Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ЧАСТЬ I
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРАИ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
ГЛАВА 1*
ТЕНЗОРЫ НА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Линейное пространство и сопряженное пространство
Для изложения основного материала необходимы некоторые сведения, известные из курса линейной алгебры. Прежде всего напомним определение линейного пространства над числовым полем К. При этом под последним будем понимать поле действительных (К = /?) либо комплексных чисел (К = С).
Определение 1.1.1. Множество L называется линейным пространством над полем К, если:
в нем определены операции сложения (любым двум элементам х, yeL сопоставлен однозначно некоторый элемент из L, называемый их суммой и обозначаемый х + у) и умножения на число (любым элементу х е L и числу а е К сопоставлен элемент из L, называемый их произведением и обозначаемый ах);
эти операции для любых х, у, z е Г и а, р е К удовлетворяют следующим аксиомам:
х + у — у + х;
(х + у) + z = х + (у + z);
в L существует такой элемент О, называемый нулевым, что х + в = х для любого хе L;
для любого х е L существует такой элемент, называемый обратным к х и обозначаемый -х, что х + (-х) = 6;
1 х=х;
а(Рх) = (аР)х;
(а + р)х = ах + Рх;
а(х + у) = ах + ау.
Элементы пространства L называются также векторами. □
Все понятия и утверждения, связанные с линейными пространствами, полагаем известными. В том числе будем рассматривать только конечномерные линейные пространства. Размерность п пространства L будем обозначать так: dim L = n.
На множестве L можно определить числовую функцию со значениями в поле К".
a.L^K.(1.1.1)
Определение 1.1.2. Функция а называется линейной, если для любых х, у е Ьиае К выполняются следующие условия:
а(х + у) = а(х) + а(у);
а(ах) = аа(х). □
Далее будем использовать мнемоническую (от греч. тпётё - память) запись сумм. При суммировании в пределах от 1 до л по повторяющимся латинским индексам знак суммы Е опускается:
X аф6 = а, 6,.
i=i
Если необходимо подчеркнуть, что суммирование отсутствует, то в качестве индексов будем использовать греческие индексы. Например, да6а означает произведение двух элементов оа и 6а. Если возникнет потребность отойти от этих правил, то это будет специально оговорено в тексте.
Пусть
еъе2,..„ е„(11.2)
- произвольный базис в L. Тогда, как известно, любой вектор х е L единственным образом может быть представлен в виде
х = х'е,.(1.1.3)
Здесь х* - координаты вектора х в базисе (1.1.2). Смысл расположения индексов будет ясен из дальнейшего изложения.
Теорема 1.1.1. Значение линейной функции (1.1.1) на любом векторе (1.1.3) может быть единственным образом представлено в виде однородного многочлена первой степени:
а(х) = ape', а, = а(е,),(1.1.4)
где а,- - значение функции а на векторе е^
Доказательство этого утверждения вытекает из определения 1.1.2 и разложения (1.1.3):
а(х) = а(х'е,) = а(в; )х' = а;х‘. □
Определение 1.1.3. Однородные многочлены принято называть формами, а соответствующие многочлены (1.1.4) - линейными формами.
Числа а, - коэффициенты (координаты) линейной формы. □
Отметим, что с учетом введенного понятия предыдущая теорема, очевидно, может быть переформулирована так.
Следствие 1.1.1. Фиксирование базиса в L каждой линейной функции на L ставит во взаимно однозначное соответствие ее линейную форму. □
При этом очевидно, что если понятие функции инвариантно, то линейная форма непосредственно связана с данным базисом.
Заметим также, что поскольку К - линейное пространство размерности 1, то линейная функция (1.1.1) - частный случай линейного оператора (линейного отображения). Поэтому в качестве следствия известных результатов линейной алгебры для множества линейных функций на L
Г =End(L, К)= {а}-(1.1.5)
имеем следующее утверждение.•
Теорема 1.1.2. Множество L* линейных функций (линейных форм), определенных на линейном пространстве L, само образует линейное пространство. Причем dim L* = dim L = п. □
Напомним, что нулевой в и противоположный (-х) элементы в L* определятся так: для любого хе L
0(х)=О, -х = (-1)х.(1.1.6)
Определение 1.1.4. Пространство L* в (1.1.5) называется сопряженным пространству L. □
Пока будем различать пространства LaL*, хотя напомним, что любые два пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
Взаимные базисы.Контравариантные и ковариантные векторы
Рассмотрим специальную систему векторов в сопряженном пространстве■
е’(х),..., е"(х); е'(е,) = 8).(1.2.1)
Здесь 8у - символ Кронекера (Зу = 1 при i = j и 8у = 0 при i * j). Напомним, что равенства в (1.2.1) однозначно определяют каждую из линейных функций е*(х).
Теорема 1.2.1. Система векторов (1.2.1) является базисом в L*.
Доказательство. Поскольку число векторов в системе совпадает с размерностью пространства, то достаточно показать, что она является линейно независимой. Для этого приравняем нулевому элементу линейную комбинацию: а^ = в. Применяя затем функции, стоящие в этом равенстве слева и справа, к в} (1 ^ j < л), с учетом
и (1.1.6) получим (нулевому элементу соответствует нулевой элемент)
(а,<?')(»,) = а^) = а,5< = а, = 0 (еу) = О, что и завершает доказательство. □
Оиределеиие 1.2.1. Базис (1.2.1) в I? называется взаимным (контравариантным, от лат. contra - против; биортогональным, от лат. bis - дважды) данному базису в), ..., еп в L. □
Очевидно, что для данного базиса взаимный базис определяется единственным образом. Кроме того, указанная пара базисов обладает следующими свойствами.
Теорема 1.2.2. Пусть (1.2.1) - базис, взаимный базису (1.1.2), тогда для любых х = х*е, е L и u = и^е* е L* имеют место равенства
х* = е'(х), и, = ute^.(1.2.2)
Доказательство вытекает из следующих равенств:
е' (х) = е' ^е0 = хЧ' (е^ = х*б^ = х1;
и(в;) = (Ujej )(е,) = UjCj (е,;) = и= и(. □
Теперь наряду с базисом (1.1.2) в L рассмотрим также "новый" базис
вр—.вп*(1.2.3)
Как известно, указанные базисные векторы и соответствующие координаты х* и х'* вектора х связаны между собой следующими соотношениями:
ej^PjC;;(1.2.4)
х'^х1,(1.2.5)
где Р = (.Pj^xn - матрица перехода от базиса (1.1.2) к базису (1.2.3) (от "старого" к "новому" базису), a Q = (^)nxn = Р-1.
Определение 1.2.2. Преобразование по формуле (1.2.5) с помощью матрицы Q называется преобразованием по контравариантному закону, а преобразование по формуле (1.2.4) с матрицей Р - по ковариантному закону (от лат. со — совместный). □
Следовательно, в пространстве L координаты векторов преобразуются по контравариантному закону, а базисные векторы - по ковариантному.
Далее рассмотрим в L* базис
в^.-УЧ^(1.2.6)
взаимный с новым базисом из L, т.е. удовлетворяющий условиям
*"(<) = 5',(1.2.7)
а также произвольный элемент и(х) из L* с координатами и, и и- в базисах (1.2.1) и (1.2.6):
и(х) = и,е'(х) = и;е"(х).(1.2.8)
Оказывается, что они преобразуются в некотором смысле обратным образом.
Теорема 1.2.3. В сопряженном пространстве I? координаты векторов взаимных базисов преобразуются по контравариантному закону, а соответствующие координаты векторов - по ковариантному.
Доказательство. Для базисных векторов придем к требуемому результату после повторного использования первого равенства в (1.2.2) с учетом (1.2.5):
е'Чх> = хИ =д‘^ =д>Чх\(1-2.9)
Кроме того, из последних равенств следует, что матрицей перехода от базиса (1.2.1) к базису (1.2.6) является Q. Следовательно, соответствующие координаты функции (1.2.8) связаны между собой с помощью элементов матрицы, обратной к Q, т.е. Р:
u^p’jUj.(1.2.10)
Тот же результат может быть получен с учетом (1.2.2) и (1.2.4) в виде и'; = и(е<) = и(р'е,) = р^и^) = р*^. □
В соответствии с методами преобразования координат векторов в исходном и сопряженном пространстве вводится следующая терминология.
Определение 1.2.3. Векторы из L и L* называются соответственно контравариантными и ковариантными. □
В тензорном исчислении принято в случае ковариантного закона преобразования пользоваться нижними индексами, в случае контрава- риантного - верхними, что соответствует используемым здесь и далее обозначениям (см. также формулу (1.1.3)). Индексы элементов матриц Р и Q расставляются так, чтобы индекс суммирования, дважды встречающийся в выражении общего члена суммы, один раз был внизу и один раз вверху.
Далее попытаемся выяснить, что представляет собой пространство (£*)* - сопряженное сопряженному. Для этого введем следующее понятие.
Определение 1.2.4. Назовем сверткой элемента и^ = u^x) е L* с элементом у = ye, е L число
(u,y)=ufcyt.(1.2.11)
Иногда свертку называют скалярным произведением и обозначают также и • у. □
Очевидно, свертка задает следующее отображение:
L*xL^K.(1.2.12)
Теорема 1.2.4 (свойства свертки'), а) Для любых у е L и и е L* имеет место симметрия
(и, у) = (у, и).
Если фиксирована линейная функция и, то свертка равна ее значению на векторе
(«,j) = »(y).(1.2.13)
Свертка инвариантна (не зависит от выбора базисов в L и L*).
Свертка линейна по каждому из аргументов.
Доказательство утверждения а) вытекает непосредственно из определения 1.2.4 (меняется только расположение индексов, что является лишь принятой по соглашению условностью). Сравнение формул (1.1.4) и (1.2.11) при учете теоремы 1.2.1 приводит к равенству (1.2.13), а из него следует инвариантность свертки и линейность по второму аргументу. К линейности же по второму аргументу придем, привлекая дополнительно п. а) данной теоремы. D
Следствие 1.2.1. Линейное пространство, сопряженное сопряженному пространству L*, есть пространство L:
(L*)* =L.(1.2.14)
Доказательство. Пусть и е L*. Тогда для любого у е L (и, у) = (у, и), откуда имеем у е (L*)*. Если же у е (L*)*, то (у, и) = (и, у) и у g L, что и завершает доказательство. □
Несмотря на указанную симметрию, далее одно из пространств L и L* (а именно L) будем принимать за исходное.
Тензорное произведение линейных пространств
Определение 1.3.1. Пусть L и L - линейные пространства над числовым полем К, и х е L, х е L. Упорядоченная пара хх называется произведением х на х (диадой, от греч. di - приставка, обозначающая "дважды"). □
Отметим, что даже если L = L, то, вообще говоря, хх * хх.
Рассмотрим множество Т, элементами которого будут конечные наборы произведений элементов из L и L:
T = U = lctcv...,ckc^\cv. ,ckeL; сАскеЦ.(1.3.1)
Определение 13.2. Элементы t множества Т назовем суммой произведений и обозначим так:
t =С]С] + ...+скск. □(1.3.2)
Затем введем на множестве Т следующее отношение равенства.
Определение 1.3.3. Положим, что элементы из Т для любых х,уе е L, х,у eL, х eL и а е К удовлетворяют следующим условиям равенства1.
сумма (1.3.2) не зависит от порядка записи слагаемых;
(х+у)х =хх*ух и х(х+у) = хх+ху;
(ах)х = х(ах);
(хх)х = х(х х). □
Таким образом, две конечные суммы /], t^eT считаются равными тогда, и только тогда, когда одна из другой может быть получена с помощью условий определения 1.3.3. Отметим, что уеловие 4) для §1.4 является излишним, оно понадобится только при рассмотрении числа линейных пространств, большего двух (см. § 1.5).
Далее введем на множестве Т линейные операции.
Онределеиие 1.3.4. Суммой двух элементов t = схсх+... + скск и t' = dxdx + ...+dmdm назовем элемент, который представляет собой набор пар элемента t, объединенный с набором пар элемента t:
t+t' = cxcx + ...+скск *dxdx +...+dmdm.(1.3.3)
Произведение элемента t на число а определим из равенства
ot^oC])^+... + (act)ct. □(1.3.4)
Заметим, что сумма t + f в силу условия 1) определения 1.3.3 не зависит от порядка записи слагаемых, а произведение а/ по условию 3) того же определения может быть записано так:
at = сх(асх)+...+ск(аск).
Теорема 13.1. Множество (1.3.1) с введенными на нем операциями (1.3.3) и (1.3.4) является линейным пространством.
Доказательство. Действительно, аксиомы 1), 2) и 5)-8) определения 1.1.1, очевидно, выполняются вследствие задания линейных операций, а также условий 1) и 3) определения 1.3.3. Остается проверить аксиомы 3) и 4) определения 1.1.1.
Нулевым элементом в Т будет 66, так как 00 = 0(Ох) = = (0-6)х = 6х (аналогично 00 = х0), и хх + 66 = хх + 6х = (х + 0)х=хх. Отсюда для любого t = схсх + ...+скск е Т имеем
t + 66 = схсх +... + (скск + 00) = схсх +...+скск = t.
Обратным же к элементу t является (-1)#, так как
+ (—IX =схсх + ...+скск +(-1) (схсх + ...+скск) =
(q + (—1)С] )ё] +...+(ск + (-l)ct )ск = 6сх +...+6с к = 0(ё( +...+ск) = 00.
Итак, Т является линейным пространством. □•
Определение 1.3.5. Линейное пространство Т называется тензорным произведением пространств £ и £ и обозначается
T = L®L.
Элементы пространства Т называются тензорами (от лат. tensus - напряженный) над пространствами £ и £. □
Из введенных в этом параграфе понятий очевидным образом вытекают следующие свойства тензорного произведения.
Теорема 1.3.2. а) Некоммутативность: если L* L, то £ ® £ * *£®£.
б) Ассоциативность: (£ ® £) ® £ = £ <8> (£ <8> £). □
Рассмотрим теперь сопряженные £ и L пространства £* и £* и введем операции свертки элементов из Т с элементами из £* и £*.
Определение 1.3.6. Правую свертку (свертку по второму элементу) произведения хх еТ с элементом й е L определим равенством
(хх,и) = х(х,й),(1.3.5)
где (х, й) - свертка в смысле определения 1.2.4.
Если и е £*, то левая свертка (свертка по первому элементу) произведения хх с элементом и задается равенством
(и, хх) = (и, х)х,(1.3.6)
где (и, х) опять свертка в смысле определения 1.2.4.
Аналогично определению 1.2.4 наравне с (1.3.5) и (1.3.6) используются также обозначения хх • й и й- хх. □
Так как (и, х) - число, то свертка (и,хх) есть вектор из L, коллинеарный вектору х.
Отметим, что поскольку (х,й) и (и, х) - числа, то свертка (хх,й) есть вектор из £, коллинеарный вектору х, а (и,хх) - вектор из £, коллинеарный вектору х.
Определение 1.3.7. Правую и левую свертки произвольного элемента t = с^ + ...+ckck е Т определим такими равенствами:
(clcl+„.+ctct,n) = cl(cl,n) + ...+ct(ct,n); ^^
(и,схЛ +...+ckck) = (и,сх )Ci +... + (u,ck )ck.
Нетрудно видеть, что в силу линейности сверток из определения 1.2.4 и отношения равенства на Т для двух равных элементов t = f их соответствующие свертки равны.
Базис в тензорном произведении.Координаты тензора
Пусть dim L = п и dimZ = т, ех,...,еп - базис в L и ёх,...,ёт - базис в L. Рассмотрим тензорное произведение Т= L^L. Далее мнемоническую запись кратных сумм будем использовать только в случае равных верхних пределов.
Лемма 1.4.1. Если ехсх +... + епсп = 66, где с, е Z, то сх =... = сп = 0.
Доказательство. Возьмем в L* базис ех,...,еп, взаимный с данным базисом в L, и рассмотрим левую свертку с е1 левой и правой частей равенства из условия леммы: (е*,ехсх + е2с2 +... + епсп) = (е*,00);
(ех,ех^сх +(ех,е2)с2 + ... + (е',е„)с„ = (е*,0)0;
• С] + 0 • с2 +... + 0 • с„ = 0 • 0 = 0.
Отсюда следует, что сх = 0.
Используя аналогичные свертки с е2,...,е”, получим с2 = 0,...,с„ = 0. □
Из леммы 1.4.1 вытекает следующее утверждение.
Теорема 1.4.1. Произведения базисных векторов е^ (i = l,...,n; j = 1,..., /п) образуют базис в пространстве Т.
Доказательство. Сначала покажем, что эти пары образуют линейно независимую систему векторов в Т. Пусть
Z <W} = 00, ij.
где tty - некоторые числа. Переписывая это равенство в виде
п^ехп^ехm„I a^i = 00,m„I a^i = 00,
п
^ех
п
^ех
m„
I a^i = 00,
m„
I a^i = 00,
по лемме 1.4.1 получим, что
X а^=0 (1 = 1,...,и). /=•
Так как {ёу} - базис, то ау = 0 (t = 1,..., и; j = 1,.... /и).
Возьмем произвольный элемент t =схсх + ...+скск е Т. Имея разложения векторов сх,...,ск по базису ех,...,еп и векторов сх,...,ск по базису ёх,...,ёп, с помощью отношения равенства (см. определение
найдем
п т
t = I. I.T4eiej,(1.4.1)
<=1 у=1
где tv - некоторые числовые коэффициенты. Из этого равенства следует, что произвольный элемент из Т является линейной комбинацией пар е^ёр что и завершает доказательство. □
Из теоремы 1.4.1 очевидным образом вытекает следующее утверждение.
Следствие 1.4.1. Если dimL = п и dim L = m, то dim(L ® Z) = пт. □
Определение 1.4.1. Координаты tv в (1.4.1) элемента te Г в базисе e^j (i = l,...,n; j = l,...,m) называют также компонентами тензора t. □
Теперь рассмотрим специальные случаи тензорного произведения двух пространств. А именно указанную пару пространств выберем, допуская повторения из L и L* (как показано ранее, эти пространства имеют одинаковую размерность). Возможны три варианта пар, для тензорных произведений которых используются следующие обозначения:
To2 = L®£, 1^ = £®С, T^ = L®C(1.4.2)
и приведенная ниже терминология.
Определение 1.4.2. Элементы произведений Tq, Т® и Т^ называются соответственно контравариантными, ковариантными и смешанными тензорами второго ранга над пространством L. □
Отметим, что величина ранга совпадает с числом участвующих в произведениях пространств и равна сумме индексов в их обозначениях.
Из формулы (1.4.1) для этих тензоров получим следующие разложения.
Следствие 1.4.2. Пусть ev...,en - базис в пространстве L и eV-.e" - взаимный ему базис в L*. Тогда
если teT02, то
/«т^е,;(1.4.3)
если t е Т®, то
С = туе'е*;(1.4.4)
если /еТ/, то
# = т'е,-еЛ □(1.4.5)
Далее аналогично формулам (1.2.5) и (1.2.10) установим законы преобразования компонент тензоров при переходе к новым базисам
и (1.2.6). Соответствующее утверждение в терминологии определения 1.2.2 имеет следующий вид.
Теорема 1.4.2. Компоненты тензоров второго ранга преобразуются так, что каждому верхнему индексу соответствует контравариантный закон, а нижнему - ковариантный, т.е. (штрихом обозначены компоненты в новых базисах)
'Г,Ы = т9^, т'и=тцр1кр5, т;* = ^кр{.(1.4.6)
Доказательство проведем для t е Т02 (остальные варианты проверяются аналогичным образом). С одной стороны, имеем
' = т'^ = У^е'^ = У'^М-
А с другой - t = т^е'^, откуда придем к первому из равенств (1.4.6). □
Равенства (1.4.6) оправдывают принятые выше расположения индексов у компонент тензоров в различных пространствах.
Поскольку Tq, Т® и 7J1 - линейные пространства, то в них определены операции сложения (t + s- сумма тензоров) и умножения на число а е К (at - произведение тензора на число). Известные результаты для линейных пространств приводят к следующему выводу.
Следствие 1.4.3. При сложении тензоров их соответствующие компоненты складываются, а умножение на число эквивалентно умноже- Д нию на это число каждой из компонент. Например, для t = У^ву е Tq С\ ::2
1^ и s = <$ e^j е То имеем
, ^t + s = (т9 + a9 >£,,at = ат9е,е,. □(1.4.7)
'X Получим теперь применительно к Т02, Т^ и Tj1 координатную форму данной в определении 1.3.7 свертки.
Теорема 1.4.3.
Если t = У*е,е} gTq и и = и^1 g£, то
и,и") = х = х’в: g L, х‘=Укик, .. г(1-4.8)
(иД) = X = х'в; gL, х‘ = Т ик..
Если t = Тув1^ gT® и х = хкек е L, то
U,xA = и = ил' g £, и: = т!кхк,
(x,f) = и = и,е gL , и, = тИх .
Если t = Tye,^v е т/ и х = хкек е L, то
(t,x) = у = у‘в( gL, у* = ткхк.(1.4.10)
Если t = т'е,е-' е 7]1 и и = и^' е С, то
(и, 0 = v= и.в'еС, и( = ткик.(1.4.11)
Доказательство всех формул проводится аналогично. Поэтому рассмотрим первое равенство в (1.4.8). Для его левой части с использованием определения 1.3.7 и теоремы 1.2.4 найдем
(t,u) = ^e^j ,икек) = T^u^jtej, e*) = т'-'и^е.е* (Cj) =
= ^ике$ = ^и*.
что и завершает доказательство. □
Таким образом, в результате сверток получается некоторый вектор, координаты которого находятся суммированием по соответствующему индексу координат вектора и компонент тензора (конкретные правила вытекают из формул (1.4.8) - (1.4.11)).
Кроме того, для t еТ' можно ввести еще одно понятие.
Определение 1.4.3. Внутренней сверткой (I) тензора t = c]d] + ...+ckdk е Т^С; eL, d-e С) называется число, которое получается в результате замены каждой пары Cjdj в сумме сверткой векторов (с,•,</,):
(O = (cI,d1) + ... + (ct,dt)eK. □(1.4.12)
Теорема 1.4.4. Координатная форма записи внутренней свертки имеет следующий вид:
Ю = т' = т;+... + т".(1.4.13)
Доказательство вытекает из последнего определения и теоремы 1.2.4:
(О = т'-^,,^) = т'еу(е.) = т'8/ = т| +... + т”. □
Следствие 1.4.4. Внутренняя свертка инвариантна относительно выбора базиса.
Доказательство следует как непосредственно из определения 1.4.3, так и из формулы (1.4.13) с использованием последнего равенства в (1.4.6):
< = ^Рк = т/5/ = < □
Как видим, в любом случае при свертке общее число индексов понижается на две единицы. Когда остается один индекс, результат свертки есть тензор первого ранга, т.е. вектор из L или L*. В случае, когда свободных индексов не остается, получается числовой инвариант.
Замечание 1.4.1. Кроме указанных в (1.4.2) тензорных произведений, может быть рассмотрено еще одно, L ® Ц которое в силу неком- мутативности в общем не совпадает с 7]1. Однако, как нетрудно установить, координаты элементов этого пространства преобразуются так же, как и компоненты тензоров из г/, и поэтому ограничиваются только пространством Т^. Смысл этого подробнее раскрывается в главе 2. О
Отметим, что с учетом этого замечания формулы преобразования (1.4.6) могут быть положены в основу определения тензоров второго ранга. Для обоснования этого предварительно введем следующее понятие.
Определение 1.4.4. На упорядоченной совокупности линейных пространств Ц,..., Lr задай геометрический объект ранга г (число пространств), если:
Каждой совокупности базисов из Ц,..., Lr однозначно соответствует упорядоченная система чисел (компонент объекта').
Компоненты объекта в одной совокупности базисов могут быть выражены через компоненты в другой совокупности базисов и элементы матриц перехода.
Эти выражения называются законом преобразования компонент объекта. □
Очевидными примерами геометрических объектов второго ранга являются совокупности компонент тензоров второго ранга
{т'у}, {Ту}, {т0 (1.4.14) в парах пространств {Г,/,}, {1,*,L*}, {L,L*} с законами преобразования (1.4.6).
Определение 1.4.2'. Геометрические объекты (1.1.14) в парах пространств {/,,£}, {Г*, Г*}, {L,Г*} называются соответствующими тензорами второго ранга из Tq, Т® и Т^, если они преобразуются по законам (1.4.6). □
Из теоремы 1.4.2 вытекает следующее утверждение.
Следствие 1.4.5. Определения 1.4.2 и 1.4.2' эквивалентны. □
Отметим очевидное преимущество первого из этих определений: оно инвариантно.
Кроме того, для выяснения вопроса, является ли данный геометрический объект тензором, часто бывает полезно еще одно утверждение, предваряя которое введем следующее понятие.
Определение 1.4.5. Сверткой геометрического объекта второго ранга (1.4.14) в парах пространств {Г, Г}, {Г*, Г } или {L,L } с векторами из L или L* называется геометрический объект первого ранга, определенный на одном из пространств L или L*, с компонентами, построенными по соответствующему правилу (1.4.8) - (1.4.11). □
Теорема 1.4.5 (признак тензора второго ранга). Для того чтобы геометрический объект второго ранга был тензором второго ранга, необходимо и достаточно, чтобы его соответствующая свертка с любым вектором была соответствующим вектором. Например, необходимым и достаточным условием того, что геометрический объект {т<0 в паре пространств (£, L) - тензор второго ранга из Т02, является выполнение равенства х1 = т*ик, где х = х'е, е L, для любого вектора и = и,*’ е L .
Доказательство. Необходимость утверждения обоснована в теореме 1.4.3.
Достаточность. Пусть для любого и = и(е' еС, х* = т*ик - координаты вектора из L. Тогда в новых базисах имеет место равенство хп = т'№и^. Используя формулы (1.2.5) и (1.2.10) преобразования координат векторов, получим
-с"Ч = t'^UjpI = хИ = xkqk = ^и^.
Поскольку координаты вектора произвольны, то отсюда вытекает, что тлкр{ = x^q’k. Умножая последнее равенство на ^'и учитывая связь матриц PhQ (pJkq*j = 5к), придем к требуемому утверждению:
Л _Л Л г-i
х PWj<Мр D
Тензоры высших рангов.
Произведение тензоров
Обобщим определение 1.3.5 тензорного произведения двух линейных пространств на произвольное конечное их число.
Определение 1.5.1. Пусть Ц,...ЛГ (г ^ 2) - линейные пространства. Их тензорным произведением
Т = Ц®...®1Г(1.5.1)
называются следующие множества.
При г = 2 Т = Ц ® l^ в смысле определения 1.3.5.
Приг>2 T = (L] ®...®Lr_1)®Z,r. □
Это определение построено индуктивно, т.е., зная Ц ФЦ, можно найти Ц^Е^Ц^ЦФЦ^Ц и т.д. Кроме того, напомним, что в силу утверждения б) теоремы 1.3.2 запись (1.5.1) оправданна в том смысле, что скобки в нем можно расставлять произвольным образом.
Из теоремы 1.3.1 и определений 1.3.1-1.3.4 вытекает следующее утверждение.
Теорема 1.5.1. Тензорное произведение (1.5.1) является линейным пространством, элементы которого - конечные наборы произведений элементов из Lj,...,^:
T = V =сР...сР+...+сР...+сР |сР...сР e Lj,\^ j^rVO (1.5.2)
Это и последующие утверждения данного параграфа могут быть легко доказаны методом математической индукции. Присутствующие в (1.5.2) величины фактически заданы определением 1.5.1 и имеют по аналогии с § 1.3 следующие наименования.
Определение 1.5.2. Упорядоченная совокупность из г элементов с-^.-.с-^ называется их произведением {полиадой), а элементы t множества Т - суммой произведений или тензорами ранга г над пространствами Ц,...,ЬГ. □
Применяя далее теорему 1.4.1 и следствие 1.4.1, придем к следующему утверждению.
Теорема 1.5.2. Пусть е^\„.,е^ - базис Lj (dimLj =nj). Тогда произведения базисных векторов е-^... е^ {ij =1,...,и^) образуют базис в пространстве Т и
dimT=n nj- D(1.5.3)
j=i
Следовательно, любой тензор из Т может быть единственным образом представлен в виде разложения по базису:
= !..£ т^"^^...^.(1.5.4)
q=l <>=1
Коэффициенты этой линейной комбинации имеют следующие наименования (см. также определение 1.4.1).
Определение 13.3. Координаты т'1 "'г тензора t называются его компонентами. □
Теперь обобщим определение 1.3.7 на тензоры высших рангов.
Определение 1.5.4. Свертку тензора t = с1<1)... ср + ...+ср... с^ е е Т с элементом uw е^ (!=£(=£ г) зададим следующим образом:
при 1 < i < г
{t,uw) = (ср... ср +...+сР„. ср,п(,)) =
(ср.п^Хр... ср^ср0... cP +...+(сР.п^р... ср^ср0... ср;
при i = 1
(/,«<*>) = (сР...сР-к.^^
(ср.п^р... с^ +... + (ср,и(1>)ср... ср;
при i = г
(t,u^) = (с^... c^ +...-к^... cV\u^ =
= (c^,^)^... c^"» +... -Hc^,^'^... C^». □
Очевидно, (tiU^e Ц ®...®£i_1 ®Zt+1 ®...®Lr и является тензором ранга (г - 1) при г ^ 3. Для того чтобы распространить этот вывод и на случаи, когда г = 1, 2, далее будем использовать следующее определение.
Определение 1.5.5. Числа (числовые инварианты) назовем тензорами нулевого ранга, а элементы пространства L и L* (контравариантные и ковариантные векторы) - контравариантными и ковариантными тензорами первого ранга соответственно. □
Обобщим теперь определение 1.4.2, рассматривая наиболее часто используемый частный случай тензорного произведения.
Определение 1.5.6. Пусть L - линейное пространство. При р + q 2 обозначим
Т» =(L®... ® L)® (L* ®... ® С),(1.5.5)
где имеется р сомножителей L и q сомножителей L*. И дополнительно положим
Т^ = К, T^=L, T^ = L*.(1.5.6)
Элементы из 7^р называются тензорами ранга г = р + q над пространством L - контравариантными р раз и ковариантными q раз.
В частных случаях при р = 0 и q = 0 будем говорить о ковариантных и контравариантных тензорах соответственно. □
Обозначения тензоров нулевого и первого рангов в (1.5.6) полностью согласуются с определением 1.5.5. При г = 2 приходим к ранее введенным тензорам второго ранга.
Отметим также, что в (1.5.5) сначала выписаны все сомножители в виде исходного пространства, а затем - в виде сопряженного ему. Принципиально возможен и другой порядок сомножителей. Однако в соответствии с замечанием 1.4.1 далее везде будем предполагать именно формулу (1.5.5).
В качестве частного случая формулы (1.5.4) теперь может быть получено обобщение разложений (1.4.3) - (1.4.5).
Следствие 1.5.1. Пусть ех,...,еп - базис в пространстве L и е1,...,еп - взаимный ему базис в L*. Тогда
е, еЛ... е*1. □(1.5.7)
Л —Jq Ч *рХ 7
Здесь верхние и нижние индексы компонент тензора соответствуют обозначениям, принятым в § 1.4.
Аналоги теоремы 1.4.2, определения 1.4.2' и следствий 1.4.3, 1.4.5 для тензоров высших рангов формулируются следующим образом.
Теорема 1.5.3. Компоненты тензоров t еТ^1 преобразуются так, что каждому верхнему индексу соответствует контравариантный закон, а нижнему - ковариантный, т.е. (штрихом обозначены компоненты в новых базисах)
<5 -^А-М"^- □(1.5.8)
Следствие 1.5.2. При сложении тензоров их соответствующие компоненты складываются, а умножение на число эквивалентно умножению на это число каждой из компонент. □
Определение 1.5.6'. Геометрический объект ^^„'Д } на совокупности из р линейных пространств L и q пространств L* называется соответствующим тензором ранга г = р + q из Тр, если он преобразуется по формуле (1.5.8). □
Следствие 1.5.3. Определения 1.5.6 и 1.5.6'эквивалентны. □
Каждое множество Т^ является линейным пространством, причем линейные операции на равных тензорах дают равные результаты. Сложение тензоров из разных пространств Т^1 и Т^ не определено. Но может быть введено следующее понятие.
Определение 1.5.7. Произведением ts (или t ® s) двух произвольных тензоров / е Т^ и s 6 7^2 называется упорядоченная пара
tseT^ ®Т£. □(1.5.9)
В общем случае ts * st. При этом понятие произведения индуктивно может быть распространено на любое конечное число сомножителей, и с его использованием определена степень f р тензора t, ре N:
tx...tm=(tx...tm_xym, tP=t_t,(1.5.10)
"р* раз
где отсутствие скобок в обозначении оправдывается ассоциативностью тензорного произведения.
Из этого определения вытекает координатная форма записи произведения.
Теорема 1.5.4. Пусть тензоры t е Тр и s е Т“ имеют компоненты т-’1? и о^1. Тогда r = ts - тензор из Т„р+и с компонентами Л—Jq q...<v"г q-w
iv.ikv..k _Th-i,okv-k. Q(1.5.11)
Обобщим теперь определение 1.4.3 и введем еще одно понятие.
Определение 1.5.8. Внутренней сверткой тензора te Т^ с компонентами т^;> по верхним (контравариантным) индексам с порядковым номером / (1 5 I р) и по нижним (ковариантным) с номером т (1 ^ т < q) называется тензор (t)*m 6 ТРдД с компонентами lle.elLI kil*l...iD
^Ji—jmikim+ilq’ полУченными суммированием по соответствующим индексам. □
Естественно, операцию внутренней свертки можно повторить. Причем максимально возможное число таких сверток равно min(p, q). При р = q в этом случае придем, очевидно, к тензору нулевого ранга - скаляру.
Определение 1.5.9. Сверткой тензора te Т? с тензором $ е Тии по верхним индексам с порядковым номером 1(1 ^ I ^р) (нижним индексам с порядковым номером I (1 ^ I ^ q)) левого тензора и нижним с номером т (1 ^ т 5 и) (верхним с номером т (1 «/и ^ и)) называется тензор из Т^Д1 вида l(ts)m = (ts)*q+m(l(ts)m = (te)f+m). □
Оба последних определения могут быть даны в инвариантном виде (типа определений 1.3.7, 1.4.3, 1.5.4). Однако в силу следствия 1.5.3 в этом нет нужды. При этом, очевидно, все рассмотренные выше свертки являются частными случаями последнего понятия.
В заключение этого параграфа приведем обобщение теоремы 1.4.5, которое также доказывается методом математической индукции.
Определение 1.5.10. Произведением или сверткой по заданному числу индексов геометрического объекта {т^ "'j} на совокупности из р линейных пространств Lmq пространств L* с тензором s называется геометрический объект, построенный по правилам определения 1.5.7 или 1.5.9. □
Теорема 1.5.5 (признак тензора). Для того чтобы геометрический объект {т'-, ‘ *;е} на совокупности из р линейных пространств L и q пространств/.* был тензором из Тр, необходимо и достаточно, чтобы результат его произведения на любой тензор фиксированного ранга и типа или свертки по заданному числу индексов с этим тензором был соответствующим тензором. □
Пример 1.5.1. Необходимым и достаточным условием того, что геометрический объект {C'^w} на совокупности пространств \L, L, L, L) — тензор четвертого ранга из То, является выполнение равенства <5^ = С'^Ец для любого тензора из 7^ с компонентами Еы, где О'/ - компоненты тензора из 7^. □
Полилинейные формы и их тензоры
Свяжем теперь понятие тензора со специальными числовыми функциями многих переменных (см. также (1.1.1) и определение 1.1.2).
Определение 1.6.1. Числовая функция
a(cX)...,cq; dx,...,dp)(1.6.1)
от векторных аргументовcx,...,cq g L и dx,..., dp е L* называется полилинейной функцией типа (р, q), если она линейна по каждому своему аргументу. О
Теорема 1.6.1. Пусть ех,..., еп - базисL, а е1 ,...,.еп - взаимный с ним базис в L* и
Ск = х\еь ^ = 4^.(1.6.2)
Тогда полилинейная функция (1.6.1) может быть единственным образом представлена в виде однородного многочлена первой степени от (р + q) аргументов:
akcx,...,cq;dx,...^p^ = a‘y;;y ...х1^ ...и^,
(L63>
где a'jv "‘jq ~ значения функции на базисных векторах.
Доказательство этого утверждения вытекает из определения 1.6.1 и разложения (1.6.2):
a<cx,...,cq;dx,...^p) = a(x{1eji,...,xJq'eji;u^e,\...,uf^p)
-°h-jqXl Xq uh "
Определение 1.6.2. Однородный многочлен (1.6.3) принято назы
вать полилинейной формой типа (р, q), а числа д'* "'Р - коэффициен
тами (координатами) полилинейной формы. D
Отметим, что с учетом введенного понятия предыдущая теорема, очевидно, может быть переформулирована так.
Следствие 1.6.1. Фиксирование базиса в L каждой полилинейной функции ставит во взаимно однозначное соответствие ее полилинейную форму. □
Теорема 1.6.2. При переходе к новому базису ех,...,е' bL коэффициенты полилинейной формы типа (р, q) изменяются следующим образом:
,t. кр = к..Л К к j J(1 6 4)
Доказательство. Используя формулы (1.2.4) и (1.2.9) пре-
образования базисных векторов, получим
= а{рц ек,..„ р£ ejq; q^e1',..., q^e») =
=pt--pb^^:tt’
что и завершает доказательство. □
Сопоставление этого утверждения с определением 1.5.6' приводит к следующему выводу.
Следствие 1.6.2. Каждой полилинейной форме (1.6.3) инвариантно и взаимно однозначно сопоставляется тензор
» = «jvJ^(L65>
Определение 1.6.3. Тензор (1.6.5) называется тензором формы (1.6.3). □
Отметим еще одно свойство полилинейной формы.
Теорема 1.6.3. Полилинейная форма (1.6.3) есть полная свертка тензоров а 6 Т?, с( 6 L = Гц (1 ^ i ^ q), dj 6 L* = 7^ (1 =е j ^ р).
Доказательство вытекает из равенств ■
(аС1 ...cqdx ...dp) = (.(.а^ец ...eipeK ...е’“ )cx...cqdx...dp) =
= °h-jq 1% AVX.eip,dpVx ,cx)...{e’q ,cq) =
=...u?xb
Симметрирование и альтернирование
Рассмотрим в базисе ех,..., еп bL полилинейную форму типа (0, /и), т > 2:
а(С],...,ст) = аЛ. .^ ...х^, c^x/ejeL (< = 1,...,т),(1.7.1)
а также соответствующий ей ковариантный тензор а 6 Т°т с компонентами <ijx...jm-
Определение 1.7.1. Форма (1.7.1) называется симметричной {кососимметричной) по данной паре аргументов, если при их перестановке форма не меняет своего значения (меняет знак).
Полилинейная форма называется симметричной {кососимметричной или косой), если она симметрична (кососимметрнчна) по каждой паре своих аргументов. □
Например, форма симметрична или кососимметрична по второму и третьему аргументам, если а(С], с2, С),..., cm) = а(с], с3, с2,..., ст) или ofo, с2, с3,..., ст) = -а(С], с3, с2,..., ст) для любых с, е L(i = 1,..., т).
Определение 1.7.2. Тензор а € Т°т называется симметричным (кососимметричным) по данной паре индексов, если в любом базисе при перестановке этих индексов его компоненты не изменяются (меняют знак).
Тензор - симметричный (кососимметричный), если он симметричен (кососимметричен) по каждой паре индексов. □
Например, тензор с координатами ДУ|...У симметричен илн кососимметричен по второму и третьему индексам, если ajtjlj3,„jm = aj1j3j1...jm или; в любом базисе.
!11113—1т НПП—lin
Замечание 1.7.1. Совершенно аналогично определяется симметричность и кососимметричность полилинейной формы типа (т, 0), т ^ 2:
«(</],...,</„) = а'1 " 'тм,* ...м,”, dj=u'jejeC (i = l,...,m),(1.7.2)
а также соответствующего ей контравариантного тензора а е 7^ с компонентами а'1 "'”. □
Замечание 1.7.2. Таким же образом можно ввести понятие симметричности и кососимметричности полилинейной формы типа (р, q) по паре аргументов нз L прн q 2$ 2 и/или из L* прн р > 2 и соответствующего ей тензора а 6 Т^ по паре нижних и/или верхних индексов. Однако для пары индексов, один из которых верхний, а другой нижннй, эти свойства не инвариантны. Например, для тензора а 6 т\ в некотором базисе возможно равенство ау = а, (/, j = 1,..., п), но при переходе к другому базису оно, вообще говоря, нарушается. □
Понятия симметрии форм и соответствующих им тензоров связаны между собой.
Теорема 1.7.1. Полилинейная форма симметрична (кососимметрична) по паре аргументов тогда, н только тогда, когда симметричен (кососимметричен) по соответствующей паре индексов ее тензор.
Доказательство приведем для формы (1.7.1). Необходимость. Пусть для определенности она симметрична по второму и третьему аргументам, тогда с учетом теоремы 1.6.1 получим
а,, , , =а(е= ,е; ,е, ,...,е, ) = а(е, ,е, ,е, ,...,е; )=ат , lll213"l« х 11' 12131ж'4 1113121*' lll312—lm
что в соответствии с определением (1.7.2) говорит о симметрии тензора этой формы по второму и третьему индексам.
Достаточность. Если в любом базисе для компонент тензора справедливы равенства а= = ь ; = aiib; , , то для соответствующей /1/2/3',,/тV1У 3./2 * * * *
формы получим
a(c1)c2,c3,...,cm) = ajUljv..jmx{1x^xi3 ...х1” =
= Qhhh-im ^ хз’х22. xJm = a(q ,с3,с2, ...,ст).
Остальные варианты утверждения доказываются аналогичным образом. □
Следствие 1.7.1. Полилинейная форма типа (0, иг) или (0, т), т^ 2 является симметричной (косой) тогда, и только тогда, когда симметричен (кососимметричен) ее тензор. □
Очевидно, косая форма (компоненты тензора) не меняет своего числового значения при четном числе перестановок аргументов (индексов) и меняет знак при любой нечетной перестановке.
С произвольной полилинейной формой а(сх,..., ст) можно связать форму от тех же аргументов по следующему правилу:
(a)(c,,c2,...,cm) = ^-br(ct ,ск ,...,ск ),(1.7.3)
где сумма берется по всем перестановкам аргументов q, с2,..., ст или, что то же самое, по всем перестановкам kt, к2,..., кт индексов 1, 2,..., т, число которых (перестановок) и равно т!
Нетрудно показать, что форма (1.7.3) является полилинейной и симметричной.
Определение 1.7.3. Эта операция называется симметрированием формы и обозначается круглыми скобками. □
Например, при m = 2 и m = 3 имеем
(а(х, J)) = ^ №, У) + а(У, х)};
(а(х, у, z)) = ^ 1а(х, у, z)+a(z, х, у)+а(у, z, х)+
+ a(z,y,x) + а(х, z,y) + а(у, х, z)}.
Легко проверяется и следующее утверждение.
Теорема 1.7.2. Ферме, полученной из исходной с помощью симметрирования, отвечает симметричный тензор (а), компоненты которого имеют вид
aU'U2-jm> ="^ ^ajU2 - Jm ’(1-7.4)
где сумма берется по всем перестановкам j\, j2,..., jm индексов 1, 2,..., т. □
Определение 1.7.4. Операция перехода от данного тензора к симметричному (а) называется симметрированием тензора. Соответствующие обозначения даны в (1.7.4). □
Например, для тензоров второго и третьего рангов она имеет вид
г'
°(s) 2| *а,> + °У * ’
1 .>
Qyjk') л l^yt "*" ^kij Qjki ®kji °ikj ^jik 1 •
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1.7.3. Форма а (тензор с компонентами а^ „ j) симметрична (симметричен) тогда, и только тогда, когда (а) = а (.^„.j > = = а , ; ) .
Л“*/т-
Доказательство. Необходимость. Пусть форма (1.7.1) симметрична. Тогда a(cti, скг,..., ctm) = a(c1, с2,..., ст), так как любая перестановкакх, кг,...,кт индексов 1, 2,..., т может быть получена с помощью некоторого числа парных перестановок, что по определению 1.7.2 не меняет значения формы. Так какисло всех перестановок равно ml, то из (1.7.3) получим, что (aXq, с2,..., cm) = а^сх, с2,..., ст).
Достаточность. Пусть
a(c1,c2,...,cm) = (a)(c1,c2ст) = —^ск ск ск ).
Тогда, поменяв местами, например, два первых аргумента, получим одну из перестановок 2, 1, 3,..., т индексов и будем иметь
(а)(с2,сх,с3,...,ст) = -i- Уа(ск ,ск ск ),
так как всевозможные перестановки индексов 2, 1, 3,..., т - это те же всевозможные перестановки индексов 1, 2, 3,..., т (или, иными словами, набор индексов, как и набор аргументов, не меняется). Но поскольку *сг, с,, с3,..., cm) = (а)(с2, с,, с3ст), то и а(с2, с,, с3,..., ст) = а^а, с2, с3,..., ст). То же самое верно и для любой другой пары индексов. Следовательно, форма симметрична. □
С симметрированием тензора полилинейной формы приходится, например, иметь дело в следующем случае. Если а(х, у) = а^‘У - полилинейная форма от двух аргументов, то, полагая у = х, получим форму а(х, х), используя приведение подобных членов:
ayXlxj +ajixix* = (а^ + а^х* xj =2^х1х<
Обычно в этом случае используется следующая терминология.
Определение 1.7.5. а(х, у) - билинейная форма, а(х, х) - квадратичная форма, порожденная данной билинейной (а(х, у) - порождающая форма), a^jj) - коэффициенты квадратичной формы.
Форма с теми же коэффициентами, что и квадратичная форма а(х, х), т.е. форма а(х, у), называется полярной для а(х, х). □
Отметим, что, как можно показать, порождающих форм существует бесконечно много, в то время как полярная форма определяется единственным образом.
Подобным же образом с произвольной полилинейной формой аСс!,..., cm) можно связать следующую форму:
[a](c1,c2,...,cm) = ^-{E1a(ct ск ,...,ск)-Е2а(ск ск )}, (1.7.5) 1*1/71
где первая сумма берется по всем четным перестановкам к1( к2,..., ^т индексов 1, 2,..., т, а вторая сумма - по всем нечетным.
Форма (1.7.5), очевидно, полилинейная и косая.
Определение 1.7.6. Эта операция называется альтернированием (от лат. alter - один из двух) формы и обозначается квадратными скобками. □
Например, при т = 2 и т = 3 имеем
[а] (*> J) = ^ {«(*, J) - «O', *));
[а] (х, у, z) = -^ (а(х, у, z)+a(z, х, у)+а(у, z,x)-
-a(z,y,x)-a(x,z,y)-a(y,x,z)}.
Имеет место аналогичное теореме 1.7.2 утверждение.
Теорема 1.7.4. Форме, полученной из исходной с помощью альтернирования, отвечает кососимметричный тензор [а] компоненты которого имеют вид
^h.h-jml = '^^алл-1т ~^ahh - im ^(1.7.6)
где в первой сумме участвуют четные перестановки индексов, а во второй — нечетные. □
Определение 1.7.7. Операция перехода от данного тензора к кососимметричному [а] называется альтернированием тензора. Соответствующие обозначения даны в (1.7.6). О
Например, для тензора второго ранга получим
_ 1 ,.
^ti/'J 2! ^ а?' ’
Подобно теореме 1.7.3 доказывается следующее утверждение.
Теорема 1.7.5. Форма а - косая (тензор с компонентами Oj j кососимметричен) тогда, и только тогда, когда [а] = а ко^...)^ = ■
В заключение параграфа введем аналогичное квадратным матрицам и часто используемое понятие для тензоров второго ранга.
Определение 1.7.8. Тензор
ат = а^е' (ат = aijejei')
называется транспонированным к тензору а = a^ei (а = а'^е^). □ Отсюда очевидным образом вытекает следующее утверждение.
Следствие 1.7.2. Тензор а является симметричным (кососимметричным), когда
а = аТ (а = -ат). □
Свойства косых форм. -. Дискриминантный тензор
Установим некоторые свойства косых форм и соответственно в силу теоремы 1.7.4 свойства кососимметричных тензоров.
Теорема 1.8.1. а) Если значения каких-либо двух аргументов равны, то косая форма обращается в нуль.
Если один из аргументов у косой формы является линейной комбинацией других аргументов, то она обращается в нуль.
Доказательство, а) Пусть, например, с2 = с i. Тогда 0(6!, сь с3,..„ ст) = -О(С!, с1( с3ст), т.е. 2о(С], сь с3 ст) = О Отсюда и следует равенство формы нулю.
Пусть, например, при cq, a2 a( € К и кх < к2 < ... < kj < т имеет место равенство ст = atctl + a2ct2 +... + a,rt.. Тогда с учетом пункта а) и линейности формы получим
® («I С„) = а(С1. • •., aiCt] + a2ct2 +... + а^) =
aia(—»ctlcti) + a2a(...,cti,...,ct2,...,ct2) +
+ atia(...,cti,...,ct2ck ,...,ck ) = 0. □
Если число аргументов m у формы а больше размерности пространства, то один из векторов сх, с2,..., ст обязательно будет линейной комбинацией остальных. Поэтому из теоремы 1.8.1 вытекает следующее утверждение.
Следетине 1.8.1. Если число аргументов косой формы больше размерности пространства, то форма тождественно равна нулю. □
Рассмотрим такой важный случай, когда число т аргументов у косой формы а равно размерности п пространства L;
а^сх,...,сп^ = ан„кх1х1 ...xJnn, с^х^еЬ (< = 1,...,и).(1.8.1)
Для этого сначала обобщим понятие символа Кронекера.
Определение 1.8.1. Положим:
^hji-Jn = ®’ если ФеДи индексов jx,j2,-.., Jn есть хотя бы два одинаковых;
^hh -in = ^’ если У1>У2>"м in ~ четная перестановка индексов 1, 2л;
^hh -Jn = ”^’ если эта перестановка нечетная. □
Теорема 1.8.2. Коэффициенты косой формы (1.8.1) имеют следующий вид:
“hh-J™ =^jU2-jna^-»'(1.8.2)
Доказательство непосредственно вытекает из формулы (1.6.3), пункта а) теоремы 1.8.1 и определения 1.8.1:
°hh..j„ =o<4’eh’"-’eD = 4h..jnQx^ 1=1
Если подставить (1.8.2) в координатное разложение (1.8.1) формы и учесть известное определение определителя, то придем к следующему выводу.
Следствие 1.8.2. Косая форма (1.8.1) может быть записана так:
в(С], с2,..., сл) = а12 . „Д,(1.8.3)
где
A = detX = 5W2..JiX42^Х=^пХ№. □(1-8.4)
Определение 1.8.2. Коэффициент а12. .„ называется основным коэффициентом косой формы (1.8.1). □
Все остальные ее коэффициенты по формуле (1.8.2) либо равны О, либо±а12 л.
Формула (1.8.3) с учетом необходимого и достаточного условия равенства нулю определителя позволяет также получить следующие результаты.
Следствие 1.8.3. а) Косая форма (1.8.1) тождественно равна О только в том случае, если ai2...n = 0.
Если а12 „ * 0, то она отлична от 0 только тогда, когда ее аргументы линейно независимы. □
Отсюда уже вытекает такое утверждение.
Следствие 1.8.4. С точностью до числового множителя в пространстве L существует лишь одна косая форма от п аргументов.
Доказательство. Если данная косая форма а(С], с2,..., с„) тождественно не равна нулю и Ь(с\, с^,..., сп)- любая другая косая форма, то справедливы равенства
Ь^хс„) = Ьп „„ Д = ^“-^...„Д = ^=-а(,сх ,...,с„),
а12...па12...п
что и подтверждает сформулированное утверждение. □
Косой форме (1.8.1) можно придать некоторый геометрический смысл, используя аналогии с аналитической геометрией.
Определение 1.8.3. Назовем ориентированным параллелепипедом П в линейном пространстве Ln (dimL = л) упорядоченную совокупность векторов:
П = (с1,с2,...,сл).(1.8.5)
Назовем противоположно ориентированным по отношению к П параллелепипед П_, построенный иа системе, полученной из (1.8.5) переменой мест двух каких-либо векторов, и введем на множестве ориентированных параллелепипедов две операции:
а) если П] = (cj,..., с,_], с;, с(+),..., с„) и П2 = (с1(..., с,_],</(, ^1с^, то
П = (С],..., c,_j, Ci + dj, с,+1,..., сл) = П] и П2 - объединение параллелепипедов П] и П2;
б)параллелепипед П(а = (С],..., с^, ас,, с,+|,..., с„), где а е К-про- изведение П на а по z-му вектору. □
Поставим теперь в соответствие каждому ориентированному параллелепипеду число.
Определение 1.8.4. Объемом ориентированного параллелепипеда П называется число
У(П) = У(с„с2с„),(1.8.6)
удовлетворяющее следующим условиям:
для любых П] и П2 У(П] и П2) = У(П]) и У(П2);
для любых П, i (1 5 i 5 л)и а е К У(П|>а) = аУ(П);
для любых Пи FL У(П_) = -У(П). □
Из этих определений с учетом определения 1.7.2 и следствия 1.8.2 придем к следующему утверждению.
Теорема 1.8.3 (.геометрический смысл косой формы). Объем ориентированного параллелепипеда является косой формой и определен с точностью до некоторого множителя Р е К:
У(сьс2,..., сл) = Р0(с1,с2,..., сл),(1.8.7)
гдеD(Cj, с2,..., с„) = Д - определитель, заданный в (1.8.4). □
Смысл множителя Р подробнее описан в гл. 2, § 2.3.
Займемся определителемD(C], с2,..., с„). Как следует из (1.8.7), его величина не инвариантна относительно преобразований координат. Установим закон изменения определителя.
Лемма 1.8.1. При переходе от базиса в),..., е„ в Ln к новому базису е{,...,е'П определительD(cj, с2,..., с„) изменяется таким образом (штрихом обозначены величины, соответствующие новому базису, Р - матрица перехода):
/У(сь..., с„) =±ldetPHO(c1,c2,..., с„).(1.8.8)
Доказательство. Если X' = (х" )лхл - матрица, составленная из координат векторов С],..., сп в новом базисе, то, очевидно, X' = QX, где, как обычно, Q = (ql^ = P-\ Следовательно, в новом базисе
2. А.Г. Горшков и др.33
получим (знак "плюс" берется при det Р > 0, а "минус" - при det Р < 0) DXC],...,^) = det А" = det 0 det АГ = det-1 PD(C],...,c„) = = ± I det P Г1 ZX^p <^2 > • • • > сл) ’
откуда и следует требуемое утверждение. □
Свяжем с определителем D(ct, с^,..., сп) совокупность чисел:
Лемма 1.8.2. В любом базисе имеют место равенства
(1.8.10)
где 8^ in - система чисел, заданная определением 1.8.1.
Доказательство вытекает из предыдущей леммы и из того, что к-й столбец определителя 0(6^,..., ein) состоит из единиц в строке с номером j^ и нулей на остальных местах. □
Теорема 1.8.4. Упорядоченная совокупность чисел {d,, ,; } задает геометрический объект d на совокупности из п пространств Ln (см. определение 1.4.4) с законом преобразования (знак "плюс" берется при det Р > 0, а "минус" - при det Р < 0):
d': • =±ldetPr* d : р1- ...p’?.(1.8.11)
Доказательство. Для определителя E^e^ »•••,*;„), составленного из координат векторов е^,...,^ в старом базисе е,,..., е„,
имеем
^eh<) =
Р\ РпР\ - РпР\ РпР\ - Рп8.• =detP8= , .8.• =detP8= , .
Р\ Рп
Р\ - Рп
Р\ Рп
Р\ - Рп
8.• =detP8= , .
8.• =detP8= , .
Отсюда с учетом (1.8.9) и (1.8.10) получим
dh...in =DW--’ei;> = 5h..J„ = ^Р1)(е'ке'Д (1.8.12) С использованием определения определителя найдем
««;-л -а^^-Л-о.в.13)
Затем, подставляя (1.8.13) в (1.8.12), окончательно получим
d' j ~^h j = det ’PS, ; p'\...p*? =det-1 Pdr j p*>p‘?,
что фактически завершает доказательство. □
Введем следующие понятия.
Определение 1.8.5. Геометрический объект на совокупности из т пространств L„, компоненты у,,...# которого преобразуются по закону (знак "плюс" берется при det Р > 0, а "минус" - при det Р < 0)
^к-дт =
= ±уЖ| „лк р^... Рй (у; ...jm = ± I det Р1° у,. ...im р^... р*^ ),(1.8.14)
называется осевым ковариантным тензором (осевым ковариантным псевдотензором веса о) ранга т.
Аналогично определяются контравариантные и смешанные осевые тензоры и псевдотензоры. □-
С использованием данной терминологии теорема 1.8.4 может быть переформулирована следующим образом.
Следствие 1.8.5. Геометрический объект d является осевым псевдотензором веса о = -1 ранга п. □
Отсюда с учетом леммы 1.8.2 получим вывод.
Следствие 1.8.6. Упорядоченная совокупность чисел {8,^.; } задает осевой псевдотензор 8 веса о = -1 ранга п. □
Вместо указанных осевых псевдотензоров обычно рассматривают другие объекты.
Пусть а(х, х) - некоторая фиксированная невырожденная квадратичная функция в Ln. Рассмотрим следующую совокупность чисел, связанную с базисом е^,..., еП в Ln и компонентами псевдотензора &
= VidSA 1»*^,.(1.8.15)
где А - матрица квадратичной функции (формы) в том же базисе (она невырожденна).
Теорема 1.8.5. Числа Е;| ул -компоненты осевого тензора е ранга п.
Доказательство. Так как матрица А имеет отличный от нуля определитель и при переходе к новому базису преобразуется по формуле А* = РТАР, то справедливы равенства
det А' = det A det Р, VldetA'I = Vl det A11 det PI.
Отсюда, применяя следствие 1.8.6, получим
е< • = VldetA' 18' , =
= ±ldetPr* 8; ,...р-" VldetAI IdetPI =
= ±8;,...^ ...,£ VldetAI =±e<1^
что с учетом определения 1.8.5 и завершает доказательство. □
Определение 1.8.6. Осевой тензор е называется дискриминантным или тензоромЛеви-Чивита2. □
ГЛАВА 2
ТЕНЗОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХС КВАДРАТИЧНОЙ МЕТРИКОЙ
Скалярное произведениеи метрическая форма
Напомним некоторые сведения из линейной алгебры, связанные с евклидовыми пространствами.
Пусть L - действительное линейное пространство, т.е. линейное пространство над полем действительных чисел R.
Определение 2.1.1. В пространстве L задано скалярное произведение, если каждой упорядоченной паре векторов х и у из L поставлено в соответствие число (х, у), удовлетворяющее условиям:
i)(*,j) = (y,*);
2)(x+y,z) = (x,z) + (y,z);
(ах, у) = а(х, у);
если (х, у) = 0 при фиксированном х и любом у из L, то х = 6, где х, у, z - произвольные векторы из L, а - любое число. □
Из определения 1.6.1 следует, что скалярное произведение представляет собой билинейную функцию, которая симметрична по условию 1) и невырожденна согласно условию 4). Очевидно и обратное. Каждая невырожденная симметричная билинейная форма на L удовлетворяет условиям 1)-4) определения 2.1.1 и может быть принята в качестве скалярного произведения.
Пусть в пространстве L определено скалярное произведение (х, у) = = g(x, у). Если et,..., еп - базис в L, то х = x‘ej( у = у^ и скалярное произведение, как и любая форма (см. (1.6.3)), может быть записано в координатном виде
(X, у) = g(x, У) = &/У;(2.1.1)
8v = g^t, ej) = (е„ ej),(2.1.2)
где gjj - коэффициенты билинейной формы в данном базисе, причем g ij — gji-
Определение 2.1.2. Говорят, что равенства (2.1.2) составляют таблицу умножения базисных векторов.
Симметрическая матрица G = (gij)„xn называется метрической, фундаментальной или матрицей Грама'.
Квадратичная форма g^x, х) = (х, х) = g^xi называется метрической формой рассматриваемого пространства. □
Грам (Gram J. Р.» 1850-1916) - датский математик.
Отметим, что, как и коэффициенты любой полилинейной формы, gy однозначно задают скалярное произведение.
Определение 2.1.3. Нормой вектора х называется число
llxll = ^x),(2.1.3)
где под корнем понимается его главное значение. □
Из определения нормы следует, что II х II = I а I • II х II для любых х е L и чисел а. В частности, имеем ll-х II = II х II, II 0II = 0.
Как уже говорилось в параграфе 1.7, метрическая форма определяется билинейной формой g(x, у), является результатом симметрирования последней и, в свою очередь, определяет g(x, у) как свою полярную форму. Таким образом, задания скалярного произведения и квадратичной формы, определяющей норму вектора, эквивалентны. Поэтому используется следующая терминология.
Определение 2.1.4. Пространства со скалярным произведением также называют пространствами с квадратичной метрикой. □
Как известно из линейной алгебры, любую квадратичную форму можно привести к нормальному виду, т.е., если L — линейное пространство с квадратичной метрикой (х, у) = g(x, у), то в нем существует такой базис et,..., еп, что
IIXII2 = g(x, х) = (х1 )2 +... + (хк )2 - (х*+1 )2 -... - (хл )2.
Тогда скалярное произведение преобразуется к виду
(х,у) = х'у’ +....+ х*у* - хк+У+' -... - х”у”.
Очевидно, что в этом случае (е„ ej) = 0 при i * j, Не,- II2 = (е^е^ = 1 при i = 1,..., к и II et II2 = (е;, е^ = -1 при i = к + 1,..., п.
Определение 2.1.5. Векторы х иу называются ортогональными, если (х, у) = 0.
Базис, удовлетворяющий перечисленным выше условиям, называется ортонормированным.
Векторы, квадрат длины которых равен 1, называются единичными, а векторы, квадрат длины которых равен -1, называются мнимоединичными. □
По закону инерции число единичных и мнимоединичных векторов не зависит от выбора базиса, ортонормированного в данной квадратичной метрике.
Определение 2.1.6. Число к единичных векторов ортонормированного базиса называется положительным индексом пространства с данной квадратичной метрикой.
Если к = п или к = 0, то пространство называется евклидовым; если 1 =s к =£ п - 1, то пространство называется псевдоевклидовым. □
Напомним следующее утверждение.
Теорема 2.1.1. Пусть векторы ej,..., ет попарно ортогональны в пространстве L с квадратичной метрикой. Если эти векторы ненулевые и квадратичная метрика положительно определена или эти векторы единичные или мнимоединичные, то они линейно независимы. □
Следствие 2.1.1. В n-мерном линейном пространстве с квадратичной метрикой любая ортонормированная система из п векторов образует базис, в котором метрическая форма имеет нормальный вид. □
Как известно, из любого базиса в пространстве с положительно определенной квадратичной метрикой можно построить ортонорми- рованный базис с помощью так называемого процесса ортогонализации.
Определепие 2.1.7. Два линейных пространства LhL'c квадратичными метриками называются метрически изоморфными, если между ними существует метрический изоморфизм, т.е. линейное взаимно однозначное отображение L на Z/, при котором скалярное произведение любой пары векторов в L равно скалярному произведению их образов в U. □
Любые два линейных пространства одинаковой конечной размерности линейно изоморфны. Аналогичные результаты доказываются в алгебре и для линейных пространств с квадратичной метрикой.
Теорема 2.1.2. Пространства с квадратичной метрикой, имеющие одинаковые размерности и одинаковые положительные индексы, метрически изоморфны. □
Теорема 2.1.3. Если пространство L имеет размерность п и положительный индекс к, а пространство U ему метрически изоморфно, то L' также имеет размерность п и положительный индекс к. □
Из теоремы 2.1.3 вытекает, что псевдоевклид'овы пространства с различными размерностями или различными положительными индексами не изоморфны. Евклидово же пространство не изоморфно никакому псевдоевклидову пространству.
Тензоры в пространствахс квадратичной метрикой
Пусть Ln - линейное n-мерное пространство с заданной метрической формой
Их \\1 = g(.x,x') = gijxlxi, (2.2.1) где х = х*е, в произвольном базисе в],..., еп. Тогда скалярное произведение в этом базисе записывается в виде (2.1.1).
В соответствии со следствием 1.6.2 скалярному произведению, являющемуся симметричной билинейной формой, по формуле (1.6.5) однозначно сопоставляется симметричный ковариантный тензор второго ранга g с компонентами gy, задаваемыми формулой (2.1.2).
Определение 2.2.1. Тензор g называется ковариантным метрическим тензором пространства Ln.
Матрица G = (.gij)nXn называется также матрицей ковариантного метрического тензора. □
Так как билинейная форма g(x, у) невырожденна, то I G I * 0. Поэтому существует обратная матрица G-1, элементы которой принято записывать с верхними индексами:
G’'=(?)„x„. gikgkj =4(2.2.2)
Теорема 2.2.1. Величины g‘i являются координатами контрава- риантного тензора g второго ранга.
Доказательство. Необходимо показать, что указанные величины при переходе к новому базису »{,...,»' в L„ преобразуются по закону
g =g QkQi >
где g'u - элементы матрицы, обратной к матрице G' = (g'ij)nXn.
Так как метрический тензор является дважды ковариантным, то gij=guPkPj. Это равенство можно переписать в матричном виде G* = P^GP, откуда найдем
G'"1 = Р"'С-ЧРТу' = QGQT,
что является матричным аналогом требуемого равенства. □
Определение 2.2.2. Тензор g называется контравариантным метрическим тензором, a G-1 - его матрицей. □
В гл. 1 в сопряженном пространстве L* рассмотрен базис, взаимный с базисом »],..., еп из L„. В пространствах же с квадратичной метрикой, оказывается, можно ввести взаимный базис в самом пространстве L„.
Определение 1.13. Базисы et,..., е„ и е1,..., е” в пространстве Ln с квадратичной метрикой называются взаимными, если (е*, ej) = 5j. □
Покажем, что такой взаимный базис существует и может быть отождествлен с взаимным базисом в L* в смысле определения 1.2.1.
Теорема 2.2.2. Для произвольного базиса et,..., еп в L„ существует единственный взаимный базис в Ln.
Доказательство. Представим векторы искомого взаимного базиса в виде
ek =huei(,k = \п\(2.2.3)
где кы - неизвестные координаты вектора ек. Так как должны выполняться условия (е*, в;) = Oj. то, умножая скалярно обе части равенства (2.2.3) на вектор ej (z = 1,..., п\ получим
6? =h“(el,ei’) = hklgli.
Эти равенства эквивалентны матричному Е = HG, где Е - единичная матрица, а Н = (hU)nxn. Отсюда найдем, что Н = G-1, т.е. матрица Н, а следовательно, и ее элементы, и векторы е1,..., е" существуют и определены однозначно:
е*=А-(2.2.4)
Равенство (2.2.4) означает, что строки матрицы G-1 состоят из координат векторов е1,..., еп в данном базисе ej,..., еп. Так как I G-1 I # 0, то по теореме о ранге матрицы строки матрицы G-', а следовательно, и векторы е1 ,...,#” линейно независимы. В силу того что пространство Ln n-мерно, эти векторы образуют базис. □
Обращая теперь формулы (2.2.4), получим
e^gtie1.(2.2.5)
Умножая равенство (2.2.5) скалярно на е‘, найдем
(А^ = /'(е,,е') = ^б;.
Отсюда получаем таблицу умножения векторов взаимного базиса:
(eV^g*.(2.2.6)
Посмотрим далее, как записывается скалярное произведение и соответствующая ему метрическая квадратичная форма во взаимном базисе. С учетом (2.2.6) имеем
(х, у) = ^ч у^ = gUx^(2.2.7)
а также
Их II2 = g«xixj.(2.2.8)
Очевидно, формулы (2.2.7) и (2.2.8) взаимны с формулами (2.1.1) и (2.2.1).
Если же вектор х = xie, разложить по данному базису, а вектор и = и,е' - по взаимному, то для скалярного произведения получим формулу
(и, х) = и^ (е* ,Cj) = и;х^ = UjX*,(2.2.9)
т.е. скалярное произведение в этом случае по аналогии с определением 1.2.4, можно сказать, представляется в виде свертки. Очевидно, векторы них можно поменять местами, тогда
(и, х) = и‘хь(2.2.10)
Равенства (2.2.9) и (2.2.10) наводят на мысль об отождествлении пространств Ln и L*. Напомним, что любые два линейных пространства, имеющие одинаковые размерности, изоморфны, в частности изоморфны L„ и Ln. Но наличие скалярного произведения позволяет
отождествить Ln и Lnc помощью специального изоморфизма так, что взаимные базисы в смысле определений 1.2.1 и 1.2.3 совпадут.
Теорема 2.2.3. Задание скалярного произведения в Ln определяет специальное изоморфное отображение Ln на Ln.
Доказательство. С одной стороны, каждой линейной форме и(х) е Ln соответствует вектор u е Ln так, что и(х) = (и, х). Действительно, в базисе etе„ имеем и(х) = ирс', где х = х'С; и и, = = и(е,). Если и = и(е‘ - вектор с координатами U],..., ип во взаимном базисе в1„, то в силу (2.2.9) и(х) = (и, х). С другой стороны, при фиксированном векторе и е Ln билинейная форма (и, *) = g(u, х) является линейной формой на Ln. Если и(х) - нулевая форма, т.е. и(х) = = (и, х) = 0 для любого хе Ln, то в силу невырожденности скалярного произведения и = 0.
Таким образом, построено взаимно однозначное отображение Ln на Ln. Оно линейно, так как и(х) + v(x) = (и + и, х) н аи(х) = (аи, х), если и(х) = (и, х), у(х) = (v, х) и а е К. Это и есть требуемый специальный изоморфизм. □
Определение 2.2.4. Указываемый теоремой 2.2.3 изоморфизм отождествляет пространства Ln и Ln : Ln=Ln. В этом смысле говорят, что пространство с квадратичной метрикой является самосопряженным. □
Следствие 2.2.1. В смысле определения 2.2.4 взаимные базисы в Ln nLn совпадают, свертка в смысле определения 1.2.2 совпадает со скалярным произведением.
Доказательство. При данном отождествлении вектору е'(х) из взаимного базиса в Ln соответствует в Ln вектор e*(ej)ej = Sjei = = е\ где е1,..., еп - взаимный базис в L„, т.е. взаимные базисы совпадают.
Кроме того, если взять любые два вектора х и и из Ln, но один из них рассмотреть как вектор из L„, а другой - как вектор из Ln, то их свертка в смысле определения 1.2.2 совпадает со скалярным произведением (и, х). □
Следствие 2.2.2. В Ln взаимные с et,..., е„ н »],...,»' базисы е1,..., е" и е'1,...,е"* связаны между собой таким образом:
е'‘=^е<(2.2.11)
где, напомним, е' = р^е^ □
Теперь произвольный вектор х из Ln можно разложить как по базису С],..., еп, так и по взаимному базису е1,...,»”:
х = х*е; = Xjek(2.2.12)
Из формул (2.2.11) и (2.2.12) следует, что при переходе к новому базису координаты х* преобразуются по контравариантному закону, а координаты Xj - по ковариантному:
V =^х*. xj=p‘jxl.(2.2.13)
Поэтому в пространствах с квадратичной метрикой используется следующая терминология.
Определение 2.2.5. Числа х* и Xj называются соответственно кон- травариантными и ковариантными координатами вектора х. □
Поэтому сам вектор х можно считать как контраварнантным, так и ковариантным (поскольку Ln = Ln\
Из следствия 2.2.2 и формул (2.2.12) и (2.2.13) очевидным образом вытекает следующее утверждение.
Следствие 2.23. Любой тензор первого ранга можно инвариантным образом представить в виде вектора в L„ с помощью формулы (2.2.12). Числа х* и Xj являются координатами одного и того же вектора в Ln тогда, и только тогда, когда они связаны между собой формулами
xj = gjlxl;(2.2.14)
У = ^кхк. □(2.2.15)
Соотношение (2.2.14) выражает ковариантные координаты вектора через контравариантные, а (2.2.15) - контравариантные через ковариантные.
Теперь нетрудно понять, что и тензоры высших рангов в L„ можно задавать ковариантными, контравариантными или смешанными координатами. Пусть, например, имеется дважды контравариантный тензор второго ранга у = У^^, т.е. элемент тензорного произведения L„ ® Ln. Заменяя ej по формуле (2.2.5), найдем
у = уче,е5 = ууе^ле1 = y,Jgjieie‘ = ylkgkjeieJ.(2.2.16)
Если положить
Y-j-^g^(2.2.17)
то тензор у можно представить в виде
у = у‘:е^,(2.2.18)
т.е. как элемент тензорного произведения Ln ® L*.
Из (2.2.17) и (2.2.2) получается, что
УЧ = У\'^.(2.2.19)
Определение 2.2.6. Операции поднятия и опускания индексов у компонент тензора с помощью компонент метрических тензоров, задаваемые формулами (2.2.17) и (2.2.19), объединяются общим названием - жонглирование индексами. □
Очевидно, в смысле этого определения формулы (2.2.14) и (2.2.15) - результат жонглирования индексами у координат вектора. Эта операция очевидным образом распространяется и на тензоры, осевые тензоры и псевдотензоры произвольного ранга.
Отметим, что в смешанных компонентах на месте перемещенных индексов поставлены точки. Это делается по той причине, что в общем случае у!у *у-' (см. также замечание 1.4.1).
Сказанное выше относится и к ковариантному и контравариант- ному метрическим тензорам g и g, для которых имеет место тензорное равенство
gij^ = g*^.
Поэтому имеем один метрический тензор g с ковариантными и контравариантными компонентами gy и g‘i. Его же смешанные компоненты в силу (2.2.2) имеют вид
(2.2.20)
Таким образом, для метрического тензора порядок записи верхних и нижних индексов не важен и точки можно опустить.
Упражнение 2.2.1. Доказать, что последнее утверждение справедливо для любого симметричного тензора второго ранга. □
Далее рассмотрим вопрос о связи векторов основного и взаимного базисов и соответствующих компонент тензоров при специальном выборе основного базиса.
Теорема 2.2.4. Пусть в пространстве Ln, имеющем положительный индекс к, выбран ортонормированный базис в],..., еп, у которого первые к векторов единичные, а остальные мнимоединичные.
Тогда для базисных векторов имеют место соотношения
(2.2.21)(2.2.21)е* = ejlj = 1,..., к), е* = -e^i = к + 1,..., л),
(2.2.21)
(2.2.21)
т.е. единичные векторы взаимных базисов равны между собой, а мнимоединичные отличаются знаком.
Аналогичные соотношения справедливы для соответствующих компонент тензоров.
Доказательство. Матрица метрической формы в указанном базисе имеет вид
о")
(2.2.22)(2.2.22)G = (gy) = Ek =
(2.2.22)
(2.2.22)
Отсюда найдем G~* = (gV) = Ек = G. Но G-1 является матрицей
метрической формы во взаимном базисе е1,..., еп. Так как G-1 = Ек, то взаимный базис также ортонормирован. Отсюда и из (2.2.4) сразу вытекают соотношения (2.2.21).
Для координат же вектора (тензора первого ранга) использование формулы (2.2.15) приводит к такому результату:
х* = x^i = 1,..., к), х* = -Xi(i = k + 1,..., п).(2.2.23)
Ясно, что аналогичные равенства имеют место и для тензоров произвольного ранга. Например, в случае тензора третьего ранга получим
^ = уД (/ = 1,...,к\ у^ = -yj‘ V = k + !,...,„). □
Объем и дискриминантный тензорв евклидовом пространстве. Векторное произведение
В § 1.8 были введены понятия ориентированного объема и дискриминантного тензора в произвольном линейном пространстве. Теперь рассмотрим случай, когда линейное пространство является евклидовым: Ln = Еп. Пусть метрика в Еп определена заданием в некотором базисе
VA(2.3.1)
метрической формы (2.2.8), для которой в этом случае в силу ее положительной определенности
g=|G|>0.(2.3.2)
Отметим, что как матрица G, так и ее определитель g являются инвариантными характеристиками данного базиса. Кроме того, если рассмотреть другой базис
e'v...,e'n(2.3.3)
с фундаментальной матрицей G', то из равенства G’ = PTGP (см. доказательство теоремы 2.2.1) вытекает следующая связь #'и g:
g' = gdet2P.(2.3.4)
Рассмотрим произвольный ориентированный параллелепипед, построенный на векторах tj ,...,сл. Его объем определяется по формуле (1.8.7).
Произвольную константу Р в этой формуле запишем в виде Р = ^Tg. Тогда для объема получим
V(c1,...,cn) = T[gD<c1с„), -(2.3.5)
где у- некоторое число, как будет показано ниже, определяющее выбор единицы объема.
Теорема 23.1. Число у определяется с точностью до знака, т.е. для любых двух базисов (23.1) и (233) соответствующие им множители у и У связаны между собой таким образом:
У' = ±У,(2.3.6)
где знак "плюс" берется при det Р > 0, а "минус" - при det Р < О.
Доказательство. Вначале отметим, что, как следует из формулы (2.3.5) и материала § 1.8,
V(ex,...,en) = vGD(eXl..,en) = yG*(2-3.7)
т.е. число Р = yG равно объему параллелепипеда, построенного на базисных векторах.
Отсюда с учетом формул (2.3.4), (2.3.5) и (1.8.8) получим
"t4g' = V(e'v...,e'n)= tGD'(<'••-'<>=
= xG^VxPD(ex ,...,еп) = yVgder’P = ±yG\
что и приводит к результату (2.3.6). □
Зафиксируем некоторый базис
ех,...,е*.(2.3.8)
Все остальные базисы можно различать по знаку det Р°, где Р° - матрица перехода от (2.3.8) к этим базисам.
Определение 23.1. Назовем положительно (отрицательно) ориентированными базисами те, для которых det Р° > О (det Р° < 0). □
Соответствующими аналогами этих понятий являются правые и левые тройки векторов в аналитической геометрии. Естественно, к множеству положительно ориентированных базисов относится и сам базис (2.3.8), так как при этом Р° = Е. Кроме того, отметим, что, как нетрудно показать, матрицы перехода между базисами каждого из множеств имеют положительные определители.
Замечание 2.3.1. Если ограничить возможные преобразования одним из указанных множеств базисных векторов, то, как вытекает из определения 1.8.5, законы преобразования компонент тензоров и осевых тензоров будут совпадать, что дает возможность их не различать в указанном смысле. □
Положим теперь, что (2.3.8) - ортонормированный базис, тогда матрица Go метрической формы в нем будет единичной, и g = I Go I = 1. Возьмем в качестве единицы объем единичного куба (параллелепипеда, построенного на векторах ортонормированногО базиса):
V(ex ...,e*) = L(2.3.9)
Матрица, элементы которой - координаты базисных векторов в этом же базисе, также является единичной, и D(ex ,...,е°) = 1. Поэтому для Cj = е° (/ = !,...,«) формула (2.3.5) преобразуется в равенство
= у • 1 ‘ 1, откуда получим, что у = 1 для положительно ориентированных базисов и у = -1 для отрицательно ориентированных базисов. Таким образом, при данном выборе единицы объема имеем
Vtv...,cn) = ±^съ...,сп);(2.3.10)
V^, e2,...,e„) = ±Vg,(2.3.11)
где верхний знак берется в первом случае, а нижний - во втором.
Вернемся теперь к дискриминантному тензору е, выбирая в качестве квадратичной формы в (1.8.15) метрическую форму, т.е. A = G. Тогда получим
А(2.3.12)
Поскольку дискриминантный тензор кососимметричен, то в силу (1.8.2) система равенств (2.3.12) равносильна одному равенству е12...п = = Vg, так как 512...И = 1- Очевидно, в ортонормированных базисах
£h-jn = ^h -in-(2.3.13)
Упражнение 2.3.1. Доказать, что
8h"jn =5jx...jn'^-(2.3.14)
Указание: использовать жонглирование индексами, определение определителя и свойства присоединенной и обратной матриц. □
Рассмотрим одно применение дискриминантного тензора. Для этого в трехмерном евклидовом пространстве Е) возьмем вектор х = х*еь тензор у =y'1-'reli ...eir ранга г и образуем из их координат и компонент дискриминантного тензора следующие геометрические объекты:
^ =EyiXjylil-ir, и^1 =Eijlyiv"i'-Uxl.(2.3.15)
Из теоремы 1.5.3 и определений 1.8.5, 1.8.6 вытекает следующее утверждение.
Теорема 2.3.2. Геометрические объекты (2.3.15) - осевые тензоры Z и в ранга г с соответствующими компонентами. □
Определение 2.3.2. Осевые тензоры z и в, указанные в теореме 2.3.2, называются векторными произведениями вектора х на тензор у и тензора у на вектор х и обозначаются таким образом:
z = [x,y]=xxy, и = [у, х] =у хх. □(2.3.16)
Понятие векторного произведения аналогичным образом может быть распространено и на случай обоих сомножителей - тензоров, осевых тензоров и псевдотензоров произвольных рангов. Кроме того, напомним, что, как отмечено в § 2.2, любые другие компоненты векторных произведений могут быть найдены с помощью жонглирования индексов.
(2.3.17)(2.3.17)Частным случаем введенного понятия является векторное произведение вектора х =х*е, на вектор у = у’еь тогда
(2.3.17)
(2.3.17)
z = [X, у] = х х у = z^ = Eijixjye'.
Покажем корректность данного определения в смысле совпадения его с соответствующим понятием векторной алгебры. В силу инвариантности векторного произведения достаточно рассмотреть случай ортонормированного базиса е(, е2, е3 (е, = е*). Используя формулу (2.3.13) и определение определителя, получим
е*
(2.3.18)(2.3.18)[x,y] = 5l>zVy,e'= ** У*
(2.3.18)
(2.3.18)
что с точностью до обозначений совпадает с известной формулой векторной алгебры.
В заключение получим дополняющие (2.2.4) формулы, связывающие ковариантный ez, е2, е3 и контравариантный е1, е2, е3 базисы в Е3 без прямого участия компонент метрического тензора.
Теорема 2.3.3. Пусть et, е2, е3 и е1, е2, е3 - ковариантный и контравариантный базисы в £3. Тогда имеют место следующие формулы (индексы /,/, к образуют четную перестановку из 1,2, 3):
Vge' = [ev, е J, е, = 'fglei, ekY (2.3.19)
Доказательство. Представляя базисные векторы в виде в; = 5^8, и учитывая (2.3.12), из формулы (2.3.17) получим
[ev,eJ = £1Zm5'5^e' = Е^е‘ = ^bijke',
откуда следует первая из искомых формул. Вторая выводится аналогично, но с той разницей, что вместо (2.3.12) необходимо использовать формулу (2.3.14). □
Отметим, что выражения (2.3.19) можно понимать двояко: либо в левых частях стоят осевые векторы с соответствующими координатами, либо правые части - обычные векторы в смысле замечания 2.3.1.
ГЛАВА 3
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Аффинное пространство
Определение 3.1.1. Множество А„, состоящее из элементов двух типов:
векторов х, у, z, принадлежащих n-мерному линейному пространству Ln, над полем К;
точек А, В, С,...
называется п-мерным аффинным пространством (от лат. affinis - родственный), если любой упорядоченной паре точек (A, S) поставлен в
—> соответствие единственный вектор х из Ln, обозначаемый также АВ. При этом выполняются следующие аксиомы:
для любых точки А и вектора х существует единственная точка
В, обозначаемая Р(А, х), такая что х = АВ;
для любых трех точек А, В и С справедливо равенство
АС = АВ + ВС.
При этом векторное пространство Ln называется пространством векторов (пространством трансляций?) аффинного пространства А„. Точки А и В называются соответственно началом и концом вектора
АВ. Пара элементов А„ - точка А и вектор х - называется вектором х, приложенным (закрепленным) в точке А. □
Из приведенного определения следует, что в аффинном пространстве выполняются все утверждения векторной алгебры для трехмерного случая.
Определение 3.1.2. Декартовой системой координат в А„ называется совокупность точки О и базиса в] ,...,еп линейного пространства L„.
—>
При этом точка О - начало координат. Вектор г = ОМ называют радиус-вектором. Координаты любого вектора х — его координаты в выбранном базисе. Координатами точки М е Ап называются коор
динаты радиус-вектора ОМ. □
Определение 3.1.3. Пусть Ак - подмножество аффинного пространства Ап с векторным пространством Ln, состоящее из множества Щ точек из А„ и ^-мерного (к ^ л) подпространства Lk пространства Ln. Причем точки и векторы из Ак связаны между собой теми же соотношениями, что и элементы пространства А„ (см. определение 3.1.1).
Тогда Ак называется к-мерным аффинным подпространством пространства Ап. Множество П4 С Ак называют к-мерной плоскостью в Ап. □
Теорема 3.1.1. Аффинное подпространство Ак само является jt-мерным аффинным пространством с пространством векторов Lk.
^-мерная плоскость Щ однозначно задается одной из своих точек А и подпространством Lk.
Доказательство. Первая часть утверждения очевидна, а вторая следует из равенства
АМ = ^,црьЦеК(3.1.1)
1=1
для любой точки М е Пь где р\ ,...,рк - базис Lk. □
Определение 3.1.4. Точка А, указанная в теореме, называется начальной точкой, соотношения (3.1.1) - векторно-параметрическими уравнениями ^-мерной плоскости, а величины г, - параметрами.
При этом для выделения конкретной плоскости к ее названию добавляют "натянутая на точку А и подпространство Lk. □
В частных случаях размерности подпространства используются специальные названия.
Определение 3.1.5. Одномерная плоскость (Л = 1) называется прямой, а (п — 1)-мерная плоскость - гиперплоскостью или просто плоскостью в Ап. □
Соответственно в этих вариантах в (3.1.1) присутствует один параметр ? или (и - 1) параметров.
В фиксированной системе координат в Ап обычно выделяются специальные прямые и плоскости.
Определение 3.1.6. Прямые, натянутые на точку О и базисные векторы еь
OM = tet(3.1.2)
и плоскости, натянутые на точку О и (п - 1) базисных векторов, называются соответственно осями системы координат и координатными плоскостями. □
Пример 3.1.1. В качестве линейного пространства Ln возьмем n-мерное векторное пространство Rn, элементами которого являются действительные столбцы:
X = (x1,...^„)Te Rn,x;e R.
Под точками соответствующего аффинного пространства (сохраним за ним обозначение Rn) будем понимать упорядоченные совокупности чисел М = (X] ,...Лп) е Rn- Каждой паре точек А = (<1] ,...,ап) и В = фх >—>Ьп) поставим в соответствие вектор X = ф\ ~ °1 > ->Ьп - а^.
По заданной точке А = (^ ,...,ал) и вектору X = (%] ,...,хл)т одно
значно определяется точка В = (&],...,ЬЛ), такая, что АВ = X, как решение системы уравнений Ь,—п, = х,. Так же просто проверяется аксиома 2) определения 3.1.1. Следовательно, Rn -л-мерное аффинное пространство.
Очевидно, при л = 3 множество Rn, а также прямые и плоскости соответствуют понятиям трехмерного пространства, рассматриваемого в элементарной геометрии. □
Изоморфизм аффинных пространств.
Тензорное поле
Докажем, что все л-мерные аффинные пространства в некотором смысле совпадают с Rn (так же как совпадают изоморфные линейные и евклидовы пространства).
Определение 3.2.1. Пусть F - такое взаимно однозначное отображение аффинного пространства Ап с векторным пространством Ln на аффинное пространство А' с векторным пространством L', что
FaW = A', FL(x) = х’, А е А„, А' е A^,xeLn,x'e L^,(3.2.1)
где FA hFl - сужения F на множестве точек Ал и на линейном пространстве Ln.
F называется изоморфным отображением (изоморфизмом, от греч. isos - равный, одинаковый и morphe - форма) А„ на А', если FL - изоморфизм Ln на L', и, кроме того, для любых двух точек А, В е Ал справедливо равенство
А'В'= F^AB^j, А'= Fa(A\ В'= Fa(B).
Аффинные пространства А„ и А^ называются изоморфными, если существует изоморфное отображение А„ на А'. □
•Очевидно, участвующие в определении сужения FA и FL отображения F суть взаимно однозначные отображения множества точек Ап на множество точек А' и L„ на Ц соответственно. Отметим также, что, поскольку определение изоморфизма включает в себя изоморфизм линейных пространств, изоморфные аффинные пространства обязаны иметь одинаковую размерность.
Справедливость обратного утверждения вытекает из следующих предложений, доказываемых в курсе алгебры.
Теорема 3.2.1. Любые два аффинных пространства одинаковой размерности изоморфны. □
Следствие 3.2.1. Изоморфное отображение двух аффинных пространств одинаковой размерности однозначно задается изоморфизмом их векторных пространств и образа одной из точек. □
Кроме того, заметим, что по теореме 3.2.1 все n-мерные аффинные пространства Ап изоморфны n-мерному векторному пространству Rn.
Определение 3.2.2. Отображение множества точек аффинного пространства Ап на множество тензоров t ранга s, определенных на векторном пространстве Ln пространства Ап, называется тензорным полем. □
Эту функциональную зависимость будем обозначать f = <(Л/), где М - точка из Ап. Если в А„ введена декартова система координат, то эта зависимость может быть записана с аргументами в виде радиус- вектора г или координат X],... ^„ точки М:
t(M) = t(r) = t(x1,...^n\(3.2.2)
Последние две формы записи неинвариантны и зависят от выбора системы координат.
Отметим, что в частном случае s = 1 тензорное поле является векторным полем.
Точечное евклидово пространство.Криволинейные координаты
Определение 3.3.1. Аффинное пространство Еп называется точечным евклидовым (аффинным евклидовым'), если его векторное пространство Ln евклидово, т.е. на нем задано скалярное произведение (х,у) векторов хну изLn. □
Это дополнительное свойство аффинного пространства вместе с определением 2.1.3 позволяет ввести следующие понятия.
—*—>
Определение 3.3.2. Длиной АВ вектора АВ (расстоянием р(А, В)
между точками А и В) из Еп называется его норма АЙ :
АВ = р(А,В)= А.АВ = р(А,В)= А.АВ, АВ . □АВ, АВ . □(3.3.1)(3.3.1)
АВ = р(А,В)= А.
АВ = р(А,В)= А.
АВ, АВ . □
АВ, АВ . □
(3.3.1)
(3.3.1)
С использованием аксиом скалярного произведения можно показать, что Е„ является метрическим пространством. В трехмерном случае Еп совпадает с обычным пространством R3 с квадратичной метрикой.
Точечное евклидово пространство часто называют просто евклидовым.
Теорема 3.3.1. Пусть в Еп как в аффинном пространстве введена декартова система координат с началом в точке О и базисом в\ ,...,е„.
Тогда квадрат расстояния между двумя точками А = (х1 ,.-Лл) и В = (у1 ,...,ул) определяется с помощью метрического тензора gy фундаментальной квадратичной формы g:
р2(А,В) = £^в) = gyz'zJ, z* = у' - х*.(3.3.2)
Доказательство. В соответствии с определениями 3.1.1, 3.1.2 и правилами действий над векторами получим
ОА = х = (х,,..., х„), ОВ = у = (у!,..., у„);
АВ = z = (Z] zn) = ОВ- ОА = у -х = (у, - х,,.... у„ - х„).
Используя определение 3.3.2 и формулу (3.3.1), придем к требуемому результату. □
Естественно, выражение (3.3.2) может быть записано также через
другие компоненты метрического тензора и координаты вектора АВ (см. § 2.3).
Рассмотрим отображение множества D^ С Rn в евклидово пространство Еп:
г = ОМ = г^Г) = ^‘)’<3-3-3>
где г - радиус-вектор в выбранной декартовой системе координат.
В скалярном виде зависимость (3.3.3) записывается так:
= ^Й15") = ^f^).г = ^ь
где х* - координаты г (или точки М) в выбранном базисе.
Напомним известное из математического анализа определение.
Определение 3.33. Отображение (3.3.3) является регулярным порядка к, если оно взаимно однозначное, х* е С^О^) и якобиан отображения отличен от нуля:
4?Г) = ^^*° (^^VDV П
Далее везде будем полагать, что к выбрано в соответствии с порядком производных, входящих в используемые выражения.
Регулярность отображения обеспечивает взаимно однозначное соответствие между упорядоченными наборами чисел (х1 ,...,х”) и (£’ ,...,£"). Это позволяет ввести следующее понятие.
Определение 3.3.4. Упорядоченный набор чисел (^1,...,^")е е D^ С R„, являющихся аргументами регулярного отображения (3.3.3), называется криволинейными координатами точки М.
При этом используется обозначение, аналогичное обозначению координат точек в декартовой системе: М = (^ ,...,^л) или М^ ,...,!;”).□
Для выяснения происхождения прилагательного "криволинейные"
введем следующее понятие. 52
Определение 3.3.5. к-мерной поверхностью Щ в Еп(к = 1,...,л - 1) называется совокупность точек М, задаваемых непрерывным отображением области D, С Rk в Еп:
(3.3.4)(3.3.4)(3.3.5)(3.3.5)r = K.t1 .—А,
(3.3.4)
(3.3.4)
(3.3.5)
(3.3.5)
что эквивалентно
х* =х*^' ,...A(i = !,...,«), г = х*е;, где ранг матрицы Якоби равен к:
rang=^> И —>г )GDr
При к = 1 поверхность называется кривой, а при к = п - 1 - гиперповерхностью или просто поверхностью. □
Очевидно, для поверхности соотношения (3.3.4) определяют неявно заданную функцию
Дх1,...^") = 0.
Если En=Ri, то введенные понятия кривой и поверхности совпадают с известными понятиями. Определенная в § 3.1 ^-мерная плоскость является частным случаем поверхности. При этом равенство (3.3.5) в соответствии с (3.1.1) обеспечивается линейной независимостью базиса рх ,—^к подпространства Lk.
Далее аналогично определению 3.1.6 можно ввести следующие понятия.
Определение 3.3.6. Если в отображении (3.3.3) зафиксировано (и - 1) координат ^ ,...,£'-1, £'+1 ,...,£л, то кривая
Г,:г = г(^^-’.Н, £'+1£л)
называется координатной линией. □
Очевидно, эти кривые в отличие от осей декартовой системы координат в общем случае не являются прямыми.
Если М(^х ,...,£',..-Лл) и Д^' = t* - £', то можно рассмотреть совокупность векторов (/ = 1,...,и)
(3.3.6)(3.3.6)■ Дг дг ①䧙о Д^
(3.3.6)
(3.3.6)
которые являются касательными к координатным линиям Г,- в точке М.
Теорема 3.3.2. Векторы е{,...,е^ образуют базис в Еп.
Доказательство. В силу регулярности отображения (3.3.3) векторы »{,...,»' линейно независимы, их число равно размерности пространства, и, следовательно, они и являются базисом Еп. □
Согласно (3.3.6) векторы в; зависят от выбора точки М, поэтому они получили название локального базиса.
В локальном базисе нельзя задать радиус-вектор г, однако в соответствии с (3.3.6) можно найти его дифференциал
dr = ^d^=e^(3.3.7)
и соответственно определить расстояние между двумя "бесконечно близкими" точками М^£”) и Мх (^ + d^1 ,...,£” + d^”):
р2(М, Мх) = ^1 = ||dr||2 = g^d^,(3.3.8)
где gy = (xe',e'j) - элементы матрицы Грама.
В то же время равенства (3.3.7) и (3.3.8) позволяют связать с исходным пространством Еп новые объекты.
Оиределеиие 3.3.7. Множество dE^M), состоящее из векторов
(3.3.7) и совокупности точек Мх как концов вектора ММХ =dr, называется касательным пространством кЕпв точке М. □
С учетом вышесказанного приходим к следующему утверждению.
Теорема 3.3.3. Касательное пространство dEn(M) является точечным евклидовым с фундаментальной квадратичной формой (3.3.8). Причем gy - ковариантные компоненты метрического тензора. □
Очевидно, gy зависят от точки Л/: gy = gy(^,...,£”).
В касательном пространстве, так же как и в обычном евклидовом, может быть введен ковариантный базис е'х,...,е*п и определены контра- вариантные и смешанные компоненты метрического тензора.
Рассмотрим регулярное отображение области Ол С Rn на область D^CRn:
^'(ri1,...,!]”).(3.3.9)
Сложное отображение Ол на Еп
также является регулярным, и поэтому упорядоченная совокупность чисел (ц1 ,...,цл) может рассматриваться как новые криволинейные координаты точек Еп. В них могут быть определены новый локальный ковариантный базис
соответствующие компоненты метрического тензора и контрава- риантный базис.
Теорема 3.3.4. Матрицы перехода Р =Теорема 3.3.4. Матрицы перехода Р =(p'j от базиса е'к базису
Теорема 3.3.4. Матрицы перехода Р =
Теорема 3.3.4. Матрицы перехода Р =
<не = WL<не = WLот базиса е" к базису е- определяются таким обра
<не = WL
<не = WL
i %^=^Vi %^=^V*9, м*9, мл =дЦ1л =дЦ1(3.3.10)(3.3.10)зом:
i %
^=^V
i %
^=^V
*9, м
*9, м
л =дЦ1
л =дЦ1
(3.3.10)
(3.3.10)
Доказательство. Первое из равенств в (3.3.10) вытекает из правила дифференцирования сложной функции:
j Эт)'j Эт)'(3.3.11)(3.3.11)мм
j Эт)'
j Эт)'
(3.3.11)
(3.3.11)
м
м
Для обоснования второго равенства прежде всего отметим, что существование обратного к (3.3.9) отображения гарантируется регулярностью исходного. При этом матрица Q является обратной к Р, и формулы для ее элементов вытекают из равенств (3.3.11), где необходимо поменять местами базисные векторы и координаты. □
Отметим, что новый базис е" вместе с точкой М определяет то же касательное евклидово пространство dEn(M). Его можно задать с помощью декартового базиса «j,..., е„ и точки М. В этом смысле все системы координат, в том числе и декартова, являются равноправными. Особенность последней заключается в том, что базисные векторы и компоненты метрического тензора не зависят от точки.
Определение 3.3.8. Отображения типа (3.3.9) называют допустимыми преобразованиями координат. □
Может быть доказано следующее утверждение.
Теорема 3.3.5. Множество допустимых преобразований образует группу с операцией суперпозиции отображений и с единичным элементом - тождественным преобразованием. □
Из определения касательного пространства следует, что оно порождается тем же n-мерным линейным пространством Ln, что и исходное Еп. Поэтому компоненты тензорного поля t(M) могут рассматриваться в любом локальном базисе. Жонглирование индексами при этом проводится с помощью соответствующего метрического тензора. Сам тензор является функцией в общем случае криволинейных координат точки М-Л = /(^,..., ^”).
Отметим, что введенные определением 3.3.4 криволинейные координаты равенствами (3.3.3) существенно связаны с евклидовостью (точнее, аффинностью) исходного пространства Еп. В некоторых случаях приходится рассматривать произвольные совокупности наборов чисел (^,..., ^”) с заданной метрикой g^E,1,..., ^”), это приводит к понятию риманового пространства. Частично теория этих пространств будет рассмотрена в § 3.7.
Упражнение 3.3.1. Найти базисные векторы е, и компоненты метрического тензора gy, соответствующие следующим криволинейным системам координат в/?3: а) цилиндрическая: £’ = г, £2 = <р, £3 = z; б) сферическая: ^ = г, ^2 = <р, ^3 = 0. □
§ 3.4. Ковариантное дифференцирование
В евклидовом пространстве Еп рассмотрим криволинейную систему координат У с локальными ковариантными ef и контравариантными е‘ базисами. Пусть в Еп определено поле тензоров t = /(Л/) = /(£') ранга s. Если система координат £' = х* является декартовой, то, как известно, производная векторного поля и^М^ (поля тензоров первого ранга) - вектор с координатами в виде частных производных:
Эна?Эна?(3.4.1)(3.4.1)Э , j , dujт-7 (и Jej) = —Tejах ах '
Эн
а?
Эн
а?
(3.4.1)
(3.4.1)
В случае произвольной системы координат вычисление производной вектора сложнее, так как базисные векторы сами зависят от координат %'. При этом, так как де; /д^' - вектор, его можно разложить по тому же базису:
(3.4.2)
Определение 3.4.1. Коэффициенты Г*, приведенные в формуле (3.4.2), называются символами Кристоффеля' второго рода. □
Очевидно, они тоже зависят от точки (ее координат ^‘), их число равно и3, где п - размерность пространства. Для трехмерного пространства оно равно 27. Далее (см. § 3.5) будет установлено свойство симметрии, которое уменьшит число различных символов Кристоффеля. *
(3.4.3)(3.4.3)Теорема 3.4.1. Для производных векторного поля и(М) имеет место следующее равенство:
(3.4.3)
(3.4.3)
К' ' 1
(3.4.4)
Доказательство. Используя разложение (3.4.2), согласно правилам дифференцирования произведения для векторного поля и(М) находим
ди duj j де} duj j k duj k ,
что с учетом обозначений (3.4.4) и приводит к равенству (3.4.3). □
Определеиие 3.4.2. Величины V;UJ называют ковариантными производными контравариантных компонент вектора. Иногда используют и другое их обозначение: V,uj = и^. □ _
Из формул (3.4.3) и (3.4.4) следует, что ковариантная производная отличается от частной производной дополнительными слагаемыми. В декартовой системе, как вытекает из сравнения (3.4.1) и (3.4.3), эти слагаемые отсутствуют, и Г,* = 0.
До сих пор были использованы контравариантные координаты вектора и ковариантный базис. Однако для ковариантных координат также имеет место формула, аналогичная (3.4.3). Перед ее доказательством рассмотрим вспомогательное утверждение.
Лемма 3.4.1. Вектор deJ / Э^' может быть представлен в контрава- риантном базисе следующим образом:
^ = -Г//- (3.4.5)
Доказательство. Пусть вектор де1 / Э^' имеет в базисе ек координаты Ск-
де1де1ске ■ске ■(3.4.6)(3.4.6)
де1
де1
ске ■
ске ■
(3.4.6)
(3.4.6)
Умножая скалярно правую и левую части этого равенства на ет.
получаем
(де» )—1^' ’ mJ(де» )—1^' ’ mJ= (cte*,em) = ct8*= (cte*,em) = ct8*CmCm(3.4.7)(3.4.7)
(де» )
—
1^' ’ mJ
(де» )
—
1^' ’ mJ
= (cte*,em) = ct8*
= (cte*,em) = ct8*
Cm
Cm
(3.4.7)
(3.4.7)
Л',втЛ',вт+ ^8> =+ ^8> =^ .»т^ .»т'J = 0mi и-'J = 0mi и-
Л',вт
Л',вт
+ ^8> =
+ ^8> =
^ .»т
^ .»т
'J = 0mi и-
'J = 0mi и-
Кроме того, дифференцируя равенство (еЛ ет^ = 8^, приходим к следующему результату:
де»; к
де; 'ет I+ (^ >^miek) ~
Отсюда с учетом (3.4.7) находим
тт(dej^ ’вт(dej^ ’вт= -Г<.1 тг= -Г<.1 тг
т
т
(dej
^ ’вт
(dej
^ ’вт
= -Г<.
1 тг
= -Г<.
1 тг
Подставляя это соотношение в (3.4.7), окончательно приходим к требуемому равенству (3.4.5). □
Следствие 3.4.1. Для производных векторного поля и(М) имеет место следующее равенство:
=<3-4-8)
ds
где
(3.4.9)(3.4.9)_ ди .
(3.4.9)
(3.4.9)
^<“> ” ^i ~ ^jiUk"
Доказательство. Используя разложение (3.4.5), представим вектор и в отличие от теоремы 3.4.1 в виде ковариантных координат. Тогда с учетом (3.4.5) и (3.4.9) придем к требуемому результату:
дц — ^Lei _ и— и— V и □
d^‘d£> J kl ^ kJ, I J
Определение 3.4.3. Величины Vjtij называются ковариантными производными ковариантных компонент вектора. Другое обозначение - V/u, = uj4. □
Формулы (3.4.3) и (3.4.8) можно обобщить в случае тензоров произвольного ранга. Однако предварительно рассмотрим скалярное поле ф(М) = (р^1, ^2, £3) (поле тензоров ранга 0).
(3.4.10)(3.4.10)Определение 3.4.4. Ковариантной производной скаляра назовем его соответствующую частную производную
(3.4.10)
(3.4.10)
Теорема 3.4.2. V,<p - ковариантные координаты вектора и = V^e‘.
Доказательство. Достаточно показать, что при изменении системы координат (изменении локального базиса) величины V,<p преобразуются ковариантным образом (см. § 1.2). Действительно, обозначив через V-<p ковариантную производную скаляра в новой системе координат т)1,.... т)”, по правилам дифференцирования сложной функции получим
где Р = ^p‘j )„х„ - матрица перехода от базиса еь соответствующего старой системе координат £', к базису ej новой системы координат ту. □
Отметим, что контравариантные компоненты вектора, указанного в теореме 3.4.2, находятся обычным образом с помощью жонглирования индексами:
и = Vj<pej = и'е^и' = g'^fl.
Затем, индуктивно обобщая определения 3.4.2-3.4.4, перейдем к ковариантным производным тензоров произвольного ранга.
Определение 3.4.5. Ковариантной производной компонент тензора t ранга s называется величина, состоящая из s + 1 слагаемых, которые строятся так (обозначение V^t'1„'д.^ , порядок индексов выбран для примера):
первое слагаемое — частная производная по координате;
перед каждым слагаемым, начиная со второго, ставится знак "плюс" для контравариантного индекса и знак "минус" для ковариантного индекса. Все слагаемые имеют вид произведения компоненты тензора на символ Кристоффеля второго рода, причем для каждого типа слагаемых индексы расставляются следующим образом:
соответствующий контравариантный индекс является верхним индексом символа Кристоффеля; вместо него в компоненте тензора стоит немой индекс, он же - первый нижний индекс символа Кристоффеля, а его второй нижний индекс — индекс координаты, по которой производится дифференцирование;
соответствующий ковариантный индекс является первым нижним индексом символа Кристоффеля; вместо него в компоненте тензора стоит немой индекс, он же - верхний индекс символа Кристоффеля, а его второй нижний индекс - индекс координаты, по которой производится дифференцирование. □
Нетрудно проверить, что формулы (3.4.4), (3.4.9) и (3.4.10) соответствуют этому правилу.
Пример 3.4.1. Для один раз ковариантных и два раза контрава- риантных компонент т^ тензора третьего ранга их ковариантная производная имеет вид
Имеет место утверждение, обобщающее теоремы 3.4.1, 3.4.2 и следствие 3.4.1.
Теорема 3.4.3. Ковариантная производная р - контравариантных и q - ковариантных компонент тензора ранга s = p + q есть р — контравариантные и q + 1 - ковариантные компоненты тензора ранга s + 1.
Доказательство проведем для смешанных компонент тензора второго ранга /(£',..., ^”) = т' -е^1.
По тензорному признаку (см. теорему 1.5.5) свертка тензора tc
двумя произвольными векторами и = и;е* и и = и Jej является скаляром:
<р = т*.-и, и1.
Продифференцируем обе части этого равенства по ^ с учетом формул (3.4.4), (3.4.9), теоремы 3.4.2 и определения 3.4.5:
- dtj i i ди: i i i duJ
дт'"-.. .. ...
= ^“,v1 + tjv1 ^A + Г^ит) + T^ (VkuJ - Г^и").
Отсюда найдем
Vt9-T')(u^Vt«,- + u'Vk uj) = VkT''jUiVj.(3.4.11)
Выражение (3.4.11) позволяет установить тензорный характер величин VtTj. Действительно, справа стоит свертка этого трехиндекс- ного массива по двум индексам с произвольными векторами и и и. Слева в круглых скобках имеем тензоры третьего ранга как тензорные произведения трех векторов, их свертка по двум индексам дает вектор. Следовательно, левая часть - ковариантные компоненты вектора. Отсюда по тензорному признаку получим, что Vk т') - компоненты тензора третьего ранга. □
Ответ на вопрос, компонентами каких тензоров являются ковариантные производные, будет получен в § 3.5
Свойства ковариантных производных
Рассмотрим основные свойства введенных в § 3.4 ковариантных производных.
Теорема 3.5.1.1. Ковариантная производная компонент суммы тензоров равна сумме соответствующих ковариантных производных.
Ковариантная производная компонент тензорного произведения двух тензоров равна сумме произведений ковариантной производной первого сомножителя на второй сомножитель и первого сомножителя на ковариантную производную второго сомножителя.
Доказательство этих свойств проведем на примере суммы двух векторов и = Uj-ei и и = и^е1. Применяя формулу (3.4.4) или определение 3.4.5, получаем искомый результат:
Э(И; + и Л .
Vi(Uj+ и^ = —1—^1— r£(ut+ ut) =
OS
Си
=M-r>t +M-r>*=v^+V'v'- □
Теорема 3.5.2 (.теорема Риччи). Ковариантные производные компонент метрического тензора равны нулю, т.е. метрический тензор при ковариантном дифференцировании ведет себя как константа:
^kgy =°. ^kg4 =0> ^kgj = °-
Доказательство проведем для ковариантных компонент (остальные формулы доказываются аналогично). В евклидовом пространстве имеем gy = (eh ej). Продифференцируем это равенство по £* с учетом формулы (3.4.2), тогда
д^* к^^’^УхГ»е'в’е// + Г/,1лМ“
= 8^+8^(3.5.1)
Из (3.5.1), принимая во внимание определение ковариантной производной 3.4.5, получаем
g^ - gim^ = 4kgy = О. □(3.5.2)
as
Теперь можно выяснить вопрос, поставленный в конце § 3.4.
Теорема 3.5.3. Ковариантные производные тензора ранга s являются компонентами одного тензора ранга 5+1.
Доказательство проведем на примере тензора второго ранга
t = Хув‘е2 = Хув^5 = x^e‘ej = ^е^р
При этом ограничимся двумя компонентами. Остальные рассуждения для других компонент аналогичны. Учитывая связь компонент тензора t и предыдущее свойство, получаем
^k^y^kV^jKnu^gm^k^j-
Таким образом, компоненты VtTiyполучаются из VtTy с помощью операции жонглирования индексами, что и завершает доказательство. □
Отметим, что для данного тензора ранга s можно построить различные тензоры ранга (5 + 1) с одинаковыми компонентами в зависимости от расположения базисного вектора ек, соответствующего оператору ковариантного дифференцирования V^ Для однозначности условимся располагать вектор е* первым. Например, для тензора второго
ранга t получим тензор третьего ранга <h
d = dti/6^ = dk>keiei = ...-,dkij = V^y, d^j = Vk<j. (3.5.3)
Достаточно просто показать, что частные производные тензоров ранга больше нуля не являются компонентами тензора. Этим и объясняется введение понятия ковариантных производных.
Свойства символов Кристоффеля
Теорема 3.6.1. Символы Кристоффеля второго рода Г,у не являются компонентами тензора и при изменении системы координат преобразуются по следующим формулам:
Г#к _к т-J „т „л .у = 41 1 mnPi Pj +Г#к _к т-J „т „л .у = 41 1 mnPi Pj +dr? J’dr? J’(3.6.1)(3.6.1)
Г#к _к т-J „т „л .
у = 41 1 mnPi Pj +
Г#к _к т-J „т „л .
у = 41 1 mnPi Pj +
dr? J’
dr? J’
(3.6.1)
(3.6.1)
где Г,* и Г,у* - символы Кристоффеля второго рода в старой ^ и новой ту системах координат; ру и ^у - элементы матриц перехода от старого базиса е, к новому базису е', и в обратном порядке.
Для доказательства достаточно продифференцировать обе части формулы связи базисных векторов (е- = р/е,) и учесть определение 3.4.1 символов Кристоффеля:
де' к , др- / де. др- ( де, д§" а?=г»“
_ ^Pi -' _т_пт'1_ pZ т п .^Pi к'
"d?V ' PiPjr,n m"\diV Pi Pj^p-^Pi Pj + ^7^'^‘
Отсюда непосредственно следуют равенства (3.6.1). □
Теорема 3.6.2. Если отображение (3.3.3), определяющее криволинейные координаты £’, дважды непрерывно дифференцируемо, то символы Кристоффеля второго рода симметричны по нижним индексам:
Г* = Г*
<Z
Доказательство следует из равенства смешанных производных вектор-функции г?;1,..., £") и формул (3.3.6), (3.4.2):
^- = Г*е =-^- ^- = Г^ = -^- П d^j ,j к д^ * Э^*’;' * д^ ‘
Таким образом, число одинаковых пар символов Кристоффеля в л-мерном пространстве равно лС^ = л2 (л - 1)/2. Следовательно, число
различных символов равно и3 - и2 (и - 1)/2 = и2 (и + 1)/2. В трехмерном пространстве имеем 18 различных символов Кристоффеля.
Теорема 3.6.3. Символы Кристоффеля второго рода связаны с метрическим тензором следующим образом:
(3.6.2)(3.6.2)(3.6.3)(3.6.3)Г* = ₽*Т
(3.6.2)
(3.6.2)
(3.6.3)
(3.6.3)
J< 5 у.п
где
Г =— ^'” I ^jn ^^
Доказательство. По формуле (3.5.1) найдем
Подставляя эти соотношения в (3.6.3) и учитывая симметрию метрического тензора и символов Кристоффеля второго рода, получаем
Г. = е Г”, у,л отп у •
Свертка обеих частей этих равенств с gkn с учетом формулы Ктп^®1 = 8m приводит к требуемому результату. □
Определение 3.6.1. Величины Г^, называются символами Кристоффеля первого рода. □
Следствие 3.6.1. Символы Кристоффеля первого рода не являются компонентами тензора, и имеет место их симметрия по первым двум индексам:
Г =Г .
Ц,П Jltn
Доказательство первой части утверждения проводится аналогично теореме 3.6.1. Вторая часть следствия вытекает из формулы (3.6.3) и симметрии метрического тензора. □
Теорема 3.6.4. Для внутренней свертки символов Кристоффеля второго рода по верхнему и нижнему индексам справедлива следующая формула:
(3.6.4)(3.6.4)Г' =1о”^т=1-^_ = ^1п^ = —У1
(3.6.4)
(3.6.4)
4 28 ^ 2g d^j d^j N8 ^ д? ’
где g = IGI; G = (g^ - фундаментальная матрица.
Доказательство. Рассмотрим сначала первое равенство. Его справедливость следует из формул (3.6.2) и (3.6.3) с учетом симметрии метрического тензора:
Г' =^'п * ^22. _ ^У1 =
(3.6.5)(3.6.5)_ 1 _in ^8jn _ 1 Г-ж $£д_ _ in ^ij _ J_ „in ^8jn 28 ^ 2^ ^n 8 d£”J 2 Э$'‘
(3.6.5)
(3.6.5)
Для доказательства второго равенства в (3.6.4) продифференцируем формулу для определителя g = giaAia по элементу gia, где Aia - алгебраическое дополнение к элементу gia, матрицы G. Тогда, учитывая, что Ащ не зависит от элемента g^, получаем
(3.6.6)(3.6.6)^ = д + р ^i» = д
(3.6.6)
(3.6.6)
'Лег
"8ia°8ia
Так как контравариантные компоненты метрического тензора являются элементами матрицы, обратной к G, то, учитывая (3.6.6), из (3.6.5) найдем
Г= —A d8i" = 1 dgh = 1 dg у 2g in^ 2gdgin^ 2g ^*
Справедливость последних двух равенств в (3.6.4) проверяется непосредственно. □
Упражнение 3.6.1. Найти символы Кристоффеля первого и второму рода, а также формулы для ковариантных производных всех видов для вектора и и тензора второго ранга t в следующих криволинейных системах координат в R3: а) цилиндрическая: = г, £2 = ф, £3 = z; б) сферическая: ^ = г, £2 = ф, ^3 = 0 (см. упражнение 3.3.1). □
Условия евклидовости пространства
Рассмотрим обобщение точечных евклидовых пространств.
Определение 3.7.1. Пусть А - множество элементов, которому поставлено во взаимно однозначное соответствие множество D^ С R„, состоящее из упорядоченных совокупностей чисел (£’,.... £”), и на задана невырожденная симметрическая матрица G = (gy)nxn.
Тогда А называется римановым пространством, если:
функции g^1£") непрерывно дифференцируемы на D^ (gy е
е C4D0Y
свойства матрицы G инвариантны относительно группы допустимых преобразований (3.3.9).
Для риманова пространства сохраним принятые для евклидовых пространств обозначения: А - точка, G - фундаментальная матрица, а числа ^ координаты точки. □
Очевидно, точечное евклидово пространство - частный случай риманова. Из всей теории римановых пространств выделим только один вопрос: в каком случае риманово пространство можно отождествить с точечным евклидовым, т.е. об условиях евклидовости пространства.
Под последними будем понимать существование среди всех возможных декартовых координат, т.е таких, в которых матрица G не зависит от точки (5,у = const).
В каждой точке риманова пространства по формуле (3.3.10) можно определить матрицы Р и Q, которые будем считать матрицами перехода между некоторыми базисами е, и ву, соответствующими координатам £' и ту. Тогда, также как и в § 3.4, эти базисы вместе с точкой (элементом риманова пространства) Л/(^,.... £") и коэффициентами gy фундаментальной формы образуют касательное евклидово пространство. С этой точки зрения и в том же смысле, как и ранее, можно рассматривать тензорные поля, и в том числе операцию ковариантного дифференцирования. Символы Кристоффеля при этом непосредственно задают по формулам (3.6.2) и (3.6.3) с сохранением всех свойств, рассмотренных в § 3.6. Элементы gy фундаментальной матрицы являются ковариантными компонентами метрического тензора.
Вернемся к условиям евклидовости пространства.
Теорема 3.7.1. Пусть £',..., £" - некоторая система координат риманова пространства А.
Тогда, для того чтобы система координат q' = х; была декартовой, необходимо и достаточно, чтобы функции ^q1,..., q”) е С2^) удовлетворяли следующей системе уравнений в частных производных:
(3.7.1)(3.7.1)г' ^m%”, А1 _0
(3.7.1)
(3.7.1)
"” dq' dq' dq'dq' ’
где Г^„ определяются по формулам (3.6.2) и (3.6.3).
Доказательство. Как следует из § 3.4, существование декартовых координат q' = х, эквивалентно равенству нулю во всем пространстве соответствующих символов Кристоффеля:
Г<* = 0. (3.7.2)
Учитывая связь (3.6.1) символов Кристоффеля в двух системах координат, невырожденность матрицы Q и формулу (3.3.10) для pj, получаем, что равенство (3.7.2) равносильно системе уравнений (3.7.1), что и завершает доказательство. □
Детальное исследование системы уравнений (3.7.1) приводит к выводу, что существуют такие системы координат, в которых соответствующие равенства выполняются в заданной точке или даже на некоторой кривой. Однако в общем случае риманова пространства система (3.7.1) неинтегрируема. Это объясняется тем, что в (3.7.1) число уравнений больше числа неизвестных. Например, при л = 3 это система из 18 уравнений относительно трех неизвестных. Причем ее коэффициенты Г^^1,.... ^") определяются через шесть произвольно заданных функций gy^1,.... £").
Отметим, что аналогичная проблема имеет место в теории векторного поля при установлении его потенциальности.
6565А.Г. Горшков и др.
65
65
Следствие 3.7.1 (условия евклидовости пространства). Риманово пространство является евклидовым только в том случае, если для некоторой системы координат имеют место равенства:
r^r^Др/ др// др/'
r^
r^
sn st 1 ртр/ ртр/ _ ли , ртр/ л 7
~"^s^mt 1 st1 тп —' 1 sn1 mt ~
где квадратными скобками обозначена операция альтернирования по индексам л и Л распространенная на произвольные геометрические объекты.
Доказательство. По теореме 3.7.1 условие евклидовости пространства эквивалентно условию существования решения £' е С3(Я„) системы уравнений в частных производных (3.7.1), что в предположении gy g С2(О^) совпадает с независимостью частных производных третьего порядка от последовательности дифференцирования.
Для реализации последнего требования продифференцируем (3.7.1) под*:
d£L,d^d^d^.r/ ЭЧ” д^” . д^ ЭЧ" , д^' дд* дТ|‘ Эд7 тп дд'дд* дд7 ™ дд' дд^дд*
дд‘дд7дд*
Исключая в данной формуле с помощью (3.7.1) вторые производные, с учетом симметрии символов Кристоффеля придем к следующим равенствам:
fail _г/ pm _ р/ гт)^^"д^ эЧ' .
^ mn^st^j ^^^j^•
Переставив в этом уравнении индексы t и п, а также к и j, получим другую группу равенств:
^_г/ г-.г'дЧ' „
д^„^ Эд7 дд'дп*^
Разность двух последних уравнений с учетом независимости смешанных производных от порядка дифференцирования и приводит к требуемому равенству (3.7.3). □
Установим свойства геометрического объекта R^*, введенного формулой (3.7.3).
Теорема 3.7.2. Величины R^* являются компонентами тензора четвертого ранга.
Доказательство. Возьмем произвольное дважды дифференцируемое векторное поле и = и*е^, определенное на римановом пространстве. Используя теорему 3.5.3, образуем два тензора третьего
ранга #i и/2:
tx = V,- Vy u'e'e'e,, t2 = Vy V, u^e^.(ЗЛ.4)
Очевидно, их разность также является тензором третьего ранга. Непосредственное вычисление с учетом определения 3.4.5 (формулы (3.4.4)) для ковариантных производных, выражения (3.7.3) для величин R^* и независимости частных производных вектора от порядка дифференцирования приводит к следующему результату:
#2 - ^i = R^“k*,*jer(3.7.5)
Следовательно, свертка Ry^uk дает компоненты" тензора третьего ранга. И на основании тензорного признака (см. теорему 1.5.5) имеем, что Ry^ - компоненты тензора четвертого ранга. □
Определение 3.7.2. Тензор R = ^1е‘е^еке1 называется тензором кривизны или тензором Римане?-Кристоффеля. □
В этой терминологии следствие 3.7.1 может быть сформулировано таким образом.
Следствие 3.7.2. Условия евклидовости пространства заключаются в равенстве нулю тензора Римана-Кристоффеля. □
Кроме того, из доказательства теоремы 3.7.2 вытекает следующий результат.
Следствие 3.7.3. В евклидовом пространстве результат повторного ковариантного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.
Доказательство проведем для вектора. Из формул (3.7.4) и (3.7.5) имеем
Vy V,u'-V,Vyu'=/^V-
Так как в евклидовом пространстве тензор Римана-Кристоффеля равен нулю, то приходим к требуемому результату:
V,.Vyu'=VyV, u'. □
Найдем теперь чисто ковариантные координаты тензора Римана- Кристоффеля.
Теорема 3.7.3. Имеют место следующие равенства:
fоА
о —" IГ Г
э^' 8 “,т1к,п)
3 Риман (Riemann В., 1826-1866) - немецкий математик.
^"(гй,„Г>е„-ГА„Г^(3.7.6)
Доказательство. Принимая во внимание формулы (3.7.3), (3.6.2) и (3.5.2), получаем
^ijkl Smt^ijk, 4й ^*j ^lik^JLm
, r-mp
Подставляя в последнее выражение формулы (3.6.2) и (3.6.3), придем к формуле (3.7.6). □
Теорема 3.7.3 позволяет непосредственной проверкой установить свойства симметрии тензора Римана-Кристоффеля.
Следствие 3.7.4. Справедливы следующие равенства:
Ryu = ~^jikl = -Ryut' ^ijkl = ^ыу* Ryu + ^kyi + ^jkH = 0. □(3.7.7)
Первая группа равенств декларирует кососимметричность тензора Куи по первой и второй парам индексов:
Кун = ^ум = 2Лдаг(3.7.8)
Отсюда вытекает, что компоненты с совпадающими двумя первыми или последними индексами равны нулю:
^ааИ = ^урр = 0-(3.7.9)
Подсчет независимых компонент тензора Римана-Кристоффеля (отличных от нуля и не равных между собой) показывает, что их число в л-мерном пространстве равно л2 (л2 - 1)/12.
Пример 3.7.1. В трехмерном случае имеется шесть независимых компонент тензора Римана-Кристоффеля, в качестве которых, например, можно взять следующие:
^1212» ^1313’ ^2323’ ^1213’ ^2123’ ^3123-
Соответственно при этом число уравнений - условий евклидовости пространства - тоже равно шести. □
Пример 3.7.2. В двумерном пространстве имеется одна независимая компонента тензора Римана-Кристоффеля, в качестве которой, например, МОЖНО ВЗЯТЬ/(|212*
Соответственно при этом условие евклидовости пространства одно. □
Дифференциальные операторыи интегральные теоремы
С помощью введенных операций свертки, векторного произведения, произведения тензоров и операции ковариантного дифференцирования могут быть обобщены на поля тензоров произвольного ранга известные из векторного анализа дифференциальные операторы.
Для этого рассмотрим необходимое число раз дифференцируемое тензорное поле /(Л/) = /(£',..., £") ранга s в «-мерном евклидовом пространстве Еп.
Онределенне 3.8.1. Формально определим вектор-оператор набла, называемый также гамильтонианом
V^e1,(3.8.1)
где V,-оператор ковариантного дифференцирования, а е1,...^" - контравариантный базис в соответствующей криволинейной системе координат ^1,...,^". □
Рассмотрим операции первого порядка.
Онределенне 3.8.2. Дивергенцией (от позднелат. divergentia - расхождение) тензора t ранга 5^1 называется следующий тензор ранга (s-1):
divt = (17,t). □(3.8.2)
Если t= и - вектор ($ = 1), то дивергенция является скалярным полем и справедлива формула
diva = (Г, u) = (^j е', ^е^^и'.(3.8.3)
С учетом свойств ковариантной производной в прямоугольной декартовой системе координат £' = х, отсюда вытекает известная формула:
diva =diva =ди, дх.ди, дх.
diva =
diva =
ди, дх.
ди, дх.
Из формул (3.8.3) и (3.4.4) для ковариантных производных контра- вариантных компонент вектора и свойств символов Кристоффеля получаем следующее выражение для дивергенции вектора (g = det G):
(3.8.4)(3.8.4)
(3.8.4)
(3.8.4)
где G - фундаментальная матрица.
Если t - тензор второго ранга (s = 2), то результат операции дивергенции - векторное поле:
(3.8.5)(3.8.5)div / = (V, ej, ^e^j) = V,- т1^ .
(3.8.5)
(3.8.5)
Определение 3.8.3. В трехмерном пространстве ротором (от лат. го to-вращаюсь) тензора tранга s> 1 называется псевдотензор ранга s, определяемый как векторное произведение вектора набла на тензор t
(3.8.6)(3.8.6)rot# = [Г, #]• □
(3.8.6)
(3.8.6)
В случае векторного поля t = и для ротора, проводя жонглирование индексами в формуле (2.3.17), получим следующее выражение:
(3.8.7)(3.8.7)rota = [Г, и] = [V, е\ Uj е^ = ^к^{ и3 ек,
(3.8.7)
(3.8.7)
где E'ik — компоненты дискриминантного тензора (тензора Леви-Чивита).
Формула (3.8.7) с учетом (2.3.18) может быть преобразована так:
rOt“ V?^'“y iut^k ^^э^ ^чи” д^+^'И'”]е*
(3.8.8)(3.8.8)1 (duj ди, lA^TWr
(3.8.8)
(3.8.8)
где индексы i,j, к образуют четную перестановку из индексов 1, 2, 3.
Непосредственной проверкой легко убедиться, что из (3.8.8) вытекает известная формула векторного анализа в прямоугольной декартовой системе координат:
в|^2^з
Ши =Ши =эээ
Ши =
Ши =
Эх,дх2дх3
«1«2“3
Для тензора второго ранга получим
rotf = [V, е*, Tjk eV^ = e,:/,V, Tjk etek.(3.8.9)
Определение 3.8.4. Градиентом (от лат. gradiens - шагающий) тензора t ранга s ^ О назовем тензор ранга s + 1, полученный умножением слева оператора набла на тензор fr.
grad/ = V ®t = V t. □ (3.8.10)
Если / = ф - скалярное поле (s = 0), то формула (3.8.10) позволяет получить следующий результат:
gгadф = V ф = ^,е')ф = (¥,ф>gгadф = V ф = ^,е')ф = (¥,ф>- = Эф,-- = Эф,-(3.8.11)(3.8.11)
gгadф = V ф = ^,е')ф = (¥,ф>
gгadф = V ф = ^,е')ф = (¥,ф>
- = Эф,-
- = Эф,-
(3.8.11)
(3.8.11)
Для векторного поля t = и (s = 1) получим тензор второго ранга:
gradu = (V, e‘Xuj е^ = V,- и, e‘ej = V,- uje‘ej.(3.8.12)
Определим также один из дифференциальных операторов второго порядка, который часто встречается в приложениях.
Онределение 3.8.5. Оператором Лапласа^ А от тензора t назовем
At = divgradt = (Г, Г/) = Г2 L □(3.8.13)
Для скалярного поля t = ф (s = 0) из (3.8.13) с учетом формул (3.8.3) и (3.8.11) найдем
Аф = У,(Г ф)' = V,- g*1^j ф = £УУ,Уj ф.(3.8.14)
В прямоугольной декартовой системе координат £' = х, получаем известное выражение:
Дф = -^-5,}.(3.8.15)
dXidXj J
В случае векторного поля t= и (s = 1) формулы (3.8.13), (3.8.5) и (3.8.12) позволяют получить следующий результат:
Д« = У,.(7«)%=У,(£ИУ*и')е; = ga=ViVtu'ej.(3.8.16)
Рассмотрим обобщение интегральных теорем векторного анализа.
Онределение 3.8.6. Интегралом от тензора t по множеству D в евклидовом пространстве Еп называется тензор I того же ранга, компоненты которого в прямоугольной декартовой системе координат равны интегралам от соответствующих компонент тензора L Например, для тензора второго ранга имеем
I = J tdn = j т'^^ф = J J т,:,ф L,-^.(3.8.17)
DOJ
где в; — ортонормированный базис; ц - соответствующая типу интеграла мера. □
Специальный выбор системы координат связан с тем, что в ней базисные векторы не зависят от точки пространства.
Теорема 3.8.1 (обобщенная теорема Остроградского-Гауса^). Пусть G - ограниченная область в евклидовом пространстве Еп, ее граница 3G является кусочно-гладкой гиперповерхностью. На замыкании множества G определено непрерывно дифференцируемое тензорное поле/(Л/) = ^1>--., £")•
Тогда справедлива формула
f VOtdV = f vOtdS,(3.8.18)
GЭС
где p - единичный вектор внешней нормали к dG, а под значком "О"
понимается одна из следующих операций для вектора и и тензора V. свертка (скалярное произведение) («, /), векторное произведение [«, /] или тензорное произведение u®t.
Доказательство проведем для одного из вариантов (остальные обосновываются аналогично): под операцией "О" будем понимать скалярное произведение. Тогда формула (3.3.18) преобразуется в классическую формулу Остроградского-Гаусса:
J div^V= J (v.^dS.(3.8.19)
GЭС
Доказательство равенства (3.8.19) опирается на известное из математического анализа соответствующее утверждение для поля тензоров первого ранга (векторного поля) t = «:
J div udV = J (f, u^dS.
G3G
Последнее согласно формуле (3.8.3) и определению свертки (скалярного произведения) может быть записано в координатной форме:
J ViuidV = J Vj^ds,(3.8.20)
GЭС
где v = v^e', и = u'e„ e' и е, - базисные векторы некоторой системы координат в Еп.
Ограничимся тензорами второго ранга t. Обобщение на тензоры произвольного ранга может быть получено с помощью метода математической индукции, на котором здесь останавливаться не будем. Положим, что < = е; - базис прямоугольной декартовой системы координат в Еп. Тогда для векторов Р = т'^ в соответствии с (3.8.20) найдем
/ V,T1JdV = J v^dS.
GdG
Используя эту формулу, а также определения 3.8.2 и 3.8.6, получим следующую цепочку равенств:
J div tdV = J Vr ^ejdV = e; J V,- ^dV = e} J V,- ^dS =
GGGdG
= J Vt^ejdS- / (f, t)dS, dGdG
которая и завершает доказательство. □
Эта теорема часто применяется во многих приложениях. В частности, формула (3.8.19) будет неоднократно использована во второй части книги. Укажем еще на один интересный результат, доказываемый с помощью этой теоремы.
Следствие 3.8.1. Так называемая векторная площадь замкнутой поверхности dG, удовлетворяющей условиям теоремы 3.8.1, равна 72
нулю:
S= J vdS = O.(3.8.21)
de
Доказательство. Сначала запишем частный случай формулы (3.8.18), полагая, что / = ф - скалярное поле (5 = 0), и выбирая в качестве операции тензорное произведение:
/ gradф JV = J q>vdS.(3.8.22)
Gde
Подставляя в (3.8.22) ф = const, придем к требуемому результату. □-
Упражнение 3.8.1. Найти формулы для дивергенции, ротора, градиента и оператора Лапласа для вектора и и тензора второго ранга t в следующих криволинейных системах координат в R3: а) цилиндрическая: £* = г, £2 = ф, £3 = z; б) сферическая: £* = г, £2 = ф, £3 = 0 (см. упражнение 3.6.1). □
Ортогональные координаты.Физические компоненты тензора
Среди всевозможных криволинейных координат в евклидовом пространстве Еп выделим часто используемые специальные типы координат. '
Определение 3.9.1. Система координат (£*..... £”) называется ортогональной, если в любой точке пространства соответствующий ковариантный базис 8],...,еп является ортогональным, т.е. фундаментальная матрица G = (gy)„Xn - диагональная: g^ = (е„ е,) = 0 при / *j. □
Очевидно, в этом случае определитель фундаментальной матрицы имеет вид
8 1^1 — 511^22 "'Sw
Обратная к G матрица G-1 = (Д/, также диагональная:
gU=O^*jy, gan = \lgan.'(3.9.1)
Следовательно, контравариантный базис е1,..., е" также ортогонален: (е', е) = g‘i = 0 при i * j. Кроме того, согласно формуле (2.2.4) связи контравариантного и ковариантного базисов получаем, что векторы еа и е“ коллинеарны:
®а = Saj el = Кап е“-
Для модулей базисных векторов вводится специальное обозначение.
Определение 3.9.2. Величины
На = Ы = ^(3.9.2)
называются параметрами Ламе1. □
Отсюда для модулей контравариантных базисных векторов найдем
111На1На(3.9.3)(3.9.3)
1
1
1
На
1
На
(3.9.3)
(3.9.3)
В ортогональных координатах существенно упрощаются формулы для дифференциальных операторов, и прежде всего для оператора ковариантного дифференцирования, за счет обнуления многих символов Кристоффеля.
Теорема 3.9.1. В ортогональных координатах для символов Кристоффеля имеют место следующие формулы:
Г^=0^а=-^- = -Н^ (а^Р);
(3.9.4)
р _ 1 ^8аа и ^На ,
ара 2 Э^ “ Э^Р ’
Г^О (i*j*k); Г“ =-5^ (а*Р); Г“ = ^^- (3-9.5)
Доказательство. Равенства (3.9.4) получаются при подстановке в (3.6.3) выражения (3.9.2) с учетом определения 3.9.1.
Принимая во внимание формулы (3.9.1), из выражения (3.6.2) для символов Кристоффеля второго рода найдем
ри _. ри —
рр 8 1РР.* * 1рр,и’ 1 ар 8 1 ap,t 8 *ар,а-
Подставляя в последние равенства (3.9.4), придем к результату (3.9.5). □
При записи физических законов в координатной форме непосредственное использование ковариантных и контравариантных компонент тензоров вносит некоторое неудобство, так как эти компоненты могут иметь разные размерности. Поэтому обычно переходят к единичному базису е*,...,е*, полученному нормировкой исходного:
Тогда для вектора и будут иметь место следующие разложения по этому базису:
и = и'е, = У и'Н; е* = У и* е* = и, е' = У —е*.
(=1/=1i=i Hi
Отсюда следует, что координаты и, связаны с контравариантными и ковариантными координатами:
«а =иаНа= иа /На.(3.9.7)
Определение 3.9.3. и* называются физическими координатами вектора и в криволинейной ортогональной системе координат £*,..., ^”.
Физические компоненты тензора произвольного ранга определяются по аналогии с (3.9.7): соответствующую компоненту тензора нужно разделить на параметры Ламе, связанные с ковариантными индексами, и умножить на параметры Ламе, отвечающие контравариантным индексам. Например, физические компоненты т* тензора второго ранга / = т^е^у вычисляются так:
= = - (З-98)
Отметим, что физические компоненты тензора не являются его координатами в базисе, связанном с криволинейной системой координат. Однако они являются компонентами тензора в базисе е*,...,е*. Последний - частный случай неголономного базиса, называемого так в отличие от связанного с системой координат (голономного) базиса.
Обычно в приложениях физические законы сначала удобно выписать в компонентах тензоров, а лишь затем перейти к их физическим аналогам.
Упражнение 3.9.1. Показать, что цилиндрическая (£* = г, ^2 = ф, £3 = z) и сферическая (£* = г,У = ф, £3 = 0) системы координат в R3 являются ортогональными, и найти в них параметры Ламе, формулы для связи компонент вектора и и тензора второго ранга / с физическими компонентами, а также соответствующие выражения для дивергенции, ротора, градиента и оператора Лапласа относительно физических компонент (см. упражнения 3.3.1, 3.6.1 и 3.8.1). □
ГЛАВА 4
ИНВАРИАНТЫ ТЕНЗОРА
Определение инвариантов
Определение 4.1.1. Под инвариантом тензора t ранга s в линейном пространстве Ln в обобщенном смысле будем понимать некоторый объект, зависящий от компонент тензора и не изменяющийся при переходе к любому другому базису Ln (тривиальный случай отсутствия зависимости объекта от компонент тензора далее рассматриваться ие будет).
Скалярным инвариантом тензора t называется инвариант в виде скалярной (с областью значений в поле К, на котором определено пространство £„) функции, удовлетворяющей следующему условию:
ф[т<*"<’) = ф(т',1"<^(4.1.1)
где т,,~'* и т"1”'1 - компоненты тензора в двух произвольных базисах. □
Если тензорное поле t(M) задано на точечном евклидовом пространстве Ев, то приведенное определение эквивалентно независимости значений функции Ф^т'* "'”) от выбора системы координат, однако зависимость от точки М € Е„ в общем случае может иметь место.
Определение 4.1.2. Скалярный инвариант (4.1.1) называется алгебраическим, если функция Ф^с'1''3) является алгебраической. □
Пример 4.1.1. Если t = и - вектор (тензор первого ранга) в евклидовом пространстве, то его инвариантом, например, является квадрат модуля Нв1Р = и,и'. Это вытекает из совпадения скалярного произведения со сверткой двух векторов и ее инвариантности (см. п. в) теоремы 1.2.4). □
Пример 4.1.2. Для тензора второго ранга / в Еп рассмотрим следующую систему многочленов с аргументами в виде координат тензора (для определенности полагаем п нечетным):
А = (О=Т»^ = < = < = Sp A, J2 = т'; <, J3 = V ; г/ ?:
к=^^ ...tv<4л-2>
где Sp A - след матрицы A = (т';), соответствующей тензору t.
Отметим, что Jx - внутренняя свертка тензора Г (см. определение 1.4.3), а остальные величины Jk (2 ^ к^ п) - внутренние свертки по всем указанным в (4.1.3) парам индексов (определение 1.5.8) степеней (см. (1.5.10)).
Инвариантность 7] констатируется следствием 1.4.4. Доказательство инвариантности величин J2,..., Jn проводится аналогично этому следствию. Например, для J2 имеем
•/2=<;^=т^9'т-"р^ =
=^i ^(p'j »i.X^р?)=т." Tim •D
Определение 4.1.3. Первые три инварианта, определенные формулой (4.1.3), имеют специальные названия: J\ - первый (линейный); J2 - второй (квадратичный); J3 - третий (кубический). □
Для симметричного тензора второго ранга порядок ковариантных и контравариантных индексов для смешанных компонент несуществен: t'j»^' =Ту (см. § 1.7). Поэтому с этим тензором можно связать единственную матрицу А = (т^ * . Тогда из (4.1.2) вытекает следующая формула для инвариантов:
J2=SpA2, J3=SpA3,..., Jn=SpAn,(4.1.3)
где А* - k-я степень матрицы А.
Пример 4.1.2 показывает, что инварианты данного вида определяются не единственным образом.
Далее ограничимся рассмотрением симметричных тензоров второго ранга. При этом в основном речь пойдет об алгебраических инвариантах. Для краткости название инварианта опускаем.
Главные направленияи главные значения тензора
Рассмотрим симметричные тензоры второго ранга
t = Ту е^* = Ту e*et
в л-мерном евклидовом пространстве £„. Прежде всего отметим, что их левая и правая свертки с вектором х совпадают:
(х, 0 = (Г, х).'
Поэтому будем говорить просто о свертке симметричного тензора / с вектором х.
Зафиксируем ковариантный в],..., eR и соответствующий ему контравариантный е*,..., е" базисы в £„ и рассмотрим свертку тензора / с произвольным вектором х € Еп. Ее результатом является вектор J’s £„:
У = у'е, =(t,x) = (Tjeiej,xkek) = tljxjei.(4.2.1)
Отсюда вытекает, что тензор t порождает преобразование <р:
П
Еп —» Еп.В силу линейности свертки ф является линейным преобразованием, согласно (4.2.1) его матрица А = (ту) . Аналогично можно найти матрицу А' преобразования ф в контравариантном базисе:
S-^ie‘ ^к1»*^^ e‘ej,xke*) = T^ Xje'.
Следовательно, А' = Ат.
Определение 4.2.1. Указанное преобразование ф называется порожденным тензором t. □
Отметим, что оно может быть введено и с использованием взаимно однозначных соответствий симметричных тензоров и квадратичных форм, а также линейных преобразований.
Определение 4.2.2. Главными направлениями и главными значениями симметричного тензора второго ранга называются собственные векторы и собственные значения линейного преобразования ф, порожденного этим тензором. □
Отсюда очевидным образом вытекает следующее утверждение.
Теорема 4.2.1. Главные направления х = х'е, и главные значения Хе К тензора / являются решением следующей задачи на собственные значения для порожденного преобразования ф:
ф(х) = Хх. □
Таким образом, для отыскания главных направлений и значений тензора необходимо воспользоваться соответствующими результатами из линейной алгебры.
Следствие 4.2.1. Главные значения тензора / являются корнями характеристического уравнения
| А - ХЕ | = (-1)” Хп + (-1)”"1 /Л"-1 + W2I2Xn~2 +... - I^X + 1п = п.-
= S/t("V=0, I^SpA, In_x=SpA, 7„=|А|,(4.2.2)
к=0
где А = (А,у)пхп - матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы А.■
А его главные направления - решения следующей системы линейных алгебраических уравнений:
(А-ХЕ)Х = О, А = ^\хп, Х = (х}х”)т,(4.2.3)
где Е - единичная матрица. □
Так как характеристический многочлен в (4.2.2) не зависит от выбора базиса, то ои является примером иескаляриого инварианта тензора £ В то же время для его коэффициентов имеет место следующее свойство.
Следствие 4.2.2. Величины 1к являются алгебраическими инвариантами тензора / и связаны с инвариантами Jb определенными в (4.1.2), полиномиальными зависимостями.
Например, для случая трехмерного пространства справедливы следующие равенства:
А=Л> ^2 =т(^12 ""^2)’ Л = Z-^з-Т^2Л+7"Л3-□(4-2.4)
2320
Отметим еще одну форму записи уравнений (4.2.3).
Следствие 4.2.3. Главные направления тензора / являются решениями следующей обобщенной задачи на собственные значения для матрицы:
(А - W)X = 0, А = (тгу)„х„._(4.2.5)
Доказательство. Сначала запишем скалярный аналог системы уравнений (4.2.3):
(т'-Х5')х; = 0.(4.2.6)
Но по правилам жонглирования индексами (2.2.17) ту = g'^T^, что эквивалентно матричным равенствам
4 = 0*4, 4 = 04,(4.2.7)
где О - фундаментальная матрица.
Подставляя первое из равенств (4.2.7) в систему (4.2.3) и умножая ее слева на матрицу О, придем к требуемому результату (4.2.5). □
Свойства главных направлений и главных значений указаны в следующем утверждении.
Теорема 4.2.2. Для любого симметричного тензора t второго ранга в вещественном евклидовом пространстве Еп главные значения X* и главные направления обладают следующими свойствами:
любое Хк е R;
существует л линейно независимых главных направлений;
главные направления, отвечающие различным главным значениям, ортогональны.
Доказательство состоит в проверке самосопряженности преобразования ф, порожденного тензором /, и в ссылке на соответствующие теоремы линейной алгебры. В самом деле, учитывая симметрию тензора t, для любых х, у е Еп для скалярных произведений в Еп получаем
(х, ФОО) = (xte *, т'/е,) = (xte*, туууе,-) = ч^х^;
(у,ф(х)) = т'7у,ху = tJ'yixj.
Сравнение правых частей этих равенств показывает, что (х, ф(у)) = = (у, ф(х)), т.е. ф - самосопряженное преобразование. □
Следствие 4.2.4. Для любого симметричного тензора / второго ранга в вещественном евклидовом пространстве Еп существует совокуп-
ность ортогональных главных направлений
«1еп.(4.2.8)
Доказательство сводится к использованию п. в) теоремы 4.2.2 и привлечению процесса ортогонализации в случае кратных собственных значений Хк. □
Отметим также, что с помощью нормировки системы можно построить ортонормированный базис из главных направлений.
В базисе (4.2.8) матрица преобразования ф имеет диагональный вид, а тензор t может быть представлен так:
t = Т^е, + Т2е2е2 + - + тл<л»п. та = таа = та = ^а-(4.2.9)
Определение 4.2.3. В точечном евклидовом пространстве Еп прямые с направляющими векторами (4.2.8) называются главными осями тензора L □
§ 43. Тензорная поверхность
Для геометрической интерпретации главных направлений и главных значений симметричного тензора второго ранга t используется следующее понятие.
Определение 43.1. Тензорной поверхностью (поверхностью Коши) симметричного тензора t второго ранга называется алгебраическая гиперповерхность второго порядка в точечном евклидовом пространстве Еп (для тензорного поля - в касательном пространстве), соответствующая симметричной билинейной форме Дх, у):
П: /(х,х) = 2Ф(х) = ^XjXj = I'jXjX* = Тух'х* = const,(4.3.1)
где Ф(х) - квадратичная форма. □
Очевидно, в базисе, связанном с главными направлениями (4.2.8), в соответствии с (4.2.9) уравнение тензорной поверхности имеет вид
П:т1х12+т2х2+... + т„х„ =С.(4.3.2)
Если же провести нормировку системы векторов (4.2.8), то это уравнение становится каноническим с коэффициентами в виде физических компонент т^ тензора t (см. § 3.9):
П: т^х2 + т2х2 +... + т*х2 = С.
Константа С в уравнении (4.3.2) в общем произвольна. Единственное ограничение заключается в том, что ее знак должен быть выбран так, чтобы поверхность П была действительной. Очевидно, тип тензорной поверхности является еще одним нескалярным инвариантом тензора второго ранга.
Связь главных направлений и главных значений тензора с тензорной поверхностью и соответствующей квадратичной формой Ф(х) подтверждается следующими утверждениями.
Теорема 4.3.1. Для того чтобы вектор х = х‘в; соответствовал главному направлению тензора t, необходимо и достаточно, чтобы он был коллинеарен нормальному вектору N к тензорной поверхности П.
Доказательство. Нормальный вектор N к поверхности (4.3.1) в соответствии с формулой (3.8.11) может быть вычислен так:
N = grad Ф = —- Эх
Частные производные от Ф(х) с учетом симметрии тензора t имеют вид
—7 = 7—7 -Тих х = -(тиб*х +тых 5 ) =
Эх* Эх к2 ") 2 и'
= 1 (тах‘ + тих*) = 1 (т,7х' + тЛх*) = тух*.(4.3.3)
Для того чтобы векторы х и N были коллинеарны, необходимо н достаточно, чтобы gradФ = Хх или т,^ = Хх,. Поднимая в последних уравнениях индекс i, придем к равенству (4.2.6), что и доказывает теорему. □
Теорема 4.3.2. Базис, в котором квадратичная форма 2Ф(х) имеет диагональный вид, а фундаментальная квадратичная форма g(x) = = gi/x1^ - канонический вид, соответствует главным направлениям тензора L
Доказательство. Отыскание базиса, в котором формы 2Ф(х) и g(x) имеют соответственно диагональный и канонический вид, есть задача о паре форм. С учетом положительной определенности g(x) она имеет решение н сводится к задаче на собственные значения (4.2.5), что и завершает доказательство. □
Теорема 4.3.3. Стационарные точки квадратичной формы Ф(х) на единичной сфере II х II = 1 совпадают с главными направлениями тензора L.
Доказательство. Для сформулированной в теореме задачи на условный экстремум построим функцию Лагранжа:
L(xA) = Ф(x)--[(x,x)-l] = -[т,>x'x, -Х^'х2 -1)],
где Х/2 - множитель Лагранжа; (х, у) - скалярное произведение векторов х и у в евклидовом пространстве Еп.
Необходимые условия экстремума с учетом формулы (4.3.3) имеют вид
^ = xijXi - XgijXi =0.
Они совпадают с задачей (4.2.5), что и завершает доказательство. □
Специальные тензоры второго ранга
В приложениях часто встречаются специальные виды тензоров второго ранга, остановимся на некоторых из них.
Определение 4.4.1. Если в произвольном базисе тензор имеет вид
р = pgije'e1 = Pg4*^ = р^е^1,(4.4.1)
то он называется шаровым. □
Матрица А = (р8')пхл шарового тензора является скалярной. Очевидно, этот тензор имеет одно главное значение Хх =р кратности к = п и тензорную поверхность (4.3.2) в виде сферы. Этим и объясняется его название.
Найдем инварианты данного тензора по формулам (4.1.3) и (4.2.5):
Jk=npk (£ = 1,2,...,п);
7i =jx =Пр, Z2 =С„2р2 =n(n-l)p2/2ln_x = Sp(p”"16') = np"-1,
1»=Р"-
В частности, в трехмерном пространстве
lx=Jx= Зр; I2=J2 = Зр1; Z3 = р3; J3 = Зр\(4.4.2)
Определение 4.4.2. Симметричный тензор второго ранга называется девиатором (от позднелат. deviatio - отклонение), если его первый инвариант равен нулю. □
Очевидно, девиатор в n-мерном пространстве имеет только (п - 1) независимых инвариантов.
Теорема 4.4.1. Любой симметричный тензор второго ранга t = tye'ei может быть единственным образом представлен в виде суммы девиатора d, и шарового тензора р,;
t=p, + d,.(4.4.3)
Доказательство. Построим шаровой тензор по формуле
Pt^xgye'e1» 11=‘Ми’<4-414)
а также симметричный тензор d;.
d, = t-p,=Tijeiei-^gyM =dye‘eJ, dy=ty"Ixgy. (4.4.5)
Первый инвариант последнего тензора имеет вид
l\d = dy^ = ^т,у -1lxgy j g,j = Tyg*1 -1 z^; = Z, - Z, = 0.
Следовательно, d, - девиатор. □
Определение 4.4.3. Тензоры pt и dt называются соответственно шаровым тензором и девиатором тензора t. □
С использованием девиатора вводится еще один алгебраический инвариант тензора t и специальный тензор.
Определение 4.4.4. Интенсивностью тензора t {модулем девиатора) называется число
4=^ = ^^(4-4.6)
где J^ — второй инвариант девиатора dt.
Направляющим тензором симметричного тензора второго ранга t называется тензор
п, = d,H,.U(4.4.7)
Для первого 7] п и второго Зщ инвариантов направляющего тензора п, имеем
An=TJXd,=0. JinAdid,^.(4-4.8)
чч
Следовательно, направляющий тензор имеет (и - 2) независимых инвариантов (в трехмерном пространстве - один).
ЧАСТЬ П
МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
ВВЕДЕНИЕ
Основная задача многих физических дисциплин - построение математической модели, т.е. уравнений с соответствующими дополнительными условиями. Для этого по определению вводятся величины, характеризующие модель и входящие в уравнения в качестве неизвестных (более подробно об этом см. в гл. 7). Далее формулируются физические законы, из которых и следуют искомые уравнения. Законы можно задавать в виде аксиом (гипотез, постулатов). В этом смысле построение моделей, о которых идет речь, аналогично образованию абстрактных моделей в математике (теория чисел, дифференциальное и интегральное исчисление, алгебраические структуры и т.д.). Естественным критерием адекватности модели реальным физическим процессам является ее соответствие результатам опытов с заданной точностью. Далее будем использовать этот подход применительно к такому разделу механики, как механика сплошной среды.
Механика в целом - наука, изучающая одну из форм существования материи - механическое движение. При этом под материей, кроме обычных веществ (вода, воздух, металлы и т.д.), можно понимать и другие ее формы, например электромагнитные, гравитационные и другие поля.
Механическим движением называется изменение с течением времени t положения одного материального тела относительно других (или в каком-либо пространстве X). Материальное тело G - некоторая совокупность материи (вещества).
Изучение движения тела в пространстве X заключается в определении в любой момент времени его образа G(0 с X, т.е. в каждый момент времени геометрические элементы (точки) М е G(f) отождествляются с материей и являются образами материальных точек М е G. Следовательно, понятия тела G и материальной точки М инвариантны относительно времени в отличие от их образов G и М.
Таким образом, основные аксиоматические понятия механики - тело, пространство, время. К ним добавляются известные из курса физики понятия силы (меры взаимодействия между телами, внешней причины движения) и массы (внутренней характеристики тела, влияю-
щей на движение; степени сопротивления внешнему воздействию; меры инертности).
По гипотезам, закладываемым в понятие материального тела, механика подразделяется на отдельные дисциплины. Так, в теоретической механике тело — материальная точка или абсолютно твердое тело. В механике сплошной среды (МСС) тело - сплошная деформируемая среда. Для конкретизации последних понятий далее положим, что X - полное метрическое пространство.
Сплошной средой (СС) называется такое материальное тело G, для которого в любой момент времени его образ G(0 не содержит изолированных точек. Иными словами, сплошная среда непрерывно заполняет множество G, при этом в основном будем считать, что G замкнуто в X.
Под деформируемой средой понимают тело как совокупность материальных точек, которые могут изменять свое относительное положение и взаимодействовать между собой во время движения.
Перечислим основные аксиомы классической механики сплошной среды.
Аксиома 1 (евклидовость пространства). Пространство, в котором рассматривается движение тела, - точечное евклидово (как правило, трехмерное, X = R3). □
Аксиома 2 (абсолютность времени 1). Течение времени не зависит от выбора системы отсчета. □
Аксиома 3 (гипотеза сплошности). Материальное тело - сплошная деформируемая среда. □
Аксиома 4 (аксиома отвердевания (замороженности)). В любой фиксированный момент времени / материальное тело рассматривается как абсолютно твердое, для него справедливы законы теоретической механики, в том числе и законы Ньютона. □
В неклассических моделях МСС, которые здесь не рассматриваются, эти аксиомы могут заменяться другими. Например, вместо аксиомы 2 может быть использована теория относительности.
Отметим, что согласно гипотезе сплошности движение материи изучается на так называемом макроскопическом уровне, т.е. не учитывается элементарное строение вещества. Это оправдано тем, что во многих практических задачах представляет интерес не поведение каждой молекулы (атома), а общее состояние тела. В то же время аксиома 3 позволяет применять аппарат математического анализа. Имевшие место в истории механики попытки построить модели как совокупности взаимодействующих дискретных материальных точек (например, А. Коши и А. Навье*) не нашли экспериментального подтверждения [19].
Приведенная система аксиоматических понятий и аксиом не является полной. Дополнительные определения и аксиомы МСС будут вводиться по мере необходимости с нумерацией, продолжающей использованную.
ГЛАВА 5
КИНЕМАТИКА И ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
Методы описания движениясплошной среды
Согласно аксиомам 1 и 2 будем рассматривать движение материального тела G в моменты времени t ^ t0 в точечном евклидовом пространстве R3 относительно инерциальной и в общем криволинейной системы координат х1, х2 , х3 с ковариантным базисом е^^бз, определяемой некоторым регулярным отображением (см. определение 3.3.3):
Dx <-> R3 = Ry : г =r(x1,x2,x3) = x‘e,,
Dx cR3, (x*,x2,x3)g R3, e^dr/dx1.(5.1.1)
Здесь г— радиус-вектор в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Оу^гУз с базисом efe^. В этих выражениях и далее, как принято в тензорной алгебре, по повторяющимся латинским индексам проводится суммирование в пределах от 1 до 3. Если же индексы греческие, то суммирование отсутствует.
Определение 5.1.1. Момент времени t = tg назовем начальным, а геометрические образы G(t0) = Go е R3 и GW = G е R3 тела G при t = = ty и t > t0 - соответственно начальным и актуальным состояниями (рис. 5.1.1). □
Существуют два подхода к изучению движения СС.
Определение 5.1.2. Метод Лагранжа заключается в рассмотрении положения каждой материальной точки MeG в любой момент времени t > t0:
G<^G: ОМ'= r = r(M,t), t>t0, MeG,(5.1.2)
где точка M'—геометрический образ М (ее положение в пространстве) в момент времени t.
Вектор-функция (5.1.2) называется законом движения СС. □
Определение закона движения - основная задача МСС согласно методу Лагранжа. При фиксированной точке М соотношения в (5.1.2) дают траекторию движения этой точки (на рис. 5.1.1 она обозначена штриховой линией).
Для использования аппарата математического анализа необходимо в (5.1.2) индивидуализировать материальные точки М с помощью
каких-либо криволинейных координат £', задаваемых взаимно однозначным отображением:
G. <->G: б^М^Л1,^ G.gRL (^.^ЪеЯ3.(5.1.3)
Определение 5.1.3. Числа £' в (5.1.3) называются лагранжевыми координатами, а £' и t - лагранжевыми переменными. □
Далее будем задавать индивидуализацию материальной точки М координатами ее геометрического образа М = Л/1/=<0 в системе координат хх,хг,х\1£ = R3, G. = G^ C-D^;
G^G^. ^ =ДММ (i;1,^3)e G§ c R3.(5.1.4)
С учетом (5.1.4) закон движения (5.1.2) можно представить в виде векторного отображения
G^ <-> G: г = г(^',0» t^t0, (^.^eG^c/^3,(5.1.5)
которое в скалярной форме может быть выражено так:
G^G,: х‘=хЧ^’А t^t0, (^.^.^eG^c/^,
(Лх V) eG, с R3, GJ,=,0 = G^, M^ = E,1.(5.1.6)
При этом G^ и Go, Gx и G связаны между собой отображениями:
G^t (511) >G0, G^R^, GgcR5;
(5.1.7)
Сх<-£Ш^С, Gx<zR3x, GcR3.
Относительно отображений (5.1.5) или (5.1.6) в соответствии с аксиомой 3 необходимо потребовать, чтобы для любого t^t0 они были непрерывными (rC^tf) е C(G^), x'^.t) G С(С^)) и для любого подмножества Н^ <z G^ его образы Нх (Н^ < (51Л) > Нх) имели одну и ту же размерность (поверхность переходит в поверхность и т.д.). Причем эти свойства должны быть инвариантны относительно выбора начальной системы координат, т.е. отображения (5.1.5) и (5.1.6) должны быть взаимно однозначны. Для этого достаточно потребовать, чтобы для любого t ^ to отображение (5.1.6) было регулярным и его якобиан
J^j^detP, Р = (р\), р}=дх‘/д&(5.1.8)
сохранял знак.
Отметим, что так как в качестве системы координат х* в R3 всегда может быть выбрана прямоугольная декартова система, то (Е - единичная матрица)
J(^‘, t0) = J( V, t0) = det Е = 1.(5.1.9)
Следовательно, для любого t ^ to якобиан J(^', t) > 0. Далее будем полагать, что выполняются более сильные условия для закона движения (относительно выбора к см. замечание после определения 3.3.3):
х^.ОеСЧс^хГ), / = {tlt^t0).(5.1.10)
Регулярность закона движения позволяет рассматривать £' в качестве криволинейных координат в R3 с локальным ковариантным базисом (см. § 3.3)
= Ъг!^ =р{е^ э,|,„„ = *,•,(5.1.11)
соответствующим касательному пространству в точке М'. Заметим также, что совокупности чисел (£*, £2, £3), соответствующие точкам М и М\ одинаковы. Однако они принадлежат разным пространствам Rx и R^. В связи с этим используется следующая терминология.
Определение 5.1.4. Совокупности векторов е, и э, называются соответственно начальным и актуальным базисами, а система координат ^ - сопутстдуюи^ей. □
Очевидно, относительно сопутствующей системы координат материальные точки неподвижны. Она как бы "вморожена" в СС, движется и деформируется вместе с ней и поэтому принципиально является
криволинейной. В частном случае абсолютно твердого (недеформи- руемого) тела сопутствующая система совпадает со связанной системой координат, используемой в теоретической механике.
Кроме закона движения (5.1.6), далее будем рассматривать аналогично теоретической механике следующие величины.
Определение 5.1.5. Вектор
и^Л) = г^,О-г^,1о),(5.1.12)
являющийся сравнительной характеристикой положения материальной точки ЙеС с лагранжевыми координатами (£*, £.2, ^3) в начальном и актуальном состояниях (см. рис. 5.1.1) при движении по закону (5.1.6), называется перемещением точки.
При этом функция
и = и£л), ^Л^Д?)^(5.1.13)
задает векторное поле, которое называется полем перемещений (перемещениями) материального тела G (СС). □
Из этого определения очевидным образом вытекают следующие важные утверждения.
Теорема 5.1.1. Вектор перемещений существует тогда, и только тогда, когда возможно введение радиус-векторов r(^',Z0) и r(^',t), т.е. начальное и актуальное состояния рассматриваются в евклидовом пространстве. □
Теорема 5.1.2. Задание закона движения СС (5.1.6) эквивалентно заданию ее поля перемещений (5.1.13). □
Определение 5.1.6. Векторы и и w, задаваемые следующим образом:
. du Au dr v Дг . dv Av
v(L ,t) =— = hm — = — = hm —, w(L ,t) =— = hm;
dt д#-»о Az dt дг->о Azdt ai->o M
Ди = u(^‘, t+At) - u(^', z) = Ar = r(^', z + Az) - r(E>1, z);(5.1.14)
Au =u(^',z +AZ)-u(^',Z), называются соответственно скоростью и ускорением материальной точки М е G.
При этом функции
и=и(^,1), w = w(^,t), t>t0, (^.^.^gG^
- поля скоростей и ускорений (скорости и ускорения) материального тела G (СС). □
Оиределеиие 5.1.7. Производные в (5.1.14) называются индивидуальными (субстанциональными, от лат. substantia - сущность). □
Последнее наименование связано с тем, что они вычисляются для определенной материальной точки (при фиксированных £'). Смысл используемой для обозначения буквы d вместо положенной Э будет понятен при дальнейшем прочтении материала.
Рассмотрим другой подход к изучению движения СС.
Определение 5.1.8. Метод Эйлера заключается в определении параметров движения материальных точек М, проходящих через фиксированную геометрическую точку М(х', х, х).
Будем полагать, что движение среды задано по Эйлеру2, если определено поле скоростей
и =и(х',О, t^t0, (x*,x2,x3)g Gx.(5.1.15)
При этом числа х1 называются эйлеровыми координатами, ax' nt- эйлеровыми переменными. □
Теорема 5.1.3. Пусть r^,t) G C\G^ х/) и u(xl,f) g C'(GX х /). Тогда методы описания движения по Лагранжу и Эйлеру эквивалентны.
Доказательство, а) Пусть задано движение СС по Лагранжу, т.е. заданы закон движения (5.1.6) или поле перемещений (5.1.12). По формулам (5.1.14) найдем скорость:
^CtX^^l.^E^.(5.1.16)
Так как отображение (5.1.6) регулярно, то для любого t 5= to существует обратное отображение:
G.^G^E.^Wt).(5.1.17)
Если подставить (5.1.17) в (5.1.16), то получим искомое поле скоростей:
и =u(g(xJ,t),t) t>t0, (?,г',?)бСг(5.1.18)
Пусть задано движение СС по Эйлеру, т.е. поле скоростей (5.1.15). Тогда, используя определение скорости в (5.1.14), индивидуализацию материальных точек в (5.1.4) и независимость от времени начального базиса е,, получаем задачу Коши для координат х* радиус- вектора г (и = и^у.
^•=й\х1л\ х'1,=,0 = ^'.(5.1.19)
Ее решение существует, и единственно, в Gxxl, так как по условию u‘(xJ,t) g C'(GX x /), и имеет вид х‘ = х'(^, t), что и является законом движения. □
Значок "~" здесь и далее при необходимости используется для обозначения базиса начального состояния, а также компонент тензоров и операторов ковариантного дифференцирования в системе координат х*.
Таким образом, при решении конкретных задач в зависимости от необходимости (как правило, это связано с типом модели СС) можно использовать любую из двух систем переменных. Например, для жидкости обычно применяют эйлеровы переменные, а для твердых тел — лагранжевы. Несмотря на то что описание движения СС по методу Лагранжа является "подробным" и сложным, именно оно обычно подразумевается при формулировке физических законов.
Рассмотрим необходимый в дальнейшем вопрос о вычислении в эйлеровых переменных индивидуальной производной (см. определение 5.1.6) в общем случае от тензорного поля Т^х*, t), в том числе и указанных выше векторных полей. (Здесь и далее в отличие от первой части книги тензоры могут обозначаться и заглавными буквами.)
Теорема 5.1.4. Для индивидуальной производной от тензорного поля Г^, 0 произвольного ранга s ^ 0 имеет место равенство
^ = ^ + (w,gradT). (5.1.20) dt dt
Доказательство проведем для векторного поля а(х*, t) = = акек (s = 1). В неподвижной системе координат с использованием правила дифференцирования сложной функции получим (Vkak - ковариантная производная контравариантной компоненты вектора а в системе координат х*')
da d r , da da dxj да „
— = -VaWAOA = *и ^акек, dt dt dt dxJ dt dt
что с учетом формул (3.8.12) и (2.2.9) приводит к требуемому результату (5.1.20). □
Определение 5.1.9. Первое и второе слагаемые в правой части (5.1.20) называются соответственно локальной и конвективной (от лат. convectivo - принесение, доставка) производными. □
Эти наименования связаны с тем, что первое слагаемое в (5.1.20) характеризует скорость изменения поля в данной геометрической точке, а второе — свертка (скалярное произведение) поля скоростей и с тензорным полем grad Т ранга (s + 1) - определяет добавку к результату за счет переноса материальных точек. Заметим, что из (5.1.20) становится ясным обозначение индивидуальной производной (см. (5.1.14)).
В эйлеровых переменных используются также следующие понятия.
Определение 5.1.10. Тензорное поле Т^, t) называется установившимся, если dT/dt = 0 в любой точке множества G, при любом г г г0. В противном случае оно неустановившееся.
Соответственно движение СС установившееся (неустановившееся), если таковым является ее поле скоростей и(х*, t). □
Пример 5.1.1. По заданному в эйлеровых переменных полю скоростей v = иЦх*, t^p где и1 = кх2, и2 = кх1, и3 =0 (к = const), найти закон движения и вектор перемещения в лагранжевых переменных.
Решение. Согласно условию примера и (5.1.19) имеем задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которую запишем в матричном виде:
^ = Ах, xl,=,0 = &
<0<0к 0)к 0)
<0
<0
к 0)
к 0)
А = кА = ко о , х=(х',?,?)т, #=(V,V,V)T-о о , х=(х',?,?)т, #=(V,V,V)T-о 0)о 0)Найдем собственные значения А,- матрицы А:Найдем собственные значения А,- матрицы А:
А = к
А = к
о о , х=(х',?,?)т, #=(V,V,V)T-
о о , х=(х',?,?)т, #=(V,V,V)T-
о 0)
о 0)
Найдем собственные значения А,- матрицы А:
Найдем собственные значения А,- матрицы А:
-X к-X коо
-X к
-X к
о
о
\А-ХЕ\ = к -X\А-ХЕ\ = к -XО = А(А2-А2) = О, А, =0, Х2 = к, Хг = —к.
\А-ХЕ\ = к -X
\А-ХЕ\ = к -X
о о
Соответствующие собственные векторы у, находим как фундаментальные системы решений однородных систем алгебраических уравнений (А - ХД^ = 0, в результате получим
У1 = (0, 0, 1)т, У2 = (1, 1, 0)т, Уз = (1, -1, 0)т.
Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид
х = ^Ci'Yiex*t.
i=l
Константы С, определяются из начальных условий:
i=i
Решая эту систему алгебраических уравнений, найдем
С]=^3, С2=^^-е~ь\ C3=^^-etao.
222
Подставляя найденные константы в общее решение системы, получим искомый закон движения:
х1 = ^ ch[A(r -10)]+^2 sh[A(r -10)];
х2 = ^ sh[A(t - f0)] + ^2 ch[A(t - r0)], x3 = ^3.
Тогда координаты вектора перемещения и = и*ех согласно (5.1.12) имеют вид
и1 = х’-^ = ^ch{№-r0)]-l}+^2sh№-r0)];
и2 = V - 52 = ^ shWr -t0)] + ^2(сЬЩг-г0)] -1), м3 = х3 - ^3 = 0. D
Пример 5.1.2. В лагранжевых переменных задан вектор перемещения и = и*^)*;, где м“ = ^е*"' - 1), (£„ = const, t0 = 0).
Найти поля скоростей и ускорений в эйлеровых переменных.
Решение. Согласно (5.1.12) и (5.1.19) найдем закон движения /•(^.O^tS'-O + rtl;'.^), что в скалярном виде эквивалентно равенствам
х" = ха(^0 = «Л^0+^^0) = иа(^^ = ^V°'.
Отсюда следует обратное отображение (5.1.17): ^“ = хае~*е'.
Поля скоростей и(^', f) и ускорений w(^‘, Г) в лагранжевых переменных с учетом условия задачи определяются формулами (5.1.14):
■<Й«(^',0 Эм^'Л) 2.,; к=1
Подставляя сюда выражения ^ через л/, получим искомые величины: .3 ..3 . ,
и(х',0 = 5л k^i* w(<xl,t')=^xlk^el. □ 1=11=1
Упражнение 5.1.1. Доказать, что для установившихся движений СС траектории частиц совпадают с линиями тока (векторными линиями поля скоростей). □
Тензоры деформаций
Закон движения (5.1.5) или (5.1.6) СС полностью определяет взаимное расположение материальных точек. Однако он привязан к системе координат. В то же время в МСС представляют интерес так называемые внутренние характеристики взаимного расположения точек, не связанные с радиус-вектором. Перейдем к определению этих понятий.
Определение 5.2.1. Материальным волокном Г = МОМХ тела G назовем такую совокупность материальных точек MeG, которой в начальном состоянии соответствует кривая Г(/о) = МОМХ е Go (см. оп-
Рис. 5.2.1.
ределение 5.1.1), т.е.
Г<-^12) >Г(Г0).(5.2.1)
При этом Мо и Мх- начальная и конечная точки материального волокна Г. □
Далее будем полагать, что кривая Г(г0) спрямляемая и обладает необходимой гладкостью. Те же свойства, очевидно, будет иметь и соответствующий образ Г(?) = М^МХ е G материального волокна в актуальном состоянии, который в силу отображений (5.1.2), (5.1.6) и (5.1.7) связан с Г(г0) законом движения (5.1.5) или (5.1.6) (рис. 5.2.1):
' Г(^)<-^->Г(О.(5.2.2)
Определение 5.2.2. Длиной материального волокна Г в момент времени t назовем длину его соответствующего геометрического образа:
s(O=lf 1=1Г(01,(5.2.3)
а углом между материальными волокнами Г = Mq^i и R = М0М2 с общим началом в точке Мо в момент времени t - угол между их образами Т\Г) = М'ОМ'Х и Г,(0 = MqA^:
W) = Г(ОЛГ.(О1^о= Г(0ЛГ.(Г)1м6 • □(5-2.4)
Определение 5.23. Деформированным состоянием сплошной среды G в момент времени t назовем совокупность относительных удлинений 1Г любых волокон Г с С и изменений у углов между любыми волокнами Г,Г, еб:
Zr=(s-s0)/s0, y = Yo-V.(5.2.5)
где s = s(.t\ s0=s(t0), V = V(t), Vo=Wo)- □
Отметим, что длины s и s0 волокна могут быть найдены с помощью криволинейных интегралов:
5о= / ^о. s= J Л,
Г«о)ПО
(&о)2=(ро,ро) = Ро=^'<^'. Ро=<Н=(о = ^‘е,’(5.2.6)
(Л)2 = (р, Р) = Р2 = Syd^d^, p = dr l/>(0 = ^‘э,.
Здесь gy и gy - ковариантные компоненты метрических тензоров g и g в начальном и актуальном состояниях, которые в случае евклидовых пространств определяются так:
8ц=^’е^’ 8ij=<3h3jY(5.2.7)
Конкретное вычисление интегралов в (5.2.6) может быть проведено при задании параметризации кривой Г(?о) и нахождении соответствующего представления Г(0 (т - параметр):
Г(г0): х'=<р‘СО, а^кр, (V.r.rjeR.3, •■. , , я(5.2.8)
Г(0: ^=Ф'(т), а^т^Р, (^Л2,^)е/?3.1
В равенствах (5.2.8) учтено, что х'1/=/о = ^', и то, что лагранжевы координаты ^' материальной точки не меняются. Следовательно, параметрические представления кривых Г(Г0) и Г(г) совпадают. Однако они заданы в разных пространствах: начальном R, и актуальном R^ с разными метриками (5.2.7) (см. пример 5.3.3).
Координатное представление дифференциалов p>=dr 1<=<0 и р = dr 1<><о радиус-вектора г в (5.2.6) дано в сопутствующей системе координат, что удобно с той точки зрения, что их координаты остаются неизменными, меняется только базис. Вообще рд и р не являются образами материальных волокон, они принадлежат касательным пространствам к евклидову пространству R3 соответственно в точках Мо и Мд. Однако если точки Мд и Мд - внутренние для Go и G (входят в них вместе со своими окрестностями: U0(Mg, 8]) С Go, t/(Afo,82)c G), то возможна интерпретация р0 как образа прямолинейного волокна dT, соединяющего точки Мд(^ ,^2,^)тиМ^ + d^1, ^2 + dE2, ^3 + dE3):
Рд=*Д =<£*,.(5.2.9)
Тогда для вектора МдМ{ в актуальном состоянии получим (точки Мд,М{ имеют в сопутствующей системе те же координаты, что
1М0,М^
м^м; = r{% + d£, 0 - г(^', о = dr (^'. О+0(51) =^. t^ +
+о(5() = <^'3,+o(5i) = р+o(lpol) 5^0 (1ро1^О).(5.2.10)
Образ JT(O волокна dT в актуальном состоянии не совпадает ни с вектором МцМ{, ни с дифференциалом dr. Однако, исходя из (5.2.10), они отличаются на величину более высокого порядка, чем длина волокна dT. Поэтому используется следующая терминология.
Определение 5.2.4. Будем говорить, что элементарное волокно ро в начальном состоянии переходит в элементарное волокно р в актуальном состоянии.
Координатным волокном будем называть Pq = d^aea. □ При этом часто опускаются слова "образ" и "элементарное".
Введем дополнительно элементарные волокна р0, и д, соответствующие криволинейному волокну Г,. Тогда углы у и у0 в соответствии с определением 5.2.3 могут быть вычислены следующим образом:
cosVo =cosv=(5.2.11)
IpollPo.l IpHftl
Тогда по аналогии с определением 5.2.3 можно ввести следующие понятия.
Определение 5.2.5. Относительным удлинением ^элементарного волокна в направлении единичного вектора v {на площадке с нормалью у) называется
(5.2.12)(5.2.12)Ipl-lppl _ Ро 1А>1 ’ Р = 1а>1*
(5.2.12)
(5.2.12)
а изменением угла ууц между элементарными волокнами в направлениях р и р (р * р) {изменением угла между направлениями уи р) называется
Yvn=Vo-V. P = PoJ\PoA(5.2.13)
где V и Vo определяются равенствами (5.2.11). □
Отсюда с учетом определения 5.2.3 и формулы (5.2.6) придем к следующему утверждению.
Теорема 5.2.1. Для задания деформированного состояния СС необходимо и достаточно для любых направлений у и р {у * р') для элементарных волокон знать относительные удлинения /у и изменения углов ууц. □
То есть под деформированным состоянием СС можно понимать совокупность относительных удлинений /v и изменений углов yvg для любой точки СС и любых направлений у и д.
Входящие в (5.2.11)-(5.2.13) скалярные произведения и длины волокон могут быть найдены с использованием метрических тензоров в начальном и актуальном состояниях. Поэтому вводится следующее понятие.
Определение 5.2.6. Деформациями СС в точке М называются
^у ^й~ ^У ~ 2^у ^м' ~8У ^^" □-(5.2.14)
Использование этих величин оправдано тем, что они характеризуют изменение длины волокна:
р2 -Ро = SijW - V^ = 2Е0 w.(5.2.15)
Согласно (5.2.14) деформации - сравнительная характеристика метрик двух пространств. В общем при необходимости можно полагать, что метрический тензор gy соответствует некоторому риманову пространству (начальное состояние неосуществимо, т.е. Go <Z 7?). Далее везде будем считать, что начальное состояние осуществимо (Gq С /?3). Отметим, что в любом случае Еу зависят от времени t и
EyUo = O.(5.2.16)
Теорема 5.2.2. Числа Еу являются ковариантными компонентами тензоров второго ранга в касательных пространствах, соответствующих начальному и актуальному состояниям:
€ = Еуе‘е\ € = ЕуЭ*э^(5.2.17)
где е1 и У - контравариантные базисные векторы.
Доказательство. Из формулы (5.2.15) следует, что для любого вектора рц =<й^е; (или р = <К^э^ двойная свертка геометрического объекта (см. определение 1.4.4) Еу с ро (или р) есть скаляр. Поэтому по тензорному признаку (см. теорему 1.5.5) получаем, что Еу - ковариантные компоненты тензора второго ранга. Так как d^‘ - координаты векторов Pq и р в разных базисах е( и э„ то и Еу можно отнести к разным касательным пространствам. □
Определение 5.2.7. € называется тензором деформаций Грина3, а € - тензором деформаций Альманах. □
9797Отметим, что из симметрии метрических тензоров и формулы (5.2.11) вытекает следующее утверждение.
97
97
Следствие 5.2.1. Тензоры ё и е симметричные. □
Векторы начального и актуального базисов связаны между собой обычными формулами тензорного анализа с помощью матрицы Р (5.1.8) и обратной к ней Q = Р"Х (см. (5.1.1) и (5.1.11)):
Эг dr Эх' ;/, ; i , ЭЕ/
(5.2Д8)
е‘=§уер э‘=^эр
Однако они отнесены к различным касательным пространствам в точках М и М', поэтому и тензоры ё и е различные. Отметим также, что, несмотря на то что их ковариантные компоненты совпадают, остальные компоненты отличаются (жонглирование индексами производится с помощью разных метрических тензоров), например:
EU=ii8kr Eij=E^M-(5.2.19)
Механический смыслкомпонент тензоров деформаций
Относительное удлинение /2 волокна в направлении v
Из (5.2.12), (5.2.7) и (5.2.15) имеем
===(5.3.1)
|Д)1 \Ро \ Ро
=2-1 = V1 + 2ebVvj -1,
V А»
v = Ve4, d5'=v'lpbl, E.yv'v-'=nT(£,y)fi, л = (v1,v2,v3)T,
e^dE,1^^, p^g^dE^G^ 6 = ^^^.
Равенства (5.3.1) упрощаются для координатного волокна р0 = = ^Ч, ^“>0(^=5^/^):
Za=Vl+2£^7^"-l-(5.3.2)
Отсюда следует, что компоненты тензоров Eaa характеризуют относительные удлинения соответствующих координатных волокон. Причем /а = О тогда, и только тогда, когда Eaa = 0. Поэтому используется следующая терминология.
Определение 5.3.1. Е^ называются линейными деформациями. □
Если система координат х* прямоугольная декартова, то из (5.3.2)
(5.3.3)(5.3.3)получим (gaa = 1)
(5.3.3)
(5.3.3)
Изменение угла ущ между направлениями уи р
Из (5.2.11), (5.2.13) и (5.2.7), полагая р^ = ^‘ej и учитывая, что р = ct^Sj и р.= <й]'э,, найдем
(р. А )-(№•№«) = g,)^'dnj-iijd^N = 'lEijd^dx\1 = = Ip lip, I cos у-1 рь II A)* IcosYo =-
= 1 Аз 1> Аз* ।= 1 Аз 1> Аз* ।Ipl I A. ।
= 1 Аз 1> Аз* ।
= 1 Аз 1> Аз* ।
——E!—cosy-cosYo .
< I Ao * * Po* *>
Отсюда с учетом (5.3.1) и (5.2.13) получим
lEadL'dyт
(Zy + lX/n+Ocosv-cosYo =—~ = 2EyV|l■, = 2лт(£у)т,
I A) H Pb. I
Yvh=Vo-V, А=ДЧ Л1' =Й’1А)* I, 1Й = (ц1,Ц2,Д3)т,(5.3.4)
Ejjd^dvV = f(Eij)^ ч = (tfri'.tftl2,^3)7.
Если Pq = d^aea и Pq, = <fr|^p - координатные волокна (d£a > 0, Л]^ > 0, a # P), то, принимая во внимание (5.3.2), придем к следующему результату (у = Vo = Yap):
(/a+l)(^ + l)COSYap-COSVap = ,, YaP = Vap-Vap- (53-5)
■y^aa^pp
Таким образом, компоненты тензоров £ор при a # Р характеризуют изменение угла между координатными волокнами. Причем при £„„ = = Ерр = 0 равенство у^ = xj/ap возможно только в том случае, если ^ар = 0-
Определение 5.3.2. £„р называются угловыми (сдвиговыми) деформациями. □
В начальной прямоугольной декартовой системе координат (фцр = п/ 2) формула (5.3.5) упрощается и с учетом (5.3.2) имеет вид
(5.3.6)(5.3.6)2^аР.
(5.3.6)
(5.3.6)
Из п. а) и б) и теоремы 5.2.1 вытекает следующее утверждение.
Теорема 53.1. Тензор деформации е или е полностью определяет деформированное состояние. □
Изменение площадей
Определение 533. Назовем векторными элементарными площадками в начальном и актуальном состояниях соответственно векторы
$o = [/Wb.]. S = [P.AL(53.7)
координатными площадками (р^ = d^“ea, р^, = Jrj^ep, a * Р) -
So = ^“^[^„ep], 5 = ^“<й1р[э„,эр],(5.3.8)
а коэффициентом изменения площадей отношение ^=ISI/ISOI- □(5.3.9)
Используя предыдущие обозначения и формулу для векторного произведения, получаем
5» = 8^^"^, S^E^g^g^dn^,(5.3.10)
где Е’* - компоненты псевдотензора Леви-Чивита.
Далее ограничимся координатными площадками и найдем векторное произведение базисных векторов:
[эа,эр] = [5”эт,5рэл] = ^g^S*^ = E^g^g^ =
^^giag^^E^^b^»1, g = detG, G = (gy\ (53.11)
Для актуального базиса имеет место аналогичная формула с заменой g на g = detG, G = (gy). Подставляя (5.3.11) в (5.3.8), для коэффициента к, = к^ в (5.3.9) получим (а # р # у)
$” = G”/$. (5.3.12)
V g I e7 I V gg ’ G
где G'1 и G‘J - алгебраические дополнения к элементам gy и gy матриц G hG.
Пример 53.1. По заданному закону движения
r = xiei = ’L^e°iWei i=l
найти компоненты деформации Еу (начальная система координат х* - прямоугольная декартова). ■
Решение. Согласно формуле (5.2.14) деформации Еу определяются компонентами gy и gy метрических тензоров. По условию примера gy=6y. Для вычисления gy по (5.2.8) необходимо найти
актуальный базис э, по формуле (5.1.11):
э„= —= ев“(,)е„.
Отсюда получим, что актуальный базис является ортогональным:
8, - (.„.,)= е*'№*-Х
Тогда для деформаций найдем e™=|(8o«x-8o«x) = |(e2aa^^ е„р=О «X # Р). □
Пример 5.3.2. Для фиксированной материальной точки задана метрика начального состояния и деформации Е,у:
2'
1
3,
Найти: а) относительные удлинения /а и изменения углов у„р для координатных волокон, коэффициент изменения площадей к^ координатных площадок; б) относительное удлинение /v в направлении v и изменение угла yV|1 между направлениями v и д, если v и д соответствуют волокнам до и р0. :
Pq—^1+^2’ Аз*-е2+^3-
Р е ш е н и е. а) Ограничимся случаем а = 1 и Р = 2. Для остальных координатных волокон вычисления аналогичны. По условию примера 811 = 1» 8ц = 5. £ц = 4, £22 = 1. Согласно (5.3.2) найдем
/] = 71 + 2-4/1-1 = 2, /2 =71 + 2-1/5-1 = 77/5-1,
/1+1 = 3, /2+1 = 7775.
Для определения Уор сначала вычислим ф„р :
- (еа.ер) 8^
COSVap |еацер| ^g^g^ '
Тогда для Y12 получим (g12 = 1)
cosv12 =1/^5 =1/75 = 0,4472, у12 =63,4°.
Угол i|f]2 и изменение угла у]2 в актуальном состоянии определяются по формуле (5.3.5) (е12 = 0):
(/] +1)(/2 +l)cosv12 - cos у12 = 2е12 /7811822.
cosy12 =cosy12 =COSV12W+lX/z + l)COSV12W+lX/z + l)1/ 75 _ 1ЗТ"7/5 3^71/ 75 _ 1ЗТ"7/5 3^7= 0,1260,= 0,1260,
cosy12 =
cosy12 =
COSV12
W+lX/z + l)
COSV12
W+lX/z + l)
1/ 75 _ 1
ЗТ"7/5 3^7
1/ 75 _ 1
ЗТ"7/5 3^7
= 0,1260,
= 0,1260,
Vi2 = 82,8°, у12 = V12 - V12 « 63,4° - 82,8° = -19,4°.
Для определения коэффициента к,1 воспользуемся формулой (5.3.12):
^12=Vg33/g33.
Для алгебраических дополнений найдем
G33 =G33 =1 11 51 11 5= 4,= 4,<9<9G = (^+2E(/) = 1G = (^+2E(/) = 1(3(31711711 81 8, G33 =, G33 =99111717= 62.= 62.
G33 =
G33 =
1 1
1 5
1 1
1 5
= 4,
= 4,
<9
<9
G = (^+2E(/) = 1
G = (^+2E(/) = 1
(3
(3
1
7
1
1
7
1
1 8
1 8
, G33 =
, G33 =
9
9
1
1
1
7
1
7
= 62.
= 62.
В результате получим fcj2 = ^/62/4 = ^/31/2.
б) Для определения Zv и /^ используем формулу (5.3.11), где соглас
но условию
Ро = (в1’в2.«з)^А* =(вь«2>«з)ч, 5 = (^‘,^2,^3)Т =(1,1,о)т.
ч = ((й]1, <Й]2, 4Й13)Т = (0,1,1)т,
р2 = № = (М.О) 1.-1р2 = № = (М.О) 1.-115-115-1-12-121(0.о1(0.о= 8,= 8,
р2 = № = (М.О) 1
.-1
р2 = № = (М.О) 1
.-1
1
5
-1
1
5
-1
-1
2
-1
2
1(0.
о
1(0.
о
= 8,
= 8,
Е,^-^=5т(Е(;)5 = (1,1,0) 0 1 11Е,^-^=5т(Е(;)5 = (1,1,0) 0 1 11= 5,= 5,
Е,^-^=5т(Е(;)5 = (1,1,0) 0 1 11
Е,^-^=5т(Е(;)5 = (1,1,0) 0 1 11
= 5,
= 5,
1133ОО
1
1
3
3
О
О
pg. = 4TGij = 5, £#dn*N
Тогда удлинения будут равны
Для определения углов аналогично п. а) с учетом предыдущих результатов найдем \р0:
- (Ро»Ро*) _ £Т^ _
V° "|Ро||Ро.Г |Ро || РсГ
111 -iVo)1 -iVo)-1-15 -1-1 25 -1-1 2
1
1
1 -iVo)
1 -iVo)
-1
-1
5 -1
-1 2
5 -1
-1 2
Вычисляя суммуВычисляя сумму
Вычисляя сумму
Вычисляя сумму
2) Г0'
1 1
3JIl
из (5.3.3) получим
3 (172-4(2 „ [2
2 V 57^5V5 ^5
cosy = 2 — =0,6860; у = 46,7°; yv|i = 50,8° -46,7° = 4,1°.□
Пример 5.3.3. Найти относительное удлинение материального волокна Г, образом которого в начальном состоянии является отрезок прямой (х' - прямоугольная декартова система координат):
Г(/0):х2 =х* =т, х3 = 0, 0^т^1,
если деформация плоская (е,3 = 0) и ненулевые компоненты тензора деформаций имеют вид
£ц=2(^)2-0,5; e22 = 2(V)2; £12 = 2^2.
Решение. Так как начальная система координат прямоугольная декартова, то gy = by и согласно (5.2.14) gy определяют так:
gy =gy + 2Ey, 511=4(^)2, S22 = 1+ 4(^2)2,
812 = 4^’V> 813 = 823 = 0, g33 = 1.
Тогда, исходя из (5.2.3) и (5.2.8), для дифференциалов дуг кривых Г(г0) и Г(г) найдем (^ = ^2 = т, ^3 = 0, 0 < т < 1)
, =2(rft)2, Г(«)
(dsf^gy^
попо^')2(^')г+(i+^I’jf-'vr+^+^^^]
по
по
= (1 + 16t2)(Jt)2.
Отсюда, используя правило сведения криволинейных интегралов к определенным, получим
$0 = Jds0 = J J (dxl) + (dx2) = 72 jdT = -Jl,
П'о) Г(г0) ’ '0
s= fds = J^ gyd^d^ =/71 + 16^^ =
Цг) Г(г)0
= ^ 717+^-111(4 + 717) .
Относительное удлинение согласно (5.2.5) при этом равно
/г=--1 = So
Инварианты тензоров деформаций
Сначала еще раз вернемся к механическому смыслу тензоров деформаций. Для этого введем следующее определение.
Пусть для материальной точки М с лагранжевыми координатами £' ее образ М в начальном состоянии - внутренняя точка Go: М е Uo a. Go, где Uo - область с диаметром Хо = diam Go. В силу регулярности отображения (5.1.5) и первого отображения в (5.1.7) справедливы следующие соотношения (U и U^ - области с диаметрами X = diam U и Х^ = diam U^):
M'eUcG, M^'.^eU^cG,,,
(5.4.1)
(5.1.1)(5.1.5)(5.1.1)(5.1.5)
M <> M^ <> М', и о <—> и^ <—> и.
Кроме того, М' и М^ - внутренние точки областей G и G^, и если Хо, X и Х^ стремятся к нулю, то это происходит одновременно. Обозначим также через Уо, УиУ^ объемы областей Go, UhU^ в соответствующих трехмерных пространствах R3 и R^.
Оиределение 5.4.1. Коэффициентом объемного расширения СС в точке М называется
V-V
6 = Нт = kv -1, kv = Нт —.(5.4.2)
X.Q ~> 0 Vq^О "*0 Уд
MeU0MeU0
Если Мо - граничная точка Go, то в (5.4.2) необходимо выполнить дополнительный предельный переход от внутренних точек к граничным. □
Покажем, что 0 выражается через инварианты g и g метрических тензоров g и g (см. (5.2.7)).
Теорема 5.4.1. Для коэффициента объемного расширения 0 имеет место следующая формула:
6 = ^|-1-(5.4.3)
Доказательство. Положим, что ОУ1У2У3 в (5.1.1) - прямоугольная декартова система координат (в этом случае метрический тензор - 5,у). Тогда, исходя из отображения (5.1.5) (г = у‘е-, у1 = У,)» при t > Го найдем
^=^75тл. 4=^. А = Ц\(5.4.4)
Следовательно,
G = ^ = ATA, g = de?A.(5.4.5)
Отсюда для якобиана отображения (5.1.5) получим
|j1(^')| = detA=VJ.(5.4.6)
Тогда с использованием известного из математического анализа геометрического смысла якобиана найдем
%'Lm« f=|аИ|=Л-<5А7>
M^eU^
Аналогично при г = г0 ^' = х\ U^ е /?,, а*} = dy‘/dxj^ получим
^('')-^.№)L.sl-<5-4-8)
М^ eU^
Подставляя (5.4.7) и (5.4.8) в (5.4.2), приходим к следующему результату:
kv = lim — = Пт — Пт = А = /^.(5.4.9)
*-о^° Vq х^->о V^ х^->о Vq ку у g
Меи0 M^eU^ M^eU^
Отметим, что инварианты gng не зависят от выбора системы координат у'.
Окончательно для коэффициента объемного расширения 0 из (5.4.2) и (5.4.9) получим требуемый результат (5.4.3). □
Следствие 5.4.1. Коэффициент объемного расширения 0 - инвариант тензоров деформаций е и е:
0=JTY^TZ^Ts^ -1;(5.4.10)
0 = 1/V 1 -2Zle +4/2е -8Z3e -1,(5.4.11)
где 7te - алгебраические инварианты (см. § 4.1) тензора е (Ё, - матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы (в' )):
71e=Sp(e(), 72e=SpE, , 73E=det(e'),(5.4.12)
a /te - алгебраические инварианты тензора е, определяемые так же, как и в (5.4.12).
Доказательство. Действительно, матрицы Си6 с учетом (5.2.14) и (5.2.19) связаны между собой таким образом:
G = ^ = (2es + g^ = 2(е5) + G = 2G(e<) + G = G^) + e],
(5.4.13)
(e->) = ^(^)*
а определители имеют вид
detG = g = 8detGdet (e^ + ^-E =%gP
i V ( i V - ( i v -
det G = 8g - -det G = 8g - -2 J +2 J Ле +2 J Ле + Ле
det G = 8g - -
det G = 8g - -
(5.4.14)(5.4.14)= g[l + 271E+472E+873E],
(5.4.14)
(5.4.14)
где P(X) - характеристический многочлен матрицы (s' j. Подставляя (5.4.14) в (5.4.3), придем к формуле (5.4.10).
Для тензора € аналогично (5.4.13) получим
о=($»)=-с№М- Ю-0^)<5А15>
Аналогично (5.4.14) получим вторую искомую формулу (5.4.11). □
Дополнительно отметим, что из (5.4.13) и (5.4.15) вытекают следующие равенства:
е = Д^Г-1, g(£() = g(£*), Д^зг.(5.4.16)
Другие важные инварианты тензоров деформаций - главные компоненты и направления (см. § 4.2) - имеют специальные названия.
Определение 5.4.2. Главные значения и поверхности тензоров деформаций, соответствующие главным направлениям, называются также их главными деформациями (обозначение ёа и£а) и площадками. □
Так как тензоры ё и е отнесены к различным касательным пространствам в точках М (начальное состояние) и М' (актуальное состояние), то их главные компоненты и направления различны. Установим между ними связь.
Теорема 5.4.2. Главные направления еа тензора Грина ё в результате деформации СС переходят в главные направления эо; тензора Альманси е с пропорциональными координатами соответственно в начальном и актуальном базисах:
®0к = У* ®i ’ ®0k = Yt »1•
Ул=Сул, С = const. У* =(у1,у*,У1)Т.(5.4.17)
у*=(у1л^у1)т
При этом главные компоненты £а и £а этих тензоров связаны между собой равенством
Е«=ё«/(1 + 2Ёа).(5.4.18)
Доказательство. В соответствии с (4.2.3) главные компоненты и направления тензоров второго ранга являются решениями следующих задач на собственные значения:
(Й) - £„ е)у„ = 0, ((е') -£„ е)у„ = 0.(5.4.19)
В силу симметрии тензоров деформаций совокупности главных направлений ео,иэо; являются базисами в соответствующих касательных пространствах, а £;, £, е R. Причем всегда можно выбрать базис eOi так, что он будет ортонормированным. Тогда для компонент тен-
зоров е.е и метрических тензоров g,g с учетом (5.2.17) и (5.2.14) получим
(5.4.20)(5.4.20)Ё“=ё^=ё^=£щ=£а5“, g9=g9=^j. G = E, g^ = 2е^ + g^ = (1 + 2£а)8“, g^b^iY gan=\lgaa = \IV^'2.iaY
(5.4.20)
(5.4.20)
£‘)=М“ = 0 V*JY ^a=^ = £aag°a- •
Отсюда следует, что базис э0| ортогональный. Кроме того, он соответствует главным направлениям тензора 6, так как матрица (е^) диагональная.
Пропорциональность координат у* и у* вытекает из следующей цепочки равенств, полученной с учетом формул (5.4.18), (5.4.15), (5.3.11) и доказывающей эквивалентность систем уравнений (5.4.19):
(е')-еаЕ = С-1[б(е')-еас] =
=т^ё; [(l+Ме*) - М2^)+^)]=
G"11 + 2ёаG"11 + 2ёа[(^у ) ^а®] ~[(^у ) ^а®] ~
G"1
1 + 2ёа
G"1
1 + 2ёа
[(^у ) ^а®] ~
[(^у ) ^а®] ~
(5.4.21)
Отметим, что в (5.4.17) можно положить С = 1. О
Следствие 5.4.2. Инварианты Ite и Ite связаны между собой следующим образом:
7 _ Ле + 4Ле + ^ht / _Ле+6ЛЕ _73е
'“(577 ’ 2‘‘7571F “■(ёТ?”
где в определяется по формуле (5.4.10).
Доказательство. В главных осях согласно (5.4.12) и (5.4.17) инварианты имеют следующий вид:
Ле = £1 + ^2 + Ё3 , 72е = Ej£2 + £1Ё3 + ё2£3 > Ле = ii£2l3 ,
(5.4.23)
Ле “ £1 + е2 + Е3 « 72е - £1£2+£]£3 + £2£3 , 73е — £1£2£3 •
Соотношения (5.4.18) и (5.4.23) образуют систему из 9 уравнений относительно 12 неизвестных £л>ёЛ,7№, и 7te. Разрешая ее относи-
тельно 1к, придем к формуле (5.4.22). Причем последнее равенство следует также из (5.4.16). □
Пример 5.4.1. По заданным деформациям и метрике начального
найти алгебраические инварианты, главные компоненты и направления тензоров деформаций ё ие, а также коэффициент-объемного расширения в.
Решение. Вычислим контравариантные компоненты метрического тензора g и смешанные компоненты тензора ё (см. (5.4.13)):
'9 4 2'
'-7 18 О'
i») = G"1 =
4 2 1
• (ё9=<Пе<>)=
-4 11 0
<2 1 L
-2 6 -1,
Тогда для инвариантов /te и в из (5.4.12) и (5.4.10) получим
/1Е =Sp(e<) = -7 + ll-l = 3, 73е = det(£') = 5.
/2е = SpE, =/2е = SpE, =0-70-70-10-1-7 18-4 11-7 18-4 11= -9,= -9,
/2е = SpE, =
/2е = SpE, =
0-7
0-7
0
-1
0
-1
-7 18
-4 11
-7 18
-4 11
= -9,
= -9,
0 = Vl + 2/Ie *41^*%!^ -1 = 71 + 2-3 + 4 (-9) + 8-5 -1 = ^П -1.
Главные значения и направления тензора ё найдем, решая первую из задач в (5.4.19). Характеристическое уравнение и его корни (главные значения) имеют вид
р(х)=|(е‘)-хе,=р(х)=|(е‘)-хе,=-7-Х-2-7-Х-2180
р(х)=|(е‘)-хе,=
р(х)=|(е‘)-хе,=
-7-Х
-2
-7-Х
-2
11-Х0
6-1-Х
= -(Х + 1)(Х2-4Х-5) = 0,
^1,2 = ^1,2 = ~ 1’ Х3=Е3=5.
Столбцы координат yt = yt векторов eOi, соответствующих главным направлениям тензора ё, получим, определяя фундаментальную систему решений уравнений в (5.4.19):
при Е] = £2 = — 1
'-6 18-4 12-2 6'-6 18-4 12-2 6О' 00,О' 00,Y Y2 у3V* /Y Y2 у3V* /= 0 => - у1 + Зу2 = о => У! == 0 => - у1 + Зу2 = о => У! ='3'1Я'3'1ЯГПГПУ2 =У2 =оЯоЯ
'-6 18
-4 12
-2 6
'-6 18
-4 12
-2 6
О' 0
0,
О' 0
0,
Y Y2 у3
V* /
Y Y2 у3
V* /
= 0 => - у1 + Зу2 = о => У! =
= 0 => - у1 + Зу2 = о => У! =
'3'1Я
'3'1Я
ГП
ГП
У2 =
У2 =
о
Я
о
Я
при ё3 = 5
-2 18-4 6-2 6-2 18-4 6-2 6-у1 + Зу2 - Зу3 = О-2у* +3у2 =0-у1 + Зу2 - Зу3 = О-2у* +3у2 =0
-2 18
-4 6
-2 6
-2 18
-4 6
-2 6
-у1 + Зу2 - Зу3 = О
-2у* +3у2 =0
-у1 + Зу2 - Зу3 = О
-2у* +3у2 =0
Следовательно, главные направления еОк можно записать в следующем виде:
^01 =-^1 + ^2 > ^02 = ^1» ^оз = 3»i + 2е2 + е3.
Процесс ортогонализации и нормировки здесь для краткости опущен (соответствующий пример рассмотрен в гл. 6).
Инварианты тензора с могут быть найдены аналогично предыдущим вычислениям, если предварительно найти метрический тензор g, используя выражения (5.4.13). Однако проще их определить, используя формулы (5.4.22) и теорему 5.4.2. Тогда из (5.4.17), (5.4.18) и (5.4.22) с учетом найденных ранее 9 и ёа получим'
55-1, п
ез-Т+2^5~1Т’ £* ~£2 " Г-24Э°1-ЗЭ1+Э2’ 302~32>
з03 =3з! + 2з2+з3, (6 + 1)2 =(Vh— 1 +1)2 = И,
5127121
Ае=—. Л. = — (3-4-9 + 12-5) = —, /2=—(-9 + 6-5) = —.□
Зе и> 1е/ н 2е/ п
§ 5.5. Связь тензоров деформацийс вектором перемещений
Теорема 5.5.1. Пусть начальное состояние СС осуществимо и возможно введение вектора перемещения «(^.^ по формуле (5.1.12). Тогда ковариантные компоненты тензоров деформаций могут быть вычислены по одной из следующих формул:
(5.5.1)(5.5.2)(5.5.1)(5.5.2)£ij = ^.“j + ^А + ^i“^j“kY
(5.5.1)
(5.5.2)
(5.5.1)
(5.5.2)
£U =^iUj + V j“i ~ V^/У
Доказательство. При выполнении условий теоремы из формулы (5.1.12) с учетом (5.1.11) следует связь начального и актуального базисов с перемещением:
(5.5.3)(5.5.3)Эи _ Эг дг ^=^ ,>0'^ ,=о
(5.5.3)
(5.5.3)
Отсюда для метрических тензоров g и g найдем
8у8уdu du '/ d^' 1 d^Jdu du '/ d^' 1 d^J- f du- f dudu ) ( du du )d^ J ^’ d^Jdu ) ( du du )d^ J ^’ d^J(5.5.4)(5.5.4)(5.5.5)(5.5.5)
8у
8у
du du '
/ d^' 1 d^J
du du '
/ d^' 1 d^J
- f du
- f du
du ) ( du du )d^ J ^’ d^J
du ) ( du du )d^ J ^’ d^J
(5.5.4)
(5.5.4)
(5.5.5)
(5.5.5)
Подставляя (5.5.4) и (5.5.5) в (5.2.14), получаем две формулы, связывающие тензор деформации с вектором перемещения:
£0£0(5.5.6)
£0
£0
(5.5.7)
Вектор и можно рассматривать как в касательном пространстве, соответствующем точке М (начальное состояние), так и в пространстве, отвечающем точке М' (актуальное состояние). И соответственно его производную можно разложить по различным базисам (см. § 3.4):
S" = VA.(5-5.8)
Подставляя первое из этих равенств в (5.5.6), для деформаций Е^ в начальном состоянии получим
е« = | fo ^«“* + i» ^j«k + ilk V^V^.(5.5.9)
Отсюда, учитывая, что компоненты метрического тензора при ковариантном дифференцировании ведут себя как константы, и проводя операцию жонглирования индексами, придем к формуле (5.5.1).
К равенству (5.5.2) приходим аналогичным образом, применяя (5.5.7) и (5.5.8). □
Отметим, что правые части в формулах (5.5.1) и (5.5.2) нелинейны относительно вектора перемещения.
Ковариантные производные V;u* и V,u* согласно теореме 3.4.3 являются компонентами, в общем несимметричных тензоров второго
ранга d и d, которые отнесены соответственно к начальному н актуальному состояниям и согласно формуле (3.8.12) являются градиентами вектора и:
d = d-ke*ek = V® и = gradu, d = Дкэ‘эк = Г® и = grad и,
d:k = 4iUk, V = V,e', dk = 4tuk, V = Viai.(5.5.10)
Определение 5.5.1. Тензоры d nd называются тензорами дисторсии {дифференциального расширения; от лат. distorsio - искривление). □
Проведем операции симметрирования и альтернирования тензоров дисторсии (см. § 1.7):
d = e*K d = e*X, ё = ёув‘е^, е = еуз‘з\ X = Xye‘ej, Х = ХуЭ1з^,
®ч = 5(v) = 7 ^ + ^“‘)’ еи = ^у) = I ^ + ^’
Ч = ^«] = i ^‘“i ~ ^)“>\ Ч = ^] = i ^ *ui - ViuiY (5-51 °
Ч — 8jk^i. — 8jk^iu — ^ iuj — eij "*" 4 ’ 4 — ^iuj — eij "*" 'Ч •
Определение 5.5.2. Симметричные тензоры ё и е называются тензорами деформаций Коши—Грина и Коши—Альманси, а кососимметрические тензоры X и Л - тензорами поворота. □
Смысл введения тензоров ё и е объясняется в §5.7. Отметим, что в отличие от тензоров с и с их ковариантные компоненты не совпадают. Очевидно, что компоненты всех этих тензоров линейны относительно вектора перемещения.
Наименование тензоров Л и Л проясняет следующее утверждение, справедливое для любого кососимметрического тензора второго ранга в трехмерном пространстве.
Теорема 5.5.2. В трехмерном пространстве тензорам Л и Л могут быть поставлены в соответствие осевые векторы I и I, определяемые так:
Z =y[r,«J = ^-rot«, / = ^-[Г,и] = ^го1и.(5.5.12)
Доказательство. Тензоры Л и Л кососимметричны и имеют по три независимые ненулевые компоненты Ху=-Х^, Ху=-Х^, Хца = Хцд = 0. С учетом этого, например, для вектора I на основании
формулы (3.8.8) в трехмерном пространстве имеем
Z-/^-—*х
2 V g
(5.5.13)(5.5.13)x[(V2U3 — V3«2)a1 + (V3“. ~ ^1из)32 + (^1И2 — ^2^1)$з]“
(5.5.13)
(5.5.13)
— г— (^233j "^" ^31^2 "^" ^П^з)"
Отсюда найдем
(5.5.14)
Для тензора Л и вектора / равенства (5.5.14) имеют аналогичный вид. □
Сравнение формул (5.5.1) и (5.5.2) с (5.5.11) приводит к такому утверждению.
Следствие 5.5.1. Тензоры деформаций связаны с ё и е следующим образом:
Еу = e0* fa Vf = ву - lv,Mi V/. □(5.5.15)
Подставляя разложение V^ из (5.4.11) в нелинейные слагаемые в (5.5.15), получим следующий результат.
Следствие 5.5.2. Деформации Еу выражаются через компоненты тензоров ей Л:
£у = «у -^g^^ej, + eftX>B + ^„Х* + Х^ХД(5.5.16)
Для начального состояния имеет место аналогичная формула с соответствующей заменой обозначений компонент тензоров и изменением знака "минус" на "плюс". □
В прямоугольной декартовой системе координат формулы для деформаций и компонент тензоров ёиЛ существенно упрощаются (см. § 3.4).
Следствие 5.53. В начальной прямоугольной декартовой системе координат £' = х, имеют место равенства
_1 35t_1 (9535, ]
с.. =е - 4*s- е - = — —4-нV
4 4 2 ^ ^’ 4 2(3§'^ /
(5.5.17)(5.5.17)£ = lf^L_^L
(5.5.17)
(5.5.17)
6 2^’ d^J
Пример 5.5.1. В случае плоской деформации (х3 а о) по заданному закону движения СС (начальная система координат прямоугольная декартова)
найти ковариантные компоненты тензоров с, ё, X, е и Л, а также контравариантные компоненты тензоров ё, е и векторов I и I.
Решение, а) Найдем ковариантные компоненты тензоров ё, с и Л. Поле перемещений является стационарным и определяется равенствами (5.1.12):
и(^) = й^ = [?(V.') - х\5Л tQ)]»,,
„1 =^2 _^i =^2 _^ й2=й3 = О, где с учетом (5.1.6) х* (^, t0) = £1.
Ковариантные производные в начальном базисе совпадают с частными и для вектора перемещения и имеют вид
V1fi,=V151=^ = V-l, ^2й* = V2^ ==
OSdS
Чхйк = V2Hk = 0(X = l,2), V35”=0 (n = 1,2,3).
Тогда ковариантные компоненты тензоров ё, Л и с могут быть определены из (5.5.11) и (5.5.15) (здесь и далее будем выписывать только компоненты тензоров с индексами i * 3 и j * 3, так как деформация плоская):
=^- = F2_.= = 1^_ = £_
п Э^1 S ,122 ^22 ’
_дй2 Г _ 1 Эй1 _
* '“"d^"0’ *122^ д^~~^-~^"’
/i\2
_1 Эй1 Эй1 1 Г ! / 2 Л ^2
Е'= = е12 + 2^^=2М(5 -*М- 2 •
_1 (за1 1
£22-е22 + 2(д^") "1^ ) '
Вычислим контравариантные компоненты тензоров сие. Так
как х* - прямоугольная декартова система, то Ёч = £,у. Для нахождения еу необходимо получить контравариантные компоненты g4 метри
ческого тензора g. Из (5.2.14) и определения величины gu (см. § 2.2) найдем (gy =5,J
G = (g,) = (5,y+2£J =G = (g,) = (5,y+2£J =g = detG = (V)2.g = detG = (V)2.
G = (g,) = (5,y+2£J =
G = (g,) = (5,y+2£J =
g = detG = (V)2.
g = detG = (V)2.
[1+(?)2У-(^)! -б^^)2)'
-^20+И2)(^)2
е'=—<Lri+(£n2lЯУ2
Сравнение результатов показывает, что £у * £v = Еу.
^2 ^Г<0 1 ,^2 ^Г<0 1 ,Для определения по формулам (5.5.11) ковариантных компонент тензоров ей Л предварительно из (5.1.8) и (5.1.11) найдем матрицу перехода Р от базиса е, к базису э; и сам актуальный базис:
^2 ^Г
<0 1 ,
^2 ^Г
<0 1 ,
31 = р{е, = ^2et, з2 = р2е, = ^е1 + е2 •
Контравариантные компоненты и' и и' вектора и связаны между собой матрицами Р и Q (и‘ = p*jUj, и1 = qljiij, см. формулы (1.2.4) и (1.2.10)):
«Ч51-^2)/^1!1-1/^ «2=о.
Ковариантные координаты и, вектора и определяются из равенств и, = gyu\ ^ = gnu1 + guu2 = ^42(V - 1).
«2 =821“’ +S22“2 =(^)2(^2 "O'
Символы Кристоффеля в актуальном состоянии вычисляются по формулам (3.6.2) и (3.6.3) с учетом найденных выше матриц G и С1 :
Г - 1 д811 _=2 г _ 1 Э§22 г1 ^gpp
3 - 2 aF " ’ ,2'2 " 2 дГ "№'“ " Э^ " 2 Э^“ " ’
Г& = g^.p = 0 (а,|3 = 1,2), Г*2 = glpr12,„ = К1 ^2., +812Г12,2 =
=^7[V(i+«')2)-«'>4!]=^-.
г,22-$гт|2.,=$2т|2., +8иг,2.2=^rWrt2+62)2^)-0.
Найдем ковариантные производные ковариантных компонент вектора и:
V^ = Ь-Г‘и4, V,^ =А -(Г/.и, + Г|2и2) = ^2 -1);
V2M1=^2, V2u2=£)\ 71И2=^2-1).
Отсюда с учетом (5.5.11) получим
en = V,«, = ^(V -1), е12 = |(V]M2 + V2H,) = ^£2 -1 / 2),
e22 = V2u2 = (£') , X12 = ~(Vtu2 - V2uj = -£' /2.
Контравариантные компоненты векторов l и l определяются формулой (5.5.14) и найденными тензорами Л иЛ(^=Х2 = Х1=Х2=О, 5 = 1):
§ 5.6. Условия совместности деформаций
Если дано поле перемещений «(£', t) е Сх(р^' то тензоРы Де" формаций всегда можно определить по формуле (5.5.1) или (5.5.2). Верно ли утверждение, что всегда существует вектор и, определяемый выражением (5.5.1) или (5.5.2), при заданном произвольном тензорном поле деформаций? Этот вопрос эквивалентен задаче о существовании решения системы из шести (с учетом симметрии тензоров деформаций) уравнений (5.5.2) или (5.5.1) в частных производных относительно трех неизвестных - компонент вектора перемещений и,
(или и,). Контравариантные компоненты и4 при заданном тензоре gy могут быть вычислены с помощью компонент метрического тензора g'J, которые в соответствии с (5.2.14) определяют по формуле
(gij) = (^уГ1. gij = gij + 2Ey,(5.6.1)
Определение 5.6.1. Условия существования вектора перемещения «(£', 0 будем называть уравнениями (условиями) совместности деформаций. □
Поставленная задача аналогична известному из математического анализа вопросу о потенциальности векторного поля и, т.е. о существовании такой скалярной функции фе C'(G0, что и = gradф. Последнее векторное равенство эквивалентно системе трех уравнений в частных производных относительно одной функции ф : и' = дф/д^'. Условиями совместности системы при и е CX(G^) являются равенства производных ди'/ЭУ = ди<#д^‘ (i * j) или эквивалентное им векторное равенство rotu = 0. Аналогичный подход возможен и для системы уравнений (5.5.2) или (5.5.1).
Однако к тому же результату можно прийти более простым путем, основанным на указанной в § 5.1 эквивалентности вопросов о существовании вектора перемещений и евклидовости пространств, соответствующих начальному и актуальному состояниям. При этом будем полагать, что начальное состояние осуществимо, т.е. заданная метрика gy соответствует евклидову пространству, что согласно следствию 3.7.1 эквивалентно равенству нулю тензора Римана - Кристоффеля:
R = Rij^eJ^e1 = 0,(5.6.2)
или
RijU = 0, ijkl = 1212, 1313, 2323, 1223, 1213, 1323.(5.6.3)
Напомним, что данные здесь сочетания индексов i, j, к, I указывают на то, что в трехмерном пространстве независимых компонент у тензора Римана-Кристоффеля всего шесть (см. пример 3.7.1).
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 5.6.1. Уравнения совместности деформаций есть условия евклидовости актуального состояния:
R = КуЫэ*э1экэ1 = К"ук.э'э5экэ1 = 0,(5.6.4)
или
^и = 0(^' = 0).(5.6.5)
Явная запись уравнений (5.6.5) относительно деформаций Еу следует из (5.6.1) и связи в (3.7.3) компонент тензора Римана-Кристоффеля с символами Кристоффеля и последних с компонентами метрического тензора в (3.6.2), (3.6.3). □
Отметим, что так как соотношения (5.6.5) - условия существования вектора и, то при и е C3(G^) (5.5.2) или (5.5.1) дают общий интеграл
уравнений (5.6.5). Поэтому в общих системах уравнений МСС могут быть использованы либо (5.5.2) (или (5.5.1)), либо (5.6.5). Совместно их применять нельзя, так как эти уравнения зависимы.
Следствие 5.6.1. Уравнения совместности деформаций при осуществимом начальном состоянии могут быть записаны так:
Аун + Вун - 0;
уИ'
—^Ij.p^qH ~^'ki,q^plj^ ^8 ^pli^qkj ~ ^plj^qki^‘
(5.6.7)(5.6.7)Доказательство. Из соотношений (5.6.3) и (5.6.5) вытекает следующее равенство:
(5.6.7)
(5.6.7)
Вун Вун О'
Используя формулу (3.7.3), представим левую часть уравнения
в виде
Вун Вун Аун + Вуу, Ауу 2Вун Вун Аун + Вуу, Ауу 22е<ы - Г^ - Гуд,2е<ы - Г^ - Гуд,
Вун Вун Аун + Вуу, Ауу 2
Вун Вун Аун + Вуу, Ауу 2
2е<ы - Г^ - Гуд,
2е<ы - Г^ - Гуд,
Вдц — В^^ГурГц^ ^lj,p^ki,q^ 8^ (.Г^рГ/у^ ^Ij.p^ki.q)-
Учитывая формулу (3.6.3) для символов Кристоффеля первого рода и соотношения (5.6.1), запишем выражения для введенных величин е1И следующим образом:
(5.6.9)
Подстановка этого равенства в (5.6.8) и приводит к результату •’
□'
Очевидно, что при необходимости Вуц можно аналогичным, как в ^
образом выразить через символы Кристоффеля Гд актуального 1 состояния.'
Аун + S^tfli^kjjq ГурГу^) — 0, Г}ку = 2tyk, (8ij) = (5у + ^уГ1.Аун + S^tfli^kjjq ГурГу^) — 0, Г}ку = 2tyk, (8ij) = (5у + ^уГ1.(5.6.10) ?(5.6.10) ?Следствие 5.6.2. Если начальная система координат декартова, то ' уравнения совместности можно записать в виде;
Аун + S^tfli^kjjq ГурГу^) — 0, Г}ку = 2tyk, (8ij) = (5у + ^уГ1.
Аун + S^tfli^kjjq ГурГу^) — 0, Г}ку = 2tyk, (8ij) = (5у + ^уГ1.
(5.6.10) ?
(5.6.10) ?
Доказательство вытекает из (5.6.6), если учесть, что в 1 декартовой системе координат ^gy / Э^ = 0 и Г^д = 0. □
При практическом использовании уравнений совместности возни- 1 кает необходимость вычисления контравариантных компонент ^ мет- | рического тензора в актуальном состоянии как функции деформаций бу.
Теорема 5.6.2. Имеют место следующие равенства связи g‘J и е^:
8°^ = /а ^г ^ +aaP(E,y) + feaP(El>)], (ti + 1)
(5.6.11)
«^ = 2#а(е,у^, Ьар = £а(e/t)G(e& )^, ga = (gal,ga2,ga3).
Здесь функции a“P(e(y) и Ь^Еф записаны для удобства вычислений в матричной форме и представляют собой соответственно линейную и квадратичную форму.
Доказательство. Используя формулу для элементов обратной матрицы, а также соотношения (5.4.3) и (5.4.10)гиайдем
?=—, g = detG = g(0 + l)2, (в + 1)2 = 1 + 271е+ 472е+873e,(5.6.12) 8
где Gij - алгебраическое дополнение к элементу gy = gy + 2е,у матрицы G = <gij).
Из свойств определителя следует,что
G^aj = С°^8Ц + ^и>8.= 2G0».
deap
Отсюда с учетом (5.6.12) получим
G0^ =^
2 дЕдф
= 8
/ д/1Е
^оф
+ 2-^ + 4—^-оЕуф deap ,
(5.6.13)
Учитывая формулу (4.1.2) для инвариантов Jte, по которой
^=8^1»» ^=8^8^^ J3z=8U8mi8nk^mk^ (5.6.14)
а также их связь в (4.2.4) с 7te, найдем производные этих инвариантов:
===g°^,= 2Г^Еу,
деоф деофдеоф
деоф
^е__? ^le 1 Э72е - 7 хоФ g^gfer Кр 1еКР 2 3^-^88£«
д/зе .
^оф
- 1^1е
1
6
~ , б^2ео
^оф deap
^^ij). dV = :d£apJ
(5.6.15)
^оф ^оф ^^сф,
= ks* - ti“s% tiWv, = ^(е,).
Подставляя (5.6.15) в (5.6.13) и результат в (5.6.12), окончательно приходим к искомой формуле (5.6.11). □
Пример 5.6.1. Записать уравнение совместности деформаций в по-
лярной системе координат (г, ф) для плоской деформации (бд = 0), учитывая, что g" = in = 1, gn = г2, gn = 1/r2, g12 = g]2 = 0, f22, = -r, Г]2 2 = ^21,2 = r (остальные символы Кристоффеля равны нулю; см. упражнения 3.3.1 и 3.6.1).
Решение. В соответствии с примером 3.7.2 уравнения совместности (5.6.8) в случае плоской деформации сводятся к одному: Я1212 = 0. Тогда с учетом (5.6.6) и условий задачи получим (дифференцирование по г и ф обозначено соответствующими символами после запятой)
^1212 = ^1212 + ^1212 = 0;
^1212 = — е11.фф “ е22,гг + 2£]2,лр’
А212 = (8П ~£22)(?21,2)2 ~2gnEinr22, +
+2gl2(f]£2E]2i -Г221еИ1)+2£2|Г2] 2еИ2 +
+^22(Г21,2е212 +Г12,2е221)+^Р9(£р21е512 -ер22е511)-
Воспользуемся соотношением (5.6.9) и вычислим трехиндексные символы £lki:
би] = 1/2(бц,г + бц1Г -бп^) = 1/2бц1Г, е222 = 1/2е22,ф, е||2= 1/2Ец ф, £122 =£21,ф- 1/2Е22.Г, Е212 = 1/2Е22.Г» е2П =£12,г ~ 1/2Ец,ф, £«/ = £//*• Подставляя найденные значения еш и символы Кристоффеля Г,у в
для В1212, а также приводя подобные слагаемые при контра- вариантных компонентах g'i метрического тензора g, получим
^212 = ^"[Еп,ф ~е11.г(2б12.ф _E22,r)-rEll,rl~
-^2[Е22,фе11,г + 2Е12,г(2Е12,Ф-е22,г)-е11,Ф(2Е12,Ф+е22,,)-
-Г(еи>г + 2еПлр )] + g22[E^.r -Е22.ф(2Е12,г -Ец,ф) + 2ггп.г + г2] -1.
Вычислим компоненту g11 метрического тензора g с помощью (5.6.11):
= 2(gn,gnVU ke21= 2(gn,gnVU ke21E12622E12622= 2eh,= 2eh,a" =2gt(Ev)gI =
= 2(gn,gnVU ke21
= 2(gn,gnVU ke21
E12
622
E12
622
= 2eh,
= 2eh,
12 *=2(1,0) "
ЕггДя ZJ ke2]
b" =2g1(Eik)G(Eu)g] =
=а,о) " ke21=а,о) " ke21El 2 1E22 JL® ^*2El 2 1E22 JL® ^*2Y en Ae2iY en Ae2iE12E22E12E2222 2= Eii+rZEiZ2,22 2= Eii+rZEiZ2,
=а,о) " ke21
=а,о) " ke21
El 2 1
E22 JL® ^*2
El 2 1
E22 JL® ^*2
Y en Ae2i
Y en Ae2i
E12
E22
E12
E22
22 2
= Eii+rZEiZ2,
22 2
= Eii+rZEiZ2,
g'>=—2^(gn+tin+fcll) = l±2Eii+E?i+^(9+I)2(9 +1)2
Аналогично определяем g12 и g22:
12 _ 2Е12 + £12 (£ц + ^£22) „22 _ г2 + 2б22 + е?2 + f2g22
8Г2(в + 1)2’ 8И(в + 1)2‘
Как следует из (5.6.12), комбинация (9 + I)2 выражается через инварианты тензора деформаций (см. также (5.4.12)):
71е = 8р(ё') = Еи + е22 /г2, 73е = det(E' ) = (ЕцЕ22 -e?2V г2,
4е4е= Sp£. = Sp= Sp£. = SpЕ22 / Г2-е12Е22 / Г2-е12-e2i/f2>еп >-e2i/f2>еп >-Еи +Е22/ г2 -71е,-Еи +Е22/ г2 -71е,
4е
4е
= Sp£. = Sp
= Sp£. = Sp
Е22 / Г2
-е12
Е22 / Г2
-е12
-e2i/f2>
еп >
-e2i/f2>
еп >
-Еи +Е22/ г2 -71е,
-Еи +Е22/ г2 -71е,
(9 + 1)2 =1 + 6(Ец +Е22/г2) + 8(ЕпЕ22 -Е?2)/г2-
Следовательно, смешанные компоненты тензора деформаций имеют следующий вид:
е12| [ еп е12
=22
£22 / \^21 ^ ^*^22 ^ ^*
Суммируя все полученные результаты, придем к требуемому уравнению совместности деформаций:
2Е12,гф — е11,<рф ~е22,гг + 5П[Еп,ф -е11,г(2Е12,ф ~ 622,г) “ ^ll.rl “
—5*2 Е^22,ф^11,г + 2Е12,г(2Е12,ф “ е22,г)~
-Е11.ф(2£12,ф+^-Г(Е11,г + 2Е11,ф)] +
+£22[е?1,г - е22.ф(2е12,г - ец,ф) + З^г + г2] = 1.
Отметим, что обычно подобные уравнения записываются относительно физических компонент тензора деформаций Еу*. В данном случае они связаны с Еу равенствами
Ец« — Е^ — Ец, £12* — Ерф — £12 / Г, £22* ^ФФ ^22 ^ ^ * □
§ 5.7. Малые деформации
Формулы (5.5.6) и (5.5.7), связывающие Еу с вектором перемещений и, а также уравнения совместности деформаций (5.6.5) нелинейны. Во многих случаях представляет интерес линеаризация этих соотношений, которая проводится с помощью введения понятия малых деформаций.
Определение 5.7.1. Будем полагать, что деформированное состояние материального тела G в момент времени / соответствует малым деформациям, если для любых точек М,МХ eG модуль их относительного смещения (перемещения точки Мх относительно М) значительно меньше расстояния между ними.
При этом тензор с (или с) называется тензором малых деформаций, а его компоненты - малыми деформациями. □
Как правило, считают, что малые деформации имеют место для любого t ^ to-
Теорема 5.7.1. Для того чтобы деформации в материальном теле G были малыми, необходимо и достаточно, чтобы для любой точки MeG выполнялось неравенство
= 8< 1,= 8< 1,v = Ve,.v = Ve,.(5.7.1)(5.7.1)
= 8< 1,
= 8< 1,
v = Ve,.
v = Ve,.
(5.7.1)
(5.7.1)
Использованный здесь единичный вектор v определен в (5.2.12).
Доказательство. Найдем относительное смещение 4 материальных точек М и Мх с лагранжевыми координатами ^' и £' + + d^, равное
Д = и^' + <£,', г) - и(^О =<^'+ о(р0),
^(5.7.2)
о(Ро) = « (Ро)|Ро|. Нт а (Ро) = °- Ро = ^«т
Но по определению 5.7.1 для малых деформаций
H^Sjpol, 5, «1.(5.7.3)
Учитывая, что при достаточно малых | ро | справедливо неравенство | сКро) | « 52 < 1, из (5.7.2) и (5.7.3) получаем (ро * 0)
хЦг? =Д-а(рь) «31+32«1,
что эквивалентно (5.7.1) при 8 < 8] + Зг. D
Покажем, что величина 8 в (5.7.1) непосредственно связана с тензором дисторсии d (см. определение 5.5.1). Для этого предварительно введем следующие понятия.
Определение 5.7.2. Нормами ЦаЦ] и ||а|| тензора второго ранга а = ауе;вр определенного на евклидовом пространстве, называются следующие величины:
llelli= sup |(y,z)|= sup |^(х,г)Ца|2=|(а,ат)| =sup(y,y), 1 kl=kl=i kl=l=l=i"1,1 kl=i
x = x‘eb z = z.‘eb у = y'ej = (x,a) = хка^е},(5.7.4)
ф(х, z) = xkakj^, aT = a^ejeb
Здесь ат - тензор, полученный транспонированием тензора а (см. 122
определение 1.7.8); (х, а) и (а, ат) - свертки вектора с тензором и двух тензоров (см. § 1.5); ф^х, z) - билинейная форма, порожденная тензором а (см. § 1.6). □
Упражнение 5.7.1. Доказать, что ЦаЦ] иЦа|| удовлетворяют аксиомам нормы [29], а для симметричного тензора ЦаЦ] = sup|(x,y)|, где И=1
(х, у) = ф(х, х) = 2Ф(х) - квадратичная форма (см. § 4.3). □
Отметим, что вторая часть этого утверждения использована при записи формулы для ||а|| в (5.7.4) с учетом того, что (а, ат) - симметричный тензор второго ранга.'
Используя (5.5.8), (5.5.10) и (5.7.4), придем к следующему результату.
Следствие 5.7.1. В случае малых деформаций для тензора дисторсии d имеет место соотношение
^^иГ,^9^5^1’ W^’ И2=^^- п(5-7-5>
Отсюда следует, что так как согласно (5.5.10) d = gradu, то величина 5 характеризует скорость изменения вектора перемещения и при переходе от точки к точке. И в случае малых деформаций эта скорость много меньше единицы.
Далее будем рассматривать скалярные f(dy), векторные u(dy) и тензорные a(d,y) функции тензора дисторсии d. С использованием известной - О-символики для скалярных функций (/(d,y) = 0(3"), 3 -> 0 <=> |/|< ^8", где 8 =|d||) введем аналогичные понятия для векторов и тензоров.
Определение 5.7.3. Для векторных u(dy) и тензорных a^dy') функций тензора дисторсии d положим
и = О (Зт) (3 -> 0) <=> [и| ^ Л23т,
а = О (3') (3 -> 0) <=> ||а|| ^ ^З' (||а||, ^ ^3').(5’7’6)
Кроме того, для пар /(5^) и^), пЦ,) и v (dy^afdy) nb(dy) будем использовать приближенные равенства, определяемые следующим образом (т, л, I е N; 3 -> 0):
/ « ^ <=>/-g = O(8m), и =и <=> и-и =0(8"),^^^
а = 6 <=> а - 6 = 0(8'). □
Можно показать, что для введенных символов остаются справедливыми известные правила действий над О-символами.
Упражнение 5.7.2. Доказать, что: а) х = х‘е, = 0(3) при 3 —> О тогда, и только тогда, когда
^/V^ = o(5)’ ха/^ = 0(3), 3^0 (а = 1,2,3);(5.7.8)
б) равенство а = а^'е^ = 0(3) при 3 —> 0 эквивалентно любому из соотношений:
^/^ = 0(3). 5^0 (а = 1,2,3), ак=аь-е‘; '(5.7.9);
<V^««8№ =0(5).5^0 (а,₽ = 1,2,3);(5.7.10);
4^8aa8№ = 0(8),3^0 (а,р = 1,2,3);(5.7.11)
a^/^g"1^ = 0(8),3-»0 (а,р = 1,2,3).(5.7.12)’
Указание: использовать равенство | х | = sup(p,x) и произвольность lvl=l
векторов х и z в определении 5.7.2. □
Отметим, что 3 - безразмерная величина, и с ней связано появление нормировочных коэффициентов в (5.7.8)-(5.7.12).
Упражнение 5.7.3. Доказать, что равенство и - v = 0(3”), 3 —> 0, эквивалентно условиям | и - v | = О (3”), uv - 0(3”), 3 —> 0. □
Теорема 5.7.2. Тензор малых деформаций е совпадает в смысле определения 5.7.3 с тензором Коши-Грина ё и равен
еар“*а0’ ®“®-(5.7.13)
Доказательство. Для тензора дисторсии согласно следствию 5.7.1, определению 5.7.3 и соотношению (5.7.10) имеем равенства
d = 0(3), d^ = Va5p = ^^0(8), 3 -> 0.(5.7.14)
Подставляя последние в формулу (5.5.15), с учетом (5.5.11) найдем
(5.7.15)
что на основании (5.7.10) и определения 5.7.3 и завершает доказательство. □
Равенства (5.7.15) указывают на правомерность введенного в определении 5.7.1 названия "малые деформации".
Отметим также, что к результату (5.7.15) можно прийти, используя норму ЦаЦр Действительно, так как по формуле (5.5.9) ^,йкVjUk = 2(ец - ёу), то из (5.7.4) и (5.7.5) с учетом симметрии тензора
е -е получим (см. также упражнение 5.7.1)
З2 =р||2 = sup2(e(>-e^N5 =2^-4 = H=i
= 2 sup (е^-^)^, р=^ер
|У|=|*|=1
Отсюда с использованием упражнения 5.7.2 опять приходим к формуле (5.7.14).
Попутно заметим, что из (5.7.15) следует положительная опреде- леииость квадратичной формы
<Еу-ё^>0.'(5.7.16)
Теорема 5.7.3. В случае малых деформаций совпадают между собой в смысле определения 5.7.3 следующие величины:
третьи инварианты и соответствующие компоненты метрических тензоров g и g;
8 = 8, 8afi = 8afi’ 8^=8°^;(5.7.17)
векторы начального и актуального базисов:
За» «а,(5.7.18)
контравариантные и ковариантные координаты любого вектора и в начальном и актуальном базисах:
й'=и‘, м,= м,;(5.7.19)
эйлеровы и лагранжевы координаты:
У « х\(5.7.20)
а матрицы перехода Р и Q (см. (5.1.8) и (5.2.18)) близки к единичной (здесь равенство трактуется так же, как и в определении 5.7.3, с введением нормы матрицы аналогично норме тензора второго ранга):
Р « Q = Е.(5.7.21)
Доказательство (везде 3 —> 0). а) Равенство ковариантных компонент метрических тензоров вытекает из (5.2.14) и (5.7.13) и имеет вид
#ор — Safi "1" ^ар — 5ар +^^аа^рр^($) ” Safi"
Далее учтем, что для инвариантов тензора деформаций из (5.6.14), (4.2.4) и (5.7.14) имеют место равенства
71е = 0(3), /2е=о(32), 73е=О(33).
Подставляя полученные равенства в формулу (5.6.12) для коэффициента объемного расширения, с использованием формулы Тейлора
получим
е +1 = л[Г+21^То^ = 1 + 71е + О(82) = 1 + 0(8).(5.7.22)
Отсюда, во-первых, вытекает формула для инвариантов из (5.7.17), а во-вторых, при дополнительном учете (5.6.11) - соответствующий результат для контравариантных компонент:
«“₽ = ^“Р + п^Н Vs0"^^2)]!! - 271е + Q(82)] =
= i^ -2^% + Tiroes2W* + ^g^O® = g”»,
а^) = ^8*0$), b^Ey) = -jg^O^h.
Рассмотрим базисные векторы как векторы в исходном евклидовом пространстве. Тогда, подставляя в (5.5.3) выражения из (5.5.8), с учетом (5.7.14) и (5.7.9) для ковариантных векторов получим обоснование требуемого равенства:
За = »а + ^ = еа + л^О® = »а + 0(3) = ва.
Отсюда и из (5.7.17) следует соответствующее утверждение для контравариантных базисных векторов:
Эа = gat3k = 11^+ 0№к + 0(8)] = g^e, + 0(8) = еа + 0(8)- еа. t=i
Для любого вектора и с учетом (5.7.8) имеем
и = ul3i = и*е, + и'О(8) = й*еь и = и,э' = и(е' + ^0(8) = й,*1,
отсюда при использовании (5.7.8) получим
и' = и' + 0(8)« и', й; = и, + 0(8) = Ui.
Рассматривая вектор dr = dx‘et = 4^*э, в актуальном состоянии, придем к равенствам
d^“ = dx“ + 0(8) = dx“, dxa=^a + O(8).
Так какх'^', г0) = ^', получаем, что в случае малых деформаций эйлеровы и лагранжевы координаты совпадают, а матрицы Р и Q близки к единичной:
^=xa+VF“O(5)-xa, ^.=<- = 8'.+ 0(8),
ох1
р;=^-=б--ю(8). □
Отсюда вытекает следующее утверждение.
Следствие 5.7.2. В случае малых деформаций одноименные компоненты тензоров d и d, е и ё, е и ё, X и А, а также координаты векторов I и I совпадают между собой в смысле определения 5.7.3.
Доказательство. Производные Эи/Э£“ (а = 1, 2, 3) являются векторами. Их координаты в начальном и актуальном базисах согласно (5.5.8) есть компоненты тензоров d и d. Используя (5.7.19), придем к требуемому утверждению относительно этих тензоров. Остальная же часть утверждения доказывается при дополнительном учете формулы (5.5.11). □
Поэтому в случае малых деформаций далее достаточно рассматривать только d, А и I. Более того, вместо двух определенных ранее тензоров малых деформаций можно ограничиться одним: с » ё (см. (5.7.15)). При этом приближенные равенства будем заменять точными, а знак ", указывающий на начальное состояние, опускать.
С учетом этих соглашений для компонент тензора деформаций из (5.7.13) и (5.5.11) получим ее равенство
(5.7.23)(5.7.23)Eap=^<Va“p + Vp“a).
(5.7.23)
(5.7.23)
которое называется соотношениями Коши.
Отметим еще одно свойство малых деформаций, вытекающее из линейности соотношений (5.7.23).
Теорема 5.7.4 (аддитивность полей малых деформаций). Если полям перемещений и.(х*, f) и и„(х*, t) соответствуют поля деформаций е»(х‘, t) и €*,(х‘, г), то суммарному перемещению и = и, + и» соответствует тензор деформаций е = е* + е„. □
Механический смысл малых деформаций
Для малых деформаций более ясным становится смысл компонент тензора деформаций, рассмотренный в § 5.3. А именно, используя (5.7.13) и формулу Тейлора, получим следующие результаты.
а! Относительное удлинение волокна в направлении у
Из (5.3.1) имеем (3 —> 0)
= лт(е,у)л,
п =(v', v2, v3)T.
В частности, для координатного волокна из (5.8.1) или (5.3.2)
(5.8.2)(5.8.2)следует
(5.8.2)
(5.8.2)
^a — ^aalSaja»
ипри#оа= 1
/а = Еаа-(5.8.3)
б) Изменение угла между направлениями у и д и (у * р)
Из (5.3.3) с учетом (5.2.13) и (5.7.15) найдем (5 -> 0)
(Zv + 1)(/ц +l)cosy-cosy0 = [1+Zy +^ + О(52)] cosy- cos у0 =
= 2 sin(y V|l / 2) sin(Vo ~ Yуц / 2)+0(8) = °(5).
Следовательно, ууц = 0(5) при 5 -> 0, и из (5.3.3) получим
У vu sin v0 + (Zv + ^ )cos Y0 =- + O(52) =
IPo “Pb* *
= 2ЕуУ'ц,= Zn^EyN,(5.8.4)
т = (ц’, ц2, ц3)т.,
Для координатных волокон (а * р) из (5.8.4) или (5.3.5) имеем
Усф sin Vo = 26^/^аа^рр - (Za + Zp)cos Yo.(5.8.5)
В случае прямоугольной декартовой системы координат (Vo = л/2, gam = 1) связь yap и Eap существенно упрощается:
Yap = 2eaP.(5.8.6)
в1 Коэффициент изменения плошали1
Из (5.3.12) с учетом (5.7.17) найдем (5—> 0)
^ = 1 + 0(5) = 1.(5.8.7) :
г) Коэффициент объемного расширения
Из формулы (5.7.22) с учетом (4.2.4), (5.7.23) и (3.8.4) получим (5->0)
9 = Vl + 2/1E+O(52) -! = /„ + О(52) - /1Е = gijEy =
= ^5tf(ViMj +V7m,) = |(^V,m7 *8Г^^) =
= g^VjUj = VjU1 = dive.(5.8.8)
Уравнения совместности для малых деформации
Условия совместности (5.6.5) или (5.6.7) в случае малых деформаций не справедливы, так как линеаризованные соотношения Коши
£y=^iuj*Vjui)(5.9.1)
являются приближенными. 128
Теорема 5.9.1. Уравнения совместности деформаций в случае малых деформаций имеют вид
V,VtEv/ + VyV/E^ = V.-V/Eyt + VyVtetf,(5.9.2)
среди которых шесть независимых, например соответствующих индексам ijkl = 1212, 1313, 2323, 1223, 1213, 1323.
Доказательство. Как отмечено в § 5.6, искомые уравнения при и(х*, 0 е C3(GX) и Еу(х*> г) е C2(GX) можно получить как условия интегрируемости системы шести уравнений (в данном случае (5.9.1)) относительно трех неизвестных. Напомним, что производные здесь вычисляются в метрике начального состояния, а необходимым и достаточным условием евклидовости пространства (совместности деформаций, интегрируемости (5.9.1)) является независимость порядка ковариантного дифференцирования. Используем этот факт и представим (5.9.1) в виде следующей эквивалентной совокупности двух систем уравнений (см. (5.5.11)):
7,иу =£,,■+Ху;(5.9.3)
^k^ij = ^k^i“j - ^k^j«i) = ^k^i“j + 4Fjuk * ^VjUk -
-VtVyHi) = V,.Eyt-VyEit.(5.9.4)
Условия интегрируемости (5.9.3) имеют вид V^jUj = V^uj, или
VtE,y + VtX,y = V,Ey +V,Xty.(5.9.5)
Полагая, что система (5.9.4) совместна, придем к тому, что уравнения (5.9.5) удовлетворяются тождественно:
VjfcBy + V,Eyt - VyEa = V,Ey + VtEy - VyEa.
Таким образом, условия интегрируемости системы (5.9.3)-(5.9.4) (или (5.9.1)) эквивалентны аналогичным условиям для (5.9.4), которые имеют вид
^l^k^y =^ 1^ l^y*
Подставляя сюда соответствующие выражения для Ху из (5.5.11), придем к уравнению (5.9.2). П
Определение 5.9.1. Соотношения (5.9.2) называются уравнениями совместности Сен-Венана. □
Такое название связано с тем, что именно Сен-Венан впервые указанным способом получил уравнение (5.9.2) для прямоугольной декартовой системы координат, в которой они записываются так (х* = хь V,- = д/дх1):
J^ + J^ = _^2L + _^_.(5.9.б)
dx,dxt dxjdxt dxjdxl dxjdxk
Другой подход к построению уравнений совместности деформаций связан с попыткой линеаризации уравнения совместности (5.6.7) для конечных деформаций. Очевидно, оператор Аун линеен относительно Еу. Проведем линеаризацию оператора Вун (5.6.8). Тогда с использованием (5.7.13), (5.7.17) и обозначении в (5.6.9) получим
ВуЫ=ЬуЫ + ^ы+О^Ф^0У,
Цн = -2£nm(f«f*7 -г^)+ОДе^. + Г^. -Г^ -Г£ев&),
Nijld = -4Епт(^тг;!Ечм+^(5.9.7)
+ 4gP9(EpliEqy-EpyE^Sg^g^E^EpnE^j - EpljEqU).
Однако непосредственная подстановка (5.9.1) в уравнение Куц- КуЫ = Аун + Lyy + NyU = 0 показывает, что оно не удовлетворяется при произвольном и € C3(G§). В то же время (5.9.1) - общий интеграл системы
Аун + Lyn = 0.(5.9.8)
Формально к этому результату можно также прийти, если считать, что не только Еу = 0(5), но и комбинации производных Е^ = 0(8) при 5 -> 0. Окончательно равенство (5.9.8) с учетом (5.6.6) и (5.9.7) преобразуется к следующему виду (знак "'" опущен):
ЗЧи Э2еу Э\. д2Е jtdx*dxj дх^дх1 дх-'дх1 дх'дх*
-2е„(Г^. - Г§Г£Н2(ЕрВГ& + Ер1Д - Е^Г^ - £рйф = 0. (5.9.9)
Очевидно, система (5.9.9) - просто другая форма записи уравнений (5.9.2) и может быть приведена к последней с помощью подстановки соответствующих формул для операторов ковариантного дифференцирования. Подчеркнем, что приведенные рассуждения не являются выводом уравнений совместности, а лишь демонстрируют тот факт, что линеаризация приводит к ним.
Пример 5.9.1. Проверить условия совместности деформаций для заданного в полярной системе координат (Г22 = -г, Г^ = Г22 = 1/ г, остальные символы Кристоффеля равны нулю; см. пример 5.6.1) тензора малых деформаций:
(фгфА
Решение. Как было отмечено в примере 5.6.1, для плоской деформации необходимо проверить одно уравнение совместности
^1212 = 0, которое запишем в форме (5.9.9):
2Е12,лр -е11,фф ~Е22,гг ~2Е22(Г21)2 +2(26221^2 -ЕщГ^) = 0.
Подставляя в левую часть символы Кристоффеля и вычисленные в примере 5.6.1 Е,уЬ найдем
2^12, пр -е11,фф — Е22,гг + 2(Е22,г ^ ^"— Е22,г ^ ^ + ^И.г ) = ^*
Производные от компонент тензора деформаций имеют вид
Е11,г=0> е22,г=2г, Е11фф=0, Е22,^=2, Е12пр = !•<
Подставляя их в левую часть уравнения, получим, что оно не удовлетворяется:
21-0-2+ 2(2г/г- г2/^ + 0) = 2 * 0. □
Тензор скоростей деформаций
В § 5.2 определены тензоры деформаций е и е на основании сравнения метрик начального (t = z0) и актуального (t > z0) состояний. В МСС часто возникает необходимость ввести еще одну внутреннюю характеристику, связанную со скоростью изменения метрик.
(5.10.1)(5.10.1)Для этого рассмотрим два произвольных момента времени t и z + Az > t0, которым соответствуют метрические тензоры g и g. Аналогично (5.2.14) для материальной точки MeG с лагранжевыми координатами ^' определим деформации ДЕу (изменение деформаций на промежутке [z, t + Az]):
(5.10.1)
(5.10.1)
^»'й ^v 2^^’ ^^ &ч^м” 8у^м"'
где М* и М"~ геометрические образы М в моменты t и t + Az.
Определение 5.10.1. Полагая, что существует предел отношения ДЕ^Дг при Az -> 0, назовем скоростями деформаций следующие величины:
(5.10.2)(5.10.2)... А£у 1Д&,1 dgy
(5.10.2)
(5.10.2)
Un t^Ua = hm —- = — hm —- =^-.□
v м и ^->0 Az 2д/->о Az 2 dt
Теорема 5.10.1. Геометрический объект (см. определение 1.4.4) {Цу) является симметричным тензором второго ранга:
(5.10.3)(5.10.3)V = и^э>, Uy = Ujj.
(5.10.3)
(5.10.3)
Доказательство. Так как Де,у - ковариантные компоненты симметричного тензора At = ДЕуЭ1^, то требуемое утверждение вытекает из (5.10.2). □
Определение 5.10.2. Тензор в (5.10.3) называется тензором скоростей деформаций. □
Отметим существенную разницу между тензорами е , € и V. Если первые вводятся исходя из сравнения двух состояний СС, то тензор V относится к данному состоянию в момент времени t. Поэтому в одном и том же касательном пространстве, отвечающем точке М, можно наряду с компонентами иу в базисе з* рассматривать его компоненты в базисе е* lw<: V = Vye'e^. Иными словами, в данном случае ^ можно принять в качестве лагранжевых координат на промежутке [г, t + Az].
Имеет место следующий частный случай формулы (5.10.2).
Следствие 5.10.1. Если начальная система координат х* неподвижна, то скорости деформаций вычисляются таким образом:
d£y
«9=-^-(5.10.4)
dt
Доказательство. Поскольку в неподвижной начальной системе координат g,у(0 = const, то dgy /dt = d(gy - gy)Idt. Подставляя это равенство в (5.10.2) и учитывая определение деформаций (5.2.14), придем к формуле (5.10.4). □
Определение 5.10.3. Тензор de с компонентами
dEij=vijdt(5.10.5)
называется тензором бесконечно малых деформаций. □
Теорема 5.10.2. Тензор скоростей деформаций V связан с вектором ' скорости и равенством
у,) = j(viyj + v;y,).(5.10.6)
Доказательство. Аналогично (5.1.12) определим переме- . щение Ди (изменение перемещения на промежутке [г, t + At]), отвечающее деформациям Ае,у::
Au = Аи,э‘= Аи^э,. =r(^‘, r + At)-r(^‘, г).(5.10.7) -
Тогда, полагая момент t "начальным", из (5.5.9) найдем'
ДЕу =~[У,(Диу) +Уу(Ди,) +V,(Aut)Vy(Au*)].(5.10.8)
Используя определение в (5.1.14) скорости v для вектора Au, его . координат и ковариантных производных, получим
и ii i . Ди
v(c , ^=0,3 =и э, = hm —, '' д/->о At
Au=u At + O((At)2), Аи' =и ‘At + o(At), Au, =и tAt + o(At'), (5.10.9)
V,(Auy) = VjUjAt+o(At), Vy(AuJ) = V;V1 At+o^Af), At->0.
Подставляя (5.10.8) в (5.10.2) и учитывая (5.10.9), придем к равенству (5.10.6). □
Определение 5.10.4. Формула (5.10.6) называется соотношением Стоков.
Далее аналогично тензору дисторсии (см. определение 5.5.1) введем тензор второго ранга
dy = dVga‘aj =V®u = gradv, dVij = V; Uj.(5.10.10)
Тогда теорема 5.10.2 может быть переформулирована так.
Следствие 5.10.2. Тензор скоростей деформаций V есть результат симметрирования тензора dv : и у = dv^. □
Дополнительно подобно (5.5.11) проведем альтернирование тензора dv:"
dv=V+O, П=(йуэ‘^, toy=dvtijl.(5.10.11)
Очевидно, тензор 12 является кососимметричным, и аналогично теореме 5.5.2 доказывается следующее утверждение.
Теорема 5.10.3. В трехмерном пространстве тензору 12 может
быть поставлен в соответствие осевой вектор ю, определяемый таким образом:
о» = <о'э;о» = <о'э;1 г_
о» = <о'э;
о» = <о'э;
to3 =tonfjg.to3 =tonfjg.□(5.10.12)□(5.10.12)=—[Г, v] = —rotu
to3 =tonfjg.
to3 =tonfjg.
□(5.10.12)
□(5.10.12)
22
to* =0>23/Vi» О)2 =0)31/^.
Определение 5.10.5. Тензор 12 называется тензором скоростей вращения, а вектор <о — вектором скорости вращения (угловой скорости). □
Для тензора скоростей V возникаёт такая же задача, как и для тензора деформаций (см. § 5.6): по заданному тензорному полю V найти вектор скорости V. Условия существования ее решения (уравнения совместности скоростей деформации) как условия интегрируемости системы шести уравнений (5.10.6) относительно трех неизвестных и; проще всего получить, сравнивая (5.10.6) с соотношениями Коши (5.7.23) для малых деформаций. Очевидно, уравнения совместности в данном случае получаются из (5.9.2) или (5.9.9) простой заменой обозначений Еу на Uy. Причем полученные уравнения в отличие от (5.9.2) и (5.9.9) справедливы для любых деформаций.
Механический смысл скоростей деформаций
Скорость относительного удлинения волокна в направлении v
Определение 5.11.1. Под таковой будем понимать следующую величину:
йу = -Ц lim ^“J1*1, р = d^‘ab О, р) = 8у<&&.(5.11.1)
где вектор р определен в (5.2.6), а р и э* — элементарное волокно и базис в момент времени z + Az. □
6 Стокс (Stokes G.G., 1819-1903) - английский физик и математик.
мнв № зз _ ) НЕ БОЛЕЕ Ш КНИГиЖ j ‘ ОДНИ РУКИ И 2Х&ДДЕ }мнв № зз _ ) НЕ БОЛЕЕ Ш КНИГиЖ j ‘ ОДНИ РУКИ И 2Х&ДДЕ }ВИ В ЛИОНКА
мнв № зз _ ) НЕ БОЛЕЕ Ш КНИГиЖ j ‘ ОДНИ РУКИ И 2Х&ДДЕ }
мнв № зз _ ) НЕ БОЛЕЕ Ш КНИГиЖ j ‘ ОДНИ РУКИ И 2Х&ДДЕ }
КОЛОйЗА
Учитывая вытекающее из (5.10.2) равенство
(5.11.2)(5.11.2)Де^ = и у Ai + o(Az), Az -> 0,
(5.11.2)
(5.11.2)
аналогично (5.3.1) для йу получим
. V 1 йу = нт — д/—>о Az. V 1 йу = нт — д/—>о Az2Ае^'^2Ае^'^Ipl2Ipl2-1-1(vydE,1^ О(М^ hm —=— +д/->о^ I р г Az(vydE,1^ О(М^ hm —=— +д/->о^ I р г Az
. V 1 йу = нт — д/—>о Az
. V 1 йу = нт — д/—>о Az
2Ае^'^
2Ае^'^
Ipl2
Ipl2
-1
-1
(vydE,1^ О(М^ hm —=— +
д/->о^ I р г Az
(vydE,1^ О(М^ hm —=— +
д/->о^ I р г Az
Уу^^ .. Uyd^W Vyd^
Ipl2 9 Ipol2 Ipl2 lpol2(l+/v)2
(5.11.3)(5.11.3)Uy^j nr(Uy)n vi=^_
(5.11.3)
(5.11.3)
(1+Zy)2 (1+M2‘ Ipl’
Для координатного волокна p0=<Z^“ea (см. (5.3.2)) из (5.11.3) найдем
(5.11.4)(5.11.4)_иаа _ У да _ Уда
(5.11.4)
(5.11.4)
8аа Sga^^^a) ваа^^аа
Отсюда следует, что uaa характеризует скорость удлинения координатных волокон, причем ha = 0 только в том случае, если и^ = 0. Поэтому используется следующая терминология.
Определение 5.11.2. Компоненты и^ тензора V называются линейными скоростями деформаций. □
Если система координат V прямоугольная декартова (^ = 1), то из (5.11.4) получим
^=^0/(1 + 2600).(5.11.5)
В случае малых деформаций (см. §5.7, 5.8) формулы (5.11.3)(5.11.5) преобразуются к виду
Н^-ОуЧ^-П (иу)п, На — Vqq/^aa(^a — Уда* 8аа-^-(5.11.6)
Кроме того, отметим связь йу с производной lv = d^ I dt. Из (5.3.1) и (5.11.3) с учетом (5.10.4) имеем
Zv=-^^—= (1 + /у)йу.(5.11.7)
Скорость ХуЦ изменения угла ууц между направлениями v up.
Определение 5.113. Этой величиной будем называть производную от yV|l по времени t. □ 134
Тогда из (5.3.4) и (5.11.7) получим
xvpxvp= Yvu == Yvu =2У,)У‘ДУ(l + /v)(l + /|1)siny2У,)У‘ДУ(l + /v)(l + /|1)siny-(h^ + ^ctg^.-(h^ + ^ctg^.(5.11.8)(5.11.8)
xvp
xvp
= Yvu =
= Yvu =
2У,)У‘ДУ(l + /v)(l + /|1)siny
2У,)У‘ДУ(l + /v)(l + /|1)siny
-(h^ + ^ctg^.
-(h^ + ^ctg^.
(5.11.8)
(5.11.8)
Для координатных волокон (см. (5.3.5)) отсюда вытекает формула
•(yR
х vn = Yvn = —;тт=^(*a + Лр )ctg у „у. (5.11.9)
(l + laXl + ^smy^gc^gpy
Таким образом, ц^ (a * Р) характеризует Скорость изменения угла между координатными волокнами. Причем при v^ = ирр = 0 скорость хар = 0, только если иау = 0. Поэтому для этих компонент применяется следующая терминология.
Определение 5.11.4. Величина ц^ называется угловой (сдвиговой) скоростью деформаций. □
В прямоугольной декартовой системе координат д' формула (5.11.9) упрощается (у^ = п/ 2 - у^, ^ = 1), т.е.
х = ff и аа + и№ ) to у
^OS)^/(1 + 2^X172^) (1 + 2Е<ю l + 2EppJB,a₽'
(5.11.10)
В случае малых деформаций формулы (5.11.8)—(5.11.10) с учетом (5.11.6) приобретают следующий вид:
xvn =i'y[2v'ii7 /sin у у -(v'v7 + p‘p7)ctgy0].
ctgVapctgVap(5.11.11)(5.11.11)^«Рf^aa , UPP
ctgVap
ctgVap
(5.11.11)
(5.11.11)
s*n Vap^OKx^ppv8aa £pp ,
(xap=2vap- Saa=l. Ж«р=л/2).
Bl Скорость относительного изменения площади
Определение 5.11.5. Под этой величиной аналогично (5.11.1) с использованием обозначений (5.3.7), (5.3.9) и (5.3.10) будем понимать
х$ =7^1™ Л . $ = [Д ДЬ А = *!%□(5.11.12)
15 I Д/—>0
Ограничимся далее, так же как в (5.3.8), (5.3.11) и (5.3.12), координатными площадками:
(5.11.13)(5.11.13)a₽ r 11
(5.11.13)
(5.11.13)
ч = xt = *im л ~~ 1
15 Д/^ОАГ ^G^
Здесь G4 - алгебраическое дополнение к элементу g^ матрицы
G=tiij)- С учетом (5.10.1) и (5.11.2) Gw можно записать в виде
GW=(-1)“+PGW=(-1)“+P8gg8ра8gg8ра£оф#№£оф#№= GW += GW +
GW=(-1)“+P
GW=(-1)“+P
8gg
8ра
8gg
8ра
£оф
#№
£оф
#№
= GW +
= GW +
+ 2(-\)а^Д1(и^№ +uwgaa -2vapgap)+o(Az), Az-> 0.
Подставляя это разложение в (5.11.13) и учитывая (5.2.14) и (5.3.12), окончательно получим
др _ ^ag^PP +урр<?дд ~ ^ap^gp1
Х$ ^(iggipp-^) ^(Saatyp-^p)
XtVgggpp +l'pp5gg ~2Vgp5gp +2(VggEpp +^ppEgg — 2fapEap)]. (5.11.14)
В прямоугольной декартовой системе координат х* эта формула приобретает вид (.gy = 8,у)
^ = ^ip ^aa +урр + 2(yagEpp +УррЕдд -2^6^)].(5.11.15)
Для малых деформаций с использованием полученных ранее результатов (см. § 5.7) из (5.11.14) имеем
(5.11.16)(5.11.17)(5.11.16)(5.11.17)дВ _ ^од^рр +ирр5дд ~ ^др^др
(5.11.16)
(5.11.17)
(5.11.16)
(5.11.17)
xs =- - _ -2>
^дд^РР ^др
откуда для декартовой системы координат получим х^ = ygg+ypp(5i, =5,у).
г) Скорость объемного расширения
Определение 5.11.6. Эту скорость аналогично (5.11.1) и (5.11.12) зададим так:
V-V
= lim —, А0 = lim,■(5.11.18)
д/—>о Azх->о V
М’еЫЗ
где V - объем области 77 (образа множества G материальных точек в момент времени t + Az), а другие обозначения соответствуют использованным в (5.4.1), (5.4.2). □
Очевидно, АО - коэффициент объемного расширения, соответствующий тензору деформаций Д£у. Поэтому из (5.4.10) с учетом (5.11.2) для АО имеем
АО — ^1 + 2AZ] + 4А/2 + 8А/3 — 1 — 1^, Az + o(z),
(5.11.19)(5.11.19)Ых = g* Д£№ =g% ikAi + o(At) = /]„At + o(t),
(5.11.19)
(5.11.19)
Ы^ = o(Az), Ы3 = o(Az), Az —» 0.
Здесь Mk - инварианты тензора Ае,у, а 7^ - первый инвариант тензора V. С использованием (5,10.6) аналогично (5.8.8) /^ можно представить так:
= gij»y = ^g4ViU} + VjUj) = ^g^Vj + g^jV^ =
g^VjUj = V,u ‘ = div v.(5.11.20)
Подставляя (5.11.19) в (5.11.18) и сравнивая с (5.11.20), окончательно получим, что первый инвариант /]„ тензора V совпадает со скоростью объемного расширения:
ху =/]„= divv.(5.11.21)
Исходя из (5.4.10) или (5.4.11), принципиально можно найти производную dQldt = Q, однако соответствующие формулы достаточно громоздки. Важно то, что xv * 0, а для малых деформаций
х„=0.(5.11.22)
В заключение с помощью тензора скоростей найдем условия движения тела G как абсолютно твердого, которое, как известно из теоретической механики, эквивалентно следующему представлению скорости каждой точки М eG для любого Z > Zo:
и l^=vo(O + [to(t), r0], v0 =и 1^, Мо € G,(5.11.23)
где Гц - радиус-вектор в связанной системе координат с началом в точке Мо а ы - вектор угловой скорости.
Теорема 5.11.1. Для того чтобы тело G было абсолютно твердым, необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки М е G и для любого t"B= ty выполнялось одно из двух эквивалентных условий: V = 0 или € = 0.
Доказательство. 1. Покажем сначала эквивалентность условий V = иуЭ'з^ = 0 и е = СуЗ'^ = 0. Действительно, пусть Еу = 0. Тогда, очевидно, из (5.10.4) имеем иу = 0. Если Vy = 0, то снова из (5.10.4) найдем, что Еу = Су^У Но так как Еу 1,_,о = 0, то Су = 0.
Необходимость, Пусть G - абсолютно твердое тело, т.е. поле скоростей имеет вид (5.11.23). Отсюда, используя формулу (3.8.5), в актуальном базисе найдем (г0 = ^‘э,-, ы = бУэ,)
v =Uj3j = vOj3j +Enmjom^n3i, vj = uOj(t) = Emnjtom^n,
VjUj = E^V^ = E^to"^ = E^®"*,(5.11.24)
uu = ^Viui+ V;u.) = ^Emij +emji)tom = 0.
Здесь учтено, что вектор угловой скорости не зависит от точки, а
компоненты тензора Леви-Чивита при ковариантном дифференцировании ведут себя как константы.
Достаточность, Пусть теперь и у = 0, что согласно п. 1 доказательства эквивалентно равенству в,у = О. Тогда из (5.2.14) найдем, что метрики начального и актуального состояний совпадают: gy = gy. Не нарушая общности, положим, что начальная система координат х* = X; прямоугольная декартова, тогда ^' = ^, является такой же системой. Ковариантные производные в ней совпадают с частными (см. § 3.4). И из условия Цу = 0 с учетом (5.10.6) придем к следующей системе уравнений относительно ц:
(5.11.25)(5.11.25)Эу, _ ди j
(5.11.25)
(5.11.25)
Ее общие интегралы - линейные функции координат (а, Р, у образуют круговую перестановку из 1, 2, 3):
иа = aa₽W^p +ао₽(^у +v*a(0. a, = -«д.
что эквивалентно векторному равенству
y=y,+[a,r0], а = акэк, av=a32, a2=ai3> °з = а2Р (5.11.26)
Сравнивая (5.11.26) с (5.11.23), получаем, что G - абсолютно твердое и у,=у0, a = <«>.□
Следствие 5.11.1. В случае движения тела как абсолютно твердого векторы й» в (5.10.12) и (5.11.23) совпадают.
Доказательство. Действительно, с учетом (5.11.24) получим (е^у = 23^)
-roty = 1[Г, у] = -Е^и,эк = -ЕыЧтЦ<йтэк = 6кт№тэк =
= (ЙкЭк = й>. □
Пример 5.11.1. В соответствии с условиями примера 5.3.1, дополнительно приняв a,(г) = it, найти тензор скоростей конечных деформаций и определить скорости удлинения координатных волокон пг,п2, изменения площади х, и объемного расширения хи
drdrР е ш е н и е: а) учитывая, что по результатам примера 5.3.1 в актуальном состоянии g,y = '"*v)5,у, определим v,(z = 1, 2, 3) как функции лагранжевых переменных:
dr
dr
V =У в: = ' dtV =У в: = ' dt= ^е^а,^ = ^е% =и % =и ‘e^ei =и ^ ^‘ =const
V =У в: =
' dt
V =У в: =
' dt
Следовательно, и" = а^“, и, опуская индекс у контравариантных компонент вектора V, получим
Va=8ajPk =80^“ =ае2а,^а (« = 1,2,3).
Тогда согласно формуле (5.10.6) окончательно находим
иаа=^ = <мга‘, уор=° (“*Р’ «,р = 1,2,3);
скорость относительного удлинения первого и второго координатных волокон вычислим по формуле (5.11.5) (тензор Е,у определен в примере 5.3.1):
Л, =Л, =^11^111-е21'1-е21'1 + 2еп 1 + 2.1(е21» 21 + 2еп 1 + 2.1(е21» 2= 1, й2=_Е22_ = 2;-1)1 + 2е22= 1, й2=_Е22_ = 2;-1)1 + 2е22
Л, =
Л, =
^11
^11
1-е21'
1-е21'
1 + 2еп 1 + 2.1(е21» 2
1 + 2еп 1 + 2.1(е21» 2
= 1, й2=_Е22_ = 2;
-1)1 + 2е22
= 1, й2=_Е22_ = 2;
-1)1 + 2е22
скорость относительного изменения площади х12 найдем с помощью соотношения (5.11.15) (v12 = 0):
11
Х$ -ру^П +V22 + 2(УпЕ22 +У22Еи)1- р?1^11822+w228111-
Коэффициент изменения площади t12 вычислим с помощью (5.3.12):
^ — V^33^33 -V^33> G-E, G33-I.
При этом фундаментальная матрица и алгебраическое дополнение G33 имеют вид
С = (5(,+2е,у) =С = (5(,+2е,у) =^(z)0 0^(z)0 00е2а2 (О00е2а2 (О0оое2^»оое2^»V'00V'000е4'00е4'0оое6'оое6'G33 -G33 -е2'00 е4'е2'00 е4'= е= е,6z,6z
С = (5(,+2е,у) =
С = (5(,+2е,у) =
^(z)
0 0
^(z)
0 0
0е2а2 (О
0
0е2а2 (О
0
оое2^»
оое2^»
V'00
V'00
0е4'
0
0е4'
0
оое6'
оое6'
G33 -
G33 -
е2'0
0 е4'
е2'0
0 е4'
= е
= е
,6z
,6z
Тогда окончательно получим
х12 = -J—fe^e4' + е4'е2'] = 2е3';
47
определим по формулеопределим по формулескорость объемного расширения х„ (5.11.21):
определим по формуле
определим по формуле
^ = diw = V,y' == £ 1 = 6. □
ОС, 1=1
ГЛАВА 6
ДИНАМИКА И ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
Для решения основной задачи МСС, т.е. определения кинематических параметров материального тела G (закона движения (5.1.6) или поля скоростей (5.1.15) и их производных), необходимо установить причины движения и их связь с кинематикой. Движение (в том числе деформации) согласно аксиоме 4 (см. введение) порождается силами, а связь между силами и кинематикой задается законами (уравнениями). Эти два вопроса и рассматриваются в данной главе.
Классификация сил.Напряженное состояние
Фундаментальное аксиоматическое понятие механики - сила, кроме как причина движения (см. введение), определяется в качестве меры взаимодействия между материальными телами (в том числе и полями).
Первая классификация сил связана с тем, появляются ли они в результате взаимодействия данного тела с другими телами или вследствие действия друг на друга внутренних материальных точек. В соответствии с этим различают следующие виды сил:
внешние;t
внутренние. □
Согласно аксиомам теоретической механики взаимодействие между - телами (полями) происходит по поверхностям или трехмерным областям, площадь или объем которых отличны от нуля. В соответствии с ; этим положением и размерностью множества, по которому происходит взаимодействие, используется вторая классификация, согласно которой все силы делятся на два класса:
объемные и массовые;;
поверхностные. □s
Приведем их определения для внешних и внутренних сил. Зафиксируем в момент времени t > to геометрическое положение G = G(t) _ материального тела G. Так же как и ранее, обозначим образ мате- . риальнойточки MeG черезМ*€ G.'
Определение 6.1.1. Пусть М' G ДС С С и ДУ - объем ДС; X = ' = д!ашДС;Дт - масса материального тела ДС, соответствующего ДС; ДР и ДА/ - результирующие сила и момент, действующие на . ДС.;
Объемными силой Fv и моментом Цу (внешними или внутренними) в точке М (или М) называются
I гДу=ДУй= 1™ 1—•X->o AVМ'еДСI гДу=ДУй= 1™ 1—•X->o AVМ'еДС(6.1.1)(6.1.1)IДР
I гДу=ДУй= 1™ 1—•X->o AV
М'еДС
I гДу=ДУй= 1™ 1—•X->o AV
М'еДС
(6.1.1)
(6.1.1)
Fv = й = lim ,
vx^o AV
М'еДС
Массовой силой F и моментом /4 (внешними или внутренними) в точке М (или М^ называются
F = F * = hm , /*=» .-,= hm . □(6.1.2)
X->o Amx->o Am -
М'еДСМ’еДС
Существует тесная связь между величинами в (6.1.1) и (6.1.2), она устанавливается с помощью плотности (распределенной массы) среды. Напомним определение этого понятия.
Определение 6.1.2. Плотностью (распределенной массой) СС в точке М (или М*) называется
Р = Рй = hm ——. □(6.1.3)
Им х^о дуv '
М'еДС
Теорема 6.1.1. Объемные и массовые силы связаны между собой таким образом:
Fv=pF, Цу=РР-(6.1.4)
Доказательство (6.1.3):Доказательство (6.1.3):непосредственно вытекает из (6.1.1)-непосредственно вытекает из (6.1.1)-ДР АтДР АтFv = hmх->о Am AVМ’еДСFv = hmх->о Am AVМ’еДС= pF,= pF,.. ДМ Дт _Hv = Jim — Ti7 = P^- П X->o Дт AVМ'еДС.. ДМ Дт _Hv = Jim — Ti7 = P^- П X->o Дт AVМ'еДС
Доказательство (6.1.3):
Доказательство (6.1.3):
непосредственно вытекает из (6.1.1)-
непосредственно вытекает из (6.1.1)-
ДР Ат
ДР Ат
Fv = hmх->о Am AVМ’еДС
Fv = hmх->о Am AVМ’еДС
= pF,
= pF,
.. ДМ Дт _
Hv = Jim — Ti7 = P^- П X->o Дт AV
М'еДС
.. ДМ Дт _
Hv = Jim — Ti7 = P^- П X->o Дт AV
М'еДС
Далее полагаем, что внутренние объемные силы и моменты отсутствуют, поэтому будем учитывать только внешние силы и моменты. Отметим также, что введенные характеристики являются функциями точки и времени, т.е., например, F = F( М, t) = F^", t) = F(x*, t).
Определение 6.1.3. Пусть M' е ДП С П = 3G и Д5 - площадь поверхности ДП; А, = diam ДП; ДР и ДМ - результирующие сила и момент, действующие на ДП (точнее, на ДП - материальную поверхность (тело), образом которой в момент времени t является ДП).
Внешними поверхностными силой р и моментом /гп в точке М (или М 3 называются
I .. ДРI Г ^^ ГП1 сх
р = р - = hm —, Мп=Мпй = ™ • □(6.1.5)
х->о ASх->о AS
М'еДПМ'еДП
Для введения аналогичных внутренних характеристик с помощью предыдущего определения используют следующий подход.
Пусть М" - внутренняя точка области G. Проведем сечение G в точке М' произвольной гладкой поверхностью П (М* е П С G) с еди-
Рис. 6.1.1
ничным нормальным v вектором. При этом область G разбивается на две подобласти Gj и G^: G = G^ U G^ (рис. 6.1.1,а). Положим, что поверхность П], геометрически совпадающая с П, ориентирована как часть внешней поверхности dGi ЭП]ЭЛ/',аП2- аналогичная поверхность для G2 (рис. 6.1.1,б). Очевидно, П] и П2 - противоположно ориентированные. Соответствующие единичные векторы нормали ^ = = v и V2 в точке М' связаны между собой равенством vx = -р2.
Определение 6.1.4. Рассмотренный подход называется методом сечений. □
Теперь тела G] и G2, соответствующие областям G] и G2, можно рассматривать в качестве внешних по отношению друг к другу.
Определение 6.1.5. Пусть М' - внутренняя точка области G, П - гладкое сечение области G (М* е П С G) с единичным нормальным вектором V.
Тогда внешние по отношению к телу Gx поверхностные сила р* и момент /*v в точке М' на поверхности П = П] называются векторами напряжений и моментов напряжений (внутренними поверхностными силами и моментами) в точке М' на площадке с нормалью v (в направлении v). При этом соответствующие пределы полагаются существующими и независящими от вида поверхности П.
Векторы напряжений и моментов напряжений для граничных точек М' е ЭС задаются с помощью дополнительного предельного перехода изнутри области G. □
Отметим, что если р и дп в (6.1.5) - функции только точки М* G ЭС и времени t, то
pv =pv(M,*',O = pv(^,*',O = Pv(V,p,r), _..(6.1.6)
pv = ДУ(Л/,Р,Г) = ДУ(^',Р,Г) = А1У(х‘,Р,Г).
В соответствии с методом сечений и определением 6.1.5 можно также рассматривать векторы напряжений p~v и моментов напряжений prv на поверхности П2.
Теорема 6.1,2. Векторы pv, р* и p-v, p~v в одной и той же точке связаны между собой таким образом:
р^-р-^ Mv=-M v.(6.1.7)
Доказательство. В соответствии с определениями 6.1.3 и 6.1.5 имеем
pv = pvL= lim ^51, p“v = p“vl- = lim ^L, F ь,->о AS,x2^o AS2
М'еДП,М'еДП2'
(6.1.8)
v vl 1-АЛ^,2— v— vl1*АЛ^2|
M =#* «= I™ —, Д =M hm —.
I" x^o AS,x2^o AS2
М'еДП,ЛГеДП2
Здесь M' е АП, С П,; Л,, = diam АП,; АР,у и АМ у - результирующие силы и моменты, действующие на АП, со стороны тела Gj.
Используя аксиому 4 и полагая АП, = АП2, по третьему закону Ньютона получим АР,2 =-АР2, и АЛ/,2 =-ДЛ/2,. Подставляя эти соотношения в (6.18), придем к требуемым равенствам (6.1.7). □
Если все сказанное относительно внешних сил и плотности - обычные положения теоретической механики, укладывающиеся в аксиому 4, то определения и предположения, связанные с внутренними силами, фактически есть гипотезы МСС. Объединим их следующим образом.
Аксиома 5 (принцип напряжений Коши). В любой материальной точке М отсутствуют внутренние объемные силы и моменты. Для каждой точки М и для любого направления v существуют векторы напряжений pv и моментов напряжений pv, непрерывные по аргументам М' g G и v. □
Отметим, что Коши сформулировал это положение для частного случая pv = 0.
В § 5.2 была определена такая характеристика, как деформированное состояние, которое соответствует кинематике СС. Аналогичное
по важности понятие связано с распределением внутренних сил и моментов в СС.
Определение 6.1.6. Напряженным состоянием СС называется совокупность векторов напряжений р* и моментов напряжений р? в каждой точке М g G и для любого направления v.
Совокупность напряженного и деформированного состояний - напряженно-деформированное состояние (НДС) СС. □
Вернемся к внешним силам, они введены как распределенные. Математически это соответствует функциям с носителем, объем (площадь) которого отличен от нуля. Удобной абстракцией являются силы с носителями в точке М' с радиус-вектором г0 или на кривой Г (в природе их фактически не существует). В соответствии с этим используется третья классификация сил:
распределенные;
сосредоточенные.
Последние, как правило, требуют использования аппарата обобщенных функций, например
F = Fie'i, Fi = Fi0^r-r0HFi = F;0m,(6.1.9)
где 8(г) и 8(Г) - дельта-функция Дирака и функция Дирака, сосредоточенная на кривой Г; е- - базис в прямоугольной декартовой системе координат Оу1 у2)*3 (см. §5.1).
Далее будем использовать массу т всего тела G как аддитивную функцию области G (см. определение 6.1.2):
”1 =/рСу',г)4у,(6.1.10)
G
а также вводимые в соответствии с аксиомой 4 и определениями 6.1.1 и 6.1.3 результирующие силу R и момент М для тела G;
R = jpF(y‘,t)dy + ^pdS,
°dG■(6.1.11)
М = J р(д + [г, FY)dy + J J (p п + [г, р] )dS, GdG
где интегралы по G и dG соответственно тройные и поверхностные, а г- радиус-вектор относительно некоторой точки.
Уравнение неразрывности.
Несжимаемая среда
Прежде чем заниматься анализом напряженного состояния СС, приведем основные законы МСС. Первый из них формулируется в виде гипотезы, согласованной с известными опытными данными.
Введем следующие обозначения: Н - материальное тело, являющееся частью G (Н с G); Н = /7(0 и Но = /7(г0) - его геометрические образы в актуальном и начальном состояниях, определяемые законом движения (5.1.2) тела G.
Аксиома 6 (закон сохранения массы). Для любого тела Н C.G его масса m^t) остается неизменной во время движения. □
Математически этот закон может быть представлен в одной из двух форм:
mHtf)= Spdy = mH(t0) = J p0Jy, р0=р|,=, ;(6.2.1)
нh0-
dmH(t)l dt = 0, t > t0.(6.2.2)
Определение 6.2.1. Соотношения (6.2.1) и (6.2.2) называются первой и второй формами уравнения неразрывности. □
В (6.2.1) используется прямоугольная декартова система координат Ув R3. Обычно уравнение неразрывности преобразовывают в соответствии с двумя типами переменных, используемыми в МСС (см. §5.1).
Теорема 6.2.1 (интегральная форма уравнения неразрывности в переменных Лагранжа). В лагранжевых координатах £' уравнение неразрывности имеет вид
J Ро^^= I P4sd^(б-2-3)
где р0=р(^,/0), р = р(^',г), Н^*-£^-»Н.
Доказательство. Из (6.2.1), формул (5.4.6)-(5.4.8) и теоремы о замене переменных в кратных интегралах получим
J PoJod€ = J Po^d^= J pJxdg = J pjgdg, Jo = ^, Ji=^g.
“%hx hx
где якобианы Jx = Jx (^', t) и Jo = Jx (^', t0) определены формулами (5.4.6) и (5.4.8). □
В частности, равенство (6.2.3) справедливо для всего тела G:
J Po^d§ = J pjgdg.(6.2.4)
Для перехода к локальной форме докажем вспомогательное утверждение, которое неоднократно будет использовано в дальнейшем.
Лемма 6.2.1. Пусть тензорное поле Т(у*) е C(G) (Г(у‘) е С(П), П - поверхность) и для любой подобласти Н^ С G (для любой АП С П)
\Tdy = 0 |JjTdS = O.
н (дп >
Тогда Г(у) s 0 в G (на П).
Доказательство. Пусть сначала Т = ф(у') - скалярное поле (тензор нулевого ранга). Положим противное: существует такая точка М*(у1,У?.У.) g G, что Ф(у1) * 0. Для определенности примем, что ф(у*) > 0- Тогда по свойствам пределов существует такая окрестность U(M*)=H этой точки, что на множестве НПО функция ф сохраняет знак, т.е. для любых М(у', у2, у3) е Н Л G имеет место неравенство ф(у') > 0. Но по свойству кратных интегралов
J ф(у')4у>о,
НПО
что противоречит условию. Следовательно, ф(У) = 0 в G.
Справедливость утверждения для тензора произвольного ранга 5 > 1 вытекает из покомпонентного определения интеграла от тензора. Для поверхности П все рассуждения фактически повторяются. □
Применяя лемму 6.2.1 к равенствам (6.2.4) и (6.2.2) и учитывая регулярность отображения (5.1.5), придем к следующим утверждениям.
Следствие 6.2.1 (первая локальная форма уравнения неразрывности в переменных Лагранжа). Если р(^‘, г) С C(G^), то для каждой точки М g G и для любого t0 имеет место равенство
pV? = PoV?- п(6.2.5)
Следствие 6.2.2 (вторая локальная форма уравнения неразрывности в переменных Лагранжа). Если плотность р(^‘, t) дифференцируема по времени, то эквивалентом (6.2.5) является равенство
d(p-jg)dt = 0, t^t0. □(6.2.6)
Отметим, что уравнение (6.2.3) (или (6.2.4)) является более общим по сравнению с (6.2.5) (или (6.2.6)) в том смысле, что здесь достаточно только интегрируемости функции р(^', t) в области G^.
Учитывая результаты, полученные в § 5.7 (g = g), от (6.2.5) приходим к следующему утверждению.
Следствие 6.2.3. Для малых деформаций локальная форма уравнения неразрывности в переменных Лагранжа имеет вид
Р“Ро- □(6.2.7)
В переменных Эйлера (х*, t) уравнение (6.2.2) записывается так:
/ P(y'.04' = -j- / р(х',г)|7о(х')|гйг = О,(6.2.8)
” ни)“1 нх(п
где Нх < (511) > Н, a J0(x*) - якобиан этого отображения (см. (5.4.8)).
Для преобразования (6.2.8) необходимо вычислять производную по времени t (параметру) от интеграла, подынтегральная функция и об-
ласть интегрирования которого зависят от I. Подобные производные в механике называются материальными производными интеграла.
Теорема 6.2.2. Пусть заданы закон движения (5.1.6) (или поле скоростей (5.1.15)) тела G и тензорное поле Г(у', f) е С1 (G) при любом t>t0, причем 9G - кусочно-гладкая поверхность при t> 10.
Тогда для интеграла
Ф(0 = J T^^d5(6.2.9)
6(0
при любом t> to существует производная Ф\1\ которая имеет вид
(6.2.10)(6.2.10)х (dT,
(6.2.10)
(6.2.10)
Ф (0= J — + Tdivi/ dy. о \ dt J
Доказательство. Прежде всего напомним, что, как следует из теоремы 5.1.3, варианты задания закона движения и поля скоростей и(х‘, () эквивалентны. Используя отображение (5.1.5), сведем (6.2.9) к интегралу по независящей от времени области G^.
Ф(0= J TW^t»4WSk,f)dg.Ф(0= J TW^t»4WSk,f)dg.(6.2.11)(6.2.11)
Ф(0= J TW^t»4WSk,f)dg.
Ф(0= J TW^t»4WSk,f)dg.
(6.2.11)
(6.2.11)
Здесь Jt (^, t) - якобиан этого отображения. Поскольку у' - прямоугольная декартова система координат, то, учитывая (5.1.11), якобиан можно представить в виде смешанного произведения векторов э; актуального базиса:
(6.2.12)(6.2.12)А<М = (ЭХ,Э2,Э3') = (Эр^.Эз]).
(6.2.12)
(6.2.12)
Согласно условиям теоремы и правилу дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, получим (производные по времени обозначены также точкой)
Ф(0 = J 4№,rVi(^J)]^= ^jj+TJ^dg.(6.2.13)
G^ dt
(6.2.14)(6.2.14)(6.2.15)(6.2.15)Учитывая формулу дифференцирования смешанного произведения (определителя, составленного из координат векторов э, в базисе е’^, из (6.2.12) найдем
(6.2.14)
(6.2.14)
(6.2.15)
(6.2.15)
А = — (#|,»2»эз) = (Э1,Э2,Эз) + (Э],Э2,Эз) + (Э1,Э2,Эз). at
Но из (5.1.11) и (5.1.14) имеем
d f dr ) В (drA Bvdr^J^ldJ"^
Подставляя полученное разложение в (6.2.14), получим
Л = ^и \зрЭ2,э3) + V2u ^(э1,э^,э3) +V3v j(3l,32,3j) = S^J^o j +
+ 8j J^vv + 8y J]V3v • = J\^jV * = Jx divu.
Окончательно из (6.2.13) найдем
Ф(Г) = /(f + rdivu)/]^,
что с учетом теоремы о замене переменных совпадает с требуемым . утверждением (6.2.10). □
Затем, применяя теорему 6.2.2 к (6.2.8), придем к следующему утверждению.
Следствие 6.2.4 (первая интегральная форма уравнения неразрывности в переменных Эйлера). В эйлеровых координатах х* уравнение неразрывности имеет вид
(6.2.16)(6.2.16)J [ —+ pdivu |dy = J [ — + pdivu |J0(x')dr = 0. □ н V dt Vн A dt)
(6.2.16)
(6.2.16)
Следствие 6.2.5 (.вторая интегральная форма уравнения неразрывности в переменных Эйлера-). В эйлеровых координатах х* уравнение неразрывности может быть записано так:
"dp"dpJ ^ + div(pu) dy= J ^ + div(pu) Jo(xl)dx = O. HLOtJ ^ + div(pu) dy= J ^ + div(pu) Jo(xl)dx = O. HLOtя* Lя* Ldrdr(6.2.17)(6.2.17)
"dp
"dp
J ^ + div(pu) dy= J ^ + div(pu) Jo(xl)dx = O. HLOt
J ^ + div(pu) dy= J ^ + div(pu) Jo(xl)dx = O. HLOt
я* L
я* L
dr
dr
(6.2.17)
(6.2.17)
Доказательство. Преобразуем подынтегральные функции в (6.2.16). Принимая во внимание (5.1.20), найдем
dp Эр .. .
= .21+(у, grad р), at at
div(pv) = V/piT'^—yt^1 ^pV^1 = pdivv + (v,gradp). ox
Отсюда вытекает следующее равенство:
—+ pdivu =+ (w, grad p) + div(pw)-(w, grad р) = dtat
(6.2.18)(6.2.18)Эр
(6.2.18)
(6.2.18)
= —- + div(pv).
at
Подставляя его в (6.2.16), придем к требуемому результату (6.2.17). □
Очевидно, в (6.2.16) и (6.2.18) в частном случае можно положить Н = G,HX = Gx.
Применим лемму 6.2.1 к (6.2.16) и (6.2.17) и получим следующие утверждения.
Следствие 6.2.6 (локальные формы уравнения неразрывности в переменных Эйлера). Если р(х*, t), и(х*, I) 6 С^О), где D = {(х‘, t) I (х1, х2, х3) 6 Gx, t ^ to), то для каждой точки М 6 G и для любого t ^ t0 имеют место эквивалентные между собой равенства:
(6.2.20)(6.2.20)•^ + pdivu =0; (6.2.19)
(6.2.20)
(6.2.20)
+ div(pu ) = 0. □ ot
Замечание 6.2.1. Отметим, что для построения некоторых моделей СС приходится отказываться от аксиомы 6 (например, модели, учитывающей химические процессы). Для такого варианта уравнение (6.2.19) обобщается следующим образом:
(6.2.21)(6.2.21)</р..
(6.2.21)
(6.2.21)
-^- + pdivu = х,
где х - плотность скорости изменения массы тела.
Далее везде будем считать, что х = 0. □
С уравнением неразрывности тесно связана одна часто используемая идеализация модели сплошной среды.
Определение 6.2.2. СС называется несжимаемой, если для любого t ^ t0 и для любой области Н с G ее объем V( Н) не меняется. О
Следствие 6.2.7. Для того чтобы среда была несжимаемой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из эквивалентных между собой условий:
поле скоростей - соленоидальное:
divu =0 (х*,х2,х3)6Gx, t^t0;(6.2.22)
скорость изменения плотности равна нулю:
dp/dt з 0.(6.2.23)
Доказательство. Очевидно, эквивалентным требованием несжимаемости является равенство нулю скорости изменения объема V(H). Но в силу леммы 6.2.1 это соответствует нулевой скорости изменения объемного расширения: хи = 0 (см. § 5.11). А из (5.11.21) имеем х„ = div и , что и завершает доказательство условия (6.2.22).
Второе условие несжимаемости вытекает из (6.2.22) и уравнения (6.2.19). □
Пример 6.2.1. Записать уравнение неразрывности Эйлера в цилиндрической системе координат (г, ф, z).
Решение. Воспользуемся уравнением неразрывности вида (6.2.19). Для этого, учитывая, что g = г2 (см. упражнения 3.3.1 и 3.8.1),
найдем дивергенцию вектора и по формуле (3.8.4):
divu =V,u'=-L^7(u'VJ) = - -^-(rv^ + ^-Cru^ + ^-Cru3) .
d^r|_dr Эф dz _
Переходя к физическим компонентам вектора и (и1е = vr = и*, и2. = иф = н£, и3, = uz = и3; см. упражнение 3.9.1), окончательно получим
^ + рdt Р^ + рdt Р1 д(гиг) г dr1 д(гиг) г dr1ди- ди.|г Эф dz ,1ди- ди.|г Эф dz ,= 0. □= 0. □
^ + рdt Р
^ + рdt Р
1 д(гиг) г dr
1 д(гиг) г dr
1ди- ди.|
г Эф dz ,
1ди- ди.|
г Эф dz ,
= 0. □
= 0. □
Уравнения движения■
в интегральной форме
Согласно аксиоме 4 и равенствам (6.1.11) для любого материального тела HcG справедливы:
уравнение количества движения
^=jpFcfy+jjpdS;(6.3.1)
dt н дн
уравнение моментов количества движения
f р(/4 4-[r,F])dy ч-J J (/4П ч-[г,р])</5,(6.3.2)
ндн
где Q и L - количество движения и момент количества движения тела Н; F и р. - внешние массовые силы и моменты; р и fin - внешние поверхностные силы и моменты при Н = G, а если Н — внутренняя по отношению к G область, то р и р.п совпадают с векторами напряжений и моментов напряжений.
Вектор Q для материального тела Н определяется той же аксиомой 4:
Q=$pvdy.(6.3.3)
и
Как показывают опыты, в некоторых случаях (например, при взаимодействии тела G с электромагнитными полями) задание вектора L обычными формулами теоретической механики оказывается иедоста- точным. Поэтому положим следующее.
Аксиома 7. Для материального тела Н существует такой вектор pi), что момент количества движения L тела Н имеет вид
L = Jр(1) ч- [г,и ])ф. □(6.3.4)
н
Определение 6.3.1. Вектор ц по аналогии с (6.1.2) называется собственным массовым моментом количества движения (собственным моментом). □
Перед преобразованиями левых частей уравнений (6.3.1) и (6.3.2) докажем лемму, вытекающую из теоремы 6.2.2.
Лемма 6.3.1. Если выполняются условия теоремы 6.2.2 и уравнение неразрывности, то для тензорного поля Т справедливо равенство
4jpr^=jp?^-(б-3-5)
«G G ®
dtdt+ pTdivu dy =+ pTdivu dy =GGДоказательство вытекает из (6.2.10) и (6.2.19):
dt
dt
+ pTdivu dy =
+ pTdivu dy =
G
G
dT( dpf dT
p — + Г ~7- + pdivu dy= [p—- □dt v dt7 Jу dt
Теорема 6.3.1. (интегральная форма уравнений движения и моментов количества движения). Для любого материального тела Н сС справедливы следующие интегральные формы:
уравнений движения
j p(F - w)dy + JJpdS = 0;(6.3.6)
нан
уравнений моментов
Jpf#i-^ + [r,F-w])dy + JJ(p.n +Yr,p))dS = O.(63.1)
н v1 ан
Доказательство. Применяя к интегралам (6.3.3) и (6.3.4) лемму 6.3.1, с учетом определения (5.1.6) найдем
Jp-^F= Jpv^ JP7-(4 + [r,y])dy =
t f dii Г dr = [p —-+ — HAdt Ldtt f dii Г dr = [p —-+ — HAdt Ldtdu"Г' dt.du"Г' dt.dt II dt IIdt II dt
t f dii Г dr = [p —-+ — HAdt Ldt
t f dii Г dr = [p —-+ — HAdt Ldt
du"
Г' dt.
du"
Г' dt.
dy = jp—- + [u,u] + [r, w] dy = (6.3.8) и <dt)
= Jp -^ + tr.v] dy. н/
Подставляя далее (6.3.8) в (6.3.1) и (6.3.2), придем к уравнениям (6.3.6) и (6.3.7). □
Локальная форма уравнений движения будет получена и описана в
Здесь же рассмотрим условия, которым должны удовлетворять
внешниевнешниенагрузки F, д р| эс, Л1 п [^ > ускорениенагрузки F, д р| эс, Л1 п [^ > ускорениеw и внутренние моментыw и внутренние моменты
внешние
внешние
нагрузки F, д р| эс, Л1 п [^ > ускорение
нагрузки F, д р| эс, Л1 п [^ > ускорение
w и внутренние моменты
w и внутренние моменты
ту для выполнения аксиомы 5.
Теорема 6.3.2. Пусть pv и ду непрерывны на множестве G X х {vilu 1=1). Тогда для любой внутренней точки М sG выполняются
равенства
Jp(F-w)dy = O(X2), Jp|M-^ + [r,F-w] Wy = O(X2),X^0, (6.3.9) иiA dt'
где U = U(M) - окрестность точки Мф cG); X = diamt/.
Доказательство.В силу непрерывности pv существует такое Кр > 0, что |pv| Кр для любой М 6 G. Кроме того, площадь 5 границы dll области U можно представить так: 5 = аХ2. Тогда, применяя (6.3.6.) к области U, получим
Jp(F-v)dy = $pvdS< j|pv|dS<KpS = «KpX2,
UdUdU
что соответствует первому равенству в (6.3.9). Второе соотношение доказывается аналогично. □
Очевидно, соотношения (6.3.9) являются необходимыми ограничениями на F, д, w и ту. Достаточность этого условия рассматривается в § 6.4.
Приводимый далее пример указывает на существование векторных полей F, д, w и ту, удовлетворяющих условиям (6.3.9).
Пример 6.3.1. а) Пусть F, д, w и duldt ограничены в G. Тогда соотношения (6.3.9) удовлетворяются, поскольку
J p(F - w)dy < J |p(F - w)|dy < J p|F|dy + J p^ldy < ^KV = PKyX3, иии и
,,.(6.3.10)
К = KF + Kw, Р = supp, KF = sup|F|, Kw = sup|n'|, V = yX , GGG
где V - объем области U.
б) Тем более равенства (6.3.9) будут выполнены, если F, д, w, 'di^ldt 6 С (G). □
Теорема 6.3.3. Пусть F, д, w и dq/dt ограничены в G. Тогда на границе 3G области G справедливы равенства
(6.3.11)(6.3.11)PV|dG=P’ MV|dG=Mn.
(6.3.11)
(6.3.11)
где р и дп - внешние силы и моменты, приложенные к поверхности ЭС.
Доказательство. Пусть П - произвольная часть поверхности ЭС, и она задана параметрически:
П: г = ОЙ = г(ищ) еС2фии), (и.и )eDuv.
Единичный вектор внешней нормали к П в точке М обозначим р(и, и). Очевидно, существует такое £ > О, что поверхность
ПЕ : г = ОМЕ = rE(u,v) = r(u,v)-EP(u,v\ (u^eD^
лежит внутри G (рис. 6.3.1). Ее ориентация задается единичным вектором ре (и, и) в точке МЕ 6 ПЕ, составляющим с р(и, и) острый угол:
vE = N(u, v) l\N(u, и)|, N = [<„,г'„ ].
Построим такую замкнутую поверхность ЭЯ = ПиПЕ иП6, что дН - граница области Н cG, где ПЕ - противоположно ориентированная к ПЕ поверхность, а П6 определяется формулами (см. рис. 6.3.1)
Щ: г = ОМ=(0^2 Se),
Vd = Р^хХи (^)],
ЭП: г =rd(^1) = r[u(^1),u(^1)] (а<^<Р),
ЭПЕ: r = rdE(^1) = rE[n(^1),u(^1)] (а<^^₽).
Здесь ЭП и ЭПЕ - границы П и ПЕ, а Щ образована точками Мь, лежащими на отрезках, соединяющих точки М 6 ЭП и МЕ 6 ЭПЕ. Причем
ОМ =r6(^i,0) = rd(^) и ОМЕ = rb{^,E) = rdE{^). Следовательно, длина
такого отрезка l^V) =такого отрезка l^V) =ОМ- ОМ гОМ- ОМ г= еЫ = £.= еЫ = £.
такого отрезка l^V) =
такого отрезка l^V) =
ОМ- ОМ г
ОМ- ОМ г
= еЫ = £.
= еЫ = £.
Таким образом, при £ —> +0 справедливы следующие предельные переходы: гЕ(и,и) —» г(и,и), МЕ —» M,vE —» v, ив этом смысле ПЕ —» П. Кроме того, /(^) -» 0 и Sb -» 0 (Sb - площадь поверхности Щ), а также
V —> О, где V - объем области Н. Отсюда с учетом (6.1.7) и непрерывности pv получим
lim JJpdS = JJpdS - JJpvdS,
^^дН п п
JJpd$=JJpd$+ jJpvdS+ JJpv</5 = JJp</5- JJpvdS+ JJp^S, (6.3.12) ан п n; nt n ne nfc
lim JJpvJS = O, lim pvL =pv|
E->4dgfce->+01 E
Так какРи w ограничены в G, то из (6.3.10) имеем
lim f p(F - w)^ = 0.(6.3.13)
Применим уравнение (6.3.6) к области Н и перейдем к пределу при е -» +0, учитывая (6.3.12) и (6.3.13). В результате получим
J ^p-p^dS = 0. п
Отсюда, применяя лемму 6.2.1, приходим к первому равенству в (6.3.11), второе доказывается аналогично. □
Формула (6.3.11) позволяет использовать (6.3.6) и (6.3.7) также и для всего материального тела (Э// и ЭС), заменив при этом р на pv и рп на рУ.
Тензор напряжений Лагранжа
Из определения 6.1.5 и аксиомы 5 следует, что векторы напряжений pv и моментов напряжений pv являются функциями точки М’ и единичного вектора V. Оказывается, что уравнения движения (6.3.6) и моментов (6.3.7) позволяют установить вид их зависимости от и.
Теорема 6.4.1. Пусть F, w, ри dif/dt ограничены в G. Тогда для любой точки М* е G существуют такие векторы sk = s^M”) и х* = = x*(W), что для любого единичного вектора р = vt э* справедливы равенства
pv = skvk, pv = xkvk,(6.4.1.)
т.е. pv и рУ - линейные функции координат vk.
Доказательство. Рассмотрим произвольную внутреннюю относительно G точку Ml как образ в актуальном состоянии материальной точки М* с лагранжевыми координатами ^i. Зафиксируем направление с помощью произвольного единичного вектора v. Пост-
Рис. 6.4.1Рис. 6.4.1
Рис. 6.4.1
Рис. 6.4.1
роим тетраэдр Н cG с вершиной в точке М», ограниченный по
верхностью дН = П[ иП2 иП3 иП„, где Пу - плоскость с нормальным вектором v; П*:^* = ^ - координатные поверхности, а Щ - противоположно ориентированные к ним поверхности (рис. 6.4.1). Обозначим также X = diam//.
С помощью закона движения (5.1.5) каждую поверхность П4 можно
задать параметрически: Щ:г = г(^')задать параметрически: Щ:г = г(^')Отсюда с учетом (5.1.11) иОтсюда с учетом (5.1.11) и
задать параметрически: Щ:г = г(^')
задать параметрически: Щ:г = г(^')
Отсюда с учетом (5.1.11) и
Отсюда с учетом (5.1.11) и
вытекает, что единичные нормальные векторы л* к этим поверхностям сонаправлены с ковариантными базисными векторами ^:
(6.4.2)
„3 _ .3 / /„33 „2 _ 2 , /„22CiT
Л =Э Isjg , Л = Э l^g , Л =Э iljg .
Геометрический смысл этого вывода состоит в том, что при малых X, например, П3 близка к плоскости, натянутой на векторы Э] и э2.
Применим уравнение (6.3.6) к области Н с учетом равенств (6.1.7):
2.
(6.4.3)(6.4.3)J p(F - нОф + JJpvdS - I JJpkdS = 0, Hnv t=mt
(6.4.3)
(6.4.3)
гдер*= pv|nt.
Для любого векторного поля а(.М”) е С(П) справедливо равенство lim а = а(М^, где d = diamn, Мё еП. То есть для любого е > 0 су- d-»0
ществует такое 3(e) > 0, что при d < 3 выполняется неравенство |а -а(Л/*)| < £, Тогда, обозначая через 5 площадь поверхости П, получим
JJ(a-a(K))dS < JJ|a-a(M^S5eS. пп
Отсюда имеем (5 = ad2)
JJ(a-a(AOdS = 0(d3),(6.4.4)
п
JJadS = JJa^M'^dS + O(d3) = a^M^S + O(d3), d -> 0. n n
Обозначим через Sv и Sk площади поверхностей nv и П4. Тогда, учитывая, что diamWv, diamnt < X, для поверхностных интегралов в (6.4.3) найдем (а = 1, 2, 3)
JJpvdS = pvSv+O(X3), JJp“dS = p“5a+O(X3), Х->0.(6.4.5)
nvпа
„V —_а — _а|
Р = Р ,Р = Р ■ 1м;еПу1м:еПа
Кроме того, из (6.3.10) имеем (см. (5.7.6))
Jp(F-w)dy = O(X3), Х->0.(6.4.6)
н
Соотношения (6.4.5) и (6.4.6) позволяют представить уравнение (6.4.3) в виде
pv5v-/5t+O(X3) = 0, Х->0.(6.4.7)
Установим связь между Sv и Sk с помощью следствия 3.8.1 и формулы (6.4.4):
0 = ^vdS = JJ vdS- f JJn*d5= vSv-nkSk + O(X3), X->0, dH Hv t = lnt
где ^=п^,.
Координатный эквивалент этого равенства имеет вид
Sa = vaV^“Sv + О(Х3), X -> 0.(6.4.8)
Обозначая
„а — „а /„аа
s =Р ,(6.4.9)
подставляя (6.4.8) в (6.4.7) и выполняя предельный переход при X —> 0, придем к первому из искомых равенств в (6.4.1).
Аналогично из уравнения (6.3.7) в пределе получим
ДУ = [r,pv] = Е (д* + [г.р*])vtV^.
Учитывая (6.4.9) и первое равенство в (6.4.1), а также вводя обозначение
x“=/i“V^“,, '(6.4.10)
окончательно приходим к формуле (6.4.1).
Соответствующие результаты для граничных точек М* е 3G следуют из дополнительного предельного перехода изнутри области G (см. § 6.1). □
Теорема 6.4.1 позволяет конкретизировать задачу нахождения напряженного состояния (определение см. в § 6.1).
Теорема 6.4.2. Для любого тела G существуют такие поля тензоров второго ранга
S = s'^Sj, К = х^1 э.Зр(6.4.11)
что sij, «У е C(G), и для любого направления и векторы напряжений pv и моментов напряжений jnv однозначно определяются этими тензорами и вектором и:
pv = х'^Эр цч = x'^idj.(6.4.12)
Доказательство. Разложим векторы s' и х' в (6.4.9) и (6.4.10) по ковариантному базису э,:
sl=sij3j, x*=x‘i3j.(6.4.13)
Очевидно, двухиндексные массивы s‘i и хУ не зависят от вектора V. Подставляя (6.4.13) в (6.4.1), получим равенства (6.4.12).
Найдем скалярные произведения:
ov = (v,pv) = ViS^Vj, (v, д'-) = v^v^(6.4.14)
Они представляют собой, с одной стороны, скаляры, а с другой - двойные свертки массивов $У и хУ с произвольным вектором v. Следовательно, по тензорному признаку (см. теорему 1.5.5) $У и хУ - контра- вариантные компоненты тензоров S и К второго ранга.
Определение 6.4.1. S и К называются тензорами напряжений и моментов напряжений Лагранжа. □
Это название связано с тем, что при определении S и К фактически
использованы переменные Лагранжа и соответствующий базис. Другие тензоры напряжений будут рассмотрены в § 6.5.
Из теоремы 6.4.2 и определения 6.1.6 очевидным образом вытекает следующее утверждение.
Следствие 6.4.1. Для определения напряженного состояния в точке необходимо и достаточно задание девяти компонент тензора S и стольких же компонент тензора К. □
Об уменьшении числа этих величин для многих моделей СС будет сказано в § 6.6.
Далее заметим, что введенный в (6.4.14) скаляр Gv является проекцией вектора напряжений pv на направление v (нормаль к площадке), при этом pv можно представить в виде
pv = <rv + ^, av = ovv, tv = |^| = л/^7чо\У.(6.4.15)
Определение 6.4.2. Векторы <rv и tv называются нормальной и касательной составляющими вектора напряжений pv, a ov и tv - нормальным и касательным напряжениями на площадке П с нормалью v (рис. 6.4.2). □
Рис. 6.4.2Рис. 6.4.2
Рис. 6.4.2
Рис. 6.4.2
(6.4.16)(6.4.16)Может возникнуть вопрос: нельзя ли ввести тензоры S и К не по формуле (6.4.13), а непосредственно раскладывая по базису эу векторы р* и И-*- .
(6.4.16)
(6.4.16)
Р* = Риэ? Р' =P‘J3j.
Ответ отрицательный, так как из (6.4.9), (6.4.13) и (6.4.16) следует,что „оуоу /„аа „оу _,.оу /„аа
и из-за дополнительного множителя массивы pv и цу не являются компонентами тензора (не выполняется закон преобразования при переходе к новым координатам).
В общем случае актуальный базис не ортогональный. Поэтому иногда используют специальное определение физических компонент тензоров S и К. Например, для тензора S под таковым (обозначение s*p) понимают координаты вектора р“ в нормированном базисе, соответствующем э(. С учетом (6.4.9) и (6.4.13) найдем (ср. с (5.7.12))
* ар #№.4оф 1 аа "* ар #№.4оф 1 аа "(6.4.17)(6.4.17)
* ар #№.
4оф 1 аа "
* ар #№.
4оф 1 аа "
(6.4.17)
(6.4.17)
Непосредственная проверка показывает, что если формально положить, что базис э, ортогональный, то формула (6.4.17) совпадет с (3.9.8).
Пример 6.4.1. Дан тензор напряжений $У и метрический тензор gy.
'6 4 Г
Д 0 О'
(^) =
4 6 1
. tey) =
0 4 0
J 1 °,
<0 0 9v
Найти вектор напряжений на площадке р = 1/714(3] -э2+э3), нормальную и касательную составляющие р''.
Решение. Для вектора pv согласно (6.4.12) в матричном виде будем иметь
pv =slJvi3j =suvkgik3j = р^', pT =nT(gikXsu')3,(6.4.18)
x 3z — — \T z 123 xT n - (V , V ,V ) , 3 - (Э^Эз.Эз) , p —{p ,p ,p ) .
о 0Y64 0 40 9JUо 0Y64 0 40 9JU461461+11з2 + Зз3).+11з2 + Зз3).Тогда с учетом условий задачи получим
о 0Y6
4 0 4
0 9JU
о 0Y6
4 0 4
0 9JU
4
6
1
4
6
1
+11з2 + Зз3).
+11з2 + Зз3).
р pT=-;L(l,-l,l) О
О
Нормальное напряжение Gv в соответствии с (6.4.14) также представим в матричном виде:
Gv = v^Vj = vkgiks,JgjlV = nT(^)(sy)(gjZ)n.(6.4.19)
Отсюда найдем
р О 0Y6 =-4=(1,-1,1) 0 4 0 4 714
(о 0 9д!
Тогда для касательного напряжения Tv согласно (6.4.15) получим
оу гО 11оу гО 112837 ’2837 ’
оу г
О 11
оу г
О 11
283
7 ’
283
7 ’
Другие тензоры напряжений
Прежде всего заметим, что использование лагранжевых координат ^' и соответственно базиса э,- для определения тензора напряжений не является обязательным. Принципиально возможно рассмотрение соответствующего тетраэдра (см. рис. 6.4.1) с вершиной в точке М* в произвольной криволинейной системе координат £'. Тогда в формуле (6.4.11) появятся s,lJ- компоненты того же тензора напряжений в том же касательном пространстве в точке М* в соответствующем базисе. Они, очевидно, связаны с sij обычными формулами преобразования компонент тензора. Поскольку в МСС используют две системы переменных (см. § 5.1), имеет смысл рассматривать наряду с $У компоненты o‘j тензора S в эйлеровой системе координат:
S = Oijeiej, oij =o‘4xk,t\(6.5.1)
Определение 6.5.1. Компоненты s'j и oij тензора напряжений S называются соответственно его лагранжевыми и эйлеровыми компонентами. □
Учитывая материал предыдущего параграфа, получим следующие результаты для эйлеровых компонент тензора напряжений.
Следствие 6.5.1. а) Компоненты 5 у и G'j связаны между собой таким образом:
s^gM?/, d^s^kPb(6.5.2)
где Р = (р') и 0 = (д') - матрицы перехода в (5.1.8) и (5.2.18).
Для вектора напряжений pv справедливы формулы, аналогичные (6.4.1), (6.4.12) и (6.4.13):
Р = ° Nmen=CT Vm> " = ° сп> У=Чте •(6-5.3)
Для вектора напряжений ра на координатной площадке в эйлеровых координатах имеет место равенство
a =G еп=р ,(6.5.4)
соответствующее (6.4.11).
Доказательство. Формула (6.5.2) следует из правил преобразования компонент тензора второго ранга (см. теорему 1.4.2)
Соотношения (6.5.3) вытекают из следующей цепочки равенств:
Р —S Vpj —С Qk^l^mPi Pj^n ^ ®к®$^т®п—^ ^т®п—СТ ^т*
Для обоснования (6.5.4) достаточно положить в (6.5.3) v = = е“/^.П
Установим механический смысл компонент тензора S. Для этого аналогично (6.4.15) представим вектор р“ в виде суммы нормальной wa и касательной та составляющих (определение 6.4.2; рис. 6.5.1):
(6.5.5)(6.5.5)р“ = <га + та, <та = аоеа /VF“, o-a = пр<а р“ =
(6.5.5)
(6.5.5)
Рис. 6.5.1Далее вектор та разложим по базисным векторам ер и е7 (а * Р * * у), являющимся направляющими для плоскости, касательной к соответствующей координатной поверхности:Рис. 6.5.1Далее вектор та разложим по базисным векторам ер и е7 (а * Р * * у), являющимся направляющими для плоскости, касательной к соответствующей координатной поверхности:_аа“Р ° gaP-аа_аа“Р ° gaP-аа"" тар + ^ау* тар ~ т"" тар + ^ау* тар ~ т(6.5.6)(6.5.6)
Рис. 6.5.1
Далее вектор та разложим по базисным векторам ер и е7 (а * Р * * у), являющимся направляющими для плоскости, касательной к соответствующей координатной поверхности:
Рис. 6.5.1
Далее вектор та разложим по базисным векторам ер и е7 (а * Р * * у), являющимся направляющими для плоскости, касательной к соответствующей координатной поверхности:
_аа
“Р ° gaP
-аа
_аа
“Р ° gaP
-аа
"" тар + ^ау* тар ~ т
"" тар + ^ау* тар ~ т
(6.5.6)
(6.5.6)
Определение 6.5.2. Координаты тар и тау вектора та в единичном базисе, соответствующем вр, е.( называются касательными напряжениями на соответствующей координатной площадке. □
Из (6.5.5) и (6.5.6) вытекает следующее утверждение.
Следствие 6.5.2 (механический смысл компонент тензора напряжений). Компоненты о”“ и о"Р (а * Р) тензора напряжений S характеризуют соответственно нормальные и касательные напряжения на координатной площадке с нормалью е“.
Причем аа = 0, только если аа“ = 0. И при 6““ = 0 напряжения тар = 0 только в случае о°Р = 0. □
Очевидно, совершенно аналогичные выводы можно сделать в актуальном пространстве с использованием компонент s*j и вектора р®.
Отметим, что для су по формуле (6.4.17) также можно ввести физические компоненты, поступая с аналогично вектору р":
^р^^^Й^»'(6-57)
Однако в общем они не совпадают с оа и тар. Если же система координат х' является ортогональной (или прямоугольной декартовой), то из (6.5.5)-(6.5.7) получим
Ga — О Н^ — О^дССц — СУ ),
М = ^НаН» = % ^«Р = °“Р)’^ ^'^
где На - параметры Ламе.
Все сказанное почти дословно можно повторить для тензора моментов напряжений К. Таким образом, использование эйлеровых координат не приводит к новым тензорам напряжений и моментов. Однако иногда удобно все же использовать другие тензоры. Остановимся только на одном возможном подходе, причем ограничимся лишь тензором напряжений.■
С учетом регулярности закона движения (5.1.5) и отображения (5.1.1) (см. также (5.1.7)) можно рассмотреть прообразы в начальный момент t = t0 геометрических величин (введенных в § 6.4): тетраэдр Hi соответствует Н (Ht <-> Н), его граница ЭН» = = n»v иП»! иП»2 иП,3 <-> дН, П*у <-> Пу, П»4 <-> П*, точка М* <-> <-> М. Отметим, что поверхность П«у с единичным нормальным вектором v в общем не является плоскостью. Обозначим также площади поверхностей П*у и П.{ через S»v и S^ и положим X» = diam/7*.
Определение 6.5.3. Вектор р*, задаваемый соотношениями
lim JJ p*dS=lim jjpvdS,(6.5.9)
z,^°n.v z^°nv
называется вектором условных напряжений в материальной точке М* (точке Mt). □
Теорема 6.5.1. Вектор условных напряжений связан с вектором s' в (6.4.9) так:
pv=ir'v,-, it' =s'^g/g.(6.5.10)
Доказательство.В силу регулярности отображенияН» <-> <-> Н диаметр X. —> О тогда, и только тогда, когда X —> 0. Используя (6.4.4) и (6.4.1), из (6.5.9) получим
pZS*v + О(Х3) = pvSv + О(Х3) = skvkSv +О(Х3), X-> 0,
(6.5.11)
р* = ^L. ’ pV = pVL;"'
Связь площадей SvHSt определяется формулой (6.4.10). Аналогичные рассуждения (необходимо только учесть переменность р,) приводят к подобному результату для S,v и Sti :
v*aS*v = S,a / 7F“ + O(X3), X. -> 0, v*a = v*a lw<, v. = v*,e'. (6.5.12)
Установим связь между St и S,k Например, при к = 3 имеем
S3 = jjdS, S.3=jjdS. п3 п3.
Для сведения этих интегралов к двойным запишем параметрические представления П3 и П*3, вытекающие из закона движения (5.1.5):
П3: г=г(^Л2Л*.О; П.3:г = г(^Л2Л3,^0), (^Л2)бО3.
Тогда с использованием "теоремы о среднем" S3 и S,3 представим в виде (Sy - площадь области D3)
s3 = JJiA31^Ч2 = ПТЛ^Ч2 =7РНч1 sD,
°зРз^2=|2
$»з = "js^S Ь Ц1 SD,
5М2
Отсюда получим (|* -> £*Д2 -* ^ при X -> 0)
lim — = г х->о S, g33glim — = г х->о S, g33g33=V=ti u 833=V=ti u 8
lim — = г х->о S, g33g
lim — = г х->о S, g33g
33
=
V=ti u 8
33
=
V=ti u 8
Следовательно, для любого а = 1, 2, 3 можно записать
=+^^°-(65лз)
.a V 8 8
Отметим, что этот результат полностью соответствует формуле (5.3.12), полученной приближенно.
Теперь из (6.4.8), (6.5.12) и (6.5.13) можно найти
^ = vafi + O(k), Х^О.(6.5.14)
S»v N8
Разделив равенство (6.5.11) на S*v = О(Х2) при X ч 0 и выполнив предельный переход с учетом (6.5.14), придем к искомой связи (6.5.10). □
Далее разложим введенные векторы д' по начальному базису ej (ср. с (6.4.13)):
ir* =яуер(6.5.15)
Тогда, фактически повторяя рассуждения из § 6.4, придем к следующим результатам.
Следствие 6.5.3. а) Вектор р* является линейной однородной функцией координат v„ .
) Векторы и* и массив it*i не зависят от у*.
) Величины лу - контравариантные компоненты в начальном базисе тензора второго ранга П, определенного в касательном пространстве в точке М,:
П = 1^е^р □(6.5.16)
Определение 6.5.4. Тензор П называется тензором напряжений Пиолах. □
Следствие 6.5.4. Компоненты тензоров Лагранжа и Пиола связаны между собой таким образом:
л" =sikpJk^[ifl.(6.5.17)
Доказательство вытекает из следующих равенств, полученных с помощью (6.4.13), (6.5.10), (6.5.15) и формулы (5.1.11):
Совокупность формул (5.7.17), (5.7.20), (6.5.2) и (6.5.17) приводит к такому выводу..
Пиола (Piola G., 1790-1850) - итальянский математик и механик.
Следствие 6.5.5. В случае малых деформаций компоненты $У и <$У тензора S совпадают между собой и с компонентами тензора Пиола:
(6.5.18)(6.5.18)sij = oij + 0(8) = oij, nij = sy + 0(8) = х'Л □
(6.5.18)
(6.5.18)
Дифференциальные уравнения движения.Симметрия тензора напряжений
Введенные в § 6.4 тензоры S и К позволяют преобразовать интегральную форму уравнений движения (6.3.6) и моментов (6.3.7).
(6.6.1)(6.6.1)Теорема 6.6.1 (вторая интегральная форма уравнений движения и моментов количества движения). Для любого материального тела Н clG имеют место следующие соотношения:
(6.6.1)
(6.6.1)
j[p(F-M-) + divSyy = O; н
(6.6.2)
где д = "д^э- = E^Syaj.
Доказательство. Вспомним, что согласно (6.3.11) р = pv, дп = д v, и применим к поверхностным интегралам огр и дп в (6.3.6) и (6.3.7) формулу (3.8.19) с учетом (6.4.12):
jjpds = jjpvds = Л *4* .as=jj (p.s)ds=
ан ан ан
(6.6.3)(6.6.3)= j (Г, S)dy = j div Sdy,
(6.6.3)
(6.6.3)
дн ндн нjjpindS = jjpivdS = JdivKdy, divS = V^dj = V^'ja-i.
дн н
дн н
Подстановка первого из этих интегралов в (6.3.6) приводит к уравнению (6.6.1).
Для интеграла в (6.3.7) от векторного произведения получим
Л[г,р]Д5 = Л(г,рУ№ = JjEr.sVy.^lc/S = Л viEjkt(r)ks,jajdS =
(6.6.4)(6.6.4)= Л (^ C)dS = J divCdy, С = сУэ^, cij = e'w (r)k s'j,
(6.6.4)
(6.6.4)
где (r)k - ковариантная координата в базисе ak радиус-вектора г, параллельно перемещенного в соответствующую точку М*; С - псевдотензор второго ранга.
Учитывая, что компоненты псевдотензора Леви-Чивита при ковариантном дифференцировании ведут себя как постоянные, div С пред-
А.Г. Горшков и др.165
ставим так:
divC = V^Sj = EjUb‘iVi(r)t + (r)t 4;$^.
Для производной от (r)b принимая во внимание (5.1.11), получим
dr¥dr¥= 3i = Sik3* = ^(г^э*, V,(r)t = g^.= 3i = Sik3* = ^(г^э*, V,(r)t = g^.(6.6.5)(6.6.5)Последнее равенство и представление divS в (6.6.3) позволяют записать divC в следующем виде:Последнее равенство и представление divS в (6.6.3) позволяют записать divC в следующем виде:div С = Е‘и$'/^Эу + e^w(r)t(div S); 3j = & + [г, div S], О = dj3j = E^Sy3j.div С = Е‘и$'/^Эу + e^w(r)t(div S); 3j = & + [г, div S], О = dj3j = E^Sy3j.(6.6.6)(6.6.6)Здесь О — осевой вектор, который с учетом свойств Уы соответствует кососимметричному тензору s^, полученному из s^ альтернированием (ср. с (5.5.11) и (5.10.12)):Здесь О — осевой вектор, который с учетом свойств Уы соответствует кососимметричному тензору s^, полученному из s^ альтернированием (ср. с (5.5.11) и (5.10.12)):1212 з 21? =—r=-S[23]г=($23 ~$32)* ^Г'^З!]* ^ = —F^Ur(6.6.7)1212 з 21? =—r=-S[23]г=($23 ~$32)* ^Г'^З!]* ^ = —F^Ur(6.6.7)Подставляя (6.6.5) в (6.6.4), найдемJj[r,pv]dS = J(O+[r,divS)M.y, аннПодставляя (6.6.5) в (6.6.4), найдемJj[r,pv]dS = J(O+[r,divS)M.y, анн(6.6.8)(6.6.8)что приводит уравнение (6.3.7) к требуемому (6.6.2). □Следствие 6.6.1. (дифференциальные (локальные') уравнения движения и моментов). Если подынтегральные функции в (6.6.1) и (6.6.2) непрерывные в G х {t э= г0}, то для каждой точки М' е G и для любого t ^ t0 имеют место следующие соотношения:что приводит уравнение (6.3.7) к требуемому (6.6.2). □Следствие 6.6.1. (дифференциальные (локальные') уравнения движения и моментов). Если подынтегральные функции в (6.6.1) и (6.6.2) непрерывные в G х {t э= г0}, то для каждой точки М' е G и для любого t ^ t0 имеют место следующие соотношения:pw = divS + pF;p-^- = divF + p^ + d. dtpw = divS + pF;p-^- = divF + p^ + d. dt(6.6.9)(6.6.10)(6.6.9)(6.6.10)Доказательство. Уравнение (6.6.9) получается непосредственно после применения леммы 6.2.1 к (6.6.1).Аналогичная процедура для (6.6.2) приводит к равенствуДоказательство. Уравнение (6.6.9) получается непосредственно после применения леммы 6.2.1 к (6.6.1).Аналогичная процедура для (6.6.2) приводит к равенствур—7- = divF + рд + d + [r,p(F — w) + divS], dtр—7- = divF + рд + d + [r,p(F — w) + divS], dt(6.6.11)(6.6.11)которое с учетом (6.6.8) дает уравнение (6.6.10). □Замечание 6.6.1. Далее в дополнение к аксиоме 5 (см. §6.1) будем полагать, что собственные моменты i), внутренние массовые д и поверхностные ду моменты отсутствуют:i) = 0, р=0, ц^нО (К = 0).которое с учетом (6.6.8) дает уравнение (6.6.10). □Замечание 6.6.1. Далее в дополнение к аксиоме 5 (см. §6.1) будем полагать, что собственные моменты i), внутренние массовые д и поверхностные ду моменты отсутствуют:i) = 0, р=0, ц^нО (К = 0).(6.6.12)(6.6.12)
dr
¥
dr
¥
= 3i = Sik3* = ^(г^э*, V,(r)t = g^.
= 3i = Sik3* = ^(г^э*, V,(r)t = g^.
(6.6.5)
(6.6.5)
Последнее равенство и представление divS в (6.6.3) позволяют записать divC в следующем виде:
Последнее равенство и представление divS в (6.6.3) позволяют записать divC в следующем виде:
div С = Е‘и$'/^Эу + e^w(r)t(div S); 3j = & + [г, div S], О = dj3j = E^Sy3j.
div С = Е‘и$'/^Эу + e^w(r)t(div S); 3j = & + [г, div S], О = dj3j = E^Sy3j.
(6.6.6)
(6.6.6)
Здесь О — осевой вектор, который с учетом свойств Уы соответствует кососимметричному тензору s^, полученному из s^ альтернированием (ср. с (5.5.11) и (5.10.12)):
Здесь О — осевой вектор, который с учетом свойств Уы соответствует кососимметричному тензору s^, полученному из s^ альтернированием (ср. с (5.5.11) и (5.10.12)):
1212 з 2
1? =—r=-S[23]г=($23 ~$32)* ^Г'^З!]* ^ = —F^Ur(6.6.7)
1212 з 2
1? =—r=-S[23]г=($23 ~$32)* ^Г'^З!]* ^ = —F^Ur(6.6.7)
Подставляя (6.6.5) в (6.6.4), найдем
Jj[r,pv]dS = J(O+[r,divS)M.y, анн
Подставляя (6.6.5) в (6.6.4), найдем
Jj[r,pv]dS = J(O+[r,divS)M.y, анн
(6.6.8)
(6.6.8)
что приводит уравнение (6.3.7) к требуемому (6.6.2). □
Следствие 6.6.1. (дифференциальные (локальные') уравнения движения и моментов). Если подынтегральные функции в (6.6.1) и (6.6.2) непрерывные в G х {t э= г0}, то для каждой точки М' е G и для любого t ^ t0 имеют место следующие соотношения:
что приводит уравнение (6.3.7) к требуемому (6.6.2). □
Следствие 6.6.1. (дифференциальные (локальные') уравнения движения и моментов). Если подынтегральные функции в (6.6.1) и (6.6.2) непрерывные в G х {t э= г0}, то для каждой точки М' е G и для любого t ^ t0 имеют место следующие соотношения:
pw = divS + pF;
p-^- = divF + p^ + d. dt
pw = divS + pF;
p-^- = divF + p^ + d. dt
(6.6.9)
(6.6.10)
(6.6.9)
(6.6.10)
Доказательство. Уравнение (6.6.9) получается непосредственно после применения леммы 6.2.1 к (6.6.1).
Аналогичная процедура для (6.6.2) приводит к равенству
Доказательство. Уравнение (6.6.9) получается непосредственно после применения леммы 6.2.1 к (6.6.1).
Аналогичная процедура для (6.6.2) приводит к равенству
р—7- = divF + рд + d + [r,p(F — w) + divS], dt
р—7- = divF + рд + d + [r,p(F — w) + divS], dt
(6.6.11)
(6.6.11)
которое с учетом (6.6.8) дает уравнение (6.6.10). □
Замечание 6.6.1. Далее в дополнение к аксиоме 5 (см. §6.1) будем полагать, что собственные моменты i), внутренние массовые д и поверхностные ду моменты отсутствуют:
i) = 0, р=0, ц^нО (К = 0).
которое с учетом (6.6.8) дает уравнение (6.6.10). □
Замечание 6.6.1. Далее в дополнение к аксиоме 5 (см. §6.1) будем полагать, что собственные моменты i), внутренние массовые д и поверхностные ду моменты отсутствуют:
i) = 0, р=0, ц^нО (К = 0).
(6.6.12)
(6.6.12)
Эта гипотеза сводит уравнение (6.6.10) к равенству
» = 0. □(6.6.13)
Оно указывает на то, что в этом случае нетривиальным является только уравнение движения (6.6.1), и, кроме того, с учетом (6.6.5) приводит к следующему утверждению.
Следствие 6.6.2. Тензор напряжений S симметричен:
5,) =5;,. □(6.6.14)
Рассмотрим различные координатные формы записи векторного уравнения движения (6.6.1).
Лагранжевы переменные, компоненты векторов и тензоров - в актуальном базисе;
pw' = V js'1 + pF',
w^w^A sij = $Ч^А (№,?)£%<(6.6.15)
W = W1»^ F = Р*Э;.
Несмотря на простоту записи уравнений (6.6.15), их использование осложнено тем, что базис э, зависит от времени. Кроме того, как следует из (5.1.14) и (6.2.15), связи координат векторов ускорения, скорости н перемещения нелинейны (ср. с конвективной производной (5.1.20)):
i du d, i _ du1 i da, и = u э, = — = —(и эЛ =э, + и —-
dt dt ' dt 1 dt
(6.6.16)(6.6.16)du1i du1 ., x
(6.6.16)
(6.6.16)
=Э; + uviu J3j =3, + (u,gradv),
dt1 dt
и1=иЧ^Л)= — + и^.и1, и^иЧ^А — dt 1dt 1
Лагранжевы переменные, компоненты - в начальном базисе: pw' = VjGy + pF",
(6.6.17)
w' = w'^A <$U ^t^H^A w = w‘ej, F=F‘e,, (^',^2,^3)gG^.
Здесь компоненты тензоров и векторов с учетом неподвижности начальной системы координат, формул (5.1.14), (6.5.2) и закона движения
(5.1.6) вычисляются таким образом:
сЧ^п=оЧхЧ^пл^зтч1ел)р^^^
(6.6.18)(6.6.18)du ddu1
(6.6.18)
(6.6.18)
‘ dt dtvdt '
u =u & Л) = — = —, и*=иЧ^А w*= — = T. dt dtdt dt
Нелинейность уравнений (6.6.17) скрыта в операторе Vj ковариантного дифференцирования в начальной системе ^:
dxJ
~^\0+f<(x4\0)a*+^^ OS~^\0+f<(x4\0)a*+^^ OS(6.6.19)(6.6.19)
~^\0+f<(x4\0)a*+^^ OS
~^\0+f<(x4\0)a*+^^ OS
(6.6.19)
(6.6.19)
При этом необходимо определение закона движения (5.1.6).
Эйлеровы переменные, компоненты - в начальном базисе. Вид уравнений (6.6.17) в этом варианте сохраняется, однако изменяются аргументы:
pw' = ^jG1’ + pF', w* = w\xk,t), aij =ai\xk,t'), (x1,x2,x3)eGr
(6.6.20)
Трудности использования уравнений (6.6.20) связаны с изменением во времени области Gx, а также с нелинейной зависимостью координат w', и* и и', которая следует из (5.1.20):
w‘ = ~^~+vkVju‘, и1 =и\хк,г^ = ^--\-и^jU*, й‘=й\хклУ (6.6.21)
(6.6.22)(6.6.22)Наиболее простой вид уравнения (6.6.20) приобретают в прямоугольной декартовой системе координат хЛ
(6.6.22)
(6.6.22)
pw = —^ + pF . Эх
Малые пеформапии. В этом случае (lid 11= 8^1, см. (5.7.5)) обычно дополнительно предполагают малость во всем теле G вектора скорости (и = 0(8), 8 -» 0) и малость его изменений по пространственной координате (dv = V^e'e1 = grad и = 0(8), 8 -э 0; см. 5.10.10). Тогда в (6.6.21) слагаемые порядка 82 можно опустить, и уравнения движения с учетом (6.2.7) преобразуются к виду (приближенные равенства заменены точными; точками обозначены частные производные по времени)
(6.6.23)(6.6.23)pou' =VvoV+p0F‘.
(6.6.23)
(6.6.23)
Напомним, что в этом случае согласно (5.7.20) лагранжевы и эйлеровы координаты совпадают.
Пример 6.6.1. Выписать уравнения движения в эйлеровых переменных в полярной системе координат (г, ф) относительно компонент вектора скорости (Г21 = Г12 = 1/г, Г22 = -г, g = г2; см. пример 6.2.1).
Решение. Воспользуемся соотношением (6.6.20). Для этого, используя (3.8.5), найдем divS = V^е,, где (см. определение 3.4.5 и формулу (3.8.4))
V <5и = 4= -^—^ + г' а"ч,
J 41 ^ Jm
V ob^A^LZl+r! amiJ r d^ ,mV ob^A^LZl+r! amiJ r d^ ,m1 Гd(rCTH) J dtrCT12)' r dr 5ф ,1 Гd(rCTH) J dtrCT12)' r dr 5ф ,V^o2'V^o2'1 d(g2>r)2 mjr d^'jm1 d(g2>r)2 mjr d^'jm2 ( d(ro21) + d(rO^)' r dr 5ф ,2 ( d(ro21) + d(rO^)' r dr 5ф ,-«T22-«T22
V ob^A^LZl+r! ami
J r d^ ,m
V ob^A^LZl+r! ami
J r d^ ,m
1 Гd(rCTH) J dtrCT12)' r dr 5ф ,
1 Гd(rCTH) J dtrCT12)' r dr 5ф ,
V^o2'
V^o2'
1 d(g2>r)2 mj
r d^'jm
1 d(g2>r)2 mj
r d^'jm
2 ( d(ro21) + d(rO^)' r dr 5ф ,
2 ( d(ro21) + d(rO^)' r dr 5ф ,
-«T22
-«T22
Тогда уравнения движения примут вид „1 lfd(rou) d(ro12))22 si
pw=- -Ц—- + -^—- -rOz+pF, P r( dr dtp J P
„2 lfd(ro21) d(rO22)A 2 12=2
pw2 =~—~ +~ro +pF .
с использованиемс использованиемri dr dtp I r
с использованием
с использованием
Выразим компоненты вектора w через и* соотношений (6.6.19):
du1 , w =-—+vJVi V dt Jdu1 , w =-—+vJVi V dt Jdu1du1 „2—--+u —--+uz dtdrdu1du1 „2—--+u —--+uz dtdrdu 1du 1—ги d9—ги d9-2-2-2 du2„2 du2 du2 uwz =——+UWiU =——+u —— + - dt J dt I dr J-2 du2„2 du2 du2 uwz =——+UWiU =——+u —— + - dt J dt I dr J-2^ du +u --2^ du +u -2 и2 иl Эфl Эф
du1 , w =-—+vJVi V dt J
du1 , w =-—+vJVi V dt J
du1du1 „2
—--+u —--+uz dtdr
du1du1 „2
—--+u —--+uz dtdr
du 1
du 1
—ги d9
—ги d9
-2
-2
-2 du2„2 du2 du2 u
wz =——+UWiU =——+u —— + - dt J dt I dr J
-2 du2„2 du2 du2 u
wz =——+UWiU =——+u —— + - dt J dt I dr J
-2^ du +u -
-2^ du +u -
2 и
2 и
l Эф
l Эф
„1 du* „1 du1 -2 du2 u2 „2 du2 u1 V,u=-—, V7u=—ruz=—— +—, V7uz=—— + —.
drdфdr rdф r
Переходя к физическим компонентам векторов w, и, F и тензора S (см. примеры 5.6.1,6.2.1), получим
rrpw<p =pw<p =гфгфdr d9dr d9Э^/ip 1 ЭОффЭ^/ip 1 ЭОффdrdr_ ^Urwr- dt +U_ ^Urwr- dt +Uг dфorг dфorСГффСГфф+ pFr,+ pFr,2„+-0^+?^,2„+-0^+?^,vJdvvJdv"u<0 ’"u<0 ’
r
r
pw<p =
pw<p =
гф
гф
dr d9
dr d9
Э^/ip 1 ЭОфф
Э^/ip 1 ЭОфф
dr
dr
_ ^Urwr- dt +U
_ ^Urwr- dt +U
г dфor
г dфor
СГфф
СГфф
+ pFr,
+ pFr,
2„
+-0^+?^,
2„
+-0^+?^,
vJdv
vJdv
"u<0 ’
"u<0 ’
duduvvfduA
^= 2 +ur 3+— T^-Vr • □
v drdr г Эф>
Инварианты тензора напряжений
Прежде всего остановимся на таких инвариантах, как главные значения и направления.
Определение 6.7.1. Главные значения и поверхности, соответствующие главным направлениям эц/ тензора напряжений S, называются его главными напряжениями (обозначение Сто) и гиинцадками. □
На основании материала § 4.2 и симметрии тензора S (следствие 6.6.2) аналогично тензорам деформаций (см. § 5.4) придем к следующему утвреждению.
Теорема 6.7.1. а) Главные напряжения оа действительны и являются корнями характеристического уравнения:
-X3+/1ОХ2-/2оХ + /3о = 0, Х = са,(6 7 1)
/1О =Sp(s'), /2o=SPS., /Зо =det(s'),
где /to - алгебраические инварианты тензора S, a S, - матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы (sy).
Главные направления aOi тензора S образуют базис в соответствующем касательном пространстве, который всегда может быть выбран ортонормированным (существуют три ортогональные главные площадки), и определяются следующей задачей на собственные значения (здесь использованы обозначения, аналогичные (5.4.17)):
((s()-oaE)ya=0, yt=(YLYt,Yt)T. Sot=Yt»i-D (6.7.2)
Обычно индексы главных напряжений оа располагают в соответствии с неравенством
о3 < о2 < Or(6.7.3)
Очевидно, в ортонормированном собственном базисе 30i тензор S является диагональным и равен
S = S$30i30j, $Q=O(i*j), Sq™ = $оаа = °а-(6.7.4)
Отметим, что, несмотря на указанную аналогию, главные значения и направления тензоров с и S в общем случае моделей СС не совпадают.
Выясним механический смысл главных напряжений и направлений.
Теорема 6.7.2. На главных площадках (у = эОа) касательная составляющая tv вектора напряжений pv отсутствует, и pv совпадает с нормальной составляющей (главное напряжение оа является нормальным):
Tv *v=»0a = ®' Р **=»0a = "'l *"=»0а = °aV-(6.7.5)
Использованные здесь векторы tv и <zv определены в (6.4.14) и (6.4.15).
Доказательство. В касательном прострастве в точке М' G е G для главного направления р = эОа, как следует из теоремы 4.3.1,
справедливо равенство
grad0 = ^p, v = Vai, keR, Ф(у) = ^$9Vvj,
где 2Ф(р) - квадратичная форма тензора S.
Отсюда с учетом (6.4.12) найдем, что вектор Ду коллинеарен к gradd> = ^-з1 = Sijv‘3J = s»^ = pv 1,=^ = kv.
Тогда, принимая во внимание (6.4.14) и (6.4.15), придем к результату (6.7.5). □
Разложим единичный вектор v по собственному ортонорми- рованному базису э0!:
v = V030p v0i=V0.(6.7.6)
Тогда, учитывая (6.7.4), из (6.4.12), (6.4.13) и (6.4.15) можно получить формулы, связывающие pv, ov и Ту с главными напряжениями:
3
Р^ ~s0v0i30j = S CTtv0t30t>
*;'(6.7.7)
Ov = »*Oj = 2 °к^0к» Л =^>г -Ov-
*=i
Теорема 6.7.3 ^экстремальные свойства касательных напряжений Ту). Касательное напряжение Ту достигает экстремальных значений на площадке с нормальными векторами (ар = 12,31,23):
^ар = (э0а + ®ор )1 ^-(6.7.8)
Соответствующие величины касательных Tv = тар и нормальных Gy = ст^ напряжений равны
т«р = (Оа - Пр) / 2, Пар = (оа + Стр ) / 2.(6.7.9)
Доказательство проводится с помощью решения задачи на экстремум для функции Ту = /(vOi,Vo2,Vq3) при условии I pl2 = Vqi +Vq2 +Vq3. Результаты (6.7.8) и (6.7.9) обычно просто получаются из условий стационарности и достаточных условий экстремума для соответствующей функции Лагранжа (детали доказательства оставляем читателю):
Mvqi,Vo2,Vo3;X) = /(Vq],Vo2,vO3)-X(Voi + V02 + Vqj -1),
где X- неопределенный множитель. □
Определение 6.7.2. Касательные напряжения т12, т23, Т31 на площадках с нормальными векторами (6.7.8) называются главными касательными напряжениями, а величину
т,^ =тах(т12,т23,т31), где т13 = -т31,(6.7.10)
— максимальным касательным напряжением в точке М' е G. О
Очевидно, главные и максимальное касательное напряжения также являются инвариантами тензора напряжений.
Найдем выражения для алгебраических инвариантов Ito (см. (6.7.1)) aJto (см. § 4.1) тензора напряжений через главные напряжения. С учетом (6.7.3) получим
/щ =/к, = о,+о2+о3 = Зо,
/2о = О]О2+О2О3+О]О3, /3о=О]О2О3,(6.7.11)
Jio = Vi = О? + о^ + о^, J3a = s^s^ = о? + о^ + о^.
Определение 6.7.3. Введенная в (6.7.11) величина о называется гидростатическим (средним) напряжением. □
Название "гидростатическое" связано с тем, что вариант шарового тензора напряжений
^ = р8и(6.7.12)
при р < 0 соответствует такой модели СС, как покоящаяся жидкость (см. § 7.6). И в этом случае, очевидно, 1\в = 3р = Зо.
Часто возникает необходимость разложения тензора напряжений S на шаровой^ и девиаторDs (теорема 4.4.1):
S = Ps + DS, Ps = о8%эр П^Цэр sij = sy-og4.(6.7.13)
■ Упражнение 6.7.1. Доказать, что главные направления тензоров S и Ds совпадают, а их главные значения оа и оа связаны между собой равенством оа = оа + о. О
Иногда используется такой инвариант девиатора, как интенсивность is тензора S. Из определения 4.4.4 и формул (6.7.4), (6.7.11)(6.7.13) вытекает следующее утверждение.
Следствие 6.7.1. Инвариант J2D девиатора Ds = s^30i30j тензора напряжений и его интенсивность связаны с главными напряжениями по формуле
sg = s^- obti, J2D = (О] - о)2 + (о2 - о)2 + (о3 - о)2 =
= | [(О] - о2 )2 + (о2 - о3 )2 + (О] - о3 )2 ] = у (т?2 + т23 + Т^ ), (6.7.14)
';=^7т?2+^3+^1- □
Оказывается, что о и is тесно связаны с напряжениями на специальных площадках.
Определение 6.7.4. Поверхность с нормальным вектором
(6.7.15)(6.7.15). 1
(6.7.15)
(6.7.15)
*, = vo,3o.-, V0i=±-F
называется октаэдрической площадкой. □
Упражнение 6.7.2. Доказать, что для нормального Go и касательного т0 напряжений на октаэдрических площадках имеют место равенства
(6.7.16)(6.7.16)G0=G, Т0=/$/л/3. □
(6.7.16)
(6.7.16)
Упражнение 6.7.3. Доказать, что для любого тензора напряжений справедливо неравенство
(6.7.17)(6.7.17)/2_ т0 ^2^2
(6.7.17)
(6.7.17)
3 '
Соотношение (6.7.17) удобно для приближенного вычисления ттах. Очевидно, относительная ошибка приближенного равенства ттах ~ tg меньше 8%, а т0 = ^2о ^- Причем инвариант J1D может быть найден без решения задачи на собственные значения (6.7.2).
Пример 6.7.1. В точке М' заданы тензор напряжений и метрический тензор:
( 1/4( 1/4(?>)= -1/4(?>)= -1/4( 1/2( 1/2-1/4 1/2'1/4 1/21/2 -5,-1/4 1/2'1/4 1/21/2 -5,'6 4 1'G = (gy) = 4 10 3(1 3 1J'6 4 1'G = (gy) = 4 10 3(1 3 1J
( 1/4
( 1/4
(?>)= -1/4
(?>)= -1/4
( 1/2
( 1/2
-1/4 1/2'1/4 1/21/2 -5,
-1/4 1/2'1/4 1/21/2 -5,
'6 4 1'
G = (gy) = 4 10 3
(1 3 1J
'6 4 1'
G = (gy) = 4 10 3
(1 3 1J
Определить положение октаэдрической площадки, нормальное Go и касательное tg напряжения на ней, а также tg/Tmax.
Решение. Для определения положения октаэдрической площадки (6.7.15) построим ортонормированный базис эоь соответствующий главным направлениям тензора S. Согласно (6.7.2) будем иметь следующую задачу на собственные значения для матрицы (s'):
'1-Оа 0
03-Ga
0'
1
Y2
= 0,
^0-8
—^ — ®а>
и
' 1/4 -
-1/4
1/2V6 4 1W1 0
(<)”(^*Х^) =
-1/4
1/4
1/2 4 10 3 = 0 3
< 1/2
1/2
-5Д1 3 1J (о -8
Корни характеристического уравнения (6.7.1) являются главными напряжениями оа:
-X3+ Х2+ Х-1 = 0, X^o^l, Х2=о2=1, Х3 = о3=-1,
Ла ~ Sp(sj ) — 1, 1^о — SpS. —Ла ~ Sp(sj ) — 1, 1^о — SpS. —3311-8 -3-8 -311ооО -3О -31 ОО 31 ОО 3= -1,= -1,
Ла ~ Sp(sj ) — 1, 1^о — SpS. —
Ла ~ Sp(sj ) — 1, 1^о — SpS. —
3
3
1
1
-8 -3
-8 -3
1
1
о
о
О -3
О -3
1 О
О 3
1 О
О 3
= -1,
= -1,
/Зо =det(s') = -l.
Решая соответствующие однородные системы линейных алгебраических уравнений, найдем собственные направления уа тензора S;
при Оз = -1
0 Y0 YО 4О -8О 4О -81-21-2Y2Y3Y2Y3^2 °з <=> Уз =(0,-1,4)т;4у +Y =0^2 °з <=> Уз =(0,-1,4)т;4у +Y =0
0 Y
0 Y
О 4
О -8
О 4
О -8
1
-2
1
-2
Y2
Y3
Y2
Y3
^2 °з <=> Уз =(0,-1,4)т;
4у +Y =0
^2 °з <=> Уз =(0,-1,4)т;
4у +Y =0
при О] = о2 = 1
"о о0 2 0 -8"о о0 2 0 -811Y2Y3Y2Y32^,32^,3у, =(1,0,0)т;у2 =(0,-1,2)т.у, =(1,0,0)т;у2 =(0,-1,2)т.
"о о
0 2 0 -8
"о о
0 2 0 -8
1
1
Y2
Y3
Y2
Y3
2^,3
2^,3
у, =(1,0,0)т;
у2 =(0,-1,2)т.
у, =(1,0,0)т;
у2 =(0,-1,2)т.
Построим из векторов у, (/ = 1,2,3) ортогональный базис э- = p*at (Д| = (PhP2>P3)T)> воспользовавшись процедурой ортогонализации Шмидта (см., например, [25]):
Д =УЗ =(0,-1,4)т, Д =У1 =(1,0,0)т.
А = ау] + у2 = |у] +у2 = ^,-1,2 а_ (У1.У2) _ У1ТСУ2_2_1 (УрУ1) У^У] 6 3’
'6 У^Су, =(1,0,0) 4г6 у^Су2 =(1,0,0) 4 .1'6 У^Су, =(1,0,0) 4г6 у^Су2 =(1,0,0) 4 .141034103410341033 О1ДО.3 О1ДО.= 6,= 6,3 -1 =-2,3 -1 =-2,
'6 У^Су, =(1,0,0) 4
г6 у^Су2 =(1,0,0) 4 .1
'6 У^Су, =(1,0,0) 4
г6 у^Су2 =(1,0,0) 4 .1
4
10
3
4
10
3
4
103
4
103
3 О
1ДО.
3 О
1ДО.
= 6,
= 6,
3 -1 =-2,
3 -1 =-2,
,,1,т
Э] — 3j, Э2 — "^^ — ^^ ^^^2 — I 3**™^*^у ’ ^ — "®Т "^ 4*^3 — (^*— 1*^) *
Нормируя теперь э-, получаем ортонормированный базис э0|: ^01 = »1 / I Э\ 1= ~^3i ’ Э02 = 32 ^ ' э2 * = 2^3 ^Э1 ~ ^32 + 6з3 )’
э03 — э3 ^ ' э3 I-
ГбГб4 iYi/зА4 iYi/зА>2 I — (^2,^2 ) —■ 32 СгЭ2>2 I — (^2,^2 ) —■ 32 СгЭ2'6I э312 = (э3, э3) = э3ТСэ3 = (0, -1,4) 41'6I э312 = (э3, э3) = э3ТСэ3 = (0, -1,4) 411110 33 110 33 141034103-1-11Y 0"3 -114.1Y 0"3 -114._ 4” 3’_ 4” 3’= 2.= 2.
Гб
Гб
4 iYi/зА
4 iYi/зА
>2 I — (^2,^2 ) —■ 32 СгЭ2
>2 I — (^2,^2 ) —■ 32 СгЭ2
'6
I э312 = (э3, э3) = э3ТСэ3 = (0, -1,4) 4
1
'6
I э312 = (э3, э3) = э3ТСэ3 = (0, -1,4) 4
1
1
1
10 3
3 1
10 3
3 1
4
10
3
4
10
3
-1
-1
1Y 0"
3 -1
14.
1Y 0"
3 -1
14.
_ 4
” 3’
_ 4
” 3’
= 2.
= 2.
Тогда согласно (6.7.15) для нормали у к октаэдрической площадке будем иметь
Р = ±-^(эо1+ЭО2+Эоз) =
= ±Ц-[Т2(1 + 72)3] - (2^3 + з72)з2 + 2(4^3 + З72)э3].
6V2
Вычислим по формулам (6.7.12) и (6.7.14) главные касательные напряжения и интенсивность тензора напряжений:
Tin — ^———^— —. 0 Т73 — ^— — I, Т31 — ““— —1,
122’ 232312
33'23 + Т31 ~ 2.'23 + Т31 ~ 2.
3
3
'23 + Т31 ~ 2.
'23 + Т31 ~ 2.
Напряжения о0 и т0 определим из (6.7.16):
<j0=<j = -/ =-, т0 = -^ =.
0 з ° з 0 7з з
Наконец, для отношения Т0/ттах получим
т0Тщахт0Тщах^0^0_ то _ 2^2 у_ то _ 2^2 утах(т12,т23,т13) -т313тах(т12,т23,т13) -т313
т0Тщах
т0Тщах
^0
^0
_ то _ 2^2 у
_ то _ 2^2 у
тах(т12,т23,т13) -т313
тах(т12,т23,т13) -т313
Теорема о кинетической энергии
Рассматриваемое в данном параграфе утверждение является следствием уравнения движения (6.6.9). Однако в качестве некоторого энергетического соотношения оно играет большую роль при формулировке общего закона сохранения энергии (§ 7.2), а также при доказа-
тельствах теорем единственности решения задач для конкретных моделей СС.
Введем несколько определений.
Определение 6.8.1. Пусть G — образ материального тела G в актуальном состоянии t > t0. Обозначим через Зи допустимое (в смысле ненарушеиия сплошности среды) поле перемещений относительно актуального состояния.
В соответствии с классификацией, приведенной в § 6.1, и аксиомой 5 (см. также дополнение (6.6.12) к ней) назовем элементарными работами Мт, Му^ на перемещении Зи соответственно внешних массовых F и внешних поверхностных р = pvlac сил следующие величины:
Mm = J p<F,5u)dy, МУ = ^(p\5u)dS.(6.8.1)
GЭС
Если Зи = du = vdt - действительное перемещение, то будем говорить о соответствующих элементарных работах на этом перемещении. В этом случае также введем обозначения:
M^-f s^iVjdtdy = -J Nsdtdy = -\ s^dEydy, GGG
Mv = M^} + M^\ Ns = s'Vy.(6.8.2)
Величины My^ и Mv называются элементарными работами внутренних поверхностных и поверхностных сил на действительном перемещении du, a Ns (полная свертка тензоров напряжений S и скоростей V) - мощностью тензора напряжений S. О
При преобразованиях интегралов в (6.8.2) учтена симметрия тензоров 8 и V, а также формулы (5.10.4) и (5.10.6).
Отметим, что в общем случае (даже если Зи = du) и величины М„, М^, М^° и Му не являются дифференциалами.
Далее в соответствии с аксиомой 4 и определением 6.1.2 введем следующую величину.
Определение 6.8.2. Кинетической энергией Е тела G назовем интеграл
E = j ^pu2dy.D(6.8.3)
G 2
Теорема 6.8.1 (о кинетической энергии). Для любого тела G и действительного перемещения du при t> t0 справедливо равенство
dE = Мт + Mv.(6.8.4)
Доказательство. Сначала, применяя лемму 6.3.1 к инте-
гралу (6.8.3), найдем дифференциал Е;
dE = ^\ ^ 7P " 4y dt = j p— — dtdy = j p^ — Wy = dt 2) G dt \^ 2 J G V 2 J
= J P^[(dv, v) + (v, du)]dy = j p(du, u)dy.(6.8.5)
G 2G
Далее векторное уравнение движения (6.6.9) с учетом (5.1.14) запишем в виде
du„
p-^- = divS + pF.'
Умножив его скалярно на du = udt и проинтегрировав по G, с использованием (6.8.1) и (6.8.5) получим
dE=j (divS,vdt)dy + AAm.(6.8.6)
G
Затем, используя теорему 3.8.1, формулу (6.4.12) и обозначения из (6.8.1), (6.8.2), преобразуем интеграл в (6.8.6):
J (divS, udt)dy = J (ViS^apU^dtyiy = J Vj^jS^dtdy =
GGG
= J V ^u^dldy - J s^VjUjdtdy = J J N^UjdtdS + AA^ =
GGdG
= J J (pv, udt)dS + AA^^ = M^ + M<° = Mv.(6.8.7)
dG
Подставляя (6.8.7) в (6.8.6), придем к требуемому утверждению (6.8.4). □
Далее представим элементарные работы в (6.8.1) и (6.8.2) таким образом:
Mm = J pAamdy, АА.^ = J ^dy, АА^ = J Aa^dy, (6.8.8) GGG
где
bam=^F,du\ ^ ^^VjdtX ^ = -Nsdt.(6.8.9)
Определение 6.8.3. Величины и2/2 в (6.8.3) и Ааж в (6.8.9) называются массовыми плотностями кинетической энергии и работы внешних массовых сил, а Аа!^^ и Аа^1 - объемными плотностями работ внешних и внутренних поверхностных сил. □
Учитывая это определение и то, что теорема 6.8.1 справедлива для любой части Н материального тела G, с помощью леммы 6.2.1 получим следующее утверждение.
Следствие 6.8.1 (локальная теорема о кинетической энергии). Для каждой точки М материального тела G и любого t^ t0 справедливо равенство
и1
р—= рМт+М^ + М0). □(6.8.10)
Отметим, что по-прежнему Аат, Аа^ и Му0 не являются дифференциалами. Однако можно указать варианты СС и внешних сил, для которых эти величины, равно как и М°\ Мт, ДА^\ будут таковыми.
Определение 6.8.4. Функция у(е,у) называется потенциальной для тела G, если
P^- = sij(p<hy = stid£ij).(6.8.11)
Внешние силы называются потенциальными, если для любого du
ААт+АА^ =dAw.'(6.8.12)
Теорема 6.8.2 (закон сохранения механической энергии, интеграл энергии). Пусть для СС существует потенциальная функция и внешние силы потенциальны.
Тогда для любого г > Го Му° = ^v) и выполняется равенство
Е + W - A w = const, dW = -dA^.(6.8.13)
Доказательство. Из (6.8.2) с учетом (6.8.11) и леммы 6.3.1 получим, что dA*0 - дифференциал, равный
-Му° = J pdydy = dj pydy = GG
= -dA^ =dW, W = J wdy, w = py.(6.8.14)
G‘
Подставляя (6.8.12) и (6.8.14) в (6.8.4), найдем
dE = -dW + dAW.(6.8.15)
Из равенства вытекает формула (6.8.13). □
Определение 6.8.5. Введенные в (6.8.14) величины называются: W — потенциальная энергия деформации тела G, a w - ее объемная плотность. □
ГЛАВА 7
ТЕРМОДИНАМИКАИ ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ МСС
Термодинамические системы.
Пространство состояний
Как отмечено в § 6.8, закон сохранения механической энергии (6.8.13) в общем случае СС несправедлив. Это приводит к мысли, что введенные в гл. 5 и 6 чисто механические характеристики СС (кинематические и динамические) недостаточны. Поэтому в МСС используют дополнительные характеристики немеханической природы, в том числе и термодинамические. Это позволяет называть СС термодинамической системой. Рассмотрим общий подход к ее изучению.
Определение 7.1.1. Состоянием СС (материального тела G, термодинамической системы) называется совокупность всех ее характеристик (перемещений, скоростей и т.д.)
/ = (/*./2,...,/'"....), Г=Г<Мл)<МеСл^1й)(7.1.1)
как функций точки М (лагранжевых £' или эйлеровых V координат) и времени t.
Если точка и время фиксированы (А/ = М», t = г.), то говорят о состоянии в точке М в данный момент времени. □
Далее будем полагать, что число характеристик / конечно: 1 < i т. Очевидно, введенные в § 5.2 и 6.1 понятия деформированного и напряженного состояния - частный случай этого определения.
Среди/' могут быть тензорные величины произвольного ранга 5 ^ 0 и их производные как по пространственным координатам, так и по времени. Однако без ограничения общности далее будем понимать под/' компоненты тензоров в каком-либо фиксированном базисе.
Как сказано во введении к части П, основная задача МСС заключается в построении математической модели СС. Конкретизируем это понятие.
Определение 7.1.2. Математической моделью СС будем называть систему уравнений
Fk(M,t; /(М.,Цм.ес =0,(7.1.2)
t€[t0.rl
где Fk - операторы, определенные на G X {? > г0} х {/}. В общем случае они зависят от значений/ на G х [г0,/].
Далее будем полагать, что Fk определяются только величинами /* в точке М е G на [Го, fl и имеют вид
Fk(M,t; f'Dl^O.(7.1.3)
При этом будем говорить, что система уравнений (7.1.3) определяет математическую модель в точке. □
Ниже (в § 7.4) будет показано, что для построения модели для всего материального тела G нужны дополнительные к (7.1.3) условия. Пока ограничимся моделями в точке.
Определение 7.1.3. Модель (система уравнений (7.1.3)) называется замкнутой, если существует единственное однозначное решение f‘(M,t) этой системы. В противном случае она незамкнута. □
В случае незамкнутой модели уравнения (7.1.3) могут определять некоторые связи характеристик/' с частью из них (сравнить с теорией неявно заданных функций, и в том числе с решением однородной системы линейных алгебраических уравнений).
Возможность существования таких зависимостей не очевидна, поэтому вводился дополнительная гипотеза.
Аксиома 8 (постулат макроскопической определимости). Для любой СС существует конечное число таких ее характеристик
Ц1,..., Ц”,(7.1.4)
что все остальные/' в любой точке М eG определяются параметрами (7.1.4) однозначно, инвариантно относительно системы координат и конкретной задачи, а также вне зависимости от других точек (принцип локального действия):
Г=ФАМ; pV.-.p")^; p1=/,1,...,p"=/i" (У^п<т). □ (7.1.5)
Определение 7.1.4. Величины ц' называются определяющими параметрами СС. □
Согласно аксиоме они определяются неоднозначно, однако их число фиксировано. В этом смысле величины являются базисом на множестве характеристик /'. Отметим также, что время t не входит в число аргументов, что эквивалентно независимости Ф, от сдвига времени, т.е. возможности использования инерциальных систем отсчета.
Кроме того, укажем на один часто используемый частный случай СС.
Определение 7.1.5. Если среди аргументов Ф; нет точки М, т.е.
/‘^ФДЦ1р")1$0 (Х^п<т),(7.1.6)
то такие среды называют однородными. О
Рассмотрим примеры использования введенных понятий для механических систем (название дано по смыслу характеристик/').
Пример 7.1.1. Частным случаем термодинамических систем являются механические системы (их определение см. в гл. 5 и 6). Рассмотрим их для переменных двух типов (см. § 5.1).
В лагранжевых координатах £' точки М ранее введены следующие характеристики:
/=Р, /2-4=м.; /5-7 = ^ /8-10 = wi) fU-X3=xi^A
^ = 8», f^=£ij, f^=Uy.(7.1.7)
Здесь и = и‘эь и=и‘эь w = w*3i, r = x‘eb S = sij3;3j, € = ЕуЭ*э\ V = Vy»1»1, т.е. общее число механических характеристик т = 31.
Из (5.1.12), (5.1.14), (5.5.2), (6.2.5) и (6.6.9) получим систему, аналогичную (7.1.3):
г = г(^,г0) + м, v=—, * = —, Еу =—(ViUj+ VjUj-VjUkVjUk\
uij=^(v> ui+ v> ui)• pV? = Рол/io> P* = divS + pF.(7.1.8)
Общее число скалярных уравнений в (7.1.8) равно 25. При этом имеется в виду, что по закону движения г(^*, г) из данной формулы можно найти зь gy, g'i, эк, g = det(^y), Гу и Vz. Таким образом, в качестве определяющих параметров при заданных массовых силах F должны быть выбраны шесть величин, таковыми обычно полагают р1-6 = Еу (или р1-6 =$'■').
В некоторых задачах можно не включать в характеристики среды г, и, v, Еу и Vy, тогда
/=р, ^"^W1, /5"10=s", /и-16=^.(7.1.9)
Соответствующая система уравнений следует из (5.6.5) (или (5.6.7)), (6.2.5) и (6.6.9):
RyH=0, р^ = р04&, pw = div$ + pF.(7.1.10)
Однако это не меняет число определяющих параметров. Действительно, с учетом замечаний к уравнениям (7.1.8) в (7.1.10) имеем 10 скалярных уравнений и 16 характеристик в (7.1.9). В этом случае полагают, что р1"6 = $'Л
В координатах Эйлера х* ситуация аналогичная:
/=р, /2-4 = й'-, /5-7= и’, /8-10 = w', /"-16=а'7,
/17'22 =£(,-. /23'28 =У(/.(7.1.11)
Система уравнений типа (7.1.3) следует из соотношений (5.1.14), (5.5.9),
(5.10.6), (6.2.19), (6.6.9) и имеет вид
du du 1 - ст - ст - ст -кх
V =—, W = ~^’ £ij=-(ViUj + Vjui+ViUkVju ).
Uy =^(Viv‘j*Vjvi), ^ + pdivv =0, pw = divS + pF. (7.1.12)
Число скалярных уравнений в (7.1.10) равно 22, т.е. определяющих параметров опять должно быть шесть, что соответствует инвариантности их количества (см. аксиому 8).
Аналогично (7.1.9) в (7.1.11) можно не включать й' и Еу, удалив из (7.1.12) первую и третью группы соотношений. При этом в качестве определяющих параметров можно выбрать, например, р1-6 = и у.
Таким образом, системы уравнений (7.1.8), (7.1.10) или (7.1.12) незамкнутые. Дополнение их до замкнутых возможно на основании аксиомы 8 с помощью шести соотношений типа (7.1.5). □
Пример 7.1.1 показывает, что соотношения (7.1.5) конкретизируют модель СС, и поэтому используется следующая терминология.
Определение 7.1.6. Зависимости (7.1.5) называются определяющими (физическими) соотношениями термодинамической системы. □
Пример 7.1.2. Моделью, не требующей определяющих соотношений, является известное из теоретической механики абсолютно твердое тело. В случае неизменности плотности во времени оно имеет характеристики: радиус-вектор точки приведения г, скорость и, ускорение w, угловую скорость <о и три угла Эйлера (общее число скалярных величин 15). Из законов (аксиом) вытекают следующие 15 уравнений: количества движения (три уравнения), момента количества движения (три), связи г, и и w (шесть) и кинематические уравнения Эйлера (три). .
Если же рассматривается тело переменной массы, то общее число характеристик становится равным 25 (добавляются масса т координаты центра масс и тензор инерции), что требует задания 10 определяющих соотношений. □
Далее удобно ввести следующее понятие (см. гл. 3).
Определение 7.1.7. Пространством состояний (фазовым пространством) назовем точечное евклидово пространство Мп с точками А = = (ц1, ц2,..., Ц") и векторами д = yJhb где Л, - базис в Мп. □
Далее везде будем полагать, что
M"=Rn (7.1.13) с соответствующими скалярным произведением и действиями над векторами.
Поскольку по заданным определяющим параметрам (7.1.4) все характеристики СС могут быть найдены из (7.1.5), то из аксиомы 8 и определения 7.1.1 вытекает следующее утверждение.
Следствие 7.1.1. Каждая точка А е Мп определяет состояние СС. □
Среди всех возможных кривых в Мп (см. § 3.3) выделим кривые специального вида и дадим им названия.
Определение 7.1.8. Кривая
Г(0: д=/»(0, t^t0(7.1.14)
в пространстве состояний называется реально осуществимой, если параметром является время t.
Процессом для термодинамической системы называется совокупность точек реально осуществимой кривой.
Если в определяющую систему (7.1.5) не входят скорости изменения определяющих параметров, то процесс называется равновесным.
Если Ц* = £у, то говорят о процессе деформации, а если ц* = $v - о процессе нагружения. В случае замкнутой кривой Г(/) процесс называется циклом. □
Отметим, что процесс является решением замкнутой системы уравнений (7.1.3), (7.1.5).
Далее будем рассматривать только реально осуществимые кривые. Предположение о гладкости рассматриваемых в МСС функций (см. §5.1) позволяет считать, что кривая Г(/) гладкая (кусочно-гладкая), и ввести следующее понятие.
Определение 7.1.9. Назовем элементарным процессом кривую
dT .dp. =n'(t)dt = Tds,(7.1.15)
где т- единичный касательный вектор к ориентированной кривой Г(/), ads- дифференциал дуги. □
Оиределеиие 7.1.10. Пусть определена некоторая скалярная функция процесса Q(T). Тогда AQ = Q(d#i) называется элементарным значением Q.
Если AQ можно представить в дифференциальной форме:
AG = VW' = ОМд), А = Рф1 = Fh,,(7.1.16)
то в соответствии с определением 3.8.6 зададим в Мп интеграл от AQ по кривой Г (процессу) как следующий криволинейный интеграл (слева — его обозначение):
J AG = J ^P' =J (A,dpi). □(7.1.17)
г г г
К примерам AQ, очевидно, можно отнести элементарные работы АА(<) и АА^е), введенные в § 6.8.
Закон сохранения энергии.Уравнение притока тепла
Уравнения математической модели СС (7.1.3) являются следствием некоторых гипотез. Так, (6.2.5) (или (6.2.19)), (6.6.9) и (6.6.10) построены на основе аксиом 1-7. Для рассмотрения термодинамики СС используются понятие энергии и следующая гипотеза.
Аксиома 9 (энергетическая гипотеза), а) Существуют признаки, позволяющие различать виды энергии (кинетическая, потенциальная, тепловая, электромагнитная, химическая и т.д.) и ее притоков вследствие взаимодействия среды с внешними телами и полями. При этом возможны переходы одних видов энергии в другие, а полная энергия и ее приток могут быть представлены в виде суммы слагаемых, соответствующих отдельным видам.
Элементарные притоки AQ любого вида энергии, соответствующие любому элементарному процессу dpi, могут быть представлены дифференциальной формой (7.1.16). □
Отметим, что функции Р/Ц*) в (7.1.16) входят в модель среды.
В соответствии с п. а) аксиомы 9 может быть введено следующее разбиение элементарного притока энергии.
Следствие 7.2.1. Для любого элементарного процесса dpi полный элементарный приток энергии к материальному телу G можно представить в виде
ДА(<) + AQ(<) + LQ,(7.2.1)
где АА(<) = ААт + ДА^е) - элементарная работа внешних сил (см. (6.8.1)), AQ(<) и AQ - элементарные притоки тепловой энергии (тепла) и других видов энергии. Причем Д^^ и AQ, так же как АА<е), в общем случае не являются дифференциалами. □
Опять же на основании аксиомы 9 можно ввести такие понятия.
Определение 7.2.1. Приток тепловой энергии разбивают на составляющие, к которым относятся следующие механизмы подвода (оттока) тепла:
теплопроводность (теплопередача) - обмен средней тепловой энергией между частями среды, находящимися в непосредственном контакте;
тепловое излучение (поглощение) - явление, обусловленное изменением возможных состояний элементарных частиц;
тепловыделение - явление, связанное с электрическими процессами (в частности, джоулево тепло);
другие механизмы (химические процессы, фазовые переходы и т.д.). □
Отметим, что теплопроводность связана с неравномерным распределением температуры по материальному телу.
Используя следствие 7.2.1 и определение 7.1.10, придем к следующему утверждению.
Следствие 7.2.2. Приток энергии на любом процессе Г(г) с Мп можно представить в виде
J (A4W + AQ) = J (7>+2,)<К AQ=AQ(<) + AQ = ^', гг
AQ(<) = ^V. Аё = ё,Ф', Qi = ^*Qb ^w = W.n (7.2.2)
Кроме того, в термодинамике вводится такая гипотеза.
Аксиома 10 (первое начало термодинамики). Для любого цикла X приток энергии равен нулю:
f (ДА(<) + AG) = f (Р, + 2, W = 0. □(7.2.3)
Можно показать, что из этой гипотезы вытекают известные формулировки первого начала термодинамики для совершенного газа. Кроме того, справедливо следующее утверждение.
Теорема 7.2.1 (закон сохранения энергий). Для любой СС (материального тела G) существует функция ^(д) такая, что для любого элементарного процесса dpi ее дифференциал равен элементарному притоку энергии:
<f8 = AA(<) + A2 = (^+2W-(7.2.4)
Доказательство. Очевидно, (7.2.3) является условием потенциальности векторного поля а = (Р, + Qt)h*, следовательно, для него существует потенциал ^(рС), удовлетворяющий (7.2.4). □
Таким образом, равенство (7.2.4) как следствие аксиомы 10 позволяет утверждать, что полный элементарный приток энергии - это дифференциал (составляющие его могут таковыми не являться).
Если принять во внимание соответствующие результаты из теории потенциальных полей, то от (7.2.3) или (7.2.4) переходим к следующему утверждению.
Следствие 7.2.3. Пусть Г! и Г2 - два процесса с началом в точке А и концом в В, тогда
J (ДА(е) + А2)= J (AAW + A2) =
Иг2
в
= J (AAW + А2) = ад-^(А),(7.2.5)
А
т.е. приток энергии не зависит от формы процесса. □
В общем случае величина %, определенная теоремой 7.2.1, имеет размерность энергии и не совпадает с кинетической энергией Е (см. (6.8.3)). Обозначим их разность таким образом:
U = % - Е.(7.2.6)
8. А.Г. Горшков и др.185
Определение 7.2.2. Величины % и U называются полной и внутренней энергиями тела G. □
Определение 7.2.3. Функции вида ^(д) называются функциями состояния. □
Очевидно, кинетическая, полная и внутренняя энергии - функции состояния F(p), ^(/ы) и U(p) соответственно.
Кроме того, из (7.2.4) и (7.2.6) с учетом (6.8.5) очевидным образом вытекает следующее утверждение.
Следствие 7.2.4 (развернутая форма закона сохранения энергии). Для любого материального тела G и элементарного процесса dp имеет место равенство
d% = dE + dU = AAW + AQ. □(7.2.7)
А при дополнительном учете теоремы о кинетической энергии (см. теорему 6.8.1) получим следствие.
Следствие 7.2.5 (уравнение притока тепла). Для любого материального тела G и элементарного процесса dp имеет место равенство
dU = -Д4° + А& □(7.2.8)
Для перехода к локальной форме соотношения (7.2.8) необходима дополнительная гипотеза, аналогичная аксиоме 5.
Аксиома 11. Для любой точки М eG существуют конечные пределы:
Д«,. А1/
е = hm, u=lim, Х->0 Д/пХ->0 Д/п
= lim А? = lim —,(7.2.9)
Х->0 Д/ПХ->0 Д/П
где А^, А(/, AQG) и AQ - полная и внутренняя энергии, элементарные притоки тепловой и других видов энергии для материального тела AG. (Остальные обозначения см. в § 6.1.) □
Введенные в (7.2.9) пределы имеют следующие наименования.
Определение 7.2.4. Величины е и и называются массовыми плотностями полной и внутренней энергий (удельные полная и внутренняя энергии), а Д</г) и д^ - массовыми плотностями элементарных притоков соответствующих энергий. □
Очевидно, е и и также являются функциями состояния в точке: е = е(р), и = и(р).
Аксиома 11 фактически утверждает, что %, U, AQ(f) и дд _ аддитивные функции геометрического образа G тела G. Следовательно,
аналогично (6.1.11) можно записать
% = j pedy, U = \ pudy, А6(<) = J pAy^dy, A2=J pAqdy. (7.2.10) GGGG
Затем можно получить локальные аналоги следствий 7.2.4 и 7.2.5.
Следствие 7.2.6 (локальная форма закона сохранения энергии). Для любой точки сплошной среды имеет место следующая связь локальных энергетических характеристик:
е = м + у2/2.(7.2.11)
Доказательство состоит в применении равенства (7.2.6) для тела AG и переходе с учетом (7.2.9) и (6.8.3) к пределу при X —> 0. □
Следствие 7.2.7 (локальная форма уравнения притока тепла). Для любой точки сплошной среды имеет место следующее равенство:
du = - Nsdt + Д^'1 + Д^, Nsdt = sijv „dt = s'^de,,.(7.2.12)
P
Доказательство. С помощью леммы 6.3.1 из (7.2.10) для dU найдем
dU = \pdudy.(7.2.13)
G
Подставляя это равенство в (7.2.8) и применяя процедуру предельного перехода для AG, с учетом (6.8.2) и (7.2.9) получим уравнение (7.2.12). □
Величины А^') и Ад в (7.2.12), так же как Дб(г> и AQ, не являются дифференциалами. Однако все же возможно записать аналогичное дифференциальное уравнение.
Следствие 7.2.8 (вторая локальная форма уравнения притока тепла). Для любой точки сплошной среды имеет место равенство
- = -Ns+qw+q,(7.2.14)
dt p
где Aq^ = q^dt н Aq = qdt.
Доказательство. Применяя предельный переход (7.2.9) к соотношениям (7.2.2), найдем
bq^ = a,dp‘ = (a,dpi) = (a,pi'(t))dt = q^dt, а = а,(ц*)й',
Aq^dp1 =(Mpi) = (b,pi\t))dt = qdt, Ь = Ь;(рк)Н‘,(7.2.15)
а, = lim —1—, b. = lim -=-.
1-»о Am 1-»оДт
Подстановка этих равенств в (7.2.13) и дает искомое уравнение (7.2.12). □
8*
Во многих задачах основным механизмом подвода тепла является теплопроводность. Поэтому выделим в притоке тепловой энергии Дб(е) с учетом аксиомы 9 и определения 7.2.1 соответствующую составляющую:
Ае(')=де'+дё(<),(7.2.16)
где Аб' и AQW - элементарные притоки тепла за счет теплопроводности и других видов подвода тепловой энергии.
Определение 7.2.5. Пусть для любой области Н с G на границе ЭН ее образа Н определены такие функция Q и вектор q, что
Дб' = JJ QdtdS, Q = 4v,q),(7.2.17)
ан
где Q введена аналогично (7.2.15), a v - единичный вектор внешней нормали к ЭН.
Q называется скоростью поступления тепла через поверхность дН, aq— вектором теплового потока. □
Далее дополнительно к аксиоме 11 (см. (7.2.9) и (7.2.10)) и формуле (7.2.15) введем величины kq^ и q^;
Aqw = lim -^— = qwdt, ^ = J p&qwdy.(7.2.18)
x—>oц
Тогда можно получить еще два вида записи локального уравнения притока тепла.
Следствие 7.2.9 ^другие локальные формы уравнения притока тепла). Для любой точки сплошной среды справедливы следующие равенства:
du = -(Ns -divq)dt + dqw + Aq;(7.2.19)
P
— = - (^ - div q) + qw + q.(7.2.20)
dt p
Доказательство. Применим к интегралу (7.2.17) теорему 3.8.1:
Д2' = -Д (u,q)dtdS = -j (V,q)dtdy =-^ divqdtdy. аннн
С учетом разложения (7.2.16) и формул (7.2.9), (7.2.18) получим
Д#м = Aqw - — div^dr = q^dt, qM = qw - — div#. (7.2.21) PP
Подставляя первое и второе из полученных равенств в (7.2.12) и (7.2.14), окончательно придем к уравнениям (7.2.19) и (7.2.20). □
Пример 7.2.1. Полагая, что вектор q связан с температурой законом Фурье: q = -k grad Т (k = const), q^ = 0 и q = 0, для среды с определяющими соотношениями s‘i = (-р + Xv^gU + 2р.иУ (X, ц = const) записать уравнение притока тепла.
Решение. Вычислим с учетом условий задачи мощность тензора напряжений^ по формуле (7.2.12) (инварианты 1Хи и 11и определены в §5.11):
N, = ^ ij = (гР + Хи к Vv ij + 2ци vu ,y = (-p + Xu^)u!+ 2^ =
= (-p + Xl^, )7b + 2^ = (-p + Xdivv )divy + 2^ .-
11Далее, учитывая уравнение неразрывности (6.2.19), найдем
1
1
N.=N.=_ X dp ] dp _ , ~ P + — ~7" “Г + 2^2и • p ( p dt) dt
N.=
N.=
divy = -——, div(—jtgrad Г) = -кAT. р dt
Окончательно из (7.2.20) получим следующее уравнение:
+ 2^ + кАТ. □+ 2^ + кАТ. □du _ 1 dp Г Xdp Р dt р dt Р р dt
+ 2^ + кАТ. □
+ 2^ + кАТ. □
Уравнение баланса энтропии
Первый закон термодинамики устанавливает возможность перехода одних видов энергии в другие. Однако он не отвечает на вопрос о направлении процессов обмена в смысле возможных знаков элементарных притоков. Поэтому вводится еще одна гипотеза.
Аксиома 12 (второй закон термодинамики), а) Для любой точки М е G в число определяющих параметров можно включить абсолютную температуру Т, связанную с механизмами подвода тепла к среде.
Для любого материального тела Н сё и любой точки М её существуют такие однозначные функции состояния S(p*), s(p*) и w* (ц*), что:
первые две из них связаны между собой формулами (AS соответствует AG, а остальные обозначения аналогичны введенным в § 6.1)
(7.3.1)(7.3.1),. AS
(7.3.1)
(7.3.1)
S = J psdy, s = hm -—; уx^o Am
функция ^«(ц*) положительно определена во всем пространстве состояний (w»(p*) 2$ 0);
для любого элементарного процесса dp выполняется уравнение
Tds = Д9(<) + A#*, bq* = w*dtI p,(7.3.2)
которое называется уравнением баланса энтропии (от греч. entropia - поворот, превращение). □
Определение 7.3.1. Величины S и s называются энтропией тела (.системы') Н кудельной энтропией (плотностью энтропий), &q* - некомпенсированным теплом, aw* - удельной энергией рассеяния (плотностью энергии рассеяния).
При этом функция состояния
Ж = J w*dy ^ 0(7.3.3)
G
-энергиярассеяния тела G. □
Можно показать, что аксиома 12 является обобщением известных формулировок второго закона термодинамики для совершенного газа, a S соответствует энтропии, вводимой в молекулярно-кинетическую теорию газа.
Название соотношения (7.3.2) связано с тем, что при заданных А^(<) и Д^* (или и**) оно определяет изменение удельной энтропии s.
С учетом (7.2.21) уравнение (7.3.2) может быть представлено так.
Следствие 7.3.1 (вторая форма локального уравнения баланса энтропий). Для любого элементарного процесса dp в любой точке СС имеет место равенство
рТ^- = pq^ + w», pq^ = pqw -div^. □(7.3.4)
dt
Перейдем к интегральной форме уравнения (7.3.4).
Следствие 7.3.2 (интегральная форма уравнения баланса энтропий). Для любого элементарного процесса dp и любого материального тела G справедливо равенство
<13.5)
и* G 1 G 1 G 1G 1
Доказательство. Рассмотрим два интеграла. Исходя из (7.3.1) и леммы 2.3.1, имеем
Р^ =(7'36)
Q dtdt Qdt
Кроме того, преобразуем следующий интеграл:
J ^div^sj -^V^dy^ У,Ы^-/ 9-у/1Ъу =
G 1G 1G ) G Xi J
= f div^dy+J ^(g.gradDdy.(7.3.7)
G G 1
Разделив (7.3.4) на T и проинтегрировав по G, с учетом (7.3.6) и (7.3.7) получим искомое уравнение (7.3.5). □
Применяя уравнение (7.3.5) для области AG и выполняя предельный переход при к = diam AG —> 0, придем к следующему результату.
Следствие 133 (третья форма локального уравнения баланса энтропий). Для любого элементарного процесса dpi в любой точке СС имеет место равенство"
& = р£^+2!1_<Ы™Щ-<Ь,1.О(7.3.8)
м dt Т т т т
Если к последнему интегралу в (7.3.5) применить теорему 3.8.1, то придем к такому утверждению.
Следствие 7.3.4 (вторая интегральная форма уравнения баланса энтропии). Для любого элементарного процесса dpi и любого материального тела G имеет место равенство
^-l^M^Ng2»-»6?^ (7.3.9)
dt g 1 G 1 G Т ЭС 1
Обычно используется еще одна основанная на опытных данных гипотеза..
Аксиома 13. Для любых СС и для любого элементарного процесса dpi справедливо неравенство
(q, grad Т) « 0. □(7.3.10)
Отсюда, учитывая, что w* э= 0 и Г > 0, из (7.3.8) и (7.3.9) получим следующий вывод.
Следствие 13.5 (неравенства Клаузиуса) -Дюгема2). Для любого элементарного процесса dpi в любой точке СС имеет место локальное неравенство:
p^^P^i- div-2-,(7.3.11)
Р dt Т т
а для любого материального тела G - интегральное неравенство:
J - JJ ^51 dS. □(7.3.12)
dt g т ac т
Соотношения (7.3.11) или (7.3.12) могут служить необходимыми условиями проверки корректности модели.
Построим еще одно уравнение термодинамики, которое является следствием соотношений (7.3.2) или (7.3.4) и уравнений притока тепла (7.2.12) или (7.2.14). Для этого введем следующие понятия.
Определение 7.3.2. Удельной свободной энергией (плотностью свободной энергии) \у и свободной энергией 4х тела называются функции состояния:
xV = U-sT, 4х = J pydy. □(7.3.13)
G
Следствие 7.3.6 (уравнение изменения свободной энергий). Для любого элементарного процесса dpi в любой точке СС имеет место равенство
dy + sdT = — Nsdt + 64-64*. □(7.3.14)
Р
Следствие 7.3.7 (вторая форма уравнения изменения свободной энергии). Для любого элементарного процесса dpi в любой точке СС справедливо равенство
- + S— = -Ns+q. □(7.3.15)
dt dt pp
Полученные выше уравнения позволяют сделать следующий вывод.
Следствие 7.3.8 (эквивалентные формулировки второго закона термодинамики), а) Для любого процесса Г с М"
J ^^J г гJ ^^J г г6^_Т6^_Т(7.3.16)(7.3.16)
J ^^J г г
J ^^J г г
6^_Т
6^_Т
(7.3.16)
(7.3.16)
б) Для любого цикла г£сМпб) Для любого цикла г£сМп(7.3.17)(7.3.17)Доказательство. Запишем (7.3.2) в следующем виде:Доказательство. Запишем (7.3.2) в следующем виде:
б) Для любого цикла г£сМп
б) Для любого цикла г£сМп
(7.3.17)
(7.3.17)
Доказательство. Запишем (7.3.2) в следующем виде:
Доказательство. Запишем (7.3.2) в следующем виде:
ds 5ds 5ТТ(7.3.18)(7.3.18)
ds 5
ds 5
Т
Т
(7.3.18)
(7.3.18)
Кроме того, на основании аксиомы 12 (существует такое к, что ц* = Т) и (7.2.15) для любого процесса Г с Мп можно рассматривать криволинейный интеграл:
Л ^)
$J ^(И*)^', х^а^/Т.(7.3.19)
г 1 г
Тогда, интегрируя неравенство (7.3.16), придем к (7.3.17), из нее, дополнительно учитывая однозначность 5(ц*), получим соотношение (7.3.18). □
Все процессы можно разделить на два класса.
Определение 7.3.3. Процесс Г(0 называется обратимым, если реально осуществим обратный к нему Г_ процесс, где Г_ - противоположно ориентированная к Г(г) кривая. В противном случае процесс необратимый. □
Теорема 7.3.1 (необходимые условия обратимости процессов). а) Если Г - обратимый процесс, то для любых АВ с Г и ВА сГ_ имеет место равенство
J AqwIT = -\ Aqw IT(7.3.20)
АВВА-
и для любых точек А с Г
ds = Aq^lT, Aq* = 0, w. = 0.(7.3.21)
Если Ж - обратимый цикл, то
# AqwIT = 0.(7.3.22)
Доказательство. Равенство (7.3.20) следует из (7.3.19) и свойств криволинейного интеграла от вектор-функций. Далее из (7.3.16) и (7.3.20) имеем
. Aqw, Aqw , Aqw
s(B)-S(A)> J 5(A)-5(B)^J=
ABBAAB
где s(A) - значение удельной энтропии в точке А.
Отсюда вытекает, что
s(B)-s(A) =/ ^.(7.3.23)
ав
В силу произвольности АВ из (7.3.23) получаем первое из равенств (7.3.21), последние два вытекают из (7.3.2). Интегрируя первое равенство из (7.3.21) и учитывая однозначность s, получим формулу (7.3.22)
^ds = 0^ ^.П
Отметим, что соотношение (7.3.23) показывает, что интеграл от Aq^d/Т не зависит от формы обратимого процесса, и приводит к такому утверждению.
Следствие 7.3.9. Удельная энтропия s определяется с точностью до произвольного слагаемого, и в случае существования обратимого
процесса АВ вычисляется в точке В е Мп по формуле
s(B)= J =з__ + const. □(7.3.24)
АВ
Кроме того, из (7.3.23) получаем, что для обратимого процесса рассеяние энергии отсутствует (в обратную сторону это утверждение неверно). Для таких процессов уравнения баланса энтропии и изменения свободной энергии упрощаются: в (7.3.2), (7.3.5), (7.3.8), (7.3.9), (7.3.14) и (7.3.15) необходимо положить Aq = 0 или w* = 0.
Отметим также, что величина Д^е) даже в случае обратимого процесса не является дифференциалом. Однако из (7.3.21) имеем, что отношение Д^УТ таковым является, т.е. 1/Т играет роль интегрирующего множителя.
Определение 7.3.4. В МСС рассматривают процессы частного вида, к ним относятся:
адиабатические (изолированные системы; от греч. adiabatos - непере ходимый), для которых
AQ^ = 0 ^q^ = 0, q^ = 0);(7.3.25)
изотермические (от греч. isos - равный, одинаковый), которым соответствует
dT/dt = 0. □(7.3.26)
Первые обладают следующим свойством.
Теорема 7.3.2 (.принцип неубывания энтропии). Пусть прогресс F(t) адиабатический,тогда:
если он обратимый, то
s = s0 = const;(7.3.27)
если он необратимый, то
ds ^ 0.(7.3 28)
Доказательство. Так как Г - адиабатический процесс, то по определению (7.3.4) Aq^^ = 0. Если Г - обратимый, то из (7.3.2) и (7.3.21) имеем ds = 0, что эквивалентно (7.3.27). Если же Г - необратимый процесс, то по аксиоме 12 Aq* 3= 0, и опять же из (7.3.2) получим ds з= 0. □
Определение 7.3.5. Процессы, удовлетворяющие (7.3.27), называются изэнтропическими. □
Следствие 7.3.10. Для того чтобы обратимый процесс был адиабатическим, необходимо и достаточно, чтобы он был изэнтропическим. □
Пример 7.3.1. Для среды с определяющим соотношением sV = -pgV написать уравнение изменения свободной энергии. Принять q = 0, w* = 0.
Решение. Воспользуемся соотношением (7.3.15) и с учетом условия задачи предварительно вычислим мощность напряжений Ns в (7.2.12):
Ns = $уиц = -р^иу = -ри- = -pdivv.
Применяя уравнение неразрывности (6.2.19), окончательно получим
^ + S^L=P-^-, □
dt dt р2 dt
Замкнутые системы МСС
Результаты, полученные выше, позволяют конкретизировать для термодинамических систем уравнения (7.1.3) и определяющие соотношения (7.1.4). Ограничимся далее только их локальными (для любой точки М е G) формами.
Уравнения (7.1.3) для любой термодинамической системы состоят из двух частей - механической ((7.1.8), (7.1.10) или (7.1.12)) и термодинамической. В качестве последней возьмем, например, (7.2.20) и (7.3.4):
р— = N„-divg + p(gM +g), рТ—= pg(e)-divg + w*.(7.4.1)
dtdt
Вместо одного изних можно выбрать уравнение (7.3.15):
dwdT1_
= -(Ns-w.) + q,(7.4.2)
dtdtp
Система (7.4.1) при заданных q, q^, q и w* добавляет к характеристикам среды (7.1.7), (7.1.9) или (7.1.11) еще три:
/”+1=Т, /”+2 = s, /”+3=и.(7.4.3)
Даже если положить, что Ns известно, то чисто термодинамическая система незамкнутая. Определяющий параметр один. В качестве него можно выбрать Т, и или s. Для объединенной системы (7.1.8) (или (7.1.12)) и (7.4.1), очевидно, общее число определяющих параметров должно быть равно семи. Положим далее для определенности:
ц1"6 = £ф ц7 = Т, ц8 = Р1, .... ц" = Р”-7, Р = (Р1Р”-7).(7.4.4)
Параметры Р* введены в число определяющих для возможности рассмотрения более широких моделей (включающих другие физические процессы, например магнитоэлектрические, химические и т.д.), чем указанные термомеханические. При этом в рамках указанного подхода необходимо аксиоматическое построение уравнений типа (7.1.8) и (7.4.1). Далее будем считать, что вектор Р задан.
В соответствии с аксиомой 8 для замыкания термодинамической системы должны быть заданы определяющие соотношения (7.1.4), которые входят в модель среды. Одним из наиболее распространенных их вариантов является задание компонент тензора напряжений $У и удельной энтропии х как функций ц*:
(7.4.5)(7.4.5)5И = фИ(.би,Т;Р\ s=F^kbT;PY
(7.4.5)
(7.4.5)
где Ф^‘ и F - однозначные операторы типа (7.1.3). Тогда система уравнений (7.1.7), (7.4.1) и (7.4.5) будет замкнута.
Определение 7.4.1. Первая группа соотношений в (7.4.5) называется процессом нагружения. □
Приведем один из возможных способов введения определяющих соотношений (7.4.1).
(7.4.6)(7.4.6)Теорема 7.4.1. Пусть задана удельная свободная энергия у как однозначный оператор:
(7.4.6)
(7.4.6)
V = Y^w, Т; Р\
Причем d\y, Дд и рД?* = w«dt для любого элементарного процесса dp могут быть представлены в виде
d^ = M?ydEy + у TdT, bq = qvdEy + qTdT,
(7.4.7)(7.4.7)w.dt = w^dEy + wTdT,
(7.4.7)
(7.4.7)
где xyV, vr. q*^ qT, w^ и wr - операторы (yv и уг - производные Фреше от у соответственно по Еу и 7).
Тогда определяющие соотношения имеют вид
sij= р(^-q^)+w^, s = -yT + qT ~ — wT.(7.4.8)
P
Доказательство. Подставляя (7.4.7) в (7.3.14), с учетом равенства для Ns в (6.8.2) получим
^8dEy +(ут +s)dT =
1-1—wu dEy + qР? I1-1—wu dEy + qР? IТ 1 г 'WрТ 1 г 'WрdT.dT.(7.4.9)(7.4.9)
1-1
—wu dEy + q
Р? I
1-1
—wu dEy + q
Р? I
Т 1 г 'W
р
Т 1 г 'W
р
dT.
dT.
(7.4.9)
(7.4.9)
Отсюда в силу произвольности dEy и dT придем к соотношениям (7.4.8). □
Отметим, что аналогично можно построить определяющие соотношения, задавая внутреннюю энергию и и используя уравнение (7.2.19). Если Р* ие заданы, то в (7.4.8) и (7.4.9) должны присутствовать дополнительные слагаемые типа В^*.
Следствие 7.4.1. Наиболее простой вид определяющие соотношения (7.4.8) приобретают для обратимых процессов (w* = 0) и при
отсутствии других источников энергии ( Д^ = 0):
$У = p\|/v, 5 = -\|/г. □(7.4.10)
Следствие 7.4.2. Если \|/ в (7.4.6) функция, то определяющие соотношения выражаются равенствами
(7.4.11) dEijоТ
Построенные замкнутые системы уравнений имеют локальный характер и являются системами дифференциальных (интегродифферен- циальных) уравнений в частных производных. Для выделения их частных решений, как правило, необходимы дополнительные условия, т.е. формулировка соответствующих начально-краевых задач.
Дополнительные условия, как известно, не могут быть заданы произвольно. Для каждого случая модели СС должна быть доказана корректность постановки соответствующих начально-краевых задач, решение которых определено на пространственно-временном четырехмерном множестве G х {г s Iq}. В общем случае вопрос корректности, вероятно, не может быть решен. Поэтому ограничимся перечислением наиболее употребимых дополнительных условий.
I. Начальные условия. Их, как правило, задают в виде
4„0 =U, v|,=,0 =V (MeG).(7.4.12)
П. Граничные условия. Разделим их условно на два класса и будем пока считать, что G ограничена.
Механические граничные условия. Представим границу dG области G в виде трех частей, площадь пересечения которых равна нулю:
ЭС = П„ и По и Пи0.(7.4.13)
Этому разбиению соответствуют три типа условий.
1-й тип (.кинематические условия). Они имеют вид
«|пв =«o (?>fo)(7.4.14)
или
v|nB =vo (t>tQ).(7.4.15)
Определение 7.4.2. Если uq = 0, то поверхность П„ называют неподвижной (защемленной). При Ц) = 0 (7.4.15) называются условиями прилипания. □
2-й тип (силовые, динамические условия). Они задают вектор напряжения (см. (6.4.12)):
PV|n„ = 5'Уvj».|п„ = »о (? > 'о)-(7.4.16)
Определение 7.4.3. При <г0 = О поверхность Пст называется свободной. □
3-й тип (смешанные условия). Они задают на П„стнекоторые комбинации вектора перемещения и (или скорости и) и вектора напряжений pv. Корректность такой постановки нуждается в обосновании. Однако в частном случае покоординатного задания и и pv, как правило, их координаты должны быть разными.
Примером таких условий являются (см.(6.4.15)) следующие:
“vlneO = (“’" )П- = M®v^v'nu(J = <U’V )1пн, ^Ov).
ту|Пиа = -^(Ип^ - uo) (°V < °), ^vln^ = 0 (ov> 0), t > t0, (7.4.17) где (vlnuo _yo) - относительная скорость движения среды и поверхности.
Частный случай (7.4.17) при к = 0 имеет вид
“vln =“оу(уу|п^ =uOvX ту| = O(t>to).(7.4.18)
Определение 7.4.4. Условия (7.4.17) называются контактом с трением Кулона (к — коэффициент трения), а (7.4.18) - свободным проскальзыванием. В последнем случае при иОу = 0 или иду = 0 поверхность П„о называется непроницаемой. □
Термодинамические граничные условия. Представим ЭС аналогично (7.4.13) в виде
ЭС = ПгиП9 иПг<.(7.4.19)
Соответственно имеем три типа условий.
1-й тип (температурные условия):
71пг =T0(t>t0),(7.4.20)
где То - температура внешней среды.
2-й тип (условия на тепловой поток):
9v|n? =(у’^пе =9о('>'о)-(7.4.21)
Определение 7.4.5. При q0 = 0 поверхность П9 называется теплоизолированной. □
3-й тип (смешанные условия). Они задают связи q и Т:
f(9>T)^ua = O(t>to).(7.4.22)
Примерами условий (7.4.22) являются
9vlnBe = ^lnBe-?i)a>^o)(7.4.23)
либо
<7V In^^T/lOO)^.(7.4.24)
Определение 7.4.6. Равенство (7.4.23) называется условием теплоотдачи (к - коэффициент теплоотдачи), а (7.4.24) - условием теплоизлучения (с - постоянная Стефане? -Больцмана)- □
Если область G неограничена, то должны быть заданы условия на бесконечности. К таковым, например, относится ограниченность искомых решений/* в G.
Упрощения задач МСС
Начально-краевые задачи, соответствующие полной замкнутой системе уравнений, приведенной в § 7.4, сложны в смысле построения их решений. Это связано со следующими обстоятельствами:
большое число определяющих параметров р* и, как следствие, высокий порядок системы уравнений;
четырехмерность задачи (три пространственные переменные и время);
нелинейность уравнений и, быть может, дополнительных условий, в том числе неизвестность области G, занимаемой средой.
В связи с этим во многих случаях прибегают к упрощениям математических постановок, которые, с одной стороны, вытекают нз физических особенностей процессов, а с другой - должны удовлетворять предъявляемым к модели требованиям точности. Рассмотрим основные наиболее часто встречающиеся упрощения.
Уменьшение числа определяющих параметров. На этапе построения определяющих соотношений (7.1.4) проводится оценка необходимости учета тех или иных параметров и отбрасывание несущественных."
Уменьшение размерности задачи по числу аргументов искомых характеристик - пространственных переменных х1, х2, х3 и времени t. Основные варианты этого подхода следующие.'
Установившиеся (квазистатические) движения (см. §5.1), когда в уравнения (7.1.2), (7.1.3) ие входят производные dfk/dt и время t является параметром.
Частный случай — статические задачи, соответствующие настолько медленным процессам, что зависимостью от времени можно
пренебречь:
fk =№).(7.5.1)
При этом необходимость в начальных условиях (7.4.12) отпадает и математическая модель сводится к краевой задаче.
Двумерные движения (неустановившиеся двумерные задачи'), в которых искомые характеристики зависят только от двух координат х1, х2 и времени г.
fk=fk(x1,x2,t).(7.5.2)
Они, как правило, сводятся к: плоскопараллельному движению (плоские задачи; х1 = х, х2 = у , х3 = z — прямоугольная декартова система координат);
осесимметричному движению (осесимметричные задачи; х1 = г, )? = z,x3 =д- цилиндрическая система координат).
Одномерные движения (неустановившиеся одномерные задачи): их характеристики/* зависят только от х* и г.
fk=fk(x\t).(7.5.3)
Наиболее типичные из них:
плоские волны (х1 = х);
цилиндрические волны (х1 = г);
сферические волны (х* = р - радиус в сферической системе координат).
Термин "волны" здесь употребляется условно, так как уравнения модели не обязательно имеют гиперболический тип.
Установившиеся (статические) дву- или одномерные задачи, этот случай - комбинация вариантов а)-б) или а)-в).
Введение новых пространственно-временных переменных:
f = /к(^), ? =?(х’,х2,х3,0 (/ = 1N<4).'(7.5.4)
Отметим, что для использования (7.5.4) необходимо иметь возможность перехода к z* не только в уравнениях, но и в дополнительных условиях.
Частным случаем являются автомодельные движения:
г‘ = ^!^,(7.5.5)
где число а - показатель автомодельности.
Линеаризация задач. Для пояснения этого подхода запишем соответствующую модели начально-краевую задачу в виде
F(f) = 0,(7.5.6)
где F - оператор, определяемый уравнениями МСС и дополнительными условиями. 200
Пусть /0 - некоторое решение уравнения (7.5.6). Тогда оно эквивалентно уравнению в вариациях:
AF = F(/o+8f)-F(/o) = O.(7.5.7)
Рассматривая оператор F в некоторой паре (X, У) нормированных пространств и полагая, что существует сильная производная (производная Фреше) F‘(fa) = L, (7.5.7) можно выразить равенством
Ц^ + о(^) = 0, ||8fH°.(7-5.8)
где L - линейный оператор.
Линеаризация заключается в замене (7.5.8) линейным уравнением:
L(^ = 0.(7.5.9)
Естественно, этот процесс нуждается в обосновании.
Примером линеаризации является переход от тензора конечных деформаций к тензору малых деформаций и от нелинейных соотношений МСС к линейным (см. § 5.7-5.10,6.2, 6.5 и 6.6). С малыми деформациями также связана замена зависящей от времени (деформируемой) области G на область 60, которую занимает среда в начальном состоянии (недеформированная область). При этом в граничных условиях вместо поверхности ЭС используется ЭСо- Эта замена нуждается в обосновании. Однако для многих практических задач возникающие при этом погрешности незначительны.
Примеры моделей СС
Кратко рассмотрим некоторые разделы МСС, соответствующие различным моделям СС. Подробно они изучаются в специальных курсах.
Термоупругосгь
Определение 7.6.1. Сплошная среда называется термоупругой, если она удовлетворяет следующим условиям.
В качестве определяющих параметров могут быть выбраны деформации и температура:
ц‘-б = е,7, ц7 = Т.(7.6.1)
Удельная свободная энергия - однозначная функция ц* (см. (7.4.6)):
у = у(Е,7, Г).(7.6.2)
Рассеяние энергии отсутствует:
w, = 0. □(7.6.3)
Здесь ограничимся случаем, когда приток энергии происходит
только за счет теплопроводности:
5 = 0, 5(,)=0.(7.6.4)
Замкнутая система уравнений для такой среды состоит из уравнений (7.1.8) (или (7.1.12)) и определяющих соотношений (7.4.11). К ним добавляются уравнения притока тепла (7.2.14), баланса энтропии (7.3.4) и формула для у (7.3.13):
p^ = ^-divqr, T^ = —&Nq, ^ = u-sT.(7.6.5)
При этом должны быть известны массовые силы F и вектор теплового потока q, который в общем случае зависит от температуры Т и grad Т. В качестве дополнительной гипотезы обычно полагают
q = q(gradT/T2y(7.6.6)
Теория упругости
Определение 7.6.2. Термоупругая среда называется упругой, если все протекающие в ней процессы являются изотермическими или адиабатическими. □.
Теорема 7.6.1. Для того чтобы сплошная среда была упругой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия.
В качестве определяющих параметров могут быть выбраны деформации: ц1-6 = Еу.
Удельная свободная энергия - однозначная функция e,yi
Y = W-(7.6.7)
Рассеяние энергии отсутствует: w. = 0.
Доказательство. Утверждение в) очевидно, остается обосновать только а) и б).
В случае адиабатических процессов (определение 7.3.4) ^(,) = 0, что в силу (7.6.4) эквивалентно q = 0. При этом температура Т естественным образом исключается из определяющих параметров, что и завершает доказательство для этого варианта.
Изотермические процессы, как вытекает из следствия 7.3.10, совпадают с изэнтропическими (s = const). Так как энтропия определяется с точностью до аддитивного слагаемого, то можно положить s = 0. Тогда из последнего соотношения в (7.4.11) вытекает, что у не зависит от Т, что согласуется с утверждениями а) и б). □
Замкнутая система уравнений для упругой среды состоит из уравнений (7.1.8) (или (7.1.12)) и первой группы определяющих соотношений в (7.4.11). Уравнения (7.6.5) могут служить лишь для определения интересующих термодинамических характеристик после решения чисто упругой задачи.
Линейная анизотропная термоупругость
Уравнения термоупругости нелинейны, что приводит к большим трудностям при решении соответствующих начально-краевых задач. Поэтому к ним применяют процесс линеаризации относительно неде- формированного состояния, компоненты которого далее обозначаются знаком "О":
(7.6.8)(7.6.8)(o*)o = 0, (Е,у)о=О,
(7.6.8)
(7.6.8)
(Ло = 7q = const’ (“)о = 0. (v)o = °> СОо = »0 = °* (е)о = °
Определение 7.6.3. Модель, полученная линеаризацией соотношений термоупругости относительно состояния (7.6.8), называется анизотропной (от греч. anisos - неравный и tropes - поворот, направление) термоупругой средой. □
Линеаризация механической части уравнений связана с рассмотрением малых деформаций и малых скоростей. Тогда из (5.7.13), (5.7.15), (6.2.7) и (6.6.23) имеем (точка обозначает частную производную по времени г) ■
рй1 = V^ + pF, Еу = ^iUj + Vуи,), р = р0. (7.6.9)
Для линеаризации уравнений (7.6.5) дополнительно положим, что при 5 —» 0 (см. упражнение 5.7.2).
— ^а^_^а“ VgV^0 у8аа у8аа у8аа— ^а^_^а“ VgV^0 у8аа у8аа у8аа= 0(5) (а = 1,2,3), д = Т-Т0,= 0(5) (а = 1,2,3), д = Т-Т0,(7.6.10)(7.6.10)
— ^а^_^а“ VgV
^0 у8аа у8аа у8аа
— ^а^_^а“ VgV
^0 у8аа у8аа у8аа
= 0(5) (а = 1,2,3), д = Т-Т0,
= 0(5) (а = 1,2,3), д = Т-Т0,
(7.6.10)
(7.6.10)
s = O(5), з = О(5), 0 = 0(5).
Из (5.1.20) найдем
^М ./Г7*• JT7 "
(7.6.11)(7.6.11)= U+V,V:UeU, = S+UJV;S«S, dtJ dt J
(7.6.11)
(7.6.11)
dT dd к „ j. dtp ..
— = — = 0 +u JV (0 = 0, — = w+vJV/w»w. dt dt1 dt
Следовательно, линеаризованные уравнения (7.6.5) имеют вид
рй = Ns-drvq, Tos = -divq, tp = u-sT0.(7.6.12)
Для линеаризации определяющих соотношений (7.4.11) представим функции v(cy> Л формулой Тейлора, ограничиваясь членами второго порядка малости и учитывая (7.6.8) и (7.6.10):
у = у2+о(52)-у2 (8-»0Х P'Pi=^CjUEijEu-^d1 -АЧу»,
C"ti = pC"ti = p' Э2удбудеи' Э2удбудеиЛЛ=-р=-рд2у де„ЭТ v /од2у де„ЭТ v /о(7.6.13)(7.6.13)
C"ti = p
C"ti = p
' Э2удбудеи
' Э2удбудеи
Л
Л
=-р
=-р
д2у де„ЭТ v /о
д2у де„ЭТ v /о
(7.6.13)
(7.6.13)
Так как в формулах тензор второго ранга Е$ произвольный, а ру2 ~ скаляр, то по тензорному признаку (см. теорему 1.5.5) С^и и Л у - контравариантные компоненты тензоров С и Л соответственно четвертого и второго рангов:
(7.6.14)(7.6.14)С = Cijldeiejeket, Л = ЛУе^.
(7.6.14)
(7.6.14)
Подставляя (7.6.13) в (7.4.11), получим линейный вариант определяющих соотношений:
а» = р^ = Ли - ЛЧ р$ = -р^ = + ^гу. (7.6.15) д£|? оТ То
Определение 7.6.4. Тензоры С и Л называются тензорами упругости (упругих постоянных) и температурного расширения (коэффициентов температурного расширения), а параметр с в (7.6.13) - коэффициентом теплоемкости в начальном состоянии.
Первая группа равенств в (7.6.15) называется законом Гука - Дюамеля*-Неймане?). □
Осталось нелинеаризованным соотношение (7.6.6). Применяя к нему формулу Тейлора первого порядка, с учетом (7.6.8) и (7.6.10) получаем (5 -» 0)
Т02(1 + »/Т0)Т02(1 + »/Т0)у + о(5) = -11^0,у + о(5) = -11^0,
Т02(1 + »/Т0)
Т02(1 + »/Т0)
у + о(5) = -11^0,
у + о(5) = -11^0,
Так как Vy0 и q‘ - компоненты векторов, то по тензорному признаку 'ПУ - контравариантные компоненты тензора второго ранга:
(7.6.17)(7.6.17)H = T\*1eiei.
(7.6.17)
(7.6.17)
Кроме того, из (7.6.16) имеем соотношение
» = -(H,gradO),(7.6.18)
которое является линеаризацией равенства (7.6.6).
Определение 7.6.5. Тензор Н называется тензором теплопроводности (коэффициентом теплопроводности), а равенство (7.6.18) - обобщенным законом теплопроводности Фурье (см. пример 7.2.1). П
Отметим, что тензоры С, Л и Н, равно как и коэффициент теплоемкости с, являются физическими характеристиками среды.
С помощью (7.6.18) и второго уравнения в (7.6.12) из уравнений термодинамики можно исключить s. Тогда придем к равенству
. т.
сО +- V,(nvVyO) = 0.(7.6.19)
Р
Система уравнений (7.6.9), (7.6.15) и (7.6.19) (или (7.6.12) и (7.6.18)), очевидно, является замкнутой и описывает определенную выше модель анизотропной термоупругой среды.
Линейная изотропная термоупругость
Определение 7.6.6. Анизотропная термоупругая среда, характеризуемая тензорами С, Л и Н следующего частного вида:
С«Н=Х8У8И ^(gV+gVX Mj=Xgij, ^=Хт8\(7.6.20)
называется изотропной (от греч. isos - равный, одинаковый и tropos - поворот, направление) термоупругой.
При этом X и ц называются упруг ими постоянными Ламе, а = Л(ЗХ + 2ц) - коэффициентом линейного расширения, а Ху - коэффициентом теплопроводности. □
Отметим, что в этом случае тензоры АвН шаровые (см. определение 4.4.1).
Подставляя (7.6.20) в (7.6.15) и (7.6.18), получим (см. (5.8.8))
^ = "Мд^ + 2ЦЕ'-' - Кб^, ps =—О + ЛО, 0 = divn, (7.6.21) То
q = -Xr grad О.(7.6.22)
Для однородной среды (р, X, ц, Л и Xj- = const) имеем
div q = - XrAO.
И уравнение (7.6.19) преобразуется к виду
рсО + Т0Л0 - рХгДО = 0.(7.6.23)
Таким образом, для этой модели замкнутая система уравнений состоит из (7.6.9), (7.6.21) и (7.6.23) (или (7.6.12) и (7.6.22)).
Линейная теория упругости
Определение 7.6.7. Анизотропная упругая среда - частный случай анизотропной термоупругой среды, в которой все процессы изотермические или адиабатические (см. определение 7.6.2). □
Для этого случая из (7.6.15) для изотермических процессов (д = О) найдем
сУ=СуЫЕы.(7.6.24)
Из (7.6.15) следует, что в случае адиабатических процессов (s = 0) соотношение (7.6.24) сохраняется с заменой Сиы на СЦЫ, где
суи = Cijki + 7^ ^Аы,(7.6.25)
рс
Отметим, что в силу однозначности связи Q‘i и ен соотношения (7.6.24) можно разрешить относительно £«:
Еу=ПуЫоы,(7.6.26)
где П = Пуув'е^е1 - тензор четвертого ранга.
Онределение 7.6.8. Соотношения (7.6.24) и (7.6.26) называются законом Гука и обратным законом Гука, а тензор П - тензором податливости. □
Очевидно, для анизотропной упругой среды замкнутую систему образуют уравнения (7.6.9) и соотношения (7.6.24) (или (7.6.26)).
Определение 7.6.9. Изотропная упругая среда - частный случай изотропной термоупругой среды, в которой все процессы изотермические и адиабатические. □
Отметим, что в то же время эта модель - частный случай анизотропной упругой среды с тензором С, имеющим вид, указанный в (7.6.20).
Эта модель описывается уравнениями (7.6.9) н определяющими соотношениями, вытекающими для изотермических процессов нз (7.6.20), (7.6.24) и (7.6.25) (ср. с (7.6.21)):
а« = X9gij + 2це,:/.(7.6.27)
Из (7.6.20) и (7.6.25) следует, что для адиабатических процессов в этих равенствах необходимо заменить X и ц на
д2т
X. = Х +2-, ц. = ц.(7.6.28)
рс
Линейная вязкоупругость
Эта модель - пример сред, для которых определяющие соотношения (7.4.10) не являются функциями. В общем варианте нелинейной вязкоупругой среды модель упругого тела (7.6.1)-(7.6.3) модифици-
руется заменой функции V(e,y, 7) интегральным оператором и некоторой корректировкой соотношения (7.6.3). Не будем разбирать этот подход подробно и ограничимся линейными определяющими соотношениями и изотермическими процессами (см. (7.6.7)).
Определение 7.6.10. Сплошная среда, движение которой описывается уравнениями (7.6.9) и определяющими сооотношениями вида
cij = СииЕы + j V^^EhW dx,(7.6.29)
о
где Сии - компоненты тензора упругости, называется анизотропной наследственно-вязкоупругой."
При этом полагают, что равенства (7.6.29) разрешимы относительно Ецв виде
Ец = Пук1сы + J K^tV^X(7.6.30)
о
и ядра интегралов в (7.6.29) и (7.6.30) являются компонентами тензоров четвертого ранга. □
Очевидно, при Гуы = 0(Kijkl = 0) формулы (7.6.29) и (7.6.30) совпадают с (7.6.24) и (7.6.26), следовательно, получаем модель анизотропного упругого тела.
Если соотношения (7.6.29) и (7.6.30) не зависят от сдвига времени (ядра - функции разности (г - т)), то получим
си = СУЫЕЫ + Г^' *еы,еу = ПЦк1оИ + КЦк1 *сы,(7.6.31)
где знак "*" обозначает свертку по времени t.
Определение 7.6.11. Анизотропная наследственно-вязкоупругая среда с определяющими соотношениями (7.6.31) называется анизотропной нестареющей вязкоупругой. □
Переход к соответствующим изотропным моделям может быть выполнен аналогично (7.6.20).
Анизотропная вязкая жидкость
Определение 7.6.12. Вязкой жидкостью назовем СС, удовлетворяющую следующим условиям.
Тензоры напряжений и скоростей связаны между собой соотношением
sy =-р8«*тЧиы'). Р>0, Т'И =0.(7.6.32)
1ии=о
Среда является двухпараметрической, и в качестве определяющих параметров можно выбрать
ц1 = р, ц2 = s.(7.6.33)
Удельная внутренняя энтропия - однозначная функция цЛ
(7.6.34)(7.6.34)и = и (р, 5).
(7.6.34)
(7.6.34)
Для любого элементарного процесса справедливо равенство (.гипотеза Гиббса'0')
(7.6.35)
При этом скаляр р называется давлением, а тензор второго ранга
(7.6.36)(7.6.36)Т= ^е^
(7.6.36)
(7.6.36)
- тензором вязких напряжений.
Если функции т7фи) в (7.6.32) нелинейные, то жидкость называется стоксовой (неньютоновской). □
Отметим, что равенства (7.6.32) эквивалентны утверждению, что в покоящейся среде (V = 0) тензор напряжений является шаровым. Следовательно, для него любое направление - главное (см. § 4.4) и на любой площадке при V = 0 отсутствуют касательные напряжения (см. теорему 6.7.2).
В случае малых изменений скорости (dv = 0(5), 5 -> 0; см. § 6.6) эту связь можно линеаризовать и (7.6.32) представить в виде
-pgij-ьВуыиы,. V ы>Х=о-pgij-ьВуыиы,. V ы>Х=о(7.6.37)(7.6.37)
-pgij-ьВуыиы,
. V ы>Х=о
-pgij-ьВуыиы,
. V ы>Х=о
(7.6.37)
(7.6.37)
Очевидно, здесь числа BliU - контравариантные компоненты тензора четвертого ранга:
(7.6.38)(7.6.38)В = В^е^е^.
(7.6.38)
(7.6.38)
Определеппе 7.6.13. Вязкая жидкость, для которой соотношение (7.6.32) имеет вид (7.6.37), называется анизотропной вязкой (ньютоновской) жидкостью, соотношение (7.6.37) - законом Навье- Стокса, а тензор В - тензором вязких постоянных. □
Будем рассматривать движение такой среды в эйлеровых координатах и из системы (7.1.12) возьмем уравнения
—+ pdivv =0, р—= divS+pF;(7.6.39)
(7.6.40)
Они совместно с (7.6.37) (или (7.6.32)) составляют 16 уравнений
10 Гиббс (Gibbs G.W., 1839-1903) - американский физик-теоретик.
относительно 17 неизвестных, в которые входят p,s*j,p, ин и три компоненты вектора скорости V. То есть система (7.6.37), (7.6.39), (7.6.40) незамкнутая. И например, можно выбрать в качестве первого определяющего параметра Ц1 = р.
Термодинамические уравнения (7.4.1) запишем (5 = 0) в виде
P^ = ^+P9W, pT^ = pqW + w..(7.6.41)
При заданных ди^ и w. отсюда следует, что вторым определяющим параметром может быть ц2 = s.
Замыкание системы уравнений (7.6.37), (7.6.39)-- (7.6.41) проводится определяющими соотношениями, которые вытекают из (7.6.34) и (7.6.35):
(7.6.42)(7.6.42)ди т = —д(1 / р) ’ds
(7.6.42)
(7.6.42)
Покажем, что гипотеза (7.6.35) позволяет также найти плотность рассеяния энергии w., Для этого сначала введем следующее понятие.
Определение 7.6.14. Полная свертка Nx = тииу тензоров вязких напряжений Т и скоростей V называется мощностью тензора вязких напряжений. □
Теорема 7.6.2. Для анизотропной вязкой жидкости имеет место равенство
(7.6.43)(7.6.43)w. = Nx.
(7.6.43)
(7.6.43)
Доказательство. Сначала с использованием (5.11.20), (7.6.32) и уравнения неразрывности в (7.6.39) найдем мощность тензора напряжений:
Ns = $уиу = (-pgy + Т^)иу =-pdivv + Nx = — — + Nx. (7.6.44) '' 7р dt
Тогда из (7.6.41) и (7.6.42) получим
du = Tds +—(^ - w#^dt = Tds - pd(у/p) + ~\NX - w.^dt.
Сравнивая это равенство с (7.6.35), окончательно приходим к формуле (7.6.43). □
Очевидно, равенство (7.6.43) можно рассматривать в качестве одной из составляющих определения анизотропной вязкой жидкости.
Определеппе 7.6.15. Анизотропная вязкая жидкость, для которой (ср. с (7.6.20))
^ = Х^8Ы + 1^ V + ^gjk\(7.6.45)
называется изотропной вязкой жидкостью. □
Для этого варианта тензора вязких постоянных закон (7.6.37) выражают в следующем виде:
s'* = (-р + Xdivv ^g'* + 2ци 'Л(7.6.46)
В случае однородной среды (р, X и р = const) система уравнений (7.6.39) с учетом (7.6.40) и (7.6.46) преобразуется к виду
р ^- = pF-grad р + (Х + ц) grad divu + pAv, —+ pdivv =0.
dtdt
(16AT)
Определение 7.6.16. Первое уравнение в (7.6.47) называется уравнением Навье-Стокса, а числа X и р - коэффициентами вязкости. □
Очевидно, система (7.6.40)-(7.6.42) и (7.6.47) совместно с (7.6.43) замкнуты.
На задании q^ и на таких частных видах моделей, как несжимаемая среда, совершенный газ, адиабатические и изотермические процессы, останавливаться не будем. Отметим только, что, как можно показать, в этом случае требование изотермичности любого процесса эквивалентно баротропной (от греч. baros - тяжесть и tropos - поворот, направление) модели жидкости, для которой замкнутая система уравнений состоит из (7.6.47) и определяющего соотношения
р = р(р).(7.6.48)
Для этой модели механическая часть уравнений не связана с термодинамической.
Линейная вязкая жидкость
Определение 7.6.17. Модель, полученная линеаризацией уравнений анизотропной вязкой жидкости, называется линейной вязкой жидкостью. □
Этот общий вариант здесь рассматривать не будем и ограничимся только однородной изотропной баротропной вязкой жидкостью. Линеаризация (см. § 7.5) уравнений (7.6.47) и (7.6.48) относительно основного состояния (решения)
"о.Ро.Ро,^ =у0+5п, Р = Ро*6р, р = Ро+8р)
приводит к следующему результату (знаки приращения "5" опущены):
и + (v0, gradv) + (и, gradv0) = X- gradр + ^ + р х РоРо
(7.6.49)(7.6.49)p=p0Pop=p0Po—— grad divv0 + grad divv + v0 —— Д v0
(7.6.49)
(7.6.49)
p=p0Po
p=p0Po
< РоJ V Po
p + div(pov) + div(pvo) = O, p = c2p, c2=-^ dp
Если в основном состоянии среда покоится и является однородной:
(7.6.50)(7.6.50)(7.6.51)(7.6.51)V 0 = 0, Ро = const, Ро = const,
(7.6.50)
(7.6.50)
(7.6.51)
(7.6.51)
то из (7.6.49) найдем
•1. Х + Ц . .•*
и =gradр н—grad divv + v0 Av,
РоРо
р + Ро divv = 0, р = с2р.
На основании известной теоремы векторного анализа (теорема Гельмгольца) поле скоростей v представим в виде потенциальной и соленоидальной частей:"
и = grad Ф + rotф, divt^ = 0.(7.6.52)
Определение 7.6.18. Функции Фи ф в (7.6.52) называются скалярным и векторным потенциалами скоростей. □
Тогда можно показать, что (7.6.51) является следствием следующих уравнений:
ф = »0Аф,ф = »0Аф,(7.6.53)(7.6.53)е 2 . X + 2ц д ,
ф = »0Аф,
ф = »0Аф,
(7.6.53)
(7.6.53)
Ф = с 1 +— АФ,
( Рос ^)
divt^=0, р = -р0Ф + (Х + 2ц)<11уу.
Идеальная жидкость
Определение 7.6.19. Идеальной жидкостью называется такая СС, которая удовлетворяет соотношениям (7.6.32) при ту =0, (7.6.33) и (7.6.34). □
Замкнутая система в этом случае состоит из (7.6.40)-(7.6.42), где w, = 0, и уравнений, следующих из (7.6.47) при X = ц = 0:
du_ 1, dp
= Fgrad р, — + pdiw =0.(7.6.54) dt pdt
Определение 7.6.20. Первое из этих соотношений называется уравнением Эйлера. □
Акустическая среда
Определение 7.6.21. Акустической средой (жидкостью) называется линеаризованный вариант модели идеальной жидкости. □
Для баротропной среды соответствующие замкнутые системы могут быть получены при X = ц = 0 из (7.6.49):
v + (v0,gradv) + (v, gradv0) =grad р0 - — gradр,
Ро Ро
p + div(pov) + div(pvo) = O, p = c2p;
или из (7.6.51):
pov = - grad p, p + p divv = 0, p = c2p; или из (7.6.53):
Ф = с2АФ, р = - р0Ф, и = grad Ф.
(7.6.55)(7.6.56)(7.6.57)(7.6.55)(7.6.56)(7.6.57)Последние уравнения проясняют физический смысл параметра с - это есть скорость распространения волн (скорость звука) в среде.
(7.6.55)
(7.6.56)
(7.6.57)
(7.6.55)
(7.6.56)
(7.6.57)
ЛИТЕРАТУРА
К ЧАСТИ I
Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. - М.: Наука, 1972.-351 с.
Борисенко А.И., Таранов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. - М.: Высш, шк., 1966. - 252 с
Векуа И.Н. Основы тензорного анализа. - Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1967. - 137 с.
Кильчевский Н.А. Основы тензорного исчисления с приложениями к механике. - Киев: Наук, думка, 1972. - 148 с.
Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. - М.: Наука, 1965. - 426 с.
Мак-Коннел АДж. Введение в тензорный анализ. - М.: Фнзматгиз, 1963.-411 с.
Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. - М.: Изд-во МГУ, 1979.-223 с.
Поздняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. - М.: Изд-во МГУ, 1990. - 384 с.
Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: Наука, 1967. - 664 с.
Сокольников И.С. Тензорный анализ. - М.: Наука, 1971. - 374 с.
Схоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков, - М.: Наука, 1965.456 с.
К ЧАСТИ П
Бабкин А.В., Селиванов В.В. Прикладная механика сплошных сред. В Зт. Т. 1. Основы механики сплошных cpe.nl Под ред. В.В. Селиванова.- М.: Изд-во Ml "ГУ им. Н.Э. Баумана, 1998. - 368 с.
Жермен П. Механика сплошных сред. - М.: Мир, 1965. - 479 с.
Зоммерфельд А.А. Механика деформируемых сред. - М.: Изд-во иностр, лит., 1954. - 486 с.
Ильюшин АЛ. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во МГУ, 1990.310 с.
Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. - М.: Изд-во МГУ, 1973. - 163 с.
Колтунов М.А., Кравчук А.С., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого тела. - М.: Высш, шк., 1983. - 349 с.
Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Механика сплошных сред, - М.: Гостех- издат, 1953. - 788 с.
Ляв А. Математическая теория упругости, - М.; Л.: ОНТИ, 1935,674 с.
Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред, - М.: Мир, 1974.-318 с.
Прагер В. Введение в механику сплошных сред. - М.: Изд-во иностр, лит., 1963.- 311 с.
Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1988.-712 с.
Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. - М.: Наука, 1983, 1984.
Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - М.: Мир, 1975. - 592 с.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1974. - 320 с.
Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1984. - 295 с.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1965. - 432 с.
Постников М.М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. - М.: Наука, 1979. -312 с.
Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Изд-во МГУ, 1990. - 328 с.
Горшков Анатолий ГерасимовичРабииский Лев НаумовичТарлаконский Дмитрий Валентинович
ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗАИ МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Учебник для вузов
Зав. редакцией А.А. Фролова
Редактор издательства Л.С. АюповаХудожественный редактор Г.М. КоровинаТехнический редактор Т.В. ЖмельковаКорректоры Р.В. Молоканова, ЕЛ. Сысоева
Набор и верстка выполнены в издательствена компьютерной технике
ЛР № 020297 от 23.06.1997
Подписано к печати 07.02.2000. Формат 60 х 90 /^
Гарнитура Таймс. Печать офсетная
Усл.печ.л. 13,5. Усл.кр.-отт. 13,5. Уч.-издл. 12,3
Тираж 1000 экз. Тип. зак. П62
Заказное
Издательство "Наука”
117864 ГСП-7, Москва В-485, Профсоюзная ул., 90
ППП Типография “Наука" 121099, Москва, Шубинский пер., 6
^uancOaOOOKxxiaooaapcoot «ОООМОАЮйахюаооасо^.
Г Убедительная просьба
: На всбмъ читающинъ и разянатриваю- > щимь книги, эстампы фотограф™ и г д.
J 1) НикакИхъ лпдрисопокъ. раскраши-
I ван1й и отм^тОнъ не делать;
при перелистывании страница пальцы отнюдь не мочить;
перелистывать медленно И аккуратно, чтобы нечаянно углы ограни цъ и накле- енныхъ рисунков ь не Загнуть и не смять, а также прокладку иаъ папиросной йумз- ; ги между рисунками не испортить,
4} при раэсматривижи зстамповъ, фотографа и рисунковьеъкяигах-ьне курить И табачнымъ дымость ихъ не обдавать,-
передо начиломъ разсмзтривагйя и чтенш руки тщательно мыть: потными оу Ками также отнюдь не брать;
I 6) къ самому рисунку на зстамлахъ фо ‘ тограф<ямъ и т- Д- пальцами не л ри искаться;
Г 7) Обложку или переметъ книги пе- | ред-ъ чгемеиъ обертывать въ бумагу;
I 8) листы КНИГИ Для памяти не загибать, |9} въ карманахъ ннигъ не носить или
! же употребляя при этомъ особою предосто- I рожнист^ чтобы пниги не испачкались И
tie измялись.,
16
4 Лаплас (Laplace P.S., 1749-1827) - французский астроном, математик, физик.
6 Гаусс (Gauss C.F., 1777-1855) - немецкий математик.
4 Альманси (Almansi Е., 1869-1948) - итальянский механик.
4. А.Г. Горшков и др.
5 Сен-Венан (Saint-Venant В., 1797-1886) - французский ученый в области механики.
8 Нейман (Neumann F.E., 1798-1895) - немецкий математик.
ФЕДЕРАЛЬНАЯ ЦЕЛЕВАЯ ПРОГРАММА «ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОДДЕРЖКА ИНТЕГРАЦИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ
НА 1997-2000 ГОДЫ»
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ
А. Г. ГоршковЛ. Н. РабинскийД. В. Тарлаковский
основы
ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
И МЕХАНИКА
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Под редакциейакадемика Д. М. КЛИМОВА
Рекомендовано Министерством образованияРоссийской Федерации в качестве учебникадля студентов высших технических учебных заведений,обучающихся по машиностроительным направлениям
ВИ В ЛИО""W А
КОЛОйЗА
! ОСКОР^А
МОСКВА«НАУКА»2000
МИВ № 33 __ ) НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИеГ j ОДНИ РУКИ И 2Х В ДВЕ }
УДК 539.2/.6
ББК 22.151.5
Г 67
Издание осуществлено при финансовой поддержкеФедеральной целевой программы"Государственная поддержка интеграциивысшего образования и фундаментальной наукина 1997-2000 годы"
Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В.
Основы тензорного анализа и механика сплошной среды: Учебник для вузов. - М.: Наука, 2000. - 214 с.
ISBN 5-02-002494-5
Учебник состоит из двух частей: тензорного исчисления и механики сплошной среды. В первой части рассмотрена алгебра тензоров на линейных пространствах и пространствах с квадратичной метрикой. Даны основные понятия об инвариантах. Тензорный анализ строится в произвольных точечных евклидовых пространствах с частичным использованием теории римановых пространств. Во второй части на основе аппарата тензорного анализа в произвольных криволинейных системах координат излагаются основные разделы механики сплошной среды: теория деформаций и напряжений, термодинамика, замкнутые системы и постановка соответствующих начально-краевых задач. Дается обоснование линеаризованных моделей. Приводятся примеры классических моделей сплошных сред.
Для студентов вузов, изучающих механику сплошных сред и ее разделы, а также аспирантов соответствующего профиля.
Без объявления
ISBN 5-02-002494-5ISBN 5-02-002494-5© Центр "Интеграция", 2000 год
ISBN 5-02-002494-5
ISBN 5-02-002494-5
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
ЧАСТЬ I-
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Глава 1. Тензоры на линейных пространствах 7
Линейное пространство и сопряженное пространство7
Взаимные базисы. Контравариантные и ковариантные векторы 9
Тензорное произведение линейных пространств 12
Базнс в тензорном произведении. Координаты тензора15
Тензоры высших рангов. Произведение тензоров 20
Полилинейные формы и нх тензоры 25
Симметрирование и альтернирование 26
Свойства косых форм. Дискриминантный тензор 31
Глава 2. Тензоры в пространствах с кввдрвтичнон метрикой 36
Скалярное произведение и метрическая форма 36
Тензоры в пространствах с квадратичной метрикой38
Объем и дискриминантный тензор в евклидовом пространстве. Векторное произведение 44
Глава 3. Тензорный вналнз 48
Аффинное пространство 48
Изоморфизм аффинных пространств. Тензорное поле50
Точечное евклидово пространство. Криволинейные координаты 51
Ковариантное дифференцирование 56
Свойства ковариантных производных 60
Свойства символов Кристоффеля 62
Условия евклидовости пространства 64
Дифференциальные операторы и интегральные теоремы ...69
Ортогональные координаты. Физические компоненты тензора 73
Глава 4. Инварианты тензора 76
Определение инвариантов 76
Главные направления и главные значения тензора77
Тензорная поверхность 80
Специальные тензоры второго ранга 82
ЧАСТЫ!МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Глава 5. Кинематика и теория деформаций 86
Методы описания движения сплошной среды 86
Тензоры деформаций 93
Механический смысл компонент тензоров деформаций98
Инварианты тензоров деформаций 104
Связь тензоров деформаций с вектором перемещений ПО
Условия совместности деформаций 116
Малые деформации 121
Механический смысл малых деформаций 127
Уравнения совместности для малых деформаций 128
Тензор скоростей деформаций 131
Механический смысл скоростей деформаций 133
Глава 6. Динамика и теория напряжений 140
Классификация сил. Напряженное состояние 140
Уравнение неразрывности. Несжимаемая среда 144
Уравнения движения в интегральной форме 150
Тензор напряжений Лагранжа 154
Другие тензоры напряжений 160
Дифференциальные уравнения движения. Симметрия тензора напряжений 165
Инварианты тензора напряжений 170
Теорема о кинетической энергии 175
Глава 7. Термодинамика и замкнутые системы МСС 179
Термодинамические системы. Пространство состояний 179
Закон сохранения энергии. Уравнение притока тепла184
Уравнение баланса энтропии 189
Замкнутые системы МСС 195
Упрощения задач МСС 199
Примеры моделей СС 201
Литература 213
ПРЕДИСЛОВИЕ
Современное изложение механики сплошной среды базируется на тензорном исчислении или, по крайней мере, на его элементах. Настоящая книга состоит из двух частей - тензорного исчисления и механики сплошной среды. Во многих вузах их объединяют в единую дисциплину. Как известно, само название "тензор" происходит от имеющего чисто механическую природу латинского слова "tensus" - напряженный.
Учебник предназначен для студентов технических университетов. Он написан на основе лекций по тензорному исчислению и механике сплошной среды, которые в течение длительного времени читались слушателям школы механиков МАИ по специальности "Динамика и прочность машин". Авторы основывались на глубоком убеждении в том, что подобный материал для любых специальностей должен излагаться с достаточным уровнем математической строгости и доказательно. Этот уровень должен сохраняться, с возможным отказом от некоторых доказательств, но с обязательными комментариями об их необходимости. Поэтому книга может быть использована в учебном процессе не только для "механических", но и для других специальностей, например для "Прикладной математики". Для успешного освоения материала необходимо знание соответствующих разделов стандартного курса математического анализа, а также линейной алгебры в более широком объеме, чем это общепринято для инженерных специальностей.
Первая часть книги - основы тензорного исчисления - не претендует на полноту изложения этого раздела математики, поскольку ориентирована на потребности второй части. Для более глубокого понимания природы тензоров их алгебра сначала строится в линейных пространствах, а затем - в пространствах с квадратичной метрикой, в том числе в евклидовых. Тензорный анализ излагается в произвольных точечных евклидовых пространствах. При этом даются необходимые для второй части элементарные сведения о римановых пространствах. Для лучшего восприятия материала авторы сочли возможным включить фрагменты линейной алгебры. Некоторые разделы линейной алгебры (полилинейные формы, пространства с квадратичной метрикой, аффинные и точечные евклидовы пространства), зачастую не входящие в стандартные курсы, рассмотрены более подробно.
Во второй части книги авторы основывались на убеждении, что в общей системе образования инженера-механика "Механика сплошной среды" является фундаментальной дисциплиной, дающей общую методологию построения конкретных математических моделей сплошных
сред, которые рассматриваются в таких специальных дисциплинах, как гидродинамика, аэродинамика, теория упругости, теория пластичности и т.д. (подробнее см. в § 7.6).
Механика сплошной среды излагается с феноменологических позиций. Вначале сформулированы основные аксиомы, остальные - формулируются по мере необходимости. Теории деформаций и напряжений даются в произвольных криволинейных координатах со ссылками на соответствующий математический аппарат, приведенный в первой части. Понятие деформированного состояния вводится как нелокальная характеристика с дальнейшим переходом к классическим локальным величинам. В общей теории напряженного состояния учитывается не только вектор напряжения, но и моменты напряжений. Свойства тензора напряжений выводятся из уравнений движения. Строго обосновывается предельный переход к границе области, занимаемой сплошной средой. Описывается общий подход к построению замкнутых систем и обосновываются линеаризованные модели.
Теоретический материал сопровождается типовыми примерами. Относительно просто доказываемые утверждения сформулированы в виде упражнений для самостоятельной работы. Окончание изложения теорем, лемм, следствий, упражнений, примеров и замечаний отмечено специальным знаком "□".
Список литературы представлен не в полном объеме, а лишь указывает на источники, которые в той или иной мере были использованы при подготовке данного учебника. Особо выделена литература, рекомендуемая для восстановления или первоначального получения необходимых знаний по линейной алгебре.
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам за внимательное прочтение рукописи и ценные замечания, а также доктору технических наук, доценту В.А. Калинину и кандидату физико-математических наук, доценту А.Л. Медведскому, оказавшим большую помощь при подготовке соответственно первой и второй частей книги. Кроме того, авторы признательны старшему преподавателю О.В. Егоровой за огромную и кропотливую работу по подготовке рукописи.