которых докритическое состояние зависит от одной переменной. Для таких задач линеаризированные уравнения устойчивости, граничные условия, условия непрерывности напряжений и перемещений на упругопластической границе, условие несжимаемости и уравнения состояния представимы соотношениями, приведенными в работе [14].
Определение поля напряжений в горном массиве, содержащем сферическую выработку, подкрепленную многослойной крепью. Моделируем горный массив с выработкой, подкрепленный многослойной (TV-слойной) крепью, невесомой бесконечной пластиной с круговым отверстием радиуса Rn, в которое с некоторым натягом помещена система из N колец (слои крепи), последовательно
запрессованных одно в другое. К внутреннему контуру первого кольца радиуса Rq приложена равномерно распределенная нагрузка qo- На линиях сопряжения колец и пластины возникают сжимающие усилия q\,q?,…，qN・ Будем считать, что величины 仇(г = 1,2, ...,N) таковы, что образовавшиеся пластические области полностью охватывают внутренние контуры колец и в них реализуется обобщенное плоское напряженно-деформированное состояние. На бесконечности напряжения в пластине стремятся к величине gh (g — объемный вес породы, Д — глубина заложения выработки).
Рассмотрим вопрос о концентрации напряжений в г-м слое крепи (в г-м кольце). Далее индекс i обозначает принадлежность величины к г-му слою крепи, причем г = 1,2, ...,N. Можно показать, что зарождение пластической области начинается с внутреннего контура кольца.
Из условия несжимаемости, соотношений Коши, ассоциированного закона пластического течения и уравнения равновесия получим в безразмерном виде (величины, имеющие размерность напряжений, отнесены к модулю сдвига горного массива G, а имеющие размерность длины — к внешнему радиусу первого слоя крепи Ri) все соотношения, соответствующие области i-ro слоя крепи [3]:
—в пластической области (R— < г <
_ 2q" / 11、27^禽_ 2q" / 11、27^禽1 Ri-11 Ri-1(3.1)(3.1)一仇一i,一仇一i,
_ 2q" / 11、27^禽
_ 2q" / 11、27^禽
1 Ri-1
1 Ri-1
(3.1)
(3.1)
一仇一i,
一仇一i,
—в упругой области (^ < г < R/
(0 = 2岩(1 + ;)一仇,(0 = 2岩(1 + ;)一仇,(3.2)(3.2)
(0 = 2岩(1 + ;)一仇,
(0 = 2岩(1 + ;)一仇,
(3.2)
(3.2)
3元丿6 •упругопластической границы3元丿6 •упругопластической границыв г-мв г-м…一逅(1+
3元丿6 •
упругопластической границы
3元丿6 •
упругопластической границы
в г-м
в г-м
Уравнения для определения радиуса ⑦分
кольце имеют вид
Q , 1、伍吵^ _ 赤元（3，^总+ Q总）1
2 +。— 一6心q赤М 启
+之乂小 1)) +(lnU +1) + 伊- -仇=°. (з・з)
В соотношениях (3.1)-(3.3) г = 1,2,..., N.
Приведенные решения для многослойной крепи горной выработки позволяют перейти к нахождению напряженно-деформированного (докритического) состояния в горном массиве возле выработки.
Горный массив вне области выработки моделируем невесомой бесконечной пластиной с круговым отверстием радиуса Rn, по периметру которого приложена равномерно распределенная нагрузка q^.
Приведем решения, записанные в безразмерном виде [14]:
—в пластической области (Rn < г < 7)
里г里г0= ~eQ =0= ~eQ =2 + с< г22 + с< г22У2В1 - кг2 г2У2(2 + с)'2у/2к ]2У2В1 - кг2 г2У2(2 + с)'2у/2к ](3.4)(3.4)
里г
里г
0
= ~eQ =
0
= ~eQ =
2 + с< г2
2 + с< г2
2У2В1 - кг2 г2У2(2 + с)'
2у/2к ]
2У2В1 - кг2 г2У2(2 + с)'
2у/2к ]
(3.4)
(3.4)
沁二口 i + ^ +帀（1旷+1）一 ^,
в упругой области (7 < г < оо)в упругой области (7 < г < оо)2В 7 е _ 2В17 D _——2~ — gh, Sq = —2~ — gh, Bi =2В 7 е _ 2В17 D _——2~ — gh, Sq = —2~ — gh, Bi =rrrrЕд14Ед14(3.5)(3.5)
в упругой области (7 < г < оо)
в упругой области (7 < г < оо)
2В 7 е _ 2В17 D _
——2~ — gh, Sq = —2~ — gh, Bi =
2В 7 е _ 2В17 D _
——2~ — gh, Sq = —2~ — gh, Bi =
r
r
r
r
Ед1
4
Ед1
4
(3.5)
(3.5)
Уравнение для определения радиуса упругопластической границы 7 имеет вид
qN + gh- )(4 In * + 2 + с42十\ KnqN + gh- )(4 In * + 2 + с42十\ Kn=0.=0.(3.6)(3.6)
qN + gh- )(4 In * + 2 + с42十\ Kn
qN + gh- )(4 In * + 2 + с42十\ Kn
=0.
=0.
(3.6)
(3.6)
В соотношениях (3.4)-(3.6) величины, имеющие размерность напряжений, отнесены к модулю сдвига горного массива G, а имеющие размерность длины — к внешнему радиусу первого слоя крепи Ri, с, к — коэффициент упрочнения и предел текучести материала соответственно.
Моделирование отказа цилиндрических выработок с многослойной крепью при совместном расчете крепи с массивом горных пород. Рассмотрим задачу о пространственной форме потери устойчивости горизонтальной выработки радиуса Rn, подкрепленной многослойной (TV-слойной) крепью с внутренним радиусом Rq. К внутреннему контуру крепи приложена равномерно распределенная нагрузка qo- Из-за натягов на линиях сопряжения слоев крепи и массива действуют сжимающие усилия qi,«2, •…，Cn, величины которых таковы, что возникающие пластические области целиком охватывают внутренние контуры слоев крепи.
Неоднородное докритическое состояние в г-м (г = 1,2,..., N) слое крепи описывается системой уравнений (3.1), (3.2). Граница раздела ⑦分 упругой и пластической зон определяется из (3.3). Для области массива верны соотношения (3.4), (3.5). Граница раздела 7 вычисляется по формуле (3.6). На этой границе имеют место условия сопряжения [14].
Таким образом, математическая модель локальной потери устойчивости подкрепленной горизонтальной выработки представляется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. Решение этой линеаризированной системы уравнений устойчивости для цилиндрических задач в этом случае выберем в виде
и=ЕЕапm(* COS (加0)COS ("2),^ = £ £ Cnm(r) cos (加夕)sin (八2), n mи=ЕЕапm(* COS (加0)COS ("2),^ = £ £ Cnm(r) cos (加夕)sin (八2), n m- = EEBnm(r) Sin (加夕)COS(TIZ),o = £ £ Dnm(r) cos (m^) cos (nz). n m- = EEBnm(r) Sin (加夕)COS(TIZ),o = £ £ Dnm(r) cos (m^) cos (nz). n m
и=ЕЕапm(* COS (加0)COS ("2),
^ = £ £ Cnm(r) cos (加夕)sin (八2), n m
и=ЕЕапm(* COS (加0)COS ("2),
^ = £ £ Cnm(r) cos (加夕)sin (八2), n m
- = EEBnm(r) Sin (加夕)COS(TIZ),
o = £ £ Dnm(r) cos (m^) cos (nz). n m
- = EEBnm(r) Sin (加夕)COS(TIZ),
o = £ £ Dnm(r) cos (m^) cos (nz). n m
Результаты вычислительного эксперимента приведены для случая, когда горный массив содержит выработку, подкрепленную двухслойной крепью. Материал массива — песчаник, неопасный по выбросам, внешний слой крепи — железобетон, внутренний — бетон.
兄20Q050Q030.0011.1LI兄20Q050Q030.0011.1LI
兄20Q050Q030.001
1.1LI
兄20Q050Q030.001
1.1LI
Рис. 4.1
На рис. 4.1 показана область критических значений контактных давлений %, «2 при различной геометрии выработки и крепи, которым соответствуют значения параметров волнообразования m = п = 4. При этом безразмерное значение гидростатического давления в нетронутом массиве qh = 0.01, геометрические параметры Ао0.0010.005
—-изменялись в интервале ——. 兄21.11.1
Для монолитной цилиндрической крепи с внутренним радиусом Rq, находящейся под действием внутреннего давления q°, радиус упругопластической границы ⑦ определяется из уравнения [17] (крепь и массив частично перешли в пластическое состояние)
中 + ^^(2 + 41(仇?))+亠(2 + 4* ++ (疗中 + ^^(2 + 41(仇?))+亠(2 + 4* ++ (疗оо. о、2+с+)". о、2+с+)"=0,=0,ggЯоRnЯоRn(4.1)(4.1)
中 + ^^(2 + 41(仇?))+亠(2 + 4* +
+ (疗
中 + ^^(2 + 41(仇?))+亠(2 + 4* +
+ (疗
о
о
. о、
2+с+)"
. о、
2+с+)"
=0,
=0,
g
g
ЯоRn
ЯоRn
(4.1)
(4.1)
Здесь знаком «+» отмечены величины, относящиеся к крепи, знаком « —» — к массиву, Е — модуль Юнга. Величины, имеющие размерность напряжения, отнесены к 〃+ (〃 一 параметр Ламе), а имеющие размерность длины — к радиусу выработки Rn・
На внешнюю поверхность цилиндрической крепи действует давление
—^р(2 + 41п(М9Т)+с+0—2(д2)+炉(川2 _如.(4.2)
2 +丿
Теперь рассмотрим задачу о моделировании отказа вертикальной выработки с многослойной (TV-слойной) крепью при совместном расчете крепи с массивом горных пород в предположении, что слои работают совместно без проскальзывания и отставания. В этом случае начальное (докритическое) состояние в г-м слое крепи описывается уравнениями (3.1) и (3.2). Граница раздела ⑦分 упругой и пластической областей определяется из (3.3). Основное напряженно-деформированное состояние в массиве определяется соотношениями (3.4) и (3.5). Граница раздела 7 вычисляется из (3.6).
Будем рассматривать осесимметричную форму потери устойчивости, тогда и = =и(г, ^), о = 0, w = w(r, z). Решение линеаризированной системы уравнений устойчивости для цилиндрических задач в этом случае выберем в виде
" =£ 4九(广)cos (八2),w" =£ 4九(广)cos (八2),w工以（小m（八2）,a工以（小m（八2）,a工〃（广）COS （八2）.工〃（广）COS （八2）.
" =£ 4九(广)cos (八2),w
" =£ 4九(广)cos (八2),w
工以（小m（八2）,a
工以（小m（八2）,a
工〃（广）COS （八2）.
工〃（广）COS （八2）.
В результате получим замкнутую краевую задачу, коэффициенты уравнений которой зависят от безразмерных параметров материалов 白，卜分，с, к, радиусов Rq,仙分，Ri, 7, интенсивности нагрузок 仇(г = 1,2, ...,N), q°, параметра волнообразования 八 и глубины h. Эту задачу положим в основу исследования отказов вертикальных выработок с многослойной крепью при упругопластическом поведении массива и крепей и докритическом состоянии, определенном выше.
Численный расчет проводился для случая, когда горный массив аргиллита содержал выработку, подкрепленную двухслойной крепью. Причем материал внешнего слоя крепи — бетон, внутреннего — железобетон.
На рис. 4.2 показана область критических значений параметров контактных давлений ⑺，«2 при различной геометрии конструкции, которым соответствует значение параметра волнообразования п = 2. При этом принималось безразмерное значение гидростатического давления в нетронутом массиве gh = 0.03, геометри-
Ао 0.01 0.1
ческие параметры —- изменялись в интервале ——- -4-—-.
1 •3 1.3
Теперь рассмотрим потерю устойчивости многослойной (TV-слойной) крепи, подкрепляющей вертикальную выработку. Действие массива на внешний слой крепи определяется соотношением (3.4) при г = Rn・ Предполагается, что слои работают совместно без проскальзывания и отставания. На внутреннем контуре г-го слоя приложена сжимающая нагрузка 仇_i, на внешнем 仇(г = 1,2, ...,N). Докритическое напряженно-деформированное состояние в г-м слое крепи описывается уравнениями (3.1) и (3.2). Граница раздела ⑦分 упругой и пластической областей определяется из (3.3). Основное напряженно деформированное состояние в массиве определяется соотношениями (3.4), (3.5). Граница раздела 7 вычисляется из (3.6). Математическая модель для исследования потери устойчивости состояния равновесия разномодульной крепи вертикальной выработки в случае осесимметричной формы потери устойчивости и = u(r, ^), v = 0, w = ю(г, z), как
Qo = 0.001gh = 0.03圆=°Qo = 0.001gh = 0.03圆=°兄2 0.10.030.01兄2 0.10.030.011.31.31.31.31.31.3Рис. 4.2Рис. 4.2
Qo = 0.001
gh = 0.03
圆=°
Qo = 0.001
gh = 0.03
圆=°
兄2 0.10.030.01
兄2 0.10.030.01
1.31.31.3
1.31.31.3
Рис. 4.2
Рис. 4.2
и ранее, сводится к системе многих обыкновенных дифференциальных уравнений, состоящей из уравнений равновесия для каждой из областей упругого и пластического деформирования слоев крепи (г = 1,2, ...,N); условий на внутреннем
контуре первого слоя крепи при г = Rq； условий на внешнем контуре последнего
слоя крепи при г = Rn, при этом действие массива на крепь, т. е. величины аг и ад, определяется из соотношении (3.4); условии сопряжения на упругопластической границе 肌 (г = 1,2, ...,N); условий сопряжения на границе г-го и (г + 1)-го (г = 1,2,..., N - 1) слоев крепи.
Таким образом, получили замкнутую краевую задачу, коэффициенты уравнений которой зависят от безразмерных параметров материалов с〃，к〃，радиусов ^, Ri, интенсивности нагрузок 仇，qo (分=1,2, ...,N), параметра выпучивания n.
Отметим, что если в полученной краевой задаче количество слоев крепи N положить равным 1, то приходим к результатам работы [17] (формулы (4.1), (4.2)).
Численный расчет проводился для случая, когда горный массив содержал
выработку, подкрепленную двухслойной крепью. При этом материал массива — аргиллит, внешний слой крепи — бетон, внутренний — железобетон.
На рис. 4.3 показана область критических значений параметров контактных давлений %, «2 при различной геометрии крепи, которым соответствует значение параметра волнообразования п = 2. При этом на внутреннем контуре первого слоя крепи принято qo = 0.03, безразмерное значение гидростатического давления в нетронутом массиве принималось gh = 0.01, геометрические параметры 单
0.010.13
изменялись в интервале +
Моделирование отказа сферической выработки с многослойной крепью. Для хранения нефти и газа, а также при размещении насосных установок на практике часто используются сферические полости. Для более надежной эксплуатации таких полостей их укрепляют.
Рассмотрим случай упругой крепи и несжимаемого упругопластического массива с трансляционным упрочнением. Исходное напряженно-деформированное
—Т1«f-冗2 0.130.120.11 0.1ТГТГТГы—Т1«f-冗2 0.130.120.11 0.1ТГТГТГыРис. 4.3Рис. 4.3
—Т1«f-
冗2 0.130.120.11 0.1
ТГТГТГы
—Т1«f-
冗2 0.130.120.11 0.1
ТГТГТГы
Рис. 4.3
Рис. 4.3
состояние оболочки и массива в симметричном случае (ее = е°) определяется соотношениями работы [17].
Здесь знаком «+» отмечены те характеристики массива, которые необходимо отличить от аналогичных характеристик оболочки.
Рассматриваемую задачу можно теперь смоделировать следующим образом: исследуется возможность потери устойчивости упругой оболочки, находящейся под действием внутреннего давления q° и внешней нагрузки:
(5.1)(5.1)
(5.1)
(5.1)
являющейся решением исходной задачи о напряженно-деформированном состоянии упругой оболочки и упругопластического массива. Радиус упругопластической границы в массиве 7 определяется из уравнения
(5.2)(5.2)
(5.2)
(5.2)
В = ^ (6〃+厶1 — l,5k〃_)/(2〃+ — с〃_),а = Rn*
Напряженно-деформированное состояние, соответствующее г-му слою (г = =1,2, ...,N) многослойной крепи сферической выработки в осесимметричном случае (£е = £°) в сферической системе координат (г, 0, ф), определяется соотношениями работы [14].
Уравнение для определения радиуса упругопластической границы 肌 имеет вид
(5.3)
Равенство (5.3) записано в безразмерном виде. Величины, имеющие размерность напряжений, отнесены к модулю сдвига G для материала массива, а имеющие размерность длины — к радиусу выработки Rn, с〃， к分—безразмерные параметры для материала массива.
На рис. 5.1 представлена зависимость величины границы раздела упругой и
Рис. 5.1
Безразмерные характеристики материалов (песчаника, аргиллита, бетона и железобетона) выбирались исходя из результатов известных опытов [15].
Далее рассмотрим вопрос моделирования потери устойчивости сферической выработки с многослойной (TV-слойной) крепью при совместном расчете крепи с массивом горных пород. Докритическое напряженно-деформированное состояние массива около сферической выработки и в г-м слое крепи, уравнение для нахождения границы раздела зон упругого и пластического деформирования в массиве горных пород определяются соотношениями работы [14]. Уравнение для нахождения границы раздела ⑦分(г = 1,2,..., N) зон упругого и пластического деформирования в г-м слое крепи определяется уравнением (4.3).
Исследование устойчивости сферических выработок с многослойной крепью при совместном расчете крепи с массивом горных пород сводится к решению сферической задачи, которая состоит из уравнений равновесия, граничных условий и условий непрерывности вектора поверхностных сил и перемещений [14].
Численный эксперимент проводился для случая, когда двухслойная сферическая крепь имеет следующий состав: внешний слой крепи — железобетон, внутренний — бетон, горный массив — материал аргиллит.
На рис. 5.2 показана зависимость области критических значений параметров контактных давлений ⑺，«2 от безразмерной величины гидростатического давле-
qo = °qo = °0.10.10.10.1 0.10.10.10.10.10.10.10.1 0.10.10.10.1Рис. 5.2Рис. 5.2ния g拉，при этом геометрические параметры 部а также принято ,0 =ния g拉，при этом геометрические параметры 部а также принято ,0 =крепи 粤крепи 粤изменялисьизменялисьв интервалев интервале
qo = °
qo = °
0.10.10.10.1 0.10.10.10.1
0.10.10.10.1 0.10.10.10.1
Рис. 5.2
Рис. 5.2
ния g拉，при этом геометрические параметры 部а также принято ,0 =
ния g拉，при этом геометрические параметры 部а также принято ,0 =
крепи 粤
крепи 粤
изменялись
изменялись
в интервале
в интервале
Проведем исследование потери устойчивости многослойной (TV-слойной) крепи,
подкрепляющей сферическую выработку, на которую действует горный массив. По-прежнему считаем, что образующиеся пластические области полностью охва
тывают внутренние контуры слоев и слои работают совместно без проскальзыва
ния и отставания.
Математическая модель для исследования потери устойчивости разномодульной крепи сферической выработки в этом случае описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, состоящей из уравнений равновесия для каждой из областей упругого и пластического деформирования слоев крепи (г = =1,2, ...,N); условий на внутреннем контуре первого слоя крепи при г = Rq и на внешнем контуре последнего слоя крепи при г = Rn； условий сопряжения на упругопластической границе 肌 (г = 1,2, ...,N) и условий сопряжения на границе г-го и (г + 1)-го (г = 1,2,..., N - 1) слоев крепи.
Отметим, что если в полученной краевой задаче количество слоев крепи положить равным 1 (N = 1), то приходим к результатам работы [17].
Список литературы
Алимжанов М. Т. Об устойчивости горизонтальной подземной выработки круглого сечения 〃 Изв. АН Каз. ССР. Сер. физ.-мат. 1967. № 5. С. 80-86.
Алимжанов М.Т., Габдулин Б. Ж. Об упругопластическом состоянии неоднородных толстостенных цилиндрических и сферических оболочек 〃 Вест. АН Каз. ССР. 1967. № 10. С. 52-67.
Гоцев Д. В., Ковалев А. В., Спорыхин А.Н. Неустойчивость многослойной крепи в вертикальной горной выработке 〃 Труды II Всероссийской научно-технической конференции «Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении». Ч. 1. Воронеж, 2001. С. 12-18.
Гоцев Д. В., Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Исследование устойчивости состояния равновесия горного массива возле многослойной сферической крепи при упругопластическом поведении материалов 〃 BicTHik Дн1пропетровского ун!верс!тету, серия механика. 2001. В. 1. Т. 1. С. 49-55.
Гоцев Д. В., Ковалев А. В., Спорыхин А.Н. Локальная неустойчивость горного массива возле многослойной сферической крепи при упругопластическом поведении материалов. 〃 Вестник факультета Прикладной математики, информатики и механики. Воронеж: изд-во Воронеж, ун-та, 2002. № 3. С. 90-98.
Гузь А. Н. Основы теории устойчивости горных выработок. Киев: Наукова думка, 1977. 204 с.
Гузь А.Н., Спорыхин А.Н. Трехмерная теория неупругой устойчивости. Общие вопросы 〃 Прикл. механика. 1982. Т. 18. № 7. С. 3-22.
Гузь А. Н., Спорыхин А. Н. Трехмерная теория неупругой устойчивости. Конкретные результаты 〃 Прикл. механика. 1982. Т. 18. № 8. С. 3-27.
Ершов Л. В. О постановке задачи устойчивости горных выработок 〃 ДАН СССР. 1962. Т. 143. №2. С. 305-307.
Ершов ЛЕ, Ивлев Д.Д. О выпучивании толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления 〃 Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностр. 1958. №8. С. 149-152.
Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971. 232 с.
Кацауров И.Н. Механика горных пород. М.: Недра. 1981. 161 с.
Спорыхин А. Н. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред. Воронеж: ВГУ. 1997. 361 с.
Спорыхин А.Н., Шашкин А. //.Устойчивость равновесия пространственных тел и задачи механики горных пород. М.: Физматлит, 2004. 232 с.
Ставрогин А. Я., Протосеня А. Г. Пластичность горных пород. М.: Недра, 1979. 301 с.
Шашкин А. И. Определение оптимальной толщины монолитной крепи 〃 Труды НИИ математики Воронеж, ун-та. Воронеж, 1973. Вып. 8. С. 50-53.
Шашкин А. И. Определение оптимальных размеров неупругих крепей вертикальной выработки и сферической полости 〃 Воронеж, ун-т. Воронеж, 1982. 29 с.: 4 ил. библиогр.: 11 назв. Деп. в ВИНИТИ 2.07.82, № 3450-82.
Шемякин Е.И. О закономерностях неупругого деформирования в окрестности подготовительной выработки 〃 Горн, давление в капитальных и подготовительных выработках. Новосибирск, 1975. С. 3-17.
КОЛЬЦЕВЫЕ СТРУКТУРЫ ЗЕМЛИ: МЕХАНИКАОБРАЗОВАНИЯ, ВКЛАД В СЕЙСМИЧНОСТЬ,МЕТАЛЛОГЕНИЮ, ГЕОЭКОЛОГИЮ
С. Б. Стажевский
Институт горного дела СО РАН, Новосибирск
Показаны механизм образования кольцевых структур Земли, природа приуроченности к ним промышленных залежей полезных ископаемых, связь напряженно- деформированного состояния литосферы и экологии регионов с длительно протекающими в границах структур тектоническими процессами.
Введение. Снимки, сделанные с искусственных спутников, показали, что поверхность Земли наряду с некками, кимберлитовыми трубками, маарами, кальдерами несет на себе множество других, ранее неизвестных концентрических образований с диаметрами от единиц до тысяч километров — кольцевых структур (К-структур или КС). В 1979 г. появилась космогеологическая карта [1] Советского Союза, из которой следует, что К-структуры в его пределах распространены не менее широко, чем линеаменты, а большинство из них имеет эндогенную природу.
Структурообразующая роль таких морфоэлементов для Земли была подчеркнута в монографии [2]. Общее представление об этом дает фрагмент карты- схемы, построенной для Азово-Каспийского региона на основе дешифрования космических снимков (рис. 1) [2]. В той же работе показано, что в границах многих эндогенных КС находятся залежи полезных ископаемых. В последующие годы число данных, подтверждающих такую связь, постоянно росло. Из них следует, что с К-структурами пространственно ассоциируется не менее 70-75 % всех месторождений [3].
В пределах России к концентрическим морфообразованиям приурочены Норильское [2, 4] и Николаевское [2] месторождения полиметаллов, нефтегазоносные Прикаспийской впадины [3], а также алмазосодержащие кимберлитовые площади Восточной Сибири [3, 5] и др. Поэтому выяснение природы кольцевых структур Земли стало одной из наиболее актуальных научных задач. Существующие версии КС-образования рассмотрены в [2, 3, 5].
Механизм образования К-структур. Исследования [6-8] привели к заключению, что в основе генезиса эндогенных К-структур лежит феномен [9] всплывания из литосферы Земли на поверхность локальной области разуплотнения. Первопричина возникновения данной глубинной неоднородности — появление и рост в обладающей структурно-дилатансионной прочностью геосреде [10] (в результате плюм- тектонических процессов [11] и/или химических превращений геовеществ [12]) очага дегазации, а затем его самоликвидация [6-8]. Проявляется он на рельефе в виде прогрессирующего во времени вздутия — купола. Его прорыв осуществляется в эксплозивной форме и влечет за собой потерю недрами значительных объемов флюидов, расплавов, твердых горных пород (в виде вулканического пепла). Это приводит к превращению очага дегазации, вместе с образованной над ним разрушенной зоной, в представленный существенно разуплотненными породами очаг всплывания кольцевой структуры.
Рис. 1
Рис. 2
Всплывание как процесс инициируется твердыми лунными приливами и гравитационной консолидацией геоматериалов в данной аномальной области — залечиванием наведенной газовым взрывом неоднородности. Уплотнение развивается начиная от основания «дефекта» и характеризуется периодическим, по мере уменьшения здесь пористости пород, распространением к дневной поверхности «волн» разуплотнения-уплотнения. Одну из них, зародившуюся на глубине Н и сформировавшую блочную структуру [13], демонстрирует рис. 2. На нем приведены фотографии вертикального сечения модельного, сложенного из разноцветных песчаных слоев массива, разрушающегося над медленно опускающимся поршнем, имитирующим консолидацию геосреды [10] в основании реальной очаговой зоны. Опыт показывает, что деформационная «волна» продвигается к свободной границе, подчиняясь вполне определенным закономерностям за счет реализации в среде двух последовательных стадий деформирования [6-8].
(рис. 2, б). Она, присоединяя к объему Q кольцевой блок G с возросшей на начальном этапе пористостью, формирует в зоне, нарушенной взрывом, осесиммет
ричную, с несколько уплотнившимся основанием и повторно разрыхленную выше область всплывания. След полосы 2 очерчивает при этом на дневной поверхности днище кольцевой структуры. Ее диаметр D примерно равен поперечному размеру глубинной плотностной «аномалии».
Таким образом, в самом общем виде характерный цикл КС-образования может
быть представлен как состоящий из двух стадий: повторного разуплотнения массива (см. рис. 2, а) и его частичной консолидации (см. рис. 2, 6). Одной из главных
особенностей второй стадии является то, что развивающиеся в ходе ее реализации сдвиги и дилатансия «приоткрывают» цилиндрическую поверхность скольжения. Время существования последней в таком состоянии зависит от скоростей и величин проскальзываний вдоль нее и превышает характерное время существования для сдвиговой полосы /. После завершения цикла обе начинают залечиваться.
Дальнейшее гравитационное уплотнение геоматериалов под образованной К-структурой происходит за счет многократного воспроизведения указанного элементарного (единичного) цикла и сопровождается медленным продвижением фронта их консолидации по восстанию при параллельном погружении днища К-струк- туры. Данные работ [2, 3], а также собственные исследования приводят к заключению, что
в реальном массиве рассматриваемый процесс,
имеющий прерывистый характер, продолжается многие десятки миллионов лет. Прекращается он вместе с устранением наведенного дегазацией «дефекта» в литосфере [6-8].
Фотографии на рис. 2 иллюстрируют единичный цикл разуплотнения-уплотнения среды над «дефектом», залегающим на глубине Н ^ D. Если Н》О, то дан
ный элементарный акт всплывания, повторяясь, постепенно распространяется по
восстанию (рис. 3). Захватываемая этим процессом область становится удлинен
ной трубообразной («эффект трубы»). С такой самоорганизацией геосреды связаны появление на Земле мааров, образование мульд и провалов над обрушающимися выработанными пространствами, карстовыми пустотами и полостями, наведенными ядерными взрывами [6-9].
К-структуры и сейсмичность. В [6] обосновано, что определяющая роль в реализации в породном массиве [10] представленного на рис. 2 единичного цикла принадлежит дилатансии. Она
рис 4же в ходе его развития вызывает изменения в де
формируемой области коэффициента бокового распора £ и радиальных напряжений аг. Поведение £ иллюстрирует кривая, построенная в координатах £ — смещения и кровли очага по падению (рис. 4). На первой стадии (I) I возрастает от некоторого статического 短 ДО /1aх，на второй (П)—
снижается до £*. Значения коэффициента £ и напряжений аг в области всплывания меняются в разы; ^ах — 1 [6, 14].
Кривая на рис. 4 заканчивается характерным участком /. На нем £ в деформируемой области падает от £* до исходного ^с. Это связано с релаксационными явлениями, которые в ней начинают осуществляться при остановке процесса. Они для своего завершения требуют определенного времени. Участком, подобным 1, кривая может прерываться в любой точке. Таким образом, напряженно-деформированное состояние (НДС) массива в области под кольцевыми структурами в ходе их эволюции подвержено многократным и существенным квазистатическим изменениям. Реализуются они на фоне периодических остановок процесса и частичного залечивания нарушений дегазацией геосреды.
Кольцевые структуры вместе со своим «корнем» в виде цилиндрической области разуплотнения формируют в литосфере круговые в плане «дефекты». Подобные ослабления, как известно из механики, оказываются концентраторами напряжений. Отсюда следует, что напряженно-деформированное состояние массива в области всплывания К-структур влияет на НДС регионов, их вмещающих. Существует и взаимовлияние с «обратной» направленностью.
Однако наиболее важным является то, что на картину НДС, нарисованную выше для территорий, осложненных кольцевыми структурами, может накладываться динамическая составляющая. Как известно [15], диаграмма напряжения- деформации для горных пород имеет ниспадающую ветвь. Это приводит к тому, что эволюционирование К-структур по схеме на рис. 2 сопровождается микросейсмичностью и эпизодически, при хрупком разрушении в их границах значительных по объему областей, — землетрясениями с той или иной магнитудой. По-видимому, в каких-то случаях триггером для них способна становиться техногенная деятельность внутри КС. Пики динамической активности в пределах К-структур, следуя рис. 4, можно ожидать в периоды их перехода от первой стадии деформирования ко второй. Приуроченность к концентрическим морфообразованиям сейсмичности подчеркивается в [2].
К-структуры и металлогения. Одной из главных особенностей цилиндрической разуплотненной области под «живыми» кольцевыми структурами является гораздо более высокая, чем общая, пористость принадлежащих ей поверхностей /, 2 локализации сдвиговых деформаций (см. рис. 2, 3) [6, 8]. Это означает, что максимально «приоткрывающиеся» и «подновляющиеся» во время функционирования КС полосы скольжения становятся хорошими проводниками, а также накопителями для высоконапорных, поднимающихся с глубин дегазирующейся Земли газовожидких флюидов. Среди них находятся и рудоносные. Таким образом, аномально разрыхляющиеся под кольцевыми структурами коническая и цилиндрическая поверхности сдвига оказываются идеальными потенциальными коллекторами для рудосодержащих растворов. При этом металлогенез способен в какой-то степени затрагивать и нарушенные при деформировании блоки Q, G (см. рис. 2).
На рис. 5 [16] (с изменениями) представлена объемная картина Капаевского месторождения магнетита (Ангарская железорудная провинция). Полезное ископаемое показано темным цветом. Для большей выразительности характерные зоны /, 2 его концентрации удлинены за счет штрихов. Из иллюстрации следует, что основная рудоподводящая составляющая залежи с поперечным размером до 〜1300 м имеет трубообразную изометричную в плане форму, внешние субрадиальные разломы, а в приповерхностной части — слабое расширение. По данным бурения для «внутреннего строения (Капаевской трубы) характерно наличие грубообломочного обрушенного и просевшего материала ...» [16]. Эти факты
Рис. 5
вместе с другой информацией, полученной при разведке, привели автора [16] к выводу о связи генезиса рассматриваемого и подобных ему «месторождений со структурами типа вулканических трубок или трубок взрыва», появлению которых предшествует «предвулканическое воздымание куполовидных структур».
Данное заключение достаточно близко тому, которое вытекает из представленной выше модели [6]. Если следовать ей, то обладающее указанным перечнем характерных особенностей рудоносное морфообразование — не что иное, как относительно небольшая эндогенная кольцевая структура, сформированная по «сценарию», показанному на рис. 2, 3. Дополнительным аргументом в пользу такого вывода является вертикальный профиль 160 месторождения (см. рис. 5), который, вплоть до деталей (с поправкой на взрыв), повторяет полученный в лабораторном эксперименте (см. область А на рис. 3).
Рудопроявления в продемонстрированной форме широко распространены не только в Ангарской железорудной провинции, но и в ряде других регионов планеты. Так, анализ выходов железных руд в пределах обширного туфового поля на юге Тунгусской синеклизы «показал, что 34 из 47 известных их проявлений приходятся на территорию вулнаноструктур» [17], аналогичных приведенной на рис. 5, 6 [17]. «На Канадском щите отработано месторождение золота Хорн ... На месторождении ... выделено 25 рудных тел в основном трубообразной формы» [18]. Из [2, 5] следует, что диаметры структур, вмещающих запасы полезных ископаемых, могут составлять десятки и сотни километров. Того же порядка величин способны достигать и глубины Н заложения КС [6, 7].
Таким образом, данные геологоразведки и горной практики говорят, что рудо- образование в Капаевском месторождении, а также во всех иных, подобных ему, контролировалось тектоническими процессами, развивавшимися в соответствии с закономерностями [6], проиллюстрированными на рис. 2, 3. Богатые рудой области /, 2 залежи (см. рис. 5) представляют собой принадлежащие К-структурам залеченные глубинными растворами локальные, наиболее разуплотненные обла-
Рис. 6
сти конической и цилиндрической полос скольжения (см. рис. 2, 3). Мощность последних зависит от диаметра КС и у самых крупных из них достигает десятков километров [6]. Показанный механизм является ключевым в генезисе месторождений многих твердых и жидких полезных ископаемых, кимберлитовых трубок. Понимание процесса КС-образования открывает новые возможности по выбору надежных критериев поиска сырьевых залежей.
К-структуры и геоэкология. Известно, что в отдельных закрытых водных бассейнах объем запасов воды во времени меняется. К таким, в частности, относится Каспийское море, уровень которого подвержен вековым колебаниям, а также колебаниям с иными периодами (рис. 7) [19]. Это приводит к нарушениям природной геосистемы в районе его существования. То же море «является источником многих природных бедствий и катастроф, связанных не только с колебаниями уровня но также с активной современной геодинамикой, высокой сейсмичностью и т. п.» [20]. Изучению этих проблем посвящен ряд исследований [19-21].
В них установлено, что к одной из главных особенностей Каспия относится кор- релируемость наблюдаемых в нем событий и явлений с абсолютными отметками его поверхности. Как выяснилось, вспышки активности существующих в районе моря грязевых (грязенефтяных) вулканов четко согласуются с фазами и циклами низкого уровня воды в нем [20]. «Аналогичная тенденция отмечается и в динамике нефтегазодобычи, когда естественная отдача пластов увеличивается в фазы низкого стояния Каспия ... Статистика сильных и разрушительных землетрясений показывает, что (и) они чаще всего сопоставимы с фазами (его) низкого стояния ...» [20]. Таким образом, между положением поверхности моря и грязевулканической
деятельностью, нефтегазоотдачей, сейсмичностью в нем существует однозначная связь.
В то же время проведенные исследования позволили заключить, что общая «геодинамика (рассматриваемого) региона определяется прежде всего высокой локальной мобильностью Южнокаспийской впадины» [20], которая является составной частью моря. При этом данная развивающаяся в течение 〜185 млн лет и вмещающая 2/3 объема вод Каспия депрессия [20] имеет аномально большие, обусловленные ее прогибаниями [22], глубину и мощность осадочного слоя (до 〜30 км) [19].
Эти и другие известные морфоструктурные особенности впадины и ее обрамления вместе с материалами [6, 7] приводят к выводу, что она представляет собой часть днища «неправильной» [7] кольцевой структуры. Данная КС имеет диаметр D ~ 400 км и всплыла с мантийных глубин, в целом подчиняясь закономерностям, показанным выше.
На рис. 8 приведен фрагмент карты [23] с Каспийским морем. На него нами нанесены окружность, обозначающая размер в чистоте выделенного цилиндрической поверхностью скольжения дна К-структуры (см. рис. 2, б), а также осложненные грязевым вулканизмом нефтегазоносные месторождения (темные треугольники). Из рис. 8 видно, что между батиметрией впадины и днищем КС существует явная согласованность. В то же время, как того требует модель [6], залежи полезных ископаемых, подобно уже показанным на рис. 5, 6, оказываются приуроченными к следу полосы скольжения, оконтуривающей структуру. Это только еще раз подтверждает правильность сделанной для глубоководного прогиба интерпретации.
Таким образом, Южнокаспийская впадина маркирует на поверхности Земли эндогенную «неправильную» кольцевую структуру, появившуюся в результате акта ее дегазации и эволюционирующую в соответствии с демонстрируемыми в [7] и настоящей работе закономерностями. Данная КС вносит, что подчеркнуто выше, определяющий вклад в геодинамику региона, в частности в изменения уровня находящегося в нем моря и сейсмичность. Но последняя, как уже выяснено, связана с реализацией в области под К-структурой характерных циклов деформирования (см. рис. 2). Тогда, с учетом сказанного ранее о коррелируемости явлений в районе Каспия, справедливо допустить, что теми же циклами продиктованы и колебания во времени высот стояния его поверхности.
Если это так, то стадиям повторного разупрочнения массива в границах Южнокаспийской КС (см. рис. 2, а) соответствуют периоды уменьшения глубины моря. Фазам частичной консолидации геосреды в области под К-структурой, одной из
Рис. 8
основных особенностей которых является оживление цилиндрической поверхности скольжения (см. рис. 2, б), отвечают повышения его уровня.
Каждое из падений последнего начинается по мере приближения процесса повторного разуплотнения пород под КС к верхам коры, т. е. когда этап, иллюстрируемый рпс.2,а, близок к своему завершению. Последующий рост глубины моря происходит за счет «выдавливания» из недр ранее «поглощенной» ими морской воды и поступления в него через «приоткрывающуюся» полосу скольжения (см. рис. 2 б) порций высоконапорной мантийной Н2О. Находящиеся на следе полосы грязевые вулканы превращаются при этом в «индикаторы», которые «сигнализируют» о подходе глубинных флюидов к поверхности. Именно поэтому бурение подтверждает широкое распространение в областях грязевого вулканизма, реализующегося на периметре Южнокаспийской впадины, аномально высоких пластовых давлений [24]. Дополнительное их нарастание инициирует пароксизмы грязевулканических извержений. Запасы воды в мантии Земли, по современным данным, не уступают заключенным в ее гидросфере [25].
Есть основание считать, что причинами, аналогичными показанным, вызвано и нынешнее катастрофическое снижение уровня Аральского моря. Материалы по Каспию и рис. 2 позволяют расценивать ситуацию, сложившуюся в Арале, как временную.
Выше продемонстрированы возможные геоэкологические последствия от «жизнедеятельности» кольцевых структур, находящихся в субаквальных условиях. Эволюционирование КС, лишь осложненных водоемами или водотоками, приводит
к иным результатам. При этом наряду с разуплотнением и уплотнением массива свой вклад в обстановку, складывающуюся в области КС, начинают вносить медленно протекающие в ее границах изменения углов напластования пород.
Следствием нарастания углов наклона пластов (см. рпс.2,а), раскрытия в них пор, трещин, появления дефектов, что характерно для первой из стадий единичного цикла, становятся: осушение, за счет ухода воды в недра, находящихся в пределах К-структур болот, сокращение зеркала озер, блуждание русла рек и снижение их дебита.
Увеличение при этом объемов и скоростей течения подземных вод, а также изменение направлений их движения провоцируют развитие в верхах земной коры эрозионных процессов. В результате внутри кольцевых структур постепенно формируются области, ослабленные карстами.
Как и в случаях с Каспийским и Аральским морями, сокращение водных запасов в водоемах и реках, находящихся в границах эволюционирующих КС, носит временный характер. Карстообразование в них приводит к необратимым последствиям. Известно, что, помимо всего, оно сопровождается провальными явлениями — провальной тектоникой. Развивается она, что отмечено ранее, в соответствии с закономерностями, проиллюстрированными на рис. 2, 3. Не исключено, что процессы с обсуждаемой природой медленно протекают, в частности на территории Москвы, которая, следуя космогеологической карте [1], расположена, как и ряд других мегаполисов мира, на днище концентрической структуры.
Таким образом, эндогенные кольцевые структуры с показанным генезисом являются важнейшими морфоединицами Земли, которые вносят весьма существенный вклад не только в сейсмичность и металлогению, но и в геоэкологию планеты. Полагаем, что последнее обстоятельство, как и фактор сейсмического риска, нельзя не учитывать при строительстве городов, выборе территорий под возведение крупных и ответственных наземных и подземных сооружений, а также таких потенциально экологически опасных объектов, как атомные станции или хранилища для отходов химических производств.
Список литературы
Космогеологическая карта линейных и кольцевых структур территории СССР. М.: Мин- гео СССР, 1979.
Космическая информация в геологии. М.: Наука, 1983. 534 с.
Брюханов В.Н., Буш В. А., Глуховский М. 3. 〃 др. Кольцевые структуры континентов Земли. М.: Недра, 1987. 185 с.
Петров А. И., Сироткин Т.Н., Суслов М.Н. Общие особенности строения и никеленос- ность Печенгской, Садбери и Норильской структур 〃 ДАН СССР. 1980. Т. 251, № 5. С.1211-1213.
Серокуров Ю.Н., Калмыков В.Д., Зуев В.М. Космические методы при прогнозе и поисках месторождений алмазов. М.: Недра, 2001. 198 с.
Стажевский С. Б. Кольцевые структуры в эволюции небесных тел Солнечной системы. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1998. 106 с.
Стажевский С. Б. Генезис «неправильных» кольцевых структур Луны и Земли. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. 86 с.
Стажевский С. Б. Кольцевые структуры — вклад в генезис и напряженно-деформированное состояние месторождений полезных ископаемых 〃 ФТПРПИ. 2004. № 3. С. 45-51.
Машуков В. И., Стажевский С. S, Шемякин Е.И. О всплывании полостей в массивах горных пород 〃 ДАН. 1997. Т. 356, № 6. С. 818-820.
Ревуженко А.⑦Стажевский С.6, Шемякин Е.И. О структурно-дилатансионной прочности горных пород 〃 ДАН СССР. 1989. Т. 305, № 5. С.1077-1080.
Marujama Sh. Plume tectonics 〃 J. Geol., Japan. 1994. V. 100, № 1. P. 24-34.
Раст X. Вулканы и вулканизм. M.: Мир, 1982. 344 с.
Ревуженко А.⑦.,Стажевский С. 6, Шемякин Е.И. О механизме деформирования сыпучих материалов при больших сдвигах 〃 ФТПРПИ. 1974. № 3. С. 130-133.
Скориков Б.А., Стажевский С.6, Шемякин Е.И. К усилению стен силосов 〃 Строительная механика и расчет сооружений. 1985. № 1. С. 57-60.
Ставрогин А.Н., Протосеня А. Г. Прочность горных пород и устойчивость выработок на больших глубинах. М.: Недра, 1985. С. 271.
Фон-дер-Флаасс Г. С. Структура Нерюндинского и Капаевского месторождений магнетита (Ангарская железорудная провинция) 〃 Геология и геофизика. 1977. № 6. С. 63-69.
Сапронов Н. Л. Древние вулканические структуры на юге Тунгусской синеклизы. Новосибирск: Наука, 1986. 104 с.
Жупахин Е.Я., Кудрявин Ю.А., Курашов Б. А. Палеовулкан «Юкагир» 〃 Астеносфера и литосфера Северо-Востока России (структура, геокинематика, эволюция). Магадан: СВКНИИ ДВО РАН, 2003. С. 186-188.
Зверев В.П., Костикова Н.А. Возможно ли влияние подземных вод на изменение уровня Каспия? 〃 Вестник РАН. 1999. Т. 69, № 3. С. 209-215.
Лилиенберг Д.А. Тенденции современной эндодинамики Каспия и изменения уровня моря 〃 ДАН. 1993. Т. 331, № 6. С. 745-750.
Антипов 7И. 〃.，Волож Ю.А., Лаврушин Ю.А., Леонов Ю. Г. Геологические события и изменения уровня моря 〃 Геоэкология. 1996. № 2. С. 3-12.
Артюшков Е. В. Физическая тектоника. М.: Наука, 1993. 455 с.
Физико-географический атлас мира АН СССР и ГГК СССР. М., 1964. 298 с.
Кропоткин Л.Я., Валяев Б.М. Геодинамика грязевулканической деятельности (в связи с нефтегазоносностью) 〃 Геологические и геохимические основы поисков нефти и газа. Киев: Наукова думка, 1981. С. 148-178.
Gillet Р. Deau du manteau terrestre 〃 La Recherche. 1993. V. 255. P. 676-685.
ЛОКАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИКОНСТРУКТИВНО ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
П.Е. Товстик, И. В. Викторов
Санкт-Петербургский государственный университет
Рассматриваются локальные формы потери устойчивости безмоментного осесимметричного напряженного состояния тонкой упругой оболочки вращения. Предполагается, что оболочка подкреплена двумя системами нитей, одинаково наклоненных к образующим. Проводится сравнение форм потери устойчивости изотропных и ортотропных оболочек. Рассматривается вопрос об оптимальном подкреплении нитями.
Введение. Построение локальных форм потери устойчивости оболочки — это простейший способ анализа ее устойчивости (см. [1, 2]), который при определенных ограничениях дает хорошее первое приближение для критической нагрузки и для формы потери устойчивости (см. [3]). При этом граничные условия игнорируются, а переменные коэффициенты системы уравнений замораживаются. Прогиб при потере устойчивости оболочки вращения ищется в виде двояко периодической функции
1Z7(S,夕)=iZ?o sin (夕s) COS(77Z夕)，(1)
где s п 夕一криволинейные координаты на срединной поверхности, р и m — волновые числа.
Область применимости локального подхода ограничена выпуклыми оболочками при любом характере нагружения, а также цилиндрическими (коническими) оболочками при осевом сжатии. В остальных случаях (т. е. для оболочек отрицательной гауссовой кривизны и для цилиндрических оболочек при внешнем давлении или кручении) локальный подход неприменим, ибо в этих задачах зависимость критической нагрузки и формы потери устойчивости от граничных условий является существенной. Другое ограничение области применимости локального подхода состоит в том, что закрепление краев оболочки не должно быть слабым (см. [3]), ибо при слабом закреплении форма потери устойчивости локализуется в окрестности слабо закрепленного (или свободного) края, а критическая нагрузка существенно ниже, чем при хорошем закреплении.
Ниже рассматривается устойчивость оболочки вращения под действием осесимметричных начальных усилий Т：(s), T^s), а начальное усилие сдвига S° = 0. При этих условиях для изотропной оболочки вращения формы потери устойчивости оказываются вытянутыми вдоль параллелей или меридианов, т. е.
w(s, 99) = wo sin (ps) или iz?(s,夕)=W)sin (加夕).(2)
где Ri п 兄2 ——радиусы кривизны срединной поверхности. В этом случае критической нагрузке соответствует множество форм потери устойчивости вида (1) с волновыми числами р а т, удовлетворяющими некоторому соотношению. К особому случаю относятся классические задачи о потере устойчивости цилиндрической оболочки при осевом сжатии и сферической оболочки при внешнем давлении. Следствием наличия многих форм потери устойчивости является повышенная чувствительность критической нагрузки к несовершенствам формы оболочки, поэтому выделение особых случаев является существенным.
Основное качественное отличие ортотропной оболочки вращения от изотропной заключается в том, что при сделанных предположениях наряду с формами потери устойчивости (2) типичными являются и формы (1), описывающие шахматную систему вмятин. Ниже этот вопрос обсуждается при рассмотрении частных задач устойчивости для оболочек, армированных системами нитей.
Определяющие соотношения и уравнения равновесия. Рассмотрим ортотропную оболочку, главные направления ортотропии которой совпадают с параллелями и меридианами оболочки вращения, а упругие свойства оболочки симметричны относительно срединной поверхности. Тогда определяющие соотношения, связывающие деформации срединной поверхности с усилиями и моментами, можно взять в виде
Т1 = К"£1 + К12Е2, Т? = К12^1 + &2£2, S = K33G,
(4)
Mi = 0u 儿 1 +012 儿 2, M = 012 儿 1 +022 儿 2, H = 2。337，
где £i, £2, s — тангенциальные деформации, а 庆i,庆2, 丁 一 изгибные деформации. Упругие коэффициенты К切，D盯 могут зависеть от длины дуги образующей s.
Будем считать, что форма потери устойчивости имеет большой показатель изменяемости 方，который вводим соотношением (см. [4])
111ax偿，а⑸
где 九* — относительная толщина оболочки. В рассматриваемых задачах устойчивости типичным значением показателя изменяемости является t = 1 /2. Тогда с относительной погрешностью порядка 九贊 система уравнений бифуркации осесимметричного равновесия оболочки вращения может быть записана в виде системы Муштари-Доннелла-Власова:
B^w - Btw - А/^Ф = 0, A^w + 石°①=0.(6)
Здесь w, Ф — неизвестные прогиб и функция усилий. Дифференциальные операторы в системе (6) для определяющих соотношений (4) имеют вид
1 а2 (вкп а2Ф\ 1 а / 12K12、а /1 э2ф\\%2 а4Ф
⑺ где В =石(s) — расстояние от точки на срединной поверхности до оси вращения, △ = К11&2 - К；2・
Определяющие соотношения для оболочки, армированной нитями. Конкретизируем теперь коэффициенты в формулах (4) для оболочки с нитями. Рассмотрим оболочку толщины h, состоящую из изотропной матрицы с модулем Юнга 后о и коэффициентом Пуассона Ц) и двух систем нитей, наклоненных к образующим под углами 夕 и —仇 Выражения для коэффициентов К切 и 。叮， входящих в формулы (4), получены в работе [5] и имеют следующий вид:
К11=Ко + К1с4,К12=Ко% + К1С2s2,
К22 = Ко + кМ, К33 = Ко(1 — %)/2 + Kic2s2,⑻
Dll = Do +01。4,012 =00% + 01c2s2,
022 =00 +01S4,033 =00(1 - %)/2 + 01c2s2,
где введены обозначения: с = cosJ, s = sin 仇 K° = 瓦匕,°о = —° , 8 = l-^o 12(1—话)
h/2h/2
=；j /(2)^2, Ki = Eh6, Di = E J /(^)^2 dz.
一九/2—九/2
Здесь E — модуль упругости нитей, 5 — относительный объем, занимаемый нитями, /(2)— плотность распределения нитей по толщине оболочки, предполагаемая четной функцией 2. Первые слагаемые в формулах (8) учитывают жесткость матрицы, а вторые — жесткость нитей. Считаем, что 8 « 1, п при вычислении жесткости матрицы пренебрегаем тем, что часть объема занята нитями. Вклад жесткости нитей в величины К叮 не зависит от функции /(2). С другой стороны, их вклад в величины。叮 существенно зависит от этой функции. В частности, если нити расположены на срединной поверхности, их вклад в изгибную жесткость равен нулю (т. е. Q = 0).
Критическая нагрузка. Рассмотрим однопараметрическое нагружение и введем параметр нагружения А > 0 по формулам
Т% = —相，7^ = -At2.(9)
В соответствии с локальным подходом замораживаем коэффициенты в системе (6) и ее решение ищем в виде
w(s, 99) = wo sin (ps) cos (m^p), ①(s,夕)= ①。sin (夕s) cos (nz夕)(10)
с постоянными амплитудами wo и Фо. Подстановка решения (10) в систему (6) приводит к явному выражению для параметра нагружения:
青(踪 + 打(11)
где однородные по 夕 n q полиномы равны
ЬT = Йp2 + 方2产 瞋=011 24 + 2(012 + 2。33)02q2 + Qzd，
22I(12)
8k =齐 + 为 bz = ^ (K1 屮4 + (Q/Кзз) — 2K12向2 + &2淌.
Критическую нагрузку получим, минимизируя функцию /(р, q) по ее аргументам. С этой целью, как и в работах [3, 6], положим р = г cos a, q =广 sin а п сначала
выполним минимизацию по аргументу г. Тогда получим
Xo = min/*(a) = /*(Qo),吟=/」？十,广=2*疗，疗=\佟，(13)0，位(ao)bKao)V仇
ГДеbT = 吼=戸优，bz=r^.
Заметим, что для изотропной оболочки без нитей функция /；(а) сводится к постоянной и минимизации в формуле (13) подлежит лишь отношение
提 _ R^1 cos2 a + A[1 sin2 ab^ ti cos2 a + 力2 sin2 a
и, как уже упоминалось, за исключением особого случая (3) минимум достигается лишь при a = 0 или при a = тг/2.
Для удобства последующего анализа приведем выражения (11)-(13) к безразмерному виду. Введем в формулах (8) параметры k и d:
7 К\ dEh 7
имеющие смысл отношения жесткости нитей к жесткости матрицы на растяжение (параметр к) и на изгиб (параметр d). Параметр к может иметь любое значение, а параметр d изменяется от нуля (если нити расположены в срединной поверхности) до значения d = Зк (если нити расположены на лицевых поверхностях оболочки 2 = ±Д/2). Если нити равномерно распределены по толщине оболочки, то d = к.
Введем малый параметр толщины 从 и безразмерный параметр нагружения Л по формулам
1ЕmА,(15)
где R — характерный размер срединной поверхности. Такой выбор безразмерного параметра Л дает Л = 1 при осевом сжатии цилиндрической оболочки без нитей.
Устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Рассмотрим устойчивость круговой цилиндрической оболочки, армированной двумя системами нитей, наклоненных к образующей под постоянными углами 夕 и —仇 Безразмерную критическую нагрузку Л определяем по формулам (13), (15), содержащим в рассматриваемой задаче два безразмерных параметра к и d, имеющие смысл относительных жесткостей нитей при растяжении и изгибе оболочки.
На рис. 1 представлена зависимость критической нагрузки от угла наклона нитей при значении к = 1 (жесткость на растяжение нитей равна жесткости матрицы) для четырех значений параметра изгибной жесткости: d = 0, d = 0.5k, d = к, d = Зк. Превышение значения Л по сравнению с Л = 1 указывает на подкрепляющее влияние нитей. Видим, что подкрепляющий эффект является минимальным, если нити расположены в срединной поверхности оболочки (d = =0), и максимальным в случае расположения нитей по поверхностям оболочки (d = 3k). Видим, что кривые симметричны относительно значения угла наклона О = 7г/4. Это следует из того, что при одновременной замене в формуле (13) 圻=тг/2 — 0 и а\ = тг/2 — а значение Л сохраняется. Опишем форму потери устойчивости, которая характеризуется параметром а. На участках АВ и DE имеем: 0 < a < тг/2, т. е. вмятины имеют шахматный характер в соответствии
с формулой (1). На участках ВС и CD вмятины либо осесимметричные (а = =0), либо сильно вытянутые в продольном направлении (а = тг/2)* При d < к на участке ВС будет а = 0, а на участке CD будет а = тг/2* При d > к имеет место обратная зависимость, т. е. на участке ВС будет а = тг/2, а на участке CD будет а = 0* Если же d = к, то на всем участке BD значениям а = 0 и а = тг/2 отвечает одна и та же критическая нагрузка. Угловые точки на графике возникают в связи с трансформацией формы потери устойчивости. Видим, что при d = 0 и 夕=7г/3, ^ = 7г/6 будет Л = 1. Следовательно, нити не подкрепляют оболочку, так как форма потери устойчивости такова, что в данных направлениях срединная поверхность не испытывает растяжения.
Укажем для сравнения, что для изотропной оболочки (без нитей) критической нагрузке соответствует множество форм потери устойчивости при 0 ^ а ^ тг/2 (см. [3]).
С увеличением относительной жесткости нитей качественная картина зависимости, показанной на рис. 1, сохраняется, а увеличивается лишь значение параметра Л. Соответствующие графики для случая к = 5 показаны на рис. 2.
Рис. 2. Зависимость критической нагрузки от угла армирования (к = 5)
Устойчивость сферической оболочки. При рассмотрении нецилиндрических оболочек в случае 夕=const плотность армирования 8 меняется вместе с изменением расстояния до оси вращения B(s) по формуле
6^ = B{sQ)6Q/B{s\ (16)
где для сферической оболочки считаем 石(s。) = R, B(s) = Rsm^, a R — радиус оболочки,⑦=s/R — угол между нормалью к оболочке и осью вращения, причем тг/4 W ⑦ W Зтг/4.
Рассмотрим три эталонные задачи устойчивости сферической оболочки: при осевом сжатии, при осевом растяжении и при равномерном внешнем давлении. При осевом сжатии считаем 方i = 1 / sin2 ф,方2 =—方1・ Расчеты показали, что для подкрепленной нитями оболочки (как и для неподкрепленной оболочки (см. [3])) потеря устойчивости происходит по осесимметричной форме, причем вмятины локализованы в окрестности края оболочки.
На рис. 3 (сверху) показана зависимость от угла наклона нитей отношения Л = А/Ао критической нагрузки при осевом сжатии к ее значению для непод-
Рис. 3. Зависимость критической нагрузки сферической оболочки при осевом сжатии (сверху) и при осевом растяжении (снизу) от угла наклона нитей
крепленной оболочки. Рассмотрены те же четыре варианта расположения нитей по толщине оболочки, что и в п. 5 для цилиндрической оболочки, причем к = =1. При горизонтальном расположении нитей (夕=тг/2) критическая нагрузка не зависит от распределения нитей по толщине оболочки. Как и для цилиндрической оболочки, при 夕=7г/6, d = 0 нити не подкрепляют оболочку.На рис. 3 (снизу) приведены аналогичные результаты для потери устойчивости при осевом растяжении. В этом случае 方i = — 1 / sin2 ?/；,方2 =—方1・ Форма потери устойчивости, по-прежнему, локализуется в окрестности края, однако является циклически симметричной с большим числом волн в окружном направлении, причем вмятины сильно вытянуты в направлении образующих.В обоих рассмотренных выше случаях вмятины локализуются в окрестности края оболочки. Построенное решение является неточным по двум причинам. Во-первых, оно не удовлетворяет граничным условиям. Во-вторых, напряженное состояние в окрестности края не является безмоментным. Более точное решение задачи с учетом обоих указанных выше факторов построено в [6], где показано, что применяемый здесь локальный подход дает малую погрешность порядка /12/3 при определении критической нагрузки.При равномерном внешнем давлении 方i =力=1・ В силу формулы (16) плотность распределения нитей при постоянном угле их наклона минимальна на диаметре оболочки. Поэтому вмятины локализуются в окрестности диаметра. При этом оказывается, что критическая нагрузка вычисляется по той же формуле, что и для цилиндрической оболочки при осевом сжатии, а результаты совпадают с показанными на рис. 1, 2. Что касается формы потери устойчивости, то они идентичны описанным в п. 5. Отличие заключается в том, что у цилиндрической оболочки формы потери устойчивости занимают всю срединную поверхность, а здесь локализуются в окрестности диаметра. Для неподкрепленных оболочек локализованные формы потери устойчивости построены в [3, 6], а критическая нагрузка имеет асимптотическое разложениекрепленной оболочки. Рассмотрены те же четыре варианта расположения нитей по толщине оболочки, что и в п. 5 для цилиндрической оболочки, причем к = =1. При горизонтальном расположении нитей (夕=тг/2) критическая нагрузка не зависит от распределения нитей по толщине оболочки. Как и для цилиндрической оболочки, при 夕=7г/6, d = 0 нити не подкрепляют оболочку.На рис. 3 (снизу) приведены аналогичные результаты для потери устойчивости при осевом растяжении. В этом случае 方i = — 1 / sin2 ?/；,方2 =—方1・ Форма потери устойчивости, по-прежнему, локализуется в окрестности края, однако является циклически симметричной с большим числом волн в окружном направлении, причем вмятины сильно вытянуты в направлении образующих.В обоих рассмотренных выше случаях вмятины локализуются в окрестности края оболочки. Построенное решение является неточным по двум причинам. Во-первых, оно не удовлетворяет граничным условиям. Во-вторых, напряженное состояние в окрестности края не является безмоментным. Более точное решение задачи с учетом обоих указанных выше факторов построено в [6], где показано, что применяемый здесь локальный подход дает малую погрешность порядка /12/3 при определении критической нагрузки.При равномерном внешнем давлении 方i =力=1・ В силу формулы (16) плотность распределения нитей при постоянном угле их наклона минимальна на диаметре оболочки. Поэтому вмятины локализуются в окрестности диаметра. При этом оказывается, что критическая нагрузка вычисляется по той же формуле, что и для цилиндрической оболочки при осевом сжатии, а результаты совпадают с показанными на рис. 1, 2. Что касается формы потери устойчивости, то они идентичны описанным в п. 5. Отличие заключается в том, что у цилиндрической оболочки формы потери устойчивости занимают всю срединную поверхность, а здесь локализуются в окрестности диаметра. Для неподкрепленных оболочек локализованные формы потери устойчивости построены в [3, 6], а критическая нагрузка имеет асимптотическое разложениеА = A0 + 从 Ai +。(从2).А = A0 + 从 Ai +。(从2).(⑺(⑺В рассматриваемой задаче с нитями асимптотическое разложение критической нагрузки имеет тот же вид (17), причем Ло — найденное при локальном подходе приближенное значение, а Л1 зависит от вторых производных функции /(р, q,⑦) по р и по 2.В качестве примера найдем поправку к критическому значению по формуле (17) в случае, когда потеря устойчивости происходит по осесимметричной форме. В этом случае в точке минимума q = qa = 6 ь 2 = 2а = к2 а функция Л в силу (11) и (15) равнаВ рассматриваемой задаче с нитями асимптотическое разложение критической нагрузки имеет тот же вид (17), причем Ло — найденное при локальном подходе приближенное значение, а Л1 зависит от вторых производных функции /(р, q,⑦) по р и по 2.В качестве примера найдем поправку к критическому значению по формуле (17) в случае, когда потеря устойчивости происходит по осесимметричной форме. В этом случае в точке минимума q = qa = 6 ь 2 = 2а = к2 а функция Л в силу (11) и (15) равна011Kli@4 + △011Kli@4 + △=/(2^)・=/(2^)・(18)(18)При минимизации выражения (18) по р находимПри минимизации выражения (18) по р находимРо =Ро =△△(19)(19)
крепленной оболочки. Рассмотрены те же четыре варианта расположения нитей по толщине оболочки, что и в п. 5 для цилиндрической оболочки, причем к = =1. При горизонтальном расположении нитей (夕=тг/2) критическая нагрузка не зависит от распределения нитей по толщине оболочки. Как и для цилиндрической оболочки, при 夕=7г/6, d = 0 нити не подкрепляют оболочку.
На рис. 3 (снизу) приведены аналогичные результаты для потери устойчивости при осевом растяжении. В этом случае 方i = — 1 / sin2 ?/；,方2 =—方1・ Форма потери устойчивости, по-прежнему, локализуется в окрестности края, однако является циклически симметричной с большим числом волн в окружном направлении, причем вмятины сильно вытянуты в направлении образующих.
В обоих рассмотренных выше случаях вмятины локализуются в окрестности края оболочки. Построенное решение является неточным по двум причинам. Во-первых, оно не удовлетворяет граничным условиям. Во-вторых, напряженное состояние в окрестности края не является безмоментным. Более точное решение задачи с учетом обоих указанных выше факторов построено в [6], где показано, что применяемый здесь локальный подход дает малую погрешность порядка /12/3 при определении критической нагрузки.
При равномерном внешнем давлении 方i =力=1・ В силу формулы (16) плотность распределения нитей при постоянном угле их наклона минимальна на диаметре оболочки. Поэтому вмятины локализуются в окрестности диаметра. При этом оказывается, что критическая нагрузка вычисляется по той же формуле, что и для цилиндрической оболочки при осевом сжатии, а результаты совпадают с показанными на рис. 1, 2. Что касается формы потери устойчивости, то они идентичны описанным в п. 5. Отличие заключается в том, что у цилиндрической оболочки формы потери устойчивости занимают всю срединную поверхность, а здесь локализуются в окрестности диаметра. Для неподкрепленных оболочек локализованные формы потери устойчивости построены в [3, 6], а критическая нагрузка имеет асимптотическое разложение
крепленной оболочки. Рассмотрены те же четыре варианта расположения нитей по толщине оболочки, что и в п. 5 для цилиндрической оболочки, причем к = =1. При горизонтальном расположении нитей (夕=тг/2) критическая нагрузка не зависит от распределения нитей по толщине оболочки. Как и для цилиндрической оболочки, при 夕=7г/6, d = 0 нити не подкрепляют оболочку.
На рис. 3 (снизу) приведены аналогичные результаты для потери устойчивости при осевом растяжении. В этом случае 方i = — 1 / sin2 ?/；,方2 =—方1・ Форма потери устойчивости, по-прежнему, локализуется в окрестности края, однако является циклически симметричной с большим числом волн в окружном направлении, причем вмятины сильно вытянуты в направлении образующих.
В обоих рассмотренных выше случаях вмятины локализуются в окрестности края оболочки. Построенное решение является неточным по двум причинам. Во-первых, оно не удовлетворяет граничным условиям. Во-вторых, напряженное состояние в окрестности края не является безмоментным. Более точное решение задачи с учетом обоих указанных выше факторов построено в [6], где показано, что применяемый здесь локальный подход дает малую погрешность порядка /12/3 при определении критической нагрузки.
При равномерном внешнем давлении 方i =力=1・ В силу формулы (16) плотность распределения нитей при постоянном угле их наклона минимальна на диаметре оболочки. Поэтому вмятины локализуются в окрестности диаметра. При этом оказывается, что критическая нагрузка вычисляется по той же формуле, что и для цилиндрической оболочки при осевом сжатии, а результаты совпадают с показанными на рис. 1, 2. Что касается формы потери устойчивости, то они идентичны описанным в п. 5. Отличие заключается в том, что у цилиндрической оболочки формы потери устойчивости занимают всю срединную поверхность, а здесь локализуются в окрестности диаметра. Для неподкрепленных оболочек локализованные формы потери устойчивости построены в [3, 6], а критическая нагрузка имеет асимптотическое разложение
А = A0 + 从 Ai +。(从2).
А = A0 + 从 Ai +。(从2).
(⑺
(⑺
В рассматриваемой задаче с нитями асимптотическое разложение критической нагрузки имеет тот же вид (17), причем Ло — найденное при локальном подходе приближенное значение, а Л1 зависит от вторых производных функции /(р, q,⑦) по р и по 2.
В качестве примера найдем поправку к критическому значению по формуле (17) в случае, когда потеря устойчивости происходит по осесимметричной форме. В этом случае в точке минимума q = qa = 6 ь 2 = 2а = к2 а функция Л в силу (11) и (15) равна
В рассматриваемой задаче с нитями асимптотическое разложение критической нагрузки имеет тот же вид (17), причем Ло — найденное при локальном подходе приближенное значение, а Л1 зависит от вторых производных функции /(р, q,⑦) по р и по 2.
В качестве примера найдем поправку к критическому значению по формуле (17) в случае, когда потеря устойчивости происходит по осесимметричной форме. В этом случае в точке минимума q = qa = 6 ь 2 = 2а = к2 а функция Л в силу (11) и (15) равна
011Kli@4 + △
011Kli@4 + △
=/(2^)・
=/(2^)・
(18)
(18)
При минимизации выражения (18) по р находим
При минимизации выражения (18) по р находим
Ро =
Ро =
△
△
(19)
(19)
В формуле (17) Л1 = }^^7^，гДе производные вычисляются при 夕=夕0, ⑦=2о = тг/2. При к = 1, и = 0.3,夕=7г/6 величины Ло и Л1 в (17) для различных случаев расположения нитей приведены в табл. 1 для 夕=тг/6 п в табл. 2 для 夕= =7Г/3.
Таблица 1. Зависимость параметров критической нагрузки от d при 0 = тг/6
Ао
Ai
0
1.000
0.012
0.5
1.132
0.409
1
1.250
0.607
Таблица 2. Зависимость параметров критической нагрузки от d при 0 = тг/З
d
Ао
Ai
1
1.250
0.501
2
1.287
0.559
3
1.322
0.615
Так как мы ограничились рассмотрением осесимметричной потери устойчивости, то при 夕=7г/6 параметр d меняется в пределах 0 < d < 1, а при 夕=тг/З — в пределах 1 < d W 3 (см. также описание рис. 1).
Видим, что в силу формулы (17) для достаточно тонкой оболочки нулевое приближение (локальный подход) для критической нагрузки дает хорошую точность.
Как и для неподкрепленных оболочек, критическая нагрузка не зависит от граничных условий на краях оболочки (за исключением случаев слабого закрепления краев).
Устойчивость конической оболочки при осевом сжатии. Для конической оболочки при осевом сжатии критическая нагрузка и форма потери устойчивости те же, что и для цилиндрической оболочки. При постоянном угле наклона нитей в силу формулы (16) плотность нитей минимальна на краю оболочки с большим радиусом, поэтому форма локализуется в окрестности этого края. Плотность нитей в окрестности узкого края оказывается излишне большой. Здесь решается задача об изменении угла наклона нитей таким образом, чтобы все горизонтальные сечения оболочки были в равной мере предрасположены к потере устойчивости. Решение этой задачи ведет к экономии объема нитей.
Рассмотрим коническую оболочку с параметрами: радиус нижнего основания R = 1, длина образующей Е = 1, угол при вершине конуса 2/3 = тг/6, параметры жесткости нитей k = d = 10 (нити равномерно распределены по толщине оболочки), угол наклона нитей вблизи нижнего основания Oq = 65°. При рассматриваемых ниже значениях угла намотки нитей 夕 исходя из рис. 1, 2 оболочка теряет устойчивость по осесимметричной форме.
Найдем закон изменения угла 夕(s), при котором критическая нагрузка не зависит от s, где s — длина дуги образующей, отсчитываемая от нижнего основания. С этой целью решаем уравнение А(仇 s) = Л(^о, 0). Результаты представлены на рис. 4.
Расчеты показывают, что при таком выборе угла намотки объем нитей уменьшается на 18 % без увеличения критической нагрузки.
Заключение. Представленный материал позволяет судить о подкрепляющем действии нитей в зависимости от формы оболочки, параметров намотки и действующей нагрузки. В основу анализа положен локальный подход, при котором переменные коэффициенты замораживаются, а граничные условия игнорируются. Локальный подход приводит к простому приближенному аналитическому решению
задачи. Если форма потери устойчивости локализуется в окрестности края оболочки, погрешность приближенного решения больше, чем при локализации вдали от края. В последнем случае найдена поправка к критической нагрузке, определяемой при локальном подходе. Локальный подход позволяет проводить оптимизацию намотки, ведущую к экономии нитей.
Список литературы
Работное Ю. Я. Локальная устойчивость оболочек 〃 ДАН СССР. 1946. Т. 52, № 2. С.111-112.
Ширшов В.П. Локальная устойчивость оболочек 〃 Тр. 2 Всесоюзн. конф, по теории оболочек и пластин. Киев, 1962. С. 314-317.
Товстик 〃. Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. М.: Наука, 1995. 320 с.
Гольденвейзер А. Л. Теория тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.
Haseganu Е.М., Smirnov A.L., Tovstik Р.Е. Buckling of thin anisotropic shells 〃 Trans CSME. 2000. V. 24, № 18. P. 169-178.
Smirnov A.L., Tovstik P.E. Asymptotic methods in the buckling theory of elastic shells. World Scientific. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 2002. 347 p.
КОНЦЕНТРАТОРЫ ДЕФОРМАЦИЙ И РАЗРУШЕНИЕПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ
А.И. Хромов, А. А. Буханько, С.Л. Степанов
Институт проблем механики РАН
Предлагается подход к исследованию областей резкого изменения формы как концентраторов деформаций. Определение полей деформаций в окрестности концентратора проводится на основе теории идеального жесткопластического тела и в условиях плоской деформации сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследуется зависимость деформаций от изменения формы и положения пластической области в процессе пластического течения. Показана неединственность пластического течения (в рамках полноты решения). Предлагается деформационный критерий выбора предпочтительного пластического течения. Рассматривается задача о разрушении полосы с V-образными вырезами.
На основе полученных решений формулируется подход к исследованию процессов разрушения для более сложных моделей тел.
Определение полей деформаций. За меру деформаций принимается тензор конечных деформаций Альманси 石打•：
瓦尸｝®也*.)(2=1,2,3),(1.1)
который связан с тензором скоростей деформаций 勺и вектором скоростей перемещений Vi соотношением
嘗 + Е小М + ElkVkd + ЕМ =町(z, j= 1,2,3),(1.2)
%」(/ + "")•(1・3)
Ниже рассматривается плоская деформация идеального жесткопластического тела [1].
Уравнения (1.2) описывают процесс накопления деформаций в областях с непрерывным полем скоростей перемещений. В пластической области и на жесткопластической границе могут быть линии и точки разрыва скоростей перемещений, которые являются линиями скольжения или центрами вееров линий скольжения. На этих линиях и точках компоненты тензора скоростей деформаций принимают бесконечные значения, и для расчета полей деформаций в их окрестности необходимы другие соотношения, которые должны описывать процесс локализации деформаций.
В [2] на основе теории разрывов Адамара-Томаса получены соотношения, определяющие деформации на линии разрыва скоростей перемещений.
Исследуем поле деформаций в окрестности центра веера линий скольжения (рис. 1).
殴殴矶力)6(%)矶力)6(%)Рис. 1Рис. 1Ж1Ж1
殴
殴
矶力)
6(%)
矶力)
6(%)
Рис. 1
Рис. 1
Ж1
Ж1
площадками максимальных касательных напряжений, расположенных под углом 7г/4 к первому главному направлению тензора напряжений о叮，откладываемому соответственно по и против часовой стрелки. Пусть точка О движется со скоростью т = а(方)5 + b(方)，Рассмотрим подвижную ортогональную криволинейную систему координат, связанную с семействами а, /3-линий скольжения, с началом координат в точке О. В этой системе координат система уравнений (1.2) может быть приведена к виду [3]
9^i + If 力 + ||同—2)(e— l/2)sin2(6> —⑦)—gc = 0,(1.4)
f _ и — (a cos 夕 + b‘ sin 夕) , _ —v — (a‘ sin 夕一b‘ cos 夕)J1 —， J 2 —,
\ (dv , 、1 / du 、\ (dv , \ , 1 f du 、
где е = (Ей + 石22)/2, g = J(Eii —石22尸 + 4石^ / 2, 7 = J(Fi - £22尸 + 公^ / 2; О, ф — углы наклона первого (алгебраически наибольшего) главного направления тензоров Eij, £叮；R, S — радиусы кривизны семейств а, /3-линий;夕=а + /3 — угол наклона ct-линии к оси 力i； 〃，о — проекции скорости перемещений на а, /3 направления в исходной неподвижной системе координат.
В окрестности центра веера, при R — 0, система уравнений преобразуется к виду
|| / + gcos2("⑦)=0,* / + (е — 1/2) cos2(^ —⑦)=0,
2磽 / — (е Т/2) sin 2("啰—g = 0,(1.5)
_ \и — (с/ cos а + У sin а)]
{dv/da + и)
Течение жесткопластического материала по каналу постоянной высоты с круговым изгибом и угловой точкой (рис. 2). Предполагается, что нижняя поверхность канала абсолютно шероховатая, а верхняя — абсолютно гладкая. При таком течении центр веера О АВ неподвижен, поэтому
從⑴= У("=0,案=0,(2.1)
/3-линии — прямые, а-линии — окружности. В выбранной системе координат 力i,力2
2 = q + tt/4, а\ол = -7t/4.(2.2)
Система уравнение (1.5) примет вид
+ +gcos2("V0 =0, 学+ (е— 1/2) cos2(6» —⑦)=0,
2唠—(e — 1 /2) sin 2("⑦)—g = 0.
Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующие интегралы:
д? - (е - 1/2)2 = const, psin 2(夕一⑦)一е = const.(2.4)
Если материал до попадания в веер О АВ не деформировался, то
е。=。， 9о =。，細=^loa =。・(2.5)
При граничных условиях (2.2), (2.5) интегралы (2.4) запишутся в виде
g =，&2 - & , е = gsin2(e -⑦).(2.6)
Третье уравнение (2.3) преобразуется к виду
—4黑 + sin2 2(6» — а — 7г/4) + 3 = 0.(2.7)
Интегрируя (2.7) при 夕。=0, получим
2tg2(夕一а - 7г/4) = -а + 7г/4.(2.8)
Согласно (2.6), (2.8) распределение деформаций в окрестности точки О определяется в виде
=(а - 7г/4)2= (а - 7г/4)2
，9~ 4sin2(e —吵)，
^ = 2 arctg—丿 + а + %•
Удельная мощность диссипации энергии определяется выражением
D = QijEij = 2ттах£тах,(2.10)
где Tmax — максимальное касательное напряжение, £тах — максимальная скорость сдвига:
Ттах = &'隱 +〃) Y 億—(2.11)
В рассматриваемом пластическом течении (рис. 2) траектории движения частиц совпадают с семейством линий скольжения а и являются окружностями с центром в точке О:
*=0, |^ =0, 〃 =『，。=0, 5 = 00.(2.12)
Поэтому
D = 2kV.(2.13)
Время нахождения частицы в веере Т =牛，где 8 — угол нахождения частицы внутри веера линий скольжения /3, отсчитываемый от линии О А.
Удельная диссипация энергии частиц в окрестности точки О определится в виде
W = ^Ddt = 2Ы, W =^ = 28.(2.14)
о
На рис. 2 дано также распределение деформаций в окрестности точки О при
1 . неподвижном центре веера и при его движении вниз со скоростью т = —
что соответствует пластическому течению при внедрении с единичной скоростью плоского штампа в полупространство. Откуда следует, что распределение деформаций в окрестности центра веера линий скольжения существенно зависит от его движения.
Растяжение полосы с V-образными вырезами. Рассмотрим возможные пластические течения при растяжении жесткопластической полосы с симметричными относительно осей 力i,力2 угловыми вырезами. Пусть нижние и верхние
концы полосы движутся со скоростями V = 1 соответственно вверх и вниз относительно ОСИ 力2 (рис. 3).
Положения пластической области и жесткопластической границы в начальный момент времени определяются неоднозначно.
На рис. 3 представлен вариант возможного пластического течения в начальный момент времени (t = 0). Жесткие области полосы заштрихованы. Пластическая область заключена в двух треугольниках AFG, A\F\G\ и двух веерах A\F\E, AEF. Линии AiEFH и AEF\Hi являются линиями разрыва скоростей. Статически допустимое продолжение поля линий скольжения представлено пунктирными линиями аналогично [4], при этом свободные поверхности должны находиться внутри полосы.
Граничные условия для скоростей перемещений
(3.1)(3.1)—на a-линии EFG: v = V cos 夕,
(3.1)
(3.1)
—на /3-линии АЕ: “ =—
где 夕—угол наклона a-линии к оси 力>
Поле скоростей перемещений в пластической области описывается соотношениями:
—внутри веера линий скольжения EAF
o = cosg, и = sm(p - д/2 , 夕 G(3.2)
—в области AFG компоненты скоростей “，о вычисляются по (3.2) при 夕= 7Г
Развитие пластического течения при t > 0 неоднозначно, так как положение пластической области может изменяться. Это изменение можно связать с изменением положения центра веера линий скольжения (точка А).
Будем задавать движение точки А вектором т = m(cos , i + sin7 j). Возможное преобразование окрестности точки А представлено на рис. 3 в виде поля вектора
скорости перемещения 匕 свободных поверхностей полосн: поверхностей, соответствующих линиям 4G, AG', перемещающихся как жесткое целое в положение линий А1 А2, А4А5; вновь образующихся поверхностей из точки А, вследствие перемещений частиц в веере линий скольжения EAF и на линии разрыва скоростей ЕА — положение линий А2А3, А3А4.
Для существования статически допустимого продолжения поля напряжений в нижнюю часть полосы точка А должна находиться на линии А1 А2 А3 А4 А5 в самом узком месте полосы. Кроме того, вновь образующийся элемент свободной поверхности (А4А*) должен составлять с осью х\ угол 8i W 8 [4]. Из этих рассмотрений следует, что возможные направления движения точки А определяются положением конца вектора т между точками А2А* (笳=8 при А*), поэтому
m • n = Vn, Vn = cos 5 + 1, 八={-sin 8, cos 8}
從=COS, ” 1 cos (⑦ + 8), bf = c°s，” 1 sin (⑦ + 8),sin殁sin殁
и точка А может перемещаться только по подвижной свободной поверхности AG.
Рис. 4
Интегрируя систему уравнений (1.5), можно получить распределение деформаций в окрестности точки А (рис.4). Анализ этих распределений показывает, что минимальные деформации достигаются при угле 7, соответствующем точке А* (при Ji =8), т. е. когда вновь образующийся элемент свободной поверхности является продолжением недеформированной свободной поверхности без излома.
на два этапа: первый — в веере EAF, второй — на линии разрыва скоростей АЕ. Алгоритм расчета деформаций для этого процесса подробно описан в [5].
Будем считать, что предпочтительным является пластическое течение, приводящее к меньшим деформациям [6-8]:
inf sup 石1,
где Q — пластическая область, dQ — возможные изменения пластической области. Этот критерий можно считать одним из возможных обобщений экстремальных принципов неравновесной термодинамики [7].
При 瓦=» в процессе деформирования V-образный вырез в полосе остается симметричным относительно линии АА\, и в пластическом состоянии в последующие моменты времени могут находиться как верхний так и нижний концы полосы. Это приводит к неоднозначности пластического течения. Например, если на начальном этапе t 6 [0, △方/ вектор т был направлен в верхнюю часть полосы, то в следующем интервале времени t 6 [△方i, △方2] пластическая зона может располагаться в нижней части полосы, и вектор т будет направлен вниз. Движение точки А будет зигзагообразным. Описание этого процесса требует привлечения другого уровня описания поведения материала при деформировании, например учитывающего его микронеоднородность.
Расчеты показывают, что при уменьшении 5 точка А* приближается к точке 厶4 и при 5 = 52,362° совмещается с ней. При этом коэффициент /0 и supEi —
о
—0.5. Из этого следует: при 8 < 52,362° пластическое течение полосы возможно лишь при разрушении материала в окрестности точки А.
Решения Е. Ли [9] и О. Ричмонда [10]. Решение [9] предполагает симметричное пластическое течение относительно двух осей х\,力2，и имеет два варианта: первый — с жесткопластической границей по линиям DfxC[B\OBCD и D\C\B\OB®D, второй — с жесткопластической границей по линиям G\F、EFH и C；F[E‘F'G'. Анализ поля скоростей этих решений показывает, что скорости движения точек А и А7 направлены вдоль оси х\ и превышают соответствующие скорости движения частиц в окрестности точки А. Это возможно только при разрушении материала в этих областях.
Решение [10] также предполагает симметрию пластического течения относительно осей 力1,力2, и в начальный момент времени поле линий скольжения совпадает со вторым вариантом течения [9], но в отличие от этого область A\EAEf предполагается находящейся в пластическом состоянии со специальным (кинетически возможным) полем скоростей перемещений, непрерывным на жесткопластической границе и задающим вращение свободных поверхностей 4G, A\G', AGf, AiGp сохраняя их прямолинейными. Анализ поля скоростей перемещений в окрестности точек А, А, так же как и в решении [9], показывает, что эти точки внедряются в тело полосы.
Таким образом, известные решения [9, 10] имеют существенные кинематические противоречия. Указанные противоречия могут быть исключены, согласно п. 3, если отказаться от предположения о симметричности пластического течения относительно оси х\.
Пластическое течение полосы при 8 < 52,362°. Поставим задачу об определении предпочтительного пластического течения (при 8 < 52,362°) с разрушением при следующем предположении: вид поля линий скольжения остается неизменным (/3-линии прямолинейны), и существует статически допустимое продолжение поля линий скольжения в жесткие области. Требуется определить
(6.1)(6.1)
(6.1)
(6.1)
направление разрушения (направление движения точки А — вектор т): угол)? и максимальные деформации (supEi，0,5) в окрестности точки А, допускающие
существование продолжения.
При пластическом течении с разрушением в окрестности точки А происходит образованием двух новых элементов свободной поверхности: А*А4, А*А6, определяющих «берега» трещины (рис. 5). Углы наклона 81, 82 должны допус
кать статически допустимое продолжение поля линий скольжения [4]. Для этого необходимо, чтобы зеркальное отображение поля линий скольжения относительно линии AAi на нижнюю часть полосы находилось внутри полосы. Угол раскрытия веера EAF может изменяться, и свободные поверхности AA4G, AA^Gf могут быть ломаными и выпуклыми. Кинематическая допустимость таких решений и их полнота показаны в [11, 12]. Необходимым условием полноты рассматриваемых решений является условие: прямая линия 厶*匕‘ находится внутри области AGF. Из уравнений (1.5) следует, что sup Ei — 0 при увеличении скорости движения вершины трещины (т — оо). Поэтому может быть сформулирована задача о нахождении пластического течения с разрушением при наибольших возможных деформациях ( sup sup 石1 ). Такое течение будет соответствовать минимальной скорости движения вершины рис. 5 представлено поле скоростей в окрестности центра
веера при различных углах выреза 8.
При предположении о прямолинейности линий скольжения семейства /3 и, как
следствие, прямолинейности свободной поверхности у «берегов» трещины искомое пластическое течение будет реализовано, если вершина трещины будет находиться на продолжении подвижной свободной поверхности (瓦=8). При 瓦=82 = 8 существует статически допустимое продолжение поля линий скольжения в нижнюю часть полосы. Это условие, аналогично п. 3, позволяет располагать пластическую область в различные промежутки времени в верхней и нижней частях полосы, что объясняет экспериментально наблюдаемое зигзагообразное распространение
трещины.
Разрушение полосы с V-образными вырезами. Примем за критерий разрушения материала критерий [8]: разрушение материала происходит, если деформации достигают в вершине трещины критической величины
supEi = Е*.о
Отличие рассматриваемого пластического течения от п. 5 состоит в том, что максимальные деформации (石1) здесь ограничиваются определенной величиной Е*, являющейся константой разрушения материала. В п. 5 механические свойства материала не учитывались.
мирования полосы, по сравнению с пластическим течением без разрушения для углов 8 > 52,362°, максимально (supЗА).
Для углов 5 W 52,362° за основное пластическое течение, с которым производиться сравнение, следует принять пластическое течение, рассмотренное в п. 5.
Разрушение пластических тел. Рассмотренный подход к описанию процессов разрушения идеальных жесткопластических тел может быть обобщен для тел с более сложной реологией (упругопластических, упруговязкопластических и т. д.).
Рис. 6Рис. 6
Рис. 6
Рис. 6
|V
Пусть в теле из упругопластического материала имеется макротрещина (с углом раскрытия 28) (рис. 6) с вершиной в точке А. Будем предполагать, что в окрестности вершины трещины поведение материала адекватно описывается жесткопластической моделью (область AGFЕОЕ卞G，А). Поле линий скольжения совпадает в верхней части полосы с п. 5 и симметрично продолжено в нижнюю часть. Пластическая область окружена упругой областью.
Для определения поля деформаций в окрестности вершины трещины, используя систему уравнений (1.5), необходимо определить поле скоростей в пластической области (для определения коэффициента А) и иметь начальное распределение деформаций (для постановки начальных условий системы уравнений (1.5)). Это легко сделать, определив нормальные скорости перемещений на пластической границе G‘F‘E'OEFG. За начальное распределение деформаций при t = 0 примем со = 0, до = 0 во всей пластической области.
Определение нормальных скоростей перемещений на пластической границе предполагает решение упругой задачи для тела в целом, содержащего рассматриваемую трещину, при заданных напряжениях на пластической границе и существенно зависящих от нагрузок, приложенных к упругим областям. Размеры пластической области естественно определять из условия минимальности пла-
стической области (характерного линейного размера, например отрезка АВ), при сохранении полноты решения.
Пусть к пластической области по линии ЕВЕ' примыкает упругая область ЕНН'Е' с однородным полем напряжений и скоростей деформаций, которая растягивается со скоростью V на линиях ЕН, Н‘Е‘ соответственно вверх и вниз. Определим скорости перемещений на линии ЕЕ' из решения упругой задачи для области ЕНН'Е'. Считая область AEEf находящейся в пластическом состоянии, легко найти нормальные скорости на линиях скольжения АЕ - “，АЕ' - о. Распределения этих скоростей будут близки к линейным и их значения в точке А определяются в виде: ua =Y
При больших модулях упругости распределение нормальных скоростей перемещений на линии EFG будет близким к жесткому телу, т. е. начальное распределение деформаций в окрестности точки А будет определяться согласно п. 6. Коэффициент / в системе уравнений (1.5) примет вид
р _ ua a cos а - У sin аил + дул/да '
или, учитывая, что
а! = mcos7， У = msin7，
va = V cos а,sin а,
да
у _ 1 + my cos(7 - а)
+ sin а '
где ту = m/V.
Заметим, что коэффициент / не зависит от величины V и поэтому не зависит от упругих констант, определяющих распределение скоростей перемещений на линии ЕЕ： Далее расчет полей деформаций и процесса распространений трещины совпадает с п. 6, но линии скольжения АЕ, АЕ' не являются линиями разрыва скоростей перемещений.
В настоящей статье рассмотрен подход к описанию процесса распространения трещины в начальный момент времени при деформационных критериях разрушения. В последующие моменты времени необходимо учитывать накопление деформаций в пластической области и возможное изменение берегов трещины, что отразится на начальных условиях для системы уравнение (1.5).
Заметим, что в рассмотренном подходе уравнение (6.1) может быть использовано для определения угла раскрытия трещины 28 при постоянной скорости движения ее вершины из условия sup sup Е\ = Е*.
Список литературы
Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 529 с.
Хромов А. И. Локализация пластических деформаций и разрушение идеальных жесткопластических тел 〃 ДАН. 1998. Т. 362, № 2. С. 202-205.
Хромов А. И. Деформация и разрушение жесткопластических тел. Владивосток: Даль- наука, 1996. 181 с.
Bishop J.F. W. On the complete solution to problems of deformation of a plastic-rigid material 〃 J. Mach, and Phys. Solids. 1953. V. 2, № 1. P. 43-53.
Буханько А. А., Хромов А. И. Поля деформаций при внедрении клинообразных и плоских штампов 〃 Дальневосточный математический журнал. 2002. Ч. 3, № 2. С. 311-319.
Хромов А. И. Деформация и разрушение жесткопластической полосы при растяжении 〃 Изв. РАН. МТТ. 2002. № 1. С. 136-142.
Хромов А. И., Козлова О. В. Разрушение жесткопластических тел. Константы разрушения. Владивосток: Дальнаука, 2005. 159 с.
Хромов А. И. Локализация пластических деформаций и разрушение жесткопластических тел, константы разрушения 〃 Проблемы механики: сб. ст. К 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского / Под. ред. Д. М. Климова. М.: Физматлит, 2003. С. 762775.
Lee Е.Н. Plastic Flow in a V-Notched Ваг Pulled in Tension 〃 J. appl. Meeh. 1952. V. 19. P. 331-336.
Richmond O. Plane strain necking of V-notched and un-notched tensile bars 〃 J. Meeh. Phys. Solids. 1969. V. 17. P. 83-90.
Быковцев Г. И., Хромов А. И. Плоская задача о вдавливании жесткого штампа в идеальное жесткопластическое полупространство 〃 Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 6. С. 4752.
Быковцев Г. 〃., Хромов А. И. Плоская деформация идеальных жесткопластических тел с учетом изменения границы 〃 Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 2. С. 71-78.
НЕКОТОРЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ НЕУПРУГОГОДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ
ТЕЛ
И. Ю. Цвелодуб
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск
В работе [1] представлен обзор полученных в лаборатории статической прочности Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН результатов в области обратных задач (ОЗ) механики деформируемого твердого тела. В частности, отмечен класс 03 о деформировании и разрушении физически нелинейных неоднородных сред и упомянуты соответствующие публикации, относящиеся к 2000-2002 гг. Ниже приводятся некоторые новые результаты автора в этом направлении.
Указанные выше статьи 2000-2002 гг. посвящены плоским ОЗ, к которым можно добавить следующие. В работе [2] рассмотрены два типа физически нелинейных неоднородных сред: линейно-упругая плоскость с различными нелинейно-упругими эллиптическими включениями (ЭВ) и линейно-вязкая плоскость с различными ЭВ из материала, обладающего свойствами нелинейной ползучести и повреждаемости. Включения удалены друг от друга настолько, что взаимным влиянием каждого ЭВ на напряженно-деформированное состояние (НДС) любого другого можно пренебречь. Исследуются задачи о возможности выбора таких нагрузок на бесконечности, которые для любых двух ЭВ обеспечивают требуемые величины главного касательного напряжения (в первом случае) или главной скорости сдвига (во втором). Получены условия существования решения этих задач для несжимаемых сред, находящихся в условиях плоской деформации. Заметим, что во втором случае можно ставить задачу об оптимальном разрушении двух ЭВ, т. е. о разрушении каждого из них за заданное время.
В работе [3] рассмотрена изотропная упругая плоскость с удаленными друг от друга ЭВ, полные деформации которых складываются из упругопластических деформаций и деформаций ползучести. Скорости последних зависят от напряжений и параметра поврежденности, который изменяется от нуля (в недеформированном состоянии) до единицы (в момент разрушения). В процессе предварительного упругопластического деформирования и последующей упругой разгрузки в данной неоднородной среде создано поле остаточных напряжений. В дальнейшем внешние силы отсутствуют, вследствие чего реализуется релаксационный процесс, т. е. падение уровня напряжений. Возникает вопрос о возможности разрушения ЭВ, т. е. достижения параметром поврежденности предельного значения, равного единице. В [3] получены условия, при которых: а) разрушение произойдет; б) разрушение невозможно. Аналогичная задача решена для случая постоянных во времени нагрузок, действующих на бесконечности.
У* внешними границами которых являются кусочно-гладкие поверхности S n S* (S* отделяет V от『*), а определяющие уравнения имеют вид
^kl = ^klmn^mni ^kl = ^klmn^mn (卜，/ = 1,2, 3) В V, (1)
^=4/шпСп + < (k,/= 1,2,3) в 『*. (2)
В (1) и (2) приняты обычные обозначения для деформаций и напряжений; a^imn и bkimn — компоненты взаимно обратных тензоров; по повторяющимся индексам проводится суммирование от 1 до 3. Неупругие деформации £^『являются суммой пластических деформаций и деформаций ползучести и в любой момент времени t > 0 удовлетворяют интегральным условиям устойчивости, упомянутым В [1].
ОЗ связаны с нахождением внешних воздействий, обеспечивающих заданную текущую или остаточную форму включения, и формулируются следующим образом.
Задача 1. Какие перемещения 〃卜 необходимо сообщить поверхности S (или какие нагрузки рк приложить к S), чтобы перемещения точек границы S* включения У* принимали требуемые значения 碗 = 碗(力；，方)，娥 e S* (k, / = 1,2, 3), 。，方 W 方*? При t < 0 область У* U V находилась в недеформированном состоянии. На границе 3* поля нагрузок 夕卜=о^八;(八;—компоненты единичного вектора нормали к S*) и перемещений 〃卜(к = 1,2, 3) непрерывны. Задача геометрически линейна.
Задача 2. Требуется определить внешние нагрузки 夕卜=夕卜(力厶方)(или перемещения 〃k = 〃к(力%,方))，力卜 е S, такие, чтобы в любой момент t (О V 方 < 方*) выполнялось условие: остаточные перемещения и^ = /(方)£^*(力；，方)，力^ e S*, где 刃总 (к = 1,2, 3) и /(t) — заданные функции (/(0) = 0, /(方*) = 1). Под и^ понимаются те перемещения, которые остались бы на S* после мгновенного снятия в момент t текущих внешних нагрузок 夕卜(力厶方)，x^ E S (k = 1,2, 3) и упругой разгрузки. Условия непрерывности на S* и условия при t < 0 — те же, что и в задаче 1.
Показано, что в соответствующих классах функций существует единственное решение, непрерывно зависящее от исходных данных на S*, задачи по определению НДС в области У* по известным текущим “^ или остаточным 刃^ перемещениям на S*. Следовательно, в обеих задачах нахождение НДС в области V сводится к решению задачи (и, р) (когда на S* известны перемещения и нагрузки, а на другой части границы S области V условия не определены), которая относится к классу условно корректных задач теории упругости [1].
Рассмотрен случай задачи 1, когда область V изотропна, а перемещения точек S* линейны относительно 力^ G S*. Тогда (в предположении, что “^ = 0, (к = =1,2,3)) в точке (0,0,0) е 匕*) будут иметь место равенства
唬=喉2 ⑴/:，4 eV* (k= 1,2,3), ⑶
где 嗚=叫⑴—заданные функции. Отсюда 2喷=叫 + 唸，поэтому НДС в У* будет однородным. В этом случае задача допускает замкнутое решение, для построения которого можно воспользоваться результатами работы [6], где рассматривалось упругое пространство с нелинейным включением У* подвергнутое действию внешних сил, которым в отсутствие включения V* соответствуют напряжения о壶=о壶(г,方)и перемещения и^ = u^°(r,t), и были получены соот-
ношения:
Uk(r,t) = v^(r,t) + F£r,t),母(广,方)=I Фрд(6 t)Ukp^r - <) dV«) (к =1,2,3),
广=(力1,力2,力3)，0 < |r| < ОО, £ = (Wl,&,&) e『*,(4)
① 0q = O^q — bpqmn 喙n， ^£mn = Um,n + Un,m^
где Ukp — компоненты тензора Кельвина-Сомильяны, индекс q после запятой означает производную по xq.
Из (4) вытекают равенства
<(r,方)=碱(丁,方)-以(几方)(k = 1,2, 3), r GV*,(5)
где u^ определены в (3).
Функции 〃号 из (5) — аналитические в У* поэтому их можно продолжить в область У и за ее границу (если V — конечна). При известных функциях 啖= =u^(r, t), 0 < |r| < оо, из (4) находятся 〃卜=u^(r, t), г e V, а следовательно, uk = 〃“s,方)，Pk = Pk(rs,方)(k = 1,2, 3), rs G S.
В случае эллипсоидального физически нелинейного включения (ЭФНВ) функции Fk из (4) являются линейными относительно г и из (3), (5) следует, что 〃号—также линейны, а напряжения о壶 конечны при |г| — оо. Соотношения, связывающие НДС в бесконечно удаленных точках среды и в ЭФНВ, приведены в [5]. Там же рассмотрены некоторые примеры, в частности включения в виде сплющенного и вытянутого сфероидов, проявляющие свойства нелинейной ползучести и повреждаемости. Получены условия, при которых под действием постоянных напряжений на бесконечности разрушение сфероидов будет (или не будет) иметь место.
Список литературы
Цвелодуб И.Ю. Некоторые обратные задачи механики деформируемого твердого тела 〃 Проблемы механики: Сб. ст. к 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. С. 776-782.
Цвелодуб И.Ю. Некоторые обратные задачи о деформировании и разрушении физически нелинейных неоднородных сред 〃 ПМТФ. 2003. Т. 44, № 5. С. 138-143.
Цвелодуб Я. Ю. Моделирование процессов разрушения физически нелинейных неоднородных сред 〃 Вычисл. технологии. Т. 8. Регион, вестн. Востока. Т. 8, № 3. (Совмест. вып. по материалам Междунар, конф. «Вычислит, и информац. технологии в науке, технике и образовании», Усть-Каменогорск, 11-14 сентября 2003 г.) Ч. 3. 2003. С. 241-247.
Цвелодуб И.Ю. Обратные задачи деформирования и разрушения неупругих неоднородных тел 〃 Всерос. шк.-семинар по современным проблемам механики деформируемого твердого тела: Сб. докл. Новосибирск, 2003. С. 247-252.
Цвелодуб И.Ю. Эллипсоидальное физически нелинейное включение в линейно-упругой среде 〃 ПМТФ. 2004. Т. 45, № 1. С. 84-91.
Вакуленко А. А., Севостьянов И. Б. Включение с нелинейными свойствами в упругой среде 〃 Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Л.: ЛИСИ, 1991. С. 8-16.
САМОРАЗРУШЕНИЕ
Г.П. Черепанов
Майами, Флорида, США, Почетный академик Нью-Йоркской Академии наук
Представьте себе, что кусок твердого стекла вдруг разлетается на мелкие частицы пыли подобно взрывчатке ТНТ. Разница лишь в том, что ТНТ разлетается на молекулы порядка 10-9 м, а стеклянные частицы пыли — порядка 10-6 м или 10-5 м, и их химический состав — тот же, что и сплошного стекла. В 1967 г. я и покойный Лев Александрович Галин занялись исследованием этого явления, которое мы называли самоподдерживающимся разрушением или, короче, саморазрушением.
Ниже дается краткое изложение теории саморазрушения и обсуждается саморазрушение торгового центра в Нью-Йорке 11 сентября 2001 г., инициированное самолетами террористов.
Введение. Теплая южная осень 1965 г. Алма-Ата. Советский город яблок, хурмы, лагмана, лепешек, вяленой конины и приветливых людей. На краю степи, у подножия высоких гор. Меде о тогда было еще без катка. Это мой второй визит в Казахстан; первый раз был в 1955 г. — поднимал целину в Кустанае. Конференция по механике горных пород, проводимая Ержановым. Читаю свой доклад по разрушению горных пород: трещина в сжатом теле. После доклада ко мне подходит уверенный коренастый парень, представляется: Евгений Иванович Шемякин. Его вопросы — по существу, копает глубоко, чувствую перчатку. Так состоялось мое знакомство с Евгением Ивановичем. Тогда он был еще кандидатом, руководил лабораторией в Институте Горного Дела Академии Наук СССР в Новосибирске. Потом он быстро обогнал меня и был заслуженно избран академиком Советской Академии за свои выдающиеся труды в области горного дела и, особенно, в области разрушения горных пород. Хотя наши последующие встречи были немногочисленны, мое чувство симпатии к этому человеку сохранилось навсегда.
Рассматриваемая ниже проблема является, в какой-то мере, продолжением того моего доклада сорок лет тому назад. Только трещин — не одна, а так много, что я перестаю заботиться о каждой отдельной трещине и рассматриваю разрушенный материал, состоящий из множества отдельных частиц, как специфическую сплошную среду, а границу между разрушенным и неповрежденным материалом считаю поверхностью разрыва — фронтом разрушения или волной разрушения. На фронте разрушения происходит своеобразный фазовый переход неповрежденного материала в разрушенное состояние.
При всестороннем гидростатическом сжатии поликристаллические материалы и стекла остаются упругими и не разрушаются вплоть до чрезвычайно высокого давления. Это означает, что их внутренняя упругая энергия может быть очень большой (подобно внутренней химической энергии ТНТ). Внутренние сжимающие напряжения в таких условиях намного превышают величину прочности при одностороннем сжатии. Такое состояние материала и конструкции будем называть перенапряженным состоянием. (В термодинамике оно называется метастабильным: под действием некоторого малого возмущения метастабильная система может
динамически перейти в более стабильное состояние.) Если внезапно освободить от внешнего давления даже малую часть поверхности такого тела, она станет очагом разрушения и внутренняя упругая энергия будет освобождаться, переходя в поверхностную и кинетическую энергию твердых частиц в волне разрушения. По существу, волна разрушения аналогична детонационной волне в ТНТ.
Таким образом, саморазрушение — это внезапное разрушение перенапряженных конструкций и материалов на мелкие частицы под действием некоторого сравнительно малого возмущения, происходящее в волне разрушения. Классические примеры — саморазрушение Батавийской слезки, а также горные удары и выбросы угля в глубоких шахтах, хорошо известные горнякам. Саморазрушение стекол легко воспроизвести в лаборатории, как это было впервые показано в 1967 г. [1]. Саморазрушение торгового центра в Нью-Йорке 11 сентября 2001 г. — наиболее известный пример недавнего времени [2, 3].
Стреляние горной породы. Точные условия возникновения волны разрушения —неизвестны. Мы знаем только вполне определенно, что для этого необходим достаточно большой запас внутренней упругой энергии. Хотя эта энергия может быть очень велика, что вызовет стреляние, т. е. отлетание кусков материала с его поверхности, волны разрушения и саморазрушения материала может не быть. Стреляние горной породы, опять-таки, хорошо известно горнякам.
Рассчитаем величину скорости куска породы, отлетевшего от свободной поверхности целика и забоя. В начальный момент полета его упругая энергия равна u = ^^v。，(1)
где Е — модуль Юнга, Nv — объем куска, а\ и а2 — главные напряжения в точке откола. Эта энергия переходит в кинетическую энергию полета
К= &V。％,(2)
где р — плотность породы, V/ — скорость полета куска.
Приравнивая (1) и (2), получаем
⑶
Например, при р = 3 г/см3, Е = 5 • 103 кг/мм2 и ai = а2 = 100 кг/мм2 имеем: Vf = 10 м/с.
Волна разрушения. Теперь допустим, что волна разрушения возникла. Требуется найти скорость волны разрушения, а также скорость и плотность разрушенного материала за волной разрушения. На волне разрушения имеют место [1, 4, 5]:
условие сохранения массы
Pq (V - °о) = pF <У -叮)；(4)
условие сохранения импульса
-。0 + 0о (V - oof = —°f + Pf (У -。" ；(5)
условие сохранения энергии
(V -。0)2 丄 Uo aо _ (V -2 丄 Up 丄 D小
51= Б11.⑼
200002pF PF PF
Здесь: индекс 0 относится к неразрушенному материалу перед волной разрушения, индекс F — к разрушенному материалу за волной разрушения, V — нормальная скорость волны разрушения, о — скорость материала, нормальная к фронту разрушения, /)и U — плотность и упругая энергия материала, приходящаяся на единицу объема, а — напряжение, нормальное к фронту разрушения, D — поверхностная энергия разрушенного материла, приходящаяся на единицу объема(0 — плотность).
⑼(10)⑼(10)Уравнения (4), (5) и (6) можно преобразовать к следующему виду:
⑼
(10)
⑼
(10)
1 _
Ро
⑺
aQ- aF = pQ (V -00)(叮-00),(8)
Ограничимся простейшим случаем, когда
vq = 0, стр = 0, Up = 0.
В этом случае предполагается, что скорость неразрушенного материала мала по сравнению со скоростью волны разрушения и со скоростью разрушенного материала, т. е. о。« V п о。«。尸• Кроме того, считается, что разрушенный материал теряет связность, так что контактом частиц между собой можно пренебречь и, следовательно, напряжения и упругая энергия в имитирующей их сплошной среде равны нулю.
Уравнения (7)-(9) в случае (10) принимают вид
VV(11)(11)°0 = 0oV°f,^ + 3。(丄一丄Ро 2 \pF 00 丿 pF°0 = 0oV°f,^ + 3。(丄一丄Ро 2 \pF 00 丿 pF(12)(13)(12)(13)Поскольку 0尸 < ро из физического смысла волны разрушения, из уравнений (11) и (12) вытекает, что 1?р < 0 и ао < 0, т. е. волна разрушения существует только при сжимающих напряжениях, а скорость частиц разрушенного материала всегда направлена противоположно нормальной скорости волны разрушения.Гипотеза Чэпмена-Жуге. Пользуясь аргументами Чэпмена-Жуге в ‘ детонации, можно придти к их гипотезе, что скорость волны разрушения скорости с распространения продольных упругих волн в неразрушенном риале:V = с.Поскольку 0尸 < ро из физического смысла волны разрушения, из уравнений (11) и (12) вытекает, что 1?р < 0 и ао < 0, т. е. волна разрушения существует только при сжимающих напряжениях, а скорость частиц разрушенного материала всегда направлена противоположно нормальной скорости волны разрушения.Гипотеза Чэпмена-Жуге. Пользуясь аргументами Чэпмена-Жуге в ‘ детонации, можно придти к их гипотезе, что скорость волны разрушения скорости с распространения продольных упругих волн в неразрушенном риале:V = с.равнамате-равнамате-(14)(14)При этом условии уравнения (11)-(13) дают следующие решения:При этом условии уравнения (11)-(13) дают следующие решения:со00叮=—，Pf = Рос 片 1 —乌Россо00叮=—，Pf = Рос 片 1 —乌Рос丁 2и。-円_ 200 cu — 1 _]2РОС丁 2и。-円_ 200 cu — 1 _]2РОС(15)(15)
V
V
(11)
(11)
°0 = 0oV°f,
^ + 3。(丄一丄
Ро 2 \pF 00 丿 pF
°0 = 0oV°f,
^ + 3。(丄一丄
Ро 2 \pF 00 丿 pF
(12)
(13)
(12)
(13)
Поскольку 0尸 < ро из физического смысла волны разрушения, из уравнений (11) и (12) вытекает, что 1?р < 0 и ао < 0, т. е. волна разрушения существует только при сжимающих напряжениях, а скорость частиц разрушенного материала всегда направлена противоположно нормальной скорости волны разрушения.
Гипотеза Чэпмена-Жуге. Пользуясь аргументами Чэпмена-Жуге в ‘ детонации, можно придти к их гипотезе, что скорость волны разрушения скорости с распространения продольных упругих волн в неразрушенном риале:
V = с.
Поскольку 0尸 < ро из физического смысла волны разрушения, из уравнений (11) и (12) вытекает, что 1?р < 0 и ао < 0, т. е. волна разрушения существует только при сжимающих напряжениях, а скорость частиц разрушенного материала всегда направлена противоположно нормальной скорости волны разрушения.
Гипотеза Чэпмена-Жуге. Пользуясь аргументами Чэпмена-Жуге в ‘ детонации, можно придти к их гипотезе, что скорость волны разрушения скорости с распространения продольных упругих волн в неразрушенном риале:
V = с.
равнамате-
равнамате-
(14)
(14)
При этом условии уравнения (11)-(13) дают следующие решения:
При этом условии уравнения (11)-(13) дают следующие решения:
со00
叮=—，Pf =
Рос 片 1 —乌
Рос
со00
叮=—，Pf =
Рос 片 1 —乌
Рос
丁 2
и。-円
_ 200 c
u — 1 _
]2
РОС
丁 2
и。-円
_ 200 c
u — 1 _
]2
РОС
(15)
(15)
Последнее уравнение (15) позволяет оценить размеры частиц разрушенного материала по его поверхностной энергии D, известной из физики твердого тела. Пусть, например, каждая частица есть кубик с ребром d. Число таких кубиков в единице объема равно 八=(1/d)2, их суммарная поверхностная энергия равна D = =6八7彦.
При всестороннем гидростатическом сжатии напряжениями ст。имеем
E3(1 — 2 沙)E3(1 — 2 沙)(16)(16)标—коэффициент Пуассона; Е — модуль Юнга).标—коэффициент Пуассона; Е — модуль Юнга).Так как рос2 = вает, чтоТак как рос2 = вает, что〃) а оо « 00経,последнее уравнение (15) показы- (1 + 沙)(1 — 2 沙)〃) а оо « 00経,последнее уравнение (15) показы- (1 + 沙)(1 — 2 沙)D _ [ j ао _ (1 - 2 沙 У егоD-U。-歹一匸厂声D _ [ j ао _ (1 - 2 沙 У егоD-U。-歹一匸厂声1 一沙1 一沙(⑺(⑺
E3(1 — 2 沙)
E3(1 — 2 沙)
(16)
(16)
标—коэффициент Пуассона; Е — модуль Юнга).
标—коэффициент Пуассона; Е — модуль Юнга).
Так как рос2 = вает, что
Так как рос2 = вает, что
〃) а оо « 00経,последнее уравнение (15) показы- (1 + 沙)(1 — 2 沙)
〃) а оо « 00経,последнее уравнение (15) показы- (1 + 沙)(1 — 2 沙)
D _ [ j ао _ (1 - 2 沙 У его
D-U。-歹一匸厂声
D _ [ j ао _ (1 - 2 沙 У его
D-U。-歹一匸厂声
1 一沙
1 一沙
(⑺
(⑺
Для оконного стекла имеем: 7 = 2 Н/м, 0о = 3 г/см3, с = 5 • 103 м/с, Е = =5 • 104 Н/мм2, V = 1 /4. Отсюда по первой формуле (15) находим, что при напряжении ст。= —5 • 103 Н/мм2, которое достигалось в опытах на сжатие специально приготовленных стеклянных образцов [1], будет。尸=—330 м/с; при ст。= =—5 • 102 Н/мм2 порядка технической прочности стекла на сжатие имеем。尸= =—33 м/с. Согласно второй формуле (15) плотность pF отличается от 0° всего лишь на несколько процентов. Согласно формуле (17) при ст。= 一5 • 103 Н/мм2 имеем: D = 150 Н/мм2, а размер кубиков разрушенного стекла равен d = 0.7 мкм; при ст。= — Ю3 Н/мм2 имеем D = 6 Н/мм2 и d = 20 мкм.
Общий случай. Не пользуясь гипотезой Чэпмэна-Жуге, из системы уравнений (11)-(13) можно найти ”，％, V в зависимости от pq, vq, Uq и D. Приведем это
решение:решение:со00со00/ ар (ар — 2D) V 200 (Uo - D)/ ар (ар — 2D) V 200 (Uo - D)(18)(18)
решение:
решение:
со00
со00
/ ар (ар — 2D) V 200 (Uo - D)
/ ар (ар — 2D) V 200 (Uo - D)
(18)
(18)
Как видно, решение существует только при ао ＜ 0 и при o。＞ 2D. Это условие существования волны разрушения. Второй режим, ст。＞ 2D, по-видимому, физически нереален, так как он соответствует ударной волне разрушения, движущейся по материалу, находящемуся под большими растягивающими напряжениями, и уплотняющей материал, что не согласуется с допущениями (10).
Например, для стекла при ст。= — Ю3 Н/мм2, D = 6 Н/мм2 имеем: Uo = =15 Н/мм2, а по формуле (18) находим:
V = 4300 м/с, vp = 71 м/с, pF = 0.98 pq.
Как видно, согласно общей теории, не использующей гипотезу Чэпмэна-Жуге, скорость волны разрушения получается близкой к скорости продольных упругих волн в неповрежденном материале. Это показывает, что гипотеза Чэпмэна-Жуге дает хорошее приближение для скорости волны разрушения, скорости разрушенных частиц и плотности разрушенного материала непосредственно за волной разрушения.
Саморазрушение торгового центра в Нью-Йорке. Это произошло в Нью- Йорке 11 сентября 2001 г. В 8 часов 46 минут самолет террористов врезался в северную башню торгового центра, которая через 103 минуты после удара вне-
запно превратилась в пыль и обломки металла. В 9 часов 5 минут второй самолет ударился в южную башню торгового центра, которая также внезапно рассыпалась через 60 минут после удара. Башни, сделанные, в основном, из высокопрочного стекла и стали, были, пожалуй, самыми величественными зданиями в мире, во много раз крупнее знаменитых египетских пирамид. В течение целого года после их саморазрушения все коммунальные службы Нью-Йорка убирали горы пыли и обломков, образовавшиеся на их месте. Саморазрушение (collapse) башен, как и удар самолетов, было показано по телевидению: тип разрушения был весьма схож с тем, как разрушаются большие здания промышленными взрывами. Третий самолет в тот же день ударился в гораздо меньшее здание Пентагона, однако Пентагон не рассыпался. Людские потери (в том числе несколько русских) около 1500 в каждой башне и около 150 в Пентагоне.
Как и для всякого взрывного явления, характерного для метастабильных систем, для саморазрушения требуются два необходимых условия: запас внутренней энергии, значительно превышающий нужный для равновесного, устойчивого состояния, и спусковой механизм, начинающий процесс освобождения этой энергии. Энергия самолета, включая горючее, была достаточна лишь для того, чтобы произвести локальное разрушение и пожар. Если бы саморазрушения башен не произошло, людские потери были бы примерно в десять раз меньше, а материальные потери — еще меньше. Спусковым механизмом, приведшим к образованию волны разрушения в местном очаге разрушения, послужило, очевидно, накопление локальных термонапряжений вследствие нагревания и разности коэффициентов термического расширения стали и стекла. Однако распространение волны разрушения на все здание было бы невозможно без питающего волну запаса внутренних напряжений, в основном технологического и гравитационного происхождения (в стальном каркасе — от сварки и сборки, а в стекле — еще раньше, в процессе изготовления). Торговый центр, как, вероятно, и многие другие небоскребы, представлял собой перенапряженную конструкцию, которая саморазрушилась от сравнительно слабого возмущения (масса самолета — в миллион раз меньше массы башни). Эти здания сами по себе — потенциальные бомбы.
Руководство США не было заинтересовано в выяснении истинных причин больших потерь; оно немедленно использовало события 11 сентября в своих политических целях: террористы были объявлены причиной всех потерь и старая доктрина Монро была распространена на весь мир. Началась военная истерия и охота за ведьмами по всему миру. Установление режима тотальной слежки и подавления элементарных свобод внутри страны. Президент открыто заявил о своем праве начать военные действия в любой точке земного шара по собственному разумению и против любого правительства, недостаточно демократического, по мнению президента. Концепция смены режима войной стала популярной в США. Конгресс и большинство народа поддержали такую политику. Комиссия по расследованию событий 11 сентября была, весьма неохотно, создана только через год и ее целью было не отыскание причин больших потерь, а подтверждение и усиление политики США в качестве мирового жандарма. Ни одного ученого, даже в механике разрушения, не было в составе этой комиссии. Вольно или невольно, политики прославляли террористов и их идеологического вождя Бен Ладена. Межу тем, по его собственному признанию, террористы даже не мечтали о разрушении всего торгового центра: это было немыслимо по всем существующим теориям старой механики разрушения, курс который брал Бен Ладен будучи студентом инженерного факультета Каирского университета. Террористы не надеялись на такую славу и такое разрушение. Вследствие прославления политиками
терроризм после 11 сентября стал серьезным движением, действительно опасным для всего мира. Политические расчеты Бен Ладена полностью осуществились благодаря американской помощи.
Как ни странно, для России указанные события будут иметь последствия, гораздо большие, чем для США и любой другой страны в мире. Во-первых, они укрепили надежды чеченского терроризма при прежнем уровне американской финансовой помощи и многочисленных российских проблем. Во-вторых, они обнажили все большие аппетиты империалистических кругов США, добившихся мирового господства и готовящихся к прямому правлению другими странами, включая Россию, в первую очередь. Не следует забывать, что после добровольного разоружения России военные расходы США увеличивались с каждым годом (в основном, на стратегические планы) и теперь намного превышают суммарные военные расходы остального человечества, включая Россию, Израиль и НАТО — следующие военные державы. Война для американского народа стала телевизионным развлечением, потому что воинской повинности — нет; американская армия состоит из хорошо тренированных профессионалов, умеющих и любящих убивать, армия навербована из добровольцев (25% — иностранцы), находящихся на дне общества, с культом физической силы, педерастии и насилия. Благодаря колоссальному технологическому преимуществу, война для них — развлечение, с небольшим шансом, примерно один из ста, погибнуть.
Устойчивые социальные структуры определяют силу нации. Пять бывших членов Политбюро приняли участие в праздновании 50-летия НАТО: компартия, уничтожившая казачьи и крестьянские общины — живые клетки прежнего российского социального организма, — оказалась недееспособной. Для сравнения, еврейская община сохранилась сама и сохранила еврейскую нацию в течение двух тысячелетий. В США на смену рабовладельческому фермерству — социальной структуре старой Америки, — пришли многочисленные корпорации, образующие социальную структуру нынешней Америки, основанную на власти денег. Европа идет по пути сохранения старых социальных структур вместе с развитием новых. В России отсутствуют устойчивые социальные структуры — это основная беда.
Заключение. Саморазрушение — опасное и малоизученное явление, которое потребует большого внимания в будущем в связи со строительством все более высоких зданий, все более глубоких шахт, все более опасной техники, работающей на грани возможного.
Некоторые аспекты настоящей статьи были изучены или освещены в публикациях [1-5], а также в www.genadycherepanov.com.
Список литературы
Cherepanov G.P. Mechanics of Brittle Fracture. N. Y.: McGraw Hill, 1979. 950 p.
Cherepanov G. P. September 11 and Fracture Mechanics 〃 Int. J. Fracture Letters, to be published.
Cherepanov G.P. and Esparragoza I.E. Destruction Mechanics: Self-Destruction, Keynote lecture on the 11th Int. Conference on Fracture, Turin, Italy, March 2005.
Cherepanov G.P. Methods of Fracture Mechanics: Solid Matter Physics. Dor- drecht/Boston/London: Kluwer Academic Publ., 1997. P. 314.
Fracture: A Topical Encyclopedia of Current Knowledge. Ed. G. P. Cherepanov. Krieger Publ., Melbourne, Florida, 1998. 890 p.
ЗАДАЧА О НАХОЖДЕНИИ ГРАНИЧНЫХ ФУНКЦИЙДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ ПРИ СЛОЖНЫХГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ
А.Д. Чернышов, И. С. Савичев, О.А. Чернышов, А.А. Даньшин
Институт проблем механики РАН
В статье дается приближенный метод прямого построения граничной функции в аналитическом виде, позволяющий продолжить ее заданные значения из граничных условий для криволинейной области упругого тела с кусочно-гладкой границей внутрь этой области. Метод также применим при задании разрывных граничных условий, для многосвязных областей.
Пусть упругое тело имеет некоторую криволинейную форму Q с кусочногладкой границей Г. Рассмотрение динамических задач теории упругости [1, 2] приводит к различным начально-краевым задачам, которые состоят из системы дифференциальных уравнений
(А + 2〃)〃力力 + (т\ + /л)иху + 从+ Gi = /9〃力力，(D
(/X + 2〃)?Jgg + (入 + l^^xy + 从U力力 + G? = P^tt，(力,g) G C，力 > 0,
начальных условий
"I仁0 =0 1(力,g)， 回仁0 =02(/,g), Ut\t=Q =⑦ 1(/,g), Vt\t=Q =次(力,g),
⑵ 夕分，次，0分力，次力G Lp, i = 1,2,
Lp — классы функций Соболева-Лиувилля [3], а > 1/2,夕》1, ар > 2, и граничных условий
〃|「=五依力r,g「)，и|「=务(方，力r,g「)；/i,/2 G。(「方》0),(3)
(0力忆 +еТ咽%)1r = N^t,xr,yr), (axypx +0g%)1「= m(方，叮，如)，
(4)
7Vi,7V2eC(r,t>0),
где (^ж, ^) — вектор единичной внутренней нормали к Г,(力г,у「) — точки границы Г. Кроме (3)-(4) граничные условия могут быть заданы кусочно-разрывными на отдельных участках Г. Граничные условия могут быть заданы также связными по искомым функциям и и V, что возможно в различных физических процессах. Предлагаемый ниже метод применим и в таких случаях.
Начально-краевая задача ставится следующим образом: в области Q с границей Г найти такое решение дифференциальных уравнений (1), которое удовлетворяет начальным (2) и одному из граничных условий (3), (4) или какому-нибудь другому. Отметим, что такая задача имеет различного рода неоднородности. Наличие функций Gi в (1) обусловливает неоднородность этой системы, функции 夕分
a ^i — неоднородность начальных условий, a 九 込 № — неоднородности граничных условий. Для решения подобных задач применяются различные конечноразностные схемы [4]. Их реализация сопровождается громоздкими вычислениями, большой трудоемкостью и невысокой точностью. В случаях, когда Q имеет угловые точки на границе или граничные условия заданы кусочно, в окрестности подобных особых точек конечно-разностные методы дают большую погрешность. Разрабатываются также и более совершенные численно-аналитические методы [5-8]. В некоторых случаях [9] для реализации метода необходимо неоднородную систему дифференциальных уравнений (1) предварительно привести к однородному виду, что является весьма проблематичной задачей. В других методах требуется предварительно свести задачу к однородным граничным условиям, т. е. найти такие граничные функции М\ (х, у) и М2 (ж, у), которые удовлетворяли бы одному из условий (3)-(4) или каким-либо другим граничным условиям (кусочно-заданным и т. д.), т. е.
Mi(x,y)\r = fi(xr,yr), 5=1,2. (5)
После нахождения таких 此(力，у) при помощи замены
и = и + М\{х, у), и = v + Mi(х, у)
задача (1)-(3) относительно и,方 будет иметь однородные граничные условия, и потому для получения ее решения можно будет применять теорию собственных функций. Проблема продолжения функции с известных ее значений на границе Г во внутрь Q в некоторых частных случаях решается при помощи формул Лагранжа или Тейлора-Эрмита [8], которые неприменимы в случае сложных граничных условий. Для нахождения граничных функций предложим простой универсальный и высокоточный метод, который заключается в следующем.
Вначале для определенности рассмотрим граничные условия (3). Это самые простые граничные условия, на которых и покажем суть метода. В данном случае обе задачи о нахождении граничных функций М\ (х, у) и ”2(力，у) идентичны, поэтому для упрощений в дальнейшем будем искать одну такую скалярную функцию М(х, у), которая удовлетворяет условиям
М(х,у)\г = /(叮,勿). (6)
Задачу поставим следующим образом: найти такую функцию М(х, у), которая на Г удовлетворяет условиям (6) и в Q принадлежит классу Соболева-Лиувилля L多.Требование М(х, у) 6 Eg необходимо для того, чтобы в дальнейшем ее можно было разлагать в ряд Фурье по собственным функциям {Ri} для получения приближенного решения всей задачи в аналитическом виде. Проблема нахождения в явном виде {Ri} рассматривалась в [10]. В данной работе ограничимся только построением граничной функции М(х, у), удовлетворяющей различным граничным условиям.
Если к (6) добавить какое-либо дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, то получим вспомогательную краевую задачу. Можно, например, потребовать, чтобы М(х, у) была гармонической функцией и для ее нахождения использовать интегральную формулу Коши [11]. Однако возможности подобного подхода весьма ограничены, так как при задании граничных условий кусочно-разрывными или в случае многосвязной области применение формул Коши становится проблематичным.
Дополним граничное условие (6) одним из наиболее простых уравнений — уравнением Гельмгольца
АМ + А^М = О, А0>0, А0^{А*},(力,у)еС,(7)
где А^ — собственные значения оператора Гельмгольца для данной области Q при некоторых заданных граничных условиях. В качестве Ао можно взять любую величину, лишь бы она не совпадала ни с одним из собственных значений. Граничные условия для (7) пока не будем задавать конкретно. Введем вспомогательную ^-переменную по формуле
§ =(『一г0)п =(力一力о) cos 夕 + 匂一％) sin 仇(8)
где го — радиус-вектор некоторого полюса внутри Q, п — единичный вектор, составляющий угол 夕 с осью х. Вектор 八 направлен вдоль некоторого луча Е, проведенного через полюс『о перпендикулярно к прямой £ = const. Будем искать частное решение уравнения (7) в виде
М =尸(£)•(9)
Подставляя М из (9) в (7), получим для 尸(£) обыкновенное дифференциальное уравнение
р”)+ 4Н£) =。，
т. е.
尸(£) = AcosA0< + Bsin Ао<.(10)
М = | [4(6») cos + В⑼ sin XoW 曲 + £ [A*М = | [4(6») cos + В⑼ sin XoW 曲 + £ [A*Если в (10) считать А = А(^) и В =石(夕)функциями углового параметра 仇 а затем взять интегральную суперпозицию по 仇 то для М получим выражение
М = | [4(6») cos + В⑼ sin XoW 曲 + £ [A*
М = | [4(6») cos + В⑼ sin XoW 曲 + £ [A*
cos 入0& + В* sin AoCi], (И)
& =(L —广0)八分；。w % V 7Г, г = 1,
где 4(夕)и 石(夕)—неизвестные суммируемые в смысле Лебега функции; А*, В*, % и п — неизвестные коэффициенты, углы и количество слагаемых соответственно. Для нахождения всех перечисленных неизвестных воспользуемся граничными условиями из (6)
[4(6») cos АоСг + 石⑹ sin АоСг]曲 + £ [A* cos А0^г + В- sin А0^г] = /(叮,如)，i=l
& =(广Г-广0)九 &r =(广Г-广0)电.
(12)
Таким образом, задача о нахождении граничной функции М сведена к решению обобщенного интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода (12). При изменении 夕 в пределах [0, тг) множество верхних точек。+ пересечения прямой Е, проведенной через полюс『о под углом 夕 к оси х, образует границу Г+, а множество нижних точек D~ — границу Г-. Граница Г+ отделена от границы Г- прямой Е при 夕=0. Вся граница Г будет состоять из двух частей: Г+ и Г-. При 夕= =7г прямая Е совпадет с ее положением при 夕=0. Если продолжить поворот прямой Е в пределах 夕 6 阮，2тг), то граница Г точками。+ и D~ будет пройдена
второй раз, что является излишним. Этими соображениями и обоснованы пределы изменения 0 в интеграле (11) и конечных суммах.
Для нахождения решения уравнения (12) интервал [0, тг] разобьем на мелкие секторы △% (j = 1,..., m) и представим интегралы в (11) и (12) конечными суммами. Пусть разбиение настолько мелкое (т》п), что в каждый сектор △% будет попадать не более одного угла 为.При этом заранее не известно, в какие секторы △%• попадут углы % из конечной суммы в (11) и (12). Для преодоления этой неопределенности предположим, что углы % попадут в каждый малый сектор △%. Если, допустим, в какой-то сектор не попадут углы 必 из конечной суммы, то соответственные А* и В* будут равны нулю. Итак, функцию М из (11) приближенно представим суммой
т
Л/ = £ (Aj cos Ao^j + Bj sin Ao^j),
(13)
6 =(广一广0)电•；j =
где 夕；—некоторые средние значения углов % в секторах △%.
Постоянные Aj и Bj состоят из двух частей. Первые части А鸣)△% и 石(£；)△% зависят от способа разбиения, а вторые части 4； и BJ не зависят от этого способа. Данное свойство и используем для нахождения величин А* и В* и их количества 八 в суммах выражений (11) и (12). Если при уменьшении △% порядок некоторых Aj и Bj не изменится, то соответственные 4； и В； существуют, а их количество равно искомому п. При построении решения не обязательно искать точки пересечения。+ и D~ прямых Е с границей. Проще просто разбить Г на мелкие участки расчетными точками Гк независимо от углов % и прямых Е так, чтобы точек разбиения на Г было в два раза больше, чем углов %, т. е. 2m, и в дальнейшем выполнять граничные условия в этих точках. Поэтому, полагая в (13) г = r^ Е V, (k = 1,..., 2m), граничные условия (12) представим в дискретном виде
т
工⑷з屈&^ +石川山；\0&力=f(xk,yk),
J=i(14)
В (14) имеем замкнутую линейную алгебраическую неоднородную систему из 2m уравнений относительно из 2m неизвестных Aj и Bj. Условием существования решения этой системы является неравенство нулю ее определителя. Это требование выполняется, так как
△2m = I cosAo&j； sinAo&jl /О при Xq/Xj. (15)
Из решения системы (14) найдем Aj и Bj. Подставляя их в (13), получим в явном виде приближенное аналитическое выражение искомой граничной функции М, которое точно удовлетворяет граничным условиям (6) в расчетных точках Гк на Г. Между этими точками граничные условия выполняются приближенно. В дальнейшем (11) будем называть фундаментальным решением уравнения Гельмгольца (7), а (13) — его приближенным аналогом.
Пусть теперь для М вместо (6) заданы граничные условия 2 рода
П =耽(叮,如)，(16)
где и — внутренняя единичная нормаль к Г. Выражение для М по-прежнему будем искать в виде (11) или в виде приближенного аналога (13). Теперь Ао не должно совпадать с собственными значениями А* задачи (7), (16). Для упрощения записи условия (16) используем свойство ^-переменной:
II = z/(grad<) = zm.(17)
После подстановки (11) в (16) с помощью (17) получим следующее интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода:
Ao I医(e)cos ао^г -4(0)sin ао^г]0「八)曲 + о
+ Ao 5S [Bi cosXo&r -黒 sin Ao<ir](^rn)=耽(叮，如)，(18) i=l
& =(叮-广0)八， &「=(叮-广0)电， 依e г.
Если же для М использовать приближение (13) и граничные условия выполнять только в расчетных точках, то вместо интегрального уравнения (18) будем иметь следующую систему линейных уравнений:
т
，。工宙cos，oG% - Ajsin Ao^fc](^nj) = ^Q(xk,yk),
E(19)
&kj = Wk - rQ)nj] j = 1,k = 1,
Замкнутая неоднородная линейная система 2m уравнений относительно такого же количества неизвестных Aj и Bj имеет единственное решение, так как вследствие Ао 市 Aj ее определитель не равен нулю.
Теперь зададим для М граничные условия 3-го рода:
[m -「=夕。(叮，如).(20)
Подставляя фундаментальное решение (11) в (20) и используя левые части выражений из (12) и (18), после перегруппировки слагаемых будем иметь следующее интегральное уравнение:
|[А(6>)(cos А0<г - Aox(^m) sin А0<г) + B(6>)(sin А0<г +》о〃。「八)cos АоСг)]曲 + о
+ 工 ⑶(cos АоСгГ - Aox(^mi) sin А0^г) + в* (sin АоСгГ + Aox(^mi) cos AoCir)]=
г=1
=00(叮,如)，(21)
& =（广Г-广0）八， &「=（心-广0）电， “ е г.
Как и ранее в аналогичных случаях, здесь при решении интегрального уравнения (21) используем приближенное выражение (13). Подставляя (13) в (20), вместо (21) будем иметь замкнутую систему алгебраических уравнений:
т
工[Aj(cos Xq^j - Aox(^nj)sin Ao&j) +
+ Bj(sinXQ^kj + XQ^krij) cosXQ^kj]=夕o(力k,”)，(22)
&kj =(广卜一广0)电以 G「 j = 1,..., ш, к = 1,..., 2ш.
Условие Ao ^ X； обеспечивает неравенство нулю определителя системы (22), и потому отсюда найдем единственное решение для Aj и Bj. После их подстановки в (13) получим искомое приближенное выражение для функции М в явном аналитическом виде.
Рассмотрим случай, когда граничные условия заданы разрывно. Пусть граница Г состоит из двух частей: Г = Г1 U Г2, причем на Гi заданы условия Дирихле (6), а на Г2 — условия Неймана (16):
"(力，力n = /(叮1，如1)，=耽(叮2,如2)・(23)
Будем считать, что 入。# 寸，где 寸—собственные значения задачи (7), (23). Как и в предыдущих случаях, для М используем фундаментальное решение (11) или его приближение (13), а интервал [0, тг), как и ранее, разобьем на т угловых секторов △%. Отличие состоит в том, что теперь на Гi следует взять mi, а на Г2 —加2 расчетных точек так, чтобы общее количество расчетных точек было в 2 раза больше количества лучей Е^, т. е. т〔 + 加2 = 2m. Эти расчетные точки на Гi обозначим через ri,..., rmi, а на Г2 через rmi + i,..., г^т. Подставляя М из (11) в (23), получим систему интегральных уравнений:
если (力,у)еГ1, то |[A(^) cos Ао^Г1 + sin Ao^rJ + о
+ 工[厶；cos Ао€гГ1 + В* sin Ao^rJ = /(叮 1i)，
&1 =(叮1 -L0)八， &n =(叮1 -L0)电，
(24)
если (力,g) G Г2, то Ao|[B(6>) cos Ао^г2 —厶(夕)sinXo&zKg72)曲 + о
+ 入0工[尾 COS А0еге2 - -4* sin AoCir2](^r2n)=耽(如2，如2)， i=l
&2 =（叮2 一L0）八，&「2 =（广Г2 一广0）八分， ”2 G r2・
Если же использовать приближенное выражение для М из (13), то после его подстановки в (23) вместо (24) будем иметь линейную замкнутую систему алгебраических уравнений относительно Aj и В у.
т
если (力,у)еГ1, то ^(Aj cos X^kj +Bj sin X^kj) = f(xk,yk),
£kj = (rk - rQ)nj] j = 1,m, k = 1,
если (力，g) 6 Г2, to Xq ^[Bj cos XQ^jk - &• sinXo&k](以电)=耽(力 k,”)，
&kj = (Тк - rQ)nj] j = 1, ...,m, k = mi + 1, ...,2m.
(25)
При помощи найденных отсюда Aj и Bj из (13) получим граничную функцию М, удовлетворяющую кусочно-заданным граничным условиям (23).
Рассмотрим случай, когда криволинейная область Q двусвязная. Условно назовем ее «кольцом». Граница данной области состоит из внешнего и внутреннего замкнутых контуров. Оба контура вместе в дальнейшем будем обозначать через Г. С помощью введения вспомогательного разреза представим первоначальное «кольцо» в виде двух «полуколец». Первое «полукольцо» — односвязная область Qi, второе «полукольцо» — односвязная область Г^, так что Q = Qi 日^2・ Общей границей областей Qi и Q2 является разрез, который обозначим через Го. Разрез Го разделяет двусвязную границу Г на две части — на Г1 и Г2, причем Г = Г1 UГ2. Таким образом, область Qi будет иметь границу Гi +Г°, а область Q2 — границу Г2 + Го- Для граничной функции М введем обозначение
(26)(26)если оу)/,
(26)
(26)
m @⑵(力，力 если (力,g)eC2.
Пусть M^ (q = 1,2) при (力，g) 6 Qg удовлетворяют уравнению Гельмгольца (7) и граничным условиям (6), которые для данного случая запишем в виде
М^\х,у)\=力(叮1，如1), 2h ⑵(力,=/2(叮 2,如 2)■(27)
Кроме (27), необходимо еще добавить условия сопряжения М^ и М⑵ на разрезе Го, которые заключаются в непрерывности функции М и ее нормальной производной внутри Q, т. е.
1г01г0 OUQ 1г0 OUQ 1г01г01г0 OUQ 1г0 OUQ 1г0(28)(28)
1г01г0 OUQ 1г0 OUQ 1г0
1г01г0 OUQ 1г0 OUQ 1г0
(28)
(28)
где % — единичная нормаль к Го, направленная или в область Qi, или в С?, безразлично. При помощи фундаментального решения (11) функции М^ (q = 1,2) будем искать в виде
М⑷=][4(。)(夕)cos Ао^ + B(G ⑼ sin Ao^]曲 + cos Ao^ + 石”)sin Ao^],
0分=1
£ = (『一广0)九 & =(广一广0)电； 0 ^0i <7V, z = 1, ...,n,q=l,2.
(29)
Численные эксперименты показывают, что расположение полюса 『о в определении ^-переменной на величину погрешности не влияет, а влияет только на
удобства всех последующих вычислений. Поэтому в (29) для обеих областей Qi и Q2 вводится единый полюс 『о и единая переменная & Количество слагаемых в конечной сумме (29) для М^ и М⑵ в общем случае может быть различным. Единая же запись конечной суммы удобна и допустима, так как позволяет учесть указанную разницу обращением в нуль соответственных коэффициентов А^^ и 石;(°). Например, если в выражении для М⑴ из (29) в конечной сумме отсутствует слагаемое с cos Xq^ или sinXog^, то соответственные 4：") или В^^ следует взять равными нулю. После подстановки М^ из (29) в граничные условия (27) придем к следующей системе интегральных уравнений относительно А^Цв), В^Цв), 4："),石:⑷ и п на границах 口 и Г2：
][4(q)⑼ cosXo&q + В④⑼ sinAoCrJ 曲 + £[4”)cosAo^rq + B^ sinAo^rJ = О
=启(力*,g吟)，q=i,2, (30)
Gq = (hq -l0)八， &「q =(广%一广0)电，q = L 2.
Здесь 『「q — точки на Г^. Подставляя М^ из (29) в условия сопряжения (28), получим еще два интегральных уравнения на границе Го：
f[A(1)((9)cos АоСго +(6>) sin А0Сг0][А*(1) cos А0^г0 + В*(1) sin А0^г0]=
о分t
=I[4⑵(6>) cos АоСго + 石⑵(夕)sin АоСго]曲 +о
+ £[4：⑵ cosXo&r。+ 段⑵ sinXo&rJ, (31)
§Г0 =(力Г0 一力0)cos(9 + 匂「0 — %) sin 仇 &「0 =(力Г0 -/0)COS % + 匂「0 - go) sin 为，
I医⑴⑼COS аоего -4⑴(0)sin入0&0](八%)曲+ о
+ £ 宙;⑴ cosXo&r。—厶：⑴ sinXo&d (电％)=
=[出⑵(g)cos аоего - 4⑵⑼ sin 入0&0](八/)曲 + £ 国⑵ cos Xo&r。一 о分t
—丈⑵ siGo&rJ(电％). (32)
Как и в предыдущих случаях, для системы интегральных уравнений (30)-(32) аналитические методы решения неизвестны, поэтому предлагаем приближенный метод. Для этого из полюса 『о проведем т лучей Ej 0=1,...,加)и на
границе Гi отметим р расчетных точек с радиус-векторами 广卜(к = 1,...,夕).Также и на Г? отметим р расчетных точек с радиус-векторами г^ (к =夕 + 1,..., 2夕). На смежной границе разреза Го отметим 加。 расчетных точек Гк (к = 2夕 + 1,..., 2夕 + mo). Количество лучей связано с числом расчетных точек равенством
то + р = 2т.(33)
Теперь вместо (29) подобно (13) функции М^ представим интегральными конечными суммами
mq
= £[炉 cosAoC+B^ sinAoCj],
7=1(34)
&• = (『一广0)电・，。W % V 7Г, j = 1,q=l,2.
Граничные условия (27) и (28) будем выполнять не всюду на Гь Г2 и Го, а только в соответственных расчетных точках Гк (k = 1,..., 2m). Подставим М^ из (34) в граничные условия (27):
(力,у) G 口 т J2 [А^ cos Хо^кВ^ sin XQ^jk]=力(力卜,纵)，к = 1,…，夕
(力,沙)e p2 T £[£2)cos；\o飙石丁 sinXoGM = /2(力к,”)，к =夕 + 1,…,2夕，(35)
§汴=(rk -广0)电・； 电・=(cos %, sin %), 0 w % V 7Г, j = 1,m.
Выполняя граничные условия сопряжения (28) для М⑴ и М⑵ в расчетных точках границы Го, будем иметь
J2 [А^ cos Ао^^Р sin XQ^jk]=工⑶2)cos Ы^кВ^ sinXQ^jk].
(36) (/,g) G г0, 6k = (rk -l0)出；
电・=(cos Oj, sin %), к = 2夕 + 1,…，2夕 + mo,
工[B^ cos MjkA^ sinXoGk](八产oQ =工国2)cos^oWJaX?) sinXoGk](八产oj,
(37) где Ц)㊄(к = 2夕 + 1,..., 2夕 + mo) — единичная нормаль к границе Го в соответственных расчетных точках. В (35) имеем 2夕 уравнений, в (36) и (37) еще 2то уравнений. Всего система (35)-(37) содержит 2р + 2mo = 4m линейных алгебраических уравнений относительно такого же количества неизвестных 4「)，В^\ 4；), В；，0 = 1,..., т). Так как Ао 市｛'；｝，гДе 入；—собственные значения оператора Гельмгольца для данной области Q при заданных граничных условиях (27), то определитель полученной системы не равен нулю. Поэтому система имеет единственное решение. Подставляя в (34) найденные 厶「)，石?)，厶『‘，石^?) (j = 1,..., m), будем иметь М^ в явном аналитическом виде, а из (26) получим искомую граничную функцию М.
Алгоритм вычисления граничной функции
Для построения граничной функции М необходимо выполнить следующие действия.
Задать область Q и ее границу Г.
Задать граничные условия, которым должна удовлетворять граничная функция М. Граничные условия могут иметь самый разнообразный вид, лишь бы они были линейными.
Задать число т и разбить сектор [0, тг) равномерно на т угловых секторов.
Внутри Q выбрать полюс『о так, чтобы дальнейший вычислительный процесс был наиболее удобным.
Покрыть границу Г равномерно расположенными расчетными точками г^ (к = 1,..., 2m) (примерно), которых должно быть в 2 раза больше количества угловых секторов.
Выбрать параметр Ао ^ ｛寸｝ •
Составить замкнутую линейную систему алгебраических уравнений, подобную (14), (19), (22), (25), (35)-(37) или другую, соответственную заданным граничным условиям.
Вычислить определитель △ полученной системы. Если Л = 0, то необходимо изменить параметр Ао- Наилучший вариант, когда Ао находится в середине промежутка между какими-нибудь двумя собственными значениями (Aj, А*+1).
Решить линейную систему и найденные Aj и Bj подставить в приближенное фундаментальное решение (13) для граничной функции М.
Список литературы
Шемякин Е. И. Введение в теорию упругости. М.: Изд-во МГУ, 1993. 96 с.
Ивлев Д. Д., Ершов Л. В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: Наука. 1978. 208 с.
Ильин В. А. Спектральная теория дифференциальных операторов. Самосопряженные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1991. 368 с.
Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616 с.
Бабешко В. А., Калинчук В. В. Метод фиктивного поглощения в связанных смешанных задачах теории упругости и математической физики для слоисто-неоднородного полупространства 〃 ПММ. 2002. Т. 66, вып. 2. С. 285-292.
Ермоленко Г.Ю. Квадратуры решений первой и второй начально-краевых задач теории упругости для анизотропного материала 〃 ПММ. 2002. Т. 66, вып. 2. С. 325-329.
Леонтьев В. Л. Вариационно-сеточный метод решения задач о собственных колебаниях упругих трехмерных тел, связанный с использованием ортогональных финитных функций 〃 Изв. РАН МТТ. 2002. № 3. С. 117-126.
Рвачев В. Л., Синекоп Н. С. Метод Я-функций в задачах теории упругости и пластичности. Киев: Наукова думка, 1990. 216 с.
Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. 352 с.
Чернышов А. Д. Решение нестационарных задач теплопроводности для криволинейных областей при помощи прямого построения собственных функций 〃 Инж.-физич. журнал. Минск, 2004. Т. 77, № 2. С. 160-166.
Алейников С.М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований. М.: Изд-во Ассоциации Строительных Вузов, 2000. 604 с.
СОВМЕСТНОЕ РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧРАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ
СРЕДЕ
А. В. Чигарев, С. В. Корчеменко
Белорусский национальный технический университет,Военная академия Республики Беларусь
Введение. Некорректность обратных задач рассеяния волн в неоднородных средах требует разработки методов регуляризации, которые позволяют получать устойчивое и единственное решение [1-6]. Разработаны различные методы, получившие достаточно широкое освещение в литературе и нашедшие применение в различных областях. В работе [2] исследуется проблема единственности и устойчивости дискретизованной обратной задачи, что соответствует реконструкции сначала характерных структурных и физико-механических деталей реализации рассеивающего объема. В предложенной работе наоборот исследуется гомогенизация рассеивающего объема и получение информации об интегральных свойствах эффективной среды в первом приближении, которая затем используется при реконструкции свойств среды во втором приближении.
Оценка корреляционной функции упругих модулей на основе уравнений эффективной среды. Распространение гармонических волн в неоднородной линейной упругой среде описывается уравнениями
(Xijki^)uk^, j + р^х^щ = 0,(1.1)
где Xijki(x) — тензор упругих коэффициентов, компоненты которого зависят от пространственных координат Xi (г = 1,2, 3),。(力)—плотность среды, 〃分—вектор перемещений, s — частота.
Граничные условия или условия на бесконечности являются детерминированными и ставятся обычным образом для каждой конкретной задачи.
При решении прямых детерминированных задач функции 入打％%(力)，。(力)— заданные реализации, являющиеся функциями пространственных координат, 〃分(力)—искомые детерминированные функции описывающие волновое поле в среде с данной реализацией структуры. В обратных задачах — 〃分(力)измеряемые (наблюдаемые) функции на некотором множестве Р, а функции 入打班(力)，。(力)， должны быть определены на некотором множестве V. Как известно, эта задача является некорректной [1-6] и для ее решения необходимо располагать дополнительной информацией об искомых функциях.
Введем естественную иерархию структур исследуемых полей. Как известно, интегральные (макроскопические) свойства неоднородной среды описываются с помощью эквивалентной (эффективной) среды [7]. Эффективные упругие операторы (модули) зависят от вида корреляционных функций материальных коэффициентов среды, отражающих ее структурные свойства. Поэтому можно заменить данную конкретную реализацию на множество подобных реализаций, т. е. случайные функции А叮班(力)，P(z). Таким образом, считаем, что в уравнениях (1.1)入叮班(力)，
0(力)являются случайными функциями, и сохраним за ними те же обозначения. Тогда символически можно записать
\jki = A；w + &泅，Р =炉+〃，Л7 = А/- Л*/,(1.2)
где А%к〃 0* — эффективные операторы упругости и плотности, вводимые соотношениями
廿加 =(%汴2(/)"加 =a:汴2("加，(仆分)=P*1U).(1.3)
Представляя решения уравнений (1.1) согласно представлениям (1.2), (1.3) в виде
£ 〃尸(力)(1.4)
и подставляя (1.4) в (1.1), получим рекуррентную систему уравнений динамики в виде
(璽泅嚟丿)+р*^2и^ = -,(] 5)
n = 0, 1,2,..., 〃； D = 0, 〃；°)= (ui).
Из (1.5) следует, что решение прямой задачи при п = 0 сводится к заданию эффективных волновых операторов N^-kl, р*, которые описывают интегральные свойства исходной среды. Для статистически изотропных однородных сред эффективные волновые операторы представляют собой интегральные операторы с разностным ядром по пространственным координатам. Ядро представляет собой композицию тензора Грина однородной среды и корреляционного тензора упругих модулей, характеризующего свойства структуры исходной среды интегрально. При вычислении эффективных волновых операторов корреляционные (структурные) функции среды задаются на основе некоторой имеющейся информации о структуре исходной среды. Одним из источников такой информации являются эксперименты по исследованию затухания (рассеяния) волн в неоднородной среде и эксперименты по определению дисперсии скоростей волн. В результате обработки результатов эксперимента можно получить информацию об аналитическом виде корреляционной функции для данной среды.
Вопросы нахождения корреляционных функций по данным измерения коэффициентов затухания (рассеяния) и дисперсии скорости рассматривались в [6]. Для статистически изотропной и однородной среды собственными функциями операторов А力班，0* являются 〈〃(/) = u{q) exp (iqx)). Дисперсионные уравнения, определяющие закон дисперсии qa = «。(以)(& = /,方)，получаются на основе уравнений (1.5) при п = 0:
國(5 = р\?^，A；g)= x*g)+ 2〃*g), &g)= 〃*(«)•(1.6)
На основании измерений коэффициентов 8a(以)=Imqa^)——затухания среднего поля и дисперсии скорости волн, связанных с Ха(&) = Reqa(s), находятся спектры Л* (cj), 0*(5 и затем ядра Л* (х -力i), 0*(力-力i) операторов А*, 户，которые связаны с корреляционными функциями R^\x —力1), Rp{x —力i) через известную функцию Грина G°(力—力i): Л* (x —力i) = G°(力—力i)R?(力—力i). Таким образом, в символической записи имеем: R，)(力—力i) = Л* (х —力i)[G°(力—xi)]-1. По виду
корреляционной функции(力—力i) упругих модулей можно сделать некоторые
выводы о свойствах конкретных реализаций /\叮就(力).Например, о гладкости, степени упорядоченности или неупорядоченности структуры. Однако на практике при решении задач акустики, геофизики, дефектоскопии необходимо знание данной конкретной реализации материальных коэффициентов среды. Для этого необходимо в структуре рассеянной волны выделить иерархию структур и связать ее с иерархией структур среды, обусловливающих особенности рассеянного поля.
Оценка конкретной реализации методом статистического обращения. Рассмотрим нахождение вида конкретной реализации упругих модулей /\叮就(力) как функции пространственных координат. Очевидно, что такая информация обо всех структурных особенностях данной среды является наиболее полной. При 八=1 интегро-дифференциальному уравнению (1.5) соответствует эквивалентное интегральное, которое в прямых обозначениях имеет вид
"⑴(/)=I G*(/-/i)((A/"⑼)，力 1 +〃 j"⑼)dxi,(2.1)
где 〃(1)(力)—однократно рассеянное поле.
Запишем (2.1) в операторной форме
〃⑴匂)=户 3(『)， уеР, г eV,(2.2)
где Р — область наблюдения, V — область рассеяния, Ф(г) — поле, рассеянное неоднородностями среды, распределенными в объеме V, от первоисточников волн, распределенных в некотором объеме Q с плотностью /。(力).
Поле первичных источников, излученное объемом Q, запишем в виде
(厂)=@/0(力).(2.3)
В общем случае схема дистанционного зондирования неоднородной среды такова, что Q П У = 0, Р П У = 0, Q П Р = 0. Для моностатической схемы Q = Р.
Очевидно, что при изменении характера первичного излучения меняется только оператор, при изменении характера наблюдения — оператор Р [2, 3].
Нахождение реализаций Л/(/), 〃(力)из уравнения (2.2) или (2.1) по измерениям “О представляет собой некорректную задачу [1-6]. На практике измерение однократно рассеянного поля в левой части уравнения (2.2) или (2.1) проводится на фоне многократно рассеянного поля и ошибок измерений, суммарное действие которых учитывается при представлении наблюдаемой величины рассеянного поля в виде
"⑴="⑴ +8"⑴.(2.4)
На множестве реализаций материальные коэффициенты 入(力)，р{х) — случайные функции. Соответственно и величина 5и^ на множестве реализаций — величина случайная. Будем считать, что 入(力)，。(力)，b〃(D определяются своими моментами
SO)),〈8〃⑴)，兄八入(广)，RAp(r), RpM4 兄^厢(广)，R5ux(r), R5up(r).
Для большинства неоднородных сред естественного и искусственного происхождения относительная дисперсия плотности 。(力)значительно меньше относительной дисперсии упругих модулей 入(力)，поэтому в дальнейшем без ограничения общности получаемых результатов можно считать р(х) = (р). С учетом этого в формулах (2.1) и (2.2) исчезает в сумме второй член в правой части. Подставляя
полученное в (2.2) выражение в (2.4), находим
"⑴匂)= P^(r)+8u^\y\(2.5)
Для решения уравнения (2.5) требуется построить оператор обращения М такой, чтобы полученное решение было устойчивым. Задачу обращения (2.5) сформулируем в эквивалентной спектральной форме. Преобразуем (2.5) по Фурье и получим
"⑴(q) =P(q)w(q) + 8〃⑴(G，(2.6)
где P(q) — спектр ядра оператора 户，a ”(D(q), W(q), 6u^\q) — преобразования Фурье функций "⑴，Ф, 8〃⑴.
Уравнение (2.6) на множестве реализаций является стохастическим, и поэтому задачу обращения сформулируем как статистическую [4]. Требуется найти спектр M(q) оператора обращения такого, чтобы значения выражения M(q)H⑴(q) были максимально близки к искомой функции W(q), т. е.
(也⑷"⑴⑷-3⑷f4)=min,(2.7)
где A — матрица произвольных констант. Без ограничения общности можно считать〈8〃(i)(q)) = О, (Ф) = 0. Тогда из (2.7), аналогично [4], получаем
M^=R^q)[R^qT\(2・8)
где 兄斤帀(q),兄斤刁(q) — спектральные плотности корреляционных функций R少帀(几广1)， R少不(У，У1)， чертой сверху обозначаются комплексно-сопряженные величины, а корреляционные тензоры имеют вид
左画=〈茜〉=〈3历〉=〈3 (PW + 闲〉=R^P + R^(2・9)
4历=〈(PW + 8") (PW + 8〃)〉= PR^P + R§U^P + R5u5u + PR^5u,(2.1。)
где
Н哧=〈38"〉, R林w =(而8"〉=左哧,R6u^ = (5u8u) •
Подставляя (2.9), (2.10) в (2.8), получим
W(q) = M(q)"(q),(2.11)
M(q)=(兄3帀Р +兄3及)(Р^3帀р + R^p +Pr3及+r6〃及)L (2・12)
Если ошибки измерения 5и и Ф, зависящие от упругих модулей среды, статистически независимы, то Дф^ = 0，выражение (2.12) упрощается и спектр оператора обращения записывается в виде
М⑷= %#(PR^F + R5n計〉(2-13)
Применяя к (2.11) обратное преобразование Фурье, получим
Ф(г) = j М(г — g)"(g) dy = М®(у).(2.14)
Здесь ядро интегрального оператора М находится с помощью обратного преобразования Фурье из формулы (2.13). Как следует из (2.13), для вычисления M(q) необходимо знать 兄田帀，R§u§^, т. е. иметь информацию об интегральных (эффективных) свойствах структуры среды, описываемых корреляционным тензором идентифицируемого поля упругих модулей или его спектральной плотностью. Корреляционная функция ошибок измерения или ее спектральная плотность также должны быть известны. …
Оператор идентификации М в формуле (2.14) дает решение, устойчивое по отношению к малым ошибкам измерений. Обозначим через △” относительную ошибку измерений △” = 5u\i^\~\ а через ЛФ относительную ошибку идентификации спектра реализации Ф: АФ = |5Ф||Ф-11.
Норма оператора М или \M(q)\ значительно меньше нормы М-1 или \M{q)\~x, поэтому максимальная ошибка △maxW имеет порядок △”，что следует из соотношения
△maxW = |P(q)||M(q)A"(q). (2.15)
Из (2.15) в силу линейной зависимости между ЛтахФ и △” следует устойчивость алгоритма идентификации с помощью оператора обращения М.
Исследование единственности и устойчивости решения обратной задачи на основе дискретизации объема выполнено в ряде работ [см, например, 2].
Таким образом, прямая и обратная задачи связаны и решаются совместно. Реализация алгоритма последовательной идентификации может решаться в реальном времени, если в процессе наблюдения реализации однократно рассеянного поля вычисляются одновременно коэффициенты затухания, дисперсия, корреляционная функция идентифицируемых параметров среды и эта информация используется в реконструкции реализации параметров среды при построении оператора обращения М.
Как следует из формулы (2.1), учет кратности рассеяния начиная с двух происходит по тем же формулам, что и для однократно рассеянной волны. Каждое следующее приближение представляет собой сглаживание предыдущего, поэтому информация о свойствах начального поля и свойствах среды, содержащаяся в нем, является все более огрубленной из-за сглаживания индивидуальных особенностей реализации. Информация об учете многократного рассеяния может быть учтена при вычислении эффективных волновых операторов.
Отметим, что корреляционные функции идентифицируемых параметров среды можно определить на основании измерений функции когерентности волнового поля [4, 7].
Оценка реализации параметров слоистой среды. Рассмотрим идентификацию параметров слоистой среды по наблюдениям рассеяния волны, распространяющейся перпендикулярно плоскости слоев.
Пусть неоднородный слой толщины L расположен между двумя однородными полупространствами с одинаковыми физико-механическими свойствами. Распространение волн в слое описывается уравнением
"，力力 +后e(/)" =。， (3.1)
где к^ =以2。丁2, ко — волновое число, £(/) = CqC-2(x)=八2(力)，八(力)—показатель преломления.
Комбинируя уравнения (3.1), (3.2), получим эквивалентное интегральное уравнение для поля и (力)в слое:
“(у) = ® — J G(y —力)『/)〃(/) dx, X
(3.3)
где e‘(力)=£(力)-По-
требуется по измерению “(g) на множестве V оценить £(力)на множестве X. В приближении однократного рассеяния из (3.3) следует уравнение
〃⑴(У)= - I G(g -力)£〈/)〃⑼(力)dx.
(3.4)
Измерение и⑴(у) производится с ошибкой, обусловленной приборами и многократно рассеянным полем, поэтому представим наблюдаемое поле в виде
"="⑴ + О,
(3.5)
где 8" — ошибка измерений. В символической форме (3.5) с учетом (3.4) имеет вид
^ = G*E + 8^, e = 一У(力)"⑼(力).
(3.6)
Преобразование свертки (3.6) по Фурье запишем в виде
"(G = G{q)E{q)^5^q),
(3.7)
где "(q), G(q),石(q), 8"(q) — преобразования Фурье соответствующих функций.
На множестве реализаций величины, входящие в (3.7), случайные. Полагаем, что ⑺)=О, (Е) = О,〈G) = О, (О) = 0.
Задача идентификации £(力)состоит в нахождении оператора обращения М, или его спектра M(q), который давал бы устойчивое решение обратной задачи для уравнения (3.6). Согласно методу статистического обращения [4] требуется найти спектр М (q) оператора М такой, что
J =〈|(E(q) - M{q)^{q))a{\2) = min.
(3.8)
Положим в (3.8) M(q)a\ = 3, тогда
J =〈|石(g)a1 一 "(q)a212)="彳r石百一r石/1。2 - R 少月a1a2 + R 少/^，(3.9)
где Re^ =(ёд)ёg))，底不=(ёд)方g))，r少百=(万g)"д))，r而=("(q"(g))，
。1 — произвольная постоянная.
Представим (3.9) в эквивалентном виде
Оба члена в (3.10) неотрицательны, следовательно, (3.10) можно минимизировать за счет выбора。2・ Выберем。2 таким, чтобы первый член обратился в нуль:
。2 = M(q)a\ = R \.
(З.Н)
Из (3.11) получаем
”(《) = */•(3.12)
Выражения R少百 и R少历 имеют вид
R在=〈石②=〈石(5Ё+О)) = Re^G + R哂，
==a丽〉，(3・13)
〈(GE + O) (GE + O)) = GI^G + 凭屈G + GRE^ + R§丽.
Полагая некоррелированность ошибок измерений 8" параметров среды Е и их спектров 兄6少百=兄石腑=0, получим
e=M(q)"(q), M(Q)=(r石百g)频)•(G3Re百3研 +r^腑g))一〔(3.14)
Максимальное значение относительной погрешности 5Emax определения 石(q) связано с относительной ошибкой /ХЬ" соотношением 6Emax = \G\ • |М|Л5^, где 8石=|训 ЛО =|f|, |M|<|G-4 и поэтому малой ошибке в измерениях соответствует малая ошибка в определении Е.
Применяя обратное преобразование Фурье к (3.14), получим
石(力)=I М(х - у)^(у) dy = М队у),
У(3.15)
石(力)=_£’(/)"⑼(/).
Оператор М позволяет находить устойчивое решение для идентифицируемой функции Е(х). Следовательно, задача нахождения оператора обращения М, дающего устойчивое решение задачи идентификации параметров 石(力)среды, требует знания информации об интегральных свойствах среды, заключенной в корреляционной функции Re^.
Пусть в экспериментах по прохождению волн через неоднородную среду могут быть измерены коэффициент затухания и дисперсия скорости волны в достаточно широком диапазоне частот s, т. е. можно определить зависимость коэффициента затухания 8(g) и х(&) в формуле (1.6), которая в случае слоистой среды имеет вид
q2一烏石*g)=0,(3.16)
где E*(q) спектр интегрального оператора Е*, определяемого соотношением 〈£‘〃) = Е^{и). Ядро 石*(2)оператора Е* выражается через корреляционную функцию Re^(z) следующим образом:
Е*(2)=—尾兄石百⑶ G(2), z = x-xx.(3.17)
Пусть реализация в слое определяется функцией вида
£‘(力)=工 exp『0) == 0, L = —.(3.19)
Считая £‘(力)квазислучайной функцией, будем считать £-「е| — случайными независимыми величинами:^!^ =〈⑴=0,〈匕石〉=0,=〈£衿=2-1D£, тогда
〈£‘(/)£‘(/ + 广))=今 cos 夕广.(3.20)
Рассмотрим реконструкцию данной реализации согласно предложенному способу. Вычислим оператор обращения. Пусть корреляционная функция ошибок наблюдения имеет вид
少腑(2)=r6少腑(°州(2)・(3.21)
Наблюдаемое поле представим в виде
1
"(У)= 工 P(Q — m^) exp [—i(Q — mOy)].(3.22)
m= — 1
Подставляя спектральные плотности корреляционных функций (3.20), (3.21) и функции Грина в (3.14), выполняя обратное преобразование Фурье, находим ядро М(г) оператора М, а затем из (3.15) получаем оценку Е‘(力)идентифицируемой функции:
11
彼(力)=厂 工 P(q - mO)M{q - MO) exp {—imOx\(3.23)
m= — 1
где M(q — mO) — спектр оператора M.
Сравнивая (3.19), (3.20), (3.23), можно сделать вывод, что периодичность функции £‘(/) восстанавливается точно, а амплитуда — с погрешностью.
Идентификация в длинноволновой области. В экспериментах по рассеянию волн в некоторых природных средах, зависимость затухания от частоты в длинноволновой (низкочастотной) области носит линейный характер, а дисперсия скорости практически отсутствует [12]. Поэтому положим, что имеют место зависимости
"5，х(5・(4.1)
В этом случае согласно изложенному методу для RE^(z) получим
с /、 ABcq sink?
=(4・2)
При нахождении R^百⑶ учтено, что R^百⑶ должна быть действительной четной функцией. Дисперсия Rq = АВ^~Х, радиус корреляции а = х-1 порядка длины волны. В стандартных обозначениях имеем
sin -
r石百(2)=e(0) •寸，(4.3)
где а — радиус корреляции.
Спектральная плотность для (4.3) имеет вид
(4.4)
r石百g)=const,
и согласно (3.21)
凭少腑=const.
(4.5)
Подставляя (4.4), (4.5) в
(3.14), получим
M(q) = const REe^
(4.6)
и соответственно
M(z) = const 兄石百(2).
(4.7)
Конкретная реализация е функциям Котельникова
:'(力)в этом случае представляется sin (2С/ —
穴防…)вввде
в виде разложения по
吊V гsin(2C|/| —几)
,)丿万(2C|/I -几)'
(4.8)
где Q = тах(「)，厶—масштаб неоднородности.
Разрешающая способность методов осреднения и статистического обращения для идентификации макро- и микроструктуры среды. Рассмотрим вопрос о разрешающей способности метода осреднения и статистического обращения для идентификации макро- и микроструктуры среды. На качество идентификации существенно влияет распределение источников зондирующего излучения и приемников рассеянного поля, что интенсивно исследуется во многих работах. Ограничимся рассмотрением вопроса о влиянии используемых в методе осреднения величин на точность реконструкции структуры неоднородной среды. Согласно методу осреднения идентифицируемая функция представляется в виде
E(/)=守 + У,
где в* — эффективный волновой оператор, содержащий информацию об интегральных свойствах структуры среды, а Н — флуктуации, характеризующие локальные индивидуальные свойства данной реализации. Соответственно введению иерархии в структуре среды вводим иерархию в структуре рассеянного поля:
〃 =® + 〃⑴ + и^ + ...,
где {и) описывает поле в эффективной среде с оператором 百*, содержащим информацию о корреляционной функции £(/). Уже в информации о корреляционной функции поля £(力)содержится достаточно много информации о локальных свойствах реализации £(/): дифференцируемость, упорядоченность или неупорядоченность структуры, а также о среднем разбросе амплитудных значений и среднем масштабе флуктуаций. Отметим, что в силу вида оператора М идентификация структуры проводится со сглаживанием тонкой структуры.
Заключение. Таким образом, сочетание статистического варианта метода осреднения и метода статистического обращения позволяет решать задачи идентификации реализаций материальных коэффициентов неоднородной среды за счет того, что регуляризация задачи осуществляется вследствие дополнительной информации, содержащейся в корреляционной функции параметров среды. Предло-
женный метод в принципе может быть распространен на случай, когда необходимо исследовать фрактальные свойства среды и рассеянного поля.
Список литературы
Тихонов А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. С. 286.
Буров В.А., Румянцева О.〃. Единственность и устойчивость обратной задачи акустического рассеяния 勿 Акустический журн. 2003. Т. 49, № 5. С. 590-603.
Горюнов А. А., Сасковец А. В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во МГУ, 1989. С. 152.
Ис им ар у А. Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. М.: Мир, 1981. Т. 2. С. 317.
Лаврентьев М.М. и др. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. С. 286.
Keys R. G., Weglein А. В. Generalized linear inversion and the first Born theory for acoustic media 〃 Y. Math. Phis. 1983. V. 24, №6. P. 1444-1449.
Grigorev O.A., Shermergor T.D. The Scattering of Ultrasonic Waves by Polycrystals 〃 Phys. Stat. Sol (a) 64. 1981. P. 385.
Чигарев А. В. Стохастическая и регулярная динамика неоднородных сред. Минск: Технопринт, 2000. С. 425.
Татарский В. И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Наука, 1967. С. 549.
Физическая акустика. Под ред. У. Мэзона. М.: Мир, 1966.
Me. Coy I.I. Macroscopic response of continuous with random microstructure 〃 Mechanics Today. N.Y., 1981. V. 6.
Лысаков Ю. 口., Лямшев Л.М. О фрактальной природе затухания низкочастотного звука в океане 〃 ДАН. 1999. Т. 366, № 1. С. 36-38.
К ТЕОРИИ СКОЛЬЖЕНИЯ С ГЛАДКИМИ
И СИНГУЛЯРНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ НАГРУЖЕНИЯ
Н.Ю. Швайко
Днепропетровский национальный университет
Дается краткое изложение результатов, полученных в рамках варианта теории скольжения [1, 2] с использованием некоторых частных типов функций упрочнения. Результаты сравниваются с аналогичными, вытекающими из известных теорий пластичности [3-7] с регулярными и сингулярными поверхностями нагружения.
При умеренных температурах и скоростях нагружения кристаллических тел основным в развитии пластической деформации является механизм скольжения. Первый вариант теории пластичности, основанный на указанном физическом механизме неупругого деформирования материалов, предложен в 1947 г. Батфордом и Будянским [8]. Фундаментальный вклад в дальнейшее развитие концепции скольжения в теории пластичности внесли Леонов [1, 9], Линь [10], Малмей- стер [11, 12], Христианович [13-15], Шемякин [13, 16, 17] и др. Концепция скольжения является определяющей также в работах [1, 2], где предложены линейная и нелинейная модели плоскопластической среды с учетом взаимодействия систем скольжения.
Согласно [1, 2] в направлениях развивающихся скольжений т®） сопротивление сдвигу Rm （夕0,方）и скорость его изменения Rm （夕0,方）соответственно равны касательному напряжению тт （夕0,方），действующему по площадке скольжения, и скорости приращения касательного напряжения tm （夕0,方）=9丁加/ dt, так что
r加（g0,方）=丁加（g0,方）；（1）
丘（細,方）= %（&）,，（2）
Левые и правые части уравнений （1） и （2） определяются формулами
Rm（0Q,t） = I 用入（f）, 10-飼］d（仇方）曲，（3）
力a2（e）
凡П向，方）=I I用入（0,口一帆依（仇€）而成；⑷
力一з（g）
丁rn® 方）=f S⑴ cos2口о — Ф\,тт^ 方）=f COS ［"⑴-2% — 2仇］,（5）
S(U = [S/) + S^ ⑴]1/2, Si =号匕11 ⑴-022 ⑴],S3 = ^。12 ⑴，
①⑴=①1⑴-①1(方0),①1⑴=I arctg国⑴/&("],⑹
Фо =① 1(方о),"⑴=arctg (dS^/dSi), dt = (dS, + dS^)^2.
Универсальная функция материала (R) представлена в виде произведения функции пластичности П[А/С] и упрочнения 尸(s)：
R[Xk,u]=n[Xk]F^).(7)
Здесь 入k — параметры истории нагружения или пластического деформирования, cj = \0 — Oq\ — угол между направлением сдвига 八(夕)и произвольным направлением 加(夕0)в плоскости деформирования. П определяется из эксперимента на знакопеременное кручение тонкостенной трубки [18, 19]. В качестве функции упрочнения 尸(s) используется [18, 20, 21] общевозможная
,00/、一仿
F(s) =kiu~hl+ 工。2冷 cos 2?w + 卜2 •( j)(8)
n=o'丿
и ее частные случаи, соответствующие различным значениям параметров к\,卜2, 九1,九2, 。2冷 const;九i, Д1 < 1. Графики качественного изменения 尸(s) показаны на рис.1. Варьирование параметров к\ и 九i позволяет регулировать 尸(s) в окрестности точки s = 0 п определять упрочнение материала по площадке скольжения в направлении сдвига т. Аналогично, параметры 卜2 и 九2 определяют поведение 尸(s) в направлении —т, противоположном т, т. е. характеризуют на микроуровне эффект Баушингера. Входящий в формулу (8) ряд дает возможность как угодно изменять 尸(s) при s е (0, тг/2). Так как упрочнение в направлении скольжения (s = 0) приводит, согласно эффекту Баушингера, к разупрочнению в противоположном направлении (s = тг/2), то функция F(s) на промежутке [О, 7г/2] должна быть знакопеременной, что и показано на рис. 1.
Заложенная в теорию пластичности концепция скольжения в зависимости от поведения 尸(5 в окрестности точки s = 0 может приводить [18, 19] как к сингулярным, так и к регулярным поверхностям (S) нагружения. Сингулярные поверхности получаем для всех возможных функций упрочнения, удовлетворяющих условиям 0 < 户⑼ < оо, 0 < 尸⑼ < оо (рис. 1, а, 6), а регулярные — при 户⑼》О и F'(O) = 0 (рис. 1,6). По аналогии в дальнейшем показанные на рис. 1,а, 6 типы функций F® будем называть сингулярными, а на рис. 1,6 — регулярными.
Рассмотрим сначала случай регулярных функций упрочнения. При этом для всех возможных 尸(s), удовлетворяющих условию 尸'(0) = 0 (рис. 1,6), решение уравнений (1) и (2) с учетом выражений (3)-(6) дается формулой
d(仇方)=元cos -2a2⑴-2仇期⑴一外(9)
где 6 — дельта-функция Дирака. Границы 干cq,2(方)множества направлений скольжений определяются уравнениями
Рис. 1eq ⑴=—&2⑴，2s⑴ sin2[ct2(^) — 0⑴]+ b(t) = О,Рис. 1eq ⑴=—&2⑴，2s⑴ sin2[ct2(^) — 0⑴]+ b(t) = О,
Рис. 1
eq ⑴=—&2⑴，2s⑴ sin2[ct2(^) — 0⑴]+ b(t) = О,
Рис. 1
eq ⑴=—&2⑴，2s⑴ sin2[ct2(^) — 0⑴]+ b(t) = О,
I ,(Ю)
Е J 歹(|&2⑴—Q2(£)|)cos W(§) — 2q2(£) — 20o]d&
力0
При известных 夕;(仇方)，cq,2(方)компоненты вектора Г (方)плоскопластической деформации даются квадратурами
р(р) _ ^^丄1一亏р(р) _ ^^丄1一亏02（力）
р(р) _ ^^
丄1一亏
р(р) _ ^^
丄1一亏
(И)(И)I0；（仇方）cos 2（0+仇）曲,
(И)
(И)
厅02（力）
「?）=亭 [d（仇方）点112（夕+仇）曲.
В локальной нагружения В иВ локальной нагружения В исистеме координат BSySq (рис. 2) с началом в текущей точке повернутой относительно OS\S^ на угол 2(庆 + 0о) формулы (12)
В локальной нагружения В и
В локальной нагружения В и
принимают вид
江中）=dS"/2II, df产=0 （江（0）=「（0）必，儿=a2⑴）.（12）
Пластическая деформация материала приводит к возникновению деформационной анизотропии. Для модели плоскопластической среды [1, 2] прочностной характеристикой, изменяющейся по-разному в различных в плоскости деформации направлениях 加(夕0), является сопротивление сдвигу 兄加(夕0,方)• Для него на основании формул (4), (9) и (10) получаем
Rm® 力)=Ts + 4 j 歹(仇一^2(01 cos ["(£) - 2a2(£) — 2仇])d&(13)
力0
Рис. 2
При известном Rm (夕0,方)линия нагружения (S) в плоскости деформации определяется [18] уравнениями
Tg + C…小.(14)
Так как согласно (15) Rm и dRm/d6Q непрерывны для всех 0о е [—7г,7г], в том числе и при 夕。=&2(方)，то линия нагружения S является гладкой. Кроме этого из уравнения (15) следует, что направление нормали ^ к линии S в точке нагружения В совпадает с направлением оси BSy локальной системы координат BS^Sq (рис. 2). С учетом этого формулы (13) в векторном виде представляются так:
dfS =%/2口，(15)
где dS“ — составляющая вектора догрузки dS в направлении нормали к линии нагружения S (принцип градиентальности).
Инвариантность записи формулы (16) позволяет распространить ее с частного случая плоскопластической деформации на общий случай пространственного нагружения.
Для иллюстрации вышеизложенного рассмотрим функцию упрочнения
歹(5 = а + bcos 2G (а, b 〜const),(16)
удовлетворяющую условиям F(0) > 0,歹/(0) = 0. Для такой функции F(g на основании формул (13)-(15) получаем
dF(。)= dS/2II, 江夕=dS^/2II;(17)
m) = So + 2。 j й[儿(引 JWE码代
(19)(19)力0
(19)
(19)
t
力о
где по повторяющемуся индексу i (г = 1,5) идет суммирование.
Уравнение (19) есть уравнение гиперсферы в девиаторном пространстве напряжений (в плоскости OS\S^ — окружности (рис. 3)) с изменяющимся во времени радиусом r(t) и центром в точке Oi, координаты которой К〃 определяются формулами (20). Показанная пунктиром окружность радиуса Sq = V^ts соответствует начальной поверхности нагружения Sq. Таким образом, функция упрочнения 歹(5 (17) приводит к комбинированному упрочнению: поверхность нагружения S в процессе пластического деформирования изотропно расширяется (ссужается) и кинематически перемещается как жесткое целое.
Рассмотрим теперь формулы (18)-(20) при 歹(s) (17) и ее частных случаях.
Если положить 歹(s) = 1 (а = 1, 6 = 0), то придем к изотропному упрочнению, при котором вектор dS“ коллинеарен вектору нагружения S(t). Предполагая далее существование универсальной функции материала £#)= 3*(。〃) и полагая П = ；W；(o〃) (W； = d^*/dau), приходим к теории пластичности Хальденмана- Линя-Прагера [14]. В компонентах девиатора напряжений s叮 и приращения
пластической деформации cfe；，она записывается так:
= 3 也(0")= 3 也(0")Sjj do”.Sjj do”.(20)(20)
= 3 也(0")
= 3 也(0")
Sjj do”.
Sjj do”.
(20)
(20)
При F® = cos 2G (а = 0, b = 1) имеем кинематическое упрочнение: начальная поверхность нагружения So в пространстве девиатора напряжений перемещается как жесткое целое. Полагая далее 2П = Я = const, на основании (18) можно
получить
(21)(21)厶Г =(汨—н"))"тп- Я£^п)曲
(21)
(21)
ts
В результате имеем теорию пластичности Ишлинского [4] для материалов с линейным упрочнением {Eut,E~t ^ const) и идеальным эффектом Баушингера (о〃 + % = 2%) •
В случае функции упрочнения F(g (17) и при некоторых дополнительных предположениях относительно функции пластичности П на основании формул (18)-(20) можно прийти к теориям пластичности Кадашевича-Новожилова [5] и Арутюняна-Вакуленко [7].
Естественное обобщение рассмотренных теорий [3-5, 7] дается формулами (18)-(20), которые представим в виде
2 / \(S叮—kij)(smri — ^mn) dSmn, 2Пг (t)2 / \(S叮—kij)(smri — ^mn) dSmn, 2Пг (t)tkzj=2b^n[Xk^]^ 成,力0tkzj=2b^n[Xk^]^ 成,力0(22)(22)广⑴=V2rs + 2a UpW£)]J明储魚 d&力0广⑴=V2rs + 2a UpW£)]J明储魚 d&力0
2 / \(S叮—kij)(smri — ^mn) dSmn, 2Пг (t)
2 / \(S叮—kij)(smri — ^mn) dSmn, 2Пг (t)
t
kzj=2b^n[Xk^]^ 成,
力0
t
kzj=2b^n[Xk^]^ 成,
力0
(22)
(22)
广⑴=V2rs + 2a UpW£)]J明储魚 d&
力0
广⑴=V2rs + 2a UpW£)]J明储魚 d&
力0
Функция пластичности П определяется из эксперимента на знакопеременное нагружение, например знакопеременное кручение тонкостенной трубки. Для нее можем получить [19]
II = I Eu\Eut I /op、 3 Eu-\Euty С
где Еи = 3G — упругий, Eut = Eut{^) — касательный модули диаграммы аи 〜 〜£产，построенной при знакопеременном нагружении.
Записанные для регулярных функций упрочнения (гладких поверхностей нагружения) уравнения связи д■叮〜金叮 принадлежат к числу дифференциальнолинейных и могут быть представлены в виде
67叮67叮= ^ij тп^тп.= ^ij тп^тп.(24)(24)
67叮
67叮
= ^ij тп^тп.
= ^ij тп^тп.
(24)
(24)
где Aijmn — определяемые формулами (23) функционалы по длине дуги s от параметров внутренней геометрии траектории нагружения.
Описание упругопластической деформации материалов с использованием сингулярных функций упрочнения дано в работах [1, 2, 18-21 и др.]. Результаты записаны для общевозможной 歹(s) (8) и ее частных случаев. В качестве примера сингулярной функции упрочнения рассмотрим [20, 21]
(25)(25)歹(5 =。0 +。2 COS 2G + bb(5 + c5(7t/2 — 5,
(25)
(25)
где 8 — дельта-функция Дирака. Для указанной 歹(s) решение уравнения (2) с учетом (3)-(6) дается формулами
n4(仇方)=Ai cos ["⑴-2儿⑴-2仇]cos2口 -左⑴]+
+ Bi sin ["⑴-2现⑴-2仇]sin 2口 - i^(t)] + G cos ["(方)-2现⑴-2仇],(26)
厶 _ У2b + 2aoa
2 [b + 期(a + ； sin 4a) ] (b + 2aoa) —。0。2 sin2 2a
a1「_ d aosh12a(27)
(2a = a2⑴ + Qi ⑴，2现=a2 ⑴一Q1 ⑴)•
Границы 干&i,2(方)определяются из уравнения (1) с учетом представлений (4) и (5). Соответствующая методика решения указанной задачи с использованием общевозможной 歹(s) (8) и ее частных случаев изложена в работах [18, 20, 21]. Так, при монотонной деформации (乙12(方)^ 0) и функции упрочнения 歹(s) (26) имеем
小丁(b + 2aoa) cos 2a - a0 sin 2a V^ts
-,sin 4a)》⑴
Согласно (11) и (27) для компонента скорости плоскопластической деформации получаем
口「『)=ви cos ["(方)-2现(方)-2仇]cos 2佐⑴ + 仇]-Bi2 sin (方)-2现(方)-
-2仇]sin2佐⑴ + ф0],
口「?)= Bn cos ["⑴-2儿⑴-2仇]sin 2佐⑴ + 仇]-B^ sin ["⑴-2儿⑴-
-2仇]cos2佐⑴ + фо],
(29) где
— ；°：\ 2a ,
2\4 丿 b + 2aoa
L」(30)
石i2(&) = ^ 石1sin4a).
В локальной системе координат BSySq (рис. 2) зависимости (30) могут быть представлены так:
ГПГр) = Bi(a) dS“， П^Г^ = Bi2^ dSq.(31)
Формулы (32) инвариантны относительно преобразований вращения траектории нагружения О АВ в плоскости OS1S3, т. е. удовлетворяют постулату изотропии
Ильюшина. Это позволяет обобщить их на случай произвольных плоских траекторий нагружения, как угодно расположенных в пятимерном девиаторном пространстве напряжений. При монотонной деформации (乙12(方)》0) такое обобщение распространяется на пятимерные траектории нагружения.
Так как при немонотонной деформации границы множества направлений скольжения 干cq,2(方)существенным образом зависят от ориентации вектора догрузки dS относительно предшествующий траектории О АВ (рис. 2), то соотношение (32) для сингулярных функций упрочнения 歹(s) являются дифферинциально-нелинейными. Полученные на их основе определяющие уравнения можно представить так:
5"叮 = ^ij тп^тп —(^mn),5"叮 = ^ij тп^тп —(^mn),(32)(32)
5"叮 = ^ij тп^тп —(^mn),
5"叮 = ^ij тп^тп —(^mn),
(32)
(32)
где Aijmn — по-прежнему функционалы по длине дуги s от параметров внутренней геометрии траектории нагружения; ^j (smn) — зависящие от истории нагружения однородные первой степени относительно smn функции, тождественно равные нулю в зоне полного догружения dS(dq2(方)》0).
Построенная при монотонной деформации для 歹(s) (26) сингулярная поверхность нагружения S показана на рис. 4. Она состоит из двух пятимерных гиперсфер радиусов R и R\, гиперконуса с углом раствора 2/3* и образующими, касательными к гиперсфере радиуса R. Параметры (R, R\, 2/3*) поверхности S зависят от длины вектора нагружения S° и коэффициентов а。，。1, b, с функции упрочнения 歹Q).
Как следует из работы [22], определяющие уравнения связи勾〜построенные в рамках модели [2] для частной функции упрочнения 歹(s) (26) при П = 1, с точностью до обозначений совпадают с аналогичными соотношениями так называемой структурной теории пластичности [6]. Ее возможности могут быть значительно расширены, если отказаться от условия П = 1 и определять функцию пластичности из эксперимента на знакопеременное нагружение тонкостенной трубки.
Показано [24, 23], что предложенный на основании моделей [1, 2] вариант теории пластичности удовлетворяет постулату Друккера [25], дифференциальной потенциальности определяющих уравнений связи д■叮〜金叮 и принципу макро-
детерминизма [26]. Этим самым обоснована корректность теорий, учитывающих перекрестное влияние механизмов пластического деформирования.
Экспериментальные исследования [18, 27, 28 и др.] подтверждают возможность и перспективность использования теории пластичности [1, 2, 18] для описания деформации широкого класса материалов при простом и сложном нагружениях.
Список литературы
Леонов М.Я., Швайко Н.Ю. Сложная плоская деформация 〃 ДАН СССР. 1964. 159, №2. С. 1007-1010.
Швайко Н.Ю. К теории пластичности, основанной на концепции скольжения 〃 Прикл. механика. 1967. 12, №11. С. 12-24.
Handelman G.H., Lin С. С., and Prager W. On the mechanical behavior of metals in the strain-hardening range 〃 Quart. App. Math. 1947. № 4. P. 397-407.
Ишлинский А. Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением 〃 Укр. мат. журн. 1954. № 6, №3. С. 314-325.
Кадашевич Ю.А., Новожилов В. В. Теория пластичности, учитывающая микронапряжения 〃 Прикл. механика и математика. 1958. 22, № 1. С. 78-89.
Кадашевич Ю.И., Новожилов В. В., Черняков Ю.А. Теория пластичности и ползучести, учитывающая микродеформации 〃 Прикл. механика и математика. 1986. 50, вып. 6. С. 890-897.
Арутюнян Р.А., Вакуленко А. А. О многократном нагружении упругопластической среды 〃 Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 4. С. 53-61.
Batdorf S. В., Budiansky В. A mathematical theory of plasticity based on the concept of slip 〃 NACA, Techhnical Note. April, 1949, № 1871. [Рус. пер.: Механика: Сб. перев. иностр, статей, 1962. № 1. С. 135-155.]
Леонов М.Я. Элементы аналитической теории пластичности 〃 ДАН СССР. 1972. Т. 205, №2. С. 303-306.
Lin Т.Н. Physical theory of plasticity 〃 Advances in Applied Mechanics. 1971. V. 11. P. 255-311.
Малмейстер А. К. Основы теории локальных деформаций 〃 Механика полимеров, 1965. №4. С. 12-27.
Малмейстер А. К., Таму ж 8〃，Тетере Г. А. Сопротивление жестких полимерных материалов. Рига: Зинатне, 1972. 500 с.
Христианович С.А., Шемякин Е.И. О плоской деформации пластического материала при сложном нагружении 〃 МТТ. 1969. № 5. С. 138-149.
Христианович С. А. Деформация упрочняющегося пластического материала. Известия АН СССР. МТТ. 1974. №2. С. 148-174.
Христианович С. А. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1981. 483 с.
Шемякин Е. И. Анизотропия пластического состояния. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд-во ВЦ СОАН СССР. 1973. Т.4, № 4. С.150-162.
Жигалкин В.М., Усова О.М., Шемякин Е.И. Анизотропия упрочняющегося пластического материала. Влияние истории нагружения 〃 Сообщение 1. Препринт № 34, 1989. 28 с. Сообщение 2. Препринт №35, 1989. 34 с. Сообщение 3. Препринт № 36, 1989. 42 с. Новосибирск: И ГД СО АН СССР.
Швайко Н. Ю. Сложное нагружение и вопросы устойчивости. Днепропетровск: Изд-во ДГУ, 1989. 176 с.
Швайко Н. Ю. Концепция скольжения и некоторые особенности пластического деформирования материалов при сложном нагружении 〃 Проблемы механики деформируемых тел и горных пород. Москва: Изд-во Московского горного государственного университета, 2001. С. 348-364.
Швайко Н.Ю. Методы решения уравнений, описывающих законы деформирования линейной анизотропно упрочняющейся плоскопластической среды 〃 Сложная деформация твердого тела. Фрунзе: Илим, 1967. С. 3-34.
Швайко Н. Ю. О возможном общем виде функции упрочнения линейной плоскопластической среды 〃 Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск, 1972. № 14. С.109-120.
Швайко Н.Ю. До теорп пластичност!, заснованоТ на концепцп ковзання 〃 Математичн! методи та ф!зико-механ1чн1 поля. 2003. № 1.
Швайко Н. Ю. О корректности теорий пластичности, учитывающих взаимовлияние механизмов неупругого деформирования 〃 Физ.-хим. механика материалов. 2001. № 2. С. 54-62.
Швайко Н.Ю. Об устойчивости деформирования и дифференциальной потенциальности определяющих уравнений теории пластичности 〃 Физ.-хим. механика материалов. 2002. №3. С. 42-52.
Drucker D. С. A more fundamental approach to plastic stress-strain relations 〃 Proc, of the First U. S. Nat. Congr. of Appl. Meeh. ASME. 1951. P. 487-491.
Клюшников В.Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. (Элементы определяющих соотношений.) М.: Изд-во МГУ, 1994. 189 с.
Кудряшов Н.Н., Рычков Б.А., Швайко Н.Ю. Теоретическое и экспериментальное исследование законов деформации сплава АК-6 при сложном нагружении 〃 Изв. АН Кирг. ССР. 1970. № 1. С.28-35.
Швайко Н. Ю., Гашко А. Л., Макаренков А. Г., Степаненко В. Ф., Тонконоженко А.М., Черняков Ю.А. О пределах применимости теории малых упругопластических деформаций при непропорциональном нагружении сплава ВТ-бс. 〃 Прикл. механика. 1976. Т. 12, №2. С. 48-53.
О СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СООТНОШЕНИЯХОБЩЕЙ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОЙПЛАСТИЧНОСТИ
Ю.Д. Щеглова
Воронежский Государственный университет
Статически определимые соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности определены в работе [1].
В работах [2, 3] соотношения общей плоской задачи [1] использованы для определения предельной нагрузки при вдавливании жестких штампов в идеально пластическое полупространство при наличии продольных сдвигов. В работе [4] исследованы статически определимые соотношения общей плоской задачи в случаях, когда условия предельного состояния не совпадают в условием полной пластичности. В настоящей работе рассматриваются некоторые статически определимые соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности.
Соотношения полной пластичности
=。3 + 2k,。2 =。3, к = const,(1.1)
где ai — главные напряжения, могут быть записаны в виде [5]
где <7力，тХу,...
。力=。—；k+ 2k cos2 仇，тху= 2k cos 仇 cos 夕2,
ay =a—к+ 2k cos2 ^2,txz= 2k cos 0\ cos 6^3,(1.2)
=0—^ k+ 2k cos2 £3,Tyz= 2k cos 夕2 cos £3,
cos2 圻 + cos2 夕 2+ cos2 % = 1,о= ； (0 力 + ay + oj(1.3)
—компоненты напряжения в декартовой системе координат xyz,
cos"分—направляющие косинусы, определяющие ориентацию главного направления оз в пространстве xyz.
Из (1.3) найдем
\ Sin，\ sin/
Обозначим
,COS 仇.,COS ^2
cos ⑦=.八，sm ⑦=.八.(1.4)
sin仇sin仇
Соотношения (1.2), согласно (1.4), могут быть переписаны в виде
。力=。一^к + к(1+ cos 2?/；) sin2 %, тху = к sin 2 少 sin2 %,
ау = а — ^ к + к{ \ — cos 2哈 sin2 %, rxz = к cos ⑦ sin 2%,(1.5)
az = a — ^k + 2k cos2 &, ryz = к sin ⑦ sin 2&.
В плоскости xy, согласно (1.5), направление максимального нормального напряжения определяется углом ⑦：
= tg2 认(1.6)
— Оу
В плоскости 2 = const направление результирующего касательного напряжения Г =+ t^z определяется также углом ⑦：
tg^= J-(1・7)
Следовательно, в случае полной пластичности направления максимальных касательных напряжений и результирующих касательных напряжений в соответствующих плоскостях совпадают.
Рассмотрим соотношения
о~х =+ 2к cos2 圻, тху = 2к cos 圻 cos 夕2,
ay = a — ^ к + 2k cos2 62, rxz = —2k cos 62 cos 63,(1.8)
az = a — ^k + 2k cos2 £3, ryz = 2k cos 仇 cos £3,
cos2 仇 + cos2 夕2 + cos2 夕3 = 1.
Используя замену переменных (1.4), из (1.8) получим, что имеет место соотношение (1.6), а также
ctg ⑦=—生.(1.9)
Согласно (1.6), (1.4), направления максимального напряжения в плоскости ху и результирующего касательного напряжения Г = JW° + т^г взаимно ортогональны.
Из соотношений (1.8) следует, что условие полной пластичности имеет место вдоль координатных осей: cos% = cos% = 0, cos^ = 1. В случае произвольной ориентации направления, определяемого направляющими косинусами cos%, условие полной пластичности в случае (1.8) места не имеет.
Статически определимые соотношения теории идеальной пластичности в общем случае могут быть записаны в виде [6]: три уравнения равновесия
30力丄 дтХу 丄 9tXz _ e
導+ 2 +好=。，(2.1)
охоуOZ
drxzdryzdaz _ n
и три предельных соотношения
/1(^-) =。， 了2(。# =。， /з(^) = 0,(2.2)
где aij — компоненты напряжения.
Система шести уравнений (2.1), (2.2) относительно шести компонент напряжений а^ является замкнутой.
Соотношения общей плоской задачи имеют место, когда компоненты напряжения зависят от двух координат и не зависят, например, от координаты 2： о叮= =о叮(力у). В этом случае уравнения равновесия (1.1) принимают вид
д^x 丄 3丁力g—е дтХу 丄 defy _e 9tXz 丄 ^TyZ _e
Соотношения (1.2) можно записать в виде
/1 Oy,Ta:y,Ta:z,Tyz) =。，(2 4)
了2(。力，Oy, Тху, 丁力2, ^~yz} = °’
а также
z = ° z(°x, Ou，Txu，Txz,T0Z)・(2・5)
В случае общей плоской задачи уравнения (2.3), (2.4) образуют замкнутую систему пяти уравнений относительно пяти неизвестных ах, ау, тху, rxz, ryz. Соотношение (2.5) служит для определения величины az.
Введем замену переменных
。力=о + k cos 2 仇
ау = а — k cos 2仇(2.6)
тху = k sin 2仇
Из (2.6) следует
О = } (°力 + %)， к = Ттах = У 广 丁夕)+ Wg，夕=} arctg j〉j (2.7)
Согласно (2.7) величина а определяет среднее напряжений ах,ау, величина k = Ттах — максимальное касательное напряжение в плоскости ху; угол в определяет направление первого главного напряжения ai (ai》02) в плоскости ху.
Предположим, что
Txz = rxz{T,a,e，id), Tyz = ryz{T,a,e,/d), 丁 = ‘慎 + 脸 ‘(2・8)
где 从—некоторый параметр.
Из (2.4), (2.6), (2.8) получим
仇 = 0, /2(0*,仇Т,从)= 0.
Из (2.9) следует
к = к(а,仇 〃)，Т = Т(о,仇从)，
n=MAT),ь廿,二仇T) =0.
В дальнейшем зависимость (2.8) определим в виде
Txz = Г COS (夕 + Q), TyZ = Г sin (夕 + Q), tg (夕 + Q)=生， Q = CORSt .
Уравнения (2.3) согласно (2.6), (2.10), (2.11) примут вид
-——cos 2夕-2к sin 20-——И к sin2夕 +2k cos 20—=0,
oxoxoxoyoy
車 + 攣 Sin26» + 2kcos26^ cos 26> +2k sin 26»粵=0, ayOxoxoyoy
(2.9)⑵10)(2.9)⑵10)(2.H)(2.H)⑵12)⑵12)гдегдедк _ дк дадх да дхдк _ дк дадх да дх+м- /к - маа+м- /к - маа竺а6>竺а6>e - д е - 2 а -а а -а а -а а -а + + 从一 и г а -а а -а к -мк -м + + а -а а -а к -a^ - a а -а а -а - - к 一 一г а -а а -аe - д е - 2 а -а а -а а -а а -а + + 从一 и г а -а а -а к -мк -м + + а -а а -а к -a^ - a а -а а -а - - к 一 一г а -а а -а3 ⑵3 ⑵^ COS (夕 +Q)-T sin(夕 + Q)II+ ^ sin (夕+a)+ T cos (夕 +Q)^ = 0,
(2.9)
⑵10)
(2.9)
⑵10)
(2.H)
(2.H)
⑵12)
⑵12)
где
где
дк _ дк да
дх да дх
дк _ дк да
дх да дх
+
м- /к - маа
+
м- /к - маа
竺а6>
竺а6>
e - д е - 2 а -а а -а а -а а -а + + 从一 и г а -а а -а к -мк -м + + а -а а -а к -a^ - a а -а а -а - - к 一 一г а -а а -а
e - д е - 2 а -а а -а а -а а -а + + 从一 и г а -а а -а к -мк -м + + а -а а -а к -a^ - a а -а а -а - - к 一 一г а -а а -а
3 ⑵
3 ⑵
Уравнение характеристической поверхности запишем в виде
^(х,у) = 0,賑=需，也=£•(2.14)
Характеристический определитель системы примет вид
/ . дк лА||4-2kМYA52kAa^V1 ат г 丿д/i為 G + TH/ . дк лА||4-2kМYA52kAa^V1 ат г 丿д/i為 G + TH⑵15)⑵15)
/ . дк л
А
||4-2kМ
YA
52kA
a^V1 ат г 丿д/i
為 G + TH
/ . дк л
А
||4-2kМ
YA
52kA
a^V1 ат г 丿д/i
為 G + TH
⑵15)
⑵15)
где
А = a cos 夕 + b sin 仇 石=a sin 夕一b cos 仇
G = acosa + bsiiia, H = —a sin а + 6 cos a,(2.16)
a = г^х cos 夕 + ⑦夕 sin 6, b =—⑦力 sin 夕 + ⑦夕 cos 6.
Согласно (2.6), (2.11), при а = 0 направление результирующего касательного напряжения Г совпадает с направлением первого главного напряжения в плоскости ху. При a = 0 из (2.15) следуют уравнения
a = ⑦力cose+ ⑦gsin0=0,a = ⑦力cose+ ⑦gsin0=0,⑵⑺⑵⑺
a = ⑦力cose+ ⑦gsin0=0,
a = ⑦力cose+ ⑦gsin0=0,
⑵⑺
⑵⑺
号[(L + М) - (М cos 20-N sin 26»)] + % [(L + М) + (М cos 26» + N sin 26»)]-
-фхфу [M sin 23+ N cos 26>] = 0, (2.18) где
N _ дТдк _дТдк
80 3434 до •
Из (2.16), (2.17), (2.18) следует уравнение характеристик
黑=tg仇 黑=—ctg ("夕+ 2)，黑=tg("夕—⑦)，(2.19)
tg2 夕=寸 tg2 ⑦=/.
zУм2 + N2 —(力 + М)2
Согласно (2.6), (2.11), при & = ^ направление результирующего касательного напряжения Т ортогонально направлению первого главного напряжения в плоскости ху. При а = ^ пз (2.15) следуют уравнения
b =—麻 sin 0 ^г фу cos 夕=0,(2.20)
< [(厶-М) - (М cos 29-N sin 2夕)]+ 吗[(L — 2И) + 2И cos 2夕一N sin 20]-
-2^ж^[M sin 26+ N cos 2(9] = 0. (2.21)
Из (2.16), (2.20), (2.21) следуют уравнения характеристик
|| = —ctg(9, || = — ctg(6>—夕+ 次)，|| = tg(6> —夕一⑦1),(2.22)
厂 Гат дк ат а дк\]
Список литературы
Ивлев Д.Д., Максимова Л. А. О свободных соотношениях общей плоской задачи теории идеальной пластичности 〃 ДАН РАН. 2000. Т. 373, № 1.
Ивлев Д.Д., Максимова 〃.厶.，Непершин Р.И. О вдавливании плоского штампа в идеальное жесткопластическое полупространство при действии контактных касательных напряжений 〃 ПММ. 2002. № 1.
Ивлев Д.Д., Максимова 〃.厶.，Непершин Р.〃. Об определении идеально пластического течения в случае общей плоской задачи 〃 ДАН РАН. 2001. Т. 379, № 6.
Миронов Б. Л О статически определимых соотношениях общей плоской задачи теории идеальной пластичности 〃 Известия РАН МТТ. 2005. № 5.
Ивлев Д.Д., Теория идеальной пластичности, М.: Наука, 1966.
Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю. Полная пластичность в теории идеально пластического тела 〃 ДАН РАН. 1999. Т. 368, № 3.
Научное издание
ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ И ГОРНЫХПОРОД. СБОРНИК СТАТЕЙ К 75-ЛЕТИЮ Е.И. ШЕМЯКИНА
Редактор Н.Б. Бартошевич-ЖагельОригинал-макет: Д.В. ГорбачевОформление переплета: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 19.12.05. Формат 70х 100/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Ус л. печ. л. 70. Уч.-изд. л. 77,0. Тираж 400 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивовв ППП «Типография «Наука»121099, г. Москва, Шубинский пер., 6
1) Приведенные в табл. 1 характеристики определены экспериментально в ЦКП «Дина
мика» (СПбГУ) Г. Д. Федоровским и С. И. Кривошеевым. Параметр d вычислен по формуле
1) Случай п х rot п = 0 может быть исследован сравнительно элементарными методами,
1) Численная реализация базируется на методе Рунге-Кутта 4-го порядка точности; шаг
1) Речь не идет об уравнении (5.18), поскольку равенство s' + g〃 = 0 предполагает, что < 0.
УДК 539.3, 539.4“ Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.2р и Российского фонда фундаментальных
口 78исследований по проекту 05-01-14118д
Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. Сборник статей к 75-летию Е.И. Шемякина / Под. ред. Д.Д. Ивлева и Н.Ф. Морозова. — М.:①бзМАТЛНТ, 2006. - 864 с. - ISBN 5-9221-0672-4.
Сборник посвящен 75-летию Е.И. Шемякина. В сборник включены статьи по теории упругости, теории пластичности и ползучести, механике разрушения, реологии, горным наукам, геомеханике, механическим свойствам и разрушению геоматериалов и горных массивов и др. Статьи отражают современное состояние вопросов механики деформируемых твердых тел и горных пород, а также её приложений.
Для научных работников, аспирантов, студентов старших курсов, специализирующихся в области механики деформируемых твердых тел и горных пород.
Редакционная коллегия:
Д.Д. Ивлев, Н.Ф. Морозов (ответственные редакторы), Н.М. Матченко, А.Ф. Ревуженко,А.В. Чигарев (заместители ответственных редакторов), Л.А. Максимова, А.В. Горский,П.В. Горский (секретариат), А.А. Буренин, А.Г. Горшков, ВТ. Зубчанинов, О.Б. Лупанов,А.А. Маркин, Г.И. Марчук, Г.А. Месяц, Г.К. Михайлов, Ю.В. Немировский, В.Е. Панин,Л.А. Пучков, Ю.Н. Радаев, Н.Н. Смирнов, А.И. Хромов, Г.Г. Черный, А.Д. Чернышев,А.И. Шашкин.
© ФИЗМАТЛИТ, 2006
ISBN 5-9221-0672-4ISBN 5-9221-0672-4© Д.Д. Ивлев, Н.Ф. Морозов, 2006
ISBN 5-9221-0672-4
ISBN 5-9221-0672-4