Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие
Вопросам динамического поведения стержней и стержневых систем традиционно уделяется большое внимание в механике и акустике машин и конструкций [2, 4, 16, 20, 27, 32, 36, 40, 92, 101, 103, 125, 140, 142, 144, 145, 155, 162, 165, 173, 175, 179]. Это связано с их многочисленными техническими и технологическими приложениями.
Монография посвящена рассмотрению закономерностей распространения продольных, крутильных и изгибных волн в стержнях. Поскольку многообразие волновых процессов определяется соотношением нелинейности, дисперсии и диссипации, особое внимание уделено изучению влияния именно этих факторов.
Главы 1—5 содержат систематизированное изложение классических результатов, касающихся колебаний и волн в механических системах. При их написании учитывался опыт преподавания курса «Волновые процессы в сплошных средах», читаемого студентам механико-математического факультета Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского и студентам кораблестроительного факультета Нижегородского технического университета.
В главах 6—10 (а частично и в главах 4, 5) используются и развиваются оригинальные результаты, полученные авторами в лаборатории волновых процессов в материалах и конструкциях Нижегородского филиала института машиноведения им. А.А. Благонравова Российской академии наук.
В основу книги положены работы [5-7, 51—70, 80—88,137,156,177,182]. В той или иной мере в ней удалось отразить и результаты исследований наших коллец содержащиеся в публикациях [25, 27—30, 37, 42, 94—97, 115— 120, 138, 139, 159, 183, 185, 186, 192].
Авторы причисляют себя к нижегородской научной школе волновой динамики механических систем, основанной профессором А.И. Весницким, светлую память о котором они сохраняют.
Большую помощь при подготовке книги к изданию оказала кандидат физико-математических наук Н.В. Клюева, авторы искренне благодарят ее за это.
ГЛАВА 1
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ,ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН И АНАЛИТИЧЕСКОЙМЕХАНИКИ
§ 1.1. О колебательных процессах
Движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени, называются колебаниями [166].
Гармонические колебания
Примером простейшей механической колебательной системы может служить следующая: шарик массы т, горизонтально расположенный и упруго закрепленный (рис. 1.1), выведен из положения равновесия путем
ххXXсжатия или растяжения пружины. Если потери отсутствуют, то шарик начинает совершать незатухающие гармонические колебания относительно положения равновесия. В системе действуют две силы:
х
х
X
X
сила инерции Fu = (второй закон Ньютона, где 力一смещение шарика) и
сила упругости Fy = ^х (закон Гука, где N ——коэффициент упругости).
Условие баланса сил Fu + Fy = Q дает дифференциальное уравнение колебаний шарика:
(L1)(L1)(1.У)(1.У)d2x
(L1)
(L1)
(1.У)
(1.У)
илиили= О,at2
или
или
d2x 9
где = у ———собственная круговая частота.
Уравнение (LY) называется уравнением гармонического осциллятора ——этот основное уравнение в теории линейных колебаний систем с одной степенью свободы.
Собственная круговая частота з° связана с частотой колебаний /0 (измеряемой в герцах, Гц) и периодом колебаний Т (измеряемым в секундах, с) соотношением
so = 2»% = 2»/T(L2)
При начальных условиях x(t = 0) = хт, x{t = 0) = хт решение уравнения (1.1) имеет вид
(L6)(L6)
(L6)
(L6)
Здесь величина з° + 夕° называется фазой колебаний,夕° ——начальной фазой.
Дифференцируя (1.3) по времени, получим скорость ж и ускорение х колеблющегося шарика:
笈= ^ = -xmujQ sin(wot + 夕0)= =-хт sin(wot + 夕°), (1.4)
元=症=—力7九3^ COS(W0t + go)=
=—宕俏 cos(w0t + 夕0), (1.5) где хт и хт ——амплитуды колебательной скорости и ускорения.
При гармонических колебаниях значения смещения, скорости и ускорения периодически изменяются во времени с одинаковой частотой, но смещены по фазе (рис. 1.2, а, 6, в).
Кинетическая WK = | mi2 и потенциальная Wn = | Кх2 энергии системы изменяются во времени (рис. 1.2, г, д).
Полная энергия консервативной системы не изменяется: W = 07K + + Wa = const.
Затухающие колебания
Консервативные системы являются изолированными от внешней среды (идеальными). В реальных системах всегда существуют потери энергии, обусловленные взаимодействием с окружающей средой. Колебания неконсервативной системы являются затухающими. В этом случае в балансе сил наряду с силой инерции и силой упругости будет участвовать сила сопротивления 4, обычно пропорциональная колебательной скорости: Fr = dx =г—.
dt
Уравнение колебаний запишется в виде
где 2b力=r/m.
При начальном условии x(t = 0) = хт оно будет иметь следующее решение:
力=хт exp—"k%os(小幻^ —死力 + 夕о》(1.7)
Потери приводят к уменьшению ампли™ туды и частоты колебаний.
Величина %, называемая декрементом колебаний (или декрементом затухания), показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний через каждую секунду.
График затухающих гармонических колебаний показан на рис. 1.3.
Вынужденные колебания
Для того, чтобы неконсервативная система совершала незатухающие колебания, к ней необходимо внешнюю силу и эта сила должна быть периодической: F = Fm cos 力.
Уравнение динамики (1.6) будут иметь вид
(L8)(L8)24^ +WgX = —cos wbtat2 atm
(L8)
(L8)
х = xb cosQb力 + 夕0 十 夕),х = xb cosQb力 + 夕0 十 夕),(L9)(L9)Это уравнение имеет следующее решение:
х = xb cosQb力 + 夕0 十 夕),
х = xb cosQb力 + 夕0 十 夕),
(L9)
(L9)
Рис. 1.4Рис. 1.4^тах^тах47rm,/о 运wo г47rm,/о 运wo г(LU)(LU)
Рис. 1.4
Рис. 1.4
^тах
^тах
47rm,/о 运wo г
47rm,/о 运wo г
(LU)
(LU)
показывающее, что в системе устанавливаются незатухающие колебания с
частотой внешней силы 例,сдвинутые по фазе на угол 夕.
Колебания, описываемые уравнением (1.8), называются вынужденными. Их амплитуда определяется формулой
д =/Г,(1Л0)
47rJ (尤—/2) + (Д4/7Г)2
где fb = шь/2тг.
Зависимость амплитуды вынужденных
колебаний от частоты 九 и декремента 5素 показана на рис. 1.4.
При резонансе 九=/о амплитуда колебаний максимальна:
При малых частотах (Д《%) зависимость амплитуды g от частоты вынуждающей силы незначительна.
В консервативной системе (г = 0) амплитуда колебаний хъ возрастает при резонансе до бесконечности. В неконсервативных системах накопление энергии будет ограничиваться затратами на преодоление потерь и совершение полезной работы.
Анализ колебательных систем иа фазовой плоскостиУравнение гармонического осциллятора (1.1) имеет первый интегралАнализ колебательных систем иа фазовой плоскостиУравнение гармонического осциллятора (1.1) имеет первый интегралт,т,N 9+ X*"三07三const,N 9+ X*"三07三const,(Ы2)(Ы2)имеющий смысл закона сохранения энергии W = WK + Wn.имеющий смысл закона сохранения энергии W = WK + Wn.Уравнение (1.12) перепишем в виде2+ WqX2 三石三 const, (1.13)Уравнение (1.12) перепишем в виде2+ WqX2 三石三 const, (1.13)где Е = W/m.Амплитуда колебаний хт связана с энергией соотношением 伤九=\/^/з° = =VW/N”На плоскости (ж, ж) соотношение (1.13)где Е = W/m.Амплитуда колебаний хт связана с энергией соотношением 伤九=\/^/з° = =VW/N”На плоскости (ж, ж) соотношение (1.13)определяет семейство эллипсов с полуосями\/2Е/си。и \/2Е. Размеры таких эллипсов будут увеличиваться с увеличением 石(рис. 1.5).Плоскость (力,ж) называется фазовой плоскостью, а линии на фазовой плоскости ——фазовыми траекториями. Эллипсы ——фазовые траекторииопределяет семейство эллипсов с полуосями\/2Е/си。и \/2Е. Размеры таких эллипсов будут увеличиваться с увеличением 石(рис. 1.5).Плоскость (力,ж) называется фазовой плоскостью, а линии на фазовой плоскости ——фазовыми траекториями. Эллипсы ——фазовые траекториигармонического осциллятора.Уравнение (1.V) перепишем в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:гармонического осциллятора.Уравнение (1.V) перепишем в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:dxdy о必力威 0dxdy о必力威 0(Ы4)(Ы4)В более общем случае (включающем в себя, в частности, уравнение (1.6)), такая система будет иметь видВ более общем случае (включающем в себя, в частности, уравнение (1.6)), такая система будет иметь вид(1Л5)(1Л5)
Анализ колебательных систем иа фазовой плоскости
Уравнение гармонического осциллятора (1.1) имеет первый интеграл
Анализ колебательных систем иа фазовой плоскости
Уравнение гармонического осциллятора (1.1) имеет первый интеграл
т,
т,
N 9
+ X*"三07三const,
N 9
+ X*"三07三const,
(Ы2)
(Ы2)
имеющий смысл закона сохранения энергии W = WK + Wn.
имеющий смысл закона сохранения энергии W = WK + Wn.
Уравнение (1.12) перепишем в виде
2
+ WqX2 三石三 const, (1.13)
Уравнение (1.12) перепишем в виде
2
+ WqX2 三石三 const, (1.13)
где Е = W/m.
Амплитуда колебаний хт связана с энергией соотношением 伤九=\/^/з° = =VW/N”
На плоскости (ж, ж) соотношение (1.13)
где Е = W/m.
Амплитуда колебаний хт связана с энергией соотношением 伤九=\/^/з° = =VW/N”
На плоскости (ж, ж) соотношение (1.13)
определяет семейство эллипсов с полуосями
\/2Е/си。и \/2Е. Размеры таких эллипсов будут увеличиваться с увеличением 石(рис. 1.5).
Плоскость (力,ж) называется фазовой плоскостью, а линии на фазовой плоскости ——фазовыми траекториями. Эллипсы ——фазовые траектории
определяет семейство эллипсов с полуосями
\/2Е/си。и \/2Е. Размеры таких эллипсов будут увеличиваться с увеличением 石(рис. 1.5).
Плоскость (力,ж) называется фазовой плоскостью, а линии на фазовой плоскости ——фазовыми траекториями. Эллипсы ——фазовые траектории
гармонического осциллятора.
Уравнение (1.V) перепишем в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:
гармонического осциллятора.
Уравнение (1.V) перепишем в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:
dxdy о
必力威 0
dxdy о
必力威 0
(Ы4)
(Ы4)
В более общем случае (включающем в себя, в частности, уравнение (1.6)), такая система будет иметь вид
В более общем случае (включающем в себя, в частности, уравнение (1.6)), такая система будет иметь вид
(1Л5)
(1Л5)
Точки (力о「“о), в которых правые части системы (1.15) обращаются в нуль (т. е. f (ж0, г/0) = д(с°, у。) = 0), называются особыми точками.
Уравнение гармонического осциллятора (1.Г) имеет одну особую точку х = у = Q.
Особая точка, окруженная замкнутыми фазовыми траекториями, называется центром (рис. 1.5).
Если бы нам пришлось иметь дело с уравнением, отличающимся от (].Y) знаком перед вторым слагаемым
(Ы6)
то энергия системы, в отличие от (1.13) была бы знакопеременной:
(L17)(L17)
(L17)
(L17)
Фазовые траектории (1.17) приведены на рис. 1.6, они представляют собой два семейства гипербол (при 石〉0 и Е < 0) и семейство прямых линий у = ± /3岂(при Е = 0), являющихся асимптотами для гипербол.
Начало координат х = у = Q представляет собой особую точку, называемую седлом. Прямые линии у = ±0© проходящие через седло и разделяющие траектории разных видов, называются сепаратрисами.
Для осциллятора с затуханием (1.6) Е 卢 卢 const, и справедливо уравнение изменения энергии
警2三毋 (1.18)
При 5力〉0 энергия уменьшается со временем. Изображающая точка, двигаясь на фазовой плоскости, переходит от траекторий с большими значениями Е к траектори
ям с меньшими значениями Е. В результате при 力 т оо изображающая
точка оказывается в начале координат.
Если 6k < си。(малое трение), то в системе наблюдаются слабо затухающие осцилляции (рис. 1.3). Фазовые траектории, отвечающие такому движению, приведены на рис. 1.7. Особая точка с =丕=0 в этом случае называется устойчивым фокусом.
При Sk > wo (большое трение) в системе совершается апериодическое затухание. Фазовые траектории приведены на рис. 1.8. Особая точка х = =у = 0 в этом случае называется устойчивым узлом.
При 5力 < 0 (отрицательное трение) фазовые портреты не изменяют своей формы, но направление движения вдоль траекторий будет изменяться
на обратное. Возникают особые точки типа неустойчивый фокус (рис. 1.9) и особые точки типа неустойчивый узел (рис. 1.10).
Желающим подробнее изучить проблемы и методы теории колебаний рекомендуем обратиться к книгам [3, 16, 23, 32, 39, 92, 104, 121, 13 5, 141].
§ 1.2. Некоторые сведения о волнах
Изменения состояния среды, распространяющиеся в этой среде и несу™ щие с собой энергию, называются волнами [166].
Для волн любой природы характерно распространение с конечной скоростью и перенос энергии без переноса вещества.
В [35] приведен следующий критерий: если характерный размер системы L < сТ (где с ——скорость распространения возмущения, Т ——время заметного изменения этого возмущения), о процессе следует говорить как
о колебательном, происходящем в системе с сосредоточенными параметрами; если 工 > сТ, то систему следует считать распределенной, а происходящий в ней процесс ——волновым.
Волны могут иметь различную форму. Различают одиночные волны или импульсы ——сравнительно короткие возмущения (рис. 1.11, а); цуги волн —— ограниченный ряд повторяющихся возмущений (например, отрезок синусоиды, рис. 1.11, 6); гармонические волны (бесконечные синусоидальные волны, рис. 1.11, 6).
б
в
-^шшш^
шшшш
Рис. 1.11
В комплексной форме гармоническая волна записывается в виде
t) = A exp i(cut — кх) + Л* ехр —力一кх\
(L19)
здесь Л = ае"——комплексная амплитуда волны; а ——действительная амплитуда; ш1 — кх = Ф(х, t)——фаза волны; ш = 2тг/Т ——частота волны; Т ——период волны; к = 2тг/А ——волновое число; А ——длина волны.
Гармоническая волна является идеализированной, ее возбуждение в ре™ альных условиях проблематично. Однако ее важное значение заключается в том, что волну любой формы можно представить как сумму гармонических волн различных частот (гармоник). В линейных распределенных системах выполняется принцип суперпозиции, приводящий к тому, что эффекты, вызываемые негармоническими волнами, могут быть определены как сумма эффектов, создаваемых в отдельности каждой из ее гармонических состав™ ляющих.
Для гармонических волн (1.19) вводится понятие фазовой скорости. Фазовой скоростью г?ф гармонической волны называется скорость перемещения в пространстве точки, в которой фаза волны остается постоянной м 7 ① .dx
Ф — kx = const, т.е. ® 丁 и, следовательно
at at
(1.20)(1.20)dx ®
(1.20)
(1.20)
Зависимость фазовой скорости от длины волны (волнового числа или частоты) называется дисперсией волны. Если в системе есть дисперсия, то частота ш является нелинейной функцией волнового числа к и наоборот.
Более общим случаем, чем монохроматическая волна, является набор из разных гармонических волн, который называется волновым пакетом. Про™ стейшим примером здесь является пакет, состоящий из двух гармонических волн с близкими частотами ®i,2 и одинаковыми амплитудами (биения):
U(ж, t) = a cos(®i力一/q力)+ a cos(®2力—左2力)~
®1 + ®27任 + 衣2
где шо = —-—, =—— среднее значение частоты и волнового
числа, Аш = Ш1 — ^2, Ак = к\ — к? — разность частот и волновых чисел. Волна (1.21) промодулирована по амплитуде, и ее огибающая распростра-
няется со скоростью, отличной от фазовой скорости г?ф = ^. Предельное значение скорости распространения огибающей при Аш, Ак 一 0 характеризует движение группы волн (волнового пакета) и называется групповой скоростью
，угр，угрlim△® ,△&—оlim△® ,△&—оdw涼dw涼(L22)(L22)
，угр
，угр
lim
△® ,△&—о
lim
△® ,△&—о
dw
涼
dw
涼
(L22)
(L22)
Групповая и фазовая скорости связаны между собой следующим соотношением (формула Рэлея):
Дисперсия волны называется нормальной, если -игр < 管ф, и аномальной, если > ш. Из (1.23) следует, что при нормальной дисперсии <
< 0, а при аномальной дисперсии > 0.
Поскольку в среде с дисперсией фазовые скорости гармонических со™ ставляющих различны, то фазовые соотношения между ними будут изменяться, и в результате будет изменяться форма огибающей волнового паке™ та. Оказывается, что изменение огибающей модулированной волны можно рассматривать как некоторый волновой процесс ——волну огибающей, для которой записываются свои уравнения движения [141].
В теории линейных волн фундаментальное значение имеет волновое уравнение
(L24)(L24)д2и о
(L24)
(L24)
赤= 3 = 3
А仃
где △ = -т—г + -7—- + -7—- —— оператор Лапласа, со —— положительная оу2 oz2
постоянная.
Динамическое поведение произвольной линейной системы без дисперсии и поглощения описывается уравнением (1.24).
Более частные виды волнового уравнения описывают распространение волн в одном и двух измерениях. Например, распространение возмущений по натянутым мембранам описывается двумерным волновым уравнением
(L25)(L25)д2и 2 /^и д2и\
(L25)
(L25)
dt2 С°①2 + ду2J ，
а распространение возмущений по натянутой струне ——одномерным вол™ новым уравнением
(L26)(L26)д2и 2 д2и
(L26)
(L26)
Общим решением одномерного волнового уравнения является следую™ щая сумма:
М 力= /(ж — Q)力)+g(力 + cot), (1.27) где /, g ——произвольные дважды непрерывно-дифференцируемые функ™ ции.
В (1.27) первое слагаемое соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси ж со скоростью со, а второе слагаемое —— волне, распространяющейся в отрицательном направлении оси ж.
Убедимся в том, что (1.27) является общим решением одномерного вол™ нового уравнения. Вместо х nt введем новые координаты
в которых уравнение (1.26) примет вид
д2ид^дг]д2ид^дг](1.29)(1.29)
д2ид^дг]
д2ид^дг]
(1.29)
(1.29)
Рис. 1.12Рис. 1.12
Рис. 1.12
Рис. 1.12
После интегрирования этого уравнения по 〃 получаем
(130)(130)Ам = d/(£) 沃
(130)
(130)
где / ——произвольная функция ^.
Интегрируя затем (1.30) по £, получим и = /(^) + ^(т?), т. е. убеждаемся в том, что решение идентично выражению (1.27).
равнение (1.26) является уравнением гиперболического типа, следовательно, с ним связаны особые линии на плоскости (ж, t) = const и 〃 = const, называемые характеристиками (рис. 1.12).
Вдоль характеристики £ = const ж возрастает со временем, а вдоль характеристик ки ту = const — убывает.
Координаты, остающиеся постоянными
на характеристиках, называются характеристическими координатами.
Волновое уравнение эквивалентно на характеристиках следующим уравнениям в обыкновенных производных, имеющим более низкий порядок:
Уравнение поперечных колебаний струны
Рассмотрим уравнение колебаний струны (ее линейную плотность обо™ значим через р). Будем предполагать, что колебания плоские. Это позво™ ляет описать их функцией и(力,力)，характеризующей вертикальные пере™ мещения. Струна не сопротивляется изгибу, следовательно, натяжение N, действующее на искривленный элемент струны ds, всегда направлено по касательной к ее мгновенному профилю. В точке ж натяжение направлено под углом 0 к горизонтальной оси, а в точке х dx этот угол равен 0 + d仇 Длина искривленного элемента вычисляется по формуле
dx.dx.
dx.
dx.
При малых колебаниях струны удлинения ее участков практически не про™ /ди\ 2
исходит, —1 и ds ах.
Сила, действующая на элемент dx в положительном направлении оси и, равна N sin(^ + dO) — N sin 仇 Она же равна, в силу закона Ньютона, массе, умноженной на ускорение, т. е.
д2и д2и
Из-за малости угла 0 имеем sin ^ ^ tg ^ = — и сила равна
(9統или 7V т—аж.(9統или 7V т—аж.
(9統
или 7V т—аж.
(9統
или 7V т—аж.
Из всего сказанного следует, что уравнение движения малого элемента dx
принимает видпринимает видд2иa2Mд2иa2M
принимает вид
принимает вид
д2иa2M
д2иa2M
илииливании имеют видвании имеют видд2и 2 3% h而-c^ + L = aд2и 2 3% h而-c^ + L = a(L32)(L32)
или
или
вании имеют вид
вании имеют вид
д2и 2 3% h
而-c^ + L = a
д2и 2 3% h
而-c^ + L = a
(L32)
(L32)
(131)(131)д2и 2 a2 M(9伊 с дх2
(131)
(131)
где с = У>/р.
Малые поперечные колебания струны описываются волновым уравнением* Возмущения распространяются со скоростью с, зависящей от силы натяжения и плотности материала. Дисперсия отсутствует:管ф = vrp = с.
Волны <? струне, лежащей на упругом основании
Уравнение поперечных колебаний струны, лежащей на упругом осно
где h ——коэффициент, характеризующий жесткость «постели»; с = ,N]р.
Согласно (1.32) частота и волновое число связаны соотношением
(1.33)(1.33)Ш = 土，02 k2 + 0l
(1.33)
(1.33)
Через g* =，九/о обозначена критическая частота, при превышении которой колебания струны носят волновой характер.
Поперечные волны в струне, лежащей на упругом основании, обладают дисперсией. Их фазовая скорость определяется по формуле
管ф = 土^，彦川2 +以,管ф = 土^，彦川2 +以,(L34)(L34)
管ф = 土^，彦川2 +以,
管ф = 土^，彦川2 +以,
(L34)
(L34)
а групповая скорость равна
(L35)(L35)с2 к
(L35)
(L35)
，С2 k2 + 冠
Легко видеть, что величина с = ,N[р представляет собой максимально возможное значение скорости поперечных волн и достигается при ® 一 оо*
Согласно определению, величина и знак фазовой скорости определяются тангенсом угла наклона секущей, проведенной из начала координат к дисперсионной кривой (ш, к). Величина и знак групповой скорости определяются тангенсом угла наклона касательной.
Рис. 1.13Рис. 1.13
Рис. 1.13
Рис. 1.13
На рис. 1.13 на примере струны на упругом основании показан графи™ ческий способ определения фазовых и групповых скоростей волн в диспергирующих системах. Здесь 管ф = tga, а %卩=tg /3.
§ 1.3. Вариационный принцип
Гамильтона-Остроградского
Системы с конечным числом степеней свободы
В вариационном принципе Гамильтона-Остроградского производится сравнение близких движений, переводящих систему материальных точек из начального положения в момент времени 力i в конечное положение в момент времени 力2a Предполагается, что:
—система голономна;
一 все движения начинаются в один и тот же момент времени и завер™ шаются в один и тот же момент времени, следовательно время не варьируется (вариации изохронны);
-вариации обобщенных координат при t = t± и t = t2 тождественно равны нулю, т. е.
(^Qi)t=ti = (8伉)力=力2 三。(2 =n).(1.36)
В сравниваемых движениях система проходит за один и тот же промежу™ ток времени различные расстояния, следовательно обобщенные скорости в соответствующие моменты времени различны (^ 卢 g-) и значения кинетической энергии в этих движениях с соответствующие моменты времени различны (WK 卢 W^). Различны и значения потенциальной энергии, зависящей от координат 伉 и & (Wn 卢 W^).
Вводится в рассмотрение определенный интеграл
J =厶丸(1.37)
называемый действием по Гамильтону, где L = WK — Wa ——функция Ла™ гранжа, и определяется, что только в истинном движении изохронная вари™ ация действия по Гамильтону равна нулю:
SJ = (SL)dt = 0.(1.38)
Составим выражение 3J. Поскольку L = L(qi^ ^), а время не варьируется, то
а в конечном итоге
при любых пределах интегрирования 力 и 力2, следовательно
(139)(139)
(139)
(139)
Из-за голономности системы все Sqi независимы и поэтому каждая скоб™ ка в (1.39) должна равняться нулю, т. е. получаются уравнения Лагранжа второго рода:
d dLdt dqzd dLdt dqz= 0 (г = 1,2,... ,n), 。磁= 0 (г = 1,2,... ,n), 。磁
d dLdt dqz
d dLdt dqz
= 0 (г = 1,2,... ,n), 。磁
= 0 (г = 1,2,... ,n), 。磁
являющиеся уравнениями истинного движения системы материальных точек.
Легко видеть, что уравнение гармонического осциллятора (1.1) может быть получено из (1.40) при 必=х, q± = i, qj =办三 0 (j 卢 1), L = WK — —IK, W； = |шж2, И4 = |кж2.
Распределенные системы
Для упругого тела, занимающего объем У, ограниченный поверхно™ стью S, действие по Гамильтону записывается в виде
(1.41)(1.41)
(1.41)
(1.41)
где L —— объемная плотность функции Лагранжа (лагранжиан); R —— по™ верхностная плотность; S^ ——та часть поверхности S, на которой заданы
усилия.
Условие стационарно сти функционала (1.41) 6J = 0 приводит к си™ стеме уравнений Эйлера-Остроградского, дающей уравнения движения и естественные краевые условия.
Рассмотрим одномерную распределенную систему (например, стержень длиной /), соединенную на концах 化1 = 0 и 力2 = 0 с дискретными система™ ми. Пусть распределенная система описывается лагранжианом, зависящим от одной функции и (力，力)и ее частных производных до второго порядка г г / ди ди д2 и д2и\
включительно: Ь = Ь и, —, —,,—,x,t L
\ ot ox oxot ОХ2у
Дискретные системы в точках g = 0 и g = Z описываются соответственно функциями Лагранжа LK = bK(t, Qb db %,加)，где 以(方)，仇(力)—— обобщенные координаты. Полагаем, что система находится под действием распределенных сил /(力,力)(0 < ж < Z) и сил, сосредоточенных на гра™ ницах Q(t) и 乂(方),а связи являются идеальными и голономными. В этом случае из условия стационарно сти функционала действия
П2、
《(5L + f6u) cfe + £ 0Lk + Q»以 + Н»仇)｝必=0(L42)
lok=1丿
получаются неоднородное уравнение динамики распределенной системы
++dLdL=/@力)=/@力)
+
+
dL
dL
=/@力)
=/@力)
и естественные граничные условия
М 力彰⑴(к = 1,2),(1.44)
a" d а"丽一应岡 + Qi,(L46)a" d а"丽一应岡 + Qi,(L46)(L45)(L45)(L47)(L47)dLid dLia力dt a力 I + 1dLid dLia力dt a力 I + 1(L48)(L48)
a" d а"
丽一应岡 + Qi,
(L46)
a" d а"
丽一应岡 + Qi,
(L46)
(L45)
(L45)
(L47)
(L47)
dLid dLi
a力dt a力 I + 1
dLid dLi
a力dt a力 I + 1
(L48)
(L48)
Часто, кроме свободных и вынужденных колебаний, рассматриваются задачи с начальными условиями, когда при 力=0, например, задаются распределения смещений и скоростей в стержне:
m力)0)=U(力))^^^=17(/)(xi ^x ж2),(1.50)
совместные с краевыми условиями (1.44)-( 1.49).
Соотношения (1 ”43)—( 1 ”50) определяют начально-краевую задачу, описывающую динамику одномерной распределенной системы, взаимодей™ ствующей на границах Ж1 = 0 и ^2 = / с дискретными системами. Если гра™ ничные закрепления или нагрузки движутся вдоль упругой направляющей, то динамика такой системы описывается более сложной краевой задачей (см., например, [27]).
Заметим, что обобщение (L43)—(L50) на случай вектор-функций и(力,t) не представляет труда. Уравнение (1.43) перепишется в виде
dL
du
d dLd dL> dL>dL
(1.51)
Если логранжиан зависит не только от обобщенных координат, их пер™ вых и вторых производных, но и от производных более высокого порядка, то уравнения динамики будут иметь вид [185]:
ди丿 yotdx^1 dutxn^iди丿 yotdx^1 dutxn^iдп dLдхп диХ7дп dLдхп диХ7=/СМ),=/СМ),(L52)(L52)
ди丿 yotdx^1 dutxn^i
ди丿 yotdx^1 dutxn^i
дп dLдхп диХ7
дп dLдхп диХ7
=/СМ),
=/СМ),
(L52)
(L52)
а граничные условия задаются соотношениями
д3 и瓦7=勿д3 и瓦7=勿(j = 0,1,2,... ,m 1),(j = 0,1,2,... ,m 1),(1.53)(1.53)
д3 и
瓦7=勿
д3 и
瓦7=勿
(j = 0,1,2,... ,m 1),
(j = 0,1,2,... ,m 1),
(1.53)
(1.53)
"(夕AL歹 AL '
дихЭ( 丿[dtdx1^1 dutxn dxn duxn+i
n = l n = l'
0 = 123,-". (L54)
ГЛАВА 2
РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛНВ БЕЗГРАИИЧИОИ СРЕДЕ И ОГРАИИЧЕИИЫХ ТЕЛАХ
О напряженно-деформированном состоянии материалов
Твердое тело под влиянием внешних воздействий изменяет свою форму и объем, т. е. деформируется.
Если деформация тела не превышает некоторых пределов, то при снятии внешних воздействий оно возвращается к своему первоначальному состоянию. Это свойство называется упругостью.
При значительных деформациях снятие внешнего воздействия не при™ водит к полному исчезновению деформаций. Сохраняется остаточная де™ формация тела. Эта остаточная деформация называется пластической.
Внутренние силы, возникающие в процессе деформации, называются напряжениями.
Важнейшими характеристиками напряженно-деформированного состо яния твердого тела являются тензор деформаций (е), тензор напряжений (3), вызванных деформацией и вектор перемещений (и) той или иной точки объема, вызванных деформацией.
Линейная классическая теория упругости придерживается гипотез о малости градиентов перемещений и об идеальной упругости материала.
Первая из перечисленных гипотез приводит к линейной связи между деформациями и перемещениями (формула Коши):
где компоненты ец характеризуют относительные удлинения в направлении соответствующих осей, а &订 характеризуют изменение углов между осями oxi и oxj, т. е. относительные сдвиги.
Гипотеза об идеальной упругости материала (в случае малых дефор™ маций) приводит к линейной зависимости между компонентами тензоров напряжений и деформаций (обобщенный закон Гука):
^ij =入 ijkt^kt〉(2*2)
где Xijki ——тензор упругих постоянных, содержащий в общем случае 81 компоненту и обладающий свойством симметрии
В частных случаях число независимых констант в (2.2) уменьшается. Если все направления в твердом теле эквивалентны, тело называется изо-
(2*3)(2*3)тропным. Для него число независимых постоянных в обобщенном законе Гука равно двум и все упругие постоянные 入订％/ могут быть выражены через константы Ламе Аид:
(2*3)
(2*3)
入ijkt =入Bij^kl + 〃(否k%Z + ^il^jk\
где 6订=где 6订=4ж宀12=34ж宀12=3——символ Кронекера.——символ Кронекера.Обобщенный закон Гука для изотропного тела принимает следующуюОбобщенный закон Гука для изотропного тела принимает следующуюформу:форму:Oij = ^^kk^ij + 2乩•Oij = ^^kk^ij + 2乩•(24)(24)
где 6订=
где 6订=
4ж宀12=3
4ж宀12=3
——символ Кронекера.
——символ Кронекера.
Обобщенный закон Гука для изотропного тела принимает следующую
Обобщенный закон Гука для изотропного тела принимает следующую
форму:
форму:
Oij = ^^kk^ij + 2乩•
Oij = ^^kk^ij + 2乩•
(24)
(24)
При характеристике упругих свойств материалов часто вместо постоян™ ных Ламе (А и д) используют пары других констант: (Е,沙)，(G,沙)，(К, G), где G — модуль сдвига; Е — модуль Юнга; К 一 модуль объемного сжатия; 沙 ——коэффициент Пуассона. Связь между этими константами приводится в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Константы упругости
Основная пара
А, 4
Е, V
G, и
К, G
Л
Л
vE
(1 + и)(1 一 2v)
2uG
1 — 2и
2
К - w G
4(G)
4
Е 2(1 + о)
G
G
Е
/1(ЗХ + 2/1) А + д
Е
2G(1 + и)
9KG
3K + G
К
2
入+ з〃
Е 3(1 — 2и)
2G(1 + и) 3(1 — 2u)
К
V
Л 2(Л + /1)
V
V
3K — 2G
2K —2G
Уравнения Ламе. Волны дилатации и сдвига
Динамические процессы в изотропных упругих средах описываются уравнениями Ламе
(2*5)(2*5)0^^ (А + Д)grad div и —心11 = О,
(2*5)
(2*5)
где р ——объемная плотность материала.
Это векторное уравнение можно переписать в виде системы скалярных уравнений относительно компонент вектора перемещений:
или в виде системы, содержащей компоненты тензора напряжений:
Q”5") dt2 dxj
Зададимся вопросом: какие типы волн могут распространятся в изо™ тропных упругих средах?
Если применить к уравнению (2.5) операцию div, то получим скалярное волновое уравнение
(為沁)divu = 3(2.6)
Но div и = Ен +&22 +&зз = д^ характеризует относительное изменение объема (ДУ) твердого тела при деформации (дилатация). Сле™ довательно, уравнение (2.6) описывает волну расширения-сжатия (или волну дилатации). Такая волна распространяется без дисперсии со скоро™ стью ci.
Если теперь применить к уравнению (2.5) операцию rot, то получим волновое уравнение
(為一rotu = 0,(2.7)
где ст = УдТр-
Волны, описываемые уравнением (2.7), характеризуют изменение формы элемента среды при неизменном объеме. Волны этого типа называются волнами искажения или сдвиговыми волнами. Они распространяются с постоянной скоростью ст и не обладают дисперсией.
Отношение скоростей распространения упругих волн сдвига и волн расширения-сжатия зависит только от коэффициента Пуассона 〃：
1 - 2〃 ] 1/21 - 2〃 ] 1/22(1 — 〃).2(1 — 〃).(2.8)(2.8)
1 - 2〃 ] 1/2
1 - 2〃 ] 1/2
2(1 — 〃).
2(1 — 〃).
(2.8)
(2.8)
Известно, что коэффициент Пуассона для различных материалов изменяется в пределах О W 沙 W 0,5, следовательно отношение 3 меняется в пределах 0 W /3 W ^/2. Откуда видно, что волна расширения-сжатия распространяется быстрее, чем волна сдвига. Поэтому в сейсмологии при™ нято различать упругие волны по времени их прихода: волну расширения—
сжатия называют р-волной (от слова primary ——первичный), а волну сдви™ га ——s-волной (от слова secondary ——вторичный). Эту терминологию мы тоже иногда будем использовать. Рассмотрим частный случай. Пусть пере™ мещения зависят только от одной координаты х± : щ =虱£(方1,力)，а возму™ щения распространяются вдоль оси ох^. Уравнения (2.5') перепишутся в виде
(2.9) 歹〃2,32 02〃2,3 n
Первое уравнение показывает, что для одномерного процесса направле™ ние перемещения частиц среды (虱】)и направление распространения волны лежат в одной плоскости. Волну растяжения-сжатия в этом случае назы™ вают продольной волной, а & ——скоростью распространения продольной волны.
Из двух других уравнений системы видно, что направления переме™ щений (虱2,з) и направление распространения волны находятся во взаимно™ перпендикулярных плоскостях. Волну сдвига в этом случае называют поперечной волной, а ст ——скоростью распространения поперечной волны.
§ 2・3・ Отражение волн от свободной поверхности полупространства. Поверхностные волны Рэлея
В безграничной среде волны растяжения-сжатия (р-волны) и волны сдвига (s-волны) распространяются независимо друг от друга. Наличие границ твердого тела существенно меняет волновую картину. Взаимодействуя с границей раздела сред, волны разных типов могут трансформироваться друг в друга.
Рассмотрим изотропное упругое пространство (ограничимся двумер™ ным случаем, когда все процессы однородны по оси 力2，Динамические процессы при ж3 < 0 описываются уравнением Ламе (2.5), а граница жз = О свободна от напряжений. Уравнения (2.5) следует дополнить граничными условиями вида
。33 =|ж3=о = 0(2.10)
или в перемещениях:
дих №з —力
0力3 дх!=0‘
(2“叫
Решение задач о взаимодействии р- и s- волн с границей полупространства можно найти, например, в [41, 127]. Схематичное изображение таких взаимодействий приве™ дено на рис. 2.1.
Если на свободную границу х3 = О под произвольным углом 0 падает р-волна, то в общем случае отраженное возмущение будет представлять собой сумму р- и s-волн. Для p-волн угол падения будет равен углу отражения 0± = 0. Угол отражения сдвиговых волн определяется соотношение ем cos)i = 土 cos 0, он всегда больше угла ci
падения р-волны (71 > <9) (рис. 2.1, а).
Если на свободную границу ж3 = 0 по™ лупро странства под произвольным углом
Рис. 2.1Рис. 2.17 падает сдвиговая волна, то в отраженном возмущении будут присутство™ вать р- и s-волны. Углы их отражения связаны с углом падения следующими
Рис. 2.1
Рис. 2.1
соотношениями: 71 = 7, cos& = —cos 7 рис. 2.1, б).
При взаимной трансформации волн может возникнуть такая комбинация р- и s-составляющих, что возмущение будет представлять собой волну, бегущую вдоль границы сз = 0 и резко затухающую при удалении вглубь
полупро странства.
Эти волны называются поверхностными волнами Рэлея. Исходными для их изучения являются уравнения Ламе (2.5) и граничные условия (2.10).
Решение ищется в виде
(2」1)(2」1)Uj = Aj exp [—qg + 泳(方1 — cRt)] (j = 1,3),虱 2 = 0,
(2」1)
(2」1)
где g > 0 ——коэффициент, характеризующий убывание возмущений вглубь полупространства, с ——скорость распространения поверхностной волны.
Подставляя соотношение (2.11) в уравнение (2.5) и граничные условия
получим алгебраическое уравнение для определения сд：
笛[а6 + 8a4 + 8(3 — 2声)笛—16(1 —俨)]=0,(2.12)
где а =以/書，/3 = ct/q.
Из (2.12) следует, что волна Рэлея не обладает дисперсией, ее скорость является постоянной величиной для каждого материала.
Связь скорости поверхностной волны Рэлея со скоростями р- и s-волн дается соотношениями
(2ЛЗ)(2ЛЗ)CR = &ос『=«оДсь
(2ЛЗ)
(2ЛЗ)
где «о < 1 постоянная величина (обычно а。= 0,87^0,96).
Зависимость скорости волн Рэлея от коэффициента Пуассона показана на рис. 2.2.
Форма волны Рэлея определяется распределением в ней компонент век™ тора перемещений. Такое распределение показано на рис. 2.3, (где 虱° = 二虱3 |Жз=0；沙=0,29).
Нормальные волны в упругом слое
Чаще всего твердая среда ограничена не одной, а двумя поверхностям ми. В этом случае говорят о распространении волн в упругом слое. Если границы слоя свободны от напряжений, то задача сводится к решению уравнения Ламе (2.5) (вновь ограничимся рассмотрением случая м2 = 0； 虱 1,з =虱 1,з (力匕 ^з Л)) с граничными условиями типа (2.10), но задаваемыми при сз = ±/г, где 2/г ——толщина слоя.
С помощью скалярного и векторного потенциалов
(2 Л 4)(2 Л 4)u = grad Ф + rot Ф
(2 Л 4)
(2 Л 4)
система (2.5) приведется к волновым уравнениям
Ф = 0,Ф = 0,Ф = 0,Ф = 0,(2.15)(2.15)
Ф = 0,
Ф = 0,
Ф = 0,
Ф = 0,
(2.15)
(2.15)
где △=可з + 可з, решения которых будем искать в виде ох 1о力 з
①(С1»з/) = вхр{泌(方1 — Е)}① *(сз))
>(Ж1, жз, f) = вхр{泳(方1 — Е)}3*(сз¥
Соотношения (2.16) показывают, что решения ищутся в виде волн, бе™ гущих вдоль координаты ди имеющих статическое распределение по ко ординате с?* Через с обозначена фазовая скорость (заранее не известная).
(2」7)(2」7)Подстановка (2.16) в (2.15) превращает последние в обыкновенные диф™ ференциальные уравнения относительно Ф* и >*:
(2」7)
(2」7)
где 〃а = (к2 -硝1/2; ка
Решения уравнений (2.17) описываются гиперболическими функциями и будут содержать в себе произвольные постоянные. Следовательно, (2.16) будут иметь вид
(2" 18)(2" 18)Ф = (Л sh 〃1方3 + 8 ch 沙 1方3)вхP{泌(g — cf)},> =(C sh 沙2方3 + Dch 沙2方3)exp{i/c(a：i — cf)}.
(2" 18)
(2" 18)
Выразим через Ф и > перемещения и напряжения:
0①030①03
虱1 =五一虱3 =広+而
Озз = 2дОзз = 2д歹田、/ а2Ф
Озз = 2д
Озз = 2д
0X10X3/\ 0X10X3
Подставляя (2.18) в (2.19) и (2.20) и используя граничные условия
。33(方1)土九К) = о, ст1з(Ж1,±/гД) = О,
получим систему четырех линейных однородных уравнений, содержащих постоянные Л, В, С； D.
Если приравнять детерминант этой системы к нулю, то можно прийти к характеристическому уравнению (дисперсионному уравнению), из кото рого при заданных р, А, д, ш находится фазовая скорость.
Решение задачи, однако, упрощается, поскольку можно рассмотреть две системы частных решений:
① 1 = 8вхр{泌(ж】—Е)}еЬ%сз)(2 21)
31 = Свхр{泌(优1 — E)}sh〃2^3*
и
① 2 = Aexp{ik(x! — E)}sh%^3,(2 22)
32 =овхp{泳E — E)} ch 〃2方3",
Первая из них (2.21) описывает колебания, симметричные относительно срединной плоскости слоя сз = 0 (рис. 2.4, а), а вторая (2.22)——антисим™ метричные колебания (рис. 2.4, б).
Рис. 2.4
Подставляя (2.21) в (2.20) и используя граничные условия, получим систему двух уравнений, содержащую постоянные В и С:
8 ch 沙 1 九 + 2/1分伪0ch v2h = 0,2/1审18 sh — (1 + 蜀)0sh 〃2 九=0,(22d)
где /За = *； а = I?
Из условия существования нетривиального решения системы (2.23) получаем дисперсионное уравнение, справедливое при симметричных коле™ баниях слоя:
th(1+ 能)2 th(瞑/i) _
Аналогично, подставляя (2.22) в (2.20) и используя граничные уело™ вия, получим систему, содержащую постоянные An D. Следствием суще™ ствования нетривиального решения этой системы является дисперсионное уравнение
th(〃向=4 仇 邑()
仕(〃2九)-(1+场)2‘
справедливое при антисимметричных колебаниях слоя.
Таким образом, из-за граничных условий распределения смещений и напряжений по поперечному сечению слоя существенно более сложны, чем у волн в неограниченных твердых средах. В результате многократ™ ных переотражений и взаимных трансформаций р- и s-волн в слое могут сформироваться нормальные волны, т. е. гармонические волны, распространяющиеся в нем без изменения формы.
Важное значение нормальных волн определяется тем, что любое вол™ новое поле внутри слоя может быть представлено в виде их суперпозиции, подобно тому, как любое возмущение в безграничной среде может быть
представлено в виде суперпозиции р- и s-волн.
Нормальные волны в слое, имеющие перемещения частиц как в на™
правлении распространения волны, параллельном плоскости слоя, так и перпендикулярные плоскости слоя, называются волнами Лэмба.
Волны Лэмба делятся на две группы: симметричные (§) и антисиммет™ ричные (а) относительно срединной плоскости 容=0. В симметричных волнах в верхней и нижней половинах слоя перемещение 虱 i имеет оди™ наковые знаки, а перемещение 虱з ——противоположные (рис. 2.4, а)* В антисимметричных волнах в верхней и нижней половинах слоя перемете-
ние 虱 1 имеет противоположные знаки, а перемещение 虱з ——одинаковые (рис. 2.4, 6)*
Анализ дисперсионных уравнений (2.24) и (2.25) показывает, что волны
Лэмба обладают дисперсией, их скорости являются функциями частоты.
При частоте ш в слое может одновременно распространяться определенное
конечное число симметричных и антисимметричных нормальных волн. Эти волны будут различаться между собой фазовыми и групповыми скоростями
и распределением перемещений (и напряжений) по толщине слоя. Число нормальных волн увеличивается с ростом отношения ——,где ст ——скорость распространения сдвиговых волн в безграничной среде.
и одной антисимметричной (а0).В симметричной волне (so) преобладает продольная компонента (虱Q вектора перемещений, а поперечная компонента (虱з), появляющаяся из-заи одной антисимметричной (а0).В симметричной волне (so) преобладает продольная компонента (虱Q вектора перемещений, а поперечная компонента (虱з), появляющаяся из-заПри малой толщине слоя (——« 1 丿 в нем возможно распространение лишь двух нормальных волн нулевого порядка ——одной симметричной (耳。)
и одной антисимметричной (а0).
В симметричной волне (so) преобладает продольная компонента (虱Q вектора перемещений, а поперечная компонента (虱з), появляющаяся из-за
и одной антисимметричной (а0).
В симметричной волне (so) преобладает продольная компонента (虱Q вектора перемещений, а поперечная компонента (虱з), появляющаяся из-за
наличия свободных поверхностей, в 号 раз меньше ui. Из-за податливости боковых граней продольная жесткость слоя уменьшается, это приводит к тому что фазовая скорость волны 5。будет немного меньше скорости р- волны в бесконечной среде:
Антисимметричные волны обладают дисперсией и в низкочастотном диапазоне. Фазовая скорость волны (а。)при этом пропорциональна квад™ ратному корню из частоты:
При увеличении толщины слоя волны 5。и а。по своим дисперсионным свойствам становятся все более и более похожими друг на друга. При 也》1
фазовые и групповые скорости этих волн стремятся к скорости поверхности ной волны Рэлея cR (рис. 2.5). Перемещения локализуются вблизи свобод™ ных границ слоя, превращая каждую из волн s0 и а0 в две релэеевских волны, распространяющиеся на обеих свободных поверхностях.
Волны Лэмба, имеющие порядок выше нулевого, могут распространять™ ся лишь начиная с некоторых «критических» значений uh/cT, а до этого представляют собой лишь быстрозатухающие осцилляции.
При больших толщинах слоя у всех волн Лэмба, кроме волн so и а。, имеется только поперечное смещение 虱з, которое синусоидально распределено по толщине с пространственным периодом 2h/n или 2/г/(几一1/2), где п ——порядок волны. Отношение амплитуды этого перемещения в толще слоя к его амплитуде на поверхности слоя стремится к нулю. И симметрии- ные и антисимметричные движения становятся локализованными в толще. Фазовые и групповые скорости всех нормальных волн (кроме 5。и а。)при kTh》1 стремятся к ст.
Рис. 2.6
Кроме волн Лэмба в упругом слое могут распространяться нормаль™ ные волны еще одного типа — поперечные нормальные волны. Эти волны являются чисто сдвиговыми. Они имеют только одну компоненту вектора перемещений 虱2, параллельную плоскости слоя и перпендикулярную на™ правлению распространения волны (рис. 2.6). Напомним, что компонента 虱2 в волнах Лэмба отсутствует.
Поперечные нормальные волны делятся на две группы: симметричные (s) и антисимметричные (а) относительно срединной плоскости х3 = 0. В симметричных волнах в верхней и нижней половинах слоя перемещение 〃2 имеет одинаковые знаки и распределено по закону
и^ = A cos ms^^ sin(ksxi 一 勾力))
в антисимметричных волнах в верхней и нижней половинах слоя перемещение и2 имеет противоположные знаки и распределено по закону
二 4 cosma ^^ SlIl(kaXi — Cdt).
Здесь ks^a ——волновое число симметричной (s) и антисимметричной (а) волн; ms = 0,1,2, 3,...——последовательность чисел, обозначающих но™ мера (порядки) симметричных волн; та = 1/2, 3/2, 5/2, 7/2,——то же для
антисимметричных волн. При ш/г/(7гст) < 1/2 в слое может распространяться только одна волна (ms = = 0). Эта вол™ на симметрична и смещение в ней одинаково во всех точках поперечного сечения (cosms(7vx3)/h = 1). Волна (sq) не обладает дисперсией: Оф = и「р = ст и по своим свойствам идентична сдвиговой волне, распространяющейся в безграничной среде.
Поперечные нормальные волны, имеющие порядок выше нулевого, могут распространяться лишь начиная с некоторых «критических» значений —.И симметричные (при ms > 0) и антисимметричные волны обладают дисперсией. Зависимости фазовых и групповых скоростей поперечных волн от толщины слоя показаны на рис. 2.7.
Уравнения переноса энергии и волнового импульса
Важными характеристиками динамического состояния среды являются энергия и импульс, переносимые упругими волнами. Уравнения переноса энергии и волнового импульса имеют следующий вид:
аж
汇+divs = &
(2.27)(2.27)济+ di" = O*
(2.27)
(2.27)
Здесь W — плотность энергии, S — вектор плотности потока энергии (вектор Умова-Пойнтинга); G — вектор волнового импульса; Т — тензор плотности потока волнового импульса (тензор радиационных напряжений).
Если ограничиться рассмотрением одномерных упругих систем, то уравнения (2.26), (2.27) могут быть получены из функционала (1.42) наряду с уравнениями движения (1.51). В этом случае справедливы соотношения
(2.28)(2.28)
(2.28)
(2.28)
S = £,(2.29)
\ OUjt dt OUjxt 。力 OUjxx /UUjxx
+ 総出 j Q30)
Плотность потока энергии связана с тензором напряжений (2.4) соотношением [41]:
(232)(232)S = 3禦dt
(232)
(232)
Усредненные значения плотности энергии и плотности потока энергии связаны соотношением
(2.33)(2.33)гдеGгдеG27r(...)d®, J =勾力 一 kx.27r(...)d®, J =勾力 一 kx.⑻=Vrp ,
(2.33)
(2.33)
гдеG
гдеG
27r
(...)d®, J =勾力 一 kx.
27r
(...)d®, J =勾力 一 kx.
о
Из (2.33) следует, что энергия переносится с групповой скоростью КР = 証*
ГЛАВА 3
ПРОДОЛЬНЫЕ, КРУТИЛЬНЫЕ И ИЗГИБИЫЕ ВОЛИЫВ СТЕРЖНЯХ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИИ ДИСПЕРСИОННЫЕ СВОЙСТВА
Типы нормальных волн в стержнях
Под стержнем принято понимать упругое тело, два размера которого малы по сравнению с третьим, обладающее конечной жесткостью на рас™ тяжение, кручение и изгиб.
В отличие от слоя (двумерного объекта) стержень является одномерным объектом.
Нормальные волны в стержнях подразделяются на три типа: продольные, изгибные и крутильные (рис. 3.1).
Продольные волны аналогичны симметричным волнам Лэмба. Движение частиц при распространении волны происходит симметрично относительно срединной линии стержня (力^ = 0). Преобладает продольная компонента вектора перемещений 〃i (рис. 3.1, а).
Изгибные волны аналогичны антисимметричным волнам Лэмба. Срединная линия стержня (/з = 0) претерпевает изгиб. Преобладает поперечная компонента вектора перемещений из (рис. 3.1, б).
Крутильные волны аналогичны поперечным нормальным волнам в слое. Вектор перемещений содержит в этом случае лишь одну ——азимутальную ——компонен
ту и^. Движение частиц представляет собой вращение поперечного сечения стержня относительно срединной линии (ось /з = 0) и симметрично относительно этой оси (рис. 3.1, 6).
Продольные волны
Рассмотрим распространение продольных волн в однородном стержне, отнесенном к декартовой системе координат Oxyz (где ж = х^^у = а?2, ^ = =/з). В технической теории, принадлежащей Д. Бернулли, и в некоторых уточненных теориях предполагается:
u^x.y.z.t) = U(X.t)]u^x.y.z.t) = U(X.t)](3*1)(3*1)- любые точки, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси стержня, имеют одинаковые перемещения (гипотеза плоских сечений):
u^x.y.z.t) = U(X.t)]
u^x.y.z.t) = U(X.t)]
(3*1)
(3*1)
— выполняются условия одноосного деформированного состояния:
&22 = &33 =(3*2)
или
—дик
一 поперечные напряжения равны нулю:
022 =033 = 0-(3.3)
Из соотношения (3*2‘) путем интегрирования по поперечным координатам можно найти перемещения 〃2,з：
(36)(36)
(36)
(36)
u2(/,У. d 力)=У 石(瑞 t),(3.4)
〃3(/,%d 力)=-yz — {x,t).(3.5)
Кинетическая энергия стержня длиной 厶 с учетом (3.1 )-(3.5), будет определяться по формуле
где ° ——плотность материала, F ——площадь поперечного сечения стержня, Io =(〃2 + z2)dF ——полярный момент инерции сечения.
F
Первое слагаемое в (3.6) описывает кинетическую энергию продольного движения частиц стержня, второе ——кинетическую энергию поперечного движения.
Потенциальная энергия стержня определяется по формуле
О FО F(3.7)(3.7)
О F
О F
(3.7)
(3.7)
где Е ——модуль Юнга, д ——модуль сдвига.
Первое слагаемое в (3.7) описывает потенциальную энергию деформаций, отвечающих за изменение объема (&J, второе ——потенциальную энергию сдвиговых деформаций (邑勿 при г ^ J).
Уравнения динамики стержня могут быть получены из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского с помощью функции Лагранжа L = =恥
Техническая теория Д Бернулли
В технической теории продольных колебаний стержней, наряду с требо™ ваниями о выполнении гипотез (3.1), (3.2), (3.3), вводятся дополнительные упрощения:
一 предполагается, что вклад в кинетическую энергию слагаемых, опи™ сывающих поперечное движение частиц стержня, пренебрежимо мал:
-пренебрегается касательными напряжениями (ai2 = бз = 0), следовательно, вклад потенциальной энергии сдвиговых деформаций в (3.7) также не учитывается:
Распространение продольных волн в стержне описывается уравнением Бернулли
(38)
Важнейшие типы краевых условий для продольных колебаний стержня, описываемых уравнением (3.8) приведены в справочнике [32].
Легко видеть, что (3.8) является волновым уравнением, следовательно, согласно технической теории Д. Бернулли, продольные волны в стержне распространяются без дисперсии. Частота и волновое число гармонической волны и = и。ехр {分(勾力 一 kx)}, будут связаны coot-
ношением (рис. 3.2)門/
3 = 土淨 (3.9)/
Из (3.9) находим скорость распространения про-/
дольной волны в стержне:/ _ 伝
Co = 4 / — =(3.10)
VPРис. 3.2
которая оказывается меньше скорости распространения волны дилатации (p-волны) в неограниченной среде.
Уточненные теории Рэлея-Ляш и Бишопа
Простейшее обобщение теории Д. Бернулли было сделано Рэлеем, предложившим учесть вклад в кинетическую энергию слагаемого, отвечающего за поперечные движения частиц стержня (т. е. второе слагаемое в (3.6) не равно нулю). Это приводит к тому, что уравнение продольных колебаний стержня принимает вид
pF 红"а# аж2 ” ° а^2 a#pF 红"а# аж2 ” ° а^2 a#=о.=о.(ЗЛ1)(ЗЛ1)Уравнение (3.11) впервые появилось в книге Рэлея «Теория звука» [144].Уравнение (3.11) впервые появилось в книге Рэлея «Теория звука» [144].Позднее оно вошло в курс теории упругости А. Лява [109], поэтому уравнеПозднее оно вошло в курс теории упругости А. Лява [109], поэтому уравнение (3.11) иногда называют уравнением Ля- ва. Третье слагаемое в уравнении (3.11) называется поправкой Рэлея.Согласно (3.11) частота и волновое чис™ ло связаны соотношением (рис. 3.3)ние (3.11) иногда называют уравнением Ля- ва. Третье слагаемое в уравнении (3.11) называется поправкой Рэлея.Согласно (3.11) частота и волновое чис™ ло связаны соотношением (рис. 3.3). сокш = 土一尸=====+ 〃2R2 k2. сокш = 土一尸=====+ 〃2R2 k2(ЗЛ2)(ЗЛ2)где R = Jlg/F ——полярный радиус инерции.Следовательно, математическая модель (3.11) утверждает, что продольные волны обладают дисперсией. Их фазовая скорость определяется погде R = Jlg/F ——полярный радиус инерции.Следовательно, математическая модель (3.11) утверждает, что продольные волны обладают дисперсией. Их фазовая скорость определяется поформулеформуле丄Сои=± _=====а групповая скорость равна丄Сои=± _=====а групповая скорость равна"к _ (1 + "2r2友2)3/2a"к _ (1 + "2r2友2)3/2a(3*13)(ЗЛ4)(3*13)(ЗЛ4)Зависимости % и % от волнового числа изображены на рис. 3.4. Обе скорости при малых 衣 близки к со и уменьшаются при увеличении волнового числа.Отношение фазовой скорости к группо™вой — = 1+〃2 冗2 衣2〉I при любых значе- "грниях к, следовательно, во всем частотномЗависимости % и % от волнового числа изображены на рис. 3.4. Обе скорости при малых 衣 близки к со и уменьшаются при увеличении волнового числа.Отношение фазовой скорости к группо™вой — = 1+〃2 冗2 衣2〉I при любых значе- "грниях к, следовательно, во всем частотномдиапазоне имеет место нормальная дисперсия.Введение поправки Рэлея изменяет и граничные условия. Например, для свободного конца вместо условия 石尸鼠=0 следует писать условие [4]:диапазоне имеет место нормальная дисперсия.Введение поправки Рэлея изменяет и граничные условия. Например, для свободного конца вместо условия 石尸鼠=0 следует писать условие [4]:EF西…EF西…(3」5)(3」5)
pF 红
"а# аж2 ” ° а^2 a#
pF 红
"а# аж2 ” ° а^2 a#
=о.
=о.
(ЗЛ1)
(ЗЛ1)
Уравнение (3.11) впервые появилось в книге Рэлея «Теория звука» [144].
Уравнение (3.11) впервые появилось в книге Рэлея «Теория звука» [144].
Позднее оно вошло в курс теории упругости А. Лява [109], поэтому уравне
Позднее оно вошло в курс теории упругости А. Лява [109], поэтому уравне
ние (3.11) иногда называют уравнением Ля- ва. Третье слагаемое в уравнении (3.11) называется поправкой Рэлея.
Согласно (3.11) частота и волновое чис™ ло связаны соотношением (рис. 3.3)
ние (3.11) иногда называют уравнением Ля- ва. Третье слагаемое в уравнении (3.11) называется поправкой Рэлея.
Согласно (3.11) частота и волновое чис™ ло связаны соотношением (рис. 3.3)
. сок
ш = 土一尸=====
+ 〃2R2 k2
. сок
ш = 土一尸=====
+ 〃2R2 k2
(ЗЛ2)
(ЗЛ2)
где R = Jlg/F ——полярный радиус инерции.
Следовательно, математическая модель (3.11) утверждает, что продольные волны обладают дисперсией. Их фазовая скорость определяется по
где R = Jlg/F ——полярный радиус инерции.
Следовательно, математическая модель (3.11) утверждает, что продольные волны обладают дисперсией. Их фазовая скорость определяется по
формуле
формуле
丄Со
и=± _=====
а групповая скорость равна
丄Со
и=± _=====
а групповая скорость равна
"к _ (1 + "2r2友2)3/2a
"к _ (1 + "2r2友2)3/2a
(3*13)
(ЗЛ4)
(3*13)
(ЗЛ4)
Зависимости % и % от волнового числа изображены на рис. 3.4. Обе скорости при малых 衣 близки к со и уменьшаются при увеличении волнового числа.
Отношение фазовой скорости к группо™
вой — = 1+〃2 冗2 衣2〉I при любых значе- "гр
ниях к, следовательно, во всем частотном
Зависимости % и % от волнового числа изображены на рис. 3.4. Обе скорости при малых 衣 близки к со и уменьшаются при увеличении волнового числа.
Отношение фазовой скорости к группо™
вой — = 1+〃2 冗2 衣2〉I при любых значе- "гр
ниях к, следовательно, во всем частотном
диапазоне имеет место нормальная дисперсия.
Введение поправки Рэлея изменяет и граничные условия. Например, для свободного конца вместо условия 石尸鼠=0 следует писать условие [4]:
диапазоне имеет место нормальная дисперсия.
Введение поправки Рэлея изменяет и граничные условия. Например, для свободного конца вместо условия 石尸鼠=0 следует писать условие [4]:
EF西…
EF西…
(3」5)
(3」5)
В уточненной теории Бишопа учитывается кинетическая энергия поперечного движения и потенциальная энергия сдвиговых деформаций, т. е. слагаемыми, содержащими 〃？ в (3.6) и (3.7) не пренебрегается. Такая постановка приводит к следующему уравнению продольных колебаний стержня:
илиилид2и а?”а%PF而-EF而飞而而д2и а?”а%PF而-EF而飞而而9 г д4и9 г д4и(3.16)(3.16)(3.16Г)(3.16Г)
или
или
д2и а?”а%
PF而-EF而飞而而
д2и а?”а%
PF而-EF而飞而而
9 г д4и
9 г д4и
(3.16)
(3.16)
(3.16Г)
(3.16Г)
Последнее уравнение наглядно демонстрирует, что в стержне происходят два связанных между собой волновых процесса: продольные движения частиц стержня и поперечные движения (толщинные колебания).
Дисперсионное уравнение, соответствующее модели Бишопа, имеет вид
V 1 + 〃2 五2k2V 1 + 〃2 五2k2(ЗЛ7)(ЗЛ7)
V 1 + 〃2 五2k2
V 1 + 〃2 五2k2
(ЗЛ7)
(ЗЛ7)
а фазовая и групповая скорости определяются по формулам
WpWp1 + № 五2k251 + № 五2k25(ЗЛ8)(ЗЛ8)dco(cJ —喲序 k"标 =№ [ + (1 +R2k2)(届+孫尸衣2)dco(cJ —喲序 k"标 =№ [ + (1 +R2k2)(届+孫尸衣2)(ЗЛ9)(ЗЛ9)Дисперсионная кривая (3.17) изображена на рис. 3.5”При малых к она близка к прямой ш = с。" а при больших к асимптотически стремится к прямой ш = стк. На низких частотах волны распроДисперсионная кривая (3.17) изображена на рис. 3.5”При малых к она близка к прямой ш = с。" а при больших к асимптотически стремится к прямой ш = стк. На низких частотах волны распространяются с фазовыми скоростями, близкими к стержневой скорости со, а на высоких частотах — близкими к скорости сдвиговых волн.страняются с фазовыми скоростями, близкими к стержневой скорости со, а на высоких частотах — близкими к скорости сдвиговых волн.В точке перегиба дисперсионной кривойВ точке перегиба дисперсионной кривой+ 3w/碎+ 3w/碎групповая скорость волны достигает нал- большего значениягрупповая скорость волны достигает нал- большего значенияmaxUrp = 4maxUrp = 4届+/沙2区2k2) y (1+沙2R2友2)3 "届+/沙2区2k2) y (1+沙2R2友2)3 "Учет потенциальной энергии сдвиговых деформаций существенно из™ менит и граничные условия. Например, для свободного конца стержня следует писать не одно условие, как в предыдущих моделях, а два:Учет потенциальной энергии сдвиговых деформаций существенно из™ менит и граничные условия. Например, для свободного конца стержня следует писать не одно условие, как в предыдущих моделях, а два:9 т9 丁 д^и °9 т д2и °9 т9 丁 д^и °9 т д2и °
Wp
Wp
1 + № 五2k25
1 + № 五2k25
(ЗЛ8)
(ЗЛ8)
dco(cJ —喲序 k"
标 =№ [ + (1 +R2k2)(届+孫尸衣2)
dco(cJ —喲序 k"
标 =№ [ + (1 +R2k2)(届+孫尸衣2)
(ЗЛ9)
(ЗЛ9)
Дисперсионная кривая (3.17) изображена на рис. 3.5”
При малых к она близка к прямой ш = с。" а при больших к асимптотически стремится к прямой ш = стк. На низких частотах волны распро
Дисперсионная кривая (3.17) изображена на рис. 3.5”
При малых к она близка к прямой ш = с。" а при больших к асимптотически стремится к прямой ш = стк. На низких частотах волны распро
страняются с фазовыми скоростями, близкими к стержневой скорости со, а на высоких частотах — близкими к скорости сдвиговых волн.
страняются с фазовыми скоростями, близкими к стержневой скорости со, а на высоких частотах — близкими к скорости сдвиговых волн.
В точке перегиба дисперсионной кривой
В точке перегиба дисперсионной кривой
+ 3w/碎
+ 3w/碎
групповая скорость волны достигает нал- большего значения
групповая скорость волны достигает нал- большего значения
maxUrp = 4
maxUrp = 4
届+/沙2区2k2) y (1+沙2R2友2)3 "
届+/沙2区2k2) y (1+沙2R2友2)3 "
Учет потенциальной энергии сдвиговых деформаций существенно из™ менит и граничные условия. Например, для свободного конца стержня следует писать не одно условие, как в предыдущих моделях, а два:
Учет потенциальной энергии сдвиговых деформаций существенно из™ менит и граничные условия. Например, для свободного конца стержня следует писать не одно условие, как в предыдущих моделях, а два:
9 т9 丁 д^и °9 т д2и °
9 т9 丁 д^и °9 т д2и °
Теория Миндлина-Германа
При выводе уравнений Миндлина-Германа следует отказаться от гипотезы о том, что поперечные деформации при осевом растяжении или сжатии пропорциональны продольной деформации (3.2). В этом случае для описания движения частиц стержня в поперечном направлении вводится еще одна функция w(x^ 力)и принимается следующая система перемещений:
u^x.y.z.t) = u(x,t^u2(x,y.z.t} = -w(x,t\u3(x,y.z,t) = -w(x.t\
。°(3.21)
где а ——радиус стержня.
Кинетическая и потенциальная энергии будут определяться выражениями
"ijG“)闱+*閉+"ijG“)闱+*閉+(3.22)(3.22)
"ijG“)闱+*閉+
"ijG“)闱+*閉+
(3.22)
(3.22)
十学(入+4加2+也^学］厶.(3.23) ad ох
где Ni,2 — корректирующие коэффициенты, смысл которых будет пояснен позднее.
Уравнения Миндлина-Германа, описывающие продольные колебания стержня, имеют следующий вид:
д2и 2 a%9 2Л dw —
(3.24)
92W2 2 a沁8N弘入+ м) 4^2Л ди _
А力2дх2a2p W ар дх *
Для изучения дисперсионных свойств системы представим продольное и поперечное перемещения в виде бегущих гармонических волн
и = uq вхр{分(勾力 一 k/)}, w = wq Bxp{〃(G% — k/)}*(3.25)
Подстановка (3*25) в (3.24) приведет к системе алгебраических уравнений
,...2А
(—+ с^ k^^u()+ N& — ikw()= 0;
Lг(3.26)
22 2 厶2丄8m(入 + m)4N办 _
一Cd + C-k + Wq 一 ik'UQ — 0.
Jар
Вычисляя ее детерминант и приравнивая его нулю, получим дисперсионное уравнение:
/2 I 2 厶2、22 2 厶2 丄 8№(入 + 〃)8*N^ 2 п
(-g +c*) +Nf +一^高^ =0.(327)
к и четвертый порядокк и четвертый порядокУравнение (3.27) имеет четвертый порядок по
к и четвертый порядок
к и четвертый порядок
по ш. Имеется две дисперсионных ветви, одна из которых исходит из нуля, а вторая из точки
Дисперсионные зависимости изображены на рис. 36
Обзор нескольких моделей продольных колебаний стержней вызывает вопрос: какой из них следует пользоваться в той или иной ситуации? Вопрос есте
ственный, ведь разными моделями по-разному трактуется наличие или от
сутствие дисперсии продольных волн, даются разные законы дисперсии в
случае ее наличия.
В [4] проведен сравнительный анализ законов дисперсии различных моделей стержней, стержня-полосы (упругого слоя). На рис. 3.7 приведены результаты сравнительного анализа. Цифрами /, 2, 3 обозначены дисперси
онные кривые трех первых продольных нормальных волн в упругом слое (в
узком высоком стержне-полосе). По осям отложены безразмерные волновое чис- ? ■ ф ло кН и частота шН/ст, где Н — высота — стержня.1.
Прямая В соответствует дисперсионной ветви (3.9) модели Бернулли. Она з
совпадает с дисперсионной ветвью / до °481216
частот, при которых размер стержня 2ЛРн& 3*7
равен половине длины сдвиговой волны (шН/ст = тг/2). Следовательно, модель Бернулли хорошо описывает распространение продольной волны в реальном стержне вплоть до сравнительно высоких частот. Уравнению (3.11) соответствует дисперсионная кривая R. Эта модель имеет несколько большие пределы применимости.
Очень хорошо аппроксимируют кривую 7 дисперсионная ветвь (Bi), соответствующая уравнению Бишопа и дисперсионная ветвь (МН), соответствующая нижней дисперсионной ветви уравнения Миндлина-Германа. Отличия кривых / и Bi различимы лишь на самых высоких частотах. Отличия кривых / и МН не различимы во всем диапазоне частот. Заметим, что в исходной постановке кривая МН на высоких частотах стремилась (как
и кривая Bi) к асимптоте ш = сТк, введение корректировочных коэффициентов Ni,2 переводит ее на асимптоту ш =仃冗尺 где cr — скорость поверхностной волны Рэлея, увеличивая тем самым диапазон применимость модели.
К сожалению, дисперсионная кривая 2 не может сколь-либо удовлетворительно аппроксимироваться верхней дисперсионной ветвью модели Миндлина-Германа.
Итог проведенного анализа таков: на высоких частотах при изучении продольных нормальных волн в стержне следует пользоваться моделями Бишопа и Миндлина-Германа, в более низкочастотном диапазоне целесообразно пользоваться моделью Бернулли, которая значительно проще.
Крутильные волны
Технические теории Кулона и Сен-Венана
В основе теории кручения стержней, принадлежащей Ш.О. Кулону, лежат две гипотезы:
一 недеформируемость поперечного сечения в своей плоскости (жесткий контур);
一 отсутствие продольных смещений (отсутствие депланации, т. е. выхода сечения из первоначального плоского состояния).
Сечения стержня, согласно этим гипотезам, скользят друг по другу, поворачиваясь в своей плоскости как жесткие площадки.
Перемещения точек стержня имеют вид
U^X.y.Z.t) = 0, u2(伤弘d力)=(瑞川
(3.28)
U3(x,y.z.t) =
где J — угол поворота сечения.
Отличными от нуля являются следующие компоненты тензора напряжений:
^12 =一从2,013 =从g •(3.29)
oxox
Кинетическая и потенциальная энергия стержня длиной I с учетом (3.28) и (3.29) будут определяться по формулам
Уравнение динамики стержня может быть получено с помощью функции Лагранжа L =以—07n и будет иметь вид
0厶初一44时=60厶初一44时=6(3.32)(3.32)
0厶初一44时=6
0厶初一44时=6
(3.32)
(3.32)
Из волнового уравнения (3.32) следует, что согласно технической теории 母лона, крутильные волны в стержне распространяются без дисперсии с той же скоростью ст, с которой распространяются сдвиговые волны в неограниченной среде.
По теории Б. Сен-Венана (теория жесткого кручения) кручение стержня складывается из кручения по Кулону и продольных смещений, приводящих к депланации. Депланация полагается одинаковой для всех сечений и зави™ сящей от координаты х.
Перемещения точек стержня будут иметь вид
(3*33)(3*33)U^X.y.Z.t}=4 1®/), 〃2(自仇d力)=一*(zj),u3(x,y,z,t) = gj(z<),
(3*33)
(3*33)
а отличные от нуля касательные напряжения запишутся в виде
(3.34)(3.34)
(3.34)
(3.34)
Согласно (3.33), (3.34) кинетическая и потенциальная энергии будут определяться по формулам
(3*35)(3*35)
(3*35)
(3*35)
(3.38)(3.38)(3.39)(3.39)
(3.38)
(3.38)
(3.39)
(3.39)
(3.36)
содержащим, кроме полярного момента инерции 厶,момент инерции при кручении
g(337)
F
Здесь 夕 ——функция кручения, определяемая из решения уравнения Лапласа
炉夕 炉夕ду2 + dz2
с граничным условием на контуре сечения 7
^ = ^ 8S(7Z, у) — У COS (и, Z),где п ——направление нормали к контуру 7.
Таким образом, распространение крутильных волн по теории Сен-Ве- нана описывается волновым уравнением
°4乔一4/кр时=0,°4乔一4/кр时=0,(ЗЛО)(ЗЛО)
°4乔一4/кр时=0,
°4乔一4/кр时=0,
(ЗЛО)
(ЗЛО)
отличающимся от (3.32) наличием 1К. Это приводит к тому, что скорость крутильной волны скр = с『，/кр"о отличается от скорости волны сдвига на постоянный множитель, зависящий от формы поперечного сечения стержня.
Если стержень имеет круговое или кольцевое поперечное сечение (цилиндрический стержень), то 1о = 1кр,夕三0* Для стержней иных поперечных сеченийа声/呼，夕声0"
Основные типы краевых условий для крутильных колебаний стержней приведены в [32].
Уточненные теории Тимошенко и Власова
Если депланация неоднородна вдоль стержня, то кручение принято называть стесненным. В основе теории стесненного кручения лежат следующие гипотезы:
—недеформируемость поперечного сечения в своей плоскости (жесткий контур);
— депланация пропорциональна относительному углу закручивания —.
Тогда перемещения точек стержня будут иметь вид
u2(x,y,z,t)二"41)
〃3(伤仇d方)=gj(zj),
где 夕 ——функция кручения, определяемая из решения краевой задачи (3.38), (339).
Выражение для кинетической энергии стержня, соответствующее перемещениям (3.41) будет определяться по формуле
Первое слагаемое в (3.42) описывает кинетическую энергию вращения, второе ——кинетическую энергию депланации. Величина /歹 = 夕?(仇 z)dF
называется моментом депланации.называется моментом депланации.F
называется моментом депланации.
называется моментом депланации.
С помощью закона Гука вычислим компоненты тензора напряжений:
(343)(343)
(343)
(343)
и определим потенциальную энергию:
Рис. 3.8Рис. 3.8
Рис. 3.8
Рис. 3.8
Первое слагаемое в (3.44) описывает потенциальную энергию сдвиговых деформаций, второе ——потенциальную энергию продольных деформа
ций, вызывающих неоднородную депла™ нацию.
В теории Тимошенко учитывается потенциальная энергия депланации, но не учитывается ее кинетическая энергия (второе слагаемое в (3.42) приравнивается к нулю).
Уравнение крутильных колебаний по теории Тимошенко имеет вид
р10(3*45) ot2 尸廿广 'аж4
Частота и волновое число гармонической волны связаны соотношением (рис. 3.8)
из которого следует, что крутильные волны обладают дисперсией. Их фа
зовая скорость
(347)(347)
(347)
(347)
при малых волновых числах близка к ск и неограниченно возрастает при стремлении к к бесконечности.
В теории Власова в (3.42), (3.44) учитываются и кинетическая, и потенциальная энергии депланации. Это приводит к следующему уравнению крутильных колебаний стержня:
(3*48)(3*48)к а% к а汨 а% г а% 「%而-акp 曲 +-= a
(3*48)
(3*48)
или
初初2网2网4 а21о 0/24 а21о 0/2(348)(348)
初
初
2网
2网
4 а2
1о 0/2
4 а2
1о 0/2
(348)
(348)
Легко видеть, что по форме уравнение Власова идентично уравнению Бишопа (3.16), описывающему продольные колебания стержня. Уравнение (3.48) описывает два связанных между собой волновых процесса: крутильные колебания частиц стержня и продольные движения частиц, связанные с депланацией.
Дисперсионное уравнение, соответствующее модели Власова имеет вид
7 / скр + со (4//。) к'7 / скр + со (4//。) к'(ЗЛ9)(ЗЛ9)
7 / скр + со (4//。) к'
7 / скр + со (4//。) к'
(ЗЛ9)
(ЗЛ9)
/ с^р + Cq (/^//о) к2V 1+(4//。)/ ‘/ с^р + Cq (/^//о) к2V 1+(4//。)/ ‘(331)(331)
/ с^р + Cq (/^//о) к2
V 1+(4//。)/ ‘
/ с^р + Cq (/^//о) к2
V 1+(4//。)/ ‘
(331)
(331)
а фазовая и групповая скорости определяются по формулам
(3.50)
При условии с0 > ск (а это, как правило, так), дисперсия имеет аномаль™ ный характер, поскольку групповая скорость волнового пакета оказывается больше фазовой скорости отдельных гармоник.
На низких частотах волны распространяются с фазовыми скоростями, близкими к скорости крутильных волн с<, введенной по гипотезам Сен- Венана, а на высоких частотах ——со скоростями, близкими к скорости продольных волн со в стержне Бернулли.
Закон частотной дисперсии (3.49) показан на рис. 3.9, законы изменения фазовой (3.50) и групповой (3.51) скоростей в зависимости от волнового числа приведены на рис. 3.10, а, б.
Граничные условия для уравнений Тимошенко (3.45) и Власова (3.48), имеющих четвертый порядок по z, существенно отличаются от граничных условий для уравнений 母лона (3.32) и Сен-Венана(3.40), имеющих второй порядок по х.
Например, для свободного конца стержня, совершающего крутильные колебания, описываемые уравнением (3.48), задаются следующие условия:
п2 дпдпЗ дпЗ д
= а 从/кр石一石4时 + %^i = °-(3*52)
Изгибные волны
Техническая теория Бернулли-Эйлера
При поперечных колебаниях стержня каждый его элемент изгибается. В классической теории Я. Бернулли и Л. Эйлера техническая теория предполагает:
—поперечные сечения стержня, плоские и перпендикулярные его оси, во время изгиба остаются плоскими и перпендикулярными деформированной оси стержня;
一 продольные сечения стержня сопротивляются изгибу независимо, не оказывая друг на друга влияния (т. е. нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, пренебрежимо малы);
— инерцией вращения элемента стержня при изгибе пренебрегается.
Из второго предположения следует, что из компонент тензоров напряжений и деформаций существенными признаются только ац и ец, т. е. волокна либо растягиваются, либо сжимаются, в результате чего запасается потенциальная энергия.
Рассмотрим изгиб стержня прям (рис. 3.11). Для вычисления потенциальной энергии следует найти удлинение волокон, определить работу упругих сил, деформирующих волокно и проинтегрировать ее по площади поперечного сечения стержня.
Длина дуги деформированной срединной линии будет равна
J (d/产 + (dtp)?=
dx = Ada,
Рис. 3.11Рис. 3.11где R — радиус кривизны.
Рис. 3.11
Рис. 3.11
При малых поперечных перемещениях
откуда
1 £/ dw\2 dx
и, следовательно, удлинение волокна шириной dz будет равно
(А + N)da dx =(А + N)da dx =d2w=N ~7；z™ dx * аж2d2w=N ~7；z™ dx * аж2
(А + N)da dx =
(А + N)da dx =
d2w
=N ~7；z™ dx * аж2
d2w
=N ~7；z™ dx * аж2
По этому удлинению вычисляется работа упругих сил по растяжению или
сжатию волокна:сжатию волокна:生22 дх2生22 дх2
сжатию волокна:
сжатию волокна:
生2
2 дх2
生2
2 дх2
Интегрируя ее по %, получим плотность потенциальной энергии
(3.53)(3.53)
(3.53)
(3.53)
где 1у = Ы3/12 ——осевой момент инерции прямоугольного поперечного сечения, в общем случае Iy = ]] z? dF.
F
Плотность кинетической энергии поперечного движения определяется по формуле
(334)(334)
(334)
(334)
Зная (3.53) и (3.54), составим лагранжиан L = 04 — Wn и выведем уравнение изгибных колебаний стержня (уравнение Бернулли-Эйлера):
(3.55)(3.55)
(3.55)
(3.55)
Полагая w = wq ехр{5(®力一kz)}, получим дисперсионное уравнение
где гу = y/ly/F ——осевой радиус инерции. Из (3.56) находим закон дисперсии
ш = ^с()Гук2,(3.57)
фазовую и групповую скорости
иф = согук,(3.58)
= 2c° т* у k.(3*з 9)
Легко видеть, что изгибные волны распространяются вдоль стержня с дисперсией. Форма любого негармонического возмущения будет искажать™ ся по мере его распространения. Дисперсия имеет аномальный характер. Групповая скорость при любой частоте будет в два раза превышать фазовую.
Основные типы граничных условий для уравнения (3.55) приведены в справочнике [32].
Уточненные теории Рэлея и Тимошенко
Рис. 3.12Рис. 3.12叫=；pF叫=；pF2 1 г(3.60)2 1 г(3.60)В теории Рэлея принимаются первые два допущения предыдущей модели, но учитывается инерция вращения элемента стержня при изгибе. Плотность потенциальной энергии остается прежней (3.53), а плотность кинетиче™ ской энергии принимает вид
Рис. 3.12
Рис. 3.12
叫=；pF
叫=；pF
2 1 г
(3.60)
2 1 г
(3.60)
Уравнение Рэлея, описывающее изгибные колебания стержня, записывается в виде
d4w у d4w с° 厂1、
pF+ 石厶/万N — ply a 2 2 = °・(3.61)
Из (3.61) находим закон дисперсии:
(3.62)(3.62).соГук2 ш ,
(3.62)
(3.62)
，1 + 吸2
Эта зависимость приведена на рис. 3.12.
В теории Тимошенко предполагается:
поперечные сечения остаются плоскими, но не перпендикулярными деформированной оси стержня;
нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, пренебрежимо малы;
учитываются инерционные составляющие, связанные с поворотом сечений.
Первое из предположений приводит к необходимости учета сдвиговых деформаций.
На рис. 3.13 показано, что угол поворота
сечения при малых поперечных перемеще
нияхниях，будет равен，будет равен瓦-仇瓦-仇(3.63)(3.63)где через Д обозначен угол сдвига.
ниях
ниях
，будет равен
，будет равен
瓦-仇
瓦-仇
(3.63)
(3.63)
ЖЖ1212(3.64)(3.64)Если в качестве обобщенных координат выбрать поперечные перемещения частиц срединной линии стержня u?(z,力)и угол поворота сечения 夕(z,力)，то плотность кинетической энергии будет определяться по формуле
Ж
Ж
1
2
1
2
(3.64)
(3.64)
Плотность потенциальной энергии определяется по следующей формуле:
(3.65)(3.65)
(3.65)
(3.65)
Потенциальная энергия элемента стержня тоже состоит из двух частей:
2dx.2dx.—потенциальной энергии сдвига ^儿尸一 夕)
2
dx.
2
dx.
— и потенциальной энергии изгиба ^(，； — |^^у
адхадх一1
адх
адх
где Rf =где Rf =——новый радиус кривизны.
где Rf =
где Rf =
Отклонение от теории плоских сечений учитывается поправочным ко
эффициентом N, зависящим от способа определения среднего значения для
угла сдвига и характера распределения сдвигов по сечению.
Если касательные напряжения, возникающие при изгибе, определяются по формуле Журавского
где Q ——поперечная сила, S ——статический момент части сечения, от™ сеченного плоскостью z = const, b ——ширина поперечного сечения при % = const, а под Д понимается среднеквадратичное значение
戸 (2/з『阳
F
то N определяется по формуле
4 廿4 廿1
4 廿
4 廿
F
Например, для стержня прямоугольного сечения N = 5/6.
Согласно (3.64), (3.65) динамическое поведение стержня по теории Ти™ мошенко будет описываться системой уравнений
(3.66)(3.66)
(3.66)
(3.66)
J - k2G2 c2 + Nd +J - k2G2 c2 + Nd ++ Ncjc*4 = 0,+ Ncjc*4 = 0,
J - k2G2 c2 + Nd +
J - k2G2 c2 + Nd +
+ Ncjc*4 = 0,
+ Ncjc*4 = 0,
Если из первого уравнения выразить — через производные от w, под™ ставить во второе уравнение, предварительно продифференцировав его по z, придем к одно скалярному описа™ нию изгибных колебаний (уравнение Тимошенко):
^d2w 6>4w/ Е \
d4wр2 Jу d4w
X й 2 42 +=°- (3"67)
Заметим, что при N = 1 уравнение
(3.67) называется уравнением Бресса.
Нахождение решения (3.67) в виде бегущей гармонической волны приводит к дисперсионному уравнению
(3.68)
имеющему четвертый порядок по А: и четвертый порядок по ш. Имеется две дисперсионных ветви, одна из которых исходит из нуля (описывает преиму™ щественно изгибные волны), а вторая ——из точки ® = 上，к = 0 (описывает ГУ
преимущественно сдвиговые волны). Дисперсионные зависимости изображены на рис. 3.14.
瑞⑶=y協+ Nd +帛±瑞⑶=y協+ Nd +帛±co + Nd + ^^j — Nc^dco + Nd + ^^j — Nc^dДля каждого фиксированного значения волнового числа существует два значения фазовой скорости
瑞⑶=y協+ Nd +帛±
瑞⑶=y協+ Nd +帛±
co + Nd + ^^j — Nc^d
co + Nd + ^^j — Nc^d
В длинноволновом диапазоне (при r^k《1) с^тук, з^)
т. е. и『)совпадает с фазовой скоростью, введенной в технической теории Бернулли-Эйлера, а скорость з^)при кг т 0 неограниченно возрастает (групповая скорость при этом стремится к нулю, следовательно энергия не переносится). В коротковолновом диапазоне (при Гук ^> 1) и『，^с『 близка к скорости волн сдвига, а з^)со близка к скорости продольных волн в стержне.
На рис. 3.15 изображены зависимости фазовых скоростей изгибных волн в стержне от волнового числа по различным теориям. Штриховыми линиями изображены зависимости, полученные по теориям Бернулли-Эйлера (БЭ) и Рэлея (Р), штрих-пунктиром ——зависимости, полученные по теории Тимошенко (Тх и 不)* Сплошными линиями изображены дисперсионные зависимости, соответствующие трем первым антисимметричным нормальным волнам (а。, @1， @2), рассчитанные с помощью решения уравнения Ламе для упругого цилиндра.
Нетрудно видеть, что уравнение Бернулли-Эйлера дает удовлетворительное приближение дисперсии к кривой а。лишь при очень длинных волнах (частота близка к нулю). Учет поправки Рэлея лишь незначительно улуч
шает это приближение. Теория Тимошенко дает хорошее совпадение с вет
вью а。в широком диапазоне длин волн и имеет лишь качественное совпадение с ветвью @i* В пределе к т оо фазовая скорость антисимметричной нормальной волны стремится к скорости поверхностной волны Рэлея сд. Эту асимптотику теория Тимошенко не отслеживает.
В книге [4] показано, что путем введения не одного N, а большего числа произвольных коэффициентов можно добиться «улучшения» дисперсион™ ных свойств модели Тимошенко, в частности, удается добиться количественного совпадения ее дисперсионной ветви с кривой си*
ГЛАВА 4
ВОЛНЫ В ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЯХ
О внешнем, внутреннем и конструкционном трении
Рассеяние энергии в механических системах происходит по различным причинам, которые, правда весьма условно, могут быть разделены на три группы:
一 потери в окружающую среду (внешнее трение);
一 потери, обусловленные внутренними процессами в материале (вну™ треннее трение);
一 потери, обусловленные трением в опорах, шарнирах и.т.п. (конструк™ ционное трение).
Учет конструкционного трения обычно приводит к нелинейным соотно™ шениям. Этих вопросов мы намереваемся коснуться в последующих главах, когда речь пойдет о фрикционных колебаниях.
Наиболее распространенная модель внешнего трения линейна и относи™ тельно проста, в ней считается, что диссипативные силы являются вязкими и пропорциональными скоростям движения
с dU
I ^, где U ——вектор перемещения.
at
Как уже говорилось, внутреннее трение связано с диссипацией энергии колебаний в материале системы. Диссипативные свойства конструкцион™ ных материалов разнообразны, что приводит к необходимости введения для их описания различных математических моделей. Одни из этих моделей позволяют описывать гистерезисные явления, происходящие при циклическом деформировании. Другие модели позволяют описывать поведение материала, объединяющее в себя свойства упругости и вязкости (т. е. вязкоупругие свойства).
Соотношения между напряжением, деформациейи временем деформации
Во всех тех случаях, когда деформирование элемента материала (об™ разца) происходит со скоростью, значительно меньшей скорости распро странения в нем упругой волны, следует вводить в рассмотрение два типа деформации ——мгновенную и вязкую,——различающиеся по характеру их связи с напряжением.
Мгновенная деформация связана с напряжением конечным соотноше™ нием. Она может быть как упругой, так и пластической.
Вязкая деформация $ь связана с напряжением некоторым дифференциальным соотношением вида
力)，(4 Л)
где 99(03) = 0.
Из (4.1) следует, что деформация зависит не только от значения напряжения в рассматриваемый момент времени, но и от истории предшествующего напряжения образца.
Упругое и упругопластическое деформирование материалов можно изучать на воображаемых механических моделях, представляющих собой ком™ бинации идеально упругих элементов и элементов сухого (кулонова) трения.
Рассмотрим образец в виде кубика с единичными длинами ребер. Пред™ положим, что его сопротивление деформированию равно сопротивлению пружины, помещенной в объеме кубика. Это возможно, если коэффициент жесткости пружины численно будет равен модулю упругости материала Е (рис. 4.1, а). Диаграмма деформирования такого материала показана на рис. 4.1, б. Она отвечает линейной зависимости напряжения от деформации.
Рис. 4.2
Простейшей модели упруго-пластического материала соответствует комбинация из пружины и элемента сухого трения, помещенная в объем кубика (рис. 4.2, а).
На диаграмме деформирования, изображенной на рис. 4.2, 6, напряжение текучести сгт отвечает предельному сопротивлению проскальзывания элемента сухого трения.
Рис. 4.3Рис. 4.3
Рис. 4.3
Рис. 4.3
Вязкое деформирование можно изучать на модели, представляющей со бой воображаемое приспособление, состоящее из цилиндра, заполненного вязкой жидкостью, и перемещающегося в этом цилиндре поршня (рис. 4.3). Предположим, что скорость смещения поршня пропорциональна действую™ щему на него усилию. Закон вязкого деформирования будет записываться в виде
d&b/dt 二 сг/т/, (4.2)
где 〃 ——коэффициент вязкости.
Из (4.2) следует, что деформация в некоторый момент времени 力，отсчи- тываемый от начала нагружения, будет равна
(43)(43)1 f
(43)
(43)
%(力)=_cr(J)d 仇
о
где 0 ——моменты времени, предшествующие t.
Комбинация из по с ледовательного соединения элементов упругого и вязкого сопротивления моделирует гипотетический материал, известный под названием среды Максвелла (рис. 4.4, а).
Полная деформация，равняется сумме упругой и вязкой деформаций. Если выразить обе деформации через напряжения, то
de 1 da a
(4*4)
Выражение (4.4) называется уравнением состояния или кинетическим урав・ нением, обычно его записывают в виде
(45)(45)da a 「cfe
(45)
(45)
1——=E—、dt T 必‘
где величина Т =百 называется временем релаксации.
Диаграмма деформирования среды Максвелла при постоянной скорости нагружения dco,/%力=va = const показана на рис* 4.4, б. Кривая сг(е) описывается выражением
(4.6)(4.6)а а2e = +
(4.6)
(4.6)
Е 2EvaT
которое получается из (4.5) после интегрирования и подстановки t =——.
В точках, близких к началу координат, тангенс угла наклона касательной к этой кривой равен модулю упругости пружины. Кривая сг(е) тем больше приближается к прямой а = Ее, чем выше темп нагружения. Поэтому Е называют мгновенным модулем упругости.
Если задается постоянная скорость деформирования 瓦== const, то уравнение кривой деформирования приобретает вид
о =久〃(1 — ехр{ —『7})*(4.7)
Из (4.7) следует, что в начале координат, как и в предыдущем случае, кривая касается прямой сг = Ее и будет неограниченно приближаться к ней с ростом и〜
бб
б
б
При постоянном напряжении сг0 появляются деформации ползучести, нарастающие с постоянной скоростью (рис. 4.5, а)
e口 =e口 =00方00方(4用)(4用)
e口 =
e口 =
00方
00方
(4用)
(4用)
(4*9)(4*9)(4Л0)(4Л0)или в интегральной формеили в интегральной формеРис. 4.6Рис. 4.6(4*11)(4*11)
(4*9)
(4*9)
(4Л0)
(4Л0)
или в интегральной форме
или в интегральной форме
Рис. 4.6
Рис. 4.6
(4*11)
(4*11)
При постоянной деформации происходит постепенное снижение напряже™ ний (релаксация) по закону (рис. 4*5, 6)
0 =(то ехр｛一亍｝
и к моменту времени t = Т напряжение снижается в е раз.
Комбинация из параллельного соединения элементов упругого и вязкого
сопротивления моделирует другой гипотетический материал, называемый
средой Фойхта-Кельвина (рис. 4.6).
Полное напряжение для этого матери™ ала равняется сумме напряжений в вязком и упругом элементах, испытывающих одинаковые деформации, откуда, как след™ ствие, получается уравнение состояния:
dsеа
——+ -=- dt Т 刀
£(力)=丄 сг((9) ехр｛ —^^Д^М仇 (4.109 о
Кривая деформирования при tv = const описывается выражением
Она изображена на рис. 4.7, а. В начале координат эта кривая касается оси сг, а с ростом tv неограниченно приближается к этой оси.
Диаграмма деформирования при v£ = const изображена на рис. 4.7, б. Видно, что с увеличением ve наклонный участок поднимается (пунктир),
Рис. 4.8Рис. 4.8при ve 一 оо жесткость элемента мате™ риала, как и в предыдущем случае, будет неограниченно возрастать.
Рис. 4.8
Рис. 4.8
При постоянном напряжении сг = сг0 проявляется ползучесть
=号(1-ехр 卜計)，(4.12)
она имеет затухающий характер (рис. 4.8, кривая 7).
е =，о ехре =，о ехрПри быстром снятии напряжения начинается обратная ползучесть (последействие). Элемент материала постепенно восстанавливает исходные размеры. Согласно уравнению (4.10) закон обратной ползучести является экспоненциальным (рис. 4.8, кривая 2).
е =，о ехр
е =，о ехр
(4」3)
Релаксация напряжений при постоянной деформации в среде Фойхта-Кель» вина не проявляется.
Кроме моделей Максвелла и ①ойхта—Кельвина возможны различные комбинации, состоящие из большего числа элементов упругого и вязкого сопротивлений [32, 100, 133, 145].
Стержни Фойхта-Кельвина и Максвелла
Стержень, материал которого подчиняется закону деформирования сре™ ды Фойхта-Кельвина, будем называть стержнем Фойхта-Келъвина. Если же материал стержня подчиняется закону деформирования среды Максвел™ ла, то будем называть его стержнем Максвелла.
Распространение продольных волн
Продольные волны в стержне Фойхта-Кельвина описываются уровне™
нием
а力2° I а度2 丁 dx2dtjа力2° I а度2 丁 dx2dtj=о,=о,(4Л4)(4Л4)
а力2° I а度2 丁 dx2dtj
а力2° I а度2 丁 dx2dtj
=о,
=о,
(4Л4)
(4Л4)
где 也(胃,力)——продольное перемещение частиц срединной линии, cq = =/0*
Отыскивая решение (4.14) в виде бегущей гармонической волны и = =Л exp{i(wf —用胃)}, придем к дисперсионному уравнению
w2 一若(廿 + 7凉廿)=0,(4.15)
из которого следует, что волновое число должно быть комплексным:
(4Л6)(4Л6)k = kr + ia.
(4Л6)
(4Л6)
Подставляя (4.16) в комплексное дисперсионное уравнение (4.15) и выделяя его действительную и мнимую части, придем к системе алгебраических уравнений:
一若(一2T зк^а + к^ - a2) = 0, ,2kra + аз(応一а?) = 0, ( )
откуда
2w2cg(T2w2 + 1) +，4d 國(丁2&2 + 工)+ 4 爲 7236(72“ + 工)2
線4总(T2 J + 1)2，
(418)
_ J — 2 J %T2/ + D + ,434需(T2炉 + 1) + 4 总T236(72“ + 斤а = У4/(72/ + 工产e
(4」9)
Комплексная величина волнового числа означает, что волна имеет посто™ янную распространения kr и затухает по экспоненциальному закону, т. е. перемещение можно записать в виде
и(х,力)=ехр(аж) cos(wf — krx).(4.20)
Из анализа соотношений (4.18), (4.19) следует, что низкочастотные воз™ мущения распространяются практически без дисперсии и потерь, а высо™ кочастотные обладают ярко выраженной частотно зависимой диссипацией и дисперсией, пропорциональными у^" Как и следует ожидать, с увели™ чением коэффициента диссипации (〃 = ТЕ) дисперсия продольных волн начинает проявляться в более низкочастотном диапазоне.
Продольные волны в стержне Максвелла описываются уравнением
аа1+亍1+亍(42)(42)
а
а
1
+亍
1
+亍
(42)
(42)
Частоты и волновые числа связаны следующим комплексным дисперсион™ ным уравнением:
—й/ + "務 2 —= о”(422)
Полагая, как и прежде, k = kr + га, перейдем от (4.22) к системе
91
(423)(423)2cq кга 十亍 и/ = 0,
(423)
(423)
Решая систему, найдем частотные зависимости кг и а:
+з，Т2д2 + 1V+з，Т2д2 + 1V(4.24)(4.24)
+з，Т2д2 + 1
V
+з，Т2д2 + 1
V
(4.24)
(4.24)
а =а =/ - Тш2 + “"у + 1V 2Т// - Тш2 + “"у + 1V 2Т/(4.25)(4.25)
а =
а =
/ - Тш2 + “"у + 1
V 2Т/
/ - Тш2 + “"у + 1
V 2Т/
(4.25)
(4.25)
При отсутствии вязкости волны в стержне Максвелла распространяться не могут. Наличие вязкости приводит к возможности существования бегу™ щих гармонических волн, затухающих по экспоненциальному закону.
При частотах ш, больших по сравнению с 1 /Т, кг^ши, следовательно, дисперсия отсутствует, а затухание принимает постоянное значение а = =Тед, не зависящее от частоты.
Двухмодошя модель продольных колебаний стержня с внутренним трением по Фойхту
Рассмотрим теперь более сложную модель продольных колебаний стерж™ ня ——модель Миндлина-Германа, в которую введен член, связанный с диссипативными потерями по Фойхту [60, 94]:
д2и / 2 А2^2 、。統 а2р д4и (X + 2从 + 从淄)а2 д4и dt2р (Л + /i) J Эж2 + 8N| (Л + 仙)dt4 8^2 (Л + 从) dx2dt2 +
(Л + 2/1) ца2д4и 7。3口 _
+丿(А)
Здесь р ——объемная плотность материала; ст =，卩〔р ——скорость распространения сдвиговых волн в стержне; з = у (Л + 2д)/р —— скорость рас™ пространения продольных волн в стержне; Ni, N?——корректирующие коэф™ фициенты, выбираемые из условия близости дисперсионных веток данной модели и точной теории.
Вводя безразмерные переменные xf = х/а, tf = tcT/а, и! = и/и(), преобразуем уравнение (4.26) к виду (штрихи далее опускаем)
字一(s + 2 一三)質+от2 \s + 1у Эж2字一(s + 2 一三)質+от2 \s + 1у Эж21 д4и (o + 2 + 将)д4и
字一(s + 2 一三)質+
от2 \s + 1у Эж2
字一(s + 2 一三)質+
от2 \s + 1у Эж2
8(6 + Г) dt4 8(6 + Г) dx^dt2 +
(4.27)(4.27)(s + 2)淄 д4и / dsu 8 (s + 1) Эж4 ' dx2dt
(4.27)
(4.27)
где s = X/从，)' = ————безразмерные параметры, поправочный ко эффициент К2 принят равным единице из условия равенства фазовой и стержневой скорости на низких частотах.
Подставляя в уравнение (4.27) решение в виде бегущей гармонической волны и = ио ехр{г(ш^ —用胃)}, получим
— 8+ 8 (3s + 2)—(月十 2 +— 8 (月 + 1) iujk^ = 0,
(4.28) где к, w ——волновое число и частота гармонической волны.
На рис. 4.9 приведены дисперсионные кривые модели Миндлина-Гер» мана (сплошные линии): первая мода в случае, когда не учитывается диссипация (7 = 0), а также с диссипацией (7 = 0,3 и 7 = 0,45); вторая мода при 7 = 0, 7 = 0,3 и 7 = 0,45. Для сравнения на этом же рисунке по казаны дисперсионные кривые модели Бернулли (штриховые линии): без диссипации (7 = 0) и с диссипацией (7 = 0,3; 7 = 0,45).
На рис. 4.10 приведены зависимости мнимых частей волнового числа от частоты для первой моды модели Миндлина-Германа с диссипацией при(7 = 0,3) и(7 = 0,45). На этом же рисунке показаны аналогичные зависимости для модели Бернулли при 7 = 0, 7 = 0,3 и 7 = 0,45.
Дисперсионное уравнение модели Миндлина-Германа без диссипации до частоты запирания имеет кроме действительного корня, соответствую™ щего первой распространяющейся моде, также чисто мнимый корень, отве™ чающей локализованной моде и, обычно, не рассматривающийся (рис. 4.11). На самом деле дисперсионное уравнение имеет четыре корня: два действи™ тельных и два мнимых. Мы рассматриваем только корни, находящиеся в верхней полу пл о ско сти.
При введении диссипативного члена в уравнение локализованная мода превращается в распространяющуюся (рис. 4.9). Для этой моды характер™
ны большие длина волны и коэффициент затухания по сравнению с первой модой (коэффициент затухания возникшей моды может быть больше коэффициента затухания первой моды на несколько порядков). Таким образом, возникшая распространяющаяся мода во многом сохраняет локализован™ ный характер и не дает существенного вклада в перенос энергии.
Затухание первой моды на низких частотах почти линейно растет с ро стом частоты, как и в модели Бернулли. С увеличением частоты усиливается влияние дисперсионных членов. Именно они обусловливают неожиданное поведение дисперсионной кривой первой моды на высоких частотах, когда длина волны не увеличивается с увеличением вязкости, как можно было бы ожидать, а, напротив, уменьшается (так как дисперсионные члены имеют четвертый порядок, а диссипативный член ——только третий). Аналогично ведет себя коэффициент затухания с ростом частоты. На низких частотах он растет с увеличением частоты, а затем рост сменяется убывани™ ем. На рис. 4.12 представлены зависимости коэффициента затухания а = =Im k/Re к от частоты для первой моды модели Миндлина-Германа с диссипацией при 7 = 0, 7 = 0,3 и 7 = 0,45 (сплошные линии). Для срав・ нения на этом же рисунке показаны аналогичные зависимости для модели Бернулли с внутренним трением по Фойхту при тех же параметрах (штри™ ховые линии).
На рис. 4.13 показана зависимость фазовой скорости от частоты при следующих значениях коэффициента вязкости: с диссипацией при 7 = 0,3 и 7 = 0,45 и без диссипации при 7 = 0. Влияние вязкости приводит к увеличению фазовой скорости на низких частотах.
Распространение изгибных волн
Изгибные волны в стержне Фойхта-Кельвина описывается уравнением
=0'=0'(429)(429)
=0'
=0'
(429)
(429)
где w(x,力)——поперечное перемещение частиц средней линии, гу ——осевой радиус инерции.
Частоты и волновые числа будут связаны соотношением
или
arctan Тз + 27marctan Тз + 27ma=a=+ i sin+ i sin44arctan
arctan Тз + 27m
arctan Тз + 27m
a=
a=
+ i sin
+ i sin
4
4
где п = 0+3"
Из (4.31) получаем частотные зависимости действительной (乂，) и мнимой (а) частей волнового числа. В этом случае имеются две волны с одинаковыми частотами и разными волновыми числами (длинами). Нетрудно видеть, что при малых частотах декремент затухания пропорционален причем при одной и той же частоте этот эффект проявляется сильнее для коротких волн, т. е. они за1ухают быстрее.
Внутреннее трение как результат рассеяния волн на случайных неоднородностях материала
Наряду с традиционным описанием внутреннего трения с помощью реологических моделей (п. 4.2), практикуется способ, в котором среда предполагается случайно-неоднородной, а внутреннее трение есть результат рассеяния упругих волн на неоднородностях.
В работе [28] получены эффективные операторы для среднего поля смещений в случайно-неоднородных стержнях, совершающих продольные и изгибные колебания. В предельном случае, когда неоднородности являются мелкомасштабными, проведено сравнение с реологическими моделями стержней Фойхта-Кельвина.
Распространение продольных волн в неоднородном стержне описывается уравнением
。(胃—Е^Х^ = Ов"32)
Погонную плотность 夕⑺ и модуль Юнга 硏胃)представим в виде
夕⑺=р0 + pf(x\ Е(х)=马十石/⑺*(4.33)
где 夕о,石。——постоянные значения, 〃(胃)，石‘(胃)——случайные функции координаты. Считается, что флук1уации параметров малы по сравнению со средними значениями р, р, Ef Eq.
Воспользуемся методом среднего поля [45], для чего смещения п(ж,力) представим в виде суммы
п(ж,力)=〃⑼(ж,力)+ и1 (ж,力),(4.34)
где и^ ——среднее поле перемещений, uf ——флуKiyационное поле (?/《
Уравнение, описывающее среднее поле при произвольном масштабе неоднородностей, будет иметь вид
Р^Р^_0 ^2_0 ^2СоСоf ”小。) Jf ”小。) JK(\z\)dz = 0,K(\z\)dz = 0,(4.35)(4.35)
Р^
Р^
_0 ^2
_0 ^2
Со
Со
f ”小。) J
f ”小。) J
K(\z\)dz = 0,
K(\z\)dz = 0,
(4.35)
(4.35)
где ^ = x — z,t = t — |г|.
В предельном случае среды с мелкомасштабными неоднородностями, когда длина волны много больше радиусов корреляций флук1уаций, уравнение (4.35) преобразуется к виду
(436)(436)>〃(0) 口尹小) 外〃⑼ n
(436)
(436)
00^0^^11dd dt = *
Здесь 7)=盜(*賣夕〈夕2〉+ aE{E2)/cl — 2aMs石〉)，а через (р2), а°;〈石?〉, 賣石；〈夕石〉，арЕ обозначены дисперсии и радиусы корреляций соответствующих флуктуаций.
Из уравнения (4.36) видно, что учет малой случайной неоднородности материала приводит к появлению дополнительного слагаемого в волновом уравнении, описывающего затухание среднего поля за счет рассеяния. Вяз™ коупругий оператор, получаемый согласно реологической модели ①ойхта— Кельвина (4.14), совпадает с (4.36).
Распространение изгибных волн в неоднородном стержне описывается уравнением
0(胃)祟 +為 R(")/ =a (437)
где w(x,力)= w°(x,力)+ wf(x^ 力)一поперечное перемещение частиц средней линии стержня, р(ж) = р0 + 〃(/)——погонная плотность материала, Я(ж) = E(x)Jy(x) = А。十 ^(ж) — произведение модуля Юнга и осевого момента инерции.
В случае если неоднородности стержня являются мелкомасштабными, уравнение, описывающее среднее поле, будет иметь вид
尹苏。）'° a#尹苏。）'° a#t+刀оt+刀о1炉加。），力一7 дx4дt1炉加。），力一7 дx4дt■dr = 0.■dr = 0.(438)(438)
尹苏。）
'° a#
尹苏。）
'° a#
t
+刀
о
t
+刀
о
1炉加。）
，力一7 дx4дt
1炉加。）
，力一7 дx4дt
■dr = 0.
■dr = 0.
(438)
(438)
Здесь 7?Здесь 7?3/2 z、
Здесь 7?
Здесь 7?
I b2(p2)ap + (R2)aR/b2 - 2(pR)apR\/Ro.
Вязкоупругий оператор в уравнении (4.38) является наследственным и не совпадает с оператором, полученным из реологической модели ①ойхта— Кельвина. Напомним, что согласно этой модели последнее слагаемое имеет ВИД ^(СЖ(429))-
ГЛАВА 5
АНАЛИЗ УК4ВНЕНИИНЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ,ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИНЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ДЕФОРМАЦИИ
Осциллятор с квадратичной нелинейностью
В данном параграфе проанализируем ограниченные решения обыкновенного дифференциального уравнения, описывающего колебания ангармонического осциллятора с квадратичной нелинейностью:
(5Л)(5Л)
(5Л)
(5Л)
Для отыскания его решений умножим (5.1) на %, проинтегрируем и в результате получим первый интеграл:
(52)(52)
(52)
(52)
Здесь Е — константа интегрирования, имеющая смысл начальной знер- гии, а функция /(U) = ^U? + gu^ имеет смысл потенциальной энергии. Поэтому уравнение (5.2) можно интерпретировать как закон сохранения энергии для ангармонического осциллятора. Полученное уравнение допускает разделение переменных:
dUdU(53)(53)
dU
dU
(53)
(53)
и имеет ограниченные решения при условии, что Е — /(U) > 0. Решения будут периодическими, если функция Е — / (U) принимает положительные значения между двумя своими вещественными нулями. Эта функция является кубическим полиномом и может иметь либо три вещественных корня, либо один вещественный корень. Но последний случай (т. е. наличие одного действительного корня) рассматривать не имеет смысла, так как решения (5.3) оказываются неограниченными. Поэтому в дальнейшем полагаем, что полином Е — /(U) имеет три действительных корня 14,2,з, для которых зададим следующий порядок величин: Ui U2 U3.
Выразим полином Е — /(U) через корни。屮舟：
Е ―歹—М = —；(U — U^U —必)(。一“)"(5.4)
Корни полинома связаны между собой соотношениями
(55)(55)"十5+ " =一u1。2+5。3+u2。3 =&
(55)
(55)
"и2u3 = 丁
и зависят от коэффициентов а и b уравнения (5.1) и начальной энергии Е. Кроме того, вещественные корни кубического полинома могут быть различными или любые два из них могут совпадать, что приводит к качественно различным типам решений уравнения (5.3).
Для нахождения ограниченных решений уравнение (5.3) перепишем с учетом разложения (5.4) в виде
^/^dg =^/^dg =(5.6)(5.6)—g(U —U1)(U —U2)(U-S)—g(U —U1)(U —U2)(U-S)dU
^/^dg =
^/^dg =
(5.6)
(5.6)
—g(U —U1)(U —U2)(U-S)
—g(U —U1)(U —U2)(U-S)
и проанализируем полученное уравнение в зависимости от знаков коэффициентов а и Ь и значения константы интегрирования Е.
Пусть а > О, Ь > 0. В этом случае функция потенциальной энергии /(U) = ¥。2 + ?。3 имеет локальный минимум /min = 0 при U = 0 и локальный максимум /тах = а3/6Ь2 при U = —а/氏 Поэтому точка (0,0) на фазовой плоскости (U, %) является устойчивым положением равновесия типа «центр», а точка (—a/仇 0)——неустойчивым положением типа «узел».
На рис. 5.1, а показана функция потенциальной энергии /(U) и полином Е — /(U) при различных значени™ ях константы интегрирования 石,а на рис. 5.1, б показаны соответствующие им фазовые траектории.
1.1) При /min < E1.1) При /min < Ee2<e2<Ограниченные решения уравнения (5.3) существуют, если константа интегрирования изменяется в пределах: 0 W 石 W а3/662, причем различным Е соответствуют качественно различные типы решений.
1.1) При /min < E
1.1) При /min < E
e2<
e2<
< /тах в системе происходят движе™ ния по замкнутым траекториям вблизи сепаратрисы (фазовая траектория 2, рис. 5.1, б). В этом случае корни 14,2,3 различны, причем положительные значения полинома Е — /(U) находятся между двумя большими корнями U、nUzce Е — f(U) > 0 при Ui < U < < % (рис. 5.2, а).
Тогда с помощью замены переменных
у2 =(о < У2 < 1)(5*7)
и интегрирования уравнение (5.6) сводится к неполному эллиптическому интегралу первого рода
-/（«-%）（§-&）=i，（…；；］一568）
о
где введено обозначение §“ = (0 < §“ < 1). Обращая эллиптиче- с кий интеграл, стоящий в правой части выражения (5.8) при У = 0, ^о = О, получаем решение, описывающее периодические движения, в виде
и® = « —SD2 «(5 —"(5.9)
В выражении (5.9) введем следующие обозначения:
А = “一У = ш = \ 7= VW6^，(ЗЛО)
где Л ——амплшуда колебаний, s ——модуль эллиптической функции, определяющий степень искажения формы колебания U(g) по сравнению с синусоидальной, ш ——аналог частоты. Колебания являются периодическими, их период равен
где К(偉)——полный эллиптический интеграл первого рода.
Решение (5.9), описывающее периодические колебания, содержит восемь параметров: Л, У, s, К, «,2,з,石，которые связаны между собой шестью соотношениями (5.5)-(5.10), так что независимыми среди них будут
только два. В качестве независимых параметров выберем амплшуцу колебаний Л и модуль эллиптической функции s, который в дальнейшем будем называть коэффициентом нелинейных искажений. Тогда решение (5.9) через независимые параметры и коэффициенты уравнения можно предста™ вить в виде
(5Л2)(5Л2)Корни 14,2,3 кубического полинома находятся численно через вспомогательные величины, которые вычисляются с помощью таблиц, и имеют следующий вид:Корни 14,2,3 кубического полинома находятся численно через вспомогательные величины, которые вычисляются с помощью таблиц, и имеют следующий вид:"=丽 2cos"=丽 2cos/12y、a3где 夕=arccos ( 1— В L 0 W 石 W ^^ Очевидно, что при В = 0/12y、a3где 夕=arccos ( 1— В L 0 W 石 W ^^ Очевидно, что при В = 0вспомогательная величина 夕=0, а при Е = /тах =詣夕=тг.Подставляя найденные корни (5.13) в соотношения (5.10), получаем следующие зависимости:вспомогательная величина 夕=0, а при Е = /тах =詣夕=тг.Подставляя найденные корни (5.13) в соотношения (5.10), получаем следующие зависимости:Л =/ sin s2о 3Л =/ sin s2о 32 sin —3*уЗ cos — + sin —2 sin —3*уЗ cos — + sin —2 _a/炉I 1 ”炉、g = т I cos 尸 sin I .4\33；2 _a/炉I 1 ”炉、g = т I cos 尸 sin I .4\33；(514)Эти соотношения являются неудобными для анализа, поэтому, исключая из них вспомогательную величину 夕,получим новые связи между параметрами в решении (5.12):(514)Эти соотношения являются неудобными для анализа, поэтому, исключая из них вспомогательную величину 夕,получим новые связи между параметрами в решении (5.12):За9ci尸===E” 崩= 尸===Е”26，1 -右2 + 右4 •4，1 — $2 + $4За9ci尸===E” 崩= 尸===Е”26，1 -右2 + 右4 •4，1 — $2 + $4(5.15)(5.15)а само решение можно представить в видеа само решение можно представить в виде,1 — $2 + ,4 ) — J_ sn2 (s£, S)•,1 — $2 + ,4 ) — J_ sn2 (s£, S)•(5.16)(5.16)
(5Л2)
(5Л2)
Корни 14,2,3 кубического полинома находятся численно через вспомогательные величины, которые вычисляются с помощью таблиц, и имеют следующий вид:
Корни 14,2,3 кубического полинома находятся численно через вспомогательные величины, которые вычисляются с помощью таблиц, и имеют следующий вид:
"=丽 2cos
"=丽 2cos
/12y、a3
где 夕=arccos ( 1— В L 0 W 石 W ^^ Очевидно, что при В = 0
/12y、a3
где 夕=arccos ( 1— В L 0 W 石 W ^^ Очевидно, что при В = 0
вспомогательная величина 夕=0, а при Е = /тах =詣夕=тг.
Подставляя найденные корни (5.13) в соотношения (5.10), получаем следующие зависимости:
вспомогательная величина 夕=0, а при Е = /тах =詣夕=тг.
Подставляя найденные корни (5.13) в соотношения (5.10), получаем следующие зависимости:
Л =/ sin s2
о 3
Л =/ sin s2
о 3
2 sin —3*
уЗ cos — + sin —
2 sin —3*
уЗ cos — + sin —
2 _a/炉I 1 ”炉、
g = т I cos 尸 sin I .
4\33；
2 _a/炉I 1 ”炉、
g = т I cos 尸 sin I .
4\33；
(514)
Эти соотношения являются неудобными для анализа, поэтому, исключая из них вспомогательную величину 夕,получим новые связи между параметрами в решении (5.12):
(514)
Эти соотношения являются неудобными для анализа, поэтому, исключая из них вспомогательную величину 夕,получим новые связи между параметрами в решении (5.12):
За9ci
尸===E” 崩= 尸===Е”
26，1 -右2 + 右4 •4，1 — $2 + $4
За9ci
尸===E” 崩= 尸===Е”
26，1 -右2 + 右4 •4，1 — $2 + $4
(5.15)
(5.15)
а само решение можно представить в виде
а само решение можно представить в виде
,1 — $2 + ,4 ) — J_ sn2 (s£, S)•
,1 — $2 + ,4 ) — J_ sn2 (s£, S)•
(5.16)
(5.16)
Качественный вид периодического решения (5.9) представлен на рис. 5.3.
При Е = Е± ^ /min в системе происходят движения по замкнутым фазовым траекториям вблизи положения равновесия типа «центр» (фазовая траектория 厶 рис. 5.1, б). Это соответствует квазигармоническим колебаниям с малыми амплшудами, так как в этом случае большие корни
полинома Е — f(U) сближаются между собой, т. е. Ui “, и решения, существующие в малой области U?《U《U、(рис. 5.2, б), являются предельным случаем нелинейных периодических колебаний (5.16) при Л О U т 0:
1 + — ,2 + ,4 ) — A sin2 (g£) . (5.17)
Учитывая, ЧТО При S Т 0 1 + S2 v^ — У + ,4 ~ |s2 и sjn^Qg) = I (1 — —cos(2w^)), решение, описывающее колебания ангармонического осциллятора вблизи положения равновесия, запишем в виде
U(£) = ；4cos(2c4)* (5Л8)
При Е = /тах =賣3/6匕2 в системе происходят движения по се™ паратрисе (фазовая траектория 3, рис. 5.1, б). В этом случае два меньших корня 5 и Ua полинома Е — /(U) совпадают и область существования ограниченных решений расширяется: U^ = U? <U <U\ (рис. 5.2, в).
Тогда уравнение (5.6) принимает вид
，^ dg =，^ dg =dU(u-%)河%-u) /3dU(u-%)河%-u) /3(56)(56)
，^ dg =
，^ dg =
dU
(u-%)河%-u) /3
dU
(u-%)河%-u) /3
(56)
(56)
и после замены переменных (5.7) и интегрирования дает сепаратрисное решение:
и® = “ + (U1 — 5)配g ((“ — 5) £ b (519)
Выражение (5.19) описывает локализованное возмущение, максимум которого “ определяется условием ^ = 0, а при £ т ±оо его значения приближаются к U2, Качественный вид решения представлен на рис. 5.4.
Если в выражении (5.19) ввести обозначения
(5.20)(5.20)
(5.20)
(5.20)
где Лс ——амплитуда колебания, △——его длительность, и учесть, что U?= =—a/仇 то сепаратрисное решение можно представить в виде
U(£) = —(5.21)
Решение (5.19) является еще одним предельным случаем нелинейных периодических решений (5.12) или (5.16) при s = 1 и описывается выражением
и®= ^|+sedi2 ^{^Л,(5.22)
где
Пусть а < О, Ь > 0. В этом случае функция потенциальной энергии /(U) = ^。2 十 扌炉 имеет локальный максимум /тах = 0 при U = 0 и локальный минимум /min = а3/662 при U = — а/b (рис. 5.5, а). Поэтому на фазовой плоскости (U,%) точка (―@/仇0) является устойчивым положением равновесия типа «центр», а точка (0,0)——неустойчивым положением равновесия типа «узел» (рис. 5*5,6, На рис. 5.5, а показаны функция потенциальной энергии и полином Е — f(U) при различных значениях константы интегрирования Е.
Периодические колебания в системе, описываемой уравнением (5.1), существуют, если начальная энергия системы изменяется в пределах а3/6Ь2 <
< ^ < 0. При Е т /mjn (5.1) описывает квазигармонические колебания, соответствующие движениям по замкнутым фазовым траекториям вблизи положения равновесия (фазовая траектория /, рис. 5.5, б). Значение 石=0 соответствует движению по сепаратрисе (фазовая траектория 3, рис. 5.5, б). У полинома Е — / (U) при 石=/mjn совпадают два больших корня Ui и “, при Е = /тах совпадают два меньших корня 仿 и。3, а при других значениях константы интегрирования Е из указанного промежутка все три корня будут различны, причем положительные значения этого полинома находятся в области U2 < U < Ui (рис. 5.6, а, б, в). Поэтому, как и в случае 1.1, все решения уравнения (5.6) находятся с помощью замены переменных (5.7).
Рис. 5.6Рис. 5.6
Рис. 5.6
Рис. 5.6
При/min < Е = Е? < /max периодические колебания нелинейного осциллятора описываются выражениями (5.9) или (5.12), а амплшуда, ча™ стота колебаний и коэффициент нелинейных искажений формы колебаний связаны зависимостями (5.10).
Корни “，2,3 кубического полинома в этом случае имеют вид
U2 y cosU2 y cos
U2 y cos
U2 y cos
^ = ^(2008^1
(524) /12^2、 аз
где 夕=arccos ( — 1 + IW Е W °, причем при 石=0 夕=тг, а
при Е = /min = а3/6Ь2 夕=d
Подставляя найденные корни в соотношения (5.10), получаем следующие зависимости:
—2 shi (夕/3)
/1 - - V sin s--：另
匕 3V3cos (<p/3) + sin (99/З)
9 а / Ф9 а / Ф11V3sin (炉/3)丿V3sin (炉/3)丿
9 а / Ф
9 а / Ф
1
1
V3sin (炉/3)丿
V3sin (炉/3)丿
Исключая из (5.25) вспомогательную величину, получим новые связи между параметрами в решении (5.12):
. 3dоа
Л =； ,J =；
2b V1 s2 + s44dl — f2 + $4
а само решение можно представить в виде
и® = (Л/352) (1 + / + /1 - У + §4 ) — A sd Q& 力 (5.27)
Качественный вид периодического решения (5.27) представлен на рис. 5.7.
При Е = Ее /min в системе происходят квазигармонические колебания с малыми амплшудами вблизи положения равновесия типа «центр». Квазилинейные решения являются предельным случаем нелинейных периодических решений (5.27) при А т 0,偉 т 0, и sn(w^, s) sin(w^):
и® =(厶/3『)(1 + У + ,1 —偉2 + §4 )—厶 si112 3a 力 (5.28)
Это решение также можно представить в виде
U (0—а/b + 0,5Л (cos (2必)一1),(5.29)
где величина — a/b на фазовой плоскости соответствует «центру». Поэтому квазигармонические колебания осциллятора происходят на фоне постоянной составляющей, определяемой положением «центра» в данной системе.
При Е = Ез = /тах корни полинома Е — /(U) 5 = °з = 0 (рис. 5.6, 6)и сепаратрисное решение, получаемое из (5.19), принимает вид
= « secli2 (,№1/60 .(530)
Вводя обозначение: Лс = “ ——амплитуда колебания (локализованного возмущения), △ =，6/Ь“ = у/в/ЬАс ——его длительность, выражение (5.29) можно записать в виде
и(а = 4с『2 低/△),(53i)
где Лс = —За/2仇△ = 2/，^" Вид решения (5.30) приведен на рис. 5.8.
Пусть а > 0, 5 < 0. Смена знака перед нелинейным слагаемым в уравнении (5.1) не приводит к изменению характера решений, а приводит лишь к тому, что на фазовой плоскости (U, UQ происходит поворот фазовых портретов, рассмотренных в предыдущих случаях, в противоположную сторону. Изменение же знака перед линейным слагаемым, как следует из рассмотренных выше случаев, сдвигает начало координат в одно из положений равновесия: либо в «центр», либо в «узел».
Функция потенциальной энергии /([/) = aU2/2 + М73/3 имеет локальный минимум /min=0 при [7 = 0 и локальный максимум /та-X = @3/6庐 при U = —q/Ь (рис. 5.9, а) На фазовой плоскости (U, &) точка (0,0) является устойчивым положением равновесия типа «центр», а точка (—а/Ь, 0)—— неустойчивым положением равновесия типа «узел» (рис. 5.9, б).
Рис. 5.10
При этом полином 石一/(U) имеет три действительных корня, если значения константы интегрирования Е выбирать из интервала 0 < В < < @з/б庐"При Е = /min совпадают два меньших корня полинома % и “， а при 石=/тах совпадают два его больших корня 必 и 5, причем положительные значения полинома находятся между его меньшими корнями, 工 & Е — /(U) > 0 при Из < U < и2 (рис. 5.10, а, 6, в).
При /min < Е = Е2 < /та,х в системе, описываемой уравнением (5.3), происходят периодические колебания, соответствующие на фазовой плоскости движениям по замкнутым траекториям вблизи сепаратрисы (фазовая траектория 2, рис. 5.9, б). Ограниченные решения уравнения (5.6) существуют в области U^ < U < U2 (рис. 5.10, а). В этом случае с помощью замены
产=(0《宀 1)(5*32)
и интегрирования уравнение (5.6) приводится к неполному эллиптическому интегралу первого рода
丿-*-％)，(5・33)
о
где введено обозначение s2 =? (0《《1). Обращая эллип
тический интеграл при У = 0, £о = 0, получим решение, описывающее периодические колебания:
и⑹="+ (。2 — ") sn2 g(5 —*(5*34)
В выражении (5.34) введем следующие обозначения:
4 = / — У =(5.35)
где Л ——амплитуда колебаний, s ——модуль эллиптической функции, являющийся коэффициентом нелинейных искажений формы колебаний U(£), ш ——аналог частоты. Колебания являются периодическими, их период равен:
А= /^sK(s),(5.36)
где К(§)——полный эллиптический интеграл первого рода.
Решение (5.34) содержит параметры Л, У, s, К, 5,2,3,石,которые связаны соотношениями (5.35) и соотношениями между корнями кубического полинома (5.5). Если в качестве независимых переменных выбрать амплитуду колебаний Л и коэффициент нелинейных искажений $, то решение принимает вид
Корни кубического полинома в этом случае имеют вид
U1 = 一丽（28sw+1）,仿=阪（28S值十可U1 = 一丽（28sw+1）,仿=阪（28S值十可"=元 2ss"=元 2ss(5.38)(5.38)
U1 = 一丽（28sw+1）,仿=阪（28S值十可
U1 = 一丽（28sw+1）,仿=阪（28S值十可
"=元 2ss
"=元 2ss
(5.38)
(5.38)
где 夕=arccos ( 1石)，0《E《—г. При 石=0 вспомогательная
величина 夕=0, а при 石=/тах = ^з/бЬ? 99 = тг.
Тогда параметры колебательного процесса амплитуда Л, частота ш и коэффициент нелинейных искажений формы колебаний $ выражаются следующим образом:
Л = —V 3 7 sin , s03Л = —V 3 7 sin , s032 sin (w/3)2 sin (w/3)V^cos &/3) + sin (w/3))V^cos &/3) + sin (w/3))2 a / 夕2 a / 夕（539）（539）V^ 3丿V^ 3丿
Л = —V 3 7 sin , s
03
Л = —V 3 7 sin , s
03
2 sin (w/3)
2 sin (w/3)
V^cos &/3) + sin (w/3))
V^cos &/3) + sin (w/3))
2 a / 夕
2 a / 夕
（539）
（539）
V^ 3丿
V^ 3丿
Исключая из соотношений (5.39) величину 夕，получаем следующие связи между параметрами:
(5.40)(5.40)3a s2оа
(5.40)
(5.40)
J ,
26，1 — $2 + $44，1 — $2 + $4
а само решение (5.37), описывающее нелинейные периодические колебания ангармонического осциллятора представимо в виде
и(6 = ^ (/1 — $2 + $4 — 1 — $2)+ Asi? 3£, S).(5.41)
Вид решения приведен на рис. 5.11.
При Е = Е\ ^ /min уравнение (5*3) описывает квазигармониче-
ские колебания с малыми амплитудами вблизи положения равновесия типа «центр». При таких значениях Е меньшие корни полинома Е — /(U) сближаются между собой, т. е. U2 ^ % и решения, существующие в малой
области U^ < U < U2 (рис. 5.11, 6), являются предельным случаем нелинейных периодических решений (5.41) при $ т 0 и % т 0:
U® = ^ «1 Т 十 $4 — 1 — §2)+
+ Jsin2 (w^). (5*42)
Учитывая, что при § т О \Л — s? + s’ — 1—|s2, a sin2(®£) = |(1 —
—cos(2w<f)), решение, описывающее колебания ангармонического осциллятора вблизи положения равновесия, имеет вид
U⑹="ssQBU⑹="ssQB(5*43)(5*43)
U⑹="ssQB
U⑹="ssQB
(5*43)
(5*43)
При 石=/шах уравнение (5.6) описывает колебания, которые на фазовой плоскости соответствуют движениям по сепаратрисе (фазовая траектория 3, рис. 5.9, 6)* В этом случае два больших корня U± и U2 гюлшю= ма 石一/(U) совпадают, и область существования ограниченных решений расширяется: U^ < U < U2 = Ut (рис. 5.10, в). Тогда уравнение (5.6) принимает вид
V^dg =V^dg =dU(U —%)戶(U —“)/3dU(U —%)戶(U —“)/3(5夕)(5夕)
V^dg =
V^dg =
dU
(U —%)戶(U —“)/3
dU
(U —%)戶(U —“)/3
(5夕)
(5夕)
Применяя к нему замену (5.32) и интегрируя, получим сепаратрисное ре
шениешениеU(g) = U2 —(О2 —U3)sech2U(g) = U2 —(О2 —U3)sech2(5*44)(5*44)
шение
шение
U(g) = U2 —(О2 —U3)sech2
U(g) = U2 —(О2 —U3)sech2
(5*44)
(5*44)
которое является еще одним предельным случаем нелинейных периодических решений (5.34) или (5.41) при O"i = О2 и s = 1. Если в выражении (5.44) ввести обозначения
4 = 5"△=《一河\^=「^4 = 5"△=《一河\^=「^(5.45)(5.45)
4 = 5"△=《一河\^=「^
4 = 5"△=《一河\^=「^
(5.45)
(5.45)
где Лс ——амплитуда колебания, △——его длительность, и учесть, что U?= =—q/仇 то сепаратрисное решение можно представить в виде
и® =и® =(5.46)(5.46)
и® =
и® =
(5.46)
(5.46)
и® =и® =I — sech2I — sech24* (5.47)4* (5.47)
и® =
и® =
I — sech2
I — sech2
4* (5.47)
4* (5.47)
Через параметры исходного уравнения (5.1) амплитуда и длительность колебания выражаются следующим образом: Ас = — 3@/2Ь, △ = 2/у/а, по
этому сепаратрисное решение можно представить в виде
Качественный вид этого решения приведен на рис. 5.12.
Пусть а < 0, b > 0. В этом случае функция потенциальной энер-
гии /(U) = ^U2 + |[73 имеет локальный минимум /mjn = ^з/бЬ? точке U 二一o/bu локальный максимум /тах = 0 при U = 0 (рис. 5.13, а). На фазовой плоскости (U, %) точка (—q/仇 0) является устойчивым положением равновесия типа «центр», а точка (0,0) — неустойчивым положением равновесия типа «узел» (рис. 5.13, б).
Для существования ограниченных движений в системе, описываемой уравнением (5.3), начальная энергия должна изменяться в пределах /min 《 4 石 4 /max, причем При 石 т /min будут наблюдаться квазигармонические колебания вблизи «центра», а при Е = /шах колебания на фазовой плоскости соответствуют движениям по сепаратрисе. Во всех этих случаях, соответственно, полином Е — —/(U) имеет либо три действи
тельных корня, либо два совпадающих меньших корня U? и “, либо два совпадающих больших корня U± и U2 (рис. 5.14, а, б, в).
Рис. 5.14Рис. 5.14Из рисунков видно, что положительные значения этого полинома находятся в области между меньшими корнями, т. е. Е — f(U) > 0 при U^ < U < < 仿⑥ Поэтому, как и в случае 3, все решения уравнения (5.6) находятся с помощью замены переменных (5.32).
Рис. 5.14
Рис. 5.14
При /min < Е = Е2 V /max (фазовая траектория 2, рис. 5.13, б), нелинейные периодические колебания, как и в случае 3.1, описываются выражениями (5.34) или (5.37), а амплитуда, частота колебаний и коэффициент нелинейных искажений формы колебаний связаны зависимостями (5.35).
Корни 5,2,3 кубического полинома в этом случае имеют вид
5 =，仿=-(2 cos 任,5 =，仿=-(2 cos 任,5 =—5 =—(5.48)(5.48)+ 1+ 1
5 =，仿=-(2 cos 任,
5 =，仿=-(2 cos 任,
5 =—
5 =—
(5.48)
(5.48)
+ 1
+ 1
где 夕=arccos I —1 HE I, — « £《0, причем при £ = 0 夕=тг, а
При Е = Jmin = ^^ 夕=(X
Подставляя найденные корни в соотношения (5.35), получаем следующие зависимости:
』=\/i sin *』=\/i sin *2 aa = —a2 aa = —a,3 cosGY,3 cosGY2 sin (夕/3)2 sin (夕/3)停/3) + sin (3/3)'Sinfl停/3) + sin (3/3)'Sinfl(5*49)(5*49)
』=\/i sin *
』=\/i sin *
2 a
a = —a
2 a
a = —a
,3 cos
GY
,3 cos
GY
2 sin (夕/3)
2 sin (夕/3)
停/3) + sin (3/3)'
Sinfl
停/3) + sin (3/3)'
Sinfl
(5*49)
(5*49)
Исключая из (5.49) вспомогательную величину 夕,получим новые связи между параметрами в решении (5.37):
(5.50)(5.50)За s2оа
(5.50)
(5.50)
，,,
2b，1 — $2 + $44^1 — s2 + s4
a само решение можно представить в виде
U(£) = — ^^7 (1 + У 十，1 - s? + s' )+4 sn2 (cug, s).(5.51)
Качественный вид периодического решения (5.51) представлен на рис. 5.15.
Рис. 5.15Рис. 5.15При Е = Е\ /min (фазовая траектория 厶 рис. 5.13, 6) периодические колебания вырождаются в квазигармониче- ские с малыми амплитудами вблизи положения равновесия типа «центр», координаты которого на фазовой плоскости определяется величиной (—а/б, 0). Квазилинейные решения являются предельным случа
Рис. 5.15
Рис. 5.15
ем нелинейных периодических решений (5.51) при』т 0, и sn(®£, s) ^ ^ sin(w£):
U(£) = —^^ (1 + 偉2 +，］.—写2 十 §4)十 _Д sin2 (w^, s).(5.52)
4Выражая из (5.50) величину ^7 = можно представить в виде4Выражая из (5.50) величину ^7 = можно представить в видеаа26〃 一 С + $426〃 一 С + $4,решение (5.52) также,решение (5.52) такжеи(8^—石十豆(1 —ssR^W](553)
4
Выражая из (5.50) величину ^7 = можно представить в виде
4
Выражая из (5.50) величину ^7 = можно представить в виде
а
а
26〃 一 С + $4
26〃 一 С + $4
,решение (5.52) также
,решение (5.52) также
При 石二石з = 0 (фазовая траектория 3, рис. 5.13, 6), у полинома
石一/(U) два больших корня U\ = U? = получаемое из (5.44), принимает вид
U(S = U? sech2U(S = U? sech2Вводя в (5.54) обозначения для амплитуды колебания Лс = — “ = За/2Ь и его длительности △ =，—6/64 = 2/сепа-
U(S = U? sech2
U(S = U? sech2
(5.54)(5.54)0 и сепаратрисное решение,0 и сепаратрисное решение,ратрисное решение можно записать в виде
(5.54)
(5.54)
0 и сепаратрисное решение,
0 и сепаратрисное решение,
(5.55)(5.55)Качественное поведение сепаратрисного решения показано на рис. 5.16.
(5.55)
(5.55)
Осциллятор с кубической нелинейностью
好+…同=0.好+…同=0.(5.56)(5.56)В данной части работы остановимся на анализе ограниченных решений уравнения ангармонического осциллятора с кубической нелинейностью, называемого уравнением Дуффинга:
好+…同=0.
好+…同=0.
(5.56)
(5.56)
Уравнение (5.56) имеет первый интеграл
(5.57)(5.57)
(5.57)
(5.57)
+ * 虱4 ИМеет4+ * 虱4 ИМеет4
+ * 虱4 ИМеет
4
+ * 虱4 ИМеет
4
который можно интерпретировать как закон сохранения энергии для ангар
монического осциллятора. Здесь Е ——константа интегрирования, имеющая
смысл начальной энергии системы, а функция /(虱)二 ^и2 смысл потенциальной энергии.
V^dg =V^dg =du，石一/3)du，石一/3)(5.58)(5.58)Уравнение (5.57) допускает разделение переменных:
V^dg =
V^dg =
du
，石一/3)
du
，石一/3)
(5.58)
(5.58)
и имеет ограниченные решения в области между любыми действительными корнями полинома Е — /(虱)，где Е — /(虱)> 0. Вид решения зависит от коэффициентов а и 5 в уравнении Дуффинга (5.56) и начальной энергии Е.
Рис. 5.17Рис. 5.17Пусть а > 0, 5 > 0. В этом случае функция потенциальной энергии /(虱)二 g 虱2 +，虱4 имеет локальный минимум /min = 0 При 虱=0 (рис. 5.17, а)* На фазовой плоскости (и, du/dQ точка с координатами (0,0) является устойчивым положением равновесия типа «центр» (рис. 5.17, б).
Рис. 5.17
Рис. 5.17
Ограниченные решения уравнения (5.58) существуют при Q < Е < +оо. Полином 石一f(u) в этом случае имеет два действительных корня и±^ = 土а и два мнимых корня 虱3,4 = ±5/3, где
-а +，а? + 46Е
а + а2 + 4ЬЕ
:6
(5.59)(5.59)du，(「"2))(1 + Q2/02))du，(「"2))(1 + Q2/02))и с помощью заменыи с помощью заменысведем к эллиптическому интегралу первого родасведем к эллиптическому интегралу первого рода(5.60)(5.61)(5.62)(5.60)(5.61)(5.62)и принимает положительные значения при —а < и < а (рис. 5.17, а). Тогда уравнение (5.58) перепишем в виде
(5.59)
(5.59)
du
，(「"2))(1 + Q2/02))
du
，(「"2))(1 + Q2/02))
и с помощью замены
и с помощью замены
сведем к эллиптическому интегралу первого рода
сведем к эллиптическому интегралу первого рода
(5.60)
(5.61)
(5.62)
(5.60)
(5.61)
(5.62)
где У = q2/(q2 + g2).
Обращая эллиптический интеграл, стоящий в правой части (5.62) при % = 0, £о = 0, получаем решение, описывающее нелинейные периодические колебания в виде
В выражении (5.63) введем следующие обозначения:
(5.64)(5.64)3 = jg(Q2 +夕)=(a2 + 4叫1",
(5.64)
(5.64)
2 a2 — a +，必 + 4bE
6 - a2 +出一 2da2 + 4 访'
где Л амплитуда колебаний, ® ——аналог частоты, s модуль эллиптической функции, имеющий смысл коэффициента нелинейных искажений формы колебания 虱(£)* Из соотношений (5.64) видно, что при изменении 石 от 0 до 十 оо амплитуда колебаний и частота изменяются в пределах 0《 ^ Л < +оо, у/а《® V оо а коэффициент нелинейных искажений ——в интервале: 0 s2 < 1/2.
Исключая из выражений (5.64) константу интегрирования 石，получаем связи между параметрами Л, w, s в решении (5.63):
ss6А22(а + Ь42)，6А22(а + Ь42)，ш =，。+ ЬЛ2 ,ш =，。+ ЬЛ2 ,(5.65)(5.65)Здесь Г ——период колебаний, K(s)——полный эллиптический интеграл первого рода. Из этих соотношений выразим зависимость амплитуды иЗдесь Г ——период колебаний, K(s)——полный эллиптический интеграл первого рода. Из этих соотношений выразим зависимость амплитуды ичастоты колебаний от коэффициента нелинейных искажений и коэффициентов уравнения Дуффинга:частоты колебаний от коэффициента нелинейных искажений и коэффициентов уравнения Дуффинга:/ 2а s2/ 2а s2(5.66)При Е —> 0 (s2 ^ 0 и А —> 0) выражение(5.66)При Е —> 0 (s2 ^ 0 и А —> 0) выражение(5.63) описывает квазигармонические колебания вблизи положения равно(5.63) описывает квазигармонические колебания вблизи положения равновесия видавесия видаи = Л cos(w<f).и = Л cos(w<f).(5.67)(5.67)При 石 т +оо 偉2 т 1/2, и в этом случае (5.63) описывает существенно нелинейные колебанияПри 石 т +оо 偉2 т 1/2, и в этом случае (5.63) описывает существенно нелинейные колебанияи = A cn(w^, s),и = A cn(w^, s),(5.68)(5.68)которые имеют пилообразную форму (рис. 5.18).2. Пусть а > 0, b < 0. В этом случае функция потенциальной энергии f(u) = 孑虱2 十:虱4 ИМеет локальный максимум /тах = —а2/4Ь в точках и = 土，—а/b и локальный минимум /min = 0 при 虱=0 (рис. 5.19, а). Поэтому на фазовой плоскости (虱,du/d^) точка (0,0) является устойчивымкоторые имеют пилообразную форму (рис. 5.18).2. Пусть а > 0, b < 0. В этом случае функция потенциальной энергии f(u) = 孑虱2 十:虱4 ИМеет локальный максимум /тах = —а2/4Ь в точках и = 土，—а/b и локальный минимум /min = 0 при 虱=0 (рис. 5.19, а). Поэтому на фазовой плоскости (虱,du/d^) точка (0,0) является устойчивым
s
s
6А2
2(а + Ь42)，
6А2
2(а + Ь42)，
ш =，。+ ЬЛ2 ,
ш =，。+ ЬЛ2 ,
(5.65)
(5.65)
Здесь Г ——период колебаний, K(s)——полный эллиптический интеграл первого рода. Из этих соотношений выразим зависимость амплитуды и
Здесь Г ——период колебаний, K(s)——полный эллиптический интеграл первого рода. Из этих соотношений выразим зависимость амплитуды и
частоты колебаний от коэффициента нелинейных искажений и коэффициентов уравнения Дуффинга:
частоты колебаний от коэффициента нелинейных искажений и коэффициентов уравнения Дуффинга:
/ 2а s2
/ 2а s2
(5.66)
При Е —> 0 (s2 ^ 0 и А —> 0) выражение
(5.66)
При Е —> 0 (s2 ^ 0 и А —> 0) выражение
(5.63) описывает квазигармонические колебания вблизи положения равно
(5.63) описывает квазигармонические колебания вблизи положения равно
весия вида
весия вида
и = Л cos(w<f).
и = Л cos(w<f).
(5.67)
(5.67)
При 石 т +оо 偉2 т 1/2, и в этом случае (5.63) описывает существенно нелинейные колебания
При 石 т +оо 偉2 т 1/2, и в этом случае (5.63) описывает существенно нелинейные колебания
и = A cn(w^, s),
и = A cn(w^, s),
(5.68)
(5.68)
которые имеют пилообразную форму (рис. 5.18).
2. Пусть а > 0, b < 0. В этом случае функция потенциальной энергии f(u) = 孑虱2 十:虱4 ИМеет локальный максимум /тах = —а2/4Ь в точках и = 土，—а/b и локальный минимум /min = 0 при 虱=0 (рис. 5.19, а). Поэтому на фазовой плоскости (虱,du/d^) точка (0,0) является устойчивым
которые имеют пилообразную форму (рис. 5.18).
2. Пусть а > 0, b < 0. В этом случае функция потенциальной энергии f(u) = 孑虱2 十:虱4 ИМеет локальный максимум /тах = —а2/4Ь в точках и = 土，—а/b и локальный минимум /min = 0 при 虱=0 (рис. 5.19, а). Поэтому на фазовой плоскости (虱,du/d^) точка (0,0) является устойчивым
Рис. 5.19Рис. 5.19положением равновесия типа «центр», а точки (土 J-q/仇 0)— неустойчивыми положениями равновесия типа «узел». Фазовый портрет системы приведен на рис. 5.19, б.
Рис. 5.19
Рис. 5.19
Ограниченные решения уравнения (5.58) в этом случае существуют только при 0《 石《/тах. При этом полином 石一/(虱)имеет четыре действительных корня М1；2 = 土Q,虱3,4 = =±Д, где
2 а — Va2 + ^ЬЕТ(5.69)2 а — Va2 + ^ЬЕТ(5.69)и принимает положительные значения при —а < и < а (рис. 5.19, а). При 石=/max = — @2/46 КОрНИ ПОПЯрНО СОВПЯДаЮТ 虱 1 二虱3,虱2 =虱4, ЧТО соответствует на фазовой плоскости движению по сепаратрисе.
2 а — Va2 + ^ЬЕ
Т(5.69)
2 а — Va2 + ^ЬЕ
Т(5.69)
du，（「（便/Q2））（「（歩/出））du，（「（便/Q2））（「（歩/出））(5.70)(5.70)Уравнение (5.58) принимает вид
du
，（「（便/Q2））（「（歩/出））
du
，（「（便/Q2））（「（歩/出））
(5.70)
(5.70)
и с помощью замены
2%(5.71)
приводится к эллиптическому интегралу первого рода
где у = a2/声 *
Обращая эллиптический интеграл, стоящий в правой части (5.72) при 之=0, £о = 0, получаем решение, описывающее нелинейные периодические колебания в виде
Мб = QSH ( у- |ь/ЗЧ,5Мб = QSH ( у- |ь/ЗЧ,5(5.73)(5.73)
Мб = QSH ( у- |ь/ЗЧ,5
Мб = QSH ( у- |ь/ЗЧ,5
(5.73)
(5.73)
В выражении (5.73) введем обозначения:
(5Л4)(5Л4)у 夕= j^ (° +，°2 + 4bE))
(5Л4)
(5Л4)
2 a2 a - Va2 + 4bE
$ —a + Va2 + 4Й，
где Л — амплитуда колебаний, ® аналог частоты, s — коэффициент нелинейных искажений, а период колебаний равен Т = 4K(s)/td. Из со отношений (5.74) следует, что при изменении Е от 0 по Етах = ^а2/^Ь частота колебаний уменьшается от ш = у^ до ш =，а/2, а амплитуда колебаний изменяется в пределах: 0 Л Л^ = у/a/b, где Л^ ——ам~ плитуда колебания, соответствующего на фазовой плоскости движению по сепаратрисе. Коэффициент нелинейных искажений при этом изменяется в интервале 0 « У « L
76)Рис. 5.20
С учетом введенных обозначений ре™
шение (5.73), описывающее нелинейные периодические колебания по за™ мкнутым фазовым траекториям вблизи сепаратрисы, можно представить в виде
a(g) = Л sn(td^, s).(5.77)
При s, близких к единице, форма колебаний приведена на рис. 5.20, а.
При Е т 0 (У ^ 0 и 若 ^ 0) выражение (5.73) описывает квазигармони™ ческие колебания вблизи положения равновесия вида
□риЕ = Emax = —а?/4Ь, s2 = 1 (5.73) описываетсепаратрисноерешение
гдегде(5.79)(5.79)М8)=若^ thМ8)=若^ th(5.80)(5.80)
где
где
(5.79)
(5.79)
М8)=若^ th
М8)=若^ th
(5.80)
(5.80)
笛笛a +，@2 + 46Ea +，@2 + 46El『"E（绪》卢『I）l『"E（绪》卢『I）
笛
笛
a +，@2 + 46E
a +，@2 + 46E
l『"E（绪》卢『I）
l『"E（绪》卢『I）
Л^ ——амплитуда колебания, △——его длительность. Сепаратрисное реше™ ние имеет форму перепада, его качественный вид приведен на рис. 5.20, б.
Пусть а < 0, Ь > 0. В этом случае функция потенциальной энергии
f(u) = аи2/2 + Ьи4/4 имеет локальный максимум /тах = 0 при и = 0 и локальный минимум /min = —。2/46 в точках и = = 土，—@/Ъ (рис. 5.21, а). На фа™ зовой плоскости (u, du/d^) точки (土，—q/仇 0) являются устойчивыми положениями равновесия типа «центр», а точка (0,0) является «сед™ лом» (рис. 5.21, б).
Ограниченные решения уравне™ ния (5.58) существуют, если кон™ станта интегрирования изменяется в диапазоне /mjn « Е < +сю, причем различным значениям начальной энергии Е соответствуют качественно различные режимы движения.
Пусть /mjn W 石 < 0. В этом с〃у・
чае полином Е — /(и) имеет четыре действительных корня и±^ = 土&,
^з,4 = ±。，где
и принимает положительные значения в областях |0| « u W |а| (рис. 2.21, а). На фазовой плоскости им соответствуют замкнутые траектории, лежащие внутри сепаратрисы.
(5.82)(5.82)Уравнение (5.58) принимает вид:
(5.82)
(5.82)
V 2 s-(炉/m))(1一 32/岁))
и с помощью замены
a V ar
сводится к эллиптическому интегралу первого рода
ООdz,(1 — 22)(1 — 62”)dz,(1 — 22)(1 — 62”)(5.84)(5.84)
О
О
dz
,(1 — 22)(1 — 62”)
dz
,(1 — 22)(1 — 62”)
(5.84)
(5.84)
где £? = (&2 _ 02)/&2M обршлдл элиптический интеграл при z = 0，go = 0, получаем решение, описывающее нелинейные периодические колебания в виде
= adn (j^b&2 §)s) .(5.85)
В выражении (5.85) введем обозначения:
2 _ 笛 俨—2"о2 + 46Е@2 —а +，о,2 + 4ЬЕ2 _ 笛 俨—2"о2 + 46Е@2 —а +，о,2 + 4ЬЕ
2 _ 笛 俨—2"о2 + 46Е
@2 —а +，о,2 + 4ЬЕ
2 _ 笛 俨—2"о2 + 46Е
@2 —а +，о,2 + 4ЬЕ
где Л ——амплитуда колебаний, s ——коэффициент нелинейных искажений, ® ——аналог частоты, Т = 4K(月)/® ——период колебаний. Из соотноше™ ний (5.86) видно, что при изменении Е от Emin = ^а2/46 до 0 частота колебаний увеличивается от а =2 до ш = ^/^, амплитуда периодических колебаний изменяется от значения Л = Л^ =，一а/b до значения 若 = Л^ =2а/“ где Л^, Л^ — амплитуды колебаний, соответствую™
щих движениям по сепаратрисам для фазовых портретов, приведенных на рис. 5.19, б и 5.21, б соответственно. Коэффициент нелинейных искажений формы колебаний изменяется в пределах 0 « s? « L
s'2 = 2 1 +s'2 = 2 1 +Исключая из выражений (5.86) константу интегрирования Е, получим связи между параметрами Л, s в решении (5.85):
s'2 = 2 1 +
s'2 = 2 1 +
(587)
которые также можно представить в виде
3 = {-占(0Ws2wi)・(5-88)
С учетом введенных обозначений решение (5.85), описывающее нели™ нейные периодические колебания по замкнутым фазовым траекториям в ну™ три сепаратрисы, можно представить в виде
М§) = Л dn(td^, s).(5.89)
4K(s)8K(s)4K(s)8K(s)Рис. 5.22Рис. 5.22гдегдеЭти колебания не имеют линейного вырождения, так как при Е 一 0® = =—а'2/4Ь § 一 0 и dnQ§)0) = 1.
4K(s)8K(s)
4K(s)8K(s)
Рис. 5.22
Рис. 5.22
где
где
При 石=0 s = 1 из (5.85) получаем вырождение в сепаратрисное решение
МН =丽入(590)
(5.91)
Л| 一 амплитуда колебания, △ — его длительность.
Качественный вид нелинейных пе~ риодических движений, описывае™ мых дельта-амплитудой приведен на
рис. 5.22, а, а на рис. 5.22, s показан вид сепаратрисного решения.
9— a ++ 46万6r 二 ^9— a ++ 46万6r 二 ^a +，a2 + 46万ba +，a2 + 46万b(5.92)(5.92)Пусть 1? = 0. В этом случае полином Е—/(и) имеет два действительных корня ui?2 = 土&, 〃з,4 = 土泣 где
9— a ++ 46万
6r 二 ^
9— a ++ 46万
6r 二 ^
a +，a2 + 46万b
a +，a2 + 46万b
(5.92)
(5.92)
и принимает положительные значения в области —а < и < а (рис. 5.21, а). На фазовой плоскости ограниченным решениям при таких значениях Е соответствуют замкнутые фазовые траектории, лежащие вне петли сепаратрисы (рис. 5.21, б).
Уравнение (5.58) принимает вид
du，（1 一（便/^。 + 絞产））du，（1 一（便/^。 + 絞产））(5.93)(5.93)
du
，（1 一（便/^。 + 絞产））
du
，（1 一（便/^。 + 絞产））
(5.93)
(5.93)
и с помощью замены
(5.94)
1 fdz1 fdzсводится к эллиптическому интегралу первого рода
1 fdz
1 fdz
(5.95)
где s2 = &2/(&2 +02)" Обращая эллиптический интеграл при z = 0, go = 0,
получаем решение, описывающее нелинейные периодические колебания в виде
〃(g) = а си〃(g) = а си(5.96)(5.96)
〃(g) = а си
〃(g) = а си
(5.96)
(5.96)
(5*97)(5*97)В выражении (5.96) введем следующие обозначения:
(5*97)
(5*97)
а (а? + О?)二(«2 + 4bE)1/4 ,
2 a2 — a + Va2 + 4bE
$@2 +2 Va2 + 4b E 5
где A ——амплитуда колебаний, s ——коэффициент нелинейных искажений, ® ——аналог частоты, Т = 4K(§)/& ——период колебаний. Анализируя соотношения (5.97), получим, что при изменении Е от 0 до +ос частота колебаний возрастает от значения а = у^а до +сю, амплитуда колебаний также неограниченно возрастает от значения Л = Л^ =，—2a/b, а коэффициент нелинейных искажений при этом уменьшается от 1 до 1/2.
Исключая из (5.97) константу Е, получим зависимости между параметрами Л, s:
SS2(…2)，®一 42,2(…2)，®一 42,7=宀Va + ЬА27=宀Va + ЬА2(5.98)(5.98)
S
S
2(…2)，®一 42,
2(…2)，®一 42,
7=宀
Va + ЬА2
7=宀
Va + ЬА2
(5.98)
(5.98)
Эти соотношения можно представить также в виде
…Т…Т(599)(599)
…Т
…Т
(599)
(599)
С учетом введенных обозначений решение (5.96), описывающее колебания по замкнутым фазовым траекториям вне сепаратрисы, представим в виде
(5.100)(5.100)и = Л сп(ш^, s).
(5.100)
(5.100)
Это решение описывает существенно нелинейные колебания, которые не имеют линейного вырождения. Их форма при s2, близких к единице, пока™ зана на рис. 5.22, 6. При s = 1 из (5.100) получаем сепаратрисное решение (5.90).
При а < 0, Ь < 0 уравнение Дуффинга (5.56) не имеет ограниченных периодических движений.
§ 5.3. Осциллятор с нелинейностьюв отрицательной степени
Рассмотрение стационарных волн огибающих в нелинейных средах с дисперсией приводит к необходимости анализа следующего уравнения ангармонического осциллятора:
(5.101)(5.101)+ aw + bw6 + dw з =
(5.101)
(5.101)
at2'
где a, b, d ——размерные постоянные коэффициенты. Анализ этого урав™ нения усложняется наличием слагаемого, пропорционального w^3. Однако при d = 0 (5.101) совпадает с уравнением Дуффинга, и это служит проверкой правильности полученных результатов при их вырождении.
Поведение системы (5.101) зависит от трех размерных параметров, однако, располагая двумя независимыми масштабами по w и 力 уравнение (5.101) можно привести к однопараметрическому. Замена
(5Л02)(5Л02)
(5Л02)
(5Л02)
приводит к уравнению вида
^^Sau^Sbu^DU-3=0.^^Sau^Sbu^DU-3=0.(5.103)(5.103)
^^Sau^Sbu^DU-3=0.
^^Sau^Sbu^DU-3=0.
(5.103)
(5.103)
Здесь введены следующие обозначения: Sa = sign(a), S& = sign(b), D = = d63/| a|3. Таким образом, поведение системы (5.103), а также координаты и типы состояний равновесия определяются знаками коэффициентов а, b и величиной параметра D,
Для нахождения решений уравнения (5.103) умножим его на 学 и зашв ат
1212+ П(и) = Е\+ П(и) = Е\шем первый интеграл в виде
1
2
1
2
+ П(и) = Е\
+ П(и) = Е\
(5.104)
где П(и) = ^ а? + ? а' — ? 〃—2,石—константа интегрирования. Уравне™ ние (5.104) представляет собой закон сохранения энергии для ангармониче™ ского осциллятора, в котором первое слагаемое определяет кинетическую энергию, полином П(и) — потенциальную энергию, а константа Е 一 на™ чальную энергию в системе.
(5.105)(5.106)(5.107)(5.105)(5.106)(5.107)Полученное уравнение допускает разделение переменных:
(5.105)
(5.106)
(5.107)
(5.105)
(5.106)
(5.107)
——(Sa/2)层—(Sb/4)俱 + (0/2)
и с помощью замены
U = и2
приводится к более простому виду
x/EU — (Sa/2) U2 —(Sb/4)из 十(。/2)
Для уравнений типа (5.107) известно [4], что ограниченные периодические движения U(г) существуют в области между любыми двумя веществен™ ными корнями кубического полинома, где P(U) = EU — ^。？ 一 ^。3 十
D -
+ у > 0. Введенная замена (5.106) накладывает дополнительное условие на корни: оба корня, между которыми P(U) > 0, должны быть положи™ тельными.
В дальнейшем, полагая для корней Ui^,3 следующий порядок вели™ чин: Ui》。2 2。3旌 раскладывая P(U) по теореме Виетта, приходим к уравнению
V2 dr =V2 dr =(5.108)(5.108)(5.109)(5.109)dU
V2 dr =
V2 dr =
(5.108)
(5.108)
(5.109)
(5.109)
(U — 5) (U — 52)(U — Пз)'
в котором 5,2,3 связаны между собой соотношениями
« + 5 +。3 = —2”) 《U2U3 =
ObOb
4石
Ниже исследуются решения уравнения (5.108) в зависимости от знаков коэффициентов а и 6 исходного уравнения (5.101), величины параметра D и константы интегрирования Е.
. Пусть а > 0, 6 > 0. Функция потенциальной энергии П(и) = -и2 +
4 О —2л
+ -иимеет две ветви, симметричные относительно оси и = 0.
П, (u)=П, (u)=и3и3и6 + и4+ D D + и^ +Dи6 + и4+ D D + и^ +DДля нахождения точек экстремума П(и) воспользуемся заменой (5.106) в выражении для ее производной:
П, (u)=
П, (u)=
и3
и3
и6 + и4+ D D + и^ +D
и6 + и4+ D D + и^ +D
Стационарные точки потенциальной функции являются корнями кубического уравнения
(5.111)(5.111)。3 + и'2 +。= О,
(5.111)
(5.111)
при этом нас будут интересовать только его положительные корни. Для наглядности анализ корней (5.111) будем сопровождать рисунками.
Рис. 5.23
На рис. 5.23, а, б показан вид полинома Q(U) = U3 ^ U2 ^ D при различных значениях параметра D > 0 и D < 0 соответственно.
При D > 0 кубическое уравнение (5.111) не имеет действитель™
ных положительных корней (кривая /, рис. 5.23, а). В рассматриваемой
области положительных значений U !!'(〃) > 0 для ветви потенциальной
функции и = +у^ и П^и) < 0 для ветви u = —\/U. Потенциальная функ™
ция П(и) всюду монотонна и в точках (±(20)1/8, (1/2)(2£>)1/з)имеет перегиб. Ее график приведен на рис. 5.24. В силу симметрии П(и) в дальнейшем ограничимся исследованием ее положительной ветви
На фазовой плоскости (u, du/dr) в этом случае отсутствуют замкнутые фазо™ вые траектории и, следовательно, не суще™ ствует ограниченных движений в системе (5.104).
При D < Q кубическое уравне™ ние (5.111) имеет действительный положи™
тельный корень (кривые 厶 2, рис. 5.23, 6), при переходе через который производная ITQ) для положительной ветви потенциальной функции меняет знак с «минуса» на «плюс». Функция потенциальной энергии П(и) дости™ гает своего минимума Ет[п = 口( 土 〃тЕ)в точках, координаты которых зависят от величины параметра D и определяются выражениями
2
при 一万《 0 40：
^min = } j2 cos (^ — j — 1, где 夕=arccos (^。+ 1)；
42
11PH F « о—斫
^min =表《2 cos ^ — 1, где 夕=arccos \^^D - 1 j ;
при D W -^ ： ^min = *《2 ch ^ — 1, где 夕=arch— 1)
Величина минимума потенциальной энергии Emin также зависят от па™
раметра и связана с ним следующим соот・ ношением:
227 3Ьтш227 3Ьтш4?
227 3Ьтш
227 3Ьтш
=(1 + 3Emin)+ 3Emin •
(5.112)
График jEmin(D) приведен на рис. 5.25.
Заметим, что Emin = 0 при D = 0, что совпадает с соответствующим уравнением Дуффинга.
Рис. 5.26Рис. 5.26На рис. 5.26, а показан вид потенциальной функции, а на рис. 5.26, б приведен фазовый портрет системы (5.104). На фазовой плоскости (u, du/dr) точкам с координатами (umjn, 0) соответствуют устойчивые положения рав™ новесия типа
Рис. 5.26
Рис. 5.26
Ограниченные решения уравнения (5.104) существуют, если константа интегрирования Е изменяется в диапазоне: Emin W Е < +ос. Для отыскания этих дви™ жений рассмотрим уравнение (5.108), ре™ шения которого зависят от вида полинома
Р眸 5.27Т。3 + 2 в данном
' '242
случае P(U) принимает положительные значения между своими большими корнями « и。2, т. е. P(U) > 0 при lh & U & (рис. 5.27).
Тогда с помощью замены переменных
=(0 < ^2 < 1)(5.113)
(71 — с/2
уравнение (5.108) сводится к эллиптическому интегралу первого рода
/ y
(« — %)(丁=—J J(1-二-W-二-二2口4)
о
обращая который при условии ть = 0 при У = 0, получим решение в виде
U6 = и^ (^ — 0)U6 = и^ (^ — 0)(5.115)(5.115)
U6 = и^ (^ — 0)
U6 = и^ (^ — 0)
(5.115)
(5.115)
Здесь и в выражении (5.114) введено следующее обозначение: s2 =
U1 — U2~ 工~ 工
= ттмодуль эллиптической функции, определяющий форму дви™
жения (5.115). Форма колебаний U(t) в общем случае не синусоидальна и зависит от величины s2. Из введенного выше порядка корней «,2,з поли™ нома P(U) следует, что величина §? всегда меньше единицы. Более точную оценку можно провести, найдя эти корни:
5 = |5 = |5 = ^( 2“1 十 ЗЕ cos5 = ^( 2“1 十 ЗЕ cos2山十3石 cos2山十3石 cos(5.116)(5.116)
5 = |
5 = |
5 = ^( 2“1 十 ЗЕ cos
5 = ^( 2“1 十 ЗЕ cos
2山十3石 cos
2山十3石 cos
(5.116)
(5.116)
5 = — (2，1 + ЗЕ cos ^ + 1))
где
/0/2 — 4/27 —2Е/3
夕=arccos；
\ (4/27) (1 + ЗЕ) ” + ЗЕ
С учетом (5.116) выражение для модуля эллиптической функции принимает вид
―2 23)(5.118)
■^3cos (夕/3) + sin (夕/3)
Анализ (5.118) показывает, что в положении равновесия при Е т Emin s2 0, а при Ет+ос s2 1/2. Таким образом, модуль эллиптической функции изменяется в интервале 0 < s2 < 1/2, причем при s2, близких к 1/2, форма。(丁) существенно не синусоидальна. При s2 т 0 (5.115) описывает квазигармонические колебания малой амплитуды вблизи положения равновесия:
u⑺=5 - (Ui -仿)u⑺=5 - (Ui -仿)(5.119)(5.119)
u⑺=5 - (Ui -仿)
u⑺=5 - (Ui -仿)
(5.119)
(5.119)
В выражении (5.115) введем следующие обозначения:
/5 — 524 = —2， 5/5 — 524 = —2， 5，Y(Ul 5) = W‘(5」20)，Y(Ul 5) = W‘(5」20)
/5 — 52
4 = —2， 5
/5 — 52
4 = —2， 5
，Y(Ul 5) = W‘(5」20)
，Y(Ul 5) = W‘(5」20)
Т _ 2K ⑶Т _ 2K ⑶2sK(s)2sK(s)(5.121)(5.121)+ 24。+ 24。1 + 1s21 + 1s2—2А0 sn2 (шт, s).(5.122)—2А0 sn2 (шт, s).(5.122)
Т _ 2K ⑶
Т _ 2K ⑶
2sK(s)
2sK(s)
(5.121)
(5.121)
+ 24。
+ 24。
1 + 1s2
1 + 1s2
—2А0 sn2 (шт, s).(5.122)
—2А0 sn2 (шт, s).(5.122)
где /о ——амплитуда колебаний, величину §? будем называть коэффициентом нелинейных искажений формы колебания U(丁), ш ——аналог часто
ты. Колебания, описываемые (5.115), являются периодическими, их период определяется выражением
где K(s)——полный эллиптический интеграл первого рода.
Если в качестве независимых парамет
ров, входящих в (5.115), выбрать ампли-Рис. 5.28
туду колебаний и коэффициент нелинейных искажений, то решения уравнения (5.104), соответствующие обеим ветвям потенциальной функции,
можно представить в виде
нием л(u) =—' '242нием л(u) =—' '242
нием л(u) =—
' '242
нием л(u) =—
' '242
Качественно вид решения (5.122) при, близких к 1/2, приведен на рис. 5.28, где величины определяются соотношениями (5.116), (5.117).
Пусть 2 < 0, 6 > 0. Потенциальная функция описывается выраже
П7 (и)=П7 (и)=d — d + оd — d + ои3 и2 ^Dи3 и2 ^Dи3и3±uVu±uVuа положительные нули ее производной
П7 (и)=
П7 (и)=
d — d + о
d — d + о
и3 и2 ^D
и3 и2 ^D
и3
и3
±uVu
±uVu
являются корнями кубического уравнения
炉一炉十0二色(5.124)
На рис. 5.29, а, б показан вид полинома Q(U) = U* — U" + D при различных значениях параметра D.
Рис. 5.29Рис. 5.29
Рис. 5.29
Рис. 5.29
При 0 < В < 4/27 кубическое уравнение (5.124) имеет два действительных положительных корня, при переходе через которые производная И' (и) меняет знаки (кривая 7, рис. 5.29, а). В этом случае потенциальная энергия достигает своего минимального Emin = (土〃min) и максимального Ещах = U(±Hmax) ЗНаЧСНИИ В ТОЧКНХ：
а) при。w D wа) при。w D w1Уз1Узv2cosi+^v2cosi+^22^min^min^max^max+ 1, где 夕=arccos+ 1, где 夕=arccos24при 冇 W。W :24при 冇 W。W :
а) при。w D w
а) при。w D w
1
Уз
1
Уз
v2cosi+^
v2cosi+^
2
2
^min
^min
^max
^max
+ 1, где 夕=arccos
+ 1, где 夕=arccos
24
при 冇 W。W :
24
при 冇 W。W :
z&max = ^^ ；2 cos (可 + ^J + 1, гДе 夕=arccos•
График потенциальной функции U(u) приведен на рис. 5.30, а, а на
(5.104) существуют, если константа интегрирования изменяется в пределах Emin W 石 W Ещах, причем минимум и максимум потенциальной энергии(5.104) существуют, если константа интегрирования изменяется в пределах Emin W 石 W Ещах, причем минимум и максимум потенциальной энергиирис. 5.30, 6 показан фазовый портрет системы (5.104). На фазовой плоскости (乜,^) точки с координатами (±i£min, 0) являются «центрами», а точки (±i£max, 0) являются «седловыми». Ограниченные движения в системе
(5.104) существуют, если константа интегрирования изменяется в пределах Emin W 石 W Ещах, причем минимум и максимум потенциальной энергии
(5.104) существуют, если константа интегрирования изменяется в пределах Emin W 石 W Ещах, причем минимум и максимум потенциальной энергии
зависят от параметра D и связаны с ним соотношениями:
О 42_
=(I + ЗЕще) \/1 + ЗЕпйп , (5J25)
4/=—万(1 + ЗЕтах) Ji + ЗЕтах •Графики Emin(D)2 ^тах(^) приведены на рис. 5.31. Заметим для сравнения, что в соответствующем уравнении Дуффинга ограниченные решения существуют при —1/4 W Е W 0 и при Е > 0. В системе (5.104) значениям Е > > 0 соответствуют незамкнутые фазовые траектории.4/=—万(1 + ЗЕтах) Ji + ЗЕтах •Графики Emin(D)2 ^тах(^) приведены на рис. 5.31. Заметим для сравнения, что в соответствующем уравнении Дуффинга ограниченные решения существуют при —1/4 W Е W 0 и при Е > 0. В системе (5.104) значениям Е > > 0 соответствуют незамкнутые фазовые траектории.Рис. 5.30Рис. 5.30Ограниченные решения уравнения (5.108) при 0 < D < 4/27 иОграниченные решения уравнения (5.108) при 0 < D < 4/27 иEmin W 石 W Етах форМЯЛЬНО ННХОДЯТСЯ С и в случае 1.2, и имеют вид (5.115). Характер полинома P(U) тот же, что и на рис. 5.27, но его корни распределены следующим образом:Emin W 石 W Етах форМЯЛЬНО ННХОДЯТСЯ С и в случае 1.2, и имеют вид (5.115). Характер полинома P(U) тот же, что и на рис. 5.27, но его корни распределены следующим образом:UiUi”1 + ЗЕ«ж(Г^)+1),”1 + ЗЕ«ж(Г^)+1),。2。2；(2" + 3e3口+^) +1)；(2" + 3e3口+^) +1)Цз = § (—2,1 + ЗЕ cos ^ + 1Цз = § (—2,1 + ЗЕ cos ^ + 1(5.126)(5.126)помощью замены (5.113), какпомощью замены (5.113), какгдегде3 = arccos3 = arccos0/2 +4/27+ 2Е/3(4/27) (1 +ЗЕ) “ + ЗЕ0/2 +4/27+ 2Е/3(4/27) (1 +ЗЕ) “ + ЗЕ(5.127)(5.127)О 42 _
4/
=—万(1 + ЗЕтах) Ji + ЗЕтах •
Графики Emin(D)2 ^тах(^) приведены на рис. 5.31. Заметим для сравнения, что в соответствующем уравнении Дуффинга ограниченные решения существуют при —1/4 W Е W 0 и при Е > 0. В системе (5.104) значениям Е > > 0 соответствуют незамкнутые фазовые траектории.
4/
=—万(1 + ЗЕтах) Ji + ЗЕтах •
Графики Emin(D)2 ^тах(^) приведены на рис. 5.31. Заметим для сравнения, что в соответствующем уравнении Дуффинга ограниченные решения существуют при —1/4 W Е W 0 и при Е > 0. В системе (5.104) значениям Е > > 0 соответствуют незамкнутые фазовые траектории.
Рис. 5.30
Рис. 5.30
Ограниченные решения уравнения (5.108) при 0 < D < 4/27 и
Ограниченные решения уравнения (5.108) при 0 < D < 4/27 и
Emin W 石 W Етах форМЯЛЬНО ННХОДЯТСЯ С и в случае 1.2, и имеют вид (5.115). Характер полинома P(U) тот же, что и на рис. 5.27, но его корни распределены следующим образом:
Emin W 石 W Етах форМЯЛЬНО ННХОДЯТСЯ С и в случае 1.2, и имеют вид (5.115). Характер полинома P(U) тот же, что и на рис. 5.27, но его корни распределены следующим образом:
Ui
Ui
”1 + ЗЕ«ж(Г^)+1),
”1 + ЗЕ«ж(Г^)+1),
。2
。2
；(2" + 3e3口+^) +1)
；(2" + 3e3口+^) +1)
Цз = § (—2,1 + ЗЕ cos ^ + 1
Цз = § (—2,1 + ЗЕ cos ^ + 1
(5.126)
(5.126)
помощью замены (5.113), как
помощью замены (5.113), как
где
где
3 = arccos
3 = arccos
0/2 +4/27+ 2Е/3(4/27) (1 +ЗЕ) “ + ЗЕ
0/2 +4/27+ 2Е/3(4/27) (1 +ЗЕ) “ + ЗЕ
(5.127)
(5.127)
Модуль эллиптической функции в выражении (5.115) по-прежнему имеет вид (5.118). Анализ (5.118) показывает, что при Е т Bmin 發 т 0, а при Е т Emax 52 TL Таким образом, коэффициент нелинейных искажений формы колебаний (5.115) изменяется в пределах 0 s2 1. При s2 1 т 0 в системе (5.104) существуют квазигармонические колебания малой
амплитуды вблизи положения равновесия вида (5.119). Другой предельный случай выражения (5.115)——это сепаратрисные движения при s2 = 1:
U⑺=% + —z_i_:(5Л28)
Ch2- “/2)
С учетом обозначений (5.120) периодические решения системы (5.104) при 0 < s2 < 1 имеют вид
乜(丁)= ± у I + 24 1 ；' — 2A) sn2 (шт, 5),(5.129)
а решения на сепаратрисе при s2 = 1 описываются выражениями
и") = 士 /1 + ЗЕтах) + g (捻丁厂 (5」30)
Качественный вид периодических решений приведен на рис. 5.32, % где величины "毒 определяются соотношениями (5.126), (5.127). Качественный вид сепаратрисного решения показан на рис. 5.32, 6, при этом величины 5,2 определяются из (5.126) при 屮=к»
При D = 4/27 кубическое уравнение (5.124) имеет корень второй кратности, равный 2/3, при переходе через который производная И'(и) не меняет своего знака (кривая 2, рис. 5.29, а), а при D > 4/27 действительных
положительных корней не существует (кривая 3, рис. 5.29, а). В этих случаях потенциальная функция U(u) (±(2D)1/8, ^(2D)1//3/2) всюду является
монотонной и имеет перегиб в точках. Ее график приведен на рис. 5.33. На фазовой плоскости I i£, — 1 при。》4/27 отсутствуют замкнутые фазовые
траектории и в системе (5.104) не существует ограниченных движений.
При D < 0 кубическое уравнение (5.124) имеет один действительный положительный корень, при переходе через который IT (и) меняет
знак (кривая /，рис. 5.29, б). Потенциальная энергия в этом случае имеет
минимум Eminминимум Emin= H(±Z4nliп) В ТОЧКе Z&min= H(±Z4nliп) В ТОЧКе Z&min11у 2 ch ^ + 1, где 夕=у 2 ch ^ + 1, где 夕==arch=archи изображена на рис. 5.26, а. Величина минимумаи изображена на рис. 5.26, а. Величина минимума
минимум Emin
минимум Emin
= H(±Z4nliп) В ТОЧКе Z&min
= H(±Z4nliп) В ТОЧКе Z&min
1
1
у 2 ch ^ + 1, где 夕=
у 2 ch ^ + 1, где 夕=
=arch
=arch
и изображена на рис. 5.26, а. Величина минимума
и изображена на рис. 5.26, а. Величина минимума
энергии связана с параметром D соотношением
D 424/
5 方 万 Emin =(1 + 3Emiii)，1 + ЗЕтйт(5" 131)
На фазовой плоскости (и, du/dr) точкам (士 Umin, 0) соответствуют положения равновесия типа «центр». Фазовый портрет системы (5.104) приведен на рис. 5.26, 6.
Ограниченные решения уравнения (5.108) существуют при Е ^ Emin и описываются выражением (5.115). Корни полинома P(U) задаются выражениями (5.116), но при этом з определяется из соотношения (5.127). Модуль эллиптической функции, описываемый выражением (5.118), изменяется от нуля при Е т Emin до 1/2 при Е т +ос. В системе (5.104) при §2—0 существуют квазигармонические колебания вида (5.119), а при s2 т 1/2 форма движений существенно не синусоидальна.
Периодические решения системы (5.104), соответствующие обеим ветвям потенциальной функции, описываются выражением (5.129). Их качественный вид приведен на рис. 5.28, где величины “ 2 определяются из (5.116) и (5.127). '
Пусть 2 > 0, b < 0. Выражение для функции потенциальной энергии имеет вид И(乜)= ^必 一 :乜‘— 与乜一乙 @ нули ее производной
—d +u^ + Dи3—d +u^ + Dи3一炉+炉+ 0±uVu一炉+炉+ 0±uVu(5.132)(5.132)
—d +u^ + Dи3
—d +u^ + Dи3
一炉+炉+ 0
±uVu
一炉+炉+ 0
±uVu
(5.132)
(5.132)
являются корнями кубического уравнения
(5.133)(5.133)U3 U2 D = 0.
(5.133)
(5.133)
Полином Q{U) = —。3 +。2 +。при различных значениях параметра D приведен на рис. 5.35, % 6.
1/ 夕"шах = ~у 2 ch з + 1,『де 夕1/ 夕"шах = ~у 2 ch з + 1,『де 夕27、歹 О + 1 卜 Ее график приведен на27、歹 О + 1 卜 Ее график приведен наПри D > 0 кубическое уравнение (5.133) имеет один действительный положительный корень, при переходе через который производная 1Г(〃) для положительной ветви потенциальной функции меняет знак с «плюса» на «минус» (кривая 厶 рис. 5.35, а). В этом случае потенциальная функция достигает максимального значения Bmax = П(±г£тах) в точке
1/ 夕
"шах = ~у 2 ch з + 1,『де 夕
1/ 夕
"шах = ~у 2 ch з + 1,『де 夕
27、
歹 О + 1 卜 Ее график приведен на
27、
歹 О + 1 卜 Ее график приведен на
=arch
рис. 5.36, а зависимость максимума энергии от параметра D 一 на рис. 5.37.
На фазовой плоскости (u, du/dr) точки с координатами (umax, 0) являются узловыми. В системе (5.104) не существует ограниченных движений.
4
При < 0 < 0 уравнение (5.133) имеет два положительных корня, при переходе через которые производная И'(и) меняет знаки (кривая /, рис. 5.35,6). Потенциальная функция достигает своего минимального Em® = И (士 i£min) и максимального Етах = П(±г£тах) значений в точках
приi£min =羽 2 cos (可 +^)+1,
Umax = ~^=у 2cos ^+ 1, где 夕=arccos ^у В + 1)；
421// 7г 夕、
ПРК—行 元：и^ = ^2сш+1,
Umax = ^^ j2 COS (可 + ^J + 】,гДе 夕=arccos ( ^。+ 1J .
График потенциальной функции приведен на рис. 5.38, % а фазовый портрет системы (5.104)——на рис. 5.38, б. На фазовой плоскости точки (± i£min, 0) являются устойчивыми положениями равновесия типа «центр», а точки (士 i£max, 0)——«седловыми» точками.
Ограниченные движения в системе (5.104) существуют при Emin W 石 W W Emax, причем связь минимума и максимума потенциальной энергии с величиной параметра D определяется соотношениями
(5.134)(5.134)—+ 五石min =—方(1 —— 3Emin ,
(5.134)
(5.134)
万 + ^Emax =斫(1 — ЗЕтах)，1 - ЗЕщах •
Зависимости E^^D), ^1113x(^) приведены на рис. 5.39. В соответствующем уравнении Дуффинга ограниченные движения существуют при 0 W Е W 1/4.
Для отыскания ограниченных решений рассмотрим уравнение (5.108). В этом случае полином P(U) принимает положительные значения между своими меньшими корнями, т. е. P(U) > 0 при U3《U W U? (рис. 5.40). Тогда уравнение (5.108) сводится к эл липтиче скому интегралу (5.114) с помощью замены:
(5.135)(5.135)
(5.135)
(5.135)
Обращая эллиптический интеграл (5.114) при то = 0 и У = 0, получаем решение в виде
U ⑺=5 + (" - u3)U ⑺=5 + (" - u3)(5.136)(5.136)
U ⑺=5 + (" - u3)
U ⑺=5 + (" - u3)
(5.136)
(5.136)
где s? = (5 —。3)/(« —。3)——модуль эллиптической функции, определяющий форму колебаний U(r).
Корни полинома определяются выражениями
“ =I f 271^31? cosj + )
(5.137)
=I (-2〃 — ЗЕ cos ^ + 1V
где
(5.138)(5.138)(5.139)(5.139)/ 0/2 —4/27 +2E/3 、 夕 = arccos 尸===
(5.138)
(5.138)
(5.139)
(5.139)
V (4/27) (1 - 3后)“ 一3石/
Выражение для модуля s2 принимает вид
2 — V^cos(夕/3) — sin(夕/3)V^cos(夕/3) + sin(夕/3)
Анализируя (5.139), получаем, что в положении равновесия при Е т
—Emin s2 0, а при Е Т Emax 52 TL Таким образом, модуль
эллиптической функции изменяется, как и в соответствующем уравнении Дуффинга, в пределах О W ” W L
При §2 — 0 решение (5.136) описывает квазигармонические колебания малой амплитуды вблизи положения равновесия:
U(丁)= 5 + (u2 - 5)U(丁)= 5 + (u2 - 5)(5.140)(5.140)
U(丁)= 5 + (u2 - 5)
U(丁)= 5 + (u2 - 5)
(5.140)
(5.140)
а при s2 = 1 (5.136) описывает движения на сепаратрисе вида
u⑺=% +u⑺=% +th —thth —th(5.141)(5.141)В выражении (5.136) введем следующие обозначения:В выражении (5.136) введем следующие обозначения:(5.142)(5.142)
u⑺=% +
u⑺=% +
th —th
th —th
(5.141)
(5.141)
В выражении (5.136) введем следующие обозначения:
В выражении (5.136) введем следующие обозначения:
(5.142)
(5.142)
где Ло ——амплитуда колебаний, s2 ——коэффициент нелинейных искажений формы колебаний, ш ——аналог частоты. Период колебаний определяется выражением (5.121).
С учетом принятых обозначений периодические решения системы (5.104) при 0 < s2 < 1 имеют вид
乜(丁)= ±— 2%о 1 У + 2%о sn2 (шт, 5).(5.143)
Решения на сепаратрисах при s2 = 1 описываются выражениями:
"⑺=± - "max) + 货；3；丁). (5」44)
Качественный вид периодических движений приведен на рис. 5.41, а, где величины “,3 определяются из соотношений (5.137), (5.138), а на рис. 5.42, 6 показан вид сепаратрисного движения, причем 历,3 вычисляются при 3 = 6
ограниченных движении.ограниченных движении.3.3) При D = —4/27 кубическое уравнение (5.133) имеет корень второй кратности, равный 2/3, при переходе через который, производная И' (и) не меняет своего знака (кривая 2, рис. 5.35, 6) при положительных значе- 4
ограниченных движении.
ограниченных движении.
ниях 乜2 а при °действительных корней для 乜》0 не существует
(кривая 3, рис. 5.35, б). В этих случаях потенциальная функция имеет перегиб в точках (士 (一20)1/8, ± (—20)1/3/2) и всюду является монотонной. Ее график приведен на рис. 5.42. При В W ^4/27 в системе (5.104) нет
Потенциальная функция имеет выражение U(u) = _；乜2 _ ：乜4 — j&_2, а нули ее производной
U(u) =——乡乜―2(5.145)
являются корнями кубического уравнения
炉+炉一。二s(5Л46)
На рис 5.23, а, 6 показан вид полинома Q{U) = U3 + U2 — D при различных значениях параметра D, при этом случаю D > О
соответствуют кривые, изображенные на рис. 5.23, 6, а случаю D < 0 — кривые на рис. 5.23, а*
При D < 0 кубическое уравнение (5.146) не имеет действительных положительных корней, а производная И'(и) < 0 для положительной ветви потенциальной функции (кривая /, рис. 5.23, а). Потенциальная функция является всюду монотонной и имеет перегиб в точках (±(—2£))1/8, 2£))1/з/2)* Ее график приведен на рис. 5.43. Ограниченных движений в системе (5.104) не существует.
При D > 0 уравнение (5.146) имеет действительный положительный корень, при переходе через который производная меняет знаки (кри-
вые /, 2, рис. 5.23, б). В этом случае потенциальная энергия имеет максимум Ещах = 口(± "max) Е ТОЧКЗХ
2
при 0，О，冇：
где з = arccos (—另。+ 1J;
24
при 方 W0W 冇：
4I / 夕/ 27
при。》后："max =方 J 2 dl 可—1, где 夕=arccos (亏 О — 1
Вид потенциальной функции приведен на рис. 5.36, а зависимость мак™ симума потенциальной энергии от параметра D на рис. 5.44. В системе (5.104) ограниченных периодических движений не существует.
ГЛАВА 6
НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕМОДЕЛИ СТЕРЖНЕЙ, СОВЕРШАЮЩИХПРОДОЛЬНЫЕ И ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Нелинейная упругость твердых тел
Вычислим изменение расстояния dl между двумя близкими точками тела вследствие его деформации. До деформации квадрат расстояния между этими точками равен (dZ)2 = (dg)?, где g — декартовы координаты. После деформации:
{dl1}2 = {dxi + dui)2 = (dg)? + 2dxj dxi +dxj dxni (6.1)
OXjOXj о/九
поскольку du，i = -dxj, где щ ——компоненты вектора перемещений.
Из (6.1) следует, что приращение квадрата расстояний между двумя близкими точками определяется выражением
(或‘)2 -(或)2 = 2 £ij dx^ d勺) (6.2)
Формула (6.2) являет собой точное выражение для компонент тензора деформаций. При малых деформациях она переходит в линеаризованное выражение (2.1).
Нелинейная связь между компонентами тензора деформаций 々庁 и ком™ понентами вектора перемещений щ называется геометрической нелинейностью [17, 38, 71,105,106, 170].
Для удобства описания деформируемого и напряженного состояний твердого тела вводят термодинамические потенциалы. При адиабатических процессах в качестве такого потенциала обычно выбирается внутренняя энергия U. Компоненты тензора напряжений могут быть выражены через внутреннюю энергию соотношением
(63)(63)_ 3U
(63)
(63)
"j Q (диг/дх3)'
Из теории упругости известно, что внутренняя энергия изотропного тела инвариантна относительно преобразования координат. Но, по сколь™ ку внутренняя энергия является функцией только деформации тела, она должна зависеть только от инвариантов тензора деформаций. Внутренняя
энергия может быть задана в виде разложения в ряд Тейлора относительно начального состояния:
U = 貝^+儿厶 + 段/""?厶/2 + м"з/з+Т[/，+72/^/2+73/1/3+74/^)(6*4)
где /] = е放;/2 = 8力力8友力； 厶 =^ik^kj^ij —инварианты тензора конечных деформаций (6.2). Здесь X,从 ——адиабатические константы упругости второ™ го порядка; "/ ——константы упругости третьего порядка; 7j ——константы упругости четвертого порядка. Все эти модули называются константами Ламэ соответствующего порядка.
Разложение (6.4) не единственная полиномиальная форма записи внутренней энергии через компоненты тензора деформаций з> Тогда в разло™ жение для U будут входить иные константы упругости. Например, войдут модули упругости третьего порядка, введенные Мурнаганом или Ланд©. Эти коэффициенты не являются независимыми. Между различными кон™ стантами второго и третьего порядков существуют однозначные связи, поз™ воляющие вычислять значения одних констант по известным значениям других.
В табл. 2.1 уже приводились связи между различными константами упругости второго порядка. В табл. 6.1 указаны связи между константами третьего порядка.
Таблица 6.1
Связь между упругими постоянными третьего порядка
коэффициенты Мурнагана
коэффициенты Ландау
коэффициенты Ламе
m, n, /
4 В, С
已1,已2, v3
т
А/2 + В
D2 + 2^3
п
Л
4*
1
в + с
Vl/2 + 已2
Л
n
4*
В
m — n/2
纪
с
1 — m + 麓,/2
5/2
办
2/ — 2TH + n
2c
纪
m — n/2
В
禽
n/4
4/4
Кроме геометрической нелинейности вводится понятие физической нелинейности [17, 38, 71,105,106, 170], связанной с тем, что внутрен™ няя энергия деформированного тела представляет собой не только квад™ ратичную функцию инвариантов тензора деформаций (〜/入 厶)，но и за-
висит от третьих (〜1^ 厶巩 /з) и более высоких степеней инвариантов (〜/：)J|, Ji J3). Физическая нелинейность определяется модулями упруго™ сти третьего и четвертого порядков.
Модель связанных продольно-изгибныхколебаний стержня
Геометрия деформирования
Рассмотрим деформацию тонкого стержня при конечных прогибах. Бу™ дем предполагать выполненными следующие условия: изгиб стержня вы™ зывает удлинение его средней линии; нормальные сечения при деформации остаются плоскими, но, вообще говоря, не перпендикулярными срединной линии, продольные волокна при растяжении сжимаются в поперечном на™ правлении (деформируемые нормали); боковые поверхности свободны от напряжений.
Найдем распределение смещений в стержне с учетом сделанных пред™ положений. Считаем, что срединная линия стержня совершает движение в плоскости рисунка (рис. 6.1). Ма- термальная точка стержня с лагран™ жевыми координатами М0(ж? %) в ре™ зультате деформации перемещается в новое положение М(^ 0. Ее начальное и текущее положения опре™ деляются радиус-векторами г0 = =(ж, г) и г = (§<), а пере™ мещение ——вектором и = г — —『о = {mi(x, г, f), 0, U2(x, г, f)}. Рас™ смотрим точку N, принадлежащую оси стержня. Ее перемещение ха™ рактеризуется вектором U = R — —Ro = {“(с,力),0, w(x,力)}. Перемещение произвольной точки стержня, лежащей до деформации на нормали NqMq, однозначно определяется по
перемещению точки N и углу поворота g сечения NM относительно вертикальной оси:
"](с, 力)="(с, t) — Z sin g(c,力),U2(X, 2, t) = 0,.
"3(c)力)= w(x,力)—N(1 — COS 夕包 力)).(6*5)
Это первая (кинематическая) часть гипотезы плоских сечений, являющаяся обобщением геометрических соотношений Тимошенко на случай конечных прогибов. Она совпадает с последними при отсутствии растяжимости срединной линии (〃二 0) и выполнении приближенных условий
sin з(с)土) з(с)t), cos g(c/)1.
Если нормальные сечения остаются перпендикулярными к деформирован™ ной оси стержня в процессе движения (т. е. справедливы предположения Бернулли-Эйлера), то угол д(с)力)совпадает с углом поворота касательной к оси стержня ^(ж, f), который определяется выражением
tg吵tg吵dw/dx1+ ди/дх 'dw/dx1+ ди/дх '(6.6)(6.6)
tg吵
tg吵
dw/dx
1+ ди/дх '
dw/dx
1+ ди/дх '
(6.6)
(6.6)
Воспользовавшись им, находим
. .dw /дх1 + ди/дх
SID 期=^:, COS 期=^:.
у (1 + ди/дх)2 + (dw/dx)2у (1 + ди/дх)2 + (dw/dx)2
67)
『...ди dw
Учтем в разложении sm 吵 и cos^ по степеням — и — слагаемые не
выше второго порядка малости, тогда распределение смещений (6.5) примет вид
口3 у w(x, t) — z口3 у w(x, t) — z"1 u(c, t) — Z"1 u(c, t) — Z(6*8)(6*8)
口3 у w(x, t) — z
口3 у w(x, t) — z
"1 u(c, t) — Z
"1 u(c, t) — Z
(6*8)
(6*8)
Вторая (динамическая) часть гипотезы плоских сечений предполагает, что напряжения, нормальные к площадкам, расположенным параллельно срединной оси стержня, пренебрежимо малы по сравнению с нормальными напряжениями, действующими на площадку, перпендикулярную этой оси. Таким образом, считаются выполненными условия одноосного растяже™ ния стержня, при котором диагональные компоненты тензора деформаций в линейном приближении удовлетворяют соотношениям Пуассона 822 = =^зз = —"Ей (〃 一 коэффициент Пуассона материала). Используя (6.8) и соотношения Пуассона, находим уточненное распределение смещений с учетом конечности прогиба и поперечного сжатия продольных волокон стержня при растяжении:
(6S)(6S)
(6S)
(6S)
Заметим, что 虱勿 являются нелинейными функциями от градиента переме™ щений срединной линии и, следовательно, будут приводить к появлению нелинейных слагаемых даже в линейной части тензора деформаций 2
Уравнения динамики
Воспользуемся распределением перемещений (6.9) при выводе урав™ нений продольных продольно-изгибных колебаний прямого стержня. Для учета физической нелинейности удержим в разложении внутренней знер- гии U по инвариантам тензора деформаций, кроме квадратичных, еще и кубические слагаемые. В этом случае погонные плотности кинетической и потенциальной энергий будут иметь вид
dw ^2w д2и j дx dxdt 班次]dw ^2w д2и j дx dxdt 班次]1212ди дхди дх/ д2и \2/ ^3w1 dw ^3w
dw ^2w д2и j дx dxdt 班次]
dw ^2w д2и j дx dxdt 班次]
12
12
ди дх
ди дх
++2 j222 j222+ a1f2+ a1f\ 2/ дх \ дх /\ 2/ дх \ дх /+ 1^(^) +a2人彳(|j) +(石+ 44)4+ 1^(^) +a2人彳(|j) +(石+ 44)4d2u dw ^2wдх2 дх дх2d2u dw ^2wдх2 дх дх2(6」1)(6」1)'(6.10)
+
+
2 j22
2 j22
2
+ a1f
2
+ a1f
\ 2/ дх \ дх /
\ 2/ дх \ дх /
+ 1^(^) +a2人彳(|j) +(石+ 44)4
+ 1^(^) +a2人彳(|j) +(石+ 44)4
d2u dw ^2w
дх2 дх дх2
d2u dw ^2w
дх2 дх дх2
(6」1)
(6」1)
где j, = J J У 壮尸,iz = у2 dF — осевые геометрические моменты инер- FF
ции, Jg =(у? + /2) dF ——полярный момент инерции, Д =^(д? +
FF
+ /2/4) dF ——геометрический момент четвертого порядка, а 1,2 ——коэффи™ циенты, определяющие вклад геометрической и физической нелинейностей в энергию продольно-изгибных колебаний стержня:
(6.12)(6.12)a] = 5+万+/(1 — 6") + "2(1 — 2") + 3"3)
(6.12)
(6.12)
Е %,
&2 =豆 + 万 + 3"2 + 4"з«
В выражениях (6.10) и (6.11) удержаны все слагаемые до третьей степени / dw\ 4
включительно и слагаемое 〜(—I , определяющее главную часть нели™
нейности при изгибных колебаниях стержня. Для оценки относительного
вклада нелинейных слагаемых в (6.10), (6.11) можно использовать прибли™
жение Кирхгофа:жение Кирхгофа:
жение Кирхгофа:
жение Кирхгофа:
В рамках принятых ограничений нелинейные уравнения связанных про
дольно-изгибных колебаний стержня имеют вид
(613)(613)3%3%д2ид2иz 9 п ди dw《+ 2成)五五+z 9 п ди dw《+ 2成)五五+尸比4尸比4д дхд дх5+ 25+ 2z з 八 2 @2a d2Wz з 八 2 @2a d2W2 d2u d2w + Гу dxdt dxdt2 d2u d2w + Гу dxdt dxdt++
(613)
(613)
3%
3%
д2и
д2и
z 9 п ди dw
《+ 2成)五五+
z 9 п ди dw
《+ 2成)五五+
尸比4
尸比4
д дх
д дх
5
+ 2
5
+ 2
z з 八 2 @2a d2W
z з 八 2 @2a d2W
2 d2u d2w + Гу dxdt dxdt
2 d2u d2w + Гу dxdt dxdt
+
+
2 > Г/ 2 з 。統決〃 Ou ^2W°|
+4 + 4c )方…5—2—h 2 -
у дх2 [аж2 дх р дх 8①
—ч+ о о. ) • (6.14)
и oxdt \ дх oxdt dxdt дх у
где г?# = (4//F)"2 — осевые радиусы инерции; R =(厶/尸尸? 一 полярный радиус инерции (для цилиндрического стержня радиуса а А = 二 а/V2)； сд = (А/ро)1/2-
Из (6.13) и (6.14) видно, что продольные и изгибные волны в стержне взаимодействуют лишь в нелинейном приближении. При этом нелинейные слагаемые в (6.13) и (6.14) входят не симметрично: продольные волны воз™ действуют на изгибные колебания параметрическим образом, а изгибные колебания служат нелинейным источником для продольных волн. Такой не симметричный характер нелинейного взаимодействия различных типов упругих волн является весьма распро страненным для твердых де формиру™ емых тел.
Если ограничиться упрощенным вариантом распределения смещений без учета нелинейных слагаемых в (6.9) и деформируемости нормалей, т. е.
“1“(с,力)一n У(с)力), “2 = 0, из w(x, t),(6.15)
и воспользоваться соотношением Пуассона 立2 = £зз = — "£口 непосред™ ственно в выражении для тензора деформаций, то (6.13) и (6.14) перейдут при Я = ry = rz = 0, «1 = 0 в известные уравнения связанных продольно™ изгибных колебаний стержней [92] (модель первого приближения):
d2wd2w(6.16)(6」7)(6.16)(6」7)
d2w
d2w
(6.16)
(6」7)
(6.16)
(6」7)
Сравнение уравнений (6.13), (6.14) и (6.16), (6.17) показывает, что учет нелинейных слагаемых в (6.9), возникающих при больших прогибах и боль™ ших углах поворота, приводит к заметному увеличению коэффициентов нелинейного взаимодействия, а учет эффекта сжатия продольных волокон при растяжении приводит к появлению старших производных в линейных частях уравнений (6.13) и (6.14) и дополнительных нелинейных слагаемых.
Для каждой конкретной ситуации необходима оценка порядков величин малых линейных и нелинейных слагаемых, входящих в уравнения (6.13) и (6.14). Однако даже поверхностный анализ показывает, что для больший™ ства металлов главные нелинейные слагаемые и линейные слагаемые, учи™ тывающие инерцию вращения элементов и радиальные движения частиц в стержне, при А > 30а, е 〜10^5 имеют одинаковые порядки малости и их влияние на волновые процессы следует учитывать совместно.
Модель изгибных колебаний стержня
(нелинейное обобщение модели Тимошенко)
Как известно (см. гл. 3), С.П. Тимошенко сделал следующие предполо™ жения, уточняющие техническую теорию изгиба стержней: поперечные се™ чения остаются плоскими, но не перпендикулярными деформируемой оси стержня; нормальные напряжения на площадках, параллельных оси равны нулю (<т22 = 0); учитываются инерционные составляющие, связанные с поворотом сечений.
Для вывода нелинейной модели Тимошенко введем систему перемеще™ НИЙ：
(6.18)(6.18)3夕沙 2 3夕
(6.18)
(6.18)
虱］如=一""而"虱3 = -「y石
где w(x, t) — поперечное смещение; g(c)力) 一угол поворота поперечно™ го сечения; ” 一 коэффициент Пуассона; у, г — поперечные координаты.
Компоненты тензора деформаций в этом случае принимают значения:
УУ2+2+2沙22 dw02夕d屮+亏瓦加；б2 = -"N五;2沙22 dw02夕d屮+亏瓦加；б2 = -"N五;ЕЗЗ = £22 + 万；ЕЗЗ = £22 + 万；812812uyz尹9uyz尹9513=513=11dwdwПогонные плотности кинетической 114Погонные плотности кинетической 114иу。9иу。92 дх22 дх2
У
У
2
+
2
+
2沙22 dw02夕d屮
+亏瓦加；б2 = -"N五;
2沙22 dw02夕d屮
+亏瓦加；б2 = -"N五;
ЕЗЗ = £22 + 万；
ЕЗЗ = £22 + 万；
812
812
uyz尹9
uyz尹9
513=
513=
1
1
dw
dw
Погонные плотности кинетической 114
Погонные плотности кинетической 114
иу。9
иу。9
2 дх2
2 дх2
ной Wnной WnFF2+2+1%1%+ N+ N+ &б%+ &б%八=八=OW дхOW дх2+a3f94+ а4f2+a3f94+ а4f2+ а］厶2+ а］厶44(6.20)(6.20)++/4 dF/4 dF+ Q6F6 五(6.21)+ Q6F6 五(6.21)
ной Wn
ной Wn
F
F
2
+
2
+
1%
1%
+ N
+ N
+ &б%
+ &б%
八=
八=
OW дх
OW дх
2
+a3f94+ а4f
2
+a3f94+ а4f
2
+ а］厶
2
+ а］厶
4
4
(6.20)
(6.20)
+
+
/4 dF
/4 dF
+ Q6F6 五(6.21)
+ Q6F6 五(6.21)
U dF энергий определяются выражениями:
\ F/
Коэффициенты а” характеризующие геометрическую и физическую нелинейности среды равны
AQi =—8AQi =—8&2 =&2 =д 13 c+ 4 + 4% + 万〃2 + 2"з + 71 + 72 + 7з + 74 7А д3534 + 5 + "1 + 4”2 + /"3 + )2 + 4)3 + 74,А д 111电=3+工+4也 + 5收+ /4)д 13 c+ 4 + 4% + 万〃2 + 2"з + 71 + 72 + 7з + 74 7А д3534 + 5 + "1 + 4”2 + /"3 + )2 + 4)3 + 74,А д 111电=3+工+4也 + 5收+ /4)(6.22)(6.22)
A
Qi =—
8
A
Qi =—
8
&2 =
&2 =
д 13 c
+ 4 + 4% + 万〃2 + 2"з + 71 + 72 + 7з + 74 7
А д353
4 + 5 + "1 + 4”2 + /"3 + )2 + 4)3 + 74,
А д 111
电=3+工+4也 + 5收+ /4)
д 13 c
+ 4 + 4% + 万〃2 + 2"з + 71 + 72 + 7з + 74 7
А д353
4 + 5 + "1 + 4”2 + /"3 + )2 + 4)3 + 74,
А д 111
电=3+工+4也 + 5收+ /4)
(6.22)
(6.22)
31
a5 =一2"2 + 4"3 一 )2 . 2 73 — 2)4) a6 =一5"2 — "3 — 74,
где "1,2,з константы упругости третьего порядка; 71,2,3 константы упругости четвертого порядка.
Составляя лагранжиан L = W^ — Wn и применяя принцип Гамильтона^ Остроградского, получаем систему уравнений, описывающую изгибные колебания стержня при наличии геометрической и физической нелиней™ ностей:
+ 2a4万,^+a5厶9+a6下93 , (6*23)
—2a4f3—2a4f3OXOX+ 2。24!^(92 ++ 2。24!^(92 +6V dw+ 2a5厶夕丽五-6V dw+ 2a5厶夕丽五-2a3f6 -2a3f6 -2 订2次。 3*%2 订2次。 3*%(6.24)(6.24)
—2a4f3
—2a4f3
OX
OX
+ 2。24!^(92 +
+ 2。24!^(92 +
6V dw
+ 2a5厶夕丽五-
6V dw
+ 2a5厶夕丽五-
2a3f6 -
2a3f6 -
2 订2次。 3*%
2 订2次。 3*%
(6.24)
(6.24)
Будем предполагать, что стержень является бесконечным. Такая идеали™ зация допустима, если на границах стержня находятся оптимальные демп™ фирующие устройства, т. е. параметры граничного закрепления таковы, что падающая на него изгибная волна не будет отражаться [29, 30].
Введем безразмерные переменные
(6.25)(6.25)右=，力= ,9=,W =-,
(6.25)
(6.25)
A『gA『g夕0Wo
где go ——максимальный угол поворота поперечного сечения стержня при изгибе, wg ——максимальная амплитуда изгибной волны, А ——характерная длина волны.
Если углы поворота поперечных сечений при изгибе малы 卜。〜 〜10—2 ^^), а динамические процессы являются длинноволновыми (А 〜 〜 104-102, то систему можно значительно упростить, сведя ее к одному уравнению (штрихи опущены):
d2w 3%/ cq \d2w 3%/ cq \d4wdx^dt2d4wdx^dt2Co *〃N 唠 dt4Co *〃N 唠 dt4-i~«/ s a Cz “ \ U “ /-i~«/ s a Cz “ \ U “ /
d2w 3%/ cq \
d2w 3%/ cq \
d4wdx^dt2
d4wdx^dt2
Co *〃
N 唠 dt4
Co *〃
N 唠 dt4
-i~«/ s a Cz “ \ U “ /
-i~«/ s a Cz “ \ U “ /
(6.27)(6.27)Модель продольных колебаний стержня (нелинейное обобщение модели Миндлина-Германа) Если в (6.13), (6.14) w = 0, то получим уравнение продольных колебаний нелинейно-упругого стержня
(6.27)
(6.27)
at2 \ Е дх J аж2аж2 у at2 аж2 у
Уравнение (6.26) обобщает модель Бишопа на случай учета нелинейных факторов. Авторами работы [70] это уравнение было названо нелинейным уравнением Бишопа, а в работах [146, 151] его называют уравнением «с двумя дисперсиями».
Если при выводе линейных уравнений продольных колебаний стержня снять гипотезу Пуассона об одноосном растяжении, а для описания движе™ ния частиц стержня в поперечном направлении ввести еще одну функцию w(x^ t), то придем, как известно, к модели Миндлина-Германа (см. гл. 3).
В работе [70] получены нелинейные уравнения колебаний стержня, являющиеся обобщением линейной модели Миндлина-Германа на случай учета геометрической и физической нелинейностей среды. При выводе нелинейных уравнений Миндлина-Германа делаются такие же предполо™ жения о смещениях стержня, как и при выводе линейной модели:
(6.28)(6.28)u3{x,y,z,t) = ^〃7(伤力))u3{x,y,z,t) = ^〃7(伤力))й1(伤弘2丿)=и{х^, 迎(但勿 d" = ^w(x,t).
(6.28)
(6.28)
u3{x,y,z,t) = ^〃7(伤力))
u3{x,y,z,t) = ^〃7(伤力))
где а ——радиус поперечного сечения стержня.
Уравнения динамики стержня могут быть получены из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского с помощью функции Лагранжа L = 二 И^ — И^. Кинетическая энергия WK и потенциальная энергия И^ будут определяться выражениями
(629)(629)
(629)
(629)
*= f](^+〃) (Q +需(入+ 〃)疗+ 卓^^ +
++«4 2 а〃％ а〃 / dw\2a2 to 9c + 4 9c ( Ac 丿十«4 2 а〃％ а〃 / dw\2a2 to 9c + 4 9c ( Ac 丿十
+
+
«4 2 а〃％ а〃 / dw\2
a2 to 9c + 4 9c ( Ac 丿十
«4 2 а〃％ а〃 / dw\2
a2 to 9c + 4 9c ( Ac 丿十
Здесь 〃(&"), w(x^ t)——продольные и поперечные смещения частиц стерж™ ня; Ni,2 ——корректирующие коэффициенты, выбираемые из условия близости дисперсионных веток данной модели и точного решения Похгаммера- Кри; коэффициенты а厶 характеризующие геометрическую и физическую нелинейности среды равны
Qi =入/2 + 从十1/1/6 + 沙2 + 4〃3/3) q4 = a + 2沙1 + 2〃2)
&2 = А + /J- + 2〃i/3 + а + 4〃з/3) 05 = А + 2 卩 + а + 2〃з)(6.31)
03 =入十％ + 2沙2, q6 =入十// +沙2 +沙3)
где 沙 1,2,з ——константы упругости третьего порядка.
Уравнения продольных колебаний стержня, обобщающие модель Мин- длина—Германа на случай учета геометрической и физической нелинейно™ стей среды, имеют следующий вид:
d2w 9.,9 d2w 8(% + ")泊 4入泊a〃d2w 9.,9 d2w 8(% + ")泊 4入泊a〃2q6 dw2q6 dwадхадхQ5 a〃 dw p дх dxQ5 a〃 dw p дх dx12* 912* 9w——a2p dxw——a2p dx224q《 du4q《 du
d2w 9.,9 d2w 8(% + ")泊 4入泊a〃
d2w 9.,9 d2w 8(% + ")泊 4入泊a〃
2q6 dw
2q6 dw
а
дх
а
дх
Q5 a〃 dw p дх dx
Q5 a〃 dw p дх dx
12* 9
12* 9
w——
a2p dx
w——
a2p dx
2
2
4q《 du
4q《 du
где ст = J从〃 ——скорость распространения сдвиговых волн, с/ = =，(入 + 2〃)〃 ——скорость распространения продольных волн в материале стержня.
д4и dx2dt2д4и dx2dt2д4и а21 a4 8A2д4и а21 a4 8A2Введем безразмерные переменные ж/ = ж/A, tf = (qt)/A, и1 = u/uq, wr = w/wo, где 伤力 ——размерные координата и время, uq, wq ——макси™ мальные амплитуды продольной и поперечной волн соответственно, А —— длина волны. Если а/А 〜 10™1, wo/uq 〜 10™2, (A, ^)/ai 〜 1。一* 〃o/A 〜10™4, то систему можно упростить и свести к одному уравнению (штрихи опущены):
д4и dx2dt2
д4и dx2dt2
д4и а2
1 a4 8A2
д4и а2
1 a4 8A2
«з^оА ди д2иc^ncfp2K дх 3①2
(6.34)
где стгде ст=<6 + N р*=<6 + N р*
где ст
где ст
=<6 + N р*
=<6 + N р*
ГЛАВА 7
В4СПРОСТВ4НЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНВ СТЕРЖНЯХ
§ 7.1. Нелинейные продольные стационарные волны
На распространение продольных волн, описываемых уравнением (6.34), будут влиять два фактора: дисперсия и нелинейность. Нелинейность при™ водит к зарождению в волне новых гармоник, что способствует появлению в движущемся профиле волны резких перепадов. Дисперсия же, наоборот, сглаживает перепады из-за различия в фазовых скоростях гармонических составляющих волны. Совместное действие этих факторов может привести
к формированию стационарных волн, которые распространяются с постоянной скоростью без изменения формы (обзор основных результатов теоре™
тических и экспериментальных исследований нелинейных стационарных волн в стержнях, пластинах и оболочках содержится в Приложении).
Решения уравнения (6.34) ищем в классе стационарных волн деформа™ ции и(£) = —, где = х ———«бегущая» координата, V = const
скорость стационарной волны. Уравнение (6.34) сведется к дифференци™ альному уравнению в обыкновенных производных:
(7*1)(7*1)#2 иi
(7*1)
(7*1)
где
8A?№吟 2N»X + рс^(У2 — 1)4q3〃o%N込 1
“2寸Q(F)，加2 = p2r2c4 Q(y)，
QU) = У4QU) = У4片+ N；片+ N；
QU) = У4
QU) = У4
片+ N；
片+ N；
Ограниченные решения уравнения (7.1), описывающего колебания ос™ циллятора с квадратичной нелинейностью были исследованы в гл. 5. Здесь будут использоваться некоторые из полученных результатов.
Умножая (7.1) на — и интегрируя, получим
(7.2)(7.2)
(7.2)
(7.2)
Здесь Е ——константа интегрирования, имеющая смысл начальной энергии системы, функция f(U)= 号 U? + 学 U^ — потенциальная энергия си-
стемы. Поэтому уравнение (7.2) можно интерпретировать как закон сохранения энергии для ангармонического осциллятора. Полученное уравнение допускает разделение переменных:
dUdU(7.3)(7.3)
dU
dU
(7.3)
(7.3)
и имеет ограниченные решения при Е — f(U) > 0. Решения будут пери™ одическими, если функция Е f(U) принимает положительные значения между двумя своими вещественными нулями. Пусть кубический полином Е f(U) имеет три действительных корня U3 W U2 W Ui • (Наличие одно™ го действительного корня не рассматривается, так как решения уравнения (7.3) в этом случае будут неограниченными). Выразим полином Е — /(U) через корни “,2,3：
Е —号— “)(U — ")(U — %)*(74)
Корни полинома связаны между собой следующими соотношениями:
=些”(7*5)=些”(7*5)(7.6)(7.6)“ + 厶十"=—ит + ит + 5" = о,
=些”(7*5)
=些”(7*5)
(7.6)
(7.6)
Перепишем уравнение (7.3) в виде
dg =dg =dU
dg =
dg =
m‘2(U — Ui)(U — %)(U — ")/3
О возможности существования нелинейных стационарных волн уравнения (7.1) можно судить по знакам коэффициентов mi и то и значения констан™ ты Е.
Для стержней, изготовленных из большинства металлов и сплавов пара™ метр нелинейности &з < 0, а для стержней из композиционных материалов возможно и «з > 0.
Физически реализуемыми являются лишь те случаи, когда в волне де™ формации отсутствует постоянная составляющая. Мы будем рассматривать
только эти случаи.1. Пусть mi > 0, g > 0. При &з〉0 скорости распространения стационарных волн в стержне удовлетворяют условию У > 1, а при а? < 0 ——только эти случаи.1. Пусть mi > 0, g > 0. При &з〉0 скорости распространения стационарных волн в стержне удовлетворяют условию У > 1, а при а? < 0 ——условию Ki— < V <Clусловию Ki— < V <Cl2 K1 一沙2 K1 一沙• В этом случае функция потенциальной• В этом случае функция потенциальнойэнергии /(U) имеет локальный минимум /min(^ = 0) = 0 и локальныйэнергии /(U) имеет локальный минимум /min(^ = 0) = 0 и локальныймаксимум /maxмаксимум /maxт. е. точка (0,0) на фазовой плоскостит. е. точка (0,0) на фазовой плоскости
только эти случаи.
1. Пусть mi > 0, g > 0. При &з〉0 скорости распространения стационарных волн в стержне удовлетворяют условию У > 1, а при а? < 0 ——
только эти случаи.
1. Пусть mi > 0, g > 0. При &з〉0 скорости распространения стационарных волн в стержне удовлетворяют условию У > 1, а при а? < 0 ——
условию Ki— < V <Cl
условию Ki— < V <Cl
2 K
1 一沙
2 K
1 一沙
• В этом случае функция потенциальной
• В этом случае функция потенциальной
энергии /(U) имеет локальный минимум /min(^ = 0) = 0 и локальный
энергии /(U) имеет локальный минимум /min(^ = 0) = 0 и локальный
максимум /max
максимум /max
т. е. точка (0,0) на фазовой плоскости
т. е. точка (0,0) на фазовой плоскости
U, — I является устойчивым положением равновесия типа «центр», а
точка (—mi/m?, 0)——неустойчивым положением равновесия типа «узел».
Ограниченные решения уравнения (7.3) существуют, если константа Е из™ меняется В пределах £；min W Е W Emax ^max =籌，Emin = 0), тогда полином Е f(U) будет иметь три действительных корня), причем разным значениям Е отвечают различные типы стационарных волн.
При 0 < Е = Е^ < ^^, стационарные волны являются периодически™ ми кноидальными волнами, соответствующими движениям по замкнутым траекториям вблизи сепаратрисы. В этом случае корни О1,2,з различны, причем 石一/(U)〉0 при Ui < U < Uq. Тогда с помощью замены пере™ менных
9 Ul U ,9*9 Ul U ,9*(7.7)(7.7)
9 Ul U ,9*
9 Ul U ,9*
(7.7)
(7.7)
и интегрирования уравнение (7.6) сводится к неполному эллиптическому интегралу первого рода
(Ui — Оз) (£ — &)=(Ui — Оз) (£ — &)=уоуо，(1 -g2)(1 -产户)，(1 -g2)(1 -产户)(7*8)(7*8)
(Ui — Оз) (£ — &)=
(Ui — Оз) (£ — &)=
у
о
у
о
，(1 -g2)(1 -产户)
，(1 -g2)(1 -产户)
(7*8)
(7*8)
где с? = (0 < s2 < 1). Обращая эллиптический интеграл при у = =0, ^о = 0, получаем решение, описывающее периодические нелинейные волны, в виде
(7*9)(7*9)
(7*9)
(7*9)
В выражении (7.9) введем следующие обозначения:
= '点1，(7」0)
где Л ——амплитуда колебаний, $ ——модуль эллиптической функции, определяющий степень искажения формы колебаний U(£) по сравнению с си™ нусоидальной, ® ——аналог частоты. Период колебаний равен
33計TK（力計TK（力(7Л1)(7Л1)
3
3
計TK（力
計TK（力
(7Л1)
(7Л1)
где K(s)——полный эллиптический интеграл первого рода.
Решение (7.9) содержит восемь параметров А, У, s, ш, Ui,2,3,石，кото™ рые связаны между собой шестью соотношениями (7.5) и (7.10). Через два независимых параметра: амплитуду колебаний Л и коэффициент нелиней-
ных искажений 邑 а также коэффициенты уравнения решение (7.9) можно предста™ вить в виденых искажений 邑 а также коэффициенты уравнения решение (7.9) можно предста™ вить в виде(7Л2)(7Л2)Качественный вид периодического ре-Качественный вид периодического ре-шения (7.9) представлен на рис. 7.1. Параметры периодической нелинейнойшения (7.9) представлен на рис. 7.1. Параметры периодической нелинейнойволны (7.12) связаны соотношениямиволны (7.12) связаны соотношениями3m,16?9mi,,=—,2m2，1 — $2 + $44，1 — $2 + $43m,16?9mi,,=—,2m2，1 — $2 + $44，1 — $2 + $4(7」3)(7」3)Тогда (7.11) можно записать в видеТогда (7.11) можно записать в видеи® = ^ (1 + У - J1 — $2 + $4)— л8112(ш^5).(7.14)и® = ^ (1 + У - J1 — $2 + $4)— л8112(ш^5).(7.14)Качественные зависимости амплитуды периодической волны от ее скорости при различных значениях коэффициента нелинейных искажений приведены на рис. 7.2. Здесь si < ^2 < S3； выделенная кривая $ = 1 отвечает солитонному решению.Качественные зависимости амплитуды периодической волны от ее скорости при различных значениях коэффициента нелинейных искажений приведены на рис. 7.2. Здесь si < ^2 < S3； выделенная кривая $ = 1 отвечает солитонному решению.
ных искажений 邑 а также коэффициенты уравнения решение (7.9) можно предста™ вить в виде
ных искажений 邑 а также коэффициенты уравнения решение (7.9) можно предста™ вить в виде
(7Л2)
(7Л2)
Качественный вид периодического ре-
Качественный вид периодического ре-
шения (7.9) представлен на рис. 7.1. Параметры периодической нелинейной
шения (7.9) представлен на рис. 7.1. Параметры периодической нелинейной
волны (7.12) связаны соотношениями
волны (7.12) связаны соотношениями
3m,16?9mi
,,=—,
2m2，1 — $2 + $44，1 — $2 + $4
3m,16?9mi
,,=—,
2m2，1 — $2 + $44，1 — $2 + $4
(7」3)
(7」3)
Тогда (7.11) можно записать в виде
Тогда (7.11) можно записать в виде
и® = ^ (1 + У - J1 — $2 + $4)— л8112(ш^5).(7.14)
и® = ^ (1 + У - J1 — $2 + $4)— л8112(ш^5).(7.14)
Качественные зависимости амплитуды периодической волны от ее скорости при различных значениях коэффициента нелинейных искажений приведены на рис. 7.2. Здесь si < ^2 < S3； выделенная кривая $ = 1 отвечает солитонному решению.
Качественные зависимости амплитуды периодической волны от ее скорости при различных значениях коэффициента нелинейных искажений приведены на рис. 7.2. Здесь si < ^2 < S3； выделенная кривая $ = 1 отвечает солитонному решению.
В диапазоне скоростей У > 1, соответствующем случаю 1 (mi > О, m2 > 0) при положительном параметре нелинейности (а? > 0), амплитуда
волны растет с ростом скорости.
В диапазоне скоростей, соответствующем
случаю 1 (mi > 0, m2 > 0) при &з < 0, амплитуда волны уменьшается с
ростом скорости.
В остальных диапазонах скоростей эти зависимости не построены, так как они соответствуют физически нереализуемым случаям.
На рис. 7.3 и 7.4 показаны качественные зависимости амплитуды вол™ ны Л от коэффициента нелинейных искажений $ при фиксированной ско™
рости здесь1•
Когда параметр нелинейности положителен (&з > 0), скорости волн удовлетворяют условию У > 1 (рис. 7.3). В этом случае кривые А(У,е) лежат выше кривой, соответствующей У = 1; при увеличении скорости нарастание амплитуды с ростом $ происходит быстрее (Vi < 14)-
При &з < 0 скорости волн находятся в диапазоне Ni——< V <
< V1 — I——р (рис. 7.4), кривые Л(У, s) лежат между кривыми У* и У**; при увеличении скорости нарастание амплитуды с ростом $ происходит медленнее (所 < Ю
При mi < 0, т，2〉0 скорость распространения стационарных волн
находится в интервалах 0 < У < Ni 二 при &з 〉0 и ，1 — <
< У < 1 при &з < 0. В этом случае функция потенциальной энергии /(U) имеет локальный максимум /Шах(^ = 0) = 0 и локальный минимум
/min U/min U,т. е. точка (^mi/тз, 0) на фазовой плоскости
/min U
/min U
(О, —J является устойчивым положением равновесия типа «центр», а точка (0,0)——неустойчивым положением равновесия типа «узел». Ограни™ ченные решения существуют, если начальная энергия системы изменяется в пределах W 石 W Emax = 0. Различным значениям Е соответ™
ствуют различные типы решений. При ^^ < Е < 0 стационарные волны являются периодическими кноидальными волнами, при Е т Emin будут наблюдаться квазигармонические колебания, соответствующие движениям по замкнутым фазовым траекториям вблизи положения равновесия типа «центр», а при Е = Emax колебания на фазовой плоскости соответствуют движениям по сепаратрисе. Во всех этих случаях соответственно полином Е — /(U) имеет либо три различных действительных корня, либо (при Е = =Emin) два совпадающих больших корня 5 И 必，либо (при Е = Emax) два совпадающих меньших корня “ и U^. Положительные значения полинома находятся в области Uq < U < Ui. Поэтому, как и в случае 1, решения уравнения (7.6) находятся с помощью замены (7.7).
При Е = Emax = 0 стационарные волны уравнения (7.1) являются уединенными. В этом случае совпадают два меньших корня полинома: U^ = 二 U^. Ограниченные решения существуют в области Оз = “ W 石 W 石1 * Уравнение (7.6) примет вид
(U - 14)"з(5 - U)/3
которое после замены переменных (7.7) и интегрирования дает решение
0(8 = "+ (“ — ") sec/?0(8 = "+ (“ — ") sec/?(7」6)(7」6)
0(8 = "+ (“ — ") sec/?
0(8 = "+ (“ — ") sec/?
(7」6)
(7」6)
Решение (7.16)——предельный случай нелинейных периодических решений при s = 1. Введем обозначения:
2m，2V—m，i2m，2V—m，i(7/7)(7/7)
2m，2V—m，i
2m，2V—m，i
(7/7)
(7/7)
где Л* ——амплитуда, △——ширина солитона.
В солитоне постоянная составляющая отсутствует: Uo = 0. Решение (7.16) можно переписать в виде
4*cli2 ((ж — Vt) /△)'4*cli2 ((ж — Vt) /△)'(7Л8)(7Л8)
4*
cli2 ((ж — Vt) /△)'
4*
cli2 ((ж — Vt) /△)'
(7Л8)
(7Л8)
Качественный вид солитонного решения представлен на рис. 7.5. Пара™ метры солитонного решения связаны между собой соотношениями
』* = *"（「片2办阔，（7」9）
(7.20)(7.20)3 弱 —(N； (s/q )2 ++ N『a/g)2
(7.20)
(7.20)
V 2 cmAK2 уpc^(l — У2) — 2рАЫ^
Вид решения и зависимости между параметрами уединенной волны пред™ ставлены в табл. 7.1. Из графиков, приведенных в табл. 7.1, видно, что /2〃2冷
при скоростях V1 — < У < 1 (&з < 0) поведение уединенной
волны является классическим для солитонов: волна большей амплитуды имеет меньшую ширину и распространяется с большей скоростью. Когда
скорости волн находятся в интервале 0 < У < Ki—— (&з > 0) поведение со- Cl
литонов является аномальным: волна меньшей амплитуды имеет меньшую ширину.
Пусть mi > 0, mo < Q- Стационарные волны в этом случае раслро-
страняются со скоростями N]——< V < [/1 — при а3 > 0 и У > 1
при &з < 0. Смена знака перед нелинейным слагаемым в уравнении (7.1) приводит к тому, что на фазовой плоскости(U, ^) происходит поворот фазовых портретов, рассмотренных в предыдущих случаях, в противопо
ложную сторону, т. е. стационарные волны имеют в этом случае отрица™
тельную амплитуду. Изменение знака перед линейным слагаемым сдвигает начало координат в одно из положений равновесия: либо в «центр», либо в «узел». Функция потенциальной энергии /(U) имеет локальный максимум
/max U/max U-и локальный минимум /min(^ = 0) = 0. На
/max U
/max U
фазовой плоскости I U,фазовой плоскости I U,точка (^mi/m2, 0) является неустойчивым
фазовой плоскости I U,
фазовой плоскости I U,
положением равновесия типа «узел», а точка (0,0)——устойчивым положе™
нием равновесия типа «центр». Начальная энергия системы изменяется в пределах 0 = Е^ W 石 W ^max = ^^
Таблица 7.1
«з > 0
«з < 0
0 V土
3
2廿心
-—< У < 1
1 —。
А*
⑴_ch2 ((ж - V力)/△)
ch2 ((ж - V力)/△)
ЗАс 爲 0
Л* 二
二一¥"一l)_2心隠 UqA
Л* =--
我0入
[2Ы^Л + рС2(У2 — 1)]
При 0 < Е1 = Е2 < ^-2- в системе происходят периодические коле™ бания, соответствующие на фазовой плоскости движениям по замкнутым траекториям вблизи сепаратрисы. В этом случае корни 14,2,з различны, причем 石一/(U) > 0 при U3 < U < U^. Поэтому ограниченные реше™ ния уравнения (7.6) существуют в области U3 < U < U2. В этом случае с помощью замены
У2 =(О W 才，1)(72)
S —(>з
и интегрирования уравнение (7.6) приводится к неполному эллиптическому интегралу первого рода
(“ —Оз) (£ — &)=(“ —Оз) (£ — &)=уоуоdy，(1 — р2)(1 — 62g2)dy，(1 — р2)(1 — 62g2)(722)(722)
(“ —Оз) (£ — &)=
(“ —Оз) (£ — &)=
у
о
у
о
dy
，(1 — р2)(1 — 62g2)
dy
，(1 — р2)(1 — 62g2)
(722)
(722)
где s2 = (0 1). Обращая эллиптический интеграл при у = =0, go = 0, получим решение, описывающее периодические нелинейные волны:
U(£) = 5 + (5 — 5)5112U(£) = 5 + (5 — 5)5112(7.23)(7.23)
U(£) = 5 + (5 — 5)5112
U(£) = 5 + (5 — 5)5112
(7.23)
(7.23)
Введем в (7.20) следующие обозначения:
(7.24) где Л ——амплитуда колебаний, § ——коэффициент нелинейных искажения формы колебаний U(^, ш ——аналог частоты. Период колебаний равен
т. 2 Ат. 2 А(7.25)(7.25)
т. 2 А
т. 2 А
(7.25)
(7.25)
где К(偉)——полный эллиптический интеграл первого рода.
Решение (7.23) содержит параметры A, F, s, ш, Е, 14,2,3, которые связаны между собой соотношениями (7.5) и (7.24). В качестве двух незави™ симых переменных выберем амплитуду колебаний Л и коэффициент нели™ нейных искажений s. Тогда решение можно представить в виде
U⑹=_U⑹=_2ni22ni21 + S23s21 + S23s24- Asn24- Asn2(7.26)(7.26)
U⑹=_
U⑹=_
2ni2
2ni2
1 + S2
3s2
1 + S2
3s2
4- Asn2
4- Asn2
(7.26)
(7.26)
Качественный вид периодического решения представлен на рис. 7.6.
Параметры в решении (7.26) связаны следующим образом:
л 3wi УШ1
А =； ,ш = —；—*(7.27)
2m，2，1 — $2 + $44，1 — $2 + $4
Уравнение (7.26) примет вид
°⑹=^ (，1 - §2 + $4 — 1 — У)+4sn2@g,力(7.28)
Качественные зависимости амплитуды периодической волны от ее ско™ рости при различных значениях коэффициента нелинейных искажений при™ ведены на рис. 7.2. В диапазоне скоростей F > 1, соответствующем случаю 3 (mi > 0, m2 < 0) при отрицатель™ ном параметре нелинейности (&з < 0), амплитуда волны растет с ростом скоро сти.
В диапазоне скоростей N^J < V <
< у 1, соответствующем слу™
чаю 3 (mi > 0, m2 < 0) при &з > 0, амплитуда волны уменьшается с ростом скорости. Здесь si < $2 < §з； выделенная кривая s = 1 отвечает солитонному решению.
Качественные зависимости амплитуды волны Л от коэффициента нели™ нейных искажений s при фиксированной скорости показаны на рис. 7.4 (при а3 > 0 и диапазоне скоростей Ni ? < V < j) и рИС> 73
(при «з < 0 и F > 1). Здесь V* = Ni 土； V** =-"乙
'с/V 1 -沙
При mi < 0, m2 < 0 скорости волн в стержне удовлетворяют уело™
вию j 1 —< F < 1 при «з > 0 и условию 0 < F < №工々 при
«з < 0. Функция потенциальной энергии /(U) имеет локальный макси™
6時'6時'мум /max (U = 0) = О И ЛОКВЛЬНЫЙ МИНИМуМ /mjn ( U
6時'
6時'
т. е. на фазовой плоскости (U,浜)точка (—也,0)является устойчи™ вым положением равновесия типа «центр», а точка (0,0)——неустойчи™ вым положением равновесия типа «узел». Ограниченные решения суще™ ствуют, если начальная энергия системы изменяется в пределах ^^ 二 =石min W 石 W 石max = 0, ПрИЧСМ При 石一石min будут НаблЮДВТЬСЯ КВ&= зигармонические колебания вблизи положения равновесия типа «центр»,
а при 石=石max колебания на фазовой плоскости соответствуют движени™ ям по сепаратрисе. Во всех этих случаях соответственно полином Е — f{U)
имеет либо три действительных корня, либо два совпадающих меньших корня U^ и U^, либо два совпадающих больших корня U± и 厶* Положи™ тельные значения полинома Е f(U) находятся в области U3 < U < U^.
Рис. 7.7Рис. 7.7Поэтому как и в случае 3, решения уравнения (7.6) находятся с помощью замены (7.21).
Рис. 7.7
Рис. 7.7
При 石=石max = 0 стационар™ ные волны являются уединенными. В этом случае два больших корня поли™ нома совпадают: Ui =厶"В солитоне постоянная составляющая отсутствует: 仿=0* Ограниченные решения суще™ ствуют в области U3《Е《Е^. При™
U ⑹=U3 sec /?U ⑹=U3 sec /?меняя замену (7.21) к уравнению (7.6), получим решение, которое является предельный случай нелинейных периодических решений при 5 = 1:
U ⑹=U3 sec /?
U ⑹=U3 sec /?
(7.29)
Качественный вид солитонного рашения представлен на рис. 7.7.
(7.30)(7.30)Вводя обозначения
(7.30)
(7.30)
2m，2V m，2u3 m，i
где 厶* — амплитуда, △ — ширина солитона, решение (7.30) можно пере™ писать в виде*
°⑹ =d?((方一卜力)/△)‘(731)
где
厶* = ^f 力负1 — 1)— 2”N^] ,(732)
Основные зависимости между параметрами солитонного решения при™ ведены в табл. 7.2.
В диапазоне скоростей у 1 --——< F < 1 (при > 0) поведение солитонов является классическим: волна большей амплитуды имеет мень= шую ширину и распространяется с большей скоростью. Когда скорости волн удовлетворяют условию 0 < V < Ni 土 (при &з < 0) поведение со литонов является аномальным: волна меньшей амплитуды имеет меньшую ширину.
Таблица 7.2
§ 7.2. Модуляционная неустойчивостьквазигармонических изгибных волн.Стационарные волны огибающих
В линейном приближении решение (6.26) представляется в виде набора гармоник, частоты (ш) и волнового числа (к) которые связаны дисперсной™ ным соотношением
0(0,k) = к4 $0(0,k) = к4 $(1 + /) $* + /^(1 + /) $* + /^=0.=0.(734)(734)
0(0,k) = к4 $
0(0,k) = к4 $
(1 + /) $* + /^
(1 + /) $* + /^
=0.
=0.
(734)
(734)
Качественный вид дисперсионных зависимостей изображен на рис. 7.8.
Изгибные волны обладают сильной дисперсией, поскольку их фазовая
скорость 胃 = ? * const и различные гармоники распространяются с к
разными скоростями. Поэтому при наличии слабой нелинейности решение
(6.26) близко к решению линейной зада™ чи и его можно представить в виде набо™ ра квазигармоник. Кроме того, для систем с кубической нелинейностью эффект само™ воздействия обычно преобладает над эф™ фектом генерации высших гармоник и последним можно пренебречь [141]. Это позволяет отыскивать решения уравнения (6.26) в виде одной гармоники с медленно
меняющимися в пространстве и времени амплитудой и фазой:
(7*35)(7*35)W(；r, t) = A{sx,£t) expM^—k虞)+кс
(7*35)
(7*35)
где 厶(/,力)——комплексная амплитуда, шик удовлетворяют соотношению (734);
к кА 〜—< 1.
дх dt /
Используя метод усреднения по «быстрым» переменным [141], от (6.26) перейдем к укороченному уравнению огибающей квазигармонической вол™
ны. В системе координат, движущейся с групповой скоростью
^ = х — Vgrt, т = Et эволюция огибающих будет описываться нелинейным уравнением Шредингера
.3% dVgr а2А '3丁 + дк 然2.3% dVgr а2А '3丁 + дк 然2(7.36)(7.36)
.3% dVgr а2А '3丁 + дк 然2
.3% dVgr а2А '3丁 + дк 然2
(7.36)
(7.36)
часто встречающимся при изучении волновых процессов в оптике, физике плазмы, акустике, электродинамике [79, 104, 141].
ЗдесьЗдесьРис. 7.10Рис. 7.10
Здесь
Здесь
Рис. 7.10
Рис. 7.10
3k4a6W§
& = — 2Eg [1 + (1 + // 任孫))奴—2// (Nc^) J]呜”
При этом для стержней, изготовленных из большинства металлов и сплавов, величина — ‘> 0, поскольку коэффициент нелинейности
«6 < 0- Для композитных стержней знаки могут быть иными: а$ 〉0 а, 3k4aQWg / n следовательно,— 门。< 0.
2
Известно, что при определенных условиях квазигармоническая волна оказывается неустойчивой по отношению к разбиению на отдельные водно™ вые пакеты (модуляционная неусточи™ вость) [79]. Наличие в системе такой неустойчивости определяется по Крите™ рию Лайтхилла [79, 164]
Возможна ли модуляционная неустой™ чивость изгибных волн в балке? Ответ
на этот вопрос будет отрицательным, если пытаться искать его, о става™ ясь в рамках технической теории изгибных колебаний стержней (модель Бернулли-Эйлера) [51]. Модель балки Тимошенко дает иной результат:
квазигармонические изгибные волны могут быть как устойчивыми, так и
неустойчивыми в зависимости от частоты и принадлежности к той или иной диспер™ сионной ветви.
На рис. 7.9 изображена диаграмма, по™ казывающая при каких частотах (ш) и волновых числах (к) возможна модуля™ ционная неустойчиво сть. Область устой™ чивости отмечена квадратами, область неустойчивости ——крестами. Расчеты производились при коэффициенте Тимо шенко N = 0,98, коэффициенте Пуассона 〃 =0,3 и аб < 0.
Волны, описываемые нижней дисперсионной ветвью, в интервале 0， W k W 1 устойчивы. В этом интервале модели Тимошенко и Бернулли- Эйлера по дисперсионным свойствам идентичны. Волны, имеющие к в интервале (1, 2,8), неустойчивы к самомодуляции, а волны, у которых к > > 2,8, устойчивы.
Волны, описываемые верхней дисперсионной ветвью, в интервале 0， W k W 1,1 неустойчивы, а при к > 1,1 ——устойчивы.
Величина области модуляционной неустойчивости изгибных волн за™ висит и от упругих свойств материала стержня. На рис. 7.10 показано, что область неустойчивости увеличивается с ростом коэффициента Пуассона.
Если вместо комплексной амплитуды (Л) ввести действительную ам= плитуду (а) и фазу (0): А = а ехр {£。}, то уравнение (7.36) запишется в виде системыЕсли вместо комплексной амплитуды (Л) ввести действительную ам= плитуду (а) и фазу (0): А = а ехр {£。}, то уравнение (7.36) запишется в виде системы£/£\ £/а^а£ Л = 0 а丁〈 2 丿 д^ у дк д^ 丿£/£\ £/а^а£ Л = 0 а丁〈 2 丿 д^ у дк д^ 丿я ~— дтя ~— дтdvgr a2aai4r 2?丁毎 + 丁" +"" =0-dvgr a2aai4r 2?丁毎 + 丁" +"" =0-(7.38)(7*39)(7.38)(7*39)Определим, как будут выглядеть волновые пакеты, на которые разбивается квазигармоническая изгибная волна в результате модуляционной неустой™ чивости. Для этого достаточно проанализировать стационарные волны оги™ бающих.Будем искать решения системы (7.38), (7.39), зависящие от одной бе™ гущей переменной т] = — Vr, где V = const ——скорость стационарной волны: а = а(〃)，0 =。(办 В этом случае фаза волны 0 выражается черезОпределим, как будут выглядеть волновые пакеты, на которые разбивается квазигармоническая изгибная волна в результате модуляционной неустой™ чивости. Для этого достаточно проанализировать стационарные волны оги™ бающих.Будем искать решения системы (7.38), (7.39), зависящие от одной бе™ гущей переменной т] = — Vr, где V = const ——скорость стационарной волны: а = а(〃)，0 =。(办 В этом случае фаза волны 0 выражается черезее амплитуду а:ее амплитуду а:( 3k 丿 у а2( 3k 丿 у а2(740)(740)где d ——константа интегрирования, а изменение амплитуды описывается уравнением ангармонического осциллятора, содержащим нелинейность в отрицательной степени:где d ——константа интегрирования, а изменение амплитуды описывается уравнением ангармонического осциллятора, содержащим нелинейность в отрицательной степени:(741)(741)d" о9— о+ ТП!а + 77126r + go = О,d" о9— о+ ТП!а + 77126r + go = О,Заметим, что в уравнении (7.41) коэффициент перед а всегда положите™ лен, перед &一？ всегда отрицателен. Знак же коэффициента перед а" можетЗаметим, что в уравнении (7.41) коэффициент перед а всегда положите™ лен, перед &一？ всегда отрицателен. Знак же коэффициента перед а" можетбыть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от свойств материала и частотного диапазона. Изучаемой нами области модуляцион™ ной неустойчивости будет соответствовать положительное значение этого коэффициента.Для анализа уравнения (7.41) удобно перейти к новым переменнымбыть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от свойств материала и частотного диапазона. Изучаемой нами области модуляцион™ ной неустойчивости будет соответствовать положительное значение этого коэффициента.Для анализа уравнения (7.41) удобно перейти к новым переменнымУУУУдкдкТ/2Т/2出出(742)(742)
Если вместо комплексной амплитуды (Л) ввести действительную ам= плитуду (а) и фазу (0): А = а ехр {£。}, то уравнение (7.36) запишется в виде системы
Если вместо комплексной амплитуды (Л) ввести действительную ам= плитуду (а) и фазу (0): А = а ехр {£。}, то уравнение (7.36) запишется в виде системы
£/£\ £/а^а£ Л = 0 а丁〈 2 丿 д^ у дк д^ 丿
£/£\ £/а^а£ Л = 0 а丁〈 2 丿 д^ у дк д^ 丿
я ~— дт
я ~— дт
dvgr a2aai4r 2?
丁毎 + 丁" +"" =0-
dvgr a2aai4r 2?
丁毎 + 丁" +"" =0-
(7.38)
(7*39)
(7.38)
(7*39)
Определим, как будут выглядеть волновые пакеты, на которые разбивается квазигармоническая изгибная волна в результате модуляционной неустой™ чивости. Для этого достаточно проанализировать стационарные волны оги™ бающих.
Будем искать решения системы (7.38), (7.39), зависящие от одной бе™ гущей переменной т] = — Vr, где V = const ——скорость стационарной волны: а = а(〃)，0 =。(办 В этом случае фаза волны 0 выражается через
Определим, как будут выглядеть волновые пакеты, на которые разбивается квазигармоническая изгибная волна в результате модуляционной неустой™ чивости. Для этого достаточно проанализировать стационарные волны оги™ бающих.
Будем искать решения системы (7.38), (7.39), зависящие от одной бе™ гущей переменной т] = — Vr, где V = const ——скорость стационарной волны: а = а(〃)，0 =。(办 В этом случае фаза волны 0 выражается через
ее амплитуду а:
ее амплитуду а:
( 3k 丿 у а2
( 3k 丿 у а2
(740)
(740)
где d ——константа интегрирования, а изменение амплитуды описывается уравнением ангармонического осциллятора, содержащим нелинейность в отрицательной степени:
где d ——константа интегрирования, а изменение амплитуды описывается уравнением ангармонического осциллятора, содержащим нелинейность в отрицательной степени:
(741)
(741)
d" о9— о
+ ТП!а + 77126r + go = О,
d" о9— о
+ ТП!а + 77126r + go = О,
Заметим, что в уравнении (7.41) коэффициент перед а всегда положите™ лен, перед &一？ всегда отрицателен. Знак же коэффициента перед а" может
Заметим, что в уравнении (7.41) коэффициент перед а всегда положите™ лен, перед &一？ всегда отрицателен. Знак же коэффициента перед а" может
быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от свойств материала и частотного диапазона. Изучаемой нами области модуляцион™ ной неустойчивости будет соответствовать положительное значение этого коэффициента.
Для анализа уравнения (7.41) удобно перейти к новым переменным
быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от свойств материала и частотного диапазона. Изучаемой нами области модуляцион™ ной неустойчивости будет соответствовать положительное значение этого коэффициента.
Для анализа уравнения (7.41) удобно перейти к новым переменным
У
У
У
У
дк
дк
Т/2
Т/2
出
出
(742)
(742)
позволяющим переписать его в виде
^ + 〃 + + dJ = О,^ + 〃 + + dJ = О,(743)(743)
^ + 〃 + + dJ = О,
^ + 〃 + + dJ = О,
(743)
(743)
г" ^ I ^Ьто уравнение имеет первый интеграл
!（胃）+口（й）=石!（胃）+口（й）=石(7Л4)(7Л4)
!（胃）+口（й）=石
!（胃）+口（й）=石
(7Л4)
(7Л4)
где П(и) = |〃2 + :〃4 — ^“—2,石—константа интегрирования.
Аналитические решения уравнения (7.43) найдены и проанализированы в гл. 5. Амплитуда волн огибающих описывается выражением
I +24三^I +24三^—2厶()sn2(fe0C,s).—2厶()sn2(fe0C,s).(745)(745)
I +24三^
I +24三^
—2厶()sn2(fe0C,s).
—2厶()sn2(fe0C,s).
(745)
(745)
Здесь Ло = б 9 “ ——амплитуда стационарной волны огибающей, ко =
=— °з) ——аналог волнового числа, $ = 击— ——модуль
V 2'Ui — из
эллиптической функции. Через Ui (14 》5 》5) обозначены корни полинома P(U) = EU — ^U? — : U?十 ^。，которые имеют следующие значения:
。2 = I (2,1 + 3石 COS G + ^。2 = I (2,1 + 3石 COS G + ^(7Л6)(7Л6)
。2 = I (2,1 + 3石 COS G + ^
。2 = I (2,1 + 3石 COS G + ^
(7Л6)
(7Л6)
Ui = g ( 2 Vzi + 3石 cosUi = g ( 2 Vzi + 3石 cos
Ui = g ( 2 Vzi + 3石 cos
Ui = g ( 2 Vzi + 3石 cos
2歹W力）=± "2歹W力）=± "。(居 t)=。(居 t)=（需（需
2
歹W力）=± "
2
歹W力）=± "
。(居 t)=
。(居 t)=
（需
（需
Un = -^(2,1 + 3石cos ^ + 1),
/ 2(D/2 — 4/27 —2E/3)、 где 夕 =arccos-尸二二二二二二— .
\ 8(1 + ЗЕ)〃 + ЗЕ/27 丿
Решение (7.45) описывает периодические движения, форма которых в общем случае, несинусоидальна и определяется модулем s е (0,1 /2).
Таким образом, квазигармоническая изгибная волна, промодулирован™ ная по периодическому закону описывается выражением
где
犷=力一(Vgr + F^)t,
2—W + 24)2—W + 24)1 + Тs21 + Тs2—2人 sn2—2人 sn2
2
—W + 24)
2
—W + 24)
1 + Т
s2
1 + Т
s2
—2人 sn2
—2人 sn2
Периодическая последовательность волновых пакетов, на которые в ре™ зультате модуляционной неустойчивости разбивается изгибная волна, ка™ чественно (при §? близком к 1/2) изображена на рис. 7.11.
Г(хл)Г(хл)Рис. 7.12Рис. 7.12
Г(хл)
Г(хл)
Рис. 7.12
Рис. 7.12
В частном случае В = 0 уравнение (7.43) является уравнением Дуф™ финга, решение которого
МС = У^1 +vm^cn ((1 + ШГ1^ (, S) (748)
при 偉2 一 0 близко к синусоидальному, а при £? 一 1/2 имеет пилообраз™ ную форму.
В этом случае изгибная волна, промодулированная по периодическому закону, будет описываться выражением
2 I а ~
W(x.力)=± ^ а-^^ W(x,力)exp {i(ut - kx + 0)} + к.с. (7.49)
ЗдесьЗдесь
Здесь
Здесь
市也 t) = J-1 + " + 4石 СП I 千%
Периодическая последовательность волновых пакетов (7.49) качествен™ но (при §2 близком к 1/2 ) изображена на рис. 7.12.
Формально стационарные волны огибающих могут существовать и в отсутствии модуляционной неустойчивости. Такой случай был рассмотрен в [177], однако механизм их формирования при этом не очевиден.
§ 73. Нелинейные изгибные стационарные волны
В § 7.2 изучались особенности распространения квазигармонических изгибных волн в нелинейно-упругом стержне. Были проанализированы условия возникновения модуляционной неустойчивости таких волн, при™ водящей к их самомодуляции и формированию стационарных волн огибаю™ щих.
Рассмотрим случай, когда нельзя ограничиться изучением квазигармо™ нических процессов, а необходимо учитывать широкополостность нели™ нейных изгибных волн. При этом изгибные волны обладают большой ин= тенсивностью и находятся в области слабой дисперсии, т. е. в том диапазоне частот, в котором фазовые скорости различных гармоник близки между собой.
Решения уравнения (6.26) ищем в классе стационарных волн w = —г, где £ = х — Vt ——«бегущая» координата, V = const ——скорость волны. Уравнение (6.26) сведется к уравнению Дуффинга
d2wо+ mitt; + m2w = 0,d2wо+ mitt; + m2w = 0,(7.50)(7.50)
d2wо
+ mitt; + m2w = 0,
d2wо
+ mitt; + m2w = 0,
(7.50)
(7.50)
имеющему первый интеграл
Здесь miЗдесь miУ2У2к/ 9 , т，2 л-W + W 一 Шдк/ 9 , т，2 л-W + W 一 Шд7n27n2=0.=0.(7.51)(7.51)через Q обозначен полиномчерез Q обозначен полиномEQ噹EQ噹т° ——постоянная интегрирования, ат° ——постоянная интегрирования, а
Здесь mi
Здесь mi
У2
У2
к/ 9 , т，2 л
-W + W 一 Шд
к/ 9 , т，2 л
-W + W 一 Шд
7n2
7n2
=0.
=0.
(7.51)
(7.51)
через Q обозначен полином
через Q обозначен полином
EQ噹
EQ噹
т° ——постоянная интегрирования, а
т° ——постоянная интегрирования, а
Рис. 7.13Рис. 7.13
Рис. 7.13
Рис. 7.13
(752)(752)Q(V) = L - * (1 + 哉卜2 + *.
(752)
(752)
О возможности существования нелинейных стационарных изгибных
волн в том или ином классе материалов можно судить по знакам коэффи™
циентов mi и m2, & в конечном счете,——по знакам параметра нелинейно
сти («6/石)и положительной или отрица™ тельной определенности полинома Q(V)"
Знак полинома определяется из реше™ ния биквадратного алгебраического урав™ нения Q(V)= 0, имеющего корни 笃=1, , КС2
у^ = С2 = —^ < 1. Следовательно, полином является отрицательно определен™ ным (Q(V) < 0) в диапазоне скоростей С < |F| < 1 и положительно определен™
ным (Q(V) > 0), если скорость стационарной волны находится вне этого интервала, т. е. при \V\ > 1 или \V\ < С (рис. 7.13).
О знаке нелинейного слагаемого (а^/Е) говорилось выше. Напомним,
что для стержней, изготовленных из большинства металлов и сплавов, коэф™ фициент нелинейности &6 /石 < 0, а для композитных стержней возможно и &б/石 > 0.
Волны в металлическом стержне (%/石 < 0)
Стационарные изгибные волны могут распространятся со скоростями О < У < С или со скоростями У > 1. Волны являются периодическими и описываются выражением
(7.53)(7.53)，в(а = 4 cli(履,6),
(7.53)
(7.53)
где А ——амплитуда стационарной волны, k = Vmi + т2Л2 ——аналог
2т2Л2-
волнового числа, и =— ——модуль эллиптической функции,
2 (mi + m2
изменяющейся в интервале 0 s2 < 1/2 . При s2 0 волна (7.53) близка к гармонической, а при s2 1/2 ее профиль трансформируется в пилооб™ разный (рис. 7.14).
Рис. 7.14Рис. 7.15Рис. 7.14Рис. 7.15
Рис. 7.14Рис. 7.15
Рис. 7.14Рис. 7.15
Параметры стационарной волны (7.53) Л, У, з связаны соотношением
石若 2Ta6若 1 - 2N石若 2Ta6若 1 - 2N(О < У < Ц У > 1).(О < У < Ц У > 1).(754)(754)
石若 2T
a6若 1 - 2N
石若 2T
a6若 1 - 2N
(О < У < Ц У > 1).
(О < У < Ц У > 1).
(754)
(754)
Амплитуда изгибной стационарной волны растет прямо пропорционально росту скорости, а угол наклона прямой Л(У, s) зависит от величины модуля эллиптической функции и увеличивается при увеличении s. Качественная зависимость амплитуды волны от ее скорости при различных значениях коэффициента нелинейных искажений приведена на рис. 7.15 (кривые 厶 2, 3, соответствующие «i < s2 < s3). Амплитуды всех волн, скорости которых лежат в интервале 0 < У < С, изменяются от нуля до Л =
=~ 2 2. Изгибные стационарные волны, распространяющие / Ег? 2?
еся со скоростями У > 1, начинаются с амплитуды А=\-————.
V a6% 1 - 2s-
В диапазоне скоростей С < V < 1 для стержней с а^/Е < 0 нелинейных стационарных волн не существует.
На рис. 7.16 показана качественная зависимость амплитуды волны Л от коэффициента нелинейных искажений з при фиксированной скорости.
Рис. 7.16Рис. 7.16Кривые 4(У, з) лежат ниже зависимо сти 4 = cj 謠六产(кривая рис. 7.16) для скоростей 0 < У < С и выше / e片2
Рис. 7.16
Рис. 7.16
зависимости А = С %—~——-(кри-
вая 2, рис. 7.16) для волн со скоростями У > > 1. При увеличении скорости нарастание амплитуды с ростом з происходит быстрее. На фазовой плоскости (w, dw/d^) ре™
шениям (7.53) соответствуют замкнутые
фазовые траектории, концентрирующиеся вокруг особой точки типа
«центр», расположенной в начале координат.
Волны в стержне из композиционного материала («в/Е〉0)
Рис. 7.17Рис. 7.17Нелинейные стационарные изгибные волны могут формироваться во всем диапазоне скоростей (У). Однако в зависимости от величины ско™ рости имеются качественно различные волновые картины, поскольку при этом уравнение Дуффинга (7.50) имеет качественно различные решения. Типы фазовых портретов уравнения (7.50) в зависимости от скорости ста™ ционарной волны приведены на рис. 7.17.
Рис. 7.17
Рис. 7.17
Если скорость стационарной волны V < С или У > 1, то уравнение Дуффинга (7.50) имеет два типа финитных решений — периодическое и уединенное.
Периодическое решение выражается через эллиптический синус:
(7.55)(7.55)w(0 = Asn(k^s),
(7.55)
(7.55)
〜12т! +m2A2
где A амплитуда стационарной волны, к = у аналог
9т2Л2„ 工
волнового числа, s“ =——модуль эллиптической функции,
изменяющейся в интервале 0 s2 1.
Параметры изгибной стационарной волны связаны соотношением
Л = ±УЛ = ±УК 2s2К 2s2aeW 2~ + 1aeW 2~ + 1(О < У < Ц У > 1).(О < У < Ц У > 1).(7.56)(7.56)
Л = ±У
Л = ±У
К 2s2
К 2s2
aeW 2~ + 1
aeW 2~ + 1
(О < У < Ц У > 1).
(О < У < Ц У > 1).
(7.56)
(7.56)
Рис. 7.19Рис. 7.19
Рис. 7.19
Рис. 7.19
Амплитуда волн растет прямо пропорционально с ростом скорости, а угол наклона прямых (7.56) возрастает при увеличении s от 0 до 1. Поэтому графики зависимостей Л(У, s) (рис. 7.18, кривые /，2) лежат ниже соот・
ветствующей зависимости для уединенной волны А^ = ^V J Ery / o^W7^
(рис. 7.18, кривые 3). Из рис. 7.18 также видно,
что амплитуда волн, скорости которых нахо-
дятся в интервале 0 < У < С, не превосходит
/ Er2 2s2
величины А = С\ 丁工 八二 * , а волны со V &б* 2$2 + J
скоростями У > 1 не имеют линейного выро-
ждения, т. е. они начинаются с порогового зна・
висимость амплитуды от коэффициента нели™
нейных искажений при фиксированной скорости приведена на рис. 7.19, а, &
Уединенная волна, являющаяся предельным случаем периодических волн (7.55) описывается выражением
(757)(757)^(€) = ^ th(C/A).
(757)
(757)
Ее скорость (У), амплитуда (4f) и ширина (△) связаны соотношениями
4； = 土 V4； = 土 V1/21/2(О < У < С и У > 1),(О < У < С и У > 1),△ = ,2(1/2 —1)(у2_ С2"у.△ = ,2(1/2 —1)(у2_ С2"у.(7.58)(7.58)
4； = 土 V
4； = 土 V
1/2
1/2
(О < У < С и У > 1),
(О < У < С и У > 1),
△ = ,2(1/2 —1)(у2_ С2"у.
△ = ,2(1/2 —1)(у2_ С2"у.
(7.58)
(7.58)
Зависимость 4n17) выделена на рис. 7.18 жирной линией (кривая 3), а зависимость А(У) приведена на рис. 7.20. В этом случае при скоростях У > 1 проявляется аномальное поведение уединенной волны, которое вы™ ражается в увеличении ее длительности с ростом скорости и амплитуды.
Рис. 7.20Рис. 7.20При 0 < У < С поведение уединенной волны является классическим для соли™ тонов: большая по амплитуде волна име™ ет меньшую ширину и распространяется с большей скоростью.
Рис. 7.20
Рис. 7.20
Для скоростей, лежащих в интервале С < У < 1, фазовый портрет уравнения (7.56) содержит два устойчивых положе™ ния равновесия, в окрестности которых фазовые траектории имеют форму, близкую к эллипсу (рис. 7.17). В этом случае имеется три типа финитных решений.
нарная волнанарная волнаМН = ^2 сЬ(€/Д),МН = ^2 сЬ(€/Д),(7*59)(7*59)Одним из решений уравнения Дуффинга является уединенная стацио™
нарная волна
нарная волна
МН = ^2 сЬ(€/Д),
МН = ^2 сЬ(€/Д),
(7*59)
(7*59)
связывающая между собой два класса периодических волн. На фазовой плоскости это решение соответствует сепаратрисе, проходящей через нача™ ло координат (то = 0) и отделяющей одну область периодических решений (т0 < 0) от другой (т0 > 0).
Скорость (У), амплитуда (4$) и ширина (△) уединенной волны связаны
соотношениямисоотношениями名=± V名=± V(с(с△ = '(1 —⑦产―С2)/卜△ = '(1 —⑦产―С2)/卜(7.60)(7.60)
соотношениями
соотношениями
名=± V
名=± V
(с
(с
△ = '(1 —⑦产―С2)/卜
△ = '(1 —⑦产―С2)/卜
(7.60)
(7.60)
Зависимость Л^У) выделена на рис. 7.18 жирной линией (кривая 6), а зависимость А(У) приведены на рис. 7.20. В диапазоне скоростей < < У < 1 поведение уединенной волны является классическим для солито™ нов: большая по амплитуде волна имеет меньшую ширину и распространяв ется с большей скоростью.
Поведение уединенной волны становится аномальным в диапазоне ско™ ростей С < V < л/С. Здесь волны большей амплитуды имеют большую ширину.
Движения по замкнутым траекториям вблизи положений равновесия (в области (mg < 0)) описываются функциями дельта-амплитуды:
(7*61)(7*61)^(€) = 4 dli(依,力
(7*61)
(7*61)
где Л ——амплитуда стационарных волн,где Л ——амплитуда стационарных волн,аналог волновогоаналог волновогочисла, s2числа, s2= 2 1 += 2 1 +——модуль эллиптической функции.——модуль эллиптической функции.
где Л ——амплитуда стационарных волн,
где Л ——амплитуда стационарных волн,
аналог волнового
аналог волнового
числа, s2
числа, s2
= 2 1 +
= 2 1 +
——модуль эллиптической функции.
——модуль эллиптической функции.
Параметры волны связаны соотношением:
4 =丁(7*62)
Прямые зависимостей (7.62) при фиксированном коэффициенте нелиней™ ных искажений s заключены между прямыми зависимостей Л(У) для уеди™ ненных волн, т. е. Л^ W 4 W 抬(рис. 7.18, кривые 4, 5). На рис. 7.19, 6 тонкой линией показана зависимость амплитуды dn-волн от коэффициента нелинейных искажений при фиксированной скорости.
Другой тип периодических движений (в области (mg > 0)) описывается эллиптическим косинусом
w(^) = 4 cli(宛,6),(7.63)
где Л ——амплитуда стационарной волны, к = “皿 + дА?——аналог волнового числа,———модуль эллиптической функции,
2 (mi + m2 А2)
изменяющийся в интервале | < s ^ 1. Для таких волн связь между пара™ метрами Л, У, з имеет вид
Л = ±УЛ = ±УV a6(吗 2N - 1V a6(吗 2N - 1(С < V < 1).(С < V < 1).(7.64)(7.64)
Л = ±У
Л = ±У
V a6(吗 2N - 1
V a6(吗 2N - 1
(С < V < 1).
(С < V < 1).
(7.64)
(7.64)
/ Erl 2s2V a6W§ 2s2 + Г/ Erl 2s2V a6W§ 2s2 + Гвеличиной А =величиной А =Коэффициент наклона прямых зависимостей (7.64) при фиксирован™ ном 6 больше %/б, т. е. Л(У, s) 》А|(У). Эти периодические волны на™ чинаются с пороговой амплитуды А = Су —^^ ? ^ 十】 и ограничены
/ Erl 2s2
V a6W§ 2s2 + Г
/ Erl 2s2
V a6W§ 2s2 + Г
величиной А =
величиной А =
Однако при 尊2 T J угол наклона этих прямых неограниченно воз™ растает (рис. 7.18, кривые 7, 8)* На рис. 7.19, б жирной линией показана зависимость амплитуды сп~волн от коэффициента нелинейных искажений
при его изменении от 1 до - и фиксированной скорости.
ГЛАВА 8
РЕЗОНАНСНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯПРОДОЛЬНЫХ И ИЗГИБНЫХ ВОЛН В СТЕРЖНЕ
О нелинейных резонансных взаимодействиях
упругих волн
Предположим, что существуют источники, которые создают в безгра™ ничной упругой среде нестационарное поле смещений W(г,力)，а при нали・ чии других источников реализуется поле V(г,力).При наличии как тех, так и других источников, в случае линейной среды, получаем суперпозицию
U = v + W,(8」)
причем
5 (U) = Lj (V + W) = L3 (V) + L3 (W) = 0,(8.2)
где через Lj обозначены линейные операторы. Это может быть, например, оператор Ламе
а2
— (X + 2〃) grad div +д rot rot.
Иная ситуация возникает в нелинейной среде. Поля, создаваемые различны™ ми источниками, будут влиять друг на друга ——взаимодействовать. Част™ ным случаем не стационарных упругих полей являются квазигармониче™ ские волны.
В системах со слабой нелинейностью взаимодействие волн приводит к их существенному искажению лишь в том случае, когда взаимные воз™ мущения могут накапливаться на достаточно большом пространственно™ временном интервале, т. е. взаимодействие оказывается резонансным. Уело™ вие резонансности взаимодействия сводится к условию эффективного воз™ буждения одной из волн другими. Для квазигармонических волн это уело™ вие можно записать в виде
jj
^2 шзпз = △%；^2 к 产 7 = △к,(8.3)
片 1j=i
где 3j ——частоты и к《 ——волновые векторы взаимодействующих волн должны удовлетворять дисперсионному уравнению линейной задачи
0巧,七)=0.(8.4)
В (8.3) rij ——целые числа, AZj《ку, △%《——малые расстройки, J —— число взаимодействующих волн.
Трехволновые взаимодействия
В системе с квадратичной нелинейностью при коллинеарном распро™ странении двух плоских волн с частотами g】и ®2 возникает третья волна на комбинационной частоте. Эти волны//
образуют резонансную тройку, если их ча~3/3
стоты и волновые числа удовлетворяют 触〈*
условиям (Аш = ^к = 0)
а6
5 土 ®2 = ^з, 厄 ± 后=足力 (8*5)Рис. 8.1
где 3j = w(fcj), kj ——частоты и волновые числа взаимодействующих волн, удовлетворяющие дисперсионному уравнению (8.4).
На рис. 8.1 схематично изображены возможные типы трехволновых процессов: слияние двух волн в одну (а) и распад волны на две (6)*
Частными случаями этих процессов являются генерация второй гармо™ ники, второй субгармоники (деление частоты пополам) и параметрическое усиление ® = ш2 = ш3/2).
Четырехволновые взаимодействия
В системах с кубической нелинейностью число резонансно взаимодей™ ствующих волн не может быть больше четырех. Для четырехволновых резонансных взаимодействий плоских волн должны выполняться условия
± 5 ± 5 = к] 士 к? 土 кз =卜4)(8.6)
где wj, kj удовлетворяют дисперсионному уравнению (8.4).
Рис. 8.2
На рис. 8.2 приведены диаграммы различных типов четырехволнового взаимодействия.
Трехволновые взаимодействияпродольных и изгибных волн
В работах, посвященных изгибным колебаниям стержней при конечных прогибах, часто принимается допущение о квазистатическом растяжении срединной линии, что позволяет избавиться от связи изгибных колебаний с продольными волнами. Однако при высоких частотах вибраций, вообще говоря, нельзя пренебрегать динамическими эффектами, возникающими
при растяжении срединной линии, а следовательно, и взаимным влиянием продольных и изгибных волн. Учет этого фактора приводит к появлению новых нелинейных эффектов. Изучение различных типов взаимодействия продольных и изгибных волн, по-видимому, сможет помочь разобраться в механизме динамической потери устойчивости стержней и цилиндриче™ ских оболочек при осевом ударе. В настоящем параграфе рассматриваются частные классы решений системы (6.13), (6.14), описывающие трехчастот™ ные резонансные взаимодействия продольных и изгибных волн.
Взаимодействие бегущих волн
Решение системы (6.13), (6.14) будем искать в виде набора бегущих гар™ монических волн с медленно меняющимися комплексными амплитудами
и(х.力)=£ Bn(^t, 〃z) exp {i(Ont — Knx — ^n0)} + 〃Qi(z, t) + к.с.,
(8⑺
м
w(x.t) = £ 4n(A広〃力)exp{5(w„J — km。+ Vw。)}十 〃<?2(呢力)+ КС, z(8.8)
где к.с. — обозначает комплексно-сопряженную часть решения, Лш, Вп — комплексные амплитуды,夕九о и *по ——начальные сдвиги фаз, Qi,2 —— малые добавки, 〃《1 ——малый параметр. При слабой нелинейности взаи™ модействие приводит к существенному изменению амплитуд волн толь™ ко в том случае, если возмущения могут накапливаться на достаточно большом пространственно-временном интервале (резонансное взаимодей™ ствие), иначе возмущения будут незначительными (〜д) и ими можно пре™ небречь.
Известно, что в системах с квадратичной нелинейностью при распро™ странении двух волн возникает третья волна на комбинационной частоте. Если частота и волновое число возникающей волны удовлетворяют дио персионным соотношениям, то волна будет нарастать по мере распростра™ нения.
В рассматриваемой системе реализуется резонансное взаимодействие трех волн, две из которых ——изгибные и одна ——продольная. Частоты и волновые числа этих волн связаны условиями синхронизма
± W2 = О, & 土 府=К 〉0)О > 0)(8.9)
и удовлетворяют дисперсионным соотношениям
О = КО = К(1 十 и^г^К2 у(1 十 и^г^К2 у(8.10)(8.10)
О = К
О = К
(1 十 и^г^К2 у
(1 十 и^г^К2 у
(8.10)
(8.10)
2 (吟吟+沙%勿号+标(j"" c汰1/2
—\ 1г2(1 У)к + P2(J1/F)^4 у '
Рассмотрим случай, когда высокочастотной является продольная волна (т. е. О = wi + ®2)* Условия (8.9)-(8.11) удовлетворяются, если2
На рис. 8.3 изображены дисперсионные характеристики продольных (/) и изгибных (〃) волн, а также тройка взаимодействующих волн, удовлетво™ ряющих условиям синхронизма (89).
Из (8.12) следует, что 足1足2 < 0, т. е. изгибные волны, удовлетворяющие условиям синхронизма, должны распространяться навстречу друг другу. Методом усреднения по «быстрым» переменным получим систему уко™ роченных уравнений для определения комплексных амплитуд взаимодей™ ствующих волн:
^+dKB-=^IbQexp^b(8」3)
1= 7^г exp {一汨} ++
+ 2期也广人)，(8Л4)
42式+exp{-56}+142『42+
yak J 21 2^21 2^2
+ 2^|Л1|2Л1). (8Л5)
Здесь 0 = ^ю + ^20 —夕。——фаза взаимодействия; rpyn- повые скорости изгибных и продольных волн; Го = 1 + 庐吟К?, Гт = =(1 + Гу(1 — 沙)к? + 2722k2), m = 1, 2; коэффициент нелинейного взаи™ модействия равен
О =—乎卜 + 24+『；卜 + 达一曰^*2 —《+ 4c；)R2] J .
(8.16) Отсюда видно, что эффекты, связанные с геометрической нелинейностью, пропорциональны третьей степени волнового числа, а эффекты, связан™ ные с физической нелинейностью,——пятой степени. Поэтому для длинно™ волновых возмущений (8.7) и (8.8) (кт « 2тг/а, а ——поперечный размер стержня) геометрическая нелинейность будет существенно преобладать над физической. Кроме того, кубическая нелинейность, связанная с изгибны™ ми деформациями, входит в (8.13) с мнимой единицей и, следовательно, влияет лишь на фазы взаимодействующих волн. Система (8.13) обладает интегралом движения, имеющим смысл закона сохранения энергии
+ 石 2)+ ^(50 + 51 + 52) = 0, (8Л7)
где Ет =ГтЗ*147M2 — плотности энергий изгибных и Eq = Г0О2 |В|2 — продольной волны; Sm = (dbj/dk)m Ет, S。= (dQ/dk) Ео ——плотности потоков энергий. Кроме того, выполняются следующие частотно-энергети™ ческие соотношения
аааа++++&-Q&-Q=0,=0,аааа生5+生5+++аааа三+三+++50-Q50-Q(8.18)(8.18)
аа
аа
+
+
+
+
&-Q
&-Q
=0,
=0,
аа
аа
生5+
生5+
+
+
аа
аа
三+
三+
+
+
50-Q
50-Q
(8.18)
(8.18)
являющиеся континуальным аналогом соотношений Мзнли—Роу, извест™ ных в теории нелинейных колебаний.
В стационарном случае (д/дх = 0) из соотношений (8.16) следует
SoSoSiН= const,SiН= const,SoSoS2Н= const, ®2'S2Н= const, ®2'SiSi®1®2®1®2constconst
So
So
Si
Н= const,
Si
Н= const,
So
So
S2
Н= const, ®2'
S2
Н= const, ®2'
Si
Si
®1®2
®1®2
const
const
Они показывают, что продольная волна высокой частоты П распадается на две изгибные волны более низких частот ®i и ®2 (распадная неустойчивость). При этом распределение энергии между изгибными волнами описывается следующим выражением:
(8Л9)(8Л9)
(8Л9)
(8Л9)
Взаимодействие стоячих волн
В стержне, имеющем конечную длину, не всегда удается создать режим бегущих волн. В связи с этим представляет интерес исследование нелинейного резонансного взаимодействия стоячих волн.
Представляя решение в виде набора стоячих гармонических волн с медленно меняющимися комплексными амплитудами
u(x,t) = [Bn(fit) exp{zfint} +
+ 石狀从力)exp{-zfint}] cos(Knx + ^„0)+ мО2(^Д), (8.20)
м
W(x,f) = £ HTO(/xf) exp{zwTOf} +
+ Knk^) exP{^^m4] cos(lTOx + ^TOo) + /xQi(x,t), (8.21)
из системы (6.13), (6.14) получим укороченные уравнения для определения действительных амплитуд am(t\ bn(t) и фаз ^n(t), ^m(i) (4几 = = aw exp {iipm}', ^n = bn exp {z^n}) взаимодействующих волн, удовлетворяющих условиям синхронизма (8.9) и дисперсионным уравнениям (8.10), (8.11):
• D..D T л
b =。1。2 sm 仇 м = — 02bsm 仇 м = —мЬ sm 仇
11 232
(8.22)
a = —D I 卜 T；— cos у + l ГlWiciiГ2s2a2Го^Ь/
+(^iai + 2启@i) +(^2a2 + 2^iai)
4 I 1(J11 2^2 '
где D ——коэффициент нелинейного взаимодействия (8.14); 0(力)=夕一吵i — —吵2； а начальные фазы 夕°, ^i,吵2 подчиняются условию, полученному ранее для бегущих волн. Предположим, что в начальный момент времени в стержне была возбуждена мощная продольная волна частоты П слабая
изгибная волна на частоте ®i. В процессе их взаимодействия будет генерироваться изгибная волна разностной частоты ®2 = Q — ®i* Принятые предположения соответствуют начальным условиям
(8.23)(8.23)Ь(0) = Ьо? «1(0) = «о? «2(0) = 0-
(8.23)
(8.23)
Из уравнений (8.20) следует, что кубическая нелинейность системы непосредственно не влияет на изменение амплитуд взаимодействующих волн, а сказывается лишь на изменении их фаз. Кроме того, она является величиной более высокого порядка малости по сравнению с квадратичной нелинейно™ стью, так как пропорциональна четвертой степени волнового числа. При кт « 2тг/а можно пренебречь кубической нелинейностью, тогда система уравнений (8.20) становится интегрируемой, и ее решения выражаются через эллиптические функции Якоби. Изменение амплитуд взаимодействующих волн описывается следующими выражениями:
b⑴=瓦 sn(^,s),
小阮“ 中 7 E 、（*24）
где £ = К(8)+ Db()t/sVTIr^wo, K(s) ——полный эллиптический интеграл первого рода, s = 历“]?。^/(Гiwiag + FoQb^) 1'?——модуль эллиптической функции.
Взаимодействие стоячих волн имеет характер биений, период которых определяется выражением Ti = 2sy/FiT^i^K(s)/b^D. Расчеты показывают, что в стальном стержне с площадью поперечного сечения F = 1 см2 при возбуждении продольных колебаний на частоте /о = С/27r = 10 кГц (длина волны Ао = 50 см) с амплитудой 6。= 10 мк (&0 = 3 ■ 10^5) возникают изгибные колебания на частотах /1 = 4 кГц (Ai = 18 см) и /2 = 6 кГц (Ai = 15 см). Если амплитуды начального возмущения изгибных волн равны «о = 0,16。и 62(0) = 0, то полная перекачка энергии из одного типа волн в другой происходит за время At 〜lO^1 с (полупериод биений). Коэффициент усиления изгибной волны на частоте Д равен maxai(t)/fto = =Q = 16, а максимальная амплитуда изгибной волны на частоте /2 равна max а?(.力)/«о = 13. В этом случае модуль эллиптических функций s ^0,998 и изменения амплитуд взаимодействующих волн имеют ярко выраженный ангармонический характер (рис. 8.4). Если в начальный момент времени в стержне наряду с продольной волной существовала изгибная волна амплитуды «о = 6。，то коэффициент усиления этой волны Q = 1,9, а полная перекачка энергии продольной волны в изгибные волны происходит за время At 4 • I。— ？ С.
Заметим, что здесь не учитывались нелинейные искажения самой продольной волны, которые возможны и в отсутствии изгибных возмущений. Искажения продольной волны возникают за счет возбуждения ей своих высших гармоник и, прежде всего, второй гармоники. Эффективная генерация
Рис. 8.4второй гармоники будет происходить в системе при выполнении условий синхронизма电=2Q К о = 2К,(8.25)Рис. 8.4второй гармоники будет происходить в системе при выполнении условий синхронизма电=2Q К о = 2К,(8.25)
Рис. 8.4
второй гармоники будет происходить в системе при выполнении условий синхронизма
电=2Q К о = 2К,(8.25)
Рис. 8.4
второй гармоники будет происходить в системе при выполнении условий синхронизма
电=2Q К о = 2К,(8.25)
которые следует рассматривать совместно с дисперсионным уравнением (8.10). Укороченные уравнения, описывающие изменение комплексной амплитуды продольной волны Bi и амплитуды ее второй гармоники В2, имеют
вид
月中=俏а(1十f/广产见月中=俏а(1十f/广产见(826)(826)
月中=俏а(1十f/广产见
月中=俏а(1十f/广产见
(826)
(826)
- 2例口(1十4川呜"
Эта система позволяет определить время, за которое можно ожидать значительной перекачки энергии продольной волны в энергию ее второй гармоники:
(8.27)(8.27)2poQ(l + 4x/2r>^2)= за …
(8.27)
(8.27)
Важной характеристикой является отношение этого времени к характерному времени перекачки энергии от продольной волны в изгибные волны (〜0,5△力)
△力〜3aisK(s)K3 у/Ш1Ш2
2△力2^poDd
Если «о 二 6。и 匕2(°) = 0, т. е. амплитуды продольной и изгибной волн имеют одинаковый порядок, то г ^0,3. Перекачка энергии продольной вол™ ны в высшие гармоники в этом случае незначительна. При «о = 0,16。， 62(.0) = 0 получаем 丁 ^ 0,8. Возбуждение изгибных волн успеет произойти и в этом случае, однако их амплитуды будут меньше рассчитанных по (8.22), так как при искажении продольной волны уменьшается амплитуда ее основной гармоники.
ГЛАВА 9
ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНО^УПРУГИХ СТЕРЖНЯХС НЕЛИНЕЙНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Сведение краевых задач в частных производныхк решению задачи Коши
для обыкновенных дифференциальных уравненийс отклоняющимся аргументом
Линейные распределенные системы с нелинейными граничными закреплениями занимают некоторое промежуточное положение между линейными и нелинейными распределенными системами. Исследования таких систем имеет свою специфику, так если диссипативными и дисперсионными эффектами в линейной части системы можно пренебречь, то начально-краевая задача может быть сведена к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами нейтрального типа. Термин нейтральный тип уравнения означает, что отклоняющийся аргумент присутствует в старшей производной [129]. Для таких уравнений известно, что даже гладкие начальные условия могут при™ водить к разрывным решениям. Переход от краевой задачи в частных производных к начальной задаче для дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами позволяет учесть краевые условия весьма широкого класса (нелинейные, с переменными параметрами, с источниками энергии, подвижные и т.п.) и не нуждается в дополнительных упрощающих предположениях.
Это можно продемонстрировать на примере линейного волнового уравнения без дисперсии и потерь:
Граничные условия запишем в виде дифференциальных (в общем случае интегро-дифференциальных) операторов с переменными коэффициентами
2力)」1(力)=①1 ⑴，△ (u,ut,ux,t)\x=h{t)=①2⑴，(92) а начальные распределения искомой функции и ее производной по времени удовлетворяют условиям:
u\t=Q = Oo(z), 才 =Vq(x),厶(0) w Z W /2(0),(9.3)
t=0
где #i (t) и ①2 (力)——внешние источники на подвижных границах z =厶(力)， z = Z2⑴，A(力 W 22(&
Подставляя решение волнового уравнения (9.1) в виде бегущих волн и(ж, t) = u-i(t.+x / c)+u2(t — x / с) в краевые условия (9.2), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом (система уравнений нейтрального типа)
( hi (t + 丁i) + 我2 (力一n)], hl (t + n) + u2 (力一丁/,
I M (力 + 丁1) + 必(力一丁1)] /)=①1(北 (9.4) 0"2 (加1 (力 + n)+ 我2 (t — T),[u[ (t + T1) + u2 (t — 丁1)],
；[*(t + 丁 1) + 心(t - 丁/，力)=①2 ⑴*
Здесь 丁1 二 厶(力)/0， 丁2 = h(t)/C; штрихи означают дифференцирование функций iii, 口2 по всему аргументу.
Для решения системы (9.4) необходимы начальные условия на 口⑦(力 土 ±£/С), которые получаются путем разложения начальных возмущений (9.3) по бегущим волнам при 力=0:
i2(o)+t
h(0) Ct ^ l2(0),h(0) Ct ^ l2(0),1f
h(0) Ct ^ l2(0),
h(0) Ct ^ l2(0),
S ⑴=/и。⑴+0% ⑹ d£
(9.5)(9.5)皿1(о)—tи
(9.5)
(9.5)
h(o)+t
他⑴=! Uo ⑴一0J %⑹ d£ ,厶(0) WEWZKO, _Zi (0) — t_
При этом, естественно, должны выполняться условия согласования начальных и граничных условий (9.2), (9.3), атак же условия дифференцируемости функций.
Отметим, что исследование волновых процессов в отрезке линейной среды с сосредоточенными нелинейностями на границах представляет интерес во многих отраслях физики и техники [117—119], где такие процессы используются для синхронизации мод резонатора и формирования коротких импульсов. Системы такого рода являются частным случаем перио™ дических структур с нелинейными дискретными элементами. Их важным свойством является то, что распределения полей в любой точке распределенного звена можно выразить через значения полей в точках подключения нелинейных элементов. Это позволяет свести исследование динамики распределенной системы к анализу процессов на ее границах. Если одна из границ неподвижна (например 厶⑴=0), то поля их и щ в произвольной
точке z иногда бывает удобно выразить через поля в точке ж = 0 операторными соотношениями
ди(х, t) .力)а〃(о,力)
—— = Sinlipx h coslipx—7-—,
0力ot
..(9.0)
ди(х,ди(О, t). ди(О, t)
с = coslipx+ sinlipx о ,
дхдхdt
где exp {±pt} — оператор сдвига, (exp {±pt} f(t) = f(t 土 ж)), coslipx = = I (exp {pt} + exp {—p力})，sinhpx = | (exp {pt} — exp {^pt}).
Теоретически очевидно, что исследование задачи (94)—(9.5) ничем не легче исследования (9.1 )-(93), так как это просто разные формы записи одной и той же задачи. Однако для исследования с помощью ЭВМ форма (9.4)-(9.5) может быть предпочтительнее, поскольку не требует использования сеточных методов, что может существенно сократить объем программы и время на ее отладку. К тому же в ряде случаев, когда линеаризованные граничные условия близки к идеальным (например и = 0 или их = О при z = li), т. е. дисперсия границ мала1, у системы могут иметься стационарные периодические решения с периодом, кратным времени пробега волны. В этом случае использование условий периодичности приведет постановку (9.4)-(9.5) к аналогичной системе уравнений с малым отклоно- нением аргументов. Неизвестные функции % могут быть разложены в ряд по степеням этого малого отклонения аргумента, что сведет задачу к системе обыкновенных дифференциальных (или интегро-дифференциальных) уравнений уже без отклоняющегося аргумента. При этом суммарный дифференциальный порядок системы и степень ее адекватности исходной системе зависит от количества удерживаемых членов ряда. Полученная таким образом (приближенная) система уравнений может описывать только периодические процессы.
Периодические волны в стержнес нелинейно-упругим закреплением
В качестве примера рассмотрим динамические процессы в стержне с одним жестким (z = 0) и одним нелинейно-упругим закреплением (ж = L) (рис. 9.1). Для длинных продольных волн нелинейная краевая задача, описывающая свободные колебания стержня в безразмерных переменных (а/ = —x/L, tf = Cst/L) имеет следующий вид (штрихи у безразмерных переменных опущены):
utt ихх = °,口1»=0 = °,
(9.7) их\х=1 =卜虱―〃①О), 川仁о = Uo(z),仁° = %(z)
^Ири отражении от упругой границы гармоническая волна приобретает сдвиг фазы, который изменяется с увеличением частоты нелинейно. Отклонение сдвига фазы волны от линейного закона можно рассматривать как дисперсию.
где Ф(и)——произвольная функция, определяющая вид нелинейности,从—— малый параметр, характеризующий слабое влияние нелинейности границы, к ——жесткость пружины, По(力)и Vq(x)——некоторое начальное распределение смещений и скоростей вдоль стержня, а квадрат стержневой скорости С] = Е/р ——есть отношение модуля упругости материала Е к линейной плотности стержня р.
Подстановка решения в виде бегущих волн в систему (9.6) приводит к дифференциально-разностному уравнению с отклоняющимся аргументом:
и (t + 1) + u(t — 1) = k [u(t + 1) — u(t — 1)]—从①(u(t + 1) — u(t — 1)).
(9*8)
В случае, когда упругое закрепление обладает кубической нелинейно™ стью, краевая задача (9.8) сводится с помощью метода изложенного в предыдущем параграфе к решению нелинейного дифференциально-разностного уравнения
[u(t) + 前(力一2)] — k [u(t) — M力一2)] + k/х [口⑴一M力一2)]3 = 0 (9.9) с начальными условиями на интервале запаздывания:
丁一1■
次力二! J %(£)d£ —Uo(—1) , OW 公 2*(9.10)
„ ом
Здесь параметр к пропорционален отношению коэффициента упругости граничного закрепления к волновому импедансу стержня и характеризует как жесткость пружины (рис. 9.1), так и время взаимодействия волны с границей.
Если к《0 (или к》1)，то стержень с такими граничными условиями в линейном приближении (〃 = 0) представляет собой четвертьволновый (или полуволновый) резонатор. При этом у системы (9.9)-(9.10) имеются стационарные периодические решения, период которых кратен времени пробега волны по стержню и определяется наинизшей собственной частотой линеаризованной системы, т. е. Т = Тп + А, где Тп ——период
наинизшей гармоники волны в линейном приближении, △——нелинейная расстройка. Воспользовавшись тем, что при к》1 время пробега волны вдоль стержня близко к целому числу полупериодов стационарной волны, можно записать условия периодичности:
u(t) = —М 力—2 — △卜 (9.11) где △——малое запаздывание, характеризующее относительное время взаимодействия волны с нелинейно-упругой границей, а при к《1 условия периодично сти имеют вид
u(t) = М 力—2 +△卜 (9.12) Раскладывая правые части условия периодичности в ряд по малому △ и подставляя в (9.9), ограничиваясь членами порядка А3 приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению1, описывающему динамику осциллятора с возвращающей силой пропорциональной кубу смещения —— уравнение Дуффинга:
F"(£)+J?® —е (9ЛЗ) где F (£) = ЗАи^ (£), а? = 2 (1 — kA) А^2, q 二 2p±/\一L Если заменить £ на 力土 ж, то входящая в уравнение функция F (£) будет определять бегущую волну напряжения с точностью до членов порядка А3. Аналогично при к « 1 получим (9.13), где F (£) при £ =力土力 описывает бегущую волну смещения, при этом ®? = к/ (工 + △, а = 2〃к/4 (1 + к А А.
Мы не будем останавливаться на решении уравнения Дуффинга, оно достаточно подробно изложено в гл. 5. Что же касается малого параметра А, который по сути определяет период стационарных колебаний системы, то его можно вычислить из разности периодов колебаний линеаризованной системы (при /х = 0) и получаемого периода решения уравнения Дуффинга, он имеет достаточно сложное выражение через эллиптические интегралы и зависит от амплитуды волны.
Заметим, что периодические стационарные волны могут реализоваться в рассматриваемой системе только при соответствующих начальных условиях. При других же начальных условиях в системе скорее всего будет наблюдаться «непрерывный переходный» процесс, т. е. распространяющиеся в стержне волны не будут стационарными. Это является следствием того, что консервативная (пассивная) нелинейность не обладает организующим свойством (т. е. не приводит к образованию стационарных движений или предельных циклов).
В противоположность пассивной, активная нелинейность, управляющая энергетикой системы, как правило, приводит к формированию, из любых начальных условий, установившихся стационарных движений, которые называются предельными циклами системы. Теперь перейдем к более подробному изучению таких движений, обусловленных активной нелинейностью.
】Из соображений симметрии, технически удобнее осуществлять подстановку в (9.8).
Крутильные автоколебания вращающегося стержня
Рассмотрим крутильные колебания тонкого стержня кругового попе™ речного сечения, которые в области линейного закона Гука описываются волновым уравнением
е« с^ехх = о.(9.14)
Один конец стержня (z = 0) вращается с постоянной угловой скоростью:
0/0/(9Л5)
0/
0/
а на другом конце (ж = 1) закреплен диск с моментом инерции, находящий
ся в непрерывном контакте с внешней поверхностью и взаимодействующий с ней посредством сил трения (рис. 9.2):
(Jq€^ + GJkBxmtp (6))1=^ = 0.
9(9」6)
Здесь С^ = G/р, G ——модуль упругости при кручении, р ——плотность материала, А ——момент инерции при кру
чении, О (ж,力)——угол поворота сечения, mtp (О^)——момент сил трения диска о поверхность.
Момент сил трения имеет падающий участок (рис. 9.3), и в точке перегиба (т^р (®?)二 0)его можно разложить в ряд по степеням ⑶厶 ограничиваясь в разложении кубическими слагаемыми:
mtp (О" = т0 7П1 ©t + m3O^ +。(О；) .(9.17)
Переходя к безразмерным величинам
GJkL^GJkL^QQ(9Л8)(9Л8)У = x/L, г = y/G/pt/L,/3
GJkL^
GJkL^
Q
Q
(9Л8)
(9Л8)
и вводя новую искомую величину 夕(g, т), характеризующую отклонения
движения стержня от равномерного вращения и статической закрутки (m0Ly/GJ)
夕(…)=@ (小丁) -^^/一财,(9.19)
получим нелинейную однородную краевую задачу относительно новой величины 夕：
夕 тт — Ру у = °,^1^=0 = a
[J屮TT + 屮у - Q3Т + 0夕3] y=l = 0*
—(9.20)
Подстановка в граничные условия (9.20) решения в виде бегущих волн
少(% 丁)=夕(丁 + g)一夕(丁 一 U)(921)
приводит (9.20) к дифференциально-разностному уравнению в обыкновенных производных:
J к" (7 +1)一9"(7 - i)] + К(T +1) + "(7 一 i)]—
—а У(Т + 1) — "(丁 — 1)] + 户 У(т + 1) — "(丁 — I)]3 = 0, (9.22) которое относительно производной u(r)=夕，(丁) является дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом (уравнение нейтрального типа)
J [〃(т + 1) — и {т — 1)] + [и (г + 1) + и (г — 1)]—
—а [и(т + 1) — и (г — 1)] + / [и(丁 + 1) _ и (г — I)]3 = 0. (9.23)
Форма колебаний стержня зависит от характера спектра собственных частот соответствующей линейной консервативной системы (а = /3 = 0):
ctg П = «Ж(9.24)
Для реальных конструкций обычна частотно зависимая диссипация, которая приводит к быстрому затуханию колебаний на высоких частотах, по™ этому будем интересоваться началом спектра. Из спектрального уравнения (9.24) следует, что имеется три качественно различных вида расположения собственных частот системы, определяющих ее динамическое поведение.
Релаксационные автоколебания
Если относительная инерция диска мала (J《1), то начало спектра эквидистантно. В предельном случае, когда диска на конце стержня нет (J = 0), установившийся процесс автоколебаний, развивающийся из заданных начальных условий, описывается разрывной функцией:
(где п ——номер собственной формы, по которой задано начальное возмущение), что легко проверяется подстановкой (9.25) в (9.23), а также может быть получено графически с помощью построения Ламерея [3,23]. Остано™ вимся на анализе автоколебаний, когда инерцией диска пренебречь нельзя (J ? 0). Пусть и。(丁)——решение порождающего уравнения соответствующей консервативной системы (а = /3 = 0), тогда установившейся режим будем искать в виде
и(т + 1) — и(т — 1)=』(丁)做行(丁 + 1) — и。(丁 一 1)],
(9.26)
u(r + 1) + u(r — 1) = Л (г) [u0(T + 1) + "и( 丁 一 1)].
Подстановка (9.26) в (9.23) приводит к уравнению Бернулли. Можно показать, что при нулевых начальных условиях (Л(0) = 0) решение
4(7)=4(7)=[w(€ +1) — w(€ — i)「dg[w(€ +1) — w(€ — i)「dg— 1/2— 1/2
4(7)=
4(7)=
[w(€ +1) — w(€ — i)「dg
[w(€ +1) — w(€ — i)「dg
— 1/2
— 1/2
(9.27)
соответствует установившемуся процессу. Из (9.26) следует условие периодичности на функцию А(т)1
А(т + 1) = А(т — 1).А(т + 1) = А(т — 1).(9.28)(9.28)
А(т + 1) = А(т — 1).
А(т + 1) = А(т — 1).
(9.28)
(9.28)
Точность выполнения (9.28) является точностью решения (9.27) и, следовательно, (9.23). Окончательное решение имеет вид
心）=（丁）心）=（丁）2В72В7XX
心）=（丁）
心）=（丁）
2В
7
2В
7
X
X
— 1/2
XXexpоexpо["0(g + 1) - "()(g - 1)「dg["0(g + 1) - "()(g - 1)「dg(9.29)(9.29)
X
X
exp
о
exp
о
["0(g + 1) - "()(g - 1)「dg
["0(g + 1) - "()(g - 1)「dg
(9.29)
(9.29)
Переходя здесь к пределу J 7 0, приходим к выражению (9.25), причем условие (9.28) выполняется точно. Таким образом, с помощью изложенной процедуры можно получать приближенные аналитические решения для стационарного движения стержня с фрикционным источником на границе.
Для подтверждения результатов теоретического анализа было проведено исследование решений (9.23) на аналоговом вычислительном комплексе с использованием аналого-цифрового блока запаздывания. Блок-схема, моделирующая уравнение (9.23), приведена на рис. 9.4.
На рис. 9.5, а приведена диаграмма машинного решения, развивающего™ сл из начальных условий, заданных по первой собственной форме, которая хорошо согласуется с найденным аналитическим решением (рис. 9.5, б).
Наличие кратных частот (спектр эквидистантен) обеспечивает их эффективное взаимодействие на кубической нелинейности, что в данном случае приводит к формированию некоторого энергетического баланса.
При этом амплитудно-частотная характеристика (или форма) установившегося процесса зависит только от набора частот в начальных условиях, но не от их амплитуд. Это обстоятельство подтверждают машинное и аналитическое решения (рис. 9.6, а и б соответственно), получающееся из начальных условий, заданных на первых трех собственных частотах при различном соотношении амплитуд (рис. 9.5 и 9.6 получены при J = 0,1).
Из полученных решений следует, что в случае эквидистантного спектра по системе распространяются волны деформаций (〜uf(r) \ имеющие ярко выраженный релаксационный характер.
Рис. 9.5
Рис. 9.6
«Двухпериодические» автоколебания
При большой инерции диска (J》1) в спектре присутствует низшая частота (% 一，]// при J 一 ос), а остальной спектр эквидистантен. Будем искать решение (9.11) в виде суперпозиции двух функций, описывающих «медленное» движение, соответствующее первой собственной частоте системы, и периодическое движение с периодом, близким к 2 (что соответствует Qn, п》2) («быстрые» движения)
"(丁) = Х(丁) + 9(从丁)，(9*30)
где х(т ± Т) = х(т), Т = 2 + △•
Малые параметры 从《1 и △《1 можно определить (в первом приближении) из спектрального уравнения (9.24), или, считая их неизвестными, определить по периодам полученного в дальнейшем решения. Подставляя (9.28) в (9.23), с учетом периодичности приходим к дифференциальному уравнению с малыми отклонениями аргументов. Разложим функции, входящие в это уравнение, в ряд по отклоняющимся аргументам, ограничиваясь членами порядка д2 и Д2:
а
丿済[△% (丁) + 2从夕'(дт)] + 2 [% (г) + 从夕(дт)]—
—а [Дх (丁)+ 2从"(дт)] + / [△% (г) + 2从"(дт)]3 = 0. (9.31)
Здесь точка соответствует дифференцированию по «быстрому» времени (г), а штрих ——по «медленному» (дт). Поскольку «медленные» и «быстрые»
движения имеют, в общем случае, несоизмеримые периоды, то в первом приближении взаимосвязью функций х (丁) и 夕(дт) на кубической нелинейности можно пренебречь. Это приводит (9.14) к двум независимым обыкновенным дифференциальным уравнениям
X (7)= (7)一万X (丁)+ ( (丁)= "
J J (932)
屮"⑺n + (从丁) 一 (从丁) + ；巴夕‘3 (дт) = 0.
Уравнения этого типа известны как уравнения Рэлея и хорошо изучены [104]. Они описывают как квазигармонический режим автоколебаний, так и релаксационный, в зависимости от соотношений коэффициентов отри™ цательного трения (источник энергии) и нелинейной диссипации, ограничивающей амплитуду автоколебаний. Из анализа (9.32) следует, что малые параметры можно оценить следующим образом: △ ^ 2/тг2 J, д 弋，]// Из соотношения коэффициентов видно, что при увеличении отрицательного трения релаксационный режим появляется сначала для «быстрых» движений, при этом «медленные» движения еще квазигармонические. Этот результат, вообще говоря, очевиден, поскольку «медленно» меняющаяся функция 夕(从丁) описывает движение массивного диска на упругом валу (длина волны много больше длины системы), а «быстрая» х (丁) описывает волновой процесс, развивающийся в самом вале, для которого закрепленный на валу диск доставляет почти идеальное кинематическое граничное условие. Так как все собственные частоты, начиная со второй, являются кратными, колебания на этих частотах эффективно взаимодействуют из-за наличия в системе кубической нелинейности, что приводит к возникновению релаксационных автоколебаний для «быстрого» движения практически при любом коэффициенте отрицательного трения.
На рис. 9.7 показаны осциллограммы численного расчета (9.32) без учета взаимного влияния «быстрого» и «медленного» движений (рис. 9.7, а), с учетом этого влияния (рис. 9.7, 6), а также решение уравнения (9.23) при J = 10 (рис. 9.7, в).
Из численных расчетов видно, что система уравнений достаточно хорошо описывает «двухпериодическое» движение вала. В случае учета взаимного влияния «медленных» и «быстрых» движений возникает небольшой дрейф фазы «быстрых» движений относительно «медленных». «Быстрые» движения имеют характер релаксационных автоколебаний, в то время как «медленные» ——квазигармонические автоколебания. Заметим, что амплитуда «медленных» движений больше амплитуды «быстрых» движений, но учет «быстрых» движений необходим, так как энергия «быстрых» движений сравнима с энергией «медленных» движений (а иногда может превышать ее в несколько раз). При этом в реальных механизмах энергия «быстрых» движений рассеивается в материал вала (повышается его темпера™ тура) и в окружающую среду в виде акустических волн.
Квазигармонические автоколебания
В линейных системах значения собственных частот в общем случае зависят от величины коэффициентов при «неконсервативных» слагаемых. Покажем, что для линеаризованной системы (9.30) (/3 = 0) в случае малого коэффициента при неконсервативной части (а《1) в первом приближении (по а) поправки к значению собственных частот отсутствуют.
Действительно подставляя решение
夕 =』siii(Xg) exp { J ］分入丁}(933)
в линеаризованное граничное условие (9.20) при у = 1, /3 = 0, получим уравнение на отыскание собственных значений краевой задачи
ctgA = JA±m.(9.34)
Разложим Л в ряд по степеням малого параметра а:
Л = w = qAi +(9.35)
где ш ——одна из собственных частот соответствующей консервативной системы (см. (9.24)). Ограничиваясь в (9.35) членом порядка а, подставим его в (9.34)
откудаоткудаctg ш — qAi (1 + ctg2 g) = Jw + aJXi 土 ia,
откуда
откуда
(9*36)(9*36)Ai = ± г (1 + J + J%?)"
(9*36)
(9*36)
Таким образом, поскольку Ai является чисто мнимой величиной, то поправка к частоте в первом приближении отсутствует. Тогда (9.33) с учетом (9.35) и (9.36) имеет вид
д 丁)=/sin (*/) exp 1 § + 12 ±加卜， (9"37)
aaJ + 1 + J +尸户aaJ + 1 + J +尸户I J J- I- J I- J Cmj
aa
J + 1 + J +尸户
aa
J + 1 + J +尸户
где выражениегде выражениеявляется инкрементом системы. Из вы
где выражение
где выражение
ражения для инкремента видно, что он практически не зависит от частоты,
поэтому амплитуды колебаний в начале спектра нарастают одинаково.
При неэквидистантном спектре энергия колебаний с одной частоты не может эффективно перераспределяться на другие частоты, так как собственные частоты системы не находятся в кратном соотношении. Поэтому нелинейное слагаемой влияет в основном лишь на ограничение суммарной амплитуды колебаний. Это обстоятельство дает возможность построения приближенного аналитического решения при малых а н /3*
Решение ищем в виде
(938)(938)и(т)=』(ат)九(丁)，Л(0) = 1,
(938)
(938)
где J. (qt)——медленно меняющаяся амплитуда, а ° и (г) удовлетворяет уравнению
J [°и (丁 + 1) —。口 (г — 1)]' + [% (г + 1) — ° и (г — 1)] = 0. (9.39)
Подставляя (9.38) с учетом (9.39) в (9.23) и раскладывая в ряд по а до величин порядка а2, получаем уравнение первого приближения, описывающее медленно меняющуюся амплитуду
JAr (ат) { [°и (г + 1) — ° и (г — 1)]'十[°u (丁 + 1) — °u (г — 1)] }—
—А (ат) [°u (丁 + 1) — °u (г — 1)] +
+ /Ъ4_з (ат) [°u (丁 + 1) — ° и (г — 1)] * = 0, (9.40)
где /3 = Д/q <С 1, Л(0) = 1.
Уравнение (9.40) является обыкновенным дифференциальным уравне™ нием с быстро меняющимся квазипериодическими коэффициентами. Для его решения можно применять различные способы усреднения [104, 121].
Руководствуясь простотой интегрирования потребуем, чтобы невязка (9.40) была ортогональна функции °и (г + 1) — ° и (г — 1) на ее периоде. Для этого умножим (9.40) на эту функцию и проинтегрировав по быстрому времени г, получим
(庐 + Jc2) 4 — с2Л + /万』з = о,(941)
гдет
庐=[%.(т + 1) +% (г- I)]2,
-」о
e2 =不厂"(7 + 1) — % (7 一 1)； -
Уравнение (9.41) решается в квадратурах:
J〜2expJ(2a&)/&+
一2 — pc2 + pc2 exp {(2ctc2r) / (b2 + Jc2)}_
Из (9.42) следует, что амплитуда установившихся колебаний приблизительно равна，2а/«彦.
Р(г)
Полученное аналитическое решение достаточно хорошо описывает и переходной процесс, показанный на рис. 9.8, что подтвердилось сравнением результатов численного моделирования уравнений (9.23) и (9.40) с приближенным решением. Результаты машинного моделирования подвергались фурье-анализу, который показал, что спектр установившихся колебаний практически совпадает со спектром начальных возмущений.
Численные расчеты проводились при J = 1, а = 0,1, / = 0,1^0,5, начальные условия задавались как сумма колебаний на первых трех собственных формах соответствующей консервативной системы. При этом для различных реализаций варьировалось соотношение начальных амплитуд, которое оставалось неизменным на всем времени переходного процесса. Переходной процесс длится примерно 20—50 периодов (при максимальной амплитуде начального возмущения Л(0) = 0,1), а начальное соотношение
амплитуд гармоник сохраняется на временах порядка 90—100 периодов. Далее это соотношение медленно разрушается, что может быть следствием нелинейных эффектов более высокого порядка малости или несовершенством расчетной схемы.
Из проведенных аналитических и численных исследований можно сделать вывод о том, что спектральный состав установившегося процесса совпадает со спектральным составом начальных условий.
Устойчивость
В заключение исследуем устойчивость установившегося режима. Пусть @ (у, т) описывает установившийся процесс, удовлетворяющий уравнению и граничным условиям (9.20), а £吵(％ г) есть малое (порядка е《 1) от™ клонение от этого процесса. Устойчивость 0 (% г) оценивается по поведению возмущения 吵(％ 丁)(если оно неограниченно нарастает, то процесс неустойчив). Для этого подставим «возмущенное решение»
9(% 丁)= 0 (% 丁)+(% 丁)(943)
в (9.20) и линеаризуем полученную систему по малому параметру е:
一фуу = 0 叫 у = 0
(9.44)
J2tt + 叫/ +(3/夕* — а) 2т|у=] = 0*
Поведение 吵®，丁) (в смысле нарастания или убывания) полностью определяется неконсервативными слагаемыми (3/。^ — a)吋彳，которые можно интерпретировать как изменяющуюся во времени силу трения
% =(3/0； —а)%(945)
Если на периоде установившегося процесса среднее («действующее») значение этой силы положительно, то система теряет энергию, т. е. с течением времени любое возмущение стационарного процесса затухает. Поэтому достаточно исследовать только знак интеграла
г
亍(3/0； — a) dr,(9.46)
о
где Т ——период (или квазипериод) стационарного процесса 0® Так, если его знак больше нуля ——стационарный процесс асимптотически устой™ чив; случай, когда интеграл (9.46) равен нулю, соответствует орбитальной устойчивости, а знак меньше нуля характеризует неустойчивый процесс.
При исследовании устойчивости распределенных систем возникает во™ про с: по отношению к какому функционалу имеется в виду устойчивость. В данном случае с физической точки зрения целесообразно исследовать устойчивость по отношению к функционалу энергии
1
г
2](947)
о
Для определения знака интеграла (9.46) запишем дифференциальное уравнение переноса энергии (уравнение Умова-Пойнтинга) для установившегося процесса:Для определения знака интеграла (9.46) запишем дифференциальное уравнение переноса энергии (уравнение Умова-Пойнтинга) для установившегося процесса:aw аaw а万=一方停Т凡）万=一方停Т凡）(948)(948)После интегрирования, (9.48) по длине системы с учетом граничных условий по времени, получим уравнение изменения энергии системы за период за счет работы неконсервативных сил (9.45)После интегрирования, (9.48) по длине системы с учетом граничных условий по времени, получим уравнение изменения энергии системы за период за счет работы неконсервативных сил (9.45)аждтаждт(9.49)(9.49)
Для определения знака интеграла (9.46) запишем дифференциальное уравнение переноса энергии (уравнение Умова-Пойнтинга) для установившегося процесса:
Для определения знака интеграла (9.46) запишем дифференциальное уравнение переноса энергии (уравнение Умова-Пойнтинга) для установившегося процесса:
aw а
aw а
万=一方停Т凡）
万=一方停Т凡）
(948)
(948)
После интегрирования, (9.48) по длине системы с учетом граничных условий по времени, получим уравнение изменения энергии системы за период за счет работы неконсервативных сил (9.45)
После интегрирования, (9.48) по длине системы с учетом граничных условий по времени, получим уравнение изменения энергии системы за период за счет работы неконсервативных сил (9.45)
аж
дт
аж
дт
(9.49)
(9.49)
Поскольк^в установившемся процессе энергия системы на периоде не изменяется(W = const), из (9.45) следует, что коэффициент трения есть положительно определенная функция. Тем самым доказано, что установившийся процесс 夕(g, г) асимптотически устойчив.
ГЛАВА 10
ГАШЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
В Ж4СПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
После того как мы рассмотрели возможность генерации вибраций в одномерных конструкциях, возникает естественный вопрос, как понизить уровень этих вибраций, если возникнет такая необходимость.
Проблема уменьшения уровня колебаний конструкций возникает в различных областях техники: промышленном и гражданском строительстве, тяжелом, транспортном и энергетическом машиностроении, приборостроении и т.п. Во многих случаях она связана с необходимостью повышения прочности и снижения материалоемкости конструкций, однако не менее важны и такие аспекты проблемы, как выполнение техно логиче ских требований, предъявляемых условиями эксплуатации, и защита людей от вредного действия вибраций. Актуальность проблемы непрерывно возрастает в связи с увеличением размеров конструкций, повышением быстроходности машин, ужесточением санитарных и техно л огиче ских требований к допустимым уровням колебаний.
К настоящему времени известны различные методы и средства борьбы с недопустимыми колебаниями конструкций, и даже перечисление этих методов займет много места. Все эти методы обладают различными достоинствами и недостатками, которые мы рассматривать не будем.
Здесь же мы будем рассматривать совершенно новый способ понижения уровня вибраций одномерной распределенной системы, основанный на «саморегулирующем свойстве» сил давления волн.
Задачи о взаимосвязанном движении распределенной системы и сосредоточенного объекта относятся к новому, еще мало изученному классу граничных задач. В таких системах особую роль играют известные еще с конца XIX века силы давления волн, распространяющихся по распределенной системе и встречающих на своем пути препятствие в виде сосредоточенного объекта. До недавнего времени, пока скорости механизмов были малы, и волновыми свойствами системы можно было пренебречь, учитывать силы волнового давления в проектно-конструкторских расчетах не было необходимости. Увеличение скорости работы механизма до скорости распространения волн в конструкции этого механизма приводит к необходимости учитывать силы давления волн уже на этапе проектирования, так как на этапе «доводки» увеличить скорости распространения волн в конструкции весьма проблематично и требует увеличения материалоемкости или с использования более дорогих конструкционных материалов. По-видимому, в ближайшее время силам давления волн будет уделяться больше внимания, как механиками-теоретиками, так и практиками.
Идея гашения вибраций заключается в том, что под действием силы дав-
ления волн сосредоточенный объект движется вдоль упругой направляющей, при этом резонансные свойства такой объединенной системы (объект- направляющая) изменяются, таким образом, что можно «отстраивать» систему от резонанса. Для этого необходимы некоторые предварительные замечания, которые дают возможность вывода граничных условий.
Взаимодействие распределенной системыс сосредоточенной
Рассмотрим задачу о поперечных колебаниях струны с нанизанной на нее «бусинкой» массы т, которая может скользить вдоль струны без трения (рис. 10.1).
Уравнение переноса волнового импульса имеет следующий вид: 片(一仆力加)+ £ 必)=0, (wЛ)
где putux ——плотность волнового импульса, 1/2 (р* + ^^)——ненулевая компонента тензора плотности потока волнового импульса р, ^ ——
плотность и натяжение струны.
Для гармонической волны и = a cos (з力一kx) плотность волнового импульса имеет вид ршки2 (ж, t). Это означает, что волновой импульс является квадратичной величиной по амплитуде и переносится в направлении распространения волны. Среднее значение 1 /2 ршка2 не равно нулю, в отличие
от среднего значения плотности механического импульса put = 0, для которого уравнение переноса в данном случае является дивергентной формой записи уравнения поперечных колебаний струны (здесь и далее черта над переменной означает ее среднее по времени значение)
Заметим, что если среднее значение меха
нического импульса put было бы отлично от нуля, это означало бы наличие
переноса вещества.
Когда волна взаимодействует с каким-либо препятствием, мешающим ее свободному распространению, она (волна) «передает» этому препятствию некоторый импульс, причем посредником передачи выступает сила давления волн. Выражение для этой силы можно получить из интегрального
закона сохранения полного импульса системы в проекции на направления распространения волны.
Запишем интегральный закон сохранения полного импульса всей систе
мы в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:
(10.2)(10.2)(putUx) dx - (р^ + N必)dx,
(10.2)
(10.2)
^加°位 + ^ putdt = ^ Nuxdx,(103)
где。〃(力),…* 2(力)——смещения бусинки в поперечном и продольном направлениях. В точке нахождения бусинки х = l(t) производные ut и их имеют разрывы. Для нахождения условий, которым они удовлетворяют, следует устремить пределы интегрирования к точке разрыва. Учитывая, что ut и их имеют конечные пределы слева и справа от разрыва, и используя формулу дифференцирования интегралов с переменными пределами интегрирования
/(伤力)必=^^ + 6/(6) -(а),
а⑴a(力)
из (10.2) и (10.3) получим
nJ = 1/2 [pul + Nul] ；]； — / 1рщих]1^ ,(10*4)
m+ Z“r ； ,(10.5)
где квадратными скобками обозначена разность предельных величин по разные стороны от точки разрыва (ж = /(f)). Соотношения (10.4), (10.5) являются условиями баланса поперечных и продольных сил в точке. Для гармонической волны среднее значение правой части в (10.5) равно нулю, а в (10.4) отлично от нуля. Это и есть «сила давления» вибраций струны на бусинку, т. е.——волновое давление. При этом первое слагаемое определяет силу, действующую на неподвижное препятствие, а второе учитывает поправку к силе давления из-за движения бусинки.
Для изгибных волн в балке (модель Бернулли-Эйлера) уравнение переноса волнового импульса можно получить из уравнения
pFWn — Е J wxxxx = 0,pFWn — Е J wxxxx = 0,(10.6)(10.6)
pFWn — Е J wxxxx = 0,
pFWn — Е J wxxxx = 0,
(10.6)
(10.6)
где it；(ж,力)——поперечное смещение срединной линии, р ——объемная плотность материала, F ——площадь поперечного сечения, Е ——модуль Юнга, J ——осевой момент инерции. В этом случае волновой импульс имеет такой же вид, как и для струны G = —pwtwx, а уравнение для плотности потока волнового импульса имеет более сложное выражение:
(10*7)(10*7)Р = — (/?W^ + Е JW^,^ — Е JWx^xxx •
(10*7)
(10*7)
волны, переносится вдоль системы с групповой скоростью, которая многоволны, переносится вдоль системы с групповой скоростью, которая многоНетрудно показать, что их средние значения связаны между собой следующим соотношением: Р = VgG, где Vg = 2{^^ ——групповая скорость волны в балке. Следовательно, волновой импульс, так же как и энергия
волны, переносится вдоль системы с групповой скоростью, которая много
волны, переносится вдоль системы с групповой скоростью, которая много
больше скорости движения «частиц» балки, это указывает на то, что данный эффект не может быть непосредственно связан с переносом массы.
Движение массы вдоль струныпод действием волнового давления
Исследуем влияние сил волнового давления на характер согласованного движения струны и свободно скользящей по ней массы (рис. 10.1). Математическая постановка задачи имеет вид
putt= 0,(Ю.8)
m 嗎仏/(f)) = °(N/р —戶)区]学，(log)
后丁―〃2(N/° —户)[吟ио,(10Л0)
w(0, ж)=夕(с),(10.11)
〃力(0, с)=《丿(с),(10.12)
М 力 0) = u(t,L) = 0,(10.13)
九⑴=u(x,t) |i—о = “伤力)|ж=/+о ,(10.14)
где р, ^ ——погонная плотность и натяжение струны, и(х, t)——ее поперечное отклонение, т ——масса сосредоточенного объекта («бусинки»), 2(力)—— координата, описывающая его положение на струне. От классических задач математической физики с краевыми условиями на неподвижных границах рассматриваемая задача (1(18)—(10*14) отличается в уравнении баланса сил (10.9) дополнительным слагаемым пропорциональным 户 и новым нелинейным уравнением (10.10), описывающим закон движения бусинки с = Z(t). Последнее описывает преобразование поперечных колебаний струны в продольные движения массы.
В настоящее время не разработано общих аналитических методов даже приближенного исследования таких задач, являющихся принципиально новыми задачами математической физики. В связи с этим возникает необходимость в моделировании системы (10.8)-(10-14) численными методами. Для исследования на ЭВМ систем, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, обычно применяют хорошо разработанные сеточные методы или методы, основанные на замене производных по координате конечными разностями и последующем сведении к большой, но конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В данном случае применение подобных методов неэффективно, так как осложнено наличием подвижной границы х = 2(力)，что требует на каждом шаге модификации уравнений, описывающих взаимодействие с границей.
Перейдем к безразмерным переменным (далее индексы «н» будут опущены):
= Сс/厶力н = ^с^(]0 ]5)
〃н 〃с /£, A4rтп/pLZjj %с/£
и подставим решение волнового уравнения в форме бегущих волн:
(10Л6)(10Л6)и(х^ t) = F(t + ж) — F(t — х\ 0 < с < Z⑴)
(10Л6)
(10Л6)
〃(伤 t) = G(t — 1 + с) — G(t 十 1 — с), Z⑴ < с < 1(10.17)
в граничные условия. В результате приходим к системе дифференциальных уравнений в обыкновенных производных с отклоняющимся аргументом нейтрального типа:
九⑴二 F(t + 1) — F(t — 1) = G(t — 1 + /) — G(力 + 1 — /),(10Л8)
M °u(l(t\t) = 2 [G(t — 1 + Z)—九仏t) — F(t — 1)] ,(10Л9)
M/⑴= |(1^戸){[k(力+1)+ь(力-1)『一
-\Gf (t + 1 — /) + Gf (t — 1 + 犷} * (10.20)
Численное интегрирование таких уравнений одношаговыми методами типа методов Рунге-Кутта нецелесообразно, так как для вычисления правых частей внутри шага требуется применение интерполяционных алгоритмов,
которые усложняют программу и увеличивают время вычислений. Наиболее удобно использование многошаговых методов прогноза—коррекции с
постоянным шагом интегрирования. За постоянный шаг интегрирования
приходится платить большим числом итераций, но при этом снимается проблема начала счета, так как начальные условия задаются на всем интер
вале от 0 до 2. При этом алгоритм не имеет ветвлений и реализующая его программа получается относительно простой, требующей минимальных
временных затрат на разработку и отладку.
При моделировании начальные условия задавались по собственным формам (модам) колебаний струны без объекта (т. е. М = 0): Ашткх.
Рис. 10.2Рис. 10.2В ходе решения варьировалась амплитуда начальных условий Л, номер моды к, масса М и ее местоположение на струне Z(0) (j(0) = 0).
Рис. 10.2
Рис. 10.2
Моделирование показало, что если начальное распределение смещений струны симметрично относительно начального положения объекта Z(0), то суммарная сила волнового давления, действующая на объект в каждый момент
времени, равна нулю, и в процессе, движения системы объект не меняет своего
положения на струне. Такие положения объекта совпадают с пучностями струны и, как будет показано далее, являются устойчивыми положениями равновесия. На рис. 10.2 приводится серия «фотографий» струны с объектом (крестик), следующих через равные промежутки времени, для
начальных условий, заданных по различным собственным формам струны fc = 1 (а), к = 2 (6)” При этом форма струны в процессе движения системы далека от первоначальной. Объект совершает периодические движения вдоль струны, амплитуда которых зависит от его начального положения 2(0)，а период от начальной формы и массы объекта, как это видно из графиков.
Для начальных условий, заданных по первой собственной форме струны, когда объект находится вблизи положения равновесия, удается построить приближенное аналитическое решение.
Разложим решение волнового уравнения (10.16), (10.17) при с = 2(力)в ряд по 卩(力)| < 1. Ограничиваясь двумя членами ряда имеем:
F(力 ± /)二尸⑴ 土 l(t)Ff(t) + o(/),(10.21)
G(t 土 (Z - 1)) = G⑴ ± (Z - 1)Q⑴ + o((Z - I)2).(10.22)
Подставляя (10.21), (10.22) в систему (10.18)-(10.20), придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
=2?尸⑴=2(? - 1)G‘⑴)(10.23)
M。%⑴= 2(1 一户)[G‘⑴—F‘⑴],(10.24)
M『⑴=—2(1 —户)[Gf2(t)—尸2⑴]*(1025)
Из (10.23) следует, что функции, описывающие колебания струны по разные стороны от бусинки, могут быть выражены, через смещения самой бусинки:
=導 G^t)=(1026) JJ 2(2 - 1)“ 丿
Исключая из (10.24) и (10.25) Ff(t) и G'⑴，получим систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику только сосредоточенного объекта:
(10.27)
у (928)
с начальными условиями Z(0) = 0,。我(0) = a sin7rZ(0),。办(0) = 0.
Приближенное решение (10.27), (10.28) имеет вид
九⑴ w(0)(10.29)
/⑴ ^0,5 — (0,5 —Z(0))cos/⑴ ^0,5 — (0,5 —Z(0))cos(10.30)(10.30)
/⑴ ^0,5 — (0,5 —Z(0))cos
/⑴ ^0,5 — (0,5 —Z(0))cos
(10.30)
(10.30)
Оно получено с точностью, соответствующей точности разложения (10.21), (10.22), и справедливо при М 〜1, |w(0)| « 1, |0,5 - Ц0)| < 1.
Полученные аналитические зависимости (10.29), (10.30), описывающие движения объекта, хорошо совпадают с результатами численного моделирования системы (10.8)-(10.14) (см. рис* 10.2 и 10.3).
Отметим, что частота поперечных колебаний объекта близка к первой собственной частоте объединенной системы (струна+объект) когда объект находится в середине струны (7(0) = —0,5)”
Численные и аналитические исследования показывают, что энергия колебаний струны преобразуется в энергию движения объекта вдоль струны и обратно таким образом, что период и амплитуда поперечных колебаний объекта (°〃(力) при М W 1) практически не меняются (см. рис. 10.3).
Все результаты, показанные на рисунках, сделаны при массе объекта равной массе струны (т. е. М 二 1), и малых амплитудах отклонения струны I и\《L
Так как в процессе движения системы сосредоточенный объект меняет свое положение, то меняются спектральные свойства системы в целом. Это дает основание предполагать, что
возможно использование эффекта движения массы вдоль упругой направляющей под действием волнового давления для создания конструктивно простых автоматических регуляторов вибраций распределенных систем без дополнительных источников энергии [6].
Гашение колебаний струныдвижущимися сосредоточенными объектами
Динамическое гашение колебаний основано на изменении вибрационного состояния объекта виброзащиты путем присоединения к нему дополнительных устройств ——гасителей [98]. Однако эти устройства эффективны, как правило, лишь в узкой полосе частот и требуют точной настройки при эксплуатации. Вследствие этого при динамическом гашении колебаний распределенных упругих систем, обладающих широким спектром резонансных частот, конструкция самого гасителя часто оказывается более сложной (громоздкой), чем защищаемая система.
Наряду с этим, давно известен факт, что кольцо, свободно скользящее по стержню, может снижать уровень вибраций в широкой полосе частот [33]. Теория такого гасителя до настоящего времени не достаточно разработана. В [18] были найдены положения равновесия кольца на вибрирующем стержне без учета его влияния на колебания стержня. Постановка задачи, корректно учитывающая взаимное влияние сосредоточенного объекта на
колебания одномерной упругой системы и колебаний системы на движение объекта впервые была получена в работах А.И. Весницкого и Г.А. Уткина (см. [27]). Это позволило в [8] исследовать динамическое поведение гасителя в предположении медленного движения кольца (в сравнении со скоростью волн) в области частот, близких к первой собственной частоте системы с распределенными параметрами. В этом случае кольцо ведет себя как регулятор колебаний, изменяющий резонансные свойства системы в целом в зависимости от частоты возбуждения, где энергия, требуемая для такого изменения, черпается из энергии колебаний объекта виброзащиты. Посредником преобразования энергии колебаний стержня в энергию движения кольца выступает сила давления волн.
Ниже рассмотрены две простейших модели гасителей: струна со свободно скользящей по ней массой и струна со свободно скользящим по ней осциллятором. Найдены положения равновесия, исследована их устойчивость, и для установившихся режимов (объект находится в устойчивых положениях равновесия) определены максимальные амплитуды колебаний струны в зависимости от частоты возбуждения.
Гаситель ——движущаяся масса
Пусть по струне с плотностью р и натяжением ^ может свободно скользить сосредоточенный объект массы m его положение на струне характеризуется координатой 厶 1(力)* Концы струны (ж = 0, % =厶)совершают синусоидальные колебания с частотой ш и амплитудой Л° (рис. 10.4)
°w(/)
0,040—0,040,040—0,04||||||||||||||||||||||||||||||||||||02040600204060
0,04
0
—0,04
0,04
0
—0,04
||||||||||||||||||
||||||||||||||||||
0204060
0204060
Рис. 10.4
mL^t) = ^mL^t) = ^2]L1+02]L1+0(1031)(10.32)(1031)(10.32)Движение массы вдоль струны происходящее под действием сил давления вибраций описывается уравнением:
mL^t) = ^
mL^t) = ^
2]L1+0
2]L1+0
(1031)
(10.32)
(1031)
(10.32)
а ее поперечные колебания — уравнением
в котором учтены конвективные силы, пропорциональные квадрату скорости движения массы ($i)电
Динамика струны описывается решениями уравнения
putt - N ихх = О,(Ю.ЗЗ)
удовлетворяющими краевым условиям
и |ж=0 = и\X=L = Л° sin(cd t)(10.34)
и условиям непрерывности смещений в месте положения массы
u ]樓=厶1(右)一0 = u I①=L1(力)+0 = °虱⑴(10.35)
Определим положения равновесия массы на струне из уравнения движения (10.31) и условий равновесия Ьх = bi = 0. При этом нелинейное уравнение (10.31) переходит в условие для определения положений равновесия
= -3 同忆(1036) а краевая задача (10.32)-(10.35), описывающая колебания системы, становится линейной
vTT — vyy = 0(10.37)
簿 |у=о = v 1^=1 = Л sin Пт(10.38)
皿=%]喜(10.39)
簿 ^=/+0 =簿 о = "(Ю.40)
Здесь у = x/L, / = Lx/L, 丁 = у/N/р, М = m/pL, v = и/L, °簿=°〃/厶，О = ш/ш0, Л = А°/L ——безразмерные переменные, ш0 = =,7V/0 ——первая собственная частота распределенной системы.
Частное решение задачи (10.37)—(10*40) описывает установившиеся вынужденные колебания системы при фиксированной частоте возбуждения
.[«1 cos fii/ + sin Пу, 0 W 沙 w/,
簿sm Ur X <、
[а2 COS Q(1 — у) + sin Q(1 — у) I у 1.
Коэффициенты «i и а? пространственной формы колебаний определяются из (10.39)-(10.40) системой двух алгебраических уравнений
«1 sin Ш — «2 sin Q (1 — Z) = cos Q (Z — 1) — cos Ш (10.41)
ai (cos (Ш) — МП sin Ш) — a2 cos П (Z 1)=
二 sin Ш — sin Q (Z — 1) + MП cos П/,
откуда
1 — cos Q — АШ cos Ш sin П (2 — 1)例sin Q + MQ sin Ш sin 0(/^ 1)'
cos П — 1 — MQ sin Ш cos П (2 — 1)
°2sin Q + MQ sin Ш sin Q (Z 1)*' *
Заметим, что резонансные частоты находятся из условия равенства нулю детерминанта системы (10.41)
△ = sin Q + МП sin Ш sin П(/ - 1)(10.43)
и зависят от величины и положения сосредоточенной массы на струне. На рис. 10.5 показаны зависимости пяти первых резонансных частот системы от положения объекта (при М = 1).
Рис. 10.5
Из рис. 10.5 видно, что изменяя положение массы на струне, можно как настраивать, так и отстраивать систему от резонанса.
Условия равновесия (10.36) с учетом решения (10.42) имеют вид
(sin Q + МQ sin Ш sin Q (Z 1))
Все равновесные положения массы при заданной частоте возбуждения Q определяются соотношением
办信+1)(10-45)
где к = 0, ± 1, ± 2,... и, вследствие ограниченности системы (0，Z，1)， удовлетворяют неравенству
——<k< —(10*46)
7Г7Г
Состояния равновесия соответствуют положениям узлов и пучностей возбуждаемой в струне без массы формы колебаний. Если возбуждается п- я форма (т. е. П7г < П < (п + 1)тг), то количество равновесных положений равно 2n + 1.
Определение устойчивости положений равновесия является одним из главных вопросов при исследовании динамики рассматриваемой системы. Рассмотрим малое (порядка е《1) отклонение массы от положения равновесия Z (丁) = %о + eZ(丁) и линеаризуем уравнение движения (10.31) по параметру е
(10.47)(10.47)z"（e）—尸/仏$）（1 — cose）z（e）= о
(10.47)
(10.47)
где 0 = П丁 ——новое время. В данном случае устойчивость положения равновесия означает ограниченность решений Z(0), т. е. если для любого малого 8 : |Z(0)| < J следует, что |Z(<9)| В < оо при 0》0*, то положение равновесия Z (丁) = Zq устойчиво. Уравнение (10.47) является уравнением Матье, для которого известно, что если амплитуда источника меньше длины возбуждаемой волны(4 < 0, 2^), то решения Z(0) ограничены при 行(%о, П) < 0 и неограниченны при 行«о, О) > 0.
Так как F(/q, П) — пропорциональна постоянной составляющей силы давления волн, то результаты исследования устойчивости физически означают, что вблизи устойчивых положений равновесия сила давления волн направлена в сторону положения равновесия (т. е. в данном случае она является «возвращающей» силой).
Рис. 10.7Рис. 10.7
Рис. 10.7
Рис. 10.7
На рис. 10.6 на плоскости параметров (/, 0) показаны положения равновесия, при этом устойчивые положения равновесия соединены сплошными линиями, неустойчивые ——пунктиром. Частоты Qn = птг разграничивают области, соответствующие различным формам колебаний (рис. 10.6). При переходе через Qn состояния равновесия меняют характер устойчивости на противоположный и возникает пара новых устойчивых положений равновесия.
Заметим, что устойчивые положения равновесия совпадают с пучностями смещений, возбуждаемой формы колебаний струны, а неустойчивые —— с узлами.
Для установившегося режима колебаний, коща масса находится в устойчивых положениях равновесия, на рис. 10.7 построена зависимость ампли-
туд колебаний струны ( U = шах ад(ш, t) 1 от частоты возбуждения. Для сравнения пунктиром приведена аналогичная характеристика струны без гасителя. Видно, что система с регулятором имеет неограниченную амплитуду только на единственной частоте Q = Q* значение, которой зависит от величины массы регулятора и всегда меньше первой собственной частоты распределенной системы без регулятора (см. (10.43)).
В качестве оценки эффективности гашения вибраций К выберем отношение энергии установившихся колебаний системы с регулятором Е
о о
к энергии колебаний системы без гасителя Eq
К(П) = Е/Ео
(рис. 10.8) К(С)》1 всюду, кроме небольшой области с центром ◎*, причем, как и следовало ожидать, максимальная эффективность достигается вблизи тех частот вибронагрузки, которые соответствуют резонансным частотам незащищенной системы.
Гаситель — скользящий осциллятор
Рассмотрим конструкцию, когда к скользящей по струне массе mi через пружину жесткости к присоединена масса m2” Вся остальная конструкция соответствует системе, описываемой уравнениями (10.31)-(10.35). При этом к математической постановке добавляется уравнение движения массы 7712 (в проекции на ось «U»). В безразмерных переменных имеет вид:
vTT — vyy = 0(10.48)
v 1^=0 二 v |y=i = a sin Пт(10.49)
A厶。方=[vy]1^ + k 卜-°v)(10.50)
А厶纟=к (% — г)(10.51)
鏡 |y=z+o = V |у=/+о =。鏡(10.52)
(^1 + ^2)/ = 1(1 кСо(10.53)
где Mi = mi /pL, М2 = m2 /рЬ, а 乞(丁)——лагранжева координата поперечного отклонения массы А厶* Исследование системы (10.48)-(10.53) будем проводить также, как и исследование системы (10.31)-(10.35).
Котда осциллятор находится в положении равновесия на струне 1 = 1 = = 0, частное решение задачи (10.48)-(10.52) описывает установившиеся вынужденные колебания системы при фиксированной частоте возбуждения.
丁)一 COS X ( Acosta _+ С》/(r)
n(丁) = D cos Qr,где амплитудные коэффициенты В, С, D находятся из системы линейныхалгебраических уравнений третьего порядка
В sin ГМ — С sin Q(1 — I) — A [cos П(1 — Z) — cos Ш]
Bk sin m^D (◎2 A厶—用)=^Ak cos Ш(10.55)
В cos ГМ + k sin Ш — MiQ2 sin QZ)+ СП cos (1 — I) — Dk =
=口 (sin a(l — /) + sin ГМ) +(Ж1a2 — k) cos Ш.
Из условия равенства нулю детерминанта (10.55)
△ = (к — П2М2) sinQ + П [口2儿厶八厶—k(A厶 + M2)] sinQ/sinQ(l — /) определяются собственные (резонансные) частоты объединенной системы при заданном положении осциллятора 0(丁) = const = f, 0 ^ Г ^ 1). Условия равновесия Z = / = 0 превращают уравнение движения (10.53) в уравнение для определения равновесных положений осциллятора на струне (силы волнового давления нет):
F9 = -|[^]；to = O-(1°・56)
Подстановка (10.54) в (10.56) дает возможность определить все равновесные положения осциллятора на струне (Г(П, Mi, М2, к)) при заданной частоте возбуждения Q. При этом коэффициенты пространственной формы имеют вид:
В = А{(к^ П2М2) (1 - cosQ) +
+ С sin П (1 — /) [Mi (k — Q2M2) cos Ш + kM2 sin Ш] } /△
С = А{{к^ П2М2) (1 — cos П) + Пк (Mi + М2) cos Ш sin Ш^
[併儿厶儿厶 к (Mi + М2)] sinQ/ cosQ(l -/)} /А
D = Ак (sinШ + sin П (1 — Z)) /△
Как и ранее, для определения характера устойчивости положений равновесия, рассмотрим малое (порядка е « 1) отклонение от положения равновесия Z(r) =，+ е/(т) и линеаризуем уравнение движения (10.53) по е. Получим уравнение Матье
心⑻―(1 — 30)7(0) = 0 (10.57)
где 0 = П丁 一 новое время, а через Fg (Z, Q)——обозначено среднее значение силы давления волн. При dFg 仏 П) /3/ < 0 решение (10.57) ограничено, что и означает устойчивость движения при Z(r) = I.
На рис. 10.7 на плоскости (Q, Z) показаны равновесные положения, устойчивые соединены сплошной линией, неустойчивые ——пунктирной. Как и в предыдущем случае, устойчивые положения равновесия совпадают с пучностями возбуждаемой формы колебаний, а неустойчивые ——с узлами. Частоты Пп = 7гп (п》2) разграничивают области, соответствующие различным формам колебаний струны. При переходе через Пп состояния равновесия меняют характер устойчивости на противоположный и возникает (или исчезает) пара устойчивых положений равновесия.
Выбор оптимальных параметров гасителей является одним из основных вопросов теории виброгашения. Это требует дополнительных исследований и здесь почти не затрагивается. В связи с громоздкостью аналитических выражений задачу оптимизации параметров, по-видимому, целесообразно решать численными методами. Однако в теории гасителей для сосредоточенных систем задача оптимизации решена. Используем данный подход для исследуемой системы и проанализируем полученные результаты.
Так, если система струна со свободно скользящей по ней массой М имеет неограниченный резонанс на наинизшей собственной частоте П* (П* = =0,56 при М = 1), то для того, чтобы отстроиться от этого резонанса, необходимо выбирать параметры гасителя из условия:
к —心厶=0, М = Mi + М2 (10.58)
При этом, как показывают численные исследования, на частоте возбуждения наблюдается антирезонанс. Учет потерь в пружине вероятнее всего должен привести к расширению области антирезонанса и относительно небольшому смещению центра этой области (т. е. уменьшению численного значения частоты антирезонанса). Здесь имеется полная аналогия с теорией динамических гасителей с трением.
За использование осциллятора в качестве гасителя приходится «платить» наличием еще одного неограниченного резонанса. Так, если поведе-
ние системы струна-масса аналогично одночастотной системе с неограниченным резонансом на частоте ◎*, то поведение системы струна-осциллятор (без трения) подобно поведению двухчастотной системы с неограниченными резонансами ◎[ <С*иС$ >С*
Для установившегося режима колебаний, когда осциллятор находится в устойчивом положении равновесия, на рис. 10.8 построена зависимость
амплитуды колебаний струны I U = шах ад (ж, t) I от частоты возбуждения. \ (ж3) /
Параметры осциллятора удовлетворяют условию (10.58). Для сравнения пунктиром показана аналогичная характеристика для случая, когда гасителем является сосредоточенная система. Из рис. 10.8 видно, что при частоте возбуждения, большей П$, осциллятор ведет себя как сосредоточенная масса. Расчеты, для построения рисунков выполнены при М = 1, ЛД = 0,5, М2 = 0,5, а* = 0,56, к = 0,13 (а； = о,32; Щ = 0,71)
Гашение вибраций балкисвободно скользящей массой
В технике обычно применяют механические конструкции с элементами, обладающими сильной дисперсией в области низких частот колебаний (валы, балки, роторы и т.п.), поэтому изучение возможностей гашения вибраций в таких системах имеет практический интерес (например, для машино строения).
В качестве объекта виброзащиты рассмотрим балку длины L с погонной плотностью р и моментом инерции сечения J0. Низкочастотные изгибные колебания балки достаточно хорошо описываются уравнением Бернулли- Эйлера:
putt十石①方①=。,(10.59)
где Е ——модуль Юнга. Пусть края балки (/ = 0, х = L) через шарниры закреплены на вибростенде, совершающем синусоидальные колебания с амплитудой а и частотой
此=0 ==aS山3力，(Ю.60)
UXX |ж = 0 м UXX |ж = £ м 0-(10.61)
Самосогласованные движения сосредоточенного объекта массы т с моментом инерции j и балки в поперечном направлении определяются урав
нениями непрерывности
ML=Li(t)+O = ML=Li(t)-0 = %(力)(1662)
⑷① I⑴+0 一 ^® I x=Li (t) -0 — VW,(10.63)
а также уравнением баланса перерезывающих сил и моментов в месте нахождения объекта (ж = £1(力))
叮=^J° Kxx]^to(10*64)
J ” = EJ° Kx]^to(10*65)
Уравнение
mil = ^ 喏必虞—2〃①必》/：二:(10*66)
описывает движение объекта вдоль балки под действием сил волнового давления.
Определим положения равновесия объекта вдоль балки из уравнения (10.66) с учетом условия равновесия Li = Li = 0. При этом уравнение (10.66) переходит в условие для определения положений равновесия (здесь приведена запись уже в безразмерных переменных).
Fg = — / [吟 + Vyy 2VyVyyy\ ,(10.67)
а краевую задачу (10*59)—(10*66) запишем в безразмерных переменных:
EJ
у = x/L^ 1 = Li/L, V = и/а^ М =
J = j/EL J°, Q = ш/тг2, т = Ш(), Л = a/L
(10.68)
微j一 Vyyyy = 0
创 y=o =创 у=1 = 4 sin От
vyy\y=o = vyy\y=i = 0
Vy\y=l0^Q = oKyuA+O =
(10.69)
(10.70)
(10.71)
(1672)
(10.73)
(10.74)
(10.75)
Частное решение системы (10.69)-(10.75) имеет вид:
鏡(弘 т) = A sin Qr х «鏡(弘 т) = A sin Qr х «(cos ky + cosh ky) /2 +。口 sin ky +
鏡(弘 т) = A sin Qr х «
鏡(弘 т) = A sin Qr х «
+ *2 cosh ky,
(cos к ® — 1) + cosh к ® — 1)) /2 +
+ Qi sin к ® — 1) + cosh к ® — 1)，
У ^h(10.76)У ^h(10.76)где k = \/Q. Оно описывает установившиеся вынужденные колебания си
У ^h
(10.76)
У ^h
(10.76)
стемы на фиксированной частоте вибро стенда. Коэффициенты пространственной формы колебаний (С》) определяются из системы четырех линейных алгебраических уравнений, получаемой подстановкой (10.76) в
(10.72)-(10.75). Резонансные частоты находятся из условия равенства нулю
детерминанта системы алгебраических уравнений. На рис. 10.11 показаны зависимости пяти первых резонансных частот системы от положения объекта (при М = 1, J = 10一")” Из рисунка видно, что, изменяя положение объекта, можно как настраивать, так и отстраивать систему от резонанса.
Условия равновесия (10.67) с учетом решения (10.66) имеют вид
Fg = J^(/,Q)(1 — cos 2口丁) (10*77)
где Fg (Z, П) = - (Cji — C；i —。?2 + ^22)— амплитуда силы давления волн二
Состояния равновесия (凡 (Zo, ^) = 0) соответствуют положениям узлов и пучностей возбуждаемой в балке формы колебаний, причем, если возбуждена n-я форма, то количество равновесных положений равняется 2n + 1.
Рассмотрим малое (порядка е 《1) от-Рис. 10.11
клонение объекта от положения равновесия
Z(丁) = /о + £?(丁) и линеаризуем уравнение движения (10.77) по е.
J ⑺—耳(/0,П) (1 — cos 20) 2 ⑺=0,(10.78)
где 0 = П丁 ——новое время. В данном случае устойчивость положения равновесия означает ограниченность решения г (0), т. е. если для любого малого S : |г (0)| < S следует, что |乞(0)| < оо при 0》0*, то положение равновесия устойчиво. Уравнение (10.78) является уравнением Матье. Оценка зон ограниченности решений в этом случае показала, что если амплитуда вибростенда меньше длины волны, то решение ограничено при F^ (Zo, Q) < 0 и неограниченно при Ffg (S Q) > 0, т. е. когда сила волнового давления направлена в устойчивое положение равновесия. На рис. 10.12
показаны на плоскости 仏 П) положения равновесия: устойчивые ——сплошными линиями, неустойчивые ——пунктиром. При переходе через частоты, соответствующие различным формам колебаний (см. рис. 10.12), состояния равновесия меняют характер устойчивости на противоположный. При этом возникает (или исчезает) пара устойчивых положений равновесия. Заметим, что устойчивые положения равновесия совпадают с пучностями возбуждаемой формы колебаний, а неустойчивые ——с узлами.
Для установившегося режима колебаний, когда объект находится в устойчивых положениях равновесия, на рис. 10.13 построена зависимость
колебаний системы I шах У = maxv(i/, т 1 от частоты возбуждения. Для сравнения пунктиром приведена аналогичная характеристика балки без гасителя. Из рисунка видно, что система с объектом имеет неограниченную амплитуду только на единственной частоте возбуждения Q = Q*, значение которой зависит от инерционных характеристик регулятора и всегда меньше первой собственной частоты распределенной системы без объекта.
Приложение
СОЛИТОНЫ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИВ СТЕРЖНЯХ, ПЛАСТИНАХ И ОБОЛОЧКАХ (ОБЗОР)
Из теории волн известно, что в одномерных системах все многообразие волновых процессов определяется соотношением нелинейности, дисперсии и диссипации. В двумерных и трехмерных системах к ним добавляется еще и явление дифракции. В случае, коща нелинейные, дисперсионные и дифракционные факторы уравновешивают друг друга, а диссипация мала, в системе могут формироваться уединенные нелинейные стационарные волны (солитоны), распространяющиеся с постоянной скоростью без изменения своей формы. Согласно определению, данному в [166], «Солитон —— структурно устойчивая уединенная волна в нелинейной диспергирующей среде. Солитоны ведут себя подобно частицам: при взаимодействии между собой и некоторыми другими возмущениями солитоны не разрушаются, а расходятся вновь, сохраняя свою структуру неизменной».
Термин «солитон» ввели в обращение Н. Забуски и М. Крускал в 1965 году, этот тип волны отметил еще в 1834 году Дж. Скотт Рассел при наблюдении волн в каналах. Солитонное решение для длинных волн на поверхности жидкости было впервые получено Буссинеском (1872 г). Кортевег и де Вриз вывели уравнение, носящее их имена, и нашли решение в виде периодических (кноидаильных) волн в 1895 匸
После открытия Гарднером К., Грином Д., Крускалом М. и Миурой Р. [178] метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) в 1967 году и ряда полностью интегрируемых уравнений (см. монографии [1, 21, 22, 44, 49, 74, 89, 107,108,114,160,161]) интерес к солитонам рос непрерывно. Вскоре после открытия МОЗР, в 1968 г. Лаксом П. [184] была выполнена работа, вскрывшая алгебраический механизм, лежащий в основе этого метода. В работах Захарова В.Е. и Шабата А.Б. [75-77], Захарова В.Е. и Манакова С.В. [73], а также Абловица, Каупа, Ньюэла и Сигура [98] метод обратной задачи был значительно развит и с его помощью найдены решения не менее интересных, чем уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ), нелинейных уравнений.
На фоне увеличивающегося внимания к солитонам поднялся интерес к нелинейным волнам в стержнях как одному из наиболее доступных в экспериментальном плане для изучения объектов и, в то же время, широко используемому в технике [2, 16, 32, 40, 125, 155].
Под стержнем принято понимать деформируемое твердое тело, два размера которого малы по сравнению с третьим, обладающее конечной жесткостью на растяжение, кручение и изгиб. Нормальные волны в стержнях подразделяются на три типа: продольные, крутильные и изгибные. В прямолинейных стержнях в линейном приближении различные типы волн не взаимодействуют.
Продольные волны в стержнях
Классическая модель Д. Бернулли (техническая теория) предполагает, что при описании продольных колебаний стержня можно пренебречь потенциальной энергией сдвиговых деформаций и кинетической энергией поперечных движений частиц стержня. Согласно этой теории линейные волны в стержне распространяются со скоростью со =，石//? (ще Е ——модуль упругости Юнга; р ——плотность материала), не зависящей от частоты. Следовательно, сделанные предположения не позволяют описать геометрическую дисперсию продольных волн, наблюдаемую экспериментально.
Математические модели, предложенные Редеем и Лявом, Бишопом, Миндлиным и Германом (уточненные теории) [4], устраняют этот недостаток. Из одномерных моделей дисперсию продольных волн в широком частотном диапазоне наиболее точно описывает модель Миндлина-Германа.
Учет нелинейности связей между деформациями и градиентами перемещений (геометрическая нелинейность), деформациями и напряжениями (физическая нелинейность) приводит к нелинейным обобщениям упомянутых математиче ских моделей.
При определенных условиях для описания нелинейных продольных волн в стержне применимо уравнение Кортевега де Вриза (КдВ)
十 6鏡鏡冗 + ^ХХХ = 0 (П. 1 )
где 鏡=мж, и ——продольное перемещение частиц срединной линии; ж —— безразмерная координата; t ——безразмерное время. (Здесь и далее по тексту нижний буквенный индекс обозначает дифференцирование по соответствующей независимой переменной).
Это впервые было показано в работе Нариболи ГА. [188]. Позднее в совместной работе Нариболи ГА. и Седова А. [189] были учтены диссипативные эффекты и выведено обобщенное уравнение Бюргерса-Кортевега- де Вриза (БКдВ), описывающее влияние дисперсии и диссипации на волны малой, но конечной амплитуды в вязкоупругих стержнях и пластинках:
仇+ ^: + -户坛%一yvxxx = 0 (口2)
где а, 0, 7 ——параметры, описывающие влияние нелинейности, диссипации и дисперсии, п = 0,1, 2 для плоских, цилиндрических, сферических волн соответственно. Случай сферической волны был приведен только для общности, в работе он не рассматривался. В работах [188, 189] уравнение КдВ было получено методом возмущений по нескольким малым параметрам из точной системы уравнений теории упругости, описывающей нелинейные волны в круглом стержне.
В монографии Энгельбрехта Ю.К. и Нигула УК.[170] при переходе от полученных сложных уравнений движения к простым (в частности КдВ) также используются идеи метода возмущений, а именно применяются идеи лучевого метода. Например, для модели вязко-упругого стержня уравнение переноса первого порядка имеет вид уравнения БКдВ.
Островский Л.А. и Сутин А.М. [131,132] рассмотрели распространение продольных волн в однородном стержне из нелинейно-упругого материа™ ла, внутренняя энергия которого является функцией инвариантов тензора деформаций с точностью до кубического члена включительно. Они показа™ ли, что эволюция продольной компоненты вектора смещения описывается уравнением (нелинейное обобщение модели Релея—Лява или нелинейное уравнение Буссинеска)
(ПЗ)(ПЗ)Utt — UXX — UXUXX — uxxtt = О-
(ПЗ)
(ПЗ)
К полученному уравнению был применен разработанный одним из авторов метод упрощения систем уравнений с малыми нелинейностъю и дисперсией [130]. В случае малых нелинейности и дисперсии это уравнение сводится к уравнению КдВ.
Молотков И.А. и Вакуленко Е.В. в [26， 122] рассмотрели стержень с медленно меняющимися вдоль оси стержня плотностью и модулем Юнга. Полученное возмущенное уравнение КдВ для продольной скорости на- стиц стержня решалось методом возмущений. Были получены выражения для амплитуды и скорости возмущенного солитона. Решение представля™ ет собой локализованное в малой области пространства ядро солитона, за которым следует имеющий почти постоянную величину хвост солитона.
Более строго приближенное решение возмущенного уравнения КдВ с использованием асимптотического метода работы [181] находилось в ста™ тъях Самсонова А.М. и СокуринскойЕ.В. [147, 149, 152, 195]. В их работах рассматривались стержни с переменным поперечным сечением, перемен™ ным модулем Юнга, коэффициентом Пуассона и параметром нелинейности, находились асимптотические и численные решения задачи об эволюции солитонов в этих стержнях. Отмечалось удовлетворительное совпадение численного и асимптотического решений. Были получены более точные, чем у Молоткова И.А. и Вакуленко С.А., выражения для амплитуды и скорости солитона. Интересное поведение решения наблюдается при определенных соотношениях между параметром нелинейности и модулем Юнга Е, а именно при /^石一？ = const амплитуда и энергия солитона не меняются. При /4石-3 = const амплитуда солитона меняется, но плато за солитоном не образуется. Замечено, что при упрочнении материала (Е увеличивается) солитон теряет массу и энергию, а при разупрочнении (Е уменьшается) амплитуда и энергия могут неограниченно возрастать, что может привести к необратимым деформациям.
В работе Ерофеева В.И. и Потапова А.И. [70] была предложена методика сведения трехмерных уравнений нелинейной теории упругости к приближенным уравнениям теории стержней, основанная на аппроксимации перемещений в поперечном сечении стержня и применении вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Получены нелинейные уравнения, обобщающие модели Бишопа и Миндлина-Германа. Первое из этих уравнений имеет вид:
Uft — Cq ( 1 — -77 Ux j Uxx — 〃2丁夕(〃"—^.Uxx^xx = 0 (П.4)
где q =где q =沙 3 — коэффициент, характеризую™沙 3 — коэффициент, характеризую™万 + /"(1 - 6》)+ 沙2(1 - 2》)+ -
где q =
где q =
沙 3 — коэффициент, характеризую™
沙 3 — коэффициент, характеризую™
щий геометрическую и физическую нелинейности стержня; ст 二，从/夕 ——
скорость распространения упругой сдвиговой волны в материале; д ——мо™
дуль сдвига;沙 ——коэффициент Пуассона; гр ——полярный радиус инерции
поперечного сечения стержня.
В работах Самсонова А.М. и Сокуринской Е.В. [146, 148, 151, 153, 154, 194] уравнение (П.4), переписанное в градиентах перемещений было подробно исследовано:
(П.5)(П.5)%方-^жж = £(6鏡1 + Vff - bvxx^ ^^
(П.5)
(П.5)
где b = (2(1 + 〃))T < 1, e < 1 — малый параметр задачи. Авторы называ™ ют (П.5) «уравнением с двумя дисперсиями». Разрешенные значения скоро™ стей, т. е. те значения при которых возможно распространение уединенной волны заключены в интервалах (0, ст), (с0, сю) и, следовательно, кроме ре™ шений типа «сверхзвуковых» солитонов деформации, существование кото™ рых, правда, с другими параметрами следует из анализа решений уравнения КдВ, уравнение (П.5) допускает в качестве решений «дозвуковые» солито™ ны. Условие баланса между нелинейностью и дисперсией, обеспечивающее существование локализованного квазистационарного решения уравнения (П.5) принципиально отличается от аналогичного условия для уравнения КдВ и уравнения Буссинеска, поскольку связывает все параметры решения, а не только амплитуду и ширину импульса. Это объясняется разными дисперсионными свойствами этих уравнений, и в частности тем, что дисперсионные слагаемые в уравнении могут даже компенсировать друг друга при скорости близкой к скорости волны сдвига, после чего баланс нелиней™ ности и дисперсии будет нарушен. Найдено несколько законов сохранения для уравнения (П.5). По мнению автора работы [194] приведение уравнения (П.5) к КдВ существенно сужает класс решений и дает грубые оценки для параметров солитонов, что затрудняет их экспериментальное обнаружение в стержнях.
Основная часть работы Дрейдена Г.В., Островского Ю.И., Самсонова А.М., Семеновой И.В., Сокуринской Е.В. [46] посвящена экспериментальному исследованию формирования и распространения уединенных волн в стержнях. Согласно [46], при возбуждении в торцевой части стержня радиуса R импульса сжатия с амплитудой давления Ро и длительностью 7。= * на расстоянии А от торца стержня может сформироваться локализованная плоская волна, имеющая амплитуду деформации Л, ширину А и скорость V:
(2 + 6(Е— 〃))1/2к 丿(2 + 6(Е— 〃))1/2к 丿V ~ CqV ~ Cq1/21/2
(2 + 6(Е— 〃))1/2
к 丿
(2 + 6(Е— 〃))1/2
к 丿
V ~ Cq
V ~ Cq
1/2
1/2
где
/ = 3石 + 24(1 - 2戸)+ 6月(1 — 2〃 + 2产—4戸)+ 20(1 — 2沙户=
=3石 + 2/(1 - 2沙)3 + 4m(1 - 2沙)(1 + "2 + 6?ш‘2
——параметр нелинейности материала, зависящий от модулей упругости второго (Е)〃) и третьего (Л, В, С ——модули Ландау, a Z, m, п ——модули Мурнагана) порядка.
Приведены конкретные примеры расчета параметров уединенных волн при заданном радиусе стержня и давлении начального импульса. Авторам работы, по™видимому, впервые удалось сформировать из первичной удар™ ной волны и зарегистрировать нелинейную уединенную волну (солитон) продольной деформации в твердотельном волноводе (стержне из полисти™ рола).
В работе [47] тех же авторов были произведены некоторые усовертен- ствования методики эксперимента, расширяющие возможности регистра™ ции исследуемых волн по сравнению с [46]. Это позволило не только на™ блюдать генерацию уединенной волны, но и ее распространение на боль™ 1пих расстояниях, а также получить картину ее эволюции вдоль стержня и тем самым экспериментально показать, что волна действительно сохраняет свою форму и отношение амплитуды к длине, что и позволяет называть ее солитоном продольной деформации.
В работе Порубова А.В., Самсонова А.М. [136] уточнены гипотезы, положенные в основу теории распространения продольной волны дефор™ мации в нелинейно-упругом стержне цилиндрической формы, основанной на нелинейном уравнении (П.5). Для осевой и и радиальной w компонент вектора смещения вдоль осей х и г соответственно приняты следующие соотношения:
и = U (ж,力)+ г2 У (ж,力)，w = —rvUx + r3W(x^ 力)，
vtt -*女EZ - 2+ 17K2(〃 - 1)出力 + 沙尺2*女vtt -*女EZ - 2+ 17K2(〃 - 1)出力 + 沙尺2*女где U, У и W ——функции, подлежащие определению. При У = W = О эти выражения представляют собой запись гипотезы плоских сечений Ля- ва, использованной для вывода уравнения с двумя дисперсиями. Получено уточненное «уравнение с двумя дисперсиями» для составляющей продоль™ ной деформации 鏡=их:
vtt -*女EZ - 2+ 17K2(〃 - 1)出力 + 沙尺2*女
vtt -*女EZ - 2+ 17K2(〃 - 1)出力 + 沙尺2*女
, (П.6)
где / ——параметр нелинейности материала, зависящий от модулей упруго сти второго (Е^ I/) и третьего (/, т, п) порядка; у——коэффициент Пуассона.
В рамках уточненной теории получена оценка величины линейной составляющей касательного напряжения на боковой поверхности стержня: агх < < 3,95 К?从沙2//(з _ 2〃)*з, т. е. значение максимального напряжения агх на границе уменьшается в Е/ \/ЗА\ раз по сравнению с его максимальным значением в рамках теории [146]. Уточнение модели распространения
продольных волн деформации в нелинейно-упругом стержне позволяет существенно уменьшить теоретически предсказываемые на границе величи™ ны касательных напряжений, что представляется полезным с точки зрения дальнейшей разработки экспериментов по возбуждению и исследованию распространения солитонов деформации в нелинейно-упругом стержне.
Следует отметить, что помимо весьма общей теории возмущений для частных решений нелинейных уравнений [181, 199], применявшейся в ра・ ботах [26, 122, 140, 147, 152, 154, 195] существует теория возмущений для солитонов, развитая на основе метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) (здесь прежде всего следует выделить работы КарпманаВ.И., Маслова Е.М. [90, 91], а также работу Д. Каупа, А. Ньюэла [180]). Эти методы позволяют вывести возмущенные уравнения, описывающие эволюцию данных рас™ сеяния, используя теорию возмущений соответствующей линейной задачи рассеяния.
Соэрснсен М.П., Христиансен П.Л., Ломдал П.С. и Сковгард О. [197, 198] показали, что при учете членов четвертого порядка в разложении плот™ ности упругой энергии по инвариантам тензора деформаций и при следую™ щей нелинейной связи между радиальным смещением игаа и продольной деформацией
Urad = 广%一次厂心 一У3ги^
(沙1，沙2,沙3 ——коэффициенты Пуассона 1, 2 и 3 порядка) распространение продольных нелинейных уединенных волн описывается модифицированным усовершенствованным уравнением Буссинеска
g (^°)жж + ^xxtt = 0) (П.7) а при учете членов только третьего порядка - усовершенствованным уравнением Буссинеска
% + 2 (^^ )жж + ^xxtt =(П.8)
Авторы нашли решения типа уединенной волны для этих уравнений (для уравнения (П.7) имеются также решения в виде антисолитона и бризе™ ра). При численном исследовании столкновения таких решений обнаруже™ но их почти упругое поведение, т. е. волны почти сохраняют свою форму и скорость, но, дополнительно образуется излучение. В работе исследовались столкновения солитона и антисолитона, совместное распространение двигающихся рядом солитона и анти солитона с одной скоростью в бризеропо™ добном состоянии, столкновение бризеров для уравнения (П.7). Показано, что антисолитоны в случае квадратичной нелинейности либо разрушаются, либо приводят к сингулярным решениям. В работе [198] авторами иссле™ довалось численно отражение и расщепление уединенных волн в стержне с переменны сечением (сечение меняется непрерывно и скачком), отражение уединенных волн от массивного конца, а также взрыв и разрушение антисолитона в случае усовершенствованного уравнения Буссинеска. Рассмотренные уравнения являются почти интегрируемыми и их решения типа
уединенной волны не являются солитонами в строгом смысле. Однако, ввиду того, что эти уравнения приводятся к полностью интегрируемым (КдВ и мКдВ) в случае малых амплитуд, то решения в виде уединенных волн с малыми амплитудами обнаруживают солитонное поведение.
П.А. Кларксон, Р.Дж. Левек и Р. Сэкстон в [176] получили для продольных волн в стержнях из нелинейных несжимаемых или почти несжимаемых материалов уравнение:
%力—± ~ (^^*)жж + 幻力力=О, (1X9)
где р = 3 или р = 5 в зависимости от особенностей материала. Отмечается, что четные значения р представляют интерес в том случае, если известно, что материал стержня глобально динамически неустойчив. Последнее уравнение авторы работы назвали нелинейным уравнением Похгаммера-Кри. Численно исследовалось столкновение двух уединенных волн, являющихся решениями нелинейного уравнения Похгаммера-Кри, с одинаковыми параметрами двигающихся навстречу друг другу. Следует отметить, что применимость модели нелинейного несжимаемого материала является весьма узкой.
В работе Потапова А.И., Семериковой Н.П. [137] рассматривались нелинейные продольные волны в стержне с учетом взаимодействия полей деформации и температуры. Система уравнений нелинейной динамической задачи термоупругости имеет вид:
К" — (1 + ^их}ихх — — Ьихх ) хх =-@т(Т —式)関
Tt - + Q(T -乳)=-
где Т и 乳 ——безразмерные значения текущей температуры и температуры окружающей среды, е < 1 — малый параметр, «у, а, % — безразмерные коэффициенты теплового расширения, теплообмена и температуропровод™ ности, (2(1 + 沙))一1 < 1. Если первое уравнение системы продиффе™ ренцироватъ по жи записать относительно продольной деформации v = их, то оно будет отличаться от уравнения (П.5) только наличием члена, описывающего тепловое расширение. На основе анализа системы (П.10) было показано, что конвективный теплообмен приводит к диссипации энергии продольной волны, типичной для модели вязкоупругого материала с после™ действием и релаксацией. Получено уравнение изменения амплитуды бегущей волны и проанализированы законы затухания квазигармонических, кноидальных волн и солитонов.
В работе [118] Милосердова И.В. и Потапов А.И. исследовали нелиней™ ные продольные волны в стержне конечной длины с жестко закрепленными концами. Решалась краевая задача для такого же уравнения, как и в работе [132]. Используется приближение (часто называемое одноволновым), когда рассматриваются две бегущих навстречу друг другу стационарных волны и влияние нелинейности учитывается в два этапа. Вначале не проводится учет взаимодействия встречных волн, а учитываются только эффекты
нелинейности и дисперсии для одной волны. Решения уравнения одновол™ нового приближения выражаются в эллиптических функциях. Относитель™ но встречного взаимодействия утверждается, что в системе с квадратичной нелинейностью встречные волны в первом приближении не взаимодействуют. Солитонные решения, полученные в [132], в данном случае существо™ ватъ не могут.
Несмотря на созданную аналитическую теорию, позволяющую в прин・ ципе найти не стационарные решения полностью интегрируемых уравне™ ний с помощью MO3R вопрос о численных алгоритмах для КдВ и других полностью интегрируемых уравнений представляется важным, так как при произвольных начальных данных получить решение в замкнутой форме, используя аналитические методы, вряд ли возможно. Для численного исследования уравнений КдВ и БКдВ применяются такие схемы предиктор™ корректор, как схема Лакса, Лакса-Вендрофа, Мак-Кормака* Эти разност™ ные схемы искажают монотонные решения, поскольку обладают численной дисперсией. Однако их можно использовать при решении КдВ и БКдВ, ео ли выбирать шаг по пространственной координате так, чтобы численная дисперсия была существенно меньше физической. Используются также трехслойные явные схемы, которые являются весьма простыми и удобны™ ми для реализации. Для решения уравнений КдВ и БКдВ используются также полуспектральные и спектральные методы. В спектральном методе производится разложение искомого решения в гармонический ряд. Подста™ новка этого ряда в исходное уравнение дает бесконечную систему урав™ нений для амплитуд гармоник. Чтобы сделать систему конечной, вводится максимальное волновое число, значение которого подбирается. Эти мето™ ды могут дать хорошую точность, но технически они значительно сложнее конечно-разностных методов и неэффективны в смысле затрат машинного времени. Обзор численных методов с подробным описанием физических моделей, алгоритмов и результатов расчетов дан в работе Березина Ю.А. [13], где есть также многочисленные ссылки на работы по численному мо™ делированию. Есть работы, в которых численные исследования КдВ и БКдВ являются основным средством изучения нелинейных волновых процессов в стержнях, но, как правило, отмечаемые в этих работах эффекты не являются специфическими (т. е. чисто «стержневыми») и уже давно хорошо известны. В качестве примера можно указать работу А. Накамуры [187], где численно исследовалось распространение солитона в тонком стержне из расплавленного кремния.
В работе Самсонова А.М., Дрейдена Г.В., Порубова А.В., Семеновой И.В. [196] теоретически анализируется эволюция уединенной волны продольной деформации и приводятся данные экспериментов в нелинейноупругом конусообразном стержне. Теоретически предсказана фокусировка солитона в стержне с уменьшающимся поперечным разрезом, которая наблюдается и в эксперименте. При фокусировке наблюдается асимметричная деформация солитона. В работе развит подход для получения аналитических связей между продольными и сдвиговыми нелинейными деформациями и найдено асимптотическое решение, точно удовлетворяющее гранич-
ным условиям на боковой поверхности стержня. Получено точное соотно шение для амплитуды солитона в зависимости от изменения радиуса попе™ речного сечения стержня. Показано, что допустимый интервал скоростей солитона существует и зависит от упругих свойств стержня. В эксперимент тах показано, что солитон упругой деформации не поглощается даже на расстояниях, намного больших, чем типичная длина линейного затухания волны в полистироле.
В работах [150, 191] рассмотрено распространение нелинейных упру™ гих продольных уединенных волн деформации в цилиндрическом стержне, находящемся в контакте с внешней упругой и вязкой (антивязкой) средой. В работе А.М. Самсонова и Е.В. Сокуринской [150] в качестве модели упру™ гой среды используется уточненная модель Винклера-Пастернака, согласно которой воздействие окружающей среды можно представить как результат работы упругих пружин на сжатие и на сдвиц а в [191] реакция на сдвиг со стороны внешней среды принимается равной нулю. Выведено нелинейное уравнение волн продольной деформации, которое в случае упругой внеш™ ней среды совпадает с уже известным «уравнением с двумя дисперсиями», но с увеличенной линейной «стержневой» и уменьшенной сдвиговой скоро™ стями. В случае вязкой (активной) среды появляется член vtxx в указанном уравнении. В отличие от случая свободного стержня, внешняя среда может изменять тип солитона деформации. Предложен подход для возможного экспериментального определения модулей упругости Мурнагана третьего порядка.
В работах Ерофеева В.И., Клюевой Н.В. и Семериковой Н.П. [62—64] рассматривается нелинейная математичеекая модель, описывающая про™ дольные колебания стержня с учетом сдвиговых деформаций и попереч™ ных движений частиц срединной линии (нелинейное обобщение модели Миндлина-Германа). Изучаются особенности распространения нелиней™ ных стационарных волн деформации: периодических волн и солитонов. Получены зависимости между основными параметрами таких волн (амплитудой волны, длиной волны, скоростью ее распространения и коэффициентом нелинейных искажений формы волны). Показано, что наряду с классическим поведением солитонов (волна большей амплитуды имеет меньшую ширину и распространяется с большей скоростью), может наблюдаться и их аномальное поведение (амплитуда волны уменьшается с ростом скорости).
В работе Рыбака С.А. и Скрыникова Ю.И. [143] показано, что распространение нелинейных волн продольной деформации в стержне постоянной кривизны может быть описано уравнением Клейна-Гордона следующего вида:
%力一cOvxx + /0 =乐(")當當， (П.1 1)
где R——радиус кривизны. Поперечными перемещениями, которые в криволинейных стержнях уже в линейном приближении связаны с продольными, пренебрегается. Найдено решение в виде уединенной стационарной волны.
Солитон уравнения (П.11) в окрестности вершины имеет параболический профиль, а его спадающие на бесконечности хвосты имеют ту же структу™ ру, что и хвосты солитона Кортевега-де Вриза. Ширина солитона △〜\/А (где Л ——амплитуда).
Влияние диссипации на свойства солитонов, описываемых уравнением (П.11), проанализировано в работе Скрыникова Ю.И. [157].
В работе Мягкова Н.Н. [123] изучается распространение продольных упруго-пластических волн в стержне. Стержень находится в стадии, назы™ ваемой деформационным разупрочнением (падение напряжения при увели™ чении деформаций). Для широкого класса материалов (среди которых металлы, бетон, геоматериалы) такое поведение предшествует разрушению. Рассматривается модель, в которой функция текучести зависит не только от напряжения и деформации, но и от градиента деформации второго порядка:
где е ——полная деформация, У ——скорость, о§(е)——диаграмма деформи™ рования материала (она предполагается квадратичной). Через 8 обозначен малый безразмерный параметр, введение которого позволяет регуляризо™ ватъ модель, поскольку попытки описать разупрочнение с помощью моде™ лей, нечувствительных к скорости деформации, приводят к потере гипербо личности системы уравнений и некорректности задачи Коши. С помощью преобразования Хироты строятся точные решения системы, полученной из (П.12) для приращений деформации (&')• Такие решения представляют со бой не стационарные уединенные волны, эволюция которых описывает про™ цесс локализации деформации в разупрочняющемся стержне, возникающей из гладкого начального возмущения и заканчивающейся коллапсом.
Во многих случаях стержни работают в пределах линейно-упругого по™ ведения материала, а нелинейными являются лишь граничные закрепления (например, наличие зазоров или ограничителей в соединениях деталей). В работах Милосердовой И.В., Новикова А.А. и Потапова А.И. [117—120] показано, что в таких системах при наличии внутренних резонансов могут существовать нелинейные стационарные волны деформации с широким спектром частот, обладающие свойствами, сходными со свойствами волн в стержнях с распределенной упругой нелинейностью.
В работах Кажаева В .В. [83, 84] приведены результаты аналогового и численного моделирования не стационарных волновых процессов в стержне с нелинейно-упругим закреплением, включающие в себя эффекты распада начального возмущения на солитоны, обменное взаимодействие солитонов и явление возврата.
Изгибные волны в стержнях
В отличие от продольных, изгибные волны в стержне обладают силь™ ной дисперсией. Согласно модели Бернулли^Эйлера (техническая теория) частота гармонической волны пропорциональна квадрату волнового числа,
следовательно дисперсия имеет аномальный характер. Групповая скорость при любой частоте будет в два раза превышать фазовую.
Распространение изгибных волн в нелинейно-упругом стержне описы™ вается уравнением (учитывается геометрическая нелинейность):
^tt + ^хххх = ；(*)少(ПЛЗ)
Здесь введены безразмерные переменные:胃'=x/ry,，= c^t/ry, wz = =w/гу где гу ——осевой радиус инерции поперечного сечения. Штрихи в (ПЛЗ) опущены.
В работе Ерофеева В.И. [53] анализируются нелинейные стационарные волны огибающих, возникающие при распространении квазигармониче™ ских изгибных волн в стержне. С помощью метода связанных нормальных волн [128] от уравнения (ПЛЗ) осуществлен переход к двум связанным нелинейным уравнениям Шредингера, одно из которых имеет вид:
|U — I2 = О,(ПЛ4)
а второе является комплексно сопряженным с (П.14) (U* — величина, комплексно-сопряженная с U)* Функции U и U* связаны с поперечным смещением w соотношениями:
Изменение амплитуды квазигармонической волны U = А ехр {“公力—к/ + +《，)} + к.с. описывается уравнением ангармонического осциллятора:
d2A 片 з
Утверждается, что уравнение имеет солитонное решение при \d\ = V/18%/^， где V ——скорость стационарной волны. Все параметры солитона могут быть выражены через значение амплитуды волны деформации на границе стержня (а。). Скорость солитона пропорциональна первой степени а0 : V = =З^ао, а его амплитуда пропорциональна квадрату этой величины Ло = = ^^ Aq. Ширина солитона определяется выражением △ = 2/3 聪 а°.
В работе ЕрофееваВ.И. [51] изучаются нелинейные изгибные колебания стержня, точки срединной линии которого совершают движения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Исследованы спиральные волны в бесконечном стержне (в частности, солитоны огибающих спиральных волн) и циркулярно-подяризованные колебания стержня конечной длины.
В книге Каудерера Г. [92] предложена модель изгибных колебаний фи™ зически-нелинейного стержня
+ awхххх —хххх+ 2 (wxxxf g , (ПЛ 5)
где w(x, t)——прогиб точки ж оси стержня в момент времени 力，a q и А ——некоторые постоянные, содержащие геометрические и упругие характеристики стержня. В работе Березовского А.А., Жернового Ю.В. [14] исследованы стационарные волновые решения этого уравнения.
В работе Абрамяна А.К., Индейцева Д.А. и Вакуленко С.А. [172] рас™ смотрено распространение солитона в нелинейном стержне, находящемся в контакте с идеальной сжимаемой жидкостью. Солитон, распространяю™ щийся по стержню, контактирующему с жидкостью, интерпретируется как «движущееся включение». Найдены аналитические выражения для уединенных волн. Рассматриваются два случая: когда скорость солитона боль™ Hie, чем скорость акустических волн в жидкости и когда скорость солитона меньше скорости звука в жидкости. В первом случае жидкость не может быть вовлечена в движение солитона, возникают большие силы сопротив™ ления, при этом солитон быстро теряет скорость. Во втором случае солитон при своем движении по балке приводит в движение жидкость, на движении солитона влияние жидкости сказывается незначительно.
В работах Ерофеева В.И., Кажаева В.В., Семериковой Н.П., [58, 59, 177] изучаются особенности распространения нелинейных изгибных волн в стержне Тимошенко. Уравнения динамики такого стержня, учитывающие геометрическую и физическую нелинейности, были получены в работе [52]:
pFwtt —Ж —夕①)=[2Q2 J2gd: + 4q3Fw^ + 2&4尸夕+
+ Q5，2 夕冠 + 3Q6% 冠+ Q6%% (ПЛ6)
pJ?屮tt — EJ?屮賞x + ZfiF(9 — g) = [4qiJ“： + 2а?厶依(，+ 鸣)+
+ 2a572^^ХI(;х]ж — 2a2/29* — 2a4尸9访一2a3^^3 — 05/2g*一
где w(x, t) — поперечное смещение;屮応力)一угол поворота попереч™ ного сечения; р ——объемная плотность материала; Ji = Ц z^dF^ 小 = F
= J JdF ——осевые моменты инерции; N ——коэффициент Тимошенко; qj (j = 1, 6)——коэффициенты, характеризующие геометрическую и фи™ зическую нелинейности среды. В предположении малости углов поворота поперечных сечений для длинноволновых процессов система (П. 16) сводится к одному уравнению, которое для стационарных волн принимает вид уравнения Дуффинга. В работе [58] были проанализированы условия возникновения модуляционной неустойчивости квазигармонических волн, приводящей к их самомодуляции и формированию стационарных волн оги™ бающих. В сравнении с моделью изгибных колебаний Бернулли-Эйлера, в которой изгибные волны всегда устойчивы, в модели Тимошенко нет такой однозначности. Квазигармонические изгибные волны могут быть как
устойчивыми, так и неустойчивыми в зависимости от частоты и принадлежности к той или иной дисперсионной ветви, упругих свойств материала. Приведена диаграмма, показывающая области устойчивости и неустойчивости на дисперсионных кривых. В отличие от [58] в работе [59] основное внимание уделено случаю, когда изгибные волны обладают большой интенсивностью и находятся в области слабой дисперсии. Показано, что в зависимости от величины скорости имеются качественно различные волновые картины. Найдены соотношения, связывающие основные параметры стационарных волн (периодических и солитонов): амплитудой волны, длиной волны, скоростью ее распространения и коэффициентом нелинейных искажений формы волны. Показано, что в некоторых диапазонах скоростей может наблюдаться аномальное поведение солитонов.
В работах Кажаева В.В., Потапова А.И. и Семериковой Н.П. [86, 87] изучаются локализованные изгибные стационарные волны в тонком растянутом стержне.
^tt — °彳(1 + ^^х)^хх — ^2/(1 — ^) iy^tt — ^2^хх')хх = О? (П-. 17)
где ci = 2^о (А + м)/о ——скорость поперечных волн в стержне;喜= = {石/2 + go [3(Л + 2/i) — (5Л + 〃№]}/(]—沙) — некоторая величина, имеющая размерность скорости; Л, дд- константы Ламе, е。- начальная деформация; а = 3Eji- коэффициент нелинейности. Были проведены аналитические и численные исследования этого уравнения. Для численного моделирования использовалась неявная трехслойная разностная схема с порядком аппроксимации О(т2,九？)” Заметим, что при С = — > 1 уравнение обладает аномальной (положительной) дисперсией, что приводит к появлению новых нелинейных эффектов. При С > 1 на плоскости параметров «амплитуда-скорость» для стационарных волн существуют две области ограниченных решений с качественно различным поведением. Исследуются решения из области сильно нелинейных волн, несуществующих при амплитудах меньше некоторого критического значения. Такие волны описываются выражением
U(х〉t) = ± Л △ arctg sh (勿 ， wx = U(x^ f)
и, как следует из результатов численного исследования, во многих случаях ведут себя подобно солитонам, но обладают рядом свойств, которые отличают их от классических солитонов. Так при встречных столкновениях волн, если их амплитуды превышают некоторое пороговое значение, они расщепляются, порождая вторичные частицеподобные волны и волновой пакет.
Экспериментальное наблюдение расщепления разнополярных импульсов (солитонов) при встречных столкновениях содержится в работе Потапова А.И. и Весницкого А.И. [192].
Учет геометрической нелинейности приводит не только к самовоздей- ствию изгибных волн, но ик взаимодействию изгибных волн с продольными.
Резонансные взаимодействия квазигармонических продольных и изгиб- ных волн в прямолинейных стержнях и кольцевых резонаторах, приводящие к формированию нелинейных волн огибающих, изучались в работах [56, 68, 97, 183].
В работе Березовского А.А. и Жернового Ю.В. [15] изучаются продольно-изгибные волны в упругом неограниченном стержне. В явном виде через эллиптические функции Якоби найдены периодические кноидаль- ные волновые решения для прогиба w(x, f) = w(kx — u)t) и продольного перемещения. Получены соответствующие дисперсионные соотношения, связывающие волновое число к, частоту ш и амплитудный параметр Л.
Заслуживают внимания, стоящие несколько особняком, задачи о «вынужденных нелинейных стационарных волнах», т. е.——о возбуждении волн нагрузками, движущимися по нелинейно-упругим направляющим. Некоторые из таких задач рассматривались в диссертации Быченкова В.А. [25] и статье Метрикина А.В. [115].
Крутильные волны в стержнях
Кроме продольных и изгибных волн в стержне могут распространяться также и крутильные волны. Особенностью крутильных волн является отсутствие дисперсии у нулевой моды ——фазовая и групповая скорости для нее равны с「=，〃/夕.Это обстоятельство обусловило меньший интерес к нелинейным крутильным волнам.
В работе Милосердовой И.В. [116] выведено уравнение с кубической нелинейно стью для нелинейных крутильных волн в стержне с учетом де- планационных эффектов
®" — (1 + (%)?) Яг ж —(丛方—С20хх^хх = О, (П.18)
являющегося обобщением известных нелинейных волновых уравнений. Здесь 0 ——безразмерный угол закручивания. Уравнение (П.18) применимо также для описания нелинейных изгибных волн в стержне и выше в обзоре уже говорилось об аналитическом и численном исследовании этого уравнения в работах [86, 87].
В работе Ерофеева В.И., Клюевой Н.В., Моничева С.А. и Семериковой Н.П. [61] изучалось влияние разномодульности материала и депланации на распространение нелинейных крутильных волн в стержне. Разномо- дульность, обусловленная наличием поврежденности материала, приводит к тому, что доминирующую роль играет не кубическая нелинейность, а квадратичная (существование которой для сдвиговых и крутильных волн классическая теория упругости «запрещает»). Совместное действие квадратичной нелинейности и дисперсии, вызванной депланационными эффектами, приводит к формированию солитонов и стационарных периодических волн. Определены зависимости между основными параметрами волн (скоростью, амплитудой, шириной для солитона или частотой для периодической волны) и поврежденностью материала. Показано, что эти зависимости
могут быть положены в основу разработки акустического метода диагностики поврежденности материалов и конструкций.
Волны « пластинах
Распространение уединенных плоских продольных волн в пластинах описывается теми же уравнениями, которые используются для описания подобных процессов в стержнях. Естественно, коэффициенты этих уравнений другие [132, 189].
Мартынов А.В. [113] исследовал продольные колебания пластины и показал, что при распространении плоской волны исходные уравнения могут быть сведены к уравнению синус-Гордона, имеющему решения в виде солитонов.
В работе Топчяна Д.Х. [163] изучаются одномерные квазигармонические волны изгиба в нелинейно-упругой пластине, находящейся на линейно-упругом основании. Показано, что при kh < 0,3 (где к ——волновое число, h ——толщина пластины) наблюдается устойчивость волновых пакетов, а при kh > 0,3 ——модуляционная неустойчивость, приводящая к формированию стационарных волн огибающих.
В работах Багдоева А.Е и Мовсисяна Л.А. [9-11] рассматриваются модулированные волны в пластинах при наличии геометрической и физической нелинейностей. При этом физическая нелинейность является квадратичной и (или) кубической. В случае квадратичной нелинейности независимо от знака коэффициента всегда имеется неустойчивость модуляций. Найдены условия, при которых кубическая нелинейность может привести к устойчивости.
В работе Шенявского Л.А [169] найдены два типа точных волновых решений следующих нелинейных уравнений продольно-изгибных колебаний пластины
Utt — с0 ^хх + wxwxx)=。,
2 Г/? / 、]—…―Е ") ^tt + С。 ^^хххх — у^х^х )х — 3 С° — / 八
Эти уравнения получены из теории тонких пологих оболочек при бесконечном радиусе кривизны. Решения, описывающие связанные продольно- изгибные волны в (П.19), при скорости распространения с > со имеют вид
/ 、/adrz(4K啕一kcn(4K啕2九2KM /、
17 =——= V =——
2Дсо ,K⑻E⑺1 +片
а при с < со
w(^)=九 J —arcsin [ksh(4Km£)] , 〃(£) = ^]*" zn(4Кг^)&"*{K8 [2E3 —К(叫}
где h толщина пластины; zn дзета-функция; sn, cn, dn ——эллиптические функции Якоби; к ——модуль эллиптической функции, К и Е ——полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно; £ = =t — х/с. Связанные продольно-изгибные волны полностью определяются двумя параметрами, например скоростью распространения с и модулем &. Частота колебаний продольной составляющей и вдвое больше частоты колебаний изгибной составляющей w. При с > eg нелинейные связанные продольно-изгибные волны вырождаются в чисто продольную волну. Рассчитаны зависимости скорости распространения продольно-изгибных волн от частоты для различных значений амплитуды изгибных составляющих.
Важным отличием в постановке задачи для нелинейных волн в пластинах является вопрос об устойчивости плоских волн к поперечным возмущениям. Неочевидно, что солитон, существующий в стержне, будет су・ ществовать в пластине. Дело в том, что в двумерных системах поперечные возмущения могут разрушить неустойчивую уединенную волну. В качестве примера можно сослаться на работу Богоявленского О.И. [19], в которой изучалось взаимодействие длинных волн, распространяющихся вдоль одной координатной оси с простыми волнами Римана, распространяющимися в поперечном направлении, и было показано, что солитонные решения при таком взаимодействии опрокидываются. В работе Захарова В.Е., Кузнецова Е.А., Рубенчика А.М. [200] для уравнения Кадомцева-Петвиашвили показано, что уединенные и периодические стационарные волны в среде с отрицательной дисперсией устойчивы относительно поперечных возмущений. Совершенно другая ситуация имеет место для волн с положительной дисперсией. Здесь одномерный солитон оказывается неустойчивым по отношению к поперечным возмущениям.
Наличие еще одной пространственной переменной приводит к тому, что плоские волны уже не являются характерными для пластин и оболочек. Даже если в начальные моменты времени фронт волны в бесконечной пластине близок к прямой линии, с течением времени он будет искривляться из-за дифракционной расходимости. Конкуренция нелинейности, дисперсии и дифракции приводит к появлению новых эффектов, таких как самофокусировка.
В работе Потапова А.И., Солдатова И.Н. [139] выведены двумерные уравнения продольных колебаний пластины с учетом геометрической и физической нелинейностей. Исследовано распространение слаборасходя- щегося пучка нелинейных продольных волн в пластине и показано, что в
этом случае компонента продольной деформации удовлетворяет уравнению Кадомцева-Петвиашвили (КП)
^ (% + 賑-нас) = 力(皿20)
и в пластинах могут распространяться двумерные солитоны. (Здесь《)= = 〃о£ ——компонента продольной деформации). Отмечено, что влияние граничных условий (т. е. то, что пучок распространяется в пластине, а не в безграничной среде) проявляется в величине коэффициентов нелинейности и дифракционной расходимости, а не только в том, что в уравнении есть дисперсионный член.
В работе Сокуринской Е.В. [158] приведены уравнения волн нелинейной продольной деформации в пластинах из несжимаемого материала Муни и сжимаемого материала Мурнагана. Показано, что с использованием функции деформации / = их (и ——перемещение вдоль направления распространения волны в срединной плоскости пластины) эти уравнения могут быть приведены к виду:
foe + af + 126/ = О,(П.21)
где 0 = х ± ky ±Vt, У, к ——const;
=72(* + 1)4(力-(* + 1))
a - (F + 1) 一° - £(炉+ 1)[(炉+4V2「
Здесь выражения для коэффициентов а и 6 приведены для материала Муни, а для материала Мурнагана они имеют несколько иной вид. Заменой переменных последнее уравнение сводится к хорошо известному уравнению Вейерштрасса, которое разрешимо в эллиптических функциях. Уравнение Вейерштрасса, подробно исследованное в работах [146, 150] имеет решение в виде локализованных разрывов, кноидальных и уединенных волн. Утверждается, что в отличие от описания двумерных нелинейных волн деформации с помощью уравнения Кадомцева-Петвиашвили в работе [139], допускающего только солитоны сжатия, описание волн деформации в пластине с помощью уравнения Вейерштрасса является более общим, поскольку последнее уравнение имеет более широкий класс решений, куда входят, в частности, локализованные волны не только сжатия, но и растяжения.
В работе Кившаря Ю.С., Сыркина Е.С. [93] рассмотрены сдвиговые солитоны в упругой пластине, выведено нелинейное параболическое уравнение (нелинейное уравнение Шредингера), описывающее динамику огибающих сдвиговых волн, показано, что в зависимости от нелинейных свойств упругой пластины в ней могут распространяться «светлые» или «темные» сдвиговые солитоны, параметры которых связаны с линейными модами пластины. Сдвиговые солитоны в упругой пластине наблюдались экспериментально Плано М., Хомади М. - авторами работы [190].
В работе Дрейдена ЕВ., Порубова А.В., Самсонова А.М., Семеновой И.В [48] приведены результаты экспериментов по возбуждению в упругой пластине из полистирола локализованной нелинейной волны продольной деформации, способной распространяться с сохранением своей формы. Для генерации уединенной волны использовалась установка, аналогичная применявшейся в экспериментах по возбуждению солитона в стержнях [46, 47]. Амплитуда солитона продольной деформации оказалась в 2,45 раза меньше, чем в стержне при тех же условиях возбуждения. Сам солитон представлял собой достаточно протяженную волну продольной деформации сжатия корытообразной формы, за которой отсутствовали сколько- нибудь значительные по амплитуде волны растяжения.
Волны « оболочках
Условия возникновения модуляционной неустойчиво сти квазигармони- ческих изгибных волн в нелинейно-упругих цилиндрических оболочках изучались в уже упомянутых выше работах Багдоева А.Г. и Мовсисяна Л.А. [9, 10].
Первое экспериментальное наблюдение солитона огибающей изгибной волны в тонкой металлической цилиндрической оболочке описано в работе Рудника И., By Дж., Витли Дж.И., Питермана С. [193].
В работах Мартыненко М.Д., Нгуен Данг Бик, Фам ши Виня [110— 112] проанализированы условия существования солитонов в нелинейноупругих телах и рассмотрены задачи о распространении упругих волн в движущихся циллинрических оболочках с учетом нелинейных эффектов, обусловленных влиянием инерционных сил.
В работах Ковригина Д.А. [95, 96] изучались нелинейные резонансные взаимодействия квазигармонических волн различных типов в тонкостенной цилиндрической оболочке:
параметрическое взаимодействие осесимметричной волны с изгиб- ными волнами, распространяющимися попутно в продольном направлении и бегущими встречно в окружном направлении;
кросс-взаимодействие осесимметричных и неосесимметричных волн, приводящее к образованию стационарной волны;
самомодуляция осесимметричной волны в продольном направлении.
Было показано, что как и в прямолинейном стержне, в оболочке могут формироваться трехчастотные солитоны огибающих, представляющие собой модулированные волны, бегущие в продольном направлении.
Приведение уравнений динамики оболочек (а также стержней и пластин) к нелинейным эволюционным уравнениям производилось в диссертации Човнюка Ю.А. [168].
Широкий круг вопросов нелинейной волновой динамики цилиндрических оболочек освещен в работах Землянухина А.И., Могилевича Л.И., сведенных в монографию [78]. Рассмотренные ими задачи включают в себя:
вывод эволюционных уравнений, моделирующих распространение продольных, сдвиговых и изгибных волн в нелинейно-упругих, нели-
нейно-вязко-упругих, однородных и неоднородных цилиндрических оболочках;
нахождение классов точных солитонных и ударно-волновых решений;
выявление условий, при которых возникающие модели связаны с интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния;
теоретико-групповой анализ нелинейных уравнений в частных производных и механическую интерпретацию инвариантных решений.
В данном обзоре уделялось внимание вопросам распространения солитонов деформации в упругих элементах конструкций, когда наличие дисперсии связано с конечностью размеров рассматриваемых объектов в направлении, поперечном относительно направления распространения волны, т. е. с волноводными свойствами зондируемых образцов.
Другим фактором, обуславливающим появление дисперсии, является влияние микро структуры материала.
Анализ показывает, что и «микроструктурная» дисперсия, проявляющаяся при значительно более высоких частотах, чем «волноводная», может, при наличии нелинейности, привести к формированию в материале солитонов деформации.
Освещение различных вопросов нелинейной волновой динамики твердых сред с микро структурой можно найти в монографиях Наугольных К.А. и Островского Л.А. [124], Николаевского В.Н. [126], Ерофеева В.И. [50], Быкова В.Г. [24], Ерофеева В.И., Клюевой Н.П. и Шешенина С.Ф. [67].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Абловиц Мл Сигур X Солитоны и метод обратной задачи. 一 М*: Мир, 1987.
Авиационная акустика/Под ред. Мунина А.Г. 一М.: Машиностроение, 1986, Т. 1,2.
Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М*: Наука, 1981.
АртоболевскийИ.И., БобровницкийЮ.Ж, Генкин МД Введение в акустическую динамику машин. — М.: Наука, 1979.
А.С. № 1599875 (СССР). Способ формирования запаздывания сигнала / Кажа™ ев В.В., Прокофьев Е.В., Сибирякова Л.Л. Заявлено 29.02.88, № 4385309/24-24. Опубл. 15.10.90. Бюл. № 38.
А.С* № 1768826 (СССР) Колебательная система / Черкунова А.В., Чехалова Н.А., Болдин В.П., Весницкий А.И., Кажаев В.В., Черкунов В.Б., Черкунов Б.В. Заявлено 10.12.90, № 4889369/28. Опубл. 15.10.92. Бюл. № 38.
А.С. №1672349 (СССР). Способ определения коэффициента отражения упругих волн от неоднородности в волноводе / Ерофеев В.И., Родюшкин В.М. Заявлено 3L10.88; ^№4643255/28. Опубл. 23.08.91, Бюл. №31.
Асташев В. К., Бабицкий В. И., Веприк А.М., Крупен ин В. Л. Гашение вынужденных колебаний струн и стержней подвижной шайбой // ДАН СССР, 1989. Т. 304, № 1.С. 50-54.
Багдоев А.Г., Мовсисян Л.А. Квазимонохроматические волны в нелинейно-упру™ гих пластинах // Изв. АН СССР. Механ. тверд, тела, 1981, № 4.
Багдоев А.Г., Мовсисян Л.А. Некоторые вопросы распространения квазимоно™ хроматических волн в пластинах и оболочках // Труды XXII Всес. конф, по теории оболочек и пластин. 一 Ереван: Изд. АН Арм. CCR 1980.
Багдоев А.Г., Мовсисян Л.А. О нелинейных одномерных волнах в пластинах // Пробл. динамики взаимодействия деформир. сред. 一 Ереван: Изд. АН Арм. CCR 1990, С. 50-52.
Бело кобылье кий С. В., Ветюков ММЛ Нагаев Р. Ф. О фрикционных автоколеба™ ниях бурильной колонны // Машиноведение. 1982, № 2. С. 15—20*
Березин Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процессов. 一 Новоси™ бирск: Наука. 1982.
Березовский А.А., Жерновой Ю.В. Изгибные стационарные волны в стержнях при нелинейном законе упругости // Украинский матем. журнал. 1981. Т. 33. № 4. С. 493—498"
Березовский А.А., Жерновой Ю.В. Нелинейные продольно-поперечные стацио нарные волны в упругих стержнях // Сб. Матем. физика, № 30, — Киев: Наукова думка, 1981, С. 41—48.
Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. 一 М.: Высшая школа. 1980.
Бленд Д.Р. Нелинейная динамическая теория упругости. 一 М.: Мир. 1972.
Блехман И.И., Малахова О.З. О квазиравновесных положениях маятника Челомея // ДАН СССР, 1986. Т. 287, № 3. С. 289—294.
Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. — М「Наука, 1991.
Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. — М.: Гостехиздат. 1956.
Буллаф Р.К., Кодри П.Дж. Солитоны: Пер. с англ. 一 М.: Мир, 1983.
Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах 一 М•: Мир, 1981.
Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1976.
Быков В.Г. Нелинейные волновые процессы в геологических средах. 一 Влади™ восток: Дальнаука, 2000.
Быченков В.А. Волновое сопротивление движению нагрузок вдоль одномерных упругих систем. Дисс. канд. физ.-мат. наук. - Горький: ГТУ, 1988, 184 с.
Вакуленко С.А., Молотков И.А., Островский Л.А., Сутин J.M Нелинейные продольные волны в упругих стержнях // Волны и дифракция, VIII Всес. симп. По дифракции и распространению волн. Т. 99. — М., 1981, С. 107—110.
Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. —М「Физматлит, 2001.
Весницкий А.И., Метрикин А.В. Внутреннее трение в одномерных упругих си™ стемах как результат рассеяния волн на случайных неоднородностях среды // Испытания материалов и конструкций: сб. научн. трудов / под ред. С.И. Смир・ нова и В.И. Ерофеева. 一 Н.Новгород: Изд-во «Интелсервис» Нф ИМАШ ЖН, 1996“ С. 147—150.
Весницкий А.И., Милосердова И.В. Волновые методы борьбы с вибрациями // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1998, № 3. С. 16-25.
Весницкий А.И., Романов Н.Д. К построению демпфера гашения изгибных колебаний балки // Прикладная механика. 1988. Т. 24, № 6. С. 122—124.
Ветюков М.М. Нелинейные модели и задачи динамики твердого тела с трением на плоскости. — С.-Петербург: Изд™во СПГГИ. 2000.
Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Т. 1 / под ред. Болотина В.В. — М.: Машиностроение, 1978.
Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Т. 6 / под ред. Фролова К.В. 一 М.: Машиностроение, 1981.
Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. 一 М.: Наука, 1966.
Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. - М.: Наука, 1990.
Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. — М.: Наука, 1972.
Гордеев Б.А. Разработка гидроупругих технологий гашения вибрации мобиль™ ных машин и акустических средств виброизмерений. Дисс. доктора технич. наук. - Н.Новгород: Нф ИМАШ ЖН, 2002, 347 с.
Горьденблатт И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. — М.: Наука, 1969.
Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. 一 Красноярск: Изд™во К「У 1995.
Григолюк 3*%, Селезов Ж Z Неклассические теории стержней, пластин и обо™ лочек. ™ М.: ВИНИТИ, 1973.
Гринченко В. Т., Мел емко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. 一 Киев: Наумова думка, 1981.
Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. О движении точечной массы вдоль колеблю™ щейся струны // ПММ. 1997. Т. 61, №4. С. 703—706.
ДобронравовВ.В. Основы аналитической механики. -М.: Высшая школа, 1976.
ДоддР., ЭйлбекДж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения: Пер. с англ. — JVL: Мир, 1988 с.
Докучаев В.П., Разин А.В. Распространение упругих волн в твердой среде с флуктуирующими параметрами // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1987, № 4. С. 40-45.
Дрейден Г.В., Островский Ю.И., Самсонов А.М., Семенова И.В., Сокуринская Е.В. Формирование и распространение солитонов деформации в нелинейно-упругом твердом теле // ЖТФ, 1988, Т. 58, № 10, С. 2040-2047.
Дрейден Г.В., Островский Ю.И., Самсонов А.М., Семенова И.В., Сокуринская Е.В. Об экспериментах по распространение солитонов деформации в нелинейно™ упругом стержне // Письма в ЖТФ, 1995, Т. 21, Вып. 11. С. 42—46.
Дрейден Г.В., Порубов А.В., Самсонов А.М., Семенова И.В. Генерация и наблю™ дение солитона продольной деформации в пластине. // Письма в ЖТФ, 1996, Т. 22, Вып.21.С. 6Ь68.
Дубровин Б.А., Матвеев В.Б., Новиков С.Я. Нелинейные уравнения типа Корте™ вега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия // Успехи мат. наук, 1976, Т. 31, Вып. 1(187). С. 5 5—13 6.
Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микрострукт^фой. — М.: Изд. Моск, ун-та, 1999.
Ерофеев В.И. Пространственные колебания гибкого стержня // Прикл. механи™ ка, 1991, Т 27. №9. С. 100-106.
Ерофеев В.И. Распространение нелинейных изгибных волн в стержнях с дви™ жущимися закреплениями // Прикл. задачи динамики систем / Сб. научи, трудов / Горьк. ун™т., 1983. Вып. 6. С. 90—107.
Ерофеев В.И. Солитоны огибающих при распространении изтабных волн в нели・ нейно-упругом стержне. // Акустический журнал, 1992. Т. 3 8. № 1. С. 172—173.
Ерофеев В. И. Введение в теорию упругих волн. Учебное пособие. 一 Н.Новгород: ннгу 2001.
5. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Коротков К.В. Акустические волны в вязкоупругих элементах конструкций // Конструкция и прочность судов и сооружений / Труды ВГАВТ № 293. Н.Новгород. 2000. С. 3 9-45.
Ерофеев КМЛ Кажаев В.В., Потапов А.И. Параметрическая трансформация продольных волн в изгибные в тонких стержнях // Волны и дифракция. — М.: ИРЭ АН СССР, 1981. Т. 2. С. 82-85*
Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Осциллятор с нелинейностью в отрицательной степени // Испытания материалов и конструкций / Сб. научи, трудов. Н.Новгород, Изд™во «Интелсервис», 1996. С. 166—179.
8. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.77. Квазигармонические изтабные вол™ ны в нелинейно-упругой балке Тимошенко // Испытания материалов и конструкций / Сб. научи, трудов. Н.Новгород, Изд™во «Интелеервис», 1996. С. 180-187.
Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Нелинейные стационарные изгиб™ ные волны в балке Тимошенко // Прикладная механика и технологии машиностроения / Сб. научи, трудов. Н.Новгород, Изд-во «Интелсервис», 1997. Вып. 3. С. 56-66.
Ерофеев В.И., Клюева Н.В. Вязкоупругие волны в стержне Миндлина—Германа // Испытания материалов и конструкций / Сб.научн. трудов - Н.Новгород, Изд™во «Интелсервис», 2000. Вып. 2. С. 13 7-142.
Ерофеев В.Ж, Клюева Н.В., Монтее С.А., Семерикова Н.П. Влияние разномо™ дульности материала и депланации на распространение нелинейных крутильных волн в стержне // Испытания материалов и конструкций / Сб.научи, трудов -Н.Новгород, Изд™во «Интелсервис», 2000. Вып. 2. С. 117-137.
Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Нелинейно-упругие волны в стержне Миндлина-Германа // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7. № 4. С. 35^47.
Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Солитоны деформации в стержне Миндлина—Германа // Прикладная механика и технологии машиностроения. / Сб. науч, трудов. Н.Новгород: Изд-во «Интелсервис» НФ ИМАШ РАН, 1998. С. 85^95.
Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Об особенностях распространен ния нелинейных стационарных волн в стержне Миндлина-Германа // Труды 3™й научной конференции по радиофизике. Н.Новгород: ННГУ 1999. С. 236—237.
Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Солитоны деформации в стерж™ нях, пластинах и оболочках. Обзор // Акустика неоднородных сред. Ежегодник Российск.акстич.общ™ва / С б.трудов семинара научной школы проф. С.А. Рыба™ ка* — М.: Изд-во МФТИ. 2000. С. 65—88.
Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Солдатов И.Н. Сравнительный анализ дисперси™ онных зависимостей волн Лэмба, распространяющихся в слое и в стержне // Моделирование динамических систем / Сб. науч, трудов. Н.Новгород: Изд™во «Интелсервис» НФ ИМАШ РАН, 2002. С. 11—21.
Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Шешенин С. Ф. Упругие волны в твердых смесях. Н.Новгород: Изд-во «Интелсервис» НФ ИМАШ РАН, 2002. 86 с.
Ерофеев В.И., Потапов А.И. Трехчастотные резонансные взаимодействия про™ дольных и изгибных волн в стержне // Динамика систем. Горький: ГГУ 1985. С. 75-84.
Ерофеев В.И., Потапов А.И., Солдатов И.Н. Нелинейные волны в упругих телах с пространственной дисперсией. Монография / Горьковский ун-т. Деп. в ВИНИТИ 25.07.86. № 5440 — В. 86.
Ерофеев В.И., Потапов А.И. Нелинейные модели продольных колебаний стерж™ ней // Гидроаэромеханика и теория упругости / Всес. межвуз. сб. Днепропетровск: ДГУ. 1984. Вып. 32. С. 78-82.
Зарембо Л.К., КрасильниковВ.А. Введение в нелинейную акустику. 一 М.: Наука, 1966.
Захаров В.Е. К проблеме стохастизации одномерных цепочек нелинейных ос™ цилляторов // ЖЭТФ, 1973. Т. 65. № 1(7). С. 219-22 5.
Захаров В.Е., Манаков С.В. К теории резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейных средах // ЖЭТФ, 1975. Т. 69. Вып. 5. С. 1654—1673.
Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. 一 М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литер., 1980.
Захаров В.Е., Шабат А.Б. Интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния II // Функц. анализ, 1979. Т. 13. Вып. 3. С. 13-22.
Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений мате™ матической физики методом обратной задачи рассеяния I // Функц. анализ, 1974. Т. 8. Вып. 3. С. 43-53.
Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одно мерной автомодуляции волн // ЖЭТФ, 1971. Т. 61. Вьш. 1(7). С. 118—134.
Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в цилиндрических обо™ дочках. 一 Саратов, 1999.
Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. 一 М.: Наука, 1988.
Кажаев В.В. Гашение вибраций балки свободно скользящим объектом // Вол™ новые задачи механики / Сб науч, трудов. Горький: Гф ИМАШ АН СССР, 1990. С. 41^47.
Кажаев В.В. Гашение вибраций струны скользящим осциллятором // Волновые задачи механики / Сб науч. трудов.Н.Новгород: Нф ИМАШ АН СССР, 1991. С. 102^107.
Кажаев В.В. Крутильные автоколебания вращающегося стержня // Волновые задачи механики / Сб науч, трудов. Н.Новгород: Нф ИМАШ РАН, 1994. С. 145— 162.
КажаевВ.В. Волновые процессы в распределенных системах, взаимодействую™ щих с сосредоточенными объектами. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Н.Новгород: Нф ИМАШ РАН, 1998. 138 с.
Кажаев В.В. Нестационарные волны в стержне с нелинейно упругим закреп™ лением // Изв. ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2001. Спецвыпуск: Математическое моделирование. С. 95—96.
Кажаев В.В., Потапов А.И. Крутильные автоколебания упругого стержня // Динамика систем. Горький: ГГУ 1986. С. 43—54.
Кажаев В.В., Потапов А.И., Семерикова НЛ. Локализованные стационарные волны и их свойства в тонком растянутом стержне // Волновые задачи механики / Сб. науч, трудов. - Н.Новгород: Нф ИМАШ РАН, 1991. С. 123-129.
Кажаев В.В., Потапов А.И., Семерикова Н.П. Расщепление частицеподобных волн при встречных столкновениях // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1995. Т. 38. № 1^2. С. 100^105.
Кажаев В.В., Уткин Г.А. Движение массы вдоль струны под действием сил волнового давления // Дифференциальные и интегральные уравнения / Межвуз. сб. науч, трудов. — Горький: ГГУ. 1989. С. 112—117.
Калоджеро Ф., Дегасперис Л. Спектральные преобразования и солитоны: Пер. с англ. — М.: Мир, 1985.
Карпман В.И. Система солитонов под действием возмущения. Осцилляторные ударные волны // ЖЭТФ, 1979. Т. 77. Вып. 1(7). С. 114^123.
Карпман В.И., Маслов Е.М. Структура хвостов, образующихся при воздействии возмущений на солитоны // ЖЭТФ, 1978. Т. 75. Вьш. 2(8). С. 504-5 П*
Каудерер Г. Нелинейная механика. 一 М.: Наука. 1961. 777 с.
Кившарь Ю.С., Сыркин КС. Сдвиговые солитоны в упругой пластине // Аку™ стич. журнал, 1991. Т. 37. Вып. 1. С. 104-109.
Клюева Н.В. Дисперсионные, диссипативные и нелинейные эффекты при распространении волн в стержне Миндлина-Германа. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Н.Новгород: Нф ИМАШ МН, 2000. 124 с,
Ковригин Д.А. Нелинейная динамика тонкостенных циллиндрических оболочек. Свободные колебания // Препр. Гф. ИМАШ АН СССР, Горький, 1990. 24 с.
Ковригин Д.А. Нелинейные резонансные взаимодействия волн в упругих эле™ ментах конструкций. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Н.Новгород: Нф ИМ АШ РАН, 1992. 140 с.
Ковригин Д.А., Потапов А.И. Нелинейные резонансные взаимодействия продольных и изгибных волн в кольце // Докл. АН СССР, 1989. Т. 305. № 4. С. 803807.
Коренев Б.Г., Резников Л.М. Динамические гасители колебаний. — М.: Наука, 1988.
Косевич А.М, Ковалев А. С. Введение в нелинейную физическую механику.— Киев: Наукова думка, 1989.
Кочнева Л.Ю. Внутреннее трение в твердых телах при колебаниях. — М「Наука, 1979.
Красильников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую акустику. 一 М.: Наука, 1984.
Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. 一 М.: Московский лицей, 1998.
Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. 一 М.: Наука, 1983.
Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. 一 М.: Наука, 1997.
Ландау Л.Д., Лифшиц КМ Теория упругости. — М「Наука, 1987.
Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. 一 М.: Наука, 1980.
Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов: Пер. с англ. 一 М.: Мир, 1983.
Лэмб Дж. Элементы теории солитонов: Пер. с англ. 一 М*: Мир, 1984.
Ляв А. Математическая теория упругости. 一 М.; 一 Л.: ОНТИ, 1935.
Мартыненко М.Д., Нгуен Данг Бик, Фам шм Винъ. Уединенные волны в упругопластической среде с предварительным напряжением // Докл. АН БССР, 1991, Т. 35.№4.
Мартыненко М.Д., Нгуен Данг Бик. Уединенные волны в нелинейной упругой среде с трением // Becui АН Benapyci. Сер. физ.-мат. наук, 1992. № 1.
Мартыненко М.Д., Нгуен Данг Бик. Существование уединенных волн, распространяющихся в упругопластическом пространстве // Дифф, уравн. 1990. Т. 26. № 12.
ИЗ. Мартынов А.В. Качественный анализ продольных вибрационных колебаний в тонкой пластине // Избр. вопр. алгебры, геометрии и дискр. математики / МГУ мех.-мат. фак. - М., 1992.
Марченко В.А. Нелинейные уравнения и операторные алгебры. — Киев: Наук. Думка, 1986.
Метрикин А.В. Стационарные волны в нелинейно-упругой системе, взаимодействующей с движущейся нагрузкой // Акустич. журнал, 1994, Т. 40. № 4. С. 647—656
Милосердова И.В. Об одной возможности акустического измерения упругих констант четвертого порядка// Горьк. ун-т. / Горький, 1983「8 с. ™Деп. в ВИНИТИ 28.03.83. № 1796.
Милосердова И.В., Новиков А.А., Потапов А.И. Импульсные волны в одно™ мерной системе с нелинейными границами // Волны и дифракция. Т. II. Москва, 1981. С. 118^121.
Милосердова И.В., Потапов А.И. Нелинейные стоячие волны в стержнях ко нечной длины // Акустич. журнал, 1983. Т. 29. Вып. 4. С. 515—520*
Милосердова И.В., Потапов А.И. Продольные колебания в стержне с нелиней™ но-упругим закреплением // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1980. №6. С. 178^183.
Милосердова И.В., Потапов А.И. Релаксационные колебания в консервативных линейных системах с нелинейными граничными закреплениями // Динамика систем, Горький: Изд-е Горьк. университета. 1987. С. 172—182.
Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука, 1981.
Молотков И.А., Вакуленко С.А. Нелинейные продольные волны в неоднородных стержнях // Интерференционные волны в слоистых средах. 1. Зап. науч, семин. ЛОМИ, Т. 99. - Л.: Наука, 1980. С. 64-73.
Мягков Н.Н. О динамической локализации деформации в разупрочняющемся стержне // Механ. композиц. матер, и констр., 199. Т. 5* № 3. С* 28-32.
Наугольных К.А., Островский Л.А. Нелинейные волновые процессы в акусти™ ке. - М.: Наука, 1990.
Никифоров А. С., Будрин С.В. Распространение и поглощение звуковой вибра™ ции на судах. 一 Л.: Судостроение, 1968.
Николаевский В.Н. Гидромеханика и флюидодинамика. — М*: Недра, 1996.
Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975.
Новиков А.А. О применении метода связанных волн к анализу нерезонансных взаимодействий // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1976. Т. 19. № 2. С. 321—323.
Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. — М.: Наука, 1965.
Островский Л.А., Пелиновский Е.Н. О приближенных уравнениях для волн в средах с малыми нелинейностью и дисперсией // ПММ, 1974. Т. 38. Вып. 1. С.121^124.
Островский Л.А., Сутин Л. М Нелинейные упругие волны в стержнях // Препр. /НИРФИ, 1975. №71.
Островский Л.А., Сутин А.М. Нелинейные упругие волны в стержнях // ПММ, 1977. Т. 41. Вып. 3. С 531^537.
Павлов П.А., Кондакова О.Н. Механические свойства материалов и условия прочности элементов конструкций. Конспект лекций. Часть 1. — Ленинград: Изд- во ЛПИ, 1973.
Палъмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. — М.: Наука, 1976.
Пейн Г. Физика колебаний и волн. 一 М.: Мир, 1979.
ПорубовА.В., Самсонов А.М. Уточнение модели распространения продольных волн деформации в нелинейно-упругом стержне // Письма в ЖТФ, Т. 19. Вып. 12. С. 26-29*
Потапов А.И., Семерикова Н.П. Нелинейные продольные волны в стержнях с учетом взаимодействия полей деформации и температуры // ПМТФ, 1988. № 1. С. 57-61.
Потапов А.И., Солдатов И.Н. Квазиоптическое приближение для пучка сдвиговых волн в нелинейной наследственной среде // ПМТФ, 1986. № 1. С. 144—147
Потапов А.К, Солдатов ЖН Квазиплоский пучок нелинейных продольных волн в пластине. // Акустический журнал. 1984. Т. 30. В. 6. С. 819—822®
Применение ультразвука в промышленности. 一 М*: Машиностроение, 1975.
Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. 一 М.: Наука, 1984.
Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. 一 М.: Наука, 1988.
Рыбак С.А., СкрынниковЮ.И. Уединенная волна в тонком стержне постоянной кривизны // Акустич. журнал, 1990. Т. 36. № 4. С. 730—732*
Рэлей (Стретт Дж.) Теория звука. 一 М.: Гостехиздат, 1955.
Сагомонян А.Я. Волны напряжения в сплошных средах. — М*: Изд-во МГУ 1985.
Самсонов Л.М О существовании солитонов продольной деформации в бесконечном нелинейно-упругом стержне // ДАН СССР, 1988. Т. 299. С. 1083-1086.
Самсонов А. М. Солитоны в нелинейно-упругих стержнях с переменными свой™ ствами // Пробл. нелинейн. и турбулент. процессов в физ. Труды II Междунар, раб. группы, 1983. Ч. 1. - Киев: Наук, думка, 1985. С. 219—221.
Самсонов N.M Существование и усиление уединенных волн в нелинейно™ упругих волноводах. // Препр. / АН СССР, Физ.-тех. ин-т, 1988. № 1259. С. 1—26*
Самсонов N.M Эволюция солитона в нелинейно-упругом стержне переменно™ го сечения. // ДАН СССР, 1984. Т. 277. № 2. С. 332—335.
Самсонов А.М., Сокуринская. Е.В. Нелинейные волны деформации в упругих волноводах, взаимодействующих с внешней средой // Препр. / АН СССР, Физ.™ тех. ин-т, 1988. № 1293. С. 1-32.
Самсонов А.М., Сокуринская. Е.В. О возможности возбуждения солитона про™ дольной деформации в нелинейно-упругом стержне // ЖТФ, 1988. Т. 58. Вып. 8. С. 16324 634.
Самсонов А.М., Сокуринская. Е.В. Солитоны продольного смещения в неодно™ родном нелинейно-упругом стержне. // Препр. / АН СССР, Физ.-тех. ин-т, 1985. № 983. С. Ь44.
Самсонов А.М., Сокуринская Е.В. Солитоны продольной деформации в нели™ нейно-упругих стержнях // Теория распространения волн в упругих и упруго пластических средах. Новосибирск: ИЩ СО АН СССР, 1987. С. 28—32“
Самсонов /*М, Сокуринская. Е.В. Уединенные продольные волны в неодно™ родном нелинейно-упругом стержне // ПММ, 1987. Т. 51. Вып. 3. С. 483—488*
Светлицкий В.А. Механика стержней. 一 М.: Высшая школа. 1987. Т. 1, 2.
Семерикова Н.П. Стационарные продольные волны в нелинейно упругом стержне // Волновые задачи механики / Сб науч, трудов. Н.Новгород: Нф ИМАШ РАН, 1994. С. 12Ы44.
Скрынников Ю.И. Солитон со сглаженным профилем нелинейного уравнения Клейна-Гордона // Акустич. журнал, 1998. Т. 44. № 5. С. 712—714.
Сокуринская. Е.В. Некоторые точные решения задачи о нелинейных упругих волнах в пластине. // Письма в ЖТФ, 1994. Т. 20. Вып. 3. С. 36—41.
Солдатов И.Н. Уравнения движения «бусинки» на растяжимой струне // Испытания материалов и конструкций / Сб.научн. трудов 一 Н.Новгород, Изд™во «Интелсервис», 2000. Вып. 2. С. 261-265.
Солитоны в действии / Под ред. К. Лонгрена и Э. Скотта: Пер. с англ. 一 М.: Мир, 1981.
Тахтаджян Л.А. Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. 一 М.: Наука, 1986.
Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. 一 М.: Наука, 1967.
Тотян ДХ Волны модуляций в пластинах на упругом основании // Пробл. динамики взаимодействия деформир. сред. 一 Ереван: Изд. АН Арм. ССР, 1987. С. 270-274
Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. 一 М.: Мир, 1977.
Ультразвук. — М.: Советская энциклопедия, 1979.
Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров. 一 М.: Сов. Энциклопедия.
Филиппов АЛ. Колебания деформируемых систем. 一 М.: Машиностроение, 1970.
Човнюк Ю.В. Нелинейные волнообразования нестационарных процессов в деформируемых средах и телах. Дисс. канд. физ.™мат. наук* Киев. КИСИ. 1988. 155 с.
Шенявский Л.А. Влияние геометрической нелинейности на волны, распространяющиеся в свободной тонкой пластине // ПММ, 1979. Вып. 6. Т. 43. С. 1089— 1094.
Энгельбрехт Ю.К., Нигул УК Нелинейные волны деформации. — М.: Наука, 1981.
Ablowitz MJ, Каир D.J., Newell А. С., Segur Н. Nonlinear evolution equation of physical significance // Phys. Rev. Lett, V. 31. P. 125—127.
Abramian A.K., Indejtsev D.A., Vakulenko S.A. Wave localization in hydroelastic systems // Flow, Turbulence and Combustion. 1999. № 61. P. 1-20.
Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids. North-Holland Publishing Com™ pany, Amsterdam, 1973.
Bejda J Propagation of nonlinear dispersive and dissipative waves // Arch. mech. stosow., 1977. V. 29. № 3. P. 477—490.
BlandD.R. Wave theory and applications. Clarendon Press, Oxford, 1988.
Clarcson P.A., LeVeque R.J., Saxton R. Solitary wave interaction in elastic rods // Stud. Appl. Math., 1986. V. 75. № 2. P. 95—122.
Erofeyev KZ, Semerikova N.P. Nonlinear modulated waves in the Timoshenko beam // Wave mechanical systems / Prog, intern, seminar. Kaunas: Technologija. 1996. P* 12— 15.
Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg™de Vries equation // Phys. Rev. Lett., 1967. 19. P. 1095-1097.
GraffK.F. Wave motion in elastic solids. Clarendon Press, Oxford, 1975.
Каир DJ., Newell A.C. Solitons as particles, oscillators and in slowly changing media: a singular perturbation theory // Prog. Roy. Soc. London A, 1978. 361. P. 413— 446.
Kodama J, Ablowitz M. Perturbation of solitons and solitary waves // Stud. Appl. Math., 1981. V. 64. P. 225^245.
Kazhaev V., Vesnitsky A. The effect of reducing vibratory level in one-dimensional systems with an object traveling freely along the letter // Wave Processes in Machinery and Structures / Proc. Colloquium Euromech 295. 1992.
Kovriguine D.A., Potapov A.L Nonlinear waves in elastic bar // Eur. J. Meeh. A. / Solids, 1996. V. 15. P 1049-1075.
Lax RD. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Commons. Pure and Appl. Math. V. 21. P. 159-193.
MetrikineA. V., Askes H. One-dimensional dynamically consistent gradient elasticity models derived from a discrete microstructure. Delft University of Technology. CM 200b002. 2001.
Metrikine A. V., Vrowenvelder 4 c ЖМ Dynamics of structures. Part 2: Wave dynamics. Delft University of Technology. CT 4140. 2001.
Nakamura A. Soliton formation process calculated for longitudinal sound waves in solid bar // Проблемы нелинейной акустики. Сб. трудов XI Международного симпозиума по нелинейной акустике. Ч. 1. Новосибирск. 1987. С. 378—382.
Nariboli G.A. Nonlinear longitudinal dispersive waves in elastic rods // J. of Math and Phys. Sciences. 1970. V. 4. P. 64—73.
Nariboli G.A., Sedov A. Burgers^-Korteweg-de Vries equation for viscoelastic rods and plates // J. Math. Anal. And Appl., 1970. V. 32. № 3. P. 661—667.
Planat M, Hoummady M Observation of soliton-like envelope modulation generated in an anisotropic quartz plate by metallic in interdigital transducers // Appl. Phys. Lett, 1989. V. 55. № 2. P 103.
Porubov I. V., Samsonov A. M., Velarde M G., Bukhanovsky A. V. Strain solitary waves in an elastic rod embedded in another elastic external medium with sliding // Phys.Rev. E, 1998. V. 58.1. 3. P. 3854—3864.
Potapov A.L, Vesnits^ A.I. Interaction of solitary waves under head-on collections/ Experimental investigation // Wave Motion, 1994. V. 19. P. 29—35.
Rudnick I., Wu J, Wheatley J, Putterman S. Flexural waves envelope solitons in a metallic cylindrical thin shell. // Проблемы нелинейной акустики. Сб. трудов XI Международ, симп. по нелин. акустике. Ч. 2. 一 Новосибирск, 1987. С. 208—212*
Samsonov А.М. // Proc, of the Intern, conf. On Plasma Physics, V. 4. — Kiev: Naukova dumka, 1987. P. 88-90.
Samsonov A.M. Soliton in nonlinear elastic rods with variable characteristics // Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. V. 2 / ed. R.Z. Sagdeev. —N.Y.: Gordon and Beach, 1984. P. 1029^103 5.
Samsonov A.M., Dreiden G. %, Porubov I. V., Semenova Z E Longitudinal strain soliton focusing in a narrowing nonlinearly elastic rod // Phys. Rev. B., 1998. V. 57. № 10. P. 5778^5787.
Soerensen M.P., Christiansen P.L., Lomdahl P.S. Solitary waves on nonlinear elastic rods. I // J. Acoust. Soc. Amer., 1984. V. 76. № 3. P. 871—879.
Soerensen M.P., Christiansen P.L., Lomdahl P.S., Scovgaard O. Solitary waves on nonlinear elastic rods. I // J. Acoust. Soc. Amer., 1987. V. 81. № 6. P. 1718-1722.
Taniuti 工，Wei C.C. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation I // J. Phys. Soc. Jpn., 1968. V. 24. P. 941—946.
Zakharov V.E., Kuznetsov E.A., Rubenchik A.M. Soliton stability // Prepr. / Inst. Automaton & Electrometry SB AN USSR. 1983. № 199. P. 1-62.
Научное издание
ЕРОФЕЕВ Владимир ИвановичК АЖ А ЕВ Владимир ВладимировичСЕМЕРИК ОБА Надежда Петровна
ВОЛНЫ В СТЕРЖНЯХ. ДИСПЕРСИЯ.ДИССИПАЦИЯ. НЕЛИНЕЙНОСТЬ
Редактор Р. А. БунатянОригинал-макет: Е. В. ТретьяковОформление переплета: К. А. Кретова
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 01.08.02. Формат 60x90/16Бумага офсетная. Печать офсетная
Усл. печ. л. 13. Уч.-изд. л. 15,1. Тираж 400 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивовв ФГУП «Ивановская областная типография»153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6
1/2 ~
W(x^ 力)exp {i(o;t — hr +。)} + к.с.,(7.47)
с наличием кривизны и замкнутости [96, 97].
УДК 534.1 Е78ББК 3L27-01УДК 534.1 Е78ББК 3L27-01Г Г Издание осуществлено при поддержке Р к Российского фонда фундаментальных J J исследований по проекту 02-01-14091
УДК 534.1 Е78
ББК 3L27-01
УДК 534.1 Е78
ББК 3L27-01
Ерофеев В. И., К а ж ае в В. В., Семерикова Н. П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 208 с. - ISBN 5-922L0294<XL
Монография содержит изложение теоретико-волнового подхода к изучению динамических процессов в одномерных упругих системах. Из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского выведены уточненные уравнения колебаний стержней при наличии геометрической и физической нелинейностей. Подробно проанализированы дисперсионные, диссипативные и нелинейные эффекты, проявляющиеся при распространении различных типов упругих волн.
Книга предназначена для специалистов, работающих в области механики деформируемого твердого тела, в области физической и технической акустики, а также для аспирантов и студентов соответствующих специальностей.
Табл. 4. Ил. 142. Библиогр. 200 назв.
ISBN 5-922L0294-XISBN 5-922L0294-X© ФИЗМАТЛИТ, 2002© ФИЗМАТЛИТ, 2002
ISBN 5-922L0294-X
ISBN 5-922L0294-X
© ФИЗМАТЛИТ, 2002
© ФИЗМАТЛИТ, 2002
ОПЕЧАТКИ И ИСПРАВЛЕНИИ
Стр。
Строка
Напечатано
Следует читать
36
Подрисуночная подпись
Рис. 34
Рис, 3.4 а
37
Подрисуночная подпись
Рис, 3=5
Рис 34 б
39
Подрисуночная подпись
Рис. 3.6
Рис» 35 а
39
Подрисуночная подпись
Рис. 3.7
Ряс 3.5 6
43
Подрисуночная подпись
Рис. 3.8
Рис. 3,5. в
44
Подрисуночная подпись
Рис Л .9
Рис, 3.6 а
44
Подрисуночная подпись
Рис. 3.10
Рис. 3.6 6
45_
Подрисуночиая подпись
Рис. ЗД1
В也 3.7
47
Подрисуночная подпись
РисЛД2
Рис, 3.8
48
Подрисуночная подпись
Рис, 3.13
Рис. 3.9
49
Подрисуночная подпись
Рис 3.14
Рис, ЗЛО
Подрисуночная подпись
Рис. 3.15
Рис. ЗЛ1
В тексте отсуггствуют следующие рисунки:
Рис. ЗД4
Р喊 3.15
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...................................5
ГЛАВА 1
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ,ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН И АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
О колебательных процессах .......................6
Некоторые сведения о волнах ......................11
Вариационный принцип Гамильтона-Остроградского .........16
ГЛАВА 2
ЖСПРОСТЖНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В БЕЗГЖНИЧНОЙ СРЕДЕИ ОГЖНИЧЕННЫХ ТЕЛАХ
О напряженно-деформированном состоянии материалов .......21
Уравнения Ламе. Волны дилатации и сдвига ..............22
Отражение волн от свободной поверхности полупространства. По
верхностные волны Рэлея ........................24
Нормальные волны в упругом слое ...................26
Уравнения переноса энергии и волнового импульса ..........31
ГЛАВА 3
ПРОДОЛЬНЫЕ, КРУТИЛЬНЫЕ И ИЗГИБНЫЕ ВОЛНЫ В СТЕРЖНЯХ.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СВОЙСТВА
Типы нормальных волн в стержнях ...................33
Продольные волны ............................33
Крутильные волны ............................40
Изгибные волны .............................45
ГЛАВА 4
ВОЛНЫ В ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЯХ
О внешнем, внутреннем и конструкционном трении .........51
Соотношения между напряжением, деформацией и временем деформации51
Стержни Фойхта-Кельвина и Максвелла ................56
Внутреннее трение как результат рассеяния волн на случайных неоднородностях материала .........................61
ГЛАВА 5
АНАЛИЗ УЖВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ,ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН
ДЕФОРМАЦИИ
. Осциллятор с квадратичной нелинейностью ..............63
5.2. Осциллятор с кубической нелинейностью ...............77
. Осциллятор с нелинейностью в отрицательной степени . .......86
ГЛАВА 6
НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИСТЕРЖНЕЙ, СОВЕРШАЮЩИХ ПРОДОЛЬНЫЕ И ИЗГИБНЫЕ
КОЛЕБАНИЯ
Нелинейная упругость твердых тел ...................102
Модель связанных продольно-изгибных колебаний стержня . . . . .104
Модель изгибных колебаний стержня (нелинейное обобщение модели
Тимошенко) ................................108
Модель продольных колебаний стержня (нелинейное обобщение мо
дели Миндлина-Германа) ........................111
ГЛАВА 7
ЖСПРОСТЖНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В СТЕРЖНЯХ
Нелинейные продольные стационарные волны . ............113
Модуляционная неустойчивость квазигармонических изгибных волн.
Стационарные волны огибающих ....................125
Нелинейные изгибные стационарные волны ..............129
ГЛАВА 8
РЕЗОНАНСНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ПРОДОЛЬНЫХ И ИЗГИБНЫХ ВОЛН В СТЕРЖНЕ
О нелинейных резонансных взаимодействиях упругих волн . . . . . 136
Трехволновые взаимодействия продольных и изгибных волн . . . . . 137
ГЛАВА 9
ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНО-УПРУГИХ СТЕРЖНЯХ
С НЕЛИНЕЙНЫМИ ГЖНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Сведение краевых задач в частных производных к решению
задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
с отклоняющимся аргументом ......................145
Периодические волны в стержне с нелинейно-упругим закреплением 147
Крутильные автоколебания вращающегося стержня ..........150
ГЛАВА 10
ГАШЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ В ЖСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
Взаимодействие распределенной системы с сосредоточенной . . . .162
Движение массы вдоль струны под действием волнового давления *164
Гашение колебаний струны движущимися сосредоточенными
объектами .................................167
Гашение вибраций балки свободно скользящей массой . .......175
Приложение. Солитоны и периодические волны деформации в стержнях,
пластинах и оболочках (обзор) .....................179
Список литературы ...............................198