Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Эта глава носит вводный характер. В ней определяются основные понятия теории динамических и, в том числе, волновых процессов, дается их классификация, и приводятся сведения об основных используемых в книге математических методах.
Классификация динамических процессов
Основной целью динамики сплошной среды является изучение процесса deuotcenua (просто deuotcenua^ материального тела G (материальной среды, занимающей геометрическую область G) — изменения во времени t состояния тела [19], т. е. характеристик среды. В качестве материи может рассматриваться сплошная деформируемая среда, поля различной природы (например, электрические, магнитные) и т. д.
Для изучения движения материальных тел используется их математическое описание, т. с. математические модели. Далее ограничимся рассмотрением только деформируемых твердых тел, их приближенных одномерных и двумерных моделей (стержней, оболочек и пластин), а также жидкости. Соответствующие математические модели, которые строятся на основе гипотез в соответствующих дисциплинах (в механике сплошной среды [15, 19, 20, 24, 35], теориях упругости и термовязкоупругости [14, 21-23, 27, 29, 30, 33, 34, 39], теории течения жидкости [25, 26, 28], теории оболочек и пластин [16-18, 31, 32, 37], сопротивлении материалов [7, 36, 38, 40, 41]) приведены в приложении А, где в основном представлены линейные модели.
В общем виде соответствующие начально-краевые задачи можно записать следующим образом:
A (u) = f, M(xJ')eG,
B(u)laG = g, i>io;(1.1.1)
C(u)U0=h, M^GG.
Здесь под геометрической областью G в зависимости от модели или конкретной задачи понимается одно-, двух- или трехмерное множество; М — геометрическая точка; 9G — граница области G; х^ — в общем случае криволинейные координаты (их число определяется размерностью множества G); А, В и С — операторш модели, граничных и начальных условий (вид задающих их области определения и значений пространств определяются конкретными моделями);
u = (их, ... ,Uk)T — вектор-столбец определяющих параметров модели среды [19] (его составляющие и^ = Ui(M, t) — скалярные поля, либо компоненты векторных или тензорных полей, совокупность которых однозначно и инвариантно относительно системы координат и конкретной задачи определяет состояние среды); f = (fi, . . . , fk)T и g = (gi,. . . ,gqy векторы-столбцы объемных и граничных, a h = = (hi, . . ., hp), где hj = (к-ц,. . . , К^зУ — матрица начальных возмущений, определяемых внешним воздействием на среду; to — начальный момент времени.
Если область G содержит бесконечно удаленные точки, то к граничным условиям добавляются условия на бесконечности, одним из вариантов которых является требование ограниченности решения:
Ui = 0(1), г —> оо,(1.1.2)
где г — длина радиуса-вектора.
Другой вариант условий на бесконечности указан в (1.3.6) и (1.3.7).
Далее будем полагать, что операторы А, В и С — линейные относительно искомого вектора и и имеют следующий матричный вид (он соответствует всем рассматриваемым линейным моделям):
А(п) = А^и — Ажи, А^ = УнгзУхк ’ Аж = ^ахгзУхк ’
к
(1.1.3)(1.1.3)В(и) = В^и, В, = (by) fe , 2q = Vay qi = max qy, z=lJ ’
(1.1.3)
(1.1.3)
(
Cntzi \
; I ? ^it — (^zl? ^i2, • • • ? Щр) ,
Ckt'U'k )
v^Ci3 = ^"V^^"1 (j < P%Y Cij = 0 (j > Рг\Рг = max Pij, p = max Pt, 3 = 1,кi=l,k
at%3 — однородные линейные интегродифференциальные операторы по времени t, содержащие производные максимальных порядков р^Д axij — однородные линейные дифференциальные операторы по пространственным переменным х3 порядков qij; ^q — порядок системы уравнений по пространственным переменным; bij — однородные линейные дифференциальные операторы порядков Тщ ^ Pij п0 времени и ^xij < ^q п0 пространственным переменным х3.
Среди всех возможных движений тел выделяют специальный тип. Движение тела G называется колебательным (или просто колебаниями) на конечном временном интервале [ЙД2] (на полубесконечном интервале t ^ tv tx ^ toY если на этом интервале все точки М Е G совершают колебания. Под колебаниями точки М на интервале \ti, ty (t ^ ti) понимают такой закон изменения во времени (траекторию движения) хотя бы одного определяющего параметра щ = и^М, t), для которого существует функция Ui* = Ui*(M, t), имеющая с траекторией более двух (счетное множество) точек пересечения на интервале \ti, ty
(^ ^ й)? т. е. уравнение и^М^ t) = u^M^ t) имеет более двух (счетное множество) корней (рис. 1.1.1). Как правило, и^(М, t) = и^(М) и соответствует положению равновесия тела. Если в области G существуют
Рис. 1.1.1
точки, совершающие колебания с разными законами движения, то такое движение называется волновим процессом (волнами).
Как правило, используются две классификации процессов движения материальных тел. Первая из них проводится по числу учитываемых пространственных переменных (размерности области G). Она изображена на рис. 1.1.2.
Рис. 1.1.2
Одно- и двумерные процессы — идеализация реальных трехмерных процессов. Математически условия их существования связаны с видом операторов, их правыми частями и типом области G в (1.1.1). Пусть криволинейная система координат х3 задана регулярным отображением [19]:
х = х(^): fl-,G (ПС/?3), (1.1.4)
где х = Xiei — радиус-вектор в прямоугольной декартовой системе координат с базисом ei, е2, 63.
Для существования двумерных процессов необходимо, чтобы
Q = Q12 х /3, (ж1, ж2) е П12 С R\ ж3 Е /3 С R;
9Q128G;
f = f (ж1, ж2, t) и h = h (ж1, ж2);
А [и (ж1, ж2, £)] = f (жх,ж2Д), В [и (ж1, ж2, £)] = g^1^2,t), С [и (ж1, ж2 Д)] = h (ж1, ж2 Д).
Для существования одномерных процессов необходимо, чтобы
Q = /1 х П2з, ж1 е Л С R, (ж2, ж3) е П23 С R2\
/19G;
f = f (ж1, Z) и h = h (ж1);
А [и (ж1, t)] = f (ж1, t^ В [и (ж1, t)] = g (ж1, t^ С [и (ж1, t^ = = h (ж1, t).
Вторая классификация связана с учетом или не учетом зависимости решения от времени (с рассмотрением полной начально-краевой задачи (1.1.1) или ее части; рис. 1.1.3).
Рис. 1.1.3
В последующих двух параграфах подробно рассматриваются элементы второй классификации.
Укажем также два частных случая стационарных процессов, которые не являются предметом рассмотрения в данной книге. Если А и В являются операторами только по пространственным переменным (вварианте (1.1.3) А(и) = — Ажии bij — дифференциальныеоператоры только по пространственным переменным), то такой стационарный процесс называется квазистатическим. Если дополнительно объемные f и граничные g возмущения не зависят от времени, то имеет место статическая задача.
Нестационарные процессы
Этим процессам (синонимы: переходные. неустановившиеся процессы) соответствует полная начально-краевая задача (1.1.1) с начальными условиями (см. рис. 1.1.3).
В связи с названием правых частей соотношений (1.1.1) для нестационарного процесса движения также используется наименование «процесс распространения возмущений». В зависимости от вида правых частей операторов в (1.1.1) используются названия нестационарных процессов (начально-краевых задач), указанные на рис. 1.2.1.
Подчеркнем, что используемое в литературе название свободные колебания есть синоним процесса распространения начальных возмущений.
Очевидно, что в силу линейности задачи общий случай нестационарного процесса может быть построен как суперпозиция всех трех указанных в классификации на рис. 1.2.1 процессов.
Кроме того, полностью неоднородную задачу (соответственно и задачу о распространении граничных возмущений) всегда можно свести
Рис. 1.2.1
к задаче с однородными граничными условиями (к совокупности задач о распространении объемных и начальных возмущений). С этой целью искомый вектор определяющих параметров представляется в виде суммы
u = w + u*,(1.2.1)
где и* удовлетворяет равенству
В (u*)|dG! = g, to.(1.2.2)
Тогда w есть решение следующей задачи:
A(w) = f*, M^G,
b(w)Lg = 0> # > #o;(1.2.3)
C(w)|t=t0=h„ M^^G,
где f* = f - A (u.) uh, = h- C (u*)|t=t .
Вектор u* наиболее просто подбирается в случае одномерных процессов (см. рис. 1.1.2), для которых оператор граничных условий имеет указанный в (1.1.3) вид и в него входят производные только по пространственным координатам, а область G является конечным интервалом (жд,Ж1). При этом граничные условия в (1.1.1) с учетом (1.1.3) задаются так (ж1 = ж):
ВОжи| = go, В1Жи| = gi,
т(1.2.4)
Втж — ^тИ^ qxk ’ ^m — (^lm^ • • • ? ^qm) (^ — 0, 1), где bm{j — однородные линейные дифференциальные операторы порядков rmij < 2q по пространственной переменной ж.
Соответственно вектор и* должен удовлетворять равенствам
ВОжи*|ж=жо = go, В1Жщ|ж=Ж1 = gi.(1.2.5)
Его можно разыскивать в виде многочлена
2g —1
и» =d/ж', d/ = (dy, dy,. .. ,diky ,(1.2.6)
<=o
подставляя который в (1.2.5), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов du*.
BdBdZ d! \\ d2g-i /Z d! \\ d2g-i /Z go A \ gi /Z go A \ gi /Bd =Bd =BooBioBooBioBoiBnBoiBnBp,29-1Bl,29-1Bp,29-1Bl,29-1
Bd
Bd
Z d! \
\ d2g-i /
Z d! \
\ d2g-i /
Z go A \ gi /
Z go A \ gi /
Bd =
Bd =
Boo
Bio
Boo
Bio
Boi
Bn
Boi
Bn
Bp,29-1
Bl,29-1
Bp,29-1
Bl,29-1
(1-2.7)(1-2.7)Bm/ — Втжж
(1-2.7)
(1-2.7)
Отметим, что эта система может иметь не единственное решение.
Для задач произвольной размерности с операторами вида (1.1.3), где bij — дифференциальные операторы только по пространственным переменным, естественным является другой подход, в котором и* удовлетворяет соответствующей квазистатической задаче с нулевыми объемными возмущениями:
Ажи* = О, Ba;u*|aG=g.Ажи* = О, Ba;u*|aG=g.(1.2.8)(1.2.8)
Ажи* = О, Ba;u*|aG=g.
Ажи* = О, Ba;u*|aG=g.
(1.2.8)
(1.2.8)
Ее решение может быть представлено в виде линейной комбинации статических решений и/*(7И):
9 и« = '£gluu,(1.2.9)
/=1
где гц* — решения статических задач
Ажи/* — 0,Вжи/*|^^ — £/.(1.2.10)
Здесь е/ — столбец, в котором все элементы нулевые за исключением Z-го, равного единице.
Свойства нестационарного волнового процесса (решения нестационарной задачи) целиком определяются оператором модели А. В одном случае, связанном, как правило, с гиперболическим видом этого оператора, при ограниченных носителях возмущений f и/или h, либо их отсутствии и отличном от нуля граничном условии может существовать поверхность
B(Z) :^(^Д) = 0,(1.2.11)
движущаяся со скоростью vn в направлении нормали к ней (см. приложение Г). При этом с одной (внешней) стороны этой поверхности сохраняется невозму именное состояние среды (состояние, имевшее место в начальный момент времени), а с другой (внутренней) — имеет место отличное от него (воз му именное) состояние. Такая поверхность называется волновым фронтом (волновой поверхностью^ ^п — скоростью его движения, а соответствующий процесс — нестационарным
волновым процессом или нестационарной волной (используется также упоминавшиеся ранее в другом смысле наименования волновой процесс или волна).
Как правило, на фронте волны П(£) имеются разрывы определяющих параметров или их производных. По степени гладкости определяющих параметров на П(£) различают следующие типы волновых фронтов. В зависимости от среды и выбора определяющих параметров задается число т Е N. Если производные порядка т — 1 непрерывны на П(£), а хотя бы одна производная порядка т терпит на этой поверхности разрыв, то это — фронт слабого разрыва. Если имеется разрыв хотя бы одной производной порядка т — 1, то П(£) называется фронтом сильного разрыва. Если же при условиях сильного разрыва некоторая линейная комбинация производных порядка т — 1 непрерывна на П(^), то это — фронт правильного сильного разрыва. Например, если Ui — координаты вектора перемещений, то т = 2, т. е. фронту слабого (сильного) разрыва соответствуют разрывы хотя бы одной второй (первой) производной от Ui на П(^).
Возможность наличия волновых фронтов вида (1.2.11) определяется существованием так называемых «функционально-инвариантных решений» (ФДж) — произвольные функции):
и^Ф^Г,^,#)] (I = 1,... ,р ^ к) (1.2.12)
однородного операторного уравнения
(1.2.13)(1.2.13)(1.2.14)(1.2.14)Au = 0.
(1.2.13)
(1.2.13)
(1.2.14)
(1.2.14)
При этом поверхности
П/(^): РЙ=0
являются характеристическими поверхностями и одновременно волновыми фронтами со скоростями vn/. Они в общем случае определяется не единственным образом, и их вид зависит не только от модели среды, но и от выбранной системы координат. Например, могут существовать плоские (см. гл. 2), сферические и цилиндрические (см. главы 3, 4) волновые фронты (волны).
Для однородных (свойства среды не зависят от точки области) линейных моделей часто вопрос о существовании решений вида (1.2.12) может быть решен следующим образом. Если существуют скалярные или векторные функции (потенциалы) ф^ которые связаны с и^ дифференциальными операторами Оф.
^г — Ог(ф11 • • • 1 фт)^г — Ог(ф11 • • • 1 фт)(1.2.15)(1.2.15)
^г — Ог(ф11 • • • 1 фт)
^г — Ог(ф11 • • • 1 фт)
(1.2.15)
(1.2.15)
и удовлетворяют уравнениям (А — оператор Лапласа х))
^^Atpj+gj,(1.2.16)
то, как следует из свойств волновых уравнений, решения вида (1.2.12) в нечетно мерных пространствах существуют [53].
В другом случае нестационарных волновых процессов, связанном, как правило, с параболическим видом оператора А, любые возмущения распространяются по всей области G мгновенно, т. е. в любой момент времени в любой точке тела состояние среды является возмущенным. При этом говорят, что возмущения распространяются с бесконечной скоростью. Например, такой процесс, как известно, описывает уравнение теплопроводности
= с2 Ди.(1.2.17)
В этом варианте иногда вводят понятие квазифронта — поверхности (1.2.11), на которой градиент хотя бы одного из определяющих параметров достаточно велик.
Стационарные процессы
Этим процессам (синоним — установившиеся процессы) соответствует, как указано на рис. 1.1.3, краевая задача (задача (1.1.1) без начальных условий). Следует отметить, что все природные явления являются нестационарными. Стационарные процессы есть либо их идеализация — приближенное решение при t —> оо (с этим связано наличие в названии синонима «установившиеся»), либо некоторые вспомогательные решения, с помощью которых конструируется решение нестационарных задач (см. п. Б этого параграфа).
Классификация стационарных процессов вместе с указанием на соответствующие задачи приведена на рис. 1.3.1.
Рис. 1.3.1
^Лаплас (Laplace P.S., 1749-1827) — французский астроном, математик, физик.
Заметим, что для стационарных процессов также возможен переход к задаче с однородными граничными условиями с помощью процедуры, аналогичной той, которая указана в § 1.2 (см. (1.2.1)-(1.2.7)).
Вынужденные гармонические колебания (гармонические волны). К ним относят решения (г — мнимая единица)
и(ж, ж, ж3, t) = и(ж\ ж2, ж3)егшс(1.3.1)
задачи (1.1.1) без начальных условий и при возмущениях вида
Г(жт, ж2, ж3, t) = f0(ж1, ж2, ж3)егш^
(1.3.2) g(ж1, ж2, ж3, t) = go(ж1, ж2, ж3)егшГ
Величины и(жх,ж2,ж3) и со называются амплитудой и частотой колебаний (волны, процесса). Физически комплексное решение (1.3.1) следует понимать как два процесса: его действительная часть изменяется во времени по закону coswZ, мнимая — по закону sin cot.
В силу линейности операторов А и В
A (Ue^) = e^A^U, В (Ue^) = e^B^U, (1.3.3) и из (1.1.1) получаем, что амплитуда есть решение следующей краевой задачи с параметром ио
A„(U) = fo, MeG; Bw(U)|^=g0.(1.3.4)
При наличии в теле бесконечно удаленной точки условие ограниченности решения (1.1.2) должно быть заменено условием излучения Зо- ммерфельда х), которое является условием существования единственного решения соответствующего (1.2.16) уравнения Гельмгольца 2)
ДФ, + ^ = gj, к2 = ‘4, к> 0,(1.3.5)
где Ф^ и gj — амплитуды функций (pj и gjfc^.
Это условие имеет вид (т — длина радиуса-вектора, г — мнимая единица) [53]:
— пространственная и одномерная задача
+ гкф = о , г —> оо;(1.3.6)
от\т /
— плоская задача
+ гкср = о (| , г —> оо.(1.3.7)
от\ Jr /
Кроме указанного выше смысла гармонических колебаний как установившегося процесса, решение (1.3.1) может рассматриваться как комплексное преобразование Фурье ^ решения нестационарной задачи (см. приложение В).
Б. Собственные колебания. Если возмущения при гармонических колебаниях отсутствуют, то из (1.3.4) получаем задачу на собственные значения (собственным значением является частота о?)
Аш (U) = О, MeG; Вш(и)|до = 0.(1.3.8)
При некоторых условиях (подробно см. § 1.5) на операторы Аш и Вш для ограниченных областей G решением этой задачи является счетный набор собственных значений (собственных частот; говорят также, что задача имеет дискретный спектр)
W(1.3.9)
и соответствующая ему система собственных функций (собственных форм, мод)
{ип(ж1,ж,ж3)} .(1.3.10)
Решения такой стационарной задачи вида
un = ип(ж1,ж2,ж3)е<Ып<(1.3.11)
называют собственными (свободными) волнами.
Они имеют двоякое значение. С одной стороны, при определенных условиях решение нестационарной задачи может разыскиваться в виде обобщенного ряда Фурье (см. § 1.5). Отметим, что для неограниченной области G спектр собственных частот может быть непрерывным. При этом ряд заменяется соответствующим интегралом Фурье.
С другой же стороны, при рассмотрении вынужденных гармонических колебаний знание спектра (1.3.9) позволяет по совпадению частоты вынужденных колебаний ш с одной из собственных частот судить о наличии резонанса — явления значительного увеличения (или обращения в бесконечность) амплитуды.
Автомодельные движения. В некоторых случаях операторов возможно уменьшение числа аргументов искомых функций за счет введения новых пространственно-временных переменных:
u = и (уг) , уг = уг (ж1, ж2, ж3, t) (г = 1, . . ., N < 4).(1.3.12)
Частным случаем таких процессов являются автомодельные движения, для которых
(1.3.13)
где число а называется показателем автомодельности.
Г. Прогрессивные волны. Под ними понимаются распространяющиеся вдоль прямой (в качестве таковой здесь для определенности выбрана ось Ох прямоугольной декартовой системы координат) волны, т. е. решения
и(ж,xj,t) = N^iy-^^-^ (g > О, с > 0)(1.3.14)
задачи (1.1.1) без начальных условий и при возмущениях вида
^x,xi,t^ = ^x^e-i4<X"Ct\ ^^ ^) = g^x^e-^-^ (1.3.15) или при отсутствии таковых.
Здесь и далее в зависимости от размерности исходной задачи j = 2 либо j = 2, 3.
Решения (1.3.14) имеют смысл для областей G, имеющих бесконечный размер вдоль оси Ох (бесконечный цилиндр, в общем, переменного сечения — волновод, полупространство, плоский бесконечный слой)
G = RxD. xER, М(х^) е D(x).(1.3.16)
Входящие в (1.3.14) величины имеют следующие названия: V(x^) — амплитуда (мода) волны q — волновое число, ш = qc — фазовая частота^ —q(x — ct) — фаза волны. Число L = 2тг/q называется длиной (периодом) волны. Кроме того, поскольку точка, в которой фаза сохраняет постоянное значение,
— q(x — ct) = const,(1.3.17)
перемещается со скоростью с, то эта величина называется фазовой скоростью.
Так же, как и при гармонических колебаниях, комплексное решение (1.3.14) следует понимать как два процесса: его действительная часть изменяется по закону косинуса, мнимая — по закону синуса.
В силу линейности операторов А и В (см. также (1.3.3))
А \уе-*-с^А =CV,
"’(1.3.18)
В [Уе"^(ж"с^] = e-iq^-ct^BqiCV
и из (1.1.1) получаем, что амплитуда есть решение следующей краевой задачи с параметрами q и с:
Aq,c(V)=f1, (ж2, ж3) € Dt^ B9,c(V)|dD = gl. (1.3.19)
Если возмущения отсутствуют, то из (1.3.19) для прогрессивных волн получаем задачу на собственные значения (собственным значением является фазовая скорость с):
А9,с (V) = О, ME D(xY В9,с (V)\6d = 0.(1.3.20)
Задача в общем случае неявным образом определяет зависимость
с = c(q)(1.3.21)
и соответствующую систему собственных функций (мод)
V9M.(1.3.22)
Среды (волны) называются дисперсными в том случае, если функция с^ / const, и без дисперсными в противном случае.
В теории стационарных волн используется также введенное Стоксом х) и Рэлеем ) понятие групповой скорости cg. которая определяется как скорость точки ж = ж*, в которой фаза волны стационарна, т. е.
^Н(^-с#)]=0,(1.3.23)
откуда следует
cg = ^ = c^qc\qY(1.3.24)
Из последнего равенства вытекает, что групповая и фазовые скорости совпадают только для бездисперсных сред.
Важность знания групповой скорости подтверждается следующими качественными рассуждениями. Рассмотрим группу волн вида (1.3.14) с близкими фазовыми частотами. Если в некоторой точке их фазы совпадают или близки, то в ней амплитуды отдельных волн складываются по модулю. Наименьшее различие фаз будет иметь место при условии (1.3.23). Поэтому определяемая формулой (1.3.24) групповая скорость есть скорость распространения максимума возмущения, образованного группой волн.
Понятие прогрессивных волн широко используется при рассмотрении волн, распространяющихся по поверхности полупространства или плоского слоя, в том числе, в сейсмологии и океанологии.
Оказывается, что прогрессивные волны аналогично гармоническим имеют непосредственную связь с преобразованием Фурье (см. приложение В). Только здесь преобразование должно проводиться по координате ж. Действительно, пусть
и(ж, ж7 Д) = у(ж — сТ ж-7)(1.3.25)
— решение задачи (1.1.1) без начальных условий и с правыми частями вида (1.3.25). Оно является частным случаем автомодельных решений (см. п. В этого параграфа).
Применим к (1.3.25) преобразование Фурье по ж (q — параметр преобразования). В результате получаем
[и(ж, ж-7, £)]F = vF (х\ у)егдсъ.(1.3.26)
В соответствии со свойствами преобразования Фурье функции v^q^x^ удовлетворяет задаче (1.3.19) (или (1.3.20)). Следовательно,
3) Стокс (Stokes G. G., 1819-1903) — английский физик и математик.
(1.3.27)(1.3.27)с учетом (1.3.14) находим, что при q > О vF(^J, q) = V(£J),
(1.3.27)
(1.3.27)
т. е. амплитуда прогрессивной волны — изображение Фурье функции v(x, х^ в (1.3.25) при q > 0. При этом (1.3.14) — подынтегральное выражение с точностью до постоянного множителя в интеграле обращения преобразования Фурье.
Фундаментальные решения
Решения неоднородных начально-краевых или краевых задач зависят от правых частей операторов. Поэтому при заданных операторах желательно иметь некие специальные функции, с помощью которых могут быть найдены решения неоднородных задач с произвольными правыми частями.
Фундаментальными решениями (функциями влияния, функциями Грина х)) задачи о распространении объемных возмущений (см. рис. 1.2.1) называются векторы G(x,£; ^т), удовлетворяющие следующим задачам (г = 1, . . . , &):
А(С*)=й, х G G, t^t0-
B(G‘)|„o = 0,(1.4.1)
С <G')L_10 = О, хе С.
где х = ж^, £ = ^е^ — радиусы-векторы в прямоугольной декартовой системе координат с базисом ei, 62, 63; х^ и & — их координаты; to ^ т < Г все компоненты вектора fj равны нулю за исключением г-й, которая совпадает с дельта-функцией Дирака 2) д(х — ^t — т) (см. приложение Б).
Здесь и далее везде по повторяющимся латинским индексам проводится суммирование в пределах от 1 до 3.
Как следует из линейности задачи, знание фундаментальных решений позволяет представить решение задачи о распространении объемных возмущений f = (/1, ...,/&) в интегральном виде:
t
(1.4.2)(1.4.2)и(х, Г)
(1.4.2)
(1.4.2)
to
Пусть оператор А в (1.4.1) инвариантен относительно сдвига по пространственной координате х^ т. е. для любых Xj и £ из области
Грин (Green G.^ 1793-1841) — английский математик и физик.
изменения переменной Xj разность Xj — £ также лежит в этой области и справедливо равенство (для определенности полагаем Xj = Ж3)
А [и Щ, ®2, ж3 - £, <)] = f ($1, ж2, ж3 - $, t). (1.4.3)
Если этим же свойством обладает и оператор В в (1.4.1), то фундаментальные решения зависят от разности аргументов по этой координате G2(x, t; £, т) = Gz (жх, Ж2, жз — ^ t\ ^1, ^2? ^) и в повторном интеграле, соответствующем тройному интегралу в (1.4.2), интеграл по £3 переходит в свертку по Ж3. При этом G2 (жх, Ж2, Ж3, t\ £i, £2? т) — решение задачи (1.4.1), в которой вместо правой части д(х — £, t — г) рассматривается § (жх — £1, Ж2 — ^2? ^з, t — т).
Отметим, что для того чтобы дифференциальные операторы Аж и Вж в (1.1.3) были инвариантны относительно сдвига, необходимо и достаточно, чтобы они имели постоянные коэффициенты, и область изменения соответствующей координаты совпадала со всей числовой прямой R или допускала периодическое продолжение решения на R.
Если Zo — 0 и операторы А и С в (1.4.1) инвариантны относительно сдвига по времени (в этом случае требование t — т ^ 0 является излишним, так как все рассматриваемые функции по времени имеют носитель в виде положительной действительной полуоси), то фундаментальные решения зависят от разности аргументов по времени G2(x,£; ^т) = = G2(x, t — т\ ^), и интеграл по времени в (1.4.2) переходит в свертку (она обозначена звездочкой):
(1-4.4)(1-4.4)u(x, t)
(1-4.4)
(1-4.4)
При этом G2(x,£; £) — решение задачи (1.4.1), в которой вместо правой части J(x — £, t — т) рассматривается б(х — ^t).
Отметим, что если оператор А£ в (1.1.3) — дифференциальный, то для его инвариантности относительно сдвига, необходимо и достаточно, чтобы он имел постоянные коэффициенты. Очевидно, что этим же свойством обладает оператор С, а также оператор свертки по времени. Таким образом, для всех рассматриваемых ниже линейных моделей (см. приложение А), включая вязкоупругую среду, справедлива формула (1.4.4).
Решение задачи о распространении начальных возмущений (см. рис. 1.2.1) может быть построено с помощью тех же объемных функций влияния G2(x, t; £, т). Для этого продолжаем нулем функцию u(x, t) на полуось t < to (H(t) — функция Хевисайда х):
(1.4.5)(1.4.5)u(x, t) = u(x, t)H(t — to)
(1.4.5)
(1.4.5)
Хевисайд (Heaviside О., 1850-1925) — английский физик и математик.
и рассматриваем соответствующую ей регулярную обобщенную функцию (см. приложение Б).
Тогда в случае оператора С вида (1.1.3) правые части начальных условий
U|,-O = h,(x): ^Ц-Ь^х), .... ^Ц = м*) (>.«)
являются разрывами первого рода функции u(x, t) и ее производных по t до порядка р — 1 в точке t = to- Следовательно, согласно формуле (Б.4.2), производная в обычном смысле дт\1/8tm связана с обобщенной производной 8mvvl8tm следующим образом (m = 1, . . . .р — 1):
дти "8?^дти "8?^р-£мхн(:р-£мхн(:(1-4.7)(1-4.7)
дти "8?^
дти "8?^
р-£мхн(:
р-£мхн(:
(1-4.7)
(1-4.7)
где 5^\t) — производная порядка j от дельта-функции Дирака (см. приложение Б).
Соответствующие значения А^и и А£ и оператора At связаны между собой так:
Atu = Atu - [Atu],Atu = Atu - [Atu],(1.4.8)(1.4.8)
Atu = Atu - [Atu],
Atu = Atu - [Atu],
(1.4.8)
(1.4.8)
р
[Atu] = ^dj^S^Ht -t0), d^x) = (db(x),.. .,<Mx))T , где [A^u] — разрывная часть значения оператора At, полученная только с учетом суммы в (1.4.7).
Подставляя (1.4.8) в первое уравнение для задачи о распространении начальных возмущений, где имеются ввиду производные в обычном смысле, и учитывая (1.1.3), приходим к задаче о распространении объемных возмущений вида
(1.4.9)(1.4.9)f(x, t) = [Afu] .
(1.4.9)
(1.4.9)
Применяя теперь формулу (1.4.2) и используя свойства дельтафункции, получаем следующее представление решения задачи о распространении начальных возмущений:
u(x, t)u(x, t)Е G*(x, t; t, т) £ dy^^T - to) d^ = г=1j=l
u(x, t)
u(x, t)
Если выполнены условия представления решения в виде свертки (1.4.4), то формула (1.4.10) приобретает вид (Zq = 0)
Наиболее распространенному виду оператора
= Мд?’= Мд?’/ рхо\ о’/ рхо\ о’оР1ооР1о0 \оРк /0 \оРк /(1.4.12)(1.4.12)соответствуют столбцы dj с элементами (по повторяющимся греческим индексам здесь и далее суммирования нет)соответствуют столбцы dj с элементами (по повторяющимся греческим индексам здесь и далее суммирования нет)^aj — Ра haj •^aj — Ра haj •(1.4.13)(1.4.13)Приведем два частных случая формулы (1.4.11) для операторов (1.4.12):— при р = 1Приведем два частных случая формулы (1.4.11) для операторов (1.4.12):— при р = 1u(x, t)u(x, t)— при р = 2— при р = 2к£G4x,t; МЖ,1г=1к£G4x,t; МЖ,1г=1(1.4.14)(1.4.14)
= Мд?’
= Мд?’
/ рх
о
\ о’
/ рх
о
\ о’
о
Р1
о
о
Р1
о
0 \
о
Рк /
0 \
о
Рк /
(1.4.12)
(1.4.12)
соответствуют столбцы dj с элементами (по повторяющимся греческим индексам здесь и далее суммирования нет)
соответствуют столбцы dj с элементами (по повторяющимся греческим индексам здесь и далее суммирования нет)
^aj — Ра haj •
^aj — Ра haj •
(1.4.13)
(1.4.13)
Приведем два частных случая формулы (1.4.11) для операторов (1.4.12):
— при р = 1
Приведем два частных случая формулы (1.4.11) для операторов (1.4.12):
— при р = 1
u(x, t)
u(x, t)
— при р = 2
— при р = 2
к
£G4x,t; МЖ,1
г=1
к
£G4x,t; МЖ,1
г=1
(1.4.14)
(1.4.14)
^G^x,#; ^pihu® d^ +^G^x,#; ^pihu® d^ +\^G4M,f, QpJi^W\^G4M,f, QpJi^W
^G^x,#; ^pihu® d^ +
^G^x,#; ^pihu® d^ +
\^G4M,f, QpJi^W
\^G4M,f, QpJi^W
GGG
G
G
(1.4.15)
Здесь и далее точками над буквой обозначены производные по вре-
мени.
Рассмотрим теперь криволинейную систему координат х. задаваемую регулярным отображением (1.1.4). Выполняя в тройном интеграле в (1.4.2) замену переменных, приходим к аналогичному (1.4.2) представлению решения в криволинейной системе координат:
и(х3,=и(х3,=td/гСО Vtd/гСО Vс кс кX3 , t; ^X3 , t; ^(1.4.16)(1.4.16)
и(х3,=
и(х3,=
t
d/г
СО V
t
d/г
СО V
с к
с к
X3 , t; ^
X3 , t; ^
(1.4.16)
(1.4.16)
где С^ж-7, I; Е3 т) = G2 [х ^х3^ t\ ^ (^) , т] | J (^) |, a J (^) — якобиан х) отображения (1.1.4).
При этом векторы G2 (х t; ^^ т) есть решения задач (1.4.1), в которых все физические координаты вектора fj равны нулю за исключением г-й, которая совпадает с функцией б(х3 — £3 ^t — т). Если по какой- либо криволинейной координате выполнены условия инвариантности относительно сдвига, то остаются справедливыми сделанные выше выводы относительно свертки по этой координате.
Функции влияния также могут быть введены и для задачи о распространении граничных возмущений (см. рис. 1.2.1). Поверхностными фундаментальными решениями (поверхностными функциями влияния. поверхностными функциями Грина) называются векторы G^(x, Г ^TY являющиеся решением следующих задач о распространении граничных возмущений (г = 1, . . . .fc):
(1.4.17)(1.4.17)A (G^) = О, х G G, t^^В (^n) |^G = ^’^
(1.4.17)
(1.4.17)
C(G«n)|t=to = O, M^HG,
где £ 6 dG, to ^ т ^ t и все компоненты вектора g^ равны нулю за исключением г-й компоненты, которая совпадает с сосредоточенной на поверхности 8G дельта-функцией S9G(x — ^t — т) (см. приложение Б).
С использованием этих функций решение задачи о распространении граничных возмущений g = (gi, . . . , g^) аналогично (1.4.2) можно представить в интегральном виде
си(М, t) =СОси(М, t) =СОдт8Gдт8G52 Gii(x,#; ^gt ^T^dS.г=152 Gii(x,#; ^gt ^T^dS.г=1(1.4.18)(1.4.18)
с
и(М, t) =
СО
с
и(М, t) =
СО
дт
8G
дт
8G
52 Gii(x,#; ^gt ^T^dS.
г=1
52 Gii(x,#; ^gt ^T^dS.
г=1
(1.4.18)
(1.4.18)
При выполнении указанных выше условий интеграл по времени в (1.4.18) переходит в свертку. Если выполняются указанные условия по пространственной координате Xj и эта координата является параметром в параметризации поверхности 9G, то соответствующая составляющая повторного интеграла, к которому сводится поверхностный интеграл в (1.4.18), также переходит в свертку.
Для операторов А и В специального вида можно получить формулы, выражающие поверхностные функции влияния через объемные. Для этого используются теоремы взаимности типа формулы Бетти ^ [29] для линейной теории упругости или введение аналогично (1.4.5) регулярной обобщенной функции
u(x, t) = u(x, t)H(Gyu(x, t) = u(x, t)H(Gy(1.4.19)(1.4.19){1 при х 6 G, О при х 6 G,
u(x, t) = u(x, t)H(Gy
u(x, t) = u(x, t)H(Gy
(1.4.19)
(1.4.19)
где H(G) — характеристическая функция области G.
Однако, как правило, связь объемных и поверхностных функций влияния оказывается достаточно сложной, и решение задачи о распространении граничных возмущений строится отдельно.
В другом подходе к решению задачи о распространении граничных возмущений с помощью объемных функций влияния применяется процедура (1.2.1)-(1.2.3) перехода к однородным граничным условиям. Пусть при f = 0 и h = 0 известен вектор и*, удовлетворяющий соотношению (1.2.2). Тогда w есть решение задачи (1.2.3) при f* = —А (и*) и h* = — С (u*)|f=fQ, которая в соответствии с (1.1.3), (1.4.8) и (1.4.9) эквивалентна задаче о распространении объемных возмущений:
f = -A (u*) + [Atu*] = —Atu* + Ажи* + [Atu*] = -Afu* + Ажи*,
(1.4.20) где и* — регулярная обобщенная функция, построенная по правилу (1.4.5).
Используя теперь (1.4.2) (или (1.4.4)) и (1.2.1), получаем следующее интегральное представление решения задачи о распространении граничных возмущений:
u(x, £) = u*(x, £) +
^, т) [а^щ ^ т) - Хи^ ^ т)] ^ (1.4.21)
ИЛИ
где АЖг и Хи — 2-е строки матриц АжДля оператора Xt вида (1.4.12)где АЖг и Хи — 2-е строки матриц АжДля оператора Xt вида (1.4.12)* рА^и* (У t) - Atju* (У i) | <<У
где АЖг и Хи — 2-е строки матриц АжДля оператора Xt вида (1.4.12)
где АЖг и Хи — 2-е строки матриц АжДля оператора Xt вида (1.4.12)
Ma^1* (^ t) — Pa g^pMa^1* (^ t) — Pa g^p(1.4.23)(1.4.23)(1.4.22) и At.
Ma^1* (^ t) — Pa g^p
Ma^1* (^ t) — Pa g^p
(1.4.23)
(1.4.23)
и справедлива формула (1.4.22), которая с учетом свойств свертки (см. приложение Б) преобразуется так
u(x, t) = u*(x, t) +
а ю л /=dpG4x,t; У
G (х, #; У * А^и* (у t) - pt^-^ * u»i
(1.4.24)
Для некоторых видов оператора Аж интегралы от слагаемых G“(x, Z; Ут)Ажаи*(Ут) могут быть преобразованы с помощью
формулы Остроградского х)—Гаусса ) [19]. Наиболее простой вид представления (1.4.21), (1.4.22) и (1.4.24) приобретают в том случае, когда Ажи* = 0. Это, например, имеет место, когда вектор и* является решением квази стати ческой задачи (1.2.8) или многочленом по пространственным координатам, степень которого меньше минимального порядка производных в операторе Аж.
Естественно, успех применения равенств (1.4.21), (1.4.22) и (1.4.24) целиком зависит от возможности построения вектора и*. Наиболее просто этот вопрос решается для одномерных задач (см. (1.2.4)-(1.2.7)).
Для одно- и двумерных процессов (см. §1.1) могут быть построены формулы, аналогичные (1.4.2) и (1.4.18). Прежде всего, отметим, что из инвариантности операторов А и В в (1.4.1) относительно сдвига по координате ж3 (по координатам или ж2 и ж3) вытекает существование двумерных (одномерных) процессов. Действительно, например, в случае инвариантности по координате ж3, полагая в (1.4.3) ж3 — £ = const, получаем
А [и (ж1, ж2, const, t^ = f (ж1, ж2, const, t^ .(1.4.25)
Считая, что указанная инвариантность имеет место, для задач меньшей размерности из формулы (1.4.16) получаем
— двумерные задачи (и = и(жх,ж2Д), Q = Q12 х /3, (ж1, ж2) 6 6 П12 С R\ ж3 6 /3 С R; в задаче (1.4.1) для G2 (жт,ж2Д; ^хД2,т) используется правая часть §(ж1 — £х, ж2 — £2 Д — т)):
tк
и(жх, ж2, t) = | dr I 52 G2 (ж1, ж2, £; ^, £2, т) ft (^, £2, т) d^d^ ^о ^12^х(1.4.26)
G2 (ж1, ж2, £; ^, £2, т) = | G2 (ж1, ж2, ж3, £; ^, £2, т) dx3^
— одномерные задачи (и = и(жхД), Q = Д х П2з, ж1 6 Д С R. (ж2, ж3) 6 Q23 С 7?2; в задаче (1.4.1) для G| (жхД; £\ т) используется правая часть (Дж1 — ^ Д — т)):
и(ж1, Ж2, Z) = dr 52 ®1 (Ж\ ^ ^ Т) fi (^ Т) ^^
<0 h i=1(1.4.27)
G| (ж1, t; ^, т) = j| G’ (ж1, ж2, ж3, t\ ^ т) dx2dx3.
^23
Остроградский М.В. (1801-1861/62) — русский математик, механик.
Если имеет место равенство Q23 — 7? х 7з (ж2 6 /2 С 7?), то функции влияния для одномерной и двумерной задач связаны между собой так:
Gj (ж1, 7; ^, т) = | G2 (ж1, ж2, 7; ^, т) dx1.(1.4.28)
Совершенно аналогичным образом определяются фундаментальные решения для задач о вынужденных гармонических колебаниях и о прогрессивных волнах (см. § 1.3). Естественно, в этих случаях они зависят только от пространственных координат и удовлетворяют соответствующим краевым задачам. При этом в формулах (1.4.2), (1.4.18) и (1.4.16), (1.4.26) и (1.4.27) интегрирование проводится только по пространственным координатам.
Метод разделения переменных
При рассмотрении задач для конкретных моделей в книге основное внимание уделяется аналитическим методам решения с использованием интегральных преобразований, основы теории которых представлены в приложении В, а также полного или неполного разделения переменных (метода Фурье).
В этом параграфе изложим основы метода разделения переменных. Напомним его схему [44] применительно к полностью неоднородной нестационарной задаче (1.1.1) (см. также рис. 1.1.3). При этом будем полагать, что операторы в (1.1.1) имеют вид (1.1.3), и для простоты ограничимся вариантом одного определяющего параметра (& = 1):
и = и, А = А = an, At = At = ащ^ Аж = Аж = ажш
f = /, В = Вж = (6ц, 621,.. ., МТ ,(1.5.1)
С(и) = СИП1, h = (Лц, . . ., hip), hj = hM.
В случае неоднородных граничных условий сначала применяем процедуру перехода к однородным граничным условиям (см. (1.2.1)(1.2.3)): искомую функцию представляем в виде суммы
и = w + и*,(1.5.2)
где и* удовлетворяет равенству
В (^*)|^G! ~8?^ ^ ^о-(1.5.3)
Тогда w есть решение следующей задачи:
A (w) = /*, M(xj) Е G, t ^ 70;
В (w)|^g = 0, t ^ to",(1.5.4)
C(w)U0=K, M^eG.
где /* = / - А (и*) и h* = h - С (n*)|t=tQ.
Полагаем дополнительно, что в оператор В входят производные только по пространственным координатам, a At и Аж имеют обеспечивающий разделение переменных следующий вид:
At = pi^^x^^^Lt, Ax=p^Lx,(1.5.5)
где Lt и Lx — однородные линейные дифференциальные операторы соответственно по времени и пространственным координатам с зависящими только от этих координат коэффициентами.
Тогда частное решение однородного уравнения A (w) = 0 можно представить в виде произведения
(1.5.6)(1.5.7)условия в(1.5.6)(1.5.7)условия ви^х1, ж2, ж3, £) = ^(ж1, ж2, ж3)Т(£).
(1.5.6)
(1.5.7)
условия в
(1.5.6)
(1.5.7)
условия в
В результате приходим к равенству
ьх^ = w) = _ЛД1 (ж1 , ж\ Ж3)Х P^(t)T ’
где А — константа разделения.
Подстановка представления (1.5.6) в граничные
(1.5.4) с учетом (1.5.7) приводит к краевой задаче на собственные значения*.
— Lx(X) = АцХ, (ж1, ж2, ж3) е G;
(1.5.8)
BW|dG = 0.
Алгоритм ее решения состоит в следующем. Записывается общий интеграл уравнения (если он известен), который, кроме пространственных переменных ж1, ж2, ж3, зависит от произвольных функций С1(жх, ж2, ж3), . . . , С29(жх, ж2, ж3) и параметра А. Подстановка этого интеграла в граничные условия в (1.5.8) приводит к системе уравнений относительно граничных значений функций Ci, . . . , C^q- Условие существования нетривиального решения этой системы дает характеристическое уравнение, корнями которого являются собственные значения (собственные числа) А. Множество собственных значений называется спектром задачи (1.5.8). После подстановки чисел А из спектра в общий интеграл уравнения получаем соответствующее множество собственных функций (собственных форм, мод). В нем для каждого А учитывается максимальное число отвечающих ему линейно независимых собственных функций. Это число называется кратностью А.
Отметим, что собственные функции определяются с точностью до постоянного множителя.
Наиболее простой и в тоже время часто встречающийся случай задачи на собственные значения — ее одномерный вариант: X = X(ж), ж 6 (жд, Жх) (интервал (жд, Жх) может быть как конечным, так и полу- бесконечным). При этом однородные граничные условия в (1.5.8) имеют соответствующий (1.2.4) вид
ВОж^|ж=Жо = О, В1ЖХ|Ж=Ж1 = 0,(1.5.9)
уравнение в (1.5.8) является обыкновенным дифференциальным, и его общее решение есть линейная комбинация функций У1,. . . , У2(?, входящих в фундаментальную систему решений:
(1.5.10)(1.5.10)29
(1.5.10)
(1.5.10)
х = ^с№\ А),/=1
/ С1 \D(A) := О,/ С1 \D(A) := О,где Ci, . . . , C^q — произвольные постоянные. Подстановка (1.5.10) в (1.5.9) приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных (см. также (1.2.7))
/ С1 \
D(A) := О,
/ С1 \
D(A) := О,
(Dqi D02• • •Do 2q
(1.5.11)(1.5.11)12
(1.5.11)
(1.5.11)
Du D12. . .Do,2q
Dm/ — Втж^\х=;Ст .
Условие существования нетривиального решения системы (1.5.11)
detD(A) = 0(1.5.12)
и есть характеристическое уравнение для одномерного варианта задачи на собственные значения.
При некоторых условиях (для частных случаев они будут указаны ниже) на операторы Аж, В и ограниченности области G эта задача определяет счетное множество собственных значений (задача имеет дискретный спектр)
{Ап}(1.5.13)
и соответствующую ему систему собственных функций
{Х^ж1, ж2, ж3)} ,(1.5.14)
которая, напомним, строится с учетом максимального числа линейно независимых собственных функций, отвечающих каждому Ап.
Будем считать, что система (1.5.14) является полной и ортогональной в некотором пространстве №(G) со скалярным произведением (X, У). Это пространство определяется видом оператора Ьж и функции Р1(жх,ж2,ж3) в (1.5.8). Тогда решение задачи (1.5.4) разыскивается в виде ряда
w = ^2 Тп^Х^х1, ж2, ж3).(1.5.15)
Аналогичными рядами представляются правая часть уравнения и начальные условия в (1.5.4):
/ = — = ^.М^гДаЛж2,^3), h* = 52Ьп(#)Хп(ж1,ж2,ж3),
(1.5.16)
"||х„ц2 ’
где ||Х|| = д/(X, X) — норма функции X.
Подстановка рядов (1.5.15) и (1.5.16) в уравнение и начальные условия в задаче (1.5.4) с учетом соответствующего равенства в (1.5.7) приводит к совокупности независимых начальных задач относительно функций Tn(ty.
AtkT^ + Anp2(Z)Tn = /п, t > t0- С (Tn)|.=.o = hn. (1.5.17)
Их решение может быть найдено любым известным методом, в том числе и с помощью преобразования Лапласа по времени (см. приложение В).
Таким образом, искомая функция в соответствии с (1.5.2) и (1.5.15) определяется так
и = tz*(1.5.18)
Рассмотрим два наиболее распространенных частных случая операторов Аж и At в (1.5.5): р^ = 1 и Lt = Эр/8tp, гдер = 1 или р = 2. При этом задачи (1.5.17) принимают следующий вид (см. также (1.4.12) и (1.4.6)):
— при р = 1
Тп ХпТп = fn. t^tQ, Tn\t=tQ = ho;(1.5.19)
— при p = 2
Tn + AnTn = /n, t ^ to; Tn\t—tQ = ho, Tn|, , = ^i-(1.5.20)
Фундаментальные системы решений однородных (/n = 0) уравнений в (1.5.19) и (1.5.20) соответственно имеют вид
e"w;(1.5.21)
e-tV^ etV^,(1.5.22)
где под квадратным корнем понимается одна из его ветвей.
Отсюда следует, что при указанных ограничениях эквивалентным способом построения задачи на собственные значения (1.5.8) является подстановка в однородное (/* = 0) уравнение и граничное условие в (1.5.4) вместо (1.5.6) следующих произведений:
— при р = 1
ги(х\х\ ж3, Г) = Х(ж\ ж2, ж3)е"Ап£;(1.5.23)
2 А. Г. Горшков и др.
— при р = 2
w(x\ ж, ж, t) = Х(ж\ ж2, х^е1^-^ .(1.5.24)
Если при р = 2 собственные значения неотрицательные (Ап ^ 0), то уравнение (1.5.20) принимает вид
Tn + с^2Тп = /п, шп = д/Ап .(1.5.25)
Поскольку функция exp (zwn£) — частное решение однородного уравнения (1.5.25), то при и* = 0 в этом случае каждый член ряда (1.5.18)
Т^Х^ж1, ж2, ж3) = Хп(жт, ж2, ж3)егШпС(1.5.26)
— частное решение однородного уравнения в (1.5.4). Сравнивая его с (1.3.11), приходим к выводу, что произведения (1.5.26) — собственные волны, соответствующие однородной задаче (1.5.4) без учета начальных условий, а шп — собственная частота.
Приведем теперь свойства некоторых задач на собственные значения (1.5.8) применительно к рассматриваемым ниже математическим моделям (см. приложение А).
Во многих случаях Ьж в (1.5.5) является оператором второго порядка (g = 1) и имеет вид
£Ж(Х) ={div [^(ж1, ж2, ж3) grad — х(ж\ ж\ ж3)Х} , рз(ж , ж , ж ) LJ
(1.5.27) а соответствующее граничное условие в (1.5.8) записывается так:
В (X)|aG = [«(ж1, х\ ж3)Х + 3<x\x\x^^ QG = о, (1.5.28)
где п — вектор внешней нормали к поверхности 9G.
Уравнение в (1.5.8) с учетом (1.5.27) преобразуется следующим образом:
— div [^(ж1, ж2, ж3) grad X] + х(ж\ Ж^Х = Ар(ж\ ж2, ж3)Х,
ж1, ж2, ж3) Е G, где
р(ж\ ж2, ж3) = Д1(жх, ж2, ж3)рз(жх, ж2, ж3),(1.5.30)
Это уравнение совместно с (1.5.28) называется задачей Штурма х) - Лиувилля 2) [44, 42].
2) Штурм (Sturm J. S. F.. 1803-1855) — французский математик, иностранный член-корреспондент Петербургской АН.
Пусть выполняются условия (G = G U 8G — замыкание области G):
x^O^G), XipeC^, a,PEC^dGY
_(1.5.31)
х, р > О, X ^ 0, (ж1, ж2, ж3) 6 G; а2 + /З2 ^ 0.
Тогда для задачи (1.5.28), (1.5.29) справедливы следующие свойства собственных значений и функций, обеспечивающие возможность применения указанной схемы решения начально-краевой задачи методом Фурье:
Множество собственных значений (1.5.13) действительное, непустое и не имеет конечных предельных точек.
Для каждого собственного значения существуют действительные собственные функции, принадлежащие области определения Dl оператора Lx, т. е. множеству таких функций АД ж1, ж2, ж3), что
X € С^ПСДС), L^X^C^G-,pY B(X)|9G=0, (1.5.32)
Здесь £?(G; р) — пространство интегрируемых с квадратом и весом р функций. Скалярное произведение в нем определяется так:
(Х,У) = |ДрХУ^х.(1.5.33)
G
Собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны в смысле скалярного произведения (1.5.33).
Кратность каждого собственного значения не более двух. Систему собственных функций можно выбрать так, чтобы она была ортогональной (в случае необходимости используется процесс ортогонализации).
Если множество собственных функций (1.5.14) счетное, то
(теорема Стеклова х)) любая функция г^жДж^ж3) Е Dl раскладывается в абсолютно сходящийся в £i(G; р) ряд по системе собственных функций:
w = ^и)пХп(ж1,ж2,ж3), wn =(1.5.34)
система собственных функций полна в C^G*, р), т. е. любая функция г^жДж^ж3) Е £2(6; р) раскладывается в сходящийся ряд типа (1.5.34).
При дополнительном условии
а/З > 0, (ж1, ж2, ж3) е G(1.5.35)
множество собственных значений — счетное, любое собственное значение — неотрицательно, и все они могут быть расположены в виде
Д Стеклов В. А. (1863/64-1926) — русский математик, академик Петербургской АН и АН СССР.
2*
возрастающей неограниченной последовательности
О < Ai < А2 < . .., lim Ап = оо.(1.5.36)
Для того чтобы Ад = 0 было собственным значением, необходимо и достаточно, чтобы ^ = 0и« = 0. При этом оно является простым. т. е. имеет кратность, равную единице.
Отметим один — далее часто используемый в одномерных процессах (см. § 1.1) — частный случай задачи (1.5.28), (1.5.29) при G = (жщ жД, а именно:
— [x^)X']Z + хкх^ = ^ркх^^ х ^ (^о5 ^1);
।।(1-5.37)
(а0Х + /30Х')=0, (щХ + ^Х')= 0,
1ж = Жд1ж = Ж]
для которого выполняются вытекающие из (1.5.31) условия
X € С1 ([ж0,Ж1]), х, р € С([ж0,Ж1]) (а,/Зе/?);
х, р > 0, X ^ 0, жЕ[ж0)Ж1];(1.5.38)
«о + /^о °, а( + ^( 0.
При этом остаются справедливыми указанные выше свойства 1, 2, 5 и 6. Свойство 3 заменяются следующим.
3*. Каждое собственное значение простое и система собственных функций является ортогональной.
А в свойстве 6 условие (1.5.35) следует читать так:
«о/5о < 0, «1X31 > 0.(1.5.39)
При этом для выполнения приведенных свойств задачи на собственные значения условия (1.5.31) и (1.5.35) (или (1.5.38) и (1.5.39)) являются достаточными.
Для операторов Ьж в (1.5.5) более высокого порядка условия, обеспечивающие аналогичные задаче Штурма-Лиувилля свойства задач на собственные значения, приведены, например, в [49].
Отметим также, что вес р скалярного произведения (1.5.33) часто может быть определен без использования соответствующих теорем по известным свойствам функций, входящих в фундаментальную систему решений однородного уравнения или системы уравнений типа (1.5.8). Счетность множества собственных значений во многих случаях также непосредственно следует из определяющего их уравнения.
Ортогональность собственных функций и не отрицательность собственных значений для используемых в книге математических моделей (см. приложение А) может быть доказана с помощью соответствующих данной модели энергетических теорем. Покажем это на примере линейно упругой среды.
Движение неоднородной упругой анизотропной среды при отсутствии массовых сил (F2 = 0) и изменения температуры (^ = 0) описывается, например, уравнениями (А.1.39):
ри1 = V, ^к1Чки^ ,(1.5.40)
где р — плотность, Сг^к1 — тензор упругих постоянных, ui и иг — ковариантная и контравариантная компоненты вектора перемещения и, Vj — оператор ковариантного дифференцирования.
Подставляя сюда, согласно (1.5.24), произведение
-щ = Ui(x\ ж2, х3)ег^~*,(1.5.41)
получаем уравнение относительно компонент ^/(жх,ж2,ж3) вектора- функции U:
Vj (CiiklVkUt) + р\1Р = 0.(1.5.42)
Оно вместе с однородными граничными условиями, соответствующими (А.1.21) или (А.1.22)-(А.1.24), образует задачу на собственные значения А с отвечающими им собственными векторами-функциями U. Потребуем только, чтобы граничные условия (1.5.8) удовлетворяли равенству (оно выполняется, в том числе для всех упомянутых выше условий)
(P,U)|dG=-A;2(U,U),(1.5.43)
где Р — вектор напряжений на границе области G, (Р, U) — скалярное произведение векторов в R3.
Отметим, что уравнения (1.5.42) можно рассматривать как уравнения статической теории упругости при векторе массовых сил F с компонентами Гг = Х1Р.
Пусть Л и Л — различные собственные значения этой задачи, a U и U — соответствующие им собственные векторы-функции, которые считаем двумя состояниями упругой среды, отвечающими массовым силам F = AU и F = AU. Тогда по теореме взаимности Бетти [29] имеем jjjp(F,U)dx+ jj(P,U)dS = jjjp(F,U)dx + ||(P,U)dS, (1.5.44) G8GG8G
что приводит к равенству
A |j| p(U, U) dx = A |j| />(U, U)dx.(1.5.45)
GG
Так как А ^ А и (U, U) = (U, U), то это равенство возможно только в том случае, если
|||p(U,U)dx = 0.(1.5.46)
G
Следовательно, собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны в пространстве C^G^ р) со скалярным произведением векторов-функций и и v (оно обозначено специальными скобками для отличия от произведения в R3)
(1.5.47)
G
Отметим, что здесь, как и для всех указанных в приложении А моделей, весом является плотность среды р.
Для доказательства не отрицательности спектра задачи используем формулу Клапейрона ^ [29] для состояния, соответствующего U и F = = AU при условии (1.5.43)
Af^AP = 2W, Af = Д| р (F, U) dx, АР = || (Р, U) dS, (1.5.48)
G8G
где W — потенциальная энергия упругого тела G для указанного состояния. Учитывая, что
-к1 || (U, U) dS.8G(1.5.49)-к1 || (U, U) dS.8G(1.5.49)(1.5.50)(1.5.50)Af = A|j|p(U,U) dx = A (U, U) = A||U|| , ЛР = G
-к1 || (U, U) dS.
8G
(1.5.49)
-к1 || (U, U) dS.
8G
(1.5.49)
(1.5.50)
(1.5.50)
из (1.5.48) находим
л _ 2 ГР - АР
" Ниц2
Поскольку Wq ^ 0 и Ар ^ 0, то из этого равенства следует вещественность и не отрицательность спектра: Ад ^ 0. Причем А = 0 только при к = 0 и W = 0, что соответствует движению тела как абсолютно жесткого.
Условия, обеспечивающие аналогичные свойства задачи на собственные значения (1.5.8) для случая обыкновенных дифференциальных операторов 1Ж и В произвольных конечных порядков, соответствующих, в том числе, одномерным задачам об изгибных колебаниях пластин и балок (см. § А.7-А.9), изложены, например, в [49, 56].
Глава 2
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
Изучение волновых процессов начнем с простейших одномерных задач (см. рис. 1.1.2) в прямоугольной декартовой системе координат ОЖ1Ж2Ж3 с ортами 61,62,63 для однородных изотропных несвязанных термоупругих сред с бесконечной скоростью распространения тепла или упругих (см. § 2.1-2.7) и вязкоупругих сред (см. §2.8, 2.9). Если u = и(жгД), то такой одномерный процесс будем называть -плоским движением в направлении ei. В том случае, когда такое движение является волновым процессом (см. гл. 1), будем говорить о плоских волнах, распространяющихся в направлении е^.
Типы плоских волн
Для описания движения однородной изотропной несвязанной термоупругой среды (см. § А.1) будем использовать уравнения в перемещениях (А.4.11) при М = 0, полагая, что изменение температуры -О задано. Введем безразмерные параметры (они обозначены штрихом):
(2.1.1)
7m = — (m = 1,2),Cm7m = — (m = 1,2),CmClClС-2С-2
7m = — (m = 1,2),Cm
7m = — (m = 1,2),Cm
Cl
Cl
С-2
С-2
Здесь и^, Oij, Fi и Fi — Xd-O/dxi — компоненты вектора перемещения, тензора напряжений, вектора массовых сил и вектора фиктивных массовых сил; ст — скорости распространения продольных и поперечных волн в упругой среде; А, р, и, р и А — параметры Ламе х), коэффициент Пуассона ), плотность и коэффициент температурного расширения среды; Т^ — температура среды в начальном состоянии; с* — параметр, имеющий размерность скорости; L — характерный ли-
Ламе (Lame G., 1795-1870) — французский математик и инженер.
нейный размер. Выражение параметра х через коэффициент Пуассона получено с помощью формул (А.2.3).
Тогда уравнения движения приобретают следующий вид (запятой обозначена частная производная по соответствующей пространственной переменной, а точками — производная по времени т):
7172й» = 72й»,»» + (72 * 71)(и/3,»^ + ^7,07) +
+ 7i(u»,/3/3 + uQ,77) + 72^(а,/3,7 = 1,2,3). (2.1.2)
Здесь и далее штрихи в обозначении безразмерных величин опущены. При этом физические соотношения (А.4.10) запишутся так:
0"аа = ^а,а ТТ ^7,7) АУ, СГар = ~2 (^О!,Д Т ^^,01)
^(2.1.3)
(а,/3,7 = 1,2,3).
Изучим характер волнового движения упругой среды с плоскими волнами, распространяющимися вдоль оси Ох^. В этом случае соотношения (2.1.2) и (2.1.3) принимают вид (va д7 = 0, Fa = Fq(^i,t); а = 1,2,3; /3,7 = 2,3)’
71й1 = uiji + FXl 72й» = иа,ц ^t^Fc (a = 2,3);(2.1.4)
A q_ n^2,1^3,1
^11 = ^1,1 — AV, СГ22 = ^33 = ^23 = U, 6712 = —,^13 = —2“ •
(2.1.5)
Исследуем структуру решений уравнений (2.1.4) при отсутствии массовых сил (Fa = 0)
71й1 = «1Д1,72й» = «а,11 (а = 2,3).(2.1.6)
Отметим, что уравнения в системе (2.1.6) независимы. Каждое из них является одномерным волновым уравнением и совпадает с известным уравнением колебания струны [53]. Рассмотрим два важных частных случая системы уравнений (2.1.6), приводящие к двум типам волн в упругой среде.
А. Плоская продольная волна. Пусть и^ = V3 = 0. Тогда в системе (2.1.6) остается одно нетривиальное уравнение
7i«i = «i,n,(2.1.7)
общее решение которого имеет вид
^1(^1, т) = F^t + 71Ж1) + G^t - 7i^i),(2.1.8)
где F^Y G^ — произвольные функции класса C^Ry
Дадим физическую интерпретацию решения (2.1.8). Два семейства прямых (Ci, С-1 — произвольные константы)
^1(^1, т) = т + 71Ж1 = С1,ф^х^.т^ = т - 71Ж1 = С2,(2.1.9)
на фазовой плоскости Оххт являются характеристиками уравнения (2.1.7) [53]. Как следует из свойств характеристик, значение решения этого уравнения на характеристиках равно константам:
^1(жь т)1^. = ^1(Сг) = Di= const (г = 1,2). (2.1.10)
Рассмотрим второе слагаемое решения (2.1.8):
^i(^i, т) = G(r — 71Ж1).
Функцию 7/1(ж1,т) назовем возмущением в точке Хх в момент времени т. Рассмотрим также точку жд ^ жь Предположим, что из этой точки в положительном направлении оси хх в момент времени т = 0 начинает двигаться наблюдатель со скоростью, равной I/71. В момент времени тх он окажется в точке Хх = xq + тх/^х- Возмущение, которое наблюдатель будет видеть в точке Жх, в момент времени тх определяется так: П1(ж1, Ti) = G^Tx — 7хЖх) = G(—71Ж0). Таким образом, в любой момент времени наблюдатель будет видеть в точке, где он находится, одну и ту же величину возмущения, равную G(—71Ж0). Следовательно, начальный профиль их^хх^ 0) = G(—71Ж0) движется со скоростью I/71 в положительном направлении оси хх, не изменяя своей формы.
В виду этого решение их = G(r — 7хЖх) называют прямой бегущей волной. При этом в соответствии с данным в гл. 1 определением характеристика ф^хх^ т) = т — 7хЖх = const является фронтом этой волны.
Аналогичное истолкование может быть дано и решению их = = Р^т + 7хЖх), соответствующему первому слагаемому в (2.1.8). Оно называется обратной бегущей волной. При этом профиль возмущения движется, как жесткая система, в отрицательном направлении оси Охх также со скоростью 1/7х, а характеристика ^х(жх,т) = т + 7х^х = = const — фронт этой волны.
Таким образом, в случае неограниченной упругой среды общее решение уравнения (2.1.8) есть суперпозиция прямой и обратной бегущих волн.
При данном виде деформации упругой среды коэффициент объемного расширения 6 отличен от нуля, а компоненты А^ тензора поворота тождественно равны нулю (см. (А.4.9) и (А.4.4)):
0 — и^^ — ихд — £11 ^ о, Ajj — — ^и^д Uj^ = 0. (2.1.11)
Поэтому, как следует из (2.1.5) и (2.1.11), отличными от нуля являются только нормальные напряжения на площадках, перпендикулярных оси Охх’.одх = ^1,1 7^ 0. Такая волна является волной растяжения- сжатия (см. § А.2). В иностранной литературе такие волны также называются Р-волнами.
Б. Плоская поперечная в о л н а. Пусть их = 0. Тогда система (2.1.6) сводится к двум независимым волновым уравнениям
72^0 = и«,11 (а = 2,3).72^0 = и«,11 (а = 2,3).(2.1.12)(2.1.12)
72^0 = и«,11 (а = 2,3).
72^0 = и«,11 (а = 2,3).
(2.1.12)
(2.1.12)
Решение каждого из них имеет вид, аналогичный (2.1.8):
па(жх, т) = Га(т + 72^1) + Са(т - 72^1). (2.1.13)
Как следует из (2.1.13), частицы среды движутся со скоростью I/72 в плоскости, перпендикулярной оси Oxi. При этом коэффициент относительного изменения объема равен нулю:
(2.1.14)(а = 2,3),(2.1.15)(2.1.14)(а = 2,3),(2.1.15)О = ^гд = ^2,2 + 1/3,3 = О, а компоненты тензора поворота отличны от нуля:
(2.1.14)
(а = 2,3),
(2.1.15)
(2.1.14)
(а = 2,3),
(2.1.15)
Ala = -| UQ]1 = [G"q(t - 72«1) - ^(т + 72Ж1)]
^23 = ^ (^2,3 — ^3,2) = 0.
При этом, согласно (2.1.5), отличны от нуля только касательные напряжения на площадках, перпендикулярных оси Oxv. crip = т/дд/т?2 ^ ^0 (/3 = 2,3). ’
Из этих свойств решения следует, что последний тип волн соответствует волнам формоизменения (сдвига, см. § А.2). В иностранной литературе такие волны также называются S-волнами.
Необходимо отметить, что структура решения волнового уравнения вида (2.1.8) сохраняется только для однородных уравнений (2.1.6). В случае наличия массовых сил (гравитационные, температурные поля) решения уравнений (2.1.4) будут содержать частные решения неоднородного уравнения, вид которых определится правой частью (2.1.4).
Решения уравнений (2.1.8) и (2.1.13) содержат две произвольные функции, которые определяются начально-краевыми условиями. Исследуем основные начально-краевые задачи для системы уравнений (2.1.4).
Распространение возмущенийв неограниченной упругой среде
В рамках одномерной постановки рассмотрим следующую задачу Коши х) для упругой однородной изотропной среды, занимающей все пространство R (73 = 72, i/i = 1,772 = Лз = Л^У
7aiia = uain + ^a^a (a = 1,2,3),(2.2.1)
^a|r=0 = ^a(^l),^a|r=0 = ^a(®l)-(2.2.2)
Отсюда следует, что в неограниченной упругой среде волны расширения-сжатия и сдвига, возникающие от начальных возмущений, распро-
страняются независимо друг от друга. Поэтому достаточно построить решение следующей задачи Коши (ж = жх, и = иа^ ^ = 7а, F = rjaFa):
^й = и,жж +F,(2.2.3)
и|т=0 = у(ж), й|т=о = Ф^-(2.2.4)
Соответствующая ненулевая компонента тензора напряжения определяется так:
а = <nQ =- <5iaA'^(2.2.5)
где 5ij — символ Кронекера х). Согласно (1.4.4) и (1.4.15) решение задачи (2.2.3), (2.2.4) может быть представлено в виде
п(ж, т) = С(ж, т) ** F(x^ т) + 72 [в(ж, т) * ^(ж) + С(ж, т) * ^(ж)] ,
(2.2.6) где С(ж, т) = и — функция влияния, которая удовлетворяет следующей задаче:
72С = С,жж+5(ж)5(т),(2.2.7)
G|T=0 =0, G|T=0 = 0.(2.2.8)
Применяем к (2.2.7), (2.2.8) преобразование Фурье по координате ж и преобразование Лапласа по времени т (см. приложение В). Тогда с учетом свойств этих преобразований и с использованием табл. В.2.1 приходим к алгебраическому уравнению относительно изображения GFL(q,sY
Ч282Срь(д, s) = -q2GFL(q, s) + 1,(2.2.9)
где q и s — параметры преобразований Фурье и Лапласа; индексами «F» и «Ь» обозначены соответствующие трансформанты.
Решая это уравнение, получаем
GFL^S^= ' ,.(2.2.10)
7 s + q
Оригинал этой функции находим последовательным обращением преобразований Фурье и Лапласа с использованием соответственно таблиц В.1.2 и В.2.1:
gL^' s^= 5^ е-7ф|;(2.2.П)
С(Ж,т) = ^Я(т-7|Ж|),(2.2.12)
где Н(т) — функция Хевисайда.
Кронекер (Kronecker L.^ 1823-1891) — немецкий математик.
Входящая в формулу (2.2.6) производная от функции влияния имеет вид (см. приложение Б)
6(т,Ж) = Г5(т_7|ж|).(2.2.13)
Далее, учитывая носители функции С(ж,т) и ее производной, представляем свертки в (2.2.6) в виде повторных и определенных интегралов:
Т +оо
С(ж, т) ** F^ т) = — [ dt [ Н [т — t — ^\х — £|] F(^ t) d^ =
27 J J
0—00
T х-^т-^/ч
= ^-\dt[F^,t)d^, (2.2.14)
О ж_(т_£)/7
+oo
ё(ж,т) * у>(ж) = ^ I 5(т - 7|ж - £|Ы£) d^ =
(2.2.15)
+00ж+т/7
С(ж,т)*^(а:) = 1 | Н(т -^\x-^\)d^ = ^ j ^Ю^-"°°ж-т/7(2.2.16)
Подставляя эти результаты в (2.2.6), получаем известное решение
М(Ж) т) = У^ + т/7) + у(ж - т/7) +
ж+т/7тх-Цт-^/ч
+ 1 j <£W + ^\dt j F^M, (2.2.17) х-т^0x — (r — c)/7
которое в математической физике носит название форму ли Д’Аламбера х) [53]. Эту формулу при F(x^t) = 0 можно получить и прямым методом, основываясь на общем решении (2.1.8). Такой подход к решению начально-краевых задач в литературе носит название метода бегущих волн.
Таким образом, соотношение (2.2.17) позволяет определить поле перемещений в бесконечной упругой среде с заданными одномерными начальными возмущениями, а затем по формуле (2.2.5) найти напряжение.
^Д’Аламбер (D Alembert J.L., 1717-1783) — французский математик, механик.
Пример 2.2.1. Найти перемещение и напряжение в упругой среде при 7 = Ца = 1 под действием начального возмущения ^|т=0 = ^(ж) = -ж2
Решение. С помощью формулы (2.2.17) при ^ = F = О опреде
ляем перемещение
Подставляя его в (2.2.5), находим напряжение
сг(ж, т) == —2 [(ж + г)е~(ж+т) + (ж — г)е-^ж-т^ ] .
ox LJ
Рис. 2.2.1Рис. 2.2.1Соответствующая пространственно-временная картина распространения начальных возмущений показана на рисунках 2.2.1 и 2.2.2.
Рис. 2.2.1
Рис. 2.2.1
Рис. 2.2.2
На первом из них отчетливо видно наличие двух волновых фронтов, распространяющихся с единичной скоростью в положительном и отрицательном направлениях оси ж.
Пример 2.2.2. Найти напряженно-деформированное состояние упругой среды при 7 = Ца = 1 под действием начального распределения скоростей й|т=0 = 'ф(х) = е-ж .
Решение. Перемещение находим по формуле (2.2.17) при ср = F = = 0:
г/(т,ж) = ^ | ^(^) d^ = ^ | е-^ d£ = ^-[erf (ж + т) — erf (ж — т)],
где erf ж — интеграл вероятностей [54].
Для вычисления напряжения воспользуемся теоремой о дифференцировании интеграла по параметру [50]:
Соответствующая пространственно-временная картина распространения начальных возмущений представлена на рисунках 2.2.3 и 2.2.4.
Плоские волны в упругом полупространстве.Распространение граничных возмущений
С точки зрения проведения оценочных расчетов важным классом являются задачи изучения волнового процесса вблизи одной границы. Причем влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения либо из-за малых промежутков времени, либо из- за вырождения второй границы. В прямоугольной декартовой системе координат таким объектом является полупространство.
Рассмотрим задачу о распространении равномерно распределенных по плоскости жх = 0 граничных возмущений (см. гл. 1) в полупространстве жх > 0, занятом упругой однородной изотропной средой. Уравнения движения (2.2.1) и начальные условия (2.2.2) в данном случае являются однородными
7^0 = иа>ц (а = 1, 2, 3);(2.3.1)
uQ|T=o=O, йа|т=о = О.(2.3.2)
Наиболее часто встречающиеся граничные условия имеют следующий вид (см. приложение А; Ж1 = ж):
кинематические условия (первая краевая задача)
^|ж=0 = ^гИ (г = 1,2,3);(2.3.3)
динамические условия (вторая краевая задача)
4=o=PojW U = 1,2,3);(2.3.4)
— смешанные условия
Мя=о = иог(т), сту^ = р0/т) (м = 1,2,3; i ^ 1У (2.3.5)
1
обобщенные условия (а^ 6 R; &, Z = ОД; ^ Q^ 7^ 0)
/=о
(«ОО^г + ^О1^1г)|ж=о = QOi^Jb
(2.3.6) («ю^+ац<71,)|ж=0 =9и(т) (ij = 1,2,3; г/j).
Согласно физическим соотношениям (2.1.5), где следует положить ^ = 0, напряжения полностью определяются производными от перемещений. Следовательно, при соответствующем выборе параметров а^ и 0k все четыре указанных выше вида граничных условий можно записать в одном общем виде
(«ой, + /3ouiliC)| 0 = 9оДт),
(2.3.7)
(«1^=<7i,-(r) (i,j = 1,2,3; г j),
где ак, Зк е R; к = 0,1; ^ а2к ^ 0, ^ /3^ 0.
1=01=0
Например, параметры «о = 1, «1 = 0, Зо = 0, 31 = ^ и функции ^ог(т) = МоДт), qij^ = Poj^ соответствует смешанным условиям (2.3.5).
Из уравнений (2.3.1) вытекает, что компоненты вектора перемещений могут быть найдены независимо друг от друга, если они не связаны через граничные условия. Такая связь отсутствует, так как в каждое из условий (2.3.7) входит только одна компонента. Поэтому условия расщепления на независимые задачи о распространении волн расширения-сжатия и формоизменения выполнены. Следовательно, достаточно построить решение обобщенной начально-краевой задачи относительно одной компоненты и = щ вектора перемещения (из трех условий в (2.3.7) остается только одно; 7 = 7J
72“ = и,хх,
(2.3.8)
и т=о = 0,ц|т=0 = 0,
(2.3.9)
(ац + /3м Лж=0 = q^Y
(2.3.10)
п(ж, т) = 0(1), ж —>+оо.
(2.3.11)
Последнее условие связано с неограниченностью области, занимаемой упругой средой (см. гл. 1).
Как следует из (1.4.25), соответствующие задаче (2.3.8)—(2.3.11) перемещения и напряжения могут быть записаны в виде
и^ т) = Сп(ж, т) ж q^t\ а(ж3 г) = Опа(ж5 ^) * q(t).(2.3.12)
Здесь Сп(ж, т) = и и Gn^ (ж, т) = а — поверхностные функции влияния. Причем функция Сп(я,т) есть решение задачи (2.3.8)—(2.3.11)
при специальной правой части граничных условий (2.3.10):
9(т) = 5(т),(2.3.13)
а Спа(ж^т) определяется следующим из (2.2.5) соотношением:
СПст(ж,т) = А-Сп,х^,тУ(2.3.14)
Для решения задачи (2.3.8)—(2.3.11) при условии (2.3.13) используем преобразование Лапласа по времени. В пространстве изображений получаем краевую задачу (все обозначения стандартные, см. приложение В)
G^-^G^O,(2.3.15)
(ав^ + ^1Ж)|ж=0 = 1,(2.3.16)
G^ = 0(1), ж -4- +оо.(2.3.17)
Общее решение уравнения (2.3.15) имеет вид
G^x, s) = Ci(s)e-^ + C2(s)e^$,(2.3.18)
где Ci и C2 — постоянные интегрирования.
Из (2.3.17) следует, что 0*2 = 0. Другая постоянная определяется из граничного условия (2.3.16):
Cx(S) = R^s^ R^ =(2.3.19)
Тогда изображение G^(x, s) и его производная G^ Ж(ж, s) принимают вид
G^$1s^ = e-^R^sY С^(х,8) = -е-^8^(8).(2.3.20)
Соответствующие оригиналы функций G^(x, s) и G^ Ж(ж, s) находим с использованием свойств преобразования Лапласа:
Сп(ж, г) = Н^т^Н^т - ^х\ Су\Дх. т) = -7Я0(т)Я(т - ^х\
(2.3.21) где
при /3 = 0,
при q = О, (2.3.22)
при OL ф 0, /3 ф О
При этом соотношения (2.3.12) приобретают вид
п(ж, т) = Н(т — 7ж) | q^T — t — 7ж)Т?о(^) dt,о
(2.3.23)
о(х.т) =—— Н(т — 7ж) | q(r — t — yx)Ro(t) dt.
Интересным с точки зрения практического использования соотношений (2.3.23) является нахождение предельных значений параметров напряженно-деформированного состояния при т —> оо, что соответствует решению статической задачи теории упругости. Вычисление указанного предела проще выполнить в пространстве изображений по Лапласу с использованием свойств последнего:
lim и(х^т) = lim Гзт/Л(ж,з)1 = lim \qLUk~1sx sti (s)l =
T^OC X 78^0 L7J8^0 LU \ /J
= lim ^(s^sR^s^ ,8—>0 L"
(2.3.24)
T)a lim <т(ж,т) = lim Гзи^.(ж,з)1 =
T^OO8—>0 L ’J
= - lim [qL(s)e 75Жз27^(з)] = -7 lim \qL^s2 R^s^ . 8—>0 L-8—>0 L"
Окончательный вид соотношений (2.3.24) зависит от параметров граничных условий а, 0 и предельных свойств изображения qL(s).
Как следует из (2.3.23), решение рассмотренной задачи представляется в виде волны, распространяющейся в положительном направ
лении оси х. Поскольку вторая граница слоя отсутствует, то отраженной волны нет, и волновая картина в упругом полупространстве носит достаточно прозрачный характер. В качестве иллюстрации рассмотрим следующую задачу.
Пример 2.3.1 (динамическое возбуждение полупространства). Найти напряженно-деформированное состояние упругой полуплоскости (7 = 1, ца = 1) под действием нормального давления р(т) = е-т (рис. 2.3.1). Массовые силы отсут
ствуют, начальные условия однородные.
Решение. Этой задаче, согласно (2.1.5), соответствует граничное условие
Ви^х^ т)ЭхВи^х^ т)Эх= -р(т),х=0= -р(т),х=0(2.3.25)(2.3.25)
Ви^х^ т)Эх
Ви^х^ т)Эх
= -р(т),
х=0
= -р(т),
х=0
(2.3.25)
(2.3.25)
что эквивалентно следующим параметрам граничных условий (2.3.10):
q = 0, /3 = 1, д(т) = —р(т) = —е т. (2.3.26)
При этом в соответствии с (2.3.22) Т^оМ — ~Н(т). Следовательно, согласно (2.3.23), перемещения определятся так:
и^х, т) = Н(т — ж) | q(r — t — x)Ro(t) dt = о
= Я(т-ж) | e-^-^H^dt = [1-е"(т"ж)] Н(т - x). (2.3.27) о"
В данной задаче напряжения можно найти без использования соотношений (2.3.23). Для этого, учитывая, что Rq (s) = 1/s, из (2.3.21) и (2.2.5) с использованием свойств преобразования Лапласа получаем
и^(ж, s) = — qL(s)e~ysxs^Rq (s) = —pL(s)e-sx s^ = — pL(s)e~sx,а^х,т^ = [^^(ж,^)]7"= - [pL(s)e-sa;]L =(2.3.28)
= —р(т — х)Н(т — ж) = — e~^r~x^ Н(т — ж).
Соотношения (2.3.24) позволяют получить соответствующие статическому решению предельные значения перемещения и напряжения:
lim и(х^т) = lim \qL(s)sRn (s)l = lim Гдл(з)з-] =
т—>oos—>0_s—>0 Lsj
(2.3.29)
lim а(х,т) = — lim \qL(sAs2Ro (s)l = — lim rgL(s)sl =
t—>ocs—>0 L- s^O L-
= - lim 8 = 0.
Пространственно-временные картины распределения перемещения и^т) и напряжения сг(х^т) представлены на рисунках 2.3.2 и 2.3.3, на которых отчетливо прослеживается стремление решения с течением времени к статическому.
Распространение объемных и начальныхвозмущений в полубесконечной упругой среде
Здесь в постановке § 2.3 рассмотрим задачу о распространении объемных и начальных возмущений в упругой полуплоскости. Соответствующая начально-краевая задача образуется уравнениями движения упругой среды (2.2.1), начальными условиями (2.2.2) и однородными граничными условиями (2.3.10). При этом в силу независимости компонент вектора перемещения (см. § 2.3), достаточно построить решение следующей задачи:
^й = т/д1 + F,(2.4.1)
п|т=0 = ^(ж), п|т=о = ^(ж),(2.4.2)
(аи + /Зыж)|ж=0 = 0,(2.4.3)
и(х, т) = 0(1), х —> +оо.(2.4.4)
При этом напряжение в среде определяются равенством (2.2.5).
В соответствии с (1.4.4), (1.4.15) и (1.4.27) перемещения и напряжения в этом случае могут быть представлены следующим образом:
и^х^ т) = | О(ж, т; £) * F(^ т) d^ + о
+ 7+ 7(2.4.5)(2.4.5)(2.4.6)(2.4.6)| С(ж, т; ЕШО ^ + j СШ т' ^ЖО dE
+ 7
+ 7
(2.4.5)
(2.4.5)
(2.4.6)
(2.4.6)
О0■
<т(ж, т) = j Gff^x, т; £) * F(E, т) dE + о
+ 7+ 7j Сст(ж,т; Е?)Ф<ОйЕ^ | Са(ж,т; 0^(0^L оо•
+ 7
+ 7
Здесь С(ж,т; £) и Са(х^т*^ £) — объемные функции влияния. Первая из них есть решение задачи
?G = G,$a6 + 5Wx-e,(2-4.7)
G|T=0 = 0, ё| _о = 0,(2.4.8)
УС + 0С,х)\х=о =0,(2.4.9)
G = 0(1), ж -+ +оо,(2.4.10)
а вторая — вытекающим из (2.2.5) соотношением
Ост(ж,т; С) = ^О]Ж(ж,т; С).(2.4.11)
Применяя к (2.4.7)-(2.4.10) преобразование Лапласа по времени т (см. приложение В, в том числе, табл. В.2.1), в пространстве изображений получаем следующую краевую задачу относительно GL(x^ s; £):
Сьм-^8гСь =(2.4.12)
(аО£+^)|ж=0 = 0, О£(ж,5; €) = О(1), ж +оо. (2.4.13)
Общее решение уравнения (2.4.12) имеет вид
Gl(x, s; е) = С1(з)е75Ж + С2(з)е-75Ж + G^x, s; С).(2.4.14)
Здесь Ci(s) и С2(з) — постоянные интегрирования, С*(ж,з; £) — частное решение неоднородного уравнения, которое определяем с помощью метода вариации произвольных постоянных, полагая
G^x. s- ^ = L^)^ + D^e^sx- (2.4.15)
Производные от функций Di(x) и D^x^ удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений
D^y(S4 D^^=0,
!(2.4.16)
В^ху8” - П^хУ1*1 =5(ж - С),
87
решение которой имеет вид
В'^ = ^е^ж5<х-0. (2.4.17)
Сами функции Di(x) и Т?2(ж) находим, вычисляя первообразные правых частей этих равенств (см. приложение А):
Ох(ж) = - -L ^(ж - ^е"^ dx = -^-е"^Н(х - о,2s7J2s7
(2.4.18)
W = 2^ i5^ " ^e-,SX = ^^И^ " ^'
Подставляя теперь (2.4.18) в (2.4.15), получаем
G*^ s; £) = -^ sh [7з(ж - 0] H^x - 0-(2.4.19)
Тогда общее решение (2.4.14) и его производная записываются так
Gl(x, з; С) = W* + С2(з)е-^ - ^ sh [7з(ж - С)] Н(х - С),
(2.4.20)
G^x, з; С) = 78 [С^з^* - С2(з)е-^1 - ch [7з(ж - С)] Н(х - С).
(2.4.21) Подстановка этих функций в граничные условия (2.4.9) приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно Ci(s) и С2(з):
(а + /37s)C'i(s) + (а - /37з)С2(з) = О,
С1(з)-2-е-^=0,27s
откуда находим
Ci(s) =С^з) = -^-а + 13^8 е"-1^.(2.4.23)
v 727s’727s a - /37sv 7
Тогда из (2.4.20), (2.4.21) и (2.4.11) получаем следующие формулы для изображений функций влияния:
GL(x,s-, О =
е75(Ж-$) _ ^ + ^78 е-75(Ж+5) _ 2sh [78(ж - £)] Н(х - С) j ;
(2.4.24)
G^x,s; О =
=е-7»(^+$) _ 2 ch [7з(ж - О] Н(х - С)
(2.4.25)
Оригиналы этих функций достаточно просто определяются с помощью свойств преобразования Лапласа и табл. В.2.1. Однако удобнее это делать для каждого конкретного случая граничных условий на поверхности ж = 0.
Пример 2.4.1. Определить напряженно-деформированное состояние упругого полупространства, находящегося под действием массовой силы F(x^t) = е-жН(т). Граница полупространства неподвижна, начальные условия однородные. В расчетах положить 7 = ца = 1.
Решение. В этом случае формулы (2.4.5) имеют вид
Цх, т) = j dt J G(x, т-t- t)F(t t) dt (2.4.26) о 0
t) = j dt J G^x, T-t- t)F(t t) dt (2.4.27) о 0
Условиям задачи соответствуют коэффициенты q = 1 и /3 = О, что, как следует из (2.4.24) и (2.4.25), приводит к изображениям функций влияния
GL^, з; О = ^ {е7^-^ - е"-*^ _ 2sh [7s(x - О] Я(ж - С)} ,
(2.4.28)
G^X, s; £) = _L |e^(^-€) + e-7»(^+i) _ 2ch [7s(® - О] Н^х - С)} , °(2.4.29)
оригиналы которых имеют следующий вид:
С(ж, т; £) = ^ (Я [т + 7(ж - £)] - Я [т - 7(ж + С)] -
Я(ж - О {Я [т + 7(ж - О] - Я [т - 7(ж - О]}), (2.4.30)
GA^G т; О = ^- [т + 7(ж - $)] + 5 [т - 7(ж + £)] -
Я(ж - С) {5 [т + 7(ж - С)] + б [т - 7(ж - £)]}). (2.4.31)
Подставляя эти функции в (2.4.26) и (2.4.27) и учитывая их носители, а также условие задачи, находим перемещения и напряжения:
и^х^ т) = (1 — е-т sh ж) Н(т — ж) + е-ж[Я(ж — т) ch т — Н(т)^ (2.4.32)
сг(ж, т) = —е-т ch хН(т — ж) — е-ж[сЬ тН(х — т) — Н(т)].(2.4.33)
Рис. 2.4.1Рис. 2.4.1Рис. 2.4.2Рис. 2.4.2
Рис. 2.4.1
Рис. 2.4.1
Рис. 2.4.2
Рис. 2.4.2
Распределения перемещений и напряжений по координате и времени представлены на рисунках 2.4.1 и 2.4.2. На рис. 2.4.3 показана
зависимость напряжений от пространственной координаты в различные моменты времени.
Пример 2.4.2. Определить напряженно-деформированное состояние упругого полупространства, у которого в начальный момент времени перемещения равны ф(х) = же-ж/3, а скорости равны нулю. Граница полупространства
неподвижна, массовые силы отсут-рис 243
ствуют. В расчетах положить 7 =
= ца = 1.
Решение. В этом варианте формулы (2.4.5) и (2.4.6) имеют вид
(2.4.34)(2.4.35)(2.4.34)(2.4.35)гь(х^т) = | G^t; Оф^ДЕ,^о
(2.4.34)
(2.4.35)
(2.4.34)
(2.4.35)
<т(ж,т) = j ёа(ж,т; Оф^АЕ,. о
Производные по времени от функций влияния находим, дифференцируя (2.4.30) и (2.4.31):
G^, т; £) = ^ (5 [т + ^(ж - О] - 6 [т - 7(2 + О] -
-Н^х - С) {5 [т + 7(2 - С)] - 5 [т - 7(ж - О]}), (2.4.36)
СДх, т; Е) =(5' [т + 7(ж - О] + 4' [т - ^х + О] -
-Н^х - С) {^' [т + 7(ж - С)] + 6' [т - 7(ж - £)]}). (2.4.37)
Подставляя эти функции в (2.4.34) и (2.4.35) и учитывая их носители, а также условие задачи, находим перемещения и напряжения гь(х, т) = |{(т + ж)е-^т+ж^3Н(т) +
+ [(ж - т^е"^"^!3 _ (т _ ж)+е-(т-ж)/3]}, (2.4.38)
Рис. 2.4.4Рис. 2.4.4Рис. 2.4.5Рис. 2.4.5(2.4.39) Рис. 2.4.6(2.4.39) Рис. 2.4.6
Рис. 2.4.4
Рис. 2.4.4
Рис. 2.4.5
Рис. 2.4.5
(2.4.39) Рис. 2.4.6
(2.4.39) Рис. 2.4.6
На рисунках 2.4.4 и 2.4.5 представлены распределения перемещений и напряжений по координате и времени, а на рис. 2.4.6 — зависимости напряжений от ж в различные моменты времени.
Граничные возмущения в упругомплоском слое
Для оценки влияния второй границы вместо полупространства в рамках одномерной задачи рассмотрим распространение возмущений в плоском слое конечной толщины L, заполненном упругой однородной изотропной средой. Задачу будем решать в безразмерной постановке (2.1.1), выбирая в качестве характерного линейного размера толщину слоя L. Прямоугольную декартову систему координат выберем таким образом, чтобы ось Ох (ж = жД была направлена перпендикулярно граничным (лицевым) плоскостям ж = 0 и ж = 1.
Сначала рассмотрим задачу о распространении граничных возмущений (см. гл. 1) от лицевых поверхностей слоя. Уравнения движения и начальные условия для слоя, также как и для полупространства имеют вид (2.2.1) и (2.2.2), напряжения определяются соотношениями (2.1.6), а возможные граничные условия на лицевых плоскостях задаются соотношениями (2.3.3)-(2.3.6). Остаются также справедливыми проведенные в § 2.3 рассуждения относительно независимости начально-краевых задач для каждой из компонент вектора перемещения и возможности использования граничных условий общего вида (2.3.7).
Следовательно, для решения поставленной задачи достаточно исследовать следующую начально-краевую задачу (ср. с (2.3.8)—(2.3.11), Е^о,Е^о):
z-°'-°72и = и,жж;(2.5.1)
и|т=о = О, й|т=0 = 0;(2.5.2)
(aou + ^ou,®)!^ = 9о(т), (aTu +3iu,x)\x=1 = qi(t\ (2.5.3)
Эта задача может быть решена с помощью интегрального представления (1.4.24), для применения которого необходимо знать объемную функцию влияния (она построена в следующем параграфе). Однако здесь удобнее использовать прямой путь, приводящий к точному решению. К задаче (2.5.1)-(2.5.3) применяем интегральное преобразование Лапласа по времени т (все обозначения стандартные)
u^xx - Vs2uL = 0;(2.5.4)
(aouL + А^)|ж=0 = qok8^ (aiuL + Au7L=1 = qi(s). (2.5.5)
Общее решение уравнения (2.5.4) имеет вид (2.3.18). Удовлетворяя граничным условиям (2.5.5), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных интегрирования Ci(s) и C2(s):
BC = F, CT = (Ci(s),C2(s)), FT = (9oL(s),9f(s)),
В = (MS))2X2> 61,(5) = «^(s), b2j(s) = e(-1)3'*aa2j(s),(2.5.6)
Zqo-/3oS7 ыо+А^Х
A — (dij(s))2 2 — II •
у «1 - /3iS7«1 + /3157 )
Решая эту систему, получаем
0 / ч _ __Qo4s)a22(s)E^-Qf(s)ai2(^
e7San(s)a22(s) - e"7Sai2(s)a2i (s) ’
L(2'517)
c / a = Si (s)an (s) - go (s)a2i (s)e 75
e7San (s)a22(s) - e-7Sai2(s)a2i (s) ’
Подставляя эти постоянные в (2.3.18), после некоторых преобразований приходим к следующему результату:
= M^^T^^N^^
X е"78^1) + [^(3)011(8) - 9oL(8)a21(8)e"7S] е78^-1^,(2.5.8)
д ) = a12(s)a21(s)an(s)a22(s)
Так как lim R^ = 1, то существует некоторое такое so, что в полуплоскости Res > Re so выполняется неравенство |e-27S7?(s)| < 1. Поэтому множитель перед фигурной скобкой в (2.5.8) раскладывается в равномерно сходящийся в этой полуплоскости ряд
1100
= V R
д) н»^ = —п^гт
an(s)a22(s)
Используя это разложение, формулу (2.5.9) запишем так
11 ОО
и£(ж, s) = 52 52 Е q^s^R^sy-8^^,(2.5.10)
j=0 г=0п=0
где
^obn(s) = a22(s)/?n(s), 7?oln(s) = -a12(s)fln(s),
^On(«) = -«2i(s)^n(s), fin„(s) = an(s)Rn(s),
(2.5.11)
^ооп(ж) = ?(2n + ж), кюп(х) = 7(2n + 2 - ж),
Ао1п(ж) = ?(2n +1 + ж), АцДж) = 7(2n + 1 - ж).
Оригиналы каждого из членов ряда (2.5.10) находим с использованием свойств преобразования Лапласа:
11 ОО
Цх,т) = Е Е Е Чз [т - kijn^ Н [т — kijn(x)] * RijJj). (2.5.12) j=0 г=0n=0
Для конечного момента времени т из-за носителя функций Хевисайда ряд (2.5.12) имеет конечное число ненулевых членов:
1 N^j^X,T^
и(х,т) = 52 52 52 Чэ [Т “ к»3п(ж^ Н 1Т - кцтАх^ * Rijn(T\ j=0i=0n=0
(2.5.13)
Здесь верхний предел суммирования N^x^t) определяется неравенством т — kijn(x) > 0 и при различных значениях индексов г и j вычисляется следующим образом:
ЛЫж,т) =ЛЫж,т) =т — 7Ж27т — 7Ж27Мо(ж,т) =Мо(ж,т) =т + 7(ж - 2)27.т + 7(ж - 2)27.Ми(ж,т) =Ми(ж,т) =т - у(х + 1).27.т - у(х + 1).27.М1(ж,т) =М1(ж,т) =т + 7(ж-)127.т + 7(ж-)127.(2.5.14)(2.5.14)
ЛЫж,т) =
ЛЫж,т) =
т — 7Ж
27
т — 7Ж
27
Мо(ж,т) =
Мо(ж,т) =
т + 7(ж - 2)
27.
т + 7(ж - 2)
27.
Ми(ж,т) =
Ми(ж,т) =
т - у(х + 1)
.27.
т - у(х + 1)
.27.
М1(ж,т) =
М1(ж,т) =
т + 7(ж-)1
27.
т + 7(ж-)1
27.
(2.5.14)
(2.5.14)
где [ • ] — целая часть числа.
Из сравнения соотношений (2.5.13) и (1.4.25) приходим к выводу, что
1 ЛГу(®,т)
Gnj^Xt т) = 55 Rijn [т ^ijn^)] Н \т /ь^п(ж)]
г=0п=0
— поверхностные функция влияния для задачи (2.5.1)—(2.5.3), соответствующие плоскостям ж = 0 и ж = 1 при j = О и j = 1.
При записи сверток в виде интегралов формула (2.5.13) приобретает следующий вид:
11 N^j^X,T^
u&,т) = Е Е Е hVt- fcijn^ х j=0 i=0n=0
Для определения напряжений по формулам (2.2.5) необходимо найти производную и^х^ т). Это удобнее сделать в пространстве изображений по Лапласу. Дифференцируя (2.5.10) по ж, получаем
ОО
О, S) = 7 Е Е МГ^ Е q^sX^se-sk^. (2.5.16) j=0 г=0п=0
Тогда аналогично (2.5.15) с использованием свойств преобразования Лапласа находим
11 N^j^X ,т)
и,ж(х,т) = 7 52 52 Е Н \.т - kijn^ X j=0 г=0п=0
т — kijn(x)
х | Qj \т ^ kijn^x^ Rijn^t^ dt^ (2.5.17) о
где производная понимается в обобщенном смысле (см. приложение Б).
Для вычислений по формулам (2.5.15) и (2.5.17) необходимо знать оригиналы функций дробно-рациональных функций R^n(s). При До = = Дх = 0, как следует из (2.5.6), (2.5.8), (2.5.9) и (2.5.11), имеют место равенства
Оц(«) = ai2(s) = «0,«21(«) = «22(5) = «1,
(2.5.18)(2.5.18)fi(s) — 1,7?n(s) —,^00n(s) —^10n(s) — _ 1
(2.5.18)
(2.5.18)
^Пп(^) — — ^01n(s) —
Oil
Оригиналы функций R^n(s) в этом случае пропорциональны дельта-функции Дирака (см. табл. В.2.1)
Й00п(т) = -RlOnM = — 5(т), Rlln^ = -Rolnik = — 6(т\ OtoQ]
(2.5.19)
При 3k ^ 0 функции R^n(s) имеют в точке Sk = oik/ VlM (по индексу к суммирования нет) полюс порядка п + 1. Поскольку эта дробь правильная, то в этом случае оригинал достаточно просто вычисляется с помощью теоремы о вычетах [51]. Однако, так как особые точки существенно зависят от параметров граничных условий Qj, Д (г = 0,1), то имеем смысл находить оригиналы функций R^n(s) в каждой конкретной задаче.
Пример 2.5.1 (^кинематическое возбуждение одной сторони слоя). Определить перемещение и напряжение в упругом слое единичной толщины, одна из границ которого неподвижно закреплена, а нормальные перемещения другой стороны равны w(t). В начальный момент слой находится в покое, массовые силы и изменение температуры отсутствуют, 7 = ца = 1.
Решение. Условию примера соответствует граничные условия
и|ж=0 = О, и|ж=1 = w(t).(2.5.20)
Следовательно, в (2.5.3) необходимо положить
«о = С /Зо = 0, до(т)=О, qi = 1, /31=0,^(t)=w(t),
(2.5.21)
что в силу (2.5.19) приводит к равенствам
НоопИ = Rlln3) = J(r), R01n(T) = 7?10п(т) = -J(r).(2.5.22)
Используя свойства дельта-функции, из (2.5.15) находим перемещение
1Nn(x,T)
Цх,^ = 52 (-1)г+1 52 w \.т - kiin^ Н \т - kiin^Y (2.5.23) г=0п=0
Аналогично из (2.2.5) при д = 0 и (2.5.17) получаем напряжение:
(2.5.24)(2.5.24)
(2.5.24)
(2.5.24)
Здесь учтено, что w(0) = 0.
На рисунках 2.5.1 и 2.5.2 представлены пространственно-временные картины распространения кинематического краевого возмущения при
Рис. 2.5.1Рис. 2.5.1
Рис. 2.5.1
Рис. 2.5.1
граничном условии w(t) = — (1 — е-т)/3. На графиках четко прослеживается суперпозиция прямой и обратной (отраженной от закрепленного края) волн.
Пример 2.5.2 (динамическое возбуждение одной из границ слоя). Исследовать напряженно-деформированное состояние упругого слоя на лицевых поверхностях которого заданы следующие граничные условия:
uL=o = °, ^i = -рМ-uL=o = °, ^i = -рМ-(2.5.25)(2.5.25)
uL=o = °, ^i = -рМ-
uL=o = °, ^i = -рМ-
(2.5.25)
(2.5.25)
Массовые силы и изменение температуры отсутствуют, 7 = ца = 1.
Построить пространственно-временную эпюру распределения перемещений и(х, т) и напряжений а(х^ т) при р(т) = PqH(t), ро = 0,1.
Решение. Граничные условия (2.5.25) соответствуют следующим параметрам начально-краевой задачи (2.5.1)-(2.5.3):
(2.5.26)(2.5.26)а0 = 1, /30 = 0, д0(т) = 0,«1=0, /31 = 1, qi(r) = -р(т).
(2.5.26)
(2.5.26)
При этом в формулы (2.5.15) и (2.5.17) войдут только функции Нош(т) и Нип(т). Коэффициенты aij(s) и изображения функций ^oin(T), КцДт) в соответствии с (2.5.6) и (2.5.11) имеют вид
an(s) = ai2(s) = 1,a22(s) = -Щи(з) = s,
, Пп(2.5.27)
^m(s) = — ^oin(s) =: •
Отсюда с использованием табл. В.2.1 получаем
(2.5.28)(2.5.28)RiinH = -Я01„(т) = (-1)пЯ(т),
(2.5.28)
(2.5.28)
что, согласно (2.5.15), приводит к равенству
1 ЛГл(ж,т)т кц^а^
^iT^'ll 52 (-1)”+г^ [т - ^Ип(ж)] J р\т-t-k^x^dt. г=0n=0q
(2.5.29)
При р(т) = роН^т) эта формула преобразуется так (см. приложение Б)
1 Nil(®,r).
и(ж,т)=ро52 52 (-1Т+гн \.т ~ кПп(х^ х
г=0п=0
т —^г1тг(ж)
х | Н [т — t — кцп^х^ dt =о
= Ро 52 ^Y^. (2.5.30)
г=0n=0
Для нахождения напряжения а^х^т^ вычисляем производные функций в (2.5.28):
W) = -^ош(т) = (-1)».(2.5.31)
Тогда из (2.2.5) при d = 0 и (2.5.17) с учетом свойств дельта-функции получаем
<^^,t) = Y 52 (-1)"+*Р[т - кцп(х^ Н\т - кцп(х^. (2.5.32) г=0п=0
При р(т) = PqH(t) формула для напряжения приобретает вид
1 ^1(ж,т)
у(ж,т)=ро52 52 (-1Т+1Н [т - кц„(,х)У (2.5.33) г=0п=0
Рис. 2.5.3Рис. 2.5.3На рисунках 2.5.3 и 2.5.4 представлены пространственно-временные картины распространения динамических возбуждений в упругом слое.
Рис. 2.5.3
Рис. 2.5.3
Рис. 2.5.4
Как и в случае кинематического возбуждения, на графиках четко прослеживается волновой характер процесса, связанный с суперпозицией отраженных от краев слоя упругих волн.
2.6. Распространение объемных и начальныхвозмущений в плоском слое
Построим решение задачи о распространении объемных и начальных возмущений в упругом слое (см. гл. 1). Все приведенные в § 2.3 рассуждения о расщеплении исходной задачи на подзадачи для каждой компоненты вектора перемещений остаются справедливыми. Поэтому рассмотрим следующую обобщенную начально-краевую задачу для слоя:
72й = uiXX + F;(2.6.1)
и|т=о = у(ж), й|т=0=^(ж);(2.6.2)
(аои + ^оиД^ = О, (щи +/3iu = 0.(2.6.3)
Согласно (1.4.4), (1.4.15) и (1.4.27) ее решение может быть построено с помощью объемной функции влияния G^t; £):
1
и^ т) — | G(x, г; £) * F(^ т) d£ + о
(2.6.4)(2.6.4)+ 72 |(7(ж,т; 0^(0^ +0^(0^
(2.6.4)
(2.6.4)
L 00■
где С(ж, г; £) — решение следующей задачи:
^G = G,xx + 6^6^-O;(2.6.5)
G|T=0 = 0, ё|_о=О;(2.6.6)
(«оС +/ЗоС5Ж)|ж=о = 0, (оцС +/31С)Ж)|ж=1 = 0.(2.6.7)
Напряжения в соответствии с (2.2.5) определяются следующим образом:
1
сг(ж, т) = (Jia(x, т) = | Ga(x, т; £) * F(^ т) d^ + о
+ 7+ 7- 51аМ. (2.6.8)- 51аМ. (2.6.8)|ёст(ж,т; 0^(0^ +{^(ж^; ОчЖЖ
+ 7
+ 7
- 51аМ. (2.6.8)
- 51аМ. (2.6.8)
L оо■
Здесь G^x^ т\ £) — функция влияния для напряжений, вычисляемая по формуле (2.4.11).
Для решения задачи (2.6.5)-(2.6.7) используем метод разделения переменных Фурье (см. гл. 1). Искомую функцию представляем в виде
G(x.T- е) = Х^Т^.(2.6.9)
и, подставляя (2.6.9) в соответствующее (2.6.5) однородное уравнение, разделяем переменные
уН грн
^ = ^ = -Л-(2.6.10)
В итоге получаем следующую задачу Штурма-Лиувилля для определения собственных функций:
Х" +А2Х = 0;(2.6.11)
(а0Х + /Зо^)|ж=о = 0, (^Х + /WUi = 0.(2.6.12)
Уравнение (2.6.11) соответствует следующим параметрам задачи (1.5.37):
и^ = р^ = 1, х(ж) = 0.(2.6.13)
При этом условия (1.5.35), обеспечивающие свойства 1-5 задачи на собственные значения, выполнены. Определим совокупность собственных частот Ап > 0.
Решение уравнения (2.6.11) при А > 0 имеет вид
X(ж) = Ci cos рх + С2 sin рх^(2.6.14)
где р = VA .
Подставляя (2.6.14) в граничные условия (2.6.12), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных Ci и С^Х
АС = О, Ст = (Ci, С2), А = (^)2х2 ,
ап = «о? «12 =/ЗоМ? «21 — Qi cos р — /31/z sin р. (2.6.15)
«22 = <21 sin р + 3ip cos р.
В силу однородности системы (2.6.15) для существования ее нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы равнялся нулю
det А = сщ(<21 sin р + Pipcos р) — p0o(ai cos р — /3i/z sin р) = 0.
(2.6.16)
Сначала рассмотрим такой вариант граничных условий, что («о<21)2 + (/3o/3i)2 ф 0. В этом случае уравнение (2.6.16) приводится
к виду
tg/z = аЦ^о^оо^),(2.6.17)
р 3о31 + «осп
Правая часть уравнения (2.6.17) является рациональной относительно р, функцией. Она стремится к нулю при р, —> ±оо, а при /3q/3i ф О и £ = —а^а\/ (/3o/3i) > 0 имеет вертикальные асимптоты р, = ±vT- В силу периодичности тангенса это уравнение имеет счетное множество корней р^. Кроме того, поскольку упомянутая рациональная функция является нечетной, то корни уравнения обладают следующим свойством:
Р-п = -p,n, п Е N.(2.6.18)
При Qi/?o = о<о/?1 имеет место частный случай уравнения (2.6.17):
sin р = 0.(2.6.19)
Его корни имеют вид
рп = тгп (п = ±1, ±2,. ..)(2.6.20)
и, очевидно, также удовлетворяют равенству (2.6.18).
Если (qq^i)2 + (/3о/31)2 = 0, то (2.6.16) сводится к уравнению
cos/1 = 0,(2.6.21)
корнями которого являются числа
= тг (п - 1) (neZ),(2.6.22)
обладающие следующим свойством:
АИ-п = -рп, п Е N.(2.6.23)
Собственные функции (формы) для всех указанных вариантов находим из первого уравнения в (2.6.15). С точностью до постоянного множителя они имеют вид
Хп(ж) = а0 sin рпх - /ЗоМп cos рпх.(2.6.24)
Так как эти функции нечетные по /1П, то в дальнейшем можно ограничиться лишь случаем рп > 0.
При А = 0 общее решение уравнения (2.6.11) определяется так
Х^ = Ci + С2ж.(2.6.25)
Система уравнений для определения постоянных Ci и С2 имеет вид (2.6.15), где
ац = «о?а12 — /Зо? а21 — ^1?^22 — 0^1 + /31.(2.6.26)
Определитель этой матрицы задается равенством
(2.6.27)(2.6.27)|А| — a0(ai + /51) — «х/Зо-
(2.6.27)
(2.6.27)
3 А. Г. Горшков и др.
Очевидно, существуют такие параметры граничных условий, при которых определитель (2.6.27) равен нулю, т. е. А = 0 является собственным значением. Таковыми, например, являются параметры «о — ^1 — = 0, /Зд = /31 ф 0? соответствующие слою со свободными поверхностями. В силу условия на параметры граничных условий в (2.3.7) Rgv4 ^ 1, и кратность (см. § 1.5) собственного значения Л = 0 не может быть больше единицы. Соответствующая собственная функция с точностью до постоянного множителя имеет вид
Xo(^)=/3o-c^.(2.6.28)
Если собственные функции и собственные значения задачи Штурма-Лиувилля (2.6.17), (2.6.24) найдены, то, согласно (1.5.15), (1.5.16), решение задачи (2.6.5)-(2.6.7) и правую часть уравнения (2.6.5) представляем в виде рядов Фурье по системе собственных функций:
G(^, г; £) = Е Gn^ ^Хп(х)-(2.6.29)
5(т)д(х - £) = 5(т) 52 ап^Хп(х).(2.6.30)
При этом коэффициенты разложений Gn(r; £) и аД^) в соответствии с (1.5.33), (1.5.16) и (2.6.13) имеют вид
GnGn(ЗДН*п||2 ’(ЗДН*п||2 ’1
Gn
Gn
(ЗД
Н*п||2 ’
(ЗД
Н*п||2 ’
(G,Xn) =|g(z,t; ^Xn(x)dx.
о
атАО —атАО —1100X^x^ dx.X^x^ dx.^x-^.X^ll^nH2^x-^.X^ll^nH2у 5(x — £)Хп(ж) dx ||Xn||2 J 1 M ;у 5(x — £)Хп(ж) dx ||Xn||2 J 1 M ;(2.6.31)И2'(2.6.31)И2'
атАО —
атАО —
1
1
0
0
X^x^ dx.
X^x^ dx.
^x-^.X^ll^nH2
^x-^.X^ll^nH2
у 5(x — £)Хп(ж) dx ||Xn||2 J 1 M ;
у 5(x — £)Хп(ж) dx ||Xn||2 J 1 M ;
(2.6.31)
И2'
(2.6.31)
И2'
Подставляя (2.6.31) в уравнение (2.6.5) и учитывая (2.6.11), получаем следующее уравнение:
Е (^Gn + ^G^X»^) = 5(т) £ ап№п(А (2.6.32)
которое в силу полноты (см. гл. 1) системы собственных функций в £2([0,1]; 1) эквивалентно бесконечной системе независимых обыкновенных дифференциальных уравнений:
72Gn + Mn^n = a,nU)5M-72Gn + Mn^n = a,nU)5M-(2.6.33)(2.6.33)
72Gn + Mn^n = a,nU)5M-
72Gn + Mn^n = a,nU)5M-
(2.6.33)
(2.6.33)
Подстановка ряда (2.6.29) в (2.6.6) приводит к однородным начальным условиям для каждого из уравнений (2.6.33):
^п|т=о = Gn =0.^п|т=о = Gn =0.(2.6.34)(2.6.34)
^п|т=о = Gn =0.
^п|т=о = Gn =0.
(2.6.34)
(2.6.34)
Одним из способов решения начальной задачи (2.6.33), (2.6.34) является использование преобразования Лапласа по времени т (см. приложение В). Учитывая свойства этого преобразования, получаем уравнение относительно изображения перемещения G^s^ £):
T^G^ ^ + ^G^s- ^ = а„Ю,(2.6.35)
решение которого имеет вид
G>, С) =•(2-6-36)
7 s +
Оригинал функции Gn(r; £), а также ее производной по времени Gn^; €) находим, например, с помощью таблиц В.2.1 и В.2.2:
Со(т; С) = «о(£)т+;(2.6.37)
Gn(r; С) = ^^ Н^ sin шпт, wn = ^ (n е N\ (2.6.38)
7
где шп — собственная частота (см. гл. 1).
При использовании формулы (2.6.4) в случае ненулевых начальных условий необходима производная по времени от функции влияния. Как следует из (2.6.29), (2.6.37) и (2.6.38), производная есть сумма ряда
6^,т; £) = Е№(*)(2.6.39)
со следующими коэффициентами:
Go(t; С) = а0(£)Я(т);(2.6.40)
6п(т-, ^ = Н(т) cos шпт (п е N).(2.6.41)
Т
Функцию влияния для напряжений находим по формуле (2.4.11) с использованием (2.6.29) и (2.6.24)
СДх. т; £) = Е Gn(r; ОХаМ.(2.6.42)
где
Хап(Ж) = 2х».(2.6.43)
Производная по времени от этой функции определяется так
СДх,т5 О = Е 6»(т; Ц^Дж),(2.6.44)
Приведем наиболее часто встречающиеся сочетания граничных условий в рассматриваемой здесь одномерной задаче для плоского упругого слоя, соответствующие им уравнения для собственных значений, а также систему собственных чисел и форм.
з*
Первая краевая задача (поверхности слоя неподвижны): с^о = «1 = 1, /Зо = /31 = 0. В этом случае, как следует из (2.6.27), все собственные значения положительны, определяются решениями уравнения (2.6.19) и, согласно (2.6.20), имеют вид
/zn = тгп (п е N).(2.6.45)
Система собственных функций, как вытекает из (2.6.24), задается равенством:
Хп(х) = sin цпх.(2.6.46)
Норма этих функций с учетом (2.6.45) определяется так (см. (2.6.31)):
1
||ХП||2 = ^ sin2 р,пх dx = |.(2.6.47)
о”
Б. Вторая краевая задача (поверхности слоя свободны от нагрузки). Этому варианту соответствуют следующие параметры граничных условий: с^о = оц = 0, /Зо = /31 = 1. При этом, как следует из (2.6.27), |А| = 0, и, следовательно, А = 0 является собственным значением задачи. В качестве соответствующей собственной функции в соответствии с (2.6.28) можно взять
Х0(ж) = 1.(2.6.48)
Ненулевые собственные значения совпадают с собственными значениями первой краевой задачей (см. (2.6.45)). Отвечающие им собственные формы, как следует из (2.6.24), можно выбрать такими
Хп(х) = cos цпх, nEN.(2.6.49)
Объединяя (2.6.48) и (2.6.49), получаем
Хп^ = cos р,пх (п Е Ао) •(2.6.50)
Нормы этих функций с учетом (2.6.45) имеют вид 11
||Х0||2 = | dx = 1, ||ХП||2 = | cos2 /inx dx = ^ (п Е N).(2.6.51)
оо”
Третья краевая задача (вариант: поверхность ж = 0 неподвижная, а поверхность ж = 1 — свободна). В этом случае «о — = /31 = 1, «1 = /Зо = 0. Как следует из (2.6.21) | А| ^ 0 и, следовательно, Л = 0 не является собственным значением.
Положительные собственные значения задачи определяются уравнением (2.6.21) и имеют вид (2.6.22). Соответствующая система собственных функций совпадает с системой (2.6.46) для первой краевой задачи, а квадрат нормы — с (2.6.47).
Для других типов граничных условий система собственных частот и форм может быть построена в каждом конкретном случае.
Рассмотрим пример на использование полученных соотношений.
Пример 2.6.1. Найти напряженно-деформированное состояние упругого слоя единичной толщины с закрепленными лицевыми поверхностями при отсутствии массовых сил и действии температурного поля d(x^T) = (1 + ж2/2) те~т Н(т). В начальный момент времени возмущения отсутствуют, 7i = 1, Л = 1.
(2.6.52)(2.6.52)Решение. В этом варианте фиктивные массовые силы, действующие на слой, согласно (2.1.1), имеют вид
(2.6.52)
(2.6.52)
Fi = -Л^- = -жте"тЯ(т), F2 = F3 = 0.
В соответствии с условием примера начальные и граничные условия однородные (см. (2.2.2) и (2.3.3); а = 1,2,3):
(2.6.53)(2.6.54)(2.6.53)(2.6.54)^а|т= о — о, ^q|t=o — 0;
(2.6.53)
(2.6.54)
(2.6.53)
(2.6.54)
^ctL^O = ^’ и«|ж = 1 — 0.
Следовательно, отличны от нуля только перемещение и = Ui и напряжение а = сгц (см. § 2.2 и 2.3), которые определяются равенствами (2.6.4) и (2.6.8) при
(2.6.55)(2.6.55)F = Fi, ср = ф = 0, ца = 1.
(2.6.55)
(2.6.55)
Граничные условия (2.6.54) соответствуют первой краевой задаче. Поэтому система собственных частот и форм определяются соотношениями (2.6.45)-(2.6.47). Вычисляя предварительно по соответствующей формуле в (2.6.31) коэффициент
(2.6.56)(2.6.56)атъкО — и "^2 — - Sin М"^
(2.6.56)
(2.6.56)
из (2.6.29) и (2.6.38) находим функцию влияния для перемещений (а)п = = l^n = кп)
(2.6.57)(2.6.57)G(x, т; £) = 2Н(т) У^ sinj£n€ g«n g«nп=1 ^п
(2.6.57)
(2.6.57)
Подставляя (2.6.57) в формулу (2.6.4) при условиях (2.6.55), получаем
и(х^ т) = — G(x^ ^т — t^te с d^dt =
оо 1
= —2Я(т) у^ — sin Р"пж п=1 ^п
= —2Н(т) У^ 6п(т) sin//пж, (2.6.58)
П = 1
гдегде
где
где
Мт) = -Мт) = -gL^ зчИи + МпЬ + ^пб Т-Мп (1 + ^п) 1"
Мт) = -
Мт) = -
- 2^n cos цпт + (1 - Мп) sin Р'пТ
тетеН^.Н^.Функцию влияния для напряжений строить не будем, поскольку в данном случае напряжение удобнее найти непосредственно с использованием равенства (2.2.5), подстановка в которое (2.6.58) приводит к следующему результату:
те
те
Н^.
Н^.
ст (ж, т) = и.х — $ = —ст (ж, т) = и.х — $ = —2 52 МпМт)со8//пж +
ст (ж, т) = и.х — $ = —
ст (ж, т) = и.х — $ = —
■ П = 1
(2.6.59)
Как следует из (2.6.58), при температурном возбуждении упругого слоя данного вида возникают незатухающие колебания перемещения. Распределение напряжений носит более сложный характер. Соответ
ствующие пространственно-временные картины представлены на рисунках 2.6.1 и 2.6.2.
Граничные температурные возмущенияв полуплоскости
В рамках несвязанной термоупругости с бесконечной скоростью распространения тепла рассмотрим задачу об определении напряженно-деформированного состояния однородного изотропного полупространства жх = ж > 0, на границе ж = 0 которого задано изменение температуры ^о(^) и отсутствуют напряжения. Массовые силы, тепловые источники, а также возмущения в начальный момент времени в полупространстве отсутствуют.
Введем такую же прямоугольную декартову систему координат, как и в § 2.3 и 2.4. В этом случае в механической части начально-краевой задачи для полупространства необходимо положить Fa = —Лд^/джа,
и добавить к ней уравнение теплопроводности (А.2.35) (тг = О, q = 0, сТ и Хт — коэффициенты теплоемкости и теплопроводности среды):
ст^ = ^М,(2.7.1)
а также начальные
^|t=o=O(2.7.2)
и граничные условия (г — длина радиуса-вектора)
<=o=M*);7? = 0(1), г^+оо.(2.7.3)
Поскольку граничные условия (2.7.3) на плоскости ж = 0 не зависят от координат Ж2 и жз, то решение задачи (2.7.1)-(2.7.3) есть функция только координаты ж и времени: 6 = 0(жД). Следовательно, Fx = = —Хд'О/дх = ГДж, t\ Fq = F^ = 0, и, как показано в § 2.3, отличными от нуля будут только по одной компоненте вектора перемещения их = и и тензора напряжений ахх = ст.
Положим в (2.1.1) с* = сх и введем дополнительно следующие безразмерные параметры:
^ = ^-(2-7.4)1 о^ = ^-(2-7.4)1 оcTpLa
^ = ^-(2-7.4)
1 о
^ = ^-(2-7.4)
1 о
Хт
Далее, как и ранее, штрихи в обозначении безразмерных величин опускаем.
Переходим теперь в (2.7.1)-(2.7.3) к безразмерным параметрам, учитывая (см. (2.2.5), где а = 1), что
a = uiX-M.(2.7.5)
и добавляя соотношения (2.4.1), (2.4.2), (2.4.4) при F = —MiX, <р = *ф = = 0 и (2.3.10) при а = О, /3 = 1, q = А ^|т=о‘ В результате приходим к следующей плоской одномерной начально-краевой задаче (задаче для полуплоскости):
а1*^ = ^)ЖЖ,
(2.7.6)
tz ~ ^,$ж А$ х,
(2.7.7)
Я=о = 0,
(2.7.8)
м1т=о = °,й|т=0=0,
(2.7.9)
^=0 = МД
(2.7.10)
1?(ж,т) = 0(1), ж —> +оо,
(2.7.11)
и>х - Л^)^^ = 0, и(ж, т) = 0(1), жч+х.
(2.7.12)
Ее решение можно построить с использованием результатов § 2.3 и 2.4. Для этого достаточно найти решение ?Дж, т) независимой задачи
теплопроводности (2.6.7), (2.7.8), (2.7.10), (2.7.11). Однако во избежание вычисления дополнительных сверток удобнее непосредственно строить решение всей задачи (2.6.7)-(2.7.11).
В соответствии с формулой (1.4.25) напряженно-деформированное состояние термоупругой полуплоскости при произвольном поверхностном возбуждении ^о(т) определяются так:
и^ т) = Ст(ж, т) ж ^о^), а(ж3 т) = СтД^ т) * ^оМ- (2.7.13)
Здесь Gt (ж, г) и Ст^я^т) — поверхностные функции влияния (см. гл. 1). В соответствии с видом нагружения их также называют температурними функциями влияния. Первая из них есть перемещение и^ определяемое задачей (2.7.6)-(2.7.9), (2.7.11), (2.7.12) и граничным условием
<=о = 5(т).(2.7.14)
Функция Ста(ж, т), согласно (2.7.5), находится следующим образом:
GTa = GTlx-M.(2.7.15)
Для построения функций влияния используем преобразование Лапласа по времени тис использованием табл. В.2.1 приходим к следующей задаче (все обозначения стандартные):
^хх - а?д = 0,(2.7.16)
G^,xx-s1G^ = M^(2.7.17)
Лж=о = 1’ ^L(x,s) = 0(1), ж^+оо,(2.7.18)
(О^-Л^)|ж=0 = 0, О^ж, s) = 0(1), ж^+оо. (2.7.19)
На первом этапе решаем температурную задачу (2.7.16), (2.7.18). Общее решение уравнения (2.7.16) имеет вид
^L(x,s) = С1(5)е"аж^ + С2(фаж^,(2.7.20)
где Ci и С2 — постоянные интегрирования, под a/s понимается та ветвь, для которой Re^^ > 0.
Из граничных условий (2.7.18) получаем, что C^s^ = 0, a СДз) = 1. Следовательно,
^(ж,з) =(2.7.21)
Подставляя это равенство в (2.7.17) и (2.7.19), приходим к следующей задаче относительно О^(ж, s):
Gt,хх ~ s^G^ = -Лау^,(2.7.22)
GAUo = 1’ О^х^ = ОЩ, ж^+ю.(2.7.23)
Решение однородного уравнения, соответствующего (2.7.22), имеет вид
G^o(«, s) = Dx^e"X8 + D^ex\(2.7.24)
где Di и D2 — постоянные интегрирования.
Частное решение неоднородного уравнения (2.7.22) представляем так:
G^x,8)=Ae-ax^, А = const.(2.7.25)
Подставляя (2.7.25) в уравнение (2.7.22), находим
А = Аа
V"s (s - а2) ‘
Следовательно, общее решение уравнения (2.7.22) записывается следующим образом:
G^(x, s) = G^x, s) + G^x, s) =
= D^e"”8 + D^e®8 + Л“ 2Ч . (2.7.26)
Vs (s — a )
Из условия ограниченности решения на бесконечности в (2.7.23) следует, что D^s^ = 0. Для удовлетворения граничным условиям при ж = 0 предварительно с использованием (2.7.5) вычисляем изображение напряжения:
С^Дх^ = G^,x -Ае"аж^ = — Di(s)se~xs -е-ах^. ’s — а
(2.7.27)
Подставляя это выражение в соответствующее равенство в (2.7.23), находим
Тогда изображения функций влияния (2.7.26) и (2.7.27) окончательно принимают вид
С^Дх,8) =С^Дх,8) =(2.7.28)(2.7.28)
С^Дх,8) =
С^Дх,8) =
(2.7.28)
(2.7.28)
Оригиналы первой из этих функций находим с помощью свойств преобразования Лапласа и таблиц В.2.1, В.2.2:
Ст(ж, т) = Аеа г Н(т) *Ст(ж, т) = Аеа г Н(т) *2 2 \ а х \4т у2 2 \ а х \4т уН(т) — 8(х — т)Н(т) — 8(х — т)
Ст(ж, т) = Аеа г Н(т) *
Ст(ж, т) = Аеа г Н(т) *
2 2 \ а х \
4т у
2 2 \ а х \
4т у
Н(т) — 8(х — т)
Н(т) — 8(х — т)
а2(т — t) — а Ж dt — exp [а2(т — ж)] Н(т — ж)
где учтены равенства
1 V 2
—Ц)= еатН^, (е-8Ж)= 5(ж —т),
-1/2 2 \
(ехр(-аж^))= ^^ ехр(-^) Н(т).
Выполняя в интеграле, входящем в (2.7.29), замену переменной интегрирования £ = z2, с использованием таблиц [54] получаем
2 2 12 2 14t4tdt =2еа т | expf—а2^2о 4dt =2еа т | expf—а2^2о 42 2 \а х \4? )2 2 \а х \4? )dz =dz == ^ /2еа2(т"ж)- е“2^+ж)егГс 2а I= ^ /2еа2(т"ж)- е“2^+ж)егГс 2а I(2.7.31)(2.7.31)
2 2 1
2 2 1
4t
4t
dt =2еа т | expf—а2^2о 4
dt =2еа т | expf—а2^2о 4
2 2 \а х \4? )
2 2 \а х \4? )
dz =
dz =
= ^ /2еа2(т"ж)- е“2^+ж)егГс 2а I
= ^ /2еа2(т"ж)- е“2^+ж)егГс 2а I
(2.7.31)
(2.7.31)
Здесь использованы следующие свойства интегралов вероятностей erf х и erfc х [59]:
lim erf ж = 1, erf (—ж) = — erf ж, erfc ж = 1 — erf ж. (2.7.32) ж^+оо
Подставляя (2.7.31) в (2.7.29), приходим к следующему выражению для функции влияния Ст(ж,т):
GT(x^ т) = Сг(ж, т) + Gs(x^ т)Н(тУ
.(2.7.33)
СЛж,т^=\еа^-ж\Н^-Н<т-ж^\,
Gs(ж, т) =—у] е“ (т+а:^ erfc а
Проводя аналогичные выкладки, из (2.7.28) находим вторую функцию влияния
СтД$, т} =
= Л= Л5(т — ж) + а2е“ х^ Н^т — ж) —5(т — ж) + а2е“ х^ Н^т — ж) —2 2 а ж4т2 2 а ж4тН(т)-Н(т)-
= Л
= Л
5(т — ж) + а2е“ х^ Н^т — ж) —
5(т — ж) + а2е“ х^ Н^т — ж) —
2 2 а ж
4т
2 2 а ж
4т
Н(т)-
Н(т)-
3 а2 а хе3 а2 а хеdz =dz =
3 а2 а хе
3 а2 а хе
dz =
dz =
(2.7.34)(2.7.34)Г 1/ а2 ж22Д ,,
(2.7.34)
(2.7.34)
J ехР (4Г”а 1) dt ‘ ох7-
В интеграле, входящем в (2.7.34), выполняем замену переменной интегрирования / = ^“2 и используем табличные интегралы [54]:
г/22\+°°/
fl (ах 2 \ д. п Г /1222
ехр-a t \ at = 2 exp — - а х z
J t3/2 у 4t /J \ 4
о1 х
■\/7Г ] д2 ж(X Т 1 ।—д2 ж с / X Т 1 । |
= -— <еа х erfc а —h —_- е а ж erfc а ——> .
аж (\ 2 VT /\ - VT / J
(2.7.35)
В результате получаем
Ста^Х, т) = GaT^X, т) + Са81(ж, т) + [аст52(ж, т) + GasS^, т)] Н^Т^
астг(ж, т) = Ла2е° ^Т х^Н(т — ж), GCTSi^, т) = А8(т — ж),
Gas2(®,T) =^^ ехрGas2(®,T) =^^ ехр(2.7.36)(2.7.36)
Gas2(®,T) =^^ ехр
Gas2(®,T) =^^ ехр
(2.7.36)
(2.7.36)
Л 2 Г 2GCTS3(a:, т) =^- j еа-(т+х) erfcЛ 2 Г 2GCTS3(a:, т) =^- j еа-(т+х) erfc
Л 2 Г 2
GCTS3(a:, т) =^- j еа-(т+х) erfc
Л 2 Г 2
GCTS3(a:, т) =^- j еа-(т+х) erfc
Как правило, при проведении расчетов в конкретных задачах по соотношениям (2.7.13) свертки приходится вычислять численно. Для этого необходимо знать особенности функций влияния Gt(x^t) и Gtct(x^ т). В формулах (2.7.33) и (2.7.36) слагаемые Gt(x^t) и Саг(х^т) являются ограниченными функциями, Gasi(x^T) пропорциональна дельта-функции Дирака с носителем на прямой т = ж, а функции Gs(x,t), GaS2(x,r) и Савз(х,т) при х > 0 имеют
точку разрыва т = 0. При этом справедливы равенства (в первых двух пределах использованы свойства интегралов вероятностей (2.7.32), а в третьем — правило Лопиталя ):
lim Gs(x, т) = 0, т^+07lim Gs(x, т) = 0, т^+07limlimт^+0т^+0С5з(ж,т) =Aa2ea2$,С5з(ж,т) =Aa2ea2$,(2.7.37)(2.7.37)
lim Gs(x, т) = 0, т^+07
lim Gs(x, т) = 0, т^+07
lim
lim
т^+0
т^+0
С5з(ж,т) =Aa2ea2$,
С5з(ж,т) =Aa2ea2$,
(2.7.37)
(2.7.37)
t2x24тt2x24тAa® r ^*—— lim —9 9 , 2утг 2^ + ocga X z/4Aa® r ^*—— lim —9 9 , 2утг 2^ + ocga X z/4
t2x24т
t2x24т
Aa® r ^*
—— lim —9 9 , 2утг 2^ + ocga X z/4
Aa® r ^*
—— lim —9 9 , 2утг 2^ + ocga X z/4
lim Gsi(x, тА = — lim L_ T->+0 5 v ’ ’ 2л/тг т->+0 V?3
Пример 2.7.1 (задача Даниловской )). Найти перемещение термоупругого полупространства при воздействии на его свободную поверхность ж = 0 внезапно приложенной температуры ^о(т) — Н(т). В расчетах принять А = a = 1.
Решение. Из (2.7.13) и (2.7.33) при указанном в условии примера законе изменения температуры на границе получаем
и(х^ т) = [Gr(®, г) + G8(x, т)Н(т)] ж Н(т) =
= J ес Ж[1 — H(t — ж)] dt + j Gs(x^ t) dt = 1 — в ж + j Gs(x^ t) dt. 000
(2.7.38)
Последний интеграл находим численно с помощью известных квадратурных формул [59].
Парис. 2.7.1 представлена пространственно-временная зависимость перемещения упругого полупространства и(х^т\ Характерной ее особенностью является наличие прямой волны с фронтом х = т. Присутствие этой волны приводит к тому, что находящиеся на фронте точки смещаются в положительном направлении. В тоже время граница полупространства перемещается в обратном направлении. Это иллюстри-
2) Дочитали (L’Hopital G.F. А., 1661-1704) — французский математик.
рует и рис. 2.7.2, на котором представлено распределение перемещений в упругой среде в характерные моменты времени. Аналогичный расчет напряжений показывает, что на фронте волны функция а^х^т^ имеет разрыв первого рода (см. (2.7.36) и (2.7.37)).
Таким образом, наличие температурного поля в упругой среде приводит к более сложной картине напряженно-деформированного состояния, чем в случае механических нагрузок.
Распространение возмущений в бесконечнойвязкоупругой среде
Для оценки влияния вязкости на волновой процесс в рамках постановки задачи § 2.2 рассмотрим распространение одномерных возмущений в направлении оси Охх в бесконечном вязкоупругом пространстве при отсутствии температурного поля.
Дополнительно к (2.1.1) введем следующие безразмерные параметры:
М' = ^, S'=—, Ха=^аМ' (а = 1,2,3),
Рс*с* 4(2.8.1)
7з = 72?£1 = |*£2 = ^3 = 1-
Здесь М и S — ядро релаксации (см. (А.2.1)) и его технический аналог (см. (А.2.12)). Далее, как и ранее, штрихи в обозначениях безразмерных величин опускаем. Тогда в соответствии с (А.4.11) уравнения (2.2.1) необходимо заменить следующими уравнениями движения (^ = 0):
7q^Q! = ^О!,11 Ха * ^О!,11 Т 'ПаР'а (ск — 1, 2, 3).(2.8.2)
Начальные условия сохраняют вид (2.2.2), а вместо физических соотношений (2.1.6) в соответствии с (А.4.10) имеем равенства
(7ц — 7/1Д — Х1 * иХД^ ^22 — ^33 — ^23 = 0,
Безразмерные ядра М и S, согласно (А.2.17), связаны между собой так:
(1 + ММ + м * S = | (1 - x^S. (2.8.4)
Так же, как и для упругой среды, движение, соответствующее и^ = = 7/3=0, является волной расширения-сжатия в смысле выполнения равенств (2.1.12), а при их = 0 в вязкоупругой среде имеют место две волны сдвига (см. (2.1.15) и (2.1.16)). Кроме того, из (2.8.2), (2.2.2) и (2.8.3) следует, что в неограниченной вязкоупругой среде волны расширения-сжатия и сдвига распространяются независимо друг от дру-
га. Поэтому достаточно построить решение следующей задачи Коши (ж = Ж1, и = ма, а = оХа1 ^ = 7а, х = Ха, £ = Еа, F = FaT)ay.
72и = и,хх - X * и^х + Г,(2.8.5)
и|т=о = у(ж), й|т=о = ^(ж)-(2.8.6)
Согласно (1.4.4) и (1.4.15) ее решение может быть представлено в виде
п(ж, т) = С(ж, т) ** F^x^ т) + 72 [в(ж, т) * ^(ж) + С(ж, т) * ^(ж)] ,
(2.8.7)
а^ т) = GCT(x^ т) ** F^x^ т) + 72 [g^#, т) * ^(ж) + GCT(x^ т) * ^(ж)] •
(2.8.8)
Здесь G(x^t) — функция влияния для перемещений. Она удовлетворяет следующей начальной задаче:
72G = GiXX - х * G,xx + 5(т)5(х),(2.8.9)
G|T=0 = 0, G|T=0 = 0.(2.8.10)
Функция G^^.t) есть функция влияния для напряжений, она определяется следующим из (2.8.3) выражением (см. также (2.2.5)):
СДх, т) = — \СДх, т) - х * СДх, г)].(2.8.11)
Для построения решения задачи (2.8.9), (2.8.10) применяем к ней интегральные преобразования Фурье по пространственной координате и Лапласа по времени. С использованием свойств этих преобразований (см. приложение В) находим (все обозначения стандартные, Re ^ > 0)
GFL^q, s) = 2A:(s) = .1.(2.8.12)
Применяя теперь указанные преобразования к (2.8.11), получаем изображение функции влияния для напряжения:
с^Уь з) = —^ GF4q. s) = — о 7ЧЧ v (2.8.13) (s)Т)а q + s k (s)
Обращение преобразований проводим последовательно. Сначала с помощью табл. В.1.2 определяем оригиналы функций влияния по Фурье: Gl(x,s) = ^2е-7»1«|б(»),(2.8.14)
GF(x,s) = _s^^ e-^s^kW,(2.8.15)
Для обращения преобразования Лапласа, прежде всего, вычисляем оригинал функции exp [—syk(s)Y гДе У — 7 1Ж1- С этой целью
предварительно, используя (2.8.4) и (2.8.1), получаем связь функции XL(S) с изображением SL(s) ядра 8(т\.
bpS^s)i + b1sL(sybpS^s)i + b1sL(syb° 4(1 + 2х) ’b° 4(1 + 2х) ’6‘ = ^ЙМ- |2'8Л6)6‘ = ^ЙМ- |2'8Л6)
bpS^s)
i + b1sL(sy
bpS^s)
i + b1sL(sy
b° 4(1 + 2х) ’
b° 4(1 + 2х) ’
6‘ = ^ЙМ- |2'8Л6)
6‘ = ^ЙМ- |2'8Л6)
С учетом этого выражения представляем функцию k(s) в (2.8.12) таким образом:
1М = 4+ЕШ,V1 + »=sL(«)1М = 4+ЕШ,V1 + »=sL(«)b^ = bi — bo.b^ = bi — bo.(2.8.17)(2.8.17)
1М = 4+ЕШ,V1 + »=sL(«)
1М = 4+ЕШ,V1 + »=sL(«)
b^ = bi — bo.
b^ = bi — bo.
(2.8.17)
(2.8.17)
(-1)”(-1)”(2m-1)!! Km m\ 2(2m-1)!! Km m\ 2^ (2fc-3)!!(2m-2b-l)!!^ (2fc-3)!!(2m-2b-l)!!k=2k=2k\(m — ky.k\(m — ky.ik im — kb^b^ik im — kb^b^(m > 3),(m > 3),
(-1)”
(-1)”
(2m-1)!! Km m\ 2
(2m-1)!! Km m\ 2
^ (2fc-3)!!(2m-2b-l)!!
^ (2fc-3)!!(2m-2b-l)!!
k=2
k=2
k\(m — ky.
k\(m — ky.
ik im — k
b^b^
ik im — k
b^b^
(m > 3),
(m > 3),
Для функции SL(s) точка s = ос является нулем, что вытекает из условий (А.2.15), которым должно удовлетворять ядро релаксации 8(т), и из свойств преобразования Лапласа:
lim Sl(sA= lim s^ ^ = lim \s(tWt=0.(2.8.18)
0
Следовательно, функция k(s) раскладывается в равномерно сходящийся в некоторой полуплоскости Res > Resi ряд (используются степенные ряды для функций (1 + z)1/2 и (1 + z)-1/2)
k^ = 1 + fci(s) + &2(s), &i(s) = 52 am [SL(s)]m,
kM = [SL(S)]m* + 1 5 «m+m, + l [^GOf,m=0
1bi b\ bo3 ,2 1 I I1 > 2
a0-l, а1-"у + у-у’ a2 - gb2 - -6ib2 - -61;
(2m 3)!! , ,m — i(2m 3)!! ,m
(m - 1)!m\
где m* выбрано как минимальное из натуральных чисел, обеспечивающее выполнение условия
(2.8.20)(2.8.20)lim sk^(s^ = О,
(2.8.20)
(2.8.20)
что эквивалентно регулярности функции exp [—s |ж| A?2(s)] при любом действительном ж в некоторой правой полуплоскости Res > Res2- Отметим также, что
(2.8.21)(2.8.21)lim ki(s) = 0.
(2.8.21)
(2.8.21)
Далее будем полагать, что техническое ядро релаксации имеет вид (А.2.16), что при введении дополнительных безразмерных параметров (A, q и /3 — физические характеристики материала)
А' = А ^У , /3' = ^(2.8.22)
приводит к следующему виду этого ядра:
=(1 < а < 0).(2.8.23)
Изображение этой функции находим с использованием табл. В.2.1 и свойств преобразования Лапласа:
SL^ = й^АТ' = ЛГИ I2-8-24)
“Г Р)
где Г(^) — гамма-функция [54]. В этом случае
т* = та = [1/а],(2.8.25)
где [ж] — целая часть числа ж.
Записывая exp [—syk^s^ в виде произведения
e-syk^ _ е-<з^^-ук^ e-y(3k^(2.8.26)
и принимая во внимание (2.8.19), каждый сомножитель в (2.8.26) представляем так:
-^(З^ук^ _ -<з^^у -^^ук^з^ р-Ц^^ук-^ _ -(s-V^y у о— ооо— оА
°°1 Г। 1 001
X е-^^^ £ 1 J_y(s + ^) [S^p+p am+ma+pL(S)n, j=0771 = 0'
(2.8.27)
еРук^ = еруеМкА»Нкг^\ = е9у £ WLJ ^ am [M^(s)]m [ .
j=0 lm=lJ
Тогда окончательно получаем
е-вУк^ = e-eyfL^; 8 + ^ yL^ s) = fL^yi 8^Ьку1 s);
ma
(2.8.28)
yb(y, s) _ e-syfe2(s-^)e/3y[/:i (s-/3)+/i2(s-/3)] _ y> £m(y) _ m=0 S
00 1 /00 nАтУ 00 A /00 n Am\k
j=0 Xsm=0/ /c=0’ x m=l/
где коэффициенты ст(у) определяются правилами действия над степенными рядами.
Оригинал ^^(у^т) функции /^(злз) находится достаточно просто обращением каждого члена ряда с помощью табл. В.2.1. При проведении конкретных вычислений сумма ряда заменяется частичной суммой, число членов в которой определяется требуемой точностью вычислений. Определение оригинала функции fi^y, s) представляет самостоятельную проблему, которую необходимо решать в соответствии с конкретным значением показателя а. Оригинал f(y,r) функции fL(y, s) в общем случае может быть вычислен как свертка по времени функций fitter) и f^^y^T). В некоторых частных случаях удобнее предварительно умножить ряд для fzfjBs) на fi(y^s^ а затем уже производить почленное обращение.
Используя свойства преобразования Лапласа, окончательно оригинал функции exp [—syk(s)\ запишем так:
е-зук^ ф Я(т _ ^е-/з(т-у)у(У) т _ уу(2.8.29)
что фактически решает задачу об определении функции влияния Go^x.t^ по ее изображению (2.8.15).
Оригинал функции GL(x^s) в (2.8.14) находится аналогично с помощью разложения:
/г(з)е-8уА:^ = e-sygL(.y, s + ^),gL(y, s) = f^y, s)g^y, s),
(2.8.30)
g^y, s) = Цз - ^у^-0) ^{^{8 - /3) + Hs - /3)]} =
m=0m=0dm (y)g°tmdm (y)g°tmл Amg°tmл Amg°tmXX
m=0
m=0
dm (y)g°tm
dm (y)g°tm
л Am
g°tm
л Am
g°tm
X
X
-yA" sa(ma+l)-l-yA" sa(ma+l)-ln Am
-yA" sa(ma+l)-l
-yA" sa(ma+l)-l
g°tm
где коэффициенты dm(y) определяются правилами действия над степенными рядами.
Пример 2.8.1. Найти функции влияния в одномерной задаче для бесконечной вязкоупругой среды при а = 1/2. В расчетах принять: 7 = = 1, Г)а = 1, И = 0,333, Л = 0,03, /3 = 0,05.
Решение. В этом случае Г(а) = ^/тг [54], у — |ж|, та = 2 и функции fi(x, s), //"(ж, з) и g^^ з) в (2.8.28) и (2.8.30) имеют следующий вид:
f^k^ = (Г^^М^f^.s^ = В^ = е-^^^
f^x, s) = f^x, s^x, s) = B^e-^^/i^,(2.8.31)
772=0 8m=0 8
Учитывая эти равенства, изображения функций влияния GL(x^s)
и G^(x, s) в (2.8.14) и (2.8.15) представляем в виде рядов
GL(x, s) = 1 BMe-^^l £ dm(x)^+2(x, s + /3),(2.8.32)
772=0
G^x, s) =B^e"^ E G^^x, s + /3),(2.8.33)
772=0
где
^x,S) = 4^e-a*\^) a* = aiAa.(2.8.34)
Используя свойства преобразования Лапласа, из (2.8.32) и (2.8.33) находим оригиналы функций влияния:
G^x,т) = I B^x^e-0^"^^ Н(т - |жI) Е <Мж)<Рт+2 (ж, Т - |жI), “772 = 0
(2.8.35)
G»(t, х) = -УЕ£ В(х)Н(т - |ж|)е-/Э(т-|ж!) ^ с^х^т (ж, т - |ж|).
“772=0
(2.8.36)
Входящие в эти формулы оригиналы функций ф^х^ 5) определяем по табл. В.2.2:
1-т/2/2 2\/ I
/ хТх/\/ а* ж \оог_х
фт^х*>х^ — /— exp I - I D^_m I — I ,(2.8.37)
V21-m7r\or /у V2r /
где Dv^x^ — функция параболического цилиндра [54].
В частности, при т = 0,1, 2, 3 имеем (см. также табл. В.2.2)
22 \/ IIа*х \ а* ж22 \/ IIа*х \ а* ж1/21/2ехрехр2 2 а*х4т2 2 а*х4т2 2 \V р°2 2 \V р°7=" 1 = —7=" ехр 2т /7=" 1 = —7=" ехр 2т /2 2 а*х4т2 2 а*х4т
22 \/ II
а*х \ а* ж
22 \/ II
а*х \ а* ж
1/2
1/2
ехр
ехр
2 2 а*х
4т
2 2 а*х
4т
2 2 \
V р°
2 2 \
V р°
7=" 1 = —7=" ехр 2т /
7=" 1 = —7=" ехр 2т /
2 2 а*х
4т
2 2 а*х
4т
/\/\ п / О'* Ж \ гт/ \®1 тт / \
^(ж,т) = А - ехр - —— D-!Я(т) = erfc —р Я(т),
V тг у от у у V2r /у 2ут у
(2.8.38)
п —1/2/2 2\/ I
№(ж,т) =ехр -—— Я-2=
VтгУот уу у2т у
п -1/2/2 2\/ I
= ехр (-^) - а* |^1 erfc (^ф) Я(т).
утгУ4т уу 2ут у
Отметим также, что функции у?т(ж,т) удовлетворяют рекуррентному уравнению
Уш+2(ж, т) = ут(ж, т) drУш+2(ж, т) = ут(ж, т) dr(т € Яо)-(т € Яо)-(2.8.39)(2.8.39)
Уш+2(ж, т) = ут(ж, т) dr
Уш+2(ж, т) = ут(ж, т) dr
(т € Яо)-
(т € Яо)-
(2.8.39)
(2.8.39)
о
На рис. 2.8.1 представлен пространственно-временной график функции влияния С(ж,т) для вязкоупругой среды. Расчеты показывают, что достаточно ограничится одним членом ряда (2.8.35). На рис. 2.8.2 приведен построенный по формуле (2.2.12) аналогичный
Рис. 2.8.1Рис. 2.8.1Рис. 2.8.2Рис. 2.8.2
Рис. 2.8.1
Рис. 2.8.1
Рис. 2.8.2
Рис. 2.8.2
график для упругой среды. Сравнение этих результатов показывает существенное их качественное различие, заключающееся, прежде всего, в отсутствии и наличии разрывов на фронтах волн т = |ж|.
Граничные возмущения в вязкоупругой среде
Сначала в рамках использованных в § 2.8 и 2.3 постановок задач рассмотрим полупространство Ж1 > 0, занятое однородной изотропной вязкоупругой средой. Его плоские движения определяются уравнениями (2.8.2), а напряжения вычисляются по формулам (2.8.3). Аналогичные проведенным в начале § 2.3 рассуждения показывают, что все возможные типы граничных условий на границе Жх = 0 могут быть записаны в одном общем виде (2.3.7), где /Зо и /31 — операторы следу-
ющего вида:
0о = Ao (1 - Xi*), 31 = Зю (1 - X,*) •(2.9.1)
Здесь Доо и Дю — числовые коэффициенты, а звездочка, как и ранее, обозначает свертку по времени.
Следовательно, так же, как и для упругой среды, достаточно построить решение одной начально-краевой задачи относительно одной компоненты и = щ вектора перемещения (ж = Ж1, 7 = 7а, F = ^aFm X = X»; ср. С (2.3.8)-(2.3.11)):
7 ^ = м,жж X * ^,жж И- F.(2.9.2)
и|т=о = 9Дж), й\т_0 = 'ф(х),(2.9.3)
«(Иж=0 + Зо п,ж|ж=0 = QoM,(2.9.4)
и(х, т) = 0(1), х —> +оо.(2.9.5)
Далее ограничимся задачей о распространении граничных возмущений, т. е. положим
F = О, ^ = О, ^ = 0.(2.9.6)
Применяя к (2.9.2)-(2.9.5) преобразование Лапласа по времени с учетом (2.9.6) и использованием свойств этого преобразования (см. приложение В), получаем краевую задачу относительно изображения перемещения (все обозначения стандартные; величина k(s) определена в (2.8.12))
uLxx - k2(syfs2uL = 0,(2.9.7)
aouL\x_Q + -^-uLz\x_o=q^S^(2-9.8)
k (s)
uL(x^ s) = 0(1), ж —>+00.(2.9.9)
Общее решение уравнения (2.9.7) имеет вид
uL = С^е"^^ + C^s)e^sk^x(2.9.10)
где Ci и С2 — постоянные интегрирования.
Из условия (2.9.9) следует, что С2 = 0. Другая постоянная находится из граничного условия (2.9.8)
Сг =(2.9.11)
qok(s) - 87/3oo
Следовательно, изображение перемещения определяется так:
G^ = ^.^.^ е-^-. (2.9.12)
Используя соотношения (2.8.3), находим изображение напряжения
^> = СЦ., СЦ: «) = -^^; ^'‘'^
(2.9.13)
Отметим, что Сп(ж,т) и Сп(г(ж,т) являются поверхностными функциями влияния (см. гл. 1). В пространстве оригиналов соотношения (2.9.12) и (2.9.13) имеют вид (2.3.12). Однако они практически не используются, так как обращение преобразования Лапласа удобнее проводить непосредственно для формул (2.9.12) и (2.9.13). Кроме того, поскольку изображения перемещений и напряжений существенно зависят от вида граничного условия, то проще вычислять оригиналы для каждой конкретной задачи с использованием выражений (2.8.19), (2.8.28)-(2.8.30).
Пример 2.9.1 Найти напряженно-деформированное состояние в вязкоупругой полуплоскости под действием приложенного на ее границе давления р(т) = Н(т). В расчетах принять ^ = 1; т]а = 1, и = 0,333; а = 1/2; Л = 0,03; /3 = 0,05.
Решение. В этом случае граничное условие (2.9.4) имеет вид |ж=0 = — Н(т^ что соответствует а^ = 0, /Зоо = 1 и ^(s) = — 1/s.
Изображения перемещений и напряжений (2.9.12) и (2.9.13) в этом случае аналогично (2.8.32) и (2.8.33) могут быть представлены в виде рядов
^ = -q° (TW e"sk^ = В(ж)^ £ dm(x^+^x,s+0), s- m=0
(2.9.14)
<rL(x, s) = qo(s)e-sk^x = -B^- £ сто(ж)^ (ж, s + /3).
8m=0
(2.9.15)
Входящие сюда функции определены в (2.8.31) и (2.8.34).
Используя свойства преобразования Лапласа и учитывая выражения (2.8.37) и (2.8.38), из (2.9.14) и (2.9.15) получаем оригиналы перемещений и напряжений:
j (т — t — ж)е (pm^(x^t) dt^ о
(2.9.16)
ст(ж) | e-0tipm^x, t) dt. о
Результаты расчетов по формулам (2.9.16) в виде пространственно-временных графиков перемещений и напряжений представлены на рис. 2.9.1 и 2.9.2. Так же, как и в примере 2.8.1, при вычислениях использованы только первые члены рядов. Для сравнения на рисунках
2.9.3 и 2.9.4 приведены соответствующие графики для упругой среды, полученные с помощью алгоритма, приведенного в § 2.3.
Рис. 2.9.1Рис. 2.9.1Рис. 2.9.3Рис. 2.9.3
Рис. 2.9.1
Рис. 2.9.1
Рис. 2.9.3
Рис. 2.9.3
Перейдем теперь к задаче о распространении граничных возмущений в вязкоупругом слое конечной толщины (0 ^ ж ^ 1, см. также § 2.5). Соответствующая начально-краевая задача определяется соответствующими (2.9.2) и (2.9.3) однородными уравнениями и начальными условиями, граничным условием (2.9.4) и условием на второй границе
(2.9.17)(2.9.17)aiti\x=1+3i иж|ж=1 = qi^,
(2.9.17)
(2.9.17)
где 31 = /Зю (1 - X*)-
Применяя к этой задаче преобразование Лапласа по времени с учетом (2.9.6), приходим к краевой задаче, включающей в себя соотношения (2.9.7), (2.9.8) и изображение равенства (2.9.17):
+(2.9.18)
k (s)
Подставляя общее решение (2.9.10) в (2.9.8) и (2.9.18), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно Ci и С^ решение которой имеет вид:
Ci = ^ ^^В^е^ - gf (s)Bq(s)] , "(2.9.19)
С2 = "S U^D^e-^ - <?f GOW] , где
Д(з) = Bo^B^s)^8) - D^B^e-^,^ g
D^ = оцк^з) - s^3io, Bi(s) = aik^ + s^Pio (г = ОД).
Тогда, учитывая дополнительно (2.8.3), получаем следующие формулы для изображений перемещений и напряжений:
uL(x,s) = ^СпАж,з^(зУ,(2.9.21)
г=0
s) = ^ GnaA®, s)qf(s).(2.9.22)
г=0
Здесь
С^0(ж,з) = ^1 [в1(5)е-т'^М(^-1) _ Bi^e^5^-1)] , 8"(2.9.23)
Gni(^,s) = ^1 [Во^е^М* - Во^е-78*^®] ;
G^®, s) =^ Ib^s^-7^8^-1) + В.^е78*^®-1)] ,
GnaA®, s) = —^- [в0(«)е^/!(8)ж + Во^е-^^Ч (2‘9‘24)
— изображения поверхностных функций Спг(ж,т) И Спаг(Ж1ТУ
Для обращения выражений (2.9.21) и (2.9.22) аналогично § 2.5 предварительно следует использовать разложения в ряды по экспонентам (ср. с (2.5.9)):
A(s) Do^B^s^W 1 - R(s)e-2'YSkW ^Л"^^A(s) Do^B^s^W 1 - R(s)e-2'YSkW ^Л"^^R^ =R^ =Di(s)B0(s)D0(s)Bi(s) ’Di(s)B0(s)D0(s)Bi(s) ’"^ 1D0(s)B1(s)-"^ 1D0(s)B1(s)-(2n+l)7s/c(s)(2.9.25)(2n+l)7s/c(s)(2.9.25)
A(s) Do^B^s^W 1 - R(s)e-2'YSkW ^Л"^^
A(s) Do^B^s^W 1 - R(s)e-2'YSkW ^Л"^^
R^ =
R^ =
Di(s)B0(s)
D0(s)Bi(s) ’
Di(s)B0(s)
D0(s)Bi(s) ’
"^ 1D0(s)B1(s)-
"^ 1D0(s)B1(s)-
(2n+l)7s/c(s)
(2.9.25)
(2n+l)7s/c(s)
(2.9.25)
Здесь учтено, что lim R(s^ = 1 и что существует такое So, при котором в полуплоскости Res > Re so справедливо неравенство |е-2т«/=(»)д(8)| < 1.
Далее оригиналы функций (2.9.21) и (2.9.22) удобнее вычислять для каждой конкретной задачи с использованием выражений (2.8.19) и (2.8.28)-(2.8.30).
Пример 2.9.2. Найти напряженно-деформированное состояние вязкоупругого слоя единичной толщины, одна из границ (ж = 0) которого неподвижна, другая (ж = 1) находится под действием давления р(т) = Н(т). В расчетах принять 7 = 1; Ца = 1,х = 0,333; а = 1/2; А = = 0,03; /3 = 0,05.
Решение. В этом случае граничные условия (2.9.4) и (2.9.17) соответственно имеют вид ^|ж=0 = 0 и <т |ж=1 = — Н(т), что соответствует
«0 = 1, Роо = о, q^s) = 0, «1 = 0,/Зю = l,gf (s) =-1/s,
(2.9.26) Bq = Dq = k^s^ B^ — —Dx — s.
Тогда функции R^ и 7?n(s) в (2.9.25) приобретают вид
ВД = -1, Rn^ = ^.(2.9.27)
Учитывая равенства (2.9.26), (2.9.27) и подставляя (2.9.25) в (2.9.21) и (2.9.22), находим изображения перемещения и напряжения:
UL(x^s) = ^^ У^ ( — 1)П ^“^(«К2^!^) _ e-sA;(s)(2n+l-®)"| _ 8п=0~
= У/ ( — 1)п [^о (2^ + 1 + ж, s) — Uq (2п + 1 — ж, s)], п=0
^^(ж, б) = — - У2 ( — 1)П [е_в/г(в)(2п+1-ж) + e-s/c(s)(2n+l+a;)j _ п=0"
= £ Н)" H(2n + 1 + Ж, s) - <7^(271 + 1 - ж, s)], (2.9.28) п=0
где Uq(ж, s) и сг^ж, s) — определенные равенствами (2.9.14) и (2.9.15) изображения перемещения и напряжения для полупространства.
Окончательно получаем
и(х^ т) = У^ (—1)п [гщ(2п + 1 + ж, т) — uq^u + 1 — ж, т)],
"=0(2.9.29)
сг(ж, т) = У^ (—1)п [сго(2п + 1 + ж, т) — сго(2п + 1 — ж, т)],
п=0
где функции uq(x^t) и сг0(ж,т) — перемещение и напряжение, заданные равенствами (2.9.16).
На рисунках 2.9.5 и 2.9.6 представлены построенные с помощью
(2.9.29) пространственно-временные графики перемещений и напряже-
Рис. 2.9.5Рис. 2.9.6
ний для вязкоупругого слоя конечной толщины. Расчеты показывают, что достаточно ограничиться первыми тремя членами рядов (2.9.29).
Глава 3
СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Здесь на примере изотермических или адиабатических процессов в однородных изотропных упругих средах рассмотрим второй наиболее распространенный тип одномерных задач (см. рис. 1.1.2) в сферической системе координат г, 0^а (см. (А.4.41)) с ортами ег, ед, еа и центром О. Если и = и(гД), то такой процесс будем называть сферическим двиснсением^ а в случае волнового процесса (см. гл. 1) — сферическими волнами.
Структура сферических волн
В предположении о зависимости искомых функций только от одной пространственной координаты — радиуса — уравнения движения в перемещениях в соответствии с (А.4.48), (А.4.53), (А.4.55) имеют вид (^ = О, М = 0)
d2^p at2d2^p at2— (А Н- 2д.) ^^^зг^г— (А Н- 2д.) ^^^зг^гирЛ ctg/3ирЛ ctg/3+ pF,+ pF,cP up p at2cP up p at2= М ( АзгМ/3 -= М ( АзгМ/3 -upup2 • 2 QГ SID р2 • 2 QГ SID р(3.1.1)(3.1.1)d7ucd7uc= ц A3ru,= ц A3ru,UotUot2 . 2 QT SID p2 . 2 QT SID p+ pF(+ pF(
d2^
p at2
d2^
p at2
— (А Н- 2д.) ^^^зг^г
— (А Н- 2д.) ^^^зг^г
ирЛ ctg/3
ирЛ ctg/3
+ pF,
+ pF,
cP up p at2
cP up p at2
= М ( АзгМ/3 -
= М ( АзгМ/3 -
up
up
2 • 2 Q
Г SID р
2 • 2 Q
Г SID р
(3.1.1)
(3.1.1)
d7uc
d7uc
= ц A3ru,
= ц A3ru,
Uot
Uot
2 . 2 Q
T SID p
2 . 2 Q
T SID p
+ pF(
+ pF(
где
2 a2 a'3r dr2 + r dr''3r dr2 + r dr'(3.1.2)(3.1.2)
2 a
2 a
'3r dr2 + r dr'
'3r dr2 + r dr'
(3.1.2)
(3.1.2)
Отсюда следует, что для обеспечения независимости искомых функций от угла /3 необходимо положить
up = иа = 0, Fp = Fa = 0, FT = F(r, t).(3.1.3)
Далее в дополнение к (2.1.1), где следует положить {г, j^ = = {г, /3, «}, будем использовать следующие безразмерные параметры:
7 = 71,7 = 71,— г— г(3.1.4)(3.1.4)
7 = 71,
7 = 71,
— г
— г
(3.1.4)
(3.1.4)
где ^ и Ф1 — скалярные потенциалы вектора перемещений (А.2.24) и массовых сил (А.2.27).
Во всех дальнейших выкладках, как и ранее, штрихи в обозначении безразмерных параметров опустим.
При этом уравнения движения (3.1.1) сводятся к одному уравнению относительно ненулевой компоненты вектора перемещения и = иТ (точки обозначают дифференцирование по безразмерному времени т):
72й = Ди3г - ^ + К(3.1.5)
Г
А компоненты напряженно-деформированного состояния среды в соответствии с (А.4.52)-(А.4.54) определяются так (запятой обозначена производная по координате г):
Етт —^33 — ^аа —5 ^гД — ^га — ^Да —т 5
Т(ЗЛ.6)
(7QQ = ^/3/3 = ии т + (1 + ^)— — ио тт Т (1 — и)(1 + 2х) —,
- г - -Г|зл'7)
О ipip — UT | ZZ, ^ т (3 — ^ т ot — ^(3a — U •
Поскольку напряжения oaa — линейная комбинация отт и и. то далее везде достаточно определять только эти две последние величины.
Для изучения структуры сферических волн вместо уравнения (3.1.5) удобнее использовать уравнения движения упругой среды в потенциалах (А.2.28) и (А.4.56). Причем в соответствии с (3.1.3) и (А.4.57) достаточно положить, что векторный потенциал \|л = 0. Тогда уравнения (А.4.56) удовлетворяются тождественно, радиальное перемещение определяется равенством
и =(3.1.8)
а скалярный потенциал удовлетворяет уравнению
72^ = Д3гу> + Ф1.(3.1.9)
Рассмотрим случай отсутствия массовых сил: F = Ф} = 0. При этом условии в уравнении (3.1.9) делаем замену переменных:
Ф^т) =(3.1.10)
Г
В результате приходим к уравнению (2.1.7) для плоских волн
^Х = Х,гт.(3.1.11)
Тогда, подставляя (2.1.8) при 71 = ^ их = х в (3.1.10), получаем общее решение однородного уравнения (3.1.9):
Ф^т^ т) — — [F(t + 7г) + G(t — 7г)],(3.1.12)
где F^Y G^ — произвольные функции класса C^Ry
Таким образом, потенциал перемещений есть суперпозиция двух сферических волн: прямой (расходящейся)
у?1(г, г) = - G(r — 7г),(3.1.13)
г
и обратной (сходящейся)
^^(г^т) — ~ F(t + 7г),(3.1.14)
распространяющихся соответственно в направлениях ег и —ег со скоростью I/7 (ср. с плоскими волнами, § 1.1).
Наличие в названии волн прилагательного «сферические» вызвано не столько использованной системой координат, сколько тем фактом, что характеристики уравнения (3.1.9) (фронты волн) т ± 7г = const являются сферами.
Подставляя (3.1.12) в (3.1.8), находим, что перемещение также является суперпозицией расходящейся tti(r, т) и сходящейся и^^ т) сферических волн:
и(г^ т) = и±(г, т) + и^г, т),(3.1.15)
где
П1(г, т) = — г [^^^т — ^г^ + “ ^т — ^ГА ’(3.1.16)
U^T, т) = - ^F^t + 7г) — - F(t + 7r)j .(3.1.17)
Сферические волны являются волнами растяжения-сжатия ^сферическими P-волнами)^ так как в соответствии с (3.1.6), (3.1.15) и (А.4.49), (3.1.3)
6 ф 0, А^а = Ааг = Хт^ = 0.(3.1.18)
Центр О сферической системы координат называется центром (источником) сферической волны. Отметим, что в отличие от плоских волн, сферические волны убывают обратно пропорционально расстоянию г от своего источника.
Покажем, что плоская продольная волна (см. §1.1) является предельным случаем сферической волны. Для этого положим, что центр сферических волн расположен на оси Ох прямоугольной декартовой системы координат Oxyz в точке ОД—d, 0,0), где d > 0. При этом в (3.1.16) и (3.1.17) следует считать, что
г = л/(х^5р^у^^^.(3.1.19)
Будем также считать, что в начальный момент времени фронты волн проходят через точку О. Для расходящейся волны это соответствует сдвигу времени на величину (—-yd). Соответствующая волна перемещений (3.1.16) имеет вид
^1(г, т) = — ^ ^ОДт -V -yd — -yr) + ^ G(t + -yd — 7г)] .(3.1.20)
Кроме того, полагаем, что функция G^ имеет вид G^ = dG^Y Вычисляя предел
2 .2 ,2
г /, х 1.2ж« + Ж + У -V %
hm (d — г) = — пт = — ж,
d—> + ооd—> + ооd Н~ Г
получаем, что при удалении центра расходящейся сферической волны в бесконечность она переходит в плоскую прямую волну (см. второе слагаемое в (2.1.8))
lim izi(r, т) = — yG'ij — ух).(3.1.21)
tZ—>+ос
Для сходящейся волны следует положить сдвиг времени равным yd. Такая волна перемещений (3.1.17) определяется так:
и^т^ т) — ” [7^ЧТ — ^d-V yr) — - F^t — yd-V yr)^ .(3.1.22)
При этом имеет место равенство
r / .х р эс2 + у2 + %2 + 2ж(/ пт (г — d) = пт = ж,
d—^-|-ооd—^-|-ооГ -1- d
Считая, что F(£) = dF(£), получаем, что при удалении центра сходящейся сферической волны в бесконечность она переходит в плоскую обратную волну (см. первое слагаемое в (2.1.8))
lim и^г. т) = yF^r + ух).(3.1.23)
cZ^+ос
Распространение сферических возмущенийв неограниченной упругой среде
Под сферическими возмущениями будем понимать объемные силы указанного в (3.1.3) вида и зависящие только от радиуса начальные условия.
Соответствующая безразмерная задача Коши для уравнения (3.1.5) имеет вид
у^й = щтт + - щт —^ и + F(r, т),(3.2.1)
«1т=о =й|т=0 = <т\(3.2.2)
В соответствии с (1.4.4), (1.4.15) и (1.4.27) ее решение имеет интегральное представление:
,2,2и^г^ т) = j G(r, т; £) * F(£, т) d^ + о
,2
,2
(3.2.3)(3.2.3)j G(r,r; С)у(^)^+ | Gkr,T-, ОФ^О^L оо'
(3.2.3)
(3.2.3)
где G(r, г; £) = и — функция влияния, которая удовлетворяет следующей задаче:
(3.2.4)(3.2.4)72ё = G тт + -G,T- ^G + 6(т)6(г - ^,Гг
(3.2.4)
(3.2.4)
g'U = o,g'|t=o = o.g'U = o,g'|t=o = o.(3.2.5)(3.2.5)
g'U = o,g'|t=o = o.
g'U = o,g'|t=o = o.
(3.2.5)
(3.2.5)
Соответствующее представление для напряжений имеет вид
оо(г, т; £) * F(£, т) d£ +
о
о
рДг,т; ^(O^ + jG^r.r; О« , (3.2.6)
ооL о
о
о
где GCT(r^ т\ £) — функция влияния для напряжений, которая, согласно (3.1.7), определяется так
Ga(r,T-, £) = GT + — G.(3.2.7)
т
Введение новой функции
Z(r,r; С) = G(r,r; ^V^(3-2.8)
приводит (3.2.4) и (3.2.5) к следующим соотношениям:
72Z = ZtTr + ^Z>r- -^Z = V^6(r)5(r - 0,(3.2.9)
Z|T=0 = 0, z| _Q =0.(3.2.10)
К задаче (3.2.9), (3.2.10) применяем интегральное преобразование Лапласа по времени г (з — параметр, значком «Ь» обозначена трансформанта Лапласа) и преобразование Ханкеля х) порядка v = 3/2 по координате т (q — параметр, значком «Н» обозначена трансформанта Ханкеля; см. приложение В):
^s2ZLH = -q2zLH + £3/2 J3/2(M(3.2.11)
Изображение правой части уравнения (3.2.9) найдено с помощью табл. В.3.1.
Решение алгебраического уравнения (3.2.11) определяется так:
ZLH(q, s; С) =(3.2.12)
7 s + q
Ханкелъ (Hankel G.^ 1839-1873) — немецкий математик.
Оригинал этой функции находим с помощью последовательного обращения преобразований. Сначала вычисляем оригинал по Лапласу (см. табл. В.2.2)
^"С^,^; О = С3/2^з/2(^)^"С^,^; О = С3/2^з/2(^)1 1L2 2 ,2s + q _1 1L2 2 ,2s + q _Обращение преобразованияОбращение преобразования= ^3/2j3/2^)sin^.(3.2.13)= ^3/2j3/2^)sin^.(3.2.13)табл. В.3.2:табл. В.3.2:Ханкеля проводим с использованиемХанкеля проводим с использованием
^"С^,^; О = С3/2^з/2(^)
^"С^,^; О = С3/2^з/2(^)
1 1L
2 2 ,2
s + q _
1 1L
2 2 ,2
s + q _
Обращение преобразования
Обращение преобразования
= ^3/2j3/2^)sin^.
(3.2.13)
= ^3/2j3/2^)sin^.
(3.2.13)
табл. В.3.2:
табл. В.3.2:
Ханкеля проводим с использованием
Ханкеля проводим с использованием
G^, г; О = —Pi (г2 + С2 -47г уG^, г; О = —Pi (г2 + С2 -47г у2 \
G^, г; О = —Pi (г2 + С2 -
47г у
G^, г; О = —Pi (г2 + С2 -
47г у
7 ) [Щт - |г - $|) - Я(т - г - £)] =
7 /
1/2\
= уЦ г2 + е [Я (т - \т - £|) - Н(т - г - 0], (3.2.14) 47г у7 /
где Рх(ж) = х — многочлен Лежандра х) первой степени [54].
Рис. 3.2.1Рис. 3.2.1На рис. 3.2.1 представлена пространственно-временная зависимость функции влияния при 7 = 1, £ = 1. На графике четко прослеживается волновой характер решения и явление отражения сходящейся волны при г = 1 от центра системы координат. Последняя является в некотором смысле граничной точкой для рассматриваемой области изменения коорди-
Рис. 3.2.1
Рис. 3.2.1
для напряжений находим,для напряжений находим,наты г.
для напряжений находим,
для напряжений находим,
Соответствующую функцию влияния подставляя (3.2.14) в (3.2.7):
1 f Г/2 V
^(^ т\ О = -—з ] 2 хт2 - (1 - ж) (£2 - Т— j х 47г I LУ 7 /
х [Я (т - |г - £|) - Н(т - г - О] +
+г ( г2 + £2 - ^ j [sign(£ - г)5 (т - |г - С|) + 6(т - Г - $)] \Y)
(3.2.15)
Для использования формул (3.2.3) и (3.2.6) при ненулевых начальных условиях, кроме (3.2.14) и (3.2.15), необходимо иметь производную
Леэюандр (Legendre А.М., 1752-1833) — французский математик.
от функций влияния по времени:
G^,т' = ^?{ Ь2 О’2 + с2) - т2] (5 (т - |г - С|) - 5(т - г - О) -
- 2т (Я (т - |г - $|) - Я(т - г - С))};(3.2.16)
СДт, т-, £) = —з < — (1 — х) [Я (т — |г — С|) - Я(т - Г - О] + 47г (7
+ 2+ 2хг2хг2/2 \"
+ 2
+ 2
хг2
хг2
- (1 - ^Щ2 -+ 7 sign (г - С) 5 (т - |г - $|) +
\Т JТ_
+ 2
5(т - г - С) +
/2 \>
+r I г2 + $2 - ^2 ) [sign(^ - ^5' (т — |г — С|) + 5'(т - г - £)] Г УТ/J
(3.2.17)
Рассмотрим пример на использование полученных зависимостей.
Пример 3.2.1. Полагая, что в начальный момент времени имеет место невозмущенное состояние, определить перемещение tz(r, т) в упругой среде под действием массовых сил F(r, т) = гте-г-т. В расчетах принять, что материал среды — гранит: 7 = 1, х = 0,143.
Решение. Из (3.2.3) при ср = ф = 0 находим интегральное представление перемещений:
tz(r, т) = | G(r, т;оtz(r, т) = | G(r, т;оО * f^, т) ^ = j J G(r, т-t-, Ме-(-‘ ае, at,о о
tz(r, т) = | G(r, т;о
tz(r, т) = | G(r, т;о
(3.2.18)
Пределы интегрирования в (3.2.18) расставляем с учетом носителя функции G(r, г; £) в (3.2.14):
(3.2.19)(3.2.19)(3.2.20)(3.2.20)■з'
(3.2.19)
(3.2.19)
(3.2.20)
(3.2.20)
Н(т — г) У^ Л (г, т) + Нфг — т) J(r, т)
■г=1■
где
/1(г, т) = | te с dt | [г2 + ^2 — (т — Z)2] ^е ^ d^ т — гr-T-Vt
I^^t^ — j te-T dt j[r2 + ^2 — (t — Z)2] ^e-^ d^
о0
4 А. Г. Горшков и др.
Распространение граничных возмущенийот сферической полости
Исследуем распространение сферических волн в занятой однородной изотропной упругой средой полуограниченной области в виде пространства со сферической полостью радиуса R. При этом в безразмерных параметрах (2.1.1) и (3.1.4) положим L = R.
В этом параграфе рассмотрим задачу о распространении граничных возмущений (см. гл. 1), которые для обеспечения сферической симметрии должны быть равномерно распределены по поверхности полости. Уравнения движения (3.2.1) и начальные условия (3.2.2) в данном случае являются однородными:
^й = uiTT + - uiT + ^ и^(3.3.1)
п|т=0 = 0, й\т=0 = 0.(3.3.2)
Граничные условия на поверхности полости аналогично (2.3.10) записываем в обобщенном виде (различные варианты условий определяются значениями постоянных а и /3)
(au + /3u,r)|r=1 = д(т).(3.3.3)
На бесконечности ставится условие ограниченности решения (см. гл. 1)
и(г, т) = 0(1), г —> оо.(3.3.4)
Как следует из (1.4.25), соответствующие задаче (3.3.1)-(3.3.4) перемещения и напряжения могут быть записаны в виде
tz(r, т) = | Gn(^5 т — t)q(t) dt. <ттт(г^ т) = j Gna(^5 т — t)q(t) dt, оо
(3.3.5)
Здесь Сп(^т) = и и Спа^т) = °тт — поверхностные функции влияния. Причем Сп(^т) определяется уравнениями (3.3.1), условиями (3.3.2), (3.3.4) и граничным условием на поверхности полости со специальной правой частью в виде дельта-функции Дирака
(aGn +/3Gn,r)|r=1 = SVTY(3.3.6)
a Gn^r, т) — следующим из (3.1.7) соответствующим соотношением
GnCT(r,T) = Gn,r + ^Gn.(3.3.7)
Для построения функций влияния применяем к задаче (3.3.1), (3.3.2), (3.3.4), (3.3.6) преобразование Лапласа по времени т (все обозначения стандартные):
Gn.rr + ^ G^ - (72s2 - 4) Gn = 0,(3.3.8)
(a^+/3G^r)|r=1 = l,(3.3.9)
Gn^, 5) — 0(1), Г ОС.Gn^, 5) — 0(1), Г ОС.(3.3.10)(3.3.10)
Gn^, 5) — 0(1), Г ОС.
Gn^, 5) — 0(1), Г ОС.
(3.3.10)
(3.3.10)
Общее решение уравнения (3.3.8) имеет вид [53]:
Gn^, s) = ^ [C'l(s)^з/2(7rs) + C2(s)/3/2(7rs)] ,(3.3.11)
где СДз) и C^s) — постоянные интегрирования, /Дг) и Kv^ — модифицированные функции Бесселя ^ порядка v первого и второго рода соответственно.
Учитывая асимптотические представления модифицированных функций Бесселя (/Дг) неограниченна, а Ки(г^ ограничена на бесконечности),
1и^/S=’ K^'^~J^e 2' 2 ^ °°> 1агё^1<7 (3.3.12)
V27T2;N 222
из условия (3.3.10) получаем, что С2 = 0 и
G^T, s) =K3/2(7rs).(3.3.13)
у г
Дополнительно вычисляем производную от этой функции:
^) = -^ [2К3/27^) + К1/2(7™)] .(3.3.14)
Здесь использована рекуррентная формула [53]
К’^ = --К^-(3.3.15)
2
Учитывая (3.3.13) и (3.3.14), из граничного условия (3.3.9) определяем постоянную Ci и находим изображение перемещения
Gn(r, s) = ^^К N^ = (а - 2^)K3/2(z) - PzK^Y
(3.3.16)
Изображение функции Спст(,г^т) находим с помощью формулы (3.3.7)
Спст(г,т) = -Спст(г,т) = -(3.3.17)(3.3.17)т^^ N^s^т^^ N^s^2(1 - x)K3/2(7-rs) + 7rsK1/2(7rs)
Спст(г,т) = -
Спст(г,т) = -
(3.3.17)
(3.3.17)
т^^ N^s^
т^^ N^s^
Для вычисления оригиналов этих функций воспользуемся связью модифицированных функций Бесселя полуцелого индекса с элементар-
3) Бессель (Bessel F. W., 1784-1840) — немецкий математик и астроном.
ными функциями [53] (п = 0,1, 2, . . .):
InWlM^ —InWlM^ —НГНГ^гп+1/2^гп+1/2tf„o(*) = Z MMfe,fc=Otf„o(*) = Z MMfe,fc=O71+1/271+1/2^ПО (^) 5^ПО (^) 5[ezRn0(-z) - е zRn0(z)][ezRn0(-z) - е zRn0(z)]д = (n + A;)!”fe (n — A)!fc!2fcд = (n + A;)!”fe (n — A)!fc!2fc(0 < k(0 < k(3.3.18)(3.3.18)n),n),
InWlM^ —
InWlM^ —
НГ
НГ
^гп+1/2
^гп+1/2
tf„o(*) = Z MMfe,fc=O
tf„o(*) = Z MMfe,fc=O
71+1/2
71+1/2
^ПО (^) 5
^ПО (^) 5
[ezRn0(-z) - е zRn0(z)]
[ezRn0(-z) - е zRn0(z)]
д = (n + A;)!
”fe (n — A)!fc!2fc
д = (n + A;)!
”fe (n — A)!fc!2fc
(0 < k
(0 < k
(3.3.18)
(3.3.18)
n),
n),
Ank = 0 (k < 0, k > n).
В частности, при rz = 0 и rz = 1 для функции второго рода имеем
GnCT(r,s) =GnCT(r,s) =-s(r-l) Ra^ s),T(3.3.20)-s(r-l) Ra^ s),T(3.3.20)^(r, s) =^(r, s) =Pi^rs)Q2^s- a,/3) ’Pi^rs)Q2^s- a,/3) ’R^r,s) =R^r,s) =Pl^rs)Qi^s; a, /3) ’Pl^rs)Qi^s; a, /3) ’
GnCT(r,s) =
GnCT(r,s) =
-s(r-l)
Ra^ s),
T(3.3.20)
-s(r-l)
Ra^ s),
T(3.3.20)
^(r, s) =
^(r, s) =
Pi^rs)
Q2^s- a,/3) ’
Pi^rs)
Q2^s- a,/3) ’
R^r,s) =
R^r,s) =
Pl^rs)
Qi^s; a, /3) ’
Pl^rs)
Qi^s; a, /3) ’
Тогда, подставляя (3.3.19) в (3.3.16) и (3.3.17), после несложных преобразований получаем следующие выражения для изображений функций влияния:
s(r_i)
Gh^, s) =5— R^(r, s),
Г
где
(3.3.21)(3.3.21)QMi a, /3) = /3г2 + (2/3 - а)(г +1),
(3.3.21)
(3.3.21)
PM) = /?ю(г) = z + 1,
PM = QM 2x, 1) = г2 + 2(1 - x^z + 1).
Оригиналы функций влияния находим из (3.3.20) с использованием свойств преобразования Лапласа:
Gn(r, т) = —\ Ru [г, т - 7(г - 1)] Н [т - 7(г - 1)],(3.3.22)
Г
Gna^T, т) = -Г Ra [г, т - 7(г - 1)] Н [т - 7(г - 1)],(3.3.23)
Г
Функции R^(r^ s) и R^(r, s) являются дробно-рациональными. Поэтому их оригиналы Rn(r^ т) и Ra(r^ т) находятся достаточно просто с помощью теории вычетов [51]. Необходимо только отметить, что дробь R^ (г, s) при /3^0 является правильной, а /3 = 0 — неправильной (степени числителя и знаменателя совпадают). Дробь R^(r, s) неправильная,
причем при /3^0 степень ее числителя равна степени знаменателя, а при /3 = 0 первая больше второй на единицу. В случаях неправильных дробей перед применением теории вычетов необходимо провести процедуру выделения целых частей, которые в пространстве оригиналов соответствуют слагаемым, пропорциональным дельта-функции Дирака ^(т) и, быть может, ее производной 5х (т) (см. табл. В.1). Конкретный вид оригиналов Рп(г^ т) и РДт\ т) существенным образом зависит от параметров граничных условий а и /3. Поэтому обращение соотношений (3.3.20) удобнее проводить в каждой конкретной задаче.
Рассмотрим пример использования соотношений (3.3.22) и (3.3.23).
Пример 3.3.1. Найти радиальные перемещения и напряжения в упругой среде со сферической полостью радиуса г = 1, на поверхности которой задано радиальное напряжение: оТТ\т=Л — QkTY Массовые силы отсутствуют, начальные условия однородные. Построить пространственно-временные зависимости перемещений и напряжений при q(t) = —р0Н(т)^ р0 = 1, 7 = 1; х = 0,143.
Решение. Заданным условиям на поверхности полости отвечают параметры а = 2х, /3 = 1 (см. (3.1.7) и (3.3.3)), многочлен
Q2(^; а^) = Р^(3.3.24)
в (3.3.21) и следующие дробно-рациональные функции R^r^s) и Р^Дт^з) в (3.3.21):
R^r,s)=^M(3-3-25)
Ra (Г, S) == Г2 + 2(1 - х)(1 - г)^, РаМ = ^ + Г + 1.
(3.3.26)
Так как для всех известных сред А, р > 0, то, согласно (2.1.1), 0 < < и < 1. Следовательно, нули многочлена РДД являются комплексносопряженными и соответственно простыми:
^(^1,2) = 0,^1,2 = — ol ± zw, а = 1 — х, а; = д/1 — х2 . (3.3.27)
Для вычисления оригиналов функций R^^r^ s) и Р^Дг, s) используем формулы обращения преобразования Лапласа (см. приложение В) и вычисления вычетов в простом полюсе (теорему разложения, [51]), а также табл. В.1:
Ru(r,r) =2Re^^/eZ1T,(3.3.28)
R^r, т) = г25(т) + 4(1 - х)(1 - г) Re ^1^11 e2i\ (3.3.29)
Учитывая, что РДД = Дк — х + 1), а также значения нулей (3.3.27), после несложных преобразований находим
РДт. т) = е-ат fr cos шт + -—— sin шт\ ,(3.3.30)
^(г, т) = Ras(r, т) + Rao(r, г),
(3.3.31)(3.3.31)RaO^r, г) =RaO^r, г) =2^(1 -г)е”ат1 +м2^(1 -г)е”ат1 +м[го; cos шт + (1 + тх^ sin шт\ .[го; cos шт + (1 + тх^ sin шт\ .Ras(r, т) = Г2£(т),
(3.3.31)
(3.3.31)
RaO^r, г) =
RaO^r, г) =
2^(1 -г)е”ат
1 +м
2^(1 -г)е”ат
1 +м
[го; cos шт + (1 + тх^ sin шт\ .
[го; cos шт + (1 + тх^ sin шт\ .
Функции влияния Сп(^5т) и Сп(г(^т) определяются соотношениями (3.3.22) и (3.3.23). Для вычисления радиальных перемещений и напряжений при заданной поверхностной нагрузке д(т) = —р0Н(т) используем равенства (3.3.5):
и^г^ т) = — р0 [ СД^ t) dt = ^| [ Ru(r. t — г + 1)Я(£ — г + 1) dt =
Jr J
оо
^| [ Ru(r,t-r^l)dt, (3.3.32) r J
r — 1
CTrr(r, t) = -p0CTrr(r, t) = -p0J ^n<rr(^; ^) dt 0J ^n<rr(^; ^) dt 0PorPor1 + ^2 [ ^<т0 (^Д - т + 1) dt r J"r — 1"1 + ^2 [ ^<т0 (^Д - т + 1) dt r J"r — 1"(3.3.33)Вычисляя интегралы в (3.3.32) и (3.3.33), окончательно получаем(3.3.33)Вычисляя интегралы в (3.3.32) и (3.3.33), окончательно получаем
CTrr(r, t) = -p0
CTrr(r, t) = -p0
J ^n<rr(^; ^) dt 0
J ^n<rr(^; ^) dt 0
Por
Por
1 + ^2 [ ^<т0 (^Д - т + 1) dt r J
"r — 1"
1 + ^2 [ ^<т0 (^Д - т + 1) dt r J
"r — 1"
(3.3.33)
Вычисляя интегралы в (3.3.32) и (3.3.33), окончательно получаем
(3.3.33)
Вычисляя интегралы в (3.3.32) и (3.3.33), окончательно получаем
tz(r, т) = —у-^Н(т — г + 1) < е а(<т г+1^ х 2г (1 — х^[
ххV1 — >^2 (2г — 1)1V1 — >^2 (2г — 1)1sin ш^т — г + 1) — cos а;(т — г + 1)sin ш^т — г + 1) — cos а;(т — г + 1)+ 1+ 1
х
х
V1 — >^2 (2г — 1)
1
V1 — >^2 (2г — 1)
1
sin ш^т — г + 1) — cos а;(т — г + 1)
sin ш^т — г + 1) — cos а;(т — г + 1)
+ 1
+ 1
(3.3.34)
<тгг(г,т) = —3 Р° н(т - г + 1) хг (1 + х)
х ^г2(1 + х^ + (1 — r)|e а^т r+1^[a;(l — r)sina;(T — r + l) —
— (1 + r)(l + х^ coso;(t — г + 1)]| + (1 + г)(1 + х)^. (3.3.35)
На рисунках 3.3.1 и 3.3.2 представлены пространственно-временные распределения функций и(г, т) и агг(г, т). Зависимости указанных
Рис. 3.3.1Рис. 3.3.1Рис. 3.3.2Рис. 3.3.2
Рис. 3.3.1
Рис. 3.3.1
Рис. 3.3.2
Рис. 3.3.2
функций от времени т при г = 1, г = 2. г = 3 изображены на рисунках 3.3.3 и 3.3.4. Как следует из соотношений (3.3.34) и (3.3.35) перемещения затухают при г —> оо как г-2, а напряжения — как г-1. При этом на графиках отчетливо прослеживается волновой характер распространения возмущений. Фронтом волны в данном случае является сфера переменного радиуса г = т + 1.
Рис. 3.3.3Рис. 3.3.3Рис. 3.3.4Рис. 3.3.4
Рис. 3.3.3
Рис. 3.3.3
Рис. 3.3.4
Рис. 3.3.4
Для проверки результатов в данном примере найдем статические значения перемещения ПстМ и напряжения сгст(г) как пределы соответственно и(г, т) и стгг(г, т) при стремящемся к бесконечности времени. Удобнее это сделать с помощью теорем о предельных переходах для преобразования Лапласа [51].
Сначала, учитывая, что qL(s) = ~Ръ/s (см. табл. В.2.1) и используя свойства преобразования Лапласа (см. приложение В), из (3.3.5), (3.3.20) и (3.3.25) записываем изображения перемещения и напряжения:
ML(r, s) = G^t, s)qL(s) = p0-—5— ^2 , Г SF^S)
(3.3.36)
^(^ s) = G^r, s)qL(s) = -p0-—3— ^ ^.r sr^s)
Отсюда, принимая во внимание формулы для многочленов в (3.3.21), получаем
^СТ (^)
Ро2гЧ1-иУРо2гЧ1-иУ(3.3.37)(3.3.37)= lim tz(r, т) = lim 8иь^т^ s) = lim e-s(r-1) —
Ро2гЧ1-иУ
Ро2гЧ1-иУ
(3.3.37)
(3.3.37)
Т^ОО Х8^0Г S^O F?(s)
ст ст (г) — lim 0>r(r, т) — lim scr^T(r^ s) =
_ _Р0 I- AW -s(r-l) _ _P0
Г3 P2(s)r3
Например, при p0 = 1 на поверхности полости г = 1 для напряжений имеем сгст(1) = — 1, что полностью совпадает с граничным условием (ср. также с рис. 3.3.4). Для перемещений при х = 0,143 получаем ^ст(1) = 0,583, что соответствует горизонтальной асимптоте для графика 1/(1, т) на рис. 3.3.3.
Упражнение 3.3.1. Построить поверхностные функции влияния для упругой среды со сферической полостью, на поверхности которой задано радиальное перемещение.
Объемные и начальные возмущенияв пространстве со сферической полостью
С использованием обозначений предыдущего параграфа исследуем процесс распространения сферических волн в находящемся в поле массовых сил F(r, г) пространстве со сферической полостью радиуса R при ненулевых начальных условиях. Соответствующая начальнокраевая задача образуется уравнениями движения (3.1.1), начальными условиями (3.1.2), однородными граничными условиями на поверхности полости (3.3.3) и условиями на бесконечности (3.3.4):
222
7 и = и rr Н— и г~ и + F,
^1т=0 =“1т=0 = М
(au + /3u,r)|r=1 = 0, и^ т) = 0(1), г —> ОО.
(3.4.1)
(3.4.2)
(3.4.3)
(3.4.4)
Как следует из (1.4.4), (1.4.15) и (1.4.27) соответствующие задаче (3.4.1)-(3.4.4) перемещения и напряжения могут быть записаны в виде
,2,2] О(г,т; ^*F^.T)d^ 1
,2
,2
j G(r,r; O^W | С(т,т; О^ЖЖ , 11-
<тгг(г, т) = | СДт, т; С) * F^, т) d£ +
| ОДг.т; МШ | СДт^ ШМ . (3.4.5)
Здесь G(r, т; £) = и и G^ (г, т; £) = атт — объемные функции влияния. Причем G(r, г; £) определяется условиями (3.4.3), (3.4.4), уравнением (3.4.1) с правой частью в виде дельта-функции Дирака и однородными начальными условиями (3.4.2):
(3.4.6)(3.4.6)(3.4.7)(3.4.7)^G = G,rr + | G,r - 4 G + 5(r)5(r - 0,
(3.4.6)
(3.4.6)
(3.4.7)
(3.4.7)
g|t=o = o,g|t=o = o,
a Ga(j\ т; £) — соотношением в (3.2.7).
Для построения функций влияния аналогично § 2.3 применяем к задаче (3.4.3), (3.4.4), (3.4.6), (3.4.7) преобразование Лапласа по времени т (все обозначения стандартные):
GLTT + -GLr- (^s2 + 4) GL = -5(r - 0,(3.4.8)
(3.4.9)(3.4.9)(3.4.10)(3.4.10)(aOL+/3OLr)|
(3.4.9)
(3.4.9)
(3.4.10)
(3.4.10)
СДт,Д = 0(1),
Общее решение уравнения (3.4.8) имеет вид [53] (см. также (3.3.11)):
GL(r, s;0 = ^ [C^K^rs) + C2(S)/3/2(7rS)] + G>, s; £).
(3.4.11)
Здесь G* (r, s; £) — частное решение неоднородного уравнения. Для его нахождения используем метод вариации произвольных постоянных. Полагая
СДг, s; ^ = -^ [Oi(r)K3/2(7rs) + D2(r)/3/2(7rs)] ,(3.4.12)
находим, что производные функций Oi(r) и О2(г) удовлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений (£ = 7rs):
O'!(r)K3/2(<) + ^(г)/3/2(<) = О,
D'iWD'iWК3/2«)К3/2«)+ d'2W+ d'2W^3/2(0^3/2(0= 6<r-^.= 6<r-^.(3.4.13)(3.4.13)
D'iW
D'iW
К3/2«)
К3/2«)
+ d'2W
+ d'2W
^3/2(0
^3/2(0
= 6<r-^.
= 6<r-^.
(3.4.13)
(3.4.13)
Вычисляя ее определитель (W [К„(£), /^(С)] — С-1 — вронскиан х) системы функций ^(С), ^(С) [59])
А 3/2А 3/2^3/2(0Цк3/2(С) + Ск;/2(С)^3/2(0Цк3/2(С) + Ск;/2(С)^3/2(0Цшо + сздо^3/2(0Цшо + сздо
А 3/2
А 3/2
^3/2(0
Цк3/2(С) + Ск;/2(С)
^3/2(0
Цк3/2(С) + Ск;/2(С)
^3/2(0
Цшо + сздо
^3/2(0
Цшо + сздо
= ^W [К3/2(0, /з/2(0] =(3.4.14)
и используя правило Крамера ), получаем решение этой системы:
D^(r) = -5(r - ^^Is^yrs), D'^ = 5(r - $)r3/2K3/2(7rs).
(3.4.15)
Интегрируя (3.4.15), находим функции Z)i(r) и D^t^ (см. приложение Б; в правых частях каждого из равенств указана только одна первообразная):
^iW = - p(r - C)r3/2/3/2(7rs) dr = -^^Is/iVi^HV - О,
(3.4.16)
О2(г) = 15(г - ^)г3/2К3/2(7гз) dr = £3/2K3/2(7£s^(r - О-
Подставляя теперь (3.4.16) в (3.4.12), получаем частное решение
G^(r,s; 0 =
еЗ/2
= ^ [Ka^^h^rs) - /3/2(7Cs)K3/2(7rs)] Я(г - О- (3.4.17)
Окончательно из (3.4.11) и (3.4.16) находим
GL^ з; О = -^ | [сЦз) - С3/2/з/г(7^)Я(г - С)] Я3/2(7гз)+
+ [С2(з) + ^/2К3/2(7^з)Я(г - О] /з/2(7^)} • (3.4.18)
Учитывая свойства (3.3.12) модифицированных функций Бесселя, из условия (3.4.4) получаем (в (3.4.18) г > £, так как т —> оо)
С2(з) = -С3/2К3/2(7^)(3.4.19)
Вронский (Wronski U.^ 1776-1853) — польский математик.
и
Gl^ з; О = -^ { [Ci(s) - С3/2/з/2(7^)Н(г - е)] K3/2(7rS)-
-$3/2Кз/2(7^)/3/2(7Г8)[1 - Я(г - С)]} . (3.4.20)
Для определения СДз) с использованием (3.3.15) и формулы [53]
rv^ = -V-L^HIv-i^Y(3.4.21)
вычисляем производную
GLr(r, s; £) = ^Д{€3/2Я3/2(7€8) х
х [2/3/2(7rs) - 7rs/i/2(7rs)] [1 - Я(г - £)] +
+ [С3/2/з/2(7^)Я(г-С)-С1(з)] [2Я3/2(7Гз)+ 7ГзЯ1/2(7Гз)] j
(3.4.22) и из граничного условия (3.4.3) с учетом (3.4.20), (3.4.21) и неравенства £ > 1 получаем (функция N^ определена соответствующим равенством в (3.3.16))
Ci(s) =” ^'з/гЫ + /378/1/2(78)] •(3.4.23)
Подставляя это равенство в (3.4.20), находим
^3/2 Г
GL(r, s; ^) = ^| [(а - 2/3)О3/2(7гз,7з)+/37зЯ3/2(7гз,7з)] х
X ^^ + ^/2(7^8, 7Г8)Я(г - О j, (3.4.24) где
D^x,^ = Ky^L^ - IV^KV^Y
(3.4.25) Яр(ж, у) = Kv^x^lv_\^iA 3“ /^(ж)Я1/—1(у).
Изображение функции GCT(r, т; £) находим с помощью формул (3.1.7) аналогично (3.3.17):
G^(r,8; 0 =
/£\3/2 /
= (-)( {(« - 2/3) [2(1 - х)Я3/2(78,7гз) - 7гзЯ3/2(7гз, 7s)] -
— 37s [2(1 — и)Ез^(7Г8^ 7s) — 7rs^i/2(7s? 7rs)] }— 37s [2(1 — и)Ез^(7Г8^ 7s) — 7rs^i/2(7s? 7rs)] }^З/гЬ^)Nf^s)^З/гЬ^)Nf^s)++
— 37s [2(1 — и)Ез^(7Г8^ 7s) — 7rs^i/2(7s? 7rs)] }
— 37s [2(1 — и)Ез^(7Г8^ 7s) — 7rs^i/2(7s? 7rs)] }
^З/гЬ^)Nf^s)
^З/гЬ^)Nf^s)
+
+
+ [2(1 — >f)G3/2(7rs, 7$s) + 7rs-^3/2(7rs, 7^s)] H(r-m. (3.4.26)
С помощью (3.3.19), а также следующих из (3.3.18) формул для функции Бесселя первого рода
М*) = —U (е2 + е"^ , /3/2(^) = -^= [^ " Г + е^ + 1)] у2тггу2тгг3"
(3.4.27) функции (3.4.24) и (3.4.26) представляются в виде суммы рациональных функций, умноженных на экспоненты. Последующее обращение преобразования Лапласа проводится с помощью вычетов. Однако эту операцию удобнее проводить для каждого конкретного случая граничных условий на поверхности сферической полости г = 1.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся виды граничных условий. При этом ограничимся нахождением функции влияния G(r, т; £).
Пример 3.4.1 (сферическая полостъ с снсесткой вставкой^. Эта задача соответствует граничному условию
«1г=1 =°>«1г=1 =°>(3.4.28)
«1г=1 =°>
«1г=1 =°>
т. е. параметрам а = 1 и 3 = 0. При этом формула (3.4.24) с учетом следующего из (3.3.16) равенства N(z) = ^3/2(2) принимает вид
G^r.s; £) =
^3/2д/г^3/2д/гО3/2^Г8, 7s)К^^ + °3/2(7$s, ^rs)H(r - ОО3/2^Г8, 7s)К^^ + °3/2(7$s, ^rs)H(r - О(3.4.29)(3.4.29)
^3/2д/г
^3/2д/г
О3/2^Г8, 7s)К^^ + °3/2(7$s, ^rs)H(r - О
О3/2^Г8, 7s)К^^ + °3/2(7$s, ^rs)H(r - О
(3.4.29)
(3.4.29)
Подставляя сюда представления (3.3.19) и (3.4.27), после некоторых преобразований находим следующее представление для изображения функции влияния:
13
G^r, s; О =£ R^r, з; О^^8,(3.4.30)
Т k=i где
pL( м = (7rs + l)(7^ + W-l)
1V ’s3(7s + l)
R^(г, s; О = -^ (7^3 + 1)(7гз - 1)Я(£ - г),(3.4.31)
8
R3<t, з; О = 4 (7$s - 1)(7гз + 1)Я(г - ^);8
Мт^ =7(€ + г-2), г?2(г,С) = 7(С - г), %(г,€) = 7(г - €)• (3.4.32)
Особыми точками функции R^ является полюс s = 0 порядка 3, а функции R^ —также и простой полюс s = — 1/7- Поэтому вычисление оригиналов можно провести с помощью теории вычетов [51] (k = 1, 2, 3; §гк ~ символ Кронекера)
Rk^,s; €)Rk^,s; €)ee(3.4.33)(3.4.33)ЯЦг,т; ^Ц^Ш^ ^s3e5Tl + 2 ds" s=o
Rk^,s; €)
Rk^,s; €)
e
e
(3.4.33)
(3.4.33)
+ 6ik lims^-l/7
Использование этих формул приводит к следующим результатам:
^1(г? т; £) = < 272(г — 1)(£ — 1)е Т^ —
2>
- у + 1(2 - г - £)т - 72[£г + 2(1 - г - £)] >Я(т),
^г(г, т; £) =^г(г, т; £) ='2'-у-7(£-г)т + £г72'2'-у-7(£-г)т + £г72Я($ - г)Я(т),Я($ - г)Я(т),(3.4.34)(3.4.34)Яз(г, т; С) =Яз(г, т; С) ='2'-у -7(г-С)т + $Г72'2'-у -7(г-С)т + $Г72hu-tWtYhu-tWtY
^г(г, т; £) =
^г(г, т; £) =
'2'
-у-7(£-г)т + £г72
'2'
-у-7(£-г)т + £г72
Я($ - г)Я(т),
Я($ - г)Я(т),
(3.4.34)
(3.4.34)
Яз(г, т; С) =
Яз(г, т; С) =
'2'
-у -7(г-С)т + $Г72
'2'
-у -7(г-С)т + $Г72
hu-tWtY
hu-tWtY
0 10 1Рис. 3.4.1Рис. 3.4.1
0 1
0 1
Рис. 3.4.1
Рис. 3.4.1
Тогда, используя свойства преобразования Лапласа (см. приложение В) окончательно получаем
1 3
G(r, т; О = —^ Нк\т- Пк^, О\н [т - т)к(г, О] •(3.4.35)
27 r *=i
На рис. 3.4.1 представлена пространственно-временная зависимость функции влияния G(r, т; £) = щ 7 = = 1, £ = 2, рассчитанная по формуле (3.4.35). Здесь четко прослеживается волновой характер распространения возмущений. Отметим, что в момент времени т = 1 возмущение достигает поверхности полости г = 1, волна отражается от границы области, и далее
в среде присутствуют только расходящиеся волны.
Пример 3.4.2 (сферическая полость со свободной поверхностью). Эта задача соответствует граничному условию
т. е. параметрам а = 2и и /3 = 1. При этом формула (3.4.24) принимает вид
£3/2 Г
G (г, s; £) = ^=-Н-2(1 - х)£>3/2(7Г8,7s) + 78^3/2(7™, 7«)] х
х ^^ + Г>3/2(7£з,7гз№(3.4.37)
где в соответствии с (3.3.16) N^ = — [2(1 — х)К3/2(2) + ^К1/2(^)] •
С помощью представления (3.3.19) и (3.4.27) формула (3.4.37) приводится к выражению (3.4.30), в котором R^r^s; £) и R^r^s; £) определяются соответствующими формулами в (3.4.31), а функцию R^(r^ s; £) необходимо заменить следующей дробью:
R^s-,=(3-4-38)
з Рг^з)
где
P^z) = ^rz4 + [(2£х + 1 - 2£)г + £]z3 + \2г(х - 1)(1 - £) +
+ 2Ц1 -х) + V + 2[(1 - х)(г + С - 1)]^ + 2(1 - хУ
а многочлен Р^) определяется равенством (3.3.21).
Особые точки функции R^ — полюс s = 0 порядка Зив соответствии с (3.3.27) простые полюсы 5ц2 = 21,2/7? гДе ^1,2 = — ^ ± гш^ а = \ — и. ш = V1 — х2 • Следовательно, оригинал этой функции определяется так (см. также (3.4.33) и (3.3.28))
Ri^, т^Ц^ [7?f(r, в; ^з3е8^+ 2 Re ^^ ^ ■ (3-4-39)
2 as"s=0 s1P2v^i)
Достаточно громоздкие преобразования приводят эту функцию к виду
Ri^^ О = \ИГ + £ — 1) cos — — [«(£ — 1)г + sin ^1е-та/7 + \ I7 ш7 I
2\
+ у + ^U + г - 2)т + 72[г(£ - 2) + 2(1 - О]) Я(т). (3.4.40)
Таким образом, в этой задаче функция влияния G(r, т; ^) = и определяется равенством (3.4.35), где R^(г, т; £) и R^t^ т; £) задаются формулами в (3.4.34), a Ri(r, т; £) — равенством (3.4.40). Соответствующая пространственно-временная зависимость, построенная при 7 = = 1 и £ = 2, представлена на рис. 3.4.2. Характер волнового процесса качественно совпадает с результатами предыдущего примера. Однако за счет свободной поверхности полости в момент отражения от нее волны (т = 1) перемещение увеличивается вдвое.
Рис. 3.4.2Рис. 3.4.2в оригиналах. Следовательно,в оригиналах. Следовательно,Задача, в которой на поверхности полости задана линейная комбинация перемещения и напряжения (а ^ ^ 0 и /3 ^ 0), решается аналогичным образом. При этом в пространстве изображений по Лапласу в решении также будут присутствовать три экспоненты с показателями [—т^щ^ (см. (3.4.32)), которые дают соответствующие запаздывания аргумента т
Рис. 3.4.2
Рис. 3.4.2
в оригиналах. Следовательно,
в оригиналах. Следовательно,
пространственно-временная картина распространения возмущений качественно остается такой же, как и в рассмотренных примерах.
3.5. Распространение граничных возмущенийв толстостенной сфере
Рассмотрим теперь задачу о распространении сферических волн в упругой толстостенной сфере с внешним и внутренним радиусами Ro и 7?i соответственно. В безразмерных параметрах (2.1.1) и (3.1.4) положим L = Rq. При этом внешняя и внутренняя поверхности задаются уравнениями
г = 1, г = щ (3.5.1)
Ro
Здесь ограничимся исследованием процесса распространения граничных возмущений. Эта задача аналогично §2.3 может быть сформулирована в перемещениях, и ее решение может быть построено с помощью применения преобразования Лапласа по времени. Кроме того, можно использовать интегральное представление (1.4.17з) (соответствующая объемная функция влияния построена в следующем параграфе). Однако изложим другой способ, основанный на постановке задачи относительно потенциала у?(г, т) и использовании общего решения (3.1.12) в виде комбинации сходящихся и расходящихся сферических волн. Соответствующая начально-краевая задача в соответствии с (3.1.9), (3.3.3) и (3.1.8) имеет вид
^Ф = Ф,тт + | У,г,(3.5.2)
Я=о = 0, Я=о = 0,(3.5.3)
(aou + A)U г)|г=1 = 9о(т),(3.5.4)
(aiu + /3iM,r)|r=ri = 91 (т).(3.5.5)
Перемещение и связано с потенциалом формулой (3.1.8). Параметры Qj и Д определяют все возможные варианты граничных условий. Отметим также, что однородные начальные условия (3.5.3) являются
достаточными для выполнения соответствующих условий (3.3.2) по перемещениям.
При записи общего решения задачи (3.5.2)-(3.5.5) используем следующее ее свойство: сходящаяся (расходящаяся) сферическая волна при взаимодействии с границей упругого тела порождает отраженную расходящуюся (сходящуюся) сферическую волну, распространяющуюся с той же скоростью. В результате с учетом (3.1.12) получаем
] ОО
у(г, т) = - Е Vok [т -Tk- 7(1 - г)] Н [т - Тк - 7(1 - г)] + т к=0
+fik [т - Тк - 7 (г - 7-1)] Н [т - тк - ^ (г - Г1)]},(3.5.6)
Рис. 3.5.1Рис. 3.5.1где fok(T) и fikV^ — произвольные функции, а
Рис. 3.5.1
Рис. 3.5.1
Тк = к^б^ 5 = 1 — т^.(3.5.7)
Соответствующая фазовая картина распространения волн в упругой сфере представлена на рис. 3.5.1, где сплошные наклонные линии соответствуют расходящимся, а штриховые — сходящимся волнам.
Равный бесконечности верхний предел суммирования в формуле
(3.5.4) присутствует условно, так как в силу свойств функции Хевисайда в заданный момент времени т в (3.5.4) остается конечная сумма.
Из (3.1.12) следует, что уравнение (3.5.2) удовлетворяется тождественно. Начальные условия (3.5.3) будут выполняться, если потребовать, чтобы функции fik(x) удовлетворяли следующим равенствам:
/о^(О) = /о^(О) = hkW = hkW = 0.(3.5.8)
Применяя к (3.5.6) с учетом (3.5.8) преобразование Лапласа по времени т (все обозначения стандартные, см. приложение В), получаем
= 1 £ [/о^)^1-^ + ^К^-^ е-тк». (3.5.9) /с=0
Отсюда с использованием (3.1.8) находим изображение перемещения и его производную:
оо г
UL^ з) = ¥>>, 8) = -Л Е Л(-7Г8)/о£й(8)е-^1-')Ч г к=0 L
+Р1(7гз)/1^(з)е-^(г-Г1)8] е^8,(3.5.10)
<r(r,s) = Л У \Pr^-yrs)f0Lk(s)e-^-^ Т fc=0L
^P^hT'sH^W^^ e"TkS. (3.5.11)
Здесь использованы многочлены Р^(г) (см. (3.3.21)) и
Pr2W = QM 0,1) = ^ + 2(г + 1).(3.5.12)
Подставляя (3.5.10) и (3.5.11) в граничные условия (3.5.4) и (3.5.5), приходим к уравнениям относительно /^.(s) и fik(s):
52 <32(-7s; a^PtpfoU8WTkS + к=0
+ у Q^ «о^Мк^е"^8 = q^, (3.5.13) к=0
52 QA—^ris; a1T1,3i^f^sy"Tw6 + к=0
+ 52 <92(-7ns; a1r1,p1)f^sV”TkS = r^q^s). (3.5.14) к=0
Во второй сумме в (3.5.13) и в первой сумме в (3.5.14) сделаем замену индекса суммирования т = к + 1 (к = т — 1, т = 1 при к = 0). В результате, возвращаясь к старому обозначению индекса и выделяя в остальных суммах слагаемые с индексом к = 0, приводим равенства (3.5.13) и (3.5.14) к следующему виду:
52 \Q^-18' ao^Mfok(8) + <32(78; ao,/3o)/i^-i(s)] е TkS + к=1
+ Q2(-7s; «0, A)/oLo(s) = ^(s),
(3.5.15)
52{<32(-7ns; ain^O/o^.^s) + Q2(7ns; «irt, P^f^s^ x k = l
x e-Tk® + Q^Tis-, «1Г1, Pi)/io(s) = rfqi (s).
Далее приравниваем нулю коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями для каждой из функций /Д (s) (j =0,1) и получаем систему рекуррентных соотношений (разностных уравнений [М3]; к Е W):"
f0Lk(s) = Я0(б)/1^_1(5), f^s) = H^f^s) (3.5.16)
и начальные условия к ним
(3.5.17)(3.5.17)/обО) = Z70(s), /iLo(s) = U^s),
(3.5.17)
(3.5.17)
где
И / X _<92(75;И / х <2г(-7Г15;
° Qik-^SX “о,/М’1Qi^ria-, ain.^i) ’
(3.5.18)
Lz \3 Lz хХ7
П = ^° Is' ТТ Г1 ^1 Xs)
°Q2(-^ys- ао.РоУ 1 фг^пз; <№,#1)'
Система (3.5.16) сводится к одному разностному уравнению второго порядка (к >2):
/Ш = Я(з)/0^_2(з), Я(8) = Я0(б)Я1(8),(3.5.19)
начальные условия для которого вытекают из (3.5.17) и первого равенства в (3.5.16) при к = 1:
f^ = MsY f^s) = Ho^U^sY (3.5.20)
Решение однородного уравнения (3.5.19) разыскиваем в виде f^k = = Хк^ где А удовлетворяет характеристическому уравнению Л2 — — Н(з) = 0, корни которого А12 = ±V^G0 • Следовательно, общее решение уравнения (3.5.19) имеет вид
/<й(з) = [Ci(s) + (—l^C^s)] H^Y (3.5.21)
где Ci и С^ — произвольные постоянные.
Подставляя (3.5.21) в начальные условия (3.5.20), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно Ci и С^;
^(s) + C2(s) = [/o(s), C1(S)-C2(s) = H°WM8\ (3.5.22)
V^(s)
ВД^ Я0(з) + ^^2 LV^(s)ВД^ Я0(з) + ^^2 LV^(s)С2ИЦ t/o(S)С2ИЦ t/o(S)Ho(s)tA(s)(3.5.23)Ho(s)tA(s)(3.5.23)решение которой определяется так
ВД^ Я0(з) + ^^2 LV^(s)
ВД^ Я0(з) + ^^2 LV^(s)
С2ИЦ t/o(S)
С2ИЦ t/o(S)
Ho(s)tA(s)
(3.5.23)
Ho(s)tA(s)
(3.5.23)
Учитывая эти равенства, из (3.5.21) приходим к окончательному виду решения начальной задачи (3.5.19), (3.5.20) (m 6 7V0):
foM =foM =1 + (-l)fc21 + (-l)fc2Го(б)Н—Го(б)Н—(-1)* Ho^U^s)2 Vm^ .(-1)* Ho^U^s)2 Vm^ .Я^2(8) =Я^2(8) =
foM =
foM =
1 + (-l)fc
2
1 + (-l)fc
2
Го(б)Н—
Го(б)Н—
(-1)* Ho^U^s)
2 Vm^ .
(-1)* Ho^U^s)
2 Vm^ .
Я^2(8) =
Я^2(8) =
(3.5.24)(3.5.24)
(3.5.24)
(3.5.24)
( Uo(s)Hm(s)при к = 2m,
| Ui(s)Ho(s)Hm(s) при к = 2m + 1.
Теперь из второго уравнения в (3.5.16) можем найти
(3.5.25)(3.5.25)Ui(s)Hm(s) при к = 2m, l/o(s)Hi(s)Hm(s) при к = 2т^1.
(3.5.25)
(3.5.25)
Подставляя (3.5.24) и (3.5.25) в (3.5.10), с учетом (3.5.18) получаем изображение перемещения
uL(r, s) = qo(s)G^r, s) + qi(s)G^(r, s).(3.5.26)
e"T2fcS,e"T2fcS,Здесь G^0(r, s) и G^x(r, s) — изображения поверхностных функций влияния (см. гл. 1) для перемещения, которые имеют вид
e"T2fcS,
e"T2fcS,
G^0(M
(3.5.27)
3 оо г
к=0
где (т, п = 0,1)
ётпкЬ, 8) = ^fe(s)g^n0(r, S),
A(r, •’ =^ •) = "оЛЛ a-,H’^'
У2(—78, ао,ро)<V2(—78, ао,ро)
(3.5.28)
„L / x =Pi hrs)
S110^ ’ ^ Quhri®; ^n,^)’
„L (rPi(-7rs)
100 ’ Qihris; «ш,0i)
Подстановка (3.5.10) и (3.5.11) в соответствующую формулу в (3.1.7) при учете (3.5.24) и (3.5.25) приводит к аналогичному (3.5.26) равенству для напряжений
"rrhi s) = qoh)Gnao(r, s) + qi(s)Gnai(r, s).(3.5.29)
Здесь G^ofr, s) и G^al(r, s) — изображения поверхностных функций влияния для напряжения, которые определяются так (многочлен Р?(^) указан в (3.3.21)):
GnCTohs)GLlh S)GnCTohs)GLlh S)^E[^(r,S)e-^-^ + ^lkh,s)e-^+5^^E[^(r,S)e-^-^ + ^lkh,s)e-^+5^+ hiokh,S)e-^-r+^]+ hiokh,S)e-^-r+^]e"T2kS^(3.5.30) e"T^s,e"T2kS^(3.5.30) e"T^s,
GnCTohs)
GLlh S)
GnCTohs)
GLlh S)
^E[^(r,S)e-^-^ + ^lkh,s)e-^+5^
^E[^(r,S)e-^-^ + ^lkh,s)e-^+5^
+ hiokh,S)e-^-r+^]
+ hiokh,S)e-^-r+^]
e"T2kS^
(3.5.30) e"T^s,
e"T2kS^
(3.5.30) e"T^s,
где
Mknk^ s) = Hk(s)h^n0(r, s),
hL zrq\_ ^2(-7rs) ,L / x_ Pl^rs)(}
^^ S) " Q2(-7s; ао,0оУ ^l^ S) " Q2(-73; ao,0o)
(3.5.31) hL ( X _ Pl^rs), L , X _ Pl^rs) „( X
^110v? s/ —^100 № s) —n0\s)‘
Ч2^Г18; OLiTi.Pi)aiTi.Pl)
Очевидно, в пространстве оригиналов представления (3.5.26) и (3.5.29) записываются следующим образом:
u(r,r) = 90(т) * Gno(r,r) + 91 (т) * Gm(r, т),(3.5.32)
<7гг(г, т) = 9о(т) * GnCTo(r, т) + 9i(t) * GnCTi(r, т).(3.5.33)
При этом из (3.5.27) и (3.5.30) получаем следующий вид оригиналов функций влияния:
1 00
Gno(r, т) = -2 52 {goofc [г, Т - 7(1 - г) - T2fc] Я [т - 7(1 - г) - Т2к\ + Т к=0
+goik [г,т -^(г- Г1) - т2*+1] Я [т - 7 (г - п) - T2fc+1]} ,
(3.5.34) Gni(r, т) =
= 7 12 {#llfc [г, Т - 7 (г - Г1) - T2fc] Я [т - 7 (г - Г1) - T2fc] + т к=0
+giok [г, т - 7(1 - г) - T2fc+1] Я [т - 7(1 - г) - T2fc+1]} ;
Gn<7o(r,r) =
= 4 12 Vtook [г, т - 7(1 - г) - т2А;] Я [т - 7(1 - г) - Т2к\ + Г к=0
+hoik [г, т - 7 (г - п) - T2fc+1] Я [т - 7 (г - Г1) - t2*+i]} ,(3 5 35)
Gnal(r, т) =
= Ч 12 V^iik [г, Т - 7 (г - п) - T2fc] Я [т - 7 (г - Г1) - т^ +
Г k=0
+/ii0fe [г, т - 7(1 - г) - T2fc+1] Я [т - 7(1 - г) - т2*+1]} .
В соответствии с теоремой разложения (см. [51]) задача об обращении преобразования Лапласа для функций g^n^T^8^ и ^mnfc(r’s) сводится к вычислению вычетов в полюсах Sj порядка р функции H(s) и в других особых точках функций g^n0(r, з) и h^o^r^sY Эта операция для последнего типа точек проводится обычным образом. Необходимо только отметить, что в случае неправильных дробей gmnO^^ s) И ^тп^г^ 5) в них необходимо предварительно выделить целую часть. Без этой процедуры иногда можно обойтись, если находить не функции влияния, а непосредственно перемещения и напряжения с использованием формул (3.5.26) и (3.5.29). При этом g^n0(r, з) и ^^no(^; s) в (3.5.28) и (3.5.31) следует заменить соответственно функциями g^n0(r, S^q^s^ и /г^п0(г, ^q^s) (см. далее замечание 3.5.1).
Основная трудность заключается в вычислении вычетов в упомянутых выше полюсах sj, порядки которых больше единицы. Поскольку в этом смысле функции g^^^r, з) и Ь^пк(г, з) могут отличаться только порядком рк полюса, то для них будем использовать единое обозначение /^(з). Применяя формулу Лейбница х) [50], находим (С$ - число сочетаний из р по q: р = р&)
rez fkWST
р-1/ _ _ПР-1 q
X[(S - «^fk^= Е ^к,р-Ч-1(8^
q=0s = sjq=0
(3.5.36)
dki(sj) = ^ [<s — 8зУ fk(8^W
Для определения последовательности производных d^Sj) заметим, что первые равенства в (3.5.28) и (3.5.31) эквивалентны уравнению
fkW = Н^.МfkW = Н^.М(3.5.37)(3.5.37)
fkW = Н^.М
fkW = Н^.М
(3.5.37)
(3.5.37)
Его аналогом является полученное также с помощью формулы Лейбница и с учетом равенства р^-1 — Рк — 1 рекуррентное соотношение:
l
dki{^j} = ^^ Pi(sj)dk_1Д—i(s2) — {pK^j)} * ^dk—i^i^Sj^ .(3.5.38)
z=0
^Лейбниц (Leibniz G.W., 1646-1716) — немецкий математик, физик и философ.
Здесь
R^ = (s - в^Н^ ,R^ = (s - в^Н^ ,Я(8) =Я(8) =ад QWад QW
R^ = (s - в^Н^ ,
R^ = (s - в^Н^ ,
Я(8) =
Я(8) =
ад QW
ад QW
(3.5.39)
а^Цр^), R0^ = <8-Sjrf0L^, JL^ = ^1,
где многочлены Р(з), Q(s), Po(s) и Qo(s) определяются соответствующими равенствами в (3.5.28), (3.5.31), (3.5.18) и (3.5.19), a Sj — нуль функции Qo (s) порядка ро (если Qo (sj) + 0, то ро = 0). В указанных соотношениях р0 = 1 или ро — 0.
Для замыкания алгоритма достаточно указать способ вычисления последовательностей pi (зД и doi(sj). Применяя к равенству Ro(s) [Qo(s)/ (з — sj)^°] = Ро (s) формулу Лейбница, получаем
Г QoGO l(z)Г QoGO l(z)= р^ (s).= р^ (s).(3.5.40)(3.5.40)
Г QoGO l(z)
Г QoGO l(z)
= р^ (s).
= р^ (s).
(3.5.40)
(3.5.40)
Переходя в этом равенстве к пределу при з —> Sj. получаем следующую рекуррентную формулу (г 6 N):
doo (sj) —doo (sj) —$00 (sj)$00 (Sj) ’$00 (sj)$00 (Sj) ’doi ^j} — > / \<00 (зДdoi ^j} — > / \<00 (зД$0z (sj) ^ ^ dp^j-i (Sj) <o/ (Sj) , ■/=1"(3.5.41)$0z (sj) ^ ^ dp^j-i (Sj) <o/ (Sj) , ■/=1"(3.5.41)
doo (sj) —
doo (sj) —
$00 (sj)
$00 (Sj) ’
$00 (sj)
$00 (Sj) ’
doi ^j} — > / \
<00 (зД
doi ^j} — > / \
<00 (зД
$0z (sj) ^ ^ dp^j-i (Sj) <o/ (Sj) , ■/=1"
(3.5.41)
$0z (sj) ^ ^ dp^j-i (Sj) <o/ (Sj) , ■/=1"
(3.5.41)
где
Coz (^) = ^° M,Coz (^) = ^° M,Coz (Sj) = pCoz (Sj) = pQo(») 1 (° = Q^lM (8-з,у« s_s. (1 + р0У '- s~s3Qo(») 1 (° = Q^lM (8-з,у« s_s. (1 + р0У '- s~s3(3.5.42)Формулы для pi {sj) вытекают из последних двух равенств, в которых в соответствии с (3.5.39) следует положить doi(sj) = pksaY ^o(s) =(3.5.42)Формулы для pi {sj) вытекают из последних двух равенств, в которых в соответствии с (3.5.39) следует положить doi(sj) = pksaY ^o(s) == P<s\ Qo(s) = <9(s) и p0 = 1 (г G N>.= P<s\ Qo(s) = <9(s) и p0 = 1 (г G N>.
Coz (^) = ^° M,
Coz (^) = ^° M,
Coz (Sj) = p
Coz (Sj) = p
Qo(») 1 (° = Q^lM (8-з,у« s_s. (1 + р0У '- s~s3
Qo(») 1 (° = Q^lM (8-з,у« s_s. (1 + р0У '- s~s3
(3.5.42)
Формулы для pi {sj) вытекают из последних двух равенств, в которых в соответствии с (3.5.39) следует положить doi(sj) = pksaY ^o(s) =
(3.5.42)
Формулы для pi {sj) вытекают из последних двух равенств, в которых в соответствии с (3.5.39) следует положить doi(sj) = pksaY ^o(s) =
= P<s\ Qo(s) = <9(s) и p0 = 1 (г G N>.
= P<s\ Qo(s) = <9(s) и p0 = 1 (г G N>.
Pi (sj) — (s j €г (sj) ' Pi-l (sj) Cl (sj) ,
(3.5.43)
где
Cz (ад^ададCz (ад^адад<-к)=лад‘Дло,,+,,к)-
Cz (ад^адад
Cz (ад^адад
3(3.5.44)
Замечание 3.5.1. Если внешние нагрузки заданы и все особые точки их изображений 9^(з) и Qi(s) являются полюсами, то имеет смысл
сразу находить перемещение и напряжение, минуя этап определения функций влияния.
Для этого равенства (3.5.26) и (3.5.29) с использованием (3.5.27) и (3.5.30) записываем в виде
uL(r, з) = ^ £ { [gobi(^ s)e”7(1-r)5 + gi^Ar, s)e-7(r-ri+5)s] + r k=0"
+ d [gfu(r,+ &(r, ^e-*1-^] } e-T^.(3.5.45)
<^L^ s) = ^ £ { Vh^e"',(1-r)S + hoiMe-'^1^ +
T k=0"
+ r? [/^Me-^-^8 + ^(s)^1”^] } e"^. (3.5.46)
Здесь g^nk^ s) и h^nk(r^ s) пропорциональны соответствующим функциям g^nk(s) и h^jAs) в (3.5.28) и (3.5.31):
ёопк^ 8) = 9o (steonJr, s), ^пА(з) = q^g^r, s), __(3.5.47)
honk(^ s) = 9o(»)tir> s), h^nk(s) = q^s)h^nk(r, s).
Оригиналы перемещения и напряжения имеют вид, аналогичный (3.5.34) и (3.5.35).
Далее будем считать, что каждая из функций ^(s) и Qi(s) имеет единственный полюс (в противном случае можно использовать принцип суперпозиции):
Qo (sg*) 7^ б? 91 (^1*) 7^ 0.
При изложении алгоритма вычисления вычетов, соответствующих g^^T, 5) И ^mnk^ri 8^ так же? как и Ранее? будем использовать единые обозначения: /^(s) для этих функций, s* и р* для полюсов sq*? si* и их порядков ро*5 Р1*5 а также q(s) для числителей 5o(s) и 91 (s) в (3.5.47). Вычеты в точках Sj и s* по-прежнему находятся по формулам (3.5.36)-(3.5.43) со следующими корректировками:
Po(s) -> Po(s) = q(,s)P0(sA <9о(з) -> Qo(s) = (s - s«f* Qo(s).
(3.5.49)
Если s* совпадает с одним из полюсов Sj, то этот алгоритм остается в силе. Лишь увеличивается порядок соответствующего полюса. В про-
тивном случае, поскольку Q(s*) 7^ 0, то в равенствах (3.5.43) и (3.5.44) необходимо провести следующие замены (р = р*):
Pi (Sj) Рг (з*) =Н^(б*),
Щз,-)-^^) = ^Р^(з*),(3.5.50)
Ci (sj) Ci (s*) = ^Q(l) (з»).
Пример 3.5.1 (динамическое обжатие толстостенной сферы с жесткой вставкой и шара). Найти напряженно-деформированное состояние упругой толстостенной сферы с неподвижной внутренней поверхностью и движущейся по закону q(t) = ^ т2е-тН(т) внешней поверхностью. С помощью соответствующего предельного перехода определить перемещения и напряжения в шаре. Расчеты провести для шара, положив uq = — 1, 7 = 1, х = 0,143.
Решение. Задача для толстостенной сферы соответствует граничным условиям
м|г=1 = «(т),u|r=ri=0,(3.5.51)
т.е. следующим параметрам и правым частям в (3.5.4) и (3.5.5):
«о = «1 = 1, /30 = /31 = 0,q0(t) = q(t), qi(t) = 0.(3.5.52)
Поскольку изображение внешней нагрузки (см. табл. В.2.1)
qL^ = 7^7I3-5-53)
имеет единственную особую точку sq = — 1 (полюс порядка р0 = 3), то, согласно (3.5.52) и замечанию 3.5.1, представляем изображения перемещений и напряжений в виде (7 = 1)
= 7 ^ [^^(^ S)e"(1"r)s + g^r, s)e"(r-ri+,s)s]
Г k=0 L"
(3.5.54)
= ^^[h^r,s)e-^s + h^k(r, «K^1^r k=0"
(3.5.55) где в соответствии с (3.5.47)
gonk^s) = 4L(s)gonk(r,s), h^nk(r,s) = qL(s)h^nk(r,s). (3.5.56)
Явные формулы для последних функций получаем из (3.5.28) и (3.5.31) с учетом конкретных значений (3.5.52) параметров граничных условий:
s) = H^g^r, з), H(s) =
~L (\l-rs~L (\(1 + rs) (1 - ns)
gooo(^ s) = ^-——37.n gOio(^ s) = -^0 , 2пзГ1 / J
(s + 1) (1 - s)(s + 1) (1 - s) (1 + ns)
^OnJ^ s) = ^(ФолО^, S),^OnJ^ s) = ^(ФолО^, S),TLTS +2(1 -x)(l -rs)
^OnJ^ s) = ^(ФолО^, S),
^OnJ^ s) = ^(ФолО^, S),
"000<S) — -u0,.3,7
(3.5.58)(3.5.58)(s + 1) (1 - s)
(3.5.58)
(3.5.58)
^010 (r,s) = u0^010 (r,s) = u0[r2s2 + 2(1 — x)(l + rs)] (1 — ns)(s + 1)3(1 - s) (1 + ris)
^010 (r,s) = u0
^010 (r,s) = u0
Оригиналы перемещения и напряжения в соответствии со свойствами преобразования Лапласа (см. §В.2, а также (3.5.34) и (3.5.35)) имеют вид
м(г, т) =
! Г^о(г,т)_
“252 5'00к(г,Т-1 + г-Т2А;)Я(т-1 + г-Т2А;) +
Ni(r,r)_■
(3.5.59)(3.5.59)+ 52 S'Olfe (г, Т - Г + Щ - T2fe+1) Я (т - Г + Щ - T2fc+1)
(3.5.59)
(3.5.59)
fe=0■
<т(г, т) =<т(г, т) =! Г^+,т)~
<т(г, т) =
<т(г, т) =
"352 h«0k (г, Т - 1 + Г - T2k) Н (т - 1 + Г - Т2к) +
(3.5.60)(3.5.60)r L к=0
(3.5.60)
(3.5.60)
+ 52 ^Olfe (г, т - Г + Г1 - T2fe+1) Я (т - Г + Г1 - T2fe+1) /г=0■
Здесь
Wo(r,T).[LZ_L±I]; M(,,T)=[L^+n^ ть=к5„
(3.5.61) где [•] — целая часть числа.
Для шара^ полагая ri = 0 и 5 = 1, из (3.5.57)—(3.5.61), получаем
g’Oni^,8) = ^(s^OnO^s), Я(5) = Т"Ц-.
1 “ 8(3.!
~L /\1 - rs~L (\1 + rs
^ooo(^s) = Un-, goio(^s) = -Un-;
(s + 1) (1 - s)(s + 1) (1 - s)
^On*^, s) = Hk^hono(^ s), ^ooo(s) = -mo^+^+tt^—
ЬоюЬм) = u0ЬоюЬм) = u0r2s2 + 2(1 — x)(l + rs),(s + l)3(l-s);
ЬоюЬм) = u0
ЬоюЬм) = u0
и^т^ т)и^т^ т)<т(г, т)<т(г, т)(3.5.64)(3.5.64)(3.5.65)(3.5.65)Яо (г, т) =Яо (г, т) =т — 1 + Г2т — 1 + Г2М(г? т) =М(г? т) =(3.5.66)(3.5.66)
и^т^ т)
и^т^ т)
<т(г, т)
<т(г, т)
(3.5.64)
(3.5.64)
(3.5.65)
(3.5.65)
Яо (г, т) =
Яо (г, т) =
т — 1 + Г
2
т — 1 + Г
2
М(г? т) =
М(г? т) =
(3.5.66)
(3.5.66)
! VlWvC
"г 52 Sook(r, т + г - 2k - 1)Н(т + г - 2k - 1) +
r L к=0
ЛГ^г.т)■
+ 52 goik^,T - г - 2k - 1)Н(^т - г-2k - 1)
к=0■
Г^0(г,т)_
~з 52 к00к(г,т + г - 2k - 1)Я(т + г - 2k - 1) +
r L к=0
Nt (г,т) ~■
+ У^ hoik(r, т — т — 2k — 1)Н(т — г — 2k — 1)
к=0■
где
В данном частном случае с помощью таблиц [55] и свойств преобразования Лапласа могут быть записаны явные формулы для оригиналов функций ёопк^ и h^lsY Например,
^ооо(т) = ^^ {[2(1 + г)т2 + (1 - г)(2т + 1)]е"т - (1 - г)ет} .
(3.5.67)
Однако при & > 1 эти формулы достаточно громоздки. Поэтому удобнее применять изложенный выше общий алгоритм.
Как следует из (3.5.62) и (3.5.63), особыми точками функций ^^пк^ и hQnk(s) являются следующие полюсы: sg = — 1 порядка р0 = 3 и si = = 1 порядка pi = к + 1. Поскольку числитель дроби H(s) равен (s + 1), то на самом деле точка sg = — 1 является полюсом порядка р0 = 3 — к только при к < 2. При & > 3 в этой точке функции ggn&(s) и hank(s) аналитические. Однако учет этого факта усложняет алгоритм вычисления оригиналов.
В соответствии с теоремой разложения [51] оригиналы функций gonk(s) И ^Onk(s) определяются следующим образом:
1
gonfc(T) = Я(т) 52 rez g^nk(s)eST,j=os 83
(3.5.68)
hOnkM = Я(т) У2 rez ^nfc(s)eST.
Вычеты в этих равенствах находятся по формулам (3.5.36)(3.5.44) с учетом (3.5.49) и (3.5.50). Конкретный вид этих равенств
продемонстрируем на примере функций goOk(s). При этом в соответствии с (3.5.62), (3.5.39) и (3.5.49)
P(s) = 1 + s, Q(s) = 1 — s,
~_(3.5.69)
Ро(з) = Uo(l - rs), Qo(s) = (s + 1)3(1 - s),
и для каждого из полюсов получаем
— при $ = —1 (Q(—1) / 0, см. (3.5.50))
€оо(-1) = ^о(1 + г),^01 (—1) = -^о^5 Соо(-1) = 2,
<01 (-1) = -1, СоД-1) = <0г(-1) = 0 (г > 2),(3>5>70)
^(-1) = у (1 + г), 4Д-1) = ^ (1 - Г) (г > 1);
€о(-1) = О, О(-1) = 1,<о(-1)=2,^(-1) = -!,
0(—1) = 0(-1) = 0 (г >2), ро(-1) = О, Л(-1) = Х (г>1),
,"(3.5.71)
dfc0(-l) = 0 (fc>l), 4/(-1) = ^^|^ (A; > 1; / = 1,2); i=0“
— при s = l (Q(l) = 0, pk = к + 1)
<oo(l) = u0(l - r), Coi(l) = -uor, ^Oi(l) = o (г >2),
Coo(l) = -8, Coi(l) = -12, <02(l) = -6,
<оз(1) = -1, <oi(l)=O (г >4),
doo(l) = -^(l-r),doi(l) = ^(3-r),
816(3.5.72)
^oi(l) = ^Edo,i-<(l)Co/(l) (г = 2,3),
1 3
^(1) = ^Е^-<(1)Со/(1) G>4);
° z=i
<0(l) = 2,<i(l) = l, <i(l)=0 (г >2),
<o(l) = -l, 0(1) =0 (i>l),
p0(l) = -2, pi(l) = -l, Л(1) = О (i >2),(3.5.73)
^o(l) = -2^_i,0(l) (k^l),
dkl(l) = -24-1,/(1) - dk-!,<-1(1) (k>l, l<l^k).
Окончательно, подставляя (3.5.36) в (3.5.68) и учитывая (3.5.69)
(3.5.73), получаем
(3.5.74)
При к = 0 эта формула дает равенство (3.5.67).
На рис. 3.5.2 представлена пространственно-временная зависимость перемещения tt(r, т) в упругом шаре (ri = 0, 5 = 1). Пространственновременная зависимость нормального напряжения сгтт(г^ т) изображена
Рис. 3.5.3Рис. 3.5.3
Рис. 3.5.3
Рис. 3.5.3
на рис. 3.5.3. На обоих графиках четко прослеживается волновой характер распространения возмущений в упругом шаре.
3.6. Толстостенная сфера под действием массовыхсил и начальных возмущений
В дополнение к предыдущему параграфу рассмотрим задачу о распространении объемных и начальных сферических возмущений (см. § 2.6) в упругой толстостенной сфере. Соответствующая начальнокраевая задача относительно радиального перемещения образуется уравнением (3.2.1), начальными (3.2.2) и граничными условиями (3.5.4) и (3.5.5):
2 ••, 2у и = uiTT Н— uiT2 ••, 2у и = uiTT Н— uiT(3.6.1)(3.6.1)2
2 ••, 2
у и = uiTT Н— uiT
2 ••, 2
у и = uiTT Н— uiT
(3.6.1)
(3.6.1)
~2 и + F(r, т),г
(aou + Au,r)|r=1 = 0,
(3.6.3)
(«iu + /3iu,r)|r=ri = 0.
(3.6.4)
«|т=0 = ^М, Й|т=0 = -ф^,
(3.6.2)
Согласно (1.4.4), (1.4.15) и (1.4.27) решение этой задачи может быть представлено следующим образом (см. также (3.2.3)):
1и^г^ г) = | G^r^ т;П1и^г^ г) = | G^r^ т;П
1
и^г^ г) = | G^r^ т;
П
1
и^г^ г) = | G^r^ т;
П
11.
(3.6.5)(3.6.5)j G(r,r; Е"МЕЖ + | G^^t; ЕУФ(Е)ЛЕ
(3.6.5)
(3.6.5)
Здесь G(r, т; £) — функция влияния для перемещений, которая есть решение задачи
726 = G>rr + | G.r - 4 G + б^т^т - С),(3.6.6)
G|T=0 = 0, g|_o = O,(3.6.7)
(aoG + AGai^! =0,(3.6.8)
(aiG + /3iG,r)|r=ri =0.(3.6.9)
Соответствующее представление для напряжений имеет вид
1
<тгг(г, т) = | GCT(r, г; Е) * F(E, т) dE +
11.
+ 72+ 72(3.6.10)(3.6.10)| СДт^ ЕЖЕ'Ш^ | G^t-, E^^dE
+ 72
+ 72
(3.6.10)
(3.6.10)
где Ga(r, г; £) — функция влияния для напряжений, которая определяется формулой (3.2.7).
Операторы в уравнении (3.6.6) удовлетворяют условиям (1.5.5) при
(3.6.11)(3.6.11)рх = 1, р2 = 1-
(3.6.11)
(3.6.11)
Поэтому решение задачи (3.6.6)-(3.6.9) проведем методом Фурье (см. гл. 1). Для этого, полагая
G(r,r; С) = R№^G(r,r; С) = R№^(3.6.12)(3.6.12)
G(r,r; С) = R№^
G(r,r; С) = R№^
(3.6.12)
(3.6.12)
и разделяя переменные в соответствующем (3.6.6) однородном уравнении, приходим к равенству (А — константа разделения, см. (1.5.7))
(3.6.13)(3.6.13)в” + гв! jv - гв^т- _ ^т _
(3.6.13)
(3.6.13)
В““
Отсюда и из граничных условий (3.6.8) и (3.6.9) получаем следующую задачу на собственные значения:
R" + - Я' + (А - 4) R = 0,(3.6.14)
Г \ г /
(«о/г + ^от?')!^! = о,(3.6.15)
(aiR + PiR'^U^ =0-(3-6-16)
Уравнение (3.6.14) приводится к указанному в (1.5.37) виду (см. также (1.5.27))
- (r^R1)'+ 2R = XrR, и(т) = p(r) = г2, хИ=2.(3.6.17)
При этом условия (1.5.35), обеспечивающие свойства 1-5 задачи на собственные значения, выполняются. Найдем совокупность собственных значений, учитывая, что А > 0 (см. гл. 1).
При Л > 0 общее решение уравнения (3.6.14) есть линейная комбинация цилиндрических функций первого и второго рода (функций Бесселя и Неймана х)) полуцелого индекса Jm+i/2(Mr) и Мп+1/2(мг) при m = 1 [54]:
RM = -^ VCiN3/2^ + С^^рт^ ,(3.6.18)
где pt = VA .
Отметим, что функции Бесселя полуцелого индекса являются элементарными. Например, при m = 0 и m = 1 имеют место равенства
/ 2./ 2
А/2(^) — \ — sin £5^1/2— — \ — cos
77 Vz 7 ivz(3.6.19)
Js/2(z) — ^ —“з (sin ^ — ^ cos г),VV3/2(z) = — ^-^ (cos г + г sin г) .
Подставляя теперь (3.6.18) в граничные условия (3.6.15) и (3.6.16), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных Ci и С2:
АС = О, С = (Ci, С2)т , А = (^)2х2 ,(3.6.20)
где
ап = («о — 2/?о)^з/2(м) + pP^Nx/^pY
«12 = («о — 2/Зо) */3/2 (м) + pP^Ji/^pY
(3.6.21)
«21 = («1П - 2/31)Л^з/2(мп) + pPiTxNx^prxY
«22 = («1П - 2/3J J3/2(m^i) + Р^гх Ji/^prxY
При выводе формул для элементов матрицы А учтены следующие соотношения для цилиндрических функций индекса и*.
<№ = Jv-M - | Jv^Y N^z) = N.-x^ - | NM. (3.6.22)
(3.6.23)(3.6.23)Условием существования нетривиального решения системы уравнений (3.6.20) является равенство нулю определителя ее матрицы, которое с учетом формул (3.6.19) приводит к уравнению
(3.6.23)
(3.6.23)
РДР) где
Рх^ = 610^ + 6ц, P^U) = 62022 + &21Z + 622,
(3.6.24)(3.6.24)6ю = (^о/Зх — ац/Зо) Тх — 2/3o/3iJ, 620 = /З0/З1Г2,
(3.6.24)
(3.6.24)
622 = («о — 2/Зо) («1^1 — 2/31) 5 Ьхх = ^622,
62i = /31 (а0 - 2/30) Гх + /30 («in - 2/31) + («о - 2/30) («in - 2/3i) щ.
Правая часть уравнения (3.6.23) является нечетной функцией. Как рациональная дробь, она определена при любых /1 > 0, быть может, за исключением нулей знаменателя, в которых она имеет вертикальные асимптоты. В силу периодичности тангенса уравнение (3.6.23) имеет два счетных множества корней: р,п > 0 и р,_п = —рп, п Е N. Соответствующие собственные функции находим, например, из первого уравнения системы (3.6.20) и равенства (3.6.18) с учетом формул (3.6.19): ^п(г) = 4 {(snor + sni) sin[/zn(l - г)] + (спОг + cni) cos[/zn(l - г)]} ,
Г(3.6.25)
где
snl — ЗоР-п + Q0 2/3q5 CnQ — Рп^п!)
(3.6.26)
^nl =(^02/3q) Ptis SnQ = Pn^nl*
Отметим, что, так как функции Rn нечетные по р,П1 то далее можно рассматривать только р,п > 0.
При А = 0 общее решение уравнения (3.6.14) имеет вид
RM = С1г + С2^.(3.6.27)
Г
Система уравнений для определения постоянных Сх и С^ имеет вид (3.6.20), где
ац = «о + /Зо? ^12 = «о — 2/Зо,
(3.6.28) «21 = r)* (airi + Д), am = airi-2/3i,
что соответствует следующему определителю матрицы системы уравнений:
|А| = (а0 + /Зо) (ат - 2/31) - г® («о - 2^0) («т + /31).(3.6.29)
Очевидно, существуют такие параметры граничных условий, при которых определитель равняется нулю, т. е. А = 0 является собственным значением. Так же как и для плоских волн (см. § 2.6), в силу условия на параметры граничных условий в (2.3.7) Rg А > 1, и кратность (см. § 1.5) собственного значения Л = 0 не может быть больше единицы. Ему, как следует из первого уравнения системы (3.6.20) и равенства (3.6.27), отвечает собственная функция
7?о(г) = а0(т —^) + /Зо (^г + -4) •(3.6.30)
Однако для всех основных граничных условий Л = 0 не является собственным значением, поскольку для данного типа колебаний движение тела как абсолютно жесткого невозможно (см. § 1.5).
Рассмотрим три частных случая граничных условий.
А. Первая краевая задача (внутренняя и внешняя поверхности сферы неподвижны): «о = «i = 1, /Зо = /31 = 0. В этом случае выполнены условия (1.5.35). И, следовательно, все собственные значения положительные и, как следует из (3.6.23) и (3.6.24), определяются уравнением
tg/^ =^(3.6.31)
TipL + 1
Соответствующие собственные функции задаются вытекающим из (3.6.25) равенством
Rn^ = ЛШ + Мп7”) sin [^n(l-r)] - /4„(1 - r)cos[/4n(l - Г)]} .
Т(3.6.32)
В частном случае сплошного шара (щ = 0, 5 = 1) с неподвижной внешней поверхностью уравнение (3.6.31) упрощается:
tg р = //,(3.6.33)
а собственные функции (3.6.32) с учетом равенства (3.6.33) удобнее записать так (постоянный множитель отброшен):
В качестве проверки выполнения граничного условия 7?п(0) = 0 найдем предел Rn(r) при т —> 0. С учетом асимптотических представлений тригонометрических функций из (3.6.34) получаем
lim Лп(г) = Пт 44 р,пг [1 - ^ ^г2
г—>0г—>0 г I L 2
- \ипТ - j иУ + о (г4)] | = lira 4г [-1 /z3 г3 + о (г4)] = 0.
LОJ J г^-0 г L оJ
(3.6.35)
Б. Вторая краевая задача (внутренняя и внешняя поверхности сферы свободные). Согласно (3.1.7) этому варианту соответствуют следующие параметры граничных условий: «о — 2х, /Зо = 1, а^тх = = 2х, /31 = 1.
Все собственные значения положительны и определяются уравнением (3.6.23) со следующими коэффициентами многочленов в его правой части:
61о = 25г1(1 - х\ = Гц
(3.6.36)
622 = 4(1 — х^, 6ц = 5 622,621 — —2(1 — х) (J^ -|- 2хт*1) ?
а собственные функции имеют вид (3.6.25), где следует положить
snl — Мп — 2(1 - х), Спо = Цп8п1->^^
^п! = 2(1 х)дп, Зпо = Mn^nl-
В. Третья краевая задача (вари ан т: внутренняя поверхность сферы неподвижна, внешняя — свободна). В этом случае «о — 2х, /Зо = l,ai = 1, /31 = 0, и определитель в (3.6.29) имеет вид
| А| = 1 + 2х + 2(1 - х>Х > 0.(3.6.38)
Следовательно, все собственные значения положительны и определяются, как следует из (3.6.23) и (3.6.24), уравнением
tg р.6 = -рn/z +25(l - х)(3.6.39)
^[1 _2(1 — и^т-Др? -2(1 -иУV ’
а собственные функции — равенствами (3.6.25) и (3.6.37).
В частном случае сплошного шара со свободной внешней поверхностью уравнение (3.6.39) приобретает вид
^ = -^4^4’(3-6-40)
д — 2(1 — х)
а собственные функции совпадают с (3.6.34).
В соответствии со свойствами задачи Штурма-Лиувилля решение задачи (3.6.6)-(3.6.9) и правую часть уравнения (3.6.6) представляем
5 А. Г. Горшков и др.
в виде рядов (1.5.15) и (1.5.16):
(3.6.41)(3.6.41)
(3.6.41)
(3.6.41)
(3.6.42)(3.6.42)(3.6.43)(3.6.43)5(т)<5(г - С) = ^(т)52ап(О«п(г),
(3.6.42)
(3.6.42)
(3.6.43)
(3.6.43)
где, согласно (1.5.33), (1.5.16) и (3.6.11), (3.6.17),
Gn = V^’ (G’ дп) = [ Т<1С^ т’ W) dr,
£«40II D II2£«40II D II2ll«n||2 = | T^R^dr,
£«40
II D II2
£«40
II D II2
= ^F^F^ = FFF [~ №M dr =
Подставляя эти разложения в (3.6.6), с учетом (3.6.14) приходим к равенству
52 («nGn + ?2Gn) Rn^ = d^^an^Rn^, (3.6.44)
которое в силу полноты (см. гл. 1) системы собственных функций в ^([^i? 1]; г2) эквивалентно уравнениям
?Gn + &Gn = an^WY(3-6.45)
Подстановка же ряда (3.6.41) в (3.6.7) приводит к нулевым начальным условиям:
Gn|T=0 = Gn|T=o = O.(3.6.46)
Решение задачи Коши (3.6.45), (3.6.46) получено ранее (см. (2.6.37) и (2.6.38)):
G0(r; О = «о(0т+,(3.6.47)
ОДт; О = -г—an(0^(T) s*n шпТ, шп = —,(3.6.48)
где шп — собственная частота (см. гл. 1).
Функцию влияния для напряжений определяем с помощью равенства (3.2.7)
GaVr. Т- е) = Е G^T- ORanW.(3-6.49)
где
Ron (г) = R'n (г) + ^ Rn (г).(3.6.50)
Рассмотрим пример использования соотношений (3.6.5), (3.6.10), (3.6.47) и (3.6.49).
Пример 3.6.1. Определить напряженно-деформированное состояние упругого шара под действием массовых сил F(r, т) = гге~Т Н^г), полагая, что его граница свободна от нагрузки и начальные условия однородные. В расчетах принять 7 = 1 и х = 0,143 (гранит).
Решение. Найдем сначала функции влияния (3.6.47) и (3.6.49). Для этой задачи собственные функции определяются равенством (3.6.34). Им, как следует из (3.6.50), соответствуют функции
RanW = \р-У sin цпг + 2/znr(l - х) cos /znr] .(3.6.51)
Г■
Собственные значения есть корни трансцендентного уравнения (3.6.40), решение которого может быть найдено одним из численных методов. При указанных в условиях параметрах пять первых собственных значений таковы:
М1 = 2,313, /12 = 5,991, /13 = 9,238,
(3.6.52) /14 = 12,429, /15 = 15,598.
Осталось определить норму собственных функций. Из (3.6.43) и (3.6.34) имеем
1
||ftn(r)||2 = [/inr cos/inr - sin/inr]2 dr =
J г о
= 1 [д„ sin 2^n + 2 cos 2/zn + 2(^ - 1)] . (3.6.53)
Теперь с использованием (3.6.5) при ср = ^ = 0 и (3.6.41), (3.6.48) можно найти перемещения под действием заданных массовых сил (^п = Мп):
т 1
и^т) — | dt^ G^ т — t\ EW^ t) d^ = о о
oo .
= W) E9n(r)7?n(r),(3.6.54)
П = 1 Цп \\Rn\V
где
1
RnU^3^ =[(3 + /4) sin /in - 3/in cos /in] .(3.6.
9п(т) = [ te 1 sin [м„(т - t)] dt = Ц-у {мп [т (1 + Мп) + 2] е Т +(1 + дп)
+ (1 - Мп) 8*п Р«т - 2цп cos Мпт}. (3.6.56)
Соответственно для напряжения из (3.6.49) получаем
<7гг(г,т) = Я(т) 52П = 1<7гг(г,т) = Я(т) 52П = 1Цп || Rn ||Цп || Rn ||9п(т)/?ап(г).9п(т)/?ап(г).(3.6.57)(3.6.57)
<7гг(г,т) = Я(т) 52
П = 1
<7гг(г,т) = Я(т) 52
П = 1
Цп || Rn ||
Цп || Rn ||
9п(т)/?ап(г).
9п(т)/?ап(г).
(3.6.57)
(3.6.57)
На рисунках 3.6.1 и 3.6.2 представлены пространственно-временные зависимости перемещения и^г, т) и напряжения сгтт(г^т) в упругом
Рис. 3.6.1Рис. 3.6.2Рис. 3.6.1Рис. 3.6.2
Рис. 3.6.1Рис. 3.6.2
Рис. 3.6.1Рис. 3.6.2
шаре. Как следует из рис. 3.6.1, максимальные перемещения имеют точки, лежащие на внешней поверхности шара г = 1. В то же время, радиальные напряжения достигают максимальных значений в центре шара г = 0.
Глава 4
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Аналогично главам 2 и 3 рассмотрим в этой главе еще один тип одномерных задач (см. рис. 1.1.2) в цилиндрической системе координат г, q, z (см. (А.4.19)) с ортами ег,еа,е2 и центром О для изотермических или адиабатических процессов в однородных изотропных упругих средах. Параллельно с цилиндрической будем использовать прямоугольную декартову систему координат Oxyz (х = х^. у = х?. z = жз) с ортами ei, 62, 63.
Если u = u(r, t), то такой процесс будем называть цилиндрическим движением. а в случае волнового процесса (см. введение) — цилиндрическими волнами.
Типы цилиндрических волн
Будем использовать здесь безразмерные параметры (3.1.4) и (2.1.1), где {i^j} = {r, a, z} и жз = z. Во всех дальнейших выкладках, как и ранее, штрихи в обозначении безразмерных величин опускаем.
В предположении о зависимости искомых функций и внешних нагрузок только от одной пространственной координаты — радиуса — в соответствии с (А.4.30)-(А.4.33) и (А.4.26) безразмерные соотношения Коши, физический закон и уравнения движения в перемещениях (^ = = О, М = 0) имеют следующий вид:
(4.1.1)(4.1.1)
(4.1.1)
(4.1.1)
^у U<p — ^2r^r
^L -|- Fr, г
(4.1.3)
72^ СК ^2г^О!
^ + Fa, Г
(4-1.4)
72^ — △2г ^з
+ Fz,
(4.1.5)
гдегде(4.1.6)(4.1.6)Д = _^1 + 1А
где
где
(4.1.6)
(4.1.6)
2г 5г г 8г *
Уравнения (4.1.3)-(4.1.5) являются гиперболическими. Кроме того, аналогично плоским волнам (см. § 2.1) и, в отличие от сферических волн (см. §3.1), они независимы. Их можно записать в виде одного уравнения
= &2Ги — ^2" и + F (^ = 0,1),(4-1-7)
г
где 72 — 0 соответствует (4.1.5), a rz = 1(4.1.3) и (4.1.4).
Иногда вместо уравнений (4.1.3)-(4.1.5) удобнее использовать уравнения движения относительно скалярного потенциала р и ненулевых компонентов ^>а, ф2 векторного потенциала перемещений, безразмерная форма которых в соответствии с (А.2.49), (А.4.34) и указанной выше одномерностью процесса такова
72(/? = Д^ + Ф1:(4.1.8)
^а=М«-^+^а,(4-1.9)
Г
72^ = Д^ + Ф2.,(4.1.10)
где Ф1, Ф2а и Ф2з — потенциалы поля внешних сил. При этом перемещения связаны с потенциалами вытекающими из (А.4.35) формулами
«, = ^ «„ = ^, «, = ^ + ^.0.1.11)
8г8г8г г
Уравнения (4.1.8)-(4.1.10) также независимы, и их можно записать одним уравнением
72^ = Д^-^Г^ + Ф,(4.1.12)
где ттг = 0 соответствует (4.1.8) и (4.1.10), а ттг = 1(4.1.9).
Изучение структуры цилиндрических волн удобнее проводить, используя уравнение (4.1.12) при отсутствии массовых сил (F = 0, Ф = = 0). Аналогично плоскому случаю получаем следующие типы волн (коэффициент объемного расширения 6 и тензор поворота Л^ определяются соотношениями (4.1.1) и (А.4.27); равенства для напряжений и перемещений следуют из (4.1.2) и (4.1.11)).
А. Цилиндрическая волна расширения-сжатия ^цилиндрическая Р-волнам соответствует уравнениям (4.1.3) и (4.1.8)):
и = ит ^ 0, ф = р ф 0, иа = uz = фа = фг = 0,
0 ^ 0, Xij = 0,7 = 71,72 = 1,772 = 0,
(4.1.13)(4.1.13)U — ll) <р, ^та — ^vz — а — (Урр — U <р | ’’ Г
(4.1.13)
(4.1.13)
Б. Угловая цилиндрическая волна формоизменения (угловая цилиндрическая S-волна; соответствует уравнениям (4.1.4) и (4.1.9))
и = иа ^ 0, ^ = ^2 7^ 0. ит = uz = ф = ^а = 0,
6 = 0, А^ ^ 0, 7 = 72, 72 = 722 = 1, и = ф1Т, (4.1.14)
———— А —— 1 “ К ( Д-
СГТТ — СТ аа — СГzz — CTTZ —(7 — СГта —I U т 1 .
2\ ’т)
. Осевая цилиндрическая волна формоизменения (осевая цилиндрическая S-волна, соответствует уравнениям (4.1.5) и (4.1.10))
и = Uz ^ 0, ф = фа ^ ^^ UT = Ua = Т = Ф% = 0,
= 0, Xij ^ 0, 7 = 72, 72 = m = 0, и = ф1Т + ^,(4.1.15)
---= А -- 1
СГТТ — СГаа — СГта — zz —(7 — CTTZ —
Поскольку для каждого типа волн независимым является только одно напряжение а, то далее в этой главе во всех случаях будет определяться только оно.
Для построения общего решения однородного уравнения (4.1.12) применяем к нему преобразование Лапласа по времени (все обозначения стандартные). В результате получаем
^282фЬ(т, s) = A2r^L(r, s) — ”Т ^L(r^ s)-(4.1.16)
г
Общее решение этого уравнения имеет вид [54, 59]
■ф^г, s) = FL(s)Im^rs^ + GL(s)Km(^rs^,(4.1.17)
где Im(^ и Km(z) — модифицированные функции Бесселя порядка т, FL(s) и Gl(s) — произвольные функции.
Используя интегральные представления функций Бесселя
1(4.1.18)
т 00
решение (4.1.17) представляем так
фь(г, s) = ф^(г, s) + ф2(г, s),(4.1.19)
гдегде1
где
где
^(r, s) = тт | (1 - C2)m“1/2 F^e^8 d^, -1
(4.1.20)(4.1.20)^7) =^7) =7 8FL(sтг(2т — 1)!!17 8FL(sтг(2т — 1)!!1GfGfY™ sm(2m-1)!!Y™ sm(2m-1)!!GL(sYGL(sY-ф^Г, s) = rm J ^2 _ Tp 1/2 GL^^-yr^ d^1
(4.1.20)
(4.1.20)
^7) =
^7) =
7 8FL(s
тг(2т — 1)!!1
7 8FL(s
тг(2т — 1)!!1
Gf
Gf
Y™ sm(2m-1)!!
Y™ sm(2m-1)!!
GL(sY
GL(sY
Оригиналы слагаемых в (4.1.19) имеют вид (см. приложение В):
1
(4.1.21)(4.1.21)^i(t.t) = тт ^ (1 - ^т ^2 Fx(t + 7r£) d£;
(4.1.21)
(4.1.21)
-1
^2(г,т) =rmj (£2 — l)m ^2 СДт — 7г£)Я(т — 7r£) d£.(4.1.22)
1
Выполняя в первом интеграле замену переменной интегрирования
(4.1.23)(4.1.23)С = т + 7г£,
(4.1.23)
(4.1.23)
получаем
т+7г
^1(г,т) = ^ т [ [12г2 - (т - 7]т”1/2 ^(О^С-(4.1.24)
7 г J
Замена
(4.1.25)(4.1.25)£ = т — 7г^
(4.1.25)
(4.1.25)
в (4.1.22) дает следующий результат:
^(г.т) = Н^т ^ [ |Уг2 - (т - 77 1/2С1(СЖ- (4.1.26)
7 г J"
0
Функция ^(г, т) определяет прямую (расходящуюся) цилиндрическую волну, а -ф1(г,т) — совокупность расходящейся и обратной (сходящейся) цилиндрической волн, распространяющихся соответственно в направлении ег со скоростью I/7 (ср. с плоскими и сферическими волнами, см. § 2.1 и 3.1).
Укажем один из вариантов физической интерпретации равенств (4.1.24) и (4.1.26). Для этого рассмотрим плоские продольные волны с параллельным оси Oz фронтом, распространяющиеся со скоростью I/7 вдоль оси ОХ с направляющим вектором 1 = ei cos д + 62 sin д. Их скалярный потенциал в соответствии (2.1.8) и (А.4.13) имеет вид
(4.1.27)(4.1.27)фх(Х, т) = F(t + 4Х) + С(т - ^Х).
(4.1.27)
(4.1.27)
Координата X определяются так
X = г cos (q — d).(4.1.28)
Построим суперпозицию потенциалов фх по углу *0 6 (—тг, тг]:
Тр(^ г) = | (px(X,T)dd.(4.1.29)
Подстановка (4.1.27) в (4.1.29) приводит к следующему результату:
cos (а —cos (а —7г cos (q — ^)]} did =7г cos (q — ^)]} did =
cos (а —
cos (а —
7г cos (q — ^)]} did =
7г cos (q — ^)]} did =
= | [F (т + ^r cos d) + G (t — ^r cos ^)] d'O =
= 2= 21Г F(t + 7^€)1Г F(t + 7^€)1^^X^ d4. (4.1.30)1^^X^ d4. (4.1.30)
= 2
= 2
1
Г F(t + 7^€)
1
Г F(t + 7^€)
1
^^X^ d4. (4.1.30)
1
^^X^ d4. (4.1.30)
При выводе этих формул учтена периодичность подынтегральных функций и выполнена замена переменной интегрирования £ = = cos О с применением использованного при доказательстве утверждения В.3.1 равенства (В.3.12).
В последних двух интегралах проводим замены переменных интегрирования (4.1.23) и (4.1.25) соответственно. В результате получаем
т+7г
Mp(r,T)= [F1^ dC, F1(C) = 2[F(C) + G(C)].
J V7 r - (T - C)
(4.1.31)
Сравнение этой формулы с (4.1.24), показывает, что при m = 0 функция фх (г, т) определяет цилиндрическую волну растяжения-сжатия, являющуюся суперпозицией указанных выше плоских волн.
Другое интегральное представление цилиндрических волн может быть получено с помощью сферических волн с центрами на оси Oz в точках г = £. Их потенциалы в соответствии с (3.1.12) определяются так:
у кз(^ - О, т1 = у^ f - О =
= ^(Д 5) ^ 1Т + ^Гз^ - €)] + G [^ - 7^3(2 - О]} , (4.1.32)
гзСЮ = V^2 + г2 ,
где гз(г — £) — расстояние от центра сферической волны до ее центра, аг — радиус цилиндрической систем координат.
Найдем суперпозицию потенциалов (р^ по всевозможным координатам центров сферических волн (£ 6 R)*.
фв^Т) =фв^Т) =^^ (г, т; 2: — $)</$ = 2^^ (г, т; 2: — $)</$ = 2^(г,т; ^d^.^(г,т; ^d^.(4.1.33)(4.1.33)
фв^Т) =
фв^Т) =
^^ (г, т; 2: — $)</$ = 2
^^ (г, т; 2: — $)</$ = 2
^(г,т; ^d^.
^(г,т; ^d^.
(4.1.33)
(4.1.33)
Г^) = 2Г«), G1«)=2G«).Г^) = 2Г«), G1«)=2G«).ys(r, т) =ys(r, т) =^(0^<V(t - СУ - 72г2^(0^<V(t - СУ - 72г2(4.1.35)(4.1.35)
Г^) = 2Г«), G1«)=2G«).
Г^) = 2Г«), G1«)=2G«).
ys(r, т) =
ys(r, т) =
^(0^<
V(t - СУ - 72г2
^(0^<
V(t - СУ - 72г2
(4.1.35)
(4.1.35)
о
Здесь введена новая переменная интегрирования £i = % — £ и учтена четность подынтегральной функции.
Подставляя в (4.1.33) ц>^ из (4.1.32), приходим к следующему интегральному представлению:
(4.1.34)
Выполняя в первом из этих интегралов замену переменной интегрирования ( = т + 7д/г2 + ^2 , а во втором ~ ( = т — 7д/г2 + £2 , окончательно получаем
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что эта функция является решением однородного уравнения (4.1.12) при m = 0.
4.2. Распространение цилиндрических возмущенийв неограниченной упругой среде
Под цилиндрическими возмещениями будем понимать объемные силы указанного в предыдущем параграфе вида, а также начальные условия, зависящие только от радиуса (сравнить с определенными в § 3.2 сферическими возмущениями). Соответствующая безразмерная начальная задача для уравнения (4.1.7) имеет вид
72й = щтт + - щт — ^- и + F(r, т) (п = 0,1);(4.2.1)
(4.2.2)(4.2.2)и\т=о = ^(г), й\т=0 = ^(г).
(4.2.2)
(4.2.2)
Интегральные представления перемещений и напряжений, согласно (1.4.4), (1.4.15) и (1.4.27), совпадают с соответствующими равенствами
(3.2.3) и (3.2.6):
,2,2u(r, т) = j G (г, т; £) * F(^ т) dE, + о
,2
,2
(4.2.3)(4.2.3)(г,т; С)у(^)^+j G(r,r; OV^MS
(4.2.3)
(4.2.3)
О■
а^т, т) = | Ga(r, т; £) * F(^ т) d^ + о
+ 72 | G^t^t; ^y^d^ ++ 72 | G^t^t; ^y^d^ +| GCT(r,T; £№UWО■| GCT(r,T; £№UWО■(4.2.4)(4.2.4)
+ 72 | G^t^t; ^y^d^ +
+ 72 | G^t^t; ^y^d^ +
| GCT(r,T; £№UWО■
| GCT(r,T; £№UWО■
(4.2.4)
(4.2.4)
Здесь G(r, т; £) и Ga(r. т; £) — функции влияния для перемещений и напряжений. Первая из них есть решение задачи (п = ОД)
72G = G,rr + 1 G,r - ^ G + 5(тЦ(г - С);(4.2.5)
G|T=0 = О, G| = 0.(4.2.6)
А вторая функция как напряжение а определяется по одной из соответствующих формул в (4.1.13)-(4.1.15).
Для решения задачи (4.2.5), (4.2.6) используем преобразование Хан- келя порядка п по пространственной координате и преобразование Лапласа по времени (см. § В.2 и В.З). Используя свойства этих преобразований и табл. В.3.1, получаем уравнение относительно изображения перемещения функции влияния (все обозначения стандартные)
^8гСНпЬ = -q2GHnL(q, s) + ^Jn^q),(4.2.7)
J^z) — функция Бесселя порядка п.
Его решение имеет вид
GH"L(q, s; С) =(4-2.8)
q + 7 5
Оригинал этой функции находим с помощью последовательного обращения преобразований. Сначала с помощью табл. В.2.2 находим оригинал по Лапласу
Gh"(q,t; С) = ^^ sin ^Н(т).(4.2.9)
Далее обращаем преобразование Ханкеля. Используя табл. В.3.2, получаем следующие выражения:
при 72 — 0
G(r, т-,^ = ^^К (т-) [Н (т_) - Н (т+)] +
+( — ) я(т )L (4.2.10)
л/т у т_ уJ
при 72 — 1
G(r, т; £) = — v ” {№Е (т_) - К (т_)] [Я (т_) - Н (т+)] +
7Гу V г I
2т_Е2т_ЕЗдесьЗдесь— (т_ + 772+) К ( т /\ тп— (т_ + 772+) К ( т /\ тпН(т^Н(т^(4.2.11)(4.2.11)
2т_Е
2т_Е
Здесь
Здесь
— (т_ + 772+) К ( т /\ тп
— (т_ + 772+) К ( т /\ тп
Н(т^
Н(т^
(4.2.11)
(4.2.11)
К^т^К^т^тг/2dtJ V^ — тп sin2 tОтг/2dtJ V^ — тп sin2 tО1 Г^2'1 Г^2'1 Г 2"т+=Л^ 72 -(Г + ^)2 •1 Г 2"т+=Л^ 72 -(Г + ^)2 •4г£ у‘4г£ у‘(4.2.13)(4.2.13)
К^т^
К^т^
тг/2
dt
J V^ — тп sin2 t
О
тг/2
dt
J V^ — тп sin2 t
О
1 Г^2'
1 Г^2'
1 Г 2"
т+=Л^ 72 -(Г + ^)2 •
1 Г 2"
т+=Л^ 72 -(Г + ^)2 •
4г£ у‘
4г£ у‘
(4.2.13)
(4.2.13)
тг/2
Е(т) = Vl — Tn sin2 t dt (4.2.12) о
— полные эллиптические интегралы первого и второго рода [59], т — их параметр (вместо него в качестве аргумента часто используется модуль k = V^L а величины т_ и т?2+ имеют вид
Для построения функции влияния для напряжений и для использования равенств (4.2.3) и (4.2.4) необходимо знание производных от функций (4.2.10) и (4.2.11). При их вычислении применяем формулы дифференцирования эллиптических интегралов по параметру [54]
dm 2т Lttz-iДdm 2т Lttz-iД(4.2.14)(4.2.14)
dm 2т Lttz-iД
dm 2т Lttz-iД
(4.2.14)
(4.2.14)
где 7221 — дополнительный параметр (вместо него часто используется дополнительный модуль к1 = ^Ш1 )• ® результате получаем
11СДт. т- £) =
1
1
(7г + т)^2<5 (с — г — —) — (7г — т)^2^ (^ — г + —
- ^- G(r, т-, £) + nrGAt, т; С);(4.2.15)
27(7г)3/227(7г)3/2(7г + т)^2д (£ - г -(7г + т)^2д (£ - г -+ (7г - т)^ 25 К - г + ^+ (7г - т)^ 25 К - г + ^+ (7г - т)У2<5' ( С - Г + - \7+ (7г - т)У2<5' ( С - Г + - \7(7г + т)+х/25 ( £ - г - ^(7г + т)+х/25 ( £ - г - ^
27(7г)3/2
27(7г)3/2
(7г + т)^2д (£ - г -
(7г + т)^2д (£ - г -
+ (7г - т)^ 25 К - г + ^
+ (7г - т)^ 25 К - г + ^
+ (7г - т)У2<5' ( С - Г + - \7
+ (7г - т)У2<5' ( С - Г + - \7
(7г + т)+х/25 ( £ - г - ^
(7г + т)+х/25 ( £ - г - ^
Ч-п^г.т; £), (4.2.16)
-(7г-т)+1/25-(7г-т)+1/25) j + nt [nrG2(r, г; С) - ^ Gi(r, т; £)] ,
-(7г-т)+1/25
-(7г-т)+1/25
(4.2.17)
где при п = О
^(г.т; ^) =--1-1Д {— — Е (т-) + К (т_) х
2тг7 V г [ т_ \_т+
х \Н — Н1 Е [] Н L е = 3.
т^т \т_ JJ
(4.2.18)
т; О =Г™" + т+ Е(т_) + Зт" ~2К(т_) х
2т?7т+ у г L т+-
х [Я (т_) - Я(т+)] +
1 ТП— Н~ 7П-|- у-, f 1 \1 f 1 \ yj /\ 1
+ ^« -Е\ "Л Н^т+П,
[ т+ ут_у 2 ут_уJ
а при 72 = 1
Gi(r, т; ^) = ——- Е (т_) — К (т_) х 7Г7 V г [2т_ [ т+ v 7 v 7
х [Я (т_) - Н (тп+)] +
+ —^[т~ + т+ я- к(—)]я(т+)к £ = 7,
>/т_ [2т+ ут-у ут_ JJ
Gi(r, г; ^ =Gi(r, г; ^ =12тг7т+12тг7т+1 + m + ml ^ т^1 + m + ml ^ т^3 — 2т_423 — 2т_42ККН(т2Н(т2(4.2.20)(4.2.20)(4.2.21)(4.2.21)К (mA = In J_ + 7 (In J_ — 1 ] mi + О (m?Vmi 4 у ymi уvК (mA = In J_ + 7 (In J_ — 1 ] mi + О (m?Vmi 4 у ymi уvE(m) = l + 1E(m) = l + 14'mi4'mimi + О ^mi In mi) ?mi + О ^mi In mi) ?In 7771) 5(4.2.22)7771 —> 0.In 7771) 5(4.2.22)7771 —> 0.
Gi(r, г; ^ =
Gi(r, г; ^ =
1
2тг7т+
1
2тг7т+
1 + m + ml ^ т^
1 + m + ml ^ т^
3 — 2т_
42
3 — 2т_
42
К
К
Н(т2
Н(т2
(4.2.20)
(4.2.20)
(4.2.21)
(4.2.21)
К (mA = In J_ + 7 (In J_ — 1 ] mi + О (m?
Vmi 4 у ymi уv
К (mA = In J_ + 7 (In J_ — 1 ] mi + О (m?
Vmi 4 у ymi уv
E(m) = l + 1
E(m) = l + 1
4
'mi
4
'mi
mi + О ^mi In mi) ?
mi + О ^mi In mi) ?
In 7771) 5
(4.2.22)
7771 —> 0.
In 7771) 5
(4.2.22)
7771 —> 0.
1 + тт+ г х , 2 - mА
Е (т_) + —- К (т_)
х [Я (т_) - Н (т+)] +
1
3/2"
m2
В формулах (4.2.15)-(4.2.19) использованы следующие обозначения (см. (4.2.13)):
mi- = 1 — т_ = —777+,
дт_дт+ 1 ( т^ , о
=== , ” + Г ^
отот4т £ \7
nt = m- = т+ = —2—
27 т^
и следующие разложения эллиптических интегралов [54]:
К (mA = ^ fl + 7 m \ + О (m2A ,2 \4/\'
E(m) = у (1 — | m^ + О (m2) , m —> 0;
(4.2.23)(4.2.23)Отметим, что, как следует из (4.2.10), (4.2.11), (4.2.15)-(4.2.19) и (4.2.13), фронты волн перемещений и напряжений определяются так:
(4.2.23)
(4.2.23)
т — 7 к - €Ь т — ikT + €)•
Пример 4.2.1. Исследовать особенности функции влияния для перемещений для цилиндрической волны растяжения-сжатия на фронтах и построить пространственно-временные графики этих функций при 7 = 1; и = 0,429 и ^ = 0,3.
Решение. В соответствии с (4.1.13) функция влияния для перемещений определяется равенством (4.2.11), а аналогичная функция для напряжений — равенством
(4.2.24)
где производная С)Г задается формулами (4.2.15) и (4.2.19).
Следовательно, Ga на фронтах т = ±7 (г — £) имеет особенности в виде дельта-функции Дирака, а остальные ее особенности на этих фронтах связаны с функцией
Ga = - G + nrGi.(4.2.25)
Из (4.2.11), (4.2.19) и (4.2.20) вытекает, что при т < 7 |г — £| имеет место неравенство т_ < — 0, и
G = 0, Ga = 0,(4.2.26)
Для выяснения поведения функций G и Go в других полуокрестностях волновых фронтов используем разложения (4.2.21) и (4.2.22). В результате получаем:
при г —> 7 |г — ^| + 0 (т_ —> +0)
С = -ЦД+О(т_), Ga = ^^Д^ + 0(т_); (4.2.27) 47 V г167V^C
при т —> 7(г + £) ± 0 (т+ —> ±0, m_ —> 1 ± 0)
G = (I lnlm+l + 2-|n4) + 0(т+1п|т+|),
GCT =+ O1 ^’^ In |т+1 + а0(г, С) +
47T7V^ V г [ т+ 41v
+ О (т+ In |т+1), (4.2.28) где
аДг, £) = Зг + (7 - 8х)£,
(4.2.29)
«о(г, О = 1 [5г + (21 - 32х)^] - | О1(г, О In 4.
Рис. 4.2.1Рис. 4.2.1На рисунках 4.2.1 и 4.2.2 представлены пространственно-временные зависимости для G(r, т; ^) и регулярной составляющей GCT функции
Рис. 4.2.1
Рис. 4.2.1
Рис. 4.2.2
G(T(r, т; £) при указанных в условии значениях параметров и возмущении, приложенном в точке £ = 0,3. На втором рисунке носитель сингулярной составляющей функции Go в виде дельта-функции условно изображен светлой прямой.
Упражнение 4.2.1. Исследовать особенности функций влияния для угловой цилиндрической волны формоизменения на фронтах и построить пространственно-временные графики этих функций при 7 = 1; х = 0,429 и £ = 0,3.
Упражнение 4.2.2. Исследовать особенности функций влияния для осевой цилиндрической волны формоизменения на фронтах и построить пространственно-временные графики этих функций при 7 = 1; х = 0,429 и £ = 0,3.
Распространение граничных возмущенийот цилиндрической полости
Во всех остальных параграфах этой главы ограничимся исследованием цилиндрических волн расширения-сжатия (4.1.13), которые кратко будем именовать просто цилиндрическими волнами. Сначала рассмотрим процесс распространения в однородной изотропной упругой среде равномерно распределенных по поверхности цилиндрической полости радиуса R граничных возмущений (сравнить с § 2.3 и 3.3). При этом в безразмерных параметрах (2.1.1) и (3.1.4) полагаем L = R.
В этом случае необходимо использовать однородное уравнение движения (4.2.1) при 72 — 1
^й = uiTT + - uiT —^и(4.3.1)
и нулевые начальные условия (4.2.2)
и|т=о = 0, й|т=о = 0.(4.3.2)
На бесконечности возмущения отсутствуют
и^ т) = 0(1), г —> оо.(4.3.3)
Граничные условия на поверхности полости г = 1 аналогично (2.3.10) и (3.3.3) записываем в обобщенном виде
(сш+ /3и г)|г=1 = д(т), а2+/32^0.(4.3.4)
Согласно (1.4.25) соответствующие задаче (4.3.1)-(4.3.4) перемещения и напряжения могут быть представлены свертками
7/(г, т) = Оп(г, т), сг(г, т) = Gnjr. т) * qM-(4.3.5)
Здесь Оп(^т) = и — поверхностная функция влияния для перемещений, которая является решением задачи (^(т) — дельта-функция Дирака)
72Оп = GnlTr + - On,г2 On;(4.3.6)
’ Г ’ г
Сп|т=о=О, Сп|т=о = О;(4.3.7)
(aGn+/3Gn,r)r=1 = ^(т);(4.3.8)
Gn(r, т) = 0(1), г —> оо,(4.3.9)
а Спа^^т) = о поверхностная функция влияния для напряжения, определяемая в соответствии с (4.1.13) так:
Опа = Оп,г + ^ Оп-(4.3.10)
Для определения функции влияния Оп к задаче (4.3.6)-(4.3.9) с использованием табл. В.2.1 применяем преобразование Лапласа по времени т (все обозначения стандартные):
^П,гг ”1“ “ ^П,г — ^~2 ”1“ 72$2^ ^П,гг =0;(4.3.11)
(^+^GG^r)|r=1 = l;(4.3.12)
G^(r,s) = 0(1), гн-оо.(4.3.13)
Общее решение уравнения (4.3.11) имеет вид (см. (4.1.17))
Gn(r, s) = C'i(s)Ki(7rs) + C^Ii^tsY(4.3.14)
где Oi(s) и Сг(«) — постоянные интегрирования, a Iv^ и Ки^ — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода порядка v.
Как следует из асимптотики (3.3.12) этих функций и условия (4.3.13), необходимо положить C^s^ = 0. Определяя теперь СДз) из граничного условия (4.3.12) с использованием рекуррентной формулы (3.3.15), получаем
G"^=(4-ЗЛ5)
Подстановка этого равенства в (4.3.10) приводит к следующему выражению для второй функции влияния:
CL (г = - - (±^2^1kll£L±J^^
П<7 ’Г (а -/3)К1(чз) -/З^зКо^з) *
В отличие от аналогичных задач для плоских и сферических волн здесь получить точное аналитическое выражение для оригиналов функций (4.3.15) и (4.3.16) затруднительно. Поэтому, принимая во внимание связь изображений в окрестности бесконечно удаленной точки и оригиналов в окрестности нуля [51], найдем формулы для функций влияния в начальные моменты времени. С этой целью используем
асимптотические разложения функций Бесселя второго рода порядка п Е No [54]:
V ^ k=0 2\z /V ^ k=0 2\z /(4.3.17)(4.3.17)
V ^ k=0 2\z /
V ^ k=0 2\z /
(4.3.17)
(4.3.17)
где
_ (2n + 2ft - 1)!! ( (2п _ 2к _ 1)!!п?и k < п’
23fcfcl,
(—1)^ п(2& — 2п — 1)!! при к п.
(4.3.18)
В последней формуле по определению полагается (—1)!! = 1.
В частности для используемых в этой задаче функций Бесселя порядков rz = 0 и rz = 1 имеем
з«оо = «ю = Б an = -, аОк = (—1)з«оо = «ю = Б an = -, аОк = (—1)k№k-iWk№k-iW23fc£!23fc£!припри^Ik — ( 1)^Ik — ( 1)к-1(2к^1)УЦ2к-3)У.^Ч\к-1(2к^1)УЦ2к-3)У.^Ч\при к ^ 2.при к ^ 2.к > 1, (4.3.19)к > 1, (4.3.19)
з
«оо = «ю = Б an = -, аОк = (—1)
з
«оо = «ю = Б an = -, аОк = (—1)
k№k-iW
k№k-iW
23fc£!
23fc£!
при
при
^Ik — ( 1)
^Ik — ( 1)
к-1(2к^1)УЦ2к-3)У.^Ч\
к-1(2к^1)УЦ2к-3)У.^Ч\
при к ^ 2.
при к ^ 2.
к > 1, (4.3.19)
к > 1, (4.3.19)
Подстановка (4.3.17) в (4.3.15) и (4.3.16) приводит к асимптотическим разложениям для функций влияния. Поскольку они, а соответственно и разложения оригиналов, различны при /3 = 0 и /3 ^ 0, то эти два случая рассмотрим отдельно. Далее везде остаточный член асимптотических формул условно опускаем.
При /3 = 0 без ограничения общности можно положить а = 1. В результате получаем
Gn(r,s) =Gn(r,s) =Ki (yrs)КЦуз)Ki (yrs)КЦуз)^т-1^8 ул Ск(г) , ек к ’к=0^т-1^8 ул Ск(г) , ек к ’к=0(4.3.20)(4.3.20)GnaGnaЧ8 еy(r-l)s л/гЧ8 еy(r-l)s л/г«МД«МДк=08к=08(4.3.21)(4.3.21)
Gn(r,s) =
Gn(r,s) =
Ki (yrs)КЦуз)
Ki (yrs)КЦуз)
^т-1^8 ул Ск(г) , ек к ’
к=0
^т-1^8 ул Ск(г) , ек к ’
к=0
(4.3.20)
(4.3.20)
Gna
Gna
Ч8 еy(r-l)s л/г
Ч8 еy(r-l)s л/г
«МД
«МД
к=08
к=08
(4.3.21)
(4.3.21)
Здесь коэффициенты сумм определяются следующими рекуррентными соотношениями:
Со(г) = 1,Со(г) = 1,С1(г) = - (1) ап,\ г/С1(г) = - (1) ап,\ г/
Со(г) = 1,
Со(г) = 1,
С1(г) = - (1) ап,
\ г/
С1(г) = - (1) ап,
\ г/
/ ^ \*-1Ск^ = - ( 1к ) «и - 52 al,k-lClW\ т /1=1/ ^ \*-1Ск^ = - ( 1к ) «и - 52 al,k-lClW\ т /1=1(А=>2);(А=>2);(4.3.22)(4.3.22)
/ ^ \*-1
Ск^ = - ( 1к ) «и - 52 al,k-lClW
\ т /1=1
/ ^ \*-1
Ск^ = - ( 1к ) «и - 52 al,k-lClW
\ т /1=1
(А=>2);
(А=>2);
(4.3.22)
(4.3.22)
d0M = 1, dk^ = ^Гd0M = 1, dk^ = ^ГY, ai^-idt^ (к^О, 1=0Y, ai^-idt^ (к^О, 1=0(4.3.23)(4.3.23)
d0M = 1, dk^ = ^
Г
d0M = 1, dk^ = ^
Г
Y, ai^-idt^ (к^О, 1=0
Y, ai^-idt^ (к^О, 1=0
(4.3.23)
(4.3.23)
где
(4.3.24)(4.3.24)60 = 1, bk = aok + (1 - x)ai,k-i (k > 1).
(4.3.24)
(4.3.24)
Оригиналы функций (4.3.20) и (4.3.21) находим с помощью табл. В.2.2 и свойств преобразования Лапласа:
11^ + axw^ + ^ н^ + £ ^2 ^^ + axw^ + ^ н^ + £ ^2 ^t=T — 7(r — 1)t=T — 7(r — 1)
1
1
^ + axw^ + ^ н^ + £ ^2 ^
^ + axw^ + ^ н^ + £ ^2 ^
t=T — 7(r — 1)
t=T — 7(r — 1)
(4.3.26)
Отметим, что, как вытекает из (4.3.22), при k ^ 1 с&(1) = 0. Следовательно, Gn(l, т) = ^(т), что соответствует граничным условиям для этого случая.
При /3^0 находим
G^T,S) =Le-7(r-l)sG^T,S) =Le-7(r-l)s2-. *+1 *+11 fc=0 7 s2-. *+1 *+11 fc=0 7 s(4.3.27)(4.3.27)
G^T,S) =Le-7(r-l)s
G^T,S) =Le-7(r-l)s
2-. *+1 *+11 fc=0 7 s
2-. *+1 *+11 fc=0 7 s
(4.3.27)
(4.3.27)
Gnal^s)Gnal^s)(4.3.28)(4.3.28)(4.3.32)(4.3.32)GnCT(r, т)GnCT(r, т)1д/г1д/г
Gnal^s)
Gnal^s)
(4.3.28)
(4.3.28)
(4.3.32)
(4.3.32)
GnCT(r, т)
GnCT(r, т)
1д/г
1д/г
1/ \ 1 f
^_fc-£hfc_ici(r) г/=0-
(k ^ 1);(4.3.29)
b4 -£ h^d^r)
Lr z=o-
(A: > 1),(4.3.30)
_1^-7(r-i)s ул dk(r)
Vk=0 ’ 8
Коэффициенты сумм в (4.3.27) и (4.3.28) задаются рекуррентными соотношениями:
где
h0 = 3, hk = 0аок - (а - 0)ai.k_i (к 1),(4.3.31)
а Ьк определяются равенствами (4.3.24).
Оригиналы функций влияния находим аналогично (4.3.25) и (4.3.26):
Пример 4.3.1. Исследовать напряженно-деформированное состояние упругой среды с цилиндрической полостью, на поверхности которой действует давление Н(т). В расчетах принять: 7 = 1 и х = = 0,143.
Решение. В соответствии с (4.1.13) граничные условия (4.3.4) в этом случае имеют вид
(4.3.34)(4.3.34)<т|г=1 = (u, г + xu)|r=1 = -Я(т),
(4.3.34)
(4.3.34)
то есть
а = х, /3 = 1, q(t) = —Н(тУ(4.3.35)
Следовательно, функции влияния определяются равенствами (4.3.32) и (4.3.33) при 7 = 1 и /3 = 1:
Gn(r, т) = —^ х/гGn(r, т) = —^ х/гад+Е^^ ;(4.3.З6)
Gn(r, т) = —^ х/г
Gn(r, т) = —^ х/г
t=r—г+1(4.3.37)t=r—г+1(4.3.37)'^ = ^- t = r — г+1
t=r—г+1
(4.3.37)
t=r—г+1
(4.3.37)
При этом в соответствии с (4.3.24) и (4.3.29)-(4.3.31)
hk = bk 0)(4.3.38)
и
Со = 1, С^(г) = ^ - Е bk-ici^ (А: > 1);(4.3.39)
т /=о
+ (г) = 1,+ (г) = -61 (1 - 1) ,
/ х k-i(4.3.40)
dk^ = —bk ( 1 - E j _ E bfc-tdt^ (A: > 2).
Отсюда следует, что при & > 1 d&(l)= 0. Следовательно, Gn(l, т) = = ^(т), что соответствует граничным условиям (4.3.8) для рассматриваемой задачи.
Подставляя теперь с учетом (4.3.35) функции (4.3.36) и (4.3.37) в свертки (4.3.5), находим требуемые перемещение и напряжение:
«(г, т) = -Gn(r, т) * H(t) = ^ Е ^Г^ + - г + 1)*;(4.3.41)
1Vr1Vrа(г, г) = -СПст(г, т) * Я(т) =
1
Vr
1
Vr
(4.3.42)(4.3.42)H^-r + lVIL^^-r + l^ ■k=l ■
(4.3.42)
(4.3.42)
На рисунках 4.3.1 и 4.3.2 представлены пространственно-временные зависимости радиальных перемещений и напряжений вычисленные по
Рис. 4.3.1Рис. 4.3.1Рис. 4.3.2Рис. 4.3.2
Рис. 4.3.1
Рис. 4.3.1
Рис. 4.3.2
Рис. 4.3.2
формулам (4.3.41) и (4.3.42) при т = 3. На рассматриваемом временном интервале это число членов асимптотических разложений достаточно, поскольку добавление еще одного слагаемого приводит к незначительным изменениям результатов.
Упражнение 4.3.1. Построить поверхностные функции влияния для упругой среды с цилиндрической полостью, на поверхности которой задано радиальное перемещение.
Объемные и начальные возмущенияв пространстве с цилиндрической полостью
Теперь аналогично § 2.4 и 3.4 перейдем к исследованию процесса распространения цилиндрических волн расширения-сжатия в однородном упругом изотропном пространстве, инициированных объемными и начальными возмущениями. Соответствующая начально-краевая задача образовывается неоднородными уравнением движения (4.2.1) при n = 1 и начальными условиями (4.2.2), условием на бесконечности (4.3.3), а также однородным граничным условием (4.3.4) на поверхности полости:
'"У и — и рр —I-и р ■
’г ’
- и + F; г
(4-4.1)
^lT=o = ^(rh й\
т=о =
(4.4.2)
и^щ т) = 0(1),
т —> ос;
(4.4.3)
аи + /3^,г) Г=1 = 0,
о? + /32 ^ 0.
(4.4.4)
В соответствии с (1.4.4), (1.4.15) и (1.4.27) соответствующие задаче (4.4.1)-(4.4.4) перемещения и напряжения могут быть записаны так:
tz(r, т) = | G(r, т; £) * F^^ т) d£ +
1
£М£М+|О(г,т;£М£М+|О(г,т;(4.4.5)(4.4.5)
£М£М+|О(г,т;
£М£М+|О(г,т;
(4.4.5)
(4.4.5)
<т(г, т) = j GCT(r, т; £) * F(£, t) d£, + i
+ 72+ 72(4.4.6)(4.4.6)| G^t; CMOd^+ | GCT(r,T; ^>^ d^
+ 72
+ 72
(4.4.6)
(4.4.6)
11■
Здесь G(r, т; £) = и и Ga(r, т; £) = a — объемные функции влияния соответственно для перемещений и напряжений. Первая из них — решение задачи
^G = G rr + - G r - -4 G + 5^5(r - C);(4-4.7)
G|T=0 = 0, g| 0 = 0,(4-4.8)
G(r, t) = G(1), r —> oo;(4.4.9)
(aG + /3G,r)|r=1=0,(4.4.10)
авторая определяется G^r, г; £) аналогичным (4.3.10) соотношением
Ga = GT^-G. (4.4.11) ’ г
К задаче (4.4.7)-(4.4.10) применяем преобразование Лапласа по времени т (см. приложение В, в том числе, табл. В.2.1). В результате получаем
GLTT + -GLr-(^ + ^sA Gl = -д(г - С);(4.4.12)
’ Г ’\ г/
GL(r,s) = 0(1), т^оо;(4.4.13)
(aGL+/3G,r)|r=1=0.(4.4.14)
Общее решение уравнения (4.4.12) имеет вид (см. также (4.3.14))
GL(r^ s; ^) = Ci(s)Ki^rs) + C^s^Ii^rs) + G^(r, s; ^).(4.4.15)
Здесь СДз) и C^s) — постоянные интегрирования, a G* — частное решение неоднородного уравнения, которое определяем с помощью метода вариации произвольных постоянных (см. § 2.4 и 3.4):
G* (г, з; £) = ^Н(г - С) [/i(7Cs)Ki(7rs) - Л^гз^^з)]. (4.4.16)
Подставляя это равенство в (4.4.15), находим
GL^r, з; О = [Ci(s) + £Я(г - 0A(7^s)] Kx^ts^ +
+ [C2(s) - ^H^r - №(7^)] I^tsY (4.4.17)
Учитывая поведение модифицированных функций Бесселя на бесконечности (см. (3.3.12)), с помощью условия (4.4.13) определяем постоянную С^§\.
Сг^=^^.(4.4.18)
Следовательно,
Gl^t, s; = [(71(8) + ^H(r - Щ1(7С«)] 7<i(7rs) +
+ СК1(7^)/1(7Г8)[1 - Я(г - 0]. (4.4.19)
Для определения СДз) с использованием формул дифференцирования модифицированных функций Бесселя (3.3.15) и (3.4.21) вычисляем производную последней функции:
G^s-, 0 =
= — ^ {[^i (s) + ^Н(г - £)/i(7$s)] [Ki(7rs) + 7гзК0(7гз)] +
+ ^Ki^^s) [/1(7гз) - 7гз/0(7гз)] [1 - Я(г - £)]} . (4.4.20)
Подстановка (4.4.19) и (4.4.21) в граничные условия (4.4.14) приводит к алгебраическому уравнению относительно СДз), решение которого имеет вид
^(з) = CK1(^s) (^M(2£)+WoM(4.4.21)
где
ВД = (/3 - а)К^ + Д7^о(^).(4.4.22)
Тогда подставляя (4.4.21) в (4.4.19), (4.4.20) и учитывая (4.4.11), получаем следующие формулы для изображений функций влияния:
GL^r, з; О = Т[(а - ^D^rs, 7s) + /3^sE1(^rs, 7s)] ^т^Г +
+ £>1(7гз,7^з)Н(г-С)].;(4.4.23)
G^(r, s; £) = — -/ {(а — /3) ^yrsEi(ys^ yrs) + (1 — x)Di(yrs1 7s)] +
+ Sys [yrsD^yrs, ys) + (1 — x)Ei(yrs, 7s)]}+ Sys [yrsD^yrs, ys) + (1 — x)Ei(yrs, 7s)]}КЦуЬ)N(ys)КЦуЬ)N(ys)+++ \.yrsEi(y£s, yrs) + (1 — x)Di(yrs, 7^s)] H(r — €) /• (4.4.24)+ \.yrsEi(y£s, yrs) + (1 — x)Di(yrs, 7^s)] H(r — €) /• (4.4.24)Здесь D^(x.y) и E„(x,y) — функции, определяемые формулами (3.4.25)Для оригиналов функций (4.4.23) и (4.4.24) аналогично предыдущему параграфу могут быть построены асимптотические представления, справедливые в начальные моменты времени. При этом кроме формул (4.3.17)-(4.3.19), должны быть использованы асимптотические разложения функции Бесселя первого рода порядка п 6 Nq [54]:Здесь D^(x.y) и E„(x,y) — функции, определяемые формулами (3.4.25)Для оригиналов функций (4.4.23) и (4.4.24) аналогично предыдущему параграфу могут быть построены асимптотические представления, справедливые в начальные моменты времени. При этом кроме формул (4.3.17)-(4.3.19), должны быть использованы асимптотические разложения функции Бесселя первого рода порядка п 6 Nq [54]:InU) =InU) =V^TTZV^TTZт / 1 \ £(-1)‘^ + о(-^) k=o z zт / 1 \ £(-1)‘^ + о(-^) k=o z zг —> 00г —> 00Л I . 7Г\ (Jargz| < -J ,Л I . 7Г\ (Jargz| < -J ,(4.4.25) где коэффициенты апк определяются формулами (4.3.18) и (4.3.19).Оригиналы функций влияния удобнее находить для каждого конкретного вида граничных условий. Рассмотрим основные из них, ограничиваясь определением только функции влияния для перемещений.Пример 4.4.1 (цилиндрическая полость с жесткой вставкой). Эта задача соответствует следующему граничному условию:(4.4.25) где коэффициенты апк определяются формулами (4.3.18) и (4.3.19).Оригиналы функций влияния удобнее находить для каждого конкретного вида граничных условий. Рассмотрим основные из них, ограничиваясь определением только функции влияния для перемещений.Пример 4.4.1 (цилиндрическая полость с жесткой вставкой). Эта задача соответствует следующему граничному условию:<=1 =°,<=1 =°,(4.4.26)(4.4.26)т. е. в (4.4.4) необходимо положить q = 1 и /3 = 0.Тогда формула (4.4.23) с учетом равенства N(z) = — Ki(z) принимает видт. е. в (4.4.4) необходимо положить q = 1 и /3 = 0.Тогда формула (4.4.23) с учетом равенства N(z) = — Ki(z) принимает видglgl(г,«;£) = -£ Di(7rs,7s)^^l - Di(7rs,7£s)H(r - £) .Al (7s)(г,«;£) = -£ Di(7rs,7s)^^l - Di(7rs,7£s)H(r - £) .Al (7s)Используя асимптотические представления (4.3.17) и (3.4.25) сначала находим (здесь и далее знак равенства в том же смысле, что и в предыдущем параграфе)D^yrs.y^s) = Кг(угз)Ц(у£1з) - Ii(yrs)K1(y^s) =Используя асимптотические представления (4.3.17) и (3.4.25) сначала находим (здесь и далее знак равенства в том же смысле, что и в предыдущем параграфе)D^yrs.y^s) = Кг(угз)Ц(у£1з) - Ii(yrs)K1(y^s) =(4.4.27)(4.4.25), изпонимается(4.4.27)(4.4.25), изпонимается1p-^^T-^s V^ fk(r, £) _7(£_r)s ул 7 -i\kfk(r,^)2ysV^ Lk=o (7s)k=0 (ys) .1p-^^T-^s V^ fk(r, £) _7(£_r)s ул 7 -i\kfk(r,^)2ysV^ Lk=o (7s)k=0 (ys) .гдегде(4.4.28)(4-4.29)(=o r 5(4.4.28)(4-4.29)(=o r 5
+ Sys [yrsD^yrs, ys) + (1 — x)Ei(yrs, 7s)]}
+ Sys [yrsD^yrs, ys) + (1 — x)Ei(yrs, 7s)]}
КЦуЬ)N(ys)
КЦуЬ)N(ys)
+
+
+ \.yrsEi(y£s, yrs) + (1 — x)Di(yrs, 7^s)] H(r — €) /• (4.4.24)
+ \.yrsEi(y£s, yrs) + (1 — x)Di(yrs, 7^s)] H(r — €) /• (4.4.24)
Здесь D^(x.y) и E„(x,y) — функции, определяемые формулами (3.4.25)
Для оригиналов функций (4.4.23) и (4.4.24) аналогично предыдущему параграфу могут быть построены асимптотические представления, справедливые в начальные моменты времени. При этом кроме формул (4.3.17)-(4.3.19), должны быть использованы асимптотические разложения функции Бесселя первого рода порядка п 6 Nq [54]:
Здесь D^(x.y) и E„(x,y) — функции, определяемые формулами (3.4.25)
Для оригиналов функций (4.4.23) и (4.4.24) аналогично предыдущему параграфу могут быть построены асимптотические представления, справедливые в начальные моменты времени. При этом кроме формул (4.3.17)-(4.3.19), должны быть использованы асимптотические разложения функции Бесселя первого рода порядка п 6 Nq [54]:
InU) =
InU) =
V^TTZ
V^TTZ
т / 1 \ £(-1)‘^ + о(-^) k=o z z
т / 1 \ £(-1)‘^ + о(-^) k=o z z
г —> 00
г —> 00
Л I . 7Г\ (Jargz| < -J ,
Л I . 7Г\ (Jargz| < -J ,
(4.4.25) где коэффициенты апк определяются формулами (4.3.18) и (4.3.19).
Оригиналы функций влияния удобнее находить для каждого конкретного вида граничных условий. Рассмотрим основные из них, ограничиваясь определением только функции влияния для перемещений.
Пример 4.4.1 (цилиндрическая полость с жесткой вставкой). Эта задача соответствует следующему граничному условию:
(4.4.25) где коэффициенты апк определяются формулами (4.3.18) и (4.3.19).
Оригиналы функций влияния удобнее находить для каждого конкретного вида граничных условий. Рассмотрим основные из них, ограничиваясь определением только функции влияния для перемещений.
Пример 4.4.1 (цилиндрическая полость с жесткой вставкой). Эта задача соответствует следующему граничному условию:
<=1 =°,
<=1 =°,
(4.4.26)
(4.4.26)
т. е. в (4.4.4) необходимо положить q = 1 и /3 = 0.
Тогда формула (4.4.23) с учетом равенства N(z) = — Ki(z) принимает вид
т. е. в (4.4.4) необходимо положить q = 1 и /3 = 0.
Тогда формула (4.4.23) с учетом равенства N(z) = — Ki(z) принимает вид
gl
gl
(г,«;£) = -£ Di(7rs,7s)^^l - Di(7rs,7£s)H(r - £) .Al (7s)
(г,«;£) = -£ Di(7rs,7s)^^l - Di(7rs,7£s)H(r - £) .Al (7s)
Используя асимптотические представления (4.3.17) и (3.4.25) сначала находим (здесь и далее знак равенства в том же смысле, что и в предыдущем параграфе)
D^yrs.y^s) = Кг(угз)Ц(у£1з) - Ii(yrs)K1(y^s) =
Используя асимптотические представления (4.3.17) и (3.4.25) сначала находим (здесь и далее знак равенства в том же смысле, что и в предыдущем параграфе)
D^yrs.y^s) = Кг(угз)Ц(у£1з) - Ii(yrs)K1(y^s) =
(4.4.27)
(4.4.25), изпонимается
(4.4.27)
(4.4.25), изпонимается
1p-^^T-^s V^ fk(r, £) _7(£_r)s ул 7 -i\kfk(r,^)
2ysV^ Lk=o (7s)k=0 (ys) .
1p-^^T-^s V^ fk(r, £) _7(£_r)s ул 7 -i\kfk(r,^)
2ysV^ Lk=o (7s)k=0 (ys) .
где
где
(4.4.28)
(4-4.29)
(=o r 5
(4.4.28)
(4-4.29)
(=o r 5
Подставляя теперь (4.4.28) и (4.3.20) в (4.4.27), получаем следующее представление изображения функции влияния:
GL(r, s; С) = ^V^ Е RjA s! ^е-^<Т’^8-(4.4.30)
Здесь
Rb^s.0=^gi^,(4.4.31)
fe=l 7 8
функции Ц,(г, £) задаются равенствами (3.4.32), а коэффициенты ^^(г, О определяются следующими соотношениями (формулы для сМЛ) см. в (4.3.22)):
gik^O = Е Мъ Ock-l(t), gakAA) = fk^^H^r - £),
<=°(4.4.32)
g2k(r,^ = E (-l)Vz(r, 1)ca,-Z(^) - (-l)fe/fe(r,C)^(r - 0- 1=0
Оригинал функции влияния (4.4.30) находим с использованием свойств преобразования Лапласа и табл. В.2.2:
G(r, г; £) = ^;^/| Е Rj tr’т ^(г’ ^ €],(4.4.33)
где
mк
RA^T-, С) = gjoH(r) + Е gjAr,^^;-(4.4.34)
На рис. 4.4.1 представлена рассчитанная по формулам (4.4.32)(4.4.34) при т = 3 пространственно-временная зависимость для функции влияния G(r, т; ^) при 7 = 1, ^ = 2, на которой отчетливо прослеживается волновой характер распространения возмущений. В момент времени т = 1 возмущение достигает поверхности цилиндрической полости г = 1, волна отражается от границы области, и далее в среде присутствуют только расходящиеся волны.
Рис. 4.4.1
Пример 4.4.2 (цилиндрическая полость со свободной поверхностью). Эта задача соответствует граничному условию
<тгг|г=1=0,(4.4.35)
т. е. параметрам а = z и В = 1 в (4.4.14). При этом формула (4.4.23) принимает вид
GL(r, s) = -ф(1 - x)£>i(7rs,7s) - 7sSi(7rs, 7s)] ^p^- -
— Di^rs^ ^^s)H(r — £)}, (4.4.36) где
N(z) = (1 - x^K^z) + 7sK0(z).(4.4.37)
Предварительно аналогично (4.4.28) с использованием (3.4.25) находим асимптотическое разложение функции Ei^rs, 7^s):
Е1(7$г, 7s^) = Ki(7rs)/0(7^s) + k^rs^K^^s) =
1e-7(r-^)s £fcOj_Q^sVtE, [^q bs)k1e-7(r-^)s £fcOj_Q^sVtE, [^q bs)ke-7($-r)s ^ (_l)*£*IZk|lfc=o (7s) .e-7($-r)s ^ (_l)*£*IZk|lfc=o (7s) .
1e-7(r-^)s £fcOj_Q
^sVtE, [^q bs)k
1e-7(r-^)s £fcOj_Q
^sVtE, [^q bs)k
e-7($-r)s ^ (_l)*£*IZk|l
fc=o (7s) .
e-7($-r)s ^ (_l)*£*IZk|l
fc=o (7s) .
гдегде(4.4.38)
где
где
e/№EH)'^.(4-4.39)
z=o r <
Подставляя теперь (4.4.38), (4.4.28) и (4.3.17) в (4.4.36), получаем, что асимптотическое представление изображения функции влияния определяется формулами (4.4.30) и (4.4.31), в которых коэффициенты g^k(y^) определяются соответствующими равенствами в (4.4.32), a gvAr, С) и g2k(r, О имеют вид
gik(r, С) = ^pt^hk-t^,Z=°(4.4.40)
g^Ar, С) = Е I-WpAtW-A^ ~ (~^kfk(r,^H(r - ^.
1=0
Здесь
Po(r) = e0(r, 1) = 1, pfc(r) = efc(r,l) - (1 - x)/fc(r,l), k > 1, (4.4.41) а функции hk(O задаются рекуррентными соотношениями
/io(C) = l, hkkO = ^/io(C) = l, hkkO = ^k-l^ [(1 - ^dl,k-l-l + <10,k-lWU^ 1=0k-l^ [(1 - ^dl,k-l-l + <10,k-lWU^ 1=0k^l.(4.4.42)k^l.(4.4.42)
/io(C) = l, hkkO = ^
/io(C) = l, hkkO = ^
k-l
^ [(1 - ^dl,k-l-l + <10,k-lWU^ 1=0
k-l
^ [(1 - ^dl,k-l-l + <10,k-lWU^ 1=0
k^l.
(4.4.42)
k^l.
(4.4.42)
Оригинал функции влияния в этом случае так же, как и в преды
дущем примере определяется равенствами (4.4.33) и (4.4.34). Соответствующие результаты расчетов при 7 = 1 и £ = 2 представлены на рис. 4.4.2. Характер волнового процесса качественно совпадает с результатами предыдущего примера. Однако за счет свободной поверхности полости в момент отражения от нее волны (т = 1) перемещение увеличивается.
ция перемещения и напряжения, решается аналогичным образом.ция перемещения и напряжения, решается аналогичным образом.Задача, в которой на поверхности полости задана линейная комбина
ция перемещения и напряжения, решается аналогичным образом.
ция перемещения и напряжения, решается аналогичным образом.
Нестационарные волны в толстостенномцилиндре
Сначала рассмотрим задачу о распространении объемных и начальных возмущений в упругом толстостенном цилиндре с внешним и внутренним радиусами Ro и Ri соответственно. Полагая в безразмерных параметрах (2.1.1) и (3.1.4) L = Ro^ получаем, что внешняя и внутренняя поверхности цилиндра задаются уравнениями (3.5.1).
Соответствующая начально-краевая задача относительно радиального перемещения образуется уравнением (4.4.1), начальными условиями (4.4.2) и аналогичными (4.4.4) граничными условиями (см. также (2.6.3), (3.6.3) и (3.6.4)):
72tz = и тт + - и т —и + F;
(4.5.1)
u|T=0 = y(r),й|т=0=^(г);
(4.5.2)
(аои + /30uir) r=i = 0,
(4.5.3)
(а1и + ^1и>г)|г=п = 0,
(4.5.4)
где а? + 3j + О (j = 0,1).
Согласно (1.4.4), (1.4.16) и (1.4.20) решение этой задачи может быть представлено следующим образом (сравнить с (3.6.5)):
1
] G(r,r; ^*Е^т^«А
,2 j П,2 j Пг 11
,2 j П
,2 j П
£М£Ш^С(т^ ЖШ • (4.5.5)
Г1
Здесь G(r, т; £) —функция влияния для перемещений, которая есть решение задачи:
72G = G,r + - Gr - -4 G + 5(т)5(г - С);(4.5.6)
G|T=0 = О, g| о=О;(4.5.7)
(a0G + /30G,r)|r=1 =0,(4.5.8)
(aiG + /3iG,r)|r=ri =0.(4.5.9)
Интегральное представление напряжений имеет вид 1
а(г, т) = | GCT(r, т; £) * F(£, т) d^ + Г]
СДт^т; £Mt№ + |ПСДт^т; £Mt№ + |ПGa(r,T; O^UWGa(r,T; O^UW(4.5.10)(4.5.10)
СДт^т; £Mt№ + |
П
СДт^т; £Mt№ + |
П
Ga(r,T; O^UW
Ga(r,T; O^UW
(4.5.10)
(4.5.10)
где Са(г, т; £) — функция влияния для напряжений, которая определяется формулой (4.4.11).
Операторы в уравнении (4.5.7) удовлетворяют условиям (1.5.5) при pi = 1 и Д2 = 1- Следовательно, решение задачи (4.5.6)-(4.5.9) аналогично § 2.6 и 3.6 можно построить методом Фурье. Полагая
G(r,r; С) = RWV)(4.5.11)
и разделяя переменные в соответствующем (4.5.6) однородном уравнении, приходим к равенству (А — константа разделения)
(4.5.12)(4.5.12)RM + Й jv - R^t _ ^t _
(4.5.12)
(4.5.12)
R“
Отсюда и из граничных условий (4.5.8) и (4.5.9) получаем задачу на собственные значения:
(4.5.13)(4.5.14)(4.5.15)(4.5.13)(4.5.14)(4.5.15)/г" + - /г' + Гд — 4^ = 0;Г \ у /
(4.5.13)
(4.5.14)
(4.5.15)
(4.5.13)
(4.5.14)
(4.5.15)
(а0Л + Д)Л')|г=1 =0,(aifi + A^Un =0-
Уравнение (4.5.13) приводится к указанному в (1.5.37) виду при ж(г) = р(г) = г, хМ = 1/г) и условия, обеспечивающие свойства 1-5 задачи на собственные значения, выполняются.
Найдем совокупность собственных значений, учитывая, что А ^ 0.
При А > О общее решение уравнения (4.5.13) есть линейная комбинация цилиндрических функций первого и второго рода [54]:
R^ = CxNx^ + С^МцгУ(4.5.16)
где pi = VA .
Постоянные Ci и С2 — решения полученной с помощью граничных условий (4.5.14) и (4.5.15) системы линейных алгебраических уравне-
АС = О, C = (Ci,C2)T, А=(ау)2х2,(4.5.17)
где
«и = («о — /Зо)М(м) + М/ЗоМ)(/Д
«12 = («о - /Зо)Л(м) + Р-РкМр^
(4.5.18)
«21 = («1П - P^Nx^t^ + pLpxTxN^piTxY
«22 = («1П - Px^Jx^pirx^ + рфргх MllTiY
Здесь использованы формулы (3.6.22) дифференцирования цилиндрических функций.
Условие существования нетривиального решения системы (4.5.17) приводит к уравнению
|А| = [(«о - p^N^p) + pP0N0(p^ [(«iri - /31) Ji(/zri) +
+ pPinJo^pri^ - [(«о - PoPi(^ + pPoJo(^ [(«1Г1 - PON^pr^ +
+ pPmN^pr^ =0, (4.5.19)
положительные корни которого обозначаем, как обычно, через ц^. Соответствующие собственные функции находим с помощью первого или второго уравнения системы (4.5.17)
RnW = Л(^пН - D^^Nx^r).(4.5.20)
где
D/ ч (op - 3o)Ji(p) + цЗоЛр^ц) _ (апп - З^Л^р/гх) + Д/31Г1 Jo(jLzri) ^(«о - 3o)Ni(p) + pPqNq^^ (апп - /31)^1 (дп) + д/31Г1№(дп)'
(4.5.21)
Квадрат нормы, согласно (1.5.33), имеет вид [58]
1
Ип(г)||2 = | r^Rj^f dr =
г2 Г2"I 1
= у Jo^nr)- ^Jo(pnr)Jl(pnr) + JUpnr) -
- 5(Mn)r2^ ЛЯМпНШМпН + Л(МпГ)М(МпГ) +
1Г11Г1+ D2(p,n)+ D2(p,n)^о(Мпг) - ^ No^r^N^iinT^ + N^ (/z„r)^о(Мпг) - ^ No^r^N^iinT^ + N^ (/z„r)1П1П(4.5.22)(4.5.22)-^7 [«М/мН^Л/Мг) + Л(МпН^о(ДпН]
1
Г1
1
Г1
+ D2(p,n)
+ D2(p,n)
^о(Мпг) - ^ No^r^N^iinT^ + N^ (/z„r)
^о(Мпг) - ^ No^r^N^iinT^ + N^ (/z„r)
1
П
1
П
(4.5.22)
(4.5.22)
При А = 0 общее решение уравнения (4.5.13) имеет вид
R(r) = С1г + С2^.(4.5.23)
Постоянные Ci и С-! определяются системой уравнений (4.5.17) с коэффициентами
«11 = «о + Ah «12 — <^0 — А;
(4.5.24) «21 = Ч (^iri + /31) 5«22 = 0^14 - /31
и определителем
|А| = («о + /30) (airi - /31) - г2 («о - /Зо) («1Г1 + /31).(4.5.25)
В этом случае так же, как для плоских и сферических волн, Rg А ^ 1, и кратность собственного значения Л = 0 не может быть больше единицы. Как следует из первого уравнения системы (4.5.17) и равенств (4.5.24), ему отвечает собственная функция
Ro(r) = Qo (г - ^ - /Зо (г + ^ .(4.5.26)
Однако аналогично сферическим волнам (см. § 3.6) для всех основных граничных условий Л = 0 не является собственным значением, так как для рассматриваемых волн не возможно движение тела как абсолютно жесткого (см. § 1.5).
Рассмотрим три частных случая граничных условий.
А. Первая краевая задача (внутренняя и внешняя поверхности цилиндра неподвижны: с^о = оц = 1, /Зо = /31 = 0). Поскольку условия (1.5.35) выполняются, то все собственные значения положительные и в соответствии с (4.5.18) и (4.5.19) определяются уравнением
М^Мцп) - А1(Мп)Л(м) = 0.(4.5.27)
Собственные функции задаются равенством (4.5.20), в котором следует положить п Е N и
Л (д) _ Л(дп)
М(д) А1(дп)‘
Равенство (4.5.22) в этом случае существенно упрощается. Используя рекуррентные формулы для функций Бесселя [59]
Ш^ = 2— Ы^ -Nv+M = 2— Nv+M - NM,
(4.5.29) вронскиан
W = Л+1(г)МД2) - J^^)^!^) = —,(4.5.30)
а также (4.5.28), получаем
ТГДпТГДп111M^nCl)1M^nCl)(4.5.31)(4.5.31)
ТГДп
ТГДп
1
1
1
M^nCl)
1
M^nCl)
(4.5.31)
(4.5.31)
п123456Цп6,39312,62418,88825,16231,44337,718п123456Цп6,39312,62418,88825,16231,44337,718В табл. 4.5.1 указаны шесть первых положительных корней уравнения (4.5.27) при ri = 0,5.Таблица 4.5.1В табл. 4.5.1 указаны шесть первых положительных корней уравнения (4.5.27) при ri = 0,5.Таблица 4.5.1На рис. 4.5.1 приведены первые три собственные формы.Для перехода к частному случаю сплошного цилиндра (ri = = 0) с неподвижной внешней поверхностью используем следующиеНа рис. 4.5.1 приведены первые три собственные формы.Для перехода к частному случаю сплошного цилиндра (ri = = 0) с неподвижной внешней поверхностью используем следующиеотношения эквивалентности для цилиндрических функций [54]:отношения эквивалентности для цилиндрических функций [54]:ЛМ ~ Al’ N°^ ~ - In г,2 7117Г(4.5.32) 7TZ7г —> 0 (п 6 N).Выполняя предельный переход при ri —> 0, из (4.5.26), (4.5.20) и (4.5.27) получаемЛМ ~ Al’ N°^ ~ - In г,2 7117Г(4.5.32) 7TZ7г —> 0 (п 6 N).Выполняя предельный переход при ri —> 0, из (4.5.26), (4.5.20) и (4.5.27) получаемРис. 4.5.1Рис. 4.5.1«ШМ;«ШМ;(4.5.33)(4.5.33)
п
1
2
3
4
5
6
Цп
6,393
12,624
18,888
25,162
31,443
37,718
п
1
2
3
4
5
6
Цп
6,393
12,624
18,888
25,162
31,443
37,718
В табл. 4.5.1 указаны шесть первых положительных корней уравнения (4.5.27) при ri = 0,5.
Таблица 4.5.1
В табл. 4.5.1 указаны шесть первых положительных корней уравнения (4.5.27) при ri = 0,5.
Таблица 4.5.1
На рис. 4.5.1 приведены первые три собственные формы.
Для перехода к частному случаю сплошного цилиндра (ri = = 0) с неподвижной внешней поверхностью используем следующие
На рис. 4.5.1 приведены первые три собственные формы.
Для перехода к частному случаю сплошного цилиндра (ri = = 0) с неподвижной внешней поверхностью используем следующие
отношения эквивалентности для цилиндрических функций [54]:
отношения эквивалентности для цилиндрических функций [54]:
ЛМ ~ Al’ N°^ ~ - In г,2 7117Г
(4.5.32) 7TZ7
г —> 0 (п 6 N).
Выполняя предельный переход при ri —> 0, из (4.5.26), (4.5.20) и (4.5.27) получаем
ЛМ ~ Al’ N°^ ~ - In г,2 7117Г
(4.5.32) 7TZ7
г —> 0 (п 6 N).
Выполняя предельный переход при ri —> 0, из (4.5.26), (4.5.20) и (4.5.27) получаем
Рис. 4.5.1
Рис. 4.5.1
«ШМ;
«ШМ;
(4.5.33)
(4.5.33)
RnM = Л(^пг) (n € N>,RnM = Л(^пг) (n € N>,(4.5.34)(4.5.34)
RnM = Л(^пг) (n € N>,
RnM = Л(^пг) (n € N>,
(4.5.34)
(4.5.34)
(4.5.35)(4.5.35)MHI|2 = ^A^ = po^)-
(4.5.35)
(4.5.35)
nNiUM 2
В последней формуле использовано вытекающее из (4.5.30) и (4.5.33) равенство
9
ММЛ = - Мп гI4-5-36)
В табл. 4.5.2 приведены шесть первых положительных корней уравнения (4.5.33).
Рис. 4.5.2Рис. 4.5.2шениями уравнения (4.5.19) при условий, а собственные функции (4.5.20)-(4.5.22).шениями уравнения (4.5.19) при условий, а собственные функции (4.5.20)-(4.5.22).На рис. 4.5.2 приведены соответствующие первые три собственные формы.Б. Вторая краевая задача (внутренняя и внешняя поверхности цилиндра свободные). В соответствии с (4.1.13) этому варианту соответствуют следующие параметры граничных условий: «о — ^ /Зо — 1, «1Г1 = х. /31 = = 1.Все собственные значения положительные и определяются ре- указанных параметрах граничных и их норма задаются равенствамиНа рис. 4.5.2 приведены соответствующие первые три собственные формы.Б. Вторая краевая задача (внутренняя и внешняя поверхности цилиндра свободные). В соответствии с (4.1.13) этому варианту соответствуют следующие параметры граничных условий: «о — ^ /Зо — 1, «1Г1 = х. /31 = = 1.Все собственные значения положительные и определяются ре- указанных параметрах граничных и их норма задаются равенствамиВ табл. 4.5.3 указаны шесть первых положительных корней уравнения при ri = 0,5, и = 0,429.В табл. 4.5.3 указаны шесть первых положительных корней уравнения при ri = 0,5, и = 0,429.
Рис. 4.5.2
Рис. 4.5.2
шениями уравнения (4.5.19) при условий, а собственные функции (4.5.20)-(4.5.22).
шениями уравнения (4.5.19) при условий, а собственные функции (4.5.20)-(4.5.22).
На рис. 4.5.2 приведены соответствующие первые три собственные формы.
Б. Вторая краевая задача (внутренняя и внешняя поверхности цилиндра свободные). В соответствии с (4.1.13) этому варианту соответствуют следующие параметры граничных условий: «о — ^ /Зо — 1, «1Г1 = х. /31 = = 1.
Все собственные значения положительные и определяются ре- указанных параметрах граничных и их норма задаются равенствами
На рис. 4.5.2 приведены соответствующие первые три собственные формы.
Б. Вторая краевая задача (внутренняя и внешняя поверхности цилиндра свободные). В соответствии с (4.1.13) этому варианту соответствуют следующие параметры граничных условий: «о — ^ /Зо — 1, «1Г1 = х. /31 = = 1.
Все собственные значения положительные и определяются ре- указанных параметрах граничных и их норма задаются равенствами
В табл. 4.5.3 указаны шесть первых положительных корней уравнения при ri = 0,5, и = 0,429.
В табл. 4.5.3 указаны шесть первых положительных корней уравнения при ri = 0,5, и = 0,429.
Таблица 4.5.2
71
1
2
3
4
5
6
Рп
3,832
7,016
10,173
13,324
16,471
19,616
Рис. 4.5.3Рис. 4.5.3
Рис. 4.5.3
Рис. 4.5.3
Таблица 4.5.3
71
1
2
3
4
5
6
Рп
1,265
6,430
12,639
18,888
25,168
31,442
На рис. 4.5.3 приведены первые три собственные формы.
В. Третья краевая задача (вариант: внутренняя поверхность цилиндра неподвижная, внешняя — свободна). В этом случае «о — ^ /Зо — 1, «1 — 1, /31 = 0.
Все собственные значения положительные и определяются решениями вытекающего из (4.5.19) уравнения
[мМ)М - (1 - ^NT^ Л(^п) - Vm-Jo^) - (1 - ^)Л(д)] N^p-n) =
Соответствующие собственные функции задаются равенством (4.5.20), в котором следует положить
W дЛГоМ-О-^М N^nyW дЛГоМ-О-^М N^ny(4.5.38)(4.5.38)
W дЛГоМ-О-^М N^ny
W дЛГоМ-О-^М N^ny
(4.5.38)
(4.5.38)
Квадрат их нормы определяется формулой (4.5.22).
В табл. 4.5.4 указаны шесть первых положительных корней уравнения (4.5.37) при ri = 0,5, х = 0,429.
Таблица 4.5.4
71
1
2
3
4
5
6
Цп
3,266
9,485
15,746
22,018
28,282
34,575
На рис. 4.5.4 приведены первые три собственные формы.
В частном случае сплошного цилиндра (ri = 0) со свободной внешней поверхностью применение асимптотических формул (4.5.32) к (4.5.37) приводит к следующему уравнению для определения собственных чисел:
/zJ0(/z) - (1 - x)Ji(/z) = 0.Рис.4.5.4
(4.5.39)
При этом, как следует из (4.5.38), D(p?) = 0 и собственные функции задаются равенствами (4.5.34). Их норма в соответствии с (4.5.22) и (4.5.39) имеет вид
II ^n(r)||2 = jr [Яп(г)]2=
о
1212^0(^71)»^о(Мп)^1(Мп) “Ь А(Дп)^0(^71)»^о(Мп)^1(Мп) “Ь А(Дп)
1
2
1
2
^0(^71)»^о(Мп)^1(Мп) “Ь А(Дп)
^0(^71)»^о(Мп)^1(Мп) “Ь А(Дп)
(4.5.40)
В табл. 4.5.5 приведены шесть первых положительных корней уравнения (4.5.39).
Таблица 4.5.5
71
1
2
3
4
5
6
Цп
2,126
5,414
8,586
11,743
14,864
18,039
Соответствующие первые три собственные формы приведены на рис. 4.5.5.
6 А. Г. Горшков и др.
Рис. 4.5.5Рис. 4.5.5Gn~ ЙГ kG'R^Gn~ ЙГ kG'R^Решение задачи (4.5.6)-(4.5.9) и правую часть уравнения (4.5.6) представляем виде рядов (1.5.15) и (1.5.16)
Рис. 4.5.5
Рис. 4.5.5
Gn~ ЙГ kG'R^
Gn~ ЙГ kG'R^
G(r, т; ^=^Gn(j\ ^R«W;
П(4.5.41)
5(т)5(г - О = SM^a^RnW, "(4.5.42)
где, согласно (1.5.33) и (1.5.16),
1
11|Лп||2 = | rR^dr,1МО = ^1^%^ = Т^тр" [ ^R»W dr =11|Лп||2 = | rR^dr,1МО = ^1^%^ = Т^тр" [ ^R»W dr =(4.5.43)(4.5.43)(Ml(Ml2 ‘2 ‘= | rG(r, г; ^)7?n(r)dr,
1
1|Лп||2 = | rR^dr,
1
МО = ^1^%^ = Т^тр" [ ^R»W dr =
1
1|Лп||2 = | rR^dr,
1
МО = ^1^%^ = Т^тр" [ ^R»W dr =
(4.5.43)
(4.5.43)
(Ml
(Ml
2 ‘
2 ‘
Подставляя эти разложения в (4.5.6), с учетом (4.5.13) получаем аналогичное (3.6.44) равенство, которое в силу полноты (см. гл. 1) системы собственных функций в £2(^1? 1? г) эквивалентно уравнениям (3.6.45) с однородными начальными условиями (3.6.46). В результате приходим к формулам (3.6.47) и (3.6.48) для Gn(r; £).
Функция влияния для напряжения совпадает с (3.6.49):
(4.5.44)(4.5.45)(4.5.44)(4.5.45)Ga(r, г; ^) = ^Оп(т; ^R^r), где, согласно (4.2.24),
(4.5.44)
(4.5.45)
(4.5.44)
(4.5.45)
ЛСТп(г) = RnW + ^ Rn(r).
Пример 4.5.1. Определить напряженно-деформированное состояние упругого цилиндра под действием массовых сил F(r, т) = = гте-т Н^т\ полагая, что его граница неподвижна и начальные условия однородные. В расчетах принять 7 = 1 и х = 0,429 (сталь).
Решение. Перемещения и напряжения в этом случае определяются равенствами (4.5.5) и (4.5.10) при ip = ^ = 0:
(4.5.46)(4.5.46)и^г^ т) = jj G^ т — t\ ^F^^ t) dt d^о 0
(4.5.46)
(4.5.46)
T 1
a^r^ T) ~ 11 Ga(r, т — t\ £,)F(^ t) dt d^о 0
где в соответствии с формулами (4.5.41), (4.5.46) и результатами п. В этого параграфа
£(г,т; С) = 52 СЛТ\ ORnW, G^t-., С) = 52 g»(t; ОМт\
"П(4.5.47)
Коэффициенты этих рядов указаны в (4.5.32), собственные числа определяются уравнением (4.5.33) (см. табл. 4.5.2), собственные функции Rn(r) и их норма приведены в (4.5.34) и (4.5.35), a Ran^) в соответствии с (4.5.45) имеют вид (здесь использована формула для производных (3.6.22))
Ran(r) = J0(M«r) + (^ - ^-)(4.5.48)
Подставляя теперь (4.5.47) в (4.5.46) и учитывая формулы (4.5.43) и (3.6.48), получаем (а)п = рп)
Цт,т) = Я(т) 52 — qn(r)Rn(r),
~ ,(4-5.49)
Цг,т) = H(j) 52 ^q^R^r),n=l
где qn^ совпадает с найденной в (3.6.56) функцией, а коэффициенты Ьп находятся непосредственным интегрированием [58] с учетом (4.5.33):
1
— 2 т2/ г [2«71(Дп) — Мп^о(Мп)] — — ~ т / х • (4.5.50) МпЛДАМPnJoVPn)
На рисунках 4.5.6 и 4.5.7 представлены пространственно-временные зависимости перемещения и^т^ т) и напряжения а(г, т) в упругом ци-
Рис. 4.5.6Рис. 4.5.7
линдре. Как следует из рис. 4.5.6, максимальные перемещения имеют точки, лежащие на внешней поверхности цилиндра г = 1. В то же время радиальные напряжения достигают максимальных значений в центре цилиндра г = 0.
Распространение граничных возмущенийв толстостенном цилиндре
С использованием обозначений предыдущего параграфа рассмотрим теперь задачу о распространении граничных возмущений в толстостенном цилиндре. В этом случае радиальное перемещение удовлетворяет однородным уравнению движения и начальным условиям, а также неоднородным граничным условиям, соответствующим (4.5.1)-(4.5.4):
2 ••11
7 и = и rr Н— и ги^ ’Г ’г
(4.6.1)
и1т=о = °, ^Ц=о = °;
(4.6.2)
(«ой + Au,r)|r=1 = 9о(т),
(4.6.3)
(aiu + /3iur)|r=n = qAtY
(4.6.4)
Для решения этой задачи будем использовать интегральное представление (1.4.24) с ядром в виде построенной в предыдущем параграфе объемной функцией влияния. С этой целью сначала с использованием процедуры, указанной в § 1.2, сведем (4.6.1)-(4.6.4) к задаче с однородными граничными условиями, представляя искомую функцию в виде суммы
и^ т) = v(r, т) + w(r, т).(4.6.5)
Здесь w(r, т) удовлетворяет условиям (4.6.3) и (4.6.4), а и (г, т) есть решение следующей задачи:
72v
= и гг + - и ги + F(r, т); ’Г ’г
(4.6.6)
v|
1т=0 = <Р И, ^=0 = ^И;
(4.6.7)
(«о« + &)«, г)|г=1 = о,
(4.6.8)
(«IV + Av,r)|r=r] = 0,
(4.6.9)
где
F(r,
т) = wiTT Н— w,r2 w — 7 w,
(4.6.10)
у (г
) = -w|T=0, V’(r) = - w|T=o .
Функцию w в данном случае удобнее выбрать как решение ствующей квазистатической задачи (см. (1.2.8))
соответ-
11A
w rr H— w rw = 0; ’r ’r
(4.6.11)
(ow + /30w,r)|r=1 = qoM,
(4.6.12)
(aiw + Aw,r)|r=ri =Qi(r).
(4.6.13)
Общее решение уравнения (4.6.11) имеет вид (4.5.23), т. е.
w(r) = С1Г + С2-,(4.6.14)
г
где Ci и С2 — постоянные интегрирования.
Подставляя его в (4.6.12) и (4.6.13) получаем неоднородную систему линейных алгебраических уравнений
АС = Q, С = (Ci, С2)т , Q = Ш qiW , А = (^)2х2 ,
(4.6.15)
в которой элементы матрицы А определяются равенствами (4.5.24).
Решение этой системы с учетом формулы (4.5.25) для ее определителя имеет вид
Ci = a1r1^Lqo<TVa^q^TV
С, = _г2^+^0(т) + ^±^91(т),(4-6Л6)
D = |А| = («о + /30) («in - /31) - г* («о - /30) (airi + /31).
Следовательно,
toW = 52 А МчкМ, к=0fl А) =toW = 52 А МчкМ, к=0fl А) =Л / х aiTi — 312 0:1^1 + 31
toW = 52 А МчкМ, к=0
fl А) =
toW = 52 А МчкМ, к=0
fl А) =
Oto - Зо , О!о + /3о(4.6.17)
— г 4—.
DDr
Используя теперь представление (1.4.24) и учитывая, что в данном случае в силу (4.6.11)
Ажя1* = AxiW = w rr + - w г —w = 0,(4.6.18)
’ Г ’ г
окончательно получаем
1Цт,т) =к=01Цт,т) =к=0Qk^fk^ -| G(r,r; 0*9б(т)Л(0^Qk^fk^ -| G(r,r; 0*9б(т)Л(0^(4.6.19)(4.6.19)
1
Цт,т) =
к=0
1
Цт,т) =
к=0
Qk^fk^ -| G(r,r; 0*9б(т)Л(0^
Qk^fk^ -| G(r,r; 0*9б(т)Л(0^
(4.6.19)
(4.6.19)
где G — определенная в § 4.5 функция влияния для перемещения.
Непосредственным дифференцированием ряда (4.5.41) с учетом (3.6.47) и (3.6.48) находим ядро свертки в (4.6.19)
G(r,т^) = Е ^п(т; ОМтУ(4.6.20)
где
(4.6.21)(n € N\(4.6.21)(n € N\60(т; О = а0(Ц5(т),
(4.6.21)
(n € N\
(4.6.21)
(n € N\
ё„(т; О =ё„(т; О =°" 2^ [5(т) - шпН(т) sin шпт]
ё„(т; О =
ё„(т; О =
Т
Формулу для напряжения получаем, применяя соответствующее равенство из (4.1.13) к (4.6.19):
■1-
ст(г,т) = 52к=0ст(г,т) = 52к=0(4.6.22)(4.6.22)Qk^Ofc^ - 72 | СЛ^ т; £) * QkMfk^ d^
ст(г,т) = 52
к=0
ст(г,т) = 52
к=0
(4.6.22)
(4.6.22)
■ri■
где
^k (г) = fk (г) + fk (г)(4.6.23)
— напряжение, соответствующее статическому перемещению и = = fk (г), а ядро свертки в соответствии с (4.5.44) имеет вид
Ga^T-^Ran^.(4.6.24)
Рассмотрим пример на использование полученных соотношений.
Пример 4.6.1 (динамическое расширение сплошного цилиндра). Найти напряженно-деформированное состояние сплошного упругого цилиндра с движущейся по закону q(r) внешней поверхностью. Расчеты провести при 7 = 1, и = 0,429 и q(r) = г+е-т/2.
Решение. В этом случае необходимо положить (см. п. А § 4.5)
ri = 0, «о = «1 = 1, /Зо = /31 = 0, q0(j) = q(r), q^r) = 0.
(4.6.25)
Функции /о(г) и сг0(г) находим из (4.6.17) и (4.6.23) с помощью (4.6.16) и предельного перехода при /31 —> 0:
/о (г) = г, сг0 (г) = 1 + и.(4.6.26)
Тогда перемещения и напряжения в соответствии с (4.6.19) и (4.6.22) определяются так:
и(т^ т) = г^(т) — 72 | £G(r, т; £) * q(r) d^(4.6.27)
о
1
а^ т) = (1 + x)q(r) - 72 j ^Ga(r, т; £) * q(r) d^.(4.6.28)
о
Подставляя сюда (4.6.20) и (4.6.24), с учетом (4.6.21) и (4.5.43) получаем следующие ряды (п 6 N, см. п. А § 4.5):
u(r, т) = rq(j) - 52 bngn^R^rY,
(4.6.29)
П = 1
а(т^ т) = (1 + x)q(r
)^^ bngn (т) Ran (г) •
(4.6.30)
Здесь
gnM = д(т) - цпН(т)
п=1
sin/znT * у(т), шп=^п,
(4.6.31)
числа р,п — корни уравнения (4.5.33), собственные формы 7?п(г) и их норма задаются равенствами (4.5.34) и (4.5.35), функции Ran^ ~ формулой (4.5.48), а коэффициенты Ьп совпадают с (4.5.50).
Подстановка в (4.6.31) заданной в условии нагрузки приводит к следующему результату:
ёп(т) = ^т+е т - ^ Н(т) | t2e * sin [цп(т - t)] dt = ”” о
ад г1 + Рп Iад г1 + Рп I22/2 _ о
ад г1 + Рп I
ад г1 + Рп I
7"Рп I с*Рп
2" I ГТ 2"
-1 + Рп \1 + Рп у
+ ~—Д" 2 [(3/4 - 1) sin цпт - /zn (^2 - 3) cos /znr] > . (4.6.32)
(1 + Рп)J
Рис. 4.6.1Рис. 4.6.1На рисунках 4.6.1 и 4.6.2 представлены пространственно-временные зависимости для перемещения и(г,т) и напряжения сг(г, г) в упругом цилиндре при заданной поверхностной кинематической нагрузке.
Рис. 4.6.1
Рис. 4.6.1
Рис. 4.6.2
Глава 5
ВОЛНЫ В СТЕРЖНЯХ И ПЛАСТИНАХ
Волновые процессы в тонкостенных элементах конструкций (оболочках, пластинах и стержнях, см. §А.5-А.9) в отличие от упругих сред, как правило, имеют свои особенности. С целью их демонстрации в этой главе рассматриваются простейшие задачи этого класса — одномерные (см. §1.1) волновые процессы в стержнях и пластинах (см. §А.7-А.9). Основное внимание уделяется методике построения аналитических решений. Как будет видно из дальнейшего изложения, для некоторых видов волн (см. §5.1) в этих моделях математическая постановка задачи, а, следовательно, и методы их решения идентичны рассмотренным в гл. 2. В остальных же случаях проявляется специфика этих задач, связанная с другим типом дифференциальных уравнений, описывающих такие процессы.
Для стержней будем использовать прямоугольную декартову систему координат Oxyz. При этом ось стержня совпадает с Ож, и в каждом поперечном сечении D система координат Cyz (С = D П Ох) является главной центральной. Если стержень ограничен или полуограничен, то будем считать, что точка О совпадает с его левым концом. Выбор системы координат для пластин будет указан в каждом конкретном случае.
5.1. Продольные и крутильные волны в стержнях
Среди всех возможных видов динамических процессов в стержнях (см. § А.9) наиболее простыми для исследования являются продольные волны (волны растяжения-сжатия) и крутильные волны, под которыми понимаются волновые процессы, соответствующие растяжению- сжатию и кручению (см. §А.9). При этом ограничимся однородными стержнями постоянного поперечного сечения. Для описания этих процессов в дополнение чины:
р* =
к
pLpF CV
2 ’
Р^р
N-=^
EF
г 2 ткь
(5.1.1)
м =
т = z , ~ , zplKC«2 plKC«2
Здесь F и /к — площадь и геометрическая характеристика при кручении поперечного сечения; р и тк — внешние погонные продольная нагрузка и крутящий момент; N и Мк — продольное усилие и крутящий момент; а — напряжение в поперечном сечении при растяжении-
сжатии; их — крутка; ср = д/Е / р и с 2 = ^ р( р — скорости распространения продольных и крутильных волн; Е, р и р — модули упругости и плотность материала стержня. При этом в соотношениях (2.1.1) для ограниченного стержня линейный размер L совпадает с его длиной, а с* = ср или с* = С2 соответственно для продольных или крутильных колебаний.
Далее, как обычно, штрихи в обозначении безразмерных величин опускаем.
В переменных (5.1.1) уравнение (А.9.10) и дополнительные соотношения (А.9.3)- (А.9.5), описывающие продольные колебания стержня, приобретают вид
й = и)ХХ+р-, (5.1.2)
(5.1.3)(5.1.3)N = а = е = ui$^
(5.1.3)
(5.1.3)
где и и £ — продольные перемещение и деформация стержня, точками обозначена производная по безразмерному времени.
(5.1.4)(5.1.5)(5.1.4)(5.1.5)Аналогичные равенства для крутильных колебаний следуют из (А.9.19), (А.9.13) и (А.9.14):
(5.1.4)
(5.1.5)
(5.1.4)
(5.1.5)
X = Х,хх +rn;М = х = х,х,
где х — Хх — угол поворота поперечного сечения вокруг оси стержня.
Сравнение уравнений (5.1.2) и (5.1.4) с (2.2.3) показывает, что при 7 = 1 с точностью до обозначений они совпадают. Кроме того, из (А.9.6) и (А.9.15) следует, что начальные условия для обоих типов колебаний имеют вид (2.2.4):
u|T=0 = V^Y м|т=0 = ф^(5.1.6)
ИЛИ
х|т=0 = Ф^\ х\Т=о=^^-(5Л-7)
А из (5.1.3), (А.9.7), (А.9.8) и (5.1.5), (А.9.16), (А.9.17) получаем, что граничные условия на концах ограниченного стержня х = Xq = 0 и ж = Ж] = 1 могут быть записаны в обобщенном виде (2.5.3):
(оды +/Зои, ж) |ж=0 = 9о(т), (aiu + ^iu,,,) 1^ = qi(t). (5.1.8)
ИЛИ
(«оХ +Д)ХД |ж=0 = <7о(т), (aix + /3ix,x) |ж=1 = 91 (т).(5.1.9)
Так же, как и для плоских волн, в частном случае значений параметров а^ = 1 и 0k = 0 на конце стержня х = х^ имеем кинематические условия (А.9.7) или (А.9.16), а при а^ = 0 и 3^ = 1 — динамические условия (А.9.8) или (А.9.17).
Таким образом, для задач о продольных и крутильных колебаниях стержней остаются справедливыми все приведенные в § 2.1-2.6 методы решения и результаты с некоторыми изменениями терминологии,
а также, естественно, с другим их механическим содержанием. А именно, этим параграфам соответствуют типы продольных и крутильных волн, распространение возмущений в неограниченном стержне, граничные, объемные и начальные возмущения в полубесконечном стержне, граничные, объемные и начальные возмущения в стержне конечной длины.
Приведем примеры решения конкретных задач.
Пример 5.1.1 (свободные колебания стерэюня конечной длины). Исследовать колебания однородного стержня, левое сечение которого закреплено, а правое свободно. В начальный момент времени стержень растянут приложенной к его правому концу продольной силой S. а затем без начальной скорости предоставлен самому себе. Построить пространственно-временные картины распределения кинематических и внутренних силовых факторов при S = 0,1.
Решение. Из статической задачи о растяжении стержня продольной силой S находим, что до начала движения в стержне имеют место продольные перемещения и = Sx. что соответствует начальным условиям:
^|т=0 — 8х. ^|т=0 — 0.(5.1.10)
Следовательно, это — задача о продольных колебаниях стержня с однородными граничными условиями:
«Uo=0,<=1 = <=1 = и>ж|ж=1 = 0.(5.1.11)
Таким образом, речь идет о распространении начальных возмущений в ограниченном стержне (его свободных колебаниях, см. рис. 1.2.1), т. е. о задаче с однородными уравнением и граничными условиями и неоднородными начальными условиями (5.1.6). Согласно (2.6.4) и (2.6.8), где следует положить ^ = 1 и д = 0, ее решение имеет вид
11
и(х. г) = | С(ж, т; e^U) d£ + | С(ж, т; ^)^(€) °^(5.1.12)
оо
11
N(x. т) = | СДх. т- £И£) de + | СДх. т- Ш de. (5.1.13) оо
Функции влияния G(x.t; £), СДх.т*. е) и их производные в общем случае граничных условий определяются соотношениями (2.6.16), (2.6.24), (2.6.28), (2.6.29), (2.6.31) и (2.6.37)-(2.6.44). Поскольку в рассматриваемой задаче граничные условия (5.1.11) соответствует указанному в § 2.6 варианту третьей краевой задаче для упругого слоя, то, согласно (2.6.22), (2.6.46) и (2.6.47), эти функции имеют вид (дополнительно полагаем т]а = 1)
G(x,t; О = 52 G^T^ ^)^тцпх,
Сст(ж,т; О = 52 GCTnkT\ ^cosp,nx, n=1(5.1.14)
2
Gnkr, 0 = — H^t) sin ц„т sin /zn£,
Gankr\ C) = 2H(t) sin /z„r sin /zn£;
6(ж,т; €) = 52 G^T", ^$тцпх,
GMT. o=Y.^an^^ £) COS pnX 5(5.1.15)
6п(т; ^) = 2Я(т) cos/znr sin/zn^,
Gan^T-, £) = 2рпН(т) cos pnT sin pn^ pn = тг (n - 1/2) .
Учитывая, что в соответствии с (5.1.10) ср(х) = Sx и ^(x) = 0, подставляем (5.1.15) в (5.1.12) и (5.1.13). Вычисляя интегралы, находим перемещение и продольное усилие в стержне:
оо /j\n —1
и^х^ т) = 2S ^2 "—1— ^(т) cos рпт sin рпх\ (5.1.16)
N(x^ т) = 2S У^ -——cos рпт cos рпх.(5.1.17)
п=1 ^п
На рисунках 5.1.1 и 5.1.2 представлена рассчитанная по этим формулам с удержанием 50 членов рядов при заданном в условии примера
Рис. 5.1.1Рис. 5.1.2
значении силы S пространственно-временная картина распространения начальных возмущений в стержне.
Пример 5.1.2 (вынужденные колебания стержня конечной длины). Исследовать колебания покоящегося в начальный момент времени
однородного стержня конечной длины с закрепленными концами при действии на него внезапно приложенной в сечении ж = 1/2 продольной силы S. Построить пространственно-временные картины распределения кинематических и внутренних силовых факторов при S = 1.
Решение. В силу условий примера в стержне имеют место продольные колебания при однородных граничных и начальных условиях:
«Ь=о = О, <=1 = 0;(5.1.18)
м|т=0 = 0,й|т=0 = 0(5.1.19)
и продольной нагрузке вида
р(х,т) = SS(х — ^ Н(т).(5.1.20)
Следовательно, это задача о распространении -погонных (объемных) возмущений в ограниченном стержне (вынужденных колебаниях, см. рис. 1.2.1). Поэтому согласно (2.6.4) и (2.6.8), где следует положить 7 = 1 и й = 0, решение имеет вид
1
и^ т) — | G^ £) * р(^ т) d^о
i(5.1.21)
N(x, т) = | GCT(x^ т; £) * р(^ т) d^.о
Так как граничные условия (5.1.16) соответствует указанной в § 2.6 первой краевой задаче для упругого слоя, то аналогично предыдущему примеру ядра интегральных представлений (5.1.21) определяются равенствами (5.1.14), где в соответствии с (2.6.45) следует положить
р,п = тгп (п Е N).(5.1.22)
Подставляя погонную нагрузку (5.1.20) и функцию С(ж,т; £) в соответствующее равенство в (5.1.21) и учитывая равенство (5.1.22), а также свойства дельта-функции, находим перемещение
т 1т
и(х, т) = 11 С(ж, ^ т — t)p(^ t) d£ dt = S | G (ж, ^т — t^ dt = ooо”
= 2S У^ ^Ч£тгзс s-n f s-n _ ^ ^ _
oo /
= 2S ^ 2 U - cos ^n+ir) sin /12П-ЦЖ.(5.1.23)
n=0 M2n+1
Нормальное усилие удобнее найти не по второй формуле в (5.1.21), а непосредственным дифференцированием перемещения по х (см. (5.1.3))
оо / j \ п
N(x, т) = U1$ =2S V -—— (1 - cos ^2п+1Т") cos //2п+1Ж.(5.1.24)
п=0 ^+1
COS Д2п + 1 Т2М2п+1COS Д2п + 1 Т2М2п+1Так как sin (/z2n+i/2) = (—1)”, то наибольшее перемещение будет испытывать сечение стержня, к которому приложена сила S:
COS Д2п + 1 Т
2
М2п+1
COS Д2п + 1 Т
2
М2п+1
(5.1.25)
Максимальное отклонение этого сечения имеет место при cos/Z2n+iT — —15 т. е. при т = 1 (этот момент времени соответствует приходу в точку ж = 1/2 волн, отраженных от закрепленных концов стержня):
\001
1=4^£^-
7n=0 A^n+l
Здесь учтено, что [54]
50(2П + 1)250(2П + 1)227Г27Г8 '8 '
50(2П + 1)2
50(2П + 1)2
2
7Г
2
7Г
8 '
8 '
Для сравнения найдем соответствующее статическое перемещение стержня пст(ж). Оно в соответствии с (5.1.2), где инерционные члены полагаются равными нулю, (5.1.18) и (5.1.20) удовлетворяет следующей краевой задаче:
м"т = -S5 (ж - |) ,м"т = -S5 (ж - |) ,Пст|ж=о — пст|ж = 1 — 0.Пст|ж=о — пст|ж = 1 — 0.
м"т = -S5 (ж - |) ,
м"т = -S5 (ж - |) ,
Пст|ж=о — пст|ж = 1 — 0.
Пст|ж=о — пст|ж = 1 — 0.
Ее решение и максимальное значение статического перемещения имеют вид
2/42/4^ст(*^) — ^ [*^ (2ж 1)^ ^С 2)] ’ ^ст,тах — ^ст
2/4
2/4
Следовательно, максимальное перемещение при внезапном приложении нагрузки в два раза больше соответствующей статической величины.
На рисунках 5.1.3 и 5.1.4 представлены пространственно-временные картины распределения перемещения п(ж,т) и нормального усилия N(x, т), возникающих в стержне при внезапном приложении продольной силы S = 1. При суммировании в формулах (5.1.23) и (5.1.24) удерживалось 50 членов ряда. На рис. 5.1.3 отчетливо видно, что в момент времени т = 1 перемещение середины стержня достигает определенного равенством (5.1.26) значения гбтах = S'/2 = 0,5.
Рис. 5.1.3Рис. 5.1.3Рис. 5.1.4Рис. 5.1.4
Рис. 5.1.3
Рис. 5.1.3
Рис. 5.1.4
Рис. 5.1.4
Пример 5.1.3 (граничные возмущения в стержне конечной длины). Определить поле перемещений и внутренние силовые факторы в стержне, левое сечение которого движется вдоль оси по закону т+, а правое свободно. В начальный момент времени стержень находится в покое.
Решение. В этом случае имеют место продольные колебания стержня при отсутствии погонной нагрузки, однородных начальных и неоднородных граничных (5.1.8) условиях. Решение соответствующей задачи получено в § 2.5 и имеет вид (2.5.15) и (2.5.17) при 7 = 1:
11 ^г^(ж,т)
= Ё Ё Е HV ~ kijnH\ Х j=0 г=0п=0
т k^jn^x^
(5.1.27)(5.1.27)XQj [т t k-ijn(x)^ R{jn(t) dt^
(5.1.27)
(5.1.27)
о
11 N^j^X,T^
^(Ж,Т)=ЕЕ E H \т - кц^х^ x j=Qi=Q n=0
T — kijn(x)
X | qj\r-t-kijn(x)\Rijn(t)dt, (5.1.28) о
где kijn(x) и Rijn(T) определяются по формулам (2.5.11), a Nij(x, t) — соотношением (2.5.14).
Для заданного стержня имеем краевые условия
(5.1.29)(5.1.29)Ч=о=т+,W|x=1 = их\ж=1 =0,
(5.1.29)
(5.1.29)
которые соответствуют следующим параметрам и правым частям равенств (5.1.8):
а0 = 1, qi = 0, До = 0, Дх = 1;(5.1.30)
9о(т)=т+,91(т) = 0.(5.1.31)
Учитывая (5.1.30), из (2.5.6), (2.5.9) и (2.5.11) в пространстве преобразований Лапласа получаем
оц(з) = 1,«12(5) = 1,«21(5) =-5,«22(5) = 8,
^ООп(^) = ^Оп(8) = ( — 1)”.
Отсюда с использованием табл. В.2.1 находим
ЛооДт) = Яю„(т) = (-1)п5(т).(5.1.32)
Подставляя теперь (5.1.31) и (5.1.32) в (5.1.27) и (5.1.28), вычисляем перемещение и нормальное усилие:
1 ^го(ж?т)
и(ж5'г) = Ё Е (-^nн VT - kiOn^ х г=0п=0
T-kiOnW1 jVj0(®,r)
X ] VT-t-ki0n^+6(,t)dt = 5252 (-!)” tT - ^гОп(ж)]+;
qi=0 n=0
(5.1.33)
1 ^го(ж)т)
^(Ж,т) = 52£ (-1У+1+"Я[т-^о„(Ж)]х
г=0n=0
т —^гОтг(ж)
X | [r - t - kiOn(x^ 6(t) dt =0
1 ^го(ж)т)о
= £52(-1)г+1+"ё-['г-^оп(®)]+Я(т-А:Мп(я:)) =
г=0n=0
1 ^го(ж)т)
= E E (-Щ^Я^-*^^)]. (5.1.34) г=0n=0
На рисунках 5.1.5 и 5.1.6 представлены пространственно-временные картина распространения волнового процесса в упругом стержне с подвижной опорой. Как следует из рис. 5.1.5, на движение стержня как абсолютно твердого тела по закону г/абс.тв.(т) — т+ накладывается поле упругих перемещений. Причем в моменты времени г = 1, 3, 5 . . . к свободному краю стержня ж = 1 приходит отраженная волна от подвижной опоры ж = 0, которая существенно меняет временную зависимость перемещения 1/(1, т): в указанных точках имеются изломы. Необходимо отметить, что картина распространения возмущений, представленная на рисунках качественно остается справедливой и при других законах движения левого конца стержня.
Рис. 5.1.5Рис. 5.1.5Рис. 5.1.6
Рис. 5.1.5
Рис. 5.1.5
Все приведенные примеры с соответствующими терминологическими изменениями могут быть применены также и к крутильным колебаниям.
2. Изгибные волны в стержнях. Распространениеначальных возмущений в бесконечном стержне
В следующих трех параграфах рассмотрим волны в стержнях, принципиально отличающиеся от исследованных в § 5.1 волновых процессов, а именно, изгибные колебания. Из двух указанных в §А.9 математических моделей поперечных колебаний ограничимся балкой Бернулли х). Последнее связано с тем, что в настоящее время практически отсутствуют аналитические решения для балки Тимошенко 2).
Используя введенную в начале главы систему координат, будем рассматривать изгиб балки в плоскости Оху. И в дополнение к (2.1.1) введем следующие безразмерные величины:
= Г’ P' = S“’ Q = ^’ М=^ x=xzL. (5.2.1)
Здесь Iz и iz — момент и радиус инерции поперечного сечения относительно оси Cz; р — внешняя погонная поперечная нагрузка; Qy и Mz — перерезывающая сила и изгибающий момент; xz — изменение кривизны стержня; ср — определенная в § 5.1 скорость распространения продольных волн; Е — модуль Юнга 3) материала стержня. При этом в соотношениях (2.1.1) с* = ср.
Далее везде штрихи в обозначении безразмерных величин, как обычно, опускаем и без ограничения общности полагаем, что внешний погонный изгибающий момент равен нулю: mz = 0.
В переменных (5.2.1) физические и кинематические соотношения (А.9.31) и (А.9.32), а также связь (А.9.33) перерезывающей силы с из-
Бернулли (Bernoulli J.^ 1654-1705) — швейцарский математик и механик.
Тимошенко С.П. (1878-1972) — ученый в области теоретической и прикладной механики.
Юнг (Young Т., 1773-1829) — английский ученый.
гибающим моментом приобретают вид
М = х = 19 ,ж = ^ ,хх-, -O^w^ Q = —М^(5.2.2)
где w = и^ и 13 = 13Z — прогиб и угол поворота поперечного сечения балки относительно оси С %.
В этом параграфе остановимся на вопросе о распространении начальных возмущений в бесконечной балке. Эта модельная задач дает общее представление о характере соответствующего динамического процесса.
Для бесконечной балки в качестве характерного размера удобно выбрать радиус инерции сечения: L = iz. Тогда из (А.9.36) получаем безразмерный вид уравнения движения балки Бернулли:
w = т ж Е R.(5.2.3)
дх
Это уравнение вместе с начальными условиями (см. (А.9.34))
ЦТ^ = Ф^У Чт^^М^(5.2.4)
образуют начальную задачу Коши.
Введем функцию влияния для перемещения Gw(^,t) = w(a?,r), как функцию, удовлетворяющую задаче (5.2.3), (5.2.4) при следующих возмущениях (см. § 1.4):
д(ж, т) = 4(ж)4(т), ф(х) = ф(ж) = 0.(5.2.5)
С ее использованием прогиб и внутренние силовые факторы, соответствующие задаче (5.2.3), (5.2.4), определяются так (см. (1.4.4) и (1.4.15)):
ю(ж, т) = Gw(x^ т) ж* р(ж, т) + Gw(x^ т) ж ф^ + Gw(x^ т) ж ф(жУ
(5.2.6)
М(ж, т) = Gm (ж, т) жж р(ж, т) + Gm(x, т) ж ф(ж) + Gm(x, т) ж ф(жУ
(5.2.7)
Q^.t) = Gq(^,t) жж р(ж,т) + бд^Ж.т) ж ф(ж) + Gq(^,t) ж Ф(жУ где Gm(x^t) и Gq^t) — функции влияния для момента и перерезывающей силы, которые, как следует из (5.2.2), имеют вид
/\8 Gw (ж, т)/\8Gм (ж, т)/с и о\
GmM =Gq^t) =(5.2.8)
ОХОХ
Для определения функции Gw(^,t) применяем к задаче (5.2.3), (5.2.4) с учетом (5.2.5) преобразования Фурье по пространственной координате ж и Лапласа по времени т (все обозначения стандартные, см. § В.1 и В.2). В результате получаем
G^'(9,S) = ^^(5.2.9)
s + q
Оригинал этой функции находим последовательным обращением преобразований. В начале с помощью табл. В.2.2 приходим к следующему изображению Фурье:
G^(g, т) = ( 1 4 ) = ^sin(q2r). (5.2.10) \8^q) q
Далее, используя табл. 2.1.2, окончательно получаем оригинал функции влияния:
где
S(x) = | sin ^- dt. С^ = | cos ^- dt. (5.2.12) о ~о ”
— интегралы Френеля х) [57].
Непосредственным дифференцированием выражения (5.2.11) по пространственной координате с использованием (5.2.8) находим функции влияния для момента и перерезывающей силы
(5.2.13)(5.2.13)Gm^,t) = r+1/2gM(e), gM^ = ^^sin (e - J) ;
(5.2.13)
(5.2.13)
Gq(x,t) = ^^(e), gQ(e) = -^-sin (s + J) .(5.2.14)
Затем, вычисляя производную по времени от (5.2.11), (5.2.13) и (5.2.14), получаем
^(ж.т) = T+1/2/to(fi),/№(е) = —2= sin fs + ^ ;(5.2.15)
7Г \4 /
Gm(x,t) = T+3/2/M(s),
/"И”-^ НеЧ)/"И”-^ НеЧ)+ £ sin ( £ + - 1 | ;+ £ sin ( £ + - 1 | ;(5.2.16)(5.2.16)
/"И”-^ НеЧ)
/"И”-^ НеЧ)
+ £ sin ( £ + - 1 | ;
+ £ sin ( £ + - 1 | ;
(5.2.16)
(5.2.16)
Gq^t^ = T^fq^Y
^(^ = Д [sin (=+ 5)^(^ = Д [sin (=+ 5)— 2s sin— 2s sin(5.2.17)(5.2.17)
^(^ = Д [sin (=+ 5)
^(^ = Д [sin (=+ 5)
— 2s sin
— 2s sin
(5.2.17)
(5.2.17)
J) Френель (Fresnel A. J., 1788-1827) — французский физик.
Характерной особенностью полученных функций влияния и их производных по времени является, то, что их амплитуды изменяются пропорционально соответствующей степени та, как функции е они остаются неизменными. Например, амплитуда прогиба растет пропорционально л/г . Причем при ж = О имеет место равенство
Gw(0, т) = v^gw^) = ^,Gw(0, т) = v^gw^) = ^,(5.2.18)(5.2.18)
Gw(0, т) = v^gw^) = ^,
Gw(0, т) = v^gw^) = ^,
(5.2.18)
(5.2.18)
Рис. 5.2.1Рис. 5.2.1конечными.конечными.
Рис. 5.2.1
Рис. 5.2.1
конечными.
конечными.
На рисунке 5.2.1 представлена пространственно-временная зависимость функции влияния для прогиба Gw(x^ т), которая показывает, что
она является быстро убывающей при е —> оо осциллирующей функцией.
Рисунки 5.2.2 и 5.2.3 дают представление о временной и пространственной зависимости прогиба Gw(x^t) в характерных точках стержня.
Для решения задачи (5.2.3), (5.2.4) при произвольных возмущениях q(x^r^ <^(ж) и 'ф(х) необходимо провести интегрирование по
формулам (5.2.6) и (5.2.7). Наиболее просто это делается в случае
финитности возмущений, так как пределы в интегралах при этом будут
Пример 5.2.1. Определить прогиб и изгибающий момент в бесконечной балке Бернулли при отсутствии погонной нагрузки и следующих начальных возмущениях:
™1т=о = ^М = Ц + cos -у) Я (2 — |жI),w|T=0 = 0.
Решение. Для определения прогиба используем соотношение (5.2.6) с учетом носителя функции ф^х^ и формулы (5.2.15):
w(^,t) = | Gw(x - C^^^d^ =2= —==- I sin-2w(^,t) = | Gw(x - C^^^d^ =2= —==- I sin-2(ж - СТ , ZL4т 4(ж - СТ , ZL4т 4(1 + cos ^^(1 + cos ^^dtdt
w(^,t) = | Gw(x - C^^^d^ =
2
= —==- I sin
-2
w(^,t) = | Gw(x - C^^^d^ =
2
= —==- I sin
-2
(ж - СТ , ZL4т 4
(ж - СТ , ZL4т 4
(1 + cos ^^
(1 + cos ^^
dt
dt
Последний интеграл является неберущимся, поэтому его вычисление производится численно. На рис. 5.2.4 представлена соответствующая пространственно-временная зависимость прогиба балки го(х^т).
Изгибающий момент находим по первой формуле в (5.2.7)
оо2
М(ж,т) = | GM(x - ^,T)<p(^)d^ = j Gm^,t) (1 + cos^) d^,
— oo—2
где функция Смкх^ определяется равенством (5.2.16).где функция Смкх^ определяется равенством (5.2.16).
где функция Смкх^ определяется равенством (5.2.16).
где функция Смкх^ определяется равенством (5.2.16).
На рис. 5.2.5 представлена пространственно-временная зависимость изгибающего момента М(х,т). Необходимо отметить, что в силу неограниченности стержня глобальные экстремумы изгибающего момента соответствует начальному моменту времени т = 0.
Поперечные колебания балки конечныхразмеров
Для конечной балки в качестве характерного размера L в (2.2.1) и (5.2.1) удобнее выбрать ее длину. Тогда вместо (5.2.3) из (А.9.36) получаем следующую безразмерную форму уравнения движения:
(5.3.1)(5.3.1)2 ..д4™
(5.3.1)
(5.3.1)
7 ^ = - —+р.ох
Связь внутренних силовых факторов с кинематическими параметрами и начальные условия сохраняют соответственно вид (5.2.2) и (5.2.4).
В этом параграфе остановимся на задаче о распространении в однопролетной балке поперечных погонных и начальных возмущений. Под однопролетной понимаем такую балку, у которой опоры могут быть только на ее концах. Соответствующие граничные условия, образующие вместе с (5.3.1) и (5.2.4) начально-краевую задачу, запишем в обобщенном виде
^(w)|a!=o=O (j = 1,2), Шх=1 = 0 (j=3,4),(5.3.2)
где Lj(w) — линейные обыкновенные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами:
зях
(5.3.3)(5.3.3)= 2.= 2.^j(W) = 52 ^зк ~ к ? азк ^?
(5.3.3)
(5.3.3)
= 2.
= 2.
к=0
RgRgОц ОЯ2 O'is ) _ R | O'SO O'S! «32«210^220^23 /® \ 0^400^41«42
Rg
Rg
Граничные условия (5.3.2) включают в себя основные кинематические и динамические (силовые) условия (А.9.25) и (А.9.26). Например, заделке левого конца балки
^L=0=°> W^L=0 = °^L=0=°> W^L=0 = °(5.3.4)(5.3.4)
^L=0=°> W^L=0 = °
^L=0=°> W^L=0 = °
(5.3.4)
(5.3.4)
отвечают операторы Li(w) и L2(w) с коэффициентами «ю = «21 = 1, «П = «12 = «13 — О И «20 — «22 — «23 = 0.
Согласно (1.4.4), (1.4.15) и (1.4.27) решение задачи (5.3.1), (5.3.2), (5.2.4) аналогично (5.2.6) и (5.2.7) может быть представлено в виде (см. также § 2.4, 3.4 и 4.4)
1
w(x, т) = | Gw(x, г; £) * р^ т) d£ + о
г 11"
(5.3.5)(5.3.5)+ 72 | Gw(x, т; Е)р(Е) dE + | Gw(x, т; ЕЖО dE
(5.3.5)
(5.3.5)
L 00■
1
М^х, т) — | Gm(x^ т; £) ж р(^, т) d^ + о
Г 11■
+ 72 | См(ж, Т- £М£) d^ + | Gm(x. т- ^-ф^) d^
L 00■
1
<Э(ж,т) = j Gq^x, т; £) * рХ т) d^ +
О
(5.3.6)(5.3.6)+ 72 ] Gq(x, г; £Ы£) ^ + j gq(x, г; d^
(5.3.6)
(5.3.6)
L ОО■
Здесь Gw^,r; £) — функция влияния для перемещения, удовлетворяющая задаче:
^Gw = ^+ХХЧУ,(5-3.7)
ОХ
Gw<x,XT=0 =0, ёю(ж,г)|т_о =0;(5.3.8)
^(С№)|ж=о=О (j = 1,2),£/Сш)|ж=о=О (j = 3,4), (5.3.9)
а СдДж,т; £) и Gq^x^t\ £) — функции влияния для момента и перерезывающей силы, которые определяются соотношениями (5.2.8).
Для построения решения задачи (5.3.7)-(5.3.9) используем метод разделения переменных (см. § 1.5). Представляя искомую функцию в виде
G^x. т; ^ = АДж)Т(т),(5.3.10)
получаем задачу на собственные значения (А — константа разделения)
(5.3.11)(5.3.11)XIV - XX = 0;
(5.3.11)
(5.3.11)
W)l.=o = ° U = 1A,^(Х)|ж=о=О 0=3,4). (5.3.12)
Эта задача при выполнении некоторых условий для операторов Lj (см. § 1.5 и [49, 56]) имеет счетный неотрицательный спектр {Ап} и соответствующую ему полную ортогональную в £2 ([ОД]; 1) систему собственных функций {Хп(ж)}. Эти же свойства могут быть доказаны аналогично тому, как это сделано в § 1.5 для линейно упругой среды, с помощью энергетических теорем.
Найдем решение задачи (5.3.11), (5.3.12). При А > 0 общее решение уравнения (5.3.11) можно записать так:
X(ж) = Сх cos fix + С 2 sin рх + С^ ch px + C4 sh //ж, p = ^A ,
(5.3.13) где Ck (k = 1, 2, 3, 4) — постоянные интегрирования.
Однако оказывается, что решение удобнее представить в виде
^(ж) = 52 Ск8к(рх\к=1^(ж) = 52 Ск8к(рх\к=1(5.3.14)(5.3.14)
^(ж) = 52 Ск8к(рх\к=1
^(ж) = 52 Ск8к(рх\к=1
(5.3.14)
(5.3.14)
3] Поперечине колебания балка конечных размеров 183 где {^(//ж)} — нормальная фундаментальная система решений уравнения (5.3.11), удовлетворяющая дополнительным условиям (см. также табл. 5.3.1)
S(fej"1)(0)=5fcj U = 1,2,3,4). (5.3.15)
Таблица 5.3.1
Si (0) = 1
55(0) =0
55'(0) = 0
5{"(0) = 0
52(0) =0
55(0) = 1
55'(0) = 0
55" (0) = 0
53(0) =0
5'(0)=0
5"(0) = 1
5'"(0) = 0
54(0) = 0
5^(0) = 0
55'(0) = 0
55"(0) = 1
Нетрудно проверить, что условия (5.3.14) выполняются для фундаментальной системы решений {^(//ж)}, образованной функциями Крылова х) (балочными функциями)
Si(x) = - (ch ж + cos ж),S^(x) = - (sh ж + sin ж),
,‘(5.3.16)
^(ж) = - (ch ж — cos ж),^(ж) = - (sh ж — sin ж).
Приведем ряд полезных свойств этих функций. Прежде всего, укажем формулы перехода к удвоенному аргументу:
5Ц2ж) = 452(ж)54(ж) + 1 = 2 [^(ж) + ^(ж)] - 1,
52(2ж) = 2 [51(ж)52(ж) + 53(ж)54(ж)],
53(2ж) = 451(ж)53(ж) = 2 [S'2 (ж) + ^(ж)] ,' '
54(2ж) = 2[^(ж)54(ж) + 52(ж)53(ж)] .
В табл. 5.3.2 дано вытекающее из определения (5.3.16) правило дифференцирования. Оно же одновременно является и таблицей первообразных.
Таблица 5.3.2
S1 (ж)
^(ж)
^(ж)
^(ж)
Si (ж)
52(ж)
Полученные с помощью этого правила и формул (5.3.17) неопределенные интегралы от произведений функций Крылова указаны в табл. 5.3.3.
Крылов А.Н. (1863-1945) — русский кораблестроитель, механик и математик, академик АН СССР (академик Петербургской АН с 1916 г.).
Таблица 5.3.3
| /(ж)dx
Si(x)S2(x)
ЗЦх^Ъ + С
Si (ж)^^)
S^x^l + C
S2(x)S3(x)
S2(x)S4(x)-S^x)/2 + C
S3(x)S4(x)
S^x)S3(x)-Sl(x)/2 + C
S1 (x)S3(x)
S4(2®)/8 + C = [Si ^S4^ + S2(x)S3(x)]/4 + C
S2(x)S4(x)
[S2(2x)-2x]/8 + C =
= [Si(®)S2(®) + 8з(®)84(®) - »]/4 + C
S^(x) + S2(x)S4(x)
Si(x)S2(xHC
S2(x) + Si(x)S3(x)
S2(x)S3(x) + C
Sj(x) + 5з(ж)54(ж)
5з(ж)^4(ж) + С
8j(®) + Si(®)S3(®)
51(ж)54(ж) + С
S,(x)
Si (x)S2(x) — [5з(2ж) — 2ж]/8 + С =
= [3Si (ж)5з(ж) - 5з(ж)^4(ж) + ж]/4 + С
S2($)
82(ж)8з(ж) - 84(2ж)/8 + С =
= [382(»)8з(») - Si(»)84(»)]/4 + С
Sj(x)
8з(®)84(®) - [82(2®) - 2®]/8 + С =
= [38з(®)84(®) - Si (®)82(х) + ®]/4 + С
SK®)
Si (®)84(®) - 84(2®)/8 + С =
= [381 (®)84(®) - 82(®)8з(®)]/4 + С
Преимущества нормальной фундаментальной системы проявляются при рассмотрении простых типов граничных условий (5.3.2), в которых все операторы Lj содержат только по одному отличному от нуля коэффициенту ol^. ^ 0, где по j суммирования нет, &i ^ &2 и &з ^ &4. Это соответствует заданию на краях балки кинематических (w,w;;r) и/или силовых факторов ^у^Мг\ Согласно (5.3.15) общее решение (5.3.14) удовлетворяет однородным краевым условиям на левом конце балки при С^а-х = Ca;2+i = 0 и содержит только две постоянные Са и Сд, где {а, /3} / ^ki + 1, к^ + 1} . Последние определяются из граничных условий в (5.3.12) на правом конце стержня (ж = 1):
с^Чи^с^^Чц^о,
(5.3.18) Са8^Чр.НСр8^Ч^ = й.
В силу однородности системы линейных алгебраических уравнений (5.3.16) для существования ее нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы определитель ее матрицы равнялся нулю, что приводит к уравнению относительно цп (п Е N)
s^ms^m - з^Ч^^Ч^ = о. (5.3.19)
Определяя из любого уравнения в (5.3.18) соотношение между константами Са и Сд, находим собственные функции (формы) Х^х)*.
ХпИ = S^k^ - D^S^x^ D^ =(5.3.20)
где v = кз или v = ^4.
Отметим, что ортогональность на отрезке [0, 1] с единичным весом этой системы функций может быть проверена непосредственным интегрированием.
В общем случае граничных условий учитываем, что, как следует из (5.3.3) и (5.3.14),
34444^=^ «jk 52 С^Чцж) = 52к=01 = 11=134444^=^ «jk 52 С^Чцж) = 52к=01 = 11=152 ajkS^4^- к=0■52 ajkS^4^- к=0■Ct.Ct.(5.3.21)(5.3.21)
344
44^=^ «jk 52 С^Чцж) = 52
к=01 = 11=1
344
44^=^ «jk 52 С^Чцж) = 52
к=01 = 11=1
52 ajkS^4^
- к=0■
52 ajkS^4^
- к=0■
Ct.
Ct.
(5.3.21)
(5.3.21)
Подстановка этих равенств в (5.3.12) с учетом (5.3.15) приводит
к системе уравнений:
(5.3.22)(5.3.22)АС = О,
(5.3.22)
(5.3.22)
С = (С'1,С'2,С3,С'4)Т, А = (а^)4х4,
где j = 1,2,3,4,
ац = «и-г (г = 1,2), ау = у aikS^4n) (» = 3,4).(5.3.23)
к=0
Уравнение для определения цп (п Е N) в этом случае имеет вид
(5.3.24)(5.3.24)det А = 0.
(5.3.24)
(5.3.24)
Собственные функции Хп(хУ соответствующие р,п (п Е X), находятся подстановкой линейно независимых нетривиальных решений системы (5.3.22) при ц = цп в формулу (5.3.14).
При А = 0 общее решение уравнения (5.3.11) может быть записано как линейная комбинация степенных функций:
4
Х0(ж) = Ст + С2х + С3ж2 + С4х3 = Е ^ж'-1.(5.3.25)
/=1
Учитывая значения операторов (5.3.3) на этой функции
3. .34/1 1 \ ■
М^НЕ^о’^НЕ^ Е ct ^. JkV^"1"^ к=0к=01=к^1
^ГД-^Етг^Ь^-1-* (5.3.26) /=1к=0 "
и удовлетворяя граничным условиям (5.3.12), опять приходим к системе уравнений (5.3.22) относительно постоянных С к 0 = 1, 2, 3, 4):
^ij — 0l)'^i,j —1 (^ — 1?2),
(5-3-27)
Условие существования собственного числа Ад = 0 есть равенство (5.3.24) нулю определителя матрицы этой системы уравнений, что возможно только при определенном типе граничных условий. В силу условия в (5.3.3) на параметры граничных условий Rg А > 2, и кратность (см. § 1.5) собственного значения А = 0 не может быть больше двух, что соответствует двум степеням свободы балки как абсолютно жесткого тела. Собственные функции находятся так же, как и в случае ненулевого собственного значения. Однако при кратности собственного значения, равной двум, пара функций, полученных из (5.3.25), может не быть ортогональной. Поэтому для нее необходим процесс ортогонализации.
Отметим, что построение системы уравнений (5.3.18) или (5.3.22), как правило, удобнее проводить непосредственно в каждой конкретной задаче, не используя общие формулы (5.3.19), (5.3.20), (5.3.23) и (5.3.27).
Если собственные функции и собственные значения, соответствующие (5.3.11) и (5.3.12), найдены, то, согласно (1.5.15) и (1.5.16), решение задачи (5.3.7)-(5.3.9) представляем в виде ряда Фурье:
£) = £Gn(r; OMxY(5.3.28)
Очевидно, коэффициенты Gn(r; £) этого ряда с точностью до формул для собственных частот совпадают с определенными в § 2.6 функциями. Следовательно, резюмируя результаты, приведенные в (2.6.30)(2.6.38), получаем
G0(r; £) = а0(£)т+, Gn(r; £) = ^^ Н(т) sin шпт, шп = —,
!(5.3.29)
а»^ = СТ"’ И2= [^W^
Функции влияния для внутренних силовых факторов находим по формулам (5.2.8) с использованием (5.3.28):
Gm(x,t-, £) =52Сп(т; ^ХМп(х),
П(5.3.30)
Gq(x,t; ^) = ^Сп(т; ^)XQn(x),
где
Хм^ = Х"(х), XQn(x) = -Х"'(х) = -Х'Мп(х\ (5.3.31)
Производные по времени от построенных функций влияния определяется обычным образом:
О = ^ёп(т; б^Х^х^
6м($,т; £)=^£п(т; $ХМяМ,(5.3.32)
Gq(x,t; ^) = ^Сп(т; £)XQn(x).
Построим системы собственных чисел и форм для наиболее часто встречающиеся типов краевых условий.
А. Свободно опертая балка. Этому случаю соответствуют условия шарнирного опирания обоих концов:
wL=0 = wL=i = °, ML=o = w.^Uo = °- z х
(5.3.33) 4=1 =1ж=1 = 0-
Поскольку A)i = А:3 = 0 и А)2 = А)4 = 2. то, согласно (5.3.33) и (5.3.15) (см. также табл. 5.3.1), однородным граничным условиям на левом конце стержня удовлетворяют функции ^(//ж) и ^(//ж), т. е. а = 2, /3 = 4, и уравнение (5.3.19) сводится к равенству
S^S^p) - S^p^S^p) = о,(5.3.34)
которое с учетом (5.3.17) и (5.3.16) сводится к уравнению
^(м) — ^(м) = sh // sin = 0.
Так как sh // > 0 для любых р, > 0, то оно эквивалентно уравнению
sin р = 0,(5.3.35)
которое, очевидно, имеет следующие положительные корни:
/zn = лп (nE N).(5.3.36)
Определяя с помощью (5.3.20), где v = 0, (5.3.16) и (5.3.35)
находим соответствующие собственные формы:
Хп(ж) = sin дпж.(5.3.37)
Как вытекает из сравнения с (2.6.45) и (2.6.46), эти системы собственных форм и значений совпадают с соответствующими системами для закрепленного упругого слоя (стержня) при плоских (продольных) колебаниях последнего. И из (2.6.46) находим, что здесь также
1Н„Ц2 = |.(5.3.38)
При А = 0 из (5.3.25) получаем
Х(0) = С1=0, Х"(0) = С3 = 0,
,(5.3.39)
Х(1) = С2 + С4 = 0, X”(1) = С4 = 0.
6
Эта система уравнений имеет только тривиальное решение. Следовательно, Л = 0 не является собственным числом.
Б. Балка со свободными концами. Этому варианту отвечают граничные условия
^1Ж-0 = ^ХХ I П = 0’ ML-1 = ^ХХ I 1=0,
(5.3.40)
QL-0 = -™"ххх I п = 0, QL-1 = -w"^xx I = о,
согласно которым в общее решение (5.3.14) входят функции Крылова Si(px) и S^^x) (ki = 2, &2 = 3 и at = 1, /3 = 2, см. табл. 5.3.1 и (5.3.16)).
При этом соответствующее положительным собственным значениям уравнение (5.3.19) приобретает вид (кз = 2, &4 = 3)
S'^'W - S'^W'M = S^ - SMSM = 0,(5.3.41)
где учтено указанное в табл. 5.3.2 правило дифференцирования.
После подстановки в (5.3.41) равенств (5.3.16) оно переходит в следующее трансцендентное уравнение:
ch р cos /2 — 1=0.(5.3.42)
Его корни есть абсциссы точек пересечения графиков функций sec р и ch р. Соответствующая качественная картина представлена на рис. 5.3.1 (здесь графики этих функций для наглядности даны в разном
масштабе). Из свойств sec// и ch/z вытекает, что множество корней уравнения (5.3.42) счетно, и справедливы оценки
Более того, в приближенных вычислениях можно положить
^-i« ^(4А:-1), ^^ + 1), k е N. (5.3.44)
Этот факт подтверждается значениями найденных численно с точностью до третьего знака после запятой шести первых ненулевых корней уравнения (5.3.42), которые приведены в табл. 5.3.4.
Таблица 5.3.4
71
1
2
3
4
5
6
Рп
4,730
7,853
10,996
14,137
17,279
20,420
Учитывая, что, как следует из (5.3.41)-(5.3.43), (5.3.20) и (5.3.16) и табл. 5.3.2,
ch/zn =, sh цп = |tg/zn|, cos/zn>0,
COS Дп
{
< 0 при и = 2к — 1,
> 0 при п = 2к,
пW_(5‘3‘45)
п^п)84Ы83(цп)
— tg^ПРИ и — 2^ — 1,
ctg ^ при п = 2к (к 6 N) .
находим собственные формы колебаний
^п(^) — 81(р,пх)Dn (дп) ^2 (Дп*^) •(5.3.46)
Квадрат нормы этих функций определяются вычислением соответствующих интегралов с помощью табл. 5.3.3 и последующих преобразований с использованием (5.3.16), (5.3.17) и (5.3.41):
||Xn||2 = [ X2» ^ = J- {1 [351(м„)52(м„) - 8зЫ84Ы\ +
JДп4
о
-ОпЫ8^Ы + ^^ ^8гЫ8зЫ ~ 8^)8^ = |.
(5.3.47)
Укажем также значения собственных форм на концах балки. Как вытекает из (5.3.41)-(5.3.46) и (5.3.16), имеют место равенства
v 7(5.3.48)
{
1 при 72 = 2к — 1,
-1 при п = 2к е N) .
Рис. 5.3.2Рис. 5.3.2Первые три собственные формы (5.3.46) колебаний балки со свободными концами представлены на рис. 5.3.2.
Рис. 5.3.2
Рис. 5.3.2
При А = 0, подставляя (5.3.25) в граничные условия (5.3.40), получаем систему уравнений:
(5.3.49)(5.3.49)(5.3.50)(5.3.50)С3 = 0, С3 + С4 = 0,С4 = 0.
(5.3.49)
(5.3.49)
(5.3.50)
(5.3.50)
Следовательно, общее решение (5.3.25) имеет вид Х0(ж) = С1 + С2ж,
т. е. является линейной комбинацией двух линейно независимых (собственных) функций 1 и ж. Таким образом. Ад = 0 имеет кратность, равную двум. При этом форма Х^(х) = 1 есть перемещение вдоль оси Оу^ а Хд(ж) = х — синус угла поворота вокруг оси Oz балки как абсолютно жесткого тела. В результате процесса ортогонализации системы функций {1, ж} получаем
(5.3.51)(5.3.51)Хоо(ж) = 1, Х01(ж)=ж-1
(5.3.51)
(5.3.51)
Квадраты норм этих функций имеют вид
Отметим, что рассмотренная задача может интерпретироваться как колебания балки, плавающей в жидкости с равной плотностью, и является простейшей моделью для поперечных колебаний плавающего судна и т. д.
В. Балка с заделанными краями. Здесь к (5.3.4) необходимо добавить аналогичные условия на правом конце балки
№L=0 = °, W^L=1=°,№L=0 = °, W^L=1=°,(5.3.53)(5.3.53)
№L=0 = °, W^L=1=°,
№L=0 = °, W^L=1=°,
(5.3.53)
(5.3.53)
Рис. 5.3.3Рис. 5.3.3
Рис. 5.3.3
Рис. 5.3.3
В этом случае ki = 0, k-i = 1 и а = 3, /3 = 4 (см. табл. 5.3.1 и (5.3.16)). Соответственно в общее решение (5.3.14) входят функции Крылова ^(//ж) и S4(//ж), и уравнение (5.3.19) для положительных собственных значений, как следует из (5.3.19) и табл. 5.3.2, совпадает с (5.3.41):
8^Ш - S^W = 53(^) - SMSM = 0.(5.3.54)
Таким образом, собственные значения для этого варианта граничных условий и рассмотренной в предыдущем пункте задачи о колебаниях балки со свободными концами совпадают и есть корни уравнения (5.3.42) (см. также табл. 5.3.4).
Соответствующие собственные формы определяются следующим из (5.3.20) равенством:
Хп(х) — *^з(Мп^)
^п (Дп)$4(Мп^) •(5.3.55)
где коэффициент Dn(jin) совпадает с указанным в (5.3.45).
Вычисление квадрата нормы этих функций показывает, что он совпадает с (5.3.47).
Соответствующие первые три собственные формы представлены на рис. 5.3.3.
Предоставляем читателю, аналогично случаю А, доказать, в общем, очевидный факт, что для балки с заделанными концами Ад = 0 не является собственным значением.
Рассмотрим ряд примеров на использование полученных соотношений.
Пример 5.3.1 (свободные колебания балкиУ Определить прогиб свободно опертой балки при кинематическом ударе по находящейся в середине пролета площадке ширины 6, под которым понимается задание в начальный момент времени на указанной площадке скорости uq. Считать, что начальная форма балки прямолинейная и rg = const. В расчетах принять у0 = 1, 7 = 50, b = 0,01.
Решение. Условия задачи соответствуют следующим правым частям уравнения (5.3.1) и начальных условий (5.2.4)
р(ж, т) = 0,
Г /1 — Ь\ /6 + 1(5-3.56)
v+)=0, V+) = «о [я (ж—)-я(ж—)] .
Тогда, согласно (5.3.5), прогиб w(x^t) определяется так:
1
w^x, т) = 721 Сю(ж, т; O^U) d^.(5.3.57)
о
В соответствии с (5.3.33) и (5.3.34) функция влияния задачи Gw совпадает с найденной в примере 2.6.1 функцией G*.
Gw(x,t- £) = G(x,t- £) =
= 2Н(т) У^ Sin ^^ sin р,пт sin р,пх (/1п = тш). (5.3.58) П = 1
Подставляя (5.3.58) в (5.3.55) и вычисляя интегралы, получаем
w(x^ т) = 47^дН(т) г s*n s*n sin sin ^—.(5.3.59)
Мп 227
При малых размерах площадки (b ^ 1) sin ^р « ^—? и из (5.3.59) получаем приближенную формулу для прогиба:
w(x^ т) = 27Jug sin — sin р,пх sin .(5.3.60)
n=i Мп 27
На рис. 5.3.4 представлена пространственно-временная зависимость прогиба балки w(x^t). Из него следует, что балка совершает сложные пространственно-временные колебания. При этом возбуждаются как низкочастотные, так и высокочастотные колебания. Наиболее отчетли-
Рис. 5.3.4Рис. 5.3.5Рис. 5.3.4Рис. 5.3.5
Рис. 5.3.4Рис. 5.3.5
Рис. 5.3.4Рис. 5.3.5
во этот факт иллюстрируют рисунки 5.3.5 и 5.3.6, на которых представлены временные и пространственные зависимости прогиба балки
Рис. 5.3.6Рис. 5.3.6соответственно в характерных сечениях и фиксированные моменты времени.
Рис. 5.3.6
Рис. 5.3.6
Пример 5.3.2 ^винрсисденние колебания балки). Определить прогиб и изгибающий момент в балке квадратного поперечного сечения ширины h с заделанными краями при внезапном приложении равномерно распределенной нагрузки р(ж, т) = pqH(t) и невозмущенном начальном состоянии. В расчетах принять: L/h = 10 и ро — 1-
Решение. Указанной в условии балке соответствуют геометрические характеристики (см. (5.2.1))
F = h-, = = 7 = A = 2„V3. (5.3.61)
С учетом однородных начальных условий (^р(х) = 0, г^х) = 0) и заданной погонной нагрузки прогиб балки определяется вытекающим из (5.3.5) соотношением
т 1
(5.3.62)(5.3.62)ю(ж, т) = ро 11 Gw(x^ т — t\ £) d£ dt.о о
(5.3.62)
(5.3.62)
Функция влияния Gw (х. т; £), согласно (5.3.28) и (5.3.29), имеет вид
(5.3.63)(5.3.63)С^т; С) = Н(т) £ -4^^Хп№п(ж),„=1 7М„ ||Х„||-
(5.3.63)
(5.3.63)
где числа дп, собственные формы и их норма задаются уравнением (5.3.42), равенствами (5.3.55) и (5.3.47) соответственно.
7 А. Г. Горшков и др.
Подставляя (5.3.63) в (5.3.62), получаем
ш(ж,т) = -16ро 52 “Г—^^^-^2п-1(ж)з1п2 (Ш2""] т) . (5.3.64) п=1 М2„-12\2/
Учитывая, что, как следует из (5.3.55), (5.3.45) и (5.3.16) и табл. 5.3.2,
1
|*п(£) ^€ = | [^(Дп^)Dn^,n^S4^nx^\ d^ =
оо
— J^- [^(Мп)^п(Дп)51(Дп) Н” ^п(Мп)] —
_f-^-tg^ПРИ п = 2/г-1,^Qfi^
— । Р"п —^O.O.UuJ
( 0при п = 2к (к Е N) .
Изгибающий момент аналогично (5.3.30) определятся дифференцированием ряда (5.3.64)
М(х,т) = ^ = -16роЕ “Г— tg^^XM]2n-i(a:)sin2 (^у^тУ ОТ,П=1 Р2”-12\2/
(5.3.66)
где (см. табл. 5.3.2)
Хмтъкх^ — *№) — p,^[Si(p,nx) — Dn(/zn)S2(/in^)] •(5.3.67)
Отметим, что функция Хм-п(ж) совпадает с задаваемой формулой (5.3.46) собственной формой Хп(х) для балки со свободными концами.
На рис. 5.3.7 представлена пространственно-временная картина изменения прогиба и)^х^т\ Соответствующие временные и пространственные зависимости изображены на рисунках 5.3.8 и 5.3.9.
Рис. 5.3.7Рис. 5.3.7Рис. 5.3.8Рис. 5.3.8
Рис. 5.3.7
Рис. 5.3.7
Рис. 5.3.8
Рис. 5.3.8
Пространственно-временная картина изменения изгибающего момента М(ж,т) представлена на рис. 5.3.10. Рисунки 5.3.11 и 5.3.12 демонстрируют соответствующие временные и пространственные зависимости.
Рис. 5.3.11Рис. 5.3.11Рис. 5.3.12Рис. 5.3.12
Рис. 5.3.11
Рис. 5.3.11
Рис. 5.3.12
Рис. 5.3.12
При вычислениях в формулах (5.3.64) и (5.3.66) удерживалось 10 членов рядов Фурье.
Распространение граничных возмущенийв балках
Рассмотрим особенности задач о распространении граничных возмущений (см. гл. 1) в балке Бернулли конечных размеров. Соответствующие однородные уравнения и начальные условия вытекают из (5.3.1) и (5.2.4)
w|T=o=O,w|T=o=O.(5.4.2)
Неоднородные граничные условия запишем в обобщенном виде с использование операторов в (5.3.2):
^•(гг)|ж=ж. = ^(т) (J = l, 2, 3,4; г = 0,1; ж0 = 0, жх = 1). (5.4.3)
В силу линейности задачи (5.4.1)-(5.4.3) ее решение можно представить в виде
4
w(x^t) = У^ w^x^tY(5.4.4)
/с = 1
где функции гщ(ж,т) удовлетворяют уравнению (5.4.1), начальным условиям (5.4.2) и граничным условиям (J^j — символ Кронекера)
L3^kX^ = §кМ^ 0, & = 1, 2, 3,4; % = 0,1).(5.4.5)
Используя процедуру (1.2.11)-(1.2.13) перехода к однородным граничным условиям, представляем искомую функцию в виде суммы
Wfc(^, т) = ?ч(ж, г) -h 1Щ*(я, т),(5.4.6)
где го к* удовлетворяет граничным условиям (5.4.5), а и к есть решение следующей задачи:
(5.4.7)(5.4.7)(5.4.8)(5.4.9)(5.4.8)(5.4.9)- д ик ./ х
(5.4.7)
(5.4.7)
(5.4.8)
(5.4.9)
(5.4.8)
(5.4.9)
^к = -—— -A-pkVx.T)*ох
ик\Т=0 = ФкУУ, йк\т=0 = ^k(x);
LjM\x=Xi=^ 0 = 1, 2, 3,4; г = 0,1).
Здесь
/\2 •• д U)к*PkVx.T) = -7 Wk* ох^Рк(х) = - гоЦт=о , 'фк^ = - ™fc*|T=0 .Функцию гок* разыскиваем в виде многочлена (1.2.16) ной х (по индексу к суммирования нет):зWk*^ т) = QkMfk^, fk(x) = 52 dkix‘.1=0/\2 •• д U)к*PkVx.T) = -7 Wk* ох^Рк(х) = - гоЦт=о , 'фк^ = - ™fc*|T=0 .Функцию гок* разыскиваем в виде многочлена (1.2.16) ной х (по индексу к суммирования нет):зWk*^ т) = QkMfk^, fk(x) = 52 dkix‘.1=0(5.4.10)(5.4.10)по перемен-по перемен-(5.4.11)(5.4.11)
/\2 •• д U)к*
PkVx.T) = -7 Wk* ох
^Рк(х) = - гоЦт=о , 'фк^ = - ™fc*|T=0 .
Функцию гок* разыскиваем в виде многочлена (1.2.16) ной х (по индексу к суммирования нет):
з
Wk*^ т) = QkMfk^, fk(x) = 52 dkix‘.
1=0
/\2 •• д U)к*
PkVx.T) = -7 Wk* ох
^Рк(х) = - гоЦт=о , 'фк^ = - ™fc*|T=0 .
Функцию гок* разыскиваем в виде многочлена (1.2.16) ной х (по индексу к суммирования нет):
з
Wk*^ т) = QkMfk^, fk(x) = 52 dkix‘.
1=0
(5.4.10)
(5.4.10)
по перемен-
по перемен-
(5.4.11)
(5.4.11)
Его коэффициенты есть решение системы линейных алгебраических уравнений (см. (1.2.17))
Adfc — Ь/с, А — ^ij^4^4 ;
(5.4.12)
<^к = (d-kOt dki, dk2, d^y , Ък = (Ькъ Ъкъ Ькз^ Ьк4У , bkj = §к^ где элементы матрицы А определяются равенствами (5.3.27).
Используя теперь формулы (5.4.4) и (1.4.24), с учетом того, что в данном случае
А^и, = -^7^ = 0,(5.4.13)
ОХ окончательно получаем
4№(ж,т) = 52к=14№(ж,т) = 52к=1.1.
4
№(ж,т) = 52
к=1
4
№(ж,т) = 52
к=1
(5.4.14)(5.4.14)qk(T^fk(x^ - 72 | Gw(x,t; £) * qk^fkU) ^
(5.4.14)
(5.4.14)
■0■
где Gw — определенная в § 5.3 функция влияния для перемещения.
Ядро свертки в (5.4.14) находим непосредственным дифференцированием соотношений (5.3.28) с учетом (5.3.29):
G^x.t- ^=£Gn^ ^Хп(х^(5.4.15)
где
Со^т,^ = ао(О5(т),
(5.4.16)
G„(t, С) = ^Р- [5(т) - Я(т)шп sin шпт] (п € N),
7
а Хп(х) — собственные формы колебаний балки с граничными условиями (5.4.9).
Выражения для внутренних силовых факторов получаем из (5.2.2), (5.4.14)-(5.4.16) с учетом (5.3.30) и (5.3.31):
\ д2ги
М(х,т) = —=
ОХ
-1.
29й(т) (dk2 + 3dk3x) - 721 GM^x, т\ О * qk^fk^ d^ ■о'
(5.4.17)
<9(ж,т) = -<9(ж,т) = -емЭхемЭх.1-
<9(ж,т) = -
<9(ж,т) = -
ем
Эх
ем
Эх
-6qk(j)dk3 + 72 j Gq^x, т; £) * qk(j)fkU) d£ •о■
(5.4.18)
где
(5.4.19)(5.4.19)Gm(x,t; £) = ^ё„(ж,т; £)ХМп(ж),Gq(x,t; ^) = ^Gn(x,T; С)Хуп(ж).
(5.4.19)
(5.4.19)
Рассмотрим пример на использование полученных соотношений.
Пример 5.4.1. Определить прогиб и изгибающий момент в консольной балке при внезапном приложении на ее свободном крае изгибающего момента Н(т). В расчетах положить 7 = 20 V3.
Решение. Граничные условия для такой балки имеют вид
w| 0 = 0, w' I = о,
М\«-1 = ™"Жх\ Л=Н<т\ QL-! = - w"V I =0.
I JL — X5 w w I 2Q — jX / zw \ JL — X5 «Ju «Ju «Ju J _|
Среди них только одно является неоднородным. Соответственно в сумме (5.4.4) лишь одно слагаемое ненулевое. В его обозначении далее в этом примере индекс опускаем.
Найдем соответствующие собственные значения и формы, полагая, естественно, граничные условия (5.4.20) полностью однородными. В общее решение (5.3.14) входят функции Крылова S^px^ и 84^$) (&i = 0, &2 = 1 и а = 3, /3 = 4, см. табл. 5.3.1 и (5.3.16)). При этом отвечающее положительным собственным значениям уравнение (5.3.19) приобретает вид (&3 = 2, &4 = 3)
S-'^S-'-^ - S'WM = ^2М - SWA = 0,(5.4.21)
где учтено указанное в табл. 5.3.2 правило дифференцирования.
После подстановки в (5.4.21) равенств (5.3.16) оно переходит в следующее трансцендентное уравнение:
ch р cos /1 + 1=0.(5.4.22)
Его корни есть абсциссы точек пересечения графиков функций sec р и (—ch/i). Анализ, аналогичный тому, который был проведен в §5.3 для балки со свободными концами, показывает, что множество корней уравнения (5.4.22) счетно, и справедливы оценки:
(4& — 3) </12,-1 < тг(2& — 1),
"(5.4.23)
^(2^-1) << ^(4fc-l), UN.
В приближенных вычислениях можно положить
ц2к-1«^(4к-^, H2k^^(4k-1), keN. (5.4.24)
Шесть первых ненулевых корней уравнения (5.4.22), найденные численно с точностью до третьего знака после запятой, приведены в табл. 5.4.1.
Таблица 5.4.1
71
1
2
3
4
5
6
Pn
1,875
4,694
7,855
10,996
14,137
17,279
Учитывая, что, как следует из (5.4.22) и (5.4.23), (5.3.20) и (5.3.16) и табл. 5.3.2,
ch^n =—, sh/zn = |tg/zn|, cos^n < 0,
COS Рп
{
> 0 при 77 = 2k — 1,
< 0 при п = 2/с
„(5.4.25)
Г) /. \ _ ^3 (мп) _ 81 (/In) _ Зд^Рп) _
nUM s^pn) s2(pn) Si(pn)
ctg ^при ti = 2k — 1,
— tg ^ при п = 2k (k 6 N) .
получаем собственные формы колебаний
(5.4.26)(5.4.26)Хп(ж) — ^(Mn^) D^ii^S^ji^xY
(5.4.26)
(5.4.26)
Квадрат нормы этих функций находится аналогично (5.3.47):
1
^2 (Дп)2^2 (Дп)2||ХП||2 = [ Х^ Дх = — Н [ЗЯзШ^Ы - ^Ш^Ы] + О
^2 (Дп)
2
^2 (Дп)
2
2^п(Мп) *^1 (/^п) *^3 (/^п)
+ ^^ [3Si(/zn)S4(/z„) - 52(д„)5з(д„)]| = 1. (5.4.27)
Как вытекает из (5.4.21)-(5.4.26) и (5.3.16), для значений собственных форм на концах балки имеют место равенства
хп(о) = о,хп(о) = о,{1 при— 1 при{1 при— 1 при(5.4.28) п = 2k — 1, п = 2k (kE N) .(5.4.28) п = 2k — 1, п = 2k (kE N) .
хп(о) = о,
хп(о) = о,
{1 при
— 1 при
{1 при
— 1 при
(5.4.28) п = 2k — 1, п = 2k (kE N) .
(5.4.28) п = 2k — 1, п = 2k (kE N) .
На рис. 5.4.1 представлены первые три формы колебаний консоль
ной балки.
Предоставляем читателю аналогично случаю А § 5.3 доказать, что для консольной балки Ад = 0 не является собственным значением.
Частное решение задачи ищем в виде многочлена (5.4.11)
w^x, т) =
= H(T)(do + dix + d^x1 + d^Y (5.4.29)
Его коэффициенты di — решение системы уравнений (5.4.12), конкретный вид которой получается после подстановки (5.4.29) в граничные условия (5.4.20):
d0 = 0, (/1 = 0, 2d2 = 1, d3 = 0.(5.4.30)
Следовательно, частное решение имеет вид
ш^х, т) = ^ Н(т)(5.4.31)
Далее учитывая (5.4.15)—(5.4.16), (5.4.27) и полагая в соответствии с (5.4.11) и (5.4.31) q(t) = Н(т) и /(ж) = ж2/2, вычисляем входящий в
72 [ Сю(ж,т; С) * H^f^dE = | ^о" «=1* Н(т)ЬпХп(х) = ^^ 52 i-wn72 [ Сю(ж,т; С) * H^f^dE = | ^о" «=1* Н(т)ЬпХп(х) = ^^ 52 i-wn(5.4.14) интеграл
72 [ Сю(ж,т; С) * H^f^dE = | ^о" «=1
* Н(т)ЬпХп(х) = ^^ 52 i-wn
72 [ Сю(ж,т; С) * H^f^dE = | ^о" «=1
* Н(т)ЬпХп(х) = ^^ 52 i-wn
n=l l0-
=52 Ьпсо8шптХп(х^ (5.4.32)
-71 — 1
где 111
ь„ = 2 [ МЕШО dE = —^ [ хп(Е)Е2 dE = 4 [ Х„О2 dE- (5.4.33) оп оо
Последний интеграл вычисляем, подставляя в него (5.4.26), дважды интегрируя по частям и используя табл. 5.3.2. В результате, дополнительно принимая во внимание (5.4.34), получаем
2 sh рп cos рп + ch рп sin рп р^ ch рп + cos рп
(5.4.34)(5.4.34)2 J tg ^ПРИ гг = 2/ь — 1,
(5.4.34)
(5.4.34)
р„ | ctg ^ при п = 2^ (к е N) .
52 bnXn(x) cos шпт п=1■52 bnXn(x) cos шпт п=1■Подставляя (5.4.31) и (5.4.32) в (5.4.6), окончательно получаем формулу для прогиба балки:
52 bnXn(x) cos шпт п=1■
52 bnXn(x) cos шпт п=1■
(5.4.35)
Изгибающий момент находим с помощью формулы в (5.2.2), непосредственно дифференцируя (5.4.35) и используя табл. 5.3.2:
М^х, т) = wiXX = Я(т)М^х, т) = wiXX = Я(т)1 - 52 ЬпХмп(х) cos шпт-П = 1■1 - 52 ЬпХмп(х) cos шпт-П = 1■(5.4.36)(5.4.36)
М^х, т) = wiXX = Я(т)
М^х, т) = wiXX = Я(т)
1 - 52 ЬпХмп(х) cos шпт
-П = 1■
1 - 52 ЬпХмп(х) cos шпт
-П = 1■
(5.4.36)
(5.4.36)
где
ХмМ = ХМ = М» [^(цпж) - £>п(цп)5,2(цпж)] .(5.4.37)
Приведенные ниже результаты расчетов получены с учетом шести членов рядов Фурье. На рис. 5.4.2 представлена пространственновременная зависимость прогиба ги^х^т) балки. Рисунки 5.4.3 и 5.4.4 иллюстрируют временную и пространственную зависимости прогиба в некоторых точках и в фиксированные моменты времени.
Пространственно-временная зависимость изгибающего момента М(х^т) представлена на рис. 5.4.5. Необходимо отметить, что она имеет сильно осциллирующий характер, чем объясняется малый
Рис. 5.4.3Рис. 5.4.3
Рис. 5.4.3
Рис. 5.4.3
временной интервал т Е [0, 3], на котором построен график. Такое поведение графика связано с разрывным характером эпюры моментов при т = 0 и соответствующей плохой сходимостью ряда в окрестности разрыва.
Рис. 5.4.4Рис. 5.4.4Рис. 5.4.5Рис. 5.4.5
Рис. 5.4.4
Рис. 5.4.4
Рис. 5.4.5
Рис. 5.4.5
Рис. 5.4.7Рис. 5.4.7
Рис. 5.4.7
Рис. 5.4.7
Рисунки 5.4.6 и 5.4.7 показывают временную и пространственную зависимости изгибающего момента.
Рис. 5.4.6
Статический аналог рассмотренной задачи (см. (5.4.31)) соответствует чистому изгибу балки. При данном виде деформации в любом поперечном сечении балки перерезывающая сила рана нулю, а изгибающий момент совпадает с внешним моментом М. В случае динами-
ческой задачи, как следует из приведенных рисунков, это перестает быть справедливым, и балка совершает незатухающие колебания около равновесного состояния, соответствующего статическому решению.
Осесимметричные колебания бесконечнойпластины
Далее рассмотрим одномерные изгибные волны в тонких упругих пластинах. Как следует из § А.7-А.9, одномерные волновые процессы в пластинах в прямоугольной декартовой системе координат Ох^х^г (г = х^ г = 0 — уравнение срединной плоскости) и поперечные колебания балок описываются одними и теми же начально-краевыми задачами. Поэтому имеет смысл рассматривать только симметричные относительно оси О г (осесимметричные) колебания пластин, т. е. движения с кинематическими параметрами и внутренними силовыми факторами, зависящими только от времени и радиуса полярной системы координат г, а (см. А.8.12). При этом из двух указанных в § А.7 математических моделей ограничимся пластиной Кирхгофа х), выбор которой продиктован соображениями, изложенными в § 5.2.
В дополнение к (2.1.1), где следует положить {г, j^ = {г, «}, и (3.1.4) введем следующие безразмерные величины:
2£д/3/ pLMijLQiL / Т
(5.5.1)
Здесь h и D — толщина и цилиндрическая жесткость пластины, р — внешняя нормальная нагрузка, Qt и M^j — перерезывающие силы и моменты, и^з —изменения кривизны срединной плоскости пластины. При этом в соотношениях (2.1.1) с = ci.
Далее, как обычно, штрихи в обозначениях безразмерных величин опускаем.
В переменных (5.5.1) кинематические и физические соотношения (см. (А.8.15), (А.8.16), (А.8.21)), а также связи (А.8.22) перезывающих сил с изгибающими моментами с учетом осесимметричного характера процесса имеют вид
О— Л0 W,r
Т V V 5 З^ТОС '^'о! О! 5
’’г г (5.5.2)
19 = 19г = —w,r, 19 а = 0;
М = Мтт = итт + и/аа = 19 г + х— = — w тт — х1^, ’ г ’г
(5.5.3)
^га = 0, Маа — Zaa 4” Zu Zu <р <р — иМ + (1 - х2) ^;
Q = Qr = М (м- =-Wrrr-^ + ^, Qq=0, ’ Г \Г /’Г г
(5.5.4) где w = и^^ б и ба — прогиб и углы поворота нормального к срединной плоскости волокна пластины.
Поскольку момент Маа есть линейная комбинация М и б, то напряженно-деформированное состояние пластины полностью определяется двумя кинематическими w, б и двумя силовыми М^ Q параметрами.
В этом параграфе остановимся на исследовании распространения начальных возмущений в бесконечной пластине. Для нее в качестве линейного размера удобно взять величину L = Л/(2\/3)- Тогда, как вытекает из (А.7.16), уравнение движения имеет вид
w = — Д2w + р(г, т), Д = ^Ly + -(5.5.5)
v 7dr г drv 7
Оно вместе с начальными условиями
Ит=о = ИгЬ ^1т=о = ^(^)(5.5.6)
образует начальную задачу.
Определим функцию влияния для перемещения Gw(r, т) как решение задачи
(5.5.7)(5.5.7)Gw = -A^GW + б (жх, ж2) 5(тУ
(5.5.7)
(5.5.7)
Gw| 0 —0, Gw| — 0,1т=0Gw| 0 —0, Gw| — 0,1т=0(5.5.8)(5.5.8)
Gw| 0 —0, Gw| — 0,1т=0
Gw| 0 —0, Gw| — 0,1т=0
(5.5.8)
(5.5.8)
а также с помощью соотношений (5.5.2)-(5.5.4) функции влияния G# (г, т) и Gm(^ тУ Gq^t^ т) для угла поворота и внутренних силовых факторов
dGw dG^ и d Gw и dGw
— Б—5 ^М — 1 — —^—,
ОТОТ ТВт Г ОТ
(5.5.9)
dG м । 1 ^ (1 Н- \
Gq — —Б1I •
dr т \т )
Зависимость функций влияния от радиуса т обеспечивается свойством центральной симметрии (см. § Б.2) дельта-функции б (жх,ж2).
С помощью этих функций прогиб в задаче о нестационарном изгибе бесконечной пластины можно представить так (см. (1.4.1) и (1.4.15)):
w(r, т) = Gw(r, т) * * * р(г, т) + Gw(r, т) ** <р(г) + Gw(r, т) ** ^(г),
(5.5.10)
где свертки проводятся по двум декартовым координатам жх и ж2.
Формулу (5.5.10) с помощью утверждения В.3.1 удобнее записать так:
w(r, т) = | pGwa(r. т- р) * р(р, т) dp + | pGwa(r. т- р)р(р) dp + оо
+ | pGwa(r, т, p^^dp, (5.5.11) о
где
1
-1
Очевидно, формулы, аналогичные (5.5.10) и (5.5.11), могут быть записаны и для угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы. При этом функции G^a(r, т; р^ Ома^, т^ р) и Gqa(r^ т; р) определяются равенствами (5.5.12) или (5.5.9) с соответствующими заменами индексов.
Отметим, что с помощью указанных функций влияния может быть найдено решения двумерной задачи для бесконечной пластины с нормальной нагрузкой р (жх, #2, т) и начальными условиями
w|T=0 = у ($1, ж2), w|T=0 = ^ (Ж1,Ж2) • (5.5.13)
Например, для прогиба в такой задаче имеет место равенство w(^i, Ж2, т) = Gw(r, т) ** *р (Ж1, Ж2, т) +
+ Gw(r, т) ж* р(х1, ж2) + Gw(r, т) ж* ^(жх, ж2)- (5.5.14)
Для углов поворота di^ изгибающих моментов Mij и перерезывающих сил Qi (г, j = 1,2) в прямоугольной декартовой системе координат интегральные представления являются более сложными, поскольку требуют применения формул их связи с соответствующими компонентами в полярной системе координат.
Для определения функций влияния применяем к задаче (5.5.7), (5.5.8) интегральные преобразования Лапласа по времени т и Ханкеля нулевого порядка по радиусу г (см. § В.2, В.З). Тогда, учитывая, что согласно свойствам преобразования Ханкеля,
(△2Gw)" = — q2 = q4G« (q, т), (5.5.15)
а также используя таблицы В.2.1 и В.3.1, приходим к алгебраическому уравнению относительно изображения функции влияния для перемещения
(s2 +q4) G”L(q,s) = ^,
откуда получаемоткуда получаемСНЛ,«МСНЛ,«М12тг (s2 + g4)12тг (s2 + g4)(5.5.16)(5.5.16)
откуда получаем
откуда получаем
СНЛ,«М
СНЛ,«М
1
2тг (s2 + g4)
1
2тг (s2 + g4)
(5.5.16)
(5.5.16)
Оригинал этой функции находим, последовательно обращая преобразования Лапласа и Ханкеля с помощью соответственно таблиц В.2.2 и В.3.2
G” т) = sin 92т;(5.5.17)
2тгд
ЗдесьЗдесьGm(r,r) = -Gm(r,r) = -НМ4тгНМ4тгsi М ,si М ,54т'54т'(5.5.18)(5.5.18)где si (г) и Si (г) — интегральные синусы.где si (г) и Si (г) — интегральные синусы.На рис. 5.5.1 представлена пространственно-временная зависимость функции влияния для перемещения Gw(r, т). Из него следует, что эта функция является осцили- рующей. На рисунках 5.5.2 и 5.5.3 приведены временная и пространственная зависимости Gw(r, т) в характерных точках и фиксированные моменты времени.Подставляя (5.5.18) в (5.5.9), находим остальные функции влиянияНа рис. 5.5.1 представлена пространственно-временная зависимость функции влияния для перемещения Gw(r, т). Из него следует, что эта функция является осцили- рующей. На рисунках 5.5.2 и 5.5.3 приведены временная и пространственная зависимости Gw(r, т) в характерных точках и фиксированные моменты времени.Подставляя (5.5.18) в (5.5.9), находим остальные функции влиянияРис. 5.5.1Рис. 5.5.1Н(т) .~ Н(т) /1 - и .' sin е, Gm — Л I cos е— sin е 2тгг\2s .гН(т) .Gq =Sin 8.Н(т) .~ Н(т) /1 - и .' sin е, Gm — Л I cos е— sin е 2тгг\2s .гН(т) .Gq =Sin 8.(5.5.20)(5.5.20)Дифференцируя в обобщенном смысле (5.5.18) и лучаем входящие в (5.5.10) производныеДифференцируя в обобщенном смысле (5.5.18) и лучаем входящие в (5.5.10) производные(5.5.20) по т, по-(5.5.20) по т, по-А / а Н(т) . А / а Н(т) .Gw(r, Т) = / 7 Sin 8.G^(r.T) = ——^L8Sin8.4тгт2тггтА / а Н(т) . А / а Н(т) .Gw(r, Т) = / 7 Sin 8.G^(r.T) = ——^L8Sin8.4тгт2тггт4тгт4тгт8 Sin 88 Sin 81212COS 8COS 8(5.5.21)(5.5.21)GqMt) =GqMt) =гН(т)4тгт3гН(т)4тгт3Sin 8 + - COS 8Sin 8 + - COS 8
Здесь
Здесь
Gm(r,r) = -
Gm(r,r) = -
НМ
4тг
НМ
4тг
si М ,
si М ,
54т'
54т'
(5.5.18)
(5.5.18)
где si (г) и Si (г) — интегральные синусы.
где si (г) и Si (г) — интегральные синусы.
На рис. 5.5.1 представлена пространственно-временная зависимость функции влияния для перемещения Gw(r, т). Из него следует, что эта функция является осцили- рующей. На рисунках 5.5.2 и 5.5.3 приведены временная и пространственная зависимости Gw(r, т) в характерных точках и фиксированные моменты времени.
Подставляя (5.5.18) в (5.5.9), находим остальные функции влияния
На рис. 5.5.1 представлена пространственно-временная зависимость функции влияния для перемещения Gw(r, т). Из него следует, что эта функция является осцили- рующей. На рисунках 5.5.2 и 5.5.3 приведены временная и пространственная зависимости Gw(r, т) в характерных точках и фиксированные моменты времени.
Подставляя (5.5.18) в (5.5.9), находим остальные функции влияния
Рис. 5.5.1
Рис. 5.5.1
Н(т) .~ Н(т) /1 - и .
' sin е, Gm — Л I cos е— sin е 2тгг\2s .
гН(т) .
Gq =Sin 8.
Н(т) .~ Н(т) /1 - и .
' sin е, Gm — Л I cos е— sin е 2тгг\2s .
гН(т) .
Gq =Sin 8.
(5.5.20)
(5.5.20)
Дифференцируя в обобщенном смысле (5.5.18) и лучаем входящие в (5.5.10) производные
Дифференцируя в обобщенном смысле (5.5.18) и лучаем входящие в (5.5.10) производные
(5.5.20) по т, по-
(5.5.20) по т, по-
А / а Н(т) . А / а Н(т) .
Gw(r, Т) = / 7 Sin 8.G^(r.T) = ——^L8Sin8.
4тгт2тггт
А / а Н(т) . А / а Н(т) .
Gw(r, Т) = / 7 Sin 8.G^(r.T) = ——^L8Sin8.
4тгт2тггт
4тгт
4тгт
8 Sin 8
8 Sin 8
1
2
1
2
COS 8
COS 8
(5.5.21)
(5.5.21)
GqMt) =
GqMt) =
гН(т)4тгт3
гН(т)4тгт3
Sin 8 + - COS 8
Sin 8 + - COS 8
Рис. 5.5.2Рис. 5.5.2Рис. 5.5.3
Рис. 5.5.2
Рис. 5.5.2
Как следует из (5.5.18), (5.5.20) и (5.5.12) интегралы, определяющие функции Gwa(r, т; р\ С^„(г,т; р\ GMa{r,r-, р) и GQa(r, т; р) являются неберущимися и, более того, не выражаются ни через одну известную специальную функцию. Они могут быть найдены численно с использованием квадратурных формул, либо представлены в виде рядов, получающихся в результате разложения алгебраических составляющих подынтегральных функций в степенные ряды по z.
Наиболее просто эти функции вычисляются при г = 0 или р = 0. Например, как следует из (5.5.12), имеют место равенства:
Gwa(r, г; 0) =2^Gw(r,r), Gwa(0,r; р^ ^С^р.т\(5.5.22)
В некоторых случаях возмущений число повторных интегралов в представлении решения можно сократить за счет перемены порядка интегрирования.
Пример 5.5.1. Определить прогиб бесконечной пластины при отсутствии внешней нагрузки и следующих начальных возмущениях:
Ит=о=°,w|T=0 = Я(1 - г).
Решение. В соответствии с условием примера формула (5.5.11) принимает вид
1
(5.5.23)(5.5.23)w(r, т) = j Gma(r, т; p)pdp.о
(5.5.23)
(5.5.23)
11w(r, т) = 21 pdp |о-111w(r, т) = 21 pdp |о-1GTO рг2 + р2GTO рг2 + р2— 2rpz , т— 2rpz , тdz =dz == 2= 2' Gw (V7*2 + P2 ^rpz , r)' Gw (V7*2 + P2 ^rpz , r)DDdp dz.dp dz.(5.5.24)(5.5.24)Отсюда с учетом (5.5.12) получаем двойной интеграл
11
w(r, т) = 21 pdp |о-1
11
w(r, т) = 21 pdp |о-1
GTO рг2 + р2
GTO рг2 + р2
— 2rpz , т
— 2rpz , т
dz =
dz =
= 2
= 2
' Gw (V7*2 + P2 ^rpz , r)
' Gw (V7*2 + P2 ^rpz , r)
D
D
dp dz.
dp dz.
(5.5.24)
(5.5.24)
Отсюда при г = 0 с учетом (5.5.18) и использованием таблиц [58] получаем (см. также (5.5.22))
НМ г .2 И* оНМ г .2 И* оdp =dp =1
НМ г .
2 И* о
НМ г .
2 И* о
dp =
dp =
w(0, т) = 2тг | pGw(p, т) dp = о
V(4r)
=-т+| Si ^)d^ = -т+ [£ si (£) + cos ^]|о/(4т) =
о
= [2т sin2 7 | si (7-)] Я(т) = ttGw(1,t) + 2т+sin2 ^-. (5.5.25)
Lот4\4t/Jот
При г ^ 0 в интеграле (5.5.24) выполняем замену переменных
£ = г2 + р1 — 2rpz, z — z.(5.5.26)
Обратное отображение
р = rz ± д/£ — г2 (1 — г2), z — z(5.5.27)
является двузначным. Знак плюс выбирается при р > гz. а минус — при р < rz. Соответственно область интегрирования в (5.5.24) разбивается на два множества: D = D+ U D_. Все эти области при г < 1 и г > 1 изображены на рис. 5.5.4 а и 6. Границы прообразов Q+ и Q_ областей D+ и D_ с помощью (5.5.26) определяются следующим образом:
Рис. 5.5.4Рис. 5.5.4
Рис. 5.5.4
Рис. 5.5.4
Р = О го: £ = r2; р = 1 О Гх: г = гД^ = X
/ ,х L Г (5.5.28)
Г2 : p — rz о z = z2 (С) = V1 -5
у г
2 = — 1 О 2 = — 1;2 = 1 О 2 = 1.
Области Q+, Q_ и их разбиения на подмножества для различных диапазонов изменения радиуса г представлены на рис. 5.5.5 а, б. в и 5.5.6 а^б. Здесь учтено, что при г ^ 1/2 имеет место неравенство
в- Q+ (r> 1)в- Q+ (r> 1)Рис. 5.5.5Рис. 5.5.5
в- Q+ (r> 1)
в- Q+ (r> 1)
Рис. 5.5.5
Рис. 5.5.5
г2 < (г - I)2, а при г > 1/2 — неравенство г2 ^ (г — I)2, а также то, что парабола Г2 касается прямой Г1 в точке £ = г2 — 1, г = 1/г.
a- Q_ (0<r^ 1)a- Q_ (0<r^ 1)Рис. 5.5.6Рис. 5.5.6
a- Q_ (0<r^ 1)
a- Q_ (0<r^ 1)
Рис. 5.5.6
Рис. 5.5.6
Вычисляя теперь модуль якобиана отображения (5.5.27)
1Ж^)1 =1Ж^)1 =5р5р12V$ - г2 (1 - г2) ’12V$ - г2 (1 - г2) ’(5.5.29)(5.5.29)
1Ж^)1 =
1Ж^)1 =
5р
5р
1
2V$ - г2 (1 - г2) ’
1
2V$ - г2 (1 - г2) ’
(5.5.29)
(5.5.29)
интеграл (5.5.24) представляем в виде суммыинтеграл (5.5.24) представляем в виде суммыw(r, т)w(r, т)гг + у^ — г2 (1 — г2)v V£ — 7,2 0 — ^2)гг + у^ — г2 (1 — г2)v V£ — 7,2 0 — ^2)
интеграл (5.5.24) представляем в виде суммы
интеграл (5.5.24) представляем в виде суммы
w(r, т)
w(r, т)
гг + у^ — г2 (1 — г2)
v V£ — 7,2 0 — ^2)
гг + у^ — г2 (1 — г2)
v V£ — 7,2 0 — ^2)
rz — ^/С^^О^^2). J VT^ VC - Г2 (1 - z2)rz — ^/С^^О^^2). J VT^ VC - Г2 (1 - z2)^(vT,^)^^- (5.5.30)^(vT,^)^^- (5.5.30)
rz — ^/С^^О^^2)
. J VT^ VC - Г2 (1 - z2)
rz — ^/С^^О^^2)
. J VT^ VC - Г2 (1 - z2)
^(vT,^)^^- (5.5.30)
^(vT,^)^^- (5.5.30)
г % dzV1 - 2;2 V$ - Г2 (1 - z2)г % dzV1 - 2;2 V$ - Г2 (1 - z2)1 г^21 г^21. 2г2(1-()-$— - arcsin ——- —1. 2г2(1-()-$— - arcsin ——- —22€€1. 2r2(i-z2)-e— - arcsin1. 2r2(i-z2)-e— - arcsin22€€
г % dz
V1 - 2;2 V$ - Г2 (1 - z2)
г % dz
V1 - 2;2 V$ - Г2 (1 - z2)
1 г^
2
1 г^
2
1. 2г2(1-()-$
— - arcsin ——- —
1. 2г2(1-()-$
— - arcsin ——- —
2
2
€
€
1. 2r2(i-z2)-e
— - arcsin
1. 2r2(i-z2)-e
— - arcsin
2
2
€
€
Перед переходом к повторным интегралам в (5.5.30) находим следующие первообразные (£ > 0):
dz.
,= arcsin z.
(5.5.31)(5.5.31)VT^2
(5.5.31)
(5.5.31)
Здесь во втором интеграле сделана замена переменной интегрирования = z1.
Учитывая теперь вид областей Q+, Q_ (см. рисунки 5.5.5 и 5.5.6), а также четность и нечетность подынтегральных функций в (5.5.31), из (5.5.30) получаем следующее представление прогиба:
при 0 < г < 1/2
зw(r, т) = wg(r, т) = У/ j=iзw(r, т) = wg(r, т) = У/ j=iTZ + V$ — г2 О — ^2)VT^2 VC - г2 (1 - г2)TZ + V$ — г2 О — ^2)VT^2 VC - г2 (1 - г2)Gw(VC,r)^ +Gw(VC,r)^ +
з
w(r, т) = wg(r, т) = У/ j=i
з
w(r, т) = wg(r, т) = У/ j=i
TZ + V$ — г2 О — ^2)VT^2 VC - г2 (1 - г2)
TZ + V$ — г2 О — ^2)VT^2 VC - г2 (1 - г2)
Gw(VC,r)^ +
Gw(VC,r)^ +
Gw(VLtWz =Gw(VLtWz =TZ — VC — 7-2 (1 — -+)Vl - 22 VC - г2 (1 - г2)
Gw(VLtWz =
Gw(VLtWz =
г2(г-1)2
= 2|gV(VC,t)/2(<2(<) d^ + 2 j G№(VC,t)/iM|^C +
0r2
2 ++1)22
+ E I Gw(V£ ,т)1к(?Д21^ d£ = ^ wok(r,Ty (5.5.32) k = !(r_i)2/c=0
при 1/2 < r < 1
*,r) = £ [ [f^SlAG.M^W;= +
7=4 J J VI - Z2 - 7,2 (1 - Z2)
Г f=
J J Vi^2 VC - r2 (1 - г2) V v '
2г^”1)2r2
= E j Gw(VC,r)/fcV)|t(4)^+ j Gw(Vl,TVk«2Xd^ +
<==1L 0"(r-l)2"
(r + l)2r2-
+ I G^VLTWWVd^ + H-t |Gw(V€,T)4V)|'2(€)rf€ = r20-
= wo(r, t);(5.5.33)
при r > 1
w(r, t) = Wo(r, t) + Awo(r, t) =
7= Е3=67= Е3=6GUVTtH dz +GUVTtH dz +rz + У$ - г2 (1 - х2)V1 - z2V^- Т (1 - -г2)
7
= Е
3=6
7
= Е
3=6
GUVTtH dz +
GUVTtH dz +
rz — д/£ — г2 (1 — Z2) VCT VC - г2 (1 - г2)rz — д/£ — г2 (1 — Z2) VCT VC - г2 (1 - г2)С^Д^т^^ dz =
rz — д/£ — г2 (1 — Z2) VCT VC - г2 (1 - г2)
rz — д/£ — г2 (1 — Z2) VCT VC - г2 (1 - г2)
Г22 r(r+1)2
=2 j gw(v?,t)/2mi:^^+e j ^д^щ^гд^ r2 — 1k — 1 r2
d^ +d^ +r2■
d^ +
d^ +
+ (-1)" j C^rpM^ ^
(r-l)2'
(5.5.34)(5.5.34)W00(r, Г) = 7ГW00(r, Г) = 7ГjMr-if+Vo^tijMr-if+Vo^tiгде
(5.5.34)
(5.5.34)
W00(r, Г) = 7Г
W00(r, Г) = 7Г
jMr-if+Vo^ti
jMr-if+Vo^ti
Jo^ = | G^Д, T^d^, wok^T, т) = Л($)|^Д)2,
JkU) = ^М.^ММ (k = ^A,(5535)
Awo(r, t) = Awoo(t*; t) + Awq2(^ t^
Aw00M = -y [jo(€)lo,
Aw02(r,T) = - J2(€)l[rZi)2 •
Таким образом, при любом г > 0 прогиб определяется следующей формулой:
w(r, т) = wg(r, т) + H(r — l)Awg(r, т).(5.5.36)
Определенные интегралы, соответствующие Ji(^) и «/2(^)5 являются неберущимися и не выражаются ни через одну известную специальную функцию. Они могут быть найдены численно с использованием квадратурных формул. При этом в соответствии со свойствами подынтегральных функций (см. рис. 5.5.1-5.5.3) рекомендуется использовать квадратуры Гаусса высокого порядка [59].
Покажем, что составляющие прогиба woo(t^t) и Awoo(t’5t) выражаются через функцию Gw и элементарные функции. Для этого с учетом формулы (5.5.18) и таблиц [58] вычисляем первообразную
(см. также (5.5.25))(см. также (5.5.25))•W = -^ [si Ш </ф^ = ^VL^ - ^ cos £. (5.5.37) 47Г J \ 4Т /J7Г 4ТОТогда из (5.5.35) получаемWoo(r, т) = ^ [3(r - l)2Gm(r - 1,т) + (г + l)2Gto(r + 1,т)] +•W = -^ [si Ш </ф^ = ^VL^ - ^ cos £. (5.5.37) 47Г J \ 4Т /J7Г 4ТОТогда из (5.5.35) получаемWoo(r, т) = ^ [3(r - l)2Gm(r - 1,т) + (г + l)2Gto(r + 1,т)] ++ т++ т+0 . 2 (г - I)21 . г2 + 1 . Т2 sin -—— sin —sin —8т 2 4т 2т0 . 2 (г - I)21 . г2 + 1 . Т2 sin -—— sin —sin —8т 2 4т 2тAwOo(r,т) = -^ (г - 1) [(г + 1)GW (лЛ12 - 1 ,т) + G^r - l,r)j -AwOo(r,т) = -^ (г - 1) [(г + 1)GW (лЛ12 - 1 ,т) + G^r - l,r)j -. 2 Г2 - 1. 2 (г - l)2sinh sin —8т8т. 2 Г2 - 1. 2 (г - l)2sinh sin —8т8т(5.5.38)(5.5.38)Из (5.5.36), (5.5.32), (5.5.34), (5.5.38) и (5.5.25) вытекает, что для прогиба имеет место непрерывность справа в центре пластины:Из (5.5.36), (5.5.32), (5.5.34), (5.5.38) и (5.5.25) вытекает, что для прогиба имеет место непрерывность справа в центре пластины:lim w(r, т)= lim wqo(^5 т) = w(0, т), —>-+0r^+0lim w(r, т)= lim wqo(^5 т) = w(0, т), —>-+0r^+0(5.5.39)(5.5.39)а также непрерывность на границе носителя внешнего возмущения, так кака также непрерывность на границе носителя внешнего возмущения, так какlim Awn(r, т) = 0.г->1+0 Vlim Awn(r, т) = 0.г->1+0 V(5.5.40)(5.5.40)
(см. также (5.5.25))
(см. также (5.5.25))
•W = -^ [si Ш </ф^ = ^VL^ - ^ cos £. (5.5.37) 47Г J \ 4Т /J7Г 4Т
О
Тогда из (5.5.35) получаем
Woo(r, т) = ^ [3(r - l)2Gm(r - 1,т) + (г + l)2Gto(r + 1,т)] +
•W = -^ [si Ш </ф^ = ^VL^ - ^ cos £. (5.5.37) 47Г J \ 4Т /J7Г 4Т
О
Тогда из (5.5.35) получаем
Woo(r, т) = ^ [3(r - l)2Gm(r - 1,т) + (г + l)2Gto(r + 1,т)] +
+ т+
+ т+
0 . 2 (г - I)21 . г2 + 1 . Т
2 sin -—— sin —sin —
8т 2 4т 2т
0 . 2 (г - I)21 . г2 + 1 . Т
2 sin -—— sin —sin —
8т 2 4т 2т
AwOo(r,т) = -^ (г - 1) [(г + 1)GW (лЛ12 - 1 ,т) + G^r - l,r)j -
AwOo(r,т) = -^ (г - 1) [(г + 1)GW (лЛ12 - 1 ,т) + G^r - l,r)j -
. 2 Г2 - 1. 2 (г - l)2
sinh sin —
8т8т
. 2 Г2 - 1. 2 (г - l)2
sinh sin —
8т8т
(5.5.38)
(5.5.38)
Из (5.5.36), (5.5.32), (5.5.34), (5.5.38) и (5.5.25) вытекает, что для прогиба имеет место непрерывность справа в центре пластины:
Из (5.5.36), (5.5.32), (5.5.34), (5.5.38) и (5.5.25) вытекает, что для прогиба имеет место непрерывность справа в центре пластины:
lim w(r, т)= lim wqo(^5 т) = w(0, т), —>-+0r^+0
lim w(r, т)= lim wqo(^5 т) = w(0, т), —>-+0r^+0
(5.5.39)
(5.5.39)
а также непрерывность на границе носителя внешнего возмущения, так как
а также непрерывность на границе носителя внешнего возмущения, так как
lim Awn(r, т) = 0.
г->1+0 V
lim Awn(r, т) = 0.
г->1+0 V
(5.5.40)
(5.5.40)
На рис. 5.5.7 представлена временная зависимость прогиба бесконечной пластины от времени в точках, находящихся на различном удалении от центра.
Осесимметричные колебания круглых пластин
В последующих двух параграфах исследуем колебания ограниченных круглых пластин. При этом так же, как и в предыдущем параграфе, будем использовать прямоугольную декартову Ох-^х^г и полярную г, а системы координат и ограничимся рассмотрением осесим-
метричных движений. Для круглой пластины в качестве характерного размера L в (2.2.1) и (5.5.1) выбираем радиус R. ограничивающей ее окружности. Тогда вместо (5.5.5) из (А.7.16) получаем следующую безразмерную форму уравнения движения:
Связи внутренних силовых факторов и кинематических параметров по-прежнему определяются соотношениями (5.5.3), (5.5.4). Сохраняют свой вид и начальные условия (5.5.6).
В данном параграфе рассмотрим задачу о распространении начальных и поверхностных возмущений в круглых пластинах. Однородные граничные условия на окружности г = 1 аналогично (5.3.2) записываем в обобщенном виде
^(w)|r=1=0 0 = 1,2),^(w)|r=1=0 0 = 1,2),(5.6.2)(5.6.2)
^(w)|r=1=0 0 = 1,2),
^(w)|r=1=0 0 = 1,2),
(5.6.2)
(5.6.2)
где Lj (w) линейные обыкновенные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами
MNMN352 a3k k=Q352 a3k k=Q8kw "a?"8kw "a?"akj E R, Rg ( ^akj E R, Rg ( ^«11«21«11«21«12«22«12«22(5.6.3)(5.6.3)
MN
MN
3
52 a3k k=Q
3
52 a3k k=Q
8kw "a?"
8kw "a?"
akj E R, Rg ( ^
akj E R, Rg ( ^
«11
«21
«11
«21
«12
«22
«12
«22
(5.6.3)
(5.6.3)
Как и в случае с балкой, операторы Lj(w) включают в себя все указанные в § А.7 основные кинематические и динамические (силовые) граничные условия. Например, шарнирному опиранию пластины
w|r=1=0,М\Т=1 = - (w,rr + ^ го^ | ^=0(5.6.4)
соответствуют операторы Li(w) и L-^w) с коэффициентами
«10 — «22 — 1?«21 — ^5«11 — «12 — «13 — «20 — «23 — 0. (5.6.5)
Дополнительно ставим условия ограниченности прогиба и изменений кривизны, которые являются условием неразрывности срединной плоскости и с учетом (5.5.2) эквивалентны равенствам
w = 0(1), w,r = О(г), г —> 0.(5.6.6)
Решение задачи (5.6.1), (5.6.2), (5.6.6), (5.5.6) в соответствии с (1.4.4), (1.4.15) и (1.4.27) можно представить в интегральном виде
1
w(r, т) = | Gw(r, т; £) ж р^ т) d£ + о
г 1г 111,2,2jGw(r, г; €)^(€)^ + |Gw(r,r; ШШ • (5-6.7)jGw(r, г; €)^(€)^ + |Gw(r,r; ШШ • (5-6.7)ОООО
г 1
г 1
1
1
,2
,2
jGw(r, г; €)^(€)^ + |Gw(r,r; ШШ • (5-6.7)
jGw(r, г; €)^(€)^ + |Gw(r,r; ШШ • (5-6.7)
О
О
О
О
Здесь Gw(r, г; £) — функция влияния для прогиба. Она является решением следующей задачи:
72^ = -А2С-т+5(т)5(г-С);(5.6.8)
ОТ
Gw(r,T)|T=0 =0, СД^т)^ =0;(5.6.9)
№l,=i = 0 U = 1, 2);(5.6.10)
^^ =0(1) (А: = 0,1,2,3), г^О.(5.6.11)
Угол поворота ^, момент М и перерезывающая сила Q также определяются формулой (5.6.7), в которой Gw необходимо заменить соответствующими функциями влияния G^(r, т; £), СдДг, г; £) и Gg(r, г; £). Последние вычисляются с помощью равенств (5.5.9).
Для нахождения Gw используем метод Фурье (см. § 1.5), согласно которому представляем искомую функцию в виде произведения
Gw(t.t- ^ = R(r)T(r).(5.6.12)
Подставляя (5.6.12) в соответствующее (5.6.8) однородное уравнение и разделяя переменные, получаем задачу на собственные значения (А — константа разделения)
Д2Л - XR = 0;(5.6.13)
W)l,=i=0 (J = 1,2);(5.6.14)
Я(г) = О(1), Я'(г) = О(г), г-Ю. (5.6.15)
Эта задача при выполнении некоторых условий для операторов Lj (см. § 1.5 и [49, 56]) имеет счетный неотрицательный спектр {Ап} и соответствующую ему полную ортогональную в Сч([0,1]; г) систему собственных функций ^Rn(r)Y Эти же свойства могут быть доказаны аналогично тому, как это сделано в § 1.5 для линейно упругой среды, с помощью энергетических теорем.
Рассмотрим случай А > 0. Решение уравнения (5.6.13) разыскиваем в виде собственных функций оператора Лапласа
АТ? = (R.(5.6.16)
Подставляя (5.6.16) в (5.6.13), получаем характеристическое уравнение
(2-^4 = 0, ц=Ух.(5.6.17)
Определяя его корни £ij2 = i/z2, приходим к эквивалентной (5.6.13) совокупности уравнений:
ДЯ + //2Я = 0, ДЯ-д2Я = 0.(5.6.18)
Ее построение стало возможно в силу коммутативности операторов, стоящих в левых частях (5.6.18), и справедливости равенств:
(А2 - м4) Я = (А + /z2) (А - /z2) R = (А - /z2) (А + /z2) R. (5.6.19)
Процесс, согласно которому объединение систем фундаментальных решений уравнений (5.6.18) приводит к фундаментальной системе решений уравнения (5.6.13), называется методом факторизации [1]. Общее решение уравнения (5.6.13) имеет вид
R(r) = Cl МИ + D^^H + С^Н + D2W, (5.6.20)
где Jq(^) и M)(z) — функции Бесселя и Неймана, /о(^) и ^о(^) — модифицированные функции Бесселя [54], a Ci, С1}. D^ D^ — произвольные постоянные.
Поскольку функции N^H} и ВМИ} неограниченны при т —> 0, то, как следует из (5.6.15), в (5.6.20) необходимо положить D± = D? = 0:
R(r) = Сг МИ + СМИ-(5.6.21)
Подставляя теперь (5.6.21) в граничные условия (5.6.14), приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно Ci и С^*.
АС = 0, С = (Ci, С2)т , А = (^)2х2 ,(5.6.22)
где
«и = Li [Jo(MH]|r=i, а" = Li [WHlLr (5.6.23)
Необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения этой системы является равенство нулю определителя ее матрицы
|А| = {Li [J0(mH] li [МмН] - b [МмН] U [^o(/zr)]}|r=1 = 0.
(5.6.24)
Это трансцендентное уравнение определяет счетное множество неотрицательных корней цп (п Е N). Соответствующие собственные формы Rn(r) находим, например, из первого уравнения (5.6.22):
R» = J0(^r) - Dn(^I0^nr^ ОпЫ = ^№^_ (5.6.25)
При А = 0 общее решение уравнения (5.6.13) находим его последовательным интегрированием:
RM = Сх + С«М + Сз In г + CM In т. (5.6.26)
В силу условий (5.6.15) в нем необходимо положить Сз = С4 = 0:
RoM = C! + C2r2.(5.6.27)
Учитывая значения операторов (5.6.3) на этой функции (см. также (5.3.26)),
Lj (7?о) — ^'0^1 + (^jo^2 + 2ajir + 2dj2) Сз(5.6.28)
и удовлетворяя граничным условиям (5.6.14), приходим опять к системе уравнений (5.6.22) относительно Ci и С2, где
«г1=«гО5 Аг2 = «г0 + 2«а + 2«г2 (г = 1,2).(5.6.29)
Условие существования собственного числа Ло = 0 есть равенство нулю определителя матрицы этой системы уравнений (5.6.22):
1 |А| = аю ац + аю= 0(5.6.30)
20^20 ^21 т 0^22Х 7
что возможно только при определенном типе граничных условий. Причем кратность этого собственного значения равна двум только в том случае, если
(5.6.31)(5.6.31)«ю = О, «11+0,2=0 (г = 1,2).
(5.6.31)
(5.6.31)
Такой вариант граничных условий возможен, например, при «ц = = 1,0^23 — 1? с^ю — с^12 — с^1з — с^20 = с^21 — с^22 — 0. Однако для основных физически возможных граничных условий кратность нулевого собственного значения не больше единицы.
При кратности собственного значения, равной единице, собственные функции находятся так же, как и в случае ненулевого собственного значения. Если же кратность равна двум, то необходим процесс ортогонализации (см. § 1.5) системы функций {1,г2}, в результате которого получаем
Яоо(г) = 1, R0M = г2 - |-(5.6.32)
Нормы этих функций определяются так:
119
IIMI = |rdr =1, ||R011|2 =|r(r2-i) dr = ^.(5.6.33)
Оо
После определения собственных форм Rn(r) и собственных значений р,п искомую функцию влияния, согласно (1.5.15) и (1.5.16), представляем в виде ряда Фурье:
С) = ^2Сп(т; £)Rn(r),С) = ^2Сп(т; £)Rn(r),(5.6.34)(5.6.34)
С) = ^2Сп(т; £)Rn(r),
С) = ^2Сп(т; £)Rn(r),
(5.6.34)
(5.6.34)
где коэффициенты ряда Gn(r; £) с точностью до обозначений собственных функций и формулы для собственных частот определяются полученными в § 2.6 соотношениями:
Go(t; О = ао(От+, Gn(г; £) = ^^ Н(т) sin шпт, шп = —,
7
ап(£) —ап(£) —15||""<Г)1 = FTFIr5(r ~ №”w dr =15||""<Г)1 = FTFIr5(r ~ №”w dr =W$)ЦЯп||2 ’(5.6.35)W$)ЦЯп||2 ’(5.6.35)
ап(£) —
ап(£) —
15||""<Г)1 = FTFIr5(r ~ №”w dr =
15||""<Г)1 = FTFIr5(r ~ №”w dr =
W$)
ЦЯп||2 ’
(5.6.35)
W$)
ЦЯп||2 ’
(5.6.35)
ll^nll2 =jr/?2 (r) dr (пеЛГ).0
Функции влияния G^(r, т; £), G mG- t; £) и Gq^t, t; £) находим no формулам (5.5.9) с использованием (5.6.34):
G^r^ ^ = y^G^T-, OR^^Y
Gm^t; ^ = ^0^1; ORm»^Y(5.6.36)
Gq(t,t; O=^G„(t; O^Qn(r),
где
R^) = -R», RMn(r) = -R» - 7 R»,p"/ \ RЧ^ I5'6'37)RQnW = -R'^H -+.
Производная по времени от функций влияния определяется обычным образом:
Gw(r, т; ^)=^ёп(т; ^Rn(r), G^(r,r; ^)=^Gn(r; ^Ry„M, nn
GQ(r, т; $) = £ Gn(r; ^Rq^tY(5.6.38)
^) = ^Сп(т; ^RMnW-
Рассмотрим наиболее распространенные граничные условия для круглой пластины.
А. Пластина с защемленными краями. В этом случае граничные условия (5.6.10) имеют вид
^i(Gw)|r=i = G-m|r=1=0,^(Gto)|r=1 = ^|r=i=0, (5.6.39)
что соответствует следующим коэффициентам в операторах (5.6.3):
С^ю — 0^21 — !• СКц = 0^12 — 0^13 = 0^20 = ^22 — ^23 = 0.(5.6.40)
Соответственно уравнение (5.6.24) с учетом формул (3.4.21) и (3.6.22) для производных функций Бесселя записывается так:
Jo^h^ + WW = O.(5.6.41)
Его корни дп находятся численно. Определенные с точностью до трех знаков после запятой значения первых шести неотрицательных корней приведены в табл. 5.6.1.
Таблица 5.6.1
п
1
2
3
4
5
6
Рп
3,196
6,306
9,440
12,577
15,715
18,857
Формы для ненулевых собственных значений, согласно равенствам (5.6.25), (5.6.39) и (5.6.40), задаются следующим равенством:
Ш = Jo(M„r) - D^IoM, D,^ = ^H-(5.6.42)
Первые четыре из них представлены на рис. 5.6.1.
/2 = 2/2 = 2/7=1/7=1
/2 = 2
/2 = 2
/7=1
/7=1
Квадрат нормы собственных форм (5.6.42) находим с помощью таблиц [58] и с использованием уравнения (5.6.41):
(5.6.43)(5.6.43)||Я„||2 = | г1?2 (г) dr =Д(р,п).о
(5.6.43)
(5.6.43)
Подстановка коэффициентов (5.6.40) в (5.6.30) показывает, что А = = 0 для данной пластины не является собственным значением.
Б. Шарнирно опертая по краю пластина. Этому варианту соответствуют граничные условия (5.6.4) и операторы Lx
и L2 с коэффициентами (5.6.5). Соответственно уравнение (5.6.24) с использованием формул (3.4.21) и (3.6.22) принимает вид
(5.6.44)(5.6.44)2М = .Л(м) + hW1-и<7о(ц) 1о(рУ
(5.6.44)
(5.6.44)
Необходимо отметить, что в отличие от защемленной пластины при шарнирном опирании из-за наличия в уравнении параметра и собственные частоты зависят от материала.
Найденные численно с точностью до трех знаков после запятой значения первых шести неотрицательных корней уравнения (5.6.52) для стальной пластины (х = 0,429) приведены в табл. 5.6.2.
Таблица 5.6.2
71
1
2
3
4
5
6
Рп
2,231
5,455
8,614
11,767
14,912
18,055
Соответствующие собственные формы совпадают с (5.6.42). Первые четыре из них представлены на рис. 5.6.2.
2 J0 (Дп)2 J0 (Дп)J1 (Дп) Дп ^□(Дп)1 ~ XJ1 (Дп) Дп ^□(Дп)1 ~ XКвадрат нормы собственных форм опять вычисляем с помощью таблиц [58] и с использованием уравнения (5.6.44):
2 J0 (Дп)
2 J0 (Дп)
J1 (Дп) Дп ^□(Дп)1 ~ X
J1 (Дп) Дп ^□(Дп)1 ~ X
(5.6.45)
Предоставляем читателю показать, что и для шарнирно опертой пластины А = 0 не является собственным значением.
В. Пластина со свободным краем. Для такой пластины граничные условия (5.6.10) заключаются в равенстве нулю момента и перерезывающей силы (см. (5.5.3) и (5.5.4)):
/ О VJW । X UVJuu \ Q
(5.6.46)(5.6.46)\ dr2 г dr J г=1’
(5.6.46)
(5.6.46)
/5^, _ 1 д2сш j_ ас^Л \ dr3 Г 9r2 г2 dr у r=1
что соответствует следующим коэффициентам в операторах (5.6.3):
(5.6.47)(5.6.47)<111 = X, <112 = <121 = 1;
(5.6.47)
(5.6.47)
<122 = <123 = — 1,<110 = <113 = <120 = 0.
Уравнение (5.6.24) с учетом формул (3.4.21) и (3.6.22) переходит в равенство
(5.6.48)(5.6.48)2(1 - х) = JoM + Wр J-Ур) i-УрУ
(5.6.48)
(5.6.48)
Корни этого уравнения так же, как и в случае шарнирно опертой по контуру пластины, зависят от ее материала. Первые шесть неотрицательных корней рп для стальной пластины приведены в табл. 5.6.3.
п - 2п - 2
п - 2
п - 2
Рис. 5.6.2
Необходимо отметить, что они близки к соответствующим величинам для защемленной пластины (ср. с табл. 5.6.1).
Таблица 5.6.3
71
1
2
3
4
5
6
Р-тг
3,046
6,223
9,382
12,532
15,689
18,823
Собственные формы определяются из второго уравнения в (5.6.22) и имеют вид
RnW = J«M - Оп(Мп)/о(^г), ОпЫ = ^гЦ- (5.6.49)
Первые четыре из них представлены на рис. 5.6.3.
и = 1п = 2и = 1п = 2/2 = 4/2 = 4
и = 1п = 2
и = 1п = 2
/2 = 4
/2 = 4
Рис. 5.6.3
Для квадрата нормы собственной формы с использованием таблиц [58] и уравнения (5.6.49) получаем следующее выражение:
Рп «7о(Дп)Рп «7о(Дп)(5.6.50)(5.6.50)
Рп «7о(Дп)
Рп «7о(Дп)
(5.6.50)
(5.6.50)
Подстановка коэффициентов (5.6.47) в (5.6.30) показывает, что для пластины со свободным краем А = 0 является собственным значением. Из (5.6.47) и (5.6.29) находим коэффициенты системы уравнений (5.6.22): ац = 6i2i — ^22 = 0, (112 — 2(1 + х). Следовательно, Сз = 0, и в соответствии с (5.6.27) собственную форму можно взять в виде
R(r) = 1.(5.6.51)
Очевидно, она соответствует поступательному движению вдоль оси О г пластины как абсолютно твердого тела.
Рассмотрим ряд примеров на использование полученных соотношений.
Пример 5.6.1 (свободные колебания пластины). Определить прогиб защемленной круглой пластины при ударе по площадке радиуса г = b со скоростью Уд. Начальная форма пластины плоская. В расчетах принять: Уд = 1, h/R = 0,01; х = 0,429; b = 0,5 и b = 0,1.
Решение. Эта задача соответствует следующим правым частям уравнения (5.6.1) и начальных условий (5.5.6):
р(г, г) = 0,ср (г) = 0, Дг) = ^о^(6 - г).(5.6.52)
Тогда, согласно (5.6.7), прогиб определяется так
1ь
w(r,r) = 72|сго(г,т; 0^(0^ =72^о |с«(г,т; ^d^.(5.6.53)
оо
Собственные формы Rn(r) и квадрат их нормы для данной задачи имеют вид (5.6.42) и (5.6.45), а соответствующие первые шесть корней р,п указаны в табл. 5.6.2. Тогда для функции влияния из (5.6.34) и (5.6.35) получаем выражение
О = ^^ 52 -Ц^^-/?п(г)sinwnr.(5.6.54)
Подставляя ряд (5.6.54) в (5.6.53), находим прогиб
w(r,r) = и0ЬН(т^ 52 "^^i s™ штгТ,(5.6.55)
где коэффициенты qn имеют вид [58]: ьь
— ^ | €^п(€) ^£ — ^ | € [Л(дп^) — Dn(p,n)/o(/in^)] d£ = оо
= — [Л (^«6) - D„(/zn)/i(^n6)]. (5.6.56)
На рисунках 5.6.4-5.6.6 представлены пространственно-временная, временные и пространственные зависимости прогиба w(r, г) при b =
Рис. 5.6.4Рис. 5.6.4Рис. 5.6.5
Рис. 5.6.4
Рис. 5.6.4
Рис. 5.6.6Рис. 5.6.6Рис. 5.6.7Рис. 5.6.7= 0,5. При суммировании ряда (5.6.55) удерживалось шесть его первых членов.
Рис. 5.6.6
Рис. 5.6.6
Рис. 5.6.7
Рис. 5.6.7
Рис. 5.6.9Рис. 5.6.9
Рис. 5.6.9
Рис. 5.6.9
Аналогичные результаты расчетов при b = 0,1 изображены на рисунках 5.6.7-5.6.9. Сравнение их с рисунками 5.6.4-5.6.6 демонстрирует существенную зависимость прогиба от размера носителя начальных возмущений.
Рис. 5.6.8
Пример 5.6.2 (вынужденные колебания пластины). Определить прогиб и изгибающий момент для шарнирно опертой круглой пластины при внезапном приложении внешнего давления р(г, т) = PqH(t). Начальные условия однородные. В расчетах принять: материал пластины — сталь (х = 0,429), h/R = 0,01; ро = 1.
Решение. При заданных однородных начальных условиях (ср(т) = 0, ф(г) = 0) и поверхностной нагрузке прогиб пластины определяется вытекающим из (5.6.7) соотношением
т 1
w(r, т) = ро 11 Gw(r, т — t; £) dE, dt.(5.6.57)
о о
При этом функция влияния Gw(r, г; £) определяется равенством (5.6.54), в котором собственные формы и их норма задаются соотношениями (5.6.42) и (5.6.43). Соответствующие первые шесть собственных корней р,п приведены в табл. 5.6.1.
Подставляя (5.6.54) в (5.6.57) и вычисляя двойной интеграл, находим прогиб
w(r, т) = р0Н(т) £(! - cosшпт),(5.6.58)
„=1 Мп ||Яп|Г
где коэффициенты qn определяются формулой (5.6.56) при b = 1, которая с учетом уравнения (5.6.44) преобразуется так:
Qn —[^1(Мп) Dn (д-п) ^1 (Мп)] — 2Qn —[^1(Мп) Dn (д-п) ^1 (Мп)] — 2Jl(Pn) Jo(Pn)Jl(Pn) Jo(Pn)Рп1 XРп1 X(5.6.59)(5.6.59)
Qn —[^1(Мп) Dn (д-п) ^1 (Мп)] — 2
Qn —[^1(Мп) Dn (д-п) ^1 (Мп)] — 2
Jl(Pn) Jo(Pn)
Jl(Pn) Jo(Pn)
Рп1 X
Рп1 X
(5.6.59)
(5.6.59)
Рис. 5.6.10Рис. 5.6.10
Рис. 5.6.10
Рис. 5.6.10
Изгибающий момент находим с помощью соотношений (5.5.3) непосредственным дифференцированием ряда (5.3.53):
М(г,т) =р0Я(т) £ ^"Ma-cos^T),(5.6.60)
^1 Мп ||Яп||-
где в соответствии с (5.6.37), (5.6.42) и уравнением (5.6.44)
Рис. 5.6.11
5^^м = ^П [J0(/znr) + Dn(p,n)I0(p,nr^ -
У^ЦпГ) + ^(МиДЛ/Мг)] . (5.6.61)
На рисунках 5.6.10-5.6.12 представлены пространственно-временная, временные и пространственные зависимости для прогиба ги^х^т).
Аналогичные картины изменения момента М(х,т) представлены на рисунках 5.6.13-5.6.15. Во всех вычислениях в формулах (5.6.58) и (5.6.60) удерживалось 6 членов рядов.
Рис. 5.6.12Рис. 5.6.12Рис. 5.6.13Рис. 5.6.13
Рис. 5.6.12
Рис. 5.6.12
Рис. 5.6.13
Рис. 5.6.13
Граничные возмущения в круглых пластинах
В дополнение к предыдущему параграфу здесь рассмотрим задачу о распространении граничных возмущений в круглой пластине конечных размеров. В этом случае прогиб удовлетворяет однородным уравнению движения и начальным условиям (см. (5.6.1) и (5.5.6)).
(5.7.1)(5.7.2)(5.7.1)(5.7.2)72w = — A2w;
(5.7.1)
(5.7.2)
(5.7.1)
(5.7.2)
w|T=0 = 0, w|T=o=O, а также дополнительным соотношениям (5.6.6).
Неоднородные граничные условия записываем с использованием операторов (5.6.3):
LjWUi = qjM (j=l, 2).(5.7.3)
В силу линейности задачи (5.7.1)—(5.7.3), (5.6.6) аналогично § 5.4 ее решение можно представить в следующем виде:
2
w(r, т) = Wk(r, т),(5.7.4)
к = 1
где функции Wk(x^T) удовлетворяют уравнению (5.7.1), начальным и дополнительным условиям (5.7.2) и (5.6.6), а также граничным условиям специального вида (S^j — символ Кронекера):
^•(^)1г=1 = бкэЧэМ 0,/г = 1, 2).(5.7.5)
Применяя процедуру перехода к однородным граничным условиям (1.2.11)-(1.2.13), представляем искомую функцию в виде суммы
шЦг, т) = uk(r, т) + Wk^T, т\(5.7.6)
Здесь Wk* удовлетворяет условиям (5.7.5) и (5.6.6), а и к есть решение следующей задачи:
^йк = -A2Ufe +Рк(т, тУ(5.7.7)
Mfc|T=o =йк\т=0 = ^k^y,(5.7.8)
^X=i=0 (j = l, 2);(5.7.9)
u*, = 0(1), ик,г = О^У r^O.(5.7.10)
где
Pk^^T) = -^Wk* - ^wk«,, x
(5.7.11)
<Рк(.т) = - Wk*\T=0 , 'ФкМ = - Wk*\T=0 .
Функцию Wk* в данном случае удобнее выбрать как решение ква-
зистатической задачи (1.2.8) в виде (см. (1.2.9))
wfc„(r, т) = qkMfkM,(5.7.12)
где fk(r) — решение соответствующей статической задачи (см. (1.2.10))
△2Л = 0;(5.7.13)
^(Л)1Г=1 = ^ О'= 1,2);(5.7.14)
А = 0(1), Гк = О(гУ г^О.(5.7.15)
Удовлетворяющее условию (5.7.15) общее решение уравнения (5.7.13) находим аналогично (5.6.27)
fkM = Cik + C2kr2.(5.7.16)
8 А. Г. Горшков и др.
Постоянные Ci^ и С^ определяются из двух граничных условий (5.7.14). В силу достаточной произвольности операторов Lj их удобнее определять в каждой конкретной задаче.
Для каждого слагаемого в (5.7.4) используем представление (1.4.24) и учитываем, что в данном случае в силу (5.7.13)
Аж<щ = -^fk = 0.(5.7.17)
2w(r,r) = 52к = 12w(r,r) = 52к = 1В результате окончательно получаем
2
w(r,r) = 52
к = 1
2
w(r,r) = 52
к = 1
(5.7.18)(5.7.18)qk^fk<r^ - 72 | ^(г, т; £) * qu^f^ d^
(5.7.18)
(5.7.18)
■0■
где Gw — определенная в § 5.6 функция влияния для перемещения.
Непосредственным дифференцированием соотношений (5.6.34) с учетом (5.6.35) находим ядро свертки в (5.7.18)
G^t; $) =£Gn(r;(5.7.19)
где
^(т,^) = а0(£)5(т),
••а (£)(5-7-20)
G„(r, О = ^ № - Н(тН sin Шпт] (n G А).
7"
Формулы для угла поворота и внутренних силовых факторов получаем, применяя операторы (5.5.3), (5.5.4) к (5.7.18):
72 |^(г,т; О * qk(r)fk^ d£
0■
22М(г, т) = 52 9fc(T)Mfe(r) - 72 к = 1 -М(г, т) = 52 9fc(T)Mfe(r) - 72 к = 1 -1-,
2
2
М(г, т) = 52 9fc(T)Mfe(r) - 72 к = 1 -
М(г, т) = 52 9fc(T)Mfe(r) - 72 к = 1 -
|бм(г,т; О * qk^fkU) dC iо-
QM = 52к = 1QM = 52к = 1(5.7.21)
QM = 52
к = 1
QM = 52
к = 1
qk(r)Qk(r) - 72 | Gq(t, т\ £) * Qk^fk^ d£,■0■
где G^, Gm ^ Gq — определенные равенствами (5.6.36) и (5.6.37) функции; ^^, М^, и Qk —угол поворота и внутренние силовые факторы, соответствующие статической задаче (5.7.13)-(5.7.15):
(5.7.22)(5.7.22)^(Н = -/'(Н, МкМ = -Г’М-х^Qk =+
(5.7.22)
(5.7.22)
Рассмотрим пример на использование полученных соотношений.
Пример 5.7.1. Определить прогиб и изгибающий момент в шарнирно опертой круглой пластине при внезапном приложении к ее краю изгибающего момента Н(т). В расчетах принять: 7 =200V3,^ = 0,429.
Решение. Граничные условия для такой пластины имеют вид
<=1=0, М|г=1<=1=0, М|г=1(5.7.23)(5.7.23)
<=1=0, М|г=1
<=1=0, М|г=1
(5.7.23)
(5.7.23)
что соответствует следующим правым частям равенств (5.7.3):
Q1(t)=0, 92(т) = Я(т). (5.7.24)
Поэтому в (5.7.4), равно как и в представлениях (5.7.18), (5.7.21) кинематических параметров и внутренних силовых факторов, остается лишь по одному ненулевому слагаемому, и далее везде соответствующий им индекс опускаем.
Функция /(г), входящая в частное решение (5.7.12), определяется равенством (5.7.16) и, согласно (5.7.14) и (5.7.23), должна удовлетворять граничным условиям
/(1) = 0, Г(1) + х/'(1) = -1.(5.7.25)
Следовательно, она имеет вид
т =(5.7.26)
Соответствующая рассматриваемой пластине задача на собственные значения решена в п. Б § 5.6.
Подставляя теперь (5.7.19) с учетом (5.7.20) и положительности собственных значений, а также (5.7.24) и (5.7.26) в формулу (5.7.18), находим прогиб
w(r, т) =w(r, т) =1 — г22(1 +м)1 — г22(1 +м)52 ЬпЯп(г) COS WnT n=l■52 ЬпЯп(г) COS WnT n=l■Н<т\Н<т\(5.7.27)(5.7.27)
w(r, т) =
w(r, т) =
1 — г22(1 +м)
1 — г22(1 +м)
52 ЬпЯп(г) COS WnT n=l■
52 ЬпЯп(г) COS WnT n=l■
Н<т\
Н<т\
(5.7.27)
(5.7.27)
где
11
6n = [ апЦШ0 di =1[ R^W - с2) di. (5.7.28)
J2(1 +м) \\R4- J
Последний интеграл вычисляем с применением формулы (5.6.42) и таблиц [58]
]ЯпЮЩ-£2)^ = ]оо]ЯпЮЩ-£2)^ = ]оо^о(мп€)^о(мп€)^ОуР'п )^ОуР'п )2Гп2Гп^2^М"п^^2^М"п^«Л) (Дп)io (^4«Л) (Дп)io (^4^2 (l^n}^2 (l^n}4^4 JM- (5.7.29)4^4 JM- (5.7.29)
]ЯпЮЩ-£2)^ = ]оо
]ЯпЮЩ-£2)^ = ]оо
^о(мп€)
^о(мп€)
^ОуР'п )
^ОуР'п )
2
Гп
2
Гп
^2^М"п^
^2^М"п^
«Л) (Дп)
io (^4
«Л) (Дп)
io (^4
^2 (l^n}
^2 (l^n}
4^4 JM- (5.7.29)
4^4 JM- (5.7.29)
Здесь при преобразованиях результата интегрирования использованы формулы (5.6.44) и (5.6.45), а также рекуррентные формулы для функций Бесселя:
ММ = 2— Mi^) - JMh г(5.7.30)
ММ = IM - 2^^- ММ-
Подставляя (5.7.29) в (5.7.28) и принимая во внимание равенство (5.6.46) для нормы собственных функций, получаем
Ь» = ^7^1ГТТ^Г^Т^ТТ^ПЧГ (5-7'31)
Дп [2дп(1 - x)Ji(p,n) - Jo(^n) (2дп + 1 - И
М(г, т) = Н(т)М(г, т) = Н(т)(5.7.32)(5.7.32)Изгибающий момент М(г, т) находим с помощью соотношений (5.7.20) и (5.7.22):
М(г, т) = Н(т)
М(г, т) = Н(т)
(5.7.32)
(5.7.32)
- 52 ^ Нм™ (г) cos ШпТ-п=1■
где в соответствии с (5.6.27) и (5.6.42)
^Mn(^) — Мп] Цп [^о(Мп^) 4“ ^п(Мп)^0(Мп^)]
- Цт1 ^М + DM^M^- (5.7.33)
Отметим, что первое слагаемое в квадратных скобках в (5.7.32) соответствует статической задаче и, естественно, совпадает с найденным по формулам (5.7.22) и (5.7.26) моментом М^ (г) = 1.
Приведенные ниже результаты получены с учетом шести членов рядов Фурье в (5.7.27) и (5.7.32). Представленная на рис. 5.7.1 про-
Рис. 5.7.1Рис. 5.7.1Рис. 5.7.2Рис. 5.7.2
Рис. 5.7.1
Рис. 5.7.1
Рис. 5.7.2
Рис. 5.7.2
странственно-временная зависимость прогиба показывает, что пластина совершает незатухающие колебания около статического решения w = /(г). Рисунки 5.7.2 и 5.7.3 иллюстрируют временную и пространственные зависимости прогиба в некоторых точках и в фиксированные моменты времени.
Рис. 5.7.5Рис. 5.7.5Рис. 5.7.6Рис. 5.7.6
Рис. 5.7.5
Рис. 5.7.5
Рис. 5.7.6
Рис. 5.7.6
Аналогичные зависимости для изгибающего момента М(г.т) приведены на рис. 5.7.4-5.7.6. Незначительное отличие момента от нуля при т=0и0^г<1нс является вычислительной ошибкой, а обусловлено разрывным характером эпюры и соответствующей плохой сходимостью ряда в окрестности разрыва (см. также пример 5.4.1).
Глава 6
ВОЛНЫ В НЕОГРАНИЧЕННОМПРОСТРАНСТВЕ И ПЛОСКОСТИ
Ранее в главах 2-4 рассмотрены одномерные волновые процессы в сплошных средах. Значительно сложнее с точки зрения используемого математического аппарата обстоит дело с двух- и трехмерными задачами о распространении волн. Наиболее простыми из них являются задачи для неограниченных областей в виде пространства R3 и плоскости R2. которые и будут рассмотрены в этой главе.
Здесь ограничимся только упругими однородными линейными средами. При этом будем использовать прямоугольную декартову систему координат ОХ1Х2Х3 с ортами 61,62,63.
Скорости распространения упругих волн
Рассмотрим общие свойства системы уравнений движения однородной упругой анизотропной среды в перемещениях (А.4.8) при отсутствии массовых сил
8 Ui >^ д U[8 Ui >^ д U[(6.1.1)(6.1.1)
8 Ui >^ д U[
8 Ui >^ д U[
(6.1.1)
(6.1.1)
где р, Cijki — плотность и упругие постоянные среды, и^ — координаты вектора перемещения, t — время.
При некоторых ограничениях на упругие постоянные система уравнений (6.1.1) относится к гиперболическому типу. Эта система допускает функционально-инвариантные решения в виде плоских волн (см. § 1.1) [3]:
^г — /г (^^^к^к} ;(6.1.2)
где fi(x) — произвольные дважды дифференцируемые функции; с — скорость распространения плоской волны в направлении единичного вектора 1 = /^е^; l^x^ = const — уравнение плоскости с нормальным вектором 1.
Подстановка (6.1.2) в уравнения (6.1.1) приводит к однородной системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
(D - рс2Е) f" = О,
___т (6Л-3)
D — (^гт)зхЗ ’ ^гт — &ijkmljlкf — (/1; /2? /з) ?
где Е — единичная матрица.
Система (6.1.3) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда
|D — £Е| = О, С = р<?.(6.1.4)
Так как потенциальная энергия упругих деформаций
И^ = 2 ^ijkm^ij^km(6.1.5)
является положительно определенной квадратичной формой [3], то D — матрица простой структуры и имеет только неотрицательные собственные значения
Ск = р4 (к = 1,2,3).(6.1.6)
Таким образом, в каждом направлении 1 в упругой анизотропной среде распространяются три плоские волны со своими скоростями с^.
В частном случае изотропной среды тензор упругих постоянных определяется только двумя параметрами — постоянными Ламе Аид (см. (А.2.1), где для прямоугольной декартовой системы координат следует положить gij = 5i^ ^ij ~ символ Кронекера):
Cijkm = ^^ij^knа Т М ^гк^зт Т ^im^jk^ •(6.1.7)
Из (6.1.3) и (6.1.7) находим
dim = (^ Т ^J>)^i^m Т Ц^гт.(6.1.8)
С учетом этого уравнение (6.1.4) эквивалентно уравнению
|L-£E|=0, L = (iW3x3, £ = ^.(6.1.9)
Как известно [43], характеристическое уравнение (6.1.9) имеет вид
-е3 + Sp L£2 - Sp L^ + det L = 0,(6.1.10)
где L' = (A^m) — ассоциированная c L матрица, A^m — алгебраические дополнения матрицы L, SpL и SpL' — следы матриц L и L/.
С учетом вида матрицы L нетрудно показать, что
Sp L = Z^ + 1^ Т Z3 — 1, Sp I/ = Ац + A22 T A33 = 0, det L = 0.
(6.1.11)
Следовательно, (6.1.9) эквивалентно уравнению с не зависящими от направления 1 коэффициентами
—£2(£ — 1) = 0,(6.1.12)
которое имеет корни ^ = 1 и ^ = 0 соответственно кратностей 1 и 2.
Таким образом, из (6.1.6) и (6.1.9) получаем, что в однородной изотропной среде в любом направлении распространяется две волны
со скоростями
/л Т 2дV р/л Т 2дV р(6.1.13)(6.1.13)
/л Т 2д
V р
/л Т 2д
V р
(6.1.13)
(6.1.13)
что, естественно, полностью совпадает с выводами § А.2 (см. (А.2.30)).
Отметим, что, очевидно, приведенные свойства скоростей распространения волн в упругих средах инвариантно относительно выбора системы координат.
Распространение объемных и начальныхвозмущений в упругом пространстве
Для изучения процесса распространения возмущений в упругом однородном изотропном пространстве используем уравнения движения (А.4.11) относительно координат п&(ж1, Ж2, ^з, t) вектора перемещения при ^ = 0 и R = 0 (точками обозначено дифференцирование по размерному времени t);
t > 0, (6.2.1)t > 0, (6.2.1)йк = (ci - с2) ^^ + <2Дик + Fk, (жх, ж2, ж3) е R3,
t > 0, (6.2.1)
t > 0, (6.2.1)
дж] дк2 д^з
где Ci и С2 — скорости распространения волн расширения-сжатия и сдвига (см. (6.1.13)), 6 — коэффициент объемного расширения, который в соответствии (А.4.9) имеет вид
0 — £11 + £22 + £33-0 — £11 + £22 + £33-(6.2.2)(6.2.2)
0 — £11 + £22 + £33-
0 — £11 + £22 + £33-
(6.2.2)
(6.2.2)
Деформации ект и напряжения акт определяются формулами (А.4.6) и (А.4.10):
(6.2.3)(6.2.3)_ I / дит + Эик \ .
(6.2.3)
(6.2.3)
\ Эхк ЭХт )
^кт — ^^km Н" ^Ц£кт.(6.2.4)
Для замыкания задачи к уравнениям (6.2.1) добавляем начальные условия
W*|t=0 = Vk^l^l^sY “*lt=o = ^(Ж1,Ж2,Ж3),($1, Ж2, Х3) £ R3.
(6.2.5)
В соответствии с (1.4.4), (1.4.15) и с учетом того, что занимаемая средой область совпадает с R\ перемещения имеют интегральные представления
Цх^ Ж3, *) = Gkm(xi, $2, Ж3, t) жж F^Xi, Х2, Хз, t) +
+ 6кт(хъ Х2, Хз, £) * ^m(a?i, ж2, Ж3) +
+ Gkm^Xi, Х2, Ж3, Z) ж ^ш(жх, ж2, Хз\ (6.2.6)
где в первом слагаемом свертка вычисляется как по пространственным координатам, так и по времени, а в остальных — только по пространственным координатам.
В равенстве (6.2.6) С&т(ж1, ж2, Жз Д) = ик — функции влияния, которые удовлетворяют следующим задачам:
Gkm = (с? - 4) |^ + C^Gkm + бктб^б^Х!, Х2, Ж3),
ОХк
(жх, ж2, ж3) £ Я3, t > 0;(6.2.7)
G km\t=0 — ^* G кт\— 0-G km\t=0 — ^* G кт\— 0-(6.2.8)(6.2.8)
G km\t=0 — ^* G кт\— 0-
G km\t=0 — ^* G кт\— 0-
(6.2.8)
(6.2.8)
Соответствующие деформации Gklm и коэффициент объемного расширения 6т в соответствии с (6.2.3) и (6.2.2) определяются так:
(6.2.9)(6.2.9) 1 / ^Glm dG^m\ ,klm ” 2 \”^Г "^Г/ ’
(6.2.9)
(6.2.9)
- GSlm ++ G^m = S^+S^+8^.(6-2.10)
Отметим, что С^т(ж1, ж2, ^з, t) — компоненты симметричного тензора второго ранга — тензора Грина, Gklm(xi, X2,x^,t) — компоненты тензора третьего ранга [29].
Соответствующие представления для напряжений имеют вид
<ты(ж1, ж2, ж3, *) = Gklm(xi, х2, x3,t) ** Fm(жl, ж2, ж3, <) +
+ 6к1т(хъх2, Ж3, t) * ут(ж1, ж2, Жз) +
+ еЫт(Ж1 , ж2, Жз, #) * ^т(Ж1, Ж2, Жз), (6.2.11)
где Gklm(xi, ж2, ж3, t) — функции влияния для напряжений, которые являются компонентами тензора третьего ранга и, согласно (6.2.4), определяется так:
СстЫт = Х0тбк1 + 2цСеЫт.(6.2.12)
Построим функции влияния. Для решения задачи используем тройное преобразование Фурье по пространственным координатам и преобразование Лапласа по времени (см. приложение В). Предварительно с учетом свойств этих преобразований и таблиц В.1.1 и В.2.2 находим (здесь и далее все обозначения стандартные)
[<5(/)5(ж1,ж2,Жз)]Г£ = 1, 6mL(qi,q2,q3,s) = -iqkG^(qi, q2, q3, s),
(6.2.13) [AG/;m]FL = —q2Gk^(qi, q2, q3, s),
где
q = ^qi + q^ + ql •(6.2.14)
Применяя теперь указанные преобразования к (6.2.7) с учетом (6.2.8), а также к (6.2.9) и (6.2.12), получаем
s2G^ = -iqk (cf - с|) 0^ - q24G^ + 6km;(6.2.15)
Gkfm = -| (QkG^ + qtG^ .(6.2.16)
Умножаем теперь (6.2.25) на qj и с учетом (6.2.13) проводим свертку по индексам j и к
i^L = -iq2 (с2 - с2) в^ - iq2c26^ + qm, откуда находим
i6^L =(6-2.17)
s + C1q
где Ci — скорость распространения волн расширения-сжатия (см. (6.1.13)).
Исключая эту величину из (6.2.15), получаем изображения функций влияния для перемещений
^FL _ ^кт(С1 — ^2) qkqm _
кт 2 ,22/ 2 .2 2\ / 2 .2 2\
S + c2Q (s Гс^)^ + c2q )
(6.2.18)(6.2.18)^кт qkqm |11
(6.2.18)
(6.2.18)
2 .2 22 I 2 .2 / 22 / 2
s + c2q s \q +s ]cx q +s /c2
Отсюда с использованием (6.2.16) находим изображения функций влияния для деформаций
^eFL • qk^im Н- qi^km qkqiqm (11|
[ 2 (s + c2q J s \g +s ] cx q +s /c2/_
(6.2.19)
Обращение преобразования Фурье в (6.2.17)-(6.2.19) проводим с по
мощью табл. В.1.4:
aL $т 1
—,2 3
e-sr/cxe-sr/cx(6.2.20)(6.2.20)12Г/ \г 8L\сз;12Г/ \г 8L\сз;®к®т2 Т®к®т2 Тhihi(6.2.21)(6.2.21)^СхТ
e-sr/cx
e-sr/cx
(6.2.20)
(6.2.20)
12Г/ \
г 8L\сз;
12Г/ \
г 8L\сз;
®к®т
2 Т
®к®т
2 Т
hi
hi
(6.2.21)
(6.2.21)
✓aeL 1\ Xk^lm “h Xt§km iк 1т — .3 )Q 24тгг (2с2✓aeL 1\ Xk^lm “h Xt§km iк 1т — .3 )Q 24тгг (2с2hshsXX^k^lm 4“ ^l^km 4“ ^m^kl^ hl^k^lm 4“ ^l^km 4“ ^m^kl^ hlХкХ[ХтХкХ[ХтXX(6.2.22)(6.2.22)
✓aeL 1\ Xk^lm “h Xt§km i
к 1т — .3 )Q 2
4тгг (2с2
✓aeL 1\ Xk^lm “h Xt§km i
к 1т — .3 )Q 2
4тгг (2с2
hs
hs
X
X
^k^lm 4“ ^l^km 4“ ^m^kl^ hl
^k^lm 4“ ^l^km 4“ ^m^kl^ hl
ХкХ[Хт
ХкХ[Хт
X
X
(6.2.22)
(6.2.22)
где
hi(x) = ж + 1, h2(x) = ж2 + Зж + 3, h^x^ = ж3 + 6ж2 + 15ж + 15.
(6.2.23)
Оригиналы этих функций с учетом свойств обобщенных функций (см. приложение Б), преобразования Лапласа и таблиц В.2.1 и В.2.2 имеют вид
От =k (at -r) + -6 (at - г)] ;(6.2.24)
4тгС1Г LгА
J ХкХт г /,\ ।1 / гХкХт\ с. /\
Gkm = -.— s —2- о (at - г) н— (§кт— § (at - г) +
4тгг ( drа \т )
"7 (^™ - ^Д Iя (сЯ -^-Н W - г)]} ; (6.2.25)
Gklm = 2 5 Г" 6 Wit - Г) -
6ж кХ IX тип6ж кХ IX тип5 (ext - г) +5 (ext - г) +4тгг ( с^т
6ж кХ IX тип
6ж кХ IX тип
5 (ext - г) +
5 (ext - г) +
(^k^lm ^l^km 2Ст§к1
С1Т \
,1 / Xk^lm “Ь Xl§km XkXlXm\ ef /.\ ,
+ ^ \27/ 6+
।Xl§km । г 6ХкХ[Хт\\
НI зh xmOki^ О {c2t - г) -
С2Г X2Т /
3 ^Ck^lm Н“ ^l^km Н“ ЭСт^Ы3 ^Ck^lm Н“ ^l^km Н“ ЭСт^Ы5ж к Xl хт5ж к Xl хт
3 ^Ck^lm Н“ ^l^km Н“ ЭСт^Ы
3 ^Ck^lm Н“ ^l^km Н“ ЭСт^Ы
5ж к Xl хт
5ж к Xl хт
х [И (cit — г) — Н (c2t — г)] >. (6.2.26)
Функции влияния для напряжений G^lm не выписываем, поскольку они определяются простой подстановкой равенств (6.2.24) и (6.2.26) в формулу (6.2.12).
Для проверки полученного решения построим тензор Грина С^п(ж1, Ж2, жз) соответствующей статической задачи, под компонентами которого понимаются перемещения пространства под действием постоянной по времени, сосредоточенной в начале координат и сона- правленной с вектором ет единичной силы, т. е. решения уравнения
при отсутствии инерционных сил и внешнем воздействии 6km6(xi^ Ж2, жз). Полагая в (6.2.6) Fm = 5m[H(t)5(xi^ Ж2, жз), находим
0^(21, ж2, жз) = Дп, Gkm(xi, х2, x3,t) * H(f).(6.2.27)
Далее удобнее использовать аналог этого равенства в пространстве преобразований Лапласа:
Сйтт(ж1,ж2,жз) = Ииi sGkm(xi,x2,x3,s)- = lira Gkm(xi, х2, х3, s).8~>0S8—>0
(6.2.28)
Как следует из (6.2.21), при вычислении этого предела имеют место неопределенности, которые с учетом (6.2.23) раскрываются следующим образом:
lim Д V (-1У/ц ( -\e~zlci =
^ог Д \CU
Подставляя теперь (6.2.21) в (6.2.28) и принимая во внимание пределы (6.2.29) и (6.2.30), получаем
22/2 .2\
(6.2.31)(6.2.31)^ст /\ С1 С2 / Хк^т । Ci + С2 г \
(6.2.31)
(6.2.31)
кт\Ж1, Ж2; Ж3) о 2 2\222 ^кт ) ;
87ГС! С2Г \ Г С! — С2 /
Если эту функцию умножить на плотность среды р и подставить в нее выражения (6.1.13) скоростей распространения волн через упругие постоянные Ламе, то результат полностью совпадет с известным
решением статической задачи [29]. Наличие дополнительного множителя связано с тем, что здесь функции влияния построены при задании в виде дельта-функции массовых, а не объемных сил.
Пример 6.2.1. С использованием функций влияния (6.2.25) найти перемещения в упругом пространстве под действием внешних сил вида
Fi = S^X^ih F2 = F3 = О(6.2.32)
и при нулевых начальных условиях.
Решение. В этом случае, как следует из формул (6.2.6) и из условия примера, перемещения определяются так:
Itfc^i, Ж2, Ж3, f) = Gki^Xi, X?, Х3, t) ** 5(t)5(х 1) =
= || Gki(xh х^, ж3, t) dx-2 dx3. (6.2.33) я2
Соответствующие функции влияния для перемещений находим по формуле (6.2.25) при m = 1:
Gn = I ^2 5 (С1/ - г) + - (1 - 4) 5 ^t - г) + 4тгг (cirс2 \ т )
-4 1 _ [Я (C1Z - г) - Я (c2t - г)] ;Г \ Г /J
(6.2.34)
Gki =Ы - г) - 1 5 (c2t - г) +
4?ГГ I С1С2
+ ^H(C1t-^-H(c2t-r^ (£ = 2,3).
Так как при к = 2, 3 функции G^x нечетные по координате ж^, то соответствующие интегралы в (6.2.33) равны нулю и, как и следовало ожидать, при данном виде возмущения и^ = и3 = 0. Для перемещения их из (6.2.33) и (6.2.34) получаем
их = Gn dx^ dx3 =— Js (жх, ext) +
4тг \ ci
+ 4 [J1 (Ж1, c2i) - Ж1J3 (^1, С2<)] -
- t {/3 («1, cxt) - /3 (жх, c2Z) - 3®i [/5 («1, cxt) - /5 («1, c2Z)]}),
(6.2.35)
где
Ji (^1, t) = -г d(t — г) dx? dx^, J J rД2Ji (^1, t) = -г d(t — г) dx? dx^, J J rД2Il (жх, t) = Л H(t — r) dx^ dx^.
Ji (^1, t) = -г d(t — г) dx? dx^, J J r
Д2
Ji (^1, t) = -г d(t — г) dx? dx^, J J r
Д2
J J r
^(6.2.36)
Для вычисления интегралов в (6.2.36) используем полярные координаты £ и а: Ж2 = £ cos ^, жз = ^ sin оц где £ = д/ж^ + ж| > 0, — тг < а < тг. При этом учитываем, что уравнение /(£) = t — г = 0 и неравенство /(£) > 0 имеют решения £ = £о = V^2 — Ж1 и £ ^ £о только при t ^ ^ |жх|. Кроме того, принимаем во внимание, что по свойствам дельтафункции Дирака (см. § Б.4)
= ^Ш-^,г\^=1. (6.2.37)
Тогда для интегралов Ji и J3 в (6.2.36) находим
Л (Ж1, #) = Н (t — |Ж1|) • 2тг^ 7 ^ (С - Со) d^ = 2тгЯ (# - |Ж1|),о
оо(6.2.38)
73(®1,<) = Я(/-|Ж1|).27г^ [ ^5^-^d^ = ^-H(t-\$1\yо
Интегралы /3 и /5 вычисляем с учетом носителей подынтегральных функций и с помощью замены переменной интегрирования у = £2:
/з(Ж1,г) = Я(г-Ы)-2тг [ ^ = тгЯЦ - |Ж1|) [ ^У = Jo rJo (У + ^)
(t-|®i|)+
2(6.2.39)
Soso
/5(Ж1,#) = Я(#-|Ж1|).2тг [ ^=7ГЯ(<-|Ж1|) [^У=
Joго(у + ®1)
= 27r^^f Я(/-|Ж1|).
3t |
Подставляя (6.2.38) и (6.2.39) в (6.2.35), окончательно получаем
(6.2.40)(6.2.40)ui = Mi(«i,t) = ^- н (at - |a?i|).
(6.2.40)
(6.2.40)
Убедимся в том, что полученное перемещение соответствует функции влияния С(ж, т), полученной в § 2.2 (см. формулу (2.2.12)). Прежде
всего, заметим, что в силу введенных равенствами (2.1.1) параметров перемещение в § 2.2 найдено при следующем безразмерном внешнем возмущении
5(t)5(®)4 = 6 (—) 5(жТ)4 = ^MWY(6.2.41)
Cj \ с* /d ciL
где использовано свойство однородности дельта-функции Дирака (см. §Б.2).
Из (2.2.6) с использованием (2.2.12) получаем соответствующее размерное перемещение (71 = 7)
uL = GL^- = 11я(т-7 |ж'|) = -L Я (ci# - |Ж|),(6.2.42)
Ci L Ci 272C1
что с точностью до обозначения ж = Ж1 совпадает с (6.2.40).
Пример 6.2.2. С использованием функций влияния (6.2.25) найти перемещения в упругом пространстве под действием внешних сил вида
Fk = 6^хь х^бкт (к, т = 1,2), F3 = 0(6.2.43)
и при нулевых начальных условиях.
Решение. В этом случае, как следует из формул (6.2.6) и из условия примера, перемещения определяются так (здесь и далее в этом примере все целочисленные индексы принимают значения 1 и 2)
СА,т(Ж1,Ж2,Ж3Д) б/ж3,(6.2.44)СА,т(Ж1,Ж2,Ж3Д) б/ж3,(6.2.44)Itfc^i, Ж2, Ж3, f) = Gkl(xi, Х^ Х3, t) ЖЖ б^б^Ху, Х^§1т =
СА,т(Ж1,Ж2,Ж3Д) б/ж3,
(6.2.44)
СА,т(Ж1,Ж2,Ж3Д) б/ж3,
(6.2.44)
п3(ж1, ж2, ж3, Z) = С3/(ж1, ж2, ж3, Z) ж* 5(t)5(xi, х^51т =
С3т(ж1,ж2,ж3Д) dx3.
Аналогично выражению (6.2.34) из (6.2.25) находим, что при т = 1,2 функции G3m — нечетные по координате Ж3. Следовательно, соответствующие интегралы в (6.2.44) равны нулю и, как и следовало ожидать, при данном виде возмущения 1/3 = 0. Для остальных координат вектора перемещения получаем
u к = ^_/ЖкЖт K3(xi,X2,cit) + — [6kmKi(xi,x2,c2t) - 4тг \ щс2
- хкхтКз{$1, х2,021)) - t{6km [L3(»1, ж2, Cit) - L3(xi, х2, c2Z)] -
- 4xkxm [L6(xi, X2, ext) - L5(xi,x2,Cjt)^ V (6.2.45)
где
К/(ж1,Ж2,£) = [ ~т 8(t — г) dx3, L[^x\. х^Л^ = [ -i- H^t — r) dx3. JrJr
(6.2.46)
При вычислении этих интегралов учитываем, что уравнение t — г = = 0 и неравенство t — г ^ 0 имеют решения только при t ^ т^. Эти решения имеют соответственно вид х3 = ±Со и |жз| ^ Со, где Со = = V^2 — г2 и г2 = V^F+^f ? Кроме того, аналогично (6.2.37) имеем
[5 (ж3 + Со) + 8 (^з — Со)]
жз=±<о
= ^ ^ ^3 + ^ + 5 (Жз - ^ ’ гк=±Со = 1- (6.2.47)
^ 5(ж3 - Со) dx3 =^ 5(ж3 - Со) dx3 =Тогда для интегралов Ki и Кз в (6.2.46) с учетом четности подынтегральной функции находим
^ 5(ж3 - Со) dx3 =
^ 5(ж3 - Со) dx3 =
КЯжх, Ж2,= 2 [ - 5(t — г) dx3 = 2Я (t —[
Jr 7х Со J
(6.2.48)(6.2.48)оо
(6.2.48)
(6.2.48)
К3(ж1, ж2, t) = 2 [ -3 6(t — г) dx3 =
J г
о
= 2Н (t - г2)[ 4 5 (ж3 - Со) dx3 =” r2)+V2 •
so J гt
о
Интегралы L3 и L^ вычисляем с учетом четности и носителей
подынтегральных функций
£з(я1,ж2,£) = 2 [ 4J г' о£з(я1,ж2,£) = 2 [ 4J г' о<0Я(^ — г) dx3 = 2Н (t — Г2) | о<0Я(^ — г) dx3 = 2Н (t — Г2) | оdx3(Г2 + ®з)3/2dx3(Г2 + ®з)3/2= 2H(t- г2)^г2 Л/ Г2 + Xg= 2H(t- г2)^г2 Л/ Г2 + Xg<0<0ооТГ2ТГ2.2\V2.2\V2
£з(я1,ж2,£) = 2 [ 4
J г' о
£з(я1,ж2,£) = 2 [ 4
J г' о
<0
Я(^ — г) dx3 = 2Н (t — Г2) | о
<0
Я(^ — г) dx3 = 2Н (t — Г2) | о
dx3
(Г2 + ®з)3/2
dx3
(Г2 + ®з)3/2
= 2H(t- г2)^
г2 Л/ Г2 + Xg
= 2H(t- г2)^
г2 Л/ Г2 + Xg
<0
<0
о
о
ТГ2
ТГ2
.2\V2
.2\V2
^5(«l,«2,i) = 2 | о^5(«l,«2,i) = 2 | о<0H(t — г) dx3 = 2Н (t — r2) j о<0H(t — г) dx3 = 2Н (t — r2) j оd$3(r2 + ®1)5/2d$3(r2 + ®1)5/2
^5(«l,«2,i) = 2 | о
^5(«l,«2,i) = 2 | о
<0
H(t — г) dx3 = 2Н (t — r2) j о
<0
H(t — г) dx3 = 2Н (t — r2) j о
d$3
(r2 + ®1)5/2
d$3
(r2 + ®1)5/2
= 2H(t- r2)= 2H(t- r2)$3 (3r2 + $3)3r2 (r2 + ag)3/2$3 (3r2 + $3)3r2 (r2 + ag)3/2<0<0оо=24^^2-</2=24^^2-</2(6.2.49)(6.2.49)
= 2H(t- r2)
= 2H(t- r2)
$3 (3r2 + $3)3r2 (r2 + ag)3/2
$3 (3r2 + $3)3r2 (r2 + ag)3/2
<0
<0
о
о
=24^^2-</2
=24^^2-</2
(6.2.49)
(6.2.49)
Подставляя (6.2.48) и (6.2.49) в (6.2.45), окончательно получаем ик = U^Xi, Ж2, t) =
—Г кт Ci ^С1^ ^Н С2^ v^^Г2/++
+£ Д£ (2с2#2 _ r2) ^2 _(6 2 50)
Пример 6.2.3. Найти перемещения в упругом пространстве под действием сосредоточенной в начале координат и направленной по оси Oxi силы F = pf(t)H(t) при нулевых начальных условиях. Расчеты провести в безразмерных переменных (2.1.1), (3.1.4), положив /(£) = = /о = const, /о = // (c^L) = 1, 71 = 1; 72 = 1,871.
Решение. В этом случае координаты объемной силы имеют вид
F1= Ы1Ж=1^2,х3), F2 = F3 = 0;/+(t) = /(t)H(t). (6.2.51)
И аналогично выражению (6.2.33) из (6.2.6) с учетом свойств дельтафункции Дирака получаем
ик(х3, х2, х3, t) - Gki\xi,x2,x3, t) ** /+ (<)5(а?1, ж2, ж3) -
= Сй1(ж1,ж2,жз,<) * f+(t). (6.2.52)
Подставляя сюда функции влияния Gk3 из (6.2.34), приходим к следующим равенствам:
uk(x3,x2,x3,t) =(6.2.53)
2Гт/ \о/\ 1
= -г^ Е (-1)' ^ /+ Р - г) + ^ ^(2) V - г) ^к = 2’3)’
4тгг[сj \Cj)г\сз / _
где
(6.2.54)(6.2.54)/(2)(t) = t+ * /+(t) = j (t - T^H^t - т)/(т)</т = H(t) j (t - т)/(т)</т. о0
(6.2.54)
(6.2.54)
Очевидно, определенная формулой (6.2.54) функция /(2)(£) есть первообразная второго порядка функции /+(^) (см. приложение Б).
Для заданной в условиях примера функции /(£) из (6.2.54) получаем
с
(6.2.55)(6.2.55)f^4t) = f0HW^t-T)dT=^t2+.
(6.2.55)
(6.2.55)
О
На рисунках 6.2.1 и 6.2.2 представлены полученные при указанных
в условиях примера величинах параметровв условиях примера величинах параметроваараспределения соответ-распределения соответ-ббРис. 6.2.1Рис. 6.2.1
в условиях примера величинах параметров
в условиях примера величинах параметров
а
а
распределения соответ-
распределения соответ-
б
б
Рис. 6.2.1
Рис. 6.2.1
ственно безразмерных перемещений ui и т/з по координатам Ж2 и жз в плоскости жх = 0,5 при следующих моментах времени: а) т = 0,6; б) т = 0,8; в) т = 1; г) т = 1,2; д) т = 1,4. На первом рисунке четко прослеживается фронт волны. Из второго рисунка следует, что перемещения т/з, в основном, наблюдаются в окрестности точки Ж2 = жз = 0.
6.3. Нестационарные возмущения в упругойплоскости
Рассмотрим двумерный аналог изложенной в предыдущем параграфе задачи, полагая
uk=uk(<xi1x2lt\ «з=0.(6.3.1)
Здесь и далее в этом параграфе все целочисленные индексы принимают значения 1 и 2.
Из (6.2.1)-(6.2.4) в этом случае имеем
uk = Щ - с2) ^- + clAuk + Fk(x1,x2, <), (жх, ж2) € Л2, t > 0,
д =+
дж? джГ
£кт - 2 fc + Э^) ’ 513 - £23 - £33 = °’(6'3'
6 — £ц “h £22?(6.3.4)
^km = X05km + 2p,Ekm^ (713 = 6723 = О, (733 = ^ ^(^ц + СГ22) •
(6.3.5) Для замыкания задачи к уравнениям (6.3.2) добавляем начальные условия (ср. с (6.2.5))
^fclt=o = ^^(^l» ж2), ilk\t=0 = фк^^Х^,^Xi,X2^R2.(6.3.6)
Перемещения и напряжения имеют аналогичные (6.2.6) и (6.2.11) интегральные представления:
^^(^1,^2, *) = GkmVx^ ж2, *) ** Гт(Ж1, Ж2, *) +
“И ^/гт(*^Ь ^2? ^) * 9^т(*^1; ^2) Н” ^/ст(^Ь ^2? ^) * 'Фт^!^ *^2)5(6.3.7)
(Tkl^Xl, х2, t) = Gklm(xi,x2, t) ж* Fm(xi,x2, t) +
+ G^^Xi, ж2, t) * (pm(xbx2) + С^т(жъ Ж2, t) ж ^т(жх, x^. (6.3.8)
Здесь Gkm — функции, удовлетворяющие уравнению (ср. с (6.2.7))
Gkm = (4 -+ C^AGfcm + 5fcm5(t)d(x1, Х2),
(6.3.9)
(жх, Ж2) Е R\ t > 0
и нулевым начальным условиям (6.2.8), Gklm — функции, определяемые равенствами (6.2.12), в которых
9т = G^m + G22m = ^ + ^,(6.3.10)
а деформации Gklm вычисляются по формулам (6.2.9).
Очевидно, Gkm(xi, ж2, t), G^lm(xi,x^ t) и Geklm(xi, х2, t) — функции влияния для перемещений, напряжений и деформаций. Они являются соответственно компонентами симметричного тензора второго ранга (тензора Грина) и тензоров третьего ранга в двумерном пространстве R^.
Функции Gkm(xi^ Х2, t) фактически найдены в примере 6.2.2. Однако удобнее для построения функций влияния напрямую использовать преобразование Фурье по пространственным координатам (в данном случае двойное) и преобразование Лапласа по времени (см. приложение В). При этом, очевидно, для изображений справедливы результаты (6.2.17)-(6.2.19), где необходимо положить Q3 = 0, т. е.
Gfclm = Gklm(41, Qi, S), Gk^m = Gkfm^qi, Qi, s),
(6.3.11)
GkTm = Gkf^(qi,q2,s), q = Jql + q2.
Оригиналы по Фурье этих функций определяем с помощью табл. В.1.3 и с учетом рекуррентных формул для модифицированных функций Бесселя [54]
(6.3.12)(6.3.12)
(6.3.12)
(6.3.12)
Эти оригиналы имеют вид
S® m2ттС1ГS® m2ттС1Г(6.3.13)(6.3.13)
S® m
2ттС1Г
S® m
2ттС1Г
(6.3.13)
(6.3.13)
pL = —
km 2тг
КгКг(6.3.14)(6.3.14)J ®k^lm Н~ ®l^km Ыт - ~2^Д2^J ®k^lm Н~ ®l^km Ыт - ~2^Д2^^k^mС5Т^k^mС5ТXX^k^lm “Ь ^l^km “Ь ^m^kl^ ^2^k^lm “Ь ^l^km “Ь ^m^kl^ ^2SXkXiXm/ rs\ ^3 I — Icjr\c3 JSXkXiXm/ rs\ ^3 I — Icjr\c3 J
Кг
Кг
(6.3.14)
(6.3.14)
J ®k^lm Н~ ®l^km Ыт - ~2^Д2^
J ®k^lm Н~ ®l^km Ыт - ~2^Д2^
^k^m
С5Т
^k^m
С5Т
X
X
^k^lm “Ь ^l^km “Ь ^m^kl^ ^2
^k^lm “Ь ^l^km “Ь ^m^kl^ ^2
SXkXiXm/ rs\
^3 I — I
cjr\c3 J
SXkXiXm/ rs\
^3 I — I
cjr\c3 J
(6.3.15)
Здесь и далее в этом параграфе под т понимается следующая величина:
г = ^х^А- х*^.(6.3.16)
Для обращения преобразования Лапласа используем табл. В.2.2:
е™ =:<“-17)
Gkm =[— (с^2 - i12)^2 - ezi2 (c2i2 - r2)+1/2l +
2тгг ( LCl“Г"г J
+ ^^ £ ^^ (2c^2 - r2) (c2<2 - r2);1/2 J;(6.3.18)
z-ie 1 J ^Ck^lm “b -Cl^km / 2^22\ ^/^ ।
+ 7 E ^^ [^^ (8c^4 - 12c2#2 + 3r4) (c2#2 - r2);3/2 -
- ^k^lm + XtSkm + Жт^/) (2c2<2 - Г2) (c2<2 - f2) + 1/2] |.(6.3.19)
Отметим, что правые части формулы (6.3.18) и полученного в примере 6.2.2 выражения (6.2.50) совпадают. Функции влияния для напряжений С^т определяются подстановкой равенств (6.3.17) и (6.3.19) в формулу (6.2.12).
Для проверки полученного решения аналогично предыдущему параграфу построим тензор Грина G^^Xx^x^ для соответствующей статической задачи, компонентами которого являются перемещения плоскости под действием постоянной по времени, сосредоточенной в начале координат и сонаправленной с вектором ет единичной силы, т. е. решения уравнения (6.3.9) при отсутствии инерционных сил и внешнем воздействии б^т^хх^ x^Y Полагая в (6.3.7) Fm = 5m[H(t)5(xx^ x^Y находим (ср. с (6.2.27))
С^тт(ж1, ж2) = Ит Gkm(xx,x2, t) * H(tY (6.3.20)
Здесь в отличие от предыдущего параграфа в силу сложности рядов, в которые раскладываются функции Kn^ в окрестности точки 2 = 0 [54], вместо использования аналога равенства (6.2.28) проще непосредственно вычислить предел (6.3.20). Сначала с использованием (6.3.18) найдем стоящую под знаком предела свертку:
Gkm(xx,x^t) * H(t) =
^ml "Д' МИ^Г, t) - — [Г Mi2(r, t) + M_lj2(r, t)] I + I Cl ГC2J
+[4 M^r, t) +/)] Y (6.3.21)
где
M-xjY^ ^ ~ | (c2r2 “ r2)+X^2 ^^ — t) dr = о
(6.3.22)
= | (cjT2 — r2)^2 H(t — r)dr = 0
= H (cjt — r) j ^CjT2 — r2 dr = ^ ^t (c2t2 — r2)^2 — t2M_xj(t^ £)j . T/C3
Подставляя интегралы (6.3.22) в (6.3.21), после некоторых преобразований приходим к равенству
G кт(.ЗС1) х2, ^) * Н(£) —
1J_ /_1 V ^кт2тгс5 V Ц 21J_ /_1 V ^кт2тгс5 V Ц 2^4 4 (^t2 - ^2)+2 r / r^4 4 (^t2 - ^2)+2 r / r
1J_ /_1 V ^кт
2тгс5 V Ц 2
1J_ /_1 V ^кт
2тгс5 V Ц 2
^4 4 (^t2 - ^2)+2 r / r
^4 4 (^t2 - ^2)+2 r / r
(6.3.23)
Для раскрытия неопределенности в пределе (6.3.20) используем следующие разложения для квадратного корня и логарифма при t —> оо:
InInCjtCjt1 +1 +(6.3.24)(6.3.24)
In
In
Cjt
Cjt
1 +
1 +
(6.3.24)
(6.3.24)
из которых вытекают равенства (t —> ос)
2/I2
(6.3.25)(6.3.25)
(6.3.25)
(6.3.25)
Подставляя теперь (6.3.25) в (6.3.23) и далее в (6.3.20), получаем
22/2 .2 ч \
(6.3.26)(6.3.26)^ст /\ С1 С2 / Хк$т । г С1 + С-2 .1 \
(6.3.26)
(6.3.26)
^2)2 212 ^кт 22 I ‘
4ТГС1С2Г \ ГС! — С2Т /
Если аналогично пространственной задаче эту функцию умножить на плотность среды р и подставить в (6.3.26) выражения (6.1.13) скоростей распространения волн через упругие постоянные Ламе, то результат полностью совпадет с известным решением статической задачи [29]. Наличие дополнительного множителя так же, как и в § 6.2, объясняется тем, что здесь функции влияния построены при задании в виде дельтафункции массовых, а не объемных сил.
Пример 6.3.1. Найти перемещения в упругой плоскости под действием сосредоточенной в начале координат и направленной по оси Охх силы F = pf(t)H(t) и при нулевых начальных условиях. Расчеты провести в безразмерных переменных (2.1.1), (3.1.4), положив /(£) = = /о = const, /о = // (с?^) = 1, 71 = 1; 72 = 1,871.
Решение. В этом случае координаты объемной силы имеют вид
F1 = f+^S(X1,x2), Г2=0; Mt) = HtWtY (6-3.27)
Соответствующие перемещения, как следует из (6.3.7) и свойств дельта-функции Дирака, определяются так
МЙ(Ж1,Ж2,<) = Gki(Xi,X2,t^ ** /+(#)5(Ж1,®2) = Gki^Xi,®!,^ * /+(#).
(6.3.28)
Функции влияния G^ находим из (6.3.18)
= "5^? [^ ^ " г2> + 2 " й<2 (с2‘2 " г2)+'/2 +
+ 4e^(2»,---j (==«=
с« = Е (2сУ - г2) И«» - г1);1'2.(6^3^29)
2ТГГ . 1 Cjт
3 = 1
Подставляя эти равенства в (6.3.28), приходим к следующим формулам для перемещений:
П1(ж1,ж2Д) =Nn(r,t) - — Ni^r.t) + ^ц2(гД)1 +
С1ТС2 Lr-1
2 Г —Г 21 1
+ ^ Е р N (Т, t) + N (т, t) I гCj LrJ J
u2(X1,x2,t) = -^ £[4 N^tH ^u(r,d . (6.3.30)
2тгг 7^г Cj LrJ
где
N-ij^r, <) = j (4t2 - r2)+1/2 Hl =
= H (cjt — r) [^^ T= dr,
?/cj V6^2-^
M,j'(r> #) = j (c2-r2 “ r2)+2 ^ ~T)dT =
= H (c.jt — r) j /(t — т^с^тг — r2 d,T. (6.3.31) r/cj
Для заданной в условиях примера функции f(t) из (6.3.31) получаем, что N-ij(r^t) и Nij(r^t) совпадают с указанными в (6.3.22) функциями M-ij^r^t) и M^j(r.t) соответственно. Поэтому для перемещений могут быть использованы свертки (6.3.23):
Ы1(Ж1, ж2, t) = /овц(ж1, ж2, i) * Я(£) =
,21 Г22,
=^ЕД[(-1)’^<(«;г'2---!е+
и2(Ж1, Ж2, t) = /оС21(Ж1, ж2, t) * Я(г) =
= -/°®1®2 t+ 52(ф2 - г2)+/2- (6.3.32)
2тгг j=1 Cj
На рисунках 6.3.1 и 6.3.2 представлены полученные при указанных в условиях примера значениях параметров распределения соответ-
д
Рис. 6.3.1
ственно безразмерных перемещений Ui и т/2 по пространственным координатам в различные моменты времени: а) т = 0,2; б) т = = 0,4; в) т = 0,6; г) т = 0,8; д) т = 1. На них ясно прослеживается наличие особенности в начале координат в окрестности т = 0 и се распространение на фронтах волн с^дт = т.
Рис. 6.3.2
Упражнение 6.3.1. С использованием функций влияния (6.3.18) найти перемещения в упругой плоскости под действием внешних сил вида
Fx ^S^WiY (6.3.33)
и при нулевых начальных условиях.
Указание. Использовать методику примера 6.2.1.
Глава 7
ДВУМЕРНЫЕ ВОЛНЫ
В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ И ПЛОСКОМ СЛОЕ
Исследование процесса распространения волн в ограниченных и по- луограниченных сплошных средах является более сложной задачей, чем изучение этих явлений для неограниченных сред. Это видно уже на примере рассмотренных в главах 2-4 одномерных волновых процессов. Поэтому в этой главе приведем решения только стационарных задач и двумерных (плоских и осесимметричных) нестационарных задач о распространении граничных возмущений (см. § 1.1, 1.2) в однородных изотропных упругих и акустических средах. Остальные вопросы (трехмерные волны, распространение начальных и объемных возмущений) в силу своей сложности выходят за рамки учебной литературы.
Волны Рэлея
Рассмотрим процесс распространения плоской прогрессивной волны (1.3.14) в направлении границы полуплоскости, занятой однородной упругой изотропной средой. Прямоугольную декартову систему координат Oxz (ж = жх, 2 = жз) выберем так, чтобы ось Oz была направлена в глубь полуплоскости, а ось Ох совпадала с границей полуплоскости 2 = 0.
Для описания движения среды используем уравнения в потенциалах (А.2.49) и (А.4.12), в которых в силу двумерности задачи следует положить
ф =^1 — ^2 = 0,^з=^(ж,2Д).(7.1.1)
Полагая, что массовые силы отсутствуют, приходим к следующим уравнениям относительно скалярного потенциала у? и ненулевого компонента г]) векторного потенциала (точками обозначены производные по времени £):
а2 а2
ф = с^А^, ^ = с|Д^, (ж, 2) е R\ £ > 0, А = —? ^2 • дх 8z
(7-1.2)
Перемещения и потенциалы связаны между собой так (см. (А.4.13)):
=из =+ п2 = 0.(7.1.3)
OX OZOZ ох
Для деформаций, коэффициента объемного расширения и напряжений из (6.2.1)-(6.2.4) в этом случае получаем следующие формулы
(см. также (6.3.3)-(6.3.5)):
1 /д^з , 5^1 \5^з
£11 =5£13 = ~ I h 1 5£33 =5£12 = £23 = £22 = О;
ох2 \ ox oz /oz
(7-1.4)
У = £ц + £зз;(7.1.5)
0*11 = ХО + 2/1£ц,(733 = ХО + 2/1£зз, 6713 — 2/1S13;
z .(7.1.6)
(712 — СГ2з = О, 022 — 2(д + ^ (041 + 033 ) •
Считаем, что граница полуплоскости свободна от напряжений и на бесконечности возмущения отсутствуют, что соответствует граничным условиям
^13^=0 = ^зз^о = 0;(7.1.7)
Ф = 0(1), ^ = 0(1), г->+оо.(7.1.8)
Решение задачи (7.1.2)-(7.1.8)) разыскиваем в форме прогрессивной волны
ср(х, г, t) = Ф(г)Е(х, £),
^(ж, г, t) = Ф^Е^х, £),(7.1.9)
Е(хД) = e"iq^"ct\
Подставляя (7.1.9) в (7.1.2), получаем уравнения относительно функций Ф(г) и Ф(г):
Ф"(г)-д2/31Ф(г)=0, Ф"(г)-92/32Ф(г) = 0, 3j = l-^. (7.1.10) сз
При с ^ Cj (3j ^ 0) решения этих уравнений не удовлетворяют граничным условиям на бесконечности (7.1.8). Если же (см. неравенство в (А.2.30)) с < С2, то 0j > 0, и требуемые решения имеют вид
ФСЮ = СгЕ^. Ф(^) = C^z\ Е^ = е"^з^
/ГТ(7-1.11)
аз =
где Ci и С2 — произвольные постоянные.
Следовательно,
Ф^х^ г, Z) = CiEi(z)E(x^ t^ ^(х, г, t) = C^E^^E^x, t). (7.1.12)
Тогда из (7.1.3)-(7.1.6) находим
их = q [—iC\E^(z) + а-^С^Е^г^ Е(х, £),
и^ = -q \aiCiEi(z) + гС^Е^г^ Е^х. t)-
£ц — —q2 ^CiEx^z^) + га^С^Е^(^)] Е(х, t),
£13 = ^ [2iaiCiSi(z) - (1 + а2) С2Е2^ Е(х, t), (7.1.14)
<711 = -М?2<711 = -М?2£зз = 92 [«1^51(2:) + га2С2S2(z)] 5(ж,<);6 = -д^СхЕх^Е^АCl■ /2 \"£зз = 92 [«1^51(2:) + га2С2S2(z)] 5(ж,<);6 = -д^СхЕх^Е^АCl■ /2 \"(7.1.15)(7.1.15)2^ + ^ 1 CxEx(z) + 2ia2C2E2(z) E(x,t), .С2/.2^ + ^ 1 CxEx(z) + 2ia2C2E2(z) E(x,t), .С2/.
<711 = -М?2
<711 = -М?2
£зз = 92 [«1^51(2:) + га2С2S2(z)] 5(ж,<);
6 = -д^СхЕх^Е^А
Cl
■ /2 \"
£зз = 92 [«1^51(2:) + га2С2S2(z)] 5(ж,<);
6 = -д^СхЕх^Е^А
Cl
■ /2 \"
(7.1.15)
(7.1.15)
2^ + ^ 1 CxEx(z) + 2ia2C2E2(z) E(x,t), .С2/.
2^ + ^ 1 CxEx(z) + 2ia2C2E2(z) E(x,t), .С2/.
<713 =№ V^axCiEx^- (l + ai)C252(^] E(x,tY ^ЛА^
<7зз = М?2 [(1 + “2) CxEx(z) + 2ia2C'2E2(z)] E(x,tY
Подставляя равенства (7.1.16) в граничные условия (7.1.7), получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно Сх и С2:
(7.1.17)(7.1.17)2г^1С1-(1 + ^1)С2 = 0,(1 -|- О'2) Сх -|- 2/0'26/2 = 0.
(7.1.17)
(7.1.17)
Условием существования ее нетривиального решения является равенство нулю определителя матрицы этой системы (величина ц определена в (2.1.1))
Я(о'1, О^) = (1 + О^ - 4«1«2 = ^о(€) —
= (2-^2-4= (2-^2-4= 0, (7.1.18)= 0, (7.1.18)
= (2-^2-4
= (2-^2-4
= 0, (7.1.18)
= 0, (7.1.18)
$ = с2/с2-
Умножение левой части этого равенства на сопряженное выражение = (2 - ^ + 4^/1 -^2 приводит к многочлену четвертой степени
А2(€) = №(0, ^(О = £3 - 8£2 + 8(2 + и^ - 8(1 + xY
Здесь (см. (2.1.1), (А.2.30) и (7.1.18))
= 1 -А Н~ 2д = 1 -А Н~ 2д2“2 •Л2“2 •Л(7.1.19)(7.1.19)
= 1 -
А Н~ 2д
= 1 -
А Н~ 2д
2
“2 •
Л
2
“2 •
Л
(7.1.19)
(7.1.19)
Поскольку в действительной области Ro(^) > 0, то уравнение в (7.1.18) эквивалентно следующему кубическому уравнению (множи-
тель £ отброшен, так как он дает нулевой корень, что соответствует отсутствию волны):
Р32(0 = 0.(7.1.20)
В силу неравенства 0 < v < 1/2 (см. (А.2.3)) для реальных сред параметры и и ту изменяются в следующих диапазонах:
0 < и < 1, V2 < ту < ос.(7.1.21)
Предельный случай х = 1 (ту = оо), согласно (А.3.29), (7.1.18) и (7.1.19), отвечает акустической среде. При этом знаменатель в равенстве для £ в (7.1.18) обращается в нуль (с2 = 0). Поэтому параллельно с (7.1.20) будем рассматривать эквивалентное ему уравнение
^31(0 = с3 - 4(1 - х)(2 + 2(2 + х)(1 - ^)2( - (1 - X2) (1 - х)2 = 0,
Р^^=^Р^.(7-1.22)
RM№>^ = P«^^ = AiM =
Дискриминант многочлена Рз1(£) имеет вид
ЛзЫ = (|)3 + (|)2 = ^а3и,
Р = |(Зх-2), g = ^ (45х—11), Д3(х) = х3 + ^х2 + ^х-^.
Так как Аз(0) < 0, Аз (1) > 0 и А^ (х) > 0, то существует единственный действительный нуль х* многочлена Аз (х). При этом для D3 (х) имеем (величины х*, v^ и ту* связаны между собой соотношениями (2.1.1) и (7.1.19))
Рз ккЛ = °,
D^ (х) < 0(0 < х < х*, 0 < v < т/*, 2 < ту2 < ту2) ,
D3 (х) > 0(х* < х < 1, р* < v < 1/2, ту* < ту2 < -hoc) ,
х* to 0,357 003, ^ to 0,263 082, ту2 = 3,110 435.
Таким образом, многочлены Рз1(С) и Рз2(£) при 0 ^ х < х* имеют три различных действительных корня. При х* < х < 1 один их корень действительный, а два других — комплексно-сопряженные. Зависимость корней ^1, ^2 и Сз многочлена Рзх(С) от параметра х представлена на рис. 7.1.1.
Укажем явный вид корней многочленов Рзх(^) и Рз2(£) при некоторых частных значениях упругих постоянных среды:
при v = 0 (х = 0, ту2 = 2)
, _ Сд _ 3 - V5 . _. _ 3 + V5
^22’2’
2
$i = ^=3-V5, ^=2, ^3=3 + V5;
С2
Рис. 7.1.1
при v = 0,25 (А = д, и = 1/3, ту2 = 3) среда Коши
e1 = 4=2fl-^Y £2=2(1 + ^, £з = 4;
с2 \ V 3 /\ V 3 у
при V = V* (х = х* , р2 = ту2)
£1 = ^ = Д^2- з/45^ ~ 11 ) ~ 0,273 027,ci Зт,* у V 2 у
& = Сз = Д (^ + Дбх.-П ) ~ 1,149479,
с _ CR _ 4 I о з145х, - П \_ 2 / , . з145х, - 11
sl 2 О III V О
С2 \ у -/\ V -
при v = 1/2 (х = 1, р2 = сю) — акустическая среда
С1 = <2 = Сз = 4 = о,
С1
2
^i = ^=^o = l-^-v« 0,912 624, с2
и = - — и -0,410634,и = - — и -0,410634,V = | \/л/297 + 17 « 2,164 676,
и = - — и -0,410634,
и = - — и -0,410634,
.8 и +. . и — -и г:
=—±г” V3'
Отметим, что для действительных корней С 1, £2 и £3 многочлена Р31(С) справедливы следующие неравенства:
0 < (1 = 4 < Л (0 < х < 1), С2,з > 1 (0 < х < xj . (7.1.23) Cl р
Таким образом, существует единственная фазовая скорость
С — ^R — ^f^R^ = \f^Rc^ < с25 £,r = €i? Cr = Ci- (7.1.24)
Общее решение системы (7.1.17) представим следующим образом (С — произвольная постоянная):
Ci = —2ia2RC^ С2 = (1 + <Ar^ С. a2R = ^1 — С/г •
Подставляя эти константы в (7.1.13) и (7.1.16), находим перемещения и напряжения:
их = Cqa2R [-2Ex(z) + (1 + а|/г) ^(г)] Е(х, t),
us = Ciq (1 + а|д)us = Ciq (1 + а|д)1,2"1+p” E^-E^z) E^,tY1,2"1+p” E^-E^z) E^,tY(7.1.25)(7.1.25)
us = Ciq (1 + а|д)
us = Ciq (1 + а|д)
1,2"
1+p” E^-E^z) E^,tY
1,2"
1+p” E^-E^z) E^,tY
(7.1.25)
(7.1.25)
бгц = 2ЛС jiq1 ot^бгц = 2ЛС jiq1 ot^E(x, £),E(x, £),'2 \'
бгц = 2ЛС jiq1 ot^
бгц = 2ЛС jiq1 ot^
E(x, £),
E(x, £),
20^ +1 Ex^ - (1 + ^|fi) E^z^
<7i3 = C^ (1 + с<2д)2 VE^z) - EM\ E(x, #),(7.1.26)
<733 = 2iCtiq2a2R (1 + а^я) [--Ei)2) + E?^ E(x, Z),
alR —alR —
alR —
alR —
Напряженно-деформированное состояние среды определяется неединственным образом (в формулах (7.1.25) и (7.1.26) присутствует произвольный постоянный множитель С\ Это связано с тем, что исходная задача является однородной.
Комплексные решения следует понимать следующим образом: в силу линейности задачи реальными являются соответственно либо действительная, либо мнимая их часть.
Полученные волны называются волнами Рэлея. а соответствующая им фазовая скорость cR — скоростью волн Рэлея. Отметим, что, как следует из уравнения (7.1.18), фазовая скорость в этом случае не зависит от волнового числа q. т. е. волны Рэлея являются бездисперсными (см. § 1.3).
Эти волны вследствие наличия экспоненциальных множителей с показателями (—qajz) очень быстро затухают по глубине полуплоскости. При этом скорость затухания определяется фазовой скоростью q. т. е. длиной (периодом) L волны по координате ж. Чем больше фазовая скорость (меньше длина волны), тем быстрее происходит затухание.
Следовательно, волны Рэлея являются поверхностными (их основная энергия сосредоточена у границы полуплоскости). Они имеют большое значение в сейсмологии, поскольку наблюдаются при землетрясениях вдали от эпицентра, и именно они являются причинами разрушений объектов на земной поверхности. Волны Рэлея также играют большую роль при проведении ультразвуковых исследований, в том числе, в дефектоскопии.
Прогрессивные волны в плоском слое
В предыдущем параграфе установлено наличие поверхностных волн Рэлея в полуплоскости. Для оценки влияния второй границы в аналогичной постановке рассмотрим задачу о распространении прогрессивных волн в плоском упругом слое толщины 2h. Соответствующая геометрия задачи и выбранная прямоугольная декартова система координат указаны на рис. 7.2.1 (г = ^zh — граничные плоскости).
Движение слоя описывается уравнениями (7.1.2) и соотношениями (7.1.3)(7.1.6). Положим, что границы слоя являются свободными (см. также (7.1.7))
= сг3з|;$=±,1 = 0.(7.2.1)
Так же, как в задаче о волнах Рэлея, разыскиваем решение в виде (7.1.9) и приходим к уравнениям (7.1.10). Вид общих решений этих уравнений зависит от величины фазовой скорости: с < с^. с = с^. с^ < с < щ, с = щ или с > с^. Однако для внутренних точек всех указанных трех диапазонов их удобнее записать в одном и том же виде (С^ и D^ — произвольные постоянные)
Ф(г) = Ci sh (qzV^i) + Сг ch (qz VlkY
(7.2.2)
Ф(г) = £>i sh ^qzV^-^Л- D2 ch ^qzVPiY
рассматривая при необходимости квадратный корень как мнимое число. Результаты для граничных точек диапазонов получаются с помощью соответствующих предельных переходов.
9 А. Г. Горшков и др.
Из (7.1.9) и (7.2.2) находим следующие представления потенциалов:
^(Ж? ^,
^(ж, ^,^(ж, ^,(7.2.3)
^(ж, ^,
^(ж, ^,
Тогда из (7.1.3)-(7.1.6) получаем
(7.2.4)(7.2.4)^i = -q
(7.2.4)
(7.2.4)
из = 9 { V/" [Cl ch (9^ V^i) + С2 sh (qzV^i)] -
£ц = -q2
—г
£13 = -у {2г VA [Cich (qzV^) + С2 sh (qzV^^
£зз = 92
—г
<711 = w2 {- (1 + 2^1 - /32) [Cish (921/д") + C2ch (qzVlk^ + +2г/^2 [l)i ch (qzV^) + D2sh (921/6^)] j ^(ж,/),
+(1 + ^2) [Dish (92/^) + D2ch (92/^))] | E(x, t), (7.2.6)
<7зз = 92 {(1 + ^2) [Cish (qzV^.) + C2ch (qzV^.^ -
-2г-/82 [£>ich (92/^) + £>2sh (921/^)] | E(x,t\
Подставляя равенства (7.2.6) в граничные условия (7.2.1), после преобразований получаем две независимые однородные системы линейных алгебраических уравнений относительно С^ D^:
2iV0i ^sh (gftVA) + (1 + /32)Dish (qhVPi) = 0,
(7.2.7)
(1 + /32)C2 ch (qhVA ) + 2?у^7?1 ch (qhVPi) = 0;
и относительно Ci, D2*.
2iV0i Ci ch (qh-VPi) + (1 + /32)D2ch (qhVPi) = 0,(1 + /32)Ci sh (qhVPi) + 2г V^2 Dx sh (qhVPi) = 0.
Как вытекает из (7.2.4) и (7.2.6), при Ci = D? = 0 перемещение их и напряжения сгц, 033 — четные, а перемещение из и напряжение 6713 — нечетные функции по координате г. Если же С2 = D3 = 0, то наоборот из и 6713 — четные, а их и сгц, <733 — нечетные функции. Назовем эти два типа волн соответственно симметричными и антисимметричными ^ и в силу линейности задачи рассмотрим их отдельно.
Симметричные волны. Условием существования нетривиального решения системы (7.2.7) является равенство нулю ее определителя, которое эквивалентно трансцендентному уравнению, записываемому при различных значениях фазовой скорости с учетом равенства th ix = г tg х следующим образом:
при С < С2 (^ < 1)
th (дй^-еЛ2) =(2-О2.(7 2 9)
th (qh 0 -е )4^/1 -^/^ ’
при С2 < с < С1 (1 < £ < ц2)
th (дй^-еЛ2) =(2-О2.(7 210)
tg^V?^)
при с > С1 (£ > т?2)
tg^VW-O = _(2 - О2 ,(7 2 п)
tg (qh VC-1)4 V^T VW"1
Обозначения используемых здесь параметров указаны в (7.1.18).
В силу периодичности тригонометрического тангенса уравнение (7.2.10)-(7.2.12) имеет счетное множество решений
(7.2.12)(7.2.12)€sl ^ €s2 ^ • • • < £,sk < • • • }
(7.2.12)
(7.2.12)
которым соответствуют следующие фазовые скорости cs&:
^sk = Cs/c^2? Csk = a/£>sk •(7.2.13)
Исследуем поведение этих скоростей в двух предельных случаях: длина волны (см. § 1.3) значительно больше толщины слоя (L 4> 2Л, qh —> 0) и длина волны намного меньше толщины слоя (L <С 2h, qh —> —> оо). При этом будем использовать следующие свойства элементарных функций:
33
tgж~ж~ж + y, Н1ж~ж~ж-у, ж —> 0;(7214)
th ж ~ 1, ж —> +оо.
Сохраняя в (7.2.11) члены первого порядка малости при qh —> 0 получаем (знаки эквивалентности заменяем равенствами)
4(1-4) =(2- С)2.(7.2.15)
Отсюда для первой формы колебаний имеем, что при qh —> 0 (см. неравенства (7.1.21))
€si ^ €* = 2(1 + х), с —> с* = 2|^^1 - 4 , 1 < 2(1 + х) < ц2.
1(7.2.16)
Использование разложений из (7.2.14) с учетом членов третьего порядка приводит при qh —> 0 (7.2.11) к уравнению
{
2,2 Г2,2 / Л \ "[/л 2, 2\>
^^ 1-^(б-4) €-2(1 + х) (1-^)1 =0.
"(7.2.17)
Поскольку коэффициент при старшей степени стремится к нулю, то один из корней уравнения стремится к бесконечности. Аналогичный анализ соотношений (7.2.9) и (7.2.10) приводит к тому же результату, который соответствует только диапазону изменения £, отвечающему уравнению (7.2.11). Так как для первой формы справедливо соотношение (7.2.16), то этот вывод относится к высшим формам, т. е.
^sk —> 00, csk —> 00 при qh —> 0 (& > 2).(7.2.18)
При qh —> 00, учитывая последнее отношение эквивалентности в (7.2.14), из (7.2.9) получаем уравнение
= 1,(7.2.19)
которое эквивалентно уравнению (7.1.18). Следовательно, фазовая скорость первой формы волны стремится к скорости волн Рэлея
(см. (7.1.24))(см. (7.1.24))€si ^ю с сю€si ^ю с сю(7.2.20)(7.2.20)
(см. (7.1.24))
(см. (7.1.24))
€si ^ю с сю
€si ^ю с сю
(7.2.20)
(7.2.20)
е. в этом случае границы слоя % = ±Д оказывают малое влияние друг на друга. Т. е. на плоскостях % = ±Д преимущественно имеют место волны, близкие к волнам Рэлея.
определяется такопределяется такРис. 7.2.2Рис. 7.2.2Из соотношений (7.2.9)-(7.2.11) вытекает, что волны этого типа являются дисперсными. Групповая скорость в соответствии с (1.3.24)
определяется так
определяется так
Рис. 7.2.2
Рис. 7.2.2
(7.2.21) где $,f(qh) находится как производная неявно заданной уравнениями (7.2.9)-(7.2.11) функции ^(qh).
Можно показать, что групповая скорость для первой формы имеет такие же предельные значения, как и фазовая скорость, а для высших форм при qh —> 0 она стремится
к нулю.
Графики зависимостей от qh безразмерных фазовых £i и £2, а также групповых Cgi и ^2 скоростей симметричных волн при коэффициенте Пуассона v = 1/4 [29] приведены на рис. 7.2.2 (индексы «1» и «2» соответствуют номеру формы).
Для определения формы колебаний полагаем в (7.2.7)
С2 = C(l + /32)sh(^V^), Ог =-2iC^ sh^/i^), (7.2.22) где С — произвольная постоянная.
Подставляя эти равенства в (7.2.4) и (7.2.6) при Ci = D^ = 0, находим формы волн перемещений и напряжений
«1 = iqC {-(1 + /32) sh (qhVp^) ch (qzV^ )+
(7.2.23)(7.2.23)«3 = qCVPi {(1 + £2) sh (qhy/^) sh (qzy/^)-«3 = qCVPi {(1 + £2) sh (qhy/^) sh (qzy/^)-+2 ViSi VPi ch (q^VPi) sh (qzy/^) J E(x, t),
(7.2.23)
(7.2.23)
«3 = qCVPi {(1 + £2) sh (qhy/^) sh (qzy/^)-
«3 = qCVPi {(1 + £2) sh (qhy/^) sh (qzy/^)-
+2 sh (qhy/^) sh (qzy/^)} E(x, t);
<7ii = p-q2C^- (1 + 2/3i - £2) (1 + Pi) sh (.qhVPi) ch (qzVPiH +4^/31 VPi sh (q/ii/81 )ch (qzV0^)} £(ж, i),
<713 = 2ip,q2CVPi (1 + /З2) {- sb (qhy/^) sh (дал/Зг)+
+ sh (<7/11/^) sh (<72:i/#?)} £($,#), (7.2.24)
<733 = q2C ^(1 + p2)2 sh (qhVPi) ch (qzVPi)-
-4i/Si VP2 sh (qhV^ ) ch (qzV^)} £(ж, i).
Антисимметричные волны. Аналогично симметричным волнам из условия существования нетривиального решения системы (7.2.8) получаем трансцендентное уравнение относительно безразмерной фазовой скорости:
при с < С2 (£ < 1)
;,7-2'25)
при С2 < с < Cl (1 < £ < 7?)
th^yi - С/»?2)4V£-1V1-WГ7 9 961
tg^VT^) (2-О2’
при с > ci ^> q^
tg (qh^/q^ - 1) _4- 1 ^/т?2 - 1
tg^^T)(2-О2";
Уравнение (7.2.25)-(7.2.27) имеет счетное множество решений:
Ui<U^< <Uk<(7.2.28)
каждому из которых соответствует следующая фазовая скорость са&:
^ак = Сак^. Сак = л/Сак •(7.2.29)
Исследование асимптотического поведения фазовых и групповых (см. (7.2.21)) скоростей показывает, что для первой формы
€а1 ^0,Cgai -^ 0приqh-^ 0;
(7.2.30)
€а1СюCgai Crприqh ОО,
а для высших форм
Csk схэ, Cgsk 0 при qh 0 (к >2).(7.2.31)
Графики зависимостей от qh безразмерных фазовых £i и £2, а также групповых Cgi и Cg2 скоростей антисимметричных волн при коэффициенте Пуассона v = 1/4 [29] приведены на рис. 7.2.3 (индексы «1» и «2» соответствуют номеру формы).
Рис. 7.2.3Рис. 7.2.3
Рис. 7.2.3
Рис. 7.2.3
Для определения форм антисимметричных колебаний достаточно положить в (7.2.8) (D — произвольная постоянная)
С1 = D(l + p2)ch(qhV^), D2 = -2iDV£kch(qhVM (7.2.32)
и далее подставить эти равенства в (7.2.4) и (7.2.6), учитывая, что Сз = = 0 и Di = 0.
3. Полуплоскость под действием движущейсяс постоянной скоростью поверхностной силы
В рамках предположений § 7.1 о геометрии области и свойствах занимающей ее среды рассмотрим еще одну практически важную стационарную задачу (см. §1.3) о движении с постоянной скоростью и
в направлении оси Ох нормальной к границе 2 = 0 полуплоскости силы Р (рис. 7.3.1).
Движение упругой среды описывается соотношениями (7.1.2)(7.1.6). Граничные условия на границе полуплоскости имеют вид
^^-о °’(7.3.1)
^зз|2=0 = P5<$--utY
где 5(ж) — дельта-функция Дирака.ис' ' '
Условия на бесконечности сформулируем позже.
Предполагая, что решение задачи есть функции от х — vt и 2, перейдем к новой подвижной системе координат
Xi = х — ut. 21 = г.Xi = х — ut. 21 = г.(7.3.2)(7.3.2)
Xi = х — ut. 21 = г.
Xi = х — ut. 21 = г.
(7.3.2)
(7.3.2)
В новых переменных уравнения (7.1.2) приобретают следующий вид:
^ + ^=0,^2^ + ^ = 0, Pj = l-M^ Mj =—
р а®?8?’ аж? 8^3ч
(7.3.3) где Мj — числа Мажа 1).
Соотношения (7.1.5) и (7.1.6) сохраняются, в (7.1.3) и (7.1.4) координата ж заменяется переменной Ж1. Граничные условия (7.3.1) переходят
в следующие:
(7.3.4)(7.3.4)CT13L=0=0, <тзз|г=0 = -Р6^1).
(7.3.4)
(7.3.4)
Отметим, что в зависимости от соотношения скорости и движения силы и скоростей распространения волн ci,C2 (величин чисел Маха, коэффициентов /ЗД уравнения (7.3.3) имеют различный тип: при и < < С2 < Ci (Mi < М^ < 1, 0 < /З2 < /31) оба уравнения — эллиптические; при С2 < ^ < ci (Mi < 1 < М2, /З2 < 0 < /31) первое уравнение — эллиптическое, а второе — гиперболическое; при С2 < Щ < и (1 < Mi < < М2, /З2 < /31 < 0) оба уравнения — гиперболические. Указанные диапазоны имеют следующие названия: первый из них — дозвуковой, второй — трансзвуковой, третий — сверхзвуковой.
Для решения задачи используем преобразование Фурье по координате Ж1 (все обозначения стандартные, см. приложение В). В пространстве преобразований с учетом свойств этого преобразования уравнения (7.3.3), соотношения (7.1.3), (7.1.4) и граничные условия (7.3.4) приобретают следующий вид:
о2 Fо2 / F
= 0, -q2MF += 0;(7.3.5)
OZOZ
и( =-iq<pF -uF = ^- - iq^F;(7.3.6)
efi = -ЧП?, efs = 5 (-iq^ + ^) , ef3 = ^;(7.3.7)
^зк=о=°> ^з|г=0 = -Л(7-3.8)
а в законе Гука 2) (7.1.6) в обозначениях компонент тензоров необходимо добавить индекс «F».
Далее отдельно рассмотрим все три диапазона, в которых может находиться скорость у.
2) Max (Mach Е., 1838-1916) — австрийский физик, философ.
Дозвуковая скорость: v < с? (Mi < М^ < 1, 0 < /З2 < /31). Уравнения (7.3.5) в этом случае записываем так
—q2a^F=0, ai = V3i;(7.3.9)
oz
- q2ay = 0, а2 = лМ-(7.3.10)
oz
Соответствующие условия на бесконечности — условия ограниченности (1.1.2)
yF = O(l)(г->+оо);(7.3.11)
f=O^(г^+оо).(7.3.12)
Удовлетворяющие им решения уравнений (7.3.9) и (7.3.10) имеют следующий вид:
ip^z^CiE^zY Ex(z) = e~a^z-,(7.3.13)
^F(q,z) = С2Е2^, Е2^ =,(7.3.14)
где Ci и С2 — произвольные постоянные.
Тогда из (7.3.6), (7.3.7) и (7.1.6) находим
uf = -iqCxE^ + «2 kl С2Е2^,
uf = -«i |q| CiE^z) - iqC^E^zYuf = -«i |q| CiE^z) - iqC^E^zY(7.3.15)
uf = -«i |q| CiE^z) - iqC^E^zY
uf = -«i |q| CiE^z) - iqC^E^zY
efi = -4 [flCi Ex (2) + i\q\a2C2E2(z^,
£13 = f [2г M aiCiEi(z) - q (1 + a2) C2E2(z)] ,(7.3.16)
£33 = 4 [qalCiE^z) + г |q| а2С2Е2^ ;
^n = -p,q [g (2«i + M2) CiEi(z) + 2г |q>| a2C2E2(z^ ,
<713 = pq [2г kl ctiCiEi^z) - q (1 + a^) C2E2(z^ ,(7.3.17)
<733 = P-q [9 (! + “2) CiEx^ + 2г |q| а2С2Е2^\ .
Заметим, что при q > 0 и и = с формулы (7.3.15)-(7.3.17) в соответствии с (1.3.27) совпадают с равенствами в (7.1.13), (7.1.14), (7.1.16).
Подставляя (7.3.17) в граничные условия (7.3.8), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно констант Ci и С2:
2г \q\ aiCi — q (1 + q|) C2 = 0,
p(7.3.18)
q (1 + c^|) Ci + 2г |q| ol^C^ =.
Определитель матрицы этой системы равен q2R («1, «2)? т. е. при г = с этот определитель пропорционален определителю (7.1.18), а решение системы имеет вид
C1 =C1 =РКи (1 + gj)РКи (1 + gj)2 м-q2 м-qc2 = -c2 = -2гРКиоц sign q2гРКиоц sign q2 м-q2 м-qR (an, a?)(7.3.19)R (an, a?)(7.3.19)Подставляя эти постоянные в (7.3.15) и (7.3.17), находим изображение перемещений и напряжений (ср. с (7.1.25) и (7.1.26))Подставляя эти постоянные в (7.3.15) и (7.3.17), находим изображение перемещений и напряжений (ср. с (7.1.25) и (7.1.26))F гРК.П1 =F гРК.П1 =— [(1 + q|) Ei{z) — 2qiq2^2(^)] 5— [(1 + q|) Ei{z) — 2qiq2^2(^)] 5«Г = ^ ^ + а^ - ^^ ;^ = РКи [(1 + «2) ^ + М^ E^z) - 4аха2Е2^\ ,<т^ = -^гРКиаг (1 + о^) [Si(z) - E^z^ sign q,^зз = -РКи [(1 + “if Ei(z) - 4ОЦО12£2(2)] .«Г = ^ ^ + а^ - ^^ ;^ = РКи [(1 + «2) ^ + М^ E^z) - 4аха2Е2^\ ,<т^ = -^гРКиаг (1 + о^) [Si(z) - E^z^ sign q,^зз = -РКи [(1 + “if Ei(z) - 4ОЦО12£2(2)] .(7.3.20)(7.3.20)Отсюда с использованием свойств преобразования Фурье и табл. В.1.2 приходим к окончательным формулам для перемещения и напряжения:/\R Е и Г /1 I 2 \® 1 о®i 1^1(Ж1, z) = (1 + arctg2ai012 arctg ,'ТТН Iх7У /гг ООтсюда с использованием свойств преобразования Фурье и табл. В.1.2 приходим к окончательным формулам для перемещения и напряжения:/\R Е и Г /1 I 2 \® 1 о®i 1^1(Ж1, z) = (1 + arctg2ai012 arctg ,'ТТН Iх7У /гг О«1 Z«1 ZП3 _ PK^OLi ^2 — (1 + о^ |n ^j X2jr O^z1 + 2 In ^j^^гo^23П3 _ PK^OLi ^2 — (1 + о^ |n ^j X2jr O^z1 + 2 In ^j^^гo^23<7Ц =<7Ц =PKUOL12PKUOL124q|4q|2 .2 2Ж! + OL-122 .2 2Ж! + OL-122PKuolx (1 + al) VM^ - Mi2) ж^22PKuolx (1 + al) VM^ - Mi2) ж^27г (ж? + a^z2) (x2 + ajz2)7г (ж? + a^z2) (x2 + ajz2)(7.3.23)(7.3.23)PKua^zPKua^z(l+c<(l+c<4q|4q|2 .2 22 .2 2Ж! + OL^ZЖ! + OL-iZ2 .2 22 .2 2Ж! + OL^ZЖ! + OL-iZОчевидно, при скорости движения силы, совпадающей со скоростью волн Рэлея cR {М^ = ^/^t^Mx = VCr^ см- (7.1.24)), все компоненты напряженно-деформированного состояния среды обращаются в бесконечность, т. е. решение задачи не существует (не существует решение системы уравнений (7.3.18)). Предельное значение скорости движения силы г = С2 {М^ = 1, Mi = 1/г^ 012 = 0, «1 = д/(1 + х)/2, Ки = 1) не является критическим, т. е. решение задачи существует и имеет видОчевидно, при скорости движения силы, совпадающей со скоростью волн Рэлея cR {М^ = ^/^t^Mx = VCr^ см- (7.1.24)), все компоненты напряженно-деформированного состояния среды обращаются в бесконечность, т. е. решение задачи не существует (не существует решение системы уравнений (7.3.18)). Предельное значение скорости движения силы г = С2 {М^ = 1, Mi = 1/г^ 012 = 0, «1 = д/(1 + х)/2, Ки = 1) не является критическим, т. е. решение задачи существует и имеет вид
C1 =
C1 =
РКи (1 + gj)
РКи (1 + gj)
2 м-q
2 м-q
c2 = -
c2 = -
2гРКиоц sign q
2гРКиоц sign q
2 м-q
2 м-q
R (an, a?)
(7.3.19)
R (an, a?)
(7.3.19)
Подставляя эти постоянные в (7.3.15) и (7.3.17), находим изображение перемещений и напряжений (ср. с (7.1.25) и (7.1.26))
Подставляя эти постоянные в (7.3.15) и (7.3.17), находим изображение перемещений и напряжений (ср. с (7.1.25) и (7.1.26))
F гРК.
П1 =
F гРК.
П1 =
— [(1 + q|) Ei{z) — 2qiq2^2(^)] 5
— [(1 + q|) Ei{z) — 2qiq2^2(^)] 5
«Г = ^ ^ + а^ - ^^ ;
^ = РКи [(1 + «2) ^ + М^ E^z) - 4аха2Е2^\ ,
<т^ = -^гРКиаг (1 + о^) [Si(z) - E^z^ sign q,^зз = -РКи [(1 + “if Ei(z) - 4ОЦО12£2(2)] .
«Г = ^ ^ + а^ - ^^ ;
^ = РКи [(1 + «2) ^ + М^ E^z) - 4аха2Е2^\ ,
<т^ = -^гРКиаг (1 + о^) [Si(z) - E^z^ sign q,^зз = -РКи [(1 + “if Ei(z) - 4ОЦО12£2(2)] .
(7.3.20)
(7.3.20)
Отсюда с использованием свойств преобразования Фурье и табл. В.1.2 приходим к окончательным формулам для перемещения и напряжения:
/\R Е и Г /1 I 2 \® 1 о®i 1
^1(Ж1, z) = (1 + arctg2ai012 arctg ,
'ТТН Iх7У /гг О
Отсюда с использованием свойств преобразования Фурье и табл. В.1.2 приходим к окончательным формулам для перемещения и напряжения:
/\R Е и Г /1 I 2 \® 1 о®i 1
^1(Ж1, z) = (1 + arctg2ai012 arctg ,
'ТТН Iх7У /гг О
«1 Z
«1 Z
П3 _ PK^OLi ^2 — (1 + о^ |n ^j X2jr O^z1 + 2 In ^j^^гo^23
П3 _ PK^OLi ^2 — (1 + о^ |n ^j X2jr O^z1 + 2 In ^j^^гo^23
<7Ц =
<7Ц =
PKUOL12
PKUOL12
4q|
4q|
2 .2 2
Ж! + OL-12
2 .2 2
Ж! + OL-12
2PKuolx (1 + al) VM^ - Mi2) ж^2
2PKuolx (1 + al) VM^ - Mi2) ж^2
7г (ж? + a^z2) (x2 + ajz2)
7г (ж? + a^z2) (x2 + ajz2)
(7.3.23)
(7.3.23)
PKua^z
PKua^z
(l+c<
(l+c<
4q|
4q|
2 .2 22 .2 2
Ж! + OL^ZЖ! + OL-iZ
2 .2 22 .2 2
Ж! + OL^ZЖ! + OL-iZ
Очевидно, при скорости движения силы, совпадающей со скоростью волн Рэлея cR {М^ = ^/^t^Mx = VCr^ см- (7.1.24)), все компоненты напряженно-деформированного состояния среды обращаются в бесконечность, т. е. решение задачи не существует (не существует решение системы уравнений (7.3.18)). Предельное значение скорости движения силы г = С2 {М^ = 1, Mi = 1/г^ 012 = 0, «1 = д/(1 + х)/2, Ки = 1) не является критическим, т. е. решение задачи существует и имеет вид
Очевидно, при скорости движения силы, совпадающей со скоростью волн Рэлея cR {М^ = ^/^t^Mx = VCr^ см- (7.1.24)), все компоненты напряженно-деформированного состояния среды обращаются в бесконечность, т. е. решение задачи не существует (не существует решение системы уравнений (7.3.18)). Предельное значение скорости движения силы г = С2 {М^ = 1, Mi = 1/г^ 012 = 0, «1 = д/(1 + х)/2, Ки = 1) не является критическим, т. е. решение задачи существует и имеет вид
г) = — arctg тгр,г) = — arctg тгр,руТТУ7T/zV2руТТУ7T/zV2С - InС - In(7.3.24)(7.3.24)
г) = — arctg тгр,
г) = — arctg тгр,
руТТУ
7T/zV2
руТТУ
7T/zV2
С - In
С - In
(7.3.24)
(7.3.24)
(Гц =(Гц =Рг^г-Ь^у^Г+^У = Pz2(l +х)У2(] +у
(Гц =
(Гц =
7г [2ж] + (1 + х)«2] ’13 7г [2ж] + (1 + х)г2] Ж] ’
"" (7.3.25)
= РгУ2(1 +х)
33 тг [2ж2 + (1 + х)У\
Анализ формул (7.3.22) и (7.3.23) показывает, что напряжения на бесконечности равны нулю; касательные перемещения Ui ограничены в окрестности бесконечно удаленной точки Жх = оо, а на поверхности полуплоскости они также ограничены, но имеют разрыв первого рода; нормальные же перемещения и^ имеют логарифмическую особенность в начале подвижной системы координат и при Жх —> оо:
«1 L=o =«1 L=o =РКи (1 + а2 _ 2сца-2^ sign жх,
«1 L=o =
«1 L=o =
мз|2=0 =мз|2=0 =(7.3.26)(7.3.26)РКиа1М^ (с + 1п|Ж1|).7ГД
мз|2=0 =
мз|2=0 =
(7.3.26)
(7.3.26)
lim Ui =(1 +— 2а1а«Л ,
Ж1^±оо7ГД х7
изизРК^аг М^7ГДРК^аг М^7ГДIn |Ж1|In |Ж1|(Ж1 -4- ±<Х>).(Ж1 -4- ±<Х>).
из
из
РК^аг М^
7ГД
РК^аг М^
7ГД
In |Ж1|
In |Ж1|
(Ж1 -4- ±<Х>).
(Ж1 -4- ±<Х>).
Отметим, что наличие особенностей у перемещений, как здесь, так и далее, не противоречит гипотезе сплошности среды, поскольку рассматривается идеализированная сосредоточенная нагрузка. В случае распределенной нагрузки эти особенности отсутствуют.
Графики функций й^(ж1,г) = Ujfi/P и 5^(^1,г) = &jk/P ПРИ Mi = 0,4 и М^ = 0,692 приведены на рисунках 7.3.2-7.3.6.
Рис. 7.3.2Рис. 7.3.2Рис. 7.3.3Рис. 7.3.3
Рис. 7.3.2
Рис. 7.3.2
Рис. 7.3.3
Рис. 7.3.3
2. Трансзвуковая скорость: с? < г; < щ2. Трансзвуковая скорость: с? < г; < щ(Mi < 1 < М2.З2 < 0 <
2. Трансзвуковая скорость: с? < г; < щ
2. Трансзвуковая скорость: с? < г; < щ
< 31)- Уравнение (7.3.9) вместе с условием на бесконечности (7.3.11), а также соответствующее решение (7.3.13) в этом случае сохраняется.
0202А? = у — 3^ •А? = у — 3^ •(7.3.27)(7.3.27)Второе же уравнение из (7.3.5) запишем следующим образом:
02
02
А? = у — 3^ •
А? = у — 3^ •
(7.3.27)
(7.3.27)
Для него условие на бесконечности (одномерная задача) — условие излучения (1.3.6):
-^^гу\2гр =о-^^гу\2гр =о(z -> +00) .(z -> +00) .(7.3.28)(7.3.28)
-^^гу\2гр =о
-^^гу\2гр =о
(z -> +00) .
(z -> +00) .
(7.3.28)
(7.3.28)
Удовлетворяющее этому условию решение уравнения (7.3.27) имеет вид
^F(q,z) = C2E2(z), Е2<^ = e-iXiqz.(7.3.29)
где Н(х) — функция Хевисайда.
Аналогично (7.3.15)-(7.3.17) получаем представления трансформант перемещений, деформаций, напряжений и систему линейных алгебраических уравнений относительно констант СД и С2 *.
(7.3.30)(7.3.30)и^ = —iqCiEi(z) -\- iX2qC2E2(z^
(7.3.30)
(7.3.30)
uf = -«1 |q| CiE^z) - iqC2E2(z);
^п = 92 [— CiEi(z) + X^C^E^^z^ ,
£f3 = | [2г |g| ахСхЕу^ - q (1 - Ai) С2Ё2Ц ,(7.3.31)
£зз = 92 [а^СлЕ^2) - Х2С2Ё2(г^ ;
<т£ = мг [- (2а? + М^ СхЕх^ + 2Х2С2Ё2^ ,
<7^ = p,q [2г |q| ахСхЕх(х) - q (1 - Ai) С2Ё2^ ,(7.3.32)
<т[3 = М?2 [(1 - Ai) СхЕх^ - 2Х2С2Ё2^ .
2i\q^axCx -q(l- Х^ С2 = О,
(7.3.33)
(1 - Ai) Сх - 2А2С2 =-—,.pq
Решение системы уравнений (7.3.33) имеет следующий вид (многочлен Р31«) определен в (7.1.22)):
Ci =- ХтЛ + 4miA2 sign gl ,pq LJ
= _2rP/GopgnQ1 ,(7.3.34)
Подставляя эти постоянные в (7.3.30) и (7.3.32), находим изображения перемещений и напряжений:
^f _ PKti [^ _ д|^24^хд2 sjgn q^ х
х [(1 — А2) Ех^ — г^ахХ^Е^г) sign q^ ,
u3 =[(1 - Ai)2 + 4гаiA2 sign[(1 - Ai) Ex (г) - 2Я2(г)1 ;
(7.3.35)
crfx = PKt (1 — Ai) [(1 — Ai)2 + 4гахА2 sign q^ x
x [(2а^ + M^) (1 - Ai) £1(2) - 4zaiA2S2(z) sign q\ ,
270 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл. 7 сг^ = —2iPKta± (1 — А2) [(1 — А2)2 + 4г«1А2 sign q^ x
X [#i(z) - E2(z)^ sign <7, г 24(7.3.36)
<7^ = -pKt [(1 - Аз)2 + 4ictiA2 sign q] x
x [(1 — A2)2 Ei(z) — ^aiXiEitz) sign qj .
Отсюда с использованием свойств преобразования Фурье и табл. В.1.2 получаем перемещения и напряжения:
^1(^1; г) = ^^— А|)3 arctg +
7ГД7a^Z
+ 4«iA2 (1 — А|) In ^/ж2 + a2z2 —— 2Q1A2 (1 — ^2) ^ 1*^1 ^2^| +
+ 4(3^2 sign (жх + А22) + 2«iA2 (l-A^)C ,
Ыз(ж1, z) = Р^Д - (1 - А2)3 In Д^А-ДгЗ +
+ 4«iA2 (1 — А2) arctg —— + 2 (1 — А2)2 In |®i + А2г| —
(7.3.37)(7.3.37)- 4«iA2 sign (жх + X2z) + (1 - Aj) (1 - Aj) C
(7.3.37)
(7.3.37)
<тц(ж1,г) = PKtax<тц(ж1,г) = PKtax(2„? + M^ (1 - Л«) ^Ч^+ЛГ1 -
<тц(ж1,г) = PKtax
<тц(ж1,г) = PKtax
4A2(1-A2)2 а2г/ ч .
Г^ГТа + 16q:iA^ («1 + X2z) 7Г (Ж1 + A2Z)
<Т1з(ж1,г)<Т1з(ж1,г)^PK А Г1 X21 / (1 - A2) (A2®! - «12) г1ГК1О1 (1 - Л,) |, (1. ++ Л„)
<Т1з(ж1,г)
<Т1з(ж1,г)
033(^1,21) = -PKtax033(^1,21) = -PKtax— Х2^ z + 4А2Ж1 тг (ж? + a2z2)
033(^1,21) = -PKtax
033(^1,21) = -PKtax
4А2 (1 — А|)2х х
к \ + 16aiA|j (жх + A2z) .
7Г (Ж1 + A2z)
В рассматриваемом трансзвуковом случае аргумент £ = М^ многочлена Р31(0 лежит в диапазоне ту-2 < ( < 1, в котором отсутствуют действительные корни этого многочлена (см. § 7.1). Следовательно, в отличие от сверхзвукового случая решение задачи определено при любых скоростях движения нагрузки из указанного диапазона.
Предельные значения скорости, соответствующие концам диапазона, в трансзвуковом случае также не являются критическими. При и = = с2 (М2 = 1, Mi = I/77, А2 = 0, а<1 = д/(1 + х)/2, Kt = 1) перемещения и напряжения совпадают с соответствующими значениями, определяемыми формулами (7.3.24) и (7.3.25) для сверхзвукового случая. При v = ci (М2 = 77, Mi = 1, А2 = ц2 — 1, «1 = О, КГ1 = (772 — 2)4), как следует из (7.3.37) и (7.3.38), имеем дело с одномерной деформацией
Ui = ^ signal, «з = 0;(7.3.39)
<711 = -^ 5(Ж1),<713 = 0,<733 = -Pd(sci).(7.3.40)
При получении первого и третьего равенств в (7.3.40) было использовано следующее свойство дельты-совокупности функций /(ж1,г) (см. приложение Б; z —> +0):
lim /(Ж1,г) = 5(Ж1),/(Ж1,г)=^2 2Г (7.3.41)
2^ + 0тг (Ж] -V OL-^Z )
Тот же результат можно получить, если сначала выполнить предельный переход в равенствах (7.3.35) и (7.3.36), а затем — обратное преобразование Фурье.
Из (7.3.37) вытекает, что перемещения имеют логарифмическую особенность на границе полуплоскости и при жх —> оо
ui|2=o = ^^{ [5 (Х - А2)3 + 4а^А^] signal +
+ 2«iA2 (1-А^) (1п|ж1| + С)|,
^=0 = ^чи - л2) а - м) (in ы+с)+
+ 2ацА2 [тг (1 - А^) - 2] sign жД; (7.3.42)
rsj ^EJSl Ol^Xz — А2) In I ,7Г ДХ
^^- (1- А^)2 (1- A^ln^il (Ж1^ос).
А из (7.3.38) следует, что напряжения имеют сингулярную особенность на фронте жх + A2Z = 0 волны Маха (см. рис. 7.3.1).
Граничные условия (7.3.8) выполняются, поскольку справедливо предельное равенство (7.3.41). По той же причине напряжения на границе полуплоскости определяются так
^i^i, г) = PKt {8 (а| + Al) (1 - Al) ^+
+ [(2«1 + М^ (1 - Al)3 + 16а!А1] 4 (Ж1)} . (7.3.43)
Рис. 7.3.7Рис. 7.3.7Графики функций Uj(xi^z) = Ujfi/P для трансзвукового случая при Mi = 0,694 и М^ = 1,2 приведены на рисунках 7.3.7, 7.3.8.
Рис. 7.3.7
Рис. 7.3.7
Рис. 7.3.8
Сверхзвуковая скорость: v > ci (1 < Mi < М^^ Р^ < Рх < < 0). В этом случае решение также можно построить с использованием преобразования Фурье. При этом изображение потенциала ip должно удовлетворять уравнению (7.3.27) и условию (7.3.28), в которых А2 должно быть заменено величиной
-А.-А.(7.3.44)
-А.
-А.
Однако поскольку здесь оба уравнения в (7.3.3) являются гиперболическими, удобнее использовать другой подход, основанный на функционально-инвариантных решениях Д‘Аламбера (см. также (2.1.8)):
^ (жх, г) = / (жх + Ai^), ф (жь г) = g (жх + А2г), (7.3.45) где /(ж) и ^(ж) — произвольные необходимое число раз дифференцируемые функции.
Подставляя эти представления в (7.1.3), (7.1.4) и (7.1.6) при ж = жх, находим
«1 = /' («1 + АЩ - A2g' («1 + А2г),
(7.3.46) «з = Ai/' (xi + АЩ + g* (ж1 + A2z) ;
£ц = /" Щ + Aiz) — A2g" Щ + A2z) ,
£13 = 2 t^i/" (Ж1 + Ai^) — (А2 — 1) g" (ж1 + A2z)] , (7.3.47)
£зз = Ai/" (ж1 + Ai.z) + A2g" (ж1 + A2z) ;
<тц = Р [(Mj - 2Ai) /" (ж1 + АЩ - 2A2g" (ж1 + A2z)] ,
<713 = Р [2А1/" (ж1 + АЩ - (А2 - 1) g" (Ж1 + A2z)] , (7.3.48)
<7зз = Р [(А2 — 1) /" (Ж1 + Aiz) + 2A2g" (Ж1 + A2z)] .
Последние два равенства в (7.3.48) совместно с граничными условиями (7.3.4) приводят к системе линейных алгебраических уравнений относительно производных /" (#1) и g" (®i):
2Ai/" (Ж1) - (А| - 1) g"(®i) = 0, р(7.3.49)
(Ai - 1) f" (Ж1) + 2A2g" (Ж1) = -t-6 (Ж1).
Ее решение имеет вид (см. (7.1.18))
Г (Ж1) = -— (Ai - 1) 5 (zi), g" (Ж1) = -^ А15 (Ж1),
~(7.3.50)
К8 =!, 7?(Ai,A2) = 7?(гА1,гА2) = (Ai - 1)2 + 4AiA2.
fl(A!,A2)
Интегрируя эти равенства, находим первые производные искомых функций
/' (Ж1) = -^ (Ai - 1) Н (Ж1), g' (Ж1) = -^^ А1Я (Ж1).
(7.3.51)
Их подстановка в (7.3.46) и (7.3.48) дает окончательные формулы для перемещений и напряжений:
их = ^ [- (Ai - 1) Н (Ж1 + A1Z) + 2А1А2Н ($1 + A2z)] ,
(7.3.52) из =— [(Ai — 1) Н (®i + А12:) + 277 (mi + A2z)] ;
274 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл. 7 <7ц = PKa [- (М2 - 2А2) (А2 - 1) 5 (Ж1 + АЩ + 4AiA25 (яч + A2z)] ,
<71з = 2РKsXi (А2 — 1) [5 (Ж1 + А2г) — 5 ($1 + Ai^)], (7.3.53)
<733 = -PKS [(A2 - I)2 5 (Ж1 + АЩ + 4AiA25 (®i + A2z)] .
Поскольку функция 7?(Ai, А2) в (7.3.50) в рассматриваемом сверхзвуковом случае строго положительна, то решение задачи определено при любых скоростях движения нагрузки из указанного диапазона.
Для предельного значения скорости движения силы г = Ci (М^ = = ц, Mi = 1, А| = ц2 — 1, Ai = 0, К”1 = (ц2 — 2) ) в сверхзвуковом случае напряжения и нормальные перемещения совпадают с соответствующими значениями, определяемыми формулами (7.3.39) и (7.3.40) для трансзвуковой скорости. Отличаются только касательные перемещения
«1 = ^Я(ж1).(7.3.54)
Это связано с гиперболическим типом обоих уравнений (7.3.3) в сверхзвуковом случае.
Из (7.3.52) следует, что фронтами Xi + А12; = 0 и Xi + A2Z = 0 волн Маха (см. рис. 7.3.1) полуплоскость разбивается на три области, в каждой из которых перемещения постоянны, а на фронтах они имеют разрывы первого рода:
при Х1 < — A2Z
Ш = п3 = 0;(7.3.55)
при —A2Z < Xi < — Aiz
Ui = Р, из = — Р;(7.3.56)
РР
при Xi > — Aiz
«1 =-Р^ (Al - 1 - 2АхА2) , u3 = -РК^Ха Ml. (7.3.57)
Формулы (7.3.53) показывают, что на указанных фронтах напряжения имеют сингулярную особенность.
Нестационарные граничные возмущенияв упругой полуплоскости
Рассмотрим задачу о распространении нестационарных двумерных граничных возмущений в полуплоскости, описанной в §7.1. Далее будем использовать безразмерные параметры (2.1.1) и (3.1.4), дополненные безразмерной ненулевой компонентой векторного потенциала перемещений
Опуская, как и ранее, штрихи в обозначении безразмерных параметров, из (7.1.2)-(7.1.6) получаем соотношения, описывающие движение полуплоскости (ж = х^ г = х’^
71Р = Ау,
^ф = А^, х Е R, z >
0, t
д-ф
8х ’
> 0, А =
1/2 = 0;
д1
Эх2
(7.4.2)
(7.4.3)
^1 =
дф Эф дх dz ’
дф
^z3 = п
OZ
dui
+ х-
ди32ди3 .
dui dz ’
9 и3
+ И
д ui дх ’
(712
— (723 = 0,
<722 — 1 .(<7ц + (7зз) .
1 + м
(7.4.4)
В начальный момент времени и на бесконечности возмущения отсутствуют:
^1т=0 = ^It=0 = ^1т=0 = ^|т=0 = °;С7-4-5)
^ = О (1), ^ = О (1), г —> +оо.(7.4.6)
Примем, что на границе г = 0 полуплоскости выполняются обобщенные условия:
(«1^1 + /З1(713)|0 = ^х(ж,т),
(7.4.7) («31/3 + /З3(73з) |^_0 = q^x, т),
где числовые параметры удовлетворяют условиям «^ + /3^ ^ 0.
Все латинские индексы здесь и далее принимают значения 1 и 3. По ним же в случае необходимости проводится суммирование.
Сочетание различных значений параметров в (7.4.7) обеспечивает все возможные граничные условия (А.1.21)-(А.1.24). В том числе, при «1 = «з = 1 и /31 = /Зз = 0 имеем первую краевую задачу (кинематическое возбуждение)
м112=о =(7.4.8)
при «1 = «з = 0 и /31 = /Зз = 1 — вторую краевую задачу (динамическое возбуждение)
^з^о = чМТУ(7-4-9)
при /31 = «з = 0 и «1 = /Зз = 1 — смешанное возбуждение первого типа
ui|2=o = 91 (ж, TY сгзз L=o = 9з(®, г),(7.4.10)
а при «1 = /З3 = 0 и /31 = «з = 1 — смешанное возбуждение второго типа
<Пз|2=0 = 91(ж, т), Мз|г=о = 9з(®, т).(7.4.11)
Введем поверхностные функции влияния:
Gji(x, г, т) = Uj и Г^/(ж, г,г) = а^, которые как перемещения и напряжения удовлетворяют соотношениям (7.4.2)-(7.4.6), а также следующим условиям на границе 2 = 0 полуплоскости (/ = 1,3 номер задачи):
(«1^1 + /Sicris)^^ = 5(х)5(т)5и,
(7.4.12) («31/3 + /Ззсгзз)^^ = 5(х)5(т)531.
Тогда перемещения и напряжения в задаче (7.4.2)-(7.4.7), согласно (1.4.25), имеют интегральные представления:
и^х^ 2, т) = Gji(X) 2, т) ** qi(x, т);(7.4.13)
(Tjk(x, 2, т) = Г^/(ж, 2, т) ж* ф(ж, т).(7.4.14)
Отметим, что Gji и Г^/ — компоненты тензоров соответственно второго и третьего рангов.
Для определения функций влияния применяем к равенствам (7.4.2)-(7.4.6) и (7.4.12) с учетом (7.4.5) интегральные преобразования Фурье по координате х и Лапласа по времени т (все обозначения стандартные, см. приложение В, в том числе, таблицы В.1.1 и В.2.1)
FL
OZ ,FL,х
^2k^q1, s‘2)ipFL = 0, г > 0,(7.4.15)
kj(q, s) = ^qA-^s;
о/FLо FL
uFL=-iqipFL, u3 =iq^FL; (7.4.16)
о FL
<7ц — -iqur + X gz iя FL
(7.4.17)
Я FLPL. PL
6733 = "^г -г(рпч ’
<^^^ = O (1), ^FL = O(,1), z^+oo;(7.4.18)
(“i“fL + /3i<rf3L) | 0 = 5U,
, РГ(7.4.19)
(a3u^L + Рз^зз )\z=0 = ^з<.
где ветви корней выбираются таким образом, что Re V^ > 0.
Удовлетворяющие условию (7.4.18) решения уравнений (7.4.15) имеют вид
(7.4.20)(7.4.20)<pFL(q, г, s) = CiE^z), i/>FL(q, г, s) = C2E2yyEj^ = e-ki^’s^\
(7.4.20)
(7.4.20)
где Ci и C^ — постоянные интегрирования.
Подстановка (7.4.20) в (7.4.16) и (7.4.17) приводит к следующим равенствам для изображений перемещений и напряжений:
(7.4.21)(7.4.21)и^L = -iqCiEi^ + k^q\ s^CzE^z),uFL = —&i(g2, s^CiEi^ - iqC2E2(zy
(7.4.21)
(7.4.21)
У<7иЬ = (^72 s2 - 292) CiE^z) - 2iqk2(q2, s2)C2E2(z),
У<УзЕ = ^qki(q2, s2)CiEi(z) - y2s2 + 2g2) C2E2yy (7.4.22)
УУ^ = (12s2 + 292) CiEi(z) + 2iqk2(q2, s2)C2E2(z).
Подстановка этих равенств в граничные условия (7.4.19) приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно Ci и С^*.
/ -iqan (q\ s2)\«21(«2,82)где/ -iqan (q\ s2)\«21(«2,82)где012 (92,82) А / С1 \ _ 2 / 5ц \
/ -iqan (q\ s2)
\«21(«2,82)
где
/ -iqan (q\ s2)
\«21(«2,82)
где
—iqo22 (у2, s2) ) \ С2 у у §3i J ’ (7.4.23)
(7.4.24)(7.4.24)(7.4.25)(7.4.25)оц(9, s) = «ig2 - 20iki(q, s),012(9, s) = aiq2k2(q, s) - /31 (7^ + 2g) ,021(9, s) = -а3^2к1^, s) + ^3 (72s + 2g) ,
(7.4.24)
(7.4.24)
(7.4.25)
(7.4.25)
022(9, s) = a3g2 - 2^3/52(9, s).
Решение системы уравнений (7.4.23) имеет вид
Гq^D^q^)„q2D2(q,s)
1П^Ув^У 2D^ys^V
где
D^q. s) = -QiQ37/4^i(q, s) - [^i/33^2(9? s) + asgik^q, s)] ^^s +
+ PiP^R^q^ sY
(7.4.26)(7.4.26)Di(q, s) = -iqa^ (ц2, s2) 5ц - ai2 (ц2, s2) 43Z,D^q, s) = -021 (q2, s2) 5ц - iqa^ (ц2, s2) 53t,Ri(q, s) = q — k^q, s^k^q, s),R'Aq, s) = (72s + 2ц)2 - 4ц/г1(ц, з)/г2(ц, s).
(7.4.26)
(7.4.26)
Отметим, что введенная здесь функция R^q, s) связана с определенной в (7.1.18) функцией Л(ж,?/) следующим образом:
Ri^q, s) = q2Ro (-,72^Ri^q, s) = q2Ro (-,72^(7.4.27)(7.4.27)
Ri^q, s) = q2Ro (-,72^
Ri^q, s) = q2Ro (-,72^
(7.4.27)
(7.4.27)
Учитывая теперь (7.4.25), из (7.4.21) и (7.4.22) получаем изображения функций влияния:
2
= n, ^2 2х {- [?2«22(g2, ^Ег^ + /г2(ц2, з2)о21(ц2, з^ЕА^ ф/ +
+гц [oi2(g2, з2)Я1(г) - k-Afl1, s^a^q2, з2)Е'2(г)] 53Z} , (7.4.28)
G3iL = 7Гт4-^;{[А:1(ц2,з2)а22(ц2,з2)Е'1(г) + а21(ц2,з2)Е'2(2)'| ф;+ £>(ц,з)-
+ [/г1(ц2, з2)а12(ц2, s2)Ei(z) - q^au^q2, s2)E'2(z)] 53Z} ;
rfn = n( 2 2x{^[- (^b2 -2q2) a^q2^2^!^ + D^q , s )
+ 2k2(q2, з2)а21(ц2, з2)£;2(г)]ф; -
- [(^72s2 - 2q2)oi2(q2, s^E^z) + + 2/г2(ц2, з2)ц2ап(ц2, з2)£;2(г)]5з;},
rfsf = r3if = n( 2 2х{[2^1(92,й2)92а22(д2,^2)£'1(г) +
+ (72S2 + 2q2) а21(ц2,з2)£'2(2:)]5п +
+ гц[-2Ац(ц2, з2)а12(ц2, s2)Ei(,z) +
+ (72s2 + 2ц2) Оц(ц2, 32>)E^z^\53iY (7.4.29)
г£и = DJi g2){-^[(72 8+ 2q2) a22(q2,s^Ei(z) +
+ 1k2(q2, s2)a2i(q2, s2)E2(z)]5u +
+ [“ (72s2 + 2g2) «12(«2, s2)£i(z) +
+ ^(q2, s2)q2an(q2, s2)E'2(^)]53Z}.
Эти выражения существенно упрощаются для значений G^x, г) = = Gji\z=0 и Г^Дя^т) = Г^^р функций влияния на границе полуплоскости:
Си’Чд, s) = - п, ^ 2ч { V^2Ri(q2^ з2) + /Зз7^2(92, s2)s21 5и+
+ ipiq [72s2 + 2Ri(q2, s2)] 53Z} ,
2(7.4.30)
СзРЬь s) =2 2 {/33 [72s2 + 27?i(g2, s2)) 5ц-
DVq^s)-
- \ouT)2Ri(q2, s2) + Pi^ki^q2, s2)s2] <53Z} ;
rinL(9, з) = д^2 ^ ^iq {a3g2 \2Ri(q2, s2) - ^s2] +
+2^3(1 + x^282k2(q2, s2)} 5ц ~ {ctig2^72s2/c2(g2, s2)-
- А [(^7г32 - 2g2) (72s2 + 2g2) + 4g2fci(g2, s^k^q2, s2)] } 63^ ,
risiL(q, з) = ^^(g, s) =2 2 { ^-a3q2^2s2ki(q2, s2) +
+03R2(q2, s2)] 5ц + i«iqq2 [2/?i(g2, s2) + 72s2] 53Z} , (7.4.31)
гзя£(9, s) =2 2 {-ia3g2g ^fi^g2, s2) + 7^s2) 5ц +
D(q",s)L-
+ ^-ai^^s2^^2, s2) + /3i/?2(g2, s2)] 53Z} .
Вычисление оригиналов функций влияния существенно зависит от параметров в (7.4.12). Поэтому эту процедуру удобнее проводить для каждого конкретного вида этих граничных условий.
Пример 7.4.1 ^плоская задача Лэмба х)). Найти нормальное перемещение пзо(ж, т) = ^1з|г=0 на границе полуплоскости при действии на нее поверхностной растягивающей сосредоточенной нормальной силы, изменяющейся во времени по закону дельта-функции Дирака.
Решение. В этом случае имеем вторую краевую задачу с граничными условиями (7.4.9) при gi = 0 и дз = 5(ж)5(т). И, как следует из определения функций влияния, для искомого перемещения справедливо равенство
Изо(ж, т) = (?зз(ж, т)(7.4.32)
при а^ = аз = 0 и /31 = /Зз = 1.
Его изображение в соответствии с (7.4.30) и (7.4.26) имеет вид
2 2, / 22\ 2
(7“-33>
Построить оригинал этой функции последовательным обращением интегральных преобразований не представляется возможным. Поэтому будем использовать алгоритм совместного обращения преобразования Фурье-Лапласа, изложенный в § В.4. Основанием для этого является, как следует из (7.4.33), однородность (см. § Б.2) степени (—1) функции ^зо^^ 5)- Выполняя в (7.4.33) замену А = q/s, получаем
■u-3oL(q,s) = gL(s)h(X), h(X) = -^ „ ^V^ gL^ =
(7.4.34) что соответствует формуле (В.4.1) при w(A) = 0. При этом, очевидно, функция w(A) удовлетворяет условиям (В.4.2).
Учитывая, что g(r) = Н(т) и g(r) = J(r) (см. таблицы В.2.1 и Б.4.1), из (В.4.3) находим аналитическое представления оригинала:
u3o(z, т) = -^-g'M *т),
277277(7.4.35)
5 А
г = ж + iy. <p(z, т) = h [А(г, г)] —, от
где, согласно уравнению (В.4.4),
Re А < 0 (у +0), Re А > 0 (у -0).
Сам оригинал определяется следующим из (Б.7.1) равенством
п30(ж,т) = lim й30(г,т)- lim йзо^.т).(7.4.37)
?/^+0У^-0
Найдем предельные значения функций, входящих в формулу для h (А) в (7.4.34). Функция А(г,т) в (7.4.36) и многочлен 72 + 2А2(г,т) в формуле для R^ (А2,1) в (7.4.26) — однозначные функции комплексной переменной г, и для них справедливы следующие соотношения:
2/^±02/^±0жжlim [7! + 2А2lim [7! + 2А222(7.4.38)(7.4.38)ЖЖ
2/^±0
2/^±0
ж
ж
lim [7! + 2А2
lim [7! + 2А2
2
2
(7.4.38)
(7.4.38)
Ж
Ж
Выделение однозначных ветвей квадратных корней ^(Д2,1) (см. (7.4.15)) проводим с помощью разрезов комплексной плоскости А
Im XIm Xвдоль мнимой оси (рис. 7.4.1). Тогда с учетом (7.4.36) и (7.4.38) пределы этих корней определяются так
Im X
Im X
lim к а (А2,1) =
72
±г sign ж±г sign ж/2= ±г signal/- 7^ V X J/2= ±г signal/- 7^ V X Jhxhx.при|т/ж| > 7J.(7.4.39)Выполняя предельные переходы в (7.4.37), с учетом (7.4.38) и (7.4.39) находим оригинал искомого перемещения:при тj \х\ < 71.при|т/ж| > 7J.(7.4.39)Выполняя предельные переходы в (7.4.37), с учетом (7.4.38) и (7.4.39) находим оригинал искомого перемещения:при тj \х\ < 71"hx"hxRe XRe X-hi-hi7/30 = 07/30 = 0(7.4.40)(7.4.40)
±г sign ж
±г sign ж
/2
= ±г signal/- 7^ V X J
/2
= ±г signal/- 7^ V X J
hx
hx
.при|т/ж| > 7J.
(7.4.39)
Выполняя предельные переходы в (7.4.37), с учетом (7.4.38) и (7.4.39) находим оригинал искомого перемещения:
при тj \х\ < 71
.при|т/ж| > 7J.
(7.4.39)
Выполняя предельные переходы в (7.4.37), с учетом (7.4.38) и (7.4.39) находим оригинал искомого перемещения:
при тj \х\ < 71
"hx
"hx
Re X
Re X
-hi
-hi
7/30 = 0
7/30 = 0
(7.4.40)
(7.4.40)
Рис. 7.4.1Рис. 7.4.1при 7i
Рис. 7.4.1
Рис. 7.4.1
Изо (ж, т) = и^ж, т) = ^^
2 2../2
_ 7) 72 г sign ж т2
2тггжУж2 1
2 \ 222 \ 22222 о \। а Т . ./9 Т72-2^1 + 4^2 Signal/7522 о \। а Т . ./9 Т72-2^1 + 4^2 Signal/752ЖЖЖЖЖЖ2\Т 2 I- 71ж/2\Т 2 I- 71ж/2 \ 222 \ 222272 — 2^- 1 — 4^У i sign ж А/7г — 772 — 2^- 1 — 4^У i sign ж А/7г — 7ЖЖжжжж2\L-2 271 IЖ/2\L-2 271 IЖ/_ ^ ^ - 2т2)2 . /^7_ ^ ^ - 2т2)2 . /^7.2 ..2 .(7.4.41)(7.4.41)
2 \ 22
2 \ 22
2
2
2 о \। а Т . ./9 Т
72-2^1 + 4^2 Signal/752
2 о \। а Т . ./9 Т
72-2^1 + 4^2 Signal/752
Ж
Ж
Ж
Ж
Ж
Ж
2\
Т 2 I
- 71ж/
2\
Т 2 I
- 71ж/
2 \ 22
2 \ 22
2
2
72 — 2^- 1 — 4^У i sign ж А/7г — 7
72 — 2^- 1 — 4^У i sign ж А/7г — 7
Ж
Ж
ж
ж
ж
ж
2\
L-2 271 I
Ж/
2\
L-2 271 I
Ж/
_ ^ ^ - 2т2)2 . /^7
_ ^ ^ - 2т2)2 . /^7
.2 .
.2 .
(7.4.41)
(7.4.41)
при т/ |®| > 72
г»зо(ж,т) = и$(х,т) =г»зо(ж,т) = и$(х,т) =J'liX2 Д'1 - 72®2 _ ч2Я22 (я’.т2)
г»зо(ж,т) = и$(х,т) =
г»зо(ж,т) = и$(х,т) =
7ГЯ21(®2,Т2)7гРз(®2,Т2)
(7.4.42)
Введенные в (7.4.41) и (7.4.42) функции связаны между собой
и определенными в § 7.1 функциями так:
Й21(ж, т) = (72® - 2т)2 - 4т Jt - ^х Jt - 71® = т'2 Ro (72®/®) ,
^22(®, ®) = (?2Ж - 2т)2 + ^tJt - ^х Jt - 71® = тгК0 (72®/®) ,
/?21(®,т)/?22(®,т) =(7.4.43)
= (7^® — 2т)4 — 16т2 (т — 72®) (т — 71®) = 72®/^®, ®),
^(ж,®) =
= T3Pai Лх/т^ = 7®®3 — 872®2т + 8(2 + и)^хт2 — 8(1 + и)т3.
Формулы (7.4.40)-(7.4.42) окончательно приводят к следующему результату:
2
п30(ж,т) = tz^(ж, т)Я(т - 7й|ж|),(7.4.44)
k=i
где
,22/22 2\,
(3)(1)4т1 т V -71 ж) ГД 7Т,.
^30 = ^30- ^30=Л 2 2 4 VT” 72ж •(7.4.45)
7гРз (ж , т )*
Покажем, что функция (7.4.44) имеет сингулярную особенность. Действительно, как показано в § 7.1 (см. (7.1.22)-(7.1.24)), многочлен Р32 (£) при всех возможных параметрах упругой среды (0 < и < 1) имеет действительный корень ^i = с^/с^ (сд — скорость волны Рэлея), а при 0 < и < х* еще два действительных корня £2,3 ^ R-
Дополнительно введем безразмерную величину (далее, как обычно, штрих в ее обозначении опускаем)
c'r — cr/с*-(7.4.46)
Поскольку упомянутые выше корни удовлетворяют неравенствам
о < €1 < 1 и $2,3 > J,(7.4.47)
то безразмерная скорость волны Рэлея лежит в диапазоне
Учитывая теперь (7.4.43), получаем, что знаменатель функции (7.4.44) раскладывается на элементарные множители
(7.4.49)(7.4.49)^з(ж, т) = 72 (ж - CRT) Р^Ж, т),
(7.4.49)
(7.4.49)
где
Р^ж, т) = ж2 — 2а2тж + /32т2,Р^ж, т) = ж2 — 2а2тж + /32т2,А22«2 = 4-^ = 2(1-4-^,А22«2 = 4-^ = 2(1-4-^,2/32 = 4-8^ + 82/32 = 4-8^ + 8+ ж _ е1+х _т,2 - 14— °6 2—8 2У? П CR Vr+ ж _ е1+х _т,2 - 14— °6 2—8 2У? П CR Vr(7.4.50)(7.4.50)
Р^ж, т) = ж2 — 2а2тж + /32т2,
Р^ж, т) = ж2 — 2а2тж + /32т2,
А22
«2 = 4-^ = 2(1-4-^,
А22
«2 = 4-^ = 2(1-4-^,
2
/32 = 4-8^ + 8
2
/32 = 4-8^ + 8
+ ж _ е1+х _т,2 - 1
4— °6 2—8 2
У? П CR Vr
+ ж _ е1+х _т,2 - 1
4— °6 2—8 2
У? П CR Vr
(7.4.50)
(7.4.50)
D^ (х) = 4 (а4 - /З2) .
Здесь D^ (х) — дискриминант многочлена Рз^- 1). Он удовлетворяет следующим условиям: D^ (х*) = 0, D^ (х) > 0 при 0 < х < х* и D^ (х) < 0 при х* < х < 1.
Таким образом, функция (7.4.44) имеет степенную особенность порядка ( — 1) на фронтах волны Рэлея: т = ^lcrx. Причем, как следует из неравенства (7.4.47), эта особенность присуща только составляющей перемещения и^(х.т) в (7.4.42).
При х* < х < 1 для многочлена Р^х, т) имеет место разложение
Однако поскольку в силу неравенства в (7.4.47) прямые т = = =Е72ж/^/^з лежат вне носителя функции (7.4.44), то для нее соответствующие особенности отсутствуют.
На рис. 7.4.2 а представлен пространственно-временной график решения плоской задачи Лэмба при 7т = 1 и 72 = ту = 1,871. На нем отчетливо прослеживаются фронты волны Рэлея. Рисунок 7.4.2 5 демонстрирует зависимость от времени и пространственной координаты регулярной части решения Й30 = (ж2 — crt2) изо- На фронтах волны Рэлея значения этой функции конечные, а ее производная бесконечна. Структуру этого графика разъясняют его сечения плоскостями т = = 0,3; т = 0,9 и ж = 0: ж = 0,2; х = 0,6, приведенные соответственно на рис. 7.4.2 в и 7.4.2 г.
Пример 7.4.2. Найти нормальное напряжение сг(ж,т) = <7зз|г=0 на границе полуплоскости при отсутствии касательного напряжения и заданном сосредоточенном нормальном поверхностном перемещении, изменяющемся по времени по закону т+.
Решение. В этом случае имеет место смешанное возбуждение второго типа с граничными условиями (7.4.11) при
Рис. 7.4.2Рис. 7.4.2
Рис. 7.4.2
Рис. 7.4.2
а(х,т) = Гз33(ж,т) * т+а(х,т) = Гз33(ж,т) * т+(7.4.52)(7.4.52)Как следует из (7.4.14), (7.4.51), определения функций влияния и свойства дельта-функции, для искомого напряжения справедливо равенство
а(х,т) = Гз33(ж,т) * т+
а(х,т) = Гз33(ж,т) * т+
(7.4.52)
(7.4.52)
при «1 = /Зз = 0 и /31 = «з = 1.
Изображение функции влияния Г333(ж,т) в соответствии с (7.4.31) и (7.4.26) имеет вид (см. (7.4.32) и (7.4.33))
гзГзЛ(^5 s) - 0FL - ^зз (q^s)гзГзЛ(^5 s) - 0FL - ^зз (q^s)(7.4.53)(7.4.53)RAq\^2 2 2 , / 2 2ч ‘p ^s kiVq ,S )
гзГзЛ(^5 s) - 0FL - ^зз (q^s)
гзГзЛ(^5 s) - 0FL - ^зз (q^s)
(7.4.53)
(7.4.53)
Тогда из (7.4.52) и (7.4.53) с учетом свойств преобразования Лапласа (см. § В.2, табл. В.2.1) получаем
аРЬМ = -аРЬМ = -RAq\^2 2 4, / 2 2ч ц 72 s k^q , s )RAq\^2 2 4, / 2 2ч ц 72 s k^q , s )(7.4.54)(7.4.54)
аРЬМ = -
аРЬМ = -
RAq\^
2 2 4, / 2 2ч ц 72 s k^q , s )
RAq\^
2 2 4, / 2 2ч ц 72 s k^q , s )
(7.4.54)
(7.4.54)
Оригинал этой функции аналогично примеру 7.4.1 может быть найден с помощью основанного на аналитических представлениях изображений алгоритма совместного обращения преобразования Фурье- Лапласа. Однако в этом случае удобнее воспользоваться приведенным в § В.4 утверждением В.4.1 и следствиями из него. Для этого, используя
обозначения функций kj(q^s) в (7.4.15) и R^q^ в (7.4.26), сначала представляем а в виде
aFL(q,s) =
1“2 2Л 721“2 2Л 7211'2 \2-.2 /2
1
“2 2
Л 72
1
“2 2
Л 72
1
1
i о ^ \1aQ /2 , q
h + 2^ 1_4^ I 72 + ^
.5 / ./^2^2 is \S
(7.4.55)
Далее с помощью таблиц В.1.2 и В.2.2 получаем
= 1[KO(7>|S)]L= 1[KO(7>|S)]L2 2\-V22 2\-V2(7.4.56)Затем замечаем, что функция (7?s2 + q2) ^2 — однородная степени ( —1), и, применяя следствие В.4.2, находим(7.4.56)Затем замечаем, что функция (7?s2 + q2) ^2 — однородная степени ( —1), и, применяя следствие В.4.2, находим’2\2,. S J . А/2с2’2\2,. S J . А/2с22 /21. ^2+ q_2 I /22S \82 /21. ^2+ q_2 I /22S \811/2\21 /2 пт \ / 22 2\-1/2kV2" ^) (т ~71Ж/2\21 /2 пт \ / 22 2\-1/2kV2" ^) (т ~71Ж(7.4.57)(7.4.57)^22 ТГЖ^22 ТГЖ222 2\-V22 2\-V2жж
= 1[KO(7>|S)]L
= 1[KO(7>|S)]L
2 2\-V2
2 2\-V2
(7.4.56)
Затем замечаем, что функция (7?s2 + q2) ^2 — однородная степени ( —1), и, применяя следствие В.4.2, находим
(7.4.56)
Затем замечаем, что функция (7?s2 + q2) ^2 — однородная степени ( —1), и, применяя следствие В.4.2, находим
’2\2,
. S J . А/2с2
’2\2,
. S J . А/2с2
2 /2
1. ^2+ q_
2 I /22
S \8
2 /2
1. ^2+ q_
2 I /22
S \8
1
1
/2\2
1 /2 пт \ / 22 2\-1/2
kV2" ^) (т ~71Ж
/2\2
1 /2 пт \ / 22 2\-1/2
kV2" ^) (т ~71Ж
(7.4.57)
(7.4.57)
^2
2 ТГЖ
^2
2 ТГЖ
2
2
2 2\-V2
2 2\-V2
ж
ж
Используя эти равенства, окончательно из (7.4.55) получаем следующее выражение для искомого напряжения:
2
а (ж, т) = ^2 а^Хх, т)Н (т - 7*|ж|),к = 1
с/1) (ж, т) = —с/1) (ж, т) = —(7.4.58)(7.4.58)(722ж2 - 2т2)2
с/1) (ж, т) = —
с/1) (ж, т) = —
(7.4.58)
(7.4.58)
2 2 4 / о 2 9тгц 72ж а/т2—71Ж2
<т№ (х,т) =^f^xIt1 - ^х"1.
ТГЦ 72 ж v
На рис. 7.4.3 а представлен построенный при 71 = 1 и 72 = ц = = 1,871 пространственно-временной график для нормального напряжения в этой задаче. В силу четности функции изображена его часть при ж > 0. На этом рисунке для наглядности в силу их большой величины не указаны абсолютные значения напряжения в окрестности прямой
т = ж. Этой особенности соответствует светлая прямая. Регулярная часть решения (—ж4сг(ж^ т)) изображена на рис. 7.4.3 б.
Упражнение 7.4.1. Используя методику определения функции Сзз(Ж;т) (см. пример 7.4.1), найти остальные функции влияния на поверхности плоскости для второй краевой задачи (см. (7.4.9)).
Упражнение 7.4.2. Используя методику определения функции Гззз(ж,т) (см. пример 7.4.2), найти остальные функции влияния для смешанного возбуждения второго типа (см. (7.4.11)), а также все функции влияния для первой краевой задачи (см. (7.4.8)) и для смешанного возбуждения первого типа (см. (7.4.10)) на границе полуплоскости.
Осесимметричные граничные возмущенияв упругом полупространстве
Для описания движения однородного изотропного полупространства, ограниченного плоскостью Жз = 2 = 0, будем использовать цилиндрическую систему координат Отаз (см. (А.4.19)) с осью Ог, направленной в глубь полупространства, а также соответствующую ей прямоугольную декартову систему координат Ожуг (ж = ж^. у = Ж2). При этом ограничимся двумерными осесимметричными задачами, полагая, что компоненты напряженно-деформированного состояния зависят только от двух пространственных координат г и %. Соответствующие безразмерные (см. (2.1.1), (3.1.4) и (7.4.1)) соотношения, описывающие движение полупространства при отсутствии массовых сил, вытекают из (А.2.49), (А.4.26), (А.4.30)-(А.4.32), (А.4.34) и (А.4.35):
=Д = ^ + ^ + ^;(7.5.1)
Ur =~ UZ =~^а = 0
ОТ OZOZ г от
duT ,(duz , uT\ 9 dur , duz
^-"a^ + ^t-ar + yj’ n - "э? +"э7’
<т22 = ^ + ^ (^ + -) , <7ra = aaz = 0,(7.5.3)
oz \ or Г /v 7
»a« =+ (1 - x)(l + 2x)—] ,
+ x Lr J
где ф = фа — ненулевая компонента векторного потенциала перемещений, Uj и о jk ({j, &} = {г, a, z}) — физические компоненты вектора перемещений и тензора напряжений.
В начальный момент времени и на бесконечности возмущения отсутствуют:
^1т=о = ^1г=о = ^|т=о = ^|т=о = 0;(7.5.4)
у? = О (1), ф = О (1), г —> +оо.(7.5.5)
Из всех возможных граничных условий на поверхности полупространства, которые обеспечивают осесимметричный характер движения, рассмотрим только один специальный вид (см. также (7.4.7)):
7.5.67.5.6^СХ^Иг + (3±Orz ) |^_q = 0,
7.5.6
7.5.6
<^UZ +/3з^^)|;г=о = ^(г,т),
Эти обобщенные условия при соответствующих (7.4.8)-(7.4.11) значениях параметров приводят к первой и второй краевым задачам, к смешанному возбуждению первого и второго типов с нулевыми значениями касательных к плоскости z = 0 составляющих напряженно- деформированного состояния.
Аналогично § 7.4 введем поверхностные функции влияния
Gj(r, z.t) = Uj и rjk(r, z.t) = ojk, которые как перемещения и напряжения удовлетворяют соотношениям (7.5.1)-(7.5.5), а также следующим условиям на границе z = 0 полупространства ({j, к^ = {г, г}):
(cii?ir + @±crrz) |^_ q = 0,
(7.5.7) ^OL3UZ + /Ззсг^)!^ = 5(ж, у)5(т).
Зависимость функций влияния от радиуса г обеспечивается свойством центральной симметрии (см. § Б.2) дельта-функции б(х^у).
Перемещения и напряжения в задаче (7.5.1)-(7.5.6), согласно (1.4.25), имеют интегральные представления ({j, к^ = {г, г}):
и^фг^ z^t) = G^V^-H^, г, т) ж ж ж q(V^~^y^ ^ТУ-;(7.5.8)
crjk(r, z, т) = F^V^2 + ^ , г, т) ж ж ж q^Vж<2 + У2 ^TY(7.5.9)
Отметим, что с помощью указанных функций влияния может быть найдено решения трехмерной задачи для полупространства с граничными условиями
(avai + ХЗ1СГ13) | 0 = 0,(«17/2 + Х51сг2з) | о = О’
(7.5.10) («з^з + /Зз^зз)!^ = q(x, у, т),
где Uj и a3k — компоненты вектора перемещения и тензора напряжений в прямоугольной декартовой системе координат.
Например, для нормальных перемещений и напряжений в такой задаче имеют место равенства:
7/3 (х. у, г, т) = Сз(, г, т) * * * q(x, т/, т);(7.5.11)
<7зз(ж,у, г,т) = Гзз(-\/ж^+у2 , г,т) * * * у(ж,у,т).(7.5.12)
Для остальных компонент напряженно-деформированного состояния интегральные представления являются более сложными, поскольку требуют применения формул их связи с перемещениями и напряжениями в цилиндрической системе координат.
Найдем функции влияния Gj(r, z,r) и Г^(г, г,т), где j = {г, г}. Функция Ггг(г, z,r) может быть вычислена по известным функциям Gj(r, z,r) по соответствующей формуле в (7.5.3). Для решения задачи (7.5.1)-(7.5.5), (7.5.7) с учетом (7.5.4) используем интегральные преобразования Лапласа по времени т и Ханкеля по радиусу г (см. § В.2, В.З). Причем к ^, т/^, и о гг применяем преобразование Н^ а к ф^ иг и атг — преобразование Н^. Там, где это не вызывает разночтений, далее в изображениях по Ханкелю индекс преобразования будем опускать.
В пространстве изображений уравнения (7.5.1) с учетом нулевых начальных условий имеют вид
- 4?р»1 = 0,- 4.] У, ,2)= 0. (7.5.13)
Использованные здесь функции kx (q^ s) и к^ (q^ s) определены в (7.4.15).
Изображения перемещений и искомых напряжений с учетом свойств преобразования Ханкеля и формул (7.5. 2), (7.5.3) связаны между собой так:
u^L = —q<pHL - ^^ , ufL = ^^ + у^НЬ; (7.5.14)
HLa HL
Л ^rz — dz Quz , azz ~V xquT .
Из (7.5.5) и (7.5.7) с использованием таблиц В.2.1 и В.3.1 получаем граничные условия для изображений:
^ = 0^, ■фнь = О^1 z^+oo.(7.5.16)
(ai^ + A^)|2=o = o,
з(7.5.17)
Ограниченные на бесконечности решения уравнений (7.5.13) имеют аналогичный (7.4.20) вид (Ci и С^ — постоянные интегрирования)
pHL(q, z, s) = CiEi(z)^ ^HL(q, г, s) = C^E^z).(7.5.18)
Подстановка (7.5.18) в (7.5.14) и (7.5.15) приводит к следующим равенствам для изображений перемещений и искомых напряжений:
и“Ь = -qCiE^ + k2(q2, s2)C2E2(zY
(7.5.19) tizL = -ki\q2, в^С-^Еф) + qC2E2(zY
rfcr^ = 2qk^q2, s^CrE^z) - ^s2 + 2q2) C-^E^zY
(7.5.20) q2cr^zL = ^2s2 + 2q2) CiE^z) - 2qk^q2, s2^CiE^zY
Использование этих равенств и граничных условий (7.5.17) приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно Ci и Сз (функции aij(q, s) указаны в (7.4.24)):
/ -qaii (q2, s2) \«21(92,s2)/ -qaii (q2, s2) \«21(92,s2)(7.5.21)(7.5.21)
/ -qaii (q2, s2) \«21(92,s2)
/ -qaii (q2, s2) \«21(92,s2)
(7.5.21)
(7.5.21)
Ее решение имеет вид (функция D(q, s) определяется соответствующим соотношением в (7.4.26))
2/ 22\2/ 22\
=(7.5.22)
2ttD(q2,s2)2тгП (q2,s2)V 7
Подставляя теперь эти постоянные в (7.5.19) и (7.5.20), получаем, что изображения искомых функций влияния пропорциональны функциям, указанным в (7.4.28) и (7.4.29):
G“L(q, z,s) = -^ G?3L(q, z, s), G”L<q, z,s) = G^q, z, s);
(7.5.23)
r"L(g,^,s) = -T;rf3^(9,^,s), r"L(g,^,s) = ^V^q,z,sY
(7.5.24)
Естественно абсолютно идентичные связи имеют место для изображений значений G^(r, т) = Gj|z=0 и Г^(г, т) = rjzY=0 U = {^ ^}) функций влияния на границе полупространства и соответствующих функций из (7.4.30) и (7.4.31).
Пример 7.5.1 ^пространственная задача Лэмба). Найти нормальное перемещение uzq(x^ т) = uz\z=0 на границе полупространства при
10 А. Г. Горшков и др.
действии на него поверхностной растягивающей сосредоточенной нормальной силы, изменяющейся во времени по закону дельта-функции Дирака. Принять 71 = 1 и учесть, что при этом 72 = Т).
Решение. В этом случае имеем вторую краевую задачу с граничными условиями (7.5.7) при «1 = «з = 0 и /Зх = /З3 = 1 и q = = б(х^у)б(т). И, как следует из определения функций влияния, для искомого перемещения справедливо равенство
(7.5.25)(7.5.26)(7.5.25)(7.5.26)«го(^т) = G^r,^.
(7.5.25)
(7.5.26)
(7.5.25)
(7.5.26)
Его изображение в соответствии с (7.5.23) имеет вид ufoL(9,s) =
Функция С^ь^§^ определена в (7.4.30). Ее конкретный вид и соответствующий оригинал найдены в примере 7.4.1 (см. формулы (7.4.33) и (7.4.44)).
Найти оригинал изображения (7.5.26) последовательным обращением преобразований Лапласа и Ханкеля сложно. Поэтому для его вычисления используем связь пространственной и плоской задачи (см. § В.5). Прежде всего, вспомним, что в (7.5.26) имеется в виду изображение Ханкеля Н^. Кроме того, как следует из формулы (7.4.44), функция С3з(ж, т) = т/зо(ж, т) является четной по х. Тогда, используя следствие В.5.1 и формулу (В.5.12) при С = 1/(2тг), из (7.5.26) и (7.4.44) получаем
| Rc(r, ж)1бзо(ж, т) dx = о
= -- [ ж (ж2 - г2) 3/2 52 м^(ж,т)Я(т -7й|ж|)(/ж =
J0
=2 52 М^^^Цт -ЧкТ\=2 52 М^^^Цт -ЧкТ\(7.5.27)(7.5.27)
=2 52 М^^^Цт -ЧкТ\
=2 52 М^^^Цт -ЧкТ\
(7.5.27)
(7.5.27)
Здесь в соответствии с (7.4.41) и (7.4.45) при 71 = 1 и 72 = 77 (ti = = т, т2 = т/ц)
т2т22 ж (т2 — ж2) т- — р-х- Р / 22\ / 22\3/2Рз (Ж , Т ) (ж - Т )2 ж (т2 — ж2) т- — р-х- Р / 22\ / 22\3/2Рз (Ж , Т ) (ж - Т )(7.5.28)(7.5.28)J^T^ Т) — ^J^T^ Т) — ^
т2
т2
2 ж (т2 — ж2) т- — р-х- Р / 22\ / 22\3/2
Рз (Ж , Т ) (ж - Т )
2 ж (т2 — ж2) т- — р-х- Р / 22\ / 22\3/2
Рз (Ж , Т ) (ж - Т )
(7.5.28)
(7.5.28)
J^T^ Т) — ^
J^T^ Т) — ^
где интегралы понимаются в смысле регуляризованных значений (см. определение обобщенных функций в § Б.2, в том числе, табл. Б.2.1).
С помощью замены переменной интегрирования ж2 = 2 представляем Ji и J2 так:
Л(г,т) = - ]Л(г,т) = - ]УУ-т^Ут^УУ-т^Ут^p3y,T2}y-yf2p3y,T2}y-yf2dz.dz.(7.5.29)(7.5.29)17•М^т) = - |17•М^т) = - |4т2 (т2 — г) Ут"1 — r^zРа (г, т2) У - г2)3/24т2 (т2 — г) Ут"1 — r^zРа (г, т2) У - г2)3/2Учитывая представление (7.4.49) многочлена Рз (г, т2) и раскладывая соответствующие рациональные функции на элементарные дроби, записываем эти интегралы следующим образом:Учитывая представление (7.4.49) многочлена Рз (г, т2) и раскладывая соответствующие рациональные функции на элементарные дроби, записываем эти интегралы следующим образом:Jk (г, т) = -1g \abJbl (г, т) + Jki ("Г, т)],(7.5.30)Jk (г, т) = -1g \abJbl (г, т) + Jki ("Г, т)],(7.5.30)гдегдеV1"2 ” ^/22\ /2\3/2 ’(Z - CRT ) (z - Г )V1"2 ” ^/22\ /2\3/2 ’(Z - CRT ) (z - Г )1 7 (bkz + скт2^ ^т2 --/у= 2——^j^d^" r2 PlV'T ^Z-T ^1 7 (bkz + скт2^ ^т2 --/у= 2——^j^d^" r2 PlV'T ^Z-T ^(7.5.31)(7.5.31)«1 =«1 =(2^L< Q = _b -1P2 (cR, 1) ’22P2(c2r, 1)’(2^L< Q = _b -1P2 (cR, 1) ’22P2(c2r, 1)’,43 ak - 461 = ц -ai, ck = 2•crИнтеграл Jki (г, т) представляем в виде суммы:, / X _ -У (1 - УкУУ) JkS У, т) + (т2 - ykr2) Jk4 (г, т)*к! (Г, Т)22 2\1к \Г - CRT ),43 ak - 461 = ц -ai, ck = 2•crИнтеграл Jki (г, т) представляем в виде суммы:, / X _ -У (1 - УкУУ) JkS У, т) + (т2 - ykr2) Jk4 (г, т)*к! (Г, Т)22 2\1к \Г - CRT )(7.5.32)(7.5.32)гдегдеЛз(г,т) = ( 2{ У - crt ) yzky)(7.5.33)Л4(г,т)=(-2ta Г^у^' Zb(z) = (z - У) (т^ - z) .J2 У - r ) УzyyЛз(г,т) = ( 2{ У - crt ) yzky)(7.5.33)Л4(г,т)=(-2ta Г^у^' Zb(z) = (z - У) (т^ - z) .J2 У - r ) Уzyy
Л(г,т) = - ]
Л(г,т) = - ]
УУ-т^Ут^
УУ-т^Ут^
p3y,T2}y-yf2
p3y,T2}y-yf2
dz.
dz.
(7.5.29)
(7.5.29)
17
•М^т) = - |
17
•М^т) = - |
4т2 (т2 — г) Ут"1 — r^zРа (г, т2) У - г2)3/2
4т2 (т2 — г) Ут"1 — r^zРа (г, т2) У - г2)3/2
Учитывая представление (7.4.49) многочлена Рз (г, т2) и раскладывая соответствующие рациональные функции на элементарные дроби, записываем эти интегралы следующим образом:
Учитывая представление (7.4.49) многочлена Рз (г, т2) и раскладывая соответствующие рациональные функции на элементарные дроби, записываем эти интегралы следующим образом:
Jk (г, т) = -1g \abJbl (г, т) + Jki ("Г, т)],(7.5.30)
Jk (г, т) = -1g \abJbl (г, т) + Jki ("Г, т)],(7.5.30)
где
где
V1"2 ” ^
/22\ /2\3/2 ’
(Z - CRT ) (z - Г )
V1"2 ” ^
/22\ /2\3/2 ’
(Z - CRT ) (z - Г )
1 7 (bkz + скт2^ ^т2 --/у
= 2——^j^d^
" r2 PlV'T ^Z-T ^
1 7 (bkz + скт2^ ^т2 --/у
= 2——^j^d^
" r2 PlV'T ^Z-T ^
(7.5.31)
(7.5.31)
«1 =
«1 =
(2^L< Q = _b -1
P2 (cR, 1) ’22P2(c2r, 1)’
(2^L< Q = _b -1
P2 (cR, 1) ’22P2(c2r, 1)’
,43 ak - 4
61 = ц -ai, ck = 2•
cr
Интеграл Jki (г, т) представляем в виде суммы:
, / X _ -У (1 - УкУУ) JkS У, т) + (т2 - ykr2) Jk4 (г, т)
*к! (Г, Т)22 2\
1к \Г - CRT )
,43 ak - 4
61 = ц -ai, ck = 2•
cr
Интеграл Jki (г, т) представляем в виде суммы:
, / X _ -У (1 - УкУУ) JkS У, т) + (т2 - ykr2) Jk4 (г, т)
*к! (Г, Т)22 2\
1к \Г - CRT )
(7.5.32)
(7.5.32)
где
где
Лз(г,т) = ( 2
{ У - crt ) yzky)
(7.5.33)
Л4(г,т)=(-2ta Г^у^' Zb(z) = (z - У) (т^ - z) .
J2 У - r ) Уzyy
Лз(г,т) = ( 2
{ У - crt ) yzky)
(7.5.33)
Л4(г,т)=(-2ta Г^у^' Zb(z) = (z - У) (т^ - z) .
J2 У - r ) Уzyy
Сначала вычисляем интеграл Лкз(^т) [57]: при г > CRT
2 тк2 ткЛз(г,т) =1= X
2 тк
2 тк
х arcsinх arcsin(т* + Г - 2сдТ2) z+ (г;2 + г2) CrT2 - 2ткг2- СдТ2| (тк - Г2)
х arcsin
х arcsin
/;(7.5.34)
Tty (1 - ч2С^) (г2 - с^т2)
при Г < CRT
Лз^т) =
1Дк (c2RT^ - VZ^z) т2 + r2 _ 2c2rT2 к _
V-Zk(^)2-сяггДккс2^ г2
(7.5.35)
Далее с помощью соответствующей регуляризации в точке ^ = г2 и таблиц [57] для интеграла Лк^^т) получаем
dzdzЛ4(Г,Т) = |Л4(Г,Т) = |z=Tkz=Tk
dz
dz
Л4(Г,Т) = |
Л4(Г,Т) = |
z=Tk
z=Tk
+ lim г^г2+0
2Н(тк - г)
ti-z^2
= - lim /(ua,e) ,
(7.5.36)
где
222
Uk = Tk — Г ,€ = Z — Г ,
Дн^- х/иДн^- х/и^" гг /\Н(гь — е) и^" гг /\Н(гь — е) и(7.5.37)(7.5.37)
Дн^- х/и
Дн^- х/и
^" гг /\
Н(гь — е) и
^" гг /\
Н(гь — е) и
(7.5.37)
(7.5.37)
Покажем, что функция /(гб,е) при е —> +0 стремится к функции, пропорциональной дельта-функции Дирака 5 (и). Действительно, при а < 0 имеем
Следовательно,Следовательно,/(it, е) du/(it, е) duf^u^ е) du =f^u^ е) du == 4 lim6^ + оо= 4 lim6^ + оо+ arctg+ arctg= 2тг,= 2тг,
Следовательно,
Следовательно,
/(it, е) du
/(it, е) du
f^u^ е) du =
f^u^ е) du =
= 4 lim
6^ + оо
= 4 lim
6^ + оо
+ arctg
+ arctg
= 2тг,
= 2тг,
b
lim f(u. s) du =
04 lim6^+004 lim6^+0при b < 0,при b < 0,+ arctg+ arctg= 2тг= 2тгпри b > 0.при b > 0.
0
4 lim
6^+0
0
4 lim
6^+0
при b < 0,
при b < 0,
+ arctg
+ arctg
= 2тг
= 2тг
при b > 0.
при b > 0.
Отсюда вытекает, что функция f(u, е) удовлетворяет условиям критерия дельта-совокупности функций (см. § Б.З), и с учетом (7.5.37) и свойств дельта-функции получаем
TT/ 2
T
T
lim / (и^ s) = 2ttJ (uk) = 2тг5 I — г2
^+°\7fc
= ^5^-^^. (7.5.38)
Учитывая (7.5.38) в (7.5.36), находим
Jk^T, т) = -^- <5 (т - 7*r).
T
Подставляя теперь (7.5.34), (7.5.35) и (7.5.39) в (7.5.32) и принимая во внимание, что
(г2 — т^г1^ 8(т — г]г) = О, получаем окончательный вид интеграла Льготу.
Jk! (г, т) = --ктД - т^с^ (г2 - с^т2)“3/2 ,(7.5.40)
В интеграле J^ (г, т) в (7.5.31) проводим замену переменной интегрирования т/2 = (т^ — г) / (г — г2):
Jki^r, т) = 27* [ Ц [(bfer2 + скт^ и2 + Tk (6* + с^ du,
J Q-Zk (w )"
(7.5.41) где
Qik («2) = (»2 +1)2 Pi (^f^2) =
= P2 (r2,T2) u4 -V^Pik (г2,т2) и2 + т£р2 (1,7|) ,
(7.5.42)
Plk (r2, t2) = r2 — e^T2 + 7* (/32T2 — a2?^ =
Далее в (7.5.41) выполняем регуляризацию в точке и = +оо:
Jki (г, г) = 27* [ f —м Г(б*г2 + ckTk) и2 + Tk (bk + с*)) -
,2 .2 >Ькг +сктк IР2(г2,т2) J,2 .2 >Ькг +сктк IР2(г2,т2) Jdu =du =2?fcF? (г2, т2)2?fcF? (г2, т2)^ки? - (кQik (м2)^ки? - (кQik (м2)du^du^
,2 .2 >
Ькг +сктк I
Р2(г2,т2) J
,2 .2 >
Ькг +сктк I
Р2(г2,т2) J
du =
du =
2?fc
F? (г2, т2)
2?fc
F? (г2, т2)
^ки? - (кQik (м2)
^ки? - (кQik (м2)
du^
du^
^к = [^2 (г2, т2) (Ьк + С*) - 2Р1к (г2, т2) (ькт2 + СкТкУ\ Тк,
(7.5.43)
Ск = т^Р^ (1,7^) (Ькг2 + скт^ .
При к > к^. как следует из (7.4.49), многочлен Q^k (и) имеет комплексно-сопряженные корни, и его можно разложить на множители
Qik (и2) = Р2 (г2, т2) Qok (u) Qok^-'U-'),
Qok (и) = и2 + dkTku + екТк,
Учитывая это равенство, из (7.5.43) получаем [57]
^кАТ1 Т) р2 / 22\ 1 з
?2 \т ^Т ) dkekTk
7 Г UkekTk - рЛи- (к dkTk UkekTk - (Л u + Рк dkTk"\
х J 9^9^) ^ =
О-
7Г7А; ^квкТк — (к^/ 22\ /гт г л \
= 2/2 2'3 /2 = "^^ V ’ТЬ (7‘5-44)
Р2 (г , т ) ектк^4ек - d2k
Здесь
Хк^т) = -^-Ш>ьт + скт)8кМ + (т-7^г)] S'M,
Qik(r, т) = (bka2 + ck)r - (bk02 + cka2^ r, (7.5.45)
При и < и^ многочлен Q^k (it) имеет два отрицательных действительных корня, и вычисление интеграла J/^ (^ т) опять приводит к результату (7.5.44):
л2(г, г) = —2^ nr1 <wkj + а)?=
\wk3 - шк2) Р2 (г ,т ) ^2J о + Шу
(7.5.46)(7.5.46)77£,kWklU)k3 + </,_/ 22
(7.5.46)
(7.5.46)
т-12 / 22\/ I \а,к V 5
Р2 (г , Т ) Шк2Шк^ (О)к2 + Шк^)'
где Хк определяется равенством (7.5.45). Здесь
2Шкз — тк2Шкз — ткЧк^з - 122Чк^з - 122> О,> О,2 Шк^кз = ткек,2 Шк^кз = ткек,^к2 + Юкз — тк^к2 + Юкз — тк
2
Шкз — тк
2
Шкз — тк
Чк^з - 1
22
Чк^з - 1
22
> О,
> О,
2 Шк^кз = ткек,
2 Шк^кз = ткек,
^к2 + Юкз — тк
^к2 + Юкз — тк
где ^2 и гз — корни многочлена Р^ (г, 1) (см. §7.1).
При и — и^ (D2 = О, Q4 = /З2, ^2 = ^з = с^2, см. (7.4.50)) многочлен Q^k (^) имеет два равных между собой отрицательных действительных корня. Непосредственное вычисление Jk2 (^ ^) показывает, что и в этом случае справедлив результат (7.5.44). При этом, так как
^2(г, т) = (а2т - г)2 , Рг (1,7^) = (а27^ - 1)2 ,
Pik(г, т) = (а27£ - 1) (а2 г - г) ,
Sk(r, т) = л/Р^Дтуг), Qik(r, т) = - (6fca2 + cfc) ^т - г) ,
то выражение для функции Хк^^т) упрощается и имеет следующий вид:
т) =1 bfer + Ck-rJa^k ~ 1 - (г - 7^г) Ьк“ + Ск .
(« т - г) [v,
(7.5.47)
Подставляя в (7.5.27) вытекающие из формул (7.5.30), (7.5.40) и (7.5.44) выражения для интегралов Ji (г, т) и J2 (л т), окончательно получаем решение пространственной задачи Лэмба:
u2o(r, т) = 52 «^(г, т)Н (т -ЧкТ^
к=х(7.5.48)
^(^т) = ^"V1 -^ся “ сят2)+3/2 + (г2’т2) '
Сравнение (7.5.48) с решением (7.4.44) плоской задачи Лэмба показывает, что они имеют различные сингулярные особенности. В последнем случае степенная особенность имеет порядок (—3/2), и носитель ее расположен за фронтом волны Рэлея.
На рис. 7.5.1 представлен пространственно-временной график решения пространственной задачи Лэмба при 71 = 1 и 72 = ц = 1,871.
Рис. 7.5.1Рис. 7.5.1На нем четко прослеживаются особенности перемещения на соответствующих фронтах волн.
Рис. 7.5.1
Рис. 7.5.1
Пример 7.5.2. Найти нормальное напряжение аД^ т) = = агД%=0 на границе полуплоскости при отсутствии касательного напряжения и заданном сосредоточенном поверхностном нормальном перемещении, изменяющемся по времени по закону т+. Принять 7i = 1 и учесть, что при
этом 72 = Т).
Решение. В этом случае имеет место смешанное возбуждение второго типа с граничными условиями (7.5.7) при 07 = /З3 = 0, /31 = = «з = 1 и q = б^х^у^.
Как следует из (7.5.9), определения функций влияния и свойств дельта-функции, для искомого напряжения справедливо равенство
^«(г,т) = г^(г,т) * т+.^«(г,т) = г^(г,т) * т+.(7.5.49)(7.5.49)
^«(г,т) = г^(г,т) * т+.
^«(г,т) = г^(г,т) * т+.
(7.5.49)
(7.5.49)
Изображение функции влияния Г^г, т) в соответствии с (7.5.24)(7.5.26) и (7.4.31) (см. также (7.4.53)) имеет вид
r°"L(q,s) = ^-r^f3L(g, s) =r°"L(q,s) = ^-r^f3L(g, s) =1Д2(д2, s2)
r°"L(q,s) = ^-r^f3L(g, s) =
r°"L(q,s) = ^-r^f3L(g, s) =
G°HL(q,s)- гтп^^М^У)
(7.5.50)
Из (7.5.49) и (7.5.50) аналогично (7.4.54) находим изображение искомых напряжений
(7.5.51)(7.5.51)»LVb s) = ^ <7FL(g, s) = - ЛД’Д 2ч
(7.5.51)
(7.5.51)
^тг2тгр 72 s Ац (q , s )
Оригинал сга(г,т) может быть найден с помощью алгоритма, использованного в примере 7.5.1. Однако в данном случае аналогично примеру 7.4.2 значительно проще провести непосредственное последовательное обращение преобразований Ханкеля и Лапласа. Для этого, учитывая вид функции R^^q^ s) (см. (7.4.26)) и полагая в (7.5.51) 71 = 1 и 72 = ц, представляем a^L (q. s) в виде суммы
(7.5.52)(7.5.52)"aL(q. s) = ^(Т, s) + (^(g, s),
(7.5.52)
(7.5.52)
где^L(t,s) = -где^L(t,s) = -W±211W±21127гч454-\/ s2 + q127гч454-\/ s2 + q1
где
^L(t,s) = -
где
^L(t,s) = -
W±211
W±211
27гч454-\/ s2 + q1
27гч454-\/ s2 + q1
<7Q2L(q, s) = -^-^V^s2 + q2ТГЦ 8
Используя табл. В.3.2, находим оригиналы по Ханкелю функций в (7.5.53)
1 .2тггт 4 4Ц 81 .2тггт 4 4Ц 81 -1 -’321s4 + 2— + 54 + 94 + 94’321s4 + 2— + 54 + 94 + 94ГГе STе ST12тгц412тгц44(^-2) , 4(5-^)4(^-2) , 4(5-^)2Г 82Г 83 2Г 83 2Г 836364 з '54Г 8 Г S36364 з '54Г 8 Г Sе STе ST
1 .
2тгг
т 4 4
Ц 8
1 .
2тгг
т 4 4
Ц 8
1 -
1 -
’321
s4 + 2— + 54 + 94 + 94
’321
s4 + 2— + 54 + 94 + 94
Г
Г
е ST
е ST
1
2тгц4
1
2тгц4
4(^-2) , 4(5-^)
4(^-2) , 4(5-^)
2
Г 8
2
Г 8
3 2
Г 8
3 2
Г 8
3636
4 з '54
Г 8 Г S
3636
4 з '54
Г 8 Г S
е ST
е ST
^(^ s) =2 2 [- (t/V + ^ + 4) +(7.5.54)
тгц s г L \г г /v 7
1/зз 2211
+(г?484 + 2^ + 5^4- + 94+94 ) е-^г =
Ц S \Тг г г ) _
2 ( 2L__l-I- 97^ -U 9 Р-Ч8Т
4l2”r32”r43”r54lC*
ТГЦ \ Г 8 Г 8 Г 8 Т 8 J
Определяя с помощью табл. В.2.2 оригиналы преобразования Лапласа функций в (7.5.54), из (7.5.52) находим окончательное выражение для искомого напряжения
уо(г, т) = <т^°\г, т)<5(т - г) + 52 <^4^ 'ЛН (т - 7*г),(7.5.55)
к=1
где
^а^ (г, г) = - ^—Д-,<т W (г, т) =^ [Зт2 - (2т?2 - 1) г2] ,
2тгр гтгр г"
(2)/\ Т /о 22 2\(7.5.56)
г
На рис. 7.5.2 представлен пространственно-временной график для регулярной (без слагаемого в (7.5.55) с дельта-функцией) составляю-
Рис. 7.5.2Г^(г, г) (см. пример 7.5.2),Рис. 7.5.2Г^(г, г) (см. пример 7.5.2),щей нормального напряжения в этой задаче. Светлой прямой условно изображен носитель первого (сингулярного) слагаемого.
Рис. 7.5.2
Г^(г, г) (см. пример 7.5.2),
Рис. 7.5.2
Г^(г, г) (см. пример 7.5.2),
Упражнение 7.5.1. Используя методику определения функции G^(r, т) (см. пример 7.5.1), найти функцию влияния G^(r, т) для второй краевой задачи.
Упражнение 7.5.2. Используя методику определения функции найти функцию влияния Г®(г, т) для
смешанного возбуждения второго типа, а также все функции влияния
для первой краевой задачи и для смешанного возбуждения первого
типа на границе полупространства.
Нестационарные граничные возмущенияв акустическом полупространстве
В постановке § 7.4 и 7.5 рассмотрим задачи о распространении граничных возмущений в полуплоскости и полупространстве, заполненных акустическими средами.
Для полуплоскости прямоугольную декартову систему координат Oxz выбираем так же, как в § 7.1. Используем уравнение движения относительно потенциала скоростей Ф = Ф(ж, 2 Д) (первое соотношение в (А.3.28)):
^ = с2ДФ, (ж, г) Ей2, £>0, Д=Д + Д,(7.6.1)
dt2> v’ дх2 8z2’v '
где с — скорость распространения волн в среде.
Координаты Dj вектора скорости и давление р связаны с потенциалом следующими соотношениями (см. (А.3.28) и (А.4.18)):
ЗФЗФЭФЭФ8х8хdzdzг2 = 0;г2 = 0;(7.6.2)(7.6.2)
ЗФ
ЗФ
ЭФ
ЭФ
8х
8х
dz
dz
г2 = 0;
г2 = 0;
(7.6.2)
(7.6.2)
дФдФP = -P^i'P = -P^i'(7.6.3)(7.6.3)
дФ
дФ
P = -P^i'
P = -P^i'
(7.6.3)
(7.6.3)
где р — плотность среды.
В дополнение к безразмерным параметрам (2.1.1) введем согласованные с ними (см. (А.3.28), (А.3.32) и (А.3.33)) величины
У гС* ’У гС* ’^ I Рс*ф = ГТ’ р = ^’ 7 = -c*Lсрс^ I Рс*ф = ГТ’ р = ^’ 7 = -c*Lсрс(7.6.4)(7.6.4)
У г
С* ’
У г
С* ’
^ I Рс*
ф = ГТ’ р = ^’ 7 = -c*Lсрс
^ I Рс*
ф = ГТ’ р = ^’ 7 = -c*Lсрс
(7.6.4)
(7.6.4)
Далее, как обычно, штрихи в обозначении безразмерных величин опускаем. При этом соотношения (7.6.1) и (7.6.3) приобретают вид (точками обозначено дифференцирование по безразмерному времени т)
(7.6.5)(7.6.5)72Ф = АФ, (ж, г) е R\ t > 0;
(7.6.5)
(7.6.5)
р = -72ф,(7.6.6)
а равенства (7.6.2) сохраняются.
К соотношениям (7.6.2), (7.6.5), (7.6.6) добавляем однородные начальные условия (ср. с (7.4.5)):
ф1г=о = ф|т=о = 0’(7.6.7)
условия отсутствия возмущений на бесконечности (ср. с (7.4.6))
Ф = О(1), г^+оо(7.6.8)
и граничные условия при 2 = 0, которые записываем в обобщенной форме («д + До 7^ 0, ср. с (7.4.7))
(«о«з +/ЗоР)|2=о = ^т)-(7.6.9)
Сочетание различных значений параметров в (7.6.9) обеспечивает все возможные граничные условия (А.3.25). В том числе, при «о — 1 и До — 0 имеем первую краевую задачу (кинематическое возбуждение)
уз|2=0 = 9(ж,т),(7.6.10)
а при «о = 0 и До = 1 вторую краевую задачу (динамическое возбуждение)
р|2=0 = «(ж,т)-(7.6.11)
Введем поверхностные функции влияния
Hj(x, 2, т) = Vj и А(х^т)=р^
которые как скорости и давление удовлетворяют соотношениям (7.6.2), (7.6.5), (7.6.6), а также следующим условиям на границе 2 = 0 полуплоскости:
(7.6.12)(7.6.12)<а0у3 + 0op)\z=o = 6(х)5(т).
(7.6.12)
(7.6.12)
Тогда скорости и давление в задаче (7.6.2), (7.6.5), (7.6.6), (7.6.9), согласно (1.4.25), имеют интегральные представления (ср. с (7.4.13) и (7.4.14)):
^•(ж, г, т) = Hj(x, г, т) ** q(x^ т);(7.6.13)
р(ж, г, т) = Л(ж, г, т) ** q(x^ т).(7.6.14)
Для значений функций влияния на поверхности полуплоскости принимаем аналогичные §7.4 обозначения: Н®(х,т) = Я^(ж,0,т) и А°(ж, т) = Л (ж, 0, т).
Для полупространства используем те же системы координат, что и в § 7.5. При этом также ограничимся двумерными осесимметричными задачами, полагая что скорости и давление зависят только от двух пространственных координат г и z. Соответствующие безразмерные (см. (2.1.1), (3.1.4) и (7.6.4)) соотношения, описывающие движение полупространства при отсутствии массовых сил, вытекают из (А.3.28), (А.4.26) и (А.4.40):
72Ф = ДФ, L = ^^-^^^(7.6.15)
'dr2 г dr d.?2
«г =«a = 0,(7.6.16)
oroz
где Dj 0 = {r, a, z}) — физические компоненты вектора скорости.
Связь давления с потенциалом, начальные условия и условия на бесконечности сохраняют соответственно вид (7.6.7), (7.6.6) и (7.6.8).
Положим, что на поверхности полупространства выполняются граничные условия (ср. с (7.5.10)):
(ao«z + Ар)|2=0 = 9(ж, у, т),(7.6.17)
которые при соответствующих (7.6.10) и (7.6.10) значениях параметров приводят к первой и второй краевым задачам.
Аналогично § 7.5 введем поверхностные функции влияния
Hj0, Z, т) = Vj 0 = ^r,z^ и Aa(r, z, т) = р,
которые как скорости и давление удовлетворяют соотношениям (7.6.6), (7.6.8), (7.6.15) и (7.6.16), а также следующим условиям на границе z = = 0 полупространства:
(«0^ + Дор)^^ = 6Y^ ^8VTY(7.6.18)
Тогда, согласно (1.4.25), для нормальной скорости и давления решение задачи с граничными условиями (7.6.17) можно представить так (ср. с (7.5.11) и (7.5.12)):
^(ж, у, z^ т) = ЯД V^2 -V у2 , z^t) * * * Дж, у, т);(7.6.19)
р(ж, у, z^ т) = Ла( Дж2 + у2 , z^t) * * * Дж, у, т).(7.6.20)
Для компонент щ и и^ вектора скорости в прямоугольной декартовой системе координат интегральные представления являются более сложными, поскольку требуют применения формул их связи со скоростями в цилиндрической системе координат.
Для осесимметричной задачи (^(ж, у. т) = ^(г, т)) имеют место интегральные представления скоростей ur, dz и давления вида (7.5.8) и (7.5.9).
Далее значения функций влияния на поверхности полупространства обозначаем аналогично §7.5: Н^(г,г) = ЯДг, 0,т) 0 = {г, г}) И ^(С т) = Ла(г, 0, т).
Функции влияния для акустических полуплоскости и полупространства могут быть напрямую найдены с помощью методик, изложенных в § 7.4 и 7.5 соответственно. Однако их проще построить, воспользовавшись тем, что акустическая среда является частным случаем упругой изотропной среды при д = 0 Д2 = 0, см. (А.3.29)), что, согласно (2.1.1) и (7.6.4), соответствует
71—7? 72 = ос (х = 1, ц = 72/71 = 72/7 — °°)-(7.6.21)
При этом следует учесть, что, как вытекает из сравнения граничных условий (7.6.12) с (7.4.12) и (7.6.18) с (7.5.7), а также из соотношений (А.3.23) и (А.3.32), в пространстве преобразований Лапласа справедливы следующие формальные равенства:
«з = защ Рз = -До-(7.6.22)
Кроме того, в силу определения функций влияния имеют место следующие равенства:
для полуплоскости 0 = 1,3)
(7.6.23)(7.6.23)Hj(x, z,r) = Gj^x^ z^t^
(7.6.23)
(7.6.23)
A(x,z,r) = —Гц3(ж, z,t) = -Г33з(ж,г,т);
для полупространства 0 = {г, г})
(7.6.24)(7.6.24)H^r. z.t) = Gjz0, г, г), Аа0, z.t) = -Г^з(г, z, т);
(7.6.24)
(7.6.24)
Изображения функций влияния достаточно найти только для полуплоскости, поскольку в силу (7.6.23) и (7.6.24), очевидно, имеют место аналогичные (7.5.23) и (7.5.24) равенства
H»L(q, z,s) = -^ H^L(q, z, s), H»L(q, z, s) = ^ H^(q, z, s);
(7.6.25)
\»L<q, z, s) = \FL<q, z, s).(7.6.26)
Сначала из формул (7.4.15), (7.4.20), (7.4.24) и (7.4.25) с учетом (7.6.21) и (7.6.22) получаем следующие асимптотические равенства при
Z = 3 и 72 ос:
ki(q, s) -> k(q, s) = V^FTq, ^2 (9, s2) = 72s + о (72);(7.6.27)
(7.6.28)(7.6.28)E^ -> £(г) = е-^в2^2)^72m£2(^^0 (me Wo), k2(q2,s^E2(z^0;
(7.6.28)
(7.6.28)
«11(9, s) = ^- 72 + 0(72), «12 (9, s2) = ^ 72s + 0(72),T7"
021(9,s) =021(9,s) =-^k(q, s) - 30s-^k(q, s) - 30s72+0(72),72+0(72),(7.6.29)(7.6.29)
021(9,s) =
021(9,s) =
-^k(q, s) - 30s
-^k(q, s) - 30s
72+0(72),
72+0(72),
(7.6.29)
(7.6.29)
/ x sao 22 1/ 2\
022(9, s) = —72«зТ) +0^2);
7
Ri (9, s2) = -k (9, s2) 72s + O (72), R2(q, s) = 72s2 + о (72) ,
D (q. s2) = ^| [s«o^ (9, s2) + /3o72s2] s 7® + о (72) . (7,6,3°) 7"
Выполняя теперь в формулах (7.4.28) и (7.4.29) предельный переход при 72 —> оо и учитывая свойства преобразования Лапласа, а также равенства (7.6.23) и (7.6.24), получаем изображения функций влияния для акустической полуплоскости:
uFL _ „^FL _iqsE(z)
— 5Cr13 ——-2 2.2^ ’
OLosk [q , s ) + До7 s
2 2(7.6.31)
uFL _ enFL _sk^.S^E^ .
n3— 5Lr33 —7 / 2 2\ . a 2 2’
OL0sk , s ) + Po7 S
aFL =
aosk (q2, s2) + Зо^з2
При произвольных параметрах граничных условий (7.6.9) и (7.6.17) для полуплоскости оригиналы функций влияния могут быть найдены с помощью алгоритма совместного обращения преобразования Фурье- Лапласа (см. § В.4 и пример 7.4.1), а для полупространства — с помощью связи пространственной и плоской задачи (см. § В.5 и пример 7.5.1).
Для первой и второй краевых задач (см. (7.6.10) и (7.6.11)) удобнее провести последовательное обращение преобразований.
А. Первая краевая задача для полуплоскости. Полагая в (7.6.31) и (7.6.32) «о — 1 и До — 0, с учетом обозначений в (7.6.27) и (7.6.28) приходим к следующим изображениям:
H1L (q,z,s) =
^e-z y/^s^q2 y/^s1 + q-
H(L(.q,z,s) = e-^V^^+s2 ,
(7.6.33)
AFL(q, z, s) =
7 8e-z у/^2s2-\-q2
y/^-S1 + Q2
Используя табл. В.1.2, находим оригиналы этих функций по Фурье:
Н^(ж, г, s) = Ki (7г2з), Н^х. s) = Ki (yr2s),ТГГ2ТГГ2
2 (7.6.34)
Л^(ж, г, з) = Ко (7Г2s) , 7*2 = V^~+^";
где К„(ж) — модифицированная функция Бесселя второго рода.
Обращая теперь преобразование Лапласа (см. табл. В.2.2), окончательно получаем
Н1(ж, z, т) =(т2 - 72^)+1/2 ’
ТГГ2
Я3(ж, г,т) = -^ (т2 - 72Г2)+3/2 , Л(ж, Z, т) = — Т+ (т2 — ^Г2)/^ .
(7.6.35)
Б. Вторая краевая задача для полуплоскости. Полагая в (7.6.31) и (7.6.32) «о = 0 и /Зо = 1, с учетом обозначений в (7.6.27) и (7.6.28) приходим к следующим изображениям:
H(L(q,z,s) = 29_e-^V^+^,7 s
rFL^q s) — ^^^ + ^2 е-^\/т^2+^2 _7 s + g
’ ’72s72sV72s2 + q2’
(7.6.36)
NFL(q,^s) = e-zV^^q2 .
Их оригиналы определяем последовательно, используя таблицы В.1.2 и В.2.2 и соответствующие свойства преобразований:
Н^х^ 2, s) = К1 (75Г2) ;
7777*2
Н^х^ г, s) =22зК0 (737*2) —
ТГГ2
2 _ 2'
Кх ^sr^
AL(x^ г, з) = Ki (73Г2);7Г Г2
, (7.6.37)
Я1(ж, z, г) = ^ (т2 - ^т^Д2
H3(x,z,t) =7ТГГ2H3(x,z,t) =7ТГГ22 2\-V22 2\-V2.7 ^2.7 ^2
H3(x,z,t) =7
ТГГ2
H3(x,z,t) =7
ТГГ2
2 2\-V2
2 2\-V2
.7 ^2
.7 ^2
(7.6.38)(7.6.38)
(7.6.38)
(7.6.38)
Л(ж, г, т) = — TJL (т2 _ 72т*2)+3^2 .
В. Первая краевая задача для полупространства. Формулы (7.6.25), (7.6.26) и (7.6.33) приводят к следующим изображениям функций влияния:
H?L(q,z,s) =H?L(q,z,s) =Чл/Д^^о2
H?L(q,z,s) =
H?L(q,z,s) =
2 77^7 2 3 2 + q-
(7.6.39)(7.6.39)H?L(q,z,s) = -J-e-^VT^iVz V4’ ’ 7 2тг,
(7.6.39)
(7.6.39)
A"L(^,.s) =A"L(^,.s) =7872s2+g2
A"L(^,.s) =
A"L(^,.s) =
2тг V72s2 + q2
Сначала, используя табл. В.3.2, находим оригиналы этих функций по Ханкелю:
H^(r,z,s) = dl±2^1 е-у^г3 H^r,z,s) =е"7»г3
2тгтз2тгтз
2 (7.6.40)
Ад (г, г, s) = е-75Гз гз = V^2 + z2 .2тгг3
Затем с использованием табл. В.2.2 и свойств преобразования Лапласа находим оригиналы функций влияния:
Яг(г, г, т) =6 (т - 7Г3) + 7^ (т - 7Г3)] ,
2тгг3 Lr3J
НДг, z, т) = -^ [— 5 (т - 7Г3) + ^5* (т - 7Г3)] ,(7.6.41)
2тгг3 Lr3J v 7
2
Aa(r, z, s) = ^- 5' (т - 7Г3).
Нтнь^,2,8) = -Л-2тг7 зНтнь^,2,8) = -Л-2тг7 зe-z V^s^-q^e-z V^s^-q^Г. Вторая краевая задача для полупространства. В этом случае изображения функций влияния следуют из формул (7.6.25), (7.6.26) и (7.6.36):
Нтнь^,2,8) = -Л-
2тг7 з
Нтнь^,2,8) = -Л-
2тг7 з
e-z V^s^-q^
e-z V^s^-q^
H?L(q, z, s) = VZEjEE е-* v7^^ =
2тг7 s
=^t+^== e~z V^^+q2, (7.6.42)
27Г7 sV^-s- + Q2
A"79,^,s) = ^e-zV№^_
Нг (г, ^ 5) —Нг (г, ^ 5) —Обращение преобразования Ханкеля приводит к следующим результатам:
Нг (г, ^ 5) —
Нг (г, ^ 5) —
д I II 9 9 9 I5
2тг7г3 \1§г3^ s т3 /
Н^т, г, s) =Н^т, г, s) =127Г7Г3127Г7Г37S22 +7S22 +о 22ZZ — ГГЗо 22ZZ — ГГЗе-^8Т3е-^8Т3(7.6.43)(7.6.43)Л„(г,г,8) =Л„(г,г,8) =z(l +7sr3) e-7sr3 2тггзz(l +7sr3) e-7sr3 2тггз
Н^т, г, s) =
Н^т, г, s) =
1
27Г7Г3
1
27Г7Г3
7S22 +
7S22 +
о 22
ZZ — Г
ГЗ
о 22
ZZ — Г
ГЗ
е-^8Т3
е-^8Т3
(7.6.43)
(7.6.43)
Л„(г,г,8) =
Л„(г,г,8) =
z(l +7sr3) e-7sr3 2тггз
z(l +7sr3) e-7sr3 2тггз
Нг(г, г, т) =Нг(г, г, т) =г х2тг7Гзг х2тг7ГзНгкт,г,т> =Нгкт,г,т> =12тт7Г312тт7Г37£25' (т - 7Г3) +7£25' (т - 7Г3) +
Нг(г, г, т) =
Нг(г, г, т) =
г х2тг7Гз
г х2тг7Гз
Нгкт,г,т> =
Нгкт,г,т> =
1
2тт7Г3
1
2тт7Г3
7£25' (т - 7Г3) +
7£25' (т - 7Г3) +
Для вычисления оригиналов Лапласа дополнительно обращаемся к табл. В.2.2:
5 (т - 7Г3) + — Я (т - 7Г3) + -^- (т - 7Г3), .7^з7 г3т
п 222г — ггзп 222г — ггз
п 22
2г — г
гз
п 22
2г — г
гз
, (7.6.44), (7.6.44)8 (т - 7Г3) + — Н {т - 7Г3)
, (7.6.44)
, (7.6.44)
_7Гз.
Ao(r, z, т) =[7г5' (т - 7г3) + 6 (т - 7Г3)].
2тгг3
Пример 7.6.1. Найти скорости и давление в акустической полуплоскости при заданной на ее поверхности равномерно распределенной на отрезке [—6, Ь\ нормальной скорости ??о5 изменяющейся во времени по закону функции Хевисайда.
Решение. В этом случае имеет место первая краевая задача с граничными условиями (7.6.10) при
(7.6.45)(7.6.45)q(x^ т) = VqH (b — |ж|) Н(т).
(7.6.45)
(7.6.45)
Скорости и давление определяются свертками (7.6.13) и (7.6.14) с ядрами (7.6.35), т. е.
vi^x,z,t) = -— [ -^ Н (b — \х - ^Vi^p2,T)d^,— ОО №
v3(x,z,t) =[ Я(6-|Ж-С|)Уз(р2,т)^,
-оо(7.6.46)
р(«, г) =-^^ | Н (Ь — |ж-£|)Р (/92, т)<1^,
где
Vi (р2,т) = Я(т - 7д2) j
/.22 2\3/2’(7.6.47)У -7 р^ +t dt 2 2\3/2 'И -7 Р2) +/.22 2\3/2’(7.6.47)У -7 р^ +t dt 2 2\3/2 'И -7 Р2) +Уз (Р2,т) = Н (т - 7Д2) |
/.22 2\3/2’(7.6.47)
У -7 р^ +
t dt 2 2\3/2 '
И -7 Р2) +
/.22 2\3/2’(7.6.47)
У -7 р^ +
t dt 2 2\3/2 '
И -7 Р2) +
P^P^t^ = н (т -ЧР-^ |
Здесь и далее в необходимых случаях интегралы понимаются в смысле регуляризованных значений (см. определение обобщенных функций в § Б.2, в том числе, табл. Б.2.1).
Искомые функции представим в виде двух слагаемых, с носителями в виде отрицательной и положительной полупрямых оси Ох;
D^X^Z^T^ = v^x.z. т^Н^—х) + ^(х^г, т)Н(х),
(7.6.48) р(х, Z,t) = р-(х. z. т)П(—х) + р+(х. z. т)Н(х).
Сначала найдем гГ^ж, z, т) и р+(ж, г, г), т. е. будем считать, что х ^ ^ 0. Для продолжения этого решения на левую полуось заметим, что правая часть (7.6.45) граничных условий является четной функцией по х. Следовательно, и функция v$(x, г, т) также обязана быть четной. Из соотношений (7.6.2) и (7.6.3) вытекают следующие свойства остальных функций: Ф(ж,г,т) и р(ж,г,т) — четные, ??1(ж,г,т) — нечетная по ж, т. е. для любых х ^ 0
Д^хл.т^ = — ^+(—ж, г, т),
(7.6.49)(7.6.49)У3 (ж, 2, т) = ^з"( —ж, г, т),
(7.6.49)
(7.6.49)
р (х, z,t) = р^(—х, z,t).
Для определения скорости -и^х^т)., прежде всего, находим соответствующий интеграл в (7.6.47)
V1 (р2, т) = Я (т - 7Р2) j , tdt =
= Я (т-7р2) ^2 -^Р1= (т2-^р^2. (7.6.50)
7Р2
Подставляя этот результат в (7.6.46), получаем
^(ж, г, т) = ~'^2jL Н(т — 7г) х
х | fl^^T)H(b-\x-^H(Tz^(7.6.51)
/1(€^,Ц = "Ч^т^ - С2 , Tz = \ —-Z2 PiV 7"
Построим далее неоднократно используемую вспомогательную формулу, выражающую интеграл вида (7.6.51):
(7.6.52)(7.6.52)(7.6.53)(7.6.53)/ =/(ж) [Я (ж — <2-1) — Я (ж — а2)] [^ (ж — di) — Я (ж — d^ dx
(7.6.52)
(7.6.52)
(7.6.53)
(7.6.53)
через первообразную Я(ж) функции /(ж), где tti < ^2? dx < d^.
Учитывая все возможные варианты носителя ненулевой длины подынтегральной функции, преобразовываем (7.6.52) так:
/ =
= Я(й1 - dj [Я (d2 - «1) Я(а2 - d2) Я(ж)|^ + Н^ - а2) Я(Ж)|£] + + Я^х - а1)Я(а2 - dT) [Я(а2 - d2№)|£ + Я(d2 - а2)Я(ж)|“2] =
= Я(d2 - О1) [Я(d2)Я(а2 - d2) - Я(а1)Я(а1 - dj] +
+ Я (а2 - dj [Я (а2) Я (d2 - а2) - F (di) Я (di - aj]. (7.6.54)
При выполнении преобразований в (7.6.54) использованы следующие очевидные равенства для функции Хевисайда:
Я(ж — а) + Н^а — ж) = 1, Я(а — ж)Я(ж — d) = 0, d > а, (7.6.55)
Я(ж — a)H(d — ж) = Я(ж — а) — H^d — ж).
Если в какой-либо точке di, <22, ^1 или d^ функция /(ж) имеет сингулярную особенность, то, согласно определению регуляризованного значения интеграла, соответствующее значение первообразной считается равным нулю.
В частном случае симметричного относительно нуля отрезка [di, d^\ (di = —d, d^ = d > 0) формула (7.6.54) упрощается и принимает вид
2
I =y<-lTF<ak)H<d-\ak\H
k=0
+ £ 1-lfF (dk) H (dk - O1) H (dk - a2). (7.6.56) k=0
Если же дополнительно первообразная F(x) является нечетной функцией, то равенство (7.6.56) преобразуется следующим образом:
I = ^ (-if IF (ak) - F (d)] H^d- |afe|) +
k=0
+ 2F(d)^(-lf~1H(-d-ak). (7.6.57)
k=0
Применяем формулу (7.6.56) к интегралу в (7.6.51) при
—а^ = жох = b — ж, (i2 — ^02 = b + ж, d = т2.(7.6.58)
Вычисляя первообразную функции /1(£, г, т)
F1U) = [ hU, r)d£=\+
г . T + 7 Vt? - C2 1 [1 T + \F^FF )
H— In—— — = — \—+ t Iny
77P27 I v7P2)
и учитывая ее четность, а также то, что (к = 1,2)
Р1Ы = Fx [(-lf^ofc] = Fi^ofe) =
= 7 I V Т 7 r2fc + Т |П I ’ (716159)
F^dfc) = Fl [(-lfrz] = Fi(t2) = 0, r2k = Р2\е=Ж0к = ^J, + z2, из (7.6.51) с использованием (7.6.56) получаем
у+(ж, г, т) = ^ £ (-it^FM^H (т - 7Г2Л) -(7.6.60)
Аналогично (7.6.50) и (7.6.51) для скорости ^з" и давления р+ из (7.6.47) и (7.6.46) находим
V3 (р2, т) = —^ (т2 - 72Рг)+1/2 , р М = -(г2 - ^р!)^2 ;
7 Р2
(7.6.61)
«Цж,г,т)=
= ^ Н(т - 7^) | /3(d г, т)Н (6 - |ж - d) Н (тг - |d) dC
р+(ж,г, т) =
= ^ Я(т - 7^) J Ш г, т)Н (6 - |ж - С|) Н (тг - |d) d^ (7.6.62)
Вычисляя первообразные функций /з(£, г, т) и fp^ £.>т)
= iarctg 72Jr^ = sig"4" ?s(€)l'
F3(d = arctg(7.6.63)
^p(d = [ /p(d r) d^ = [ d^ = arcsin — = arctg=
pvs; J,P4S ' s j
= ^ sign £ - Fp^,
~- 72pI
Fp(d = arctg V ^P2
и учитывая их нечетность, а также равенства (к = 1,2)
РзЫ = Рз [(-l)^0fc] = (,-ltF3M =
= (“Г*— [у signal - Я(жо*)1 ,
27 L2J
^(жок) = arctg^(жок) = arctgг^/т2 _72r2fc®0fcTг^/т2 _72r2fc®0fcT
^(жок) = arctg
^(жок) = arctg
г^/т2 _72r2fc
®0fcT
г^/т2 _72r2fc
®0fcT
РрЫ = Fp [(-l)6^] = (-ifFpM =
= (-l)fe [^ sign жОк - Яр(ж0А)] , (7.6.64)
FpM = arctg, РМ = ^Д Fp(d) = ^
из (7.6.62) с использованием (7.6.57) и (7.6.64), получаем
2 Г 1 Г1
г)^(ж,г,т) = v£(x,z,r) + «0Я(т - 7^) 52 1 о si8n жой - (-1)* х
х Н (tz - |жОк|) - (—V^H [тг - (-l^^ofe] } =
= v0H(t - ч^Н (ж01) + ^(ж, z, tY
2 ~(7.6.65)
г>з(х, z,t) = - — ^ F3(x0k)H (т - 7Г2*),k=l
р+(ж, z, т) = V(j^H(j — ^z)H ($oi) + P+T 2, t),
p+(x,z,r) = - — 52 Fp(xOfc)H (t -^г2кУk=l
Учитывая далее, что Жо1(—ж) = жд?(ж) и Жо2(—ж) — ^ох(ж), а также свойства функций Fi(xok^ F^x^kY Fp^x^ и равенства (7.6.60) и (7.6.65), из (7.6.49) находим
uf (ж, г, г) = ^(х^ г, т),
^з^х^ г, т) = vqH(t — 7^)Н (жо?) + 1)3"(х, г, т),(7.6.66)
р-(ж, г, т) = Uo7Н(т — yz^H (жд?) + р+(—ж, г, т).
Подставляя теперь (7.6.66) в (7.6.48), с использованием формул (7.6.59), (7.6.60), (7.6.64) и (7.6.65) окончательно получаем
2
^1(ж, г, т) =(ж, г, т) [Я(—ж) + Я(ж)] = — У^( —l)^-^
( П ГТ , 1 T + V^7^ I и/ л
Х \\Т T^l, + Т In Я (т - ^Г2к ) ,
|V ' 2R^ток
^з(ж, г, т) = ийН^т - 4^ [Я (ж02) Я(—ж) + Я (ж01) ^(ж)] +
+ ^з"(ж, г, т) [Я(—ж) + Я(ж)] =
= ^о Н(т - ^z^H (6 - |ж|)V arctg —— Я (т - ^т^ ,7Г “ЖОкТ
(7.6.67)
р(ж, г, т) =
? _ ^2Г2-— Н (т - ^г^ .Ч^Ок_? _ ^2Г2-— Н (т - ^г^ .Ч^Ок_Г1 2
? _ ^2Г2-
— Н (т - ^г^ .
Ч^Ок_
? _ ^2Г2-
— Н (т - ^г^ .
Ч^Ок_
= г>о7 Н(т — yz)H (b — |ж|)Y^ arctg
L77 k=i
Таким образом, касательная скорость их есть суперпозиция двух цилиндрических волн с фронтами (см. (1.2.11) и рис. 7.6.1):
2
Щ : (b^xf + г2 = ^ (к = 1,2).(7.6.68)
Т
А нормальная скорость из и давление р являются суперпозицией трех волн: к указанным цилиндрическим волнам добавляется плоская волна с фронтом По: z = т/7.
Рис. 7.6.1Рис. 7.6.1
Рис. 7.6.1
Рис. 7.6.1
На рис. 7.6.2 представлены рассчитанные по соответствующей формуле в (7.6.68) при 6 = 7 = г^о = 1 распределения давления р по пространственным координатам в различные моменты времени: а) т = 0,5; б) т = 1: в) т = 1,5; г) т = 2; д) т = 2,5.
Отметим, что рассмотренная задача может интерпретироваться как внедрение в акустическую полуплоскость абсолютно жесткого прямоугольного штампа ширины 26 с недеформируемым фланцем (^з(ж, 0, т) = 0 при |ж| > 6) (см. рис. 7.6.1).
Пример 7.6.2. Найти давление в акустическом полупространстве при заданной на его поверхности нормальной скорости, распределенной по радиусу по закону / (г) и изменяющейся во времени по закону функции Хевисайда. Использовать полученную формулу для / (г) = = ^о ехр (—г2).
Решение. В этом случае имеет место первая краевая задача с граничными условиями (7.6.17) при сщ = 1, До = 0 и
^(ж,у,т) = / (г) Я(т).^(ж,у,т) = / (г) Я(т).(7.6.69)(7.6.69)
^(ж,у,т) = / (г) Я(т).
^(ж,у,т) = / (г) Я(т).
(7.6.69)
(7.6.69)
Давление определяется сверткой (7.6.20) с соответствующим ядром из (7.6.41), которая с использованием полярных координат ж = tcosq, у = г since, £ = pcos-$, ( = psini9 (р = V^2 + С2 ) и свойств дельтафункции имеет вид
р(г, г, т) = Н(г — 7г) х
х [ dd [ — 6 (т — 7Дз) / Г Vl2 + 7,2 — 2pr cos (?? — «)] dp, (7.6.70)
— 7Г 0
Pa = Vl2 + ^2 •
Поскольку уравнение т — 7/73 = 0 имеет единственный корень p = Tz (эта величина определена в (7.6.51)), то в соответствии с разложением сложной дельта-функции (см. § Б.4))
(7.6.71)(7.6.71)<Щ - 7Рз) = 4— Цр- т^ .
(7.6.71)
(7.6.71)
7 тг
Подставляя это равенство в (7.6.70) и выполняя замену переменой интегрирования и = cos (^ — q), получаем требуемое интегральное представление:
При / (г) = ^о ехр (—г2) с использованиемПри / (г) = ^о ехр (—г2) с использованиемтабличного интегралатабличного интеграла[57] получаем следующий результат:[57] получаем следующий результат:
При / (г) = ^о ехр (—г2) с использованием
При / (г) = ^о ехр (—г2) с использованием
табличного интеграла
табличного интеграла
[57] получаем следующий результат:
[57] получаем следующий результат:
р(г, г, т) = Н^т -[ e-r2-r2+2TZr«
^VI — U^
Го7 ——т*2 тт /\ f —du
=Tz re ^zru^== =
^J— u-
= v^e Tz T I0(2tzt)H(t - 72) =
= r07e= r07eЯ(т —7г), (7.6.73)Я(т —7г), (7.6.73)
= r07e
= r07e
Я(т —7г), (7.6.73)
Я(т —7г), (7.6.73)
где /о(ж) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
На рис. 7.6.3 представлены рассчитанные по формуле (7.6.73) при 6 = 7 = Го = 1 распределения давления р по пространственным координатам в различные моменты времени: а) т = 0,5; б) т = 1: в) т = 1,5; г) т = 2: д) т = 2,5.
Упражнение 7.6.1. Найти скорости и давление в акустической полуплоскости при заданном на ее поверхности равномерно распределенном на отрезке [—6,6] давлении ро? изменяющимся во времени по закону функции Хевисайда.
Осесимметричные граничные возмущенияот сферической полости
Еще одним важным типом двумерных волновых процессов является распространение симметричных относительно некоторой прямой возмущений в упругом однородном изотропном пространстве со сферической полостью радиуса R и центром в точке О. Эти процессы являются обобщением рассмотренных в §3.3 и 3.4 сферических волн. Далее ограничимся исследованием только граничных возмущений.
Ось симметрии совместим с осью Oz прямоугольной декартовой системы координат. Будем использовать сферическую систему координат г,/3,а (см. А.4.41) с ортами ег, ед, еа и центром О, а также безразмерные параметры (2.1.1), (3.1.4) и (7.4.1), полагая L = R. Осесимметричный характер движения обеспечивается зависимостью искомых функций только от времени, радиуса т и угла /3. Как следует из (А.2.40), (А.4.56), (А.4.57) и (А.4.52)-(А.4.54), уравнения движения и связи физических компонентов потенциалов, вектора перемещения и тензора напряжений в этом случае имеют следующий вид (9 = 0, М = 0, F = 0, фт = фр = 0, фа = ФУ
7i <£ = Ду,7i <£ = Ду,Э^ср 2 Эф dr2 г 9тЭ^ср 2 Эф dr2 г 9тlf^ + ^ctgsYг2 \83г + 83 6Р) 'lf^ + ^ctgsYг2 \83г + 83 6Р) '^ф = Д^>^ф = Д^>г2 sin2 Р ’г2 sin2 Р ’(7-7.1)(7.7.2)(7-7.1)(7.7.2)
7i <£ = Ду,
7i <£ = Ду,
Э^ср 2 Эф dr2 г 9т
Э^ср 2 Эф dr2 г 9т
lf^ + ^ctgsYг2 \83г + 83 6Р) '
lf^ + ^ctgsYг2 \83г + 83 6Р) '
^ф = Д^>
^ф = Д^>
г2 sin2 Р ’
г2 sin2 Р ’
(7-7.1)
(7.7.2)
(7-7.1)
(7.7.2)
дф 1 ( дф. АU = Ut = "Эт^т (^ + ^С1ёД ’дф 1 ( дф. АU = Ut = "Эт^т (^ + ^С1ёД ’1 / дф v = и8=\г \ др1 / дф v = и8=\г \ дриа = Оиа = О(7.7.3)(7.7.3)_ ди и° тт — “Б г ОТ Г_ ди и° тт — “Б г ОТ Г2u + а^ + у cts ^2u + а^ + у cts ^ди . 1 а^ = х 97 + гди . 1 а^ = х 97 + гди дгди дг(1 + х^и + 00 + xvctg/3ди(1 + х^и + X— + vctg/3(1 + х^и + 00 + xvctg/3ди(1 + х^и + X— + vctg/3(7.7.4)(7.7.4)Стт13 -2Стт13 -2111г1гд-и дгд-и дг^га — ^/За — О.^га — ^/За — О.
дф 1 ( дф. А
U = Ut = "Эт^т (^ + ^С1ёД ’
дф 1 ( дф. А
U = Ut = "Эт^т (^ + ^С1ёД ’
1 / дф v = и8=\
г \ др
1 / дф v = и8=\
г \ др
иа = О
иа = О
(7.7.3)
(7.7.3)
_ ди и
° тт — “Б г ОТ Г
_ ди и
° тт — “Б г ОТ Г
2u + а^ + у cts ^
2u + а^ + у cts ^
ди . 1 а^ = х 97 + г
ди . 1 а^ = х 97 + г
ди дг
ди дг
(1 + х^и + 00 + xvctg/3
ди
(1 + х^и + X— + vctg/3
(1 + х^и + 00 + xvctg/3
ди
(1 + х^и + X— + vctg/3
(7.7.4)
(7.7.4)
Стт13 -2
Стт13 -2
1
1
1
г
1
г
д-и дг
д-и дг
^га — ^/За — О.
^га — ^/За — О.
В начальный момент времени возмущения отсутствуют:
у|т=0 = <=0 = ф\т=0 = ф\т=о ее 0.(7.7.5)
На бесконечности решения ограничены
ф(г, А т) — О (1), ^(г, Д, т) = О (1), г —> оо. (7.7.6)
Граничные условия на поверхности г = 1 полости аналогично (7.4.7) записываем в обобщенном виде
(7.7.7)(7.7.7)(aiu + 31<ТтА\г=1 = 91 (/3, т),(«2^ + /32^^) |^=1 = q^3. г),
(7.7.7)
(7.7.7)
где числовые параметры удовлетворяют условиям «^ + /3? ^ 0.
Для построения решения начально-краевой задачи (7.7.1)-(7.7.7) используем метод неполного разделения переменных, раскладывая искомые функции и правые части граничных условий (7.7.7) в ряды по многочленам Лежандра Рп (cos/З) и Гегенбауэра х) С^т (cos/З), которые связаны между собой так [54]:
(7.7.8)(7.7.8)/3/2 /X _ dPn(x^п~1[х) - dx
(7.7.8)
(7.7.8)
Эти многочлены образуют полные ортогональные соответственно
в £2([0,7г]; sin/З) и £2([0,7г]; sin/3) системы функций (см.(1.5.32))
с нормами
||РП (cos^)||2 = j [Р„ (cos/З)]2 sin /3с?/3 = ^Д 1 (n е No),
°(7.7.9)
|| С^Л (cos||2 = j [сДД (cos /3)] 'sin3 Pdp = ^^^^^ ^N\
О"
Упомянутые выше ряды имеют следующий вид:
у(г,^,т) = 52 Уп(г, т)Рп (cos/3), n=0z х
(7.7.10)
^^,3,^ = - sin 3^2 ^„(r,^^ (cos/3);
Цг,3,т) = 52 «п(г,т)Р„ (cOS/3),n=0
«(г.^.т) - - sin/1 52 V„(n, tJC^ (cos/i);
<7rr(r, ^,t) = 52 G rm(r,r)pn (cos^),n=0
СТтд^г^З,^ = -sin/3 52 ^„(^t)^^2! (cos/3) , „=i(7.7.12)
oppkv, 3,t) = 52 СТДОп(г, r)Pn (cos^) -
n=0
- cos/3 52 vn(r, T^C^! (cos/3),
n=l
<Taa(r,/3,T) = 52 ^aan(r,T)Pn (cOS/3) +
n=0
+ 3-^- cos/3 52 vn(r, t)^2! (cos/3) ; Гn=l
91(^,т)= 52 91„(т)Рп (cos/3),n=0
qi(3,T^ = -sin£ 52 qin^C^ (cos/3),n=l
гдегде(Qj , Р„ (cos/3))II Pn (cos ^)||2(Qj , Р„ (cos/3))II Pn (cos ^)||21||Pn(cos/3)||21||Pn(cos/3)||2^1(^,т)Рп (cos/3) sin/3</^,^1(^,т)Рп (cos/3) sin/3</^,
где
где
(Qj , Р„ (cos/3))II Pn (cos ^)||2
(Qj , Р„ (cos/3))II Pn (cos ^)||2
1
||Pn(cos/3)||2
1
||Pn(cos/3)||2
^1(^,т)Рп (cos/3) sin/3</^,
^1(^,т)Рп (cos/3) sin/3</^,
_ {-д-1/sin/3, Р„ (cos ,8)) _(7.7.14)
(cos/3)||2
= ~п ^/9 1N^ 172 ^’ T^Cr^sin2 lW-
ЦС^Л (cos 0) || Jo
Подставляя (7.7.10)-(7.7.13) в (7.7.1)-(7.7.7), приходим к следующей начально-краевой задаче для коэффициентов рядов:
2 •• _ Л2 7/ л _| 2 а п(п + 1)е
71^71 — △п^П?72^71 — ^Тъ'Ф'П'; ^П — п 2 + о2'
ОТ Г ОТг
(7.7.15)
«„ = ^ +- ^,(7-7.16)
ОТГгот
_ Эип х г/ ч ,_ 1 - х (ип - vn dvn\
°ттп — ^^ “Ь71(72 + 1)1+] , ^тр-п —2\ гЭт / ’
^ддп — ^^ггп “Ь [(1 “Ь ^х^и-^ tl^tl + 1)хи^Д ,(7.7.17)
^аап = <Т^п - П^П + 1)(1 - х)^*
^п|т=о — ^п|т=о — Фп\т—о — Фп |— 0;(7.7.18)
99п(г, г) = О (1), фп^г, т) = О (1), г -+ схэ;(7.7.19)
(o^l^n Н” 31 ^ггп) |г—1 — Qln^^i {^2^п Н” З^^г^п} |г—1 — Q2n^V (7.7.20)
Начально-краевую задачу (7.7.15)-(7.7.20) аналогично § 2.3 и 3.3 можно решать, непосредственно применяя к ней преобразование Лапласа по времени. Однако в силу того, что здесь в отличие от одномерных задач имеют место две волны (см. (7.1.15)), изображения будут содержать в знаменателе две различные экспоненты (ср. с (3.3.16)). Для построения их оригиналов необходимо проводить разложения в ряды по экспонентам (соответствующая процедура использована в § 2.5 и 3.5).
Другой подход связан с построением общих решений уравнения типа (7.1.15)
д2Ф , 2 5Ф п(п + 1) ж7 Ф =—- ф
Эг т drг2
8^Фь(г, s) । 2 8Фь(г, s)8г2 г 8т8^Фь(г, s) । 2 8Фь(г, s)8г2 г 8тНаиболее просто это можно сделать, применяя к (7.7.21) преобразование Лапласа по времени (см. также §4.1):
8^Фь(г, s) । 2 8Фь(г, s)8г2 г 8т
8^Фь(г, s) । 2 8Фь(г, s)8г2 г 8т
^Ц^+7?з2 Фь(г,з)=0. (7.7.22)
Г
Его общее решение имеет вид [53] (см. также (3.3.11))
Ф>, s) = ^ [Cni(s)Kn+1/2(7rs) + Cn2(S)/n+1/2(7rS)] , (7.7.23)
где Cni(s) и Cn2(s) — произвольные постоянные интегрирования (произвольные функции параметра s).
Подставляя сюда выражения (3.3.18) модифицированных функций Бесселя через элементарные функции, получаем
Ф£(М = ^ [(Щп^)/Ы-7гз)е^ +С£(з^,
Т(7.7.24)
где введены новые произвольные функции
^(8) =^, G^ =1 kCnl(s) - (-l)"C„2(s)].
(7s) V-7r7s(7s) y-7r7s
(7.7.25)
Применяя теперь к (7.7.24) обратное преобразование Лапласа, с учетом его свойств получаем общее решение уравнения (7.7.22)
ФДг,т) = ^ £ АпкНгГ"кР„(т + 7г) +
Г к=0
+ 4+ri:AnfeWkG4T-^. (7.7.26) г к=о
Здесь первая сумма есть сходящаяся, а вторая — расходящаяся волна. Легко проверяется, что при rz = 0 и n = 1 они совпадают (или отличаются на постоянный множитель) со сферическими волнами (3.1.14), (3.1.13) и (3.1.17), (3.1.16) соответственно. Поэтому назовем их обобщенными сферическими волнами. Другие способы построения общего решения (7.7.26) указаны в [5].
Перейдем теперь к решению задачи (7.7.15)-(7.7.20). Из условий (7.7.19) отсутствия возмущений на бесконечности следует, что должны отсутствовать сходящиеся волны. Поэтому, используя (7.7.24) и полагая 7i = 1, 72 = ц, можем записать решения уравнений (7.7.15) в пространстве преобразований Лапласа так:
^(г,5) = Дл йп0(гз)/^(з)е"(г"1)8,
Т(7.7.27)
з) =/?п0(»7Г8)^(8)е“’?(г“1)%
т
7.7] Осесимметричные возмугцения от сферической полости 319 где /^(з) и g^(s) — произвольные функции.
Применение преобразования Лапласа к (7.7.16), (7.7.17) с учетом (7.7.27) приводит к следующим формулам для изображений коэффициентов рядов для перемещений и напряжений (указаны только независимые напряжения):
u^(r, s) = -^2 [fini(rs)/^(s)e"(r"1)s +
+ n(n + l)g£(s) Л^Ме-”^-1^],(7.7.28)
s) = ^ ^(rsV^s^-^"1^ + RaTirsUn^e-*-1^ 5
<r^rn(r, s) = -^3 [Qni(rs)/^(s)e_(’’-1)s +
+ n(n +, (7.7.29)
"r^n^, s) = ^з [<3n2(rs)/^(s)e"(r"1)s + QnsGrs^^e-’’^-1^] .
Здесь
^nl(^) = ^n+l,o(^)^nO^),
^пз(^) — ^n+1,0 (^)(^ 4” l)^no(^),
^n2(^) — ^n+2,o(^)(2t2 4- 1) Лп+1,0 (^) 4- 72(72 4“ l)7?no(^),
Qni(2) = #„2(2) - x\2Rni^ + Цп + 1)Л„0(г)],C7-7-30)
Qn2(^) — (1^) [Йп1(*) 4“ ^TlO^)] 5
Qn3^ = Ц^ [^„2(2) + (n + 2)(n - 1)7?п0(г)].
Причем, как следует из (3.3.18) и формул дифференцирования модифицированных функций Бесселя (3.3.15) и (3.4.21), для многочленов ^ni(^) и ^п2(^) справедливы равенства
finl(z) = -г"+2е2 [^(г)^-"-^-2]' = £ Впк^-\ k=G
,^+2(7.7.31)
k=0
^nk — ^Tik 4“ ^^n,k — 1? ^nk — ^n/c 4“ к Bn j€_^ .
Подставляя теперь (7.7.28) и (7.7.29) в граничные условия (7.7.20), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений произвольных функций fn^) и £п(ту.
AnGn = Qn, Gn = (/nL(S),^(S))T, т(7.7.32)
Qn — (91n(s)? ^2n(^)) 5 An — ^пгз^У^х^ ’ где
^nll(s) — 31Q nl(8)а1ЯП1(в),
a»i2(s) = 74(74 + 1) VPiOni^s) - ^Rno^s)],(7.7.33)
«п21(з) = a27?no(s) + PlQn^8), an22(s) = «iRna^s) + PlQnS^s).
ЛП\» )ЛП\» )Решение этой системы запишем так:
ЛП\» )
ЛП\» )
(7.7.34)
Здесь
X„(s) = det An = -оц/32Dnl(s, r]s) + ^i^Dn2(s, T]s) -
- oia2On3(s, т/s) + /3ia2Dn4(s, ys),
Dnl^, y) = Яп1(ж)<2пЗ (у) - n(n + 1)<9п2(ж)/?п0 (у) , ОП2(ж, у) = Qm^Qn3 (у) - 74(74 + l)Q„2(z)Q„2 (у), (7.7.35) 5пз(ж, у) = Rni^RnS (у) - Цп + 1)/?пО(ж)ЯпО (у), ^п4(*^; У) = Qnl(,^)Rn3 (у)П-(74 + 1)Т?по(ж)^п2 (у).
Подставляя (7.7.34) в (7.7.28) и (7.7.29), получаем следующие представления изображений коэффициентов рядов для перемещений и напряжений (71 = 1, 72 = ц):
.2
un(^s) = ^+2 Е Unjk^^^kn^e-^^^
ttL /\_an22(s)7?ni(rs),.L / х _/a^i^s)Rno^prs)
Unll(r,8)-,(3n2i(r,S)- 74(74 + 1),
(7.7.36)
^i2(r,s) =[/^22(r, s) = -74(74 + i)0"!!^*8).
Лпу8)XnyS)
12
= Е V^r^qUsK11^8,
fL— a^22(s)^no(^s)7 X _ an21 (s)Rn3(prs)
ад ’ V^^)- ад , (7.7.37)
Гщг^в)Гщг^в)ani-z^R^rs^ VL (\ _ anii^Rns^Ts)
Гщг^в)
Гщг^в)
ад ,s) - ад ;
^„(М = ^з E З^м^К^Л
(7.7.38)
^(r,») = E S0njk('r.s)q^s>)e-'<^r-1^, T j,k=i
CL On22(s)Qn2(?’s) nL «n21 (.S^QnS^qfS^
-Wi(r,s)-, адад -,
(7.7.39)
qL (— anl2(s)Qn2(^s) qL (\ _ anll (s)Qn3(prs)
Оригиналы этих коэффициентов есть сумма сверток по времени с учетом сдвигов коэффициентов внешней нагрузки с ядрами Unjk^.T), Vnjk(r,T), Smjk(r,r) и S^njk^r, т). Как следует из (7.7.36)(7.7.39) изображения этих ядер являются рациональными функциями. Поэтому соответствующие оригиналы находятся достаточно просто с помощью теории вычетов [51] (см. также § 3.3). Последующее суммирование рядов (7.7.11) и (7.7.12) полностью решает задачу об определении напряженно-деформированного состояния упругой среды при распространении возмущений от сферической полости. Явные расчетные формулы удобнее получать в каждом конкретном случае параметров граничных условий (7.7.7).
Используемые при вычислении вычетов нули многочленов Xn(s) находятся любым известным методом. При этом необходимо учитывать, что s = 0 является нулем кратности 2. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что это выполняется для каждого из многочленов Dnm(s^T)s) (т = 1,2, 3,4) в (7.7.35). Например, для Dn3(s^T]s) с использованием (7.7.30) и (7.7.31) получаем
^пз(0,0) = —ВП)П+1 (ВП)П+1 — Лпп) + n(n + 1)Л^П = 0,
11 А. Г. Горшков и др.
dDna^s^ps)dsdDna^s^ps)ds= -R'^RnaW - МО) + 8=0= -R'^RnaW - МО) + 8=0
dDna^s^ps)ds
dDna^s^ps)ds
= -R'^RnaW - МО) + 8=0
= -R'^RnaW - МО) + 8=0
+ 2n(n + 1)Япо(О)#по(О) — —2Т?П1(0)7?пз(0) + 2n(n + l)7?ng(0) — 0.
(7.7.40) Соответствующие доказательства для остальных многочленов Dnm(s^T]s) предоставляем читателю.
Из найденного решения с помощью предельного перехода при ту —> —> оо (х —> 1) аналогично § 7.6 может быть построено решение задачи о распространении граничных возмущений от сферической полости в акустическом пространстве. Но на этом останавливаться не будем.
Отметим также, что при п = 0 формулы (7.7.36)-(7.7.38) дают изображения радиальных перемещений и напряжений в соответствующей одномерной задаче, рассмотренной в §3.3. И при ^ю(т) = 5(т) они совпадают с равенствами (3.3.20) для изображений функций влияния.
Пример 7.7.1. Найти перемещения и напряжения в упругой среде со сферической полостью, на поверхности которой задано радиальное напряжение сгтт | т = q{^^ т\ а касательные напряжения отсутствуют. Массовых сил нет, начальные условия однородные. Провести расчеты напряжений для стали (7 = 1; ту = 1,871) и нагрузки вида
<7(M = ^(l + cos2/3)/(r)(7.7.41)
при зависимости от времени в форме треугольного импульса
/(т) = -2 [т+ - (2т - 1)+ + (т - 1)+].(7.7.42)
Решение. В этом случае в граничных условиях (7.7.7) следует положить
/31 =/32 = 1, а1=а!2=0, 91(/3,т) = д(/3,т), у2(/3,т)=0.
(7.7.43)
При этом многочлены ^(з) и Xn(s) в (7.7.33) и (7.3.35) имеют вид
anii(s) = 9ш(з), ani^s) = п^п + l)Qn2(^s), ^п21(з) — Qn^Xs^ &п22(з) — Qn3(T]s^(7.7.44)
xn(s) = ВпД^ n^ = Qni(s)Qn3(^s) - n^n + 1)Сп2(з)Сп2(^з). Перемещения и напряжения вычисляются с помощью указанного выше алгоритма по формулам (7.7.11), (7.7.12), (7.7.36)-(7.7.39), в которых используются равенства (7.7.44). При этом учитывается (7.7.43) и вытекающее из формул для многочленов Лежандра [54] равенство
| (1 + cos 2/3) = | [Ро (cos /3) + 2Р2 (cos /3)].(7.7.45)
Поэтому
91п(т) = 6п/(т), Ьо = ^, Ь2 = ^, Ьп = О
33(7.7.46)
(п = 1, п > 3),д2п(т)=0 (n > 1),
и в рядах (7.7.11) и (7.7.12) отличны от нуля только члены с индексами 72 — О И 72 — 2.
Кроме того, для того чтобы не вычислять свертки с коэффициентами внешней нагрузки, удобнее принять во внимание, что в соответствии с табл. В.2.1 и свойствами преобразования Лапласа:
/L(s) = -|(1 - 2e~s/2 + е-5) .
Формулы (7.7.3б)-(7.7.38) в этой задаче имеют вид
= -^ (1 - 26-/2 + e") X Т3=1
,х 2
= -^ U- + в-) £ Vn>, 8у^‘, г3=1
U^s^-U^sY Vn^.(r,S) = 1гп^(г,8);(7.7.47)
^T>, *) = "^ (1 - 2e-/2 + e-H £ S^r, s^^-D^
T3=1
Рис. 7.7.1
Упражнение 7.7.3. Найти перемещения и напряжения в упругой среде со сферической полостью, на поверхности которой задано тангенциальное перемещение v|r=1 = q^P^tY а радиальное перемещение отсутствуют. Массовых сил нет, начальные условия однородные.
7.8. Плоская задача о распространении граничныхвозмущений от цилиндрической полости
В некотором смысле аналогичными рассмотренным в предыдущем параграфе являются двумерные волны, инициированные равномерно распределенными по оси граничными возмущениями на круговой цилиндрической полости радиуса R и с центром в точке О, расположенной в упругом однородном изотропном пространстве. Эти процессы являются обобщением рассмотренных в § 4.3 цилиндрических волн.
Будем использовать цилиндрическую систему координат г, оц % (см. А.4.19) с ортами ег, еа, е^, центром О и осью О г, совпадающей с осью полости. В силу указанных предположений о граничных возмущениях искомые функции зависят только от времени, радиуса г и угла а. Как следует из (А.2.40), (А.4.34), (А.4.35) и (А.4.30)-(А.4.32), в безразмерных величинах (2.1.1), (3.1.4) и (7.4.1), где L = R. уравнения движения и связи физических компонентов потенциалов, вектора
перемещения и тензора напряжений в этом случае имеют следующий вид (У = О, М = О, F = 0, фг = фа = 0, ф2 = Ф);
A,f¥ + l^ + l|4;(7.8.,)
^ф = Д^;(7.8.2)
dtp 1 дф1дрдф_ п<-7 q о\
и = иг = -^ + --^,-и = иа =- ^ - ^-,uz=O;(7.8.3)
ОТ Т OOLТOOLот
^rz — craz — О.
Далее рассматриваются только независимые напряжения.
Соотношения для другого типа двумерных задач в цилиндрической системе координат указаны в (7.5.1)-(7.5.3).
Аналогично предыдущему параграфу полагаем, что в начальный момент времени возмущения отсутствуют
У1т=0 = #r=0 = У1г=0 = ^|т=() = °,(7-8'5)
на бесконечности решения ограничены
ффг^ фу т) = О (1), ф(т, фу т) = О (1), г —> оо, (7.8.6)
а граничные условия на поверхности г = 1 полости являются обобщенными
(оды +/31<тгг)|г=1 = q^a,^, (a2v + 32ara^\r=1 = д2(а,т), (7.8.7) где а? + /3? ^ 0.
Решение начально-краевой задачи (7.8.1)-(7.8.7) строим с помощью метода неполного разделения переменных, раскладывая искомые функции и правые части граничных условий (7.8.7) в комплексные ряды Фурье [50]:
У^, а,т) = 52 Уп(г, т)е’п“, ф^т, /3, т) = 52 ^«(г, т)е’п“; (7.8.8)
ифт^ а^ т) = У^ и^фт^ т)егпа^ v(r^ а^т) = ^ ип(т^т)егпа; (7.8.9)
<тгг(г, а,т) = 52 <тггп(г,т)ет“, <тга(г, а, т) = 52 ^„„(г, т)егп“,
оо.(7.8.10)
а, т) = 52 ^«апк, т)егП“;
qk^a, т) = £ qkJjV™ (k = 1,2) ,(7.8.11)
где
QknM = l- qk(a,T)e-ina da.(7.8.12)
— 7Г
Подставляя (7.7.8)-(7.8.11) в (7.8.1)-(7.8.7), получаем следующую начально-краевую задачу для коэффициентов рядов:
71Уп=Апуп, 72^„=Д„^п, Дп = ^ + - -1- - ^ (7.8.13) от т От т
9фп , in .in дфп
ип = ^7 + — фп, Уп = ~ Р>п -(7.8.14)
9ин .. х1 - и /дт^ in гп\
^ггп — I (^п + ^^п) 5 ^ГаП — Л I ।1 ?
5!^ + 1^_ I
От^ 9т
Эт2г дт
ь, in ,Г
v
/ 2\
(^+7^2) ^=0, (7.8.19)
/ 2\
[^ + 722^)^ = О;
у г/
L in Lg пл\
п - — У» - -^7,(7.8.20)
от т2\ от т т )
атт = ^^ + “ (un + invn) ,, ,. х(7.8.21)
L(^k -U—nL -^ •
гап 2\ dr г " г у ’
^(r,s) = O(l), ^r,s) = O^, r^oo;(7.8.22)
(®l^n + Зх^гГП^ |r=l 91n(®)i
(7.8.23) (“2^ + /32^ап) |r=1 = q^s\
Общие решения уравнений (7.8.19) имеют вид (см. (4.1.17))
Фп^,8) = C'ni(s)Kn(7irs) + Cn3(s)/n(7irs),
(7.8.24) ■фп^ s) = C'n2(s)Kn(72rs) + C'n4(s)/n(72rs).
где Cnj(s) — постоянные интегрирования.
Учитывая, что в соответствии с поведением модифицированных функций Бесселя на бесконечности (см. (3.3.12)) и условием (7.8.22) Спз(з) = 0^4^ = 0, и подставляя (7.8.24) в (7.8.20) и (7.8.21), приходим к следующим изображениям коэффициентов рядов для перемещений и напряжений:
^(г, *) = 7 Е unj(7jrs)C,nj(s), v£(r, s) = i £ vni(7irs)Cni(s),j=lj=l
22
^„(^ s) = -2- E <7rnjhjT’8')Cnj(s),(7.8.25)
42
^ran^ s) = E "аЩ^зТ^С^У
где
unlW = -yn2(z) = nKn^ - zKn+1(z),
un2(z) = v„i^ = inKn^,
^гп1И = [(! - ^Ы^ - 1) + ^2] КЛ^ + (1 - x^Kn+v^Y (7.8.26)
^n2(^) = CTanlM = (1 - x)w [(n - l")Kn^ - zKn+1(z)] ,
CTan2^z>) = “(I - ><) { [n(n “ T) + | ^] K«^ + zKn+1^ .
Здесь вместо (3.3.15) использовано повышающее правило дифференцирования модифицированной функции Бесселя второго рода
К'W = | КД^ - К^ДД,(7.8.27)
а также рекуррентная формула
К„+ДД = 2^- Ки+ДД + КДД.(7.8.28)
Подставляя теперь (7.8.25) в граничные условия (7.8.23), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных Cni(s) и Сп2(з) (ср. с (7.7.32))
AnCn = Qn, Cn = (Cni(s), Cn2(s)) , т(7.8.29)
Qn — (91n(s)? ^2n(^)) 5 ^n — (anij(s^2x2 ’ где
«nij(s) = aiu^(7js) +/3i<T^nj(7js),
(7.8.30) a»2j(s) = а^Д^в) + Manjhj8)-
Решение этой системы запишем аналогично (7.7.34):
^nj(s) = Е Y-njk^qk^sY(7.8.31)
k=i
Здесь
V (— a™22(s) v 7 X ani2(s)
Уп21(з) =Tn22(S) =I7'8'32)
^n^) ~ det An = <lnll (s)ttn22 (s)ti-nl2 (s)ti-n21 (s) •
Подставляя (7.8.31) в (7.8.25), получаем
^n(^s) = 7 E ^nj(7jrs)yn^(s)^n(s),
!2
vn(r>s) = - E yn,(7,rs)ynjA:(s)^n(s),
2(7-8.33)
^rrn^5) = E O'rnjhj^Wnjk^qfcn^),
}2
^гап^5) = I" E "anjbj^sWnjk^q^s).
Г j,k=l
Оригиналы этих коэффициентов аналогично § 4.3 могут быть найдены с помощью асимптотических разложений (4.3.17). При этом явные расчетные формулы удобнее получать в каждом конкретном случае параметров граничных условий (7.8.7). Приведем только общие для всех вариантов асимптотические разложения при г —> оо функций в (7.8.26):
где коэффициенты сумм — линейные комбинации чисел dnk в (4.3.18):где коэффициенты сумм — линейные комбинации чисел dnk в (4.3.18):
где коэффициенты сумм — линейные комбинации чисел dnk в (4.3.18):
где коэффициенты сумм — линейные комбинации чисел dnk в (4.3.18):
drnO — dnTlo — 1? ^(тпО —(1 И^П. CtanO —2
1 — X
^rnl — 1 И A" CLnh ^anl —2 (^nl “Ь 2) ,
7.8.357.8.35d-unk = 1^O"nk (^ ^ 0) , dunk = ^^n,A; —1^n+l,/c?
7.8.35
7.8.35
dank ~ (1 X^TL [(721)(1П)/г_1 flyy-j-i^] ^k ^ 1) ,
drnk = d^k + (1 x) [&п+1,А; —1 4" 72(72l)^n,/c —2] ?
dank =2 ^nk 4“ 2dn+i^_ 1 + 272(721) бХ^д, —2] (k 2) .
Здесь и далее так же, как и в § 4.3, остаточные члены в разложениях опущены.
Последующее суммирование рядов (7.8.9) и (7.8.10) полностью решает задачу об определении напряженно-деформированного состояния упругой среды при распространении возмущений от сферической полости. При этом удобнее пользоваться действительной формой рядов, которую приведем на примере радиального перемещения [50]:
и(г? оц т) = tio(r^ т) + 2 У^ [Reizn(r, т) cost2q — Im izn(r, т) sin па\.п—1
(7.8.36)
Отметим, что при л = 0, как следует из (7.8.26), (7.8.30), (7.8.32) и (7.8.33),
^02^) = «oiW = °,= <7a01W = °,
«012(5) = «021(5) = 0,X0(s) = «011(5)0022(5),(7.8.37)
К12(5) = У„21(5) = 0,У011(8) = ^^,y022(S) = ^^,
aoii(s)ao22(s)
^o^8) = ^uoi(7i^)^oii(s)9w(s),
yo (r,s) = ^O2(72rs)yO22(s)g2o(s),
J(7.8.38)
^rro(r, s) = т CTroi(7irs)yOii(s)gfo(s),r
^ra0^s) = Л CTa02(72rs)y022(s)920(s)-r
Соответствующие формулы в (7.8.38) дают изображения радиальных перемещений и напряжений для одномерной задачи, рассмотренной в § 4.3. И при ^ю(т) = J(r) они совпадают с равенствами (4.3.15) и (4.3.16) для изображений функций влияния.
Пример 7.8.1. Найти перемещения и напряжения в упругой среде с цилиндрической полостью, на поверхности которой задано радиальное напряжение «гг|г=1 = д^оцт^ а касательные напряжения отсутствуют. Массовых сил нет, начальные условия однородные. Построить пространственно-временные зависимости для напряжений для стали (7 = 1; ц = 1,871) и нагрузки вида
q(a, г) = g(a)H(r),(7.8.39)
где
g(a) = (1 + cos 2a) .(7.8.40)
Решение. В этом случае, так же, как и в примере 7.7.1, в граничных условиях (7.7.7) следует положить
/31 = /32 = 1, ai = a2 = о,
(7.8.41) qi(a, т) = q(a, т),g2(a5'’')=0.
При этом многочлены ay(s) и Хп(з) в (7.7.30) и (7.3.31) имеют вид
anij(s) = <^(7^), ап2Дз) = <т^п,-(7,з), j = 1,2,
(7.8.42)
Xn^ = <T^nl(7is)<7^n2(72s) - <т^п2(72з)сг^п1(71з).
Формулы (7.8.33) с учетом (7.8.41) записываем следующим образом:
^(г,б) = | Е ^(^з), «п(^з) = 1 Е Vnj^8^j = l3=1
22(7.8.43)
^rrn(^’ з) У ' ^-mj^S з); ^ran^i з) ~У ' ^anj ^^ з);
Т 3 = 1Г 3=1
где
Unj^ 8) = qn^Wnil^nj ^3TS^ -
^(^ s) = q^Y^s^ ^jrs);
(7.8.44) Srnj^ s) = qn^Wnj^cr^j (yrs),
Sanj(r’ 3) = QnUWnjlU^anj ^3TS^ •
Здесь q^(s) — изображения коэффициентов ряда Фурье функции д(сцт). При чем для нагрузки (7.8.39) следует положить (см. табл. В.2.1)
qn(s)=gn/s,(7.8.45)
где gn — коэффициенты ряда Фурье функции g(a.).
Асимптотические разложения при s —> оо слагаемых в формулах (7.8.44) находим для нагрузки вида (7.8.39). Сначала с использованием (7.8.34), (7.8.42) и (7.8.45) получаем соответствующие представления для функций в (7.8.32):
Xn(S) = ^S3e-(71+72)sх„(8) -еV ( ^gnl (71 S) Гп21(8) -, .-Коэффициенты aXnk имеют вид _1 — И_aXnO —2 ’ аХтг1 —1/ ClrnkClotnO । Clrn,k — 1 Clotnl»xnk -I 71+72।1(G'aTilG'aTi,k — l — 2 ,7172\иV7i3723 E ^- k=0 8is\l^^^ I7-8-46)V ^713 k=Q s79s/ nmбJО-^тгк\3 5к *71 V ^72 3 fe=0 sftrnl^anO । ClrnOClotnl71'72’) +(7.8.47)(^rnl^ari.k — l |272/ ’’Xn(S) = ^S3e-(71+72)sх„(8) -еV ( ^gnl (71 S) Гп21(8) -, .-Коэффициенты aXnk имеют вид _1 — И_aXnO —2 ’ аХтг1 —1/ ClrnkClotnO । Clrn,k — 1 Clotnl»xnk -I 71+72।1(G'aTilG'aTi,k — l — 2 ,7172\иV7i3723 E ^- k=0 8is\l^^^ I7-8-46)V ^713 k=Q s79s/ nmбJО-^тгк\3 5к *71 V ^72 3 fe=0 sftrnl^anO । ClrnOClotnl71'72’) +(7.8.47)(^rnl^ari.k — l |272/ ’’
Xn(S) = ^S3e-(71+72)s
х„(8) -е
V ( ^gnl (71 S)
Гп21(8) -, .-
Коэффициенты aXnk имеют вид _1 — И_
aXnO —2 ’ аХтг1 —
1/ ClrnkClotnO । Clrn,k — 1 Clotnl
»xnk -I 71+72
।1(G'aTilG'aTi,k — l — 2 ,
7172\и
V7i3723 E ^- k=0 8
is\l^^^ I7-8-46)
V ^713 k=Q s
79s/ nm
бJО-^тгк
\3 5к *
71 V ^72 3 fe=0 s
ftrnl^anO । ClrnOClotnl
71'72’
) +(7.8.47)
(^rnl^ari.k — l |2
72/ ’’
Xn(S) = ^S3e-(71+72)s
х„(8) -е
V ( ^gnl (71 S)
Гп21(8) -, .-
Коэффициенты aXnk имеют вид _1 — И_
aXnO —2 ’ аХтг1 —
1/ ClrnkClotnO । Clrn,k — 1 Clotnl
»xnk -I 71+72
।1(G'aTilG'aTi,k — l — 2 ,
7172\и
V7i3723 E ^- k=0 8
is\l^^^ I7-8-46)
V ^713 k=Q s
79s/ nm
бJО-^тгк
\3 5к *
71 V ^72 3 fe=0 s
ftrnl^anO । ClrnOClotnl
71'72’
) +(7.8.47)
(^rnl^ari.k — l |2
72/ ’’
а числа djnk определяются следующими рекуррентными соотношениями:
1 I О-отк; ^Ink — I ^ аХпО \ 721 I О-отк; ^Ink — I ^ аХпО \ 72к-1- 52 аХп.к-1а^т11 /=0к-1- 52 аХп.к-1а^т11 /=0&2п0 — 2?2, CL^k — аХпО&2п0 — 2?2, CL^k — аХпОdank71dank71к — 1- 52 ax-n1k-ia^ni/=0к — 1- 52 ax-n1k-ia^ni/=0(^1),(7.8.48)UO1)-(^1),(7.8.48)UO1)-Подставляя теперь (7.8.34), (7.8.45) и (7.8.46) в (7.8.44), получаемПодставляя теперь (7.8.34), (7.8.45) и (7.8.46) в (7.8.44), получаемtLi(t s) — е-71 (r-1)s ^Е^ у^ c«7iifc(r)П1 ’71^ fc=0 8кtLi(t s) — е-71 (r-1)s ^Е^ у^ c«7iifc(r)П1 ’71^ fc=0 8кк=0к=0Сип2к(г)к8Сип2к(г)к8^\^т s) = с"71^"1^5 ^п У^ С"итъ1к^П1 ’7^2^ /“о 8к^\^т s) = с"71^"1^5 ^п У^ С"итъ1к^П1 ’7^2^ /“о 8к(7.8.49)(7.8.49)V^t^ = еV^t^ = е— 72 (г — l)s ^gTiVr*— 72 (г — l)s ^gTiVr*37i 72 s37i 72 sEk=0Ek=0Cvn2k(r),Cvn2k(r),
1 I О-отк
; ^Ink — I ^ аХпО \ 72
1 I О-отк
; ^Ink — I ^ аХпО \ 72
к-1
- 52 аХп.к-1а^т11 /=0
к-1
- 52 аХп.к-1а^т11 /=0
&2п0 — 2?2, CL^k — аХпО
&2п0 — 2?2, CL^k — аХпО
dank
71
dank
71
к — 1
- 52 ax-n1k-ia^ni
/=0
к — 1
- 52 ax-n1k-ia^ni
/=0
(^1),
(7.8.48)
UO1)-
(^1),
(7.8.48)
UO1)-
Подставляя теперь (7.8.34), (7.8.45) и (7.8.46) в (7.8.44), получаем
Подставляя теперь (7.8.34), (7.8.45) и (7.8.46) в (7.8.44), получаем
tLi(t s) — е-71 (r-1)s ^Е^ у^ c«7iifc(r)
П1 ’71^ fc=0 8к
tLi(t s) — е-71 (r-1)s ^Е^ у^ c«7iifc(r)
П1 ’71^ fc=0 8к
к=0
к=0
Сип2к(г)к
8
Сип2к(г)к
8
^\^т s) = с"71^"1^5 ^п У^ С"итъ1к^
П1 ’7^2^ /“о 8к
^\^т s) = с"71^"1^5 ^п У^ С"итъ1к^
П1 ’7^2^ /“о 8к
(7.8.49)
(7.8.49)
V^t^ = е
V^t^ = е
— 72 (г — l)s ^gTiVr*
— 72 (г — l)s ^gTiVr*
3
7i 72 s
3
7i 72 s
E
k=0
E
k=0
Cvn2k(r),
Cvn2k(r),
S^nl(T,S^ = e-'Yl^-l)3gn2/r3 ” d^M^r)^
8k=08
Srnl^. S) = e"72(r-l)s,
7172S fe=03
m(7.8.50)
^ni(r,s) = e-7!(r-i)sl£nVr ” damk(r),
S«n2^ s) = -e-^r-nsignVr5 у do^r),гдекк
( x^lnZ^tm.fc — I/ \^2nl(^vn,k — I
(7.8.51)
кк
O'lnlG'vn^k — I_ /X v-^ ^2nl^un,k — I
C-vnlkV) — 2^ — k_t ? CVTl2kVT) —xk-l ’
z=o (71Hz=o (72г)
/ \^lnZ^rn.fc —Z1/ \G'2nlG'crn,k — l
dTnlk\T) — 2^ — k_t ; U-TTi'lkV) —,
/=0(71 r)/=0(72Г)
ииI7'8'52)
,/ \0*1 Til О*от. к —I,/ \0*2til О*от. к — Z
danikW = >—d^k^ = >—
/=о (71Н/=0
Далее, учитывая (7.8.49) и (7.8.50), с помощью табл. В.2.2 и свойств преобразования Лапласа из (7.8.43) находим оригиналы коэффициентов рядов Фурье
ип(г, т) =
где
т,-(г,т) = т-7,(г-1).т,-(г,т) = т-7,(г-1).(7.8.55)(7.8.55)
т,-(г,т) = т-7,(г-1).
т,-(г,т) = т-7,(г-1).
(7.8.55)
(7.8.55)
Подстановка равенств (7.8.53) и (7.8.54) в ряды типа (7.8.36) (см. также (7.8.9) и (7.8.10)) дает окончательные выражения для перемещений и напряжений.
При заданном распределении (7.8.40) нагрузки по углу
go = 1, g2 = g-2 = |, gn=0 (n = ±1,|n|>3),(7.8.56)
и ряды (7.8.36) с учетом (7.8.38) и (7.8.41) переходят в конечные суммы
(7.8.57)(7.8.57)U^T^ ОЦ т) = По^ т) + 2112(^5 т) cos ^1у(г, а^ т) = —2 Im и^г^ т) sin 2q;
(7.8.57)
(7.8.57)
(7.8.58)(7.8.58)агг (г, а. т) = аТТ^т^ т) + 2сггг2(г, т) cos 2q,сгта(г^ а, т) = —2 Im атаДт^ т) sin 2q.
(7.8.58)
(7.8.58)
Рассчитанные с помощью последних формул зависимости напряжений от г и т при значениях угла а = 0, тг/4, тг/2 приведены соответственно на рис. 7.8.1 сц б^ в. На первом и последнем из них изображены только радиальные напряжения, поскольку ата = 0 при q = О и а = тг/2.
ааббввРис. 7.8.1Рис. 7.8.1
а
а
б
б
в
в
Рис. 7.8.1
Рис. 7.8.1
Упражнение 7.8.1. Найти перемещения и напряжения в упругой среде с цилиндрической полостью, на поверхности которой задано тангенциальное напряжение <тгд|г=1 = у(ш,т), а радиальное напряжение отсутствует. Массовых сил нет, начальные условия однородные. Рассмотреть частный случай нагрузки вида (7.8.39).
Упражнение 7.8.2. Найти перемещения и напряжения в упругой среде с цилиндрической полостью, на поверхности которой задано радиальное перемещение и|г=1 = д(сц т), а тангенциальное перемещение отсутствует. Массовых сил нет, начальные условия однородные. Рассмотреть частный случай нагрузки вида (7.8.39).
Упражнение 7.8.3. Найти перемещения и напряжения в упругой среде с цилиндрической полостью, на поверхности которой задано тангенциальное перемещение v|r=1 = у(сцт)^ а радиальное перемещение отсутствует. Массовых сил нет, начальные условия однородные. Рассмотреть частный случай нагрузки вида (7.8.39).
Приложение А
МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕДИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
А.1. Анизотропная термовязкоупругая среда
Первая группа уравнений, описывающая движение термовязкоупругой среды — «механическая» часть. В нее входят
— уравнения движения
о2 г
Р^Г=Ч,а^рР\(АЛЛ)
соотношения Коши
£ч = 2 ^ гиз + VjUi);(А.1.2)
физический закон наследственной термовязкоупругости
сс
aij = с^к1ек1 - | pik4t, т)ек1(т) dr + Вы | V^t, т)д(т) dr - А1^, Оо
(АЛ.З)
У = Т - То,
где р — плотность среды, Сгзк1, №, W3 и r^fe/ — компоненты тензоров упругих постоянных, коэффициентов температурного расширения, коэффициентов температурной податливости и ядер релаксации, г^, Рг и е^ стгз — компоненты векторов перемещений и, массовых сил F и тензоров деформаций и напряжений, Т и То — температуры среды в актуальном и начальном состояниях, 19 — изменение температуры (далее для краткости эту величину будем называть просто «температурой»), Vi — оператор ковариантного дифференцирования, t — время.
Здесь и далее, если не будет специальных оговорок, используется некоторая произвольная криволинейная система координат 194194
ж , ж , ж с ковариантным ei, 62, 63 и контравариантным е , е , е базисами.
Вторая («термодинамическая») группа уравнений включает в себя — уравнение теплопроводности
^ (с^ + ^А^'еА= q,(АЛЛ)
Ус урJ р
— обобщенный закон теплопроводности
Iq1 =-nijVji9, / = 1 + тг^,(А.1.5)
где сТ — коэффициент теплоемкости в начальном (недеформирован- ном) состоянии, rf3 — компоненты тензора коэффициентов теплопроводности, уг — компоненты вектора теплового потока q, тт — время релаксации теплового потока, q — массовая плотность мощности источников тепловой энергии, отличной от поставляемой тепловым потоком (просто «мощность источников тепла»).
Система уравнений (А.1.1)-(А.1.5) является замкнутой (число неизвестных совпадает с количеством уравнений) при заданных массовых силах F и мощности источников тепла q.
Предполагается, что соотношения (А. 1.3) обратимы
t
ец = Hijklakl + | Kijkl(t, т)аы(т) йт + B^-tf.(A.1.6)
о
Здесь Tlijki и Kijki — компоненты тензоров податливости и ядер ползучести. При чем имеют место равенства
В^ = nijktNkl, С^к1ПЫтп = ДУП, Д^„ = 1 (g^ + g^g^,
"(А.1.7)
t
CijklKklmn<t, г) - V^t, т)Щ1тп - | V^t, Т1)КЫтп(п, r) dT1 = О,
где g^ — смешанные компоненты метрического тензора.
Если физические соотношения инвариантны относительно сдвигов по времени, то ядра в (А. 1.3) и (А. 1.6) зависят только от (t — т):
Vijk4t,T)=rijkl(t-T), Kijkl(t,T)=Kijkl(t-T), (А.1.8)
что приводит к модели нестареющей термовязкоупругой (просто «термовязкоупругой») среды
aij = Cijki£ki _ Гаы * ^£k[ _ Bfe[^ _ Аа^.(А.1.9)
ец = nijklakl + Kijkl * akl + Bi^,(A.1.10)
где знак «*» указывает на свертку по времени.
В дальнейшем будем рассматривать только эту модель.
Отметим, что все тензоры, задающие физические характеристики среды, обладают следующими свойствами симметрии:
/^ijkl /^jikl /^ijlk /^klij гл гл гл гл — —СVlijkl — Vljikl — Vlijlk — Vlklij,
vijkl i\jikl i477/c vklijtz tz TZ TZ
1111,^ijkl — ^jikl— F4jlk— ^klij,
(A.1.11)
Л^=Л^, ВУ = В^,
Из системы уравнений (А.1.1), (А.1.2) и (А.1.9) могут быть исключены деформации и напряжения. Учитывая равенства (А.1.11), получаем уравнения движения в перемещениях:
о2 г
Р^ = lciikl^kul - viikl * ^kul^ - (Л<^) +
+ ryfeZ* Х7^ВыдНрР\ (A.1.12)
После применения к уравнению (А.1.4) оператора I из (А.1.4), (А. 1.5) можно исключить тепловой поток:
(1 + ТГЙУ1 ^ + ^ Л<^) = ^ ^^ + q‘ (А1ЛЗ)
Для однородной среды (физические характеристики не зависят от точки среды) уравнения (А. 1.12) и (А. 1.13) приобретают следующий вид:
о2 г
Р^ = Ciikl^3^kUi -- \ijVji9 +
+ Bfelrijkt *Vj-d + pF1-(A.1.14)
(1 + T^) ^ (^^ + — Л^Д = —ViV^ + q. (A.1.15) \Ol/ Ol \pJ p
Отметим, что при заданных деформациях в случае тг ^ 0 уравнение (А.1.15) имеет гиперболический тип, а при тг = О оно является параболическим. Эти два варианта среды называют соответственно моделями с конечной и бесконечной скоростью распространения тепла. Для последнего варианта имеет место частный случай соотношения (А. 1.5) — обобщенный закон теплопроводности Фурье
q^ = -^V^.(А.1.16)
Для выделения единственного решения системы уравнений (А.1.1), (А.1.2), (А.1.9), (А.1.13) на пространственно-временном четырехмерном множестве G х ^t ^ 0}, где G — пространственная область, занимаемая средой, необходимы дополнительные условия, т. е. формулировка соответствующих начально-краевых задач. Укажем основные типы дополнительных условий.
Начальные условия, как правило, задают в виде
^ilc=0 — ^0г ?^г|с—о — ^0г?(*^ ? *^ ; *^ ) ^ ^5(А.1.17)
^lt=o = ^o, ^|t=o = yo, (®W)eG,(А.1.18)
где Di — компоненты вектора скорости
v=^=yie\(А.1.19)
Для среды с бесконечной скоростью распространения тепла последнее равенство в (А.1.18) должно быть отброшено.
Граничные условия соответственно системам уравнений (А.1.1), (А.1.2), (А.1.9) и (АЛЛ), (А.1.5) разделим на два класса: механические и термодинамические.
Для формулировки условий первого класса представим границу 8G области G в виде трех частей, площадь пересечения которых равны нулю:
дС = ПииП(ТиПи(Т.(А.1.20)
На участках Пи и Па ставятся соответственно кинематические и динамические (силовые) условия:
м»1пи = Гг ИЛИ Vfln^ = Vi, t > 0;(А.1.21)
р"| пст =^^^|П(т = Р1е\ t>0,(А.1.22)
где v = ^ег — единичный вектор внешней нормали к граничной поверхности, а р^ — вектор напряжений.
Если U = UiG = 0, то поверхность Пи называют неподвижной (защемленной). При V = Цег = 0 говорят об условиях прилипания. Если Р = Р^ег = 0, то поверхность Па называется свободной.
На участке Пи(7 ставятся смешанные условия. Они, в общем, состоят в задании некоторых комбинаций вектора перемещения и (или скорости v) и вектора напряжений р^. Корректность такой постановки нуждается в обосновании. Однако отметим, что в частном случае покоординатного задания и (или v) и р^, как правило, их координаты должны быть разными.
Примером таких условий является следующие:
(u’v)lnUCT = Г, ((v,v)|nuCT = к),
^Inuo- = (vln_ _ vo) (^ < 0),(А.1.23)
T^lnna = ^ VCTv ^ 0), t > 0,
где (v|n — vq) — относительная скорость движения среды и поверхности, т^ = р^ — avN — касательная составляющая вектора напряжений, а а у = (p^v) = (j^ViVj — нормальное напряжение.
Частный случай (А.1.23) при /с = 0 имеет вид
(u> v)lnU(7 = Up ((v, v)|nu<7 = Vy^ , T^lnU(7 ~ ^5 t > 0. (A.1.24)
Условия (А. 1.23) называются контактом с трением Кулона ^ (к — коэффициент трения), а (А.1.24) — свободным проскальзыванием. В последнем случае при [/„ = 0 или V^ = 0 говорят, что поверхность П^ непроницаемая.
Для формулировки второго класса граничных условий (термодинамических условий) представляем 8G аналогично (А. 1.20) в виде
90 = Пт U Пд U ПТд.(А.1.25)
На каждом из этих участков ставятся соответственно температурные, термодинамические и смешанные условия:
^|Пт = ©, t > 0;(А.1.26)
(q,v)lng = ^, <>0;(А.1.27)
/(Q, ^)1п_=0, ОО,(А.1.28)
где в — температура внешней среды, f — некоторая заданная функция. При q„ = 0 поверхность П9 называется теплоизолированной.
Примерами условий (А.1.28) являются
(Q, v)|n_ =(т9|п_ -^о) , ОО; (А.1.29)
(q, v)|nuCT = cs (Т/100)4^^ .(А.1.30)
Равенство (А.1.29) называется условием теплоотдачи (кТ — коэффициент теплоотдачи), а (А.1.30) — условиями теплоизлучения (cs — постоянная Стефана ) -Больцмана )).
Естественно какие-то из указанных в (А.1.20) и (А.1.25) частей поверхности 8G могут отсутствовать или вся поверхность 8G может совпадать с одной из этих частей.
Если область G неограниченая, то, исходя из физических соображений, должны быть заданы условия на бесконечности. Таковыми, например, являются ограниченность искомых решений в G (см. (0.2))
Ui = 0(1), г —> оо,(А.1.31)
где г — длина радиуса-вектора.
Частными случаями рассмотренной термовязкоупругой среды являются следующие модели.
Несвязанная термовязкоупругость. Здесь полагается
7оЛу^ = О.(А.1.32)
При этом уравнения (А. 1.13) и (А. 1.15) соответственно для неоднородной и однородной сред становятся несвязанными с механической частью (А.1.1), (А.1.2), (А.1.9) общей системы уравнений и приобретают вид:
5 + г ^ = —v’+q' (AL33)
8t TT Ot pcTTT
^^T4t= ~^^^ + 9-(A.1.34)
8t rr ot pcTTr
Поэтому в этом случае сначала решается начально-краевая задача (А.1.33) или (А.1.34), (А.1.18), (А.1.26)-(АЛ.28), а затем с использованием найденного поля температур находится решение задачи (А. 1.1), (А.1.2), (А.1.9), (А.1.17), (А.1.21)-(А.1.23).
Связанная термоупругость. Здесь предполагается отсутствие эффектов вязкости
= О, Kijkl = 0.(А.1.35)
При этом физические соотношения (А. 1.9) переходят в закон Гука- Дюамеля х) -Неймана
^ij = C^klEkl - А^^.(А.1.36)
Его обратная форма следует из (АЛЛО)
ец = nijklakl - В;^.(А.1.37)
Начально-краевая задача в этом варианте состоит из уравнений (АЛЛ), (А.1.2), (А.1.36), (А.1.13) (или (АЛЛ5) для однородной среды) и условий (А.1.17), (А.1.18), (А.1.21)-(А.1.23), (А.1.26)-(А.1.28). Уравнения движения в перемещениях (А.1.12) и (А.1.14) для неоднородной и однородной среды упрощаются и имеют вид:
/>^ = Vj (CljklVkut^ - Vj (ДУ^) + pF1.(А.1.38)
рЦ- = C^^VjVfc«( - AijVj^ + pF1.(A.1.39)
Несвязанная термоу пру гость. Эта модель — частный случай связанной термоупругости при выполнении равенства (А. 1.32). Начальнокраевая задача здесь состоит из уравнений (А.1.1), (А.1.2), (А.1.36), (А.1.33) (или (А.1.34)) и условий (А.1.17), (А.1.18), (А.1.21)-(А.1.23), (АЛ.26)-(АЛ.28). При этом ее термодинамическая часть решается независимо.
Отметим, что во всех указанных выше трех случаях могут рассматриваться модели, как с конечной (тг / 0), так и с бесконечной скоростью распространения тепла (тг = 0).
3) Дюамель (Duhamel J.M. С., 1797-1872) — французский механик.
Вязкоупругость. Здесь предполагается, что процесс деформирования среды является изотермическим (^ = 0). Соответственно упрощаются физические соотношения (А. 1.9) и (АЛЛО)
ач = С^к1ек1 - Г1^1 * ekl;(А.1.40)
ец =nijklakl +Kijkl*akl.(А.1.41)
Начально-краевая задача здесь состоит из уравнений (АЛЛ), (АЛ.2), (АЛЛО) и условий (А.1.17), (А.1.21)-(А.1.23). Соответственно видоизменяются и уравнения движения в перемещениях, которые, как следует из (А.1.12) и (А.1.14), записываются следующим образом:
р^ = Vj lcijklvknl - rijkl *Vku^ +pFi'(A-L42)
p^ = C^1^^ - Г^к1 * VjVkui + pF1.(A.1.43)
Теория упругости. Эту модель можно рассматривать как частный случай связанной термоупругости при условии, что процесс деформирования среды является изотермическим (^ = 0) или адиабатическим (q = 0 и q = 0). В первом варианте соотношения (АЛ.36) и (А.1.37) переходят в закон Гука и его обратную форму
^ij = счк1£к[.(А.1.44)
£ц =nijkl<7kl.(А.1.45)
Начально-краевая задача здесь состоит из уравнений (АЛЛ), (А.1.2), (А.1.44) и условий (А.1.17), (А.1.21)-(А.1.23). Соответственно видоизменяются и уравнения движения в перемещениях, которые, как следует из (А.1.38) и (А.1.39), имеют вид
р^ = Vj (C^klVkUl) + pF1;(А.1.46)
Р^ = CljktVjVkut + pF1.(А.1.47)
Для адиабатических процессов все соотношения имеют такой же вид, как и для изотермических процессов. Однако упругие постоянные Qijkl необходимо заменить следующими величинами:
(А.1.48)(А.1.48)Qijkl _ pijkl I Тр ^j^kl*PC'
(А.1.48)
(А.1.48)
А.2. Изотропная термовязкоупругая среда
Число различных физических постоянных и ядер релаксации и ползучести для термовязкоупругой среды уменьшается при наличии различного рода симметрии (симметрия относительно координатной по-
верхности, ортотропная и трансверсально изотропная среды, кубическая симметрия и др.) уменьшается. Далее ограничимся только изотропной термовязкоупругой средой. Для ее физических характеристик имеют место равенства (см. (А.1.7)):
Cijkl = Xgijgkl + 2^ijkl, Aij = Agij,
(A.2.1)
Гзы = Rgijgkl + 2М^к1, if3 = XTgij,
Здесь A — коэффициент температурного расширения (он связан с коэффициентом линейного расширения а = ЗАК),
9
K = X+lfi(А.2.2)
— коэффициент объемного расширения, Ат — коэффициент теплопроводности, R(t) и M(t) — ядра релаксации и ползучести, А и // — упругие постоянные Ламе, которые связаны с техническими постоянными модулем упругости (модулем Юнга) Е^ модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона v следующим образом:
Ц = с= R А = n . (о < V < ^) .(А.2.3)
н2(1+ р)’(1+р)(1-2р) к2/ v '
Используя (А.2.1) и (А.1.11), из (А.1.7) находим
(ЗА + 2ц)П^=^, Ву = —^-gy.(А.2.4)
Далее будем рассматривать только однородную термовязкоупругую среду. Подставляя (А.2.1) и (А.2.4) в (А.1.9) и (А.1.5), получаем
aij = XOg^ + 2peij - Mgij - gijR*0 -2M * sij +
++<A-2-5)
uA “Г
где
0 = V^ = div u(A.2.6)
— коэффициент объемного расширения.
В равенстве (А.2.5) свертка с ядром (37? + 2М) характеризует влияние вязкости при деформации в виде всестороннего растяжения-сжатия, каковое для всех известных материалов пренебрежительно мало. Поэтому обычно полагают
37? + 2М = 0.(А.2.7)
При этом физический закон (А.2.5) упрощается
0-^ = xegij + 2p,eij - Mgij + | gijM *6 - 2M* Eij.(A.2.8)
Из (А.1.7) с учетом (А.1.8), (А.1.11), (А.2.1) и (А.2.7) вытекают следующие соотношения:
^ijkl — ~ \^ijkl ^ gijgklj ; B^j — $^ g^
"(А.2.9)
V^ki = 2 ^tjki - ^ gijgk?) П, П = ^ M + 2M * П,
где П(£) — ядро ползучести.
После подстановки (А.2.4) и (А.2.9) в (АЛЛО) обратные физические соотношения принимают вид
е»э = ^ (ст^ “ ^ CTgij^ + 2П * ^CTijCTgij>l + зТс gijl9‘ (А-2Л0)
Можно показать, что ядро релаксации M^t^ совпадает с соответствующим ядром при чистом сдвиге (в прямоугольной декартовой системе координат все компоненты тензора напряжений кроме cri2 = 021 равны нулю, 19 = 0)
(А.2.11)(А.2.11)(712 — 2 (/1^12 — М * £12) •
(А.2.11)
(А.2.11)
Аналогично упругим постоянным также вводятся «технические» ядра релаксации S(t) и ползучести Q(£), которые соответствуют одноосному растяжению-сжатию (в прямоугольной декартовой системе координат все компоненты тензора напряжений кроме сгп равны нулю, ^ = 0)
(А.2.12)(А.2.12)сги = Е (£ц - S * £ц) ,
(А.2.12)
(А.2.12)
Эти ядра определяются при испытаниях на растяжение стержней. Каждое из них является резольвентой по отношении к другому в том смысле, что они удовлетворяют интегральному уравнению Вольтер- ра 1) второго рода
sw-QW = QW*s(tysw-QW = QW*s(ty(А.2.13)(А.2.13)
sw-QW = QW*s(ty
sw-QW = QW*s(ty
(А.2.13)
(А.2.13)
Ядра S и Q не могут произвольными функциями. Для всех известных материалов они должны удовлетворять следующим условиям:
(А.2.14)(А.2.14)в правой полуокрестности нуля ядра не ограничены
(А.2.14)
(А.2.14)
lim S(t) = 00, lim Q(t) = 00;с—^+0с—^Н~0
особенности в нуле являются интегрируемыми и, кроме того, для любого £ > 0
t
(А.2.15)(А.2.15)^S(t)dt < 1.о
(А.2.15)
(А.2.15)
Вольтерра (Volterra К., 1860-1940) — итальянский математик и физик.
Одной из наиболее распространенной аппроксимацией ядра релаксации S является следующее его представление:
=(0 < а < 1).(А.2.16)
Здесь А^ а и 3 — физические характеристики материала. Они прота- булированы, например, в [23].
Отметим, что имеет место аналогичная (А.2.3) связь технических ядер с М и П. Например, для ядер релаксации она имеет вид
(ЗА + ^М -VpM*S = 3/z(A + pt^S. (А.2.17)
Для термодинамической части уравнений, учитывая (А.2.1) и (А.2.4), из (А.1.5) и (А.1.15) находим
lqi =-XTgijVj-O,Zq = -ХТ grad ^,grad ^ = g^Vj-de^(А.2.18)
(1 + ^)i (ст^ + — ^)= — M + q,(А.2.19)
\ ot)ot У р Jр
где
Д = gi^i^j(А.2.20)
— оператор Лапласа.
Таким образом, для однородной изотропной термовязкоупругой среды замкнутая система уравнений состоит из (А.1.1), (А.1.2), (А.2.8) и (А.2.19).
Аналогично уравнению (А.1.14) из (А.1.1), (А.1.2), (А.2.8) выводятся уравнения движения в перемещениях
о2 г
р^ = (л + pV^ + р^ - ^g^^ -
-^-^М^^-М^иЧрР1. (А.2.21)
Векторный аналог этих уравнений имеет вид
Р^т — (^ + м) grad 6 + /zAu — Л grad д - - М* grad 6 —
- М* Au + pF, (А.2.22)
где
grad = gv V^e^, Аи = АгГег.(A.2.23)
Часто бывает удобно на основании известной теоремы векторного анализа (теорема Гельмгольца) представить поле перемещений в виде потенциальной и соленоидальной частей
u = grad ср + rot у.u = grad ср + rot у.(А.2.24)(А.2.24)
u = grad ср + rot у.
u = grad ср + rot у.
(А.2.24)
(А.2.24)
Здесь у? и \|/ — скалярный и векторный потенциалы перемещений, а оператор rot имеет вид (индексы i, j и к образуют четную перестановку из чисел 1, 2, 3)
rot u =Хгй =_ ^®Д(А.2.25)
Vs 33 Х8хг дх3) ’v 1
где Xtj — компоненты кососимметричного тензора поворота.
Для однозначности потенциалов перемещений необходимо дополнительное условие, которое, как правило, принимают таким:
divy = 0.(А.2.26)
Если поле массовых сил также представить в виде потенциальной и соленоидальной составляющей
F = grad Ф1 + rot Ф2,(А.2.27)
то для выполнения равенства (А.2.22) достаточно, чтобы потенциалы перемещений удовлетворяли следующим уравнениям (div grad = А, div rot = 0):
+(A.2.28)
^ = с^Ду- 1 M* Ду + Ф2,(A.2.29)
где величины
Cl ==(ci > C2)(A-2-30)
имеют размерность скорости и соответственно носят название скоростей распространения волн растяжения-сжатия и формоизменения (см. § 1.1).
Подстановка представления (А.2.24) в уравнение теплопроводности (А.2.19) видоизменяет его следующим образом:
G+т'я) £ р+™ Ч = т <А-2'31>
Таким образом, для однородной изотропной термовязкоупругой среды замкнутая система уравнений движения в потенциалах перемещений состоит из (А.2.28), (А.2.29), (А.2.26) и (А.2.31). Начальные условия (А.1.17) для нее должны быть записаны в потенциалах
vlt=o = Vo, ^L^^o, vlt=o=Yo,
1(А.2.32)
где
и0 = no»ez = grad (р0 + rot Yo, v0 = ^о»ег = grad рю + rot ую,
(A.2.33) divy0 = 0, divy10 = 0.
Отметим, что, несмотря на независимость уравнений (А.2.28) и (А.2.29), как правило, в начально-краевых задачах они связаны граничными условиями (А.1.21), (А.1.22), (А.1.23) или (А.1.24).
При использовании потенциалов перемещений (А.2.24) механическая (А.2.28), (А.2.29) и термодинамическая (А.2.31) части полной системы уравнений связаны между собой. Возможно построение полностью независимых уравнений (см. [34]). Здесь на этом останавливаться не будем.
Далее аналогично предыдущему параграфу укажем уравнения для частных случаев модели однородной изотропной термовязкоупругой среды.
Несвязанная термовязкоупругость. Здесь в соответствии с (А.1.32) и (А.2.1)
NT06 = 0,(А.2.34)
и изменяется (становится независимым) уравнение теплопроводности (А.2.19) или (А.2.31)
Связанная термоупругость. В этом варианте в соответствии с (А.1.35) и (А.2.1) необходимо положить
Я = 0, М = 0.(А.2.36)
При этом физические соотношения (А.2.8) переходят в закон Гука- Дюамеля-Неймана для однородной изотропной среды
aij = X9gij + 2це^ - Mgij(А.2.37)
и его обратную форму (см. (А.2.10))
£ij =— Т^ agij\ + ТЕ^ gij$-(А.2.38)
\IX/ОJX
уравнения движения в перемещениях (А.2.22) переходят в уравнения Ламе
Р™^ — (^ + м) grad 9 + /zAu — A grad -9 + pF, (A.2.39) уравнения относительно потенциалов (A.2.28) и (A.2.29) — в волновые уравнения
^=с^Ду-^ + Ф1;(А.2.40)
02ш2 л ж= с^Ду+Ф2,02ш2 л ж= с^Ду+Ф2,(А.2.41)(А.2.41)
02ш2 л ж
= с^Ду+Ф2,
02ш2 л ж
= с^Ду+Ф2,
(А.2.41)
(А.2.41)
а уравнение теплопроводности сохраняет вид (А.2.19) или (А.2.31).
Несвязанная термоупругость. Как и ранее, эта модель — частный случай связанной термоупругости при выполнении равенства (А.2.34). Замкнутая система уравнений состоит из (А.2.35) и (А.2.39), или соответствующих уравнений относительно потенциалов.
Вязкоупругость. В этом случае ^ = 0 (см. § А.1), и физические соотношения (А.2.8), (А.2.10) и уравнение движения в перемещениях (А.2.22) приобретают вид
(А.2.42)(А.2.43)(А.2.42)(А.2.43)агз = XOg13 + 2р£гз ^-gt3M*0 -
(А.2.42)
(А.2.43)
(А.2.42)
(А.2.43)
£ij — ^ (^гз — аёгз^ + Kijkl * СТ ;
Р-^ — (^ + м) grad ^ + дДи — - М * grad 6-М* Au + pF. (А.2.44)
Изменяется также уравнение относительно скалярного потенциала (А.2.28)
^ = с^Ду-^М*Ду + Ф1,(А.2.45)
а уравнения (А.2.29), (А.2.19) и (А.2.31) сохраняют свой вид.
Теория упругости. Эта модель, как указано в предыдущем параграфе, — частный случай связанной термоупругости при условии, что процесс деформирования среды является изотермическим (^ = 0) или адиабатическим (q = 0 и q = 0). В первом варианте соотношения (А.2.37) и (А.2.38) переходят в закон Гука
а^3 = X0gi3 -V2p,Ei3;а^3 = X0gi3 -V2p,Ei3;(А.2.46)(А.2.46)
а^3 = X0gi3 -V2p,Ei3;
а^3 = X0gi3 -V2p,Ei3;
(А.2.46)
(А.2.46)
(A.2.47)(A.2.47)_ 1 / _
(A.2.47)
(A.2.47)
£ij - 2g V y К agij
Начально-краевая задача здесь состоит из уравнений (А.1.1), (А.1.2), (А.2.46) и соответствующих дополнительных условий. Соответственно видоизменяются и уравнение Ламе (А.2.39) и уравнение относительно скалярного потенциала (А.2.40)
Р~^ — (^ + м) grad 0 + //Au + pF;(А.2.48)
У = с?Др + Ф1.У = с?Др + Ф1.(А.2.49)(А.2.49)
У = с?Др + Ф1.
У = с?Др + Ф1.
(А.2.49)
(А.2.49)
Уравнение относительно векторного потенциала (А.2.41) сохраняет свой вид.
Для адиабатических процессов все соотношения имеют такой же вид, как и для изотермических процессов. Однако упругую постоянную А необходимо заменить следующей величиной:
А* — А +А* — А +Т0Л2рсТ0Л2рс(А.2.50)(А.2.50)
А* — А +
А* — А +
Т0Л2рс
Т0Л2рс
(А.2.50)
(А.2.50)
А.З. Жидкость
Наиболее общей нелинейной моделью жидкости является вязкая жидкость.
Система уравнений, описывающих ее движение в эйлеровых х) координатах жг, состоит из
уравнения движения
p^=divS + pF,(А.3.1)
где
divS = div (ст^е^е^) = Vj-cr^e,,a a• •(A-3'2)
-^ =-^ + (v, grad v), grad v = VjVje’e^;
уравнения неразрывности
^ + р div v = 0;
(A.3.3)
— соотношений Стокса
(A.3.4)
— физических соотношений
о13 = -pg13-Vt4 (vkl);
(A.3.5)
Тгз = Tlj (vfc<);
(A.3.6)
p = p(p,s);
(A.3.7)
т = т(р,8у,
(A.3.8)
— уравнения баланса энтропии
pT^t=TijVij+pq.
(A.3.9)
3) Эйлер (Euler L.^ 1707-1783) — математик, механик, физик и астроном, академик Санкт-Петербургской и Берлинской АН.
Здесь v = ^ei — вектор скорости, S = a^etej — тензор напряжений Лагранжа х), ь^ — компоненты тензора скоростей, р — давление, 7 4 — компоненты тензора вязких напряжений, s — удельная энтропия. Функции 7 4 = rv (bki), Р = р(р^ s) и T = Т(р. s) удовлетворяют следующим ограничениям:
р(р, з) > 0, ту| = 0,^ = р2^.(А.3.10)
7’ds г дрv 7
В общем случае функции rv (у^/) в (А.3.5) нелинейные. Такая жидкость называется стоксовой (неньютоновской 2)).
Граничные условия для системы уравнений (А.3.1), (А.3.3)-(А.3.9), как правило, имеют вид (А.1.21)-(А.1.31), где используется вектор скорости v. Начальные условия имеют вид
^lc=0 = ^0»’^1с=0 = 1°’ Slc=0 — 0’ (ж , Ж , Ж ) G Gq — ^lt=0 *
(А.3.11)
Частными случаями вязкой жидкости являются следующие модели.
Анизотропная вязкая (ньютоновская) жидкость. Это тоже нелинейная модель. Здесь линеаризуются только функции в (А.3.6). При этом физические соотношения (А.3.5) переходят в закон Навье 3) - Стокса
^з = _pgij + Bijklvkh Bijkl = (,(А.3.12)
где Вгзк1 — компоненты тензора вязких постоянных, которые обладают следующими свойствами симметрии:
gijkl _ gjikl gijkl _ gijlk.(А.3.13)
Остальные уравнения — такие же, как и для вязкой жидкости.
Изотропная вязкая жидкость. Для этой модели компоненты тензора вязких постоянных определяются только двумя величинами А и р - коэффициентами вязкости
Bijkt = Xgijgki + ц (gikgj‘ + gugik^ .(А.3.14)
При этом закон (А.3.11) приобретает следующий вид:
ст4 = (—р + A div v) g4 + 2/zyv.(A.3.15)
^Лагранж (Lagrange J.L., 1736-1813) — французский математик и механик.
Ньютон (Newton I., 1643-1727) — английский математик, механик, астроном и физик.
Навье (Namer А., 1785-1836) — французский инженер и ученый.
В случае однородной среды (р, А и /z = const) система уравнений (А.3.2), (А.3.3) с учетом (А.3.4) и (А.3.15) преобразовывается к виду
= pF — grad р + (А + р) grad div v + pAv, ^ + p div v = 0.
(A.3.16)
Первое из этих уравнений называется уравнением Навье-Стокса. Очевидно, система (А.3.4), (А.3.7)-(А.3.9), (А.3.15) и (А.3.16) замкнута.
На способах задания величины q в (А.3.9) и таких частных видах моделей, как несжимаемая среда, совершенный газ, адиабатические и изотермические процессы останавливаться не будем, отсылая читателя к соответствующей литературе [25, 26, 28, 35]. Отметим только, что, как можно показать, в этом случае требование изотермичности любого процесса эквивалентно баротропной модели жидкости, для которой замкнутая система уравнений состоит из (А.3.16) и определяющего соотношения:
Р = Р (р) •(А.3.17)
В этом варианте механическая часть уравнений не связана с термодинамической.
Линейная вязкая жидкость. Эта модель — линейный вариант анизотропной вязкой жидкости. Общий случай здесь рассматривать не будем. Ограничимся только однородной изотропной баротропной вязкой жидкостью. Линеаризация уравнений (А.3.16) и зависимости (А.3.17) относительно основного состояния (решения) vo, ро, Ро приводит к следующему результату:
+ (vo, grad v) + (v, grad v0) = ^ grad p +
Po
+ ^ + ^ | — — grad div vo + grad div v ] + ^o ( — ~ Avq + Av po \ Po/\ Po
(A.3.18)
^ + div (/)Ov) + div (pv0) = 0,^ + div (/)Ov) + div (pv0) = 0,22P = c p, C22P = c p, C_ dp dp_ dp dpP=POP=POp ^o = —, Pop ^o = —, Po
^ + div (/)Ov) + div (pv0) = 0,
^ + div (/)Ov) + div (pv0) = 0,
22
P = c p, C
22
P = c p, C
_ dp dp
_ dp dp
P=PO
P=PO
p ^o = —, Po
p ^o = —, Po
где v, p и p — приращения вектора скорости, давления и плотности; с — скорость звука в жидкости (ср. с величинами ci и С2 в (А.2.28) и (А.2.29); см. также (А.3.27)).
Если в основном состоянии среда покоится и является однородной, т. е. vo = 0, po = const, po = const, то, как следует из (А.3.18), движение жидкости описывается следующими уравнениями:
= — — grad р + ^ + ^ grad div v + roAv, ot popo/ a x
(A.3.19)
^+podivv = O, p = c2p.
Аналогично (А.2.24) поле скоростей v можно представить в виде потенциальной и соленоидальной частей:
v = grad Ф + rot Ф, div Ф = О,(А.3.20)
где Ф и Ф — скалярный и векторный потенциалы скоростей.
д2Ф г5" = Сdt2д2Ф г5" = Сdt2А + 2д 8 рос2 8iА + 2д 8 рос2 8i^ = ^Аф’^ = ^Аф’(А.3.21)(А.3.21)Тогда (А.3.18) является следствием следующих уравнений:
д2Ф г
5" = С
dt2
д2Ф г
5" = С
dt2
А + 2д 8 рос2 8i
А + 2д 8 рос2 8i
^ = ^Аф’
^ = ^Аф’
(А.3.21)
(А.3.21)
div Ф = 0, р = -р0 ^ + (А + 2/z) div v.
Идеальная жидкость является частным случаем вязкой жидкости при условии
= о,(А.3.22)
которое, как следует из (А.3.15), приводит к следующим тензору напряжений и вектору напряжений на площадке с нормалью v (см. (А.1.22)):
СГ^ = —pg1^ р^ — —pv,СГ^ = —pg1^ р^ — —pv,(А.3.23)(А.3.23)
СГ^ = —pg1^ р^ — —pv,
СГ^ = —pg1^ р^ — —pv,
(А.3.23)
(А.3.23)
т. е. тензор напряжений в этом случае шаровой.
Замкнутая система в этом случае состоит из (А.3.4), (А.3.7), (А.3.8) и уравнений, следующих из (А.3.9) и (А.3.16)
= q, = F - 1 grad р, + р div v = 0.(А.3.24)
atatрat
Второе из соотношений в (А.3.25) называется уравнением Эйлера.
В соответствии с порядком системы уравнений и видом (А.3.23) вектора напряжений граничные условия (А.1.21) и (А.1.22) для этой модели переходят в следующие (см. также (А.1.23)):
(v’v)lnu = ^’ р1П(7 = ^-(А.3.25)
Акустическая среда (акустическая жидкость). Это — линеаризованный вариант модели идеальной жидкости. Для баротропной среды соответствующие замкнутые системы могут быть получены при А = // = 0 из (А.3.18):
+ (vo, grad v) + (v, grad v0) = grad p0 - — grad p, dtPQpo
^ + div (pov) + div (pv0) = 0, p = c2p;
или из (A.3.19):
po5x = - grad p, ^ + Po div V = 0, p = c2p; (A.3.27)
или из (А.3.21):
^ = с2ДФ, р = -р0^, v = grad Ф.(А.3.28)
Акустическую жидкость можно рассматривать как частный случай однородной изотропной упругой среды при отсутствии массовых сил (F = 0), фиксированной упругой постоянной А и
д = 0 (с2=0).(А.3.29)
Действительно, из (А.2.46) получаем, что тензор напряжений является шаровым
aij = XOgij.(А.3.30)
Вводя обозначение
р = -Х0,(А.3.31)
приходим к первому равенству в (А.3.23). Подставляя далее (А.3.31) в (А.2.48) (здесь необходимо положить р = До) с учетом (А.3.29) и равенства
получаем первое уравнение в (А.3.27), где
с2 = —.(А.3.33)
Ро
Интегрируя теперь второе уравнение в (А.3.27), с учетом (А.3.32) и (А.2.6) находим
р = -роО.(А.3.34)
Отсюда, принимая во внимание (А.3.31) и (А.3.33), приходим к третьему равенству в (А.3.27).
Аналогично из уравнений (А.2.49) и (А.2.41) следуют соотношения (А.3.28). При выполнении условий (А.3.29) уравнение (А.2.41) переходит в обыкновенное дифференциальное
^ = °,(А.3.35)
и можно положить у = 0. Тогда из (А.2.24) имеем
u = gradp.(А.3.36)
Дифференцируя это равенство и уравнение (А.2.49) и используя обозначение
Ф = ^,(А.3.37)
с учетом (А.3.29) и (А.2.30) получаем третье и первое равенство в (А.3.28).
12 А. Г. Горшков и др.
Отметим, что условие (А.3.29) эквивалентно предельному значению коэффициента Пуассона
" =(А.3.38)
поскольку, как следует из (А.2.3)
д _ 1 — 2у
А.4. Уравнения движения сплошных средв некоторых системах координат
В предыдущих параграфах выписаны уравнения движения различных сплошных сред в произвольной криволинейной системе координат хг.
Для решения конкретных задач необходимы соответствующие скалярные уравнения в конкретных системах координат. Здесь ограничимся прямоугольной декартовой, цилиндрической и сферической системами координат. Для каждой из них укажем метрический тензор, вид основных операторов первого и второго порядка и связь компонент тензоров и векторов с физическими компонентами. Уравнения движения приведем только для некоторых моделей сред. Для остальных сред они без труда могут быть выписаны читателем с использованием указанных основных операторов.
А. Прямоугольная декартова система координат
х1 = жх, ж2 = ж2, ж3 = жз(А.4.1)
с ортонормированным базисом
ei, е2, е3.(А.4.2)
Здесь метрический тензор является единичным, и операторы ковариантного дифференцирования совпадают с соответствующими частными производными:
gij=5ij, ^г = ^г(А.4.3)
где Sij — символ Кронекера.
Ковариантные и контравариантные координаты векторов, а также ковариантные, контравариантные и смешанные компоненты тензоров совпадают между собой и с соответствующими физическими компонентами. Для последних будем использовать обозначения ковариантных компонент (индексы внизу).
Другие операторы в этой системе координат имеют вид
grad у = —— ei; Ay> = —^- + —^- + —^-,oxt8x^0x28x3
div^) = £ + £ + £’ grad(UieJ = geiej
eie263rot (Wjej =8 8x1 ^18 8x2 U«28 8x3 U3= 2(А23б1 + Аз1©2 + А12вз), (А.4.4)eie263rot (Wjej =8 8x1 ^18 8x2 U«28 8x3 U3= 2(А23б1 + Аз1©2 + А12вз), (А.4.4)A^j —A^j —1212Цщ^) = (Д^Де^,Цщ^) = (Д^Де^,8xi8xidui dxjdui dxj
ei
e2
63
rot (Wjej =
8 8x1 ^1
8 8x2 U«2
8 8x3 U3
= 2(А23б1 + Аз1©2 + А12вз), (А.4.4)
ei
e2
63
rot (Wjej =
8 8x1 ^1
8 8x2 U«2
8 8x3 U3
= 2(А23б1 + Аз1©2 + А12вз), (А.4.4)
A^j —
A^j —
1
2
1
2
Цщ^) = (Д^Де^,
Цщ^) = (Д^Де^,
8xi
8xi
dui dxj
dui dxj
A UiA Uid7 Ui8^ Ujd^Uj8xl8x28x3 ’d7 Ui8^ Ujd^Uj8xl8x28x3 ’div (trye^ = ^^-ei.Эх,div (trye^ = ^^-ei.Эх,
A Ui
A Ui
d7 Ui8^ Ujd^Uj
8xl8x28x3 ’
d7 Ui8^ Ujd^Uj
8xl8x28x3 ’
div (trye^ = ^^-ei.
Эх,
div (trye^ = ^^-ei.
Эх,
Однородная анизотропная упругая среда. Из (А. 1.1), (А. 1.2), (А.1.44) и (А.1.47) имеем
— уравнения движения
(АЛ-5)
— соотношения Коши
— закон Гука
^ij = ^ijkl^ kl\(А.4.7)
— уравнения движения в перемещениях
"8J5F = c‘>“=Ss;^f*'
Однородная изотропная термовязкоупругая среда. Уравнения движения и соотношения Коши сохраняют вид (А.4.5) и (А.4.6). Для остальных уравнений из (А.2.6), (А.2.8), (А.2.21), (А.2.29), (А.2.26) и (А.2.24) получаем
коэффициент объемного расширения
л„ 8ui 8и2.8из.
e = £11 + £22 + £3S = — + — + —,(А.4.9)
физический закон
2а- = X05ij + 2yeij — Xddij -V -6ijM * 6 — 2М ж Eij^ (АЛЛО)
12*
уравнения движения в перемещениях
52т/г/х । ч 96 । а а 9д 196, гч
р_ = (А + ц)_+цДм<-Л — --М^ — -М^щ + рРр,
(А.4.11)
уравнения относительно векторного потенциала
+ м+у, + а*=о „ = *е„ф, = ф„е„ at9xi 9x29х3
(АЛ.12)
связь поля перемещений с потенциалами
_ 9ф 9^3911)2_ 9ф 9il)i 9ij)3
U1 9xi 9x2 9хз* U^ 9x2 9хз 9xi *
(АЛ.13) 9ф . 9i])29ф1
ОХз 0X10X2
Уравнение относительно скалярного потенциала и уравнение теплопроводности имеют вид (А.2.40) и (А.2.19) (или (А.2.31)), где оператор Лапласа определяется соответствующим равенством в (А.4.4), а 6 — формулой (А.4.9).
Уравнения для частных случаев этой среды (термоупругая, вязкоупругая и упругая среды) следуют из приведенных в этом пункте соотношений при соответствующих упрощениях (см. § А.2).
Однородная изотропная вязкая жидкость (основное состояние невозмущенное). Из всех соотношений (А.3.19)-(А.3.21) приведем только скалярные формы уравнения движения (первое уравнение в (А.3.19))
91)г9t91)г9t1 9D(p,v) д К" + ^о Д^Ро dxi1 9D(p,v) д К" + ^о Д^Ро dxi9i)i9xi9i)i9xi91)291)з \9x2 9хз)91)291)з \9x2 9хз)(АЛ.14)(АЛ.14)
91)г
9t
91)г
9t
1 9D(p,v) д К" + ^о Д^
Ро dxi
1 9D(p,v) д К" + ^о Д^
Ро dxi
9i)i
9xi
9i)i
9xi
91)291)з \
9x2 9хз)
91)291)з \
9x2 9хз)
(АЛ.14)
(АЛ.14)
и уравнения относительно векторного потенциала (второе равенство в (А.3.21))
^ = ^4^, Ф=Фг6г-^ = ^4^, Ф=Фг6г-(АЛ.15)(АЛ.15)
^ = ^4^, Ф=Фг6г-
^ = ^4^, Ф=Фг6г-
(АЛ.15)
(АЛ.15)
Остальные соотношения выписываются достаточно просто с учетом формул (АЛЛ) для соответствующих операторов.
Идеальная жидкость. Из всей замкнутой системы уравнений (А.3.4), (А.3.7), (А.3.8), (А.3.24) и (А.3.25) укажем только скалярную форму уравнения движения (первое соотношение в (А.3.25))
(АЛ.16)(АЛ.16)din _ р _ 1 9рdt г р 9хг ‘
(АЛ.16)
(АЛ.16)
Соотношения Стокса (А.3.4) аналогичны соотношениям Коши (А.4.6).
Акустическая среда (основное состояние невозмущенное). Из всех соотношений (А.3.26)-(А.3.28) приведем только скалярные формы уравнения движения (первое уравнение в (А.3.27))
(А.4.17)(А.4.17)д-Ui _ 1 дрdtро dxi
(А.4.17)
(А.4.17)
и связи координат вектора скорости с потенциалом (последнее равенство в (А.3.28))
Б. Цилиндрическая система координат
х1 = г. ж2 = а, ж = г;
г > О, 0 < а < 2тг (—тг < q С тг), г Е Д;(А.4.19)
Ж1=гсоза, Ж2 = г81па, жз = г,
где Xi — прямоугольные декартовы координаты (А.4.1).
Метрический тензор цилиндрической системы координат является диагональным (Я* — параметры Ламе, Щ ^ 0)
„ «11 1 гг2 2
£11 — g — Н1 — 1,£22 —— Г ,
gg^-g -- Ь
Г
а ортонормированный базис ег, еа, е^ связан с ковариантным и кон- травариантным базисами так:
ег = 61 = е1, еа = - е2 = ге2, е^ = ез = е3.(А.4.21)
Физические компоненты векторов и тензоров (в их обозначениях индексы 1,2,3 заменены соответствующими координатами г, q, z) определяются следующим образом:
1^223
ur = ui = и , иа = — = ru , uz = и^ = и ;
£ 7*7* — £ 11 — £— ^ 1 ,^ Т СХ£ 7*7* — £ 11 — £— ^ 1 ,^ Т СХ1
£ 7*7* — £ 11 — £— ^ 1 ,^ Т СХ
£ 7*7* — £ 11 — £— ^ 1 ,^ Т СХ
£1212£22
— = те == гел
(А.4.22)(А.4.22)тг
(А.4.22)
(А.4.22)
__ ^13 _ А __ £22 _ ^2^22 _ А
^rz — £13 — £— £3 — £1? ^аа — 2 — ^ £ — £2?
Г
е — е - ^33 _ „3 ^%% — £зз — £ — £3-
Отличные от нуля символы Кристоффеля ^ второго рода имеют вид
Г22 — Г.Г22 — Г.Г2 — 1 12 —Г2 — 1 12 —11гг(А.4.23)(А.4.23)
Г22 — Г.
Г22 — Г.
Г2 — 1 12 —
Г2 — 1 12 —
1
1
г
г
(А.4.23)
(А.4.23)
а ковариантные производные векторов и тензоров таковы:
dui= 87'dot rdui= 87'dot rdu2 u2V1^2 = dr rdu2 u2V1^2 = dr rv"‘= = a7-v"‘= = a7-V2U2 = h ГП!,dotV2U2 = h ГП!,dotV2W3 — 5 dotV2W3 — 5 dotdrdr—2 Ou U;V1U = —1, V1U—2 Ou U;V1U = —1, V1Udrdrгг' dr ’' dr ’
dui
= 87'
dot r
dui
= 87'
dot r
du2 u2
V1^2 = dr r
du2 u2
V1^2 = dr r
v"‘= = a7-
v"‘= = a7-
V2U2 = h ГП!,dot
V2U2 = h ГП!,dot
V2W3 — 5 dot
V2W3 — 5 dot
dr
dr
—2 Ou U;
V1U = —1, V1U
—2 Ou U;
V1U = —1, V1U
dr
dr
г
г
' dr ’
' dr ’
1 du 22 du иdotdot r1 du 22 du иdotdot rV7 X7 1V1V1U = —drV7 X7 1V1V1U = —dr1 d иdu^2^2U = —у + Г — dotdr1 d иdu^2^2U = —у + Г — dotdrv2T-= ^2(A.4.24)1 о du-u -2t — , dotv2T-= ^2(A.4.24)1 о du-u -2t — , dot
1 du 22 du и
dotdot r
1 du 22 du и
dotdot r
V7 X7 1
V1V1U = —
dr
V7 X7 1
V1V1U = —
dr
1 d иdu
^2^2U = —у + Г — dotdr
1 d иdu
^2^2U = —у + Г — dotdr
v2T-= ^
2(A.4.24)
1 о du
-u -2t — , dot
v2T-= ^
2(A.4.24)
1 о du
-u -2t — , dot
v 22 8u2V1V1U = —-y- + -,dr t drv 22 8u2V1V1U = —-y- + -,dr t drV7 ^7252«2 1 OU ! 2 OUV2V2u = —+ r— + - dot dr r daV7 ^7252«2 1 OU ! 2 OUV2V2u = —+ r— + - dot dr r dadudu222 ди2 дидгдгг dot ’г dot ’о 2 3V1V1U3 = ^,drо 2 3V1V1U3 = ^,drV2 V2^3V2 V2^3d2u3да2d2u3да2ди3 дг ’ди3 дг ’v,«, = ^, v,«OXv,«, = ^, v,«OXди dz ’ди dz ’i d2 UV3V3U — —--y-;dzi d2 UV3V3U — —--y-;dz
v 22 8u2
V1V1U = —-y- + -,
dr t dr
v 22 8u2
V1V1U = —-y- + -,
dr t dr
V7 ^7252«2 1 OU ! 2 OU
V2V2u = —+ r— + - dot dr r da
V7 ^7252«2 1 OU ! 2 OU
V2V2u = —+ r— + - dot dr r da
du
du
2
2
2 ди
2 ди
дг
дг
г dot ’
г dot ’
о 2 3
V1V1U3 = ^,dr
о 2 3
V1V1U3 = ^,dr
V2 V2^3
V2 V2^3
d2u3да2
d2u3да2
ди3 дг ’
ди3 дг ’
v,«, = ^, v,«
OX
v,«, = ^, v,«
OX
ди dz ’
ди dz ’
i d2 UV3V3U — —--y-;dz
i d2 UV3V3U — —--y-;dz
Vkt11
о 1211о 22 o 12
V2CT12 = ^ - to” +V2<722 = ^ +(A.4.25)
darda r
daij dz *daij dz *о 2313
daij dz *
daij dz *
_23 1 67_ij
V2CT —1, V3CT J
da r
Использование формул (A.4.22)-(A.4.25) приводит к следующей форме используемых в уравнениях операторов от скаляра, вектора и симметрического тензора второго ранга:
(А.4.26)(А.4.26), dtp 1 dtp dp
(А.4.26)
(А.4.26)
л _ 1/ 8<р\1 8гip8ip.
^ г 8т \ 8т /г2 да28z2 '
div ^е^div ^е^1г1гд (гит)du^duzdrдаdz ’д (гит)du^duzdrдаdz ’1 /1 duz2 \ r da1 /1 duz2 \ r daduodzduodzrot ^и e^ — 2 ^XazcT + XZTca + Xrzcz^, Xaz —,_ 1 /duT duz\ ._ 1 d (rua)2 \ dz dr J2r dri /\ duTдицduzgrad \U^i) = ^^ ^r^r^^ ^r^z1 / dur\1 / dua .\. 1 duz“Ь —) ^a^r “Ь — I “Б I- ^r ) ^a^a H^a^z “bг \ да /r \ da /r darot ^и e^ — 2 ^XazcT + XZTca + Xrzcz^, Xaz —,_ 1 /duT duz\ ._ 1 d (rua)2 \ dz dr J2r dri /\ duTдицduzgrad \U^i) = ^^ ^r^r^^ ^r^z1 / dur\1 / dua .\. 1 duz“Ь —) ^a^r “Ь — I “Б I- ^r ) ^a^a H^a^z “bг \ да /r \ da /r daduTdaduTda(A.4.27)(A.4.27)Д (игеЛ = [Диг —(^^^ + ur)l er +vL г x da/ JД (игеЛ = [Диг —(^^^ + ur)l er +vL г x da/ J[△ua + 4(2^-uJlL v \ da ) \[△ua + 4(2^-uJlL v \ da ) \^a H” ^-^z^z ?^a H” ^-^z^z ?\Г5сггr1 / d(rra\ , 9aTZ"\div (<7 •'eJ =-^H- I -^h <7rr- <Taa 1 + ——er +\/V drr \ da/ dz J। Г dcrra 1 / dcraa _ A .1।+ Ьг + l^T + 2ct-J + ^rl e“ +(A.4.28)\Г5сггr1 / d(rra\ , 9aTZ"\div (<7 •'eJ =-^H- I -^h <7rr- <Taa 1 + ——er +\/V drr \ da/ dz J। Г dcrra 1 / dcraa _ A .1।+ Ьг + l^T + 2ct-J + ^rl e“ +(A.4.28)Г daTZ£L drгГ daTZ£L drг
div ^е^
div ^е^
1
г
1
г
д (гит)du^duz
drдаdz ’
д (гит)du^duz
drдаdz ’
1 /1 duz
2 \ r da
1 /1 duz
2 \ r da
duodz
duodz
rot ^и e^ — 2 ^XazcT + XZTca + Xrzcz^, Xaz —
,_ 1 /duT duz\ ._ 1 d (rua)
2 \ dz dr J2r dr
i /\ duTдицduz
grad \U^i) = ^^ ^r^r^^ ^r^z
1 / dur\1 / dua .\. 1 duz
“Ь —) ^a^r “Ь — I “Б I- ^r ) ^a^a H^a^z “b
г \ да /r \ da /r da
rot ^и e^ — 2 ^XazcT + XZTca + Xrzcz^, Xaz —
,_ 1 /duT duz\ ._ 1 d (rua)
2 \ dz dr J2r dr
i /\ duTдицduz
grad \U^i) = ^^ ^r^r^^ ^r^z
1 / dur\1 / dua .\. 1 duz
“Ь —) ^a^r “Ь — I “Б I- ^r ) ^a^a H^a^z “b
г \ да /r \ da /r da
duTda
duTda
(A.4.27)
(A.4.27)
Д (игеЛ = [Диг —(^^^ + ur)l er +vL г x da/ J
Д (игеЛ = [Диг —(^^^ + ur)l er +vL г x da/ J
[△ua + 4(2^-uJl
L v \ da ) \
[△ua + 4(2^-uJl
L v \ da ) \
^a H” ^-^z^z ?
^a H” ^-^z^z ?
\Г5сггr1 / d(rra\ , 9aTZ"\
div (<7 •'eJ =-^H- I -^h <7rr- <Taa 1 + ——er +
\/V drr \ da/ dz J
। Г dcrra 1 / dcraa _ A .1।
+ Ьг + l^T + 2ct-J + ^rl e“ +(A.4.28)
\Г5сггr1 / d(rra\ , 9aTZ"\
div (<7 •'eJ =-^H- I -^h <7rr- <Taa 1 + ——er +
\/V drr \ da/ dz J
। Г dcrra 1 / dcraa _ A .1।
+ Ьг + l^T + 2ct-J + ^rl e“ +(A.4.28)
Г daTZ£
L drг
Г daTZ£
L drг
Здесь и далее оператор Лапласа от физических компонент вектора понимается как соответствующий оператор от скалярной функции.
Однородная изотропная термовязкоупругая среда. Из (А. 1.1), (А.1.2), (А.2.6), (А.2.8), (А.2.22), (А.2.29), (А.2.26) и (А.2.24) имеем
— уравнения движения
d^uT _ dcrT dt" drd^uT _ dcrT dt" dr1 dcrTcx । daT г da dz1 dcrTcx । daT г da dz+ pFT+ pFT
d^uT _ dcrT dt" dr
d^uT _ dcrT dt" dr
1 dcrTcx । daT г da dz
1 dcrTcx । daT г da dz
+ pFT
+ pFT
d Ua dcTra. । 1 dcTcxcx । d(Taz । 2<7rQ: । pi ^^ ^ 29)
^ dt2 dr r dd dz r P
d uzderrz । 1 dofxz
, dozz oTZ
^ dt2drr da
+ -Б— +FpFz- dzr
— соотношения Коши
гх 5 ^аа О “Ь 5 ^ZZ о *
ОТГ да ГOZ
_ 1 / диа1 диТиа \
(А.4.30)(А.4.30)£та 2 \ дгг даг / ’
(А.4.30)
(А.4.30)
_1 / дит duz \
£rz —о ( -। Б ) ’
2 \ dz dr /
^az —^az —1 /диа1 duz\
^az —
^az —
2 \ dz г да / ’
— коэффициент объемного расширения
— £гг 4“ ^аа 4” ^zz— £гг 4“ ^аа 4” ^zz1Г1Гд (гит)диаduz,дгдаdz ’д (гит)диаduz,дгдаdz ’(А.4.31)(А.4.31)
— £гг 4“ ^аа 4” ^zz
— £гг 4“ ^аа 4” ^zz
1
Г
1
Г
д (гит)диаduz,
дгдаdz ’
д (гит)диаduz,
дгдаdz ’
(А.4.31)
(А.4.31)
— физический закон
СГТТ — (А + 2р,^£тт + Л (cQQ + £zz) — Л^ — - М * £тт +
2
+ - Л4 * ^еаа + е^^) 1
4
С^аа — (А + ^р^баа + A (srr + £zz) — А^ — - М * 6аа +
9
+ - Л4 * (етт + eZz) ?(А.4.32)
zz — (A “h З//)^^^ + А к^тт 4” ^аа^ ^$ g М * £zz Н-
2
4" ~ М * ^6ТТ + £аа^ ?
^тсх — ^М^тсх ^^^ * ^тot 1 ^tz — ^M^tz^^^ * £-рz
^az — ^P'^az 2Л4 * £az^
— уравнения движения в перемещениях
d ur . xd6 Гл
^—^ = (A+ //)— +м[АЫг
— M * ^uT— M * ^uT4(2^ + Mr)] +pFr,г \ да / J
— M * ^uT
— M * ^uT
d^utd^utХ + р 80 ,Х + р 80 ,1 (^диг\1 Л dd+ 7^д^"Ч1”7^1 (^диг\1 Л dd+ 7^д^"Ч1”7^
d^ut
d^ut
Х + р 80 ,
Х + р 80 ,
1 (^диг\1 Л dd
+ 7^д^"Ч1”7^
1 (^диг\1 Л dd
+ 7^д^"Ч1”7^
-^МЛ-М* [д«о + 4 (2^ - UQ)1 + PFa, (А.4.33) Зг даL г \ да /1
82uz ,х ,.80 , л . 981 „ 80„ д ,„
Р^г = (л + Р^ + P^z ~- Iм *- м * ^z + pF^
— уравнения относительно векторного потенциала
at2 С2 [Л^г г2 (2 да +^г)] +Ф2г’
2(А.4.34)
1Г1Г8 (Г^г) дфа dr да8 (Г^г) дфа dr даd^dzd^dz
1
Г
1
Г
8 (Г^г) дфа dr да
8 (Г^г) дфа dr да
d^dz
d^dz
— связь поля перемещений с потенциалами
дер . 1 d^z д'фа1 дер . дфт d^z
(А.4.35)(А.4.35)дг г да dzг да dzdr
(А.4.35)
(А.4.35)
8ф_ 1 д(щМ _ ^Ууdz г дг да
Уравнение относительно скалярного потенциала и уравнение теплопроводности имеют вид (А.2.28) и (А.2.19) (или (А.2.35)), где оператор Лапласа определяется соответствующим равенством в (А.4.26), а 9 — формулой (А.4.31).
Уравнения для частных случаев этой среды (термоупругая, вязкоупругая и упругая среды) следуют из приведенных в этом пункте соотношений при соответствующих упрощениях (см. § А.2).
Однородная изотропная вязкая ж^идкостъ (основное состояние невозмущенное). Из всех соотношений (А.3.19)-(А.3.21) приведем только скалярную форму уравнения движения (первое уравнение в (А.3.19))
^ = 1 ^21 + „„Д„„ ^ = ^«Щ^1 + „„Г^,dt ро drdt рог daг
duz 1 dD(p^v) Л
(А-4-36>
D(P;v) = -p + (A + p)/l [^> + ^1 + ^11
[г [ dr da dz J
и уравнения относительно векторного потенциала (второе равенство в (А.3.21))
д2Фгat2д2Фгat2at2at2= 4= 4[д»„+ 1(2^5-»„)],[д»„+ 1(2^5-»„)],(А.4.37)(А.4.37)= 4 [ДФГ - 4 (2^ + *4] АФГ,L г V da / J
д2Фгat2
д2Фгat2
at2
at2
= 4
= 4
[д»„+ 1(2^5-»„)],
[д»„+ 1(2^5-»„)],
(А.4.37)
(А.4.37)
д2Ф2at2д2Ф2at2= с^ДФг,= с^ДФг,1 д(гФг) дФаЭФ2 =
д2Ф2at2
д2Ф2at2
= с^ДФг,
= с^ДФг,
г drdotdz
Связь поля скоростей с потенциалами аналогична равенствам (А.4.35). Остальные соотношения выписываются достаточно просто с учетом формул (А.4.26)-(А.4.28) для соответствующих операторов.
Идеальная жидкость. Из всей замкнутой системы уравнений (А.3.4), (А.3.7); (А.3.8); (А.3.24) и (А.3.25) приведем только скалярную форму уравнений движения (первое соотношение в (А.3.25)):
диТ , дит , уа dt or гдиТ , дит , уа dt or гd'Urd'Ur£Р£Рдр drдр dr
диТ , дит , уа dt or г
диТ , дит , уа dt or г
d'Ur
d'Ur
£
Р
£
Р
др dr
др dr
^g _ р _ 8рz dz а рг да ’^g _ р _ 8рz dz а рг да ’(А.4.38)(А.4.38)9иа . диаиа (duot .
^g _ р _ 8рz dz а рг да ’
^g _ р _ 8рz dz а рг да ’
(А.4.38)
(А.4.38)
dt drг \ да
duzduz иа dvzduz _ „ 1 др
dtдг г dotdzр dz
Соотношения Стокса (А.3.4) аналогичны соотношениям Коши (А.4.30).
Акустическая среда (основное состояние невозмущенное). Из всех соотношений (А.3.26)-(А.3.28) выпишем только скалярные формы уравнений движения (первое уравнение в (А.3.27)):
^г>г _1 ^р ди» 1 др^ ди^__Л_др^f А 4 39)
dt ро dr1 dt рог dot? dt po dz** *
и связи координат вектора скорости с потенциалом (последнее равенство в (А.3.28))
Vr = т;-, «а = - т;-,«2 =(А.4.40)
дгг даdz
В. Сферическая система координат
ж1 = г, ж2 = /3; ж3 = а;
г > О, 0 < /3 < 7Г; 0 < а < 2тг (—тг < а < тг);(А.4.41)
Ж1 = Г Sin/3 COS (Г, Ж2 = Г Sin/3 Sin (Г, Жз=ГСО8/3,
где Xi — прямоугольные декартовы координаты (А.4.1).
Метрический тензор для этой системы координат также является диагональным
„ «11 1 г/2 222 1
£11 — g — Нх — 1,£22 — ^2 — Г , g —
Г (А.4.42)
g33 = Hl = r2 sin2 /3,g33 = 2 1 2 д •
г sin р
а ортонормированный базис ег, ед, еа связан с ковариантным и кон- травариантным базисами так:
er=ei=e1, ед = -е2 = ге2, еа =—7 ез = e3r sin В. (А.4.43)гrsinp
Физические компоненты векторов и тензоров (в их обозначениях индексы 1, 2, 3 заменены соответствующими координатами г, /3, а) определяются следующим образом:
^3з • о—.—- = и г sin /3: г sin р^3з • о—.—- = и г sin /3: г sin р1^22
^3з • о
—.—- = и г sin /3: г sin р
^3з • о
—.—- = и г sin /3: г sin р
Ur = Ui = U , up = — = ru . ua
12 = ^ =Г£2;12 = ^ =Г£2;111£12
12 = ^ =Г£2;
12 = ^ =Г£2;
eTT = £ц = £ = €15 eTp = — = re
= e^r sin /3,= e^r sin /3,Era == r sin 0£13 = ^ д
= e^r sin /3,
= e^r sin /3,
(А.4.44)(А.4.44)rsmprsinp
(А.4.44)
(А.4.44)
£222 222
£ДД = ^ = Г Е = Е2,
3 £2323 2 • q £*22 •
E6" = ?^ = 6 r amP = lkTl)=e'15mP-
£QQ = г S3% Д = f33’'2 sin2 ^ = 4r sin p
Отличные от нуля символы Кристоффеля второго рода имеют вид
Г22 = — г^Гз3 = — г sin2 /3,Г33 = — sin /3 cos/3,
231 з о(А-4'45)
Г12 — Г13 — -, Г23 — ctg/3,
а ковариантные производные векторов и тензоров таковы:
U2rU2r9uidu2
U2
r
U2
r
ViUi = ——, VitL2 =oror
'?№ = ж'?№ = ж7/2Г7/2ГВиз из
'?№ = ж
'?№ = ж
7/2
Г
7/2
Г
V1U3 = — or r
V2u2 = ^- + rui, V2U3 = ^-- u3 ctg/3,
duiu3„ du2 , n
V3IZ1 = —, V3IZ2 = iz3 ctg/3,
darda
V3U3 = ^^ + (izir sin /3 + гб2 cos /3) sin /3,OOL
V7 ^^ _L y2
drdrV1U = -5— H, dr r
dr
dr
о 8-tL u3Viu3 = ^ + —,dr r
1^^2
V2U =Ж”ГМ ’
V2U3 =V2U3 =
V2U3 =
V2U3 =
— 2 du2 u^ Чги = Тяж—’ dp r
V3W1
du 3. 2 о
—и r sin p. dOL
V3U2
ди з • /э о
—и sin р cos р, da
V3u'
,3 = ^Lda
+ iz2 ctg/3 + —, Г
ViVitz1
d2u' dr2 ’
1 d и du 1 Q du V2V2IZ = T + r—и - 2r^— dp2 drdp ’
r sin /3 + r cos /3 — zz1 sin /3 J sin /3 — drop)
8 3
— 2r?r sin /3 cos /3 — 2^- г sin2 /3, OOL
2 d u 2 du2 d и du 2 du1 , л Л
ViVitz = —, V2V2iz = —+r—— H, (A.4.46) dr r drdp dr r dp x 2
2
V3V3U2 = 1+ +dOL
du du
dr + dp
г?
sin2 В -
3V1V1U3 = ^3V1V1U3 = ^
3
V1V1U3 = ^
3
V1V1U3 = ^
^du .
— 2 —— sin р cos р, da
V3V37Z'
з
3 о и I du3 du3 Д . 2 a 1 ^du2 ^2 du1
=ctg/3 sin /3 + 2-— ctg/3 + - —;
da \ dr dp Jdar da
О и
11 ^п12 дст12 ст12
о 1313
13 = дао__
дгг
о 1211о 22 о 12
12 ОСТ22 I 6722 ОСТ 2(7
V2<r12 = —— - го22 Н, V2cr = —— Н, оргорг
о 1313
(А.4.47)(А.4.47)v2ct23 = "й"++ 6723 ctg
(А.4.47)
(А.4.47)
о 13и
V3ct13 = -^h н <т12 ctg 3 - a33r sin2 /3, даг
Л 2312
Vs(723 =h -h (722 ctg /3 — (733 sin /3 cos /3,
даГ
О 33/13\
V3^33 = ^ + 2(^ + ^3ctg^).OOL\ ГJ
Использование формул (A.4.44)-(A.4.47) приводит к следующей форме используемых в уравнениях операторов от скаляра, вектора и симметрического тензора второго ранга:
, дер . 1 дер .1 дер
grad 4 = n cr +е.3 Неа,
ОТГ OpTS\X\p OOL(д
ду = 4гду = 4гЭ / 2^\ ,11 ^JP.
ду = 4г
ду = 4г
div (w’e,) = ^ + - x ' дг гdiv (w’e,) = ^ + - x ' дг гдг \ дг ) г2 sin Р др удр у г2 sin2/3 да2^
div (w’e,) = ^ + - x ' дг г
div (w’e,) = ^ + - x ' дг г
"я^ + "я^ UP ctS^ + 2ur , У dp sin P doL ну
rot ^u e^ — 2 (Адо-Оу H~ А^рОд H- Ap^Oq^ ,
X _1
^a 2rsin/3
g^(uasin/3) ^
11 диТ d
2r sin P doL dr
X _ X
-M - 2r
d^ru^ duT dr dp
grad (u’ej) = ^- erer + ^^ ereg + ^^ ereQ +(A.4.49)
, 1 / диТ \. 1 / див . A . 1 dua .
+ г - n^ ) e^Cr + 7 (""dp" e^ + 7 "эр" e^ea +
11^Q ^Г ~Ь^Q ^Г ~Ь1г sin P1г sin P( dup- ^a COS \ dOL( dup- ^a COS \ dOL11гг1 duotqh uT + up ctg/3 sin P да1 duotqh uT + up ctg/3 sin P да^a^a;^a^a;
1
1
^Q ^Г ~Ь
^Q ^Г ~Ь
1
г sin P
1
г sin P
( dup
- ^a COS \ dOL
( dup
- ^a COS \ dOL
1
1
г
г
1 duotq
h uT + up ctg/3 sin P да
1 duotq
h uT + up ctg/3 sin P да
^a^a;
^a^a;
А ^иге^ = < AizrА ^иге^ = < Aizr2 Г 1 d ,.1 диа11
А ^иге^ = < Aizr
А ^иге^ = < Aizr
WW + ^—5 V иТ Уег + г [sin/3 dpsin /3 dotJ
{
лdup 1/ ~ du^ n 1\ 1
A^ + ^(2^TC0S^ + ^j Г e^ =
r op Sin p X oa/ _ J
At^ +At^ +1t sin (31t sin (326n,+2»y^dot dotsin p26n,+2»y^dot dotsin p^a 5^a 5div (cr^ej) =div (cr^ej) =dcrrdrdcrrdr
At^ +
At^ +
1
t sin (3
1
t sin (3
26n,+2»y^
dot dotsin p
26n,+2»y^
dot dotsin p
^a 5
^a 5
div (cr^ej) =
div (cr^ej) =
dcrrdr
dcrrdr
1 f d(Jr^ 1 d(JrOL I QII
— l я a I—qb 2(7pr° 33 °aa H” Orp Ctg/3 ] 6r +
r \ dp sin p dotо у
+ Io^ + ^°r3 + (сгрз — CTaa) Ctg/3 | ед +
[dr г [ dp sin p dotн \_ J
++ -+^+3^™+2^^(A.4.50)
dr г у dp sin p dotу
Однородная изотропная термовязкоупругая среда. Из (А. 1.1), (А.1.2), (А.2.6), (А.2.8), (А.2.22), (А.2.29), (А.2.26) и (А.2.24) имеем
— уравнения движения
d Upдсурр
।। даТв .1 датсх\
+ I о д । ♦—БI- ^Отт О^{3{3 О^аа “Ь &г[3 Ctg /3 1 + pFr^
d^UR daTB . 1"^ = 1>Г + ^d^UR daTB . 1"^ = 1>Г + ^г \ dpsin р dot/
d^UR daTB . 1
"^ = 1>Г + ^
d^UR daTB . 1
"^ = 1>Г + ^
+ -——К^ + 3(7Г^ + ^Орр — оаа^ ctg/3 + Sin р dotн \о
^pF3. (А.4.51)
d^ucd^ucdcjpot1 /dap о. ।1daota.. о. q. тр .
d^uc
d^uc
—I —I"”—h 3crra+ zapa ctg/31 + pFo^
dr г у dp sin p dotу
— соотношения КошидиТ1 / див ,\
1 (1 диаq \
£QG = -h ^Д ctg Р + 11т ,
т у sin р да ну
1 див , 1 / диг ।
£г/з = ^ "т^ + " Н^ - м/з ,А.4.52
р 2 [ дт г у дрн)
1/1 див . диа ,£/3« =ctg/З ;
2г ysin/З да дру
— коэффициент объемного расширения
л ।।. 1 / див .1 диа .,। п \
0 — Err + ^аа + ^zz —1I ^—И "51" UP c^g Р + ^т I •
дт г у др sin р дау
(А.4.53)
— физический закон
СТгт — (А Н“ ^Ц^Егт “Ь ^ ^/3/3 “Ь ^-схсх^ Л?^— М * €гг Н-
2
+ $ М * ^Ерр + Еаа) ?
СТ^З — (А + 2р^Ерр + А (етт + Еаа) - Л^ — - М * Ерр +
+ | м * (srr + eqq) , (А.4.54)
СТаа — (А + 2/1)ваа + А (етт + £рр) — ^$ — 3 ^ * £аа
+ | М * (етт + £(3(з)
СТ г j3 — ^Р-ЕгЗ^^Д * Егр , CTrot — ^ЦЕта ^^Д * Erot
СТ (Зое — —M'^'^ot^У1 * E^ot^
— уравнения движения в перемещениях
д игхдбд игхдбт |_sin р дрт |_sin р др
д игхдб
д игхдб
т |_sin р др
т |_sin р др
1 диа+ -—q h ^sin р да1 диа+ -—q h ^sin р да.d'O1 ,, дб- Л- М * дт3 дт.d'O1 ,, дб- Л- М * дт3 дт
1 диа
+ -—q h ^sin р да
1 диа
+ -—q h ^sin р да
.d'O1 ,, дб
- Л- М *
дт3 дт
.d'O1 ,, дб
- Л- М *
дт3 дт
-Мм ^и.-Мм ^и.221 д /.1 диаW sin /3) + ^—5 h и, sin р дрsin р дос1 д /.1 диаW sin /3) + ^—5 h и, sin р дрsin р дос+ pFT.+ pFT.д2и^ _ А + р дО^ dt2 г дрд2и^ _ А + р дО^ dt2 г др^.Up -|-2^.Up -|-2^dur ; др^dur ; дрл д^1до—г дрзгдрл д^1до—г дрзгдр(А.4.55)(А.4.55)— М * < Ат/д + ^ I г— М * < Ат/д + ^ I гдиг 1/q диа q \ I । г72-^5. 2 J—cosР-V и^Х > М pFp. _ дР sin Р \ дардиг 1/q диа q \ I । г72-^5. 2 J—cosР-V и^Х > М pFp. _ дР sin Р \ дард2иа _ Л + р дО ^ dt2 г sin Р дад2иа _ Л + р дО ^ dt2 г sin Р да+ р Аиа ++ р Аиа +11г2 sin Рг2 sin Р2^+2^Ctg3"^ да даsin Р2^+2^Ctg3"^ да даsin Р
-Мм ^и.
-Мм ^и.
2
2
1 д /.1 диа
W sin /3) + ^—5 h и, sin р дрsin р дос
1 д /.1 диа
W sin /3) + ^—5 h и, sin р дрsin р дос
+ pFT.
+ pFT.
д2и^ _ А + р дО
^ dt2 г др
д2и^ _ А + р дО
^ dt2 г др
^.Up -|-2
^.Up -|-2
^dur ; др
^dur ; др
л д^1до
—
г дрзгдр
л д^1до
—
г дрзгдр
(А.4.55)
(А.4.55)
— М * < Ат/д + ^ I г
— М * < Ат/д + ^ I г
диг 1/q диа q \ I । г7
2-^5. 2 J—cosР-V и^Х > М pFp. _ дР sin Р \ дар
диг 1/q диа q \ I । г7
2-^5. 2 J—cosР-V и^Х > М pFp. _ дР sin Р \ дар
д2иа _ Л + р дО ^ dt2 г sin Р да
д2иа _ Л + р дО ^ dt2 г sin Р да
+ р Аиа +
+ р Аиа +
1
1
г2 sin Р
г2 sin Р
2^+2^Ctg3"^ да даsin Р
2^+2^Ctg3"^ да даsin Р
Ад-0 1дО
М * —
rsin/З да3rsin/3да
— М *— М *Ама +Ама +1г sin Р1г sin Р(29^^28^cV р_ у да да(29^^28^cV р_ у да да+ pFoP+ pFoP
— М *
— М *
Ама +
Ама +
1
г sin Р
1
г sin Р
(29^^28^cV р_ у да да
(29^^28^cV р_ у да да
+ pFoP
+ pFoP
— уравнения относительно векторного потенциала
д2,фТ ”dFд2,фТ ”dF= с\= с\2г2г^ (^ S'n ^ +^^ + ^г ) + Ф2г,
д2,фТ ”dF
д2,фТ ”dF
= с\
= с\
2
г
2
г
sin Р др нsin Р да J
^'ФР2 /л / , 1 Го^^г 1 (^Ьфое о I А И I Ж
^ = с=1д*5 + ? 2Ж”5^12аГ =™'3 + *») ) + фУ.
’(А.4.56)
^ = =« [д*. +и=& + 2у» с1Ел - 4^)1 + ф2„,
dtL г sin/З \ оа даsin Р) _
= 0;= 0;^£ + 1(^г + Л^ + *»=*'3 + 2* дт т \ др sin Р да
= 0;
= 0;
— связь поля перемещений с потенциалами
Ut 9т rsin3Ut 9т rsin39аз9аз(V>Qsin/3) - ^ Оа(V>Qsin/3) - ^ Оа
Ut 9т rsin3
Ut 9т rsin3
9аз
9аз
(V>Qsin/3) - ^ Оа
(V>Qsin/3) - ^ Оа
(А.4.57)(А.4.57)1 дер , 11 О^фт9 , ,
(А.4.57)
(А.4.57)
up = -(г^а
г 93 г [smp 9а9т
_1 9ф1Э^тч!)^9ч[)т
U(X rs\x\3 даг9г93
Уравнение относительно скалярного потенциала и уравнение теплопроводности имеют вид (А.2.40) и (А.2.19) (или (А.2.31)), где оператор Лапласа определяется соответствующим равенством в (А.4.48), а 6 — формулой (А.4.53).
Уравнения для частных случаев этой среды (термоупругая, вязкоупругая и упругая среды) следуют из приведенных в этом пункте соотношений при соответствующих упрощениях (см. § А.2).
Однородная изотропная вязкая жидкость (основное состояние невозмущенное). Скалярная форма уравнений движения (первое уравнение в (А.3.19)) имеет вид
в^ = j_ ^v) + ^гДч
9t ро 9г 9t рог 93 г
9va9t9va9t1до г sin 31до г sin 3^^4 + „оД ( 9ау^^4 + „оД ( 9ауг sin 3г sin 3г sin /3,г sin /3,(А.4.58)(А.4.58)S(p,v) = -p + (A + /z)S(p,v) = -p + (A + /z)9ч)Т 19т т9ч)Т 19т т93 sin 3 9а н93 sin 3 9а н
9va9t
9va9t
1
до г sin 3
1
до г sin 3
^^4 + „оД ( 9ау
^^4 + „оД ( 9ау
г sin 3
г sin 3
г sin /3,
г sin /3,
(А.4.58)
(А.4.58)
S(p,v) = -p + (A + /z)
S(p,v) = -p + (A + /z)
9ч)Т 1
9т т
9ч)Т 1
9т т
93 sin 3 9а н
93 sin 3 9а н
д2Фг9t-д2Фг9t-^ = с«{д»9 + 1^ = с«{д»9 + 193 sin 3 \ 9а93 sin 3 \ 9аа 'Фа _ с2 ।at2 " 2“ +а 'Фа _ с2 ।at2 " 2“ +11т2 sin 3т2 sin 39а 9аsin р9а 9аsin р(А.4.59)(А.4.59)9ч()т । 11 а^р9т г у 939ч()т । 11 а^р9т г у 931sin 31sin 3^ + Ф^^^ + 2Ф оа^ + Ф^^^ + 2Ф оа
д2Фг9t-
д2Фг9t-
^ = с«{д»9 + 1
^ = с«{д»9 + 1
93 sin 3 \ 9а
93 sin 3 \ 9а
а 'Фа _ с2 ।
at2 " 2“ +
а 'Фа _ с2 ।
at2 " 2“ +
1
1
т2 sin 3
т2 sin 3
9а 9аsin р
9а 9аsin р
(А.4.59)
(А.4.59)
9ч()т । 11 а^р
9т г у 93
9ч()т । 11 а^р
9т г у 93
1sin 3
1sin 3
^ + Ф^^^ + 2Ф оа
^ + Ф^^^ + 2Ф оа
и уравнения относительно векторного потенциала (второе равенство в (А.3.21)):
-^ ^ (Фр Sin /3) + 4^ ^ + Ф sin 3 93sin 3 9а
Связь поля скоростей с потенциалами аналогична равенствам (А.4.57). Остальные соотношения выписываются достаточно просто с учетом формул (А.4.48)-(А.4.50) для соответствующих операторов.
Идеальная жуидкость. Для этой среды укажем только скалярную форму уравнений движения (первое соотношение в (А.3.25))
диТ, duT, и в / дит\, va / 1 дит\n 1 др
(^ U«COS^ =\ dot/(^ U«COS^ =\ dot/dt дт г у dp) г ysinp dotурог
(^ U«COS^ =
\ dot/
(^ U«COS^ =
\ dot/
dt r dr г у dpт )rs\x\P
= F9 - -1 ^, (А.4.60) pr dp
dUadUaUp dUaUadtdrг дргdUadUaUp dUaUadtdrг дргV^r^Up Ctg/3 sin Р dotноV^r^Up Ctg/3 sin Р dotно
dUadUaUp dUaUa
dtdrг дрг
dUadUaUp dUaUa
dtdrг дрг
V^r^Up Ctg/3 sin Р dotно
V^r^Up Ctg/3 sin Р dotно
= Fa19р.
а pr sin Р dot
Соотношения Стокса (А.3.4) аналогичны соотношениям Коши (А.4.52).
Акустическая среда (основное состояние невозмущенное). Выпишем только скалярные формы уравнений движения (первое уравнение в (А.3.27))
dt ро dr^ dt рог dp1 dt porsinP dot * * и связи координат вектора скорости с потенциалом (последнее равенство в (А.3.28))
5Ф1 dФ1 dФ/ Л .
«г = «а = - Vz = — ^—.(А.4.62)
drг дрг sin р dot
А.5. Уравнения движения упругих оболочек
Будем полагать, что срединная поверхность задана параметрически
П: г = roUSC2), (^^б^,(А.5.1)
где г — радиус-вектор, D^ — область в двумерном пространстве R^.
_ дго_ дгоКасательное пространство R^^M^ в каждой точке Л4(^х,^2) 6 П характеризуется базисом
_ дго
_ дго
(А.5.2)
(А.5.3)(А.5.3)метрическим тензором
(А.5.3)
(А.5.3)
6ij — (эг, 9j) ,
и тензором кривизны
где п — единичный вектор внешней нормали к срединной поверхности: n=jN|’ N=[91’92!’ 1^1 = S" = det (ё-^) -(А.5.5)
Предполагается, что толщина оболочки постоянная
h = const,(А.5.6)
и она является тонкой, т. е.
Y 1, А = min (d, Ri^ R^Y
X(A.5.7)
Ri = — d = sup pn(A, BY Pn(A)B)= inf |ab|, 1 л,веплвеп
где рп(А, В) — расстояние по поверхности П между точками А и В этой поверхности; d. Ri и ki — ее диаметр, главные радиусы и кривизны.
Кроме того, будем считать, что тензор упругих постоянных материала оболочки симметричен относительно срединной поверхности:
C3jkl = С^1 = 0(А.5.8)
Здесь Сг^к1 — компоненты этого тензора в системе координат ^ ^2^3 = ( в трехмерном пространстве, которая вводится следующим образом:
Г = r0(^,C2) + Cn,(А.5.9)
Далее рассмотрим две наиболее распространенные модели тонких линейно упругих однородных оболочек. При этом ограничимся изотермическими или адиабатическими процессами.
Оболочка типа Тимошенко. Система уравнений включает
— уравнения движения
о2 г
рк^ = ^5Т^-Ь^+Ч\
(А.5.10)
Я2Я2 1
Ph^ = btjT^+VjQi + р, pl^ = VjM^ - Q^
— физические соотношения
т^ = fij + ум^Tij = hCijkleki,
к(А.5.11)
Mij = ICijMxfel, Q1 = НкгСЙка0к\
— кинематические соотношения
^гз — 2 (^i^J "+" ^J^i) b-^jW^
хц = 5 C^Xj + VjXi) + ^ ^VkUj + b^V^ - cy w, (A-5-12)
^ij = ^г ^kj) ^i ~ Xi ^ii$ г = ViW + b^ U^.
Здесь p — плотность материала оболочки;
/ = ^, к2 = |,(A.5.13)
w и p — нормальные перемещение и давление (положительное направление соответствует внешней стороне срединной поверхности); Vi — оператор ковариантного дифференцирования в касательном пространстве R?\MY
U = игэ^ Q = QZ^, q = дгэй X = X^i^ ^=^3i(A.5.14)
— векторы тангенциального перемещения, перерезывающей силы, тангенциального давления и углов отклонения ортогонального к срединной поверхности до деформации материального волокна и нормального к деформированной срединной поверхности вектора п* от вектора п, а
Т^ЭгЭ^ Е^з^^ ч М^ЩЗ^ Щ^Э3(А.5.15)
— тензоры тангенциальных усилий и деформаций, изгибающих моментов и изменения кривизны.
Тангенциальные усилия, изгибающие моменты и перерезывающие силы определяются через компоненты а13 тензора напряжения в системе координат £т, £2, £, полученные параллельным переносом вдоль нормали к срединной поверхности на эту поверхность,
/i/2/i/2/i/2
7^' = | ai5 dC. Mi3 = j (aij d(, ^ = | ^ d(. (A.5.16) -h/2-h/2-h/2
Причем касательные напряжения сгг3 распределены по нормали следующим образом:
^3 = QV(C), /(0 = 6 Н-Т2 •(А.5.17)
Отметим, что тензор тангенциальных усилий TZ33i3j несимметричный в отличие от тензора Тгз*Эг*э^ который является симметричным.
Для изотропного материала оболочки (см. (А.2.1)) физические соотношения (А.5.11) преобразуются так:
T^j — К (XOgij + ^ps-ij^ ^ij — 1 ^Xxg^j -|- Qpx^j^,
(A.5.18)
Qi = phk20i, 6 = e\.x—x\.
Система уравнений (A.5.10), (A.5.11) (или (A.5.18)), (A.5.12) имеет гиперболический тип. Для постановки соответствующей начальнокраевой задачи к ней необходимо добавить начальные условия
IдНг I|ди) I
(А.5.19)(А.5.19)М’Ь = «Ой ^|t=o =w|t=0 = WO, ^|t=o = W!,
(А.5.19)
(А.5.19)
^и = Х0й^|(=0 = Х1Ь м^\^ еп,
а также и граничные. Последние, как правило, имеют одну из следующих форм:
— кинематические условия
«ilr=u*M w|r=w*, Xi\r = X»;(А.5.20)
— динамические условия
Т^уДГ=Т^ М^иДг = М^ О^г\г = О»,(А.5.21)
— смешанные условия (Г = Ги U Га, I (Ги пгст) = 0)
^dru = ^-И w|pu = W*, Хг|ги = Х*г;
(А.5.22)
т^Уз\Га-п. м^у4а-м^ д^4а = q„
где Г = дП — граница срединной поверхности П; v = ^эг — единичный нормальный вектор к боковой поверхности оболочки (линейчатая поверхность, образованная движением вдоль Г прямой с направляющим вектором п) при £ = 0 (на кривой Г); w*, Q*, и^э1. x*i^^ Т*^, M^3i — заданные на площадке с нормальным вектором v нормальное перемещение, перерезывающая сила и векторы тангенциальных перемещений, угла поворота нормального волокна, тангенциальных усилий и моментов.
В частных вариантах указанных граничных условий используется следующая терминология:
— при Т* = 0, М* = 0, Q* = 0 участок границы Го — свободный край;
— при u*i = 0, w* = 0, х*г = 0 на Ги имеет место жесткая заделка;
— при Т* = 0, Q* = 0, х*г = 0 на Г имеет место жесткая диафрагма;
— при w* = 0, Т* = 0, М* = 0 на Г имеет место шарнирное опирание.
Приведем также вариационное уравнение для оболочки этого типа
t2
| (61 — 6E)dt = 0,
и
51 = || [(-V^ + b^Qi - ^) 5гц + ^-ЬцТ^ - VjQj - р) 5w + п
+ ^-VjMij + <У) 5Хг\ dS + | V^Vj - Т^ 5щ +
Г
+ ^i - Q*) дги + ^v, - М^ 5Xi] dl, (А.5.23)
t2
6Edt =
где Ци^ш) — функционал Лагранжа; E(V) — кинетическая энергия оболочки; знак 5 указывает на вариации; моменты времени ti и t^ произвольные, но ^2 > ^1 0.
Могут рассматриваться граничные условия более общего, чем приведенные в (А.5.20)-(А.5.22), типа
Mut.w.Xi.T^M^Q^ =0, к = 1,2, 3,4, 5.(А.5.24)
Но при этом криволинейный интеграл в (А.5.23) должен быть равен нулю. К таковым условиям относится, например, шарнирное опирание.
Оболочка Кирхгофа-Лява х). В этой модели предполагается, что прямолинейное нормальное к срединной поверхности волокно остается прямолинейным и нормальным к деформированной срединной поверхности. Соответствующие уравнения могут быть получены из уравнений оболочки типа Тимошенко при условии
(А.5.25)(А.5.25)^ = о (Xi = д^
(А.5.25)
(А.5.25)
и при пренебрежении инерцией вращения нормального волокна
^ = 0.(А.5.26)
Соответствующая система уравнений состоит из — уравнений движения
ph^ = VjT^ - b^kMki + q\ ,(A.5.27)
ph^ = b^T^ + VjVkM^ + p;
2) Ляв (Love A.E. H.^ 1863—1940) — английский математик и механик.
физических соотношений для анизотропного материала
Tij = fa + bXMki, Tij = hCijkleki, Mij = ICiiklxkb (A.5.28)
или изотропного
Tij = h (XOgij + 2/ze^) , Mij = / (Xxgij + 2р,и^);(A.5.29)
кинематических соотношений (формулы для Eij и *0i такие же, как и в (А.5.12))
кч = I V^V^j + ^з^ + I (biVkUj + bjVkUi) - CijW. (А.5.30)
К этой системе добавляются связи перерезывающих сил с изгибающими моментами
Qi = VjMij.(А.5.31)
Система уравнений (А.5.27), (А.5.28) (или (А.5.29)), (А.5.30) имеет параболический тип. Для соответствующей начально-краевой задачи, как правило, используются граничные условия (А.5.20), (А.5.21) или (А.5.22), где необходимо заменить хг углом 19г, и следующие начальные условия
Idui I
(А.5.32)
4=0 = ^^|t=0=wi- мМеП.
Вариационное уравнение для оболочки этого типа таково:
| (51 -6E)dt = 0,
61 = j|((-VjT^ + Vk^jMki - q^ 6ut - п
- (bi,Tij + VjVjMij + p) 5w]dS +
+1 ((T^Vj - T^ 6m + (Q^i - Q^) 6w + (M^Vj - M^ <5^^] dl,
г(A.5.33)
6Edt =
Если рассматриваются граничные условия вида (А.5.24), криволинейный интеграл в (А.5.33) должен быть равен нулю.
А.6. Уравнения движения цилиндрическихи сферических оболочек
Далее выпишем начально-краевые задачи для двух типов геометрии оболочек.
А. Круговая цилиндрическая о б о л оч к а. Ее срединная поверхность задается следующим образом (см. (А.4.19)):
П: Ж!=Ясо8а, X2 = Rs\na. х3 = z.
(А.6.1)
^ = ск, £2 = г, (ск,г) 6 Daz С (—тг, тг] х R^
где Xi — прямоугольные декартовы координаты (А.4.1), R — радиус оболочки.
Эта система координат поверхности является ортогональной. Соответствующее касательное пространство имеет следующие характеристики (см. (А.5.3)-(А.5.5), (А.5.7) и (А.5.12)):
gu=H^ = R2, gi2 = 0,g22 = ^2 = 1, g = R\
g" = 4ц g12 = 0, g” = 1;
6ц = — R. 6i2 = 622 = 0,6} = —^,62 = 61 = 62 = 0,
,(A.6.3)
b11 = —= ^22 = Cn =C12 = C22 =
k^ = ~^ ^2 = 0, Ri = R. R? = сю.(A.6.4)
Нормальные векторы (см. (A.5.5)), ковариантный базис (их координаты в прямоугольной декартовой системе координат) и ортонормиро- ванный базис еа, е^ определяются так:
(А.6.5)(А.6.5)N = /Дсоз ск, sin ск, 0), п = (cos ск, sin ск, 0),эх = R(— sin ск, cos ск, 0), э2 = (0,0,1),е« = ^Э1 = Яэ1, ег=э2=э2.
(А.6.5)
(А.6.5)
Физические компоненты векторов и тензоров (в их обозначениях индексы «1» и «2» заменены соответствующими координатами ск, г) определяются следующим образом:
^i D 12
иа = — = пи , иг = и? = и ;
гр 71 1 Г>2гТ7 11 гр1
3 схсх^2П 11 X
Taz = T^_ = RT12 = ^- = RT^,(А.6.6)
Та- — П1 — —— — Ш 2 . 5
tzz = тм = г22 = т^.
Все символы Кристоффеля второго рода в этой системе координат нулевые
Гу = о,(А.6.7)
и ковариантные производные векторов и тензоров совпадают с соответствующими частными производными:
ViUf = Vi^ = §^, V2u, = V2^ = ^(А.6.8)
OOLOZ
VVT3 = V2T^ =(А.6.9)
OOLOZ
Использование формул (А.6.2)-(А.6.9) приводит к следующим соотношениям для указанных двух моделей оболочек (ограничимся только и зотропн ы м и м атери ал ам и).
Круговая цилиндрическая оболочка типа Тимошенко. Из (А.5.10), (А.5.12) и (А.5.18) получаем
— уравнения движения
д иа 1 дТаа dTza Qaat^ Я 8а + 8z +
82uz 1 8Taz 8TZZat2 R da + dz
ph^ = -— + -+ — +p,(A.6.10)
p at2 R R 8a dzv ’
d2x« _ 1 dMaa dMaz _
P at2Rda+dzVa’
d2Xz = 1 dMaz dMzzat2Rda+dz4z'
— физические соотношения
п грМ^а аг
аа — аа ^ ; az — az ^ ;
Таа — ^ [(А “Ь ^М^аа “Ь ^zz] ; ^az — ‘ZlihEaz ,
Tzz — h [(A + 2p,^szz + А£аа],
(A.6.11)(A.6.11)Maa — I [(A + 2p,^Xaa + ХхгД , Maz — 2(11Xaz,
(A.6.11)
(A.6.11)
Mzz — I [(A + 2p,^xZz + Xxaa\ Qa — p,hk 6a^ Qz — /ihk 9Z\
1 / диа ,\1/1 duz , 8ua \duz^aa — "d ( ~o b W I , Ea2 — n ( "o Ta ' a / ’ ^zz — ~a ’R \ oa /2 \R da oz Joz1 / диа ,\1/1 duz , 8ua \duz^aa — "d ( ~o b W I , Ea2 — n ( "o Ta ' a / ’ ^zz — ~a ’R \ oa /2 \R da oz Joz— кинематические соотношения
1 / диа ,\1/1 duz , 8ua \duz
^aa — "d ( ~o b W I , Ea2 — n ( "o Ta ' a / ’ ^zz — ~a ’
R \ oa /2 \R da oz Joz
1 / диа ,\1/1 duz , 8ua \duz
^aa — "d ( ~o b W I , Ea2 — n ( "o Ta ' a / ’ ^zz — ~a ’
R \ oa /2 \R da oz Joz
Связь тангенциальных усилий, изгибающих моментов и перерезывающих сил с физическими компонентами тензора напряжений в системе координат а^ z, ^, полученными параллельным переносом вдоль нормали к срединной поверхности на эту поверхность, вытекает из (А.5.16) и (А.6.6):
h/2h/2h/2
Taa — j^ ^aa ^C^ ^az — j^ ^az d^ Tzz — j^ (Jzz d^
-h/2-h/2-h/2
h/2h/2
^aa ~ | C^aa d^ Maz = | C^az d^ (A.6.13) -h/2-h/2
h/2h/2h/2
Mzz = | C^ZZ d(^ Qa = | ^a^d^ Qz = | az^d(^.
-h/2-h/2-h/2
Из (A.6.10)-(A.6.12) вытекают уравнения движения круговой цилиндрической оболочки в перемещениях
^ = LW + P, Ь = Щ,)6Х6,dt(А.6.14)
W = (UQ, U2, W,Xa,XzY . Р = "^ к.Ча, «2,Р,0,0)Т .
Здесь L^j — дифференциальные операторы следующего вида (величины Ci определены равенствами (А.2.30)):
22d2uv dad2uv da8^ Uak28^ Uak2A + дpRA + дpRd2uz dadzd2uz dadz
2
2
d2uv da
d2uv da
8^ Uak2
8^ Uak2
A + дpR
A + дpR
d2uz dadz
d2uz dadz
ICi 82Xa , л2/л2_ ^ T (., \ _ XI ^XzhR28a2^ 2kXar L15 phR2 8a9z'
2^21(ua) = L12(uq),L22(uz) = -^2^21(ua) = L12(uq),L22(uz) = -^д^и~d^-д^и~d^-Йб?= -Йб?= -c2 82uz1 Э? ’iA d\z hR3 9a2 ’c2 82uz1 Э? ’iA d\z hR3 9a2 ’^31(^q) = — ^1з(^(Д^3^31(^q) = — ^1з(^(Д^3т / \2,2 ( 1 92U)82U)L^w^c^k\R 8a 8zт / \2,2 ( 1 92U)82U)L^w^c^k\R 8a 8zHу w,hR2 )(A.6.15)1X । riiA 8XzphR2 2 ) 8z ’Hу w,hR2 )(A.6.15)1X । riiA 8XzphR2 2 ) 8z ’2 q22,2,Ci 8 ua c2k h2 q22,2,Ci 8 ua c2k h2 q2 с2 и uz R- dadz^2 q2 с2 и uz R- dadz^2^44(Xa) = ^22^44(Xa) = ^2т / x 1 / Ci , c2k2h\ 8wl“'-™1 = -rVi? + —)(S-т / x 1 / Ci , c2k2h\ 8wl“'-™1 = -rVi? + —)(S-82X<x , 2 82x« c2k2h , . _ a 2 + C2 о 2 т Xa^ ^45\Xz) ~ 8a 8z 182X<x , 2 82x« c2k2h , . _ a 2 + C2 о 2 т Xa^ ^45\Xz) ~ 8a 8z 1Й^±р1 82XzpR dadz ’Й^±р1 82XzpR dadz ’LsAu^ = --^ g-g-, L52(uz) = —^ -^,LsAu^ = --^ g-g-, L52(uz) = —^ -^,— - ( —^2 +\pR— - ( —^2 +\pRc2k28w г /\ г /\/ / 8z ’ ^4VXa) L^^Xabc2k28w г /\ г /\/ / 8z ’ ^4VXa) L^^Xab2^5s(Xz) = "^2^5s(Xz) = "^^2Xz . 2^Xzc^k2 h^2Xz . 2^Xzc^k2 hda2da2dz2dz2Хг-Хг-
2
^21(ua) = L12(uq),L22(uz) = -^
2
^21(ua) = L12(uq),L22(uz) = -^
д^и~d^-
д^и~d^-
Йб?= -
Йб?= -
c2 82uz
1 Э? ’
iA d\z hR3 9a2 ’
c2 82uz
1 Э? ’
iA d\z hR3 9a2 ’
^31(^q) = — ^1з(^(Д^3
^31(^q) = — ^1з(^(Д^3
т / \2,2 ( 1 92U)82U)
L^w^c^k
\R 8a 8z
т / \2,2 ( 1 92U)82U)
L^w^c^k
\R 8a 8z
Hу w,hR2 )
(A.6.15)
1X । riiA 8XzphR2 2 ) 8z ’
Hу w,hR2 )
(A.6.15)
1X । riiA 8XzphR2 2 ) 8z ’
2 q22,2,
Ci 8 ua c2k h
2 q22,2,
Ci 8 ua c2k h
2 q2 с2 и uz R- dadz^
2 q2 с2 и uz R- dadz^
2
^44(Xa) = ^2
2
^44(Xa) = ^2
т / x 1 / Ci , c2k2h\ 8w
l“'-™1 = -rVi? + —)(S-
т / x 1 / Ci , c2k2h\ 8w
l“'-™1 = -rVi? + —)(S-
82X<x , 2 82x« c2k2h , . _ a 2 + C2 о 2 т Xa^ ^45\Xz) ~ 8a 8z 1
82X<x , 2 82x« c2k2h , . _ a 2 + C2 о 2 т Xa^ ^45\Xz) ~ 8a 8z 1
Й^±р1 82XzpR dadz ’
Й^±р1 82XzpR dadz ’
LsAu^ = --^ g-g-, L52(uz) = —^ -^,
LsAu^ = --^ g-g-, L52(uz) = —^ -^,
— - ( —^2 +\pR
— - ( —^2 +\pR
c2k28w г /\ г /\
/ / 8z ’ ^4VXa) L^^Xab
c2k28w г /\ г /\
/ / 8z ’ ^4VXa) L^^Xab
2
^5s(Xz) = "^
2
^5s(Xz) = "^
^2Xz . 2^Xzc^k2 h
^2Xz . 2^Xzc^k2 h
da2
da2
dz2
dz2
Хг-
Хг-
С учетом малости толщины оболочки некоторые из операторов в (А.6.15) могут быть заменены приближенными:
с? d^ иос? d^ ио+ с|+ с|д2иаdz2д2иаdz2к2R2 Uaк2R2 Ua
с? d^ ио
с? d^ ио
+ с|
+ с|
д2иаdz2
д2иаdz2
к2
R2 Ua
к2
R2 Ua
LisW = -£31W = -^2 (c^ + 4k2) ^,
2 q2n2
C2 О Uz-jd Uz
(A.6.16)(A.6.16)R2 8a21 8z2 ’
(A.6.16)
(A.6.16)
r / \2,2(1 92W , <ГиЛ 2 r /\4k2 &Xa
L3sW = C2k -2 —"y + —-y - ^W, MX« =V/)^’
\ R 8a 8z /n, oa
t /^i^Qxz r / \ c2k2h 8w ,, x c2k2h 8w
T M_=2 82Xz 2d2Xz4k2h
я2 9a2 + 1 dz2 I Xz"
Вариационное уравнение (A.5.23) для круговой цилиндрической оболочки имеет вид
[ (51 — 5E)dt = 0,
+ R+ RdTzadzdTzadz“Ь Qa “b Rq«) 5tlol“Ь Qa “b Rq«) 5tlol
+ R
+ R
dTzadz
dTzadz
“Ь Qa “b Rq«) 5tlol
“Ь Qa “b Rq«) 5tlol
। / dMaz qOMzzA x 1\ dadz/ J। / dMaz qOMzzA x 1\ dadz/ Jt2C2 n| 5E dt = —pR | dtt2C2 n| 5E dt = —pR | dt9 Xa §y i8t2 Xa9 Xa §y i8t2 Xa92X; dt292X; dt2dadz.dadz.
। / dMaz qOMzzA x 1
\ dadz/ J
। / dMaz qOMzzA x 1
\ dadz/ J
t2C2 n
| 5E dt = —pR | dt
t2C2 n
| 5E dt = —pR | dt
9 Xa §y i8t2 Xa
9 Xa §y i8t2 Xa
92X; dt2
92X; dt2
dadz.
dadz.
- (^ + R^ + q2R\6uz + (raa - ^ - R^ - pR> §w +
। / dMaa pxdMzot \ x ।^V^r-R^r^RQ“Px^
dadz +
(A.6.17)
H” I [(^aa^a H” T^zol^z T*a^ 5tla-\-
“Ь (ТагУа + Tzzyz T*z^ 5uz + (Qa^a “b Qz^z Q*) 511) +
“Ь (Maaya + Mazyz M*a^ 5xa “Ь (Mazya + Mzzyz M*z^ dxz] d-Ц
/ n2n2n2\
h oua Hy- ouz HT ow +
\ 8t2dt2dt2)
Круговая цилиндрическая оболочка Кирхгофа-Лява. Из (А.5.27), (А.5.29), (А.5.30) и (А.5.31) получаем
— уравнения движения
„иаЧа _ £ дтаа 8Tza £ /£ дмаа амад
Р dt R да + dz R\R да dz ) + qai
,д Hz 1 dTaz . dTZz ./д л i оа
(А'6Л8)
, d2w Tee. 1 d^Mcc , 2 d^Mcz , d2Mzzph^e=”Tr + i?^^ + RTMS + ^r + p'
— физические соотношения, которые имеют вид (А.6.11), где необходимо отбросить равенства для перерезывающих сил;
— кинематические соотношения (формулы для тангенциальных деформаций и углов д^ дг такие же, как и в (А.6.12))
^аа^аа1 я21 я2^oez^oez1я1яd2w .1/1 duzdadz 2\R dad2w .1/1 duzdadz 2\R dadua \dz /dua \dz /(А.6.19) d2 и),(А.6.19) d2 и),
^аа
^аа
1 я2
1 я2
^oez
^oez
1
я
1
я
d2w .1/1 duz
dadz 2\R da
d2w .1/1 duz
dadz 2\R da
dua \dz /
dua \dz /
(А.6.19) d2 и),
(А.6.19) d2 и),
— связь перерезывающих сил с изгибающими моментами
1 9Маа । dMcxz 1 dMcxz . dMzz ( X с 90)
Тангенциальные усилия и изгибающие моменты выражаются через физические компоненты тензора напряжений с помощью соответствующих равенств в (А.6.13).
Из (А.6.18), (А.6.19) и соответствующих равенств в (А.6.11) и (А.6.12) вытекают уравнения движения в перемещениях:
5 = KW+P, К = (К^)ЗХЗ,5 = KW+P, К = (К^)ЗХЗ,w = (uQ,uz, wy ,w = (uQ,uz, wy ,Р = -Ц-^аЛ^РУ .ph.Р = -Ц-^аЛ^РУ .ph.(А.6.21)(А.6.21)
5 = KW+P, К = (К^)ЗХЗ,
5 = KW+P, К = (К^)ЗХЗ,
w = (uQ,uz, wy ,
w = (uQ,uz, wy ,
Р = -Ц-^аЛ^РУ .ph.
Р = -Ц-^аЛ^РУ .ph.
(А.6.21)
(А.6.21)
Здесь K^j — дифференциальные операторы следующего вида (величины Ci определены равенствами (А.2.30)):
+ с|+ с|д2 Uаdz- ’д2 Uаdz- ’2 q2
+ с|
+ с|
д2 Uаdz- ’
д2 Uаdz- ’
Kll^a^ —Kll^a^ —^i2(u2) =^i2(u2) =14 \ hR2 )14 \ hR2 )Ci д Ua^ 6а
Kll^a^ —
Kll^a^ —
^i2(u2) =
^i2(u2) =
14 \ hR2 )
14 \ hR2 )
d2uzdadz ’
d^g dadz ’
d2uz2^uz8а1 8z2 ’d2uz2^uz8а1 8z2 ’K"W=1 ^K"W=1 ^o /С2 8wAHR dapo /С2 8wAHR dap(A.6.22)(A.6.22)
d2uz2^uz
8а1 8z2 ’
d2uz2^uz
8а1 8z2 ’
K"W=1 ^
K"W=1 ^
o /С2 8wA
HR dap
o /С2 8wA
HR dap
(A.6.22)
(A.6.22)
K^u^ = -Ki3(ua), K32(tz2) = -K23(u2),K^u^ = -Ki3(ua), K32(tz2) = -K23(u2),K33(w) = -^K33(w) = -^1 d4w 2 d4w d4w\я4 ^7 + A2 da dz2 + A7)1 d4w 2 d4w d4w\я4 ^7 + A2 da dz2 + A7)n I ( c2 d2wA d2uo\ с2 Л / \hR2 \R2 da2 P dz2 ) R2 \ HR2)n I ( c2 d2wA d2uo\ с2 Л / \hR2 \R2 da2 P dz2 ) R2 \ HR2)С учетом малости толщины оболочки некоторые из операторов в (А.6.22) могут быть заменены приближенными:С учетом малости толщины оболочки некоторые из операторов в (А.6.22) могут быть заменены приближенными:2 о2о2тл (\с^ d иа 2 d иа^11 (^а) — “^2“2 I” С2 о 2 ’R dotdz2 о2о2тл (\с^ d иа 2 d иа^11 (^а) — “^2“2 I” С2 о 2 ’R dotdzKvA^ =KvA^ =(А + р) d2uz pR dadz ’(А + р) d2uz pR dadz ’
K^u^ = -Ki3(ua), K32(tz2) = -K23(u2),
K^u^ = -Ki3(ua), K32(tz2) = -K23(u2),
K33(w) = -^
K33(w) = -^
1 d4w 2 d4w d4w\я4 ^7 + A2 da dz2 + A7)
1 d4w 2 d4w d4w\я4 ^7 + A2 da dz2 + A7)
n I ( c2 d2wA d2uo\ с2 Л / \
hR2 \R2 da2 P dz2 ) R2 \ HR2)
n I ( c2 d2wA d2uo\ с2 Л / \
hR2 \R2 da2 P dz2 ) R2 \ HR2)
С учетом малости толщины оболочки некоторые из операторов в (А.6.22) могут быть заменены приближенными:
С учетом малости толщины оболочки некоторые из операторов в (А.6.22) могут быть заменены приближенными:
2 о2о2
тл (\с^ d иа 2 d иа
^11 (^а) — “^2“2 I” С2 о 2 ’
R dotdz
2 о2о2
тл (\с^ d иа 2 d иа
^11 (^а) — “^2“2 I” С2 о 2 ’
R dotdz
KvA^ =
KvA^ =
(А + р) d2uz pR dadz ’
(А + р) d2uz pR dadz ’
^21(^a) = K^A^aY^21(^a) = K^A^aYcl d2 иR2 da"cl d2 иR2 da"д d2uz4 dz2 'д d2uz4 dz2 'lAhlAh1 d4w 2 d4w d4w\r4 "dAA + "IA?d? + ”dA )1 d4w 2 d4w d4w\r4 "dAA + "IA?d? + ”dA )(A.6.23)(A.6.23)
^21(^a) = K^A^aY
^21(^a) = K^A^aY
cl d2 и
R2 da"
cl d2 и
R2 da"
д d2uz
4 dz2 '
д d2uz
4 dz2 '
lAh
lAh
1 d4w 2 d4w d4w\r4 "dAA + "IA?d? + ”dA )
1 d4w 2 d4w d4w\r4 "dAA + "IA?d? + ”dA )
(A.6.23)
(A.6.23)
T / 2\ n2 \2
1 [c^dw AdujXc^
"Ar2 \^ AAA + A A?) ^
Вариационное уравнение (A.5.23) для оболочки этого типа приобретает вид
| (51 - SE)dt = 0,
и
Г fdTaa DdTzot 1 dMaa dMaz , j-> \ c
J J L \ da dz R da dz/
DqlZ
/ dTotz,p dTzzr.
, ^1 82MaaQ82Mazd82Mzz„dA,
“b I ^qqt) n 2— о оR Q 2pR \5w dadz -h
\ R da dadz dz/_
+ I VA^ota^a H” Тгаиг T^cA 5tla-\-
4“ (Taz^a “Ь TZZUZ T*z) dllz + ^Qa^a “Ь Qz^z Q*) ^^ “h
4“ (Maaya + Mazvz M*^ dO a 4- ^Mazya 4- Mzzvz M*z^ ^^2] dl,
t2C2 nI dE dt = —phR I dtDazt2C2 nI dE dt = —phR I dtDazQ^Uadt2Q^Uadt2(A.6.24) n2n2\
t2C2 n
I dE dt = —phR I dt
Daz
t2C2 n
I dE dt = —phR I dt
Daz
Q^Uadt2
Q^Uadt2
dua 4duz 4dw I dadz. dt2dt2J
Б. Сферическая оболочка. Ее срединная поверхность задается так (см. (А.4.41)):
П: хх = 7? sin /3 cos а. Ж2 = 77 sin/3 sin ct, жз = 77соз/3,
1 n(А.6.25)
£х = /3, £2 = а, (/3, а) е Dpa С [0, тг] х (—тг, тг],
где ж г — прямоугольные декартовы координаты (А. 4.1), R — радиус оболочки.
Эта система координат поверхности также является ортогональной. Соответствующее касательное пространство имеет такие характеристики (см. (А.5.3)-(А.5.5), (А.5.7) и (А.5.12)):
gn = H2 = R2, gi2=0, g22 = Н2 = R2 sin2 0, g = R4sm20,
bn = —R, 612=0, 622 = — /?sin2 /3, 6^ = 62 = —-^,
61 = 62=O, 6n = -A, 612 = 0, 622 =(A.6.27) RR sin /3
ch = 1,C12 = 0,C22=sin2/3,
k1 = k2 = -^, R1 = R2 = R.(A.6.28)
Нормальные векторы (см. (A.5.5)), ковариантный базис (их координаты в прямоугольной декартовой системе координат) и ортонормиро- ванный базис ед, еа определяются так:
N = R? sin /3(cos а sin /3, sin a, sin /3, cos /3),n = (cos a sin /3, sin a sin /3, cos /3),
(A.6.29)(A.6.29)Э1 = 77(cos a cos/3, sin a cos /3, — sin/3),
(A.6.29)
(A.6.29)
Э2 = (—sin q sin/3, cos a sin/3, 0),eg = 4 эх = Ra1, ea = э2 = Ra2 sin /3.
RR sin p
Физические компоненты векторов и тензоров (в их обозначениях индексы «1» и «2» заменены соответствующими координатами /3, а) определяются следующим образом:
^1тх 1^2D 2 • Q
UR = — = ПН , Ua = ———- = пи sin р; н RRsinp
гр7'11rpll rpl
Тэа = "^Гр = R2T12 sin 0 = T1 2 sin =(А.6.30)
^ = ^ = Д2Т21^ = ^^
Taa = -S^-=R^S\^P = TLR sin p
Ненулевые символы Кристоффеля второго рода и ковариантные производные векторов и тензоров в этой системе координат определяются равенствами:
1^2= ctg/З, Г22 = — sin /3 cos/3;(А.6.31)
9ui6u2. Q
Viui =V1^2 =- ^2Ctg^’
V2W1 =- u2 ctg/3, V2u2 =+ ui sin /3 cos /3,
OOIOOI
Я 1я 2(A.6.32)
1 OU2 OU 2 - Q
V1U =^p^ Vitz ^^Дги ctg/3,
V2^x =u2 sin /3 cos /3, V2^2 =+ u1 ctg /3;
OOIOOI
V1T11 = ^' ^1TU = ^ + Tuct60’
^21 = ^2i + T21ctg/3, V1T22 = ^ +T22ctg^,
V2rn =- (Ти + T21) sin P cos P,
“(A.6.33)
V2T12 = ^-T22 sin P cos P + T11 ctg/3, OOL
V^T21 =T22 sin /3 cos/3 + T11 ctg/3,
OOL
V2T22 =+ (T12 + T21) ctg/3.
OOL x7
Использование формул (А.6.26)-(А.6.33) приводит к следующим соотношениям для указанных двух моделей оболочек (ограничимся, как и ранее, только изотропными материалами).
Сферическая оболочка типа Тимошенко. Из (А.5.10), (А.5.12) и (А.5.18) получаем
— уравнения движения
, д^ир Phо51 = Г dt2, д^ир Phо51 = Г dt21R1R8Т99808Т99801sin /31sin /3q^ + (Т99 — 71aa)ctg^ + Q9 + q9,q^ + (Т99 — 71aa)ctg^ + Q9 + q9,, д2исph^, д2исph^RRдТ9.80дТ9.801sin Р1sin Р^ + (T9a+Ta9)ct60 + Q,^ + (T9a+Ta9)ct60 + Q,+ Qa^+ Qa^
, д^ир Phо51 = Г dt2
, д^ир Phо51 = Г dt2
1
R
1
R
8Т99
80
8Т99
80
1sin /3
1sin /3
q^ + (Т99 — 71aa)ctg^ + Q9 + q9,
q^ + (Т99 — 71aa)ctg^ + Q9 + q9,
, д2исph^
, д2исph^
R
R
дТ9.
80
дТ9.
80
1sin Р
1sin Р
^ + (T9a+Ta9)ct60 + Q,
^ + (T9a+Ta9)ct60 + Q,
+ Qa^
+ Qa^
, ^ wр'*^ =, ^ wр'*^ =RR-Т99-Taa + ^ + ^^ + Q9Ct^}+ р, др sin р da/ (A.6.34)-Т99-Taa + ^ + ^^ + Q9Ct^}+ р, др sin р da/ (A.6.34)
, ^ wр'*^ =
, ^ wр'*^ =
R
R
-Т99-Taa + ^ + ^^ + Q9Ct^}+ р, др sin р da/ (A.6.34)
-Т99-Taa + ^ + ^^ + Q9Ct^}+ р, др sin р da/ (A.6.34)
plpl82 Хр _ £82 Хр _ £dt2 Rdt2 R1 дм^з1 дм^здр sin Р досдр sin Р дос+ (Мдо - MQa)ctg/3 -Q9,+ (Мдо - MQa)ctg/3 -Q9,pl^р dt2pl^р dt21 / дМа9 1 дМаа ., /Ql Л)"Б Яй + ^”5 Ь 2Ма9 etgp - Qed R V дрsin р дан /1 / дМа9 1 дМаа ., /Ql Л)"Б Яй + ^”5 Ь 2Ма9 etgp - Qed R V дрsin р дан /— физические соотношения— физические соотношениягр грУ1рр гр гр грМсх^ „ гр33 — 33^ ’ За — аЗ — аЗ ^ ? аа — аагр грУ1рр гр гр грМсх^ „ гр33 — 33^ ’ За — аЗ — аЗ ^ ? аа — ааМа(ХR ’Ма(ХR ’T33 — ^ [(^ “Ь ^Р^ЗЗ Н” ^aa] ? Тар — 2p,h,Sоф,T33 — ^ [(^ “Ь ^Р^ЗЗ Н” ^aa] ? Тар — 2p,h,Sоф,Таа — ^ [(^ Н” ^Р^аа Н” Авдд] ?^33 = I [(А + ‘Zp^x^p + Ахаа], Ма^ = ^pl ХофТаа — ^ [(^ Н” ^Р^аа Н” Авдд] ?^33 = I [(А + ‘Zp^x^p + Ахаа], Ма^ = ^pl Хоф(А.6.35)(А.6.35)Маа — 1 [(^ "1" ^Д-)^^^ + А>^дд] , Q3 — p,Kk 0^ Qа. — р,Кк Оа^Маа — 1 [(^ "1" ^Д-)^^^ + А>^дд] , Q3 — p,Kk 0^ Qа. — р,Кк Оа^— кинематические соотношения— кинематические соотношения£^33 =£^33 =1 / 1 дир диа£«д =- иа ctg/З ,2R \ sin/3 dot др)1 / 1 дир диа£«д =- иа ctg/З ,2R \ sin/3 dot др)1(1 dUot i4- I IBaa = “Б+ ^Ctg/3 + W ,R \ sin p dot/1(1 dUot i4- I IBaa = “Б+ ^Ctg/3 + W ,R \ sin p dot/d / 'и-зХ w"d0 (^ “ "R / “ Rd / 'и-зХ w"d0 (^ “ "R / “ R(A.6.36)(A.6.36)Xa^= 2^Xa^= 2^d80d80
pl
pl
82 Хр _ £
82 Хр _ £
dt2 R
dt2 R
1 дм^з
1 дм^з
др sin Р дос
др sin Р дос
+ (Мдо - MQa)ctg/3 -Q9,
+ (Мдо - MQa)ctg/3 -Q9,
pl^
р dt2
pl^
р dt2
1 / дМа9 1 дМаа ., /Ql Л)
"Б Яй + ^”5 Ь 2Ма9 etgp - Qed R V дрsin р дан /
1 / дМа9 1 дМаа ., /Ql Л)
"Б Яй + ^”5 Ь 2Ма9 etgp - Qed R V дрsin р дан /
— физические соотношения
— физические соотношения
гр грУ1рр гр гр грМсх^ „ гр
33 — 33^ ’ За — аЗ — аЗ ^ ? аа — аа
гр грУ1рр гр гр грМсх^ „ гр
33 — 33^ ’ За — аЗ — аЗ ^ ? аа — аа
Ма(Х
R ’
Ма(Х
R ’
T33 — ^ [(^ “Ь ^Р^ЗЗ Н” ^aa] ? Тар — 2p,h,Sоф,
T33 — ^ [(^ “Ь ^Р^ЗЗ Н” ^aa] ? Тар — 2p,h,Sоф,
Таа — ^ [(^ Н” ^Р^аа Н” Авдд] ?
^33 = I [(А + ‘Zp^x^p + Ахаа], Ма^ = ^pl Хоф
Таа — ^ [(^ Н” ^Р^аа Н” Авдд] ?
^33 = I [(А + ‘Zp^x^p + Ахаа], Ма^ = ^pl Хоф
(А.6.35)
(А.6.35)
Маа — 1 [(^ "1" ^Д-)^^^ + А>^дд] , Q3 — p,Kk 0^ Qа. — р,Кк Оа^
Маа — 1 [(^ "1" ^Д-)^^^ + А>^дд] , Q3 — p,Kk 0^ Qа. — р,Кк Оа^
— кинематические соотношения
— кинематические соотношения
£^33 =
£^33 =
1 / 1 дир диа
£«д =- иа ctg/З ,
2R \ sin/3 dot др)
1 / 1 дир диа
£«д =- иа ctg/З ,
2R \ sin/3 dot др)
1(1 dUot i4- I I
Baa = “Б+ ^Ctg/3 + W ,
R \ sin p dot/
1(1 dUot i4- I I
Baa = “Б+ ^Ctg/3 + W ,
R \ sin p dot/
d / 'и-зХ w"d0 (^ “ "R / “ R
d / 'и-зХ w"d0 (^ “ "R / “ R
(A.6.36)
(A.6.36)
Xa^= 2^
Xa^= 2^
d
80
d
80
13 А. Г. Горшков и др.
1 д sin 3 да1 д sin 3 да
1 д sin 3 да
1 д sin 3 да
Ор = Хр - ^, Оа = Ха - da.
~Ь =~Ь =ЯЯ£Я£Я1 ди) sin 3 да1 ди) sin 3 да
~Ь =
~Ь =
Я
Я
£
Я
£
Я
1 ди) sin 3 да
1 ди) sin 3 да
Связь тангенциальных усилий, изгибающих моментов и перерезывающих сил с физическими компонентами тензора напряжений в системе координат а. г, £ полученными параллельным переносом вдоль нормали к срединной поверхности на эту поверхность, вытекает из (А.5.16) и (А.6.30):
h/2Трр — | appdC-h/2h/2Трр — | appdC-h/2h/2Тар —| ^аР d^-h/2h/2Тар —| ^аР d^-h/2h/2-h/2h/2-h/2d(.d(.
h/2
Трр — | appdC
-h/2
h/2
Трр — | appdC
-h/2
h/2
Тар —| ^аР d^
-h/2
h/2
Тар —| ^аР d^
-h/2
h/2
-h/2
h/2
-h/2
d(.
d(.
MMh/2h/2Mpp — | C&ppdC, Map = | C<Tapd^-h/2-h/2h/2h/2Mpp — | C&ppdC, Map = | C<Tapd^-h/2-h/2(A.6.37)(A.6.37)Zi/2/i/2^ C^aad^ Qp — ^ ap^d^ Qa-h/2-h/2Zi/2/i/2^ C^aad^ Qp — ^ ap^d^ Qa-h/2-h/2h/2^ ^a3 d(.-h/2h/2^ ^a3 d(.-h/2Уравнения движения сферической оболочки в перемещениях вытекают из (А.6.34)-(А.6.36) и имеют вид (А.6.14), гдеУравнения движения сферической оболочки в перемещениях вытекают из (А.6.34)-(А.6.36) и имеют вид (А.6.14), гдеW = (ир,иа,и),хз,ХаТ, Р = ^(q@,qa,p,o,oy ,(А.6.38)W = (ир,иа,и),хз,ХаТ, Р = ^(q@,qa,p,o,oy ,(А.6.38)а дифференциальные операторы Lij определяются следующим образом (величины Ci заданы равенствами (А.2.30)):а дифференциальные операторы Lij определяются следующим образом (величины Ci заданы равенствами (А.2.30)):
M
M
h/2h/2
Mpp — | C&ppdC, Map = | C<Tapd^
-h/2-h/2
h/2h/2
Mpp — | C&ppdC, Map = | C<Tapd^
-h/2-h/2
(A.6.37)
(A.6.37)
Zi/2/i/2
^ C^aad^ Qp — ^ ap^d^ Qa
-h/2-h/2
Zi/2/i/2
^ C^aad^ Qp — ^ ap^d^ Qa
-h/2-h/2
h/2
^ ^a3 d(.
-h/2
h/2
^ ^a3 d(.
-h/2
Уравнения движения сферической оболочки в перемещениях вытекают из (А.6.34)-(А.6.36) и имеют вид (А.6.14), где
Уравнения движения сферической оболочки в перемещениях вытекают из (А.6.34)-(А.6.36) и имеют вид (А.6.14), где
W = (ир,иа,и),хз,ХаТ, Р = ^(q@,qa,p,o,oy ,(А.6.38)
W = (ир,иа,и),хз,ХаТ, Р = ^(q@,qa,p,o,oy ,(А.6.38)
а дифференциальные операторы Lij определяются следующим образом (величины Ci заданы равенствами (А.2.30)):
а дифференциальные операторы Lij определяются следующим образом (величины Ci заданы равенствами (А.2.30)):
Ьц (и^ - —^Ьц (и^ - —^IhRIhR2 / д^ир дир А'Ч^/*^ g^ +2 / д^ир дир А'Ч^/*^ g^ +2 q2С2 О Up sin2 3 да22 q2С2 О Up sin2 3 да21 fl-L ^+ ^ d2 и аА + Зд ctg/З 5гба\T?2sin/3 \ hR2) \ р дЗда р sin 3 да ) ’1 fl-L ^+ ^ d2 и аА + Зд ctg/З 5гба\T?2sin/3 \ hR2) \ р дЗда р sin 3 да ) ’^13 (w) = -^2^13 (w) = -^2рр+ с^к2+ с^к2dwwdww
Ьц (и^ - —^
Ьц (и^ - —^
IhR
IhR
2 / д^ир дир А
'Ч^/*^ g^ +
2 / д^ир дир А
'Ч^/*^ g^ +
2 q2
С2 О Up sin2 3 да2
2 q2
С2 О Up sin2 3 да2
1 fl-L ^+ ^ d2 и аА + Зд ctg/З 5гба\
T?2sin/3 \ hR2) \ р дЗда р sin 3 да ) ’
1 fl-L ^+ ^ d2 и аА + Зд ctg/З 5гба\
T?2sin/3 \ hR2) \ р дЗда р sin 3 да ) ’
^13 (w) = -^2
^13 (w) = -^2
р
р
+ с^к2
+ с^к2
dw
w
dw
w
^14 (Х/з) = "^^14 (Х/з) = "^/hl?/hl?C1I Ж"+ Ж Ctg/J + Ж "ЖC1I Ж"+ Ж Ctg/J + Ж "Ж
^14 (Х/з) = "^
^14 (Х/з) = "^
/
hl?
/
hl?
C1I Ж"+ Ж Ctg/J + Ж "Ж
C1I Ж"+ Ж Ctg/J + Ж "Ж
, Г 2 Л 22/ \1С?/ ]1
+ С2 I k 2 1. 2 д , „2 ХР Г ?
_\ hR / sin р hR _ J
Г /\ I ( ^ + ц д^Ха , А н- 3/Z Эха , Д
L"M = М^ г — да; + —^d=^
А + ц д2 из р дрдаА + ц д2 из р дрда+ 2с+ 2с2 Sup1 dot2 Sup1 dot^21(^) =^21(^) =с2с2ctg/3 1 , (А.6.39)ctg/3 1 , (А.6.39)хх^23 (^) —^23 (^) —9^ Uаар29^ Uаар2Qdua .Д . с2 д2ио+ 3"5^ ^S^ I + ^ ^Qdua .Д . с2 д2ио+ 3"5^ ^S^ I + ^ ^С2 fv и,С2 fv и,1R2 sin Р1R2 sin Р2^ + М " Р2^ + М " Р(1 +ж)+с^2(1 +ж)+с^2дги dot ’дги dot ’24(Х/3) hRss\nP\ р 838а24(Х/3) hRss\nP\ р 838а+ 2с1^" ctg^ ,UOLу+ 2с1^" ctg^ ,UOLу
А + ц д2 из р дрда
А + ц д2 из р дрда
+ 2с
+ 2с
2 Sup
1 dot
2 Sup
1 dot
^21(^) =
^21(^) =
с2
с2
ctg/3 1 , (А.6.39)
ctg/3 1 , (А.6.39)
х
х
^23 (^) —
^23 (^) —
9^ Uаар2
9^ Uаар2
Qdua .Д . с2 д2ио
+ 3"5^ ^S^ I + ^ ^
Qdua .Д . с2 д2ио
+ 3"5^ ^S^ I + ^ ^
С2 fv и,
С2 fv и,
1
R2 sin Р
1
R2 sin Р
2^ + М " Р
2^ + М " Р
(1 +ж)+с^2
(1 +ж)+с^2
дги dot ’
дги dot ’
24(Х/3) hRss\nP\ р 838а
24(Х/3) hRss\nP\ р 838а
+ 2с1^" ctg^ ,UOLу
+ 2с1^" ctg^ ,UOLу
^25 Да) —
1R1RI"kR2I"kR2clcl( a2 хаV др2( a2 хаV др2+ з^=‘6г)+ з^=‘6г)2 q2ci a Хо sin2 Р dot22 q2ci a Хо sin2 Р dot2т- С^К Ха ( 5т- С^К Ха ( 5^31 (Up) - -X^31 (Up) - -XЧ'^УАт*^ О+Ж'Ч'^УАт*^ О+Ж'
1
R
1
R
I"kR2
I"kR2
cl
cl
( a2 ха
V др2
( a2 ха
V др2
+ з^=‘6г)
+ з^=‘6г)
2 q2
ci a Хо sin2 Р dot2
2 q2
ci a Хо sin2 Р dot2
т- С^К Ха ( 5
т- С^К Ха ( 5
^31 (Up) - -X
^31 (Up) - -X
Ч'^УАт*^ О+Ж'
Ч'^УАт*^ О+Ж'
^32 (^q) = -^23 (^q) 5
^33 (w) —
1R21R2c^k1c^k1/ d2 и) du)Vd^^^P/ d2 и) du)Vd^^^Pctg/3 +ctg/3 +1 d2w\ sin2 P dot2 у1 d2w\ sin2 P dot2 уA + pPA + pPЬ,4(Х6) = Ц-2^Ь,4(Х6) = Ц-2^Ч? + =У) (^+toCt6'3)'Ч? + =У) (^+toCt6'3)'
1R2
1R2
c^k1
c^k1
/ d2 и) du)Vd^^^P
/ d2 и) du)Vd^^^P
ctg/3 +
ctg/3 +
1 d2w\ sin2 P dot2 у
1 d2w\ sin2 P dot2 у
A + p
P
A + p
P
Ь,4(Х6) = Ц-2^
Ь,4(Х6) = Ц-2^
Ч? + =У) (^+toCt6'3)'
Ч? + =У) (^+toCt6'3)'
т / \ к т / \ т / \1 ( q A p h R 2 7 2 ) a u)
L42 V^a) — ^ L15 (ttQ) ,L43 (w) — —^3 II y- C2^ 1 ^^
13*
М4 (Х/з) = -^ М4 (Х/з) ,М.5 (Ха) = -^ Мб (Ха) ,
^51 (^) = J ^24 (^^) 5^52 (^а) = J ^25 (^а) ,
^53 (w) = - j L35 (w) ,L54 ^Х^ = -^ £24 ^^ ,
^55 (Ха) —р L^ (Ха) •
С учетом малости толщины оболочки некоторые из операторов в (А.6.39) могут быть заменены приближенными:
_Sin Р _J
т / х 1/ А + п д2иа А + Зп ctg/З диа\
Ь12 W = дя ’
R sin/3 \ Р дрда р sin/3 да )
т / х 1 ( ~ А + р . 2/ 2 А ди)
Ь13П = -^^— + С2к)—,
L14 (х/з) =
1 f 1 я ( HS1 f 1 я ( HS^21 (М/з) —^21 (М/з) —^22 (^а)^22 (^а)^Хвр1 + дЗ Ctg^+sin2/3 до?^Хвр1 + дЗ Ctg^+sin2/3 до?1Я2 sin 31Я2 sin 3/ А + р д2ир у р д@да/ А + р д2ир у р д@дас2с2^23 (w) —^23 (w) —+ C2fc2X/3 f,+ C2fc2X/3 f,+ 2с^ctg^) ’+ 2с^ctg^) ’+ 3жМ+ А+ 3жМ+ А1R2 sin Р1R2 sin Р(^?1±^+4кЛ\ р )(^?1±^+4кЛ\ р )dw даdw да(А.6.40)(А.6.40)д2иа да2д2иа да2
1 f 1 я ( HS
1 f 1 я ( HS
^21 (М/з) —
^21 (М/з) —
^22 (^а)
^22 (^а)
^Хвр1 + дЗ Ctg^+sin2/3 до?
^Хвр1 + дЗ Ctg^+sin2/3 до?
1
Я2 sin 3
1
Я2 sin 3
/ А + р д2ир у р д@да
/ А + р д2ир у р д@да
с2
с2
^23 (w) —
^23 (w) —
+ C2fc2X/3 f,
+ C2fc2X/3 f,
+ 2с^ctg^) ’
+ 2с^ctg^) ’
+ 3жМ+ А
+ 3жМ+ А
1
R2 sin Р
1
R2 sin Р
(^?1±^+4кЛ
\ р )
(^?1±^+4кЛ
\ р )
dw да
dw да
(А.6.40)
(А.6.40)
д2иа да2
д2иа да2
^25 (Ха) —
1 f I Я ( hl?1 f I Я ( hl?1 / э^х» чаХа . Л2 \ эз2 +3 эз ts/>/ +1 / э^х» чаХа . Л2 \ эз2 +3 эз ts/>/ +2С12С1э2х.э2х.sin2 3 Эс?sin2 3 Эс?+ С^Ха 7+ С^Ха 7
1 f I Я ( hl?
1 f I Я ( hl?
1 / э^х» чаХа . Л
2 \ эз2 +3 эз ts/>/ +
1 / э^х» чаХа . Л
2 \ эз2 +3 эз ts/>/ +
2
С1
2
С1
э2х.
э2х.
sin2 3 Эс?
sin2 3 Эс?
+ С^Ха 7
+ С^Ха 7
^31 (М/з) - -^2^31 (М/з) - -^2^2^±£ + с2/г2) ^! + ир с\,^3^ ,^2^±£ + с2/г2) ^! + ир с\,^3^ ,L^2 (^q) = -^23 (^q) 5L^2 (^q) = -^23 (^q) 5
^31 (М/з) - -^2
^31 (М/з) - -^2
^2^±£ + с2/г2) ^! + ир с\,^3^ ,
^2^±£ + с2/г2) ^! + ир с\,^3^ ,
L^2 (^q) = -^23 (^q) 5
L^2 (^q) = -^23 (^q) 5
11L^ W = ^2 С2^L^ W = ^2 С2^RRd^ ио , duu . о .1 d^uA . А + ц—п- + тгтг ctg Р н99- 4 Wдр дрsin2 Р do? / Р ,d^ ио , duu . о .1 d^uA . А + ц—п- + тгтг ctg Р н99- 4 Wдр дрsin2 Р do? / Р ,
1
1
L^ W = ^2 С2^
L^ W = ^2 С2^
R
R
d^ ио , duu . о .1 d^uA . А + ц
—п- + тгтг ctg Р н99- 4 W
др дрsin2 Р do? / Р ,
d^ ио , duu . о .1 d^uA . А + ц
—п- + тгтг ctg Р н99- 4 W
др дрsin2 Р do? / Р ,
^34(Х/з)- д ^^+x^ctg^), LaPX“>~ Rs\n(3 8а’
l43h = -^^
1Op
L44 (xp) = -^ L14 (xp) , £53 (w) = - J L35 (w) .
Вариационное уравнение (A.5.23) для сферической оболочки этого типа имеет вид
| (51 — 6E)dt = 0,
51 =
= R\\\-\^ + ^r8^ + ^-T^ct8f3 + Q0 + <lSR\6ui3- IUpDill
Dotz
дТ^ 1 dp sin PдТ^ 1 dp sin P+ I Тдд + Taa+ I Тдд + TaadT
дТ^ 1 dp sin P
дТ^ 1 dp sin P
+ I Тдд + Taa
+ I Тдд + Taa
^^ + (Tpa + Tap) Ctg/3 + Qa + QaR 6ua-\-
dQ3 1 dQa n .x
-5Qp ctSP -pR\5w - dp sin /3 dotу
^ + S^ ^ + ^M" - M-)ctg^ - Q9R 5X0 " UpDill О С/Сл
^^ + 4^ ^^ + 2Ma9 ctg/3 - QaR ) 5Xa 1 sin 0dad0 + dp sin p dotу J
+ WTppivp + Tappa — T*p) 5up-\-
“b (T^a^P “b TaaVa T^A StL^ + (QpVp “h Qa^a Q*} 5w ~h
“b (Mp^Vp + Ma^Pa M^p? 5xp H” (MapPp + Maa^a -^4*0:) ^Xq] ^^
(A.6.41)
C2C2ИИ12 г г " | dt i12 г г " | dt i/o2o2\, d иа . d Up c. d w x \h ^2“ 6U“ + "^ 5tZ/3 + "5^" <M +\ VlUIUv J/o2o2\, d иа . d Up c. d w x \h ^2“ 6U“ + "^ 5tZ/3 + "5^" <M +\ VlUIUv J
C2
C2
И
И
12 г г " | dt i
12 г г " | dt i
/o2o2\
, d иа . d Up c. d w x \
h ^2“ 6U“ + "^ 5tZ/3 + "5^" <M +\ VlUIUv J
/o2o2\
, d иа . d Up c. d w x \
h ^2“ 6U“ + "^ 5tZ/3 + "5^" <M +\ VlUIUv J
o2o2\
p^5xa + -^"5хз\ sin 3dad0.
Сферическая оболочка Кирхгофа-Лява. Из (А.5.27), (А.5.29), (А.5.30) и (А.5.31) получаем
— уравнения движения
1я1ябТрр 1 дТар (рр рр
1
я
1
я
^r + ^^r + (^-T““)ctg^ +
+ Я2 d/T+sin/3 8а+ q0,
д иа 1 дТра 1 дТаа ^,-р,-р
ph^F = я Ьг + ^s ^ + №“ + т^ ctg/3_ +
£w = Тсс + т00 _ 1 Г£м^ 2 82Ма01 82Маа
8t2R R2 _ 802sin/3 дад^sin2/3 8а2
(8М992 8Ма0у дрsin Р да(8М992 8Ма0у дрsin Р да^уб^маа-м№ +р.^уб^маа-м№ +р.
(8М992 8Ма0
у дрsin Р да
(8М992 8Ма0
у дрsin Р да
^уб^маа-м№ +р.
^уб^маа-м№ +р.
физические соотношения, которые имеют вид (А.6.35), где необходимо отбросить равенства для перерезывающих сил;
кинематические соотношения (тангенциальные деформации и углы да, др определяются соответствующими равенствами в (А.6.36)):
1 / д2 иоR2 \др21 / д2 иоR2 \др218 ( 8wR2 sin Р да \ др18 ( 8wR2 sin Р да \ др1 дR2 sin Р да1 дR2 sin Р да1 д2 изduoq \+ с^^ + w •sin Р даор)1 д2 изduoq \+ с^^ + w •sin Р даор)(А.6.43)(А.6.43)
1 / д2 ио
R2 \др2
1 / д2 ио
R2 \др2
18 ( 8w
R2 sin Р да \ др
18 ( 8w
R2 sin Р да \ др
1 д
R2 sin Р да
1 д
R2 sin Р да
1 д2 изduoq \
+ с^^ + w •
sin Р даор)
1 д2 изduoq \
+ с^^ + w •
sin Р даор)
(А.6.43)
(А.6.43)
— связь перерезывающих сил с изгибающими моментами
QaR=^M^ + J-^^M^+2Ma@ct60.др sin Р да
Тангенциальные усилия и изгибающие моменты выражаются через физические компоненты тензора напряжений с помощью соответствующих равенств в (А.6.37).
Уравнения движения в перемещениях вытекают из (А.6.42), (А.6.43), соответствующих равенств в (А.6.35) и (А.6.36) и имеют вид (А.6.21), где
(А.6.45)(А.6.45)W = (u^,ua,«)T, Р = У^ (q0, qa,pV ,
(А.6.45)
(А.6.45)
a K^j — дифференциальные операторы следующего вида (величины с^ определены равенствами (А.2.30)):
К11 (и^) =
1л21л2.2 (д^ dug Д
1л2
1л2
C1 ^d^ Ж g^J +
2q2/2\C2 9 upC1or2\. 2 n о 2I • 2 д-C2 J UPsin p da\sin p у2q2/2\C2 9 upC1or2\. 2 n о 2I • 2 д-C2 J UPsin p da\sin p у1/ Л + дR2 sin /3 у P1/ Л + дR2 sin /3 у Pd2ua dpdad2ua dpda^13 W = 2^13 W = 2А + д duoА + д duoK21 (ug) = —2 . I —— R sin p \ pK21 (ug) = —2 . I —— R sin p \ pd^updpdad^updpda+ 2ciCtg/3^^) , Оа у+ 2ciCtg/3^^) , Оа уK-m (uQ) = ^2 C2K-m (uQ) = ^2 C2д ua ~ dиaq-^ + зжС1блд ua ~ dиaq-^ + зжС1блcl d-ug sin2 /3 da2cl d-ug sin2 /3 da2(А.6.46)(А.6.46)K^ (w)=2-^- pR sin PK^ (w)=2-^- pR sin Pduo даduo да1 fR2 \h^1 fR2 \h^1 V 831 V 832 / d4u) 2 d4u) 1d4u),1 \ dp4sin2/3 dp2da2sin4/3 ^q42 / d4u) 2 d4u) 1d4u),1 \ dp4sin2/3 dp2da2sin4/3 ^q4^1" aaa™2) ctg/3 + (cict&213 - ^Цг^ tS sin P dpda )\p J dp^1" aaa™2) ctg/3 + (cict&213 - ^Цг^ tS sin P dpda )\p J dp2sin2 /32sin2 /32c? etg2 /3 +2c? etg2 /3 +ЗА + 5дPЗА + 5дPd2 ио da2d2 ио da2cl etg2 /3 +cl etg2 /3 +5А + 8дP5А + 8дPduo . Qai» ct6'3.duo . Qai» ct6'3.4^±£ P4^±£ PwwA -h 3/i duo. , —— ctg/3 , p da J
2q2/2\
C2 9 upC1or2\
. 2 n о 2I • 2 д-C2 J UP
sin p da\sin p у
2q2/2\
C2 9 upC1or2\
. 2 n о 2I • 2 д-C2 J UP
sin p da\sin p у
1/ Л + д
R2 sin /3 у P
1/ Л + д
R2 sin /3 у P
d2ua dpda
d2ua dpda
^13 W = 2
^13 W = 2
А + д duo
А + д duo
K21 (ug) = —2 . I —— R sin p \ p
K21 (ug) = —2 . I —— R sin p \ p
d^updpda
d^updpda
+ 2ciCtg/3^^) , Оа у
+ 2ciCtg/3^^) , Оа у
K-m (uQ) = ^2 C2
K-m (uQ) = ^2 C2
д ua ~ dиaq
-^ + зжС1бл
д ua ~ dиaq
-^ + зжС1бл
cl d-ug sin2 /3 da2
cl d-ug sin2 /3 da2
(А.6.46)
(А.6.46)
K^ (w)=2-^- pR sin P
K^ (w)=2-^- pR sin P
duo да
duo да
1 f
R2 \h^
1 f
R2 \h^
1 V 83
1 V 83
2 / d4u) 2 d4u) 1d4u)
,1 \ dp4sin2/3 dp2da2sin4/3 ^q4
2 / d4u) 2 d4u) 1d4u)
,1 \ dp4sin2/3 dp2da2sin4/3 ^q4
^1" aaa™2) ctg/3 + (cict&213 - ^Цг^ tS sin P dpda )\p J dp
^1" aaa™2) ctg/3 + (cict&213 - ^Цг^ tS sin P dpda )\p J dp
2sin2 /3
2sin2 /3
2c? etg2 /3 +
2c? etg2 /3 +
ЗА + 5дP
ЗА + 5дP
d2 ио da2
d2 ио da2
cl etg2 /3 +
cl etg2 /3 +
5А + 8дP
5А + 8дP
duo . Qai» ct6'3.
duo . Qai» ct6'3.
4^±£ P
4^±£ P
w
w
К33 (w) = ^2К33 (w) = ^2
К33 (w) = ^2
К33 (w) = ^2
+ 2cl+ 2cl/ d3 u)V Jp3/ d3 u)V Jp31d3 u) \sin2 P dpda2 )1d3 u) \sin2 P dpda2 )etg P + ( c2 etg2 /3-2etg P + ( c2 etg2 /3-2A + дPA + дPd2uo dp2d2uo dp2С учетом малости толщины оболочки оператор К^ в (А.6.46) может быть заменен приближенным
+ 2cl
+ 2cl
/ d3 u)
V Jp3
/ d3 u)
V Jp3
1d3 u) \
sin2 P dpda2 )
1d3 u) \
sin2 P dpda2 )
etg P + ( c2 etg2 /3-2
etg P + ( c2 etg2 /3-2
A + дP
A + дP
d2uo dp2
d2uo dp2
2sin2 32sin2 32с2 ctg2 3 +2с2 ctg2 3 +ЗА + 5/1РЗА + 5/1Рd2™ dot2d2™ dot2
2sin2 3
2sin2 3
2с2 ctg2 3 +
2с2 ctg2 3 +
ЗА + 5/1Р
ЗА + 5/1Р
d2™ dot2
d2™ dot2
/ 2 . 9 о , 5Л + 8/1 \ du) . п . Л + /11
— (c2ctg2/3 +—^l^-ctg/3 -4—^w|. (А.6.47)
Вариационное уравнение (А.5.23) для оболочки этого типа приобретает вид
| (5/ - 5Б) dt = О,
ti
,нкчя[^+^^+|тда-7'"‘-,с‘6'9]+
ам^ 1эрsin рам^ 1эрsin рDqiZ
ам^ 1эрsin р
ам^ 1эрsin р
Ц^ + (М00 - Маа^с^0 + q0R4 5u0 -
+e4r+^94r+2M"»»^+»-R,V""+
(Таа + Тдд) R +(Таа + Тдд) R +(дМ^ 2 у дрsin Р(дМ^ 2 у дрsin РдМ^дадМ^да
(Таа + Тдд) R +
(Таа + Тдд) R +
(дМ^ 2 у дрsin Р
(дМ^ 2 у дрsin Р
дМ^да
дМ^да
-\-Маа — Мрр — pR? 5w у sin pdadp +
"I" j [(^ДД^Д + Ta(3Va — Т*д) dup-Vr
~h (Т/За^/З “b ^qq^Q! T*^ ^Ua “h ^Qp^P “b Qa^a Q*^ dw -h
“h k^PP^ P H” ^aP^a^1*3^ Sdp H~ ^Ма^17р + Маа17а M*a^ J^a] dl,
(A.6.48)
t2| SEdt == —pR?h | dt11 d^t2| SEdt == —pR?h | dt11 d^d2uadt2d2uadt2dua +dua +d2updt2d2updt25up + ^y 5w5up + ^y 5wsin P da dp.sin P da dp.
t2
| SEdt =
= —pR?h | dt
11 d^
t2
| SEdt =
= —pR?h | dt
11 d^
d2uadt2
d2uadt2
dua +
dua +
d2updt2
d2updt2
5up + ^y 5w
5up + ^y 5w
sin P da dp.
sin P da dp.
А.7. Уравнения движения тонких упругих пластин
Все соотношения для пластин могут быть получены из результатов § А.5, если положить, что срединная поверхность (А.5.1) является плоскостью (см. также (А.5.9))
П: ж3 = С=0, U\^UD^ (ж1,ж2)ёГ>,(А.7.1)
где ®i, ж2, Жз — прямоугольные декартовы координаты, а £\ £2 — криволинейные координаты на этой плоскости с базисом Эх, Э2.
При этом тензор кривизны срединной поверхности является нулевым
Ьц = 0.(А.7.2)
Движение пластины в плоскости не связано с изгибными деформациями. Поэтому далее положим
= 0,= 0, Tij = 0(А.7.3)
и приведем уравнения изгиба для двух основных моделей (все обозначения имеют тот же смысл, что и для оболочек, см. § А.5).
Пластина типа Тимошенко. Система уравнений включает
— уравнения движения
о2о2 г
д/г^^-^+р, р1^ = ^5М^ -Q1-,(А.7.4)
— физические соотношения
Mij = ICijklxkh Q1 = hk2Ci3k30k;(A.7.5)
— кинематические соотношения
хч = I C^iXj + VjXi), 6i = Xi-'di, -ldi = Viw. (A.7.6)
Изгибающие моменты и перерезывающие силы определяются через компоненты ог^ тензора напряжения формулами (А.5.16), а распределение касательных напряжений сгг3 по нормали задается равенствами (А.5.17).
Для изотропного материала оболочки физические соотношения (А.7.6) имеют вид (см. (А.5.18)):
Mij = I (Xxgij + 2рх^), Qi = phk20i, x — х^ >(A.7.7)
Система уравнений (А.7.4), (А.7.5) (или (А.7.7)), (А.7.6) так же, как и для оболочки типа Тимошенко, имеет гиперболический тип. Для постановки соответствующей начально-краевой задачи к ней необходимо добавить начальные (см. (А.5.19))
wU=™o, ^|t=0=wi, М=о = ХОь ^\t=o = xu. (А.7.8)
и граничные условия. Последние имеют вид (А.5.20), (А.5.21), (А.5.22) или (А.5.24), где необходимо отбросить равенства, связанные с напряженно-деформированным состоянием в плоскости пластины. При этом Г = 8D — плоская кривая, где v = ^эг — единичный нормальный вектор к ней.
Из (А.7.4), (А.7.6) и (А.7.7) вытекают уравнения движения в перемещениях для изотропной пластины этого типа
(А.7.9)(А.7.9)^=сЦ'(%+Д№) + ^, x = dwx = Vtx\
(А.7.9)
(А.7.9)
9V = X±!Lgijv.x+c2 D*VjW " ^ (х^^Я
Последние два уравнения могут быть записаны в векторной форме
djC = А + /гdi1 РdjC = А + /гdi1 Р(А.7.10)(А.7.10)^2 h
djC = А + /г
di1 Р
djC = А + /г
di1 Р
(А.7.10)
(А.7.10)
grad div х+ ci ^Ху (х + grad w) .
Вариационное уравнение для пластины этого типа имеет следующий вид:
t2
| (51 — 5E)dt = 0,
51 = j| [- (VjQj + p)6w + (~VjMij + Q1) 3xi] dxi dx^ + D
(A.7.11)(A.7.11)+ j [(Q^i - Qd 6w + (M^j - M*) 5Xi] dl, Г
(A.7.11)
(A.7.11)
d$i dx^.d$i dx^.
d$i dx^.
d$i dx^.
C2 p p
5E dt = — J dt p
И D
k d^u) xT8^X x
h—T ow + /—oxi
at2 at2
Приведенная система уравнений так же, как и для оболочки Кирхгофа-Лява, имеет параболический тип. Для соответствующей начально-краевой задачи используются граничные условия (А.5.20), (А.5.21), (А.5.22) или (А.5.24), где необходимо отбросить равенства, связанные с напряженно-деформированным состоянием в плоскости пластины, и заменить хг углом 19г, а также следующие начальные условия 19
^lt=0 = w0,^|(=0 = wi-(А.7.15)
Из (А.7.12), (А.7.13) и соответствующих физических соотношений в (А.7.5) вытекает уравнение движения в перемещениях для изотропной пластины Кирхгофа (уравнение Софи Жермен х) -Лагранжа)
ph^ = -D^w+p, П = ЦХ + 2рУ(А.7.16)
Вариационное уравнение для пластины этого типа таково
С2
| (51 — 5E)dt = 0, и
51 = — || (Vj VjM1^ + р) 5w d$i dx^-V D
+ | [(Q^i - Qd Sw + (MijVj - M^ Mi] dl, (A.7.17) Г
t25E dt = —ph |иt25E dt = —ph |иdtDdtD5w dxi dx?. dt25w dxi dx?. dt2
t2
5E dt = —ph |
и
t2
5E dt = —ph |
и
dt
D
dt
D
5w dxi dx?. dt2
5w dxi dx?. dt2
A.8. Уравнения движения пластинв прямоугольных декартовых и полярныхкоординатах
Выпишем начально-краевые задачи для однородных изотропных пластин в двух системах координат: прямоугольной декартовой и полярной.
А. Прямоугольная декартова система
х1 = жх, ж2 = Х2(А.8.1)
с ортонормированным базисом
©1, ©2-(А.8.2)
Жермен Софи (Germain Sophie, 1776-1831) — французский математик и механик.
В этом случае метрический тензор является единичным, ковариантные и контравариантные координаты векторов, а также ковариантные, контравариантные и смешанные компоненты тензоров совпадают между собой и с соответствующими физическими компонентами (для последних будем использовать обозначения ковариантных компонент). Для дифференциальных операторов справедливы формулы (А.4.3) и (АЛЛ), в которых производные по жз и компоненты векторов и тензоров с индексом «3» необходимо положить равными нулю.
Пластина типа Тимошенко. Из (А.7Л)-(А.7.11) имеем
— уравнения движения
d2w = 8Q19Q2
Qt1 8x18xi Р’
82Х1 = дМиР 8^8x1j^Xi _ 8Мц р HF - ПН"82Х1 = дМиР 8^8x1j^Xi _ 8Мц р HF - ПН"дМ129x2дМ129x2дМ^ пдМ^ п(А.8.3)(А.8.3)
82Х1 = дМи
Р 8^8x1
j^Xi _ 8Мц р HF - ПН"
82Х1 = дМи
Р 8^8x1
j^Xi _ 8Мц р HF - ПН"
дМ129x2
дМ129x2
дМ^ п
дМ^ п
(А.8.3)
(А.8.3)
— физические соотношения
(А.8.4)(А.8.4)МИ — / [(А -|- 2^1)хц -|- А><22] ? -^12 = 2/z/xi2;
(А.8.4)
(А.8.4)
71^22 — I [(А + ^р^х^ + Ахц] , Qi = phk20i, Q«i = phk202. — кинематические соотношения
5X1Иц = -5,><12 =9x15X1Иц = -5,><12 =9x1#1 — А4 — ^Ь ^2 — Х2 — ^2,#1 — А4 — ^Ь ^2 — Х2 — ^2,0X2 /о Sw-^1 = А ■9X10X2 /о Sw-^1 = А ■9X1- 8X20X2- 8X20X2о 5w-52 =0X2о 5w-52 =0X2(А.8.5)(А.8.5)
5X1
Иц = -5,><12 =
9x1
5X1
Иц = -5,><12 =
9x1
#1 — А4 — ^Ь ^2 — Х2 — ^2,
#1 — А4 — ^Ь ^2 — Х2 — ^2,
0X2 /
о Sw
-^1 = А ■
9X1
0X2 /
о Sw
-^1 = А ■
9X1
- 8X2
0X2
- 8X2
0X2
о 5w
-52 =
0X2
о 5w
-52 =
0X2
(А.8.5)
(А.8.5)
В этомВ этом£» _ A+j. 8, + с, L _Oxi£» _ A+j. 8, + с, L _Oxi228t2 р8t2 р9^X2 _ А + д 9х9^X2 _ А + д 9хat2 рat2 р229х 2 л к а /. 9ш \5S + с» Д» " Т I» + J9х 2 л к а /. 9ш \5S + с» Д» " Т I» + J(А.8.6)(А.8.6)
В этом
В этом
£» _ A+j. 8, + с, L _
Oxi
£» _ A+j. 8, + с, L _
Oxi
2
2
8t2 р
8t2 р
9^X2 _ А + д 9х
9^X2 _ А + д 9х
at2 р
at2 р
2
2
9х 2 л к а /. 9ш \
5S + с» Д» " Т I» + J
9х 2 л к а /. 9ш \
5S + с» Д» " Т I» + J
(А.8.6)
(А.8.6)
Скалярная форма уравнений движения в перемещениях варианте имеет вид
= C^k2 (х + Aw) + и = divx =
8t'ph8xi 8xi
Вариационное уравнение в этом случае таково:
С2
{di - SE)dt = O,
61 =D61 =D8X1 дх2 Р8X1 дх2 Р8 Мн8xi8 Мн8xi8М128X28М128X2+ Qi) ^xi++ Qi) ^xi+
61 =
D
61 =
D
8X1 дх2 Р
8X1 дх2 Р
8 Мн8xi
8 Мн8xi
8М128X2
8М128X2
+ Qi) ^xi+
+ Qi) ^xi+
+ / 8М12 _ 8Мм + q\ £.1 da,2 + Г ^Q^ _|_ Q2Z/2 _ Q^ §w+ X 0X10X2/ JJ
г
+ (А4ц1/1 + 71412^2 — -^*1) 5xi + (-^12^1 + 71422^2 — -^*2) 5x2*1 сЩ
(А.8.7)
t2
t2
, 8 w х Т (8 Xi х । ^ ^2 гр h—5- ow + I \ —^ OYi Н^ 0Y2
dxx dx^.
tl
tl D
2. Пластина Кирхгофа. Из (A.7.12)-(A.7.17) получаем — уравнение движения
, a2™ а2 Мп , п82мИ , д^м^ ,
Pitу = 9h 19h p.
8t dxi 8x18x2 8xl
(A.8.8)
физические соотношения, которые совпадают с первыми тремя равенствами в (А.8.4);
кинематические соотношения (t^ — см. (А.8.5))
8^ w8^ u)
^112^ 5^12 7л о 5
dxi8x18x2
д2 w
(A.8.9)
Перерезывающие силы связаны с изгибающими моментами так:
8Mu 1 8Mi2 q 8Mi2 . 8M22 dxi 8x2 128x18x2 *
(А.8.10)
Уравнение движения в перемещениях имеет вид (А.7.16), куда необходимо подставить соответствующее выражение для оператора Лапласа.
Вариационное уравнение в этом случае таково
t2
| (.51 - 5E^dt = ^, ti
о—оh9— + p \ 6w dxi dx2-\-
8x18x28x2/
f J(8M128М22Л n 1 X
+ n "ah “a ^1 + "ah “a ^2-0» 5w+
J [Lx 8x18x2 /\ 8x18x2 /J
+ ^MaUi + Mv^v^ — M*i^ 8181 + (^Mv^vx + M^^ — ^*2) 6182dl,
(A.8.11)
t2
И
SEdt =
t2
—ph | и
di
D
Sw dxi dx^. dt-
Б. Полярная система координат (см. также (A.4.19))
1 = г.1 = г.ж2 = а: г > О, 0 < а < 2тг (—тг < а С тг);
1 = г.
1 = г.
.(А.8.12)
Ж1=ГСО8(Т, Ж2=Г8Ш(Т.
Ортонормированный базис ег, еа связан с ковариантным и контра- вариантным базисами так (см. (А.4.21)):
ег = эх = э1, еа = - Э2 = гэ2.(А.8.13)
Метрический тензор, физические компоненты векторов и тензоров, а также дифференциальные операторы определяются формулами (А.4.20), (А.4.22)-(А.4.28), в которых необходимо положить равными нулю компоненты векторов и тензоров с индексом «3».
1. Пластина типа Тимошенко. Из (А.7.4)-(А.7.11) имеем
— уравнения движения
р at2р at2, a2wТ _ дМггдг, a2wТ _ дМггдгУ^ + Мтт _ м.OCXУ^ + Мтт _ м.OCX(А.8.14)(А.8.14)pl^р at2pl^р at2дМрдгдМрдг+ 2М-Г ^1¥1та OCX.+ 2М-Г ^1¥1та OCX.
р at2
р at2
, a2w
Т _ дМггдг
, a2w
Т _ дМггдг
У^ + Мтт _ м.
OCX
У^ + Мтт _ м.
OCX
(А.8.14)
(А.8.14)
pl^р at2
pl^р at2
дМрдг
дМрдг
+ 2М
-Г ^1¥1та OCX.
+ 2М
-Г ^1¥1та OCX.
— физические соотношения
(А.8.15)(А.8.15)Мрр — I [(^ "И ^р^^рр -Н ^^схсх^ ,^^-тсх. — ^pl^rcx^
(А.8.15)
(А.8.15)
^^OtOt — I [(^ “b ^Р^ ^СХСХ “Ь ХИрр^ ,QT = phk20p^ Qa = phk20a.
— кинематические соотношения
Ирр 8т. Ита 2 L ar + г V ХаЛ ’
(А.8.16)
р _ у _ ^р_ у _ ^-д — ^--д ^-
ит — Аг и т 1и а— Ха иач и г — ^^ ? и а—^^ •
Скалярная форма уравнений движения в перемещениях в этом варианте имеет вид
У" = c^k2 (и + Ato) + -^-,at2'ph
(А.8.17)
э^хт _ х + р ди 2 Г. _dt2 - р дт+С1 ДХг
2
Р
д^ Ха _ +
dt2 pr
где
8а + С2 ^Ха +
k2 h /1 дю
"Т \Ха + г ^
д = 1А
г dr
1 д2г2 да2’
х = div % =
Вариационное уравнение в этом случае таково | (61 -6E)dt = 0,
(А.8.18)
61 = -
D
г dMrI drd Mipoidrг dMrI drd Mipoidr1 ( dMra1 ( dMraг \ dot1 (dM^ г \ dotг \ dot1 (dM^ г \ dot-I- Мтт — Mt-I- Мтт — Mt+ 2И+ 2Иdxx dx^ +dxx dx^ +
г dMr
I dr
d Mipoi
dr
г dMr
I dr
d Mipoi
dr
1 ( dMra
1 ( dMra
г \ dot
1 (dM^ г \ dot
г \ dot
1 (dM^ г \ dot
-I- Мтт — Mt
-I- Мтт — Mt
+ 2И
+ 2И
dxx dx^ +
dxx dx^ +
+ j [(Qr^r + Qa^a — Q*) 8w-\-Г
-Ь l^^d^^v^ И- Myct^oc М*а) §8гу -Ь ^М^^ь^^- Н- AZqqZ-^q A^*q) 5дсу] dl^
(А.8.19)
ЙЙЙЙййid2™ £ x T (d2 Xt £. d2 Ха £P к^25,ш + Ц^г§Хг + -^5х.UI\ VlUIid2™ £ x T (d2 Xt £. d2 Ха £P к^25,ш + Ц^г§Хг + -^5х.UI\ VlUICl D2. Пластина Кирхгофа. Из (А.7.12)-(А.7.17) получаем — уравнение движенияCl D2. Пластина Кирхгофа. Из (А.7.12)-(А.7.17) получаем — уравнение движенияр1*^ =р1*^ =82МГТ „82Мга д2Маа82МГТ „82Мга д2Мааdr2 drdadr2 drda11дадМгг , 1 дМга\ дМаО1дадМгг , 1 дМга\ дМаО1drdrdotdotdrdrdxi dx?.dxi dx?.]+р. (А.8.20)]+р. (А.8.20)
Й
Й
Й
Й
й
й
id2™ £ x T (d2 Xt £. d2 Ха £
P к^25,ш + Ц^г§Хг + -^5х.UI\ VlUI
id2™ £ x T (d2 Xt £. d2 Ха £
P к^25,ш + Ц^г§Хг + -^5х.UI\ VlUI
Cl D
2. Пластина Кирхгофа. Из (А.7.12)-(А.7.17) получаем — уравнение движения
Cl D
2. Пластина Кирхгофа. Из (А.7.12)-(А.7.17) получаем — уравнение движения
р1*^ =
р1*^ =
82МГТ „82Мга д2Маа
82МГТ „82Мга д2Маа
dr2 drda
dr2 drda
1
1
да
дМгг , 1 дМга\ дМаО1
да
дМгг , 1 дМга\ дМаО1
dr
dr
dot
dot
dr
dr
dxi dx?.
dxi dx?.
]+р. (А.8.20)
]+р. (А.8.20)
— физические соотношения, которые совпадают с первыми тремя равенствами в (А.8.15);
— кинематические соотношения (t^ — см. (А.8.16))
_ d2ru _1 д ( dw w\_1/1 d2u) dw\
Sr2 ’ Kt<x t dot \ dr r / Х<ха г у r do? dr у *
(A.8.21)
Перерезывающие силы связаны с изгибающими моментами так:
_ dMTT 1 dr г_ dMTT 1 dr гdMTOtdotdMTOtdotН~ MTT MaaН~ MTT MaaQaQadMra1 /drr \dMra1 /drr \d M_dotd M_dot+ 2MTa^+ 2MTa^(A.8.22)(A.8.22)
_ dMTT 1 dr г
_ dMTT 1 dr г
dMTOtdot
dMTOtdot
Н~ MTT Maa
Н~ MTT Maa
Qa
Qa
dMra1 /
drr \
dMra1 /
drr \
d M_dot
d M_dot
+ 2MTa^
+ 2MTa^
(A.8.22)
(A.8.22)
Уравнение движения в перемещениях имеет вид (А.7.16), куда необходимо подставить соответствующее выражение для оператора Лапласа из (А.8.18).
Вариационное уравнение для этой модели имеет вид
С2
| (51 -6E)dt = 0, и
d2Mrr dr2d2Mrr dr22d2Mro drda2d2Mro drda82мао18a82мао18adMTT1 dMTOAdrr dot /dMTT1 dMTOAdrr dot /—^^] + p| 5w dxi dx^^—^^] + p| 5w dxi dx^^
d2Mrr dr2
d2Mrr dr2
2d2Mro drda
2d2Mro drda
82мао18a
82мао18a
dMTT1 dMTOA
drr dot /
dMTT1 dMTOA
drr dot /
—^^] + p| 5w dxi dx^^
—^^] + p| 5w dxi dx^^
dMradotdMradott25E dt = — ph |иt25E dt = — ph |иdtDdtD—5- 5w dxi dx2- dt2—5- 5w dxi dx2- dt2
dMradot
dMradot
t2
5E dt = — ph |
и
t2
5E dt = — ph |
и
dt
D
dt
D
—5- 5w dxi dx2- dt2
—5- 5w dxi dx2- dt2
Ш& + 1
J \ IL dr r г
Г dMraL drГ dMraL dr+ 1 /m«a +\1Q\6w +
Г dMra
L dr
Г dMra
L dr
r \ dot) JJ
+ ^MTTVT + MTaVa - M*^ 68a + (Mravr + MQQz/Q - M*^ 68a^dl,
(A.8.23)
A.9. Уравнения движения упругих стержней
Будем полагать, что стержень является прямолинейным. Его ось Г совпадает с осью Ох прямоугольной декартовой системы координат Oxyz (ж = жх, у = Ж2, ^ = жз). В каждом поперечном сечении D система координат Cyz, где С = D П Ож, является главной центральной.
Стержень является тонким:
У 1, A = maxd, d = diam D = sup p^A^ B\ / = |Г|, (A.9.1)
1rА^ЕЭП
где d и 8D — диаметр и граница поперечного сечения, I — длина стержня.
Кроме того, будем считать, что материал стержня является линейно упругим, изотропным и однородным по поперечному сечению.
Далее приведем основные соотношения для трех простейших видов деформации стержня.
А. Растяжение-сжатие стержня. Система уравнений, описывающая движение при этом виде деформаций включает в себя
— уравнение движения
(А.9.2)(А.9.2)_a2u dN ,
(А.9.2)
(А.9.2)
+р;
— связь продольного усилия N с нормальным напряжением а
N = aF-(А.9.3)
— физическое соотношение ст = Ее-(А.9.4)
— кинематическое соотношение
Здесь F — площадь поперечного сечения, р — внешняя продольная погонная нагрузка, и — продольное перемещение поперечного сечения, Е — продольная деформация.
Система уравнений (А.9.2)-(А.9.5) имеет гиперболический тип. Для постановки соответствующей начально-краевой задачи к ней необходимо добавить начальные условия
«lt=o = Mo, ^|f_o=vo, М(ж) G Г (А.9.6)
(А.9.7)(А.9.7)и граничные, которые, как правило, имеют одну из следующих форм: — кинематические условия
(А.9.7)
(А.9.7)
«1^* =
— динамические условия
А|А|(А.9.8)
А|
А|
где ж* — координата граничного сечения, положительное направление внешней силы Р* совпадает с направлением вектора внешней нормали к сечению.
При ?1* — 0 в сечении имеется заделка, а при Р* = 0 сечение является свободным.
Из (А.9.2)-(А.9.5) следует уравнение движения в перемещениях
pF^ = ^ (eF^dt2 Эх \ ЭхpF^ = ^ (eF^dt2 Эх \ Эх(А.9.9)(А.9.9)
pF^ = ^ (eF^
dt2 Эх \ Эх
pF^ = ^ (eF^
dt2 Эх \ Эх
(А.9.9)
(А.9.9)
которое для однородного по длине стержня преобразуется так:
(А.9.10)(А.9.10)д2и _ 2 д^ и р 2 _ Е
(А.9.10)
(А.9.10)
"Ср^ pF' Ср~7
где ср — скорость волн растяжения-сжатия в стержне.
Вариационное уравнение для стержня конечной длины с граничными сечениями х = Хх и х = х^ (жх < х^ в этом случае таково:
С2
| ^1 - §E^dt = ^, и
ж? / з n\
SI = — (^EFp)Sudx-(Nx- Рг) dux - Р^би^
V J(A.9.11)
Щ = м|ж=ж^ N^ N\x=x. (г = 1,2),
c2$2«22
[ 8E dt = — \ dt [ pF-^- Su dx.
JJJ9t2
ClClЖ1
Граничные условия могут отличаться от указанных в (А.9.7) и (А.9.8), но при этом внеинтегральные члены вариации функционала Лагранжа должны обращаться в нуль (см. также (А.5.24).
Б. Кручение стержня (вала). Система уравнений, описывающая движение при этом виде деформаций включает в себя
— уравнение движения
^>=^+^;(А-9-12)
— физическое соотношение
Мк = ц1кех-,(А.9.13)
— кинематическое соотношение
=(А.е.14)
Здесь /к — характеризующая свойства поперечного сечения при кручении геометрическая характеристика, Мк — крутящий момент, тк — внешний погонный крутящий момент, ^ж — угол поворота поперечного сечения вокруг оси стержня, хж — крутка стержня (деформация при кручении).
Система уравнений (А.9.12)-(А.9.14), так же, как и аналогичная система при растя жен и и-сжатии, имеет гиперболический тип. К ней добавляются начальные условия
X*lt=0 = Х.о, ^L=^o, М^£Г(А.9.15)
и граничные, которые, как правило, имеют одну из следующих форм: — кинематические условия
Хж|ж=ж* — Аж*5(А.9.16)
— динамические условия
^к|ж=$. = М_,(А.9.17)
где положительное направление вектора внешнего момента Мк* совпадает с направлением вектора внешней нормали к сечению.
При Хж* — 0 в сечении имеется заделка, а при Мк* = 0 сечение является свободным.
Из (А.9.12)-(А.9.14) следует уравнение движения относительно угла поворота
р1к^ =(м/к^) + тк’(А.9.18)
которое для однородного по длине стержня преобразуется так (величина С2 определена в (А.2.30)):
Вариационное уравнение для стержня конечной длины с граничными сечениями х = х^ и х = х^ (жх < х^) в этом случае таково:
С2
| (51 -6E)dt = 0, и
61 = - [ (^^ + тк) 5хх dx - (МК1 - М^ 5хх1 + (Мк2 - М^ 5Хх2,
(А.9.20)
Ххг = X$U=xi ’ ^кг = М-Ах^х. (^ =
с2$2«22
f 5Е dt = — f dt [ pIK ^ж 5хх dx.
JJJrat1
ClClЖ1
Граничные условия могут отличаться от указанных в (А.9.16) и (А.9.17) при ограничениях, оговоренных для случая растяжения-сжатия.
В. Поперечный изгиб стержня (балки). Аналогично оболочкам и пластинам (см. § А.5 и А.7) рассмотрим две модели этого
вида деформации. При этом для определенности будем считать, что изгиб происходит в плоскости Оху.
Балка типа Тимошенко. В этом варианте система уравнений состоит из
— уравнений движения
pF"d?~ ~d^ + Qy + mz' (A.9.21)
— физических соотношений (коэффициент к определен в (А.5.13))
М2 = EIzxz, Qy = -p,Fk202;(А.9.22)
— кинематических соотношений
= 7=(А.9.
ОХох
Здесь /^ — момент инерции поперечного сечения относительно оси С^ Mz — изгибающий момент, mz — внешний погонный изгибающий момент, w — перемещение поперечного сечения вдоль оси Оу (прогиб), иг — изменение кривизны оси стержня, Xz и ^z — углы поворота относительно оси С % поперечного сечения и вектора нормали к оси стержня.
Система уравнений (А.9.21)-(А.9.23) так же, как и для соответствующих оболочки и пластины, имеет гиперболический тип. Для постановки соответствующей начально-краевой задачи к ней необходимо добавить начальные условия
(А.9.24)
Xz lt=o — Xz(h -^7 |^_o — Xzh M{x} 6 Г
и граничные. Последние, как правило, имеют одну из следующих форм (см. (А.5.20)-(А.5.22); ж* — координата граничного сечения):
— кинематические условия
w\x_^ = w*,хДж=ж* = Xz*;(А.9.25)
— динамические условия
^^1ж = Ж* =9?/1ж = Ж* = Qy*‘(А.9.26)
Соответствующая терминология для частных вариантов указанных условий указана в § А.6.
Из (А.9.21)-(А.9.23) вытекают уравнения движения в перемещениях
Для однородного по длине стержня эти уравнения принимают сле
дующий вид:
82 ио , о 9 8 / 8w \ , р
(A.9.28)(A.9.28)W = к с^^ ~ х‘> + W
(A.9.28)
(A.9.28)
82 х^ _ ^8^Xzc^Fk2 /8ии\ mz
at2 ~Cp ax2 и VXzax)pi/
Вариационное уравнение для стержня конечной длины с граничными сечениями х = Жх и х = х^ (жх < Ж2) для этой модели имеет вид:
t2
| (51 -5E)dt = 0, и
61 = - j [(^^ + p^6w + (^^ + Qy + т^ 5xz] Аж -
Ж1
^Mz Mzx^ §Xzi (Qy Qyi) 6wi +
+ (Mz - Mz2) 6Xz2 - (Qy - Qy^ 6w2, (A.9.29)
Xzi — Хж|ж=;с< ! M2i — MK\x=Xi , Qzi — Qz\x=Xi ^ — 1;2),
<2<2^/22\
6Edt = - dt p I F^4- 5w + Iz^-^ 5xz \ dx.
JJJ\at2at2)
C]Cl Ж1
Балка Бернулли-Эйлера. Замкнутая система уравнений включает в себя
— уравнение движения
д2Mz8mz,к n опх
=q = ’-S7’(А'9'30)
— физическое соотношение
Mz = EIZXZ-,(А.9.31)
— кинематические соотношения
==(А-9-32)
дхдх
Перезывающая сила связана с изгибающим моментом следующим образом:
Qy = -^-mz.(А.9.33)
Система уравнений (А.9.30)-(А.9.32) так же, как и для соответствующих оболочки и пластины, имеет параболический тип. Для по-
становки соответствующей начально-краевой задачи к ней необходимо добавить начальные условия
wlt=0 = wo, ^|,_0 = wb м(ж) б Г(А.9.34)
и граничные. Последние, как правило, имеют вид (А.9.25) или (А.9.26). При этом для частных вариантов, так же, как и для балки Тимошенко, используется соответствующая терминология, указанная в § А.6.
Из (А.9.30)-(А.9.32) следует уравнение движения в перемещениях
о2о2 /о2 \
Р^ — — О 2 ( ^^ о 2 ) + 9;(А.9.35)
otох уох )
которое для однородного по длине стержня принимают следующий вид:
OtОХ ргг
где iz — радиус инерции поперечного сечения.
Вариационное уравнение для стержня конечной длины с граничными сечениями ж = Ж} и ж = Ж2 (жх < х^) для этой модели имеет вид:
t2
| (61 — 6E)dt = 0,
51 = [ (^^ - g) 5w dx - (Mz - М^ 50 zX -
J \ дх /
Ж!
- (Qy - Qyi) <5wi + (Mz - Mz2) 50 z2 - (Qy - Qy2) 5w2l (A g 37) 0zi = Xx\x=$i i Mzi = мк|ж=ж. , Qzt = <Э2|Ж=Ж6 (i = 1,2),
c2C2«22
[ 5E dt = — [ dt [ pF -—5w dx.
ClClЖ1
Отметим, что все приведенные выше соотношения могут быть применены для стержневых систем с использованием условий стыковки (условий неразрывности) их составляющих, а также приближенно для стержней малой кривизны:
min Rr
— » 1.(А.9.38)
Приложение Б
СВЕДЕНИЯ ОБ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЯХ
Следуя в основном книге [48] приведем краткие сведения из теории обобщенных функций в объеме, необходимом для изучения основного материала учебника. При этом по ходу изложения будут приводиться некоторые понятия математического анализа, которые могут служить в качестве напоминания известного читателю материала либо рассматриваться как дополнительные сведения.
Б.1. Основные пространства
Обозначим стандартным образом через 7?п п-мерное действительное векторное пространство с элементами (векторами, точками) х = (жх, . . . , хп) — упорядоченными совокупностями из п действительных чисел (xj 6 R). На нем для любых двух векторов х, у = = (ух,. . . , уп) и любого числа а Е R определены операции сложения (вычитания) векторов х ± у = (жх ± ух,.. ., хп ± уп) и умножения на число ах = (ажх,. . . , <ххп). Нулевым элементом является вектор О = (0,. . ., 0). Равенство двух векторов определяется следующим образом: х = у, если жх = ух, . . . , хп = уп. Как известно, это пространство является линейным.
Оно становится евклидовым после введения на нем скалярного произведения (х, у) = Xjyj. С помощью этого произведения определяются норма (длина, модуль) вектора 11х|| = |х| = д/(х, х) и расстояние между двумя векторами (метрика пространства) р(х,у) = ||х — у||, т. е. Rn — метрическое пространство.
Пусть {х^} — последовательность в Rn и у 6 Rn. Тогда у = Jim х^, если Jim p(x&,y) = 0.
При 72 — 1 Rn совпадает с множеством действительных чисел R.
Далее будем рассматривать действительные или комплексные функции (С — множество комплексных чисел)
р-. Rn -^ R или ф\ Rn ^С.(Б.1.1)
Множество таких функций обозначим через Ф = {уД. При использовании обычных операций сложения функций и умножения их на число (действительное или комплексное) Ф является линейным пространством (действительным или комплексным). Наделим это пространство дополнительными свойствами.
Линейное пространство Ф называется линейным пространством со сходимостью, если среди всех последовательностей {(^аД С Ф вы де-
лены сходящиеся к элементу ip Е Ф последовательности (обозначение lim (pk = (р^ (р — предел последовательности {^А;})- При этом выполняются следующие условия:
любая последовательность {^А;} С Ф имеет не более одного предела;
любая стационарная последовательность {^} С Ф является сходящейся и Jim <р = рц
всякая подпоследовательность {^А;т} сходящейся последовательности {^А;} С Ф ({^A;m} С {^А;}) также является сходящейся и 1™ Фкт = lim т^оок^оо
для любых сходящихся последовательностей {^А;} ,{?Ы С Ф
и любых чисел а. /3 последовательность \oip)k + РФк^ также является сходящейся и lim (ар>к + Зфк) — <т lim фк + Р lim фк*^
к—Уоок—Уоок—Уоо
для любой сходящейся числовой последовательности {«А;} (Jim а к = а) и любого элемента р Е Ф последовательность {«а;^} также является сходящейся и lim dkp = Р lim oik-
к^оок^оо
Пусть Фо С Ф и является линейным подпространством пространства Ф (Фо — линейное пространство по отношению к введенным на Ф операциям) и Фо и Ф — пространства со сходимостью. Если любая последовательность {^А;} С Фо, сходящаяся к р Е Фо, сходится к р и в Ф, то за Фо сохраним название подпространства (обозначение Фо С Ф).
Наделенное специальными свойствами (их уточним далее) подпространство Фо пространства Ф функций вида (Б.1.1) будем называть основным пространством, а функции из него — основными функциями. Если необходимо указать размерность евклидового пространства, на котором определены основные функции, то для основного пространства используется обозначение Фо V^Y
Напомним также следующие понятия. Пусть G С Rn и состоит из таких точек х, что для любых х ^ G у>(х) = 0. Тогда множество suppy? = GUdG, где dG — граница области G, называется носителем функции р. Если G — замкнутое ограниченное множество, то supp р называется компактным. а функция р с таким носителем — финитной.
Обычно рассматриваются следующие основные пространства.
Основное пространство Фо = Кт‘.
любая функция р Е Кт является финитной и имеет непрерывные производные до порядка т включительно, т. е. р Е Ст (Rn\^
последовательность {^А;} из Кт сходится к функции р Е Кт. если
— существует такое а > 0, что для любого к
supp рк С U(ay U(a) = {^ERn\ |х| < а} ;
для любого числа р = 0,1, . . ., т последовательность ^Dppk^ равномерно на (Да) сходится к Врф (Dpp>k ^ Dp(p^ где
ПР1 +Р2 + -"+Рп
°Р = дй^д^ТТТТд^Г’ Р = Р1+Р2 + --- +Рп-(Б.1.2)
Основное пространство Фо = К:
любая функция р Е К является финитной и имеет непрерывные производные любого порядка (т = оо), т. е. ^ 6 С°° (Rn);
последовательность {^А;} из К сходится к функции р Е К^ если — существует такое а > 0, что для любого k supp рк С U(a)*^
для любого числа р Е Nq = {0,1, 2, . . . } Dppk ^ Dpp.
Основное пространство Фо = S:
для любой функции ср Е S р Е С°° (Rn)\
для любой функции р Е S и любых чисел т^р Е Nq существует такое действительное число Стр. что
Б.1.3Б.1.3\xmDpp(x)\ < Стр, хт = ж^ж^2 . .. ж^,т = mi + т-2 + . . . + тп.
Б.1.3
Б.1.3
т. е. функции р вместе со всеми своими производными при х —> оо стремятся к нулю быстрее любой степени 1/ |х|;
) последовательность {^А;} из S сходится к функции р Е S^ если — существует такое не зависящее от к число Стр. что неравенство (Б.1.3) выполняется для любой функции р^
— для любого т, р Е Noxm Dppk(x) =^ хт Dpp(x).
Введенные основные пространства являются линейными пространствами со сходимостью и связаны между собой следующим образом: К С Кт С кт-г С ... С К° и К С S.
Отметим также часто используемое в теории обобщенных функций утверждение: любая функция ^ Е С°° (Rn) есть сумма ряда
^(х) = Е 1МХ)-(Б.1.4)
Здесь V’n(x) G К. Причем в любой точке х = х° ряд (Б.1.4) содержит один или два отличных от нуля члена, т. е. он сходится на Rn.
При доказательстве (Б. 1.4) используется следующее утверждение (разлоснсение единицы): существует такая последовательность Шх)} G К, что
£ yn(x) = 1.(Б.1.5)
Причем в любой точке х = х° этот ряд также содержит один или два отличных от нуля члена.
Б.2. Определение и свойства обобщенных функций
Функционалом / (действительным или комплексным) на множестве Ф с элементами р называется однозначное отображение / : Ф —> R (или / : Ф —> С). Значение функционала на элементе р будем записывать так: (/, рУ Пусть Ф — линейное пространство. Тогда функционал называется линейным, если для любых элементов р, ^ Е Ф и любого числа а выполняются равенства (/, ^ + ^) — (/, ^) + (/, ^) и (/, ^^) — а(Л ф)- Множество таких функционалов обозначим через Ф'. Если на нем обычным образом ввести операции сложения (/ + g, р) = (/, р) + (g, р) и умножения на число А (А/, р) = А(/, р), оно само образует линейное пространство и называется сопряснсенным с Ф пространством.
Если Ф — линейное пространство со сходимостью, то предел / 6 6 Ф' последовательности функционалов {fk} С Ф' определяется следующим образом: / = Jim Д, если для любого элемента р 6 Ф Jim (Д,уО — (Л фУ Такая сходимость в отличие от обычной (поточечной) сходимости называется слабой. Функционал / G Ф' называется непрерывным, если для любой сходящейся последовательности {^А;} с Ф (^ = lim рк Е Ф) существует предел lim (/, рк) = (ф,рУ к^оок^оо
Далее всегда будем полагать, что Ф' состоит их непрерывных функционалов на Ф. В этом случае Ф' — линейное пространство со сходимостью.
В сопряженном пространстве Ф' обычным образом через предел последовательности частичных сумм определяются сходящиеся ряды и их сумма
/ = ZA иЛкеФ').
к
Пусть Фо — подпространство линейного пространства Ф со сходимостью, и / Е Фо- Если существует такой функционал F Е ФУ что (/, р) = (F, р) для любых р С Фо, то f называется продолжаемым на пространство Ф в функционал F, a F — продолжением функционала
Переходим теперь к основному понятию. Обобщенной функцией, определенной на основном пространстве Фо, называется линейный непрерывный функционал / Е Ф^. При этом Фу — пространство обобщенных функций.
Соответственно рассмотренным основным пространствам Кт, К и S используются обозначения пространств обобщенных функций (Кт)У К' и S', а также следующие названия: функции из (К™)' — обобщенные функции конечного порядка, функции из (К0) — меры, функции из К’ — обобщенные функции бесконечного порядка, функции из S1 — обобщенные функции медленного роста.
Для этих пространств обобщенных функций имеют место включения: (F°y С ^К1^ С (F2)Z С . . . С К' и S’ С К'. Из последнего
включения следует, что обобщенная функция медленного роста — продолжение на S обобщенной функции бесконечного порядка.
Пусть /(х) — «обычная» функция вида (Б.1.1) и (/, у?) — некоторый функционал из Фу (здесь формально используется такое же, как и ранее обозначение функционала, однако в нем значок / указывает на обычную функцию). Тогда говорят, что обобщенная функция (f, (р) порождается функцией /(х). Обобщенные функции, для которых существуют порождающие их функции, называются регулярными, а остальные — сингулярными.
В пространствах (Km)f и К' регулярные обобщенные функции порождаются локально интегрируемыми функциями /(х) (функциями, определенными в Rn и абсолютно интегрируемыми на любой ограниченной области Q С Rn) с помощью интегральных функционалов для действительных и комплексных функций соответственно (черта является знаком комплексного сопряжения)
Б.2.1Б.2.1(/, у) = | /(ХМХ) dx = |/(х)р(х) dx, fi = suppy; Rn Q
Б.2.1
Б.2.1
17(XMX) dx. Q
В пространстве S* регулярные обобщенные функции порождаются локально интегрируемыми функциями /(х) медленного роста (определенными в Rn функциями, для которых существуют такие А, а ^ ^ 0, что |/(х)| ^ А |х|а в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки) с помощью интегральных функционалов для действительных и комплексных функций соответственно
U^^ j f(x)<p(x)dx; (J,p) = j 7(x)(p(x)dx. (Б.2.2) R™ R™
Этим фактом и объясняется название пространства S*.
В связи с существованием регулярных функций для всех обобщенных функций также используется обозначение /(х), наличие в котором переменной х является всего лишь символом и ни в коей мере не говорит о значении обобщенной функции в точке. А для указания значения обобщенной функции на функции ф 6 Фо применяются интегралы (Б.2.1) или (Б.2.2), которые для сингулярных функций необходимо также расценивать не более как символ.
Пусть Q открытое множество из Rn. Тогда обобщенная функция равна нулю (f = 0) на Q, если для любой ^(х) Е Фо с носителем supp ср С Q выполняется равенство (/, ^) = 0. Обобщенные функции /(х) и g(x) равны (/(х) = g(x)) на Q, если / — g = 0 на этом множестве.
Эти понятия позволяют совершенно аналогично обычным функциям ввести определение носителя обобщенной функции supp/. Кроме того, будем называть обобщенную функцию сосредоточенной на мно-
otcecmee Cl С Rn. если supp/ С Cl. Аналогично основным функциям обобщенная функция называется финитной. если ее носитель — компактное множество.
Можно показать, что если / — финитная обобщенная функция из К'. то она единственным образом продолжается на S в обобщенную функцию F Е S’ следующим образом:
(Б.2.3)
где т]ЕКит] = 1в окрестности supp f.
Обобщенная функция равна нулю (/(х) = 0), если она равна нулю на Rn. Аналогично обобщенные функции /(х) и g(x) равны (/(х) = = g(x)), если они равны на Rn.
Отметим, что, если функции /(х), g(x) равны почти всюду на Rn (множество точек, на которых /(х) / g(x) имеет меру нуль) и порождают регулярные обобщенные функции, то последние равны.
Пусть /(х) 6 Фу и а(х) такая функция, что для любой ^(х) Е Фо произведение а(х)у?(х) Е Фо- Тогда произведение а(х)/(х) задается следующим функционалом из Фу (действительным или комплексным):
(а/, ^) = (/, ау?) или (а/, ^) = (/, ау)).
Если f Е К^ то а(х) должна быть бесконечно дифференцируемой. Если же / Е S1, то а(х) Е 0м, где под 6М понимается множество функций, удовлетворяющих следующему условию: для любого а Е No существуют такие числа Са Е R и та Е No. что для любых х Е Rn
|О“а(х)| <(1 + |x|f“ •(Б.2.4)
По аналогии с известными теоремами о замене переменных в интегралах можно ввести понятие сложной обобщенной функции. Пусть у = а(х) — регулярное необходимой степени гладкости отображение Rn на Rn (преобразование пространства R^Y и для любой ^(х) Е Фо также (р [а-1 (у)] |J(y)| 6 Фо, где J (у) якобиан отображения. Тогда слоснсная обобщенная функция / [а(х)] задается следующим образом:
(/ [а(х)], р(х)) = (/(у), у [а-1(у)] | J(y)|) .(Б.2.5)
Если отображение а(х) — невырожденное линейное преобразование (а^ и ж^ не зависят от х)
х = у Ат + х°,
А = (aki)nXn , det А ^ 0, х = (жх,. . . , xnY
У = (У1,---,Уп), х° = (ж?,... ,ж°), то имеет место равенство
(/ (уАт + х°) , ^(у)) = ^щ (/(х),[(х _ х0) (А”1)"]) . (Б.2.6)
Из (Б.2.6) вытекают следующие частные случаи:
преобразование сдвига (А = Е — единичная матрица, вектор х° заменен вектором (—х0))
(/ (у - х°), р(у)) = (/(х), р(х + X0));(Б.2.7)
преобразование подобия (х° = 0; матрица А — диагональная, т. е. аы = сходки с ненулевыми элементами на главной диагонали; 5^1 — символ Кронекера)
(/ («ц7/1, «22^2, . . . , Otnnyn) , ^(у)) =
= 111 (7(х),Д—(Б.2.8)
|«ц «22 • • • «пп| X«22Otnn
равномерное преобразование подобия (в (Б.2.8) «ц = а^ = . .. = = сх-п-п = « т^ 0, т. с. А = «Е — скалярная матрица)
/ (ау), ^(у)) = ^ (/(х), ^(^));(Б.2.9)
преобразование симметрии (в (Б.2.9) а = — 1)
(/ (-у), ^(у)) = (/(х), У (-х)).(Б.2.10)
Обобщенная функция /(х) называется инвариантной относительно преобразования а(х), если / [а(х)] = /(х). В том числе, /(х) называется
центрально симметричной, если она инвариантна относительно преобразования симметрии (Б.2.10) (примером таковых является дельта-функция Дирака);
сферически симметричнойесли она инвариантна относительно любого преобразования поворота (примером таковых является /(х) = = ^(|х|));
периодической с периодом Т при п = 1, если она инвариантна относительно преобразования сдвига (Б.2.7) при ж0 = Т (можно показать, что периодическая с любым периодом функция есть постоянная).
При 72 — 1 центрально симметричная функция (/(—ж) = /(ж)) называется четной*^ если же преобразование симметрии дает результат /(—ж) = — /(ж), то /(ж) — нечетная функция.
С преобразованием подобия (Б.2.9) связано следующее понятие. Так же, как и обычная функция, обобщенная функция /(х) называется однородной степени {порядка) А, если при любом а > 0 она удовлетворяет уравнению
/(ах) = аА/(х),(Б.2.11)
которое, очевидно, эквивалентно равенству
(/(х), <р (х/а)) = а"+А (/(х), ^(х)).
Свойства однородных функций.
Если порождающая функция — однородная степени А, то и соответствующая регулярная обобщенная функция является таковой.
Произведение однородной функции степени Л на число и сумма двух однородных функций степени Л — однородные той же степени.
Если существует произведение а(х)/(х) и как обобщенная функция /(х), так и а(х), являются однородными функциями соответственно степеней А и /1, то а(х)/(х) также однородная функция степени А + ц.
Определения некоторых обобщенных функций приведены в табл. Б.2.1, где использованы следующие обозначения (Т^)Р(х) — многочлен Маклорена ^ для функции ^(х); символ Vp обозначает главное значение по Коши расходящегося интеграла):
R1^- = {х £ Яп| жх, Ж2, • • • , яп > 0} ; г = |х|;
р 1
^.рМ = Е м ^^(о; х)>к=0 К"
dfe(p(O-,dfe(p(O-,JnП ?JnП ?у-'9 у(0; х) ^ji
dfe(p(O-,
dfe(p(O-,
Jn
П ?
Jn
П ?
. , Ь 8$1 • • • 8®пп 1
d°y)(O; х) = (^(0);
к=0'
Ур|^(ж)с/ж= lim^ | <p(x)dx-V j <р(х) dx .
R-оо+е"
Приведем также часто используемые связанные с линейными преобразованиями формулы для дельта-функции Дирака
a(x)J(x — х°) = a(x°)J(x — х°), б (ах) = —^(х),
i“(Б.2.12)
6 (ац®1, 022^2,.. ■, <Wn) = I1 6(х), 5 (-х) = 5(х),
|O!lia!22 • • • Olnn\
а также свойство функции Дирака, сосредоточенной на поверхности
П : Г(х) = 0, где F(x) е С°° (Rn)
(Б.2.13)(Б.2.13)^(х)5п(х) = 0.
(Б.2.13)
(Б.2.13)
*) Маклорен (Maclauren С., 1698-1746) — шотландский математик.
IND
Обозначение и название обобщенной функции
Основное пространство
Определение
Носитель
Одна из порождающих функций (для регулярных обобщенных функций)
^(х) — дельтафункция Дирака
к0
№ у) = ^(о)
X = 0
—
Н (х) — единичная функция Хевисайда
к0
(Н, ¥>) = j v(x) dx Rn
R^.
н^ = (11 х е д+ [ 0, X Я^
/Дх)£п(х) — простой слой на поверхности П С RH с плотностью /Дх) G C^R^
к0
(^п.у) = | /»(x)y(x)dS п
П
5П (х) — функция Дирака, сосредоточенная на поверхности П С Rn
к0
^nW = 1 • 5п(х)
П
sign ж
к0
sign ж = Н(ж) — //(—ж)
R
(1,ж>0
sign ж = <
[ -1, ж < 0
гЛ (А е Я, А > -п)
к0
(r\ cp^j = | тхср(х) дх
Rn
тт
г-т (т EN, т ^ п)
КР
(р =
= т — п + 1)
JJ г
г<1г>1
Rn
—
Xх (А > 0)
к0
(жЛ,у>) = | xxtp(x) dx R
R
ХХ
Таблица Б.2.1
Определение и свойства обоби^енннх функций415
1
1
1
о о
Л\ V н н
7$ o'
и
о о
Л\ V
Н o'
+
о о
Л\ V
н
o' 1
II
н
о
Чк н
q
о о Л V/ н н
н o'
II +
g
(^
(^
о
Л\ н
о
Л\ н
о
V/ н
о
Л\ н
"У
77
77
II
77
+
"У
S
77^ —
^9?
В
А
9
715
"У
S 7
^ н
S
9-
<
^
II
Н
+
77 и
"У g
II ^
g
"У
g
8.>о
II
+
g
В
7 в ^
7 л
ш
77
ш £
В
л
В
2:' Ш
1 н
7 л
of
+
g
+
g
Продолжение таблицы Б.2.1
Б.З. Обобщенные функции, зависящиеот параметра. Дельта-совокупности функций
В предыдущем параграфе рассмотрены последовательности обобщенных функций { Д} С Фд. В том числе, определен предел сходящейся последовательности. Здесь k Е N и является параметром обобщенной функции.
Более широкие возможности дает введение параметра А из пространства X. под которым будем понимать действительное векторное пространство Rm или множество комплексных чисел С. Пусть Л — область в X. Если для любого Л Е Л определена обобщенная функция /(х; Л) Е Фд, то совокупность таких функций называется обобщенной функцией, зависящей от параметра. Пусть Ло — предельная точка множества Л. Аналогично последовательностям определяется предел g обобщенной функции /(х; Л) при Л —> Ло,: g(x) = lim /(х; Л), если
А^А0
для любого элемента р Е Ф g(x) = lim (/(х; Л), р) = (g(x), ^)- При А^А0
этом доказывается, что g Е Фх.
При Ло Е А функция /(х; Л) называется непрерывной в точке Л = = Ло, если существует lim /(х; Л) = /(х; Ло). Аналогично обычным А—> Ао
функциям вводится понятие частной 8f(x*^ y)/8yj производной (при Л = у = (2/1, . . . , ут) Е Rm) или комплексной производной df(x; z)/dz (при Л = z Е С) по параметру. Например, во втором случае имеем
dzz — zo
2 = ^0
Также определяются дифференцируемые, аналитические по параметру в точке и непрерывные, дифференцируемые, аналитические в области обобщенные функции. Кроме того, для обобщенных функций можно рассматривать первообразную, определенный и несобственные интегралы по параметру и интегралы по комплексному параметру.
Выделим специальные классы обобщенных функций, зависящих от параметра и последовательностей обобщенных функций. Пусть при любом Л из некоторой окрестности Ад (для любого номера к) зависящая от параметра обобщенная функция /(х; А) Е Фд (член последовательности fk(x) Е Фд) и является регулярной обобщенной функцией, порожденной локально интегрируемой функцией /(х; Л) Е Фд (А(х) £ Е Фо) и lim /(х; Л) = J(x) ( lim f^ = ^(х)). Тогда /(х; Л) называется
A—>Aqк^оо
дельта-совокупностью функций при А ^ Ад ({Д(х)} — дельтообразной последовательностью).
Такие зависящие от параметра обобщенные функции и последовательности используются, в том числе, в численных алгоритмах для задач, в которые входят дельта-функции. При этом в качестве приближенного решения задачи принимается то решение, в котором дельта-
14 А. Г. Горшков и др.
функция заменяется функцией /(х; А*) из дельта-совокупности функций, где Л* — число из некоторой проколотой окрестности Ло (&-м членом дельтообразной последовательности).
Имеет место следующий критерий дельта-совокупности (дельто- образности последовательности).
Введем обозначение Q = { х = (жх,. . ., хп) 6 Rn\ а^ < Xj < bj^ причем at, . . . .ап < 0. Если для локально интегрируемых функций /(х; Л) 6 Фо (последовательности локально интегрируемых функций {Д(х)} С Фо) существует такое не зависящее от Л из некоторой окрестности Ло (от номера к) и Q число М > 0, что
и, кроме того,и, кроме того,lim /(х; Л) dx = <A—>Aq JI 1Q<lim /(х; Л) dx = <A—>Aq JI 1Q<(О ^ Q), (О е Q),(О ^ Q), (О е Q),
и, кроме того,
и, кроме того,
lim /(х; Л) dx = <
A—>Aq JI 1
Q<
lim /(х; Л) dx = <
A—>Aq JI 1
Q<
(О ^ Q), (О е Q),
(О ^ Q), (О е Q),
^ип | Д(х) dx = <Q^ип | Д(х) dx = <Q0101(О ^ Q), (О е Q),(О ^ Q), (О е Q),
^ип | Д(х) dx = <
Q
^ип | Д(х) dx = <
Q
0
1
0
1
(О ^ Q), (О е Q),
(О ^ Q), (О е Q),
то эти локально интегрируемые функции (эта последовательность) образуют дельта-совокупность функций (является дельтообразной последовательностью) .
Приведем некоторые дельтообразные последовательности и дельтасовокупности функций (ж, у, г 6 7?; к —> оо; е —> +0; г = д/ж + ?/2 ):
^(ж) = у^е /2 (Кирхгофу, fk^ = ^e Л|ж| (Пикарду
Л (ж) = (Дирихле 2));Л (ж) = (Дирихле 2));ЛМ = ^4г-litchkxЛМ = ^4г-litchkx(Стилитьес 3));(Стилитьес 3));{ко{копри И < рпри И < рпри |ж| > ^;при |ж| > ^;fk^ е) =fk^ е) =12s012s0при |ж| < 1, при |ж| > 1;при |ж| < 1, при |ж| > 1;
Л (ж) = (Дирихле 2));
Л (ж) = (Дирихле 2));
ЛМ = ^4г-
litchkx
ЛМ = ^4г-
litchkx
(Стилитьес 3));
(Стилитьес 3));
{к
о
{к
о
при И < р
при И < р
при |ж| > ^;
при |ж| > ^;
fk^ е) =
fk^ е) =
1
2s
0
1
2s
0
при |ж| < 1, при |ж| > 1;
при |ж| < 1, при |ж| > 1;
/(ж; е) = —^/(ж; е) = —^/(ж, у; е) = </(ж, у; е) = <при |ж| < 1, |у| < 1, при |ж| > 1, |у| > 1;при |ж| < 1, |у| < 1, при |ж| > 1, |у| > 1;при 0 < г < 1,при 0 < г < 1,при г > 1;при г > 1;/(ж, у; е)/(ж, у; е)(р " 2)sp-32тг (r2 + s2)p/2(р " 2)sp-32тг (r2 + s2)p/2(р = 3, 4, 5,.. .);(р = 3, 4, 5,.. .);/(ж, У. ^ с) =/(ж, У. ^ с) =< 8s3< 8s3s Оs Опри |ж| < 1, \у\ < 1, |^| < 1, при |ж| > 1, \у\ > 1, |^| > 1.при |ж| < 1, \у\ < 1, |^| < 1, при |ж| > 1, \у\ > 1, |^| > 1.
/(ж; е) = —^
/(ж; е) = —^
/(ж, у; е) = <
/(ж, у; е) = <
при |ж| < 1, |у| < 1, при |ж| > 1, |у| > 1;
при |ж| < 1, |у| < 1, при |ж| > 1, |у| > 1;
при 0 < г < 1,
при 0 < г < 1,
при г > 1;
при г > 1;
/(ж, у; е)
/(ж, у; е)
(р " 2)sp-32тг (r2 + s2)p/2
(р " 2)sp-32тг (r2 + s2)p/2
(р = 3, 4, 5,.. .);
(р = 3, 4, 5,.. .);
/(ж, У. ^ с) =
/(ж, У. ^ с) =
< 8s3
< 8s3
s О
s О
при |ж| < 1, \у\ < 1, |^| < 1, при |ж| > 1, \у\ > 1, |^| > 1.
при |ж| < 1, \у\ < 1, |^| < 1, при |ж| > 1, \у\ > 1, |^| > 1.
Б.4. Дифференцирование обобщенных функций
С использованием обозначения (Б. 1.3) производная Dp/(х) порядка р Е N от обобщенной функции /(х) е Фд (обобщенная производная) определяется так (^(х) Е Фд, Фо = Кт (т ^ р), К или 5):
№М"1)Р(/, dp^.
Приведем свойства обобщенной производной^ которые частично отличаются от свойств производных обычных функций (таковые свойства помечены звездочкой).
1*. Для любой обобщенной функции /(х) Е К' существуют производные Dp f Е К' любого порядка р.
Так же, как и для обычных функций имеет место линейность оператора дифференцирования и правило дифференцирования произведения а(х)/(х), где функция а(х) имеет производные необходимого порядка.
supp Dpf С supp f.
4*. Производная от функции многих переменных (частная производная) не зависит от порядка дифференцирования.
5*. Если последовательность (ряд) сходится
\im fk = f (^/fc = /),
k^oo,
k
то ее (его) можно почленно дифференцировать любое число раз, т. е. для любого р 6 N
lim Dpfk = Dpf (£ Dp fk = DPA.k—^oo'
6*. Пусть /(x) — регулярная обобщенная функция, и Dp f — обобщенная функция, порожденная соответствующей производной порождающей функции (р < т, если порождающая функция принадлежит Кт (m 1), и р Е N^ если она из К или S). Функция Dpf в отличие от Dp f называется производной в обычном смысле. В общем случае Dp f ^ Dp f. Но между этими производными можно установить связь.
. Для функций одной переменной, если порождающая функция /(ж) 6 С всюду на R за исключением точек х^ в которых она имеет разрывы первого рода со скачками
Wj = п™п/(ж)- lim „/(ж)>
J ж^-ж^+Ож^ж^—0
то справедливо равенство
(Б.4.1)
3
Если порождающая функция /(ж) 6 Ср всюду на R за исключением точки Жд, гДе ее производные порядка k < р — 1 имеют разрывы первого рода со скачками
[^] = d™+o/(fe)(a:) -
то справедливо равенство
р г 1
= /(Р)(ж)+ £ /W ^-^(ж-жо).(Б.4.2)
к=0 L '
. Для функций многих переменных, если порождающая функция /(х) 6 С1 (G) П С1 (G+), где G+ = Rn\G^ и на границе П = 8G имеет скачки
[/ls(x) = Ит /(у)- Нт /(х),y^x.yEG+y^x.yeG
ТО
"Д2 = "-д^ + Мп608^.(Б-4-3)
где n = (cos«i, . . . , cos ап) — вектор внешней нормали к поверхности П, cos аi — его направляющие косинусы.
Если же порождающая функция /(х) 6 С2 (G) П С2 (Rn\G^ то
д2/(х)#/2(х)8х \Г^/(х)1х т л .ч
5—я=я—А+л—( / пСО8а^п) + я созови- (Б.4.4)
OXiOXj ОХгОХз 8Xj U[ ОХг _п
Здесь в соответствии с определением простого слоя (см. табл. Б.2.1) под производной от функции i/(x)Jn, где ^(х) 6 С (П), понимается сосредоточенная на П обобщенная функция (ее носитель есть поверхность П), определяемая так:
(Р<5п) ’ у) = - [ ^(х)^^^^.
V ОХл Х 7/ JОХА
-^Ип)=-^Ип)со8^-^Ип)=-^Ип)со8^(Б.4.5)(Б.4.5)Отметим, что обобщенная функция с носителем в виде поверхности П
-^Ип)=-^Ип)со8^
-^Ип)=-^Ип)со8^
(Б.4.5)
(Б.4.5)
называется двойным слоем на поверхности П с плотностью ^(х).
7. Если для порождающей функции производная Dp ф(х) существует всюду на Rn^ то Dpf = Dpf. И, в частности, остаются в силе все таблицы для производных функций одного переменного.
8*. Если зависящая от параметра обобщенная функция /(х; А) непрерывная (дифференцируемая, аналитическая) по параметру, то и все ее производные Dp f обладают теми же свойствами.
9*. Любая обобщенная функция /(х) 6 К' есть сумма ряда из производных регулярных функций /т(х):
/(х) = £^-/т(х).
Причем на любом компакте Q С Rn сосредоточено лишь конечное число членов ряда.
10*. Для любой финитной обобщенной функции /(х) 6 К1 или любой функции /(х) 6 S1 существует такие число т 6 Nq и порожденная непрерывной функцией регулярная функция F(x), что
f(x) = DmF(x).
В табл. Б.4.1 указаны обобщенные производные некоторых функций одного переменного (ж Е R).
Приведем также две полезные формулы, связанные с производными дельта-функции одного переменного (Ср — число сочетаний из р по k):
а^б^х - ж0) = £ С^а^Чж^-кЧж - ж0), а^ € Ср;
к=0(Б.4.6)
Хт5^+тЧх _ Жо) = (-^т^ + т)! ^р)_ Ж())
Таблица Б.4.1
Н^
<$(ж)
sign ж
2<5(Ж)
|ж|Л (лея, л > -1)
А | ж |1 sign ж
1 /жт (т € N, т 1)
—т/жт
ж^
ж+
Я(ж)
Ж-
-Я(-х)
In |ж|
1 /ж
Кроме того, для сложной дельта-функции справедливо следующее утверждение.
Пусть определена сложная функция 5[а(х)], где отображение а(х) С С1 и имеет простые нули х^ в которых его якобиан J (х-7) ^ 0. Тогда имеет место формула разложения
5 [а(х)] = у \ ? а\5 (х - х>) •
В частности, для функции одного переменного имеем
Приведем также свойства однородных обобщенных функций (см. § Б.2), связанные с производными.
Если /(х) — однородная обобщенная функция степени А, обобщенная производная df /dxj является однородной обобщенной функцией степени Л — 1.
Для того чтобы однородная обобщенная функция /(х) была однородной степени Л, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла уравнению Эйлера
(=■«)
Б.5. Прямое произведение и свертка
Пусть обобщенные функции /(х) и g(y) определены на основных пространствах одного типа Фо (Rn) и Фо (Rm). Прямым (тензорным) произведением /(х) х g(y) обобщенных функций /(х) и g(y) называется определенный на основном пространстве того же типа Фо (Rn"^m)
функционал
(/(х) х g(y), ^(х; у)) = (/(х), (g(y), у(х; у))),
у) е Фо (яп+т) ,
где Rn^"m = Rn х Rm — декартово произведение Rn на Rm.
Доказывается, что определенный таким образом функционал является линейным и непрерывным. Следовательно, /(х) х g(y) — обобщенная функция на Фо (Нп^"т^ т. е. /(х) х g(y) 6 Фд (Пп^т).
Для прямого произведения наряду с указанным используется обозначение /(x)g(y), аналогичное произведению обычных функций.
Имеют место следующие свойства прямого произведения.
Если /(х) и g(y) — регулярные обобщенные функции, то и /(х) х g(y) — регулярная обобщенная функция.
Носитель прямого произведения есть декартово произведение носителей сомножителей
supp [/(х) х g(y)] = supp/(x) х suppg(y).
Коммутативность: /(х) х g(y) = g(y) х /(х).
Ассоциативность: /(х) х [g(y) х /i(z)] = [/(х) х g(y)] х Ы^.
Дистрибутивность: /(х) х [g(y) + Л(у)] = /(х) х g(y) + /(х) х х Цу).
Однородность: для любого числа а имеет место равенство [а/(х)] х g(y) = а [/(х) х g(y)].
DxDy [/(х) х ^(у)] = [^s/W] х [^g(y)], где DP и D^ дифференциальные операторы по х и у вида (Б.1.2).
Если а(х) и 6(у) — такие функции, что для любых ^(х) 6 Фо (Яп) и ^(у) ^ ^0 (Ят) произведения а(х)у?(х) 6 Фо (Яп) и 6(у)^(у) 6 6 Фо ^RmY то а(х)6(у) [^(х) х V’(y)] ^ Фо (Rn^"m) и для обобщенных функций /(х) и g(y) справедливо равенство
«(х)6(у) [/(х) х g(y)] = [а(х)/(х)] х [6(y)g(y)].
/(х) х 1(у) = /(х), где 1(у) — обобщенная функция, порожденная функцией 1(у) = 1 для любых у 6 Rm.
В частности, для единичной функции Хевисайда и дельта-функции Дирака имеют место равенства
Я(жь ж2, • • • , х^ = Я(жх)Я(ж2) • • • Я(жп);
5(жх, ж2,. . . , х^ = 5(ж1)5(ж2) . . . 5(жп);
^|- Я(жъ ж2, . . ., хп) = Я(жД . . . Я(^-1)^(жДЯ(ж^+1) . . . Н(хп).
Пусть обобщенные функции /(х) и g(x) определены на основном пространстве Фо (RnY Сверткой /(х) ж g(x) обоби^енных функций /(х)
и g(x) называется определенный на том же основном пространстве функционал
(/(х) * g(y), р(х)) = (/(х) х g(y), у(х + у)), р(х) G Фо (Яп) •
Свертка существует не для любых функций. Достаточное условие ее существования таково.
Если хотя бы одна из обобщенных функций /(х), g(x) обладает ограниченным носителем, то их свертка /(х) * g(x) 6 Фд.
Для функций одного переменного достаточным условием существования свертки также является ограниченность их носителей с одной стороны (слева или справа, т. е. существуют такие а и 6, что /(ж) = О при х < a g(x) = 0 при ж < 6, или /(ж) = 0 при ж > a g(x) = 0 при ж > Ь).
Свойства свертки обобщенных функций (полагается, что все свертки существуют).
Носитель свертки есть подмножество замыкания объединения носителей сомножителей
supp [/(х) * g(x)] С supp/(x) и suppg(x).
Коммутативность: /(х) * g(x) = g(x) * /(х).
Ассоциативность: /(х) ж [g(x) ж /г(х)] = [/(х) ж g(x)] ж Л(х).
Дистрибутивность:
/(х) * [g(x) + Л(х)] = /(х) * g(x) + /(х) * /г(х).
Однородность: для любого числа а имеет место равенство
[a/(x)J * g(x) = а [/(х) * g(x)].
Dp [/(х) * g(x)] = [£>р/(х)] * g(x) = /(х) * [£>pg(x)], где Dp — дифференциальный оператор вида (Б.1.2).
Пусть последовательность обобщенных функций {Д(х)} имеет предел Jim фДх) = /(х) и выполняется одно из условий:
все функции фДх) сосредоточены на одном и том же ограниченном множестве;
обобщенная функция g(x) сосредоточена на ограниченном множестве;
при ж Е R носители функций fk(x) и g(x) ограничены с одной и той же стороны числом, не зависящим от к.
Тогда Jim [/fc(x) * g(x)] = /(х) * g(x\
Пусть /(х) и g(x) — регулярные обобщенные функции и существует их свертка, тогда она — регулярная обобщенная функция, и справедливы равенства:
/(x)*g(x) = j /(y)g(x-y)dy = j g(y)/(x-y)dy,R^Rn
где интегралы есть свертка в обычном смысле порождающих функций.
Приведем также несколько полезных формул, связанных с дельтафункцией Дирака и единичной функцией Хевисайда:
5(х)*/(х) = /(х), Dp [<5(х) */(х)] = Dp/(x), хейп;
Я(ж)*ж? = —Ц-ж?+1, ж Ей.п + 1
Б.6. Первообразная и интеграл от обобщеннойфункции
Сначала ограничимся обобщенными функциями одного переменного (п = 1). Первообразной порядка m > 1 обобщенной функции /(ж) Е Е К* называется обобщенная функция /(т)(ж) Е К* (другое обозначение ф^-т^х^\ удовлетворяющая равенству
[/(т)(ж)](т)=/(ж).(Б.6.1)
При т = 1 /(1)(ж) — первообразная первого порядка (просто первообразная) обобщенной функции /(ж).
Приведем некоторые свойства первообразных обобщенных функций.
Для любой обобщенной функции /(ж) Е К' существует первообразная /(т)(ж) Е К' произвольного порядка т. Две различные первообразные /(т)(ж) и /(т)(ж) порядка т одной и той же функции отличаются друг от друга на слагаемое в виде многочлена Рт_^х) степени т — 1:
7(m)($) = /(m)($) + ^n-l($),(Б.6.2)
где Рт_1(ж) — регулярная обобщенная функция, порожденная много
членом одной переменной Рт_^х) = У^ CkXm-1-\ С^ — произволь-
к=0 ные числа.
При т = 1 равенство (Б.6.2) переходит в следующее (С — обобщенная функция, порожденная константой С);
/(l^W^M + C.(Б.6.3)
Совокупность всех первообразных так же, как и для обычных функций, называется неопределенным интегралом и обозначается стандартным образом
|/(ж) doc = /(1)(ж) + С.
Так же, как и для обычных функций, имеет место линейность операции вычисления первообразной и формула «интегрирования по частям»
[а(ж)/'(ж)](1) + [а'(®)Л®)](1) = а^Д^У (Б.6.4)
где а(х) — обычная бесконечно дифференцируемая функция.
Если обобщенная функция / является регулярной и порождающая ее функция /(ж) имеет на R первообразную Ф(ж), то первообразная обобщенной функции также регулярная и порождается функцией Ф(ж). И, в частности, остаются в силе все таблицы неопределенных интегралов для функций одного переменного.
Первообразную порядка т обобщенной функции /(ж), носитель которой ограничен слева, можно представить в виде свертки с функцией Хевисайда
= / * Н * Н*... * Н .(Б.6.5)
т раз
Для любой финитной обобщенной функции /(ж) 6 К' или любой функции /(ж) 6 S' существует такие число т Е No и порожденная непрерывной функцией регулярная функция ^(ж), что
/(т)(ж) = F(x\
Кроме того, в общем случае функций многих переменных можно определить интеграл по всему пространству Rn (несобственный интеграл с бесконечными пределами) от обобщенной функции /(х), умноженной на функцию ^(х) (функции ^п(х) указаны в (Б. 1.4); ^ (х) соответствует рассматриваемому основному пространству):
[ /(х)^(х)</х = Нт 52 (/(х), ^п(х)),(Б.6.6)
onN^ooп=-м
КМ^оо
если этот предел существует и конечен.
В случае существования интеграла он обладает всеми свойствами обычного несобственного интеграла: линейность, замена переменных и т. д. Если supp / = Q С Rn. то в обозначении интеграла вместо Rn указывается Q.
Частный случай (Б.6.6) — интеграл по всему пространству Rn от обобщенной функции /(х) (функции (рп<Х) указаны в разложении единицы (Б.1.3)):
[ f(x)dx =lim52 (/(х) ,у„(х)),(Б.6.7)
1N^ooп=-м
КМ^ос
если этот предел существует и конечен.
Б.7. Аналитические представления функций
Имеет место следующее утверждение х). Для любой обобщенной функции одного переменного /(ж) Е К* = К^Щ существует такая аналитическая во всей комплексной плоскости z = х + гу за исключением supp / функция /(^), что
/(ж) = lim [/(ж + гу) -/(ж - гу)] ,(Б.7.1)
2/^+0 LJ
где под /(ж + iy) понимается регулярная обобщенная функция из К' зависящая от параметра гу и порожденная обычной функцией /(z).
Иначе равенство (Б.7.1) читается так: для любых tp ЕК
U^) = limn 7(ж + iy) - /(ж - гу) у(ж) dx.
Функция f(z) в (Б.7.1) называется аналитическим представлением обобщенной функции f(x).
Отметим, что аналитическое представление определяется не единственным образом. Например, для любой целой (аналитической во всей конечной комплексной плоскости) функции g(z) функция f(z) + g(z) также является аналитическим представлением /(ж), поскольку g(z) непрерывна в любой окрестности мнимой оси.
Свойства аналитического представления [12].
Аналитическое представление обобщенной производной есть производная того же порядка от аналитического представления самой функции
[/W^)] = [/](m).
Аналитическое представление первообразной обобщенной функции с точностью до постоянной есть первообразная от аналитического представления самой функции
[/(1)(ж)] = [7w](1)-
Укажем некоторые способы построения аналитических представлений.
Использование известных дельта-совокупностей функций (см. § Б.З) и их комбинаций. Например, таким образом для дельта-
2) Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. — М.: Мир, 1968. — 276 с.
функции доказывается справедливость равенства
а также его обобщенияа также его обобщения?м =?м =12тггг ’12тггг ’(Б.7.2)(Б.7.3)(Б.7.2)(Б.7.3)
а также его обобщения
а также его обобщения
?м =
?м =
1
2тггг ’
1
2тггг ’
(Б.7.2)
(Б.7.3)
(Б.7.2)
(Б.7.3)
где Q (£, г) — аналитическая по г в некоторой полосе \у\ < а (а > 0) функция, причем Q (£, £) = 1.
Если /(ж) — финитная обобщенная функция, то имеет место равенство типа интеграла Коши (представление Коши)
f^ = ^f^*^z^ Rez = y^0.f^ = ^f^*^z^ Rez = y^0.(Б.7.4)(Б.7.4)
f^ = ^f^*^z^ Rez = y^0.
f^ = ^f^*^z^ Rez = y^0.
(Б.7.4)
(Б.7.4)
0Г(г)0Г(г)при у > 0, при у < 0.(Б.7.5)S' имеет местопри у > 0, при у < 0.(Б.7.5)S' имеет местоКАКА27viФ(z)^ - z)27viФ(z)^ - z)(Б.7.6)(Б.7.6)
0
Г(г)
0
Г(г)
при у > 0, при у < 0.
(Б.7.5)
S' имеет место
при у > 0, при у < 0.
(Б.7.5)
S' имеет место
КА
КА
27viФ(z)^ - z)
27viФ(z)^ - z)
(Б.7.6)
(Б.7.6)
Пусть /(ж) — регулярная обобщенная функция из К' и /(ж) = = lim F(z), где F(z) — аналитическая в верхней (нижней) полуплоскости функция, она стремится к нулю при |г| —> оо, Im г > 0 (Im г < 0). Тогда
F(z) при у > 0, 0при у < 0;
Для регулярной обобщенной функции /(ж) из обобщенное представление Коши
где Ф(^) — целая функция, не обращающаяся в нуль ни в какой конечной точке плоскости г, и такая, что для порождающей функции ^UAU) е s.
Пусть /(ж) такая регулярная обобщенная функция из К'. что для порождающей ее функции при любом у ^ 0 сходится интеграл (функция 5* (£, z) определена в (Б.7.3))
/М = J K^A^W-/М = J K^A^W-(Б.7.7)(Б.7.7)
/М = J K^A^W-
/М = J K^A^W-
(Б.7.7)
(Б.7.7)
Тогда f(A — аналитическое продолжение функции /(ж) (другое обобщенное представление Коши).
Если обобщенная функция / является регулярной и существует преобразование Фурье fF(q) порождающей ее функции /(ж)
(см. § В.1), то
о^ [ fF^e-izqdq— оо2ТГ JОо^ [ fF^e-izqdq— оо2ТГ JОпри у > О,при у > О,при у < 0.при у < 0.(Б.7.8)(Б.7.8)
о
^ [ fF^e-izqdq
— оо
2ТГ J
О
о
^ [ fF^e-izqdq
— оо
2ТГ J
О
при у > О,
при у > О,
при у < 0.
при у < 0.
(Б.7.8)
(Б.7.8)
В дополнение к (Б.7.2) приведем аналитические представления некоторых функций:
[5<™)(ж)] = 5^4^ =[5<™)(ж)] = 5^4^ =(-l)m+1m!2тгггт+1(-l)m+1m!2тгггт+1(m е N);(m е N);
[5<™)(ж)] = 5^4^ =
[5<™)(ж)] = 5^4^ =
(-l)m+1m!2тгггт+1
(-l)m+1m!2тгггт+1
(m е N);
(m е N);
№1 = ^) = -^;
[Н(ж)еаж] = —[Н(ж)еаж] = —(“ > 0);(“ > 0);eaz In (-2)eaz In (-2)2тгг2тгг2г sin тгЛ ^тгА2г sin тгЛ ^тгАпри у > 0, при у < 0,при у > 0, при у < 0,(А ^ 0, ±1, ...);(А ^ 0, ±1, ...);(ж+) = "(ж+) = "2г sin ггЛ2г sin ггЛг" In (-г) 2ттгг" In (-г) 2ттг2 т-хГт2 т-хГтпри у > 0,при у > 0,при у < 0,при у < 0,(ш е N).(ш е N).
[Н(ж)еаж] = —
[Н(ж)еаж] = —
(“ > 0);
(“ > 0);
eaz In (-2)
eaz In (-2)
2тгг
2тгг
2г sin тгЛ ^тгА
2г sin тгЛ ^тгА
при у > 0, при у < 0,
при у > 0, при у < 0,
(А ^ 0, ±1, ...);
(А ^ 0, ±1, ...);
(ж+) = "
(ж+) = "
2г sin ггЛ
2г sin ггЛ
г" In (-г) 2ттг
г" In (-г) 2ттг
2 т
-хГт
2 т
-хГт
при у > 0,
при у > 0,
при у < 0,
при у < 0,
(ш е N).
(ш е N).
Приложение В
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Преобразование Фурье обобщенных функций
Здесь ограничимся основным пространством S = S(Rn) комплекснозначных функций. Для любой основной функции ^(х) 6 S в обычном смысле существует преобразование Фурье (^F(q) — изображение (трасформанта) Фурье^ у>(х) — оригинал; q = (qi, Q25 • • • 5 Qn) £ Rn^ q — параметр преобразования; г — мнимая единица):
^М (q) = MF (q) = yF(q) = j ^(х)ег(ч’х) dx, (q,x) = qkXk.
(B.l.l)
Кроме того, справедлива формула обращения преобразования Фурье (обратное преобразование Фурье):
^_1 [yFl (х) = [yF]F (х) = р(х) =[ y>F(q)e-^q,x^ dq.
Rn
(B.1.2)
Доказывается, что формулы (B.l.l) и (B.1.2) задают взаимно однозначные отображения F и F-1 основного пространства S на себя, т. е. для любой функции ^(х) Е S
F [F-1 И] = у,(В.1.3)
и, кроме того, эти отображения являются линейными и непрерывными.
Преобразование /F(q) обобщенной функции медленного роста /(х) Е S' и обратное преобразование Фурье определяются как соответствующие функционалы на S*.
(fF,V) = (f,VF),(В.1.4)
(F-1 1Л , у) = (A F"1 И , У^ (В.1.5)
Другие обозначения преобразования и обратного преобразования Фурье такие же, как и для обычных функций: F [у?] = [^]F и F-1 [у?] = = [^]F соответственно.
Для преобразования Фурье обобщенных функций имеет место утверждение, аналогичное сформулированному выше утверждению для основных функций: формулы (В.1.4) и (В.1.5) задают взаимно
однозначные отображения F и F-1 пространства S' на себя, т. е. для любой функции /(х) 6 S' справедливо равенство
F [F-1 [/]] = /.(В.1.6)
Таким образом, преобразование Фурье существует для любой обобщенной функции /(х) 6 S’.
Свойства преобразования Фурье обобщенных функций во многом аналогичны соответствующим свойствам для обычных функций (звездочкой обозначены дополнительные свойства).
Отображения F и F-1 линейные, т. е. для любых чисел А, р 6 С и любых обобщенных функций / и g
(М + Hgf = XfF + ^gF.
Отображения F и F-1 непрерывные, т. e. / = Jim fa тогда и только тогда, когда fF = Jim fF.
. Если обобщенная функция / является регулярной и существует преобразование Фурье /F(q) порождающей ее функции /(х), то преобразование Фурье fF — также регулярная обобщенная функция, и она порождается функцией /F(q). То есть для регулярных обобщенных функций справедливы известные таблицы преобразований Фурье обычных функций.
Для производных оригинала и изображения справедливы равенства
[^ /(х)] = -^fF^•
При сдвиге оригинала и изображения имеют место формулы
[У(х — xq)] F — c^q,x® (q) j /F(q + Qo) = [e^40’3^/^)} .
Для любых с е R (с / 0)
Vf^F = lcfF0.
. Преобразование Фурье прямого произведения есть прямое произведение изображений
[/(х) X g(yf =/f(q) X/(р), x,qeRn, y,peRm,
в том числе,
[/ (®1) / ($2) • • • /= /F (91) /F (92) • • • fF (Яп) •
Если свертки оригиналов и изображений существуют, то для них имеют место формулы
[/(х) * g(x)]F = /F(q)gF(q);/F(q) * gF(q) = [/(x)g(x)]F .
9*. Пусть а(х) такая функция, что для любых ^(х) 6 S произведение а(х)у?(х) 6 S и существует в обычном смысле aF(q). Тогда
[a(x)/(x)]F = aF(q) * fF^.
Если зависящая от параметра обобщенная функция /(х; А) — непрерывная (дифференцируемая, аналитическая) по параметру, то и ее преобразование Фурье обладает теми же свойствами.
Для того чтобы /(х) = g(r), где г = |х|, необходимо и достаточно, чтобы /F (q) = gF^q\ где q = |q|.
При n = 1 для того чтобы изображение fF^ было четной функцией (мнимая часть изображения была нечетной), необходимо и достаточно, чтобы оригинал /(ж) был четной (нечетной) функцией.
В табл. В. 1.1 указаны преобразования Фурье некоторых обобщенных функций одного переменного, а в таблицах В.1.2-В.1.4 — используемые в основном материале книги обратные преобразования Фурье функций одного, двух и трех переменных соответственно. В таблицах В.1.2 и В.1.3 С = 0,577 215 664 9 ... — постоянная Эйлера. В табл. В.1.3 q = V^i + ^2 ? Т = V^F+^t г2 = V^i + ж2 ? а в табл. В.1.4 q = = V^I + 92 + 9з и г = V^i + ж2 + жз •
Таблица ВЛ Л
кь
fFto
1(9)
хт (т € Nq)
2л(-г)’п(5<т)(д)
kl
-2/92
кГ1
-2(ln|q| + C)
(m е N)
Ж
т-1 • qm 1 sign <7 (т — 1)!
ж™ (т £ N)
^т + 1 [т| /дт+г + гтг(-ir+WiG?)]
ж+
— 1 / q2 — гтг^^д)
Ж-
-1/д2 + iir8f(q)
Таблица ВЛ.2
fFM
f(x), r = ^x- + z2
- e-^l, z > 0 q
1 ж — arctg — 7Г %
i
q
1
- Sign X
Продолжение табл. В Л.2
/(ж), r = VX- + Z-
kl
-i(lnr + C)
1 kl
(In |ж| + C)
e"zl»l,z > 0
2 7ГГ
iqe-z\q\, z > 0
‘Ixz
4 7ГГ
ie-z\q\ sign q. z ^ 0
1 X
7Г
г sign q
1
7ГЖ
|g| e-z\q\, z 0
22
a — x
/ 2 .2\2
7Г (ж + a j
kl
1
2 7ГЖ
- е-гаЧ q
- sign(ж + z)
1.
e-»zq \q\
-^ (In |ж + z\ + C)
e-izq
5(x + z)
ie~izq sign q. z ^ 0
1
7Г(Ж + z)
1
22 , Re a > 0
q + a
2a
iq
—, Re a > 0 q2 + a2
- esign ж
e-^Vq2+a2 , Rea > 0, z > 0
K0(ar) 7ГГ
. 1е-=л/ч2+»2 , Rea > 0, z 0
Vq2 + a2
— K0(ar) 7Г
, Re a > 0
Vq2 + a2
— Ko (а |ж|) 7Г
Продолжение табл. В Л.2
fFM
f(x), r = VX- -\- Z-
, 19е-г^+а2 , Rea > о, г 0
Vq2 + a2
— Ki (ar) 7ГГ
2
, 4e-x^q^+a2 Reo > 0, z ^ 0
Vv2 + a2
a
2 ТГГ
■ж2 _ г2 1
ax2 Kq (ar) +Ki(ar)
r
^q2 + a2 e^Vq2-^»2 Rea > 0, г 0
a
2 ТГГ
■ж2 _ г2 "
az2 Kq (ar)Ki(ar)
r
—2 sin ^q2^ , z > 0 q
f 1/7Г\
V T < —— sin £ + — +
IV 4/
I V 71" /К У 7Г у J
ж2
e 4z
При построении оригиналов двойного и тройного преобразований Фурье использованы свойства модифицированных функций Бесселя Kv^ [54, 57, 59], а также конкретизирующее свойство 11 преобразования Фурье утверждение (более общий вариант указан в свойстве 5 § В.З).
Утверждение В.1.1. Пусть fF (q) = gF(q). Тогда
при 72 = 2 (Г2 = ^/ж^ + Ж^ )
/(si,^) = ^- qgF^J^qr-^ dq\(В.1.7)
О
при 72 — 3 (г = ^Ж^ + Ж^ + Ж3 )
/(Ж1,Ж2,Ж3) = -4- [ qg^q) sin qr dq. (В.1.8) 2тг г J
О
Доказательство. При 72 = 2 применяем формулу обратного преобразования (В. 1.2) и на плоскости параметров преобразования переходим к полярным координатам
qi=qcosa^ q2 = qsina (—тг < а < тг),
;<вл-9)
9 = Jqi + qL
Табл и ца ВЛ .3
fF(qi. 92)
/(ж1, ж?) (z > 0, Re a > 0)
1
-e"qz q
1
2тгг
iqm _QZ q
® m 2тгг3
gmgn _nz q
1 / ~Зжтжп \
0 1 Omn91
2тгг \Г /
qe-4z
1/3г2 _ \
2тгг3 \ r2/
e-qz
z 2irr3
iqme~qz
3Xm ^ 2тгг5
„-qz
2 e q
® m 2тгг(г + ^)
4mqnz
2 e q
1~®m®n / 11\
2тгг(г + Lr \r r + ^/_
ЧтЯпz
qs
1~®m®n
2тг(г + 2;) [ mn r(r + z)_
igigmgn _qz
2 e g
2тгг (r + г) I\r r + zj
2C l® m® n 3 ।3।21
Г[г2 T^TA-^ (г + г)2]/
igigmgn _qz 3 e
g
1c,сIc*Kl*Km*Cn2\
2тгг(г + г) Lr \r r + ^/_
1
2 .2
g + a
^ Ko (an)
gk
2 ।2
g + a
iaxk
Ki (ar2) 27ГГ2
gkgm
2 .2
g + a
®~2жд;Жт\axkXm
oI У km*2 JKo (ar^)
27ГГ2\^2/r2
gkgigm
2 .2
g + a
' 9+ Xm^fcl) [oKo (0Г2) T Ky (07*2)]
2тгг2Lr21
$k$ixm 4a/8 \1
Kq (ar2) + a + 9 Ai (aT2) >
T2 [ r2\r2)J J
Табл и ца ВЛ .4
/^(91,92,93)
/(ж1, ж?, жз)(Кеa > 0)
1
2 I 2 q + а
1-аг
4тгг
2 ।2
q + а
hi(ar)e-ar, hi (ж) = ж + 1 4тгг
qkqm
2 12
q + а
1 Гс и (\ *ЕкХт , /_ат
А з \0ктЬ1(ат)h2(aT)\ е ат,
4тгг LгJ
Д2(ж) = ж2 + Зж + 3
qkqiqm
2 .2
q + а
д5 (^fc^m + Xi6krn + XmSkijhitar)2Д3(аг) е ar,
4тгг LгJ
Ьз(х) = ж3 + 6ж2 + 15ж + 15
что приводит к однократному интегралу
/(Ж1, Ж2) = -Т [[ gF^e-^+^dqxdq^ =
4тг J J
14тг214тг2Я2.
1
4тг2
1
4тг2
j QgF(q)H2(q-, Xi,x2)dq, (В.1.10) о
Hi (q; Ж1,Ж2) = |Hi (q; Ж1,Ж2) = |е-гд(я?1 cos «+Ж2 sin а) ^^е-гд(я?1 cos «+Ж2 sin а) ^^
Hi (q; Ж1,Ж2) = |
Hi (q; Ж1,Ж2) = |
е-гд(я?1 cos «+Ж2 sin а) ^^
е-гд(я?1 cos «+Ж2 sin а) ^^
Для вычисления Л2 используем формулу Эйлера, четность или нечетность подынтегральных функций, замену переменных t = cos а^ а также табличные интегралы из [54]:
Н^ (q; жх, Ж2) = | [cos (qxi cos q) — г sin (qx± cos a)] x
x [cos ^qx«i sin a) — г sin (дж2 sin a)] dot =
= 2 I [cos (qxi cos a) — i sin (q^i cos a)] cos (q^2 sin a) dot = 0
1
= 2 I [cos (q^iZ) — г sin (q^i^)] cos ^qx^VT--^^ det =
-1
1
= 41 cos (qxit) cos ^Ж2д/1^-^^ dot =2TvJo(qr^. (B.l.ll) 0
Подставляя этот результат в (В.1.10), приходим к формуле (В.1.7).
При 72 — 3 использование формулы обратного преобразования (В.1.2) и переход в пространстве параметров преобразования к сферическим координатам
Qi = q cos a sin /3, q^ = q sin a sin /3,
(B.1.12)(B.1.12)qs = gcos/3 (—тг < a < тг, 0 C /3 С тг),
(B.1.12)
(B.1.12)
q = V^F+Fi+Fi
приводит к следующему интегралу:
/(Ж1,Ж2) = AOTT v/(Ж1,Ж2) = AOTT vgF^e-^xiqx+xiq-z+x^ dqi dq2 dq3 =gF^e-^xiqx+xiq-z+x^ dqi dq2 dq3 =дздз
/(Ж1,Ж2) = A
OTT v
/(Ж1,Ж2) = A
OTT v
gF^e-^xiqx+xiq-z+x^ dqi dq2 dq3 =
gF^e-^xiqx+xiq-z+x^ dqi dq2 dq3 =
дз
дз
т^з [ q^^H^; X!,x2)dq, (B.1.13) oTT J
0
Я3 (щ Ж1, ж2) = | Я2 (<7 s*n /5; ^i, ж2) e ^з^зсовД g-n ^ ^ 0
Вычисляя теперь H^ с использованием (В.1.11) и замены переменной интегрирования t = cos/3:
H3(q: жь ж2) = ^ | J^rz sin /3)е г9Жз cos^ sin 3d0 = о
= 2тг | Jo ^qr2y/T^) е-^з* dt =
1
= 4тг I Jo ( Q^2 a/^^^ ) cos dt = sin qr.J \/qr
0
приходим к требуемому результату (В. 1.8).
В.2. Преобразование Лапласа обобщенныхфункций
Следуя [37], введем следующие подмножества пространств обобщенных функций f(t) одного переменного К1 = К'(Н) и Sf = Sf(R):
k;=Ug К'\supp / С R^ С К\ 8^ = K'^ns' С S'. (В.2.1)
где Я+ = {^бЯ|^>0}.
Пространством оригиналов по Лапласу называется множество
= {/ G ^| f^e-Pt G 5;} С к'+,(В.2.2)
где р — любое действительное число, удовлетворяющее неравенству р > а. При этом справедливо включение
K^Oli) С K^OL^) при «1 < «2-(В.2.3)
Каждая из функций f 6 К’^а) — оригинал преобразования Лапласа. Для фиксированного оригинала число aj = inf {р| f(t)e-pt Е S^} называется показателем роста функции f.
Если / 6 К^а)^ то при любом р > a f(t)e~pt Е S'^C S1 и существует преобразование Фурье (см. § В.2, (—q) — параметр преобразования Фурье)
F^q; р) = WKH F (-9) = 2тг Ш^Н (9) € S'.(В.2.4)
Доказывается, что при любом р > ро (ро — произвольное число, удовлетворяющее неравенству ро > а) обобщенная функция F(p; q) является регулярной и порождается функцией
F^q1, р) = (/(<)e"po<,p(#)e-(p-po)te"^^ ,(В.2.5)
где T](t) — бесконечно дифференцируемая функция, равная единице при £ > 0 и нулю при t < to < 0 (см. (Б.2.3)).
При этом функция комплексного переменного s = р + iq
F (= L^(В.2.6)
является аналитической в полуплоскости Res = р > а.
Функция L(s) в (В.2.6) называется изображением (преобразованием; трансформантой) Лапласа функции f 6 К^а)^ as — параметром преобразования. Для изображения используются обозначения
L(S) = r(S) = L[/](S) = [/]L(S).(В.2.7)
Взаимно однозначное соответствие между оригиналами и изображениями Лапласа устанавливает следующее утверждение. Для того чтобы / 6 K^(aY необходимо и достаточно, чтобы fL(s) 6 Н(а) — множеству аналитических в Res > а функций, удовлетворяющих следующему условию роста: для любого е > 0 и ро > а существуют такие числа С(е^ ро) > 0 и т(ро) 0, что при а > ро
|/L(s)| <C(£,p0)eeRes [1 + |5Г(ро)] .(В.2.8)
И при любых /3 < q, Re s > ро > ск и целых k > [m] + 1 справедлива формула обращения преобразования Лапласа (правая часть не зависит
от /3, а и к)
. а+гоо т
f(t) = ^ (^[ / ^ e8tds. (В.2.9)
2тгг + J (s-/3)''
Формула (В.2.4) совместно с (В.2.6) и равенство (В.2.9) устанавливают взаимно однозначные отображения
L- К+(а)^Н(а)‘(В.2.10)
L-1 : НН -> К+И,(В.2.11)
которые соответственно называются преобразованием и обратным преобразованием Лапласа.
Свойства преобразования Лапласа обобщенных функций во многом аналогичны соответствующим свойствам для обычных функций (звездочкой обозначены дополнительные свойства).
Отображения L и L-1 линейные, т. е. для любых чисел А, р 6 R и любых обобщенных функций / и g
(Xf + ggf' = XfL + ggL.
Отображения L и L-1 — непрерывные, т. e. / = Jim f^ тогда и только тогда, когда fL = Jim .
. Если обобщенная функция / является регулярной и порождающая ее функция /(£) — оригинал преобразования Лапласа в обычном смысле, то их изображения Лапласа совпадают и формула обращения (В.2.9) приобретает классический вид
а+гоо
ЩА = Л [ fL<s)e3tds.
' 2тгг J.v v
To есть для регулярных обобщенных функций справедливы известные таблицы преобразований Лапласа обычных функций.
. Для обобщенной производной оригинала справедливо равенство
^тЧ^ = smfL^-
Для производной оригинала в обычном смысле (см. § Б.4) имеет место классическая формула
г _-. Lт-1
/(”)(#)= smfL^- £ /«(О)^”1^,
где Д+О) = tnmo/^)(#), f№^ = f(t\
Для производной изображения справедливо равенство
При сдвиге оригинала и изображения имеют место формулыУ(1-тГ = е-ТЧЬ^, т > 0;
[/(t)eA‘]L = fL(s - A), Res>a + ReA.
Для любых с > 0
№)]i
Для любых функций f^gE К^(а) существует их свертка f * g Е Е К^а) и ее изображение равно произведению изображений функций / и g*.
Vf * g\L = П^Ч^У
Изображение первообразной /(m)(^) функции /(Z) имеет вид
Если зависящая от параметра обобщенная функция /(£; А) непрерывная (дифференцируемая, аналитическая) по параметру, то и ее преобразование Лапласа обладает теми же свойствами.
В таблицах В.2.1 и В. 2.2 приведены преобразования и обратные преобразования Лапласа некоторых функций. В них использованы справочники [55, 59] и свойства преобразования Лапласа.
Таблица В.2.1
fW
fLw
8W
l(s)
HW
1/s
tip (m G TV)
m! / sm+1
Таблица В.2.2
fLW
f(t)(a^0,c > 0)
1/s
nl
1
s — a
eatH^
c
2 .2
s + C
H(t) sin ct
Продолжение табл. В.2.2
fLW
f(t)(a ^ 0,c > 0)
8
2 .2
8 + С
H(t) cos ct
е~с^
.-3/2/
2Vtt\ 4t)
1
Vs
pl/l/2\
exp, 2Vtt\ 4t)
1
8
H (t) erfc —
/2\
a \x ca
exp I ,aH erfc
\ 4t)2Vt
-^e"aV5 (me No)
,-(l-m/2)/2\,x
I a \( a \
/ exPу—
х/тг-г1-"1\ St /\V2t/
Km(cs) (m E No)
1[m/2]
c k=0
K0(cs)
Ki(cs)
— (i2 -c2)71/2
K2(cs)
^_^(t2_c2);V2 c
K3(cs)
c
sKo(cs)
(t2 - c^;3'2
s-Ko^cs)
(2t2 + c2)(t2-c2);5/2
sKi (cs)
-c(t2 -c2);3/2
s-Ki (cs)
3ct+ (t2 - c2);5/2
sK^cs)
8t4-12t2c2+3c43/2
3И c ) +
^ K^cs) (m £ No) s
1 ^2 _ _2\m-l/2 cm(2m-l)!!1’+
- Ki(cs) 8
В.З. Другие интегральные преобразования.Преобразование Ханкеля
Приведем общую схему построения интегральных преобразований обобщенных функций [12], обобщающую преобразование Фурье. При этом так же, как и в § В.1, ограничимся основным пространством S = = S(Rn) комплекснозначных функций.
Предварительно расширим понятие интеграла от обобщенной функции (Б.6.7). Для этого введем следующие подмножества пространств обобщенных функций (см. также § В.2):
К' (Q) = { / е К'\supp / С Q} С К', S' (Q) = К' (Q) П ^ С S',
(В.3.1)
Справедливо утверждение. Пусть /(х, у) 6 S' (Qi х ^2)- Тогда
Hx,y)dx= Р(у)б8'^.(В.3.2)
То есть интеграл (В.3.2) есть обобщенная функция F(y) из S' (^2)- Это равенство называется интегральным представлением обобщенной функции.
Пусть теперь R(q^ х) — обобщенная функция из S' (Q2) с параметром х G Qi, где Пхд — неограниченные подмножества Rn (в том числе они могут совпадать со всем пространством Rn). Положим также, что для любой основной функции ^(q) (R(q^ х), ^(q)) 6 0м (см. § Б.2). Тогда для любой обобщенной функции /(х) 6 S' (Qi) прямое произведение (см. § Б.5) /(x)F(q, х) 6 S' (Qi х П2) и имеет место интегральное представление типа (В.3.2):
I [/] (q) = [/J7 (q) = f1^ = J MR (q, x) dx e s'(^,(в.з.з)
которое называется интегральным преобразованием (просто преобразованием) I обобщенной функции /(х) 6 S' (Qi) с ядром R(q^ х).
Для величин, входящих в (В.3.1), используется аналогичная преобразованию Фурье терминология: /7(q) — изображение (трасфор- манта), /(х) — оригиналу q = (^1, ^2? • • • ? ^n) € Rn^ q — параметр преобразования.
Под обратным преобразованием I-1 (обращением преобразования I) с ядром Т (х, q) понимается следующее интегральное представление:
/-1 V4 (х) = V4 11 (х) = /(х) = j f'W (х, q) dq е S' (Пт) ,
(В.3.4)
где Т (х, q) — такая обобщенная функция из S’ (Qi) с параметром q 6 6 Q2, ЧТО для любой основной функции ^(х) (Т(х, q), ^(х)) 6 6м.
Необходимым и достаточным условием того, что равенства (В.3.3) и (В.3.4) определяют взаимно однозначное отображение S’ (Qi) на S1 (^2)? является выполнение одного из двух эквивалентных между собой условий
j /?(q, х)Т (у, q) dq = 5 (х - у);(В.З.5)
| 7?(q, х)Т (х, р) dx = б (q — р) .(В.3.6)
В этом случае имеет место равенство (см. также (В.1.6))
/ [Г-1 [/]] = /•(В.3.7)
Указанным здесь образом может быть дано определение преобразования Фурье при Qi = Q2 = Rn, R (q? x) = е-г(ч,х) и (2тг )nT (x, q) = = e-^q,x\ которое эквивалентно классическому определению, приведенному в § В.1.
В общем случае преобразования / остаются справедливыми свойства 1, 2, 7* и 10, сформулированные в параграфе § В.1 для преобразования Фурье. Другие свойства существенно зависят от конкретного вида ядер преобразования.
В качестве первого примера применения общей схемы рассмотрим косинус- и синус-преобразования Фурье функций одного переменного. Этим преобразованиям соответствуют носители Qx = Q2 = R-v и пространства S' (Qi) = S' (Q2) = S^ (cm. (B.2.1)) оригиналов /(ж) и изображений /c(q) и /s(q) (индексы «с» и «s» указывают соответственно косинус- и синус-преобразования). Ядра этих преобразований являются регулярными функциями соответственно следующего вида:
2
R(x, q) = Rc(x^ q) = cos qx, T(q, ж) = Tc(q, ж) = — cos qx;
2
R(x, q) = Rs(x^ q) = sin qx, T(q, ж) = Ts(q, ж) = — sin qx.
7Г
Таким образом, эти преобразования задаются так:
fc(q) = /(ж) cosqx dx, f(x) = — fc(q) cos qx dq;(B.3.8)
J7Г J
00
oooo
fs(q) — f (x) sin qxdx,f(x) = — fc(q) sin qx dq.(B.3.9)
оо
Используя указанное в § В.1 свойство 12, можно установить связь между преобразованием Фурье и косинус- и синус-преобразованиями. Для этого продолжим функцию /(ж) 6 S^ на пространство S' четным (нечетным) образом, т. е. рассмотрим такую четную (нечетную) функцию /*(ж) 6 S’ ^ что /*(ж) = /(ж) на R^. Тогда имеют место равенства (звездочка в обозначении продолжения функции опущена)
Г(9)=2/с(9), fF^ = 2if4qY (В.3.10)
Еще одно часто используемое преобразование — интегральное преобразование I = Hv Ханкеля порядка v. Ему так же, как и для косинус- и синус-преобразований, соответствуют носители Qx = П2 = #+ и пространства S1 (Qi) = S1 (Q2) — ^+ оригиналов /(г) и изображений fHu(Q^ а также ядра преобразования в виде регулярных функций R(r, q) = rJy(qr) и T(^,r) = qJ„(qr), где Jy(x) — функция Бесселя порядка v. Таким образом, преобразование и обратное преобразование Ханкеля порядка v определяются равенствами
fH^q) = | /(r)rJp(^r) dr, /(г) = | fH,'(q)qJ^qr)dq. (B.3.11) Оо
Для преобразования Ханкеля нулевого порядка обычно вместо значка Н^ используется значок Н. Поскольку для функций Бесселя при т 6 N имеет место равенство J_m(x) = (—l)m Jm(x^ то fH™ (g) — = (—l)m fHm(qY Поэтому нет смысла рассматривать преобразования Ханкеля с отрицательными целыми порядками.
Кроме отмеченных выше общих свойств имеют место следующие свойства преобразования Ханкеля (звездочками отмечены не имеющие аналогов для обычных функций свойства).
1*. Если обобщенная функция / является регулярной и существует преобразование Ханкеля fHv(q) порождающей ее функции /(г), то преобразование Ханкеля — также регулярная обобщенная функция, и она порождается функцией fHv (q). То есть для регулярных обобщенных функций справедливы известные таблицы преобразования Ханкеля обычных функций.
Для любых с > О
[/(сг)]^ = 1 fH^ ИА .С\С/
При v / О
^= 4 [/^"V^+z^+Td)].
Для производных оригинала справедливы равенства
[/'(г)]^ = ^ [(^ - l)/^+I (9) - (^ + l)fH^ (9)] <v + 0);
{^/Wl'} " = I \ЧН^ЧГ)- Н^Ш (^0);
{^к/(Н]'} ° = qfH4q^
Г(г) + 1/'(г)_^/(г) =_q^H4qY
Если /(х) = /(г), то имеет место следующая связь преобразований Фурье и Ханкеля (см. свойство 11 преобразования Фурье, § В.1)
yn/2-lyF^) = (2тг)п/2 [rn/2"V(r)] "/2-1 (у).
В двумерном пространстве R? эта формула существенно упрощается f4qV^fH^.
Оригинал произведения изображений Ханкеля нулевого порядка может быть представлен так:
VH(qUH(q^H = ^ | dQ: | р/ (p)g (Vr2 + Р2 - 2rpcosa^ dp.о о
7*. Пусть /(ж) 6 5^, и g(x) такая функция, что произведение g(x)f(x) 6 8^ и существует в обычном смысле изображение gH (q). Тогда для этого произведения справедлива формула, указанная в предыдущем свойстве.
В таблицах В.3.1 и В.3.2 приведены преобразования и обратные преобразования Ханкеля некоторых функций. В них использованы формулы прямого и обратного преобразований совместно с таблицами [54, 57, 58], а также свойства преобразования Ханкеля.
Таблица В.3.1
/(г)
1/
5(ж1, жз)
0
^ (9)
[Н(г) — Н^т — а)], а > 0
0
- Ji (qa) q
г^[Н(г) — Н^т — а)], а > 0
Любое
av^
Jv-\-"\.^qa^ q
5(т — а), а > 0
Любое
aJp(qa)
г^8(г — а), у Е Н, а > 0
Любое
a^+1 Ju(qa)
Таблица В.3.2
V
/(r), t^ = Vr2 + z2 , 2/\22/,\2
a — (r — z\a — (r + z\
m4rz’ Ш+4tz
1
—.-, Rea > 0
Vq2 + a2
0
K1/2(ar) = - e-°r
V 7ГГ 'r
2
q
—.-, Rea > 0
Л2 + a2
0
I a2 HHe ar
r \r T )
4
q
—.-, Rea > 0
Л2 + a2
0
la + 21- 5—y- + 9—0 + 9—V 1 e ar r \rTrT )
e"zV»2+“2 , Rea > 0, г > 0
0
^(1 + «r3)
3e
e-^V92 + «2 л/q2 + a2 ’
Re a > 0, г 0
0
1
— e”ar3
r3
^e-^V^+a2 Vq2 + a2
Re a > 0, z 0
0
\ Uz- -T- (1 \J
0( a +1 ar2 e 3
Г3 L r3\^3/]
qe-zVq2^a2
Vq24-a2 ’
Re a > 0, г 0
1
r(l + ar3)
3e
^-zV^+a2 :
Re a > 0, г > 0
1
/2a3rz /33 \ _
rz\ —7 к5/2(«гз) = ^- a H+ —, e ars
V 7гг3r3 \r3arg /
1.о„
—2 sin q z, 2 > 0 q
0
sinag
q Jn+i/^qzY a > 0, z > 0, n E No
1 n+ 2
o ,— p»( m-)[H(m-)W(m+)]
sin aq
Mq^b q
a > 0, z > 0
0
— {K (m_) [H (m_) - H (m+)] +
7TV^^
+ у К ( Ан (m+) > \m_ JJ
sin aq Jivq^b q
a > 0, z > 0
1
/[2£J(m_)K(m-)][//(m-)//(m^)] + 'K^TZ I
1Г/ 1 \
H12m_ E( I —
y/m_L\m_ )
— (m- + тл-АК (
\m_ J JJ
Свойства преобразований Ханкеля и Фурье позволяют построить часто используемую формулу для свертки функций, зависящих только от радиуса.
Утверждение В.3.1. Пусть существуют преобразования Ханкеля нулевого порядка для функций /(г) и g(r), где г = д/ж^ + ж^. Тогда для свертки этих функций по декартовым координатам Ж1 и Ж2 имеют место равенства
/(г) ж* g(r) = | pf (р) dp | g ( V^2 + Д2 — ^Tp cos a ) dot = 0—7Г
°?r S" f ^r2 + p2 - "Irpz )
= 2 pf(p)dp—^ *-dz.
JJ v 1
Доказательство. Используя свойство 8 преобразования Фурье, свойства 5, 6 преобразования Ханкеля нулевого порядка при п = 2, а также периодичность косинуса, получаем первое из требуемых равенств:
/(r)**g(r) = [/F(9i,92)V (91,92)]F = 4тг2 yH^gH^F =
2rpcos а2rpcos аda.da.= 2тг [/я(9)^я (9)]" = | р/ (р) dp g^Vr2 + р2
2rpcos а
2rpcos а
da.
da.
О— 7Г
Далее учитываем, что интеграл от функции g(cos а) с помощью замены переменной интегрирования z = cos а может быть преобразован следующим образом:
7ГО7Г1
[ g (cos q) da = [ g (cos a) da + [ g (cos a) da = 2 [ g^ dz.
JJJJVI — z2
-7Г—7Г0— 1
(B.3.12)
Применение этой формулы приводит ко второму равенству утвер
ждения
2rpcos a I da =2rpcos a I da =J р/ (р) dp j g (V^2 +р2
2rpcos a I da =
2rpcos a I da =
О— 7Г
1VT^21VT^2001
1
VT^2
1
VT^2
= 2 | Pf М dp I
О-1
что и завершает доказательство.
В.4. Обращение совместного преобразованияФурье—Лапласа
Если функция /(ж,#) принадлежит S' по переменной ж и КЦа) по переменной t. то существует ее совместное преобразования Фурье- Лапласа fFL(q^sY При этом вычисление изображения (оригинала) может проводиться последовательным применением в любом порядке каждого из преобразований (обратных преобразований). Как правило, наиболее сложной является задача определения оригинала. В некоторых случаях ее можно упростить, используя аналитические представления (см. § Б.7) изображения по Лапласу и оригинала [12].
Пусть изображение преобразования Фурье-Лапласа в результате замены q = As приводится к следующему виду:
fFL(q, s) = gL^h (А) е"^,(В.4.1)
где
w'(A) > О (А > 0), w(—А) = w (А), w(O) = wo>O. (B.4.2)
Тогда аналитическое представление оригинала по переменной х определяется так (г = х + гу)*.
(В.4.3)(В.4.3)Кь^ = -^'(^-^о)* (/i Га(^, <)^^^11,
(В.4.3)
(В.4.3)
где функция А (г, t) неявно задается уравнением
w (А) — wq + IXz = t.w (А) — wq + IXz = t.(В.4.4)(В.4.4)
w (А) — wq + IXz = t.
w (А) — wq + IXz = t.
(В.4.4)
(В.4.4)
Условия (В.4.2) гарантируют существование единственной однозначной функции А(г, t). При этом для действительных s > 0 при у > > О А изменяется от 0 до — оо, а при у < 0 — от 0 до +оо. Вследствие этого t изменяется в обоих случаях от 0 до +оо. В частности, если w = = 0, то А = —it/z.
Искомый оригинал f(x^t) определяется с помощью предельного перехода (Б.7.1).
Отметим, что изображения вида (В.4.1) возникают при решении задач, в которых отсутствуют естественные единицы длины и времени.
Обращение преобразования Фурье-Лапласа может быть также существенно упрощено, если изображение является однородной функцией (см. § Б.2). Докажем соответствующие утверждения [12].
Утверждение В.4.1. Пусть fFL (q, s) — изображение Фурье- Лапласа обобщенной функции / (х, г) (х, q 6 Нп\ Тогда, для того чтобы функция / (х, т) была однородной степени Ai, необходимо и достаточно, чтобы изображение fFL (q, s) было однородной функцией степени А2 = — (Ai + п + 1).
Доказательство. Пусть / (х, г) является однородной функцией степени Ai. Тогда для любого с Е R (с ф 0) с использованием опреде-
В.4] Обращение совместного преобразования Фурье-Лапласа 449 ления однородной функции и свойств преобразований Фурье и Лапласа получаем
[/ (ex, cs)]FL = [cA1 / (х, s)]FL = сА1 fFL (q, s),
[/(Cx,CS)]FL = ^l/^[/(Cx,CS)]FL = ^l/^
[/(Cx,CS)]FL = ^l/^
[/(Cx,CS)]FL = ^l/^
откуда вытекает, что для любого d6 7?(d = l/c^0)
fFL (aq, as) = a (Ai+n+1) JFL (q5 s) ,
Следовательно, изображение — однородная функция степени А2 = = — (А1 + 72 + 1).
В обратную сторону утверждение доказывается аналогично с использованием тех же свойств.
Следствие В.4.1. Пусть fFL(q^ s) — изображение Фурье-Лапласа функции /(ж, т) (q. х Е Н) и — однородная функция степени А. Тогда справедливо равенство
[| fFL<^ s)]=[(1 + А)/(1)<(ж, f) + </(ж, <)] ,
где символом f^t обозначена первообразная функции / по переменной t.
Доказательство. Используя утверждение В.4.1 при rz = 1 и (Б.4.7) для оригинала /(ж,т) получаем
Тогда, учитывая это равенство, формулу (Б.6.4) и свойства преобразований, приходим к требуемому результату:
д/(ж, *)дхд/(ж, *)дх-(1Ц-(1Ц
д/(ж, *)дх
д/(ж, *)дх
-(1Ц
-(1Ц
(2 + А)/(жД) + <^^
= -| {(2 + А) [/(ж, i)](1)t + </(ж, t) - [/(ж, <)](1)t} =
= -Д(1 + А) [/(ж, t)](1)t + №, г)} .
Следствие В.4.2. Если в условиях следствия В.4.1 А = — 1, то
[f/FL(«,s)]= -г^/(ж,т).
15 А. Г. Горшков и др.
5. Обращение преобразования Ханке ляс помощью преобразования Фурье
Сначала приведем одно общее утверждение относительно интегрального преобразования^ порожденного двумя другими [12].
Утверждение В.5.1. Пусть даны интегральные преобразования /1 и /2
//1(q)= J f (p)Ri (q,x) dx G S'(£T),
fil(В.5.1)
/(х) = | pl № (х, q) dq е S' №);
Q
g*2 (p) = j ^(q)^ (p, q) dq e S'(fl2),
"(B.5.2)
g’(q) = j g 2 № (q, p) dp e S' (Q),
Q2
ядра которых удовлетворяют условиям, сформулированным в § В.З.
Тогда существует порожденное преобразование, являющееся композицией первых двух, /3 = /2/1:
/,3(р)= | flxWP^dxeSW,
(В.5.3)
/(х)= | fIs(p)T3(ix,p')dp€:S'(fli),
Q2 где
Rs (р,х) = | T?i(q,x)/?2 (р, q) dq, T3(x,q) = j Ti(x, p)T2 (q, p) dq.
(B.5.4)
Доказательство. В силу условий утверждения ядро Ri (q, х) может рассматриваться как оригинал преобразования /2, изображение которого есть функция R$ (р,х), определяемая первым равенством в (В.5.4). При этом справедлива формула обращения
Д1 (q, х) = | R3 (р, х) Т2 (q, р) dp.
Q2
Используя теперь это равенство и (В.3.5), получаем
Цх-у) = jfli (q,x)7i(y,q) dq =
Q
= I f I Rs (p, x) T2 (q, p) dp) Tx (y, q) dq =
Q Q2
= ] Яз(р,х) М Ti(y,q)T2(q,p)dqldp= j R3 (р,х) Т3(у, р) dp.
Q2ЯQ2
Следовательно, R$ (р, х) и Т3 (х, р) — ядра прямого и обратного интегральных преобразований.
Далее установим ряд фактов, которые позволяют по известному оригиналу преобразования Фурье находить пропорциональный ему оригинал преобразования Ханкеля [6].
Утверждение В.5.2. Пусть в условиях предыдущего утверждения даны преобразования /1 (В.5.1) и /2:
g/2(p) = j ^(У)й2(р,у)</у € S"(fi),
Q2
"(В.5.5)
g(y) = | ёк (р)т2 (у, р) dp € S' (П2);
Q
изображения преобразований /1 и /2 пропорциональны: //2(q) = = Cf^ (q), где С е R, С ф 0.
Тогда соответствующие оригиналы /(х) и g(y) связаны между собой преобразованием /3
#(у) =//з(у) = | /(х)Яз (y,x)dx € S'^,
(В.5.6)
/(х) = g^1 (х) = | g(y)T3 (х, у) dy е S' (Q1),
Q2
где
Rs (у, х) = С j 7?i(p, х)Т2 (у, р) dp,
(В.5.7)
^(х, у) = j Ri (р, у) Ti(x, р) dp.
а
Доказательство. Введем еще одно преобразование /о, соответствующее пропорциональности изображений первых двух:
Л/о(р) = С | h(q)5 (р — q) dq Е Sf(^),
(В.5.8)
^(q) = ^ I й/о(р)<5 (q - р) dp е S' (Q).
Q
Композиции преобразований /qi — ^оЛ и ^з — ^^oi удовлетворяют условиям утверждения В.5.1. Пользуясь формулами (В.5.4), последовательно найдем их ядра:
— преобразование /qi
//о1(р)= | f(x)R01(p,x)dx6S'^,
/(х) = | Р« (р)Т01 (х, р) dp е S' №),
Q
Лох (₽, х) = j #i(q, х)Сб (р - q) dq = CRi(p, х), Q
Toi(x,p) = |Ti(x,q)^ J(q-p) dq=^Ti(x,p); Q
— преобразование /3 (см. (В.5.6))
Ra (y,x) = j Я01(р,х)Т2(у,р) dp =C j 7?i(p, x)T2 (y, p) dp, QQ
T3 (x, у) = I Ri (p, y) Toi (x, p) dp = 11 Ri (p, y) ^ (x, p) dp, QQ
что и завершает доказательство.
Применим теперь полученные результаты для преобразований Фурье (п = 1) и Ханкеля.
Следствие В.5.1. Пусть четная функция /(ж) 6 S’ a g(r) 6 S’^.
Их изображения пропорциональны g^^q) = С fF(q\ q О, С 6 R.
Тогда существует такое ядро Rci/^^ ж), что справедливо равенство
g(r) = | RciA^ x^f^dx.(В.5.9)
о
Доказательство. Положим в утверждении В.5.2, что Д — косинус-преобразование Фурье, а /2 — преобразование Ханкеля Н^. т. е. Q = Qx = Q2 = [0, +оо) и
2Ri(q, ж) = cos qx, ТДж, g) = — cos дж;
R^P.r) = rJ„(pr), T^r.p) = pJv(prY
Учитывая связь (В.3.10) изображений преобразования Фурье для четных функций и косинус-преобразования, из формул (В.5.6) и (В.5.7) получаем представление (В.5.9), где
Rcu^^ х) = R^^^ х) = ^С | рЛр(рг) созрж dp.(В.5.10)
о
Последний интеграл понимается в смысле регуляризованного значения и может быть вычисляется так [54, 57]:
о °?о sin ( v arcsin — 1
Rcvky-, ^ = 26' — >Мрг) sinpx dp = 26-Y „т Н^т - ж) +
Ox jOx V — x2
о
H^x — r).H^x — r).(B.5.11)(B.5.11)
H^x — r).
H^x — r).
(B.5.11)
(B.5.11)
В частности при v = 0 и v = 1 имеем
(В.5.12)= 2Сг (г2 - ж2)//2 =(В.5.12)= 2Сг (г2 - ж2)//2 =Кейку-,ж) = Rcky,ж) = 26^ (ж2 - г2)
(В.5.12)
= 2Сг (г2 - ж2)//2 =
(В.5.12)
= 2Сг (г2 - ж2)//2 =
= -Rc^x.tY (В.5.13)
Следствие В.5.2. Пусть нечетная функция /(ж) 6 SY a g^ £ S'^. Их изображения пропорциональны gHv(q) = iC fF (qY q ^ 0, C 6 R. C^O.
Тогда существует такое ядро -Rs^(r, ж), что справедливо равенство
g(r) = | Rsv(r, x)f(x)dx. (В.5.14) о
Доказательство. Положим, что Д — синус-преобразование Фурье, а /2 — преобразование Ханкеля Hv. Ядра R^ и Т2, а также носители функций указаны в доказательстве предыдущего следствия, a Ri и Т^ имеют вид
2Ri(q, ж) = sin qx. ТДж, g) = — sin дж.
Учитывая связь (В.3.11) изображений преобразования Фурье для нечетных функций и синус-преобразования, из формул (В.5.6) и (В.5.7) получаем представление (В.5.9), где
cos [z/ arcsin (ж/r)]Vr2 — X2cos [z/ arcsin (ж/r)]Vr2 — X2Н^т — ж) +Н^т — ж) +Rsv(г, ж) = R^ (г, ж) = 2С | pJv(pr) sin рх dp = о
cos [z/ arcsin (ж/r)]Vr2 — X2
cos [z/ arcsin (ж/r)]Vr2 — X2
Н^т — ж) +
Н^т — ж) +
= —[ J^fpr) cos рх dx = — 2С ox Jох
о
rv sin (ttz//2)rv sin (ttz//2)V x2 — т2V x2 — т2x + V x2 — г2x + V x2 — г2Н(х — г)Н(х — г)(В.5.15)(В.5.15)
rv sin (ttz//2)
rv sin (ttz//2)
V x2 — т2
V x2 — т2
x + V x2 — г2
x + V x2 — г2
Н(х — г)
Н(х — г)
(В.5.15)
(В.5.15)
В частности при v = 0 и v = 1 получаем
fiso(r, ж) = Rs(r, х) = -2С^ (г2 - ж2)+1/2 = 2С,Ж (^ - ж2)+3/2 ;
Ж(В.5.16)
D /\ ап 9 cos (arcsin (ж/r))х
RsX^x. г) = —2С — ^^=Ш2 Я(г - ж) +
= “2 С^ 7 Я^г - ж) - я(ж “ г) + , 2Ж 2 W - г) ох гуж2 — т
= 2 С [| б^т — ж) + г (ж2 — г2)/2] = ^ б^т — ж) — Rs(r^ ж).
(В.5.17)
Из следствий В.5.1 и В.5.2 вытекает следующее утверждение.
Следствие В.5.3. Пусть /(ж) 6 S’ a g(r) = gi(r) + ig^r^ где gi(r^ g^^r) 6 S^. Изображения этих функций пропорциональны gH.^ = CfF^q\ q^^.C ER.C 0.
Тогда существует ядро Rp^^r^ x^ такое, что справедливо равенство
g(r) = | Rfp^, x)f(x)dx.(В.5.18)
Доказательство. Функцию /(ж) представим в виде суммы четной /х(ж) и нечетной /2(ж) функций:
/(ж) = /1(ж) + /2(ж),/1(ж) = | [/(ж) + /(-ж)],
Л(ж) = | [/(ж) - /(-ж)] .
Тогда по свойствам преобразования Фурье и условиям следствия имеем
Г(9) = /Г(9) + <(9), g^q) = Cg^ (fc = l,2).
Применяя к функциям fk(x) и gkVx^ следствия В.5.1 и В.5.2, получаем
gi(O = | Rcp(r,xVi($^dx, g^ = I Rsv<T,x^h^dx.
о0
Тогда для функций /(ж) и g(x) имеем
gAA = 5 J ^^ + R-сДг, ж) dx+ ” о
+ 5 j [/(ж) - Н-х^ ReATi x)dx = j Rp^r, ж)/(ж) dx, (В.5.19) оо
где
Rfp^, х) = Ncv(r, х) + iN8V(r, ж),
Wcv(r, ж) = 1 [/?cv(r, ж)Я(ж) + Rcl,(r, -ж)Н(-ж)] = | RC1/ (г, |ж|),
~"(В.5.20)
N8At, ж) = | [7?sp(r, ж)Н(ж) + R8At\ -^Н^-х^ =
= | signж7?sг/ (|ж|, г).
В частности, при v = 0 и v = 1 получаем
ж) = N^r, x) = ^Rc (г, |ж|) = -С |ж| (ж2 - г2)^2, ^ 5 ^
NsAb х) = NsQr, ж) = I sign xR3 (г, |жI) = -Сх (г2 - ж2)+3/2 ;
Wci(r, ж) = | Rci (г, |ж|) = Ст (г2 - ж2)+3/2 =
= -^Яс(|ж|,г) = -^(ж,г), (В.5.22)
Nsi(r, ж) = | sign xRsi (г, |ж|) = С [^ 5 (г - |ж|) + г (ж2 - г2)+3/2] =
= ^ 5 (г - |ж|) - | sign xRs (г, |ж|) = ^ 5 (г - |ж|) - Ns(x, г).
В качестве применения следствия В.5.3 рассмотрим один частный случай.
Следствие В.5.4. Пусть /(ж) 6 S', а где g^ 6 S^. Изображения этих функций пропорциональны gH"(q) = CfF(q^ q^O^C 6 R^C ^ О, а изображение функции go(r) имеет вид g^i,^ = gH^(q) exp (iqa) (a E RY
Тогда функции goM и /(ж) связаны следующим образом:
(В.5.24)(В.5.24)Доказательство. Из условия 2) имеем
(В.5.24)
(В.5.24)
^(д) = с Jo (q), Jo (9) = JF^ exP (й«)-
По свойствам преобразования Фурье оригинал функции f^ (q) имеет вид /о (ж) — /(ж — аУ Применяя следствие В.5.3 к функциям go(r) и /о(ж), с учетом последнего равенства и формул (В.5.24) получаем
go(r) = RfAt, x)fo(x)dx = Rfp(t, x)f(x - a) dx.
Приложение Г
СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИВ ЗАДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ
Пусть дана подвижная гладкая поверхность
П(Щ г = гп(^Д2Л)(ГЛ)
и не параллельный касательной плоскости к этой поверхности вектор 1.
Рассмотрим два положения поверхности в моменты времени t и t + AZ. Скорость V/ движения поверхности (Г.1) в направлении 1 определим так:
р Аг
V/ = пт —-,
At^o AZ(р 2)
Дг = гп (С1, <2, t + Д<) - гп (С1Д2Л), Дг = м, А > 0.
Последнее равенство указывает на то, что параметры £1 и £2 выбираются не произвольно, а так, чтобы приращение было коллинеарно вектору 1.
С учетом гладкости поверхности положим, что существуют производные
^(#)= lim(г = 1, 2).(Г.З)
At^O AZ
Тогда из формул (Г.2) и (Г.З) найдем v/ = r'n,i£i + ^пд^ + Vn = Al,
/ drn / •1• ^ГП < dx ^-4)
гп., = ^ (. = 1,2),А=г.
Векторы ^пд, ^пд и 1 могут рассматриваться как векторы ковариантного базиса aj:
ai=r'n,i, а2=г'п,2, а3 = 1, (ai, а2, а3) / 0.(Г.5)
Величины (—£i), (—£2) и А являются контравариантными координатами 1)3 вектора vn:
vn = y^aj, у1 = —£i, у2 = —£2, ^3 = А.
Отсюда для третьей координаты у3 имеем
p3 = A=(vn,a3), а3= . ^’^ ..(Г.6)
v 7(ai,a2,a3)v 7
Подставляя (Г.6) в (Г.5) и далее в формулу (Г.4), найдем выражение для искомой скорости V/:
_ (^ПЗ, г'п,2, Vn) I _ (vn, N) J
1(^пд, ^пд, 1)(N, 1) ’(Г.7)
N = [^ПД? г'п,2] 5
где N — нормальный вектор к поверхности П(£).
В случае неявного задания поверхности П(£) в прямоугольной декартовой системе координат Ох^х^х^
П(£) :/ (яд, ж2, ж3, £) = О(Г.8)
из (Г.7), получаем следующий результат (N = grad /):
VZ (grad /, 1) 11(Г д)
(grad/, vn) + / = 0, vn = (жт, ж2, i3) •
При 1 = N приходим к указанной в [35] формуле для скорости поверхности в направлении нормали
V/ = Vn =п,(Г. 10)
|grad/|''
где n = N/ |N| — единичный нормальный вектор.
Основная литература
Колебания упругих систем. Т. 1. 2-е изд., испр. и доп / Под ред. В. В. Болотина. — М.: Машиностроение, 1999. — 504 с.
Поручиков В. Б. Методы динамической теории упругости. — М.: Наука, 1986.- 328 с.
Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1988.- 712 с.
Слепян Л. И. Нестационарные упругие волны. — Л.: Судостроение, 1972.- 351 с.
Дополнительная литература
Горшков А. Г, Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы. — М.: Наука, 1990. — 264 с.
Горшков А. Г, Тарлаковский Д. В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. — М.: Наука. Физматлит, 1995. — 352 с.
Горшков А. Г, Трошин В.Н., Шалашилин В. И. Сопротивление материалов: Учебное пособие. — М.: Физматлит, 2002. — 544 с.
Исраилов М.Ш. Динамическая теория упругости и дифракция волн. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1992. — 208 с.
Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. — М.: Мир, 1970. — 872 с.
Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. — М.: Изд- во Московск. ун-та, 1963. — с.
Сагомонян А. Я. Волны напряжения в сплошных средах. Учебное пособие. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1985. — 416 с.
Слепян Л. ГЦ Яковлев Ю. С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. — Л.: Судостроение, 1980. — 344 с.
Снеддон И. Преобразования Фурье. — М.: ИЛ, 1955. — 667 с.
Модели сред
Амензаде Ю.А. Теория упругости: Учебник для университетов. — М.: Высшая школа, 1976. — 272 с.
Бабкин А. В., Селиванов В. В. Прикладная механика сплошных сред: В 3 т. Т. 1. Основы механики сплошных сред / Под ред. В. В. Селиванова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. — 368 с.
Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. — М.; Л.: Гостехиздат, 1949. — 784 с.
Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. — М.: Физматгиз, 1963. — 879 с.
Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа (задачи аэроупругости). — М.: Наука, 1976. — 416 с.
Горшков А.Г^ Рабинский Л.Н.. Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды: Учебник для вузов. — М.: Наука, 2000.- 214 с.
Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во Московск. унта, 1990. — 310 с.
Ильюшин А. А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. — М.: Наука, 1970. — 280 с.
Коваленко А.Д. Термоупругость — К.: Вища школа, 1975. — 216 с.
Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. — М.: Высшая школа, 1976. — 277 с.
Колтунов М.А., Кравчук А. С., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого тела. — М.: Высшая школа, 1983. — 349 с.
Кочин П.Е., Кибель И. А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика: В 2 т. — М.: Физматлит, 1963.
Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1973. — 847 с.
Ляв А. Математическая теория упругости. — М.; Л.: ОНТИ, 1935. — 674 с.
Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. — М.: ИЛ, 1961. - 588 с.
Новицкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. — 872 с.
Новожилов В. В. Теория упругости. — Л.: Судпромгиз, 1958. — 370 с.
Новожилов В. В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. — Л.: Политехника, 1991. — 656 с.
Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1963. — 695 с.
Победря Б.Е., Гергиевский Д.В. Лекции по теории упругости. — М.: Эдиториал УРСС, 1999. — 208 с.
Подстригач Я. С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. — К.: Паукова думка, 1976. — 310 с.
Седов Л. И. Механика сплошной среды. В 2 т. — М.: Наука, 1983, 1984.
Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. В 2 т. — М.: Наука, 1965.
Тимошенко С.П.^ Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. — М.: Физматгиз, 1963. — 636 с.
Тимошенко С.П.^ Гере Дж. Механика материалов. — М.: Мир, 1976. — 669 с.
Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Наука, 1975. — 576 с.
Тимошенко С.П.^ Янг Д.Х.^ Уивер У. Колебания в инженерном деле / Пер. с англ. Л.Г. Корнейчука; Под ред. Э.И. Григолюка. — М.: Машиностроение, 1985. — 472 с.
Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. — 592 с.
Математическая литература
Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. — М.: Наука, 1974. — 432 с.
Вестяк А. В., Вестяк В. А., Тарлаковский Д. В. Алгебра и аналитическая геометрия. 4.1. — М.: Изд-во МАИ, 2002. — 460 с.
Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1981. - 512 с.
Гельфанд И.М.) Шилов ГЕ. Обобщенные функции и действия над ними. — М.: Физматлит, 1959. — 470 с.
Ден Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. — М.: Наука, 1971. — 288 с.
Карташов А.П., Роснсдественский Б. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука, 1986. — 272 с.
Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. — М.: Мир, 1978. — 518 с.
Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). — М.: Наука, 1968. — 504 с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3 т. — М.: Высшая школа, 1989.
Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.
Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1983. — 616 с.
Тихонов АШ., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1999. — 798 с.
Справочная литература
Градштейн И. С., Рыснсик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-матем. лит-ры, 1971. — 1108 с.
Диткин В. А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. — М.: Высшая школа, 1965. — 467 с.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-матем. лит-ры, 1971. — 576 с.
Прудников А.П., Брычков Ю. С., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. — М.: Физматлит, 2003. — 632 с.
Прудников А.П.) Брычков Ю. С.) Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. — М.: Физматлит, 2003. — 664 с.
Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган — М.: Наука, 1979. — 830 с.
Бернулли (Bernoulli J.) 176
Бессель (Bessel F. W.) 99
Бетти (Betti Е.) 27
Больцман (Boltzmann L.) 340
Вольтерра (Volterra V.) 344
Вронский (Wronski U.) 106
Гаусс (Gauss С. F.) 29
Гегенбауэр (Gegenbauer L.) 315
Гельмгольц (Helmholtz G. L. F.) 19
Грин (Green G.) 23
Гук (Hook R.) 264
Д’Аламбер (D’Alembert J.L.) 44
Даниловская В.И. 76
Дирак (Dirac Р. А.М) 23
Дирихле (Dirichlet P.G.L.) 418
Дюамель (Duhamel J. М. С.) 341
Жермен Софи (Germain Sophie)
395
Зоммерфельд (Sommerfeld А.) 19
Кирхгоф (Kirchhoff G.) 202
Клапейрон (Clapeyron В. Р. Е.) 38
Коши (Cauchy О. L.) 42
Крамер (Cramer G.) 106
Кристоффель (Christoffel Е. В.)
358
Кронекер (Kronecker L.) 43
Крылов А.Н. 183
Кулон (Coulomb С. А.) 340
Лагранж (Lagrange J.L.) 350
Ламе (Lame G.) 39
Лаплас (Laplace Р. S.) 18
Лежандр (Legendre А.М.) 95
Лейбниц (Leibniz G.W.) 117
Лиувилль (Liouville J.) 34
Лопиталь (L’Hopital G.F.A.) 76
Лэмб (Lamb Н.) 279
Ляв (Love А.Е.Н.) 374
Маклорен (Maclauren С.) 414
Max (Mach Е.) 264
Навье (Navier А.) 350
Нейман (Neumann F. Е.) 126
Ньютон (Newton I.) 350
Остроградский М.В. 29
Пикар (Picard Ch.-E.) 418
Пуассон (Poisson S. D.) 39
Рэлей (Rayleich J.W.S.) 22
Стеклов В. A. 35
Стефан (Stefan J.) 340
Стильтьес (Stieltjes T.I.) 418
Стокс (Stokes G.G.) 22
Тимошенко С.П. 176
Френель (Fresnel A. J.) 178
Фурье (Fourier J. B. J.) 20
Ханкель (Hankel G.) 94
Хевисайд (Heaviside O.) 24
Штурм (Sturm J.S.F.) 34
Эйлер (Euler L.) 349
Юнг (Young T.) 176
Якоби (Jacoby K.G.J.) 26
Автомодельное движение, 21
Акустическая жидкость, 351
— среда, 351
Амплитуда волны, 19
Аналитическое представление обобщенной функции, 434
Балка Бернулли-Эйлера, 409
— однопролетная, 186
— типа Тимошенко, 407
Вес, 38
Возбуждение кинематическое одной стороны слоя, 64
Возмущение, 45
— сферическое, 99
— цилиндрическое, 143
Возмущения граничные, 11
— начальные, 11
— объемные, 11
Волна, 13
— бегущая обратная, 45
прямая, 45
— бездисперсная, 23
— дисперсная, 23
— нестационарная, 17
— плоская, 17
поперечная, 46
продольная,44
— свободная, 21
— собственная 21
— сферическая, 95
обратная, 97
прямая, 97
расходящаяся, 97
сходящаяся, 97
— цилиндрическая Р
S, 138
обратная, 140
осевая формоизменения, 138
Волна цилиндрическая прямая,
140
расходящаяся, 140
расширения-сжатия, 138
сходящаяся, 140
угловая формоизменения,
138
S, 138
- Р, 46
- S, 47
Волновая поверхность, 17
Волновод, 22
Волновое число, 22
Волновой процесс, 13
— фронт, 17
Волны гармонические, 19
— крутильные, 174
— Маха, 271
— поверхностные, 256
антисимметричные, 259
симметричные, 259
— прогрессивные, 21
— продольные в стержне, 174
— растяжения-сжатия в стержне,
174
— Релея, 256
— свободные, 21
— собственные, 21
— сферические Р, 98
обобщенные, 318
— цилиндрические, 137
Вязкоупругость, 339
Главное значение интеграла по
Коши, 421
Движение колебательное, 12
— материального тела, 11
— плоское, 43
— сферическое, 95
— цилиндрическое, 137
Дельта-совокупность функций, 423
Динамическое возбуждение одной из границ слоя, 65
полупространства, 54
— обжатие толстостенной сферы с жесткой вставкой и шара, 124
— расширение толстостенного цилиндра с жесткой вставкой, 172
Длина вектора, 412
— волны, 22
Жидкость вязкая, 348
анизотропная, 349
изотропная, 350
— однородная, 356
линейная, 351
— идеальная, 351
— неньютоновская, 349
— ньютоновская, 349
— стоксовая, 349
Задача Даниловской, 81
— Лэмба плоская, 279
пространственная, 289
— на собственные значения, 20
— с дискретным спектром, 35
— статическая,14
— Штурма-Лиувилля, 37
Изображение, 445
— Лапласа, 442
— Фурье, 437
Интеграл от обобщенной функции, 433
Источник сферической волны, 98
Квазифронт, 18
Колебания, 12
— вынужденные гармонические, 19
— свободные, 14
— собственные, 20
— точки,12
Кратность собственного значения, 34
Критерий дельта-совокупности, 423
Материальное тело, 11
Метод бегущих волн, 48
— факторизации, 217
Метрика пространства, 412
Мода, 21
— волны, 22
Модель математическая, 11
— среды однородная, 18
Модуль вектора, 412
Норма вектора, 412
Носитель обобщенной функции, 418
Нулевой элемент пространства, 412
Обжатие сферы толстостенной, 124
— шара, 124
Область определения оператора,
38
Оболочка Кирхгофа-Лява, 375
сферическая, 391
цилиндрическая круговая, 382
— типа Тимошенко, 371
сферическая, 386
цилиндрическая круговая, 377
Обращение интегрального преобразования, 446
Оператор, инвариантный относительно сдвига, 24
— модели, 11
— условий граничных, 11
начальных, 11
Операции вычитания векторов, 412
— сложения векторов, 412
— умножения вектора на число, 412
Оригинал преобразования Лапласа, 441
— Фурье, 437
Параметр обобщенной функции, 422
— преобразования, 445
Лапласа, 442
Фурье, 437
Параметры модели определяющие, 11
Первообразная обобщенной функции, 431
Период волны, 23
Пластина Кирхгофа, 397
типа Тимошенко, 395
Подпространство линейное, 414
Показатель автомодельности, 21
роста функции, 441
Полость сферическая с жесткой вставкой,113
со свободной поверхностью, 115
цилиндрическая с жесткой вставкой, 158
со свободной поверхностью, 160
Последовательность дельтообразная, 423
Потенциал, 17
Предел обобщенной функции, 422
последовательности, 413
функционалов, 415
Представление интегральное обобщенной функции, 445
Коши обобщенное, 435
Преобразование интегральное обобщенной функции, 445
обратное, 446
порожденное двумя другими, 453
Лапласа, 442
Фурье, 437
— косинус, 446
— синус, 446
— обобщенной функции медленного роста, 438
Ханкеля, 447
— Лапласа обратное, 443
Фурье, 438
— подобия, 420
равномерное, 420
— пространства, 419
Преобразование сдвига, 420
— симметрии, 420
Продолжение функционала, 416
Произведение прямое обобщенных функций, 428
— тензорное обобщенных функций, 428
Производная в обычном смысле, 426
— обобщенной функции, 425
Пространство векторное действительное, 412
— евклидово, 412
— линейное, 412
со сходимостью, 413
— мер, 416
— метрическое, 412
— обобщенных функций, 416
— оригиналов по Лапласу, 441
— основное, 414
— сопряженное, 415
Процесс волновой нестационарный, 17
— движения материального тела, 11
— квазистатический, 14
— неустановившийся, 14
— переходный, 14
— распространения возмущений, 14
— установившийся, 19
Равенство двух векторов, 412
Расстояние между двумя векторами, 412
Резонанс, 21
Свертка обобщенных функций, 430
Свойства аналитического представления обобщенных функций, 434
обобщенной производной, 425
однородных функций, 421
обобщенных функций, 429
первообразных обобщенных функций, 431
преобразования Лапласа обобщенных функций, 443
Свойства преобразования Фурье обобщенных функций, 438
Ханкеля, 448
прямого произведения обобщенных функций,428
свертки обобщенных функций, 430
собственных значений и функций, 38
Система решений нормальная фундаментальная, 188
Скалярное произведение векторов, 412
Скорость волн Рэлея, 256
волны групповая, 23
движения волнового фронта, 17
— распространения возмущений бесконечная,18
— фазовая, 22
Слабая сходимость, 416
Слой двойной на поверхности, 427
Собственная мода, 21
— форма, 21
— функция, 34
— частота, 20
Собственное значение, 34
простое, 39
— число, 34
Состояние возмущенное, 16
— невозмущенное, 16
Спектр, 34
— дискретный, 35
Способы построения аналитических представлений, 435
Среда бездисперсная, 23
— дисперсная, 23
— Коши, 254
— термовязкоупругая, 333
изотропная однородная, 354
— упругая анизотропная однородная, 354
Тензор Грина, 234
Теорема Стеклова, 38
Теория упругости, 340
Термовязкоупругость несвязанная, 339
Термоупругость несвязанная, 339
— связанная, 339
Трансформанта, 445
— Лапласа, 442
— Фурье, 437
Удар кинематический по балке, 196
Уравнение Эйлера, 351, 428
Условие излучения Зоммерфель- да, 20
— существования свертки, 430
Фаза волны, 22
Формула Д‘Аламбера, 48
— разложения сложной дельтафункции, 427
единицы, 415
Фронт волновой сферический, 18
цилиндрический, 18
— плоский, 17
— сильного разрыва, 17
— правильного, 17
— слабого разрыва, 17
Фундаментальное решение, 24
поверхностное, 28
Функции балочные, 188
— Крылова, 188
— основные, 415
— равные почти всюду, 418
Функционал, 415
— линейный, 415
— непрерывный, 416
— продолжаемый, 416
Функция влияния, 24
поверхностная, 28
температурная, 76
— Грина, 24
поверхностная, 28
Функция локально интегрируе
мая, 417
— медленного роста, 418
— обобщенная, 416
бесконечного порядка, 416
зависящая от параметра непрерывная в точке, 422
инвариантная относительно преобразования, 420
конечного порядка, 416
медленного роста, 416
нечетная, 421
Функция обобщенная однородная, 421
периодическая, 420
равная нулю, 418
регулярная, 417
сингулярная, 417
сложная, 419
сосредоточенная на множестве, 418
сферически симметричная,
420
финитная, 418
центрально симметричная, 420
четная, 421
Функция финитная, 414
Характеристическое уравнение,
34
Центр сферической волны, 98
Частота колебаний, 19
— фазовая, 22
Числа Маха, 263
Этап дозвуковой, 263
— сверхзвуковой, 263
— трасзвуковой, 263
GORSHKOV A.G., MEDVEDSKY A.L.,RABINSKY L.N., TARLAKOVSKY D.V.
WAVES IN CONTINUUM MEDIA
Textbook for Universities
FIZMATLIT
Moscow, 2004, 472 pages
The basics for dynamics of continuums are presented. Unified approach to this branch of science will be useful for investigation of complicated problems. When considering particular problems, the main attention is paid for models of mechanics of deformable bodies. Theoretical matter is supplied by numerous examples with illustrations.
Fundamental notions are defined; the classification of dynamic processes is presented. One-dimensional plane waves, spherical waves and cylindrical waves are studied. One-dimensional dynamic processes in rods and thin-walled plates are investigated. Solutions for initial-value problems are presented for the cases of a space and a plane. Solutions for stationary and non-stationary two-dimensional problems arc presented for the case of a semi-restricted region. The textbook contains necessary matter on various models of continuums as well as on distributions and integral transforms.
The book is addressed to graduate students studying continuum mechanics. It may be useful for post-graduate students, lectures, and institutional and industrial researchers.
Contents
Table of Contents
Introduction
List of Notation
Basics
Classification of Dynamic Processes
Non-Stationary Processes
Stationary Processes
Fundamental Solutions
Method of Separation of Variables
Plane Waves
Types of Plane Waves
Propagation of Disturbances in Unbounded Media
Plane Waves in Elastic Half-Space. Propagation of Boundary Disturbances
Propagation of Volume and Initial Disturbances in a Half-Infinite Elastic Medium
Boundary Disturbances in an Elastic Plane Lamina
Propagation of Volume and Initial Disturbances in a Plane Lamina
Boundary Temperature Disturbances in a Half-Plane
Propagation of Disturbances in an Unbounded Visco-Elastic Medium
Boundary of Disturbances in a Visco-Elastic Medium
Spherical Waves
The Structure of Spherical Waves
Propagation of Spherical Disturbances in Unbounded Elastic Media
Propagation of Boundary Disturbances Generated at a Spherical Cavity
Volume and Initial Disturbances in a Space Having a Spherical Cavity
Propagation of Boundary Disturbances in a Thick-Walled Sphere
A Thick-Walled Sphere Under the Action of Mass Forces and Initial Disturbances
Cylindrical Waves
Types of Cylindrical Waves
Propagation of Cylindrical Disturbances in an Unbounded Elastic Medium
Boundary Disturbances Generated at a Cylindrical Cavity
Propagation of Volume and Initial Disturbances in a Plane Lamina in a Space Having a Cylindrical Cavity
Non-Stationary Waves in a Thick-Walled Cylinder
Propagation of Boundary Disturbances in a Thick-Walled Cylinder
Wave in Rods and Plates
Longitudinal and Torsional Waves in Rods
Bending Waves in Rods. Propagation of Initial Disturbances in an Unbounded Rod
Transversal Vibrations of a Beam of Finite Dimensions
Propagation of Boundary Disturbances in Beams
Axi-Symmetric Vibrations of an Unbounded Plate
Axi-Symmetric Vibrations of Circular Plates
Boundary Disturbances in Circular Plates
Waves in an Unbounded Space and Plane
Speeds of Traveling of Elastic Waves
Propagation of Volume and Initial Disturbances in an Elastic Space
Non-Stationary Disturbances in an Elastic Plane
Chapter 7. Two-Dimensional Waves in a Half-Space and Plane Lamina
Rayleigh Waves
Automodel (Progressive) Waves in a Plane Lamina
A Half-Space Under the Action of a Surface Load Traveling at a Constant Speed
Non-Stationary Boundary Disturbances in Elastic Half-Plane
Axi-Simmetric Boundary Disturbances in Elastic Half-Space
Non-Stationary Boundary Disturbances in an Acoustic Half-Space
Axi-Symmetric Boundary Disturbances Generated at a Spherical Cavity
A Plane Problem on Propagation of Boundary Disturbances from a Cylindrical Cavity
Appendix A. Models for Mediums and Deformable Bodies
A.l. Anisotropic Thermo-Visco-Elastic Medium
A.2. Isotropic Thermo-Visco-Elastic Medium
A.3. Fluid
A.4. Equations of Motion of Mediums in Some Reference Frames
A.5. Equations of Motion of Elastic Shells
A.6. Equations of Motion of Cylindrical and Spherical Shells
A.7. Equations of Motion of Thin-Walled Elastic Plates
A.8. Equations of Motion of Plates in Orthogonal Cartesian and Polar Frames
A.9. Equations of Motion of Elastic Rods
Appendix B. Distributions
Basic Spaces
Definition and Properties of Distributions
Distributions Dependent on a Parameter. Delta-Sets of Function
Differentiation of Distributions
Direct Multiplication and Convolution
Antiderivative and Integral for Distributions
Analytical Representation of Functions
Appendix C. Integral Transforms of Distributions
C.l. The Fourier Transform of Distributions
C.2. The Laplace Transform of Distributions
C.3. Other Transforms. The Hancel Transform
C.4. Inversion of the Compound Fourier-Laplace Transform
C.5. Inversion of the Hancel transform based on the Fourier Transform
Appendix D. Determination of the Velocity of a Surface
Name Index
Subject Index
References
Учебное издание
ГОРШКОВ Анатолий ГерасимовичМЕДВЕДСКИЙ Александр ЛеонидовичРАБИНСКИЙ Лев НаумовичТАРЛАКОВСКИЙ Дмитрий Валентинович
ВОЛНЫ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
Редактор Д.А. МиртоваОригинал-макет: В. В. ХудяковОформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 25.05.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 29,5. Уч.-изд. л. 32,45. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с диапозитивовв ОАО «Чебоксарская типография № 1»428019 Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0338-5
воположников теории колебаний.
член-корреспондент и иностранный почетный член Петербургской АН.
стве, возникающие вследствие внезапного нагревания границы // ПММ,
1950. Т. 14, № 3. - С. 316-318.
1 — /<2/ I 1 — х\
T V7 3=1(7.7.48)
^■(^ s) = 1^„^(r, s), Sgnj(r, s) = | ^пЯ(г, s).
Полученные с их помощью результаты расчетов напряжений на расстоянии г = 1,514 от центра полости при значениях угла /3 = 0, тг/4, тг/2 приведены соответственно на рис. 7.7.1а, б. в. При /3 = 0 и тг/4 преобладающими являются радиальные напряжения атт. Соответствующие им кривые качественно повторяют форму импульса. При значении угла /3 = тг/2 большими по абсолютной величине становятся другие компоненты тензора напряжений.
Упражнение 7.7.1. Найти перемещения и напряжения в упругой среде со сферической полостью, на поверхности которой задано тангенциальное напряжение <тгд|г=1 = д(/3,т), а радиальное напряжение отсутствуют. Массовых сил нет, начальные условия однородные.
Упражнение 7.7.2. Найти перемещения и напряжения в упругой среде со сферической полостью, на поверхности которой задано радиальное перемещение a|r=1 = д(/3,т), а тангенциальное перемещение отсутствуют. Массовых сил нет, начальные условия однородные.
1(7'8Л5)
^ОСОСП — ^^ГГП “Ь(^П “Ь ^^^п) 5
1 \ dp4 sin2/3 dp2da2 sin4/3 da4 )
3) Стилътъес (Stieltjes T.I^ 1856-1941) — нидерландский математик.
УДК 539.3:534.1
ББК 22.25
Г 70
Горшков А. Г., Медведский А. Л., Рабинский Л. Н., Тарлаковский Д. В. Волны в сплошных средах: Учеб, пособ.: Для вузов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 472 с. - ISBN 5-9221-0338-5.
Излагаются основы динамики сплошных сред. Дан единый взгляд на эту область науки, который должен помочь обучающемуся в его работе над сложными вопросами. При рассмотрении конкретных задач основное внимание уделяется моделям механики деформируемого твердого тела. Весь материал сопровождается примерами решения конкретных задач с соответствующими иллюстрациями.
Определяются фундаментальные понятия, дается классификация динамических процессов. Рассматриваются одномерные плоские, сферические и цилиндрические волны, а также одномерные динамические процессы в стержнях и тонких пластинах. Даны решения начальных задач для пространства и плоскости, стационарных и нестационарных двумерных задач для полуограниченных областей. Для облегчения чтения приведены различные модели сплошных сред, а также сведения об обобщенных функциях и их интегральных преобразованиях.
Для студентов, специализирующихся в области механики сплошных сред, а также для аспирантов соответствующего профиля.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Список основных обозначений 8
Глава 1. Основные понятия 11
Классификация динамических процессов 11
Нестационарные процессы 14
Стационарные процессы 18
Фундаментальные решения 23
Метод разделения переменных 30
Глава 2. Плоские волны 39
Типы плоских волн 39
Распространение возмущений в неограниченной упругой среде. .42
Плоские волны в упругом полупространстве. Распространение граничных возмущений 46
Распространение объемных и начальных возмущений в полубес- конечной упругой среде 51
Граничные возмущения в упругом плоскомслое 56
Распространение объемных и начальных возмущений в плоском слое 63
Граничные температурные возмущения вполуплоскости70
Распространение возмущений в бесконечной вязкоупругой среде 77
Граничные возмущения в вязкоупругой среде 83
Глава 3. Сферические волны 90
Структура сферических волн 90
Распространение сферических возмущений в неограниченной упругой среде 93
Распространение граничных возмущений от сферической полости 98
Объемные и начальные возмущения в пространстве со сферической полостью 104
Распространение граничных возмущенийвтолстостенной сфере 111
Толстостенная сфера под действием массовых сил и начальных возмущений 124
Глава 4. Цилиндрические волны 133
Типы цилиндрических волн 133
Распространение цилиндрических возмущений в неограниченной упругой среде 138
Распространение граничных возмущений от цилиндрической полости 144
Объемные и начальные возмущения в пространстве с цилиндрической полостью 149
Нестационарные волны в толстостенном цилиндре 155
Распространение граничных возмущений в толстостенном цилиндре 164
Глава 5. Волны в стержнях и пластинах 168
Продольные и крутильные волны в стержнях 168
Изгибные волны в стержнях. Распространение начальных возмущений в бесконечном стержне 176
Поперечные колебания балки конечных размеров 180
Распространение граничных возмущений в балках 195
Осесимметричные колебания бесконечной пластины 202
Осесимметричные колебания круглых пластин 212
Граничные возмущения в круглых пластинах 224
Глава 6. Волны в неограниченном пространстве и плоскости 230
Скорости распространения упругих волн 230
Распространение объемных и начальных возмущений в упругом пространстве 232
Нестационарные возмущения в упругой плоскости 243
Глава 7. Двумерные волны в полупространстве и плоском слое 251
Волны Рэлея 251
Прогрессивные волны вплоском слое 257
Полуплоскость под действием движущейся с постоянной скоростью поверхностной силы 263
Нестационарные граничные возмущения в упругой полуплоскости 274
Осесимметричные граничные возмущения в упругом полупространстве 286
Нестационарные граничные возмущения в акустическом полупространстве 298
Осесимметричные граничные возмущения от сферической полости 314
Плоская задача о распространении граничных возмущений от цилиндрической полости 324
Приложение А. Модели сплошных сред и деформируемых тел 336
АЛ. Анизотропная термовязкоупругая среда 336
А.2. Изотропная термовязкоупругая среда 342
А.З. Жидкость 349
А.4. Уравнения движения сплошных сред в некоторых системах координат 354
А.5. Уравнения движения упругих оболочек 370
А.6. Уравнения движения цилиндрических исферических оболочек . 376
А.7. Уравнения движения тонких упругих пластин 393
А.8. Уравнения движения пластин в прямоугольных декартовых и полярных координатах 395
А.9. Уравнения движения упругих стержней 400
Приложение Б. Сведения об обобщенных функциях 407
Б.1. Основные пространства 407
Б.2. Определение и свойстваобобщенныхфункций 410
Б.З. Обобщенные функции, зависящие от параметра. Дельта-совокупности функций 417
Б.4. Дифференцирование обобщенных функций 419
Б.5. Прямое произведение и свертка 422
Б.6. Первообразная и интеграл от обобщенной функции 425
Б.7. Аналитические представления функций 427
Приложение В. Интегральные преобразования обобщенных функций 430
Преобразование Фурье обобщенных функций 430
Преобразование Лапласа обобщенных функций 437
Другие интегральные преобразования. Преобразование Ханкеля 442
Обращение совместного преобразования Фурье-Лапласа 448
Обращение преобразования Ханкеля с помощью преобразования Фурье 450
Приложение Г. Скорость движения поверхности в заданном направлении 457
Список литературы 459
Именной указатель 462
Предметный указатель 463
Динамика сплошных сред является наиболее сложным разделом механики. Актуальность ее изучения связана с тем, что, как известно, все природные явления являются нестационарными. Часто используемые понятия статических и стационарных процессов являются не более чем приближением (как правило, оправданным) реальных явлений. Во многих же случаях учет динамических свойств среды просто необходим как качественно, так и количественно.
В настоящее время этот раздел механики под теми или иными названиями включается в учебные планы соответствующих специальностей как технических, так и классических университетов. При этом число учебников по этому вопросу невелико. Как правило, в них включаются задачи динамики, в основном, связанные с научными интересами авторов. Высоко оценивая имеющуюся литературу, авторы настоящей книги попытались, не углубляясь в очень сложные и специфические вопросы, дать единый взгляд на линейную динамику сплошной среды, который должен помочь обучающемуся в дальнейшей работе над более сложными вопросами. Изложение ведется от простого к сложному с использованием современного, но доступного для студентов технических вузов, математического аппарата. При рассмотрении конкретных задач основное внимание уделяется моделям механики деформируемого твердого тела. Учебник написан на основе многолетнего опыта преподавания дисциплины «Волновые процессы в сплошных средах» в Московском авиационном институте студентам, обучающимся по специальности «Динамика и прочность машин».
В книгу включены основы этого раздела механики. Первая глава — вводная. В ней определяются фундаментальные понятия, дается классификация динамических процессов; при этом волновые явления понимаются в обобщенном смысле. Основное внимание в дальнейшем изложении уделяется волнам с конечной скоростью распространения фронта. Однако допускаются и процессы с бесконечной скоростью распространения возмущений, как правило, обусловленные моделями, описываемыми уравнениями параболического типа. В эту же главу включен систематически используемый далее материал, связанный с фундаментальными решениями и методом разделения переменных. Он имеет, в основном, справочный характер. При этом, как правило, даются ссылки на соответствующую математическую литературу.
В главах 2-4 рассматриваются одномерные плоские, сферические и цилиндрические волновые процессы. Последовательно рассматриваются вопросы о структуре волн, соответствующие начальные задачи для неограниченных сред, а также граничные задачи для полуограни- ченных и ограниченных тел.
Пятая глава также посвящена одномерным динамическим процессам, но применительно к имеющим свою специфику моделям стержней, балок и тонких пластин.
В шестой главе исследуются общие закономерности распространения волн в упругой однородной изотропной среде, а также даны решения соответствующих начальных задач для пространства и плоскости.
Наиболее сложные вопросы, связанные с двумерными волнами в полупространстве и плоском слое, вынесены в седьмую главу. Первая ее часть посвящена классическим стационарным задачам, в том числе, волнам Рэлея. В наиболее объемной второй части седьмой главы даются решения нестационарных задач о распространении граничных возмущений в полупространстве (включая задачу Лэмба), а также в пространстве со сферической или круговой цилиндрической полостью.
Наличие довольно обширного приложения связано, во-первых, с тем, что авторы полагали необходимым для облегчения усвоения читателями основного материала иметь под рукой используемые в книге модели сплошных сред: анизотропная термовязкоупругая среда, жидкость, тонкие оболочки и пластины, стержни. При этом даются как общие соотношения с использованием тензорного исчисления, так и их частные случаи для прямоугольной декартовой, сферической и цилиндрической (полярной) систем координат. Во- вторых, в приложение включены сведения о применяемом математическом аппарате: обобщенных функциях и их интегральных преобразованиях.
Весь материал сопровождается примерами конкретных задач, решения которых получены с помощью системы компьютерной алгебры Maple 8.
Приведенная библиография не претендует на полноту, а лишь призвана помочь читателю при изучении основного материала.
Авторы выражают благодарность старшему преподавателю О. В. Егоровой и кандидату физико-математических наук, доценту С. И. Жаворонку за огромную и кропотливую работу по подготовке рукописи.
Латинский алфавит
gijkl _ компоненть1 тензора вязких постоянных, bij — компоненты тензора кривизны тонкой оболочки, С(ж), S(x) — интегралы Френеля,
Qtjkl — компоненты тензора упругих постоянных,
С^(х) — полиномы Гегенбауэра,
cs — постоянная Стефана-Больцмана,
щ, С2 — скорости распространения продольных и поперечных волн в упругой среде,
ср — скорость волн растя жен ия-сжатия в стержне,
cR — скорость волны Релея в упругой среде,
сТ — коэффициент теплоемкости в начальном (недеформированном) состоянии,
D — цилиндрическая жесткость оболочки и пластины, фР1 +Р2 + ---+Рп
DP = д^~Р = Pi + Р2 + • • • + Р» - опеРат°Р ДиФФе" ренцирования,
D„ (ж) — функция параболического цилиндра, erf х — интеграл вероятностей, orfe ж = 1 — erf х — дополнительный интеграл вероятностей, Е — модуль упругости (модуль Юнга), E(V) — кинетическая энергия оболочки, пластины и стержня, Е(т)^ К(т) — полные эллиптические интегралы первого и второго рода,
F — площадь поперечного сечения стержня,
Ег — компоненты вектора массовых сил F,
fL(s) = [/(T)]L — изображение (трансформанта) по Лапласу функции /О"),
/^(у) = [/(ж)]^ — изображение (трансформанта) по Фурье функции /(ж),
fHl? (9) = [/(Г)]Н1/ — изображение (трансформанта) по Ханкелю порядка v функции /(г),
/+(ж) = H(x)f(x) — обобщенная функция, порожденная /(ж) с носителем ж > 0.
/(т) * g(r) — свертка функций /(т) и g^T^
[/^^] • — скачок значения производной порядка к функции /(ж) в точке ж^-,
f(z) — аналитическое представление обобщенной функции /(ж),
G — модуль сдвига,
Gj-(ж, т) — температурная функция влияния,
Gz(x, £; £, т) — фундаментальное решение (объемная функция влияния),
G^(x, £; £, т) — поверхностная функция влияния, gij — ковариантные компоненты метрического тензора криволинейной системы координат,
H(t) — функция Хевисайда,
H(G) — характеристическая функция области G, h — толщина оболочки, /к — геометрическая характеристика, характеризующая свойства поперечного сечения при кручении,
12 — момент инерции поперечного сечения стержня, /(u, w) — функционал Лагранжа оболочки, пластины и стержня, /^(г), Kv^ — модифицированные функции Бесселя порядка v первого и второго рода,
J [х3} — якобиан отображения х = х(жг),
Jp^xY Np(x) — функции Бесселя и Неймана порядка п, К — коэффициент объемного расширения, К1 — пространство обобщенных функции бесконечного порядка, кт — коэффициент теплоотдачи, (К°У — пространство мер, ^т^ — пространство обобщенных функций конечного порядка, £?(G; р) — пространство функций, интегрируемых в G с квадратом и весом р,
M(tY R(t) — ядра ползучести и релаксации изотропной среды, Мг — изгибающий момент в поперечном сечении стержня, Мк — крутящий момент в стержне, Мгз — компоненты тензора изгибающих моментов, mz — внешний погонный изгибающий момент в стержне, тк — внешний погонный крутящий момент в стержне, Рп (ж) — полиномы Лежандра степени п, р — давление в жидкости,
Q(tY S(t) — «технические» ядра ползучести и релаксации, Q1 — компоненты вектора перерезывающей силы в оболочке, д1 — компоненты вектора теплового потока q, Rn — действительное арифметическое пространство размерности п^ Rg А — ранг матрицы А, S' — пространство обобщенных функций медленного роста, Si (г), si (г) — интегральные синусы, s — удельная энтропия, sign (ж) — сигнатура ж, supp р — носитель функции
Тгз — компоненты тензора тангенциальных усилий,
и — продольное перемещение поперечного сечения стержня, Ui (г = 1, 2, 3) — компоненты вектора перемещений и, иг (г = 1,2) — компоненты вектора тангенциального перемещения в оболочке,
w — нормальное перемещение оболочки, ЦХЦ — норма функции X, {Хп} , {7?п} — система собственных функций оператора,
Греческий алфавит
W3 — компоненты тензора температурной податливости, ^гзк1 _ компоненты тензора релаксации (ядра релаксации), Л — коэффициент температурного расширения, Хгз — компоненты тензора коэффициентов температурного расширения,
Hijki и Kijki — компоненты тензоров податливости и ползучести (ядра ползучести),
5 (^1, Ж2, ^з) — дельта-функция Дирака, Sij — компоненты тензора деформаций, rf3 — компоненты тензора теплопроводности, 6 — коэффициент относительного изменения объема, -б — изменение температуры среды, д1 — компоненты вектора углов отклонения нормального к деформированной срединной поверхности вектора в тонкой оболочке, иг — изменение кривизны оси стержня, их — крутка (деформация при кручении) стержня, и^ — тензор изменения кривизны, А и /1 - упругие постоянные Ламе, Xij — компоненты тензора поворота, Хт — коэффициент теплопроводности,
{Ап} — спектр оператора, v — коэффициент Пуассона, Vij — компоненты тензора скоростей деформаций, р — плотность сплошной среды, агз — компоненты тензора напряжений, тт — время релаксации теплового потока, тгз — компоненты тензора вязких напряжений, Ф1, Ф2 — скалярный и векторный потенциалы вектора массовых сил F, р и у — скалярный и векторный потенциалы вектора перемещения и, %г — компоненты вектора углов отклонения ортогонального к срединной поверхности материального волокна в тонкой оболочке,
Хх — угол поворота поперечного сечения вокруг оси стержня, Х^и $z — углы поворота поперечного сечения и нормального волокна стержня, шп — собственная частота.