Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННО-
1 • ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Понятие об упругой сплошной среде
Как мы знаем из курса сопротивления материалов, деформируемые твердые тела меняют свои размеры и форму (деформируются) под действием внешних сил (нагрузок). В них возникают внутренние усилия, величина и распределение которых зависят от нагрузки и геометрической формы тел.
Механическое поведение твердого тела может быть весьма разнообразным и сложным. Общее описание его базируется на теории сплошной среды. Хорошо известно, что в действительности сплошной среды нет, но для понимания механического поведения материи в макрообъемах можно принять такую модель. При игнорировании дискретной структуры материала предполагается, что объем, занимаемый телом, непрерывно заполнен материей.
Бесконечно малый объем материала можно рассматривать как «частицу» сплошной среды. При этом произвольная делимость материи, так же, как и неразличимость отдельных частиц, составляет одно из основных понятий механики сплошной среды. '
Основанием для введения модели сплошной среды является опыт, делающий возможным экспериментальную проверку рассматриваемой теории. При нагружении под действием внешних сил материальные частицы меняют свое положение в пространстве, т. е. сплошная среда движется. Предполагается также, что движение сплошной среды непрерывно. Это означает, что все величины, определяющие деформирование, являются непрерывными функциями координат.
Описание деформирования твердых тел и жидкостей в механике является чисто геометрической проблемой и совершенно не зависит от поведения материала. Это — задача кинематики сплошной среды, и характер сил, вызывающих деформацию, не играет при этом никакой роли. Равным образом и силы, возникающие в деформированном теле, не зависят от свойств материала.
Рассмотрим произвольное твердое тело с наложенными на него опорными реакциями. Воздействие окружающих тел заменяется силами, которые называются внешними. Внешние нагрузки можно разделить на обзе.мные ((массовые), поверхностные и сосредоточенные. Последние могут рассматриваться как предельный случай приложения поверхностных нагрузок на малой части поверхности тела.
Теория упругости является частью механики сплошной среды и занимается определением деформаций и внутренних сил в упругих телах при заданных нагрузках. При этом принимаются следующие основные гипотезы и допущения относительно свойств материала, нагрузок и характера деформаций.
Гипотеза однородности и сплошности. Это предположение дает возможность изучать механические свойства тел на образцах сравнительно малых размеров и позволяет использовать для исследования деформации аппарат дифференциального исчисления.
Допущение о малости деформаций. Деформации в точках тела считаются настолько малыми, что не оказывают существенного влияния на взаимное расположение нагрузок, приложенных к телу. Это позволяет при составлении уравнений равновесия считать геометрию тела неизменной.
Принцип напряжений Эйлера и Коши. В каждом поперечном сечении, мысленно проведенном внутри тела, имеет место взаимодействие сил по типу распределенных по поверхности нагрузок. То есть, применяя метод сечений, мы можем действие одной части тела на другую заменять поверхностными усилиями, действующими в сечении.
Аксиома отвердевания (замороженности): в любой фиксированный момент времени t материальное тело рассматривается как абсолютно твердое, и для него справедливы законы теоретической механики, в том числе законы Ньютона1). При этом используются аксиоматические понятия силы и массы.
Отметим, что согласно гипотезе сплошности движение материи изучается на так называемом макроскопическом уровне, то есть не учитывается элементарное строение вещества. Это оправдано тем, что в огромном числе практических задач представляет интерес не поведение каждой молекулы (атома), а общее состояние тела.
Справедливость введенных допущений окончательно может быть установлена лишь опытом. Дополнительные аксиомы и определения будут вводиться по мере необходимости, их нумерация будет продолжать начатую.
*) Ньютон Исаак (Newton I., 1643-1727), английский математик, механик; основатель классической физики.
Предположим, что воображаемое сечение делит тело на две области — Vi и V2 (рис. 1.1а). Элемент поверхности сечения AS
Рис. 1.1
с центром в точке А характеризуется единичным вектором нормали I/, направленным к Vi. Действие, оказываемое частью Vy тела в точке А на часть V2, можно представить вектором силы Р и вектором момента М.
В пределе, при стягивании элементарной площадки к рассматриваемой точке AS —> 0 (при фиксированном направлении у), могут быть приняты следующие физически обоснованные предположения:
р ДР dPр ДМ n
пт = — = (Ту, пт = 0.(1.1)
Д5—»о Д5asД5—»о Д5v '
Определяемый соотношением (1.1) вектор <Тр называется вектором напряжений в точке А. Он действует на элемент поверхности с направлением нормали v и меняется при изменении направления этой нормали к AS. Для векторов напряжений, действующих в одной и той же точке, но направленных в противоположные стороны от сечения элемента, справедливо равенство
Ст-v = —Ср.(1.2)
С его помощью, как видно из рис. 1.16, описывается действие части V2 тела на часть Vi и обратно.
Соотношение (1.2) можно трактовать как непосредственное выражение третьего закона Ньютона (принцип равенства действия и противодействия). Но оно может быть также непосредственно выведено из теоремы о количестве движения и из принципа напряжений Коши. Совокупность векторов напряжений <Тр(Л) для всех направлений v определяет напряженное состояние в точке А.
В общем случае вектор напряжений ^„(А) направлен не по нормали V. Его проекция на произвольное направление (определяемое единичным вектором) называется компонентой век-
тора напряжений в этом направлении. Если разложить ст„ по нормали и касательной к площадке dS, то его координаты — так называемые нормальное напряжение ап и касательное напряжение тп (рис. 1.2). При ^iv ~~--Л'' этом для модулей этих величин справедливо соотношение
!^ = ”п + Л-
\.4S<^^^ г™ Следует всегда помнить, что напряжения ап и Тп> определенные подобным образом, не являются компонентами вектора в обычном Рис. 1.2 смысле. Заметим, что касательные напряжения в плоскости элемента dS обычно раскладывают на два координатных направления.
Тензор напряжений
В дальнейшем будем применять декартовы координаты ац, ®2> ®з> которые впредь будем обозначать символом Zj, помня при этом, что г и другие латинские индексы принимают значения 1, 2, 3. Базисные векторы системы координат обозначим через ej.
Под действием заданных нагрузок в точках твердого тела возникает напряженное состояние. Для его описания вырежем вокруг произвольной точки элементарный параллелепипед, ребра которого параллельны координатным осям и имеют малые длины dxt (рис. 1.3 а). В силу малости параллелепипеда можно считать, что векторы напряжений а\ на его гранях совпадают с векторами напряжений на параллельных им координатных площадках, проведенных через рассматриваемую точку.
При этом и последующем рассмотрении должно быть принято во внимание важное предположение о том, что деформированный и недеформированный элементы объема идентичны. Это следует из гипотезы о малости деформаций.
Действующие на гранях параллелепипеда векторы напряжений Стг можно разложить на нормальные ац (перпендикулярные к граням) и касательные а^ (г / j) (лежащие в плоскости граней) составляющие (рис. 1.3 5). Первый нижний индекс в обозначениях указывает на нормаль к площадке, на которой действует это напряжение, второй индекс обозначает ось, которой оно параллельно. Растягивающие нормальные напряжения считаются положительными, сжимающие — отрицательными.
Величины aij не являются компонентами вектора в обычном смысле. Они измеряются в паскалях (1 Па = 1 Н/м2). Разложение, например, вектора напряжения сгз (который действует на
грани хз = const) по координатным осям $t имеет вид
з
<тз = ^3iei + <т32е2 + <73363 = У^ стзквк = азквк- fc=i
В дальнейшем условимся, что всякий раз, когда в одночлене дважды встречается какой-нибудь латинский индекс, то проис
ходит суммирование по этому индексу от 1 до 3. Сам же знак суммирования писать в дальнейшем не будем. Индекс этот называется немым. Его можно, как и переменную интегрирования в подынтегральном выражении, заменить любым другим индексом. Напри
мер: ХгУг = ^кУк- Если повторяется греческий индекс, то суммирование по нему не производится. Индекс, встречающийся в слагаемом один раз, называется свободным. При правильном написании любой формулы каждое ее слагаемое должно иметь одни и те же свободные индексы.
В общем случае для вектора напряжений справедливо равенство
<Ti — O'ijCj, (1-3)
где ej — единичный вектор координатной оси Xj. Введем метри
ческий тензор djj, определяемыйГис
как скалярное произведение базисных векторов. В декартовой системе координат ег • ej = 0, если г / j, поэтому
8ij —• ел 5tj — {\(1.4)
Матрица этого тензора диагональная. Часто компоненты метрического тензора (1.4) называют символами Кронекера Ч .
Скалярное умножение соотношения (1.3) на базисный вектор вк дает
^г ' ®к ^ij^j " ®к = °ij8kj-
*) Кронекер Леопольд (Cronecker L., 1823-1891), немецкий математик.
Из (1.4) следует, что S^j = 1 только при j = к, поэтому получаем
С^гк — ^г " ®к-(1’5)
Девять компонентов напряжений а^ представляют собой в совокупности физическую величину, которая называется тензором напряжений 0 Коши (Тн). Это тензор второго ранга (по числу индексов). Записанный в виде матрицы, он выглядит следующим образом:
(
<711<712<713\
<721<722<723I.
<731<732<733/
В строках матрицы содержатся компоненты тензора напряжений, действующие на одной площадке, в столбцах — параллельные одной оси.
Не останавливаясь на точном математическом определении тензора, отметим, что он является инвариантным объектом, не изменяющимся при переходе от одной системы координат к другой. Изменяются по определенному «тензорному» закону при таком переходе только его компоненты. Однако в дальнейшем будем иногда для краткости называть тензором совокупность его компонент. Более подробно с понятием тензора можно познакомиться в разд. 14.1, а также в курсах механики сплошных сред, например [12, 44], или теории упругости [3, 35, 55].
Свойства тензора напряжений
Покажем, что компоненты вектора напряжения av на произвольной косой площадке, проведенной через рассматриваемую точку, можно выразить через напряжения на координатных площадках (гранях элементарного параллелепипеда) в этой точке (рис. 1.4 а).
Рассмотрим отдельно элементарную пирамиду, образованную координатными гранями и косой площадкой с нормалью v (рис. 1.4 б\
Здесь avi — проекции вектора напряжений crv на координатные оси; S — площадь косой площадки; З, —площади соответствующих координатных граней (нижний индекс указывает нормаль к площадке), которые связаны с S следующими соотношениями:
Si = Sh, (i = 1, 2, 3), (1.6) где li = cos(z/, х^ — направляющие косинусы нормали v к косой площадке.
Понятие «тензор» было образовано от латинского «tensio»—напряжение.
Покажем на гранях выделенной пирамиды действующие на них напряжения (см. рис. 1.4 6). Составим уравнения равновесия
сил, которыми являются произведения напряжений на площадь соответствующих граней:
cr^iS — сгц51 — CT21S2 — CT31S3 = О,
crU2S — cr^Si ~ 021S2 — 032S3 = О,
OviS — 01381 — 02382 — <733 S3 = 0.
В тензорных обозначениях эта система уравнений принимает вид
aViS - а^83 = 0.(1.7)
Напоминаем, здесь суммирование производится по повторяющемуся латинскому индексу 3. В нашем случае
OijSj = оцбу + 0^282 + сггз^з-
Подставим в уравнения (1.7) соотношения (1.6). Сократив затем на 8, получим формулы, выражающие компоненты вектора напряжения на произвольной косой площадке через координатные напряжения,
Оуг = Oj{lj.(^-8)
Таким образом, с помощью компонент тензора напряжений на координатных площадках можно полностью описать напряженное состояние в точке.
Вектор напряжения сг^ на произвольной косой площадке, проведенной через эту точку, можно представить в виде разложения по базисным векторам
Оу = Оу^г — Оу161 Т О1/2^2 Т ОуЗбз*(^*^)
Используя (1.9), модуль этого вектора можно выразить через сумму квадратов его проекций.
Уравнения равновесия тела
Если деформируемое тело находится в равновесии, то и любая произвольно выделенная из него часть тела должна также находиться в равновесии. Пусть тело нагружено заданными поверхностными силами Rp и однородными объемными силами pF (р — плотность материала):
pF = рЕг^г = pF^ei + рЕ^ 4- рЕзвд.
Предполагается, что компоненты напряжений сг^, так же,
как и их первые частные производные, являются непрерывными
функциями координат. Деформации считаем малыми, поэтому уравнения равновесия можно формулировать для недеформированного тела или его части.
Для выделенного элемента с малыми ребрами dxt, нагруженного согласно рис. 1.5, компоненты напряжений при приращении координат на бесконечно малую величину dxt изменяются соответственно на
Рис- 15 day. Например, изменение нормальных напряжений сгц, действующих вдоль оси ti, за счет приращения только dx^ будет следующим:
dan = сгц(ж1 +с?Ж1, Т2, тз) —(7ц(т1, Х2, хз) = ^ЕМ dxi=ani dx^. oxi
Напряжения а 21, действующие вдоль оси ti на другой грани, получают приращение за счет изменения координаты Х2 на величину dx2‘.
dff21 = <721 (^Ь ^г+^г, Жз) — (721 (а?1, Х2, Хз) = dx2=a2iodx2.
0X2
Аналогично изменяются напряжения азд. dasi = <731,3 </2:3. Здесь для краткости операция частного дифференцирования обозначена запятой перед соответствующим нижним индексом:
Остальные приращения напряжений вдоль координатных осей следующие:
da арОар, a dXai
(а, /3 = 1, 2, 3; без суммирования по повторяющемуся греческому индексу).
Из условия равенства нулю суммы моментов сил, действующих на элемент, относительно координатных осей получим известный закон парности касательных напряжений а^ = сг^, (г 7^ j) Х) • Это показывает, что тензор напряжений имеет только шесть независимых компонент, и его матрица симметрична относительно главной диагонали.
Рассмотрим равновесие сил, действующих на выделенный элемент, в направлении оси а?!. Спроецируем на эту ось все действующие силы, в том числе объемные. Для этого напряжения, параллельные оси a;i, умножим на площади граней, на которых они действуют, а интенсивность pFi — на объем параллелепипеда и просуммируем:
(уц + уцц dx^ — (7ц) dx2dx3 + ((72i + Угь2 dx2 — ощ) dx^dx^ + + (уз1 + Уз1,з dx3 - (731) dxidx2 + pFidx^dx2dx3 = О, откуда следует
У11,1 + У21,2 + У31.3 + pFi = 0.
Учитывая симметрию тензора напряжений (сг^ = сг^), получаем
У11,1 + У12,2 + У13,3 + pFi = 0.
Аналогично для двух остальных направлений
У21,1 + У22,2 + У23,3 + Р^2 = 0,(7зц1 + (732,2 + У33,3 + Р^З = 0.
В общем случае эти три уравнения можно записать в следующей тензорной форме:
CTijj + pFi = 0.(1-Ю)
Их называют уравнениями равновесия тела или статическими уравнениями.
Следует заметить, что в теории обобщенных сред, когда появляются так называемые моментные напряжения (например, в теории континуума Коссера 2), тензор напряжений уже не является симметричным.
Условия равновесия на границе
Уравнения равновесия (1.10) справедливы всюду внутри деформируемого тела. На границе, т. е. на поверхности тела, должны удовлетворяться условия равновесия в напряжениях. Это
О Впервые этот закон доказал Коши в 1822 г. при выводе уравнений равновесия.
Коссера (братья) Эжен Морис Пьер (Cosserat Е. М. Р., 1866-1931), французский математик и астроном, и Франсуа (Cosserat F., 1852-1914), французский инженер, впервые ввели такого рода сплошную среду и ее исследовали.
означает, что на границе должен выполняться непрерывный переход тензора напряжений к поверхностной нагрузке. Из (1.2) следует
Rp = о*—у — (тд, где Rp — вектор напряжений на границе, заданный на стороне поверхности с нормалью v. Умножив скалярно это выражение на е, и воспользовавшись формулами (1.8), получим следующие граничные условия в напряжениях:
Rvi = ^ij^j*(^'^)
Следовательно, напряжения на границе (поверхностные нагрузки) находятся в равновесии с напряжениями внутри тела. В координатной форме равенства (1.11) имеют вид
Rv\ = <711 cos(l/, sj + (712 cos(l/, S2)+<713COs(l/,S3),
Rv2 = <721 cos(l/, Si) + (722 cos(z/, S2)+<723COS(m,S3),
Rv3 = <731 COs(l/, Si) + (732 COS(Z/, S2)+<733COS(m,S3),
причем компоненты вектора нормали являются направляющими косинусами. В дальнейшем значок нормали в нижнем индексе писать не будем.
Главные оси и главные значения тензора напряжений
Возьмем вырезанный ранее элементарный параллелепипед с «впаянной» в него декартовой системой координат и начнем мысленно вращать его вокруг рассматриваемой точки. Значения компонент тензора напряжений на его гранях будут изме-
Рис. 1.6
няться. Доказано, что существует хотя бы одно такое положение параллелепипеда, при котором касательные напряжения на его гранях обращаются в ноль, а нормальные напряжения становятся экстремальными (рис. 1.6). Соответствующие оси координат
в данной точке называются главными осями тензора напряжений. Компоненты напряжений в этих осях обозначают cri, <72, 03 и называют главными значениями тензора напряжений (главными напряжениями).
Главные оси нумеруются так, чтобы в алгебраическом смысле выполнялись для главных значений следующие условия: fi f 2 ^ f з • Матрица тензора напряжений в главных осях принимает диагональный вид. Компоненты вектора напряжения на косой площадке (1.8) в главных осях следующие (без суммирования по г):
°иг = ^^i (-tM^)
Рассмотрим процедуру определения величины главных напряжений <71, (72, 03 по известным значениям шести координатных компонент тензора напряжений Сту. Возвращаясь к рис. 1.4 и соотношениям (1.5), положим, что на-.
клонная площадка является главной. То- 3[ гда вектор полного напряжения av будетЛ
направлен по нормали v к этой площад- / ке, так как касательные напряжения от- / сутствуют (рис. 1.7)./
Искомую величину соответствующего / )-^—
главного напряжения обозначим через ст.Ж2
Проекции вектора сти на координатные оси будут следующими:/
avi. — (7^.Рис- Г7
Подставляя их в соотношения (1.8) и перенося все слагаемые влево, получим систему уравнений
CTijlj — стЦ = 0.(1-13)
Слагаемое oli в уравнениях (1.13) представим в виде
(jli ~ CTSijlj.
Эта операция (li = 6ijlj) носит название «жонглирования индексами» с помощью метрического тензора. В самом деле, проверим это выражение, например, при г — 1
СТ1\ = cdijlj = <75ц/1 + (7^12^2 + f^l3^3 = f^iUi = °А, так как в силу (1.4)
512 = 51з = 0, 5И = 1.
В результате, подставляя эти соотношения в уравнения (1.13), получим систему трех однородных линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных косинусов нормали, определяющих ориентацию главной площадки в исходной системе координат:
(ац - стб^Ц = 0 (г, j = 1, 2, 3).(1.14)
В случае единственности решения полученной системы оно будет нулевым: Ц = 0, (г = 1, 2, 3). Но нулевое решение не имеет физического смысла. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:
|°lj <7^у| —|°lj <7^у| —СТц - СТСТ21СТ31СТц - СТСТ21СТ31CTI2CTI3<722 — СТСТ23СТ32 СТзз — СТCTI2CTI3<722 — СТСТ23СТ32 СТзз — СТ= 0.= 0.(1.15)(1.15)
|°lj <7^у| —
|°lj <7^у| —
СТц - СТ
СТ21
СТ31
СТц - СТ
СТ21
СТ31
CTI2CTI3
<722 — СТСТ23
СТ32 СТзз — СТ
CTI2CTI3
<722 — СТСТ23
СТ32 СТзз — СТ
= 0.
= 0.
(1.15)
(1.15)
Достигается это надлежащим выбором величины ст. Если условие (1.15) выполнено, то хотя бы одно из трех уравнений системы (1.14) не является независимым и линейно выражается через два других. Добавив к независимым уравнениям условие
lilt —- 1, ИЛИ ^i 4- ^ 4* ^з = 1^
получим новую систему трех независимых уравнений. Она достаточна для нахождения косинусов нормали к главной площадке, на которой действует напряжение, равное ст.
Уравнением для определения главных напряжений служит определитель (1.15). Если его раскрыть и расположить слагаемые по степеням ст, то получим кубическое уравнение, которое называют вековым:
ст3 — ст2 Jx + ст Ji — J3 = 0.
Здесь
J1 = СТЦ = <711 + <722 + <733 = <71 + <72 + <7з,
Л = ^(CTjiCTjj — CTijCTjj) = <7ц<722 + <722<733 + <7зз<7ц —
—<712 ~ ^23 — ^31 ~ ^l^ + <72<73 + <7з<71,(1-16)
-^ = 1Ы1 =-^ = 1Ы1 =CT1IСТ21CT1IСТ21CTI2СТ13СТ22<723CTI2СТ13СТ22<723= <71<72<7з-= <71<72<7з-
-^ = 1Ы1 =
-^ = 1Ы1 =
CT1I
СТ21
CT1I
СТ21
CTI2СТ13
СТ22<723
CTI2СТ13
СТ22<723
= <71<72<7з-
= <71<72<7з-
СТ31 СТ32СТ33
Можно показать, что все три корня векового уравнения (главные напряжения) — вещественные. Их величины определяются характером внешней нагрузки и не зависят от первоначальной ориентации системы координат. Поэтому при повороте осей должны оставаться неизменными и коэффициенты Д, Ji, J^ в вековом уравнении, определяемые формулами (1.16). В связи с этим их называют инвариантами тензора напряжений.
Если все главные напряжения не равны нулю, то напряженное состояние называется трехосным. Если одно из них — нулевое, напряженное состояние — плоское. Если одновременно равны нулю два главных напряжения, имеем линейное напряженное состояние.
Физическое содержание тензора напряжений определяется его тремя инвариантами, поэтому величины, от него зависящие (например, критерии пластичности), должны быть функциями Jh J2t Js- Это обстоятельство нужно учитывать при построении общих теорий механического поведения материалов.
Максимальные касательные напряжения
Октаэдрическими называют площадки, равно наклоненные к главным осям тензора напряжений. Чтобы получить значения напряжений на них. сначала рассмотрим произвольную площадку в главных осях (рис. 1.8). Вектор напряжения на ней обозначим через CTV. Разложим его на нормальную ап и касательную тп3 I
составляющие (см. §1.1):А
Проекции вектора Стр на главные оси в соответствии с формулами (1.12) примут вид
^иа — ^а*а*
Здесь 1а — направляющие коси- 1’ <тз
нусы нормали к рассматривав- z мой произвольно ориентирован-рис 1 §
ной площадке. Тогда модуль' '
полного вектора напряжения на этой площадке можно получить из суммы квадратов проекций, а величину нормального напряжения — как сумму проекций составляющих полного напряжения на нормаль:
22,2,2212
®п = ^иг^г = ^1^1 4" ^2^2 4" CT3I3 = ^гЦ •
(1-18)(1-18)Подставляя полученные выражения для «т^ и стп в уравнение (1.17) и учитывая, что сумма квадратов косинусов /Ji = 1, получим следующее выражение для касательных напряжений на произвольной площадке:
(1-18)
(1-18)
тп ~ (ai ~ а2^ /1^2 4- (f2 — ^з)2 ^з 4- (сз — o"i)2 /j/f.(1-19)
Как видим, т^ — величина положительная и на главных площадках обращающаяся в нуль. Действительно, если нормаль v совпадает с одной из главных осей, то один из направляющих косинусов равен единице, а два других —равны нулю, и тогда
Вернемся к октаэдрическим площадкам. Так как они равно наклонены к главным осям, то для них все направляющие косинусы Z2 = 1/3. Подставив их в формулы (1.18), (1.3), получим значения нормальных и касательных напряжений на октаэдрических площадках:
Уокт = |(fl + (72 + ^з) = ^(<711 + ст22 + ^Зз),
3 (1.20)
Токт =+
Выражая токт через произвольные координатные компоненты напряжений, получим
Токт = £ [(^11 - <Т22)2 + (<Т22 - <ТЗЗ)2 + (<ТЗЗ - <Тц)2 +
+ 6((7щ + O23 + ^Зх)]•
Токт — ~ ^2 Ji2 J2 .Токт — ~ ^2 Ji2 J2 .(7окт — Л(7окт — ЛОктаэдрические напряжения являются инвариантными величинами и выражаются через инварианты тензора напряжений:
Токт — ~ ^2 Ji2 J2 .
Токт — ~ ^2 Ji2 J2 .
(7окт — Л
(7окт — Л
Введением октаэдрических напряжений мы обязаны Падай [34]. Они играют важную роль при вычислении эквивалентных напряжений для сложного напряженного состояния, применяются также для формулировки критериев пластичности.
Особый интерес представляют площадки, на которых возникают максимальные касательные напряжения. Положение этих
площадок можно определить, исследуя экстремум выражения (1.19). Так как (cri — (73) = (cri — (72) + (<72 — 03), и квадрат числа больше суммы квадратов чисел его
составляющих, то
((71 - (7з)2 > ((7! - (72)2 + ((72 - (73)2.
Поэтому тп достигает максимума на тех площадках, на которых третье из слагаемых в формуле (1.19) максимально. Следовательно, при Z2 = = /2 = 1/2, /^ = О получаем тг = = ттах (индекс 2 показывает ось, которой площадка параллельна),
Ттах = “(^l °з)-(1-21)
Таким образом, площадка с максимальным касательным напряжением параллельна главной оси 2 и одинаково наклонена к главным площадкам, на которых действуют максимальное (cri) и минимальное (03) из главных напряжений (рис. 1.9).
Если рассмотреть еще две площадки, которые параллельны соответственно первой и третьей главным осям, а к остальным двум равно наклонены, то получим еще два экстремальных значения касательных напряжений:
т"1 = ^2 - <тз) Тз = ^(<71 - а2).
Величины ri, т2, тз называются главными касательными напряжениями. Для них справедливо соотношение tj + т2 + тз = = 0. Поверхности, на которых действуют главные касательные напряжения, не являются взаимно ортогональными, а образуют стороны правильного додекаэдра. Его стороны не свободны от нормальных напряжений.
Девиатор и шаровая часть тензора напряжений
Каждой точке упругого тела соответствует свой тензор напряжений. Следовательно, в теле имеет место поле тензоров напряжений. Укажем две операции над тензорами, которые потребуются в дальнейшем:
суммой двух тензоров называется тензор, компоненты которого представляют собой сумму соответствующих компонентов слагаемых тензоров;
произведением тензора на скаляр А называется тензор, компоненты которого в Л раз больше соответствующих компонентов умножаемого тензора.
Рассмотрим напряженное состояние, при котором на трех взаимно перпендикулярных площадках действуют только три одинаковых главных напряжения ст, равных среднему напряжению в данной точке тела
fl = а2 =; аз = а = |оц = ^(^и + °22 + ^зз)-
Такое напряженное состояние описывается тензором / <т 0 0 \
Та = 0 о 0 , (1.22) \ 0 0 <7 /
который называется шаровым тензором напряжений (шаровой частью тензора напряжений).
Название «шаровой тензор» связано с предложенным Ламе геометрическим представлением напряженного состояния в точке. Если в системе координат, совпадающей с главными осями, для каждой площадки, проходящей через начало координат, построить вектор полного напряжения, то концы этих векторов опишут поверхность эллипсоида, который называется эллипсоидом напряжений, или эллипсоидом Ламе.
Три полуоси эллипсоида напряжений равны по длине трем главным напряжениям. В случае напряженного состояния, описываемого шаровым тензором (1.22), все три главных напряжения равны между собой, и эллипсоид напряжений обращается в шар.
Вычитая из тензора напряжений шаровой тензор, получим новый тензор, называемый девиатором напряжений,
(ст -<т<721<731(ст -<т<721<731<712<732<712<732<713<723<733 — <7<713<723<733 — <7(1.23)(1.23)
(ст -<т
<721
<731
(ст -<т
<721
<731
<712
<732
<712
<732
<713
<723
<733 — <7
<713
<723
<733 — <7
(1.23)
(1.23)
Таким образом, тензор напряжений в каждой точке может быть представлен в виде суммы шарового тензора напряжений (ст) и девиатора напряжений (Sy). Для их компонентов выполняется соотношение
(7у = Sy + a5ij (t, j 1, 2, 3),
где 5у—символы Кронекера (1.4).
Разложение тензора напряжений на шаровую и девиатор- ную части имеет большое принципиальное значение при исследовании поведения -упругих и пластических тел под нагрузкой. Шаровая часть выделяет из напряженного состояния равномерное всестороннее растяжение или сжатие, при котором изменяется лишь объем данного элемента тела без изменения формы. Девиатор напряжений характеризует состояние сдвига, при котором изменяется форма элемента без изменения его объема. Следовательно, девиатор напряжений указывает отклонение (девиацию) рассматриваемого напряженного состояния от всестороннего растяжения (сжатия) или отклонение приобретенной формы тела от первоначальной. Как показывают опыты, материалы по-разному реагируют на всестороннее сжатие и на напряжение сдвига.
По аналогии с инвариантами тензора напряжений построим инварианты для введенных тензоров. Первый инвариант шарового тензора совпадает с первым инвариантом тензора напряжений:
Лш = 3(7 = <7Ц + <722 + <733.
Первый инвариант девиатора напряжений равен нулю, так как
Jld = 8Ц = (<7ц - <7) + (<722 - <7) + (<733 - <7) =
= <^11 + <722 + <733 — 3<7 = 0.
Для определения второго инварианта девиатора напряжений воспользуемся выражением для второго инварианта тензора напряжений (1.16), подставив в него вместо напряжений од
разности оц — о. После несложных преобразований получим
J2d = ~7SijSij = ^[(аИ — ^г)2 + (<722 — <73з)2 + (<733 ~ <711)2 +
+ 6(<7i2 + <723 + °31)] = ^К0'! — <72)2 + (<72 — <7з)2 + (<73 — <71)2]- О
Третий инвариант девиатора имеет вид
Jsd = ^ijSjk^ki-
В теории пластичности широко используется понятие интенсивности тензора напряжений, которое было введено Ильюшиным. Оно формально определяется через второй инвариант девиатора
23
<7И — ^J^d = "^SijSij-
Отсюда следует, что
(7М = -^[(<711 — <722)2 + (<722 — <73з)2 + (<733 ~ <711)2 +
+ 6(<7?2 + <723 + <731)]=
= ^ [(ст1 — ^г)2 + (^г ~ ^з)2 + (°з — ^i)2] • (1-24)
Интенсивность тензора напряжений —- инвариантная величина, так как выражается через второй инвариант девиатора. Она с точностью до числового множителя совпадает с октаэдрическим касательным напряжением (1.20). Числовой коэффициент в формуле (1.24) выбран так, чтобы в случае простого растяжения или сжатия (сгц = tri, все остальные компоненты равны нулю) выполнялось условие аи = |<7i|.
Положительная величина
s = VsijS^ = у >Дсг^"сг^(1.25)
называется модулем девиатора напряжений. Назовем направляющим тензором напряжений девиатор напряжений, каждый компонент которого разделен на модуль девиатора (1.25):
/ <Тц - а
<712
<713
\
S
S
гл (— \ ОсI0*21
Da = (Sy) = — =—
1O~31
S
0*22 — <7
S 032
S
<723
S <^33 — Ст
S
.(1.26)
Так как первый инвариант девиатора равен нулю, то и 8Ц = «И + S22 + S33 = 0.
В то же время Sij$ij = 1. Следовательно, направляющий тензор полностью характеризуется заданием четырех чисел, поскольку шесть его компонент уже связаны двумя приведенными соотношениями. Отметим, что главные оси направляющего тензора совпадают с главными осями тензора напряжений и девиатора тензора напряжений.
С помощью направляющего тензора компоненты тензора напряжений могут быть представлены в виде
^ij — ^^ij “Ь SSij.
Два модуля — <т и s — определяют скалярные свойства материала. Векторные свойства материала определяет направляющий тензор (бу).
Назовем нагруаюение в данной точке тела простым, если все компоненты тензора напряжений изменяются пропорционально одному общему параметру А, т. е. ст у = Х^. В этом случае компоненты направляющего тензора остаются неизменными. В противном случае нагружение назовем сложным).
Перемещения и деформации. Тензор деформаций
Ни один из существующих в природе материалов не является абсолютно твердым. Под действием внешних сил все тела в большей или меньшей мере меняют свою форму (деформируются). Точки тела меняют свое положение в пространстве непрерывно.
Рис. 1.10Рис. 1.10Первоначально непрерывно распределенный материал не содержит после деформации разрывов и пустот (т. е. не возникает трещин).
Рис. 1.10
Рис. 1.10
Вектор и, имеющий начало в точке А недеформированного тела, а конец — в соответствующей точке А1 деформированного, называется вектором полного перемещения точки (рис. 1.10). Его проекции на оси координат и = (uy, U2, из), щ = и^, х = (хх, х2, Жз).
Как правило, в механике деформируемого твердого тела рассматриваются кинематически неизменяемые системы, т. е.
не допускающие перемещения тела в пространстве как жесткого целого. В противном случае из перемещений всех точек исключается составляющая такого переноса. Введенные таким образом перемещения для большинства рассматриваемых систем
тела.тела.являются малыми по сравнению с геометрическими размерами
тела.
тела.
Метод определения деформаций заключается в том, что по перемещениям вычисляются изменения длин линейных элементов, а также изменение углов между двумя линейными элементами. Для того чтобы связать перемещения точки А и деформа
ции в ее окрестности, рассмотрим
вначале плоскую задачу, т. е. примем, что
«з(ж) = 0, U1 =«1(Ж1, ж2), «2 =«2(®1, $2^
В процессе деформации отрезок АВ с проекциями dxi, dx2 займет положение А'В* (рис. 1.11). Полное перемещение точки А вдоль оси Ху есть tip Точка В переместится вместе с точкой А на величину Ui плюс дополнительное перемещение d«i за счет дефор
мации отрезка вдоль оси xv
Так как приращение перемещения мало и dui = du^(xi, Х2), то с точностью до членов более высокого порядка малости
dui = dxi + dx2 = dxj = «1 dx, (j = 1, 2).
Эхх Зх2 Зх, 3 М 31 )
Здесь первое слагаемое соответствует удлинению составляющей da;i вдоль оси хр Второе слагаемое, в силу малости деформаций, описывает перемещение за счет поворота отрезка относительно оси Х2 на угол си:... --
Г ИНВ Nb 33)
, UU1 { HE БОЛЕЕ 1Й КНИГйТ')
Qj ~ vg Q1 — = IZj 2\ ОДНИ РУКИ И 2Х В ДВЕ 1
0X21~
Рассматривая перемещение точки В вдоль оси х2, по аналогии получаем
du2 = — dx^ + dx2 = U2 73X13X2J
«2 ~ tga2 ==«2,i b = l, 2).
0X1
Величины, описывающие линейные удлинения вдоль осей, называются линейными деформациями и обозначаются через dui _3U2 _
£11 = — = «1,1; £22 — — = «2,2-3X13x2
2 А. Г Глтчттгыпп ^ И Стопляпптт! п r ТагД птагкаппАлгшнг л i
Для описания сдвиговых деформаций используют величину, равную половине суммарного изменения прямого угла между осями координат:
£12 = - («1 + аД = - (ui, 2 + U2,1) •
Если деформирование окрестности точки А является пространственным (иг(т) / 0, г = 1, 2, 3), то приращение перемещения будет
dut = Ui,j dxj (z, j = 1, 2, 3) и добавляются деформации
£■33=03,3; f32 = | (О2,3 + 03,2) ; £31 = ^(03,1+01,3).
В результате получаем, что в общем случае компоненты деформации связаны с малыми перемещениями ^о? <С о^,^ формулами, которые называют соотношениями Коши:
Ец = | ^м + о,,1) (z, 3 = 1, 2, 3).(1.27)
Замечание 1. В случае конечных деформаций ^геометри- чески нелинейная теория упругости), когда сопоставимы и Ui,j, компоненты тензора деформаций связаны с перемещениями следующими соотношениями:
£у — 2 ^З^З + ^33 + Ofc,iO/;,j) (z, j) k — 1, 2, 3).
Замечание 2. В задачах изгиба поперечной нагрузкой мембран и тонких пластин могут быть конечными только прогибы, тогда сопоставимы только Uy j и u^j. Соотношения связи деформаций с перемещениями принимают вид
Eij = 2 (^i,j + U^i + ^3,t^3,j)(*> j = 1; 2, 3).
Компоненты деформаций (1.27) образуют тензор второго ранга, который, как и тензор напряжений, симметричен (е^ = Eji\ Можно показать, что с его помощью полностью описывается деформирование произвольного волокна в окрестности рассматриваемой точки.
Более подробно с теорией конечных (больших) деформаций материалов можно ознакомиться по книгам [14, 36, 45, 57].
Главные оси и главные значения тензора деформаций
Аналогично тому, как это было выполнено при рассмотрении тензора напряжений, можно изучить, в каких направлениях имеются только относительные деформации и отсутствуют
сдвиги. Можно показать, что эти направления соответствуют также экстремальным значениям относительных деформаций. Эти значения называются главными относительными деформациями и обозначаются через ei, е2, Е3.
Для определения главных направлений и главных относительных деформаций могут быть использованы соответствующие выражения для тензора напряжений из § 1.6. Справедливы равенства
(^у — Е^у) lj = 0 (г, j = 1, 2, 3).
Условия разрешимости этих уравнений приводят к характеристическому уравнению для главных значений тензора деформаций
е3 - е21у + е/2 - /з = 0.
Коэффициентами в этом уравнении будут три инварианта, не зависящие от ориентации системы координат:
11 = Ей = £11 + Е22 + Е33 = Ei + Е2 + ^3,
^2 — кЕиЕ33 — е1зе1зМ^ = Е11Е22 + £11^22 + Ец£22 ~ ^12 ~ е23 ~ £31 :
= Е1Е2+Е2Ез + Е3Е1,
/з = lk0-|| =/з = lk0-|| =£11£12£13£11£12£13£21 £22 £23£21 £22 £23= ^^З-= ^^З-(1.28)(1.28)
/з = lk0-|| =
/з = lk0-|| =
£11£12£13
£11£12£13
£21 £22 £23
£21 £22 £23
= ^^З-
= ^^З-
(1.28)
(1.28)
£31 £32 £33
в главных осях принимаетв главных осях принимаетМатрица тензора деформаций
в главных осях принимает
в главных осях принимает
диагональный вид. Первый инвариант Д имеет простой геометрический смысл:
Г лДУ — ДУо
Ь = 9 = Ui г = 1Ш1 = div И
ДУ>—>0 ДРо
— относительное изменение объема.
Направление главных осей тензора деформаций получают из соотношений, аналогичных (111), (1.12). В рамках теории упругости главные оси тензоров напряжений и деформаций для изотропной среды совпадают.
Девиатор и шаровая часть тензора деформаций
Тензор деформаций (ву) можно представить в виде двух составляющих тензоров
Eij = э^ + e§ij (г, j = 1, 2, 3), е = ^9 = ^(ец + £22 + ^33).
(1.29)
Здесь e§ij — компоненты шарового тензора деформаций, 5ц -символы Кронекера (1.4), Эу — компоненты девиатора тензора
деформаций. Они выражаются через деформации соотношением
(
£11 — Е £12£13\
£21£22-££23 I. (1.30)
£з1£32 £зз — £ /
Шаровой тензор деформаций (1.29) описывает объемную деформацию 6 в точке тела. Его первый инвариант совпадает с первым инвариантом тензора деформаций (1.28):
/1ш — Зе = £ц + £22 + Езз = 11-
Девиатор тензора деформаций характеризует деформацию изменения формы. Его первый инвариант равен нулю, так как
lid = Эгг = (еи ~ е) + (£22 ~ е) + (ёЗЗ ~ е) =
= £ц + £22 + Езз — Зе = 0.
Второй инвариант девиатора деформаций получим по аналогии с девиатором напряжений:
I'M = — 7;3ij3ij = ^[(еп — Егг)2 + (£22 — Е33)2 4- (£33 — £ц)2 + 2О
+ 6(S12 + Езз + £31)1 = |[(£1 - £2)2 + (fi2 - Ез)2 + (£3 - £1)2]-
Третий инвариант девиатора имеет вид
I^d Q3ij3jk3ki-
Фундаментальную роль в теории пластичности играет второй инвариант девиатора деформации l2d- Положительную величину
3 ~ V3434 =+ (£2 ~ £з)2 + (£3 — £1)2
называют модулем девиатора деформаций.
Используя выражение Z2d, введем определение интенсивности тензора деформаций е„ по Ильюшину:
_ _ 4 Т _ 2£и —^3ij3ij'
ИЛИ
£U = у [(Е11 ~ £2г)2 + (£22 ~ £зз)2 + (£33 — £11)2 +
+ 6 (е22 + Езз + £31)]=
Геометрическая интерпретация интенсивности деформаций следующая: eu с точностью до числового множителя совпадает с октаэдрическим сдвигом — относительным сдвигом площадки, равно наклоненной к главным осям деформации.
В случае простого растяжения или сжатия ёц = Ei, £22 = = £33 — — ^ь £12 = £23 = E31 — 0 (z,— коэффициент Пуассона Ч . Тогда из (1.31) следует:
Еи = ^(l + ^kll,
а для несжимаемого материала (1/ = 1/2) eu = |ei|.
Интенсивность деформаций согласно (1.31) является инвариантной величиной.
Направляющим тензором деформаций называют девиатор, у которого компоненты
^ij ®ij! ^
причем
Эц ” 0, ^ij^ij — 1/2.
Следовательно, направляющий тензор полностью характеризуется заданием четырех чисел, поскольку шесть компонент уже связаны двумя приведенными соотношениями. С его помощью компоненты тензора деформаций могут быть представлены в виде Eij = s6ij + 33ij.
Два модуля — а и s —определяют скалярные свойства, а направляющий тензор (эу) — векторные свойства материала. Деформацию в материальной частице тела называют простой, если все компоненты Эу = const в процессе деформирования. В противном случае деформация называется сложной.
Уравнения совместности деформаций
По известным трем дифференцируемым компонентам поля перемещений Ui^, (ж = $i, 22, 23) с помощью формул Коши (1.25) легко определяются шесть независимых компонент тензора деформаций. Обратная операция затруднена, так как не всегда шести непрерывным компонентам Еу(ж) соответствует какое-либо непрерывное поле перемещений. Если такое поле существует, то деформации называют совместными, в противном случае — несовместными.
*) Пуассон Семеон Дени (Poisson S. D., 1781-1840), французский математик и механик; труды по математическому анализу, теории вероятностей, теории упругости.
Совместные деформации связаны между собой соотношениями, которые называются уравнениями, совместности деформаций. Их вывод возможен различными способами. С одной стороны, они могут рассматриваться как условия интегрируемости шести дифференциальных уравнений eij = (l/2)(ui, j + Uj,^ относительно трех неизвестных функций u^xY С другой — они выражают физический факт, что все тело до и после деформации — непрерывное и сплошное, и частицы материала связаны друг с другом. Впервые эти соотношения были получены Сен-Венаном в 1860 г.
Для вывода первой группы уравнений совместности, устанавливающей связи между деформациями, действующими в одной плоскости, выпишем соотношения Коши в компонентах:
£ц = 1*1,1; £22 = 1*2,2; ^33 = 1*3,3i
£12 = ^(1*1,2 + 1*2, l)i £23 = ^(1*2,3 + 1*3,2);(1.32)
£31 = |(i*3,i + 1*1,3)-
Используя (1.32) и свойство перестановки порядка дифференцирования, составим выражение
£11,22 + £22,11 = 4*1,122 + 4*2,211 = (1*1,2 + 4*2,1), 12 = 2612,12, так как 2ei2 = 1*1,2 + 1*2,1-
По аналогии получим еще два подобных уравнения. В результате
^аа,^Р + £ДЗ,аа ^«Р,аР = 0 (а, Р = 1, 2, 3; Ot ^ /3)(1.33)
без суммирования, как и ранее, по повторяющимся греческим индексам.
Для вывода второй группы из трех уравнений сплошности, устанавливающих связи между деформациями, действующими в разных плоскостях, составим выражение
(£12,3 — £23,1 + £31,2), 1 =
= ^(1*1,23 + 1*2,13 — 1*2,31— 1*3,21+1*3,12 + 1*1,32),! = 1*1,231 = £11,23-
Отсюда
(£12,3 — £23,1 + £31,2),! — £11,23 = 0.
Аналогично с помощью круговой перестановки индексов можно формально получить еще два подобных уравнения. В итоге
(£а^, 7 — £^7,а + £70,^), а _ £аа,^7 = 0,- „
(а,^,7 = 1,2,3;а/^/7).1 J
Таким образом, чтобы по шести непрерывным компонентам тензора деформаций найти соответствующее поле перемещений, необходимо выполнение шести дифференциальных уравнений совместности (1.33), (1.34) в частных производных относительно шести компонент тензора деформаций е^. В случае односвязной области они необходимы и достаточны, для многосвязной же — только необходимы [38].
Геометрический смысл уравнений совместности состоит в следующем. Представим себе, что тело до деформации было разбито на множество материальных частиц, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда. Допустим, что каждая частица подвергалась произвольной деформации е^, после чего материальные частицы приняли форму косоугольных параллелепипедов, которые уже могут не составить сплошного деформированного тела. Чтобы этого не получилось, компоненты деформации должны удовлетворять уравнениям (1.33), (1.34).
Введем, наряду с перемещениями, другие кинематические характеристики деформируемой среды. Дифференцированием по времени определим векторы скорости v и ускорения w:
ди•dvд2и ..
V = = U, W = = = U.
dtSt8Р
В заключение следует указать, что при последующем рассмотрении возможности решения задачи теории упругости в перемещениях уравнения совместности удовлетворяются автоматически. При решении задачи в напряжениях уравнения совместности будут входить в число основных уравнений, которые должны быть удовлетворены.
2
ФИЗИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ • В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Установленных ранее соотношений недостаточно для определения напряжений, деформаций и перемещений в твердом деформируемом теле, находящемся под воздействием внешней нагрузки. Необходимы еще физические определяющие соотношения между напряжениями и деформациями, учитывающие особенности поведения материалов.
Так как имеется очень много различных материалов, то возможно и множество физических законов, описывающих их поведение при самых разнообразных условиях. Однако установить универсальный физический закон для всех материалов практически невозможно, так как общие уравнения получились бы слишком сложными и неудобными для практического применения. Поэтому стремятся устанавливать соотношения, которыми можно было бы описать важнейшие виды поведения материалов при определенных условиях. В результате вводится математическая модель, которая проверяется экспериментально для достижения хорошего приближения к свойствам реального материала. При дальнейшем рассмотрении соотношений теории упругости будем полагать, что для материала исследуемого тела справедливы следующие, дополняющие ранее принятые, гипотезы (см. § 1.1).
.Гипотеза об идеальной упругости материала. Под идеальной упругостью понимается способность тела восстанавливать свою первоначальную форму и размеры после устранения причин, вызвавших его деформацию (снятия внешней силовой нагрузки; температурных, электромагнитных и радиационных полей и т. п.).
. Допущение о линейной зависимости между деформациями и нагрузками (закон Гука). Предполагается, что для большинства материалов перемещения, являющиеся результатом деформации тела, прямо пропорциональны вызвавшим их нагрузкам.
Будем полагать, что в своем начальном состоянии тело свободно от напряжений, имеет постоянную температуру и находится в термодинамическом равновесии со средой.
Энергия деформации и упругий потенциал
Будем называть упругим телом такое тело, у которого напряжение в каждой точке есть однозначная функция деформации
<7ц = ^у (^/ст)- (2-1)
Назовем путем нагружения или соответственно путем деформирования процесс изменения тензора напряжений или тензора деформаций в зависимости от некоторого монотонно возрастающего параметра, который назовем «временем». На самом деле реальное время при определении модели упругого тела никакой роли не играет. Употребляя этот термин, мы говорим лишь о последовательности событий, но не об их временной протяженности.
Для наглядности тензор напряжений или тензор деформаций можно изобразить векторами, составляющие которых равны компонентам соответствующих тензоров:
<7 = <т(<Тц, <722, <733, <712, <723, <731),е = е(Ец, £22, Езз, ^12, £23, Е31)-
Тогда векторы <т и е служат изображениями тензоров напряжений и деформаций в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Заметим, что такое изображение не единственно. Можно было бы ввести не шестимерное, а девятимерное пространство, если не обращать внимания на симметрию тензоров а^ и Еу. Ильюшин ввел пятимерные пространства для девиаторов напряжений и деформаций, так как среди их компонентов только пять независимых.
Пути нагружения или деформирования, таким образом, могут быть представлены как кривые, описываемые концами векторов <т и Е в соответствующих пространствах. Закон упругости, то есть уравнения (2.1), устанавливают, в частности, что замкнутому пути деформирования соответствует замкнутый путь нагружения, и наоборот.
Рассмотрим теперь класс упругих материалов, для которых работа, произведенная над элементарным объемом в замкнутом цикле по деформациям или напряжениям, равна нулю. Немеханические потери энергии при этом отсутствуют. Исключается влияние термических эффектов.
Введем понятие удельной потенциальной энергии деформации, как работы, совершаемой при деформации единицы объема тела:
U — ^* atjdEtr
Изменение внутренней энергии (ввиду симметрии тензоров Еу и ау) можно записать в развернутом виде:
с?С7 — <тц cfen+tT22 &22 +°зз ^^33 + 2(1712 dei2 + (T23 с^гз + оз! ^31)- (2-2)
Условие равенства нулю работы на произвольном замкнутом цикле будет
j dU = j ay dey = 0.
Для этого необходимо, чтобы подынтегральное выражение представляло собой полный дифференциал, т. е.
CTij -(2 3)
Удельная потенциальная энергия деформации U\ey) является однозначной функцией деформаций; она называется также упругим потенциалом. Но, с другой стороны, и выражение
dU* = Ец dax\ + £22^22 + £33 ^33 +2(ё12 ^12 + ^23 da 23 +Е31 ^31) является полным дифференциалом, так как
dU + dU* = d^ayey\
эи*эи*Поэтому
эи*
эи*
(2-4)
Величина и*(ау) называется дополнительной удельной энергией деформации и является упругим потенциалом по напряжениям. Для введенных энергий справедливы общие соотношения
dU^ = ^dsy,
dU*^ = day.
UOij
Значение величин U и U* для нелинейно-упругого материала можно наглядно пояснить на примере одноосного напряженного состояния (рис. 2.1). Из рисунка видно, что величины
8О
Рис. 2.1U(e) = J a de, U*^ = j eda
оо
дополняют друг друга до прямоугольника площади ас под кривой напряжения-деформации и соответственно над этой кривой.
Допущение о существовании удельной потенциальной энергии деформации находится в соответствии с допущением об обратимости рассмотренных процессов деформации и определяет тем самым упругое поведение материалов. Но оно не означает обязательно линейную связь между напряжениями и деформациями. Линейность вводится лишь законом Гука.
Требование однозначной разрешимости уравнений (2.3) относительно деформаций эквивалентно условию выпуклости поверхностей U(eij) = const или 17*^0^ = const в пространствах деформаций и напряжений соответственно. Действительно, соотношение (2.3), например, означает, что вектор ст направлен по нормали к поверхности U = const. Если эта поверхность строго выпукла, то заданному направлению нормали соответствует лишь одна точка поверхности.
Удельная потенциальная энергия деформации является положительно определенной величиной. Это свойство используется, например, для доказательства единственности решения линейной задачи теории упругости. Кроме того, на этом основаны теоремы о минимуме потенциальной энергии (см. § 4.1) и максимуме дополнительной энергии (см. § 4.2).
Закон Гука
Из опытов с проволокой Гук установил линейную связь между нагрузкой и полными деформациями. Соответствующий закон он сформулировал в виде «Ut tensio sic vis» («Какова сила, такова деформация») и опубликовал его в 1676 г. в форме анаграммы «ceiiinosssttuv» г).
Для изотропных тел соотношения обобщенного закона Гука известны из курса сопротивления материалов. В принятых обозначениях компонентов тензоров напряжений и деформаций они следующие:
Ell = “kll - V (<722 + <733)],
£22 = — [<722 - ^(^33 + СГц)], (25) ЕЗЗ = ^33 ~ ^(<711 + СГ22)],
СТ12 = 2GE12, <723 = 2Ge23, <731 = 2GE31.
Здесь E nG — модули Юнга 2) и сдвига, v — коэффициент Пуассона. Они связаны известной зависимостью 2G = Е/(1 +м).
3 Этот же закон был независимо открыт в 1680 г. французским физиком Мариоттом (Mariotte Е., 1620-1684).
Юнг Томас (Young Т., 1773-1829) — английский ученый, в честь которого назван модуль продольной упругости, впервые введенный Л. Эйлером в 1727 г.
В ходе решения задач теории упругости возникает необходимость в обратных соотношениях, когда напряжения выражены через деформации. В этом случае получаем
ац = 2це^ + X95ij.(2.6)
Здесь
У = Ен + £22 + £зз = —г—(^и + ^гг + ^зз)(2-7)
— введенная ранее объемная деформация; А и р — новые константы материала, называемые параметрами Ламе, которые связаны с G, v и Е следующими зависимостями:
А — vE— G — Е v —
~ (1 + i/)(l — 21/) ’“ 2(1+1/)’ Р~2(А+д)’
Следовательно, из пяти упругих постоянных А, р, К, v, Е независимы только любые две. Размерности величин А, р, К, Е совпадают с размерностью напряжения или давления. Эти параметры положительны. Коэффициент Пуассона — величина безразмерная. Ограничение его возможных значений следует из условия К > 0 и р > 0:
2
Значение и = 1/2 соответствует несжимаемому материалу. Опыт показывает, что для всех известных изотропных материалов v > 0. Было сделано много попыток доказать, что нижняя граница для v равна нулю, а не —1, но достичь этого не удалось [41].
Если нужно записать уравнения (2.6) разрешенными относительно Eij, то приходим к обратной форме закона Гука
Ец =——оЛ+У(2.8)
3 2GX 3 l+i/ 3Jv '
При v -+ 0,5 параметр Ламе А -+ ос, что, согласно (2.7), соответствует несжимаемому материалу (У = 0). В этом случае использование соотношений (2.6) затруднительно. Поэтому целесообразно записать два отдельных соотношения, в которых объемная деформация была бы выделена в явном виде. Это достигается, например, использованием выражения закона Гука через девиаторные и шаровые составляющие тензоров напряжений (1.22), (1.23) и деформаций (1.29), (1.30):
зц = 2Сэу, а = К6-, К = Х + -р =—-—(2.9)
3 гз’13(l-2i/)v 7
Здесь К — модуль объемной деформации. Для несжимаемых материалов вместо второго из уравнений (2.9) используется условие У = 0.
Из закона Гука, представленного в виде (2.9), следует возможность разделения удельной потенциальной энергии деформации на две независимые друг от друга части:
Уф = ~sij9ij — ” (fy^ij — ) , Уоб — Т*7# = ^Т-,(2-10)
Z\о /ZZ
где Уф называется удельной энергией формоизменения, а Уоб — удельной энергией изменения объема. Удельную энергию формоизменения можно записать и через октаэдрическое касательное напряжение (1.20). В развернутом виде формулы (2.10) принимают вид
Уоб =(^и + ^зг + ^зз) 2,
Уф = ~^~ ((^и — ^гг)2 + (^гг — ^зз)2 + (^зз — ^и)2) +
+ ^ (^хг + ^гз + ^х) •
Обе величины играют важную роль, например, при формулировании критериев прочности и законов течения при пластическом деформировании. Потенциальная энергия деформации была введена впервые в 1839 г. Грином :) при построении теории распространения света.
Закон Гука для анизотропного материала
Соотношения (2.6) можно обобщить для случая произвольного анизотропного материала, предполагая линейную связь между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций в виде
^ij = ^ijkl^kl- (2-11)
Равенства (2.11) можно рассматривать как линейный член разложения в ряд общей нелинейной зависимости cry = сг^е^, в которой отсутствует постоянное слагаемое ввиду условия <7у = = 0 при Eij = 0. В (2.11) содержится, вообще говоря, девять уравнений, имеющих по девять слагаемых каждое.
Компоненты Е^^ для однородного материала являются не зависящими от координат величинами. Но так как напряжения и деформации зависят от ориентации системы координат, то этой зависимости должны подчиняться и упругие постоянные Е^ы-
*) Грин Джордж (Green J., 1793-1841), английский математик, физик; труды по интегральному исчислению, теории упругости.
Они образуют матрицу из 81 упругой константы и преобразуются как компоненты тензора четвертого ранга, который называют тензором модулей упругости. Только для изотропного материала упругие постоянные не зависят от ориентации системы координат (см. § 2.2).
Ввиду симметрии тензоров <7у и Еы тензор модулей упругости также симметричен относительно индексов г и j, к и I:
Eijki = Ejihi = E^jih = Ejuk,
и независимых компонент остается 36. Матрица его компонент —
/ Еии Б2211
51122
52222
51133
52233
51112
52212
51U3
52213
51123 ^
52223
Еззн
5з322
5зззз
5зз12
5зз1з
E3323
51211
51222
51233
51212
51213
51223
51зц
51322
51ззз
51312
51313
51323
\ 5гзи
52322
5гззз
52312
5гз1з
52323 /
Дальнейшее уменьшение числа независимых компонент получим из термодинамических соображений, если предположить существование удельной потенциальной энергии деформации. Подставим поочередно соотношения (2.11) и (2.3) в выражение дифференциала удельной потенциальной энергии (2.2). Тогда
dU = cry de^j — Е^^е^ de^j^ dU — a^j de^j — — — dE^.
Отсюда
dU „^ijkl^kb
После повторного дифференцирования и с учетом возможности изменения порядка дифференцирования получаем
9 ( 9ll \ _ „9 ( ди\ _ „
Эен \detj / J 8еу ХЭеы'
Следовательно,
92U _ г г8еч8ек1 ” Eijkl - Eklij‘
Поэтому число независимых постоянных для анизотропного тела становится равным 21. Если упругое тело имеет одну плоскость симметрии упругих свойств, то для него число постоянных сокращается до 13. Для тела, имеющего три взаимно ортогональные плоскости симметрии (ортотропное тело), число постоянных сокращается до 9. Число независимых постоянных для изотропного тела, как было показано ранее, равно двум.
Обобщенный закон Гука можно обратить, выразив деформации через напряжения; тогда
егз = DijkiCTkl- (2.12)
Тензор 4-го ранга Dijkl (тензор упругих податливостей) обладает такими же свойствами симметрии, как и тензор модулей упругости Eijkl.
Необходимо подчеркнуть, что число постоянных упругости, фигурирующих в законе Гука, сокращается лишь тогда, когда плоскости симметрии приняты за координатные. В других системах координат по-прежнему уравнения будут содержать двадцать одну константу, которые выражаются через девять независимых констант.
Формула Клапейрона
Для вычисления удельной потенциальной энергии деформации исходим из выражения (2.2). Рассмотрим произвольный элемент объема упругого тела, напряженно-деформированное состояние которого задано величинами ст,, и е^. Введем местную систему главных осей для напряжений и деформаций и дадим главным напряжениям приращения, одинаковые по отношению к их конечным значениям (так называемое пропорциональное нагружение). Тогда совершаемая работа, отнесенная к единице объема,
W = ^(oiei + <72^2 + ^зСз)-
Она не зависит от пути нагружения и в силу закона сохранения энергии равна удельной потенциальной энергии деформации U. В произвольных координатных осях соответственно этому получаем
U = -сгуЕу.(2.13)
Это выражение называется формулой Клапейрона. Ее можно записать в развернутом виде:
U = |(сг11Ец + <722^22 + <733£3з) + <712£12 + <723£23 + <731£31-
С учетом обобщенного закона Гука в форме (2.11) или (2.12) формула Клапейрона (2.13) принимает вид
U ^^ijkl^ij^kb или
U = ~DijkiO'ijO'ki.
Отсюда вытекает
я — „я (^mnkZ^mn^kz) — Z^rnnkl^im^jn^kl 4" ^ik^jl^mn) O^ij Z U^ijZ
илиили— ^U-^ijkl^kl 4" ^mnij^mn) — DijkiCT^t, ^=^3- (2-14) V°ij
или
или
Полученное соотношение не следует смешивать с очень похожим соотношением (2.4), которое, однако, вместо U содержит U*. При этом оно предполагает справедливость закона Гука и потому линейно-упругое поведение материала. В то же время соотношение (2.3) следует из общих законов термодинамики. Формулы (2.3) и (2.14) представляют собой частные формулировки теоремы Кастильяно1), с которой познакомимся далее.
Температурные эффекты
Предположим, что исследуемое тело находится в неоднородном и нестационарном температурном поле T(xi, £). Температура отсчитывается от некоторого начального значения Tq. Согласно гипотезе Неймана 2) полная линейная деформация ец складывается из деформаций от силовой нагрузки еГ и температурного расширения s^ = аТ:
Температурные добавки для сдвиговых деформаций равны нулю. Поэтому закон Гука с учетом температуры принимает вид
dj =+ ^и-(215)
Величину а называют коэффициентом линейного температурного расширения материала. Выражая напряжения через деформации из (2.15), получаем
(।г 1 V т \
VV т 1-2l/ г3 х ги гз)
Соотношение между девиаторами в термоупругости остается тем же, что и в случае идеальной упругости (2.9), иную форму принимает только связь шаровых частей тензоров напряжений и деформаций
Sy = ‘IGdy, а = К ^9 — ЗаТ).
х) Кастияъяно (Castigliano С. А., 1847-1884), итальянский ученый-механик.
2) Нейман Ф. Е. (Neumann F. Е., 1798-1895), немецкий математик.
Компоненты деформаций в (2.15) связаны с перемещениями соотношениями Коши (1.25).
В сложных задачах термоупругости в общем случае предварительно нужно решить также задачу о распределении тепла. Температура Т(а^, <) в каждой точке тела должна удовлетворять уравнению теплопроводности
^=ВЛТ+^-,(2.16)
utс^
где В — температуропроводность материала, Д — оператор Лапласа :)
дх^ dxV Эх3
Q(xi, <) — функция, показывающая количество тепла, которое производится источником тепловой энергии в единице объема и за единицу времени; с —удельная теплоемкость; 7 —удельный вес.
К уравнению (2.16) следует добавить начальные условия распределения температуры Т(ж,, 0) = f(xi\ Кроме этого на границе твердого тела должны выполняться условия теплообмена с окружающей средой (три типа условий теплообмена [29]).
При достаточно высоких температурах нельзя пренебрегать зависимостью констант упругости от температуры. Для ее описания можно использовать формулу Белла 2) [5], предложенную им после экспериментального исследования более 500 металлов и сплавов,
{G(T), Еф\ К(Т)} = {(7(0), 5(0), 5(0)} <р(Т\
Здесь GIT), Е(Т), К(Т) — модули упругости при температуре Т (в градусах Кельвина); <ДТ) — линейная функция температуры,
}( Т1,03(1- —I ’ \2ТпЛ}( Т1,03(1- —I ’ \2ТпЛ0 < ^ < 0,06;
}( Т
1,03(1- —
I ’ \2ТпЛ
}( Т
1,03(1- —
I ’ \2ТпЛ
0,06 < ^ < 0,57;
Тпл — температура плавления материала; (7(0), 5(0), 5(0) — значения параметров упругости при так называемом нулевом напряжении. Эти значения легко получить, если знать величину
одного из модулей упругости при некоторой, например комнатной, температуре и температуру плавления материала. В частности, для сплава Д16Т
Тил = 933 К, G(0) = 0,308 • 105 МПа, 5(0) = 0,829 • 105 МПа.
Вообще говоря, величина Q в (2.16) для деформируемых тел зависит от напряженного и деформированного состояний. В этом случае говорят о связанных задачах термоупругости.
Для анизотропного упругого тела закон Гука (2.11) примет вид
^ij = Eijki^Efei а^Т).
Здесь аы — тензор коэффициентов термического расширения материала. Постоянные Е^м определяются в изотермических условиях при Т = То. Если приращение температуры не мало, то Eijki и «ы должны рассматриваться как функции температуры.
Пример исследования напряженно-деформированного состояния
Предположим, что для точки упругого тела известен тензор напряжений (в МПа):
(<711<721<731(<711<721<731<712<722<732<712<722<732<713<723<733<713<723<733213213196196364364
(<711
<721
<731
(<711
<721
<731
<712
<722
<732
<712
<722
<732
<713
<723
<733
<713
<723
<733
2
1
3
2
1
3
1
9
6
1
9
6
3
6
4
3
6
4
Требуется:
Нанести исходные компоненты тензора напряжений на грани элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности рассматриваемой точки.
Определить значения нормального и касательного напряжений на площадке с внешней нормалью и, если заданы косинусы углов между нормалью и координатными осями Z, = = cos(p, х^: li = U = 1/2, /3 = V2/2.
Разложить заданный тензор напряжений на шаровую и девиаторную части и показать их компоненты на гранях элементарного параллелепипеда.
Вычислить компоненты тензора деформаций, объемную деформацию и интенсивность напряжений и деформаций в этой точке, если
Е = 2-105 МПа, р = 0,3.
Вычислить главные напряжения и максимальные касательные напряжения, приняв в исходном тензоре напряжений сзз = СЗ! = <732 = 0.
Решение.Решение.Расположение компонент заданного тензора напряжений
Решение.
Решение.
на гранях выделенного в окрестности точки элемента показано вна гранях выделенного в окрестности точки элемента показано вобщем виде на рис. 2.2. Так как все компоненты положительные, то их направление на видимых гранях совпадает с направлением соответствующих координатных осей. На невидимых гранях аналогичные напряжения направлены в противоположные стороны. Для отрицательных напряжений направления нужно заменять на противоположные.
на гранях выделенного в окрестности точки элемента показано в
на гранях выделенного в окрестности точки элемента показано в
Для определения нормального ап и касательного тп напряжений на заданной косой площадке предварительно вычислим координатные проекции вектора напряжения ст„ на этой площадке, воспользовавшись формулами
(1.8) o„i = CTijlj. В разверну(1.8) o„i = CTijlj. В развернутом виде получаем следующую проекцию вектора напряжениятом виде получаем следующую проекцию вектора напряженияна ось ац:
(1.8) o„i = CTijlj. В разверну
(1.8) o„i = CTijlj. В разверну
том виде получаем следующую проекцию вектора напряжения
том виде получаем следующую проекцию вектора напряжения
<7^1 — ffijlj — cTii/i + <712/2 + <713/3 —
= 2.1-Ц.1 + 3- ^ = 3,62 МПа, 222
Вдоль осей 372, ^з по аналогии
01/2 = <721/1 + 0^22/2 + <723/3 = 1- - + 9- -+ 6- ^- = 9,24 МПа,
о+з = ^si/i + <732/2 + <733/3 = 3- -+ 6.-+4- ^2” = 7’33 МПа.
Модуль вектора полного напряжения на этой площадке получим через сумму квадратов координатных напряжений
= 1/57+57+5? = ^Д622T9Д42T7Д32 = 12,34 МПа.
Нормальное напряжение можно вычислить как сумму проекций координатных напряжений на нормаль к площадке:
стп == 3,62 • 1 + 9,24 • 1 + 7,33 • ^ = 11,61 МПа.
222
Искомые касательные напряжения определяем теперь, используя
теорему Пифагора Ч:
тп = ^ - а2 = 02,342 - 11,612 = 4,18 МПа.
О 0 \<7 О I .О <7 / (2-17)О 0 \<7 О I .О <7 / (2-17)Разложение тензора напряжений на девиаторную (1.23) и шаровую (1.22) части <Ту = з,у + сг^ выглядит в матричной форме следующим образом:
О 0 \
<7 О I .
О <7 / (2-17)
О 0 \
<7 О I .
О <7 / (2-17)
<711<712<713 \/ <711 — <7<712<713\7 <7
<721<722<723 | = [<721°^ — °<723 I + I О
<731<732<733 /\<731<732<733 — <7 /\ О
Шаровое (среднее) напряжение
о = |(<7ц + сг22 + сгзз) = ^(2 + 9 + 4) = 5 МПа.
Подставим это значение и компоненты заданного тензора напряжений в (2.17). Тогда
2 1 3 \19 6]3 6 4 /2 1 3 \19 6]3 6 4 /-3 13 \/500\
2 1 3 \
19 6]
3 6 4 /
2 1 3 \
19 6]
3 6 4 /
146 ] + I050] .
3 6-1/\005/
Графически это разложение можно показать на гранях элементарного параллелепипеда (рис. 2.3).
Рис. 2.3Рис. 2.3
Рис. 2.3
Рис. 2.3
Компоненты тензора деформаций вычислим, используя соотношения обобщенного закона Гука (2.5). Значения
^Пифагор Самосский {Пюа-уорос^, VI век до нашей эры), древнегреческий мыслитель, математик; занимался изучением целых чисел, доказал известную теорему.
напряжений и модуля Юнга подставляем в мегапаскалях.
Ell =- v (о22 + а33)] = -Ц-[2 — 0,3 (9 + 4)] = -9,5 - Ю"6
Е22 = ^k22 -v(o33 + ап)] = ■ 1 [9 - 0,3 (4 + 2)] = 36 • 10”6, £зз = |[а33 - v (ап + а22)] = —1—[4 — 0,3 (9 + 2)] = 3,5 • 10”6, Ь2 • ТО5
G = ^- = 2(1 + 1/)
К = —-— 3(1 -2i/)
£12 = — = 2G
__ <723
£23 - № -
Е31 — =
2G
: 2 ■105 = 0,769 • 105 МПа, 2(1+0,3)
= 2 105 = 1,67 • 105 МПа, 3(1-0,6)
: = 0,65.10“5,
2 • 0,769 10s
== 3,9 ■ 10~5,
2 ■ 0,769 • 105’’
: = 1,95 ■ 10“5.
2 • 0, 769 • 105
Объемную деформацию определяем по формуле (1.28):
9 = ci 1 + е22 + е22 = (-9,5 + 36 + 3,5) • 10~6 = 30•10~6 = 0,003 %.
Интенсивности напряжений и деформаций вычисляем по формулам (1.24) и (1.31):'
^и — —[(^и ~ ^г)2 + (°22 — ^зз)2 + (^зз — ^и)2 +
+ 6(а22 + ^3 + а^)]1/2 = ^ [(2 - 9)2 + (9 - 4)2 + (4 - 2)2 +
+ 6(12 + 62 + З2)]1/2 = 13,3 МПа.
£и = "У"[(£11 — е22)2 + (£22 — е3з)2 + (£33 ~ £11)2 +
+6(е22 + Е23 + E3i)] ^ =
= у [(-9,5 - 36)2 + (36 - 3,5)2 + (3,5 - (-9,5))2 ++ 6(6,52 + 392 + 19,52)]1/2 • 10~6 = 0,576 • 10”4, eu = 0,00576 %.
Рассмотрим случай плоского напряженного состояния. Для этого примем в исходном тензоре напряжений а33 = а3] = = СГ32 = 0. Матрица тензора имеет вид
(
2 1 0 \ 19 0. 0 0 0 /
Для вычисления главных напряжений составим вековое уравнение
а3 — ст2 Ji + aJi — J3 = 0.
Коэффициентами здесь являются инварианты тензора напряжений
Ji = стп + <722 + сг33 — 2 + 9 + 0 = 11 МПа,
7222
"2 = СГц<722 + <722<7зз + СТ33СТЦ — СТ12 — СГ23 ~ °31 ~
= 2- 9 + 90 + 0- 2 — I2 — 0 — 0 = 17 (МПа)2,
2J3 = 102J3 = 1019019000 000 0= 0.= 0.
2
J3 = 1
0
2
J3 = 1
0
1
9
0
1
9
0
0
0 0
0
0 0
= 0.
= 0.
Кубическое уравнение для определения главных напряжений становится следующим:
ст3 - Ист2 + Ист = 0.
Отсюда получаем один корень а = 0, два других удовлетворяют квадратному уравнению
ст2-Ист+ 17 = 0.
Его решения
11 ± V53ст =.
2
Следовательно, главными напряжениями будут величины
Ст1 = 9,14МПа, Ст2 = 1,86МПа, стз = 0.
Максимальные касательные напряжения вычисли1 - по формуле (1.21):
Ттах = 5^1 - <7з) = 5(9,14 - 0) = 4,57 МПа.
Таким образом, по заданному тензору напряжений произведен расчет напряженно-деформированного состояния в точке упругого тела.
3
ПОСТАНОВКИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ • ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Граничные задачи
Для решения прямых задач теории упругости, т. е. для определения 15 неизвестных функций u;, cry, бу (г, j = 1, 2, 3), имеются уравнения равновесия, соотношения Коши и закон Гука:
Oijj + pF = 0;(3.1)
Еу = 2^Ui^ + u^'^’(3-2)
cry = 2petj + X06ij.(3.3)
Следовательно, мы имеем 15 линейных уравнений в частных производных. В тех случаях, когда перемещения не входят в число неизвестных, уравнения (3.2) заменяются условиями совместности деформаций (без суммирования по повторяющимся индексам)
33 + e3th« ~ ^Еу, у = 0,^ij, к — ^jk,i + £ki,j'),i ^И,зк = 0.
Здесь и в дальнейшем предполагаем заданными следующие условия на границе. Пусть поверхность тела S = Sa + Su, то есть состоит из двух частей. Будем считать, что в каждой точке поверхности задано
Ui — п^^х^ на <Sy, o~ijlj — R^ на Sq.(3.5)
Этот простейший случай далеко не исчерпывает всех возможностей. Так, например, при вдавливании жесткого штампа в упругое тело часто считают трение отсутствующим. Тогда, если направить ось хз по нормали к поверхности тела, граничные условия под штампом будут следующими:
nt = им, а±з = 023 = 0.
Однако в общей теории выделять подобные задания на одной поверхности и перемещений, и напряжений не имеет смысла. Приводимые ниже рассуждения легко трансформируются и на такие случаи.
Итак, задача теории упругости состоит в решении уравнений (3.1)-(3.4) при граничных условиях (3.5).
В общем случае различают три типа граничных задач. Первая из них заключается в определении напряжений и перемещений внутри упругого тела в состоянии равновесия, если известны перемещения точек на поверхности (5 = 5и). Во второй граничной задаче известно распределение сил на поверхности (S = SCTY Сформулированная выше постановка относится к третьей, или смешанной, граничной задаче. Кроме того, возможны и другие комбинации граничных условий. Например, если тело содержит бесконечно удаленную точку, то к граничным условиям добавляется требование регулярности решения на бесконечности, которое, как правило, сводится к условию ограниченности.
Во всех этих случаях массовые силы предполагались известными. В зависимости от постановки при решении задачи теории упругости искомыми функциями являются либо перемещения, либо напряжения.
Возможна также постановка обратной задачи теории упругости. В этом случае задаются напряжения, деформации или перемещения для всех внутренних точек тела как функции координат. Требуется определить условия на границах тела, которым соответствует заданное напряженно-деформированное состояние.
Постановка задач теории упругости в перемещениях (уравнения Ламе)
Если в уравнения равновесия (3.1) подставить закон Гука (3.3) и исключить деформации с помощью соотношений Коши (3.2), получим систему из трех дифференциальных уравнений с тремя неизвестными функциями ut (уравнения Ламе х)):
(А + р^б, г + р&щ + pFi = 0,(3.6)
где 9 = ui,i + U2,2 +«з,з = щ, г— объемная деформация; Д — оператор Лапласа
Д«г = Ui, jj = «г, И + «г, 22 + «г,33-
’) Впервые уравнения в перемещениях были получены Навье (1821) в предположении, что упругие свойства изотропного материала описываются одной константой упругости («рариконстантная» теория, полагавшая t/ = 0,25). Основываясь на экспериментальных данных, Ламе (1852) приходит к двухконстантным («мультиконстантным») уравнениям, которые и стали общепринятыми.
Полученная система уравнений является эллиптической по Петровскому х) в области К, занимаемой телом, при всех значениях коэффициента Пуассона, кроме v = 0,5 и v = 1.
К трем уравнениям (3.6) следует присоединить граничные условия. На одной части Su граничной поверхности могут быть заданы перемещения uq, как известные функции координат:
Ui = uoi(^i) на Su. (3.7)
На другой части^ граничной поверхности могут быть заданы внешние поверхностные силы Ri = Ri(xi), причем, поскольку задача решается в перемещениях, величины Ri следует связать с искомыми величинами Ui с помощью закона Гука и соотношений Коши. В итоге на Sff должны выполняться следующие граничные условия в перемещениях:
X96ijlj + р(и^ + Ujti)lj = Ri. (3.8)
Несмотря на простой вид уравнений Ламе, их решение представляет собой сложную математическую проблему. Тем не менее, они широко используются во многих методах решения задач теории упругости, так как при этом не нужны уравнения совместности деформаций, которые в данном случае удовлетворяются тождественно.
Особое значение имеет однородная задача, когда объемные силы можно положить равными нулю. Нахождение решения этой системы при заданных граничных условиях (3.7), (3.8) и составляет основную трудность. При действии объемных сил (или массовых сил, например, силы тяжести или центробежной силы) частные решения всегда можно найти. Они не должны удовлетворять граничным условиям и из-за линейности основных уравнений могут быть просто сложены с решением однородной задачи с измененными граничными условиями.
Сделаем некоторые заключения о свойствах искомых перемещений Ui, вытекающих из (3.6). Полагая Fi = 0, продифференцируем каждое из уравнений по соответствующей координате Xi и произведем свертку (суммирование по индексу г). Получим
(А + р^и + pZXui^i = 0. (3-9) Так как
9,а = У, п +6 22 + 9 зз = Ав, Au^j = A(uii i +«2,2 + «з,з) = Ав, то из (3.9) следует
Ав = 0. (3.10)
Петровский И. Г. (1901-1973), математик, ректор МГУ (1951), академик АН СССР.
Таким образом, объемная деформация в упругом изотропном теле при отсутствии массовых сил является гармонической функцией, т. е. функцией, удовлетворяющей уравнению Лапласа (3.10).
Возьмем теперь оператор Лапласа от левой части уравнения Ламе, полагая Fi = 0:
(А + д)А0,4- дАД«г = 0.
Отсюда с учетом (3.10) получим А0 , = (A0)j = 0; следовательно,
ААи, = 0. (3.11)
Таким образом, каждая из компонент вектора перемещений представляет собой бигармоническую (удовлетворяющую двойному уравнению Лапласа) функцию от координат.
Однако не следует думать, что задача теории упругости может быть сведена к интегрированию системы (3.11) или что величина 9 может быть найдена с помощью известных методов решения уравнения Лапласа. Величина 9 никогда не бывает задана на границе. Определить ее, решая задачу Дирихле 1), не удается. Система (3.11) имеет двенадцатый порядок, тогда как исходная система (3.6) — шестого порядка (порядок системы можно определить как произведение порядка максимальной производной на количество уравнений). Чтобы определить бигармоническую функцию, на границе области необходимо задать два условия, например и, и дщ/дп, т. е. нормальную производную от Ui, тогда как для решения системы (3.6) достаточно задать только величины и^ в каждой точке поверхности. Относительно легко построить три бигармонические функции, принимающие на границе заданные значения, но они могут не удовлетворять уравнениям (3.6).
Рассмотренная краевая задача для несжимаемых материалов, что соответствует v = 0,5, теряет свою эллиптичность, и ее решение может быть неединственным.
Постановка задач теории упругости в напряжениях (уравнения Бельтрами Мичелла)
Задача теории упругости может быть поставлена не только в перемещениях, но и в напряжениях. Это бывает удобно, когда на границе тела заданы нагрузки. Если за искомые неизвестные
') Дирихле Петер Густав (Dirichlet Р. G., 1805-1859), немецкий математик. Задача Дирихле — отыскание функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа внутри области и заданной на ее границе. В задаче Неймана на границе задается производная искомой функции.
функции принять компоненты тензора напряжений, то дифференциальные уравнения равновесия при Ft = О принимают вид
о„а = 0. (3.12)
Этих трех уравнений недостаточно для определения напряженного состояния в упругом теле (шести независимых компонент тензора напряжений). Дополнительные уравнения можно получить, выразив деформации через напряжения с помощью соотношений закона Гука (3.3) и подставив их в уравнения совместности деформаций (3.4). В результате получим систему уравнений Бельтрами ) -Мичелла ), называемую также уравнениями совместности в напряжениях:
(1 + р)Асгц 4- 3a,ij = 0, (3.13) где а = (сгц +<722 + узз)/3 — среднее гидростатическое напряжение.
Система уравнений (3.13) имеет 12-й порядок. Производя дифференцирование при их выводе (в уравнениях совместности деформаций), мы искусственно повысили порядок исходной системы. В результате оказывается, что возможные решения уравнений Бельтрами-Мичелла порождают класс функций более широкий, чем решения задач теории упругости. Эти решения могут не удовлетворять уравнениям равновесия. Для пояснения рассмотрим следующий пример. Пусть напряжения являются произвольными линейными функциями координат а^ = = dijkXk. Так как уравнения (3.13) содержат лишь вторые производные от Oij, то они будут выполняться тождественно при любых значениях а^к- Но, подставляя напряжения в уравнения (3.12), видим, что при отсутствии массовых сил эти постоянные связаны тремя условиями a^j = 0.
Если по всей поверхности тела заданы усилия, то константы определяются из граничных условий типа (3.5). Но если заданы перемещения точек поверхности (3.7), то сформулировать граничные условия в напряжениях в общем виде невозможно. Иногда, например в плоской задаче теории упругости, это удается сделать.
Отметим, что напряжения, также как компоненты вектора перемещения обладают свойствами (3.10) и (3.11). Действительно, суммируя уравнения (3.13) при г = j, приходим к А<т = 0. С учетом полученного, после применения к уравнениям (3.13)
оператора Лапласа, следует, что напряжения в статической задаче при отсутствии массовых сил являются бигармоническими функциями
ДДау = 0.(3.14)
Победря [38] предложил новую постановку задачи теории упругости в напряжениях, которая лучше приспособлена для использования численных методов. В ней для отыскания шести независимых компонентов тензора напряжений решается шесть обобщенных уравнений совместности. При этом граничных условий для них оказывается тоже шесть: к трем условиям для напряжений (3.5) добавляются три уравнения равновесия (3.1), снесенные на границу области S.
Несмотря на то, что общий план решения задач теории упругости в перемещениях или напряжениях достаточно ясен, реализация его связана с большими трудностями. В общем виде решить эти уравнения пока не представляется возможным. Лишь для простейших случаев удается получить некоторые решения. Однако даже они представляют собой большую ценность, так как являются своеобразным эталоном, с которым можно сравнивать приближенные решения, полученные в результате введения определенных упрощающих гипотез.
Теорема Клапейрона
Пусть линейно-упругое тело под действием объемных Fi и поверхностных Ri сил находится в состоянии равновесия. Тогда скалярное умножение уравнений равновесия на перемещения и, и последующее интегрирование по объему V тела (с поверхностью 5) дают
J UiGijjdV + j UipFidV = 0. vv
Подынтегральная функция в первом интеграле преобразуется с помощью формулы
(^i^y),^ — ^t,j^ij “Ь ^г^хз^З1 и, следовательно,
J (uiOij)jdV + j UipFidV = j UijGijdV.
vvv
Первый интеграл в левой части переходит в поверхностный интеграл с помощью формулы Гаусса 9 -Остроградского (см. § 14.1).
Ч Гаусс Карл Фридрих (Gauss С. F., 1777-1855), немецкий математик, физик; труды в области алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии.
В правой части в силу симметрии тензора напряжений будет выполняться равенство щ^ау = Eyaij. В результате получаем соотношение
j u^ijljdS + J UipFidV = etjCTijdV.
,SVv
Подынтегральное выражение в правой части в соответствии с формулой Клапейрона (2.13) равно удвоенной удельной потенциальной энергии деформации. Следовательно,
J и^ dS + J UipFi dV = 2 J U dV. (3.15) SVV
Таким образом, работа упругой деформации равна половине работы, которая совершается внешними поверхностными и объемными силами на перемещениях из исходного состояния равновесия в конечное (теорема Клапейрона^.
Существование и единственность решения задачи теории упругости
Из физических соображений очевидно, что каждое упругое тело, находящееся под воздействием внешней нагрузки, при подходящем опирании находится по меньшей мере в одном равновесном состоянии. Кроме того, так как математические формулировки задач теории упругости базируются на фундаментальных физических принципах, следует ожидать, что выводимые из них соотношения не могут привести к абсурдным результатам. Это говорит о существовании решения краевой задачи теории упругости. Вместе с тем этот вопрос представляет собой одну из труднейших математических задач, которая решена в настоящее время при достаточно общих условиях. Здесь не будут приводиться эти довольно сложные и громоздкие доказательства, а будет просто строиться соответствующее решение, удовлетворяющее как дифференциальным уравнениям, так и граничным условиям задачи.
Доказательство единственности решения краевых задач статики упругого тела строится на том, что предположение о неединственности приведет к противоречию. Единственность впервые была доказана Кирхгофом (1859) и основывалась на положительной определенности потенциальной энергии деформации (см. § 2.1). Предположим, имеются два решения:
(1)(1)(2)(2)(2)
и\ ', Оу, Еу им), Оу , Еу, которые удовлетворяют одним и тем же граничным условиям и основным уравнениям (ЗЛ)-(З.З)
при одинаковых объемных силах. Тогда из уравнений равновесия и граничных условий для напряжений получаем
»8i-’$> = -^' ’8ч=’8ч=в»-<зл<>
Ввиду линейности задачи разности
V °гэ 'V °гэ '
V °гэ '
V °гэ '
также являются решением основных уравнений теории упругости для случая нулевых объемных и поверхностных сил F^ = О, R* 0, так как
’«, = ’81" ’81 = "^+ер = °-
^Л = ’8*1 - "^ = Bi - = °-
Теорема Клапейрона (3.15) для величин со звездочками в силу (3.16) принимает вид
JUdV = O.
v
Из-за положительной определенности удельной потенциальной энергии упругой деформации это равенство может быть выполнено только для
CV сг3 сгз
Отсюда следует
е(Р = е^ а^ = а^)
Ьгз ьг3 ’°г3 иг3 ’
что и доказывает единственность решения краевой задачи.
Для первой краевой задачи на границе перемещения обращаются в ноль. В случае смешанной задачи справедлива та же самая аргументация; предполагается только, при необходимости, что перемещения являются однозначными функциями координат точки.
Следует подчеркнуть, что теорема единственности нами доказана для геометрически линейной теории упругости. Для нелинейной теории и больших деформаций приведенный выше способ доказательства недействителен, так как тогда положительная определенность энергии деформации может нарушаться. Последнее означает одно из двух: либо принятая модель сплошной среды некорректна, либо материал неустойчив. Примером неустойчивого материала служит материал с падающей диаграммой растяжения, когда одному и тому же значению напряжения соответствуют два разных значения деформации [41].
Для геометрически нелинейных систем теорема единственности несправедлива: нарушение единственности соответствует потере устойчивости упругого тела. Подобного рода задачи в этой книге не рассматриваются. Интересующихся проблемами устойчивости направляем к монографии Алфутова [2], а также к известным изданиям по теории упругости [14, 38, 54].
Полуобратный метод Сен-Венана
В прямых задачах теории упругости определяются тензоры напряжений, деформаций и вектор перемещения, вызываемые действующими на твердое деформируемое тело внешними усилиями.
В обратных задачах задаются либо перемещения, либо компоненты тензора деформаций в рассматриваемом теле и определяются все остальные величины, в том числе и внешние силы. Решения обратных задач особых трудностей не представляет, однако не всегда можно прийти к решениям, имеющим какой- либо практический интерес.
Сен-Венаном был предложен так называемый полуобратный метод (1853), суть которого состоит в том, что при решении задачи теории упругости задаются частью компонентов перемещений и напряжений. Недостающие составляющие определяются из уравнений теории упругости так, чтобы удовлетворялись все эти уравнения и граничные условия. В результате получаем точное решение задачи теории упругости. Этим методом Сен-Венан решил задачи о кручении бруса некруглого сечения и об изгибе бруса.
Конечно, полуобратный метод не является общим. Он требует определенной интуиции для того, чтобы удачно угадать часть компонентов перемещений и напряжений. Однако этот метод может быть полезен при решении некоторых задач теории упругости. В качестве примера рассмотрим решение задачи о кручении бруса постоянного сечения произвольной формы.
Вместо произвольных координат Xj (i = 1, 2, 3) в этом параграфе будут применяться обозначения xi = х, Х2 = у, хз = z и т. д. Перемещения вдоль этих осей будут u, v и w соответственно.
В отличие от бруса круглого поперечного сечения, при кручении бруса произвольной формы сечения имеет место депланация (искривление в своей плоскости) сечений, т. е. гипотеза плоских сечений, которая вводилась в сопротивлении материалов, становится несправедливой. Сен-Венан решает задачу о кручении бруса в предположении, что депланация сечений ничем не стеснена, т. е. перемещения w вдоль оси бруса не зависят от координаты z. При этом нормальные напряжения агг = 0.
Кроме этого считаются равными нулю компоненты тензора напряжения СТхх, Стуу, СТху.
Тогда, полагая объемные силы отсутствующими, из (1.10) получим следующие уравнения равновесия:
(3-17)(3-17)d(J zx Qдоzy Q доХх । Ooyz 0
(3-17)
(3-17)
дх ’ дх ’ Эх ду
Из первых двух уравнений (3.17) следует, что напряжения axz1 <Tyz не зависят от координаты х, т. е. распределение касательных напряжений во всех поперечных сечениях бруса одинаково.
Введем функцию напряжений у, через которую напряжения ахх-> ух представляются в виде
^ХХ^ХХdtp ду ’dtp ду ’. д-рух — я~ Эх. д-рух — я~ Эх(3.18)(3.18)
^ХХ
^ХХ
dtp ду ’
dtp ду ’
. д-р
ух — я~ Эх
. д-р
ух — я~ Эх
(3.18)
(3.18)
При этом третье уравнение равновесия (3.17) удовлетворяется тождественно:
<э2у _ ^У 0
Эх ОуОу Эх
Теперь обратимся к уравнениям совместности деформаций в форме Бельтрами-Мичелла (3.13). При принятых ранее предположениях относительно компонент тензора напряжений агг = = ахх = ауу = аху = 0 первые четыре уравнения системы (3.13) удовлетворяются при любых выражениях функции у, а последние два уравнения получат следующий вид:
Аст^ = 0, Ao-yz = 0.(3.19)
После подстановки (3.18) в (3.19) получим
A f += о, A te + V 0.(3 20)
ду у дх2ду2 удх у дх2 ду2 J
Из (3.20) следует, что выражение в скобках d2tpldx2 + d2y/dy2 является величиной постоянной, т. е.
(3.21)(3.21)। 9143 - Сдх2 ду2
(3.21)
(3.21)
Так как боковая поверхность бруса свободна от внешних нагрузок (скручивающий момент приложен к торцам бруса), то проекция касательных напряжений на нормаль к контуру должна быть равна нулю. Иными словами, касательные напряжения у контура должны быть направлены по касательной к нему. Данное условие можно записать в виде
^А + ^А = о, или — = 0.
ду ds дх dsds
Это означает, что функция напряжений ср всюду на контуре имеет одинаковое значение (для односвязных областей). В частности, для бруса сплошного поперечного сечения можно принимать его равным нулю. Таким образом, задача о кручении бруса сводится к отысканию такой функции напряжений ср, которая бы удовлетворяла уравнению (3.21) и всюду на контуре была бы равна нулю.
К торцевым сечениям приложены скручивающие брус моменты Мк в виде распределенных по поверхности торца бруса касательных напряжений рх, ру. Следовательно, на торце бруса статические граничные условия можно записать в виде
^xz = ^Pxi C^yz = ^Ру
Принимая во внимание выражение (3.18) для aIZ, ayz и используя известную из сопротивления материалов формулу, связывающую крутящий момент с касательными напряжениями, после преобразований можно получить
Мк = j ^xayz - уа^ dF = 2 J cpdxdy. (3.22) F F
Рассмотрим случай, когда сечение бруса представляет собой эллипс, уравнение которого
22
- + = 1а2 Ь2 *
где а — размер большой полуоси, а b—малой полуоси эллипса.
Примем для ср выражение вида
(3.23)(3.23)cp — mcp — m/_2\
(3.23)
(3.23)
cp — m
cp — m
\oz (r /
Всюду на контуре ср = 0. При подстановке (3.23) в (3.21) получим
1621622l2Со о—2(а2 +Ь2)
1
62
1
62
(3-24)(3-24)Следовательно, выражение для ср примет вид р = С а^-(^ + ^-1) 2(а2 + 62) \а262/
(3-24)
(3-24)
Подставив (3.24) в (3.22), найдем выражение для С через скручивающий момент Мк:
2М^а2+Ь2)ira3bs
У = -У = -Мк irabМк irabТеперь для ср окончательно получим
У = -
У = -
Мк irab
Мк irab
(3.25)
(3.26)(3.26)Касательные напряжения следуют из (3.18), (3.25):
(3.26)
(3.26)
CTXZ —,,У) СГуг —
тгао4ira4o
Наибольшее касательное напряжение имеет место на конце малой полуоси сечения при у = Ь:
Отахгт-
Для определения относительного угла закручивания сечения О и депланации w необходимо рассмотреть связь перемещений с напряжениями. Так как azz = 0$$ = оуу = 0, то из закона Гука следует, что
du ди _ дш _ g
дхdy dz
Сдвиговые деформации будут следующими:
2е -^ + ^ = о,
У dy dx'
2eIZ = — + — =(3.27)
Iz dz dxG ’vv
9_ du dw _
" dz +~ "О'
При кручении ось z бруса остается неподвижной. Сечения поворачиваются относительно этой оси так, чтобы удовлетворялись уравнения (3.27). Прямая, точки которой при кручении бруса остаются неподвижными, называется осью кручения.
Если для перемещений принять выражения вида и = —6yz, v = 6xz, то первое из уравнений (3.27) будет удовлетворяться, а из двух последних получим
d2u _ d2vду dz dz dzd2u _ d2vду dz dz dz1 / dcixtdoytG \ dydx1 / dcixtdoytG \ dydx(3.29)(3.29)
d2u _ d2vду dz dz dz
d2u _ d2vду dz dz dz
1 / dcixtdoyt
G \ dydx
1 / dcixtdoyt
G \ dydx
(3.29)
(3.29)
или
=Ox-V — = ^.
8 dxG ’dyG
^. = ^Jr0y1 - = ^--v6x.(3.28)
dx Gdy G
Если второе из уравнений (3.27) продифференцировать по у, а третье —по х и затем вычесть из первого результата второй, то получим
При принятых для и и v выражениях левая часть равенства (3.29) равна —20, а правая, принимая во внимание (3.18),—
G \ dy2дх2 )
Таким образом, из (3.29) и (3.21), получим — 2G6 = С, а относительный угол поворота сечения равен 0 = —C/QG)-
В рассматриваемой задаче о кручении бруса эллиптического сечения выражение для 9 принимает вид
(3.30)(3.30)0 = ^ц(^_+_^2ка3Ь3С
(3.30)
(3.30)
Подставив (3.26) и (3.30) в (3.28), можно после интегрирования получить следующее выражение для депланации w:
МК(Ь2 - а2)w z-Lx-u.
тга3Ь3С
Решение задачи о кручении бруса эллиптической формы сечения получено в предположении, что внешние нагрузки рх, ру распределены по торцам бруса по тому же закону, что и crXZ) ayz, т. е. согласно уравнениям (Зю26), а депланация сечений не стеснена. Однако согласно принципу Сен-Венана, напряженное и деформированное состояние тела вдали от места приложения нагрузки определяется в основном статическим эквивалентом нагрузки. Поэтому полученное решение справедливо для сечений, достаточно удаленных от торцов, при любом распределении внешних нагрузок по торцу бруса.
Тем не менее, следует иметь в виду, что в некоторых случаях принцип Сен-Венана неприменим. В тонкостенных конструкциях (пластины, оболочки, тонкостенные стержни) иногда статически эквивалентное изменение внешних нагрузок на торцах приводят к изменениям не местных напряжений и деформаций, а напряженно-деформированного состояния всего тонкостенного элемента.
Постановки задачи теории упругости
в цилиндрической и сферической системах координат
Рассмотрим основные соотношения теории упругости в цилиндрической и сферической системах координат. Цилиндриче
ские координаты г, ф, z связаны с декартовыми следующим образом (рис. 3.1):
Ху = х = г cos ф, $2 = у = т sin ф,хз = z = z.
Линейный элемент задается квадратичной формой
(ds)2 = (dr)2 + r2(dy)2 + (dz)2.
Компоненты вектора перемещений
Ui = UT, U2 = Uy,, из = uz.
з*
Компоненты тензора деформаций
£11 — Ст £22 = Eipip, ^33 — £гг, £12 = £гу>, £23 ~ £уг, £31 EZT. Справедливы следующие кинематические соотношения:
duT 1 duv Err - ew -_ 1 / 1 dur Етр —2 у г dip_ 1 / duv , 1 8uz \£<рг ~ n I' я ) ’2 у Эх г dip J duT 1 duv Err - ew -_ 1 / 1 dur Етр —2 у г dip_ 1 / duv , 1 8uz \£<рг ~ n I' я ) ’2 у Эх г dip JиТиТ._ duz225,ох._ duz225,охdu^и.^Этгdu^и.^Этг 1 / 8uz8ит А2 \ orдх / 1 / 8uz8ит А2 \ orдх /
duT 1 duv Err - ew -
_ 1 / 1 dur Етр —
2 у г dip
_ 1 / duv , 1 8uz \
£<рг ~ n I' я ) ’
2 у Эх г dip J
duT 1 duv Err - ew -
_ 1 / 1 dur Етр —
2 у г dip
_ 1 / duv , 1 8uz \
£<рг ~ n I' я ) ’
2 у Эх г dip J
иТ
иТ
._ duz
225,
ох
._ duz
225,
ох
du^и.^
Этг
du^и.^
Этг
1 / 8uz8ит А
2 \ orдх /
1 / 8uz8ит А
2 \ orдх /
Компоненты тензора напряжений атт, а^, azz, тТ1р1 тф21 тгт связаны с деформациями законом Гука через постоянные Ламе:
о*гт — ^н^тт *4* ^^, * * * ) Л*ф * ^^/Еу-^, ... ,
где относительная объемная деформация
О Етт "4* Е'р'р "4* £22*
Уравнения равновесия в напряжениях имеют вид
1^ г dr1^ г dr1 дт^ + дт^ + а^ррт = Q) т dip dx т
1^ г dr
1^ г dr
+ ^ + ^ + ^ = о,
г2 оттох
1 8 /\1 Этщх . 8ozz
- —(гтг2) ++ — + pFz = О,
г 8тг Sip Эх
причем pFT, pF^, pFz — компоненты вектора объемных сил.
Рис. 3.2Рис. 3.2В сферических координатах (рис. 3.2) справедливы формулы преобразования
Рис. 3.2
Рис. 3.2
Ху = х — R sin д cos ср,
^2 = У = Rsindsinp,Х3 = z = R cos д
с квадратом линейного элемента
ПеремещенияU1 = UR,ПеремещенияU1 = UR,U2 = и^, из = иу.U2 = и^, из = иу.(ds)2 = (dR)2 + R2 sin2 d(dp)2 + R2(dd)2.
Перемещения
U1 = UR,
Перемещения
U1 = UR,
U2 = и^, из = иу.
U2 = и^, из = иу.
Компоненты тензора деформаций
£11 = ERRi £22 = Ew, £33 — Eflfl,£12 = ER,p, £23 = E^,£31 = Er^.
Справедливы кинематические соотношения
_1 duv^ fisini? dp с _ duR_ 1 (Err , Er^ I ■ от2 \_1 duv^ fisini? dp с _ duR_ 1 (Err , Er^ I ■ от2 \__ 1 9и<р . ur—,R dd R__ 1 9и<р . ur—,R dd RER0ER0_ 1Eyi) — 2_ 1Eyi) — 211dusdusfisini? dpfisini? dp+ ^+ctg^>duR । Эи$_ _ uv | fisint) dp dR R) _ 1 / 1 Qur i Qu<p _ u^_\R~dd + "dR R1 du^и^л , о IR ddR 6 7+ ^+ctg^>duR । Эи$_ _ uv | fisint) dp dR R) _ 1 / 1 Qur i Qu<p _ u^_\R~dd + "dR R1 du^и^л , о IR ddR 6 7
_1 duv
^ fisini? dp с _ duR_ 1 (
Err , Er^ I ■ от2 \
_1 duv
^ fisini? dp с _ duR_ 1 (
Err , Er^ I ■ от2 \
__ 1 9и<р . ur
—,
R dd R
__ 1 9и<р . ur
—,
R dd R
ER0
ER0
_ 1
Eyi) — 2
_ 1
Eyi) — 2
1
1
dus
dus
fisini? dp
fisini? dp
+ ^+ctg^>
duR । Эи$_ _ uv | fisint) dp dR R) _ 1 / 1 Qur i Qu<p _ u^_
\R~dd + "dR R
1 du^и^л , о I
R ddR 6 7
+ ^+ctg^>
duR । Эи$_ _ uv | fisint) dp dR R) _ 1 / 1 Qur i Qu<p _ u^_
\R~dd + "dR R
1 du^и^л , о I
R ddR 6 7
Компоненты тензора напряжений ctrr, aw, a^, tr^, t^, t^r связаны с деформациями законом Гука так же, как и в цилиндрической системе координат:
orr = ^RErr + А0, ... , trv = 2pER4„ ... ,
где
9 = err + ew + ем •
Уравнения равновесия
Я+pFr = о,Я+pFr = о,1 д(Я<тял) ।1 QVtr^ sin у) 1 Qtrq
Я
+pFr = о,
Я
+pFr = о,
+ рЕф — О,+ рЕф — О,R QR Rsinip др Rsinp дд
+ рЕф — О,
+ рЕф — О,
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ,
4 ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВА * И КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
В предыдущих главах уже применялись понятия работы и энергии, которые играют важную роль в общей механике. Работа и энергия определенным образом связаны между собой. Силы в механической системе могут совершать работу, система может обладать энергией. На понятии энергии основаны многие методы механики сплошной среды. Целесообразность их применения следует из того, что энергия представляет собой хорошо изученную инвариантную величину и поэтому не зависит от системы координат. Все различные энергетические принципы взаимосвязаны друг с другом, так как в их основе лежат фундаментальные законы механики сплошной среды.
Принцип возможных перемещений Лагранжа
Применительно к твердым телам начало возможных перемещений было сформулировано Лагранжей в его аналитической механике (1788 г.). К упругим телам (стержневой системе) этот принцип впервые был применен Пуассоном в 1833 г. Подобно тому, как для твердых тел принцип возможных (виртуальных) перемещений позволяет получить уравнения равновесия, так и для упругих тел он может заменить геометрический вывод уравнений равновесия аналитическим.
Рассмотрим тело объема V с поверхностью S = S^ + Su, которое находится в равновесии под действием приложенных внешних поверхностных Ri и объемных Ei сил. В теле возникают перемещения и,, напряжения ст^ и деформации Еу (рис. 4.1), которые являются функциями внешних нагрузок.
Изменим внешние силы на бесконечно малые величины dRj, dFj. Тогда действительное перемещение и, получит бесконечно малое действительное приращение dui. Это приращение функции-перемещения Ui = Ui^Rj, Fj) произойдет за счет изменения аргументов, которыми являются нагрузки. Рассмотрим теперь множество перемещений некоторой произвольной точки, которые могли бы быть сообщены ей в данный момент времени t
в соответствии с наложенными на тело внешними связями, но не совершаются фактически вследствие неизменности внешних сил. Назовем возможным или виртуальным перемещением любое бесконечно малое воображаемое перемещение, которое может совершить точка в данный фиксированный момент времени в соответствии с наложенными на нее связями.
Возможное перемещение, в отличие от действительного дщ, будем обозначать 5щ, где символ б носит название вариации, и для него приняты те же правила, что и для оператора-дифференциала d. Следует лишь помнить, что эти правила не распространяются на аргументы Rj, Fj функции щ. Другими словами, вариация функции (в данном случае и^ это изменение вида самой функции при фиксированных координатах рассматриваемой точки.
Дадим теперь перемещениям щ виртуальные приращения бщ, следствием которых являются виртуальные деформации беу. Предполагаем, что вариации бщ достаточно малы и не влияют на равновесие внешних сил и внутренних напряжений, они совместимы с условиями закрепления тела на границах и условиями неразрывности внутри тела. Это означает, что бщ — кинематически допустимые функции, т. е. би, 0 на Su (рис. 4.2). В остальном возможные перемещения могут быть произвольными непрерывными функциями.
Для возможных деформаций справедливо равенство
^Ч = ^(Ui,j + Чм) = |[(^),7 + (<Ч)Л(4Л)
Здесь применялось правило перестановки
^(uij) = ^u^j.(4.2)
В соответствии с гипотезой сплошности тело может рассматриваться как система материальных точек. Поэтому к нему можно применить принцип возможных перемещений Лагран-
жа: для равновесия системы материальных точек со стационарными неосвобождающими и идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на систему активных сил на любых возможных перемещениях системы была равна нулю.
Работу поверхностных и массовых сил на виртуальных перемещениях назовем виртуальной (возможной) работой внешних сил и определим с помощью следующей суммы интегралов:
М = j Rt 6щ dS + j pFj 6щ dV.(4.3)
sav
При этом следует помнить, что действительные силы уже полностью приложены к телу до появления возможных перемещений и с ними не связаны.
Аналогично виртуальная работа внутренних сил определяется как работа действительных внутренних напряжений на возможных деформациях:
5W = J стц 5eij dV.(4.4)
v
Покажем, что если тело находится в равновесии, то следует равенство этих работ. Для этого первый интеграл в (4.3) с помощью теоремы Гаусса-Остроградского преобразуем в объемный, учитывая, что Ri = CTijlj;
jRrfuidS = jOijljSuidS = j (а^би^^ dV.
Sa . SaV
Тогда
6A = J [(<Jij6ui\j + pFidui] dV. v
Для первого слагаемого подынтегральной функции с учетом правила перестановки (4.2) следует
^^ij^^i^), з — &ijyj6ui 4” <Jij6uit j.
Отсюда
6А = J (o’ij,j + pFi)6ui dV + у aijduij dV.VV
Первый из интегралов исчезает, поскольку выполняются уравнения равновесия тела
^ij^j + pFi — 0.
С другой стороны, благодаря симметрии тензора напряжений и выражению для вариации деформаций (4.2)
СТц^и^^) — ^ij ' 2^"*>J "^ ^^j\1') = ^ij^ij*
Поэтому
М = у fijSetj dV,
V
где интеграл представляет собой виртуальную работу внутренних сил (4.4). Подставляя сюда виртуальную работу внешних сил, окончательно получаем
f Ri§UidS + J pFiSuidV = j ст^бе^ dV, (4.5) sCTvv
или
5 A = 5W.
Таким образом, виртуальная работа внешних сил, действующих на тело, находящееся в равновесии, равна работе внутренних напряжений на соответствующих виртуальных деформациях.
Уравнение (4.5) справедливо как для упругих, так и для неупругих тел, так как при выводе до сих пор не был использован закон Гука.
Теперь покажем, что из равенства работ (4.5) следуют условия равновесия рассматриваемого тела. Для этого подынтегральную функцию в правой части перепишем в виде
^ij^ij = ^ij^^i, j') — (^"ij^^i)5J^tj,,^^.
Тогда уравнение (4.5) примет вид
j (а^бгц)^ dV = j (aijj + pF^Stii dV + J RiSui dS.
VVsa
Используя формулу Гаусса-Остроградского преобразования объемного интеграла в поверхностный (§ 3.4), получим
J ^ij^ + pFi^Ui dV + J (Ri — <Jijlj)Sui dS = 0.(4.6)
vsa
Так как вариации Sui произвольны, то для выполнения равенства (4.6) мы должны приравнять к нулю подынтегральные выражения в скобках. В результате получим известные дифференциальные уравнения равновесия и статические граничные условия в напряжениях, которые в данном случае являются
следствием вариационного уравнения Лагранжа (4.5). Следовательно, при решении задач с помощью вариационного принципа Лагранжа нет необходимости заранее удовлетворять статические граничные условия, потому что они выполняются автоматически.
Для упругого поведения материалов возможная работа деформаций соответствует возможной энергии деформаций тела SUq, т. е.
5W = 5U0 = у 5U dV = у CTijSEij dV,vv
где U — удельная энергия упругой деформации тела, обладающая упругим потенциалом dU/de^ = оц.
Следствие. Из соотношений (4.5) с учетом того, что внешние силы и внутренние напряжения не варьируются, получим
У 6£((JijEij) dV - у 6£(RiUi)dS- J 6£(pFiUi)dV = 0.
VSaV
Символ 6£, показывающий, что варьируются только деформации и перемещения, можно вынести за знак интеграла. Тогда
д£ ( У atjEij dV — у RtUi dS — у pFjUi dV j = 0.
X VStV'
Первый интеграл в скобках представляет собой потенциальную энергию деформации, а остальные — потенциал внешних сил. Суммарную величину обозначим через П и назовем потенциальной энергией тела,
П = у atjEij dV — У RiUi dS — J рРгщ dV.(4.7)
VS„V
С помощью (4.7) предыдущему уравнению можно придать вид
5£П = 0.(4.8)
Уравнение (4.8) выражает собой так называемый принцип потенциальной энергии-, при заданных внешних силах и граничных условиях действительные перемещения U{ таковы, что для любых возможных перемещений первая вариация полной потенциальной энергии равна нулю, т. е. полная потенциальная энергия П имеет стационарное значение.
Можно показать, что в положении устойчивого равновесия потенциальцая энергия системы имеет минимальное значение, т. е. вторая вариация 52П ^ 0 (теорема Лагранжа-Дирихле).
Следовательно, из всех перемещений, удовлетворяющих заданным граничным условиям, только действительные перемещения, отвечающие состоянию равновесия, дают минимальное значение потенциальной энергии системы.
Таким образом, при заданной нагрузке на тело надо найти такие функции и,, при которых выполняется условие (4.8). Тем самым будут найдены истинные перемещения тела и решена задача теории упругости в перемещениях. В этом и состоит вариационная формулировка задачи теории упругости с помощью принципа Лагранжа. '
Справедлива и обратная теорема, гласящая, что если потенциальная энергия достигает абсолютного минимума для некоторого поля перемещений, удовлетворяющего граничным условиям в перемещениях, то это поле должно удовлетворять уравнениям равновесия внутри тела и граничным условиям в напряжениях [57].
Принцип возможных сил Кастильяно
Вместо того чтобы рассматривать возможные перемещения от положения равновесия, можно, как предположил Кастильяно, варьировать напряжения. В отличие от принципа Лагранжа, в котором состояние тела характеризуется функциями перемещений, в принципе Кастильяно определяющими являются напряжения. Для этого принципа вычисляют возможную работу, которую совершают виртуальные силы 6Ft, 6Ri, и напряжения 6<Jij на действительных перемещениях щ, независимо от действительных сил и напряжений, удовлетворяющих равновесию тела. В каждой точке тела заданы перемещения и соответствующее им напряженное состояние, удовлетворяющее уравнениям равновесия внутри тела и граничным условиям на поверхности Sa.
Виртуальные силы 5F, 6Ri и напряжения 6сцэ являются статически допустимыми функциями, для которых справедливы уравнения равновесия внутри тела и граничные условия на его поверхности:
Satjj + p6Fi = 0 в объеме V, Satjlj = 6Ri на S. (4.9) Величины 5aij и 5Ri на Su являются произвольными. В каждой задаче теории упругости таких систем напряжений существует бесконечно много, поскольку эта задача статически неопределима. Действительно, в три уравнения равновесия (4.9) входит шесть неизвестных функций напряжений. Принцип Кастильяно из всех статически возможных напряжений выделяет такие, которые обеспечивают не только равновесие, но и совместность деформаций тела и, таким образом, являются искомым единственным решением задачи теории упругости.
Предположим дополнительно, что вариации 6Rt принимают нулевые значения на той части поверхности, где заданы поверхностные силы Ri, то есть на SCT.
Для формулировки принципа определяется величина виртуальной дополнительной работы ЙА* внешних виртуальных сил и виртуальной дополнительной работы виртуальных внутренних напряжений 8W*:
А* = Jui6RidS + J UipSFjdV,
Su . V(4.10)
5W* = / eijSaij dV.
v
Покажем равенство работ (4.10) для тела, находящегося в равновесии. Оно следует, например, из вариационных уравнений равновесия (4.9). Умножив их на и^, просуммировав по г и проинтегрировав по объему тела, получим
Jui(6aijtj+pdFi)dV = 0.(4.11)
v
Преобразуем первое слагаемое в подынтегральной функции Ui^Oi^j — (^Д^ц),^ Ui^ jd(Tij .
Тогда, на основании теоремы Гаусса-Остроградского и вариационных граничных условий в (4.9), из (4.11) следует
J UiSRidS — J Uijdatj dV+J UipSFidV = 0.(4.12)
SVV
Для первого слагаемого интегрирование по всей поверхности тела S следует заменить интегрированием по части поверхности Su, так как возможные поверхностные силы на границе SCT обращаются в нуль. Благодаря симметрии 6atj, для второго интеграла в (4.10) следует равенство
I избегу dV = J Eijdaij dV. vv
Из (4.12) окончательно получаем выражение
илиилиjUidRidS + JUipdFi dV = Jeij6<7ijdV, (4.13) SuVV
или
или
A* = 6W*.
Оно представляет собой математическую формулировку принципа возможных сил для любого деформируемого тела: при вся-
ком виртуальном изменении напряженного состояния тела сумма работ приращений всех внешних сил 8Fi, 8Ri, производимых на действительных перемещениях тела, равна приращению дополнительной работы возможных внутренних напряжений.
Как правило, 8Fi = 0, так как объемные силы обычно задаются постоянными. Равенство (4.13) справедливо для любого упругого тела, независимо от свойств материала, и если оно выполнено, то тело находится в равновесии.
Следствие. Так как перемещения и деформации не варьируются, то из принципа возможных сил (4.13), вынося знак вариации за скобку, получим выражение
(4-14)
Здесь индекс при 8„ указывает, что варьируются только напряжения и силы. Первый интеграл в скобках представляет собой дополнительную потенциальную энергию деформации, а остальные— дополнительный потенциал внешних сил. Суммарную величину обозначим через П* и назовем дополнительной потенциальной энергией тела;
П* = у а^ dV - у Ri-Ui dF — у pFiUi dV. (4.15) V Su V
С помощью (4.15) уравнению (4.14) можно придать вид
^П* = 0.
Равенство нулю первой вариации дополнительной потенциальной энергии системы означает, что она принимает стационарное значение для тех сил и напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия, которые соответствуют истинному деформированному состоянию.
На основании этого принципа можно также заключить, что в случае устойчивого равновесия экстремальное значение П* соответствует минимуму (принц-ип Кастильяно), т. е. среди всех напряженных состояний, которые удовлетворяют уравнениям равновесия, действительным является такое, для которого дополнительная энергия достигает минимума.
Теоремы Кастильяно
На принципе возможной работы, или на минимальных принципах, основаны некоторые важные теоремы о работе, которые имеют большое практическое значение, особенно в сопротивле-
^ = pk, ^ = мп.дикЭфп^ = pk, ^ = мп.дикЭфп(4-16)(4-16)
^ = pk, ^ = мп.
дикЭфп
^ = pk, ^ = мп.
дикЭфп
(4-16)
(4-16)
нии материалов и строительной механике, для определения деформаций в статически определимых и статически неопределимых системах.
Рассмотрим упругое тело, которое находится в состоянии устойчивого равновесия и неподвижно оперто на две малые части своей поверхности (рис. 4.3). Объемными силами пренебрегаем, нагрузка задается поверхностными силами в виде сосредоточенных сил Рк и моментов Мп, реализуемых, например, парой сил. Перемещения, соответствующие силам Рк, обозначим через и,к, повороты фп соответствуют крутящим моментам Мп.
Тогда напряжения и деформации, а также энергия деформации определяются как функции ик и tpn\ U = U(u, ip\
Первая теорема Кастилъяно заключается в том, что
Этот вывод следует из принципа возможных перемещений, если рассматривать только одно возможное перемещение 6tik в направлении силы Рк- Тогда справедливо соотношение 5U = = PkStik, откуда предельным переходом получается первое соотношение (4.16). Второе из этихг соотношений получается аналогичным образом.
Первую теорему Кастильяно можно использовать, например, для расчета статически неопределимых систем, но ее значение для практических приложений невелико.
Большое значение имеет вторая теорема Кастильяно. Для линейно-упругих материалов она записывается следующим образом:
эи*эи*
8РкЭМ„
причем теперь U* = U*(P, М^ означает энергию деформации, выраженную через внешние силы и моменты (в предположении справедливости закона Гука).
Эта теорема позволяет очень просто вычислять деформации в точках приложения сил для статически определимых и статически неопределимых конструкций. Для расчета деформаций в произвольных точках вводятся фиктивные вспомогательные силы (моменты), которые затем полагаются равными нулю.
Теорема взаимности Бетти
Очень полезной для приложений является теорема взаимности БеттиЧ, которая связывает между собой различные состояния равновесия линейно-упругого тела при разнообразных нагрузках. Рассмотрим для упругого тела (объемом V и поверхностью S') два состояния равновесия, называемые соответственно I и II, характеризуемые величинами и}, е^, Hji вызванными силами pF} и R}. а также HL вызванными силами pF}1 и 7?Р-
Тогда справедливо тождество
(4-17) которое сразу может быть проверено при линейном соотношении между напряжениями и деформациями (2.11):
^ij = Eijkl^kb °ij = Eijkl^kb
Подставив эти соотношения в (4.17) при симметрии модулей упругости Eijki = Ekuj, получим
I Ji _ р. J Ji _. JIJ _ II л _ JIJ
°ij£ij -^ijkl^kl^ij ^klij^ij^kl akl£kl ^ij£ij'
Из (4.17) следует равенство
j o^dY = j a^d^(4.18)
VV
которое уже является одной из форм теоремы взаимности Бетти. Его левая часть преобразуется следующим образом:
[ ст - -(и-1 + dV = [ о] jU^jdV =
VV
= J^u^dV- JaV^dV.
VV
С помощью формулы Гаусса-Остроградского и уравнений равновесия (<rjjj = —pF}) получим
j о}^ dV = J R^uY ds + f PF}uY dV. vsv
Правая часть (4.18) может быть преобразована аналогичным образом. В результате приходим к основной форме теоремы
Ч Бетти Э. (Betti Е., 1823-1892), итальянский математик.
Бетти — работа системы внешних сил I на перемещениях, вызываемых системой II, равна работе системы внешних сил II на перемещениях, вызываемых системой I:
У R^dS + у pF^ dV = у 7?“^ as + I pF^ dV. (4.19)
SVSV
Значение теоремы Бетти заключается в том, что с помощью произвольно выбранной системы II получают соотношение между приложенными силами и перемещениями системы I. Система II, вспомогательная, может быть выбрана очень простой, например, однородное напряженное состояние. Теорема дает тогда объяснение различных свойств решения I. Она также служит
Рис. 4.4Рис. 4.4исходной для так называемого метода граничных интегральных уравнений.
Рис. 4.4
Рис. 4.4
Замечание. Теорема Бетти справедлива также, если упругое тело нагружено сосредоточенными силами (рис. 4.4). При отсутствии массовых сил, например, если действуют только две сосредоточенные силы в указанных точках, согласно (4.19) справедливо равенство
РЧ" = Р^и\
где н11 — перемещение точки приложения силы Р^ (в направлении Р1) вследствие действия силы РИ; соответственно и1 — перемещение точки приложения силы Рп (в направлении Рп) вследствие действия силы Р1. Если действует множество сил, то
52 « = 52 ^Ч-
Соответствующие зависимости получаются также для сосредоточенных крутящих моментов и углов поворота.
Вариационный метод Рэлея-Ритца
В теории упругости большинство задач сводится к решению дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями. Их решение часто связано с большими математическими трудностями. Обойти эти трудности позволяют прямые вариационные методы. Вместо того чтобы решать основные дифференциальные уравнения теории упругости, ставится задача об определении искомых функций и,, etj, и^, удовлетворяющих граничным условиям и минимизирующих некоторый функцио-
нал1) Ф(иг-, Еу, <7у), например полную потенциальную энергию П или дополнительную энергию ГГ.
Согласно методу Рэлея-Ритца 2) перемещения и, представляются в виде рядов функций, каждая из которых удовлетворяет геометрическим граничным условиям. Пусть, например,
iti = Л^^(Ж1, ж2, ж3) (г = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3, ...),(4.20)
где Aik — неопределенные коэффициенты, подлежащие определению из условия (4.8); <рк — известные функции, удовлетворяющие граничным условиям. Подставляя в (4.7), (4.8) вместо Ui их выражения (4.20) и интегрируя, получим
п = П(ДЦ(4.21)
Из условия (4.7), которое запишем в виде
5П = ^-М^ = 0,ОАгк
в силу произвольности вариаций бА^ следует
— = 0.(4.22)
Если в (4.20) оставить п членов, то условия (4.22) в случае линейной упругости дают систему Зп линейных алгебраических уравнений вида
SjfcAik + Ду = О (к, у = 1, 2, ... , п; г = 1, 2, 3),(4.23)
которая служит для определения параметров А^к- Уравнения (4.22) либо (4.23) носят название уравнений Рэлея-Ритца. Подставляя найденные из этих уравнений параметры А^к в (4.20), получаем приближенное решение задачи.
Метод Бубнова - Галеркина
Впервые идея этого метода была предложена Бубновым в 1913 г. применительно к задачам теории упругости. В дальнейшем она была развита в 1915 г. Галеркиным. Если функция фк в выражениях перемещений (4.20) выбрана так, чтобы заранее
И Под функционалом в дальнейшем мы будем понимать переменную величину, которая каждой функции из некоторого класса ставит в соответствие определенное число.
Основная идея этого метода уже была использована в 1877 г. лордом Рэлеем (Rayleigh J. W. S., 1842-1919) для приближенного определения собственных частот механических колебательных систем. Поэтому его часто называют методом Рэлея-Ритца (Ritz W.).
удовлетворялись не только геометрические, но и статические граничные условия для напряжений, то в уравнении (4.6) исчезает поверхностный интеграл, и оно принимает вид
(,<Tij,j + Р^ 6гц dV = 0.
V
Внося сюда выражение
бчц = 6А^кЧ>к
и учитывая произвольность вариаций бА^, получаем систему уравнений Вубнова-Галеркина для определения параметров А^
^ij,j + pFiVk dV = °-v
В тех случаях, когда можно удовлетворить статические граничные условия, метод Бубнова-Галеркина дает значительное упрощение вычислений.
Метод Ритца-Лагранжа
Этот метод представляет собой комбинацию метода Ритца и метода неопределенных множителей Лагранжа. В методе Ритца функции <^ выбираются таким образом, чтобы каждая из них удовлетворяла геометрическим граничным условиям. В некоторых случаях это требование выполнить трудно. Тогда можно использовать неопределенные множители Лагранжа так, чтобы граничные условия удовлетворялись не каждой из функций, а в целом всем выражением для перемещения и,. В этом случае коэффициенты А^ будут удовлетворять некоторым дополнительным соотношениям вида
А(А^=0.(4.24)
Допустим, что число таких соотношений равно т. Тогда по Лагранжу следует составить функцию
9 = П - XkJk (k = 1, 2, ... , т) и решить задачу на условный экстремум этой функции, т. е. составить условия экстремума
^-=0 (z = 1, 2, ... , п).(4.25)
oAik
Уравнения (4.24), (4.25) образуют систему т +п уравнений с m+n неизвестными А^ и Хк- Описанный метод особенно удобен,
если функции <ргк ортогональны, т. е.
I
/ VkVk dx = о. о
В этом случае каждое из уравнений (4.25) содержит только одно неизвестное А^, и задача сводится к решению системы т уравнений (4.24).
Заметим, что в качестве примера применения принципа возможных перемещений Лагранжа можно рассматривать вывод уравнений равновесия и граничных условий для упругой круговой трехслойной пластины (см. § 6.14).
Упругое полупространство под действием поверхностных сил
Пусть изотропная среда занимает бесконечную область, ограниченную плоскостью. Такое полубесконечное тело принято называть полупространством. Для определенности полупространство предполагаем ориентированным так, что ограничивающая его плоскость оказывается горизонтальной, а тело полупространства располагается ниже граничной плоскости. Ориентация полупространства определяется декартовой системой координат Oiii2^3i причем ось Ох^ направлена вертикально вниз.
Определим напряженно-деформированное состояние линейно упругого однородного изотропного полупространства хз 0 при отсутствии массовых сил и заданной на граничной плоскости (плоскости Ох 1X2) нагрузке. Следовательно, в граничных
условиях (3.5) нужно положить ly = I2 = 0, /з = — 1:
^з|1з=0 = -Rfc^!, х2).(4.26)
Замкнутая система уравнений, описывающая равновесие среды, включает в себя уравнения Ламе (3.6), соотношения Коши (1.27) и закон Гука (2.6):
(А + д)6, к + ^Aitfc = 0,(4.27)
ем = ^uk,i + щ,к),(4.28)
a kt = ^95ki + 2р.б kt-(4.29)
Краевую задачу (4.26)-(4.29) замыкает условие ограниченности компонентов напряженно-деформированного состояния на бесконечности.
Частным случаем поверхностной нагрузки (4.26) является сосредоточенная сила
°"А:3L3=0 = -Ркб(хХ) 6(х2),(4.30)
где 5(я) — дельта-функция Дирака Ч (см. § 14.3).
Задача с подобными граничными условиями в общем случае называется задачей Миндлина^ , при Р2 = Р^ — 0 — задачей Буссинеска, а при Pi = Рз = О или Pt = Р2 = 0 — задачей Черутти 3).
Помимо практических приложений решения задач о действии сосредоточенных нагрузок на полупространство имеют следующий смысл. Вместо усилий (4.30) рассмотрим задачу со следующими граничными условиями:
^31x3=0 = 5jk 5(^1) 5(ж2),(4.31)
где Sjk — символ Кронекера.
Фактически условиям (4.31) отвечают три задачи: при фиксированном ее номере j = 1, 2, 3 отлично от нуля только одно напряжение на поверхности полупространства. Введем в обозначения компонентов напряженно-деформированного состояния дополнительный индекс, соответствующий номеру задачи
Uk — Uj^, Eki = Ejkb Oki = &jkl-(4-32)
Тогда в силу линейности задачи перемещения, деформации и напряжения, соответствующие произвольной нагрузке Rj (4.26), определяется через функции (4.32) так (суммирование по повторяющимся индексам от 1 до 3):
Uk = Rj * * Ujk, Efcl = Rj * * Ejkh &kl ~ Rj * * Ojkl' (4.33) Здесь двойная звездочка обозначает операцию свертки функций по координатам ж; и ж2 (двойное интегрирование проводится по всей координатной плоскости):
/(Ж1,х2,ж3) = g**/i = jjg(£b ^2)/г(ж1 -£ь ж2 - £2, s3)d^ d^2 =
= //g(^i - €1, х2 - ^Жь &, ж3) d^ d^2. (4.34)
Функции в (4.33) называются фундаментальными решениями (поверхностными функциями влияния, поверхностными
Дирдк Поль Адриен Морис (Dirac Р. А. М., 1902-1984)—английский физик, один из создателей квантовой механики; нобелевская премия 1933 г.
Миндлин (Mindlin R. D., 1906-1987), американский ученый-механик.
Черутти (Cerrutti V., 1850-1909), итальянский ученый-механик.
функциями Грина), а совокупности этих величин— фундаментальными тензорами, тензорами Грина.■
Из (4.34) следует, что для решения задачи с любыми граничными условиями типа (4.26) достаточно найти функции влияния. Для их определения воспользуемся интегральным преобразованием Фурье1) по переменным а?! и хг (значок «Е» указывает на изображение, q^ и q^-— параметры преобразования (см. § 14-3))
gF(?b 92) = g(zi, ж2)е19'ж' dxi dx2l
(4.35) g^i, ^2) = ^УУ g^qi, q2)e~iq‘x‘ dqi dq2 (I = 1, 2).
В пространстве преобразований (4.35) уравнения (4.27)-(4.29) имеют вид (k, I = 1, 2)
-iqk(X + p)6F + ц (-q2u{ + и[33) = О,
/ (4.36)
(А + р^ + ц (-q2u3 +u£33) = О, q = у 9i + q^;
F / F . F\ F 1 / • F i F \
= -^vq^k + <№), eka = тН^з + uM),
22(4.37)
е33 = иСз> ®F = ~^9кик + иСз’
°kl = ^F^ki + ^^kl-(4.38)
Здесь и в дальнейших промежуточных выкладках для сокращения записи номер задачи j в обозначениях компонентов напряженно-деформированного состояния опущен.
Граничные условия (4.28) при этом переходят в следующие равенства (см. приложение 15.2)
^з|1з=0 = ^-(4-39)
Далее можно непосредственно строить общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4.36). Однако удобнее использовать их следствие (3.11)
AAufc = 0.(4.40)
В результате применения преобразования Фурье приходим к трем независимым уравнениям
5
4 Fq2 F
ик 20 ик .4 F „, .\
-29+9 = °'<441)
*) Фурье Жан Батист Жозеф (Fourier J. В. J., 1768-1830), французский математик и физик; труды по алгебре, дифференциальным уравнениям и математической физике.
Удовлетворяющие условиям ограниченности на бесконечности решения этих уравнений будут
uf = (^+Жз^)е-^,(4.42)
где Ак, Вк — произвольные постоянные.
Подставляя (4.42) в (4.37) и (4.38), находим соответствующие представления для изображений деформаций и напряжений (а = 1, 2; по повторяющимся греческим индексам суммирования нет)
Еаа = "Ча Иа + жз5а) е-’13,
е«3 = ^[-9^а - ЧаАз + Ва - х3 ^Ва 4- iqQB3^e"qi3,
£12 = -^[92^41 + qiA2 + х3 (q2Bi + (?1В2)]е“9Хз,
<з = [-9А + (1 - q^ B3]e~qx\
0F = —2(1 — 21/)В3е~9Хз;
aaa = -2nViqaAa + 2vB3 + ix^aB^e"413,
°"a3 = P\-qAa - ЧаАз + Ba-X3 (qBa + iqQB3^e-qi3,
°\2 = -^[92Ai + qiA2 + x3 (q2Bi + щВ^е-^3,
^33 = ^-qAs + (1 - 21/ - qx^ B3]e~qX3.
Здесь учтена связь постоянных Ламе с другими константами упругости материала (см. § 2.2).
Решения системы уравнений (4.40) являются подмножеством множества решений уравнений (4.36). Связь между постоянными интегрирования находим, подставляя решения (4.42) в систему (4.36). После сокращения на экспоненту и приравнивания коэффициентов при х^ и ж| (ж3 — произвольное число) получаем состоящую из двух групп однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно Ак и В к (m, n = 1, 2)
qmk-qnAn + iqA^ - 2(1 - 2i/)qBTO - iqmB3 = 0, q(4nAn + qA3^ - iqnBn - 4(1 - v)qB3 = 0;' ’
qm(-qnBn + iqB^ = 0,q^4nBn + qB3^ = 0.
Анализ системы уравнений (4.44), (4.45) показывает1, что она эквивалентна трем уравнениям (m, п = 1, 2)
qnAn - iqA3 + 2^(1 - у)В3 = 0, qBm = iqmB3. (4.46)
Замыкает их три соотношения, получаемые из граничных условий (4.33) с учетом равенств (4.37)
qAn ^9т^3 + Вт — ^jm,
^(4.47)
~9-^3 + (1 — 21/)Вз — —^з
Решение системы уравнений (4.46), (4.47) имеет вид (т, п = = 1, 2)
Лп =- 26jm + (1 - 2i/) ^g],
L 99 J
А3 = -А- [(1 - 2р) ^Jjn + 2(1-1/) 5,з],(4.48)
Вт=тЦ f^63n - iqmS^, 53 = -A (—8jn + ^-з) -
2pq \ q/2рА q J J )
Подстановка этих выражений в (4.42) и (4.43) приводит к следующим формулам для изображений перемещений и напряжений (а, п = 1, 2):
UF = _L [(А + то^—25- + га (- — —е~913
2pq LX q ) qV q ) J J
F 1 Г /1 - 21/ . X iq„ t 1 - 1/ . \ x 1 -qzx '3 — oil + ) "jn + (2 + X3 15j3 e , ° 2д LX q ) q J \ q ) J J
F _(2iq«S. , Г9..Л _ 9^\ _ „,911 «9nr. ,^аа —+q"2) q \ q °3n+
+ \2v + (1 - 2i/)4 - z3^-15j3\e"913, L X ) q2 ql 3 J
(4.49)
F 1 F Y r , r \(2v\ 191929л x ।
<42 = " [г^2^Т + 915,2 J -+ 13J Ojn +
+ (LzAlX 9+ (LzAlX 9- 2:3)9192^3] e 913- 2:3)9192^3] e 913
+ (LzAl
X 9
+ (LzAl
X 9
- 2:3)9192^3] e 913
- 2:3)9192^3] e 913
aa3 = pja - ^SqaY^Sjn - г^з)]е 913,
О"зз = \iqn63nX3 + (1 + qx^ Sj-sJe-913.
Отсюда с использованием табл. 14.5 (см. § 14.3) находим соответствующие оригиналы (в обозначения перемещений и
напряжений возвращаем индекс j — номер задачи)
uja —uja —1 - 2г/Г + Хз1 - 2г/Г + Хз
uja —
uja —
1 - 2г/
Г + Хз
1 - 2г/
Г + Хз
]
хa^ndjn [ / хз1 2z/\ ха6
Г\ Гт + хз / г
(4.50)
^3 = --^-f+ Ч) * + [2 (1 - i/) + 4] 5 А
4/inr I \ Г + Хз г2 /LГ2 J J
3<иа — „(121/)Дит \3<иа — „(121/)Дит \•Tadja(г + Хз)2•Tadja(г + Хз)2<412 —<412 —г2 1г (г + хз)2 L। f 1 — 2г/ L _ х2 (2г + х3)1 _ I г + хз L г2 (г + хз) J1 / Г 3xf ।1 — 2г/ Г xi(3r + хз)2тгг \ I г4 (г + хз)2 L г2(г + Хз)I (3x2 |1 — 2г/ Гх|(3г + х3~1г4 (г + Хз)2 L г2(г + Хз)г2 1г (г + хз)2 L। f 1 — 2г/ L _ х2 (2г + х3)1 _ I г + хз L г2 (г + хз) J1 / Г 3xf ।1 — 2г/ Г xi(3r + хз)2тгг \ I г4 (г + хз)2 L г2(г + Хз)I (3x2 |1 — 2г/ Гх|(3г + х3~1г4 (г + Хз)2 L г2(г + Хз),2 Зг + хз а г + хз,2 Зг + хз а г + хз-21/--21/-5'2 +5'2 +(4.51)(4.51)
3<иа — „(121/)
Дит \
3<иа — „(121/)
Дит \
•Tadja
(г + Хз)2
•Tadja
(г + Хз)2
<412 —
<412 —
г2 1г (г + хз)2 L
। f 1 — 2г/ L _ х2 (2г + х3)1 _ I г + хз L г2 (г + хз) J
1 / Г 3xf ।1 — 2г/ Г xi(3r + хз)
2тгг \ I г4 (г + хз)2 L г2(г + Хз)
I (3x2 |1 — 2г/ Гх|(3г + х3~
1г4 (г + Хз)2 L г2(г + Хз)
г2 1г (г + хз)2 L
। f 1 — 2г/ L _ х2 (2г + х3)1 _ I г + хз L г2 (г + хз) J
1 / Г 3xf ।1 — 2г/ Г xi(3r + хз)
2тгг \ I г4 (г + хз)2 L г2(г + Хз)
I (3x2 |1 — 2г/ Гх|(3г + х3~
1г4 (г + Хз)2 L г2(г + Хз)
,2 Зг + хз а г + хз
,2 Зг + хз а г + хз
-21/-
-21/-
5'2 +
5'2 +
(4.51)
(4.51)
Хзг2Хзг222ОЗаа —ОЗаа —Зх^хзг4Зх^хзг4<7312 =<7312 =.1 — 2г/ Г 24г — гхг2 (г + Хз) LГЗхз М _ 21/)2тгг3 L г2.1 — 2г/ Г 24г — гхг2 (г + Хз) LГЗхз М _ 21/)2тгг3 L г2г2 - z3г2 - z32г + хз2г + хз2Хд,2Хд,
Хз
г2
Хз
г2
2
2
ОЗаа —
ОЗаа —
Зх^хзг4
Зх^хзг4
<7312 =
<7312 =
.1 — 2г/ Г 2
4г — гх
г2 (г + Хз) L
ГЗхз М _ 21/)
2тгг3 L г2
.1 — 2г/ Г 2
4г — гх
г2 (г + Хз) L
ГЗхз М _ 21/)
2тгг3 L г2
г2 - z3
г2 - z3
2г + хз
2г + хз
2
Хд,
2
Хд,
XJX2 ГЗхз _ ( _2i/)2L±^15 \г2 Lr2 V \г + хз)21 J
CTja3 = ^^ ^п5зп + жз^з), сг^зз = —■ (3Cn6jn + жз^-з).
Отметим, что напряжения <7^3 не зависят от упругих параметров среды.
Из (4.50) и (4.51) получаем решения задач Буссинеска и Че- рутти:
перемещения и напряжения в задаче Буссинеска (j = 3)
Зх^Хз<73а3 = Зх^Хз<73а3 = 2тгг5 ’2тгг5 ’
Зх^Хз
<73а3 =
Зх^Хз
<73а3 =
2тгг5 ’
2тгг5 ’
Зх|
<7333 = -—- 2тгг5
перемещения и напряжения в задаче Черутти (у = 1)
1 /1 ®1пц = —4-+ —4/277 I Г Г31 /1 ®1пц = —4-+ —4/277 I Г Г31 — 2v Г _ х21 — 2v Г _ х2г 4- х3г 4- х3Х1Х2 Г 1U12 =4р,тгт 1г2Xi ГЗх?<7111 — 2тгг3 L г2Х1Х2 Г 1U12 =4р,тгт 1г2Xi ГЗх?<7111 — 2тгг3 L г21-21/1-21/г(г + Хз) J J xi /1 — 21/г(г + Хз) J J xi /1 — 21/7——72 Ь “13 = I —Г— + “(г + яз) J4ii~r \г+жз г7——72 Ь “13 = I —Г— + “(г + яз) J4ii~r \г+жз г1-21/(r + z3)21-21/(r + z3)2_2г2 + ^^А г+ $3_2г2 + ^^А г+ $3
1 /1 ®1
пц = —4-+ —
4/277 I Г Г3
1 /1 ®1
пц = —4-+ —
4/277 I Г Г3
1 — 2v Г _ х2
1 — 2v Г _ х2
г 4- х3
г 4- х3
Х1Х2 Г 1
U12 =
4р,тгт 1г2
Xi ГЗх?
<7111 —
2тгг3 L г2
Х1Х2 Г 1
U12 =
4р,тгт 1г2
Xi ГЗх?
<7111 —
2тгг3 L г2
1-21/
1-21/
г(г + Хз) J J xi /1 — 21/
г(г + Хз) J J xi /1 — 21/
7——72 Ь “13 = I —Г— + “
(г + яз) J4ii~r \г+жз г
7——72 Ь “13 = I —Г— + “
(г + яз) J4ii~r \г+жз г
1-21/
(r + z3)2
1-21/
(r + z3)2
_2г2 + ^^А г+ $3
_2г2 + ^^А г+ $3
Х1 ( 3x2<7122 = < 2тгг3 I г2Х1 ( 3x2<7122 = < 2тгг3 I г2
Х1 ( 3x2
<7122 = <
2тгг3 I г2
Х1 ( 3x2
<7122 = <
2тгг3 I г2
1 — 2v Г ,„ . х , 2 3г + яз —■—-2 жз (2г + хз) + ж2— г + жз) Lг + $з
_ х2 13xi । 1 — 21/ Гя1(Зг + хз]2тгг I Г4 (г+хз)2 L г2(г + хз)
Зх1ХахзЗх1Хз
<71аЗ = ~—7—; <7133 = -—Г2тгг52тгг5
Фундаментальные решения для упругой полуплоскости
В постановке предыдущего параграфа рассмотрим задачу о действии нагрузки на границу полуплоскости хз ^ 0 нагрузки (k = 1, 3)
^з|Хз=0 = -Rk^xiV(4.52)
При условии (4.52) компоненты напряженно-деформированного состояния не зависят от координаты $2, а перемещение U2 = 0. Таким образом, мы имеем плоское деформированное состояние (см. § 5.1). Замкнутая система уравнений включает в себя уравнения Ламе, соотношения Коши и закон Гука. Краевую задачу здесь также замыкает условие ограниченности компонентов напряженно-деформированного состояния на бесконечности.
Аналогично пространственному случаю решение указанной задачи можно представить следующим образом (все индексы здесь и далее принимают значения 1 и 3):
ик = Rj * ujki Efcl Rj * Ejkh C^kl = Rj * ^jkl- (4.53)
Звездочка в (4.53) обозначает свертку функций по координате xi
f(xb х3) = g * h =
+оо+оо
= J g(C)h(xl-^x3)d^= j g(xT-^h^, хг^.
— 00—00
Функции Ujk, Ejki и ajki на границе полуплоскости удовлетворяют граничным условиям
^3^3=0 = §эк^1)(4-54)
и являются фундаментальными решениями (компонентами тензоров Грина) для упругой полуплоскости.
При у=3 соответствующая задача называется задачей Фла- мана х), а при у=1 — по-прежнему задачей Черутти.
Для решения аналогично пространственному случаю будем использовать одномерное преобразование Фурье по координате Х1 (значок «F» указывает на изображение, q — параметр преобразования)
+оо4-оо
gF^ = f g^iyiqi1 dxx, g(xi) = ^ / g(xi)e-,9Z1 dq. (4.55) — 00—00
Изображения искомых функций очень просто получаются из результатов предыдущего параграфа, если в (4.49) и (4.50) положить qi = 0, a qi и q заменить величинами q и |д| соответственно.
Укажем другой путь решения плоской задачи, приводящий к гораздо более простой системе алгебраических уравнений, чем система (4.46), (4.47). Для этого воспользуемся постановкой задачи в напряжениях и в промежуточных выкладках номер задачи з временно опустим.
На первом шаге применяем преобразование Фурье (4.55) к уравнениям равновесия
" С^тп, п 0 (^: Л = 1, 3).
В результате получаем
-iq^n + ^ = О, -iqafa += 0.(4.56)
ихзUX3
Эта система уравнений не замкнута. Поэтому дополнительно учитываем бигармоничность компонентов тензора напряжений (3.14). В частности, для напряжения 033 имеем уравнение
△△033 = О,△△033 = О,.9^ .9^ дх^ дх1 ’.9^ .9^ дх^ дх1 ’
△△033 = О,
△△033 = О,
.9^ .9^ дх^ дх1 ’
.9^ .9^ дх^ дх1 ’
которое в пространстве преобразований эквивалентно равенству (см. также (4.41))
Э^ааа9^3Э^ааа9^39 2 92а£ , 4 F _ п9 2 92а£ , 4 F _ п
Э^ааа9^3
Э^ааа9^3
9 2 92а£ , 4 F _ п
9 2 92а£ , 4 F _ п
Его общее решение, удовлетворяющие условиям ограниченности на бесконечности, аналогично (4.42) будет
(4-57)
где А и В — произвольные постоянные.
Подставляя равенство (4.57) в (4.56), последовательно получаем изображения других напряжений
^з = -1(5-МА-хзЫ5)е*,
/
Эти соотношения вместе с изображением граничных условий (4.54)
^1x3=0 = ^k
позволяют определить постоянные А и В:
А = 5j3, В = iqSji + к^з-
Окончательно изображения напряжений и деформаций приобретают вид
^п = [г (2signg — дх3) ^i + (1 - |?|ж3) ^3]е-|9|:Сз,
°"13 = К1 - 1Фз) 6ji + гд-хз^^е-'9'13,^Гз = Шхз5з1 + (1 + |д|х3) ^з]е'|9|хз,"11 А "зз = 2 (г signet + <$,з) е"|9|хз;
£п — ~ [^ц _ и (^п + °зз)] —(4.58)
= -Цг[2 (1 - 1/) signy - gx3]^i + (1 - 2z/ - |д|х3) Jj3} e-^13,
£f3 = = ^[(1 - кЫМ^М^ 2Д Zp
£33 = ^ И ~ v (^п + ^зз)] =
= (9жз - 2i/signg) + (1 - 2i/+ |д|ж3) Jy3]e-|9|x3.
Изображения перемещений в силу соотношений Коши удовлетворяют системе уравнений (см. также (4.37)):
—гд^! — Ец, — iqua +-—— 2е13,Е33.(4.59)
охзoxa
Из первых двух соотношений (4.59) с учетом равенств (4.58) находим
"f =-^зрл — “WnXk1^
F 1 f/l-2i/ ,. \с [2(1 — 1/) ,1 -lolza
"з =“^-V +2?3signg)d;i - р——L + ж3 М,зк 191 3.
(4.60)
Проверка последнего равенства в (4.59) показывает, что оно выполняется тождественно.
Теперь по изображениям (4.58), (4.60) с использованием таблицы 14.4 (см. § 14.3) находим оригиналы перемещений и напряжений (в обозначения перемещений и напряжений возвращаем индексj)
V=^{[2(l--')0"’' + C) + d]j,1 +
+ [(1 - 2i/)arctg— -(4-61)
Lхз г1 J J
^■3 =[(1 - 2i/)arctg— ++
2тг/1 I LХз Т J
+ [2(1 - ^(Inr + С) - Д^'з}, (4.62)
^XAX^Xv/ л z?n\
&jkl —; ■(4.63)
яг4
Отметим, что в плоской задаче все напряжения не зависят от упругих характеристик среды. Кроме того, выполняется следующее СВОЙСТВО симметрии <7цз = СГ311, <7133 = °313-
Из (4.61)-(4.63) получаем решения задач Фламана и Че- рутти
"31 = -M(l -2i/)arctg— - ^],2тг/^ LхзА
(4.64)(4.64)"зз = -^[2(1-г)(1пг + С)-Д,
(4.64)
(4.64)
[2(1+С)+ Д,
"13 =[(1 - 2i/)arctg^i + ^1;
2тгр, Lхз т2 J
оцз = о-зп =
2ziZ3тгг4 ’
О1зз = 0313 =
2ziziтгг4
2т| 0*333 = —7, тгг4
Ощ =
2s?
тгг4
(4.65)
В полярной системе координат
a?3=rcos?9,$1= г sin 19(г^О,
формулы для напряжений принимают вид
оцз =0311 = — sin2 т9 cos т9, <7133 =0*313 = — sint9cos2 79, 7ГГ7ГГ
2 о2. ч
0333 = — cos <9, о-щ = —sin t9.7ГГ*КТ
На рис. 4.5 показаны линии уровня crj^i = С = const, которые, как следует из (4.65), являются алгебраическими кривыми четвертого порядка.
Рис. 4.5Рис. 4.5
Рис. 4.5
Рис. 4.5
Найдем теперь главные оси и напряжения, соответствующие фундаментальным решениям (4.62) для упругой полуплоскости. Главные напряжения с учетом двумерности задачи есть решения уравнения (1.15)
I <7,11 — <7 Oj 13 I 27 7 I 2xy
„„— ° ~— U, Ji — <7,11 + <7j33-.
I <7,13<7,33 — <7 |J J ЦТ2
Отсюда
<71 = 0,<T2 =
Их порядок зависит от знака Xj. Соответствующие главные оси определяются уравнением (см. (1.14))
<7jllh + <7;13^3 = 0, откуда находим
ь<1 = е^ = - (rriei — жзез),г
v2 = er = - = - (rriei + ж3е3).
Т т
Следовательно, на площадках-лучах д = const полярной системы координат напряжения равны нулю, а на площадках- окружностях г = const имеют место только нормальные напряжения <72- Их распределение соответственно для задач Фламана и Черутти продемонстрировано на рис. 4.6
Рис. 4.6
Задача о штампе на упругой полуплоскости
Построенные выше фундаментальные решения используются для решения задачи со смешанным типом граничных условий (третьей краевой задачи, см. § 3.1). Это так называемые контактные задачи, в которых часть границ двух деформируе-
мых тел (одно из них может быть абсолютно жестким) является общей. Взаимодействующие области называют поверхностью контакта.
Рассмотрим простейшую плоскую контактную задачу. Пусть в однородную изотропную линейно упругую полуплоскость жз ^0 вертикально без трения вдавливается плоский симметричный недеформируемый штамп (рис. 4.7). Ось Ожз совместим
Рис. 4.7
с осью симметрии штампа, а начало системы координат Охухз расположим на границе полуплоскости. Нижний торец штампа ограничен «подошвой»— гладкой невогнутой поверхностью, уравнение которой в связанной со штампом системе координат O\x\z (Oyz совпадает с Охз, zq — расстояние между Oi и лобовой точкой М - вершиной подошвы) имеет вид
z = /(ж1).(4.66)
Здесь /(ж1) —четная функция, /(0) = zq и /"(^i) ^ 0.
Обозначая глубину погружения штампа (перемещение вдоль оси Охз его лобовой точки) через h, учитывая формулу (4.66) и связь координат z = хз+zq —h (см. рис. 4.7), получаем уравнение подошвы в системе координат Охухз
х3 = f^XY^ + h- z0.(4.67)
Правая часть равенства (4.67) задает нормальные перемещения границы полуплоскости в области контакта.
Будем полагать, что на штамп действует направленная вдоль оси Охз сила Р. На поверхности контакта равны нулю касательные напряжения (контакт происходит в условиях свободного проскальзывания), а вне этой поверхности граница полуплоскости является свободной. Соответствующая краевая зада-
ча включает в себя взятые в той или иной форме уравнения, описывающие плоское деформированное состояние (см. § 5.1), условие ограниченности решения на бесконечности, а также условия на границе полуплоскости
«з|хз=0 = /(®i) + h - ZQ (|Ж1|^«), °'зз|а.3=о = О (|a;i|>a),(4.68)
<7131^=0^0 (-ОО < 11 < +оо).
Здесь h — неизвестная глубина погружения штампа.
В силу линейности задачи условия (4.68) снесены на неде- формированную границу полуплоскости. Поверхность контакта заменена областью контакта — отрезком |ж1| ^ а. Кроме того, в (4.68) сделано еще одно соответствующее линейной теории приближение — не учтены касательные составляющие перемещений материальных точек. Это означает, что точки границы штампа и полупространства, находящиеся в начальный момент взаимодействия на одной вертикальной' прямой, остаются на этой же прямой и в процессе контакта. Следовательно, нормальные перемещения в области контакта совпадают с правой частью уравнения (4.67). В зависимости от геометрии задачи радиус области контакта а либо задан (см. рис. 4.7а), либо не известен (см. рис. 4.7б).
Замыкает задачу условие равновесия штампа а
Jр(О^ = Д P(^i) = -у3з(ж1, 0),(4.69)
—а
где р —контактное давление.
Для решения с использованием свойств (4.53) фундаментальных решений и условий (4.68) сведем краевую задачу к интегральному уравнению относительно контактного давления
а
Iр^К^ -М = /(жД + h - z0,(4.70)
где ядро K(xV) определяется в соответствии с (4.64) так
K(xi) = -и3з(ж1, 0) = —- (In]я:11 + С).
7Гр
Дифференцируя (4.70) по хх, приходим к уравнению а
[р^км-0^ = ГЫ, ^1(^1) = -, р=—р.
J2?17Г/1
"(4.71)
Здесь интеграл имеет сингулярную особенность (подынтегральная функция неинтегрируемая) и понимается в смысле главного значения по Коши (см. приложение 14.2). Уравнение такого типа встречается в теории крыла самолета конечного размаха и называется уравнением Прандтля ^.
Непосредственной проверкой (см. также [32]) устанавливается, что функция
а
—а
является решением уравнения (4.71) при любом значении постоянной А. Величину этой постоянной находим из условия (4.67)
Ai = -^-А, 1 — 1/Ai = -^-А, 1 — 1/
Ai = -^-А, 1 — 1/
Ai = -^-А, 1 — 1/
Тогда контактное давление определяется равенством
р(жх) =р(жх) =1TTi/o^^zJ1TTi/o^^zJ^а1 — £2 Х1 - С^а1 — £2 Х1 - С(4.72)(4.72)
р(жх) =
р(жх) =
1
TTi/o^^zJ
1
TTi/o^^zJ
^а1 — £2 Х1 - С
^а1 — £2 Х1 - С
(4.72)
(4.72)
Учитывая нечетность производной /'(tri), отсюда получаем, что р(ац)— четная функция. Это и следовало ожидать в силу симметрии задачи.
Если радиус области контакта а известен (см. рис. 4.7а), то давление (4.72) и есть решение задачи. Можно показать, что в этом случае при любой функции /(si) контактное давление на концах $1 = ±а не ограничено.
Если радиус области контакта а не известен (см. рис. 4.76), то для его определения используется условие ограниченности контактного давления (нормального напряжения на границе полуплоскости) .
Поскольку /(0) = zq, то из интегрального уравнения (4.70) с учетом четности контактного давления, а также равенства (4.69) получаем следующую формулу для глубины погружения штампа
h = —(сР + 27ГЦ \
1) Прандтли (Prandtl L., 1875-1953), немецкий ученый-гидроаэродинамик.
4 Л Г Ггм-1ТГ Г V/1Q *d ТЛ r’lTOriADriUTOD ГТ Т 'Та Т-1 гг a vr^nr-V Г« Г»
Перемещения и напряжения в любой точке полуплоскости в соответствии с (4.53), (4.68) и (4.69) вычисляются простым интегрированием (А, I = 1, 3)
а
Uk(xi,X^ = -JР^Мз^Х! - £, Хз)^,
—а
а
сты = - Jp(C)^3kl(xi -С, ж3)<•
—а
Рассмотрим конкретные примеры задания формы подошвы штампа.
Параболический штамп, радиус области контакта задан. Форму подошвы в этом случае зададим в виде (Я — радиус кривизны подошвы штампа в точке xi = 0)
„2
/(Ж1) = -§, R>^ zo = 0.(4.74)
Вычисляя интеграл в (4.65), приходим к следующему выражению для контактного давления
р(ж1) = . 1 . [- +.(4J5)
7 Уа2 -х? L тг2Я(1 — i/) JV 7
Очевидно, в этом случае на концах области контакта имеет место интегрируемая степенная особенность порядка —1/2.
Глубина погружения находится подстановкой (4.75) в (4.73)
h = — fc + ln-)P——.(4.76)
пр V 2/ 4Ях ’
Параболический штамп, радиус области контакта не известен. Контактное давление ограничено при xi = ±а, если обращается в нуль скобка в (4.75). Отсюда определяем par диус области контакта
а = JlPR—(4.77)
V
и находим давление
Р(Ж1) = -da2 -х\.(4.78)
7Г "
Отсюда следует, что в этом случае давление ограничено, обращается в нуль на границе области контакта и достигает максимального значения ртах = Ра/я в центральной точке.
Глубина погружения штампа в этом случае определяется так
(4.79)(4.79)
(4.79)
(4.79)
Штамп с прямолинейным основанием (рис. 4.8). Решение в этом случае проще всего получить, выполняя предельный переход при R —> оо в (4.75) и (4.76)
p(rri) =p(rri) =Ртг/а2 — I2 ’Ртг/а2 — I2 ’Ь =Ь =^(c + ln-^P.•к и, \2/^(c + ln-^P.•к и, \2/(4.80)(4.80)
p(rri) =
p(rri) =
Ртг/а2 — I2 ’
Ртг/а2 — I2 ’
Ь =
Ь =
^(c + ln-^P.
•к и, \2/
^(c + ln-^P.
•к и, \2/
(4.80)
(4.80)
В этом случае на концах области контакта давление также имеет интегрируемую степенная особенность порядка —1/2 (рис. 4.9).В этом случае на концах области контакта давление также имеет интегрируемую степенная особенность порядка —1/2 (рис. 4.9).Рис. 4.8Рис. 4.8
В этом случае на концах области контакта давление также имеет интегрируемую степенная особенность порядка —1/2 (рис. 4.9).
В этом случае на концах области контакта давление также имеет интегрируемую степенная особенность порядка —1/2 (рис. 4.9).
Рис. 4.8
Рис. 4.8
Рис. 4.9
Плоская контактная задача для двух упругих тел
Изложенная в предыдущем параграфе методология решения контактных задач для полуплоскости используется для приближенного решения плоской контактной задачи для двух упругих тел.
Пусть два бесконечно длинных симметричных цилиндрических тела ограничены гладкими выпуклыми поверхностями. Уравнения этих поверхностей в связанных с телами системами координат О,Ж1Ж2^ и (j = 1, 2) имеют вид
Hj : z^ = fj(X1),
ЛЫ^-т), Ш = -^, /j(0)=0, ^W^o. (4181) Оси OjZj совпадают между собой и лежат в плоскостях симметрии тел. Оси OjX2 параллельны образующим, zoj - расстояния
Рис. 4.10 взятые в той или инойРис. 4.10 взятые в той или иноймежду Oj и лобовыми точками направляющих граничных поверхностей (рис. 4.10).
Рис. 4.10 взятые в той или иной
Рис. 4.10 взятые в той или иной
Введем также общую систему координат ОХ1Х2Х3, У которой ось 0x2 совпадает с общей образующей цилиндрических поверхностей в начальный момент взаимодействия, Охз совпадает с OjZj и направлена вглубь второго тела (j = 2), a Oxi соответственно перпендикулярна плоскости симметрии (см. рис. 4.10). В этой системе координат недеформированные граничные поверхности задаются уравнениями (рис. 4.11, см. также (4.67))
П1 : хз = -/1(ж1) - zoi + hi,
П2 : Х3 =/2(^1) + Z02 + h2, где hj перемещения вдоль оси Vj неде- формируемых тел.
Тела заполнены однородными изотропными линейно упругими средами, характеризующимися константами Vj и p,j. Контакт происходит в условиях свободного проскальзывания, а вне поверхности контакта границы тел свободны от напряжений. Соответствующая краевая задача включает в себя форме уравнения, описывающие плос
кие деформированные состояния обоих тел (см. § 5.1), условия ограниченности решения на бесконечности, а также снесенные на ось Oxi граничные условия в области контакта |ж1| ^ а
Ч^о + ^кз^-^-Ь, ^кз^Чз^О (Ы^й)>
/(^1) =/i(a:i) + zoi+/2(£1) + ZO2, h = h2-hi, (4.82) а33 кз=0 = 0 (N > а) ’ а13 к3=0 = 0 (-0° < Ж1 < +°°) • Здесь h — неизвестное относительное смещение недеформируе- мых тел, Wj— упругое перемещение j-ro тела вдоль оси OjZj, (j)„
Отп — соответствующие компоненты тензоров напряжений.
Первое равенство в (4.82) получено из условия совпадения деформированных граничных поверхностей
Пь : хз = -fi(xi) - zOi + hi - wi^^q, П2* : жз = /2(^1) + ^02 + h2 + W2k3=0- на поверхности контакта. Второе равенство — условие непрерывности нормальных напряжений.
Будем полагать, что на тела действует равномерно распределенные вдоль оси 0x2 противоположно направленные вдоль оси Ожз силы Р. Поэтому замыкает задачу условие равновесия системы
а
JР(0 < = Р, Р(Ж1) =
—а
где р — контактное давление.
Точное решение поставленной задачи связано с рассмотрением соответствующих краевых задач для каждого из тел (построением фундаментальных решений типа найденных в § 6.2). Соответствующие математические проблемы существенно зависят от формы границы. Поэтому, основываясь на малости области контакта и принципе Сен-Венана, принимаются два упрощающих предположения:
Л) для каждого из взаимодействующих тел используются фундаментальные решения для полуплоскости, т. е. полагается, что кривизна поверхностей мало влияет на напряженно-деформированное состояние;
Б) граничные поверхности заменяются параболическими цилиндрами, что эквивалентно сохранению в разложениях функций в (4.81) в степенной ряд по жх членов второго порядка (учитываем, что fj(O) = 0):
2 1
п, : ч = №0 ~ + ^7, i = /ДО).
где Rj — радиус кривизны поверхности П,- в точке жх = 0 (ср. с (4.74)).
Согласно предположению Б в кинематической части граничных условий (4.82) необходимо положить
/(*1) = ^= Т +(4'83)
2/11212 Ml М2
В соответствии с предположением А, используя свойства (4.53) фундаментальных решений и условия (4.82), по аналогии с (4.70) сводим задачу к интегральному уравнению относительно контактного давления:
а
2 Гр^) (In^ - е| + С) d£ = /(^1) + h, 7= — + —.
It JPl P2
—a
(4.84)
Следовательно, решение задачи дается формулами (4.77)(4.79), в которых Ох 1X2 необходимо заменить величиной 7, а под R следует понимать линейный размер Я12, определенный в (4.83). Тогда радиус области контакта
а = \ 2PR12-",у7Г
контактное давление
р(®1) = -Ja^-xX1,7Г *
относительное смещение недеформируемых тел
- h = - [с + — fin - —
7г L 2X22/J
Несмотря на то, что контактное давление явным образом не зависит от упругих свойств тел, однако, опосредовано, эта зависимость заложена в формуле для радиуса области контакта.
Отметим несколько частных случаев рассмотренной задачи. Если контактируют два тела с одинаковыми радиусами кривизн Ri = R2 = R, то Я12 = R/2. При одинаковых упругих свойствах тел (z/i = V2 = v и pi = р2 = ц) имеем 7 = 2(1 — м)/р. Если одновременно выполняются оба этих условия, то радиус области контакта будет таким же, как при контакте недеформируемого штампа с полуплоскостью, а относительное смещение будет в два раза больше, чем глубина погружения штампа.
Если положить R^ = R и R2 = оо, то приходим к задаче о внедрении в упругую полуплоскость упругого гладкого штампа ^12 = R- Если дополнительно считать первое тело недеформи- руемым, что эквивалентно равенству (1 — v^/py = 0, то получаем решение задачи (4.77)-(4.79).
Взаимодействие штампа с упругим полупространством
В постановке, аналогичной § 4.10, рассмотрим пространственную контактную задачу об абсолютно жестком штампе в форме эллиптического параболоида, ось которого перпендикулярна плоскости жз = 0, ограничивающей полупространство жз ^ 0. Начало системы координат О1Ж1Ж2Ж3 расположим на граничной полуплоскости. Ее оси Ож1 и Ож2 выберем так, чтобы в системе координат O1X1X2Z (точка Оу совпадает с вершиной параболоида, ось Oyz сонаправлена с Ожз, см. рис. 4.7, где zq = 0) уравнение параболоида имело канонический вид
z = —Ах? — Вж2, А, В ^ 0.
Отсюда, учитывая связь координат Ж3, z и глубины погружения ударника h:
■Ж3 = z + h,
получаем уравнение границы штампа в системе координат ОЖ1Ж2Ж3:
жз = — Ах^ — Вх2 + h.(4.85)
Соответствующая краевая задача включает в себя уравнения теории упругости (см. § 3.1-3.3), условие ограниченности решения на бесконечности и условия на границе полупространства
из|1з=0 = -Ах^ - Вжз +/1((жь ж2) е Q),
^зз|13=0 = 0 ((ж1,ж2) £ Q),(4.86)
ст1з|1з=0 = ^2з|13=0 = ° (($1^2) Е В2).
Здесь сделаны те же соответствующее линейной теории приближения, что и в § 4.10. В том числе, условия (4.86) снесены на недеформированную границу полупространства, и поверхность контакта заменена плоской областью Q.
Если область контакта Q неизвестна (см. рис. 4.7 б), то для ее определения необходимо дополнительное условие. Последнее должно задавать эту область как множество, на котором нормальные напряжения неположительные, а также обладающее границей, являющейся линией пересечения деформированной поверхности полупространства и параболоида. Однако это приводит к сложной в математическом плане задаче. Поэтому ограничимся дополнительным упрощающим предположением: область контакта является односвязной и ее граница — эллипс следующего вида
2-2
ЭП : 5 + ^ = 1.(4.87)
При таком подходе в (4.86) неизвестными величинами являются глубина погружения h и полуоси эллипса а и Ь. Замыкает задачу условие равновесия штампа
JIр(жь ж2) dxi dx2 = Р, р(хь ж2) = «Гэз^о, (4.88) п
где р — контактное давление.
С использованием свойств (4.33) фундаментальных решений и условий (4.86) задача сводится к интегральному уравнению относительно контактного давления
/[р(6.Wi-^-fo) d^i d^2 - -АхХ - Вх^ + h, (4.89) п .
где ядро К^х\, ж2), согласно (4.50), определяется так
К^х\, $2^ = —«зз(®1, ж2, 0) = —-, г2 = Jx^ + х%.
КЦГЪv
Интеграл в левой части уравнения (4.89) является значением потенциала простого слоя поверхности жз = 0, (жх, ж2) £ Q при жз = 0
ж2) =.л...^1’6^6^ (4.90)
n V (Х1 “^Э2 + (12 _ ^А2
с плотностью
р(жх, ж2) = ^-^р(ж1, ж2).(4.91)
Попытаемся подобрать такую функцию р(жх, ж2), чтобы результат интегрирования в (4.89) был многочленом такого же вида, как правая часть этого уравнения. Для этого, как показано Штаерманом 4 , плотность должна иметь вид
Ж2) =+ ^V1”^2-^2- I4-92)
Подстановка этого выражения в (4.90) после достаточно громоздких преобразований приводит к следующему результату:
U^x\, ж2) = тгаЬ{(2ао + ах) /Да, 0 — ах [/Да, Ь^х^ + /ДЬ, а)!^] },
Ма,Ь^ = А_К^, к =(4.93)
^(^ Ь) = " М 2 W - (° + Ь)s Ш
г) Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. — М.: Л.: ГИТТЛ, 1949. - 270 с.
где К (к) и Е(к) — полные эллиптические интегралы первого и второго рода модуля к.
Сравнение правых частей равенств (4.89) и (4.93) приводит к уравнениям
h = тгаЬ (2ао + «1) /о(а> Ь);(4.94)
тгаЬа111(а, 6) = A, 7rabaili(b, а) = В. (4.95) Тогда, как следует из (4.91) и (4.92), контактное давление определяется так
Р(ЖЪ ж2) =[ ао == + a^l -т2/а2 -т^/Ь2 .
1 - v LV1 ~ ч/а - Ч/Ь V
(4.96)
Подставляя это равенство в (4.88) получаем следующее представление результирующей силы (при вычислении двойных интегралов используются обобщенные полярные координаты дц = = ar cos ip, $2 = br sin ip\.
IT1
P=^ f d f^7^\dr=2j?pabr
J X VT^/1 - V \ u 3 /
— 7Г0
(4-97)
Полученные выше соотношения позволяют получить решения двух основных задач.
Область Q неизвестна. В силу ограниченности контактного давления коэффициент ао = 0. Тогда из (4.97) имеем
ЗР(1 -ф
2тг2^аЬ
Подставляя найденные коэффициенты в (4.96) находим контактное давление
Р(Ж1, ж2) = ^ У1-^/а2-т2/Ь2.(4.98)
Отсюда следует, что, так же как и в соответствующей плоской задаче (см. (4.78)), давление ограничено, на границе области контакта оно обращается в нуль и достигает максимального значения ртах = ЗР/ (2тгаЬ) в центральной точке.
Из (4.94) с учетом (4.93) вытекает формула для глубины погружения
h = ЗР(1-^К(кУ(4.99)
2тг/1 (a + 6)
Полуоси а и b есть решение трансцендентной системы уравнений, вытекающей из (4.95) с учетом выражения для коэффициента ai:
6> = "> = 5^)' <4100>
Если штамп является параболоидом вращения (А = В = = 1/^R), R — радиус кривизны меридиана в центральной точке), то Л (а, 5) = Л (5, а). Отсюда с учетом (4.93) после некоторых преобразований получаем уравнение относительно модуля к:
2abK^ - (а2 + Ь^Е^к) = 0.
Можно показать, что оно имеет единственное решение к = 0. Следовательно, область контакта - круг радиуса го = а = Ь. Он определяется любым из двух соотношений в (4.100). Для этого найдем предельное значение левой части, например, /Да, 6) при а Ь. Полагая a = 6 + е и учитывая, что
к = О(е), ^) = ^1 + O(e)], ВД = ^1+О(е)], е-» 0, получаем
Нш/Да, 5) = — = 7L.
Следовательно, радиус области контакта определяется как: з _ ЗРЯ(1-»/)
4/1
Соответственно для контактного давления и глубины погружения из (4.98) и (4.99) имеем (-К(О) = тг/2)
ж2’ж2’ЗГ о 2
ж2’
ж2’
(4.101)
2R 4 V 2Л/12
Штамп с плоским основанием (Л = В = 0). В этом случае правая часть интегрального уравнения (4.89) — постоянная величина. Поэтому согласно (4.93) ai = 0. Коэффициент ао находится из соотношения (4.97)
Р(1-у)an = —Ч-.
2тг2раЬ
При этом контактное давление и глубина погружения имеют вид
Р(ЖЬ Ж2) = -—.- ^-2-?Л ,..„,
(4.102)(4.102)2тгаЬу 1 — х2]а2 — x^jb2h = ^"^к (fc).тг/z (а 4- Ь)
(4.102)
(4.102)
Здесь так же, как в плоской задаче (см. (4.80)), давление на границе области контакта не ограничено и имеет степенную особенность порядка —1/2.
В случае кругового штампа радиуса го = а = b формулы (4.102) переходят в следующие (величина Г2 определена в формуле (4.101)):
^Ж1’ Ж2) =
ZTry^o '2
2дг0
Они позволяют рассчитывать давление под круговым штампом и глубину его погружения.
Задача Герца
В постановке, аналогичной § 4.11, рассмотрим пространственную задачу о контакте двух упругих тел. Пусть эти тела, обладающие осями симметрии и ограниченные гладкими выпуклыми поверхностями, в начальный момент взаимодействия входят в соприкосновение в точке О. Их оси симметрии проходят через точку О и перпендикулярны общей касательной плоскости (см. рис. 4.10). Введем неподвижную систему координат ОЖ1Ж2Ж3, оси Оху и 0x2 которой лежат в касательной плоскости (дополнительные требования к их расположению будут сформулированы ниже), а Охз направлена вглубь второго тела (j =2). Уравнения поверхностей, ограничивающих тела, в связанных с телами системах координат OjXixizj имеют вид
П,- := fAxi, жг),
333(4 103)
//0, 0) =-20j, #/0, 0) = 0, с(2//0,0) ^0.3
Оси OjZj являются осями симметрии, т. е. совпадают с прямой Охз, и направлены в глубь соответствующих тел; zoj — расстояния между Oj и лобовыми точками граничных поверхностей, (см. рис. 4.10).
В системе координат ОХ1Х2Х3 недеформированные граничные поверхности задаются уравнениями (см. рис. 4.11, а также уравнение (4.85))
П) : ж3 = -/1(ж1, ж2) - 2о1 + hi,
П2 : ж3 = /2(2:1, ж2) + 202 + /12,
где hj перемещения вдоль оси Ожз недеформируемых тел.
Тела заполнены однородными изотропными линейно упругими средами, характеризующимися константами vj и p,j. Кон-
такт происходит в условиях свободного проскальзывания. Вне поверхности контакта границы тел свободны от напряжений. Соответствующая краевая задача включает в себя взятые в той или иной форме уравнения, описывающие плоские деформированные состояния обоих тел (см. § 3.1-3.3), и условия ограниченности решения на бесконечности. К ним добавляются аналогичные (4.82) граничные условия в области контакта Q снесенные на плоскость O$i$2
W1|I3^O + W2|X3=O = -/(Ж1, ж2)-/г,^ 1хз=0 = 4? 1хз=о <01 ’ ж2) € ^ ,
(4.104)(4.104)/(Ж1, ж2) = /1(жь ж2) +*01 + /г(ж1, ж2) +^02, h = h2- hi,
(4.104)
(4.104)
4з 1хз=0 = 0 ((^1, ж2) Q),(тУ! п = п = 0 ((ж1, ж2) € Я2) .1о 1хз=01хз=0\\ 15 z/ /
Здесь использованы такие же обозначения, как и в (4.82). Отметим, что область контакта здесь вообще неизвестна.
Будем полагать, что на тела действует противоположно направленные вдоль оси О$з силы Р. Поэтому замыкает задачу условие равновесия системы (4.88), где р = —4з^1х =о —кон“ тактное давление.
По соображениям, указанным в § 4.11 и 4.12, принимаются три упрощающих предположения:
Л) для каждого из взаимодействующих тел используются фундаментальные решения для полупространства, чем полагается, что кривизна поверхностей мало влияет на напряженно- деформированное состояние;
Б) граничные поверхности заменяются эллиптическими параболоидами. Это эквивалентно сохранению в разложениях функций (4.103) в степенной ряд по двум переменным в окрестности точки (0,0) членов второго порядка (учитываем, что dfj(O, 0) = 0)
A3=f3,u(0, 0), B3 = f3,22(0, 0), C3 = f3:,12(0, 0);1B^ область контакта односвязная и ее граница — эллипс (см. (4.87)).A3=f3,u(0, 0), B3 = f3,22(0, 0), C3 = f3:,12(0, 0);1B^ область контакта односвязная и ее граница — эллипс (см. (4.87)).П^ ■ 2з fj^it ®2) ~ zOj + А3х^ 4- Bj$2 4” 2С^Ж1Ж2, /. . ~r\
A3=f3,u(0, 0), B3 = f3,22(0, 0), C3 = f3:,12(0, 0);1
B^ область контакта односвязная и ее граница — эллипс (см. (4.87)).
A3=f3,u(0, 0), B3 = f3,22(0, 0), C3 = f3:,12(0, 0);1
B^ область контакта односвязная и ее граница — эллипс (см. (4.87)).
Согласно предположению Б в кинематической части граничных условий (4.104) необходимо положить
/(ж1, ж2) = Лж2 + Вх2 + 2(7ж1Ж2,Л = Л1 + Л2, B = Bi + B2, C = Ci + C2.
Расположение осей O$i и О$2 с помощью поворота системы координат ОЖ1Ж2Ж3 вокруг оси Ожз можно выбрать так, что-
бы коэффициент С однородного многочлена второй степени в (4.105) равнялся нулю (соответствующая квадратичная форма имела канонический вид):
/(®ь $2) = Аху + BxV
Здесь для новых координат оставлены старые обозначения.
Далее ограничимся рассмотрением таких граничных поверхностей, для которых А, В 0 и АВ ^ 0 (соответствующая квадратичная форма положительно определена или полуопреде- лена).
В соответствии с предположениями А и В и при использовании свойств (4.33) фундаментальных решений и условий (4.104), аналогично (4.89) сводим задачу к интегральному уравнению относительно контактного давления (величина 7 определена в (4.84))
^JJ v(Ii ~ 51)2 + (12 _ £2)2 п
Следовательно, решение задачи дается формулами (4.98)- (4.100), в которых (1 — v^/ц необходимо заменить величиной 7; контактное давление задается тем же выражением (4.98); относительное смещение недеформируемых тел
h = W '
2тг (а + 6) уравнения для полуосей области контакта
/Да, 6) = —, h(b, а) = —.
м ’ ЗР7 v ’ ЗР7
Здесь так же, как и в плоской задаче, зависимость контактного давления от упругих свойств тел проявляется в соответствующей зависимости полуосей области контакта.
Если оба тела ограничены поверхностями вращения, то А = = В = 1/(2Я). Давление определяется первым равенством в (4.101), а для радиуса области контакта и глубины погружения имеем
г03 = -PR^ h = i ?l^hl.
04'4 V 2Я
При одинаковых упругих свойствах тел (vy = V2 = v и Цу = = /12 = At) имеем 7 = 2(1 — i/)//i •
Если второе тело (j = 2) является полупространством (А2 = = В2 = 0), то А = Ai, В = By. Если дополнительно считать первое тело недеформируемым, что эквивалентно равенству (1 — vi)/p,y = 0, то получаем решение задачи (4.98)-(4.100).
5
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА • ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Большое значение для приложений имеют задачи, в которых искомые функции зависят только от двух координат - плоские задачи. При этом различают два случая, математическое описание которых совпадает: плоское деформированное состояние и плоское напряженное состояние.
Плоское деформированное состояние
Рис. 5.1Рис. 5.1Этот случай соответствует длинному призматическому телу (с продольной осью координат z), которое нагружается поверхностными силами, не зависящими от z и не имеющими составляющей вдоль этой оси. В качестве примера на рис. 5.1 показано нагружение цилиндра линейно распределенными вдоль его образующей усилиями pi, Р2, рз- При этом упругое тело может быть или бесконечно длинным, или оно имеет конечную длину и его края соответствующим образом закреплены. В каждом поперечном сечении тела определяющим является тогда плоское деформированное состояние.
Рис. 5.1
Рис. 5.1
В дальнейшем будут применяться упрощенные соотношения, поэто
му индексная (тензорная) форма записи будет использоваться лишь для компактности формул. Перемещения в декартовой системе координат ж, у, z обозначим соответственно через и, v, w. Для плоского деформированного состояния они имеют вид
к = и(х, у\ v = и(ж, у), w = const или w = 0;(5.1)
кроме того, обращаются в нуль все производные по z (по жз). Деформации, в том числе и объемная У, будут следующими:
ехх — я , ОХехх — я , ОХ 1 / Эи , dv \уу Оу у 2\Эу Эх) 1 / Эи , dv \уу Оу у 2\Эу Эх)£хх — Eyz — Ezz — 0,£хх — Eyz — Ezz — 0,Эи । dvЭх дуЭи । dvЭх ду(5-2)(5-2)
ехх — я , ОХ
ехх — я , ОХ
1 / Эи , dv \
уу Оу у 2\Эу Эх)
1 / Эи , dv \
уу Оу у 2\Эу Эх)
£хх — Eyz — Ezz — 0,
£хх — Eyz — Ezz — 0,
Эи । dv
Эх ду
Эи । dv
Эх ду
(5-2)
(5-2)
Остается только одно из условий (1.33), (1.34) совместности деформаций:
+(53)
оу2 ох2 дх ду
Ненулевыми компонентами тензора напряжений являются ахх, Оху> Оуу-> Ozz- Формулы обобщенного закона Гука примут ВИД
®хх ^A^^zz + Х9, оуу — Р^уу 4" Х9,^ху ^P^Xyt ^ZZ — Х9.
Легко показать, что при плоской деформации тела число независимых компонентов тензора напряжений равно трем. В самом деле, из закона Гука при условии ezz = 0 следует
<Чг = у^хх^ауу\(5.5)
Деформации выражаются через напряжения формулами, следующими из (2.8):
^ХХ =~ [°ХХ Ук°УУ + CTZz)],
1и г/. Xi 1vеУУ\аУУ — yk"zz +^ху-^—СГху
Из уравнений равновесия остаются
дсгхх । даху _ у да у у । даху _ q(5 6)
дх ду ’ ду дх ’
причем объемные силы здесь не учитываются.
Граничные условия для напряжений, если на краю цилиндра заданы напряжения Rx и Ry (первая граничная задача), имеют ВИД
<Tracos(v, ж) + oXyCos(v, у) = Rx, оху cos(v, ж) + Оуу cos(v, у) = Ry.■
Если речь идет о призматическом теле длиной I, концевые сечения которого оперты, то для них справедливы граничные условия
w(ж, у, 0) = ш(ж, у, I) = 0.
Тогда силы, действующие в концевых поперечных сечениях,
Pz — J azz dS,s
причем напряжения интегрируются по поперечному сечению призматического тела.
Уравнения равновесия в перемещениях Ламе (3.6) принимают вид
1д_ / ди । Эи к _ q
1 — 2и Эх к Эхду)
л ।1 д (ди . ди\ п
Av -I1= 0.
1 — 2v ду \дх ду/
Соответственно уравнения в напряжениях Бельтрами-Ми- челла (3.13) становятся следующими:
^^хх^^ххуууу^Оху +^Оху +3 д^а1 + v дх23 д2о1 + v ду23 д2а1 + и дхду3 д^а1 + v дх23 д2о1 + v ду23 д2а1 + и дхду= 0,= 0,= 0,= 0,= 0.= 0.
^^хх
^^хх
уу
уу
^Оху +
^Оху +
3 д^а
1 + v дх2
3 д2о
1 + v ду2
3 д2а
1 + и дхду
3 д^а
1 + v дх2
3 д2о
1 + v ду2
3 д2а
1 + и дхду
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
= 0.
= 0.
Здесь среднее напряжение с учетом выражения (5.5) для az будет
1 / . . \ 1 + V / , \О" — —у^ХХ + ^уу + Ozz) — ~ Wxx + ^уу)-
Если у рассмотренного призматического тела конечной длины торцы свободны от нагрузки, то условия плоской деформации нарушаются. Однако и в этом случае для сечений, достаточно удаленных от торцов, можно на основании принципа Сен-Венана полагать деформированное и напряженное состояния соответствующими условиям плоской деформации.
Плоское напряженное состояние
В этом случае речь идет о плоском упругом теле малой толщины (пластине), которое нагружается только силами в своей
плоскости, причем нормальные напряжения в направлении толщины отсутствуют (рис. 5.2). Приложенные силы или равномерно распределены по толщине и, следовательно, не зависят от г (что с хорошим приближением всегда выполняется для тонких пластин), или распределены симметрично относительно так называемой срединной плоскости (воображаемая поверхность, которая делит пополам тол
щину пластины). Тогда может быть введено их среднее по тол
щине пластины значение.
При плоском напряженном состоянии в плоскости ж, у имеются следующие ненулевые компоненты тензора напряжений:
*^хх = СГхх^Х, у), СГуу = СГуу(ж, у),^ху — ^ху(^ ?/)•
Остальные azz = axz = oyz = 0. Компоненты перемещений u, v и w здесь вообще не зависят от z. При этом кинематические уравнения соответствуют уравнениям (5.2) для плоского деформированного состояния, условия совместности — уравнению (5.3), уравнения равновесия — уравнениям (5.6), а краевые условия — условиям (5.7).
Различия между плоским деформированным и плоским напряженным состояниями проявляются при рассмотрении деформаций, например в законе Гука. Так как ozz = 0, то из закона Гука следует
ехх — „(^хх усгуу)> еуу — "^(^УУ уохх),
(5.8)
_ V /х_ 1 + Vv '
^ZZ — —V^xx "Vayyh exy — g °xy
Обращение (5.8) дает выражения напряжений через деформации
Е ,, х^”^Ехх + иеУУ/’Е ,, х^”^Ехх + иеУУ/’°уу ~°уу ~1 ^„2 (ею + №м^1 ^„2 (ею + №м^_ Е°ху — ^ху,1 т V_ Е°ху — ^ху,1 т V
Е ,, х
^”^Ехх + иеУУ/’
Е ,, х
^”^Ехх + иеУУ/’
°уу ~
°уу ~
1 ^„2 (ею + №м^
1 ^„2 (ею + №м^
_ Е°ху — ^ху,1 т V
_ Е°ху — ^ху,1 т V
что отличается от соответствующих формул (5.4), (5.5).
Как уже упоминалось, плоское напряженное состояние реализуется не точно, а лишь приближенно в достаточно тонких пластинах. Файлоном ^ было показано, что можно рассмотреть обобщенный случай и модифицировать приведенные соотношения. При этом предполагается симметричное распределение приложенных сил относительно срединной плоскости пластины. Если предположить, что напряжения azz в пластине отсутствуют, a azx и azy на внешних поверхностях пластины равны нулю, то для перемещений и напряжений вычисляются их средние значения по толщине пластины, например
hахх ~ 7Т / °ХХ dz,-h
где 2/i — толщина пластины. В результате задача сводится к предыдущей.
В Файлон (Filon L. N. G-, 1875-1937), английский математик, физик.
Возникающее в такой пластине напряженное состояние часто встречается в приложениях и является важным для практики случаем. Следуя Ляву, его называют обобщенным плоским напряженным состоянием.
Уравнения совместности в напряжениях
Для решения плоской задачи в напряжениях необходимо уравнение совместности деформаций (5.3) представить в напряжениях, воспользовавшись законом Гука (5.8). В результате этой операции получаем
д2 /\ . 1 д2 /\ Q 1 Э2аХ1 п
ЕЭу2\ ххЕ8х2\ 44 хх) 2G дхду
Далее выразим производные от касательных напряжений с помощью уравнений равновесия (5.6)
Э2<Т1ц _ _д2ахх 82ffxv _ _d2avv
Эхду Эх2 ’ дхду ду2
и подставим их в предыдущее соотношение. После замены модуля сдвига 2G = ЕЦД + и) имеем
д2 /, д2 /\ I I \(82аХх , 82ауу\ п
д^^ ^уу) + —(ауу I/CTxx) + (l+i/)^-^r + -^rJ -0.
После сокращений
(
д2 д2 \
— НI (о"тт Ум/) ~ 0,
Эх2 ду2Гта
или, используя оператор Лапласа в плоской системе координат Д = д2/дж2 + д218у\ получим
Д(сгхх + Ууу) = 0.(5.9)
Следовательно, сумма напряжений является гармонической функцией.
Функция напряжений Эри
При отсутствии массовых сил уравнения равновесия (5.6) тождественно удовлетворяются введением функции напряжений по формулам
д2ф
°хх - ду2 ’
_ _ д2ф_ д2ф
аУУ л 2’ ахУл л '(5.10)
ох2дхду
Искомую функцию Ф(ж, у) называют функцией Эри Ч . Просуммируем нормальные напряжения:
Яф Я2ф . ,
Охх + Оуу — т^- + т~7 = △$•ох2 оу2
Возьмем оператор Лапласа от обеих частей полученного равенства. Так как должны удовлетворяться уравнения совместности деформаций в напряжениях (5.9), то это приводит к основному дифференциальному уравнению для определения функции Эри
(5-11)(5-11)ДДФ = ^+2^- + ^ = 0.
(5-11)
(5-11)
Эх Эх2 ду2 Эу4
Уравнение (5.11) впервые было получено Максвеллом2). Его называют бигармоническим уравнением, а его решения — бигар- моническими функциями.
Появление бигармонического уравнения характерно для теории упругости. Известны его многочисленные частные решения, каждое из которых соответствует определенному напряженному состоянию, удовлетворяющему уравнениям равновесия и совместности. Например:
9 9 3 3 2 2 4 4
X , у , ху, х°, у, х у, ху , х- у4,
cos (Аж) ch (Ay), cos (Ay) ch (Аж), ...
Основная трудность процесса построения решения состоит в подборе функций, удовлетворяющих граничным условиям. Наложением их были решены многочисленные задачи теории упругости, имеющие большое практическое значение. Однако общего решения бигармонического уравнения не существует, и отсутствуют также общие методы его решения.
Для того чтобы замкнуть математическую краевую задачу по определению функции Эри, необходимо выразить через нее граничные условия и перемещения. Соответствующие выкладки приведены в § 14.2.
Замечание. Для получения точного решения задачи теории упругости надо найти такие функции, которые помимо удовлетворения дифференциальным уравнениям задачи, например бигармоническому уравнению (5.11), так же строго удовлетворяли бы граничным условиям в каждой точке поверхности твердо-
го тела. Часто это сделать не удается. Тогда смягчают граничные условия, требуя их выполнения не в каждой точке поверхности, а интегрально. Например, если известно, что на данной грани пластины напряжения отсутствуют, то вместо требования равенства нулю этих напряжений в каждой точке составляют более просто достижимое условие равенства нулю их главного вектора и главного момента.
В результате действительная система напряжений на рассматриваемой грани тела заменяется другой системой, статически эквивалентной первой. В соответствии с принципом Сен- Венана эта замена существенно скажется лишь в окрестности рассматриваемого участка поверхности тела, а в достаточном удалении от него решение практически не будет зависеть от упомянутой замены поверхностных нагрузок.
Примеры решения плоской задачи теории упругости
2 h2 h121С хD-121121С хD-121Пример 5.1. Исследовать, какой внешней нагрузке на кромках пластины (рис. 5.3) соответствует функция напряжений Эри:
2 h
2 h
121
С х
D
-121
121
С х
D
-121
Ф(ж, у) = 2ж3, L = 20h.
Проверяем пригодность заданной функции Ф(ж, у) = 2ж3 для решения предложенной задачи. В связи с этим подставляем ее в уравнение совместности де
формаций плоской задачи теории упругости (5.11)
ДДФ =ДДФ =д4Ф 2 д4ФЭх4Эх2 Эу2д4Ф 2 д4ФЭх4Эх2 Эу2д4Ф 8у4д4Ф 8у4
ДДФ =
ДДФ =
д4Ф 2 д4Ф
Эх4Эх2 Эу2
д4Ф 2 д4Ф
Эх4Эх2 Эу2
д4Ф 8у4
д4Ф 8у4
Получаем тождество 0 = 0, т. е. рассматриваемая функция удовлетворяет бигармоническому уравнению.
По формулам (5.10) вычисляем напряжения, соответствующие заданной функции Ф(ж, у) = 2ж3:
д2Ф д^(2^) = 0Эу2 Эу2д2Ф д^(2^) = 0Эу2 Эу2_ д2Ф а^~ 8^_ д2Ф а^~ 8^^ = 12»,Эх2^ = 12»,Эх2
д2Ф д^(2^) = 0
Эу2 Эу2
д2Ф д^(2^) = 0
Эу2 Эу2
_ д2Ф а^~ 8^
_ д2Ф а^~ 8^
^ = 12»,
Эх2
^ = 12»,
Эх2
д2Ф =д2(2х3) = 0
Эх Эу Эх Эу
Используя граничные условия (5.7)
^ХХ^Х “Ь ^ху^у ~ Rx^ ^ху^х + Oyylу — ^у,
1Х = cos(v, ж), 1у = cos(v, у)
и вычисляя направляющие косинусы нормалей к граням, определяем внешнюю нагрузку на кромках пластины.
Грань ВС. Нормаль щ параллельна оси у;
hx = cos(vb ж) = cos90° = 0; l\y = cos(vi, у) = cosO° = 1.
На грани выполняется условие у = h/2. Тогда
^U = (^xx^lx Т ^xy^Yy^ ly=h/2 = 0 + 0 = 0,
BYy k^xy^Yx Т ^yy^Yy)|y=h/20 T 12ж • 112х.
Грань CD. Нормаль иг параллельна оси ж;
l2x = cos(v2, ж) = cosO° = 1; hy = cos(v2, у) = cos90° = 0.
На грани ж = 20h. Следовательно,
В^х ~ ^ХХ^Х + СГХу^2у)|х=20/1 = 0>
В2у = VC.y^2x Т 0уу^2у)|х=2ОЛ = 0.
Грань DE. Нормаль из параллельна оси у, но направлена в противоположную сторону;
hx = cos(v3, ж) = 0; 1зу = соз(из, у) = cos 180° = — 1.
На грани у = —h/2. Поэтому
Взх ~ (^хх^Зх Т сгху^3у)|у=—h/2 ~ 0j
Взу = (^ху^Зх Т Сгуу^3у)|у=—h/212ж.
Грань ЕВ. Нормаль щ параллельна оси ж, но направлена в противоположную сторону;
^4х = 1? ^4у — 0*
На грани х = 0. Отсюда
R^x ~ (^хх^х Т Сгху^4у)|х=0 0) R^y (^ху^х Т tTyy^4y)lx=0 ^*
В результате на всех гранях нагрузка 7?х отсутствует. Эпюры вычисленной внешней распределенной нагрузки By показаны на гранях пластины (см. рис. 5.3). При наличии ненулевых обеих нагрузок эпюры Rx и Ву нужно строить раздельно.
Пример 5.2. Проверить пригодность функции напряжений
Ф(ж, у) = ах3 + Ьх2у2 + су4
для решения плоской задачи теории упругости; внести соответствующие коррективы, если функция окажется непригодной, и записать ее окончательный вид.
Заданная функция Ф(ж, у) должна удовлетворять бигармо- ническому уравнению (5.11)
△АФ =△АФ =д4Ф [ 2 д4ФЭх4Эх2 Эу2д4Ф [ 2 д4ФЭх4Эх2 Эу2а4Ф
△АФ =
△АФ =
д4Ф [ 2 д4Ф
Эх4Эх2 Эу2
д4Ф [ 2 д4Ф
Эх4Эх2 Эу2
+= 0.
Эу4
Производные, входящие в это уравнение, будут следующими: ^-^ = -^—(аж3 + 6ж2у2 + су4) = 0, Эх4 Эх4a у у
= — (аж3 + 6ж2у2 + су4) = 24с,Эу4 ду4^у у ).
® $ = —-—(аж3 + 6ж2у2 + су4) — 46.
дх2ду2 dx2dy2^a 1
Отсюда
ААФ = 24с + 86 = 0.
Следовательно, чтобы функция напряжений была пригодна для решения плоской задачи теории упругости, должно выполняться условие
6 = —Зс.
Окончательно функцию напряжений Эри принимаем в виде Ф(ж, у) = аж3 — Зсж2у2 + су4.
Пример 5.3. Проверить возможность плоского деформированного состояния (5.1) при следующих компонентах тензора деформаций:.
^хх = 5(ж2 + у2), Еуу = 5у2, Еху = 5жу.
Вначале проверим выполнение уравнения совместности деформаций (5.3)
5 е$$ । д ^уу <2^ ^ху QЭу2 Эх2 Эх Эу
Для этого вычислим производные от заданных деформаций и подставим их в это уравнение:
10 + 0-2-5 = 0.
Уравнение выполняется, следовательно, заданные функции отвечают плоскому деформированному состоянию.
6
ИЗГИБ
• ПЛАСТИНЫ
Составной частью прикладной теории упругости является расчет на изгиб пластин, которые в настоящее время нашли широкое применение в различных областях техники — строительстве, авиации, судостроении, машиностроении и т. д. Это объясняется присущей тонкостенным конструкциям легкостью и рациональностью форм, которые сочетаются с их высокой несущей способностью, экономичностью и хорошей технологичностью.
Основные понятия и гипотезы
Геометрическое место точек, которые делят толщину пластины пополам, называется срединной плоскостью пластины (рис. 6.1). Она играет в теории изгиба пластины такую же важную роль, как нейтральный слой при изгибе балок в сопротивлении материалов. Линию, ограничивающую срединную плоскость пластины, называют контуром пластины.
Условимся оси х и у располагать в срединной плоскости пластины, а ось z направлять вниз. Перемещения срединной поверхности вдоль оси z называют прогибом пластины и обозначают
буквой w. При изгибе срединная плоскость превращается в искривленную поверхность прогибов w = w(x, у). Ее называют срединной поверхностью изогнутой пластины.
Толщина пластины оказывает существенное влияние на ее свойства при изгибе. Различают три вида пластин в зависимости от отношения a/h — отношения характерного размера а в плане к толщине пластины h.
Толстые пластины имеют отношение a/h ^ 8-10. Их расчет ведется с учетом всех компонент напряженного состояния как массивных трехмерных тел.
К мембранам относятся пластины при a/h ^ 80-100. Они могут работать только при достаточно закрепленных краях на контуре. Их сопротивление на изгиб ничтожно мало, и основную роль в восприятии поперечной нагрузки играют усилия растяжения и сдвига в срединной поверхности. Эти усилия создают проекцию на вертикальную ось z и тем самым уравновешивают нагрузку, приложенную к каждому элементу мембраны.
Тонкие пластины, для которых 8-10 a/h ^ 80-100,— самый обширный вид пластин. В зависимости от значения отношения w/h максимального прогиба пластины к ее толщине роль изгибных и мембранных усилий может быть различной. Поэтому этот вид пластин делится еще на два класса: жесткие и гибкие пластины.
Если прогибы малы и w/h ^ 0,2-0,5, то основную роль играют изгибные силовые факторы, а деформациями в срединной плоскости и мембранными усилиями можно пренебречь. Такие пластины называют жесткими. Если величина w/h превышает указанные ориентировочные пределы, то пластина одновременно работает и на изгиб, и как мембрана. Значимость этих факторов становится одного порядка, причем с ростом прогибов роль растяжения срединной поверхности возрастает. В этом случае пластина называется гибкой. Например, железобетонные плиты обычно бывают жесткими пластинами, а стальные листы в зависимости от нагрузки могут работать и как жесткие, и как гибкие.
Ниже приведен расчет тонких жестких пластин на изгиб. Благодаря введению некоторых гипотез теория этих пластин довольно проста и сводится к линейным дифференциальным уравнениям. Деформации гибких пластин (а также мембран и оболочек) описываются системой нелинейных уравнений, что существенно усложняет задачу.
Сформулируем допущения и ограничения, используемые в теории тонких жестких пластин.
Отрезок тп нормали к срединной плоскости (см. рис. 6.1) при изгибе остается прямолинейным и нормальным к деформированной срединной поверхности mini, т. е. справедлива гипотеза прямых нормалей.
Напряжениями надавливания горизонтальных слоев пластины друг на друга ozz пренебрегаем в сравнении с напряжениями охх и оуу, действующими в плоскости слоев.
Два сформулированных допущения в литературе обычно называют гипотезами Кирхгофа, а применительно к оболочкам — гипотезами Кирхгофа-Лява.
Третье допущение носит характер ограничения. Прогибы будем считать настолько малыми (w//i ^ 0,2-0,5), что мембранными усилиями в срединной поверхности можно пренебречь.
Как увидим, определение напряжений и усилий в сечениях пластины — задача статически неопределимая. Решать ее удобно в перемещениях, для чего за основную искомую функцию принимается прогиб w = w(x, у). Затем через нее выражаются все остальные неизвестные величины, и составляется разрешающее уравнение относительно w. После его решения и определения прогибов вычисляются и все остальные параметры. Таков общий путь решения задачи изгиба пластин.
Перемещения и деформации в пластине
Под действием поперечной нагрузки q = q^x, у) пластина прогибается, и ее срединный слой, искривляясь, образует поверхность прогибов w = го(ж, у). Выделим из пластины малый элемент с размерами в плане Дх и Ду и высотой h (рис. 6.2 а). Рассмотрим перемещения произвольной точки О срединного
Рис. 6.2Рис. 6.2
Рис. 6.2
Рис. 6.2
слоя и нормали тп, через нее проходящей (рис. 6.2 6). Так как согласно допущениям срединный слой не растягивается, то точка О переместится только по вертикали на величину прогиба ш, а нормаль тп повернется в пространстве.
Выделенный элемент является частью пересекающихся «стержней», мысленно выделенных из пластины и показанных штриховыми линиями на рис. 6.2 а. Грани элемента являются
нию выделенного элемента внию выделенного элемента вРис. 6.3Рис. 6.3(6Л)(6Л)_ 1£ху — 2_ 1£ху — 2ди ди ду дхди ди ду дхd2wz,дхдуd2wz,дхдуди . dw п Exz = т- + — = О, dz dxди . dw п Exz = т- + — = О, dz dx(6.2)(6.2)£yz —£yz —du dwdz dydu dwdz dy^zz^zzdw dzdw dz
нию выделенного элемента в
нию выделенного элемента в
Рис. 6.3
Рис. 6.3
(6Л)
(6Л)
_ 1
£ху — 2
_ 1
£ху — 2
ди ди ду дх
ди ди ду дх
d2wz,дхду
d2wz,дхду
ди . dw п Exz = т- + — = О, dz dx
ди . dw п Exz = т- + — = О, dz dx
(6.2)
(6.2)
£yz —
£yz —
du dw
dz dy
du dw
dz dy
^zz
^zz
dw dz
dw dz
поперечными сечениями этих стержней, деформирующихся в составе пластины. На рис. 6.2 б показана проекция изгибаемого бруса, параллельного оси ж, на плоскость xz. Из рисунка видно, что в этой плоскости нормаль тип повернулась на угол 0Х = = dw/dx. Аналогичная картина будет наблюдаться и в плоскости yz, где угол поворота нормали равен 0у = dw/dy.
Итак, характерными перемещениями произвольной точки срединной плоскости являются прогиб w = ш(ж, у) и углы поворота нормали 0Х = dw/dx и 0у = dw/dy. Это приводит к искривле
перпендикулярных направлениях и его закручиванию. Тангенциальные перемещения точек рассматриваемой произвольной нормали, расположенных на расстоянии z от срединной поверхности, обозначим через и и и. Из рис. 6.3 находим перемещение и (по аналогии— и):
и = —z0x = -z—, dx
dw
v = —z—.
dy
Знак минус означает, что при положительных 0Х и 0у перемещения точки, у которой z > 0, происходит в сторону, противоположную ОСЯМ X или у.
Используя перемещения (6.1) и принятые допущения по формулам Коши, получим деформации в пластине:
с XXс XXди _ _ d2w _ dv _ _ d2w
с XX
с XX
dx dx2 ’ уу dy dy2 ’
Как видно, деформации произвольного горизонтального слоя пластины изменяются линейно по ее толщине и зависят от трех характерных величин:
1 d2w1 d^wd2w
рх dx2 у pv dy2dx dy
При малых прогибах величины их и иу составляют кривизны выделенного элемента срединной поверхности; х —его кручение; рх, ру — соответствующие радиусы кривизны.
Напряжения и внутренние усилия в пластине
Напряжения в пластине можно определить по формулам (5.8) для плоского напряженного состояния, так как согласно принятым гипотезам ozz = 0. Тогда
-2 (£хх + у£уу)>1 — V-2 (£хх + у£уу)>1 — V._ Е ,, ч _ Е
-2 (£хх + у£уу)>
1 — V
-2 (£хх + у£уу)>
1 — V
уу ~ 1 _ у2 ^£УУ + У£^/> аху ~ J + уе*У
Подставив сюда деформации (6.2), получим
Ez/d2w. d2w\
(6-3)(6-3)1 — v2 \ Эх2 Эу2 )Ez/ d2w. d2w\
(6-3)
(6-3)
Оии 1h и ,
уу 1 - и2 \ Эу2 Эх2 ) ’
_ _ Ez d2w
ху 1 + v дх Эу
Введем интенсивности внутренних силовых факторов с помощью следующих соотношений:
h/2J Oxx^-h/2h/2J Oxx^-h/2h/2Z, МУ = J °УУ2-h/2h/2: У ozx dz, Qy =-h/2h/2Z, МУ = J °УУ2-h/2h/2: У ozx dz, Qy =-h/2Л/2: J OxyZdz, —h/2Л/2: J OxyZdz, —h/2h/2■ J azydz.-h/2h/2■ J azydz.-h/2(6.4)(6.4)
h/2
J Oxx^
-h/2
h/2
J Oxx^
-h/2
h/2
Z, МУ = J °УУ2
-h/2
h/2
: У ozx dz, Qy =
-h/2
h/2
Z, МУ = J °УУ2
-h/2
h/2
: У ozx dz, Qy =
-h/2
Л/2
: J OxyZdz, —h/2
Л/2
: J OxyZdz, —h/2
h/2
■ J azydz.
-h/2
h/2
■ J azydz.
-h/2
(6.4)
(6.4)
Рис. 6.4Рис. 6.4
Рис. 6.4
Рис. 6.4
Здесь Mx, My — изгибающие моменты, Mxy = Myx — крутящие моменты и Qx, Qy — поперечные силы, отнесенные к единице
длины сечений, параллельных плоскостям xz и yz (рис. 6.4).
В отличие от балок при изгибе пластин индексы изгибающих моментов соответствуют направлениям тех напряжений, которыми они создаются. Изгибающие моменты будем считать положительными, если они стремятся изогнуть элемент пластины выпуклостью
вниз.
Несмотря на то, что согласно деформациям (6.2) следует принять огх = р£гх = 0, ozx = 2/zezx = 0, при составлении уравнений равновесия необходимо учесть результирующие силы Qx и Qy, определяемые касательными напряжениями azx и azx, как
величины того же порядка, что и интенсивность поперечной силы р, и моменты Мх, Му, Мху.
Подставляя выражения для напряжений (6.3) в первые три соотношения (6.4), интегрируя по толщине однородной пластины и вводя цилиндрическую жесткость D, получим следующие формулы для изгибающих и крутящего моментов:
Мх =Мх =ОХ оуОХ оуD =D =. / d2w , d2w \W( )Eh3V712(1 - у2)'. / d2w , d2w \W( )Eh3V712(1 - у2)'
Мх =
Мх =
ОХ оу
ОХ оу
D =
D =
. / d2w , d2w \
W( )
Eh3V7
12(1 - у2)'
. / d2w , d2w \
W( )
Eh3V7
12(1 - у2)'
выражают внутренниевыражают внутренниеТаким образом, соотношения (6.5) усилия в пластине через ее прогиб.
выражают внутренние
выражают внутренние
Дифференциальное уравнение изгиба пластины
Рассмотрим элемент, вырезанный из пластины двумя парами плоскостей, параллельных координатным плоскостям xz и yz (рис. 6.5). Для равновесия этого элемента необходимо, чтобы суммы действующих на него сил и их моментов относительно осей х и у в отдельности были равны нулю. Считая массовые силы отсутствующими и пренебрегая величинами третьего порядка малости (не учитываем моменты от приращения поперечных сил), будем иметь
^Ql dy} dx+q dx dy = О,
Му dxМу dx^^ dy^ dx + МХу dy - ^МХу +^^ dy^ dx + МХу dy - ^МХу +- Myx dx + (мух +v dy- Myx dx + (мух +v dy^dx}dy ++ Qy dx dy = 0, ГХ + dxAdy-OX /- Qx dx dy = 0.^dx}dy ++ Qy dx dy = 0, ГХ + dxAdy-OX /- Qx dx dy = 0.
Му dx
Му dx
^^ dy^ dx + МХу dy - ^МХу +
^^ dy^ dx + МХу dy - ^МХу +
- Myx dx + (мух +
v dy
- Myx dx + (мух +
v dy
^dx}dy +
+ Qy dx dy = 0, ГХ + dxAdy-
OX /
- Qx dx dy = 0.
^dx}dy +
+ Qy dx dy = 0, ГХ + dxAdy-
OX /
- Qx dx dy = 0.
После приведения подобных и сокращения на dx dy получим следующую систему уравнений:
SQr + dQy +0,
дхду
(6-6)(6-6)8М1у ЭМу п _
(6-6)
(6-6)
■ дхду +
ЭМух + dNU _ Q (ду дх
Из второго и третьего уравнений системы (6.6) выразим поперечные силы Qx и Qy через производные от моментов и подставим туда соотношения (6.5), связывающие моменты с
производными от прогиба. В результате имеем
+Qy = -D^w. (6.7)
ах \ 8х2 оу2 /Эхоу
Подставляя полученные выражения (6.7) в первое уравнение
получим уравнение Софи Жермен
94w о ^w <Pw _ q_„s
8x4 +28x28y2 + 8y4D"'
Используя бигармонический оператор, который в плоской системе координат принимает вид
\8х2 ду2) \дх2 ду2 /8х4 дх2ду2 ду4
уравнение можно переписать в виде
A2w = —.D
Таким образом, задача об изгибе пластины распределенной нагрузкой q сведена к интегрированию уравнения (6.8).
Граничные условия
Рассмотрим граничные условия для прямоугольной пластины при некоторых способах закрепления ее краев, оси х и у направим параллельно краям пластины.
Защемленный край. Если край пластины ж = 0 защемлен, то прогиб в точках этого края равен нулю, и заделанное сечение пластины не поворачивается (плоскость, касательная к изогнутой срединной поверхности, совпадает со срединной плоскостью пластины до изгиба):
Ш11=11 = °.Ш11=11 = °.?1 =0-Эх 1х=0?1 =0-Эх 1х=0(6-9)(6-9)
Ш11=11 = °.
Ш11=11 = °.
?1 =0-
Эх 1х=0
?1 =0-
Эх 1х=0
(6-9)
(6-9)
Шарнирно опертый край. Если край пластины ж = 0 оперт и может свободно поворачиваться, то прогиб и изгибающий момент на этом крае должны быть равны нулю:
I п i /d2w . d2w\ I nw _n = 0, Mx\ n = IFv= 0.
i®—0'x~0\8x2 dy2 / lx=o
В данном случае шарнирные опоры предполагаются жесткими, w = 0 и линия я = 0 остается неизогнутой. Поэтому производные
8w I _ d2w I _ q 8y lx=o 8y2 lx=o
^1=0.дх2 1х=о^1=0.дх2 1х=оwL=0 = °-wL=0 = °-(6.10)(6.10)Следовательно, граничные условия для шарнирно опертого края будут
^1=0.
дх2 1х=о
^1=0.
дх2 1х=о
wL=0 = °-
wL=0 = °-
(6.10)
(6.10)
Свободный край. Если край х = 0, то, на первый взгляд, нужно потребовать, чтобы вдоль него изгибающий момент Мх, крутящий момент Мху и поперечная сила Qx равнялись нулю:
^l^o-^’ ^ху^-ц — 0, Qx|x_0 — 0.(611)
Таким образом, в этом случае получаются три граничных условия, тогда как в других их было два. Условия (6.11) были получены Пуассоном. Позже (1850 г.) Кирхгоф на основании принципа Сен-Венана показал, что для полного определения прогиба w, удовлетворяющего уравнению (6.8), достаточно двух граничных условий, так как два последних в (6.11) можно объединить в одно:
(6-12)(6-12)Ix - ^хЛ I = о.8у / 1х=0
(6-12)
(6-12)
В результате, подставляя в первое из соотношений (6.11) и в (6.12) выражения внутренних усилий через прогиб (6.5), (6.7), граничные условия для свободного края получаем в виде
( d2wd2w\Ih у)\ дх2ду2 /( d2wd2w\Ih у)\ дх2ду2 /2=02=0= 0,= 0,^ + (2_y)-^L)дх3 v 8х8у2*^ + (2_y)-^L)дх3 v 8х8у2*I =0. (6.13)1®=оI =0. (6.13)1®=о
( d2wd2w\
Ih у)
\ дх2ду2 /
( d2wd2w\
Ih у)
\ дх2ду2 /
2=0
2=0
= 0,
= 0,
^ + (2_y)-^L)
дх3 v 8х8у2*
^ + (2_y)-^L)
дх3 v 8х8у2*
I =0. (6.13)
1®=о
I =0. (6.13)
1®=о
В случае пластины с криволинейной кромкой система координат вводится по нормали и по касательной к границе. Соответствующие внутренние усилия на этой границе выражаются через прежние координатные из условий равновесия элемента, и для них выписываются граничные условия по типу рассмотренных.
Цилиндрический изгиб прямоугольной пластины
Рассмотрим пластину, бесконечно длинную в направлении
оси у, нагруженную постоянной в направлении этой оси поперечной нагрузкой (рис. 6.6). Вдоль оси х нагрузка может меняться
произвольно: q = q(x). В этом случае прогибы пластины w = w(r) образуют цилиндрическую поверхность. Полагая в (6.8) производные по у равными нулю, получим уравнение для определения w в виде
— = 3_.(6.14)
dx4D4'
Здесь применено обозначение для обыкновенной, а не част
ной производной, посколькурис 6 6
прогиб зависит от одного аргу-' "
мента w = ш(х). Уравнение (6.14), описывающее цилиндрический изгиб пластины, совпадает с уравнением изгиба балки, у которой жесткость сечения на изгиб EJ = D. Отсюда величина D
получила свое наименование.
Интегрирование этого уравнения не представляет труда. Его решение будет состоять из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения (у = 0) и частного решения wq уравнения (6.14):
w = Су + С2ж + С^з? + С^х^ + wq. (6.15)
Константы интегрирования С\,... ,64 определяются из граничных условий конкретной задачи.
Пример 6.1. Пусть на пластину действует линейно изменяющаяся нагрузка q = q^x/a, где go = const; а —ширина пластины. За условия закрепления примем условия, показанные на рис. 6.6: слева — заделка, справа — шарнирное опирание. Тогда граничные условия будут типа (6.9) при х = 0 и типа (6.10) при х = а:
d2wlдх2 1а:=аd2wlдх2 1а:=аw| =0, ^1=0; wl =0,
d2wl
дх2 1а:=а
d2wl
дх2 1а:=а
z—дх 1а:=01х=а
Частное решение в этом случае можно принять в виде
Чох3W = —.
120а2)
Подставив его в полное решение (6.13) и используя четыре принятые граничные условия, найдем
СХ = С^ = О, С3 = С4 =’2402)2402)
после чего выражение для w будет
w =+ 2—Y
2402) к а2 а3 а5 /
При цилиндрическом изгибе, когда производные по у равны нулю, выражения для моментов (6.5) упрощаются:
Мх = -D-, Му = -vD— = -vMx.
Эх2’ уЭх2
Подставив сюда найденное выражение для прогиба, получим
МхМх22,3,3
Мх
Мх
2
2
,3
,3
Если пластина имеет конечный размер в направлении оси у, то для создания цилиндрического изгиба необходимо поступать по аналогии.
Замечание. При чистом изгибе прямоугольной пластины поперечная нагрузка отсутствует д = О, а на незакрепленном контуре действуют внешние распределенные изгибающие моменты. В этом случае прогиб следует из (6.15) при wo = 0, где константы интегрирования определяются величиной и характером контурных изгибающих моментов.
Прямоугольная пластина при синусоидальной нагрузке
Рассмотрим частный случай изгиба шарнирно опертой прямоугольной пластины (рис. 6.7), если внешняя нагрузка изменяется синусоидально вдоль каждой из осей координат, имеет максимум до и задается в виде
у(т, у) = до sin —- sin -Л(6.16)
а о
В этом случае искомые прогибы примем в аналогичной форме:
(6-17)(6-17)z ч.7Г®. ТГУ
(6-17)
(6-17)
w(t, У) = Wo sin — sin —,a b
где wq — множитель, подлежащий определению. Изгибающие моменты вычисляются через прогиб по формулам (6.5)
Мх = wqit2D fsin — sin —,
\а2b2 /ab
Му = wqtt2!) fsin — sin —• \62a2/ab
Следовательно, изгибающие моменты распределены в пластине по тому же синусоидальному закону, что и прогибы, и нагрузка.
Граничные условия при шар-оа
нирном опирании заключаются в том, что на контуре обращаются в нуль прогибы и изгибающие моменты. Поскольку произведение синусов на контуре дает нуль, эти условия выполняются.
Для определения амплитуды прогиба wq подставим (6.17) и (6.16) в дифференциальное уравнение Софи Жермен (6.8):
Так как четные производные от слева и справа в этом уравнении виде произведения двух синусов.Так как четные производные от слева и справа в этом уравнении виде произведения двух синусов.синуса опять дают синус, то получим общие множители в Приравнивая коэффициентысинуса опять дают синус, то получим общие множители в Приравнивая коэффициентыd4u> . 2 d4w . d4w _ q(x,y) дх4 дх2ду2 Эу4 D
Так как четные производные от слева и справа в этом уравнении виде произведения двух синусов.
Так как четные производные от слева и справа в этом уравнении виде произведения двух синусов.
синуса опять дают синус, то получим общие множители в Приравнивая коэффициенты
синуса опять дают синус, то получим общие множители в Приравнивая коэффициенты
при них, имеем
wqwqдоDдоD
wq
wq
до
D
до
D
В прямых скобках стоит квадрат суммы квадратов, отсюда
wq =wq =(6.18)(6.18)
wq =
wq =
(6.18)
(6.18)
Таким образом, выражение для прогибов (6.17) удовлетворяет дифференциальному уравнению изгиба пластины и принятым граничным условиям. Амплитуда прогиба при этом определяется выражением (6.18).
Решение в двойных тригонометрических рядах
Решение этой задачи, предложенное Навье, справедливо при действии произвольной поперечной нагрузки, если все стороны прямоугольной пластины являются шарнирно опертыми.
В этом случае заданная внешняя нагрузка q^x, у) раскладывается в двойной тригонометрический ряд
ОО ОО
q(x, у) = 52 52 Чтп sin ^^ sin(6.19)
п=1 т=1
где qmn — коэффициенты разложения нагрузки; т, п = 1, 2, 3, ... — целые числа.
Для вычисления qmn воспользуемся известным из курса математического анализа свойством фундаментальности и ортогональности используемой системы синусоидальных функций. Следовательно,
/. тпх . пих , sinsindxа а о/. тпх . пих , sinsindxа а о0, а/2,0, а/2,т = пт = пSm = sm^dy=\J b Ь у I Ь/2Sm = sm^dy=\J b Ь у I Ь/2т ^ пт — пт ^ пт — п(6.20)(6.20)
/. тпх . пих , sinsindx
а а о
/. тпх . пих , sinsindx
а а о
0, а/2,
0, а/2,
т = п
т = п
Sm = sm^dy=\
J b Ь у I Ь/2
Sm = sm^dy=\
J b Ь у I Ь/2
т ^ п
т — п
т ^ п
т — п
(6.20)
(6.20)
Справедливость формул (6.20) можно проверить непосредственным интегрированием.
Теперь умножим обе части равенства (6.19) на
. 1нх . рни Пх
sin — sin (t, р— целые числа) а Ь
и проинтегрируем по площади пластины. Если теперь придадим I, р конкретные значения т, п, то в силу (6.20) все слагаемые в правой части окажутся равными нулю, кроме одного, со значениями т, п. Тогда из этого равенства найдем
а Ь
qmn- —7 / [ q(%, у) sin 1^- sin ^dxdy.(6.21)
ab J Ja b
0 0
Тем самым заданная нагрузка представлена в виде набора отдельных синусоидальных составляющих с коэффициентами Qmn (6.21), что позволяет применить рассмотренную ранее процедуру получения решения. Теперь задача сводится к определению прогибов от отдельных членов ряда (6.19) и суммирования полученных результатов в виде
ОО ОО / х• гптгя • пни,„ ППХ
w(z, у) = > > wmn sinsin—-,(6.22)
'a b
n=l m=l
где wmn — искомые коэффициенты разложения прогиба в двойной тригонометрический ряд. Для их определения член ряда
с номерами т, п и с такими же номерами член ряда для нагрузки (6.19) подставляем в дифференциальное уравнение изгиба пластины (6.8). В результате после приравнивания коэффициентов и решения полученного равенства имеем выражение для коэффициента, аналогичное (6.18):
^mn = --. t™(6-23)
^т2/а2 + n2/b2)
Зная прогиб пластины и коэффициенты (6.23), найти внутренние усилия (6.3), (6.5) не составляет труда.
Применение одинарных тригонометрических рядов
Приведенное выше решение Навье в двойных тригонометрических рядах ограничено тем, что все четыре кромки пластины должны быть шарнирно закреплены. Использование одинарных тригонометрических рядов в изгибе пластины существенно расширяет класс задач, допускающих решение. Искомое решение принимается в виде
ОО
w(x, у) = У Ym sin ™,(6.24)
т=1
где Ym = Ym(у) — функции аргумента у, подлежащие определению.
Легко убедиться, что прогиб (6.24) удовлетворяет условиям (6.10) опирания пластины на жесткие шарнирные опоры двух параллельных кромок х = 0 и х = а, так как сам прогиб и его вторая производная здесь обращаются в нуль.
Функции Ущ (у) должны выбираться так, чтобы выражение ш(ж, у) удовлетворяло уравнению Софи Жермен (6.8) и граничным условиям на продольных кромках у = ±5/2. Эти кромки могут быть закреплены произвольно.
Разложим заданную внешнюю нагрузку q в одинарный ряд
ОО
9($, 2/) = У 9m (у) sin —.(6.25)
Пользуясь свойством ортогональности синусов (6.20) при различных числах т, найдем множитель qm в виде
а
9m = - / 9($, У) smdx.a Jа
0
Подставим теперь в уравнение изгиба пластины (6.17) т-й член ряда из (6.24) и (6.25). После приравнивания коэффици-
ентов получим неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции Ym^y):
Y^ - 2А2У" + X4Ym = А = —;(6.26)
Dа
штрихами здесь обозначены производные по у.
Общий интеграл этого уравнения Ym складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения (при 9m = 0) и частного решения Ymo уравнения (6.26). Общее решение однородного уравнения было получено в двух формах: первая — показательная форма
Уто = С^ + С^Хуе"^ + Сзе^ + С4Хуех\ вторая — гиперболо-тригонометрическая —
Уто = C'l ch Ху + С^Ху sh Ху + Сз sh Ху + С4Ху ch Ху. (6.27) Причем во втором случае первые два слагаемые составляют симметричную часть решения относительно оси ж, а вторые — антисимметричную. Константы интегрирования Cj, ... , С4 находятся из граничных условий на продольных кромках пластины у = ±Ь/2.
Частное решение уравнения (6.26) зависит от вида функции 9m (у). Например, если qm - линейная функция от у;
qm = А + By, то подстановкой легко убедиться, что
УтО = ^(А + Ну).
Внутренние усилия в пластине теперь легко получить, используя формулы (6.3), (6.5) и решение (6.27).
Прямоугольная пластина на упругом основании
Если пластина лежит на сплошном деформируемом основании, то при записи дифференциального уравнения изгиба необходимо учесть распределенную по площади пластины реакцию (отпор) основания (рис. 6.8) Обозначив интенсивность реакции через qR = qR^x, у), уравнение изгиба запишем в виде
d4w । 2 ^w । 94w _ q + qn
Эх4 дх2ду2 dy4 D 1 где q — интенсивность внешней распределенной нагрузки.
В зависимости от свойств деформируемого основания связь между реакцией и прогибом может быть различной. В практике
Рис. 6.8Рис. 6.8часто используют известную из курса сопротивления материалов модель Винкле- раЛ), согласно которой
Рис. 6.8
Рис. 6.8
qr = -xw. (6.29) Здесь х — коэффициент жесткости упругого основания (коэффициент постели); знак минус указывает на то, что реакции направлены в сторону, противоположную прогибу.
Подставив (6.29) в (6.28)
и перенеся это слагаемое влево, получим уравнение
изгиба пластины, лежащей на винклеровом основании:
(6.30)(6.30)dw . п d4w . d4w . х q
(6.30)
(6.30)
-—- + 211w = —.
дх4 dx2dy2 dy4 D D
Для интегрирования уравнения (6.30) можно применять любой из рассмотренных ранее методов. Так, в случае шарнирно опертой пластины нагрузку и прогибы, следуя § 6.8, представим в виде двойных тригонометрических рядов:
ОО ОО
/\• ТП1ГХ .717Г1/
у)= > > qmn sinsin —S 'а о
п=1 т=1
ОО ОО
/ х. Ш'КХ .717Г1/
У) — 7 7 ^тп SinSin —^.
п=1 т=1
(6.31)(6.31)Повторяя выкладки указанного параграфа, придем к следующей формуле для wmn:
(6.31)
(6.31)
штп —22 2
7Г4 D (1—- )
\ а2 Ь2 )
В частном случае при х = 0 формула для прогиба (6.31) совпадает с полученной ранее (6.23).
Данное решение предполагает, что связи между пластиной и упругим основанием работают как на сжатие, так и на отрыв
(двусторонние связи). Такое решение будет верно только в том случае, если с учетом всех нагрузок (например, собственного веса плиты) суммарная реакция во всех точках опирания пластины будет сжимающей. В противном случае путем последовательных приближений нужно определять зону отрыва плиты от основания и уравнение (6.30) решать совместно для двух областей — вдавливания пластины в основание, где х\ = х и отрыва при х^ = 0.
Заметим, что другой распространенной моделью деформируемого основания является модель упругого полубесконечного пространства.
Изгиб круглой пластины
При изучении изгиба круглой пластины удобно использовать полярную систему координат (г, 99). В этой системе координат на основании формул, выражающих зависимость между полярными и декартовыми координатами,
г2=ж2+у2, y> = arctg-.(6.32)
х
Гармонический оператор принимает вид
+ia1_а^(
Зх2 Зу2 дг2 т Зтт2 dip2v ’
Следовательно, уравнение изгиба пластины (6.8) в полярной системе координат будет
^1 , 1.5 , dr2 т дт^1 , 1.5 , dr2 т дтl^W^ia + г2 dip2 / V dr2 г дтl^W^ia + г2 dip2 / V dr2 г дт1 а2 \qг2 dip2 )D1 а2 \qг2 dip2 )D(6.34)(6.34)
^1 , 1.5 , dr2 т дт
^1 , 1.5 , dr2 т дт
l^W^ia + г2 dip2 / V dr2 г дт
l^W^ia + г2 dip2 / V dr2 г дт
1 а2 \q
г2 dip2 )D
1 а2 \q
г2 dip2 )D
(6.34)
(6.34)
Обозначим действующие в сечениях с нормалями г и у из
гибающие моменты соответственно через Мг, М^, а крутящий
момент — через MTtp. Эти моменты, как обычно, отнесены к единице длины. Предположим, что ось Ох совпадает с полярным радиусом г, тогда моменты Мт, М^, и МГ1#>, будут иметь те же самые значения, что и моменты Мх, Му, и Мху (рис. 6.9).
Таким образом, в формулах (6.3). (6.5), переходя с помощью (6.31), (6.32) от декартовых координат к полярным и принимая 99 = 0, окончательно
будем иметьбудем иметь
будем иметь
будем иметь
d2w d2w\r,fd2w ./1dw . 1 d2w\\
Fv=—DIFv1
dx2 dy2 / p=0 к dr2 к r dr r2 dp2 / /
nfl^w j 1 ^2w ,82w\
\r dr r2 dtp2 dr2 )
=(6.35)
K ' Xrdrdp r2dp2)'K ’
Z") _ n d /d2w1 dw 1 d2w\
w r — и — I4-1.
dr \ dr2 r dr r2 dp2 /
_ nl d (d2w1 dw1 d2w\
r dip X dr2r drr2 dtp2 /
^1 = 0; dr 1г=аМг| =0;’ 1г=а ’^1 = 0; dr 1г=аМг| =0;’ 1г=а ’(6.36)(6.37)(6.36)(6.37)Если край круглой пластины радиуса а защемлен, то
^1 = 0; dr 1г=а
Мг| =0;
’ 1г=а ’
^1 = 0; dr 1г=а
Мг| =0;
’ 1г=а ’
(6.36)
(6.37)
(6.36)
(6.37)
= О,1г=а ’
при шарнирном опирании
= О,
1г=а ’ для свободно опертого края
Mr\r=a = 0, (Qr-1-^=о.
х г dp )т=а
Общее решение уравнения (6.34) можно принять в виде
w = Wq + W1,
где wq — какое-либо его частное решение,
1 d2 \(6-38)r2 dip2 )1 d2 \(6-38)r2 dip2 )a2 \_d_ j__^_W21 + 1А
1 d2 \
(6-38)
r2 dip2 )
1 d2 \
(6-38)
r2 dip2 )
dr2 r dr r2 dp2 / \Уг2 r dr
ОООО
Wi = Т^ (г) + J2 Rn^ (r)cos ntP + '5L R^ (r) sin nip71=171=1
— общее решение однородного уравнения. Слагаемое R^^ (г), не зависящее от угла р, представляет собой симметричный изгиб круглой пластины.
Подставим решение Клебша в однородное уравнение (6.38), тогда для ri-го члена ряда получим
(^+1д-=;)(^+1^-^))=о
где к = 0, 1, 2.
Общее решение этого уравнения следующее: при п = О
R^ = Ao + Bor2 + СоInr + Dqt2 Inr;
при n = 1
rW = A^ + B^r3 + C^V1 + D^r Inr;
при n ^ 2
RW = A^r" + B^r"n + C^t^2 + D^V1^2.
Постоянные интегрирования A^\ Bn\ C^ и D^ определяются из граничных условий.
Симметричный изгиб круглой пластины
Если нагрузка q распределена симметрично относительно центра пластины, то прогиб ш не зависит от координаты tp. В этом случае из уравнения (6.34) следует
/ d2 . 1 d \ / d2 . 1 d \ g(r)
I -|- ) I1)w =
\dr2 r dr / \dr2 r dr / D
Это уравнение представим в свернутом виде, удобном для непосредственного интегрирования,
l£(rA[lAfr^ll = ?W.(6.39)
г dr V dr Lr dr \ dr / А )D
Проведя последовательно четырехкратное интегрирование уравнения (6.39), получим прогиб
ш = (7) + (7гг2 + (7з Inr + (Tir2 Inr + wq. (6.40) Здесь
wo = ^ J-drJ г dr j - dr j qrdr.(6-41)
Постоянные интегрирования Ci, ... , C4 определяются из условий закрепления пластины.
Пример 6.2. Рассмотрим случай q = const. Из (6.41) полу-
Если пластина сплошная, то для ограниченности решения (6.40) в начале координат следует положить (7з = 0, тогда прогиб
w = (71 + С2Г2 + С4Г2 Inr + -^-. (6.42)
На основании формулы для поперечной силы из (6.35) и выражения (6.40) получим
Qr = -d(-9-t + 4(W(6.43)
\2D г /
С другой стороны, вырезая из пластины окружным сечением круг радиуса г, можно найти Qr из суммы проекций всех сил на ось z:
г 2тг
Qr • 2тгг + J J qrdrdtp = O, Qr = — у. (6.44) о о
Приравнивая (6.43) и (6.44), получаем С4 = 0. В результате решение (6.42) принимает вид
w = Ci + С^т1 +.(6.45)
640
Если край пластины заделан, то, подставляя (6.45) в граничные условия (6.36), получим систему линейных алгебраических уравнений:
С'1 + С'2а2 + ^1 = 0, 2С'2а2 + ^+У(2С'2 + ^-) =0.
640160\160/
Определив постоянные Ci, (72, выражение для прогиба пластины в случае заделки ее контура будет следующим:
q /22\ /5 + и 22\
w = —— (а — г ) а — г .
640 v 7 U + и /
В случае шарнирного опирания контура пластины, после подстановки прогиба (6.45) в граничные условия (6.37), следует:
01 + С2а2 + 55- = о, гСга + ^^О.
640160
Определив постоянные интегрирования Сд, С2, окончательно получим прогиб при этих граничных условиях:
Напряжения в пластине теперь можно вычислить по формулам типа (6.3).
Эллиптическая пластина
Рассмотрим равномерно нагруженную эллиптическую пластину, защемленную по контуру (рис. 6.10):
Дифференциальное уравнение изгиба пластины
A2w=D
и граничные условия на контуре
w = О, — = Оon
будут удовлетворяться, если для прогиба принять выражение, предложенное Брайэном т),
w = w0.(6.46)
\ а2 о2 /
Это выражение и его первые производные по ж и у обращаются на контуре в нули. Подставив (6.46) в уравнение изгиба пластины, увидим, что оно будет удовлетворяться, если только
W0 -W0 -(6-47)(6-47)9
W0 -
W0 -
(6-47)
(6-47)
/242416 \ ‘
\а4 + Ь4 + а2Ь2 )
Таким образом, решение (6.46) является точным для равномерно нагруженной эллиптической пластины, защемленной по
Рис. 6.10Рис. 6.10контуру. Подставив ж = у = 0 в выражение (6.46), получим, что wq, определенное формулой (6.47), будет прогибом пластины в ее центре. Если а = Ь, то получим решение для круглой, защемленной по контуру, пластины. При а = оо следует прогиб равномерно нагруженной полосы пролетом 2Ь, защемленной по концам. Внутренние моменты в пластине можно по
Рис. 6.10
Рис. 6.10
лучить, подставив выражение для прогиба (6.46) в формулы (6.5). После этого мы увидим, что максимальное напряжение изгиба получается на концах малой оси эллипса.
Если на защемленную по контуру эллиптическую пластину
действует линейно изменяющееся давление q = qox, то решением будет
W° 24£> 512
а4Ь4а2Ь2
О Брайэн (Bryan G. Н., 1864-1928), английский математик, астроном, механик.
Из этого выражения, как и в предыдущем случае, можно вычислить внутренние изгибающие и крутящие моменты и провести анализ напряженного состояния пластины.
Во всех ранее рассмотренных в этой главе задачах: изгиба пластины уравнения равновесия выводились статическим путем и везде использовались кинематические гипотезы Кирхгофа. При отказе от этих гипотез вывод уравнений равновесия и силовых граничных условий удобно осуществлять, используя вариационный принцип Лагранжа.
Круглая упругая трехслойная пластина
Все более широкое применение в интенсивно развивающихся
отраслях промышленности — авиа- и ракетостроении, транс
портном машиностроении находят слоистые элементы конструкций. Это объясняется рядом их положительных качеств: вы
сокой удельной жесткостью, хорошими тепло- и звукоизоляци
онными свойствами, высокими аэродинамическими качествами.
Рис. 6.11Рис. 6.11В качестве примера рассмотрим симметричный изгиб несимметричной по толщине упругой трехслойной пластины круглой формы (рис. 6.11).
Рис. 6.11
Рис. 6.11
Постановку задачи и ее решение проведем в цилиндрической системе координат г, ip, х. Срединную
плоскость заполнителя при-
мем за координатную, ось х
направим ей перпендикулярно вверх, к слою 1. Для тонких внешних несущих слоев толщиной /ii ^ h^ принимаются гипотезы Кирхгофа, для толстого жесткого заполнителя (/13 = = 2с), воспринимающего нагрузку в тангенциальном направлении, справедлива гипотеза о прямолинейности и несжимаемости деформированной нормали. Проекции внешней нагрузки на вертикальную и радиальную оси координат следующие: q = q^r\ р = р(г). На контуре пластины предполагается наличие жесткой диафрагмы, препятствующей относительному сдвигу слоев (^ = О при т = 1).
В силу симметрии нагрузки тангенциальные перемещения в слоях отсутствуют: и^ = О (А: —номер слоя), а прогиб пластины ш, относительный сдвиг в заполнителе -ф и радиальное перемещение координатной поверхности и не зависят от координаты р, т. е. w = w(r), и = и (г), ф ф^т). В дальнейшем эти
функции считаем искомыми. Все перемещения и линейные размеры пластины отнесены к ее радиусу го; силовые характеристики — к 1 Па; через hk обозначена толщина к-ro слоя. Используя гипотезу прямолинейности нормали заполнителя
после интегрирования получим выражения для радиальных перемещений в слоях и^ через искомые функции:
up) = и + сф — zw,r, c^z^.c + hi‘
и^ = и + zip — zw>r, — с ^ z ^ с;(6.48)
иР) = и — сф — zmiT, — с — h^ ^ % ^ —с,
где z — расстояние от рассматриваемого волокна до срединной плоскости заполнителя, и + сф— величина смещения внешнего несущего слоя за счет деформации заполнителя; для второго несущего слоя это смещение будет и — сф. Запятая в нижнем индексе обозначает операцию дифференцирования по следующей за ней координате.
Деформации в слоях следуют из (6.48) и соотношений Коши:
Ер) = U г + Сф r — Z1D ТТ, Е^ = -(и + Сф — ZW г), Е^ = 0,
Ер) =и г +^,Г -^W,rr, Ер) = -(и + гф - ZW ^, Ер) = \ф,
Ер) = U г — сф г — ZW гг, Е^ = -(и — Сф — ZW г), Е^ = 0.
(6.49)
Введем обобщенные внутренние усилия и моменты в пластине:
зз
= £ fa^dz,
^—1к=1/^^
33
mq = J2 mW = ^ J dz,(6.50)
k=lk=1hk
Ha = M^ + c (t« - T^ , Q = IaW dz,
—c
где aQкомпоненты тензора напряжении (a = r, tp).
Считаем, что к наружным поверхностям несущих слоев приложены произвольные распределенные нагрузки, к торцам стер-
жня - усилия и моменты. Вариация работы внешней поверхностной нагрузки будет следующей (dS = г dr dtp):
(6.51)(6.51)Mi = J J (q6w + p5u)r dr dtp.s
(6.51)
(6.51)
Вариация работы контурных усилий Т®, Н^ М^ Q°
2тг
М2 = j (T?5u + H^-vM®5wr-vQ°6w)dtp. (6.52) о
Вариация работы сил упругости
6W =6W =//2 J (а^бе^ +aW6eW)dz + Jа^бф S Lk=l hk-с//2 J (а^бе^ +aW6eW)dz + Jа^бф S Lk=l hk-сdz г dr dtp.dz г dr dtp.(6.53)(6.53)
6W =
6W =
//2 J (а^бе^ +aW6eW)dz + Jа^бф S Lk=l hk-с
//2 J (а^бе^ +aW6eW)dz + Jа^бф S Lk=l hk-с
dz г dr dtp.
dz г dr dtp.
(6.53)
(6.53)
Здесь двойной интеграл распространен по всей срединной поверхности заполнителя S. Так как вариации перемещений в слоях
би^ = би + сб-ф — z^w,г,с ^ z ^ с + /zi;
<fa/3) = би + гбф — z6-w;T,—c^z^c,
би^ = би — сб-ф — гб-ш>Г, -с — h2 С z С -с,
то вариации деформаций следующие:
Jep) = би, т + сб-ф, 1— z6u)iTr, бе^ = -(би + сбф — z6w,r),^3) = би т + гбф , — гб-ш rr, бе^ = i(Ju + гф — zJwjr),(6.54)6e^ = би т — сбф r — z6w rr, 6e^ = i(Ju — сбф — гб-ш — , r),6^ = х-бф.
Рассмотрим суммарный интеграл по толщине слоев, входящий в виртуальную работу сил упругости (6.53). Используя (6.54) для радиальных составляющих в первом слое, получим
z6wjrr) dz =z6wjrr) dz =j a^6e^dz — J а^\би1Г + сбф1Т hihi
z6wjrr) dz =
z6wjrr) dz =
= Т^би r + сТ^бф,г - М^бш,гг.
Аналогично
Jg^6e^ dz = Т^6и1Г — сТ^&^г — M^6w)Tr, hi
Jg^5e^ dz = ТрЧи r + M^5ij),r - M^6w,rr, ha
J g^Se^ dz = J g^-(би + сб-ф — z§v)^ dz =
= 1 ^6и + сТ.^бф - M^Sw,^ ,
Jg^e™ dz = i (т™6u - сТ^бф - M^dw,^ , ha
J g^6e^ dz = ^- (т^би + М^бф - M^6w,^ .
ha
Просуммируем полученное:
зс
£ / (aWj£W + О^бЕ^ dz+ [ G^dz =
k=lhk-c
= Tr6utr+Hr6il>tr—Mr6w^rr+Q6‘ip+- (Т^би + Нфб'ф — Мфби)^^,
где внутренние усилия Та, Ма, На и Q введены соотношениями
-
Вариацию потенциальной энергии деформации получим, подставив последнее выражение в (6.53) и введя интегрирование в полярной системе координат. Тогда
5TV = jJ [r(TrJujr + Нтб^т — MT6wiTT + Q6ip)+ г у
+ Тфби + Нфбф — Мфбии, r] dtp dr.
Преобразуем подынтегральное выражение, представив его слагаемые в виде
тТтби>т = (гТгби))Г — (гТг),г($и,rHT6^iT = (rHr6i/j)r — ^тНг^тбф,tMt6wiTT = (rMr6w>r)r — [(гМг)1Г5ш]1Г + (rMr)irT5w,Mv6wyr = ^Мфбии^т — Мф^бш.
После этого выражение для вариации работы напряжений 6W можно разбить на два интеграла, вынося в первом из них операцию дифференцирования за общую скобку, а во втором — группируя слагаемые при одинаковых виртуальных перемещениях: (W = JI {rTr6u + тНт6-ф — гМг($ш)Г + [(гМг))Г —Л^rd<pdr—
Т ф
// {[(гТг),г - Tj Ju + [(гЯг),г - Hv - rQ]^ -
г у
- [(гМг),гг - Му,)Г]($ш} dtp dr.
Отсюда
2тг
SW = J {тТг6и + гНгSip — rMT5wiT + [(гМг))Г — M^Jw} dp — о
JJ {[(rTr)>r — Т^]би+[(rHr)>r — Hv — rQ]6ip —
r ф
- [(гМг))ГГ -M^r]^} dp dr. Приравняем полученное выражение работе внешних и контурных усилий (6.51), (6.52) и потребуем выполнение этого равенства при любых значениях варьируемых перемещений. Это возможно при равенстве нулю коэффициентов при независимых вариациях искомых функций. Отсюда следует система дифференциальных уравнений равновесия в усилиях, описывающая деформирование круглой трехслойной пластины:
Т^т + “(^Г ~ Т^ = —р,
Нт,г + Цнг - Hv) - Q = 0,(6.55)
МТ1ТТ Н—(2МГ]Г — М^ф) = —q.
На границе г = 1 должны выполняться силовые условия:
Тт = Т^ Нг = Я°, Мг = М^ Мт,т + Цмг - Мф = Q0. (6.56)
Предполагается, что связь напряжений и деформаций в слоях описывается соотношениями линейной теории упругости (без суммирования по к)
8к=2Скэка, ок = Кк9к.
Подставив сюда деформации (6.49) и воспользовавшись соотношениями (6.50), получим выражение обобщенных усилий TQ,
Ма и На через три неизвестные функции: и = и(г), ф = ^(г)> го = го (г). Вывод распишем подробно для ТТ:
ззз
Тт == ^J а^ dz = ^J £Gk3W + 3Kke^ dz =
fc=lk=l kkk=1hk
3
= ^ У V2Gk^W - £W) + 3Kke^ dz = k=xhk
3
= E У \2GkeW + ^Kk - |Gk)(£W + £W)] dz = k=xhk
з
= E У № + |Gk)£W + (Kk - |Gfc)£W] dz. k=x hk
Для удобства введем следующие обозначения: Кк + -Gk = К^ Kk — -Gk = Кк . Тогда, расписывая последнюю сумму по слоям, имеем
с+/ц
Тг = у ^^(и^ + сф)Т — zwiTT^ + -К^(и + сф — zw]r)j dz + С
+ у p<2"(ujr — сф)Т — zw,rr) + -К^и — сф — zw)r)j dz + —c—hz
с+ У [^3+(“,r + N,r—сс+ У [^3+(“,r + N,r—с- ^)ГГ)- ^)ГГ)+ -К3 (и + гф — zw^r)I dz.+ -К3 (и + гф — zw^r)I dz.(6.57)(6.57)
с
+ У [^3+(“,r + N,r
—с
с
+ У [^3+(“,r + N,r
—с
- ^)ГГ)
- ^)ГГ)
+ -К3 (и + гф — zw^r)I dz.
+ -К3 (и + гф — zw^r)I dz.
(6.57)
(6.57)
Выпишем простейшие интегралы, которые нам в дальнейшем понадобятся: с+/цс
У dz = hk, у zdz = hi ^с + ^-^, Jzdz = O, hkс—с
zdz =zdz =c+/ll2
zdz =
zdz =
У z2 dz = hi (с2 + chi + y С
J z2 dz = |c3, —cJ z2 dz = |c3, —cJ z2 dz = c—hiJ z2 dz = c—hihi (c2 + ch^, + ^-^.hi (c2 + ch^, + ^-^.
J z2 dz = |c3, —c
J z2 dz = |c3, —c
J z2 dz = c—hi
J z2 dz = c—hi
hi (c2 + ch^, + ^-^.
hi (c2 + ch^, + ^-^.
С помощью этих соотношений, после интегрирования выражения (6.57) и приведения подобных, получаем
з
Тг = ^2,ьк(к+ит + ^К^+с(К+Нг - K^h-Mr + fc=iт
+ c^hx -K^h^t - [к+/ц(с + у) -K^h2(c + у)]^гг- - \к^Ь1(с+^\ -K2h2(c + ^AW.
L 1\2 /К 2 / J г
Выражение для Tv можно получить из Тг, поменяв местами К^ и К^. так как зз
Тф-Ц j№* + KtsW'jdz^ht^u., + Sk+) +
+ C^hy - K^h^r + с^к+к - K^h^ - [Kf/ii (c + y)- - K2h2(c+-AAw,rr-- K*h2(c + —^^.
\2 / J ’ L \2 /\2 / J r
По аналогии получаем обобщенные моменты Ма, На:
Мг = [/^(с+у) -K2+/i2(c+^)]ur +
+ [кГ/цГс + ^-) -K2~/i2fc+^)l- + I 1\2 /\2 / J г+ [кГ/цГс + ^-) -K2~/i2fc+^)l- + I 1\2 /\2 / J г++ [cKf/ц (с ++ cK^h2 (с ++ 2-c3Kf\ 1 -++ [cKf/ц (с ++ cK^h2 (с ++ 2-c3Kf\ 1 -L\2 /\2/0 JF-[^+Л1- [^-Л! (с2 + с/ц + у) + К^Н2 (с2 + ch2 + у) + ^Кз"] ^,L\2 /\2/0 JF-[^+Л1- [^-Л! (с2 + с/ц + у) + К^Н2 (с2 + ch2 + у) + ^Кз"] ^,с2 + chi +с2 + chi +с2 + ch2 +с2 + ch2 +to,rr~to,rr~
+ [кГ/цГс + ^-) -K2~/i2fc+^)l- + I 1\2 /\2 / J г
+ [кГ/цГс + ^-) -K2~/i2fc+^)l- + I 1\2 /\2 / J г
+
+ [cKf/ц (с ++ cK^h2 (с ++ 2-c3Kf\ 1 -
+
+ [cKf/ц (с ++ cK^h2 (с ++ 2-c3Kf\ 1 -
L\2 /\2/0 JF
-[^+Л1
- [^-Л! (с2 + с/ц + у) + К^Н2 (с2 + ch2 + у) + ^Кз"] ^,
L\2 /\2/0 JF
-[^+Л1
- [^-Л! (с2 + с/ц + у) + К^Н2 (с2 + ch2 + у) + ^Кз"] ^,
с2 + chi +
с2 + chi +
с2 + ch2 +
с2 + ch2 +
to,rr~
to,rr~
Hr = c(K^hi - K^h^u^ +с(Кг hy - K2 h^- +
+ ^(K+zti + K+h2) + |c3k+] v», r +
+ ^(Kf/H + K2h2) + ^K^ 1 -
- [c(7f+Mc+y)+^2+Mc+y)) +^^^
- [c^f/n (С + у) + K2h2(c + ^)) + jc3-^] ^- Q = 2cG3V>.
Соотношения для Mv, Нф следуют из Мг, НТ1 если поменять местами и «"к , поэтому здесь их приводить не будем.
После подстановки полученных выражений для обобщенных внутренних усилий и моментов в (6.55) получаем в перемещениях следующую систему дифференциальных уравнений равновесия для круглой трехслойной пластины:
L2(aiu + а2^ ~ «зю, г) = -р;
£2(^2^ + «4^ — абШ)Г) — IcG^ = 0;(6.58)
Ьз(«з« + а^ф - a6w,r) = -q.
Здесь коэффициенты а^ и дифференциальные операторы £2 (оператор Бесселя ^, La определяются соотношениями
з
«1 = 2 hkK^ а2 = с^К - h2K*\ fc=i
aa = hx (с + ^К^-h2(c+^K^
«4 = <?^НуК* + h2K2 + IcK^,
«5 = с[/ц(с + ^K* + h2(c+^K* + |c2K3+],(6.59)
«6 = hl (с2 + chy + —«6 = hl (с2 + chy + —к+ + /12 (с2 + ch2 +К* + |с3 К3+,
«6 = hl (с2 + chy + —
«6 = hl (с2 + chy + —
^M = (l(rg),r)+ ^ - ^,
L3(g) S l(rL2(g)),r Sg,m +- fc + ^.
Задача определения функций u(r), ^(r), w^r) замыкается присоединением к (6.58) граничных условий, например (6.56).
После однократного интегрирования из третьего уравнения (6.58) следует
£г(«зи + «5^ — a6W г) =[qrdr + —.
Г JГ
Константа интегрирования Су будет определена далее.
Используя полученное уравнение и первое из (6.58), можно исключить из второго уравнения этой же системы радиальное перемещение и (г) и прогиб го (г). В результате получим неоднородное модифицированное уравнение Бесселя для нахождения
функции ^>(г)
L2W — Р2ф = /•(6.60)
Здесь
о2 _ 2с6звз, 0104 — 02
РЬ1Ьз-ЬГ 1О! ’
^ _ 0105 - 0203 , Ьз _ 0106-Оз,(6.61)
О1О1
№ = ^L^V^--»"-^ + М firdr-a
616$ — 6g L 016$63Г V
Соответствующие числовые множители включены в константу интегрирования Су.
Решение полученного уравнения можно представить в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения фо и частного решения фТ неоднородного уравнения (6.60)
(6.62)(6.62)Ф = фо + фг,
(6.62)
(6.62)
причем
LibM — Р^Фй = 0.
Решение этого уравнения известно [19]:
Фо = 021^ + СзКтфт).(6.63)
Здесь /1 (/Зг) — модифицированная функция Бесселя первого порядка, Ку (/Зг) — функция Макдональда первого порядка, которые в общем случае при г > 0 можно представить следующими рядами [58]:
_(z/2)2^_к!Г(А: + п +1) ’_(z/2)2^_к!Г(А: + п +1) ’ООw = Ек=0
_(z/2)2^_
к!Г(А: + п +1) ’
_(z/2)2^_
к!Г(А: + п +1) ’
К„м = (-1)"+17„И In i + ;Е ^^V^ ^Г"" + k=0'
Г^ = J е-Ч2"1 dt, P(n + 1) = n!, ^z) = Г'(г)/Г(г). о
Здесь P(z) — гамма-функция, штрих вверху -- производная по х\ при п = 0 первую из сумм в Кп^х) следует полагать равной нулю.
Как известно из теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка, частное решение уравнения (6.60) можно представить через два линейно независимых решения соответствующего однородного уравнения
Фг = Ki (Я j WW dr - Wr) I ^i№ dr, где W — определшпелъ Вронскогоx). В нашем случае
W{Z1,K1} = K1,rZ1-Z1,r Ку = -А г
Таким образом,
фТ = —Ку(Зт) JhWf^rdr + Zi(^r) JKy(3r)f(r)r dr.
(6.65)
Суммируя (6.63) и (6.65), получаем искомое решение для сдвига (6.62). После этого прогиб и радиальное перемещение следуют из оставшихся уравнений системы (6.58)
w = Г -/ L2 W + т- [L^^dr -
оз JЬзй! JЬз J
-Lc-tr^lnr - 1) ++ С6 In г + С-4,
4оз4оз
(6.66)
Оз 02/1 г—1/ \ I СчТ , Сеи = —w,TфЦ Vp) + — + ~•
01ai О12 т
Здесь Z,^"1, L3 1—линейные интегральные операторы, обратные дифференциальным операторам (6.59)
Ь^Ц^ = - J г dr J / dr, L$\f) = - J г dr J -dr J rf dr.
Исходя из условия гладкости решения в центре пластины (г = 0), для сплошных пластин необходимо в (6.61), (6.65), (6.66) положить
Су = с3 = С6 = С8 = 0.
Остальные четыре константы интегрирования определяются из граничных условий.
В результате точное решение задачи теории упругости о деформировании сплошной круглой трехслойной пластины
J) Вронский Юзеф (Wroncski U., 1776-1853), польский математик.
принимает вид
Ф = 0211(3^ А-Фп
и = fc1^ - ^(р) + (а5 - ф + С7г],«Юб —\ аз /J
(6.68)
w =+ (
03 L х рJ /
- J{^(р) - ^(g)) dr+^ + С4].
Если контур пластины заделан (и = ф = w = wiT = 0 при г = 1), то получим следующие константы интегрирования:
фт IСг - - w)L’
UrdA ) +
х 0J 1г=1/
+ [(a^w -^-‘t,))*!- s (6.68)
J xoi/ lr=l 4
C5 = 2(az,-i(p)-L-i(,))|r=i,
O', = (—£p(p) - bptgjll ■Хаз/ lr=l
В случае изгиба пластины равномерно распределенной поперечной нагрузкой (р = 0, q = const) из (6.61) и (6.65) следует
/(г) =——т-г, ipr =^2—т.
’2(Ь1Ьз-Ь|)Acb3Gs
Подставив эти выражения в формулы (6.67), (6.68), получим решение задачи теории упругости об изгибе круглой трехслойной пластины, защемленной по контуру,
= Ьгд fWr)\
4сЬзСз\ 1^0)/’
« = -^[(»5-^)« + г<г2-1)1,(6.69)
«106—«3 Lx Оз / IoJх 7
to = _bh_/Wr)zWl - Цг - 1)) + -l-(r2 - 1)2.
4c6jG3X 0W)2 х V 64Ьз
При шарнирном опирании пластины (u = ip = w МТ = 0 при г = 1) будут следующие константы интегрирования:
С = —^2— С =^ (2
2 “ 4сЬ3С3ЬфУ 44cb3G3\0h(.0)2/644’
С5 = —^—|а3и г(1) +^;Г(1)Га5 -- —2-(За6 - а?)],
ag + ат L\ о3 /1663J
с7 = —2-,V> г(1) =-21(6.70)
7V 4cb3G3lW) ГV 7
Чг(1) =- ^Wr(l) + 2],
aide — L \ аз /о J
а7 = ^(c2 + chA + ^K; + h^c1 + ch2 + ^K^ + ^K^.
В случае свободного края пластины константы интегрирова
ния определяются из условия типа (6.13).
Более подробно задачи прикладной теории упругости рассмотрены в монографиях [6, 40, 43, 52, 53, 56].
7 основы
* • ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Способность твердых тел деформироваться под действием приложенных к нему внешних сил и получать постоянные или временные остаточные {пластические) деформации при снятии нагрузки называется пластичностью. При этом между напряжениями и деформациями, возникающими в теле, не существует взаимно однозначной зависимости, т. е. по данным напряжениям нельзя найти деформаций и, обратно, по данным деформациям нельзя найти напряжений.
В теории пластичности изучаются законы, связывающие напряжения с упругопластическими деформациями, и разрабатываются методы решения задач о равновесии и движении деформируемых твердых тел. Теория пластичности, являющаяся основой современных расчетов конструкций, технологических процессов ковки, прокатки, штамповки и других, а также природных процессов (например, горообразования), позволяет выявить прочностные и деформационные ресурсы материалов. Пластические деформации до разрушения достигают значений 10-20 % , в то время как упругие — 0,3-0,5 % . Поэтому расчеты на прочность, основанные на допустимости только упругих деформаций, часто нецелесообразны технически и экономически. Учитывая пластические деформации, можно снизить концентрацию напряжений в конструкциях, повысить сопротивляемость тел ударным нагрузкам, определить запасы прочности, жесткости и устойчивости, тем самым обеспечить наиболее рациональное функционирование, надежность и безопасность конструкций.
Пластичность материалов при растяжении и сжатии
Проявление свойств упругости и пластичности обнаруживается при достаточно медленном, так называемом статическом или квазистатическом приложении внешних сил. В этом случае проявление свойств деформируемости практически не зависит от времени, скорости возрастания нагрузки, продолжительности действия внешних сил.
Рассмотрим основные явления пластичности на простейшем примере растяжения-сжатия цилиндрического образца. Для
определенности будем предполагать, что материал образца обладает качественно такими же упругопластическими свойствами, как сталь, алюминий, медь, никель и другие металлы, причем до начала опыта он является изотропным и имеет одинаковый предел текучести на растяжение и сжатие. Через ст будем обозначать растягивающее напряжение в образце, а через £ — относительное удлинение.
Зависимость напряжений ст от относительных деформаций £ при растяжении образца (рис. 7.1) для большинства материа-
Рис. 7.1
лов имеет прямолинейный начальный участок, пока напряжение не превышает предел пропорциональности сгпц. В этой области справедлив закон Гука? За прямолинейным следует криволинейный участок, на котором нарушается линейная связь между напряжениями и деформациями. При этом некоторые материалы имеют четко выраженную площадку текучести (рис. 7.1 а), а некоторые (рис. 7.1 б) — нет. В этом случае принимают условный предел текучести — напряжение, при котором пластическая деформация, остающаяся после снятия нагрузки, составляет 0,2 %, или 0,002. Он обозначается сгод.
В дальнейшем предел текучести всегда будем обозначать через стТ. Точке А диаграммы растяжения образца (см. рис. 7.1 а^ соответствует напряжение ст и полная деформация £, которую, в свою очередь, можно разделить на упругую деформацию £е и пластическую ер. После разгрузки упругая деформация исчезает, а пластическая остается.
При разгрузке образца зависимость между напряжениями и деформациями носит линейный характер, причем наклон соответствующей прямой такой же, как и первоначального участка. Таким образом, при разгрузке материал образца ведет себя как упругий.
Если образец после полной разгрузки снова нагрузить растяжением, то, как это видно из рис. 7.1 в, линейный участок будет
продолжаться до бблыпих значений а = а’Т1 чем это было в первый раз (сф > <гт). Следовательно, при повторном нагружении образца после пластического деформирования предел пропорциональности материала повышается. Это явление называется наклепом.
Если же повторное нагружение осуществлять усилием противоположного знака — сжатием, то на пластичность материал выйдет при напряжениях, меньших первоначального предела пропорциональности ат (а" < стт). Это явление подробно исследовано Баушингером В и носит его имя — эффект Баушингера. Если при этом выполняется равенство ст'т + а" = 2<гт (на сколько увеличивается предел текучести при растяжении, на такую же величину он уменьшается при сжатии), то материал называют циклически идеальным.
Таким образом, предварительно растянутый до образования пластических деформаций образец имеет за счет наклепа увеличенный предел пропорциональности при растяжении и уменьшенный — при сжатии. Здесь следует заметить, что подобное исследование требует нового опыта, поскольку длинные образцы, применяемые при растяжении, теряют устойчивость при сжатии. Обычно из растянутого образца вырезают короткий цилиндрический образец, который и подвергают сжатию. Однако результаты его испытаний можно нанести на прежнюю диаграмму и вести все рассуждения так, как если бы образец остался одним и тем же.
Вообще говоря, как указывает Белл [5], каждый аспект явления, которое Баушингер систематически исследовал, был в действительности открыт другими. Видеман ) в 1858 г. изучил остаточные деформации при кручении как функции от нагрузки обратного знака. Тарстон) в 1874 г. первым опубликовал работу об увеличении предела упругости пластически деформированного образца. Впоследствии (1876) он же первым из экспериментаторов предположил, что в пластичности может быть вязкость.
Как показывают эксперименты, определенное влияние на кривую деформирования образца оказывает скорость возрастания нагрузки, или скорость деформации. В обычных испытательных машинах скорость деформирования образцов изменяется в пределах £ = 10~5 — 10""2 с-1. Такой режим деформирования называется статическим. Диаграмма статических испытаний не зависит от скорости деформации. Эта зависимость заметно
проявляется, начиная со скоростей порядка 10 тс т. На рис. 7.2 приведены схематические диаграммы испытаний малоуглеро-
Рис. 7.2Рис. 7.2диетой стали, полученные при трех разных уровнях скоростей деформации: кривая 1 соответствует ё = 10~4 с-1, 2—0,5 с-1, 3 —102 с-1. Их сравнение показывает, что модуль упругости при одноосном растяжении практически не изменяется. Пределы текучести по напряжениям и по деформациям увеличиваются с ростом скоростей растяжений. Это расширение диапазона упругих деформаций связано с инерцией механизма пластического деформирования.
Рис. 7.2
Рис. 7.2
Аналитическое представление зависи
мости предела текучести от скорости деформации можно принять линейным [54]:
О"т — (7т0 + ЦоЁ,
где <гто — статический предел упругости, цо — экспериментально определяемая константа материала.
При увеличении скорости деформирования заметно повышается временное сопротивление ав (предел прочности) материала (напряжение, соответствующее разрушению), а соответствующая ему деформация ев (предельное пластическое удлинение) сокращается. Это явление называется охрупчиванием материала. Ведь хрупкий материал разрушается без заметных пластических деформаций, предшествующих разрыву.
Для высокопрочных сталей диапазон пластических деформаций, предшествующих разрушению, вообще невелик и сокращается очень резко при динамическом нагружении. Охрупчивание углеродистой стали SAE1020, резкое сокращение предельного пластического удлинения начинается со скорости деформаций 2 • 102 с-1. При возрастании скорости до 3 • 102 с 1 предельная деформация сокращается почти вдвое.
Совершенно отчетливо проявляют зависимость от скорости деформаций, начиная с 10-1 с-1, высокопрочные титановые сплавы. При повышении скорости наблюдается снижение предельных пластических удлинений и повышение временного сопротивления материалов.
Здесь следует отметить, что до сих пор нет надежных систематических экспериментальных исследований влияния скоростей деформаций для многих материалов. Это связано с тем, что предельные скорости, при которых наблюдаются описанные эффекты, не имеют широкого распространения в технике. Поэтому в подавляющем большинстве случаев статической диа-
граммы испытаний материала на растяжение оказывается достаточно для характеристики его механических свойств.
Несравненно заметнее проявляется зависимость свойств материала от скоростей испытания металлов в условиях повышенных температур. В этом случае существенно меняются значения не только предельных деформаций, но и временного сопротивления, и угол наклона кривой деформирования на начальном участке.
Условия пластичности
Теория пластичности устанавливает связь между напряжениями и деформациями (деформационные теории) или скоростями изменения деформаций (теории пластического течения) в областях пластичности материалов. При этом часто напряжения зависят не только от текущих деформаций, но и от истории (процесса) деформирования. Естественно, что соответствующие задачи в силу нелинейной связи напряжений с деформациями оказываются гораздо сложнее задач теории упругости. С целью их упрощения зависимость а~е для реального материала часто аппроксимируют в виде кусочно-ломаных прямых, как это показано на рис. 7.3. Наиболее простой является диаграмма Прандтля для идеально пластического материала (мягкие стали, титановые сплавы), показанная на рис. 7.3 а.
<7<7Рис. 7.3Рис. 7.3
<7
<7
Рис. 7.3
Рис. 7.3
Диаграмма с линейным упрочнением приведена на рис. 7.2 в. Эти две аппроксимации наиболее часто используются при решении задач теории пластичности. Например, теория идеальной пластичности применяется для расчетов элементов строительных конструкций по несущей способности.
Кривые а^е при растяжении и сжатии для большинства материалов весьма близки, и мы будем полагать их в дальнейшем совпадающими. Более тщательные эксперименты показывают, что закон разгрузки не всегда линеен. В существующих теориях
пластичности этими незначительными отклонениями от закона Гука при разгрузке пренебрегают, как и разницей между пределом пропорциональности и пределом текучести. Определяющие уравнения связи напряжений с деформациями не содержат время в явном виде.
Рассмотрим тело произвольной формы, считая, что начальные напряжения и деформации в нем отсутствуют. На начальном этапе нагружения такого тела возникают только упругие деформации и, следовательно, появление пластических деформаций однозначно определяется действующими напряжениями. В связи с этим условие пластичности можно записать в виде некоторой функции компонент тензора напряжений. Для изотропного материала условие появления пластических деформаций не может зависеть от выбора системы координат. Поэтому соответствующая функция должна определяться тремя инвариантами тензора напряжений, в качестве которых можно взять, например, три главных напряжения:
/(<ть сг2, <т3) = 0.(7.1)
Сюда, как правило, входит некоторая постоянная величина (предел текучести), характерная для данного материала. При одноосном растяжении имеем ст у = стТ.
Пластические деформации, как показывают эксперименты, связаны с явлениями сдвига. Поэтому, естественно, что и имеющие широкое распространение теории пластичности в основе своей сравнивают некоторые касательные напряжения с предельными, вызывающими появление текучести. Сен-Венан1), основываясь на опытах Треска2) по истечению металлов через отверстия, высказал предположение, что переход из упругого состояния в пластическое происходит, если максимальное касательное напряжение достигает некоторого предельного значения для данного материала:
I |°г1°"з| Ст
I'maxl —2— 2 ’
ИЛИ
<Т1 - <т3 = <гт,(7.2)
где, как и ранее, главные напряжения пронумерованы в порядке убывания величин cti ^ <т2 сг3, ст т — предел текучести материала при растяжении. Материал тела предполагается перво-
х) Следует отметить, что всемирно известному ученому Б. Сен-Венану, родившемуся в 1797 г., был 71 г., когда он был, наконец, избран во Французскую Академию. Этому виной его антивоенная студенческая активность, выразившаяся в оппозиции к Наполеону в 1814 г.
Треска Анри Эдуард (Tresca Henri Edouard, 1814-1885), французский ученый в области механики. Заложил основы теории пластичности. Основной цикл работ по течению твердых тел опубликован в шестидесятых годах XIX века.
начально изотропным. Заметим, что в курсе «Сопротивления материалов» критерий Треска-Сен-Венана известен нам также под названием теории прочности максимальных касательных напряжений (<тэкв = o"i — <т3 ^ [у]).
Другой критерий пластичности определяет переход из упругого состояния в пластическое первоначально изотропного материала, если
С^и '” <7Т- (7*3)
Здесь tru — интенсивность напряжений (1.24), которая пропорциональна октаэдрическому касательному напряжению, а ее квадрат пропорционален второму инварианту девиатора напряжений:
Ou = -3^2d = | [(<71 - <72) + (<т2 - <73)2 + (<т3 - У^2] .
В этом случае не максимальное, а октаэдрическое касательное напряжение достигает предельного для данного материала значения. Этот критерий соответствует известному условию энергетической теории прочности и носит название условия (критерия') пластичности Мизеса (Хубера1) -Мизеса 2) -Хенки )).
Результаты, получающиеся по критериям пластичности (7.2), (7.3), достаточно близки. Однако следует заметить, что большинство опытов, проведенных для плоского напряженного состояния, показывают лучшее согласование с критерием Мизеса. При решении конкретных задач, как правило, пользуются тем критерием, который упрощает решение.
Многочисленные эксперименты свидетельствуют о том, что при всестороннем растяжении или сжатии материал деформируется упруго. Тогда можно принять, что условие пластичности в общем случае определяет не весь тензор напряжений, как в (7.1), а только его девиаторную часть. Как мы уже говорили, переход в пластическое состояние не может зависеть от выбора системы координат, поэтому условие пластичности есть некоторая функция от инвариантов девиатора напряжений. Первый инвариант равен нулю (Дд = 0), поэтому в общем случае условие появления пластических деформаций определяется вторым и третьим инвариантом девиатора напряжений:
/i(^2d,-7з<;) = 0. (7.4)
г) Хубер М. Т. в 1904 г. опубликовал в Польше статью [61], в которой связал переход в пластическое состояние с энергией формоизменения. Работа была обнаружена через несколько десятков лет.
Это уравнение в системе координат tri, а-^ а^ описывает некоторую поверхность, которую называют поверхностью текучести.
Приведенные критерии пластичности дают возможность зафиксировать момент появления первых пластических деформаций. Этих критериев достаточно для решения задач пластичности в том случае, когда деформирование материала при одноосном напряженном состоянии подчиняется диаграмме Прандтля (см. рис. 7.2 а). Объясняется это тем, что при повторном нагружении подобных материалов не происходит изменения условия появления пластических деформаций.
Ситуация изменяется, если рассматриваемый материал обладает -упрочнением, (см. рис. 7.2 б, в). Для таких материалов при повторных нагружениях характерно увеличение предела текучести, величина которого зависит от накопленной пластической деформации. Здесь следует ввести условие упрочнения, которое по виду напоминает условие пластичности (7.4):
Ш><ь J3d) = Ф(ч)-(7.5)
Рис. 7.4Рис. 7.4Условие (7.4) содержит инварианты девиатора напряжений и константы материала, например предел текучести. В условие (7.5) входит некоторая функция Ф(т/), зависящая от параметра упрочнения т/ материала. Это уравнение в пространстве главных напряжений также определяет поверхность текучести, изменение положения, формы и размеров которой в процессе нагружения характеризуют деформационное упрочнение материала. Если параметр упрочнения совпадает с интенсивностью деформаций, то в качестве одного из вариантов критерия (7.5) можно взять обобщение условия Мизеса
Рис. 7.4
Рис. 7.4
(ти = Ф(е„).
Приведем примеры построения поверхностей текучести (7.4) для рассмотренных критериев пластичности.
В случае критерия Мизеса (7.3) уравнение поверхности текучести (о"и = <гт) можно записать в виде
(^1 - (Т2)2 + (<^2 - ^з)2 + (о"з - сД2 - 2<Тт = °-
Полученное уравнение в осях oi, о"2, 03 описывает цилиндр (рис. 7.4), ось которого равнонаклонена к координатным осям. Если рассечь цилиндр плоскостью 03 = 0, то в сечении будет эллипс, уравнение которого:
с? - сг1сг2 + о-2 = Ст-
Следовательно, критерию пластичности Мизеса соответствует поверхность текучести в форме кругового цилиндра, радиус которого в плоскости, перпендикулярной к оси, равен yT/V2-
Если принять критерий Треска-Сен-Венана (yi — уз = ут), причем иметь в виду, что не всегда нумерация главных напряжений известна заранее, то могут иметь место следующие равенства:
О"1 — Уз = ±°т, <^3 — У2 = ±УТ, У2 — °1 = ±<г-
Поверхность текучести в этом случае представляется в виде шестигранной призмы с осью, также равнонаклоненной к осям У1, о"2, °"з (рис. 7.5 а). Эта призма, называемая призмой Кулона1^ , оказывается вписанной в цилиндр Мизеса. Оси призмы и цилиндра совпадают. Уравнение этой оси будет yi = а^ = уз- На рис. 7.5 б показано сечение цилиндра и призмы плоскостью уз = 0, соответствующее плоскому напряженному состоянию.
Замечание . Для того чтобы воспользоваться условием пластичности Сен-Венана, необходимо заранее знать, какое из главных напряжений является максимальным, а какое — минимальным. При использовании условия Мизеса вообще нет надобности в определении главных напряжений.
Условие уи = ут можно выписать, используя (1.24), и через напряжения в произвольных координатных осях:
(уц — О"22)2 + (<722 — О"зз)2 + (узз — уц)2 +
+ 6 (у 12 + у23 + y2i) = 2у2.
Поэтому во многих случаях использование условия пластичности Мизеса при решении задач оказывается более удобным, чем условия Сен-Венана. Максимальное отличие расчетов по этим критериям не превышает 13 % (случай чистого сдвига).
Простое и сложное нагружения
Определяющие соотношения теории пластичности, т. е. зависимости между напряжениями и деформациями, очевидно, должны учитывать не только текущие значения компонент тензора напряжений и деформаций, но и пути их достижения. В теории пластичности различают два вида нагружения тел: простое и сложное.
Напомним (§ 1.9), что нагружение называется простим, если все компоненты тензора напряжений возрастают пропорционально одному общему параметру t (например, времени). В этом случае компоненты направляющего тензора (1.26) остаются неизменными. Иначе нагружение называется сложним.
Рассмотрим примеры простого и сложного нагружений. Допустим, что цилиндрическая трубка находится под действием равномерного осевого растяжения и кручения (рис. 7.6). Если
Рис. 7.6Рис. 7.7
трубка имеет достаточно тонкую стенку, то напряженное состояние в ней можно считать плоским. Нормальное напряжение и касательное т находятся из известных выражений
„ — Р - _ .
I-kRS ’ itR4
При изменении внешних воздействий Р, тк пропорционально одному параметру А, например времени, осуществляется простое нагружение, так как компоненты тензора напряжений изменяются пропорционально этому же параметру. На рис. 7.7 траектория нагружения показана в осях напряжений ах, т. Простое нагружение соответствует лучу О А.
Таким образом, для простого нагружения справедливы равенства
где о"^ — некоторые начальные значения тензора напряжений при приложении нагрузки. Тогда среднее напряжение <т, интенсивность напряжений аи и модуль девиатора напряжений s в
силу формул (1.24), (1.25) также будут линейны относительно параметра А:
ст = Асг0, сти = Ха^, з = /-сти = As0.
В свою очередь компоненты направляющего тензора напряжений (1.26) не зависят от А, так как
— Otj c6ij Xffjj XCT°6ij —О
8ij sX^ - Sir
Теперь рассмотрим другое нагружение (см. рис. 7.7), при котором к трубке сначала прикладывается осевая нагрузка Р, создающая нормальное напряжение. После того как значение последнего достигает величины ст*, прикладывается крутящий момент тк. Нормальное напряжение ст* в процессе приложения крутящего момента остается неизменным, а касательное — возрастает от нуля до значения т*. В результате приходим опять в точку А, но по ломаной траектории. Такое нагружение будет сложным. К аналогичному результату можно прийти, сначала закручивая трубку до значения т*, а затем растягивая ее до напряжения ст*.
Для упругого тела последовательность его нагружения какой- либо роли не играет, так как имеет место однозначное соответствие между напряженным и деформированным состояниями независимо от того, каким образом они созданы.
В упругопластических телах ситуация оказывается принципиально отличной. Здесь существен не только характер напряженного состояния в его точках, но и путь, по которому оно было создано. В зависимости от этого может значительно меняться деформированное состояние в одних и тех же точках тела.
Ильюшиным доказана теорема о достаточных условиях простого нагружения. Для этого необходима пропорциональность внешней нагрузки одному некоторому общему параметру и степенная зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций:
сти = Ае“,
где А и а — постоянные величины.
При а = 0 это уравнение совпадает с условием пластичности Мизеса сти = const. При малых значениях а оно дает кривые с малым упрочнением дсти/деи, а при а = 1 — закон Гука.
Заметим, что это условие является достаточным, но не необходимым. Простое нагружение может иметь место и в некоторых случаях, когда указанное условие нарушается.
В исследованиях пластичности существенно различать активные и пассивные процессы деформирования. При активном процессе, называемом также нагрузкой, приращение работы,
6 А Р Рптлтттуппи нтпп ГТ R TanTravnufvirS
производимой внешними нагрузками над телом (или силами взаимодействия рассматриваемого элемента материала с окружающими частями среды), положительно. Отрицательное приращение этой работы соответствует пассивному процессу, или разгрузке. Рассматривая элементарный объем материала, условие активного процесса можно записать в виде неравенства
CTijfiSij > О, а условие пассивного процесса — в виде ^ij^ij < 0.
Иногда за активный процесс принимают такой, при котором пластическая деформация возрастает, а за пассивный — при котором пластическая деформация остается неизменной.
В теориях пластичности предполагается, что в любой момент процесса деформирования тензор полной деформации представляется в виде суммы тензоров упругой и пластической деформаций:
причем первый тензор изменяется как при активном, так и при пассивном процессах, тогда как тензор пластической деформации изменяется только при активном процессе.
Пластическая деформация определяется как совокупность компонентов тензора деформации, сохраняющихся в рассматриваемой точке среды, когда все компоненты тензора напряжений в этой точке обращаются в нуль. Таким образом, пластические деформации отождествляются с остаточными деформациями.
Гипотезы теории
малых упругопластических деформаций
В основе этой деформационной теории лежат гипотезы, предложенные Хубером, Мизесом, Хенки и обобщенные на случай материала с упрочнением Надаи. Она предполагает, что для упругопластических тел можно установить зависимости между напряжениями и деформациями, подобно закону Гука для упругих тел. Развитие и обоснование теории малых упругопластических деформаций связано с работами Ильюшина. Поэтому часто теорию малых упругопластических деформаций называют теорией пластичности Ильюшина. Здесь принимается, что при простой активной деформации первоначально изотропного материала, свойства которого не зависят от третьего инварианта тензора напряжений, справедливы следующие три гипотезы.
Упругость объемной деформации. Объемная деформация тела 6 считается упругой, она прямо пропорциональна
среднему нормальному напряжению ст и для нее справедлив закон Гука
ст = Кв = ЗКе.
Это означает, что изменение объема происходит только за счет упругих деформаций, а при пластическом деформировании материал ведет себя как несжимаемый. Поэтому иначе эту гипотезу можно сформулировать так: за счет пластической деформации изменение объема тела не происходит.
Соосность девиаторов. Компоненты девиатора деформаций э^ пропорциональны компонентам девиатора напряжений Sij. Связь между ними запишем в форме, предложенной Ильюшиным:
s4 = —3ih(7-6)
где сти, eu — интенсивности тензоров напряжений и деформаций.
В компонентах напряжений и деформаций выражение (7.5) принимает вид
°v — стб^ = - —(sij — e^ij^ (b 3 = Г 2, 3).
Гипотеза упрочнения. Независимо от вида напряженного состояния для каждого материала имеется универсальная зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций:
°й = Ф(е«).(7.7)
Для упругого материала эта связь выражается линейной зависимостью
(Ту = ЗСтЕу.
Экспериментальная проверка приведенных гипотез дала достаточно хорошие результаты для простого или мало отличающегося от простого нагружения. Процесс деформирования при этом должен быть активным, без разгрузок.
Хотя условие пропорционального нагружения в реальных условиях осуществляется редко, однако, как показывают опыты, рассмотренная деформационная теория подтверждается и в тех случаях, когда имеет место некоторое отступление от закона пропорционального нагружения.
Постановка задач теории малых упругопластических деформаций
Рассмотрим упругопластическое тело, находящееся под воздействием массовых сил pF^ и поверхностных нагрузок Ri. Для решения задач теории малых упругопластических деформаций, 6*
т. е. для определения неизвестных перемещений, деформаций и напряжений (uj, сту еу г, j = 1, 2, 3), имеются уравнения равновесия, соотношения Коши, уравнения совместности деформаций и граничные условия:
^yj + Р^г = 0; ^Eij — ^i,J "Г *Ъ>*>
ец,зз + Бун — 2ey,ij = 0;^
к^Ук ~ ^jk,i + £fci,j),i £Ц,зк = 0;
&ijlj " ^^ на ^о^ ^i — “0г на S-ц,-
Физические уравнения состояния удобно записывать в виде
Si, = 2С<р(еи)эу ст = ЗКе.(7.9)
Здесь S^j — ^ij ^^iji ^ij " ^ij ^ij^iji ^ 3 " ^? 2, 3.
Сравнивая (7.7) и (7.9), находим выражение функции пластичности tp(eu) через введенную ранее универсальную функцию Ф(еи):
dLr£v
Уравнения (7.8) справедливы только при нагружении. В случае упругой разгрузки из обобщенного закона Гука (2.6) следуют соотношения
стц - аГ = 2ц(ец - ^) + А(0 - 0'),(7.10)
где сгГ и еГ — напряжения и деформации, существовавшие перед началом разгрузки, А и ц— постоянные Ламе. Уравнения разгрузки в форме (7.10) сохраняются до появления в процессе разгрузки новых (вторичных) пластических деформаций.
При решении задач упругопластичности в зависимости от постановки искомыми функциями являются либо перемещения, либо напряжения. Полученное решение должно удовлетворять не только силовым и кинематическим граничным условиям, но и дополнительным условиям на поверхности раздела зон упругих и пластических деформаций.
Задача теории пластичности является нелинейной, поэтому возникает вопрос о ее существовании и единственности.
В [24] доказано утверждение: при условии
3G ^ — ^ — > 0(7.11)
Ец d,Eu
система уравнений (7.8), (7.9)—эллиптического типа, причем решение этой краевой задачи существует, если существует решение соответствующей задачи линейной теории упругости.
Относительно единственности Ильюшиным была доказана следующая теорема [15]: при заданных объемных силах pFi,
поверхностных силах Ri на части граничной поверхности Sa и перемещениях и, на части граничной поверхности Su, напряженное и деформированное состояния тела, т. е. и,, ст^, е^, определяются единственным образом, если нагружение простое.
Метод упругих решений
Решение задач теории пластичности связано с решением системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, что представляет собой чрезвычайно сложную математическую задачу, которая в аналитическом виде решается, как правило, в исключительных случаях. Поэтому чаще всего используются приближенные методы. Одним из них является метод последовательных приближений, предложенный Ильюшиным для решения задач теории малых упругопластических деформаций при активном нагружении и называемый в теории пластичности методом упругих решений. Суть его заключается в рассмотрении последовательности линейных задач теории упругости, решения которых с увеличением порядкового номера сходятся к решению задачи теории пластичности.
Для построения алгоритма метода представим функцию <р(еи) в виде
</?(eu) = 1 - w(eu).(7.12)
Подставим (7.12) в (7.9), тогда физические соотношения становятся следующими:
Sij = 2G(1 — w(Eu))azj, ст = ЗКе,(7.13)
где 0 ^ w < 1, причем w(eu) = 0, если еи ^ ет.
Таким образом, при ш = 0 уравнения (7.13) совпадают с соотношениями линейной теории упругости. Запишем дифференциальное уравнение равновесия и граничные условия, разложив тензор напряжений на девиаторную и шаровую части:
su i + ст i + pFi = 0,,,
3,3’(7.14)
Sijlj “Ь стЦ — Ri на Sq^ Ui ищ на Sy.
Задачу упругопластичности будем решать в перемещениях. С этой целью подставим компоненты (7.13) в уравнения равновесия и силовые граничные условия (7.14) и учтем соотношения Коши. В итоге получим обобщение уравнений Ламе (3.6):
(А + p)6,i + p^Ui + pFi — Fui = О,
XGli “Ь p^Ui^j 4* ^j,i)^j — Ri 4~ R^i*
Здесь
F^i — 2G(W3ij),y , Rtoi — ^GoijljU).
За нулевое приближение примем ш^ = 0. Тогда фиктивны нагрузки Рщг = Run = 0, и для определения первого приближения и^ имеем обычную задачу линейной упругости. По найден- (1) ным перемещениям и^ определяются величины
д(П е(1) „(П FW RW
Для любого k-vo приближения имеют место уравнения равновесия и граничные условия
(А + д)^ + дДи^ + pFt - F^ = 0,
Хв^к + д(и^ + и^ = 7?, + R^,‘
причем F^-Y\ Т?^”^ определяются предшествующим (к — 1)-м приближением.
Модифицированные уравнения Ламе и граничные условия (7.15) являются линейными относительно неизвестных перемещений up). Они отличаются от соответствующих уравнений теории упругости тем, что в них к внешним силам рр, R^ добавляются фиктивные силы F^ ^ R^ ^ Это позволяет по известному решению соответствующей задачи теории упругости построить решение упругопластической задачи в рекуррентном виде. Пример построения подобного итерационного решения рассмотрен в § 7.11.
Для сходимости метода упругих решений необходимо, чтобы параметр ш, связанный с функцией <pUV) соотношением (7.11), был малым по сравнению с единицей. При этом должно выполняться следующее условие [30]:
1 > W + eu— 0.
Деи
Сходимость этого метода исследовалась различными авторами. Достаточно подробная библиография по этому вопросу содержится в [19], [39]. На практике при решении конкретных задач обнаружено, что скорость сходимости метода упругих решений весьма высока, так что достаточно несколько приближений, чтобы получить необходимую точность. Например, при решении задачи о переменном упругопластическом изгибе круглой трехслойной пластины (см. § 8.4) понадобилось пять итераций.
В заключение приведем функцию пластичности w(eu), предложенную для описания поведения дюралюминия в пластической области [48]. Ее аналитический вид принимался следующим:
ЦЕи) =ЦЕи) =0,Ец ^ Ер,
ЦЕи) =
ЦЕи) =
А(1 Ет)Еи^ 1> Ер.
Входящие сюда константы получены в результате обработки известных экспериментальных данных [33]: А = 0,96, а = 2,34, ет = 0,735% — деформация, соответствующая пределу текучести сплава Д16Т. Более подробно методика получения этих параметров изложена в § 11.1.
Геометрическая интерпретация процесса нагружения
При рассмотрении теории пластического течения удобно исходить из геометрической интерпретации процесса нагружения-поверхности текучести, о которой уже говорилось ранее в § 7.2. Выделим в исследуемом теле элемент в форме параллелепипеда (рис. 7.8) настолько малого размера, что его напряженное состояние допустимо считать однородным. Отнесем этот элемент к осям $1, T2> ^з и обозначим компоненты напряжений, действующие на его гранях, через ст^ (г, 3 = 1, 2, 3).
Тензор напряжений симметричен, поэтому для характеристики напряженного состояния достаточно шести величин Сту. Теперь возьмем шестимерное пространство напряжений, в котором вдоль каждой из осей будем откладывать какую-либо одну компоненту напряжений. Сопоставим напряженному состоянию элемента точку с декартовыми координатами Стц в пространстве напряжений. Ненагруженному состоянию
элемента отвечает здесь начало
координат.Рис- 7,8
Нагружение образца сопровождается изменением значений ац и, значит, в пространстве напряжений точка, изображающая напряженное состояние исследуемого элемента, вычерчи
вает некоторую траекторию — пути нагружения.
При одноосном напряженном состоянии все компоненты ст^, кроме одного, например стц, равны нулю. В этом случае путь нагружения совпадает с осью стц. Появление пластической деформации, согласно моделям предыдущего параграфа, связано с достижением стц значения стт, характерного для данного материала. Таким образом, на оси стц можно выделить такую содержащую начало координат область, внутри которой состояние материала при первоначальном нагружении упругое. На рисунках 7.9, 7.10 эта область обозначена буквой П; ее границами являются точки
с координатами ±<гт, что соответствует случаю равных пределов текучести при растяжении и сжатии.
Если тело идеально пластическое (см. рисунки 7.3 а и 7.9), то точки, лежащие вне области О, не могут быть реализованы, так как напряжения, большие <гт, в соответствии с моделью идеально пластического тела недостижимы. Выход изображающей точки на границу П означает переход элемента тела в состояние текучести. Деформация при этом является неопределенной. Переход точки с границы внутрь области П (разгрузка) соответствует изменению только упругой части деформации.
оОО►О—ОО ■ 0—0 ►
~~СТт0^Т ^11_(7Т “"СТ 0(ГТ ^ ^11
Рис. 7.9 Рис. 7.10
Теперь рассмотрим упрочняющееся тело (рис. 7.10). Его модель определяется, в частности, диаграммой на рис. 7.3 в. При выходе изображающей точки за пределы области П появляется остаточная деформация. Если достигнуто растягивающее напряжение стц = ст' > стт, то предел упругости в данный момент равен ст1. Это означает, что верхняя граница области П сместилась вправо по оси стц от значения стт до ст'. Нижняя граница этой области, в силу эффекта Баушингера для циклически идеального упрочняющегося тела, получает такое же смещение вправо, так что изображающая точка увлекает за собой область П как жесткое целое. При переходе точки с границы внутрь области П меняется только упругая составляющая деформации £-, пластическая же ее доля ^ остается неизменной.
нагружениенагружениеРис. 7.11Рис. 7.11
нагружение
нагружение
Рис. 7.11
Рис. 7.11
На рис. 7.11 показано естественное обобщение описанной картины на общий случай напряженного состояния. Здесь основным является предположение о том, что в пространстве напряжений существует такая область Я, содержащая начало координат, что
на всяком пути нагружения, расположенном целиком внутри П, деформация элемента остается упругой.
Если тело идеально пластичное, то выход точки на границу S области П означает переход тела в состояние текучести, деформация при этом становится неопределенной. Таким образом, граница S представляет собой геометрическое место пределов текучести при всевозможных путях нагружения. Для идеально пластического тела точки вне области П не реализуются. Переход точки с границы S внутрь области П сопровождается изменением только упругой составляющей деформации, т. е. происходит разгрузка, хотя некоторые из компонентов напряжения а^ могут при этом возрастать.
В случае упрочняющегося тела процесс нагружения, выводящий изображающую точку за пределы области П, должен сопровождаться перемещением этой области. Аналогом соответствующей одномерной модели будет модель (см. рис. 7.11а), в которой область П смещается поступательно как жесткое целое, так называемое трансляционное упрочнение. При движении точки внутрь области П изменяется только упругая составляющая деформации (разгрузка). Если точка перемещается за пределы П (см. рис. 7.11 б), то происходит дальнейшее увеличение пластической составляющей деформации (активный процесс, догрузка). Кроме того, возможны такие изменения напряжений, при которых путь нагружения касателен к границе области П (нейтральное нагружение). Можно показать, что в упрочняющемся теле при таких нагрузках должны меняться только упругие деформации.
пропорционально одному общемупропорционально одному общемуРис. 7.12Рис. 7.12В случае простого нагружения, когда все компоненты тен-
пропорционально одному общему
пропорционально одному общему
Рис. 7.12
Рис. 7.12
зора напряжений меняются параметру (см. § 7.3), процесс нагружения в пространстве напряжений изображается лучом, исходящим из начала координат (рис. 7.12). Можно показать, что этот луч пересекает поверхность текучести не более одного раза. Пусть после выхода в пластическую область в точ
ке А производится разгрузка и последующее пропорциональное нагружение напряжениями такой же величины, но противоположного знака, так что процесс проходит вдоль прямой АВ. Такой вид деформирования будем в дальнейшем называть знакопеременным простым (циклическим) нагружением. Поверхность течения S, ограничивающая область Q при нагружении из естественного состояния, переходит в S' в конце первого полуцикла и в S" после приложения знакопеременной нагрузки.
Граница S области Q называется поверхностью течения или нагружения. В случае идеально пластического материала эта поверхность фиксирована. Для упрочняющегося тела поверхность нагружения изменяется по мере накопления пластической деформации. В шестимерном пространстве напряжений она в каждый данный момент нагружения отделяет область упругого деформирования от области деформирования пластического. При трансляционном упрочнении поверхность текучести смещается поступательно как жесткое целое. Возможны и другие виды упрочнения, например (7.5), при которых меняется не только положение этой поверхности в пространстве напряжений, но и ее форма и размеры.
Теория пластического течения
Для расчетов в области больших пластических деформаций применяется теория пластического течения. Ее основное отличие от деформационной теории состоит в том, что принимается отсутствие однозначной связи между напряжениями и пластическими деформациями как при простых, так и при сложных нагружениях. На практике подобные задачи встречаются при обработке металлов давлением, резанием, в расчетах предельных состояний оснований сооружений.
В теории течения пластическая деформация материала уподобляется течению вязкой жидкости. Как уже отмечалось ранее, переход в пластическое состояние в окрестности точки тела определяется уравнением вида f(<rtj) = 0, которое в шестимерном пространстве напряжений описывает поверхность текучести (нагружения). Если материал с упрочнением, то поверхность текучести изменяется с ростом пластической деформации, ее уравнение содержит некоторый параметр упрочнения у. В основе теории пластического течения лежат следующие гипотезы .
Упругость объемной деформации. Как и в теории малых упругопластических деформаций (7.4), выполняется соотношение
<7 = ЗКе.
То есть материал в пластическом состоянии несжимаем:
еР = |(£11 + е22 + ^зз) = °"
Это условие несжимаемости можно записать и как равенство нулю скорости объемного пластического деформирования dep/dt = 0.
Гипотеза градиентальности. Вектор приращения деформаций полагают направленным перпендикулярно поверхности текучести. Это эквивалентно предположению о пропорцио-
нальности компонент приращения деформаций и компонент вектора-градиента к поверхности текучести (частных производных от уравнения поверхности по соответствующим компонентам напряжения):
dE^ = dX-^dX-fL(7.16)
О(7ц0(713
Соотношения (7.16) выражают закон течения, ассоциированный с принятым условием пластичности / = 0. Здесь dX— дифференциально малый множитель, механическое значение которого устанавливается в связи с рассмотрением элементарной работы внутренних сил на пластических деформациях. По определению имеем
dU = a4jdePj.
Используя соотношение (7.16), получим
dU = dXaa ^- = dXtr grad f.(7.17)
Здесь ст — радиус-вектор точки в шестимерном пространстве напряжений, отвечающей компонентам crij. На рис. 7.13 показаны кусок поверхности текучести и векторы, составляющие скалярное произведение в формуле (7.17). Следовательно, множитель dX пропорционален плотности работы напряжений на пластических деформациях, причем коэффициент пропорциональности отличен от нуля.
Определение приращений пластических деформаций через производные функции / по соответствующим аргументам (7.16) служит основой наименования / пластическим потенциалом. Поверхность текучести, или пластический потенциал определяется экспериментально, согласуясь с некоторыми общими физическими соображениями. Одним из общих требований к построению пластического потенциала является критерий упрочнения, сформулированный Дракером [59] и состоящий в следующем.
Представим себе (рис. 7.14) некоторое напряженное состояние ст*, которому соответствует поверхность текучести S*. Поверхность текучести делит шестимерное пространство напря-
жений на две области: переход из точки ст* в область ее положительных значений сопровождается активной пластической деформацией, приращением вектора пластической деформации; переход из конца вектора ст* в область отрицательных значений соответствует разгрузке, следующей упругим законам; пластическая деформация при этом неизменна.
Рассмотрим теперь состояние, определенное вектором ст, конец которого лежит в положительной области; этому состоянию соответствует поверхность текучести S. Постулатом Дракера утверждается неотрицательность работы приращений напряжений на действительных перемещениях деформаций за цикл, когда состояние из точки ст* по некоторому пути переходит в ст, затем возвращается в ст*-.
/ (^-^d^O.(7.18)
Важное следствие из этого постулата можно получить, полагая замкнутый путь интегрирования состоящим из трех участков. На участках А* А' и АА* деформация только упругая, а на участке А*А — упругопластическая:
deij = de^ + de^.
Вследствие обратимости упругих деформаций, соответствующая им часть в интеграле (7.18) обращается в нуль и остается
А
J (стгз - <т* ) de^ > 0.
А'
Рис. 7.15Рис. 7.15Точку А! можно считать в пределе совпадающей с А, а состояния ст* и ст — бесконечно близкими, поэтому левая часть предыдущего неравенства сводится к скалярному произведению
Рис. 7.15
Рис. 7.15
dCTij • de^ ^ 0.
ца. На рис. мирования.ца. На рис. мирования.работой приращения напряжения 0,5 do-de.работой приращения напряжения 0,5 do-de.А это значит, что вектор приращения напряжений и вектор приращения пластических деформаций образуют острый угол. Другими словами, поверхность текучести должна быть выпукла в сторону активных пластических деформаций, как показано на рисунках 7.11 и 7.12. Это требование иногда называют условием устойчивости процесса пластического деформирования и демонстрируют его в простейшем случае одноосного растяжения образ- 7.15 показана диаграмма соответствующего дефор- Переход от точки А* в состояние А сопровождается
ца. На рис. мирования.
ца. На рис. мирования.
работой приращения напряжения 0,5 do-de.
работой приращения напряжения 0,5 do-de.
Работа положительна, когда напряжение возрастает с ростом деформации. Этот процесс не наблюдается после образования шейки на растягиваемом образце, когда образующиеся дефекты материала приводят к интенсивному росту деформации даже при понижении напряжения. Такой процесс деформирования неустойчив, а соответствующая диаграмма называется, как мы уже упоминали ранее (см. § 3.5), падающей.
При решении задач теории пластического течения справедливы уравнения равновесия, соотношения Коши, уравнения совместности деформаций и граничные условия
^ij, j 4~ pFi — Ф 2s^y — ^1,7 4” ^J, i)
€ii,jj + ejj,ii “^^ij,ij = 0; ^ij,k ^jk,i 4" ^kt.j'),!^гг.^А:0,
(Tijlj — Дг H^ $,, H^ — WQj на S-^.
В теории пластического течения доказана теорема о единственности полей приращений напряжений, деформаций и перемещений в упрочняющемся теле. Гарантировать единственность приращений деформаций и перемещений в случае неупрочняю- щегося материала нельзя, хотя в частных задачах может быть доказана единственность указанных приращений и для идеально пластического материала.
Как видим, уравнения теории течения оказываются значительно сложнее уравнений теории малых упругопластических деформаций. Доказано, что при простом нагружении обе рассмотренные теории дают одинаковое решение. В случае сложного нагружения результаты, полученные с помощью теории пластического течения, лучше согласуются с экспериментальными данными. Более подробно теория и задачи пластического течения рассмотрены в монографиях [1, 14, 20, 22, 46].
Пример предельной поверхности
Исследуем, какие физические соотношения между деформациями и напряжениями вытекают, если уравнение поверхности текучести / = 0 принять в соответствии с условием Мизеса
/ = (оц ~ ^гг)2 + (с22 — сзз)2 + (°зз — ^п)2 +
+ 6(о"12 + °"23 + °31) — ^т ~ 0.
Рассмотрим от функции / частные производные (7.16). Тогда
= 4<7ц - 2<Т22 - 2<733 = 6(<7ц - сг), = 12<Т13, vanиа^з
где О = |(<7ц + <722 + сзз).
Будем полагать, что коэффициент dX включает в себя и постоянный множитель 6. Тогда предыдущие соотношения можно обобщить и с учетом (7.16) переписать в виде
de^ = dX(oa-a), de^ = dXaij (i, j = 1, 2, 3; i / j). (7.19) Представим приращение компонент пластических деформаций в виде разложения на девиаторную и шаровую части:
detj = d^j + dep5ij.
Так как объемное пластическое деформирование отсутствует, то dep = 5(^3^ + d^ + с?Ез3) = О,
и величины d^j являются приращениями компонент девиатора пластических деформаций d3p-. В правой части соотношений (7.19) содержатся компоненты девиатора напряжений Sy = = otj — o8ij- Следовательно,
= dXsu.
Таким образом, при пластическом течении металла предполагается линейная связь между приращениями девиатора пластических деформаций эр- и компонентами девиатора напряжений Sy. Этот вывод можно трактовать также как линейную зависимость между компонентами скоростей пластических деформаций и компонентами напряжений.
По аналогии с деформациями (1.31) введем понятие интенсивности прирагцений пластических деформаций:
deu = у {(^1 - d^2 + ^^22 - ^з)2 + № ~ dEii^T
+ 6 [(&12)2 + (&23 )2 + (^зт)2]} /2 •
Заметим, что интенсивность приращений пластических деформаций (7.19) не равна приращению интенсивности пластических деформаций.
Подставив (7.19) в последнее соотношение и проведя некоторые преобразования, получим для dXp следующее выражение:
dX = -^-.
2 <7и
Используем найденное выражение dX в формуле приращения компонент девиатора пластической деформации d^j. Тогда компоненты девиатора напряжений будут следующими:
Sij =(7.20)
Полагая упругие деформации малыми по сравнению с пластическими, можно пренебречь ими и в уравнениях (7.20) всюду отбросить индекс р вверху. При этом принимается, что полные деформации равны пластическим. Кроме того, разделим в правой части компоненты деформаций в числителе и знаменателе nadt. Получим компоненты скоростей деформации £,tj = de^jdt, и интенсивность скоростей деформации £и - deu/dt.
В итоге выражения (7.20) примут следующий вид:
То есть компоненты девиатора напряжений пропорциональны компонентам скоростей деформаций.
Основы общей математической теории пластичности Ильюшина
В основе законов связи напряжений и деформаций в общем случае сложного нагружения лежат: условие однозначности, постулат изотропии, принцип запаздывания векторных и скалярных свойств, гипотеза о разгрузке и постулат пластичности. Они сформулированы при следующих предположениях.
В исходном состоянии тело является изотропным.
Считается, что в достаточно малой окрестности любой точки деформированного тела состояние является однородным; при этом процессы изменения во времени однородной деформации окрестности точки неоднородно деформируемого тела и однородной деформации образца конечных размеров при одинаковых напряжениях и внешних условиях протекают одинаково.
Деформации считаются настолько малыми, что их квадратами по сравнению с самими величинами можно пренебречь.
Исключаются из рассмотрения реономные свойства материала.
Рассмотрим кратко основные положения общей математической теории пластичности, сформулированные Ильюшиным [16].
Условие однозначности. При заданном начальном состоянии, известном изменении во времени внешних параметров (температуры, дозы облучения и т. п.) и заданном процессе деформирования (т. е. изменении во времени тензора деформаций) тензор напряжений в каждый момент времени определяется однозначно.
Необходимость введения этого условия связана с тем, что невозможно, например, в двух опытах осуществить совершенно одинаковое изменение внешних параметров, одинаковые процессы деформаций. Это в свою очередь приведет к отклонениям в значениях тензора напряжений. Условие же однозначности по
существу постулирует, что отклонения в значениях тензора напряжений малы, если малы отклонения в значениях внешних параметров и тензора деформаций.
Векторное представление процесса деформации и постулат изотропии. Как известно, тензор деформаций £ц, связанный с фиксированной декартовой системой координат ж — = ($1, Ж2, ^з), можно представить в виде суммы девиатора и шаровой части
Eij — 9ij 4“ Eij 5ij, причем среди Эц лишь пять независимых, так как первый инвариант девиатора равен нулю:
311 + 322 + З33 = 0.
Аналогичным образом представляется тензор напряжений
<7ij = Sij 4* <г5{р
Так как шаровые части связаны между собой простейшей зависимостью
ст = ЗКе,
то в дальнейшем считаем, что задан процесс в напряжениях или деформациях, если заданы соответственно stj^t), эу^ в любой момент времени t. Заметим, что давление р = —а в экспериментальных исследованиях aij ~ ец можно отнести к внешним параметрам, как, например, температуру.
Так как среди величин э^ только пять независимых, удобно для векторного представления девиатора деформаций ввести пространство пяти переменных э^ в котором определенным образом введена метрика (пятимерное евклидово пространство Э5). В этом пространстве выберем единичный ортогональный репер ек (^к • Ct = Skt), в котором зададим пятимерный вектор деформации
Э = 3kBki(7-21)
тожественный девиатору э^, т. е. должно быть выполнено условие
3ij3ij — Э — Э^Эк-(7.22)
Очевидно, из соотношения (7.22) пять компонентов Эк определяются через шесть составляющих 3<j неоднозначно. Рассмотрим одно из возможных определений. За величины 33, 34, 35 удобно принять
Эз = V2312,34 = ^323,35 = \/2эз1.
При этом из (7.21), (7.22) следует
3] + э| = 31] + 322 + Э33, Зц + 322 + З33 = 0.
Нетрудно проверить, что эти уравнения будут удовлетворены, если принять
^|эп = 3i cos/8 + 32 sin 3,
у|э22 = -31 sin (^ + ^) + э2 COS (^ + ^) ,(7-23)
^зз = si sin (^ - ^) - 32 cos (^ ~ ^) •
В свою очередь
Э1/ д . 7Г \• q
= Эц COS \3 + Т ) - 322 Sin 3, у2\о /
= Эц sin (з ++ 322COS3,(7.24)
у 2X6 /
Эз = V2 312, Э4 = V2 323, 35 = \/2эз1.
Входящую в эти соотношения величину 3 будем считать постоянной; при изменении параметра 3 происходит вращение вектора э(э£) в плоскости координатных векторов (ei, 62).
При изменении в процессе нагружения величин э^ изменяются во времени и величины эд,. При этом конец вектора деформации э описывает в пространстве деформаций кривую, которую будем называть траекторией деформации. Квадрат элемента дуги этой траектории будет
ds — ds^ ds^ — ds^j ds^j,
при этом
sW =
о
Теперь мы можем вместо времени t ввести длину дуги s и рассматривать вектор э как функцию s.
Внутренняя геометрия траектории деформации определяется движением по ней так называемого пятигранника Френе. Для его построения введем в каждой точке траектории деформации свой неортогональный репер
3k = dka (£ = 1, 2, ... , 5), dsk vИ
считая при этом э(з) достаточное число раз дифференцируемой функцией. Эти пять векторов, вообще говоря, линейно независимы. Построим по ним местный ортогональный репер q^.
За qi примем
т. е. единичный вектор, направленный по касательной к траектории деформации. Последующий вектор представим в виде
<12э .
Q2 = —• + O1Q1,as2
причем величину ai найдем из условия ортогональности qi и q2. Продолжая аналогичным образом, определим qs, q4, qs- Нормируя q^, найдем единичные векторы искомого сопровождающего пятигранника Френе
Pl = Ql, Р2 =Р5 = —.
Из приведенного построения видно, что р^ есть линейные комбинации векторов эк. В свою очередь, эк линейно выражаются через Рк, причем коэффициенты в этих соотношениях зависят от четырех скалярных величин
_ d3k d9kИкк ~ dsk dsk '
Приведем теперь обобщенные формулы Френе, выражающие производные dpk/ds через р^-.
= -Xfc-ipfc-i + XfcPfc+i (к = 1,2, ... , 5); х0 = х5 = О, as
(7.26)
где xi(s), ... , Х4(з) — параметры кривизны и кручения, которые выражаются через скалярные величины и^ (7.25). Величины xi(s), ... , Х4(з) являются характеристиками внутренней геометрии траектории деформации; иначе говоря, траектория деформации с точностью до положения в пространстве деформаций Э5 определяется однозначно заданием хцз), хг(з), хз(з), х4(з).
Используя обобщенные формулы Френе (7.26), можно производную любого порядка вектора э(з) по з и интеграл любой кратности от э(з) по з (траектории, для которых существует бесконечное число производных э по з), выразить через pi, ... , рб.
Поэтому любой векторно-линейный оператор L^ над э по з с коэффициентами, зависящими от и^ и з, можно представить в виде
Ь(э) = А*р* (к = 1, 2, ... , 5),(7.27)
где А*, функционально зависят от xi, ... , Х4 и з. Следовательно, £(э) определяется только внутренней геометрией траектории деформации, т. е. оператор £(э) является инвариантом преобразования вращения и отражения в пространстве деформаций Э5.
В силу большой общности оператора L^ любой физический вектор, связанный с траекторией деформации и представленный в форме (7.27), также будет определяться внутренней геометрией траекторий деформации.
Среди физических величин нас в первую очередь будет интересовать вектор напряжений ст, который может быть построен совершенно аналогично вектору деформаций е. При заданном давлении р = — а напряжения определяются пятью независимыми компонентами тензора девиатора напряжений Зу. Введем пространство напряжений, в котором задается вектор напряжений ст с координатами оу, ... , 05, причем последние связаны с Зу соотношениями, аналогичными (7.24):
aylV^ = 5ц COS ф + 7г/6) - 322 SH1/3,CT2/V2 = Зц sin(/3 + тг/б) + 822 cos Р,Стз = V2S12, <74 = V2S23, Os = V2s3i.
В свою очередь, девиатор Зу выражается через ак по формулам, аналогичным (7.23).
В пространстве напряжений конец вектора ст будет описывать траекторию, которую будем называть траекторией нагружения.
В силу сказанного выше, вектор напряжений ст в каждой точке траектории деформации может быть представлен в виде (7.26)
у = Xkpk,(7.28)
причем Ад, в общем случае являются скалярными функционалами параметров кривизны и кручения по длине дуги з:
Ас = Х^ИтП е)Й (к = 1, ... , 5; т = 1, ... , 4).
В приложениях удобно использовать не векторную запись, а соотношения между тензором напряжений Оу и тензором деформаций Су-:
CTij = А^Е^-,
где ек — базис, связанный с Еу, например, соотношениями
t
Eij = J fkfa тУгз^йт.о
Здесь fk — заданные линейно независимые функции. В (7.28) А^ являются функционалами инвариантов тензора деформаций бу.
Если вектор напряжений ст задавать его модулем а и углами оу, ... , «5 ориентации ст во введенном ранее естественном
ортогональном репере рь траектории деформации, то можно записать:
ст = ф{хт(0, 0^=0’ ai = “Л^тЮ, 0^=0’ причем среди at — независимых четыре.
Совокупность траектории деформации, физических векторов, связанных с траекторией деформации в каждой ее точке, и скалярных величин - температуры Т, давления р и т. п. — называется образом процесса нагружения тела в пространстве деформаций. С использованием понятия образа процесса сформулирован, лежащий в основе представления (7.28) постулат изотропии : образ процесса нагружения в пятимерном пространстве деформаций Э5 определяется только внутренней геометрией траектории деформации и скалярными величинами — давлением р(з), температурой Т^ и др.
В силу постулата изотропии, образ процесса нагружения инвариантен относительно преобразований вращения и отражения в пространстве деформаций Э5. Это обстоятельство позволяет сократить число экспериментов по исследованию упругопластических свойств материала при произвольных сложных нагружениях, включая и переменные нагружения.
Постулат изотропии проверялся экспериментально и к настоящему времени получил весьма убедительное обоснование. Здесь в первую очередь следует отметить работы Ленского ^ и других авторов. Большей частью это были опыты с тонкостенными трубками, которые испытывали растяжение и кручение (в том числе с изменением направления кручения) в любой последовательности .
При соответствующем выборе системы координат в рассматриваемом случае для несжимаемого материала будем иметь зц = £ц, 322 = эзз = -£ц/2, 312 = 712/2, где 712 — деформация сдвига. Принимая в формулах (7.24) /3 = 0, получим 31 = ^-ЭП = ^^Еп, Эз = V2312 = ^£12, э2 = 34 = 35 = 0.
Таким образом, в нашем случае только два компонента вектора деформации отличны от нуля. Ими на плоскости 31~эз задается процесс деформаций по произвольной программе.
Рассмотрим, например, процесс деформаций, представленный на рис. 7.16. Сначала растянем образец до некоторой деформации э'р затем, сохранив эту осевую деформацию неизменной, закрутим образец до деформации э3. Далее, сохранив э3, увели-
Э Ленский Виктор Степанович (1913-1998), механик, профессор МГУ, известен теоретическими и, особенно, экспериментальными работами в области пластичности.
чим деформацию э( (траектория /). В каждой точке траектории с помощью экспериментальных замеров может быть построен
вектор напряжения.
Рис. 7.16Рис. 7.16Если постулат изотропии верен, то построенные в точках траектории II (эд = э^, э" = э^) являются отражением траектории I относительно биссектрисы координатного угла, векторы напряжений должны быть отражением соответствующего вектора траектории /. Из опытов обнаружено, что действительно в соответствующих точках траекторий I и II векторы напряжений с высокой степенью точности ориентированы относительно траекторий
Рис. 7.16
Рис. 7.16
и совпадают по модулю.
Разнообразие исследованных при экспериментальной проверке постулата изотропии траекторий деформаций, набор исполь
зованных чистых металлов и сплавов позволили утверждать, что постулат изотропии является общим законом поведения первоначально изотропного материала при произвольных нагруже
ниях.
Принцип запаздывания векторных и скалярных свойств. Ориентация и модуль вектора напряжений относительно траектории деформации определяются не всей историей процесса деформирования из начального состояния, а лишь некоторым конечным участком траектории деформации (след запаздывания^, непосредственно предшествующим рассматриваемому моменту.
Обозначим величину следа запаздывания через /г, которая в зависимости от материала колеблется в пределах (3-10)ет, где еТ — предел текучести по деформации при чистом растяжении. Рекомендуется определять величину h из опытов по анализу векторных свойств, поскольку свойство ограниченной «памяти» скалярных свойств проявляется на меньших участках траектории деформации.
С учетом принципа запаздывания векторных и скалярных свойств функционалы Л^ в (7.28) запишутся в виде
Afc — ^к\.Ит(£У\ £=s_h-
Принцип запаздывания скалярных и векторных свойств является особенно важным при исследовании циклических нагружений, поскольку в этом случае длина дуги траектории деформации, в отличие от самих деформаций, при большом числе циклов может быть значительной, и учет всей предыстории был бы практически крайне затруднительным.
Введем следующие понятия. Траекториями простого нагружения {деформирования} будем называть траектории в пространстве деформаций, для которых единичный вектор э/э постоянен (не изменяется в процессе нагружения). По сути, это прямые, проходящие через начало координат. Все другие траектории будем называть траекториями сложного нагружения (деформирования}.
Заметим, что и в пространстве напряжений траектория в случае простого нагружения есть прямая линия, проходящая через начало координат.
Введенные здесь более строгие формулировки полностью согласуются с принимавшимися ранее.
Гипотеза о разгрузке и деформационная анизотропия. Допускается возможность представления тензора напряжений в виде суммы упругой и пластической части
ей=4 + 4.(7.29)
При этом тензор упругих деформаций связан с тензором напряжений обобщенным законом Гука, который для изотропного материала можно записать в виде
э?. = 4 - £е5ц = ^-, ее = —,(7.30)
V V 13 2G ЗК
где ее = (е®! + е^ + езз)/3; G — модуль сдвига; К — модуль объемной деформации.
Предположим, что среднее напряжение о пропорционально относительному изменению объема:
о = ЗКе.(7.31)
Сравнивая (7.30) и (7.31), заключаем, что е = ер, а значит, относительное изменение объема ер за счет пластической части деформации в этом случав равно нулю. Поэтому соотношение (7.29) можно записать и для девиаторов:
Эг,=4 + ^, ^ =ЕРГ
Отсюда следует соотношение и для вектора деформации
э = эе + эр.
Будем говорить, что на некотором участке траектории деформации осуществляется разгрузка, если на этом участке вектор э₽ остается постоянным. Поэтому можно заключить, что при продолжении нагружения из некоторой точки М траектории деформации (такой, что в этой точке дэР/ds / 0) всевозможные траектории разобьются на два множества.
Траектории одного множества обладают тем свойством, что при движении по ним вектор пластической деформации остается неизменным, т. е. происходит разгрузка. При движении вдоль
траектории другого множества изменяется и вектор пластической деформации эР, иначе говоря, осуществляется активное нагружение (активная деформация).
Траектории активной деформации и разгрузки в пятимерном пространстве Э5 разделены некоторой поверхностью Е(э)= = 0, проходящей через точку М. Эту поверхность будем называть поверхностью текучести, а соответствующую поверхность в пространстве напряжений — поверхностью нагружений. Вид поверхности текучести и поверхности нагружений зависит от предшествующего (до точки М) участка активного нагружения.
Изменение коэффициентов упругости вследствие пластического деформирования ^деформационная анизотропия') наблюдал еще Баушингер. Учетом влияния активного нагружения на их величину занимались многие исследователи [30]. На важность изменения коэффициентов упругости в теории пластичности (особенно в теории течения) указал Ильюшин [15]. Количественно изменение коэффициентов упругости при пластическом деформировании может достигать 15-20 % .
Постулат пластичности. Работа вектора напряжений W3 по любой замкнутой в пространстве деформаций траектории равна нулю, если на всей траектории не происходит изменение вектора пластической деформации эР, и положительна, если хотя бы на некоторых участках траектории вектор пластической деформации не остается постоянным. Иначе, работа вектора напряжений
И^ — ^ о^ de^ — <j> s^j doij ^ 0
на любом замкнутом в Э5 по деформациям процессе неотрицательна.
Этот постулат отвечает на вопрос: существует ли на данной траектории участок активной деформации?
Если рассмотреть процесс нагружения, замкнутый не по деформациям, а по напряжениям, и определить соответствующую работу W^, то окажется [15], что всегда W^ ^ W3, т. е. из условия W3 0 следует W^ 0.
Полная работа напряжений, как известно, может быть представлена в виде
W = Jaijdetj = J Sijdaij + 3 J ode.
Если a = ЗКе, и процесс является замкнутым по деформациям, то второй интеграл равен нулю (нет приращений объемных пластических деформаций), поэтому W = W3, и из условия И^э ^ 0 в этом случае следует W ^ 0.
Из условия И? ^ 0 следует, что если Е(э)= 0 — уравнение поверхности текучести, то в любой точке на поверхности
дэр = D grad Е(э) dX,
т. е. приращение пластической деформации направлено по нормали к поверхности F. Здесь D — некоторый функционал, определяемый предысторией деформирования, А — параметр нагружения. Это соотношение обычно называют ассоциированным с поверхностью текучести F(s)= 0 законом текучести. Оно является основой при построении различных вариантов теории течения.
7.11. Упругопластический изгиб круглой трехслойной пластины
Предположим, что материалы слоев круглой трехслойной пластины (см. рис. 6.11), рассмотренной в § 6.14, в процессе деформирования могут проявлять упругопластические свойства. Для их описания используем соотношения теории малых упругопластических деформаций (7.9). Компоненты тензора напряжений представим через девиатор и шаровую часть тензора деформаций в виде
<^ = 2^ + кке^ _ 2окШк(еМ\ (7 32) 432 = 2G343? - 2G3W3^W-
Здесь, как и ранее, к — номер слоя; од, (е£) —функция пластичности материала к-го слоя; е^ — интенсивность деформаций в этом слое. Объемное деформирование считаем упругим.
Выделим в напряжениях (7.32) линейную и нелинейную составляющие:
а^ = GW _ а№ а№ = OW _ OW а мае аил rz rze rzun
^ = 2Gk3W + Kk9W, CTW = 2Gkuk№)№,(7.33)
^e = 2С3э^ ^ = 2G3^U3W-
Внутренние усилия и моменты в слоях пластины также представим в виде разности линейной и нелинейной частей:
ум _ mW _ mW yW __ mW
qau) i 1VLa iV1ae
Q Qe " Qu) (^ ~ ^)-
Величины Тае\ Таш, M^e , Маш , Qe, Qiu ВЫЧИСЛЯЮТСЯ ПО формулам (6.50), в которых нужно величины ст^ заменить соответственно напряжениями о-^, о^ш (7.33). После этого обобщенные
внутренние усилия будут следующими:
зз
-р — -р _т _ V mW _ V^ mW
x-а хае Хаш / , xQe 7 ^ хаш , А:=1А:=1
Ма = Мае -Маш = ^М- - Е М«1(7 34)
л=1А=1v 7
HQe = M$ + c(rW-T^
Нау = М^+с(т^-Т^.
Подставив выражения (7.34) в систему уравнений равновесия в усилиях (6.55), описывающую деформирование круглой трехслойной пластины, получим
Тт г + ~(ТГ — 7^) : — р + рш,т
HT,r + -(Hr—Hv)—Q = Ьш,(7.35)
т
Мт тт Н—^2МТ т — М^^ = — q + дш.г
Здесь в левой части уравнений собраны линейные составляющие обобщенных внутренних усилий, причем индекс «е» опущен для удобства. Нелинейные добавки сосредоточены справа и включены в слагаемые с нижним индексом «ш»:
Рш = ТТШ1Т + -(ТГш — Т^ш),г
Ь.ш = Нтшт + Ннтш - Н^) - Qy, (7.36)
q^ = ^гш,гг 4 ^МТШ1Т Л4<рш,г)-т
Линейные обобщенные внутренние усилия по-прежнему выражаются через перемещения формулами типа (6.57), поэтому система нелинейных дифференциальных уравнений равно- весия(7.35) в перемещениях принимает следующий вид:
£2(^1^ + а^ - a3w,r ) = -р + рш,
L^^a^u + а^ — a5W,r) — 2сСз,ф = Ьш, (7.37)
Ьз^ази + a5i/> - a6w,r ) = -q + qu.
Здесь коэффициенты а; и дифференциальные операторы L2 (оператор Бесселя), L3 определяются соотношениями (6.59).
Согласно методу упругих решений перепишем систему (7.24) в итерационном виде:
ЬгОии" + а2'фп - а3ш " ) = -р + р"-1,
L2(a2un + a4i/>" - а5ш") - 2cG3^n = /1"-1,(7.38)
Ls(a3un + a^71 - a6w") = -q + q"-1.
Здесь n — номер приближения, величины p"-1, h."-1, q^1 называют «дополнительными» внешними нагрузками и на первом шаге полагают равными нулю, а в дальнейшем вычисляют по результатам предыдущего приближения. При этом используют формулы типа (7.36), в которых все слагаемые имеют индекс «п — 1» вверху:
П—1 rpn— 1 | ^фП— 1 грП— 1\
Щ"1 = я»?г + ;(С - я^;1) - or1, (7.39) зГ1 = ЛСЛ +- м^,\у
При этом
33
k=lhkk=lhk
33
M^1 = ^/^"^dz = E J aGiM^W^zdz, k=1hkk=lhk
(7.40)
H^1 = M^n-1 4- c (
vau) I i
c
Q"’1 = У 2G3u)3^-V^n"Y dz (a = r, q)\
Таким образом, на каждом шаге приближения мы имеем линейную задачу теории упругости с известными дополнительными «внешними» нагрузками, которые вычисляются по формулам (7.39), (7.40). Процедура получения решения системы уравнений (7.38) с учетом его гладкости в центре пластины не отличается от примененной для соответствующей задачи теории упругости (6.58)-(6.67). .
В результате получаем решение задачи упругопластичности в рекуррентном виде:
^ = aiW^q _ gn-l) _ ^Ц^р-р^Н (11(16(I3 I*(13
++(741)
\ аз /J
wn = rM^Wr) + / ^drV
03 L \ pJ /
f /аз г—1/__n—lx r—l/„„n—IxA 1 C5T2
~~ Qy И dr Ah C4 .
J \ai/4J
Здесь частное решение неоднородного модифицированного уравнения Бесселя имеет вид
■F = -Кг^г) j h^Frdr + W^ у K^Frdr, где
ГМ - rrh? ['*""1 + -'"т*1-^ " ₽У’)+ 01U3^2 *-(1103
/ fa-^Wrl.
63Г JJ
В случае граничных условий заделки пластины по контуру получаем следующие рекуррентные формулы для констант интегрирования:
с^ = -тй;' °* = -^(“г®+/*^1 .) + (р)Р J 1г = 1/
+ f(^'(p-pZ-A-l^-q^M ."^J14
(7.42)
C5n = 2(^Ц\р - рГ1) - Ч\9 -I ;
\ di' 1 г—1
С7” = h-^Ц^-р^ - LFlq - 9Г1))! .
X ЛЗ'I Г=1
При шарнирном опирании контура константы интегрирования С2, С", С” будут прежними, а С5 определяется по типу (6.70). Результаты численного исследования решения типа (7.41), (7.42) приведены далее в § 8.4 и 10.5.
Таким образом, применение метода упругих решений для однородных и для слоисто-неоднородных упругопластических тел позволяет получать аналитические решения задач теории малых упругопластических деформаций.
8
ПЕРЕМЕННЫЕ НАГРУЖЕНИЯ
• УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ
При оценке работы несущих элементов конструкций в условиях циклического изменения силовых и температурных параметров возникают специфические проблемы. Они в первую очередь связаны с определением соответствующих напряжений и деформаций и формулированием условий возникновения предельных состояний — нарушение прочности, появление недопустимых перемещений и т. п. Характерной особенностью циклических деформаций упругопластических тел, в отличие от упругих, является влияние предыстории на состояние в данный момент времени. Ниже рассмотрен один класс простых переменных нагружений, в том числе при температурных и радиационных воздействиях, для которого указана возможность построения решения краевой задачи на любом полуцикле, если известно решение при нагружении из естественного состояния.
Основы теории Москвитина
При циклических нагружениях упругопластических тел, в частности, вследствие изменения механических характеристик материала происходит перераспределение напряжений и деформаций. Различные гипотезы, позволяющие построить зависимости между напряжениями и деформациями при переменных нагружениях упругопластических материалов, предлагались Мазингом), Шойи), Булли) и другими. Гипотезы первых двух авторов позволяли построить кривую повторного знакопеременного деформирования, если известна только диаграмма начального нагружения (принцип М азинг а). Экспериментально обоснованными являлись гипотезы Булли, которые включали в себя экспериментальные данные.
Москвитин ) ввел в гипотезу Мазинга некоторый масштабный параметр, определяемый экспериментально. При этом допуска-
лась возможность изменения этого параметра от цикла к циклу, что позволило учесть в какой-то степени изменения упругопластических свойств материала в зависимости от числа циклов нагружений (обобщенный принцип Мазинга-Москвитина). Им доказан ряд теорем о переменных нагружениях и введена классификация пластических материалов: материалы циклически упрочняющиеся, циклически разупрочняющиеся и циклически стабильные (идеальные). Впоследствии Москвитин рассмотрел переменные нагружения в рамках общей математической теории пластичности Ильюшина. Сходимость метода последовательных приближений при сложных переменных нагружениях исследовалась Городецким ^.
В дальнейшем циклическими (переменными)нагружениями тел будем называть такие изменения во времени силовых внешних параметров, когда во всем теле или в его конечных областях происходит чередование нагружения и разгрузки. Говоря о «нагружении тела из естественного (исходного) состояния», будем иметь в виду, что оно не подвергалось предшествующему деформированию, и в нем отсутствуют какие-либо напряжения и деформации до приложения нагрузки.
Приведем условия, при выполнении которых будут справедливыми уравнения типа теории малых упругопластических деформаций, используемые Москвитиным для описания повторных и знакопеременных нагружений.
Разгрузка и последующее повторное нагружение до точки, соответствующей началу разгрузки, происходит линейно, вдоль прямой О'М (рис. 8.1). Площадь петли гистерезиса для большинства материалов мала и в дальнейшем не учитывается.
При повторном нагружении в направлении О'М пластические деформации начнут изменяться в том случае, когда будет достигнута точка М. Дальнейшее нагружение будет проходить вдоль М'М, причем диа
грамма О ММ' характеризует упругопластические свойства материала в его исходном состоянии. Таким образом, в этом случае нагружение будет происходить так же, как если бы не было разгрузки. Предел текучести при этом является величиной переменной, зависящей от предшествующего напряженного и деформированного состояния.
1) Городецкий А. В. О сходимости методов последовательных приближений в случае одного класса сложного переменного нагружения // Вести. МГУ: Мат. Мех. 1980. № 4. С. 62-66.
Будем считать, что прямая О'М параллельна прямой упругого нагружения из исходного состояния, т. е. что пластическое деформирование не изменяет величины упругих постоянных, характеризующих упругие свойства материала в исходном состоянии.
Знакопеременное нагружение до появления новых пластических деформаций происходит вдоль прямой O'N, являющейся продолжением прямой МО*. Внутренняя геометрия кривой последующего пластического деформирования NN' зависит, вообще говоря, от положения точки М на диаграмме ОММ'.
Приведенные условия предполагаются справедливыми при любом номере нагружения.
Рассмотрим твердое тело, не имеющее начальных напряжений и деформаций. Пусть в начальный момент времени to = 0 на тело начинают действовать объемные F- и, на части внешней границы S^, поверхностные силы R'^. Эти силы и граничное перемещение u'Oi на части границы 8и вызывают в теле напряжения <т^, деформации е'^ и перемещения и^. При этом в теле появляются области пластических деформаций. В упругих областях твердого тела справедлив закон Гука:
аГ = 2Сэ'у, ст' = ЗКе', (8.1) где з'^, эГ — компоненты девиаторов, а ст1, s' — шаровые составляющие тензоров напряжений и деформаций; G, К — модули сдвига и объемной деформации.
Для тех областей твердого тела, где появились пластические деформации, связь девиаторов можно представить в виде
4 = 2Сэ'^' (£'и, 4) .
Здесь f (e'u, а'к) — функция пластичности, введенная Ильюшиным, e'u — интенсивность деформации, а'к— аппроксимационные параметры, определяемые внутренней геометрией кривой деформирования.
На границе областей упругих и пластических деформаций должно выполняться условие пластичности e'u = е'т (е? — деформация, соответствующая пределу пластичности 4 при нагружении из естественного состояния).
Таким образом, в деформируемом теле связь между напряжениями и деформациями представима в виде
4" = 2С?'МГ (e'u, ак}, ст' = ЗКе', (8.2) причем функцию пластичности следует положить /' (s'u, а'к) = = 1 в тех областях, где 4^4-
К соотношениям (8.1), (8.2) добавим дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия, а также соотношения
Коши в предположении малости деформаций
(8-3)(8-3)iна 8а,
(8-3)
(8-3)
u' = u'Oi на Su, 2e'ij = t^j + и'.^,
где lj — направляющие косинусы нормали к части поверхности тела SCT.
Рис. 8.2Рис. 8.2Пусть теперь, начиная с некоторого момента времени t = ti, осуществляется мгновенная разгрузка и последующее нагружение усилиями F", R" с граничным пере-
Рис. 8.2
Рис. 8.2
мещением u^. Причем будем считать, что эти силы и перемещения обратны по знаку к силам и перемещениям, которые были перед началом разгрузки. Схематично процесс показан на рис. 8.2. Указанные воздействия вызывают в теле напряжения а"^ деформации е"- и перемещения и", для которых остаются справедливыми соотношения (8.3)
°"за + PFi = °’ °"^1э = ^' на ^’ /8 и" = и^ на Su, 2г"j = и1^ + и”.
Связь напряжений с деформациями для них запишем следующим образом:
4 = 2<?э" г <, «Э , а" = ЗК£".(8.5)
Здесь /" (е^, е", a'fc')— функция пластичности при повторном знакопеременном нагружении, зависящая от предшествующей разгрузке интенсивности деформаций е^; интенсивности деформации е" и аппроксимационных параметров а^, описывающих кривую деформирования второго полуцикла. Причем функцию пластичности f" следует положить равной единице в тех областях, где не появились новые пластические деформации, т. е. е^ ^ £т п0 модулю, е" — деформация, соответствующая пределу пластичности ст" при повторном нагружении. Характеристики е", ст" зависят, вообще говоря, от значений интенсивностей деформации и напряжения г'и1 и сг^, существовавших непосредственно перед началом разгрузки. Конкретней, от того, происходило ли в данной точке тела пластическое деформирование или нет.
Уравнения (8.4), (8.5) определяют краевую задачу для величин с двумя штрихами. Ее сложность заключается в зависимости искомого решения от точки разгрузки (с^, ст^), так как в каждой точке необходимо ставить свою краевую задачу и получать свое решение.
Рассмотрим одну возможность избежать этих трудностей. Введем разности для момента времени t > ti:
а^ = аС-а^, e^e^-e'^. (8.6)
Аналогичные разности вводятся для девиаторов и шаровых частей тензоров напряжений и деформаций. Величины с одним штрихом соответствуют своим значениям перед разгрузкой.
В областях тела, где появились новые пластические деформации, девиаторы тензоров напряжений и деформаций со звездочками связаны соотношениями
s^U^f^E^,^ (8.7)
Здесь вообще говоря, — некоторая новая универсальная функция, описывающая нелинейность диаграммы деформирования о* ~ е* (см. рис. 8.2). На линейном участке следует /* = 1.
Первая попытка сравнения кривой повторного знакопеременного деформирования с соответствующей кривой при первом нагружении была предпринята Мазингом в 1926 г. Он предположил, что эти кривые совпадают, если /* построить в осях с удвоенным масштабом и обратным направлением, т. е.
В этом случае вид кривой повторного нагружения не зависит от величины предшествующей деформации e'u1.
Теория Мазинга подвергалась экспериментальной проверке. Результаты не подтвердили предположение Мазинга для всего исследуемого диапазона начальных деформаций, особенно при их значительной величине. Однако для начальных деформаций вблизи предела текучести принцип Мазинга удовлетворительно описывает повторные нагружения.
В начале 50-х гг. Москвитин обобщил гипотезу Мазинга, введя соотношение
f* = af(8.8)
Ха/
где а — масштабный коэффициент, определяемый экспериментально.
Другое предположение, высказанное Москвитиным впоследствии, заключается в том, что кривую /* можно описать функцией такого же аналитического вида, что и при нагружении из естественного состояния, но с другими аппроксимационными параметрами а^, определяемыми экспериментально. Следовательно, если /' = /' (ем, то
Г^'М.(8-9)
Вводя достаточное количество постоянных, можно удовлетворить предположению (8.9) с достаточной степенью точности, что в свою очередь позволит использовать теорему о переменном нагружении практически для произвольных кривых циклического деформирования.
Таким образом, если принять соотношения (8.8) или (8.9), то это позволит избавиться от зависимости кривой повторного знакопеременного нагружения от точки разгрузки.
Выпишем остальные уравнения для величин со звездочками. У шаровых тензоров связь остается линейной во всем теле, так как и при первом (8.2), и при втором (8.5) нагружениях она везде принималась линейной:
ст* = ЗКе*.(8.10)
К соотношениям (8.7)-(8.10) следует присоединить дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия и соотношения Коши, следующие из линейности соотношений (8.3), (8-4):
ст^ + ^* = 0, F-" = F-— F”;
а*^ = К^ Rt = Н^ - Й- на S^(8.11)
U* = <4 = u0i - u0i на Su, ^ij = ui,j + ^i'
При этом считается, что части внешней границы тела SCT и SU1 на которых задаются соответственно напряжения и перемещения, сохраняются теми же, что и при предшествующем нагружении.
Дополнительно будем предполагать, что при переменном нагружении пластические деформации не распространяются на области, в которых при первом нагружении возникли только упругие деформации.
Соотношения (8.7)—(8.11) образуют новую краевую задачу для величин со звездочками, причем для описания функции /* принимается либо обобщенный принцип Мазинга-Москвитина (8.8), либо предположение (8.9).
Сравнивая соотношения (8.1)-(8.3) для тела при нагружении из естественного состояния и соотношения для величин со звездочками (8.7)-(8.11), отмечаем, что они совпадают с точностью до обозначений. Поэтому решение задачи для величин со звездочками можно получить из известного решения задачи, соответствующей нагружению из естественного состояния, путем некоторых замен. Например, если известно перемещение
и' = и'(л, е' е', aVY то соответствующее перемещение со звездочкой будет следующим:
и* = и'(л, е*, £*, a*kY
где е* = е'т — е”. Искомое перемещение при повторном знакопеременном нагружении определяется из соотношения типа (8.6)
=(8.12)
Напряжения и деформации также вычисляются по формулам, подобным (8.12).
Полученный результат можно распространить на случай любого п-го циклического нагружения. Пусть при n-м нагружении внешними силами F?, R" при граничных перемещениях и^ возникают напряжения <тг", деформации е^ и перемещения и". При этом должны удовлетворяться уравнения равновесия, граничные условия и соотношения Коши:
a^j + pF? - 0, а?^ = R? на Sa,
(8.13) u" = u^ на Su, 2е^ = и^+и^.
Введем следующие разности:
=1? = (-l)»^-1 - а«р, ^ = (-l)^^’1 - £§),
Тогда оказываются справедливыми и соотношения типа (8.13) для величин со звездочками:
o*?^pF*n = ^ F*n = <-XT<F?"V-F?Y
a*? lj = R*n на Sa, и*п = и^ на S^
R? = (-iw1 - R^. ^ - (-i)W1 - «oJ; 8Л4)
26^=71^+71^.
Примем, что при любом тг-м нагружении связь между шаровыми составляющими тензоров напряжений и деформаций остается упругой. Повторяя предыдущее предположение о возможности описания кривых s'- ~ э'^ и s*" ~ э?? либо с помощью обобщенного принципа Мазинга-Москвитина, либо функциями нелинейности одинакового аналитического вида
С = 2G3*?anf , з^ = 2Сэ^Г (Е*п, а*кп),(8.15)
заключаем, что решение задачи для величин со звездочками (8.14), (8.15) при любом n-м нагружении можно получить из решения задачи, соответствующей нагружению из естественного состояния. Например, если известно перемещение
^г("^, ^ui ^т, Q'kXi
то соответствующая величина со звездочкой
«Г = и'^ ^ е™, a^Y
Искомое перемещение н^ найдем, обобщая (8.12):
пи?^-^-1)1-:1.(зле)
А:=2
Напряжения и деформации вычисляются по формулам типа (8.16).
В соотношениях (8.15) ап=а(п) — так называемые масштаб- ные коэффициентам, определяемые из экспериментов. При этом для циклически упрочняющихся материалов следует принять ап > 2, для разупрочняющихся — ап < 2, для циклически идеальных материалов — ап = 2 (случай ап = 2 соответствует идеальному принципу Мазинга). В приводимой ниже таблице, заимствованной из [30], даны значения констант «2 ии при степенной аппроксимации функции сх^пу.
ап = а(п) = «2(71 — 1)х.
Таблица 8.1
Материал
02
X
Алюминиевый сплав В-96
2,08
0,047
""В-95
1,95
0
"- д16Т
2,02
0,030
Сталь ТС (п ^ И)
1,93
0,011
" ТС (п > И)
2,10
-0,024
Отсюда следует, что алюминиевые сплавы В-96 и Д16Т являются циклически упрочняющимися материалами, сплав В-95 — материал циклически идеальный, сталь ТС после первых 11 циклов становится циклически разупрочняющимся материалом.
Термопластичность при переменных нагрузках
Рассмотрим в рамках теории малых упругопластических деформаций процесс неизотермического нагружения из естественного состояния твердого деформируемого тела внешними силами Fi, Ri при граничном перемещении и^. Температура Т(ж, 2) отсчитывается от некоторого начального состояния Tq.
Примем, что зависимость между средним напряжением, относительным изменением объема и температурой имеет вид
7Ь+т
= ЗК(3> - а0Т), «о = ^ J «Ж (8.17)
То
где о^Т^ — коэффициент линейного теплового расширения. Модуль объемной деформации К может, вообще говоря, зависеть от температуры.
Соотношение между девиаторами напряжений и деформаций, как было показано, имеет различный вид — происходит ли активное нагружение, разгрузка или возникают новые (вторичные) пластические деформации. Если в некоторой области тела V" не происходит изменения пластических слагаемых деформаций, соответствующее соотношение имеет вид
Sij - 4 = 2G(THsij - э\^(8.18)
где sC, gC — девиаторы напряжений и деформаций перед началом разгрузки; G — зависящий от температуры модуль сдвига.
В области Уе', где не появлялись пластические деформации, будет
8^ = 2О(Т)эу.(8.19)
В области Vp активного нагружения из естественного состояния справедливо соотношение
Sij = 2Gaijf ^eui TY(8.20)
причем здесь учтено, что универсальная функция пластичности может содержать температуру Т.
Наконец, в области V” вторичных пластических деформаций, появляющихся в результате разгрузки, примем соотношения в следующей форме:
Sij-s'ij = 2Gf4E*u.T^9ij-3,i:iY(8.21)
При е* ^ с* следует /* = 1, и зависимость (8.21) переходит в (8.18).
Запишем соотношения на границах указанных областей. На границе Гi зон V^ и Vp должно выполняться условие
На границе Г2 областей Vp и V" начинается разгрузка, что соответствует условию dEu/dt < 0. На границе областей V" и Vp будет
Отметим еще, что в областях активного нагружения соответствующие интенсивности деформации не должны убывать:
^-0 в области VL ^-0 в области V".
atр dtр
Приведенные соотношения позволяют различать процессы нагружения и разгрузки.
К выписанным уравнениям (8.17)—(8.21) присоединим очевидные соотношения и граничные условия
^ij,j “Ь pFi = 0; ^ij^j = R. на Sej, ttj — HQi на Su, ,.
^Eij — tli,j + 'U‘j,it
Температура Т(т, i) в случае несвязанной задачи термопластичности должна удовлетворять уравнению теплопроводности
pc— = div(A0(T)gradT) + Г, Т^х, 0) = То, (8.23) at
где р— плотность, с— удельная теплоемкость, Ло — коэффициент теплопроводности, W* — интенсивность источников тепла.
К уравнению (8.23) следует добавить граничные условия, которые мы здесь не конкретизируем.
Таким образом, задача термопластичности с учетом разгрузок и вторичных пластических деформаций поставлена в рамках теории малых упругопластических деформаций. При этом на изменения во времени внешних нагрузок, граничных перемещений и температуры накладываются ограничения, требующие, чтобы соответствующие траектории нагружения не относились к классу существенно сложных нагружений (см. § 7.9).
Заметим, что здесь рассмотрен общий случай, когда осуществляется взаимодействие внешних нагрузок с нестационарными температурными полями. Представляет также значительный интерес случай свободных тел, в которых переменные нагружения осуществляются исключительно за счет изменения во времени градиентов температурных полей. При этом возникает явление термической усталости, когда элементы конструкций разрушаются после небольшого числа циклов изменения температуры.
Москвитин рассмотрел случай переменного термосилового нагружения, исследование которого сводится к задаче изотермического нагружения из естественного состояния некоторого фиктивного тела. Пусть, начиная со времени t = ty, внешние силы изменяются таким образом, что во всех точках пластически деформируемых областей тела Vp происходит разгрузка и последующее переменное нагружение объемными силами F” и поверхностными силами R" (на S^ при граничном перемещении «oj (на Su\ При этом будем предполагать, что за все время разгрузки и последующего переменного нагружения температура
во всем теле остается неизменной, совпадающей с полем температуры 71 (ж) = Т(т, /1) к моменту ty начала разгрузки. Такое условие реализуется, например, в случае, когда разгрузка и переменное нагружение осуществляются за ограниченный интервал времени, в течение которого температура в каждой точке тела практически не изменяется. Обозначим соответствующие напряжения, деформации и перемещения, как и раньше, через <7^-, e'-j, и". Для величин перед началом разгрузки сохраним обозначения <7^-, е1-,
Запишем уравнения состояния. В зонах V^ и V" разгрузки и упругого деформирования справедливы соотношения (8.18), которые в нашем случае запишутся в виде
s^ = 2G№)4,
(8.24)
В области Vp , где в процессе переменного нагружения происходит изменение пластических деформаций, должны быть справедливыми зависимости (8.21)
s^lGHWif(8.25)
Во всех точках тела зависимость (8.17) сохраняется. Перепишем ее для состояния перед началом разгрузки и для текущего состояния:
У = 3KtW - а0Т1), ст" = З/ОДДе" - а0Т1), откуда следует
ст* = ЗК^е*.(8.26)
Уравнения равновесия, граничные условия и соотношения Коши для величин a*-, e*j, и* даются зависимостями (8.11), (8.22)
CTV^pF*^^ F? = f-— f"-,
а*зЧ = R*, R* = Й,- ^', на Sa;(8.27)
«i = u0i = <4 - «4 на Su, 2e*j = U^j + «£ v
Оценивая соотношения (8.24)-(8.27), заключаем, что величины ст*^ E*j есть напряжения и деформации, которые возникают в некотором неоднородном упругопластическом фиктивном теле при его изотермическом нагружении из естественного состояния внешними усилиями F^ R* при граничном перемещении UqV Фиктивное тело геометрически совпадает с рассматриваемым, его упругопластические свойства характеризуются переменными по координатам модулем сдвига G^Ty^\ объемным модулем K^Ty^Y универсальной функцией нелинейности
/*(е„, 71) и пределом текучести е*^). Если указанная задача о деформации неоднородного упругопластического тела решена, то искомые величины найдутся из соотношений
// /* _Н J _*/q ОО\
®г) ^ij ^ij’ ^ij ^ij ^ij"(o.2o)
Заметим, что решение краевой задачи для описанного неоднородного упругопластического фиктивного тела значительно упрощается, если можно усреднить температуру по его объему и выразить функцию нелинейности /* через /' с помощью соотношений (8.8), (8.9). В этом случае мы избавляемся от неоднородности и можем воспользоваться выводами предыдущего параграфа.
Применим теперь этот результат к определению остаточных напряжений и деформаций, сохранившихся в теле после его полной разгрузки. В этом случае внешние усилия F", R" и граничное перемещение 4 изменяются в пределах от соответствующих значений Fj(ti), Ri(tV), «oz(^i) ДО нуля, а следовательно, величины F^, R*, и^ изменяются от нуля до значений Fi(ti), R^, Щц(11)- При этом необходимо различать два случая: в первом случае при F^ = 7^(£1), R* = RjAtV), и^ = «ог(<1) в указанном выше фиктивном теле не возникают области пластических деформаций, т. е. е* ^ £т№) во всех точках тела; во втором случае при указанных выше значениях внешних параметров возникают области вторичных пластических деформаций, где е* > e;(7i).
В первом случае остаточные напряжения 4 и остаточные деформации 4 определяются формулами (8.28)
4 = 4-а* 4 = 4-б*(8.29)
в которых 4, 4 ~~ напряжения и деформации перед началом разгрузки, а а^, е* — напряжения и деформации, возникающие в указанном выше неоднородном фиктивном теле при его упругом деформировании внешними силами Fj(ti), 7?i(£i), при граничном перемещении «oi(^i)-
Во втором случае величины 4, 4 также определяются формулами (8.28). Однако теперь 4 и 4 ~ напряжения и деформации, возникающие в неоднородном фиктивном теле при его нагружении силами Fi(ii), Ri^ti) с граничным перемещением иог(^1), если появились области пластических деформаций.
Как видим, для определения остаточных напряжений и деформаций в рассматриваемом случае термопластичности имеет место аналог соответствующих теорем Москвитина, приведенных ранее.
Переменные нагружения упругопластических тел в нейтронном потоке1)
Радиационное облучение твердых тел сопровождается многочисленными эффектами, в результате которых в них возникает объемная деформация Oj, изменяются упругие и особенно пластические характеристики вещества.
Нейтрон, обладающий достаточной кинетической энергией, проходя через кристаллическую решетку, образует на своем пути первичные, вторичные и т. д. атомы отдачи. Выбитые из кристаллической решетки, они оставляют вакантные места и, в конце концов, останавливаются в междоузлиях, что ведет к образованию в решетке парных дефектов Френкеля «атом внедрения — вакансия». Атом может быть выбит из узла, когда он получит некоторую пороговую энергию Ед. Если атом получает энергию, меньшую Ед, то она рассеивается на возбуждение колебаний решетки (нагревание) без образования смещений. Взаимодействие нейтронов с ядрами кроме упругого рассеяния может сопровождаться захватом нейтронов и делением ядер. При каждом акте распада выделяется энергия и образуются новые химические элементы.
Нас интересует механическая сторона этого процесса, т. е. возможность отражения в постановках и решениях краевых задач теории малых упругопластических деформаций влияния нейтронного облучения на напряженно-деформированное состояние твердого тела.
Рассмотрим начально однородное изотропное тело, занимающее полупространство z ^ 0. Если на границу (z = 0) параллельно оси z падают нейтроны с одинаковой средней энергией и интенсивностью <до, нейтрон/(м2-с), то интенсивность потока нейтронов, доходящих до плоскости z = const, будет [17]
v(z) = wT^.(8.30)
Величина д называется макроскопическим эффективным сечением. Для любого химического элемента
Аор
Д = сто = сг-^
и имеет порядок 1/см, причем здесь <7 — эффективное сечение, отнесенное к одному ядру, по ~ число ядер в 1 см3, Ао — число Авогадро, р —плотность, А —атомный вес.
Если <до не зависит от времени, то в соответствии с (8.30) к моменту времени t через сечение z пройдет интегральный поток
/(2) = pote"^.(8.31)
^ Этот параграф написан А. В. Яровой.
В грубом приближении можно считать, что изменение объема вещества прямо пропорционально потоку /(2) и, следовательно,
01 = Вф),
где В — константа, получаемая из опыта.
Величина /о = Wt дает суммарный поток нейтронов на единицу площади поверхности тела. В реакторах у^о имеет порядок 1017-1018 нейтрон/(м2-с), а /о достигает значений 1023-1027 нейтрон/м2, причем Ор достигает значений порядка 0,1. Следовательно, в зависимости от энергии нейтронов и облучаемого материала величина В может быть порядка 10-28-10~24 м2/нейтрон.
Зависимость модуля упругости, пределов текучести, прочности и всей диаграммы растяжения от /о различных энергий исследована экспериментально после облучения образцов в атомных реакторах. Опыты свидетельствуют, что, как правило, модуль упругости изменяется слабо (возрастает на 1,5-5 %). Что касается пределов прочности и особенно текучести, то они весьма чувствительны в отношении облучения.
Для массивных тел с плоской границей число проходящих на глубине z под этой границей нейтронов за время t определяется формулой (8.30), поэтому предел текучести будет переменным по толщине z. На поверхности тела (z = 0) влияние радиации на предел пластичности сгт вполне удовлетворительно описывается формулой радиационного упрочнения [50]
сгт = сгт0 {1 + А [1 - ехр (—^Л))]^2^ ,
где сгто — предел пластичности необлученного материала; АД — константы материала, получаемые из эксперимента (см. § 11.4). На глубине z эта формула принимает вид
сгт = сгто {1 + А[1 - exp(-^/)]L/2| ,
где величина потока /(2) описывается формулой (8.31). Соответствующие величины деформации обозначим через ето, ет-
Рассмотрим процесс комплексного воздействия на деформируемое твердое тело внешних силовых и радиационных нагрузок.
Пусть в начальный момент времени на тело, находящееся в естественном состоянии, начинают действовать внешние силы F-, R^ при граничном перемещении u'Oi и одновременно нейтронный поток величиной Ig = tpt. Предполагается, что под этим комплексным воздействием в теле появляются области пластических деформаций. Изменением модулей упругости за счет нейтронного облучения пренебрегаем. Возникающие в теле напряжения, деформации и перемещения помечаем одним штрихом вверху.
В упругих областях твердого тела справедлив закон Гука и выполняются соотношения (8.1)
4 = 2СэГ, ст' = К^е'-ВГ),
Для тех областей твердого тела, где появились пластические деформации, связь девиаторов можно в случае простых нагружений представить в виде
4 = 26%/' % I, 4)-
Здесь /' (s'u, I, 4) — универсальная функция пластичности, зависящая от интенсивности деформаций е„, величины нейтронного потока I и аппроксимационных параметров ак.
Таким образом, в деформируемом теле связь между напряжениями и деформациями при активном нагружении из естественного состояния и воздействии нейтронного потока представима в виде
4 = 2G4/'(s'u, J, 4), ст* = К^е* - BI), (8.32) причем функцию пластичности следует положить /' (е„, /, ак) = = 1 в тех областях, где е^ ^ е^ 4— деформация, соответствующая пределу пластичности на момент деформирования.
При достаточно быстром «мгновенном» приложении силовой нагрузки упрочняющее воздействие облучения не успеет сказаться, и возникшие области пластических деформаций будут такими же, как и без воздействия нейтронного потока. Однако если активное нагружение происходит достаточно медленно, то внешние слои тела окажутся со временем упрочненными, и в них области пластического деформирования могут оказаться меньше либо отсутствовать вовсе, по сравнению с необлученным телом. Может возникнуть эффект, когда первые пластические деформации появятся не на внешней упрочненной поверхности, а под ней, где интенсивность деформаций велика, а предел текучести не успел возрасти.
Таким образом, по своему воздействию на упругопластические тела радиационное облучение противоположно тепловому, которое уменьшает предел текучести материала и ведет к увеличению зон пластического деформирования при одинаковых нагрузках.
К соотношениям (8.32) добавим дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия, а также соотношения Коши в предположении малости деформаций
4 1 = 0; на
T , У , (8.33)
и^ = uOi на Su; ‘Ie^ = u^-V ujti.
В дальнейшем будем полагать, что изменения во времени внешних нагрузок и граничных перемещений происходит таким образом, что соответствующие траектории нагружения не относятся к классу существенно сложных нагружений, а радиационный рост предела пластичности не превышает роста интенсивности деформаций в облучаемых точках твердого тела.
Пусть, начиная со времени t = ti, воздействие нейтронного потока прекращается (у? = 0), а внешние силы изменяются таким образом, что во всех точках пластически деформируемых областей тела Vp происходит разгрузка и последующее переменное нагружение объемными F” и поверхностными В" силами (на SCT) при граничном перемещении и'^ (на Su\ Уровень облучения тела остается постоянным и равным его значению перед разгрузкой 1г = tpty. Предел пластичности в точках тела зависит от координаты z и становится равным a^Ix^Y
Предположим, краевая задача (8.30)-(8.33) решена. Обозначим соответствующие напряжения, деформации и перемещения, как и раньше, через <7^-, е^-, tz". Для величин перед началом разгрузки сохраним обозначения <7^-, еС, и^.
Запишем уравнения состояния. В зонах V^ и V” разгрузки и упругого деформирования справедливы соотношения
sY = 2Сэ^ е* ^ е^), з^ = s'. - з'^ э^ = э'^ - э'^. (8.34)
В области Vp , где в процессе переменного нагружения происходит изменение пластических деформаций, должны быть справедливыми зависимости
8^=20/44, Л, 4) 3*j.(8.35)
Во всех точках тела объемная деформация сохраняется упругой. Следовательно, перед началом разгрузки и для текущего состояния выполняются равенства
ст1 = К^Зе' - В1ху а" = К(Зе" - BIxY откуда следует
о* = ЗКе*.(8.36)
Уравнения равновесия, граничные условия и соотношения Коши для величин <7^-, Е^, и* будут
a*3)jVPF* = 0, F*=F!-F!';
a^L = В*. В* = R4- R" на Sai/о
7 * * , „ с (8-37)
^г ~ ^0г — ^0г^0г> на
2е*. =„• + U*
г3
Соотношения (8.34)-(8.37) образуют новую краевую задачу для величин со звездочками. Предположим, что функцию /* в любой точке кривой деформирования можно приблизить функцией /', т. е. описать таким же аналитическим выражением только с другими параметрами а^:
/* = /'(е*, а^,!^.
Сравнивая после этого соотношения (8.32), (8.33) для тела при нагружении из естественного состояния и соотношения для величин со звездочками (8.34)-(8.37), отмечаем, что они совпадают с точностью до обозначений. Поэтому решение задачи для величин со звездочками можно получить из известного решения задачи, соответствующей нагружению из естественного состояния, путем некоторых замен. Например, если известно перемещение и( = и((ж, е(), е(., I, а!^, то соответствующее перемещение и* = и((ж, Е*, е*, Л, а£), а искомое перемещение при повторном знакопеременном нагружении определяется из соотношения (8.33)
иУ = и' — и*.
Напряжения и деформации вычисляются по формулам такого же типа.
Полученный результат можно распространить на случай любого n-го циклического нагружения (теорема о циклических нагружениях упругопластических тел в нейтронном потоке ). При этом уровень облучения после первоначального нагружения фиксируется, и формальное доказательство теоремы ничем не будет отличаться от приведенного в § 8.1.
В качестве примера приведем результаты по циклическому изгибу трехслойного стержня в нейтронном потоке. Для описания кинематики несимметричного по толщине трехслойного стержня приняты гипотезы ломаной нормали (см. § 6.14). Несущие слои в процессе деформирования проявляют упругопластические свойства, заполнитель — нелинейно упругий.
Аналитическое решение соответствующей задачи теории упругости приведено в [51]. Исходя из него решение задачи теории малых упругопластических деформаций при нагружении из естественного состояния получено методом упругих решений. Численное исследование повторного знакопеременного нагружения (рисунки 8.3, 8.4) проведено с помощью сформулированной выше теоремы о циклических нагружениях упругопластических тел в нейтронном потоке.
В качестве материала несущих слоев рассматривался алюминиевый сплав, заполнитель — фторопласт. Соответствующие механические характеристики материалов приведены в гл. 11. На рисунках показаны сдвиг -ф и прогиб w трехслойного стержня,
рассчитанные по различным физическим уравнениям состояния. Кривые с одним штрихом соответствуют нагружению из естественного состояния, с двумя штрихами — повторный изгиб знакопеременной нагрузкой: 1'— решение упругой задачи; 2* — мгновенная упругопластичность без радиации; 3' — упругопластический предварительно облученный стержень (/1 = 5- 1024 нейтрон/м2).
Рис. 8.3Рис. 8.3Рис. 8.4Рис. 8.4
Рис. 8.3
Рис. 8.3
Рис. 8.4
Рис. 8.4
При совместном воздействии силовой нагрузки и нейтронного потока в течение времени Н до значения 1х деформирование пойдет по кривой 2*. Последующая мгновенная разгрузка и силовое знакопеременное воздействие при уровне радиации 1х вызовет в стержне сдвиг и прогиб, показанные кривыми 2". Если бы циклической нагрузке подвергался предварительно облученный стержень, то деформирование пошло бы по кривым 3".
Таким образом, при комплексном воздействии радиационносиловой нагрузки стержень на первом полуцикле деформируется, по сути, только от силовой составляющей. Воздействие нейтронного облучения сказывается на втором полуцикле при достижении достаточного уровня радиации, что и приводит к уменьшению деформаций в теле.
Циклическое нагружение трехслойной пластины
Рассмотрим деформирование круговой трехслойной упругопластической пластины при знакопеременном термосиловом нагружении. Отличие здесь лишь в том, что рассматриваемая пластина представляет собой кусочно-однородное тело.
Пусть в начальный момент времени на пластину, находящуюся в естественном состоянии, начинают действовать внешние распределенные нагрузки р* и q* (см. рис. 6.11) и тепловой поток интенсивности qt, направленный перпендикулярно первому несущему слою. На границе, как и ранее, могут быть заданы усилия N^g, Q^, М'^. Через k = 1, 2, 3 обозначен номер слоя. Задача определения температурного поля рассмотрена далее в § 11.5, поэтому пока считаем температуру T^z, t) известной. Несущие слои пластины принимаем упругопластическими, заполнитель — нелинейно упругим. Физические уравнения состояния будут следующие:
4} = 2Gfc(T)/W(eW,T)9W, а = г^
а^ = ЗКк(Т^е^ -aQkT), k = 1, 2;
<p2(a^\ T)a& = 3K3(T^ - aokT\
Здесь f^ (e^ , T) — функции пластичности материалов несущих слоев и функция физической нелинейности заполнителя. Объемное деформирование в несущих слоях считаем термоупругим. Соотношения (8.38) отличаются от ранее принятых для трехслойной пластины (7.32) наличием для заполнителя функций нелинейности tpn(o'^. Г), дополнительно учитывающих влияние гидростатического напряжения стО).
В компонентах тензора напряжений выделим линейную и нелинейную составляющие:
<7^ = а^ - aW; а^ - IG^ + 3^;
^ = 2GkwW3W + 3Kka0kT, (k = 1, 2);
a^ = -IG^a^ + 3#3а03Г + 43)43) + u^V3);(8.39)
<7^=<-а^ ^e = 2G^-
o^ = 2G^3^+^s^
^ = v^)-l, (7 = 1,2).
Повторяя процедуру вывода уравнений равновесия упругопластической трехслойной пластины и применяя метод упругих решений (см. § 7.10), придем к системе дифференциальных уравнений равновесия в итерациях, совпадающей по внешнему
виду с (7.38):
£2(ai«n + Q2^n - «зш") = -р + р”-1;
L2(a2un + а4^п - a5w" ) - 2cG3^n = ^Л (840) Ьз(азип + аз-фп - agw”r) = -q + q^-1.
Здесь коэффициенты а, определяются не формулами (6.59), а интегральными соотношениями, следующими из (6.57), так как модули упругости материалов в слоях изменяются по их толщине. Однако интегрирование производится по координате z, поэтому at остаются постоянными величинами. Следовательно, решение системы дифференциальных уравнений (8.40) определяется по-прежнему формулами (7.41), с учетом того, что нелинейные составляющие напряжений, входящие на каждом шаге в добавки р"-1, h"-1 и q^-1 (7.39), (7.40), задаются теперь соотношениями (8.39). Поэтому решение задачи о термосиловом нагружении пластины из естественного состояния считаем известным.
Пусть теперь, начиная с момента времени t = ty, осуществляется мгновенная разгрузка и последующее нагружение усилиями обратного знака р", q", N1^, Q'„q \ М'^. При этом будем предполагать, что за время разгрузки и последующего переменного нагружения температура во всех точках тела остается неизменной, совпадающей с полем температуры к моменту начала разгрузки: ТХ^ = T^z, fi).
Как и ранее, введем для всех слоев разности (штрих вверху — прямое нагружение, два штриха — обратное):
АЦ* _ '№ _ »№_№* _ Ик) _ н^
°схР СаР’ Есф ЕаВ Еа0 ’(8.41)
q* = q — q", «* = «' — u",..
где величины с одним штрихом — напряжения, деформации и перемещения в пластине перед разгрузкой. Для величин, отмеченных звездочкой, введем уравнения состояния типа (8.38):
s^* = ЗС^^э^*; aW* = ЗК^е^\ к = 1, 2;
^*8^ = IG^f^a^*; ч>^3> = 3K^V3>.^8‘42^
Здесь G?^ = G^T^Y ^f ^ = K^MY
Соответствующие универсальные функции нелинейности в несущих слоях полагаем выраженными через функции пластичности при нагружении из естественного состояния:
jW^jW^W^ eW^ т^ a*mY(8.43)
Причем jW* = 1 при е^* ^ е^* = а^Е^^Т^, где случай «2 > 2 соответствует циклически упрочняющемуся материалу, а^ < 2 — разупрочняющемуся, а^ = 2 — для циклически идеального материала (нижний индекс «2» показывает второй полуцикл). Упругие характеристики полимерного заполнителя не изменяются при циклическом деформировании.
В силу линейности связи деформаций с перемещениями в слоях пластины (6.49), уравнений равновесия (8.40) и граничных условий (6.56), подобные соотношения будут справедливы и для величин со звездочками (8.41). В этом случае краевая задача для величин со звездочками (8.41)-(8.43) совпадает с краевой задачей для некоторой фиктивной трехслойной упругопластической пластины, которая испытывает изотермическое нагружение из естественного состояния внешними усилиями р , q, , чао i M^q. Фиктивная пластина геометрически совпадает с рассматриваемой. Ее упругопластические свойства характеризуются переменными по координатам модулем сдвига G^(z), объемным модулем K^(z), универсальными функциями нелинейности (8.43). Если указанная задача о деформации неоднородной упругопластической пластины решена, то искомые перемещения найдем из соотношений
и” = и' — к*, ^" = ’ф' — V'*, to" — w' — to*.
Рекуррентное решение краевой задачи для величин со звездочками следует из решения (7.41), в котором необходимо произвести соответствующие замены функций нелинейности, нагрузок и коэффициентов а^. Например, если для описания поведения дюралюминия в пластической области функцию пластичности со звездочкой принять в виде, указанном в § 7.6, то константы материала будут: А* = 0,924, а* = 2,27, £* = 1,485 %.
При численном исследовании принималось, что несущие слои пластины выполнены из сплава Д16Т (дюралюминий), заполнитель-политетрафторэтилен (ПТФЭ, фторопласт). Все необходимые материальные функции и параметры этих материалов приведены в гл. 11.
Предполагаем, что тепловой поток интенсивности qt падает перпендикулярно на внешнюю поверхность первого слоя рассматриваемой пластины (см. рис. 6.11). Теплотой, ушедшей на нагревание внешнего металлического слоя, пренебрегаем (в силу его тонкости и малой теплоемкости). Температуру этого слоя принимаем равной температуре заполнителя в месте склейки Т^ = Т^^с, t). Вся теплота, воспринимаемая пластиной за время t, идет на нагревание заполнителя. Температура второго
несущего слоя также принимается равной температуре заполнителя в месте их склейки Т^ = Т^3\—с, t). В этом случае температурное поле в заполнителе можно рассчитать по формуле (11.37), полагая удельную теплопроводность А = Аз и теплоемкость со = сз- При qt = 5000Дж/м2с характер изменения температуры по толщине пластины исследован в § 11.5. В момент разгрузки (ii = 30 мин) температура во внешнем несущем слое достигала 510 К, во втором несущем слое температура оставалась постоянной и равной 293 К. Таким образом, в одном из слоев пластины осуществлялось термосиловое переменное нагружение, в другом — изотермическое.
Величина нагрузки (р = 0, q = 3,0 • 107), интенсивность теплового потока, время их воздействия (Ч = 30 мин) и относительные толщины слоев (/ii = /12 = 0,04; /13 = 0,2) подбирались таким образом, чтобы нелинейные, теплофизические и реоном- ные свойства материалов проявились в достаточной степени.
Числовое исследование продемонстрировало практическую сходимость метода упругих решений. Максимальное отличие результатов в 5-м приближении, которые приняты за искомое решение, от предыдущих — менее 1 % . На рис. 8.5 показан прогиб
симметричной по толщине трехслойной пластины при переменном нагружении (один штрих — прямое нагружение, два штриха — обратное).
Кривые 1, 2 построены для случая постоянной температуры (1 — линейная упругость, 2 — упругопластичность). Так как для дюралюминия коэффициент циклического упрочнения аг = 2,02 (табл. 8.1) и материал на втором полуцикле становится более жестким, то при изотермическом повторном нагружении максимальный прогиб пластины несколько уменьшается.
При термосиловом воздействии в течение времени Ч прогибу пластины соответствует кривая 3*. За это время
температура во внешнем несущем слое достигла значения 510 К и в дальнейшем оставалась постоянной. Это привело к уменьшению модулей упругости и предела текучести материалов. В результате прогиб пластины при прямом нагружении (кривая 5') по сравнению с изотермическим случаем увеличился. После перемены знака нагрузки (t > Ч) его максимальная величина несколько уменьшилась (кривая 5") за счет деформационного упрочнения материалов.
9
ЛИНЕЙНЫЕ
• ВЯЗКОУПРУГИЕ СРЕДЫ
Ползучесть и релаксация
В предыдущих главах предполагалось, что при неизменных во времени воздействиях напряженно-деформированное состояние рассматриваемого тела остается неизменным. Однако многие материалы, например полимеры, бетоны, композиты и т. д., даже при комнатных температурах обладают способностью медленно деформироваться во времени при постоянных напряжениях. Это свойство материалов называют ползучестью.
Необходимость учета ползучести в расчетных моделях возникла в середине XX столетия благодаря запросам инженерной практики, прежде всего турбостроения. Впоследствии эти модели нашли свое применение в атомной энергетике, химическом машиностроении, авиастроении, реактивной технике, строительстве. Запросы машиностроения привели к резкому увеличению экспериментальных и теоретических исследований в области ползучести.
Ползучесть может приводить с течением времени к значительным изменениям в напряженно-деформированном состоянии конструкции или сооружения. Подтверждением сказанного могут служить следующие примеры. Вследствие неравномерной осадки грунтового основания во времени происходит перераспределение усилий между отдельными элементами сооружений, в результате чего в протяженных в плане сооружениях иногда появляются трещины, а в наиболее неблагоприятных условиях наблюдается их разрушение. В качестве другого примера можно сослаться на массивные бетонные плотины современных гидроэлектростанций, в которых существенную роль играют экзотермические процессы, протекающие при затвердевании бетона. Ползучесть в данном случае играет положительную роль, снижая возникающие напряжения.
Заметим, что металлы при нагреве также проявляют в процессе эксплуатации реономные свойства. Так называются механические свойства материалов, существенно зависящие от времени.
Ползучесть экспериментально можно исследовать при растяжении цилиндрических образцов. Графики роста деформаций
со временем при постоянных напряжениях называются кривыми ползучести. На рис. 9.1 схематически показаны условия испытания и кривая ползучести. Верхний конец образца закрепляется, а к нижнему — прикладывается нагрузка. Ведется наблюдение за изменением длины в расчетной части образца, строится кривая изменения деформации е от времени t. Деформация увеличивается от своего начального значения Ео , которое отражает упругие свойства материала и соответствует «мгновенно» приложенной нагрузке Р.
Рис. 9.1 Рис. 9.2Рис. 9.1 Рис. 9.2
Рис. 9.1 Рис. 9.2
Рис. 9.1 Рис. 9.2
Далее можно выделить три характерных участка кривой ползучести. На первом из них (АВ) скорость ползучести высока, но монотонно убывает, начиная с некоторого большого значения. Это участок неустановившейся ползучести. Второй участок кривой (ВС) почти прямолинеен и характеризует установившуюся ползучестъ. Здесь скорость ползучести практически постоянна. Наконец, можно наблюдать участок (СВ), предшествующий разрушению, где скорости ползучести монотонно увеличивается. Необходимо отметить, что ползучесть наблюдается при любых напряжениях, и указать какой-либо предел ползучести невозможно.
Явление уменьшения напряжения в теле при постоянной деформации называется релаксацией. Предположим, что образец «мгновенно» растянули так, что расчетная длина Zq стала равной I (рис. 9.2). Для этого потребовалась сила Р^. Образец закрепили в растянутом состоянии на некоторое время. Затем его освободили от закрепления и вновь приложили такую нагрузку, чтобы расчетную часть образца растянуть до величины I. Оказывается, потребовалась нагрузка Pi, меньшая первоначальной Pi. Поэтому говорят, что напряжение, требующееся для поддержания постоянной деформации, релаксирует (падает, уменьшается).
В реальных элементах конструкций ползучесть и релаксация как реономные свойства материала проявляются одновременно, взаимосвязанно. Их можно отразить аналитически, вводя время t
в связь напряжений и деформаций твердого тела. Предложен
ный Больцманом) способ описания этой взаимосвязи основан
на предположениина предположенииРис. 9.3Рис. 9.3о влиянии всего предшествующего времени действия напряжений на деформацию в данный момент. Подобные среды называются линейными вязкоупругими наследственного типа.
на предположении
на предположении
Рис. 9.3
Рис. 9.3
Первоначальное развитие теории вязкоупругости связано с именами Больцмана, Максвелла, Кельвина), Фойхта). Здесь следует указать на простейшие модели вязкоупругой среды Максвелла (рис. 9.3) и Фойхта (рис. 9.4), представляющие вязкоупругое тело в виде комбинаций упругих и вязких элементов. Упругий элемент имеет вид пружины с линейной характеристикой, т. е. сг = Ее. Вязкий элемент представля
ет собой цилиндр с вязкой жидкостью, в котором перемещает
ся поршень с отверстием или зазором вдоль стенки цилиндра, благодаря чему жидкость может перетекать из одной части цилиндра в другую. При постоянной силе поршень перемещается с постоянной скоростью, или, иначе, а = Ае (А — коэффициент
пропорциональности).
Рис. 9.4Рис. 9.4В одномерной модели Максвелла упругий и вязкий элементы соединены последовательно (см. рис. 9.3). Напряжения в элементах одинаковые, а деформации суммируются. Связь между напряжением и деформацией получим, продифференцировав по времени уравнение закона Гука и добавив к полученной скорости деформирования вязкую составляющую:
Рис. 9.4
Рис. 9.4
напряжения в элементах, картина получится, еслинапряжения в элементах, картина получится, еслиВ модели Фойхта суммируются а их деформации одинаковы. Такая
напряжения в элементах, картина получится, если
напряжения в элементах, картина получится, если
элементы соединить параллельно (см. рис. 9.4). В этом случаест — Ее И- As.
Весьма важным является принцип Вольтерра г), позволяющий результаты решения статических задач теории упругости пересчитывать в состояния наследственной вязкоупругости.
Многие достижения современной вязкоупругости определяются работами Ильюшина, Ишлинского 2), Москвитина, Работ- нова, а также Колтунова [22, 23], Ржаницына [42], Победри [37] и других отечественных ученых. В частности, Ильюшиным подробно разработана общая теория термовязкоупругости, предложен эффективный метод решения частных задач — метод аппроксимаций [18].
Постановка задач линейной вязкоупругости
Физические соотношения между девиаторами напряжений и деформаций (s^- = otj — ad^. 3ij = £ij — E6ij) в линейной вязкоупругости записываются в следующей форме:
t
^Сэ^^ = S^ + J Г(< - Т^т) Дт,
ке^ = <т(<).
Здесь обозначено: 9 = е^^ — относительное изменение объема, ст = 0"fcfc/3 — среднее (гидростатическое) напряжение, G— мгновенно-упругий модуль сдвига, К — мгновенный модуль объемной деформации. Функция Г^) характеризует реологические свойства материала и называется ядром ползучести.
Физические уравнения (9.1) выражают следующее: поле деформаций э^ в данный момент времени определяется не только мгновенным напряжением Sij (связанными с деформациями обобщенным законом Гука), но и предшествующими значениями напряжений с помощью некоторой наследственной функции. Объемное деформирование 9 принимается упругим, так как объемная ползучесть мала по сравнению со сдвиговой. Заметим, что наследственная функция имеет своим аргументом разность (< — г), т. е. уравнения (9.1) инвариантны относительно начала отсчета времени.
3 Волитерра Вито (Volterra V., 1860-1940), итальянский математик; труды по математической физике, интегральным уравнениям, функциональному анализу.
Ишлинский Александр Юльевич, российский ученый в области механики, академик РАН.
Ядро Г^ является положительной монотонно убывающей функцией своих аргументов. На бесконечности она асимптотически стремится к нулю. При отрицательных значениях аргумента она тождественно равна нулю.
Предположим, что уравнения (9.1) могут быть разрешены относительно s^ и ст:
t
T)3ijM dTT)3ijM dT(9-2)(9-2)si,(f) = 2G |эц(f) - J R(t- o
T)3ijM dT
T)3ijM dT
(9-2)
(9-2)
a(t) = ке^.
Функцию R^ называют ядром релаксации материала. Она является резольвентой ядра Г(£). Разумеется, функция F(f) в свою очередь является резольвентой ядра R^t).
Подставим 3ij(t) из (9.1) в первое уравнение (9.2) и потребуем его тождественного выполнения при любых stj^. Получим следующее интегральное соотношение, связывающее ядра между собой:
t
R^ - F(f) = jr^t- t)R(t) dr.(9.3)
о
Следовательно, вполне достаточно определить одно из ядер экспериментально, другое можно получить аналитически. В том случае, если из экспериментов определены все ядра, уравнение (9.3) служит для проверки удовлетворительности описания деформаций принятой моделью.
Возможна иная запись девиаторных соотношений (9.1), (9.2): tt
3ijW = J J(t-T)dSij(r), Sij(t) = jn(t-T^ddij^Y (9.4) оо
В приведенных уравнениях J(t) — функция ползучести (податливость), Щ() — функция релаксации. Между этими функциями и введенными ранее ядрами можно установить связь, проинтегрировав, например, соотношения (9.4) по частям. В результате получим
t
3ijW = J (t- т)з0 (т)|‘ + J ^sijM dT- 0
Считая Sij(O) — 0 и требуя J(0) = 1/2G, F(t) = 2G dJ(t)/dt, приходим к уравнению (9.1). Аналогично можно установить идентичность уравнений (9.2) и второго из (9.4).
Виды ядер ползучести и релаксации
С целью определения экспериментальных значений функций Г^ и R(t) рассмотрим напряженное состояние при чистом сдвиге. Пусть из опытов построены кривые ползучести 612^/0^2 ~ t- В этом случае все остальные компоненты тензоров напряжений и деформаций равны нулю. Уравнения (9.1) сведутся к одному:
t
о(<712 = <712 — const)t= 1+/г(№,о(<712 = <712 — const)t= 1+/г(№,2Сэ12(<) = si2(<) + j Г(< - t)si2(t) dT,
о
(<712 = <712 — const)
t
= 1+/г(№,
о
(<712 = <712 — const)
t
= 1+/г(№,
откуда в случае ползучести
Полученное соотношение позволяет определить искомую функцию Г(£):
ГН) = 2G^, х ' dt ’ где
312(f)а12
Величина J(f) называется податливостью (функцией ползучести') при чистом сдвиге. Она вычисляется по экспериментальным кривым ползучести.
Аналогично могут быть определены значения ядра релаксации R(t) при чистом сдвиге.
Для аппроксимации экспериментальных данных на практике в основном используются следующие аналитические выражения для ядер ползучести и релаксации.
Экспоненциальное ядро ползучести:
Г(<) = Ae~pt(A > 0, р > 0).
Наличие в этом представлении только двух констант материала Аир затрудняет его применение для описания экспериментальных данных в широком диапазоне времени, особенно в начальный период нагружения.
Резольвента ядра (ядро релаксации) также представляется в виде
R^ = Be**.
Подставляя экспоненциальное ядро ползучести и его резольвенту в соотношение (1.44) и требуя, чтобы оно было тождеством
по t, получим
В = A, q = А + р.
Более точное представление дает ядро и его резольвента, принятые в виде суммы экспоненциальных функций
тт
r(t) = 52 A^1, R^ = 52 В^.
i=li=l
Подставляя эти выражения в интегральное соотношение между ядрами ползучести и релаксации (1-44) и требуя, чтобы оно было тождеством, получим 2m уравнений, связывающих константы резольвенты В^ и qt и константы ядра А^ и рр.
ттг=1г=1AtЧз - PiAtЧз - Pi= 1,= 1,т
т
т
г=1
г=1
At
Чз - Pi
At
Чз - Pi
= 1,
= 1,
£-^ = 1 и = 1, 2,т).
» - Рз
Полученные уравнения могут оказаться полезными при определении одного из ядер, если другое известно. Из первой системы уравнений определяются корни qt. Они должны быть вещественными, неравными между собой и отличными от р^. После этого из второй системы линейных уравнений определяются коэффициенты Вг.
Степенное ядро Дуффинга1):
Г(<) = Д (0</3<1).
Ограничение на константу /3 связано с тем, что при /3 = 0 скорость деформации и сама деформация в момент приложения нагрузки становятся бесконечно большими. Ядро хуже работает при достаточно больших временах нагружения. Его резольвентой является следующая функция
ад = S(->)ад = S(->)k+ic^ri^)^-1k+ic^ri^)^-1
ад = S(->)
ад = S(->)
k+ic^ri^)^-1
k+ic^ri^)^-1
где Г*(/3) есть гамма-функция аргумента /3. При указанных ограничениях на величину /3 этот ряд сходится всюду. Ядра подобного степенного типа называют ядрами со слабой сингулярностью или ядрами со слабой особенностью. Эта особенность состоит в том, что при t —> 0 ГД) —> оо, что соответствует бесконечно большой скорости деформации в момент приложения нагрузки. Слабое стремление к бесконечности обеспечивается ограничением 0 < 3 < 1. Ядро Дуффинга не может удовлетворительно
Э Дуффинг (Duffing G., 1861-1944), немецкий инженер-физик.
описывать опытные данные для широкого интервала времени вследствие наличия ограниченного числа произвольных постоянных.
Ядро Ржаницына. Типичное ядро релаксации, в котором объединяются экспоненциальные и слабосингулярные свойства, было предложено Ржаницыным [42]:
RW =RW =Ae~pt0-8Ae~pt0-8(р > О, О < ^ < 1).(р > О, О < ^ < 1).(9-5)(9-5)
RW =
RW =
Ae~pt
0-8
Ae~pt
0-8
(р > О, О < ^ < 1).
(р > О, О < ^ < 1).
(9-5)
(9-5)
Резольвентой ядра (9.5) является следующая функция:
P(t) =P(t) =t>r.(^)1t>r.(^)1
P(t) =
P(t) =
t>r.(^)
1
t>r.(^)
1
Она отличается от резольвенты ядра Дуффинга только множителем e~pt. Это ядро часто применяется в настоящее время для конкретных числовых расчетов. Оно хорошо протабулировано Колтуновым, соответствующие графики, таблицы и варианты расчета его параметров приведены в монографии [22]. Там же рассмотрено более общее ядро
R^ =R^ =Ae"ptaOSAe"ptaOS(р > 0, 0 < а < 1, 0 < р < 1).(9.6)(р > 0, 0 < а < 1, 0 < р < 1).(9.6)
R^ =
R^ =
Ae"pta
OS
Ae"pta
OS
(р > 0, 0 < а < 1, 0 < р < 1).(9.6)
(р > 0, 0 < а < 1, 0 < р < 1).(9.6)
Его резольвентой является функция
e pt- ~др.
-к)
Значительно ранее ядро типа (9.6) было предложено Вронским
[6] и др. Это ядро получается из (9.6), если в нем положить
RW =RW =Ae-ptSAe-ptSOSOS
RW =
RW =
Ae-ptS
Ae-ptS
OS
OS
Резольвенту этого ядра мы получим из резольвенты ядра (9.6), приняв в нем а = р.
Ядро типа Абеля:
М1) =М1) =tQГ.(1 + о)tQГ.(1 + о)(—1 < Q < 0).(—1 < Q < 0).
М1) =
М1) =
tQ
Г.(1 + о)
tQ
Г.(1 + о)
(—1 < Q < 0).
(—1 < Q < 0).
Резольвентой этого ядра является следующая функция, найденная Работновым при р = — 1:
ООЭсМ t) =п=0ООЭсМ t) =п=0^П^п(1+о)г>Г+1)(Г+д]’^П^п(1+о)г>Г+1)(Г+д]’
ОО
ЭсМ t) =
п=0
ОО
ЭсМ t) =
п=0
^П^п(1+о)г>Г+1)(Г+д]’
^П^п(1+о)г>Г+1)(Г+д]’
Ряд этой резольвенты сходится для всех значений t и р. Очевидно, эа(0, /) = Ja(tY
Функцию эа(Р, /) Работнов назвал дробно-экспоненциалъным ядром. Это ядро получило широкое распространение в литературе благодаря большим возможностям описания реологических свойств материалов и благодаря наличию достаточно разработанной специальной алгебры соответствующих операторов [41].
Принцип Вольтерра
Приведем эффективный метод решения краевых задач линейной теории вязкоупругости типа (9.2), (9.5). Для этого запишем соотношения (9.2) в символической форме, введя обозначение интегрального оператора G*:
Sij = 2G*3tj, ст = К0,
G* = G(1 — R*), R*f = I R(t-T)f(T)dr. (9"7) о
Сравнивая (9.7) с соотношениями (2.9), заключаем, что физические соотношения линейной вязкоупругости имеют точно такой же вид, что и уравнения обобщенного закона Гука, только модуль сдвига G заменен оператором G*.
В операторной форме можно представить и уравнения (9.1):
Э^ = 2G*S*J’ ^^ = СТ'
где оператор 1/G* равен
t
± = 1(1 +Г), r/ = yr(f-T)/(T)dT.
о
Подставляя сюда из (9.7) выражение для G*, получаем
11 - R*11 - R*= 1 + Г*.= 1 + Г*.
1
1 - R*
1
1 - R*
= 1 + Г*.
= 1 + Г*.
Таким образом, становится определенной операция деления на некоторый оператор.
Отсюда приходим к важному принципу Волътерра: решение линейной задачи вязкоупругости может быть получено из решения соответствующей задачи линейной теории упругости путем замены в последнем констант упругости некоторыми операторами.
В нашем случае следует заменить модуль сдвига G оператором G*.
Однако решения задачи теории упругости могут содержать и другие упругие константы, например модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона v. Тогда следует сначала в упругом решении Е и и заменить постоянными G и К и затем уже константу G заменить оператором G*.
Воспользовавшись принципом Вольтерра, мы получим решение, в которое будут входить алгебраические или трансцендентные функции операторов по времени, и это решение надо еще расшифровать. В общем случае такая расшифровка связана с определенными трудностями. В ряде случаев эти трудности преодолеваются. Для этого используется интегральное преоб- f»a30BaHne Лапласа-Карсона, метод аппроксимаций Ильюшина 10], операторы Работнова [24].
В частности, изображением Лапласа-Карсона некоторой функции /(f) будем называть следующую функцию f*(p) действительного параметра р:
ОО
/*(р)=р^ f^e-ptdt.
о
Если /(f) = /о, то f*(p) = /о- Если функция /(f) является сверткой двух функций F и ф, т. е.
t
fW = {р^-т^ф^,(9.8)
о
то ее изображение равно произведению изображений подынтегральных функций:
F^ = F*W4pV(9-9)
В свою очередь, если изображение функции /(f) определяется соотношением (9.9), то сама функция представляется формулой (9.8).
Выпишем полную систему уравнений, добавив к уравнениям линейной вязкоупругости в форме (9.4), при упругой объемной деформации, уравнения равновесия, соотношения Коши и граничные условия:
t
3ij^ = J J{t-T)dsij{r), Кд = а- aijtj + pFi = 0]^ ^
^ij — (^i)j^j,i)/^i ^ij^j — ^vi на S^ tz^ — ^0t на Su.
Применяя теперь к соотношениям (9.10) преобразование Лапласа- Карсона и учитывая (9.9), получим
э*; = J* s^, Кв* = а*; а*л . + pF* = 0;
333,3(9.11)
2e*j = tz* j + tz*^; ty = R* на S^ u* = tz^ на Su.
Отсюда следует, что задача линейной вязкоупругости в изображениях совпадает с соответствующей задачей для упругого тела. Следовательно, и решения этих задач совпадают, с той лишь разницей, что постоянная (1/2)G заменяется изображением J*. Модуль объемного сжатия в решении сохраняется. Если решение линейной задачи теории упругости известно, то будут известны изображения а*^ е*^. Построив по найденным изображениям оригиналы, определим искомые решения Оу (f, ж), ^ijU'i т).
Отметим, что общая задача построения оригиналов по изображениям встречает определенные трудности. Для некоторых простейших функций имеются формулы для отыскания оригиналов, они приводятся обычно в справочниках по операционному исчислению. В более сложных случаях нужно применять разработанные специальные приближенные методы. Далее мы познакомимся с эффективным методом аппроксимаций и примером его применения для круглой трехслойной пластины. Однако необходимо сделать следующее замечание. При построении изображений граничных условий в (9.11) мы неявно предполагали, что сама граница тела не меняется в процессе нагружения. Поэтому метод неприменим, например, к контактным задачам о действии штампа и к задачам с выгоранием границы.
Экспериментально-теоретический метод Ильюшина
Рассмотрим метод решения задач линейной вязкоупругости, который основан на решении соответствующей задачи теории упругости и применении некоторых, дополнительно определяемых экспериментально, функций gp^t). Анализируя аналитические формы решений задач идеальной упругости, Ильюшин сформулировал следующую теорему [18]: решение задачи идеальной упругости может быть представлено в символической форме
и = / + шр + -ф +- хь
си 1 +
Здесь /, р. ф, Хк являются функциями координат, внешних сил, заданных граничных перемещений и температуры, ш = = 2G/(3jK). Параметры Д — постоянные величины. В последнем слагаемом предполагается суммирование по индексу к.
Тогда решение соответствующей задачи линейной вязкоупругости в изображениях будет следующим (и* = 2G*/(3K’)):
и* = Г + ц»<р» + ^ + —(9.12)
Наша задача — представить решение (9.9) в оригиналах.
Обозначим оператор
Ак ~ l + ^W-
Пусть изображениям g^ соответствует некоторая функция gp^W- В этом случае обращение решения в оригиналы не представляет проблем:
Ц^ = fW + ^ U>W - J R^- t)^(t) dA + x оz
,t\6
+ H V^ + /Г^ ~ T^^ d4 + J ^^ - т) йХккт\ (9.13)
X0'0
Ильюшиным в [18] указана методика экспериментального определения этих функций, поэтому в дальнейшем считаем их известными.
Температурно-временнйя аналогия
Характеристики ползучести наполненных полимеров, как правило, существенно зависят от температуры. С повышением температуры эффект ползучести возрастает, что дало возможность использовать опыты при повышенных температурах на ограниченных отрезках времени для прогнозирования реологических свойств на длительные времена. Опыты при постоянной температуре показывают, что кривые а ~ е располагаются тем выше, чем больше скорость нагружения. Если испытания проводятся при постоянной скорости нагружения, но при разных температурах, то диаграммы <т ~ е располагаются тем выше, чем ниже температура. Этот факт позволил установить между временем и температурой связь, получившую название температурно-временной аналогии. Наглядное представление о ее сущности можно получить из рассмотрения семейства кривых ползучести при разных температурах и одном и том же напряжении (рис. 9.5). В координатах Eela~\gt эти кривые показаны на рис. 9.6 [21].
Рис. 9.6Рис. 9.6Принцип температурно-временной аналогии (или темпера- турно-временнбй суперпозиции) применительно к явлению пол-
Рис. 9.6
Рис. 9.6
Рис. 9.5
зучести утверждает, что кривые ползучести при температурах Ti > Ts, Т2 > Ti, Т3 > Т2, ... могут быть совмещены с кривой ползучести при температуре Ts путем их смещения вдоль оси логарифма времени (см. рис. 9.6) на определенные отрезки ^№)) V’№), №з), ••• соответственно. Очевидно, ф^^ = 0. Функция V1^) находится для данного материала экспериментально в соответствии с ее определением.
Кроме возможности прогнозирования, принцип температурно-временной аналогии дает возможность учесть влияние температуры на физико-механические свойства материала путем введения модифицированного времени t*. В самом деле, пусть Ji = Ji^ = J* ln(Z) есть уравнение кривой ползучести е/од ~ ~ t для данной температуры Т8. В соответствии с принципом температурно-временной аналогии можно записать
А^Т^Г^Ы + ффУ), J^t, Ts) = J*(lnt). (9.14)
Функция ф(Т) обладает следующими свойствами: ф^ГУ) = 0; ФУП > 0 при Т > Ts", ф(Т) < 0 при Т < Т8; йф^Т > 0. Поэтому, если положить ф(Т) = — 1пат’(7'), то ат(Т8) = 1; 0 < ат(Т) < 1 при Т > Ts; ат(Т) > 1 при Т < Ts. Этими свойствами обладает функция
= (9Л5>
где Ci, С2 — положительные константы, определяемые для каждого материала экспериментально. Приведенное соотношение известно как уравнение Вилъямса-Ландела-Ферри [63]. Величину ат иногда называют функцией температурно-временного смещения или коэффициентом смещения.
Графическая зависимость Х^ат^Т для типичного полимера [29] представлена на рис. 9.7. Если воспользоваться аналитической зависимостью (9.15) и принять температуру приведения
Ts = 300° К, то для указанной кривой
Ina^ = —8,86Ina^ = —8,86Т-Т,101,6 + T-TSТ-Т,101,6 + T-TS
Ina^ = —8,86
Ina^ = —8,86
Т-Т,101,6 + T-TS
Т-Т,101,6 + T-TS
Ji(t, Г) = J*(lnf') = Ji(t') = Л .Хат 'Ji(t, Г) = J*(lnf') = Ji(t') = Л .Хат '(9.16)(9.16)(9.17)(9.17)отрезка времени dt. приотрезка времени dt. при
Ji(t, Г) = J*(lnf') = Ji(t') = Л .
Хат '
Ji(t, Г) = J*(lnf') = Ji(t') = Л .
Хат '
(9.16)
(9.16)
(9.17)
(9.17)
отрезка времени dt. при
отрезка времени dt. при
Учитывая теперь выражение (9.14), введем модифицированное время соотношением
Ini' = Inf — InaT’(T),
или
t' = -L-ar(T)
При этом из (9.14) следует
Здесь существенно, что Ji = Ji(f) есть ратуре Ts.
Таким образом, введением модифицированного времени удается избежать необходимости составления аналитического выражения для Ji (t, Г) при наличии температуры Т. Более того, этот прием даст возможность распространить эффективные методы решения задач теории линейной вязкоупругости на случай термовязкоупругих моделей.
Соотношение (9.16) для модифицированного времени справедливо для случая, когда температура Т не изменяется в течение всего опыта. Если же температура Т является функцией времени t, то указанный прием естественно использовать для малого этом аналогично (9.16)
t
(9.18)(9.18)dt' = t' = [ат(ТУ У ат(Т)
(9.18)
(9.18)
В основе введения модифицированного времени лежит принцип температурно-временной аналогии. Этот принцип многократно проверялся экспериментально для многих полимерных материалов в области физической линейности и получил удовлетворительное подтверждение. Однако при решении конкретных задач принцип температурно-временной аналогии (9.16)-(9.18) широко используется и в случае физической нелинейности материалов.
Круглая линейно-вязкоупругая трехслойная пластина
Решение задачи линейной вязкоупругости получим из решения для упругой пластины (6.67), воспользовавшись экспериментально теоретическим методом аппроксимаций Ильюшина. Дополнительно предполагается выполнение условия ^ < 1, что имеет место, например, если константы упругости заполнителя Оз, К3 гораздо меньше, чем в несущих слоях. Это позволяет описывать поведение модифицированных функций Бесселя (6.64) на участке 0 < х < 1 с достаточной степенью точности следующими формулами:
т / х 1_ 1 (Ап+2
Г(п + 1) \2/ Г(п + 2) \2/
Оценим точность такого представления для функций Iq^x), Д(т). В этом случае остаточный член ряда (6.64) примем в форме Лагранжа
4!
ЯД^'кМ^ (0 < У < 1).
Так как
1^^ = |(310(^)+412(т) + Д(т)),
№ = ^(1О1о(т) + 1512(т) + 614(т) + 16(т)),
и обе функции 1о(х), /Дж) с ростом их аргумента монотонно возрастают, то справедливы следующие оценки:
Ro^ = ^т4,
4!
ад) =v 5!
Использование таблиц значений функций Бесселя [58] позволяет представить оценку в численном виде: 7?о(т) = 0,0240т4, 7?Дт) = = 0,00432т5.
Искомое решение будем строить для защемленной по контуру круглой линейно-вязкоупругой пластины. Приведем для этого решение соответствующей задачи теории упругости (6.69)
и необходимые коэффициенты (см. § 6.14): а- г''
.2.2^сЪзСа\1М )азГ /агав \ , , qr
.2
.2
и = - (а5) V> + 77
aide — Qg L\ аз )16
w =- V - 1)) + —(г2 - I)2;
4сЬ|Сз\ph (/3)2^ Ч 64Ь3
3
«1 = ^hkK^ а2 = с^К^ -h2Kf), k=l
(9.19)(9.19)a3 = h1(c + ^)K+-h2(c + ^K+,а4 = С2 [/11Х+ + h2K^ + |cx+],«5 = c[/n(c + ^Kt + /i2(c + ^№ + |c2K3+],
(9.19)
(9.19)
U104 — &2 U104 — &20105 — Д2<13^ 010б — Оз0105 — Д2<13^ 010б — Оз«6 = /ц(с2 + chy + М)^+ + h,^^ + Ch2 + М)^+ + ^К*;
U104 — &2
U104 — &2
0105 — Д2<13^ 010б — Оз
0105 — Д2<13^ 010б — Оз
0101Oi
^rrS- Kt + ^ck=Ki.
01030$о
Введем следующую гипотезу о подобии вязкоупругих свойств материалов пластиим'. ядра релаксации несущих слоев подобны ядру заполнителя и отличаются на постоянный множитель Ск, т. е.
RkW = скК^, ск^1, к = 1,2,3; R3^ = R^.(9.20)
Проведем процедуру преобразования констант упругости at (9.19) в операторы вязкоупругости а* путем замены в них модуля сдвига Gk на оператор G*k (9.7). При этом будем выделять операторы g^k1 введенные Ильюшиным,
g^k === const’ (9'21)
1 + PkWon
используя соотношения (9.13) и следствие гипотезы подобия ядер релаксации (9.20):
G*k = Gk(l-ck) + c-^G*, G = G3l G* = G*3, К = К3. Отсюда
Kk* = Kkl + Kk2u)\ KH =Kk + ^Gk(l - c,?), Kk2 = 2ckGkK/G,
8 А Г. ГопПигЛВ 14 (^'Т’ЯППППЫ'Т'ПП ГТ R T'lnn'ivnnz'vti^j
и операторы а* (г = 1, ... ,6) преобразуются к виду
П^ = ПгТ "Ь Hj2^ 5
где (а = 1, 2) з
®la = ^ ^ ^k^kai ^2а^^1^1а^2^2а)>
«За = Л1(с + у)^1а — ^(с + у)Т<2а,
«4а = С2 piiKia + hiKiQ + |cT<3Qj ,
«5а = с[/ц(с + ^)K1Q -vh^c-v ^K2q + |с2К3а^ ,
«ба = Mt? + chy + ^-)^1Q + ^(c2 + c/l2 + у )^2а + ^С^За" Остальные операторы выражаются через а*;
^* Д?Д? — Д^ ^* Д?Д5 ~ Д2а3 ^* а1Дб ~ й32 0*2 2cZ>3G3
Д[°1а1&1&3 — ^2
Теперь из упругого решения (9.19) получаем решение задачи линейной вязкоупругости в изображениях по Лапласу-Карсону в следующем виде:
лз _ . W\
и* =^— Г- ^ W + —(r2 - 1)],(9.22)
д;д£-д;2 LV d д^ /16v ОK '
w« = _»2V_ f W>)jlW1) _ lfr2 - 1Й +_ ^2
4сЬ^сЛ P'W') 2V О 64bf 7 '
Воспользуемся аппроксимацией функций Бесселя и представим входящие в решение (9.22) операторы в каноническом для экспериментально-теоретического метода виде:
= «15Щ + «2^25=«3g^3 + «4ёр4 + «о-^ •
о3O3V3о;
Так как с учетом аппроксимации
Ъ*2 н^т') = _Ь2_т(т2 , 8(1 - г2)\i>5G3 W) ЬзСз V 8 + ^*2 /’то интересующий нас оператор
= a5g^3 + a6g^4 + a7g05 + a8g06 +
+ a9gp7 + a10gps + an^’
фф О* ф
—— = «12 — + Q13gp3 + a14g/34 + a15g/33 + °16gS4-
O3U3Cd
Оператор с бесселевыми функциями, входящий в выражение для прогиба, представим в виде
= 4Ь22(г2 - 1)
Ь№ З-ЬЦЗ*) b3G3(8 + Р*2)'
Отсюда
К21,2*2*
__—__ - «17- + «185/33 + «195/34 + X “17+п^п- п=3
Коэффициенты ат (m = 1, 2, ... , 41) иД (k = 1, 2, ... , 8) из-за их громоздкости приведены в § 14.3.
Операторы, входящие в выражение для радиального перемещения, будут следующими:
„.„“1 -.2 = “265,81 + “275,82’ °1°6°3
G3G5 — Go®6 ^2♦.♦.♦.♦.1
"^Т^Г^ =+ “29^2 + “30^3 + “31^4 + аз2^’
аз«5-«2«б bih^'r) __ азвв - а3аб Ц ^ /г + 8(1 - г2)\й^ад — а32 b3G3h^P*^ а^а^ — а32 6363 у 8+^12 у
8а^«‘5= аззЛ + £ <»33+„gJ„.
а1°б-°з Ьзсз(8 + ^ )
В соответствии с вышеизложенным, решение задачи линейной вязкоупругости для круглой трехслойной защемленной пластины можно выписать в изображениях следующим образом:
. /48\
ф* =((ао _ 8«i)4 + 52 “"^n _ 8Е “"+2^п),
4п=3п=3'
11* = Т^Г 7^9 ( (т“26 + «28 ) 581 + (^“27 + «29) 582 + «3058з +
4с \ \4/^\4/р
8\
+«315,84 + («32 - 8«зз)— - 52 “n+335^n ) > (9-23) п=1'
Ш* =+ «25,82) + (Г " 1)9 f(8«17 - «12)^7 +
84х
+85 ' «п+175^п + 5 ^ ((8«п+15 «n-f-12)5^n «Т1+Ю5^п) ) ' п=3п=3
Изображению 1/ш* отвечает ядро ползучести F(Z). Изображениям g^n (9.21) соответствуют оригиналы 5^п(<), определяемые экспериментально. Искомое решение задачи линейной вязкоупругости в оригиналах следует из (9.23) после расшифровки
входящих туда операторов с помощью представления (9.13):входящих туда операторов с помощью представления (9.13):g^-^dq^g^-^dq^+ «п+29 X+ «п+29 X|«п+25 + «п+27^ У о|«п+25 + «п+27^ У оtх 8t/ ^(n+2)(t - т) М^ J - J2 а"+3з/ к^ - т) ^^о7 п=1 оtх 8t/ ^(n+2)(t - т) М^ J - J2 а"+3з/ к^ - т) ^^о7 п=1 о(9.24)(9.24)w(t) = ^ 64^ 52 “" /g3n^п=1 оw(t) = ^ 64^ 52 “" /g3n^п=1 ог2 - 1 т) dg(r) + —— оСг2 - 1 т) dg(r) + —— оС(8ai? — «12) х(8ai? — «12) х4 ,t^2 ( (^^n+15^n+12) Jg^n^tп=3 Хо4 ,t^2 ( (^^n+15^n+12) Jg^n^tп=3 ХоtT^dJgpn(t - т) dq(r) - оtT^dJgpn(t - т) dq(r) - о— On+10— On+10tJ gpn(t - t) dq^ 0tJ gpn(t - t) dq^ 0
входящих туда операторов с помощью представления (9.13):
входящих туда операторов с помощью представления (9.13):
g^-^dq^
g^-^dq^
+ «п+29 X
+ «п+29 X
|«п+25 + «п+27^ У о
|«п+25 + «п+27^ У о
tх 8t
/ ^(n+2)(t - т) М^ J - J2 а"+3з/ к^ - т) ^^
о7 п=1 о
tх 8t
/ ^(n+2)(t - т) М^ J - J2 а"+3з/ к^ - т) ^^
о7 п=1 о
(9.24)
(9.24)
w(t) = ^ 64^ 52 “" /g3n^п=1 о
w(t) = ^ 64^ 52 “" /g3n^п=1 о
г2 - 1 т) dg(r) + —— оС
г2 - 1 т) dg(r) + —— оС
(8ai? — «12) х
(8ai? — «12) х
4 ,t
^2 ( (^^n+15^n+12) Jg^n^t
п=3 Хо
4 ,t
^2 ( (^^n+15^n+12) Jg^n^t
п=3 Хо
t
T^dJgpn(t - т) dq(r) - о
t
T^dJgpn(t - т) dq(r) - о
— On+10
— On+10
t
J gpn(t - t) dq^ 0
t
J gpn(t - t) dq^ 0
Решение (9.24) справедливо для случая защемленного края пластины. При шарнирном опирании в соответствии с (6.70) в прогибе появляется дополнительное слагаемое без привлечения новых функций gpn<tY
Таким образом, для описания деформирования круглой трехслойной линейно-вязкоупругой пластины достаточно знания ядра ползучести и восьми экспериментальных функций gpn^t\ Если среди корней шп имеются кратные, то количество этих функций может быть меньше.
В заключение укажем, что ряд задач плоской линейной вязкоупругости слоистых тел рассмотрен в работах Можаровского ^ .
’) Можаровский В. В., Старжинский В. Е. Прикладная механика слоистых тел из композитов. — Минск: Наука и техника, 1988. 271 с.
Теория старения
В инженерной практике получили развитие технические теории ползучести, отражающие реономные свойства материалов введением времени в соотношения между напряжениями и деформациями. Для расчетов бетона используют теорию старения. Согласно этой теории одномерные определяющие уравнения будут следующими:
е=^ + f(a, t^ f^ t) = h^hW = В^Щу (9.25)
Константы В, п и функция /г(<) определяются по кривым ползучести материала. Соотношения (9.25) показывают, что материал как бы меняет свои свойства со временем, т. е. «стареет». Этим можно объяснить название теории. Теория старения учитывает изменение возраста бетона, но не учитывает длительности приложения нагрузки.
В качестве дополнительной литературы по теории линейной вязкоупругости можно рекомендовать ставшие классическими монографии [18], [29], [41]. Более подробно технические теории ползучести рассмотрены в [4], [23], [27].
Ю
ТЕРМОВЯЗКОУПРУГО-
• ПЛАСТИЧНОСТЬ
Нелинейные вязкоупругие среды
Многие полимерные материалы при повышенных напряжениях не следуют линейной модели вязкоупругой среды (8.1), (8.2) и проявляют физически нелинейные свойства. Применяемые для их описания различные аналитические модели подробно рассмотрены Москвитиным [29]. Здесь остановимся на некоторых из них.
Рассмотрим одну из простейших возможностей учета нелинейных вязкоупругих свойств материалов. Для этого уравнения связи напряжений и деформаций примем в виде
t
8ц = 2G(/(Eu)3y - J R(t- т^^Эг,^ dr)-, о' " '
c = 3Ke.
Здесь stj = (Jij—(j6ij — девиатор напряжений, эу = etj—eStj — девиатор деформаций, o’ = о-^/З —среднее (гидростатическое) напряжение, е = е^/З — средняя деформация; G — мгновенноупругий модуль сдвига, К — мгновенный модуль объемной деформации, функция fl(t) — ядро релаксации. Физическую нелинейность материала описывает универсальная функция /(eu), причем /(eu) = 1, если интенсивность деформаций eu не превышает некоторого порогового значения es : еи ^ £$.
Физические уравнения (10.1) выражают следующее: после того как интенсивность деформаций в рассматриваемой точке достигла некоторого порогового значения es, поле деформаций 3tj в данный момент времени определяется не только мгновенным и предшествующими значениями напряжения s^, но зависит также от вида самого деформированного состояния. Изменение объема принимается упругим.
Разрешив (10.1) относительно s^, получим (P(t) — ядро ползучести)
2Gf(eu>ij = Sij + J P(t - r)sy(r) dr;
о' " '
3Ke = o’.
2Gei22Gei2Рис. 10.1Рис. 10.1^^ =^^ =(10.3)(10.3)
2Gei2
2Gei2
Рис. 10.1
Рис. 10.1
^^ =
^^ =
(10.3)
(10.3)
Рассмотрим методику определения функции нелинейности /(eu) по экспериментальным кривым ползучести. Пусть, напри
мер, известны результаты опытов на ползучесть при чистом сдвиге (рис. 10.1). При этом
шесть уравнений (10.2) сведутся к одному, поскольку Эу = 0, Кроме 312 = £12, И Зу = 0, кроме 312 = 0’12. Здесь 2ei2 — относительный сдвиг, а 12 — соответствующее касательное напряжение. В нашем случае eu = = —^~Е12- Нижняя кривая на рис. 10.1 соответствует линейному поведению мате-
риала (eu ^ es) при постоянном напряжении у^- Вдоль нее
справедливо соотношение
Эту кривую можно использовать и для определения ядра ползучести:
2Ge^W L2Ge^W Lt
2Ge^W L
2Ge^W L
j P(t — т) dr = о
Для остальных кривых из (10.2) следует
2GKe^V5^ =2GKe^V5^ =(Ю.4)(Ю.4)
2GKe^V5^ =
2GKe^V5^ =
(Ю.4)
(Ю.4)
где у^ — постоянное напряжение вдоль k-й кривой (к = 1, 2, 3).
Разделим левые и правые части уравнения (10.4) на соответствующие части соотношения (10.3). После элементарных преобразований получим экспериментальные значения функции нелинейности в различные моменты времени
^Ч0^)
Так как в каждый момент времени известна интенсивность деформаций еи = ^^Ещ^) и функция нелинейности /(f), то
можно построить экспериментальную кривую / ~ Еи> сопоставляя их значения для одного и того же I. После чего определяются константы в принятой аппроксимационной формуле для функции нелинейности.
Нелинейные уравнения связи напряжений и деформаций можно принимать и в другом виде:
t
2Сэ^ = g^u^ij + У г(< - r)g(au)sij(т) dry, 3Ks = ст, (10.5) о
где g(<7u'j — универсальная функция интенсивности напряжений, определяемая экспериментально.
Уравнения (10.1) и (10.5) не эквивалентны друг другу. Тот или иной способ учета физической нелинейности материала выбирается в зависимости от свойств материала и имеющихся экспериментальных данных.
Уравнения нелинейной вязкоупругости, учитывающие влияние вида напряженного состояния
Высоконаполненные полимеры обладают рядом специфических физико-механических свойств, таких, например, как зависимость деформирования от величины и знака гидростатического давления ст (увеличение микродефектов при всестороннем растяжении и их «залечивание» при сжатии). Эти особенности не учитываются рассмотренными моделями (10.1) и (10.5), в которых разделяются соотношения между девиаторами и шаровыми частями тензоров напряжений и деформаций. Простейшие уравнения, учитывающие влияния объемного напряжения и температуры Т = Т^х, ty отсчитываемой от некоторого начального значения То, могут быть введены путем естественного обобщения предыдущих соотношений:
^(щ T)Sij = 2Gh^u, Т^э^ ~ lR(t- r)f(eu, Т^т) dr xо
(10.6) tp2^, T^o = 3K^e — aTy
Здесь уравнения для девиаторных величин и их вторых инвариантов (интенсивностей деформаций eu) теперь содержат и первые инварианты тензора напряжений ст. Это и позволяет учесть различное поведение полимеров при растяжении и сжатии. Разрешив соотношения (10.6) относительно деформаций,
получим
t
2СДЕи, T>ij = ¥>i(<t, T)Sy + f P(t - T^lcr, T)Sij(r) dr,
3K(e — aT) = 992(0", T^a.
Предполагается, что функции /, 991 и 992 в (10.6), (10.7) являются универсальными, не зависящими от вида напряженного состояния. Они определяются экспериментально. Влияние температуры на физико-механические свойства можно в ряде случаев учесть, как известно, с помощью температурно-временной аналогии либо, как это показано далее, непосредственной обработкой опытных данных.
Вязкоупругопластические среды
Многие металлы и сплавы при повышенных температурах кроме пластичности проявляют и явно выраженные реономные свойства. Такие среды будем называть вязкоупругопластическими. Рассмотрим одну модель, позволяющую описать подобное поведение материалов. Физические уравнения состояния при наличии температурного поля Т(т, t) принимаем следующие:
’ (10.8)’ (10.8)Sij = 2G(T) (y>(eu,T)3ij - jR^t - r, T)/(eu, Т^Дт) dr x0
’ (10.8)
’ (10.8)
о = ЗКф^Е - aTY
Альтернативными к ним будут выражения деформаций через напряжения
t
2С(Т>^ = <pi<au, Т^э + /Г(< - т, T^oUl Г^т^т,
ЗК(Т)(е-оТ) — о*.
Здесь отмечено, что от температуры могут зависеть мгновенные модули упругости G^ и K^TY ядра ползучести Г(£), Т) и релаксации R^t, Т), а также функции пластичности <p(eUl Т), 991 (<ти, Т) и универсальные функции физической нелинейности f(eu, TY g^u, TY При этом Деи, Т) = 1, если Еи ^= £ТСП; 99i(cru, Т) = 1, если аи ^= оДТ1); /(eu, Т) = I, если eu EskTY g(au, Т) = 1, если аи ^(Т).
Для общей постановки задачи о нагружении из естественного состояния необходимо присоединить к уравнениям (10.8)
или (10.9), которые справедливы только при активном нагружении, уравнения равновесия, соотношения Коши и граничные условия.
Метод последовательных приближений в задачах вязкоупругопластичности
Присоединим к уравнениям (10.8) уравнения равновесия, соотношения Коши и граничные условия:
Sy = 2G(T) Upk£ui T^tj ~ J Rkt- ТШеи, Т)эу{т) dA,
Vо7 (10.10)
а ^ЗК^е-аТ^, crijj + pFt = 0, 2е^ = mj + Uj^,
^ij^j — Ri на Sa, iii — noi(xi) на S-ц.
Решение задач термовязкоупруго пластичности связано с решением системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных (10.10), что представляет собой чрезвычайно сложную математическую задачу, об аналитическом решении которой говорить не приходится. Поэтому воспользуемся здесь методом последовательных приближений, который базируется на методе упругих решений Ильюшина.
Представим для этого функцию пластичности в виде
y>keu, Т) = 1 - ш(£и, T),/(eu, Т) = 1 - цц(еи, Т),(10.11)
где 0 ^ w < 1, 0 ^ оц < 1. Причем ш(£и) = 0, если еи ^= £т; wi(eu) = 0, если еи ет.
Подставим (10.11) в (10.10). Тогда физические соотношения становятся следующими:
Sij = 2G(T)f(l-w(eu,7>y-
- JR(t - т)(1 -Ш1(£и, Т))эу(т) dA, (10.12) о7
ст = ЗК^ТКе-аТу
Таким образом, при ш = оц = 0 уравнения (10.12) описывают линейные термовязкоупругие свойства материалов.
Как и в теории пластичности, запишем дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия, разложив тензор напряжений на девиаторную и шаровую части:
sijd 4"17,! 4” pRi — 0,(10.13)
Sijlj + о1г = Ri на SCT, щ = uoi(xi) на Su. (10.14)
Задачу термовязкоупругопластичности будем решать в перемещениях. С этой целью подставим компоненты девиатора и шаровой части тензора напряжений (10.12) в уравнения равновесия (10.13) и силовые граничные условия (10.14) и учтем соотношения Коши. В итоге получим следующие обобщенные уравнения Ламе и граничные условия:
(А + д)0 , + дДи, + pFt — РШг - 3KaTit = 0,Х91г + р(щ, j + Ujti)lj = R4 + Rui + ЗКаТЦ.
Здесь
Рш1 = 2с(шэ^ + [ R(t — r ,T)f(eu, T)3ij(r)dr\ ,
(
t,
U)3ij + j R(t - T ,T)f(eu, T)3ij(r)dTjlj.о'
За нулевое приближение примем сД°) = /^ = 0. Тогда FWi = = Rui = 0, и для определения первого приближения «^ имеем обычную задачу линейной термоупругости. По найденным пе- (1) ремещениям п- определяются величины
з^ $\ и^-ц^Т^ /(1) = /^), т), F^, RW.
Для любого к-го приближения имеют место уравнения и граничные условия
(А + д)^ + дДи^ + pFi - F^ - ЗКаТ i = 0,(10.15)
Хв^Ц + p^j + u^lj = Ri + R^ + ЗКаТ1^ (10.16)
причем F^ ', R^ известны, так как определяются предшествующим (к — 1)-м приближением.
Уравнения (10.15) и граничные условия (10.16) являются линейными относительно неизвестных перемещений н^. Они отличаются от соответствующих уравнений теории термоупругости тем, что в них к внешним силам F^ Ri добавляются фиктивные силы F^ Х\ R^ ^ Это позволяет по известному решению соответствующей задачи теории упругости построить решение упругопластической задачи в рекуррентном виде.
Для обеспечения сходимости рассмотренного метода последовательных приближений необходимо, чтобы параметр ш, связанный с функцией р^и^ соотношением (7.20), и функция нелинейности /(си) были малыми по сравнению с единицей. Если
дополнительно принять 9?(eu) = /(Ей), т0 указанный процесс построения приближений в изображениях ничем не будет отличаться от процесса построения приближений в рассмотренном ранее методе упругих решений Ильюшина в теории малых упругопластических деформаций (см. § 7-7). В последнем случае известны доказательства сходимости метода (например, [39]). Поэтому можно говорить о сходимости и в рассматриваемом случае.
Доказательство сходимости метода упругих решений для несжимаемой нелинейной вязкоупругой среды дано в работе [37]. Практическая сходимость продемонстрирована ниже на примере изгиба трехслойной пластины.
При построении решений задачи в изображениях для любого (k—1)
приближения удобно объемные Fi+F^ 7 и поверхностные Ri + + < ^ силы разложить в ряд по известным функциям. В этом случае решения в любом приближении будут отличаться только постоянными величинами.
Другой метод последовательных приближений получим, если за нулевое приближение принять ш^0) = 0 и ш^ = 1—f^ = 0. В этом случае для определения первого приближения iz^ следует обычная задача линейной термовязкоупругости. В дальнейшем для k-то приближения имеем задачу линейной термовязкоупругости с некоторыми другими дополнительными внешними нагрузками rV , RV \ которые вычисляются по результатам предыдущего приближения и служат поправками на пластичность и физическую нелинейность материала.
Круглая вязкоупругопластическая трехслойная пластина
Продолжим исследование влияния свойств материала на напряженно-деформированное состояние круглой трехслойной пластины (см. § 6.14, 7-10, 8.4). Предположим, что в процессе деформирования материалы несущих слоев могут проявлять вязкоупругопластические свойства. Для их описания используем наследственные соотношения между напряжениями и деформациями типа (10.8):
s^ = 20^(7) х
х (f^^, T>W _ у ад - T, Т)^^, T^W^drY x о '
(10.17)
В физически нелинейном заполнителе учитываем влияние вида напряженного состояния:
Ы^(3), Т^З = 2G3(T) х
х U34^u\ Т>^ - IR3(t — r, TH^^uh^MdrY хо
(10.18)
^(^^^ Т)^ = ЗК3(ТНб^ - «озП (а, з = г, ^).
В этом случае уравнения равновесия в итерациях (7.26) сохраняют свой вид:
Т^ауи*1 + а2-фп - азго") - -р + р"-1,
£2^2^ + а^п - а^) - 2cG3V>" = h^-\(10.19)
Ь3^азип + asV’" - абю"г) = “9 + 9"-1-
Здесь коэффициенты at и дифференциальные операторы L2, L3 определяются соотношениями (6.59), п —номер приближения. Дополнительные внешние нагрузки р"-1, А"-1, ?"-1 вычисляются по формулам типа (7.27):
п—1 mn—1 ।1 rpn— 1 \
Ри)^TU^T ^X^TU) ^(fU) /1
tn—1 Пп—^ ।— Ип—^\
Птикт"' \пти) пфи )^и))
зГ1 = ^rr +- м?-^,
’ г
где
зз
k=XАт=1 /i^
33
k=ik=ink(10.20)
c
Q^1 = / ^)n_1 dz- (a = r, <p).
Нелинейные составляющие напряжений в соответствии с (10.17), (10.18) для несущих слоев имеют вид (к = 1, 2) а^шп"х = г^^"-^^"-1 +
+ у Rk(t - т)(1 - 4k^n-Va)n'4T)dT^ о
В заполнителе
ст(3)шп-1 = 2Сз х
х (Ш(3)п-1э^п-1 + I R^t - т)(1 - ш^п-1)43>-1(т)</т) + о
+ЗК3аозТ + ш(3)п-15^п-1 +43)П-1^(3)П_1;
ст(з)Шп-1 = sg^3^-1^-1 +
+ у ЗД-т)(1 -о/3)”"1)^^^+ш(3)п-15(3)"-1,
о
Ц3)"-1 ^^с/3)"-1)-!,(7 = 1,2).
Таким образом, на каждом шаге приближения мы по-прежнему имеем линейную задачу термоупругости с известными дополнительными внешними нагрузками (10.14). Внешний вид решения итерационной системы (10.13), с учетом его гладкости в центре пластины, не отличается от полученного решения для соответствующей упругопластической пластины (7.29):
F = C^Wr^ + <,
иП =+
Л1Об О3 LОз
+ (а5- ^Un + Cnrl (10 21)
V аз /J
w" =/<dA -
Оз L X РJ/
- [(-Ц'ь> - Р^ - ь3“‘(5 - £))» + ^ + с?].
Здесь частное решение неоднородного модифицированного уравнения Бесселя имеет вид
^г = -^(/Зг) у I^Pr^fnrdr + Ц^г) у K^Pr^prdr,
где
ГМ = rAs к"' + ^""^(р - РГ') +
О1Оз — Iaids
+ £V to-£"‘)r *1.
О3Г JJ
Однако в приведенном решении дополнительные нагрузки являются поправками уже и на реономные свойства материалов слоев.
Константы интегрирования в случае граничных условий заделки пластины по контуру определяются соотношениями (7.30).
При численном решении (10.21) предполагаем, что тепловой поток интенсивности qt падает перпендикулярно на внешнюю поверхность трехслойной пластины. Рассмотрим два типа пластин с различными материалами слоев пакета: металл-полимер- металл и керамика-полимер-металл.
полнителя в месте их склейки стану теплоизолированной по заполнителе можно рассчитать по формуле (11.37), полагая удельную теплопроводность А = Аз и теплоемкость со = сз-На рис. 10.2 показано расчетное изменение температуры пакета по толщине пластины при qt = 5000 Дж/(м2-с). Номер кривой соответствует различным моментам времени сполнителя в месте их склейки стану теплоизолированной по заполнителе можно рассчитать по формуле (11.37), полагая удельную теплопроводность А = Аз и теплоемкость со = сз-На рис. 10.2 показано расчетное изменение температуры пакета по толщине пластины при qt = 5000 Дж/(м2-с). Номер кривой соответствует различным моментам времени сДля пластин первого типа теплотой, ушедшей на нагревание внешнего металлического слоя, пренебрегаем (в силу его тонкости и малой теплоемкости). Температуру этого слоя принимаем равной температуре заполнителя в месте склейки: Т^ = = Т^^с, t). Вся теплота, воспринимаемая пластиной за время f, идет на нагревание полимерного заполнителя. Температура второго несущего слоя также принимается равной температуре за- Т(2) = Т(3)(-с, t). Считая пла- контуру, температурное поле в
полнителя в месте их склейки стану теплоизолированной по заполнителе можно рассчитать по формуле (11.37), полагая удельную теплопроводность А = Аз и теплоемкость со = сз-
На рис. 10.2 показано расчетное изменение температуры пакета по толщине пластины при qt = 5000 Дж/(м2-с). Номер кривой соответствует различным моментам времени с
полнителя в месте их склейки стану теплоизолированной по заполнителе можно рассчитать по формуле (11.37), полагая удельную теплопроводность А = Аз и теплоемкость со = сз-
На рис. 10.2 показано расчетное изменение температуры пакета по толщине пластины при qt = 5000 Дж/(м2-с). Номер кривой соответствует различным моментам времени с
Рис. 10.2 интервалом 1U мин после начала воздействия теплового потока. В начальный момент времени fi = 0, в конечный —17 = 60 мин. При <4 = 30 мин температура во внешнем несущем слое достигает 510 К.
Для пластин с внешним теплозащитным керамическим слоем считаем, что вся теплота реализуется в этом слое и в заполнителе. Принимая и здесь теплоизоляцию по контуру, температурное поле рассчитываем по формуле (11.37), где проведено усреднение теплопроводности и теплоемкости пакета по
заполнителя пластины:заполнителя пластины:толщине теплозащитного слоя и
заполнителя пластины:
заполнителя пластины:
1616COS 7ГПI S +COS 7ГПI S +С + /12НС + /12Н)]С)]С2Т22Т2
1
6
1
6
COS 7ГПI S +
COS 7ГПI S +
С + /12Н
С + /12Н
)]С
)]С
2Т2
2Т2
Здесь т = at/h2; s = z/h-, h = h\ + /г3; a = X/pc^, A = (Ai/ii + + A3/i3)//z; pco = VPvC\hx + p^h^/h.
Величина нагрузки (go = 3,0 • 107), интенсивность теплового потока, время их воздействия (fg = 30 мин) и относительные толщины слоев [/ii = 0,04 -> 0,02 (при абляции, см. § 11.5); 62 = = 0,04; /г3 = 0,2] подбирались таким образом, чтобы нелинейные, теплофизические и ре-
ономные свойства материалов проявились в достаточной степени.
Числовые результаты показали практическую сходимость модифицированного метода упругих решений, примененного здесь для неоднородно-слоистой среды. Максимальное отличие результатов в 6-м приближении (для пластины металл- полимер-металл), которые приняты за искомое решение, от предыдущего — около 3 %, а от 7-го —менее 0,5 % (рис. 10.3). Здесь номер кривой соответствует шагу итерации.
На рис. 10.3 а показан сдвиг в заполнителе, на рисунке 10.3 6 —прогиб пластины в момент времени t = 30 мин.
Если внешний теплоза-
Рис. 10.3щитный слой керамический,
то сходимость убыстряется: часто уже 4-е приближение является достаточно хорошим. Этот эффект объясняется физической линейностью наиболее жестко
го в пакете керамического слоя.
Число узлов по радиальной координате (21) определялось из условия достижения необходимой точности решения. Счет ква-
дратур проводился с использованием формул Ньютона-Котеса. Интегрирование по толщине слоя выполнялось по четырехто
чечной формуле Ньютона. Были численно просчитаны девиаторы напряжений и деформаций в различные моменты времени и подтверждена их соосность, что свидетельствует о выполнении условий простого нагружения.
Рисунок 10.4 иллюстрирует увеличение прогиба за счет воздействия теплового потока на пластину. При этом можно проанали
зировать результатыРис 104
расчета по различным' '
физическим уравнениям состояния. Кривая 1 соответствует изотермическому нагружению упругой пластины; 2, 3 — термо
силовое нагружение линейно вязкоупругой пластины в моменты времени £ = Ои£ = £о = ЗО мин. Остальные расчеты проведены в общем случае физических уравнений состояния (10.17), (10.18). При этом кривые ^, 5 соответствуют изотермическому нагружению в моменты времени t = 0 и t = to; 6, 7 — термосиловому
воздействию в те же времена.
Линейная термовязкоупругость добавляет к прогибу упругой пластины 10,3 % . При тепловом воздействии на пластину,
Рис. 10.5Рис. 10.5и реономные свойства, прогиб на 16,2 % больше соответствующего изотермического прогиба.
Рис. 10.5
Рис. 10.5
По сравнению с упругим термосиловой прогиб вязкоупругопластической пластины возрастает за время to на 123 % .
На рис. 10.5 показано влияние на мак-
симальный прогиб пла
стины величины внеш
ней нагрузки q. С ее ростом нелинейный характер кривых 2, 3 (общий случай физических уравнений состояния при термосиловом нагружении в моменты времени t = 0 и to = 30 мин
Рис. 10.7Рис. 10.7
Рис. 10.7
Рис. 10.7
соответственно) усиливается. Упругий прогиб 1 линейно пропорционален нагрузке.
Влияние на прогиб различных геометрических параметров пластины отражено на рис. 10.6. При постоянной толщине заполнителя и постоянной суммарной толщине несущих слоев (/ig = 0,2; h\ + h2 = 0,08) наибольшую жесткость на изгиб имеет двухслойная пластина — 5, наименьшую — симметричная по толщине трехслойная пластина—1. Кривая 2 соответствует прогибу с параметрами h^ = 0,02; /12 = 0,06. Значения прогиба для других возможных соотношений толщин в
указанных пределах располагаются между кривыми 1 к 3.
Распределение областей пластического и нелинейного деформирования материалов слоев по поперечному сечению пластины в зависимости от внешней силовой нагрузки можно проследить по рис. 10.7 a (qt = 0). Численные исследования показали, что первые пластические деформации появляются на внешних
поверхностях контура пластины в заделке. С ростом нагрузки и времени они начинают распространяться внутрь по толщине и вдоль граничных плоскостей слоев. Затем образуется еще одна область пластических деформаций — в центре пластины (г = 0), которая движется навстречу первой.
Воздействие температурного поля qt приводит к увеличению областей пластического деформирования материалов (рис. 10.7 б\ На этих рисунках темные точки и прямоугольники обозначают соответственно нелинейную ползучесть (вязкоупругость) и пластические деформации в начальный момент, светлые добавляются за 30 мин.
Кинематическая модель рассматриваемой трехслойной пластины предполагает склейку слоев. Это означает, что перемещения на границах слоев будут непрерывны, но напряжения терпят разрыв, так как определяются физическими характеристиками материалов каждого из слоев. Изменение напряжений в поперечных сечениях пластины показано на рисунках 10.8--10.10.
Рис. 10.9
В центре пластины (см. рис. 10.8) радиальные напряжения о^ равны тангенциальным сг^ , на контуре — радиальные больше
по модулю (см. рис. 10.10). В тонких несущих слоях они изменяются по поперечному сечению линейно.
Рис. 10.10Рис. 10.10
Рис. 10.10
Рис. 10.10
tr^^-lO-8 (z=c+/li)1,61,20,80,4tr^^-lO-8 (z=c+/li)1,61,20,80,400,20,4 0,60,8 гРис. 10.1100,20,4 0,60,8 гРис. 10.11
tr^^-lO-8 (z=c+/li)
1,6
1,2
0,8
0,4
tr^^-lO-8 (z=c+/li)
1,6
1,2
0,8
0,4
00,20,4 0,60,8 г
Рис. 10.11
00,20,4 0,60,8 г
Рис. 10.11
Во внешнем несущем слое температурное поле вызывает расширение материала и смещение напряжений в отрицательную область.
Учет физической нелинейности и реономности материалов слоев приводит к увеличению максимальных напряжений во вто
ром несущем слое по сравнению с упругими напряжениями на 55,4 % (изотермическое нагружение) и на 70,1 % (термосиловые
нагрузки). Во внешнем слое аналогичные цифры — 55,4 и 79,7 %.
Кривые 1 на этих рисунках соответствуют упругой пластине; кривые 2, 3 — общий случай физических уравнений состояния при t = 0 и f = fo
lio рис. 10.11 можно судить об областях заполнителя, в которых работают функции нелинейности фторопласта, учитывающие влияние гидростатического давления р = = —ст (кривые 1, 2— общий случай физических уравнений состояния при t = 0 и t = to). При рассмотренных нагруз
ках это происходит во всем интервале 0 ^ г ^ 1, так как здесь р < Ро — 800 МПа, и еще не все дефекты материала закрыты.
Влияние абляции на напряженно-деформированное состояние круглой трехслойной пластины (керамика-полимер-металл) рассмотрено при следующих параметрах: нагрузки — q = 0,3 -108; р = 0; qt = 2,5 • 104 Дж/(м2с); время их воздействия to = 60 мин; относительные толщины слоев — hi = 0,04 —> 0,02; /12 = 0,04; /13 = 0,2. Унос вещества с поверхности керамического слоя предполагался равномерным, его начало в момент времени ti = to/2 соответствует необходимому разогреву поверхности. Интенсивность абляции предполагалась достаточной для уменьшения толщины несущего слоя наполовину. Температурное поле определялось по формуле (11.37) с учетом осредненной толщины керамического слоя
^1 = (М<п) + ^l^n-l))^,где tt — узловые моменты времени, п — номер рассматриваемойточки. Как видно из рис. 10.12, начало абляции принималось вмомент времени ti, когда температура на поверхности керами-ческого слоя достигала 1200 К (кривая I). Расчетная темпера-тура на поверхности при уносе вещества (кривая 2) ниже, чем упластин с постоянной толщиной hi = {0,04; 0,02} (кривые 3, 4)-
Рис. 10.13Рис. 10.13
Рис. 10.13
Рис. 10.13
Влияние абляции на максимальный прогиб пластины wmax и максимальный относительный сдвиг V’max в заполнителе показаны соответственно на рис. 10.13 а, б. В момент времени to — 60 мин эти параметры при наличии абляции (кривая 5) примерно в 3,5 раза больше, чем у пластины с постоянной толщиной керамического слоя hi = 0,04 (кривая 1), и на 30 % меньше, чем у пластины с hi = 0,02 (кривая 2).
Расчетный прогиб пластины в условиях абляции, вычисленный по различным физическим уравнениям состояния, приведен на рис. 10.14. Здесь различие в решениях задачи термоупругости (кривая 1), линейной вязкоупругости (2) и общего случая рас
сматриваемой вязкоупругопластичности (5) проявляется в гораз
до большей степени, чем ранее.
Для соответствующих радиальных напряжений в заделке (рис. 10.15) подобные отличия, вызванные абляцией, не так велики. Здесь проявляется только существенный рост напряжений в несущем металлическом слое, вызванный перераспределением нагрузки на слои.
Рассмотренные эффекты объясняются тем, что при одинаковых условиях теплового
воздействия часть энергии при наличии абляции уходит на нагревание унесенного вещества. Это
приводит к сравнительному уменьшению температуры пластины и относительному увеличению жесткости материалов слоев.
Влияние абляции на изменение напряженно-деформированного состояния пластины наблюдается и при численном моделировании термосилового нагружения для трехслойного пакета металл-полимер-металл. Отметим, что эффект абляции используется в технике для охлаждения камер сгорания ракетных двигателей.
Таким образом, комплексное термосиловое воздействие, в том числе и абляция, приводит к существенному изменению напряженно-деформированного состояния в вязкоупругопластических элементах конструкций по сравнению с изотермическими нагрузками. Это подтверждается также исследованиями, проведенными для слоистых стержней, пластин и оболочек [31], [49], [51].
П
ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ
• ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ
При численном решении краевых задач желательно применять механические характеристики реальных материалов или близкие к ним. С этой целью, используя известные экспериментальные данные, были получены [48, 50] и ниже приведены необходимые параметры для алюминиевого сплава Д-16Т, кордиерита и нитридкремниевой керамики, политетрафторэтилена (ПТФЭ, фторопласта-4). Также предложен аналитический вид функций пластичности и физической нелинейности и продемонстрирована методика числовой обработки экспериментальные данных.
Алюминиевый сплав Д16Т
Физические уравнения состояния соответствуют термовязкоупругопластическому материалу и принимаются в форме
t
Sij = 2G(T)(/i(e„, Т>ц - JR(t- t)/2(eu, T^ij^dry о' ’
ст = 3 A (T) (s — aT).
Здесь, как и ранее, Sy, Эу, а, Е — девиаторные и шаровые части тензоров напряжений и деформаций; /i(eu, Т) = 1 — u>i(eu, Г) — функция пластичности Ильюшина; Еи — интенсивность деформации; /2 (Ей, Т) — универсальная функция нелинейной ползучести; Н(^ — ядро релаксации; а — осредненный коэффициент линейного температурного расширения; Т — неоднородное и нестационарное температурное поле, отсчитываемое от некоторой начальной температуры 7q; G^T\ К^Г^ — модули сдвиговой и объемной деформаций.
Для описания зависимости модулей упругости от температуры используем известную формулу Белла [5], предложенную им после обработки экспериментальных данных по исследованию свыше пятисот чистых металлов и сплавов:
(G(T), К(Т), E(T^ = {(7(0), 5(0), 5(0)} ^(Т),
(1,о < Т Тпл < 0,06,(11.2)
-АТ) =
1,03(1 - Г/(2ГПЛ))„ 0,06 < Т/Тпл < 0,57,
где Тпл — температура плавления материала; 0(0), К(0), S(0) — значения модулей при так называемом нулевом напряжении. Их можно определить из эксперимента: зная Go при некоторой температуре То (например, при комнатной 20°С), получим
С(0) =
Коэффициент Пуассона предполагается не зависящим от температуры. При более высоких сходственных (гомологических) температурах Т)Тпл > 0,57 возможно малое отклонение поведения материала от линейного закона (11.2).
Аналитический вид функции пластичности при некоторой постоянной температуре Tq принимаем следующий:
Wi(£u, Го) — <Wi(£u, Го) — <О,О,А1(1-^)а1,А1(1-^)а1,^и ^ £т(Ь^и ^ ^тО-^и ^ £т(Ь^и ^ ^тО-(11.3)(11.3)
Wi(£u, Го) — <
Wi(£u, Го) — <
О,
О,
А1(1-^)а1,
А1(1-^)а1,
^и ^ £т(Ь
^и ^ ^тО-
^и ^ £т(Ь
^и ^ ^тО-
(11.3)
(11.3)
Здесь £tq = £t(7q)— интенсивность деформации, соответствующая пределу текучести при температуре Tq.
Для определения экспериментальных значений функции пластичности воспользуемся приведенными на рис. 11.1 а опытными данными по переменному кручению стержня круглого поперечного сечения за пределами упругости в условиях комнатной температуры, полученными Гусенковым и Москвитиным [13].
Рис. 11.1Рис. 11.1
Рис. 11.1
Рис. 11.1
Здесь показана зависимость относительной деформации £ от относительного крутящего момента М при мгновенном деформировании (кривая 1 — прямое, 2 —обратное нагружения):
М=^ = ^-, £=—, ет = —• (П.4) Мт ат ет Ет
При мгновенном кручении в соотношениях (ИЛ) интегральное слагаемое следует положить равным нулю. Из всех компонент тензоров напряжений и деформаций ненулевыми будут только S12 = <712 и Э12 = £12- В результате для рассматриваемых экспериментальных кривых будет справедлива следующая зависимость
<712 = 2Gq£12(1 — Oil).(11-5)
Разделим левую и правую части уравнения (11.5) на величину <7Т. Тогда, применяя введенные в (11.4) величины, получим
M = £(l—W1), Ш1 = 1 — —.(И.6)
е
С помощью соотношений (11.6) вычисляем значения функции пластичности в экспериментальных точках —win (рис. 11.16). В этих точках должны выполняться условия аппроксимации
Win — Л1j .
, Win In, Win InРазделив подобные соотношения для п-й и к-й экспериментальных точек, получим
, Win In
, Win In
откуда
1ц 1 ^то/^un
1 ^то/^uk
Теперь
Ai =(11-7)
После осреднения принято: Ai = 0,96; оц = 2,34. О точности аппроксимации можно судить по кривым 1 на рис. 11.1 а, б. Темные точки — эксперимент, сплошная линия — расчет.
При росте температуры пластические свойства металлов увеличиваются, поэтому график функции wi(eu, Т) предполагаем смещенным вдоль оси абсцисс относительно графика wi(£u, 2b) на величину £то —£т (интенсивность деформации £т соответствует пределу упругости при температуре 71). Значения £т вычисляем, используя формулу зависимости предела упругости <7Т от температуры, предложенную Махутовым [28]:
a.^exp^l-i)}, £т(Т) = аЩ. (11.8)
Для определения константы материала х из (11.8) следует формула
X = In — ^тОX = In — ^тО1-1Г1Т То)1-1Г1Т То)
X = In — ^тО
X = In — ^тО
1-1Г1
Т То)
1-1Г1
Т То)
Ее значение, вычисленное по экспериментальным данным Ра- ботнова [41], приведено в табл. 11.1.
Таблица 11.1
Параметры
Значения
Параметры
Значения
Е(0), МПа
0,829 10s
«I
2,27
G(0), МПа
0,3075 105
£т0> %
1,485
К(0), МПа
0,921410s
A2
1
Ео, МПа
0,7210s
«2
0,7
Go, МПа
0,267 10s
EuO, %
0,27
Ко, МПа
0,840s
A*2
1
«о, 1/К
24,340'6
«2
0,6
То, К
293
EuO, %
0,535
Тм, К
933
A, c-Q
2,92 10~4
V
0,35
P, o'1
l,3910-7
Ах
0,96
a
0,25
«1
2,34
<tbo, МПа
530
^тО) %
0,735
po, кг/м3
2700
<Тто, МПа
340
Co, Дж/кг-К
880
х, 1/К
301
ко, Дж/м-с-К
177
А!
0,924
5
5,6
°,°,Таким образом, обобщая (11.3), функцию пластичности при термосиловом нагружении из естественного состояния принимаем в виде
°,
°,
ЕиО
^1(Eu! Т^ — *^1(Eu! Т^ — *Л1 (1 -Л1 (1 -£то V1Си "I* £т0—т '£то V1Си "I* £т0—т 'ЕйЕй(П.9)(П.9)
^1(Eu! Т^ — *
^1(Eu! Т^ — *
Л1 (1 -
Л1 (1 -
£то V1
Си "I* £т0—т '
£то V1
Си "I* £т0—т '
Ей
Ей
(П.9)
(П.9)
Аналитический вид функции нелинейности при знакопеременном нагружении ш[(е*, Т) принимаем типа (11.9):
Е* Е*
CU СТ’
^М, Т) =
Соответствующие константы А^, а*, е*0 вычислены по экспериментальным данным в соответствии с вышеизложенной методикой и приведены в табл. 11.1. Значение величины Е* вычисляется по формуле (11.8). О точности аппроксимации можно судить по кривым 2 на рис. 11.1 а, б. Темные точки — эксперимент, сплошная линия — расчет.
Универсальную функцию нелинейной ползучести предполагаем следующей:
/2(£и, Т) = (1-ы2(£и))(^)*,
W2(£u) = -W2(£u) = -£u > ^uO-£u > ^uO-(11.10)(11.10)
W2(£u) = -
W2(£u) = -
£u > ^uO-
£u > ^uO-
(11.10)
(11.10)
Кривые ползучести сплава Д16Т (рис. 11.2) при прямом (а) и обратном (6) кручениях тонкостенных трубок, полученные Наместниковым [33], приведены без упругих составляющих. На рис. 11.2 а для кривой 1 напряжение <7i2 = 113 МПа, 2 — <7i2 = 127, 3 — 012 = 144; графики на рис. 11.2 6 соответству
удвоенных напряженияхудвоенных напряженияхют кривым прямого нагружения при at2 = 2<7i2; Т = 423 К.
удвоенных напряжениях
удвоенных напряжениях
Для вычисления температурной константы б была использована кривая ползучести при растяжении (см. рис. 11.2 а, кривая 4", Т = 473 К), заимствованная у Работнова [41].
При обратном нагружении температурная зависимость процесса считалась прежней, а функция ш^и^ принималась в виде,
подобном (11.10):подобном (11.10):0,0,«2«2е;
подобном (11.10):
подобном (11.10):
0,
0,
«2
«2
^^ =
Необходимо отметить, что из экспериментальных данных, приведенных в работах [13, 30], следует, что деформирование в пластической области при нагружении из естественного состояния упрочняет материал, так как Pi = 2,02 (с* = РгЕТ1 см. табл. 8.1). В то же время из работы Наместникова [33]: вытекает, что по отношению к ползучести сплав Д16Т разупрочняется.
Ползучесть в результате перемены знака нагрузки происходит
шг(Еи)шг(Еи)000,60,60,40,40,20,20,8 еи, %0,8 еи, %0,2 0,40,6Рис. 11.30,2 0,40,6Рис. 11.3быстрее: р^ = 1,98 (£*0 = PiEuoY После обработки эксперимен-
шг(Еи)
шг(Еи)
0
0
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
0,8 еи, %
0,8 еи, %
0,2 0,40,6
Рис. 11.3
0,2 0,40,6
Рис. 11.3
тальных данных с помощью описанной выше методики, получены значения констант Аг, «г, ^ио, А^, а^ £u0i входящих в аппроксимационные формулы для функций нелинейной ползучести при прямом и обратном нагружениях. Они приведены в табл. 11.1. Соответствие расчетных кривых экспериментальным точкам отражают рисунки 11.2, 11.3 (кривая 1 —
прямое нагружение, 2 — обратное).
Для описания реономных характеристик сплава Д16Т ИС-
пользуем ядро релаксации Ржаницына [43]:
(Р > 0, 0 < а < 1). V '
Этот выбор обусловлен простым видом ядра, в то же время достаточно полно учитывающим слабосингулярные свойства материалов. Методика определения па-
Рис п 4раметров ядра, соответствующие
/г(<- о/г(<- оJ(t) = 1 +J(t) = 1 +т) dr,т) dr,графики и таблицы приведены в монографии Колтунова [22]. Полученные с их помощью и в соответствии с (11.11) результаты показаны на рис. 11.4, где представлена расчетная кривая функции податливости t
/г(<- о
/г(<- о
J(t) = 1 +
J(t) = 1 +
т) dr,
т) dr,
по которой можно судить о точности аппроксимации. Константы ядра приведены в табл. 11.1. Там же указаны значения плотности р, удельной теплоемкости С, удельной теплопроводности ко и предела прочности <7bq при нормальной температуре. Следует отметить, что все термомеханические характеристики сплава Д16Т получены в области умеренных температур (Т < 543 К).
Керамические материалы
Экспериментальные данные по исследованию поведения нитридкремниевой конструкционной керамики (НКККМ) и кордиерита при термосиловом нагружении (рис. 11.5) заимствованы из работ Гогоци [7] и др.
Для аналитического описания поведения этих материалов воспользуемся соотношениями линейной термоупругости
(11.12)(11.12)Sij — 2(7(Т')эу,о = ЗК(Т)(е - аТ),
(11.12)
(11.12)
температура отсчитывается от некоторого начального значения 7q.
Коэффициент Пуассона v для керамических материалов принимается обычно равным 0,3 и считается независимым от температуры, поэтому можно положить
ДОУ С^ТУ К^ = {Ео, Со, КДОтУГУ
^1(7) = {^1(7) = {1,г-АтДОТДОоГ1,1,г-АтДОТДОоГ1,Т^То, т>т0.Т^То, т>т0.(11.13)(11.13)
^1(7) = {
^1(7) = {
1,
г-АтДОТДОоГ1,
1,
г-АтДОТДОоГ1,
Т^То, т>т0.
Т^То, т>т0.
(11.13)
(11.13)
Для предела прочности примем подобную аппроксимацию: о в = СГвоУз^),
, хТ^ТОв, (Ц.14)
I 1-Л2((Т-Т0в)/Т0в)^, Т>ТОв.
Численные значения констант, входящих в (11.12)—(11.14), получены в результате обработки экспериментальных данных и приведены в табл. 11.2. Их соответствие опыту иллюстрирует рис. 11.5, на котором точки — экспериментальные значения, сплошная линия — расчет. Кривая 1 соответствует НКККМ, 2 — кордиериту.
Таблица 11.2
Параметры
Материал
НКККМ
Кордиерит
Ео, МПа
15,2 ■ 105
6,7 ■ 105
Go, МПа
5,85 • 105
2,58 ■ 105
Ко, МПа
12,7 • 105
5,58 • 105
А,
9,249
1,073
О1
2,17
0,843
То, К
1273
873
Тов, К
1273
1207
ао, МПа
164
42
Аг
2,33
6,472
аг
1,34
1,159
р, кг/м3
2510
2100
«о, К"1
3 ■ иг6
6 ■ НГ6
Отметим, что в последнее время в связи с широким применением металлокерамики в машиностроении, аэрокосмической технике, строительстве появился ряд публикаций, посвященных исследованию их термомеханических свойств.
Политетрафторэтилен
Физические уравнения состояния для политетрафторэтилена (ПТФЭ, фторопласт-4) записываем в форме
t
tp^a, T)Sij = 2С0(/(Еи)эу — Г R^t — T^f^aij^dT),
•Id;
y2(<7, T^a = 32<o(e - ao^TY
Здесь /(eu), tpn^) T) — универсальные функции, описывающие физическую нелинейность полимерного заполнителя (n = 1, 2), причем / = 1 при Еи < Е$.
Если разрешить уравнения (11.15) относительно yi(<7, T)sy, получим
t
^Gof^Stj = ^i(cr, T)sij + JF(t - r)<pi(cr, T)sy(r) dr,о
32<o(e - сцДТ) = y2(<7, T^a.
Из первого уравнения (11.15) при некоторой температуре приведения Т = То = const и условии чистого сдвига <7 = 0, si2 = s?2 = const получаем
2G0/(EU)912(t) = s?2J(t),(11.16)
где уДО, То) = 1, J(t) — податливость при сдвиге,
t
J(^ = 1 + J Г(< — т) dr.о
Все экспериментальные данные по деформированию ПТФЭ взяты из монографий Гольдмана [8, 9]. Соответствующие кривые
Рис. 11.6Рис. 11.6ползучести (Г = Tq = 313 К) при сдвиге показаны на рис. 11.6. Первая из них соответствует линейному вязкоупругому деформированию. Для нее из (11.16) следует соотношение
Рис. 11.6
Рис. 11.6
2Go9i2 (t) — Sig ^J(t),^
№(О,То) = 1, / = 1.
Кривая 2 носит ярко выраженный нелинейный характер. Вдоль нее
2Соэ^Ш - ^(42))) = s°^J(tY (И-1»)
Здесь верхний индекс в скобках обозначает номер кривой. Разделив левые и правые части соотношения (11.18) соответственно на (11.17), получим зависимость от времени для функции нелинейности
0(2)
^12 ^*12
(2) _ 2V3 (2)«^~э12(2) _ 2V3 (2)«^~э12Так как теперь в каждый момент времени известна интен
(2) _ 2V3 (2)
«^~э12
(2) _ 2V3 (2)
«^~э12
сивность деформацийесивность деформацийе(t) и функция нелинейности
сивность деформацийе
сивность деформацийе
ш(<) (11.19), то можно построить экспериментальную кривую
ш ~ Еи (рис. 11.7). Аналитическую формулу принимаем в
виде
^(Еи) —^(Еи) —ГО,I ^(l ~ES/Eu)ai,ГО,I ^(l ~ES/Eu)ai,^ Eg,^ Eg,Ей > Es.Ей > Es.(11.20)(11.20)
^(Еи) —
^(Еи) —
ГО,
I ^(l ~ES/Eu)ai,
ГО,
I ^(l ~ES/Eu)ai,
^ Eg,
^ Eg,
Ей > Es.
Ей > Es.
(11.20)
(11.20)
О точности аппроксимации можно судить по рисункам 11.6,11.7 а.
Рис.Рис.11.711.7
Рис.
Рис.
11.7
11.7
Используя (11.17), можно получить экспериментальные значения сдвиговой податливости
J^ = ^§^S12
Вид ядра релаксации по-прежнему принимаем в форме, предложенной Ржаницыным:
К(Ч = Ае^Ч^1 (3 > 0, 0 < а < 1).
Параметры ядра вычислены по методике Колтунова. О соответствии экспериментальных (точки) и расчетных (сплошная линия) значений можно судить по рис. 11.7 б.
На рис. 11.8 приведены результаты экспериментального исследования ползучести политетрафторэтилена при сдвиге для различных температур Т^ (кривая 1 — 293 К, 2 — 303 К, 3 — 313 К, ^ — 323 К, 5— 333 К). Касательное напряжение здесь
5^2 = 3 МПа, гидростатическое — р = 0. Вдоль третьей кривой температура равна То и, следовательно, функция нелинейности у>(0, То) = 1, поэтому
гб-оа^Х! -w(£^ = s°2J(t).(11.21)
Для остальных кривых, полагая
Viler, T^tpn^tp^T), получим
2Go(l - uilekuVi2 = Vi2lTkVi2Jlty (11-22)
Разделив левую и правую части равенства (11.22) соответственно на (11.21), получим экспериментальные значения части функции физической нелинейности при различных значениях температуры Тк
= £ДжЙ>- (“ 23> к1))э12
Вычисляя значения функции У12(7^) по формуле (11.23) для каждой температуры Тк в различные моменты времени и усредняя, получим экспериментальные точки (рис. 11.9).
Вдоль кривых ползучести (рис. 11.10), полученных при сдвиге с наложением различных значений гидростатического давления р и при условиях постоянства температуры (Т1 = 313 К, <P12(Tq) = 1) и касательного напряжения s^ = 4 МПа (кривая 1 — р = 0, 2 — 20 МПа, 2 — 50 МПа, 4 — Ю0 МПа, 5 — 150 МПа, 6 — 200 МПа) выполняются соотношения
2G0/(^M2 = <pn(ak)S°12J(t),
где ст к = —р— значение среднего напряжения, соответствующего к-й кривой. Это позволяет вычислить значения функции нелинейности tpnV°kY используя первую кривую на рис. 11.10, для которой ¥>ц(0) = 1:
^ufo) =^ufo) =2(£^LflW^2(£^LflW^
^ufo) =
^ufo) =
2(£^L
flW^
2(£^L
flW^
Соответствующие точки нанесены на рис. 11.11.
Рис. 11.13аз используем кривую р ~ 6 "1 = 303 К. Для некоторых к-й в соответствии с (11.25) выполРис. 11.13аз используем кривую р ~ 6 "1 = 303 К. Для некоторых к-й в соответствии с (11.25) выпол
Рис. 11.13
аз используем кривую р ~ 6 "1 = 303 К. Для некоторых к-й в соответствии с (11.25) выпол
Рис. 11.13
аз используем кривую р ~ 6 "1 = 303 К. Для некоторых к-й в соответствии с (11.25) выпол
Аппроксимационную формулу для <р\ (о, Т) принимаем в виде
^а, Т) = (1 - A2HQ2)(l + B(AT/^psgnAT), (11.24)
где АГ = Т — То.
О соответствии расчетных кривых, построенных с использованием формулы (11.24), экспериментальным значениям можно судить по рисункам 11.8-11.12. При этом экспериментальные кривые ползучести ПТФЭ при сдвиге (s®2 = 4 МПа) с наложением гидростатического давления (рис. 11.12а— р = 20 МПа; рис. 11.12 5— р = 100 МПа) при различных температурах (кривая 1 -Т = 303 К, 2 — Т = 313 К, 3— Т = 323 К) не участвовали в вычислении констант, входящих в аппроксимационную формулу (11.24), т. е. являлись проверочными.
Как показано в работе Гольдмана [8, 9], объемная ползучесть ПТФЭ составляет не более 5 % сдвиговой, поэтому ею в дальнейшем пренебрегаем.
Механизм объемного поведения полимерных материалов при положительных средних напряжениях качественно и количественно отличается от такового при всестороннем сжатии. Надежных
соответствующих опытных данных пока нет. Поэтому функцию нелинейности (рз\о, Т) определим только в области о < 0:
, Г 1, Р>Ро, (А3<т“3, р < ро- (11.25) Здесь ро — минимальное давление, закрывающее все внутренние дефекты.
Для определения модуля объемной деформации К и параметров нелинейности Аз, (рис. 11.13), полученную при j и п-й точек этой кривой будет
няться соотношение
Ш1 = Л3|^Гз+1, Wl = Akn|Q$+1.
Отсюда
a3 = Jll^Z^L _ JIn oklon
Коэффициент Аз определяется из условия непрерывности на границе зон физической линейности и нелинейности:
/(ао) = Аза“3 = 1, Аз = ^.
ао
После этого
К = л^—.
9к
Коэффициент объемной деформации ау вычисляется по экс-Коэффициент объемной деформации ау вычисляется по экс-Рис. 11.14Рис. 11.14Рис. 11.15Рис. 11.15деформации 9 от температуры (рис. 11.14). Она имеет ярко выраженный линейный характер, поэтому, приняв^(щ Т) = tp^a\av = 5,33- Ю^К"1,деформации 9 от температуры (рис. 11.14). Она имеет ярко выраженный линейный характер, поэтому, приняв^(щ Т) = tp^a\av = 5,33- Ю^К"1,получим достаточно хорошую ^2(0") (рис. 11.15).получим достаточно хорошую ^2(0") (рис. 11.15).аппроксимацию для функцииаппроксимацию для функцииРис. 11.16Рис. 11.16пенью точности описываются соотношениемпенью точности описываются соотношениемПри различного рода инженерных прочностных расчетах элементов конструкций из полимерных материалов часто возникает необходимость использовать механическую характеристику типа предела текучести — условный предел текучести. Подобные величины также изменяются с температурой.Зависимости условных пределов текучести фторопласта при растяжении от времени и температуры (рис. 11.16, кривая 1—Т = 293 К, 2 — Т = 313 К, 3— Т = 333 К, — Т = 353 К) с достаточно высокой стеПри различного рода инженерных прочностных расчетах элементов конструкций из полимерных материалов часто возникает необходимость использовать механическую характеристику типа предела текучести — условный предел текучести. Подобные величины также изменяются с температурой.Зависимости условных пределов текучести фторопласта при растяжении от времени и температуры (рис. 11.16, кривая 1—Т = 293 К, 2 — Т = 313 К, 3— Т = 333 К, — Т = 353 К) с достаточно высокой стеГ /Т — ТА Q41Отр — (7Ti ^1А4 ^———Jj (1 — k 1g£).Г /Т — ТА Q41Отр — (7Ti ^1А4 ^———Jj (1 — k 1g£).(11.26)(11.26)Осредненные константы для фторопласта, входящие в формулыОсредненные константы для фторопласта, входящие в формулы
Коэффициент объемной деформации ау вычисляется по экс-
Коэффициент объемной деформации ау вычисляется по экс-
Рис. 11.14
Рис. 11.14
Рис. 11.15
Рис. 11.15
деформации 9 от температуры (рис. 11.14). Она имеет ярко выраженный линейный характер, поэтому, приняв
^(щ Т) = tp^a\
av = 5,33- Ю^К"1,
деформации 9 от температуры (рис. 11.14). Она имеет ярко выраженный линейный характер, поэтому, приняв
^(щ Т) = tp^a\
av = 5,33- Ю^К"1,
получим достаточно хорошую ^2(0") (рис. 11.15).
получим достаточно хорошую ^2(0") (рис. 11.15).
аппроксимацию для функции
аппроксимацию для функции
Рис. 11.16
Рис. 11.16
пенью точности описываются соотношением
пенью точности описываются соотношением
При различного рода инженерных прочностных расчетах элементов конструкций из полимерных материалов часто возникает необходимость использовать механическую характеристику типа предела текучести — условный предел текучести. Подобные величины также изменяются с температурой.
Зависимости условных пределов текучести фторопласта при растяжении от времени и температуры (рис. 11.16, кривая 1—Т = 293 К, 2 — Т = 313 К, 3— Т = 333 К, — Т = 353 К) с достаточно высокой сте
При различного рода инженерных прочностных расчетах элементов конструкций из полимерных материалов часто возникает необходимость использовать механическую характеристику типа предела текучести — условный предел текучести. Подобные величины также изменяются с температурой.
Зависимости условных пределов текучести фторопласта при растяжении от времени и температуры (рис. 11.16, кривая 1—Т = 293 К, 2 — Т = 313 К, 3— Т = 333 К, — Т = 353 К) с достаточно высокой сте
Г /Т — ТА Q41
Отр — (7Ti ^1А4 ^———Jj (1 — k 1g£).
Г /Т — ТА Q41
Отр — (7Ti ^1А4 ^———Jj (1 — k 1g£).
(11.26)
(11.26)
Осредненные константы для фторопласта, входящие в формулы
Осредненные константы для фторопласта, входящие в формулы
11.26), приведены к температуре То и сведены в табл. 11.3.
Таблица 11.3
Параметры
Значения
Параметры
Значения
А
0,905
То, К
313
«1
1,48
Ti, к
293
£„ %
з,з
Аз, Па'“3
63,1
А, с~“
0,02366
аз
-0,2
/3, с-1
3,3310“4
А4, Па-“4
2,525 10"19
а
0,05
О?4
3,226
А2, Па~“2
1,9810“5
ро, МПа
800
о?2
0,536
ао, 1/К
1,78-ЦГ5
В
24,44
аТ1, МПа
14,54
7
1,27
vis
1,394
Go, МПа
90
а5
0,388
Ко, МПа
4700
k, 1/lgC
0,13
Тпл, К
600
А, Вт/м К
0,25
С, Дж/кг-К
2300
р, кг/м3
2150
Влияние радиации на механические свойства материалов
При облучении элементов конструкций нейтронами, ионами, электронами изменяются механические свойства материалов: твердость, предел текучести, пластичность, ползучесть. Особый интерес представляет нейтронное облучение. Согласно экспериментальным данным рост величины нейтронного потока I = <pt (<р — интенсивность радиационного потока, t — время) в пределах малых деформаций, как правило, приводит к увеличению радиационного упрочнения материала и росту предела текучести. Это можно наблюдать на примере алюминиевого
сплава 356. Для него на рис. 11.17 отмечены точками экспериментальные значения пределов текучести в зависимости от величины нейтронного потока при постоянной температуре. Для аналитического описания радиационного упрочнения предела текучести материала предлагается следующая формула:
<гт = <тт0[1+ Л(1-ехр(-^1))1/2], (11.27)
где <гт, <гто — пределы текучести облученного и необлученного материалов; А, £ —константы материала, определяемые экспе
риментально. Здесь также учтено, что с ростом дозы облучения происходит насыщение, и упрочнение материала прекращается. При отсутствии радиации (I = 0) формула (11.27) не дает упрочнения (<гт = <тто), что отличает ее от взятой за основу формулы Мэйкина и Минтера Ч для стальных сплавов. Константы, принятые для алюминиевого сплава А =
= 1,09; £ = 9,73 • 10 26 м2/нейтрон в достаточной степени по
зволяют соответствовать расчетной кривой экспериментальным данным (см. рис. 11.17). Влияние радиации на константы упругости—модуль Юнга, коэффициент Пуассона и т. д. незначи
тельно и в дальнейшем не учитывается.
Первые сведения о влиянии облучения на ползучесть были получены при испытании урана в реакторе. Увеличивающееся при облучении количество точечных дефектов способствует убыстрению ползучести урана в 50-100 раз, несмотря на то, что радиационное упрочнение материала приводит к уменьшению скорости движения дислокаций.
Информация о ползучести не- делящихся материалов крайне ограничена. Это связано с трудно
стями проведения экспериментов
по измерению весьма малых деформаций в условиях облучения в реакторе. Кривые ползучести циркониевого сплава «циркалой-2» показаны на рис. 11.18 (кривая 1 — без облучения; 2 — при облу-
х) Makin M.J., Minter F.J. // Acta Met. 1960. V. 8. P. 691.
чении в реакторе с интенсивностью tpo = 5 -1012 нейтрон/(см2-с); пунктирная линия — расчет). Напряжение во время испытаний 14 кг/мм2, температура — 300°C. Перегибы на кривых, отмеченные крестиками, соответствуют кратковременным изменениям температуры. Чтобы учесть влияние нейтронного облучения на вязкие свойства материала ядро релаксации примем в виде
R<M v) = g^RW,
где R^f) — ядро релаксации необлученного материала. В этом случае, если интенсивность нейтронного потока с течением времени не изменяется, то значение функции gt^ постоянно и его в определяющих соотношениях типа (11.1) можно вынести за знак интеграла
t
Згз = 2G(T) [/i(eu, Т, I>ij ~ g^ J R(i ~ тШ^и, T^ij^ drj.о
При отсутствии физической нелинейности (/j = /2 = 1) отсюда следует
= 3$-8U/2G = ^-£12(0)
Здесь индекс вверху —номер кривой, £12(0) — мгновенное значение деформации. В рассматриваемом случае для циркониевого сплава можно принять ^((^о) = 1,18.
Расчет температурного поля в трехслойной пластине
При численном исследовании аналитических решений краевых задач для трехслойных элементов конструкций, находящихся в тепловых потоках, часто необходимо знать распределение температуры по их толщине. В связи с этим получим приближенное решение соответствующей задачи теплопроводности для трехслойной пластины.
Рассмотрим неограниченную трехслойную пластину суммарной толщины Н, подвергающуюся воздействию падающего на нее перпендикулярно внешней плоскости z = с + /ii теплового потока интенсивности q. Поверхность пластины z = —с — h^ предполагается теплоизолированной.
При указанных условиях теплообмена нестационарное одномерное температурное поле 9^ описывается дифференциальным уравнением теплопроводности
9, zz = -(11.28)
ак
при начальном условии 9 = 0 (t = 0) и условиях на внешних плоскостях пластины
\^9,z= — q при z = c + /ii, 9)Z = 0 при z = — с — hi. (11.29) Здесь ak = XkKCkPk)— температуропроводность k-vo слоя; Xk, Cfc — коэффициенты теплопроводности и теплоемкости; Рк — плотность материала.
Так как характеристики Хк, Ск, Рк изменяются по толщине трехслойного пакета разрывно, то при точной постановке задачи об определении температурного поля уравнение (11.28) необходимо решать внутри каждой однородной области (слоя) самостоятельно, задавая на поверхностях склейки слоев дополнительные условия теплообмена и равенства температур. Решение указанной задачи представляется проблематичным. Для ее упрощения проведем процедуру усреднения теплофизических параметров по толщине пластины и, в конечном итоге, сведем задачу к определению температурного поля в однородной пластине с модифицированными характеристиками. Введем параметр а = А/С, где
зз
С = 'ЁС^-fc=lfc=l
Задача определения температурного поля в пластине в этом случае следует из (11.28), (11.29) после замены ак на а и Ai на А.
Введем безразмерную координату s = z/Н и приведенное время т = at/H (число Фуръе\ Тогда уравнение теплопроводности станет следующим:
е188 = е,Т.(п.зо)
Начальные условия примем нулевые (0 = 0 при т = 0). На внешних плоскостях пластины должны выполняться условия
^0,s = — q при з = ^-^^; 0,s = 0 при s = — (с+^2)(11.31)
Для решения уравнения (11.29) применим операционный метод, основанный на преобразовании Лапласа. Нахождение изображения в этом случае сводится к решению уравнения
9*ss—p9* = 0(11.32)
при условиях, следующих из (11.31):
-9*s = -1 при з = ^± hl). 0* = о при s =(И.ЗЗ)
Н ’s рнЯ v 7
Общее решение уравнения (11.32) можно выписать в гиперболических функциях:
0* = Ct ch Vps 4-C2shVps.(11.34)
Определяя постоянные интегрирования Ci, Ci из условий (11.33) и подставляя их значения в решение (11.34), получаем следующее изображение температуры пластины:
(11.35)(11.35)9* = ^2
(11.35)
(11.35)
В^рУ
где А^ = ^д^^£±^ + s^ В^ = p2S-^-.
Корнями уравнения В(р) = О являются двукратный корень pi = 0 и корни Pn+i = —тг2п2 (n = 1, 2, ...) уравнения
Используя теоремы об определении оригинала функции по изображению, представленному отношениями полиномов, с учетом кратности корней, из (11.35) находим
д _ qg Г Jim Г d Vp ch Vp(s + (с + h2)/H)
A Ip^OXdpsh
ОО
71=171=1^-(pVpsHVp).U-P.^-(pVpsHVp).U-P.p=Pn+iePn+1T г- (11.36)p=Pn+iePn+1T г- (11.36)
71=1
71=1
^-(pVpsHVp)
.U-P.
^-(pVpsHVp)
.U-P.
p=Pn+iePn+1T г- (11.36)
p=Pn+iePn+1T г- (11.36)
Применяя для раскрытия неопределенностей правило Лопи- таля 1) , выполним преобразование первого слагаемого в фигурных скобках:
+ lim р—уО+ lim р—уО= т + lim р—уО/ c + h2'= т + lim р—уО/ c + h2'с+ h2Нс+ h2Н' С + h-2s" н' С + h-2s" н1212с + h2 \ 2 1Н )6с + h2 \ 2 1Н )6
+ lim р—уО
+ lim р—уО
= т + lim р—уО
/ c + h2'
= т + lim р—уО
/ c + h2'
с+ h2
Н
с+ h2
Н
' С + h-2
s" н
' С + h-2
s" н
1
2
1
2
с + h2 \ 2 1
Н )6
с + h2 \ 2 1
Н )6
) Лопиталъ Гийом Франсуа Антуан (L’Hopital, 1661-1704), французский математик, маркиз, автор первого печатного учебника по дифференциальному исчислению, в основу которого были положены лекции И. Бернулли (1667-1748). Последний и является в действительности автором «правила Лопиталя».
(-1)" п2(-1)" п2COS 7ГП S +COS 7ГП S +с + hiНс + hiН(11.37)(11.37)
(-1)" п2
(-1)" п2
COS 7ГП S +
COS 7ГП S +
с + hi
Н
с + hi
Н
(11.37)
(11.37)
Подставляя это выражение в (11.36) и учитывая, что
up-1 p=pn+i ''Р—Рп+1
_71-2,12
chVPn+1 + —^— J = cosmos + —^— J,
получаем выражение для искомого температурного поля
0 =0 =1616^/T + l(s+£±^V
0 =
0 =
1
6
1
6
А I 2 \ Н )
где т = at/H2, s = z/H, а = А/С, А = Xkhk/H, С = pkCkhk/H.
Отметим, что при hy = h^ = 0 решение (11.37) совпадает с известным решением для однородной пластины.
Природа образования теплового потока здесь не рассматривается. Однако при сильном нагреве внешней (внутренней) поверхности пластины и при наличии потока жидкого вещества или газа, ее обтекающего, одной из возможных причин разрушения поверхности может быть гидродинамический унос металла (абляция), не перешедшего еще в жидкое или газообразное состояние. Интенсивный унос твердого вещества с поверхности начнется с момента, когда скоростной напор газа или жидкости pv2/2 станет порядка предела текучести аТ нагретого поверхностного слоя металла. В монографии Ильюшина и Огибалова [17] вводится основной параметр, характеризующий абляцию,
Р _ Р1»2
2а»
Опасные состояния возникнут при Г ^1.
На практике абляция возникает при входе космических летательных аппаратов в атмосферу, в камерах ракетных двигателей, при лазерном воздействии на твердое тело, в стволах артиллерийских орудий.
Скорость уноса вещества с поверхности рассматриваемой оболочки определяется величиной интенсивности теплового потока, скоростью напора набегающего потока газа, термомеханическими характеристиками материала поверхности. Абляция вызывает также изменения в температурном поле пластины, уменьшение толщины внешнего слоя.
1 сх ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 1Z . ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Ранее, в гл. 3, были приведены общие статические уравнения теории упругости и соответствующие граничные условия. Там же была сформулирована постановка задачи теории упругости. Однако многие воздействия на сооружения носят ярко выраженный динамический характер. Хотя при этом перемещения оказываются обычно небольшими, однако скорости и, главное, ускорения могут достигать величин, опасных для конструкции. К таким нагрузкам относятся сейсмические толчки, ветровые порывы, а также различные динамические воздействия технологического происхождения: движение поездов, кранов, неуравновешенных частей машин и механизмов.
Как известно из курса теоретической механики, ускоренные или замедленные движения масс вызывают инерционные силы, воздействующие на элементы конструкции так же, как и статические нагрузки. Особенностью динамических нагрузок является то, что в большинстве случаев они вызывают колебания, причем при периодическом повторении малых динамических воздействий в определенных условиях происходит накопление энергии системы. Постепенно увеличивается размах колебаний, а вместе с ним и интенсивности инерционных сил до очень больших значений. Это явление (см. § 12.4) особенно опасно для сооружения, т. к. разрушение может произойти при малых воздействиях и в конструкциях, достаточно прочных по отношению к обычным статическим нагрузкам.
Колебания системы с одной степенью свободы рассмотрены в курсе сопротивления материалов [50]. Здесь исследуются колебания упругих и неупругих элементов конструкций с бесконечным числом степеней свободы.
Постановка динамической задачи теории упругости
Применяя принцип Д’Аламбера), можно получить уравнения движения упругого тела из уравнений равновесия (3.1), добавив к действующим массовым силам pFi силы инерции:
pFt -A pFi - pili.
Таким образом, уравнения движения будут следующие:
^ij,j +p(Fi- Ui) = 0 (г, j = 1, 2, 3).(12.1)
Остальные уравнения (равновесия, совместности деформаций, Коши) (3.2)-(3.4) и граничные условия (3.5), (3.7) сохраняются, но теперь к ним нужно добавить начальные условия
Ui — UQi, bi -— UQi, t — 0.(12.2)
Оставляя в стороне вопрос доказательства существования и единственности решения, укажем лишь на то, что мотивировка единственности остается той же, что и для статической задачи (см. § 3.5).
Аналогично (12.1) из уравнений Ламе (3.6) получаем уравнения движения в перемещениях однородной изотропной упругой среды
pili = (А + д) У г + р£\гч + pFi.
Часто бывает удобно на основании известной теоремы векторного анализа (теорема Гельмгольца )) представить поле перемещений в виде потенциальной и соленоидальной частей и = grad <р + rot т/>.
Здесь р и -ф = 'фгег — скалярный и векторный потенциалы перемещений, а операторы grad и rot в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид (см. гл. 14)
ei
ег
ез
grad<p= — Ci,rot-0 =
Эх,
_d_ 8xx
8 8x2
8 дхз
фх
ф>2
фз
Для однозначности потенциалов перемещений необходимо дополнительное условие, которое, как правило, принимают
таким:div0 = Фг,1 = 0.таким:div0 = Фг,1 = 0.(12-3)(12-3)
таким:
div0 = Фг,1 = 0.
таким:
div0 = Фг,1 = 0.
(12-3)
(12-3)
Если поле массовых сил также представить в виде потенциальной и соленоидальной составляющей
F = grad Ф + rot Ф,
то уравнения движения в перемещениях удовлетворяются, если потенциалы перемещений являются решениями следующих уравнений (div grad = Д, div rot = 0):
0 = С|Лу> + Ф, ip = с^Д^ + Ф, Д0 = Дф^, (12-4)
где величины
IX -Ь 2дV рIX -Ь 2дV р
IX -Ь 2д
V р
IX -Ь 2д
V р
имеют размерность скорости и соответственно носят название скоростей распространения волн растяжения-сжатия и формоизменения.
Таким образом, для однородной изотропной упругой среды замкнутая система уравнений движения в потенциалах перемещений состоит из (12.4) и (12.3). Начальные условия (12.2) для нее должны быть записаны в потенциалах
¥>11=0 = ^о, 0|f=o = 0о,¥>11=0 = ^о, 0|f=o = 0о,0lt=o = 0o, 0|t=o = 0о>0lt=o = 0o, 0|t=o = 0о>
¥>11=0 = ^о, 0|f=o = 0о,
¥>11=0 = ^о, 0|f=o = 0о,
0lt=o = 0o, 0|t=o = 0о>
0lt=o = 0o, 0|t=o = 0о>
где
«Огвг = grad р0 + rot ф0, div-фо = 0,«Огвг = grad р0 + rot ф0, div-фо = 0,йа®г = grad 00 + rot 0O, div фо = 0.йа®г = grad 00 + rot 0O, div фо = 0.
«Огвг = grad р0 + rot ф0, div-фо = 0,
«Огвг = grad р0 + rot ф0, div-фо = 0,
йа®г = grad 00 + rot 0O, div фо = 0.
йа®г = grad 00 + rot 0O, div фо = 0.
Отметим, что, несмотря на независимость уравнений (12.4), как правило, в начально-краевых задачах они связаны граничными условиями.
Сформулированную динамическую задачу теории упругости называют нестационарной. Ее признак — наличие в постановке задачи инерционных членов в уравнениях движения и начальных условий.
Частный случай этой задачи — свободные колебания. В этом случае упругое тело свободно от действия внешних сил, Ft = 0, Cijlj = 0 на 8СТ. Часть поверхности Su может быть неподвижно закреплена, на ней гц = 0. Заданы начальные условия (12.2), которые приводят тело в движение сообщением ему начального распределения перемещений и скоростей.
Рассмотрение предельных случаев нестационарной задачи приводит к стационарным динамическим задачам. Их признак —
отсутствие начальных условий. К ним относятся задачи о собственных и вынужденных гармонических колебаниях, а также задачи о прогрессивных волнах.
Собственные колебания. Под ними понимается задача на собственные значения (собственные частоты) для однородных уравнений теории упругости при однородных граничных условиях (отсутствуют внешние силы, перемещения на поверхности Su равны нулю). Начальные условия не учитываются. Полученные в результате решения этой задачи собственные частоты и формы колебаний, как правило, используются для представления решений нестационарных задач в виде рядов Фурье.
Вынужденные гармонические колебания. В этом случае объемные силы Fi, поверхностные силы Ri и заданные перемещения точек поверхности и<ц представляют собой периодические функции времени, такие, что
Fi = Fi^t), Ri = R^W, u0i = U itp(t).
Величины с верхним индексом «нуль» не зависят от времени, поэтому в качестве типового представителя функции tp(t) можно принять
<p(t) = exp(ipt) = cos pi + i sin pt.
Действительно, любая периодическая функция может быть представлена рядом Фурье. Построив решение для одного члена этого ряда, мы можем воспользоваться принципом суперпозиции для построения полного решения.
Прогрессивные волны. Под ними понимается частные решения уравнений динамической теории упругости, соответствующие волнам, распространяющимся вдоль прямой при отсутствии начальных условий.
Динамические контактные задачи здесь не рассматриваются, а читателю можно рекомендовать известные работы по этой тематике, в частности, монографию Горшкова и Тарлаков- ского [11].
Вариационный принцип в динамике
Вариационное уравнение для упругого тела при динамических нагрузках можно получить из вариационного принципа Лагранжа (4.5), добавив к массовым силам силы инерции:
Ri5uidS + J p(Fi — Ui)5uidV = J aijdeijdV. (12.5) s, v v
Уравнение (12.5) и выражает собой принцип виртуальных работ в динамике. Оно справедливо как для упругого, так и для
неупругого тела, а также для линейных и нелинейных соотношений между напряжениями и деформациями. Введение закона Гука сужает принцип виртуальных работ до линейно упругих тел. Введение энергии деформации W (4.4) позволяет придать уравнению (12.5) форму
J Ri 6щ dS + J p(Fi - Uj) 5гц dV = dW. (12.6) SaV
Из уравнений (12.5), (12.6) вытекает, что виртуальная работа внешних сил и сил инерции равна вариации энергии деформации. Нужно отметить, что в случае смешанных граничных условий поверхностный интеграл, входящий в вариационные уравнения, берется только по той части поверхности 8С, где заданы напряжения.
Из принципа виртуальных работ (12.6) для поля перемещений можно вывести так называемый принцип Гамильтона г). Согласно ему переход системы из одного возможного состояния в другое за любой промежуток времени [f i, <2] происходит таким образом, что функционал действия по Гамильтону принимает стационарное значение, т. е.
<2
5S=J (5К + 5W - М) dt = О,ti
где К — кинетическая энергия всей системы; W — потенциальная энергия деформации всей системы; Л — работа внешних сил.
Свободные колебания упругих тел
Рассмотрим сначала задачу на собственные колебания. Решение уравнений движения будем искать в виде
ufc = Ukexp^iwt\
Здесь Uk — функция только координат, но не времени. Аналогичным образом представляются компоненты деформации и напряжения.
В дальнейшем для удобства через и,, а^ будем обозначать амплитуды перемещений и напряжений, т. е. вместо Ui будем в дальнейшем писать и^. Тогда, подставив искомое решение в уравнения движения (12.1), получим систему уравнений для
Гамильтон Уильям Роуан (Hamilton W. R., 1805-65), ирландский математик; труды по теории комплексных чисел, в механике — принцип наименьшего действия.
амплитуд
ajjt з — pw2ui = 0.(12.7)
Внешние силы и граничные условия в случае свободных колебаний должны быть нулевыми, при этом множитель ехр(гш£) сокращается.
Уравнения связи между амплитудами напряжений и деформаций сохраняют форму обычных уравнений закона Гука
агз = ^ijkluk,l-
Система уравнений (12.7) при однородных граничных условиях может иметь очевидное тривиальное решение
Щ = 0, О^з 0.
Однако при некоторых значениях параметра ш = ш^ возможно и ненулевое решение
Соответствующие значения параметра Wk — собственные частоты упругого тела, а функции и^ определяют собственные формы колебаний. Заметим, что в (12.7) войдут квадраты собственных частот, которые сохранятся при всех дальнейших выкладках, поэтому корню Wk будет всегда соответствовать второй, равный по величине и противоположный по знаку, корень—w^ Мы не будем вводить для этих отрицательных корней специальную нумерацию, но следует помнить, что кроме решения игехр(гш£) всегда присутствует и второе решение u, ехр(—iwt). Это замечание позволяет образовывать из них действительные комбинации, которые одни только и имеют механический смысл.
Уравнения, связывающие величины и^ и ст^, вытекают из (12-7):
^,-^ = 0.(12.8)
Очевидно, что вследствие однородности системы уравнений и граничных условий искомые функции, входящие в (12.8), определены с точностью до произвольного множителя.
Уравнения (12.1) могут рассматриваться как уравнения статической задачи теории упругости с массовыми силами — pw2Ui. Пусть w = Wk есть какая-либо из собственных частот. Тогда Uj = u^ представляет собой перемещение, вызванное действием распределенных по объему сил Р^ = — pw^u^. Аналогичным образом силы Р/ = — pw2^ при частоте ws вызывают перемещение и®. Но по теореме Бетти (см. § 4.4)
/Pfu^dV = J^dY,
VV
или
J Р^и1? dV = ш^1 pu^uf dV.
vv
Так как ws ^ wk, то последнее равенство возможно, если интеграл равен нулю. Следовательно,
J ри1?^ dV = 0 (k^s). v
Это равенство выражает свойство ортогональности собственных форм колебаний. Из условия ортогональности следует, в частности, что частоты wk всегда действительны. Чтобы доказать это, предположим противное, а именно, допустим, что сщ = = а + ip. Уравнение для нахождения собственных частот будет обязательно иметь еще один комплексно сопряженный корень W2 = a — ip. Соответствующие собственные формы также будут комплексно сопряженными:
u| = pt + iqi, и- = Pi- iqi-
Из условия ортогональности следует
j ри}и^ dV = I p(p? + q^ dV = 0.
VV
Но это равенство возможно лишь тогда, когда р,=0, qi=0. Таким образом, в линейной теории упругости движений с комплексными частотами быть не может. Очевидно, что этим исключается и случай чисто мнимых частот.
Поскольку и^ определены лишь с точностью до произвольного постоянного множителя, их можно нормировать произвольным образом. Обычно принимают
f pu^dV = 6ks,(12.9)
v
где 5ks — символы Кронекера. Соотношения (12.9) выражают условия нормирования и одновременно повторяют условия ортогональности собственных форм.
Перейдем теперь к исследованию свободных колебаний. Принцип суперпозиции (метод Фурье) позволяет представить общее выражение для перемещений при свободных колебаниях упругого тела следующим образом:
ОО
Ui = 5? (Ak sinw^i + Вк coswkt^ и^х8\(12.10)
к=1
Здесь Лк, Вк — неопределенные константы. Дифференцируя (12.10) по времени, находим
ОО
йг = У^ (АкШк COS Wkt - BfcWkSinWkZ) U^XS\ fc=l
Приравнивая при t = 0 значения перемещений и скоростей их заданным начальным значениям uoi и vgi, получим
ОООО
^Вьи^х») = ио^х5у ^Akwkuk^xs^ = V^sY /с=1fc=l
Умножаем каждое из этих равенств на рик и интегрируем по объему. Вследствие (12.9) в левой части от каждого ряда остается лишь по одному члену
Вк= [ ри0^ dV, Ак = — [ рч)0^ dV.(12.11)
VV
Следует заметить, что соотношения (12.11) не предполагают возможности разложения функций uqz и voi в ряды по собственным формам колебаний или фундаментальным функциям и^. Начальное распределение скоростей вообще может быть даже не непрерывным, и если говорить о сходимости, то речь может идти лишь о сходимости в среднем.
Вынужденные колебания упругих тел
Пусть на тело действуют периодические силы с круговой частотой р. Для простоты будем считать, что массовые силы отсутствуют (F, = 0), а на всей поверхности тела внешние силы представимы в виде
Ri = R^ expdpty
Рассмотрение более общего случая дополнительных трудностей не встречает. Полагая перемещения и напряжения также пропорциональными ехр(ф<) и сохраняя обозначения и, и otj для амплитуд перемещений и напряжений, получим из (12.1) следующие уравнения:
Oijj - pp^Ui, = 0.(12.12)
На поверхности Sa должны выполняться граничные условия
aijij = R^.(12.13)
Представим искомое решение в виде
Ui = u- + u°, cry = ст- + ау.(12.14)
Здесь и°, о^ —решение статической задачи теории упругости, удовлетворяющее уравнениям равновесия
^з,з = °-
уравнениям связи и граничным условиям (12.13). Тогда, подставив (12.14) в (12.12), получим, что первая часть решения гф оф удовлетворяет следующим уравнениям движения:
045,3 "" P^u'i = Р^(12.15)
при однородных граничных условиях. Положим
ОООО
u'i = 52akU^ °'и = 52 ^^^з •k=lk=l
Подставляя эти выражения в (12.15) и исключая производные от амплитуд напряжений с помощью (12.8), получим
ОО
52 акР^шк ~ PVi = PP^i •
к=1
Умножая на и™ и интегрируя по объему, с помощью условия ортонормированности собственных функций (12.9) найдем йт^ - р2) - р2у ри^гф dV.
V
Отсюда следует
v
Если р = шт, то частота возмущающей силы совпадает с одной из собственных частот упругого тела, и соответствующий коэффициент в с течением времени обращается в бесконечность. Это явление называют резонансом.
В случае непериодического воздействия внешних сил для описания вынужденных колебаний упругого тела поверхностная нагрузка и искомое решение представляются в виде разложений в ряд по системе собственных фундаментальных функций. Подстановка этих рядов в уравнения движения позволяет получить уравнения для определения неизвестных функции времени. Этот метод будет продемонстрирован на примере трехслойной пластины в § 12.6.
Неравенство Рэлея и метод Ритца
Умножим обе части уравнения (12.7) на гч, проинтегрируем по объему и решим полученное равенство относительно ш2. Тогда
(12.16)(12.16)^ ^ц, j ^i dVJp^dV
(12.16)
(12.16)
Преобразуя числитель интегрированием по частям при однородных граничных условиях (интеграл по поверхности будет равен нулю), получим
(12.17)(12.17)J ^ijkl^ij^kl dV
(12.17)
(12.17)
ш2 = ^_/ ри-^ dV
Если гч = и^ то уравнение (12.7) выполняется при ш = шк, и формула (12.16) либо (12.17) даст точное значение квадрата собственной частоты с номером к. Но если щ — произвольные функции, то уравнение (12.7) не выполняется, формула (12.17) определяет некоторое число ш2, которое, вообще говоря, не представляет собой квадрат частоты каких-либо свободных колебаний системы.
Покажем, что функционал, фигурирующий в правой части формул (12.16), (12.17), позволяет получить оценку, по крайней мере, для наименьшей из собственных частот. Условимся нумеровать собственные частоты в порядке возрастания, так что
W1 < w2 < w3 < . . .
Выберем в качестве и, произвольную систему трех дифференцируемых и непрерывных функций, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям. Разложим их в ряд по системе собственных функций
«г =
А так как вследствие (12.8)
стЧ,з = У^ = рУ^ акШки'г 1
то, умножив на щ = ^2 йт^Т и проинтегрировав, получим
J (Tij,j'U'i dV = У^ У2 акатшк J ри^и™ dV = У^ <^шк-
Совершенно аналогично вследствие ортогональности главных форм
J P^dV = ^а2к.
Теперь соотношение (12.16) можно переписать следующим образом:
^2 а1^1 + ^2^2 +•'•
ИЛИИЛИш2ш2flf + G2 + • • •
ИЛИ
ИЛИ
ш2
ш2
2 °1 + Дз^а/^д )2 + . ■ ■
Од + 02 + . . .
Но каждый член ряда в числителе не меньше соответствующего члена ряда в знаменателе, так как (w^/wj)2 > 1, поэтому ш2 ^ ш2 и (12.17) можно заменить неравенством Рэлея
(12.18)(12.18)оД UJT.
(12.18)
(12.18)
Здесь U — упругий потенциал, вычисленный для заданной системы перемещений tti; Т — выражение кинетической энергии, в которой скорости заменены перемещениями гц.
Неравенство (12.18) дает верхнюю оценку для низшей частоты колебаний упругого тела. Если функции иг содержат некоторое число неопределенных параметров cs, то U = U(cs) иТ = = T(cs\ Наилучшим приближением для ш2 будут значения cs, минимизирующие дробь в правой части (12.18), поэтому должно быть
Отсюда
й^Л = О
Т2 X Эс8Эс8 /
или, полагая U/Т = ш2,
^-ш2^=0.(12.19)
дс3 Эса
Наиболее простой результат получается, когда параметры cs входят в выражение гц линейно, а именно:
ОО
^ = Ес^- (12-2°)
8 = 1
Уравнения (12.19) линейны и однородны; для существования нетривиального решения необходимо, чтобы детерминант системы был равен нулю. Это условие приводит к алгебраическому уравнению степени к относительно ш2. Вследствие неравенства Рэлея наименьший корень уравнения будет давать верхнюю
оценку для ш2, которая может только улучшиться с увеличением к. При увеличении к корень уравнения с номером т будет стремиться к величине из^ при этом нельзя сказать — сверху или снизу. Доказательство этой теоремы здесь не приводится. Следует заметить, что для ее выполнения необходима полнота системы функций //, т. е. возможность представления любой допустимой системы перемещений Ui в виде (12.20). Описанная приближенная процедура определения частот называется методом Ритца.
Колебания круглой упругой трехслойной пластины
Рассмотрим осесимметричные поперечные колебания несимметричной по толщине упругой трехслойной пластины круглой формы (см. рис. 6.11). Постановка задачи и ее решение, как и в статике (см. § 6.14), проводятся в цилиндрической системе координат г, </?, z. Здесь, однако, заполнитель считаем легким, т. е. пренебрегаем его работой в тангенциальном направлении [слагаемым ЯсОзтр во втором уравнении системы (6.58)]. Внешняя вертикальная нагрузка q = q(r, <). На контуре пластины предполагается наличие жесткой диафрагмы, препятствующей относительному сдвигу слоев. В силу симметрии задачи тангенциальные перемещения в слоях отсутствуют [и^, = 0 (к — номер слоя)], а прогиб пластины w, относительный сдвиг в заполнителе i/j и радиальное перемещение координатной поверхности и не зависят от координаты tp, т. е. u(r, i), ij)(r, <), u(r, i). В дальнейшем эти функции считаем искомыми. Все перемещения и линейные размеры пластины отнесены к ее радиусу го; силовые характеристики — к 1 Па; через hk обозначена толщина к-го слоя.
Уравнения поперечных колебаний пластины без учета инерции вращения нормали в слоях можно вывести из уравнений равновесия, добавив к внешней нагрузке силы инерции —Mqw, где Му = (руку + p2h2 + PahaVo, Рк— плотность материала k-ro слоя.
В результате получаем следующую систему дифференциальных уравнений в частных производных, описывающую вынужденные поперечные колебания круглой трехслойной пластины: Ь-зАауи + а^ — азиз,^ = 0, Li^u + ауф — a^w^) = 0, ^21) L3(a3u + ауф — a^w^) - Mqw = — q.
Здесь коэффициенты аг и дифференциальные операторы L2, L3 определяются соотношениями (6.59).
Задача определения функций u(r, <), т/>(г, i), u(r, <) замыкается присоединением к (12.21) граничных и начальных условий w(r, 0) = /(r), w(r, 0)=g(r).(12.22)
Рассмотрим сначала однородную систему дифференциальных уравнений, описывающую свободные колебания пластины. Она следует из (12.21) при q = 0:
^(aiu + 02^ — азги r) = 0; ^(агп + а^ф — C5Wjr) = 0;L^asu, + азф — авШ1Г) — Mqw = 0.
С помощью первых двух уравнений и двукратного интегрирования эта система преобразуется к виду
u = biw,r+С1Г+ С2/г, ф = b2wiT +С3г + С^/г, L3(w,r)+M4w = 0.('
Здесь » азО4 ~~ 02^5 L 6165 - 62^3 ®12~ ’ ^” 5
0104 °Л , X' °2(12.24)
уА _ Mqoi(oiO4 - «г)
(aia6 - a|)(aia4 - а2^ - (ai«5 - азаз)2
В связи с непрерывностью предполагаемого решения в начале координат для сплошных пластин необходимо положить С2 = С4 = 0.
Искомый прогиб принимается в виде
w(r, i) = v(r)(Acos tot + В sinw<),(12.25)
где v(r) —неизвестная координатная функция, ш — частота собственных колебаний рассматриваемой пластины, А и В — константы интегрирования, определяемые из начальных условий.
После подстановки выражения (12.25) в последнее уравнение системы (12.23) получаем бибесселево уравнение для определения координатной функциии(г):
Ьз(^г)-^ = 0.(12.26)
В развернутом виде । 21.1л
V гггг Н" — Vггг“T^rrН7^?rР— 0.
ГГ2
Здесь введено обозначение
/З4 = М4ш2.(12.27)
Решение уравнения (12.26) можно представить в виде [11] v(/3r) = С5 J0(/3r) + C6Zo(/3r) + С7У0(/Зг) + СзМЗг^ (12.28)
где Jq, Vo™Функции Бесселя нулевого порядка первого и второго рода, соответственно; Iq, Ко — модифицированная функция Бесселя и функция Макдональда нулевых порядков; С5, ... ... , Cg — константы интегрирования. Не останавливаясь на описании указанных функций, отметим, что Уо(/3г) и Ко(рг) имеют особенность типа логарифма в начале координат, т. е. в центре пластины [58]. Поэтому, как и ранее, для сплошных пластин необходимо положить С7 = Cg = 0. Заметим, что для пластинок с отверстием константы С2, С4, С7, Cg определяются из дополнительных условий на внутреннем контуре.
Если край пластины защемлен, то при г = 1 должны выполняться требования и = ,0 = ш = ш)Г = О. Подставляя в два последние условия решение (12.24) с учетом координатной функции (12.28), получаем
C5J0(/3) + C6Z0(/3) = 0, -CgJiG^ + CeAG^O, (12.29)
где Ji, У1 — указанные ранее функции Бесселя первого порядка.
Однородная система уравнений (12.29) имеет нетривиальное решение для констант интегрирования С5, Cg при условии равенства нулю ее детерминанта. Следовательно,
W1 = .W)
Полученное трансцендентное уравнение (12.30) служит для определения собственных чисел ^п (п = 0, 1, 2!, ... ). После их вычисления частоты собственных колебаний следуют из соотношения (12.27) с учетом (12.24):
= ^^<12 31>
Следует отметить, что уравнение (12.30) совпадает с аналогичным уравнением для круглой однослойной пластины, защемленной по контуру.
При шарнирном опирании контура пластины и наличием на нем жесткой диафрагмы должны выполняться условия и = ^ = = w = Мг = 0. Тогда уравнение для определения собственных чисел следующее:
Jq(3)Zp(^) (12 32) ar^Jp^)-Л(^)) + а8Л(^) ачОад-Т^ЗУ+авЬ^У 1 V
Здесь
«7 = tig — азф — «562,«8 = «60 + йзЬ] + «б^г,
Й60 ~ йб (A). 1 ^к } *
После решения уравнения (12.32) частоты собственных колебаний определяются по формуле (12.31). Аналогично строится
трансцендентное уравнение для собственных чисел и при свободном опирании контура.
В общем случае для описания прогиба круглой трехслойной пластины, закрепленной на границе одним из указанных способов, при поперечных колебаниях вводится система собственных ортонормированных функций ип = v(/3n, г):
(12.33)
Здесь учтено вытекающее из условия w = 0 при г = 1 соотношение между константами интегрирования
с6 = -с5ад)/шу
Константы dn определяются из требования нормировки:
d2 = у мм -d2 = у мм -оо12 "^'«(Д.г) rdr = lovpn)12 "^'«(Д.г) rdr = lovpn)
d2 = у мм -
d2 = у мм -
о
о
12 "^'«(Д.г) rdr = lovpn)
12 "^'«(Д.г) rdr = lovpn)
= M^M + JMA -+
2Рп*о\Рп)
+ S^KW») - AW- 2J0 \Рп)
В конечном виде искомый прогиб представляется с помощью разложения в ряд по полученной фундаментальной системе собственных ортонормированных функций (12.33):
(12.34)(12.34)w(r, £) = 22,уп(,Ап coswnt + Вп зтшп1\ п=0
(12.34)
(12.34)
Радиальное перемещение и относительный сдвиг получим, используя первые два уравнения из (12.23) и граничное условие на контуре "0(1, £) = н(1, £) = 0:
(12.35)(12.35)"а(г, i) — ^1 ^ > Ч^п(-^-п cos lOKt "Р В-п, syty u^t^ п=0
(12.35)
(12.35)
■ф^ t) = Ьз^Чп(АТ1 cos шп1 + Вп sin wnt). п—0
Здесь <рп — <рп(@т ^i
Vn = MJy№ - ММ + ^М(1МпУ - Л№г))1- (12.36) dn L*о\Рп)J
Коэффициенты Ап, Вп в формулах (12.34), (12.35) следуют из начальных условий движения (12.22)
11
Ап = J f(r)vnrdr, Вп = ^У g^Vnrdr. (12.37) опо
У всех встречающихся функций предполагаем непрерывность производных до шестого порядка включительно.
Для описания вынужденных колебаний рассматриваемой пластины внешняя нагрузка у(г, £) и искомое решение u(r, i), ■ф^т, £) и w(r, £) представляются в виде следующих разложений в ряд по системам функций (12.33), (12.36):
ОООО
g(r, f) = Mo^Vnqn^Y w(r, t) = ^vnTn(£),
"t(12.38)
^(г, <) = бг^^п^п^), u(r, ^by^tpnTn^.n=Qn—0
Равномерная сходимость рядов (12.38) обеспечена полнотой используемой системы фундаментальных функций [35]. Выражения для функций qn(t) получим, умножив первое из соотношений в (12.38) на ип и проинтегрировав по радиусу пластины:
11 ОО
J q(r, t)vnrdr = M0J ^ 'VmqmWnTdT = о■0 m=°
оо1
= Mq^ Чт^ J vmvnrdr.
m=0 о
В силу ортонормированности системы собственных функций ип имеем
IfгГ 1, т = п
4n(t) = — q(r, t)vnrdr, Vmvnrdr = <.
Mo JJI m * n
оо4
(12.39)(12.39)Уравнение для определения неизвестной функции Тп($ в этом случае можно получить из третьего уравнения системы (12.21) после подстановки в него выражений (12.38) и использования линейной связи функций vn, q>n-
(12.39)
(12.39)
Tn + шпТп = Чп-
Общее решение уравнения (12.39) можно принять в виде
t
Tn(t^ = Ап cos wnt + Bnsmwnt + — / sinuJt - т)уп(т) di.
о
(12.40)
Таким образом, параметры, характеризующие вынужденные поперечные колебания трехслойной пластины, определяются соотношениями (12.38), (12.40). Коэффициенты Ап, Вп вычисляются при этом по формулам (12.37), так как интегральное слагаемое в (12.40) и его производная в начальный момент времени обращаются в нуль.
Трансцендентное уравнение для собственных чисел (12.30) не зависит от геометрических и упругих характеристик материалов слоев. Оно было численно исследовано на интервале числовой оси 0-50. Найденные 15 корней вычислены с точностью до 0,001 и сведены в табл. 8.1. Первые четыре из них совпадают с обычно приводимыми в литературе для защемленной однослойной пластины. По значениям остальных можно судить о достаточно равномерном распределении собственных чисел на указанном интервале.
Таблица 12.1
Номер п
Собственное число ^п
Номер п
Собственное ЧИСЛО (Зп
0
3,196
8
28,279
1
6,306
9
31,420
2
9,439
10
34,561
3
12,577
11
37,702
4
15,716
12
40,844
5
18,857
13
43,985
6
21,997
14
47,126
7
25,138
Зависимость первых двух частот собственных колебаний защемленной по контуру пластины, материалы слоев которой Д16Т — фторопласт — Д16Т, от толщины внешнего слоя (Лг = = 0,02; Дз = 0,05) и от толщины заполнителя (/ii = /12 = 0,02) показана на рис. 12.1 (а и б соответственно). Кривая 1 — wq; 2 — Ш1. В первом случае частоты сначала убывают, затем начи-
нают возрастать. Во втором — частоты с ростом толщины относительно мягкого заполнителя непрерывно убывают, что говорит об уменьшении жесткости пластины.
Рис. 12.1
В уравнение для собственных чисел (12.32), которое соответствует шарнирному опиранию контура пластины, входят жест- костные параметры слоев. Оно численно исследовано для пакета Д16Т —фторопласт —Д16Т при hi = hi = 0,02; /13 = 0,05. Первые 15 корней, вычисленные с точностью до 0,001, приведены в табл. 12.2. Их значения несколько ниже, чем у защемленной трехслойной пластины, что указывает на уменьшение жесткости при изменении способа закрепления контура.
На рис. 12.2 показана зависимость собственных чисел /Зо (1) и соответствующих собственных частот wq (2) от толщины несущего слоя. Следует отметить противоположность реакций этих параметров: с ростом hi жесткость пластины увеличивается, и растут частоты, собственные числа при этом убывают.
Таблица 12.2
Номер п
Собственное ЧИСЛО Зп
Номер п
Собственное число Зп
0
3,141
8
27,950
1
6,203
9
31,069
2
9,293
10
34,191
3
12,392
11
37,314
4
15,497
12
40,439
5
18,605
13
43,565
6
21,717
14
47,692
7
24,832
Рис. 12.3 иллюстрирует уменьшение первых двух собственных частот колебаний рассматриваемой круговой трехслойной пластины (1—шо; 2—wi) с ростом толщины заполнителя.Рис. 12.3 иллюстрирует уменьшение первых двух собственных частот колебаний рассматриваемой круговой трехслойной пластины (1—шо; 2—wi) с ростом толщины заполнителя.
Рис. 12.3 иллюстрирует уменьшение первых двух собственных частот колебаний рассматриваемой круговой трехслойной пластины (1—шо; 2—wi) с ростом толщины заполнителя.
Рис. 12.3 иллюстрирует уменьшение первых двух собственных частот колебаний рассматриваемой круговой трехслойной пластины (1—шо; 2—wi) с ростом толщины заполнителя.
Характер изменения кривых подобен случаю защемления контура (см. рис. 8.1а).
Колебания вязкоупругой трехслойной пластины
На примере круглой трехслойной пластины продемонстрируем применение метода усреднений в динамических задачах линейной вязкоупругости [18]. Физические соотношения принимаем в виде (8.2), т. е. объемное деформирование считаем упругим, сдвиговое —линейно-вязкоупругим. Введем интегральный оператор
t
G*kf (t) = Gfe(l - R1V (t) = G^f (t) -jR^t-тН (t) dTy о
где Rk(t) — ядро релаксации материала k-ro слоя.
Система уравнений поперечных колебаний рассматриваемой пластины следует из соответствующих уравнений для упругой пластины (12.21), если в коэффициентах ат модули сдвига Gk формально заменить операторами G*k: а^ = ат{Gk G^, (m = 1, ... , 6). В результате получаем
L^a^u + а^ — ОзШ]Г) = О, Lsta^u + а*^ — alw,r) = О,
Бз^а^и + а^ч,) — a^w^ — Mow = — q.
Запятая в нижнем индексе обозначает операцию дифференцирования по следующей за ней координате, две точки вверху - вторую производную по времени.
Предположим, что ядра релаксации материалов слоев подобны и выражаются через ядро релаксации заполнителя, которое
в дальнейшем принимается пропорциональным некоторому малому положительному параметру. То есть выполняются следующие условия:
Нк(^=1к Ra^Jk = const; 0 ^ j R3 (т) dr < 1, Г3(т)^0. о
(12.42) Распределенная нагрузка g(r, t) считается малой и представляется в виде разложения в ряд по фундаментальной ортонорми- рованной системе собственных функций vH (12.33):
ОО
9(r, t) = EiM0^Vn9n(t),(12.43)
n=0
где Ei — некоторый малый параметр.
Операторы линейной вязкоупругости а^ представляем в виде a*m = am-a'mR*3, (т = 1, ... , 6),(12.44)
где коэффициенты ат определяются по тем же формулам, что и в предыдущем параграфе, а для а’т справедливы следующие соотношения:
зз
а'1 =«2 = ^('1^10 - ^Сго), а'з = ^^JkGkx-,
к=1к=1
«4 = ^(^зг + c2(ZiGio + ^Сго)), «5 = ^(^зг + c(ZiGn — l2G2i)V з
«б = ^№2, Gkn = lGkzndz, (п = О, 1, 2).
hk
Решение системы трех интегродифференциальных уравнений (12.41), описывающей поперечные колебания круглой трехслойной линейно-вязкоупругой пластины, предполагается искать в виде
ОООО
w(r, О = 52vnTn(t), u(r, t) = ^ (Мп,г + CVT + C2/r)Tn(t), 71—071—0
oo
Wi 0 = 52 ^^r + C3r + C4/r)Tn(t).
n=0
(12.45) Константы интегрирования Су, C2, C3, C4 появляются после двукратного интегрирования каждого из первых двух уравнений системы (12.41); коэффициенты 6], 62 определяются по формулам (12.24); функция Tn(f) подлежит определению. Причем
в дальнейшем для сплошных пластин следует положить С2 = = С4 = О, исходя из условия гладкости решения в начале координат.
Подстановка выражений (12.43)-(12.45) в третье уравнение системы (12.41) приводит к следующему уравнению относительно неизвестной функции времени Tn(t\.
^з [®з (^i^n, г 4" Сут) 4- Й5(biVn, г 4" С^т) OgVni г] 7п М^у^Т^ —
—£1-^0^п?п4_1^з[йз (^1^п, г+С^Г) 4-Й5 (^Vn, тА"С^Т) (ZgVn, г]Дз Д^.
(12.46)
Здесь
t
R*Tn = у Яз(<-т)Тп(т) dT.
о
Так как функции уп являются собственными, то для них справедливо соотношение, следующее из решения задачи теории упругости,
Дз [a3(6ivn,r 4- Cir) + а5(Ь2Уп,т 4- С3г) - a6vn,r] = -Мош^уп, где шп — частоты собственных колебаний, определяемые через собственные числа Зп по формулам (12.38). По аналогии, для оператора в правой части уравнения (12.46) получаем
Дз [аз(Ь1ип,г 4- Cir) 4- ag^Vn.r 4- С3г) - agVn,r] = -Мош£уп.
(12.47)
Величины типа частот ш'п определяются через обобщенные собственные числа Зп по соответствующей формуле
/2 _ (®'1а6 ~ Оз2)(°1°4 ~ Й22) — (°1°5 — °2аз)2 Ol4па'Ма\-а'^МоРп"
Параметры /3„, как и собственные числа /Зп, являются решениями трансцендентных алгебраических уравнений, получаемых при удовлетворении граничным условиям, если при этом параметры am заменить на ат. При заделке края пластины Зп = Зп-
Для решения уравнения (12.46) применим предложенный в [18] метод усреднения для динамических задач вязкоупругости. В этом случае предполагается существование в последнем члене уравнения малого параметра е, который в окончательных результатах следует положить равными единице, так как малость интегральных членов обеспечивается условием (12.46). Поэтому в дальнейшем ядро релаксации Яз(<) заменим величиной eRs^ty
11ооВпВп11I—211I—2а^п R'tа^п R't22/ 22Ап + 2V sin^! - ^)+V Ren 4 Rsn/ 22Ап + 2V sin^! - ^)+V Ren 4 Rsn11
1
1
о
о
Вп
Вп
1
1
I—
2
1
1
I—
2
а^п R't
а^п R't
2
2
/ 22
Ап + 2V sin^! - ^)+
V Ren 4 Rsn
/ 22
Ап + 2V sin^! - ^)+
V Ren 4 Rsn
1
1
В результате для функции T’n(t) из (12.46) с учетом (12.47) получаем уравнение
t
Тп + w„Tn = eiqn + ewnkn J R3(t- т) Tn (т) dr, kn = w„/wn. о
(12.48)
Решение уравнения типа (12.48) изучено в работе [18] для случая малых сил (12.43). Применительно к нашей задаче имеем
Тп — ^-^n COS ш^ ^ 1 4* Ren) ^ 4” Bn sin Ш^ ^ 1 4" Ren) ^
х exp(-^wn7?snt) 4-cos(wnt 4- <^i - ^2)- (12.49)
2ш„ у Ren 4- Rin
Здесь Rcn, Rsn — два основных Фурье-образа ядра knR3(ty.
ОООО
Ren = kn J R3M cos (шпт) dr, Rsn = kn J R3(t) sin (wnr) dr, о0
T
Qin = — Mm I qn^ sin ^nr)dt,Шп T—too T J
°т(12^0)
Q2n = — lim - / <7n(t) cos (wnT)t/i,Cdn T-^OOT J
0
tpY = arctg y>2 = arctg —.RenQ2n
Константы An, Bn определяются из начальных условий движения пластины:
wnr dr- — a+ ч^-cos(yi -у2),Шп у Ren “Ь Rsn
vnrdr .
о
Таким образом, поперечные колебания круглой трехслойной пластины, слои которой обладают линейно-вязкоупругими
свойствами, описываются выражениями (12.45) с учетом (12.49), (12.50) и того, что
dnIo\Рп )
{G, Сз} = ^, Wn) + dn1о\Рп)
В качестве примера определим параметры движения для частного случая симметричной по толщине трехслойной пластины
hi=h2, Кг=К2, Gy=G2, R^t) = R2(t),
находящейся под действием «резонансной» нагрузки
q^ = D cos Wkt + Е sin ш^1 (D, Е, k — const).
Начальные условия движения, для определенности, принимаются следующими:
Wfa 0) = Wo sin —Wfa 0) = Wo sin —w(r, 0) = 0 (wq —const).w(r, 0) = 0 (wq —const).
Wfa 0) = Wo sin —
Wfa 0) = Wo sin —
w(r, 0) = 0 (wq —const).
w(r, 0) = 0 (wq —const).
Характеристики колебаний (12.50), соответствующие k-й гармонике, в этом случае будут
qk^ = Dk cos Wkt + Ek sinw^t,
<p2 = arctg (gm - q2n = 0, n ^ k).
Константы интегрирования определяются с помощью принятых начальных условий:
Ап = ^[1/2(7г,^)-
JoGM
W)
U2(tt, ipn^ -
cos(y)! - <р2у
6nk шк
Г5±ёГ
N Rck + R2,k
Здесь U2(x, у) — функция Ломмеля двух переменных [35], 8пк ~ дельта-функция Кронекера. Прогиб и относительный сдвиг
в заполнителе следуют из соотношений (12.45) с учетом (12.49), (12.50). Радиальное перемещение срединной плоскости заполнителя можно положить равным нулю в силу симметрии пластины
по толщине. Численно был исследован логарифмический декремент колебаний Rsn (12.50), который характеризует демпфирующую способность материалов трехслойной пластины (рис. 12.4). Гра-
фик (кривая 1) показывает нелинейный рост величины Rsn/^n с увеличением толщины фторопластового заполнителя.
Если рассмотреть колебания аналогичной линейно вязкоупругой пластины в нейтронном потоке постоянной
интенсивности <ро, то математические выкладки останутся прежними, а изменения произойдут только в константах lk (12.42) и Фурье-образах ядра knR^t\ Здесь необходимо добавить коэффициент gk(ipY отражающий увеличение скорости ползучести материала за счет бомбардировки нейтронами:
ОО
Ren = ^ngs^) J R3(r) cos (w„t) dr,о
gk(,<po)Rk(.t) №(¥’о)Яз(<)gk(,<po)Rk(.t) №(¥’о)Яз(<)oo
gk(,<po)Rk(.t) №(¥’о)Яз(<)
gk(,<po)Rk(.t) №(¥’о)Яз(<)
7?sn = fcngaM У Яз (t) sin (wnr) dr, lk =о
Если принять g(<^o) = 1Д8 (см. § 11.4), то логарифмический декремент колебаний, характеризующий демпфирующую способность трехслойной пластины в нейтронном потоке, будет представлен кривой 2 на рис. 12.1. Это позволяет сделать вывод, что нейтронное воздействие вызывает более интенсивное затухание колебаний.
Колебания трехслойной пластины, возбужденные тепловым ударом
Пусть к поверхности z = с + /ii шарнирно опертой круглой трехслойной пластины внезапно подводится тепловой поток плотностью qt в направлении противоположном внешней нормали. Поверхность z = — с — /12 и контур г = 1 теплоизолированы. Это
позволяет возбуждаемое нестационарное и неоднородное температурное поле в пластине приближенно рассчитывать по формуле (10.37)
„ qtH (1 (z + c + h2\21
- < т Н— I
А I 2\ Н )6
(-1)" п2(-1)" п2(Z + С +\ —и2тг2
(-1)" п2
(-1)" п2
7гп 2 )е 71
Н /
3, 3х -13
Т = "^i а ~ ^ ^к^-к ( ^ 'PkCfch-k j ) Н = ^ hk.к=1^^=1к=1
Так как температура T^z, t) не зависит от радиуса пластины, то уравнения движения (12.23) не изменятся. С учетом ограниченности решения в центре пластины собственные поперечные колебания будут описываться соотношениями
и = Ьуш1Г + Суг, ^ — Ьуш.т + Суг, Тз(ю)Г) + M^w = 0. (12.51)
Начальные условия движения принимаются однородными
w(r, 0) = 0, w(r, 0) = 0, T(z, 0) = T0<z\(12.52)
По сравнению с изотермическими колебаниями пластины изменения произойдут в граничных условиях. В них необходимо добавить «температурний» момент Mt, обусловленный объемной тепловой деформацией в каждом слое Otk = аокТ(г, t), aQk — коэффициент линейного теплового расширения материала. Таким образом, при г = 1 должны выполняться условия на контуре:
и = w = 0,
,(12.53)
Мг = ази>г + «з^.г ~ «6^ гг — o-^w^/r — Mt = 0,
Коэффициенты ат, bi, b2, М4 не зависят от температуры и по- прежнему вычисляются по формулам, введенным в § 12.5. Используя выше приведенную формулу для температуры, получаем выражение момента Му
зз
Mt = £ Mkt = з£ аок <Кк - |Gfc) у Tz dz, (12.54) к=1к-1кк
где
м = 3qtHaok (к lGЛ _ 1А £М +J_/<£1| + А \ * 3 1Л 6/2 kfc 2Я2 \ 4 к»
+2(c + h2)-+(c + /i2)2-— 2^—Ч-X
3 1/ц.2 1Ль/тг3 *—*п3
п=1
. 7rn(z + с + hi) I . Н 7rn(z + с + hi) I V
\Н \hk 7ГПН \hk/
Отсюда
А \ и / L \ Z / \ О /
+(^hl + ^ + 2^1(е + foXe2 + chs + |Aj)+
Wc ++ h2f) - ^ 2x
2/7Г3 *—*n3
n=l
(,irn(2c + hi)\ . тгп(2с +/i2)\l
X — (—1) — COS — — CSin —-,
Un V 'H )H Jr
+ 9^2+ 2/i2(c + Ti2)(c2 + c/i2 + ^/12)-
, / , Il w , l \2\ 2H V^a l)n exp(—п2тг2т)
-/i2(c + -/i2)(c + /i2)2) - — >X
2/7г3 z—1n3
n=l
(
H / nnhi .Л . тгпЛгМ — cos1 — C sin,
7ГП \ H /Я /J
Мз< = З^Яооз ^ _ |G3) ^2c4c + hi)_
2H (—l)n exp(—п2тг2т) [ Я (тгп(2с + Л2)vnhi\ ,
7Г3П31тГП \ЯЯ /
П=1
(
. тгп(2с + hi) , . тгпЛгМ! sm —— + sin> .
ЯЯ /J J
Из первых двух условий (12.53) на границе следует
Сх = -biw,r, С3 = -b2w>r (г = 1), что позволяет выписать два граничных условия для прогиба:
w = 0, a7w,rr +a8w,r + Mt = О,
l i(12.55)
07 = Об — °201 — 0502, «8 = °60 + ®2“1 + «502-
Решение последнего из уравнений системы (12.54) представим в виде суммы квазистатического прогиба ws и динамической части wd:
w = ws + Wd-(12.56)
Квазистатический прогиб удовлетворяет уравнению
La^Wg,^ = О,при граничных условиях на контуреws = 0; az^s.rr + ae^s.r + Mt = 0 .
В рассматриваемом случае для сплошной пластины он имеет ВИД
=-(1-г2).(12.57)
Подставляя решение (12.56) в общее уравнение для прогиба (12.51), в начальные (12.52) и граничные (12.55) условия и учитывая квазистатический прогиб (12.57), получим замкнутую начально-краевую задачу для определения динамической части прогиба шд. Уравнение движения становится неоднородным:
Z3(wd,r) + M4wd = -^f4^ ’(1258)
2(а? + й8)
3
Mt = ^Мк1;
к=1
Mit = -^^2L ^Кх - 1^) £(-1)пехр(-п2тг2т) х
П=1
X Г(_1}п _C0S^ + M\ _ пс sin ™(2c + fe2)l L тг V ’н )н J
M2t = _6Qtao2O%: Гк 2g \
АЯ2 \ 23/
ОО
Е
/ 1\п/2 2 X [Я / тпНг Д . тгпкг!
( — 1) ехр(—п тг т) — cos1 — ncsm , vv ' L тг \ Я /Я J
П=1
200
Mat = -6^21 ^3_ |Оз) ^(-l^e^-^^ х
П=1
[
Я / тгп(2с +/12) тпНг\ .
— cos —— — cos +
ТГ \ЯЯ /
(
. тгп(2с +/12) , ■ тгпЛгМ SinЬ+ sin.
ЯЯ /1
В начальных условиях движения появляются ненулевые исходные прогиб и скорость (t = 0):
wd = "J I уМ^ ^ = ~ / J .М((0),(12.59)
2(а? + as)+ as)
где Mt^ следует из (12.54) при t = 0,
з
мм = Y.MMY мхм = ^^мм = Y.MMY мхм = ^^
мм = Y.MMY мхм = ^^
мм = Y.MMY мхм = ^^
к=1
. 2Я V Ml (Н ((-}}п - COS ^М±М _ rein ^£±М^1
+ Мcos H ) н /J’
n=l
M2t(0) =(k2 - |g2) \-h2 (c+^ +
AH \ о / L \ Z/
oo
.(-1)" ( H ( Knh2 A . 7rn/l2\]
-IX Д cos1 — C Sin-,
7Г ' n \ 7Г71 \ H /H / J
n=l
OO
M3((0) = M (k3 - -G3) V Ml [Mcos МММ
Атг \3/ z—' n 17ГП \H
n=l
КпИгХ ,( • 7rn(2c+h2) , • 7T7l/l2Al
— COS + C Sini+ sin 1 .
н )\ нhJ\
Граничные условия становятся однородными:
wd = 0, a7wdirr + a%wa)T = 0 (г = 1).(12.60)
Рассмотрим сначала однородное дифференциальное уравнение, соответствующее уравнению (12.58). Его решение представим в виде
w^ = v(r)(Acoswt + Bsinwt).(12.61)
После подстановки выражения (12.61) в указанное однородное уравнение получим дифференциальное уравнение для определения функции и(г), идентичное уравнению (12.26):
LM, гМР^ = 0,LM, гМР^ = 0,(12.62)(12.62)
LM, гМР^ = 0,
LM, гМР^ = 0,
(12.62)
(12.62)
где /З4 = ш2М4. Решение уравнения (12.62) с учетом ограниченности в начале координат следующее:
у = G5Jo(/3r)+G6Io(/3r). (12.63)
Здесь Jo, /о— функции Бесселя первого рода нулевого порядка действительного и мнимого аргументов. Подставляя (12.63) в граничные условия (12.60) и требуя нетривиальности решения
вытекающей системы уравнений относительно неизвестных констант интегрирования С5, Св, получим трансцендентное уравнение для определения собственных чисел ^п, совпадающее с уравнением (12.32). Частоты собственных колебаний можно определить после этого из выражения (12.31).
В результате, для описания динамической части прогиба исследуемой пластины используется полученная ранее фундаментальная ортонормированная система собственных функций (12.14):
Un L*О\Рп/-I
Искомый прогиб w^, удовлетворяющий неоднородному уравнению (12.58), можно представить с помощью разложения в ряд по этой системе функций:
ОО
Wd = ^nTnW-(12.64)
n=0
Подставляя его в уравнение колебаний (12.58), начальные и краевые условия (12.59), (12.60), умножая члены уравнения на величину rvn dr и интегрируя по радиусу пластины от нуля до единицы, в силу ортонормированности системы vn, получим для неизвестной функции Тп уравнение
Тп + ^Tn = -№(12-65)
при начальных условиях
Тп = -^тЦ^(°)’ тп = -х^-
2(07 + ag)2(07 + ag)
Здесь
1
J«пРп '^о(Рп) /
о
+2J0(/3n)S2,-M) + Ji(/3n)S3,0(/3n)], (12.66)
Sm,п(^ — функция Ломмеля одной переменной. Решение задачи (12.65) будет следующим:
Tn(£) = AncoswnZ + Bnsinwnt —
t
~/ ^(r)sin[Wn(« - r)]^, (12.67)
2(07 + ag)wn j
0
где
An = —Mt^\ Bn =Юаду
2(07 + ag)2(07 + ag)wn
Квазистатический прогиб (12.57) можно разложить в ряд по собственным функциям гп:Квазистатический прогиб (12.57) можно разложить в ряд по собственным функциям гп:wsws2(а? + as)2(а? + as)оо5 ЦРп^Пп=0оо5 ЦРп^Пп=0(12.68)(12.68)
Квазистатический прогиб (12.57) можно разложить в ряд по собственным функциям гп:
Квазистатический прогиб (12.57) можно разложить в ряд по собственным функциям гп:
ws
ws
2(а? + as)
2(а? + as)
оо
5 ЦРп^П
п=0
оо
5 ЦРп^П
п=0
(12.68)
(12.68)
Величина ЦРп) определяется выражением (12.66).
Полный динамический прогиб трехслойной пластины получим, просуммировав (12.64) и (12.68), после чего радиальное перемещение и сдвиг следуют из соотношений (12.51):
МД^п) 2(a? + ag)МД^п) 2(a? + ag)ОО
МД^п) 2(a? + ag)
МД^п) 2(a? + ag)
u = bi 5 ип, г (тп +п=0
ОО= Ьг^ип.г^Тп +п=0ОО= Ьг^ип.г^Тп +п=0WA + сзг 2(a? + as) /WA + сзг 2(a? + as) /(12.69)(12.69)
ОО
= Ьг^ип.г^Тп +
п=0
ОО
= Ьг^ип.г^Тп +
п=0
WA + сзг 2(a? + as) /
WA + сзг 2(a? + as) /
(12.69)
(12.69)
мд^ \2(а? + as) /мд^ \2(а? + as) /оо
мд^ \
2(а? + as) /
мд^ \
2(а? + as) /
W 52и" (т" +
п=0
Здесь функция Тп определяется формулой (12.67); момент Mt — (12-54);
оо
{С1, Сз}={Ь1, ь2^ рМ) +
lo(Pn)2(a7 + a8)J
п=0
Таким образом, функции, описывающие поперечные колебания трехслойной пластины вследствие теплового удара, определены выражением (12.69).
Численные результаты получены для шарнирно опертой трехслойной круговой пластины, защитный слой которой выполнен из кордиерита, заполнитель - фторопласт, несущий слой — сплав Д16Т. Теплофизические и упругие характеристики указанных материалов приведены в гл. 11.
Трансцендентное уравнение для собственных чисел (12.32) численно исследовалось при /13 = 10, /12 = 20, /ц = 0,05. Первые 20 корней, вычисленные с точностью до 0,001, сведены в табл. 12.3. Следует отметить достаточно равномерное распределение собственных чисел на исследуемом интервале.
На рис. 12.5 показана зависимость собственных чисел /Зо(1) и соответствующих собственных частот Шо(2) от приведенной толщины первого (а) и второго (б) несущих слоев. Здесь также (см. рис. 12.2) противоположно поведение этих параметров при росте толщины соответствующего слоя: собственные числа убывают, частоты — растут. При этом увеличение теплозащитного
кордиеритового слоя приводит к большему увеличению жесткости пластины и вызывает сравнительно усиленный рост частот.
Рисунок 12.6 иллюстрирует уменьшение первых двух собственных частот колебаний рассматриваемой круговой трехслойной пластины (1 — ш0; 2—u>i) с ростом толщины заполнителя. Здесь начальное увеличение /13 приводит к более резкому уменьшению частот по сравнению с трехслойным пакетом Д16Т — фторопласт— Д16Т (см. рис. 12.3).Рассмотрим коэффициент кп, характеризующий отношение динамической компоненты прогиба го^п (12.64) к квазистатиче- ской составляющей wsn (12.68):Рисунок 12.6 иллюстрирует уменьшение первых двух собственных частот колебаний рассматриваемой круговой трехслойной пластины (1 — ш0; 2—u>i) с ростом толщины заполнителя. Здесь начальное увеличение /13 приводит к более резкому уменьшению частот по сравнению с трехслойным пакетом Д16Т — фторопласт— Д16Т (см. рис. 12.3).Рассмотрим коэффициент кп, характеризующий отношение динамической компоненты прогиба го^п (12.64) к квазистатиче- ской составляющей wsn (12.68):12.512.5
Рисунок 12.6 иллюстрирует уменьшение первых двух собственных частот колебаний рассматриваемой круговой трехслойной пластины (1 — ш0; 2—u>i) с ростом толщины заполнителя. Здесь начальное увеличение /13 приводит к более резкому уменьшению частот по сравнению с трехслойным пакетом Д16Т — фторопласт— Д16Т (см. рис. 12.3).
Рассмотрим коэффициент кп, характеризующий отношение динамической компоненты прогиба го^п (12.64) к квазистатиче- ской составляющей wsn (12.68):
Рисунок 12.6 иллюстрирует уменьшение первых двух собственных частот колебаний рассматриваемой круговой трехслойной пластины (1 — ш0; 2—u>i) с ростом толщины заполнителя. Здесь начальное увеличение /13 приводит к более резкому уменьшению частот по сравнению с трехслойным пакетом Д16Т — фторопласт— Д16Т (см. рис. 12.3).
Рассмотрим коэффициент кп, характеризующий отношение динамической компоненты прогиба го^п (12.64) к квазистатиче- ской составляющей wsn (12.68):
12.5
12.5
Таблица 12.3
Номер п
Собственное число 0„
Номер п
Собственное число рп
0
3,193
10
34,531
1
6,301
11
37,679
2
9,431
12
40,808
3
12,566
13
43,947
4
15,702
14
47,086
5
18,840
15
50,224
6
21,977
16
53,363
7
25,116
17
56,502
8
28,254
18
59,641
9
31,392
19
62,780
t^dn
Кп.
Wsn
Используя выражение (12.67) для функций Тп получаем
^ UnTn /п(^П) t)
" “ Af*7(/?n)vn/[2(a7+ae)] Mt
fn^ni 0 =
= —Af((0) coswnt — Mt^ sin.wnt — Wn
—— / Mt^ sin [wn(< - t)] dr.
Wn J0
где момент Mt и его производные определяются соотношениями (12.54), (12.58), (12.59).
На рис. 12.7 показано изменение коэффициента кп в зависимости от безразмерного времени для первых двух частот: (а) — п = 0; (б) — n = 1. Здесь наблюдаются экстремальные всплески в районе т = 1,6. При т > 2 амплитуда колебаний постепенно убывает.
Колебания, вызванные абляцией
Предположим, что на внешнюю поверхность рассматриваемой упругой пластины в течение малого времени ti —> 0 воздействовал мощный тепловой поток интенсивности qt, такой, что
j qtdt — const ^ 0. о
В результате возникшей мгновенной абляции часть материала внешнего слоя была унесена с некоторой скоростью и<, направленной перпендикулярно поверхности пластины. Внутренняя поверхность z = — с — /12 и контур г = 1 пластины теплоизолированы. Это позволяет возникающее неоднородное температурное поле в пластине описывать выражением, следующим из формулы (10.37) при г —> 0:
ОО
a 9th f 1 г ., , .212(-1)пI 1
0=— (z + c + h2) --—-^^-y-cos — (z + c + /l2) k
A I 2/126 7Г2' n2 InJ J
n=l
(12.70)
33
где A = 52 Xkhkjh, h = 52 ^fc, ^k — коэффициент теплопровод- fc=ifc=i
нести к-го слоя.
Уравнения движения будут по виду совпадать с (12.21), но коэффициенты ат (12.32) вычисляются в них сО учетом влияния температурного поля (12.70) на параметры упругости материалов слоев (10.2). Начальные условия колебаний принимаются в виде
w(r, 0) = 0, w(r, 0) = — Uq.(12.71)
Начальную скорость движения Ug можно вычислить, используя закон сохранения количества движения системы:
/ 3ч -1
«о^Pkhk j ,
где Kq — толщина унесенной со скоростью и< части теплозащитного слоя.
Аналитическое решение поставленной задачи по виду будет полностью совпадать с решением (12.34), (12.35). Только коэффициенты ат будут другие, и для параметров Ап, Вп получим из соотношений (12.37), (12.71) следующее выражение:
А„ = 0, Вп =
WnU-n3n L*0\pn)-I
В случае термосилового воздействия на шарнирно опертую круглую трехслойную пластину изменения произойдут в граничных условиях, в которые необходимо добавить «температурный» момент Mt- При г = 1 должны выполняться условия
и = ^ = эд = 0;
МТ = a^U г + 05^ г — ^W rr — O6QW г/т — Mt = О,
2\ Г(12-72)
Mt = 3^ ^Kk - yk) aok] 9zdz.
hi
Здесь «ofc — коэффициент линейного расширения материала k-ro слоя.
Из первых двух уравнений движения (12.21) и условий на границе (12.72) следует
Су = -6iw,r; С3 = -b2w г; (г = 1).
Это позволяет, используя уравнения движения (12.21) и граничные условия (12.72), сформулировать для прогиба начально-краевую задачу при свободных колебаниях в окончательном виде. Он должен удовлетворять следующему дифференциальному уравнению в частных производных:
Z3(w,r)+ M4w = 0,(12.73)
и на границе г = 1 должны выполняться условия
w = О, атш1ГГ + a8wiT + Mt = О,
Где Оу = «6 ~ «3^1 ~ «5^2! а8 = 060 + 03^1 + 05^2-
Решение уравнения (12.73) представим в виде суммы квази- статического прогиба ws и динамической части w^:
w = ws + Wd-(12.74)
Квазистатический прогиб является решением дифференциального уравнения
Дз (^s, г ) — О
при граничных условиях (г = 1)
ws = 0; a7WSiTr + a8ws,r + Mt = 0.(12.75)
Для сплошной пластины его можно принять в виде
ws = -^-(l-r2).(12.76)
2(07 + Og)
Подставляя решение (12.74) в уравнение для прогиба и условия (12.68), учитывая выражения (12.75), (12.76), получим уравнение для определения динамической части прогиба
L^Wd,^ + М4йа = 0(12.77)
при следующих начальных и граничных условиях:
1 - г2
==(12.78)
Wd = 0; a7wdjrr + a8Wd,r = 0, (г = 1).
Решение уравнения(12.77) принимаем в виде
Wd = v (г) (Л cos wt + Bsinwf).
После подстановки его в (12.77) получим дифференциальное уравнение, идентичное (12.26), для определения функции и(г):
Ьз(Чг)-/?и = 0, ^=ц?М4.
Решение этого уравнения, с учетом ограниченности в начале координат, следующее:
и = GsJo^r) + СМИ-(12-79)
Подставляя решение (12.79) в граничные условия (12.78) и требуя нетривиальное™ решения полученной системы уравнений относительно Съ, СД получим трансцендентное уравнение для определения собственных чисел рп
7р(/3) (12 80)
Трансцендентное уравнение (12.80) по виду совпадает с уравнением (12.32), но параметры ат в нем нужно вычислять с учетом воздействия температурного поля. После определения собственных чисел частоты свободных колебаний, как и ранее, вычисляются по формуле
^ = №4.
Для описания динамической части прогиба исследуемой пластины используется ортонормированная система собственных функций ип=и\рпгУ которая уже была определена выражением (12.32). Тогда
wd = '£^ty(12.81)
71=0
где функция времени определяется известным соотношением Tn(t) = Ап cos wnt + Вп sinwnt.
Постоянные интегрирования Ап, Вп определяются из начальных условий (12.78):
где 1
Ж) = /(1 - r^dr = ^{^(/Ь)- о" п
+ 270(/?п)52,-Ж) + Л(/?п^^
•1О\Рп)J
Sm,n^ — функция Ломмеля [58].
Квазистатический прогиб ws (12.76) можно разложить в ряд по системе фундаментальных функций ип:
ОО
wsws2(07 + as)2(07 + as)^ ' ЦРп)упп=0^ ' ЦРп)упп=0(12.82)(12.82)
ws
ws
2(07 + as)
2(07 + as)
^ ' ЦРп)уп
п=0
^ ' ЦРп)уп
п=0
(12.82)
(12.82)
Полный динамический прогиб трехслойной пластины получим, просуммировав выражения (12.81) и (12.82), после чего ра
диальное перемещение и сдвиг следуют из первых двух уравнений (12.21):
мд(Ю 12(ат + ag) -Iмд(Ю 12(ат + ag) -IОО
мд(Ю 12(ат + ag) -I
мд(Ю 12(ат + ag) -I
W = 52 и„ [тп +п=0
ОООО71=071=0^^Ll + Qr. 2(07 + as) J^^Ll + Qr. 2(07 + as) Jmj^ 1 2(07 + ag) Jmj^ 1 2(07 + ag) J+ Cir,+ Cir,(12.83)(12.83)
ОО
ОО
71=0
71=0
^^Ll + Qr. 2(07 + as) J
^^Ll + Qr. 2(07 + as) J
mj^ 1 2(07 + ag) J
mj^ 1 2(07 + ag) J
+ Cir,
+ Cir,
(12.83)
(12.83)
Здесь
vn,r = -^[ji(m+^^гЛ,dn L-*o(pn)J
00
{G; Q} = {bi; 52}£k +
' dn L1офп) J L 2(a7+as)
n=0
Таким образом, функции, описывающие свободные колебания трехслойной пластины при абляции, определяются выражениями (12.83). В случае вынужденных колебаний изменятся функции Tn(t), которые будут иметь вид (12.40).
Прогрессивные волны
Предположим, что исследуемые прогрессивные волны распространяются вдоль прямой, в качестве которой для определенности выбрана ось Ох, х = xi. Тогда соответствующее
частное решение уравнений движения можно принять в виде
uk{t, х, ж2, х3) = Vk(x2, х^е-1*1-^ (q > 0, с > 0). (12.84)
Решения (12.84) имеют смысл для областей, обладающих бесконечным размером вдоль оси Ох: бесконечный цилиндр, в общем, переменного сечения — волновод, полупространство, плоский бесконечный слой. Входящие в него величины имеют следующие названия: V^ — амплитуда волны, q — волновое число, w = qc— фазовая частота, —q{x — ct) — фаза волны. Величина L = 2тг/у— называется длиной {периодом} волны.
Кроме того, поскольку существует точка, в которой фаза сохраняет постоянное значение
—q {х — ct} = const, то величина с называется фазовой скоростью.
Так же, как и при гармонических колебаниях, комплексное решение (12.84) следует понимать как два процесса: его действительная часть изменяется по закону косинуса, мнимая — по закону синуса.
Если возмущения отсутствуют (нулевые массовые силы и однородные граничные условия), то задача о прогрессивных волнах сводится к задаче на собственные значения. Собственным значением здесь является фазовая скорость с, которая в общем случае неявным образом определяет зависимость с = c{q) и соответствующую систему собственных функций {мод} Vk{q, х2, х3}.
Среды (волны) называются дисперсными в том случае, если функция c{q} т^ const, и без дисперсными в противном случае. В теории стационарных волн используется введенное Стоксом т) и Рэлеем понятие групповой скорости cg, которая определяется как скорость точки х = х*, в которой фаза волны стационарна, т. е.
— \-q{x* — ct)] = 0.(12.85)
dq
Отсюда следует
cg = у = с + qc {q}.(12.86)
Из (12.86) вытекает, что групповая и фазовые скорости совпадают только для бездисперсных сред.
Важность знания групповой скорости подтверждается следующими качественными рассуждениями. Рассмотрим несколько (группу) волн вида (12.84) с близкими фазовыми частотами.
О Стокс (Stokes G.G., 1819-1903) — английский физик и математик.
Если в некоторой точке их фазы совпадают или близки, то там амплитуды отдельных волн складываются по модулю. Наименьшее различие фаз будет иметь место при условии (12.85). Поэтому определяемая формулой (12.86) групповая скорость есть скорость распространения максимума возмущения, образованного группой волн.
Можно показать, что понятие прогрессивных волн аналогично гармоническим волнам имеет непосредственную связь с комплексным преобразованием Фурье по координате х. А именно, если разыскивается решение вида
Ufc(t, X, T2, ^з) = V^X - Ct, Х2, ж3),
то имеет место равенство (значок «Р» обозначает изображение, q — параметр преобразования)
vf (q, х, ж3) = Vk(q, х2, ж3),(12.87)
т. е. амплитуда групповой волны — изображение Фурье функции Uk^x, Х2, хз) в (12.87). При этом (12.84) является с точностью до постоянного множителя подынтегральным выражением в интеграле обращения преобразования Фурье. Заметим, что (12.87) является частным случаем автомодельных решений, т. е. решений, зависящих от меньшего числа переменных, чем исходная задача. Понятие прогрессивных волн широко используется при рассмотрении волн, распространяющихся по поверхности полупространства или плоского слоя, в том числе, в сейсмологии и океанологии. Ниже приводятся соответствующие примеры.
При наличии в теле бесконечно удаленной точки указанное в § 3.1 условие ограниченности решения должно быть заменено условием излучения Зоммерфелъда^, которое является условием существования единственного решения соответствующего волновому уравнению (например, первому в (12.3)) Гельмгольца △^ + к2ф = Ф, к > 0,
где ^ и Ф — амплитуды или моды ^ и Ф.
Упомянутое условие излучения имеет вид (г— длина радиуса-вектора, г — мнимая единица):
— пространственная и одномерная задачи
tp,r + iktp = о ( - ) , г —> оо;(12.88)
’X Г /
— плоская задача
ip,r + ikip = о ( j , г —> оо.
’X /
Волны Рэлея
Рассмотрим задачу о распространении плоской прогрессивной волны (см. (12.84)) в направлении границы полуплоскости, занятой однородной линейно упругой изотропной средой (имеет место плоское деформированное состояние, см. § 5.1). Граница полуплоскости свободна от напряжений, массовые силы и возмущения на бесконечности отсутствуют.
Введем такую прямоугольную декартову систему координат Oxyz. что ось Oz направлена вглубь полуплоскости, ось Ох совпадает с границей z = 0. Движение среды описывается уравнениями в потенциалах (12.3) (у? = у?(ж, z), ^i -^2 = 0,
V”3 = V’^, ^)):
82т2 Л д2й>2 л ! л 5252
= Д = —+ —.12.89
dt2ot2ах2dz2
Перемещения, деформации, напряжения и потенциалы в соответствии с (3.2), (3.4) связаны между собой так:
Ы1 = ^_^ из=8<р 8ф( 9)
8х Эг' 4 ЭгЭх’V '
dtzi1 / днз , dtzi \диз./1 о ni )
= —, ^13 = -^- + -^-), ^33 =(12.91) ох2 \ ox oz /oz
<7ц = (А + 2д) Еп + Аедз, <713 = Зщцз,(12 92)
—озз = (А + 2д) £33 + Аец.
Условия на границе полуплоскости и на бесконечности (см. § 3.2) имеют вид
сг1з|г=0 = ^33^=0 = 0, ч> = о (1), ф = о (1) (z -> +оо). (12.93)
Решение задачи (12.89)—(12.93) ищем в форме прогрессивной
W, X, z) = ^^Шх, t\ ^{t,x, z) = ^{z)E(x,t).
Подставляя (12.94) в (12.89), получаем уравнения относительно функций Ф(г) и Ф(г)
Ф"(г) - 92/31Ф(^) = 0, Ф"(г) - 92/32Ф(^) = 0, 0, = 1 - |.
(12.95)
При с ^ Cj ^pj ^ 0) решения этих уравнений не удовлетворяют граничным условиям на бесконечности (см. (12.93)). Если же (см. неравенство в (12.4)) с < Cj, то pj > 0 и удовлетворяющие
условию на бесконечности решения имеют вид Ф(г) = CiEM Ф(г) = С2Е2^, Е,^ = е^^
«з = V0j = V1-
где С) и С*2 — произвольные константы. Следовательно,
p^t, х, z) = CiEi(z)E(x,t), i^(t, х, z) = C2E2(z)E(x, t).
Тогда из (12.90)—(12.93) находим перемещения
ui = qHCiEi(z) + a2C2E2(z)]E(x, t),
(12.96) из = -QtaiCiSi(z) + iC2E2^Mx, t);
деформации
sM = -q2[CiEi(z) + ia2C2EM№ t),
e13 = ^miC^z) - ^^С2Е2^Е^ t),
^зз = q2[a2CiEi(z) + ia2C2E2(z)]E(x, t),(12.97)
0 = -q2^C4Ei(z)E(x, t);
Cl и напряжения
<7ц = -ц^^а2 + ^GiEi(z) + 2ia2C2E2(z)^E(x, t),
<7i3 = ^[^iGiS^z) - (1 + c$ C2E2(z)]E(x, t),<12 98)
<7зз = W2[(l +«2) CiEi(z) + 2ia2C2E2(z)]E(x, t).
Подставляя равенства (12.98) в первые два граничные условия (12.93), получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно константС) и С2:
2icniCi — (1 + СИ2) С2 = 0,
(1 + «2) Ci + 2га2С2 = 0.
Условием существования ее нетривиального решения является равенство нулю определителя этой системы
Л(«1, «2) = (1 +«2)2 ~ 4oeia2 = 7?о(0 =
2 _ £1
г2 с2
Умножение левой части этого равенства на сопряженное выражение
iW) = (2 - о2 + 4XI1-1VT^у
приводит к многочлену четвертой степени
-МО = №Ю, ^32(0 = £3 - 8£2 + 8 (2 + х) £ - 8 (1 + х).
Здесь (см. § 2.2)
х = —^— = -^- = 1-4-(12.100)
А + 2д 1 — v т,2
Поскольку в действительной области jRq(O > 0, то (12.99) эквивалентно следующему кубическому уравнению (множитель £ отброшен, так как он дает нулевой корень, что соответствует отсутствию волны):
Рз2(О=0.(12.101)
В силу неравенства 0 < v < 1/2 (см. § 2.2) для реальных сред параметры хит; изменяются в следующих диапазонах:
0 < х < 1, V2 < т; < оо.(12.102)
Предельный случай х=1(т; = оо) отвечает акустической срёде. При этом знаменатель в равенстве для £ в (12.99) обращается в нуль (С* = 0). Поэтому параллельно с уравнением (12.101) будем рассматривать эквивалентное ему уравнение
P3^ = S3 -4 (1-х) с2 +
+2 (2 + х) (1 - х)2 ? - (1 - х2) (1 - х)2 = 0,^
Рз2(т?2<;) = ??6^з1(<;),
Ло(т?2<;)Ло(772<;) = Аг^М = AiG) = т?2<;Рз1(<;).
Дискриминант многочлена Р31 (с) имеет вид
уз(х)= (5) +(|) =^Аз(х),
Р=|(Зх-2), д=^(45х—11),
A3 (х) = х3 + —х2 + — х ——.v ’321632
Так как Аз(0) < 0, Аз(1) > 0 и Аз(х) > 0, то существует единственный действительный корень х* многочлена Аз(х).
При этом для D^x^ имеем (величины х,,р, и q2 связаны между собой соотношениями (12.100)
Рз (х*) = 0,
Оз (х) < 0 (0 ^ х < х* , 0 < v < v*,2 < q2 < q2) ,
Da (х) > 0(х* < х < 1, v* < v < 1/2, q2 < q2 < +оо) ,
х* и 0,357003205, v* % 0,263082064, q2 = 3,1104351.
Таким образом, многочлены Р31 (<;) и Р32 (С) при 0 ^ х < х* имеют три различных действительных корня. При х* < х < 1 один корень многочленов действительный, а два других — комплексно сопряженные. Зависимость корней ft, Q и сз многочлена
Укажем явный вид корней многочленов Р31 (с) и Р32 (С) при некоторых частных значениях упругих постоянных среды:
при v = 0 (х = 0, q2 = 2)
Сд _ 3 - Уб ci 2
= 3-V5,
, з + Уб= 1, <3 = ,
^2 = 2, ^з = 3 + V5;
6 =
Ся
С2
при v = 0,25 (А = д, х = 1/3, q2 = 3) — среда Коши
4
53 = ?
при v = v* (х = х*, т^ = т£, а = [(45х* — П)/2] ^3)
ft = ^ = ^(2-а) «0,2730271,ft = ft = -^(4 +а) «1,149479,
6 = | = |(2-«), ^2=^з = -|(4 + а);
при v = 1/2 (х = 1, т;2 = оо) — акустическая среда
ft = ft = ft = ^ = 0,ci
^ = £1 = ^10 = 8/3 - u - v « 0,9126242,с!
v = - V V297+ « 2,164676, и = -— « -0,4106336,
3 v9и
,8 и + и , .и — v гт,
С2 3 =IV 3.
’322
Отметим, что, для действительных корней ft, ft и <;з многочлена P3i (<;) справедливы следующие неравенства:
0 < ft = Сд/с2 < 1/т?2 (0 ^ х < 1), ^,3 > 1 (0 < х ^ х*).
Таким образом, существует единственная фазовая скорость
с = cr = V^RC2 = V^RCy < с2, Cr = Ci, to = ft- (12.104)
Общее решение системы (12.98) представим следующим образом (С —произвольная константа):
Ci = -2ia2RC, С2 = (1 + «гл) С, a2R = V1 - Cr-
Подставляя эти константы в (12.96) и (12.98), находим перемещения и напряжения
иг = Cqa2R\-2E^ + (1 + «гл) E^V^E^x, ty п i1(12.105)
из = Ciq (1 + a22R) P^re^z) - Е2Це(х, <);
o-ц = 2iCp,q2a2R\(‘2o^R + ^Ae^z) - (1 + a2R) E2(z)"\ E(x, t), L \ c2 /J
<7i3 = Cpiq2 (1 + c?2Rf [Pi(г) - E2^W. t),(12.106)
0-33 = 2iCp,q2a2R (1 + o^r^ [-Pi(^) + E2(z)]E(x, t),
Напряженно-деформированное состояние среды определяется неединственным образом (в формулах (12.105) и (12.106) присутствует произвольный постоянный множитель С). Это связано с тем, что исходная задача является однородной.
Комплексные решения следует понимать следующим образом. В силу линейности задачи реальными являются соответственно либо действительная, либо мнимая их часть.
Полученные волны называются волнами Рэлея, а соответствующая им фазовая скорость cr — скоростью волн Рэлея. Отметим, что, как следует из уравнения (12.99), фазовая скорость в этом случае не зависит от волнового числа q, следовательно, волны Рэлея являются бездисперсными.
Эти волны вследствие наличия экспоненциальных множителей с показателями (—qajz) очень быстро затухают по глубине полуплоскости. Скорость затухания определяется фазовой скоростью q, т. е. длиной волны L по координате ж (L = 2K/q). Чем больше фазовая скорость (меньше длина волны), тем быстрее происходит затухание.
Следовательно, волны Рэлея являются поверхностными (их основная энергия сосредоточена у границы полуплоскости). Они имеют большое значение в сейсмологии, поскольку они наблюдаются при землетрясениях вдали от эпицентра, и именно они являются причинами разрушений объектов на земной поверхности. Волны Рэлея также играют большую роль при проведении ультразвуковых исследований, в том числе, в дефектоскопии.
Волны Лява
Другой тип поверхностных волн открыт Лявом и носит его имя. Они наблюдаются в полупространстве, свойства которого
Рис. 12.9Рис. 12.9изменяются скачкообразно.
Рис. 12.9
Рис. 12.9
Рассмотрим плоский слой толщины h, абсолютно жестко сцепленный с полупространством (рис. 12.9). Материалы полупространства и слоя являются однородными линейно упругими изотропными средами с упругими постоянными А0, Цо и Aj, щ, а также плотностями ро и pi соответственно. Гра
ница полупространства свободна от напряжений, массовые силы и возмущения на бесконечности отсутствуют.
Введем прямоугольную декартову систему координат Oxyz так, что ось Oz направлена в глубь полупространства, ось Ох совпадает с границей z = 0 раздела.
Будем исследовать задачу об антиплоских деформациях системы, которым соответствуют перемещения, направленные по оси Оу и не зависящие от координаты у:
(12.107)(12.107)к^ — м^ = 0, и^ = и^ (^ ж> 2) •
(12.107)
(12.107)
Здесь и далее верхний индекс в обозначениях параметров указывает на полупространство (j = 0) или слой (j = 1).
Из (12.1), (3.2) и (3.3) находим уравнения движения, связь деформаций с перемещениями и физический закон
^1 = 4» w:at2 2(j) _ 1 ди^^12 " 2~дГ’ДД _ АЛ _ АЛе11 — е13 — £22(>) Эи^^1 = 4» w:at2 2(j) _ 1 ди^^12 " 2~дГ’ДД _ АЛ _ АЛе11 — е13 — £22(>) Эи^’дх2 dz2 ’(j) _ 1 ди^_23 ~ 2 dz ’= eg = уУ) = 0;(»8и^’дх2 dz2 ’(j) _ 1 ди^_23 ~ 2 dz ’= eg = уУ) = 0;(»8и^(12.108)(12.108)
^1 = 4» w:at2 2
(j) _ 1 ди^
^12 " 2~дГ’
ДД _ АЛ _ АЛ
е11 — е13 — £22
(>) Эи^
^1 = 4» w:at2 2
(j) _ 1 ди^
^12 " 2~дГ’
ДД _ АЛ _ АЛ
е11 — е13 — £22
(>) Эи^
’дх2 dz2 ’
(j) _ 1 ди^_
23 ~ 2 dz ’
= eg = уУ) = 0;
(»8и^
’дх2 dz2 ’
(j) _ 1 ди^_
23 ~ 2 dz ’
= eg = уУ) = 0;
(»8и^
(12.108)
(12.108)
АЛ _ АЛ _ АЛ _ АЛ _ 0 ^ll — ^13 ~ °22 — °33 — и'
Граничные условия заключаются в отсутствии напряжений на границе z = —h всей системы, непрерывности перемещений и напряжений на плоскости z = 0, а также в ограниченности решения на бесконечности. Нетривиальные граничные условия имеют вид
Ji)lJo)| _ Ji)| _,(o)|(1)1
(7по— U. Uno— U.14— 14.
2d \z=-h2d !z=0lz=0 lz=0 lz=0 (12.109)
= 0(1) (200).
Решение задачи (12.107)-(12.109) ищем в форме прогрессивной волны (j = 0,1)
u^Ht, X, z) = Uj(z)E(x, t), E^x.t^e-^"^.(12.110)
Подставляя (12.110) в (12.107), получаем уравнения относительно функций Uj(z)
U''^-q2№(z^0, ^ = 1--^.(12.111)
С2
Для полупространства, аналогично задаче о волнах Рэлея, при с с^ (/Зо < 0) решение соответствующего уравнения (j = = 0) не ограничено на бесконечности. Если же с < с^ (/?о < 0), то удовлетворяющее условию на бесконечности решение имеет
вид (Со— произвольная константа)
U0^ = C0E0^, Ео(^ = е"4^, a0 = V^=Jl--^.
V С2
Для слоя (j = 1) сначала предположим, что с > с^ (/?i < 0), т. е.
с^с^-(12.112)
В этом случае общее решение соответствующего уравнения в (12.111) записывается так (Ci, Сг — произвольные константы)
Ui^ = Ci sin(qaiz) 4- C2COS (qaiz), «i = V-A = \(W2 ~ 11
V C2 Следовательно,
u^t, x,z) = C^W, t), /i\pZ.lluj
it '(t, x, z) = [Ci sin (^aiz) + C2 cos (^Q!iz)]£(t, i).
Тогда из (12.108) находим
<712^, $i z) = — i^qu^^t, x, z),
^^(t, ^, z) = —p.oqaou^°\t, x, z),(12.114)
^23^ (^ ж, z) = /^i^aifCi cos (^aiz) + Ca sin (qaiz^E^x, t). Подставляя равенства (12.113) и (12.114) в первые три граничные условия (12.109), получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно констант Со, Ci и С?:
Ci cos (qaih) + С2 sin ^qctih) = О, p,oqaoCo + p.\qa\C\ = 0,(12.115)
Co = C2.
Условием существования нетривиального решения этой системы является равенство нулю ее определителя
^5Д cos (qaih^ — sin (qaih^ = 0.
Это условие эквивалентно трансцендентному уравнению tg(W = /(^), /(О = ^1Д^’ £ = а1’
(0)2(12.116)
=^i=^i-l,<5О21 = ^.
Отметим, что в силу соотношения (12.112) /З^ > 0.
Для выяснения условий существования и единственности решения уравнения (12.116) исследуем поведение функции /(£)• Ее область определения задается неравенствами (равенство £ = До исключено в силу соотношений (12.112)) 0 < £ < До = V$n ~ Е Она является строго убывающей на всей области определения, поскольку
/'(Д =7°^L < о.
Так как Иш /(Д = +оо и /(До) = 0, то ее область значений имеет вид 0 < /(Д < +оо. График функции f^ имеет точку перегиба £ = Д которая находится из соотношений
т = -^^гА^"^=6- ^=^'
Рис. 12.10Рис. 12.10Учитывая все выше сказанное относительно поведения функции /(Д, а также свойства тангенса, приходим к выводу, что уравнение (12.116) имеет действительные корни
Рис. 12.10
Рис. 12.10
тг (m - 1) ^ ^ьт < ^ (2т - 1)(т = 1, 2, ... , к).
Следовательно, функции^Lm(qh) определены на множествах qh > тг(т — 1)До- Причем, как следует из (12.116),Следовательно, функции^Lm(qh) определены на множествах qh > тг(т — 1)До- Причем, как следует из (12.116),(12.117)(12.117)Это иллюстрирует рис. 12.10, здесь тг ^ Pioqh < 2тг. Число корней определяется равенством к = k^qh^ = [ДоУ^/А-Ь 1, где [ж] —целая часть действительного числа х.
Следовательно, функции
^Lm(qh) определены на множествах qh > тг(т — 1)До- Причем, как следует из (12.116),
Следовательно, функции
^Lm(qh) определены на множествах qh > тг(т — 1)До- Причем, как следует из (12.116),
(12.117)
(12.117)
lim Cbm = Ао-qfl->'^^m-^+0
(12.118)(12.118)Кроме того, из (12.116) получаем, что ^Lm удовлетворяет уравнению
(12.118)
(12.118)
qh^Lm = arctg [/(€bm)]-
Отсюда находим
lim Cbm = 0.qh-^-Voo
Дифференцируя по qh равенство (12.116)
W){/K)+^[1 + /2K)] +W){/K)+^[1 + /2K)] +7oi 1до/7oi 1до/1 + Д«)’1 + Д«)’(12.120)(12.120)
W){/K)+^[1 + /2K)] +
W){/K)+^[1 + /2K)] +
7oi 1до/
7oi 1до/
1 + Д«)’
1 + Д«)’
(12.120)
(12.120)
приходим К ВЫВОДУ, ЧТО Cbm^q^приходим К ВЫВОДУ, ЧТО Cbm^q^соответствующего уравнения в (12.111) будетсоответствующего уравнения в (12.111) будет
приходим К ВЫВОДУ, ЧТО Cbm^q^
приходим К ВЫВОДУ, ЧТО Cbm^q^
соответствующего уравнения в (12.111) будет
соответствующего уравнения в (12.111) будет
И функции ^£т(9^) ЯВЛЯЮТСЯ строго монотонно убывающими.
Результаты численного решения уравнения (12.116) при /301 = 0,5 и 701 = 0,8 (сплошные линии) и 701 = 1,2 (штриховые линии) приведены на рис. 12.11.
Покажем теперь, что при с < с^ (/31 ^ 0) прогрессивные волны в рассматриваемой системе не существуют. Действительно, при с < с^ (/31 > 0) общим решением
^1(2) = Cish^qaiz) + С2 ch (^г), аг = VA = 1/1 ~•
V С2
(12.121)
Аналогично предыдущему случаю получаем
«^(t, х, г) = [Ci sh (qaiz) + С2 ch (qaiz)]E(x, t),
<т2з\<, ж, z) = p.iqai[Ci ch (qaiz) + C2 sh (^ai2)]E(T, 1).
Перемещения u^ и напряжения ст^, o^ определяются соответствующими равенствами в (12.113) и (12.114).
Из граничных условий (12.109) получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно констант Со, Ci и С2:
Ci ch (qaih,) — С2 sh (qaih,) = 0,
p,oqaoCo + mqaiCi = 0,
Co = C2.
Условие существования ее нетривиального решения приводит к уравнению 1Ь(а1^/г) = — до^о (Д1Л1), которое не имеет действительных корней, так как th^ ^ 0 при любом ^ ^ 0.
При с = с^ (/31 = 0) общее решение соответствующего уравнения в (12.111) записывается в виде
C7i(z) = C1Z + С2.(12.122)
Остальные выкладки предоставляем читателю.
Рис. 12.12этих волн в системе уравненийРис. 12.12этих волн в системе уравненийИтак, волны Лява существуют только при удовлетворяющих условию (12.112) фазовых скоростях
Рис. 12.12
этих волн в системе уравнений
Рис. 12.12
этих волн в системе уравнений
с = CLm = eg ^1 + С1т- (12.123) где ^Lm — корни уравнения (12.116). Графики зависимостей отношения <;т - = CLm/4^ (m ~ ^ 2> 3) от qh при указанных выше характеристиках сред приведены на рис. 12.12. Предельные значения величин <;т определяются равенствами (12.123), (12.117) и (12.118).
Для определения формы
(1^.115) полагаем (С — произвольная постоянная)
Ci = Cp,oqaom,Со = С2 = Cp.iqa\mi
у $01 ^Lm’ — ^™-у $01 ^Lm’ — ^™-1 O^Om — r
у $01 ^Lm’ — ^™-
у $01 ^Lm’ — ^™-
и, учитывая (12.113) и (12.114) находим
к^(1, х, z) = C/j,iqaimEo(z)E(x, t),
u^(t, x, z) = Cq\p,oaom sin (qaimz) + ^iaimcos (qaimz)]E(x, t);
o^^, x, z) = -iCnoPiq2aimEo(z)E(x, t),
^(l, х, z) = -гС/^iq2 [мо«от sin (qamz) +
+Mi«im cos (qamz)] E(x, t),
^(l, x, z) = -CpoMiq2aomO!imEo(z)E(x, t),
<7^ (t, x, z) = C^iq2aim Vnoctom cos (^Imz) +
+Miaimsin(9aimz)] E(x, t).
Волны Лява имеют те же практические приложения, что и
волны Рэлея. Отметим только,волны Рэлея. Отметим только,Рис.Рис.12.1312.13что в отличие от последних, как следует из (12.116) и (12.123), они являются дисперсными. Подставляя (12.123) в (12.86) для групповых скоростей cgTn получаем
волны Рэлея. Отметим только,
волны Рэлея. Отметим только,
Рис.
Рис.
12.13
12.13
_ Cgm
LmLmSgm (1) с2
Lm
Lm
+ ^'L™ qh, (12.124) V1 "Him
где ^Lm^qh?) определяется формулой (12.120).
Соответствующие графики
приведены на рис. 12.13. Предельные значения фазовых скоростей вытекают из (12.124), (12.117), (12.119) и (12.116)
Иш ^gm ~ ^10; Иш ^gm — Гq/i-»^Y^(m-l)+0qh->+oo
Прогрессивные волны в плоском слое
Рис. 12.14Рис. 12.14Наличие поверхностных волн Рэлея установлено для полупространства. Для оценки влияния второй границы в аналогичной постановке рассмотрим задачу о распространении плоских прогрессивных волн в плоском упругом слое толщины 2/i. Соответствующая геометрия задачи и выбранная прямоугольная декартова система координат указаны на рис. 12.14.
Рис. 12.14
Рис. 12.14
Движение слоя описывается уравнениями (12.89) и соотношениями
^1з|г=±/1^3.3 lz=±h ^'^1з|г=±/1^3.3 lz=±h ^'(12.125)(12.125)(12.90), (12.91). Положим, что границами слоя служат плоскости z = ± и они являются свободными (см. также (12.93)). Граничные условия запишем в следующем виде
^1з|г=±/1^3.3 lz=±h ^'
^1з|г=±/1^3.3 lz=±h ^'
(12.125)
(12.125)
Так же, как в задаче о волнах Рэлея, разыскиваем решение в виде (12.94) и приходим к уравнениям (12.95). Вид общего решения этих уравнений зависит от величины фазовой скорости: с < С2, с = С2, С2 < с < щ, с = щ или с > ср Можно так же, как и ранее (см. (12.121), (12.122)) выписать соответствующие решения и построить уравнения для определения фазовой скорости.
Однако здесь удобнее в диапазонах с < С2, сг < с < щ и с > ci записать решения уравнений (12.95) в одном и том же виде (С^ и Dk — произвольные константы)
Ф(х) = Ci sh(gz\/^) + С2 ch^qzVPiy
Ф(х) = Dis^qzV^^ + D2ch(gzV^2), Pj = l-—, cj
рассматривая при необходимости корень как мнимое число. Результаты для границ диапазонов получаются с помощью соответствующих предельных переходов.
Из (12.94) и (12.126) получаем представления для потенциалов:
q^t, х, z) = [Cl s^qz^Pi) + С2сЬ.^гл/Р1^Е(х, f),
?№ х, z) = ^D] sh(gz-i/S2) -V D^cXiVqzVp^EVx, ty
Тогда из (12.90)-(12.92) находим
«1 = -qy [Cl snvqzy[jx) 4- C2 ch^qz Vpi)] +
+ V^[^ich(gzv^) + ^shfazv^)]}^, t),
(12.127)
«3 = g{ VjS?[Ci ch(qzV^.) + C2 sh(qzVPi)] -
—i [.Ch stiqzx/pi ) + D2 chtqzx/pz1 E(x, t):
£ii = -g2|Cish(gzv^) + C2ch(gzv//3?)-
-iVp^ [Pi ch(gzi/S2 ) + D2 sh(qzVp2 )] ^Ey, ty
£13 = -^-UiVPi\Ci c^qzVPi') + C2 s^qz>/p^)] +
(12.128)
+(1 + P2) [-01 sh(gz 1/S2) + D2 ch(qzVp2 ))] ^E(x, ty
£33 = 92{/?i [G sh(gzx/A ) + C2 ch(gzVA)] -
-iVPi^Di ch (qzy/Pz) + D2 sh(qzy/p^)] ^E(x, ty
++<711 = W2{- (1 + 2/91 - А) [(71 s^qzVPi) + С2 сЫдгл/31)] + +2iV^[-Di ch^qzVfo) + D2 зЬ^УАг)] l^®, <),
+
+
<43 = -pq2<43 = -pq2(12.129)(12.129)^2i>/j^Ci c^qzVlM + C2 sh(gzV^)]
<43 = -pq2
<43 = -pq2
(12.129)
(12.129)
+(1 + /9г) [l>i sh(gz V/32 ) + D2 ch(qzV02 ))] }^, t), <733 = 92{(1 + ^2) [^i sh^V^T) + C2c^qzV3i^-
-^iV^^Dich^qzVfo) + D2 зЦдг-У^)] j^, <)•
Подставляя равенства (12.129) в граничные условия (12.125), после преобразований получаем две независимые однородные системы линейных алгебраических уравнений относительно С2и Dy.
(12.130)(12.131)(12.130)(12.131)2iV^C2 sh^qhVPi) + (1 + /92)Di sh(g/iV^) = 0,
(12.130)
(12.131)
(12.130)
(12.131)
(1 + 32)C2 ch(g/i V^) + 2i,\fp2D\ ch^qhV^) = 0, и относительно Ci и D2:
2iV^Cich(qhV3?) + (l + 32)D2ch(qhV^) = 0,
(1 + 32)Ct sh(qh\/3i) + 2iV32-Di s^qhVfe) = 0.
Как вытекает из (12.127) и (12.129), при Ci = D2 = 0 перемещение ui и напряжения <7ц, <733 — четные, а перемещение из и напряжение <Т1з — нечетные функции по координате z. Если же С2 = D3 = 0, то наоборот из и <713 —четные, a ui и <7ц, <733 — нечетные функции. Назовем эти два типа волн соответственно cujwjwempuuubijwu и aumucujwjwempuuuwjwu и в силу линейности задачи рассмотрим их отдельно.
Симметричные волны. Условием существования нетривиального решения системы (12.130) является равенство нулю ее определителя, которое эквивалентно трансцендентному уравнению, записываемому при различных значениях фазовой скорости с учетом равенства thix = itgx следующим образом:
при с < с2 (^ < 1)
(12.132)(12.132)th(9/i^^T/V) _(2-^)2
(12.132)
(12.132)
t^qhVT^) 4VT^J7T^'
при С2 < С < Cl (1 < ^ < г,2)
th(9/i^^T/V) _(2-£)2
при О Су ^> Ц2)
wVwZii=—<2-^(12134)
tg(9/iVC - 1)47^1^!^ - 1
Обозначения используемых параметров указаны в (12.99) и (12.101).
В силу периодичности тангенса уравнение (12.132)—(12.134) имеет счетное множество решений £si < £S2 < • • • < Csk < • • •, которым соответствуют фазовые скорости csk = Sskc2, Ssk — V^sk- Исследуем поведение фазовых скоростей в двух предельных случаях: длина волны значительно больше толщины слоя (L "> 2h, qh —> 0) и длина волны намного меньше толщины слоя (L <С 2Л, qh —> оо). При этом будем использовать следующие свойства элементарных функций:
tgx~x~x + thx~x~x - х0 ;(12 135)
thx ~ 1, х —> +оо.
Сохраняя в (12.134) члены первого порядка малости при qh —> 0 получаем (знаки эквивалентности заменяем равенствами) 4(4 — £/ц2) = (2 — £)2- Отсюда для первой формы колебаний имеем, что при qh —> 0 (см. неравенства (12.102))
£si —>■ £* = 2(1 + х), с —> с* = 2— Jc2 — с^, 1 < 2(1 + х) 4 Л^ ■ci *
(12.136)
Использование разложений из (12.135) с учетом членов третьего порядка приводит при qh —> 0 (12.134) к уравнению
I з L з \т?2/] v \I з L з \т?2/] v \^)Н^)Н
I з L з \т?2/] v \
I з L з \т?2/] v \
^)Н
^)Н
Поскольку коэффициент при старшей степени стремится к нулю, то корень уравнения стремится к бесконечности. Аналогичный анализ соотношений (12.123) и (12.134) приводит к тому же результату, который соответствует только диапазону изменения £, отвечающему уравнению (12.134). Поскольку для первой формы справедливо (12.125), то этот вывод относится к высшим формам ^sk —> оо, csk —> оо при qh —> 0 (к ^ 2).
При qh —> 0, учитывая последнее отношение эквивалентности в (12.135), из (12.132) получаем следующее уравнение:
(2-е)2471^1)^1 -ел2
которое эквивалентно уравнению (12.93). Следовательно, фазовая скорость первой формы волны стремится к скорости волн Рэлея (см. (12.104)): £si —> ^r, с —> сд, т. е. в этом случае границы слоя z = ±/i оказывают малое влияние друг на друга, и ведут себя как границы полупространства. На них имеют место преимущественно волны, близкие к волнам Рэлея.
Из соотношений (12.132)-(12.134) вытекает, что волны этого типа являются дисперсными. Групповая скорость в соответствии с (12.86) будет (см. также (12.124)):
^ = ^ = ^ + (12-137)
где £'(g/i) находится как производная неявно заданной уравнениями (12.132)-(12.134) функции ^gh).
Можно показать, что групповая скорость для первой формы имеет такие же предельные значения, как и фазовая скорость, а для высших форм при qh —> 0 она стремится к нулю.
Графики зависимостей от qh безразмерных фазовых q и q, а также групповых <gi и <g2 скоростей симметричных волн при коэффициенте Пуассона v = 1/4 [35] приведены на рис. 12.15 (индексы «1» и «2» соответствуют номеру формы).
Рис. 12.15
Для определения формы колебаний положим в (12.130)
C'2 = C'(i + ^2)Sh(Q/lv/^)J
Di = —2iCVA зЬ^/г-у/Д ), где С — произвольная постоянная.
Подставляя эти равенства в (12.127) и (12.129), находим формы волн перемещений и напряжений (Ci = D2 = 0):
ui = щС|-(1 + 02) sh.(qhV02 ) ch^z^//^ )+
+2>/A Vk^qzVk )sh.0}zV0^E(x, t\ «3 = qC\/0i^l +02)s^qhV0^)sh.^qzV0^)-
+2sh(qh^/107sh(qzVl^)^E0x, t);
<тц<тц+ 2/51 - 02) (1 + 02) sh(g/iV& ) d0qzV0^)+
<тц
<тц
+4>/AV^^VFi)c^qzV0^E(x, t),
<r13 = 2ip.q2Cy/0[ (1 + 02) {- sh(qh V^) sh(gz v^A )+
+ sK(qhV0^)s^qzV0^)^E^x, t),
<733 = ?2C{(1 + 02)2 s^qhV0"2)ch(qzV0"i )-
-4V^Vfos^qhV^)cY0qzV^ t).
Антисимметричные волны. Аналогично симметричным волнам из условия существования нетривиального решения системы (12.131) получаем трансцендентное уравнение относи
тельно безразмерной фазовой скорости: при С < С2 (£ < 1)
(12.138)(12.138)(12.139)(12.139)(12.140)(12.140)th(g/i^/l -£/т?2) _ 471-0^1 "W th^VT^))” “(2 - £)2
(12.138)
(12.138)
(12.139)
(12.139)
(12.140)
(12.140)
th(qhУ1-еЛ2) _ 47^^!-W tg^VF7!) “(2-ti2
при с > ci (^ > т/2)
t^qh^/q2 - !) _ 4VS, - 4^/q12 - 1
tg(ghV£ -1)(2-^)2
Уравнения (12.138)-- (12.140) имеют счетное множество решений £qi < ^q2 < • • • < ^ak < • • • , которым соответствуют фазовые скорости сак = <;акс2, 4ak = VLk-
Исследование асимптотического поведения фазовых и групповых (см. (12.137)) скоростей показывает, что для первой формы ф1 0, ф01 -4- 0 при qh -> 0 и £ai -> ^r, £gai -^ ^r при qh —> оо, а для высших форм ^k -> оо, ^gs^ —)■ 0 при gh —> О (к ^ 2).
Графики зависимостей от qh безразмерных фазовых ф и ф, а также групповых ф1 и фг скоростей антисимметричных волн при коэффициенте Пуассона и = 1/4 [35] приведены на рис. 12.16 (индексы «1» и «2» соответствуют номеру формы).
Для определения формы антисимметричных колебаний можно положить в (12.131) (D — произвольная постоянная)
Ci = D(1 + ^2)^1(971 У^), П2 =-2iPVA ch(9^VA ), и далее необходимо подставить эти равенства в (12.127) и (12.129), учитывая, что С2 = 0 и Dy = 0.
Полуплоскость под действием движущейся поверхностной силы
В рамках предположений § 12.11 о геометрии области и свойствах занимающей ее среды рассмотрим еще одну практически важную задачу о движении с постоянной скоростью и в направлении оси Ох нормальной к границе z = 0 полуплоскости силы Р, рис. 12.17.
Движение упругой среды описывается соотношениями (12.89)-(12.93). Условия на бесконечности будут поставлены позже. Граничные условия на границе полуплоскости имеют вид ст1з|г=:0 = °, ^зз^о = PS(x-vt},
где 5 (ж) — дельта-функция Дирака.
Предполагая, что решение задачи есть функции от ж — vt и z, перейдем к новой подвижной системе координат Ж1 = ж — vt, zi = z. В новых переменных уравнения (12.89) приобретают следующийр и г
вид:
А^ + ^-0, ОХ^ OZ2
&^ + ^ = о,
ОХ\ OZ2
Зз = 1-М], Mj = 2l сз
Здесь Mj — числа Маха 1). ис. .
Соотношения (12.92) сохраняются, в (12.90) и (12.91) координата ж заменяется переменной жр Граничные условия переходят в следующие:
(12.142)(12.142)°"1з|2=0 = °, °"зз|2=0 = -^(Ж1).
(12.142)
(12.142)
В зависимости от соотношения скорости и движения силы и скоростей распространения волн ci, сг (величин чисел Маха, коэффициентов 3j) уравнения (12.141) имеют различный тип. При v < С2 < ci (Afi < М2 < 1, 0 < З2 < 31) °ба уравнения эллиптические. При С2 < v < ci (Afi < 1 < М2, З2 < 0 < 31) первое уравнение эллиптическое, а второе гиперболическое. При С2 < < ci < v (1 < Afi < М2, З2 < 31 < 0) оба уравнения гиперболические. Указанные диапазоны имеют названия: первый из них — дозвуковой, второй — трансзвуковой, третий — сверхзвуковой.
Для решения задачи будем использовать комплексное преобразование Фурье по координате Ж1 (индекс «F» указывает на трансформанту, q — параметр преобразования). В пространстве преобразований уравнения (12.141), соотношения (12.90), (12.91) и граничные условия (12.142) приобретают следующий вид:
-q23iVF + ^- = 0, ~<^32^F + ^ = 0;(12.143)
az2dz2
«Г = -iq(pF -^, uF = ^-iq^F;(12.144)
efi = -iqu(, ef3 = | (-iqu^ +, e[3 =(12.145)
«^L=o=°-<121«)
') Max (Mach E., 1838-1916) — австрийский физик, философ.
В законе Гука (12.92) в обозначениях компонент тензоров необходимо добавить индекс «Е».
Далее отдельно рассмотрим все три диапазона, в которых лежит скорость и.
Дозвуковая скорость и < сг (Mi < М2 < 1, 0 < Р2 < < Р1\ Уравнения (12.143) в этом случае принимают вид:
q2aV - 0, ai =(12-147)
q^a^ = О, «2 = V^-(12-148)
az2
Соответствующие условия на бесконечности — условия затухания решений этих уравнений
4>F = O(-\^ ^ = 0(1) (z^+oa).(12.149)
Удовлетворяющие им решения уравнений (12.147) и (12.148) будут:
<pF(q, z) = CiEiVzY Ei(z) = e^^,
^F(q-, z) = C2E2(zY E2(z) = e~a^z.
где Ci и C2 — произвольные константы.
Из (12.144), (12.145) и (12.92) находим
«f = -iqCiEi(z) + a2|g| ^^(z),15
«f = -ailqlCiEi(z) -iqC2E2(z);
Eu = -q[qGiEi(z) + i\q\«2C2E2(zY,
ef3 = 2 [2«|g|oriC'i-Ei(z) - q (1 + «2) ^^(z)],(12.152)
ef3 = q[q«iCiEi(z) +i\q\a2C2E2(z)];
^n = -p-q\q (2«1 + M^ CiEi(z') + 2i|g|a2C2S2(z)],
<tf = pq^q\aiCiEi(z) - q (1 + c^ Сг^Н, (12.153)
^Гз = w[9(1 + «2) ^^(z) +2г^\а2С2Е2(2)].
Заметим, что при ^>0иу = св соответствии с (12.87) формулы (12.151)-(12.153) совпадают с равенствами (12.96)-(12.98).
Подставляя (12.153) в граничные условия (12.146), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно констант Ci и С2:
(12.154)(12.154)2г|9|а1С1-9(1 + ^)С2 = 0,q (1 + “2) Ci + 2i\q\a2C2 =•
(12.154)
(12.154)
Определитель этой системы равен 92Я(а1, аг), т. е. при и = с пропорционален определителю (12.99). Ее решение имеет вид
Ci = -Ci = -PKU (1 + aj)И2PKU (1 + aj)И2q^ _ 2iPKuai sign qM2q^ _ 2iPKuai sign qM2ии1R (ai, аг)1R (ai, аг)
Ci = -
Ci = -
PKU (1 + aj)И2
PKU (1 + aj)И2
q^ _ 2iPKuai sign qM2
q^ _ 2iPKuai sign qM2
и
и
1
R (ai, аг)
1
R (ai, аг)
Подставляя эти постоянные в (12.151) и (12.153), находим изображение перемещений и напряжений (сравнить с (12.105) и (12.106)):
^ = № [(1 + а2) ^ _ 2ауа2Е2^^,
^ = ^-[(1 + ^) Е^) - 2Е2^orf^ = РКи^1 + а2) (2а? + М^ Еу^ - 4«уа2Е2(г)Уaf3 = —2гРКиау (1 + а?) [ЕЦг) - E2(z)] sign q,<тзз = “^«[(1 + а?)2Е1(г) - 4aya2E2(z)l.
Отсюда, используя свойства преобразования Фурье, окончательно находим перемещения и напряжения
П1(ж1, г) =[(1 + a?) arctg —— 2ауа2 arctg —1,
1ф Iх ' aizot2zA
u3 = ^21irp,u3 = ^21irp,ж? + a^z2ж? + a^z2PKuayz ^11 ~7Г(2a? + M22) 4±4^-^cLvxj+afz2 Xy+a^z2PKuayz ^11 ~7Г(2a? + M22) 4±4^-^cLvxj+afz2 Xy+a^z2см^-см^-2PI^aijl+al)Jj^^it (x2 + a^z2) (x2 + a^z2)2PI^aijl+al)Jj^^it (x2 + a^z2) (x2 + a^z2)PKuaiz (1 +aj)2 7Г Xi + afz2PKuaiz (1 +aj)2 7Г Xi + afz24ajXj + a^z24ajXj + a^z2
u3 = ^21irp,
u3 = ^21irp,
ж? + a^z2
ж? + a^z2
PKuayz ^11 ~
7Г
(2a? + M22) 4±4^-^cL
vxj+afz2 Xy+a^z2
PKuayz ^11 ~
7Г
(2a? + M22) 4±4^-^cL
vxj+afz2 Xy+a^z2
см^-
см^-
2PI^aijl+al)Jj^^
it (x2 + a^z2) (x2 + a^z2)
2PI^aijl+al)Jj^^
it (x2 + a^z2) (x2 + a^z2)
PKuaiz (1 +aj)2 7Г Xi + afz2
PKuaiz (1 +aj)2 7Г Xi + afz2
4aj
Xj + a^z2
4aj
Xj + a^z2
Очевидно, при скорости движения силы, совпадающей со скоростью волн Рэлея сд (М2 = V^r, Му = VCr, см- (12.104)), все компоненты напряженно-деформированного состояния сре- ды обращаются в бесконечность, т. е. решение задачи не существует (не существует решение системы уравнений (12.154)). Предельное значение скорости движения силы и = сг (М2 = = 1, Му = 1/т/, а2 = 0, ai = \/(1 + х)/2, Еи = 1) не является
_ pVW^U3 irpV2_ pVW^U3 irpV2Pz (2 + х^ -J 2 (1 + х) ^11 = mo . м . .лPz (2 + х^ -J 2 (1 + х) ^11 = mo . м . .л Pz2 (1 + х) ^/2 (1 + х)I3 тг[2х2 + (1 + х) z2]xi ’ Pz2 (1 + х) ^/2 (1 + х)I3 тг[2х2 + (1 + х) z2]xi ’
_ pVW^
U3 irpV2
_ pVW^
U3 irpV2
Pz (2 + х^ -J 2 (1 + х) ^11 = mo . м . .л
Pz (2 + х^ -J 2 (1 + х) ^11 = mo . м . .л
Pz2 (1 + х) ^/2 (1 + х)
I3 тг[2х2 + (1 + х) z2]xi ’
Pz2 (1 + х) ^/2 (1 + х)
I3 тг[2х2 + (1 + х) z2]xi ’
критическим, т. е. решение задачи существует и имеет вид
(\ Р , xiV2
иДжь z) = — arctg /г—,ТГЦZyl + X
0 _ ]п У^1 + (1 + х) Z2 .
_ _ Pz^2 (1 + х)337r[2a:i + (1 + х) z2]
Анализ этих формул показывает, что напряжения равны нулю на бесконечности, касательные перемещения и\ ограничены в окрестности бесконечно удаленной точки з?1 = оо, на поверхности полуплоскости ограничены, но имеют разрыв первого рода, нормальные же перемещения из имеют логарифмическую особенность в начале подвижной системы координат и при Ж] —> оо: «1|г=о = ^- (1 + «2 - 2aia2) sign хъ
7ГД
«з|г=0 = ^^(С + 1п|ж1|);
lim tii = ±^^- (1 + а, — 2ai«2) ,
Xl-t±ooТГЦ ''
из ^^«1^2 Jn |Ж1|(^ j-Qo)
7ГД
Отметим, что. наличие особенностей у перемещений, как здесь, так и далее, не противоречит гипотезе сплошности среды, поскольку рассматривается идеализированная сосредоточенная нагрузка. В случае распределенной нагрузки распределенной нагрузки эти особенности отсутствуют.
Графики функций Uj($i, z) = ищ/Р и ст^-Дж^г) = а^Р при Мх = 0,4 и М2 = 0,692 приведены на рисунках 12.18-12.22.
Трансзвуковая скоростьсг < v < ci (Afi < 1 < М2, Р2 < 0 < /31). Уравнение (12.147) вместе с условием на бесконечности (12.149), а также соответствующее решение (12.150) в этом случае сохраняется. Второе же уравнение из (12.143) запишем следующим образом:
^ + д2А2^ = 0, X2 = V^fo.(12.155)
Для него условие на бесконечности (одномерная задача) — условие излучения (12.88)
—Н iqX24>E = 0 (z->+00).(12.156)
oz\zJ
Рис. 12.19
Рис. 12.18
Удовлетворяющие ему решение уравнения (12.155) имеет вид
^F(9, z) = С2Ё2^, Е2^ = е~^ч\
где Н^ — функция Хевисайда1) (см. приложение 15.2).
Аналогично (12.151)-(12.153) получаем представления трансформант перемещений, деформаций, напряжений и систему линейных алгебраических уравнений относительно констант Су и Cz ".
uf = -iqCyEy^ + iXzqCzEz^Y
~(12.157)
uf = -QiIqICiSi^) -iqCzEz^zY
efi = 92 [-Ci^z) + XzCzEz^,
ef3 = | ^На^ад - q (1 - A^) С2Ё2^,(12.158)
ef3 = 92 ^CyEy(z) - Х2С2Ё2^ ;
CTii = M [— (2«i + М2) CyEy (z) + 2X2C2E2(z)^ ,
<7f3 = pq^q\ayCyEy(z) - q (1 - X^ С2Ё2Ц, (12.159)
<t3f3 = W2 [(1 - A^) CyEy^ - 2Х2С2Ё2Ц.
2г|9|а1С1-9(1-А2)С2 = 0,
Zp(12160)
1 - Al Cy - 2A2C2 = -^4. V
Решение системы уравнений (12.160) имеет вид (многочлен Рз1(<?) определен в (12.103))
„ PKt (1-Ai) Г/,.2х2 ,' ..1
Су = i—1 (1 - А2) + 4га?1А2 sign q , pq2'J
С2 = _2№a1^gnq Г _ д2х2 +sign 1,1б
pq2J
К =1
1Р2М2Р31(М2У
^Хевисайд (Heaviside О., 1850-1925) --английский физик.
Подставляя эти постоянные в (12.157) и (12.159), находим изображения перемещений и напряжений
uf =[(1 - А^)2 + 4ш1А2 sign J х
х [(1 — А2) Еу^ — г2а1А2^2(г) sign qj,
(12.162)
«з =—(I-Ao) + 4гацА2 sign d x Wil L
X [(1 - A^^z) -2^(z)] ;
<7^ = PKt (1 - A2) [(1 - A2)2 + 4ia?iA2 sign qj x
x [(2a2 + ^2) (1 - A2) Ei(z) - 4Ш1А2£'2(^) sign ^,
<7(3 = —2iPKtai (1 — A2) [(1 — A2)2 + 4га 1A2 sign q\ X
LJ (12.163)
X ^1(г) - £2(2)^ sign q,
a^ = —PKt [(1 — A2)2 + 4Ш1А2 sign q^ x
x [(1 — A2)2 Ey^ — 4га1А2^2(-^) sign q^.
Отсюда с использованием свойств преобразования Фурье получаем перемещения и напряжения
^1(ж1, г) = ^4 [(1 — А2)3 arctg + 4aiA2 (1 — А2) х
ТГр, LV7Q1Z7
х In\jх^Р a^z2 — 2«iA2 (1 — A2)21п|ж1 + Аг^] +
+ 4а^Х2 sign (xi + Агг) + 2ах А2 (1 - А2) С], (12.164)
Мз(ж1, z) = ^^- [- (1 - А2)3 In \Jx\p a\z2 +
+ 4ацА2 — А2) arctg — +2(1 — А2)2 In |a?i + А2^| —
- 4ацА2 sign (tri + A2Z) + (1 - А2) (1 - А2) С\;
7Г (г2 + o^z2)7Г (г2 + o^z2)<711(^1, г) = РК^ [(2а? + М^ (1 - A2) L1.-?^4^
7Г (г2 + o^z2)
7Г (г2 + o^z2)
4Лг (1 - Аг)2 1R ^х (, \\)
<Пз(и, г) = -2РК(а! (1 - Л?) ( ^"^Р”' *“‘4= +
(12.165)
+4ахА2 к (®i + A2z) - -
тг (ж2 + a2z2)+ WaiA?^ (Ж1 + А2.)1.тг (ж2 + a2z2)+ WaiA?^ (Ж1 + А2.)1.СГ33(Ж1, г) = -PKtai [(1 - A?)2 (1 A2)S + 4A2a:i
тг (ж2 + a2z2)
+ WaiA?^ (Ж1 + А2.)1.
тг (ж2 + a2z2)
+ WaiA?^ (Ж1 + А2.)1.
4А2 (1 - Aj)2тг (ari + Агг)
В рассматриваемом трансзвуковом случае аргумент с = Му многочлена Рзг(с) (см. (12.161)) лежит в диапазоне ту-2 < с < 1, в котором отсутствуют его действительные корни. Следовательно, решение задачи в отличие от сверхзвукового случая определено при любых скоростях движения нагрузки из указанного диапазона.
Предельные значения скорости движения силы, соответствующие концам диапазона, в трансзвуковом случае также не является критическими. При и = C2 (Л^ = 1, Му = 1/ту, Аг = 0, «1 = у(1 + х)/2, Kt = 1) перемещения и напряжения совпадают с соответствующими значениями для сверхзвукового случая. При и = щ (Мг = 77, Му = 1, А^ = т?2 —1, «1 = 0, К^1 = (ц2—2)4), как следует из (12.164) и (12.165), имеем дело с одномерной деформацией
Ui = ^ sign $i, u3 = 0; (12.166)
<тц = --<Цж1), <Т1з = 0, <733 = -P5(xyY (12.167) X
При получении первого и третьего равенств в (12.167) было использовано следующее свойство дельты-совокупности функций /(Ж1, z) при z —> +0:
(12.168)(12.168)z^o^^1’ ^^ = ^Ж^’
(12.168)
(12.168)
7r(xf + ajZ2)
Тот же результат можно получить, если выполнить предельный переход в равенствах (12.162) и (12.163), а затем — обратное преобразование Фурье.
Из (12.164) вытекает, что перемещения имеют логарифмическую особенность на границе полуплоскости и при жх -> оо
«1 L=0 = —{(! - А1)3 + 4«1А2] sign ж1 +
тгд I L 2J
+2q?iA2 (1 — А^) (1п|жх| + С*)},
U3|„0 = ^ {(1 - А?) (1 - Aj) (In И + С) +
+2q?iA2 [тг (1 - Ai) - 2] sign Жх) ,
Ui ~ ^^aiA2 (1 - А2) In |o:i|,
U3 ~ ^£1 (1 - д2)2 (1 _ д4рп|Ж1| (д^оо).
Из (12.165) следует, что напряжения имеют сингулярную особенность на фронте жх + Аг-г = 0 волны Маха (см. рис. 12.17).
Граничные условия (12.146) выполняются, поскольку справедливо предельное равенство (12.168). По той же причине напряжения на границе полуплоскости определяются так
<711(^1, г) = P^t{s (а2 + Ai) (1 - Ai) ^+
+ [(2а^ + М^ (1 - Ai)3 + 16а?А^5 (жх)}.
Графики функций йДж1, г) = ид1/Р при Mi = 0,694 и М2 = 1,2 приведены на рисунках 12.23 и 12.24.
Рис. 12.24
Сверхзвуковая скорость v > ci (1 < Mi < М2, ^2 < < Pi < 0). В этом случае решение также можно построить с использованием преобразования Фурье. При этом изображение потенциала у? должно удовлетворять уравнению (12.155) и условию (12.156), в которых А2 должно быть заменено величиной М = V-А-
Однако поскольку в этом случае оба уравнения в (12.141) являются гиперболическими, то удобнее использовать другой подход, основанный на функционально-инвариантных решениях Д'Аламбера
у? ($1, z) = f ($1 + Aiz), ^ (жь ^) = g (Ж1 + ^2^), где / (ж) и g (ж) — произвольные необходимое число раз дифференцируемые функции.
Подставляя эти представления в (12.90), (12.91) находим (ж = Ж1)
Ml = Г (^1 + Aiz) - A2g' (Л! + A2z) ,
мз = Ai/' (Ж1 + Aiz) + g' (ж1 + A2z) ;
E11 = Г (xi + Aiz) - A2g" (Ж1 + A2z) ,
E13 = ^ [2A1/" (Ж! + Aiz) - (A| - 1) g" (Ж1 + A2z)] ,(12.170)
E33 = ^1/" (^i + Aiz) + A2g" (ж1 + A2z) ;
стп = ц[(М2 - 2Af) f" (ж1 + Aiz) - 2A2g" (жх + A2z)],
<71з = H [2Ax/" (ж1 + Ajz) - (А2 - 1) g" (Ж1 + A2z)] ,(12.171)
<7зз = Р [(А2 — 1) /" (ж1 + Aiz) + 2A2g" (жх + A2z)] .
Последние два равенства из (12.171) совместно с граничными условиями (12.142) приводят к системе линейных алгебраических уравнений относительно /" (жх) и g" (жх)
2Ах/" (жх) — (А2 — 1) g" (жх) = О,
(а2 -!) /" (^О + 2W (ж0 = --^ (ж1) •
Ее решение имеет вид (см. (12.99))
Г (Ж1) =(А2 - 1) 6 (Жх) , g" (жХ) = -^AiJ (ЖХ) ,
К5 =, Д(А1, А2) = Л(?А1, гА2) = (А2 - 1)2 + 4AiA2.
Я(А1, Аз)
(12.172)
Интегрируя эти равенства, находим первые производные искомых функций
Г Ы = -— (А2 - 1) Н (жх), g' (жх) = -^АХЯ (жх).
Подстановка найденных производных в (12.169) и (12.171) приводит к окончательным формулам для перемещений и напряжений
их = ^ [- (А^ - 1)Я (жх + Aiz) + 2АхА2Я (жх + A2z)] ,
Д 1(12.173)
и3 =[(А^ - 1) Я (Ж1 + Aiz) + 2Я (жх + A2z)] ;
сти = PKS [- (М22 - 2А2) (А^ - 1) 6 (Ж1 + Axz) ++4AiA25 (жх + A2z)] ,
(713 = 2РЯ5А1 (А^ - 1) [5 (Ж1 + A2z) - 5 ($1 + Aiz)], (12Л74) <733 = -РЯД(А2 - 1)2й(ж1 + Aiz) +4А1А25(ж1 + A2z)].
Поскольку функция 7?(А1, А2) (см. (12.172)) в рассматриваемом сверхзвуковом случае строго положительная, то решение задачи определено при любых скоростях движения нагрузки из указанного диапазона.
При предельном значении скорости движения силы v = щ (М2 = т), Mi = 1, А2 = г?2 — 1, Ai = О, К~х = (т/2 — 2)2) в сверхзвуковом случае напряжения и нормальные перемещения совпадают с соответствующими значениями, определяемыми формулами (12.166) и (12.167) для трансзвукового случая. Отличаются только касательные перемещения
«1 = ^Я (хху
Это связано с гиперболическим типом обоих уравнений (12.141) при сверхзвуковой скорости.
Из (12.173) следует, что фронтами хх + Aiz = 0 и хх + Аг-г = О волн Маха полуплоскость разбивается на три области, в каждой из которых перемещения постоянны, а на фронтах они имеют разрывы первого рода на (см. рис. 12.17):
при $i < —A2Z
tii = и3 = 0;
при —A2Z < $i < —Aiz
Ы1 = р^^З2, Мз = _рМ^;
Дд
при Xi > — Aiz
ui =-Р—(А2 — 1 - 2А1А2), и3 = -^^М22.дД
Формулы (12.174) показывают, что на указанных фронтах напряжения имеют сингулярную особенность.
о КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ
J-’J* ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Рассматриваются гармонические колебания упругопластических и вязкоупругопластических слоистых тел. Специфика состоит в значительных внутренних потерях энергии, что приводит к быстрому затуханию высших гармоник и установлению одночастотного режима колебаний, совпадающего с частотой возбуждающей силы. Если эта частота близка к одной из собственных частот системы, возникают специфические резонансные явления.
Общие положения. Свободные колебания
Рассмотрим процесс одномерного циклического деформирования слоистого идеального упругопластического тела, при котором деформация k-vo слоя представима в виде
Ek = Akcoswt.(13.1)
На рисунке 13.1 приведена диаграмма Прандтля для циклического деформирования материала. В угловых точках, обозначенных римскими цифрами, деформации и время их достижения будут следующими:
ек = Ак, p)tY = 0;
П. ек = Ак-^,/ ак \wis = arccos I 1—);
X AkGk /
ek = -Ak, wta = тг;
VI. ek = — Ak + —, w<4 = тг + arccosf 1(13.2)
G"=X AkGk J V 7
Здесь и далее во всех величинах номер слоя к будем писать без скобок и в модуле сдвига — вверху.
При переходе от одной точки к другой напряжения меняются следующим образом:
1-4 IIH^W2,стк=crk — 2Gk(Ak—ек^
ak = 2GkAk cosut - 2GkAk + a*;
II -4 IIIt2 ^ t^<3,ak=-<rk-,(13.3)
III -4 IV<з i/4,ak=2GkAk cosui+2GkAk — сф;
-4 I<4 tH>ak=ak,
где значения моментов времени ii, ... , /4 определяются из (13.2).
Разумеется, напряжение не будет гармонической функцией времени, но, поскольку процесс установившийся, его период будет такой же, как и у деформаций (13.1). В соответствии с соотношениями (13.3) напряжение будет кусочно-гладкой функцией, которую можно разложить в ряд Фурье. Основное допущение данного параграфа состоит в том, что в разложении будем удерживать только первую гармонику:
<rfc(i) = 2GRAk coswi — 2GkAk sinwf, (13.4)
где
2тг/ш2тг/ш
GkR = ™[ <rfc(t) cos u;<dt, Gk =— [ ak(t)svnijjtdt.
00
Подставив сюда выражения для напряжений (13.3), получим
Gk =Gk =О,О,2<ф ^Ак2<ф ^Ак(^к\2 Wt )(^к\2 Wt )TtA^Gk ’TtA^Gk ’(13.5)(13.5)
Gk =
Gk =
О,
О,
2<ф ^Ак
2<ф ^Ак
(^к\2 Wt )
(^к\2 Wt )
TtA^Gk ’
TtA^Gk ’
(13.5)
(13.5)
где а — arccos I 1— I.
GkAfe)
Рассмотрим случай линейно-вязкоупругих материалов опоев. При деформировании по закону (13.1) для напряжений
получаем
Отсюда
<rk(t') = 2G^0Ak cos wi — 2Gk0Ak sinui, (13.6) где
G^o = Gk(l- Rk) = Gk(l- J Rk(r) cosyrdA,
4о7
Gk0 = Gk(l - Rk) = Gk(l - JR^sman-dA.
4о7
Причем Rk, Rk — косинус- и синус-преобразования Фурье ядра релаксации Rk(ty
Если идеально упругопластический материал обладает рео- номными свойствами, описываемыми соотношениями линейной вязкоупругости, то результирующие выражения для напряжений получим наложением формул (13.4)-(13.6):
ak^ = 2GkRuAk cos ш1 — 2GkIu)Ak sinwi, (13.7)
От \GkAk)От \GkAk)где
От \
GkAk)
От \
GkAk)
<
' G^l-R^,
Gk Г /Л — а — 11 —
. 7Г L\
_к \Л
—— ) sin а — 7гRk , GkAk)СГ
Л 5
Ак )
2G^’
2G^
/-чк
Ь1ш —
Ст rts , 2<ф _ (<ф)2
+ GkRk,
Ак^
Ак >
2GfcT
lGk
здесь, как и в (13.5), а = arccost 1 —
Следует отметить, что в соотношениях (13.7) составляющие модуля сдвига G^, Окш зависят от частоты установившихся колебаний ш, которая входит в выражения для функций Rk, Rk.
При обобщении процесса одномерного деформирования на трехмерный случай предполагается, что компоненты девиатора деформаций в k-м слое изменяются по закону
э^х, £) = е^(х)егш<, х = {xi, Х2, гз}. (13.8)
В силу нелинейности физических уравнений состояния для рассматриваемого вязкоупругопластического материала напряжения не будут изменяться в соответствии с деформациями (13.8). Раскладывая их в ряд Фурье и удерживая только первый член (моногармоническое приближение), получим следующие амплитудные соотношения:
4 = 20^, ак = Ккв\ (13.9) где Gk = G^ + гОкш — амплитудно-зависимый комплексный модуль сдвига материала k-ro слоя; ш — действительная частота; <rfc, 6к, skj, ек3; — постоянные во времени комплексные амплитуды.
В дальнейшем предполагаем, что соотношения (13.9) справедливы и в случае, если комплексные амплитуды суть медленно изменяющиеся функции времени. В частности, если ш представляет собой комплексную частоту.
Перемещения в слоистом элементе конструкций при свободных колебаниях принимаются в виде
и^х, t) = AU^x, А)е^шо+Е^ + б2 ... (13.10) Здесь А — произвольная комплексная амплитуда; wq — собственная частота упругой оболочки; Дш(ЛЛ) — искомая комплексная добавка частоты колебаний; Uk — собственная форма колебаний; Е — малый параметр.
Решение (13.10) должно удовлетворять с невязкой порядка £2 принципу возможных перемещений (12.3) (в амплитудах, суммирование по повторяющимся индексам г, j\.
+ tG^Se^dVk - Jpk^SukdVk-vk
(13.11)(13.11)— ej 2^G^ekj5ekjdVk + e2...vk
(13.11)
(13.11)
а также нулевым граничным условиям в перемещениях.
Решение ищем в виде разложения в ряд по малому параметру:
Uk(x, Л) = и^°\ж) + eu^^x, Л) + £2 ...
Для нулевого приближения из (13.11) получаем
Г1
^-[(Kk0kW60k+2Gkek^^^[pS?^8и=? dvA = О,
к=! VkVk
(13.12)
I ркик№ик№ dVk = 1.
Vk
Уравнение (13.12) совпадает с задачей о собственных коле-„ fc(0)
баниях упругого слоистого тела, в которой и^ — ортонормиро- ванная собственная функция.
Для первого приближения следует уравнение
(
S -j (Кк0к^ё0к + 2Скек^5ек^Ук + lj^J pku[W5u^dVk - fc=! 1 VkVk
- 2 j Z^G^Se^dVk + 2ДШ j А^М^уД = 0, (13.13) vkvkJ
Gk = Gk + ДС*.
Уравнение (13.13) имеет решение при выполнении необходимого условия
-Е j ^Gkek^ek^ dVk+^ = 0.(13.14)
fc=iVi:
Здесь &Gk = /XGk(AkAk, екэек^. поэтому соотношение (13.14) дает в явном виде зависимость приращения частоты Дш от амплитуды колебаний АкАк.
Вынужденные колебания вблизи резонанса
Рассмотрим вынужденные колебания неоднородного тела, материалы слоев которого в процессе деформирования могут проявлять вязкоупругопластические свойства. Амплитудная связь напряжений и деформаций принимается типа (13.9)
ак = Кквк, s^ = 2Gke^.
Комплексный модуль сдвига принимается в виде
Gk = Gk + £^Скш1 AGk = Дб£(|A|2, 44),
где Gk упругий модуль сдвига, AG* — амплитудно-зависимая комплексная добавка к нему, е — малый параметр.
Предполагается, что рассматриваемое слоистое тело занимает объем V. Оно ограничено поверхностью S = Su + Sa. На части поверхности Su заданы нулевые перемещения, на остальной части SCT — нулевые нагрузки. Действующие на него гармонические во времени массовые силы р^/^ имеют интенсивность
p^MWt^e^(13-15)
pk — плотность материала k-ro слоя; g^ (х) — известная функция координат; v — заданная частота воздействия. Требуется определить периодическое движение тела с периодом, равным 2тг/г/. Используем для этого принцип возможных перемещений (12.3) Е {-/ (Wsek + ^e^Wk - JРк^ик dVk+ к=1 1 VkVk
+ JpkJk5^dVk\=0 (13.16) vk}
с предварительными граничными условиями uk = 0 на Su и условиями периодичности движения точек тела
ик(х, 0) = ик(х, 2тг/г/), й^х, 0) = й^х, 2tt/z/).
Следует отметить, что нулевые граничные условия не ограничивают общность постановки проблемы. Если условия не нулевые, то задача может быть сведена к виду (13.16). Для этого достаточна замена ик на сумму известной функции, удовлетворяющей нетривиальным граничным условиям, и искомой функции, удовлетворяющей нулевым условиям на границе.
В резонансном случае, когда частота возмущающей силы близка к одной из собственных частот колебаний упругого тела, принимается
gi(x) = eau^^xY и2 = а? + еЛ,(13.17)
где u^° (ж) — нормированная форма колебаний упругого тела; а, А известные действительные константы.
В соответствии с методом малого параметра решение задачи в перемещениях ищется в виде
u?(x,t) = [Au^^ + eu^^^+e2..^-^.(13.18)
Здесь А— искомая комплексная амплитуда нулевого приближения.
Подставив выражения (13.18) в соотношение (13.16) и приравняв к нулю множители при одинаковых степенях е, приходим к уравнению нулевого приближения
3 Г1
52 1— /(Kk9k^59k + гС^^01^) dVkW[pkukW6uk dVk У = О, fc=! VkVk
которое удовлетворяется тождественно, так как и^°(ж) — собственная форма упругих колебаний.
Используя соотношения (13.17), получаем уравнение первого приближения
3 Г
52j - /(Kk9kW§9k + 2Gkek^8e^ dVk W jрки^6ик dVk -
*=11 vkvk
— 2Aj AGkek^6ekj dVk + XA j p^M dVk + vkvk.
+a j pkukW6uki dVk | = 0.
vk
Необходимое условие существования решения этого уравнения имеет вид
— = 5(|Л|2) — А,(13.19)
k=lvk
Это трансцендентное уравнение относительно искомой комплексной амплитуды А нулевого приближения. Для модуля амплитуды имеем действительное уравнение
^ = |5(|Л|2)-А|2,(13.20)
решение которого можно получить, используя стандартные численные методы.
После нахождения модуля комплексная амплитуда определяется из уравнения (13.19) в явном виде:
Из решения уравнения (13.19) строится амплитудно-частотная, из решения уравнения (13.20) — фазово-частотная характеристики первого приближения. Заметим, что в теории квазилинейных колебаний исследования, как правило, ограничиваются построением указанных характеристик.
Колебания круглой трехслойной пластины вблизи резонанса
Рассматривается круговая трехслойная пластина, материалы слоев которой в процессе деформирования могут проявлять вязкоупругопластические свойства, заполнитель — нелинейновязкоупругий. Принимается, что гармонические во времени деформации изменяются по закону
э^(х, t) = е^(ж)е*ш<, я = {zi, х2, ^з}-
Амплитудная связь напряжений и деформаций в слоях имеет вид
s^ = 2Gke^ ak = Kk0k.
Здесь Gk — амплитудно-зависимый комплексный модуль сдвига материала k-ro слоя, ш — действительная частота; ак, 0fc, skj, е^ — постоянные во времени комплексные амплитуды.
Комплексный модуль сдвига представляется в виде
Gk = Gk +
где е — малый параметр; А^(ш, Ец) — добавка за счет влияния частоты колебаний и вязкоупругопластических свойств материалов слоев.
В рассматриваемом случае выражение для приращения AG^ следует из общего соотношения (13.4):
AG^ = AG^+AGi„, где
agL =agL =-GkRk,ек ^ Ек;
agL =
agL =
— [у? — ат sin ip — тг(Д£ + 1)1 , ек > Ек;
7Г
fe (GkRk,ек Ек;
^1ш - < 4eJ А _ QkRk ек к
( тгА V А)и т
Здесь р = arccosoiT, ат = 1 — 2Ек(А\ функции Rk, Rk введены в § 13.2; А —искомая комплексная амплитуда колебаний; е„ = = Аек, Ек— интенсивность деформаций,
£и = а/ЁЁ^Ё^^ТЁ^
^кз — символы Кронекера; Ек, Ек — радиальная и тангенциальная составляющие тензора деформаций.
Деформации можно вычислить через амплитудные значения перемещений U(r), W(г) и сдвига Ф(г) в заполнителе с помощью формул (6.49). В свою очередь U^t^ РУ (г) и Ф(г) выражаются через отдельные собственные функции следующими соотношениями:
W(r) Vo^oH, Vo (АНW(r) Vo^oH, Vo (АНу Wor) - ^lo(Ar) , dolo(Po)_у Wor) - ^lo(Ar) , dolo(Po)_Wo)Wo)
W(r) Vo^oH, Vo (АН
W(r) Vo^oH, Vo (АН
у Wor) - ^lo(Ar) , dolo(Po)_
у Wor) - ^lo(Ar) , dolo(Po)_
Wo)
Wo)
[/(г) = Wot&r), Ф(г) = Ь2(рофот\
^о(М^о(М«0^о(ро)_«0^о(ро)_dodo
^о(М
^о(М
«0^о(ро)_
«0^о(ро)_
do
do
<?» = 1 PM) + JM)1 - ^AWW + WM№ +
РО^ОХРО)
“0 xPo)
где po — собственное число, соответствующее собственной частоте Wq-
В резонансном случае принимается, что частота v вынуждающей массовой силы близка к собственной частоте колебаний пластины:
(13.22)(13.22)v2 = Шу + е\.
(13.22)
(13.22)
Тогда, в соответствии с соотношением (13.21), для модуля амплитуды колебаний |Л| имеем действительное уравнение
(13.23)(13.23)^ - |В(|Л|2) - Ар = 0.(Ар **
(13.23)
(13.23)
Здесь
k=Wkk=Wk(13.24)
k=Wk
k=Wk
Vk — объем k-ro слоя; а — коэффициент в разложении амплитуды возмущающей силы по собственным функциям.
Было проведено численное исследование поведения круглой трехслойной вязкоупругопластической пластины вблизи резонанса. Соответствующие расчетные графики приведены на рисунках 13.2-13.6. Счет проводился для заделанной по контуру пластины, несущие слои которой выполнены из дюралюминия, заполнитель — фторопласт. Было взято собственное число Д = = 3,19. В рассматриваемом случае при hi = h? = 0,02, ha = 0,04, го = 1 ему соответствует частота wq = 293,6. По радиусу пластины было взято 15 точек, по толщине каждого слоя — 5. В каждом
варианте счета задавалось отклонение от резонанса Aq = zz/wq — 1 и амплитуда а возмущающей силы. Для отыскания корней уравнения (13.23) использовалась процедура типа метода половинного деления отрезка. При этом параметр В(|Л|2) вычислялся по формуле (13.24) с учетом соотношений (13.21).
На рис. 13.2 показаны результаты исследования влияния пластичности и вязкости материалов на модуль амплитуды гармонических колебаний вблизи резонанса (кривая 1 — упругая пластина, 2 — упругопластическая, 3 — линейно-вязкоупругая
Рис.Рис.13.213.2и вязкоупругопластическая). Учет пластических свойств материалов приводит к ограничению резонансной амплитуды, сдвигу пика влево, наклону и загибу резонансной кривой и появлению на ней неустойчивой ветви.
Рис.
Рис.
13.2
13.2
На участке 0 > Ао ^ —0,15% стабильно присутствуют три корня, два большие из которых чрезвычайно близки (при Ао = —1,5% амплитуды Л1 = 33,915, Л2 = 33,905, Л3 = 4,443). Так как решение, соответствующее Л2, неустойчиво, это приводит к физической нереализуе- мости верхней части резонансной кривой. В процессе колебаний модуль амплитуды будет соответствовать значению Л3, что в несколько раз меньше возможного значения Л1-
При дополнительном учете вязкоупругих свойств дюралюминия и фторопласта кривая 2 практически
ненеизменяетизменяетсвоего вида и положения. Это объясняется ма
не
не
изменяет
изменяет
лой вязкостью металла при комнатной температуре. Однако если рассмотреть гипотетический материал с упругими характеристиками сплава Д16Т и ядром релаксации фторопласта в качестве материала несущих слоев, то в результате получим кривую 3, соответствующую случаю вязкоупругопластичности. Вязкость здесь приводит к уменьшению модуля амплитуды колебаний А и областей пластических деформаций в слоях пластины.
Распределение зон пластичности во внешнем несущем слое показано на рис. 13.3 (а— упругопластическая пластина, б-— вязкоупругопластическая). Картина для внутреннего несущего слоя аналогичная. Отметим, что первые области пластических
деформаций появляются на контуре пластины, затем в ее центре и по мере приближения к резонансу они движутся друг к ДРУгу- Например, при уменьшении отклонения с Aq = 0,3% до Aq = —0,15% область пластических деформаций (темные точки) существенно увеличивается (светлые точки), однако вблизи срединной поверхности каждого слоя деформирование упругое. При учете гипотетической вязкости несущих слоев интенсивность деформаций падает и области пластических деформаций незначительны (см. рис. 13.3 6).
Рис. 13.3 Рис. 13.4
/Зависимость модуля резонансной амплитуды колебаний от величины амплитуды внешней резонансной нагрузки показана на рис. 13.4 (кривые 1, 2 — упругопластическая пластина, верхняя и нижняя ветви соответственно; 3 — вязкоупругопластическая пластина). С увеличением нагрузки наблюдается нелинейный рост в верхней части резонансной кривой упругопластической пластины. Для других резонансных кривых эта нелинейность несущественна.
Интенсивность деформаций в несущих слоях максимальна на их внешних поверхностях. График ее изменения вдоль радиуса пластины на наружной поверхности (г = с + hi) показан на рис. 13.5 (кривые 1, 2 соответствуют упругопластической пластине; 3, 4 ~ вязко упругопластическая пластина). Нечетные кривые рассчитывались при отклонении Aq = —0,15% , для четных—Aq = 0,3%.
Относительная амплитуда возмущающей силы принималась а = 1000. Заметим, на внутренней поверхности (г = —с—h^) распределение интенсивности деформаций е^ подобное, превосходящее по величине е^ не более чем на 4 % .
Отклонение частоты возмущающей силы от реализуемого резонансного значения на AAq = 0,45 % для упругопластической
пластины приводит к уменьшению интенсивности деформаций более чем в 2,5 раза. Это ясно отслеживается по рис. 13.6 (упругопластическая пластина — 1, вязкоупругопластическая — 2). Здесь показана зависимость максимальной величины интенсивности деформаций во внешнем слое пластины от величины отклонения (Ao = v/wq — 1) частоты массовой силы и от собственной частоты пластины wo = 293,6 на нижней ветви резонансной кривой.
Рис. 13.5Рис. 13.5Рис. 13.6Рис. 13.6
Рис. 13.5
Рис. 13.5
Рис. 13.6
Рис. 13.6
Дополнительные сведения по гармоническому нагружению слоистых вязкоупругопластических систем можно получить в работе [10]. О важности учета резонансных явлений в строительстве говорится, например, в монографии Кудрявцева).
ПРИЛОЖЕНИЯ
Тензоры в декартовых координатах
При решении конкретных задач в механике сплошной среды вводят различные физические величины: скаляры, векторы, тензоры. Скалярные величины не зависят от системы координат. Векторы и тензоры характеризуются своими компонентами, которые изменяются при переходе от одной системы координат к ДРУГОЙ.
Количественное изучение явлений связано обычно с введением системы координат. При этом во многих случаях достаточно декартовых (прямолинейных ортогональных) координат. Введение произвольных криволинейных координат потребовало бы применения тензорного исчисления в общем виде, что, однако, здесь не предусматривалось. Для тех, кому необходимы более глубокие знания тензорного анализа, можно рекомендовать основательные издания [12, 38, 45].
Для декартовых координат будем применять индексную («тензорную») форму записи, с помощью которой уравнения можно записывать в компактной форме. Для этого же иногда будем использовать символическую (векторную) форму записи.
Координатная система является системой отсчета в физическом трехмерном евклидовом (не искривленном) пространстве, относительно которой определяется положение и движение материальных частиц.
Вектор представляет собой направленную величину и характеризуется указанием абсолютной величины (модуля) и направлением или заданием своих компонент. Это определение вводится еще в курсе математики средней школы, но здесь далее будет дано более строгое определение.
Согласно рис. 14.1, декартова система координат определяется базисными векторами ez, еу, е2, которые образуют правую систему (если смотреть со стороны оси z, то вращение от оси ж к оси у должно осуществляться против часовой стрелки). Базисные векторы суть единичные векторы, обладающие свойством |ez| = |еу| = |е2| = 1.
Положение точки в пространстве характеризуется радиус- вектором г, компонентами которого являются координаты ж, у, z.
То естьТо естьРис. 14.1Рис. 14.1А х В = С =А х В = С =©X буАх Ау©X буАх АуezAzezAzВх By BzВх By Bz— ®x^AyBz AzBy^ +— ®x^AyBz AzBy^ +
То есть
То есть
Рис. 14.1
Рис. 14.1
А х В = С =
А х В = С =
©X бу
Ах Ау
©X бу
Ах Ау
ez
Az
ez
Az
Вх By Bz
Вх By Bz
— ®x^AyBz AzBy^ +
— ®x^AyBz AzBy^ +
г = етж + еуу + ezz.
В общем случае справедливо представление произвольного вектора А в координатной форме:
А = e^A^ Т вуАу Т егАг,(14.1)
где компоненты Ах, Ау, Az являются проекциями вектора на оси координат. Модуль вектора
I А| = А = ^А^А^А^.(14.2)
Можно ввести произведение векторов, которое обладает некоторыми (но не всеми) свойствами обычного произведения чисел. При скалярном произведении двух векторов А и В получается
скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:
А • В = С = АВ cos(A, В), (14.3) Справедливо равенство А • В = В ■ А. Далее видно, что скалярное произведение двух ортогональных векторов равно нулю. Поэтому для базисных векторов имеют место соотношения
^Х ' ^Х — ^Р * ^Р — бг * ^Z " 1>
^х * бу — ву • ez — ez • ^х — 0.
Если теперь в скалярном произведении (14.3) вектора А и В представить в координатной форме (14.1), то получим
А ■ В — АхВх + АуВу + AZBZ.(14.4)
Векторным произведением двух векторов А и В называется вектор, определяемый формулой
+ epkAzBx — AxB^ + ez(AxBy — AyBxy (14.5)
Вектор С перпендикулярен параллелограмму, образованному векторами А и В, и направлен в ту сторону, откуда ближайшее вращение от А к В видно против часовой стрелки, т. е. векторы А, В и С в такой последовательности образуют правую систему координат. Модуль векторного произведения
|С| = С = АБ sin( А, В).
Справедливо равенство А х В = —В х А. Из определения (14.5) следует, что векторное произведение двух параллельных векторов обращается в нуль. Применяя эти соотношения к базисным векторам, получим
ех к еж = ву х ву = ez х ez = О,
^Х ^ ^у &21 ^у X ^2 ®Х) ^2 X Сд, ^У*
Когда говорится о тензорной форме записи координат, то имеется в виду следующее. Для декартовых координат применяется запись
х = Xi, у = Z2, г = х^.
В выражении для суммы
Q1X1 + а2Х2 + а3Хз = / , О-г$г = СЦХг
г=1
можно опустить знак суммы, если условиться, что по дважды встречающемуся индексу обязательно проводится суммирование. Индекс суммирования (так называемый немой индекс) может при этом обозначаться произвольно, т. е.
di^i — а^Х^ — С-т^т И ^ Д*
Выражение вида а^Хг, согласно этому правилу, не определено. Если здесь имеется в виду суммирование, то должен применяться знак суммы. В дальнейшем всегда будет указываться, если правило суммирования по повторяющемуся индексу недействительно. Иногда суммирование оговаривается только для повторяющихся латинских индексов, без суммирования по греческим.
Аналогично для двойной суммы справедливо равенство
п п
O'ijXiXj — UijXiXj
г=1 j=l
(при n = 3 получается всего 9 слагаемых).
С помощью скалярного произведения базисных векторов вводится метрический тензор о^^ определяемый в евклидовом пространстве как
(14-6)(14-6)f 1, ^ = L
(14-6)
(14-6)
^Ч = ®i " ^3 ’ ^Ч = 1 л ■ / •
I 0, г 7= у.
Это единичный тензор второго ранга (по числу индексов). Его компоненты часто называют символами Кронекера. С помощью метрического тензора можно осуществлять операцию замены индексов (эюонглирования), например
^ik ^i — ^ki ^ik ^kj ' ^ij •
При применении тензорной формы записи нужно принимать во внимание некоторые правила, важнейшие из которых ниже кратко указаны.
Если в выражение Cj = Aimxm подставляется выражение х% = Bimym, то в последнем необходимо произвести переименование индексов г -> т и т -> к. Тогда хт = Вткук и, следовательно,
®г = AimBmkyk.
Это же справедливо для векторного произведения векторов а = a^Xi и b = ЬгУг, которое следует записать в виде а х b = — aiXibjPj.
Аналогично для скалярного произведения двух векторов А = ejAi и В = eiBi с учетом (14.4) и (14.6) получаем
А В = (eiAi)(ejBj) = (ej • e^AiB, = AiBi-
Если речь идет о том, чтобы из выражения вида
TijTtj — Апг = 0,(14-7)
где А — скалярный множитель, вынести за скобки вектор Пг, записывают пг = б^гч, после чего из (14.7) получают
'JijPXj — X^ijTlj — (-Z)j ^dij)Tlj 0.
Часто встречающейся операцией является свертивание тензора (свертка). Она состоит в том, что в тензорной величине второго ранга оба индекса приравниваются друг другу, и по ним производится суммирование. Это означает, например, что величина Tij при г = j (г, j = 1, 2, 3) будет равна Тц = Тп+Тгг+Тзз. Для метрического тензора свертка дает 6ц = ^п + ^22 + ^зз = 3.
Резюмируя изложенное, можно отметить, что в одном уравнении при корректной тензорной форме записи один и тот же индекс в каждом члене должен встречаться только дважды (и по нему должно производиться суммирование). Если в некотором слагаемом фигурирует какой-либо индекс единожды (свободный индекс), то во всех других членах он также может встречаться только один раз.
Смешанным произведением трех векторов называют величину
(А х В) • С = (Агвг х Bjej)Ckek =
— AiBjCk(ei х ej)ek = AiBjCk£ijk. (14.8)
Справа в (14.8) стоит трехиндексный символ Леви-Чивити^)
г) Леви-Чивита (Levi-Civita Т., 1873-1941), итальянский математик.)
Eijk (псевдотензор), который определяется следующим образом:Eijk (псевдотензор), который определяется следующим образом:' 1,Eijk *1). О,Т. е. Ещз = £231' 1,Eijk *1). О,Т. е. Ещз = £231если подстановка (г, j, к) четная;если подстановка (г, /, к) нечетная; (14.9) если не все индексы (г, /, к) различны,= £312 = — £132 = —£213 = —£321 = 1-если подстановка (г, j, к) четная;если подстановка (г, /, к) нечетная; (14.9) если не все индексы (г, /, к) различны,= £312 = — £132 = —£213 = —£321 = 1-Справедливо важное соотношениеСправедливо важное соотношениеEijkEmnl —EijkEmnl —Sim SinSjm SjnSkm SfenSim SinSjm SjnSkm Sfen8и8ц8ы8и8ц8ыВ частности, CijkEmjk = Жт, а также etikEtjk = 6.Дифференциал функции / = f(x\, Х2, • . . , хп) п независимых переменныхdf = ^-dxi + ^-dx2 + ... + -^-dxn = — dxi, г = 1, ... , n. 9xi 9x29x„ dxiДля частных производных обычно употребляется сокращенная форма записиВ частности, CijkEmjk = Жт, а также etikEtjk = 6.Дифференциал функции / = f(x\, Х2, • . . , хп) п независимых переменныхdf = ^-dxi + ^-dx2 + ... + -^-dxn = — dxi, г = 1, ... , n. 9xi 9x29x„ dxiДля частных производных обычно употребляется сокращенная форма записид/9x1д/9x192fdxi 9xj92fdxi 9xjТогда трехмерный оператор Лапласа может быть записан в видеТогда трехмерный оператор Лапласа может быть записан в видед2Эх!д2Эх!Эх£ 9x1Эх£ 9x1г = 1, 2, 3.г = 1, 2, 3.
Eijk (псевдотензор), который определяется следующим образом:
Eijk (псевдотензор), который определяется следующим образом:
' 1,
Eijk *1)
. О,
Т. е. Ещз = £231
' 1,
Eijk *1)
. О,
Т. е. Ещз = £231
если подстановка (г, j, к) четная;
если подстановка (г, /, к) нечетная; (14.9) если не все индексы (г, /, к) различны,
= £312 = — £132 = —£213 = —£321 = 1-
если подстановка (г, j, к) четная;
если подстановка (г, /, к) нечетная; (14.9) если не все индексы (г, /, к) различны,
= £312 = — £132 = —£213 = —£321 = 1-
Справедливо важное соотношение
Справедливо важное соотношение
EijkEmnl —
EijkEmnl —
Sim Sin
Sjm Sjn
Skm Sfen
Sim Sin
Sjm Sjn
Skm Sfen
8и
8ц
8ы
8и
8ц
8ы
В частности, CijkEmjk = Жт, а также etikEtjk = 6.
Дифференциал функции / = f(x\, Х2, • . . , хп) п независимых переменных
df = ^-dxi + ^-dx2 + ... + -^-dxn = — dxi, г = 1, ... , n. 9xi 9x29x„ dxi
Для частных производных обычно употребляется сокращенная форма записи
В частности, CijkEmjk = Жт, а также etikEtjk = 6.
Дифференциал функции / = f(x\, Х2, • . . , хп) п независимых переменных
df = ^-dxi + ^-dx2 + ... + -^-dxn = — dxi, г = 1, ... , n. 9xi 9x29x„ dxi
Для частных производных обычно употребляется сокращенная форма записи
д/
9x1
д/
9x1
92fdxi 9xj
92fdxi 9xj
Тогда трехмерный оператор Лапласа может быть записан в виде
Тогда трехмерный оператор Лапласа может быть записан в виде
д2
Эх!
д2
Эх!
Эх£ 9x1
Эх£ 9x1
г = 1, 2, 3.
г = 1, 2, 3.
Важными векторными дифференциальными операциями являются градйент, дивергенция и ротор (вихрь). Для них в тензорной форме записи получаются соотношения
grad/ = ег— + е2—- + е3—= еДд;
\ их у0X2 Оха*
А 5Ai . 5Л2 . 9А3 лdiv А =— + — + —- = Ад;
ОЖ1 VX2и Ха
eiегез
, А 999
их\0x2Оха
АхАуАх
где Eijfc —символы Леви-Чивиты (14.9).
Рассмотрим преобразование системы координат при ее повороте от Xi к х* (рис. 14.2) х* = x*(xi, Х2, хз). Его можно задать следующим образом:
ж* = ]>2 £fc cos (ж •, хк) = <нкхк,(14.10)
к
причем коэффициентами преобразования являются так называемые направляющие косинусы с^ = cki.
Соответствующий (14.10) закон преобразования для дифференциала координат будет иметь вид
Рис. 14.2Рис. 14.2dx^ — dxk ^Ч k dxk — Сгк dxk. oik
Рис. 14.2
Рис. 14.2
К более точному определению вектора можно прийти, если в основу положить закономерность изменения компонент вектора при повороте системы координат. Преимущество такого способа состоит в том, что он может быть распространен и на не скалярные величины более высокого порядка (что с помощью данного выше определения вектора как
направленного отрезка невозможно).
Под вектором А в дальнейшем будем понимать некоторый объект, компоненты которого при повороте системы координат преобразуются аналогично дифференциалам координат, т. е.
А* = ^-Ак = cikAk.А* = ^-Ак = cikAk.(14.11)(14.11)справедливо равенство
А* = ^-Ак = cikAk.
А* = ^-Ак = cikAk.
(14.11)
(14.11)
Вектор называют также тензором первого ранга. Соответственно этому тензор второго ранга в декартовых координатах определяют как некоторый объект, компоненты которого Ttj при повороте системы координат преобразуются как произведение двух векторов:
(14.12)(14.12)= ^L9ATkl = CtkCjlTkl.
(14.12)
(14.12)
J ОХк OXi
Аналогично выражениям (14.11), (14.12) получаются формулы преобразования для компонент тензора третьего и более высокого рангов.
Чтобы описать конкретный тензор, задают его значения относительно базиса. Обычно совокупность компонент тензора второго ранга для наглядности записывают в форме матрицы компонент; например, в трехмерном случае
Tn Т12 Тгз
Тг] — 721 Т22 Т23Тг] — 721 Т22 Т23Tsi Тз2 ТззTsi Тз2 Тзз(14.13)(14.13)
Тг] — 721 Т22 Т23
Тг] — 721 Т22 Т23
Tsi Тз2 Тзз
Tsi Тз2 Тзз
(14.13)
(14.13)
В отличие от вектора тензору нельзя приписать абсолютную величину или модуль типа (14.2). Тем не менее у тензора имеют-
ся свои инварианты, т. е. величины, которые не изменяются при повороте системы координат, например определитель матрицы (14.13).
Различают симметричные Т^ = Т^ и антисимметричные {кососимметричные) тензоры Tij = —Tji. Каждый произвольный тензор второго ранга можно разложить на симметричную и антисимметричную части:
Tij = x-(Tij + Tjl) + 1-№j-Tj1).
Дифференцированием тензора в декартовых координатах образуются тензоры более высокого ранга. В общем случае дифференцирование скаляра (тензора нулевого ранга) по координатам вектора (тензора первого ранга) дает
^- = U,i = gradC/.
OXi
Это соответствует операции образования градиента.
Соответственно дифференцирование вектора (тензора первого ранга) приводит к тензору второго ранга
8Aj Эх,8Aj Эх,At, ГAt, Г
8Aj Эх,
8Aj Эх,
At, Г
At, Г
и т. д. Это, однако, справедливо только для декартовых координат.
Для преобразования поверхностного интеграла в объемный и наоборрт служит важная теорема Гаусса-Остро градского". для векторной функции а с непрерывными частными производными в ограниченной односвязной области V трехмерного евклидового пространства с граничной замкнутой регулярной ориентированной поверхностью S справедлива интегральная формула
div a dV = J a^i dV = J a ■ ndS = J aili dS.
VVss
Аналог этой формулы для тензора второго ранга Oij имеет вид
j аг]] dV = j Gijlj dS. Vs
Эта теорема в разных формах впервые была сформулирована Лагранжем (1762), Гауссом (1813), Грином (1828), Остроградским (1831) и соответствующим образом называется. Ее также именуют иногда теоремой о дивергенции.
Краевые условия и перемещения в функциях Эри
Для того чтобы замкнуть математическую задачу по определению функции Эри, выразим через нее граничные условия и перемещения.
Краевые условия в напряжениях для первой граничной задачи выразим через функцию напряжений Эри. Напряжения на границерх^ иpy(s) задаются как функции координаты контура s. Для компонент нормального единичного вектора (направляющих косинусов) справедливы соотношения
cos(p, ж) = cosi, у) = —, cos(p, у) = — cos(i, ж) = —(14.14) dsds
Подставив (14.14) в граничные условия (5.7), имеем
хх dy ^ху dx — рх ds, ^уу dx ^ху dy Ру ds.
Используя функцию напряжений Эри (5.11), получим
д2Ф , , д2Ф ,, д2Ф , д2Ф ,,
dy + —— ck = рт ds, —dx + ——-dy = -pyds.
Эу2 Эх оудх2 дх оу
Эти выражения можно переписать в виде
8 (8Ф\ , , 8 (8Ф\ , д(ЭФ\ ,— — аж 4— ] dy = а — = рх ds,
Эх\8у) 8у\8у/ 9 хду/
8 f 8Ф\ , , 8 ( 8Ф\ ,,( 8Ф\,
— l — \dx-v—^ — \dy = d^ — \ = -Pyds,
так как они представляют собой полные дифференциалы. Интегрируя вдоль контура, получим
S
= — f ру ds ~ gx(s) + Cl,
OX J
о
S
= - /Pxds = gy(s) + С2.
ду J
о
Здесь gT(s), gy(s) —заданные функции.
Теперь задачу плоской теории упругости можно сформулировать следующим образом: требуется найти бигармо- ническую функцию в области, если на границе заданы производные функции по обеим координатам.
Иная формулировка может быть получена, если вычислить функцию напряжений Ф, а также ее нормальную производную d^/dv через функции gT(s), gy^s\ Из выражения
d^ = ^-d$A-~dy = gx^ dx + gy^s) dy
ox oy
следует
ф = / l5^5^ +ё^Я ^ = ^(s) + const, о
Граничные условия примут вид
</Фд/АдФ,чЭФ dyЭФ dx> / \ ,,
= — cosftv, X) НCOS(tA у) =2 Ы8\ 4- const.
dvЭхv7дуv’Эх dsду dsv '
При определении напряжений константа несущественна.
Следовательно, первая граничная задача может быть сформулирована также следующим образом: требуется найти бигармоническую функцию в области по заданным на границе значениям самой функции и ее нормальной производной.
Этим условиям на границе можно дать статическое толкование. Функция напряжений соответствует равнодействующему моменту внешних сил, действующих на участке контура области, вдоль которого происходит интегрирование. Ее нормальная производная соответствует проекции этих внешних сил на направление касательной к границе (так называемый поток сил в касательном направлении).
Для определения перемещений через функцию напряжений Эри воспользуемся обобщенным законом Гука при плоском деформированном состоянии в виде
^ХХ — [о"хх ^^ууГу
^^хх + о-уу), следует еуу = ^gV0 уу — vk°xx^^хх + о-уу), следует еуу = ^gV0 уу — vk°xx£УУ ~ EYayy y{°zz
^^хх + о-уу), следует еуу = ^gV0 уу — vk°xx
^^хх + о-уу), следует еуу = ^gV0 уу — vk°xx
Отсюда, так как ezz = 0 и огг = Sxx = ^^[^ХХ V^XX "Г ^уу)].
Выразив деформации через перемещения с помощью кинематических соотношений (5.2), получим
ди _ дх до _ 1 г &у - гСГ^
1 г
IG^11
XX
XX Т UyylV
] до ди _ Oxi ’ дх ду G
Эи Эх до дуЭи Эх до ду(14.15)(14.15)
Эи Эх до ду
Эи Эх до ду
(14.15)
(14.15)
Вводя сюда функцию Эри, имеем
Г 5 ф ЛЖ1
= —^ДФ =2G L dp2J
= 1[^-,Дфк2GLдх21
до । ди дх ду
1 э2ф
G дхду
Интегрирование (14.15) приводит к общим соотношениям для перемещений в виде
f V1 ~ v^ - У^х, y)dx + fa(y),
2G J Lох2 А
у = / [с1 ~ ^)А ~ ф(ж' y^dy + h^Y
где /1(у) и /2(2:) — функции интегрирования. Они определяются из третьего уравнения (14.15).
При плоском напряженном состоянии исходим из закона Гука в виде (5.8). В результате получим кинематические соотношения
du 1 гл Sv 1 г1 dv ди ах-у
д"у-Е^уу V<Txx^ д^ + д^^"с1 интегрирование которых приводит к выражениям
Ей = j (ахх - z/cTyy) dx + gi (у),Ev = j (ауу - ыахх) dy + g2(x),где gi(y) и §2(37) — функции интегрирования, которые могутбыть получены из третьего кинематического соотношения.
14.3. Краткие сведения об обобщенных функциях
Следуя в основном книге1) приведем краткие сведения из теории обобщенных функций в объеме, необходимом для изучения основного материала учебника. При этом по ходу изложения будут приводиться некоторые понятия математического анализа, которые могут служить в качестве напоминания известного читателю материала либо рассматриваться как дополнительные сведения.
А. Основные пространства. Обозначим стандартным образом через Rn n-мерное действительное векторное пространство с элементами (векторами, точками) х = (з7], ... , 37п) — упорядоченными совокупностями и п действительных чисел (xj G R). На нем для любых двух векторов х, у = (yi, ... , уп) и любого числа а 6 R определены операции сложения (вычитания) векторов х ± у = (тц ± yi, ... , хп ± уп) и умножения на число ах = (ах^, ... , ахп). Нулевым элементом является
*) Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями к технике. — М.: Мир, 1978.— 518 с.
вектор 0 = (0, ... , 0). Равенство двух векторов определяется следующим образом: х = у, если ху = yi, ... , хп = уп. Как известно, это пространство является линейним.
Оно становится евклидовим после введения на нем скалярного произведения (х, у) = Xjyj. С помощью этого произведения определяются норма (длина, модуль^ вектора ||х|| = ]х| = = ^/(х, х) и расстояние между двумя векторами р(х,у) = = ||х — у||, т. е. Rn — метрическое пространство.
Пусть {х/.} — последовательность в Rn и у € Rn. Тогда у = = lim Xfc, если lim p(xk, у) — 0.
k-эсюк—юо
При п = 1 Rn совпадает с множеством действительных чисел R.
Далее будем рассматривать действительные или комплексные функции (С — множество комплексных чисел)
р ; Rn R или р ; Rn С.(14.16)
Множество таких функций обозначим через Ф = {ер}. При использовании обычных операций сложения функций и умножения их на число (действительное или комплексное) Ф является линейним пространством (действительным или комплексным). Наделим это пространство дополнительными свойствами.
Линейное пространство Ф называется линейним пространством со сходимостью, если среди всех последовательностей {y^k} С Ф выделены сходящиеся к элементу ^ 6 Ф последовательности (обозначение lim pk = р, р — предел ПОСЛедователь- k-too
ности {уц,}). При этом выполняются следующие условия:
любая последовательность {уц,} С Ф имеет не более одного предела;_
любая стационарная последовательность {уз} С Ф является сходящейся и lim р = р;
к—too
всякая подпоследовательность {узкт} сходящейся последовательности {у>к} С Ф ({^fcm} С {у’к}) также является сходящейся и lim ркт = Нт рк", m-tooк—too
для любых сходящихся последовательностей {у>к}, {^к}сФ и любых чисел а, 0 последовательность (ар к + РФк( также является сходящейся и lim (ар к + Wk) = а lim рк + 0 lim -фк", k-tcok-too k-too
для любой сходящейся числовой последовательности {«к} ( lim ак = а^ и любого элемента р € Ф последовательность k-too
{одуз} также является сходящейся и lim акр = р Нт а^ k-tooк—too
Пусть Фо С Ф и является линейним подпространством пространства Ф (Фо — линейное пространство по отношению к вве-
денным на Ф операциям) и Фо и Ф — пространства со сходимостью. Если любая последовательность Урк^ С Фо, сходящаяся к р Е Фо, сходится к <р и в Ф, то за Фо сохраним название подпространства (обозначение Фо С Ф).
Наделенное специальными свойствами (их уточним далее) подпространство Фо пространства Ф функций вида (14.16) будем называть основном пространством, а функции из него — основными функциями. Если необходимо указать размерность евклидового пространства, на котором определены основные функции, то для основного пространства используется обозначение Фо
Напомним также следующие понятия. Пусть G С Rn и состоит из таких точек х, что для любых х ^ G р (х) = 0. Тогда множество supp р = G U 8G, где 8G — граница области G, называется носителем функции р. Если G — замкнутое ограниченное множество, то supp р называется компактним, а функция р с таким носителем — финитной.
Обычно рассматриваются следующие основные пространства.
Основное пространство Фо = Кт:
любая функция р Е Кт является финитной и имеет непрерывные производные до порядка т включительно, т. е. рЕ Cm lRnY
последовательность {рк\ из Кт сходится к функции р Е Кт, если
— существует такое а > 0, что для любого к suppyjfc С U^, U(a) = {х € Яп| |х| < а};
для любого числа р = 0, 1, ... , т последовательность {Dpp^ равномерно на U(a') сходится к Dpp (Dppk=>Dpp), где
АР1+Р2+-+Рп
°Р =Р = Р1+Р2 + ..-+Рп-(14.17)
Эху ... Эхп
Основное пространство Фо = К;
любая функция р Е К является финитной и имеет непрерывные производные любого порядка (т = оо), т. е. р Е С°° (Rn);
последовательность {уд,} из К сходится к функции р Е К, если
существует такое а > 0, что для любого к supppk С U(a\,
для любого числа р Е No = {0, 1, 2, ...} Dppk^Dpp.
Основное пространство Фо = S;
для любой функции р Е S р Е С°° (ДпУ,
для любой функции р Е S и любых чисел т, р Е No существует такое действительное число Стр, что
Ix-WWI Стр, хт...<",
,,,(14.18)
т = mi + т-2 + ... + mn,
т. е. функции 99 вместе со всеми своими производными при х —> оо стремятся к нулю быстрее любой степени 1/|х|;
б) последовательность {9^} из S сходится к функции р Е S, если
— существует такое не зависящее от к число Стр, что неравенство (14.18) выполняется для любой функции 9^;
— для любого т, р Е Nq имеет место сходимость xmDP(pk(x^xmD^xY
Введенные основные пространства являются линейными пространствами со сходимостью и связаны между собой следующим образом: К С Кт С Кт"х С ... С К0 и К с S.
Б. Определение и свойства обобщенных функций. Функционалом f (действительным или комплексным) на множестве Ф с элементами р называется однозначное отображение f : Ф —> R (или / : Ф —> С). Значение функционала на элементе р будем записывать так: (/, pY Пусть Ф — линейное пространство. Тогда функционал называется линейным, если для любых элементов р, ф Е Фи любого числа а выполняются равенства (У, у? + ^) = (/, у?) + (У, ф') и (У, сцо) = а(У, 99). Множество таких функционалов обозначим через Ф'. Если на нем обычным образом ввести операции сложения (У + g, 99) = (У, 99) + (g, 99) и умножения на число А (АУ, 99) = А(У, 99), то оно само образует линейное пространство и называется сопряженным с Ф пространством.
Если Ф —линейное пространство со сходимостью, то сходимости последовательности функционалов {у^} С Ф' к У Е Ф' определяется следующим образом: J = lim jk, если для любого к-юо
элемента у> Е Ф lim (fk, y>) = (У, pY Такая сходимость в от- к—юо
личие от обычной (поточечной) сходимости называется слабой. Функционал У Е Ф' называется непрерывным, если для любой сходящейся последовательности {9^} С Фо (^ — 1™ Фк € Фо) к-лао
существует предел lim (У, 9^) = (У, 99). Далее всегда будем по- к—юо
лагать, что Ф' состоит из непрерывных функционалов на Ф. В этом случае Ф' — линейное пространство со сходимостью.
В сопряженном пространстве Ф'обычным образом через предел последовательности частичных сумм определяются сходящиеся ряды и их сумма
/ = Еа (у,у^ф')-к
Пусть Фо— подпространство линейного пространства со сходимостью Ф, и У Е Фр. Если существует такой функционал F Е Ф', что (У, 9?) = (F, у>) для любых р с Фо, то У называется продол-
жаемым на пространство Ф в функционал F, a F — продолжением функционала f.
Переходим теперь к основному понятию. Обобщенной функцией, определенной на основном пространстве Фо, называется линейный непрерывный функционал / € Фд. При этом Фд— пространство обобщенных функций.
Соответственно основным пространствам Кт, К и S используются обозначения пространств обобщенных функций (КтУ, К' и S', а также следующие названия: функции из ^КтУ — обобщенные функции конечного порядка, функции из ^К°^ — меры, функции из К* — обобщенные функции бесконечного порядка, функции из 8* — обобщенные функции медленного роста.
Для этих пространств обобщенных функций имеют место включения: ^К°У С ^К^У С ^К2У С ... С К* и S' С К'. То есть, например, из последнего включения следует, что обобщенная функция медленного роста — продолжение на 5 обобщенной функции бесконечного порядка.
Пусть /(х) — «обычная» функция вида (14.16), и (/, у>) — некоторый функционал из Фд (здесь формально используется такое же, как и ранее, обозначение функционала, однако в нем значок / указывает на обычную функцию). Тогда говорят, что обобщенная функция Ц, р) порождается функцией f^xY Обобщенные функции, для которых существуют порождающие их функции, называются регулярными, а остальные — сингулярными.
В пространствах (КтУ и К* регулярные обобщенные функции порождаются локально интегрируемыми функциями /(х) (функциями, определенными в Rn и абсолютно интегрируемыми на любой ограниченной области Q С Я") с помощью интегральных функционалов для действительных и комплексных функций соответственно (черта является знаком комплексного сопряжения)
П„ = supptp;(14.19)П„ = supptp;(14.19)
П„ = supptp;
(14.19)
П„ = supptp;
(14.19)
В пространстве S* регулярные обобщенные функции порождаются локально интегрируемыми функциями / (х) медленного роста (определенными в Нп функциями, для которых существуют такие А, а ^ 0, что |/(х)| ^ -4|х|° в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки) с помощью интегральных функционалов для действительных и комплексных функций
соответственно
(Л ^= J J<X>)4>W dx; U^ ^ = J f(x)y}(x)dx. (14.20) № Rn
Этим фактом и объясняется название пространства S*.
В связи с существованием регулярных функций для всех обобщенных функций также используется обозначение /(х), наличие в котором переменной х является всего лишь символом и ни в коей мере не говорит о значении обобщенной функции в точке. А для указания значения обобщенной функции на функции 99 € Фо применяются интегралы (14.19) или (14.20), которые для сингулярных функций необходимо также расценивать не более как символ.
Пусть П открытое множество из Rn. Тогда обобщенная функция равна нулю (f = 0) на П, если для любой <Дх) € Фо с носителем supp уз С П выполняется равенство (/, уз) = 0. Обобщенные функции /(х) и g(x) равны (/(х) = g(x)) на П, если / — g = 0 на этом множестве.
Эти понятия позволяют совершенно аналогично обычным функциям ввести определение носителя обобщенной функции supp/. Кроме того, будем называть обобщенную функцию сосредоточенной на множестве Г2 С Rn, если supp / С Q.
Обобщенная функция равна нулю (/(х) = 0), если она равна нулю на Rn. Аналогично обобщенные функции /(х) и g(x) равны (/(х) = g(x)), если они равны на Rn.
Отметим, что, если функции /(х), g(x) равны почти всюду на Rn (множество точек, на которых /(х) ^ g(x) имеет меру нуль) и порождают регулярные обобщенные функции, то последние равны.
Пусть /(х) € Фд и о(х) такая функция, что для любой у>(х) € Е Фо произведение а(х)уз(х) Е Фо- Тогда произведение а(х)/(х) задается следующим функционалом из Фд (действительным или комплексным):
(а/, уз} = (/, ауз^ или (а/, уз') = (/, ауз).
По аналогии с известными теоремами о замене переменных в интегралах можно ввести понятие сложной обобщенной функции. Пусть у = а(х) — регулярное необходимой степени гладкости отображение Rn на Rn, и для любой уз(х) Е Фо также уз [а Чу^Ду)! € Фо, где J (у) якобиан отображения. Тогда сложная обобщенная функция /[а(х)] задается следующим образом:
(Да(х)], у>(х)) = (/(у), уз[а-1(у)] | J(y)|). (14.21)
Если отображение а(х) — невырожденное линейное преобразование (а^ и Хк не зависят от х)
х = уАт + х°, A = (afcz)nxn, det А О,
X = (жЬ ... , Жп), У = (У1, ... , Уп), х° = (ж?, ... , ж”), то имеет место равенство
(/ (уАт + х°), ^(у)) = —|— (/(х), ^[(х - х°) (А-1)т]).
(14.22)
Из (14.22) вытекают следующие частные случаи: преобразование сдвига (А = Е — единичная матрица, вектор х° заменен вектором — х°)
(/ (У - х°) , р(у)) = (/(х), <р(х + х0)) .(14.23)
преобразование подобия (х° = 0; матрица А — диагональная, т. е. aki = (Хкк^кЬ суммирования нет; 8kl — символ Кронекера)
(/ («11У1, «22 У2, • ■ ■ , «ппУп') , ^(у)) =
= ।;(х), Ф—, • • • ,(14.24)
|aiia?2 • • ■ аПп| VVan 022 ann / /
равномерное преобразование подобия (в (14.24) ащ = «22 = = ... = апп = <т, т. е. А = аЕ — скалярная матрица)
(/ («У), ¥>(у)) =•(14'25)
преобразование симметрии ( в (14.25) а = —1)
(/ (-У), ¥>(у)) = (/(х), Ф (-х)).(14.26)
Определения некоторых обобщенных функций приведены в табл. 14.1, где использованы следующие обозначения (7^>р(х) — многочлен Маклорена для функции <р(х); символ Vp обозначает главное значение по Коши расходящегося интеграла):
Я" = {х € Яп|ж1, Ж2, ... , жп 0}, г = |х|;
р
T,.,(x)=£ldM0;x). ^(0;х)=52а**'?,..
к—0ji+-.-+jn— к
d°y)(O; х) = 72(0);d°y)(O; х) = 72(0);dx = limdx = limWx^t.^-к=0
d°y)(O; х) = 72(0);
d°y)(O; х) = 72(0);
dx = lim
dx = lim
—е+оо
J ф(х) dx + J ф(х) dx
—00е
Обозначение и название обобщенной функции
Основное пространство
Определение
Носитель
Одна из порождающих функций (для регулярных обобщенных функций)
5 (х) — дельта-функция Дирака
к0
(5, у) = р(О)
x = 0
—
Л(х) — единичная функция Хевисайда
к°
(Я, у) = J уэ(х) dx Яп
ВД.
fl, х е R1 Н(х) = {+
[0, х^я;
sign х
к°
sign х = Н(х) — Н(—х)
R
Г 1, х ^ 0 sign х =
( —1, х < 0
гх (XeR, А > -п)
к»
(rA,<l) = J rxip(x)dx Rn
Rn
тх
т-т (т 6 N, т ^ п)
кр (р=т—п+1)
(г~т, у) =
= f T^T^ldx+ [ ^dx
1#pTTt1#p7Tl
T<1T>1
Rn
хх (Л ^ 0)
К°
(a/, (p) — J xxcp(x)dx R
R
Xх
ИЛ (А е R, А > -1)
К»
f|x|A)(^^ = J |x|A(^(x) dx
X' R
R
klA
Таблица 14-1
14.3. Краткие сведения об обобщенных функциях363
Обозначение и название обобщенной функции
Основное пространство
Определение
Носитель
Одна из порождающих функций (для регулярных обобщенных функций)
[ip (т е -^)
кт
(кГт,у) =
_ f уМ-Т^тМ ,Г vW
- J |Ж|тJ |Ж|т
И<1M>i
R
1
X
к0
—= Vp / ——dx
\x JJ X
R
R
(т е т > 1) ж™
Km-i
(—,= Vp fdx
\xm JJxm
R
R
х^ (A G R, X > -1)
к°
x$ = Xх H (x)
x 0
х _ Г ХЛ, X > 0
+[0,х<0
я+
к0
T+ = 3?+
x 0
( х, х ^ 0
~ | 0, х < 0
X —
к0
x_ = —xH {—x)
x ^ 0
[0,х ^ 0
1х < 0
In |ж|
к0
(ln|rc|,y)) = Jin |ж|у)(т) dx
R
R
In |х|, х ф 0
In Х+
к0
(1ПТ+)У))= J \пх<р(х^х 0
x 0
.f In х > 0
In Хд»А ЛГ\
[О, х ^ 0
36414. Приложения
Продолжение таблицы Ц.1Продолжение таблицы Ц.1
Продолжение таблицы Ц.1
Продолжение таблицы Ц.1
Приведем также часто используемые связанные с линейными преобразованиями формулы для дельта-функции Дирака
а(х)5(х - х°) = а(х°)5(х - х°), 5 (ах) = -^-5 (х),
§ («И®!, «22^2, • • • , «пп^п) = .-2ДХ), (14.27)
,011022 • ■ ■ ОПп|
5(-х)=5(х).
В. Дельтообразные последовательности. Пусть каждый член fk последовательности {Д} С Фд является регулярной обобщенной функцией, порожденной локально интегрируемой функцией Д(х) С Фо и lim Д = 5(х). Тогда последовательность fc—>оо
{Д(х)} С Фо называется дельтообразной.
Такие последовательности важны при использовании численных алгоритмов для задач, в которые входят дельта-функции. При этом в качестве приближенного решения задачи принимается решение, в котором дельта-функция заменяется к-м членом дельтообразной последовательности.
Имеет место следующий критерий дельтообразности последовательности.
Обозначим через Q = {х = (tj, ... , хп) € Rn\aj < $j < b^, причем «1, ... , ап < 0. Если для последовательности локально интегрируемых функций {Д(х)} С Фо существует такое не зависящее от к и Q число М > 0, что
J fk(x)dxQJ fk(x)dxQ< м< м
J fk(x)dx
Q
J fk(x)dx
Q
< м
< м
и, кроме того,
сГ 0 (0 ^ Q),
lim / Д(х) dx = <k-^ooJ^[ 1 (0 € П),
то эта последовательность является дельтообразной.
Г. Дифференцирование обобщенных функций. С использованием обозначения (14.18) производная Dpf(x) порядка р Е N от обобщенной функции /(х) 6 Фд (обобщенная производная) определяется так (р(х) € Фд, Фд = Кт (т р), К или S'):
(DPJ, у,) = (-!)?(/, Dpp).
Приведем свойства обобщенной производной, которые частично отличаются от свойств производных обычных функций (таковые свойства помечены звездочкой).
Так же, как и для обычных функций имеет место линейность оператора дифференцирования и правило дифференци-
рования произведения а(х)/(х), где функция а(х) имеет производные необходимого порядка.
supp Dpf С supp/.
. Поскольку все рассматриваемые функции /(х) G К', то для любой обобщенной функции существуют производные любого порядка.
. Производная Dpf от функции многих переменных (частная производная) не зависит от порядка дифференцирования.
. Если последовательности (ряд) сходится
&Л=/ (5>=<У
к
то ее (его) можно почленно дифференцировать любое число раз, т. е. для любого р Е N
^Dpfk = Dpf (^ Dpfk = Dpf^.
к
. Пусть /(х)— регулярная обобщенная функция, и Dpf — обобщенная функция, порожденная соответствующей производной порождающей функции (р < т, если порождающая функция принадлежит Кт (т > 1), и р 6 N, если она из К или 5). Функция Dpf в отличие от Dpf называется производной в обычном смысле.~
В общем случае Dpf ^ Dpf. Например, для функций одной переменной, если порождающая функция /(ж) G Ср всюду на R за исключением точек Xj, в которых она имеет разрывы первого рода со скачками
[/] ■ = Пт /(ж) - Пт /(ж),J X—¥Xj-VuX-^Xj— О
то обобщенная производная f(x) и производная в обычном смысле /'(ж) связаны между собой так:
3
Если для порождающей функции производная Dpf(x>) существует всюду на Нп, то Dpf = Dpf. И, в частности, остаются в силе все таблицы для производных функций одного переменного.
В табл. 14.2 указаны обобщенные производные некоторых функций одного переменного (ж Е R^.
Приведем также две полезные формулы, связанные с производными дельта-функции одного переменного (Ср — число
сочетаний из р по /с):
р
а^х^Чх - ж0) = J2 С^кЧхо^”кЧх - жо), а^ G Ср;
А:=0
хтН^тЧх - ж0) = НГ ^±™М?Чх - Жо).р!
Таблица Ц.2
/(к)
Нт)
Я(х)
5(х)
sign х
25(х)
|х|Л (А е R, А > -1)
А|х|л-1 sign х
(т EN) т 1)
т
хт
х+
Ах*-1
х +
Я(х)
X-
- Я(-х)
In |х|
1
X
Кроме того, для сложной дельта-функции справедливо следующее утверждение.
Пусть определена сложная функция 5[а(х)], где отображение а(х) С С1 и имеет простые нули xJ, в которых его якобиан J (xJ ) ^ 0. Тогда имеет место формула разложения
*х” = Е ^Н <х - ^ ■
3
В частности, для функции одного переменного имеем
= £ т^г-^ (* -.
з
Д. Прямое произведение и свертка. Пусть обобщенные функции /(х) и g(y) определены на основных пространствах одного типа Фо (Дп) и Фо(-Дт)- Прямим (тензорным) произ-
ведением /(х) х g(y) обобгценних функций /(х) и g(y) называется определенный на основном пространстве того же типа Фо (Rn+m) функционал
№) х g(y), ^(х; у)) = (/(х), (g(y), ^(х; у))),р(х; у) G Фо (Rn+m) ,
где Дп+т = Дп х Rm — декартово произведение Rn на Rm.
Доказывается, что определенный таким образом функционал является линейным и непрерывным. Следовательно, /(х) х х g(y) — обобщенная функция на Фо (Яп+т), т. е. /(х) х g(y) € G Ф£> (Rn+mY
Для прямого произведения наряду с указанным используется обозначение /(x)g(y), аналогичное произведению обычных функций.
Имеют место следующие свойства прямого произведения.
Если /(х) и g (у) — регулярные обобщенные функции, то и /(х) х g(y) — регулярная обобщенная функция.
Носитель прямого произведения есть декартово произведение носителей сомножителей
supp[/(x) х g(y)] = supp/(x) х suppg(y).
Коммутативность: /(x) x g(y) = g(y) x /(x).
Ассоциативность: /(x) x [g(y) x h(z)] = [/(x) x g(y)] x x h^z-Y
Дистрибутивность: /(x) x [g(y) + Я(у)] = /(x) x g(y) + + /(x) x /1(у).
Однородность: для любого числа а имеет место равенство [а/(х)] х g(y) = а[/(х) х g(y)].
D^D^f(x) х g(y)] = D^Hx) x Pyg(y), где Я? и D^ дифференциальные операторы по x и у вида (14.17).
Если а(х) и 6(у) такие функции, что для любых <^(х) € G Фо (Rn>) и ^(у) G Фо (Rm) произведения а(х)(р(х) G Фо (Rn) и ь(у)^(у) 6 Фо (RmY т0 а(х)Ь(у)[^(х) х ^(у)] G Фо (Яп+т) и для обобщенных функций /(х) и g(y) справедливо равенство
«(х)6(у)[/(х) х g(y)J = [a(x)/(x)J х [6(y)g(y)J.
/(х) х 1(у) = f(xY где 1(у) — обобщенная функция, порожденная функцией 1(у) = 1 для любых у G Rm.
В частности, для единичной функции Хевисайда и дельтафункции Дирака имеют место равенства
Я(ж1, ж2,, Жп) = Я(ж1)Я(ж2)...Я(жп);
5(Ж1, $2, ... , Жп) = ^(ж1)5(ж2) • • • ^xuY
^-Н{хх, Х2, • • • , жп) — H(xi)... Я(^_1)5(^)Я(^+1)... H(xnY
Пусть обобщенные функции /(х) и g(x) определены на основном пространстве Фо(Яп). Сверткой /(х) * g(x) обобщенных функций /(х) и g(x) называется определенный на том же основном пространстве функционал
№) * g(y), -р(х)) = №) х g(y), р(х + у)), ^(х) G Фо (Rn') •
Свертка существует не для любых функций. Достаточное условие ее существования таково.
Если хотя бы одна из обобщенных функций /(х), g(x) обладает ограниченным носителем, то их свертка /(х) * g(x) G Ф'о.
Для функций одного переменного достаточным условием существования свертки также является ограниченность их носителей с одной стороны (слева или справа, т. е. существуют такие а и Ь, что /(ж) = 0 при х < a g(x) = 0 при х < Ь, или /(ж) = О при х > a g(x) = 0 при х > Ь).
Свойства свертки обобщенных функций (полагается, что все свертки существуют).
Если /(х) и g(x)— регулярные обобщенные функции, то и /(х) * g(x) — регулярная обобщенная функция.
Носитель свертки есть подмножество замыкания объединения носителей сомножителей
supp [/(х) *g(x)J С supp / (х) Usuppg(x).
Коммутативность:
/(x)*g(x) = g(x)*/(x).
Ассоциативность:
/(x) * [g(x) * A(x)J = [/(x) * g(x)] * Цх\
Дистрибутивность:
/(x) * [g(x) + A(x)J = /(x) * g(x) + /(x) * Цх).
Однородность: для любого числа а имеет место равенство [a/(x)J * g(x) = а[/(х) * g(x)].
£р[/(х) *g(x)J = [^p/(x)J * g(x) = /(x) * [Spg(x)], где Dp — дифференциальный оператор вида (14.17).
Пусть последовательность обобщенных функций {Д(х)} имеет предел lim /Дх) = /(х) и выполняется одно из условий к—нх>
все функции /Дх) сосредоточены на одном и том же ограниченном множестве;
обобщенная функция g(x) сосредоточена на ограниченном множестве;
при х Е R носители функций /Дт) и g^ ограничены с одной и той же стороны числом, не зависящим от к.
Тогда lim ^Дх) * g(x)J = /(х) * g(x).
К—ЮО
Приведем также несколько полезных формул, связанных с дельта-функцией Дирака и единичной функцией Хевисайда:
5(х) */(х) =/(х), D^xVf^\ = D4W, хеК1;
н($)*4 = ^у^+1> ^еД.
Е. Преобразование Фурье обобщенных функций. Здесь ограничимся основным пространством 8 = S^Rn') комплекснозначных функций. Для любой основной функции ¥?(х) Е 8 в обычном смысле существует преобразование Фурье (^(q) — изображение или трасформанта Фурье, р(х) — оригинал-, q = (щ, q2, ... , qn) G Rn, q—параметр преобразования; i — мнимая единица)
E[(p] = <pF(q) = j p^e1^^ dx, (q, x) = qkxk. (14.28) Rn
Кроме того, справедлива формула обращения преобразования Фурье (обратное преобразование Фурье)
F-1 [</] = р^ = ^{ pF(q)e-^ dq. (14.29) R"
Доказывается, что формулы (14.28) и (14.29) задают взаимно однозначные отображения F и F-1 основного пространства 8 на себя, т. е. для любой функции ¥?(х) G 8
Д^’И] = р,(14.30)
и, кроме того, эти отображения являются линейными и непрерывными.
Преобразование /F(q) обобщенной функции медленного роста /(х) G S' и обратное преобразование Фурье определяются как соответствующие функционалы на 8:
U^ ф) = (/, Ф^ ф^ 8;(14.31)
(Д’1 [/F], р) = (/, Е"1 И) , р Е 8.(14.32)
(14.33)(14.33)Для преобразования Фурье обобщенных функций имеет место утверждение, аналогичное сформулированному выше утверждению для основных функций: формулы (14.31) и (14.32) задают взаимно однозначные отображения F и Е-1 пространства 8' на себя, т. е. для любой функции /(х) G 8* справедливо равенство
(14.33)
(14.33)
FVF-4A"\=f-
Таким образом, преобразование Фурье существует для любой обобщенной функции /(х) € S'.
Свойства преобразования Фурье обобщенных функций во многом аналогичны соответствующим свойствам для обычных функций.
Отображения F и Р-у линейные, т. е. для любых чисел а, Р Е С и любых обобщенных функций fug
^af Ppg/ = afF +pgF.
Отображения F и F"1 непрерывные, т. e. / = lim fk тогда k-^oo
и только тогда, когда fF = lim jf.
k-^oo
3*. Если обобщенная функция / является регулярной и существует преобразование Фурье fF(x) порождающей ее функции /(х), то преобразование Фурье fF — также регулярная обобщенная функция, и она порождается функцией /F(x). То есть для регулярных обобщенных функций справедливы известные таблицы преобразований Фурье обычных функций.
Для производных оригинала и изображения справедливы равенства
Г—/(х)1 = -iqkfF(qp = [^/(X)]F-
Lxa, JOqk
5*. Преобразование Фурье прямого произведения есть прямое произведение изображений
[/(х) х g(y)]F = fF(q) х gF(pP х, q G Rn, y, p G Rm, в том числе,
[/ ($1) f ^ ...f (x^f = fF (q^ fF Ы -..fF Ы .
Если свертки оригиналов и изображений существуют, то для них имеют место формулы
№) * g(x)]F = /F(q)gF(q); fF(^ * gF^ = [/(x)g(x)]F
7*. Пусть a(x) такая функция, что для любых <Дх) G S произведение a(x)y?(x) G S и существует в обычном смысле aF(x). Тогда
[a(x)/(x)]F = aF(q) * /F(q).
В табл. 14.3 указаны преобразования Фурье некоторых обобщенных функций одного переменного, а в таблицах 14.4 и 14.5 — используемые в основном материале книги обратные преобразования Фурье функций одного и двух переменных соответственно. В первых двух таблицах С = 0,5772156649 ... —постоянная Эйлера.
Таблица Ц.З
f^
fFto
5^
1(9)
xm (m G No)
27r(-i)m5("‘\q)
kl
_ _2_ 92
kl"1
- 2 (In |q| + C)
m—1 • (m-1)! SlgD9
x^ (m e N)
^rn+1
ml^+i-rt-^^fg)
x+
- 4 “ iir54q)
X-
- — + vk5 (q)
z I 6°
"к^Ус^ = 7^7- = w №х)яоэ (^-iAMx) u-s J = ^H0i
‘bp (гж *1ж i.b) t-nkbY^b J у- = 00+00—00—
= ^Ьр шь^хг-ЧЬ^Ьг J Tbp J ^ = {zx4x)J
00+00+
(Ь^Ьг = (zb ^b)dJ ndjj 7
0 + X и
O^o lb n3is bD,_a?
(v + ж) §
byi —^
(3 + 1® + ^ ч) y -
эВ
(0 + x) uSis -
6 ь°?-э7
г(г”+гя:)л
XU
6 u3isi
£0 4- ZX AL
0 ^ » ‘6 n3is ){1|n_ai
0<" ‘1Ь1„-э6?
0 < » ‘р|»_э
(d + kl 4) y -
В
(э + г® + ^л ni) y -
0^» |4|P-3Y
x u3ts -
VAL
ь 0<» |б|-эу
EZEEZE#"#7 ■o’n.n.vg'oj,
EZE
EZE
xmhuHfi^ хпннэ^пдодо go кпнэдэээ эпишой^ £"VX
Таблица 14-5
fF(qi,Q2^
f(,Xl,X^
-e~qz
9
1 2тгг
^9rn e-qz q
2-771
2тгг3
qmqn c-az q
1 /",3xmxn \
П 4 l "тп91
2тгг6 \Tz J
qe~qz
1 /3z2 _ A
2тгг3 yr2)
e-qz
z 2тгт3
3x m z 2тгг5
^9rn -qz q2
X m, 2тгг (г + z)
qmqn c-gz q2
1*X^Xti f X1 \
o /,\ дтпп(4-
2тгг (г + z) |_r \t r + zj
QmQn —qZ q3 e
-1c^mX-n.
2тг (r + z) [ "ln r (r + z)
■j-QlQmQn — qz q2 e
2тгг2 (r 4- z) (
/11 ^\ Х^ХтХп 3
X ( + )2 +
yr r + z/r Lrz
32
r(r + z) (г + г)2.
X
iqiqmqn c~az q3
1
2тгг (г + z)2
Зибупп 4" XynSln 4" X-nSlm
^IXyn^n /* 1 ।2 \
r yr r+zJ
При fFUh q2) = ^2g(Q) +оо +оо
/(Ж1, Ж2) = ^ У dqT у iQ2gto)e-lx’n9m dq2 = — оо— оо
Ч-оо
= ^ У q2gUW Ui хъ х2) dq,
1о
Щ= fcos (x^Vl - tA sin(a?29*)= ^"^U^Y
J \/v 1 — t2 q 0X22r2
0
При fFUh 42^ = 9ig(9) +oo +oo
fUi, x2) = ^ I dqi У qtgUK^"'4"1 dq2 = — 00—oo
4-oo
= ^ У q3gU№ Ui $1, ^2) dq,
0
H4 = [ V1 — t2 cos (xiqV^ — tA cos ^qt') dt = J\/q oxi
0
При fFUb q2) = q2gU^ +oo +cx>
V(^i, Ж2) = -L у dq! У q^g^qy-tIm4m dq2 = — oo—oo
4-oo
= ^ У q^sU^Hb Ui xh x2) dq,
0 1
H5= [ cos (xiqt) cos (x2qVl - tA -/== = H! = ^J0(qr2). 0
При fFUh q2) = 9i92g(9) +oo +cx>
fUu x2) = ^ У dqi у q^gUW1,1"14"1 dq2 = —oo —oo 4-oo
= ^ У 93g(y)^6 Ui xh жз) dq,
0 1
— tsin xiqVl — t sin (x2qt) dt = --— = --—. J \/q 8x2 q 6x1
0
Коэффициенты линейно-вязкоупругой трехслойной пластины
Ниже приведены значения коэффициентов, введенных в § 9.7 для описания аналитического решения задачи об изгибе круглой линейной вязкоупругой трехслойной пластины.
_ 2(a5iau — 021031)^ «иф — 012
ЗЛшзШ4(аб2О12 — Оз2) ’W1W2(O62O12 — CI32)(/^1 — Ф) ’
012 — «пф_ 2(з1/3з — 8гф + S3) Ш1Ш2(о62О12 - о|2)(/31 - Ф) ’ЗКш3Ш4(о62О12 - а|2)(ф - ф) ’
2(81/34 — Ззф + S3),3/СшзШ4 (062012-«зг)(ф-ф)’
Wi — —ф +Wi — —ф +0)2 = ~Ф — у ^ — ^2,0)2 = ~Ф — у ^ — ^2,
Wi — —ф +
Wi — —ф +
0)2 = ~Ф — у ^ — ^2,
0)2 = ~Ф — у ^ — ^2,
шз = -d4 + Jd?4 - da,шз = -d4 + Jd?4 - da,014 — —ф — уd^ — da;014 — —ф — уd^ — da;
шз = -d4 + Jd?4 - da,
шз = -d4 + Jd?4 - da,
014 — —ф — уd^ — da;
014 — —ф — уd^ — da;
^ 061012 + 062011 — 2031032^ 061011 ~ О31
2(062012 — O32)062012 — O32
d3 = oeion-o^, ф=ф;
062012 - Оз2
81 = О51ОЦ — O21O31,82 = O51O12 + О52ОЦ — O21O32 — «22031,
S3 = «52^12 — «22^32; ft = ф 1 (» = 1, • • • , 8).
Коэффициенты «5, ... , «и находятся в процессе разложения на простые дроби выражения
=
^С^(8 + ф2)
_84(81 + SW* + 8зШ*2)(35 + 36Ш* + SyW*2 -PSsO)*3 + SW*4).
W(1 + фш*)(1 + фш*)(1 + фш*)(1 + фш*)(1 + /ЗтО>*)(1 + фо>*) где
84 = 2 [37^0)30)40)50,60)70)8(062^12 -O32)(8sg +S13)]-1,
85 = (011041 — О21)(ацаб1 — а^) — (011051 — а21аз1)2,
8е = (011041 — О21)(ацаб2 + 01206^1 — 2а31аз2) +
+ (оцОб1 — 03^(011042 + 012 041 — 2O21O22) —
-2(ацО51 — О21О31)(оцО52 + 012051 — О21О32 — O22O31),
87 = («11«41 — «21)(а12«62 — «32) + («12«42 ~ «22)(аИа61 — «31) + + («п«42 + 012 041 — 2a2i«22)(«ii«62 + O12O61 — 2а31аз2) —
— («и«52 + О12О51 — а21Оз2 — о22оз1)2 —
— 2(аца51 — а21«з1)(«12«52 — «22«32), 88 = («11«42 4- 012 041 — 2а21«22)(«12«62 — O32) +
+ (012042 — «22)(«п«62 + О12О61 — 2а31аз2) —
— 2(ai2O52 — О22О32)(оца52 + 012051 — а21О32 — 022 031), 89 = («12«42 — а22)(а12Об2 — «32) - («12«52 — O22O32)2,
8ю = ЗК"сац(ацаб1 — 031),
8ц = ЗК"с(а21а62 + 2аца12«б1 — «2i«i2 — 2ацаз2«з1),
812 = ЗК’с(а22Об1 + 2аца12Об2 - о32оц — 2012031032),
813 = 31^0012 (012 062 — O32).
Здесь величины —Ш5, ... , —wg являются корнями многочлена 8S5 + (8бб + 810 )си + (8в7 + 8ц)а,2 + (8sg + Si2)w3 + (8sg + 81з)ш^. Так как коэффициенты приведенного многочлена положительны, то согласно правилу Декарта1) все действительные корни многочлена отрицательны, т. е. числа Ш5, ... , wg (а также Ш1, ... , 404) — положительны.
Величины 012, .. - , die являются коэффициентами разложения на простые и кратные дроби выражения
вы = 2[3/fw3w2(o622ai2 - а32)2] 1вы = 2[3/fw3w2(o622ai2 - а32)2] 1S14(S1 + S2W* + 5зШ*2)2 W*(l +^зш*)2(1 + фш*)2’
вы = 2[3/fw3w2(o622ai2 - а32)2] 1
вы = 2[3/fw3w2(o622ai2 - а32)2] 1
а ап, ... , 025 — коэффициенты подобного разложения отношения
8is(si + S2W* + 3зш‘2)2(35 + Sew* + SlW*2 + S8W*3 + SgW*) . W*(l +/?3W)2(1 +фш*)2(1 +^5w*)(l +^6W*)(1 +фш*)(1 + 08Ш*У
815 =815 =(w5W6W7Ws(8S9 + S13))(w5W6W7Ws(8S9 + S13))314
815 =
815 =
(w5W6W7Ws(8S9 + S13))
(w5W6W7Ws(8S9 + S13))
«26 =«26 =027 =027 =
«26 =
«26 =
027 =
027 =
031/31 — 032.
W1W2(O62O12 - аз2)(Д1 - Ф) ’
032 ~ 031/82
W1W2(O62O12 ~ O|2)(/31 - /З2) ’
где «28, • • • > 032 — коэффициенты разложения на простые дроби выражения
si6(si + s^w* + S3W*2) х
(аз1 + аз2Ш*)(а51 + 052^*) — (021 + а22Ш*)(аб1 + аег^*)./^ о^х
ш*(1 + фш*)(1 +фш*)(1 + фа>*)(1 +фш*)’
Sie = 2[ЗК"ш1ш2шзш4(аб2а12 - ^зг)2]
Величины «зз, ... , «41 определяются как коэффициенты разложения на простые дроби выражения (14.16), умноженного на дробь
85 + S6W + 8Ц0 2 4* 8gW 3 -f- SgCU ^
WsW6W7^8(8Sg + 81з)(1 + /?5Ш*)(1 + /9бШ*)(1 +/9тШ*)(1 + Pg,U)*^
Таким образом, приведенные константы замыкают аналитическое решение задачи об изгибе линейно-вязкоупругой трехслойной пластины, полученное с использованием экспериментально-теоретического метода аппроксимаций Ильюшина.
Тестовые задания по теории упругости
Для лучшего закрепления знаний в процессе изучения студентами курса теории упругости предлагаются тестовые вопросы. Они сформулированы по главам учебника. Среди приводимых ответов один — правильный. Практика показывает, что в тест достаточно включать шесть вопросов и по 3-4 ответа на каждый. Тест засчитывается, если получено пять правильных ответов. Ниже приводятся две группы вопросов с ответами, каждая позволяет сформировать по 25 различных тестовых заданий.
В первую группу вошли вопросы, охватывающие главы 1-5.
Метрический тензор —это произведение базисных векторов;
скалярное;
векторное;
смешанное.
Матрица метрического тензора;
треугольная;
диагональная;
несимметричная.
Компоненты метрического тензора являются;
символами Кронекера;
главными напряжениями;
главными деформациями.
Символы Кронекера:
х „ fl, г = 3
ij = {o, i*3 ;
(7—у — Оу'^
|<7^|2 = "п + ^тз
О*г = ^ij^j'
Символы Кронекера Svj ^ри i = 3 равны:
единице;
нулю;
бесконечности;
числу осей координат.
Количество независимых компонент тензора напряжений:
три;
шесть;
девять.
Количество независимых компонент тензора деформаций:
три;
шесть;
девять.
На главных площадках тензора равны нулю напряжения:
нормальные;
касательные;
и те, и другие.
В главных осях тензора напряжений экстремальны напряжения:
нормальные;
касательные;
октаэдрические.
Октаэдрические площадки равно наклонены:
к осям координат;
к главным осям;
к первой и третьей главным осям.
На косых площадках компоненты тензора напряжений:
C^vi = ^ij^j,
O*i = (TijQj,
3)5v = L v
( 0, г + 3-
Нормальные напряжения на октаэдрических площадках:
Оокт = IvT^-ct?)2 + (<т2 - сгз)2 + (^з - С1)2;
<70Кт = -(У11 + °22 + УЗЗ);
У окт = tTijlj-
Касательные напряжения на октаэдрических площадках:
Токт = ^a/Cov-^F-H^^
токт = -(<7i<73) ;
То2кт = Ы2 - ^п"
Максимальные касательные напряжения:
ттах = |((<7i - <т2)2 + (<т2 - сг3)2 + (<т3 - сг1)2)1/2;
Ттах = “(^l аз);
оч _ Р i = 3, о) ттах — <• / -
(0, г^3.
Касательные напряжения достигают максимума на площадках :
главных;
октаэдрических;
равнонаклоненных к 1-й и 3-й главным осям.
Площадки с тта1 равнонаклонены:
к осям координат;
к главным осям координат;
к 1-й и 3-й главным осям.
Вековое уравнение для главных напряжений:
В3 - В2 Ji + BJ2 - J3 = 0;
CTij, j + У, = 0;
(1 + v^aij + 3o-ty = 0.
Уравнения равновесия справедливы:
внутри тела;
на границе тела;
везде.
Уравнения равновесия:
S'3 - S'2 Л + SJi -Лз = ^
o^j + fi = 0;
Opi — &ijlji
o_v = —ov.
Граничные условия задаются:
внутри тела;
на границе тела;
везде.
Граничные условия в напряжениях:
Oijlj — H-vii
Oyi — CTijlj,
О—у -Ov\
c^ij j + fi — 0.
Инварианты тензора напряжений сохраняются при замене:
системы координат;
нагрузки;
граничных условий.
Инварианты тензора деформаций сохраняются при замене:
системы координат;
нагрузки;
граничных условий.
Первый инвариант тензора напряжений:
J1 = <71 + <72 + О"з;
J1 = <71<72<73J
Jl = <71<72 + <72<7з + <7з<71-
Второй инвариант тензора напряжений:
J2 — <71<72<7з;
Ji — <71<72 + <72<7з + <73<71‘,
J2 = <71 + <72 + <73-
Третий инвариант тензора напряжений:
J3 = <71<72 + <72<7з + <73<7i;
J3 = <71<72<73J
J3 = <71 + <72 + <73.
Первый инвариант тензора деформаций:
1у = Е1Е2 + £2^3 + £з£Г>
Д = Е1Е2Е3;
11 = £1 + Ei + £3.
Второй инвариант тензора деформаций:
/2 = £1£2 + £2£3 + £3Eli
/2 = £1 + £2 + £3;
/2 = £1£2£3-
Третий инвариант тензора деформаций:
/3 = е1е2 + ^2^3 + £3^1;
/3 = £1£2£з;
/3 = £1 + £2 + £3.
Величина объемной деформации:
У = £1£2 + £2^3 + е3£1>
9 = £1£2£з;
9 = £1 + е2 + Е3.
В главных осях тензора деформаций линейные деформации:
равны нулю;
экстремальны;
совпадают с октаэдрическими.
Главные оси тензоров напряжений и упругих деформаций:
совпадают;
взаимно перпендикулярны;
составляют угол 45°.
Интенсивности напряжений:
Sij — аг] ^^iji
<7 = о-д/З = (<7ц + <722 + <733)/3;
Си = ^ V(°"l - °"2)2 + (<72 - сз)2 + (<73 - <71)2;
J1 = <71(72 + <72<7з + <73<71-
Девиатор тензора напряжений:
<7 = <7д/3 = (<7ц + <722 + <7зз)/3;
Sij — O"ij °^ij>
<7U = ^ У(<71 - <72)2 + (<72 - <73)2 + (<73 - <71)2;
./] = <71<72 + <72<7з + <73<71-
Шаровая части тензора напряжений:
Sij — ^13 ^^iji
<7 = <7д/3 = (<7Ц + <722 + <7зэ)/3;
<7„ = ^ У1^-^)^Н^-^зР^7о^^
Д = <71<72 + <72<7з + <73<71-
Шаровая часть тензора напряжений характеризует:
равномерное всестороннее растяжение (сжатие);
сдвиг;
изгиб.
Девиаторная часть тензора напряжений характеризует:
равномерное всестороннее растяжение (сжатие);
сдвиг;
изгиб.
Девиаторная часть тензора деформаций характеризует: 1)объемное деформирование;
сдвиг;
изгиб.
Шаровая часть тензора деформаций характеризует:
объемное деформирование;
сдвиг;
изгиб.
Девиатор тензора деформаций:
/2 = Е1Е2 + Е2ЕЗ + E3E1S
3ij — E^j E^ij 1
Е = Ец/Z = (ец + £22 + £Зз)/3.
Шаровая часть тензора деформаций:
/2 = £1^2 + £2^3 + езет;
3{j — E^j —,
Е = Ец/3 = (Ец + £22 + £зз)/3;
Интенсивность тензора деформаций:
^2 ~ £1£2 + ^2^3 + еЗе1;
3ij = Eij eSij,
3)eu = v^£1 - £2^2 + ^2"£з)2 + (£з - ei)2l1/2-
В напряжениях равен нулю первый инвариант:
девиатора;
тензора;
шаровой части тензора.
В деформациях равен нулю первый инвариант:
девиатора;
тензора;
шаровой части тензора.
Соотношения Коши;
Eij = ~(UM + UJ,»)’
^i) = 2^®’J + Чм + ^k, i^k, j);
eu = у [(El - E2y 4- (e2 - £з)2 + (E3 - ei)2]1/2;
3t{j — Eij E^ij ■
Соотношения Коши связывают;
напряжения и деформации;
деформации и перемещения;
главные оси.
Уравнения совместности деформаций;
ТЪ ~ 2^г>^ ^"^зл + uk,iuk,j)i
£ii,jj + £jj,H ~ ^ij,ij = ®> (^V,к Ej^^ + £fci,j),i Eii,jk ~ 0>
eu = у [(ei - e2)2 4- (E2 - £з)2 4- (e3 - ei)2]1/2;
E = Ед/З = (Ец 4* E22 + Езз)/3.
Обобщенный закон Гука для изотропного тела;
o"^j — ‘Zp.E^j 4* XO5{js
U = -aijEij',
Ea^jj 4* Ejj^a 2Eij^ij — 0.
Обобш,енный закон Гука для анизотропного тела;
1)^7— -^ijEij'i
<7у = E^jklEkp,
Ea^jj 4" Ejj^a ^Eij^j = 0.
Формула Клапейрона;
~ 2G’
o^j = EijkiEki',
U ~ ~aijEij-
Полная потенциальная энергия деформации;
U Uo = ^ ((°"i - ст^У + (ст2 - стз)2 + (°"з ~ ^О2);
^° =(01 + 02 + сз)2;
^0 = ^ (^l + °2 + О3 - 2р (огО2 + O2O3 + <7зО"1)).
Температура включается между напряжениями и деформациями в связи:
девиаторную;
шаровую;
девиаторную и шаровую.
По гипотезе Неймана температурное и силовое деформации:
суммируются;
вычитаются;
умножаются.
При отсутствии массовох сил перемещения являются функциями:
гармоническими;
бигармоническими;
дельта функциями.
Потенциальная энергия изменения формо:
!) ^Ф = ^ ((^1 - азУ + (^ - стз)2 + (^ - ^l)2);
Цф = - ^- (<71 + <72 + О"з)2;
^Ф = ^ (°i +o^+o^-2v (ога2 + 0-20-3 + o-3<Ti)).
Потенциальная энергия изменения объема:
^б = ^^ ((<71 - <72)2 + (<72 - <73)2 + (<73 - <71)2);
U^ = ■ -— (<7i + 02 + о"з)2;
?7об = А (о-2 + 0-2 + у.2 _ 2р (у^ + у2у3 + (73У1)).
Уравнения Ламе — уравнения равновесия в:
напряжениях;
деформациях;
перемещениях.
Уравнения Бельтрами-Мичелла — это уравнения равновесия в:
напряжениях;
деформациях;
перемещениях.
Уравнения Ламе-..
£ij ~ 2Glaij ~ T+^a6ijy
ay = EijklEkl'i
(А + p)(Ji + рАщ + Ji = 0.
Уравнения Бельтрами-Мичелла:
1 Г з^ с 1
^Э ~ 2G Г0' T+^^J ’
(1 + v^aij + За, у = 0;
(А + р)0, i + рАщ + fi = 0.
При отсутствии массовых сил перемещения явля функциями:
гармоническими;
бигармоническими;
дельта-функциями.
Теорема Клапейрона:
1 Г з</ с 1
— 2G L Ш™*1! ’
U — -^ijEtj;
J и,ауП, dA + JщJi dV = 2 fUdV. FVV
В методе возможных перемещений варьируются:
деформации и перемещения;
граничные условия;
нагрузки и напряжения.
В методе возможных сил варьируются:
деформации и перемещения;
граничные условия;
нагрузки и напряжения.
В принципе Лагранжа варьируются:
деформации и перемещения;
граничные условия;
нагрузки и напряжения.
В принципе Кастильяно варьируются:
деформации и перемещения;
граничные условия;
нагрузки и напряжения.
Вариация перемещений, йщ на границе Fu:
произвольна;
равна нулю;
константа.
Вариация напряжений Satj на границе F,:
произвольна;
равна нулю;
константа.
В каком принципе варьируются перемещения:
суперпозиции;
Лагранжа;
Кастильяно.
В каком принципе варьируются напряжения:
суперпозиции;
Лагранжа;
Кастильяно.
На действительных перемещениях потенциальная энергия системы:
максимальна;
минимальна;
равна нулю.
На действительных напряжениях дополнительная потенциальная энергия:
максимальна;
минимальна;
равна нулю.
Первая теорема Кастильяно:
dU п dU
= Pk, т— = Мп;
дгкdtp™
ди _ ди
) дРк Тк' дМп
Jp{uP dF + f /Щ1 dV = $рР^ dF + J fPul dV,
FVFV
Вторая теорема Кастильяно:
Теорема взаимности Бетти:
/PtиРdF + f fi^UdV = Jp'SdF + JfiIuldv•
Потенциальная энергия системы: 1) ПЕ — J c^jEij dV;
ПЕ = J RiUi dF + J fiUi dV;
Щ = J CTijEij dV - J RiUi dF - J ^щ dV.
Граничные условия задаются на поверхности тела:
деформированной;
недеформированной;
на обеих поверхностях.
При простом нагружении направляющий тензор напряжений:/
постоянен;
изменяется;
равен нулю.
При сложном нагружении направляющий тензор напряжений:
постоянен;
изменяется;
равен нулю.
При простой деформации направляющий тензор деформаций
постоянен;
изменяется;
равен нулю.
При сложной деформации направляющий тензор деформаций:
постоянен;
изменяется;
равен нулю.
На поверхности тела выполняются:
уравнения равновесия;
начальные условия;
граничные условия.
При активном процессе нагружения пластические деформации:
возрастают;
неизменны;
убывают.
Во вторую группу вошли вопросы, охватывающие главы 5-7, 9.
Напряжения ozz = 0 в случае плоского состояния:
деформированного;
напряженного;
в обоих случаях.
При плоском деформированном состоянии:
и = const, v = const, w = const;
и = u^x, у), v = v^x,y\ w = const;
и = u^x, y, z), v — v(x,y,z), w = ^x1y1z\
При плоском деформированном состоянии:
EZz = Exz EyZ = 0;
eiz = const, EyZ = const, ezz = const ;
Exz = Exz^yY EyZ = EyZ(x,yY £zz = Ezz(x,yV
Уравнения совместности при плоском напряженном состоянии:
1) Ехх
ди
ди
1 / ди
дх’ ЕуУ " ду’ ^ ~ Ад^
2)0=|^ + ^;
дх ду
д\ д Ехх | д Еуу 2 У еху
ду2 дх2 дх ду
При плоской деформации число независим'ых компонентов напряжений:
три;
четыре;
шесть.
Уравнения равновесия при плоской деформации:
2)
д Ехх । д Еуу ^д ЕХу .
ду2 дх2 дх ду ’
д<Тхх । д<Тху Q д<Туу . д(7ху Q.
дх ду ’ ду дх ’
3)
ди
ди
Ехх - 9х, Еуу - —, ЕХу -
При плоском напряженном состоянии:
охх = const, оуу = const, Оху = const;
Оxz = Oxz = °yz ~ 0>
Оц = <^хх(^) У) z), Оуу = Оуу^Х, у, z), Оху = Оху^С, У, z').
Функция напряжений Эри вводится соотношениями:
1 \ Д _ du ди.
1|e~S'5?
п\ _ Эи _ ди _ 1 / ди ди\
Z) El1 - д? £уу - di’ Eiy -2\di+di)’
_ 92Ф_ д2Ф _ д2Ф
°уу -°=у ~ э^эу
Функция напряжений Эри удовлетворяет уравнению:
гармоническому;
бигармоническому;
Лапласа.
Для толстых пластин отношение характерного размера к толщине:
a/h ^ 80-100;
10 ^ a/h ^ 80^100;
a/h ^ 8-10.
Для тонких пластин отношение характерного размера к толщине:
a/h ^ 80-100;
10 ^ a/h С 80-100;
a/h ^ 8-10.
Для мембран отношение характерного размера к толщине:
a/h > 80-100;
10 ^ a/h ^ 80-100;
a/h ^ 8-10.
При изгибе пластин справедлива гипотеза:
плоских сечений;
прямых нормалей;
конечных прогибов.
При изгибе пластин пренебрегаем напряжениями:
О хх1
Оуу;
ozz.
При изгибе пластин принимаются деформации:
Ezz EZI = £Zy = 0;
£$х = ^xz ~ £ху = о>
еуу = еух 7 Eyz ~ 0.
Нормальные напряжения при изгибе пластин:
1)1)2)2)3)3)_ Ez /52w , аXX — — -- I -7-7 +1 — v2 \ Эх2оЖх = Оуу = 0;д2Ф д2Ф_ Ez /52w , аXX — — -- I -7-7 +1 — v2 \ Эх2оЖх = Оуу = 0;д2Ф д2Ф_ _ Ez / 52w ’ ^ ~ 1 -1/2 \5у2_ _ Ez / 52w ’ ^ ~ 1 -1/2 \5у252Ф52Ф"хх-—1оуу-—,оху- —"хх-—1оуу-—,оху- —
1)
1)
2)
2)
3)
3)
_ Ez /52w , аXX — — -- I -7-7 +
1 — v2 \ Эх2
оЖх = Оуу = 0;
д2Ф д2Ф
_ Ez /52w , аXX — — -- I -7-7 +
1 — v2 \ Эх2
оЖх = Оуу = 0;
д2Ф д2Ф
_ _ Ez / 52w ’ ^ ~ 1 -1/2 \5у2
_ _ Ez / 52w ’ ^ ~ 1 -1/2 \5у2
52Ф
52Ф
"хх-—1оуу-—,оху- —
"хх-—1оуу-—,оху- —
При изгибе пластин моменты определяются формулами:
!)+ Q = 0;
ох оу
2) Jx = ^,.7 = ^; '12 У 12 ’
d2wЭх2d2wЭх23)M. = -D^ + ,
d2w
Эх2
d2w
Эх2
Уравнение Софи Жермен:
Д2Ф = 0;
Д2ш = ^-;
^i - ^ + а, = о.
Эх ду
Граничные условия на защемленном краю пластины:
= 0;ж=0= 0;ж=0l)f^+z/^|=о,
= 0;
ж=0
= 0;
ж=0
\дх2 ду2 Лх=0
w n = 0, ——= 0;
'1ж-° Эх2 1ж=0
3)w| о = О, =0. '5ж 1х=0
d2uA 1Sy2 71ж=оd2uA 1Sy2 71ж=оГраничные условия на шарнирно опертом краю пластины:
d2uA 1
Sy2 71ж=о
d2uA 1
Sy2 71ж=о
= о, Г^£ + (2 -=0;
’ \&г3 v7 ^V/I^o
Ia w I «
2)ш|ж=о = О, —=0;
дх2 1х=0
” *=«=°’ tL=°-
= 0;= 0;Граничные условия на свободном краю пластины: . х /dw . d2w\I n /d3w . x d3w \l
= 0;
= 0;
Эх Oy2) lI=0Эх Oy2) lI=0\ox‘ oy‘ / 1^=0
Эх Oy2) lI=0
Эх Oy2) lI=0
2> <-=°' £L=0;
3><=»=°'£L=0-
Цилиндрический изгиб наблюдается у пластины:
бесконечно длинной вдоль одной из осей;
все стороны шарнирно оперты;
две стороны оперты, две —заделаны.
Максимальный прогиб пластины при синусоидальной нагрузке:
w = Ст + С^х + Сзж2 + С^х3 + wq;
2) wo =2) wo =9о .11 \ 2 >9о .11 \ 2 >
2) wo =
2) wo =
9о .
11 \ 2 >
9о .
11 \ 2 >
22m n22m n2 ‘2 ‘3) wmn
22
m n
22
m n
2 ‘
2 ‘
tt4D —- + —
\ а2 Ь2 /
Формула для прогибов при решении в двойных тригонометрических рядах:
w = Ci + С2Х + Сзж2 + С4Х3 + wo;
9о.
3) wmn
22
2 *
Дифференциальное уравнение при решении в одинарных тригонометрических рядах:
\ ^4w _ 9 .
"dx* ~ D’
) ^£ + 2 94w I 94w — IzLS”.
Эх* Эх2 Эу2 ду* D ’
3)У^-2А2У^ + А4Ут = Я^)_
Дифференциальное уравнение для пластины на упругом основании:
A2w = —;
’D
d4w 2 94w d4w _ q + qR .
Эх4дх2 ду2ду4 D ’
3)У^-2А2У^ + А4Ут = ^.
Прогиб пластины на упругом основании;
w0 =
^тп
Ютп
Условный предел текучести;
Напряжение при е = 0,2 % ;
Функциональная связь аи = Ф(си);
Предел текучести при повторном нагружении.
Деформационная теория пластичности связывает;
напряжения и деформации;
напряжения и скорости деформаций;
скорости напряжений и деформаций.
Теория пластического течения связывает;
напряжения и деформации;
напряжения и скорости деформаций;
скорости напряжений и деформаций.
При повторном нагружении образца предел текучести;
повышается;
понижается;
не изменяется.
При повторном упругопластическом знакопеременном нагружении образца предел текучести;
повышается;
понижается;
не изменяется.
Теория идеальной пластичности предполагает в пластической области постоянство;
напряжений и деформаций;
деформаций;
напряжений.
Условие пластичности Треска-Сен-Венана:
^U = ^Т;
(Ту СТ3 — (Т-^
№<ь М = 0;
СТу — (TyG2 + Сг| = СТ?.
Условие пластичности Хубера-Мизеса-Хенки:
^U ~ ^т?
(Ту — ст3 = сгт;
ЛСЛсЬ Jad) = 0;
ст? -ctict2+ct^ = ст?.
Поверхность текучести Мизеса в осях ау, стг, стз:
цилиндр;
призма;
сфера;
конус.
Поверхность текучести Сен-Венана в осях сту, стг, од:
цилиндр;
призма;
сфера;
конус.
При простом нагружении компоненты тензора напряжений:
пропорциональны общему параметру;
экстремальны;
не превышают предел текучести.
Траектория Простого нагружения в осях од, од, од:
окружность;
парабола;
прямая;
двухзвенная ломаная.
При простом нагружении зависимость интенсивностей напряжений и деформаций:
линейная;
степенная;
логарифмическая;
показательная.
В деформационной теории пластичности объемная деформация:
упругая;
пластическая;
упругопластическая.
В теории пластического течения объемная деформация:
упругая;
пластическая;
упругопластическая.
В деформационной теории пластичности девиаторы напряжений и деформаций:
пропорциональны;
линейно зависимы;
не связаны между собой.
В теории пластического течения девиатор напряжений связан с:
девиатором деформаций;
девиатором пластических деформаций;
скоростью деформирования.
В деформационной теории пластичности материал предполагается:
разупрочняющимся;
упрочняющимся;
идеально пластическим.
Гипотеза упрочнения деформационной теории пластичности:
сти = Ф(ец);
аи = ФЦ(1Ериу,
^ij =
2i <7 и
Гипотеза упрочнения теории пластического течения:
ай = ф(ец);
аи = Ф^й^-
В методе упругих решений на первом шаге полагают равным нулю:
скорость пластического деформирования;
объемную деформацию;
функцию пластичности.
При ползучести деформации с течением времени:
увеличиваются;
уменьшаются;
не изменяются.
При релаксации напряжения с течением времени:
увеличиваются;
уменьшаются;
не изменяются.
Кривые ползучести отражают изменение со временем:
деформаций;
напряжений;
перемещений.
Компоненты девиаторов напряжений и деформаций вязкоупругих тел связаны соотношением:
t
2Сэц^ = Sij(t) + jT(t - T^Sij^dr;
о
2G^(£u)9ij(i) = Sij^t);
2Gaij^ = s^t).
Объемное деформирование вязкоупругих тел принимается:
упругим;
пластическим;
линейно-вязкоупругим.
Реологические свойства материала характеризует:
модуль объемной деформации;
функция пластичности;
ядра ползучести и релаксации.
Ядра ползучести и релаксации связаны зависимостью:
линейной;
интегральной; '
дифференциальной.
В экспоненциальном ядре ползучести констант материала:
одна;
две;
три.
В степенном ядре ползучести Дуффинга констант материала:
одна;
две;
три.
В ядре ползучести Ржаницына констант материала:
одна;
две;
три.
Принцип Вольтерра: решение задачи вязкоупругости может быть получено из решения соответствующей задачи:
упругости;
деформационной пластичности;
теории пластического течения.
С увеличением скорости деформирования предел текучести материала:
не изменяется;
увеличивается;
уменьшается.
С уменьшением скорости деформирования предел текучести материала:
не изменяется;
увеличивается;
уменьшается.
Постулат Дракера говорит о критерии:
упрочнения;
разупрочнения;
идеальности материала.
Гипотеза градиентности: вектор приращения деформаций направлен к поверхности текучести:
по касательной;
по нормали;
под углом 45°.
Поверхность течения разделяет области:
упругие и пластические;
пластические и вязкоупругие;
вязкоупругие и упругие.
При трансляционном упрочнении упругая область в пространстве напряжений:
не изменяется;
перемещается как жесткое целое;
перемещается и деформируется.
список ЛИТЕРАТУРЫ
Александров А. В., Потапов В. Д. Основы теории упругости и пластичности,—М.: Высшая школа, 1990. 400 с.
Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. — М.: Машиностроение, 1991. 334 с.
Амензаде Ю. А. Теория упругости. — М.: Высшая школа, 1976. 272 с.
Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. — М.: Высшая школа, 1968. 784 с.
Белл Дэю. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых тел. Части 1, 2, —М.: Наука, 1984. 1027 с.
Вронский А. П. Явления последействия в твердом теле // ПММ. 1941. Т. 5. № 1.
Гогоци Г. А., Завада В. П., Харитонов Ф. Я. Прочность и трещи- ностойкость керамики. Сообщения 1, 2 // Пробл. прочности. 1984. № 12. С. 7-15.
Гольдман А. Я. Прочность конструкционных пластмасс. — Л.: Машиностроение, 1979.^20 с.
Гольдман А. Я. Объемное деформирование пластмасс. — Л.: Машиностроение, 1982. 232 с.
Горшков А. Г, Старовойтов Э. И., Яровая А. В. Гармоническое нагружение слоистых вязкоупругопластических систем // МТТ. 2000. № 6. С. 91-98.
Горшков А. Г, Тарлаковский Д. В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. — М.: Наука. Физматлит, 1995. 352 с.
Горшков А. Г, Рабинский JI. Н., Тарлаковский Д. В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды. — М.: Наука, 2000. 214 с.
Гусенков А. П., Москвитин Г. В. Анализ некоторых подходов к описанию циклических диаграмм деформирования // Машиноведение. 1973. № 4. С. 59-67.
Зубчанинов В. Г. Основы теории упругости и пластичности. — М.: Высшая школа, 1990. 368 с.
Ильюшин А. А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. — М.: Гостехиздат, 1948. 376 с.
Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. — М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.
Ильюшин А. А., О гибалое П. М. Упругопластические деформации полых цилиндров. —М.: Изд-во Московск. ун-та, 1960. 224 с.
Ильюшин А. А., Победрл Б. Е. Основы математической теории термовязкоупругости.— М.: Наука, 1970. 280 с.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976. 576 с.
Кийко И. А. Теория пластического течения. — М.: Московск. ун-та, 1978. 75 с.
Клюшников В. Д. Математическая теория пластичности.— М.: Московск. ун-та, 1979. 206 с.
Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация. — М.: Высшая школа, 1976. 277 с.
Колтунов М. А., Кравчук А. С., Майборода В. П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. — М.: Высшая школа, 1983. 349 с.
Ленский В. С. Введение в теорию пластичности. — М.: Московск. унта, Вып. 1. 1968. 109 с.; Вып. 2. 1969. 91 с.
Ленский В. С. Упрощенные варианты теорий пластичности // Прикл. механика. 1969. Т. 5. № 3. С. 18-22.
Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. 674 с.
Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. — М.: Машиностроение, 1968. 400 с.
Махутов Н. А., Бурак М. И., Гаденин М. М. и др. Механика малоциклового разрушения. — М.: Наука, 1986. 264 с.
Москвитин В. В. Сопротивление вязкоупругих материалов. — М.: Наука, 1972. 327 с.
Москвитин В. В. Циклическое нагружение элементов конструкций. — М.: Наука, 1981. 344 с.
Москвитин В. В., Старовойтов Э. И. К исследованию напряженно- деформированного состояния двухслойных металлополимерных пластин при циклических нагружениях // МТТ. 1986. № 1. С. 116-121.
Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. 708 с.
Наместников В. С. Прямое и обратное кручение в условиях ползучести // ПМТФ. 1960. № 1. С. 121-122.
Надаи А. Теория пластичности и разрушения твердых тел. — М.: ИЛ, 1954. 648 с.
Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. 872 с.
Новожилов В. В. Теория упругости.— Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.
Победря В. Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости // Упругость и неупругость. —- М.: Изд-во московск. ун-та, 1973. Вып. 3. С. 95-172.'
Победря В. Е., Георгиевский Д. В. Лекции по теории упругости. — М.: Эдиториал УРСС, 1999. 208 с.
Победря Б. Е., Шешенин С. В. О методах упругих решений // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 5. С. 59-72.
Постнов В. А. Численные методы расчета судовых конструкций.— Л.: Судостроение, 1977. 279 с.
Работное Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1979. 744 с.
Ржаницын А. Р. Теория ползучести, —М.: Стройиздат, 1968. 416 с.
Светлицкий В. А. Механика гибких стержней и нитей. — М.: Машиностроение, 1978. 222 с.
Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М.: Наука. 1970. Т. 1. 492 с.; Т. 2. 568 с.
Снеддон И. Н., Берри Д. С. Классическая теория упругости. — М.: ГИФМЛ, 1961. 220 с.
Соколовский В. В. Теория пластичности. — М.: Высшая школа, 1969. 605 с.
Сосновский Л. А. Механика усталостного разрушения. — Гомель, 1994. Ч. 1. 328 с., Ч. 2. 342 с..
Старовойтов Э. И. К описанию термомеханических свойств некоторых конструкционных материалов // Пробл. прочн. 1988. № 4.
Старовойтов Э. И. Термосиловое нагружение трехслойных пологих оболочек // МТТ. 1989. № 5. С. 53-58.
Старовойтов Э. И. Сопротивление материалов. — Гомель: БелГУТ, 1999. 220 с.
Старовойтов Э. И., Яровая А. В. Вязкоупругопластический трехслойный стержень при термосиловых нагрузках // МТТ. 1998. № 3. С. 109-116.
Теребушко О. И. Основы теории упругости и пластичности. — М.: Наука, 1984. 319 с.
Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Наука, 1979. 560 с.
Толоконников Л. А. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Высшая школа, 1979. 319 с.
Треффи, Е. Математическая теория упругости.— Л.-М.: ГТТИ, 1934. 172 с.
Филоненко-Бородич М. М. Теория упругости. — М.: Гостехиздат, 1947. 300 с.
Хан X. Теория упругости. —М.: Мир, 1988. 344 с.
Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1979. 342 с.
Drucker D. С. A more fundamental approach to plastic stress-strain relations // Proc. I-st USA Nat. Congr. Appl. Meeh., Chicago, 1951. P. 487.
Hencky H. Zur Theorie plastischer Deformationen und der deburch im Material hervorgrefenen Nachspanungen // ZAMM. Bd. 4, Heft 4, 1924.
Huber M. T. Die spezifische Formanderungsarbeit als Mass der Anstren- gung eines Materials; Crasopismo, tech., t. 15, Lemberg (Lwow), 1904.
Mises R. Mechanik der festen Korper im plastischdeformablen Zustand. Nachrichten d. Geselsch. d. Wissensch. zu Gottingen Math.-phys. Klasse, 582-592. 1913.
Williams M. L., Landel R. F., Ferry J. D. The temperature dependence of relaxation mechanisms in amorphous polymers and other glass-forming liquids // Journ. Amer. Chem. Soc. 1955. V. 77. P. 370.
ИМЕННОЙ
УКАЗАТЕЛЬ
Алфутов Николай Анатольевич 63
Арон Г. 12
Абель 217
Баушингер Иоганн 153, 168, 183
Белл Джеймс Фредерик 49,153, 247
Бельтрами Эудженио 59, 64
Бернулли Иоганн 265
Бернулли Якоб 10
Бессель Фридрих Вильгельм 146, 372
Бетти Энрико 79
Больцман Людвиг 212
Брайэн Г. X. 138
Вронский А. П. 217
Бубнов Иван Григорьевич 12, 81
Буссинеск Жозеф Валентен 12, 84, 88
Видеман Густав Генрих 153
Вильямс М. Л. 222
Винклер Эмиль 133
Власов Василий Захарович 13
Вольтерра Вито 213
Вронский Юзеф 148
Вулли Р. Л. 188
Гадолин Аксель Вильгельмович 12
Галеркин Борис Григорьевич 13, 81
Галилей Галилео 10
Гамильтон Уильям Роуан 271
Гаусс Карл Фридрих 60
Гельмгольц Герман Людвиг Фердинанд 268
Герц Генрих Рудольф 12, 107
Гогоци Георгий Антонович 253
Гольдман Анатолий Яковлевич 253, 259
Городецкий Андрей Владимирович 189
Горшков Анатолий Герасимович 2, 270
Грин Джордж 45, 85, 90
Гук Роберт 10, 45, 73, 78, 83, 89, 271, 272, 324
Гусенков Анатолий Петрович 248
Д’Аламбер Жан Лерон 268
Декарт Рене 377
Дирак Поль Адриен Морис 84, 322, 365, 368, 370
Дирихле Петер Густав Лежен 58
Дракер Д. 14, 172
Дуффинг Г. 216
Жермен Софи 11, 125
Журавский Дмитрий Иванович 12
Зоммерфельд Арнольд 304
Ильюшин Алексей Антонович 14, 31, 32, 36, 161, 162, 164, 165, 175, 183, 189, 190, 213, 219, 234, 266
Ишлинский Александр Юльевич 213
Карман Теодор фон 14
Кастильяно Карло Альберто 48, 75
Кельвин (Томсон Уильям) 212
Кеч В. 356
Кирхгофф Густав Роберт 11, 61, 121
Клапейрон Бенуа Поль Эмиль 11
Колосов Гурий Васильевич 12
Колтунов Михаил Андреевич 213, 217, 252, 256
Коссера (братья) Эжен Морис Пьер и Франсуа 23
Коши Огюстен Луи 11, 16, 23
Кронекер Леопольд 19, 84
Кудрявцев Игорь Александрович 346
Кулон Шарль Огюстен 159
Лагранж Жозеф Луи 10, 70
Ландел Р. Ф. 222
Ламе Габриель 11, 29, 56, 83, 86, 89
Лаплас Пьер Симои 49
Леви-Чивита Туллио 350
Ленский Виктор Степанович 180
Лопиталь Гийом 265
Ляв Огастес Эдуард Хьют 12, 114,
315, 316
Мазииг Г. 188, 193
Максвелл Джеймс Клэрк 115, 212
Мах Э. 323
Махутов Николай Андреевич 249
Мариотт Эдм 43
Мизес Рихард 14, 157, 162
Минтер Ф. Дж. 262
Мичелл Джон Генри 59
Можаровский Валентин Васильевич 228
Москвитин Виктор Васильевич 188,
192, 193, 197, 213, 230, 230
Москвитин Геннадий Викторович 248
Мусхелишвили Николай Иванович 12, 118
Мэйкин М. Дж. 262
Навье Анри 10, 11, 129, 131
Надаи Арпад Людвиг 14, 28, 162
Наместников В. С. 251
Наполеон I, император Франции 156
Нейман Ф. Е. 48, 58
Новожилов Валентин Валентинович 13
Ньютон Исаак 16
Огибалов Петр Матвеевич 266
Остроградский Михаил Васильевич 12, 353
Папкович Петр Федорович 13
Петровский Иван Георгиевич 57
Пифагор Самосский 52
Победря Борис Ефимович 60, 213
Прандтль Людвиг 97
Пуассон Семеон Дени 37, 126, 320
Работнов Юрий Николаевич 13, 213, 219 250
Ржаницын Алексей Руфович 213, 217, 256
Ритц Вальтер 80
Рэлей 81, 276, 277, 303, 305, 310, 311
Сен-Венан (Барре де Сен-Веиан) Адемар Жаи Клод 11, 13, 37, 63, 156
Старжинский Виктор Евгеньевич 228
Стокс Джордж Габриэль 303
Тарлаковский Дмитрий Валентинович 270
Тарстон Роберт Генри 153
Теодореску П. 356
Тимошенко Степан Прокофьевич 13
Треска Анри Эдуард 156
Ферри Джон Д. 222
Фламан А. 90, 92, 94
Файлон Л. Н. Г. 113
Фойхт В. 212
Френкель Яков Ильич 200
Фурье Жан Батист Жозеф 85, 90, 264, 270, 273, 288, 290, 304, 323, 325, 329, 330, 332, 337, 370-375
Хенки Г. 14, 157, 162
Хубер М. Т. 14, 157, 162
Хевисайд Оливер 328
Черутти В. 84, 88-90, 92, 94
Шойи Г. 188
Штаерман И. Я. 104
Эйлер Леоиард 10, 16, 371
Эри Джордж Биделл 115
Юнг Томас 43
Яровая Анна Владимировна 200
ПРЕДМЕТНЫЙ
УКАЗАТЕЛЬ
Абляция 240, 245, 246, 266
Амплитуда волны 303
Вариационный принцип в динамике 270
Кастильяно 75
Лагранжа 70, 71
Вектор 347
— базисный 18
— деформации 176, 182
— напряжения 17, 181
— перемещения 32
— скорости 39
— ускорения 39
Виртуальная деформация 71
— дополнительная работа внешних виртуальных сил 76
— дополнительная работа внутренних виртуальных напряжений 76
— перемещение 71
— работа внешних сил 72
— работа внутренних сил 72
Виртуальные напряжения 75
— силы 75
Волновод 303
Волны антисимметричные 351, 354
— бездисперсные 303
— дисперсные 303
— Лява 310, 315
— поверхностные 310
— прогрессивные 270, 302, 303-305,' 311, 314, 316
Волны Рэлея 305, 310, 316
— симметричные 318
Время модифицированное 222
Вязкоупругие среды линейные 210
нелинейные 230
Вязкоупругопластические среды 233
Гамма-функция 147
Главные значения тензора деформаций 34
напряжений 24, 54
Главные оси тензора деформаций 34
напряжений 24
Гипотеза Кирхгофа 121
— ломаной нормали 139
— Неймана 48
— о подобии ядер 225
— о разгрузке 175
— плоских сечений 63
— теории упругости 16
— упрочнения 163
Градиент 351
Девиатор тензора деформаций 35
напряжений 30, 52
скоростей деформаций 175
Девиаторов соосность 163
Дельта-функция Дирака 84, 367, 386
Депланация 63
Деформационная анизотропия 182
Деформация 32
— антиплоская 311
Деформация конечная 34
— линейная 33
— малая 33
— пластическая 45, 163
— сдвиговая 34
Диаграмма Прандтля 155, 335
Дивергенция 351
Дифференцирование обобщенных функций 365
Длина (период) волны 303
Жесткость цилиндрическая 124
Задача Буссинеска 84, 88
— Герца 107
— Дирихле 58
Задача контактная 94
пространственная 103
— Миндлина 84
— на собственные значения 270
— Неймана 58
— нестационарная 269
— теории упругости в напряжениях 58
— в перемещениях 56
граничная 55, 56
вторая 56
-первая 56
-третья 56
обратная 56, 63
— стационарная 269
— Фламана 90, 92, 94
— Черутти 84, 88-90, 92, 94
Закон Гука 10, 40, 43-45, 47, 48, 52, 55, 68, 69, 73, 111, 114, 152, 156, 161-164, 182, 190, 202, 212, 213, 218, 271, 272, 324, 355, 356, 384
-с учетом температуры 48, 50
— Ньютона 16
— течения ассоциированный 171
Изгиб пластин 119
гипотезы Кирхгофа 121
граничные условия 125
дифференциальное уравнение 124
круглых 134
симметричный 136
— трехслойных, упругий 139
упругопластический 184
циклический 205
линейно-вязкоупругий 224
коэффициенты 376
напряжения и усилия 213
на упругом основании 132
перемещения и деформации 121
решение в двойных тригонометрических рядах 129
решение в одинарных тригонометрических рядах 131
синусоидальной нагрузкой 128
цилиндрический 127
эллиптических 137
— трехслойного стержня 204
Интенсивность тензора деформаций 36, 53
напряжений 31, 53
— — скоростей деформации 175
Инварианты тензора девиатора деформаций 35
——деформаций 35
девиатора напряжений 30
напряжений 26
шарового деформаций 36
шарового напряжений 30
Индексы Кронекера 19, 30, 35, 273, 289, 342, 349, 362, 379
— Леви-Чивиты 350, 351
— немые 19
— свободные 19
Интеграл, главное значение по Коши 362
Колебания упругих тел вынужденные гармонические 270
свободные 269, 273, 279, 300
—собственные 270
— круглой трехслойной пластины, возбужденные тепловым ударом 390
вызванные абляцией 299
вязкоупругой 285
—вблизи резонанса 342
упругой 278
— неоднородных вязкоупругопластических тел 335
вынужденные колебания вблизи резонанса 339
свободные колебания 335
Континуум Коссера 23
Коэффициент жесткости упругого основания 133
— линейного температурного расширения 48
— Пуассона 43, 219, 248, 253, 262
Коэффициенты линейно-вязкоупругой трехслойной пластины 376
Критерий дельтообразности последовательности 365
Кручение бруса 63, 66
Матрица тензора 352
Матрица тензора девиатора деформаций 36
девиатора напряжений 30
деформаций 35
модулей упругости 46
напряжений 20
Метод аппроксимаций Ильюшина 213
— Бубнова-Галеркина 81
— вариационный Рэлея-Ритца 80
— последовательных приближений в задачах вязкоупругопластично- сти 234
— Ритца 276, 278
— Ритца-Лагранжа 82
— Сен-Венана полуобратный 63
— упругих решений Ильюшина 165, 186
— экспериментально-теоретический Ильюшина 220
— Фурье 273
Модульамплитудно-зависимый
комплексный сдвига 338
— девиатора тензора деформаций 36
— девиатора тензора напряжений 31
— объемной деформации 44
— сдвига 43, 218, 247
— Юнга 43, 219, 262
Модель Винклера 133
— Максвелла 212
— Фойхта 212
Относительное изменение объема 35
Оператор Бесселя 146, 186
Оператор Ильюшина 225
— Лапласа 49, 56, 58, 60, 114, 115, 351
Определитель Вронского 148
Ортогональность собственных форм колебаний 273
Параметры Ламе 44
Пластина 120
— трехслойная 139, 184, 205, 224, 278, 285, 290, 299, 342, 376
Пластичность 151
— при нейтронном облучении 261
— при переменных нагрузках 188
в радиационном поле 200
термосиловых 195
Плоское состояние деформированное ПО
напряженное 53, 112
обобщенное 114
Поверхность контакта 95
— нагружения 170, 183
предельная (пример) 173
текучести 158, 159, 167, 169-173, 183, 184
Подошва 95
Подпространство линейное 357
Ползучесть 210
Полуплоскость 305, 310, 322, 326, 331, 334
Нагружение простое 32, 160
— сложное 32, 160
— циклическое (переменное) 188
Наклеп 153
Напряжение касательное 18
максимальное 27, 28
— на косой площадке 21
— нормальное 18
— октаэдрическое 27, 28
Неравенство Рэлея 276
Носитель функции 356
обобщенной 361
Полупространство 70, 83, 303, 304, 310, 311, 316, 320
Последовательность дельтообразная 365
Постановка задачи теории упругости в напряжениях 58
Победри 60
—^перемещениях 56
сферической системе координат 67-69
теории упругости в цилиндрической системе координат 69
—динамической 268
Область контакта 96
Октаэдрические напряжения 28, 44
— площадки 27
—линейной вязкоупругости 213
малых упругопластических
деформаций 165
Постановка задачи нелинейной вязкоупругости 230, 232
термовязкоупругопластичио- сти 233
Постоянная Эйлера 371
Постулат Дракера 172
— изотропии 176, 180
— пластичности 183
Потенциал внешних сил 74
деформаций (упругий) 41
напряжений 41
— перемещений векторный 268 ■
скалярный 268
— пластический 171
Потенциальная энергия деформаций 74
трехслойной пластины 143
дополнительная системы 77
системы 74
Преобразование Лапласа 264
— Лапласа-Карсона 219, 220, 226
— подобия 362
— сдвига 362
— симметрии 362
— Фурье 90, 323, 330
двойное 372
обобщенных функций 370
свойства 371
— Ханкеля 372
Пример расчета 50, 116
Принцип вариационный в динамике (Гамильтона) 271
Кастильяно (возможных сил) 75
Лагранжа (возможных перемещений) 71, 270
—Вольтёрра 213
— Д’Аламбера 268
— запаздывания векторных и скалярных свойств 175
— Мазинга 188
Принцип напряжений Эйлера и
Коши 16, 17
— обобщенный Мазинга-Москвити- на 189, 195
— Сен-Венана 67
— температурно-временной аналогии 221, 222
Принцип потенциальной энергии 74 Прогиб пластины 119-122, 124-131, 133, 136-138
трехслойной 139, 146, 148, 204, 205, 209, 227, 228, 240-242, 245, 246, 278, 279, 281, 289, 292-297, 300-302
Произведение векторное 348
— прямое (тензорное) 368
— свойства 368
— скалярное 348, 357
— смешанное 350
Производная в обычном смысле 366
— обобщенная, свойства 365
Пространство действительное векторное 356
— евклидово 357
— линейное 357
— метрическое 357
— основное 358
— со сходимостью 357, 359
Процесс деформирования активный 161
пассивный 162
— нагружения 167
Путь деформирования 41
— нагружения 41
Пятигранник Френе 177
Работа виртуальная сил внутренних 72, 73
массовых 72
поверхностных 72
деформаций 74
дополнительная внешних виртуальных сил 76
виртуальных внутренних напряжений 76
Резольвента ядра 214
Резонанс 275
Релаксация 210
Решение автомодельное 304
— в двойных тригонометрических рядах 129
— в одинарных тригонометрических рядах 131
— фундаментальное 96
Ротор 351
Свертка обобщенных функций 369
свойства 369
Сила инерции 268
— массовая 16, 57
— объемная 16, 57
— поверхностная 16
движущаяся 322
— сосредоточенная 16
Символ Кронекера 19, 30, 35, 273, 289, 342, 349, 362, 379
— Леви-Чивиты 350, 351
Скорость волн растяжения сжатия 269
Рэлея 310, 320
— — формоизменения 269
— групповая 303, 320, 322
— дозвуковая 323
— сверхзвуковая 323, 330, 333
— трансзвуковая 323, 330
— фазовая 303, 309, 310, 315, 316, 318-322
Слой плоский 303, 316
Соотношения Коши 34, 38, 49, 55 57, 91, 140, 164, 165, 173, 193, 194, 198, 202, 203, 219, 234, 235
Среда акустическая 307, 309
— бездисперсная 303
— дисперсная 303
— Коши 308
— сплошная 13
Сходимость метода упругих решений 166, 209, 236 ■
— слабая 359
— последовательных приближений 235
Температурно-временная аналогия 221
Температурное поле в трехслойной пластине 263
Температурные эффекты 48
Тензор 349, 352
Грина 85
в декартовых координатах 349
девиатор деформаций 35
девиатор напряжений 30
деформаций 32
направляющий 37
Тензор деформаций шаровой 35
коэффициентовтермического
расширения материала 50
метрический 19
модулей упругости 46
напряжений 18, 20
направляющий 31
шаровой 29
скоростей пластических деформаций 175
— упругих податливостей 47
— фундаментальный 85
Теорема взаимности Бетти 79, 272
— Гельмгольца 268
— единственности решения задачи теории упругости 61, 62
пластичности 165
— Кастильяно 48
вторая 78
первая 78
— Клапейрона 60, 62
-Лагранжа-Дирихле 74
— о переменных нагружениях 193
— о циклических нагружениях упругопластических тел в нейтронном потоке 204
— существования решения задачи теории упругости 61
Теория малых упругопластических деформаций 162
Теория общая математическая пластичности Ильюшина 175
— переменных нагружений В.В. Мос- квитина 188
— пластического течения 155, 170
— пластичности деформационная 155
— старения 229
Термовязкоупругопластичность 230
Термовязкоупругопластические характеристики алюминиевого сплава ^16Т 247-253
керамических материалов 253, 254
политетрафторэтилена 255-261
Траектории простого и сложного нагружений 182
Трехслойная круглая пластина, геометрические гипотезы 139
Трехслойная круглая пластина, изгиб линейно-вязкоупругий 224
коэффициенты 376
упругий 139
упругопластический 184
циклический 205
колебания, возбужденные
тепловым ударом 290
вызванные абляцией 299
вязкоупругопластические
вблизи резонанса 342
линейно-вязкоупругие 285
упругие 278
Упрочнение 158
— деформационное 158
— радиационное 201
Уравнение амплитуды колебаний комплексной 340, 341
модуля вблизи резонанса 341
— вековое для главных напряжений 26
Вильямса-Ландела-Феррн 222
для собственных чисел круглой трехслойной пластины 380, 281
— Лапласа 57, 58
Прандтля 97
совместности в напряжениях 114
-Софи Жермен 11, 125, 129, 131
— температурного поля 263
—теплопроводности 49
— характеристическое для главных деформаций 35
Уравнения Вельтрами-Мичелла 59, 64, 112
— движения 268
в потенциалах перемещений 269
колебаний трехслойной пластинки упругой 278
—вязкоупругой 285
— Ламе 56, 57
— нелинейной вязкоупругости, учитывающие влияние вида напряженного состояния 232
— равновесия 21, 55, 59
— совместности деформаций 37, 55
Условие несжимаемости 44
— однозначности 175
Условие ортонормированности собственных функций 273, 275
— пластичности Треска-Сен-Венана 156
— пластичности Хубера-Мизеса- Хенки 157
Условия краевые в функциях Эри 354
— излучения Зоммерфельда 304
— на границе 23, 55-57
— начальные 279
— повторных и знакопеременных нагружений 189
— свободного проскальзывания 95
— существования свертки достаточные 369
Усталость н циклическая прочность 197
Устойчивость 63
Фаза волны 303, 304
Формы колебаний собственные 270
Формула Велла 49, 247
— Гаусса-Остроградского (теорема) 60
— Клапейрона 47, 60
— радиационного упрочнения 201, 262
— разложения 367
— температурного поля 240, 266
Функционал непрерывный 359
— продолжение 360
Функция бигармоническая 58
— Бесселя 147, 280, 372
— гармоническая 57
— локально интегрируемая 360
— Ломмеля 289, 295, 302
— Макдональда 147, 280
— мера 360
— напряжений Эри 114-116, 118, 354, 355
— обобщенная 360
бесконечного порядка 360
конечного порядка 360
медленного роста 360
регулярная 360
сингулярная 360
сложная 361
Функция обобщенная сосредоточенная на множестве 361
— основная 358
— пластичности 164, 166, 184
— поверхностная влияния 84
Грина 85
— ползучести 214
— релаксации 214
— собственная (мода) 271
— температурно-временнбго смещения 222
— финитная 358
— Хевисайда 328, 368
Частота собственная 270, 272, 273, 275
— фазовая 303
Численные результаты 195, 204 205, 208, 209, 223, 239-246, 283-285, 290, 296-298, 343-346
Число волновое 303
— Маха 347
Шаровой тензор деформаций 35
напряжений 29, 52
Штамп параболический 98
— с плоским основанием 106
— с прямолинейным основанием 99
Эллипсоид напряжений 29
Энергия деформации 41
дополнительная удельная 42
— изменения объема удельная 45
— кинетическая системы 271
— потенциально системы 271
— формоизменения удельно 45
Эффект Баушингера 153
Ядро Абеля 217
—дробно-экспоненциальное 218
— ползучести 213
— релаксации 214
— Ржаницына 217
— степенное (Дуффинга) 216
— экспоненциальное 215
Учебное издание
ГОРШКОВ Анатолий ГерасимовичСТАРОВОЙТОВ Эдуард ИвановичТАРЛАКОВСКИЙ Дмитрий Валентинович
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
Редактор Д. А. МиртоваОригинал-макет: В. В. ЗатекинОформление переплета: А. Ю. Алехина
ЛР № 071930 от 06.07.99
Подписано в печать 24.07.02. Формат 60x90/16Бумага офсетная № 1. Печать офсетная
Усл. печ. л. 26. Уч.-изд. л. 28,6. Тираж 2000 эка Заказ № 1531
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»117997 Москва, Профсоюзная, 90E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с диапозитивовв РГУП «Чебоксарская типография № 1»428019 Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0229-Х
CONTENTS
Preface 7
Introduction 9
Theory of stress-strained state
Conception of the elastic continuum 15
Stress tensor 18
Properties of stress tensor 20
Equilibrium equation of elastic body 22
Equilibrium conditions upon the border 23
Basic axes and principal values of stress tensor 24
Maximal tangential stress 27
Deviator and globular portion of stress tensor 29
Movings and deformations. Deformation tensor 32
Basic axes and principal values of deformation tensor . . 34
Deviator and globular portion of deformation tensor . . . 35
Equations of compatibility of deformations 37
Physical proportions in theory of elasticity
Energy of deformation and elastic potential 41
Hooke’s law 43
Hooke’s law for anisotropic material 45
Clapeyron’s formula 47
Temperature effect 48
Example of investigation of stress-strained state 50
Statement and methods solution problem of theory of elasticity
Boundary conditions 55
Statement of problem of theory of elasticity via movings (Lame’s equations) 56
Statement of problem of theory of elasticity via stresses (Beltrami-Michell’s equations) 58
Clapeyron’s theorem 60
Existence and uniqueness of solution of theory of elasticity 61
Semireverse method of Saint-Venant 63
Statement’s of problem of theory of elasticity in cylindrical and spherical systems of coordinates 67
Variations principles, contact and spatial problems
Principles of possible movings of Lagrange 70
Principles of possible forces of Castigliano 75
Theorems of Castigliano 77
Theorem of reciprocity of Betti 79
Variations method of Rayleigh-Ritz 80
Method of Bubnov-Galerkin 81
Method of Ritz - Lagrange 82
Springy half space under the action of shallow power . . . 83
Fundamental deciding for elastic half plane 89
Problem on stamp on elastic half plane 94
Flat contact problem for two elastic bodies 99
Interaction of stamp with elastic half space103
Problem of Hertz 107
Plane problem of theory of elasticity
Plane deformated state110
Plane tensed state 112
Equalisation of consistency via stresses 114
Function of stresses of Airy 114
Examples of solvings of plane problem of theory of elasticity 116
Bending of plates
Main conception and propositions 119
Movings and deformations inside plates121
Stresses and internal efforts inside plates123
Differential equation of bending of plates124
Boundary conditions 125
Cylindrical bending of rectangular plate 127
Rectangular plate under sinusoidal loading128
Solving via double trigonometric series129
Using of single trigonometric series131
Rectangular plate upon elastic bed 132
Bending of round plates134
Symmetrical bending of round plate 136
Elliptical plate 137
Round elastic sandwich plate139
Baselines of theory of plasticity
Plasticity of materials under extension and pressing . . . 151
Conditions of plasticity155
Simple and complex loading 160
Prepositions of theory of small elastoplastic deformations162
Statement of the problem of small elastoplastic deformations163
Method of elastic solutions 165
Geometric interpretation of loading process167
Theory of plastic flow170
Example of terminal surface 173
Baselines of generic mathematical theory of plasticity of A. A. Iluyshin175
Round elastoplastic sandwich plate184
Variable loadings of elastoplastic bodies
Baselines of theory V. V. Moskvitin 188
Thermoplasticity under variable loadings 195
Variable loadings of elastoplastic bodies in neutron field . . 200
Cyclic loadings of sandwich plate 205
Linear viscoelastic materials
Creep and relaxation210
Statement of problems of linear viscoelasticity213
Types of creep and relaxation cores 215
Principle of Volt6rra218
Experimental-theoretical method of A. A. Iluyshin . . . . 220
Temperature-Time analogy 221
Round linear viscoelastic sandwich plate224
Deterioration theory229
Thermoviscoelastoplasticity
Non-linear viscoelastic materials 230
Equations of non-linear viscoelasticity, considering influence of type of stressed state 232
Viscoelastoplastic materials233
Realisation of method of successive approximations in problems of viscoelastoplasticity234
Round viscoelastoplastic sandwich plate 236
Thermoviscoelastoplastic properties of materials
Aluminium alloy D16T247
Ceramic materials253
Teflon255
Influence of radiation upon plastic properties of materials . . . -261
Computation of temperature field within sandwich plate 263
Dynamic problems of theory of elasticity
Statement of dynamic problem of elasticity theory . . .268
Variations principles in dynamic270
Free vibrations of elastic bodies 271
Forced vibrations of elastic bodies274
Relay inequality and Ritz method276
Vibrations of round elastic sandwich plate278
Vibrations of viscoelastic sandwich plate 285
Vibrations of sandwich plate, generated by heatshock .290
Vibrations, caused by ablation299
Progressive waves 302
Waves Rayleigh305
Waves Love 310
Progressive waves in flat layer316
Half plane under tire action of moving shallow power . .322
Vibrations of heterogeneous viscoelastoplastic bodies
General aspects. Free vibrations 335
Forced vibrations near resonance339
Forced vibrations of sandwich plate near resonance . . . . 342
Addendum’s
Axiators in Cartesian references 347
Edge conditions and movings via Airy functions 354
Elements of the theory of generalized functions356
Coefficients of linear-viscoelastic sandwich membrane . . 375
Tests 378
Literature398
Index of Names 402
Subject Index 404
GORSHKOV A. G.STAROVOITOV E. I.TARLAKOVSKY D. V.
THE THEORY OF ELASTICITYAND PLASTICITY
The textbook corresponds to the program of course on elasticity and plasticity theory in technical colleges. The following sections are set up: theory of tensely-deformated state, physical proportions and statement of problems of elasticity theory, energetic principles, plane problem, theory of plates, plasticity theory, linear viscoelasticity. In addition theory of variable loading of elastoplastic bodies, models of thermoviscoelastoplastic bodies, dynamic problems, methods of investigation of thermomechanical properties of materials are considered, contact problems. Methods and examples solutions, including sandwich elements of constructions are set up.
For students, graduate students and scientists.
1 d^TR^) ।1 д^р sin2 У) ।1 до\р<р_
1 д^тко) 1 d(,Qflfl sin д')1 дТфО _ ctgi?^
R3 dR Rsinp dd fisini? dp R
Приведенные соотношения существенно упрощаются в слу
чае осевой симметрии (тогда исчезают производные д/dip, а также все смешанные производные, содержащие еру
Нза — -(■
4ДТГГ \ Г + Хз
Ч Эри Джордж Бидделл (Airy G. В., 1801-1892), английский математик
жений, удовлетворяющую граничным условиям.
В заключение этой главы следует указать, что подробно математические проблемы плоской задачи теории упругости и ме
1) Bauschinger I. Uber die Veranderung der Elastizitatsgrenze und des Elastizitatsmoduls verschiedener Metall//Civilingenieur. 1881. Bd. 27. S. 289-348.
1) Зоммерфельд (Sommerfeld А., 1868-1951) —немецкий физик и матема
В табл. 14.5 использованы следующие обозначения: q = = V9i + 9г , т = \/^Г+^Г+^ ,2^0.
11 \ 2 ’
А. Г. Горшков Э. И. Старовойтов Д. В. Тарлаковский
Теорияупругости ипластичности
Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по машиностроительным специальностям
Утверждено Министерством образования Республики Беларусь ■ в качестве учебника для студентов строительных специальностей высших учебных заведений
ИНВ № 33ИНВ № 33
ИНВ № 33
ИНВ № 33
НЕ БОЛЕЕ 1И КНИГИ В 5
ОДНИ РУКИ И 2Х В ДВЕ }
BHBSWOTWAКОЛОХЗАОСКОР^А
МОСКВАФИЗМАТАИТ2002
УДК 539.3 (075.8) Г47
ББК 22.251
Горшков А. Г., Старовойтов Э. И., Тарлаковский Д. В. Теория упругости и пластичности: Учеб.: Для вузов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 416 с. - ISBN 5-9221-0229-Х.
Изложены следующие разделы курса: теория напряженно-деформированного состояния, физические соотношения и постановки задач теории упругости, вариационные принципы, плоская задача, теория пластин, теории пластичности, линейная вязкоупругость. Включены примеры решения задач и тестовые задания.
В качестве дополнительного материала рассмотрена теория переменного нагружения упругопластических тел, модели термовязкоупругопластических сред, динамические линейные и физически нелинейные задачи, методика получения термомеханических характеристик материалов, контактные задачи. Приведены методы и примеры решения задач, в том числе изгиба и колебаний трехслойных пластин.
Для студентов, аспирантов и научных работников.
Табл. 12. Ил. 134. Библиогр. 63 назв.
ISBN 5-9221-0229-Х
© ФИЗМАТЛИТ, 2002
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 9
Теория напряженно-деформированного состояния
Понятие об упругой сплошной среде 15
Тензор напряжений 18
Свойства тензора напряжений 20
Уравнения равновесия тела 22
Условия равновесия на границе 23
Главные оси и главные значения тензора напряжений24
Максимальные касательные напряжения 27
Девиатор и шаровая часть тензора напряжений... .29
Перемещения и деформации. Тензор деформаций.. .32
Главные оси и главные значения тензора деформаций34
Девиатор и шаровая часть тензора деформаций... .35
Уравнения совместности деформаций 37
Физические соотношения в теории упругости
Энергия деформации и упругий потенциал 41
Закон Гука 43
Закон Гука для анизотропного материала 45
Формула Клапейрона 47
Температурные эффекты 48
Пример исследования напряженно-деформированного состояния 50
Постановки и методы решения задач теории упругости
Граничные задачи 55
Постановка задач теории упругости в перемещениях (уравнения Ламе) 56
Постановка задач теории упругости в напряжениях (уравнения Бельтрами-Мичелла) 58
Теорема Клапейрона 60
Существование и единственность решения задачи теории упругости 61
Полуобратный метод Сен-Венана 63
Постановки задачи теории упругости в цилиндрической и сферической системах координат 67
Вариационные методы, деформирование полупространства и контактные задачи
Принцип возможных перемещений Лагранжа70
Принцип возможных сил Кастильяно 75
Теоремы Кастильяно 77
Теорема взаимности Бетти 79
Вариационный метод Рэлея-Ритца 80
Метод Бубнова - Галеркина 81
Метод Ритца-Лагранжа 82
Упругое полупространство под действием поверхностных сил 83
Фундаментальные решения для упругой полуплоскости 89
Задача о штампе на упругой полуплоскости 94
Плоская контактная задача для двух упругих тел . .99
Взаимодействие штампа с упругим полупространством 103
Задача Герца 107
Плоская задача теории упругости
Плоское деформированное состояние ПО
Плоское напряженное состояние 112
Уравнения совместности в напряжениях 114
Функция напряжений Эри 114
Примеры решения плоской задачи теории упругости . 116
Изгиб пластины
Основные понятия и гипотезы 119
Перемещения и деформации в пластине 121
Напряжения и внутренние усилия в пластине 123
Дифференциальное уравнение изгиба пластины . . . . 124
Граничные условия 125
Цилиндрический изгиб прямоугольной пластины . . . 127
Прямоугольная пластина при синусоидальной нагрузке 128
Решение в двойных тригонометрических рядах . . . . 129
Применение одинарных тригонометрических рядов . . 131
Прямоугольная пластина на упругом основании . . . . 132
Изгиб круглой пластины 134
Симметричный изгиб круглой пластины 136
Эллиптическая пластина 137
Круглая упругая трехслойная пластина 139
Основы теории пластичности
Пластичность материалов при растяжении и сжатии . 151
Условия пластичности 155
Простое и сложное нагружения 160
Гипотезы теории малых упругопластических деформаций 162
Постановка задач теории малых упругопластических деформаций 163
Метод упругих решений 165
Геометрическая интерпретация процесса нагружения . 167
Теория пластического течения 170
Пример предельной поверхности 173
Основы общей математической теории пластичности Ильюшина 175
Упругопластический изгиб круглой трехслойной пластины 184
Переменные нагружения упругопластических тел
Основы теории Москвитина 188
Термопластичность при переменных нагрузках . . . . 195
Переменные нагружения упругопластических тел в нейтронном потоке 200
Циклическое нагружение трехслойной пластины . . . 205
Линейные вязкоупругие среды
Ползучесть и релаксация 210
Постановка задач линейной вязкоупругости 213
Виды ядер ползучести и релаксации 215
Принцип Вольтерра 218
Экспериментально-теоретический метод Ильюшина . 220
Температурно-временная аналогия 221
Круглая линейно-вязкоупругая трехслойная пластина 224
Теория старения 229
Термовязкоупругопластичность
Нелинейные вязкоупругие среды 230
Уравнения нелинейной вязкоупругости, учитывающие влияние вида напряженного состояния 232
Вязкоупругопластические среды 233
Метод последовательных приближений в задачах вяз- коупругопластичности 234
Круглая вязкоупругопластическая трехслойная пластина 236
Термовязкоупругопластические характеристики материалов
Алюминиевый сплав Д16Т 247
Керамические материалы 253
Политетрафторэтилен 255
Влияние радиации на механические свойства материалов 261
Расчет температурного поля в трехслойной пластине . 263
Динамические задачи теории упругости
Постановка динамической задачи теории упругости . 268
Вариационный принцип в динамике 270
Свободные колебания упругих тел 271
Вынужденные колебания упругих тел 274
Неравенство Рэлея и метод Ритца 276
Колебания круглой упругой трехслойной пластины . . 278
Колебания вязкоупругой трехслойной пластины . . . . 285
Колебания трехслойной пластины, возбужденные тепловым ударом 290
Колебания, вызванные абляцией 299
Прогрессивные волны 302
Волны Рэлея 305
Волны Лява 310
Прогрессивные волны в плоском слое 316
Полуплоскость под действием движущейся поверхностной силы 322
Колебания неоднородных вязкоупругопластических тел
Общие положения. Свободные колебания 335
Вынужденные колебания вблизи резонанса 339
Колебания круглой трехслойной пластины вблизи резонанса 342
Приложения
Тензоры в декартовых координатах 347
Краевые условия и перемещения в функциях Эри . . 354
Краткие сведения обобобщенных функциях 356
Коэффициенты линейно-вязкоупругой трехслойной пластины 376
Тестовые задания потеорииупругости 378
Список литературы 398
Именной указатель 402
Предметный указатель 404
ПРЕДИСЛОВИЕ
При написании учебника авторы основывались на курсах «Теория упругости» и «Теория упругости и пластичности», читаемых ими в течение ряда лет в Московском государственном авиационном институте (техническом университете) и Белорусском государственном университете транспорта для различных инженерных специальностей. Основная цель книги состоит в отражении современных подходов к постановке и решению задач теорий упругости, пластичности и вязкоупругости.
Учебник предназначен, в первую очередь, для студентов технических университетов, поэтому наряду с тензорной формой записи применялась координатная. Авторы основывались на глубоком убеждении в том, что подобный материал для любых специальностей должен излагаться с достаточным уровнем математической строгости и доказательно, где это требуется в рамках курса. В связи с этим книга может использоваться в учебном процессе для широкого спектра специальностей. Для успешного освоения материала необходимо знание соответствующих разделов стандартного курса математического анализа, а также линейной алгебры и дифференциальных уравнений. Дополнительные сведения по тензорному анализу и обобщенным функциям приведены в приложении (глава 14).
В первой части книги (главы 1-7), предназначенной в основном для студентов, рассмотрены следующие разделы курса: теория напряженно-деформированного состояния, физические соотношения и постановки задач теории упругости, вариационные принципы, контактная задача теории упругости, плоская задача, теория пластин, теории пластичности, линейная вязкоупругость. При этом используется аппарат тензорного исчисления в прямоугольной декартовой системе координат. Теоретический материал сопровождается типовыми примерами решения учебных задач. Удобные для контроля и самоконтроля знаний студентов тестовые задания приведены в приложении.
Материал последних шести глав (главы 8-13) могут быть использованы студентами при изучении расширенных курсов «Теория упругости и пластичности», в спецкурсах, а также будут полезны аспирантам и научным сотрудникам, работающим
в области механики деформируемого твердого тела. Здесь излагаются основы современной теории пластичности (общей, малых упругопластических деформаций и теории течения), линейной и нелинейной вязкоупругости. Отдельно рассмотрена теория ква- зистатического переменного нагружения упругопластических тел в тепловых и радиационных полях. Предлагаются постановки динамических задач теории упругости (линейные колебания, волны и колебания физически нелинейных тел вблизи резонанса).
Как приложение рассмотренных постановок задач и методов их решения каждая глава, начиная с шестой, содержит раздел по соответствующему исследованию трехслойных круговых пластин, набранных из различных материалов. Приведены аналитические решения и числовые результаты для упругих, упругопластических, линейно вязкоупругих и вязкоупругопластических пластин при квазистатических и динамических нагрузках. Необходимые для числового счета термовязкоупругопластические характеристики конкретных материалов содержатся в одиннадцатой главе.
Список литературы представлен не в полном объеме, а лишь указывает на источники, которые в той или иной мере были использованы при подготовке данного учебника.
Авторы выражают глубокую признательность рецензентам за внимательное прочтение рукописи и ценные замечания, большинство из которых были учтены при подготовке окончательного текста книги. Они будут благодарны всем читателям за замечания любого характера.
Теории упругости, пластичности и линейной вязкоупругости представляют собой разделы механики деформируемого твердого тела — совокупности дисциплин, изучающих напряженно-деформированное состояние твердых тел. Сюда входят также сопротивление материалов и строительная механика.
Задачи, которые решаются этими науками, сходны между собой и заключаются в установлении связи между внешними нагрузками и поведением деформируемого тела.
Различие же между ними состоит в рассматриваемых объектах, принимаемых допущениях и в методах решения задач. В курсе сопротивления материалов рассматриваются главным образом брусья; в теории упругости — брусья, пластины, оболочки и массивы; в строительной механике — системы, состоящие из стержней (фермы), балок (рамы), пластин и оболочек. В теориях упругости, пластичности и вязкоупругости используются различные физические законы, устанавливающие связь между напряжениями и деформациями, но каких-либо деформационных гипотез не вводится. В результате приходится решать существенно более сложные задачи, чем в сопротивлении материалов, и для их решения прибегать к более сложным математическим методам.
Часто теорию упругости (это относится и к теории пластичности) подразделяют на математическую и прикладную теории упругости.
Математическая теория упругости не использует никаких деформационных гипотез, а получаемые уравнения решаются либо точными, либо такими приближенными методами, которые позволяют безгранично увеличивать степень приближения к точному решению. Поэтому можно считать результаты, получаемые при решении задач математической теории упругости, эталоном для оценки точности различных приближенных теорий и методов решения сходных задач.
Прикладная теория упругости отличается от математической тем, что для решения задач помимо закона Гука применяются некоторые дополнительные гипотезы деформационного характера (гипотеза плоских сечений для стержней, прямых
нормалей для пластин и оболочек и т. п.). При решении задач прикладной теории упругости наряду с точными методами решения соответствующих уравнений могут применяться и приближенные. Между прикладной теорией упругости, тесно связанной с запросами практики, и сопротивлением материалов нет четкой границы.
Первым математиком, который занимался сопротивлением твердых тел разрушению, был Галилей г). Хотя он считал твердые тела неупругими и не владел законом, связывающим смещения и силы, но его работы указали путь, по которому пошли другие исследователи.
Открытие закона Гука) в 1660 г. и установление общих уравнений Навье) в 1821 г. представляют две важные вехи в дальнейшем развитии теории, начавшейся с Галилея. Закон Гука дал необходимое экспериментальное обоснование теории. Нахождение общих уравнений позволило свести к математическим вычислениям все проблемы, относящиеся к малым деформациям упругих тел.
В период времени между открытием закона Гука и установлением общих дифференциальных уравнений теории упругости интерес исследователей был направлен на проблемы колебаний стержней и пластин, а также на устойчивость колонн. Сюда следует отнести в первую очередь фундаментальные работы Я. Бернулли) , посвященные форме упругой кривой, и Эйлера) , положившие начало исследованиям в области устойчивости упругих систем. Лагранж ) следовал теории Эйлера и применил ее для определения наиболее надежной формы колонн.
Математическая теория упругости как наука сложилась в первой половине XIX века в основном благодаря трудам французских инженеров и ученых. Впервые уравнения равновесия и колебаний упругих твердых тел в предположении дискретного молекулярного строения тела были получены Навье. Пользуясь вариационным исчислением, он выводит не только дифферен-
х) Галилей Галилео (Galilei Galileo, 1564-1642), итальянский ученый, один из основателей современной механики, первым исследовал прочность балок.
циальные уравнения, но также и граничные условия, которые должны удовлетворяться на поверхности тела.
Ламе) и Клапейрон) развили теорию Навье применительно к строительному делу. Ими был написан специальный мемуар о внутреннем равновесии твердых тел, решена задача о напряжениях и деформациях толстостенной трубы при осесимметричном нагружении (задача Ламе\
К осени 1822 г. Коши) открыл большинство основных элементов чистой теории упругости. Он ввел понятие о напряжении и деформациях в данной точке. Показал, что они могут быть определены шестью соответствующими компонентами. Исходя из гипотезы о сплошном и однородном строении твердого тела, Коши получил уравнения движения (или равновесия). Он впервые ввел в уравнения теории упругости две упругие постоянные, в то время как уравнения Навье содержали лишь одну. Соотношения, связывающие малые деформации и перемещения, названы его именем.
Значительный вклад в развитие теории упругости принадлежит Сен-Венану ). Им был предложен новый подход для решения ряда прикладных задач (полуобратный метод Сен-Венана). С помощью этого метода были решены важные задачи об изгибе и кручении бруса некруглого поперечного сечения. Ему также принадлежат исследования по колебаниям, удару, теории пластичности.
Во второй половине XIX века Г. Кирхгоф ) сформулировал основные уравнения теории тонких стержней, положив начало развитию методов расчетов упругих пружин. Кроме того, им разработана последовательная теория тонких пластин. Первые попытки в этом направлении были сделаны Лагранжей и Софи Жермен) в 1814 г., но они не сумели правильно сформулировать граничные условия задачи.
В конце XIX века Ароном) и Лявом) даны первые варианты уравнений современной теории оболочек, основанные на применении гипотезы недеформируемости нормального прямолинейного элемента. Буссинеск) изучал распределение напряжений в упругом теле под действием сосредоточенной силы. Это позволило Герцу) поставить задачу о взаимодействии при контакте двух упругих тел.
Важную роль в развитии теории упругости сыграли работы русских ученых. Фундаментальные результаты в развитии принципа возможных перемещений, теории удара, а также интегрирования уравнений динамики принадлежат Остроградскому ). Генерал от артиллерии Гадолин ) исследовал напряжения в многослойных цилиндрах, построив тем самым основы проектирования стволов артиллерийских орудий. Журавский ) изложил современную теорию изгиба балок. Он широко применял методы сопротивления материалов при проектировании многочисленных мостов железных дорог. Существенное продвижение в решении плоской задачи теории упругости связано с трудами Колосова ) и Мусхелишвили ) , которые впервые применили метод, основанный на использовании функций комплексного переменного. Бубновым) решен ряд задач об изгибе пластин.
Основополагающие исследования по теории пластин и оболочек, колебаниям стержней с учетом влияния деформаций сдвига были выполнены Тимошенко х). Многие задачи решены предложенным им энергетическим методом. •
Галеркину) принадлежит большой цикл исследований по теории изгиба тонких пластин, толстых плит и теории оболочек. Для вывода уравнений теории оболочек он, по-видимому, впервые применил уравнения трехмерной теории упругости. Папко- вичем ) впервые предложено решение задач теории упругости в перемещениях в форме гармонических функций, а также исследованы общие теоремы устойчивости упругих систем, решен большой цикл задач об изгибе пластин при различных граничных условиях.
Большой вклад в развитие общей теории оболочек внесли Власов), Новожилов), Работнов). Власовым исследовались общие уравнения теории оболочек, разработаны технический и полубезмоментный ее варианты, предложена новая теория изгиба и кручения тонкостенных стержней открытого профиля. Он — основоположник новой научной дисциплины — строительной механики оболочек.
Теория пластичности в качестве самостоятельного раздела механики начала оформляться более ста лет назад. В первых работах Сен-Венана, относящихся к 1868-71 годам, были сформулированы основы теории пластического течения. Создание ее было направлено на описание процессов обработки металлов давлением. Хотя в распоряжении Сен-Венана было ограниченное количество опытных данных, ему удалось (в некоторой степени по аналогии с гидродинамикой вязкой жидкости) сфор-
х) Тимошенко Степан Прокофьевич (1878-1972), русский ученый, с 1922 г. — в США; труды по устойчивости упругих систем, вариационным методам, вибрации.
мулировать отдельные закономерности, значимость которых сохранилась до наших дней.
В начале XX века Карман) (1909), Хубер) (1904), Мизес) (1913), Надаи) (1921), Хенки) (1924) и другие выдвинули новые концепции и теории, которые хотя и не решили проблемы, но расширили круг идей. В 20-е и 30-е годы помимо предложения разных вариантов теории были широко поставлены экспериментальные исследования. Это был важный этап в развитии теории пластичности. Однако к концу 30-х —началу 40-х годов сложилась ситуация, когда одни опыты подтверждали одну теорию и опровергали другие теории. В то же время данные других опытов свидетельствовали наоборот.
Ясность была внесена Ильюшиным) (1943-45). Он указал на необходимость различения характера процессов деформирования ^простая и сложная деформации'). Анализ экспериментальных данных свидетельствовал о взаимной согласованности, если они были получены в условиях простой деформации. Эти исследования завершились разработкой теории малых упругопластических деформаций.
В начале 50-х годов были предложены различные теории пластичности при произвольном сложном нагружении. Эти подходы оформились в виде трех теорий: современная теория течения, теория скольжения и обитая теория упругопластических деформаций.
Построение общей математической деформационной теории пластичности базируется на сформулированном Ильюшиным постулате изотропии. Основой дальнейшего развития теории течения упругопластических тел является постулат упрочнения Дракера ) о неотрицательности работы внешних сил в замкнутом цикле пластического нагружения.
В развитие этих направлений большой вклад внесли теоретические и экспериментальные исследования ряда отечественных и зарубежных ученых.