ПРЕДИСЛОВИЕ

Приложение строгих результатов механики к задачам техники и естествознания всегда сопряжено с определенной идеализацией, прежде всего идеализацией геометрии и свойств объекта. Возможность такой идеализации основывается на (обычно интуитивном) представлении о корректности задачи- малости изменения решения или отдельных его элементов при малом изменении параметров задачи. Так, малое изменение границы сечения бруса приводит к малому изменению жесткости кручения, .а стоксово сопротивление движению тела в вязкой жидкости непрерывно зависит от формы тела.

Фактически только справедливость подобных утверждений позволяет распространить результаты решения отдельных идеализированных математических задач на определенный класс реальных объектов.

В отсутствие таких твердо установленных основ возникают многочисленные ,5парадоксы малого параметра55, типа подробно проанализированных Биркгофом [23]; характерный пример дает знаменитый эксперимент Прандтля [118]: тонкое проволочное кольцо, надетое на обтекаемый шар, вызывает турбулизацию пограничного слоя и резко снижает сопротивление шара.

Все это лишь подчеркивает необходимость в проведении демаркационной линии между системами с "хорошим" и "плохим" поведением и в проникновении в первопричины "хорошего" поведения. Можно поставить вопрос и более широко: каковы возможные пределы изменения интересующих нас характеристик решения при изменении (уже не обязательно малом) геометрии и свойств объекта, как, зная лишь основные параметры задачи, указать гарантированные оценки искомых величин.

Подобные вопросы пронизывают всю механику сплошных сред, однако особенно они важны в тех ее разделах, где объект нерегулярен. В данной книге основное внимание уделено двум таким разделам — теории фильтрации и механике разрушения. Теория фильтрации исследует движение жидкостей и газов в природных пористых средах, в механике разрушения основной объект — исходная трещина, которая может иметь сложную нерегулярную форму. Вряд ли можно указать области, более далекие физически. Однако общность идей и математических методов сближает их и позволяет рассматривать на базе единого подхода общими методами.

Главная цель данной книги состоит в том, чтобы изложить результаты, полученные в этих двух областях механики сплошной среды на основе систематического применения качественных методов. Под качественными методами здесь понимаются методы оценки физически значимых величин без прямого детального вычисления механических полей.

Это направление лежит на перекрестке классической физики, матема-

тики и механики; у его истоков — работы Рэлея, Максвелла, Полиа и Сеге, М.А. Лаврентьева, Г.Н. Положего и ряда других крупных математиков и механиков. Аспектам проблемы, выходящим за рамки данной книги, посвящены работы [9, 19, 21, 24, 83, 100, 101, 111, 152, 15 6, 174, 196, 203, 216, 223] •

В книгу включен ряд результатов М.М. Алимова, Ю.В. Житникова, А.В. Капцова, В.В. Кобелева, Л.Б. Корелыитейна, С .В. Пань ко, Э.В. Скворцова, А.А. Спектора, Е.И. Шифрина, Н.Д. Якимова. Авторы выражают признательность, особо отмечая помощь Е.И. Шифрина, который сделал много ценных замечаний и предложений при подготовке книги. Авторы благодарны Е.И. Ворожейкиной и Г.Т. Кургановой за помощь в подготовке рукописи к печати.

Глава 1

КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ

Теория фильтрации. Первоначальные сведения

В теории фильтрации течение жидкости через пористую среду описывается векторным полем скорости фильтрации w (х), таким, что объемный поток через поверхность S выражается поверхностным интегралом

O = /wndS,(1.1)

S

где п — внешняя нормаль к S. Для течения несжимаемой жидкости через недеформируемую пористую среду уравнение неразрывности принимает известный вид

▽w=w?i=0.(1.2)

То же уравнение выполняется для течений сжимаемой жидкости в деформируемой среде, если течение стационарно, a wзаменяется на массовую скорость pw, где р — плотность жидкости.

Фундаментальное определяющее соотношение теории фильтрации дает выражение скорости фильтрации через градиент давления жидкости р и массовую силу g. Для изотропной среды имеем

w

-VP +Pg =①(w) —, w = |w|.(1.3)

Функция ①(w) описывает зависимость силы сопротивления при движении в пористой среде от скорости фильтрации. Для медленных движений чисто вязкой (ньютоновской) жидкости вязкости 〃 эта зависимость, очевидно, линейна:

①(w)=(/V%)w・(1.4)

Линейное соотношение (1.4) восходит к Дарси [164] и называется законом Дарси. Константа к — проницаемость пористой среды; для неоднородной пористой среды она может быть функцией координат

к = ^(х).(1.5)

Чем больше проницаемость, тем меньше местная сила сопротивления (или тем больше скорость фильтрации w при фиксированных значениях градиента и массовой силы).

Для несжимаемой жидкости (р = const), если массовая сила потенциальна (g = V0, ее можно включить в давление в (1.3), положив

р* = р — pU.(1・6)

Поэтому в последующем мы будем часто опускать член pg и отождествлять давление р и приведенное давление р*.

Рис. 1. Типичные законы фильтрации

— закон Дарси; 2 — закон фильтрации с предельным градиентом давления; 3 — закон фильтрации псевдо- пластической жидкости; 4 —двучленный закон фильтрации (1.9); 5 — закон фильтрации упруговязкой жидкости

w

В случае неньютоновских жидкостей, равно как и при не очень медленных движениях ньютоновских жидкостей, возникают отклонения от закона Дарси. Они учитываются нелинейностью функции ①(w) в (1.3). Для имеющих физический смысл нелинейных законов фильтрации

Ф(0)>0;①'(w)> 0; (0《w<8).(1.7)

Для учета неоднородности пористой среды мы будем включать в ①(期 дополнительный аргумент А;(х): Ф =①(w, %). При этом подразумевается, что

Ф^ = ЭФ/ЭА;<0.(1.8)

Некоторые типичные нелинейные законы фильтрации иллюстрирует рис. 1. Соотношение

Ф(м/)= 8/左)(w + 0М )(1.9)

учитывает влияние дополнительных инерционных потерь, обусловленных неоднородностью порового пространства. Оно носит название закона Форх- геймера в гидравлике грунтовых вод [173] и формулы Эргана [168] в химической технологии и дает продолжение закона Дарси в область больших скоростей фильтрации.

Неньютоновские свойства жидкости порождают разнообразные формы нелинейных законов фильтрации. Для нелинейно-вязких жидкостей без временньос эффектов имеет место подобие между кривой течения жидкости и законом фильтрации [13,20,127]. Так, для бингамовской (вязкопластичной) жидкости имеем

①(w)= w +入，入>0,(1.10)

а для степенной жидкости (жидкости Оствальда—де Ваеле)—

Ф(м/) =(1.11)

Соотношения (1.10) и (1.11) носят название закона фильтрации с предельным (начальным) градиентом давления (ПГД) и степенного закона фильтрации. Последний отвечает псевдопластическому при 5 < 1 и дилатантному при s > 1 реологическому поведению.

Упруговязкие жидкости (например, растворы полимеров) проявляют более сложное поведение. Оно может быть эффективно псевдопла- стическим при малых скоростях и псевдодилатантным при высоких (см. рис. 1).

6

Все упомянутые возможности объединяются общей формулой

▽р =—①(w, к) w/叫 к = А;(х),(1.12)

предложенной впервые С.А. Христиановичем [140]. С учетом уравнения неразрывности имеем систему

▽р =—①(w, k)w/w,

Vw= 0

для двух неизвестных полей р(х), w(x). Эта система эквивалентна уравнению второго порядка для р

▽ (B(iWl)) = 0;屮三①т.(1.14)

I VP I

Уравнение (1.14) эллиптично, если Ф(0) = 0, Ф\0) < 8. Если Ф(0)二 0, Ф'(0) = 8, уравнение вырождается в критических точках, в которых 0. Если Ф(0)二入 > 0 (так что мы имеем закон фильтрации с ПГД), вместо критических точек возникают конечные области ненулевого объема (так называемые застойные зоны), в которых w= 0. Внутри застойных зон система (1.13) вырождается в уравнение первого порядка |Vp| =入.

Если справедлив закон Дарси, система (1.13) сводится к линейной системе к

▽р 二一—w, Vw = 0,(1.15)

а уравнение (1.14) к линейному эллиптическому уравнению

▽ (k(x)Vp) = 0,(1.16)

которое превращается в уравнение Лапласа

△р = 0(1.17)

в случае однородной (к = const) среды.

В теории фильтрации рассматривается большое разнообразие граничных условий, некоторые типичные примеры которых показаны на рис. 2. Подробности можно найти в стандартных учебниках [13,14,116, 141].

Рассмотрим типичную краевую задачу определения скалярного поля р(х) и векторного поля w(x) в конечной области D и предположим, что граница Г= bD областиDсостоит из двух неналегающих частей Гр и Гд,на которых заданы соответственно давление р и нормальная составляющая скорости фильтрации w幫：

p=f(x), %£ Гр, w〃 =q(x), хеГд,ГриГд = Г.(1.18)

Пару функций (p(x), w(x)), удовлетворяющую уравнениям (1.13) с граничными условиями (1Д8), будем называть решением; соответствующие поля р(х) и w(x) — истинными распределениями давления и скорости.

Введем потенциал дассипации D и дополнительный потенциал диссипа- цииК:

。(叱 х) = / ①(〃，x)d〃，

J(1.19)

灭(％,x) = / 屮&, x)dy. 07

Рис, 2. Типичные задачи теории фильтрации

〃 — течение в "укрупненной трубке тока", б — течение к системе скважин при разработке месторожцения; 8 — течение через грунтовую плотину

Зависимость потенциалов от х порождается явной зависимостью от х закона фильтрации, т.е. неоднородностью пористой среды.

Для произвольных, обладающих нужной гладкостью, векторного и (х) и скалярного ^ ( х) полей определим функционалы

ZT[u] = / 0(〃，х) dP,

(1.19а)

尺*[川=M(T,x)dK, 7 =IV9l D

и назовем их полным потенциалом диссипации и полным дополнительным потенциалом диссипации соответственно.

Произвольное кусочно-гладкое скалярное поле 9 (х) в D будем называть допустимым, если оно удовлетворяет заданным граничным условиям на f

9(х)=Г(х), хе%(120)

Соленоидальное векторное поле и(х) в D будем называть допустимым, если оно удовлетворяет граничному условию на % :

▽ и = 0, хе。ип = q, xeFq .(1.21)

Легко показать [20,61], что справедливы следующие теоремы.

Теорема 1.1. Истинное поле давлений р (х) минимизирует функционал

N[<p] = R^M -/ q^S(122)

на классе всех допустимых скалярных полей 屮(х).

Теорема 1.2. Истинное поле скоростей w(x) минимизирует функционал

L[u]二 Q*[u| - ffundS(1.23)

на классе всех допустимых соленоидальных векторных полей и(х).

Доказательство. Пусть Н (xj, z) — некоторое поле напора, a w— произвольное поле скоростей, удовлетворяющее уравнению неразрывности, но не обязательно удовлетворяющее уравнению (1.2). Имеет место тождество ("тождество полной диccипaции^^)

/wV"d" /▽(w〃)dP= / wnHdS.(1 24)

Пусть теперь задано некоторое решение системы (w, р). Возьмем произвольное поле скоростей w , удовлетворяющее уравнению неразрывности (1.2), и составим для него функционал (1.23). Имеем

D* [w] -D* [w^] = / / Ф(〃，p)d〃dP +/(и>2 — w； ) pdS —(1.25)

DГ

-/ g(w- w') dP.

D

Преобразуя поверхностный интеграл по формуле (1.24) и используя (1.3), получим

i^n-^n)^= J(w—w')VPd"

ГD

(1.26)(1.26)=-/ ①(w,p) dP+/g(w—w')dP.

(1.26)

(1.26)

DW

Подставим это выражение в (1.25):

О* [w] — 0*[w‘] = / /Ф(〃,р)(1〃 —

DLW

W(W — W‘)]w

-①(w, P)dP= / / Ф(〃，p)d〃 -

W J D vv

W W 1

-Ф(и\ 0)w + Ф (坟，p)dP & w J

貳 / U Ф(м, p) dw - Ф(^, p)(w- w')] d V.

D w'

Легко убедиться, что в силу монотонного возрастания Ф(“，р) как функция 〃 выражение в квадратных скобках неположительно вне зависимости 0T знака разности w —wr [15].

(1・“)(1・“)Таким образом, £Г [w] & °* W],

(1・“)

(1・“)

причем равенство достигается только при w 三 w*.

Итак, доказан принцип минимума полного потенциала диссипации D * [w] для движения в неоднородной пористой среде при наличии массовых сил.

Отметим, что в выражение (1.23) входят только граничные значения давления на части границы Г^.

Рассмотрим далее функционал N[^p].

Рассмотрим наряду с решением Р системы (1.2) — (1.3) некоторое произвольное поле 力'с градиентом h‘、 удовлетворяющее тем же граничным условиям. Имеем

,h

N[P] -N[P ] = / / 业6“)d« dP《

D "'

& / ^-^)^^, p)dV< / (h -h')—屮(h, p)dP =

DD h

=/ (▽「一▽P‘)wdP二 / (P —P')i%dS = 0.(1.28)

Dd D

Таким образом, истинное распределение напора минимизирует дополнительный потенциал диссипации N по отношению ко всем другим распределениям, удовлетворяющим тем же граничным условиям.

Замечания. 1. Из вывода (1.28) ясно, что сопоставляемые распределения давления могут принимать различные значения на непроницаемой части границы (陷=0).

Доказанные вариационные принципы справедливы и для фильтрации с предельным градиентом (с образованием застойных зон). Из них следует единственность распределения скоростей в данной конечной области, если заданы граничные условия указанного выше типа. Что касается распределения напора, то оно единственным образом определено в области \h\ > G, но неединственно, вообще говоря, в области 〃& G. Последнее очевидно физически и следует также из того обстоятельства, что при Л < <G 屮(用)=0 и соответствующая область не дает вклада в дополнительный потенциал диссипации.

Принцип минимума диссипативного потенциала для движения в пористой среде может рассматриваться как частный случай общего принципа минимума потенциала диссипации для медленных движений, известного в механике неньютоновских жидкостей [19, 71, 100, 101]. (В работах А.А. Ильюшина [71] и Прагера [202] рассматривались только вязкопластические жидкости, однако их результаты справедливы для произвольных нелинейно-вязких сред.) При этом достаточно заметить, что с рассматриваемой в теории фильтрации точностью поле микро скоростей в поровом пространстве однозначно определяется скоростью фильтрации в данной точке, равно как и суммарная плотность диссипативного потенциала.

(Сама эта связь определяется минимумом диссипативного потенциала при заданной скорости фильтрации.) Поэтому можно искать минимум непосредственно по полю скоростей фильтрации.

При таком подходе естественно считать принцип минимума потенциала диссипации (или дополнительного потенциала диссипации) исходным и уже из него получать уравнения фильтрационного движения.

Если течение следует линейному закону Дарси, то

Z)(w)= %(д/А;)м/2; R(h) = y2(k/p.)h2.(1.29)

Предположим, что среда однородна (к = const). Подставляя (1.29) в (1.19) и (1.22), получим

к

=-- /IV^|2dK-/ qgdS,(1.30)

〃。％

£ [〃]/ fundS.

左0ip

В этом случае сформулированные выше теоремы сводятся к общеизвестным принципам Дирихле и Томсона в электростатике (19, 111, 133].

Поэтому их можно рассматривать как обобщение классических принципов на нелинейные явления переноса в неоднородных средах. Стоит упомянуть, что эти обобщенные принципы не допускают простой энергетической формулировки (наподобие ^принципа минимума кинетической энергии потока"), а являются чисто математическими свойствами рассматриваемых течений.

Рассмотрим одну частную конфигурацию потока, к которой сводится большое число важных задач. Именно, будем предполагать, что область D представляет собой "трубу" (см. рис. 2,а) с непроницаемой боковой поверхностью (^^cтeнкoй^^) 「,， входной поверхностью 1\ и выходной поверхностью Г2 , на которых заданы постоянные значения давления (尸i и 尸2〈尸1 соответственно). Таким образом мы имеем

ГР = Г! иг2; q = 0,/=匕，xeq, f = 1,2.(131)

Заметим, что части「,, Fj и Г2 могут быть многосвязными и (или) могут состоять из нескольких отдельных частей.

Полный расход через трубу, равный

0=/%dS,(1.32)

представляет собой наиболее важную для большинства приложений величину. Расход зависит от перепада давления

戶=2 一尸2 ,

от геометрии потока и от распределения свойств пористой среды, выраженных посредством распределения проницаемости к (х). Если изменяется только Р, мьнюлучаем функцию

Q = Q(尸)，(133)

которую будем называть расходной характеристикой трубы D.

При сформулированных условиях решение (p, w) однозначно определяется перепадом напора. Это означает, что функционалы尺 ⑺，

р* fwl и L [w] на решениях являются функциями Р.〜

Рассмотрим два значения перепада давления Р и Р и соответствующие решения f р, w | и 宓宙 L Положим

9 =尸/庐.

Очевидно, что функция 9 (х) является допустимой в смысле теоремы 1.1. Рассмотрим функцию

К (戸)=虛* М].(1.34)

В силу минимизирующего свойства pdA/dP = 0 при Р = Р. Но

制「А圖「 Р-Рр=р

= -f ~ 5(VPI)dР + S/ /货⑴川"d V\^P =

0尸dP DO

.(1.35)

Отсюда следует, что

dR* [切/d尸=0.(1.36)

Далее, рассматривая Р как функцию Q, мы получим, используя (1.31),

寡二贸0尸一灯)二尸+ 0哎一空空二尸.(1.37)

d0 dQd0d 尸 d0

При фиксированных геометрии области D и перепаде давления 尸 расход Q и функционалы R*, О* и £ являются функционалами поля локальной проницаемости к (х).

Рассмотрим два таких поля к (х) и ki (х), для которых справедливо неравенство

"(х)》& (х), Vx £ D.(1.38)

Пусть соответствующие решения - | р, wl и |p；,w71. Обозначим

Ri = R*[pi, kJ; R 二R”, к].(1.39)

Легко доказать следующую теорему.

Теорема 1.3. При сформулированных условиях

R》Ri,(1.40)

иными словами, на решениях полный дополнительный потенциал диссипации —монотонно возрастающий функционал поля проницаемости к.

Доказательство, Поле давления р является допустимым в смысле теоремы 1.1 для задачи теории фильтрации в области D при распределении проницаемости к!. Поле pi, будучи решением, минимизирует функционал R* [9, 12

Рис. 3. К доказательству теорем о вдавливании для течения в трубе

k J, так что, используя (1.8), имеем

=//屮("，kldrzdlW // 屮("，k)d〃dP二

D 0D О

=R*[〃，М 二 R.(1.41)

Зафиксируем теперь полный расход Q и будем рассматривать полный потенциал диссипации О* на решениях как функционал от 左(х)：

D = D^[^,k], 2 =A*[Wi,储].(1.42)

Сходные рассуждения приводят к следующей теореме.

Теорема 1.4. При условиях теоремы 1.3

D &Di .(1.43)

Сформулированные выше теоремы имеют ряд следствий, в том числе следующие ^теоремы о вдавливании

Предположим, что ①(w,左)стремится к нулю, когда к стремится к бесконечности, и стремится к бесконечности (при w W 0), когда 左一> 0:

Ф (w, к) -> 0, %-> 8；(1.44)

①(w,Z)->8, % — о (wWO).(1.45)

Тогда, очевидно, что любую подобласть D— U О, в которой к = 0, можно рассматривать как непроницаемое включение или включение, окруженное непроницаемой поверхностью, и что любую подобласть D+ С D, в которой 左一> 8, можно рассматривать как включение бесконечной проводимости или подобласть постоянного давления:

р = const, х U Z)+ = 0+ U 8Z>+ .(1.46)

Согласно теоремам 1.3 и 1.4, введение в D непроницаемой подобласти D— приводит к уменьшению полного дополнительного потенциала диссипации R* при фиксированном перепаде давления 尸(или к увеличению полного потенциала диссипации 力* при постоянном расходе Q). Пусть теперь граница подобласти D_ имеет общую часть с непроницаемой частью % границы трубы (рис. 3,〃). Тогда результирующее течение может рассматриваться как возникающее вследствие вдавливания непроницаемых границы % внутрь области D. Получаем следующую теорему.

Теорема 1.5 (первая теорема о вдавливании). Вдавливание непроницаемой части Г^ границы Г "трубы" D внутрь приводит к уменьшению полного дополнительного потенциала диссипации R* при постоянном перепаде давления Рик увеличению полного потенциала диссипации D^ при постоянном расходе Q.

Пусть теперь подобласть бесконечной проводимости £>+ ^^пpиcoeдинeнa^^ к входной поверхности трубы D, т.е. ее граница dD+ имеет общую часть с「1 (рис. 3,6). Тогда на всей границе bD+ давление будет постоянным и равным Pi. Поэтому новая геометрия течения может рассматриваться как результат вдавливания входной поверхности Fi внутрь области D,

Таким образом, мы имеет следующую теорему.

Теорема 1.6 (вторая теорема о вдавливании). Вдавливание входной поверхности Г i внутрь трубы D приводит к увеличению полного дополнительного потенциала диссипации R* при постояннном перепаде давления 尸 я к уменьшению полного потенциала диссипации D* при постоянном расходе Q.

Заметим теперь, что эта теорема остается справедливой, если вместо входной поверхности Г i вдавливается выходная поверхность Г2 области D или обе поверхности одновременно.

Допустим теперь, что непроницаемое включение D_ представляет собой слой малой толщины，，располагающийся вдоль поверхности S_ CD. Поверхность S_ может состоять из произвольного числа отдельных частей. При любом значении h соответствующее значение R * (用)меньше, чем первоначальное значение R* при одинаковом перепаде давления, и значение D*(k) больше, чем начальное значение О* при постоянном значении расхода Q.

Пусть теперь h ->0. В пределе h = Q подобласть превращается в поверхность S_, так что справедлива теорема 1.7.

Теорема 1.7. Введение в трубу D системы непроницаемых поверхностей (''перегородок") приводит к уменьшению полного дополнительного потенциала диссипации R * при постоянном перепаде давления 尸 или к увеличению полного потенциала диссипации D* при постоянном расходе 0.

Если вместо непроницаемых перегородок D_ мы введем в трубу систему £>+ слоев бесконечной проводимости, располагающихся вдоль поверхности S+, то, повторяя те же рассуждения, мы получим следующую теорему.

Теорема 1.8. Введение в трубу D системы бесконечно проводящих поверхностей S+ приводит к увеличению полного дополнительного потенциала диссипации R * при постоянном перепаде давления Р или уменьшению полного потенциала диссипации D* при постоянном расходе Q.

Введение в область течения бесконечно тонких непроницаемых перегородок ограничивает допустимые поля скорости фильтрации полями с нулевой нормальной компонентой скорости на перегородке. Очевидно, что любое ограничение класса допустимых полей и приводит к увеличению минимального значения функционала О*[и]. Точно так же введение в D бес к онечн о пр ов одящих поверхностей приводит к ограничению класса допустимых полей р полями, для которых заданные заранее поверхности являются линиями уровня. Поэтому это немедленно ведет к увеличению минимального значения [屮].

Вспоминая, что на решениях функционалы D* н R* связаны монотонной

зависимостью, мы снова получаем теоремы 1.7 и 1.8. Эта линия рассуждений восходит к Рэлею [124], Максвеллу [193], Кельвину и Куранту [81, 219].

Две теоремы о вдавливании 1.5 и 1.6 годводят нас вплотную к общей проблеме поведения функционалов O*[w] и А *[р] как функционалов от геометрии области О и ее границ. Чтобы сформулировать эту проблему более четко, допустим, что поле проницаемости 左(х) задано во всем трех

мерном пространстве.

Рис. 4. К теореме о симметризации

Проведем замкнутую поверхность Г, подразделяющуюся на части Г!, Г2, M「q. Внутренность Г представляет собой "трубу" описанного выше типа. Задав перепад давления Р или расход Q, мы получим решение I 〃, w} На решениях функционалы R * и О* могут рассматриваться как функционалы от Г1, Г2 и %:

火*历工，「2,%]『const 三 R°[「1,「2,%],(1.47)

0*[w,「l,「2，Fq]lQ3St3r，「2，「q]・Q・48)

Проанализируем теперь поведение этих функционалов. Предположим вначале, что среда однородна, к = const, так что

А0 = / A(|Vpl)dK(1.49)

Пусть рассматриваемая труба относится к частному типу, показанному на рис. 4. Это многосвязная область, ограниченная извне выходной поверхностью Г2 и изнутри входной поверхностью Г15 а поверхность Гд отсутствует.

Следующая, фундаментальная обобщенная теорема о симметризации принадлежит Полна и Сеге [111].

Теорема 1.9. Пусть: 1•尸(г) - монотонно возрастающая (не убывающая) выпуклая (не вогнутая) книзу функция t, определенная при 0 < t <8.

. Функция /(х) определена всюду в О, и поверхности уровня Га функции /: /(х) = а (0 & a& l),xW「a покрывают всю область D, причем поверхности Га и Га^ при a W а' не имеют общих точек.

./(х) = 1,х£「1,/(х) = 0, хЕ Г2. Тогда функционал

尸(/) = / F(|V/l)dK(1.50)

D

убывает (не возрастает) после применения симметризации по Штейнеру к полю/(х):

FW，D、>^(fst,Dst).(1.51)

15

Симметризация по Штейнеру поля /(х) и области D представляет собой результат применения симметризации по Штейнеру к каждой из поверхностей Га, включая Го и Гп Га -> rast с заданием на симметризованных поверхностях прежних значений /

启(х)二 a, xGFasf.(1.52)

Пусть D — ограниченная область в Л3; Г = 3Z); О】-ее проекция на плоскость х = 0,入(у°, z°) — общая длина отрезков прямой^ = у°, z = z°, заключенных внутри D. Тогда симметризация по Штейнеру области D пред- ствляет собой симметричную относительно плоскости х = 0 область Dst :

(у, z)£2; - 1/2 入 <х<1/2 入，rst = bDst.(1.53)

Точно также симметризация по Шварцу Dsc области D относительно оси х представляет собой тело вращения, имеющее ту же длину проекции на ось Ох и ту же площадь сечения любой плоскостью х = const, что н〃， Г5С = bDsc. Симметризацию по Шварцу можно рассматривать как бесконечную последовательность симметризацией по Штейнеру относительно плоскостей, проходящих через общую ось Ох. Дальнейшие обобщения процедуры симметризации можно найти в книгах [111, 156]. Симметризации всех типов сохраняют объем.

Из сказанного немедленно следует, что при условиях теоремы 1.9 мы имеем также

尸伉С, Ас) & Fy) & 歹 *«,〃)•(1.54)

Применим теперь теорему о симметризации 1.9 и ее следствие (1.54) к функционалу Л° [Г^ Г2 ] для области D типа показанной на рис. 4. Очевидно, функция R (f) принадлежит к упомянутому в условиях теоремы 1.9 классу. Поэтому мы заключаем, что

”画=/R[3l]dP》/ RpQdP》/ R(PSC)^V °D st力 sc

ИЛИ

及。历,0] > R^\Pst.Dst] > R^\psc,Dsc],(1.55)

Заметим теперь, что P$r и psc не являются решениями задачи теории фильтрации для соответствующих областей Dst и Dsc, Обозначим соответствующие решения через 吗 и р£. Вследствие минимальности R * на решениях мы имеем

R。画》R*[pgA』> ^\p^.Dst\ =火°[%],

R。倒 >R^\psc,Dsc] >R^[p^,Dsc] = R°[DSC].(1.56)

Таким образом, мы получаем следующую теорему.

Теорема 1.10. Как симметризация Штейнера, так и симметризация Шварца области течения D (рис. 4) приводят к уменьшению полного дополнительного потенциала диссипации на решениях

R°[D] > R°[Dst] >RQ[DSC].(1.57)

Чтобы доказать последнее неравенство, нужно последовательно применять симметризацию Штейнера к решению р?г.

Определим для любой поверхности Га)ограничивающей область Da объема %, ее центрально-симметризованную поверхность Гас как сферу радиуса р = (3 ^а/47г) ^3. Тогда, проводя сходные рассуждения, мы получим для центрально-симметризованной области Dc и соответствующего решения pg

R。[厶]< A0 [Dsc] &…《R。⑵. (1.58)

Значение R° [Dc] представляет собой абсолютный минимум полного дополнительного потенциала диссипации на классе областей и, имеющих заданный полный объем V и заданное значение объема К15 ограниченного внутренней поверхностью Г i.

Точно так же в классе плоских течений значение R° [°§с] представляет собой абсолютный минимум полного дополнительного потенциала диссипации для областей D, имеющих заданную полную площадь и заданную площадь, ограниченную внутренней границей Г 】.

Все результаты относительно симметризации справедливы для однородной (имеющей постоянную проницаемость) пористой среды. Рассмотрим теперь более общую постановку задачи о течении в области типа трубы, показанной на рис. 3, с входной 1\ и выходной Г2 поверхностям. Пусть фиксированы входная Г 】и непроницаемая боковая Г^ границы. Мы можем попытаться подобрать положение границы Г2 таким образом, чтобы соответствующее значение R° [Fj, Г2, Гд] было бы наименьшим возможным при фиксированном значении объема области, ограниченной Г 】и Г2. (Очевидно, функционал Л° [Г^Гг] неограничен сверху, так что не может быть "максимальной пoвepxнocти^^ Г2.)

Легко показать, что "минимальная поверхность" 「；, если таковая существует, является поверхностью постоянного значения локального потенциала диссипации

O(w,左)|「= const. (1.59)

(Теорема 1.11). Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим вариации функционала R° [Г2] при малых вариациях границы Г2 относительно минимальной поверхности「；. Он имеет на Г； минимум при дополнительном условии V = const, где V — объем, ограниченный Г\ и Г2 • Введем новый функционал -

Х[1\] = ^°[Г2]—入 Н「2]・ (1.60)

Он имеет на Г^ безусловный минимум. Пусть п(М) - внешняя нормаль к rj в точке М, бу — смещение в направлении п, переводящее「胃 в Г2. Тогда

6^° = / RQi, k)bydS - / w從"dS, (1.61)

5R° = / [R(h, к) - wh] dy dS =- SD^,k)by d5. (1.62) 一 一

Первые члены в соотношении (1.62) обусловлены непосредственно изменением области интегрирования, а вторые возникают в связи с постоянством давления на варьируемой границе Г2. Поскольку первая вариация

ЬХ = 5” -Х6К

Зак. 1100 17

должна обращаться в нуль; мы получаем

R(h, к) - wh |г =—0(w,左)|「= +入二 const.(1.63)

Если среда однородна, к = const, то соотношение (1.59) означает, что абсолютная величина скорости фильтрации wh градиент давления Л постоянны на минимальной поверхности Г^：

wL = const;= const.(1.64)

1 21 2

Ниже будет показано, что это простое свойство позволяет эффективно строить минимальные поверхности для некоторого класса плоских течений.

Рассмотрим теперь "трубу" (Гх, Г2,「q) (см. рис. 3), полагая, что входная и выходная поверхности Гх и Г2 являются частями двух поверхностей постоянного давления (с давлениями 尸i и Р2)и что слой между этими двумя поверхностями заполнен пористой средой проницаемости 左(х). Положим далее, что непроницаемая стенка трубы состоит из двух частей Fq = = Г] U Г^ , первая из которых фиксирована, а вторая может быть выбрана произвольно. Потребуем, чтобы часть 吗 была выбрана таким образом, чтобы полный потенциал диссипации

03,1\,「2,工，可)三0"吗]

для течения в трубе был максимально возможным при фиксированном значении объема трубы К. Тогда легко показать, что на "свободной'' части экстремальной границы Г^ местное значение дополните льног о потенциала диссипации R (%) должно быть постоянным

R(，)|「〃 = const.(1.65)

(Теорема 1.12). Для однородной (к = const) пористой среды это означает, что абсолютные величины градиента давления и скорости фильтрации постоянны на свободной границе:

h\r„ = const; = const.(1.66)

Доказательство этой теоремы проводится так же, как теоремы 1.11.

До сих пор мы использовали только общие вариационные принципы, которым подчиняются течения в пористой среде. Некоторые дополнительные возможности открываются при использовании принципа максимума и его следствий. Рассмотрим снова решение (р, w) общей задачи теории фильтрации

▽р = — Ф(м 左)w/w, \7w = 0, хGZ>;

Р = /(х), х£Гр;以=q(x), x£「q；(1.67)

bD = Гр U %

и предположим, что

Ф(0, к) = 0, 8①(叫 k)/3w & 4 < 8,(1.68)

q(x) > 0.(1.69)

При сформулированных условиях справедлив следующий обобщенный принцип максимума.

18

Теорема 1.13. Давление р (х) достигает своего максимального значения в точках части「口 границы Г:

尸=max р(х) = Р* = max р(х).(1.70)

Эта теорема является непосредственным следствием принципа максимума Хопфа [21, 203], если заметить, что функция р (х) является решением равномерно эллиптического нелинейного уравнения

(1.71)(1.71)V(^(|Vpl, k)Vp) = 0

(1.71)

(1.71)

в области D.

Очевидно, если неравенство (1.69) обращается в неравенство, ^ = 0, справедлив также принцип минимума:

广=min р (х) =р* = min/(x),(1.72)

Полезным обобщением принципа максимума является следующая теорема сравнения.

Теорема 1.14. Пусть 0, W 口 @л ,wj - два решения, причем (р - Pi)r > > 0; (^ - ^i)rQ <0, (р- рОГг > 0. Тогдар >рл в Л'

Чтобы доказать теорему сравнения, мы воспользуемся следующим рассуждением, принадлежащим Гилбаргу [176].

Рассмотрим равномерно эллиптическое уравнение вида

aHuij + = о, коэффициенты которого “^ и d являются функциями координат и первых производных решения 修，но не самого и. (Уравнение (1.71), очевидно, именно такого типа,) Пусть 〃 и и - два решения; положим з = 〃 一 и. Тогда

冏 8,6 3陋 + { %*и,к * з ,0 -初3永)} U，u + {d(以+3,Q —d(收)产 0.

Если теперь к выражениям в скобках применить теорему о среднем значении, то получим

々7(〃,左)3,力・+以3欢=0,

=a祢(%,3,/).(1,73)=a祢(%,3,/).(1,73)ad

=a祢(%,3,/).(1,73)

=a祢(%,3,/).(1,73)

8 "心8 "心"，к n。永 + £з 永"，k 二％к + кз，к

8 "心

8 "心

Коэффициенты。引 не зависят от з и з炉左,так что уравнение (1.73) является равномерно эллиптическим. Таким образом, для разности двух решений справедлив принцип максимума, Это доказывает теорему 1,14.

Эта теорема сравнения позволяет доказать усиленный вариант второй теоремы о вдавливании 16

Теорема 1.15. Вдавливание входной поверхности Г\ внутрь трубы D приводит к увеличению потока через трубу. Скорость течения во всех точках выходной поверхности Г? возрастает; скорость в точках оставшейся неизменной части входной поверхности уменьшается.

Доказательство этих важных утверждений проводится непосредственно. Пусть Г； — вдавливаемая часть входной поверхности, 7[ = 1\\「； 一 ее неизменяемая часть, Вдавливание переводит область D в D^ UQ, решение

19

@,w) — в @i，W]), Оба поля давления р я Pi определены в области Dv.

Для разности з = р- р мы имеем следующие граничные условия:

to(x) = 0, х £「2 ； з(х) = 0, х W Г],

з(х) = 〃 — 〃(х)》0,х W 亢+;(1.74)

3з/3〃 = 0,х£ 几.

В соответствии с теоремой 1,14 з(х) > 0 или р > р всюду в области А, Таким образом, для точки х0 ^ Г2

Р(Х0 一盯)—"(Xq)

--=-hm >

、、3力 x。 L + Q扌

Pi (Xo -⑷-pi (x0) /дрЛ

》一hm =(——I < 0,(1,75)

「+ о5\Эи /Хо

Итак, |8р/3〃|хо < |Эр1/Эи|Хо и, поскольку производные давления вдоль поверхности Г2 равны нулю,

ivplx。&|VPilx。，(1.76)

откуда следует, что

w(x0)<w1(x0); w =『w",也=|wi〃|(1.77)

благодаря монотонности закона фильтрации (屮‘(力)> 0), То же рассуждение, будучи примененным к неизменяемой части входной поверхности Г7, доказывает, что

w(x) > Wi(x), хЕГ[.(1,78)

Интегрирование неравенства (1,77) по всей выходной поверхности доказывает последнее утверждение теоремы 1,15:

Q = f ^JdS<fiwnlidS=Qlt(1,79)

乙Г2

Заметим, наконец, что вторая теорема о вдавливании 1.6 следует немедленно из неравенства (1,79) и соотношения (1,34):

尺(°)(го =&*(「,□)=/е1(р)ар>/е(р)ар=л*(р,Г1)=

°°(1,80)

= ^°(Г1).

He существует аналогичного обобщения первой теоремы о вдавливании (1.5) на трехмерный случай.

Для двумерных течений в "трубе" с двумя непроницаемыми стенками *q и —q (рис. 2,〃)мы можем ввести функцию тока 屮：

Wn 二一W2,屮,2 = Wi,W=0(x£Fqi), W=0(x£Fq2)・(L81)

Для произвольного вектора q введем соответствующий ему вектор q丄 как результат поворота его на угол (1/2)я,

Легко видеть, что преобразование

/=屮，屮= _〃， h= w1; w= h1(1,82)

(h = ▽夕，h =Vp) преобразует реальное фильтрационное течение с функцией тока 屮 и распределением давления р в фиктивное фильтрационное течение с функцией тока 屮=〃 и распределением давления р =屮 при фиктивном законе фильтрации

^=5(w)=x₽(w). (1.83)

Для этого фиктивного течения границы「iq и「2q являются непроницаемыми границами, I\q — входная, а Г2я — выходная поверхности. Таким образом, применяя к этому фиктивному потоку теорему 1.5, мы получаем следующее обобщение первой теоремы о вдавливании 1.5:

Вдавливание одной из непроницаемых стенок (Г1<7) внутрь плоской "трубн" D приводит к увеличению перепада давления на трубке (при фиксированном полном расходе). При этом градиент давления и скорость фильтрации во всех точках другой непроницаемой стенки Гд2 возрастают; градиент давления и скорость на оставшейся неизменной части стенки rQ1 уменьшаются.

Первая теорема о вдавливании 1.5 для плоского потока следует немедленно из теоремы 1,15,

1.2. Теория фильтрации.

Дальнейшие результаты и приложения

Изложенные материалы дают общее основание для ряда важных результатов, относящихся к различным разделам теории фильтрации и ее приложений, Ниже приводятся некоторые примеры таких результатов и обобщения теории разд. 1.1.

Рассмотрим прежде всего класс отдельных законов фильтрации

Ф^) = С^9(2,1)

включающий линейный закон фильтрации Дарси

①(w) = (〃候)w(C = 〃/Z,s= 1).(2,2)

Для степенного закона фильтрации имеем

wCws+l

D(w) = / Ф (〃)d〃 =,(2.3)

оs + 1

〃C %冲。(2.4)

欠(用)=/Ф (6)d〃 = '

0S + 1

Таким образом, на решениях (Л = Cw$)

R (力)=sD(w) wh = Cw$ * 1 = (s + 1)D = R(s + l)/s.(2.5)

Используя последнее соотношение и тождество

/ whd И = - / 叫1Pds,(2.6)

03D

мы получаем для "трубм”

-fwnpdS=PQ= (s + l)fD(w)dV = ODD

S + 1奥5 + i

二JR (//)d V = (s + 1)D [w ]二R [p].

s 。s

Это означает, что в случае степенного закона фильтрации все теоремы, сформулированные в разд. 1.1 для полного потенциала диссипациии £>*[w] или полного дополнительного потенциала диссипации /?*[j9], справедливы также для полного расхода потока Q (при фиксированном перепаде давления 尸)или для полного перепада давления Р (при фиксированном расходе 0). Это следствие имеет большое значение, поскольку полный расход потока является наиболее важной его характеристикой.

Как показано выше, для степенного (в частности линейного) закона фильтрации не только функционалы R и D、но и однозначно связанный с ними функционал Q (расход через трубку тока) является монотонным функционалом поля фильтрационных сопротивлений: с увеличением локальных фильтрационных сопротивлений расход падает. Как частный случай отсюда получаются обе теоремы о вдавливании для расхода. Естественно возникает предположение, что подобные теоремы справедливы для общего случая, и лишь технические трудности препятствуют их доказательству. Излагаемый ниже пример, принадлежащий Н.Д. Якимову, показывает, что в общем случае это предположение неверно, и ни утверждение о монотонной зависимости расхода от поля фильтрационных сопротивлений, ни аналог первой теоремы о вдавливании для произвольного закона фильтрации в трехмерном случае не имеют места [147].

Рассмотрим область типа обобщенной трубки тока (см.рис. 2, а) и предположим, что в ней заданы два различных, вообще говоря, поля законов фильтрации Ф(м х) и ①】(w, х), причем для всех х е Q

Ф(и/,х) & Ф1 (w, х).(2.8)

Обозначим через Q и Qi расходы, отвечающие двум указанным полям при одном и том же перепаде давления Р = Р「Р? на трубке тока. Цель воспроизводимого рассуждения состоит в том, чтобы указать такие поля Ф(м), х) и Ф^и^, х)? для которых Q WQi (что и дает искомый опровергающий пример) .

Рассмотрим сначала упрощенную систему, состоящую из пяти отдельных участков типа трубок постоянного сечения, заполненных однородной средой и соединенных между собой в узлах, лишенных сопротивления, так, как это показано на рис. 5. Поскольку течение в каждой "трубочке'', очевидно ,одномерно, его можно охарактеризовать связью между расходом q, через соответствующую трубочку и перепадом давления на ней. Пусть для участков /и/Р эта зависимость линейна, ^ = Др, а для участков II и III нелинейна и имеет вид, показанный на рис. 6, причем проходит через точки N_ и N^. Параметры Вис подчиним условиям

6 >0, е>0, % — 2е>2£(2.9)

Наконец, участок V будет представлять собой изменяемое (при изменении поля фильтрационных сопротивлений) сопротивление. В исходном со стоя-

27成""2 也 AH

Рис. 5. Нелинейная цепь из пористых "трубочек”

Рис. 6. Расходная характеристика нелинейного элемента

Рис. 7. Построение обобщенной трубки тока с аномальным поведением сопротивления при вдавливании

нии будет считать его характеристику линейной вида

4 =(%—е—В)АР/(2е),(2.10)

а в измененном состоянии (I) — линейной вида

q = 5АР/(4е),(2.11)

что, очевидно, отвечает большему фильтрационному сопротивлению [см.

(2.12) ]. Непосредственной проверкой легко убедиться, что исходному состоянию системы отвечают (при единичном полном перепаде давления) значения расходов и давлений:

41 =44二％-£, 42 =ез = Ь, ,5 = Й - е - 6

尸в 二％ + е，尸с =% — е ,

а измененному состоянию — значения:

111

41 =0 4 = %-2е, 02 =0з = %-2е-В, q5 = 5

尸в 二％ + 2е,尸с = % - 2е・

Таким образом, при Зе + 25 < % имеем

2=^з +^4 = Й - е + 6 <дз + ,4 = 1 - 4е - 6 =б\(2.12)

т.е. увеличение локального фильтрационного сопротивления (участка V) привело к увеличению полного расхода потока.

Собственно говоря, проведенное построение уже дает необходимый опровергающий пример. Для того чтобы окончательно привести его в соответствие с конфигурацией рис. 2, а, достаточно представить всю ''конструкцию" вложенной в матрицу из материала бесконечно малой проницаемости. Более того, варьируя длины и сечение однородных участков /-К, можно ''изготовить" всю конструкцию рис. 2, а из одного и того же нелинейно проводящего материала, с законом фильтрации, подобным показанному на рис. 6, используя для получения нужных характеристик различные участки закона фильтрации. Такую /образную область из однородного материала можно сделать как пространственной, так и плоской. Возьмем плоский вариант описанной конструкции и превратим его в пространственный, ограничив "спереди'' и "сзади'' изолирующими поверхностями, добавив и сделав ''верхнюю" и "нижнюю'' поверхности идеально проводящими (рис. 7 , а, б). Полученное пространственное тело будет иметь топологическую структуру трубки тока и проводимость, равную с точностью до числового множителя проводимости исходной конструкции рис. 5. Если теперь вдавить "заднюю стенку", удалив часть горизонтальной перемычки (пунктир на рис. 7, в), то ее сопротивление увеличится, и система перейдет в новое состояние, отвечающее состоянию / рис. 6, и будет иметь больший расход. Таким образом, в случае пространственного течения при произвольном законе фильтрации первая теорема о вдавливании для расхода не имеет места.

Рассмотренный выше контрпример Н.Д. Якимова, с одной стороны, прекращает попытки доказать монотонную зависимость расхода от поля фильтрационных сопротивлений, а с другой — ставит новый вопрос о том классе законов фильтрации (предположительно невыпуклых,①"(w) & 0), для которых гипотеза о монотонной зависимости и теорема о вдавливании для расхода оказываются верными.

Определенные утверждения такого рода известны и приводятся ниже.

Теорема 2.1. Рассмотрим течение в укрупненной трубке тока фиксированной геометрии при двух законах фильтрации ①(叫р) и ①i (w, р), удов- 24

летворяющих соотношению (р = 1/к)

Ф(>г, р) > ① 1 (w, р) = £ 入歩卅$‘，％ > 0, sz > 0(2.13)

/ = 1

при фиксированном расходе Q. Обозначим через Р перепад давления, отвечающий закону фильтрации Ф(>г, р), а через Р,,(/ = 1,...,左)перепады давления, отвечающие "парциальным степенным законам фильтpaции^^ Ф]= к

=при том же расходе Q, тогда 尸》2 Р〃

Доказательство. Пусть р, w — решение, отвечающее закону фильтрации Ф. Имеем

QP= -JVpwdK=/u^(w,p)dP》/u^>i(w,p)dP= f 入』Pi科 + %Р. (2.14) ОDDi = 1 D

Нетрудно видеть, что выражение

山川+ %г

D

представляет собой значение функционала Dl [w,pj для ^парциальногоп степенного закона фильтрации на допустимом поле w с расходом Q. Поэтому оно больше, чем значение того же функционала на истинном поле w“)，отвечающем этому закону фильтрации, так что

QP> ^ % /々[w⑴广—dP= S PiQ,(2.15)

что и доказывает сделанное утверждение.

Аналогичным образом доказывается взаимное утверждение.

Теорема 2.2. Рассмотрим два закона фильтрации, выраженных в виде зависимости модуля скорости фильтрации от градиента давления 电(丸,р) и % (丸，р), причем в области D:

к,.

5色")& %(力")= 2 (%./自)力1/%力> 0.(2.16)

Тогда при фиксированном перепаде давления

。舞工4(2.17)

z = 1

где 0 — "парциальные расходы", отвечающие при том же перепаде давления степенному закону фильтрации

w=(厶/%)丸1/" h = Vpl.

Пусть D — "труба'' типа, показанного на рис. 8. Ее непроницаемые боковые стенки — две параллельные плоскости — кровля и подошва пористого пласта, внешняя (входная) поверхность Г\ - цилиндрическая поверхность с образующими, пе рпен ди к ул ярны ми к непроницаемым границам, а внутренняя (выходная) поверхность Г2 - прямой круговой цилиндр малого радиуса р. Эта схема моделирует типичную задачу о притоке однородной жидкости к скважине в пористом пласте постоянной толщины.

Пусть давление принимает заданные постоянные значения р2 на поверх-

25

Рис. 8. Течение в пласте с непроницаемыми кровлей и подошвой

Рис. 9. Приток к скважине в неоднородном пласте

ности скважины Г2 и р〔 на поверхности питания Г\. Очевидно, если свойства пористой среды зависят только от координаты z или только от координат х и yt течение является плоским: р = р(х, у), w ={ и, и, 0} . В этом случае. мы можем говорить о течении между двумя плоскими кривыми Г1 и Г2, причем последняя кривая — окружность радиуса р с центром Ow. Пусть С+ и С" — две окружности с общим центром Ow: описанная вокруг кривой「1 и вписанная в нее. Тогда по второй обобщенной теореме о вдавливании мы имеем двустороннюю оценку

Q+ & 0 & Q二 (2.18)

Здесь 0,0+ и 2~ — значения полного расхода потока соответственно при поверхностях питания Гь С* и С~ и фиксированном перепаде давленияР. Если пористая среда однородна, Q* и 0" легко вычисляются в явном виде. Например, если справедлив закон Дарси, то

0±=(2 欣/硕尸/1п(8/р) (2.19)

(так называемая формула Дюпюи). Ввиду слабой (логарифмической) зависимости。士 от R 土 оценки (2.18) с 0 士，заданными формулой (2.19), весьма близки друг к другу при малых р.

Пусть S — площадь, ограниченная кривой Г!, а С* — окружность с центром в OW) о граничив ающая ту же площадь. Согласно теореме 1.10, полный дополнительный потенциал диссипации уменьшится, если мы деформируем Г1 в С*. В силу тождества (2.7) уменьшится и расход потока. Имеем, 26

таким образом,

Q" 2 •(2.20)

Заметим, что эта оценка доказана только для степенных законов фильтрации, тогда как приведенная выше оценка (2.18) не использует тождество (2.7) и потому верна для произвольных законов фильтрации.

В качестве другого простого примера применения теорем сравнения рассмотрим плоское фильтрационное течение между круговым внешним контуром постоянного давления Г1 и концентричной ему скважиной Г2 в неоднородном пласте, состоящем из двух частей 加 и D~ с проницае- мостями к* и к~ соответственно (см. рис. 9, а). Пусть R~ и R* — минимальное и максимальное расстояния от границы раздела зон「* до центра Ow. Легко подсчитать расход Q в двух крайних случаях круговой внутренней зоны радиусов R~ и R+ . Пусть Q~ и Q+ — соответствующие значения 0, тогда (при 左一 < 左+ ) имеем оценку

К。《Q~(2.21)

справедливую для произвольного степенного закона фильтрации.

Если справедлив линейный закон фильтрации Дарси, имеется большой запас явных решений, которые могут быть использованы как базис для сравненкл. Это позволяет дополнительно расширить возможности качественных методов. Пусть в предыдущем примере скважина эксцентрична относительно контура питания. Если бы пласт был однороден, эквипотен- циалями были бы окружности семейства

z=R(R- 5exp[—iP])/(Rexp(_iP)- 5), W = (2次)(一9 + 汕)，(2.22)

параметром которого являются значения 9, 0 &屮 &9w，причем значение 屮廿 отвечает контуру скважины радиуса

味=KQ - §2/^2)ехр(-2тг%/е).

Рассмотрим теперь снова неоднородный пласт с зонами проницаемостей к+ и к~ < к+ (рис. 9, б). Пусть 9+ и ^~ — значения параметра кривых семейства (2.22), касающихся границы области D" снаружи и изнутри, С4- и С" — соответствующие окружности. Легко вычислить значения расхода 2+ и 2" для крайних случаев, когда граница D" совпадает соответственно с Ь или С~:

0± = 0 汽С士).(2.23)

При этом для расхода потока, показанного на фиг. 9, 6, имеем двустороннюю оценку (2.21). Ряд важных результатов следует из теорем о включениях 1.7 и 1,8. Для течений, следующих степенному закону фильтрации, эти теоремы можно переформулировать в виде следующих частных теорем о включениях.

Теорема 1.7*. Внесение в трубу D системы непроницаемых поверхностей (^^пepeгopoдoк^^) S_ приводит к уменьшению расхода потока при постоянном перепаде давления или к увеличению перепада давления при постоянном расходе.

Теорема 1.8*. Введение в трубу D системы бесконечно проводящих поверхностей S+ приводит к увеличению расхода потока при постоянном

27

перепаде давления Р или к уменьшению перепада давления при постоянном расходе. В частности, предписав заранее геометрию линий тока, мы получим нижнюю оценку для полного расхода, а предписав геометрию эквипотенциальных поверхностей — верхнюю оценку.

Рассмотрим несколько примеров. Пусть течение, конфигурация которого показана на рис. 9, б, следует закону Дарси, причем Р~ — круг радиуса 尺一 с центром Ow. Эта простая задача не имеет явного решения. Чтобы получить двусторонние оценки для расхода, допустим сначала, что поверхность раздела С- = 8。一 является бесконечно проводящей. Тогда давление постоянно на этой поверхности, р = р_ 二 const. Известны явные формулы для расхода течения между двумя окружностями радиусов ге и rw при межцентровом расстоянии 5 [95, 141]:

2тгк彳—§2

。= — (Ре -Pw)/ln •(2・24)

从rerw

Используя дважды это соотношение, получим

.2成一 Р一 .2成+(….)

从 \nR~/Rw д1п(Л2 一 a2)/RR~ '

宀27r片/左+ R- R2 - a2\

。=(Pe-Pw)l\— In — +ln——- )(2.26)

“Rw RR /

Выражение (2.26) дает верхнюю оценку для истинного значения расхода Q. Чтобы получить нижнюю оценку, допустим, что функция тока 屮 представлена в виде

W = W8),(2.27)

где (г, 8) — полярные координаты с полюсом в О^. Тогда только радиальная компонента скорости фильтрации wr отлична от нуля,

w”(l/r)aW/aS.(2.28)

+ "圖，+ "圖，Поскольку перепад давления вдоль любой линии тока должен быть равен ре - pw, имеем

+ "圖，

+ "圖，

(2.29)

Q '= W(2?r) — 0(0)=Q '= W(2?r) — 0(0)=+嘿R+嘿Rг(^)=，火 2 —+ «cos 8,(2.30)

Q '= W(2?r) — 0(0)=

Q '= W(2?r) — 0(0)=

+嘿R

+嘿R

(2.31)

Рассмотрим вновь задачу теории фильтрации о притоке к эксцентрично расположенной скважине (см. рис. 9, б) в однородном пласте, но для не-

линейного степенного закона фильтрации. Чтобы получить двусторонние оценки, будем действовать так же, как и ранее.

Взяв пробное поле скорости в форме (2.28), получим

Pe-PY C("/M)S(R；S -卜(6)]1т )/(s -1)；(2.32)

(5- ^\Ре-Р^ VIS^哎

e J 6 依『-[叩)卜^5 •(233)

Здесь зависимость г(6) вновь определяется соотношением (2.30).

Чтобы получить для Q верхнюю оценку Q+, рассмотрим семейство окружностей С(入)，заданное уравнением

乙(仇入)=Rw+MN6) — Rw)；。0) =「2, C(D= П,(2.34)

и будем считать, что изобары совпадают с этими окружностями, р = р(入). Рассматривая течение между двумя близкими изобарами, получим

О* =[(Pe-Pw)/cjО* =[(Pe-Pw)/cjd入■d入■(2.35)(2.35)

О* =[(Pe-Pw)/cj

О* =[(Pe-Pw)/cj

d入■

d入■

(2.35)

(2.35)

27rХ(Х)= /о27rХ(Х)= /о(2.36)(2.36){便w+ W)-^w)]2 +[xWl -A de.

27r

Х(Х)= /о

27r

Х(Х)= /о

(2.36)

(2.36)

{MS) - Rw] [Rw + №(6) - Rw)W"

В качестве следующего шага рассмотрим группу задач, связанных с экстремальными областями упомянутого в теоремах 1.11 и 1.12 типа. Рассмотрим сначала скважину в качестве выходной поверхности потока в однородном пласте и попытаемся найти такую форму цилиндрической входной поверхности с образующими, параллельными оси скважины, чтобы расход фильтрационного потока от этой поверхности к скважине был минимальным при фиксированном значении перепада давления и фиксированном объеме ограниченной этими поверхностями области. Решением этой задачи, очевидно, является поверхность кругового цилиндра, соосного со скважиной. Потребуем теперь, чтобы подлежащая отысканию поверхность целиком лежала внутри заданной области В. Теперь задача оказывается нетривиальной. Тем не менее ее удается эффективно решить для широкого класса плоских задач. Пусть граница ограничивающей области В представляет собой цилиндрическую поверхность, параллельную оси скважины, совпадающей с осью z. Тогда мы имеем следующую плоскую задачу. Задана плоская область 5, содержащая начало координат и окружность Г2 :|х| = Rw, лежащую внутри В, Нужно найти такую кривую Г\ U 5, чтобы при фиксированной площади области, ограниченной кривыми Tj и Г2, и фиксированном перепаде давления между ними расход фильтрационного потока был минимальным.

Кривая Г\ будет состоять из двух частей, одна из которых (「；) принадлежит границе 8В области В, а другая (「：) лежит строго внутри А В соответствии с теоремой 1.12 абсолютная величина скорости фильтрации будет постоянной вдоль линии 「；. Именно это последнее свойство дает ключ к решению проблемы в ряде случаев.

Пусть, например, область В представляет собой полосу (рис. 10)

-°°< X <°°, |»|<〃，R《h.(2.37)

Введем известное преобразование годографа, взяв за новые независимые переменные абсолютную величину скорости фильтрации w и угол 8, составляемый вектором скорости с осью х, а за новые неизвестные — давление р, функцию тока 0 и физические координаты х и у. Легко показать (смотри, например [13, 20]), что в новых переменных мы имеем уравнения

(2.38)(2.38)а〃ф aw Эр ①2aw

(2.38)

(2.38)

aww2 as' asи/Ф^и^)aw

На прямолинейных линиях тока, равно как на прямолинейных линиях постоянного давления, угол 6 сохраняет постоянное значение, так что на плоскости годографа (w, 8) эти линии отображаются на прямые параллельные оси 也 Неизвестная граница постоянной абсолютной величины скорости 「： отображается, очевидно, на прямолинейный отрезок, параллельный оси 8. Наконец, контур скважины Г2 можно рассматривать как контур большого постоянного значения модуля скорости. Таким образом, неизвестная область течения отображается на прямоугольник с разрезом на плоскости годографа (прямоугольник ABCDEA рис. 10, 6, в). В этом прямоугольнике нужно решить уравнения (2.40) при граничных условиях

0=0 на АВ, 0 = 2 на ADEt(2.40)

aW/aw = 0 на BCD и АА.(2.41)

Эти граничные условия являются непосредственным следствием упомянутых выше граничных условий в физической плоскости, показанных на рис. 10, а

В формулах (2.40), (2.41) значение постоянной скорости “ соответствующее контуру скважины АА, U = Q/ ⑵火刈)весьма велико, так что мы можем считать точку А расположенной в бесконечности, U-^°°.

Два других характерных значения

wD = А, 0с=у(2.42)

являются свободными параметрами задачи в плоскости годографа. Они должны быть определены из двух геометрических условий: полутолщина АЕ полосы и полная площадь области течения должны принимать заданные значения.

Задача в плоскости годографа (см. рис. 10, в) много проще исходной (рис. 10, а). Она может быть эффективно решена несколькими методами. Мы рассмотрим здесь только простейший случай течения, следующего закону Дарси. Удобно ввести комплексную скорость з 二 we-冶 и комплексный потенциал:

川=一屮 + 汕；屮=крк； 3 = dW/dz.(2.43)

Аналитическая в области ЛBCZ>£4-плоскости co-функция W (з) удовле-

Рис. 10. К построению экстремальной области для притока к источнику в полосеРис. 10. К построению экстремальной области для притока к источнику в полосе

Рис. 10. К построению экстремальной области для притока к источнику в полосе

Рис. 10. К построению экстремальной области для притока к источнику в полосе

творяет граничным условиям, показанным на рис. 10, в, и имеет логарифмическую особенность при 131f 8 .

W =_(0/27Г)1пз+。⑴，|з|-> 8.(2.44)

Решение задачи рис. 10, в имеет вид

И/ = - In ‘一队丿、+ 也；77= — + / 1 + 三；(2.45)

7Г 7? - ctg(^7)tg7tg”

§ = (d — A2)/(gj2 + Л2);(2.46)

dW 1 dWI

z= /—— 二 /——- di?; z =0；z= id.(2.47)

33(17) dr?3 = 8 p = o

Последнее условие позволяет найти 7 при заданном значении Л, которое удобно использовать в качестве параметра задачи вместо площади S.

В качестве другого примера рассмотрим плоскую задачу о течении к контуру питания (Я = 0) от кругового источника AAf (скважины, Н = Я0) вблизи непроницаемой границы ED (рис. 11, @). Форма контура питания 「1 неизвестна и отыскивается из условия минимальности расхода при фиксированной площади области фильтрации. Считая пласт однородным, а течение следующим закону Дарси, имеем задачу

△Я = 0, zeGz ,

Н= H°fzeAAr; Я= 0,34/3〃=入，zel\ ; 3H]3n= 0,zeCDAfUAB.

(248)

Ограничимся пока простейшим случаем, когда контур //' стягивается в точку, что соответствует скважине пренебрежимо малого радиуса. При этом поле скоростей определяется с точностью до множителя,

а разность 4° 今 8 , однако положение линии Г 】，отвечающее заданной площади области фильтрации, оказывается вполне определенным.

Решение задачи строится методами теории струй [57,63,77]. Введем вспомогательную комплексную переменную г, изменяющуюся в верхней полуокружности Gf： |f| < 1, 0 <argr< я (см. рис. 11,^). Будем искать конформное отображение z(r), переводящее искомую область течения Gz в Gt с соответствием точек, указанным на рисунке. При этом для W(f) имеем, очевидно, Re W =0 на BD, Im W =屮=0 на /6; Im И7 =1 / 2 <2 на4Е0, откуда следует, что W= (г / 27r)Qhit + С; dW/df= 2/(2тгг).

Далее, комплексная скорость 3=dW/dz = we^ является в области Gt аналитической функцией t с краевыми условиями: |co|=w= X на BD; aig з = -^ = 0 на /6; arg з = —6 = -я на ЕА\ arg з = —6 = —〃2тг наОЕ. Полагая х =1п(з /入),получаем, что функция х«) реализует течение внутри единичной окружности, создаваемой стоком интенсив - ности 2тг, расположенным в центре окружности, и источником интенсивности я в точке (—@). Отсюда

t + а

X =-1п/ + •— In

1 +at

или

Таблица 1

N

а

S°

0。

1

2

1

2

1

2

1

0,990

0,99

1,372

0,297

5,809

1,262

2

0,913

0,9

1,110

0,533

4,782

1,470

3

0,832

0,7

1,203

0,906

4,602

1,780

4

0,700

0,5

1,621

1,430

4,901

2,170

5

0,500

0,3

3,144

2,537

6,419

2,846

Отсюда

dz Q /1 + 0£

—=V

dr27r 入t + a

一0(1一04)「t_丄 1 1

Z —I о о + In

7ГХ@2 尸 2@

(2.49)

s。n 1 ［吋）2

11+02]

+ c In_.

勿21 -a2 J

(2.50)

Здесь So — площадь области течения.

На рис. 11 приведены искомые границы течения (кривые 7-5), построенные по формуле (2,49) при t 二 е’Зв безразмерных координатах х° = x/厶 у° = у/1. Соответствующие значения безразмерных параметров 。° = 0/(入А и 5° = Sq/12 даны в колонке 1 табл. 1 (7V- номер кривой). Кривая 3 отвечает случаю наименьшего расхода. На рис. 12 сплошной линией изображена зависимость 2°(5°). Обращает на себя внимание неоднозначность связи между 2° и 5° в интервале 1,110 <5° < тг/2, где при фиксированной величине 5° имеется два решения задачи (2.48), что свидетельствует о нетривиальности вопросов существования и единственности решения в данном случае. Можно лишь утверждать здесь, что решение задачи о минимуме расхода при фиксированной площади (если оно существует) принадлежит множеству решений задачи. Заметим, что при 5° > 2,361 граница Гх выпукла и, согласно доказанной в [63] теореме, на решении реализуется минимум расхода.

Штриховой линией на рис. 12 показано решение для схемы с одномерным течением, когда искомая граница — окружность радиуса R & /. При S° = 7г/2 кривые, соответствующие различным схемам течения, касаются ДРУГ друга.

Вернемся теперь к исходной постановке задачи (2.48). В области изменения ? круговому источнику /Z малого по сравнению с / радиуса г соответствует линия, близкая к окружности мытого по сравнению с единицей радиуса. Это позволяет использовать формулы (2.49), (2.50) для анализа решения задачи (2.48).

Введем безразмерный параметр Q* = [QI^H)] ln(Z/r)]. Формула 3. Зак. ноо 33

дает возможность выразить его через параметр @ и отношение

/Г Z Г1,1-а41 +а2

而I ,加)…『㈠

Безразмерная площадь вычисляется по формуле

5。= 1/4[勿2 + (1一04)"〃)]//2(0)

В случае одномерного (радиального) течения имеем

0* = In 7/r [In《卜)725°//)] 1.

На рис. 13 изображены кривые зависимостей 0* = 0*(S°) при I/г = =104 и 106 (соответственно 1 и 2). В интервалах 1,110<5° <тг/2 штриховая кривая практически сливается с верхней ветвью сплошной; на концах интервала имеются точки возврата.

В качестве обобщения рассмотренной задачи М.М. Алимовым и Э.В. Скворцовым [1,2] рассмотрено течение от кругового источника (‘‘скважины") к контуру питания неизвестной формы в области, имеющей клиновидную форму, в предположении, что источник находится на оси клина (рис. 14). При а = я/л рассматриваемое течение представляет собой элемент симметрии для течения, создаваемого кольцевой батареей п равнодебитных скважин. Полагая, что на границе /%" давление равно 尸】, на Г оно равно %, а площадь области Ar,BCDArA принимает заданное значение S, будем искать форму свободной части контура питания, исходя из условия минимума расхода, т.е. по доказанному выше — из условия постоянства скорости фильтрации на Г. При этом ограничимся случаем, когда контур 4%" стягивается в точку при заданном расходе Q, Для давления р имеем задачу

кр

△д =0 , xeD , 9 =—,

“(2.51)

9 = Q, Rwl =入，xe「；屮=0,xeAB;屮=1/ 2 0, xeAD.

Сформулированная задача также решается методом особых точек с использованием вспомогательной переменной и = W + i 〃， изменяющейся в верхней единичной полуокружности. Решение (см. [1,2]) имеет вид

dW

01^7 ；n")f01^7 ；n")fdz _ Qd〃2 7r 入dz _ Qd〃2 7r 入1 +〃d‘1 +〃d‘и + dи + dz(—d)二 0;z(—d)二 0;d〃

01

^7 ；n")f

01

^7 ；n")f

dz _ Q

d〃2 7r 入

dz _ Q

d〃2 7r 入

1 +〃d‘

1 +〃d‘

и + d

и + d

z(—d)二 0;

z(—d)二 0;

(2.52)(2.52)

(2.52)

(2.52)

0 < p = а/тг< 1.

В результате имеем

Z(〃)=J =孑 Р + "4 У "d〃.(2.53)

27r入-八" + d/

Связь между безразмерным расходом Оо = 0/(入/) и свободным параметром задачи во вспомогательной плоскости d находится из условия z (6) = /, так что

00 = 2山(0).(2,54)

Параметрическое уравнение неизвестного контура Г имеет вид

°J(eio)1 —笛 8%+1 .

z° 三 z/l = 三 S d^exp /)(%+〃)]；

/J(0)J(0) мо %+〃 Р 5

7 = arccos [(2d + (1 + 餡)cos о)/ (i + 2d cos о + 餡)]・(2.55)

Для безразмерной площади области фильтрации 50 - S/尸 получается формула

я Г(l-d2)(l —р) 1

一]•(256)

Ряд в представлении для функции J ®) [ типа использованого в (2.55)] Удается просуммировать при 〃 = 1/ 〃, где п - целое.

Очевидно, приведенное решение является прямым обобщением рассмотренного выше и сводится к нему при « = 2. Для 九=4 (а = тг/4) ре-

35

zo(〃)zo(〃)3(1-J2) [ “К4/(0)小/4 La(i - f)3(1-J2) [ “К4/(0)小/4 La(i - f)+ 2arctg?/4 + 历三：：+ 2arctg?/4 + 历三：：J(0) = d1 № +-3：；/? )(2 arctg 歩 / 2 + In7T Г3(1 一储)]So * —；—— 1 + J(0) —~-7^,2 户(0)L4 d1/4」，J(0) = d1 № +-3：；/? )(2 arctg 歩 / 2 + In7T Г3(1 一储)]So * —；—— 1 + J(0) —~-7^,2 户(0)L4 d1/4」，(2.57)(2.58)(2.59)(2.57)(2.58)(2.59)Таблица 2

zo(〃)

zo(〃)

3(1-J2) [ “К

4/(0)小/4 La(i - f)

3(1-J2) [ “К

4/(0)小/4 La(i - f)

+ 2arctg?/4 + 历三：：

+ 2arctg?/4 + 历三：：

J(0) = d1 № +-3：；/? )(2 arctg 歩 / 2 + In

7T Г3(1 一储)]

So * —；—— 1 + J(0) —~-7^,

2 户(0)L4 d1/4」，

J(0) = d1 № +-3：；/? )(2 arctg 歩 / 2 + In

7T Г3(1 一储)]

So * —；—— 1 + J(0) —~-7^,

2 户(0)L4 d1/4」，

(2.57)

(2.58)

(2.59)

(2.57)

(2.58)

(2.59)

Кривая

d

s。

2。

Кривая

d

s。

&

1

0,075

1,434

3,012

4

0,702

0,511

2,508

2

0,143

1,039

2,586

5

0,940

0,799

4,212

3

0,422

0,609

2,188

шение имеет вид

причем неизвестная граница дается параметрическим уравнением

3(1-笛)Г 8d1/4小 .

z0 (а)=~- 厂®("，/4)+ di) +

8d1/4厶(0) L3(l-d2)

(2.60)(2.60)1 +2館/4/7/4+ J1/2

(2.60)

(2.60)

Рис. 15. Границы экстремальных областей для течения внутри клинаРис. 15. Границы экстремальных областей для течения внутри клинаРис. 16. Зависимость безразмерного расхода от безразмерной площади экстремальной области для течения внутри клинаРис. 16. Зависимость безразмерного расхода от безразмерной площади экстремальной области для течения внутри клинаРис. 17. К решению задачи об источнике конечного радиусаРис. 17. К решению задачи об источнике конечного радиуса

Рис. 15. Границы экстремальных областей для течения внутри клина

Рис. 15. Границы экстремальных областей для течения внутри клина

Рис. 16. Зависимость безразмерного расхода от безразмерной площади экстремальной области для течения внутри клина

Рис. 16. Зависимость безразмерного расхода от безразмерной площади экстремальной области для течения внутри клина

Рис. 17. К решению задачи об источнике конечного радиуса

Рис. 17. К решению задачи об источнике конечного радиуса

Из рис. 16 следует, что в области значений 0,511 < 50 &0,799 сформулированная выше задача (2.51) имеет два (а если учитывать радиальное — три) решения.

Решение задачи о минимуме расхода, если оно существует, должно содержаться среди построенных решений. Тем не менее, остается некоторая неопределенность, поскольку не доказано, что решение сформулированной задачи со свободной границей действительно реализует минимум (хотя бы локальный) расхода.

Такое доказательство удается дать для течений, следующих закону Дарси, в тех случаях, когда свободная граница оказывается выпуклой. В данном случае искомая граница оказывается выпуклой при So》1,039. Таким образом, для этой области параметров найдена нижняя оценка зависимости расхода от площади области фильтрации.

Несколько более сложная задача возникает при анализе течения, когда источник представляет собой окружность конечного радиуса (рис. 17, а). Приводимое ниже решение ее также принадлежит М.М. Алимову и Э.В. Скворцову [2].

В данном случае в качестве области изменения комплексного параметра и используется прямоугольник с ясным из рис. 17,6 соответствием точек.

При этом

dW/dw = -4Ф0/7г ; т= 0/2①° •(2.63)

Для функции 貝〃)используется представление

гдеС(〃)=гдеС(〃)=义〃)二 “(〃)ехр [- С(〃)] ,(2.64)

где

С(〃)=

где

С(〃)=

(2.65)(2.65)/今]("一4)今2 (" +d)%(〃+ d) % Q—d)

(2.65)

(2.65)

—функция, содержащая все особенности «(〃), определяемые физической постановкой задачи;今】И1?2 — эллиптические функции.

С учетом представления для «(〃) формулы возвращения на физическую плоскость z даются интегрированием соотношения

(2.66)(2.67)(2.66)(2.67)dz/dw = (4①о/笈Q) “i(〃)exp g(〃)] •

(2.66)

(2.67)

(2.66)

(2.67)

Если выбрать для функции ^2( м) представление

2 / 7гт\ оо sh(2%〃/T) ад= —(一〃 + »——)+ 2 q—-

7 \2 / к=1 " ch(%7r/(2T))

она будет удовлетворять всем граничным условиям, за исключением условия на известном контуре питания — границе Г.

Граничное условие на Г приводит к итерационной формуле для отыскания коэффициентов Q. Связь между параметрами задачи во вспомогательной плоскости d и физическими параметрами определяется из соотношения

L[ 1 也

-=Re { - /——d" ， .

/(Z сва d〃

Пример результатов, полученных с помощью кратко изложенного выше подхода, показан на рис. 17,а. Контур Г имел вид дуги окружности с А/7* = 0,32; Z* = (£ + /)/2. Кривым 1~4 отвечают значения отношения Q/①о = 1,3, 3 и 3,25. Таким образом, и в этом случае одно значение расхода может отвечать различным значениям площади области, т.е. сохраняется неоднозначность, характерная приведенным выше решениям для точечных источников.

Рис. 18. Построение области минимального расхода для течения к щелиРис. 18. Построение области минимального расхода для течения к щелиРис. 19. Области минимального расхода для притока к щелиРис. 19. Области минимального расхода для притока к щели

Рис. 18. Построение области минимального расхода для течения к щели

Рис. 18. Построение области минимального расхода для течения к щели

Рис. 19. Области минимального расхода для притока к щели

Рис. 19. Области минимального расхода для притока к щели

Рис. 20. Задача о минимальной изоляции для эллиптического заданного контура

Рассмотрим теперь движение, отвечающее фильтрации от искомого контура питания 5?(屮=Я) к прямолинейной щели AD(^p = 0) (рис. 18》а). Пусть у0 = кН,入—модуль скорости фильтрации на искомой границе 5С.

Используя метод особых точек, можно получить связь между вспомогательной переменной t, (рис. 18,①，комплексной координатой z и потенциалом W в виде

dW 入01 + а2 - 2at

—=—;z«) = arccos ； ,(2.68)

dz 产'《丿2入K(〃)@%1 —后 ，X丿

где Q — расход, К (а) — полный эллиптический интеграл. Отсюда можно получить уравнение границы ВС и формулы, связывающие расход 0, перепад напора Н и площадь области фильтрации S о со вспомогательным парамет-

ром а в видером а в видеacos(а/2)Vl +a2sin2(a/2)acos(а/2)Vl +a2sin2(a/2)+ zln [ \/1 + a2 sin2(а/2)" +

ром а в виде

ром а в виде

acos(а/2)

Vl +a2sin2(a/2)

acos(а/2)

Vl +a2sin2(a/2)

+ а sin (а/2)] j Пп I , а = , t = eia ;

(2.69)(2.69)c So 7r /с 0 L /1+@『・

(2.69)

(2.69)

S(ln ：) ； 2 = —= ^K(a)\\n -— I，

I2\1 - д /入2\1 — Д/

Я „ /

—=2уаг (arcsin

Здесь F — эллиптический интеграл первого рода. Функция 5° =/(а) монотонно убывает от бесконечности до нуля при возрастании параметра @ от нуля до единицы, поэтому в рамках принятой схемы течения задача разрешима при любом значении S 0.

Поскольку свободная граница выпукла при всех значениях @, полученное решение дает минимум расхода при фиксированной площади области фильтрации.

Рассмотренная задача в силу очевидных аналогий может трактоваться так же, как задача об оптимальной (обеспечивающей минимум веса при фиксированном суммарном потоке тепла) форме тепловой изоляции источника в виде длинной тонкой полосы.

На рис. 19 изображены искомые границы (кривые 7-5). Соответствующие значения безразмерных параметров даны в колонке 2 табл. 1.

Э.В. Скворцовым и М.М. Алимовым рассмотрено также следующее обобщение ,9задачи о минимальной тепловой изоляции" рис. 18. Предполагается, что задан эллиптический контур постоянного давления и ищется охватывающий его контур Г, реализующий минимум расхода при заданной площади между контурами (рис. 20). Имеем задачу

△屮二 0, (х,У)£ О；

<Р \ad = 0,屮 Ir = —Н,加/初小=入，(2.70)

К I =2^1-0

В качестве области вспомогательного комплексного переменного и = ^ + + /т? вводится прямоугольник 4(0,0), 6(1,0), C(l,h), D(0,ia), а = =2/Я, где Q — расход через область фильтрации.

Нетрудно видеть, что dW/dw =Я. Положим

G (〃尸 In (入 dz/dW)= In (X/u) + iO = 〃 + ie.(2.71)

Очевидно,

6 \ав 二 0, 61вс 二行/2,丿 1вс = 0・(2.72)

Граничное условие на линии постоянного давления AD получается с учетом того, что кривизна эллипса связана с углом 6 между нормалью и осью х соотношением

左(6) = /И (1 - Y sin2 6)3/2,

где д— эксцентриситет, R — радиус кривизны в точке А. Оно выражается соотношением

de/drj = ЛГ [ 1 — g2 sin2 е(17) ] 3^2 ехр 俨(刀)],(2.73)

М = Н/ (XR). Возникающая краевая задача решается известными в теории струй [57, 78] методами.

Используется представление

7T(U - 1) оо Г я^(и - 1)1

CQ) = —-— + SQsh ,(2.74)

2a к = 1 La J

удовлетворяющее всем условиям, кроме условия (2.73) на заданном контуре AD. Из этого условия коэффициенты Ск находятся с помощью итерационной процедуры

2Мa12a

Q = 丁 二— / ф(T?) cos(7r^/a)dT?； — = — /①(")d"； irk chirk/а оМ я о

()83/2

卩一从2 sin? — + 左营]0 ch я^/a sinirkri/a j

фд)二 *L^—— •(2.75)

Г я8irkTikri 1

exp I — + 2 Q sh — cos [2a左=1aaJ

Возвращение на физическую плоскость получается интегрированием соотношения (2.75) с учетом выражения (2.73) при условии z (0) = 0. Связь между параметром задачи а и заданной площадью S области течения находится из общего выражения

dz 2

S = "~其(1".(2.76)

Результаты расчета в виде семейства границ искомых экстремальных областей показаны на рис. 21, а, д= 0,9; а = 1,5; 2; 3; 5; 10 (для кривых 2-6 соответственно). На рис. 21, б показана зависимость минимального расхода от площади для опорных областей с 〃= 1; 0,9; 0 (кривые 1-3 соответственно) .

Рис. 21. Результаты решения задачи об оптимальной изоляции для эллиптического контураРис. 21. Результаты решения задачи об оптимальной изоляции для эллиптического контураРис. 22. К построению оптимальных областей при степенном законе фильтрацииРис. 22. К построению оптимальных областей при степенном законе фильтрации

Рис. 21. Результаты решения задачи об оптимальной изоляции для эллиптического контура

Рис. 21. Результаты решения задачи об оптимальной изоляции для эллиптического контура

Рис. 22. К построению оптимальных областей при степенном законе фильтрации

Рис. 22. К построению оптимальных областей при степенном законе фильтрации

Задача на плоскости может быть эффективно решена в ряде случаев и для нелинейных законов фильтрации, если воспользоваться линеаризующими преобразованиями годографа или Лежандра, широко применяемыми в теории фильтрации [20]. Соответствующая экстремальная область будет реализовывать экстремум функционала R*. Если закон фильтрации степенной, то эта область реализует также экстремум расхода фильтрационного потока при фиксированном перепаде напора, поскольку для степенного закона фильтрации ①二 w$ имеет место тождество QH =(s+ 1)Z)* = R*.

Соответствующий пример также рассмотрен М.М. Алимовым и Э.В. Скворцовым. Исследуется течение при степенном законе фильтрации

△ д =Cw^ - 1 w,g=万/〃・ (2 77)

Считается, что задан прямолинейный контур питания CD и скважина в точке А на заданном расстоянии от него; требуется найти дугу Г, образующую вместе с CD замкнутый контур питания и реализующую при этом минимум расхода при заданной площади области фильтрации. При фактическом отыскании границы используется условие постоянства модуля скорости фильтрации на искомой границе, и решение строится для точечного источника.

Таблица 3

Кривая

S

0/（入2）

S/ 7 2

Кривая

Q/W)

]S/尸

7

0,5

5,69

3,01

4

0,5

11,9

5,44

2

1

7,29

4,49

5

1

17,5

11,4

3

2

9,28

6,96

6

2

24,3

23,7

Задача решалась путем преобразования к плоскости годографа с последующим построением решения в плоскости годографа методом прямых.

Форма экстремальных областей показана на рис. 22, а (соответствующие значения параметров приведены в табл. 3); зависимость расхода от площади области для s =0,5; 1 и 2 —на рис. £2,6 (кривые 1-3 соответственно)

Отметим в заключение, что развитый подход может иметь приложение по крайней мере в двух аспектах. Прежде всего он позволяет непосредственно получить явное решение ряда оптимизационных задач, аналогичных описанной выше задаче о минимизации веса тепловой изоляции, обеспечивающей заданное тепловое сопротивление. С другой стороны, если установить строгие верхние или нижние оценки для фильтрационного расхода для класса областей заданной площади, эти методы могут быть использованы для оценки возможных фильтрационных расходов в тех случаях, когда форма области задана с некоторой неопределенностью, подобно другим качественным оценкам.

Выше речь шла почти исключительно об отыскании областей с неизвестными участками границы питания, реализующих при заданной площади минимум расхода фильтрационного потока. Взаимная к указанной задача отыскания областей, реализующих максимум расхода (минимум фильтрационного сопротивления) за счет специального подбора непроницаемых границ (см, выше) может быть решена теми же методами. Существенно, однако, что в ряде случаев нет необходимости строить решения, а достаточно воспользоваться готовыми решениями плоских задач отыскания целиков остаточной вязкопластичной нефти в однородных пластах (например, [20, 78, 121], см. также ниже разд. 2.2), которые оказываются математически эквивалентными расематриваемым.

Так, решения задачи о целиках в элементе пятиточечной сетки скважин [20] одновременно дают семейство областей минимального фильтрационного сопротивления при заданной площади и условии, что область течения не выходит за границы квадрата, а поток движется между его двумя противоположными вершинами.

13 Качественные методы в теории фильтрационных течений со свободными границами

Классическая задача теории фильтрации со свободной границей — стационарная задача безнапорной фильтрации в грунтовой плотине (см. рис. 2, в). На рисунке показана плотина на непроницаемом (например, скальном) основании (,,водоупоре,9), отделяющая воду в верхнем бьефе с уровнем Н、от воды в нижнем бьефе с уровнем Я2 • Область фильтрацион-

ного движения внутри плотины ограничена сверху свободной поверхностью жидкости (5,депрессионной поверхностьюм), на которой давление равно атмосферному.

Со стороны верхнего бьефа (на верхнем откосе плотины) депрессионная поверхность непрерывно сопрягается со свободной поверхностью воды в верхнем бьефе. На задний же откос плотины депрессионная поверхность, как правило, выходит выше уровняводыв нижнем бьефе, и образуется так называемый промежуток высачивания, на котором давление также равно атмосферному.

В целом возникает достаточно сложная задача с неизвестной границей, эффективное решение которой построено методами теории функций комплексного переменного лишь для плоских движений в однородных плотинах сравнительно простой конфигурации [4,116].

Ниже рассматривается схема течения (рис. 2, в), отвечающая плоскому течению с ^^yпopядoчeнным^^ расположением границ области течения - участка максимального напора Г〃, депрессионной поверхности Гр, промежутка высачивания Гу, линии минимального напора ГЛ и непроницаемой границы водоупора Г n，хотя основные результаты оказываются верными для существенно более сложной структуры течения (см. работы Н.Д. Якимова [146,147], которым следует и приводимое здесь изложение).

Будем считать, что в ,5сечении плотины5, - области С*, содержащей при всех ее вариациях область течения С, задано поле проницаемости к (х, у), причем к (х, у) — кусочно-гладкая в В функция (0 <«&%《/? < ©°), имеющая, возможно, разрывы вдоль конечного числа линий, являющихся дугами Ляпунова. Искомый напор Н (х,у) является решением задачи

(3.1)(3.1)

(3.1)

(3.1)

а硏* = о,(“)е г%, %；(3.2)

"=»(”)£ % %•

Последние условия означают, что на депрессионной кривой и участке высачивания давление равно атмосферному, принимаемому за нуль.

Предполагается, что геометрия течения такова, что решение задачи существует и удовлетворяет естественному условию р》0 в С.

В [146, 147] указаны условия, при которых это требование заведомо выполняется и при достаточно сложной схеме течения.

Решение задачи обладает рядом достаточно очевидных, но важных свойств [146].

Напор Н(х9у) удовлетворяет неравенству Н] > Н> Н2 в области течения С и на границах Г^ и ГD. Это утверждение есть прямое следствие принципа максимума в формулировке Хопфа.

На Гя почти всюду 6日3几之 0, на Гл почти всюдуЭЯ/Эл > 0. Это также следствие принципа максимума Хопфа с учетом того, что на Гя напор принимает максимальное, а на Г^г — минимальное значения в С.

Косинус угла между нормалью п и вертикальной осью у вдоль депрес- сионной кривой Гр отрицателен, т.е. депрессионная кривая монотонно понижается от верхового откоса к низовому. Это следует из того факта, что р〉0 в Си, следовательно, вдоль Гр (на которой р = 0) 8р/3〃 > 0. Но Эр/Эи = 8〃/а* - Зу/а* = ЬН/Ьп - cos (九,歹)и, поскольку ЪН/Ьп = 0 на Гр (условие непротекания), cos (〃,у) & 0.

Перейдем к рассмотрению вариационных теорем для безнапорного потока. При этом будем рассматривать два типа вариаций.

Вдавливание границ постоянного напора Г〃 и Г力 или непроницаемой границы Г ° внутрь области движения.

Единственное отличие данного случая от вдавливания, о котором речь шла в разд. 1.1 и 1.2, состоит в том, что за счет возможной деформации де- прессионной кривой имеет смысл рассматривать вдавливание не только в исходной области движения, но и в содержащей ее области - "сечении пло- тины" С*.

Замена участка границы одного типа участком другого типа. Под этим понимается замена краевого условия одного типа условием другого типа. Можно, например, "сделать” непроницаемой часть входной кривой Г〃. Это будет соответствовать замене части границы Гя на Гм・ Сравнивая исходную и измененную постановки, будем отмечать звездочкой (*) величины, относящиеся к исходной, а двумя звездочками (* *) - относящиеся к измененной конфигурации. Имеют место следующие теоремы Н.Д. Якимова [146,147].

Теорема 3.1. При вдавливании участка наибольшего напора Гн, а также при замене части непроницаемого участка границы Г%, участка высачива- ния Гу или участка наименьшего напора Гл участком наибольшего напо・ ра「〃：

значение расхода фильтрационного потока Q увеличивается;

значения напора Н и давления р увеличиваются во внутренних точках исходной области фильтрации С* и на неизменной части непроницаемой границы Г*%；

значения скорости фильтрации и увеличиваются на неизменной части участков Г^ и Гу и уменьшаются на неизменной части участков Г〃；

кривые депрессии поднимаются.

Теорема 32. При вдавливании участка наименьшего напора Гл или участка высачивания Гу, а также при замене непроницаемого участка Г^ участком Г^ или Гу:

значение Q возрастает;

значения Нир уменьшаются (в С** и на Г^);

значения скорости фильтрации и увеличиваются на участках наибольшего напора и уменьшаются на неизменной части участков Гл и Гу；

кривые депрессии опускаются.

Теорема 3.3. При повышении уровня воды в верхнем бьефе (при увеличении 力J:

значение Q увеличивается;

значения Н (и р) увеличиваются (во внутренней части области течения С* и на ее границе,за исключением участков Г*扭 и「，);

значения и увеличиваются на участках границы с заданным напором 「//,「扭 и %;

кривые депрессии поднимаются.

Теорема 3.4. При повышении уровня воды в нижнем бьефе (увеличении ”2)；

значение расхода фильтрационного потока Q уменьшается;

значения Нир увеличиваются в С* и на ее границе, за исключением участка и неизменной части Гу；

значения скорости фильтрации и уменьшаются на участках Г〃 и неизменной части Г 扭 и увеличиваются на неизменной части Т，；

кривые депрессии опускаются.

Теорема 3.5. Для конфигурации типа основной задачи о плотине (см. рис. 2, в) с упорядоченным расположением участков границы области движения при вдавливании участка непроницаемой границы

уменьшается расход 0, а также расход через любой фиксированный участок входной или выходной границ Гя и ГЛ , примыкающий к Г %；

значения Нир увеличиваются на участках границы Г% перед (вверх по потоку) вдавливаемым участком и уменьшаются на участках, лежащих за вдавливаемым; на этих участках уменьшаются значения скорости фильтрации;

кривая депрессии поднимается в окрестности входной поверхности и опускается в окрестности выходной;

Замечание. Теоремы 3.1—3.4 верны в более общей постановке, нежели отвечающая основной задаче рис. 2, в; авторская формулировка теоремы 3.5 [146,147] шире приведенной выше.

Доказательство теорем 3.1,3.2 и 3.4 опирается на анализ поведения разности напоров ДЯ= Я** - Я* в пересечении АС областей С** и С*. Выделим на границе ЭД£2 участки, которые совпадают с заданными участками Э^2*и dd**. Очевидно, на них либо ЛЯ > 0, либо ЗДЯ/а〃= 0. Кроме того , граница ЗАС может, вообще говоря, содержать участки Г°, лежащие на исходной депрессионной кривой「方，и участки Г, лежащие на возмущенной депрессионной кривой. Поскольку р = 0 на Гр и Г^Ти "》0 внутри П*и ^*, △Я>0на Г° иДЖОнаГ.

Допустим, что участки Г существуют. Тогда в △£! должна существовать по крайней мере одна связная компонента С\ в которой ДН < 0. Ее граница Э£Г может состоять, помимо Г, из участков ЗАС, на которых bMi/bn = 0 или ЛЯ = 0, а также из лежащих внутри АС лини而 уровня △Я = 0.

Выделим на этой линии уровня те участки Г0/ (z = 1,...), которые отделяют 上 от тех подобластей 0°», которые ограничены Го/ и линией Г° и неизменяемыми участками ЗАС. Обозначим через % объединение Q~ и всех C()i и рассмотрим его границу Э£20. Рассмотрим

/к(ЗДЯ/а 几)ds,

взятый по границе ЗС". Этот интеграл существует и равен нулю, поскольку интеграл по каждому участку Го/ равен интегралу по соответствующему участку 8%.

На линиях уровня АЯ = 0 имеем 3sHiЗп & 0, так что

/ к (аА硏几)ds <0. aa-/r

Таким образом, необходимо, чтобы

fK(bAH/dn)ds>0, г

и поскольку

/ к 8"**側)ds = О, г

имеем

/к(ЭЯ*/дИ)(15<0.(3.3)

г

Соотношение (3.3) доказано для одной связной компоненты Г, но очевидным образом доказывается для всей линии Г.

Рассмотрим теперь подобласти 6 = £2*/Д£2, ^отрезанные55 от С* грани- цейГ. Граница каждой связной компоненты Ь может состоять из Г и участков линий Г* , Гр, Г^.

Суммарный поток

J к (ЭЯ*/Эп) ds = О,

и, поскольку он неотрицателен для каждого участка границы, кроме Г, необходимо выполнение неравенства

/K(aa*/a〃)ds《0.(3.4)

г

Однако неравенства (3.3) и (3.4) противоречат друг другу, так как направления нормалей в этих неравенствах противоположны. Таким образом, предположение о наличии участков границы Г неверно, и доказано основное утверждение теорем 3.1, 3.2 и 3.4 о поднятии депрессионной кривой; то обстоятельство, что они поднимаются всюду, кроме, быть может, концевых точек, т.е. не могут иметь точек касания, следует непосредственно из принципа максимума. Из того же принципа максимума следует немедленно утверждение "б" указанных теорем. Утверждение ,5в,5 следует из принципа максимума с учетом неизменности краевых условий на соответствующих участках границы. Наконец, утверждение "а" теорем есть прямое следствие утверждения "в".

Доказательство теоремы 3.2 строится аналогичным образом, только разность ^Н в пересечении областей АС оказывается отрицательной.

Наконец, для доказательства теоремы 3.5 используется сходная конструкция, примененная к функции тока W, изменяющейся от 0 на линии водоупора до 0 на депрессионной поверхности.

Приведенные теоремы Н.Д. Якимова (особенно в их более широком авторском варианте [146, 147]) создают рациональный фундамент для построения вариационных оценок интегральных характеристик течений с депрессионными кривыми. Отметим, что содержащиеся в них утверждения являются, с одной стороны, естественными, а с другой — в общем случае исчерпывающими, т.е. трудно ожидать, что они могут быть существенно усовершенствованы применительно к общему случаю.

1.3.3. Рассмотрим несколько простых примеров, число которых легко может быть умножено.

Рис. 23. Фильтрация через плотину к дренажной щели

Течение (рис. 23) отвечает притоку к дренажной щели на горизонтальном водоупоре через плотину с вертикальным верховым откосом. Для того чтобы получить требуемую оценку расхода Q и положения депрессион- ной поверхности У(х), воспользуемся классическим решением Форхгейме- ра—Козени—Павловского для притока к полубесконечной дренажной щели, лежащей на непроницаемой границе полуплоскости (рис. 24) [116], для которого комплексный потенциал дается выражением

W(z) =9 + iW = V —2CQzf(3.5)

где Q — расход, С - коэффициент фильтрации, С= (%/〃)gp.

Уравнение свободной поверхности, отвечающей W= Q, имеет вид

』=(—2Q/O (х —0/2。，(3.6)

причем напор на свободной поверхности (депрессионной кривой) равен, очевидно, ее высоте У. Подберем теперь Q таким образом, чтобы при х = —L иметь Y = H (ср. рис. 23); соответствующее значение Q обозначим через2":

Q~ = C (“R-丄).(3.7)

Легко видеть, что Q~ дает нижнюю оценку для расхода в исходной задаче. Действительно, изобразим на рис. 23 эквипотенциальную линию решения (3.5), отвечающую значению напора, равному Н при 0 =С・ Она пройдет вне первоначальной границы области течения. Если принять эту линию за границу верхового откоса, то расход будет равен 0~, а депрессионная кривая будет параболой (3.6) с 0 = 0- (пунктир на рис. 23). В соответствии с теоремой 3.1 это решение будет давать оценку снизу для фильтрационного расхо-

да, а депрессионная кривая будет лежать под истинной депрессионной кривой.

Для того чтобы получить оценку для расхода сверху, воспользуемся тем же решением (3.5) —(3.6), но подберем параметр Q таким образом, чтобы эквипотенциаль, отвечающая 屮=Н, проходила через точку (—£, 0). Непосредственно из (3.5) находим, что при этом

0=e+ = ^/(2CL).(3.8)

Поскольку переход к данной конфигурации достигается вдавливанием входной поверхности, то соответствующая депрессионная кривая окажется выше истинной (штрихпунктир на рис. 23), а величина 炉 будет давать оценку для расхода сверху. Одновременно для длины ,5рабочего участка" дренажной щели I имеем оценку /_《/《/+ (рис. 23). Используя известные значения 0~, Q*, 1_ = 07(26)」+ = 0+/(2С), имеем

次M 必Я2

7" +庐+丄&+М +五(3.9)

ПриЯ/£ <0,4 неравенства (3.9) дают оценку искомых величин с ошибкой, не превышающей 10%.

Столь же элементарно может быть исследовано и другое основное для расчета оросительных систем фильтрационное течение, относящееся к определению расхода фильтрационного потока из канала в проницаемом грунте. Картина течения показана на рис. 25. Поток формируется на контакте грунта со свободной поверхностью канала и на удалении от канала быстро стремится к однородному потоку со скоростью С. Основная задача состоит в определении расхода Q при заданном профиле канала и высоте уровня в нем. При произвольном профиле канала возникает достаточно сложная задача, однако для ряда семейств профилей известны точные решения, полученные методами теории аналитических функций. Сюда относятся полученные полуобратным методом решения Козе ни с депрессион- ными кривыми, заданными уравнением

х + тга/2С= A exp(Q/a),(3.10)

тга= Q, B = (Q/C)±2Af

где В — ширина канала на уровне свободной поверхности. При этом профиль канала задается параметрически уравнениями

х =А sin(W/a) - W/С; у = -4/cos(W/a);0《山《яа/2 = Q/2(3.11)

или

±х = ((В + 2Я)/я) arccos(y/H) —у/Н2 — J2*(3.11а)

(укороченная циклоида или трохоида ширины В и глубины Я = —Л).

Таким образом, для этого семейства решений имеем простейшую формулу

2= С(В + 2Я).(3.12)

В частности, для канала "нулевой глубины*5 (щели) имеем очевидный

Зак. 110049

Рис. 25. Фильтрационное течение из канала

результат

2 = СВ,

(3.13)

отвечающий ленточному потоку постоянной ширины и постоянной скорости С,

Другой класс точных решений получен В.В. Ведерниковым; он относится к каналам треугольного и трапецеидального сечения. Выражение для расхода записывается в виде [4, 116]

。=0(5+ *),

(3.14)

где для каналов треугольного сечения зависимость коэффициента ?? от угла откоса а представлена ниже:

а9°22° 30'30°45°60°67°30'87°

т?1,581,741,822,002,202,312,53

Для каналов трапециедального течения при различных углах откоса результаты В.В. Ведерникова даны в виде таблицы 4.

Из рис. 25 и приведенных формул следует простой способ оценки расхода, применимый для неглубоких (с Н/В < 0,10) каналов произвольной формы. Имеем, очевидно,

СВ《Q& С(В + 5,73Н),(3.15)

так что

0= 5c(1,287±0,287).

(3.16)

Для каналов "более правильной55 формы приведенные выше результаты позволяют получить более точные оценки. Так, для канала прямоугольной формы с Н/В = 0,1 имеем

СБ(1 + 3,7 Н/В)《0《С5(1 + 5,73^)・ (3.17)

1.3.4. Рассмотрим фильтрационные течения несжимаемой жидкости с подвижными границами - классический объект теории фильтрации.

Таблица 4

Н/В

П а Н/В

"a

Н/В

45°

0,500

45°

0,347

45°

0,245

45°

0,146

45°

0,0917

45°

0,0599

0 0 8 9 3 2 Q A J"J J ri гГ е! е<?九 尤

0,289

1,82

22° 301

0,207

1,74

0,203

2,28

22。30'

0,145

2,22

0,147

2,63

22。30'

0,106

2,58

0,0917

3,13

22°3(Г

0,0676

3,05

0,0599

3,55

22° 30'

0,0448

3,48

0°0000000°

3 3 3 3 3

Если уравнение границы области, занятой данной жидкостью, имеет вид

①(х,У, z, f) = 0,(3.18)

а поле скоростей фильтрации 〃(х, у, z, f), то условие того, что граница — материальная поверхность, записывается в форме

ЭФ

疗^— + и▽①=0.(3.19)

Иными словами, нормальная скорость движения границы

vn =加 т(ш1).(3.20)

Особый класс движений составляют течения жидкости, граничащей с газом, рассматриваемым как жидкость пренебрежимо малой вязкости и плотности. В силу этих допущений давление газа оказывается постоянным во все время движения, так что в подобных движениях граница области, занятой жидкостью, есть подвижная поверхность постоянного давления.

Рассмотрим сперва плоские напорные течения в горизонтальном пласте. Примем, что рассматриваемое движение представляет собой "заполнение трубки тока". Имеется в виду, что задана непроницаемая поверхность Sq и в одном из ее сечений S、задано постоянное значение давления Рх. Задано также первоначальное положение свободной поверхности 5y. Предполагается, что область, ограниченная поверхностями Sq и %, заполнена жидкостью. Сила тяжести не учитывается. На поверхности S『поддерживается постоянное давление 尸о < 尸】,что приводит к втеканию жидкости внутрь рассматриваемой области через поверхность S】и к продвижению поверхности S$ в область, первоначально не занятую жидкостью.

Очевидным следствием принципа вдавливания является следующая теорема сравнения.

Теорема 3.6. Пусть заданы два не совпадающие положения поверхности S『，S『и 5* имеющие общую точку М и ограничивающие соответственно области течения D^ и D*, причем D, С D*. Тогда в точке М значение нормальной компоненты скорости фильтрации для ^^внeшнeгo^^ положения границы м* больше, чем для ^^внyтpeннeгo^^ ип:

^ип^м >1"〃Ьи・(3.21)

Пусть теперь заданы два начальных положения свободной границы $4=0 и S；l*°, Мем

%。5“.(3・22)

Тогда в любой последующий момент времени

0«)UZ>*«)(3.22а)

(т.е. свободные поверхности, не пересекающиеся в начальный момент 才=°, не пересекаются и при последующем движении (Г > 0)). Это утверждение будем называть "теоремой oгpaничeния^^ — теорема 3.7.

Доказательство его немедленно следует из теоремы сравнения 3.6. Действительно, если предположить, 4fo поверхность S『обгоняет 5*, то

найдется момент %, когда эти два контура касаются друг друга в некоторой точке М причем 当仇)CD*(г0). Но тогда в точке М \ип\ < 吋|, и контуры должны ''разойтись" без пересечения.

Одно из важнейших следствий теоремы об ограничении состоит в доказательстве абсолютной устойчивости продвижения плоского фронта жидкости в незаполненный (заполненный газом) пласт. Чтобы избежать технических трудностей, связанных с рассмотрением бесконечных областей, ограничимся исследованием течения от плоской поверхности постоянного давления, заключенной в цилиндрическую непроницаемую трубку, образующие которой перпендикулярны напорной поверхности. Считается, что 9,тру- 6а” заполнена однородной пористой средой.

Невозмущенное движение представляет собой движение плоской свободной поверхности вдоль непроницаемой трубы. При фиксированном перепаде давления скорость движения свободной поверхности обратно пропорциональна удалению от напорной поверхности:

к △〃 d£

и«)= ；「= М)(3.23)

М mL

Рассмотрим теперь произвольное начальное положение свободной поверхности S； и обозначим через Lq и Lq минимальное и максимальное расстояния ее от напорной поверхности, а через £ "(f) и Л + (г) — соответствующие расстояния в произвольный момент времени.

Согласно теореме ограничения, возмущенная поверхность во все время ее движения будет заключена между плоскими поверхностями, располагавшимися в начальный момент на расстояниях Lq и Lq от напорной поверхности.

С учетом (3.23) имеем тогда

/2狂

△р +(£@2) <АХО< "«)《△〃+(£^)2丿・(3.24)

Поскольку с течением времени разность между правой и левой частями неравенства стремится к нулю, свободная поверхность, эволюционирующая от произвольного начального состояния, стремится к плоской. Таким образом, движение плоского фронта устойчиво "в большом".

Рассмотрим в произвольной ''трубе" движение свободной поверхности, "стартующее" от одного и того же начального положения S； ,но при различных положениях напорной поверхности S】и Sf, полагая, что поверхность 5f получается из S】вдавливанием внутрь области движения. В силу теоремы о вдавливании 1,15 в начальный момент нормальные компоненты скорости фильтрации на поверхности 5y окажутся выше в случае вдавленной напорной поверхности Sf. Это означает, что по истечении бесконечно малого промежутка времени df свободные поверхности разойдутся, причем поверхность 5* будет опережать S『.В дальнейшей эволюции в любой момент времени f локальная скорость поверхности S； будет больше, чем она была бы при той же конфигурации этой поверхности и невдавленной напорной поверхности S】.Учитывая это обстоятельство и повторяя рассуждения, ведущие к теореме об ограничении 3.7, приходим к выводу, что в любой момент Г свободная поверхность S* (f) опережает свободную поверхность

S『(г), стартующую от того же начального положения, но при исходном состоянии напорной поверхности S] (теорема 3.8), Очевидно, это утверждение позволяет получить априорные двусторонние оценки для положения свободной поверхности при сложной форме напорной поверхности.

Заметим теперь, что если обратить движение, предположив, что давление на свободной поверхности выше, нежели давление на напорной поверхности, то мы придем к случаю стягивания объема жидкости к напорной поверхности. Эта задача является одним из вариантов классической задачи о вытеснении жидкости из пористой среды жидкостью (газом) исчезающе малой вязкости (задача о стягивании контура нефтегазоносности) [58, 116].

При этом все оценки скоростей фильтрации на свободной поверхности (теорема сравнения 3.6) сохранятся, однако направление скорости движения свободной поверхности изменится на противоположное.

В результате вдавливание свободной поверхности внутрь области фильтрации приведет к ускоренному ее продвижению в этом направлении.

Дия конкретных конфигураций потока утверждения более определенные. Рассмотрим, например, вновь движение свободной поверхности в цилиндрической трубке тока с непроницаемыми стенками, полагая, что пористая среда однородна, поверхностью заданного напора является плоское нормальное сечение трубки тока, а начальное положение свободной поверхности представляет собой поверхность S；, максимальное и минимальное расстояния которой от напорной поверхности равны А$ н£6 и достигаются в точках 崛 hMq. Заменяя свободную поверхность на плоские нормальные сечения, расположенные на расстояниях £\ и ££ соответственно, получим для нормальной скорости в точках Mq и Mq оценки

(3.25)(3.25)"〃(m%)&%(吊-рО)/m^, ""MR)%(尸1 -尸0)/心鼠

(3.25)

(3.25)

Применяя те же соображения к последовательным положениям свободной поверхности, получим для крайних координат текущего положения свободной поверхности неравенства

АХО< “@6)2 -2%M〃w：

Z+(0> V3 J2 - 2k№血

・(3.26)・(3.26)Таким образом,

・(3.26)

・(3.26)

L _ L :

"«6)2 - 2k^P"pm + “(£j)2 —2к2Нм

Это означает, что размах отклонений свободной поверхности от плоскости возрастает со временем; движение абсолютно неустойчиво.

Оценки, подобные проделанным выше для движения в цилиндрической трубке тока, могут быть сделаны для других регулярных схем движения. Одним из наиболее интересных с прикладной точки зрения является движение между круговой линией постоянного давления (источником или стоком, скважиной) и охватывающей ее свободной поверхностью, на которой

давление постоянно. Используя аналогичные приемы, легко показать, что рассматриваемое движение стабилизируется и стремится к осесимметричному радиальному течению, если производится закачка жидкости через скважину, и дестабилизируется и абсолютно неустойчиво в случае отбора жидкости (задача о стягивании контура нефтеносности [114—116]).

Заметим, что все приведенные результаты основаны только на принципе максимума Хопфа и аналогах теоремы Заремба—Жиро, и потому они справедливы при произвольных нелинейных законах фильтрации.

Глава 2

КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ И ОЦЕНКИ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ ВЯЗКОПЛАСТИЧНЫХ ЖИДКОСТЕЙ

Плоские задачи движения однородной жидкости

Теория фильтрации вязкопластичных жидкостей — своеобразный раздел теории фильтрации, получивший в недавнее время широкое развитие как в связи с необходимостью разобраться в специфике движения в пористой среде нефтей, обладающих пластическими свойствами, так и в связи с тем, что он приводит к интересным в математическом отношении задачам с неизвестными границами [13, 20, 78].

Фильтрация пластических жидкостей характеризуется тем, что движение начинается лишь тогда, когда модуль градиента давления |Vp| превосходит пороговое (критическое) значение G, называемое начальным или предельным градиентом давления. Простейший закон фильтрации вязкопластичной жидкости — закон фильтрации с предельным градиентом давления (ПГД) определяется соотношением

▽р =—①(w)w/w;

①(w)= w+ 入，w>0,(1.1)

0《①(w) & 入，w = 0,入=kG/ц.

Наиболее интересным эффектом наличия пластического сопротивления у фильтрующейся жидкости является образование застойных зон — областей, в которых жидкость не движется, поскольку градиент давления по модулю меньше предельного. Определение формы и размеров застойных зон является основной в прикладном отношении задачей теории фильтрации вязкопластичных жидкостей. Так, в задачах разработки месторождений вязкопластичных нефтей застойные зоны в определенной степени характеризуют долю нефти, теряемой в ''целиках" (см. подробнее ниже) при вытеснении нефти водой.

Две типичные задачи показаны на рис. 26, 27. Первая из них отвечает течению, создаваемому двумя источниками равной интенсивности; вторая -течению от нагнетательной скважины к добывающей в элементе правильной (так называемой пятиточечной) сетки скважин. На источни-

aQaQРис. 26. Течение между источником и стоком равной интенсивностиРис. 26. Течение между источником и стоком равной интенсивностиРис. 27, Течение в элементе симметрии пятиточечной сетки скважинРис. 27, Течение в элементе симметрии пятиточечной сетки скважин

aQ

aQ

Рис. 26. Течение между источником и стоком равной интенсивности

Рис. 26. Течение между источником и стоком равной интенсивности

Рис. 27, Течение в элементе симметрии пятиточечной сетки скважин

Рис. 27, Течение в элементе симметрии пятиточечной сетки скважин

(1.2)(1.2)к ах и стоках, линиях равного давления и непроницаемых границах формулируются обычные для теории фильтрации условия; границы застойных зон являются линиями тока, на которых выполняется дополнительное условие предельного равновесия

(1.2)

(1.2)

I▽，产 G.

По существу, именно это условие служит для отыскания неизвестных границ застойных зон,

В области течения (w > 0) должна выполняться система

к

Vp = Ф(w)w/w, div w = 0,(1.3)

сводящаяся к нелинейному эллиптическому уравнению для давления.Таким образом, речь идет о решении нелинейной эллиптической задачи в области с неизвестной границей.

Значительный прогресс в решении плоских задач нелинейной фильтрации был достигнут благодаря использованию линеаризующего преобразо-

вания годографа. При этом в качестве независимых переменных берутся модуль w скорости фильтрации и угол 仇 составляемый ею с осью абсцисс, а в качестве неизвестных — напор Я и функция тока 屮,для которых получается линейная система

ф2”)W ①'(W)ф2”)W ①'(W)aw8waw8wананФО) aw _ ан М аз awФО) aw _ ан М аз aw(L4)(L4)

ф2”)

W ①'(W)

ф2”)

W ①'(W)

aw

8w

aw

8w

ан

ан

ФО) aw _ ан М аз aw

ФО) aw _ ан М аз aw

(L4)

(L4)

которая может быть приведена к эллиптическому уравнению второго по рядка для 屮 или Я:

Э/Ф2Эф \①8屮

I I + — =0

8w\w&(w)8w / w?Э02'.

w2ан\ w&82H

1+ —- -=0.

①(w) dw / Ф2 加 2

Когда, скажем, решение 屮(Ж 夕)найдено, Я (w,夕)находится интегрированием второго уравнения системы (1.4), а возвращение к физическим переменным достигается интегрированием соотношения

dz — + i —V(1.6)

\①(w) w /

На рис. 26,6 и 27,6 показаны задачи, соответствующие на плоскости годографа задачам рис. 26,〃 и 27, а. Широкий круг практически интересных задач на плоскости (w, 8) приводит к первой краевой задаче для функции W (w, 8) в области, имеющей вид полуполосы с разрезом вдоль линии 8 = % = const (многочисленные примеры приведены в [20]). Значение 夕1 определяется геометрией области течения в физической плоскости; характерная скорость 〃 находится после отыскания функции 屮(w,夕)из условия равенства характерного размера задачи заданному. В дальнейшем задачи с разрезом вдоль отрезка (0, а) будем называть задачами типа А, а задачи с разрезом вдоль (а, 8)_ задачами типа5.

Поскольку отсутствует принцип суперпозиции решений в физической плоскости для уравнений нелинейной фильтрации, рассмотрение каждой новой конфигурации является самостоятельной задачей. Возникающие при этом трудности делают особенно важными любые способы оценки и качественного рассмотрения, допускающие быстрое получение результата.

Одна из таких возможностей связана с так называемыми предельными решениями, соответствующими вырождению задачи в плоскости годографа.

Рассмотрим их вначале подробно на примере простейший задач А и В, а затем попытаемся применить и к другим, более сложным.

Рассмотрим задачу А для уравнения (1.5) в полуполосе 0 < и < °°, 0《夕 《б。с выброшенным отрезком ул {0 <и <а, 0 = вг I при условиях

W® 0) =0,w(0,6) =0 (0《6《力)；

〃=w/入，屮(〃，％)=0 (〃<〃)；屮(0, 6) = 0 (б-%)/%°')

(好48《好)；W(",M)=0.

Для этой задачи можно найти приближенное решение, однако это требует достаточно сложных выкладок. Попытаемся получить для решения простые оценки, используя то обстоятельство, что для уравнения (1.5) справедлив принцип максимума, согласно которому решение W (w,夕)принимает свои наибольшее и наименьшее значения на границе Г области △, в которой ищется решение. Отсюда следует также монотонная зависимость решения от граничных данных: увеличение краевых значений 屮(“，6) на некотором участке границы при сохранении неизменных значений на остальной части границы приводит к увеличению значений 屮(〃,8) во всех внутренних точках области △•

Таким образом, для решения очевидна оценка

О < V/ (w, 0) < Q6/0q,(1.8)

Правое неравенство следует из того, что 0Q/0q удовлетворяет уравнению (1.5), а в точках границы принимает значения, не меньше чем 屮.Будем теперь изменять величину параметра а. Пусть а иа > а — два значения параметра 〃，а % и 屮不 一отвечающие им решения. Тогда в общей области определения

Фа' < Wa・(L9)

Действительно,屮* и % совпадают во всех точках границы области определения, за исключением отрезка 0 = 019 а < и ^а19 на котором %> > фа' = 0. В частности,

Ф^ < Фа < %，(МО)

где через 屮^ и % обозначены решения, отвечающие а = 00 и а = 0, причем неравенства (1.9) справедливы в общей области определения рассматриваемых решений.

Для дальнейшего понадобятся также некоторые оценки поведения решения вблизи границ области определения.

Пусть М — некоторая общая точка границ областей определения функций % и 屮丁，а? — точка внутри области. Поскольку % (Л1)=屮/ (Л1) в силу граничных условий, то

% (尸)—％(М)》九，(尸)一 ％，(")；(1.11)

[Фа(p)-Фа(m)]/г^м > [九，(尸)-九，(")]"/•(L12)

Здесь а — некоторая постоянная, Тр^ — расстояние между точками РнМ в плоскости 〃夕.Переходя в неравенстве (1.12) к пределу при 尸今М, получаем, что производная решения % по 产 в точке границы вдоль любого внутреннего направления не меньше, чем соответствующая производная решения 屮不• В частности, это справедливо для производных в направлении внутренней нормали. Число а в (1.12) следует, естествеьшо, выбирать так, чтобы исключить тривиальные случаи обращения производных в 0 и 8, если это возможно.

На участке границы 夕=0, 0 < и < 00 направление внутренней нормали совпадает с направлением возрастания в 9 и из (1.12) следует

o《aWa，/加 & дфа/д0 & 3%/加 & Q/e0(1」з)

[здесь использованы также неравенства (1.8) и (1.10)].

Аналогичным образом при 0 =0Qi где направление внутреннией нормали противоположно направлению возрастания 6,

О/М & aWo/加 & а%/» & а%，/加 & aWg/ae & 2/("—%). (114)

Далее, на берегах разреза (夕 =&) имеем: слева (夕 二 & — 0,0《〃《〃) awjae & aWa’/aj & о(1.15)

и справа (夕=储 + 0, 0《〃& 〃)

2/(190 -储)=aWs/a^ 《 8w。，/88 《 awja仇(1.16)

Обследуем теперь поведение решения при малых значениях и в интервале

О《8 &&. На отрезке 0《〃《“ решение уравнения (1.5), обращающееся в нуль при w = 0, 0 = 0, 0 二 &, имеет вид

屮二玄 Рт (u) sin (ттгв/в^,(1.17)

m = 1

ГДрш =Вт^2 Р^-^т \ 2 +%»； 3 —U)三 BmU'Fam(1.18)

Здесь F (а, 0, у z) — гипергеометрическая функция [85], ат = ттг/&. В результате имеем с 8тгтО

山=〃2 Z Вт Fam (w) sin , O&G《 储，0 < w < a. (1.19)

小=1%

Таким образом, при 0 < 0 && имеем 屮(仇 w) = О (w2)(〃 今 0). В результате из (1.12) получаем, полагая показатель a = 2,

о & м，/а(〃2)& а%/а(〃2)(о《” м, 〃 =о).(1.20)

Предыдущие рассуждения не применимы при a = 0. Однако, непосредственно переходя в (1.20) к пределу при a ^0, получим

О & Ьфа'1Ь^) 《 8九/8(〃2)&8w0/3(〃2)

(О < 0 < 01? w =0).(1.21)

Можно убедиться, что эта оценка не является тривиальной, так как 8此/8 (〃2) обращается в бесконечность только в точке 6 = £.

Рассмотрим теперь те следствия, которые вытекают из полученных оценок применительно к положению границы застойной зоны, т.е. той линии тока, на которой скорость обращается в нуль.

Пусть источник помещается в точке А с координатами (хл, 0). Тогда ближайшая к нему точка застойной зоны имеет координаты

1 7 8w("，0) d"

%в =^л + Г У —Г，Ув =0(L22)

入о М 〃

(так как в плоскости 〃6 отрезку АВ соответствует полуось 0 < w < °°, 6=0, проходимая в отрицательном направлении). Учитывая неравенства

(1.13), получим

cv； 8九’d〃 ； 8九 d〃 ； 8% d〃

(L23)(1.24)(L23)(1.24)0 S JJ—《J

(L23)

(1.24)

(L23)

(1.24)

0 88 〃2 О Э0 〃2 о 88 〃2 так что

ха & кв。，& хВа《xBq.

Таким образом, расстояние от источника до застойной зоны монотонно увеличивается с уменьшением параметра а; как будет показано ниже, “в。<°°, так что это расстояние остается конечным при 〃 f 0.

Рассмотрим теперь собственно границу застойной зоны, отвечающую отрезку и =0, 0《8《％.

1 '/1 aw(〃“)\Г / cos"I dg 入 о \и Эм /м=оl^./l 8W3,叭(L25)-/ sinId9.1 '/1 aw(〃“)\Г / cos"I dg 入 о \и Эм /м=оl^./l 8W3,叭(L25)-/ sinId9.Имеем здесь

1 '/1 aw(〃“)\

Г / cos"I dg 入 о \и Эм /м=о

l^./l 8W3,叭(L25)

-/ sinId9.

1 '/1 aw(〃“)\

Г / cos"I dg 入 о \и Эм /м=о

l^./l 8W3,叭(L25)

-/ sinId9.

х(0) -х(0) =

у(0)-у(О) =

В силу неравенств (1.21) при увеличении 6 координаты х и у увеличиваются вплоть до 0 = я/2, затем у продолжает увеличиваться, а 夕 убывает. Из второго соотношения (1.25) и неравенств (1.21) следует при 0Х < я

о &jve)《九(8)&Уо(е).(1.26)

Последние неравенства вместе с (1.24) доказывают, что соответственные ветви границы застойных зон, отвечающих различным значениям а, не пересекаются между собой.

Действительно, легко убедиться, что неравенства (1.23) и (1.24) могут быть заменены на строгие неравенства, так что при а < а точка Ва лежит правее точки 5紋.Если при этом границы застойных зон пересекаются, то в точке пересечения

%=%'，九二九'，&》％'•(1.27)

Легко, однако, видеть, что эти условия противоречивы. Действительно, из неравенств (1.26) и монотонного возрастания у с ростом 0 следует, что последнее неравенство (1.27) должно быть заменено на равенство, 1 8%_ 1 8九，

причем в силу (1.25) необходимо также, чтобы= и bu 〃 8〃

при w = 0, 0 < 0 < %，. Но тогда из первого равенства (1.25) следует ха - -хВа = х/ — %8优，что в силу сказанного о неравенствах (1.24) противоречит первому требованию (1.27). Из полученных неравенств следует, что расположение застойных зон относительно источника изменяется с уменьшением параметра 〃 в соответствии с рис. 28, где показана картина течения в элементе в виде клина с раствором 2 (я - 01). (Очевидно, на физической плоскости роль непроницаемых стенок клина могут играть плоскости симметрии картины течения.) Характерный размер 丄,представляющий собой расстояние от источника до непроницаемой стенки, монотонно возрастает с уменьшением а от нуля при а = <» до бесконечности при а = 0

(последнее будет доказано ниже). В то же время характерный размер АВ изменяется от нуля до некоторого предельного значения £*, достигаемого при а = 0.

Из рис. 28 следует весьма простой, хотя и грубый способ оценки снизу размеров застойной зоны: если заданы интенсивность источника Q и характерный размер 丄,то застойная зона будет заведомо больше, чем попадающая внутрь клина часть застойной зоны, отвечающей а = 0 (на рис. 28 заштрихована). Эта оценка будет тем лучше, чем больше величина L (при прочих равных условиях). Напротив, при L < 丄* sin 夕 она, очевидно, становится тривиальной. Само предельное решение с а = 0 описывает структуру потока вблизи ^^ocтpия^^ застойной зоны.

Все полученные оценки относились к задаче А. Рассмотрим теперь задачу В при условиях (рис. 27)

w(0,6)二w(",0)二w("，施)二0;w(〃，储)=Q (〃<"<8). (1.28)

Сформулируем кратко, чтобы избежать повторений, оценки для этой задачи. В первую очередь, очевидно, (обозначения прежние)

0 =w8《九，《九《Wo （d > a）,

(1.29)

причем решение 屮。удовлетворяет в данном случае неравенствам

0《w0（",3）《20/% （O《G&0）

0《%（"，8）《0（80 一8）/®О一扑）（%《J《Go）.

(1.30)

Имеем, далее, на границе 0=0, 0<w <°°

e n 8九，3九0

o s s s s —,

加ьеьеOr

(1.31)

。aw。 b^a 8九，

(1.32)

—处00000丿。

M-明 ьеъеье

На берегах разреза 夕=%, 〃 > “：

—《 《 《 (слева夕=夕 1 - 0),

外 ье ьеъе

Qa % 8九 8w优

一—^> 一一 一，(ргггча оя 0=0 +

(1.33)

—ddd1 CllpdBd U1 т U

00-^1ai986al9

Наконец, при малых и (и < а) имеет место разложение, аналогичное (L17) (где б】 следует заменить на 0О), и прежним путем можно полу-Наконец, при малых и (и < а) имеет место разложение, аналогичное (L17) (где б】 следует заменить на 0О), и прежним путем можно полу-чить неравенство и е w а(М) а(М)чить неравенство и е w а(М) а(М)3Wo3Wo(1.34)(1.34)

Наконец, при малых и (и < а) имеет место разложение, аналогичное (L17) (где б】 следует заменить на 0О), и прежним путем можно полу-

Наконец, при малых и (и < а) имеет место разложение, аналогичное (L17) (где б】 следует заменить на 0О), и прежним путем можно полу-

чить неравенство и е w а(М) а(М)

чить неравенство и е w а(М) а(М)

3Wo

3Wo

(1.34)

(1.34)

в котором Э Wo /В"? обращается в бесконечность при 6=6 】.

Так же как и в первой задаче, полученные оценки немедленно приводят к соответствующим оценкам для положения границ застойной зоны. Прежде всего заметим, что положение источника относительно стока определяется выражениями

1 cosS] 3屮1 sin% 3屮

冲』F /下"^ d"，一厂一^才焉 d〃，(1.35)

(1.36)(1.36)где интегралы берутся по берегам разреза в направлении AED. Из (1.35) имеем

(1.36)

(1.36)

AD ае и2

что с учетом (1.34) дает

т 卜aw(% -о,«)3%(% +o,〃)] dw

2 Г 111

(L37)

Для расстояния между источником и острием застойной зоны имеем 1 广 d0fl(O,w) du

0《X%，一以《х% 一以=- / - B《X风一以 (1.38)

(и в этом случае путем несложных дополнительных рассуждений можно заменить неравенства на строгие).

Так же полностью проходит и рассуждение, доказывающее, что границы застойных зон, отвечающих различным «, не пересекаются. Единственное затруднение заключается в том, что здесь уже недостаточно ограничиться случаем 0^ <я. Если, однако, полагать б。& 27r и использовать проведенные рассуждения для 0 < 0 < я, а для участка я < 0 < 0О повторить то же рассуждение, отправляясь от стока F, то легко получить аналогичное (1.38) неравенство

0 ^Хр — %Еа，^Хр — Хе。^Хр — Хе°(1.39)

и следующее важное утверждение.

При фиксированных значениях Q и 入 область течения монотонно расширяется с уменьшением параметра а. При этом расстояние АВ между источником и острием застойной зоны при а -> 0 стремится к конечному пределу. Решение, отвечающее а = 0, может быть использовано для описания течения

61

Рис. 29. Границы застойных зон, отвечающих предельным решениям задачи Л

вблизи точки В и для построения грубых оценок минимальных размеров застойной зоны, наподобие того, как было сказано в п. 2.1.2.

2.1.4. Найдем теперь предельные решения, отвечающие сформулированным выше задачам А и В при « = 0. Используя интегральное преобразование по 〃, легко получить для задачи А:

Qu? 00 (1+$2)shs6 shs"

也。)=th/W 时 r)ds (。^ 研)，(1.40)

W(〃，6) =

0(6 - 61)&2

Gw ； (1 +?)shs(0o -0)shs0i

+J F(s, -u)ds

% оtliTrsshsSo

(01&6&8。),

причем для координат границы застойной зоны имеем, используя (1.6), z(0)=x(e)^iy(0) =

入％

00 schsS - ishs仇

/ shs62 ds.

оshs0o ths я

(1.41)

Для задачи о кольцевой батарее п скважин 0О = я, вх = (w - 1)乃/九,62 = =я/w имеем

(6 sin% + ^2 sin0)sin0

(cos% + cos® У

Q .д Г 02 cos0 +sin02z8)= e』e — +

入 7102L COS% + cos 6

6 sin% +^2sin0 1

0《8《8i・

COS 02 +cos6 J

задачи 4

На рис. 29 показаны границы застойных зон, соответствующие предельным решениям задачи А. Изображен участок границы в одном элементе симметрии течения, начало координат выбрано совпадающим с источником, принадлежащим данному элементу симметрии.

Как уже говорилось, предельные решения позволяют оценить снизу размеры застойных зон для рассматриваемых условий. Для этого достаточно изобразить на одном чертеже в безразмерных координатах 扌=入х я/^, 1? = Ху 不R элемент симметрии рассматриваемой конфигурации и границы застойной зоны для соответствующего предельного решения. Тогда попадающая внутрь данного элемента симметрии часть предельной застойной зоны будет целиком лежать внутри истинной застойной зоны.

Примеры применения такого способа построения оценок при помощи решений рис. 29 показаны на рис. 30 для случая двух источников (九=2) и батареи шести источников (w = 6).

Для задачи В имеем (при 0 & 6 & 8 】)

с 00 сshsS

(1.42)(1.42)schsS —ishsSschsS —ishsSW(〃，6)= Qu2 J s(l + s2)F(s, -u) —ds, о

(1.42)

(1.42)

schsS —ishsS

schsS —ishsS

Z(6)=

入 o shs% th"

Выражения для 内 & 8 & В。 получаются из (1.42) заменой % 今 %, 6 今 So — 6.

Рис. 31. Предельная застойная зона, отвечающая течению в системе источник-сток

Рис. 32. Оценка размеров застойной зоны для системы источник-сток с помощью предельного решения

При 61 = 7г имеем из (1.42)

z©)= ^eie入7Tz©)= ^eie入7T(1.43)(1.43)6+sin 66+sin6

z©)= ^eie入7T

z©)= ^eie入7T

(1.43)

(1.43)

+ г sin 8 - z

(l+cos6)2l+cos6 .

Предельные застойные зоны для значений 6 】=я, я/2 показаны на рис. 31; на рис. 32 приведены результаты оценки размеров застойных зон при помощи предельных решений. Как и следовало ожидать, оценка, даваемая предельным решением, оказывается весьма грубой, причем степень расхождения велика даже для достаточно малых значений параметра 〃, хотя и убывает с его уменьшением и зависит от характера исходной задачи.

Заметим, что все проделанные выше для простейшего закона фильтрации с предельным градиентом давления

Ф(и^ = w + 入

рассуждения могут быть перенесены без особых изменений на произвольный нелинейный закон фильтрации, допускающий образование застойных зон, т.е. удовлетворяющий условию Ф(0)=入 > 0.

Наконец, рассмотрим течение с образованием застойных зон в произвольной плоской трубке тока, ограниченной непроницаемыми границами Pi и Г2, и допустим, что имеется застойная зона Sz, примыкающая к линии тока Г2. Ее граница с потоком может рассматриваться как часть непроницаемой стенки, на которой ип = bp/bn = 0. В соответствии с теоремой о вдавливании 1.16 при вдавливании стенки Г\ и сохранении неизменным расхода через трубку тока значения скорости вдоль другой непроницаемой стенки увеличатся (не уменьшатся). Поэтому при таком вдавливании одной из непроницаемых границ застойная зона, примыкающая к другой непроницаемой стенке, может лишь уменьшиться.

Вариационные методы и оценки в теории целиков остаточной вязкопластичной нефти

Применительно к проблемам разработки нефтяных месторождений одно из важнейших свойств вязкопластичных нефтей - их способность образовывать протяженные области, так называемые целики остаточной нефти, которые благодаря наличию пластического сопротивления (предельного градиента давления) для движения нефти остаются неподвижными в потоке обтекающей их воды. Объем нефти в целиках максимально возможного размера (так называемых предельно равновесных целиках) дает оценку потерь нефти из-за наличия у нефти предельного напряжения сдвига.

В модели предельно равновесных целиков (например, [13, 65, 66]) предполагается, что область, занятая пластом D, разбивается на область движения воды D19 в которой справедливы обычные уравнения фильтрации несжимаемой жидкости, следующей закону Дарси:

divu = 0, и=-(^(х)/д)7р, x£°i, (2.1)

и область, занятую целиком вязкопластичной нефти, D3, в которой скорость фильтрации нефти равна нулю, и = 0, х G Z)3. На общей границе Г области движения вода и целика остаточной нефти имеем условие предельного равновесия

Нх) арI as I %(x)Нх) арI as I %(x)G(x), xGT.G(x), xGT.(2・2)(2・2)

Нх) ар

I as I %(x)

Нх) ар

I as I %(x)

G(x), xGT.

G(x), xGT.

(2・2)

(2・2)

На внешних (заранее заданных, отличных от Г) границах фильтрационного потока задаются обычные для теории фильтрации условия (условия на скважинах, условия на непроницаемых границах и т.д.).

Таким образом, задача отыскания предельно равновесных целиков состоит в определении течения, следующего закону Дарси, в области 厶】 с неизвестной границей Г, подлежащей определению из условий (2.2). Учитывая смысл этих условий, можно сказать, что имеется такая поверхность тока, на которой дополнительно выполняется условие предельного равновесия.

Далее будем рассматривать только пласты со слоистой неоднородностью, считая, что свойства пласта — проницаемость 左 и предельный градиент для нефти G 一 зависят только от координаты z, перпендикулярной к напластованию. Более того, предположим, что проницаемость к убывает снизу вверх (от подошвы к кровле пласта); при этом из физических соображений следует, что предельный градиент G возрастает с увеличением z. Таким образом,

к = к©, %'&0; G = G(z), G>0. (2.3)

Пласт будем считать вскрытым на всю мощность скважинами, в которых поддерживается постоянное давление. В сделанных предположениях

естественно ожидать, что целик будет располагаться над областью движения. Неизвестная граница целика будет задаваться уравнением

z =〃(%,»),(2.4)

где (х, у) — координаты в плоскости подошвы пласта, z — расстояние от подошвы. В тех точках (х, у) "плана пласта", над которыми целика нет ("пласт промыт на всю толщину"), Л = Я, где Н — толщина пласта; там, где целик занимает всю мощность пласта, Л = 0.

По-видимому, неизвестно ни одно точное решение задачи о целиках в приведенной выше точной постановке. Все известные продвижения связаны с введением дальнейших упрощающих допущений.

Считая пласт тонким, естественно в рамках сформулированной выше схемы течения предположить, что по вертикали (вдоль z) давление распределено гидростатически, и усреднить движение по толщине пласта. Для усредненного движения возникает двумерная задача нелинейной фильтрации:

divw = 0;(2.5)

K(h)

w = Vpaj); I Vp \=G(h)9 0<h<H;(2.6)

h

K^^H'1 / k(z)dz9 h<H- о

H(2.7)

K(〃)=Ko=—/%(z)dz, h=H Я о

(см. подробнее [13, 65, 66]). В силу соотношений (2.6) и (2.7) имеет место нелинейное соотношение между средней скоростью потока воды w и модулем градиента давления | Vp I при 0 < I Vp | < С(Я). В частности, для однородного пласта величина G не меняется с изменением Л, и поэтому при всех толщинах промытой части пласта, отличных от крайних значений h = 0 и h = Н, модуль градиента давления принимает постоянное значение I Vp I = G. Это означает, что толщина промытой части пласта подстраивается таким образом, что необходимый поток обеспечивается при указанном значении градиента давления. Так же как и для пласта с переменными по толщине свойствами, в плане пласт разбивается на три зоны:

область полностью промытого пласта △】

h=H, |Vp|>G;

область частично промытого пласта

0<h<H9 IVpHG;(2.8)

область, полностью занятая целиком,

〃 = 0, Npl VG.

В усредненной постановке (2.5) —(2.7) задача отыскания целиков решается методами, развитыми в теории плоской задачи нелинейной фильтрации.

Еще более упрощается задача для однородного пласта, если допустить, что область частично промытого пласта отсутствует вовсе, так что имеются 66

лишь целик, занимающий всю толщину пласта, и полностью промытая зона, разделенные резкой границей — цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси z. При этом движение оказывается плоским; в промытой зоне давление удовлетворяет уравнению Лапласа:

Ар = О, (х,у)Е^,(2.9)

а на неизвестной границе целика выполняются условия непроницаемости и предельного равновесия:

lVp|「=G, bp/bn |г =0.(2.10)

В этой постановке задача в ряде случаев может быть решена методами теории струй идеальной несжимаемой жидкости [3, 20, 78], что послужило основой ее детальной разработки.

Установим теперь, что сформулированная задача допускает вариационную постановку, и покажем, что изложенные выше приближенные подходы к задаче определения предельно равновесных целиков естест- веным образом следуют из вариационной формулировки при ограничении класса функций, на котором отыскивается решение. На основе вариационной формулировки легко получаются также оценки объема промытой части пласта. Составим функционал

л

/= - Я / [^)IVpl2 -kQGS]dzdxdy9(2.11)

D о

где

D=Z)i U°2 и°з；无=Н, (x,y)£Di；厶=0, (х,у)£0з；

0<h<H9 0卩)e。2,

и вычислим его первую вариацию при варьировании р(х, у, z) и h(x9 у). При этом можно поступать двояко. Доопределим pQc, у, z) во всем слое D X [0,Я], гладко продолжая в областьz>h(x9y). Тогда при фиксированном р(х, у, z) вариация функционала будет определяться варьированием 力@，7), и для 5J, очевидно, имеем

5J=丄〃 k(z)|Vp『 -kQGl]bh^x^y^ 〃k(z)-^”dS-

2 z>2s a九

h

-Я / ▽«(z)vp)5P dz dx dy,(2.12)

d2 о

где Ьр и bh ~ независимые вариации.

Если считать, что p(x9y9z) определена в слое 0<z <：h(x9y)9TO варьирование Л(х, у) неизбежно приводит к варьированию р(х,у, z) и соответственно области интегрирования. Используя формулу варьирования интеграла с переменной областью интегрирования [81], получим

51 = -Я / ▽(左(z)vp)5pdzdxdy+ /J^(nVp)6pd5 + dqs

+ - //[^(z)| Vpl2 -C](n6x)dS; C = k0G^.(2.13)

s

Здесь 5р и 6х — независимые скалярная и векторная вариации, определенные в 方,S - поверхность, ограничивающая область движения воды. Полагая вариацию Ьх (смещение точек области) равной нулю на известных границах области и 5х = k5/z на поверхности целика, убеждаемся, что выражения (2.12) и (2.13) совпадают.

Таким образом, если пара функций h(x9y) и р(х, у, z) есть решение задачи отыскания целика остаточной нефти (2.1), (2.2), то она обращает в нуль вариацию 6/. Наоборот, из требования равенства нулю вариации 5 J при произвольном варьировании границы целика dh и давления Ьр вне поверхности питания приходим к сформулированной выше задаче.

Если граница целика фиксирована, то функционал (2.12) превращается в полный дополнительный потенциал диссипации фильтрационного потока R9 а функция рЛ(х, у, z), являющаяся решением задачи (2.1), (2.2) со снятым вторым условием (2.2), доставляет ему минимум. На классе функцийр力 функционал Jпревращается в функционал от h:

л

J\h,Ph\ = ^*1^1 = 7 Я / \^ph\2k(z)dz dxdy-

D о

--ff kQG^dz dxdy.(2.14)

2 D

Если поверхность питания можно подразделить на две части S〔，S?— вход и выход потока, на которых давление принимает постоянные зна・ чения Р^ и 尸2,尸 1 >尸2 соответственно, то первый интеграл в (2.14) равен 712(^1 -尸2), где 2 - расход фильтрационного потока. В общем случае он равен половине мощности N, диссипируемой фильтрационным потоком. Второй член в (2.14), очевидно, равен ^?。%, где V+ — объем области, занимаемой движущейся водой, C = kqG^. Таким образом,

J*[h] =yi\N(h)-CV+(h)],(2.15)

Из общих теорем о вдавливании (см. гл. 1) следует монотонность N(h): N[h+]>N[h~], если h*>h\ (xy)ED.

Данные неравенства выражают тот факт, что суммарная диссипация потока при заданных давлениях на поверхностях питания увеличивается, если область фильтрации расширяется за счет отодвигания непроницаемой границы (см. выше). Монотонность 匕仇)очевидна.

Вариация 5 J* при варьировании h складывается из вариации, обусловленной деформацией границы, и вариации, вызванной изменением поля ph. Однако, поскольку поле ph само является решением вариационной задачи, то первое и второе слагаемые в (2.13) обратятся в нуль. Тогда имеем

5/*=^// [\^7ph\2 -G2(h)]k(z)dhdxdy. D

Условие обращения в нуль 5 J*снова приводит к дополнительному граничному условию

"Р” I2 =G2仇)，z=h(x9y)9

служащему для нахождения неизвестной границы. 68

Рис. 33. Оценка зависимости объема промытой 'части пласта от перепада давления

Можно показать, что на функциях「“искомое решение h(x9y) доставляет максимум функционалу /*(%), во всяком случае для достаточно близких поверхностей hQc9y).

В результате решение исходной задачи сводится к минимаксной: найти функцию h(x9 у), такую, что минимум интеграла (2.11) по всем допустимым p(x,j,z) принимает максимальное значение.

Из выражения (2.15), учитьшая, что подынтегральное выражение в (2.14) положительно, имеем оценку

V^[h] <N(h)/C<N[H]lCt (2.16)

где ^[77] - мощность диссипации для пласта, в котором движение воды происходит по всей его толщине h =Н. Поскольку эта величина находится из стандартного решения линейной задачи, то оценка (2.16) может оказаться полезной. Так, например, для течения к скважине радиуса р от прямолинейного контура питания имеем

1ик^Н 尸]—Р22тгк()(尸 1 —尸2)

0 = ， N =,

从 l@/p)ln(2a/p)

где %о - средняя по мощности проницаемость пласта, 〃 — расстояние от контура питания до скважины. Тогда в силу (2.16)

匕.⑺& 二一=——2—— 」一^? .(2.17)

k0G0 ^oln(2a/p) \ aG /'

Оценке (2.17) в случае однородного пласта kQ =киа/р= 103 отвечает прямая 1 на рис. 33. Как будет видно из последующего, данная оценка оказывается весьма грубой.

Рассмотрим следствия, вытекающие из сформулированной минимаксной задачи. Сузим класс полей давления р, предполагая их двумерными, р = = р(х,у) . Тогда из (2.11) имеем

丿=丄 〃| ▽「(*/) |2/%(z)dzdxdy-丄 С ffhdxdy. (2」8) 2 q о 2 曾

Требуя минимума функционала (2.18) при фиксированном Л(х, у) , получаем

div [*〃)▽「(“)] =0;

力

К(〃) = /左(z)dz; Р(х/) = %,2,(х, j)G51j2;(2.19)

о

Эр/Эи =0,(х, y)^Sq.

Максимизируя функционал (2.18) по Ли учитывая (2.19) , находим

5J 二％ ff[K(h) I Vp I2 - k(h)G2 (А)] 5Л dx dy.(2.20)

Вариация bh произвольна при 0 < Л < Я, при 丸=О 6Л >0, при h=H 5丸 < 0. Таким образом, условие максимальности J дает

1"р|2 =G2&),0<丸<".(2.21)

Задача (2.19), (2.21) совпадает со сформулированной выше задачей отыскания предельно равновесных целиков в предположении, что давление по мощности распределено по гидростатическому закону, и в ряде случаев допускает эффективное решение. Из приведенных рассуждений видно, что соответствующее решение (力 2,尸2)доставляет максимум минимума функционала/на класс функций &, не зависящих от z. Таким образом,

Jo -тахй minpJ<J* [h2iP2].

Рассмотрим теперь этот же функционал на классе ступенчатых функций 力(х, у), принимающих только два значения:

丸=0, (х,у)£0з； h = H, (х,у)£А・

При этом часть границы Го в области течения Dt совпадает с контуром питания Гр и фиксированной непроницаемой границей Гд, а часть Г1 неизвестна. Тогда

J = Jt =% JJ f [^(z) I Vp I2 - С] dzdxdy.

5 о

Составляя вариацию 6J*, получим

5«Л =—〃/▽(%(?)▽「)8Pdzdxdy + J Jk(z) 上 6pdz&l + d q нг/гр оa 九

+ % / n5xf [^(z)|Vpl2 -C]dzd/.

DA °

Приравнивая вариацию BJ* нулю, имеем

/ ▽ (%(z) Up) dz = 0,(x,y) £0i;

о

P=f, (xty)^Fp;(2.22)

нdp

/Hz)[| vp『—G2]dz = 0,— = 0, (x,^)erx urQ.

оbn

Если заданное на контуре питания давление не зависит от z, то задача допускает решение р = р (х, у), н в результате приходим к краевой задаче

Ар = 0,(%/)£%; р(х, 7)=/(х, 7),(х,7)ЕГр;

Ър

—=о, (xfy)erq； on

(х, j) е гх.(х, j) е гх.(2.23)(2.23)Эр

(х, j) е гх.

(х, j) е гх.

(2.23)

(2.23)

I Vp |2 =G2, -—=0 on

Это известная плоская постановка задачи о целиках в однородных пластах [см. также выше соотношения (2.9), (2.10)], эффективно решаемая методами теории струй. Поскольку в соответствующей вариационной формулировке сужен класс допустимых функций h(x,y)9 то получающиеся решения дают оценки снизу для функционала J на '*истннном" решении

/>Л，(2.24)

Соотношение (2.24) также можно использовать для оценки неизвестного значения объема промытой части пласта К+ аналогично тому, как это было сделано в случае фиксированной границы целика. Используя (2.15) и (2.24), находим

吸= (N— 2J)/C<(Nd -2Л)/C = (Nd - Ух)/C + 匕=P*.

Здесь Nd — диссипируемая мощность при той же геометрии, заданном перепаде давления и движении, следующем закону Дарси (С = 0); М — мощность диссипации для потока с образованием целиков в рамках плоской задачи (2.13); Кх - объем промытой зоны, подсчитанный при тех же предположениях плоской задачи.

Поскольку имеется значительный запас готовых решений, отвечающих двумерной постановке (2.23), то величины М н 匕 могут быть вычислены в явном виде. Так, для рассмотренного выше течения от одиночной скважины к прямолинейному контуру питания нужное решение приведено в работе [3]. Вычисленная на основе этого решения зависимость P*(Ap/@G) показана на рис. 33 кривой 2 в логарифмических координатах. Согласно (2.24), эта зависимость дает верхнюю оценку для объема промытой части пласта. В данном случае можно непосредственно проверить, насколько грубой является оценка (2.24). Дело в том, что выбранный пример относится к классу тех течений, для которых плоская постановка дает точное решение трехмерной задачи [65, 66]. Поэтому для него легко вычислить точное значение объема промытой часть ^+, используя то же готовое решение [3]. Соответствующий результат показан на рис. 33 кривой 3. Видно, что в основной области изменения параметров оценка (2,24) примерно вдвое выше истинного значения.

Допустим теперь, что ступенчатая функция h(x,y) может принимать 〃 + 1 заданное дискретное значение:

%о=0<%〈坛〈…<hn=H,

无(х,у)=м(x,y)ezy

Тогда определению подлежат границы Г/ между областями △/ н △/+】 и непрерывное поле давления p(x9y,z). Ограничимся двумерными полями

71

p (x, у). Требуя минимума функционала

1_

/=Л = - Я J 忙⑵ I Vp I - С] dz dx dp

2 о

no 〃 и максимума по возможным конфигурациям границ Гу, приходим к задаче

△卩(х,У)= 0, (х/)£~ ;

二。(％+1 — %),(х, у} G г；；

р =/(^, у)Лх，^^Гр； а〃/а 几= о,(х,у)£1\・

Рассмотренный случай двумерного поля давления и ступенчатой функции Л (х,у) отвечает приближенной постановке задачи о целиках в слоистом пласте, предложе той в [64], отличаясь, однако, от последней условием предельного равновесия.

Г л а в а 3

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. УРАВНЕНИЯ.

НЕКОТОРЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ.

ЗАДАЧИ О ТРЕЩИНАХ

ЗД. Основные уравнения теории упругости.

Напомним необходимые для дальнейшего соотношения линейной теории упругости (их обоснования можно найти в руководствах по теории упругости, например, в [90, 93, 103, 128]).

Рассмотрим упругое тело, отнесенное к прямоугольной декартовой системе координат (Х],Х2,Хз). Пусть упругое смещение произвольной точки тела характеризуется вектором и с компонентами 〃1,〃2,〃з・ Поле смещений и определяет тензор деформаций £*/. Если деформации малы (именно этот случай преимущественно рассматривается в дальнейшем), то

%• = % (а〃"3х/ + а〃//ах)(1.1)

Тензор £“ — симметричный тензор второго ранга. Определение (1.1) предполагает, что смещения непрерывны и однозначны. Это налагает определенные необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять величины £炉：

m£22 а?е3з3?ё233?£11 Э /认23^^31 a印2

+ = 2 ,= I - + + —'■— Зх； Э%2 dx2dx3 8x28x3 ax】\ Mi dx2 0x3

厂сзз a J】 а с】 a £22 a / 决з】aci? азз \

+、 2 = 2 , = I+ +

心 1 охз ах】Зхз 8x38x1 ах? \ ах? 8犬3 3xi /

Mcil 3%22Э2^! 2 а^Сз а / 决12 3^23 О2 бз 1 \

1- 2 = — I1- + 1

3^2 Эх? 8X13X2 ' Эх^Ха Зхз \ Эх3 Зх】 dx2 /

(1.2) Условия (1.2) — условия совместности Сен-Венана.

Напряженное состояние на произвольно ориентированной площадке в упругом теле определяется формулами

% = Oij 勿 %,(1.3)

1。「12 =。j +。^ =修勺9沃0句•一 Rk 〃p 5/。%Р).

Здесь оп, отоТг — компоненты вектора напряжений на площадке с нормалью п в направлении нормали и двух взаимно перпендикулярных векторов 门"2 в плоскости площадки. Величины о^ — компоненты тензора напряжений. В отсутствие внутренних напряжений (или сосредоточенных моментов) тензор。力 симметричен.

Дифференциальные уравнения равновесия упругого тела при заданных массовых (объемных) силах g (^i, g 2, ^ з) имеют вид

(boij/dxi) +gz = 0.(1.4)

Связь между напряжениями и деформациями определяется обобшенным законом Гука. Для изотропной однородной среды, согласно этому закону,

0引=入晓% 3丐 + 2"切，(1.5)

где 3〃・一символ Кронекера,入 и 〃一 упругие постоянные материала — постоянные Ламэ. Константа 〃 носит название модуля сдвига. Изотропное однородное упругое тело характеризуется двумя упругими постоянными. Наряду с 入 и 〃 широко используются две другие постоянные - модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона 〃. Связь между ними определяется соотношениями

(1.6)(1.6)入=〃£/(1 - 2〃)(1 + 〃)，〃 =Е/2(1 + 〃).

(1.6)

(1.6)

От системы уравнений равновесия в напряжениях (1.4) можно перейти к системе уравнений в смещениях (системе уравнений Ламэ), использовав соотношения закона Гука (1.5) и определение деформации (1.1). Обычно систему уравнений Ламэ записывают в векторной форме

(1.7)(1.7)“△и + (入 + 〃)grad div и + g = 0.

(1.7)

(1.7)

Применение той или иной формы системы уравнения равновесия диктуется типом краевых условий в конкретной задаче.

В теории упругости в качестве основных выделяют следующие три краевые задачи.

1-я краевая задача (или задача, сформулированная в напряжениях). Найти равновесное состояние упругого тела V с границей S под действием приложенных на границе тела нагрузок F:

on\s=Fn, crT\s^FTi(1.8)

где Оп^т^т^ >°т2)} 歹小 歹 т (尸 г I，歹丁 2)~ компоненты векторов напряжений и нагрузок, приложенных в точке поверхности тела. В частности, функции Fn, F「могут на части поверхности S обращаться в нуль. Граничные условия (1.8) часто бывает удобно записывать в проекциях на исходные декартовы оси координат, т.е. в виде

。仆广冗(仃=1,2,3),(1.9)

где % — компоненты единичного вектора внешней нормали к поверхности в произвольной ее точке.

П-я краевая задача (задача, сформулированная в смещениях). На границе тела заданы смещения g:

uls=g,0-Ю)

в частности на части поверхности S могут быть заданы нулевые смещения.

Ш-я краевая задача (смешанная задача). На части S 】поверхности тела заданы нагрузки F, а на части S? — смещения g:

。叮勺 \s =&u|% =g.(Ml)

Помимо перечисленных типов краевых условий встречаются их разнообразные комбинации. Например, краевые условия в области контакта упругого тела с деформируемым основанием в простейшем случае имеют вид

оп =kuni *=0,(1-12)

где к — коэффициент упругости основания (^коэффициент постели,?). Основание, для которого выполняется условие (1.12), называют винкле- ровым [134] *.

До сих пор рассматривались только краевые условия, имеющие вид равенств. Однако для большого круга задач краевые условия представляют комбинацию равенств и неравенств. Это так называемые задачи с односторонними ограничениями (или с альтернативными условиями) [60, 137]. Особенность этих задач в том, что граница, разделяющая области поверхности упругого тела, в которых выполняются краевые условия в форме равенств и неравенств, неизвестна заранее й отыскивается в ходе решения задачи..

Приведем пример подобной задачи — контактную задачу с неизвестной областью контакта.

Рассмотрим вдавливание жесткого штампа в упругое тело, для определенности —полупространство. Возможны две принципиально различные ситуации: на поверхности штампа имеется острая кромка (рис. 34, а);

Рис. 34. Вдавливание штампа с острой кромкой и без нееРис. 34. Вдавливание штампа с острой кромкой и без нееаа

Рис. 34. Вдавливание штампа с острой кромкой и без нее

Рис. 34. Вдавливание штампа с острой кромкой и без нее

а

а

поверхность штампа острой кромки не имеет (рис. 34, 6). В первом случае область контакта штампа и упругого тела известна до решения задачи и определяется положением острой кромки на поверхности штампа. За пределами части поверхности штампа, ограниченной острой кромкой, упругое тело как бы ''сходит" с поверхности штампа. Иная картина во втором случае. При вдавливании штампа без острой кромки положение границы области контакта заранее неизвестно.

Перейдем к записи краевой задачи о вдавливании штампа без острой кромки.

Пусть упругое полупространство занимает область х3 <0 декартовой прямоугольной системы координат (х^Ха/з). Поверхность штампа описывается функцией f (Xi』). Будем считать, что вдавливание штампа происходит под действием силы, действующей нормально к поверхности полупространства(Х3 = 0), и моментов, которые могут приводить к повороту штампа, относительно осей xlfx2. Примем следующие условия взаимодействия штампа и упругого тела: 1) поскольку штамп жесткий, то смещения точек границы полупространства ограничены поверхностью штампа; 2) предположим, что в области контакта отсутствует трение и нормальные напряжения а33 не растягивающие; 3) наконец, вне области контакта между штампом и границей полупространства имеется зазор и нормальные а3 3 и касательные о13,咏 напряжения равны нулю. Краевые условия задачи можно записать в следующем виде:

"3 &Г(Х1,Х2)— В +QX2 - 0X1 二尸(Х1,Х2),

。13 =。2 3 =о при Хз =0,(1.13)

。3 3 = 0 при г/3 < 夕(Х1, Х2 ),

033 40 при 〃з =F(x15x2)«

Здесь 〃з(Х1,Х2)- смещение точек границы полупространства в направлении оси Хз： а, 0 — углы поворота штампа относительно осей х】，Х2； 3 — сближение (осадка) штампа.

При решении задачи (1.13) при заданной вдавливающей силе и моментах подлежат определению граница области контакта, распределение контактных напряжений, осадка и углы поворота штампа, а также распределение смещений точек поверхности полупространства вне области контакта. Возможна и иная постановка, когда по заданным осадке и углам поворота штампа требуется найти необходимые для их обеспечения значения вдавливающей силы и моментов.

Для сравнения приведем краевые условия в задаче о вдавливании штампа с острой кромкой. Пусть 3 — известная в этом случае область контакта, тогда

〃з 二歹О1,Х2)при Хз =0,(x15x2)GS,

013 二。23 =。при Хз = О;(1.14)

。33 =0 при Хз =0, 01户2)忑S.

Отметим, что решения задач о штампе с острой кромкой и без нее отличаются степенью гладкости. Контактные напряжения в случае, когда область контакта известна, имеют на контуре Г этой области особенность типа 厂 О, где г — малое расстояние по внутренней нормали к контуру Г в плоскости Хз = 0. Если же область контакта находится по условиям (1.13), то напряжения на ее контуре особенности не имеют и стремятся к нулю при г f 0. Доказательство справедливости этих асимптотик приведено, например,в [103].

Другие примеры задач теории упругости с альтернативными условиями рассмотрены в гл. 8.

В дальнейшем подробно изучается класс задач в определенной мере двойственных задаче о штампе 一 задачи о трещинах. Поскольку задачи о трещинах нас будут интересовать главным образом в связи с оценкой условий их распространения и разрушения тела, приведем постановку задачи и сформулируем критерий разрушения на примере трещин отрыва, занимающих плоскую область. Именно эта постановка будет использована в последующих главах.

Постановка задачи о квазихрупком разрушении.

Критерий роста трещин

Разрушение нередко обусловлено образованием и развитием макроскопических трещин. В линейной механике разрушения, в рамках которой ниже ведется рассмотрение, эту ситуацию схематизируют, заменяя трещину разрезом [И, 103, 106, 108, 122].

Разрушение в результате прорастания трещин может осуществляться при сравнительно низких напряжениях. При этом деформирование происходит линейно-упруго всюду, за исключением малых прилегающих к краю трещины концевых областей, где материал перед разрушением может претерпевать большие неупругие деформации. Малость концевой области трещины влечет за собой автономность ее состояния в момент наступления разрушения: напряженно-деформированное состояние в окрестности края трещины становится полностью не зависящим от приложенных нагрузок и геометрии тела [10], что позволяет сформулировать критерий роста трещины.

Рассмотрим сначала трещину, которая занимает область (хь х?) £ £ G (с границей 3G) плоскости х3 = 0 в деформируемом теле D (с границей ЭР) (рис. 35). Пусть приложенные нагрузки таковы, что на продолжении трещины возникают только нормальные растягивающие напряжения. В этом случае речь идет о плоской трещине нормального разрыва (или отрыва) *.

Рис. 35. Трещина-разрез в упругом пространстве

Рис. 36. Сечение трещины,d -концевые области

В соответствии с приемом Бюкнера [103] внешние нагрузки можно свести к действующим на поверхностях трещины напряжениям р (%], х?)〉 > 0. Граничные условия в плоскости трещины можно записать в следующем виде:

Озз(Х1,Х2,±0) = —Р(Х],Х2),(X1,X2)£G；(2.1)

。13&1,工2, ±0) = сг23(Х], х2, ±о)=0,(X1,X2)£G.(2.2)

Условие (2.2) выражает отсутствие касательных (сдвиговых) нагрузок на поверхностях трещины.

Рассмотрим сечение трещины некоторой вертикальной плоскостью, например х2, хз (рис. 36). Там же показаны сечения концевых областей трещины характерного размера d, в которых сосредоточены процессы нелинейного деформирования и предразрушения. Вне этих заштрихованных зон поверхности трещины находятся лишь под действием внешних нагрузок (2.1). В пределах концевых зон между поверхностями трещины действуют еще силы взаимодействия (сцепления) g(x「х2), препятствующие развитию трещины.

Пусть трещина G имеет характерные размеры 厶，…，％ а упругое тело D — £п • . . , Lp. Предположим, что 2«min 〃％, Lp }. Для того чтобы к, р

охарактеризовать перераспределение напряжений в окрестности концентратора —трещины, воспользуемся присутствием в задаче резко различающихся масштабов d и 1^, Lp и связанной с этим возможностью асимптотического анализа решения полной задачи в различных по сравнению с d и /%, £「 зонах деформируемого тела.

Начнем с зоны, характеризуемой значениями d <\r\<lki Lp, г — расстояние от края трещины. В масштабах этой зоны концевая область тре-

щины, где сосредоточены нелинейные процессы, стягивается к краю трещины (ЭС7). Поэтому напряженно-деформированное состояние в выделенной зоне можно определить из решения задачи теории упругости для тела D с разрезом по плоской области G при условии, что граница тела свободна от нагрузок, а на поверхностях разреза действуют внешние нагрузки (2.1) (внешняя задача). Поскольку рассматриваются точки, для которых |г| « «?к，£卩，поле напряжений в выделенной зоне представляет собой асимптотику решения внешней задачи вблизи края трещины. Пусть М — произвольная точка гладкости контура трещины и Mi — близкая к ней точка (в нормальном к контуру, проходящем через " сечении). Указанная асимптотика в локальной системе координат 久，江，冕 с началом в точке М (рис. 35) имеет вид [103, 122]

。3 3("1)^ 一； 7 /33(0),

С (2.3)

33(m])•力3(0) 0=1,2).

Здесь S — расстояние от точкиМх доМ; Д3 — функции угла О, определяющего направление вектора ММ】в плоскости 红冕 относительно оси 丘. В силу (2.2)力3(。)- /зз(0)・ Как видно, нормальные напряжения сг33 на продолжении трещины имеют корневую особенность. Коэффициент N、 при особенности играет определяющую роль в теории трещин и называется [103, 122] коэффициентом интенсивности напряжений.

Оказывается, и это важно для приложений, что асимптотика смещений поверхностей трещины вблизи ее контура также выражается через N、. Если обозначить через 〃】，〃2, 〃з смещения точек верхней поверхности трещины, то для трещины нормального разрыва

〃3(〃2) % QM 内、а = 4(1 — # )/瓦 (2.4)

где 必 £ G и расположена вблизи точки М на нормали к контуру трещины, проведенной в ее плоскости через точку УИ, S〕一 малое расстояние от М2 до М.

Компоненты смещения 〃“ 〃？ в плоскости х〕，х2 в силу симметрии нагружения при переходе от верхней поверхности трещины к нижней не терпят разрыва, а компонента 〃з, сохраняя величину, меняет знак. Скачок смещений в направлении хз равен 2〃з.

Теперь рассмотрим напряженно-деформированное состояние тела в окрестности г《d вблизи края трещины. Поскольку d меньше всех характерных размеров контура трещины, то, в частности, d меньше и минимального радиуса кривизны контура. Выберем произвольную точку Р J-окрестности контура трещины. Проведем сечение трещины плоскостью, нормальной к контуру и проходящей через Р. Если отнести длины к d, то контур трещины вблизи точки Р станет прямолинейным,• а указанное сечение тре-

щины будет представлять собой 9,полубесконечныйразрез. Поэтому поле напряжений в d-окрестности контура трещины можно найти из решения задачи о полу бесконечном разрезе, расположенном в деформируемой плоскости, при условии, что нагрузки g, вызываемые силами взаимодействия поверхностей трещины, приложены на участке характерного размера d поверхностей разреза (внутренняя задача).

Соотнесем теперь окрестность d<r<lkiLp, рассмотренную во внешней задаче, с внутренней задачей. В масштабе внутренней задачи эта окрестность, очевидно, удалена в бесконечность по отношению к вершине полубсс- конечного разреза. Можно показать, что наиболее медленно убывающий член асимптотики внутренней задачи при г -*°° имеет вид

М ~

。33 弋一7丁 /зз(6).(2.5)

Здесь N\ — коэффициент интенсивности напряжений во внутренней задаче.

Поскольку внешняя и внутренняя задачи представляют собой асимптотики решения полной задачи, естественно считать, что в промежуточной области d《T《lk〉Lp значения напряжений, определяемые по обеим асимптотикам, должны совпадать. В силу (2.4), (2.5) это означает, что в состоянии равновесия деформируемого тела D с трещиной выполняется равенство коэффициентов интенсивности напряжений внешней и внутренней задач:

N： = М.(2.6)

Вспомним, что нагрузки g, а следовательно, и N\ зависят от свойств материала (сил взаимодействия поверхностей трещины и механизмов пред- разрушения в концевой области трещины). Поэтому можно принять, следуя Г.И. Баренблатту [10], что при увеличении внешних нагрузок подвижно-равновесное состояние трещины, предшествующее ее страгиванию, в некоторой точке М контура достигается тогда, когда достигается состояние автономности концевой области и величина N\ в (2.6) принимает свое предельное значение (№加).Это предельное значение и представляет собой характеристику сопротивления материала росту трещин — его трещиностой- кость. Обычно употребляют модуль сцепления К = ^т [10] или критический коэффициент интенсивности напряженийKic = Nml\J~bi [186]. Критерий роста трещины нормального разрыва, таким образом, имеет вид

№ = N”(2.7)

(в дальнейшем индекс еу Nf будем опускать).

В тех точках контура трещины, в которых N* < 7Vm, при текущем уровне нагрузок состояние предельного равновесия не достигнуто.

Трещиностойкость материала (К илиК^) может быть определена экспериментально или из модельных соображений о механизмах разрушения в концевой области трещины.

Одна из основных задач механики разрушения состоит в следующем. Пусть в элементе конструкции имеется трещина и известны внешние нагрузки на этот элемент. Требуется, зная трещиностойкость материала, из которого изготовлена конструкция, на основании критерия роста трещины

найти соотношения между нагрузками и размерами трещины (и тела) ,соответствующими наступлению критического состояния трещины, и выяснить, как будет происходить развитие трещины: устойчиво (т.е. рост трещины происходит лишь по мере увеличения нагрузок) или неустойчиво (т.е. после страгивания трещина распространяется катастрофически до полного разрушения тела без дальнейшего увеличения приложенных нагрузок).

Решив эту задачу для ряда характерных видов трещин, встречающихся в конструкции, при типичных условиях статического нагружения можно установить нормативы на размеры допустимых дефектов для конструкции (так называемые нормы дефектности). Располагая ими, можно предъявлять обоснованные требования к методам и регламенту контроля и отбраковки конструкций, а также рационально подбирать материал для конструкции с учетом условий эксплуатации. Методические вопросы построения норм дефектности рассматриваются, в частности, в [37, 1221.

Приложение критерия (2.7) при известной трещиностойкости предусматривает решение задачи теории упругости для тела с трещиной и определение из этого решения распределения коэффициента интенсивности напряжений вдоль контура трещины при заданных нагрузках.

Приведенный выше анализ задачи о трещине и сформулированный на его основе критерий (1.7) относятся к так называемому силовому подходу в теории трещин [10, 186]. В случае хрупкого и квазихрупкого разрушения силовой подход равносилен энергетическому, исторически возникшему раньше в работах Гриффитса [181, 182]. Гриффитс изучал разрушение хрупких материалов и получил критерий роста трещины из следующих соображений. Деформируемое тело с трещиной при заданных нагрузках обладает определенной энергией деформации. Рост трещины сопровождается образованием новых поверхностей и, следовательно, приращением поверхностной энергии, происходящим за счет одновременного изменения (убыли) энергии деформации (поскольку предполагается, что разрушение происходит хрупко, то отсутствуют необратимые деформации и иных стоков энергии, помимо образования поверхностей трещины, нет). Пусть для образования единицы новой поверхности трещины требуется поверхностная энергия Тт. Обозначим через 6U изменение энергии деформации тела при увеличении площади поверхностей трещины на 25s. Тогда в соответствии со сказанным

5U 二 2T/S (2.8)

Гриффитс принял, что Тт есть константа материала. При этом (2.8)- энергетический критерий роста трещины.

Как и в случае силового критерия, величина Тт - характеристика материала и подлежит определению на основе экспериментов и моделирования, величина же bU/bS должна находиться из решения задачи теории упругости для тела с трещиной.

Процедура отыскания 5U/6SHa первый взгляд представляется весьма сложной. Действительно, чтобы найти bU/bS вдоль контура трещины G, нужно было бы решать не одну задачу теории упругости, а последовательность таких задач, отличающихся тем, что исходной области трещины G вблизи различных точек контура дается приращение 65 и в результате со- 80

поставления таких решений и решения задачи для тела с трещиной G вычисляются локальные в точках контура 8G значения 6 t//6S.

Однако, как показал Ирвин [186], имеется прямая связь между локальными значениями bU/bSn коэффициента интенсивности напряжений ^1:

5U/5S = 6М, 0 二 2я(1 - #)/Е (2.9)

Формула Ирвина, с одной стороны, устанавливает эквивалентность силового (2.7) и энергетического (2.8) критериев роста трещин; с другой стороны, она показывает, что нет необходимости решать указанную выше последовательность задач теории упругости для отыскания 8U/8S. Достаточно решить одну задачу о трещине G в упругом теле D и найти распределение значений ^1 вдоль контура трещины.

Решение пространственных задач теории упругости для тел с трещинами сложной формы G в плане весьма затруднительно. Обзор работ по этому вопросу дан, в частности, в [107, 122, 218].

Трудности, связанные с расчетом коэффициентов интенсивности напряжений при сложной форме контура трещины (или последовательности таких контуров, если рост трещины происходит устойчиво), а также и упоминавшееся во введении то обстоятельство, что для практики зачастую нужны лишь достаточные условия разрушения или неразрушения тел с трещинами, приводят к необходимости разработки качественных и приближенных количественных методов оценки условий разрушения элементов конструкций с трещинами сложной формы на основе анализа решений для соответствующим образом подобранных более простых ситуаций.

Такой подход предложен в [39, 40], получил развитие в [35-37. 38, 41, 44, 45, 48-5 6, 142, 143, 180] и составляет содержание последующих глав.

Прежде чем переходить к его изложению, приведем необходимую для дальнейшего математическую формализацию задачи теории упругости о трещине, которую удобно получить, используя представления общего решения уравнений теории упругости через потенциалы Папковича—Нейбе- ра [90, 128].

Представление Папковича - Нейбера общего решения уравнений равновесия упругого тела

8181Система уравнений равновесия упругого тела в смещениях имеет эллиптический тип [90, 98]. С этим связаны возможности представления ее общего решения в виде комбинаций гармонических или бигармоничес- ких потенциалов [90, 128]. Мы рассмотрим одно из таких представлений, принадлежащее Папковичу и Нейберу, поскольку им удобно пользоваться при анализе и построении оценок решений смешанных задач теории упругости (см. гл. 5-8).

81

81

Не останавливаясь на подробностях, поясним один из способов вывода представления Папковича — Нейбера (см., например, [90, 128]). Перепишем уравнения Ламэ (1.7) в виде

△и = -〃％ -(入+ 〃)〃т grad div и.(3.1)

Таким образом, Ди представляет комбинацию двух векторных полей g и grad div u. Мояото поэтому и сам неизвестный вектор и отыскивать в аналогичном виде

и = А^ - В gradx,(3.2)

где W(x“ 工2，Хз) и x(xi，х2, х3) - векторное,н скалярное поля соответственно. Постоянные Л, В и структуру скалярного поля х нужно подобрать так, чтобы представление (3.2) удовлетворяло уравнениям (1.7). Оказывается, что эти условия выполняются для функции и следующего вида:

и = 4(1—“)W — grad(W + 9), r={xlfx2fx3\ .(3.3)

Потенциалы 屮以 9 удовлетворяют дифференциальным уравнениям

2(1 - р) △” 二一g, 2(1—〃)Аз = (rg).(3.4)

В отсутствие объемных сил (g = 0).

△W = 0, Д(/)= 0.(3.5)

этом случае общее решение (3.3) уравнений теории упругости в перемещениях (1.7) выражается через четыре гармонические функции 9 и 屮.

Поле смещений, удовлетворяющее уравнениям (1.7), не определяет однозначно функции 9 н 屮.Поэтому в некоторых случаях можно представить и, используя не все четыре потенциала. В частности, если решение системы (1.7) должно удовлетворять определенным свойствам симметрии, то число независимых гармонических функций в представлении (3.3) уменьшается.

Для дальнейшего важен класс задач для упругого пространства или полупространства Х3》0, в которых на плоскости х3 =0 касательные напряжения обращаются в нуль. К числу таких задач относятся контактная задача и задача о трещине в рассмотренной в разд. 3.1 и 3.2 постановке.

Если в общем представлении (3.3) положить

(1 一2“)w3 =抑/改3,(3.6)

то для компонент смещения получим

Щ = 一X3(8w3/8巧・)一(加/次00= 1,2);(3.7)

〃3 = 2(1 - ") % 一X3(8w3/8x3).(3.8)

Необходимые для дальнейшего компоненты напряжений на площадках

с нормалью в направлении оси х3 будут иметь следующий вид:

*/2" = 一(82w3曲赤3)0=1,2);(3.9)

03з/24 =(М/8х3) - x3(32w3/谒).(ЗЛО)

Очевидно, что представления (3.9) автоматически обеспечивают равенство нулю касательных напряжений Oj 3 и а2 з в плоскости х3 = 0. Кроме того, из (3.8), (ЗЛО) следует простая взаимосвязь (при Хз = 0) нормальных напряжений Оз 3, смещений 〃 3 со значениями гармонической функции 屮3 и ее нормальной производной:

〃з(Х1,Х2,0)二 2(1 一")屮3,(3.11)

。3 зCi,七，0)/2g = "з/Вхз.(3.12)

Формулы (3.11), (3.12) позволяют свести задачу о штампе и задачу о трещине к смешанным задачам определения одной гармонической функции в полупространстве.

Действительно, в силу (3.11), (3.12) и краевых условий (1.14) задача о штампе эквивалентна задаче отыскания функции W3 при х3 > 0:

△山3 =0, О】，Х2, Хз) 0R为

屮3 = [2(1 -叫Т 网Х],Х2), (X],X2)ES；(3.13)

"3/8x3 二 0,(X] Elek'S.

Прежде чем дать аналогичную формулировку задачи о трещине в безграничной среде, заметим, что ее краевые условия (2.1), (2.2) сформулированы в напряжениях. Если воспользоваться очевидной симметрией рассматриваемой задачи о трещине в пространстве относительно плоскости Хз = 0, то исходную задачу в напряжениях можно записать как смешанную для полупространства Х3 > 0. Действительно, в виду отмеченной симметрии в плоскости х3 = 0 вне трещины обращаются в нуль нормальные смещения 〃з и касательные напряжения。13，。23・ Таким образом, в задаче для полупространства краевое условие (2.1) сохраняется, а вместо (2.2) имеем

。13a戸2,0) =。23(修，X2,0) =0,(3.14)

〃з(Х1,Х2,0) =0, (Xi,X2)e館\G.(3.15)

Итак, задача о трещине отрыва в упругом пространстве эквивалентна смешанной задаче (2.1), (3.14), (3.15) для полупространства х3 > 0, которая, очевидно, двойственна задаче о вдавливании штампа с острой кромкой (1.14)*.

В силу формул (3.11), (3.12) задача о трещине (2.1), (3.14), (3.15) сводится к смешанной задаче определения гармонической функции 屮3 в полупространстве:

(3.16)(3.16)屮3 二 0,(X], X2)ER2\g；

(3.16)

(3.16)

"3/8x3 = —(2〃)Tp(X],X2),(X1,X2)£G.

Формулировка задач о штампе и трещине в виде смешанных для гармонической функции позволяет использовать аппарат теории гармонических функций для исследования свойств и построения оценок решений названных задач теории упругости. В более сложных ситуациях, в частности в условиях действия одновременно и нормальных и сдвиговых нагрузок, подобное сведение к задаче для одной гармонической функции в общем случае не удается. Исключение составляет о се си мметричный случай, когда наряду с нормальными нагрузками действуют радиальные и окружные сдвиговые нагрузки. Эти задачи разделяются на последовательность трех задач (о трещинах отрыва, радиального и окружного сдвига), каждая из которых эквивалентна смешанной задаче определения одной гармонической функции. Такое разбиение позволяет распространить некоторые свойства решений задач о трещинах отрыва, устанавливаемые в гл. 5, на осесимметричные задачи при наличии сдвига.

Смешанные задачи (3.13) и (3.16) для гармонической функции ^3 обычными в теории потенциала приемами могут быть сведены соответственно к интегральному и интегро дифференциально му уравнению относительно неизвестных в области штампа значений % или в области трещины -дф3/дх3. Подробный вывод этих уравнений приведен, например, в [90, 106].

В дальнейшем будет использоваться интегродифференциальное уравнение, отвечающее задаче о трещине. Оно имеет следующий вид:

Ц^з) = — Ах”？ /(1X^X2 =P(x15x2),

2я(1 - р) 12G г

(3.17)(3.17)(Х1, X2)£G;

(3.17)

(3.17)

产=(Xj - Xi)2 +(x2 — X2‘)2,

где ^X1x2 — оператор Лапласа noxj, x2.

Оператор £(必)можно записать иначе, если внести дифференциальный оператор под знак интеграла. При этом, чтобы представить получающийся интеграл в сходящейся форме, нужно воспользоваться тем, что 8z7axi = =-Эг/Эх/, и после интегрирования по частям с учетом условия ^3 = 0 на границе ЭС перебросить одно дифференцирование с ядра (1/г) на искомую функцию 賜.Получим в результате

专■ (DM小专■ (DM小(3.18)(3.18)〃 Г * Э /1 \Мз

专■ (DM小

专■ (DM小

(3.18)

(3.18)

27Г(1 -Р)G 1ЭХ2 Эх2 \ г /Эх/

=咐，Х2), (хь х2)ес.

Левая часть (3.18) представляет собой известный интегро дифференциальный оператор Зигмунда 一 Кальдерона, а левая часть (3.17) — иное его представление [144]. Заметим, что интегродифференциальное уравнение (3.18) непосредственно получается, если при формализации задачи о трещине пользоваться представлениями теории дислокаций [36].

Исследование свойств уравнения (1.12) в ряде случаев облегчается, если при записи оператора L использовать обобщенное преобразование

Фурье по переменным х = (хь х2) с параметром W =(久，厶)[144]:

Я0 三 F(n = Я 貝X)08 X)dx,

1 oo(3.19)

尼)三k(f)="『⑸ё一心，幻*

(2打)2 -8

Здесь и ниже обозначено (与,х)=久打 + 丘打，dx = dx】dx?, dg = d£ d& •

Учитывая теорему о свертке и то, что F(l/r) = 2я/| 古 |, получим

£ ==(x】，X2)£G.

(1

3десь Wg ,Х2)=w3(修，x2,0).

Теперь нетрудно сделать заключение о разрешимости уравнения (3.17), если воспользоваться результатами теории псевдодифференциальных уравнений [144].

В принятых в этой теории обозначениях (3.17) с учетом (3.19) можно записать так:

Pg4(〃)W =-2m WIbg =。，(3.20)

где Pg — оператор сужения функции на область G, А (Р) — псевдодиффе- ренциальный оператор с символом /(与)=яд| ^ | / (1 - р). Символ /(与) принадлежит к классу однородных эллиптических символов [144] (показатель однородности 1). Тогда можно утверждать, что уравнение (3.17) нормально разрешимо и его решение 屮£ 片/2(。)，если р £ 〃—i/2(G)・ Здесь "_1/2 (G)，方1 /2 (G) - пространства Соболева — Слободецкого дробного порядка [144].

Замечание. Мы привели в разд. 3.1—3.3 ряд характерных постановок задач теории упругости и теперь перейдем к анализу некоторых их свойств на основе общих представлений решений уравнений теории упругости. Однако прежде отметим, что многие специфические постановки краевых задач теории упругости возникают в тех случаях, когда имеет место тот или иной вид вырождения системы дифференциальных уравнений теории упругости из-за наличия среди геометрических характеристик упругого тела одного или двух малых параметров (модели стержней, балок, пластин, оболочек) [90, 93]. Ситуация здесь вполне аналогична той, что имеет место в общей теории дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые методы и результаты построения оценок решений для таких вырожденных задач обсуждаются в гл. 10.

Мы не рассматриваем здесь математическое обоснование и не проводим исследований постановок задач теории упругости, считая, что соответствующие условия выполнены. Этим' вопросам посвящено большое количество статей и книг. Библиографию можно найти, в частности, в [136, 137, 223].

Формула Сомилианы. Далыше поля.

Теорема о среднем.

.4.1. Решение уравнений теории упругости (1.7) может быть выражено через интегралы от значений напряжений и смещений на поверхности тела. Такое интегральное представление есть не что иное, как аналог третьей формулы Грина ([82]), но для уравнений теории упругости. Можно показать [17, 96, 98], что компоненты вектора смещений в произвольной точке у = (у1} у2) Уз) тела выражаются следующей формулой (формулой Сомилианы), приводимой ниже для простоты в случае, когда объемные силы отсутствуют :

修(У)二 /也•(х) Gif (х, у)- Pij (х, у) Ui (х)] ds.(4.1)

Здесь x = Qi, x2, x3) £ S;々(x), 〃》(x) - компоненты усилий и смещений в точках поверхности тела;

]「(3-4")5号・ (巧力)(巧-乃)]

167ГД (1 - Р)」

—тензор Сомилианы,户=(xz -力)(x,—力)，5// — символ Кронекера;

11(1- 2")

а，у) = 一力)力-

-(X/ -力)^ik - Gk -九)5可]-

-M (Xi-力)(巧一乃)(见一九)卜七，(4・3)

〃七一 составляющие единичного вектора внешней нормали к поверхности тела S

Из формулы Сомилианы после соответствующего дифференцирования получается представление для напряжений в произвольной точке тела через граничные значения rz и 〃» [17, 96]:

。犷(У)= — / ик (х) Skij (х, у) ds +

(4.4)(4.4)+ 卜七(x)Q/(x,y)ds.

(4.4)

(4.4)

Здесь к"[“

5(1 一 2〃)5(1 一 2〃)3〃

5

(1 一 2〃)

5

(1 一 2〃)

r ；r k] + (九"/ 左 +

"'(1_2吩(Л

(4・5)(4・5)(4.6)(4.6)имеютимеюттеории интег-(4.1) итеории интег-(4.1) и(1 一 4〃)

(4・5)

(4・5)

(4.6)

(4.6)

имеют

имеют

теории интег-

(4.1) и

теории интег-

(4.1) и

+ nir,ir, к) + ^k r,irj^ nj^ki + nibkj - —~~— пкЬц

Dkij = 4^2 [^kirJ + ^kjr,i - ^ijr,k +

3]

к = (1 - 2p) / 2 (1 - p), r » = »/aXj.

Формула Сомилианы (4.1) и следующая из нее формула (4.4) разнообразные применения при исследовании и решении задач упругости. Формулу (4.1) используют для вывода граничных ральных уравнений (ГИУ) задач теории упругости. С помощью

(4.4) рассчитывают компоненты упругого поля внутри тела после того, как ГИУ решено [17, 96]. С другой стороны, формулы (4.1), (4.4) служат источником оценок смещений и напряжений. Поясним характерные результаты в этом направлении.

Формула Сомилианы, как уже отмечалось, выражает смещение во внутренних точках тела через значения всех компонент смещений и напряжений на границе тела. В корректно поставленных краевых задачах теории упругости на границе тела задается лишь часть из этих величин, остальные могут быть определены только после решения задачи. Поэтому нельзя непосредственно использовать формулу Сомилианы для оценки смещений во внутренних точках тела через заданные на границе краевые условия.

Эту трудность удается преодолеть следующим образом [223]. Вводятся два вспомогательных упругих поля, связанных с распределением напряжений %/(q), u(q), создаваемым силами, сосредоточенными в той точке у тела, где желательно получить оценку смещений в исходной задаче.

Вспомогательное поле смещений и' должно принимать значения смещений u(q) на той части границы тела S?, где в исходной задаче заданы краевые условия в смещениях [см. (1.11)], и обеспечивать обращение в нуль работы заданных на части границы 5! нагрузок на смещениях % .

Вспомогательное поле напряжений о；； должно удовлетворять уравнениям равновесия внутри тела и определенным условиям на границе тела: 1) усилия, соответствующие полям о% и о》(q) совпадают в точ- 87

ках Si； 2) суммарная сила, создаваемая на S2 упругим полем (吗), сопряженным к полю о；； , равна нулю *.

Предполагается, что указанные вспомогательные поля построены. Формула Сомилианы (1.7) записывается в иной форме (во второй член подынтегрального выражения вместо Ру вводится сопряженное упругое поле) и в ней выделяются интегралы по S{ н S?, содержащие неизвестные в исходной постановке краевой задачи величины u|^ и t|§ . Эти интегралы могут быть распространены на всю поверхность тела, поскольку, будучи взяты по 5 \ 51 н S\ S? соответственно, обращаются в нуль как требовалось при построении вспомогательных полей. После чего, преобразуя поверхностные интегралы в объемные, приходим к представлению и (у) следующей структуры u(y) = U0 + А, где U0 известно. Величина Л выражается через искомое поле и разность вспомогательных полей и может быть оценена энергетическими методами. Тем самым получится оценка и для и (у).

Ясно, что реализуемость и эффективность таких оценок определяется возможностью построить вспомогательные поля смещений и напряжений с требуемыми свойствами. Это весьма сложная задача, в особенности для трехмерных упругих тел. Поэтому описанный способ построения локальных оценок решений для трехмерных задач теории упругости не получил распространения. Хотя в некоторых случаях для элементов конструкций специального типа (рамы, пластинки и т.п.) его удается применить. Подробное изложение с обоснованием и анализом способа построения локальных оценок на основе формулы Сомилианы дано в [223]. Там же указаны и возможные модификации, восходящие к Синджу [215], однако и они не приводят к коренным упрощениям процедуры.

К некоторым оценкам смещений и напряжений внутри тела через заданные на границе величины можно прийти из иных соображений, не прибегая к формуле Сомилианы.

В разд. 3.3 отмечалась связь общего решения уравнений теории упругости с гармоническими функциями. Оказывается, что существуют аналогичные представления общего решения системы (1.7) через три бигармонических потенциала—представления Б.Г. Галеркина. Более того имеет место следующее свойство решения уравнений теории упругости в отсутствие массовых сил: каждая из компонент смещения 〃〃 являющаяся четырежды непрерывно дифференцируемой и удовлетворяющей (1.7) функцией, удовлетворяет бигармоническому уравнению.

В самом деле, применяя к (1.7) (при g 三 0) операцию дивергенции и пользуясь тем, что div grad = △, получим

A(div u) = 0,(4.7)

т.е. объемное расширение div и — гармоническая функция. Теперь возьмем

лапласиан от (1.7) и учтем, что grad(Adivu) = 0. Получим

△2и =0.(4.8)

То обстоятельство, что каждая из компонент смещения является бигармо- нической функцией, а для бигармонических функций справедливы теоремы о среднем, было использовано в [167] для вывода теорем о среднем для смещений.

Наметим, следуя [167], доказательство наиболее естественной их них.

Теорема о среднем для бигармонической функции, непосредственно примененная к 〃厶 дает

3 Г 5'

%(。)= I— ТГ J 修du - / %・dC ,(4.9)

Здесь P(R) — внутренняя область сферы S(R) радиуса R, з - поверхность сферы единичного радиуса с центром в начале координат 0, площадь которой Зз = 2灯3/2/「(3/2). В интеграле по единичной сфере считается, что 〃i представляют значения функции, взятые в .соответствующих точках сферы радиуса & и{ (0) 一 значение и〔 в центре 0 сферы 5 (R). Недостаток этой формулы в том, что она связывает значение z-й компоненты смещения в центре сферы не только с ее же значениями на границе S (R), но и со значениями во внутренних точках. Постараемся исключить интеграл по объему P(R) от Uj. Это можно сделать, если воспользоваться уравнениями равновесия. Правда, таким образом интеграл по P(R) от и{ будет выражен через интеграл по поверхности S(R) от комбинаций всех компонент смещений, а не только и】.

Можно показать, что

/ 〃 du =———г— 警(4.10)

办广 [3+(1 -2Р)-1] lJ (l—2“)R2 / J

С помощью этого соотношения из (4.9) имеем 3

(0)=г X

八 2а/[3+(1 - 2Р)-1 ]

X 小(2-(7^4)з(三)窘卜得. (4.11)

Таким образом, формула (4.11) позволяет находить значения каждой из компонент смещений 〃； в центре сферы 0 по значениям всех компонент смещений на ее поверхности, проинтегрированным с соответствующими весовыми функциями. Интеграл, содержащий произведение &〃勺・，с точностью до множителя дает просто среднее значение 〃》по сфере S (R)[167]. Далее, (x’/R) - компоненты внешней нормали к S(R), поэтому (勺/R)〃/ есть смещение ип по нормали к поверхности S(R). Следовательно, инте-

грал от произведения (xJR)11rt представляет вычисленное с некоторым весом среднее значение нормальной компоненты граничного смещения. Таким образом, очевидны случаи задания краевых условий для задачи в смещениях, когда один из интегралов в (4.11) обращается в нуль. Формула (4.11) служит выражением теоремы о среднем для уравнений теории упругости. Различные варианты теоремы о среднем в теории упругости получены, в частности, в [167, 97].

Опираясь на формулу (4.11) нетрудно получить выражения для деформаций и напряжений в центре сферы через граничные смещения. Эти вопросы, а также аналогичные теоремы о среднем в терминах граничных напряжений рассмотрены в [167, 215], исследования по теоремам о среднем в теории упругости подытожены в [223].

В п. 3.4.2 обсуждалась возможность построения оценок смещений внутри тела с помощью формулы Сомилианы (4.1) во внутренних задачах теории упругости. Для внешних задач формула (4.1) и следующая из нее (4.4) приводят к асимптотике упругого поля вдали от границы, которая, в свою очередь, тесно связана с изопериметрическими оценками некоторых интегральных характеристик решения. Рассмотрим этот вопрос на примере задачи о трещине нормального отрыва в безграничной среде (2.1), (2.2) [35,36,46].

Получим формулы для пдальнего поля" напряжений исходя из формулы (4.4). Обозначим через S± верхнюю и нижнюю поверхности трещины соответственно. Так как рассматривается трещина-разрез, то нормали к 5*и № отличаются знаком. Из (4.5) видно, что в этом случае вычисленные на верхней и нижней поверхности трещины значения ядра Sk^ отличаются знаком: S鳥=—S”g. Далее в силу (4.6)D^ = D^у. Если в записи краевого условия (2.1) перейти от напряжений к усилиям, то получим

咛=外凸(%= 1,2,3), t\ =一%,讨=汙=U.

В результате из (4.4) имеем

%(У)= —(%3(x)S3ij(x,y)dS(x)(订=1,2,3). (4.12)

Здесь %з 二〃； -mJ — компонента скачка нормальных смещений поверхностей трещины при переходе через плоскость Хз = 0; напомним, что для трещин нормального отрыва скачки сдвиговых компонент смещений bi = и\ - 〃f, Z>2 = 〃亡一〃2 равны нулю. Проведем в (4.12) разложение по г(х, у), считая, что точка у удалена от области трещины. При этом г (у) > » г(х), х£ S*, г? (z) =zkzkt ^=1,2,3. Дия простоты ограничимся первым членом разложения. Напомним, что функция, зависящая от разности радиус-векторов г (у) — г(х), допускает разложение

/(г(У)- r(x)) =/(r(x)) -(r(y)V)/(r(x)) + ....

Поэтому первый член разложения % — о) получим, заменив в выражении (4.5) для 5цк производные г / на г (у) / =^-1 (у) и подставив результат

в (4.12):

二;6 行-3产(у) э I +

"2打尸(у) I [ 1 - 2〃,3J

(4.13)(4.13)+，(y),J(y)，[^^ -3]-

(4.13)

(4.13)

—71TV «У)，з Г(У)"03 + г(У)7-5/3] -26/35/3

Здесь

И = J "dS (4.14)

—объем трещины, важная интегральная характеристика решения задачи о трещине (см. разд. 4.2). Отметим, что формулы для дальнего поля в более общем случае трещины произвольного разрыва [для которой, вообще говоря, Ь、и (или) Ь2 не равны тождественно нулю (разд. 4.2)] приведены в [46], там же выписан и второй член разложения % для трещины нормального отрыва. Характерно, что во все указанные асимптотические формулы входят интегральные характеристики Vik и К,” типа объема (4.14) и "моментов" скачка смещений вдоль трещины:

Vik= ；М^И к?[= i biX^x^S.

s+

Из (4.13) видно, что порядок убывания напряжений, вызываемых в упругой среде присутствием трещины в главном члене не зависит от геометрии трещины и приложенных к ее поверхностям нагрузок. Геометрия трещины и нагрузки влияют лишь на коэффициент интенсивности затухания напряжений Vв формуле (4.13).

Пусть нагрузки заданы и рассматриваются дальние поля от трещин, занимающих в плоскости х3 = 0 различные области одинаковой площади. Наименее интенсивно напряжения будут затухать для той из них, для которой объем максимален. В частности, при однородных нагрузках [р = const, формула (2.1)] среди трещин нормального отрыва одинаковой площади наибольший объем имеет круговая трещина, ей и соответствует наименее сильное затухание напряжений. Доказательство этого изопериметрического неравенства дано в гл. 6. Там же отмечено, что при однородных нагрузках объем трещины с точностью до множителя совпадает с энергией деформации упругой среды с трещиной.

Замечание. Рассмотренная выше связь асимптотики решения внешней задачи вдали от границы с некоторыми интегральными параметрами решения характерна для многих типов внешних задач механики сплошных сред [22—24, 187]. В ряде случаев для соответствующих интегральных параметров имеются изопериметрические оценки. Один из способов получения самих асимптотик состоит в использовании формул, аналогичных формуле Сомилианы. Доказательства изопериметрических оценок проводятся по-разному с учетом специфики задачи.

В качестве примера укажем класс задач гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости об обтекании твердых тел жидкостью. В этих задачах наряду с другими характеристиками решений важно знать область, в которой существенны возмущения, создаваемые телом, характер затухания возмущений при удалении от тела и закономерности изменения параметров затухания при варьировании его формы.

Для иллюстрации приведем типичные результаты, относящиеся к трехмерной задаче об установившемся поступательном движении тела V с границей S (см., например, [22]). Пусть скорость тела и, течение безвихревое. Для потенциала скорости 9(V 二 Др) краевая задача имеет вид

△9 = О,

vn к = A^n = &plbn = ny= g, (4.15)

где vn — компонента скорости в проекции на внешнюю нормаль п к телу. На бесконечности жидкость покоится, потенциал скорости должен стремиться к константе, которую в рассматриваемом случае (из-за непроницаемости стенок тела) можно положить равной нулю.

Потенциал скорости в произвольной точке у жидкости определяется третьей формулой Грина через значения 屮，3屮/3〃 на границе. Проводя разложение в этой формуле в предположении, что точка у удалена от тела, аналогично тому как это сделано выше в задаче о трещине, получим в главном члене

3 1

8乃《У) где

Ci =——/ (Xjg— 〃№)dS.(4.17)

4" s

Имеется тесная связь между асимптотическим разложением (4.16) и выражением для кинетической энергии жидкости, в которой движется тело. В сущности, эта связь обусловлена тем, что и потенциал в произвольной точке жидкости и ее кинетическая энергия Е могут быть представлены через интегралы по поверхности тела S от значений потенциала и его нормальной производной. Действительно, при поступательном движении тела [22]

1

Е = —р J uudK = — — Р J9 ——ds.(4.18)

r3\v2 s а〃

Здесь выражение кинетической энергии через интеграл по объему, занятому жидкостью, есть ее определение, а представление в виде поверхностного интеграла — результат преобразований.

* В случае проницаемого тела в разложении (4.16) появляется член 〜а/r (у), где 〃 пропорционален потоку сквозь тело.

Если ввести вектор-потенциал ф соотношением <р = иф, то (4.18) можно представить в ином виде:

Е= %。幺〃 (％•(%,(4.19)

где V- объем тела,

* I

СП =/ <D/〃,ds・(4.20)

Величины % образуют тензор второго ранга. Тензор, компоненты которого пропорциональны с^ и равны рУс@ (р — плотность жидкости), называется тензором присоединенных масс тела [22—24].

С другой стороны, введя Фв (4.17), получим

1

二—(4J/(^Z/ - / ❿产,dS)(4.21)

и для кинетической энергии

£ 二 ％ 0(4叫с - Р%и$).(4.22)

Сравнение (4.19) и (4.22) дает

^Ci = Р(%)/•陶• + с垃.(4.23)

Соотношение (4.23) и устанавливает связь между коэффициентами в асимптотике потенциала скорости и компонентами тензора с у. По величинам Q/ вычисляется первый инвариант тензора Q/, которому пропорциональна средняя присоединенная масса тела. Дтя средней присоединенной массы тела (как и для объема трещины) установлено [111] (см. также [23, 24]) изопериметрическое неравенство: при движении тел заданного объема минимальную среднюю присоединенную массу имеет сфера. Наряду с этим изопериметрическим неравенством получено множество разнообразных оценок для различных комбинаций компонент этого тензора [111].

Асимптотические формулы для дальнего поля типа (4.16) получены при рассмотрении рэлеевского рассеяния электромагнитных волн на препятствиях (экранах) [187]. Коэффициенты в асимптотике выражаются через компоненты тензоров электрической и магнитной поляризации, аналогичных по смыслу тензору присоединенных масс. Более того, в [187] установлено, что с точностью до множителей тензор магнитной поляризации представляет сумму единичного тензора и тензора присоединненых масс, и приведен ряд неравенств для компонент тензоров поляризации.

К упомянутой задаче электродинамики близка задача о рассеянии упругих волн на неоднородностях. В частности, при изучении [71] полного сечения рассеяния плоских упругих волн плоскими трещинами на основе результатов численного счета высказана изопериметрическая гипотеза: при рассеянии упругих волн на трещинах разной формы, но одинаковой площади, полное сечение рассеяния на резонансной частоте максимально □ля круговой трещины.

Глава 4

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ И НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ

Некоторые жергетические теоремы теории упругости

При исследовании и решении задач теории упругости широко применяются энергетические (вариационные) методы. В их основе лежит использование тех или иных энергетических теорем (вариационных принципов, а в задачах с краевыми условиями в форме альтернативных равенств и неравенств и вариационных неравенств). Подробное изложение энергетических теорем с анализом класса задач, для которых та или иная из них наиболее эффективна, содержится, например в [19, 90,93, 123, 134, 135, 138, 225]. В дальнейшем понадобится главным образом теорема о минимуме потенциальной энергии, а также теорема о минимуме дополнительной работы. Приведем необходимые определения и формулировки.

Рассмотрим изотропное и вообще говоря, неоднородное упругое тело. Неоднородность понимается в том смысле, что упругие постоянные материала могут быть различными в разных точках:入=入(х), “ = 〃(х) (или Е = Е(х), р = 〃(х)). Пусть S = 50 + Si + . . . + S^ граница тела, причем SQ - внешняя, a Si,... , S^ - внутренние границы (полости, трещины). Предположим, что внешние нагрузки приложены на части S' поверхности S, а на остальной части поверхности S” заданы смещения (смешанная задача) (в частности могут быть и случаи, когда S’ = 0 или S" = ф):

о〃(х) = F(x), x£S'(1.1)

u(x) = g(x), x£S",(1.2)

где on — вектор усилий, действующих на площадке с нормалью п. Пусть тело находится в равновесии при этих условиях, объемные силы отсутствуют.

Если €灯 и。〃 компоненты тензоров деформаций и напряжений в равновесном состоянии, то удельная энергия деформации (или потенциальная энергия деформации) тела равна

Л1с

и = 3[入(£11 +£22 +£зз)2 + 2〃(еЗ + 登2+е；з +

+ 2《+2畐 +2$)],(1.3)

илиилиАА[吭 +0翁.+0£[吭 +0翁.+0£-2沢01 1。2 2 +。2 2。3 3 +。3 3。1 1 )]-2沢01 1。2 2 +。2 2。3 3 +。3 3。1 1 )]++ОО(0；2 +^23 +。£)].(0；2 +^23 +。£)].(1.4)(1.4)

или

или

А

А

[吭 +0翁.+0£

[吭 +0翁.+0£

-2沢01 1。2 2 +。2 2。3 3 +。3 3。1 1 )]

-2沢01 1。2 2 +。2 2。3 3 +。3 3。1 1 )]

+

+

О

О

(0；2 +^23 +。£)].

(0；2 +^23 +。£)].

(1.4)

(1.4)

Энергия деформации тела U равна интегралу по объему V тела от удель-

(1.5)(1.5)ной энергии деформации: U = / £du.

(1.5)

(1.5)

Известно (теорема Клапейрона), что в состоянии равновесия энергия деформации тела равна половине работы внешних сил при переходе тела из ненагруженного состояния в рассматриваемое:

1

U = - f Fuds.(1.6)

2 s

Наряду с энергией деформации тела U используется потенциальная энергия системы W:

W = U - f Fuds.(1.7)

s，

Состоянию равновесия тела отвечает поле смещений и, при котором выполняются граничные условия (1.1), (1.2). Наряду с полем смещений и рассматриваются кинематически допустимые непрерывные в объеме тела поля смещений (и + би), такие, для которых выполнено лишь граничное условие (1.2). Принцип минимума потенциальной энергии системы утверждает, что функционал W, рассматриваемый как функционал над кинематически допустимыми полями смещений (и + би), достигает своего минимального значения на поле и, отвечающем состоянию равновесия упругого тела:

W(u) = Wmin 二 min W(u + bu).(1.8)

(u + 6u)|5- = g(x)

В силу теоремы Клапейрона [формула (1.6)] и определения (1.7) можно минимальное значение потенциальной энергии системы выразить только через поверхностные интегралы:

1

W(u) = Wmin = - [ - / Fuds + / Ungds].(1.9)

2 s'

Здесь 0〃(x) — усилия, возникающие на той части поверхности тела, на которой заданы смещения.

При формулировке принципа минимума потенциальной энергии системы исходят из выражения для удельной энергии деформации в терминах реформации и смещений (1.3). Если же пользоваться представлением U через напряжения (1.4), то придем к принципу минимума дополнительной работы.

Дополнительной работой называется функционал

М = U(o) - / %gds.(LIO)

s"

Вводятся статически допустимые поля напряжений 。订 +5。〃，близкие к равновесному полю напряжений о^ для задачи (1.1), (1 -2) и удовлетворяющие следующим условиям: I) тензор (о〃 + 5%) есть решение уравнений равновесия упругого тела в напряжениях; 2) на части границы тела S’ для (о〃 + Ьо〃・)выполнено краевое условие (1.1). Со-

гласно принципу минимума дополнительной работы [М], рассматриваемый как функционал над статически допустимыми полями напряжений (。疗 + 5。") достигает своего минимального значения над полем о〃，соответствующим равновесию упругого тела.

Согласно теореме Клапейрона и (1.10), для минимального значения М = "mi п можно записать

"min"min1=—[J Fuds -2 s'1=—[J Fuds -2 s'/Qgds]./Qgds].(1.11)(1.11)

"min

"min

1

=—[J Fuds -

2 s'

1

=—[J Fuds -

2 s'

/Qgds].

/Qgds].

(1.11)

(1.11)

Наряду с вариационными принципами при построении оценок используется теорема взаимности работ Бетти: если имеются два равновесных состояния упругого тела, то работа поверхностных усилий, отвечающих первому состоянию о£), на смещениях U。)，соответствующих второму состоянию, равна работе поверхностных усилий второго состояния а^2^ на смещениях первого состояния и ⑴：

/ и⑴#)ds = / и⑵o(Dds. (1.12)

s

Здесь имеется в виду, что для равновесных полей смещений u(D и и(?) вычислены поверхностные усилия 0，】), О，?), которые, будучи приложенными к телу, вызовут соответственно смещения и⑴，口⑵.

Теоремы о минимуме потенциальной энергии системы и дополнительной работы позволяют строить приближенные решения задач теории упругости, выбирая представления решения через те или иные допустимые поля смещений или напряжений и устраняя произвол в такого рода представлениях из условий минимальности энергии (дополнительной работы). Этот подход нашел широкое применение в инженерных расчетах (см. [90, 93, 134] и указанную там литературу).

Энергетические теоремы приводят и к двусторонним оценкам энергии деформации (см., например, [15 2, 184, 192, 195, 209, 215, 216, 223]).

Построение оценок производится в два этапа. Сначала с помощью экстремальных принципов для рассматриваемой краевой задачи выводятся неравенства общего вида, связывающие энергию деформации и энергетические характеристики, которые могут быть рассчитаны через кинематически и (или) статически допустимые поля. На втором этапе эти неравенства конкретизируются после подходящего выбора допустимых полей. Близость верхней и нижней оценок, таким образом, зависит как от точности полученных общих неравенств, так и от того, насколько удачно выбраны допустимые поля.

Поясним на примере первой краевой задачи [в условиях (1.1), (1.2) S” = S, S' = ф], как с помощью принципов минимума потенциальной энергии системы и дополнительной работы выводятся неравенства для энергии деформации U [192].

Оценку сверху для U получим исходя из принципа минимума потенциальной энергии системы. Пусть и, о〃 -решение краевой задачи. Рассмотрим кинематически допустимое поле и' (。，• Тогда в силу (1.7), (1.8)

U & U(u'). (1.13)

Нижняя оценка следует из принципа минимума дополнительной работы. Пусть。； - статически допустимое поле. На основании указанного принципа, теоремы Клапейрона и (1.10) можно записать

U》^ %gds - U觴). (1.14)

Заметим, что если найдется такая функция wv , для которой

/ 力gds 二 / <r^uvds, (1.15)

то (1.14) можно переписать иначе:

U》f^u^s-U^Y (1.16) s

Окончательно (1.13) и (1.16) дают двусторонние оценки энергии деформации. В [192] рассмотрены также некоторые уточнения нижней оценки (1.16) и получены неравенства, аналогичные (1.13), (1.16) для второй краевой задачи.

Функционалы, приводящие к верхней и нижней оценкам, двойственны. Сами полученные верхняя и нижняя оценки также двойственны, т.е. наибольшая нижняя и наименьшая верхняя оценки совпадают. При построении оценок, в частности энергии деформации, широко применяется техника двойственных вариационных принципов, не имеющих столь непосредственного энергетического смысла [152, 195]. Сопоставление результатов, полученных таким путем и с помощью энергетических теорем, дано в [192] и показано, что оценки, следующие из двойственных вариационных принципов, естественно возникают и из энергетических теорем,

С другой стороны, энергетические оценки могут быть получены более сложными методами, подробно разобранными в [223]. Эти методы, по сути, обобщают обычные энергетические с позиций функционального анализа. Таким образом, удается установить не только разнообразные неравенства, но и выяснить ряд свойств допустимых полей, полезных при их построении в конкретных задачах.

Идея обобщения энергетических методов связана с обобщением утверждения, которое лежит в основе доказательства энергетических теорем: потенциальная энергия системы (дополнительная работа), подсчитанная для упругого состояния, представляющего собой разность допустимого и истинного состояний, должна быть положительна. На языке функционального анализа это означает, что соответствующим образом определенное (в энергетической норме) расстояние между пробной функцией, отвечающей допустимому состоянию, и решением должно быть положительно. Соответственно отыскание среди множества кинематически (статически) допустимых пробных функций такой, для которой это расстояния равно нулю, означает, что найдено решение, доставляющее минимум функционалу потенциальной энергии системы (дополнительной работы).

С другой стороны, решение задачи есть одновременно и кинематически, и статически допустимое поле. Предположим, что введено соответствующее функциональное пространство с энергетической нормой, точки и векторы которого изображают упругие состояния. Кинематически и статически допустимые поля образуют подпространства . Решение задачи можно представить как общую точку этих подпространств. Будем говорить о векторах, изображающих решение, кинематически и статически допустимые поля (соответственно кинематический и статический вектора), а также о векторах равных разности между кинематическим (статическим) вектором и вектором решения, называя их векторами кинематической и статической разности.

Оказывается, что вектора кинематической и статической разности ортогональны в энергетической норме. Для анализа задачи можно использовать все преимущества ее геометризации. При этом, в частности, многие получаемые неравенства для энергии деформации являются непосредственным обобщением на случай функционального пространства очевидных геометрических соотношений. Проиллюстрируем сказанное примером.

Рассмотрим на плоскости прямоугольный треугольник (рис. 37), вершины которого совпадают с концами векторов а, а', а". Центр описанной окружности 。‘ задается вектором b = 1/2 (а' + а"), а ее радиус R равен R = =1/2|а" — а'|. Пусть вектора а' и а" фиксированы, а конец вектора а может перемещаться по окружности, построенной на отрезке | а" — а'| как на диаметре. Тогда, очевидно, что

(|Ь|-К)2 &|а|2 &(|Ь|+К)2.(1.17)

Далее, наряду с векторами а, b введем вектор d 二 а-Ь(|а-Ь|=&)и произвольный вектор с (рис. 37, 6}. Тогда по свойству скалярного произведения для векторов (а — Ь) и с можно записать

|(a-b,c)|<^ |cj,(1.18)

откуда в силу неравенств для модуля разности

[|(b,c)|-R |с|] <|(а,с)|<[|(Ь,с)|+/? |с|].(1.19)

В функциональном пространстве упругих состояний имеет место картина, аналогичная представленной на рис. 37.

Вектор а соотносится с вектором решения, вектора а'н а" — с кинематическим и статическим векторами,с — с произвольным упругим состоянием. Пусть и, и', и〃，и。и 0 = (。〃)，/ 二(哈)，0〃 =(0夕)，oc = (afy)<соответствующие поля смещений и напряжений. Энергию деформации, отвечающую некоторому состоянию ис, ас, запишем в символическом виде

2 U(uc,ис) = f ocMocdv,(1.20)

где М — тензор упругих констант, так что тензор деформации е =(6//)

Рис. 37. Геометрическая интерпретация неравенств ( 1.17), ( 1.18)

равен е = Мо. Тогда для двух состояний а' и а" скалярное произведение ((а', а" ) ) определяется следующим образом:

((а', а "))二 2 U(u', u") = / о"Mo'd и =

к

二/ o'Mo" du = ((az，, a')).(1.21)

Здесь II a II2 = ((a‘，a')) , II a"俨 =((a1, ап)). После введенных обозначений и определений геометрические неравенства (1.17)-(!.19) можно переписать для рассматриваемых упругих состояний:

(II b II —尺)2 & II a IY (II b II + 尺)2,(1.22)

|((а —b,c))|《火 Ис II,(1.23)

K(b,с))-R Hell] <((a,c))& [((b,c))+R Hell].(1.24)

Неравенства (1.22) дают двусторонние оценки для энергии деформации через величины, вычисляемые по кинематически и статически допустимым полям.

Неравенства (1.24) позволяют получать локальные оценки решений, действуя аналогично тому, как на основе теоремы взаимности доказывается формула Сомилианы [98] . Действительно, с — произвольное упругое состояние. Если в качестве с выбрать состояние, для которого упругие поля отличны от нуля лишь в окрестности некоторой точки упругого тела, то ((а, с)) будет интегрально характеризовать решение в выделенной окрестности рассматриваемой точки.

В пределе, если в качестве упругого состояния с использовать решение задачи о действии сосредоточенной силы в упругой среде (решение Кельвина) ,из (1.24) удалось было бы получить локальные оценки решения рассматриваемой задачи. Трудности реализации этого пути в том, что, чем ''меньше” носитель упругого состояния с, тем (в силу свойств сингуляр-

НЬ1Х решений уравнений теории упругости) большей гладкостью должно обладать искомое решение а, чтобы существовало ((а, с)).

Применение (1.22), (1.24) связано с построением кинематически и статически допустимых полей, что само по себе представляет непростую задачу; некоторые методы построения локальных оценок и оценок энергии деформации без привлечения допустимых состояний развиты в [160, 161]. Эти методы идейно близки к методам построения априорных оценок в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Замечание. .Априорные. оценки энергии деформации получены при определенных предположениях и для нелинейно -упругого [191, 209] и для вязкоупругого [165] тела.

Изменение энергии при изменении упругих постоянных

Энергетические теоремы можно применять для получения оценок интегральных, а в ряде случаев и локальных характеристик решения задач для неоднородных тел сложной геометрии со сложными краевыми условиями через решения специально подобранных задач, более простых с точки зрения геометрии и (или) краевых условий, а также распределения неоднородности. Для этого нужно знать, как меняются энергетические параметры упругого тела при изменении его формы, упругих постоянных, кинематических или статических ограничений на поверхности тела.

Докажем Утверждение 1 ("теорема об изменении работы внешних сил при изменении жесткости"). Рассмотрим краевую задачу (1.1), (1.2) для изотропного и неоднородного в смысле п. 4.1.1 упругого тела. Если уменьшить (увеличить) упругие постоянные 入 и (или) 〃 или модуль Юнга (жесткость) Е материала в любой области тела, то величина

Q= jFuds— / 0n gds (2.1)

не уменьшится (не увеличится)* [40].

Доказательство проведем с помощью принципа минимума потенциальной энергии системы. Рассмотрим потенциальную энергию системы в состоянии равновесия W(u). Согласно (1.7),

W(u) = U(u) —/ Fuds. (2.2) s，

Уменьшим упругие постоянные 入 и (или) 〃 материала в некоторой области О】 тела (с границей 51) д10 3Hачений 入i и(или) gi , не меняя поля смещений. При этом в силу (1.3) , (1.5) , очевидно, уменьшится положительный первый член в формуле (2.2) . Поэтому

W(u)》Wi(u), (2.3)

здесь И\ (и) — потенциальная энергия измененной системы, соответствующая полю смещений и. Заметим, что состояние с полем смещений и является кинематически допустимым для измененного упругого тела, так как смещения и принимают на части S" поверхности тела те же значения, что и смещения j, отвечающие состоянию равновесия измененного тела при прежних внешних нагрузках (1.1) . В силу принципа минимума потенциаль-

юо

ной энергии системы и (2.3) имеем

W】(u)> W】(U]), W(u)> WiU).(2.4)

Соотношение (2.4) показывает, что при уменьшении жесткости или постоянных Ламэпотенциальная энергия системы не увеличивается. Это утверждение составляет содержание доказанной в [184] ,5теоремы об ужесто- чешш".

В состоянии равновесия для исходного тела W (и) может быть выражено формулой (1.9). Аналогично для измененного тела имеем в состоянии равновесия

1

^1(01) = - [-J F(x)u(x)ds+ f (a„)1(x)g(x)ds ] .(2.5)

2 s，s"

Здесь (%) 1 — усилия на части S” поверхности измененного тела, где заданы смещения.

Из (2.4) с учетом (1.9), (2.5) следует, что

0= /Fuds — / %gds& s，

& JFuids- / (%)igds = 0「(2.6)

S's〃

Очевидно, меняя местами исходное и измененное тело, получим, что при увеличении постоянных 入 и (или) ,и величина Q не увеличивается. Утверждение 1 доказано . Заметим, что утверждение 1 справедливо и для анизотропного упругого тела.

Следствие 1. Если на всей поверхности тела заданы внешние нагрузки (S = S’)или на части поверхности S，f фиксированы нулевые смещения g (х) = 0, то из (2.6) следует, что

/ Fuds& /Fuids,(2.7)

s， s，

т.е. при уменьшении постоянных 入 и (или) ,u в произвольной области тела работа внешних сил, а в силу теоремы Клапейрона и энергия деформации, не уменьшаются.

Следствие 2. -Если часть S' границы свободна от нагрузок, т.е. F = 三 0, или на всей поверхности заданы смещения S =S”，то из (1.18) имеем

/ %gds> / 9/gds,(2.8)

s' s〃

т.е. интеграл от напряжений с весом g(x) по части поверхности, где заданы смещения, не увеличивается при уменьшении постоянных 入 и (или)从 в произвольной области тела.

В конкретных задачах утверждение 1 и следствия 1, 2 сразу приводят к полезным свойствам решений. Сформулируем некоторые из них, другие рассмотрены в гл. 7.

Следствие 3. Пусть упругое тело подвергнуто действию внешних нагрузок на части S' поверхности, а на остальной части S" = S \5‘ поддерживаются нулевые смещения. Если в этих условиях в теле возникают (или создаются) трещины-разрезы (или полости), то его энергия деформации не уменьшается.

Этот результат представляет собой переформулировку следствия 2 для конкретной задачи.

Следствие 4. Пусть в упругом теле имеется трещина (полость), загруженная равномерным внутренним давлением р. Тогда уменьшение (увеличение) жесткости тела в некоторой его части приводит к увеличению (уменьшению) приращения объема трещины (полости) в результате деформации тела, вызванной действием давления.

Действительно, при однородных нагрузках р, действующих на поверхности трещины (полости), работа внешних сил равна, очевидно, произведению давления р на приращение объема раскрытой трещины (полости). Поэтому результат, сформулированный в следствии 4, очевиден в силу следствия 1.

Следствие 5. Изменение объема Ду трещины, раскрываемой давлением Р, в упругом теле ограничено сверху и снизу величинами (△ t?)up и (△ V)/ изменения объема той же трещины при том же давлении р, но расположенной в объемлемом и объемлющем по отношению к исходному телах.

Результат очевиден ввиду следствия 4.

Аналогично следствию 5 можно получать на основе теоремы об ужесточении двусторонние оценки энергии деформации упругого тела, рассматривая тела с измененной жесткостью или с измененной формой. При этом необходимо иметь в виду следующее обстоятельство. Эффективность такого рода двусторонних оценок зависит от того, насколько ^чувствительна" энергия деформации к изменению упругих постоянных и формы тела. Если при заданных краевых условиях и форме тела упругие постоянные материала мало меняются, то мало меняется и энергия деформации. Доказательство непрерывной зависимости энергии деформации от значений упругих постоянных дано, например, в [223] .

Сложнее обстоит дело с зависимостью энергии деформации от формы тела. Хотя изменение формы тела можно трактовать как изменение в определенной области упругих постоянных, предыдущее утверждение не означает, что при изменении формы тела энергия деформации меняется непрерывно. Дело в том, что малые изменения формы связаны все равно с изменением упругих постоянных на конечную величину.Вопрос о зависимости энергии деформации от формы тела изучался рядом авторов (см., например, [126, 153, 223]). Показано, в частности, что при статических краевых условиях для непрерывности изменения энергии деформации

при изменении формы тела нужно, чтобы возмущенная поверхность тела была близка к исходной поточечно по расстоянию и, кроме того, в соответствующих точках мало отличались бы нормали к обеим поверхностям. Это свойство энергии деформации используется, например, в теории трещин при доказательстве формулы Ирвина, связывающей вариацию энергии деформации тела с трещиной при вариации области трещины с коэффициентом интенсивности напряжений [10, 11] [см. формулу (4.1.9)]. В разд. 7.2 приведены примеры, показывающие, что энергия деформации тел с трещинами, мало отличающимися по площади может сильно отличаться, если область одной трещины геометрически близка почти вдоль всего контура к области другой трещины, но содержит еще узкий и вытянутый "язычок".

Для приложения теоремы об ужесточении важно, что независимо от точности получаемых на ее основе количественных оценок, теорема позволяет во многих случаях просто получать выводы качественного характера. Интересные примеры такого рода результатов даны в [224].

Эти примеры связаны с изучением влияния упругих модулей и в более общем случае неоднородностей на энергию упругого тела, содержащего те или иные сингулярные источники напряжений, или на энергию взаимодействия сингулярности и неоднородности.

Рассмотрим, в частности, упругое пространство из неоднородного и, вообще говоря, анизотропного материала. Предположим, ^гго упругое поле в среде создается типичной сингулярностью — дислокацией с постоянным вектором Бюргерса b = (Ь^, Ь?，Ьз). Хорошо известно [145], что полная энергия системы в этом случае равна

E = %bibjMij , (2.9)

где Mi у — ^коэффициенты самоиндукции дислокации", образующие симметричный положительно определенный тензор второго ранга. Из теоремы об ужесточении сразу следует, что при увеличении значений модулей упругости приращение М»/ также будет положительно определенным, если вектор Бюргерса дислокации остался неизменным.

Предположим теперь, что в однородной упругой среде с дислокацией имеется неоднородность (включение, полость), Полную энергию системы можно представить в виде суммы двух выражений полной энергии однородной среды с дислокацией Е и дополнительного слагаемого АЕ, отражающего изменение полной энергии из-за появления неоднородности. Это слагаемое характеризует энергию взаимодействия дислокации и неоднородности, зависящую, очевидно, от их взаимного расположения, геометрии неоднородности и упругих констант среды и неоднородности.

Можно показать [224], что энергия взаимодействия △£ выражается интегралом по области, занятой неоднородностью от свертки разностей тензоров (4-го ранга) упругих модулей неоднородности и среды и тензоров деформаций, возникающих в среде с исходными упругими свойствами и со свойствами неоднородности.

Примем для простоты, что неоднородность расположена далеко от дислокации, так что их взаимодействие можно рассматривать в приближении дальнего поля. Энергия взаимодействия АЕ будет положительной или отрицательной в зависимости от того является ли неоднородность "более жecткoй^^ или "менее жесткой" по сравнению с материалом исходной среды.

103

Пусть перемещение дислокации в среде происходит таким образом, хцобы энергия взаимодействия уменьшалась. Тогда в силу теоремы об ужесточении дислокация будет отталкиваться от неоднородности большей жесткости (при этом будет уменьшаться положительная энергия взаимодействия) и будет притягиваться к неоднородности меньшей жесткости (что, в свою очередь, приведет к уменьшению отрицательной теперь энергии взаимодействия). Примечательно, что эти выводы качественного характера получены практически без вычислений. В [224] проанализированы и более сложные случаи использования рассматриваемых утверждений.

Утверждение 1 оказывается полезным в задачах оптимизации конструкций по критериям жесткости (см. [9] и указанную там литературу), а также при изучении эффективных упругих модулей сред с множеством неоднородностей [184, 224,110].

Замечание. Утверждения типа теоремы об ужесточении имеют место не только для линейно-упругого тела.

Аналогичные результаты справедливы для жесткопластических тел [59] (см. также [72, 75]). Поскольку по определению жесткопластическое тело не деформируется вплоть до того уровня внешней нагрузки, при котором возникает пластическое течение, несущую способность тела характеризует именно это пороговое значение нагрузки — предельная нагрузка. Для отыскания предельных нагрузок используются вариационные привдипы теории жестокопластичности. На основе экстремальных принципов предложены методы построения верхних и нижних оценок предельных нагрузок, восходящие к [33]. Получение двусторонних оценок в задачах для элементов конструкций сложной геометрии облегчает использование соответствующих теорем ужесточения [59]: 1) для объемлющего (объемлемого) жесткопластического тела предельная нагрузка не ниже (не выше), чем для исходного; 2) увеличение (уменьшение) предела текучести в некоторой области тела не снижает (не увеличивает) предельную нагрузку.

Глава 5

ЛОКАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ В ТЕОРИИ ТРЕЩИН

(МЕХАНИКЕ РАЗРУШЕНИЯ)

Теоремы сравнения для коэффициента интенсивности напряжении на контуре плоской трещины нормального разрыва в безграничной среде

Рассмотрим упругое пространство с трещиной нормального разрыва G в плоскости х3 =0. Как и в п. 4.1.2, будем считать, что трещина раскрывается под действием нормальных нагрузок р(хь х2) > 0, симметричных относительно плоскости х3 = 0. Граничные условия задачи имеют вид (3.2.1), (3.2.2). Напомним (см. п. 3.3.2), что в силу симметрии задачи (относительно плоскости х3 = 0) составляющая смещения 〃з = w на продолжении трещины в плоскости х3 = 0 равна нулю:

^(хь х2,0) = 0, (xlfx2)^R2\G.(1.1)

Основной локальной характеристикой упругого поля вблизи края трещины является коэффициент интенсивности напряжений N, который в соответствии с (3.2.3), (3.2.4) определяет асимптотику нормальных напряжений Озз и смещений w вблизи участков гладкости контура трещины. В частности, в терминах коэффициентов интенсивности формулируется критерий роста трещины (3.2.6).

Ниже будем отыскивать оценки для коэффициентов интенсивности напряжений в точках контура трещины сложной формы. Оценки опираются на следующее утверждение [39, 178].

Теорема сравнения I. Рассмотрим две трещины, занимающие в плоскости х3 = 0 области G и G‘(G‘ U G) с контурами Г и Г\ Пусть контуры Г и Г‘ имеют общую часть Г", состоящую из некоторого числа гладких дуг и (или) изолированных точек касания контуров Г и Г\ Предположим далее, что соответствующие нагрузки р(хь х2) и p'(%i, х2) удовлетворяют условиям

Р(Х1,Х2)》。，(X1,X2) G G\Gf;

р(хьх2) > р(хьх2) > 0,(Xi,X2)£G‘.■

Тогда в тех точках Г”，в которых нормали к контурам совпадают, коэффициент интенсивности N = Nr для трещины, занимающей область G, не меньше, чем коэффициент интенсивности Nf = Nr для трещины, занимающей область G':

”(7И) & N(M), VM G Г".(1.3)

Доказательство. Сначала докажем следующее.

Утверждение 1.1. При приложении к поверхностям плоской трещины нормального разрыва раскрывающих ее нормальных нагрузок (р》0) смещения wточек верхней поверхности трещины положительны, а напряжения в плоскости трещины на ее продолжении (вне G) всюду растягивающие.

Это утверждение верно для трещины произвольного очертания, в том

числе и занимающей многосвязную область, ограниченную негладким контуром.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся формулировкой задачи о трещине нормального разрыва в безграничной среде в виде эквивалентной смешанной задачи определения гармонической в полупространстве &М функции Ф (п. 3.2, гл. 3), удовлетворяющей граничным условиям (3.3.16).

Поскольку w(x” ％2, о) = 4)(Х1, %2, 0), Озз(Х1, Х2, 0)二 а_1(ЭФ/Эх3), сформулированное утверждение означает, что

Ф(Х1，Х2，Хз) > 0,(Xi』』)Е R，

ЭФ,

尸(Х1，Х2,0) > 0,(Х1,Х2)w R2\G.(1.4)

Покажем сначала, что Ф(хь х2, ^з)》0, х3 ^ 0. Предположим противное: пусть существует точка, в которой Ф < 0. Из принципа максимума (см. Приложение 1) и краевых условий (Ф = 0, (xif x2)^R2\G) следует, что функция Ф(Х1 ,х2 Лз ) может достигать своего отрицательного минимального значения ①(х；,х扌，xg) < 0 лишь в некоторой внутренней точке М* области G плоскости х3 二 0. Однако в силу условия (3.3.16) 3①/Зхз(х；, х£, 0) & 0, что противоречит усиленному принципу максимума Хопфа (см. Приложение 1). Таким образом, Ф(хь Х2,Хз)》0в R， В частности, Ф(хь х2,0) = w(xb х2,0) > 0, (х}, х2) @ G. Далее, поскольку ①(Х1,Х2,О) = 0, (Xi,%?) Е 7?2\G, а в 火纟 Ф(хь х?, х3)》0, то 3①/Зхз(Х],穴2,0)》0, (^ь ^2)^^2 \ ^- Утверждение доказано.

Следствие 1.1. Если рассмотреть две системы нагрузок, удовлетворяющих условию Pi(xi, %2)》P(Xi, %2), V(xi, х2) Е G, то для соответствующих смещений и напряжений имеют место неравенства

Wi“i，X2,0) > W(Xi，X2,0),(Х3Х2) е G;

。厶(Х1,Х2,0)》Озз(Х1,Х2,0),(Х1,Х2)£ R2\G.(1.5)

Вернемся теперь к сформулированной выше теореме сравнения коэффициентов интенсивности напряжений для двух трещин, имеющих общую часть контуров Г ".

Прежде всего заметим, что вторую трещину, отвечающую контуру「', можно получить из первой, отвечающей контуру Г, следующим приемом. Приложим к участкам верхней и нижней поверхностей первой трещины, проектирующимся на область G\G‘ плоскости Х3 = 0, усилия, равные и против онап рав ле иные напряжениям о；з(：ч, х2, 0), возникающим в этой области на продолжении второй трещины при действии нагрузок 丿g,X2), (Xi,X2)£G.,

По утверждению 1.1 о'зз(” х2, 0) > 0. Соответствующие им усилия р* отрицательны (стремятся закрыть первую трещину). Если рассмотреть трещину, занимающую область G, сначала под действием исходной системы нагрузок р (состояние /), потом под действием системы нагрузок 「2 = Р + Р* (состояние 〃)，то для всех (хь х2) W G имеем “2 & Pi - Р・ По доказанному выше [ср. (1.5) ] 0 < w2 = и/《>匕二 w. В общих точках

контуров Г и「' имеем поэтому

(учитывая, что vv(M)

N(M) = М =

Е4(1 -р2)

8wЕ Зи/

> a VT 4(i—〃)a yj~^*

=и/(М)

n2 =

=о

(1.6)(1.6)=N'M VM £ Г\

(1.6)

(1.6)

где s — расстояние по нормали от контура, отсчитываемое внутрь трещины. Теорема сравнения доказана.

Следствие 1.2. Рассмотрим трещину, занимающую область G', ограниченную контуром 「'. Пусть при неизменной системе нагрузок произошло разрушение материала в некоторой области Gi(8Gi = 1\) плоскости трещины, так что образовалась новая трещина, занимающая область G = G‘ U Gi (т.е. исходная трещина ''растиралась''). Обозначим общую часть контура Гг и Г t через Г"二「' G & (в частности, может оказаться, что Р" = Ф). Контур новой трещины 3G = Г = (Г\ Г°) U (Г\\「"). Тогда коэффициент интенсивности напряжений в оставшихся неподвижными точках контура Г' исходной трещины увеличился.

Следствие 1.3. Рассмотрим две трещины, занимающие области G()(aGo = Го) и Gq^Gq = Го). Пусть контур Го объемлет контур Го. Предположим, что раскрывающие трещины Go и G〔 нагрузки р(入)и р‘(入)меняются в зависимости от параметра нагружения 入 np》p'V入 в каждой точке G】.В этом случае, если возможно квазистатическое непрерывное развитие трещин из Go и Gq в силу критерия предельного равновесия (3.2.6), то трещина, развивающаяся из трещины G%, всегда будет оставаться внутри трещины, развивающейся из трещины Go.

Действительно, предположим противное. Тогда должна найтись такая точка М* и такое значение 入*, что текущие контуры трещин「' и Г касаются друг друга и контур「' лежит внутри контура Г. В случае предельно равновесного роста трещины, для того чтобы в точке М* контур「' вышел за пределы Г, должно выполняться неравенство N(M*) < JK, а N‘(M*) > тг~1К, что противоречит теореме сравнения, в соответствии с которой N(M*) > N'(M*). Полученное противоречие и доказывает следствие 1.2.

Теорема сравнения I относится к трещинам нормального разрыва, на поверхностях которых действуют лишь нагрузки, раскрывающие трещину. На самом деле условия (1.2) на приложенные к поверхностям трещин G и G' нагрузки являются достаточными для справедливости неравенств (1.5) и следующей из них теоремы сравнения (1.6), (1.3).

Теорема сравнения имеет место и в более общей ситуации, когда нагрузки на поверхностях трещины могут быть знакопеременные, что, в свою очередь может приводить к возникновению неизвестных заранее зон контакта поверхностей трещины [48, 53].

Теорема сравнения II. Пусть имеются две трещины G и G', одна из которых G объемлет другую, и их контуры Г и「' имеют общую часть「"• Предположим далее, что при заданной системе нагрузок р(хь х2),

(1.7)(1.7)(Xl,X2)£G；尸(Xi,%2), (x1,x2)GG, 万》万 V(Xi,X2)£G';

(1.7)

(1.7)

смещения точек верхней поверхности трещин G н G' неотрицательны, т.е.

w(Xi，X2)> 0, (х「Х2)е G; "(Xi，X2)> 0, Ui,x2) G G'.(1.8)

Тогда справедливо заключение теоремы сравнения I [неравенство (1.3)]. Доказательство, как и для теоремы I, проведем с помощью принципа максимума Хопфа.

Доказательство. Рассмотрим гармонические в полупространстве 7? + функции и и и', представляющие собой соответственно решения краевой задачи (3.3.16) для трещин G и G’. Введем гармоническую функцию W, равную разности 9 и(р\ 屮二⑴―9'. Для 屮 имеем, согласно условиям теоремы и (3.3.16) , следующую краевую задачу:

W = 0, Ui, Х2)£ 尺2\g；屮》о, а】，％?) £ G\G\

(aw/ахз) & О, (Х],Х2)е G'.(1.9)

В силу усиленного принципа максимума Хопфа (после рассуждений, аналогичных использованным выше при доказательстве теоремы I), отсюда следует, что W(%i, х2, х3) > 0 в н, в частности, что W(Xi, х2,0)= =w(xb х2, 0) - w'(xi, х2,0) > 0, (хь х2) £ G'. Это неравенство сразу приводит к (1.6), (1.3) в общих точках контуров Г и Г\ т.е. к справедливости заключения теоремы сравнения.

В условиях (1.7), (1.8) теоремы сравнения II не требуется, чтобы нагрузки, действующие на поверхностях трещины, были положительны. Покажем, что это позволяет применять теорему и в тех случаях, когда под действием объемных и поверхностных сил возможно налегание поверхностей трещины вдоль некоторой части исходной области разреза (вне этой части области разреза раскрытие трещины положительно).

Предварительно сформулируем задачу о трещине (разрезе), поверхности которой могут налегать одна на другую на некоторой (неизвестной заранее) части области трещины.

Пусть трещина занимает область G плоскости х3 = 0 упругого пространства, в котором в направлении оси х3 действуют объемные силы g(xi, х2, х3) и поверхностные нагрузки 卩(打，х2), симметричные относительно плоскости х3 = 0. Подчеркнем, что контур трещины (граница области G) считается фиксированным, в то время как в пределах этой области могут возникать зоны, где поверхности трещины приходят в контакт. В силу симметрии задачи достаточно рассмотреть полупространство 乂з > 0. При х3 = 0 выполняются следующие условия:

。13=。23=。；W(X1,X2,O) = 0,(Х1，%2)£ R2\G；(1.1。)

W(X1,X2,O)》0, (хьх2) G G;(1.11)

。33 & Р“1，Х2)при w = о, (Х1，Х2)£ G;

Озз=Р(Х1,%2)при W〉О,(X1，X2)£G.(1.12)

Условия (1.10) следуют из симметрии задачи, неравенство (1.11) означает, что невозможно взаимное проникновение поверхностей трещины.

Условия (1.12) следуют из того, что напряжения а33 представляют собой сумму внешних воздействий р(хь х2) и реакций pi(xb х2) от нижней поверхности трещины, направленных вверх в точках смыкания поверхностей (поэтому p(xlf х2) & 0 и, следовательно, а33 =р+р；&р).

Решение исходной задачи можно представить в виде суперпозиции двух упругих полей. В одном из них, соответствующем сплошному телу с заданными объемными силами, в силу симметрии последних относительно плоскости х3 = 0 на этой плоскости вертикальные смещения w^Xj, х2,0) и касательные напряжения а}3 - о\з = 0. Соответствующие нормальные напряжения обозначим через о；з = а0(^ь ^2)• Второе поле отвечает задаче о трещине с частично налегающими поверхностями, к которым, помимо нагрузок р(%1, х2), приложены дополнительные нормальные нагрузки (—°0(Х1，Х2))・

Подчеркнем, что, хотя исходная задача нелинейна (неизвестны зоны налегания), принцип суперпозиции применим, поскольку выделение первого упругого поля не изменяет нормальных смещений в плоскости х3 = 0.

Будем считать, что первое поле найдено, т.е. сто(хь х2) известно. Тогда для второй задачи (которая и рассматривается далее) имеем граничные условия типа (1.10)-(1.12), только учитывая, что o33(xit х2, 0) = = азз +о=з (。3 - напряжения при х3 = 0 во второй задаче), условие (1.12) надо заменить на следующее:

。久 & 0“i,Х2)при w = 0, (Xi,X2)е G;

。专 3 = 一应Х1，Х2)при w〉О, 01, Х2)EG, •

здесь/ = -(р -。0)- известная функция хь х2 в области G.

(1.13)(1.13)Задача (1.10)-(1.12) сводится к следующей задаче определения гармонической функции W[cp. с (4.1.11)]:

(1.13)

(1.13)

△W = 0, х3 > 0;

W》0,W》0,2（］一户）2（］一户）e 8w2(1 — 〃2) Зхзe 8w2(1 — 〃2) Зхз+ 万=О (Xi, Х2)е G;+ 万=О (Xi, Х2)е G;(1.14)(1.14)

W》0,

W》0,

2（］一户）

2（］一户）

e 8w

2(1 — 〃2) Зхз

e 8w

2(1 — 〃2) Зхз

+ 万=О (Xi, Х2)е G;

+ 万=О (Xi, Х2)е G;

(1.14)

(1.14)

(1.15)(1.15)屮=о, (хьх2)е r2\g.

(1.15)

(1.15)

Как и в пп. 5.1.1 и 5.1.2 будем интересоваться изменением решения задачи (1.10) —(1.12) при изменении формы трещины и действующих нагрузок g(x「х2, х3)《0, р(х「х2) (функции р). Рассмотрим две трещины G и Gf (G D Gf), контуры которых Г и Г； могут иметь общую часть Г〃. Обозначим через g, р ng', р нагрузки, отвечающие задаче (1-11), (1.13) для трещин G н G' соответственно, а через Go и G】возможные зоны налегания поверхностей трещин. Пусть для х3 > 0 и любых (“i, х2)

выполняются условия

g(XltX2fX3) < g(XlfX2tX3\ d(Xi,X2)》P(X1，X2)・ ，(？6) При условиях (1.16) выполняется неравенство (1.7)月‘二一卩'十 °° & 《一р +。0 = /• Для того чтобы это доказать, сравним °о " "°・ Напряже-

ния。0 и Сто, возникающие в сплошном теле в плоскости х3 = 0 от действия нагрузок g и g' соответственно, могут быть выражены в виде линейных интегральных представлений с плотностями g н g' и ядром [89] £(Е 0):

%з Г3(^)2 1

= (1 -2р) + - .(1.17)

I 4я(1 -р)Л3(Р, 0) L氏2(尸,е) JI 丿

Это ядро представляет собой напряжения 033(尸)в точке Р(хн х2, 0) при действии в точке 0(х；, х；, х；) (х；〉0) сосредоточенной силы единичной интенсивности в направлении оси х3 при условиях w = 0, а13 = =О23 = 0 в плоскости х3 = 0. Здесь R (Р, Q) - расстояние между точками 尸 и 0. Из (1.17) видно, что ядро £(尸，Q) неотрицательно при х； > 0. Следовательно, если выполняются условия (1.16) для g и g' (напомним также,что g&0 и g'《0),то

OQ(XltX2) > OQ(XltX2) V(Xi，X2)・(1.18)

Отсюда с учетом определения р, /' и (1.16) следует, что /' & р, (хь х2) £ G. Таким образом, при условиях (1.16) справедливы неравенство (1.7) и теорема сравнения II для трещин отрыва с частично налегающими поверхностями.

Теоремы сравнения для коэффициента интенсивности напряжений на контуре плоской трещины нормального разрыва при наличии линейных связей между ее поверхностями

В отличие от разд. 5.1 будем считать, что при наличии в упругой среде трещины между ее поверхностями действуют связи, приводящие к тому, что в дополнение к внешним нагрузкам на поверхностях трещины появляются напряжения, зависящие от величины скачка смещений на трещине. Таким образом, можно моделировать в ряде случаев трещины в армированном материале, когда наличие армирующих элементов, соединяющих поверхности трещины, существенно влияет на ее раскрытие.

В дальнейшем будем считать, что соотношение между напряжениями и скачком смещений вдоль трещины, обусловленное наличием связей, линейно.

Задача о трещине нормального разрыва в безраничной среде при наличии связей между поверхностями, так же как и в отсутствии связей, эквивалентна задаче определения гармонической функции Ф в полупространстве. Однако теперь вместо граничных условий (3.3.16) имеем для Ф краевую задачу:

Ф(Х1，Х2,О) = 0, (Xi，X2)£R2\G；

Ф(хьх2,0) = 〃(х「Х2);(2.1)

ЭФ

-—(打,工2,。)= -т [ р(^1, х2) - d(xlf x2)u(xlf Х2)](X1，X2)£G 8X3

7 = 2(1 - V2)/Е.

Здесь "(修，2)— размерный коэффициент, характеризующий жесткость связей. Если принять, что с увеличением раскрытия трещины сопротивление ему, вызываемое связями, растет, то следует считать d(%i, х?)》О*.

Для задачи (2.1) имеют место теоремы сравнения, аналогичные теоремам разд. 5.1. Кроме того, справедлива теорема сравнения по характеристике жесткости связей - функции d(xlf х2). Приведем, следуя [142], эти теоремы и их доказательства.

Теорема сравнения III. Пусть выполняются условия теоремы II и жесткость связей d(Xi, х2)》0, (х^, х2) £ G, тогда справедливо заключение теоремы II [неравенство (1.3)]. Теорема III следует из утверждений 2.1 и 2.2.

Утверждение 2.1. Пусть p(xlt х2) > 0 в G ир(Xi, х2 ) ф 0, тогда 〃(Xi, %2 ) > 0 внутри G для любой функции d(Xi, %2 )》0.

Доказательство. Воспользуемся формулировкой задачи о трещине, как задачи (2.1) определения гармонической функции Ф, х3》0, равной 〃(х「％2)при Хз = 0. Допустим, что утверждение 2.1 неверно. Тогда найдется точка (х?, /) £ G, где 〃(x「х2) достигает своего минимального (неположительного) значения. В силу этого, и учитывая, что р(х?, х$)》 > 0, имеем (8Ф(х?,透,0)/8хз) = -)[р(х?,谑)-J(x?, х!)Ф(х?, х^)] &0, что противоречит усиленному принципу максимума Хопфа.

Утверждение 2.2. Рассмотрим две трещины G и G'(G‘ С G). Пусть р(х「х2)》0 в G. Обозначим через 〃(修，х2) и u(xlf х2) нормальные смещения поверхностей трещин, занимающих области G н G' соответственно, тогдам(%!, х2)》〃‘“I』)，(Х1，Х2)£ G'.

В самом деле, пусть Ф н ①'гармонические вК： функции, соответствующие задачам о трещинах G и G\ т.е.

8Ф(Х1,Х2,0)/аХз = —)[р(Х1,Х2)-а(Х1，Х2)Ф(Х1,Х2,0)](X1,X2)£G；

аВ(Х1,Х2,0)/ахз = -7[р(хьх2)-^(х1,х2)Ф/(х1,х2,0)] (Xi，X2)£Gl

Рассмотрим гармоническую функцию 屮(修，х2, 也)= Ф(х「х?, 心)— -Ф‘(Х1, х2, х3). По условию W(Xi, х2, 0) = 0, (х】，х2) £ R2 \G. По утверждению 2.1 W(x「х2, 0)= 〃(石，х2)> 0, (хь х2) £ G\G‘. Обозначим W(%i, х2, 0) = и(хь х2). Если бы следствие 2.1 было неверно, то существовала бы точка (х?, х2), в которой u(x「х2) принимает минимальное неположительное значение. Тогда и(х?, х?) <0 и

аи/8хз(х?,х2,О) = -)[-d(x?,x2)W(x?,xg,0)]=

=)d(x?,x2)u(x?,xg) & 0,

что противоречит усиленному принципу максимума Хопфа.

Замечание 1. Утверждение 2.2 верно и в том случае, если требование р(х「工2)》0 в G заменить условием 〃(x「х2)》0 (сравни с фор-

мулировкой теорем сравнения I и II), что отвечает случаю возможного налегания поверхностей трещины.

Действительно, сохранив прежние обозначения, предположим, что минимум и®, %2)достигается в точке (х?, х?) Е G', причем и(х?, х?) < 0. Возможны четыре случая:

〃(х?,х?) > 0, 〃'(х?, X?) > 0;

〃(х?,х2) > 0, 〃(х?,х2) = 0;

〃(х?,х2) = 0, 〃‘(х?,君)> 0;

〃(x?,xg) = 0, 〃‘(х?,х?) = 0.

Очевидно, что случаи 2 и 4 противоречат предположению и(х?, х2) < 0. Случай 1 не отличается от рассмотренного в утверждении 2.2 [в точке (х?, х?) отсутствуют силы реакции между поверхностями трещины], поэтому(аи/8хз)(х?, х2, 0) =)d(x?, xg)u(x?, *) < 0. В случае 3 на поверхности трещины, занимающей область G, в точке (х?, х?) действуют силы реакции —R(x?, х9), R > 0. Следовательно,

ЭФ(х?,х§,0)/Эх3 = -m"(x?,x2)+R(x?,x2)-d仅?,х?)Ф(х?, X»], аФ'(х?,х2,О)/ахз = -у [ р(х?, х§) - J(x?, x^(xlfx2)]

или

"(х?,х2,О)/ахз = -M[R(x?,£g)_d(x?,x2)u(x?,x2)] & 0,

что противоречит усиленному принципу максимума. Обобщение утверждения 2.2 доказано.

Справедливость теоремы сравнения III устанавливается на основе утверждений 2.1, 2.2, так же как и при доказательстве теоремы сравнения I.

Теорема сравнения IV (по жесткости связей). Пусть и(Xi, х2) — решение краевой задачи (2.1) в области G(и (xlt х2) = Ф(%ь %2, 0)，(х「х?) £ £ G) при наличии связей, описываемых функцией d(xi, х2\ a Wi(xb х2)— решение задачи (2.1) в области G (〃1(看，х?)二① 1(打，七，0), (x「x2) ^ £ G), отвечающее жесткости связей "i(Xi,X2), причем 0 &d(xi，х?) & & %(Xi,X2)・

Будем считать, что p(xlt х2) ^ 0 в G п p(xlt х2)丰。.Тогда Mi(Xi,也)& &〃(Xi,工2)внутри G.

Доказательство. Рассмотрим гармоническую в R+ функцию 屮(х「Х2, Хз) = Ф1(Х1，Х2, Хз) - Ф(х「Х2, Х3). Тогда 屮(Х1, Х2,0) = 0, (X1,X2)£R2\G, Ф(Х1,Х2,0) = U(X1，X2),(X1，X2)£G.

а^(Х1,Х2,0)/ахз = [-б/1(х1,х2)Ф1(х1,х2,0) +

+ а(Х1,Х2)Ф(Х1，Х2,0)](—>),(Х1，Х2)е G.

Если утверждение теоремы неверно, то, обозначая через (х?, х?) точку, в которой Ф(хь х2, ^з) достигает максимума, получим

и(х?,х2) > 0, (х?,/) е G;

ЭФ(х?,Х2,0)/дх3 = )[%(х?,х2)Ф1(х?,х2,。)一

-б/(х?,х?)Ф(х?,х§,0)]》7d(х?,х2)；[Ф1(х?, х9,О)-Ф(Х1,Х2,О)]=

=7 d(x?,x2)u(x?,xg)》0.

Здесь учтено, что в силу сделанных предположений и утверждения 2.1 функция Ф1（хь Х2,0）》0. Поскольку （ЭФ/Эх3）（х?, х9, 0） > 0, приходим в противоречие с тем, что 屮（,，七，^з） достигает максимума в точке （х?,疹,0）.

Замечание 2. Теорема сравнения IV остается справедливой, если заменить условие p（xi，%2）》0 в G условием 〃】（Xi, х?）》0 или 〃 （х【，х?）》0. 〃（Х1，%2）> 0.

Некоторые следствия и применения теорем сравнения

Теоремы сравнения приводят к ряду следствий, упрощающих во многих случаях анализ условий разрушения или неразрушения тел с трещинами.

Следствие 3.1. Пусть трещина G вдоль некоторой части контура квазистатически растет при сохранении системы нагрузок. Тогда коэффициент интенсивности напряжений в оставшихся неподвижными точках контура увеличивается.

Это следствие тем более справедливо, если при расширении трещины на некоторой части ее поверхности прикладываются дополнительно раскрывающие трещину усилия （например, трещина находится под действием внутреннего давления или в поле внешнего растяжения）.

Следствие 3.2. Пусть имеются две трещины GQ и Со с контурами Го и Го, первый из которых объемлет второй, и заданы такие системы раскрывающих трещины Go и G； нагрузок р（хь х?,入），炉（修，х2,入）, где 入—параметр нагружения, что р》р , Y入 в каждой точке. Предположим, что развитие трещин Go и G} происходит непрерывно и квазистатически в силу критерия предельного равновесия. В зТом случае трещина, развивающаяся из трещины G〔，всегда будет оставаться внутри трещины, развивающейся из трещины Go.

По существу, это следствие （и его доказательство） совпадает со следствием 1.3.

Из следствия 3.2. вытекают два элементарных, но важных вывода.

Следствие 3.3. Если трещина, ограниченная при начале нагружения （入=入°） обьемлюгцим контуром, безопасна при заданной программе нагружения （т.е. не приводит к разрушению тела）, то безопасна и трещина, ограниченная при 入二入о обьемлемым контуром, при той же истории нагружения.

Следствие 3.4. Если объемлемая трещина ^^oпacнa^^ （в указанном смысле）, то опасна и объемлющая трещина.

Следствия 3.3, 3.4 дают возможность в ряде случаев получить сравнительно простые достаточные условия неразрушения или разрушения тела с трещиной, не анализируя поведение данной трещины, а рассматривая условия роста трещин, ограниченных контурами более простой формы. Дополнительный анализ требуется тогда, когда объемлющая трещина оказывается опасной, а объемлемая — безопасной.

Теоремы сравнения позволяют строить двусторонние оценки для коэффициентов интенсивности напряжений. Общий принцип заключается в том, что для заданной точки контура строятся два вспомогательных контура, объемлющий заданный и объемлемый им, таким образом, что все три 8. Зак. 1100 113

контура имеют в данной точке общую касательную. Вспомогательные контуры подбираются так, чтобы для них коэффициент интенсивности напряжений в данной точке был известен. Тогда искомый коэффициент интенсивности для данного контура заключен мевду упомянутыми известными величинами. Такие оценки будут заведомо строгими. Их точность зависит от того, насколько удачно можно подобрать вспомогательные (опорные) контуры. Чтобы эффективно применять принцип сравнения для оценок коэффициента интенсивности на контуре трещины сложной формы, нужно располагать достаточно полным набором "зталонных” решений задач теории упругости для разнообразных сравнительно простых форм трещин. Такие решения могут быть легче получены численными или численно-аналитическими методами, чем решение исходной задачи для трещины сложной формы. В частности, в качестве " этaлoнныx^^ успешно можно использовать решения построенного в [35, 36] класса точных решений для трещин, ограниченных областями, получающимися при применении преобразования инверсии к эллиптической области.

Перейдем к анализу некоторых примеров применения принципа сравнения.

Рассмотрим сначала трещины, ограниченные выпуклыми контурами, и в частности эллиптические и прямоугольные трещины, в условиях однородного нагружения:

。33a1,x2,0) = -Р= const, ">0, Y(Xi,X2)eG.

Одну из оценок сверху для коэффициента интенсивности Nq в точке q гладкости контура трещины можно получить, взяв в качестве объемлющей трещину в виде полосы, стороны которой — опорные прямые, определяющие ширину [103] lq выпуклого контура Г по направлению, перпендикулярному касательной к этому контуру в точке q. Для трещины в виде полосы ширины % выполняются условия плоской деформации, и коэффициент интенсивности для нее N% равен

N% = pg2. Q (3.1)

По доказанному Nq < %.

Другие простейшие оценки сверху и снизу для выпуклых контуров трещин можно получить, используя описанные и вписанные окружности и эллипсы.

Проиллюстрируем сказанное на эллиптических и прямоугольных трещинах. Оценки для эллиптической трещины можно сравнить с точным решением (см., например, [106, 122]); на рис. 38 пунктирными линиями изображены эталонные контуры для некоторых точек G Г, а в таблице указаны соответствующие неравенства для Nq и некоторые числовые значения (звездочкой отмечены точные значения) . Как видно из таблицы, оценочные значения близки к истинным.

Рассмотрим теперь трещину в виде прямоугольника с вершинами в точках £(—а,—力),£‘(—％ Ь),Л?(4, b) , M(af —^). Оценка сверху для коэффициента интенсивности на сторонах прямоугольника вне некоторой окрестности его вершин следует из (3.1). Если продолжить пары его параллельных сторон, то получим Nll> = Nmm> < М 2д hNlm ^^м1 ^^i 2ь, ^Ченки

Рис. 3 8. Построение оценок для эллиптической в плане трещины

снизу можно получить, используя вписанные в прямоугольник эллипсы и окружности. Например, для середин D и Т сторон ММГ и 丄加'имеем N。>N£, Nt^Nt，где N^,N% - коэффициенты интенсивности в точках D и Т вписанного эллиптического контура с осями 2а, 26, параллельными сторонам прямоугольник а. Для точек заключенных между Е {-а +b,b) и F{a — Ъ. Ь), грубую оценку снизу дают вписанные окружности радиуса Ъ с центрами в точках отрезка [—а + Ь, а — Ь] оси х「Приведем некоторые числовые значения для прямоугольника со сторонами 勿=2, 2Л = 1,4. Имеем 7Vz< 0459q,NMM> < QJqnQ,4q <ND < 0,7^, 0,48^ <NT< 0,59^ для точек DnT. Для точек отрезка EFt 0,38q < Nef < 0,59q.

Оценочные значения NT для квадрата и прямоугольника со сторонами 26 = 2, 2« = 4 и значения (отмеченные звездочкой) коэффициента интенсивности в той же точке найдены в результате численного решения задачи о прямоугольной трещине [43] :7Vr<7\^<^ при а=1, b = 1,0,45 &0,49*< 0,70; при а = 2, b = 10,58 < 0,59* < 0,70.

Из таблицы видно, что оценочные значения весьма близки к рассчитанным [43], при этом с относительным увеличением одной из сторон прямоугольника точность оценок возрастает. Заметим, что если бы мы оценивали значение Nd (в середине меньшей стороны) через 魂 и N 1f1a , то точность оценок для вытянутых прямоугольников была бы хуже. В этом случае, очевидно, неудобен выбор трещины в виде полосы ширины 2a в качестве

Таблица

Точка контура

Неравенство для коэффициента интенсивности (р = 1)

a= 1, b - 0,7

a = 1, b = 0,5

Л

Nr<NA<NR

0,32 <0,40 <0,45

0,22 < 0,29 < 0,45

В

0,38 <0,48 <0,59

0,32 < 0,41 < 0,50

С

心 < 加2c

0,45 < 0,65

Рис. 39. Контур трещины, рассматриваемой в лемме 3.1

Рис. 40. Рисунок к доказательству утверждения 3,1

Рис. 41. Объемлющий контур к трещине В'ВАА1 рис. 39 и его подобное преобразование.

объемлющей. Более точную оценку ND можно получить, рассматривая описанные контуры иного вида.

Для трещин, ограниченных выпуклым контуром, можно получить в случае действия однородных нагрузок и некоторую общую оценку сверху для коэффициента интенсивности напряжений, аналогичную (3.1) [180].

Утверждение 3.1. Коэффициент интенсивности напряжений во всех точках контура трещины, занимающей выпуклую ограниченную область, меньше коэффициента интенсивности напряжений для трещины в виде полосы шириной, равной наибольшей ширине этой области.

Доказательство этого утверждения состоит из двух шагов. Сначала устанавливается лемма.

Лемма 3.1. Рассмотрим трещину, занимающую выпуклую область ограниченную двумя параллельными лучами и ВВГ (рис. 39), концы Л, В которых соединены выпуклой кривой АСВ. Пусть расстояние между лучами S = 2Ь, Тогда коэффициент интенсивности напряжений Nm в любой точке М криволинейной части контура АСВ не превосходит коэффициент интенсивности напряжений N2b для трещины в виде полосы ширины 2& (т.е. коэффициент интенсивности напряжений, отвечающий двумерной задаче о трещине-разрезе длин »):

Nm &N?b. (3.2)

Доказательство утверждения 3.1 завершается следующим рассуждением, использующим лемму 3.1 (ее доказательство приводится ниже) и теорему сравнения.

Рассмотрим произвольную трещину, занимающую выпуклую область С (рис. 40). Пусть /'/", В'В” — опорные прямые, определяющие наибольшую ширину (диаметр) 2Ь области С. Точки А и В разделяют границу 8С об- 116

ласти С на две части АСВи ADB, Рассмотрим теперь трещину, объемлющую исходную и ограниченную контуром лАСВ^. В произвольной точке М кривой ЛС5 по теореме сравнения имеем

naBCD<n^CBB'(3.3)

Для трещины А’АСВВ' в силу леммы 3.1 справедливо (3.2). Неравенство (3.3) в совокупности с (3.2) дает

n严….(3.4)

Аналогично получим, что

、N”BD《N^b、(3.5)

где L — произвольная точка кривой ADB. Неравенства (3.4), (3.5) и доказывают утверждение 3.1.

Докажем теперь лемму 3.1.

Рассмотрим трещину £!«《АСВВ', рис. 39), удовлетворяющую условиям леммы. Пусть М — произвольная точка криволинейного участка % (АСВ) контура. Проведем в точкеМ касательную к% до пересечения с продолжениями лучей //' и ВВ‘ в точках/" и 夕Трещина £2ех, ограниченная контуром АА"В"В〔 является объемлющей по отношению к трещине £2 оо. По теореме сравнения

и(М)<^ех(М)・(3.6)

Поэтому неравенство (3.2) достаточно доказать для трещины типа %х (с прямолинейным участком границы /"4").

Рассмотрим трещину £2 ех. Выберем на стороне 4”5” произвольную точку М' с ординатой у (рис. 41) и некоторую фиксированную точку М с ординатой у. Проведем теперь подобное преобразование трещины £2ех так, чтобы полученную в результате преобразования трещину С/ можно было бы вписать в £2ех и при этом образ точки Af совпал бы с точкой М, Очевидно, коэффициент подобия к такого преобразования равен

左=I (b-X)/S—力)，7 >7i；

I (b +y)/(b +Ji), y<yi.(3.7)

Коэффициенты интенсивности напряжений NQex (M'} и N^x ^ связаны через коэффициент подобия соотношением

^•入阳)*/(败(3.8)

По теореме сравнения для7\/пех (A/) nN^1 (Af) имеем М^х ("启册2 ex(如 [для V ME (/",5")]. Отсюда в силу (3.8) следует

V^-^ex(^)<^nexW，(3・9)

или

^Аех(^)<^ех(Х).(3.10)

Теперь осредним неравенство (3.10) по у. Имеем

费 /ka)NKx(M'O))dy& B*^ex("3))dy 二N^ex， (3.11)

где 幅 -среднее от квадрата коэффициента интенсивности напряжений вдоль стороны А'В" контура трещины %х・ Нетрудно видеть, что в силу (3.7).

—1 Р1

^= — fk(y)dy= — .(3.12)

—Ъ2

Поэтому (3.11) можно переписать как

Т^ех(")&%•(3.13)

Теперь, для того чтобы доказать неравенство (3.2), оценим ^пех через Nib (квадрат коэффипцента интенсивности напряжений для трещины в виде полосы ширины 2Ь)} пользуясь формулой Ирвина, теоремой Клапейрона, асимптотическим решением задачи о трещине, вытянутой вдоль плоской кривой [47].

Рассмотрим сначала трещину, занимающую конечную область А” А'В'В". При продвижении трещины на 5Л вдоль А “ 5" в направлении осих по формуле Ирвина

7Г(1 — р) ь с

8U =———L М / ^(y)dj.(3.14)

4 -ъ

По теореме Клапейрона U = % pV, где V - объем трещины. Поэтому, если (3,14) проинтегрировать по х вдоль трещины и перейти к полубеско- нечной трещине £2ех, то на основании (3.14) можно получить, учитывая, что при однородной нагрузке 5 Uсвязано с U、

я(1 - р) ъ о

рр* = / N% 8)dy,(3.15)

〃 у ex

где, согласно решению задачи о вытянутой трещине [47], К* - "обьем" на единицу длины, соответствующей полосе ширины 2Ъ плоской трещины, равный

7Г(1 - р)7* =-——-涉.

Из (ЗД5) и (3.16) имеем

6]b

彳？小⑺盯37) 4—bexех

С другой стороны, (р?Ь/2) = Nlb^^- из (3.17) следует

%%豆二户％ех・(3・18)

Неравенство (3.18) в сочетании с (3.13) как раз и дает

%(")&N2b. (3.19)

Лемма 3.1 доказана.

5.3.3. Теоремы сравнения и их следствия дают возможность сформулировать процедуру определения критических размеров трещин и (или) критических нагрузок для элементов конструкций. Эта процедура может состоять в следующем.

По данным дефектоскопии или визуального осмотра элемента конструкции строится изображение трещины или трещиноподобного дефекта. Сейчас речь идет о внутренних плоских дефектах, расположенных вдали от границ тела, так что можно пользоваться теоремами сравнения для безграничной среды (что означают более точно слова "вдали от границ", будет выяснено позже, в разд. 5.4, там же будет рассмотрен и случай, когда дефектов, расположенных в одной плоскости, несколько). Аналогично можно поступать и в других случаях, когда для ограниченных тел справедливы теоремы сравнения.

Подбирается эталонный контур, целиком содержащий внутри себя дефект. Выясняется, будет ли трещина, ограниченная внешним эталонным контуром, развиваться при заданных нагрузках. Если оказывается, что эта трещина безопасна, то согласно следствию 3.3, безопасна и исходная трещина. В противном случае нужно проверить достаточное условие роста трещины.

Подбирается эталонный контур, целиком содержащийся внутри исходного дефекта. Выясняется, будет ли развиваться трещина, ограниченная этим внутренним эталонным контуром. Если оказывается, что эта трещина будет развиваться, то в соответствии со следствием 3,4 будет развиваться и исходная трещина.

В тех случаях, когда трещина, ограниченная внешним эталонным контуром, опасна, а внутренним 一 безопасна, требуется дополнительный анализ.

С этой целью на контуре исходной трещины выбирается ряд точек 4,..., Ак (эти точки нужно располагать более часто на участках контура, где резко меняется кривизна).

Для каждой из них подбираются описанные и вписанные эталонные контуры и строятся двусторонние оценки NAi,..., N^ согласно теоремам сравнения. После чего решается вопрос о том, будет или не будет расти исходная трещина.

Если оказывается, что исходная трещина начинает распространяться квазистатически, то необходим дальнейший анализ для того, чтобы определить, приведет ли развитие трещины к разрушению тела в целом или процесс роста трещины прекратится, т.е. определить возможно ли в заданном поле нагрузок дальнейшее развитие трещины после ее страгивания без увеличения их интенсивности (неустойчивое развитие трещины). Для этого, вообще говоря, нужно находить последовательные положения контура трещины в процессе ее роста. Достаточное условие остановки трещины можно получить, если удастся подобрать внешний эталонный контур таким, что ограниченная им трещина безопасна и за пределы его в силу следствия 3.3 исходная трещина не в выйдет в процессе роста.

Обобщения теорем сравнения для ограниченных тел с удалшными от плоской трещины границами

В разд. 5,1. и 5.2. были установлены теоремы сравнения для трещин нормального разрыва в безграничной среде. При их доказательстве, по существу, использовалось лишь свойство положи тель посты границ- ных операторов соответствующей задачи теории упругости: раскрывающие трещину нагрузки вызывают положительные смещения точек ее поверхности и положительные (растягивающие) напряжения на ее продолжении.

Таким образом, для расширения области применимости теорем сравнения достаточно установить положительность граничных операторов того или иного класса задач теории упругости для тел с плоскими трещинами. Теоремы сравнения будут справедливы и в тех случаях, когда граничные операторы соответствующей задачи теории упругости окажутся ограниченно положительными (под этим подразумевается выполнение свойства положительности не при любых соотношениях между размерами трещины и тела, а лишь в определенной области изменения указанных параметров).

Естественно ожидать, что граничный оператор задачи о трещине нормального разрыва будет положительным не только для безграничной среды, но и для тела с достаточно удаленными границами. Проиллюстрируем это на примере задачи о трещине нормального разрыва, расположенной в срединной плоскости слоя, грани которого свободны от нагрузок.

2(1 — p)n/,x2), Qi,X2)eG;2(1 — p)n/,x2), Qi,X2)eG;Эта задача сводится к следующему интегродифференциальному уравнению [40] относительно скачка нормальных смещений точек поверхностей трещины

2(1 — p)

n/,x2), Qi,X2)eG;

2(1 — p)

n/,x2), Qi,X2)eG;

PG[(A-A〃)a(K,W2)]=

63 = 0,(x15x2)€dG;

A小I, 2〃1£|(l+2 力因+ 2M1 目2〃住1)—r；. (4.1)A小I, 2〃1£|(l+2 力因+ 2M1 目2〃住1)—r；. (4.1)A〃=黑色，因)，

A小I, 2〃1£|(l+2 力因+ 2M1 目2〃住1)

—r；. (4.1)

A小I, 2〃1£|(l+2 力因+ 2M1 目2〃住1)

—r；. (4.1)

力T第色因)=k(无怯|)=

Обозначим через R〃 разрешающий оператор уравнения (4.1), так что (〃=%Ьз)

〃 =Rhq.(4.2)

Для безграничной среды (力-> °°)冗仇,| 占 | ) 今0 и в левой части (4.1) остается только один член. При этом по доказанному в разд. 5.1 положительной функции q (х) отвечает положительное решение соответствующего уравнения. Таким образом, оператор R^ положительный. Докажем положительность оператора R力 при достаточно больших h.

Будем строить решение (4.1) итерационным методом, полагая

〃k = R8(q+q—)(左=0,1,...),

^-i =b“ =行(2тг)% (九因)奴一1(摄一代"旅 2(1 — p) (2 я) — 8

(4.3)(4.3)〃一1 三 0, (x,W)=打 ti + X28 •

(4.3)

(4.3)

В силу структуры соотношения (4.3) величины q^ могут рассматриваться как фиктивные дополнительные нагрузки, которые необходимо приложить к поверхности трещины в безграничной среде, для того чтобы в соответствующем приближении ее раскрытие совпадало с раскрытием трещины в слое под действием нагрузок q.

Пусть метод последовательных приближений сходится (условия его сходимости выяснены в [40]), тогда положительность7?Л обеспечена, если (q + qQ》0, Y %

Действительно, положительностьRh имеет место, если приq(xlf х2) >0, (xitx2) ^^ величины ик (xlfx2) > 0, (%!,x^G G при достаточно больших к Вследствие (4.3) и положительности R 8 неравенство 耿》0 следует из неравенства (q + qQ》0.

В работе [40] показано, что при больших (h/d), где d — диаметр области,

依〜4。行 К(〃即归證)e-Щ^ (4.4) (1 —(2 7Т)— оо

и что, в свою очередь, ^о асимптотически можно представить в виде

С1〜

4о° 感// "(I用)〃o(°)d"・(4.5)

(1—〃)〃з (2тт)2 _8

Соотношение (4.5) определяет постоянную в области G дополнительную нагрузку, действующую в том же направлении, что и первоначально приложенные к поверхностям трещины усилия @о (0) > 0Л(1 ^t) > 0, поэтому qg > 0). То обстоятельство, что эта дополнительная нагрузка вне зависимости от характера распределения исходной нагрузки q нигде в области G не обращается в нуль, позволяет утверждать уже на основе проведенного асимптотического анализа, что при достаточно больших hid величины q'* nqr + q строго положительны в области G. Оценивая вклады последующих членов разложения по параметру d/力,можно показать, что сделанное утверждение сохраняет силу, по крайней мере, при d/h < 0,46. Тем самым доказана положительность оператора Rh при d/h < 0,46, т.е. для достаточно толстого слоя.

Рассмотрим теперь два случая: 1) слой содержит трещину G и 2) слой содержит трещину G”； С G при нагрузках q и q "соответственно, таких, что q v & q, VGi, %2)W G”； q > 0, “1,*2)^G\GV. По доказанному в разд. 5.1 для трещин G м G " (при тех же нагрузках q м q"), расположенных в безграничной среде, смещения поверхностей 以о и Uq были 6н связаны неравенством u0 > Uq и, следовательно, uQ (0) >Uq (0). В силу (4.5) тогда и для соответствующих добавок q& и (成产 к q м q" за счет влияния границ слоя имеем q& > (qg)". Таким образом, (q +q8)》 > (q“ + (q&)"), (к】,x2)e G. Выполнение этого условия с учетом положительности Rh гарантирует справедливость всех сформулированных в разд. 5.1утверждений для слоя достаточной толщины с трещиной.

Далее, показано, что раскрытие и коэффициенты интенсивности напря- 次енмй в толстом слое можно асимптотически (с ошибкой) 0 (d/力)？ пред-

q，= lim q ^, (к -► °°).

ставить в виде [40]

〃⑺=〃o(x) + 〃i(o)⑺，N = N0 +М(0),(4.6)

где 以1(о)— раскрытие трещины G в безграничной среде под действием нагрузки q, определяемое (4.3); N — соответствующий коэффициент интенсивности напряжений в точках контура; N»® — коэффициент интенсивности для трещины в безграничной среде при постоянной нагрузке qg. В рамках справедливости сделанных оценок (d仇 < 0,46) раскрытие трещины и коэффициент интенсивности в каждой точке уменьшаются при переходе от слоя к пространству при сохранении нагрузок и конфигурации трещины.

Замечание, Можно показать [35], что свойство ограниченной положительности задачи (и теорема сравнения) сохраняются по отношению к нормальным смещениям (коэффициенту интенсивности нормальных напряжений) и для трещины произвольного разрыва в ограниченном теле, границы которого достаточно удалены от трещины.

Теоремы сравнения для одного класса псевдодифференциальных уравнений

В предыдущих разделах этой главы были рассмотрены теоремы сравнения решений задач о трещинах нормального разрыва в однородной, изотропной упругой среде при отсутствии и наличии линейно-деформируемых связей между поверхностями трещины. Их доказательства основаны на том, что указанные задачи сводятся к смешанным задачам для гармонической функции в полупространстве. Соответственно интегро дифференциальные уравнения этих задач связывают граничные значения гармонической функции и ее производной. Как уже отмечалось, интегро дифференциальные уравнения задач о трещине без связей между поверхностями и при их наличии представляют собой псевдодифференциальные уравнения с символами I ^ I (см. с. 85) и (I JI + d) (d - жесткость связей (см. сЛ 11) соответственно.

В этом разделе доказаны теоремы сравнения решений одного класса псевдодифференциальных уравнений, частным случаем которого являются уравнения задач о трещинах в линейно-упругой среде [54].

Рассмотрим псевдо дифференциальное уравнение

Рв^и =/(х),0 < а < 2, f(x)WH_a/2 (G), 〃 £ 妄а/2 (G).

(5・1)

Здесь А° — псевдодифференциальный оператор с символом I W I °, G — ограниченная область в R"(心 2) ,Pg — сужение на область G. Уравнение (5.1) однозначно разрешимо в указанных пространствах Соболева—Слободец- кого [144].

Теорема 5Л. Пусть/(х) > 0 в области G, тогда решение уравнения (5.1) 〃(х) > 0.

Сначала докажем два вспомогательных утверждения.

Утверждение!. Пусть 〃 (х) G Яа/2 (Q, 〃(х)》0,х £ G, причем и (х)丰 0, тогда Аа и (х) < 0 вне G (G — замыкание G).

Доказательство. Согласно [144], при -〃 < 0 < О 2叮((0 十几)/2)〃3)dy

一鹏/2F(_例2) /w \x-у\^ + n "

=С f , С = const > 0.(5.2)

Заметим, чтоЛа и = Л2 Ла~ 2 у и, поскольку —п < (а — 2) < 0,

Ти (х) = -CJ Ji"：惚-2 •(5-3)

R |Х -у\

Если х e supp 〃(歹),тоЛаи(х) — гладкая функция в окрестности точки х, причем оператор Лапласа в (5.3) можно внести под знак интеграла. Положим у = (л + а - 2) >0, тогда

—△* (]х|-)) = 7(А2 - 2 - 7)]х — у 厂？一2 =

=-ау \х -у\~у~ 2.(5.4)

Следовательно

—J(lx-yL) < 0.(5.5)

В силу (5.3), (5.5) получимЛа и (х) < 0 при х £ G . В то же время, если и (х) <0, х Е G,u (х) Ф 0, тоЛа и (х) > 0 при х ё G . Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2. Пусть и (х) — решение уравнения (5.1) при / (х) >0,/ (х) Ф 0. Тогда не может быть, чтобы во всей области G выполнялось неравенство и (х) & 0.

Доказательство. Поскольку и(х) — решение уравнения (5.1),

С° 以(х), 〃(х)) = (f(x),〃(x))・(5.6)

Допустим, что 〃(х) & 0 в области G. Из условий утверждения следует, что

(f(x),〃(x)) = ff(x)u(x)dx & 0.(5.7)

G

Так как f (х)丰 0, то и (х)丰 0, следовательно,

(А°〃,〃)=二^ /国& 应⑴I?奖 > 0.(5.8)

(2犷屋

Неравенства (5.7), (5.8) противоречат равенству (5.6), что и доказывает утверждение 2.

Теперь перейдем непосредственно к доказательству теоремы 5.1. Пусть утверждение теоремы неверно, тогда в G можно выделить две подобласти G+ н G_, такие, что

G+ С G_ = 0, и(х)〉0 при х £ G+,

〃(х) < 0 при х £ G_,

м (х) = 0 при х GG\(G+ UG_).

Введем обозначения

[以(х), x£G+;f 〃⑴，x £

“ +(x)= I。，X &G+;U-^={0, X ёС_.(59)

Можно показать, что 〃+ G 方窃/2 (G+), a u_ ^Яа/2(^-)« Следовательно, u(x) = u+ (x) + u_ (x). Из уравнения (5.1) получим

Pg_A°以(%) = Pg_德〃+ (%) + Pg_ A°"〃一 (x) =f (%).

Обозначим /(x) — Pg—T 〃+(x)二 g(x).TaK как G+ Q G_ = ф, то в силу утверждения 1 pg_ Л^и+(х) < 0 и потому g (х) > 0. Но и_ (х) является решением уравнения

Pg_ 八°〃-О) =g(x)・

Это противоречит утверждению 2. Теорема доказана.

Теорема 5.2. Если f(x) > 0 и f (х)丰 0, то при условиях теоремы 5.1 можно утвеждать, что 以(х) > 0 внутри области G.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку х0 £ G. Сначала предположим, что существует окрестность точки х0, °(хо), в которой/(х) > > S > 0. Возьмем функцию 9 (х) £ Со (О(хо)) такую, что 9(Хо)〉0, 9 (х) > 0. Поскольку 9 (х) £ В(О(х())), то 入戏9(工)=g(x) £ C°°(Rn). Поэтому существуетМ = const〉0 такая, что |g(x)| < Мприх G О(х0), О (х0) — замыкание (?(х0). Выберем е > 0 так, что е М < Ь. Обозначим W(x) = е ^ (х ); W(x) является в области G решением уравнения

PgA°W(x) =eg(x)， W(x) eja/2(G)・(5.10)

По построению в О(х0), eg(x) < 5 </(х). Вне О (х0) eg(x) < 0 в силу утверждения .1, и поэтому eg(х) & f (х), х £ G. Из теоремы 5.1 следует и(х) > W(x), но W(xo) > 0 по построению, откуда получаем и(х0) >0・ Если нельзя выбрать окрестность точки х0, в которой f (х) отделена от нуля, то, поскольку /(х)丰 0, существует точка х j и ее окрестность О(Х1) такая, что f(x) > Si > 0 при х £ О (х)。(工1) э х0 • Строим функцию W (壬)аналогично тому, как это делалось выше, только на этот раз в окрестности О (х^. Рассмотрим функцию и (х )二〃 (х) — W (х ):

pG Ха и (х) =/(%)- eg (х).

Выше было отмечено, что f(x) —eg(x) > 0, следовательно, и(х) > 0. Поскольку W(xo) = 0, то и(хо) = 〃(хо). Из утверждения 1 следует, что существуе! окрестность О(х()), где eg (х) строго меньше нуля, вследствие чего f (х)—占g(x) строго больше нуля в этой окрестности. Тогда по доказанному выше и(Хо)〉0, но и (х°)二〃(Хо), что доказывает теорему.

Теорема 5.3. Пусть f (х) определена и неотрицательна в области G” и пусть G UG]. Предположим также, что/= 0 на G^.

Рассмотрим уравнения

PG ^uG(x)=f(x), %(х)£京/2(G)；(5.11)

Pg. AauGi (x)=/(x),〃q(x)£%/2(Gi)・(5.12)

Тогда 以G] (x)〉UG (x) внутри области G,

Доказательство. Так как wG (х) еяа/2 (G), то 〃g (х) £ 看金/2 (G】). Следовательно, uG (х) можно рассматривать как решение уравнения

PG1лa uG(x)=f1(x),以6(冷ё^/2g)；

"(х), xEG

Л (x) = {

1 Pg^g Aa wg(x), x£Gi\G.

В силу теоремы 5.1 uG (x) > 0 в G. Используя далее утверждение 1, получим, ито % 1 \ G 般〃g О《0 в G] \ G. Обозначим

и(х) = у (x) — 〃g(x),°

pGi ^v(x)=g(x)=f(x)-fl(x\и(х)£丸/2&);(5.13)

g(x)=|0,

IfM-PG^G AauG(x), xWGi'Gi.(5.14)

Следовательно, g (x)》0, причем g (x)丰 0. Действительно, если / (x) = 0 при x£ G, то по условиям теоремы g (x)》0, g (x) =f (x)丰 0, x£ G^'G% Если f (x)乃 0 в G, то из теоремы 52: 〃g (x) >0, xG GnpGi\G AauG (x) < < 0 в Gi\G. Следовательно, g (x) >0, g (x)丰 0, x£ Gi. Применяя далее теорему 5.2, установим, что и (х) > 0 внутри G】и потому uG^ (х) >uG (х) внутри G.

Замечание 1, Как видно из доказательства теоремы 5.3, она остается справедливой и при более слабых условиях. Для того чтобы имело место неравенство 以g】&)>〃g(x) внутри области G, достаточно потребовать выполнения условий

〃g(x)》0； F(x)》0, x£Gi\G

Как известно (см. [144,с.209]), если f (х) - достаточно гладкая функция м 3G — гладкая граница области G, то решение уравнения (5.1) имеет вблизи 3G асимптотику и(х)二%^')^01/? +O(s 1+а/2), где s — расстояние до 3 G но нормали, х — соответствующая точка на границе области. Из теоремы 5.3 получаем следующее.

Следствие 1. Пусть f(х) - гладкая функция, неотрицательная в области Gi, область GUG】，причем 3G касается BGi в точке М. Тогда, если точка х лежит на нормали к 3 G м 3 G】，проведенной из точки М, то

uG(x) = NG(M)sa^2 +O(si+a^2),

以gI (Х) = NgI (")屮2 +。6 宀/2).

Благодаря теореме 5.3 можно утвержать, что Ng (/И ) & Ng〔 (М ).

Заметим, что в случае а = 1 следствие дает сравнение коэффициентов интенсивности напряжений, являющихся важнейшими характеристиками решения задачи о трещине нормального разрыва в линейно-упругой среде, а при а W 1 — сравнение аналогов коэффициентов интенсивности напряжений в соответствующих задачах.

Замечание 2. Теоремы сравнения 1—3 переносятся и на более общий,

125

чем (5.1), класс псевдодифференциальных уравнений

%般"+* q\Pg 心〃 =f(x)；

f(x)eH_a/2(G\〃£^W2(G)；(5.15)

0<a<2, 0<fe <a.

Уравнение (5.15) при a= 1,加=1,仇=0 соответствует задаче о трещине в линейно-упругой однородной изотропной среде при наличии линейно- деформируемых связей. Можно показать, что при 0 < а< 1, 〃左=0 уравнение (5.15) в приближенной постановке с учетом обобщенного принципа суммирования перемещений [5, 6] отвечает задаче о трещине в нелинейноупругой среде со степенным законом связи дивиатора напряжений и интенсивности деформаций сдвига и условиям установившейся ползучести при степенном законе связи между интенсивностями напряжений и скоростей деформаций.

Глава 6

ОЦЕНКИ ОБЪЕМА ТРЕЩИНЫ, ЭНЕРГИИ СРЕДЫ С ТРЕЩИНОЙ

И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ

ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ

Объем трещины и энергия деформации тела с трещиной

Рассмотрим трещину произвольного разрыва, занимающую область G плоскости %з = 0 в безграничной упругой среде. Вдоль такой трещины имеются, вообще говоря, скачки Ьк (^ = 1,2, 3) трех компонент вектора смещений точек поверхностей трещины. С компонентами скачка смещений Ьк естественно соотносятся компоненты ^^oбъeмa^, трещины, равные проинтегрированным по области трещины функциям Ь^ (х】,х?)

唳=/ 抵(/，X2)2s (左= 1,2,3).(LI)

Величины Vk важны при изучении разнообразных вопросов деформирования и разрушения тел с трещинами.

Компоненты объема трещины определяют асимптотику (главный член) упругого поля вдали от трещины (см., например, гл. 2), Поэтому величины Vk существенны при анализе взаимодействия удаленных друг от друга трещин и при подсчете эффективных характеристик деформирования упругой среды с множеством редко расположенных трещин. При изучении процессов диффузии и фильтрации в деформируемой среде с трещинами и связанного с этими процессами роста трещин (например, при коррозионном разрушении или при гидро разрыве) существенно раскрытие трещины и его интегральная характеристика — компонента объема %.

Для трещин нормального разрыва при однородных нагрузках р (х:, х2 )= =Ро = const имеется не по средетве иная связь между объемом трещины Рз 126

и величиной потенциальной энергии тела с трещиной И< равной

W〃 〃3(Xi,X2)P“i,X2)dxi dx2.(1.2)

При однородных нагрузках, очевидно,

w=%"0%，(1.3)

Таким образом, отыскание компонент объема представляет важную задачу теории трещин.

Исходя из определения, величины Vk можно вычислить, уже зная решение задачи теории упругости для тела с трещиной (распределение скачков смещений Ьк = 2ик вдоль трещины).

При сложной форме трещины построение решения затруднительно даже при простых видах приложенных нагрузок. Поэтому возникает вопрос об отыскании способов косвенного вычисления или оценки величин Vk. Существенно, что, располагая оценками объема, можно в ряде случаев получить и оценки коэффициента интенсивности напряжений (см. разд. 6.3).

Обойти трудности в вычислении величин Vk при произвольных распределениях нагрузок позволяет теорема взаимности. Оказывается возможным выразить величины компонент объема Vk при произвольном заданном распределении нагрузок через решения задачи для некоторых более простых видов нагрузок при той же форме трещины [35, 36], это, в свою очередь, приводит к построению различных двусторонних оценок величин Vk.

Итак, пусть 从(*1,%2) м 力左(Xi,打)，(xltx2) ^ G — распределения скачков смещений вдоль трещины G при двух системах нагрузок (t°)' и t° соответственно. По теореме взаимности, учитывая, что нагрузки на верхней и нижней поверхностях трещин противонаправленны, имеем

*(У bi)dxi d%2 乜 O*；)dxi d®(L4)

Выберем теперь в качестве (t0)х постоянные нагрузки, ориентированные вдоль каждой из осей координат:

(t0)1 二俨,0,。}, (t°)2={0,r2,0} , (t0)3 ={0,0,产}.

Обозначим через 匕化(*1,工2)(^ = 1,2, 3) решения им соответствующие. Из (1.4) получим

腺(t°)=^■/ ("b：)dx】dx2伍= 1,2,3).(1.5)

Здесь по к суммирование не производится.

Формулы (1.5) для вычисления компонент объема трещины аналогичны известным в теории контактных задач теории упругости формулам В.И. Моссаковского [102] для подсчета суммарной силы, вдавливающей штамп, ограниченный произвольной поверхностью, через решение задачи (распределение контактного давления), соответствующее штампу с плоским основанием.

Замечание, Формулы (1.5) можно, разумеется, получить и не прибегая к теореме взаимности, на основании системы интегродифференциальных уравнений задачи [36].

Из (1.5) ясно, что если рассмотреть две системы нагрузок t(D и t С), приложенных к поверхностям трещины, таких, что t^ (х1}х2) > 》？产)住1，％2), V(Xi,%2)WG, то соответствующие этим нагрузкам величины компонент ^,oбъeмa^^ связаны соотношением Р±(D》pj?) Действительно, при переходе от t ⑴ к t ⑵ подьштегральное выражение в (1.5) в каждой точке области G не увеличивается (напомним, что величины Ь：》 > 0 при у(Xi,%2)EG, i = 1,2, 3). Этот вывод не зависит от связности области трещины. Формулы (1.5) позволяют получить некоторые оценки для компонент объема.

Оценки сверху для объема трещины

и полной потенциальной энергии тела с трещиной

Из положительности задачи о трещине отрыва в безграничной среде следует, что при действии раскрывающих трещину нагрузок объем объемлемой трещины не превосходит объема объемлющей трещины. Это приводит к оценкам для V3 = V тем более точным, чем ближе вписанный и описанный контуры трещин к исходному.

Рассмотрим иные пути построения оценок И и Ж

Получим оценки для объема трещины нормального разрыва и полной потенциальной энергии тела ее содержащего [51—53] с помощью энергетических соображений и техники построения априорных оценок решений эллиптических краевых задач. К числу этих задач относится и задача о трещине нормального разрыва.

Перепишем для удобства (3.3.20) в виде (полагая w3 二〃)

pGAu=f, f=7P(xl9x2\(Xi,X2)£G;

7 = 2(1 -p2)E~19 以(修,X2,0) = 0, (Xi,X2)e8G, где

1°°

Aw=-"員3)1打「旧期(2.2)

—псевдодифференциальный оператор с символом 丨扌 I ;

u= 〃 u(x)e^Xf^ dx.

Введем обозначение

%=/g(x)dx,(2.3)

так что Р= 2£〃，W = Lup. Неравенство Шварца дает для V

Р = 2£〃《2(/ u2(x)dx)^2S1/2 =2 11〃 HSU,(2.4)

где S — площадь области G м II... II — норма в пространстве L 2 (G ). Аналогично

W《lip II • 11〃 II,(2.5)

Поэтому оценки V и W сверху можно получить, оценив сверху II u II.

Оператор pG Лкоэрцитивен [144], т.е. Яс>0 такая, что

( Au, и)>с\\и II2, 尸〃 W〃i/2(G).(2.6)

Из (2,1) и (2.6) имеем

с II 〃 IF W ( А 〃, 〃) W II/ II • II w II(2.7)

или

ЫК(11/И/с). (2.8)

Очевидно, что оценка (2.8) будет тем точнее, чем большее значение с удастся подобрать. Из (2.6) следует, что наибольшее возможное значение с совпадает с величиной

入 i(G) = inf 〃WHi/2(G)入 i(G) = inf 〃WHi/2(G))2 —)2 —(2.9)(2.9)

入 i(G) = inf 〃WHi/2(G)

入 i(G) = inf 〃WHi/2(G)

)

2 —

)

2 —

(2.9)

(2.9)

По доказанному значение 入i (G) строго больше нуля. Поскольку, как показано вьпие, оператор Pq Л сильно эклиптический, величина 入i(G) является минимальным собственным числом pq Л при соответствующих краевых условиях (и (х) =0 вне G ).

Таким образом, построение оценки II у II сверху сводится к нахождению 入 1 (G ). С учетом (2,9) имеем

UP II 1/2у2) В”？,入 i(G)UP II 1/2у2) В”？,入 i(G)lip II2lip II2入 i(G)入 i(G)(2.10)(2.10)

UP II 1/2

у2) В”？,

入 i(G)

UP II 1/2

у2) В”？,

入 i(G)

lip II2

lip II2

入 i(G)

入 i(G)

(2.10)

(2.10)

Прежде чем переходить к определению 入】(G), отметим, что точность оценки объема V (2.4), опирающейся на (2.8), зависит лишь от свойств оператора Pg А. При этом не учитываются свойства и как решения (2.1). В случае однородной нагрузки (для определенности единичной интенсивности р= 1) можно предположить другой способ построения верхней оценки И, использующий то, что 〃о — решение задачи (2.1) при р = 1.

Величина qQ = 2/И0, Ко — объем трещины при единичной нагрузке представляет собой минимальное значение функционала

(Au, w) go = inf —7

〃U1/2(G) (/ 以 dx)

реализующееся на решении 以о.

Действительно, пусть 〃(х) £厶]/2 (G), тогда с учетом равенства Парсе- валя имеем

1111({ 〃(x)dx)2 = [ ； 2 A〃0.以dx]=十[(?不2 "|加筋⑸"⑧涯 《

1

1

1

1

& — (A以о, 〃o)(A弘〃)二——(/〃° dx)(A〃, u).

77 G

Следовательно,

(A 〃，")(A 〃，")77(А〃о,〃о)(А〃о,〃о)(/〃(Up(f uodx) (f uodx)2GGG(/〃(Up(f uodx) (f uodx)2GGG= 4о・= 4о・(2.12)(2.12)

(A 〃，")

(A 〃，")

7

7

(А〃о,〃о)

(А〃о,〃о)

(/〃(Up(f uodx) (f uodx)2

GGG

(/〃(Up(f uodx) (f uodx)2

GGG

= 4о・

= 4о・

(2.12)

(2.12)

入i(G)>入К左Q, где kR — круг радиуса области G).Нетрудно видеть, что вии с (2.9) и [144]入i(G)>入К左Q, где kR — круг радиуса области G).Нетрудно видеть, что вии с (2.9) и [144]入 i/r)=inf入 i/r)=infinfи£Н] /2(卜 1 )infи£Н] /2(卜 1 )〃W"l/2(kR)cMv〃W"l/2(kR)cMvR Ы12R Ы12(A", ")11〃 l|2(A", ")11〃 l|2入 1(&)R入 1(&)Rinf uGH\I2(Jcr)inf uGH\I2(Jcr)=入1（自）=入1（自）(2.14)(2.14)При этом преобразовании использована замена переменных 〃(х)= и (Ry)二 и(у),х£ kR，歹 £自・Учитывая (2.13), (2.14), имеем из (2.8), (2.9) оценкуПри этом преобразовании использована замена переменных 〃(х)= и (Ry)二 и(у),х£ kR，歹 £自・Учитывая (2.13), (2.14), имеем из (2.8), (2.9) оценку

入i(G)>入К左Q, где kR — круг радиуса области G).

Нетрудно видеть, что вии с (2.9) и [144]

入i(G)>入К左Q, где kR — круг радиуса области G).

Нетрудно видеть, что вии с (2.9) и [144]

入 i/r)=inf

入 i/r)=inf

inf

и£Н] /2(卜 1 )

inf

и£Н] /2(卜 1 )

〃W"l/2(kR)

cMv

〃W"l/2(kR)

cMv

R Ы12

R Ы12

(A", ")11〃 l|2

(A", ")11〃 l|2

入 1(&)R

入 1(&)R

inf uGH\I2(Jcr)

inf uGH\I2(Jcr)

=入1（自）

=入1（自）

(2.14)

(2.14)

При этом преобразовании использована замена переменных 〃(х)= и (Ry)二 и(у),х£ kR，歹 £自・

Учитывая (2.13), (2.14), имеем из (2.8), (2.9) оценку

При этом преобразовании использована замена переменных 〃(х)= и (Ry)二 и(у),х£ kR，歹 £自・

Учитывая (2.13), (2.14), имеем из (2.8), (2.9) оценку

В дальнейшем удобно рассматривать параллельно задачи построения оценок при однородной и неоднородной нагрузках, поскольку в основе вычисления 入 1 (G) н qo (G ) лежит следующая теорема.

Теорема 6.1. Для безграничной среды с плоской трещиной нормального отрыва заданной площади S величины 入i (G) nq()(G) принимают минимальное значение в случае круговой трещины.

Схема доказательства дана в п. 6.2.2, полностью оно приведено в [51] и п. 6.2.3.

Из этой теоремы следует, что

(2.13)

R=y/S/n (т.е. площадь круга kR равна площади

入 1 (左r)二入 1 (左i)/R・ Действительно, в соответст-

(2.15)(2.15)(2.16)и оказалась(2.16)и оказалась(2.17)(2.17)(2.18)(2.18)

(2.15)

(2.15)

(2.16)

и оказалась

(2.16)

и оказалась

(2.17)

(2.17)

(2.18)

(2.18)

II и II =\^ II/ И/х/я 入 1(左 1)

и, согласно (2.10),

V^2yS 11p11/6入1(储).

Входящая в (2.16) величина 入i (左1) вычислена в [51] равной 2.

В случае однородной нагрузки, согласно теореме 6.1, q°(G)>q 拯 Q

и, следовательно, (q()=2/%)

匕)/R)) 匕)(G).

Это изопериметрическое неравенство показывает, что объем круговой трещины не меньше объема трещины, занимающей произвольную область той же площади.

Замечание, Неравенство (2,18) было сформулировано в [40], исходя из введенного там представления об экстремальных контурах трещины (см. гл. 7), в предположении, что последние в случае однородной нагрузки существуют и являются окружностями. Приводимое здесь (и в [51]) доказательство изопериметрического неравенства (2.18) служит одновременно доказательством этого предположения при условии, что речь 130

идет об экстремальных контурах данной площади S, охватывающих некоторую фиксированную область, которую можно заключить в круг плота-

Укажем основные этапы доказательства теоремы 6.1, которое проводится по той же схеме, что и доказательства в работе [111] изопериметрических неравенств для величин, связанных с оператором Лапласа, Попутно отметим сходство и различие в технике доказательств в этих двух случаях.

Напомним, как доказываются изопериметрические неравенства в [111], Подбирается функционал, экстремальным значением которого является исследуемая величина. Этот функционал может содержать интегралы от функции (или ее квадрата) и обязательно содержит интеграл от квадратичной формы, определяемой оператором Лапласа. Затем рассматривается функция, на которой реализуется экстремальное значение функционала, и с ней связываются геометрические объекты (определяемые функцией область и поверхность либо поверхности уровня). После этого производится симметризация поверхностей, соответствующих данной функции, и по новым поверхностям строится новая функция, определенная уже в симметричной области. Далее рассматривается значение функционала на новой функции. Поскольку интеграл от квадратичной формы, определяемой оператором Лапласа, связан с величинами площадей поверхностей, которые при симметризации убывают, удается доказать убывание и этого интеграла. В то же время интегралы от функции или ее квадрата при симмецзизации не изменяются. Поэтому значение функционала при указанной операции изменяется в одну сторону (убывает или возрастает). Вследствие этого и значение исследуемой величины в симметризованной области меньше (или больше), чем в исходной. Завершает доказательство изопериметрического неравенства использование известного из геометрии результата, заключающегося в том, что с помощью последовательности симметризаций любую область можно перевести в круг (на плоскости) или в шар (в пространстве) .

При доказательстве теоремы 6.1 действуем аналогично, В качестве функционала, экстремальным значением которого является 入】(G), принимается функционал (2.9) [или (2.11) для величиныqQ(G)]. Эти функционалы содержат интеграл от функции (или ее квадрата) и квадратичную форму, определяемую оператором А [(Аи, и), и £Н】/? (G)]・ В отличие от упоминавшейся выше квадратичной формы, определяемой оператором Лапласа, форма (Ли, и) непосредственно не связана с геометрическими характеристиками областей. Поэтому основная трудность состоит в доказательстве убывания формы (Ли, и) при симметризации области, занимаемой трещиной. Эта трудность преодолевается следующим образом.

Оказывается, что можно подобрать гармоническую в полупространстве функцию, которая на границе полупространства х3 =0 совпадает с заданной функцией у. Тогда форма (Ли, и) будет равна интегралу от квадрата градиента гармонической функции по полупространству. В [Ш] интегралы от квадрата градиента по трехмерной области встречаются при доказательстве изопериметрического неравенства для электростатической емкости, В упомянутой задаче поверхности уровня функции не имеют критических

точеК} края и вложены одна в другую. В нашем случае, как можно показать [51], поверхности уровня имеют форму чаши или нескольких чаш и могут иметь критические точки, В задаче об электростатической емкости проводится симметризация Штейнера поверхностей уровня относительно различных плоскостей. В рассматриваемой задаче, благодаря тому что поверхности уровня в виде чаши также вложены друг в друга, удается ввести операцию симметризации относительно плоскостей, перпендикулярных плоскости х3 =0, Эта операция симметризации является несколько более общей, чем симметризация Штейнера поверхностей уровня, так как допускает наличие критических точек функции. Вне критических точек введенная симметризация совпадает с симметризацией поверхностей уровня. Поскольку множество критических точек у гармонической функции имеет меру нуль, удается воспользоваться техникой [111] для завершения доказательства,

Приведем доказательство изопериметрического неравенства. Используем вариационную формулировку (2.9), (2.11) задач отыскания 入i(G), 4o(G) и операцию симметризации, близкую к [111]. Доказательство можно разделить на пять этапов,

I. Лемма 1. Функция 〃()，реализующая минимум функционала (2,11), строго положительна внутри G; в подпространстве функций, реализующих минимум функционала (2.9), можно выбрать строго положительную внутри G функцию 〃1，

Сначала покажем, так же как в п, 5.1.1, что решение и задачи (2,1) строго положительно внутри области G, Vf > 0, / Ф 0. Действительно, и является граничным значением гармонической в К^ функции U, удовлетворяющей условиям (3.3.16):

-/(хьх2).(2Л9)-/(хьх2).(2Л9)U(Xl，X2,0)=0,(Х1，%2)占 G; U (xltx2) = u aU(*i，X2,0)=

-/(хьх2).(2Л9)

-/(хьх2).(2Л9)

Если существует точка "(理 х^) £ G, в которой 〃& 0, то U принимает минимальное значение С/(Л/*) < 0 в точке ЛР; но по условию (2,19) [dU(xlt х2, 0)/Эх3] < 0, что противоречит усиленному принципу максимума Хопфа [82].

Поскольку 〃о - решение (2,1) при р = 1, то по доказанному м0 строго положительна внутри G,

Справедливость второй части утверждения леммы 1 устанавливается с помощью теоремы, приведенной в [79]. Применимость этой теоремы в рассматриваемом случае проверяется непосредственно.

Прежде чем продолжить доказательство леммы 1, сделаем одно замечание.

° Замечание 1, Оператор р(；А осуществляет изоморфизм пространств "% (G) и "_% (G) [144]. Обозначим обратный оператор через 露，Так как %(G) U 方一％ (G), то можно рассмотреть ограничение на %(G): С'：% (G)-^%(G), i：乩(G)-%(G), C = ioC‘，

где i - вполне непрерывное вложение. Поскольку оператор С‘ непре-

рывен, отсюда следует, что С - вполне непрерывный оператор, Далее, так же как и р^А, оператор С самосопряженный и положительно определенный, действующий в L2(G), Поэтому С обладает в L2(G) ортогональным базисом из собственных векторов; все собственные числа положительны и накапливаются к нулю, собственные векторы оператора С являются собственными векторами оператора р^А, причем соответствующие собственные числа взаимнообратны. Поэтому вместо того, чтобы находить наименьшее собственное число оператора pGA, можно найти наибольшее собственное число оператора С.

В силу сказанного перед замечанием оператор С положителен. Кроме того, С вполне непрерывен. Рассмотрим некоторую собственную функцию 〃1， отвечающую собственному числу 入i(G)・ Если -〃 】 》0， то поскольку -〃 1 также собственная функция, отвечающая 入i(G), можно тем самым выбрать неотрицательную собственную функцию, отвечающую 入i(G), Если же -и】 не является неотрицательной, то 〃】можно представить в виде 〃】=u-w, где и, w - неотрицательны и 3】=入м. По теореме 2.5 [79] из этого следует, что существует неотрицательный собственный вектор х0，такой, что Ах。=入о*。，入о》入广 Однако 入i 一 максимальное собственное число оператора С, Поэтому 入о =入1 и существует неотрицательный собственный вектор 〃「отвечающий 入「Из того, что 〃1 $ 0, следует строгая положительность 〃】внутри G. Лемма доказана.

II, Введем необходимое для дальнейшего понятие симметризации функ= ции относительно плоскости. Пусть Ф1(х1, х?，*з) - непрерывная функция, определенная в полупространстве R J, такая, что Ot(x) > 0, Ф1(х)今0 (|х| -> °°), и П — плоскость, параллельная оси х3. Считаем, что функция ①2(х) получена симметризацией функции ①i(x) относительно плоскости П, если она построена по следующему правилу. Примем, что

0«) = {х£屛，6(х)〉"，n°(0 = {x€^I, Ф!(х)>Г{, Г>0,

Обозначим длину пересечения прямой /, перпендикулярной к П, с множествами D(t) и 力。⑺ через / «) и /°(Г)соответственно. Принимая точку пересечения / с П за начало координат, положим Ф2 (х) = Г на отрезках [-/°(Г)/2, -/ (Г)/2], [/ (Г)/2,/°(Г)/2] прямой I.

При t = 0, если /(0) =8,то ф2(± 8)=(^в противном случае, когда /(0) < < 00, функция ф2(х) = 0 на лучах (-°°,-/(0)/2], [/(0)/2, + <»),

На каждой прямой построение ведется от f = 0 до Г = Ф1тах, равного максимальному значению функции Oj(x) на прямой /.

Проведя такое построение для всех прямых, перпендикулярных П и лежащих в К，определим функцию Ф2 (х).

Определение Ф2 корректно, так как в силу непрерывностиФ1(х) / (f i) & & /°(〃)< / «2)при % > t2. Можно проверить, что полученная функция Ф2(х) непрерывна и Ф2(х) ->0 (|х| ->°°).

Замечание 2 Рассмотрим функцию ①心)，определенную в замкнутой области Т. Пусть граница Т — поверхность уровня Фх(х). Если поверхности уровня функции Ф】(х) представляют простые поверхности, вложенные друг в друга, и минимум Фх(х) достигается на границе Т,

то любая прямая, перпендикулярная фиксированной плоскости П, пересекает поверхность уровня Фх(х) - t в 2п точках ^{,..., q^几(точки касания прямой с поверхностью уровня считаются дважды), Длина пересечения / (г) равна q；-el+q%-qL + ••. + Qin-^n-i^ и введенная выше симметризация сводится к симметризации Штейнера [111] поверхностей уровня функции Oj(x). В более общем случае, при наличии у Ф】(х) критических точек, поверхности уровня Фх(х) могут иметь особые точки и построение симметризованной функции Ф2 (х) осуществляется по указанному в определении правилу. —

Пусть функция ①i(x) = U(х) гармоническая в 7?+, такая, что

U(xх, x2, 0) = 0, (*1，*2)er2\G；

U(xitx2,0) = u (xlfx2)>0i (x1,x2)€G;(2.20)

U (x)-> 0, |x| — 8.

Соответствующую ей после симметризации функцию Ф2 (х) обозначим через V (х). Из определения следует

(2.21)(2.21)И(х1,х2,0)=0, (xlfx2)eR2\G\

(2.21)

(2.21)

И(х1,х2,0)=и(х1,х2), (Xi，X2)£G‘,

где область G' получена из G с помощью симметризации Штейнера [111] относительно прямой, являющейся пересечением плоскостей П и х3 = 0. Согласно правилу построения функции Ф2, для любой функции g справедливо тождество

(2.22)(2.22)/ g(〃)dx = / g(u) dx.

(2.22)

(2.22)

Так как гармоническая функция U(x) аналитична в & и не является постоянной, то прямая, перпендикулярная плоскости П и не лежащая в плоскости х3 = 0, может пересекать поверхность уровня функции U не более чем в конечном числе точек. Аналогично на каждой такой прямой -не более конечного числа критических точек функции U,

Лемма 2. Пусть U(x) - гармоническая функция, удовлетворяющая условиям (2,20), и К(х) получена симметризацией относительно плоскости П, тогда

/ |gradt/|2dx > / IgradP/S, (2,23)

Выше отмечалось, что на каждой прямой I может быть лишь конеч- ное число критических точек функции U(x), Поэтому множество точек пересечения I с поверхностями уровня, имеющими критические точки на Z, меры нуль. Вне этого множества построение К(х) сводится к симметризации Штейнера относительно плоскости П поверхностей уровня функции U(x), В связи с этим доказательство (2.23) повторяет доказательство аналогичного соотношения, используемого при выводе изопериметрического неравенства для электростатической емкости [111, п. 73].

Лемма 3・ Пусть функция 尸 £ НМ&З) nF(xlt х2,0)= 〃，尸 G) — 0

при |хI 今°°. Тогда

/ I gradF|2dx > / | gradt/ |2dx,(2.24)

где U - гармоническая в R： функция, удовлетворяющая условиям (2.20).

Предположим сначала, что F £ С1 (/??), и представим F в виде F = =U + h, гдеh 今0 при |х| ->°° и Л (Х!，х2,0) =0.

Тогда

°°с з аи 8U

/ I gradF|2dx = / | grad U 12 dx + / |grad〃 12 dx + 2 /— — dx.

/Ц/ЦRl1 Rl ^z ^i

Можно показать, что последний член в этой формуле равен нулю. Следовательно,

f I gradF |2dx》/ |g】adU|2 dx.

к" R"

Если функция F удовлетворяет условиям леммы, то ее можно представить в виде F - U + h, где Л £ H1 (R+). Так как 访(&) плотно в Н{(^+), то существует последовательность hn £ Cq (&)，такая, что %—к в %. Тогда последовательность Fn = U + 〃〃-> У7 в %. По доказанному

/ I gradFM 12 dх》/ | grad^/ |2 dx, V〃，

поэтому имеет место утверждение леммы 3.

При завершении доказательства теоремы понадобится следующее тождество:

(Ам, и) = / |gmdU|2dx = /。，(2.25)

где U — гармоническая функция, определенная условиями (2.20). Справедливость его проверяется непосредственно:

/ IgiadUI2dx = -J —- Udx— / U^Udx =

к"R2 (x3 =o)dx3R±

=—/ Udx = (A〃，〃).

к 2 @3=0) dx3

Используя (2.25), можно переписать выражения (2.9), (2.11) для 入i(G) и 4o(G) следующим образом:

入 1(G) = (A〃1，〃)11〃1 11~2 =々］I卜〃 1 1「2 ,

eo(G) = (A〃o,〃o"£：= Iu£； •(2 26)

Напомним, что здесь 〃i — положительная собственная функция оператора рсА，отвечающая собственному числу 入i(G); w0 - решение задачи (2.1) при единичной нагрузке; гармонические функции Ulf U。 удовлетворяют условиям (2.20) при и 二〃】н 〃о соответственно.

Функции 〃i(x) и w0(x), согласно лемме 1, положительны. Поэтому

в силу принципа максимума для оператора Лапласа функции U^x) и UQ(x) также положительны.

Применим к этим функциям операцию симметризации относительно плоскости П, параллельной оси х3. При этом Ui(x) и UQ(х) перейдут в функции %i(x) и И0(х), удовлетворяющие (2.21) при и = их ни。. Из (2.22) следует, что для 力，и。имеют место соотношения

/ 〃；(x)dx = / u；(x)dx,

GG'

(2.27)(2.27)LUq = /〃o(x)dx = / vQ(x)dx = Lv .

(2.27)

(2.27)

° GG'°

В соответствии с леммами 2 и 3 получим

(2.28)(2.28)入 1(G)二 /и】 ll〃i II"2》/乙 Н и】II~2》/(7^ II i/1II"2 =入i(G’)，

(2.28)

(2.28)

q.(G) = IUQL^》Az/」；》”胃=4o(G')・

Здесь u\, v*q реализуют минимум функционалов (2.9), (2.11) для области G[ U\, Uq — гармонические в 火i функции, которые определяются через u\t Uq по условиям (2.20).

Область G' получена симметризацией Штейнера из области G, поэтому mesG = mesG’. С помощью надлежащей последовательности симметризацией из G можно получить круг [111, п. 7.3 ]. Теорема доказана.

Замечание 3・ Соображения, аналогичные использованным в [111, п. 7.4], приводят к утверждениям о том, что в однородном поле нагрузок объем трещины, занимающей область в виде равностороннего треугольника (квадрата), не меньше, чем объем трещин, занимающих произвольные треугольные (четырехугольные) области гой же площади.

При доказательстве изопериметрического неравенства для объема трещины (п. 6.2.3) в изотропной однородной упругой среде и теорем сравнения (разд. 5.1—5.3) существенно использовалась связь задачи о трещине со смешанной задачей определения гармонической функции в полупространстве.

В то же время в разд. 5.5 было показано, что теоремы сравнения имеют место для довольно широкого класса псевдодифференциальных уравнений. Техника их доказательства иная, использующая свойства псевдо- дифф еренциальных операторов.

Оказывается, что изопериметрическое неравенство для объема трещины, формула Ирвина и некоторые оценки коэффициентов интенсивности напряжений могут быть обобщены на решения рассмотренного в разд. 5,5 класса псевдодифференциальных уравнений. Такие обобщения получены в работе [143], где даны доказательства соответствующих утверждений. В этой работе впервые при доказательстве изопериметрических неравенств использована техника интерполяционных пространств [18].

Сформулируем без доказательств основные результаты работы [143].

Рассмотрим псевдодифференциальные уравнения вида (5.5.15):

Pg Aa〉v = PgA°w + f 味PgN^w = f (x),(2・29)

k=l

где по-прежнему 0 < a < 2, 0<^k < a, f (x) W "一財2 (G), w (x) G 方％ (G). 136

Связь (2.29) с задачами о трещинах в нелинейных, линейных неоднородных и однородных средах отмечена в разд. 5.5.

Введем следующие характеристики решения (2.29): минимальное собственное число оператора рсАа

入2(G) = inf [(Ааи, и)/ / u2dx] ,(2.30)

u£%/2(G)°

''энергию''

Wf(G) = ；/(x)w(x)dx(2.31)

G

и "объем''

勺(G) = /w(x)dx；(2.32)

здесь w — решение (2.29).

Справедлива теорема: при симметризации Штейнера области G относительно некоторой прямой величины 入} (G) и Pf】(G) не возрастают. Из этой теоремы получаются важные следствия.

Следствие 1 (изопериметрическое неравенство для 入 ^(G)h Р；】(G)). Поскольку с помощью последовательности симметризаций любую область можно перевести в круг той же площади, справедливы изопериметрические неравенства

心(G)》入々(К),匕(G) & 匕(К),(2.33)

где К — круг равновеликий области G.

Следствие 2. Для энергетической характеристики решения Wf (G) имеет место неравенство

% (G) & Иу*(К)，(2.34)

где /*(х) - функция, определенная в круге К, /*(х) = /*(г), г = | х |; /*(г) не возрастает с ростом г, и функции /(х) и /*(г) равноизмеримы*.

Отметим, что для линейно-упругой среды с трещиной величина W『 с точностью до множителя совпадает с энергией деформации среды. Поэтому неравенство (2,34) дает изопериметрическую оценку энергии деформации в случае действия неоднородной нагрузки на поверхностях трещины. Это неравенство позволяет оценивать энергию среды с трещиной произвольной формы через энергию, отвечающую наличию равновеликой круговой трещины с соответственно подобранным осесимметричным распределением нагрузки /*.

С помощью неравенства (2.33) для 入^(G) можно оценить H^(G):

% (G)= (AaW,w) > 咕(G) II w II2》％ (左)llwll2 .(235)

С другой стороны, из (2.31)

%(G) & II/II • II w II.(2.36)

"Напомним, что функции /(х) и g (х) называются равноизмеримыми, если Yz*, 2? равны меры множеств {x-zk </ (х) < z2} ,{x：z】 <g(A)< z2} [111].

Следовательно,

(2.37)(238)(2.37)(238)II w II & [ll/ll/Xi /)]，

(2.37)

(238)

(2.37)

(238)

D(G) & ["l|2/M/)]・

Для однородной изотропной среды с трещиной, как уже отмечалось, & = 1, 0疋=0. Оценка энергии деформации (2.38) того же типа, что и оценка (2.16), но для более широкого класса операторов.

Для решения псевдодифференциального уравнения (2.29) имеет место формула, связывающая приращения энергетической характеристики решения при вариации области G с коэффициентами в асимптотике решения вблизи границы 8G (аналог формулы Ирвина).

Напомним, что решение (2.29) имеет вблизи границы 8G асимптотику (см. разд. 5.5)

(2.39)(2.39)w(x) Q 7V(x')s°/2, х' £ 8G,

(2.39)

(2.39)

где s — малое расстояние по нормали к 3G от х £G^xf [144]. В [143] показано, что асимптотика A°w вне G при приближении к границе 8G также выражается через коэффициент ^(x^):

A°w(x) ^ —A°w(x) ^ —a22。一2 г((1 + ①/2r23/2) ^Г(а+1)Г((2-а)/2)a22。一2 г((1 + ①/2r23/2) ^Г(а+1)Г((2-а)/2)N(xf)r~Oi^2,N(xf)r~Oi^2,(2.40)(2.40)

A°w(x) ^ —

A°w(x) ^ —

a22。一2 г((1 + ①/2r23/2) ^Г(а+1)Г((2-а)/2)

a22。一2 г((1 + ①/2r23/2) ^Г(а+1)Г((2-а)/2)

N(xf)r~Oi^2,

N(xf)r~Oi^2,

(2.40)

(2.40)

здесь г - расстояние от х ER2 \ G др xs по внешней нормали к bG.

Формулы (2.39), (2.40) позволяют получить аналог формулы Ирвина: при вариации области G на 5G(mes 5G = 5S) вариация 5 W『равна

(2.41)(2.41)dWf = Я(а)^55,

(2.41)

(2.41)

"а)"а)(2.42)(2.42)

"а)

"а)

(2.42)

(2.42)

При а = 1,阮=0 (2.41) переходит в формулу Ирвина, а при а 今 2, 0k = 0 - в аналогичную формулу для уравнения Лапласа, полученную в [53, 56] (см. разд. 6.4). Пользуясь этой формулой можно получить оценки для 7Vmiп н Nmax на контуре 3G в случае, когда /(х) - однородная функция порядка 5:

(2.43)(2.43)%3п & (2 + 2 5+a)W/(G)/2SH(a) &牖ax・

(2.43)

(2.43)

(доказательство аналогично приведенному в разд. 7.3).

Интересно, что правое из неравенств (2.43) в частном случае оператора A? w, соответствующего задаче кручения стержня, дает изопериметрическое неравенство Сен-Венана для максимального касательного напряжения в сечении стержня (подробнее об этом см. разд. 10.1).

Оценки сверху объема трещины, расположенной в слое

Изопериметрическое неравенство для 入【(G) можно использовать и для того, чтобы получить оценки сверху объема трещины, расположенной в срединной плоскости х3 = 0 упругого слоя толщины 2 h [51].

Будем считать, что грани слоя свободны от напряжений, а к поверхностям трещины приложены нормальные нагрузки, симметричные относительно плоскости трещины. Тогда нормальные смещения м(х) точек поверхностей трещины удовлетворяют псевдодифференциальному уравнению [40, 51] [ср. (5.4.1)]

pG(\- Ah)u = f(x\ Дх) = ур(х); 〃(х) = 0, xeG;(3.1)

А腿)=I 8 «〃 丨 М ), /(z)二 2(l+2z+2z2—e-2z)/(4z+e2z_e—2z)(3.2)

Функция / (z) убывающая, так как /' (z) < 0. Кроме того, /(0) = 1 и / (+8)= 0, поэтому 0 & / (〃 I 扌 I ) & 1. Как и в случае безграничной среды, для построения оценки Р и W сверху нужно предварительно оценить сверху \\и\\. Из (3.1) имеем

((A-AQ〃,〃)= (/；〃)& ||门|・ 11〃 II.(3.3)

Покажем, что для оператора Pg (А — А力)имеет место условие коэрцитивности

((A-AQ〃,〃)> ||〃||2Q,

(3.4)

Ch = [1 —«力&(%))][入 1 (&) -&(〃)],

где Ro(〃)определено ниже.

Введем JQ = (Ап, w) и Jh = (А力〃,м). Тогда оценка снизу для ((А 一 — А力)“,м) = Jo — /〃 получится, если /力 оценить сверху. Имеем

/ 固・|/(е|2/51加)発 +

+/ IM・|7«)|2«〃IM)dN(3.5)

(2吟门〉К

Далее

厶-J。=/哇1・1員*|2[/(〃1打)-1]英+

+I 加・|7a)|2["〃|打)-1]樊.

(2 疗 |.〉R

Поскольку [/(Л I ^ I) - 1] <0 и /(Л I ^ I ) - убывающая функция,то

(3.6)(3.6)《kU"〃R)t] /1A・1"а)|2若.

(3.6)

(3.6)

(2")21口〉及

г11

Обозначим JR = 7—7/1^1- I w(O I dt

I 口〉R

Для величины JR справедливы неравенства

JR 二 JG _ f I I i W (O |2d^ > (2")

R~1〜

》丿0 _ c 1、2/ I « (О l2d^ > «^0 — ；2 ^ I W (^) |2d?=

(277)2 hyr(27r)2 紋

*R\/ я / S ' 入 1 (% 1) — R

= JQ-R\\U\\2 > Jo-7-77/0 > ———/о.(3.7)

入•入i(&)

При 0 & R & V я/У-Хх (А】)из (3.6), (3.7) с учетом того, что [/ (力 I 古 I )

—1 ]《0, следует неравенство

w?•入 1(&) -R

Jh < Jo[(/(^)-1)———+ 1] = /(>/(&)•(3.8)

，^•入1的)

Пусть при 0 <7?二 Ro(〃) & \/ 7T/S•入 1 (&) достигается минимум выраже

ния /(R). Тогда имеем для ((А — А力)％ м) с учетом (2.9)

((А — А〃)〃, и) = Jq — Jh〉Jo — JqI(^o(^))=

=(A〃,〃)[l — «〃Ко5))П\Л^・入 1(給)一Ко(〃)]/\Л^・入 1/1)》

> [1—//Ко(〃))][хЛ^ ・储(&) 一及0(〃)] II 〃 II 2.(3.9)

Таким образом, справедливость неравенства (3.4) установлена. В силу (3.3), (3.4) имеем

11〃II & n r ii/a,(з.ю)

и соответственно для Рн W получаем оценки, аналогичные (2.10):

И & 2"・||f||/a, W & 711Pli2/Q.(3.11)

Оценки снизу для объема трещины

В разд. 6.2 было показано, что объем трещины нормального разрыва при однородных нагрузках оценивается сверху числом, не зависящим от вида области трещины. Легко видеть, что в тех же условиях оценить объем трещины снизу аналогичным образом нельзя. Дело в том, что при фиксированной площади трещины и увеличении степени вытянутости занятой ею области (например, для эллиптических трещин) объем трещины стремится к нулю. Поэтому, чтобы получить изопериметрическую оценку V снизу, надо подобрать какой-то функционал, зависящий от формы трещины, значение которого вычисляется более просто.

Следуя [53, 56], получим изопериметрическую оценку V снизу, используя установленную там связь между характеристиками решений задачи о трещине и краевой задачи для уравнения Пуассона, соответствующей задаче теории упругости о кручении стержня. При этом изопериметрическая оценка V строится с помощью некоторого функционала, отвечающего задаче о кручении. Будем рассматривать, как и в разд. 6.2, трещину нормального разрыва G в безграничной среде при однородных нагрузках.

Наряду с этим сформулируем задачу о кручении стержня сечением G. Имеем

△ Ф(Х],Х2)= —2, ф £^(G),(4.1)

где Ф — функция кручения. Если G — односвязная область, то

Р = 2 /①(Xi, %2)dxi d%2(4.2)

G

представляет собой жесткость при кручении стержня сечения G. Между величиной Р в задаче о кручении и величиной объема трещины О, определяемой (1.1), имеется соответствие, устанавливав мое следующим утверждением.

У тверждение 4.1. Рассмотрим выражение 丿(G) = Р/ V. Среди всех областей заданной площади S J (С) достигает максимума на круге.

Из этого утверждения следует, что

(尸/p) 《 (厶/唳).(4.3)

Здесь Рк9 唳—жесткость при кручении стержня и объем трещины для круговой области площади S. Отсюда имеем оценку объема трещины снизу

(尸腺/а)《 И(4.4)

Из (4.4) с учетом явных выражений для 唳 и Рк следует

Утверждение 4.1 доказано в предположении существования и единственности области заданной площади, на которой реализуется экстремальное

значение функционала /(G)・ Точнее, доказана ограниченность функционала /(G) сверху на областях фиксированной площади. С другой стороны, если в качестве G брать эллипсы и, не меняя их площади, устремлять величину большой оси к бесконечности, а малой к нулю, то значение J (G) будет стремиться к нулю. Далее, в предположении существования области, на которой реализуется максимум функционала J (д), получено необходимое условие экстремальности и показано, что оно выполняется на круге.

Лемма 4.1. Функционал J(G) ограничен сверху на областях заданной площади, т.е. ЗС > 0 такая, что VG площади S вьшолнено неравенство /(G) & С.

Доказательство. Согласно (2.11),

(4.6)(4.6)1/0= — inf (Au, и)/( / udx)2 .

(4.6)

(4.6)

0G

v^h1/2(g)°

Следовательно, для /(G) имеем

«б = V«б = V2

«б = V

«б = V

=——(/ ①(x)dx) inf (A v, t)/( / udx)? &

27 G。G

《T (/ Ф(х)ах)(АФ,ФУ(/ ①(x)dx)2 = ^(ЛФ,Ф)/(/ ①(x)dx).(4.7)

Далее, с учетом равенства Парсеваля и неравенства Шварца

i00

]〜

(АФ, Ф) = ——//1^1-1 ф(^) |2奖=

(2 ")2 —8

= (^-JJ 1a2・1$g)|2 奖户 2(^-// 1$&)12共)"2 =

=(-ДФ,Ф)1/2 ||Ф|| 二"(/①(x)dx)i/2 II ① II.(4.8)

G

Последние равенства получаются после перехода от ^-пространства к х-пространству и использования (4.1). Согласно (4.7), (4.8),

J{G} < — ||Ф||/( /①(x)dx)"2.(4.9)

С другой стороны,

2 / Ф(х)(1х = (-△①，①)> 入1(G)1| ① II > 入1(%R)II ① ||2,(4.10)

G

где 入 1 (G) — минимальное собственное число оператора (—△) в области G

для функций равных нулю на 3G; kR - как и выше, круг радиуса R = 7sH и учтено, что, согласно [51],入】(G) > 入】(kR). Из (4.9), (4.10) следует

/(G) & 2/*N(%r)，= С.(4.11)

Лемма 4.1 доказана.

Установленная в лемме 4.1 оценка функционала /(G) позволяет получить оценку объема трещины снизу. Эту оценку можно усилить, уточнив значение постоянной С на основе упомянутого выше необходимого условия экстремальности /(G). Для вывода условия экстремальности предварительно докажем лемму 4.2, которая показывает, что для краевой задачи для уравнения Пуассона [типа задачи (4.1)] справедлива формула, подобная формуле Ирвина в задаче теорти упругости о трещине.

Лемма 4.2. Пусть задано семейство областей Gt, таких, что граница области 6才+△才 может быть определена значениями нормали n(s, tr Дг) к 3Gt, здесь s — координаты на dGt. Предположим, что существует lim [п (% Г, △%)/△?] = W (s, %), положительным будем считать направ- △ г-> о

ление внутрь области Gt (более точные ограничения, которые нужно наложить на функцию п& ?, Аг) для справедливости формулируемого результата см. в [80]).

В каждой области Gt рассмотрим задачу

△以=-F(x), uf I bGt = 0.(4.12)

Здесь /(x) — достаточно гладкая функция, определенная в области DDGt, ”.

Из гладкости / (х) следует, что 力(х) — гладкая функция, имеющая вблизи точек гладкости границы bGt асимптотику u^Q)弋 Т(s, t)st, где st — расстояние до BG^ по нормали.

Рассмотрим величину W(?) = (—△ Uti Ut) = (/ Ut). Тогда W⑴ дифференцируема по ?, причем

dW°

—=-f Т2^ 0 Г (^，0 ds.(4.13)

Доказательство. Согласно [80], функция Ut (х), дифференцирумая по Г, и и (厶 х) = dUt(x)/dt является решением следующей краевой задачи в :

△ и = 0, и| = -f(s, 0 —- = -f (s, 0 Т(s, 0-(4.14)

Следовательно,

d'W d、

—=—(-△ 〃,〃) = ( 4U4 + (—△〃/) = (-△〃")，

a〃 ，0 a〃 du

(—△〃，u) = / —— Uds + J S -— -— dx. bGt °"Gt i °修 °*i

Заметим, что

,「8内 a U

/ S —- ——dx =

/2^— ^t-~)dx-(Ut,^U)=-f ut— ds = o.

Таким образом,

dW , 3力 ，

—=/工一uds = / T(s, ?)(—j(s"))T(s, ?)ds d?旧 3〃 acf

=-f 产",？)j(s, 0^, dGf

что и требовалось доказать.

Замечание. Если 九(s, г) = 0 вне малой окрестности O(so) точки “ и n(s, %) не меняет знак, то из (4.11) приближенно следует

dW=[-f Pg ?*(§,?)ds] df -Г2 (s0, 0 / — dsdr 弋 bGt0(")S

弋一丁2(50, ?) / d〃ds = -T2(s0f t)ds,(4.15)

。(So)

Здесь ds - площадь области, заключенной между Gt и (7t+dr,имеющая знак плюс, если G^ + df U GtiH знак минус в противном случае.

Формулы (4.13), (4.15) представляют собой аналог известной в теории трещин формулы Ирвина (3.2.6), связывающей приращение энергии деформации упругого тела 6 U при расширении области трещины вблизи некоторой точки М с величиной коэффициента интенсивности напряжений N в этой точке. В записи, подобной (4.15), формула Ирвина имеет вид

bU = [я(1 一〃 )/〃]M5s(4.16)

Перейдем теперь непосредственно к вьшоду необходимого условия экстремальности J (G).

Согласно лемме 4.1, величина /(G) ограничена сверху. Предположим, что существует область Go площади S, на которой реализуется максимум /(G). Необходимое условие экстремальности имеет вид

5/(Go) = 5(P/P) = [(5 尸)0—尸(5Р)]/р2 =0

или

传尸)0 一?传p)=0.(4.17)

Если в окрестности точки Мх контура д(70, ограничивающего GQi область расширили, а в окрестности М2 — уменьшили, сохранив площадь, то из (4.15)-(4.17) получим

(Tl-Tl)bSV-{N\ -7V1)P[2^(1 -р)/д]65 = 0

или

(71-71)г一(7\^一n幻尸[2乂1-〃)/从]=0.(4.18)

Здесь N*, N? и 7\,厶一коэффициенты в асимптотике решений вблизи точек Л/】，М2 задач о трещине и о кручении соответственно; при переходе от (4.17) к (4.18) учтено, что W = 尸 в случае задачи о кручении и Р = 2 U в задаче о трещине при однородной нагрузке единичной интенсивности. Так как (4.18) выполнено для любых двух точек контура, то необходимо, чтобы вдоль контура Т? = C^N2 + С2 (Сп G - постоянные). Это необходимое условие экстремальности справедливо для круговой области Go, где N = const и Т = const, что позволяет предположить правильность утверждения 4.1.

Оценки О н W при произвольных нагрузках можно получить непосредственно, пользуясь свойствами оператора рсА. Эти оценки уже не будут изопериметрическими.

Для объема трещины из (2.1) следует

(А〃,〃)= (/；〃)С/тахС^К.(4.19)

Можно получить оценку V снизу и исходя из (1.1). Очевидно, что

у И = /〃(x)dx = /p(x)〃o(x)dx > Pmin/〃o(x)dx = GGG

=^Pmin% = 7Pmin(A〃o,〃o),"min% & 匕(4.20)

Здесь 〃o - решение (2.1) при однородной нагрузке единичной интенсивности.

Заметим, что выражение (1.3) для полной потенциальной энергии W можно записать в виде W =)т (А〃，w).

Таким образом, один из способов построения оценок снизу для V и W заключается в том, чтобы предварительноо найти оценку снизу для величины (А〃，w) [или (А〃о, 〃о)]・

Величину (Aw, w) оценим, пользуясь следующим соотношением:

(Aw, w) = sup [(/fudx)2/(Au,u)].(4.21)

u£%“(G) G

14514510. Зак. 1100

145

145

Проверим справедливость (4.21). В силу (2.1)

(< и)2 = (А〃, и)2 &(А〃, 〃)(Аи,и) V ” е /i/2(G),(4.22)

поэтому

(А〃, w)》(工 u)2(Au, и)т ,(4.23)

в то же время при v = и

(工 и)2(Aw, и)"1 = (Л 〃)2(А〃, 〃)т = (А〃, и),(4.24)

Таким образом, оценку снизу (А〃，w) можно получить, выбирая различные пробные функции и в (4.21). При этом полезно иметь в виду, что если рассмотреть области G, G】,для которых G】U G, то будем иметь

sup [( / fwdx)2/(Aw, w)] &

w£6“(G)5

& sup [( f fvdx)21 (Ли, и)].(4.25)

оg

и£%/№ 气

Поскольку вычисление величины (Аи, и) для функций и EH1/2(G) весьма трудоемко, можно перейти к более удобным оценкам, учитывая [144], оо

что а»? (G) 3 〃i(G) и поэтому

sup [(工 и)2/(Аи,и)] > sup [(Л и)2/(Ли,и)].(4.26)

v^H1/2(G)v^H, (G)

Для и G Я1(С) имеем

18

(Ли,и) = ——// \^\-\v^)\2^ &

(2 ")2_8

《《蟲"呼"2⑴g蟲"呼"2⑴g

《

《

蟲"呼"2⑴g

蟲"呼"2⑴g

=K(llu||2 + iiau/axii|2 + iiau/a%2 II2)=吊3)(4.27)

или другое неравенство

1"，1/2 二〜 ，1/2

(Ли,и)<—— (//lei2 |U⑴ |2陶 (// |u(e)l2dn = (2 ")2 —8—8

(4.28)(4.28)=(II au/axi и2 + ii au/a%2 ll2)1/2 ll^ll = EzS).

(4.28)

(4.28)

Из (4.21), (4.26), (4.28) следуют два неравенства для (Aw, 〃)：

(Ли, и) > sup 4(工 и) = 4(f) (i = 1, 2),(4.29)

и £/ (G)

4(工 и) = (/, и)2/&•").(4.30)

Величины Ег (и), E2(v) легко вычисляются при заданной функции и. Со- ношения (4.29), (4.30) с учетом (4.19) и выражения для W через 7T (А〃，“) дают искомые оценки Р н W снизу:

к> 2fm；x4・。)， W = у (Ли, и) > 74(f),

(4.31)

Р> 2ymiВ».

Соотношение (4.30) позволяет свести оценку снизу квадратичной формы (А〃，〃) к оценке снизу другой квадратичной формы (—Z\w, w), где

w £"i (G) и Aw - задано. Действительно,

sup [(/ ^1Е^(у}\ > [(工 ^/Е^^

и £ % (G)

в частности для w £%(G) и -Aw =工 Обозначим

II dw/d%! И 2 + lldw/дх2 II 2 = 3(w).

Тогда,очевидно,(工 w) = Z)(w) и

(У» U(w) VWJ、

==0(w)=(工 w).

优(w)||w||，^y 12ll^ll

Из результатов [111, с. 19,47] следует,что

[，Щ访Vllwii]》Ci(g)、，X(%r),

где 入 1 (G) — минимальное собственное число оператора —△ в области G и 入 1 (G) > 入 1 (%r) ; здесь, как и раньше, kR 一 круг той же площади, что и область G. Поэтому окончательно имеем

(A", w) > "入1的0‘(工 w),

о(4.32)

△ w =工(X1,%2)£G,w£&(G).

Примеры применения полученных оценок приведены в [53, 56] и п. 6.5.3.

Приближенные формулы для объема трещины получены в работах [53, 56]. При этом использовались представления [111] о том, в каком смысле можно считать ту или иную приближенную формулу оправданной. Напомним, что в [111] речь шла о получении приближенной формулы, связывающей интересующую нас характеристику x(G) области G с более просто вычисляемыми функционалами 7(G) этой области { Y1 (G), ...

•・，4（G）｝：

(5.1)(5.1)x（G）% f（y（g））・

(5.1)

(5.1)

Приближенная формула (5.1) считается обоснованной на некотором семействе областей, если выполнены следующие три условия:

HZ】，％? 〉° такие, что для любой области из рассматриваемого семейства

(5.2)(5.2)(5.3)(5.3)& & [X(G)/f(Y(G))] & 左2；

(5.2)

(5.2)

(5.3)

(5.3)

на всех эллипсах или прямоугольниках [X(G)/f(Y(G))] ~ 1-;

при симметризации области величины *(G) и f (Y(G)) изменяются в одну сторону. Указанным способом в [111] получены приближенные формулы, выражающие жесткость при кручении, емкость, основную частоту колебаний мембраны через геометрические характеристики области.

Ниже подобным образом в соответствии с [53, 56] построены две приближенные формулы для объема трещины, занимающей выпуклую область. Одна выражает объем V через площадь области и длину ограничивающего ее контура, другая — через площадь области G и жесткость 口卩 кручении стержня сечением G.

Первая формула подсказана выражением для объема эллиптической трещины при однородных нагрузках. Для Иэл имеем [122]

(5.4)(5.4)8(1 —廿)Sb

(5.4)

(5.4)

3£Е'(%)

Здесь а9 b — полуоси эллипса, %? = 1 —(方？/〃？), £*(左)—полный эллиптический интеграл 2-го рода. Можно записать это выражение и в такой форме, чтобы в него входили не полуоси эллипса, а только S и длина / контура эллипса. Это выражение (в котором эллиптичность контура завуалирована) мы и примем в качестве приближенной формулы для объема трещины, занимающей выпуклую область:

(5.5)(5.5)32( 1 — М) $2

(5.5)

(5.5)

Зп^

Покажем, что перечисленные выше в п. 6.5.1 условия ''а”一"в” выполнены для формулы (5.5).

Действительно, на эллипсах формула (5.5) становится точной, и, следовательно, условие "б” выполнено.

Хорошо известно, что при симметрии Штейнера области относительно прямой площадь ее сохраняется, а длина контура не возрастает [111]. Следовательно, правая часть формулы (5.5) при этом не убывает. Согласно доказанному в [51], при такой симметрии величина V также не убывает, и поэтому условие ''в'' выполнено. Выполнение условия ''а" в классе выпуклых областей следует из условия "6'' и леммы о включении (см. [111]). Действительно, лемма о включении утверждает, что в любую выпуклую область можно вписать эллипс и вокруг области описать эллипс так, что эллипсы подобны и коэффициент подобия не зависит от вида исходной области. Обозначим коэффициент подобия через 入，площадь описанного эллипса 5+ , длину его контура I + , для вписанного эллипса эти величины обозначаются через S_ и Z _ соответственно. Обозначим также сокращенно правую часть формулы (5.5) через f (Sf I). Тогда

“S, /) & /(5+, /) & f(S+，/_) = Xf®, G =入匕=入4 匕& 入4 匕

(5.6)

Здесь V+, P_ — объемы трещин, занимающих области описанного и вписанного эллипсов соответственно. Аналогично (5.6) получим оценку

“S, /)>/(£,/+)= (1/Х)/(5_, /_) = (1/Х)И =

=(1/Х4)И4 > (1/Х)匕(5.7)

Формулы (5.6), (5.7) показывают, что условие "а'' выполнено. Таким образом, формула (5.5) удовлетворяет всем перечисленным условиям.

В классе выпуклых областей может быть использована и другая приближенная формула:

К弋腺р(5・8)

Правая часть формулы (5.8) является средним геометрическим между изопериметрическими оценками для V снизу (4.5) и сверху (2.10). После замены Ркр и Ркр их значениями формула (5.8) принимает вид

。 —-—— 疗(5.9)

3 иЕ

Проверим выполнение условий "а'', ''6'', "в'' для формул (5.8), (5.9). Эти формулы точны для круговой области. На эллипсах отношение истинного значения объема к его приближенному значению не меньше единицы и не превышает 1,1107 (в случае, когда эллипс вырождается в щель). Следовательно, на эллипсах погрешность приближенных формул невелика и условие "б" можно считать выполненным. При симметризации области относительно прямой, как уже упоминалось, V не убывает, a S остается неизменной.Согласно [111],Р при этом не убывает. В силу этого и правая

Таблица 1

Форма области трещины1

2

3

Квадрат

0,8834

0,9399

0.8862

Узкий прямоугольник пло

2,0944b2/5

L4472b/s"2

1.7725b S”：

щади S с малой стороной b

Равносторонний треугольник

0,7255

0,8518

0,7776

Равнобедренный прямоугольный

0,6557

0,8098

0.7342

треугольник

Полукруг

0,7577

0,8705

0.8641

и левая части формул (5.8), (5.9) при симметризации не убывают. Следовательно, условие ‘‘в" выполнено. Аналогично тому, как это было сделано выше, можно показать, что на семействе выпуклых областей из условия ''6'' и леммы о включении следует, что условие ''а" выполнено. Таким образом, формулы (5.8), (5.9) оправданны. Заметим, что вместо формулы (5.8) можно использовать любую из формул вида V 弋 Иэл 7Plp讣,где Кэл, Рэл - объем трещины и жесткость при кручении для эллиптической области той же площади.

5.3. Приведем теперь примеры, иллюстрирующие эффективность приближенных формул (5.5), (5.8), а также верхних и нижних оценок разд. 6.2, 6.4. В табл. 1 для различных областей G приведены: в столбце 1 оценка снизу значения Р/ Р^р по формулам (4.5), в столбце 2 значение И/Икр по формуле (5.8), а в столбце 3 - по формуле (5.5). Необходимые для вычислений значения Р/Ркр брались из [90].

Данные таблицы показывают, что приближенные значения, вычисленные по формулам (5.8), (5.6), весьма близки и согласуются с нижней оценкой (4.5).

Теперь на примере круговой и эллиптической трещин сравним эффективность верхней оценки (2.10) и нижней (4.31), применимых при неоднородном распределении нагрузок вдоль поверхностей трещины.

Пусть G = К、— круг единичного радиуса и р = 1 —г 2. В соответствии

с точным решением задачи имеем [106]

(5・10)(5・10)(5.11)(5.11)(5.12)(5.12)V = [16(1 -М)/3£].

(5・10)

(5・10)

(5.11)

(5.11)

(5.12)

(5.12)

Из (2.10), учитывая, что 入i (К】) = 2nS = mes(Ki) =тг, получим Р《2(1— 〃2)//2『1 ||1 —М||=噥｛.

Поскольку

111 一户 11 = (/ (1-r2 )2dx)1/2 к】

окончательно имеем

喝=[27г(1-р2)/£хА?].

Оценку снизу найдем согласно (4.31). В нашем случае ^т ах = 1. В качестве пробной функции и возьмем и = 1 -г 2.

Тогда

(Р, и ) 2 = ( 7 J (1-户)2，drd9)2 = — ,£2 (и)；

о о93

поскольку

||"|=®и )1/2^，7Г/3； Wbv/bx^ II2 + II di；7dx2||2 =2я ,

в результате из (4.31) имеем

Р》[2“Етг(1 — 〃2)/£з^] = rt.(5.13)

Верхнее оценочное значение V отличается от точного на 14%, нижнее — на 47%. Отметим, что нижнюю оценку можно улучшить за счет более удачного выбора пробной функции и .

Пусть G — эллиптическая область с полуосями а,Ь(а〉Ь) и р = = А +5X1 (постоянные А и В выбраны так, чтобы в пределах трещины р》0). Тогда точное значение объема V определяется (5.4).

Для определенности пусть а = \ ,b = 0,5М = 1,В s 1. При этом

К=[2я(1 -р2 )/3,63£][0}55я(1-р2)/Е]э

Верхнее оценочное значение V находим из (2.10), учитывая, что \\р || = =7 5тт/8.'Таким образом,

七=[(1-吟 ^\^Е\ 弋[0,79я(1-р2)/Е] ,(5.14)

и отличие оценочного значения от точного составляет 44%. Приведенные примеры показывают, что приближенные формулы (5.5), (5.8) и оценки (4.5) более точны, чем оценки (2ДО), (4.31).

66 Приближенные формулы для коэффициента интенсивности напряжений

Приближенные формулы для объема трещины нормального разрыва (5,5), (5.8) и аналогию между задачами о трещине и кручении можно использовать и при определении коэффициента интенсивности напряжений N на контуре трещины. Мы рассмотрим два способа [53,56] приближенного определения N.

Первый способ состоит в том, что приближенное решение задачи о трещине для выпуклой области G отыскивается в виде

и = (1 - М)£т С\/Ф,(6.1)

где С — постоянная, Ф - решение задачи о кручении стержня сечением G (см. п. 6.4.1). Постоянную С можно определить, подсчитав объем трещины по определению с помощью (6.1) и воспользовавшись приближенными формулами для вычисления объема (5.5), (5.8). Существенно, что выбор представления решения в форме (6.1) обеспечивает правильную асимптотику и вблизи контура трещины. Действительно, в задаче кручения Ф имеет

151

Таблица 2

0,8

0,5

0,3

〃/2

1

〃/2

0

я/2

0

0,4986

0,4460

0,5839

0,4129

0,6450

0,3533

0,4971

0,4446

0,5694

0,4026

0,6098

0,3340

у границы асимптотику Ts, где s — расстояние по нормали к 8G (см. п. 6.4,1). Поэтому и будет 〜N У вблизи 8G, как и должно быть в задаче о трещине (см. 4.1.3). Это обстоятельство важно для определения коэффициента интенсивности напряжений. Заметим, что описанный способ в случае эллиптических трещин позволяет найти точное решение задачи.

Второй способ приближенного определения N заключается в том, чтобы построить некоторое отображение G — 9G (х[ , х； ) ^№(х[ , х； ), (х；, х 2) e8G,rue 9G — функция, заданная на границе 8G. При построении 9G нужно учесть известные свойства коэффициента интенсивности напряжений по отношению к изменению области трещины (см. принцип сравнения, гл. 5), т.е. если G UG】и 8G касается 8G】в точкеМ, то нужно, чтобы 9G (”)& 9G (")• Кроме того, необходимо, чтобы на некотором классе областей, например эллиптических, 9G давала значения близкие к коэффициентам интенсивности напряжений. При построении 9G используем соответствие между задачами о трещине и кручении. Сопоставим коэффициент интенсивности напряжений N и коэффициент Т в асимптотике решения задачи о кручении в соответствующих точках контура трещины и границы сечения стержня. Для эллиптических областей, как нетрудно видеть, (Г/№) 七 const. Кроме того, как известно, для функции Т(х；, %2), (х\, х2) £8G выполняется свойство, аналогичное принципу сравнения. Можно выбрать поэтому для выпуклых областей G 9^ ( х；, х；) = Т(х'1, х‘2)• const. Выбрав соответствующее значение постоянной, дающее точный результат для круговой области, получим

N2 七 2TL. (6.2)

Определим теперь по формуле (6.2) значения N в точках эллиптического контура трещины (b = 1), соответствующих концам малой и большой осей. В первой строке табл. 2 даны точные значения 7Vex, во второй — по формуле (6.2) при различных значениях 力/〃 и 9.

Приведем теперь примеры приложения обоих способов приближенного вычисления N.

Пример 6.1. Вычислим значение N вдоль контура трещины в форме квадрата со стороной 2. По первому способу в представлении (6.1) положим Ф= (1-х2 ) (1一歹2), учитывая, что согласно [90], функция Фтакого вида с некоторым постоянным множителем хорошо приближает решение задачи о кручении стержня квадратного сечения. Из табл. 1 видно, что V 弋 七 0,94 ^кр [согласно формуле (5.8)]. Следовательно, V 弋 7,2 (1-М)/£ (здесь учтено точное значение Ккр).

Ф2 = (1 -X2) (1-/)Ф2 = (1 -X2) (1-/)Г 1295L2216Г 1295L2216525+4432525+4432(炉+У2)].(炉+У2)].(6.4)(6.4)

Ф2 = (1 -X2) (1-/)

Ф2 = (1 -X2) (1-/)

Г 1295

L2216

Г 1295

L2216

525

+

4432

525

+

4432

(炉+У2)].

(炉+У2)].

(6.4)

(6.4)

Таблица 3

0

0,25

0,5

10,75

Численное решение

0,4869

0,4773

0,4499

1--

0,3874

По (6.1)

0,5158

0,4995

0,4467

0,3412

По (6.2), (6.3)

0,5337

0,5194

0,4718

0,3694

По (6.2), (6.4)

0,5033

0,4873

0,4359

0,2978

С другой стороны, (1 - 〃2 )/-.(]一吟产

/ 2& /，(1-炉)(1-p2) dxdy = —-— C1.

Eg2£

Сравнивая два выражения для И, находим, что С\ ^ 14,4/я2. Отсюда и 弋(l-p2)^"1 • 14,4я~2 [(1-х2) (l-y2)ji/2. Подсчитанные, исходя из этой формулы, значения N приведены во второй строке табл. 3. В первой строке даны значения N, найденные в [43] в результате численного решения пространственной задачи теории упругости.

Теперь применим второй способ вычисления N. Значения коэффициента Г в асимптотике задачи кручения, входящие в (6.2), определены по двум формулам приближенного ее решения, взятым из [90]:

(6.3)(6.3)Ф1 =(5/ 8) (1-х2) (1-/ ),

(6.3)

(6.3)

Величины TV, найденные по (6.2) через соответствующие Ф〔 иФ? значения Г, помещены в третьей и четвертой строках таблицы.

Пример 6,2. Пусть область G — равносторонний треугольник АВС с высотой 3 [координаты вершины А (-2; 0), основания D высоты на сторону ВС: 0(1; 0)]. Вычислим значения N в точках Z> (1; 0) ,£ (1; 0,7) ,F (1; 1,4) стороны ВС контура трещины, занимающей область G по формулам (6.1), (6.2). Для вычисления по первому способу в качестве функции Ф выберем известное решение задачи кручения стержня сечением G [90]:

Ф = 1(1/6) (1-х) [(х + 2)2-3/],

72

/ П (1-х) [(х + 2)2—Зу2] }1/2dxdy = — я.

G35

Объем трещины

(1 — р2)я144e£35(1 — р2)я144e£35(1-М)72

(1 — р2)я144

e

£35

(1 — р2)я144

e

£35

Р = 2 / 〃dx dy 弋—2cl -^ к =

Приравнивая это значение V величине объема, полученной по приближенной формуле (5.8) (см. табл. 1), получим & % 0,748. Теперь уже можно найти

153

приближенные значения коэффициента интенсивности напряжений в интересующих точках контура. Эти значения приведены в левой половине табл. 4.

Значения N в тех же точках, вычисленные по второму способу, даны в правой половине таблицы.

Сопоставим вычисленные значения N в точке D с оценками, которые можно получить по принципу сравнения. Построим вписанный в G круг

Рис. 42. Область трещины в примере 6.3

единичного радиуса и описанный около G квадрат со стороной 2\/3, касающиеся границы G в точке/). ТогдаTV£Kp^& 义片。где W^p)七 弋 0,45016, N产厶 0,641.

Величина N於^)найдена следующим образом. По данным численного решения [43], в середине контура квадрата со стороной 2 N 弋 0,4869. Нетрудно видеть, что при переходе от квадрата со стороной а к квадрату со стороной b значение коэффициента интенсивности напряжений меняется в (a/b) М2 раз. Поэтому 必кв) «уу(2 陋②”?弋 0,641. Значения N§, приведенные в табл. 4, хорошо согласуются с указанными оценками.

Пример 6.3. Попробуем применить приближенную формулу (6.2) в случае невыпуклой области. Пусть G — круг радиуса 〃 с круговой выточкой радиуса Ь. Выпишем функцию кручения для стержня сечением G. Имеем [90]

Ф = 1/2 (Ъ2 -产)(1 一 2“ ~*%os 屮). (6.5) Здесь 广,9 — полярные координаты с началом в точке О (рис. 42) •

Таблица 4

DЕF

0,561

0,513

0,330

0,551

0,504

0,324

Таблица 5

Т (4а2-Ь2)/4а

n L [(4/一 产)/2川/2

H"2(2〃-b)「/2

(2絃一b2)/24 n-1 [(202 -62 )/4]"2

Вычислим значение Т в асимптотике Ф вблизи границы области С п0 формуле (6.5), а затем, использовав (6.2), найдем приближенное значение N в точках Л, В, С (табл. 5).

Заметим, что в точном решении задачи кручения для стержня сечением G при Ь—0 коэффициент Т в точке В не стремится к значению 〃，соответствующему круговому сечению стержня. Аналогичное поведение, видимо, характерно и для N, что следует из анализа значений ^, приведенных в табл. 5.

Глава 7

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ

И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРУШЕНИЯ

(НЕРАЗРУШЕНИЯ) ТЕЛА

С ТРЕЩИНОЙ НОРМАЛЬНОГО РАЗРЫВА

Метод построения оценок коэффициента интенсивности напряжении через оценки полной потенциальной энергии тела с трещиной

В разд. 4.1 было отмечено, что при описании хрупкого и квази- хрупкого разрушения эквивалентны силовой и энергетический подходы. Эквивалентность устанавливается формулой Ирвина. Поэтому оценки условий разрушения можно формулировать как в терминах коэффициента интенсивности напряжений, так и в энергетических терминах, что и делается ниже. Изложение следует работе [40].

Предлагаемый в этом параграфе метод построения оценок коэффициента интенсивности напряжений основан на доказанном в разд. 4.2 утверждении 1, связывающем изменение полной потенциальной энергии тела с трещиной при изменении упругих постоянных.

Энергетические оценки разд. 4.2 в ряде случаев можно непосредственно применить для построения оценок коэффициентов интенсивности напряжений и условий разрушения тел с трещинами. В частности, такой подход применим в плоских и осесимметричных задачах. Изложим его в осесимметричном случае (для плоского — выкладки аналогичны).

Рассмотрим осесимметричное кусочно-однородное тело, имеющее плоскость симметрии Хз = 0, перпендикулярную к оси симметрии (修 = =х2 = 0).

Пусть в плоскости Хз = 0 имеется дискообразная трещина радиуса R с центром в начале координат и на поверхностях трещины действуют однородные раскрывающие ее нагрузки 尸.Обозначим через %,…，山 характерные размеры тела, а через 八，…ц Е—…，Е^ — упругие постоянные его однородных частей.

Из соображений линейности задачи и анализа размерностей имеем для энергии деформации тела с трещиной

(1.1)(1.1)

(1.1)

(1.1)

m = 1,..., z; "1,...,%; « = 2,..., к.

Здесь в качестве £i выделен модуль Юнга, относящийся к той части тела, в которой расположен край трещины.

Продифференцируем (1.1) поК：

(1.2)(1.2)8。3p2R2£p2R i ЭФ т

(1.2)

(1.2)

--=-——①(也，上，噌---2 dm

3R ElEj £1 m = l эй "

Выделим два случая.

(ЭФ/д^) > 0, m= 1, ..., i.(1.3)

(ЭФ/dU) < 0,加=1,..., /.(1・4)

Заметим, что знаки (8Ф/а^т) во многих практически интересных случаях могут быть непосредственно определены с помощью утверждения 1 (см. разд. 4.2).

В первом случае, очевидно,

аи ? Зр?尺23。

一《 上Ф =-

8R 石1 R

во втором —

(1.6)(1・7)(L8)(1.9)(1.6)(1・7)(L8)(1.9)аи / зр2尺23。

(1.6)

(1・7)

(L8)

(1.9)

(1.6)

(1・7)

(L8)

(1.9)

bREiR

N2 &3后1费ЭФ при >凳ЛИо,4(1-普)mN2 >3£iипри --<0.4(1-这）Y8扌mN2 &3后1费ЭФ при >凳ЛИо,4(1-普)mN2 >3£iипри --<0.4(1-这）Y8扌m2(1 —君)7Т 2ттК 旅•Поэтому в силу (1.5), (1.6) получаем2(1 —君)7Т 2ттК 旅•Поэтому в силу (1.5), (1.6) получаемСогласно формуле Ирвина,

N2 &

3后1

费

ЭФ при >

凳ЛИ

о,

4(1

-普)m

N2 >

3£i

и

при --<

0.

4(1

-这）Y

8扌m

N2 &

3后1

费

ЭФ при >

凳ЛИ

о,

4(1

-普)m

N2 >

3£i

и

при --<

0.

4(1

-这）Y

8扌m

2(1 —君)7Т 2ттК 旅•

Поэтому в силу (1.5), (1.6) получаем

2(1 —君)7Т 2ттК 旅•

Поэтому в силу (1.5), (1.6) получаем

Таким образом, в первом случае можно строить верхние, а во втором — нижние оценки для коэффициента интенсивности напряжений, зная либо значения энергии U, либо, что гораздо удобнее, зная оценки для U сверху и снизу (соответственно), которые можно получить с помощью утверждения 1. Оценки N приводят в первом случае к достаточным условиям не- разрушения, а во втором — к достаточным условиям разрушения тела с трещиной.

Замечание. В плоской задаче вместо (1.1) для U можно записать U = =(р2/2/£1)Ф Gm %/£1,匕)，^т = dm/厶 где I - длина трещины. Оконча- 156

тельные выражения для N с учетом формулы Ирвина в двумерном случае имеют вид

N2 《N2 《7Т(1 — Pi) /7Т(1 — Pi) /приприЭФЭФ>0,>0,ЭФ при--3UЭФ при--3U< 0,< 0,

N2 《

N2 《

7Т(1 — Pi) /

7Т(1 — Pi) /

при

при

ЭФ

ЭФ

>0,

>0,

ЭФ при--

3U

ЭФ при--

3U

< 0,

< 0,

Приведем примеры применения метода п.7.1.2.

Рассмотрим пространство с осесимметричной полостью, окруженной в плоскости %з = 0 трещиной радиуса R, в предположении, что в полости и трещине поддерживается заданное давление р. Пусть d i — диаметр полости в сечении ее плоскостью трещины. Из утверждения 1 разд. 3.2 следует, что U возрастает, если увеличивать размеры полости при фиксированном R.

Поэтому в даннном случае (дФ/д^^ > 0 и для оценки коэффициента интенсивности напряжений можно использовать (1.8). Заметим, что в силу утверждения 1 Ф(£,…，甘^) & Ф (1,丘，...,£切)，причем U(& 1,艮，

(МО)(МО)Wm，P，石)二(p2R2/E) Ф (1,丘，...,^w) — энергия пространства с полостью, полученной любым о се симме тричным расширением исходной, приводящим к тому, что контур ее сечения плоскостью Хз = 0 совпадает с контуром трещины. Из (1.8) тогда имеем

(МО)

(МО)

" & 4(-3)产号 "(R,1,五，…，也，Р,Е).

В частности, для сферической полости (1.10) дает

N2 & 啰…。(氏,1,忆 £) = 3P；R_(1.11)

4(1 一 /)万2R24я(1 一〃)

Здесь U {R, 1, p,石) 一 энергия пространства со сферической полостью радиуса 7?. При 〃 = 0,25 величина N & 0,56р \/R, а при 〃 = 0,5 N& 0,7р \/^. Заметим, что для дискообразной трещины радиуса г0 величина N = =(p/я) \/2石 ^ 0,45р \/^. Таким образом, трещина радиусаR, выходящая на контур сферической полости, менее опасна, чем дискообразная трещина радиуса ref = (Зя/8(1 —v))R (например, ref = (тт/2)К при 〃 = 0,25).

Рассмотрим в предположениях, сделанных в начале п.7.1.2, однородное тело конечных размеров с дискообразной трещиной. В этом случае из утверждения 1 разд. 3.2 следует, что (ЭФ/Э^w) < 0 и можно строить нижние оценки коэффициента интенсивности напряжений N, исходя из (1.9). Рассмотрим шар с центром в начале координат, диаметр которого равен диаметру исходного тела, и прямой круговой цилиндр с образующей параллельной оси симметрии, охватывающий шар. Их утверждения 1 ясно, что

U> Us(R,dJR,p,E,*》Uc(R,dilR,p,E,v).(1.12)

Здесь Us и Uc — энергия шара и цилиндра с той же трещиной соответственно. Поэтому из (1.9) получим

N2 >—— % >—匹.(1.13)

4^2(1 —〃2) R2 4я2(1 一〃2) R2

Величины Us и Uc можно подсчитать по известным решениям осесимметричных задач о трещине в шаре [214] и цилиндре [211]. Оценим с помощью (1.13) коэффициент интенсивности Ns на контуре дискообразной

трещины, расположенной в шаре, поверхность которого не нагружена. Имеем

RI%

0,5

0,7

0,8

NsINg

1,156

1,32

1,47

Xbs

1,08

1,17

1,25

Xbc

1,03

1,12

1,21

Здесь приведены точные значения 乂/%8, взятые из [214], и оценочные значения, соответствующие среднему и правому членам в (1.13), обозначенные хь$ н Xbe н подсчитанные по данным [214, 211].

Видно, что оценочные значения весьма близки к истинным. Для (R /d】)< < 0,5 соответствие, как и следовало ожидать, еще лучше.

Пусть в безграничной среде с упругими постоянными £i, 〃i имеется полностью соединенное со средой шаровидное включение с постоянными 石2, 〃i радиуса р с центром в начале координат. Предположим,что кольцевая трещина, на поверхностях которой давление р постоянно, охватывает включение в плоскости х3 = 0 и занимает область р& г & R.

Если включение более жесткое, чем матрица £2 > ^i, то (ЭФ/Э^) < <0 (? = p/R) и коэффициент интенсивности на внешнем контуре трещины “к】 оценивается снизу по (1.9). Очевидно, что входящая в (1.9) величина U(p/R, £2/^1, Р，〃i)》U(p/Rt ^2/^2, Р, 〃i) представляет собой полную потенциальную энергию однородной среды с кольцевой трещиной и упругими постоянными, равными постоянным включения. Поэтому из (1.9) имеем

"乩》/ё U(PlR,%/殳,，宀).(1.14)

14я2(1 -

Если же включение менее жесткое, чем матрица £2 < ^1, то для соответствующего коэффициента интенсивности Nr? аналогично из (1.8) получим

應2u(0/氏殳/扇，P, /).(1.15)

4я2(1 -

Величину U (pIR, E2IE2f p, 〃i) можно вычислять по данным, приведенным в работе [208], где приводится решение задачи о кольцевой трещине в однородном пространстве, доведенное до числа. Например, при 匕 =0,3 и R =1, р = 0,7

炭产 厂(当/优).0,027,(1.16)

應？《p2(//瓦).0,027.

Пусть описанное в начале п. 7.1.2 кусочноюднородное тело представляет собой безграничную среду с включением, полностью с нею соединенным, и дискообразная трещина целиком расположена во включении. Упругие постоянные включения — Е】,〃】,окружающего материала — £2 v 力.Если включение более жесткое, чем матрица (^〉殳)，т。аналогично предыдущему примеру (1.9) дает оценку коэффициента интенсивнос-

ти снизу. На основании утверждения 1 (разд. 4.2) можно записать цепочку неравенств

U》仆(R, PlR, E2/Elivl)>Uc(R>p/R9E2/El，匕户

)08便，8,右1,%)，(1.17)

где Us (R, pIR, £2/£i , 〃i ) - энергия деформации тела с шаровидным включением диаметром, равным диаметру исходного включения； Uc (Rt p/Rf Е2!Е1} Pi) - то же для тела с цилиндрическим включением, образующая которого параллельна оси симметрии тела; иж — энергия пространства с постоянными £i, 〃i и той же дискообразной трещиной. Подставляя (1.17) в (1.9), получим при Ех >Е2

,3£i Us3 吊Uc3 石1Us °

n2》— 2—?- --》—?- —- = 7V».(1.18)

4^2(1 - 〃；)R2 4M(1 - Pi) R2 4経(1 - Pi) R2 '

здесь TVoo — точное значение коэффициента интенсивности для дискообразной трещины в пространстве с постоянными £\, 〃】.Аналогично в случае включения менее жесткого, чем матрица (Ех < ^2), в силу (1.8) получим систему противоположных неравенств

3£1ЗЕ、 应 v

4я2(1 - pi) К? ' 4^2(1 -vj) R2

(119)(119)3石1Ug ?

(119)

(119)

《 一;丁 -r = NL.

4m(1 - Pi) R2

Отметим один качественный вьшод, следующий из (1,18) и (1,19): Если в пространстве С дискообразной трещиной уменьшить (увеличить) жесткость вне некоторой осесимметричной области, содержащей трещину, то коэффициент интенсивности напряжений на контуре трещины при этом не уменьшится (не увеличится).

Рассмотрим цилиндр с дискообразной трещиной, полностью соединенный с жесткой средой и при наличии проскальзывания на границе. Тогда можно записать

(1.20)(1.20)V3石1"с", с) V%($, с)

(1.20)

(1.20)

О 4戸(1 一 哈 R2 " 47r2(1—诉) F"

где %с“,с), UcQc) -коэффициент интенсивности и энергия деформации в случае полного сцепления цилиндра со средой, а 〃(当。)-энергия деформации в случае скользящего контакта на границе раздела. Значения^(г>с) приведены в [217], а величины 〃(龜。)в [210]. В частности, при (R/dJ = =0,6, (Nc“,c)/Noo)弋 0,95, а оценочное значение (Nc(rtc) 1^°°)и = 1，°5; при (R/di) =0,8, (М“,с)/%8)=0,87, a (Nc(r>c)/Noo)u = li14. Как видам, соответствие оценочных значений и истинных становится хуже по мере приближения (R/di) -> 1. Это естественно, поскольку в задаче с проскальзыванием при (R/di) —1 Сбудет неограниченно возрастать, а в случае полного сцепления этот эффект отсутствует. Следует, однако, иметь в виду, что задачи теории упругости для кусочно однородных тел при условиях проскальзывания на границе решаются существенно проще, чем соответ-

ствующие задачи при условиях полного сцепления на границах. Поэтому оценки для коэффициента интенсивности при 供/心)< 1 в задаче с полным сцеплением можно получать, пользуясь значениями энергии, найденными из решения более простой задачи с проскальзыванием на границах.

Построение достаточных условий разрушения (неразрушения) тела с трещиной с помощью энергетических оценок.

Экстремальные контуры трещин

Если распространение трещин носит предельно равновесный характер или хотя бы существует такое значение коэффициента интенсивности напряжений N*, что при N < N* развитием трещины можно пренебречь, достаточные условия безопасности трещины можно зачастую получить, используя непосредственно энергетические оценки. Действительно, по формуле Ирвина величине N* отвечает некоторое значение

Т* = тг(1—吟£-1/,(2.1)

играющее роль той минимально необходимой работы, которую надо совершить для увеличения площади трещины на единицу.

Тогда, очевидно, увеличение площади трещины от значения & до некоторого значения 3】должно сопровождаться потреблением энергии, не меньшим 2Т* S — В。). Поэтому, если будет показано, что на некотором этапе роста трещины внешние силы и потенциальная энергия деформации не обеспечивают необходимое поступление энергии, то тем самым будет показана безопасность данной начальной трещины.

Пусть заданы внешние нагрузки и начальный контур трещины Го, ограничивающий площадь Sq. В процессе роста трещины площадь ее S возрастает, а энергия деформации пробегает значения U(S), U(S〔)= Uo. До статочное условие, гарантирующее, что площадь трещины не увеличится до S = & >5о, можно записать следующим образом:

min [U(S)—% — 2T*(S —S，<0, S‘“S<S\(2.2)

〔r(s)}

для любой последовательности вложенных контуров [「(§)} увеличивающейся площади, охватывающих исходный Го. Если условие (2.2) выполнено для любого Sq < Si < 5max, где 5max - площадь сечения тела плоскостью трещины, то имеем достаточное условие неразрушения тела.

Очевидно, что достаточное условие дает и более грубое неравенство, в котором (U(S)) заменено некоторой мажорирующей функцией, a t70 - некоторой меньшей величиной. Это обстоятельство открывает возможности применения энергетических оценок. Для того чтобы оценить значение Uo снизу, можно воспользоваться в соответствии с утверждением 1 (разд. 4.2) либо ,,ужесточением,5 части тела, либо заменой контура Го на заключенный внутри него контур Г*, имеющий более простую форму, либо комбинацией обоих этих приемов.

Для получения верхних оценок U(5) можно применить представление об эктремальных контурах трещин, вводимых в п. 7.2.2 (см. свойство 1).

Рассмотрим упругое тело, имеющее плоскость симметрии х3 = О и трещину нормального разрыва, расположенную в этой плоскости и раскрываемую симметричными нормальными нагрузками q(xi, х2). Выделим некоторую произвольную замкнутую область GQ (площади 50) в плоскости Хз = 0. Рассмотрим множество всех областей G, содержащих Go в качестве подобласти и имеющих площадь S, S > So. Каждой такой области соответствует значение энергии U, определяемой как энергия деформации тела с трещиной, занимающей эту область, в заданном поле нагрузок. Величина U представляет собой функционал от контура Г области G. Будем предполагать, что среди этих контуров можно выделить один (или несколько), на котором (которых) U достигает максимума. Такие контуры будем называть экстремальными. Условия существования экстремальных контуров обсуждаются ниже (пп. 7.2.3 и 7.2.4).

Пока же в предположении, что экстремальные контуры существуют, рассмотрим некоторые их свойства. По определению экстремального контура U(S) < U* (S), где U* (S) — полная энергия деформации тела с трещиной, контур которой совпадает с экстремальным, площади S. Основой оценок U(S) в (2.2) сверху служит следующее свойство U*(S).

Свойство 1. Если видоизменить тело, уменьшив жесткость материала в некоторой его подобласти, то соответствующая функция энергии экстремальных контуров U； (S) будет мажорировать функцию U* (S):

U*(S)《U；(S).(2.3)

Действительно, пусть Г и Г\ — экстремальные контуры площади S в исходном и ''ослабленном'' телах. Тогда, уменьшая жесткость исходного тела при неизмененном контуре Г, получим

U(F) = U*(S)《Ui(F).(2.4)

С другой стороны, по определению экстремальных контуров в ^изменен- ном” теле

U^^U^rO^U^S).(2.5)

Из (2.4) и (2.5) следует (2.3). Экстремальный контур состоит, вообще говоря, из двух участков:「"，совпадающего с частью границь! области Go, и「'，лежащего вне Go (часть「" может и отсутствовать). Основное свойство эктремального контура состоит в следующем.

Свойство 2. На части Г" коэффициент интенсивности N сохраняет постоянное значение. Действительно, рассмотрим наряду с「' близкую дугу Г*, концы которой совпадают с концами「'. Тогда по формуле Ирвина изменение энергии деформации тела при переходе от контура「" +「 к контуру Г” + Г* составит

(1 — Р)7Г с、

BU= — / TV2(nSr)d/,(2.6)

где (nSr) — расстояние по нормали к「' между дугами Г* и「'• С другой стороны, соответствующее изменение площади равно

BS= J (nSr)dZ,(2.7)

г，

16116111. Зак, 1100

161

161

Из требования достижения условного экстремума U имеем

入=0,入=const, х G Г\(2.8)

Таким образом, постоянство N на「' представляет собой необходимое условие экстремальности контура F" + Г*.

Если дуга F" не исчезает, то на ней значение коэффицинта интенсивности не превосходит значения N* на остальной части экстремального контура. Действительно, в противном случае, деформируя контур「" в сторону расширения области, а контур Г* — в сторону сужения области, охватываемой контуром Г* +「" так, чтобы площадь области осталась неизменной, получим увеличение энергии при сохранении площади. Используя асимптотические выражения для напряжений вблизи угловых точек контура [158], можно убедиться [40], что на свободной части контура Г*' не может быть угловых точек, соответствующих "исходящим” углам (меньшим я, если измерять угол со стороны области трещины), во всяком случае при N W 0 на свободной части контура.

Допустим, что можно указать непрерывную последовательность вложенных друг в друга экстремальных контуров Г (5), соответствующих увеличению параметра S от So, и определить значения коэффициента интенсивности N(S) на ,,свободной,5 части (「') контура. Введем параметр нагрузки р и будем предполагать, что

Q = PQo(Xi9x2).(2.9)

Тогда для каадого S > S。можно указать такое значение р, при котором N = N* = const

p=N* 风⑸,(2.10)

NLNGqJ.(2.П)

Если отоадествить TV* с критическим значением коэффициента интенсивности напряжений (N* = Н^к, К — модуль сцепления материала), при котором достигается состояние предельного равновесия на краю трещины, то экстремальный контур площади S будет представлять собой контур предельно равновесной трещины, первоначально занимавшей область при значении параметра нагрузки р. Допустим, что параметр нагрузки последовательно увеличивается. При этом развитие трещины будет происходить устойчиво, если p(S) возрастает, и неустойчиво, если p(S) убывает на данном участке диаграммы р (S) (рис. 43). Здесь применимы все соображения, используемые при анализе роста трещин, характеризуемых одним параметром (радиусом или длиной) (см,, например, [10, 11]). Так, для зависимости p(S), показанной на рис. 43, трещина скачком переходит из начального состояния в состояние, отвечающее экстремальному контуру площади &, затем следует участок непрерывного развития трещины через последовательность экстремальных контуров площади S、< 5 < 52, а затем —скачкообразное разрушение тела.

Таким образом, (Свойство 3), вводя понятие экстремальных контуров, получаем, по сути дела, однопараметрическое представление совокупности последовательных положений трещины, развивающейся из заданного начального контура, получаем возможность указывать последующие положения трещины, не рассматривая предыдущие. 162

В случае если для рассматриваемого тела справедливы теоремы сравнения, доказанные в гл. 5, и можно указать экстремальный контур, на котором при заданной системе нагрузок коэффициент интенсивности напряжений меньше критического значения N*, то все трещины, начальные положения которых попадают внутрь данного экстремального контура, являются безопасными (Свойство 4).

Отметим еще (Свойство 5), что для вычисления коэффициентов интенсивности напряжений на свободной части 「' экстремальных конту-

Рис. 43. Зависимость нагрузки и коэффициенты интенсивности напряжений от параметра нагружения

ров достаточно знать соответствующие значения, энергии в функции пло щади U (S). Имеем, очевидно,

(2.12)(2.12)2 М dU

(2.12)

(2.12)

N2 =

я(1 一")dS

Выше при рассмотрении свойств экстремального контура предполагалось его существование. Напомним, что в определении экстремального контура соотносятся величины S, область G и функция q(xi,打). В общем случае, если не вводить тех или иных ограничений на каждую из них, то экстремальный контур может и не существовать. Общие условия существования экстремальных контуров еще подлежат выяснению; некоторые достаточные условия их существования приведены в п. 7.2.4.

В [52] построены некоторые примеры несуществования экстремальных контуров, иллюстрирующие роль функции q, начальной области Go и ее расположения в поле нагрузок q. Приведем один характерный пример, способ построения других — аналогичен.

Пример. Пусть q (х) > 0, q (х) -> °°, |х | ->°°, тогда V Go и 5 > 50гДе SQ — площадь области Go, не существует экстремального контура. Покажем это, построив семейство контуров Г„, таких, что энергия деформации тела с трещиной Gn (ограниченной Г„) Un ->°° при п ->°°.

Выберем в качестве Гп контур, ограничивающий область Gn = Gq U f2„, где Q^ — круг площади о = S — So, расположенный в той части плоскости х3 = 0, в которой q (%1, %2 )》〃• Тогда для Un имеем

〃二/ Q(Xi,x2)uGn(x1,x2)dx1 dx2 >

Gn

> / q(Xi,X2)〃％2al,X2)dxidx2 = Ua〃・ (2.13)

Здесь 〃g几,"a^ — смещение точек поверхности трещины G^, f2„ соответственно (т.е. решение задачи о трещине). Неравенство (2.13) отражает тот, установленный при доказательстве принципа сравнения (см.разд.5.1), факт, что если при переходе от трещины а〃 к трещине Gn D ^п нагрузки

163

не уменьшаются в С^, а в G^'C^ не отрицательны, то и

"g^》"^ V(Xi,X2)ea體；〃g〃》。V(x15x2)^^\Qn.

Продолжая неравенство (2.13), получим

Un》U^》п / 〃^ dxrdx2 =――—层戸/2, (2.14) п ап « 3"3/2〃

где 〃& — решение задачи о трещине f2Al при постоянной нагрузке интенсивности п. Из (2.14) следует, что U〃 ~>8 при п ->°° для построенной последовательности контуров Г„ и экстремального контура не существует.

Аналогично можно показать, что экстремального контура не существует, если q (х) ->°° при | х | ->°° в пределах некоторого сектора.

Замечание. В силу свойства 2 экстремального контура (п. 7.2.2) свободные экстремальные контуры, для которых Г” = Ф, представляют собой контуры постоянного коэффициента интенсивности N = const. Оказывается, что обратное не всегда верно.

В частности, хотя в рассматриваемом поле растущих на бесконечности нагрузок экстремальные контуры не существуют, контуры N = const могут существовать. Например, если q (х) = q (г) ->°° при г = (х； + х^)1^2 今 -> 8, контуры N = const существуют и, очевидно, представляют собой окружность с центром в начале координат.

Можно показать [52], что существование экстремального контура, помимо вида функции q, в сильной степени зависит от области G。и ее расположения в поле q.

Так, оказывается, что при q(xx, х2) = Q&)》0, где q(r) - строго возрастает (0 < г < °°) и nmq(r) = 4& -> °°), экстремальный контур не существует, если Gq точка или множество меры нуль.

Далее, существенна форма Go. В однородном поле нагрузок q = const при любой области Go площади S(), которую можно поместить в круг площади S, экстремальные контуры существуют и представляют собой в @илу изопериметрического неравенства (разд. 6.2) окружности радиуса г = =y/s/л. Если же Go нельзя поместить в круг площади S (например, GQ — отрезок длины 厶 такой, что S < я(7/2)2), то экстремальный контур площади S может не существовать.

Рассмотрим теперь некоторые условия, гарантирующие существование экстремального контура для данной величины S.

Утверждение 1. Пусть q(xx, х2) > 0 и такова, что в точках круговой трещины радиуса а при a f g коэффициент интенсивности напряжений N 今 0 (соответствующие ограничения на q указаны ниже). В качестве Go возьмем область, ограниченную гладким контуром (пусть q W О, &1, %2)£ Go). Предположим далее, что среди контуров, расположенных в круге радиуса а«а > а0), охватывающих Go и ограничивающих пло-

щадь S, существует экстремальный контур. Тогда существует экстремальный контур для данных S и G。.

Для доказательства предположим противное. Поскольку по условию в любом круге экстремальный контур существует, такое предположение означало бы наличие последовательности кругов сОп радиуса ап -> 叱(〃 -> 8) таких, что соответствующие им экстремальные контуры「；" выходят на границу круга сап.

Так как по предположению q 三 0 в G。，то 3 точка О £ Gq, такая, что q W 0 в окрестности О. Пусть в прямоугольной системе координат с началом в О граница Го области Gq задается уравнением го(О = 5 х? «), xg«)|, Q^t^T. Тогда

1 т

& =mes(Go)= - / [%?⑺х夕⑺-х?'(М«)] "(2.15)

2 о

Пусть NVq = min TV(^о). Поскольку q 丰 0 в G()и q》0, то по принципу

сравнения NVq > 0.

Рассмотрим семейство областей G^, ограниченных кривыми r(f)= =I (1 + е)х?«), (1 + £)/("}, 0 & £ & Т. Тогда, очевидно, в силу (2.15)

5"Ю = (1 +е)2 so.(2.16)

Обозначим через emjn минимальное значение е, при котором Ге (граница GQ коснется Г；" изнутри. Ясно,что 0<emin <етах,где (1 + emax)2S0 = =S, т.е. Стах 二 V^7*^o)—匸 Минимум N(GQ обозначим через №久・ Поскольку Ve, 0 & £ & Стах，точка О G Ge, то ^ =# 0 в Ge и, следовательно, “「е > 0. Далее, 7Vre непрерывная функция е, поэтому

min NVe = С。〉0.(2.17)

° & е & етах '

В точке Мп касания (「；" U remin) в силу принципа сравнения получим

》NMn > Nr > Со > 0,(2.18)

Г* Ge •'min

&emin

где N喫-коэффициент интенсивности в точке 必，принадлежащей гра-

нице「“" области G：“； N^n 一 коэффициент интенсивности в той же е£min

точке, рассматриваемой как точка области (7Cmin.

Таким образом, показано, что на「；" существует точка, в которой коэффициент интенсивности больше &. В то же время в точках Ln Е Г^"，которые выходят на границу круга &几,коэффициент интенсивности напряжений N、：n — 0，(〃 今 °°)，поскольку для данной функции q(xi ’х?) стремит-

ся к нулю коэффициент интенсивности напряжений в точках Ln для круговой трещины, объемлющей G：" (как было отмечено выше) .

Теперь уже видно, что контуры「：" не могут быть экстремальными в Gz〃. Действительно, часть контура, выходящую на границу С“ можно было бы подвинуть вовнутрь %, в окрестности Мп "расширить" контур 「：" так, чтобы площадь области G；" сохранилась. При этом в силу формулы Ирвина увеличилась бы величина U(C^n), что противоречит экстремальности в круге С^ контура F：", выходящего на границу этого круга. Таким образом, сформулированное утверждение о существовании экстремального контура площади S доказано.

В заключение этого пункта укажем, что использованное выше предположение о стремлении к нулю коэффициента интенсивности напряжений на контуре круговой трещины при неограниченном увеличении ее радиуса справедливо, в частности, если 0 & Q&, %2)《gQi，%2), где gQc19x2)= = g(|xl)&c(l + ]х|)-е, €>(1/4), С = const.

Чтобы убедиться в этом в силу принципа сравнения, достаточно показать, что имеет место Лемма: В поле внешних нагрузок g(|x |) для круговой трещины радиуса а коэффициент интенсивности напряжений 7V 今 О при «->8 [52].

Контуры постоянного Коэффициента интенсивности напряжений.

Оценки минимального и максимального значений коэффициента интенсивности вдоль произвольного контура

Для трещин нормального разрыва контуры, вдоль которых постоянен коэффициент интенсивности напряжений, включают, как отмечалось в п. 7.2.3, свободные экстремальные контуры, но не сводятся к ним. В то же время высказанные в п. 7.2.2 соображения о развитии трещины по последовательности вложенных экстремальных контуров с небольшими изменениями могут быть отнесены и к контурам ^ = const.

Действительно, если нагрузки возрастают пропорционально некоторому параметру, то условие страгивания трещины начинает вьшолняться, вообще говоря, лишь на части контура трещины. В дальнейшем при продвижении трещины вдоль всего текущего контура Г? коэффициент интенсивности напряжений может стать постоянным и равным критическому; рост трещины будет происходить во всех точках ее контура.

Предположим, что можно указать последовательность вложенных контуров {Г/} непрерывно увеличивающейся площади, охватывающих Г?, на каждом из которых при увеличении параметра пропорционального нагру-

жения (в заданном поле нагрузок) N = (К/тг). Тогда дальнейшее развитие трещины, ограниченной контуром Гг, будет происходить по последовательности контуров Гг.

Если для рассматриваемого тела и функции q справедлив принцип сравнения (гл. 5), то к контурам N = const в этом случае применимы следствия 2-4 разд. 5.1. Можно утверждать, что трещина, начальный контур которой попадает внутрь одного из контуров семейства ｛屮，не выйдет в процессе своего развития за пределы Г/. С другой стороны, если в данную трещину можно вписать трещину, ограниченную контуром N = const, которая начнет развиваться, то будет развиваться и исходная трещина.

Таким образом, контуры трещин, вдоль которых 7V = const в заданном поле нагрузок, представляют собой опорные контуры. Зная их расположение и вид, можно анализировать условия роста тех или иных трещин сложной формы.

В связи со сказанным представляет интерес построение оценок величины N на контурах N = const, не использующих явный вид решения задачи. Используемые для этой цели в следующем пункте приемы позволяют одновременно получить оценки минимального и максимального значений коэффициента интенсивности напряжений вдоль произвольного контура трещины.

Получим некоторые оценки коэффициента интенсивности напряжений через характеристики области трещины и параметры нагрузки, рассматривая изменение энергии деформации тела с трещиной при изменении ее формы [52].

Пусть трещина занимает ограниченную плоскую область G площади S, и уравнение контура Г в полярной системе координат можно записать в виде гг = г®) (G — звездная область относительно некоторой точки 0). Рассмотрим области Q, близкие к G и охватывающие последнюю. Уравнения Геграниц Ge имеют вид re = (1 + e)r(ip) (е — мало).

Выразим изменение энергии деформации тела при переходе от трещины G к трещине G^ двумя способами: по определению и с помощью формулы Ирвина.

По формуле Ирвина в случае, когда приращение трещины происходит вдоль всего контура, имеем

bW=A JN2d几d/.(3.1)

Здесь d几—длина отрезка нормали к Г между Г и Ге.

По определению W (6.1.2)

5W= / p(x)〃e(x)dx - Jp(x)u(x)dx,(3.2)

GeG

где 〃(x), 〃eQ) — нормальные смещения точек поверхностей трещин G， G^ соответственно.

Функция ме(х) — решение уравнения, аналогичного (3.3.20),

Pg*〃"/О), У^Ое.(33)

Преобразуем (3.3), сделав замену переменных, у = (1 +е)х =кх, y£Ge，х eG,

Aue = —^т / 哇1 員⑸e-"''Dd纾

(2я)2 片

左2

=-—r / 1川 0(^)e-心，林)二

(2 ")2 к 2

=/ 丨〃历⑺厂收 Gdl?.(3.4)

(2 я) к 区2

Здесь учтено, что для функции и(х) = 〃е(Н), х £ G справедливо соотношение we(?) = k2v(k^). Из (3.3) видно, что и(х) удовлетворяет уравнению pGAv = kyp(kx).(3.5)

Для разности (и - 〃)в силу малости е имеем уравнение

Pg Л(и - w) = у[Лр(Ь)-р(х)]弋)е[р(х) +b(x)],(3.6)

где ^(х) =х1(Эр/Эх1) +х2(др/дх2).

Перепишем (3.2) следующим образом:

5W= Jp(kx)v(x)k2dx - Jр(х)и(х)^х 弋 GG

/p(x)[v(x) -〃(x)] dx + e J [2p(x) + F(x)]u(x)dx. GG

Из (3.6) и теоремы взаимности получим

/P(x)W(x)(х)] dx = e J[p(x) + F(x)] w(x)dx. GG

Следовательно,

5 W e/(3p(x) + 2b(x))〃(x)dx.(3.7)

G

Из (3.7) следует, что для контуров постоянного коэффициента интенсивности напряжений

яуЛ^г55 5W(3.8)

и для произвольного контура

"N3nbs & 5W & qN統xbS,(3.9)

где 127r1 2я

5S= - / 卜気9)-产(9)](19^2e・-/ 产(9)d9 = 2eS(3.10)

2 02 0

и “min，“max — наименьшее и наибольшее значения N на произвольном контуре Г трещины G.

Из (3.7) —(3.9) имеем

，1

N*-~~- /(3p(x) + 2F(x))w(x)dx,(3.11)

27ns G

^min & T~7 /(3p(x) + 2F(x))w(x)dx & N±ax・(3.12)

27rMs G

Таким образом, оценивая интеграл в (3.7), можно получить оценки

ДЛЯ Np, Nmin и ^max-

Если р(х) - однородная функция порядка 5, то 歹々)=5р(х) .и (3.11), (3.12) примут вид

о 3+25,

心 -^ & ^ах,(3.13)

27ns

NMin&焉х・С」’)

В случае однородной нагрузки единичной интенсивности 5=0, W 二 Г/2, поэтому

N^n & -~- & N"x・(3.16)

В силу (3.11), (3.12) и (6.2.5), (6.2.8) можно получить оценку N? и Nmin сверху при произвольной нагрузке

”，崛in &+2b||.(3.17)

При определенных предположениях о поведении внешних нагрузок можно записать и оценку снизу дляЛ^г и Nm ах. Пусть, например,

р(х)>0, 300, 3p(x) + 2b(x)》Q(x), x£G.(3.18)

Тогда из (3.11), (3.12)

货，n統X > 7■二以(3.19)

2яу5

Приведем пример применения оценок (3.17), (3.19).

Пусть G = К】一круг единичного радиуса и р = 5 — г2. Тогда F = —2г2, Зр + 2F = 15 — 7,2. Рассматриваемый контур Г при выбранном распределении р(х) является контуром N^ = const. Согласно точному решению, N「= 1.9507. Подсчитаем ||р|| и ||Зр + 2F||. Имеем ||р|| = (61я/3)1/2, ||Зр + 2^|| = (409я/3)1/2.Из (3.17)

呼 & (1 /4^2 )/\/^1 w09万/3‘ 4,19

или Nr = 2,047. Погрешность в определении Nr составляет 〜5%.

Для оценки 7Vr снизу заметим, что в рассматриваемом примере можно

взять С = 2 в (3.18). Для оценки W воспользуемся (6.4.31), выбрав в качестве пробной функции и = 1 - г2. Тогда Е(и) = тгл/2/3( р, и)? = 49тт2 /9 (ср. разд. 6.4) и

N* > 2、• 49# 炉[2飞15 • 9飞 >Д = 49/3〃V^ N『> 1,457.

Относительная погрешность оценки 25%.

Некоторые другие примеры применения оценок (3.17), (3.19) приведены в [52].

Замечание. Изложенный энергетический способ построения оценок локальных характеристик решения через интегральные переносится на случай трещин произвольного разрыва в однородной среде и на границе раздела двух полупространств с различными упругими свойствами.

В случае действия однородных нормальных нагрузок на поверхностях трещины, занимающей выпуклую область, можно построить изопериметрические оценки Nr , Nmax сверху и Nr, Nmin снизу через геометрические характеристики области.

Пусть области Go, G, G^ таковы, что GQ С G С Gr п в некоторой точке М границы все областей касаются. Тогда по теореме сравнения (гл. 5) коэффициенты интенсивности NG.(M) в точке М для трещин, занимающих область Gj, связаны неравенствами

NGq(M)《NgM &%G|(阂.

Применим теперь прием [142], использованный в [155, 156] для оценки модуля градиента решения уравнений Пуассона. Пусть кривизна границы Г области G изменяется в пределах 0 < 左min < 左max・ Известно [26], что для любой точки МЕГ можно вписать в G круг радиуса г и описать вокруг G круг радиуса R, касающиеся Г в точке М, причем г > 左!^\х 二 =/*min，灭 & ^min 二 Гтах- В СИЛу ЭТОГО ПОЛучаеМ

& Ng(M) 4 %，80)

где N，min и^тах — коэффициенты интенсивности напряжений для круговых трещин радиусов rmin и Fax при однородной нагрузке р. Из (3.20) с учетом точного решения задачи о круговой трещине имеем

(同7T)p匕£ 《 Nmin 《 Nmax &(3-21)

(6®P嗡 & Nr & 5“曬X，(3.22)

Неравенства (3.21), (3.22) изопериметрические, так как в случае, когда G — круг, они переходят в равенства.

ГЛАВА 8

ЗАДАЧИ О ТРЕЩИНАХ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ГРАНИЦАМИ, ОБУСЛОВЛЕННЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ ПОВЕРХНОСТЕЙ, И ВАРИАЦИОННЫЕ ОЦЕНКИ

Задачи о трещинах нормального отрыва

с частично налегающими (без трения) поверхностями

Взаимодействие поверхностей трещин под действием приложенных объемных и поверхностных нагрузок может приводить к возникновению зон налегания поверхностей. В общем случае (разд. 8.2) в зонах налегания между контактирующими участками поверхностей трещины имеет место трение. Для таких задач характерно наличие неизвестных границ зон налегания, а также границ, разделяющих в пределах зон налегания участки, где имеет место относительное проскальзывание и сцепление поверхностей.

Более простой класс задач — задачи о трещинах нормального разрыва с частично налегающими без трения поверхностями. Здесь неизвестными являются лишь границы зон налегания. Постановка задач дана в пп. 5.1.2 и5.1.3, там же установлена справедливость в этом случае теоремы сравнения для коэффициентов интенсивности напряжений. Доказательство, как и для трещин без налегания, проведено с помощью принципа максимума в формулировке Хопфа.

Можно дать другое доказательство теоремы сравнения, используя то обстоятельство, что задачи о трещинах нормального разрыва с неизвестными границами зон налегания сводятся к вариационным неравенствам. Подробно это доказательство приведено в [48], здесь наметим в методических целях его основные этапы.

В п. 5.1.2 показано, что исходная задача сводится к смешанной задаче (5.1.13) —(5.1.15) определения в полупространстве х3 > 0 гармонической функции 屮.

Краевая задача эквивалентна [48] решению вариационного неравенства

К(〃,山)二 J(W, 〃 - W)-R(7, 〃一 屮)=

_ 「「awа(〃一 W)awa(〃 — w)awa(〃-W)

=/ I — + — +

x3> oldXi В/Эх2 Эх2Зхз Эх3

2(1 —

X d/ dx2 d “з/ 7(〃 一 屮)dw d%2》0 N u^U, (1.1)

E G

где U — выпуклое множество функций “，таких, что и = 0(1/R) при R2 = =(Xi +%2 +") — 8 s интеграл

(診)\(Д) +(霜卜 ЗМхз (1.2)

конечен и выполняются условия м(хь х2, 0) > 0,(х〔，х2) £ G;

〃(Х1,Х2,О) = О, (Х1，х2) ё G. Отметим,что и решение W U U.

Сравним теперь, как и в п. 5.1.2, решения задачи (5.1.13)-(5.1.15) при изменении формы трещины и действующих нагрузок, удовлетворяющем условиям (5.1.16). В терминах вариационных неравенств это означает, что нужно сравнить решения (1.1) при изменении 7(х「х2) и U. Это можно сделать на основе следующего утверждения (обобщающего теорему Огазо [183] (см. также [86]) о сравнении решений вариационных неравенств).

Утверждение 1. Пусть “ решение (1.1) при^ = ^ и множестве и” отвечающем области G〔； 弘一решение (1.1) при ^ = ^2 и мно

жестве U2, отвечающем области G?, причем

71(X1,Х2)& ?2“1,Х2), V(X1,X2)£G1・(1.3)

Если найдутся функции 〃i W U〔，〃？£ /, такие, что

〃1 +〃2 = W1 + 屮2；(1.4)

J(〃l - Wl，〃l -屮2)= 0, J(〃2 一 Wl，〃2 一 屮2)= 0(1.5)

И

〃1 & Wl， 〃2》屮2，(1.6)

TO

"1 = 明, "2 ="2・(1.7)

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству соответствующего результата Огазо [183], приведенному в [86].

Запишем неравенство (1.1) для и - ult q = q^ и м = “2，7 =彳2 соответственно. Сложим эти два неравенства. Получим

J(W1，〃1 - %) +J(w2, "2 -w2)-

2(1 一〃 2)

/[/1("1 - Wl) + 72("2 一 w2)] d/dX2)0.(1.8)

Далее, заменяя из (1.4) разность (〃2 —屮2)на (山1 一 〃i) и прибавляя и вычитая в левой части (1.8) выражение J(〃「〃〔—必)，а также пользуясь (1.5) и линейностью J(〃，и) по каждому из аргументов, будем иметь 2(12)

Ж1 一" 1, Wi - "i) + /(7i -72)("1 -w1"X灰2《0.

E G]

(1.9)

Так как J(% -〃 i，% — 〃i)》0, причем "必 一 〃i，必 一 〃i) = 0 только при Wi = и— а второе слагаемое в левой части (1.9) неотрицательно в силу (1.3), (1.6), то справедливо равенство 〃】=屮「Точно так же устанавливается и выполнение равенства 〃？=屮2・ Утверждение 1 доказано.

Перейдем к сравнению решений задачи (5.1.13) —(5.1.15) при условиях (5.1.16). Как уже отмечалось, обе задачи приводятся к решению неравенства (1.1), первая — при q = qi для множества U = U「определяемого областью Gi, вторая — при 庁=岳 для U = U?, соответствующего G?.

Пусть Wi - решение неравенства (1.1) в первом случае, a i//2 — во втором. Для сравнения 屮1 и 屮2 используем утверждение 1. Прежде всего нужно выбрать функции нь м2, входящие в формулировку утверждения. Следуя [183], положим 〃2 = sup*, 也)，〃i 二 inf(Wi，也)・ Так как

Wi》0,屮2》0 в Gi и Wi = 0,屮2》0 вне G- то 〃〔 = inf (%,必)£ U「 Так как 也》0,也》0 в G? и 必=i//2 = 0 вне G?, то м2 = sup (必，屮2)£ Е 。2・ Кроме того, из определения ui9 и2 очевидно, что для них выполняется условие (1.4).

Проверим теперь справедливость условия (1.5). Предположим сначала, что функции Wi и 屮2 непрерывны и непрерывно дифференцируемы. Полупространство х3 > 0 можно разбить на три множества точек Z + ,Z~, Z°, на которых соответственно 必〉必，Wi < W2, Wi =山2・ Рассмотрим любую внутреннюю точку р G Z + . В некоторой ее окрестности % > 必 и, следовательно, 〃2 —也 二 sup (%,也)一Wi = 0. Поэтому все первые производные (〃2 - Wi) в точке р обращаются в нуль. Следовательно, равно нулю подынтегральное выражение в J. Аналогично можно рассмотреть внутренние точки множеств Z ~ и Z0 и показать тождественное обращение в нуль подынтегрального выражения в J. Отсюда следуют равенства (1.5). Чтобы доказать их для функций Wi，屮2，которые являются решениями (1.1), нужно эти функции аппроксимировать непрерывно дифференцируемыми и совершить предельный переход.

Наконец, условие (1.3) оказывается выполненным для сравниваемых задач в силу установленной выше зависимости 彳 от 〃 и g; из определения “1，〃2 следует выполнение для них условия (1.6). Таким образом, все условия утверждения 1 выполнены для мь м2, и значит верно (1,7). Из (1.7) и определения и i, «2 следует неравенство

W1 《 w2.(1.10)

Отсюда вытекают следствия.

Следствие 1. Упругие нормальные смещения точек поверхности объемлемой трещины G' не больше, чем для объемлющей трещины G, если приложенные нагрузки связаны неравенствами g' & g поточечно, 〃'》р, (Xi,X2)£G‘.

Следствие 2. Теорема сравнения 2 (см. п. 5.1.2). Эта теорема вытекает (ср. с аналогичными рассуждениями в п. 5.1.1) из неравенства (1.10) и асимптотики Wi,屮2 ：

4(1 一 〃2)

Wl,2 ^ N(G1,2)6，

где s — расстояние до точки Р по нормали к контуру 】'•

Следствие 3. Рассмотрим трещину, занимающую область G「 Пусть при заданных нагрузках возникает зона налегания G?. Предположим, что произошло расширение трещины до области G? без изменения внешних нагрузок или действующие нагрузки связаны неравенствами g2 &gi，〃2》〃i・ Обозначим через G? зону налегания поверхностей трещины G2. Тогда G? D Gg, т.е. зона налегания поверхностей объемлемой трещины G] заключает внутри себя зону налегания поверхностей объемлющей трещины G2.

Действительно, пусть точка 尸 £ Gg, тогда из постановки краевой задачи w2(尸)=0. В силу (1.10) W1 (尸)《 w2(尸)，и, поскольку W1 (户)> 0, имеем Wi(尸)=0 и, следовательно,PG G?.

Следствие 3 позволяет оценивать возможные зоны налегания для тре-

щин, ограниченных контуром сложной формы, через зоны налегания для трещин более простой формы, вписанных и описанных по отношению к исходной.

Следствие 3 показывает, в частности, что если зоны налегания не было в исходном состоянии трещины, то при соблюдении сформулированных выше условий на нагрузки, зона налегания не возникнет и далее.

Выше рассматривалась задача о трещине-разрезе при частичном налегании поверхностей. Более общей является задача об уплощенной полости или трещине с начальным раскрытием, поверхности которой могут приходить в контакт под действием приложенных нагрузок. Под уплощенной понимается здесь полость, раскрытие которой много меньше остальных характерных размеров. Подобные задачи возникают при анализе условий разрушения тел с трещиноподобными дефектами, а также в разнообразных вопросах горной механики, в частности при моделировании горных выработок е целью расчета напряженно-деформированного состояния в массиве [109, 8].

Уплощенные полости часто можно заменять разрезом, снося граничные условия на область разреза и считая для определения зон налегания, что перекрытие поверхностей разреза не должно превышать исходного раскрытия полости (или некоторой связанной с ним функции) w0(xb х2).

Особенно интересны задачи о полостях (и трещинах) с частичным налеганием поверхностей, когда приложенные нагрузки меняются в зависимости от некоторого параметра нагружения [44, 45]. Происходит изменение областей налегания поверхностей при изменении параметра нагружения.

Свойства задач об уплощенных полостях с частично налегающими поверхностями можно изучать, исходя из вариационной постановки задачи, как было сделано в пп. 8.1.1 и 8.1.2.

В частности для задачи об уплощенной полости имеет место утверждение 1 (п. 8.1.2) и его следствия, если в дополнение к сформулированным выше предположениям, при которых справедливы указанные результаты, считать, что при переходе от полости G】к G? и от нагрузок g「〃i к g2, р2 одновременно не уменьшается начальное раскрытие полости. Это эквивалентно "ослаблению'' ограничений, наложенных на искомую функцию. В результате увеличиваются скачок смещений и область ^^нaлeгaния^^ (область выхода решения на ограничения).

Методически важно, что свойства рассматриваемых задач о полостях (и как частный случай — задач о трещинах—разрезах) можно установить, и это делается ниже [44], не пребегая к их вариационной постановке, а исходя из положительности решения (см. п. 5.1.2) [53], его единственности и вида асимптотики решения вблизи линий раздела областей налегания и раскрытия поверхностей полости. Асимптотический анализ решения вблизи границы зоны налегания показывает, что из условий в этой зоне вытекает условие несингулярности решения на ее границе.

Замечание. В задачах с неизвестной границей необходимо на основе тех или иных свойств решения указать регулярный алгоритм построения решения и неизвестных границ. Для частных видов геометрии трещин и нагрузок удается построить решения, исходя из предположения о его непрерывности вблизи границы области налегания. В случае произволь- 174

ной геометрии области трещины предложен регулярный алгоритм, в котором методами математического программирования строится последовательность, минимизирующая квадратичный функционал задачи [8].

Излагаемый ниже способ доказательства свойств решения задачи с неизвестной границей, использующий положительность и единственность решения и условия в области налегания, приводит к другому регулярному алгоритму построения решения.

Перейдем к постановке и исследованию свойств задачи [44].

Рассмотрим равновесие линейно-упругого пространства с полостью (в частности и трещиной-разрезом), сечение которой в плоскости х3 = О занимает область G, Пусть расстояние между поверхностями полости w(xi, Х2) однозначная функция (хь х?) Е G и мало по сравнению с характерными размерами G (уплощенная полость). Предположим, что область налегания FUG образуется под действием объемных сил, симметричных относительно плоскости х3 = 0. Как уже отмечалось (п. 5.1.3), можно перейти от системы внешних объемных сил к поверхностным нагрузкам, считая, что из решения соответствующей задачи теории упругости для сплошного тела известны напряжения о?з(Х1, х2) на плоскости (хь к?). Граничные условия задачи примут вид

W(X1，X2)= W(X1,X2)-〃*1，X2)= -Wo(Xi，X2)(X1，X2)£R(l-H)

亚(X1,X2)》-Wo(Xi,X2), (x】，X2)£G;(1.12)

033(X1,X2)& O?3(X1，X2),(X1，X2)£Q(1.13)

。33(/,工2)二 O?3(X1，X2), (Xlfx2)e G\F.(1.14)

Область налегания F должна определяться в ходе решения задачи. Заметим, что ввиду симметрии задачи в ее решении и? (хь х2) = Мз(хь х2), (Xi, X2)eR2 \G; o£Gi,X2)二 0 при х3 = 0 (z = 1,2).

В [44] показано, что решение задачи о полости с областями налегания в рассматриваемой постановке единственно.

Используем теперь положительность и единственность решения задачи для доказательства ряда его свойств.

Наряду с исходной задачей (1.11)-(1.14) рассмотрим смешанную задачу (1.11), (1.12), (1.14). Эта краевая задача имеет, вообще говоря, не единственное решение, поскольку в ней снято ограничение (1.13). Каждому из решений задачи (1.11), (1.12), (1.14) отвечает при заданных нагрузках область раскрытия поверхностей полости Q，) [где выполняется (1.12)] и область их налегания F^ ^ [в которой может не выполняться (1.13)]. Пусть К — множество решений (1.11), (1.12), (1.14). В него, в частности, входит и решение исходной задачи (1.11) — (1.14).

Для равновесных состояний из множества К в силу теоремы единственности решения задачи (1.11) — (1.14) справедливо утверждение.

Следствие 4. Рассмотрим решение задачи (1.11)-(1.14) для полости с сечением G (в плоскости х3 = 0), которому соответствуют области

налегания F и раскрытия D при заданных нагрузках. Пусть К - введенное выше множество равновесных состояний, тогда для любого элемента из множества К, если область раскрытия поверхностей Dk не совпадает с D, в области налегания Fk существуют подобласти % U & , где 喈)(хь х2)> >。？3(*1，x2), (^bX2)GFfc.

Предположим противное, т.е. 喈)&о?з，Vg, х2) Е Fk. Это означает, что в области Fk выполняется ограничение (1.13) и Fk\ Dk являются наряду с F, D областями налегания и раскрытия полости в задаче (1.11) — (1.14) при заданных нагрузках. Это противоречит теореме единственности решения задачи (1.11)-(1.14).

Утверждение 2. Рассмотрим равновесное состояние полости с сечением G, областями налегания F и раскрытия D при заданных нагрузках. Тогда область раскрытия Dk, соответствующая любому равновесному состоянию из множества К и не совпадающая с D, содержится в О: Dk CD.

Доказателъство. Пусть для некоторого равновесного состояния из множества К область раскрытия Dk = D,)не содержится в D. Согласно следствию 1, так как @1) не совпадает с 0, в области налегания 尸^丨)二 =б、。!。должны быть подобласти № С 尸£), где (看，х2) >

К , К К S J

> о?з(х「х2), (xi，х2) G F,). Перейдем теперь к другому равновесному состоянию из множества К (при тех же нагрузках), которому отвечает область раскрытия 〃£)= D,)U F?). Покажем, что скачок смещеНИЯ W(2)(X1, Х2)= W(1)(xb Х2) +5w ⑴(打，尤2)> W(1)(Xb Х2 ) ,(Хь Х2 ) Е

Действительно, представим равновесное состояние с областью раскрытия о]?)при заданных нагрузках в виде суммы двух равновесных состояний той же полости. Первое — равновесное состояние с областью раскрытия D,)при тех же нагрузках. Второе — равновесное состояние с областью раскрытия @2) при напряжениях 5《；)，действующих только на подобласти F：)и равных по величине и противоположных по знаку напряжениям, возникающим в первом состоянии на 内^).

Так как bog? >(打，х2) ё ,то по свойству положительности решения 5w(i), отвечающее второму состоянию, 5w(i)(x「х2) > О, (Xi，х2) £ @2). Таким образом, действительно для равновесных состояний из множества К с областями раскрытия 公丨)и D^ при заданных нагрузках w^2\xb х2) > w(D(Xi, х2), (хь х2) Е。『).Поскольку w(D(Xi, х2) = w(2)(x「工2), (хь х2) £ 歹[2)> то для всей области G = 二仪2)U@2) noioqeqHO W(2)(X1，Х2)》W(D(X1, Х2).

Если область 小？)не содержится в О (а стало быть и не совпадает с ней), то, повторяя те же рассуждения, что и при построении равновесного состоя-

ния с областью раскрытия D^, придем к равновесному состоянию с областью раскрытия О," = @2) 口 歹『)，здесь 歹『)_ подобласть, где 4?(xi，к?) >。?3(打，х2); соответственно w(3)(xi, Х2)> w(2)(xb х2) V(xb х2) £ Gh т.д.

В итоге получим последовательность равновесных состояний из множества К с областями раскрытия D,)U @2)С С @")С С G, таких, что w⑴(xi, х2) & 亚⑵⑺，х2) & ... & 瓜")(打，х2) < ... V(xb х2) £ G・ Поскольку области D：)образуют последовательность расширяющихся областей и все они содержатся в G, то существует область . U = Р^ С G. По построению a33(xb х2) <(^33(^1, х2), i = 1 “

v(xb Х2) е 尸=G\D‘,т.е. область Fz является областью налегания. Мы построили равновесное состояние полости с областями раскрытия D' и налегания F’, для которого выполняются ограничения w(xi, х2) >

> —Wo(Xi，『2),,(Х1，Х2) £ О；。3 3(打，Х2)&О；3(Х1，Х2) ,(Хь Х2) G F\ Так как D и Fr отличны otDhF, это означает, что в противоречии с теоремой единственности построено другое решение исходной задачи (1.11) — (1.14).

Таким образом, не существует в множестве равновесных состояний К такого, для которого область раскрытия Dk не содержится в D. Следовательно, если Dk не совпадает с D, то содержится в D. Утверждение 2 доказано.

Аналогичное утверждение имеет место для трещин-разрезов.

У т верждениеЗ. Если трещине-разрезу G* U G при действии той же системы нагрузок отвечает область раскрытия Dr, то Pj U D, где D — область раскрытия трещины G. (Сравни со следствием 3 утверждения 1.)

Из утверждения 2 следует, что для любого равновесного состояния из множества К с областью раскрытия D,), не совпадающей с D и D^ С D, можно по алгоритму, описанному при доказательстве этого утверждения, построить последовательность равновесных состояний с объемлющими друг друга областями раскрытия D：)(i = 1, 2,・..),для которых скачки смещения поточечно связаны неравенствами

w⑴(xi,工2)& . . . & w5)(xi, Х2) & . . ., (хь х2) G G.

Все члены последовательности D：)содержатся в Р* = ^ D$). Последовательность w")(xi，Х2) поточечно ограничена сверху. ' 1

Поскольку последовательность

при i -> 8 стремится к

то lim W”)(X1, Х2)= W(X1, Х2),(Х1,丈2)£。£)UD

Действительно, пусть △w(‘)= w - w"), △《? = О33 — 勾? • Рассмотрим разность напряженных состояний, соответствующих скачкам смещений w^1 ^ и w. Краевые условия на плоскости R2, соответствующие этой разности, имеют вид

△ОзЗ(Х1,Х2)= 0,(Х1，Х2)е。*)；

△ОЗЗ(Х1，Х2)= О?з -о£,(Х1，Х2)е〃\0")；

△ w")(Xi, Х2)= 0, “1,工2)£灭2\D.

Поскольку (D\D^1 ^) -> ф при / —8, то решение этой краевой задачи △ w“)->0 при i ->°°. Таким образом,

lim w(")(Xi，X2)= w(xb х2).

Из этого и неубывания 丨 w(")| ,(打，х?) £ G следует, что Vz, w")(占，х2) < < w(xb х2), (х!, х2) G£). Кроме того, w⑺(/, х?) = —"\ (х】,х?) £尺・

Таким образом,

W(D(X「Х2)《W(2)(Xi，%2)《••• & "“(Xi，工2)&& W(X“ X2),

(Xi，x2) e G.

Мы доказали следующее утверждение.

Утверждение 4. Для полости с сечением G (при х3 = 0) при заданных внешних нагрузках скачок смещений ее поверхностей достигает своего максимума на решении задачи (1.11)—(1.14) поточечно, (хь х2) £ G.

Замечание. Из утверждения 4, в частности, следует, что в равновесном состоянии трещины с частичным налеганием поверхностей ее объем максимален в сравнении с объемом, который она могла бы иметь при иных областях налегания и тех же нагрузках. Это свойство иным путем установлено в [74].

Рассмотрим теперь поведение решения задачи о полости (трещине) с частичным налеганием поверхностей вблизи границы, разделяющей области налегания и раскрытия в зависимости от ограничений в этих областях (1.12), (1.13) и геометрии начального раскрытия 恥(工1，х2). Это позволит в дальнейшем (п. 7.1.5) с использованием утверждений п. 7.1.3 выяснить экстремальные свойства упругой энергии.

Для анализа асимптотики решения вблизи произвольной точки гладкости границы Г раздела областей налегания F и раскрытия D введем локальную систему координат XYZ. Ось Z направим по касательной к Т в данной точке, ось У — перпендикулярно плоскости х3 = 0, X — по нормали к Г, так что X & 0 соответствует области раскрытия D.

В силу (1.11) —(1.14) имеем

心-и" = -wo(J0, X》0;

(4у(Х, 0) = Oo(JQ, £ & 0, У - 土 0,( •)

где Оо(Х) определяется внешними нагрузками, w0(X) — начальное раскрытие полости.

Будем считать, что о()(Х), w0(X) удовлетворяют условию Гёльдера, а в окрестности точки X = 0 являются аналитическими. В силу симметрии

исходной задачи относительно плоскости х3 = 0, oYx = Oyz = 0, 1Х| <8, ”0.'

Из решения краевой задачи (1.15) следует [44], что распределение напряжений и смещений вдоль оси X в окрестности точки X = 0 имеет вид

о；у(Х,0) = Oo(W, X & 0;

о；У(Х,0) =。0因 + 1/2厂1/2/] + ...+5 —1/2)Х"3/24；(1.16)

о〃(Х,0) &。。因，X》0;

ау(Х,0) = -w0(JQ, X》0;

uY(X, 0)二一Wo(JQ + 2(l — 〃)厂1 尸 J/】++(—1)п + 1^т/2/小

X & 0, г = \Х\, п = 1,2,...(1.17)

Функция w()(X), определенная при X》0, аналитически продолжена при X < 0. Распределения напряжений и смещений вдоль оси X связаны через коэффициенты Ак. Проанализируем асимптотику в (1.16) при X 今 0 и различных раскрытиях полости..

Пусть уравнение поверхности полости имеет вид w*(X) = | X \aFp(X) + + 氏 X < 0, где Fp(X) — полином степени р, 0 < а & 1 (поверхность, вообще говоря, кусочно-непрерывна в точке X = 0), Так как X > 0 соответствует области налегания, X <0 — раскрытия полости, то

oyy^) &。0侬)，X》0;(1.18)

〃у(Х) > —Wo(W, X & 0.(1.19)

Предположим, что Ах W0. Из (1.18) и (1.16) следует, что А^ < 0.

Поскольку начальное раскрытие полости w()(X) при X > 0 является аналитической функцией в окрестности точки X = 0, то асимптотика Wo(X) имеет вид w0(X) ^ сХу + В, где 7 — целое число, с = const > 0, X 〜 0. Подставляя это выражение в (1.17), (1.19) и предполагая, что Fp = Мгр, г 0, М = const > 0. получим неравенство —сг7 + А^г1^ - В> > —В - Мгр + а. Из этого неравенства с необходимостью следует, что при 4 < 0 должно быть р = 0, 0 < а < 1/2.

Таким образом, случай, когда Xi < 0, возможен только при кусочногладкой поверхности полости и р = 0, 0 < а < 1/2.

Если же 〃 W 0 или р = 0, 1/2 < а < 1, то необходимо, чтобы Л i = 0, a из условия (1.18) и/2 &0・ При этом распределение напряжений в области налегания (контакты) не сингулярно.

При р = 0, 0 < а < 1/2 и любых конечных Л i (что соответствует конечным значениям сжимающих напряжений) невозможно полное закрытие полости вблизи точки излома: в этом случае при фиксированной границе области G не возникает ''перехлест'' поверхностей полости, который означал бы возможность образования зон налегания. Это значит, что до решения задачи можно указать участки поверхностей полости (по их геометрии) ,которые не вступят в контакт. Вблизи соответствующего участка излома поверхностей напряжения сжимающие и сингулярные.

Аналогичный анализ проводится и для трещин-разрезов.

Отметим, что установленной зависимости условий возникновения областей налегания от параметров а, р соответствуют результаты численных

179

расчетов для полостей эллиптических в плане форм [8]: при начальном раскрытии полости w(xb х2) =6(1 - х}/а[-翊恥亠口 область налегания возникает от границы полости (в плоскости х3 = 0), если а > 1, и внутри области, если 0 < а < 1.

Замечание, В краевой задаче (1.11) — (1.14) для полости сечением G при wo(xi, х2) = 0, (хь х2) EG краевые условия в области раскрытия полости D = G\F совпадают с краевыми условиями задачи о трещине— разрезе, занимающей область D в упругой среде. Отличие в том, что в задаче о трещине нужно потребовать дополнительно обращения в нуль коэффициента интенсивности напряжений на границе D. Это позволяет использовать класс решений задач о равновесии трещин—разрезов при построении решений задачи о равновесии трещин—разрезов с областями налегания. Уравнением, определяющим границу Г областей налегания и раскрытия в задаче для трещин—разрезов, занимающих область G, является условие отыскания контура трещины—разреза (области G\F), на котором Л 1(Х?, Xi) = 0.

Регулярный алгоритм, о котором шла речь в п. 1.3, как раз и приводит к построению контура, где решение не сингулярно. Действительно, так как в этом случае Озз(х「х2) & 0, (хь х?) ^ F, то согласно асимптотическому анализу, решение с необходимостью должно быть несингулярным.

Пользуясь результатами пп. 7.1.3, 7.1.4 рассмотрим теперь некоторые свойства функционала энергии деформации в задаче о трещине с частичным налеганием поверхностей.

Сначала подсчитаем изменение энергии деформации при вариации области раскрытия D и нагрузок.

Предположим, что некоторое тело Fo содержит трещину G, и к поверхности тела 2 о приложены нагрузки.

Если рассмотреть два упругих состояния о^, е§), и , e£D, то изменение упругой энергии равно

AU = Uu — U「； J (嚟)嚟)—噌嚟)du,(1.20)

где Uj — упругая энергия в /-ом состоянии. Можно показать, что (1.20) представимо в следующем виде [44]

△U ；^ (吧 + 喈))q?D _《D)Wds -

-/ 0.(?〃0)九П5 + / 0<：%(11)九П6.(1.21)

В силу этой формулы для изменения упругой энергии при вариации области раскрытия D получим

△ U = — / (硝D — 0м))(4H)+41))九加 ±

± - J (喈)一喟)41%排 ± 1 / (吧)+og))4i)Wd6(1.22)

где ± относятся соответственно к расширению и сужению области D. 180

В окончательный результат (1.22) не входят интегралы по объему Vo и поверхности Zo, поэтому (1.22) можно применять и в случае трещины, расположенной в безраничной среде. Рассмотрим теперь равновесные состояния из множества К. Для любого из них (с областью раскрытия 以))W)S иможно построить (см. доказательство утверждения 2 в п. 7.1.3) последовательность равновесных состояний из множества К с вложенными областями раскрытия D^ СD^ с ... СР причем U D^ = =D. G

Покажем, что при переходе от i-ro равновесного состояния с областью раскрытия D$)к состоянию (z + 1) с областью раскрытия D^ + D упругая энергия возрастает. Напомним (см. п. 7.1.3), что переход от z-ro к (/ + 1)-му состоянию происходит путем "снятия" нагрузок в подобласти 尸£)U 尸£)= G\D, где о£)(Х1, х2) > о?з・ Обозначая 尸£)' = 6D「, получим из (1.22) для приращения упругой энергии AUG) при переходе от z-ro к (i + 1)-му равновесному состоянию

(1.23)(1.23)△ U(i)二丄/ b吟)(o§3 — og?)Wds.

(1.23)

(1.23)

2 В Dk

Так как (о£ -《？)/ >0,5畤)》0,(占,工2)£ 50，)，то △”)> 0. Для последовательности равновесных состояний из множества К с областями раскрытия 川)С С D,)U . . . U О имеем U】《％《• • •《〃《• • • .• •《U, где U — упругая энергия, отвечающая равновесному состоянию с областью раскрытияD- решению исходной задачи (1.11)-(1.14).

Пользуясь формулой (1.21), можно непосредственно убедиться, что упругая энергия в равновесном состоянии достигает максимума (соответственно полная потенциальная энергия системы — минимума). Перепишем (1.21) иначе

△U = - ； /(吗)-%)(碍?一 %з)吗 ^ + 4吗)(碎?一 %3"；ds,

(1.24) где Озз, 〃з - решение задачи (1.11)-(1.14). Первое слагаемое в (1.24) очевидно меньше нуля. Рассмотрим второе слагаемое. Поскольку и^ > О, 。3 3《。?3, ^з = —1, второе слагаемое также меньше нуля. Таким образом △ (/ < 0 и упругая энергия максимальна на решении задачи (1.11) — (1.14). Отметим, что максимальность упругой энергии здесь установлена в общем случае тела, ограниченного поверхностью £, так как (1.21) получено [44] именно для такого тела.

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Утверждение 5. Для упругой среды с трещиной G при заданных нагрузках среди всевозможных равновесных состояний из множества К упругая энергия достигает максимума (потенциальная энергия системы — минимума) на решении задачи (1,11) — (1.14).

Мы пришли к вариационному принципу, который совпадает с установленным в [48], если последний рассматривать на том же множестве.

Замечание. С точки зрения построения приближенного решения задачи вариационным методом, алгоритм п. 7.1.3 можно рассматривать как способ построения минимизирующей последовательности, отличный от предложенного в [8] на основе методов математического программирования.

8.2. Задачи о трещинах при наличии трения

между их взаимодействующими поверхностями

В разделе 8.1 изучались задачи о трещинах нормального отрыва с учетом возможного налегания (без трения) их поверхностей. Теперь рассмотрим, следуя [49, 50], более общие пространственные задачи о трещинах произвольного разрыва, занимающих плоскую область в безграничной упругой среде. Развитие трещины происходит при совместном действии растягивающих, сжимающих, а также сдвиговых по отношению к плоскости трещины нагрузок и сопровождается образованием зон, где ее поверхности приходят в контакт. В неизвестных зонах контакта имеется трение с коэффициентом, зависящим от нормального давления и величины относительного касательного смещения поверхностей. В пределах зон налегания могут, в свою очередь, образоваться участки локального сцепления и проскальзывания поверхностей. Границы, разделяющие эти участки, также подлежат определению.

Сформулируем краевые условия задачи. Пусть трещина занимает область G с границей Г в плоскости х3 = 0. Обозначим через g(xi，х2, х3) и q±(xi, х2) (q- = —q+ = q) плотности объемных и поверхностных антисимметричных нагрузок. Введем также нормальную wv и касательные 吟二(«ь и2)составляющие скачка смещений, отсчитываемые от нижней поверхности, и нормальную о£ и касательную о^ = (а^, ©看)составляющие напряжений. Пусть Е — зона налегания поверхностей трещины. Тогда при х3 = 0 имеем краевые условия

Озз & 4з при wv 二 0; азз = 4з,吟=q「咿犷 > 0

(Xi,X2)£G,(2.1)

l^r-Qr I < f(P)P при I 呜 | = 0, (хьх2) G £,(2.2)

1叫I 「

I 吟丨 WO, (Xi,X2)£&(2.3)

W =丨吟 I = 0, (xltx2)^R2\G,(2.4)

Здесь p = -(азз - 4з) - давление,/(p)? h(pt | u^ |) - функции, задающие зависимость коэффициента трения от давления и относительного проскальзывания поверхностей.

Искомые поля напряжений и смещений можно представить в виде суммы двух полей, первое из которых отвечает состоянию пространства без трещины под действием объемных сил g, а второе — состоянию пространства с трещиной G цри поверхностных нагрузках (q土 + а0), где aQ = =(азз，о：) — напряжения первого поля на месте трещины. Как обычно

в теории трещин, будем считать первое поле напряжений (о。)известным и определять второе поле Озз,。丁，w, uT.

Поскольку рассматривается трещина произвольного разрыва, то из постановки краевых условий не ясно, имеется ли зависимость нормальных компонент напряжений и смещений от касательных. Для того чтобы выяснить этот вопрос, напомним, что связь между компонентами напряжений и скачка смещений в плоскости х3 = 0 (для полупространства х3 > 0 в отсутствие объемных сил, к рассмотрению которого можно свести задачу [35, 36]), имеет вид

。33 二-~-尸 1[1 加 %W)],

(2.5)(2.5)2(1 一〃)

(2.5)

(2.5)

4⑸=I加4⑸=I加1 一〃*1 一〃*1 - 〃*1 - 〃*

4⑸=I加

4⑸=I加

1 一〃*

1 一〃*

1 - 〃*

1 - 〃*

Здесь, как и в гл. 5, F, F"1 — операторы прямого и обратного преобразований Фурье с параметром 扌(П，丘)，U — модуль сдвига, 〃 一 коэффициент Пуассона. Первое из равенств (2.5) показывает, что нормальные напряжения не зависят от касательных компонент скачка смещений. Это позволяет разбить исходную задачу (2.1) — (2.4) на две, решаемые последовательно.

В первой определяются область налегания поверхностей Е и нормальные напряжения в точках области G по условиям

о” 0, 0ззО)《〃з-о?з при w = 0, п八(2.6)

Озз=4з-*з при w < 0.

Во второй задаче при известном давлении и области Е находятся 07 и ит (а также области проскальзывания и сцепления в пределах Е) из условий

|<гт -qT +а? I < f(p)p при I ит 1 = 0,

% —q「+" = — [〃P)+g(P,丨 ％ 1)]р%/| uT I при i uT |>0,(2.7)

(xi,x2) £ E,

。7=口7-"，(xlfx2)eG\E.(2.8)

Замечание. Представление искомых полей напряжений и смещений в виде суммы двух имеет место, несмотря на нелинейность исходных граничных условий (2.1)-(2.3). Действительно, находя а33, о： из решения (2.6), (2.7) и прибавляя к ним о?з，а?, получим функции, удовлетворяющие (2.1)-(2.3), так как переход к вспомогательной задаче (2.6), (2.7) не меняет скачков смещений (в сплошном теле они отсутствуют) и давлений (они представляют собой разности между истинными и внешними нормальными напряжениями, во вспомогательной задаче оба эти поля изменены по сравнению с исходной задачей на величину о£з) •

Краевые задачи (2.6) и (2.7), (2.8) допускают эквивалентную вариационную формулировку [49].

Задача (2.6) при (^3 - о?з) ® 〃-i/2(G) эквивалентна вариационной задаче: найти

min 仍i(w)j,= ! <T33(w)w —3-o?3)w]dxidx2,、

w w pg[ 2(2.9)

0: w《0,w£〃i/2(G).

Здесь O3 3(w) — оператор, задаваемый первой формулой (2.5); HS,HS — как и в предыдущих главах, пространства Соболева—Слободецкого.

Задача (2.7), (2.8) эквивалентна (при известном давлении р) вариационной задаче: найти

Г 1

min &(%) = / - aT(uT)uT-qTuT +

ur £ //2(g)g 2

+ u? uT +p(f(p) I UT I +R(pf I uT D) dxidx?(2.10)

при условии,что

X = IpKp, |ut D+p/(p)]>0, x£"—i/2(G),

(G?-qT)GZ/_1/2(G), 1%1о

&(P,丨％|)= / 力(P,RdWR£Hi/2(G),

о

力(W, 〃) — непрерывная функция аргумента " и 〃〔(£ ")》0.

Вариационная формулировка краевых задач (2.6) и (2.7), (2.8) позволяет установить некоторые качественные свойства их решений.

Поскольку задача (2.6) не отличается по сути от задачи 8.1, то все утверждения этого раздела относятся и к ней.

Установим некоторые свойства интегральных характеристик решения задач (2.6) и (2.7), (2.8).

Напомним, что в гл. 2,6 уже рассматривалась величина объема трещины и были получены ее оценки. Наряду с объемом трещины упругое поле на большом расстоянии от нее определяется и другими ^^мoмeнтaми^^ распределения смещений w, ит. Введем величины

V^ ^х{х^х^х2, V?=(叫,0?) =广戸;将八図辽 (2.11)

Объем трещины — 2 唄。.

Пусть внешние нагрузки — полиномы вида

/з 二 一。9 +4з = ?К?х；*, о

N .(2」2)

fT 二-” + q” £ к?х：х《.

Величины 0? обладают следующим экстремальным свойством.

184

Утверждение 1. Рассмотрим множество смешанных задач с известными границами областей налегания Е* при условиях

W(Xi,X2)= 0,(Xi,X2)£E*,

g(w)二4з-о? при W(X1,X2)《O,(Х1,Х2)豆 Е*.•

(Как видно, решение исходной задачи (2.6) принадлежит семейству и выделяется тем, что для него выполняется дополнительное неравенство в (2.1) для a3(w) внутри £) Тогда на решении задачи (2.6) реализуется максимальное значение линейной комбинации моментов У?:

NN

2 К?吗(w(E))= max^ S K^V^iE^).(2.14)

Доказателъство. Функции w(E*) являются допустимыми для вариационной задачи (2.9), поэтому

吊(w(E)) & F^^ )), Vw(£*).(2.15)

Но с учетом (2.9) и (2.12)

吊(w(E*))= J [ - O33(w(E*))w(E*)-q3W(E*) + o£w(E*) d%idx2 = G L 2J

11 N

=--/3 +№)W(E*)dXidX2 = - & ^ K#?(W(E*))・(2.16)

Аналогично

1 N

% (w(E))= - - S K#?(w(E)).(2.17)

Сравнивая (2.16), (2.17) c (2.15), видим, что условие (2.14) выполняется. Если условие (2.14) реализуется для w(E*), то ни при каком другом w(E) оно не может выполняться, так как из-за строгой выпуклости функционала не может принимать одинаковых значений на различных функциях. Утверждение 1 доказано.

Имеет место соответствие между величинами 吗，0? и К?, К?.

Утверждение 2. Каждая из величин 吆(，二 1, 2, 3) — монотонно возрастающая функция К： [при неизменных коэффициентах с другими i,/ в разложениях (2.12)].

Доказательство. Пусть w(/l), w(丹)，ur ©) , ur (择)—решения вариационных задач (2.9), (2.10) для нагрузок, отвечающих двум наборам коэффициентов К?； и К??, К?】 и К??. Необходимые условия минимума 厂1(丹，w) и F2(fl ,^) при w = w(/3)и w = w ( /3 ) имеют с учетом (2.9), (2.12) вид

N

/(疗一疗)[w(加-W(启)]dX]dX2=Z(K?i _ К?2)(圖-叫 2)=

G0

=%(疗出(疗))一%(疗，心(月))+%(外宀(疗))一

-巴(外宀(启))> 0.(2.18)

Предположим теперь, что К貿1 > К^ при некоторых i = т, j = п, а при остальных i, / имеем К£ = К?? • Тогда для выполнения неравенства (2.18) необходимо, чтобы Р尧" > 忆弘"，т.е. зависимости 嗯(К?) монотонно возрастающие.

Аналогично (2.18) для сдвиговой задачи при условии, что К? и, следовательно, функция р одинаковы для двух сравниваемых состояний, имеем

N

2 [gLK?2)(% -叫2)+ (陋1-陋2)(吗-吗2)]=

О

= /(* -喲[% (%) - u"修)]也1也2 =

(2.19) 二& (学,UT(f2))-歹2 (4, ur(f})) + 歹2 (修,UT(f)))-

一Ь2(修,匕(f分))0.

Из неравенства (2.19) следует монотонно возрастающий характер зависимостей Р? от К?,左=1,2.

Замечание. Задачам о трещине с учетом трения в зонах налегания поверхностей присущи некоторые монотонные зависимости интегральных энергетических характеристик решения от коэффициента трения [49]. Не останавливаясь здесь на доказательстве, сформулируем результат, считая, что коэффициент трения зависит только от давления (〃三 0).

Предположим, что коэффициент трения /(р) меняется пропорционально параметру у > 0. Тогда энергия деформации U и сумма (Л + Z) работ внешних сил А и сил трения L являются монотонно убывающими функциями 7，

Напомним, что U — сумма квадратичных частей Fi и F2 ：

U 二! /[a3(w)w + aT(uT)uT]dx1dx2;

2 G

(—Л) — сумма линейных частей Ft и F2:

—/ 二 /[(^з - ^3)w + (<J? - qr)uT] d%!dx2;(2.21)

L — неквадратичная нелинейная часть F2} взятая с обратным знаком:

А= /[ ат (uT) - qT + о ?] uT dx! dx2 = - Jp/( р) [ uT I dx! dx2.(2.22)

GG

Замечание. Рассмотренные задачи о трещинах и полостях с частичным налеганием поверхностей представляют своеобразную комбинацию задач о трещинах и контактных задач теории упругости.

Надо сказать, что для контактных задач выполнен целый ряд исследований по построению оценок решений. Многие результаты нашли отражение в известных монографиях [30, 32, 121], и нет смысла их воспроизводить здесь. В то же время техника построения оценок в контактных задачах весьма близка к представленной в предыдущих главах на примере иных задач. Поэтому ограничимся лишь некоторыми указаниями.

В гл. 2 (разд. 2.2) приведена постановка контактной задачи о вдавливании жесткого штампа с фиксированной областью контакта (штамп с 186

острой кромкой) и с неизвестной областью контакта (гладкий штамп) при отсутствии трения на контакте.

В контактных задачах оценивают главным образом осадку 6 штампа (при известной вдавливающей силе 尸)или вдавливающую силу (при известной осадке). В задачах с неизвестной областью контакта, кроме того, важны оценки области контакта и характеристик ее изменения при изменении формы штампа и вдавливающей силы (или осадки).

Первые двусторонние оценки (pb) для штампа с острой кромкой даны в [32]. При этом для получения изопериметрической оценки снизу была использована аналогия задачи о штампе и задачи о емкости конденсатора, для которой изопериметрическое неравенство установлено в [111]. Оценка сверху (Туб) получена в [32] через соответствующие величины для эллиптического штампа, описанного вокруг заданного. Согласно [32],

2(5/тг)1/2 & P(1 - #)/ЕЬ & тга/К(е).

Здесь S — площадь области контакта G; а, е — большая полуось и эксцентриситет эллипса, описанного вокруг G; К(е) — полный эллиптический интеграл первого рода,叭 Е — коэффициент Пуассона и модуль Юнга.

В [27] улучшена верхняя оценка с использованием результатов [111] и отмеченной аналогии с задачей о емкости. Показано, что

Р(1 —〃2)/еь & 2asi/2,

где а = 5-1^2Г,戸-внешний радиус области G. Поскольку величины 戸 определены для различных форм области G, в [27] рассчитаны конкретные верхние и нижние оценки (/уб). При этом для квадратного в плане штампа с плоским основанием удалось получить почти полное совпадение верхней и нижней оценок

1,12846 4 尸(1—〃2)/еь《1,1804瓦

здесь b = S~1/2. Из этих неравенств видно, что отклонение (//6) от среднего значения (776)ср = 1,1544瓦?/(1 — М) чуть больше 2%. Интересно, что численное решение [27] для квадратного штампа дает (勿Ь)= = 1,1501Е%(1 —М).

Оценки для Р при вдавливании штампа с неплоским основанием и острой кромкой приведены в [30].

Ряд утверждений, приводящих к двусторонним оценкам осадки штампа и (или) вдавливающей его силы при изменении площадки контакта, формы штампа и условий контакта, доказан в [40] на основе теоремы об изменении работы внешних сил при изменении жесткости (см. разд. 3.2). Приведем характерную формулировку. Если в какой-либо области тела уменьшить (увеличить) жесткость, то для того, чтобы осадка штампа сохранилась, нужно уменьшить (увеличить) вдавливающую силу. Это утверждение справедливо при поступательном перемещении штампа с плоским основанием при условии отсутствия трения на контакте или при наличии полного сцепления штампа и основания.

В контактных задачах с неизвестной областью контакта оценки 尸，5 н области контакта получены в [48] методами вариационных неравенств (подобно тому как в разд. 8.1 доказана теорема сравнения) и в [120] с помощью принципа максимума в формулировке Хопфа (аналогично доказательству теоремы сравнения в п. 5.1.2).

Некоторые результаты качественного характера в контактных задачах с условиями трения на контакте установлены в [130—132].

Глава 9

НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ В КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТРЕЩИН

Критерий медленного роста трещины

В гл. 4 была рассмотрена постановка задачи о хрупком и квазихрупком разрушении материалов в предположении о том, что деформационные и прочностные свойства материала не зависят от времени. В результате характеристика трещиностойкости материала также представляет собой постоянную материала.

Если же в отличие от рассмотренного ранее случая материалу присущи временные зависимости процессов деформирования и разрушения, то трещины могут медленно расти при постоянных или убывающих нагрузках. Так, в полимерных материалах, в металлах при воздействии агрессивных сред и при усталостном нагружении рост трещины происходит, как правило, не критическим образом.

Временные эффекты сильно зависят от уровня напряжений и проявляются в первую очередь вблизи края трещины. Во многих случаях концевые области, где существенны временные эффекты, малы по сравнению с размерами трещины и тела, и вне них материал деформируется упруго (вязкоупругого) ,это позволяет сформулировать [12] квазистационарное приближение кинетической теории трещин. Согласно этой теории, если рост трещины нормального разрыва (а только этот вид трещин и будет рассматриваться в главе) происходит медленно (так что при ее продвижении на расстояния порядка нескольких концевых областей внешние нагрузки, а следовательно, и коэффициент интенсивности напряжений N、 меняются мало), то скорость роста трещины и будет функцией коэффициента интенсивности напряжений (при данной среде и температуре). Эта материальная функция характеризует трещиностойкость материала. Если пользоваться обратной к ней функцией, то критерий роста трещины можно записать в виде аналогичном (3.2.6):

N = Nm(u) = ir-1K(u),. (1.1)

функция К (и) определена экспериментально для многих материалов (см., например, [29, 148]). Вид К(w) можно найти и теоретически, исходя из определенных модельных представлений о де фо рми ров ании и разрушении материала в концевой области трещины [68].

Если зависимость К (м) известна, то при известном начальном (при г = 0) положении контура трещины кинетику ее роста можно рассчитать согласно (1.1), интегрируя последнее по времени для различных точек контура. После каждого шага по времени следует находить текущее положение контура трещины и распределение N вдоль нового контура по решению соответствующей задачи теории упругости. Поскольку форма трещины в процессе роста меняется (скорость и в данной точке зависит от уровня N), кинетический расчет значительно сложнее статического. В связи с этим особую важность приобретает построение оценок сверху и снизу (или только снизу) для долговечности тела с медленно растущей трещиной (под долговечностью тела с трещиной здесь понимается полное время развития трещины до потери телом несущей способности). К сожалению, пока удается получить оценки долговечности лишь в сравнительно простых случаях. Прежде чем переходить к их изложению, отметим, что кинетика трещины существенно зависит от вида К(〃). При немонотонной зависимости К (и) с минимумом при 〃* W 0 возможен автоколебательный режим ее роста. Если К(〃)》KmЕ W 0 то, как и в статике, трещина не растет при нагрузках меньших критических. Это характерно для усталостного нагружения (трещина растет, если △№ — изменение N в цикле превышает пороговое). При монотонно возрастающей функции К (“) (типа степенной), присущей ряду полимерных, в частности резиноподобных, материалов, трещина развивается при любом уровне нагрузок.

Оценка долговечности тела с трещиной

Для оценки опасности существующих в теле трещин в тех случаях, когда может происходить их медленное развитие, не всегда необходимо прослеживать за последовательным изменением контура трещины. В ряде случаев может оказаться достаточным установить оценки сверху и (или) снизу для долговечности тела с трещиной, убедиться в том, что данная трещина может (или не может) вызвать разрушение тела за заданное время. Некоторые оценки такого рода позволяет получить [39] принцип сравнения для коэффициента интенсивности напряжений (гл. 5) . Приведем характерные результаты.

Будем, как и в разд. 9.1, предполагать, что материал обладает типичной для ряда материалов, монотонно возрастающей зависимостью скорости роста трещины и от коэффициента интенсивности напряжений:

u = K~1(N) = F(N)9 尸(N)》0,歹(8)= 8, F(0) = 0. (2.1)

Допустим, что первоначальный контур трещины имеет параметрическое представление х】=x?(s), х2 =xg(s), (0 < s < 2я).

Каждая точка контура имеет скорость, направленную по нормали к контуру и определяемую соотношением (2.1), К = N(s), и задача о развитии

трещины сводится к решению системытрещины сводится к решению системы2尸(N(s,『)),2尸(N(s,『)),*-*[(*)'(新 Г …*-*[(*)'(新 Г …(2.2)(2.2)

трещины сводится к решению системы

трещины сводится к решению системы

2

尸(N(s,『)),

2

尸(N(s,『)),

*-*[(*)'(新 Г …

*-*[(*)'(新 Г …

(2.2)

(2.2)

при начальных условиях (х「X2)lo = @7, х?).

Значение коэффициента интенсивности напряжений в точках контура в каждый момент является, вообще говоря, функционалом от текущих функций %i(s, f), %2(s, f) и может быть определено из решения задачи теории упругости.

При сформулированных выше условиях для функции 尸(2) развитие трещины происходит непрерывно.

Допустим теперь, что имеются два контура: Го и Го, первый из которых в начальный момент объемлет второй, и заданы такие системы раскрывающих трещину нагрузок q и q', что в любой момент времени в каждой точке q》ql В этом случае трещина, развивающаяся из контура F；, всегда будет оставаться внутри трещины, развивающейся из контура Го (аналог следствия 1.3 гл. 5).

Действительно, в противном случае должна найтись такая точка s* и такой момент f *, что текущие контуры трещин F' и F касаются один другого, контур F’ лежит внутри контура Г и нормальная скорость 〃‘ распространения контура F' в точке s* больше соответствующей скорости " контура F. Однако в силу принципа сравнения, поскольку Г объемлет Г‘, 7V'(s*, f*) &N(s*, f*), и в силу монотонности функции F(N) имеем и & и. Полученное противоречие доказывает сформулированное утверждение.

Предположим, что внешний контур Го относится к числу тех контуров, для которых удается рассчитать кинетику развития трещины, и допустим, что этот контур оказывается безопасным с точки зрения того или иного критерия. Тогда и контур Го безопасен по тому же критерию. Напротив, если внутренний контур опасен, то опасен по тому же критерию и внешний контур Го.

Например, для трещины, занимающей выпуклую область G диаметра d и ширины I, некоторые оценки ее безопасности можно получить при помощи описанной и вписанной окружностей, радиусы R и г которых заключены в пределах l/2d《R & l/>/3d'и 1/2Z > г > 1/3/ [92].

Для этой же цели могут быть использованы и результаты расчетов кинетики роста эллиптических трещин, если в качестве начального вписанного или описанного контура по отношению к исходному выбирать эллиптический контур. Так, если приложенные нагрузки удовлетворяют неравенствам qmin & 4(Xi,工2)& 4max, то долговечность среды с трещиной сложной формы G будет не меньше, чем в случае, когда начальный контур —эллипс, охватывающий G и растущий в однородном поле интенсивности ^тах, и не больше, чем для эллиптической трещины, вписанной в G, в однородном поле нагрузок интенсивности ^min.

Таким образом, установленное утверждение позволяет строить оценки

долговечности тела с трещинами сложной формы при помощи расчетов кинетики роста трещин сравнительно простой формы. С другой стороны, оно избавляет от необходимости рассматривать развитие трещин с "сильно изрезанными^ контурами, которые, мало отклоняясь от плавных контуров по расстоянию, сильно отклоняются по направлению касательной. Расчеты для плавных контуров провести значительно проще.

При построении оценок долговечности тела с трещиной полезны и представления об экстремальных контурах и контурах N = const (см. гл. 7). Если для данного тела построено семейство вложенных контуров N= const (или экстремальных контуров), то для оценки долговечности тела с трещиной сложной формы достаточно рассмотреть кинетику трещины, ограниченной контуром N = const (или экстремальным контуром), что может оказаться проще ввиду постоянства N вдоль них.

Особенно эффективными подобные оценки долговечности будут в тех случаях, когда в заданном поле нагрузок расстояние между текущим объемлющим и объемлемым контурами сокращается. При этом можно получить на основании оценок практически точное значение долговечности тела с исходной трещиной.

Проиллюстрируем сказанное примером. Пусть задана трещина с контуром Го, раскрываемая сосредоточенной силой 尸，приложенной в точке Л, внутренней по отношению к Го. Проведем две окружности с центром вА — вписанную в Го (радиуса г0) и описанную (радиуса RQ). По доказанному выше по мере своего роста трещина будет оставаться между окружностями радиусов r(t} и /^ (Г), удовлетворяющих уравнениям

d〃d% 二 F(N (г)), г(0) =乙;

dR/d方=方a(R))，R(0) = Ro, (2.3) где N&)二尸/тРл/^• г*? [122].

В данном случае, поскольку F — возрастающая функция N, удовлетворяющая условиям (2.1),а 7У(т) — убывающая,имеем

d(R - »S 二 F(N(R))-尸(N&)) < 0, (2.4)

так что полоса, в которую заключен контур трещины, по мере роста трещины сужается. Иными словами, при указанных условиях нагружения любая трещина по мере своего роста стремится к круговой. В частности, это доказывает устойчивость кругового контура трещины, растущей под действием центральной силы, по отношению к произвольным возмущениям.

Очевидно, тот же результат будет иметь место для любого осесимметричного распределения нагрузок, если в кольце, покрывающем контур рассматриваемой трещины, коэффициент интенсивности напряжений для круговой трещины падает с ростом ее радиуса.

Энергетические оценки снизу долговечности тела с трещиной

Ниже излагается способ построения оценки снизу долговечности тела с трещиной, использующий некоторые оценки энергии деформации [38]. Этот способ применим к двумерным плоским и осесимметричным задачам о трещинах. Рассмотрим его на примере двумерных плоских задач. Пусть

191

Рис. 44. Общая диаграмма U(/) и %(/), Ue (Z) и прямых 丄1， С?， выделяющих случаи бесконечной долговечностиРис. 44. Общая диаграмма U(/) и %(/), Ue (Z) и прямых 丄1， С?， выделяющих случаи бесконечной долговечности

Рис. 44. Общая диаграмма U(/) и %(/), Ue (Z) и прямых 丄1， С?， выделяющих случаи бесконечной долговечности

Рис. 44. Общая диаграмма U(/) и %(/), Ue (Z) и прямых 丄1， С?， выделяющих случаи бесконечной долговечности

Рис. 45. Диаграмма UQ ), выделяющая случаи конечной долговечности

Рис, 46. Диаграмма U(/) к утверждению 1 (Отрезок EF внутри ABCD).

плоская область D содержит прямолинейную начальную трещину. Медленное развитие трещины происходит под действием распределения нормальных нагрузок, о бе спечив ающе го ее рост как трещины нормального разрыва вдоль исходного направления.

В таком случае энергия деформации тела с трещиной U представляет собой функцию длины трещины / (при фиксированных размерах тела и параметрах распределения нагрузок): U = U(/). Для того чтобы можно было перейти от энергии U(/) к коэффициенту интенсивности напряжений ^, входящему в критериальное уравнение (1.1), воспользуемся формулой Ирвина.

Предположим, что найдены верхние и нижние оценки величины U(/):

и@& и©& 几(/)• (3.1)

Их можно получить, например, с помощью утверждения об изменении полной потенциальной энергии системы при изменении жесткости (гл. 4) и представления об экстремальных контурах трещин (гл. 7).

Неравенства (3.1) не дают непосредственно оценок величины (dU/dZ), а следовательно и N, однако позволяют прийти к оценке долговечности тела с трещиной.

Построим на плоскости (U, Z) диаграмму, соответствующую неравенствам (3.1) (рис. 44) . Относительно скоростной зависимости модуля сцепления К (и) будем предполагать здесь, что это монотонно возрастающая

функция такая, что К'(〃) > О, К" (“) > О, К(0) = Kmin W 0 (Kmin - так называемое пороговое значение коэффициента интенсивности напряжений, при превышении которого реализуется кинетический процесс) (см., например, [122]).

Пусть в начальный момент трещина Z/o имеет длину Z 0: Z (0) =/0-

Оценим время т^, в течение которого длина трещины увеличится до / = /1, с помощью диаграммы (U /).

Сначала укажем те случаи, в которых трещина Л/о никогда не дорастет до Z 厶 (т.е. время т) бесконечно) . Для этого заметим, что на кривой К(w) остановке трещины соответствует K"min. В силу формулы Ирвина по Kmin можно вычислить Tmin, следовательно, (dU/d/)min 二 2%也・ Проведем через точку С (рис. 44) прямую L 】с углом наклона 9 к оси I, равным 9 = = arctg(2Tmin 一e), £>0■

Если L1 пересекает сторону AD криволинейного четырехугольника ABCD, то трещина £厶 до 工厶 не дорастет. В этом случае, какова бы ни была истинная кривая EF изменения U(l), она обязательно пересечет L i. Наклон EF в точке М пересечения (dtT/d/) (М) < 2Tmin — е < 2Tmin, и заведомо трещина L“ больше чем Г；м не станет. Можно сказать больше, если провести через точку А прямую £?, параллельную то очевидно, что трещина Г；о заведомо не станет больше чем 1依 (рис. 44).

Пусть теперь L i пересекает сторону АВ в точке К (рис. 45). Возможны два случая. В первом — £ G \КВ}. По тем же соображениям, что и приведенные выше, трещина Г；о до「】не дорастет. Во втором случае Е G \АКХ}. Трещина Г；о может в принципе достигнуть Г^ , и можно ставить вопрос об оценке минимального времени ее развития. Аналогичная ситуация имеет место и тогда, когда прямая L i пересекает сторону ВС или проходит вы

Jin(力=(常兀m1 равноJin(力=(常兀m1 равноше нее.

Jin(力=(常兀m

1 равно

Jin(力=(常兀m

1 равно

.Из.Из(3.2)(3.2)Перейдем к оценке минимального значения (1.1) следует, что время прорастания трещины г

.Из

.Из

(3.2)

(3.2)

z ； d/

7 1 =/

2。「° G(dU/d/)

(3.2) для т?(3.2) для т?Здесь введено обозначение G(dU/d/) = К""1 (|3 y/dUfdTj, 0 = \/7Г/2(1 — “)'.

(3.2) для т?

(3.2) для т?

ВыражениеВыражение(при заданной характеристике трещиностой

Выражение

Выражение

ко сти K~i) представляет собой функционал, зависящий от вида кривой

U(/), соединяющей точки Е м F, соответствующие U(/o),。(厶).

Среди множества кривых U(/) вьщелим отрезок прямой, проходящей через точки Е н F (рис. 46).

193193При другом расположении точек F и F (и (или) сторон ВС и AD криволинейного четырехугольникаABCD), например для точек Ef hF^ (рис. 47),

193

193

отрезок E‘F‘ может пересекать сторону ВС (или AD) криволинейного четырехугольника. Этот случай будет разобран позднее.

Имеет место следующее.

Утверждение 1. Среди всех кривых U(/), соединяющих точки Е н 尸，минимум функционалу г,1 (2.2) сообщает отрезок EF (если он не пересекает сторон ВС и AD).

Для доказательства рассмотрим подьштегральное выражение в (2.2). Поскольку оно не зависит явно от U, уравнение Эйлера рассматриваемого функционала приводит просто к условию (dtT/d/) = Сь С\ = const вдоль экстремали [81]. Таким образом, экстремалью действительно является отрезок EF.

Теперь покажем, что вдоль экстремали функционал (3.2) имеет сильный минимум. Для этого сначала вычислим величину 尸。力，，где F = 1/G(U‘)， U' =dt//d/. Имеем

尸и，и，= {2[Gfuf(U^ - G^.^iU^GiU^G^iU^

G3(U')=壮一1(0々)了0/(28),1丿

GM。，。')二[К-】(0付)]740 —位一(0С7『0/4(U')3/2

Поскольку рассматриваются материалы, для которых К'(“) > О, К"(〃)〉 > 0, то (Rt)‘ > О, [К-」"< 0 и, следовательно, О^и> (Ur) < 0. Поэтому из (2.3) с учетом положительности G следует справедливость усиленного условия Лежандра

^и'и' > °。(3.4)

Проверим теперь, выполняется ли усиленное условие Якоби, т.е., что отрезок [/0, /1] не содержит точек, сопряженных с /0- Уравнение Якоби для функционала (3.2) в нашем случае имеет вид

dddZdZ2卜2卜(3.5)(3.5)

d

d

dZ

dZ

2卜

2卜

(3.5)

(3.5)

где h — приращение функции U(/), определяющей экстремаль, такое, что 〃 (/о) = Л (/1) = 0. Отсюда следует соотношение

Fufufh' = const, ¥7£卩0,厶].(3.6)

Предположим, что на отрезке [/0, / J имеется сопряженная точка /.

По определению сопряженной точки [81] существует решение уравнения (2.5)方(/) = 0, для которого Л(/о) =Л(Г) = 0. Пусть Лг(/0) ^ОиЛ^) ¥=0. Тогда очевидно, что 万'(/) имеет разные знаки в точках /о и / . С другой стороны, в силу (3.4)尸^力，＞ Опри/ G [/0,/1]. Поэтому (3.5), (3.6) не могут выполняться одновременно в точках /0 и /. Мы пришли к противоречию. Аналогичное противоречие получается, если предположить, что 方'(/о) или 苏'(/) = 0 равны нулю. Таким образом, сопряженных точек на отрезке 历，厶]нет.

Поскольку для экстремали EF выполняются условия Лежандра и Якоби, то по известной теореме вариационного исчисления [81], она действительно реализует сильный минимум функционала (2.2). Утверждение 1 доказано.

Пусть отрезок E‘F‘ пересекает ВС. Этот случай показан на рис. 47 для двух характерных видов кривой ВС; без участков отрицательной кривизны, не примыкающих к точкам В и С (рис. 47, а), и с таковыми (рис. 47, б).

Теперь уже нельзя утверждать, что (^/)min реализуется при зависимости U(/), представляемой отрезком EfFf, поскольку состояния тела с трещиной, соответствующие части отрезка E，F‘, расположенной вне ABCD, во

обще не могут осуществиться (напомним, что кривая ВС дает оценку сверху для U(/)). Имеет место У тверждение 2. Если экстремальютрезок E‘F‘ пересекает сторону ВС криволинейного четырехугольника АВ CD, то

функционал т!1 (3.2) достигает минимума вдоль кривой UQ), состоящей из участков экстремалей — касательных к В& проведенных из точек Е и 尸'，и части кривой ВС, заключенной между точками касания, на которой спрямлены участки отрицательной кривизны.

Построим сначала кривую, реализующую минимум для случая, когда на стороне ВС отсутствуют участки отрицательной кривизны, не примыкающие к точкам В и С (рис. 47, а). Рассмотрим какую-нибудь кривую L изменения U(/), соединяющую точки Fz и F^ и расположенную внутри ABCD. Проведем через точку 月'экстремаль Е’ТМ, касательную к ВС, до пересечения с Z в точке М, тогда т£ = (tl)e м + (tl)mf . Согласно утверждению 1, (tQEM〉т1м(рИс. 47,4), где т；м соответствует участку экстремали ЕГТМ, Поэтому тL〉т；м + = 丁丄;здесь через обоз-

(力 min(力 minначена кривая, состоящая из участка экстремали Е’ТМ и части MF’ кривой L. В свою очередь, (т%) можно уменьшить, если провести через точку 尸 экстремаль F’RQ, касательную к ВС, до пересечения с Е’ТМ в точке 0, и рассмотреть кривую LziJE'TQRF'). Очевидно, что (“】)〉(丁乙？)• Далее,(吐丿=/т + ttqr + "?'• Скажем, что %qr〉(7；「min (рис. 47, в), где (T；^)min соответствует участку TR кривой ВС. Действительно, “qr можно сократить, перейдя на участке [Zr, 1^] к ломаной TKNR, где KN — касательная к дуге TR, проведенная через точку Р пересечения дуги TR и перпендикуляра QP к отрезку TR. Этот процесс последовательного снижения Ttqr можно, очевидно, продолжить, проводя аналогичную замену на участках TP, PR н т.д. до тех пор, пока путь TQR не заменится дугой TR стороны ВС. Этой дуге и будет соответствовать

(力 min

(力 min

.Поскольку тЕ，т и trf> уменьшить нельзя и проведенное

построение не зависит отпостроение не зависит отвыбора исходной кривой L, то (т^1 )mjn будет

построение не зависит от

построение не зависит от

достигаться вдоль кривой £3, составленной из отрезков экстремалей Е'Т,尸欠 и дуги TR стороны ВС.

Если на стороне ВС имеется участок (участки) отрицательной кривизны, не примыкающий к точкам В и С (дуга Т欠'на рис. 47, б), то построение кривой, сообщающей минимум , проводится точно так же с той

лишь разницей, что теперьлишь разницей, что теперьmin достигается вдоль отрезка Т'К',

лишь разницей, что теперь

лишь разницей, что теперь

спрямляющего участок отрицательной кривизны. Утверждение 2 доказано.

Замечания: 1. Возможны случаи, когда экстремаль-отрезок EF пересекает сторону AD криволинейного четырехугольника ABCD. При этом справедливо очевидное видоизменение утверждения 2: кривая, реализующая минимум г,1, представляет собой совокупность отрезков касательно

ных, проведенных к AD из точек F и F, и заключенной между точками касания частью стороны AD, на которой спрямлены участки положительной кривизны. Построение такой кривой проводится аналогично предыдущему.2

2. Описанный способ отыскания (r/1)min предполагает, что достаточно точно известно положение точек Е и F, т.е. U(/o) и U(/i), для исходного тела с трещиной. Возможны ситуации, когда известен лишь промежуток, в котором расположены U(l0) и U(/i), или обе эти величины. Пусть, например, положение точки Е, изображающей U(l0), известно неточно: Е заключена между точками Е‘ и Ен, а положение точки F известно точно (т.е. U(/i) вычислено). В этом случае оценку снизу т： можно получить, построив в соответствии с утверждениями 1,2 кривую, реализующую (r£,HF)min. Подобным же образом, если положение точки Е определено, а для точки F известен лишь промежуток [FrFw], нижнюю оценку (т；】) дает кривая, реализующая минимум (丁后尸；),построенная по утверждениям 1, 2. Соот-

ветственно при наличии неопределенности в положении и Е и F оценку (т；】) снизу дает кривая, минимизирующая (丁石〃戶，).В частности, отсюда следует, что всегда грубую оценку снизу можно получить, построив кривую, для которой(T/с)минимально.

Глава 10

ОЦЕНКИ В ЗАДАЧЕ

О КРУЧЕНИИ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ

Кручение однородного стержня. Локальные оценки

Задача о кручении упругого стержня принадлежит к числу первых задач механики деформируемого тела, для которых были получены результаты качественного характера, в том числе и изопериметрические оценки.

Еще Сен-Венан высказал гипотезу о том, что среди всех призматических стержней с фиксированной площадью поперечного сечения стержень кругового сечения имеет наибольшую жесткость при кручении. Доказательство гипотезы Сен-Венана дано в работе [111].

С методической точки зрения задача о кручении интересна тем, что многие идеи и способы построения оценок в задачах математической физики были придуманы или применены при исследовании кручения.

Обзор результатов содержится в [111, 196]. В этой главе мы проиллюстрируем некоторые существенные качественные результаты и методы в задаче о кручении, избегая по возможности подробных доказательств, приведенных в оригинальных работах преимущественно последнего времени.

Напомним постановку задачи (см., например, [7,90,134]).

Рассмотрим призматический упругий стержень. Пусть ось z прямоугольной декартовой системы координат (х, у, z) направлена по оси стержня, оси х, у — по главным осям инерции поперечного сечения, занимающего область G. Пока будем считать G односвязной областью. Обозначим через 1Х, 1у моменты инерции поперечного сечения относительно осей х, у. Примем, что боковая поверхность стержня не загружена. На торцах z = 0 и z = / стержня действует крутящий момент

Mz= f(xozy-yazx)dS,(1.1)

G

напряжение ozz = 0. В этом случае ozz (х, у, z) = 0, z £ [0, Z], а “х и ozy от z не зависят.

Из условий совместности следует, что каждое из напряжений azx и ozy удовлетворяет уравнению Лапласа (по х, у). После введения функции напряжений Прандтля Ф соотношениями (а — пока произвольная постоянная)

% = ад(ЭФ/Э^), ozy = -ад(ЭФ/Эх)(1.2)

сразу удовлетворяются уравнения равновесия. Уравнения Лапласа для касательных напряжений вместе с (1.2) показывают, что [Э (ДФ)/Эх] = 0 и [Э (△①)/8у] = 0, т.е. ДФ = const. Обычно константу с учетом произвольности а полагают равной —2. Поэтому функция напряжений удовлетворяет

уравнению

△Ф = -2, (X, y)^G(1.3)

и краевому условию

Ф = 0, (х, y)EbG.(1.4)

Выражение (1.1) для крутящего момента Mz через функцию напряжений можно привести к виду

必=m0，(1・5)

где

。=2 /①ds.(1.6)

G

Величина D — один из основных функционалов решения задачи — называется жесткостью стержня при кручении и характеризует удельное значение крутящего момента (в расчете на единицу угла кручения а).

То, что а имеет смысл угла кручения, следует из рассмотрения смещений в задаче о кручении. Компоненты “, и, w вектора смещения точек стержня в направлениях осей координат х, yt z равны [90]

w = —ayzf u = azx, w = a(p(x, у).(1.7)

Для стержней не кругового поперечного сечения 夕(х, у)丰 0, т.е. при кручении стержня сечения z = const перестают быть плоскими. Функция 9 (х, у) — функция кручения — гармоническая в G:

△9 =。，(")£G,(1.8)

удовлетворяющая краевому условию

Ь^/Ьп =упх -xriy, (x,y)eaG.(1.9)

Функция напряжений Ф и функция кручения 9 связаны следующим образом:

М/ах = (а①/8)+% з屮I® = — (а①/а%+%).(1.10)

Обычно вводят еще гармоническую функцию 屮(工,у), равную

W =① + 1/2(х2 +у2)(1.11)

и сопряженную к 9 в силу (1.10). Жесткость D может быть выражена через функцию кручения 3 и функцию 屮：

D = nf^x2 +у2 +х ^ — у 染)dxdy.(1.12)

Энергетические теоремы позволяют переформулировать задачу определения жесткости D.

На основе принципа минимума дополнительной работы можно показать, что функция напряжений Ф, являющаяся решением задачи о кручении, минимизирует функционал

(1.13)(1.13)К®) = - /[(I 7Ф|)2 -4①]ds.

(1.13)

(1.13)

2 G

При этом минимальное значение функционала К

Kmin = -1/2Q.(1.14)

По принципу минимума потенциальной энергии системы функция кручения 9 — решение задачи — минимизирует функционал

£3)二 ^ J(B9l)2dS +J[~9]dS + ；/p,(1.15)

где 1р — полярный момент инерции сечения стержня (厶二厶 + /у). Минимальное значение L

小=1/2n(Mб)

Как и всегда при использовании энергетических теорем, с помощью (1.13), (1.14) и (1.15), (1.16) можно получать оценки жесткостиD снизу и сверху, выбирая соответствующие допустимые поля в функционалах (1.13), (1.15).

Далее, из теоремы об ужесточении (см. разд. 3.2) сразу следует, что жесткость при кручении стержня не уменьшается (не увеличивается) при переходе к объемлющему (объемлемому) стержню. Иначе говоря, жесткость D монотонно зависит от области [196]. Это свойство решения задачи о кручении также позволяет строить двусторонние оценки жесткости.

Примеры применения энергетических методов для нахождения оценок жесткости можно найти, например, в [90, 104,196, 205, 206].

Изопериметрическая оценка жесткости при кручении сверху рассмотрена в разд. 10.2,10.3.

Наряду с интегральной характеристикой решения задачи о кручении D интерес представляет и определение максимальных касательных напряжений Ттах в сечении G:

Лпах =тах \/。厶 +。为=да max | ▽① |.(1.17)

GG

Можно убедиться, что г достигает максимума на контуре сечения 8G •

Анализируя задачу о кручении, естественно связывать достижение максимальным касательным напряжением критического уровня с разрушением

стержня. Соответственно ттах соотносится с максимальным крутящим моментом, не приводящим к разрушению. Сен-Венан наряду с изопериметрической гипотезой для жесткости высказал аналогичную изопериметрическую гипотезу и для максимального крутящего момента. Согласно это гипотезе (в терминах ттах), при заданном крутящем моменте для стрежней с одинаковой площадью поперечного сечения наименьшее значение Ттах достигается для стержня кругового сечения. Доказательство справедливости этой гипотезы дано в [227] (см. также [76]). Отметим, что основное изопериметрическое неравенство, выражающее эту гипотезу, является частным случаем соответствующего неравенства, полученного в [143] для характеристик решения одного класса псевдодифференциаль- ных уравнений.

Если обозначить максимальное значение касательного напряжения для стержня кругового сечения через т0, то, согласно точному решению, то = =47rM^〃-з, 〃 _ площадь сечения. Изопериметрическое неравенство Сен- Венана имеет вид

7^1》47rM紀~3 ИЛИ Tm》2\/^Mz〃-3/2.(1.18)

Непосредственное доказательство (1.18) в [76, 227] основано на предварительной оценке снизу max| ▽①У, который в силу (1,17) пропорционален?^.

Вводится функция х =① + 1/2 I ▽① I? и доказывается ее субгармоничность следующими преобразования Дх:

△x = △Ф+ 1/2 △(心|2)=-2+02到汝2)2 +

+ (Э2Ф/Э/)2 +2(д2Ф/Эхд^)2 =

= -2+(2+У ①/②2)2 + 92 ①/勿2)2 +(1.19)

+ 2 (М ①/奴勿)2 = 2 + 4(Э2Ф/Э/) + 2(д2Ф/д/)2 +

+ 2(Э2Ф/ЭхЭ^)2 =2(1 +Э2Ф/Э/)2 +2(М<1)/识勿 у.

Таким образом, △* 》0 н функция х субгармоническая и принимает максимальное значение на контуре 8G [90].

Так как Ф|эс： = 0,то

2①+| ▽①『《咚х I ▽①I?.(1.20)

G

После интегрирования (1.20) по области G с учетом формулы для жесткости/) и (1.17) получим неравенство

+》2M?MaD)T.(1.21)

В силу изопериметрического неравенства Сен-Венана для жесткости, упоминавшегося в п. 10.1.1 [см. (2.1)], 22《а?. Окончательно из (1.21) имеем

т^> 47rM^-з.(1.22)

Доказательство завершено.

Теперь покажем, каким образом (1.22) следует из результатов работы [143]. В п. 6.2.4 приведена постановка задачи и основные результаты [143], в частности полученное там неравенство (2.43) для ^min и TVmax• Заметим, что N — коэффициент в асимптотике решения псевдодифферен- 200

циального уравнения Pg Ти = f(x), х £ G вблизи границы 3G по нормали к 2G. В задачах о трещинах д = 1 и 7V — коэффициент интенсивности напряжений; в задаче о кручении стержня 〃 = 2 и

N= [▽"|.(1.23)

Оператору Лапласа (со знаком минус) соответствует а = 2,伝=0. При / = 1, если положить 屮=2м, то рассмотренное псевдодифференциальное уравнение (6.2.29) перейдет в уравнение задачи кручения. Далее, Иу, определяемое (6.2.31), равно

Wf = 2 "ds;

5=0; Я (а) = 2 при а = 2. В результате неравенства (6.2.43) переходят в

i ▽"為е* 2叮& I VwiSiax.(1-24)

Если учесть, что D = 4W/ и тт = TWZ?-12(max I ▽〃 |), то (1.24) переходят в 1)тЕ《2МЗ <(т2)тах,(1.25)

где Tmin и Tmax 二 了加 минимальное и максимальное значения г на контуре сечения стержня. Правое из неравенств (1.25) совпадает с (1.21), а с учетом неравенства Сен-Венана для жесткости и с (1.22).

Неравенство €ен-Венана (1.22) дает достаточное условие''разрушения'' стрежня при кручении. Достаточное условие "неразрутения” стержня давали бы оценки г сверху. Такого рода оценки получены в работах [175, 229]・ Они формулируются в геометрических терминах через радиусы кругов, вписанных в область G, и характеристики кривизны границы 8G. Например, в [229] показано, что для стержней, граница которых непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек, и не имеет входящих углов:

т&р(2-%р);(1.26)

здесь р — радиус максимального круга вписанного в G, к — минимальная кривизна контура 3G.

. Кручение однородного стержня.

Изопериметрическое неравенство

Оценку жесткости D сверху дает уже упоминавшееся в начале п. 10.1.1 изопериметрическое неравенство Сен-Венана. Если площадь сечения стержня обозначить через «, то из точного решения задачи о кручении стержйя кругового сечения следует, что его жесткость Do =^2/2я. Согласно гипотезе Сен-Венана для стержней, имеющих одинаковую площадь сечения а.

П< По, 0&(«2/2тт).(2.1)

Наибольшую известность получило доказательство неравенства (2.1) с помощью симметризации [111]. Ставшая стандартной схема доказательства уже приводилась в разд. 6.2, где рассматривалось изопериметрическое неравенство для объема трещины.

Из (1.13), (1.14) следует, что

D = max [ 4/ 金ds ]2/J | ▽$ JdS,(2.2)

金 GG

где &(x, у), (x, у) £ G — произвольная неотрицательная функция, обращаясь в нуль на границе области G и имеющая конечный интеграл Дирихле:

/ Mgs.(2.3)

Можно доказать, что при симметризации Штейнера линий уровня функции Ф не увеличивается интеграл Дирихле функции Ф. Кроме того, сохраняется интеграл от самой функции Ф по области G. Таким образом, при симметризации Штейнера области G (напомним, что мы рассматриваем пока только односвязные области) числитель в правой части неравенства (2.2) не меняется, а знаменатель не увеличивается. Значит при симметризации Штейнера жесткость при кручении стержня не уменьшается. Это означает, что жесткость при кручении стержня G не превосходит жесткости стержня кругового сечения, поскольку путем последовательных симметризаций любую одно связную область G можно перевести в круг [НИ.

При доказательстве изопериметрического неравенства удобно использовать симметризации, поскольку это дает возможность прослеживать изменение жесткости при преобразовании области сечения стержня. Той же цели можно достичь и иными путями. Один из них применяется в [190] и при исследовании более сложных, чем рассматриваемая, задач.

Проведем, следуя [190], доказательство изопериметрического неравенства (2.1). Ключевой шаг в этом доказательстве состоит в том, что при анализе интегралов от функции Ф и ее градиента осуществляется переход от переменных (х, у) к переменным, связанным с линиями уровня и семейством линий им трансверсальных. Ясно, что при изменении функции Ф такая криволинейная система координат будет меняться. Чтобы избежать этого неудобства исходная экстремальная задача рассматривается на подклассе функций, которые представимы в виде Ф = Ф(^(х, у)), где %(х, у) некоторая гладкая функция, также равная нулю на 2G. Очевидно, что на выделенном подклассе функций уже можно ввести единую криволинейную систему координат, определяемую семейством линий уровня %(х, у) (аналогичную полярной системе координат). Это позволяет явно решить экстремальную задачу и выразить решение через характеристики линий уровня t (х, у). После чего можно получить оценку решения с помощью обычного геометрического изопериметрического неравенства, не связанную с выбором функции t (х, у). Если же в качестве t взять решение задачи о кручении, то экстремальное значение функционала перейдет в жесткость стержня, а полученная ее оценка даст изопериметрическое неравенство (2.1). Перейдем к доказательству.

Будем рассматривать функционал

J($) = -2K(&).(2.4)

облас-(2.8)(2.9)(2.10)(2.И)(2.12)облас-(2.8)(2.9)(2.10)(2.И)(2.12)где n — внешняя нормаль к Г^. Поэтому*т,хd 九_J[u(f(x,j))] =- // I V^ I -—d/d? +о Г- 'max _ d九_+ 4/ /u(z) d/ dr =О r_ t 'max О Г- 'max _ + 4 / U(7) fmax—=-J I^V)I2 T(Od^+ 4 j(2.13)где n — внешняя нормаль к Г^. Поэтому*т,хd 九_J[u(f(x,j))] =- // I V^ I -—d/d? +о Г- 'max _ d九_+ 4/ /u(z) d/ dr =О r_ t 'max О Г- 'max _ + 4 / U(7) fmax—=-J I^V)I2 T(Od^+ 4 j(2.13)|U'(F)F I W|2|U'(F)F I W|211d/dz + I Vdd/dz + I Vdr 1_/ ——d/dz =r- I▽力r 1_/ ——d/dz =r- I▽力»max»max

облас-

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.И)

(2.12)

облас-

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.И)

(2.12)

где n — внешняя нормаль к Г^. Поэтому

*т,хd 九_

J[u(f(x,j))] =- // I V^ I -—d/d? +

о Г- 'max _ d九_

+ 4/ /u(z) d/ dr =

О r_ t 'max О Г- 'max _ + 4 / U(7) fmax—

=-J I^V)I2 T(Od^+ 4 j(2.13)

где n — внешняя нормаль к Г^. Поэтому

*т,хd 九_

J[u(f(x,j))] =- // I V^ I -—d/d? +

о Г- 'max _ d九_

+ 4/ /u(z) d/ dr =

О r_ t 'max О Г- 'max _ + 4 / U(7) fmax—

=-J I^V)I2 T(Od^+ 4 j(2.13)

|U'(F)F I W|2

|U'(F)F I W|2

1

1

d/dz + I Vd

d/dz + I Vd

r 1_

/ ——d/dz =

r- I▽力

r 1_

/ ——d/dz =

r- I▽力

»max

»max

Тогда ясно из (1.14), что жесткость при кручении

0 = J(G)[ jup J(&).(2.5)

ф, ф Ibg = о

Пусть ?(4 у) — гладкая функция и t (х, у)\^в = 0・ Рассмотрим подкласс функций Ф, представимых в виде

Ф(х, y) = v(t(xf у))9 и(0) = 0.(2.6)

Определим "жесткость” на подклассе функций (2.6) соотношением

D(G,t(xf ^))= sup J(u).(2.7)

” Г(х，У))

Рассмотрим теперь линии уровня функции t (х} у) и семейство тей G, , таких, что

Gf= {(x,y)eG\t(xfy)>T},

t = BGf = I (x, у) e G |f(x, y}=T I •

Пусть

Zmax = max《“)，

(X，y)

q(F)= / ds, T(r)= / I VddZ.

G-r_

Сделаем замену переменных в функционале J [и « (х, у))].

Очевидно,

dz г- dt г_ (d〃d九) 「彳 I V^l

Найдем явно решение экстремальной вспомогательной задачи (2.7), используя представление (2.13) функционала J(u). Пусть V (0 доставляет экстремум (2.7), (2.13). Положим

и«)=Р(Ж)・ (2.14)

Тогда

'max

小《)) = - / [，《) + %3『*)df +

"max/ d〃 \

+ 4 / [№) + 〃《)] (―丁 )dz,(2.15)

0\ df /

fmax

J®«)) = “?))— / ⑷⑺力⑺ d" О ^max±max / d« \

-4/，⑺》«)>(f)dZ + 4 / Л(0 И —ИЛ(2.16)

Условие экстремальности поэтому имеет вид

^тахГщах/ d« \

-2 / ，⑺％'«)>«) d?+ 4 //?«)()d? = 0 УЛ(Г), Л(0) = 0.

0°\(2.17)

Проинтегрируем по частям первое слагаемое в (2.17): 'max //《川⑺7⑺仃=，")力⑺7(0 lomax - о

'max d

一 / — 1Л0т(0] ^(Odr(2.18)

о df

Внеинтегральный член в (2.18) равен нулю, так как Л (0) = 0 и, очевидно, Т(^тах)二。・ Следовательно, условие экстремальности (2.7) примет вид dd«

—(Г(0т(0)-2— =0.(2.19)

at

Отсюда V1 (Г) = 2а(г)/у(Г) , поскольку Vf (^max) должно быть конечно. Так как V(0) = 0, то г 2«(s) 々)=/ —— ds.(2.20)

о >(s)

Из (2.13) и (2.20) получим

?тах「max

0(G;Z(x,y))二一 / —— ds + 4 / ，(s)〃(s)ds = о y(s)о

/max «2($)

=4 / 告 ds・(2.21)

о >(s)

Оценим правую часть в (2.21) сверху. Рассмотрим выражение для Ls длины линии уровня . Имеем /“J/2 V

& 二(g/户工而万 d" •(2.22)

Из (2.22) по неравенству Шварца

L^f^^l^ 謂呼"施卜号]. (2.23)

Таким образом,

>($)》財/(—d«/ds)].(2.24)

Из геометрического изопериметрического неравенства следует, что

厶》2тт&, &=у^7, Ls>?瓜®(2.25)

здесь Rs — радиус круга той же площади “(s), что и область Gs, ограниченная кривой£5. В силу (2.25) из (2.24) имеем

>(s) > [4万《/( — d〃/ds)].(2.26)

Уменьшив в (2.21) знаменатель y(s), согласно (2.26), получим

"max 1/ d« \

0(G"(x/))&4 / —— a2(s)(- —)ds = о4"«(s)\ ds / ■

1'max[da \1'max/dM \

=-/ ^(5)l~~/ ds = T / (-~—№二

яо\ds /2я о \ds /

二丁 [-d~max)+«2(0)] •(2.27)

2я

Поскольку «2 "max) = 0, (2.27) представляет собой неравенство для 0(G, t (х, у) ), которое не зависит от выбора функции t (х, у):

D(Gt t(xty) & (1/2я)а2(0).(2.28)

人 Если в качестве Г (х, у) выбрать решение задачи о кручении стержня Ф, а в качестве и (Г) = Z, то, очевидно, 0(G, Ф) = D ~ жесткости стержня при кручении и из (2.28) получаем D < а2/2я [а = а(0) ], т.е. изопериметрическое неравенство Сен-Венана (2.1).

В [190] описанным методом в сочетании со специальной симметризацией получено изопериметрическое неравенство для существенно более общей задачи. Рассматривается функционал

炉Q,G)= inf [(/ I Vu|2dx f /(/u2adx)] ,(2.29)

и, и laG = 0 GG

где x = (x1} . . . ,x„) — точка «-мерного пространства. Задача (2.29) соответствует, в частности, задаче кручения при а = 1/2, задаче отыскания минимальной собственной частоты: —△“ =入〃，〃 ％g = 0 при a = 1; нелинейной задаче на собственное значение [119]

△ U+ [D2(atG)/(f I VU|2dx)°T]=0, xEG.(2.30)

Для тех a, для которых существует решение (2.29), (2.30), D2 (a, G) > А。？ д’ 3),где5 —шар того же объема, что и тело G. Основной результат

работы [190] состоит в том, что доказано утверждение: если Ь1 (1/2, G)= =О? (1/2, G*) , где G* — шар (по сказанному выше объем G* меньше объема G),то П2 3, G)>D2 QG*) для а >1/2.

При доказательстве используется описанный выше переход к переменным, связанным с линиями уровня, и соответствующее этим переменным понятие симметризации.

Если при симметризации Штейнера функции f (х, у) сохраняется площадь области, ограниченной линией уровня, то при новой симметризации [190] линии уровня t (х) = t ставится в соответствие сфера (при п = 2 - окружность) такого радиуса г, при котором жесткости стержней, ограниченных контуром t - t и "戸，одинаковы.

Точнее, вводится жесткость d(F) = 0(G, t (х) -7) , равная [ср. с (2.21)]

d(r)= / ds.(2.31)

о >(s)

Устанавливается взаимно однозначное соответствие между линиями уровня t (х)二 ？ (Г/ и сферами, заполняющими шар G*: t соответствует радиус сферы г, если J(F) =。(尸)，где D(r) - "жесткость при крушении” шара радиуса 元

Любую функцию вида и « (х)) можно рассматривать как функцию о£<7, так как существует взаимно однозначное соответстъие между t и d = d (?). При этом “(f) также является функцией от 3: a(t) = a(d). Кроме того d соответствует d в шаре G*.

По функции и«) = u(d) строится функция в шаре G； u*(J). Пусть а*(р) — соответствующая площадь в G*. Тогда и*(р) определяется равенством

а*(3) du* = а(р) du.(2.32)

Для однозначности это определение дополняется очевидным граничным условием

u*(Q(G*)) = 0.(2.33)

При этом преобразовании (симметризации) сохраняется интеграл Дирихле и для интеграла F (м) от положительной возрастающей функции g (м)

尸(")=九⑧共(2.34)

о

справедливо неравенство

/ 尸Q(x)) dx & / F(w*(x)) dx,(2.35)

GG*

где u(x) = u(t(x)).

Эти свойства симметризации после выбора f(S= U2a~r. 2а, при а > > 1/2 сразу приводят к неравенству D2 (a, G) > D2 (а, G*) в задаче (2.29), (2.30).

Отметим еще одно интересное применение описанных переменных, связанных с линиями уровня, для сравнения характеристик решения для 206

областей равной жесткости, а не равной площади, для получения оценок максимума решения в задаче о кручении (в [189] изучены и более общие задачи).

Рассмотрим функционал J(①)=-2^(Ф) [ср, с (1.13)|. Можно показать, что

max JG (Ф) < max%(①)，(2.36)

①，① Ibg = 0①，①Ibg* =o

где G* — круг, площадь которого равна площади области G.

Пусть Gv — круг такой площади, что

D = max JG (Ф) = max(2.37)

①，① l8G=。Ф,Ф l9GVs 0

т.е. жесткости при кручении стержней G и Славны. В силу (2.36) площадь GV меньше площади G.

Обозначим через Ф(х, у) — решение задачи о кручении для области G и $v(x, у) - решение для области Gv.

Введем

т = max Ф(х, у), 加旷= max3V(х, у).(2.38)

(x,y)^G(х,^)е Gv

Справедливо утверждение

т & т\(2.39)

Доказательство. Рассмотрим части поверхности z = Ф(х, у), отсекаемые плоскостями, проходящими через различные линии уровня. Пусть Gc — область такая, что

G°= {(xj)£G|$(x/)>c} .(2.40)

Очевидно, функция

U(x,у, с) = Ф(х,у)-с(2.41)

является решением задачи о кручении стержня сечения Gc. Рассмотрим Dc = max %/〃)• Имеем*

"，"広仇=0 С

°max1

2=/ U(xfy) ds= / и / у——• dU =

Gc0〜8G。|VU|

°max1%ax 〜1〜

=/ и / —— dU二 / (①-с) /d①=

0 GGc I ▽① I08G。I ▽① I

Фтах 〜/ da \ 〜

=/ (①-c) ( ) d ①=

ф① max① max

={—[@ —с)叽max +/ а(ф)аф| =/ а(ф)аф.(2.42)

оо

Следовательно,

De = J Д(Ф)аФ.(2.43)

Продифференцируем (2.43) по с. Получим

〃 =-«(с).(2.44)

Для круговой области G^ введем величины, аналогичные Dc — D^ , тогда

(%)— -#С).(2.45)

Перейдем теперь к новым переменным и будем рассматривать с как функцию Dc. Из (2.44), (2.45) получим

-dc/dQ = 1/«(4),(2.46)

—d^/d4V = I/#/.(2.47)

По построению Dc и 0。旷 меняются в одних и тех же пределах. Рассмотрим с и d при одних и тех же значениях D.

Поскольку при одинаковых значениях D в силу изопериметрического неравенства

«&)》av(n v),(2.48)

правая часть (2.46) меньше правой части (2.47). Далее, граничные условия для с q У совпадают, так как c(J (G)) = cv (/ (G^ )) = 0. Отсюда и из (2.46), (2.47) следует, что

с。。)& ^(РсУ).(2.49)

В частности, при Q = 0 из (2.49) получим

т《汾.(2.50)

Утверждение доказано. Иное его доказательства дано в [111].

Замечания: 1. Мы не рассматривали оценки жесткости снизу. Ряд результатов в этом направлении имеется в [156, 196, 226].

Основные соотношения в разд. 10.1, 10.2 были приведены для стержней с одно связной областью сечения, В случае многосвязных областей в первую очередь меняются краевая задача для Ф и определение жесткости. Соответствующие модификации постановки задачи можно найти, например, в работах [7, 90], некоторые характерные оценки жесткости при кручении стержней много связного сечения приведены в [9, 196].

В ряде работ рассматривается задача о кручении упругого стержня в несколько иной постановке [170, 171]. Отличие в том, что условие равенства нулю на торцах z = 0, z = Z нормальных напряжений заменяется условием стеснения осевых перемещений

w = 0, z = 0, z = I,

Изопериметрическая оценка жесткости D* стержня в этом случае получена в [170, 171] и связывает Q* с жесткостью D стержня в Сен-Ве- нановской постановке. Оказывается, что всегда D* > D\ D^ ^ D -^

+ [(th (mXiyj/mXil](叫 — D), где I - длина стержня,厶 -полярный момент инерции, т = W/ 4(入 + 2〃)',入，乂一 постоянные Ламэ,入〔一минимальная частота собственных колебаний свободно опертой мембраны того же сечения. При увеличении длины стержня / различие жесткостей становится меньше: D* ->。при Z ->°°.

В этой главе задачи кручения рассматрив аются для линейно-упруго го материала.

Довольно большой круг работ посвящен исследованию задач пластического, упругопластического кручения [151, 163, 220—222, 230] и задач кручения при ползучести [31, 150, 15 5, 198, 199, 201]. Мы не имеем возможности здесь останавливаться на этих работах. Отметим лишь, что с методической стороны при анализе указанных нелинейных задач много общего с рассмотренными в гл. 1 задачами нелинейной фильтрации, а также с задачами теории струй идеальной жидкости [24, 176].

Многие методы построения оценок в задачах кручения успешно применяются при получении оценок в задачах о колебаниях и т.п. (см. [111, 156, 159, 196, 199, 207] и указанную там литературу).

Кручение неоднородных стержней.

Изопериметрическое неравенство

В разделах 10.1, 10.2 анализировалась задача о кручении стержня из изотропного и однородного упругого материала. Сейчас рассмотрим влияние неоднородности материала.

Задача о кручении неоднородного стержня, сечение которого - односвязная область G эквивалентна краевой задаче [87] для функции напряжений Ф:

—= -2, (x,y)£G,(3.1)

① laG =。，(3.2)

здесь 〃(х, у) = д-1 (х, у), 〃(х, у) - модуль сдвига материала, зависящий от координат. Жесткость стержня при кручении по-прежнему равна

П = 2 / ①ds.(3.3)

Как и в случае однородного стержня [см. (1.14), (1.15) и (1.22)], краевая задача (3.1) (3.2) равносильна вариационной задаче отыскания максимума функционала [87]:

/(①)= sup [4 /①ds- /〃I ▽① I? ds].(3.4)

①，①Ibg =。 g g

Важно, что максимальное значение J равно жесткости стержня

。二 ^max •(3.5)

В задаче о кручении неоднородных стержней имеет место обобщение изопериметрического неравенства Сен-Венана (2.1) для однородного

20920914. Зак. 1100

209

209

стержня. Это обобщенное неравенство Сен-Венана установлено в недавней работе [28], по материалам которой и написан раздел.

Утверждение. Жесткость при кручении неоднородного призматического стержня одно связно го поперечного сечения G не превосходит жесткости при кручении стержня кругового сечения той же площади с модулем сдвига, задаваемым осесимметричной, неубывающей функцией радиуса, равноизмеримой функции исходной неоднородности.

Прежде чем доказывать это утверждение, отметим принципиальное отличие неоднородной и однородной задач. Дифференциальное уравнение (3.1) неоднородной задачи имеет переменные коэффициенты при старших производных. Поэтому и в функционал /(Ф) входят не просто интегралы от градиента Ф, как в однородной задаче, а интегралы от градиента Ф с весовой функцией “ (х, у). В однородной задаче применение симметризации Штейнера приводило к неравенству между интегралом Дирихле исходной и симметризованной функций. Ясно, что в неоднородной задаче для максимизации функционала (3.4) надо проводить преобразование, которое будет определенным образом соотносить поведение весовой функции и модуля градиента. Обычные операции симметризации основаны на симметризации линий уровня функции. Изменение градиента функции не происхоцит каким-либо закономерным путем. Поэтому не удается согласованно провести перестройку весовой функции в симметризованной области.

С учетом отмеченной трудности в [28] предложено новое преобразование симметризации, позволяющее работать с весовой функцией 〃. Более того, при симметризации [28] сохраняется весовой интеграл Дирихле, входящий в (3.4), и не уменьшается интеграл от самой функции, это и позволяет доказать изопериметрическое неравенство для жесткости при кручении неоднородных стержней. Доказательство приведено ниже.

Предварительно сформулируем определение симметризации [28] и ее свойства.

Рассмотрим функцию /(х, у), (х, у) G G, f\bG =0, имеющую суммируемый модуль градиента. Наряду с областью G рассмотрим равновеликий ей круг KG: mes G = mes KG = «】.Введем функцию g (x, у) = g (r), r2 = x2 + у2 в KG равноизмеримую функцию | V/(x, у) | и не убывающую с ростом г. Пусть

R

尸&) = /g«)df, R = <т：(3.6)

Под симметризацией функции / будем понимать сопоставление ей функций F (г) и будем обозначать ее F = Fv (/). Приведем необходимые для дальнейшего и доказанные в работе [28] свойства.

Свойство 1.

/ k(f)ds》/ Iflds.(3.7)

kgg

Свойство 2.

/〃I V6 |2 ds》/〃ol \7Ф 12 ds.(3.8)

GG

Здесь 〃o (x, y) — функция, равноизмеримая функции 〃 (х, у) и противонаправленная I УФ(х, у) I, где Ф(х, у) - решение задачи (3.1), (3.2); функция 〃о(х, у) представима в виде [28] 〃о(х, у) = р0 (I 7Ф(х, у) |).

Из (3.8) и (3.4) имеем

£)=4/ ①ds - / "I РФ I2 ds《

GG

< 4 / Ф(15 - /〃о I УФ 12 ds.(3.9)

GG

Применим симметризацию к функции Ф и преобразуем одновременно функцию неоднородности р (х, у). Определим в круге Kg осесимметричную функцию 〃*(х, у) = р*(г), равноизмеримую исходной 〃 (х, у) и не возрастающую с ростом г. По построению

/〃olV6『ds= / p*(r)| VFv(Ф)(r) I2 d5.(3.10)

Gkg

Далее, в силу свойства 1

№ds《/|<X)|ds& / Fv(Ф)(r)ds.(3.11)

GGKG

Из (3.9) —(3,11) заключаем:

0 4 4/ Fv(Ф)(r)ds - / 〃*&)| ▽歹v®)6)|2 ds《 kgkg

& sup [4 / x(x,y)ds - / 〃*&)| VxQ/) 12 ds = D*.(3.12)

x,xIhkg = ° Kgkg

Здесь £)* — жесткость при кручении кругового стержня с распределением модуля сдвига д*(г) = р*1 (г). Ясно по построению, что м*(^) сонаправ- лена с функцией г, т.е. не убывает с увеличением радиуса. Таким образом, утверждение доказано.

Отметим, что новая симметризация позволяет исследовать целый ряд неоднородных задач математической физики. В частности, авторы [28] рассмотрели задачу о продольных колебаниях закрепленного по концам неоднородного стержня с переменной плотностью, модулем Юнга и площадью сечения, а также задачу о емкости конденсатора при неоднородной проводимости пространства. В [28] получены изопериметрические неравенства для минимальной частоты собственных колебаний и емкости соответственно.

Различные задачи кручения неоднородных стержней при специальных предположениях о допустимом распределении неоднородности рассматривались в теории оптимизации конструкций (см., например, [9, 91] и указанную там литературу).

Отметим также, что, помимо влияния неоднородности материала на жесткость при кручении стержня, изучалось и влияние анизотропии его свойств (см., например, [172]). Как и во многих других задачах теории упругости анизотропного тела, после соответствующего преобразования координат, согласованного с типом анизотропии, задача кручения анизотропного стержня сводится к некоторой задаче кручения изотропного стержня, но иного поперечного сечения. После чего строятся оценки жесткости для исходного стержня [172].

Замечание. Если при построении изопериметрических оценок в дополнение к технике симметризаций использовать предварительное исследование поведения решения и, в частности, его линий уровня, то можно получить более сильные оценки, чем традиционные (см. [149] и цитированную там литературу). На этом пути получены оценки решений эллиптических и параболических краевых задач в произвольных областях через решения специально подобранных модельных задач в шаровой области того же объема. Поскольку решения исходной и модельной задач определены в разных областях, производится поточечное сравнение решения симметризованной модельной задачи с симметризованным решением исходной задачи. В последнее время Е.И. Шифрин применительно к краевым задачам для псевдодифференциальных уравнений, возникающим в теории трещин, развил технику, приводящую к оценкам, аналогичным полученным в [149] в краевых задачах для дифференциальных уравнений.

ПРИЛОЖЕНИЕ

О принципе максимума

Значительная часть оценок, приводимых в книге, относится к задачам механики, математическая формализация которых приводит к той или иной эллиптической краевой задаче. Независимо от содержательной интерпретации задачи механики при получении оценок во многих случаях используется прийцип максимума.

Не вдаваясь в детали математического обоснования (см. по этому поводу, например, [25, 82]), напомним необходимые формулировки.

Рассмотрим линейное эллиптическое уравнение второго порядка

Аи = 0, х £ D U G,(1.1)

где оператор Аи равен

Аи = 2 仅万 + 2 bi— + с = Ми + с,(1.2)

ij=i 7 dxfdx； /= 1 Эх,

матрица а^ положительно определена и а^ = 伙，функции 4»%(х),勿(х), с(х) заданы в G, непрерывны в D, граница 3D С。2+°, а>0.

Для решения и уравнения (1.1) справедлив принцип максимума в различных формах. В книге систематически используются усиленный принцип максимума в формулировке Хопфа и его следствия [25, 82, 105, 185].

Принцип максимума. Если функция и удовлетворяет условию Ми > 0 и принимает максимальное значение во внутренней точке, то и = const.

Следствие 1. Максимум любой непрерывной в D функции “, удовлетворяющей условию Ми》0 в О, достигается на границе.

Следствие 2. Пусть в D существует шар S, такой, что точка максимума (минимума) Ро £ 3D лежит на его границе. Предположим, что в шаре S коэффициенты оператора М ограничены и удовлетворяют условию: Яп> 0 такое, что

тm

2 匂&&》〃 2 号 Vt Yx £ S.(1.3)

/i= 1

Тогда либо и = const, x E D9 либо производная по внутренней нормали (2〃/а〃)в точке максимума (минимума) отрицательна (положительна)

а〃/а〃(尸°) < 0 (>0).(1.4)

Имено следствие 2 используется, в частности, при доказательстве теорем спавнения для коэффициентов интенсивности напряжений в разд. 5.1. Примеры разнообразных приложений принципа максимума Хопфа при доказательстве различных утверждений качественного характера в гидродинамике несжимаемой жидкости содержатся, например, в [21, 25, 83, 176, 177].

Обратим внимание также на работы, где содержатся обобщения принципа максимума Хопфа на случай нелинейных эллиптических уравнений второго порядка и даны его приложения к построению оценок в нелинейных задачах механики сплошной среды. Обзор работ указанного направления приведен в [201].

ЛИТЕРАТУРА

Алимов М.М., Скворцов Э.В. Об оценке фильтрационного расхода при заданной площади области фильтрации // Исследования по подземной гидромеханике. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986. Вып. 8. С. 3-11.

Алимов М.М., Скворцов Э.В. Наименьший расход при заданной площади области фильтрации // Инж.-физ. журн. 1987. Т. 52, №4. С. 633-637.

Алишаев М.Г., Бернадинер М.Г., Ентов В.М. Влияние предельного градиента давления на потери нефти при вытеснении ее водой // Вопросы нелинейной фильтрации и нефтегазоотдачи при разработке нефтяных и газовых месторождений. М.: ИГиРГИ, 1972. С. 18- 32.

Аравин В.И., Нумеров С.Н. Теория движения жидкостей и газов в не- деформируемой пористой среде. М.: Гос- техтеориздат, 1953. 616 с.

Арутюнян Н.Х. Плоская контактная задача теории пластичности со степенным упрочнением материала // Изв. АН Арм. ССР. Сер. физ.-мат. наук. 1959. Т. 12, №2. С. 77-105.

Арутюнян Н.Х. Плоская контактная задача теории ползучести // ПММ. 1959. Т. 23, вып. 5. С. 901-924.

Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М.: Физматгиз, 1963. 686 с.

Балуева А.В., Гольдштейн Р.В., Зазовский А.Ф, Метод расчета смещений поверхностей тонких пространственных полостей // Физ.-техн, пробл. разраб, полез. ископаемых. 1984. № 6. С. 3—9.

Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций. М.: Наука, 1986. 302 с.

Баренблатт Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении // ПММ. 1959. Т. 23, вып. 3, ч. 1. С. 434-444; вып. 4, ч. 2. С. 706- 721; вып. 5,ч. 3. С. 893-900.

Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образую

щихся при хрупком разрушении // ПМТФ. 1961. №4. С. 3-56.

Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Сал- .ганик Р.Л. О кинетике распространения трещин, ч. 1-4. // Изв. АН СССР. МТТ. 1966. № 5. С. 82-92; № 6. С. 76-80; 1967. № 1. С. 122-128; № 2. С. 148-150.

Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. 208 с.

Басниев КС, Власов А.М., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидравлика. М.: Недра, 1986. 303 с.

Беккенбах 3., Беллман 尸.Неравенства. М.: Мир, 1965. 276 с.

Белаш 7ZM. Экстремальные принципы при расчете де битов несовершенных скважин // Тр. МНИ им. Губкина. М.: Гостоптехиздат, 1953. Вып. 12. С. 201-206.

Бенерджи П., Баттерфилд 尸.Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 494 с.

Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства: Введение. М.: Мир, 1980. 264 с.

Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983.448 с.

Бернадинер М.Г., Ентов В.М. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. 199 с.

Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Изд-во иностр, лит., 1961.208 с.

Бетчеллор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.

Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: Мир, 1963. 244 с.

Биркгоф Г., Сарантанелло 3. Струи, следы и каверны. М.: Мир, 1964. 466 с.

Бицадзе А,В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. 203 с.

Бляшке В. Круг и шар. М.: Наука, 1967. 232 с.

Бородачев Н.М. Об определении осадок жестких плит и массивов // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1964. №4. С. 3-5.

Брудный Ф., Шифрин Е.И. Об одном способе симметризации функций и его применении к некоторым задачам теории упругости неоднородных тел // ПММ. 1988. Т. 32. Вып. 3. С. 441-450.

Вавакин А.С., Салганик Р.Л. К экспериментальному исследованию скоростной зависимости трещиностойкости II Изв. АН СССР. МТТ. 1975. № 5. С. 127-133.

Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974.455 с.

Вылекжанин В.Д. Некоторые изопериметрические соотношения в теории кручения гиперболических стержней при установившейся ползучести // Инж. журн, МТТ. 1967. №4. С. 151-154.

Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехтеориздат, 1953. 264 с.

Гвоздев А.А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М.: Стройиздат, 1949. 273 с.

Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 228 с.

Гольдштейн Р.В. Плоская трещина произвольного разрыва в упругой среде И Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 3. С. 111-126.

Гольдштейн Р.В. К пространственной задаче теории упругости для тел с плоскими трещинами произвольного разрыва: Препр. ИПМ АН СССР № 122. М., 1979. 65 с.

Гольдштейн Р,В. Некоторые вопросы механики разрушения крупногабаритных конструкций // Механика разрушения. Разрушение конструкций. М.: Мир, 1980. С. 228-255.

Гольдштейн Р.В. Задачи теории упругости с неизвестной границей трещины // Физ.-хим, механика материалов. 1986. №2. С. 7-14.

Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Вариационные оценки для коэффициента интенсивности напряжений на контуре плоской трещины нормального разрыва // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. № 3. С. 59- 64.

Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Некоторые качественные методы в механике разрушения: Препр. ИМП АН СССР №76. М・，1976.53 с.

Гольдштейн Р.В*, Ентов В.М. Качественные методы в механике разрушения // Математические методы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1986. С. 36-44.

Гольдштейн Р.В., Ентов В.М., Павловский Б.Р. Модель развития водородных трещин в металлах // Докл. АН СССР. 1977. Т. 237, № 4. С. 828-831.

Гольдштейн Р.В., Ентов В.М., 3〃・ зовский А.Ф. Решение смешанных краевых задач прямым вариационным методом: Препр. ИПМ АН СССР № 78. М., 1976.54 с.

Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В. Равновесие полостей и трещин - разрезов с областями налегания и раскрытия в упругой среде // ПММ. 1986. Т. 50, вып. 5. С. 826-834.

ГольдштейнР.В., Житников Ю.В. Численно-аналитический метод решения про странств енных смешанных задач // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. № 4. С. 28- 35.

Гольдштейн Р.В., Капцов А.В. Формирование структур разрушения слабо взаимодействующих трещин // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. № 4. С. 173-182.

Гольдштейн Р.В., Капцов А.В., Корельштейн Л.Б, Асимптотическое решение пространственных задач теории упругости о вытянутых плоских трещинах отрыва // ПММ. 1984. Т. 48, вып. 5. С. 854-863.

Гольдштейн Р.В., Спектор А.А. Вариационные оценки решений некоторых спешанных пространственных задач теории упругости с неизвестной границей // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 2. С. 82- 94.

Гольдштейн Р.В., Спектор А.А. Вариационный метод исследования пространственных смешанных задач о плоском разрезе в упругой среде при наличии проскальзывания и сцепления его поверхностей // ПММ. 1983. Т.47,вып, 2. С. 276-285.

Гольдштейн Р.В., Спектор А.А. Вариационные методы решения и исследования пространственных контактных и смешанных задач теории упругости с условиями в форме неравенств: Препр. ИПМ АН СССР № 219. М., 1983. 66 с.

Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. Изопериметрические неравенства и оце-

нки некоторых интегральных характеристик решения пространственной задачи теории упругости для тела с плоскими трещинами нормального разрыва // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 2. С. 68-79.

Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. Некоторые энергетические методы построения оценок в пространственных задачах теории упругости о плоских трещинах произвольного разрыва // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. №4. С. 61-76.

Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. Пространственная задача теории упругости для тел с трещинами: Препр. ИПМ АН СССР № 187. М., 1981. 66 с.

Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. Теоремы сравнения для некоторого класса псевдодифференциальных уравнений и их приложения // Докл. АН СССР. 1982. Т. 262,№5.С. 1113-1116.

Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. Плоская трещина произвольного разрыва в ограниченном упругом теле // ПММ. 1982. Т. 46, вып. 3. С. 472-481.

Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. Оценки и приближенные формулы в задаче теории упругости о плоской трещине нормального разрыва 〃 Изв. АН СССР. МТТ. 1983. № 1.С. 120-127.

Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536 с.

Данилов В.Л., Кац Р.М. Гидроди- намические расчеты взаимного вытеснения жидкостей в пористой среде. М.: Недра, 1980. 264 с.

Друккер Д, Прагер В., Гринберг X. Расширенные теоремы о предельном состоянии для непрерывной среды // Механика: Сб. пер. М.: Мир, 1953. Вып. 1. С. 98-106.

Дюво Г, Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.

Ентов В.М. Об аналогии плоской фильтрации и продольного сдвига нелинейноупругих и пластических тел 〃 ПММ. 1970. Т. 34, вып. 1.С. 162-171.

Ентов В.М. Некоторые проблемы математической теории фильтрации // Зап. ЛОМИ АН СССР. 1980. Т. 96. С. 30- 38.

Ентов В.М., Костерин А.В., Скворцов Э.В. Об оценке расхода фильтрационного потока II Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. №2. С 80-87.

Ентов В.М., Малахова Т.А., Панков В.Н., Панько С.В. О расчете предельно равновесных целиков при вытеснении вязкопластической нефти водой из

слоисто-не однородного пласта // ПММ. 1980. Т. 44, вып. 1.С. 113-121.

Ентов В.М,, Панков В.Н., Панько С.В. К расчету целиков остаточной вязкопластичной нефти // ПММ. 1980. Т. 44, вып. 5. С. 847-856.

Ентов В.М., Панков В.Н., Панько С.В. О форме целика остаточной вязкопластичной нефти при разработке круговой залежи // Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. №4. С. 86-93.

Ентов В,М., Панько СА К вариационной формулировке задачи о целиках остаточной нефти // ПММ. 1984. Т. 4 8, вып. 6. С. 966-97 2.

Ентов В.М., Салганик 尸.〃.К модели хрупкого разрушения Прандтля // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. № 5. С. 87- 99.

Захаревич И.С. О вариации решений интегродифференциальных уравнений смешанных задач теории упругости при вариации области // ПММ. 1985. Т. 49, вып. 6. С. 961-968.

Ильинский Н.В., Пота шов А.В. Краевые задачи теории взрыва. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986. 180 с.

Ильюшин А.А. Деформация вязкопластического тела // Учен. зап. МГУ. 1940. Вып. 39. С. 3-81.

Капцов А.В., Шифрин Е.И. Плоская трещина, к поверхностям которой приложены нормальные гармонические изменяющиеся во времени усилия // Тр. Всесоюз. симпоз. по распространению упругих и упруго пластических волн. Новосибирск: Зап.-Сиб. кн. изд-во, 1986. С. 129-136.

Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

Керчман В. И. Экстремальные свойства упругой энергии и новые вариационные принципы в односторонних задачах для штампов и трещин // Изв. АН СССР. МТТ. №5. С. 68-77.

Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979. 208 с.

Кобелев В.В. Доказательство изопериметрического неравенства Сен- Ве- нана о скручиваемом стержне максимальной прочности // Докл. АН УССР. Сер. физ.-мат. 1987. № 10. С. 25-27.

Костерин 4А, Скворцов Э.В. Об оценке минимального расхода при заданной площади области фильтрации // Исследования по подземной гидромеханике. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1983. Вып. 6. С. 47-57.

Котляр Л.М., Скворцов Э.В, Плоские стационарные задачи фильтрации жидкости с начальным градиентом. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1978. 142 с.

Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 394 с.

Крейн С.Г. О вариации области для эллиптических задач // Studia Mathe- matica. 1968. Vol. 31,N4. P. 411-424.

Курант 戶.，Гильберт Д. Методы математической физики. М.: Гостехтеор- издат, 1951. 476 с.

Курант 戶.Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.

Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 136 с.

Лаврентьев М.А. Конформные отображения. М.: Гостехтеориздат, 1946. 159 с.

Лебедев Н.Н. Специальные функции и некоторые их приложения. М.: Физматгиз, 1963. 380 с.

Лионс Ж,Л, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:Мир, 1972.587 с.

Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976.367 с.

Лурье А.И. Обобщение решения акад. Б.Г. Галеркина на случай динамических уравнений теории упругости // Тез. докл. Всесоюз. конф, по строит, механике М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1938. С. 60-61.

Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехтеор- издат, 1955. 492 с.

Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

Лурье К.4, Черкаев А.В. Эффективные характеристики композиционных материалов и оптимальное проектирование элементов конструкций // Успехи механики. 1986. Т. 9, № 2. С. 4- 81.

Люстерник Л.А. Выпуклые тела. М.; Л.: Гостехтеориздат, 1941. 136 с.

Ляв А. Математическая теория упругости. М.; Л.: Глав. ред. общ.-техн. лит. и моногр., 1935. 647 с.

Ляшко И.И., Великоиванен- ко И.М., Лаврик В.И., Мистецкий Г.Е, Метод мажорантных областей в теории фильтрации. Киев: Наук, думка, 1974. 200 с.

Маскет М. Течение однородных

жидкостей в пористой среде. М.: Гос- топтехиздат, 1949. 628 с.

Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике. М.: Мир, 1978. 210 с.

Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.; Л.: Гостехтеориздат, 1952. 250 с.

Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. 254 с.

Морозов НФ. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 255 с.

Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений жестковязкопластических сред, М.: Изд- во МГУ, 1971. 114 с.

Мосолов П,П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981. 208 с.

Моссаковский В.И. Применение теоремы взаимности к определению суммарных сил и моментов в простракст- венных контактных задачах // ПММ. 1953. Т. 17, вып. 4. С. 477-482.

Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

Николаи Е.Л. Труды по механике. М.: Гостехтеориздат, 1955. 583 с.

Олейник О.А. О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа // Мат. сб. 1952. Т. 30, №3. С. 695-702.

Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. К.: Наук .думка, 1968. 246 с.

Панасюк В,В., Андрейкив А.Е., Стадник М.М, Пространственные задачи теории трещин. Ч. 1-3. Физ.-хим. механика материалов. 1979. № 4. С. 39-55; №5. С. 45-65, №6. С. 17-26.

Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наук, думка, 1976. 443 с.

Петухов И.М., Линьков А.М. Теория защитных пластов. М.: Недра, 1976. 223 с.

ПО. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.

Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физматгиз, 1962. 336 с.

Положий Г\Н. Метод движения граничных точек и мажорантных обла-

стей в теории фильтрации // Укр, мат. журн. 195 3. Т. 5, № 4. С. 3 80-400.

Положий Г.Н. Вариационные тео.- ремы плоской и осесимметричной фильтрации в однородной и неоднородной средах 〃 Укр. мат. журн. 1954. Т. 6, № 3. С. 333-348.

Полубаринова-Кочина П.Я. К вопросу о перемещении контура нефтеносности 〃 Докл. АН СССР..1945.

Т. 47,№4.С. 254-25 7.

Полубаринова-Кочина П.Я. О неустановившихся движениях в теории фильтрации. О перемещениях контура нефтеносности // ПММ. 1945. Т. 9, № 1. С. 79-90.

Полубари но ва -Ко чи на П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977.664 с.

Прагер В. Вариационные принципы линейной статической теории упругости при разрывных смещениях, деформациях и напряжениях // Механика: Сб. пер. М.: Мир, 1969. Вып. 5. С. 139- 144.

Прандтль 〃.，Титьенс О. Гидроаэромеханика. М.: ОНТИ НКТП СССР, 1932. Т. 1. 222 с.; 1935. Т. 2. 283 с.

Похожаев В.И. О собственных функциях уравнения △“ + А/(〃) = 0 // Докл. АН СССР. 1965. Т. 165, № 1. С. 36-39.

Рабинович В.Л., Спектор А.А. Решение некоторых классов пространственных контактных задач с неизвестной границей // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. №2. С. 93-100.

Развитие теории контактных задач в СССР. / Под ред. Л.А. Галина. М.: Наука, 1976.493 с.

Разрушение / Под общ.ред. Г. Ли- бовица. Т. 1-7. М.: Мир, 1973. 616 с.; 1975. 764 с.; 1976. 797 с.; М.: Машиностроение, 1977. 400 с.; 1977. 464 с.; М.: Металлургия, 1976. 496 с.; М.: Мир, 1976. Ч. 1. 634 с.; Ч. 2. 469 с.

Рейснер 3. О некоторых вариационных теоремах теории упругости // Проблемы механики сплошной среды. М.: Наука, 1961. С. 328-337.

Рэлей Дж. Теория звука. М.; Л.: Гостехтеориздат, 1955. Т. 1. 500 с.; Т. 2. 476 с.

Салганик Р.Л. Механика тел с большим числом трещин // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. № 4. С. 149-158.

Сапонджян О,М. Изгиб свободно опертой полигональной плиты // Изв. АН АрмССР, 1952. Т, 5, № 2. С. 29-46,

Сейвинс Дж. Неньютоновское течение в пористой среде // Механика: Сб. пер. М.: Мир, 1974. Вып. 2. С. 59-115.

Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. М.: Физматгиз, 1961. 219 с.

Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высш, шк., 1969. 608 с.

Спектор А.А. Вариационный метод исследования контактных задач с проскальзыванием и сцеплением // Докл. АН СССР. 1977. Т. 236, № 1. С. 39-42.

Спектор А.А. Некоторые пространственные статические контактные задачи теории упругости с проскальзыванием и сцеплением // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. №3. С. 12-25.

Спектор А.А. Вариационные методы исследования некоторых классов пространственных задач о контакте упругих тел при наличии трения // Докл. АН СССР. 1982. Т. 265, № 3. С. 5 92-5 96.

Тамм И.Е. Основы теории электричества. Изд. 9-е, испр. / Учеб, пособие для студентов физ.出ак. ун-тов. М.: Наука, 1976. 616 с.

Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576 с.

Тонти Э. Вариационные принципы в теории упругости 〃 Механика: Сб. пер. М.: Мир, 1969. Вып. 5. С. 124- 138.

Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости / Ред. В.Д. Купрадзе. М.: Наука, 1976.663 с.

Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974. 159 с.

. Хилл Р. Новые доказательства некоторых экстремальных принципов теории упругости // Механика: Сб. пер. М.: Мир, 1965. Вып. 2. С. 130-136.

Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Пер. с англ. В.С. Бермана и В.Г. Маркова под ред. Ю.А. Буевича. М.:Мир, 1976.630 с.

Христианович С.А. Движение грунтовых вод, не следующее закону Дарси 〃 ПММ. 1940. Т. 4, вып. 1. С. 33- 52; Христианович С.А. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1981.

Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостоптехиздат, 1963. 396 с.

Шифрин Е.И. Плоская трещина нормального отрыва при наличии линей-

ных связей между ее поверхностями // Изв. АН СССР. МТГ. 1982. № 3. С. 80-86.

Шифрин Е.〃. Оценки решения задачи о плоской трещине нормального разрыва в материале со степенным упрочнением // Изв. АН Арм. ССР. 1984. Т. 37, №4. С. 31-43.

Эскин П〃. Краевые задачи для эллиптических пс евд одифференциа льных уравнений. М.: Наука, 1973. 232 с.

Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М,: Изд-во иностр, лиг., 1963. 247 с.

Якимов Н.Д. Вариационные теоремы для задач с кривыми депрессии / Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976. Вып. 13. С. 258-275.

Якимов Н,Д, Качественные методы исследования задач механики сплошной среды с неизвестными границами: Дис... д-ра физ-мат. наук. Казань: Изд-во Казан,ун-та, 1987. 467 с. Машинопись.

Ярема С.Я. О стабилизации напряжений около вершины растущей трещины (вопросы исследования замедленного разрушения) // Проб л. прочности. 1975 № 8. С. 15-18.

Alvino A., Lions Р.•丄.，Trombel- li G. A remark on comparision results via symmetrization // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A. 1986. Vol. 102, Part 1/2. P. 37-48.

Anderson N., Arthurs A.M. Upper and lower bounds for the torsional stiffness of a prismatic bar // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 197 2. Vol. 328, N 15 7 3. P. 295-299.

Aronsson G. An Integral Inequality and Plastic Torsion // Arch. Rat. Meeh. Anal. 1979. Vol 72, N 1. P. 23-39.

Arthurs A M, Complementary variational principles. Oxford: Univ. Press, 1970/95 p.

Babuska Z Die Abhangigkeit der Losung der Elastizitatsprobleme von kleinen Veranderungen des Definitionsge- biets 〃 ZAMM. 1959. Bd. 39, H. 9/11. S. 411-412.

Bandle C. Estimates for the Green's functions of elliptic operators // SIAM J. Math. Anal. 1978. Vol. 9, N 6. P. 1126- 1136.

Bandle C On isoperimetric gradient bounds for poisson problems and problems of torsional creep 11 ZAMP. 1979. Vol. 30, N4. P. 713-715.

Bandle C Isoperimetric inequalities and applications. Boston: Pitman Publ. Inc., 1980. 227 p.

220

Bandle C A remark on a paper by Payne and Phillipin // SIAM J. Math. Anal. 1979. Vol. 10, N 6. P. 1244-1245.

Bazan t Z. Three-dimensional harmonic functions near termination of gradient singularity lines: a general numerical method. 〃 Int. J. Eng. Sci. 1974. Vol. 12, N3. P. 221-243.

Beesack P.R. Isoperimetric inequalities for the nonhomogeneous clamped rod and plate // J. Math. Meeh. 1959. Vol. 8, N4. P. 471-482.

Bramble J.H., Payne L.E. A priori bounds in the first boundary value problem in elasticity // J. Res. Nat. Bur. Stand. (B). 1961. N 2. P. 269-27 6.

Bramble J.H., Payne L.E. Some inequalities for vector functions with applications in elasticity // Arch. Rat. Meeh. Anal. 1962. Vol. 11, N 1. P. 16-26.

Brener S., Roseman J.J. An i£ tegral bound for the strain energy in nonlinear elasticity in terms of the bounbary displacements // J. of Elasticity. 1979. Vol. 9,N l.P. 21-27.

Caffarelli L.A., Friedman A. The free boundary for elastic-plastic torsion problems 〃 Trans, of the Amer. Mat. Soc. 197 9. Vol. 25 2, N l.P. 65-97.

Darcy H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. Paris, 1986. 647 p.

Day W.4 An estimate for work in nonlinear viscoelasticity // Quart. J. Meeh. Appl. Math. 1977. Vol. 30, pt 4. P. 467 - 474.

Diaz JB, Greenberg HJ. Upper and lower bounds for the first boundary value problem of elasticity // Quart. Appl. Mathem. 1948. Vol. 6, pt 3. P. 326-3 31.

Diaz J.R, Payne LE Mean value theorems in the theory of elasticity 〃 Proc. Third U.S. Nat. Congr. Appl. Meeh. ASME. 1958. P. 293-303.

Ergun £ Fluid flow through packed columns II Chem. Engng. Progr. 1952. Vol. 48, N l.P. 89-94.

Finn RS., Gillbarg D. Asymptotic behaviour and uniqueness of plane subsonic flows // Comm. Pure Appl. Math. 1957. Vol. 10, N l.P. 23-63.

Flavin J.N. Bounds for torsional rigidity with no end warping // J. of Appl. Mathem. and Physics (ZAMP). 1972. Vol. 2 3, N 6. P. 999-1002.

Flavin J.N. Bounds for the torsional rigidity of an isotropic cylinder with no end warping // J. of Elasticity. 1975. Vol. 5, N3/4. P. 217-225.

Flavin J.N. Some isoperimentric bounds for the torsional rigidity of anistro-

pic elastic cylinders // Proc. Roy. Irish. Ac. 1975. Vol. 75, ser. A, N 15. P. 183-194.

Forchheimer P. Wasserbewegung durch Boden // Z. Deutsch. Ing. 1901. Bd. 45.S. 1782-1788.

Friedmann A. Variational principles and free-boundary problems. N.Y.: Wiley, 1982. 709 p.

Fu S., Wheeler L. Stress bounds for bars in torsion // J. Elasticity. 1973. Vol.3,N l.P. 1-13.

Gilbarg D. Comparison methods in the theory of subsonic flows 11 J. Rational Meeh. Anal. 195 3. Vol. 2,N 2. P. 2 3 3-2 51.

GUlbarg D., Shiffman M On bodies achieving extreme values of the critical Mach number 1 // J. Rat. Meeh. Anal. 1954. Vol. 3,N2.P. 209-230.

Goldstein R.V., Entov 匕M Variational bound and qualitative methods in fracture mechanics 〃 Fracture. 1977. 4, ICF 4, Waterloo, Canada, 1977. P. 93-121.

Goldstein R.V., Entov V.M. Variational bounds of the stress intensity factor at the edge of a plane opening mode crack // Int. J. Fracture. 1975. Vol. 11, N6.P. 955-961.

Goldstein R.V., Kaptsov A,V„ Korelstein LE Asymptotic solution of thrее-dimensional elasticity problems of elongated plane tensile cracks 〃 J. of Fracture. 1986. Vol. 31, N 1. P. 83-104.

Griffith A.A. The phenomena of rupture and flow in solids 〃 Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1920. Ser. A. Vol. 221, N 587.P. 163-198.

Griffith A.A. The theory of rupture // Proc. First Intern. Congr. Appl. Meeh./ Ed. C.B. Biezeno, J.M. Burgers. Delft: Waltman, 1924. P. 55-63.

Haugazeau У. Sur des inequations variationnelles // C.R. Acad. Sci. Paris. 1967. Vol. 265. P. 95-98.

Hill R. Elastic properties of reinforced solids： some theoretical principles // J. Meeh. Phys. Solids. 1963. Vol. 11, N 5. P. 357-372.

Hopf E. Elementare Bemerkungen liber Lbsungen partie Ue Differential-Glei- chungen z we iter Ordnung vom elliptischen Typus II Sitzungsberrichte Akad. Berlin. 1927. S. 147-152.

Irwin G.R. Fracture mechanics // Structural mechanics / Proc, of the first Symposium on naval structural mechanics, Aug. 11-14, 1958 / Ed. J.N. Goodier, N.J. Hoff. Oxford: Pergamon Press, 1960. P. 557-591.

Keller J.B., Kleinman R.E., Senior T.B.A. Dipole moments in Rayleigh scat

tering // J. Inst. Math. Appl. 1972. Vol. 9, N l.P. 14-22.

Knowles J.K., Sternberg E. On Saint-Venant's principle and the torsion of solids of revolution // Arch. Rat. Meeh. Anal. 1966. Vol. 22, N 2. P. 100-120.

Kohler-Jobin M.T. Isoperimetric monotonicity and isoperimetric inequalities on Payne-Rayner type for the first eigenfunction of the Helmholtz problem // J. Appl. Mathem. Phys. (ZAMP). 1981. Vol. 32,N6.P. 625-646.

Kohler-Jobin M.T. Symmetrization with equal Dirichlet integrals // SIAM J. Math. Anal. 1982. Vol. 13, N 1. P. 153- 161.

Koiter W.T. On the principle of stationary complementary energy in the nonlinear theory of elasticity 〃 SIAM J. Appl. Math. Anal. 197 3. Vol. 25 3. P. 424- 434.

Laws N. The use of energy theorems to obtain upper and lower bounds // J. Inst. Math. Appl. 1975. Vol. 15, N 2. P. 109-119.

Maxwell J.C. Electricity and magnetism. Oxford: Clarendon Press, 1892.

Mechanics of Fracture. 2. Three- dimensional crack problems / Ed. G.C. Sih. Leyden: Nordhoff Int. Publ., 1975. 452 p.

Noble B., Sewell M.J. On dual extremum principles in applied mathematics // J. Inst. Math. Appl. 1972. Vol. 9, N l.P. 123-193. .

Payne L.E. Isoperimetric inequalities and their applications // SIAM Review. 1967. Vol. 9, N 3. P. 45 3-488.

Payne L.E. Bounds for the maximum stress in the St. Venant torsion problem // Indian J. Meeh. Math. Special issue. 1968. P. 51-59.

Payne LE, Philippin GS. Some applications of the maximum principle in the problem of torsional creep // SIAM J. Appl. Math. Anal. 1977. Vol. 33, N 3. R 446-455.

Payne L.E., Phillipin G.A. Isoperimetric inequalities in the torsion and clamped membrane problems for convex plane domains // SIAM J. Math. Anal. 1983. Vol. 14,N6. P. 1154-1162.

Payne L.E., Sperb R., Stackgold I. On Hopf type maximum principle for convex domains 11 Nonlinear Anal. 1977. Vol.l,N5.P. 547-559.

Payne L.E. "Best possible^^ maximum principles 11 Mathematical models and methods in mechanics. Banach center publ. W-wa: PWN-Polish scientific publishers, 1985. Vol. 15. P. 610-643.

Prager W. On slow visco-plastic flow I/ Studies in Mathematics and Appl. Mechanics, Mises Anniversary Volume. N.Y.： Acad. Press, 1954. P. 208-216.

Protter M.N., Weinberger H.F. Maximum principles in differential equations. Prentice-Hall, 1967. 261 p.

Reissner E. On a variational theorem in elasticity 〃 J. Math, and Phys. 1950. Vol. 29,N2. P. 90-95.

Reissner E. On bounds for the torsional stiffness of shafts of varying circular cross section // J. of Elasticity. 197 8. Vol. 8, N2.P. 221-225.

Reissner E. Upper and lower bounds for deflections of laminated cantilever beams including the effect of transverse shear deformation // Trans, of the ASME. J. of Appl. Meeh. 1973. Vol. 40, N4. P. 988-991.

Schwarz B. Bounds for the principal frequency of the nonhomogeneous membrane and for the generalized Dirichlet integral // Pac. J. of Math. 1957. Vol. 7, N4.P. 1653-1676.

Shibuya T., Nakahara /., Koizumi L. The axisymmetric destribution of stresses in an infinite elastic solid containing a flat annular crack under internal pressure // ZAMM. 1975. Bd. 55, H. 7/8. S. 395-402.

Shield R.T., Fosdick R.L. Extremum principles in the theory of small elastic deformations superposed on large elastic deformations // Progress in Applied Mechanics: The Prager anniversary volume. N.Y.: The Macmillan Company; L.: Collier Macmillan Ltd, 1963. P. 107-125.

Sneddon IN, Tait R.J. The effect of a penny-shaped crack on the distribution of stress in a long circular cylinder // Int. J. Engng. Sci. 1963. Vol. 1, N 3.P. 391-409.

Sneddon I.N., Welch J.T. A note on the distribution of stress in a cylinder containing a penny-shaped crack 〃 Int. J. Engng. Sci. 1963. Vol.l, N 3.P. 411-419.

Sperb R.P. A priori-schianken ftir das Energieintegral in einem Rand- wertproblem mit einem Parameter 〃 ZAMP. 1972. Vol. 23, N 6. P. 994-998.

Sperb RE Maximum principles and their applications. N.Y.: Academic Press, 1981. 224 p.

Srivastava K.N., Dwivedi J.R. The effect of a penny-shaped crack on the distribution of stress in an elastic spheres // Int. J. Engng. Sci. 1971. Vol. 9, N4.P. 399-420.

Synge J.L. The hypercircle in mathematical physics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1957. 424 p.

Synge J丄.Upper and lower bounds for the solutions of problems in elasticity// Proc. Roy. Irish. Ac. 1950. Vol. 53 (A). P. 41-64.

Tanaka T., Atsumi A. A fiber composite with a penny-shaped crack 〃 Lett. Appl. Eng. Sci. 1975. Vol. 3. P. 155 — 165.

The surface crack: physical problems and computational solution 〃 ASME Winter Annual Meeting, Nov. 1972. N.Y.: ASME, 1972. 202 p.

Thomson W., Tait P.G. Elements of Natural Philosophy. L., 1867. 421 p.

Ting ZW. Elastic-plastic torsion problem // Arch, for Rat. Meeh, and Anal. 1967. Vol. 25, N 5. P. 342-366.

Ting T.W. Elastic-plastic torsion problem 〃 Arch, for Rat. Meeh, and Anal. 1969. Vol. 34, N 3. P. 228-244.

Ting T. W. The ridge of a Jordan domain and completely plastic torsion 〃 J. of Math, and Meeh. 1966. 15, N 1. P. 15-47.

Villaggio 尸.Qualitative methods in elasticity. Leyden: Noordhoff, 1977. 686 p.

Walpole L. Strengthening effects in elastic solids // J. Meeh. Phys. Solids. 1970. Vol. 18, N 5. P. 343-35 8.

Washizu K. Variational methods in elasticity and plasticity. Oxford: Pergamon Press, 1982. 540 p.

Weinberger H.F. Upper and lower bounds for torsional rigidity 〃 J. of Math, and Phys. 195 3. Vol. 3 2, N 1. P. 54-62.

Weinberger H.F., Serrin J.B. Optimal shapes for brittle beams under torsion // Количественный анализ и его приложения. М.: Наука, 1978. С. 88-91.

Westbrook D.R. The torsional rigidity of tubes of constant normal thickness // Proc. Camb. Phil. Soc. 1964. Vol. 60, N4. P. 1023-1026.

Wheeler 丄.The problem of minimizing stress concentration at a rigid inclusion 〃 J. Appl. Meeh. 1985. Vol. 52, N 1. P. 83-86.

Wheeler £., Fu S.L. Stress bounds for twisted bars of strip cross section // Int. J. Sol. Struct. 1974. Vol. 10, N 4. P. 461468.

Yin Wan-Lee. Zone estimated in the elastic-plastic torsional problem 〃 Quart. Appl. Math. 1977. Vol. 35, N 3. P. 410-414.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Глава 1

Качественные методы в теории фильтрации 5

Теория фильтрации. Первоначальные сведения 5

Теория фильтрации. Дальнейшие результаты и приложения 21

Качестветные методы в теории фильтрационных течений со свободными границами. 43

Глава 2

Качественные методы и оценки в задачах теории фильтрации вязкопластичных жидкостей 54

Плоские задачи двюкения однородной жидкости 54

Вариационные методы и оценки в теории целиков остаточной вязкопластичной нефти 65

Глава 3

Теория упругости. Уравнения. Некоторые представления решений. Задачи о трещинах 72

Основные уравнения теории упругости 72

Постановка задачи о квазихрупком разрушении. Критерий роста трещин .76

Представление Папковича-Нейбера общего решения уравнений равновесия упругого тела .. . .81

Формула Сомилианы. Дальние поля. Теорема о среднем .. . .86

Глава 4

Теория упругости. Энергетические теоремы и некоторые оценки 94

Некоторые энергетические теоремы теории упругости 94

Изменение энергии при изменении упругих постоянных ЮО

Глава 5

Локальные оцшки в теории трещин (механике разрушения) 105

Теоремы сравнения для коэффициента интенсивности напряжений на контуре плоской трещины нормального разрыва в безграничной среде. . .105

Теоремы сравнения для коэффициента интенсивности напряжений на контуре плоской трещины нормального разрыва при наличии линейных связей между ее поверхностями ПО

Некоторые следствия и применения теорем сравнения 113

Обобщения теорем сравнения для ограниченных тел с удаленными от плоской трещины границами 120

Теоремы сравнения для одного класса псевдо дифференциальных уравнений122

Глава 6

Оценки объема трещины, энергии среды с трещиной и приближенные формулы для коэффициента интенсивности напряжений 126

Объем трещины и энергия деформации тела с трещиной 126

Оценки сверху для объема трещины и полной потенциальной энергии тела с трещиной . 128

Оценки сверху объема трещины, расположенной в слое 139

Оценки снизу для объема трещины 141

Приближенные формулы для объема трещины 148

Приближенные формулы для коэффициента интенсивности напряжетий. .151

Г л а в а 7•

Энергетические оценки и достаточные условия разрушения (неразрушения) тела с трещиной нормального разрыва 155

Метод построения оценок коэффициента интенсивности напряжений через оценки полной потенциальной энергии тела с трещиной 155

Построение достаточных условий разрушения (неразрушения) тела с трещиной с помощью энергетических оценок. Экстремальные контуры трещин 160

Контуры постоянного коэффициента интенсивности напряжений. Оценки минимального и максимального значений коэффициента интенсивности вдоль произвольного контура 166

Глава 8

Задачи о трещинах с неизвестными границами, обусловленными взаимодействием поверхностей, и вариационные оценки 171

Задачи о трещинах нормального отрыва с частично налегающими (без трения) поверхностями 171

Задачи о трещинах при наличии трения между их взаимодействующим и поверхностями 182

Глава 9

Некоторые оценки в кинетической теории трещин 188

Критерий медленного роста трещин 188

Оценки долговечности тела с трещиной . . 189

Энергетические оценки снизу долговечности тела с трещиной 191

Глава 10

Оценки в задаче о кручении призматического стержня 197

Кручение однородного стержня. Локальные оценки 197

Кручение однородного стержня. Изопериметрическое неравенство201

Кручение неоднородных стержней. Изопериметрическое неравенство . . .209

Приложение. О принципе максимума 213

Литература 215

СПИСОК ОПЕЧАТОК

Стр.

Стропа

Напечатано

Должно быть

4

11-я СВ.

Е. И. Воро-

Н. И. Воро-

жейкиной

жейкиной

15

17-я сн.

%

V?

32

9-я св.

%兀

%兀

86

7-я сн.

У

У

89

10-я сн.

1

1 -2v

193

18-я св.

LlM

20-я св.

23-н, 24-я св.

% 5

Зак. 1100

1 一2w5/4+//2

где7 определено формулой (2.55), 0<а<тг.

Решение задачи существует лишь при тех значениях свободного параметра d, при которых вдоль всей границы arg z & я/4 (см. рис. 14,〃)； предельное значение d равно d* = 0,940. При этом оказывается, что существует минимально допустимое значение безразмерной площади S3 冬 ^0,5П.

На рис. 15 показаны границы искомой области для нескольких значений параметров (табл. 2).

Связь между 0。и S() , как и в рассмотренной выше задаче, оказывается неоднозначной; она показана сплошной линией на рис. 16,л. Пунктиром показана зависимость Oo(S(>) для тривиального решения, отвечающего границе Г в виде полукруга. Если считать, что источник представляет собой окружность малого радиуса г <1, перепад давления равен Р, то для безразмерного расхода Q*, определенного выражением

e*= 〃2/2万%尸，(2.61)

из приведенного выше решения для точечного источника имеем

ё*= [ 1П { "("(0)*/4) } ] +。("/).(2.62)

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

Р.В.ГСШЬДШТЕЙН В.М.ЕНТОВ Качественные методы в механике сплошных сред

Ответственный редактор академик АН АрмССР Н.Х. АРУТЮНЯН

В

МОСКВА "НАУКА" 1989

УДК 517; 519.3; 532

Качественные методы в механике сплошных сред / Р.В. Гольдштейн, В.М. Ентов. - М.: Наука, 1989. - 224 с. - ISBN 5-02-006565-Х

Монография впервые дает систематическое изложение основных методов и результатов использования функционалов от условий задачи для оценки искомых величин без решения полной задачи в приложениях механики сплошных сред. Подробно рассмотрены задачи теории фильтрации, теории упругости, механики разрушения.

Для специалистов в области механики сплошных сред, прикладной математики и технических приложений механики сплошных сред, а также студентов и аспирантов соответствующих специальностей.

Табл. 10. Ил. 47. Биб ли огр. 231 назв.

Рецензенты:

доктор физико-математических наук Г.Н. Чернышев доктор физико-математических наук Н.Ф, Морозов

Научное издание

ГОЛЬДШТЕЙН Роберт Вениаминович

ЕНТОВ Владимир Мордухович

КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД

Утверждено к печати Институтом проблем механики

Редактор Н.В. Березникова. Художник Д.Л. Шпаков

Художественный редактор Н.Н. Михайлова

Технический редактор Л.Н, Богданова. Корректор Z". Шеповалова

Набор выполнен в издательстве на наборно-печатающих автоматах

ИБ№ 37108

Подписано к печати 01.02.89. Т — 00036. Формат 60 X 90 1/16

Бумага для глубокой печати

Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная

Усл.печл. 14,0. Усл.кр.-отт. 14,3- Уч.-издл. 15,0. Тираж 2500 экз.

Тип. зак. 1100. Цена 2 р. 60 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство "Наука"

117864 ГСП-7, Москва В-485, Профсоюзная ул.» д. 90

Ордена Трудового Красного Знамени 1-я типография издательства '*Наука''

199034, Ленинград В-34, 9-я линия, 12

1603040000-059

Г—80-89, кн. 2

055(02)-89

ISBN 5-02-0065 65-Х

© Издательство "Наука”，1989