Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый вниманию читателей очередной сборник серии ^Прочность и вязкоупругониастичность" объединяет работы по актуальным направлениям теории пластичности и механики разрушения. Обе эти области механики деформируемого тела интенсивно развиваются в большой мере, в связи с все возрастающими запросами практики. Проектирование и расчет конструкций, работающих в условиях исчерпания несущей способности, необходимость повышения их надежности и долговечности требуют углубленного изучения закономерностей нелинейного упругопластического деформирования материалов при сложном нагружении и процессов их разрушения.
Современные испытательные системы позволяют получить достоверные экспериментальные данные об упругопластических процессах при весьма сложных пространственных траекториях нагружения, изучить такие тонкие вопросы, как влияние времени на развитие упругопластических деформаций. Большой цикл экспериментальных результатов представлен в сборнике. Имеющиеся экспериментальные данные служат хорошей основой для анализа существующих и разработки новых теорий пластичности и наследственности, что видно из работ по теории пластичности, помещенных в сборнике. Содержащееся в этих работах обсуждение перспектив развития теории пластичности вызовет интерес читателей.
Большой цикл работ сборника посвящен различным аспектам механики разрушения. Наряду с феноменологическими критериями разрушения и прочности неоднородных материалов рассматриваются вопросы разрушения в рамках решеточных моделей. Приведены результаты моделирования процессов усталостного, динамического разрушения, а также процесса распространения ударных волн при дискретном моделировании материала. Уделено внимание закономерностям разрушения тел с трещинами и дефектами в условиях сжатия и сложного нагружения, изучены некоторые вопросы разрушения при наличии фазовых переходов.
В целом сборник отражает современные достижения и проблемы важных областей механики деформируемого тела и принесет пользу специа
листам.
Академик А.Ю. Ишлинский
УДК 5 39.3
МЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
РАСТУЩЕЙ ЛЕДЯНОЙ СОСУЛЬКИ
Н.Х. Арутюнян., С.С. Григорян, В.Э. Наумов
В настоящей статье рассматривается одно из приложений механики растущих вязкоупругих тел, связанное с определением напряженно-деформированного состояния и закономерности формообразования растущей ледяной сосульки. По-видимому, сосулька впервые становится предметом изучения с подобной точки зрения. Вполне возможно, что рассмотренная задача позволит выработать подход к решению других технологических и гляциологических проблем.
Введение. Одним из наиболее ярких примеров, иллюстрирующих понятие растущего твердого деформируемого тела, является знакомая всем ледяная сосулька. Рост сосулек происходит за счет воды, получающейся от таяния снега на крышах зданий под действием солнечной радиации. При стекании вдоль сосульки вода охлаждается до температуры замерзания и становится, таким образом, элементом объема сосульки. Росту сосулек способствует то обстоятельство, что они, как правило, расположены в тени, т.е. вне зоны прямого действия солнечных лучей, и, кроме того, аккумулируют ^^xoлoд^^ в ночное время. При благоприятных условиях могут ^вырастать9, сосульки длиной в несколько метров и массой в сотни килограммов. Ясно, что это создает дополнительную нагрузку на покрытия строительных сооружений, приводит к их повреждениям и, следовательно, должно рассматриваться как нежелательное явление. Кроме того, заметим, что растущие сосульки создают опасность для пешеходов.
Подчеркнем, что рост сосулек - весьма сложный физико-механический процесс. Комплексное исследование этой проблемы встречает значительные затруднения. Основанием для такого заключения является большое разнообразие физических явлений, сопровождающих переход воды из жидкого в твердое агрегатное состояние.
Ниже предлагается механическая модель процесса роста и таяния сосулек, которая позволит, по мнению авторов, выработать методику оценки ее напряженно-деформированного состояния и предсказать время ее разрушения, т.е. отрыва. Эта модель ни в коей мере не претендует на полноту и должна рассматриваться как "первое приближение,? на пути решения данной задачи.
Постановка задачи наращивания сосульки. Ограничимся предположением, что сосулька представляет собой вытянутую фигуру, длина которой значительно больше максимального размера поперечного сечения. Допустим, что сосулька прикреплена к плоской горизонтальной поверх-
Рис. 1. Ледяная сосулька, находящаяся под действием собственного веса и удерживаемая в равновесии за счет сил смерзания льда с поверхностью крепления в сечении z = О
ности, перпендикулярной ее продольной оси. Расположим начало прямоугольной системы
координат xyz в закрепленном сечении, а ось z направим вниз вдоль оси сосульки (рис. 1). Обозначим через S (Г, z) область поперечного сечения сосульки при фиксированном значении осевой координаты z в текущий момент времени Г, а через Q (г, z) - пространственную область, занятую льдом, расположенным ниже сечения z в этот же момент времени. Предположим, что все компоненты напряжения пренебрежимо малы по
сравнению с осевым напряжением oz = о. Уравнение равновесия сосульки будет
/o(t,x)dS = g / ps«，x)dQ,
SU,z)c«,z)(2.1)
где x = (x, у, z) — радиус-вектор рассмат-
риваемой точки произвольного поперечного сечения, ps (/, х) — плотность льда, g - ускорение свободного падения.
Введем в рассмотрение функцию е0 «, z), равную осевой деформации материала в точках, лежащих на оси z. Предположим, что скорость дефор
мации элементарного слоя льда после присоединения его к поверхности наращиваемой сосульки совпадает со скоростью деформации оси последней:
de x)/df = 0, z)/df. (2.2)
Интегрируя соотношение (2.2) по времени от момента присоединения приращиваемого слоя г* (х) до некоторого текущего значения г, будем иметь
£ 亿 X)= £о (Г, Z)— £о (т*(х), Z)+ £*(х), (2.3) где е* (х) — начальная осевая деформация, возникающая в момент присоединения к телу сосульки очередного слоя и связанная с "дефектом обь- ема” воды при замерзании. Сортношение (2.3) отражает тот факт, что затвердевающие элементы находятся в деформированном состоянии, не согласованном с состоянием основного тела. Напряжения в этих затвердевающих элементах будут зависеть, кроме начальной деформации е*, только от приращения осевой деформации сосульки после момента присоединения. Заметим, что соотношение (2.3) основано на предположении о том, что продольная ось сосульки не искривляется, а поперечные сечения в процессе деформирования остаются плоскими. Комментируя принятую гипотезу о характере деформированного состояния наращиваемых слоев сосульки, необходимо сделать оговорку о том, что использование соотно- тення (2.3) может, вообще говоря, привести к заметным погрешностям
при описании напряженно-деформированного состояния в окрестности свободного конца сосульки, который в принципе может иметь закругленную форму. Поэтому соотношение (2.3) будем считать справедливым всюду в рассматриваемой в данный момент области, исключая зону "краевого эффeктa^^ на свободном конце сосульки.
Пусть полная длина сосульки определяется монотонно возрастающей функцией I (Г), которая, вообще говоря, может быть как непрерывной, так и к у со чно -не п ре рыв но й со счетным числом разрывов. Обозначим через г* (z) момент времени, в который общая длина сосульки равна z. Ясно, что эта функция связана с ранее введенной функцией г* (х) соотношением т； (z) = г* (0, 0, z) . Нетрудно заметить, что функции /⑺ и т；⑵- взаимно обратные:
тГ(/(О) = Г, /(W(z))mz. (2.4)
Осевую деформацию на конце сосульки в текущий момент времени будем считать равной нулю:
(2.5)(2.5)во (Г,/(Г)) = О.
(2.5)
(2.5)
Для описания механического поведения льда при одноосном растяжении будем пользоваться определяющим соотношением нелинейной теории ползучести
dedtdedt1 d。"dt1 d。"dt+ Ko\+ Ko\(2・6)(2・6)
de
dt
de
dt
1 d。
"dt
1 d。
"dt
+ Ko\
+ Ko\
(2・6)
(2・6)
где Е - мгновенный модуль упругости (Е = const), К，几一константы, характеризующие ползучесть льда (К〉0, 〃〉1).
сулькиа - осесимметричная; б 一 плоская; соотношения поперечных и продольных размеров сосульки искаженысулькиа - осесимметричная; б 一 плоская; соотношения поперечных и продольных размеров сосульки искажены
сульки
а - осесимметричная; б 一 плоская; соотношения поперечных и продольных размеров сосульки искажены
сульки
а - осесимметричная; б 一 плоская; соотношения поперечных и продольных размеров сосульки искажены
В дальнейшем проанализируем два предельных случая - когда в уравнении (2.6) преобладающим является соответственно первый или второй член в правой части. Кроме того, ограничимся рассмотрением двух наиболее простых постановок задачи - осесимметричной и плоской. В осесимметричном случае сосулька представляет собой фигуру вращения. Соответствующая система координат — цилиндрическая (ось z направлена вдоль оси вращения вниз, ось г - перпендикулярно оси z в плоскости основания сосульки, координата 屮 явным образом в основные зависимости задачи не входит) • В случае плоской задачи предполагается, что продольная ось z является также и осью зеркальной симметрии сечения сосульки (рис. 2). В каждом случае будем предполагать, что процесс наращивания сосульки начинается в момент времени ^ = 0 от некоторой исходной конфигурации. Общую длину сосульки в исходной конфигурации обозначим через /0, а область поперечного сечения при фиксированном z £ [О, /0] - через So (z) •
Быстрый рост сосульки. Предположим, что рост сосульки происходит достаточно быстро, так что эффекты ползучести льда не успевают сколько-нибудь заметно проявиться. В этом случае определяющее уравнение (2.6) принимает форму закона Гука
е = о/Е.(3.1)
Уравнение равновесия сосульки (2.1) с учетом соотношений (2.3) и (3.1) перепишем в виде
£o(7*(x),z) + e*(x)]dS= 0 У [ / dS]若， (3.2)
где плотность льда для простоты считается постоянной (р$ 二 const) и введено обозначение 0 =gps/E.
Осесимметричный случай. Остановимся сначала на осесимметричной постановке задачи, когда радиус произвольного фиксированного сечения сосульки определяется монотонно возрастающей функцией R (Z, z), а радиус сечения в исходной конфигурации определяется функцией осевой координаты К。(z), 0 &z《/()・ Учитывая, что интегрирование по области S(f, z) в уравнении (3.2) в данном случае сводится к интегрированию по кругу радиуса R (Z, z), будем иметь
,R«,z)
-R2(tf z)e0(tfz)- / e()(7*&,z),z)rdr +
R°(z)
R«,z)0О c
/ e*(少"=二 / R2aK)若,(3.3)
R°(z)2z
где через г* (r,z) обозначен момент зарождения.
Во втором члене левой части выполним замену переменной интегрирования т* (г, z) = ^ принимая во внимание то обстоятельство, что координата z зафиксирована:
R«，z)faR(£z)
/ £о(т*亿 z)tz)rdr = f e0(^z)R(^z) ——— d£
R°(z)о英
Перепишем основное уравнение (3.3) в следующем виде:
。才a&&,z)
R2 & z) £о G z)-fe0 G，z)& (玄 z)dE =
KO cR«,z)
=-/ 火 «, 9若一 / e*(r)rdr
ZR°(z)
и продифференцируем его no t:
一 £*(R«,z))R 亿 z)一 £*(R«,z))R 亿 z)=6 / R(“)一^若zot3R亿z)=6 / R(“)一^若zot3R亿z)(3.4)(3.4)
一 £*(R«,z))R 亿 z)
一 £*(R«,z))R 亿 z)
=6 / R(“)一^若zot
3R亿z)
=6 / R(“)一^若zot
3R亿z)
(3.4)
(3.4)
Перенесем множитель перед Эе0/Эг в (3.4) в правую часть и проинтегрируем уравнение по времени от момента образования сечения z = const до некоторого текущего момента времени:
j Эе0 (t,z)j Эе0 (t,z)11道(z)道(z)ВтВт"20 /.建(z)灭 S，z)"20 /.建(z)灭 S，z)[/ К(тК)Z[/ К(тК)Zак（тК）ак（тК）ВтВтd^]dr -d^]dr -T；(z) R(T,Z)T；(z) R(T,Z)ВтВт(3.5)(3.5)
j Эе0 (t,z)
j Эе0 (t,z)
1
1
道(z)
道(z)
Вт
Вт
"20 /.
建(z)灭 S，z)
"20 /.
建(z)灭 S，z)
[/ К(тК)Z
[/ К(тК)Z
ак（тК）
ак（тК）
Вт
Вт
d^]dr -
d^]dr -
T；(z) R(T,Z)
T；(z) R(T,Z)
Вт
Вт
(3.5)
(3.5)
Произведя в первом слагаемом правой части рования по « и т, окончательно будем иметьe0(r,z) = 6°(z) + 2^ / [ / -г—-— z 當⑹ R S") ВтПроизведя в первом слагаемом правой части рования по « и т, окончательно будем иметьe0(r,z) = 6°(z) + 2^ / [ / -г—-— z 當⑹ R S") Втзамену порядка интегри-замену порядка интегри-dT]若-dT]若-
Произведя в первом слагаемом правой части рования по « и т, окончательно будем иметь
e0(r,z) = 6°(z) + 2^ / [ / -г—-— z 當⑹ R S") Вт
Произведя в первом слагаемом правой части рования по « и т, окончательно будем иметь
e0(r,z) = 6°(z) + 2^ / [ / -г—-— z 當⑹ R S") Вт
замену порядка интегри-
замену порядка интегри-
dT]若-
dT]若-
j 32)* 圻T：(z) R(T,Z)j 32)* 圻T：(z) R(T,Z)ВтВт(3.6)(3.6)
j 32)* 圻
T：(z) R(T,Z)
j 32)* 圻
T：(z) R(T,Z)
Вт
Вт
(3.6)
(3.6)
Величина e° (z) = e0 (t； (z) , z) в полученном выражении равна деформации оси сосульки в точке z = const в момент образования соответствующего сечения. Очевидно, что для области наращивания z > Zo величину е° (z) можно положить равной нулю (см. равенство (2.5) с учетом соотношений (2.4)). Что касается величины е° (z) при 0 <z </0, то она легко находится из уравнения равновесия в момент начала наращивания
(3.7)(3.7)北广意瑯9"
(3.7)
(3.7)
и полностью определяется конфигурацией исходной сосульки.
Таким образом, выражение (3.6) дает решение задачи о формировании напряженно-деформированного состояния упругой осесимметричной сосульки. Функции R(t, z) и /(f), определяющие закон формообразования сосульки, до сих пор считались заданными. В разд. 5 мы приступим к их определешш. Функция e*(z) в (3.6), определяющая начальную деформацию затвердевающей пленки жидкости, также считается заданной.
Плоский случай. Рассмотрим теперь задачу наращивания упругой сосульки в плоской постановке, когда продольное сечение сосульки симметрично относительно оси z, а его полуширина на произвольной фиксированной высоте z определяется монотонно возрастающей по t функцией X(f, z). Через Х0(и) будем обозначать полуширину сечения исходной сосульки. Рассуждая так же, как и в случае осевой симметрии, и практически повторяя все выкладки, будем иметь следующее выражение для деформации оси растущей упругой сосульки в плоском случае:
Q) tQ) tdr X(t,z)」dr X(t,z)」
Q) t
Q) t
dr X(t,z)」
dr X(t,z)」
(3.8)(3.8)/呼(『)).竺6旦行
(3.8)
(3.8)
T*(z) X(T,Z) Нт
где все обозначения имеют тот же смысл, что и в формуле (3.6). Начальная деформация e°(z) определяется здесь следующим образом:
e°(z) = —4-Моа)^, 0&Z&/。； e°(z) = 0, lQ<z<l(t). (3.9)
X()(z)z
Прочность растущей упругой сосульки. Один из основных вопросов, возникающих в связи с рассмотрением задачи наращивания сосульки, заключается в предсказании момента ее разрушения и отрыва под действием собственного веса. В качестве условия прочности и хрупкого разрушения льда в состоянии упругого деформирования обычно используется критерий максимальных допустимых напряжений [1,2]. Величину допустимого напряжения при упругом растяжении ледяного образца обозначим через о*. Тогда условие локального хрупкого разрушения сосульки, занимающей в момент разрушения область С*, имеет вид
а = а*, х G С*. (3.10)
В условиях рассматриваемой задачи необходимо также предусматривать возможность разрушения сосульки по участку ее крепления к не деформируемой поверхности основания. Прочность адгезионного сцепления льда с инородным материалом, измеренная в единицах напряжения, обычно называется силой смерзания и существенно зависит от различных параметров, в частности физико-механических свойств материала основания, шероховатости поверхности смерзания, температуры окружающей среды и т.п. Анализ экспериментальных значений силы смерзания льда с некоторыми распространенными в строительной практике материалами (например, бетоном или древесиной) при температуре окружающей среды — 5 °C приводит к заключению, что сила смерзания, как правило, несколько меньше прочности льда на растяжение (для соответствующей температуры и при прочих равных условиях), либо они имеют примерно одинаковые значения с точностью до разброса экспериментальных данных [1,2].
Обозначив (жлу смерзания льда с поверхностью основания через о** , условие локального разрушения в точках закрепленного сечения запишем в виде
。=。…х G 5°, (3.11)
где S° — область закрепленного сечения (z = 0) в момент разрушения. Если осевые напряжения в поперечном сечении ледяного стержня и нормальные напряжения на участке его сцепления с основанием распределены равномерно, то условие (3.10) или (3.11) будет служить критерием не только локального разрушения, но и условием частичного или. полно го отрыва сосульки. Однако в случае растущей сосульки напряжения согласно принятой модели деформирования распределены равномерно только в пределах исходного поперечного сечения сосульки. В целом же распределение напряжений в сечении растущей сосульки — неравномерное, так как напряжения в зоне наращивания формируются независимо от состояния основного тела сосульки. Поэтому условия (3.10), (3.11), вообще говоря, не могут служить критериями глобального разрушения и отрыва сосульки. Тем не менее разрыв исходного сечения сосульки делает ее состояние опасным с точки зрения прочности. Учитывая, что при оценке прочности сосульки в некоторых случаях, по-видимому, целесообразно исходить из нижнего предельного значения гравитационной нагрузки, будем считать, что достижение максимально допустимого уровня напряжений означает разрушение соответствующего сечения и отрыв расположенной ниже этого сечения части сосульки.
Обозначим через 幻 и tQ моменты времени, в которые достигаются предельные значения напряжений в соответствии с равенствами
max 0(G，x) = %, max a(t0,x) = %*. (3.12) X W Q* X W S°
Таким образом, отрыв сосульки происходит в момент времени £* = min«а，%). Если Zo < %а，то имеет место полный отрыв сосульки от поверхности крепления, если t^, < tOi то происходит частичный отрыв по разрушенному сечению.
Медленный рост сосульки. Рассмотрим теперь другой предельный случай, когда рост сосульки происходит настолько медленно, что скоростью изменения напряжений можно пренебречь. В этом случае определяющее уравнение имеет вид хорошо известного закона Глена [3] для льда
de/dt = Ко", (4.1)
где Кип — константы, характеризующие ползучесть льда в заданном диапазоне изменения температуры и других параметров окружающей среды. Обращение этого уравнения имеет вид
/ 1 d€\\m
Осесимметричный случай. Выполнив для данного случая преобразования уравнения равновесия (2.1), получим
R("，z)gPs ?(力)
/ Oit^rdr = — / R2(t，n^.(4.3)
о2 z
Здесь учтено, что скорости осевой деформации (а следовательно, и значения напряжений) исходного ядра сосульки и элементов зоны наращивания в рассматриваемом поперечном сечении равны в соответствии с принятой
гипотезой (2.2). Подставляя в (4.3) выражение (4.2), будем иметь 典]，(44)
dtLR2«,zJ z」
где обозначено у = K(gps)n = const.
Выражение (4.4) определяет поведение растущей сосульки в условиях нелинейной ползучести, описываемой уравнением состояния (4.1). При ЭТом, как и в случае быстрого роста сосульки, функции R (% z) и /«) считаются подлежащими определению.
Плоский случай. Рассуждая аналогичным образом, для плоского случая будем иметь следующее выражение для скорости деформации оси растущей сосульки в условиях нелинейной ползучести:
(4.5)
dtlX(f,z) zJ
где заданная функция X(f, z) равна полуширине сечения сосульки на высоте z в момент времени 厶 а все остальные обозначения имеют то же содержание, что и в формуле (4.4), относящейся к случаю осевой симметрии.
Прочность растущей сосульки в условиях ползучести. Ввиду большого числа разнообразных критериев прочности и разрушения материалов при ползучести выбор конкретного критерия применительно к условиям рассматриваемой задачи связан с определенными трудностями. По-видимо- му, наиболее простым критерием разрушения льда, отражающим особенности его деформирования в условиях ползучести, является критерий предельной скорости деформации (см. [1]):
de/dt = е*,(4.6)
где е* - критическое значение скорости деформации, при которой образец разрушается. Поскольку в рамках принятой кинематической гипотезы (2.2) скорости деформации ядра сосульки и присоединяемых элементов сечения равны, то критерии локального и глобального разрушения совпадают и выражаются уравнением е0 = е*, где е0 — скорость деформации оси сосульки.
Формообразование растущей сосульки. Как уже отмечалось, полученные выше формулы (3.6), (3.8), (4.4), (4.5) представляют собой решение задачи о формировании напряженного состояния сосульки с той оговоркой, что закономерность изменения ее геометрической формы, определяемая условиями тепломассообмена с окружающей средой, известна. Описание тепломассообмена тела сосульки со стекающей по ней водой, за счет частичного или полного замерзания которой происходит рост сосуль- ки，является отдельной и, скорее всего, не менее сложной задачей, чем анализ напряженно-деформированного состояния сосульки. Рассмотрим °Дин из возможных подходов к решению этой задачи.
1・ Задача о фазовом переходе для растущей сосульки. Строго говоря, Для анализа движения межфазовой границы при замерзании воды в процессе наращивания сосульки необходимо рассматривать полную математическую постановку задачи о фазовом переходе. Одна из возможных постановок — это двумерная двухфазная задача Стефана со свободной границей.
Однако получение решения подобной задачи в обозримом виде представляет значительные трудности. Поэтому упростим постановку задачи, ограничившись рассмотрением одномерной задачи Стефана в локальной системе координат (р s), когда фронт фазового перехода "веща—лед” движется вдоль координаты 匕 направленной вдоль внешней нормали к поверхности исходной сосульки (рис. 3).
Рис. 3. Одномерный фронт фазового перехода при замерзании воды в процессе наращивания сосульки
-°° < ^ < W«),-°° < ^ < W«),u =与⑴-0u =与⑴-0-kL—-.dp-kL—-.dpu =与⑴+ Оu =与⑴+ О(5.1)(5.2)(5.1)(5.2)Уравнение теплопроводности для льда и условие Стефана на межфазовой границе имеют вид [5]
-°° < ^ < W«),
-°° < ^ < W«),
u =与⑴-0
u =与⑴-0
-kL—-.
dp
-kL—-.
dp
u =与⑴+ О
u =与⑴+ О
(5.1)
(5.2)
(5.1)
(5.2)
Здесь Т§, TL— температуры льда и воды, ks и kL - коэффициенты теплопроводности твердой и жидкой фаз, с2 一 коэффициент температуропроводности льда,入一скрытая теплота фазового перехода, отнесенная к единице массы, pL 一 плотность воды. Точки и = ^- 0н〃 = 3 + 0 являются предельными точками на границе раздела фаз при стремлении к ней со стороны льда и воды. Точка р = —8 соответствует глубинным слоям льда в теле сосульки, расположенным достаточно далеко от границы фазового перехода.
Будем считать, что температура льда при р = —8 постоянна и ниже температуры фазового перехода. Предположим также, что температура воды постоянна и равна температуре замерзания.
Таким образом, дополнительно к соотношениям (5.1), (5.2) имеем следующие условия:
Q三о,心乳力 ts = tl = о, 〃Y«)；
Ts = To<O,叩-8・(5.3)
Аналогично [5] можно показать, что распределение температуры во льде и положение межфазовой границы определяются формулами
Ts（小）=Ts（小）=
Ts（小）=
Ts（小）=
(5.4)(5.4)КО = ab・
(5.4)
(5.4)
Здесь erf(x) - интеграл вероятностей (функция ошибок):
2%
erf(x) = —— fexp(-z2)dzf °
а константа а является решением следующего трансцендентного уравнения: l+erf(J「exp(-*)Ra,(5.5)
где D = -F\pLclQksTq)〉0. Легко видеть, что уравнение (5.5) всегда имеет корень а〉0.
Кинематика формообразования растущей сосульки. Выражение (5.4) определяет толщину слоя льда, присоединившегося к исходной поверхности сосульки, измеренную вдоль внешней нормали к ней. Исходную поверхность сосульки в координатах (х, z) = х (см. рис. 2, б) будем считать заданной в параметрической х = х0(т) или в координатной F0(x,z) = =х 一 X()(z) = 0 форме. Тогда поверхность льда в новом положении определится уравнением
х = х0 + ^VF0/| VF0 I,(5.6)
где ▽尸о - градиент функции Fo.
Учитывая, что в силу предполагаемой пологости поверхности сосульки выполняется неравенство dF0/dz « bF^/bx, векторное уравнение (5.6) можно свести к приближенному скалярному соотношению
X«,z) = X°(z) + 貝)(5.7)
где функция 扌(£)задана соотношениями (5.4), (5.5), а функции X(f, z) и У()(2)определяют полуширину плоского осевого сечения сосульки в текущем и исходном состояниях соответственно. Полученное приближенное выражение для функции X(Z, z) может непосредственно использоваться для определения напряженно-деформированного состояния сосульки по формулам (3.8), (3.9) или (4.5). Функцию /«) в этих формулах, равную длине растущей сосульки, будем определять на основе следующих соотношений:
f d/(T) dl Zo dW
Ю = /о + f ——dr, — =у . — .(5.8)
о ат at maxz A0(z) at
Рост сосульки в поперечном направлении на участке I。& z《/«) определяется при этом по формуле
X«,z)=第)-^(z)),(5.9)
где т； (z) — функция, заданная соотношениями (2.4).
Анализ результатов. Примем для определенности, что поверхность исходной сосульки имеет форму узкого клина:
х = +Ли ±В, Л >0 , 5〉0, D&z&BlA 三I*(5.10)
где коэффициент А достаточно мал.
Ограничимся рассмотрением упругой сосульки, напряженно-деформиро
ванное состояние которой определяется соотношениями (3.8), (3.9).
0 & z «，о,/о & z & 2(f).0 & z «，о,/о & z & 2(f).Положим в этих соотношениях £* = 0. Вычисления по формулам (3.8), (3.9), (5.4), (5.7)-(5.10) дают следующие результаты:
0 & z «，о,
/о & z & 2(f).
0 & z «，о,
/о & z & 2(f).
(5Л1)
Из выражений (5.11) видно, что наибольшее значение деформации льда достигается в сечении z = 0, т.е. на поверхности смерзания. При этом деформация е0(Л 0) монотонно возрастает во времени при наращивании со
сульки.
Допустим, что в момент начала наращивания Г = 0 выполняются условия прочности сосульки. Тогда из соотношений (3.1), (3.11) и первого выражения (5.11) получим следующую формулу для определения момента разрушения сосульки %:
Следует подчеркнуть одно важное, хотя и не совсем очевидное обстоятельство: напряженно-деформированное состояние растущей упругой сосульки существенно отличается от состояния такой же сосульки с идентичными геометрическими параметрами, но сформировавшейся (зародившейся) "мгновенно" или в таких условиях, когда силы тяжести начинают действовать по завершении формирования. Действительно, зафиксируем некоторую промежуточную конфигурацию растущей сосульки, соответствующую моменту времени /, и рассмотрим произвольное фиксированное сечение z* = const < Zo- При этом полуширина сосульки в этом сечении в соответствии с формулой (5.7) равна %(^,z*) = а\Д + Л (Zo - z*), а ее полная длина /(£)= /о + a\/t/А. Деформация соответствующей мгновенно сформированной сосульки (будем называть ее также стационарной) в рассматриваемом сечении выражается равенством €$(f, z*) = V^ + Psgl田Sz3、 где 忆* =卩(/) — z?X(厶 z*) — объем клинообразного тела сосульки, лежащего ниже сечения z*. Таким образом, имеем 前(f, z*) = @\/1 [А + + /о - z*)0/2. Сравнивая полученное значение с соответствующей деформацией сосульки €0(/, z*), сформированной за конечный промежуток времени [0, f] в поле сил тяжести (см. первое выражение (5.11)), запишем €о/€о = 2 - (1 + з)т = 1+(1 + w-1)-1, где величина а> = а^/i/[Л (Zo -z*)] определяет отношение толщины наросшего слоя льда к полуширине исходного поперечного сечения при фиксированном z* в рассматриваемый момент времени t.
Видно, что lim^ -> а>(ео/€о) = 2, т.е. деформация растущей плоской сосульки при достаточно большой толщине наросшего слоя льда практически в два раза (для осесимметричной сосульки — в три раза) больше деформации соответствующей стационарной сосульки. Аналогичное сравнение для участка /()《z*《/«), когда деформация €0(f,z*) определяется вторым выражением (5.11), дает отношение ео/ео = 2, т.е. ровно удвоенное (дляосе-
симметричного случая - утроенное) значение деформации для растущей сосульки по сравнению с деформацией стационарной сосульки.
Возникает вопрос: чем обусловлено такое значительное отличие упругих деформаций растущей и стационарной сосулек одинаковой конфигурации? Дело в том, что в случае растущей сосульки ее элементы воспринимают гравитационную нагрузку постепенно, по мере зарождения и приращивания. Вследствие этого распределение деформаций в поперечном сечении растущей сосульки существенно неравномерное: деформации внутренних элементов больше деформаций соответствующих элементов стационарной сосульки, которые воспринимают нагрузку одновременно, а деформации элементов, примыкающих к внешней поверхности сосульки, меньше. Указанный эффект усиливается при дальнейшем наращивании.
Таяние сосульки. При повышении температуры окружающего воздуха происходит радикальное изменение теплового баланса, имевшего место в случае роста сосульки. Прогревание слоя воды, стекающей вдоль сосульки, приводит к тому, что сосулька, несмотря на ее переохлаждение в ночное время, когда вода в питающем массиве замерзает, уже не в состоянии "воснрмнять" возрастающее количество тепловой энергии, которая выделяется при охлаждении воды. Сдвиг теплового баланса в дневное время обусловливает таяние льда и уменьшение общего объема сосулькй. Если ^таяние льда в дневное время протекает не очень интенсивно, то сосулька продолжает свое существование еще в течение нескольких суток. В утренние часы, когда температура воздуха невысока, она может наращиваться, а после прогревания воздуха таять.
Приступим к построению механической модели тающей ледяной сосульки. При этом ограничимся случаем плоской задачи, а для описания реологического поведения льда при таянии будем пользоваться законом Глена (4.1). Очевидно, что формирование напряжений и скоростей деформаций в этом случае по-прежнему определяется соотношением (4.5). В отличие от случая, растущей сосульки функции X(t9 f) и / (г) в уравнении (4.5) применительно к рассматриваемой ситуации будут монотонно убывающими функциями времени. Остановимся на исследовании закономерности формообразования тающей сосульки.
Гидродинамика стекания водяной пленки. Формообразование тающей сосульки определяется плавлением поверхностного слоя льда в процессе теплообмена с тонким слоем (пленкой) воды, стекающей вдоль внешней поверхности льда, начиная от верхнего закрепленного сечения сосульки. Количество воды, стекающей по сосульке, определяется режимом таяния льда и снега в питающем массиве. Зафиксируем некоторую начальную конфигурацию сосульки. Пусть форма исходной сосульки в начальный момент времени % = 0 описывается функцией х = X。(z). Таяние льда приводит к тому, что твердая поверхность сосульки становится фронтом фазового перехода ^лед—водам и перемещается в сторону внутренней нормали к исходной поверхности льда. Границу льда будем обозначать через
5*(。= {(x,z): x=X(t, z), z G [0, Z(0]} •
Будем предполагать, что поверхность сосульки В* достаточно пологая, т.е. угол отклонения касательной к поверхности В* от направления оси z
?5
мал и может быть представлен непрерывной функцией координаты z, производная которой также весьма мала. В рамках введенного предположения пленочное течение вдоль поверхности В* может быть проанализировано локально (в каждой точке поверхности В*) как гравитационное течение тонкого слоя вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости по наклонной плоскости (рис. 4).
Введем локальную систему координат (几 f), ось $ которой направлена вдоль наклонной плоскости, а ось ту— вдоль внешней нормали к ней (рис. 4). Составляя уравнение равновесия бесконечно тонкого слоя жидкости под действием касательных напряжений т = т (rj) и гравитационных сил, аналогично [4] получим (при выводе этого уравнения не учитывается переменность толщины слоя жидкости по f)
T0?) = PLgS-力)CDS a,(6.1)
где pL - плотность воды, h — толщина жидкого слоя.
Реологическое уравнение для вязкой ньютоновской жидкости имеет вид
T = -〃d〃/dq,(6 ⑵
где “ 一 скорость частиц в направлении оси f, д - коэффициент динамической вязкости.
Из соотношений (6.1), (6.2) найдем следующее выражение для скорости течения:
u = —- cos ag刀-g ) •(6.3)
Запишем теперь условие сохранения объема жидкости при течении по наююнной плоскости, не учитывая пока движение границы раздела фаз (рис. 5). С точностью до малых более высокого порядка получим
7〃^=外戸(〈">%)% + 粛小一(〈"〉〃)%小+^若也(6.4)
Здесь V - элементарный < объем жидкости, заключенный между свободной поверхностью текущей пленки и наклонной плоскостью, а также парой бесконечно близко расположенных сечений f = const и f + dj■二 const.
Рис. 4. Гравитационное течение вязкой ньютоновской жидкости по наклонной плоскости, используемое в качестве гидродинамической модели обтекания плоской сосульки водяной пленкой
рис. 5. К выводу уравнения баланса объема воды, стекающей по поверхности тающей сосульки
Поверхность льда перемещается в отрицательном направлении оси i? со скоростью и > О
〈“〉обозначается усредненная по толщине слоя скорость се-〈“〉обозначается усредненная по толщине слоя скорость се-
〈“〉обозначается усредненная по толщине слоя скорость се-
〈“〉обозначается усредненная по толщине слоя скорость се-
Символом чения:
1
(")=一
л
/ "⑺ dm , О
(6.5)(6.5)Увеличение объема воды за счет частичного таяния льда, т.е. перемещения опорной поверхности по материальным частицам объема твердой фазы, учитывается соотношением
(6.5)
(6.5)
П+d尸 П + и*%
где и > 0 — скорость перемещения поверхности льда за счет таяния, направленная по нормали к поверхности сосульки внутрь твердой фазы.
Соотношения(6.4), (6.5) приводят к уравнению
а〃 а(〈〃〉〃)-+ = u.а〃 а(〈〃〉〃)-+ = u.dfdf(6.6)(6.6)
а〃 а(〈〃〉〃)
-+ = u.
а〃 а(〈〃〉〃)
-+ = u.
df
df
(6.6)
(6.6)
Используя для вычисления величины〈“〉выражение (6.3), учитывая, что cos а ^ 1 в силу малости угла а, и подставляя результат в уравнение (6.6), получим
(6.7)(6.7)里+经犷艺
(6.7)
(6.7)
Здесь скорость перемещения поверхности льда и должна определяться из дополнительных соотношений, описывающих тепломассообмен между сосулькой и водяной пленкой.
Условия тепломассообмена при пленочном обтекании тающей сосульки. Классическое условие Стефана на границе фазового перехода "лед—вода" применительно к рассматриваемому случаю имеет вид
入 Р$и = kL ——入 Р$и = kL ———ks” =+ о—ks” =+ о(6.8)(6.8)=-о=-о
入 Р$и = kL ——
入 Р$и = kL ——
—ks
” =+ о
—ks
” =+ о
(6.8)
(6.8)
=-о
=-о
Будем считать, что температура льда постоянна и равна температуре плавления:厶三 0, а температура воды внутри пленки распределена по
2. Зак. 891
ее толщине по линейному закону
(6.9)(6.9)" = 0, 〃《0; Ту = Tarj/h9 0<т?<Л,
(6.9)
(6.9)
где Та - температура окружающего воздуха (〃 >0). Эти предположения достаточно хорошо обоснованы, так как слой стекающей воды весьма тонкий.
С учетом выражений (6.9) условие (6.8) принимает вид
^PSv = kLTa/h-(6.10)
Поскольку все величины, входящие в это уравнение, кроме и н〃, считаются постоянными, то из него следует, что в рассматриваемый момент времени скорость плавления льда обратно пропорциональна толщине пленки стекающей по сосульке воды.
Основное уравнение гидромеханики стекания воды по тающей сосульке. Уравнения (6.7) и (6.10) образуют систему уравнений, из которой должна определяться закономерность движения внешней границы льда В*. Подставляя (6.10) в (6.7), получим основное уравнение течения водяной пленки по поверхности тающей сосульки в виде
(6.И)(6.И)竺+必竺一卫二0. bt 〃 df入 Ps 力
(6.И)
(6.И)
Введем безразмерные переменные Л * = hld0, t* = t/tQ9 广=f/d0, где d(), J — некоторые характерные единицы длины и времени. В безразмерных величинах основное уравнение (6.11) примет вид
ЭЛЭЛЛ — + ahЛ — + ahdrdrззЭЛЭЛb-=0.2b-=0.2(6.12)(6.12)
ЭЛ
ЭЛ
Л — + ah
Л — + ah
dr
dr
з
з
ЭЛ
ЭЛ
b
-=0.
2
b
-=0.
2
(6.12)
(6.12)
Здесь а = g^^oPi/M» 万=2左七 tQTa /(入的壮^), а звездочки у безразмерных переменных опущены. Заметим, что уравнение (6.12) получено, вообще говоря, на основе соотношений, описывающих локальное пленочное течение в окрестности произвольной точки поверхности сосульки. Можно показать, что при переходе от локальных координат (", «) к криволинейным ортогональным координатам ®, W), где 扌 тфедставляет собой длину дуги, отсчитываемую вдоль поверхности В*, а р — расстояние вдоль ортогональной кривой к координатной линии £ уравнение (6.12) сохраняет свой вид в рамках введенного выше предположения о пологости поверхности В*.
Решение основного уравнения и анализ результатов. Вводя новую неизвестную функцию f = h2, перепишем уравнение (6.12) в виде
bf/dt + afdf/^ = b.(6.13)
Для решения этого уравнения воспользуемся методом характеристик [6]. Характеристические уравнения имеют вид
df/ds =р + 确， dp/ds = -apqt
dq/ds =—〃絞，dt/ds= 1, d^/ds = af.(6」4)
Здесьp = 8/78才，q = 8//冰，as — координата, отсчитываемая вдоль характеристик. Начальные условия типа Коши для системы уравнений (6.14)
примем пока в виде произвольных функций характеристической координаты т ： f = JS(т), р = Ро(т), q 二 qo(т), f = ?0(т), L , которые должны удовлетворять соотношениям р0 + ^/о^о =方，/о = Ро^о + ^ofo (штрих наверху означает производаую). Решение системы уравнений (6.14), удовлетворяющее приведенным начальным условиям, записывается в форме
f(s, 7) = ｛方qo(T)[as + 1仇(喇 - p0(0) /肉0(也
pG 7) = Po(T)/®eo(T)s+ i],e6 T)= eo(T)/[〃eo(T)s+ i],
f(s, t) = s + %(T), f(s, t)= 〃加2/2 + a/0(r)§ + f0(r).
Зададим для определенности следующие начальные условия: ?о(т)二 О, «о(т) = т, Л)(т) =3 -ат, а > 0, 0〉0. По физическому смыслу начальные условия типа Коши в таком виде представляют собой граничное условие для функции /, заданное в начальный момент времени г = 0 на поверхности исходной сосульки. В соответствии с принятым выражением для/0 квадрат толщины жидкой пленки в начальный момент времени распределен по поверхности сосульки по линейному закону. Искомая функция f(t, f) при заданных условиях определяется выражением
ZU 9二从+ S+—: abt2 -а^ф(6.15)
aat - 1 \2/
Для других вариантов начальных условий искомую функцию можно определить с помощью полного интеграла (двухпараметрического семейства решений) уравнения (6.13), который имеет вид
\2b1 产2 1
f"，9= 丁《 + 入《-а)+ ~тгт
L "入"入」 "入
где X,g — неопределенные параметры.
Принимая во внимание, что соотношение между безразмерной скоростью перемещения твердой поверхности сосульки и безразмерной толщиной жидкого слоя в соответствии с (6.10) имеет вид и = (2Л /Z>)-1, и учитывая, что Л = f и?, а функция f определяется выражением (6.15), будем иметь
и& 9 = 3/2)广 1/2 =
И а/1、「/2
二一历 + 0+ f - - abt2 - apt .(6.16)
2aat - 1 \2/
Здесь, очевидно, 〃〉0,匕〉0, а остальные параметры должны быть подчинены условию неотрицательности подкоренного выражения, стоящего в квадратных скобках.
Рассуждая так же, как при выводе соотношений (5.7), получим следующее приближенное уравнение поверхности тающей сосульки:
X(f, 9 =爲6)-5&9, ь(Т) = &(т,9〃(6.17)
о
где функция V (Г, j) задана формулой (6.16), а функции X(t9 f) и Хо (f) определяют полуширину плоского осевого сечения сосульки в текущем и начальном состояниях соответственно. Заметим, что в приближенном
выражении (6.17) независимая переменная f может быть, по существу, заменена координатой z, после чего найденное выражение (6.17) может непосредственно использоваться для определения напряженно-деформированного состояния сосульки по формуле (4.5).
Проведем качественный анализ процесса таяния плоской сосульки для случая, когда величины а и 匕，т.е. второй и третий члены в основном уравнении (6.12), имеют одинаковый порядок. Положим а = 1, b = 2, а > О, 0〉0. Из соотношения (6.15) при допустимых значениях входящих в него параметров следует, что толщина 力=f^2 жидкого слоя, стекающего по поверхности сосульки, монотонно увеличивается со временем и по продольной координате. Соответственно этому скорость нормального смещения поверхности льда, определяемая соотношением (6.16), монотонно убывает как по f, так и по z.
Поскольку скорость таяния максимальна в основании сосульки, то в зависимости от геометрических параметров исходной сосульки процесс ее таяния может происходить двумя принципиально различными способами. Если сечение исходной сосульки сильно расширяется при подходе к поверхности крепления и монотонно сужается при удалении от нее, то таяние льда в соответствии с полученным распределением скоростей перемещения межфазовой границы "лед—вода" приведет к постепенному сокращению общей длины сосульки и одновременному уменьшению ее поперечных размеров. В этом случае более интенсивное плавление льда вблизи поверхности смерзания компенсируется существенным "утолщением” конфигурации сосульки на этом участке. Если же форма сосульки близка к цилиндрической, то преимущественное таяние льда на участке, примыкающем к основанию, может привести к образованию ,5шейки,5 и возникновению опасного напряженного состояния в наиболее узком сечении верхней части сосульки. Это, в свою очередь, может привести к разрушению льда в критический момент времени и отрыву соответствующей части сосульки.
В заключение отметим, что сделанные выводы о характере формообразования тающей сосульки остаются справедливыми только в рамках решения основного уравнения задачи (6.12), которое получено при вполне определенных начальных условиях. Принятие иных начальных и граничных условий приведет к получению других качественных результатов.
ЛИТЕРАТУРА
Богородский В.В., Гаврило В.П. Лед. Физические свойства. Современные методы гляциологии. Л.: Гидрометеоиздат, 1980. 384 с.
Войтковский К.Ф. Механические свойства льда. М.: Изд-во АН СССР, 1960. 100 с.
Glen J.W. The creep of polycrystalline ice 〃 Proc. Roy. Soc. L. 1955. Vol. 228, N 1175.
P. 519-538.
Берд P., Стьюарт В., Лайтфут К Явления переноса. М.: Химия, 1974. 688 с.
Тихонов А.Н., Самарский А А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы. 5-е изд. М.: Наука, 1984. 832 с.
УДК 539.4
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СТАЛИ 45
НА ВИНТОВЫХ ТРАЕКТОРИЯХ ДЕФОРМАЦИЙ
А.С. Вавакин, Р.А. Васин, В.В. Викторов,
Л.П.Степанов, Р.И.Широв
В настоящей работе приводятся результаты экспериментального исследования свойств стали 45 при сложном нагружении по винтовым траекториям деформаций. Дано сравнение полученных экспериментальных данных с расчетами по теории течения и теории средних кривизн.
Получение экспериментальных данных о поведении материала на любых сложных пространственных (трехмерных) траекториях деформаций имеет самостоятельный интерес, поскольку эти данные могут быть использованы для проверки справедливости тех или иных определяющих соотношений; при этом важно отметить, что использование экспериментальных данных только для плоских траекторий деформаций не всегда дает возможность установить границы применимости и достоверность рассматриваемых определяющих соотношений.
В принципе получение каких-либо трехмерных траекторий деформаций возможно на любой установке для сложного нагружения трубчатых образцов осевой силой Р, крутящим моментом М и внутренним давлением q, однако принципиальную трудность и особый интерес представляет реализация пространственных траекторий деформаций или напряжений с заранее требуемыми параметрами. В СССР известные малочисленные реализации таких программ связаны с ручной отработкой требуемого закона изменения нагрузки или деформации (см., например, [1~3]). Фактически же реализации программ со строго заданными параметрами траекторий деформаций или напряжений требуют автоматического управления нагружающими устройствами с наличием обратной связи в цепи управления. Примерами таких экспериментов являются описанные в [4] опыты по трехзвенным пространственным траекториям деформаций с ортогональными звеньями. Эти программы представляют собой простейшие (хотя и чрезвычайно важные для исследования функционалов пластичности) траектории как по внутренней геометрии, так и по возможности их реализации на автоматизированной установке. Для более сложных траекторий деформаций в виде винтовых линий в [4] реализованы лишь участки длиной в четверть одного оборота винтовой линии. Авторам неизвестны другие работы, в которых подобные траектории с заданной внутренней геометрией были бы реализованы на автоматизированных установках.
В связи с этим была поставлена цель не просто осуществить опыты по пространственным траекториям деформаций со случайными геометрическими характеристиками, а отладить методику и фактически реализовать эксперименты, в которых траектории деформаций имели бы заданные наперед (постоянные) параметры кривизны и кручения.
В трехмерном пространстве деформаций (%, э2, э3) [5] такие траектории могут быть представлены в виде винтовых линий с постоянным ша-
гом, расположенных на поверхности кругового цилиндра. На рис. 1 изображена винтовая траектория деформаций с осью образующего цилиндра, параллельной оси э2 и пересекающей ось 31 в точке э*. Уравнения винтовой линии, заданные в параметрической форме, в этом случае имеют вид
% = с (cos а — 1) + з?,
э2 =— + 九-+ з? ,(1)
э3= c sin а,
где с - радиус цилиндра, а - шаг винтовой линии по оси э2, а ~ параметр процесса (один полный оборот соответствует изменению а от 0 до 2я), п — номер витка, з? = з； + с. Кривизна к и крутка т винтовой линии имеют вид
К = 4 Мс/(@2 + 4 行2。2),7 = 2 7TQ/(q2 + 4 Л2С2).⑵
Траектории деформаций такого типа были реализованы в данной работе на тонкостенных трубчатых образцах, нагружаемых осевой силой, крутящим моментом и внутренним давлением.
В предположении объемной несжимаемости материала имеем
1
эх = ez; э2 = Gz+2c); э3 =
где Cz , eg, e^z - осевая, окружная и сдвиговая деформации образца. Тогда траектория деформаций (1) будет получена при изменении деформаций трубчатого образца по следующим законам:
& = с (cos а - 1) + с?,
⑷⑷
⑷
⑷
Испытания трубчатых образцов проводились на автоматизированной системе ,5Инстрон-1275м [6], которая имеет три независимых электро гидравлических привода (осевой, крутящий и внутреннего давления) и позволяет для каждого привода задать и отработать свой закон изменения во времени нагрузок или деформаций образца.
Деформации трубчатого образца измерялись трехкомпонентным электромеханическим тензометром [6]. При этом принималось:
G = △/〃()，恥=Д^/2/о, е0 = АО/М, (5)
где △/ - удлинение образца на базе Zo = 50 мм; А^ — угол его закручивания на той же базе; R - средний радиус образца； △£) 一 изменение внешнего диаметра рабочей части образца.
Измеряемые в опытах величины: осевая сила Р, крутящий момент М, давление в образце q и деформации ez , %, “？ - регистрировались на штатном самописце системы "Инстрон''.
Напряжения вычислялись по формулам
Р qR . 4R М
где 5 — толщина стенки рабочей части образца.
Требуемый закон изменения деформаций (4) задавался от управляющей ЭВМ PDP-11/05, входящей в состав системы ,,Инстрон,\ с помощью специальной программы для сложного трехкомпонентного нагружения. В этой программе закон управления для каждого привода представляется в виде последовательности блоков, в которых задается изменение управляющего сигнала (в данном случае - деформации) между двумя уровнями (по линейному или синусои дал ьно му закону). Характерный вид участка программы для соотношений (4) при и = 1 для каждой компоненты деформации показан на рис. 2, на котором цифрами указаны номера блоков (для е? , cjz - 2 блока, для с& - 11), а крестиками отмечены верхний и нижний уровни для каждого блока. При этом закон изменения с® аппроксимировался многозвенной ломаной (10-15 звеньев).
При градуировке канала измерения сдвиговой деформации было обнаружено наличие незначительного люфта (6gqz « 2-10^4). В задаваемой программе (рис. 2) поправка на возможный люфт не вносилась. К незначительному искажению исходной программы деформирования (1) приводит и неучет упругой сжимаемости в соотношениях (3).
При выборе параметров программ основная трудность состояла в том, что в ходе эксперимента могла возникнуть ситуация, когда для обеспечения требуемого значения 印 было бы необходимо приложить к образцу внешнее давление; это означает, что такая программа не может быть реализована на данной установке. Вместе с тем необоснованные ограничения на пределы изменения е。, заведомо гарантаровавшие выполнение условия 4》0 в ходе всего эксперимента, привели бы к существенному сужению диапазона изменения параметров намеченных программ. В связи
Рис. 2. Пример представления программ испытания для ЭВМ PDP-11/05
Рис. 3. Зависимости от для участка простого деформирования
1 - образец П27, 2 - образец П35, 3 - образец П29, 4 - образец П21
с этим были проведены специальные методические эксперименты по оценке допустимых значений е^ для траекторий, описываемых соотношениями (4) С учетом результатов методических опытов была намечена и выполнена серия испытаний по траекториям деформаций в виде винтовых линий, таких, что значения к изменялись в диапазоне от 100 до 333, ат от 10 до 666. При этом отношение т/к варьировалось от 0,1 до 2; максимальное количество витков равнялось 3. Выход на винтовую линию осуществлялся путем одноосного деформирования образца до значения продольной деформации е2 =6® = 6* + с при £& = eQz = 0 (е* во всех опытах было равно 0,5 %).
Образцы для испытаний были изготовлены из стали 45. Размеры их рабочей части: внешний диаметр ~51 мм, толщина стенки 〜1,5 мм. Твердость материала НВ образца 190—215. Конкретные данные каждого испытанного образца приведены в [7]. Там же содержатся полные сведения обо всех программах экспериментов и таблицы первичных данных в виде значений компонент тензоров деформаций и напряжений. Типичные результаты для первого участка траектории (одноосное деформирование) в виде зависимостей о—s, где о — модуль вектора напряжений, s — длина дуги траектории деформаций, даны на рис. 3, а изменение компонент вектора напряжений по длине дуги ok-s (^ = 1,2, 3) для всей траектории - на рис. 4.
При этом компоненты вектора напряжений вычислялись по формулам [5]
1_
。1 = % -亍 “，0r2 = —- ое，
⑺
0rз 二，^,a = “о； + 岩 + 吟,
а длина дуги
(8)(8)；d3k chk
(8)
(8)
Характерные свойства функционалов пластичности в рамках теории упругопластических процессов [5] на основании результатов описанных экспериментов рассмотрены в [8].
Сопоставим экспериментальные данные с расчетами по простейшим вариантам теории течения — теории изотропного упрочнения и теории трансляционного упрочнения, а также по теории средних кривизн [9].
Областью применимости теории средних кривизн являются траектории активного де формирования с параметрами кит порядка или менее X"1, где 入—след запаздывания векторных свойств [5]. С использованием векторных обозначений [9] соотношения.теории средних кривизн имеют вид
⑼⑼b = о(Р1 • cos % + Р2 • sin %),
⑼
⑼
где pi, р2 - единичные векторы касательной и главной нормали к траектории деформаций; о = | а] - интенсивность напряжений; »i - угол, образуемый вектором а с вектором касательной р〔. Функционалы о и »】 задаются в теории средних кривизн выражениями
/ 4(s, s')k(s')cZs', a = Ф(х),(10)
о
в которых ядро /(s, s') - определяемая из специальных экспериментов
Рис. 4. Зависимость компонент вектора напряжений от длины дуги траектории деформацийРис. 4. Зависимость компонент вектора напряжений от длины дуги траектории деформаций
Рис. 4. Зависимость компонент вектора напряжений от длины дуги траектории деформаций
Рис. 4. Зависимость компонент вектора напряжений от длины дуги траектории деформаций
W"aW"aРис.5.Сопоставление экспериментальных данных с расчетами по теории течения для образца П27, к = 100, т = 2007 — эксперимент; 2 - изотропное упрочнение; 3 — трансляционное упрочнение;а — плоскость % - %, 6 — % —Рис.5.Сопоставление экспериментальных данных с расчетами по теории течения для образца П27, к = 100, т = 2007 — эксперимент; 2 - изотропное упрочнение; 3 — трансляционное упрочнение;а — плоскость % - %, 6 — % —
W"a
W"a
Рис.5.Сопоставление экспериментальных данных с расчетами по теории течения для образца П27, к = 100, т = 200
7 — эксперимент; 2 - изотропное упрочнение; 3 — трансляционное упрочнение;
а — плоскость % - %, 6 — % —
Рис.5.Сопоставление экспериментальных данных с расчетами по теории течения для образца П27, к = 100, т = 200
7 — эксперимент; 2 - изотропное упрочнение; 3 — трансляционное упрочнение;
а — плоскость % - %, 6 — % —
5(х)=5(х)=00 при х = 0, 0 при х 力 000 при х = 0, 0 при х 力 0функция; Ф(х) — диаграмма простого нагружения. Ядро Л (s, s') может быть построено по данным опытов по двухзвенным траекториям деформаций. Действительно, если такая траектория при s = sQ имеет излом на угол »：, то
5(х)=
5(х)=
00 при х = 0, 0 при х 力 0
00 при х = 0, 0 при х 力 0
к =i>?5(s-s0), и из (10) следует:
Si =»?<(& So), /(s, So)=»i(s,配,贫)/拜,
Для построения ядра Л (s, s0) необходимо провести несколько опытов с различными s0. На образце из стали 45 были выполнены эксперименты
по двухзвенным траекториям деформаций со значениями sOj равными 0,6; 0,8； 0,9 и 1,1 %; во всех экспериментах 3； = я/2. На основании полученных результатов для ядра Л (s, s0) была выбрана аппроксимация
4(s, s0) = exp [-(а + b/s)(s - so)],
где а = 10,6; b = 3,4.
На рис. 5 и 6 приведено сопоставление экспериментальных зависимостей Ок~ Эк (кривая 7) и зависимостей о^-^к, вычисленных по двум вариантам теории течения: с изотропным упрочнением (кривая 2) и с трансляционным (кривая 3). Видно, что расчеты по теории течения с изотропным упрочнением дают завышенные по модулю значения о”； расчеты по теории течения с трансляционным упрочнением в целом лучше согласуются с экспериментальными данными. Заметим, что в расчетах по обоим вариантам
б2，МПаб2，МПа^7tM/7a^7tM/7a
б2，МПа
б2，МПа
^7tM/7a
^7tM/7a
Рис.6. Сопоставление экспериментальных данных с расчетами по теории течения для образца П21, к = 333, 7 = 333Обозначения см. на рис. 5Рис.6. Сопоставление экспериментальных данных с расчетами по теории течения для образца П21, к = 333, 7 = 333Обозначения см. на рис. 5Вз，М"(1Вз，М"(1ОО
Рис.6. Сопоставление экспериментальных данных с расчетами по теории течения для образца П21, к = 333, 7 = 333
Обозначения см. на рис. 5
Рис.6. Сопоставление экспериментальных данных с расчетами по теории течения для образца П21, к = 333, 7 = 333
Обозначения см. на рис. 5
Вз，М"(1
Вз，М"(1
О
О
(£, МП a(£, МП aРис. 7. Зависимость от для образца П29Обозначения см. на рис. 5Рис. 7. Зависимость от для образца П29Обозначения см. на рис. 5
(£, МП a
(£, МП a
Рис. 7. Зависимость от для образца П29
Обозначения см. на рис. 5
Рис. 7. Зависимость от для образца П29
Обозначения см. на рис. 5
Рис. 8. Зависимость 厶 一 (s — “) для образца П27, к = 100, т = 200
7 — эксперимент;'
2 — расчет по теории средних кривизн
использовалась "единая кривая", имеющая линейное упрочнение, которое определялось из опыта по винтовой траектории деформаций (рис. 7, кривая 2).
Сопоставление результатов проведенных экспериментов с расчетами по соотношениям теории средних кривизн [9] показало, что в отношении поведения угла сближения 9】теория средних кривизн дает качественно верные результаты - выход на режим % = const при s - s0^X (рис. 8), однако величина % = const в расчетах получалась большей, чем в экспериментах. Кроме того, основная гипотеза простейшего варианта теории о том, что вектор о лежит в соприкасающейся плоскости (рх, р2), не выполняется. По экспериментальным данным угол выхода вектора <г из соприкасающейся плоскости в разных экспериментах по винтовым траекториям деформаций имел порядок 20-25°.
Экспериментальная кривая o-s для траекторий деформаций в виде винтовых линий в целом близка к кривой о—s, используемой в расчетах по соотношениям теории средних кривизн, но как видно из рис. 7, не совпадает с ней.
ЛИТЕРАТУРА
Елсуфьев С.А. О пластическом деформировании при сложном нагружении // Тр. Ле- нингр. политехи, ин-та. 1967. № 278. С. 29-31.
Ленский В.С., Машков И.Д. Проверка законов пластичности в трехмерном пространстве девиатора деформаций //Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1971. Вып. 2. С. 158—166.
Дощинский ZL4., Погожева Н,В. Исследование закономерностей пластической деформации при повороте главных осей тензора напряжений // Изв. Том. политехи, ин-та. 1975. Т. 241. С. 9-12.
Ohashi К Effects of complicated deformation history on inelastic deformation behaviour of metals 〃 Mem. Fac. Eng. Nagoya Univ., 1982. Vol. 34, N 1. P. 1-76.
Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.
Вавакин А.С., Степанов Л.П. Дополнительные устройства к установке на сложное нагружение // Завод, лаб. 1983. № 12. С. 72-74.
Вавакин /.С, Васин Р.А., Викторов В. В. и др. Э к сп ер им ентальн ое исследование упругопластического деформирования стали при сложном нагружении по криволинейным пространственным траекториям деформаций. М., 1986. 66 с. Деп. в ВИНИТИ 16.10.86, № 7298-В.
Вавакин А.С., Васин Р.А., Широв Р.И. Экспериментальное исследование функционалов пластичности на криволинейных траекториях деформаций // Шестой Всесоюз. съезд по тсорет. и прикл. механике. Ташкент, 24-30 сент. 1986 г.: Аннотации докл. Ташкент, 1986. С. 149-150.
Малый ВН Разложение функционала напряжений по малому параметру // Вести. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1967. № 2. С. 73-80.
УДК 539.374
ВРЕМЕННЫЕ ЭФФЕКТЫ
ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ МЕТАЛЛОВ
А.С. Вавакин, В.В. Викторов, А.Н. Мохель, Л.П. Степанов
Введение. Известно, что при нормальных температурах влияние фактора времени на деформирование металлов за пределом упругости заметно проявляется при высоких скоростях нагружения (деформирования). Вместе с тем процессы, в которых скорости деформаций составляют (10~6—10~5)с~1 принято считать процессами, которым отвечает диапазон ^^coбcтвeннo^, пластического деформирования. Под этим подразумевается, что при данных скоростях процесс деформирования металлов близок к равновесному, а соответствующие деформации значительно превосходят деформации, обусловленные временными эффектами (ползучесть, релаксация и т.д.), что позволяет рассматривать их как ^^coбcтвeннo^^ пластические. Однако даже при упомянутых скоростях процесс деформирования, строго говоря, не является равновесным. В этом можно убедиться, если, например, в эксперименте на одноосное растяжение при испытании резко изменить скорость нагружения (деформирования) или сделать остановку нагружения, осуществляя выдержку материала под постоянной нагрузкой, а затем продолжить нагружение. Опыты [1—4], выполненные по таким программам, показывают, что особенности реализации программы испытания во времени отражаются на виде диаграммы растяжения. Так, в первом случае точке резкого изменения скорости отвечает излом на диаграмме а—е [1—3], а во втором случае при выдержке материала под постоянной нагрузкой происходит накопление деформаций (ползучесть), чему соответствует горизонтальный участок на диаграмме [2—4]. Отмеченные особенности диаграмм указывают на существенную неравновесность процесса деформирования. Вместе с тем влияние на диаграмму деформирования способа реализации программы испытаний во времени носит локальный характер. При удалении от места изменения скорости или этапа выдержки получающиеся зависимости а—е сближаются с зависимостью о—с, отвечающей испытанию с постоянной скоростью нагружения. Это указывает на то, что процесс деформирования вновь становится близким к равновесному (‘‘квазиравновееннм"). Так как при малых скоростях испытаний отклонения зависимостей о—е от соответствующей зависимости для постоянной
скорости испытаний невелики, то обычно влиянием временных эффектов на пластическую деформацию металлов при простом нагружении пренебрегают. Часто без достаточных к тому оснований этот результат распространяется на случай сложного нагружения.
Исследование влияния фактора времени на пластическое деформирование материалов при сложном нагружении мало изучено и представляет самостоятельный интерес. Более того, данный Bongc принципиально важен, так как он непосредственно связан с методикой проведения экспериментов на сложное нагружение. Так, в случаях, когда траектория нагружения имеет изломы (например, многозвенные ломаные в пространстве напряжений), реализация программы испытаний в точке излома траектории просто невозможна без изменения "скаиком" скоростей нагружения и часто по тем или иным причинам сопровождается выдержками материала под постоянными нагрузками. Поэтому можно ожидать, что, как и в рассмотренном выше случае одноосного нагружения, при сложном нагружении резкое изменение скоростей нагружения и выдержка в точках излома траектории должны приводить к "неравновесности" процесса деформирования за этими точками и сказываться на локальных свойствах материала. Кроме того, изменение направления нагружения (излом траектории) может быть дополнительной причиной неравновесности процесса деформирования. При этом при сложном нагружении влияние рассматриваемых временных эффектов может проявляться более заметно, чем при простых нагружениях. Это связано с тем, что при резких изломах траекторий нагружения уровень ^собственно,5 пластических деформаций за точкой излома мал и деформации, обусловленные фактором времени, могут стать определяющими.
В настоящей работе приводятся результаты экспериментального исследования влияния временных эффектов на пластическое деформирование сталей при нормальной температуре и умеренных скоростях нагружения при простом и сложном нагружении.
Экспериментальное оборудование. Образу. Эксперименты проводились на испытательной установке Инстрон-1275 [4, 5], представляющей собой автоматизированную электро гидравлическую систему с управляющей ЭВМ PDP-11/05. Система предназначена для испытаний образцов и элементов конструкций в условиях комбинированного нагружения осевой силой, крутящим моментом и давлением. Она имеет соответственно три независимых гидравлических привода и три канала управления, которые позволяют для каждого привода задавать и отрабатывать свой закон изменения во времени нагрузки, деформации или перемещения рабочего поршня. В каналах управления предусмотрена настройка переходных характеристик системы, что позволяет даже при максимальных скоростях перемещения рабочего поршня (4 мм/с и 20°/с) реализовывать заданный закон нагружения с минимальными отклонениями, в том числе при резких изменениях скоростей испытания. Это особенно существенно при исследовании временных эффектов.
Эксперименты выполнялись на тонкостенных трубчатых образцах (рис. 1) из стали ЗОХГСА, при комнатной температуре. Заготовки подвергались изотермическому отжигу (выдержка 1 ч при Т=900°С, охлаждение с печью). Технология изготовления образцов, размеры рабочей части, а также данные о химическом составе и твердости стали приведены в [6].
Для испытания таких образцов были спроектированы и изготовлены специальные захваты [5], которые обеспечивают установку образца по оси приложения нагрузки, надежность его закрепления и передачу требуе- Mbix усилий (вплоть до разрушения образца) как при постоянных, так и при переменных нагрузках (растяжение—сжатие, кручение, внутреннее давление) .Приложенные к образцу нагрузки и его деформации измерялись с помощью электромеханических датчиков: осевая сила и крутящий момент —силоизмерителем фирмы "ЛЗбов", давление - датчиком давления; деформации — тензометром, который позволяет одновременно и независимо измерять осевое удлинение образца на базе Zo = 50 мм, угол его закручивания на той же базе и изменение диаметра рабочей части в двух взаимно перпендикулярных направлениях [5]. Каждый датчик подключен к своему измерительному каналу, включающему усилитель и блок смещения нуля и масштабирования. Параметры усилителей подобраны таким образом, чтобы требуемому диапазону измерения датчика соответствовал максимальный выходной сигнал усилителя (± 10 В). Блок смещения нуля и масштабирования имеет схему смещения сигнала на величину от 0 до 10 В и ступенчатый прецизионный усилитель с шестью диапазонами от 1 : 1 до 20 : 1. Этот блок включается при необходимости проведения измерений с повышенной точностью.
Регистрация параметров испытаний проводилась на трехперьевом самописце, входящем в испытательную систему. Максимальная частота сигнала 50 Гц. Ширина диаграммной бумаги 250 мм. Скорость протяжки бумаги может изменяться от 1 до 1000 мм/мин. С помощью блока смещения нуля и масштабирования и изменением скорости протяжки диаграммной бумаги в процессе эксперимента добивались наилучшего разрешения во времени регистрируемых параметров.
С целью уменьшения погрешностей измерения перед началом каждой серии испытаний производилась градуировка измерительных каналов с помощью специальных градуировочных средств [5]. Погрепшость измерений усилий и деформаций с учетом взаимного влияния измерительных каналов не превышала 3%. При регистрации на самописце изменение напряжений оценивалось с точностью до 1 МПа, а изменение деформаций — с точностью до 2 • 10~3%.
Напряжение и деформации в образце определялись по следующим формулам:
① =尸/（2成5）+川/26;"= pR/b; 0z ="/（2 成 2g;
£z =母卜；% = Д£）/27?; Sz = △册⑵о,
где Р — осевая сила; р — давление внутри образца, М — крутящий момент; 7? и 6 — средний радиус и толщина стенки рабочей части образца, Zo — база тензометра; △/, Ар — удлинение и угол закручивания образца на базе /0, △D — изменение внешнего диаметра рабочей части образца.
Программа испытаний. Проявление временных эффектов при пластическом деформировании стали ЗОХГСА изучено в опытах на простое и сложное нагружение.
Простое нагружение.
Испытания на растяжение с постоянной скоростью нагружения при различных скоростях с целью выяснения влияния скорости нагружения на кривую растяжения %—%♦
Испытания на растяжение со ступенчатым изменением нагрузки （рис. 2,«）. При этом изменялись величина ступени нагружения △% в
Рис. 2. Программы нагружения и их реализация во времени
а — растяжение, ступенчатое изменение нагрузки;
6 — Р — М опыты, двухзвенные ломаные с ортогональным изломом, сплошная линия — без выдержки, пунктирная — с выдержкой;
в — Р — р опыты, сплошная линия — без выдержки, пунктирная — с выдержкой;
г — Р — М опыты с углом излома траектории нагружения, меньшим 90°
диапазоне от 30 до 110 МПа, скорость нагружения на ступени uz otQ04 до 20 МПа/с и длительность выдержки △? при постоянной нагрузке от 0 до 35 мин. Выдержке Дг = 0 соответствовали испытания, в которых в определенный момент происходило резкое изменение скорости нагружения (на три порядка). Цель — изучение проявления временных эффектов при остановке нагружения и последующем догружении после выдержки при постоянной нагрузке в зависимости от скорости нагружения и уровня напряжений.
Сложное нагружение по траекториям в виде дв ухзвенных ломаных в пространстве напряжений.
З.Р-М опыты. Испытания по траекториям в виде двухзвенных ломаных с ортогональным изломом в плоскости oz-t0z (рис. 2, б): - нагружение образцов осевой силой за предел упругости, затем крутящим моментом при фиксированной осевой силе; нагружение крутящим моментом за предел упругости, затем осевой силой при фиксированном моменте.
Каждая программа нагружения реализовывалась во времени двумя способами. В одном случае в точке излома траектории нагружения осуществлялась выдержка во времени, т.е. нагружение по второму звену начиналось спустя Дг 比 20 мин после окончания нагружения на первом. Длительность выдержки выбираюсь на основании результатов испытаний со ступенчатым нагружением; во втором случае выдержка отсутствовала (△? = 0). В экспериментах изменялись скорости нагружения az = 0,02 ・9 МПа/с, ^©z = 0,05 ・0,4 МПа/с и напряжение, соответствующее точке излома траектории (и? или t$z)・ Цель этих опытов - исследование влияния перечисленных параметров программ испытаний на характер деформирования стали на втором звене траектории нагружения, прежде всего непосредственно за точкой излома.
Р-р опыты. Испытания по траекториям в виде двухзвенных ломаных с различным углом излома в плоскости %—0§ (рис. 2,6). Нагружение образцов осуществлялось до точки излома осевой силой, а затем комбинированным приложением осевой силы и внутреннего давления. В опытах изменялась величина угла излома траектории нагружения т = dOz/d% в диапазоне от 0 до 1. При этом одни опыты проводились с выдержкой в точке излома траектории, а другие — без выдержки. Цель - исследование влияния выдержки на характер деформирования на втором звене траектории нагружения при различных углах излома траектории.
Р-М опыты. Испытания по траекториям в виде двухзвенных ломаных с углом излома, меньшим 90°, в плоскости oz - t^z (рис. 2,г). Нагружение образцов по всей траектории осуществлялось одновременно осевой силой и крутящим моментом. Один и тот же угол излома траектории достигался изменением скорости нагружения 6Z или tqz на втором звене траектории. Цель — исследование влияния резкого изменения скорости нагружения в одном из направлений на характер деформирования после точки излома траектории нагружения.
Результаты экспериментов. Проведенные эксперименты по исследованию влияния фактора времени на процесс пластического деформирования стали ЗОХГСА при комнатной температуре позволили сделать следующие выводы.
3333Зак. 891
33
33
при монотонном растяжении влияние скорости нагружения на кривую oz -ez практически перестает сказываться при скоростях нагружения dz《 《1 МПа/с (рис. 3).
Ступенчатый закон нагружения отражается на диаграмме деформирования (рис. 4,а), причем это становится особенно заметным при сравнительно высоких скоростях нагружения dz ^ 1 МПа/с. Так, по окончании нагружения на ступени при oz = const деформация продолжает нарастать (см. рис. 4,а), причем характер нарастания и величина прироста деформации зависят от уровня достигнутых напряжений (рис. 4,② и скорости п редше отв ующе го нагружения (рис. 4, в). При скоростях нагружения @z 》1 МПа/с после остановки нагружения наблюдается интенсивный рост деформаций (рис. 4, в, кривые 3, ^). При этом в начальный момент скорость деформирования при oz = const равна скорости деформирования в конце участка нагружения, затем она быстро уменьшается, и через некоторое время характер нарастания деформаций практически перестает зависеть от dz. Это дает основание считать, что собственно ползучесть материала при а2 = const проявляется за участком интенсивного роста деформации. При малых скоростях нагружения (dz 《 0,1 МПа/с) интенсивного деформирования после окончания нагружения не наблюдается, а имеет место ползучесть, протекающая с малой постепенно убывающей скоростью (рис. 4, в, кривые 1, 2).
В начале нагружения после выдержки при постоянной нагрузке наблюдается "задержка пластического деформирования", проявляющаяся в том, что в начальный момент нагружения закон деформирования Да2—Дег близок к упругому, а пластическое деформирование начинается при достижении некоторого значения △%， зависящего от скорости нагружения (рис. 4, г). На этом рисунке представлены зависимости △% —Дег, полученные при различных скоростях нагружения после выдержки при напряжении Oz = 440 МПа; на рисунке пунктиром показан участок кривой oz—€z для
Рис. 3. Диаграммы растяжения стали 30ХГСА при различных скоростях нагружения / - а = 20 МПа/с; 2 - а = 0,67; 3 - а = 0,10; 4- *=0,02 МПа/с
N£z，%Лбг1МПаN£z，%Лбг1МПаРис. 4. Ступенчатое растяжениеа - диаграмма растяжения (% = 20 МПа/с, Ад = 110 МПа, Аг = 600 с) ; т. Л/ соответствуют моменту окончания нагружения на ступени; А1 — oz - 440 МПа; Л2 — 550; Л3 — 600 МПа; б — кривые ползучести при различных уровнях напряжений: 1 — oz = 440 МПа, 2 — oz = 5 5 0, 3 — oz - 600 МПа; в — кривые ползучести при oz = =440 МПа = const для различных скоростей предшествующего нагружения az: 1 — 0,04 МПа/с; 2 — 0,1; 3 — 4,3； 4 — 20 МПа/с; г — кривые деформирования при догрузке после выдержки при oz = 440 МПа, отвечающие различным скоростям нагружения ст2： ； - о,04 МПа/с; 2-0,1; 3-4,3; 4-20 МПа/сРис. 4. Ступенчатое растяжениеа - диаграмма растяжения (% = 20 МПа/с, Ад = 110 МПа, Аг = 600 с) ; т. Л/ соответствуют моменту окончания нагружения на ступени; А1 — oz - 440 МПа; Л2 — 550; Л3 — 600 МПа; б — кривые ползучести при различных уровнях напряжений: 1 — oz = 440 МПа, 2 — oz = 5 5 0, 3 — oz - 600 МПа; в — кривые ползучести при oz = =440 МПа = const для различных скоростей предшествующего нагружения az: 1 — 0,04 МПа/с; 2 — 0,1; 3 — 4,3； 4 — 20 МПа/с; г — кривые деформирования при догрузке после выдержки при oz = 440 МПа, отвечающие различным скоростям нагружения ст2： ； - о,04 МПа/с; 2-0,1; 3-4,3; 4-20 МПа/с
N£z，%Лбг1МПа
N£z，%Лбг1МПа
Рис. 4. Ступенчатое растяжение
а - диаграмма растяжения (% = 20 МПа/с, Ад = 110 МПа, Аг = 600 с) ; т. Л/ соответствуют моменту окончания нагружения на ступени; А1 — oz - 440 МПа; Л2 — 550; Л3 — 600 МПа; б — кривые ползучести при различных уровнях напряжений: 1 — oz = 440 МПа, 2 — oz = 5 5 0, 3 — oz - 600 МПа; в — кривые ползучести при oz = =440 МПа = const для различных скоростей предшествующего нагружения az: 1 — 0,04 МПа/с; 2 — 0,1; 3 — 4,3； 4 — 20 МПа/с; г — кривые деформирования при догрузке после выдержки при oz = 440 МПа, отвечающие различным скоростям нагружения ст2： ； - о,04 МПа/с; 2-0,1; 3-4,3; 4-20 МПа/с
Рис. 4. Ступенчатое растяжение
а - диаграмма растяжения (% = 20 МПа/с, Ад = 110 МПа, Аг = 600 с) ; т. Л/ соответствуют моменту окончания нагружения на ступени; А1 — oz - 440 МПа; Л2 — 550; Л3 — 600 МПа; б — кривые ползучести при различных уровнях напряжений: 1 — oz = 440 МПа, 2 — oz = 5 5 0, 3 — oz - 600 МПа; в — кривые ползучести при oz = =440 МПа = const для различных скоростей предшествующего нагружения az: 1 — 0,04 МПа/с; 2 — 0,1; 3 — 4,3； 4 — 20 МПа/с; г — кривые деформирования при догрузке после выдержки при oz = 440 МПа, отвечающие различным скоростям нагружения ст2： ； - о,04 МПа/с; 2-0,1; 3-4,3; 4-20 МПа/с
монотонного нагружения (dz = 0,067 МПа/с), соответствующий тому же начальному значению oz = 440 МПа. Штрихпунктирная линия отвечает упругому деформированию с начальным модулем упругости.
Аналогичные эффекты наблюдаются и при резких изменениях скорости нагружения (см. также [1-3]).
Полностью результаты исследования влияния временных эффектов на пластическое деформирование стали при ступенчатом нагружении приведены в [4].
На рис. 5 приведены типичные результаты Р-М испытаний с ортогональным изломом траектории нагружения. Здесь одна и та же траектория нагружения была реализована на одном образце с выдержкой △£ = 1175 с при напряжении о? = 450 МПа перед началом догружения крутящим моментом, а на другом образце — без выдержки (△? = 0), т.е. нагружение крутящим моментом начиналось сразу после окончания нагружения осевой силой. Скорости нагружения: az = 0,02 МПа/с; 7^2 = 0,05 МПа/с.
В первом случае при выдержке под постоянной нагрузкой происходит рост осевой деформации за счет ползучести (рис. 5, б, пунктир). За время выдержки прирост деформации составил Дег = 0,075%, при этом скорость деформации ползучести уменьшилась с 3 • 10~6 до 3 • 10-7с-1. При догружении растянутого образца крутящим моментом после выдержки деформирование материала до уровня напряжений tQz 内20 МПа происходит практически упруго и лишь далее начинается рост пластических деформаций. При нагружении без выдержки (рис. 5, сплошная линия) деформирование в осевом направлении после точки излома траектории нагружения вначале определяется ползучестью, отвечающей состоянию, достигнутому в конце первого звена траектории (рис. 5, б, в), причем на ее величину не оказывает влияния приложение крутящего момента. Заметный рост собственно
Рис. 5. Влияние выдержки в точке излома траектории нагружения в Р-М опытах с^ = 450 МПа, dz = 0,02 МПа/с, Tqz = 0,05 МПа/с; сплошная линия — △?= О; пунктирная —ДГ = 1175 с; штрихпунктирная — закон ГукаРис. 5. Влияние выдержки в точке излома траектории нагружения в Р-М опытах с^ = 450 МПа, dz = 0,02 МПа/с, Tqz = 0,05 МПа/с; сплошная линия — △?= О; пунктирная —ДГ = 1175 с; штрихпунктирная — закон Гука
Рис. 5. Влияние выдержки в точке излома траектории нагружения в Р-М опытах с^ = 450 МПа, dz = 0,02 МПа/с, Tqz = 0,05 МПа/с; сплошная линия — △?= О; пунктирная —ДГ = 1175 с; штрихпунктирная — закон Гука
Рис. 5. Влияние выдержки в точке излома траектории нагружения в Р-М опытах с^ = 450 МПа, dz = 0,02 МПа/с, Tqz = 0,05 МПа/с; сплошная линия — △?= О; пунктирная —ДГ = 1175 с; штрихпунктирная — закон Гука
-ON-ON4多%4多%-02 О 424" С夕
-ON
-ON
4多%
4多%
Рис. 6. Р-р опыты а - т = 0: 1 - Дг = О, aj = 400 МПа; 2 - △£ = 480с, а® = 400МПа； 5 - ДГ= 1100 с, а° = 600 МПа; d-w= 1,ДГ= 1100 с, а° = 400 МПа
пластических деформаций появляется при уровне напряжений т02 ^20МПа. Закон изменения сдвиговой деформации e^z в обоих случаях на начальном этапе нагружения крутящим моментом до того же значения 7dz близок к упругому (рис. 5, г).
Аналогичные результаты получены и в случае догружения осевой растягивающей силой предварительно закрученных образцов.
Таким образом, временные эффекты оказывают заметное влияние на деформирование материала непосредственно за точкой излома траектории нагружения даже при малых скоростях нагружения. С ростом скорости нагружения их влияние возрастает. Полностью результаты Р-М испытаний представлены в [6, 8].
На рис. 6 приведены характерные результаты Р-р опытов для второго звена траектории нагружения, отвечающие двум углам излома (^ = 0 и т = 1). Скорость нагружения а2 = 0,1 МПа/с (на первом звене), 6q =
Рис. 7. Влияние резкого изменения скорости нагружения на характер деформирования при сложном нагруженииZ - G： 5,4 —0,54 МПа/с; %z = 2,1 МПа/с = const; 2 - r0z： 2,1 —21 МПа/с; bz = = 5,4 МПа/с = constРис. 7. Влияние резкого изменения скорости нагружения на характер деформирования при сложном нагруженииZ - G： 5,4 —0,54 МПа/с; %z = 2,1 МПа/с = const; 2 - r0z： 2,1 —21 МПа/с; bz = = 5,4 МПа/с = const
Рис. 7. Влияние резкого изменения скорости нагружения на характер деформирования при сложном нагружении
Z - G： 5,4 —0,54 МПа/с; %z = 2,1 МПа/с = const; 2 - r0z： 2,1 —21 МПа/с; bz = = 5,4 МПа/с = const
Рис. 7. Влияние резкого изменения скорости нагружения на характер деформирования при сложном нагружении
Z - G： 5,4 —0,54 МПа/с; %z = 2,1 МПа/с = const; 2 - r0z： 2,1 —21 МПа/с; bz = = 5,4 МПа/с = const
=0,2 МПа/с. При значении m = 0 испытания проводились с выдержкой и без выдержки во времени в точке излома траектории нагружения (рис.6, а), а при т = \ — с выдержкой (рис. 6,6). Образец, испытанный с выдержкой △? = 1100 с, предварительно был растянут до ez ^ 3 %; модуль упругости после предварительного растяжения составил Е = 1,8 • 105МПа.
Как и в предыдущих опытах (см. рис. 4, г и 5, в), выдержка приводит к "задержке пластического деформирования^. В испытаниях без выдержки на изменение деформаций непосредственно за точкой излома траектории оказывает влияние ползучесть, но в отличие от Р-М опытов в Р-р опытах приложение напряжения oq препятствует развитию деформаций ползучести. Кроме того, на рис. 6, а (т = 0) показана зависимость %—Ае% (кри- 38
вая 2), полученная после выдержки At = 480 с (деформация е^ вблизи точки излома траектории не измерялась). Как видно из этого рисунка, ползучесть оказывает влияние на деформирование за точкой излома траектории нагружения и в случае, если продолжительность выдержки мала.
На рис. 7 приведены результаты Р-М испытаний двух образцов по программе с одинаковой траекторией нагружения, излом которой в т. А был осуществлен в одном опыте путем резкого уменьшения скорости нагружения dz (в 10 раз), а в другой — путем увеличения скорости нагружения *z (тоже в 10 раз) (см. рис. 2, г). Скорости нагружения на первом звене траектории были равны: д2 =5,4 МПа/с, tqz= 2,1 МПа/с. На рис. 7, в, г в укрупненном масштабе построены зависимости △% —△“ и △期一ASz после точки излома траектории нагружения, из которых видно, что при уменьшении скорости нагружения в соответствующем направлении проявляется ползучесть, а при ее увеличении наблюдается ,9задержка пластического /формирования".
Заключение. Как при простом нагружении, так и при сложном по траекториям в виде двухзвенных ломаных в пространстве напряжений характер деформирования стали при нормальной температуре существенно зависит от способа реализации программы испытаний во времени. При нагружении, следующем после выдержки матреиала под постоянной нагрузкой, деформирование материала вначале всегда происходит по закону, близкому к упругому, — эффект "задержки пластического деформирования^, независимо от того, являлась траектория нагружения простой или сложной. В испытаниях без выдержки деформирование материала сразу за точкой излома траектории в значительной степени определяется ползучестью, которая отвечает состоянию, достигнутому в конце нагружения по первому звену траектории. С ростом скоростей нагружения эти временные эффекты проявляются более резко.
Проведенные исследования показали, что для правильной оценки результатов испытания на сложное нагружение необходимо располагать данными одноосных испытаний по ступенчатым программам, в которых реализованы скорости нагружения и времена выдержки, соответствующие программам испытаний на сложное нагружение. С нашей точки зрения, испытания по ступенчатым программам нагружения (наряду с общепринятыми экспериментами) должны предшествовать исследованию пластических свойств материала при сложном нагружении.
Авторы приносят глубокую благодарность С.А. Христиановичу и Р.Л. Салганику за проявленный интерес к работе и оказанную помощь.
ЛИТЕРАТУРА
Васильев Л,И., Еремина Л,И, О некоторых особенностях пластического растяжения с переменной скоростью 〃 До к л. АН СССР. 195 3. Т. 93, № 6. С. 1019-1020.
Мельшанов А.Ф. Исследование сопротивления упругопластическому деформированию некоторых конструкционных материалов при различных законах нагружения // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. № 3. С. 89-96.
Krempl Е. An experimental study of room-temperture ratesensitivity, creep and relaxation of A1S1 type 304 stainless steel // J. Meeh, and Phys. Solids. 197 9. Vol. 27, N516. P. 363-376.
Экспериментальное и теоретическое изучение влияния временных эффектов при пластическом деформировании сталей при комнатной температуре / А.С. Вава-
кин, В.В. Викторов, И.М. Механикова и др.: Препр. ИПМ АН СССР № 211. М., 1983. 62 с.
Вавакин А.С.Г Степанов Л.П. Дополнительные устройства к установке на сложное нагружение /7 Завод, лаб. 1983. № 12. С. 72-74.
Вавакин А.С., Мохель А.Н., Степанов Л.П. Исследование характера пластического деформирования стали ЗОХГСА в точках резкого излома траектории нагружения (Р-М опыты). М., 1983. 102 с. Деп. в ВИНИТИ 31.05.83, № 2895.
Исследование влияния временных эффектов на пластическое деформирование стали при сложном нагружении / А.С. Вавакин, В.В. Викторов, И.М. Механикова и др.: Препр. ИПМ АН СССР № 235. М., 1984. 39 с.
Вавакин А.С.} Викторов В,В,, Мохель А.Н., Степанов Л.П. О влиянии ползучести на пластическое деформирование стали при сложном нагружении // Физика прочности и пластичности. Л.: Наука, 1986. С. 142-148.
УДК 539.3
ОБ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОМ ИССЛЕДОВАНИИ ФУНКЦИОНАЛОВ ПЛАСТИЧНОСТИ
В ТЕОРИИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Р.А. Васин
В рамках теории упругопластических процессов, развиваемой А.А. Ильюшиным и его школой ([1-4] и др.), обсуждаются экспериментальные данные о пластичности металлов при сложном нагружении. Приводятся результаты экспериментальной проверки основных постулатов и гипотез названной теории и сведения о характерных свойствах функционалов пластичности на типичных траекториях деформаций.
Основные положения теории упругопластических процессов. Будем использовать предложенное А.А. Ильюшиным [1, 2] геометрическое представление процессов деформирования и нагружения в первоначально изотропном теле. Для удобства исследования связей между напряжениями и деформациями тензоры деформаций е〃 и напряжений 。左丿 разделяют на девиаторную и шаровую части:
⑴⑴1
⑴
⑴
二 ％ + S/е, е =』€kk,
1
0耳=Sij + 6ijp,p=小 gkk
и в пятимерном евклидовом пространстве Э5 вводят вектор деформаций э = 3kek, компоненты которого эк линейно и взаимно однозначно выражаются через з〃； таким же образом в пространстве напряжений Х5 вводят вектор напряжений а. При этом длины векторов | э | = э и | сг| = а равны соответственно интенсивностям деформаций и напряжений. Годограф вектора э(?) (t - время) образует в Э5 траекторию деформаций. Внутренняя геометрия траектории деформаций характеризуется четырьмя параметрами кривизны k^(s) (s — длина дуги траектории деформаций, ее мож-
но рассматривать как параметр прослеживания процесса). Аналогично пространству деформаций Э5 и в пространстве Z5 могут быть введены траектория напряжений, длина ее дуги S и т.д.
В теории у пру го пл астиче ских процессов используется совмещение пространств % и S5, в частности, при задании образа процесса нагружения тела, который определяется как совокупность траектории деформаций, значений скаляров Т (температура), р, и 三 ds/dt и др. в каждой ее точке и построенных в каждой точке физических векторов (например, <г). Скаляр р рассматривается при этом как один из параметров процесса не только потому, что он не может быть "учтен” в траектории деформаций, но и потому, что в реальных экспериментах гидростатическим давлением действительно можно управлять как независимым параметром (такие установки описаны, например, в [5, 6]). Относительно образа процесса А.А. Ильюшиным сформулирована следующая гипо те за-по стул ат изотропии [1, 2]: 5,... образ процесса нагружения полностью определяется только внутренней геометрией траектории деформаций (т.е. величинами к%(§)) и скалярными параметрами Т, pt V и др., т.е. образ процесса инвариантен относительно преобразований вращения и отражения всего образа в З5". Согласно теореме изоморфизма [1] постулат изотропии справедлив и в пространстве напряжений. На основании постулата изотропии связь ст — э в общем случае представляется в виде a-Afp^ z = 1,..., 5 (р^ - векторы сопровождающего естественного пятигранника Френе^ построенного на траектории деформаций) или в виде
cr= a cos ^р/3 cos ^/cos t^ = 1; /,/= 1,.. . , 5, (2) где коэффициенты Л； (или соответственно а, »/) являются функционалами кривизн кк и названных выше скалярных параметров. Функционалы о и》/ имеют следующий смысл: величина о равна | ь|, а величины S, задают ориентацию вектора 0в репере < р >; в связи с этим принято говорить, что функционал о характеризует скалярные свойства, а функционалы 8/ — векторные. Постулат изотропии позволяет существенно уменьшить объем экспериментов при исследовании связи cr-э, поскольку на траекториях деформаций с одинаковой внутренней геометрией эта связь одинакова. Прямым следствием постулата изотропии является универсальность зависимости о = Ф(э, р) при активном простом нагружении, а также симметрия всех свойств материала (например, поверхности текучести) относительно луча простого нагружения в пространстве Э5 (или S5). Согласно постулату изотропии начальная поверхность текучести в S5 является сферой.
Свойства функционалов 8/ в соотношении (2) характеризуются предложенным А.А. Ильюшиным [1] принципом запаздывания: ориентация вектора <готносительно репера <р> определяется не всей историей процесса деформации из начального состояния, а лишь некоторым конечным участком траектории, непосредственно предшествующим рассматривав мой точке траектории (подразумевается участок активной деформации). Длина этого участка 入 назьшается следом запаздывания векторных свойств. Она характеризует "намять” векторных свойств по отношению к истории деформирования и является основным линейным масштабом процесса сложного нагружения. Путем сопоставления величины 入с к — максимальной из кривизн 收 —производится следующая классификация траекторий дефор-
маций: траектории простого деформирования, малой кривизны (к « 入一1), средней кривизны (к 〜 入一1), большой кривизны (к > 入~i), С изломом (к > 入На траекториях каждого из названных классов векторные свойства проявляются по-разному.
В дополнение к постулату изотропии и принципу запаздывания В.С. Ленским [4, 7] предложена гипотеза локальной определенности, согласно которой векторные свойства определяются системой уравнений
企三d%/ds=%(%,…，》5； к】，…，к* s), (3) в которой 力—универсальные функции материала (в некоторых публикациях вместо аргумента s или в добавление к нему вводится аргумент о). Нетрудно показать, что выражения /} должны иметь различный вид для областей упругого и упру го пластического деформирования; только с учетом этого замечания можно говорить об универсальности 厶.
Назовем еще одну гипотезу общего характера, позволяющую существенно упростить вид определяющих соотношений. Это предположение о компланарности векторов напряжений, приращения напряжений и приращения деформаций (именуемое в дальнейшем для краткости "гипотезой компланарности”). Обычная форма записи гипотезы компланарности
dd=Nd3 — Ma°ds, (4)
в которой N и М - функционалы процесса, неоднократно использовалась А.А. Ильюшиным как общая форма связи девиаторов напряжений и деформаций при плоском напряженном состоянии в рамках постулата изотропии. Однако сам факт компланарности для трехмерного (и большей мерности) пространства напряжений и тем более запись его в форме (4) представляют собой самостоятельную гипотезу в теории упругопластических процессов. Известное следствие гипотезы локальной определенности, записываемое в виде
d3-(^)d(r=dLff, (5)
где dL 一 скалярный функционал, а (8) - матрица податливости (изменяющаяся, вообще говоря, при активном нагружении), является частным случаем гипотезы компланарности, если вектор (&)而 можно представить линейной комбинацией векторов d彳，百 d3. Изменение модулей упругости в ходе активного нагружения учитывается в общей теории упругопластических процессов и является объектом специальных исследований.
Далее в пп. 2—7 приводятся результаты экспериментальной проверки перечисленных выше гипотез.
Постулат изотропии. Важным достоинством основных постулатов теории упругопластических процессов - постулата изотропии и принципа запаздывания - является то, что они в принципе допускают прямую экспериментальную проверку. Так, для постулата изотропии типичная проверка в строгом соответствии с его формулировкой включает два эксперимента на идентичных образцах: один — по произвольной траектории деформаций с заданными на ней (произвольно) скалярными параметрами p(s), T(s), u(s); другой — по траектории деформаций, получающейся из первой траектории операцией вращения или отражения в пространстве З5, при тех же законах изменения p(s), T(s), u(s). Разумеется, из числа
возможных траекторий для второго эксперимента должны быть исключены траектории, отвечающие повороту системы координат в образце.
Типичным и наиболее распространенным в экспериментах на сложное нагружение является тонкостенный трубчатый образец, в котором при воздействии на него осевой силы (Рюпыты), крутящего момента (Мч)пы- ты) и внутреннего давления (t?-опыты) реализуется обобщенное плоское напряженное состояние.
Компоненты вектора напряжений а выражаются через о^ по формулам
°i = ozz — —oee, а2 =^-oQ0, а3 =х/3а20.⑹
Рассматривая систему инвариантов Jla = окк, J2G 三 5沙沁 J30 - ^u^jk^ki тензора 。炉 или его девиатора, нетрудно показать, что в случае плоского напряженного состояния нельзя в эксперименте разделить роль Jla и J30 или J3s. В связи с этим можно сделать следующие утверждения:
вообще говоря, некорректными являются какие-либо заключения о роли третьего инварианта J3a или」з$, сделанные на основании обычных опытов с трубчатыми образцами; это может быть и влияние первого инварианта Jlo или совместное неразделимое в таких опытах влияние Jlo и J3s (в качестве примера сошлемся на работу [8], имеющую название "Влияние третьего инварианта девиатора напряжений на пластические деформации мягкой стали");
эксперименты на трубчатых образцах по траекториям нагружения с одинаковой внутренней геометрией и совпадающими значениями р =
1
= —в соответствующих точках являются экспериментами по провер
ке изотропии материала. Такие эксперименты гораздо эффективнее (и в плане доказательства изотропии материала, и в плане поиска возможных ошибок в методике эксперимента, если есть уверенность в изотропии материала), чем обычно проводимое сопоставление результатов экспериментов на продольное и кольцевое (внутренним давлением) растяжение. Йапример, одноосное растяжение, при котором только о[；)W0, следует сравнивать с простым трехкомпонентным нагружением, при котором тензор напряжений о肾)изменяется по закону
理⑺+脱%)=总%)；壮)⑺47(o ":【虑%)] 2 ；
строго говоря, в обычных экспериментах на трубчатых образцах нельзя проверить постулат изотропии. Это возможно только при независимом воздействии на трубчатый образец niдростатического давления, т.е. при нагружении образца как внутренним, так и внешним давлением, и, кроме того, усилиями Р и М\ тогда можно при одинаковых р и а получать различные /3$. Что же касается обычных экспериментов, посвященных постулату изотропии, то в этих экспериментах фактически проверялся расширенный постулат изотропии, в формулировке которого на сравниваемых траекториях деформаций не требуется соблюдать равенство значений р в соответствующих точк&х траекторий.
Обратимся к этим экспериментам. При простом нагружении вопрос о проверке постулата изотропии сводится фактически к проверке гипотез теории малых упругопластических деформаций о соосности векторов а и э и существовании единой кривой
о=Ф(з), (7) откуда следует, что начальная поверхность текучести — сфера о = const. К настоящему времени накопилось большое число экспериментальных исследований, посвященных построению начальных поверхностей текучести. Общий вывод, который следует из анализа экспериментальных данных, состоит в том, что начальные поверхности текучести располагаются, как правило, между поверхностями Мизеса и Треска ближе к поверхности Мизеса, а во многих случаях описываются условием Мизеса с точностью до разброса экспериментальных данных.
Достаточно подробный обзор обширных экспериментов, выполненных до середины 50-х гг. и связанных с выяснением универсальности связи о-з и справедливости гипотезы о равенстве параметров Лоде да и де, приведен в [9], где сделан общий вывод о надежности экспериментального обоснования гипотез теории малых упругопластических деформаций для металлов, исходная изотропия которых специально проверялась. Аналогичные выводы получены для сталей, алюминия и его сплавов в ряде последующих работ. Вместе с тем в недавней работе [10] утверждается, что в прецизионных опытах с достаточно изотропным материалом инвариант J3s влияет на вид кривой о—з и на векторные свойства материала при простом нагружении (так, у алюминиевого сплава 5056 пределы текучести при сжатии и растяжении равны соответственно 135 и 133 МПа, а при кручении 120 МПа; аналогичная картина наблюдается у мягкой стали; с ростом пластической деформации различие между кривыми не убывает). Не обсуждая вопрос о надежности полученных в [10] результатов, следует оговорить лишь, что в силу отмеченного ранее фактически нельзя разделить роль J3s и р. Одной из немногих работ, выполненных специально с целью выяснить раздельное влияние вида напряженного состояния (параметра да) и инварианта р (точнее, отношения к = р/о), является [6]. В ней описаны опыты по нагружению трубчатых образцов (материал - технически чистый никель и медь, несмотря на отжиг, имел начальную анизотропию) внутренним и наружным давлением и осевой силой. Оказалось, что изменение 左 в пределах от —1,0 до 0,577 при да = const несущественно влияет на кривые о—э, в то время как изменение да влияет заметно (с ростом | дст | величина а при одинаковых э возрастает); качественно картина влияния 从。на кривую о-э аналогична отмеченной и в других работах. Утверждение о несущественном влиянии 左 на кривую о-э согласуется с выводами обзора [И], посвященного влиянию давления на механические свойства материалов, о том, что "в пределах разброса гидростатическое давление не оказывает влияния на зависимость между истинным напряжением и истинной деформацией (при растяжении.-尸.8) для ковких металлов ... Испытания на кручение ряда металлов ... привели к тем же результатам ...5, Но в этом же обзоре отмечается: "Очевидно, что ... гидростатическое давление оказывает определенное и значительное влияние на зависимость между напря-
жением и деформацией для литого и спрессованного из порошка ма- териалов,5.
При вычислении параметров Ло де 从。и 〃е довольно часто наблюдаются отклонения (хотя и не очень значительные) от условия да = дб; этот вопрос рассмотрен в статье [12], где обоснованно утверждается, что нарушение равенства да = де в значительной мере можно объяснить погрешностями методики обработки результатов опытов (например, использованием условия несжимаемости). Перейдем к проверке расширенного постулата изотропии при сложном нагружении.
Программы первых экспериментов по проверке постулата изотропии были реализованы в пространстве деформаций [13](上 М опыты на сталях и меди). На плоскости (эь э3) типичные программы представляли собой двухзвенные ломаные линии или дуги, симметрично расположенные относительно диагонали первого квадранта. Сравнение значений а и углов 3】 в соответствующих точках траекторий деформаций показало, что постулат изотропии выполняется с той же точностью, что и при простом нагружении. Позднее аналогичные результаты получены на плоских многозвенных и пространственных трехзвенных траекториях деформаций (2 М опыты на стали 25; Р, М, q опыты на стали 45). В упоминавшейся выше работе [8] (上 М, q опыты), где обследовались двухзвенные траектории деформаций, отмечено, что постулат изотропии можно считать справедливым, если исключить не очень существенное влияние J3s на скалярные свойства.
Эксперименты на сложное нагружение, в которых программы осуществляются в пространстве напряжений, характеризуются, во-первых, трудностью отработки программ на образцах из слабоупрочняющихся материалов (возможность больших различий в соответствующих траекториях деформаций); во-вторых, траекториями деформаций, значительно менее сложными по внутренней геометрии, чем траектории напряжений, по которым ведутся программы. Типичные траектории напряжений при проверке постулата изотропии — двухзвенные ломаные; им соответствуют обычно траектории деформаций средней (вблизи точки излома) и даже малой кривизны. Таким образом, испытания с программированием по напряжениям менее показательны ("ближе" к деформированию по плавным траекториям) ,чем испытания по траекториям деформаций с резкими изломами на них.
Все известные эксперименты (около 10 работ), проведенные специально с целью проверки (расширенного) постулата изотропии (Р, М м Р, q опыты на меди, латуни, стали 40), подтверждают его справедливость. Косвенное подтверждение постулата дает факт, наблюдавшийся в экспериментах по различным траекториям в виде дуг большого круга на поверхности а = const (предшествующее нагружение 一 радиальное) : с ростом длины дуги 2 одинаково нарастает з°.
Отметим эффекты, обусловленные влиянием температуры. В работе [15](尸,М опыты на стали 65Г до 700°С) подтверждена справедливость гипотез теории малых упругопластических деформаций в опытах при переменной повышенной температуре (одинаковой в соответствующих точках сравниваемых траекторий нагружения) и фиксированых скоростях нагружения и нагрева образца. Основной результат, связанный с низкими температурами, состоит в появлении и нарастании отклонений от постулата с
убыванием температуры (этот факт не подтверждается в отдельных публикациях только для нескольких сортов стали). Так, в обширных и разнообразных по набору исследованных материалов экспериментах на простое нагружение, описанных в монографии [14] (£ q опыты), наблюдается (для разных материалов в разной мере) с понижением температуры расхождение кривых о-з в зависимости от вида напряженного состояния и нарушение соотношения 〃。= де. Отмечается, в частности, различное сопротивление растяжению и сжатию материалов при низкой температуре и необходимость в связи с этим представлять зависимость о-э в виде э = Ф^а, р). Вместе с тем на основании опытов при низких температурах в [14] проводится дальнейшее обобщение: ‘‘... в процессе деформирования стали наблюдается отклонение главных осей тензора деформаций от главных осей тензора напряжений. Следовательно, в выражении для эквивалентного напряжения необходимо сделать соответственную коррекцию с целью учета вида девиатора напряжений55. Эта коррекция состоит в замене соотношения э =①i(o,p) соотношением э = Ф2(а,р,从。).Заметим, что величина % для рассматриваемых экспериментов однозначно выражается через о и р и, значит, второе соотношение сводится к первому, т.е. реализация предлагаемой коррекции неоднозначна.
Назовем еще эксперименты на неметаллах. Если не учитывать несколько работ по исследованию связей о-з и 〃。一从^ при простом нагружении ряда полимерных материалов, первые системагические опыты по проверке расширенного постулата изотропии выполнены в работе [16] (Р, q, М опыты на полиэтилене высокого давления). В опытах по разнообразным двухзвенным траекториям деформаций подтверждено выполнение постулата изотропии с точностью до разброса экспериментальных данных. Такой же вывод получен при скоростях деформирования, изменяющихся в ходе эксперимента на два порядка, но приблизительно одинаковых в соответствующих точках сравниваемых двухзвенных траекторий деформаций (угол излома 90°, диапазон скоростей деформации 〜(3・400)・10?5}1). Эксперименты подобного типа на металлах еще не проводились.
Векторные свойства. Принцип запаздывания. Запаздывание векторных свойств было обнаружено еще в 1932 г. Хоэнемзером и Прагером, однако авторы не обратили внимание на это явление как на некоторое общее свойство пластических материалов.
Первые систематические эксперименты по обоснованию самого факта запаздывания и исследованию векторных свойств некоторых металлов были выполнены В.С. Ленским (см. [13] и др.). Им было установлено, что простейшее следствие принципа запаздывания — совпадение векторов сг° = сг/а и pi на прямолинейном участке (произвольной) траектории деформаций после прохождения по этому участку пути длиной △$ =入一 выполняется с практической точностью; что величина 入 имеет порядок нескольких з$; что для неупрочняющегося материала 入 зависит от истории (в частности, величины s = s0 в начале прямолинейного участка), а для упрочняющегося - практически нет. В ряде последующих экспериментальных работ (в том числе и не преследовавших цель проверки принципа запаздывания) все эти выводы, кроме последнего, были в целом подтверждены при значительном разнообразии материалов и типов траекторий (см., например, [17, 10] и др.).
Следует оговориться, что, хотя принцип запаздывания, как и постулат изотропии, допускает прямую экспериментальную проверку, абсолютное большинство экспериментов посвящено либо проверке следствий из принципа запаздывания (если к = const на участке АСВ плоской траектории деформаций, то должно быть 3 三 В】二 const на СВ при АС 二入 и т.п.), либо определению величины 入 на прямолинейном участке траектории деформации. Последний вопрос в основном обследован на двухзвенных траекториях деформаций, причем для определения 入 использованы допуски на остаточное значение различных величин - или о sin В, или S, или S/S(). Типичным результатом является увеличение 入 с ростом s0- Величина 入 для разных металлов варьируется от нескольких 3s до 〜(10 215)з$ (разумеется, названные пределы зависят еще и от выбора допуска). При переходе к криволинейным участкам траектории деформации АВ способ определения 入 должен быть модифицирован; наиболее естественным представляется принятие допуска 5» на величину »: в общем случае для участка АСВ при Л С =入 значения 8 на СВ, отвечающие разным предысториям О/(1)и 威(？), должны различаться не более чем на 5». Отметим, что величина 入 на криволинейных траекториях специально не вычислялась, но было отмечено [13, 17], что на траекториях деформаций средней и даже большой кривизны (к"4 • 104 40 для стали 38ХА) режим 8 = const устанавливается на пути, меньшем 欣.В серии опытов к = const по траекториям деформаций в виде концентрических окружностей радиусов R = (20 4-100)- 10~4 (сталь 45, 上 М опьпы) также сравнительно быстро - в пределах одного оборота или быстрее — устанавливается 3 const. В случае периодически изменяющейся внутренней геометрии траекторий деформаций должна становиться периодической и зависимость S-s. Приведенные в [17] результаты для траектории деформаций в виде сопряженных полуэллипсов большой кривизны подтверждают периодический режим изменения 3(s) практически после первого же цикла деформации. Аналогичные результаты дают недавно выполненные циклические эксперименты [18] по траекториям деформаций в виде квадратов с центром в начале координат (Р, М опыты, нержавеющая сталь 316; стороны квадрата а • 103 = 4, 8,12). Определенное заключение о справедливости принципа запаздывания можно сделать из серии циклических экспериментов [19] по звездоообразным или в виде квадрата траекториям пластических деформаций, вписанным в окружность радиуса 2 • 10~3; соответствующие траектории напряжений таковы, что каждой концевой точке траектории деформаций отвечают лежащие на одном радиусе концы векторов напряжений.
В заключение раздела упомянем еще работы, косвенно подтверждающие принцип запаздывания. В одних работах (см., например, [20] — Д М опыты, сплав 17S) строились последующие поверхности текучести для некоторых точек второго звена АВ двухзвенных траекторий деформаций. Оказалось, что эти поверхности после точки излома разворачиваются и, несколько де-
формируясь, постепенно принимают симметричную форму относительно АВ и далее ее сохраняют. В других работах (см., например, [21] —P,q опыты; латунь М63) поверхность текучести строилась для т. В после программы ОАОВ в пространстве напряжений, где участки ОА, /О, ОВ прямолинейные и ОА и ОВ лежат на разных лучах; оказалось, что при достаточно большой длине участка ОВ материал 5,забывает,5 предысторию нагружения и его поверхность текучести становится такой же, как и при простом нагружении из б> и Д
Скалярные свойства. Использование принципа запаздывания векторных свойств и гипотезы локальной определенности существенно упрощает исследование векторных свойств. Значительно сложнее обстоит дело со скалярными свойствами.
Предложенный В.С. Ленским [13] принцип запаздывания скалярных свойств, формулировка которого для двухзвенных траекторий деформаций относительно величины о аналогична формулировке принципа запаздывания векторных свойств, фактически не был обследован из-за очевидной ограниченности возможной области его применимости. Действительно, этот принцип был обоснован опытами по двухзвенным траекториям деформаций: при изломе траектории на угол 8。《90° на кривой o—s наблюдается нырок напряжений, после которого кривая o—s, забывая предысторию, постепенно выходит на кривую о =①(s) простого нагружения. Отметим, что такая идеальная схема наблюдалась позднее лишь в отдельных работах (например, в [20] для значений 仆° =45,90,135°), а в ряде других кривая o—s после "ннрка" шла ниже о =①(s), оставаясь примерно параллельной ей, или иногда пересекала ее (см. [10]). Так или иначе, если даже для двухзвенных траекторий деформаций принцип запаздывания признать справедливым, ясно, что он не вьшолняется при произвольном (активном) сложном нагружении. Например, известно [22], что при сложном нагружении с постоянной интенсивностью напряжений о = const наблюдается рост пластической деформации эр, а при сложном циклическом деформировании после нескольких десятков циклов величина о практически перестает возрастать [19]; таким образом, если после одного из названных экспериментов начать деформирование по прямолинейной траектории, кривая о—s не выйдет на кривую о = Ф($) хотя бы потому, что при полученном s функция Ф может быть не определена (при простом нагружении это значение s недостижимо). Более того, в работе [19] показано, что при циклическом деформировании по траектории пластической деформации в виде окружности радиуса Rp • 103 = 4 достигается величина о, существенно превосходящая (почти в 2 раза) характерное значение о на кривой чистого кручения o-sp.
Анализ экспериментальных работ по сложному циклическому деформированию показывает, что для этого случая возможна формулировка принципа "насыщения” в форме утверждения: существует предельное максимальное значение о = aw «, отвечающее заданному виду траектории деформаций (периодически повторяющемуся), причем максимальное в цикле напряжение omN монотонно возрастает с ростом номера N и скорость этого возрастания стремится к нулю с увеличением N\ величина aWoo существенно зависит от сложности процесса. Сформулированное утверждение подтверждает рис. 1, заимствованный из работы [18]. Когда деформирова- 48
〃勿 2030 W・7〃z〃勿 2030 W・7〃z•年•年?исо1о Изменение напряжений, макашалъных в цикле
〃勿 2030 W・7〃z
〃勿 2030 W・7〃z
•年
•年
ние не является циклическим, вопрос о скалярных свойствах представляется в известной мере открытым, если не считать предположения [13, 23 и др.] о большей универсальности связи о—s по сравнению с о-з при активном сложном нагружении. Отмеченное преимущество зависимости o—s подтверждается опытами по траекториям деформации малой и средней кривизны; при наличии же у траектории деформаций резких изломов или
смены знака кривизны предположение об универсальности связи o~s (т.е. о совпадении ее с зависимостью о =①($)) является неверным. Это хорошо видно, например, из результатов экспериментов [17] по траекториям деформаций в виде сопряженных по луо к ружно сте й, экспериментов [18] по траекториям деформаций в виде периметра квадрата и многочисленных экспериментов по траекториям деформаций в виде двухзвенных ломаных.
Из отмеченного следует, что исследование скалярных свойств при сложном нагружении (большие кривизны, изломы на траекториях деформаций, циклические деформации) является актуальной проблемой в теории упру
гопластических процессов.
Гипотеза локальной определенности. Первые эксперименты по проверке гипотезы проводились, как правило, на стали в пределах площади текучести или на участках малого упрочнения (см. [7,13,23] и др.). Все последующие эксперименты, данные которых использовались при анализе гипотезы локальной определенности, также выполнены на слабоупроч- няющихся материалах (например, в работах [24, 25] на латуни BsBM2, мягких сталях S15C, S1OC).
Исследования по проверке гипотезы можно разделить на три группы: 1) сравнение поведения материала на двух траекториях деформаций, которые совпадают до т./, а начиная ст./ располагаются симметрично относительно вектора а, причем участки после т. Л прямолинейны (из гипотезы следует, что в этом случае образы процессов после т. А симметричны относительно ал); 2) сравнение зависимостей S(s) на прямолинейных участках специальных траекторий деформаций; 3) сравнение поведения S(s) с расчетами на основании соотношений вида (3) для плоских траекторий деформаций:
^ = K(s^fQ^t s). (8)
Экспериментов первого типа сделано очень мало: известны опыты, когда после сложного активного нагружения траектория деформаций становится прямолинейной и на ней после и очертания следа запаздывания в т.Л производится излом на угол В。 или -So, причем отмечается, что изменение векторных свойств при s〉s力 примерно одинаково, но
4. Зак. 891
Рис. 2. Эксперименты по проверке гипотезы локальной определенности
очевидно, что такой результат следует из принципа запаздывания; известен опыт по трехзвенной плоской траектории деформаций, когда на втором ее звене до исчерпания следа запаздывания (при 8^31,5°) произведен в т.Л излом так, что So = 0, причем оказалось, что 3(s)*0, б〉％ (отклонение не превышало 3°); наконец, известны эксперименты (рис. 2) [24] с "веером'' прямых, построенных симметрично относительно вектора Од в т. Л криволинейного участка траектории деформаций (|%| = о, 45, 90, 135°), однако эффективность этих экспериментов значительно снижена тем, что т. Л предшествовал довольно пологий участок, на котором к моменту излома вектор а практически касался траектории. В этих экспериментах показано, что на сравниваемых траекториях зависимости В (As) очень близки (при J。= 0° остается 3^0), однако кривые o-As заметно различаются (на 4—5% при I % I = 45, 90° и еще больше при I So | = 135°). К опытам первой группы следует отнести и все эксперименты по построению поверхностей текучести после сложного нагружения, в частности данные работы [20], в которой для двухзвенных траекторий деформаций строились (по допуску Ь^р = 2 • IO-4 j поверхности текучести и сравнивались углы S и 8『вектора о и одной из осей поверхности (которая приблизительно имела вид эллипса) с направлением р】； для углов излома J。= 45, 90, 135° в диапазоне △$ = (2 4-5)* 10~3 угол 8/ в 2-4 раза превосходил значение S. Это противоречит следствию из гипотезы локальной определенности, согласно которому вектор а направлен по нормали к поверхности текучести в регулярной точке. Очевидно, с этим следствием согласуются лишь поверхности текучести о = const, но многочисленные эксперименты показывают, что последующие поверхности текучести не являются таковыми. Простейшие траектории сравнения второй группы таковы: а) проводится опыт по двухзвенной траектории деформаций ОАС и отмечается значение угла S = Sg в некоторой т. В звена АС; б) проводится опыт по двухзвенной траектории деформаций ОВ’С', такой, что OB1 = ОА + АВ, а угол излома в т. В' равен Sg. В таких экспериментах (обычно т. В лежала в пределах площадки текучести) поведение углов S(s) при s > OB’ оказывалось одинаковым [13]. В ряде последующих работ [24, 25] было показано, что для некоторых материалов на зависимость ^(△s) не влияет величина s = s0 ® точке излома, так что все такие кривые 50
могут быть наложены путем сдвига по оси As на одну (единую) кривую ^(△s), построенную при % = 90° и некотором s()(в несколько раз превосходящем з$). Это означает, что в (8) функция /0 не зависит х>т s; напротив, в работах [23, 26] аппроксимации /0 явно содержат s. Отметим, что в экспериментах с циклическим сложным нагружением, когда упругая деформация не является пренебрежимо малой по сравнению с пластической, гипотеза локальной определенности не выполняется, как показано в работе [18] (на траекториях деформаций в виде квадратов значения /о для разных периметров не совпадают при одинаковых 3 и s).
Перейдем к расчетам с использованием функции /о (В, s ), полученной из опытов по двухзвенным траекториям деформаций, и предположения об универсальности зависимости о =①(s). В [23] показано, что такие расчеты гораздо лучше, чем некоторые простейшие варианты теории течения, описывают эксперименты по траекториям деформаций средней кривизны в виде сопряженных дуг полуокружности или логарифмической спирали. В работе [25] аналогичный вывод сделан для траекторий деформаций, со- 1
держащих три отрезка, соединенных двумя дугами R = const длины — я/? (при варьировании R • 104 в пределах от 4/ до 95). В [26] показано хорошее совпадение с расчетом экспериментальных данных для третьего звена трехзвенных пространственных траектории деформаций. В [27] для плоской многозвенной ломаной (на каждом звене след запаздывания практически исчерпывался) сравнение с расчетом сделано только по величинам »(△$). Таким образом, сопоставление расчетов с экспериментальными данными во всех публикациях хорошее; принципиально важным и малоисследованным остается только вопрос об области применимости использованных в расчетах соотношений.
Деформационная анизотропия. Развитие анизотропии упругих свойств при пластической деформации первоначально изотропного материала (деформационная анизотропия) является хорошо установленным экспериментальным фактом. Этот факт должен (в принципе) учитываться при определении пластической деформации и формулировке принципа гра- диентальности в теории течения. Соотношение типа (5) связано с появлением на рубеже 60-х гг. результатов, свидетельствующих о существенном (порядка 20% и выше) изменении средних на разгрузке модулей и о нелинейности разгрузки. Последующие исследования, выполненные на различных (в основном мал оугле родастых) сталях, меда, латуни, никеле, позволили сделать общие выводы: в результате пластической деформации модули упругости Е, G убывают (после предварительного растяжения Е изменяется значительнее, чем G; после кручения — наоборот), причем наиболее быстро на начальном неупругом участке, и достигают минимума при 3卩 1—3%, после чего стабилизируются или (у некоторых цветных металлов) слегка восстанавливаются; характерное убывание модулей составляет 5—10% или несколько более, причем заметнее оно у мягких сталей. Отмеченная закономерность убывания Е и G сохраняется и при больших деформациях, вплоть до разрушения. Если образец после кручения начать растягивать, его модуль G начинает резко в о сстанавл ив ать ся, аЕ, наоборот, убывать интенсивнее. При постоянной пластической деформации модули 瓦 G,
丿 изменяются так, что вычисленный по ним объемный модуль К практически не изменяется, а собственный вектор а матрицы модулей упругости (£) направлен по э; при сложном нагружении в поведении вектора а наблюдается свойство запаздывания: на прямолинейном участке траектории деформаций вектор а постепенно приближается к направлению р〔, но медленнее, чем вектор а.
При исследовании изменения модулей упругости в ходе упругопласти - ческого деформирования естественно возникает вопрос о роли временных эффектов. В ряде работ было установлено, что длительная вылежка (несколько месяцев) после испытания образца на растяжение приводит к практическому восстановлению начального значения модуля Е, Вьшолненные нами опыты по оценке влияния выдержки образца под нагрузкой (образец из Ст. 3 растягивали до деформации з 〜3% и выдерживали под нагрузкой несколько суток при ежесуточном измерении £. путем почти полной разгрузки и немедленной догрузки до исходного состояния) показали, что выдержка под нагрузкой в целом замедляет восстановление Е (так, недельная выдержка под нагрузкой практически не изменила Е, а недельная вылежка уже дала заметное восстановление Е). Названные факты говорят о том, что хотя и происходит изменение (восстановление) модулей упругости во времени, но характерное время в этом процессе несравнимо с временем релаксации — значительно его превосходит.
Гипотеза компланарноста. Для экспериментальной проверки гипотезы компланарности пригодны любые трехмерные траектории деформаций. Проблема, однако, состоит не только в малом количестве соответствующих публикаций, но и в необходимости иметь первичные данные экспериментов, поскольку требуется вычислять малые приращения векторов а и э (по этой причине практически все публикации неприемлемы для проверки гипотезы).
Первые расчеты вьшолнены в работе [28] для траекторий деформаций в виде пространственных ломаных с тремя ортогональными звеньями (Р, М q опыты на малоуглеродистой стали [29]). Оказалось, что угол 屮, характеризующий выход вектора Да (т. Л — начало третьего звена) из плоскости (Аз, о), не превышает естественного разброса в 2—3°, Для криволинейных траекторий деформаций ожидать такой точности вряд ли можно, даже если гипотеза верна; это связано с погрешностями определения компонент векторов Дэ и Да на малом шаге по времени, С учетом этого замечания можно признать в целом хорошим вьшолнение гипотезы по данным экспериментов [30] на стали 45 по винтовым траекториям деформаций, хотя в расчетах [31] и наблюдались величины 屮,достигающие 10—15° (существенные отклонения до 15—20° иногда имели место на начальных участках реверса деформации сдвига, что, видимо, связано было с небольшим люфтом тензометра). Удовлетворительное подтверждение гипотезы компланарности получено в проведенных в Институте механики МГУ экспериментах на стальных образцах по сложным многозвенным (до 10—15 звеньев, в том числе криволинейных) пространственным траекториям деформаций на установке ЦДМУ-30 с неавтоматизированным (ручным) управлением нагрузками. Как и в случае винтовых траекторий [31], обработка результатов экспериментов осуществлялась поточечно без каких- либо аппроксимаций или сглаживания данных. Ручное управление програм- 52
мами приводило к разбросу экспериментальных данных вблизи точек резкого излома траекторий. Характерный результат расчетов состоит в том, что из общего числа расчетных точек у каждого образца (от 40 до 100) примерно в 70% значения 屮 были менее 5°, а в 5% — более 15°.
Интерес к гипотезе компланарности объясняется тем, что в общем случае сложного нагружения она для установления связи а—э требует знания только двух функционалов процесса N и М в соотношении (4). Это соотношение можно переписать в виде
d = N3-(N cos ^t - а) а0.(9)
Таким образом, при заданной траектории деформаций связь а—э полностью определяется функционалами N и д. Далее в разд. 8,9 рассматриваются экспериментальные данные о свойствах этих функционалов.
Функционал N. С использованием гипотезы компланарности (9) из постулата изотропии (2) следуют уравнения
济=(sin &)т [— к» cos 山+i + K?_i cos 齿—i +
+ ——(cos ^- cos ^! - 5n )], Ko =/<5 =o； /= 1,. .. ,5(10)
о
(по индексу i суммирования нет). Таким образом, векторные свойства на заданной траектории деформаций определяются функционалом Ng а для материалов слабо упрочняющихся при активном нагружении (когда о 弋 const) — только функционалом N. Записывая (10) для второго участка двухзвенной траектории деформаций
31 =sin 山，(11)
а
легко увидеть, что функционал N определяет величину следа запаздывания 入.
Поскольку в некоторых вариантах теории пластичности, являющихся частными случаями (4), принимается N = const = 3G, т.е. такое же, как в теории упругости, в работе [32] высказано предположение, что в расчетах для реальных материалов можно считать 7Vслабо изменяющейся функцией. Многочисленные расчеты (см. [33] и подробнее [34]) показали, что на плоских траекториях деформаций в виде ломаных линий или сопряженных дуг окружностей и на пространственных трехзвенных . ломаных поведенче угла В】 вполне удовлетворительно описывается уравнением (10), если значения о в расчетных точках брать непосредственно из эксперимента, а величину N/3G= const < 1 или слабо убывающей функцией эр. Вместе с тем поведение N в реальных экспериментах гораздо сложнее. Типичный вид зависимости N(^s) на втором звене двухзвенной траектории деформаций показан на рис. 3. Обработка экспериментальных данных [13, 17, 29, 35—37 и др.] позволила выявить [34] следующие характерные особенности функционала N: на двухзвенных траекториях деформаций при В。《90° поведение N (см. рис. 3) слабо зависит от 50 и ^0 и от искривленности второго звена; при В。> 90° на некотором участке (в упругой области) значение N р const, а затем резко убывает, как на рис. 3; при нескольких изломах на траектории активного нагружения зависимость N—s терпит раз-
&/J6
Рис. 4. Характерный вид предельных кривых для описания скалярных свойств
рывы в точках излома, а на каждом прямолинейном (или слабо искривленном) участке между точками излома зависимости N—As качественно, а иногда и количественно близки между собой и похожи на график рис. 3, Естествен вопрос: как влияют кривизны к^ на ^? Эксперименты [30] по винтовым траекториям деформаций показали, что после исчерпания следа запаздывания величина N приблизительно постоянна, причем тем больше, чем больше к19 а значение к2 почти не влияет на величину N. Результат, связанный с влиянием к1з подтвержден названными выше опытами на установке Инстрон по плоским траекториям к = const. Такое поведение N можно предсказать на основании принципа запаздывания: при к = =const после исчерпания следа запаздывания % = const 二 В* и 仇= =0, так что из (8) следует
Nко
0 = кsin В*, N=.
оsin В*
Функционал 6. Обработка экспериментальных данных [13, 17, 35] показала, что для двухзвенных траекторий деформаций наиболее существенным аргументом, влияющим на поведение а, является cos ^t — в первом, грубом приближении можно считать, что а зависит только от 丛 и не зависит от s0 и As. Упрощенная принципиальная схема зависимости а от % только вблизи точки излома (△$-» 0) была предложена в [38]; эта схема допускала, вообще говоря, а^ 0(а< 0) при cos% = 0. В работе [39] приведены экспериментальные данные, позволяющие уточнить эту схему, причем эти данные относятся ко всему второму звену траектории. Типичная зависимость 6—cos В 丄 для стали 45 приведена на рис, 4 (нижняя кривая) ;эта зависимость существенно нелинейна и ее график не проходит через начало координат. Оказалось, что на этот график ложатся с известным допуском экспериментальные данные и для других траекторий активного нагружения. Вместе с тем, зависимость 匕cos#i не является универсальной при произвольном сложном нагружении. Действительно, в упругой области всегда (с точностью до деформационной анизотропии) 6= 3Gcos»i
(см. [32]) - прямая линия на рис. 4; для двухзвенных траекторий деформаций при В。 《90° зависимость 6 〜cos»i уже обсуждалась; при повторном пластическом деформировании с выходом из упругой области при % < 90° и последующем убывании % в опытах наблюдается переход с прямой 6 = 3Gcos»i в точку cos ^i = 1 или на нижнюю кривую рис. 4. Перечисленные случаи могут составить основу для построения аппроксимационных соотношений AcosBi. Варианты определяющих соотношений, использующие такие аппроксимации, могут быть довольно сложными; для решения соответствующих краевых задач можно рекомендовать предложенный А.А. Ильюшиным метод CH-ЭВМ (см. [2,40 и др.]).
Некоторые выводы и предложения. Из сделанного обзора видно, что такие фундаментальные гипотезы, как (расширенный) постулат изотропии и принцип запаздывания, хорошо подтверждаются экспериментально, Требуют дальнейшего экспериментального обследования гипотеза локальной определенности и гипотеза компланарности, особенно выяснение области их применимости. Необходимо и уточнение формулировок этих гипотез: у первой явно противоречит многочисленным экспериментам ее следствие о симметрии поверхности текучести относительно вектора а； у второй ее обычная запись в форме (4) накладывает дополнительное условие на связь о 〜з даже в плоском случае, поскольку из условия параллельности векторов do и а0 следует параллельность векторов ds м о° и наоборот. Наконец, в рамках гипотезы компланарности требуется дальнейшее исследование функционалов ^и а, и в первую очередь изучение их поведения на траекториях в виде многозвенных ломаных с промежуточными разгрузками; на траекториях с участками 仁 =const, к2 = const и на специальных траекториях деформаций типа Si = const (реализация таких траекторий позволит решить ряд принципиальных теоретических вопросов).
ЛИТЕРАТУРА
Ильюшин /./. О связи между напряжениями и малыми деформациями в механике сплошных сред // ПММ. 1954. Т. 18, № 6. С. 641-666.
Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.
Ильюшин /./., Ленский 8.С О соотношениях и методах современной теории пластичности // Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. С. 240-255.
Ленский В.С. Современные вопросы и задачи пластичности в теоретическом и прикладном аспектах // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1978. Вып. 5. С. 65-96.
Толоконников О,Л. Установка для испытаний трубчатых образцов материалов в среде высокого давления // Изв, АН СССР. 1985. № 3. С. 185-188.
Субботницкий В.В. К вопросу об экспериментальном изучении пластичности и прочности материала в условиях трехосного напряженного состояния // Тр, Дальневост, политехи, ин-та. 1971. Т. 71, № 1. С. 60-69.
Ленский В. С. Гипотеза локальной определенности в теории пластичности // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1962. № 5. С. 154-158.
Ohashi У., Tokuda М., Yamashita Я. Effect of third invariant of stress deviator on plastic deformation of mild steel // J. Meeh, and Phys. Solids. 1975. Vol. 23, N 4/5. P. 295323.
Пономарев С.Д, и др. Расчеты на прочность в машиностроении. М.: Машгиз, 1958, Т. 2. С. 617-639.
Ohashi У. Effects of complicated deformation history on inelastic deformation behaviour of metals 〃 Mem. Fac. Eng. Nagoya Univ. 1982. Vol. 34, N 1. P. 1—76.
Пью Г.Л., Чэндлер 3。色 Механические свойства материалов под давлением 〃 Успе° хи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. С. 430-470.
Дощинский Г.А, Об экспериментальной проверке закона подобия девиаторов в теории пластичности // Изв. Том. политехи, ин-та. 1974. Т. 18 8. С. 20-24.
Ленский В.С Исследование пластичности металлов при сложном нагружении: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М., 1961.
Писаренко ГС, Лебедев 44 Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. Киев: Наук, думка, 1976. 416 с.
Шевченко Ю.Н., Терехов Р.Л, Баш В.Я., Захаров СМ Проверка основных гипотез теории малых упругопластических деформаций при неизотермическом нагружении 〃 Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1977. Вьш. 17. С. 2529.
Васин 尸.4, Громова И.А., Никиточкин А.Н., Огибалов П.М. Экспериментальное исследование полиэтилена при сложном нагружении // Механика полимеров. 1974. № 1. С. 10-17.
Васин Р.А, Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1971. Вып. 1. С. 59-126,
Ohashi К, Tanaka К, Ooka М. Plastic deformation behaviour of type 316 stainless steel subject to outof-phase strain cycles // Trans. ASME. 1985. Vol. 107. P. 286-292.
Tanaka E, Murakami S., Ooka M. Effects of strain path shapes on nonproportional cyclic plasticity // J. Meeh, and Phys. Solids. 1985. VoL 33, N 6. P. 559-575.
Shiratori E, Ikegami K., Yoshida F. et al The subsecuent yield surfaces after preloading under combined axial load and torsion 〃 Bull. JSME. 1976. Vol. 19, N 134. P. 877883.
Miastkowski J. Analisis ot the memory effect of plastically pre strained material // Arch, mech. stosow. 1968. Vol. 20, N 3. P. 261-277.
Дощинский 匚4, Максак В.И. Пластическая деформация стали при сложном нагружении с постоянной интенсивностью напряжений // Инж. журн. МТТ. 1966. №3. С. 153-155.
Дао Зуй Бик, О гипотезе локальной определенности в теории пластичности 〃 Вести. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1965. № 2. С. 67-75.
Ohashi К, Kurita К, Suzuki Т., Tokuda М. Experimental examination of the hypothesis of local determinability in the plastic deformation of metals 〃 J. Mech. and Phys. SoHds. 1981. Vol. 29, N 1. P. 51-67.
Tokuda M,, Ohashi У., Iida T. On the hypothesis of local determinability and a concise stress-strain relation for curved srtain path // Bull. JSME. 1983. Vol. 26, N 219. P. 1475-1480.
Tanaka E. Hypothesis of local determinability for fove-dimentional strain trajectories// Acta mech. 1984. Vol. 52. P. 63—76.
Машков И.Д. Зависимость напряжения-деформации на плоских многозвенных траекториях деформации // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. №4. С. 191-195.
Ленский 8.С, Ленский Э В. Трехчленное соотношение общей теории пластичности //Там же. 1985. №4. С 111-115.
Ohashi 上，Tanaka Е. Plastic deformation behaviour of mild steel along orthogonal trilinear strain trajectories in three-dimensional vector space of strain deviator // Trans. ASME. J. Eng. Mater. Technol. 1981. Vol. 103. P. 287-292.
Вавакин 4C, Васин P,A.f Викторов В.В. и др. Экспериментальное исследование упругопластического деформирования стали 45 при сложном нагружении по криволинейным пространственным траекториям деформаций. М„ 1986. 66 с, Деп. в ВИНИТИ 16.10,86, № 7298-В.
Вавакин /.С, Васин Р.А., Широв Р.И. Экспериментальное исследование функционалов пластичности на криволинейных пространственных траекториях деформаций 〃 Шестой Всесоюз. съезд по теорет. и прикл. механике, Ташкент, 24-30 сент, 1986 г.： Аннотации докл. Ташкент. 1986. С. 149-150.
Васин Р.А., Ильюшин А.А, Об одном представлении законов упругости и пластичности в плоских задачах // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. № 4. С. 114-118.
Васин Р.А., Широв Р.И・ О векторных свойствах металлов на плоских траекториях деформаций // Вопр, вычислит, и прикл. математики. Ташкент, 1984. Вып. 73. С. 16-20.
Васин Р.А., Широв Р.И. Исследование векторных свойств определяющих соотношений для металлов при плоском напряженном состоянии. М., 1985. 80 с. Деп. в ВИНИТИ 5.10.85, № 7541-В.
Дегтярев В.П. Пластичность и ползучесть машиностроительных конструкций. М.: Машиностроение, 1967. 131 с.
Budianski В., Dow N.F., Peters RW, Shepferd R,P, Experimental studies ofpolyaxial stress-strain lows of plasticity // Proc. I US Nat. Congr. Appl. Meeh., 1951. N.Y., 1952. P. 503-512.
Шишмарев О.А., Щербо А.Г. Исследование некоторых сложных процессов нагружения стали с разгрузками // Прикл. механика. 1982. Т. 18, № 3. С. 65-70.
Абрамова Л.ВЧ Крюкова И.В. К теории упругопластических деформаций металлов по траекториям в виде двухзвенных ломаных // Пробл. прочности. 1981. № 1. С. 8-12.
Васин Р.А., Широв Р.И. Об изменении интенсивности напряжений в экспериментах на сложное нагружение // Вопр. вычислит, и прикл. математики. Ташкент, 1985. Вып. 78. С. 119-126.
Бабамурадов К.Ш., Дудура Н.И., Убайдиллаев А. Применение метода CH-ЭВМ в теории пластичности. Ташкент: Фан, 1977. 88 с.
УДК 539.375
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ
СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ УПРУГОЙ СРЕДЫ
Р.В. Гольдштейн, Ю.В.Житников
Введение. В реальных условиях в конструкциях и природных массивах трещины-разрезы или полости нередко оказываются в зонах, где наряду с растягивающими действуют сжимающие и сдвиговые напряжения. Задачи определения напряженно-деформированного состояния в теле с трещиной (полостью) представляют собой в этих условиях комбинацию задач о трещинах и о контакте деформируемых тел, поскольку поверхности трещины (полости) могут налегать одна на другую.
В областях налегания в результате взаимодействия поверхностей с трением (в довольно распространенном и рассматриваемом в дальнейшем случае) по закону Кулона возникают зоны скольжения и сцепления. Если внешние нагрузки изменяются в зависимости от некоторых параметров, в частности квазистатически, то скольжение может приостановиться. В результате возможно образование зон сцепления двух типов с нулевым и ненулевым скачком смещений. Границы зон налегания и раскрытия, сцепления и скольжения неизвестны. Таким образом, постановка краевой задачи содержит ограничения на смещения поверхностей трещины (полости), что, в свою очередь, приводит к ограничениям на нормальные и касательные напряжения. Области выхода решения на ограничения заранее не известны, что обусловливает нелинейность задачи и ее отличие от традиционных задач с фиксированными линиями раздела краевых условий разного типа.
Геометрия неизвестных границ (и областей) и распределения напряжений на поверхности трещины (полости) взаимосвязаны и взаимообусловлены, поэтому решение задачи должно строиться самосогласованно.
Существенная трудность задачи связана с тем, что силы трения зависят от распределения нормальных напряжений в области контакта. Последние, в свою очередь, вообще говоря, зависят от распределения касательных напряжений. Такая ситуация характерна, например, для криволинейных трещин [1-3] и трещин на границе раздела двух сред с различными упругими свойствами [4—7].
Указанная трудность отсутствует, если в задаче скачки нормальных смещений точек поверхностей трещины и нормальные напряжения в области налегания могут быть определены независимо от касательных компонент скачка смещений и напряжений. Это имеет место [8, 9] в рассматриваемых в дальнейшем задачах о трещинах, занимающих плоскую область, и в задачах об уплощенных полостях в однородной изотропной упругой среде. Общая задача в указанном случае разделяется на две,решаемые последовательно.
Первая — нормальная задача, в результате решения которой определяются скачки нормальных смещений точек поверхностей трещины (полости), области их налегания и распределение в этих областях нормальных напряжений [10,11].
Вторая — сдвиговая задача. В ней с использованием распределения нормальных напряжений в областях налегания определяются скачки касательных компонент смещения, касательные напряжения, области сцепления (двух типов) и скольжения, если таковые возникают [8, 12, 13].
Нормальная задача о равновесии трещин-разрезов (полостей) конкретных форм с областями налегания рассматривалась в [13—15]. Области налегания определялись из условия непрерывности напряжений в окрестности их границ в построенном решении. Общее исследование пространственной нормальной задачи вариационными методами проведено в [11,16], где эта задача сведена к задаче минимизации квадратичного функционала с ограничениями. Вариационный подход в сочетании с модифицированным методом проекции градиента позволяет [16] строить численное решение задач при произвольной форме трещины (полости) в плане (и произвольном начальном раскрытии полости).
Сдвиговая задача с условиями трения в областях налегания рассматривалась в [17—24]. В [8, 12] в рамках вариационного подхода предложена методика построения решения с областями сцепления (с нулевым скачком смещений) и скольжения. В [22—24] дан способ построения решения двумерных задач, при котором концы участков сцепления и скольжения определяются из требования несингулярности решения в этих точках. Рассмотренные в [8, 12] задачи соответствуют [17] частному случаю траектории нагружения. Примеры решений двумерных задач для конкретных геометрий трещин и напряженных состояний при простых траекториях нагружения содержатся в [18-24].
Ниже рассмотрены общие пространственные задачи о полостях (трещинах-разрезах) с областями налегания, сцепления и скольжения при изменяющихся квази статически в зависимости от некоторого параметра нагрузках. Основное внимание уделено изучению свойств решений, знание которых существенно упрощает построение решений. В частности, в нормальной задаче это свойства, устанавливающие связь условий возникновения обла-
стей налегания с исходным раскрытием полости, зависимость решения от вариации формы полости в плане; в сдвиговой задаче — такие, как условия, определяющие переход от состояния сцепления к скольжению и обратно, непрерывная зависимость решения от параметра нагружения, асимптотическое поведение решения вблизи границы областей различного типа (раскрытия и налегания, сцепления и скольжения). Установлена эквивалентность двух подходов к решению рассматриваемых классов задач: вариационного и подхода, основанного на построении несингулярного вблизи неизвестных границ решения.
Результаты, относящиеся к нормальной и сдвиговой задаче, приведены без доказательств (их можно найти в [10, 17] ); основное внимание уделено методической стороне, сопоставлению разных подходов.
Применительно к нормальной задаче отметим установленную эквивалентность двух подходов к ее решению: путем отыскания минимума энергетического функционала с ограничениями и на основе построения решения, несингулярного вблизи неизвестной границы области налегания. Существенно, что доказанные без помощи вариационного метода утверждения в сочетании с установленной ранее положительностью нормальной задачи приводят к регулярной невариационной процедуре численного отыскания неизвестных границ при произвольной форме исходной полости (трещины). Более подробно рассмотрен пример: сдвиговая задача с условиями трения в области налегания поверхностей эллиптической трещины при зависящих от параметра нагрузках. Помимо анализа свойств решений, рассмотрены примеры точных решений сдвиговой задачи для эллиптической трещины при различных траекториях нагружения.
Постановка граничной задачи. Рассмотрим равновесие линейно-упругого пространства с полостью, сечение которой плоскостью х3 = 0 занимает область С. Пусть действующие объемные и поверхностные нагрузки изменяются в функции параметра в. При этом расстояние между поверхностями полости w(Xj, х2) является однозначной функцией (Xi, х2) и мало по сравнению с размерами С (уплощенная полость).
Будем сносить условия на поверхностях полости в плоскость х3 = 0. В областях налегания поверхности полости взаимодействуют по закону сухого трения Кулона: сила трения направлена в сторону, противоположную направлению движения, и прямо пропорциональна давлению. Направление движения определится по формуле и^ = Ьи^ЬО, где wf = 〃；一〃,一 скачок смещения, 8 — параметр нагружения, z =1,2. Закон Кулона в этом случае запишется в виде F； = рои/и, где р — коэффициент трения, о》0 — давление, ось х3 нормальна плоскости С, и = (и； + и扌)"？. Снос условий в плоскость х3 = 0 означает, что ставится смешанная задача для трещины- разреза. Это позволяет исходную задачу разбить на две: симметричную и антисимметричную относительно плоскости х3 = 0. В первом случае вдоль области С возникает скачок нормального смещения, а во втором — касательного [8]. Такое представление имеет место, несмотря на нелинейность задачи, и связано с тем, что нормальные и сдвиговые компоненты скачка смещения не вызывают в плоскости х3 = 0 соответственно сдвиговых и нормальных напряжений. После разбиения исходная задача решается в два этапа. Сначала определяется область налегания F и распределение нормаль-
ных напряжений 033(X1, х?, 6) в зоне контакта (нормальная задача) 0 Затем при заданном распределении О33 g ,❷，6) находятся области сцепления G и скольжения G】,а также распределение касательных напряжений (сдвиговая задача).
Применяя для удобства прием Бюкнера, краевые условия нормальной и сдвиговой задач можно записать в виде
О；3(Х1,Х2,6) = О?3(Х1,Х2,6),(Х1»2)^ С'Е
033 《0k, W3 - m3 = 一"(X1,X2),(X1,X2)^ 尸，
Из - Мз = О,(Х1,Х2)£ 戸 \ С；(1.1)
修(Х1,Х2*) = 〃； - 〃f =谭О1,Х2,е),(Х1,Х2)£ G,
。以(Х1，Х2, G)=。卜 Х1,Х2,е)+ Р 叫 1%(Х1,Х2)£ G1,
0 = I。33(匕，x2,g)| > 0,(Х1,х2)e a,(1.2)
где 〃； — скачок смещения в области G, определяемый предысторией нагружения. Нагрузки аД определяются распределением объемных сил с плотностью р (хх, х2, G), изменяющихся как функция параметра 仇 —°%(Xi，*2，') — распределения напряжений в сплоишом теле в области С при заданных нагрузках, которые считаются известными. (В дальнейшем индекс 3 будет опускаться.) За областью £2\尸 сохраним название "свободная поверхность” и обозначим D. Пусть Г — граница, разделяющая области F, Л; Г' - граница, разделяющая G, G】.Будем предполагать, что смещение и скорость скольжения — непрерывные функции координат О- х?)・
Нормальная задача. Рассмотрим краевую задачу (1.1). Для установления критерия, определяющего положение границы области налегания, необходимо проанализировать поведение решения в ее окрестности в зависимости от геометрии начального раскрытия а (х】,х?) • В локальной системе координат xyz (ось z направлена по касательной к границе свободной поверхности D, ось у нормальна плоскости (х3 = 0, х《0)) соответствует области D, в силу (1.1) имеем при z = 0
Uy - Uy - — 〃(х), х > 0,
±(2.1)
оуу(х, 0) = о(х), х < 0, у -* ±0,
где о(х) определяется внешним напряжением, 〃(х) — заданный скачок смещения. Функции 〃(х), о(х) в окрестности точки х= 0 предполагаются аналитическими. В силу симметрии
±土
Оху = Oyz = О, |х 丨 < 8.
Анализ напряженного состояния в локальной системе координат приводит к следующим распределениям скачка смещения и напряжения вдоль оси х [10]:
±
。抄(х, 0) = о(х), х & 0,
Oyy(xf 0) = 。(X) + %4/-"2 + %42『"+ ...+ (九一%)力m"-3/2, X)0,
иу(х, 0) = — 〃(х), х > 0,
〃у(х, 0) = —〃 (х) + 2(1 - 〃)〃Т(4]丁1/2 _力2 丁3/2 +
…+(一1)П-14/-1/2), r = ix I, X & 0,
Oyy(xf 0) < 0, x > 0.(2.2)
Функции w(x) и а (х) аналитически продолжены в области х < 0 и х>0 соответственно.
Из (2.2) видно, что распределения смещений и напряжений вдоль оси х связаны через коэффициенты Ак. Проанализируем распределение напряжений и смещений вблизи границы области контакта. Предположим, что уравнение поверхности полости прих< 0 имеет вид
〃о(х)= |х|°%(х)+В,
Fp(x) - полином степени р, 0 < а < 1, т.е. поверхность, вообще говоря, кусочно-непрерывна в точке х = 0. Так как при х> 0 образуется область контакта, то оуу < 0, а при х《0 поверхности полости не налегают, поэтому
иу(х) > -и0(х), х《0,^ ->±0.(2.3)
Предположим, что Л i =# 0. Из условия в области контакта оуу < 0 и формулы для напряжений (2.2) следует, что 力1 < 0. Поскольку начальное раскрытие полости 〃(х) при х> 0 является аналитической функцией в окрестности точки х = 0, то оно имеет вид
и(х) = Сг7 +5,
где 7 — целое число, С = const > 0, г = | х| , Подставляя это выражение в (2.2), а затем в (2.3), предполагая, что Fp = Dr р, D = const > 0, получим неравенство
-Сг7 +4)"% -В>-В- Drp+a 0.
Из этого неравенства с необходимостью следует, что при 41 < 0 должно быть р = 0, 0 < а < Й. Таким образом, случай Xi < 0 возможен только для кусочно-гладкой геометрии полости р = 0, 0 < а < Й. Если же р W 0 или р = 0, % < а < 1, имеем с необходимостью 4 = 0, а из условия Оуу < 0 Л2 < 0. При этом распределение напряжений в области контакта не сингулярно. В случае р = 0, 0 < а < %, при любых конечных 41 (что соответствует конечным значениям сжимающих напряжений) невозможно
полное закрытие полости вблизи точки излома: в этом случае при фиксированной границе области не возникает перехлест поверхностей полости, который бы означал возможность образования зон налегания. Следовательно, до начала процесса решения задачи можно указать участки поверхностей полости (по их геометрии), которые не вступят в контакт. При этом напряжения вблизи границы излома данной геометрии сжимающие и сингулярные. Аналогичный анализ проводится для трещин-разрезов.
Если и(х) = 0 при х > 0, то построенная асимптотика представляет асимптотику решения вблизи угла, образованного поверхностями с уравнением 〃о(х) = I х\ aFp(x), х《0, в сплошном материале.
Полученной зависимости условий возникновения контактных областей от параметров а, р соответствуют результаты численных расчетов для полостей эллиптических в плане форм [9]: при начальном раскрытии полости
〃"1,Х2)= b(1 -渭炉-X泌2严2,
область контакта возникает от границы полости, если а > 1, и внутри области, образованной сечением полости плоскостью х3 = 0, если 0< а< 1.
В краевой задаче (1.1) для области С в случае 〃(xi，х2) (“i, %2)£ С, краевые условия в области свободной поверхности С\ R совпадают с краевыми условиями задачи о трещине-разрезе, занимающей область Q\R в сплошном материале, если в последней на границе области Q\ 尸 коэффициент интенсивности напряжений равен нулю. Это позволяет использовать класс решений задач о равновесии трещин-разрезов в сплошном материале при построении решений задач о равновесии трещин-разрезов с областями налегания. Уравнением, определяющим границу Г областей контакта и свободной поверхности в задаче для трещин-разрезов, занимающих область является условие отыскания контура трещины-разреза области Q\R, на котором Л 1(х?, х§) =0. Аналогично для полости уравнением, определяющим границу контакта и свободной поверхности, является уравнение
lim -(xlfx2) = -' — (х?,х§).
@1/2)-*(望,行)Эхaм
Предлагаемый подход к построению решения задач о трещинах и полостях с областями налегания аналогичен подходу [25, 26] к построению теории трещин. Здесь роль сил сцепления играют сжимающие силы в области контакта [27].
Свойства решения нормальной задачи. Решение нормальной задачи единственно: заданные напряжения однозначно определяют области налегания и раскрытия. Доказательство основано на свойстве положительности упругой энергии [10]. Используем положительность решения нормальной задачи [29] и единственность решения [10] для доказательства ряда его свойств.
Предположим, что имеется равновесное состояние заданной полости Q и при заданной внешней нагрузке с областью раскрытия D, такой, что 〃3(工1，Х2)> -〃(Х1，%2), “1，工2)£ D, т.е. отсутствует перехлест поверхностей полости в области раскрытия, а в области ^l\D снято ограничение на напряжение Озз(%1, ^2)< 0， (х「х2) £ С\0. Множество таких состояний, соответствующих заданной полости Q и заданной внешней нагрузке, обозначим К. Элементу из этого множества будет соответствовать об- 62
пасть раскрытия Dki в которой из(хь х^ > -м(хьх2), (хь х2) еDk, и область налегания Q\Dk = F^. В частности, в этот класс входит и решение нормальной задачи с учетом ограничения на напряжение в области налегания F,
Тогда для множества равновесных состояний К может быть сформулировано следствие из теоремы единственности.
Следствие 1. Рассмотрим уплощенную полость с сечением Q (в плоскости Хз = 0) и областью налегания F U Q при заданной системе нагрузок. Пусть К — множество равновесных состояний с областями раскрытия Dk и налегания Fk, соответствующее полости Q и заданным нагрузкам. Тогда для любого элемента из множества К, если область раскрытия Dk не совпадает с D, в области Fk существуют подобласти 尸%, где
033(х户2)〉0, (XbX2)eF^.
Используя следствие 1 и свойство положительности рейхения, можно доказать утверждения, позволяющие строить оценки решений задач для полостей и трещин-разрезов с областями налегания. Сформулируем их.
Утверждение 1. Рассмотрим равновесное состояние полости сечением Q с областями налегания F и раскрытия D при заданных нагрузках. Тогда область раскрытия 0% любого равновесного состояния из множества К, не совпадающая с D, содержится в D(Dk С D).
Утверждение 2. Скачок смещения 〃з = 〃； - 〃^, вычисленный на множестве областей раскрытия Dk U D в заданном поле внешних нагрузок, достигает своего максимума в каждой точке области раскрытия 力 U Q, такой, вне которой выполняется неравенство а33(хь х2) < 0, (х「х?) £ £ С\ Л, т.е. на решении краевой задачи (1.1) при условии
〃3(Х1,“2)》一〃@1,工2),(X1,X2)£Q・
Непосредственным следствием утверждения 2 является максимальность объема раскрытия трещины-разреза на области D С ^19 вне которой выполняется неравенство 033(x1, х2) & 0, (хх, х2) £ Q\D при условии 〃з(х「％2)》0, (“1, х2) е С, т.е, на решении краевой задачи (1.1) [30].
Утверждение 3. Пусть для решения задачи о полости Q при заданных нагрузках, построенного без учета ограничений и3(хь х2)》 > -м(Х1，%2), (х「х2) £ ^2, существует область Fo С Q, такая, что u3(xlf х2) & -〃(“i, Х2), (Xi，工2)£ 尸。(область ,,перехлеста,> поверхностей) .Тогда для решения задачи о полости Q с учетом ограничений при тех же нагрузках область налегания F не выходит за пределы Fo.
Утверждение 4. Функционал упругой энергии W = 二—Й / 〃3。33几3^5, вычисленный на множестве областей £)% U С в за- Dk
данном поле внешних нагрузок, достигает своего максимума на области D U Q, такой, что вне D выполняется неравенство а33(хь х?) & 0, (х「％2)^ ^l\D при условии 〃3(工1, %2)》0, (хь к?) £ Q・ Утверждение 4 было сформулировано в [11]. Здесь как утверждение 4, так и утверждения 1—3 доказаны на основе следствия 1 и свойства положительности решения [29] без использования вариационного подхода, что является методически важным. Положительность решения и условия в области налегания позволяют предложить новый регулярный алгоритм отыскания решения задачи (1.1), излагаемый ниже.
Замечание. На основе схемы доказательства сформулированных утверждений может быть предложен следующий регулярный метод численного определения неизвестных границ областей налегания. Предположим, что в плоскости трещины известно распределение нормального напряжения. Выделим области D^, где о^зМ，х2) > 0, (хь х2) £ D⑴,и возьмем их в качестве первого приближения области раскрытия. Решая краевую задачу для трещины-разреза с областью D^ при заданных 。?3(工1,工2), найдем распределение напряжений в области Q\Z>")и снова определим область, где o33(xlf х2) > 0 (объединение этой области с Z)^1^ обозначим D⑵).Затем снова решаем краевую задачу для трещины-разреза при заданных а? 3, но уже для области D^ . И так далее. В результате получим последовательность областей D^ С D^ С ... UDUQ и 0 < < 〃¥)(Х1，Х2)< …^ 〃Р°(Х1,Х2)& 〃3(Х1，%2)ДЛЯ V(xb Х2) £。⑺)， которые содержатся в искомой области D = U D^ (z = 1,2,. ..). То, что область D искомая, следует из теоремы единственности, а то, что скачок смещения возрастает, — из свойства положительности решения [29]. Ограничение этой последовательности поточечно - из утверждения 3. Описанный регулярный способ отыскания границы может быть использован при решении трехмерных задач о плоских трещинах в тех ситуациях, когда имеет место свойство положительности решения.
Свойства сдвиговой задачи. Рассмотрим краевую задачу (L2). Распределение давления в области F предполагается известным и изменяется в процессе нагружения как функция параметра нагружения 0. В этом случае в области налегания возможно возникновение трех характерных областей: области скольжения (Эи^/Э^ W 0) н двух типов областей сцепления (а%/ае =о)： в однихскачок смещения отличен от нуля (〃» W 0), а в других равен нулю (〃» = 0). Возникновение трех характерных областей связано с тем, что на трещине давление о, касательное напряжение 07 изменяются в процессе нагружения. Наличие областей с фиксированным скачком смещений обусловливает память о процессе нагружения.
Рассмотрим условие, определяющее начало скольжений в области контакта. При заданном скачке смещения на плоскости напряжения определяются известными соотношениями [28], полученными для полупространства. В области сцепления о. = а? + Ff, где F. - сила трения. В силу неравенства (У7? + 抬)％ < ро приходим к необходимому условию в области сцепления при решении краевой задачи (1.2)
[(J - о?)? + (。2 -奧 У]% & Р。. (4.1)
В левой части (4.1) стоят функции внешних напряжений и скачка смещений на трещине. Пусть Во? - приращение вектора касательного нагружения, 7 - угол между направлением скорости скольжения vf = Ъщ1Ь6 и этим вектором. Тогда, предполагая, что нагрузки на области Q распределены непрерывно, можно доказать следующие утверждения [17].
Утверждение 5. При нагружении тела с трещиной скачок смещения является непрерывно дифференцируемой функцией параметра 6.
Утверждение 6. Для возникновения приращения при вариации внешних напряжений 6а?(хь х2,8) скачка смещения биДхь х2,0) на тре- 64
щине необходимо, чтобы существовала точка на ней, в которой выполняется неравенство
6т(Х1, х2з ^) cosy > р6о(хь х2,0),(4.2)
где 5т = (5о?6а?)^.
Оба утверждения доказываются на основе положительности функционала упругой энергии при вариации напряженного состояния. Неравенство (4.1) отражает этот факт.
Замечание. В предыдущих рассуждениях предполагалось, что заданные напряжения распределены непрерывно вдоль трещины. На основе этого были получены качественные утверждения о характере скольжения поверхностей трещины. В случае действия сосредоточенных сил на поверхности трещины возможен скачок в направлении скольжения. Предположим, что нормальные напряжения распределены непрерывно, а сдвиговые имеют вид о? = Ti8(x1)d(x2), z= 1,2.
Тогда справедливо следующее утверждение.
Утверждение 7. Если Вт = (Bq Вт,) %, то всегда существует на трещине область скольжения и направление скольжения может изменяться скачком (т.е, скорость скольжения не является непрерывной функцией параметра 0). В этом случае область D^T, где может быть скачок смещения, содержит точку приложения обобщенной силы: (0, 0) Е DdT и при 6т -> 0 стягивается к ней [17].
Используя свойство положительности функционала упругой энергии, также удается доказать теорему единственности.
Теорема. Распределение скачков смещений и скоростей скольжения поверхностей трещины в конечной точке траектории нагружения единственно. Для установления критерия, позволяющего определить положение границы областей сцепления и скольжения, проанализируем поведение решения в ее окрестности. В локальной системе координат xyz ось z направлена по касательной к границе области скольжения, ось у нормальна плоскости С, х & 0 соответствует области сцепления. Тогда в силу (1.2) имеем при z = 0
W -u~ = u®(x, 0),х》0,
+(4.3)
Оуа = °уа ^povjv, X « 0, Q = X, Z； ^->±0,
где 〃^ — скачок смещений в области сцепления. Анализ напряженного состояния в локальной системе координат приводит к следующему распределению напряжений и скачка смещений вдоль оси х [17]:
о 工=° у а + ро%/и, Х< 0,
Оуа =哄 +PO%/U + (%41X~% Q'A2A +... + (〃 — ％)/内"％),
必(X, е)=吟(х, G),х》о,
〃а(х, е)=成(X, 8)+3(0)(410* -/2/弘 + …+ (-1)“4ad-%), х& О,
6565B(x)= 2(l — 〃)例，％)= 2仇 г= |х|, а = х, z.
65
65
Зак. 891
Поскольку в области сцепления напряжения ограниченны, то необходимо, чтобы /1а 二 »• В этом случае в окрестности границы областей сцепления и скольжения скачок смещения является непрерывно дифференцируемой функцией координат (х「х2). Таким образом, при построении решений в классе функций, не ограниченных вблизи границ области скольжения уравнением, определяющим эти границы является условие непрерывной дифференцируемости скачка смещений lim〃；(x, у)= 〃黑(х°, у°) при (х, у) ^(х°,у°) £Г\
Из полученной асимптотики и теории единственности следует, что для того, чтобы область скольжения расширялась, необходимо и достаточно, чтобы при вариации нагрузок в фиксированных ее границах существовали участки, на которых коэффициенты интенсивности напряжений были отличны от нуля [17].
Эллиптическая трещина с взаимодействующими поверхностями. Рассмотрим деформацию упругого пространства, ослабленного эллиптической в плане трещиной, под действием напряжений, заданных на бесконечности о工.Уравнение эллиптической трещины в системе координат х「Х2,Хз (осьх3 нормальна плоскости трещины) имеет вид
Хз = О, х；/«2 +х!/^2 = 1,
где а, b — большая и малая полуоси эллипса. Поверхности трещины при скольжении в заимодейств уют по закону сухого трения Кулона (1.2). С помощью метода суперпозиции перейдем к напряжениям, заданным на поверхностях трещины:
о?з = 71, °9з=72, Озз =-а,
где сдвиговые и нормальные напряжения на трещине определяются по известным формулам [28] через тензор 喉.
Задача сводится к определению напряженного состояния среды с эллиптической трещиной под действием касательного напряжения 74 = 丁式夕)， 7*2 = 丁2(£) и давления о=。(£) > 0, изменяющихся в процесс нагружения (0 — параметр нагружения) . Краевая задача в этом случае аналогична (1.2). Компоненты скачка смещения под действием заданного сдвигового напряжения имеют вид [31]
〃》= 8%・)07зФ(Х1,Х2), щ = щ -ut，
6(Х1,Х2)= (1 -滔/〃2 孤2)%(1 - 〃)R•
4〃51 = -к21[(к2 一 〃)£(%) + 心К(к)\,
4дВ2 = -к2/[(к2 +〃/2)£(%)_〃/2K(%)].
В этом соотношении компоненты скачка смещения и сдвигового напряжения разделяются: компонента скачка смещения вдоль одной из главных осей эллипса определяется составляющей сдвигового напряжения вдоль этой же оси.
Поскольку в нашем случае нормальные напряжения не зависят от координат Xi, Х2, то можно предположить исходя из зависимости (5.1), что угол скольжения ф (tg W = v2/vi) также не будет зависеть от этих координат. Действительно, используя (5.1),в этом случае имеем
Щ = 8B(z・)①“1,工2)(方 + 吊)，Ц- = dUi/dO,(5.2)
尸i - сила трения, 吊 二 一po(cosW, sinW). При нахождении скорости мы продифференцировали (5.1) по параметру 0. Это возможно, поскольку по доказанному ранее скачок смещения является непрерывно дифференцируемой функцией параметра нагружения 0. Подставляя выражение (5.2) для скорости и； в формулу, определяющую угол скольжения W, получим
dn/dJ — pd(O3inW)/d&%)
tgw 二£/ = .(5.3)
dTjdB - pd(ocos\p)/dO%)
Выражение (5.3) подтверждает наше предположение о том, что угол W действительно не зависит от координат (хь х?). Поэтому переход в состояние сцепления или скольжения происходит вдоль области трещины и определяется единственной неизвестной функцией 屮(£). Разрешая (5.3) относительно производной dW/dd, приходим к дифферевдиальному уравнению первого порядка
dW /соз W(dT2/dd) - sin W(dTi/d6) + р cos屮 sini//(l -f)(do/de)
— = — ,(5.4)
ddpa(sin2 W +/cos2 W)
где J = MB),『2 = Md), o= o(e)- заданные функции. Это уравнение при относительном скольжении поверхностей трещины описывает изменение угла скольжения, а следовательно, и полей скоростей и смещений на трещине при нагружении. В частности, при а -> °°, b = const получим / = 1 — р (разрез при продольно-поперечном сдвиге), а при а-Ъ / == 1.
Для описания режима скольжения необходимо указать условия, определяющие возникновение процесса скольжения и его непрерывность (4,1), (4.2). Эти условия удобно записать через угол наклона 9: 6т/ = Вт (cos9, sing) и угол скольжения 屮：*
6rcos(^- 0) > р5а,
K6 3 一口)2 +(02 3 -72)2] > Р202.’
Для решения уравнения (5.4) необходимо указать начальное условие: W(0)二 Wo・ При Ti = Т2 = ра = 0 уравнение (5.4) имеет неопределенность: 0/0. Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, определим асимптотическое поведение 0(0) при 6=0. Предположим, что
T1(0)-Aien, * Т2(6)=Л20т,а=А30\п>т>0, Z> 0.
Согласно (4.1) при (т； + 彩产 > ро возникает проскальзывание поверхностей трещины, откуда т < I. В противном случае процесс скольжения на трещине не возникает, а угол W определится из уравнения т, = —F/, где Fi — сила трения. При выполнении условия т < I т уравнения (5.4) определяем асимптотику при 3 = 0:屮。=я/2. Если же ди > и, то и < I и Wo = 0. В случае т = п = I из уравнения (5.4) получим W = const, следовательно, его значение определяется из (5.4) уравнением
-А 1 sin 屮 +А 2『cosW +°4з(1 -/)sini//cos0 = 0.
Таким образом, определив начальное условие ф = ф0, можно интегрировать (5.4) при условии (5.5). При невыполнении (5.5) поверхности трещины находятся в состоянии сцепления:屮=屮(£力)=const, а при выполнении снова начнется подвижка (£< - значение параметра нагружения,
при котором происходит переход в состояние сцепления). Начальное значение 屮 二 Wo для уравнения скольжения (5.4). и значение параметра б。 определятся из условия (5.5)
△万= -△修•, △万=万8。)-万®/)， (5 6)
△匕=修仇)-修(笃)，F/(0O) = -”(cos %, sin %), •
где 0A — значение параметра нагружения, при котором поверхности трещины перешли в состояние сцепления; при 0 > 0О возникает скольжение поверхностей трещины.
Геометрическая интерпретация режимов скольжения и сцепления. Рассмотрим геометрическую интерпретацию режимов скольжения поверхностей трещины при нагружении вдоль траектории тг = 7^0), 7*2=72®), ро = ро(е)в пространстве (八，乙，Р。) (рис. 1). Пусть точка А (т《，舟， ро") соответствует данным параметрам нагружения на заданной траектории и определяет распределение смещений по (5.2). Тогда условие скольжения в точке нагружения А согласно (5.5) имеет вид
(71-儿)2 +е -%2)2 >р2а2, (6.1)
где bY = т^ - pa4cos \рА, 岳=т次-poAsm фА. При q = т『，。二 о" эти условия переходят в условия 5тcos у = Втicos 屮』+ 5r2sin 屮力(5.5), определяющие монотонность скольжения. Области изменения параметров, в которых выполняется неравенство (6.1), при заданных т《,т次,роА соответствует область вне конуса скольжения, определяемого уравнением
(71-81)2 +仇 _ b2y =р2О2. (6.2)
При этом точка А, соответствующая данным параметрам нагружения, лежит на поверхности конуса. Если условие непрерывности не выполняется, то траектория из точки / выходит внутрь конуса скольжения с фиксированными (bi, b2), определяемыми в точке А, и поверхности трещины переходят в состояние сцепления в этой области (см. рис. 1). Подвижка возникает, когда траектория нагружения выходит за пределы конуса скольжения в область, определяемую неравенством (6.1).
Таким образом, для траектории нагружения в каждой ее точке можно указать конус скольжения (6.2), который определяет непрерывность процесса скольжения и переход в состояние сцепления.
Рис. 1. Траектория нагружения в пространстве (т】,т2, ра)
Рис. 2. Нагружение в плоскости т2 = О
Рис. 3. Геометрическая интерпретация характерных областей нагружения
Рассмотрим случай, когда траектория нагружения лежит в оцной из плоскостей, например (ti , ра), а т2(^)三 0 (рис. 2) . В этом случае вершина конуса скольжения лежит на оси 71(^2 三 0), а на плоскости (т*1, ро) след от пересечения конуса скольжения и плоскости (т19 ро) имеет вид ломаной АВС с вершиной bv = т】一pocos 屮 (для одноосного нагружения 屮 =0 или W = тг). Области скольжения будут соответствовать областям II, III вне ломаной ЛС5, а область I — области сцепления (см. рис. 2). Эти области соответствуют условиям скольжения при одноосном нагружении и возникают для разрезов [22, 23] в плоской задаче и в осесимметричном случае для дискообразной трещины [24]. Однако в отличие от разрезов в харак： терные области скольжения II, III можно попасть, выходя в пространство (71,72,0。).
Рассмотрим снова трехмерный случай нагружения в пространстве (71，丁2,。。)・ Будем предполагать, что в процессе нагружения компоненты скачка смещения щ > 0. Введем следующие определения. Будем говорить, что вдоль оси Xi (соответственно х2) имеет место режим нагрузки или разгрузки, если dui/dO > 0 (du2 /d0 > 0) или dui/M < О (d〃2/dd < 0). Выделение этих режимов важно для анализа процессов скольжения и разрушения. Рассмотрим геометрическую интерпретацию этих областей в пространстве (т— т2, ро) (рис. 3). Пусть кривая ODна плоскости (г, 7*2)соответствует проекции траектории нагружения на эту плоскость, а 08 — траектории движения вершины конуса скольжения. Введем обозначения областей.
0е 后 《 料，0& / 《 岳；
0& 门 & bl, b2< ?2< 8；
VI： bl < 71 < 8, 0& 72 < 62；
VII: bi < Ti < °°, b2 < т2 < °^ (см. рис. 3).
Тогда, если точка D(ti, т?) лежит в области IV, это соответствует режиму разгрузки на трещине (тг & 屮 《^厶万),если в V, то по оси х】имеет место разгрузка, а по оси х? нагрузка (^тг < ф < тг), в VI — по оси х2 разгрузка, а по оси х{ нагрузка (^я < ф < тг), в области VII - по осям Xi, х2 режим нагрузки (0 & 屮 &眩 тг). При этом вектор BD = —po(cos 屮, sin 屮)соответствует силе трения и определяет ее направление. Из геометрических построений видно, что для возникновения какого-либо режима скольжения на трещине точка А (см. рис. 3) должна начать двигаться
в соответствующую область. Внутри конуса скольжения трещина находится в состоянии сцепления и Ат^ = —△R», что определяет направление скольжения при выходе за пределы конуса. Попадание траектории нагружения в характерную область (см. рис. 3) соответствует возникновению характерного режима скольжения. Отсюда видно, что при одномерном движении в плоскости (г, ро) (см. рис. 2) область VI соответствует режиму разгрузки (dui/dO) < 0, а область II - нагрузки @tijd8) > 0.
Таким образом, рассмотренные геометрические представления позволяют до решения задачи указать возможный режим скольжения, направление силы трения и начальные условия при переходе из состояния сцепления в состояние скольжения, а также выделить участки траектории, соответствующие характерным режимам нагружения.
Данная геометрическая интерпретация проведена для рассматриваемого случая эллиптической трещины, в которой угол скольжения 屮 и напряжения не зависят от (хь х2) • Аналогично можно проанализировать и случай, когда имеется зависимость от координаты (х】，х?) напряжений и угла скольжения, если рассмотрение проводить локально в данной точке 61，Х2)・
Пример траектории нагружения. Рассмотрим изменение скачка смещения при нагружении по следующей траектории: сначала сжимающей нагрузкой до величины о, а затем сдвиговой rf =т (0) (cos 9, sin^), т (0)= =0, т (0)》0, 9 = const. Эта траектория нагружения обычно предполагается в контактных задачах.
Уравнение скольжения (5.4) для этого случая примет вид
dW sin(P -dr
曲 pa(sin2 W + fcos2 W) dO
а = (/28т2^ + со82^)^, tg0 = ftg9,(7.2)
f>l, 0〉弘/< 1,B<9.
Так как в начальный момент т(0) = 0, то рассмотрим случай (dr/dO) > 0, В состоянии сцепления = —F/} а начало подвижки определится из условия т > ра, следовательно, начальное условие запишется как
伙0) = 9・ (7.3)
Рассмотрим изменение угла 屮 в начале процесса скольжения т 己 ро, W ~ 9. В этом случае, подставляя в уравнение (7.1)屮 〜9, получим
5屮二 6Tasin(|3 -^)/[pa(sin2^ +/cos2«p)].
Из этого соотношения с учетом (7.2) видно, что при / > 1 (0〉屮)имеем 5W > 0, если 6т > 0, а при / < 1 (0 < 9) величина 8ф < 0 при 6т > 0. Таким юбразом, если / > 1, угол 屮 возрастает на участке траектории Вт〉0 (и согласно (7.1) монотонно), а если f < 1, то 屮 монотонно убывает при Вт〉0. В случае / = 1 из (7.1) имеем решение 屮=屮=const.
Полное решение (7.1) можно выписать с учетом начальных условий (7.3) в квадратурах
У (sin2 т? +/cos21?) dr? 〃
/ ~~7 = -(7-00).(7.4)
屮 sm(g-")pa
Рис. 4. Качественная картина изменения угла скольжения при нагружении эллиптической трещины
Рассмотрим асимптотику при г > ра, т 今8. Из (7.4) имеем в этом слу・ пае 屮 今0 ± 0 (знаки плюс и минус соответствуют /< 1 и /> 1) . Интегрируя уравнение (7.4) в окрестности точки т•今8 и 屮~ 0, получим следующее асимптотическое представление:
\р-ф\ = exp[-ar/(pa(sin2j3 +/cos2j3))].
На рис. 4 показана качественная картина изменения угла 0 с ростом т. При 9fo (или % я), что соответствует скольжению вдоль одной из главных осей, 6 f и и скольжение происходит вдоль направления действия нагрузки с 屮=и 二 const,
〃2 =0,
〃1 =51(71 -ри)Ф(Х1,Х2)・
Рассмотрим теперь режим скольжения при уменьшении сдвигового напряжения после достижения значений т = тв,屮=屮夕 в режиме нагрузки. В этом случае согласно (5.5) трещина переходит в состояние сцепления. При этом из (5.6) имеем
(тв -r)cos^ = pacos |//в +尸1,(7 5)
(тв — т) sing = pa sin % + 尸2,
где F〔 — сила трения в состоянии сцепления. Обозначая Ff =—尸(cos 屮, sin 屮)，имеем
严=(тв - т)2 -2(тв-т)роcos((p -фв) + р2о2,
£g W = 1(Тв — т) со$9 - P^cos Wg] [(тБ — r)sin^ — pa sin 0B] т .
Непосредственно можно убедиться, что при 6т < 0, / < 1, 8ф < 0 убывает, а при 6т < 0, /> 1, 5屮〉0 возрастает. То есть в состоянии сцепления угол скольжения либо убывает, либо возрастает. Подвижка поверхностей трещины возникает, когда F = рб. Из этих уравнений имеем
、= Тв 一 2Poe°s(Wg—9),Wc = 2 屮一Wb土小(7.6)
где плюс соответствует случаю / > 1, минус / < 1. Тогда из уравнения скольжения сразу же получим, что 5屮 > 0 при 5т < 0и/〉1и5и < О при 5т < 0 и /< 1 (см. рис. 4).
Гаким образом, решение в режиме разгрузки с учетом начальных условий (7.6) имеет вид
(sin27? +/cos27?)dr? а
!F一~； = -(Q T).(7・7)
W sin(|3 - г?)pa
В конечной точке нагружения (т = 0) угол скольжения W 二 Wo определится из (7.7) при г = 0, а остаточное поле смещений
Щ = -B(iypo(cos %, sin Wo)・
В случае 9=0 имеем
Т1=т — 2ро,屮1=笈， Wi =^1(т + ра)Ф(х1,х2).
ЛИТЕРАТУРА
Сав рук М.П. Контактная задача теории упругости для бесконечной плоскости с криволинейным разрезом//Физ.-хим. механика материалов. 1981, Т. 17, № 1. C.67-7L
Житников Ю,В., Туликов БМ, Равновесие разреза по дуге окружности в сложносопряженном состоянии//ПММ. 1982. Т. 46, № 3. С. 521-524.
Житников Ю.В., Тулинов Е.М. Равновесие разреза по дуге окружности при неоднородном взаимодействии берегов//Там же. 1983. Т. 47, № 5. С. 874-880.
Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983. 296 с.
Comninou М. The interface crack//Trans. ASME, E. 1977. Vol. 44. P. 631-636.
Comninou M. The interface crack in shear field//Ibid. 1978. Vol. 45. P. 287-290.
. Симонов И.В. Трещина на границе раздела в однородном поле напряжений//Меха- ника композит, материалов. 1985. № 6. С. 969-976.
Гольдштейн P.B.t Спектор А.А. Вариационный метод исследования пространственных задач о плоском разрезе в упругой среде при наличии проскальзывания и сцепления его поверхностей//ПММ. 1983. № 2. С. 276-285.
Балуева А,В., Гольдштейн Р.В., 3азовский А,Ф. Метод расчета смещений поверхности тонких пространственных полостей//Физ.~техн. пробл. разраб, полез, ископаемых. 1984. № 6. С. 3-6.
Гольдштейн Р,В., Житников Ю.В. Равновесие полостей и трещин-разрезов с областями налегания и раскрытия в упругой среде//ПММ. 1986. Т. 5 0, вып. 5, С. 826834.
Гольдштейн Р.В., Спектор А.А. Вариационные оценки решений некоторых пространственных задач теории упругости с неизвестной границей//Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 2. С. 82-94.
Спектор АЛ. Некоторые пространственные статические контактные задачи теории упругости с проскальзыванием и сцеплением//Там же. 1981. № 3. С. 12-25.
Моссаковский В.И., Загубеженко 17,А. О сжатии изотропной плоскости ослабленной прямолинейной щелью//Докл. АН УССР. 1954. № 5. С. 3 85-3 90.
Бойко Л.Т., Беркович П.Е. Контактная задача для полости, содержащей щель переменной ширины//ПММ. 1974. Вып. 6. С. 1084-1089.
Никишин В.С., Шапиро Г.С, О локальном осесимметричном сжатии упругого слоя, ослабленного кольцевой или круговой щелью//Там же. Т. 38. С. 139-144.
Гольдштейн Р.В” Зазовский А.Ф,, Спектор А.А., Федоренко М.П. Решение вариационными методами пространственных задач качения с проскальзыванием и сцеплением //Успехи механики. 1982. № 5. С. 61-102.
Гольдштейн Р.В„ Житников Ю,В. Анализ равновесия плоской трещины с учетом образования в областях налегания зон скольжения и сцепления//Изв. АН СССР. МТТ. 1987. №2, С. 141-148.
Моссаковский В.И., Рыбка В,М. Неосесимметричное сжатие упругого пространства, ослабленного круговой щелью//Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск: Днепропетр. гос. ун-т, 1976. Вып. 23. С. 149-156.
Спектор А.А. Асимптотика решений некоторых пространственных контактных задач с проскальзыванием и сцеплением около линий раздела граничных усло- вий//Изв. АН АрмССР. Механика. 1980. Т. 3 3, № 1. С. 43-5 3.
Walsh J.B. The effect of cracks on the uniaxial elastic compression of rocks//J. Geophys. Res. 1965. Vol. 70. P. 399-411.
Беркович JIE, Моссаковский В.И., Рыбка В.М. Влияние истории внешнего нагружения иа напряженно-деформированное состояние трещиноватой среды при наличии трения//Изв. АН СССР. МТТ. 1977. № 4. С. 137-142.
Житников Ю.В., Тули нов Б.М. Взаимодействие между берегами разреза в сложнонапряженном состоянии//Там же. 1982. № 4. С. 168-172.
Житников Ю.В., Туликов Б.М. Деформационные характеристики среды, ослабленной трещинами с взаимодействующими берегами//Там же. 1984. № 5. С. 44-54.
Житников Ю.В., Туликов Б.М. Расчет деформационных свойств твердого тела с закрытой трещиноватостью в сложнонапряженном состоянии//Там же. № 1. С. 117-124.
Баренблатт Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Общие представления и гипотезы. Осесимметричные трещины//ПММ. 1959. Вып. 3. С. 434-444.
Ишлинский АМ. Сопоставление двух моделей развития трещин//Инж. журн. МТТ. 1968. №6. С. 168-177.
Islinskij A.Ju. Consideration of the cracks theory from the point of contact of the theory of elacticity//The mechanics of the theory of contact between deformable bodies. Delft: Univ, press, 1975. P. 7^-83.
Лурье А,И. Теория упругости. M.: Наука, 1970. 939 с.
Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Вариационные оценки для коэффициентов интенсивности напряжений на контуре плоской трещины нормального разрыва//Изв. АН СССР. МТТ. 1975. № 3. С. 59-64.
Керчман В.И. Вариационные оценки определения площадки контакта упругих тел//Докл. АН СССР. 197 9. Т. 246, № 6. С. 6 8-7 7.
Си Г., Либовиц Г Математическая теория хрупкого разрушения//Разрушение. М.: Мир, 1975. Т. 2. С. 83-204.
УДК 539.376
ТЕОРИЯ НЕОБРАТИМОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОЛИКРИСТАЛЛОВ
Ю.И. Кадашевич, В.В. Новожилов
Поликристаллическое тело является системой, состоящей из множества кристаллических зерен； размеры, форма и ориентация кристаллографических осей которых имеет случайный характер. В своем первоначальном состоянии поликристалл по механическим свойствам можно рассматривать как однородное и изотропное тело. Если деформация упруга, то атомы поликристалла, выведенные из исходных равновесных положений приложенными к телу внешними силами, после снятия нагрузки возвращаются в исходные положения. Необратимые же деформации после этого остаются. Их сущность состоит в том, что в результате пластического (необратимого) деформирования атомы переходят из одной равновесной конфигурации в другую, отделенную от первоначальной энергетическим барьером. Преодоление последнего оказывается возможным только по достижении напряжениями критического значения, при котором работа
напряжений на деформациях становится равной высоте энергетического барьера. Наличие в кристаллической решетке многочисленных структурных дефектов значительно понижает предел текучести поликристалла, который он имел бы, если бы решетка его кристаллов была идеальна. Таким образом, пластичность поликристалла определяется в основном дефектами структуры его зерен. Хотя роль дислокаций (линейных дефектов структуры кристаллической решетки) как главных причин снижения предела текучести кристаллов и поликристаллов была установлена уже около полувека тому назад и хотя индивидуальные свойства дислокаций и законы взаимодействия их друг с другом, а также с другими дефектами решетки в настоящее время хорошо изучены как экспериментально, так и теоретически, но мы и по сей день далеки от создания статистической теории деформирования не только поликристалла, но даже монокристалла, содержащего разнообразные структурные дефекты, распределенные случайным образом.
История теории пластичности показывает, как шаг за шагом конструировались все более сложные варианты определяющих уравнений, описывающих макроскопическую деформацию. Причем по мере развития этих вариантов в них все более проникала статистика микроструктуры не только самого поликристалла как конгломерата многих зерен, но и микроструктура самих зерен. Эта статистика внедрялась в определяющие уравнения теории не в явном, а в скрытом виде. Но если внимательно присмотреться, то статистическая природа многих основных формул теории пластичности становится очевидной. При этом некоторые идеи теории пластичности возникали сначала вне связи с учетом микроструктуры. Но при дальнейшем развитии и уточнении их статистическая природа становилась все более ясной.
Хорошо известно, например, что с математической точки зрения критерий Сен-Венана не всегда оказывается удобным для использования. Чтобы обойти эту трудность, Мизес предложил другой критерий, имевший гораздо более простой вид (при его формулировке не в главных осях напряжения) .Этот критерий для любых напряженных состояний приводил к результатам, близким к критерию Сен-Венана, и мог рассматриваться как приближенная формулировка последнего. Однако эксперименты неожиданно показали, что для полик ристал лов критерий Мизеса лучше совпадает с опытами, чем критерий Сен-Венана, что заставило искать физическое объяснение. В [1] показано, что инвариант Мизеса можно истолковать как величину, пропорциональную среднему касательному напряжению в рассматриваемой точке тела.
Если критерий начала появления пластических деформаций установлен, то следующим шагом было необходимо предоложить уравнения, связывающие пластические деформации с напряжениями. Такие уравнения были в простейшей редакции предложены Рейссом. Оказалось, что даже при весьма сложном нагружении они обладали свойствами, характерными для ряда материалов. Можно заметить аналогию между сопротивлением пластическому деформированию и сухим трением [2]. Уравнения Рейсса являются всего лишь реализацией этой аналогии в тензорной форме [3]. Роль сухого трения в уравнения играет предел текучести по Мизесу, т.е. условие, что среднее касательное напряжение, коль скоро оно достигнутоэ
сохраняет затем значение при любых последующих изменениях пластических деформаций. Однако закон Рейсса не учитывает, что пластическая деформация реальных поликристаллов всегда сопровождается упрочнением, т.е. развития ее не может быть без возрастания нагрузки. Если вспомнить, что поликристалл является системой из множества случайно ортентирован- ных зерен, а каждое зерно насыщено как детерминированно, так и случайно расположенными разнообразными структурными дефектами, то при пластическом деформировании локальные внутризеренные сдвиги сопровождаются возникновением упругих взаимодействий в смежных участках зерна, где энергетические барьеры еще не преодолены. Эти упругие силы приводят к возрастанию сопротивления пластическим сдвигам, причем после снятия с тела нагрузки они сохраняются в зернах, уравновешиваясь силами сухого трения, поскольку самостоятельно они не могут их преодолеть. Как известно, пластическое разупрочнение при изменении знака нагрузки носит название эффекта Баушингера. А.Ю. Ишлинский [4] обобщил уравнения Рейсса, введя в них учет упрочнения и эффект Баушингера. Физическая суть этого предложения, а также дальнейшее развитие заложенной в нем идеи дано в работах [3, 5, 6]. Отметим важное |кшятие тензора микронапряжений как тензора размерности напряжения, *^Ж которого на пластических деформациях равна суммарной работе всех мжср^упру- гих сил, возникающих в зернах поликристалла из-за неравномерности в них пластических деформаций. В работе [3] понятия микронапряжений и микродеформаций, хорошо известные металловедам, впервые сознательно были введены в феноменологическую теорию пластичности поликристаллов.
Опыты показали, что без серьезной модификации простейших вариантов теории течения невозможно объяснить поведение ряда материалов при циклическом нагружении. Отсюда представляет интерес теоретический анализ пластических деформаций в сторону более точного учета поведения статически неопределимой системы зерен, образующей в совокупности по лик ристал личе ское тело. В течение последних двадцати лет многие авторы как у нас, так и за рубежом занимались этим вопросом. Неравномерность пластической деформации, обусловливающаяся как зернистостью поликристалла, так и неравномерностью распределения дефектов в атомных решетках кристаллитов, приближенно учитывалась путем представления тензора пластической деформации в виде суммы (или, в пределе, интеграла) элементарных пластических деформаций, каждой из которых соответствует своя поверхность текучести (т.е. свой критерий текучести) и своя система микроупругих сил. Указанный подход основывается на предположении, что статистика анизотропных кристаллитов может быть подменена статистикой изотропных частиц, обладающих различными пределами текучести. В рассуждениях [5] существенную роль играла гипотеза Кренера, согласно которой локальные отклонения напряжений от их средних значений линейно связаны с аналогичными отклонениями пластических деформаций.
Определяющие соотношения строились на основе следующих положений:
Локальный закон пластического течения, связывающий напряжения и деформации, содержит один или несколько случайных параметров.
Совместная функция распределения случайных параметров задана и определяется с учетом экспериментальных данных.
Справедливы обобщенные соотношения Крекера.
При активном пластическом деформировании простейшие определяющие уравнения теории, построенные по указанному принципу, можно представить следующим образом:
(内7〉=7+ k喝,用.=¥ +%
8(ZD
7 二 75$, 〈"〉= / 吟 d ①(т);
здесь Ф(т) — интегральная функция распределения предела текучести. Сразу отметим, что преимущество этих соотношений состоит в том, что стало возможным локальные законы течения выбирать в наиболее простых и естественных формах. Кроме того, были естественно введены в феноменологическую теорию пластичности такие новые понятия, как начальные микронапряжения и микро деформации, которые невозможно учесть в рамках классических теорий пластичности. Неожиданно оказалось, что предельный вариант теории переходит в один из вариантов теории скольжения [7]. Несколько позднее [8, 9] было обнаружено, что теория способна описать поведение нестабильных материалов, для этого оказалось достаточным принять основные параметры теории (предел текучести и коэффициент упрочнения) зависящими от изменения некоторого микроскопического параметра. В частности, обнаружена взаимосвязь теории с расширенным принципом Мазинга.
До сих пор было принято считать, что развиваемая авторами теория необратимых деформаций носит частный характер и не связана с рядом других феноменологических направлений. В обзорных работах [10, И] можно найти ответ на вопрос о взаимосвязи различных вариантов теории пластичности и ползучести, за исключением анализа теорий скольжения. Этому вопросу стоит уделить особое внимание.
При активном неупругом деформировании определяющие уравнения теории [12] можно представить следующим образом:
〈5〉二 Tij+m£j + /《氏(7,匸入/入；/) 4(т'，М/)4Ф(т>Ш1
Tu= TMj， mц = de^/dX,当0=吟入小 NjNj = 1,(3.1)
d入=x/d"・d雷,〈吟〉=/ / 即GN”①Qd0
Здесь с%。— случайный тензор начальных микронапряжений, т — локальный предел текучести,入炉—направляющий единичный девиатор, фиксирующий направление в девиаторном пространстве, С - множество направлений активного микропластического деформирования, d^—дифференциальная форма (?,телесный угол" в пятимерном девиаторном пространстве), Ф(т)- интегральная функция распределения локальных пределов • текучести, 〈〉-знак осреднения.
Воспользуемся гипотезой, введенной в работе [7]:
Д// =入力弱=5入炉
Эта гипотеза фактически означает следующее: локальные поверхности текучести являются плоскими, они поступательно перемещаются при активном нагружении, пластические деформации направлены по нормали к плоским поверхностям текучести. Тогда в соответствии с (3.1) имеем
〈％〉二 Tij + 加吟(Т,入〃)+ g『8"，NjNj)吟GN)dQ'd屯⑴，
7(/=7入中吟=€p入力@2)
< 吟二 ggdj(j；Nj)d“d①G).(3.3)
Равенство (3.1) имеет место только для тех направлений 入炉 £ С, в которых происходит активное микропластическое деформирование ер > 0. Условие течения можно получить из (3.1), если его умножить на 入耳 и произвести суммирование с учетом условий (3.2). Оно имеет вид
〈0〃・〉入炉《7 +加州(7,入耳)+
+ И R1 (T, r\ Xih х- )бр(т\ ^) d^d^\(3.4)
о a
где Ri = R入炉入%. Отметим, что знак равенства в (3.4) достигается для направлений активного микропластического деформирования 入^ £ С. Удобно ввести в рассмотрение новое обозначение:
Т(7,入炉)=Т +加年(7,入jj) +
+ jf(""%)£«‘瑞)MW).(3.5)
Величину Т(т,入炉)назовем интенсивностью разрешающих напряжений, естественно при этом функцию & называть функцией влияния.
Интенсивность разрешающих напряжений, как видно из формулы (3.5), зависит не только от величины локальных пластических деформаций (второе слагаемое в (3.5)), но также и от микропластических деформаций остальных частиц посредством функции влияния. В новых обозначениях формула (3.4) примет вид
〈°ц〉入丐 & Т(М 入〃)•
В области активного микропластического деформирования можно записать и дифференциальное условие течения
〈0行〉入炉=力(7, %/)•
Последние два условия позволяют определить как величину области С, находящуюся в активном нагружении, так и интенсивность скоростей мик-
ропластических деформаций ёр. Отметим, что интенсивность разрешающих напряжений может быть задана и в следующей дифференциальной форме:
ПЛ М）=加危（7,入,М・） + / 火2（т, /, %•, 乂爲（К 爲）de"①（т'）・ о
При известной величине интенсивности скорости микропластической деформации ёр и области направлений активного микропластического деформирования С, макропластическая деформация легко определяется по формуле
〈工> =/ /名⑴,而mdca①g）. о a
Заслуживает отдельного рассмотрения и случай, когда〈 т〉= т = Tq, тогда все приведенные выше- соотношения упрощаются:
〈"•〉入廿《 T（入石）；〈询・〉入行=T（入炉），（3.6）
где
Т（入城=т。 +加%（入竝+ /R（入办%）epZj*（3.7）
или
f（M・） =加自（入竝 + /&（М，%&（&”"；
〈爲〉=/ ё"（入%）"》dC"；〈萄〉=/ &（入:/）入：步".（3.8）
Покажем теперь, что из теории при некоторых дополнительных ограничениях получается ряд известных теорий пластичности, основанных на концепции скольжения. Предположим, что девиатор 入fj имеет частное представление
入仔=（九"j +用乙）/2,（4.1）
где 〃才 и 乙 определяют соответственно нормаль к выделенной в материальном теле площадке и направление на этой площадке. Тогда
〈0炉〉入炉=〈0〃八；£/%■=年=7加.
Здесь {oni > — среднее касательное напряжение на площадке с нормалью и； в направлении //. С учетом указанного соотношения （3.7）, （3.8） принимают вид
〈。^〉= То + mynl + / &（方,冠 〃,％））〃/（〃；, l；）da\（4.2）
a
〈3〃z〉= m6m + / 火2（勺,冠,£ /；）需/（冠 C）d".（4.3）
Рассмотрим некоторые частные случаи:
m = О, К 二 “1 -入力爲）（〈脸〉-ТоЖ<ал/>）,
где F — универсальная функция материала. Тогда из (4.2) получается классический вариант теории скольжения [13]. Недостатки его очевидны — отсутствие влияния сдвигов в одном направлении на изменение сдвигов в других направлениях и, как следствие, невозможность описания эффекта Баушингера и циклического нагружения;
го =/(af),加=FG)h, 公 =/*(“)卜2?曲(1一勺足)+，3入炉爲],
0j = 7〈 Gij 。犷〉：
В этом случае из (4.2) следует
32
〈oni)=f(pi)[l+r1ynl+r2 / Tn?cos(a)o -^d^^^〈)Q],
•3]
где (yni〉=〈£万〉入"； 3], 32 — границы веера скольжений в плоскости с нормалью и；； г ь г2, г.3 — постоянные материала. Этот вариант теории предложен и развит в работах школы М.Я. Леонова [14, 15]. Указанная теория уже учитывает взаимосвязь сдвигов. Однако описание циклических нагружений встречает серьезные затруднения и, как отмечается в [15], требует введения ряда дополнительных допущений;
&(/,〃；,"/；) = &(/•,“)， m = 0.
Максимальное значение〈 о〃？〉при фиксированном направлении и； имеет значение a；ynKsK/s, где s^ — вектор касательного напряжения, действующего на площадке с нормалью ик; s — интенсивность средних касательных напряжений, s = Vsq；. С учетом отмеченного уравнение (4.2) принимает вид
〈$(%•)〉= s + /&(%•,〃；)打G；)d", a
(4.4)
〈s(@)〉= oifnKsK/st
С - область направлений активных сдвигов для различных направлений и；. Интересно, что при таком подходе ориентация локального сдвига на площадке скольжения совпадает с направлением касательного напряжения, действующего на этой площадке.
Рассмотрим теперь частные случаи представления (4.4). Положим
& = 5(1—勺哈(〈s(勺)〉-s)/()p(〈s〉))，
тогда из (4.4) приходим к теории Малмейстера [16, 17].
Если исходными являются соотношения (4.3), то аналогично предыдущему имеем
〈&(%•)〉=二 ％(/,〃；)总/5； )△"•(4.5)
Предположим, что последнее уравнение разрешимо в виде
总/= / 上（勺,足）（8（е ）〉dC',（4.6）
а
тогда получится вариант теории скольжения, изложенный в [18]. Расчетные примеры, приведенные в рамках [16-18], показали, что теория может давать удовлетворительное согласование с опытными данными. Опыты на циклическое знакопеременное нагружение наименее благоприятны для теории.
Для случая плоской деформации можно так построить функцию R3 （〃力 nJ）, чтобы система скольжений была плоской [19]. В этом случае приходим к теории Леонова-Швайко [20], которая в дальнейшем была существенно развита Н.Ю. Швайко [19].
Таким образом, в рамках общего предлагаемого подхода можно оценить и сопоставить возможности различных вариантов теории скольжения.
Конкретизация теории （3.6） —（3.8） зависит от задания функции влияния 火（入万，% ）. Естественно предположить, что структура этой функции имеет простейший вид [12]
及（入行，入%）=R（入分而）二
=“15（1 - 入分入%） + “2入炉爲• ”3 + “45（1 + 入炉入；j）,（5.1）
где 仰-универсальные функции материала, зависящие от макромер пластического деформирования, 5（1-入〃入力）一дельта-функция Дирака.
Сразу отметим, что случай а3 = а4 изучен еще в [7]. В общем случае определяющее уравнение теории примет при учете （5.1） вид
〈6炉〉入炉=4品（入炉）+/2（ 或〉入炉+/3 / M（2）dC'，入〃•£%.
Введем в рассмотрение девиатор скорости изменения активных напряжений
〈巾〉=〈5/ > - Л2 < ё^ >,
тогда получим следующее уравнение для нахождения скорости изменения интенсивности микропластической деформации
4 &,（入"）+ 43 / 6э （爲）de'=入i八%〉，入炉 £ " ,
% — область направлений активного микропластического деформирования.
Решение этого уравнения имеет вид
如;入我=—入行《阳》一《办〉，
где
Fjj = / 入jdfl';从=^4зМ1 • а】
Отсюда
(5.2)(5.2)p1从
(5.2)
(5.2)
〈£力〉= Gw;— FijFki 八1,
Ai L1 + 〃％
где
Gfjki = / 爲入3d"・
Соотношения (5.2) полностью решают задачу построения определяющих уравнений теории микродеформации при известной области С — направлений активного микропластического деформирования. Для определения же самой области С】 необходимо воспользоваться неравенством (3.6). Очевидно, что для исследования этого неравенства требуется построить выражение для интенсивности разрешающих напряжений Т(入疗)и детально его проанализировать.Наиболее просто исследуется случай монотонного нагружения и переход к теории течения с комбинированным упрочнением. Предварительные расчеты показали, что приведенный вариант теории достаточно просто описывает сложное нагружение, в том числе и циклическое. Изменение поверхности текучести, особенно ее тыльной части, хорошо отвечает опытным данным.
В последние годы активно развиваются теории ползучести, учитывающие микронеоднородность развития пластических деформаций. Возможные подходы к построению теории ползучести в рамках теории [5,6] приведены в [10, 11]. Теории ползучести, основанные на концепции скольжения, изучались в [15, 21, 22]. Не останавливаясь подробно на возможных вариантах построения теории ползучести, приведем здесь модифицированную теорию микродеформаций, следующую из идей работ [5, 6, 11], и покажем связь такого варианта с теориями ползучести, использующими концепции теории скольжения.
Примем, следуя [11], в качестве основного локального закона несколько модернизированный закон пластического течения, с<!итая, что процесс развивается во времени:
/ =勿戸，从广厶£次入， ltoW(入工)，X = V е^ё^,
=加尚 + 内(入,a / / /R«", То, T；, X〃, 4)3貿厶 T；，爲)"d"d①(i), ОАО(6.1)
т炉二〈Gij〉— Pij-
В1В1Отметим, что закон в форме (6.1) учитывает как влияние скорости развития пластической деформации на локальный предел текучести материала, так и наследственные снойсгва материала=
В1
В1
6 32忆 892
Если перейти к простейшему варианту теории, когда 〃疗 =入"，е方 = =Ер 入",то можно получить
Т(т。，入力 0 = ToWQ, J) + ms(7o,入切 0 + 8f
+ / / /&("/, То, W,入疗，入;•/)%〃"◎&①(d), ОАО
〈°ij〉入订 W T(To,入切 f).
При известной функции интенсивности микропластической деформации £р(厶 То,入//) средняя пластическая деформация определяется по формуле (3.3).
Заслуживает внимания и частный случай, когда т0 = (т0 ) = То . Тогда
Т0，入故)(g：7〉入办
Т«,入〃•)= ToW(s，^) + m£p«,入竝 +
+ SQ, &) / R("厶2,入力#"dO. о
Проследим, какая существует связь теорий типа скольжения с теорией (6.1). Вновь девиатор 入" примем в частном виде (4.1), тогда из (6.1) находим
〈。〃,〉=Tni(nh 4, Г),
T〃L То“>〃/,£〃/) + т)〃％ +
+ ^1(Тл/, "/) / / К« — /,小,М 4, li^ynidt'd^1.(6.2)
п о
Как н ранее,〈 е?〉= J £,入｝бШ〔 а
Рассмотрим некоторые частные случаи:
W = 1, Wi = Wi(q) (q - гомологическая температура)
t
то =/(/, < af >), /二/G("/)〈&〉d/, m = W/i,火=&(方，足,％,『)• о
Тогда имеем из (6.2)
〈°ш >=/(4〈 6・〉А 7щФ1 勺 + S / &(々,篦；,", /；》％п("： n；)dg
Если теперь в последнем уравнении принять
Ri 28(1 -修勿)?"； + 夕3 入ij入%,
то приходим к теории ползучести, предложенной в [15]. Если положить
W = 1, То = /(/, У〉)，Wi = г,
R 二 ％(q," /) & (1 —勺忌)/£•
В этом случае имеем
г З2
《о〃/〉=『(/,〈办〉)+夕 / / Z(q, Г-宀)cos(3。-3)d3d/,(6.3)
0 3]
где 3i, З2 — границы множества направлений скольжения в плоскости с нормалью и；. Уравнение (6.3) определяет теорию, рассмотренную в [22];
t
W = l, То =q(l-/*«)), ^ = о, /*«)= /。《-/)№)" о
(у - скорость изменения температуры),
R = G« - /)&(%•,足乙,/；)•
Тогда из (6.2) получим
〈％/〉= 4(1 一『《)) + / &(〃i,足,4 С)厶mc‘，
где
Pm = /G«-/)^/(/)d J о
Зададим функцию G(х) в виде G(x) = аехр(-0х), тогда
Рщ + ВРщ =額夕“
При таком представлении функции G приходим к теории ползучести, предложенной в [21].
Число примеров можно, разумеется, еще пррдолжить, включив в них и работы зарубежных авторов. Сопоставление возможностей различных вариантов теории пластичности и ползучести предстоит еще осуществить, однако уже сейчас можно сказать, что предлагаемый в данной работе подход обладает широкими возможностями и позволяет не только сопоставить известные варианты теории, но и более простыми средствами описать сложные явления, протекающие при пластичности и ползучести.
Все изложенные выше результаты основывались на изучении процессов деформирования в девиаторном пространстве 入".Однако еще в работе [22] было обращено внимание на то обстоятельство, что на разрушение
оказывает существенное влияние пластическое разрыхление. Поэтому в [22] теория течения была модернизирована таким образом, чтобы начальная поверхность текучести имела форму Мизеса—Шлейхера. Вся теория необратимого деформирования поликристаллов, изложенная выше, может быть также легко распространена и на общий случай задания направляющего тензора 入〃 в шестимерном тензорном пространстве. Для этого достаточно рассмотреть различные классы направляющего тензора 入" при сохранении структуры соотношений (3.1). Нетрудно убедиться, что случай
, sin 屮,,
入 〃• = COS9〃ij + 5 力 aijaij = 1
отвечает критерию Шлейхера-Мизеса, а случай
入行=cos 9 (1旳 +夕勺)/2 + sin9勺勺・
—критерию Кулона—Мора.
Если 入" W 从〃，то легко проследить появление так называемых неассоциированных вариантов теории пластичности. Подробно всем этим вопросам будет посвящена специальная публикация.
ЛИТЕРАТУРА
Новожилов В.В. О физическом смысле инвариантов напряжения, используемых в теории пластичности // ПММ. 1952. Вып. 5. С. 617-619.
Крагельский И.В. Трение и износ в машинах. М.: Машгиз, 1962. 384 с.
Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая микронапряжения II ПММ. 1958. Т. 22, вып. 1. С. 78-89.
Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Укр. мат. журн. 1954. № 3. С. 314-325.
Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Об учете микронапряжений в теории пластичности // Инж. журн. МТТ. 1968. № 3. С. 82-91.
Кадашевич Ю.И., Новожилов В,В. О влиянии начальных микронапряжений на макроскопическую деформацию поликристаллов /ПММ. 1968. Т. 32, вып. 5. С. 908922.
Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. О предельных вариантах теории пластичности, учитывающей начальные микронапряжения // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 3. С. 93-96.
Кадашевич Ю.И., Клеев В.С. К вопросу об обобщенном принципе Мазинга // Пробл. прочности. 1985. № 5. С. 18-20.
Кадашевич Ю.И., Клеев В.С. О конструировании определяющих уравнений вязкопластичности на основе учета микропластической неоднородности // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация решения задач упругости и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. Горьк. гос. ун-та. 1985. С. 24-25.
Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория ползучести микронеоднородных сред // Исследование по упругости и пластичности. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. Вып. 12. С. 59-71.
Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности и ползучести металлов, учитывающая микронапряжения // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 5. С. 99-110.
Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И., Черняков Ю.А. Теория пластичности, учитывающая микродеформации // Докл. АН СССР. 1985. Т. 284, № 4. С. 821-824.
Батдорф С.Б., Будянский Б. Математическая теория пластичности, основанная на концепции скольжения // Механика： Сб. пер. иностр, ст. 1962. № 1. С. 135-155.
Леонов М.Я. Основные постулаты теории пластичности // Докл. АН СССР. 1971. Т. 199, № 1.С. 51-54.
Русинко К.Н. Теория пластичности и неустановившейся ползучести. Львов: Вища шк., 1981. 148 с.
Малмейстер А.К. Основы теории локальности деформации: Обзор // Механика полимеров. 1965. № 4. С. 12-27.
Кнетс И.В. Основные современные направления в математической теории пластичности. Рига: Зинатне, 1971. 147 с.
Мохель А.Н., Салганик 尸.〃.，Христианович С.А. О пластическом деформировании упрочняющихся металлов и сплавов: Определяющие уравнения и расчеты по ним 〃 Изв. АН СССР. МТТ. 1983. № 4. С. 119-141.
Швайко Н.Ю. К теории пластичности, основанной на концепции скольжения // Прикл. механика. 1976. Т. 12, № 11. С. 12-24.
Леонов М.Я., Швайко Н.Ю. Сложная плоская деформация // Докл. АН СССР. 1964. Т. 15 9, № 5. С. 1007-1010.
Русинко К.Н., Бесараба ДМ. Ползучесть при тепловом циклическом воздействии // Физ.-хим. механика материалов, 1984. № 4. С. 86-90.
Лихачев В.А., Малинин В.Г. Физико-механическая модель упругопластических свойств материалов, учитывающая структурные уровни деформации и кинетические свойства реальных кристаллов // Изв. вузов. Физика, 1984. № 9. С. 23-28.
Новожилов В.В. О пластическом разрыхлении 〃 ПММ. 1965. Т. 29, № 4. С. 681689.
УДК 539.1
ЭЛЕМЕНТЫ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ
И УСТОЙЧИВОСТЬ
В.Д. Клюшников
Несмотря на огромное число публикаций по проблеме определяющих соотношений, нужно признать, что накопленные результаты все еще не составляют законченного единого целого. Теории определяющих соотношений пока еще нет. Полученные к настоящему времени общие физико-математические заключения можно квалифицировать как элементы теории определяющих соотношений. Здесь имеются в виду результаты, следующие из соображений ковариантности, относительности, термодинамики и других твердо установленных закономерностей феноменологического плана. Важный источник, связанный с исследованием микроструктурных механизмов деформации, требующий отдельного рассмотрения, несмотря на интенсивные разработки последних лет, для поликристаллических материалов пока еще мало эффективен. Конкретные результаты в отношении формы определяющих соотношений достигаются здесь с привлечением феноменологических гипотез, непосредственная проверка достоверности которых затруднительна.
Условие ковариантности, долгое время игравшее пассивную роль и полезно проявляющее себя, пожалуй, лишь формулой Гамильтона—Кели, к настоящему времени приобрело решающее значение в создании правил описания анизотропии [1—3].
Принцип относительности, под которым здесь понимаются общие требования к форме включения естественного времени в определяющее соот-
ношение, в том числе и к определению скорости изменения тензора, сыграл важную роль в установлении приемлемых форм соотношений при больших деформациях [4, 5].
Существенный вклад в конкретизацию формы определяющих соотношений внесли законы термодинамики. Давно установлена градаентность формы для обратимых процессов. Некоторые конструктивные результаты получены для неупругих деформаций (пластичность [5], линейная вязкоупругость [6]). Оказалось возможным показать [7], что в рамках термодинамики, основанной на функциональном представлении тепловых и механических параметров [6], из условия КПД <1 в замкнутом цикле по деформациям е» и температуре Т, для выполнения которого требуется удовлетворение условия
△E-TminAS》0, (1) где Е — внутренняя энергия, S — энтропия (значком А обозначено их приращение в указанном цикле), Tmin - минимальная в цикле температура, следует как предельное для изотермического процесса условие
0o“de"》O, (2)
уже постулированное ранее [8]. Таким образом, из набора Ациклических55 постулатов [9], берущих начало с работы [10], один удается подтвердить с позиций термодинамики. Известно, что в регулярной пластичности при активном процессе условие (2) приводит к ассоциированному (градиен- тальному) закону
*入诚，『3,唯х) =。,*入诚，『3,唯х) =。,⑶⑶
*入诚，『3,唯х) =。,
*入诚，『3,唯х) =。,
⑶
⑶
где / = 0 при фиксированном значении пластических деформаций ер,. и параметров истории нагружения х определяет предельную поверхность, ограничивающую все упругие состояния (поверхность нагружения). Параметр X можно выразить через / и таким образом замкнуть теорию заданием последней.
Заметим, что соотношение (3) допускает запись в виде
0 〃 =0 〃 =⑷⑷
0 〃 =
0 〃 =
⑷
⑷
удобном, но не используемом в теории*.
Особую, хотя и редко отмечаемую в литературе роль в вопросе о допустимых формах определяющих соотношений играет проблема устойчивости. Так, дефектность деформационной теории Генки—Надаи была впервые обнаружена при решении задач устойчивости пластин [11] и лишь потом
Более того, в силу равенства/ = 0 соотношение (4) можно проинтегрировать: однако это не конечное, а интегральное соотношение.
была определена как нарушение условия непрерывности, названного так в [12] и выражающего требование о малости отклонения результатов нагружения по мало отличающимся путям. Примененное в [12] к путям, близким к нейтральному нагружению, это условие послужило основой отказа от представления соотношений пластичности в виде конечных связей (деформационная теория) и переходу к дифференциальным соотношениям (теория течения). Следует отметить, что, хотя в [12] связь выдвинутого условия с вопросами устойчивости и не обсуждалась, эта связь очевидна. Условие непрерывности выражает, по существу, устойчивость механических свойств материала, без чего невозможно их экспериментальное определение. Требование определимости свойств материала в макроэксперименте, или принцип макро детерминизма, на самом деле оказывает значительно большее влияние на определяющее соотношение, чем это использовано в виде условия непрерывности в [12].
Оказалось [13], что требование макро детерминизма, состоящее в том, что для путей нагружения, попадающих в трубку е, соответствующие пути деформирования должны попадать в трубку ??, причем т? должно стремиться к нулю вместе с е (с аналогичными заключениями относительно результирующих скалярных характеристик), приводит к тому, что для пластичности должно выполняться условие
^eif/do тп = детп1доц или 之旷=3到3匕/, (5) из которого для регулярной пластичности сразу следует соотношение (3). Обнаружилось также, что отказ от Концепции предельных поверхностей, переводящий пластичность в гипоупругость, приводит к нарушению принципа макро детерминизма [14]. Причиной тому является дефект гипоупругости, состоящий в том, что при повторении малых циклов нагружения можно неограниченно накапливать деформацию. Лишь введение предельной поверхности ликвидирует этот дефект. В связи с этим предпринимаемые в последнее время попьпки создания теории пластичности без введения предельных поверхностей нужно признать нецелесообразными.
Полезно напомнить, что проблема устойчивости заставила совершить в области определяющих соотношений еще один качественный скачок — переход от регулярной пластичности к сингулярной. Дело в том, что в задаче об устойчивости сжатой вдоль длинных сторон прямоугольной пластинки (рис. 1,4), одна из длинных сторон которой шарнирна, а остальные свободны, выпучивание связано с добавлением к напряжению сжатия касательных напряжений (рис. 1,6). Если материал пластинки первоначально изотропен, то в момент начала выпучивания (а= а0) поверхность нагружения симметрична относительно оси о и, следовательно, по принципу градиен- тальности, содержащемуся в (3), вектор е р вне зависимости от направления вектора а сдвиговой составляющей иметь не будет. А это означает, что эффект выпучивания будет определяться лишь упругими свойствами, что приводит к резкому расхождению с данными эксперимента.
При сохранении концепции предельных поверхностей, чего требует принцип макро детерминизма, выход состоит в отказе от регулярности поверхности нагружения в точке нагружения. А поскольку в этом случае производная 3//Э ^ не определена, то требуется замена соотношения
оо
о
о
Рис. 1. К вопросу о крутильной потере устойчивости
(3), что и привело к необходимости создания основ сингулярной пластичности.
Вообще надо отметить, что проблема устойчивости чрезвычайно чувствительна к виду определяющего соотношения. Примером тому служит и задача об устойчивости при следящей силе и в особенности проблема устойчивости при ползучести. Именно последняя на основе новых концепций устойчивости сыграла решающую роль в развитии теории упрочнения [15]. Благодаря этой теории расширенная концепция устойчивости при ползучести [16], берущая начало с работы [17] и основанная на понятии псевдо- бифуркации, привела к недостижимому ранее соответствию теории и эксперимента. Сравнение результатов теории упрочнения
Р°Р@ =Атп~~$,%•二 eg - SiRG,(6)
产=坟”Sf/,р2 =2рцрц
для осевого сжатия цилиндрических оболочек [18] с экспериментами [19] (кружочки) и [20] (крестики) приведено на рис. 2 в координатах
П = Ер/3。；)， з = о/о；,(7)
использование которых позволяет автоматически учесть (заменой теоретического значения эйлерового напряжения Оз на его экспериментальное значение а*) влияние начальных неправильностей.
Аналогичное положение [21] имеет место и в вязкоупругости. Использование соотношения
О ~。⑺ + / к« _ т) а(т) Jr](8)
Е о
при простейшем экспоненциальном ядре в проблеме устойчивости, основанной на упомянутой концепции (рис. 3, кривая 2), оказывается неприемлемым, в то врем貝 как ядро Абеля со слабой особенностью (рис. 3, кривая 2)
дает хорошее согласование как с представленными на рис. 3 данными экспериментов [22] по сжатию стержней, так и с другими известными экспериментами. Нанесенное на рис. 2 и 3 обозначение №р = 2 отражает специфику принятой концепции устойчивости: наблюдаемое выпучивание наступает не за первой, а за некоторой последующей псевдо бифуркационной точкой, и критический порядок псевдо бифуркации №р может бьпь разным для разных материалов. Тем не менее все проведенные к настоящему времени сравнения теории и эксперимента приводят kTV1cp = 2.
Приведенные примеры демонстрируют отбраковочную роль проблемы устойчивости. Конструктивная же роль, показанная выше на примере использования принципа макро детерминизма, впервые проявилась на основе введения в пластичность ^^цикличecкoгo^^ постулата [19]
? 3,-吟)抬》0, ⑼
который для циклов по напряжениям, включающим лишь малую пластическую деформацию [9], приводит к тем же, что и (2), результатам. В общем же случае (9) не является термодинамическим требованием и трактуется как постулат устойчивости материала, ибо следствием из него, в частности, является услс^вие
dog detj》G, (10) нарушение которого на примере одномерной диаграммы (рис. 4) естественно воспринимается как неустойчивость свойств материала. Действительно, получение в экспериментах падающего участка диаграммы за точкой е = е о, где нарушается условие (10), кажется невозможным даже при жестком нагружении. Все равно, деформация внутренних участков образца оказывается неконтролируемой, что должно приводить к локализации деформаций.
Именно на основании (9) впервые была обоснована теория течения в форме (3). Обоснована, как видно, из условия устойчивости. Однако, несмотря на приведенные рассуждения о свойствах одномерной диаграм-
Рис. 3. Сравнение теории и эксперимента в условиях наследственности
мы, время от времени в литературе появлялись диаграммы сжатия с падающей ветвью, снятые в эксперименте. Естественно, что возникли сомнения в том, представляют ли они собственно свойства испытуемого материала, и в результате в проблеме так называемой внутренней неустойчивости в ход пошли неассоциированные (неградиентальные) соотношения пластичности типа
еу = ^ij Qmn °тп ,(11)
4)ект локализации деформаций в массивах еще на восходящей ветви диаграммы.
Однако соотношения (11) не удовлетворяют условиям (2) и (5), и на основании этого их физическая достоверность может вызвать возражение. С другой стороны, требование градиентальности (尸犷=。")приводит к локализации только на падающем участке или, точнее говоря, при условии dGfjde и &0, даже для однородного докритического состояния. Таким образом, нужно допустить, что локальная неустойчивость может не приводить к глобальной (внутренней) неустойчивости. Действительные примеры такого положения приведены в работе [25] для некоторых случаев сложного докритического напряженного состояния. Они, однако, не включают наиболее распространенные типы одномерного нагружения, так что обосновать возможность наблюдения падающего участка диаграммы сжатия принятая в [25] методика не в состоянии.
Обосновать такую возможность можно на основании простой модели стержня, составленного из элементов длиной I, свойства которых определяются последовательным скачкообразным изменением жесткости за счет, например, нарушения сцепления частиц при сдвиге (рис. 5,〃). При этом обязателен учет нелинейности, связанный с изменением размера элемента, что естественно при описании такого явления, как локализация деформаций. В данной модели это означает учет увеличения площади поперечного сечения при резком нарастании деформации сжатия.
Пусть при достижении деформацией сжатия е значения е0 первый скачок произойдет в элементе 1, что приведет к падению усилия Ро = ^о^о до величины
Р?=о"；=о；", (12)
где штрихом и звездочкой отмечены напряжения и площади поперечного сечения в неразрушенной части и в элементе 1 соответственно. При этом
общее укорочение стержня суммарной длины L остается неизменным:
(N- 1)Ае； +Де*=0,% = 〃/,(13)
гдe^— число элементов, так что
Ае； = —Ае；®, q〔 =N—1.(14)
При достаточно большом 7V, как видно, Ае； > Де i, поэтому естественно считать, что F[ =F0 и учитывать изменение площади только элемента 1, которая при условии несжимаемости может быть представлена формулой
尸；=А(1+2М),(15)
в силу чего условие (12) дает
о； = о； (1 + △€；)•(16)
Вследствие скачка законы деформирования в неразрушенной части и в элементе 1 оказываются (см. рис. 5, а) разными:
al = a0 +^o^i,0；=0i+EiAe：.(17)
На основании (16) и (14) это приводит к следующему уравнению для
(△е： У + (1 + % + 入加)Ае；-(入-1)% = 0,(18)
где (см. рис. 5,4)
% г0/е0 =0；/吊，人=品/e1.(19)
Из решения (18) при условии 爲《1 получим
* (X -1)。1, X - 1
△% = %,△% =- %•(20)
"1 +入41 +入
Отсюда с использованием формул (17) и (12) находится значение усилия
Рис. 5. Модельное представление диаграммы сжатия и результат ее применения к описанию сжатия стержня
尸；непосредственно после скачка:
41 + 1N
ро -—=尸。
+ 入7V + X-1
В последующем участке непрерывного деформирования, естественно, остается в силе условие о1 Fo = о*尸*, или
八小(RM(22)
L 41 +入 」
следовательно, о* < o', в то время как о。〉。】. Это дает возможность выполнить условие
00<01 1 + — % ,(23)
L 入+街 J
при котором(/ станет равным а0 раньше, чем о* достигнет значения j, и, следовательно, произойдет скачок в новом элементе 2. В этом случае вместо условия (13) будем иметь
(N-2)△咨 + △& + △邑* =0,(24)
где, как и прежде, штрихом и одной звездочкой отмечены параметры в неразрушенной части и в элементе 1, а двумя звездочками — в элементе 2. Поскольку в первых двух пунктах локализации деформаций нет, то и изменение площади поперечных сечений учитывать не следует. Поэтому из условий
△о) =£0Д^2, А。； =Ех^е2 , △“ = △吋(1 + Де* )
найдем
△旣二入△&/(】 +△£),(25)
а из (14)
△&=—△е；*〃2,& =%-2 + 入/(1 + Ае；).(26)
Далее, как и выше, имеем
020 =。尹尸* 二。广(1 + △eЖ，
质=00 +&)△&, 02* =。1 +吊△金*,
что вместе с (25) позволяет получить уравнение для Де5*
(△“*)2 + (1 + % + 入饱)△。尹一(入一1>о= 0,(27)
и при условии е^《1 выражения
(入一1)42入一1
七 * = %,△& = %,(28)
a2 +入41 +入
а также новое значение усилия Р непосредственно после скачка в элементе 2
На последующем участке непрерывного деформирования аналогично прежнему будем иметь
, Г (入一De '
о = а** 1 + 〃 ,(30)
L 42 + 入
и из сравнения формул (22) и (30) следует, что если выполнено условие (23) перебрасывания локализации из элемента 1 в элемент 2, но тем более будет выполнено условие о перебрасывании локализации из элемента 2 в новый элемент 3. Теперь становится очевидным, что при выполнении первого условия на участке деформирования стержня от с。до е】в каждом элементе произойдет однократный скачок. Каждый раз он приводит к падению усилия от P = PQ доР = Р^. причем после скачка в %・м элементе
尸0一衆=?0一^(3D
гдеak, как показывают простые расчеты, при%» 1 можно считать равным N.
Таким образом, на этапе деформирования от е。до е〔 изображающая точка на диаграмме 尸丄(е = △£/£) совершает N колебаний в полосе шириной 尸о(入一1)/N (см. рис. 5, б). После этого этапа стержень становится несколько толще:
斤 1 二斤о(1 +е —%),(32)
и следующий этап деформирования начинается со скачка в некотором элементе при усилии Pi = 6%. Для того чтобы диаграмма Р—е оказалась в целом падающей, необходимо выполнение условия
р0 -爲=斤0 [00 -。1(1 + % -%)] >。，
что вместе с условием (23) при ах = #приводит к требованию
1 + % -< Oq/oi < 1 + (X - 1)% ,(33)
непротиворечивому при а0 > о】 согласно формулам (19).
Повторяя предыдущие рассуждения для этапа деформирования от е〔 до е2, получим полосу колебаний на диаграмме Р— е, лежащую ниже первой полосы (см. рис. 5, G，м т.д. Гладкая падающая кривая, аппроксимирующая эту диаграмму, возможно, и представляет то, что наблюдается в эксперименте.
В заключение отметим, что, несмотря на значительные успехи, в проблеме определяющих соотношений имеется много неясного. Так, все еще не сформулированы физически обоснованные положения теории ползучести, нет единого правила выбора статических и кинематических параметров при больших градиентах перемещений, которые представляли бы обобщенные напряжения и деформации в определяющем соотношении, и т.д.
Любопытно, что до сих пор не решен вопрос об ограничениях, связанных с введением в определяющие соотношения производных высших порядков деформации по естественному времени, хотя необходимость таких ограничений очевидна из следующего примера.
Пусть определяющее соотношение имеет вид
"(左)
а= S Ак<е,(34)
左=0
где индексом в скобках отмечен порядок производной по времени, а коэффициенты Ак являются функциями от абсолютной температуры 7. Термодинамическое неравенство диссипации
(1)(О (1)
ае - Р - ST >0,(35)
где F — свободная энергия, S — энтропия, может быть удовлетворено представлением
(0)(1)(2)5)_⑴(i)、
尸=,Т)+/о⑺， 片 f(36)
где / — естественным образом выделяемая на основании (34) при фиксиро-
(1)
ванном Г интегрируемая часть о е, % — произвольная функция Т, а
Р = - 2 (—1)以2~1((*》0・(37)
Решая на основании (34) задачу о продольных колебаниях закрепленного по концам стержня в предпол о жении, что все Л^, за исключением Л2 и Л3, равны нулю, придем к уравнению третьего порядка по времени, для которого должны быть выставлены три начальных условия. Принимая их в виде 〃(х, 0) =(J(x, 0) = 0, (/ (х, 0) = С,где 〃(х, /) - продольное переме-
44(38)(38)
4
4
(38)
(38)
Но в силу (37) Л3 < 0, следовательно, (38) выражает неограниченное нарастание перемещений. Естественно, что введение в соотношение упругого члена Ло не изменит принципиальный смысл заключения: будут иметь место расходящиеся колебания.
Этот простой пример выявляет противоречия, которые возникают в связи с введением в определяющее соотношение обсуждаемых высших производных.
ЛИТЕРАТУРА
Ло хин В.В„ Седое Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов // Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973. Т. 1. С. 473502.
Рыхлевский Я.К. Математическая структура упругих тел: Препр. ИПМ АН СССР № 217. М., 1983; Он же // ПММ. 1984. Т. 48, вып. 3. С. 420-435.
Победря Б.Е. Механика композитных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.
Прагер 8. Введение в механику сплошных сред. М.: Изд-во иностр, лит., 1963. 311 с.
Седов Л.И. Понятие различных скоростей изменения тензоров // ПММ. 1960. Т. 24. С. 393-398.
Трусделл К. Первоначалъный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.
Клюшников В.Д. Три идеи А.А. Ильюшина; трактовки и современное значение // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Калинин: Калинин, ун-т, 1986. С. 34-41.
Ильюшин А.А. О приращении пластической деформации и поверхности текучести // ПММ. 1960. Т. 24, вып. 4. С. 663-666.
Бережной 〃4, Ивлев ДД. Об определяющих неравенствах в теории пластичности Докл. АН СССР. 1976. Т. 227, № 4. С. 824-826.
Друккер Д О постулате устойчивости материала в механике сплошной среды // Механика. 1964. № 3. С. 115-128.
Ильюшин А.А. Пластичность. М.: ГИТТЛ, 1948. 376 с.
Handelman G.H., Lin С С, Prager 川 On the mechanical behaviour of metals in the strain-hardening range 〃 Quart. Appl. Math. 1947. Vol. 4. P. 397-407.
Клюшников В.Д. О допустимых формах соотношений пластичности // Докл. АН СССР. 1980. Т. 255, № 1. С. 57-59.
Клюшников В.Д. Возможности макроопыта и формы определяющих соотношений // Там же. 1982. Т. 264, № 3. С. 578-580.
Работное Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.
Клюшников В.Д. Устойчивость упругопластических конструкций. М.: Наука, 1980. 240 с.
Работное ЮН, Шестериков С.А. Устойчивость стержней и пластинок в условиях ползучести 〃 ПММ. 1956. Т. 21. С. 123-126.
Клюшников 8.〃，То Ван Тан. Устойчивость при ползучести: вариант теории и эксперимент // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 3. С. 17-23.
Баранов АН, Морозов М,А. Экспериментальные исследования критической деформации цилиндрических оболочек в условиях ползучести // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. №1. С. 114-118.
Щербаков В.Т. Экспериментальные исследования устойчивости цилиндрических оболочек при ползучести // Учен. зап. ЦАГИ. 1976. Т. 7, № 3. С. 160-165.
Клюшников В.Д:, То Ван Тан. Устойчивость наследственного тела// Механика композитов. 1986. №4. С. 88-97.
Саркисов Л.А. Продольный изгиб стержней из пластмасс при ползучести // Тр. Казан, авиац. ин-та. 1972. Вып. 131. С. 112-114.
Райс Дж. Локализация пластической деформации // Теоретическая и прикладная механика. М.: Мир, 1979. С. 439-471.
Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Наука, 1984. 232 с.
Никитин Л.В., Рыжак Е.И. Об осуществимости состояний материала, соответствующих "падающему" участку диаграммы // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 2. С. 155161.
УДК 539.551
НАСЛЕДСТВЕННОСТЬ С УНИФИЦИРОВАННОЙ ПАМЯТЬЮ
В.Д. Клюшников, И・В. Овчинников
В вопросе о первичности деформаций и напряжений в определяющем соотношении единогласия нет. По-видимому, физически естественно будет предположить, что в отношении памяти они равноправны, а именно память
деформаций и напряжений в определяющем соотношении наследственной упругости задается с помощью одного и того же наследственного оператора. Такую память будем называть унифицированной. Определяющий закон имеет вид
fmn9ij,。方,旬，ё方)-。；z /,冼，"一 1, 2, 3, где 6炉,。“ —соответственно тензоры деформаций и напряжений, звездочка означает действие наследственного оператора 0*:
g* = 0*g = / 0(% 7)g(7)右=/ 2° (Г, T)dg(T), оо
0е,7) = 一想。&7)/"
Унифицированность памяти позволяет упростить задачу наследственной упругости, применить без предположения об упругости объемной деформации достаточно простые экспериментальные методы для определения констант материала и ядер операторов, входящих в решение краевых задач, В нелинейной теории эти гипотеза позволяет упростить вид определяющего соотношения без каких-либо дополнительных предположений.
Рассмотрим линейное унифицированое определяющее соотношение, удовлетворяющее высказанной выше гипотезе:
(1+А0*)%・ = 2а1+〃!2*)%・，
(1+ее*)а =К(1+喈*)е,( •)
где 5炉，Эц — девиаторы соответственно напряжений и деформаций, о = =оц/3, е = в///3; G, К,入,〃，扌,〃 —константы материала. В обычном соотношении
&/ = 2G(l + 尸*)3〃 о = К(1+К*)е,(1.2)
Р： R* - различные наследственные операторы. Соотношение (1,1) приводится к виду (1.2) с определенной связью между Р* и R*. Действительно, если Г *(s) — резольвентный оператор, порожденный ядром 0*:
「*($)= X ^(Q^, G* = Г*(0),(1.3)
i = 1
то, используя алгебру резольвентных операторов [1], получим
尸* = (" 一入)г*(一入)，K*=m -圻f％_投(1.4)
Нетрудно, проделав обратные выкладки, показать, что если в определяющем законе (1.2) использовать резольвентные операторы, порожденные одним и тем же оператором, то можно из (1.2) получить (1」).
Если в унифицированной записи использовать оператор Абеля /*, то в обычной записи получим соотношения с 3& (— Д)-функциями, причем, параметр а у них будет одним и тем же.
Пусть Q(t, т) = 0« — т). Решение задачи может быть найдено с помощью принципа Вольтерра. Считая 0* константой, с учетом действия массовых сил Fj получим следующие уравнения Ламе
△%・ + ке# - Fjlm = 0,(1.5)
где
」K(1 + 入 0*)(1 +餾)
3G(1+闻*)(1+貶二
加二 G(1+〃Q*)/(1+入0*), ”以*•
Будем считать, что задача упругости тем или иным путем решена. Решение имеет вид
% = 2 9山(0*)/«(X1,x2,x3,0・(1・6)
Тогда по принципу Вольтерра остается расшифровать входящие в решение функции от единственного оператора 0*. В общем случае для расшифровки ^in(Q*) необходимо разложить эту функцию в ряд Тейлора, но в основных задачах теории упругости решения являются рациональными функциями к и 加，а значит, и 0*. Эти функции можно разложить в сумму степеней Q* и простейших дробей q薪：
4北= (1+饱 Q*尸=1—%「*(-()•
Зная Q*, можно определить q^n по формуле (1.3) в виде бесконечного ряда Неймана по степеням 0*, но этот ряд сходится довольно медленно и для получения необходимой точности нужно удерживать большое число членов. Поэтому может оказаться удобным для данного материала раз и навсегда определить q^n опытным путем. Эта идея была высказана в работах [2, 3], где использовалось определяющее соотношение типа (1.2) с упругой объемной частью. На основании унифицированного соотношения из аналогичных опытов можно определить ядро q^n (f), не предполагая упругости объемной деформации.
Следуя [2, 3], рассмотрим релаксацию напряжений в конструкции, схема которой изображена на рис. 1, 〃 (здесь I, F ~ длина и площадь поперечного сечения образца, с - коэффициент жесткости пружины). В экспе-
〃6 .
рименте зададим перемещение и в виде
[О, У О, u = uQh(t\ где h(t)=(2.1)
1, АО,
〃 =〃i + 〃2 二 ® ^Р/с.(2.2)
На основании (1.1), проделав некоторые вьписления, получим
9cKG(l +40*)(1 +心)
?(0 =三l uQh(t1(2.3)
A (0*)2 + 5Q* + С
где
А = 9网KGF + /с(К入〃 + GM) = a?F + clb2,
8 = 93 + n)KGF+lc(K@ + 7?) + G/ + 〃))=。】尸 + 4时，(2.4)
С = 9KGF + lc(K + G) = a^F + dbo.
Дробь в выражении (2.3) можно разложить в сумму двух простейших дробей
f")=%+山脸⑺+心脸⑼〃 。,(2.5)
где - 1/01 и - 1/02 являются корнями уравнения Ах2 + & + С = 0. Изменяя 尸 и с/, можно менять 仇 м 仇・ Так как А, В, С положительны, то 仇 и 仇 тоже положительны.
Если удается сделать корни кратными, то, замеряя 尸(？) в эксперименте, из выражения
(2.6)(2.6)尸⑺二[分 +山瞅?)+办做)]i/o
(2.6)
(2.6)
определим 乌金(г), а значит, и q^(t).
В опыте с конструкцией, изображенной на рис. 1, б (где 1 一 поплавок, 2 и J - ванночки с площадями5 м 2s, 4 — заслонка, архимедова сила РА = = 7W), задаем P(r) =PQh(t) и измеряем и (^). Тогда для u(t) имеем
"«) ="«) =/[К(1 + 入0*)(1 + 心)+ G(1 +〃 0*)(1 + 空 *)]4(0*)2 +*0* + G/[К(1 + 入0*)(1 + 心)+ G(1 +〃 0*)(1 + 空 *)]4(0*)2 +*0* + G尸0无⑺,尸0无⑺,(2.7)(2.7)
"«) =
"«) =
/[К(1 + 入0*)(1 + 心)+ G(1 +〃 0*)(1 + 空 *)]4(0*)2 +*0* + G
/[К(1 + 入0*)(1 + 心)+ G(1 +〃 0*)(1 + 空 *)]4(0*)2 +*0* + G
尸0无⑺,
尸0无⑺,
(2.7)
(2.7)
где
A! =a2F~ ylb2, В' =а/ - plbi, С -a0F- ylbQ.(2.8)
Варьируя F и у/, корни уравнения А^2 + В'х + С' = 0 можно сделать положительными, что позволяет получать q工(/) и для нужных в практике отрицательных 0:
^«=[/*0 + 力唸⑴+『2脸(切 £)•(2.9)
Если в эксперименте рис. 1.。или 6 корни не кратные, но один из них
-1/02 такой, что 乌北(?) известно, то q^C) найдем из выражения (2.5) или (2.6).
Конструкции, представленные на рис. 1, 〃,仇 молено обобщить и рассмотреть конструкцию, в которой задаем 尸(才) =Pqk Q и измеряем 〃«) (рис. 2). Здесь можно определить 乌金(?)как для положительных, так и для
Рис. 2. Принципиальная схема для произвольного 0
отрицательных 0. Для этого опыта имеем
〃«)=〃«)=“к(1 + 入 о*)(1 + т?。*) + g(i + 从 2*)(1 + ее*)]“к(1 + 入 о*)(1 + т?。*) + g(i + 从 2*)(1 + ее*)]/"©У +*'0* +С〃/"©У +*'0* +С〃Р0力"),Р0力"),где/" =〃2尸 + (с - У)方2, В" =aiF + (с 一 у)叭,где/" =〃2尸 + (с - У)方2, В" =aiF + (с 一 у)叭,(2.10)(2.11)(2.10)(2.11)
〃«)=
〃«)=
“к(1 + 入 о*)(1 + т?。*) + g(i + 从 2*)(1 + ее*)]
“к(1 + 入 о*)(1 + т?。*) + g(i + 从 2*)(1 + ее*)]
/"©У +*'0* +С〃
/"©У +*'0* +С〃
Р0力"),
Р0力"),
где
/" =〃2尸 + (с - У)方2, В" =aiF + (с 一 у)叭,
где
/" =〃2尸 + (с - У)方2, В" =aiF + (с 一 у)叭,
(2.10)
(2.11)
(2.10)
(2.11)
С" = 〃о 尸+ (с — 7)0о.
Из вида а； и bj (см. (2.4)) ясно, что подбирать корни, изменяя F и (с - 7)/, нельзя в случае /" = 8" = С" * Но тогда 从=入=刀=与,а зто — вырожденный случай упругой среды.
Конструкцию рис. 2 можно попутно использовать для определения констант материала в соотношении (1.1).
Будем считать, что константы G и К определены из эксперимента на мгновенное нагружение, 2(Z)также выбираем заранее (см. [1]).
Для конструкции, представленной на рис. 2, имеем
P(Q = o(g + (c-7)〃《),
а(0 = [Р(Г)- (с - у) и(0] /斤，е«) = 〃«)/£•(3.1)
Перемещение “(Г) измеряем в эксперименте, в котором имеем связь
[(入 + г?)К + (宀)G] 2*^0-301+7?)KGQ4(t^
+ [KM+G庇](О。© —3wKG(0*)2e«) =
= 3KGe«) —(K + G)o ⑺.(3.2)
Взяв (3.2) в моменты %/?, ?з, ?4, получим систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных:
(入 + 〃)К + 3 + W)G, # + q К入〃 + G唸网.
Определитель этой системы отличен от нуля. Решая ее, получим
(Х+7?)^ + (д + О^ = ^, K\n + GfjL± = C,
в + п = в,阿=2(3.3)
откуда следует
(3.4)(3.4)77 = (5 ±£)/2,尸(5±Е)/2, A(B±E)-CD- К(В ± £)2/2 - С
(3.4)
(3.4)
§±2GE
А(В 彳 Е) — KD — G(B + Ер /2 — С
入
孑2КЕ
где Е = >/52 — 4П
Значения X, м，〃,扌 при выборе различных моментов f i, ?2, ?з, £4 должны быть одинаковыми. Выражение В2 — 40 также должно быть неотрицательным. Если эти условия не вьшолнены, то была допущена ошибка в выборе ядра Q(t), или же данный материал нельзя описать определяющим соотношением (1.1).
В случае нелинейной наследственности, как и в [1], используем представление Фреше нелинейного функционала в виде ряда кратных интегралов. В одномерном случае соотношение с выделенной упругой частью имеет вид
г
9(e)+ / Gi0-71)咐)力1 + г г
+ /, / GzC- 71, ? -72)e(71)6(72)勿1右2 +• • •=
=負。)+ J 厶0一行)。(71)"1 +
Г t.
+ / J A(^- Ti, t- T2)a(Ti)a(T2)JTiJT2 + - ..(4.1)
Из унифицированности сразу следует вид ядер G, и 厶：
Gg—%,. .. 勿)=勺 П 。«—7}),
(4.2)
厶« — 71,— T/) = bi П Q(t- 77).
Тогда (4.1) имеет вид
9(е) +。16* +д(е*)2 + …=/(о) + »о* +^2(0*)? + • • •(4.3)
Так как в левой и правой частях стоят ряды Тейлора, то
9(е) + W(e*) =/(о) +g(o*).(4.4)
Функции 9 и / можно определить из эксперимента на мгновенное нагружение. Затем проведем эксперимент на ползучесть с разгрузкой:
при Г < % о = о。二 const,
при Г > Го о = 0, о* = o*(S) = const,
тогда
W(e*) = -9(e)+Co, где Со =gi(o*(^o)).(4.5)
Таким образом определим 屮 при е*》е° с точностью до константы Со.Чтобы получить значения 屮 при малых е*, нужно провести несколько таких опытов с другими £о, о。. Константы нужно выбрать так, итобы.屮(0) = О и значения W(e*) стыковались в одну кривую. Зная 屮,определим g из эксперимента на ползучесть:
g®o0*l) = 9(e) — А。。)+ W(e*)・(4・6)
В многомерном случае аналогично (4.4) для изотропной наследственности получим соотношение
屮ij(emп) + Wij(ej〃)二 fij(。小〃)+ gi/(。入n),(4・7)
которое можно упростить с использованием формулы Гамилыона—Кели. Для случая тензорной линейности (4.7) будет иметь вид
①1(%41)5〃・+①2(e1，ей)е(/+屮1(行，g1)5丐+屮2(建，gi)G/ =
二厂1(。1,0и)片+ь2(力，0")0丐+Gi(of,。6)5犷+G2(of,0&)唯 (4・8)
где Ф/, Ф/, F^, Gj (z =1,2) — функции от первого и второго инвариантов тензоров е〃，畤，о〃，哈
ЛИТЕРАТУРА
Работное Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 384 с.
Ильюшин А.А. Экспериментальные методы решения одного интегрального уравне- нения вязкоупругости // Механика полимеров. 1969. № 4. С. 584-587.
Ильюшин Л.Л., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.
УДК 539.375
МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТЕЛ
С ГАЗОНАПОЛНЕННЫМИ ТРЕЩИНОВИДНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
Ю.Ф. Коваленко
Поведение тел и конструкций при приложении к ним внешних воздействий, а также их способность нести механическую нагрузку во многом определяются имеющимися в материале трещинами, порами и другими неоднородностями. Наличие в теле неоднородностей приводит к изменению его деформационных и прочностных характеристик. Необходимость в
разработке вопросов механики таких материалов очень велика. С принципиальной точки зрения она определяется стремлением понять и описать разрушение материала до того, как оно переходит в стадию развития одной или небольшого числа магистральных трещин.
Механика материалов с большим числом трещин разработана еще недостаточно. Более точно следует говорить о механике тел с трещинами и трещиновидными образованиями, имея в виду также весьма уплощенные неоднородности со свойствами, сильно отличающимися от свойств окружающего материала (эти неоднородности можно рассматривать как трещины со взаимодействующими берегами).Таковыми,в частности,являются трещиновидные неоднородности, содержащие газ, который скапливается в них в процессе изготовления и эксплуатации материалов и может находиться там под большим давлением. При этом, хотя происходят затраты энергии на деформирование, система в целом переходит в энергетически более выгодное состояние, что и обусловливает возможность протекания процесса. Примером может служить явление водородного охрупчивания металлов, задача борьбы с вредными последствиями которого весьма актуальна.
В настоящей работе рассматриваются некоторые задачи механики материалов с большим числом газонаполненных трещиновидных неоднородностей, которые решались в связи с анализом явления внезапного выброса угля, породы и газа в угольных шахтах. Принципы построения теории внезапных выбросов и ряд основных результатов по этому вопросу изложены в [1,2].Согласно развитым в этих работах представлениям механизм роста газонаполненных трещин под действием расширения содержащегося в них газа является определяющим как для явления выброса, так и для целой совокупности родственных ему явлений, происходящих в шахтах. Отличительной чертой этих задач является то обстоятельство, что угольные пласты находятся в состоянии всестороннего сжатия горным давлением и рост имеющихся в них газонаполненных трещин происходит при разгрузке пласта в процессе добычи от горного давления за счет расширения содержащегося в порах газа высокого давления.
Ниже рассматривается сначала одна газонаполненная трещина, а затем — влияние многих таких трещин на деформационные характеристики материала.
Уравнения для изменения размеров трещины. Рассмотрим трещину, заполненную газом под давлением р° и находящуюся в упругоизотропной среде, к которой вдали от трещины приложено однородное поле напряжений о% . Выберем систему координат х 1X2X3, такую, что ее оси совпадают по направлениям с главными осями тензора напряжений о% . Расположим трещину в плоскости х^г- Тогда при изменении внешней нагрузки поведение трещины будет определяться величиной главного напряжения а3, в то время как главные напряжения о】и о? влияют на трещину незначительно. Поэтому будем считать, что изменяется лишь напряжение а3, которое обозначим через о, а о】и а2 остаются неизменными. Тогда задача сводится к задаче о трещине, к берегам которой приложено напряжение Т = р + о, где р — давление газа внутри трещины.
Найдем значение напряжения %, при котором начинается рост трещины. Поведение трещины определяется совместным рассмотрением уравнения ее механического равновесия и уравнения состояния газа внутри трещины.
Ограничимся рассмотрением случая дискообразной трещины. Начало • и рост трещины, пока он происходит квазистатически, определяются коэффициентом интенсивности напряжений, который для случая дискообразной трещины имеет вид [3]
n=tqrj"2e(1.1)
где Rq — радиус трещины.
Рост трещины начинается при достижении величиной N значения К/тт9 где К — модуль сцепления материала [3], т.е. условие начала роста трещины можно представить как
Г=7.(1.2)
Здесь введено обозначение 7 二 长色仆尸/上
Будем обозначать объем /рещины и давление газа в ней в момент, когда начинается рост трещины, соответственно через Vс и рс. Тогда, считая, что теплообмен между материалом и газом в трещине отсутствует, имеем
Ре Т=Р。^,(1.3)
где ро, Г。— начальнью значения давления газа и объема трещины соответственно ,к — показатель адиабаты газа.
При приложении к дискообразной трещине однородного поля напряжений она, как известно [3], принимает в центральном сечении форму эллипса с предельно заостренными концами. При изменении этого напряжения на величину АТ изменение объема трещины будет
16(1 -р§).、
“= △喇(L4)
Рис. 1. Схематический вид кривой (1.5)4 - % +。0 & о, 6 — ％ +。0 > ОРис. 1. Схематический вид кривой (1.5)4 - % +。0 & о, 6 — ％ +。0 > О
Рис. 1. Схематический вид кривой (1.5)
4 - % +。0 & о, 6 — ％ +。0 > О
Рис. 1. Схематический вид кривой (1.5)
4 - % +。0 & о, 6 — ％ +。0 > О
— (1.4) находим значение внешнего напряжения о = %, при котором начинается рост трещины:
L Е %JL Е %J(1.5)(1.5)
L Е %J
L Е %J
(1.5)
(1.5)
где £* = 3£0/16(l-^).
Вид кривой, отвечающей соотношению (1.5) в координатах о—R。， зависит от знака величины(Ро + о。)(сжимающие напряжения, как обычно, считаются отрицательными). На рис. \9 а ^ б сплошной линией показана
зависимость (1.5) соответственно для случаев р()+ о。& 0 и р° + о?〉0. Величина Л+на рис. ^^определяется из соотношения (р° + о。) (2R J • 2 = К.
Особый интерес представляет случай р° + % & 0, показанный на рис. 1, а, поскольку именно такая ситуация имеет место в задачах горной механики. Как видно, в этом случае можно выделить три группы трещин согласно их начальным радиусам: трещины, начальный радиус которых меньше величины & , т.е. Rq <&； трещины, начальный радиус которых лежит в интервале & < Rq < R3, и трещины, начальный радиус которых больше величиныЛ3,т.е. Ао >&.Трещины, у которых Ао <Ri и Ао > А3, не будут распространяться даже при полном сбросе внешней нагрузки. Это связано с тем, что в первом случае радиус трещин настолько мал, что в силу этого всегда выполняется условие T(2R°)i/2 < К, а во втором — настолько велик, что при уменьшении внешнего сжимающего напряжения объем трещины согласно (1.4) увеличивается столь существенно (а давление газа соответственно падает), что всегда выполняется аналогичное условие, но уже ввиду малости Т.
Из рис. 1, а следует также, что трещина, пришедшая в движение при о = %, не будет распространяться неограниченно — она остановится. Характер роста трещины также зависит от ее начального радиуса Ло. Трещины, начальный радиус которых лежит в диапазоне R】< RQ < R2i при достижении внешним напряжением значения ос скачком переходят из одного устойчивого состояния в другое. При этом рост трещин происходит за счет энергии упругой деформации, накопленной в материале, причем часть упругой энергии рассеивается, в частности излучается в виде акустических волн. После скачка трещины этой группы будут плавно подрастать по мере дальнейшего снижения внешней нагрузки. Найдем выражение для нового радиуса трещины Rc после скачка. Будем считать, что в процессе роста трещины поведение газа подчиняется изотермическому закону (процесс типа дросселиров ания), т.е.
pV = pcVCf(1.6)
где pt V — текущие значения давления газа и объем трещины соответственно.
Используя (1.2), (1.4) и (1.6), находим уравнение для нового радиуса трещины после скачка Rc:
^&с — %) 1 +0^()6с - Р。一。。)=
&] I
=Ро 1+——(^-^о-ао),(1.7)
где Sc = (R)/RJ/2.
При дальнейшем снижении внешнего сжимающего напряжения, т.е. при |а| < 10c I, трещина будет плавно подрастать по мере уменьшения |о|. Текущее значение радиуса, отвечающее напряжению о, определяется из уравнения (1.7) путем замены в нем 0cHа о и 自 на 0 =(仆/灭严上 На рис. 1, а пунктиром показано поведение трещины начального радиуса К° при полном сбросе внешней сжимающей нагрузки.
Рис. 2. Пример расчета роста трещины при изменении внешней сжимающей нагрузки рис. 3. Зависимость параметров трещины при ее росте от внешней нагрузки
Если начальный радиус трещины лежит в интервале R? < R < R3, то при достижении внешним напряжением значения %, определяемого (1.5), трещина не будет претерпевать скачок, а будет аналогично поведению рассмотренной выше трещины на последнем этапе постепенно расти при уменьшении |о|, и ее радиус будет определяться соотношением (1.7) аналогично тому, как это делалось выше при | а | < | ас |.
Другой характер имеет рост трещины, когда р()+ о。> 0. В этом случае, как следует из рис. 1,6, при достижении внешним сжимающим напряжением значения % трещина, независимо от ее начального радиуса, растет динамически и ее рост не останавливается.
На рис. 2 и 3 приведен пример расчета, выполненного применительно к трещине, находящейся в угольном пласте. Начальный радиус трещины принимался равным RQ = 10~3 м, начальный объем Ио = 2,1 • 1О~10 м3, что соответствует jRo/^o = 20 (50 — начальное полураскрытие трещины); упругие характеристики материала Fo = 2,5 • 103 МПа, 〃о = 0,3； к = 1,33 (метан). Кроме того, принималось, что р° = — оо = 10 МПа. Условие р© 二 =-%, как показано в [1], должно выполняться для углей на достаточной глубине благодаря их способности пластически течь под действием касательных напряжений, приводя за длительное время к полному исчезновению последних. Величина горного давления [а0 | = 10 МПа соответствует глубине залегания угольного пласта 400 м. Модуль сцепления угля принимался равным К = 2 • 105 Н/мЗ/2. На рис, 2 показана зависимость отношения текущего радиуса трещины к его начальному значению от внешнего сжимающего напряжения о. Видно, что трещина возрастает скачком при ос = — 5 МПа. при этом давление газа внутри трещины рс = 9,47 МПа. Отношение радиуса трещины после скачка к его начальному значению R/R© 二 =1,8. На рис. 3 показано изменение величия р, У]% к S/S© (5 =行貝'一 площадь трещины) в зависимости от о。Видно, qtg при сбросе о площадь трещины растет в значительно большей мере, чем ее объем. Позтсглу доле- кие газа в трещине, достаточно высокое даже при существенном сбросе внешней нагрузки, оказываегся раскр2деленным па площадь намного
превосходящую начальную. В результате при наличии в теле большого количества трещин средняя отрывающая сила, действующая на материал между трещинами в направлении, перпендикулярном плоскостям трещин, может возрасти настолько, что материал начнет отламываться. Таков, в частности, механизм возникновения внезапных выбросов угля и газа, предлагаемый в [1,2].
В дальнейшем при рассмотрении вопроса об эффективных характеристиках материала с ориентированной системой газонаполненных трещин потребуется решение задачи о трещине, распространяющейся в упругой трансверсальной изотропной среде под действием давления находящегося в ней газа. Для изменения объема дискообразной трещины, находящейся в трансверсально изотропной среде, плоскость изотропии которой совпадает с плоскостью трещины, имеем [4]
16 с °
△/⑶R。(Р +。- Ро -。0)，
а нормальное смещение берегов трещины w вблизи ее контура меняется по закону
4
w= - ll3)(P^o)[R0(RQ-r)]^2,
где г — расстояние от центра трещины. С другой стороны, согласно [5], w = 2PnN(R0 - г) ^2, где N - коэффициент интенсивности напряжений. Используя эти два соотношения, условие роста трещины представим в виде 2/；з)
丁(р + о)(2Ко)1/2=К.(1.8)
Здесь
0A2 = 2 [〃? 1 — (а? 1У (а? з 尸],
/；3)= ^("厶尸同唱〃?3-(。?3)2]1 忆(1.9)
8 = а? 1 а；4 + 2а?з(а?i — 〃?2) + 2 {[а? 1^33 — (^?з)2] [(^? 1 )2 ~ ^i 2)2] j "Г 竭 —упругие постоянные [6], & — начальный радиус трещины, К — модуль сцепления материала, р - давление газа в трещине, о — напряжение вдали от трещины, нормальное к ее плоскости. Тогда аналогично (1.5) для напряжения %, при котором начинается рост трещины, имеем
Радиус трещины после скачка Rc находится из уравненияРадиус трещины после скачка Rc находится из уравнения（1.10）（1.10）“ >1)卜+縉仁滋一一力“ >1)卜+縉仁滋一一力
Радиус трещины после скачка Rc находится из уравнения
Радиус трещины после скачка Rc находится из уравнения
（1.10）
（1.10）
“ >1)卜+縉仁滋一一力
“ >1)卜+縉仁滋一一力
(1.11)(1.11)_ L 16/9^
(1.11)
(1.11)
где 0c = (Ko/Kji/2.
При дальнейшем уменьшении внешнего сжимающего напряжения текущий радиус трещины R связан с а соотношением (1.11), в котором следует 0c заменить на о, а 饱 на 0 = (Rq/R)"乙
Эффективные характеристики. Согласно [7], для макроскопической деформации материала, содержащего площадки скачка смещений, имеем
我二 4 + I /仙腺+ ^匕"(Y)dY. (2.1)
Здесь и ниже величины с нуликом в индексе относятся к окружающему материалу; Р» — проинтегрированный по площадке скачок z-й компоненты смещения; п» — единичный вектор нормали; У — совокупность параметров, характеризующих площадки;户(У) dY - доля площадок в единице объема с параметрами, близкими к У. Соотношение (2.1) имеет чисто геометрический характер, так что механизм образования скачков смещения, приводящий к данным значениям компонент Kz, не играет роли, т.е. при помощи этого соотношения можно вычислять эффективные характеристики материала с любыми неоднородностями, когда их можно представить поверхностями скачков смещений. Задача, таким образом, сводится к определению величин 兀,т.е. компонент вектора смещений поверхностей неоднородностей. Но для их нахождения необходимо решить задачу о данной совокупности неоднородностей, что в общем случае вряд ли возможно.
Поэтому в [7] для определения эффективных характеристик тела с большим числом взаимодействующих трещин предложен метод, представляющий собой развитие метода само со гл асов ания. Для случая большой концентрации трещин этот метод сводится к дифференциальной процедуре, использующей формулы малой концентрации и приводящий к интегрированию системы дифференциальных уравнений. С помощью описанного метода можно находить эффективные характеристики и в случае, когда в материале имеется большое число трещиновидных неоднородностей, заполненных линейно-упругим материалом. Однако, когда среда внутри неоднородностей деформируется нелинейно, непосредственное применение метода наталкивается на большие трудности. Это связано с тем, что материал в этом случае эффективно будет вести себя как нелинейный, так что для нахождения величин К/ в (2.1) необходимо иметь решение задачи о трещиновидной неоднородности в нелинейной среде, которое в настоящее время отсутствует.
Ниже предлагается приближенный метод определения эффективных характеристик материала с большим числом трещиновидных неоднородностей, заполненных газом или другим нелинейным материалом. Рассмотрим небольшие приращения приложенных напряжений. Считая, что в процессе догружения совокупность параметров У не меняется, из (2.1) имеем для приращений деформаций
с 1
gk =後良 + 5 /(勺 6 腺 + ^5%*(Y)dX (2.2) Будем полагать, что при малых изменениях напряжений нелинейный материал будет вести себя как линейно-упругий с деформационными характе-
ристиками, зависящими от достигнутого напряженного состояния. Тогда можно записать
5 匕=^ikl^°kb(2・3)
где компоненты тензора //左?, характеризующие лишь одну данную неоднородность, зависят от достигнутого напряженного состояния и для каждого шага догружения считаются постоянными. Учитывая, что бе 方 二 Sijkl^°kb где S% — тензор податливости материала между неоднородностями, из (2.2) и (2.3) имеем
5% 二[明改/ + - i^i^jki + nj^iki)FiY^dY] б”?.(2.4)
Здесь
S；jkl = S?jkl + - S ^i^-jkl + nj^ikl)^(X}dY(2.5)
можно рассматривать как мгновенное значение эффективного тензора податливости на данном шаге догружения. Интегрируя затем (2.4), можно найти искомое соотношение между тензорами напряжений и деформаций.
В случае малой концентрации неоднородностей (когда они между собой не взаимодействуют) даже при заполнении неоднородностей нелинейным материалом для определения эффективных характеристик среды можно прямо воспользоваться соотношением (2.5), используя для нахождения величин Aiki решение задачи об одной неоднородности в линейном упругом материале со свойствами, совпадающими со свойствами материала между неоднородностями. В случае большой концентрации неоднородностей будем на каждом шаге догружения заменять окружающий данную неоднородность нелинейный материал со свойствами, определяемыми наличием остальных неоднородностей, линейно-упругим материалом с некоторыми заранее неизвестными усредненными характеристиками, зависящими от достигнутого напряженного состояния. Тогда для определения на некотором шаге догружения мгновенных деформационных характеристик можно использовать дифференциальную процедуру [7].
Используем предложенный метод для решения задачи об эффективных характеристиках материала с системой ориентированных газонаполненных трещин.
Ориентированная система газонаполненных трещин. Рассмотрим упругоизотропный материал, содержащий ориентированную систему газонаполненных трещин, однородно и изотропно распределенных в плоскостях, перпендикулярных оси х3 (рис. 4). Тогда среда будет эффективно трансверсально-изотропной с осью изотропии, совпадающей с осью х3. Такая среда характеризуется пятью упругими постоянными, и связь между компонентами тензоров деформации и напряжений для нее имеет вид [6]
£11 =a11011 + 41202 2 + 〃1303 3, £2 3 =%444023，
£22=a12011 + a1 1022 + 61 3。33, £13 =弘444。13,(3」)
£33 ="13011 +d13022 +633。33，£12 = (^1 1 -a12)012,
где «〃• — упругие постоянные.
Рис. 4. Ориентированная система
газонаполненных трещин
Пусть концентрация неоднородностей мала, т.е. они между собой не взаимодействуют. Тогда при нахождении эффективных характеристик для определения величин Р, в (2.1) можно воспользоваться решением задачи об одной газонаполненной* трещине, находящейся в безграничном упругоизотропном материале. Кроме того, в рассматриваемом случае совокупность параметров У в (2.1) сводится к единственному аргументу — радиусу неоднородностей R п пх =几2 =°,几з 二 L Для нахождения компонент тензора Aikt в (2.2) воспользуемся результатами работы [7]. Наличие в трещинах газа под давлением р приводит к дополнительному увеличению объема. Чтобы учесть это, необходимо заменить коэффициент q = я/2 в [7] на Сз = 2тг" (о + р)/о, в то время как с】и с? остаются неизменными. Тогда аналогично [4] находим для случая малой концентрации неоднородностей
^1 1 = 1/^0＞。1 2 = "1 3 = — 〃0伍0,
116(1 - Ро) + Р 昼
(3.2)(3.2)^33 = —+ 亠J—^R3F(R)dR,
(3.2)
(3.2)
_ 2(1 + %)_ 2(1 + %)16(1-pg)3&)(2 二帀16(1-pg)3&)(2 二帀fR3F(R)dR.fR3F(R)dR.
_ 2(1 + %)
_ 2(1 + %)
16(1-pg)
3&)(2 二帀
16(1-pg)
3&)(2 二帀
fR3F(R)dR.
fR3F(R)dR.
Здесь 片()，〃o — модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала между неоднородностями,尸(R) — функция распределения неоднородностей •по размерам. Из (3.2) видно, что наличие газа в трещинах сказывается лишь на значении модуля й33, а на остальные величины а^ не влияет.
Выразим давление газа в трещинах через приложенное напряжение. Считая процесс деформирования изотермическим, для газа внутри трещин имеем
Ро%=Р(% + "), (3.3)
где ро, Ко — начальные давление газа и объем трещины, р — текущее давление газа в трещине, АР — изменение объема трещины при изменении внешнего напряжения с начального значения а0 до текущего значения о. Из (3.3)
и (1.4) находими (1.4) находим
и (1.4) находим
и (1.4) находим
Здесь введено обозначение Е* = ЗЕо/16(1 -喲.
Уравнения (1.6), (3.2) и (3.4) описывают закон не линей но -упруго го деформирования материала в случае малой концентрации содержащихся в нем газонаполненных трещиновидных неоднородностей.
Пусть теперь концентрация неоднородностей велика. В этом случае, как уже отмечалось, для определения мгновенных деформационных характеристик на некотором малом шаге догружения можно воспользоваться дифференциальной процедурой [7]. Основой для нее является решение задачи об одной неоднородности, находящейся в безграничной среде со свойствами, определяемыми всеми остальными неоднородностями. В рассматриваемом случае ориентированной системы неоднородностей среда относительно малых изменений напряжений будет вести себя как упругий трансверсально-изотропный материал с осью изотропии, перпендикулярной плоскостям трещин, причем значения его мгновенных модулей будут зависеть от достигнутых значений напряжения. В работе [4] на основе решения [8] приводятся выражения для величин 匕 для случая "пустой'' трещины, находящейся в трансверсально-изотропной среде. Наличие в трещине газа приводит к изменению величины %, а выражения для % и % остаются прежними, так что имеем
腺=- и£ + (p - ро)5к3].(3.5)
Здесь 5兀з — символ Кронекера; р° и а^3— начальные, ар и %з — текущие значения давления газа в трещинах и соответствующих компонент тензора напряжений;
/；1 ) = /；2) = ‘° =。?4 I' К。？ 1)2 -(。?2)2] } "2 卜? 1 ^44 +
+ 卜&匕(〃з+丛" J ,(3.6)
выражения для 5 и /；з) даются соотношениями (1.9), а а® — упругие постоянные материала. Исключая с помощью (3.3) из (3.5) давление р, находим
%=- g [%+%r3(p0+0д3_a/+
+ I {[%— %&з(ро+о?з 一 озз)]2 +4ро%а&3}%,©,)
где % = "%)•
Дифференцируя (3：5) и (3.7), получаем
16 Л J 3唳=+
^кЗ ^°кЗ-(3.8)^кЗ ^°кЗ-(3.8)% - a0^3 (pQ +。?3 -033)
^кЗ ^°кЗ-(3.8)
^кЗ ^°кЗ-(3.8)
{卜0 _ %R3( po + og 3 _03 3)]2 + 4/?0%%R3}A
Тогда из (2.3) и (3.8) находим выражения для компонент тензора А^:
16 с °
41з 二』22з 二 ~у~ / R，
4зз 二 *%)&[1 +
+%-的R气p0+。£ - 033)1
{[p0 - %及3(ро + 0?3 - g3)]2 + 4ро %%及3} " J
Остальные компоненты тензора Aikl равны нулю.
Окончательно из (2.4), (3.9) и (3.1), учитывая, что п^ = п2 = 0, п3 = 1, находим для случая малой концентрации газонаполненных неоднородностей в трансверсально-изотропном материале
^11 = ^1 Ь «12 = «? 2,«13 二《： з.
«зз 二 *з +
+%/] + % -a0及3(p0 +0?3 ~~03 3) 1 X
X &尸(R)dR,(3.10)
с 16°。
«44 = ^44 + — /° JR3F®)dR・
Для трещин одинакового радиуса RQ с учетом того, что /F (R)dR = dN, где N — число трещин в единице объема, из (3.10) получаем
«11 二 〃？1,«12 = «?2,«13 二 〃？з,
«зз = ^зз + ~ [ 1 +
p0.-a0鹿(р0 +。9 3 -03 з).
{卜0 - а0^0( р0 +。g3 -。3 3)]2 + 4ро %%/^} " .
с 16 с
"44 = ^4 4 +/ u,
где и = NRq,
Дифференциальная процедура [7] сводится теперь к тому, что в (3.10) следует заменить (а33 - а£) на da33, (а44 -《Ь) на da^^. а 1^ ? Z0 на
/(з)，/，что достигается путем замены в выражениях (1.9), (3.6) «} на а... Тогда, так как F (R)dR = dN, получаем для нахождения а3 3 иа44 систему дифференциальных уравнений
dg 3~dN~dg 3~dN~aR3aR31 +1 +2 L% — aR3( г。+。纟3 — Озз)2 L% — aR3( г。+。纟3 — Озз)+ {[Vo - aR3(po +。£ 一。33)产 +4poRaR3}%如工»RtdN 3+ {[Vo - aR3(po +。£ 一。33)产 +4poRaR3}%如工»RtdN 3(3.12)(3.12)
dg 3~dN~
dg 3~dN~
aR3
aR3
1 +
1 +
2 L
% — aR3( г。+。纟3 — Озз)
2 L
% — aR3( г。+。纟3 — Озз)
+ {[Vo - aR3(po +。£ 一。33)产 +4poRaR3}%
如工»Rt
dN 3
+ {[Vo - aR3(po +。£ 一。33)产 +4poRaR3}%
如工»Rt
dN 3
(3.12)
(3.12)
Здесь а = 16/31^ и подразумевается, что вид функции a(N) известен. Начальные условия имеют вид
«3 3 二《9з, «44 二说4 при N = 0.(3.13)
Если ориентированная система неоднородностей вносится в первоначально упругоизотропный материал, то
〃?3 二 1/%«44 = 2(1+%)/Ео,
где Ео и v0 - его модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
Определив из (3.12), (3.13) значения а33 и а44 при разных значениях Озз и интегрируя затем получаемую из (3.1) связь между приращениями тензоров напряжений и деформаций, находим зависимость между компонентами тензоров напряжений и деформаций.
Полученные выше соотношения относятся к случаю, когда неоднородности не растут при изменении внешней нагрузки. Однако, если известно начальное распределение газонаполненных трещин по размерам, пользуясь этими соотношениями, можно определить эффективные характеристики материала с ориентированной системой газонаполненных трещин и в случае их роста при уменьшении внешнего сжимающего напряжения. Для простоты ограничим рассмотрение случаем неоднородностей одного размера.
Пусть достигнутому значению внешнего напряжения ，；) отвечает радиус неоднородностей R(°) и известные значения эффективных характеристик материала 〃,°)・ Будем полагать, что i 033 | < I о。|, г.е. что всякое уменьшеяие внешней нагрузки приводит к pociy трещин. Дадим напряжению а33 малое приращение Sa33, так что 。]；)二 о；；〉 + Sa33. Напряжению Q；)будут отвечать новый радиус неоднородностей и новые значения эффективных характеристик. Для их нахождения поступим следующим образом. Дадим радиусам трещин R(°) малые приращения △R и найдем cooiвегствующие радиусам трещин K(D = r(°) + AR зна。 чения эффективных характеристик 喈).Затем но формулам разд. 1 проверяем выполнение равенства (1.8). Если окажется, что 2/(з)(р + а^р) X X (2К)%/“ < К, то вновь увеличиваем радиус трещин на величину АК, находим новые значения величин а^ и так далее, пока с заданной точностью не выполнится равенство (1.8). Значения R и а^. при которых это имеет
место, являются теми значениями радиусов и эффективных характеристик, которые отвечают напряжению 个；）.Затем вновь изменяем внешнее напряжение на величину 5а33 и повторяем описанную процедуру при значении внешнего напряжения ，；）= 个；）+ 5а33, Аналогично поступаем и при определении новых радиусов трещин и соответствующих им эффективных характеристик в случае, когда размеры трещин увеличиваются скачком при достижении внешним сжимающим напряжением значения Ос・
Пример. Пусть в материале имеется начальная ориентированная система газонаполненных трещин. Характеристики материала, как и начальные размеры трещин, примем такими же, как и в примере, рассмотренном в разд. 1, а для начального давления газа в трещинах полагаем р0 = =—。0 = 20 МПа. Кроме того, будем считать, что в начальном состоянии пористость материала равна т0 = 0,025, что соответствует начальному значению параметра и = NRq = 0,12. Такая величина параметра говорит о малой концентрации неоднородностей, поскольку, согласно [4], взаимодействие трещин начинается примерно при значении параметра и =0,3. На рис. 5 и 6 показано изменение эффективных характеристик материала «9з/«зз - E/Eq и 〃；4&44 = G/Go, поскольку 1/〃зз представляет собой модуль материала в направлении оси Хз, а 1/а44 - модуль сдвига в плоскостях, параллельных осих3 [6]; Ео nGQ - модуль Юнга и модуль сдвига материала между неоднородностями. Из рисунков видно, что примерно при Озз = -15 МПа происходит скачкообразное уменьшение модулей материала и затем они быстро уменьшаются по мере снижения | а33 |. На рис. 7 показана соответствующая кривая （а33 — а%） — е33.
Изотропное распределение газонаполненных трещин. В работе [9] с помощью описанного выше метода решена задача об эффективных характеристиках упругоизотропного материала со случайно ориентированными в нем газонаполненными трещинами. В силу случайности ориентации неоднородностей материал после внесения в него неоднородностей остается изотропным.
Рис, 5. Зависимость E/Eq от величины внешней сжимающей нагрузки
Рис, 6. Зависимость G/G。от величины внешней сжимающей нагрузки
трещинами
Рис. 8. Зависимость радиуса неоднородностей от величины внешней сжимающей нагрузки
Для эффективного модуля Юнга и эффективного коэффициента Пуассона для случая малой концентрации неоднородностей в [91 получены следующие выражения:
J 16(1一%)(10-3%)8(1-^)1 1
Е = Eq\\ — + В %(4.1)
I L 45(2 — %)15 J J
乙 16(3-p0)(l-^) , 8(1-讶)(1+3%) J 1
p = p0 1 - + В и ,(4.2)
I L 15(2 —%)45%J
где
8=]+ 乙+ (0即% 一吟%.吗・-ро)а”
+[[%)+(0产i附一*勺斗-р0)a&]2+4"o%aR3}%',
£o н ^o - модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала между неоднородностями; Ро и R - начальное значение давления газа в неоднородностях и их начальный объем; о； и о,, — начальное и текущее значения тензора приложенных напряжений;九/ - компоненты единичного вектора нормали к поверхностям неоднородностей;
a = 16(1 一谛)/3現.
При большой концентрации неоднородностей следует рассмотреть малые изменения внешнего напряжения и на каждом шаге догружения применить дифференциальную процедуру [7]. Из (4.1), (4.2) для определения мгновенных значений Е и ^ на малом шаге догружения получаем систему дифференциальных уравнений
ЛпЕ
_16
1 - p2
8,
(10 — 3p)二
dv
45
2 一 P
15
о(4.4)
dlnv
_ 16
1 - р2
81 - #
冃(1 + Зр) ■■-
dv
15
2 - р
45Р
с начальными условиями
Е = Eg, р = р0 при и = 0.
Пусть в начальном состоянии равномерного всестороннего сжатия внешнее напряжение по абсолютной величине равно давлению газа в трещинах, т*е. Ро = I。0 I. Кроме того, будем считать, что все трещины имеют одинаковый радиус. При равномерном уменьшении напряжения всестороннего сжатия при некотором его значении начнется одновременный рост трещин независимо от их ориентации. На рис. 8 (кривая 2) изображена получающаяся при этом зависимость радиусов трещин от величины внешнего сжимающего напряжения. При расчетах принималось р0 = —。0 =1。МПа, а другие параметры задачи брались такими же, как и в примере, рассмотренном в разд. 3. Кривая 2 на рис. 8 отвечает случаю одиночной газонаполненной трещины, растущей в упругой изотропной среде, а кривая 3 - случаю ориентированной системы газонаполненных трещин (в этом случае, как и в случае одиночной трещины, о — напряжение, перпендикулярное плоскостям, в которых лежат трещины). Кривые 2 и 3 рассчитывались при тех же параметрах, что и кривая7.
Из рис. 8 видно, что наиболее сильно растут трещины, образующие ориентированную систему, а наиболее слабо — изотропно распределенные в пространстве. Таким образом, влияние окружающих трещин на рост данной трещины зависит от их ориентации: ^случайно распределенные по ориентациям трещины при равномерном сбросе внешней сжимающей нагрузки замедляют рост рассматриваемой трещины, а расположенные в плоскостях, параллельных данной трещине, - ускоряют его. Этому факту есть простое физическое объяснение. Из (1.2) видно, что в случае изотропии окружающего трещину материала коэффициент интенсивности напряжений вблизи контура трещины зависит только от величины приложенного к берегам трещины напряжения Т = р + о и не зависит от упругих свойств этого материала. Увеличение податливости окружающего данную трещину материала, которое имеет место при росте остальных трещин, приводит к увеличению объема трещины, уменьшению давления газа в ней, и, следовательно, к уменьшению напряжения Т. Таким образом, коэффициент интенсивности напряжений вблизи контура трещины в случае изотропного распределения трещин меньше, чем в случае одиночной трещины, так что при данном значении внешнего напряжения о она прорастает до меньшего размера. В случае ориентированной системы трещин согласно (1.8) коэффициент интенсивности напряжений вблизи контура рассматриваемой трещины, кроме величины напряжения Т, приложенного к ее берегам, зависит также и от деформационных характеристик окружающего материала, что отражается множителем 2/(з乂0體 в левой части (1.8). Причем если при росте окружающих трещин величина Т = р + о в (1.8) уменьшается (по тем же причинам, что и в случае изотропного распределения трещин), то множитель 2/(з)/% с учетом (3.12) возрастает. Вычисления показывают, что влияние второго фактора на коэффициент интенсивности напряжений существенней, чем первого, так что в результате коэффициент интенсивности напряжений вблизи контура рассматриваемой трещины при росте окружающей ее ориентированной
системы трещин становится больше, чем в случае одиночной трещины, и при данном значении о она прорастает на большую величину.
Влияние газа в трещинах на деформируемость материала. В работе [10] показано, что при наличии в упругом материале неоднородностей, заполненных упругим, отличным от матрицы материалом, влияние заполнителя на эффективные деформационные характеристики среды зависит от величины параметра 与=(К()/К)(Ь/К), где К。и К - объемные модули упругости материала матрицы и среды в неоднородностях соответственно, S и А - полураскрытие и радиус неоднородности, которая считается дискообразной. Согласно [10], при ^ > 1 и KQ/K > 1 неоднородности при расчете эффективных деформационных характеристик можно рассматривать как "пустые'' трещины, т.е. в этом случае влияние заполнителя неоднородностей на эффективную деформируемость материала мало. При 乏 Q 1 и Ко/К > 1 эффективные характеристики среды следует определять с учетом материала внутри неоднородностей.
В случае газонаполненных неоднородностей среда эффективно будет нелинейной. Однако, рассматривая малые догружения, относительно которых деформирование среды можно считать линейным, результаты [10] можно применить и для этого случая. Поскольку для газа "мгновенный" объемный модуль К есть просто давление газа р, то ^ = (К。勿)(5/R). Тогда, согласно [10], наличие газа в трещинах будет оказывать заметное влияние на эффективные деформационные характеристики среды при выполнении условий ^ > 1 и KQ/p > 1 и будет несущественным при 扌 ^ 1 иКо/р» 1.
В процессе нагружения тела размеры неоднородностей, а также давление газа в них меняются. Поэтому возможны ситуации, при которых на некотором участке нагружения газ в неоднородностях не будет влиять на деформируемость материала, а затем его роль станет заметной, и наоборот.
Пример. Пусть в материале, находящемся в состоянии всестороннего сжатия напряжением о。, имеются хаотически ориентированные в нем газонаполненные трещины. Для простоты будем считать, что концентрация неоднородностей мала. В начальном состоянии давление газа в неоднородностях будем полагать равным абсолютному значению напряжения всестороннего сжатия, т.е. р()= —а0. Пусть в исходном состоянии выполняется условие 3 = Зо » 1 и К%。> 1, так что влиянием газа на деформируемость материала можно пренебречь. Будем теперь увеличивать сжимающую нагрузку, действующую на материал. При этом раскрытие неоднородностей будет уменьшаться, а давление газа в них увеличиваться, так что параметр 扌 будет убывать. В результате при некотором значении о величина 扌 станет порядка единицы и при нахождении эффективных характеристик среды при дальнейшем увеличении внешней нагрузки влияние газа на деформируемость материала будет существенным. Такая ситуация вполне реальна. Например, полагая, что модуль Юнга материала между неоднородностями Ео = 5 • 103 МПа, коэффициент Пуассона р0 = 0,3, Ро = —а0 = 1 МПа, R/So = 100, имеем ^0 = 62,5. Если увеличить напряжение сжатия до величины а = — 45 МПа, то давление газа в трещинах согласно (3.4) будет р 二 = 5,15 МПа и Л/S = 750,5, т.е. значение 扌 станет равным 1,1.
Таким образом, при расчете эффективных деформационных характеристик материала с газонаполненными трещинами необходимо учитывать 116
следующее. Пока выполняется условие ^ > 1, наличие газа в неоднородностях принимается во внимание только при определении размеров трещин, отвечающих достигнутому значению напряжения, а эффективные характеристики находятся, как для случая "пустых" трещин [4, 7]. Когда же параметр 与 становится сравним или меньше единицы, наличие газа в неоднородностях необходимо учитывать уже и при определении эффективных характеристик материала.
ЛИТЕРАТУРА
Христианович С.А., Салганик Р.Л. Внезапные выбросы угля, (породы) и газа. Напряжения и деформации: Пре пр. ИПМ АН СССР № 153. М., 1980. 87 с.
Христианович С.Л., Салганик Р.Л. Выбросоопасные ситуации. Дробление. Волна выброса: Препр. ИПМ АН СССР № 154. М., 1980. 44 с.
Разрушение: Темат. сб.: Пер. с англ. М.: Мир, 1975. Т. 2. 763 с.
Вавакин А.С., Салганик К〃. Эффективные упругие характеристики тел с изолированными трещинами полостями и жесткими неоднородностями // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. №2. С. 95-107.
Салганик Р.Л. Тонкий упругий слой, испытывающий скачок характеристик в бесконечном упругом теле (плоская задача) // Там же. 1977. № 2. С. 154-163.
Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.; Л.: Гостехиздат, 1950. 299 с.
Салганик Р.Л. Механика тел с большим числом трещин // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. №4. С. 149-158.
Shield R.T. Notes on problems in hexagonal aelotropic materials 〃 Proc. Cambridge Phil. Soc.. 1951. Vol. 47, p. 2.P. 401-409.
Карев В.И., Коваленко Ю.Ф. Исследование влияния характера разгрузки материала на процесс роста в нем газонаполненных дискообразных трещин. М., 1984. 23 с. Деп. в ВИНИТИ 28.05.84, № 3145.
Коваленко Ю.Ф., Салганик Р.Л. Трещиновидные неоднородности и их влияние на эффективные механические характеристики // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. № 5. С. 76-86.
УДК 539.3
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ДИНАМИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ
ОДНОНАПРАВЛЕННОГО КОМПОЗИТА, ОСЛАБЛЕННОГО ОБРЫВОМ ВОЛОКНА
В.Н. Кукуджанов, Г.Г. Бульпев
При проектировании высокопрочных волокнистых материалов возникает известное противоречие: с одной стороны, для получения композитов с высокой жесткостью необходимо увеличение объемной доли волокон, с другой, как показывают экспериментальные исследования [1], в композитах с высокой объемной долей волокон локализации очагов разрушения отдельных волокон не происходит и разрывы первых же волокон приводят к катастрофическому разрушению материала, вследствие чего приходится увеличивать объемную долю вязкопластической матрицы с более низкими прочностными свойствами [2].
Для решения этого противоречия необходимо детальное исследование процессов, сопровождающих разрушение отдельных волокон на ранних стадиях и перераспределение напряжений между элементами композита.
Исследование динамики композитов с оборванным волокном в рамках одномерных моделей наиболее подробно проводилось В.В. Москвитиным и его учениками [3]. Было установлено, что динамическая прочность композита сильно зависит от прочности связи волокон с матрицей, что отслоение разрушившегося волокна, способствуя быстрому затуханию перегрузочных напряжений и локализации очага разрушения, в то же время при высоких объемных долях волокна приводит к резкому снижению его несущей способности. Поэтому представляет интерес детальное изучение перераспределения напряжений, происходящих при мгновенном обрыве волокна в двумерной постановке, это позволяет глубже понять особенности разрушения образца.
Численное моделирование динамики волокнистого композита с оборванным волокном и упругопластической матрицей проводилось авторами [4] методом конечных элементов. В работе отмечались значительные вычислительные трудности определения локальных изменений напряженно- деформированного состояния вблизи поверхности обрыва волокна и на контактной границе волокно—матрица.
В настоящей работе сделана попытка определить волновые поля и проанализировать эффекты, вызванные обрывом упругого волокна, помещенного в упруговязкопластическую матрицу, численным методом пространственных характеристик, предложенным в работе [5] и обобщенным на кусочно-однородные среды в [6]. Метод позволяет достаточно точно рассчитывать локальные изменения напряженного состояния и особенно контактные границы.
I. Рассмотрим упругое цилиндрическое волокно, помещенное в матрицу из упруговязкопластического материала. Систему уравнений для тел волокно-матрица можно записать в следующем виде:
%•, j -叫 一u, （丄丿
留+人⑷点:也厂即&"或”
_哀〃）w⑷一点）（%）j⑷
»（а）
где。疗 и s〃・—тензор и девиатор напряжении, 〃； ' 一 вектор скорости частицы, Хим- константы Ламе, р — плотность, S = & s^严,ks - предел текучести материала, Wp — работа пластической деформации, т — константа, характеризующая вязкость. Индексы а = 1,2 соответствуют волокну и матрице, при 〃 = 1 правая часть второго уравнения равна нулю, а при 〃 =2
⑵
a — распределение максимальных растягивающих напряжений в волокне и матa — распределение максимальных растягивающих напряжений в волокне и матрице;рице;б — распределение касательных напряженийб — распределение касательных напряжений
a — распределение максимальных растягивающих напряжений в волокне и мат
a — распределение максимальных растягивающих напряжений в волокне и мат
рице;
рице;
б — распределение касательных напряжений
б — распределение касательных напряжений
В уравнениях (1) точка над буквой обозначает производную по времени, а запятая перед индексом — ковариантную производную по пространственной переменной с этим индексом.
В дальнейшем будем рассматривать задачу для единичного волокна в неограниченной матрице и будем использовать цйлиндрическую систему координат, начало которой поместим в центре волокна с радиусом R = % в плоскости обрьша волокна z = 0.
Рассмотрим две задачи: 1) будем считать, что при Z = 0, z > 0 матрица и волокно свободны от напряжения и при 才=0 к матрице в сечении z = 0 мгновенно прикладьшается напряжение ozz =р (рис. 1):
z = 0, 0 < г < a, ozz = 0,orz = 0；(3)
а < г < Л, Ozz 二 Р〃«), %z = 0;
при Z = 0 матрица и волокно предварительно растянуты. В сечении z = 0 происходит мгновенный обрьго волокна и выполняется условие
才 > 0, z = 0, °，)= 0, о'? = 0, °《尸 & %(4)
of? = 0, и^ = 0, а < г < R.
Предварительное напряженное состояние композита при ^ = 0 определяется из решения задачи о равномерном по радиусу растяжении образца из композиционного материала, который моделируется цилиндром бесконечного радиуса, состоящим из трех коаксиальных слоев:
0&Ya - волокна с упругими постоянными 入i, % и плотностью Pi;
a<r^R - матрицы с параметрами 入2,也，「2；
R < r ^ °° — полубесконечного слоя с усредненными параметрами, имитирующими весь остальной композит [2]:
Р = Р1(«1/〃2)2 + 02 口 一Q/«2)2],
后7 二 £?@/42)2 +£?口 一(曲/42)2],
"=%(〃1/〃2)2 + "2口 一(小/"2)，■
Между слоями предполагается непрерьшность радиальных напряжений и перемещений, а при，-> <» ставится условие ог -> 0, так как для реального образца боковая поверхность свободна от напряжений. Принимая деформацию образца упругой и обозначая напряжение в волокне о，" = р, получим следующие выражения для предварительных напряжений в волокне и матрице:
。「=P= 1,
(1)=⑴.PRlgl 出一哈+ 玩人m一31 + 入 1)(山鱼2 一") + 62d2)]
'“(g2 — n)(bigi —入1 dl) + Z>2(瓦〃 + 入也2)
⑵二 PB2gl 色 一〃)+ 场7? + 入2@7?№2)]
2 g2 - 〃)(bigi -入1 力)+ 历电7?一入1 d2)
pn 2gl @2 -") + 入2%" + 32 + 入 2)(dl"-d2gi) + (7? -^2)(^1 ^1 -瓦gl) + 瓦(瓦k 一入1 厶)
++P〃2【dig2 —^2(^2 — gl)](g2 — 〃)(瓦 gi — 乂电)+ Ь?(Ь1П —入 id?)P〃2【dig2 —^2(^2 — gl)](g2 — 〃)(瓦 gi — 乂电)+ Ь?(Ь1П —入 id?)(5)(5)
+
+
P〃2【dig2 —^2(^2 — gl)]
(g2 — 〃)(瓦 gi — 乂电)+ Ь?(Ь1П —入 id?)
P〃2【dig2 —^2(^2 — gl)]
(g2 — 〃)(瓦 gi — 乂电)+ Ь?(Ь1П —入 id?)
(5)
(5)
где
九=2以1+入1,瓦=2以2+入2,山=入1 一入2,厶=入2+№/（又+e）, gl=%+入1+42,g2=以2+入2+区，"二%区一42）便.
Рассмотрим условия на контактной поверхности г = а между волокном и матрицей с учетом возможного проскальзывания и отслоения.
Прочность соединения волокна и матрицы характеризуется напряжением сдвига а#: при I。，；)I < а* на контактной поверхности выполняются уело- вия непрерывности
。少二湯)，。少=*)，〃产二公2),吟)=f
Примем, что в момент / = f* (zM), когда в точке z 二 z^ контактной поверхности выполняется условие | о^ | > о*, начинается отслоение волокна от матрицьЕ Если берега трещины расходятся на расстояние
U = %「- £2))也(7)
го при U〉0 算а ее берегах выполняются условия свободной поверхности
露)二 dfL 0, " 2,2,(8)
а при U《0 происходит закрытие трещины и выполняются условия куло-
новского трения
(9)(9)。3 = -吧二-asgn [u2] I orr I,
(9)
(9)
0⑴=小2)(2)
где a〉0 — коэффициент трения, [&] = и^
Непростым является вопрос о граничных условиях на внешней боковой поверхности области интегрирования при r = R* Можно приближенно учесть
влияние остального композита, если известны его приведенные плотность р* и постоянные Ламе 入* и 从* в плоскости z = const, ортогональной направлению волокон [2]. Тогда на боковой поверхности г = А следует поставить следующие условия излучения:
Н)= РлР,。彳)=Р*с2M2)・ (Ю)
Если пренебречь влиянием остальных волокон, то следует ставить условия излучения или отсутствия отраженных волн, которые запишутся так:
с(2) 一 (2)-(2) 一
-PQ Uy, orz - pc2 uz .(11)
В качестве исходных геометрических и механических параметров для численного счета принимались параметры, соответствующие стальному волокну и полистироловой матрице:
入⑴=7,13 • 1010 Н/м2;从?)= 8,37 • Ю10Н/м2;
pf)二 7,7 • О кг/м?；您)= 9,8 • 108 Н/м2;
入(2)= 9,50 109 Н/м2 ；从⑵=4,90 -109 Н/м2;
p(2) = 3,4- Ю3 кг/м3; ^} = 7,1 • 107 H/m2;(12)
o* =席)=7,i • КУ7 н/м?; a = 0,24 cm; R = 0,36 cm, т=Го〃⑵/5 抬2), tQ = 2R/c{2\
Результаты численного моделирования задачи в первой постановке при р = 1,2 甫)и Г = £()= 2R/c^ представлены на рис. 1, а и d. На рис. 1, а цифрами (от 1 до 0,5) обозначены зоны, осевые напряжения в которых составляют соответственно от 1 до 0,5 максимального растягивающего напряжения в композите; на рис. 1, б показаны аналогичные зоны касательных напряжений. Результаты численного моделирования по второй постановке приведены на рис. 2.
Анализ напряжений, представленных на рис. 1 и 2, позволяет описать процесс динамического растяжения композита, ослабленного разрывом волокна.
На расстоянии % от поверхности z = 0 максимум осевых растягивающих напряжений переходит с матрицы на волокно и его несущая способность восстанавливается (см. рис. 1,а).
Вследствие различия в скоростях продольных волн в волокне и матрице волна осевых растягивающих напряжений в волокне начинает опережать соответствующую ей волну в матрице, на границе с матрицей это приводит к образованию зоны повышенных касательных напряжений (см. рис. 1,6) •
г, е） напряжений в задаче об обрыве волокна в предварительно растянутом образце （f =力）；г, е） напряжений в задаче об обрыве волокна в предварительно растянутом образце （f =力）；
г, е） напряжений в задаче об обрыве волокна в предварительно растянутом образце （f =力）；
г, е） напряжений в задаче об обрыве волокна в предварительно растянутом образце （f =力）；
При рн >рк в области максимальных касательных напряжений на некотором расстоянии 1р > % （融 =1,4磯）,％ 二 2〃）от плоскости обрыва волокна возникает и начинает расти зона расслоения. Возникшая трещина может распространяться в обе стороны вдоль поверхности контактного разрьша, однако скорость ее движения в сторону фронта продольной волны всегда больше. Удлинение трещины в направлении плоскости обры-
ва волокна на величину lp - ZH приводит к новому перераспределению напряжений в волокне и матрице, в результате чего волокно может оказаться отделенным от матрицы вдоль всего участка, эффективно передававшего осевые напряжения, и вследствие этого произойдет повторная потеря несущей способности волокна и 厶 увеличится.
Снижение величины нагрузки рн уменьшает скорость движения трещины, ее рост может остановиться, не достигнув точки с координатой z = %, в этом случае волокно частично восстанавливает свою несущую способность на участке 1р 一 ％•
При моделировании обрыва волокна в предварительно растянутом композите возникает следующая ситуация (см. рис. 2).
При f〉0 от места обрыва в глубь волокна распространяется волна разгрузки, на фронте которой вблизи боковой поверхности волокна из-за различия в скоростях продольных волн в волокне и матрице развивается зона значительных касательных напряжений (см. рис. 2, б). При выбранных значениях начальных напряжений и прочности соединения волокна с матрицей для всех рассмотренных моментов f (0 < f < %) эта волна приводит к отслоению волокна от матрицы вдоль всей контактной поверхности. С увеличением о* от 甫)до 1, 6 店)картина распределения осевых и касательных напряжений качественно не меняется.
При 1,6 磯)& о* & 1,7 磯)величина касательных напряжений вблизи фронта продольной волны разгрузки в волокне становится недостаточной для расслоения, скорость распространения трещины уменьшается (см. рис. 2, г). Картина распределения касательных напряжений существенно усложняется: вдоль контактной поверхности со скоростями продольной и поперечной волн в волокне движутся две зоны повышенных напряжений и порожденные ими волны. Материалы волокна и матрицы таковы, что скорость движения первой зоны превышает скорость продольной волны в матрице, вследствие чего в матрице образуются фронты косых волн. Волны, порожденные второй зоной, накладываются на волны, порожденные первой зоной, и усиливают их. Интерференция волн приводит к возрастанию касательных напряжений на контактной поверхности вблизи второй зоны и, как следствие этого, — к расслоению композита. Скорость образования трещины близка к скорости поперечных волн в волокне и превышает скорость волн сдвига в матрице, поэтому фронты волн боковой разгрузки в матрице отстают от фронта трещины. Меняется распределение осевых напряжений (см. рис. 2, в). В матрице перед фронтом трещины образуется область слабого сжатия, а сразу за ее фронтом — небольшая область весьма значительных растягивающих напряжений; вблизи поверхности трещины происходит разгрузка, а вдоль линии обрыва волокна в матрице начинается концентрация растягивающих напряжений:
при о* = 1,7^2)maxo]?|z = o — 1,7к^\
При дальнейшем увеличении прочности соединения волокна и матрицы величины касательных напряжений на контактной поверхности становятся не до статочными для расслоения; касательные напряжения как в волокне, так и в матрице концентрируются около контактной поверхности (см. рис. 2, d и е). Около плоскости обрыва z = 0 вблизи контактной поверх-
ности в волокне возникают радиальные сжимающие напряжения, а в матрице на продолжении трещины происходит резкая концентрация растягивающих напряжений:
при о* = 1,8 抬2)maxo，| z = о = 3,2抬2), а《г《R,
и для дальнейшего анализа требуются дополнительные условия, ограничивающие прочность материала матрицы на разрыв %*； при %*《2席) в плоскости z = 0 может произойти поперечный разрыв матрицы и вместе с тем катастрофическое разрушение композита.
Таким образом, для композита, ослабленного обрывом волокна, в зависимости от способа нагружения и прочности поверхности раздела волокно-матрица, возможны различные типы разрушения:
При высокой прочности контакта оборванное волокно восстанавливает свою несущую способность. В случае, если прочность контактной поверхности на сдвиг невелика, волокно отслаивается от матрицы и теряет свою несущую способность, пе ре распределения осевых напряжении с матрицы на волокно не происходит и она разрушается из-за высоких напряжений в волне растяжения.
В предварительно растянутом композите с большой сдвиговой прочностью на контактной поверхности обрыв волокна и образование трещины приводят к перераспределению напряжений вблизи трещины, в результате чего в матрице вблизи границы трещины начинается резкая концентрация осевых растягивающих напряжений, которая может привести к полному разрушению композита по плоскости z = 0. При уменьшении сдвиговой прочности на поверхности волокна образуется трещина отслоения, которая приводит к разгрузке на продолжении трещины отрыва в плоскости z = 0 и препятствует полному разрушению композита.
Двумерный анализ динамической картины перераспределения напряженно-деформированного состояния с учетом расслоения позволяет определить ту максимальную прочность склейки, при которой еще произойдет расслоение по контактной поверхности, предотвращающее полное разрушение композита.
ЛИТЕРАТУРА
Милейко С.Т., Сорокин И.М., Цирман А.М. Прочность боралюминия 一 композита с крупными волокнами // Механика полимеров. 197 3. № 5. С. 871-87 9.
Ахенбах Дж.Д. Колебания и волны в направленно армированных композитах // Механика композиционных материалов. М.: Мир, 1978. Т. 2. 400 с.
Овчинский А.С, Копьев И.М., Сахарова Е.Н., Москвитин В.В. Перераспределение напряжений в композиционном материале при разрушении волокон. Часть III. Перераспределение напряжений в волокнах, соседних с разрушившимися. М.» 1977. С. 59. Деп. в ВИНИТИ, № 3588-77 Деп.
Buykowik, Nolson, Floyd. Deformation and Fracture of purticulate composites // Joui. Eng. Meeh. ASCE. 1972. Vol. 98, N 3. P. 105-119.
Кукуджанов B.H. Численное решение неодномерных задач распространения волн напряжений в твердых телах. М.: ВЦ АН СССР, 1976. Вып. 6. 67 с.
Булычев Г.Г. Численное интегрирование задач динамики упруговязкопластических слоисто-однородных тел // Сб. трудов НИИ строительной физики "Исследования по строительной теплофизике". М., 1984. С. 1-22.
Кузьмина В.С, Кукуджанов В.Н. К моделированию откольного разрушения при соударении пластин // МТТ. 1985. № 3. С. 99-104.
УДК 539.3УДК 539.3
УДК 539.3
УДК 539.3
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ВЗАИМОСВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ
В.Н. Кукуджанов, А.В. Острик
Исследуется распространение плоских механических и тепловых волн в полупространстве, на границе которого мгновенно приложены либо температура, либо скорость, либо напряжение. Решения получены методом преобразования Лапласа.
Показано, что учет конечной скорости распространения тепловых возмущений приводит к качественным отличиям в решении при малых временах и в окрестности скачков, а при больших временах решения асимптотически совпадают с решениями, основанными на уравнении Фурье и полученными в работах [1, 2]. Обзор работ, посвященных рассматриваемой проблеме, приведен в монографии [3].
Распространение плоских волн в полупространстве для связанной термоупругой среды описывается следующей системой уравнений [3]:
% =叫/，-4% =叫凡，
⑴⑴о =(入+ 2从)〃％ - KpS, rqt + q 二—kTx.
⑴
⑴
S =方7(丁一丁0)+ KTJ^U^
Здесь Т — температура среды; и — перемещение вдоль оси х; о — напряжение, S - энтропия на единицу массы; q - тепловой поток; р - плотность; 入，从一адиабатические коэффициенты Ламе; т - время релаксации теплового потока. Коэффициенты к п rj связаны с теплоемкостью среды с и коэффициентом термического расширения аг соотношениями
К = T0(3入 + 24)纣ь1厂1, n = Toc-l. (2)
Разрешенная относительно напряжения и температуры система (1) принимает вид
Переходя к безразмерным переменным х = x〃/(0i7), t = a? 11 (6哈,Т = = 77(4171/2), а = о/(ра2), 0 二 к/(р「о), «2 =(入 + 2从)/亿 представим систему (3) в виде
(1 ~^2)°хх -5% = О",
(1-52)7^ — 5(70。“+。)二 ToTd，(4)
То = 4/〃т, § = к/(«1?1/2), ат = кЦрст^,
т0 характеризует отношение скорости звука а в среде к скорости тепло
вой волны 。丁. Везде далее черта над безразмерными переменными опущена. Область изменения параметров т0 и 6 для металлов 0,1-0,5 [3].
Начальные условия выбирались следующими:
о ~ Of — Т — Tf = 0.
Рассмотрим для системы (4), (5) задачу Даниловской [1]:
(0, Г < 0,
о, Т 0, х —+8.
Из (4)-(6) после преобразования Лапласа получим уравнение
(1 -д2)ахххх -以+①丁。+ 1)]Р『хх +「3 070 +1)從=0
с граничными условиями:
х = 0, а = 0, (1 - ”)员％ - Р2о 二 pb, а 0, х — +8.
Здесь а означает изображение о, р - параметр преобразования Лапласа. Решение (7), (8) имеет вид
а = 5[ехр(-入]Х)- ехр(-Х2х)]{[(1 -т0)Р ~ I]2 +
+ 452рд + 1)}1/2,(9)
Г р 「/2
入 1，2 二7^—{Р(1 +7о) + 1 ± №(1 -То)Т)2 +
+ 452"(ТоР + 1)]1/2 } 1/2.(10)
(5)⑹⑺(8)(5)⑹⑺(8)Дальнейшая задача состоит в Для этого необходимо выделитьДальнейшая задача состоит в Для этого необходимо выделитьнахождении оригинала выражения (9). регулярные ветви многозначных функций 入i,2(P)・ Особыми для этих функций являются точки
(5)
⑹
⑺
(8)
(5)
⑹
⑺
(8)
Дальнейшая задача состоит в Для этого необходимо выделить
Дальнейшая задача состоит в Для этого необходимо выделить
p1 = 0, p2 = 一汴},
Рз,4 =Рз,4 =1-2 52-7。±2ib(l -52)1/2
Рз,4 =
Рз,4 =
(1- 5)2 +4^7(11)
Регулярные ветви для 入卜？ можно выделить на области с вырезами, показанными на рис. 1, причем функция 入】 регулярна на разрезе, соединяющем точки Pi и Р2. Оригинал получаем по формуле обращения
1 т + е 〜
。=—/ аехр(рО^Р. (12) 2тп 7 — / оо
Рис. 1. Контур области интегрирования
Из формулы (12) и рис. 1 следует, что
1 ,〜
。二/ о exp(pt)dp, Z = Cr U Cr U /х U Z2. 2я/ L
Разложение 入屮 в окрестности р = 8 имеет вид
…%+%,2+。()
小二
1 +丁0 ±[(1 - To)2 +462Tq]1/2
%,2/_1 —To _ 262)
124(1-52)〔[(1 То)? +452 7o]"2丿
Разобьем интеграл (13) на два:
。=6(/1 -/2), 1ехр(-入 1,2%+pf)dp
1，22я/ ! {(Р(1 -т0)- I]2 +462р(рт0 + 01 1/2
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Тогда из (14)-(16) и леммы Жордана следует, что при х < Pi,2f интеграл по Cr в выражении (18) для /12 стремится к нулю при 7? -> °°, а при х > 声1,2才 весь интеграл 厶，？ = 0. Очевидно, что и интегралы по Сг стремятся к нулю при г -^ 0. Можно показать, что при х < 户卩 в выражении (13) интеграл по /2 равен нулю. Преобразуя интегралы по I、и Z2 в (18), получаем следующее выражение для напряжения:
Л\прих < 匕”
/1 -т0 - 282 \
а5ч= К、-01/2ехр<1) (К；+&) при Vlt<x<V2t,
,0прих > 力九
гдегде(19)
где
где
//1 一 (1 + 7o)S + “ [s(l — 7)+ 1 产 一 4解 s(l二
К」7\2(1 一染)
я 0{[(1 -T)S + 1]2 -452(1 _7£)s} 1/2
Xexp(—sf)ds,
1 1
^2 = - / (1 -52L/2 eхp[-01p^ cos® +片)(1 一62广/2河 X я о
X COS [sin(仍 +(P2 )Pi P2 (1 -52)T/2x -25Ь“2(1 — §2)1/2 刘 ds,
1/ 2b一 尹
%=£ arctg ••尸二.一:二
15(1+to)s
92 二—arctg,
2(1—7。)(] —52)1/2 ±501/2(] —$2)1/2
Pl = 。T/2[0 + 452q -62)(82 -])]1/4,
Р2 = О」】/2 {(1 _ 52)[1 _ 抬 + 抬2 $2 % + 454 To(1 _s2)]±
±20"2(1 Tо)BQ _52)3/2(] _$2)1勺 1/4,
。=(1 -т0)2 +462 To
ld спользуя полученное выше решение, можно получить решение и других задач. Например, если е и Г — деформация и температура в заддче о постоянной деформации
е(х,0) = £心,0) = Т(х,0) = Л(х,0) = О,
е(0, £) = 〃《),. T^t} = О,
то можно показать, что
Гб-1 = т0(1 -62)?г+(1 -82)отр-\
бе = (1 —^2)р~2(от)хх — Т,
办—изображение напряжения в задаче Даниловской.
Рис. 2. Изменение напряжения во времени в сечениях х = 1 и х = 2
Рис. 3. Изменение температуры во времени в сечениях х = 1 и х = 2Рис. 3. Изменение температуры во времени в сечениях х = 1 и х = 2
Рис. 3. Изменение температуры во времени в сечениях х = 1 и х = 2
Рис. 3. Изменение температуры во времени в сечениях х = 1 и х = 2
Следовательно, дифференцируя по х и интегрируя по Г найденное решение для 0T в задаче Даниловской, можно построить решения и для задач об ударе с постоянной деформацией и постоянной скоростью.
Результаты расчетов. Интегралы К】н 应 выразить в элементарных функциях не удается, и их значения определялись численно. Необходимое число разбиений выбиралось из условия, чтобы полученные на разрывах значения скачков напряжений [о] 1,2 совпадали до третьего знака со значениями, вычисляемыми по формуле
Ml,2 二 Ь"2ехр[-а,2%,2Г)], (20) которую легко получить из разложений (14) -(16). Расчеты проводились для двух пар значений т0 и 6:
т0 = 0,3； б =0,1 и т0 = 0,3； В = 0,3.
На рис. 2 показано изменение 05r во времени в двух точках - х = 1 и х = 2, а на рис. 3 — изменение температуры. Для сравнения приведены графики при бесконечной скорости распространения тепла (кривая 2). Видно существенное различие решений до момента прихода механической волны Г < 1 при х = 1 и f W 2 при х = 2. За фронтом этой волны решения мало отличаются. Пунктирной кривой показано решение несвязанной задачи 6 = 0 и т0 = 0 при х = 1, из которого следует, что влияние параметра 5 за фронтом механической волны несущественно.
ЛИТЕРАТУРА
Boley 4, TolinsI.C. Coupled thermoelastic boundary value problems// A ppi. Meeh. ASME. 1962. № 4. P. 217-232. To же на рус. яз. // Прикл. механика. 1962. № 4. С. 37—48.
Dillon O.W. Thermoelasticity of beams 〃 AppL Meeh. ASME. 1967. № 3. P. 13-79. To же на рус. яз. // Прикл. механика. 1967. № 3. С. 68-7 8.
Подстригав Я. С, Коля но Ю.М. Обобщенная термомеханика. Киев: Наук, думка, 1976. 308 с.
УДК 539.374
ГРАНИЦА ЗОНЫ УПРУГОСТИ
ИДЕАЛЬНОГО УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ КАК ЗАДАЧА СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
С.Б. Куксин
Изучается зона упругости в случае антиплоской деформации идеальной упругопластической среды, описываемой уравнениями Прандтля—Рейсса. На границе зоны упругости получены условия в виде неравенств и доказано, что граница находится из системы нелинейных уравнений, корректной в следующем слабейшем смысле: число неизвестных функций равно числу уравнений. В простейшем случае деформации чистого сдвига эта система уравнений поддается достаточно полному изучению.
Классические решения уравнений Прандтля—Рейсса. Пусть деформируемое тело является цилиндром с основанием С UR j % и осью вдоль оси Х3. Деформация тела происходит вдоль 及 и зависит от х = (хх, х2) ^ С. Обозначим через 〃(修，珍)скорость сдвига, а через s = (sx (Z,x),s2 (Г,х)) и 入=(入i(f,x),入2«,x)) — ненулевые компоненты тензора напряжений и тензора скорости пластической деформации. Предположим, что плотность тела постоянна и равна единице и коэффициент Ламе 从 равен 1. Тогда уравнения однородного изотропного упругопластического течения в случае
условия текучести Мизеса примут следующий вид [1]:
i(Z, х) - Vm(z, х) + Х(Г, х) = 0, (Л х) G 2 = [0, Г ] X £2 ;(1.1)
и (% х) - div s(f, х) = 0;(1.2)
ls«,x)丨&1;(1.3)
入(Z, x) = k(Z, x)s«, x),к》0;(1.4)
”0, если U I < 1.(1.5)
Уравнения (1.1) — (1.5) дополняются начально-краевыми условиями.
Пусть 2п= {(?,х) W 0 I к =0}- область пластичности решения и 2У = = 2\2п - область упругости.
Теорема 1 [2]. Начально-краевая задача для уравнений (1.1) — (1.5) имеет единственное обобщенное решение. В области упругости 0y пара (s,〃) является решением начально-краевой задачи для уравнений динами- 130
(1.6)(1.7)(1.6)(1.7)ческой теории упругости: & (Г, х)-▽〃(“) = О, 〃 (Г, х) - div s(f, х) = 0.
(1.6)
(1.7)
(1.6)
(1.7)
Определение. Обобщенное решение уравнений (1.1) —(1.5) называется классическим, если
Гу = Э2у - кусочно -гладкая поверхность;
функции (s,〃)непрерывные в 0 н гладкие вне кусочно-гладкой поверхности Г CQ, содержащей Гу.
Получим уравнения, которым классическое решение удовлетворяет в области пластичности. Уравнение (1.1) в Qn означает, что проекции в Л2 векторов s и Vw на прямую, перпендикулярную Rs, равны. Поэтому если обозначить
s = (sinfi, cos/i),
то уравнения (1.1), (1.2) перепишутся в следующем виде:
(1.8)
Эм8〃
Л (Л %) = —— cos/i - -— sin Л , ЗХ]0X2
(1.9)
w (Г, х) = cos/i - — sin 力.(1.10)
а/ Эх2
Уравнения (1.9), (1.10) являются квазилинейной симметричной гиперболической системой, которую удобно записать, обозначив / = (Л,Л), 启=w:
户.(。cosfi)也 .(。S叫"(1Л1)
\ cos/i О / 8xi \ sin/j 0/ Эх2
Условия на границе зоны пластичности. В зоне упругости 0y обозначим Si 二Wi,$2 = w2, w = w3. Система (1.6), (1.7) перепишется в следующем виде:
8w‘8w‘3wf
-—-^2 =0, W =(W1,W2, W3),(2.1)
utиХ^0X2
= 0 0 0 J, \ 1 о о/
/ 0 0 0\
風0 0 1 .
\ 0 1 о/
Локально около точки гладкости границы Гу зону упругости 0y можно задать в виде {Ф>0}, где Ф: 0->К — гладкая функция. Сделаем в (2.1) гладкую замену переменных:
(% Х1,Х2)-(£ 戈1,%),?=% 爲=xi,戈2 二①口 Xl,%2)・
В новых координатах система (2.1) примет следующий вид:
(2.2)(2.2)3wr 8 储 8w‘
(2.2)
(2.2)
了— —4 +/2 =°,
8 爲Эх2
ЭФ ЭФ Л ЭФ
А =^2(Л X)=/ _/] -^2 ~— .(2.3)
ardxi ox2
При этой замене переменных уравнения в зоне пластичности |х2 =Ф< 0} преобразуются следующим образом:
8w‘8w‘ 加'・
丁■ 一4 +4 +ka,x)(s,w2,0)г = 0,(2.4)
8f於 1 Эх2
к(Г,х)>0.(2.5)
Так как | ^ |2 = 1 при х2 <0 и Isf&l при хг > 0, то
,(吻,w2,0》关2=0 40，(2.6)
,(W1,W2,O> 久=0 = 0，(2.7)
где < •, •) — скалярное произведение в R ",九=2, 3. В силу соотношений (2.3), (2.4) имеем из (2.6), (2.7)
〈旬——-4 ——,(Wi,W2,0>〉》0,(2.8)
\ bt 8爲 /
〈力六——-Аг +«%)/尸(吻，W2,0)\ (Wi,w2,0)r> = 0. (2.9) I 3? bxj
Из (2.5), (2.8), (2.9) следует, что
< /尸(吻，W2,0)',(W1, w2,0)4< 0.
Обозначим Э Ф/Э Z = n0, Э Ф/Эхх = nx, Э Ф/Эх2 =〃2 】
(2.10)
и заметим, что вектор
〃==(九q,九i,九2)является внутренней нормалью к границе зоны упругости Oy = {(f,x)l Ф>0|.В силу (2.3)
/ по 0-%、
<2 = I0几о—九2 I.
' ~1 —九 2〃0 丿
Поэтому
(
«о - «2九 1〃2勿
/九2 .欣一后 "0九2(2.11)
«0^1九0九2九^ /
det/2 =〃0(瑶一":一冠).(2.12)
Из (2.10), (2.11) получаем
(det Л2)-1((Л0 一 冠)w； +(mo - 〃；)w专 +2吻吻/〃2)&0.
Так как w； + 滋=1, то
[«о - (〃2Wi - 〃 1 叩2У ]/det А2 <0.
Окончательно, если обозначить 疗=(%,〃2),s丄=(—w?, wj и учесть (2.12), получим необходимое условие на границе Гу зоны упругости:
(九° 一〈s丄，九'〉)(九о +〈s丄，n )) l[nQ(nl - \ n I2)]《0.(2.13)
Теорема 2.Всюду на Гу справедливо неравенство (2.13), т.е. имеет место один из трех случаев: 1)丨〈s丄，疗〉I <и0《丨疗丨；2)—丨〈$丄，〃'〉丨《 《м0《0; 3)м0 《- I九‘丨.
Следствие 1. В случае антиплоской деформации, описываемой уравнениями (1.1) — (1.5), разгрузка происходит со скоростью, не превосходящей 1.
3. Уравнения для отыскания Гу. В зоне упругости 2y отыскание напряжений и деформаций сводится к решению начально-краев ой задачи для системы уравнений (2.2)*в области {(?,爲，夕2) I 2》0,攵2》0】• Эта краевая задача корректна, если граничные условия на поверхности }х2 = 0} удовлетворяют некоторым условиям согласования (условиям Крайса, см. [3, 4]). В частности, число граничных условий должно равняться /+(/2) 一 числу положительных собственных значений матрицы /2 •
В уравнениях в зоне пластичности (1.8), (1.11) сделаем замену переменных: t =t,Xi =Xi,x2 - —^^9^i,x2)• После этого нахождение напряжений и деформаций в зоне Qn сводится к решению начально-краевой задачи в области {f》0,攵2》0} для нелинейной гиперболической системы
Количество краевых условий, которые при этом следует задавать на Гу, равно /+(4).
Лемма 1. Если в некоторой точке (Г°,犬)£ Гу
50 -(s丄，疗>)(九% +( s丄,疗〉)九0 (*-I 九'I2) W0,(3.1)
тоl+ 三/+(/2)+厶 "2)= 3.
Доказательство. Так как
。(/ 2)= {nQ±\n I,Hol ,。(力2)= {-九 0±(疗,s 丄〉}(3.2)
(a (A) — спектр матрицы Л), то частное det X2/det Л2 равно левой части (2.13) и поэтому строго меньше нуля. Следовательно, £+ — четное число. Пусть 入1 《入2 & 入з h〃i 《〃2 — собственные значения матриц А2 и Л2. Из (3.2) находим, что 入^ &-从2《入2《一从1《入з, откуда 2 <Z+《3. Значит, Z+ =2.
Считаем неизвестными три функции от двух аргументов: функцию, задающую Гу (например, в виде Г =(^(хх, х2)) ； значение и на Гу; значение
s (I s I = 1) на Гу. Задав Z+ (Л2) граничных условий, сможем решить начально-краевую задачу для системы (2.1) в некоторой окрестности точки (%, Хо) £ Гу в области 0у С 1г > 0} . После этого, рассмотрев сужение на Гу некоторых 3 — /+(%2)функций из (w“ w2, w3), не зависящих от граничных условий, получим 3 — 1+ (Л2) соотношений на Гу со^стороны области упругости. Затем аналогичным образом получим 2 — Z+ (Л2) соотношений со стороны области пластичности. Всего
2 —厶(才2)+ 3 _4 @2)= 5 _ £+ = 3
соотношения на 3 неизвестные функции.
Теорема 3. Пусть известны и (Г, х) и s(f, х) при t = t0 и U — достаточно малая окрестность точки (/о, х。) в 0 С {?>/()} , замыкание которой не пересекается с боковой границей цилиндра Q. Тогда нахождение в U классического решения задачи Коши для уравнений (1.1) - (1.5) сводится:
при (%, Хо) £ 0y - к решению задачи Коши для симметричной гиперболической системы (1.6), (1.7);
при «о, Хо) £ 2n — к решению задачи Коши для симметричной квазилинейной гиперболической системы (1.11);
при (%, %) £ Гу и выполнении неравенства (3.1) посредством решения начально-краевых задач для систем (1.6), (1.7) и (1.11) — к нахождению трех неизвестных функций двух аргументов из трех функциональных уравнений.
Система нелинейных функциональных уравнений для нахождения Гу для классического решения уравнений (1.1) — (1・5) бывает трех разных типов: /+(А2) = 2, /+(Л) = 0； /+(<2)= 1 =/+(Л2); /+(%2)=0,/+(Д)= =2. В тех точках (%, х0) £ Гу, в которых левая часть (3.1) обращается в 0, происходит переход от одного типа к другому. В следующем параграфе эти переходы будут разобраны для простейшего частного случая системы (1.1) — (1.5), описывающего деформацию чистого сдвига.
Деформация чистого сдвига. Предположим, что s = (w(/, xj, 0), 〃二〃 (f,xi). Тогда система (1.1) - (1.5) примет следующий вид:
0(奪 х) — 〃'«, х) + к (/, х) и«, х) = 0;(4.1)
w(r, x)-v(tt х) = 0;(4.2)
к》0, |и|《1; \и\<1^к = 0.(4.3)
Пусть (%, Хо) ^ Гу и п =(九о,九1) — нормаль к Гу, направленная в 2y.
Тогда в силу неравенства (2.13)
九о/(汚一冠)《0・(4.4)
Для удобства сдвинем переменные таким образом, что 仇，№)= (0,0). Предположим, что при % = 0 зона упругости лежит слева от нуля и что »(0,0) = 1.
Если в (4.4) неравенство строгое, то имеет место один из двух случаев: а)九о < 0,［九1 I < I и0 I (зона упругости быстро убывает);
6)九о > 0,1 九i I > 九о (зона упругости медленно растет).
Считаем, что решение ,в окрестности точки (0, 0) является классическим, и посмотрим, как решение при Г > 0 выражается через решение при 134
Граница зоны упругости идеального упругопластического течения
f = 0. Ниже все рассмотрения проводятся в достаточно малой окрестности точки (0, 0).
В случае а для нахождения решения следует поступить следующим образом: решить уравнения (4.1), (4.2) с к = 0 и начальными условиями, заданными при / = 0, в области {«, х) IГ > 0, f < - х }, най
ти в ней кривую Гу = {(Г,х) ||v | =
=1 { ; в области, ограниченной снизу кривыми Гу и {(0, х) \х > > 0} , положить w = 1 и продлить в нее 〃(f, х)до такой функции.
что й = 0.
В случае 6 в зоне упругости при Г > 0
и& х) = % (х + f) + W2(x - Г),
где функция W2 6) выражается через и(0, •) и 〃(0, •), а функция Wv (^) выражается через эти функции лишь при ^ < 0, Если Гу = [«,)«))}, то функции у(^), Г > 0 и W](古)，W >0 находятся по теореме о неявной функции из следующей системы уравнений:
%(7a) + d + w20上)->1,
Wi 6 (0 + 0-^2 (y(0-0 = w(0,y «))•
В случае а или 6 решение можно продлевать до тех пор, пока % = "0(〃^ -九;)W0.
Когда N = 0, происходит перестройка решения, которую удается описать в случае общего положения.
Предложение 1. Пусть в точке (0, 0) имеем 7V = 0, а в некоторой окрестности этой точки при ^ < 0 реализуется случай а. Тогда найдется нетривиальный многочлен ^, зависящий от {8^〃(0, 0), 8^и(0, 0)|0 & 《％《2} (производные берутся со стороны области упругости), такой, что если N\ W 0, то в точке (0, 0) кривая Гу терпит излом на угол arctg 2. При t > 0 около точки (0, 0) реализуется случай бив зоне упругости решения на луче t = -х；х《0 возникает слабый разрыв.
Доказательство. Так как |九^ | < |п0 | при t < 0 и N = 0 при Z = 0, то при Г = 0 имеем 九^ = ± и0. Пусть для определенности
勺=2)= 1/\②(4.5)
(см. рисунок).
Тогда при Г = 0 кривая Гу касается прямой Г = - х. Обозначим ^ = х +1, "二 х -九 Решение в зоне упругости при Г < 0 есть и = и~«, х) =f_ (扌)+ + g(1?), причем функция g (17) известна при | “ | < е, е > 0, а /_ (^) — при —е < ^ < 0 (в силу расположения кривой Гу). При 1771 < е, 0 < ^ < е, ищем решение в виде и = / (f, х) =А(^) + g (“), где Д (0) =f_ (0). Кривая Гу при Г < 0 задается уравнением /1 (^) + g (") = 1. Нормаль к ней в точ-
ке (U, 0) в координатах (g, “)параллельна вектору (/(0),g'(0))・ Предположим, что
/г(0)^0.(4.6)
Тогда, так как 九^ =九。> 0, то
6(0) = 0, Л(0)>0.(4.7)
В силу (4.7) кривая Гу при 才《0 лежит в полупространстве {"》0 }. Обозначим ее Г_, а Г+ - кривую Гу при “《0. Тогда
г_= ^=夕-S)l")0} , r+=花=9+(7?)17?《0},
где
9± (0) = 0 и 9，(0) = 0.(4.8)
Так как Г_ U Г+ - граница Qn, то
А(9+ ⑺)+ g(i?) = 1,т?<0.(4.9)
Так как между кривыми Г+ и Г_ в зоне пластичности и = 0 н 〃 =f-g, то
Л(9+ (т?)) — g ⑺=/-(9 ОО) - g(к),(4.10)
17 + 3+(“)= 2х = к +з_(к)・(4.11)
Из (4.9), (4.10) получаем
gSAgGO.(4.12)
Предположим, что
g"(0)W0・(4.13)
Тогда в силу (4.6) из (4.12) следует, что
к = к (г?) = -г? + о(7?).
Отсюда, а также из (4.11) находим:
3十 S) = 一2" + 0 (")+ 9(一" + 0 ⑺)=-2" + 0 ("),
что доказывает лемму в случае (4.5), если многочлен N* выбран кратным многочлену второй степени Д (0) *^w(0) (выраженному через д^«(0, 0), 3③(0,0), 0《％《2). Остальные случаи разбираются аналогично.
Предложение 2. Пусть в точке (0, 0) имеем 7V= 0, в некоторой окрестности U этой точки при ^ < 0 реализуется случай б. Тогда найдется многочлен%, такой, что в предложении 1, со следующим свойством: если 死 W 0, то в точке (0, 0) кривая терпит излом на угол я/2 и при Г >0 около точки (0,0) реализуется случай а.
Доказательство аналогично доказательству предложения 1.
Заключение. Общий антиплоский случай, разобранный в разд. 1—3, является много более сложным, чем частный случай разд, 4. В частности, нахождение поверхности Гу ни в одном из трех случаев пункта в теоремы 3 не сводится к непосредственному использованию теоремы о неявной функции. Однако аналогия с разд. 4 позволяет сделать следующие предположения о задаче отыскания поверхности Гу для классического решения уравнений (1.1) — (1.5):
в случае общего положения задача является корректной;
в областях, где выполнено неравенство (3.1), отыскание Гу сводится к решению системы функциональных уравнений;
множество точек на Гу, где левая часть (3.1) равна нулю, образует кусочно-гладкую линию, в которой поверхность Гу имеет изломы и на которой рождаются слабые разрывы решения в зоне упругости.
Переход к задаче (1.1) —(1.5), описанный в разд. 1-3, применим и к системе уравнений Прандтля—Рейсса общего вида, для которой, как нам кажется, справедливы аналоги теорем 2 и 3 (ноне следствие 1).
ЛИТЕРАТУРА
Койтер В.Т. Общие теоремы теории упругопластических сред. М.: Изд-во иностр, лит., 1961. 79 с.
Куксин С.Б. Обобщенные решения динамической задачи идеальной упругопластично сти//П ММ. 1985. Т. 49, № 4. С. 655-662.
Край с Х.-О. Смешанная задача для гиперболических систем//Математика. 1970. Т. 14, №4. С. 98-115.
Волевич Л.Р., Ганди кин С. Г. Метод энергетических оценок в смешанной задаче// Успехи мат. наук. 1980. Т. 35, вып. 5. С. 5 3-120.
УДК 539.3
О РАЗРУШЕНИИ ВБЛИЗИ ПИКООБРАЗНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
ПРИ ПОСАДКЕ С НАТЯГОМ
А.Б. Мовчан, Н.Ф. Морозов, С .А. Назаров
В настоящей работе изучается задача о пикообразном включении, вставленном с натягом в матрицу. Рассматриваются два качественно различных случая: а) включение до вставки имеет форму, подобную вырезу; б) включение и вырез свойствами подобия не обладают. Изучается вопрос о критической нагрузке, определяемой на основе различных критериев разрушения с
Постановка задачи. Пусть Q - двусвязная область на плоскости с границей ВС, гладкой всюду, кроме точки。，расположенной на внутреннем контуре Г. Обозначим область, охватываемую Г, через G и предположим, что в окрестности О множество G задается неравенствами
-h_(Xi)<x2 <h+(Xi), (1.1) где h± — гладкие функции, подчиненные соотношениям h± (f)=严+】(a+ + + 0(%)) при f ->0. Здесь а± > 0 — постоянные, N — натуральное число. Таким образом, область С имеет "входящий", a G — ^выходящий,? пик. Будем считать, что характерный размер области G масштабированием сведен к единице.
Область С заполнена материалом с постоянными Ламе 入 и 〃, a G — материалом с постоянными 入° и д°. Предположим, что внешние усилия отсутствуют, а деформация тела происходит за счет скачка [и] вектора смещений “ на линии Г контакта двух сред; при этом нормальные напряже»
ния считаются непрерывными на Г. Указанный скачок может быть вызван, например, тепловым расширением материалов с различными характеристиками или натяжением при вставке в отверстие включения иной формы.Математическая постановка задачи сводится к уравнениямния считаются непрерывными на Г. Указанный скачок может быть вызван, например, тепловым расширением материалов с различными характеристиками или натяжением при вставке в отверстие включения иной формы.Математическая постановка задачи сводится к уравнениям从△〃(％) + (入+ 从)grad div 〃(х) = % х£ С; (1.2) д°Дм°(х) + (Х° + //°)grad div w°(x) = 0, x £G; (1.3) [w](x) = ^(x), [a(AI)(w)](x) = 0, хЕГ; (1.4) o5)(〃;x) = 0, хед^\Г. (1.5)
ния считаются непрерывными на Г. Указанный скачок может быть вызван, например, тепловым расширением материалов с различными характеристиками или натяжением при вставке в отверстие включения иной формы.
Математическая постановка задачи сводится к уравнениям
ния считаются непрерывными на Г. Указанный скачок может быть вызван, например, тепловым расширением материалов с различными характеристиками или натяжением при вставке в отверстие включения иной формы.
Математическая постановка задачи сводится к уравнениям
Здесь o^ = o(i)九]+ o(2)九2,0(力 =(o/i, oy2), n =(九i,九2) — внешняя по отношению к С нормаль;讶左—декартовы компоненты тензора напряжений. Символом ”0” снабжены величины, относящиеся к включению; [и] =м° 一 〃，[。⑺]=.
Подобное увеличение включения. Предположим, что скачок 。смещений на контуре Г возник в результате различного теплового расширения (сжатия) включения и матрицы. Будем считать, что форма включения изменяется подобно с коэффициентом 左 W 1. В предположении, что контакт материалов идеальный, получаем, что значения 屮士 скачка смещений 9 на верхнем и нижнем берегах контура Г вычисляются по формуле
9±(х】)=(左—1)(Х1,±/г±М))・(2.1)
(В точности та же ситуация возникает, если включение G вставлять без проскальзывания с натягом в отверстие подобной формы.)
В статье [1] найдено асимптотическое представление решения задачи с правыми частями, обращающимися в нуль вблизи точки О. Построим частное решение U уравнений (1.2) —(1.4), компенсирующее однородность 9. Сумма указанных решений образует асимптотику решения “ задачи (1.2)-(1.5).
Введем вблизи точки О векторное поле
W°(x) = (Z-1)(—Xi,入о(2〃о + 入0)一乜2)в G, W(x) = 0bC. (2.2)
Смещения (2.2) компенсируют асимптотически старшую (порядка О(х】)) часть скачка (2.1), но оставляют в условиях сопряжения (1.4) невязку
9(1，±)= (0,±2厶(左一1)x"1(% + 入。)(2的 + 入0尸)+00"2),(2.3)
w(1，±)= (4(N+l"±x* (左 一 1)从oQo + 入。)(2从0 + 入。)7 , 0) +。*t+1)
(屮(1，±) - скачок напряжений). Устраним эту погрешность при помощи частного решения К, К0. Введем полярные координаты (г, 8) с центром 。；соотношение (1.1) перепишется в виде
-А_(г)<е<А+(г\(2.4)
Здесь А+ — гладкие функции с асимптотиками А+ (г)二 г7Vg +。&))• Положим
t-Airy1 (26 -/+&)+/_ ⑺)，(2.5)
где А = А+ + А_. В координатах (г, t) неравенства (2,4) приобретают вид |Г|< 1.
Оператор системы Ламе в полярной системе координат обозначим r"2Z(rd/dr, 3/ае), где
^(Ь,Ь) =
—卜入+ 2〃)(好一1)+〃后；КХ + 2д)(Ь -1)-М(Ь +1)I?2 II
{(入+ 2〃)(£ +1)7(8 — 1)注2；(入+ 2〃)М+〃(好—1)
(2・6)
Второе из условий сопряжения в координатах (г, 6) записывается следующим образом:
{加(гэ/эг, а/ае)^D^^rb^r, а/зе)| 〃° 亿 6)-
-1в(гЭ/дг,а/ае)+。±亿凡/»,а/э^)| 〃亿 6)= о, е = ±/±&).(2.7)
Здесь D± — матричный дифференциальный оператор, коэффициенты которого суть величины O(rN) (см. формулы (1.9), (1.10) в [1]),
从（久一1）从（久一1）5 隔&)=.•2〃 +入(久+1); (2以+入)互Следуя [1], частное решение, компенсирующее(2.3), ищем в видеР(х)〜小 “(6, log г),К°(х) ~гл (“° (Г, log г) + Л (г) w°(r, log г)),где Л = 7V+ 1. Ясно, что5 隔&)=.•2〃 +入(久+1); (2以+入)互Следуя [1], частное решение, компенсирующее(2.3), ищем в видеР(х)〜小 “(6, log г),К°(х) ~гл (“° (Г, log г) + Л (г) w°(r, log г)),где Л = 7V+ 1. Ясно, что(2.8)(2.8)главные части невязокглавные части невязок(2.9)(2.10)(2.9)(2.10)
从（久一1）
从（久一1）
5 隔&)=.•
2〃 +入(久+1); (2以+入)互
Следуя [1], частное решение, компенсирующее
(2.3), ищем в виде
Р(х)〜小 “(6, log г),
К°(х) ~гл (“° (Г, log г) + Л (г) w°(r, log г)),
где Л = 7V+ 1. Ясно, что
5 隔&)=.•
2〃 +入(久+1); (2以+入)互
Следуя [1], частное решение, компенсирующее
(2.3), ищем в виде
Р(х)〜小 “(6, log г),
К°(х) ~гл (“° (Г, log г) + Л (г) w°(r, log г)),
где Л = 7V+ 1. Ясно, что
(2.8)
(2.8)
главные части невязок
главные части невязок
(2.9)
(2.10)
(2.9)
(2.10)
Г ——(ГЛ W°(r, log Г)) = ЛгЛ W°(r, 7)+ гл (Г, 7)—
brдт
8…А 28w°
(2・11)(2・11)亦，w(5)r — — a，r).
(2・11)
(2・11)
Здесь и далее для сокращенйя записи log г обозначается через т. Подставляя (2.9), (2.10) в системы Ламе (1.2), (1.3), с учетом формул (2.11), находим, что
(2.12)(2.12)£(n+i + а/ат,а/ае)и(е,т)= о, 。£(0,2万)；
(2.12)
(2.12)
d2y°М,寸，7）匸。f（"。，，….d2y°М,寸，7）匸。f（"。，，….(2.13)(2.13)
d2y°М,
寸，7）匸。f（"。，，….
d2y°М,
寸，7）匸。f（"。，，….
(2.13)
(2.13)
Из (2.13) вытекает, что и0 и со0 линейно зависят от переменной t. Поэтому, используя условия сопряжения (1.4) с правыми частями (2.3), находим, что
“° (т) = V (0, т) + (0, а^у),
W。(Л т) = fQo1 ((5 (N+ 1 + 8/M, 8/86) —8。(N+ 1 + 8/8т, 0)) и (0, т) +
+ (2q+Ao(N+l)),O))+Z(7),(2.14)
出(n+1+8/87,"加)"(6,7)北；4 =-(2^+1)(a++a_)m07,0), w(0, t)-v(2tt} т) = (0,—)(〃++。_)).(2.15)
В (2.14) и (2.15) 7 = 2(% - 1)(Мо + 入0)(2从0 + 入о)一，； 0о - диагональная 2 X 2 — матрица diag (ц0, 2Ao + 入°)； Z (т) - линейно зависящий от переменной т = log г вектор, который вычисляется при построении следующего асимптотического члена порядка O(r N+2).
Итак, осталось определить вектор у, являющийся решением системы дифференциальных уравнений (2.12), (2.15). Согласно известной процедуре построения асимптотики решений задач в областях с угловыми точками (см. [2, 3]) вектор у имеет вид 4.
у (0, log г) = v^ (0) + log г S q ①("+ 1〃)(8).(2.16)
j = 1
Здесь С],...,С4 и и(1) — некоторые постоянные и вектор-функция; ф(А,/)_ собственные векторы спектральной задачи
丄(Л, а/88) 6 (J) = 0, 8 £ (0, 27г); Ф (0) = Ф (2я);
В(А,Э/Э0)Ф(О) =В(А,д/Э0)Ф(2тг).(Z")
Отвечающие Л = ±1, ±2,.. . векторы ①О задаются (см., например, [4]) формулами
Ф(л，D (8) =(cos [(l+A)0],-sin[(l+A)0] %
①(А, 2)(8)=仃亩[(1 +Л)0], cos [(1 +Л)0]),
6(а，з)(6)=((А 一 к) cos [(1 - Л) 6], (Л + к) sin [(1 - Л) 6]), 6(А, 4)8)= ((к 一 A) sin [(1 - Л) 6], (к + Л) cos [(1 - Л)町)，
где к =(入+3〃)(入+ 〃)~i； запись ведется в полярных координатах.
Подставим (2.16) в (2.12), (2.15) и вычислим вектор С =(Q, с2, Сз, (?4)постоянных в (2.16) из условия разрешимости полученной задачи для и(1). Опуская соответствующие выкладки, приведем результат. Вектор и ⑴ задается равенством
/bp) sin [ (N + 2)内-応2)sin [N8] \ и ⑴(e)=“+
\^2)cos [(2V + 2)0]+ 启2)cos [NO]丿
+ S c£)①(N+i")e),(2.18)
в котором постоянные c^ произвольны (они зависят от данных задачи (1.2) —(1.5) в целом), ьекторы b ^ = (b，‘，Z? ^ ) определяются равенствами
匕仆；=①、+ а)? ((N+ I)' —к?)—
-4 (К + 2)2 〃(入 + 2从)尸((入 + 砂 R _ 2 (及 + 2)尸)d(D,
б。)=((入+ 从)2((n+ I? -к2)-
—4館从(入+ 2〃))T ((入+ 〃)R +27VP)d(2),
//入+ 2阳 0\/ 0 N+ 1 -八
尸=diag(入+ 2〃,以)=()，к=(m 上 1e
\ 0; д/\N+1+k;0/
d⑴=q (入+〃)(-(№+1)k + 1,(N+1)k + 1),
小)мд (入+〃)((％+ 1)(N + k +2) + к +N+ 1, (N+ 1)(N + k + 1) +
+ к -N- 1).
Упоминавшийся вектор постоянных Су вычисляется по формуле
7 (〃++〃_)(入+〃)、
С = 一 —-~Т~—— (N(Mo -M)+Mo (1 +к), 0,д -Мо,О).
4ям (入 + 2м)
Включение с тонким сглаженным пиком. Предположим, что включение вблизи начала координат задается неравенством
&2у 后(5+0(X1)),(3.1)
где 5 — положительное число. (Как и в статье [5], выбор показателя у = =1/2 в множителе х； из правой части (3.1) обусловлен тем обстоятельством, что лишь при 7 = 1/2 контур включения имеет в точке О конечную, отличную от нуля кривизну.)
Скачок смещений, появившийся после вставки с натягом указанного включения, обладает асимптотикой
9； a1) =0&),9^ (%) = ±6(-b +。&)).(3.2)
Частное решение 匕 К0, компенсирующее главную часть скачка (3.2), ищем в виде (2.9), (2.10), где Л = 1/2 (отметим, что в этом случае зависимость от log г отсутствует). Повторяя с очевидными изменениями вьь кладки, проделанные в разд. 2, приходим к уравнениям
1(1/2,3/30) и (0) =0, 0 6(0, 2я);(3.3)
и(0)-и(2я) =(0,25),
5 (1/2,8/88) и (0) =5(1/2,Э/Э0)у(2я).(3.4)
Решая систему обыкновенных дифференциальных уравнений (3.3), (3.4), находим, что
\ccs(72^) + (2k: -г V.cgsCHS)；
Восстанавл^ая смещения (2」Q) во вк^^че^и. пслучаегл равенсгза
ие =& к0(6 =标配6 + 工(3.6)
где Z — некоторый постоянный столбец (с?, с (2Л4)).
烫так$ с учетом результатов 匕：^з 《2£；, (2」0) и (3.5), (3.6) выводам, что 睦？三 г -> 0 дкп kg:^izcks：-'j тензора EaEpHx:erizi:? отвечающего решежпо
задачи (1,2) —(15), (3,2),справедливы асимптотические представления
агг(м;х)=厂 ％M(sin С/? 0) + 5sin(%6)) + 0(1),
ar0(w;x)=厂％M(cosО?0) - cos(Й^)) + 0(1),
%e (";x)=广眩 M(3 sin 熙 0) - sin(3/2 0)) +。(1);
a?r(w°;x) = 0(l);0%("°；%) =0(1),
。％("0;*)=%m0厂%+0⑴；m=%m(1 +к)т.(3.7)
Обсуждение. Обратимся сначала к случаю, рассмотренному в разд, 2, Формулы (2.2), (2.9), (2.16) и (2.10), (2.14) для частных решений означают, что построенные по ним напряжения ограничены в вершине пикообразного включения. Вместе с результатами [1] они показывают, что при задании скачка смещений с асимптотикой (2.1) напряжения не имеют сингулярности в особой точке О.
Обратим внимание на два обстоятельства. Во-первых, в представлениях (2.9), (2.10) возникает линейная зависимость коэффициентов от logr. Этот факт является следствием не разрешимо сти задачи (2.12), (2.15) при и(0, logr)三 и (6), так как целые Л являются собственными числами для спектральной задачи (2.17). Как показано в [2, 3], в этом случае необходимо искать и в виде линейной функции от logr .
Второй факт носит геометрический характер. Если коэффициент ^-подобия больше единицы, то скачок смещений вблизи О отрицателен, т.е. острие включения ''утоньшается". Если к > 1, то, наоборот, острие включения становится ''толще'', т.е. 9' > 0. Тем самым в первом случае опасная для отслаивания зона расположена вблизи О, а во втором — вдали от О.
Теперь рассмотрим случай, когда включение имеет форму тонкого сглаженного пика. В вершине О появляется при этом корневая особенность компонент тензора напряжений. Соответствующие формулы (3.7) для напряжений в матрице имеют привычный вид асимптотики вблизи вершины трещины, если положить К【=25从 >Д^/(к + 1). Однако природа появления указанной сингулярности и ее свойства — совершенно иные!
Если в случае трещины коэффициент К】 интенсивности напряжений зависит от данных задачи в целом, то в рассматриваемом случае коэффициент в формуле (3.5) и порядок —% особенности — локальные характеристики, зависящие лишь от формы кромки включения.
Заменим однородное условие (1.5) условием
о(")(〃；х)= р(х),х еас\г(4.1)
(зададим на внешней части границы само уравновешенную нагрузку). Тогда вне зависимости от величины р формулы (3.7) по-прежнему будут иметь место. Вместе с тем за счет выбора р составляющие напряжений, включенные в формулах (3.7) в величины 0(1), можно сделать сколь угодно большими, Таким образом, вопрос о разрушении нельзя решить, основываясь лишь на величине ^коэффициента интенсивности” К「
Подчеркнем еще раз: формальная причина указанного факта кроется в том, что число Л = Й не является собственным для спектральной задачи (2.17). Поэтому, согласно общим результатам [2], в асимптотику вектора
смещений может входить член r^v (0) лишь в случае неоднородности вида (3.2) в условиях сопряжения (1.4),
Разрушение при вставке тонкого включения. JlycTb область С из разд. 1 образована исключением тонкого множества G из одно связной области С。, содержащей отрезок / = {х: |Xj |《仅，х? =0】・ Здесь G = ={х: IXj I <а, - е〃无_(〃т%1) < х2 <£〃无+(仅~51)} ; Л± - функции из С°° [-1, 1], такие, что Л± (± 1) = Л±(± 1) =0; е - малый безразмерный положительный параметр. Рассмотрим задачу (1.2) —(1.4), (4.1) в ситуации, которая описана в разд. 3, т.е. будем считать, что изначально включение имело форму G° = {х： bi I <〃，1工2 I < е"/)} , где 7(х)=(仅？ -х；)*Х Х1°(а^х1),1°еСоо[-191]. Тогда
9±а1) = (。,±"叽(仅一51)一《Х1)]).(5.1)
Допустим еще, что параметр е много меньше всевозможных отношений постоянных Ламе включения и матрицы. Благодаря наличию малого параметра задачу (1.2)—(1.4), (4.1) можно решить при помощи асимптотических методов. Приведем результат и укажем задачи, из которых находятся главные члены асимптотических разложений:
〃(е, x)~u(x) + ew(冷，u°(e, х)^ v0(x1) + ew°(x1,0(5.2)
полей смещений в матрице и во включении; здесь
? = 4(%1)-1(26-1x2 +。8一5‘X])-* a"х 1)),
Н(%1 ) = 〃〃_(〃-* )+〃〃+(〃-* ).
Согласно [6], поле и — решение задачи о деформации однородной упругой области С。(без включения), самоуравновешенной нагрузкой р, а поле w — решение системы Ламе в По\/, подчиненное равенству 0(〃)(w; х) =0 на 3 С и условиям скачка на отрезке Г.
k] Qi) = 9+(*1)-9-(X1) +
+ h(%) (( g2-1 )/m, 0) + 麻1(5-灰)，(/,0)),
[^2 2(w)](x1) = 0, [a2i(w)](x1) =
=— {HQ1)(71 -—(%1,0) +)2 -—(X1,O))}, x£M, (5.3)
где ту = (2从0 + 入о)т (Х0Д 一 Мо + 2(/ - 1)д0(Д - До)), Со 一 матрица из (2.14), Bq — матрица со строками (0, д0) и (Ло? 0), аналогичный смысл имеют 2 и А
Векторы и0 и w° в (5.2) восстанавливаются по формулам
и°(%1) = u&i, 0)； w。(Xi, f) = % {w(%i ,+0) + w(xi, — 0)卄
1 / 加Эи\
+ Я(х1)2о1(Q — (x190^(B~BQ)t — (x190A
\ 疝2a//
Рассмотрим для определенности иррегулярную точку (а, 0) контура ОС л введем в ее окрестности полярные координаты (г, 0). В силу (3.7)
и (5.3) справедливы асимптотические равенства
51(% е, %)〜(2什)-%K(e)cos Й0 (1 - sin й0 sin % 0) + Sx х(e),
。12(〃；邑 ％)〜(2tp*)-%K⑹ cos夯6 sin%份 cos3/2 ^ +%2(£),
。2 2(〃；&, %)〜(2ят)-%К(е) cos%0(l +sin%6 sin%^) + ^22(е),(5.4)
остатки в которых составляют величины О&% | logr |). Сравнивая (5.4) с (5.2), заключаем, что
% (е) = % (и; Q 0)) + 0(e), К(е) = 2е 标〃(\ + д) (X + 2〃尸 + О®? ,(5.5) где р = /° (1) 2〃 一 приведенный радиус кривизны правой кромки включения G°. (Отметим, что, как и в разд. 3, корневая особенность в (5.4) возникла при компенсации гкачков (5.1).)
Предположим, что напряжения, приложенные к контуру Э£20 — равномерно растягивающие, т.е. р (х) = р()簿 G), и изучим при помощи асимптотической формулы (5.4) возможность образования трещины в материале матрицы вблизи особой точки (а, 0). Как уже упоминалось в разд. 4, перенос критерия Ирвина на рассматриваемую задачу приводит к неверному выводу об отсутствии влияния внешней нагрузки на разрушение, так как ^коэффициент интенсивности напряжений" К(е) не зависит от величины ро. Критерий разрушения, предложенный В.В. Новожиловым [7], дает качественно другой ответ. Поясним указанное, рассчитав нагрузку, вызывающую появление трещины в матрице вдоль одного из лучей {х: 0 = О。}, О。£ (0, 2я). Согласно критерию [7], разрушение не происходит,если выполнено неравенство
d- ,/ (jee(u;x)ds<oC9(5.6)
b： 8 = %, r0(O,d)F
в котором d — структурный параметр материала, ос — предел прочности. В силу (5.4) и (3.7) интеграл из (5.6) с точностью O(ed + e?d-%) равен
Ро + 2е<2pd、Q + д)(Х + 2д)-1(ЗяпЙ0 一 sin3/20),(5.7)
а выражение (5.7), как нетрудно проверить, принимает наибольшее значение при 0О = я. Поэтому трещина возникает на продолжении оси тонкого включения, если вьшолнено неравенство
Ро + 8е x/2pd-“(X + 从)(X + 2д)-1 > о。.(5.8)
Как уже отмечалось, левая часть формулы (5.8) представляет сумму двух слагаемых различной природы: внешняя нагрузка и член, присутствие которого вызвано вставкой включения. При разных значениях параметров либо первый, либо второй член может быть существенным при определении критической ситуации. С другой стороны, взаимная независимость указанных слагаемых позволяет управлять ситуацией, в частности, сжатием по оси ординат или, что эквивалентно растяжению по оси абсцисс, можно уменьшить левую часть неравенства (5,8), уводя ситуацию от критической.
ЛИТЕРАТУРА
Мовчан А.Б., Назаров С.А. Напряженно-деформированное состояние в вершине острого включения // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 3. С. 155-163.
Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск, мат, о-ва. 1967. Т. 16. С. 209-292.
Рагу Л. Asymptotic expansions of solutions of ordinary differential equations in Hilbert space // Arch. Rat. Meeh. Anal. 1967. VoL 24, N 3. P. 193-218.
Партон 8.3., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.
Зорин И.С. О хрупком разрушении упругой плоскости, ослабленной тонким вырезом 〃 Вести. ЛГУ. 1982. №7. С. 11-16.
Мовчан А.Б., Назаров С.А. Напряженно-деформированное состояние плоской области с тонким упругим включением конечных размеров // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 1. С. 75-83.
Новожилов В,В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах // ПММ. 1969. Т. 33, №5. С. 797-812.
УДК 539.374
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СТАЛЕЙ
А.Н. Мохель, Р.Л. Салганик, С.А. Христианович
Данные экспериментов по запаздыванию пластического деформирования. Результаты одноосных опытов показывают, что влияние скорости испытания на диаграмму деформирования проявляется для большинства материалов начиная с некоторого уровня скоростей деформации, называемого порогом динамической чувствительности материала [1]. Зависимость диаграмм от скорости деформации ё при превышении этого порога указывает на то, что процесс деформирования материала не является равновесным.
При нормальных температурах для широкого класса металлов и сплавов порог чувствительности диаграмм к скорости деформирования составляет, как правило, 10~4 - 10~3 с'1 [1]. Экспериментальные исследования пластического деформирования металлов и сплавов обычно ведутся со скоростями приблизительно на 2 порядка ниже, т.е. при ё ^ 10~6 +10~5 с"1. При таких скоростях процесс деформирования близок к равновесному [2].
В работе [3] приведены результаты одноосных испытаний сталей, в которых изучалось проявление неравновесности деформирования при ё от 10~6—10"5 с-1 до 10'4—10~3 с-1. Верхний уровень скорости деформации соответствовал по порядку величины порогу динамической чувствительности исследуемых сталей. Эксперименты проводились по специальным программам со ступенчатым законом изменения нагрузки (рис, 1〃), позволяющим при остановках нагружения обнаруживать эффекты неравновесности деформирование.
Каждая ступень состояла из участка линейного роста нагрузки во времени и участка выдержки материала под постоянной нагрузкой. Соответствующим образом выбирая приращения напряжения Дана ступени и вре-
〃 —программа испытаний; б — вид диаграмм деформирования; в, г — зависимости изменения осевой деформации во времени на ступени при разных скоростях нагружения а; сплошные линии а = 0,033 МПа/с, = 3000 с;пунктирные — а = 22 МПа/с, △厶=5c
мена нагружения △厶，получали различные скорости нагружения а= △□/△%. В опытах со сталью 45 значения 6 были в пределах 0,28—10 МПа/с, для стали ЗОХГСА—0,033—22 МПа/с. На этапе неупругого деформирования данным значениям 6 отвечали скорости деформации ё % 10~6 彳 10~3 с"1. Времена нагружения △才】менялись от нескольких секунд до десятков минут, времена выдержки материала под постоянной нагрузкой Д^2 составляли 3—35 мин.
Экспериментальные результаты [3] показали, что при скоростях нагружения, отвечающих нижнему уровню а, не равновесность деформирования хотя и имеет место, но ее роль невелика. При повышении скорости нагружения примерно на 2 порядка (верхний уровень исследованных значений о) неравновесность деформирования становится существенной. При этом изменяется и характер деформирования стали. На рис. 1,6 - г приведены типичные результаты для двух образцов из стали ЗОХГСА, испытанных со скоростью нагружения на ступени а = 0,033 МПа/с (образец А-8, сплошная линия) и а = 22 МПа/с (образец А-7, пунктир). Величины ступеней нагружения △он времена выдержек △% образцов были одинаковы.
Как видно из рис. 1,6, в, при малой скорости нагружения неравновесность деформирования незначительна. На диаграмме растяжения она проявляется в основном в том, что в зависимости о(е) появляются небольшие горизонтальные участки, отвечающие росту деформации при а = const (ползучесть), Прирост деформаций при постоянной нагрузке, обусловленный ползучестью, однако, невелик и при напряжениях, далеких от предела прочности, составляет, как правило, несколько процентов от деформации, отвечающей участку нагружения на ступени (рис, 1,8).
Совсем иной характер изменения деформаций наблюдается при повышенной скорости нагружения а = 22 МПа/с, которой соответствуют скорости ё, близкие к порогу динамической чувствительности материала. Из рис. 1,6, а видно, что в этом случае имеет место запаздывание деформаций материала по отношению к приложенной нагрузке. Так, рост деформации начинается не сразу, а спустя некоторое время после начала нагружения. В момент нагружения прирост деформации оказывается заметно меньшим, чем на такой же ступени для образца А-8, испытанного с малой скоростью а. "Недобор'' деформации на участке нагружения при повышенной скорости нагружения а в основном компенсируется в первые несколько секунд после фиксации нагрузки, когда для образца А-7 продолжается заметное нарастание деформаций (рис. 1,а)・ При больших временах на участке а = =const скорость е резко падает и происходит медленное нарастание деформаций, подобное процессу ползучести для образца А-8. В результате прирост деформации на ступени у образца А-7, испытанного с повышенной скоростью а, оказывается примерно таким же, как и на соответствующей ступени у образца А-8 (рис. 1,в, г).
Аналогичное поведение при малых и повышенных скоростях нагружения а наблюдается у стали 45.
На основе экспериментов [3] можно сделать вывод, что при повышенных скоростях (малые времена нагружения) имеются задержка деформирования в начале нагружения и участок интенсивного роста деформаций в первые несколько секунд после нагружения. Последний участок практически отсутствует при малых скоростях нагружения, а величина задержки деформирования мала. Вместе с тем через некоторое время после окончания нагружения (〜десятки секунд) характер нарастания деформаций мало чувствителен к скорости нагружения. Это позволяет предположить, что собственно ползучесть материала при а = const при повышенных скоростях нагружения проявляется за участком интенсивного роста деформаций, а при малых скоростях — сразу после окончания нагружения. Явление задержки деформирования в начале нагружения и интенсивного роста деформаций в первые несколько секунд после окончания нагружения, характерное для больших скоростей нагружения, будем называть, следуя [3], за- паздьшанием пластического деформирования, Это явление должно учитываться в соответствующих определяющих соотношениях между напряжениями и деформациями.
Теоретическое описание запаздывания пластического деформирования упрочняющихся металлов. Приводятся определяющие соотношения между напряжениями и деформациями, учитывающие явление запаздывания пластического деформирования. Эти соотношения получены в результате обобщения по л умик ро скопиче ск ой модели пластического деформиро-
вания материала с регулярным упрочнением [4], которая не учитывает временных эффектов.
В работе [5] дано сопоставление расчетов по определяющим уравнениям [4] с данными многочисленных экспериментов по сложному нагружению. Проведенное сопоставление показало, что определяющие уравнения [4] описывают закономерности пластического деформирования для разнообразных классов нагружения: простые траектории и близкие к ним траектории в виде двузвенных ломаных, средней кривизны и т.д. Поэтому следует ожидать, что полумикроскопическая модель может служить основой для обобщения на случай проявления временных эффектов.
Пол умик ро ск опиче ск ая модель [4] исходит из того, что пластическая деформация элемента материала является результатом множества сдвигов (скольжений) по площадкам различных ориентаций. При этом считается, что появление площадок, рост и прекращение скольжения на них определяются уровнем и направлением действия касательных напряжений. Нагружение (деформирование) элемента материала рассматривается как последовательность малых догружений. Как обычно, принимается, что приращение деформации элемента 厶^力兀 на шаге догружения ^oik складывается из приращений упругой и пластической частей:
= △噬)+△£©). (2.1)
Приращения тензора упругой деформации Ае^' определяются по закону Гука. В случае изотропного материала, упругие постоянные которого остаются неизменными в процессе пластического деформирования, имеем
△^V = - - bik^on + —— Aoik, (2.2)
где E - модуль Юнга, p - коэффициент Пуассона, 3火 一 единичный тензор.
Для определения приращений пластической деформации △£〔?)в [4] получены соотношения:
△修)=,(2.3)
ikiklm Im'
которые устанавливают связь между Де.^ и приращением тензора напряжений △ 0中4 •以—пластические податливости материала. Особенностью
IK IK
уравнений (2.3), по форме напоминающих соотношения теории течения, является зависимость податливостей /名^ не только от предыстории на
гружения, но и от направления догружения.
Подробный вывод определяющих уравнений (2.3) и анализ их свойств даны в [4]. Ниже приводятся лишь основные соотношения, необходимые
для обобщения пол^^микроскопической модели на случай учета запаздывания пластического деформирования. Приращения пластической деформации △ W находятся путем суммирования приращений сдвигов A#(G)
по различно ориентиргваугпс^'二二？二zrk?：上 fy二工亍二金二нка типа Бат^о；?фг-- Будянского). Полаггг, что 二2,汇窘二二。亡 плогдадсе смс二匸工еш匚二 па^^авле-по различно ориентиргваугпс^'二二？二zrk?：上 fy二工亍二金二нка типа Бат^о；?фг-- Будянского). Полаггг, что 二2,汇窘二二。亡 плогдадсе смс二匸工еш匚二 па^^авле-
по различно ориентиргваугпс^'二二？二zrk?：上 fy二工亍二金二нка типа Бат^о；?фг-- Будянского). Полаггг, что 二2,汇窘二二。亡 плогдадсе смс二匸工еш匚二 па^^авле-
по различно ориентиргваугпс^'二二？二zrk?：上 fy二工亍二金二нка типа Бат^о；?фг-- Будянского). Полаггг, что 二2,汇窘二二。亡 плогдадсе смс二匸工еш匚二 па^^авле-
данной площадке, получим
△嚟)=/上人 +生工△wwa, а。 2т
几 1 = cosd, n2 = sin e cos 9, n3 = sin d sin 9,(2.4)
q = @・兀一 几用Q〃20段，T =(乙方)%, dC = sin9d8d中,
где С - ориентация площадки скольжения, определяемая совокупностью углов £ и 9，задающих ориентацию вектора единичной нормали и； к данной площадке, т( — вектор касательного напряжения на площадке ориентации С, dC — элемент телесного угла, С。一 область интегрирования, включающая совокупность ориентаций всех площадок скольжения на данном шаге догружения △。，疋.
Приращение сдвига △)(□) на площадке скольжения с ориентацией С определяется с учетом того, что приращение величины касательного напряжения на какой-либо площадке скольжения будет вызывать сдвиг не только на данной площадке С, но и на площадках скольжения всех других ориентаций (условие совместности деформаций). Суммируя вклады от приращений величин касательных напряжений на всех площадках скольжения С。，получим
△)(С) = f A^^^^T^yd^,(2.5)
a о
где /(С, Q') — функция влияния, вид которой для рассматриваемого материала устанавливается по данным простейшего испытания, △т(С')= 二唸(〃％》+ 〃"；)△%/『'- приращение величины касательного напряжения на площадке скольжения ориентации С'.
При формулировке полумикроскопической модели [4] принимается, что скольжение на площадке данной ориентации С начинается тогда, когда касательное напряжение на ней превзойдет некоторое пороговое напряжение ту (предел текучести материала), т.е. при т(С)〉ту. Если величина касательного напряжения на площадке скольжения начинает убывать (△т(С) > 0), то приращение пластического сдвига прекращается (разгрузка) .Таким образом, область С。определяется условием
% = "(С) > Ту, Ат(С) > 0}.(2.6)
Соотношения (2.4)-(2.6) приводят к определяющим уравнениям (2.3). Коэффициенты пластической податливости /^2n даются при этом выражениями
邓以m = / //0,0) 2电士产一 d^.(2.7)
00^02т2т
Будем рассматривать материалы, диаграммы деформирования которых характеризуются монотонно убывающим модулем упрочнения. Подобную диаграмму имеют многие металлы и сплавы. Такие материалы будем называть материалами с регулярным упрочнением [4], полагая, что пластическая деформация в них происходит путем многократного повторения в среднем однородных элементарных актов скольжения. Можно ожидать, что для таких материалов функция влияния Л(^2, С') симметрична и
выражается в виде произведения двух одинаковых функций от С и С‘・ В [4] функция/(С, С') принята в виде
/(С,露)=% '中丫 — 1'\Д7ту - l'X
义"[I + 仇(т/ту — 1) + • • . ] 口 +01(т7ту — 1) + • • •(2.8)
где с0 — постоянная размерности податливости, характеризующая однородные акты скольжения; %, 02, • • • — безразмерные поправочные коэффициенты.
Анализ результатов большого числа экспериментов на разных материалах [5] показывает, что деформирование материалов с умеренным упрочнением удовлетворительно описывается всего двумя константами — пределом текучести ту и пластической податливостью материала с0 при % = 0. Введение поправочных коэффициентов в (2.8) оказывается необходимым только при описании диаграмм материалов с большим упрочнением. При этом постоянные ту, с0 и коэффициенты 0i определяются из сопоставления расчета с данными одного опыта на простое нагружение, например из испытания на одноосное растяжение.
Отметим, что при формулировке полумикроскопической модели [4] процесс деформирования рассматривается как равновесный. Тем самым предполагается, что изменение деформаций материала практически мгновенно отслеживает изменение внешних нагрузок.
Явление запаздывания пластического деформирования в рамках рассматриваемой модели можно связать с тем, что пластические сдвиги не могут мгновенно отслеживать быстрое изменение приложенных напряжений. В результате для перехода из одного равновесного состояния в другое требуется некоторое время. Это можно учесть, если поделить соотношение (2.5) на приращение времени, перейти к пределу и к левой части полученного выражения добавить слагаемое t* d2yldt2. Тогда получим
〃)(С)d)(C)dT(^)
(2.9)(2.9)厶二 / "9, С)~Т '~。口 •
(2.9)
(2.9)
dtdt a。dt
В правой части (2.9) стоит величина, которая зависит от скорости нагружения doikldt. в левой — скорость пластического сдвига d)/df на площадке ориентации С,乙一время, характеризующее переход из одного равновесного состояния в другое.
Примем, что в момент перехода площадки данной ориентации С в состояние пластического сдвига (т(С) = ту) величина и скорость пластического сдвига на ней равны нулю. Таким образом, начальные условия для дифференциального уравнения (2.9) имеют вид
(2.Ю)(2.Ю))(С) = d)(C)/df = 0 при т(С) = ту.
(2.Ю)
(2.Ю)
Переходя от соотношений для приращений к соотношениям для скоростей, из (2.1), (2.2) и (2.4) получаем
=+, dt dt dt
dSk _加" 1 +p二一-0 声〃 + dt E dt EdSk _加" 1 +p二一-0 声〃 + dt E dt Edo〔kdtdo〔kdt(2.П)(2.П)de訛 =/ Wk +九左方dt с。 2тde訛 =/ Wk +九左方dt с。 2т办（电dt办（电dt
dSk _加" 1 +p
二一-0 声〃 + dt E dt E
dSk _加" 1 +p
二一-0 声〃 + dt E dt E
do〔kdt
do〔kdt
(2.П)
(2.П)
de訛 =/ Wk +九左方
dt с。 2т
de訛 =/ Wk +九左方
dt с。 2т
办（电
dt
办（电
dt
Таким образом, соотношения (2.9) —(2.11) с учетом (2.6)-(2.8) представляют обобщение модели [4] на случай проявления запаздывания пластического деформирования.
Как отмечалось выше, явление запаздывания пластического деформирования можно связать с тем, что для перехода из одного равновесного состояния в другое требуется некоторое время. Если под равновесным состоянием понимать определенную дислокационную структуру, отвечающую данному уровню напряжений, то время перехода из одного равновесного состояния в другое связано со временем перестройки дислокационной структуры. Эта перестройка может определяться диффузией точечных дефектов, возникающих в большом количестве в результате пересечения дислокаций при их движении. При этом, хотя скорость такой диффузии при комнатной температуре мала, возможно ускорение диффузионных процессов вдоль линий дислокаций, как по каналам (так называемая трубочная диффузия).
Такого рода диффузия должна быть особенно существенной при высоких плотностях дислокаций (т.е. в тем большей мере, чем больше упрочнение) и может быть причиной "переползания взаимодействующих дислокаций, ускорения неконсервативного движения порогов, закручивания дислокаций, имеющих винтовую компоненту вектора Бюргерса, в геликоиды и Т.П.59 [6].
Учитывая, что размер области, охваченной указанной дислокационной перестройкой, определяется размером субзерен L, и зная коэффициент линейной диффузии Q, можно оценить характерное время перестройки величиной 〜С?/2).
По данным [7], порядок L « 10-5 4-10-3 см, D « 10-9 см2/с [61. Для среднего размера субзерна L « 10"4 см находим Z 2/£>« 10 с. Полученное время можно принять для ориентировочной оценки t#.
Сопоставление с результатами экспериментов. Сопоставим результаты расчета по соотношениям (2.9) —(2.11), (2.6)-(2.8) с данными экспериментов по запаздыванию пластического деформирования сталей, приведенными в работе [3].
Обработка экспериментальных результатов проводилась следующим образом. Сначала для каждого из испытанных материалов (сталь 45 и сталь ЗОХГСА) по данным двух опорных опытов (растяжение с постоянной скоростью нагружения, растяжение по ступенчатой программе) находим значения констант, входящих в соотношения (2.6) —(2.11). При этом для каждого материала значения собственно пластических констант (ту, с。, 0f) определялись по диаграмме одноосного растяжения, а характерное время %* находилось по данным испытания, в котором осуществлялось ступенчатое нагружение. Найденные значения констант далее использовались для расчета изменения деформаций во времени по соотно-
шениям (2.6)-(2.11) для остальных опытов со ступенчатыми программами нагружения.
Значения собственно пластических констант материала определялись путем согласования расчетной диаграммы растяжения материала, получаемой по соотношениям (2.1) —(2.8), с экспериментальными диаграммами стали 45 и стали ЗОХГСА (рис. 2, а, 6, точки). Данные стали обладали значительным упрочнением, поэтому двух постоянныхс0 и Ту для согласования расчетных диаграмм с экспериментальными оказалось недостаточно и потребовалось введение поправочных коэффициентов 仇，历•
Полученные значения пластических констант даны в таблице, в которой приведены также значения модулей упругости Е и коэффициентов Пуассона
Марка стали
Е- 10~5, МПа
р
ту, МПа
£*，с
45
2,16
0,35
113
3,2
0,15
0,25
4,0
ЗОХГСА
2,21
0,3
123
1,5
0
-0,15
1,25
р для рассматриваемых сталей. На рис. 2, 〃, б построены расчетные диаграммы растяжения az — ez, отвечающие значениям констант, взятым из таблицы.
Отметим, что для стали ЗОХГСА, имевшей небольшую площадку текучести, согласование проводилось на участке регулярного упрочнения (рис. 2, б). Это связано с тем, что в опытах со ступенчатым нагружением исследования проводились именно в диапазоне напряжений, отвечающих регулярному упрочнению. Поэтому для настоящей работы не было необходимости теоретически описывать всю диаграмму растяжения данной стали.
Характерное время 才 * определялось из опыта со ступенчатым нагружением. При этом было достаточно располагать экспериментальной зависимостью изменения осевой деформации во времени лишь на одной ступени
%4&%4&Рис. 2. Согласование экспериментальных диаграмм растяжения с расчетомРис. 2. Согласование экспериментальных диаграмм растяжения с расчетом
%4&
%4&
Рис. 2. Согласование экспериментальных диаграмм растяжения с расчетом
Рис. 2. Согласование экспериментальных диаграмм растяжения с расчетом
〃 —сталь 45 (а = 0,25 МПа/с, образец № 9)
б — сталь ЗОХГСА (а 二 0$67 МПа/сР образец А-2). Здесь и далее на рис. Зэ 5, 6 точки — эксперимент, сплошные лиыии — расчет
з，%
Рис. 3. Определение постоянных Г* и т，по данным испытаний для одной ступени а - ту= 135 МПа."* = 0,25 с (7), 1,25 с (2), 4 с (3)
б -t^= 1,25 с, “ = 115 МПа (7) ; 125 МПа (2), 135 МПа. (3)
нагружения, для которой имеет место запаздывание деформирования. На выбранной ступени нагружения путем варьирования Г# добивались наилучшего согласования расчетной кривой £z«), построенной по соотношениям (2.6)-(2.11), с соответствующей экспериментальной зависимостью. Возможность определения Z* указанным способом иллюстрируется рис. 3,«, на котором показано, как проводилось согласование для стали ЗОХГСА (образец № 7, 1-я ступень). Найденные значения %* для рассматриваемых сталей приведены в таблице.
При обработке всех остальных опытов с программами ступенчатого нагружения значения констант с°, 01,02 н %* для каждого материала оставались неизменными, а значения т у варьировались от образца к образцу. Это связано с тем, что наблюдаемый разброс экспериментальных результатов для однотипных программ испытаний обусловлен главным образом разбросом в значениях Ту (подробнее об этом см. в [5]). Тем самым каждый испытанный образец характеризуется своим значением предела текучести Ту, которое должно находиться путем соответствующего подбора. В нашем случае величина Ту выбиралась для каждого образца по одной ступени нагружения (пример выбора ту для образца № 7, сталь 30 ХГСА приведен на рис. 3, б)・ Найденные значения т у для стали 45 лежат в пределах 108-118, для стали ЗОХГСА - 115-132 МПа.
Обработка экспериментальных данных на основе (2.6)-(2.11) проводилась численно. Процедура вычислений имеет много общего с соответствующей процедурой вычислений по соотношениям (2.1) —(2.8), не учитывающим временные эффекты [4,5].
Кратко схема расчета такова. Программа нагружения разбивается на малые шаги догружения〉％、и последовательно по шагам вычисляются приращения деформаций материала △е^. На каждом шаге величина находится как сумма приращений упругой части △€；$), определяемой по закону Гука (2.2), и пластической Ае£), которая находится путем численного интегрирования приращений интенсивности сдвигов △)(◎) по всем направлениям пластического течения С。по кинематическим соотношениям (2.4).
При интегрировании область возможных ориентаций площадок сдвига (О < 9 < 2тг, 0 < 0 < я) разбивалась на малые прямоугольники (рис. 4) и интеграл (2.4) заменялся соответствующей интегральной суммой
△理)=S S ((3.1)
m n \ 2т /
где △)(m，“)— приращение интенсивности сдвига на площадках, попавших в прямоугольник с центром в точке (峭，屮八).Суммирование в (3.1) распространялось только на те прямоугольники, в центре которых выполняется условие (2.6).
Для каждого малого прямоугольника (mt п), где имеет место пластическое течение, приращение интенсивности сдвига определяется уравнением
乙亲0)切，叫+△7(也八)=B^fwk、 (3.2) где
в\ап) = f 4sm川,R，)竺;Г：色。0 (з.з)
KOTopQe получается из (2.9) заменой dy(^))dt на △^(加，").Чтобы найти на рассматриваемом шаге догружения величины △ £；/), необходимо проинтегрировать (3.2) для всех направлений пластического сдвига (m, п) с момента возникновения на них пластического течения до текущего момента времени. Данное интегрирование осуществлялось численно путем замены (3.2) конечно-разностным соотношением. Был использован метод Эйлера 2-го порядка точности
5二△仍三畿
+(КТ'%г+Аг/2 了不先；
(3.4)
центром в точке (%,屮八)，перешед-центром в точке (%,屮八)，перешед-Для каждой системы площадок сДля каждой системы площадок с
центром в точке (%,屮八)，перешед-
центром в точке (%,屮八)，перешед-
Для каждой системы площадок с
Для каждой системы площадок с
ших в состояние пластического течения, значения ^у^т^ находились последовательно по шагам по (3.4). При этом на шаге догружения, отвечающем началу течения в прямоугольнике (加,n), т.е. где 7(6m,9m) достигает значения ту, соответствующее а^З^) согласно (2.10) принималось равным нулю. Коэффициенты “，'")находились численно аналогично тому, как это написано в [4, 5].
Рис. 4. Схематический вид области С。
Рис. 5. Сопоставление расчета с данными экспериментов (сталь 45) 〃 -образец № 7, ст = 9 МПа/с, △〃 = 10 с;
б - образец № ДЗ, а = 10 МПа/с, △/】=5 с
При расчетах величина △/ выбиралась так, чтобы, во-первых, она была мала по сравнению с 几，а во-вторых, чтобы отвечающие △才 значения △ Sk были малы по сравнению с самими напряжениями. Последнее условие обеспечивает малость изменения коэффициентов 8胪“)от шага к шагу.
Типичные результаты теоретической обработки и их сопоставление с данными экспериментов приведены в виде зависимостей е«) и о(е) на рис. 5 (сталь 45) и рис. 6 (сталь ЗОХГСА). Полностью результаты обработки даны в [3].
Из сопоставления экспериментальных и теоретических зависимостей видно (см. рис. 6), что обобщенные соотношения хорошо описывают опытные данные до значений деформации, примерно равных 4% (о = 550 ♦ 600 МПа), где существенную роль начинает играть собственно ползучесть, которая в рамках обобщенной модели не учитывается.
Заключение. На основе обобщения полумикроскопической модели пластического деформирования материала с регулярным упрочнением дано теоретическое описание полученного в опытах [3] эффекта запаздывания пластического деформирования. По сравнению с полумикроскопической моделью [4] предложенное обобщение содержит лишь одну допол ните л ьную константу t *, имеющую размерность времени и характеризующую переход материала в процессе пластического деформирования из одного равновесного состояния в другое.
Рис. 6. Сопоставление расчета с данными экспериментов (сталь ЗОХГСА) « - образец А-7, d = 22 МПа/с,厶匕=5 с;
б - образец А-12, а^ = 21 МПа/с, △厶=Зс, а^ = 2 az
Приведены соображения о возможной роли диффузии точечных дефектов в установлении равновесного состояния, из которых получена оценка константы Г* через коэффициент диффузии вдоль линии дислокации L и размер субзерна D: t*〜L?[D.
Обработка экспериментальных данных [3] на основе соотношений обобщенной модели показала, что данные соотношения описывают явление запаздывания пластического деформирования как при одноосном растяжении, так и при пропорциональном нагружении (% = 2%) •
ЛИТЕРАТУРА
Васин РА, Ленский В.С., Ленский Э.В. Динамические зависимости между напряжениями и деформациями // Проблемы динамики упруго пластиче ск их сред. М.: Мир, 1975. С. 7-38.
Ленский В.С. Экспериментальная проверка основных постулатов общей теории упругопластических деформаций // Вопросы теории пластичности. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 58-62.
Вававкин А.С., Викторов В,В.> Механикова ИМ. и др. Экспериментальное и теоретическое изучение влияния временных эффектов на пластическое деформирование сталей при комнатной температуре: Препр. ИПМ АН СССР № 211. М., 1983. 63 с.
Мохель А.Н., Салганик Р.Л., Христианович С.А. О пластическом деформировании упрочняющихся металлов и сплавов. Определяющие уравнения и расчеты по ним 〃 Изв. АН СССР. МТТ. 1983. №4. С. 119-141.
Мохель А.Н., Салганик Р.Л., Христианович С.А. О пластическом деформировании упрочняющихся металлов и сплавов. Анализ данных экспериментов и решение упруго пластических задач // Там же. № 5. С. 81-103.
Рожанский В.Н., Предводителев ВЛ. О роли диффузии точечных дефектов вдоль дислокаций в процессе пластической деформации // Докл. АН СССР. 1964. Т. 158, №4. С. 835-838.
СмитМ.К. Основы физики металлов. М.: Металлургиздат, 1962. 456 с.
УДК 539.2:622.83
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТРЕЩИН ОТРЫВА
В СЖАТЫХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Л.В. Никитин, В.Н. Одинцев
При проходке выработок в тех массивах хрупких горных пород, которые подвержены очень высокому напряженному состоянию, вблизи обнажений пород формируется зона наведенной трещиноватости [1—4]. Трещины в этой зоне регистрируются при бурении скважин и непосредственно видны при последующей проходке поперечных выработок меньшего размера, например при создании ниш. В целом трещины ориентированы вдоль поверхности обнажения пород. Анализ состояния поверхностей трещин убеждает в том, что эти трещины возникли при разрушении горных пород отрывом. Трещины расположены близко одна к другой. Обычно их частота заметно возрастает вблизи поверхности обнажения пород, однако в некоторых случаях отмечается чередование зон трещиноватости [5, 6]. Берега протяженных трещин, как правило, сомкнуты.
Образование зоны трещиноватости отрывного происхождения обусловливает характер последующего разрушения стенок выработок. Разрушение проявляется в виде интенсивного или слабовыраженного отслоения от бортов и кровли выработок пластинок различного размера, которое в практике называют стрелянием или шелушением горных пород. Под влиянием стреляния и шелушения пород могут значительно измениться форма и размеры выработок [7].
Причина появления трещин отрыва вблизи выработок не связана, очевидно, с взрывным способом разрушения массива горных пород, ибо развитие подобных трещин наблюдается со временем в первоначально монолитных целиках, если они оказываются в зоне опорного давления. Замечено, что трещины отрыва в сжатой горной породе образуются в том случае, когда наибольшее главное напряжение 6 превосходит прочность горной породы на одноосное сжатие и значительно выше наименьшего главного напряжения а3 (напряжения сжатия положительны).
Для понимания причины образования трещин отрыва в условиях сжатия следует обратить внимание на то, что горные породы проявляют существенно неоднородный характер деформирования на микромасштабном уровне. Горные породы являются природными телами, содержащими, как правило, зерна нескольких минералов, а также различные трещиннопоровые дефекты. Некоторые виды неоднородностей и дефектов при
нагружении горной породы в условиях, близких к одноосному сжатию (о\ > 03), создают вблизи себя локальные области растягивающих напряжений. К дефектам такого рода относятся, например, эллиптические поры или работающие на сдвиг микротрещины (литературные источники см. в работах [8—12 и др.], в которых обсуждались модели распространения трещин отрыва в сжатых горных породах).
Размер областей растяжения и величины действующих в них напряжений зависят от геометрических и механических свойств дефектов, а также внешней нагрузки. В областях растягивающих напряжений зарождаются микротрещины отрьша, которые развиваются в направлении наибольшей нагрузки (рис. 1). Энергия, затрачиваемая на рост микротрещин, определяется локальной концентрацией упругой энергии вблизи ^мягкого** трещинно-порового дефекта. Заметим в этой связи, что упругая среда с мягкими включениями при одном и том же нагружении является более энергоемкой, чем однородная упругая среда.
Феноменологически процесс развития микротрещиноватости отрывного характера в хрупкой породе выражается в увеличении ее коэффициента поперечного деформирования (в некоторых случаях до единицы), в то время как модуль деформации уменьшается незначительно [13, 14]. При увеличении напряжений s растущие приблизительно в одной плоскости микротрещины соединяются и образуют магистральные трещины, которые нарушают монолитность горных пород.
Рассмотрим модель распространения протяженных трещин отрыва в сжатой хрупкой горной породе, когда для внешней нагрузки справедливо соотношение о； > а^. В условиях плоской деформации будем рассматривать упругий материал, содержащий удаленные друг от друга двумерные трещино-поровые дефекты. Выберем декартову систему координат так, что ее начало отнесено к середине дефекта, причем ось х направлена вдоль направления действия наибольшей нагрузки о； • Считаем, что дефекты имеют зародышевые микротрещины отрыва, которые при росте нагрузки о； развиваются в направлении действия этой нагрузки.
пт з 尸
三三
三
三
НЕWtt
Рис. 1. Образование микротрещин отрыва вблизи дефектов при сжатии (о； А oj) 158
Влияние дефекта в виде сдвиговой микротрещины на поведение микротрещины отрыва можно описать с помощью распирающей нагрузки, характеризующей воздействие друг на друга берегов сдвиговой микротрещины (см., например, [9, 12]). Аналогично заданием распирающей нагрузки можно моделировать влияние на микротрещину отрыва поры или мягкого включения； Такой формальный прием значительно облегчает математическую сторону вопроса, сохраняя качественные особенности роста микротрещины. Этот прием позволяет считать, что развитие микротрещины отрыва происходит под действием двух силовых факторов: распирающей нагрузки р(х) = af ^р(х). распределенной на участке, размер которого △ меньше или порядка размера дефекта, и сжимающей микротрещину нагрузки W (рис. 2). В таком случае условие роста микротрещины отрыва длины 2/, т.е. равенство коэффициента интенсивности напряжений его предельному значению Кд приводит к следующему соотношению :
目。二"(叫"/ 9(Х)；—厶一s产時.(1)
—△\l-x/
Поскольку △ фиксировано и всегда меньше /, неустойчивой микротрещина отрыва может быть только в начале ее роста, когда размер дефекта соизмерим с длиной микротрещины. По мере увеличения длины микротрещины ее рост в зависимости от нагрузки。广 становится устойчивым. При продолжающемся увеличении нагрузки о丁 происходит слияние отдельных микротрещин, лежащих в одной плоскости, и образование магистральной трещины отрыва длиной 2a.
При одноосном сжатии небольшие магистральные трещины, объединяющие "работающие" (т.е. создающие распирающее воздействие) дефекты и микротрещины отрыва； развиваются неустойчиво [9, 11]. В протяженной магистральной трещине центрально расположенные дефекты (будь то трещины сдвига или поры) перестают создавать распирающее воздействие. Например, в случае дефекта в виде микротрещины сдвига это связано с существованием критической величины расхождения берегов трещины, после которого берега трещины выходят из зацепления.
Будем считать, что "работают" лишь крайние дефекты, расположенные на малом расстоянии от ковдов магистральной трещины. Распирающие нагрузки, моделирующие поведение дефектов, будем для простоты считать сосредоточенными силами интенсивности △
Р 二 О『/ 9(x)dx,(2)
приложенными в точках х = ±с. Для протяженных магистральных трещин величина 5 = д - с является малой величиной (5《〃).В оценках можно считать, что величина 5 равна половине среднего расстояния между соседними дефектами.
В соответствии с изложенным условие равновесия магистральной трещины можно записать в виде
Р(2/7г5)%—(тг 炉 о； = К©(3)
Здесь в левой части не учтен член 尸5%/2тг〃, поскольку для протяженных трещин он дает очень малый вклад. Из соотношения (3) следует, что при
отсутствии боковой нагрузки а^ протяженная открытая магистральная трещина находится в состоянии безразличного равновесия и под воздействием случайных факторов может расти неограниченно. При наличии нагрузки о^ магистральная трещина должна быть ограниченной. Однако наличие бокового поджатия не только способствует остановке магистральной трещины, но может привести к смыканию ее берегов. Заметим, что при смыкании берегов центрально расположенные дефекты не должны создавать распирающее воздействие ввиду того, что магистральная трещина разгружает материал вокруг дефекта в направлении наибольшего сжатия.
Вблизи сомкнутой магистральной трещины формируется свое распределение напряжений. Следовательно, условие разрушения, определяющее длину равновесной трещины, а также устойчивый или неустойчивый характер ее роста может отличаться от условия (3). Для нахождения условия разрушения рассмотрим соответствующую модельную задачу теории упругости.
Плоская задача теории упругости о протяженной трещине отрыва с частично сомкнутыми берегами. Начало координат поместим в середину магистральной трещины, ось х направим вдоль трещины, ось у перпендикулярно ей (рис. 3). Обсужденные выше модельные представления об образовании протяженной магистральной трещины приводят к следующим граничным условиям на берегах трещины и в бесконечности:
и = 0, тху = 0, \х\ < Ь;
оу = Р5(|х I - с), тху = О, b < \х\ < а; (4) % =0t，0> =若о, Tху = 0, x2 +科今 8.
Здесь о%, Оу, тху - компоненты тензора напряжений, и - компонента
Рис. 2. Схема задания усилий в задаче о микротрещине отрыва2а
Рис. 3. Схема к задаче о частично сомкнутой протяженной магистральной трещине
вектора смещения в направлении оси у, 5(х) - дельта-функция, 2Ь - размер области смыкания в центральной части трещины. Этот размер необходимо найти в процессе решения задачи.
Следует задать дополнительные условия в точках смены вида граничных условий. В точках х =±at в окрестности которых происходит разрушение материала, напряжения оу должны иметь особенность вида г~Уг, где г 一 локальный радиус с центром в указанных точках. На границе области смыкания х - ±Ъ напряжения не должны иметь особенности, что определяет плавное смыкание берегов трещины 8и/8х = 0.
Решение плоской задачи теории упругости выражается через кусочно-голоморфные функции ①(z) и C(z) комплексного переменного z =х^ iy по известным формулам [15]. Функции ①(z) и Q(z) находятся из решения краевой задачи, которая в рассматриваемом случае имеет вид
[Ф(1)^^)]+^[Ф^^^)]~ = 2 尸 5(" |—с);
[Ф(0-^(0]+-[Ф(0-^(0]- = о, b <\t\ < а.('
Здесь значками "+ " и ”一'' отмечены граничные значения функций на верхнем и нижнем берегах разрезов вдоль действительной оси в плоскости комплексной переменной z; / — точка, принадлежащая соответствующему разрезу. Решение этой задачи с учетом заданных значений напряжений на бесконечности, ограниченности и корневой особенности напряжений соответственно в точках х = ±Ь, х = ±а имеет вид
/ z2 - Ь2\Уг \ Рс / а2 - с2 。丁
1
+ (疗-0丁)；(6)
4
C(z) = ф(2)- Й (af - аГ).
Условие однозначности смещений дает соотношение, определяющее размер зоны контакта 2Ь через остальные параметры задачи:
。哀［е® - （?『к（%）
⑺
Здесь K(Z) и £(%) — полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода, % = =(а? - Ь2)Уг/а.
Напряжения оу в плоскости трещины при | х | >а определяются соотношением
/ х2 - Ь2 УЛ Г2尸с/ а2 - с2 V 8 ]
…(к)[詼中上声…卜
из которого следует, что коэффициент интенсивности напряжений у края трещины
/ а2 - Ь2
К】=[2Pc(ir(a2 - с2) (с2 -Ь2УГУг -тг^аГ] ( ) •(8)
1611611/2 И. Зак. 891
161
161
Условие равновесия протяженной магистральной трещины с частично сомкнутыми берегами имеет вид К】=К© где К】 определено соотношением (8).
Равенства (7) и (8) определяют поведение трещины под нагрузкой. Если К】 уменьшается с длиной а, рост трещины устойчивый, в противном случае неустойчивый, т.е. по достижении предельной нагрузки трещина начинает распространяться неограниченно. Чтобы выяснить характер поведения трещины, рассмотрим предельные случаи первоначального касания берегов трещины и очень длинной трещины с областью смыкания, распространившейся почти на всю ее протяженность.
В первом случае длина открытого участка трещины d - а - b практически совпадает с полудлиной трещины 〃，так что b]a《1, во втором случае 刃〃 《 1. Если предположить, что в обоих случаях дефекты отстоят от края трещины на расстоянии, малом по сравнению с длиной открытого участка трещины, т.е. 5/d < 1, то размеры открытой части трещины в первом do и во втором dg случаях будут
% = 2^(Р/7ГОз)2/з} Joo 二 5%(2〃行唠)％ (9)
Как видно из (9), длина открытого участка трещины меняется с длиной трещины незначительно: do/dg = 2^3 1,26. Если предположить, что дефекты отстоят от края трещины на расстоянии, составляющем некоторую долю длины открытого участка, то и в этом случае размер открытого участка весьма слабо зависит от длины трещины.
Коэффициент интенсивности напряжений для рассмотренных предельных случаев можно записать в виде
К】=Р(2/тг5)^ - у^о-, (10) где )- принимает значение 1 в первом случае и \/2 во втором. Отсюда следует, что коэффициент интенсивности напряжений за счет изменения второго слагаемого с ростом длины трещины несколько убывает. Следовательно, рост частично сомкнутой протяженной магистральной трещины происходит с очень слабой устойчивостью. Если нагрузка достигает критического значения, что может быть, например, за счет роста Р при постоянном о『или при постоянном 尸 за счет уменьшения о^, то для дальнейшего развития трещины достаточно лишь незначительной догрузки.
Оценка параметров. Выражение (10) можно записать в другом виде. Отметим, что в первый член правой части входит величина 5, которая характеризует частоту расположения дефектов и в рамках рассмотренной модели является постоянной. Значение параметра Р согласно (2) линейно зависит от величины наибольшей сжимающей нагрузки. Поэтому упомянутый член в (10) можно записать в виде
尸(2//)% =。r(砂/2产， (U)
где постоянную р, имеющую размерность длины и косвенно отражающую распирающее воздействие дефекта, логично назвать эффективным размером трещинопорождающего дефекта. Тогда условие равновесия трещины представляется в виде
оГ^Р^/г -у^иТ К 1с. (12)
Это соотношение по структуре напоминает полученное в [11] соотношение, определяющее рост открытой магистральной трещины в пористой среде. В левую часть этих соотношений подобным образом входят задаваемые нагрузки, характерный размер дефекта (поры) и длина открытого участка трещины. Используя (12), можно произвести некоторые количественные оценки параметров рассмотренной модели. Если имеются данные о критической величине коэффициента интенсивности напряжений, полученные в опытах по раскалыванию горной породы, то величину р можно оценить по данным испьпаний горных пород на одноосное сжатие. Обозначим значение прочности горной породы на одноосное сжатие апр. Тогда из (И) следует р =2К^//г*р.
В работе [9] экспериментально установлено, что предельное значение коэффициента интенсивности и прочность на одноосное сжатие для образцов долерита соответственно равны К1С =1,8 МН/м3/2 и апр =118 МПа. Следовательно, для этой горной породы р=0,15 мм. Эффективный размер трещинопорождающего дефекта у испытанных образцов афирового базальта,для которых/Г1С =1,24МН/м3/2; апр =108 МПа, равенр =0,08мм. Интересно, что, по данным работы [9], размеры зерен различных минералов в рассмотренных образцах горных пород составляют 0,1—0,3 мм для долерита и 0,03—0,1 мм*для афирового базальта.
Оценим далее размер открытого участка частично сомкнутой магистральной трещины в долерите. Рассмотрим эту горную породу в условиях сжатия, когда главные компоненты напряжений исходного напряженного состояния имеют, например, следующие значения:。彳=130 МПа;。彳=1 МПа.
Для указанной оценки необходимо располагать также данными о среднем расстоянии между трещинопорождающими дефектами. Таких данных по рассмотренным образцам долерита пока не получено. Логично предположить, что при найденном выше размере трещинопорождающего дефекта среднее расстояние между этими дефектами в долерите может составлять 0,6—1,0 мм. Подставляя необходимые значения в формулу (9), находим, что максимальный размер открытого участка у кончика протяженной частично сомкнутой магистральной трещины составляет соответственно 7,7— 10,9 мм. Укажем, что полудлина а полностью открытой равновесной магистральной трещины при этих условиях, как следует из соотношения (3), равна 12,1 мм. Следовательно, при указанных условиях более вероятно слияние берегов трещины, чем ее остановка.
Итак, показано, что протяженные трещины отрыва в хрупких горных породах могут расти в условиях сжатия, если напряжение, действующее вдоль трещины, значительно превышает боковое поджатие. Рост трещины происходит за счет ее раскрытия вблизи кончика и одновременного закрытия на некотором удалении от него. При этом раскрытый участок приблизительно сохраняет свой размер.
Следует подчеркнуть, что в результате смыкания берегов магистральной трещины вблизи нее практически в о сстанавлив ается исходное состояние. Таким образом реализуются условия возникновения и роста других, близко расположенных сомкнутых трещин отрыва.
Если соотношение наименьшей и наибюльшей компонент напряжений в рассмотренном примере составляет несколько процентов, то условие остановки открытой магистральной трещины выполняется скорее, чем ус-
ловие смыкания берегов. В этом случае должно происходить образование эшелонов трещин отрыва и, очевидно, возможен комбинированный механизм отрывного и сдвигового разрушения горных пород, который обсуждался в работах [8,9, 11, 16].
В заключение уместно отметить, что распространение трещин отрыва при одноосном сжатии наблюдалось и в однородном хрупком материале (стекле), фактически не содержащем трещинно-поровых дефектов [17, 18]. В экспериментах замечено, что наибольшее расхождение берегов в концевой части трещины происходит в непосредственной близости от кончика трещины.
Рассмотренную выше математическую модель распространения трещины отрыва при сжатии можно обобщить и на случай однородных материалов. Для этих материалов условие равновесной трещины может быть записано в виде (12), в котором р можно определить как эффективный размер зоны неоднородности (крейз-зоны), образующейся у кончика трещины и являющейся той неоднородностью, которая вызывает появление впереди кончика трещины локальной области растягивающих напряжений.
ЛИТЕРАТУРА
Fairhust С, Cook N.G.W. The phenomenon of rock splitting parallel to the direction of maximum compression in the neibourhood of a surface // Proc. I Congr. Intern. Soc. Rock Meeh. Lisboa, 1966. Vol. 1. P. 687-692.
Stacey T.R,, Jongh CL Stress fracturing around a deep-level bored tunnel // J. S. Afr. Inst. Mining and Met. 1977. Vol 78, N 5. P. 124-133.
Одинцев B.H., Трофимов B.A., Трумбачева C.B., Шильцев В.А. Устойчивость горных выработок по фактору стреляния, заколоообразования и шелушения // Вопросы механики горных пород при разработке месторождений твердых полезных ископаемых. М.: Ин-т пробл. комплекс, освоения недр АН СССР, 1979. С. 3-34.
Stacey ZR A simple extension strain criterion for fracture of brittle rock // Intern. J. Rock Meeh, and Mining Sci. 1981. Vol 18. P. 469-474.
Опарин B.H,, Тапсиев А.П. О некоторых закономерностях трещинообразования вокруг горных выработок // Горные удары, методы оценки и контроля удароопасно сти массивов горных пород. С^унзе: Илим, 1979. С. 342-349.
Adams G.R., Jager A. J. Petroscopic observation of rock fracturing ahead of a stope faces in deep-level gold mines 11 J. S. Afr. Inst. Mining and Met 1980. Vol. 80, N 6. P. 204-209.
Кузнецов C.B., Одинцев B.H., Слоним М.Э., Трофимов В.А. Методология расчета давления. М.: Наука, 1981. 106 с.
Dey T.N., Wang С К Some mechanisms of microcrack growth and interaction in compressive rock failure 11 Intern. J. Rock Meeh, and Mining Sci. 1981. Vol 18. P. 199-209.
Осипенко H.M. Исследование механизма хрупкого разрушения трещиноватых горных пород: Дис. ... канд. техн. наук. М., 1972. 176 с.
Гольдштейн Р.В., Ладыгин В.М., Осипенко Н.М. Модель разрушения слабопористого материала при сжатии и растяжении // Физ.-техн, пробл. разраб, полез, ископаемых. 1974. № 1. С. 3-13.
Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Структуры разрушения (условия формирования, эшелоны трещин): Препр. ИПМ АН СССР № 10. М., 1978. 59 с.
Дыскин А.В. Модель разрушения хрупкой горной породы с системой ориентированных трещин при сжатии // Физ.-техн, пробл. разраб, полез, ископаемых. 1985. № 2. С. 38-42..
Brady AZA mechanical equation of state for brittle rock. Pt 1. The pre-failure initiation behavior of brittle rock 〃 Intern. J. Rock Meeh, and Mining Sci. 1970. Vol. 7. P. 385-421.
Каталог механических свойств горных пород. Л.: ВНИИ горн, геомеханики и маркшейд. дела, 1972. 267 с.
Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Прочность горных пород и устойчивость выработок на больших глубинах. М.: Недра, 1985. 271 с.
Писаренко Г.С, Науменко В.П., Митченко О.В., Волков Г.С. Экспериментальное определение величины К、при сжатии пластины вдоль линии трещины // Пробл. прочности. 1984. № И. С. 3-9.
Писаренко Г.С., Науменко В.П., Волков Г.С. Предельное равновесие и докрити- ческий рост трещины отрыва при двухосном нагружении // Физические основы прогнозирования разрушения горных пород: Тез. докл. II Всесоюз. школы-семинара. Фрунзе: Илим, 1985. С. 37-38.
УДК 539.43
О МОДЕЛИРОВАНИИ РОСТА
УСТАЛОСТНЫХ МИКРОТРЕЩИН
М.В. Паукшто
При циклическом нагружении поликристаллических образцов происходит развитие имеющихся и возникновение новых микротрещин (т.е. трещин, размеры которых сравнимы с размерами зерен-монокристаллов). После появления макротрещины (т.е. трещины длиной порядка десяти средних размеров зерна) дальнейший процесс усталостного разрушения удовлетворительно описывается известными теориями. Однако разброс по времени существования образцов определяется именно начальной стадией разрушения, когда отсутствуют макротрещины и поликристалл (на макроуровне) можно считать сплошным. Оказывается, что скорость роста микротрещин не следует стандартным эмпирическим формулам макротрещин. Значительное влияние на нее оказывают размер, ориентация и форма отдельных зерен.
Предлагаемая модель основывается на экспериментальных исследованиях [1, 2] и работе [3], в которых рассматриваются простые растягивающие нагрузки. При этом можно считать заранее известными траектории движения трещин, располагающиеся перпендикулярно приложенным силам [1] или по границам зерен в случае [2]. В статье [4] приводятся результаты численного моделирования процесса роста микротрещин. Пренебрегая взаимодействием трещин, авторы [1, 4] допускают, что состояние микротрещины характеризуется следующими основными параметрами: I - длина; 厶，办—длины отростков трещины в зернах, где расположены ее концы; 01,% — нормализованные параметры повреждаемости в концах трещины. Величины 01, 02 считаются мерами пластической деформации в соответствующих концах трещины:仇=1 (% 二 D для трещины с растущим левым (правым) концом и 仇 =0(02 = 0) для трещины с левым (правым) концом, только что блокированным границей зерен. Таким образом, набор параметров х = (/, /】,？2,01,02)удовлетворяет условиям: I > 0; /1, /?》0, 0 & 01,瓦 & L Естественно выделить три типа трещин с параметрами ^⑴ = =(/,人/2), х(2)= (7,厶，02)и к(3)=(?, 01，住)соответственно.
Пусть d〉0 - ширина зерна вдоль траектории трещины, q〉0 — максимальное расстояние от кончика трещины до границы следующего зерна вдоль линии скольжения (для разрушения типа [1]). В случае зерно граничного разрушения [2], когда остановки трещины происходят в точках разворота границы зерен, в качестве параметра q можно выбрать величину угла отклонения плоскости действия максимальных растягивающих напряжений от будущего участка траектории трещины.
При заданных локальных скоростях изменения состояния микро трещин и известных начальных условиях
£(/) = и")&х" q), x(/)|qo = t” /=1,2,3, (1.1) можно найти время (количество циклов), необходимое каждой из трещин для достижения макроскопической длины. Однако из-за высокой плотности микро трещин и существенной зависимости скорости и“)от последовательностей \di\ и \qj\ параметров d и q вдоль траектории трещин такой расчет затруднителен даже с использованием современных ЭВМ. Кроме того, практический интерес представляет не детальная информация о каждой из микротрещин, а величины более непосредственной экспериментальной или технической значимости, например продолжительность существования образца. Воспользуемся поэтому осредненным ойисанием процесса.
2・ Обозначимте△，厶入)-число трещин типа / (/ = 1, 2, 3), целиком лежащих в области △ в момент времени t (через f циклов) с состоянием х⑺ < X, X =(入 1,入2,入з). В частности, х^ < 入 означает, что длина Z〈入1, один из отростков трещины 乙〈入2, а повреждаемость другого конца % < 入з・ Предположим, что существуют поточечные пределы
lim —F^n,tfX) = F^(ttX)9 /=1,2,3, (2.1)
М f 8 П
где I △〃} - последовательность вложенных областей, | △„ | = я - площадь области △九.Соотношение (2.1) связывается с однородностью напряженно- деформированного состояния при простых растягивающих нагрузках. Функция 方")«, X) может быть негладкой, поэтому приблизим ее гладкой функцией F^^(tt 入)так, что
1k/)g 人)一尸⑺g入)1《£.
Значение е не может быть меньше половины наибольшего из скачков функции 芹0(% 入).
Пусть d尸(')(厶入)=f ")«,入)d入，тогда f(力(厶入)будем интерпретировать как плотность числа трещин типа / на единицу площади с состоянием в интервале (入,入 + JX). За время dt трещины типа 2, с состоянием х°)(/ =
) (2) (2)
=Xi > 0, 0 < /1 = х2 < d, 0 < 02 = Хз < 1) в момент времени t перейдут в состояние у^ = х^ +u(2)df. При этом их число на единицу площади изменится на величину/(2)(f + df,y(为力⑵—f ⑵(f,x(2〃dxQ), которая равняется числу вновь появившихся трещин — I^(tf y^dy^ dt плюс трещины типа 3 за время dt, преодолевшие границу зерен — 166
g^3i 2\t,y^)dy^ dt. Аналогичные соотношения справедливы для/ = 1,3, таким образом уравнения баланса трещин типа / = 1, 2, 3 запишутся в виде
—+ di^f^v(n) = IU)^(f^J)ig(^ о(2.2)
Равенства (2.2), по-видимому, впервые получены в работе [3], где функции F^\tt X) предполагались гладкими.
Учет слагаемых g"+h‘)в уравнениях (2.2) означает возможность "мгновенного” перехода трещин из состояния х(з)=(/ — /ь 1, 02), 0 < < 02 < 1, В состояние X(2)=(/, /1,02)ИЛИ ИЗ СОСТОЯНИЯХ。)=(/ — %,厶，1) в x(D = (/,厶，％)• Таким образом, скорость переносаg^2,1^ зависит от величин/(2)ахР)-且1),А”，1)/2)(С)_ 公D,£D,i),aaHa・ логичная скорость g(з,2) зависит от плотностей/^3\х^2^ - х^, 1,хР\ (2)(2)(2) 口
尸'(Xi -工2 , Хз , 1). При непрерывном переходе трещин через границы зерен или точки разворота (в случае зернограничного разрушения) g(/+i，j)三0,齐 1,2,3：
Систему уравнений (2.2) следует дополнить начальным условием
f(/)(0,T(/))=公％ ⑺)，/-1,2,3,(2.3)
и условиями ,,cornacoBaHHHn. Для этого удобно указывать явную зависимость плотности f“)от параметров d м q:
/")二/0)&х(/), d“))，鼠1)=(心，心)，d(2)= (di,以)，d(3)= (q】，q?)・ При этом система уравнений (2.2) не изменится, так как d“)постоянно в пределах одного зерна. Введем обозначения:
0(d(D)二(0, 8)х (0,41}) X (0, d「)，
0(d(2)) = (0,8)х (0, dF>) X (0, 1),0(d(3))二(0,8)х (О, I)2
и выпишем условия "согласования” плотностей /“), /(2) на Границах D(d^) и Z)(d(2)) в ^^пepиoдичecкoм^^ случае:
/⑴g х⑴,d⑴)以 1):状寸(2)g X?),公D, 0,41), q@⑴))， f^x^ld^^^U^f^x^l^^^
2/⑴& x(D,d⑴升熠)=o 二戸GxfW,l,d”q@(D)), 2川(门(1),川))| J)=o=f(2)Gx?),x"l,dF),q(d「))，(2.4)
где q = q(6?) — заданная функция. Аналогичные условия связывают плотности戸 И/。) на границах 0(d(2)) и 0(d⑶).
Возможны условия ‘‘согласования" другого типа, связанные, например, со случайным распределением размеров зерен в поликристалле.
Заметим, что характеристики х^ = х")(f), f“)=/")(£)системы уравнений (2.2) с начальными условиями (2.3) удовлетворяют уравнениям
и начальным условиям (1.1), а также уравнениям
/(/)+ /(/)div и⑺二/")+gO+i，/〉， /=1,2,3.(2.5)
При g" + iJ)三0, /=1,2, 3, из (2.3) и (2.5) находим
Пусть существует гладкое решение х“) = х")(厶 т“)) задачи (1.1), а система уравнений
х") =х(/)亿 т(/)),/= 1,2,3,
однозначно разрешима относительно т") = т")& х"))・ Кроме того, пусть т“)м/А" — гладкие функции, а/“)— непрерывная функция. Тогда существует единственное (классическое) решение системы (2.2) с начальными условиями (2.3) и g"+i，/)=0, /= 1,2, 3.
Условия согласования (2.4) накладывают дополнительные ограничения на функции 公2
Рассмотрим простейшие примеры. Даже при распространении трещин в монокристалле локальные скорости изменения параметров трещин сложным образом зависят от многих физических характеристик. Например, в [5] соответствующая формула для скорости приводится с учетом освобождения латентной энергии при продвижении трещины. Важен также учет 5,решетчатого захвата” [6, 7] • В случае поликристалла задача определения и(')(% х^, q) еще больше усложняется, хотя имеются некоторые результаты [8]. Здесь для наглядности ограничимся рассмотрением скоростей 匕=/1 + В, 0 二 4q~i. Предположим, что растут лишь правые концы трещин и q(di) н q2, q(d?) = Qi - Таким образом, трещины развиваются в слоистой среде с чередующимися слоями толщиной d】и J2. При выходе правого конца трещины на границу слоев повреждаемость изменяется по формуле P = Aq~1t + a, Для плотностей f ⑴«, A,d) и f^(tf ft q) с учетомg^+1,/fe
三/")= 0 имеем
8f⑴
8f⑴
u⑴+f⑴
8u⑴
』 二0，
зи⑴ = 1
bt
+拓
8厶
氾
8f（2）
扒2）
Р(2)+/(2).
阪（2）
加⑵
+
—0,
=0.
80
80
¥
Следовательно,
/⑴亿 人,心)=公%g +8)e-一8,心)?〕0<Л<^,
О<0<1, i=l,2.(3.1)
Решение (ЗД) однозначно определено по начальным условиям (2.3). Однако условия "согласования" на границе
f ⑴g 心,4•)寸(2)亿 0, q@)), f(2)(厶 1, q@))寸⑴亿 0, 4•)
Геометрия трещин в примереГеометрия трещин в примеревлекут за собой равенствавлекут за собой равенства劇(5…"“)(一备“⑷)劇(5…"“)(一备“⑷)/=1,2,/=1,2,
Геометрия трещин в примере
Геометрия трещин в примере
влекут за собой равенства
влекут за собой равенства
劇(5…"“)(一备“⑷)
劇(5…"“)(一备“⑷)
/=1,2,
/=1,2,
необходимые для существования решения.
Другой пример поясняется рисунком. Правые концы трещин находятся в целых точках оси у, %/) - ширина /-го зерна вдоль траектории Ьй трещины, q, = \fldj. Время 灰，необходимое 左・й трещине для увеличения длины на 丄二由(后)+ .. . + &%(%), равно
InIn
In
In
Очевидно, что
Л \ В ) A\NB /
Следовательно, наибольшее время понадобится трещине, на пути которой расположены N зерен ширины d/ = LN~\ а наименьшее - трещине, перед которой одно зерно di =L,〜
В заключение приведем пример функции распределения F(t,入3). Пусть трещины % = 1, 2,... имеют повреждаемость в момент времени Г, равную At«) = (\/2/2)ЛМ/г(^), причем dx^k^di при к-^°°. Если каждая из трещин расположена в зерне единичной площади, а — объединение первых п зерен, % = 1,2,…，〃，то
%%<入3,
方(△〃，？，入3)二%， 氏<入3<氏+ 1，氏二 0ko
、0,入з < 61。
Следовательно, F(t,入3) = 1 при (y/^2)AtdJ < 入3 и 齐& 入з)二 0 при 入3 < <(>Д/2)4 以丿.
12. Зак.891169
Микроскопические геометрические свойства образцов, так же как распределение размера и формы зерен, можно измерить в результате экспериментов, для интерпретации которых может быть использована рассмотренная модель.
Автор признателен Н.Ф. Морозову за постоянную поддержку и ОТ. Ры- бакиной за ценные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
Morris W.L, James М. R, Buck О. Growth rate models for short surface cracks in A12219-T851 // Met. Trans. A. 1981. Vol 12. P. 57-64.
Крамаренко И.В., Красовский А.Я., Лихачев В.А., Васильев Н.Н. Микромеханизмы роста трещин усталости по границам зерен в крупнозернистом никеле // Проб л. прочности. 1985. № 9. С. 50-59.
Pardee WJ, Morris W.L, Сох B,N. Microscopic origins of stochastic crack growth // Leet. Not. Math. 1983. Vol. 1035. P. 414-431.
Morris W.L.t James M.R., Buck O. Computer simulation of fatigue crack initiation // Eng. Fract. Meeh. 1980. VoL 13. P. 213-221.
Кривободров B.C., Орлов A.H. Начальные стадии эволюции микротрещин // ЖТФ. 1985. Т. 55, вьш. 8. С. 1677-1679.
Новожилов В.В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах 〃 ПММ. 1969. Т. 33, №5. С. 797-812.
Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Динамика трещин в дискретной постановке//Вести. ЛГУ. Сер. 1. 1987. Вып. 3. С. 67-71.
Tanaka K,f Wei K.R Growth of short fatigue crack in HY130 steel in 3,5% NaCl solution // Eng. Fract. Meeh. 1985. Vol. 21, N 2. P. 293-305.
УДК 539.3
О КРИТЕРИЯХ РАЗРУШЕНИЯ
СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Б.Е. Победря
Оценка прочности конструкционных материалов и изделий из них — одна из самых основных (если не самая основная) глобальных задач механики деформируемого твердого тела. Ее решение связано с огромными и пока еще не преодолимыми трудностями. Дело в том, что анализ разрушения материала должен основываться на определении характерных видов дефектов и способов их распространения, на учете механизма физического и химического взаимодействия отдельных компонентов неоднородности материала и т.д. Поэтому в инженерной практике часто пользуются упрощенными подходами, в частности основанными на трактовке акта разрушения как порогового явления, зависящего, вообще говоря, от времени. Ниже речь пойдет именно о таких критериях разрушения.
Классические теории прочности. Критерий наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности), критерий наибольших линейных деформаций (вторая теория прочности), критерий наибольших касательных напряжений (третья теория прочности), энергетические критерии, теория прочности Мора и ее обобщения [1] обычно называются классическими теориями прочности [2]. Все эти теории можно описать функцией, завися-
щей от тензора напряжений, которая в пространстве напряжений ограничивает безопасные напряженные состояния:
尸(01 1 ,。2 2 ,033,012,。2 3,。31)= 0・(1-1)
Однако скалярную функцию тензорного аргумента можно всегда представить в виде функции от независимых инвариантов этого тензора. Например, для изотропных материалов вместо (1.1) можно записать
(1.2)(1.2)F(®, о”，Z)= О,
(1.2)
(1.2)
где, например,
® 三 о〃・，Он 三y/stjS小 Z 三 det I Sy I,
причем тензор напряжений。万 разбивается на два взаимно ортогональных тензора: шаровой и девиатор “产
0力=i/з ®5jj + n/.
Иногда предполагается, что от третьего инварианта Z функция не зависит (постулат квазилинейности) и критерий (1.2) представляется в виде /(аи ) = ^(0),(1.3)
где / - функция от интенсивности тензора напряжений ои,аК - некоторая "константа” материала, зависящая от гидростатического давления.
Для анизотропной среды естественно использовать р-представление тензора напряжений [3]
(к)
0广S 几自一+2 目"加《3,6,
к = 1«к7 = m + 1
причем
рЗ)尸(0),
? 2一 = 3咱几三#/俨，％0二1,…，2
Здесь “У (к = 1,...,加)-тензоры -константы:
守留 -"产
= бкр, 2= 5小 к,р= 1,т;
инварианты УК(УК = 口打&?%，к = 1,・.・,加)называются линейными, а соответствующие этим линейным инвариантам р-тензоры имеют вид
Р^=Ука^/ак.
Критерий (1.1), имеющий вид (1.2) для изотропной среды, может быть с помощью введенных обозначений записан для произвольной анизотропной среды как
尸(匕，：..，%)二0, n&N.(1.4)
Если справедлив постулат квазилинейности, то из (1.4) следует обобщение (1.3) на анизотропный случай:
f(% + i,•••,/) =《(匕，…，厶).(1.5)
В частности, для трансверсально изотропной среды 麓=4, m = 2, и, если ось
трансверсальной изотропии направлена вдоль вектора q, имеем [3]
У]三 о 二 CtSjCj, 匕 三 %=%Sj@计-qq),
у3 三尸=\^可 + 。2 _ 2(У + g2): % 三0 = 4/y- 02：
где Y=CiOikQkjCj. В таком случае критерий (1.4) можно представить в виде
R(o,匕，上 0, Z) = О,
а квазилинейный критерий (1.5) в виде
f(P,O) = K9,d).
Тензорно-полиномиальные критерии. Предположим теперь, что для каждого компонента структурно-неоднородного материала (композита) справедлив тензорно-полиномиальный критерий прочности [4-6]. Тогда
BijgU" + BijkigUijUkl + ^Цкlmn(х)°ij°klGmn 二】‘(2.1)
где тензоры прочности 5行,B^z» ^ijkimn зависят от координат. Возникает вопрос, как по критерию (2.1) найти ,,осредненный,5 критерий для приведенной анизотропной среды с так называемыми эффективными тензорами прочности. Задача нахождения таких тензоров прочности не всегда имеет чисто прикладной интерес. Иногда как раз неизвестны критерии (2.1) для отдельных компонентов композита и требуется по осред- ненному критерию получить недостающую информацию.
Для решения поставленной задачи можно воспользоваться методом осреднения [7, 8]. Для этого полезными оказываются тензоры концентрации напряжений, введенные в [7, 9]. Рассмотрим, например, слоистый композит с изотропными слоями, перпендикулярными оси х3, так что тензор модулей упругости композита может быть записан в виде (рассматривается хрупкое t разрушение композита)
Е Г 1рI
Cijkl = ~~ V 6% Е + &n&jk) + "：~I ,
где Е(хз), р(х3) - модуль Юнга и жим, что критерий (2.1) имеет видгде Е(хз), р(х3) - модуль Юнга и жим, что критерий (2.1) имеет видкоэффициент Пуассона. Предполо-коэффициент Пуассона. Предполо-
где Е(хз), р(х3) - модуль Юнга и жим, что критерий (2.1) имеет вид
где Е(хз), р(х3) - модуль Юнга и жим, что критерий (2.1) имеет вид
коэффициент Пуассона. Предполо-
коэффициент Пуассона. Предполо-
2 ^ik^jl^^il^jk —— ^ij^klY2 ^ik^jl^^il^jk —— ^ij^klY(2.2)(23)(2.2)(23)
2 ^ik^jl^^il^jk —— ^ij^klY
2 ^ik^jl^^il^jk —— ^ij^klY
(2.2)
(23)
(2.2)
(23)
^ijkl^^^ij^kl - 1, где
1
5)= ~^
ть — предел прочности материала слоя при чистом сдвиге. Заметим, что критерий (2.2), (2.3) является критерием энергии формоизменения и указывает на то, что наступление разрушения не зависит от величины гидростатического давления.
Если считать, что между слоями осуществляется идеальный контакт, то после осреднения получим ^эффективный^ критерий для приведенной (трансверсально-изотропной) среды [10]:
2+卞+
Р 1 / 1114 \
где введены технические пределы прочности:。丄 и。尸一пределы прочности при растяжении (сжатии) вдоль и поперек слоев, ть итг — пределы прочности при чистом сдвиге вдоль и поперек слоев, ор — предел прочности при всестороннем гидростатическом давлении. При этом
++
+
+
AG〉；记з)
= р Г e ((1 一2")/(1 -")〉_ 1_2"
。；Vь 11-^<^/(1 -р)>1 -Р 1 / *
Входящие в (2.5) компоненты тензора концентрации напряжений имеют вид
e (留(1 -户)>一"(现/(1 一产))
4=
1 -Р2* <^/(1 -р)><^/(1 +〃)〉
_ 后 〃(同(1-吟)_(Е叭1一2))
Л1 1 22 二Т,(2.6)
1 一户 <^/(1-p)><^/(1+Р)>
/рЕ <р/(1 -р)>,_ 1 〈風(1 +〃)〉
4133 = ~-:4212 =; / гТ，
1 - р 1 - р <^/(1 - р)>2 <^/(1 -р)>
причем справедливо соотношение
^1111 - 4122 = 〃1212・
Из (2.4) видно, что хрупкое разрушение слоистого композита может наступить от гидростатического давления, несмотря на то что материал каждого слоя при гидростатическом давлении не разрушается [10].
Чтобы учесть неидеальность контакта между слоями [7], в соотношения (2.4) —(2.6) необходимо ввести соответствующие коррективы (при этом появятся члены, ответственные за адгезионную прочность). Заметим также, что критерий, аналогичный критерию (2.4), может бьпь легко установлен и для волокнистых однонаправленных композитов, поскольку для таких композитов известно точное аналитическое выражение тензоров модулей упругости нулевого приближения [11].
Энтропийные критерии прочности. Для описания не только хрупкого разрушения композита можно учесть неупругие свойства его компонентов. Для этого сформулируем энтропийный критерий [5,12] в виде
г*
fW^at = C,
о
где f * — время разрушения, С — константа, определяемая экспериментально, а И7 * —функция рассеивания [13]. Эта функция для линейных и квазилинейных определяющих соотношений между напряжениями и деформа-
циями найдена в явном виде [14] для произвольных процессов (не обязательно циклических):
0炉[%• - a扒г- г0)]-m川10)0a県1.
Здесь точка означает дифференцирование по времени, а” — тензор теплового расширения, е^ — тензор деформации, а 口〃％?(0) — значение при Г= 0 тензора эффективных ядер ползучести приведенной анизотропной среды [7]. Если рассматривается композит, компоненты которого подчиняются теории малых упругопластических деформаций А.А. Ильюшина [15], функция рассеивания [7]
где 1а 一 инварианты р-тензоров деформации, а 3& - функции пластичности Ильюшина для приведенного анизотропного тела, в котором эффективные определяющие соотношения имеют вид
п
= д'】 "а。[1 一 За(А , • • •,厶)]//
Здесь 4as — постоянные, которые определяются по известному эффективному тензору модулей упругости C^i следующим образом [16]:
Для "упрощенно京"теории пластичности [7] имеем п
W*= S %[з“]. 7 = m + 1
Разумеется, важной задачей механики структурно-неоднородных материалов является установление четких границ применимости того или иного феноменологического критерия разрушения, что без надлежащих экспериментов сделать невозможно.
ЛИТЕРАТУРА
Филоненко-Бородич М.М. Механические теории прочности. М.: Изд-во МГУ, 1961. 92 с.
Кишкин Б.П. Конструкционная прочность материалов. М.: Изд-во МГУ, 1976. 184а
Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986. 320 с.
Ашкенази Е.К., Ганов З.В. Анизотропия конструкционных материалов. Л., 1972. 216 с.
Голъденблат ЯЯ, Бажанов В.Л., Копнов ВА. Длительная прочность в машиностроении. М., 1977. 248 с.
Малмейстер А.К„ Тамуж В.П., Тетере Г.А, Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. 572 с.
Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М・：Изд-во МГУ, 1984. 336 с.
& Бахвалов НС, Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352 с.
Победря Б.Е,, Горбачев В.И Концентрация напряжений и деформаций в композитах // Механика композит, материалов. 1984. № 2. С. 207-214.
Горбачев В.И,, Победря Б.Е. О некоторых критериях разрушения композитов Ц Изв. АН АрмСФ. Механика. 1985. №4. С 30-37.
Мольков BA,t Победря Б.Е. Эффективные характеристики однонаправленного волокнистого композита с периодической структурой // Изв. АН СССР. МТТ, 1985. №2. С. 119-130..
Федоров В.В. Термодинамические аспекты прочности и разрушения твердых тел. Ташкент: Фан, 1979. 168 с.
Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.
Победря ЕЕ О связанных задачах механики сплошной среды // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1971. Вьш. 2. С 224-253.
Ильюшин А.А. Пластичность. М.; JL: Изд-во АН СССР, 1948. 340 с.
Победря В.£ Деформационная теория пластичности анизотропных сред//ПММ. 1984. № 1. С29-37.
УДК 534.1:539.375
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПОЧКЕ
Л.И. Слепян, Л.В. Троянкина
Цепочка из точечных масс, соединенных упругими безынерционными пружинами, — идеальная система для математического моделирования волн с дисперсией, особенно нелинейных волн. Так, с помощью численного анализа на ЭВМ динамики нелинейной цепочки Энрико Ферми, Джон Паста и Станислав Улам в 1955 г, впервые обнаружили формирование в ней устойчивых уединенных волн, названных впоследствии (1965 г.) солитонами (на водной поверхности такая волна впервые наблюдалась Джоном Скоттом-Расселом в 1834 г. и описана им в 1844г.). Эти открытия породили в дальнейшем обширную литературу* В качестве одного из последних обзоров по данной тематике укажем статью [1].
Иногда цепочка используется как простейшая модель (одномерной) сплошной среды, удобная для расчета на ЭВМ. Однако ее дискретность полезна и по существу — для описания тех процессов, в которых часть энергии воспринимается "внутренними степенями cвoбoды^^. Это происходит, например, при распространении ударных волн, волн разрушения (дробления), трещин, т.е. там, где переменные, описывающие поле, претерпевают сильные разрывы. В этих условиях модель сплошной среды без внутренней структуры оказывается некорректной: в рамках этой модели не выполняется закон сохранения энергии (конечно, при описании соответствующих процессов указывается, что избыток энергии переходит в тепло, в поверхностную энергию .. .,но эти переходы находятся вне теории среды, не описываются ею) • Замена непрерывной среды дискретной (средой со структурой) позволяет устранить этот дефект, одновременно описать состояние на микро- и макроуровнях и установить связь между ними [2].
В общем случае нелинейной цепочки применим лишь численный анализ. Существует, однако, класс кусочно-линейных диаграмм, определяющих связь между удлинением пружины е и растягивающей ее силой о (укорочением и сжимающей силой), при которых эффективны аналитические средства. При этом для применимости аналитических методов существенно предположение о том, что после перехода с одного линейного участка диаграммы на другой предыстория забывается и характеристика пружины
Рис. 1 Диаграмма а-еРис. 1 Диаграмма а-еотвечает последнему линейному участку, включая его линейную экстраполяцию на меньшие деформации (показанную на рис. 1 штрихпунктиром).
Рис. 1 Диаграмма а-е
Рис. 1 Диаграмма а-е
Случай о。= 0, 0 V о? < 。1，соответствующий частичному разрушению цепочки, рассмотрен в [3], соотношения для параметров ударной волны в цепочке при 。2 =。1, о。< 0 построены в [4]. Здесь рассматривается более общий случай, отве-
чающий ударной волне дение при о。-> —0.чающий ударной волне дение при о。-> —0.при。1 < о?, 5)< 0, включая его вырож-
чающий ударной волне дение при о。-> —0.
чающий ударной волне дение при о。-> —0.
Постановка задачи. Рассмотрим линейную цепочку, состоящую из точечных частиц, расположенных при целочисленных значениях координаты х = 0, ± 1,..., соединенных безьшерционными связями с характеристикой сила—деформация, показанной на рис. 1. Пусть 〃(厶 х) — перемещение частицы в направлении оси х (t — время). Обозначим через е(Г,х) и а(Г,х) удлинение связи мевду частицами х, х + 1 и силу, растягивающую эту связь. Тогда
(1.1)(1.1)e(tfx) = u(tfx + 1)-〃«,х).
(1.1)
(1.1)
Будем рассматривать стационарную, точнее, периодическую задачу, предполагая, что перемещение каждой частицы представляет собой одну и ту же функцию времени со сдвигом, пропорциональным координате частицы:
〃 = 〃(т), т = х-иг, и = const.(1.2)
Соответственно лишь от переменной т будут зависеть деформация и сила (заметим, что в [3], где рассматривалась двухфронтовая структура, такая зависимость приписывалась лишь деформации и силе, но не перемещению).
Примем, что слева (со стороны х = — °°) распространяется волна растяжения (или сжатия, тогда диаграмма соответствует деформации и силе сжатия) постоянной интенсивности е = е* > ei，От ударного фронта, движущегося со скоростью и, будут излучаться осциллирующие волны, параметры которых подлежат определению. Поэтому в качестве условий при х 今 ± 8 принимаются условия, накладываемые на неосциллирующие (осредаенные, макроскопические) волны:*
е° ->еф >61 (т-> —8), е° -> 0 (т -> + °°).(1.3)
Что же касается осциллирующих волн, то потребуем, чтобы они уносили энергию от фронта разрушения. Примем, что нижний (левый) участок диаграммы определяет жесткость £】(<>i = ^ej), а верхний (правый) — жесткость Е2 (do/de = &)• Будем считать, что деформация е】достигается при т = 0, и в соответствии с диаграммой положим
。(7)=吊6(7)(?>0, £<61),
0(7)=e26(7)+。0 (T > 0) ,(1.4)
e2 >后1 (后1,2 = COnSt), 00< 0,
Уравнение движения
m^u/bt2 = т\^ии(т) = а(т) - а(т - 1).(1.5)
Отсюда и из (1.1) находим
加Ме"(т) =。(丁 + 1) + о(т — 1) — 2 о(т).(L6)
Уравнение движения (1.6), условия (1.3) и уравнение состояния (1.4) полностью определяют рассматриваемую задачу.
Общее решение. Применяя к (1.6) преобразование Фурье, с учетом (1.4) получаем
тМq21 = 2(1 _ cos]€： +后21 +(2・D
\0 +山
где8
ef = / е(т)Н(±т)е^т(1т, e = e+ + €_ .
Равенство (2.1) можно записать в виде
d(a)efd(a)ef,f 2oo(l-cosa) 。0(%-%2)+ 力2 (q) £ =—=,
d(a)ef
d(a)ef
- О + iq (邑-Е1)(0 + М)
厄,2(4)= ”*«,岩｝(2.2)
力*(q, iqu) = 2(l—cosq) — i?a2,q,2 =，^1,2/加
В дальнейшем потребуются представления Л1>2 =力 1,2+力 1,2 — (факторизация) ,где функции, помеченные индексом "+” не имеют особых точек и нулей в верхней полуплоскости а, а функции с индексом ''-" - в нижней полуплоскости q. Нули Л1>2 на вещественной оси приписываются верхней или нижней полуплоскости по правилу, вытекающему из замены iqu на 0 + iqu [5]:
%*(q, 0 + iqv)- 2(1 - cos q) + (0 + iqu)?.
(Сведения о функциях 力 i, 2 ±(4,0 + Lqu) приведены в [5].)
Указанное выше правило отбора стационарных решений соответствует выбору такого решения, которое является пределом решения той же, но нестационарной задачи с нулевыми начальными условиями [5]. Этим предотвращается приток энергии из х = ±оо. Чтобы ввести падающую (неосциллирующую) волну, в дальнейшем будут проведены некоторые действия вопреки данному правилу, но нарушения его будут касаться лишь точки q = 0. Тем самым приток энергии к фронту на осциллирующих волнах будет по-прежнему предотвращен. Первое из упомянутых действий состоит в замене отношения 力 J(0 + iq) на -hj (0 - fq), что существенно
облегчает реализацию метода Бинера—Хопфа, так как при этом достигается автоматическое разделение правой части выписанного ниже уравнения (2.4) на слагаемые, отвечающие односторонним преобразованиям Фурье. Запись 0 + i“ означает: 0 + iq 二 lim (а + iq) при 〃 今 + 0, т.е. что нуль этого выражения q = /0 (q = i〃 今 fO) принадлежит верхней полуплоскости. Замена 0 + iq на - (0 - fq) переводит его в нижнюю полуплоскость. Это, как уже отмечалось, может повлечь за собой дополнительные неосциллирующие волны, удовлетворяющие, однако, уравнениям стационарной задачи. Действительно^ пределе (〃 = + 0) разность выписанных отношений
= 0,
-(
о + s о — s
2 Tr%i5(q)
так как 力 i (q) =。(q?) при q — O (5(q) - дельта-функция Дирака). Итак,
自(a)ef+ %2(a)ef =-(2.3) Е2 - Ev \ 0 - ^0 + %/
Теперь можно представить это уравнение в виде k F . 〃2- F +е =
—00( 厶1+%2
后2 -吊 \Лг+(О- iq) A _(0 + iq)
+ R(q),
(2・4)
где R (q) — обобщенная функция, сосредоточенная при q = 0 и такая, что
R(q)〃”(q)〃2+(a) = 0・
(2.5)
Введение функции R(q), как видно из (2.5), не изменяет исходное соотношение (2.3), но, как и выше, при этом появляются дополнительные возможности для введения неосциллирующих волн. Выпишем асимптотики функций 〃i,2土 (см. [5]) с учетом того, что при указанных условиях
q <v<c2 (а0 <0).
(2.6)
Эти асимптотики имеют вид
%1_ ~
у2 \
—-1 j(0 + i<7)2, %一 ~
(0 + G
у2 \и2 \
(q-о);
自 一 ~，^7-(0 + SA，力2一 ~，^ "- (。+ iq)?，
(2.7)
(qf-8色1,2-), 4今+ »8(/ц,2+)),
ммM + lM + lП а^, А~ = 口 蘇, =1左=1П а^, А~ = 口 蘇, =1左=1
м
м
M + l
M + l
П а^, А~ = 口 蘇, =1左=1
П а^, А~ = 口 蘇, =1左=1
(2.8)(2.8)(2.9)(2.9)¥(〃)= -¥(〃)= -e2 一当e2 一当1 Ло +.“+(45+ + Вб + + СЗ +), O-iq % +1 Ло +.“+(45+ + Вб + + СЗ +), O-iq % +(2.10)(2.10)e£(q) = -e£(q) = -°。°。晶一£1晶一£11(46- +况， +C5t).О + iq Л2-1(46- +况， +C5t).О + iq Л2-
(2.8)
(2.8)
(2.9)
(2.9)
¥(〃)= -
¥(〃)= -
e2 一当
e2 一当
1 Ло +.“
+(45+ + Вб + + СЗ +), O-iq % +
1 Ло +.“
+(45+ + Вб + + СЗ +), O-iq % +
(2.10)
(2.10)
e£(q) = -
e£(q) = -
°。
°。
晶一£1
晶一£1
1
(46- +况， +C5t).
О + iq Л2-
1
(46- +况， +C5t).
О + iq Л2-
где 額文一положительные нули функции h2 (q), причем помеченные индексом ''+" или "一” соответствуют распространяющимся волнам, фазовая скорость которых и не больше или не меньше групповой: sina^》(и/с2)2а^, sinQ& & (и/02)?а^ (равенство достигается в случае двухкратного нуля;
тогда один из них 仪甚 другой а^ = а；), Из (2,5) и (2,7) следует:
R = 27r(45(а) +5”q) + 08^)),
где А, В, С — постоянные.
Представим функцию Дирака в виде 11
5(q) = T®+(q) + 5_(a)), 5±(^) = -—-
2тг0 + iq
из (2.4) находйм
(2.11)(2.11)(2.12)(2.12)С=0, 5 = _С=0, 5 = _后2 一瓦 或一后2 一瓦 或一ММ(2.13)(2.13)
(2.11)
(2.11)
(2.12)
(2.12)
С=0, 5 = _
С=0, 5 = _
后2 一瓦 或一
后2 一瓦 或一
М
М
(2.13)
(2.13)
Постоянные Af Bt С и скорость и определяются из условий (1.3) и равенства
j(+0) = £-(- 0) = fl.
Условие е° -*0 при т-> + °° эквивалентно следующему: Ит (O-iq)ef(a) = O, q f 0 откуда находим
//°о£1 +显一当°о£1 +显一当(2.14)(2.14)(2.15)(2.15)
/
/
°о
£1 +
显一当
°о
£1 +
显一当
(2.14)
(2.14)
(2.15)
(2.15)
Равенство (2.11) означает, что Нт ре£ (土 ip) = £i・
Р f +8
Обратившись к (2.7), находим
/*(02 -01 )
/f& 一吊)
(равенство е+ (+0) = е_ (―0) выполняется автоматически).
Итак,
(2.16)(2.16)е+ ⑷二е ~(a ~а1)+ (e2一历)(0-%) L 力1+ \ Л
(2.16)
(2.16)
e£(q) = Ig - 01)—
Длинноволновое приближение и скорость фронта ударной волны. Из (2.16) с учетом (2.7) находим
lim е®(т) = е* = lim (0 -iq)e^((i) =。()/(加М -当)・(3.1)
т f — 8q f О
Отсюда следует известное выражение для скорости ударной волны
и = 4^2 е* +。0)/加£* = \/а*/加 £；,(3.2)
где о* = Нто2(т) при т 今 一8, т.е. о* - осредненное напряжение за фронтом удар恥而 волны. Его можно выразить еще и так:
% =00m/(1? - С分.(3.3)
Осциллирующие волны. Как видно из (2.2), функция /h(q) не имеет нулей на вещественной оси q, кроме точки ^ = 0, и так как все функции 〃1,2 土 комплексной переменной q — целые, то из (2Л 6) видно, что е+ не содержит распространяющихся осциллирующих волн. Все они, следовательно, распространяются назад (за фронтом ударной волны), а их параметры определяются расположением вещественных нулей функции Л2- (кроме точки q = 0) •
Пусть 〃2 — (土а) = 0 (а = а^ > 0). Применяя формулу обращения для преобразования Фурье, находим, что вклад точек q 二土а в е_ определяется вычетами функции ef (2.16) в указанных точках:
% = - (El/ Re{ [^!^ £ @ - 力)+
%一 (a) = lim 力2-⑷⑷-М)т •
(При выводе этой формулы учтено, что на вещественной оси 厶 1,2—(―仪)二 =后,2 一(叫)
Значения h1_(a)i ”2-(額)выражаются квадратурами [5]. Можно, однако, обойтись без их вычисления, если ограничиться определением амплиту-
ды осциллирующей волны (оставив фазу неопределенной). Если представить
(4.2)(4.2)то, как следует из (4.1),то, как следует из (4.1),k(&) %-(%k(&) %-(%• (4・3)• (4・3)% = Ка cosQt + 屮)，Ка > О,
(4.2)
(4.2)
то, как следует из (4.1),
то, как следует из (4.1),
k(&) %-(%
k(&) %-(%
• (4・3)
• (4・3)
Для определения последнего множителя в правой части (4.3) используем следующие данные о функциях Л1>2± (см. [5]) (равенства со знаком комплексного сопряжения справедливы лишь на вещественной оси q):
/ц- = (O + iqp 尸 №), 4+ =戸 1(*
力2(0 + s)2-斤2(4),力2+ =(0二")2+戸2g)，
(4.4)
м Г…』1+м Г…』1+
м Г
…』1+
м Г
…』1+
Отсюда на вещественной оси q
I尸1 |2 = i"q2, I尸2 |2 = h2/q2Q^Q+(4.5)
и, следовательно, при q = a
%_Q) 2 — Лх (а)а6
互-Q) 一 - GQ)(0二GOP '
。3)= Um。二(仪)=П [ 1 -1(4・6)
2-(q)0+(q)k^ nl \ak / J
(”呜，厄 Q)<0, G(a)>0).
Таким образом, для определения амплитуды Ка достаточно найти лишь положительные нули функции 力2(4), число которых — число осциллирующих волн — ограничено, оно зависит от отношения и/с2» увеличиваясь при его уменьшении.
Асимптотика при о。— —0. Посмотрим, как изменяются волны при о。т -0, т.е. когда скорость длинных волн за фронтом стремится (сверху) к скорости фронта. Фиксируем значение е£ 二 е* > j. Как следует из (3.1) — (3.3), при о。今 0 скорость фронта приближается к с2, а напряжение в осредаенной волне стремится к конечному пределу:
户一或二 о。/加е*, о* = mv1^ — mete*.(5.1)
Что же касается излучения от фронта, то здесь положение не столь стабильно. При и -> с? (и W с?) остается лишь один положительный нуль функции 力2(4)・ Поэтому Л+ = 1, Л * = as = а. Как следует непосредственно из
70. 2・ ударная волнаml м 一； QI n Q2 H 一； m2 н 2; а。== —1 二一 н 329"**2 U 507"**3 н 633рйс・•Ударная волна прн данннх рнс・ 2》уравнение состояния соответствует рнс・ 1 без штрнхпунктира70. 2・ ударная волнаml м 一； QI n Q2 H 一； m2 н 2; а。== —1 二一 н 329"**2 U 507"**3 н 633рйс・•Ударная волна прн данннх рнс・ 2》уравнение состояния соответствует рнс・ 1 без штрнхпунктира
70. 2・ ударная волна
ml м 一； QI n Q2 H 一； m2 н 2; а。== —1 二一 н 329"**2 U 507"**3 н 633
рйс・•Ударная волна прн данннх рнс・ 2》уравнение состояния соответствует рнс・ 1 без штрнхпунктира
70. 2・ ударная волна
ml м 一； QI n Q2 H 一； m2 н 2; а。== —1 二一 н 329"**2 U 507"**3 н 633
рйс・•Ударная волна прн данннх рнс・ 2》уравнение состояния соответствует рнс・ 1 без штрнхпунктира
Рис. 4. Ударная волна
€j = 1,4；。1 =。2 = 0,9; £*1 = 9/14;马=7/2; a0 = -4;厶=329, j = 507. % = 633
Рис. 5. Ударная волна
€t = 1,6; 01=02= 0,6; £*1 = 3/8; Е? = 6;。0 = —9;力=355； % = 532;厶=658
определенияЛ2(^) (2.2),приv->c2
а
(5.2)
Обращаясь к зависимостям (4.3), (4.6), находим (Q+ = 01 = 1):
Ка -atjv〜
(5.3)(5.3)e2团2一斗)(一。0)
(5.3)
(5.3)
\/^2期2 -El)(l - M抬)
Рост амплитуды осциллирующей волны (длина ее 2я/а также неограниченно возрастает, что видно из (5.2)) объясняется тем, что при и— с? ее групповая скорость относительно движущегося фронта стремится к нулю, а поток уносимой ею энергии Т стремится к ненулевому пределу
1
lim Т = Т0 = - (з -01)e102.(5.4)
00 f Q2
Из закона сохранения энергии следует равенство
11о
3(О2 i)JQ = 产а(и-%),(5,5)
где % — групповая скорость осциллирующей волны (множитель Е2 KAi2 в правой части (5.5) - осредненная плотность суммарной энергии - потенциальной и кинетической — в этой волне) • При а0 ->0 (v->c2)где % — групповая скорость осциллирующей волны (множитель Е2 KAi2 в правой части (5.5) - осредненная плотность суммарной энергии - потенциальной и кинетической — в этой волне) • При а0 ->0 (v->c2)
где % — групповая скорость осциллирующей волны (множитель Е2 KAi2 в правой части (5.5) - осредненная плотность суммарной энергии - потенциальной и кинетической — в этой волне) • При а0 ->0 (v->c2)
где % — групповая скорость осциллирующей волны (множитель Е2 KAi2 в правой части (5.5) - осредненная плотность суммарной энергии - потенциальной и кинетической — в этой волне) • При а0 ->0 (v->c2)
0002
Подставляя (5.6) в (5.5) и учитывая (5.3), получаем тождество.
Таким образом, если напряжение о。мало (по модулю): |а0 |《％, то при распространении ударной волны в такой цепочке будет наблюдать* ся сильный нагрев прифронтовой зоны (если колебания частиц в цепочке интерпретировать как тепловые).
В заключение заметим, что в цепочке с безынерционными связями деформация е(т) непрерывна (введя переменную г, мы ввиду непрерьшнос- ти / автоматически вводим непрерывную интерполяцию между целочисленными значениями х). Скачок деформации и скорости во фронте х = vt имеет место лишь для "макроскопического" приближения (для неосциллирующей волны, получаемой из асимптотики (2.15) при q f 0). В точном решении деформация при удалении от фронта вперед экспоненциально убывает. Действительно, ввиду того что особая точка q = 0 для ef (2.16)
J = 1；% = 0,5;% = 1,5；£\ = 1/2; E2 = 3/2; q, = 0;厶=358; % = 510;% = 637
устранимая, а в других точках на вещественной оси Л1+ в нуль не обращается, зависимость е+(т) определяется вкладами нулей h1+ в нижней полуплоскости q, что и приводит к экспоненциальной оценке убывания е+(т) при т 今 8.
На рис. 2-6 показаны некоторые результаты численного моделирования ударных волн в цепочке (по вертикальной оси отложены напряжения в относительных единицах, по горизонтальной - номера частиц в цепочке). Напряжение, внезапно приложенное при Г = 0 слева к цепочке из 103 частиц, сбрасывалось в момент t = t*, соответствующий нижнему графику на рисунках.
Вертикальными прямыми показаны теоретические положения макроскопических фронтов нагрузки и разгрузки, значения г2> ^з — моменты
времени, соответствующие второму и третьему графикам (начиная снизу). При расчетах за единицы измерения приняты: масса каждой из частиц, расстояния между ними и жесткость связи Е^ = 1, отвечающей рис. 2. Для всех графиков о* = 3.
ЛИТЕРАТУРА
Давыдов А.С. Нелинейная биофизика // Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.: Наука, 1986. С. 223-260.
Слепян Л.И. Динамика хрупкого разрушения в средах со структурой // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. №6. С. 121-130.
Слепян Л.И., Троянкина Л.В. Волна разрушения в цепочке // ЖПМТФ. 1984. № 6. С. 128- 134.
Дрбоглав С.В., Слепян Л.И., Троянкина Л.В. Распространение упругих волн в условиях разрыва сплошности // Проблемы нелинейной акустодиагностики. Таллин: Валгус, 1986. С. 43-50.
Слепян Л.И. Антиплоская задача о трещине в решетке // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. №5. С. 101-115.
УДК 539.3
МЕТОД ПРОГОНКИ
ДЛЯ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В РАСЧЕТЕ СТАТИКИ И КИНЕТИКИ ТРЕЩИН
И.С. Захаревич
Введение. Рассмотрим равновесие упругого тела с разрезом (трещиной) под действием приложенных к телу внешних нагрузок. Известно, что эта задача сводится к системе интегродифференциальных уравнений. Решение этой системы имеет сингулярности (корневые) около краев трещин. Важнейшая задача теории трещин - определение коэффициентов при этих сингулярностях, которые называются коэффициентами интенсивности напряжений (КИН). Здесь будет рассмотрена эта задача и задача о кинетике трещин. Дело в том, что часто КИН в заданной точке границы трещины определяет дальнейшую судьбу трещины в окрестности заданной точки —будет ли она расти (т. е. сдвинется ли контур трещины) и если да, то с какой скоростью.
Решение задачи о нахождении КИН требует огромной вычислительной мощности. Прямолинейный способ требует введения сетки в области трещины, конечномерного приближения интегродифференциального оператора (что само по себе непростая задача) , решения полученного уравнения 7 т. е. нахождения раскрытия трещины, а затем нахождения из решения коэффициента асимптотики. Последняя операция является аналогом численного дифференцирования, которое резко понижает точность вычисления. Поэтому результаты таких расчетов при всей их трудоемкости обладают низкой точностью — порядка 10%, Положение спасает предложенный Е.И» Шифриным двухбазисный проекционный метод [3],
однако и в нем для получения разумной точности требуется большое машинное время.
В работах [1, 2] автором был предложен новый метод расчета КИН. Метод заключается в выделении такого количества параметров задачи, что вариация каждого из этих параметров при вариации области выражается через остальные параметры. В набор этих параметров входит КИН на контуре трещины, а само раскрытие трещины входить не обязано. Если трещина имеет форму круга, то для всех этих параметров имеются явные формулы. Если же мы знаем их значения при некоторой форме трещины, то при помощи формул вариации можно узнать их значения для близкой по форме трещины. Включив область S, занятую трещиной, в семейство областей St с SQ = "круг", S】=S, мы можем пересчитывать значения параметров в области Sf+^z через значения в S^ ит. д. В результате при t = 1 получается значение КИН на 2S без вычисления раскрытия трещины в области S. Фактически мы сводим краевую задачу для интегро дифференциального уравнения к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) с начальными данными. Это разумно, если ОДУ устойчиво (имеется в виду ОДУ в бесконечномерном пространстве, поэтому вопрос о его устойчивости нетривиален). Она была доказана в [2], так что предложенным способом действительно можно вычислять КИН.
Главный из вспомогательных параметров задачи, за вариацией которого мы следим, - это функция е (х\ у9), У,у' W2S. Она описывает КИН в точке х‘ W 0S, вызываемый нагрузкой, сосредоточенной около у' W 0S. Эта функция имеет сингулярности при х Q“，поэтому при ее дискретизации необходима специальная теория.
В [2] мы выделили из е (х',у“) явно выделямую особую часть. Остаток оказывается гладкой функцией е0 (^,у). Можно написать формулы вариации, включающие в себя гладкую функцию е0 вместо е (см. пп. 1,2). При этом мы выделяем из интегралов, понимаемых в смысле обобщенных функций, слагаемые с известной сингулярностью, и остается только описать такой способ их вычисления, который не нарушает устойчивости точного уравнения. Основная техническая сторона предлагаемого нами способа — это введение определенным образом регуляризованных расходящихся интегралов. Из формул вариации удается выделить часть, сходящуюся в несобственном смысле, а остаток выразить через такие расходящиеся интегралы. В пп. 3,4 приводится эффективный метод численного расчета этих интегралов, а в п. 5 — вычисления несобственного интеграла. Эти вычислительные методы имеют второй порядок по числу точек разбиения границы 2S (напомним, что S не разбивается). В п. 6 мы доказываем устойчивость метода.
В результате мы получаем вычислительный метод, который так же относится к сеточным методам решения уравнений, как метод прогонки Гельфанда—Локуциевского—Келдыша [4] для якобиевых матриц к методам обращения произвольной матрицы. При реализации метода дискретизируется не область трещины, а ее граница. КИН находится непосредственно, а не пересчитывается из раскрытия трещины, причем если раскрытие трещины не требуется знать (в ответе), то его можно не вычислять. Кроме того, так как при расчете КИН на одном контуре трещины все равно получаются его значения на целом семействе трещин S力 то расчет кине-
тики трещин требует фактически такого же времени, как расчет КИН на трещине.
Метод не требует большой памяти, работает исключительно быстро (по сравнению с другими) даже при расчете одиночного контура трещин. Он был реализован на мини-ЭВМ СМ4-20.
Вычислительные эксперименты с методом показали его высокую устойчивость, точность и быстродействие. Результаты этих экспериментов изложены в п. 7. На основе метода прогонки была также разработана программа расчета кинетики трещин. Она показывает чрезвычайное быстродействие по сравнению со своими предшественниками. Если единственная известная автору программа расчета кинетики требует на один шаг 15 мин на БЭСМ-6 [6], то наша программа за 40 с рассчитывает процесс округления эллиптической трещины (при постоянной нагрузке) на мини-ЭВМ СМ4-20.
За всеми обозначениями, встречающимися в этой работе, и мотивировками читатель отсылается к [2]. Обобщенные функции здесь используются в духе [5]. Автор выражает глубокую благодарность Р.В. Гольдштейну за неоценимую поддержку и помощь при написании работы.
Численная реализация функции е. Как отмечалось в [2, п. 5], формулы вариации вместе с исчислением символов полностью описывают сингулярности функции е (х\У), у!у ^ 3S, которые могут возникнуть лишь при у ”：
e(x'，Z)三 (х',/)т — ^(х)^^,/) + “(Л/), (1.1)
где б。(х\Х) - гладкая функция на 8SX 8S.
Поскольку е0 — гладкая функция, то ее численная реализация не требует ухищрений: достаточно взять N точек 内，..・，Pn на 35 и задать матрицу 6。(PhPj)二 ^ov- Так как е (х ,у) = е (/, х'), то достаточно задавать лишь значения е0^ при /</.
Фактически же мы опишем е0 несколько иным образом. Во-первых, описывается e^(phpj) только при г W / (или? < / ). Во-вторых, вводится некоторая гладкая функция Giix' .у^х1 ,y&S, и полагается
^(х\у)=占 J ("•/) +С (『,")• (L2) 47r2
В итоге получается набор чисел е2/у, z < /, где
勺引=£2(Pi，P/)・ (1.3)
Опишем теперь функцию ех (x(,yf>). Возьмем произвольный круг К с окружностью, проходящей черезxfyr; положим5^1 ^ = 5 \ К, S^ = = K\S; пусть sS：?f = /)、阳](?卜к力(/))" = 1,2; тогда
向仪",S)=Hm (( - / ) • (14)
Теперь формула (1.2) дает окончательное определение функции е 2. Закон преобразования е при инверсии [1] дает конформную инвариантность р(х\ у'У £2 0： •/)•
Функция £ 2 определена при x'W у. Очевидно, что она при этом ограничении гладкая. Можно доказать, что она продолжается до гладкой функции на 35 X 85, включая диагональ. Мы будем представлять е2 с помощью набора чисел е 2(Р/, р,), i # /・ Отсутствие членов с z = / не нарушает класс точности представления е2, так как их можно восстановить интерполяцией из-за гладкости е2 •
Отметим, что функция е 2 изменяется при конформных преобразованиях по тем же формулам, что и e t. Однако далее мы будем пользоваться лишь инвариантностью при преобразованиях подобия
£2("',入 У，入 S)^(x^y.S),£2("',入 У，入 S)^(x^y.S),(1-5)(1-5)
£2("',入 У，入 S)^(x^y.S),
£2("',入 У，入 S)^(x^y.S),
(1-5)
(1-5)
где I 入I — коэффициент подобия 入.
Формула вариации для е 2. Отметим сначала, что, как показывает (1.1), функция е 2 описывает е полностью, за исключением члена с 5- функцией. Однако для вариации £ будем пользоваться формулой (6.24) из работы [2]
；£(х'，)= / e(x,；z)w(z,)€(z,,y，)dz,,(2.1)
dtas
справедливой при w(x') - w(/) = 0. На левую часть этой формулы 5- компоненты е не влияют. Теперь
d , ,, ,,11
~е2(х ,у) = f(e0(x ,y)w(z)- /+
dtas27r p(z ,y У
+ ~w(z)£o(zj) + £oS,z，)w(z，)£o(zJ))dz\ (2.2)
где w(x‘)= w(/) = 0,
£o(x'，)JO') + £2(x'，)・(2.3)
Предположим, что семейство областей S f задается у нас набором кривых Pi (Г),..., Рдг(О ； Pi G) £3/. Для вычисления е 2 ⑦乂才 + △) Р/« + + △/), St + △' но е 2 @j (f),P/«), SJ рассмотрим область5° =入S^ + Дг> где 入 — преобразование подобия, переводящее р^(Г + Аг) в р»(Г), р/(Г + 加)в p/(f). Области S° и 5/ + △/ подобны, поэтому ввиду (1.5) достаточно вычислить только е 2(Р/ (г), P/(f), S°). Теперь области St и 5° имеют Pf(f) = х[ p/(f) = х‘ общими точками контуров, поэтому есть надежда воспользоваться формулой (2.2), так как от контура Э5Г к контуру 35° можно перейти деформациями 3S； с S^ = S- S； = 3° и % (х‘)= му (/) = 0. Можно считать, что контуры °£ заметают ,,луночки>, между St и 5° однократно. Заменим в (2.2) Г на т и проинтегрируем по т от 0 до 1. Мы получим интеграл вида
Sdr 二 dz'wQ)耳(х»‘, z) (2.4) о as/
Это можно переписать как
(ОС 飞森)耳")(x‘a，z，)d2z，，(2.5)
где t°(z') = 7, если z'W 8S；. Обозначим е“х', z', 5°°(z»)) через €i(x .z), z = 0, 1, 2. Аналогично введем 爲(z', x，) Теперь проинтегрированное (2.2) записывается как
ё2@'/6。) = 62(月,叭” + ( J： 一 (蹴"Z)-(2.6)
s°\st \27Г
1ОЗ")?1ОЗ")?11-\11-\
1ОЗ")?
1ОЗ")?
11-\
11-\
Так как интеграл в (2.1) (и в (2.2)) можно понимать в смысле главного значения, то и в (2.6) можно определять интеграл так же, как и в предьщу- щем пункте, путем выкидывания маленьких кругов вокруг х иу' •
Исследуем гладкость е； . Так как 门 гладко зависит от всех своих аргументов, то 6 J - гладкая функция вне х', у'. Около х\ у： е； - гладкая функция в полярных координатах (если 5 ° и 5Г имеют в х' н ву' разные касательные), или в координатах т°, z' - х〔 Аналогично ведут себя и е о, е「
Определим функцию б3(х\ z') как е0(х\ z') —“(х： у') и соответственно функцию e；(z', х')・ Функция £з(х‘， z‘) теперь гладкая даже при z' =у〔 После этого первое слагаемое в интегралах в (2.6) можно представить как
1 о , 1 1 , с 1
丁％(£, z) -—~— + — eQ(x ty\5^(2^) —~^у . (2.7)
27r PR/)? 27r ' 尸 Р^.уУ
Так как е；(х', у') = 0, то первое слагаемое (2,7) имеет при zf = у( особый член степени однородности — 1, а не —2, как первое слагаемое под интегралом в (2.6), Все особенности высших степеней находятся во втором слагаемом (2.7). Рассмотрим его интеграл
(2.8)(2.9)(2.8)(2.9)臥,飞。$ '"歹国s)7^ 也 Обозначим через
(2.8)
(2.9)
(2.8)
(2.9)
2戸 / -- у = 2(叉醴)
S 最 P(zR')2
с некоторой регуляризацией. Тогда, очевидно, что (2,8) можно записать как 1 1
丁/£о(х'“ S；)d&,(2.Ю)
27r о
причем Тт - гладкая функция т.
Обозначим теперь через е j М •) произвольную (гладкую) экстраполяцию с dSt HaSfAS° функции е0 (К /). Теперь можно приблизить правую
часть (2.6) как
£2(£",5。) = ё2律,死,邑) + 区 飞。)("置"吟-
-—( ej(y, Z)- “("У, sj)~— +•
(Z/)227rP(X,z')2
1, ./ d2z,笛2''
+ — ео(х；У)( / -/) —+ —-TT+ O((&)2) +
27rs。 st \p(/,z)2p(z,x)2 /
^(£o- n^ix^z^e^y^d^ .(2.11)
Оценка получается из гладкости всех участвующих функций.
Таким образом, мы получили (формулы (1,5) и (2,11)) схему первого порядка по Az для вычисления е. Осталось найти способ вычисления еь S и интеграла от функций типа первого слагаемого (2.7)・
Вычисление функции S(x\ S). Опишем вычисление регуляризованного интеграла
/-77у =?G，s), xkas.(3.1)
Сначала уточним, что здесь мы будем использовать классическую регуляризацию
/d2z1 \
Z("S)= Нт(/ , —-—Г~ 7г1п— ,(3.2)
a-^Q\S\Ka(X') p(x,z)2а /
которая неинвариантна относительно изменения масштаба
S (Хх； ") = 2(х： 5)-7г1п I Х| .(33)
Область S мы будем задавать набором из N последовательных точек Pi,…，仍у на 8S・ Так как разбиения S у нас нет, мы сведем интеграл (3.1) на границу с учетом
/d2zlр (х； z)2 = / hird^p, х'咕 W.(3.4)
sas
Подставив в (3,2), получаем
2X'S)= lim (/ InrJ(p— тг1пa"1) = / Inrd?(3.5)
о a(s\Ka(x'))as
Подынтегральная функция из (3,5) имеет логарифмическую сингулярность с известным коэффициентом (равным 1). Такие функции легко интегрируются с любым порядком по 7V с использованием формулы Стирлинга:
к1/1\1Mj
S 1пЛ=— 1п2тг+ К + ——InK —К+ ——+ 2 万一+о (К-%, g2\2/12K z=2к1
Опишем схему второго порядка по N:
^(PpP^^^P^bPi) /
2 @i, S) — 2-屮 @i, Р/, P/+1) +
/=22
+ 3(Рт，Pn，P力 + 屮(Pi，Pi, P2》-23
-%(9@i"n，Pi)+ 9@1,〃，p2))g2万 +。(，2),
где ^p(Pit p〃 pQ — ориентированный угол, под которым дуга Pjpk видна из рь
Отметим, что мы ограничиваемся схемами второго порядка для того, чтобы точки а можно было выбирать достаточно произвольно на 8S, а не обязательно "достаточно гладко".
Вычисление функции “(х', у t S). Как и в предыдущем пункте, мы сначала сведем интеграл (1.4) на границу. Для этого нам надо найти первообразную в смысле внешних форм для(f~zllp(z, x')2p(z, уУ]：
笛z// 11
…)т^т^?г 仲(守一衣
• dlmln 二г))，(4」)
\z-y x-y //
где x =Xi + 改2 - комплексная система координат на плоскости.
Подставив (4.1) в (1,4), получим, как и в п. 3, что интегралы по дугам окружностей сократились с регуляризующими слагаемыми, и мы получаем
х —zх —z
ei (х! у! bS)= / In —, jArg—— , х! ye bS.(4.2)
3s z-y z-y
Легко проверить, что правая часть (4.2) обращается в 0 при круговой области S. Фактически обращается в 0 даже подынтегральное выражение, так как множителем в него входит двойное отношение точек х\ у , z, z + &, а двойное отношение четырех точек на одной окружности действительно.
Квадратурная формула для выражения (4.2) находится тем же способом, что и в п. 3. Выражение dArg [(х‘ —z)/(z-y')] = dArg(x'—z)— -dArg (z—j/) задает гладкую меру на 3S, поэтому особенности подынтегрального выражения возникают из-за ln| (х1 -z)/(z-~yf)\ = ln| х'—z| — —ln( z—y\ ; эти же особенности уже разобраны в предыдущем параграфе.
Отметим лишь, что квадратурная формула выражает ei(p『，р” S) через значения 1пр(р/, Рк) ^ ^^(Pk Pi) при 左 Wi,左 W/・
Вычисление интегралов со слабой особенностью. Здесь мы закончим описание численной реализации метода прогонки. Для этого нужно лишь привести метод вычисления интеграла (ср. (2Л1))
^W^T^'' х"'^，а% (5.D
где/* экстраполяция функции/, заданной на bStif (/) =0.
Рассмотрим отождествление а контура bSt с 3S°, переводящее р* в Р/, i = 1,... ,N. Введем отображение
0 : 3SX(0, 1)-* R2, 0(z： к)= (1 - k)z‘ + ка (z‘) •
Легко понять, что
1
(f- f )屮9)笛2= /w(0(z,'k))・(5.2)
so\Sf”\s。8Sr 03(z，K)
Предположим, что экстраполяция /* функции / берется такая, что f^^K^f^). Тогда
,,1301
/ = / dz?(z')/ 或 一1—.(5.3)
8Sf о a(z, к) p(0(z, к),»)?
Якобиан имеет нуль при z - у , так как а^1) -у . Поэтому интеграл по 或 имеет полюс первого порядка при z - у , и, так как f (/)= О, подынтегральное выражение при интегрировании по dz' является гладкой функцией.
Интеграл можно приблизить суммой
Z fBQJ 厶-—^гСм(5.4)
k*j О P(6(Pk, к),уУ
где при % W / ± 1
(5・5)(5・5)z'= Pz，“％z'= Pz，“％
(5・5)
(5・5)
z'= Pz，“％
z'= Pz，“％
при % = / + 1 нужно заменить Рл на 口左一2, аналогично при к = / -1. Ошибка при этом представлении есть。(AL?) + O(^t3).
Сомножитель Q можно представить в виде площади четырехугольника р%_1РкР如р% где pf =(Pi Р：)/2, ошибка при этом не превзойдет О (N~2lnN). Если же точки р* выбирать ^достаточно гладко" (т.е. как образ деления окружности на равные части при достаточно гладком отождествлении bSt с окружностью), то остаточный член будет не O(7V-2lrLV),a O(N~2).
Сомножитель-интеграл в формуле (5.4) считается точно. Он равен
(5.6)(5.6)111, °
(5.6)
(5.6)
1* Р (鹤,к), у) р (у/ (pkpl))p(pkpk) ^LpkyPk^
где р(/, (5。)- расстояние от точки А до прямой (ВС), | L АВС\ - величина угла.
Поэтому ошибка вычисления Z есть О (N~2\rvN) или。(汽“).Легко показать, что слагаемым O(^t3) можно пренебречь.
Итак, получен метод вычисления вариации е2 с точностью O(At2 +№2). Для нахождения вариации функции g [2] надо поступать точно так же — разбить в формуле (4.16) [2] е в сумму е0 и особой части, a g (z‘)— в сумму g(x') + (g (z')—g (х‘)) и свести к интегрированию по млуноч-
кам” между bSt и 3S°. После этого применимы все предлагаемые выше методы. Особо на этом вычислении мы останавливаться не будем.
Устойчивость метода. Устойчивость формул вариации уже показана в [2]. Она зависит только от ограниченности е(х', y')-const・p(x , у9)~2. С другой стороны, численная реализация дает отличие от формул вариации д(ДГ) +。(旷?)，где /V - шаг по времени, N - число точек разбиения на границе, причем ошибка вносится только в слагаемое е2, а не в ведущее слагаемое р(х',у')~2.
Из этого устойчивость предлагаемого метода следует тривиально. Действительно, достаточно показать, что оператор эволюции (2.11) имеет вид 1 + О(А£), где О большое равномерно по большим N, но не по S. Но оператор эволюции "отличается от точного" на оператор。(△尸) плюс оператор с матричными элементами О(№2), который имеет норму О(7V1). Доказательство для N~* = O(Af) при этом окончено. Для малых N тоже можно получить устойчивость, но другим методом.
Однако устойчивость численной реализации легко получить и независимо от устойчивости в аналитическом смысле. Из явного вида оператора эволюции (2.13) легко видеть, что слагаемые с е； (х‘，z'), e；(z‘，у'), ^{у t S寸)и квадратичное по е0 слагаемое имеют вид О(Дг) равномерно по N. Оставшиеся слагаемые отвечают интегралу со слабой особенностью. Соответствующая матрица имеет матричные элементы между е(р/, pQ и е(р『，р/) порядка AtNI\j-k\. Поэтому ее норма не превосходит △f・lnTV (сделаем преобразование Фурье по ^—/). Такой оценки недостаточно.
Фиксируем х' =р— Введем норму на пространстве {ео(х： z')}:
I J (x，'z')In=N max I e0(Pi，Pk+i)^eQ(pit pk) \ A-
(6.1)
+ 2 le0(Pi, Pk)\!N.
(это аналог С1 -топологии). Оценив точнее величину матричного элемента, соответствующего интегралу со слабой особенностью, можно показать, что "С。-норма" Де2 есть О(Д^) • I е01 ^ Так же оценивается и N・ max I Де2(р/,+1)-Де2(р/, р；)|, что и требовалось доказать.
Mi, i— 1
Результаты вычислительных экспериментов. Вычислительные эксперименты проводились на модельной задаче об эллиптической трещине под постоянной нагрузкой. Точки на контуре выбирались равномерно по стандартной координате 屮 на эллипсе. Последовательность контуров, промежуточных между окружностью и конечным эллипсом, выбиралась как последовательность эллипсов с той же малой осью и линейно меняющейся большой. Полученные решения сравнивались с аналитическими, что позволяло определить точность метода определения КИН. Расчеты проводились при отношении полуосей эллипса b/а = 2; 3; 5; 10, при числе точек разбиения контура 7V = 8; 16; 32 и при числе шагов ^перетя- гивания" контура ЛГ от 1 до 80.
Устойчивость метода характеризуется поведением при увеличении М Сначала ошибки стабилизировались, а потом начинали медленно (логарифмически по М) "уплывать" в небольших пределах (меньше 1%). Так
как время счета пропорционально M・N?, ошибки должны уменьшаться при увеличении N и стабилизироваться при увеличении М, то полезно определить, при каких значениях М и N9 ограниченных условием MN3 = =const, ошибки будут минимальны. Оказалось, что существует значение N«bl(i), такое что МОт ~% при N > М(〃а),丸皿 ~№厶 при N < < М(/а), причем № (2) * 8, Nq (3) % 16, No (5)比 32. При этом ошибки были следующие:
при b/а = 2 при N = 16, М = 4 ошибка 1,3%; приN = 8,М = 2 — 6,3%;
при b/а = 3 при 7V = 32, М = 4 + 8 ошибка 0,76 ； 0,63%; при N = 16, М=2+4-4,0；3,1%; npnN = 8,W= 1 - 19%;
при b/a = 5 при 7V = 32,М=4 ошибка 2,3%, npnN= 16,Af = 1 +2—18^14%;
при 5a = 10 при N = 32、М = 1+2 ошибка 18 +14,5%; при N = 16, М= 1—62%. Эти результаты можно примерно описать так:
Ошибка»0,3((2>/д)2 - 1)7一 ％, T = MN3.(7.1)
При этом время вычисления примерно равно (0,01 ♦ 0,03)Тс, в зависимости от загрузки машины; за это время можно вычислить примерно 20 T квадратных корней.
Максимум ошибки всегда достигается на конце большой полуоси эллипса. Поэтому возникла гипотеза, что большая часть ошибки описывается геометрическими причинами — тем, что последовательность точек дискретизации, равномерная в стандартной координате на эллипсе, описывает эллипс неточно (с точки зрения вычислительного метода). Была найдена геометрическая характеристика, с которой ошибка хорошо коррел- лировала. Это отношение кривизны эллипса в вершине к кривизне окружности, проведенной через нее и еще две соседние точки дискретизации. Так, при отношении, близком к двум, ошибка достигала 16%, к трем — 19%. Наличие геометрическогр описания ошибок позволяет надеяться, что при более удачной расстановке точек на контуре трещины можно ожидать значительного уменьшения ошибок. Действительно, удалось найти геометрический критерий расстановки точек на контурах, позволяющий минимизировать ошибки вычислений (точнее максимум ошибки в точках контура трещины). Точнее, если расстановка точек удовлетворяла этому критерию, то соответствующая ошибка не более чем в 1,5 раза превышала минимально возможную. Опишем здесь результат оптимизации метода.
Во-первых, резко увеличилась точность метода при равном времени счета. Во-вторых, это возрастание было особенно сильным в области малых М т.е. быстрого счета. Например, если старым способом при Ь/〃 = 2, N = 16 получалась ошибка 1,3%, то новым способом 0,6%. При 万=8, однако, ошибка сокращалась с 6,3% до 0,8%, то есть на порядок. Если учесть, что время расчета (старым способом) обратно пропорционально квадрату ошибки, то улучшение быстродействия в области больших N четырехкратное, а в области малых 7V — на 2 порядка. В-третьих, из-за этих эффектов резко расширялась область приемлемых на практике расчетов. Если расчет при N = 32, М = 4 занимает около 1 ч машинного времени (в многопользовательском режиме), то расчет при N = 8, М = 2 — порядка 20 с. При Ъ/а = 5, например, расчет с ошибкой несколько процентов требовал старым способом первый вариант выбора 7V и М, а
новым уже достаточно второго (при незначительном ухудшении точности) .Таким образом, в области жесткого лимита времен" и не очень жертких ограничений на точность (допускаются ошибки в несколько процентов) оптимизация резко расширяет класс доступных расчетам контуров трещин. Отметим, что именно такие задачи возникают при дефектоскопии реальных конструкций, где необходимо "в реальном вpeмeни^^ определить, опасна данная трещина или нет. В-четвертых, оптимизация расстановки фактически не требует никакого машинного времени по сравнению с самим алгоритмом прогонки. В-пятых, в машину не требуется вводить "вручную" дискретизацию контура трещины, а лишь сам контур, что во многих случаях значительно проще и что особенно важно при расчете кинетики трещин.
Такой расчет был организован на основе оптимизированного алгоритма прогонки. Он чрезвычайно быстро: округление контура растущей эллиптической трещины с b/а = 2 рассчитывается за 40 с, с b/а = 3 — за 2 мин (на СМ4-20). Его быстродействие трудно сравнивать с другими алгоритмами: единственный известный автору расчет кинетики требовал нескольких часов на БЭСМ-6.
ЛИТЕРАТУРА
Захаревич И. С. О вариации решений интегродифференциальных уравнений смешанных задач теории упругости при вариации области // ПММ. 1985. Т. 49, вып. 6. С. 961-968.
Захаревич И.С, Аналог метода прогонки для интегродифферециального уравнения теории трещин: Препр. ИПМ АН СССР № 325. М., 1988. 70 с.
Шифрин Е.И. О приближенном решении уравнений некоторых смешанных задач теории упругости // Механика деформируемого тела. Сер. Прочность, упруго- вязкопластичность: сб. статей. М.: Наука, 1986. С. 154—164.
Гельфанд И.М.Г Локуциевский О.В. Метод "прогонки'' для решения разностных уравнений. // Годунов СК, Рябенький В. С. Введение в теорию разностных схем. М.:Физматгиз, 1962. С. 283-309.
Гельфанд ИМ., Шилов Г,Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958. 440 с.
Гольдштейн Р.В., Отрощенко И.В., Федоренко Р.П. Метод уточняющих граничных сеток в пространственных задачах о трещинах в упругих телах: Препр. ИПМ АН СССР № 230. М., 1984. 66 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие • ， • 3
Механическая модель растущей ледяной сосульки 4
Арутюнян НХ, Григорян С С, Наумов В.Э,
Упругопластическое поведение стали 45 на винтовых траекториях деформаций 21
Вавакин 4.С, Васин Р人 Викторов ВВ, Степанов 〃./7“ Широв Р.И.
Временные эффекты при пластическом деформировании металлов 29
Вавакин 4.С, Викторов ВВ、, Мохелъ А.Н., Степанов ЛЛ
Об экспериментальном исследовании функционалов пластичности в теории упругопластических процессов 40
Васин 尸4
Исследование пространственных смешанных задач с неизвестными границами при сложном нагружении упругой среды 57
Гольдштейн РВ. Житников Ю.В.
Теория необратимого деформирования поликристаллов . ( . .73
Кадашевич ЮЛ., Новожилов ВВ
Элементы определяющих соотношений и устойчивость 85
Клюшников В.Д.
Наследственность с унифицированной памятью 95
Клюшников В口" Овчинников И.В,
Механическое поведение тел с газонаполненными трэдиновидными неоднородностями 101
Коваленко Ю.Ф.
Численное исследование динамической прочности однонаправленного композита, ослабленного обрывом волокна 117
Кукуджанов BJL. Булычев Г.Г.
Динамические задачи взаимосвязанной термоупругости 125
Кукуджанов В.Н.^Острик 4 上.
Граница зоны упругости идеального упругопластического течения как задача со свободной поверхностью 130
Куксин С.Б.
О разрушении вблизи пикообразных включений при посадке с натягом137
Мовчан А.Б., Морозов Н.Ф., Назаров G4.
Теоретическое описание запаздывания пластического деформирования сталей .145
Мохелъ АН. Салганик Р』.. Христианович G4.
Распространение трещин отрыва в сжатых горных породах 157
Никитин 〃А, ОдинцевВ.Н.
О моделировании роста усталостных микротрещин
Паукшто М,В.
О критериях разрушения структурно-неоднородных материалов 170
Победря 6.Е.
Ударные волны в нелинейной цепочке 175
Слепян ЛМ., Троянкина JLB.
Метод прогонки для псевдодифференциальных уравнений в расчете статики и кинетики трещин 186
Захаревич И.С.
Научное издание
Прочность и вязкоупругопластичность
ПЛАСТИЧНОСТЬ И РАЗРУШЕНИЕ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Утверждено к печати
Институтом проблем механики АН СССР
Редактор Ю.А. Юдина
Художник 3.4 Дорохова
Художественный редактор Н.Н. Власик Технический редактор М.К. Серегина Корректор Р.Г. Ухина
Набор выполнен в издательстве на наборно-печатающих автоматах
ИБ № 37396
Подписано к печати 19.10.88. Т — 07499
Формат 60 X 90 1/16. Бумага книжно-журнальная Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная Усл.печ.л. 12,5. Усл.кр.-отт. 12,8. Уч.-изд.л. 13.7 Тираж 1300 экз. Тип. зак. 891. Цена 2 р. 70 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство "Наука'Т 17864 ГСП-7, Москва В-485, Профсоюзная ул.,д. 90
Ордена Трудового Красного Знамени 1-я типография издательства ''Наука” 199034, Ленинград В-34, 9-я линия, 12
Готовятся к выпуску следующие книги издательства ''Наука"
Ботвина Л.Р. Кинетика процесса разрушения. 17 л.
В монографии рассмотрена взаимосвязь характеристик микро- и макромеханики разрушения конструкционных материалов при статическом, циклическом и ударном нагружениях. Впервые определены общие закономерности разрушения, свойственные различным материалам при разных условиях нагружения.
Для специалистов в области механики, физики твердого тела и обработки материалов.
Моделирование процессов деформирования и разрушения /А.Н. Романов, В .А. Петушков, А,Ф. Аникин и др. 19 л,
Монография посвящена применению методов численного моделиро-. вания нелинейных процессов деформирования и разрушения различных материалов и конструкций в условиях интенсивных термомеханических и динамических воздействий.
Излагаются вопросы определения параметров моделей и необходимости проведения базовых экспериментов с использованием ЭВМ, а также организации и эффективного использования информационно-поисковых систем и баз данных, полученных в этих экспериментах.
Для специалистов в области механики и машиностроения.
Заказы просим направлять по одному из перечисленных адресов магазинов ^Книга-почтой,у "Академкнига91:
Магазины "Книга—почтой:"
252030 Киев, ул. Пирогова, 4; 197345 Ленинград, Петрозаводская, 7; 117192 Москва, Мичуринский пр-т, 12.
Магазины "Академкнига" с указанием отделов "Книга-почтой'':
480091 Алма-Ата, ул. Фурманова, 91/97 /''Книга-почтой"/; 370005 Баку, ул. Коммунистическая, 51 /''Книга-почтой"/; 232600 Вильнюс, ул. Университет©, 4; 690088 Владивосток, Океанский пр-т, 140 /,,Книга-почтой，7； 320093 Днепропетровск, пр-т Гагарина, 24 /^Книга-почтой*'/； 734001 Душанбе, пр-т Ленина, 95 /''Книга—почтой''/; 375002 Ереван, ул. Туманяна, 31; 664033 Иркутск, ул. Лермонтова, 289 /,,Книга-почтой，7; 420043 Казань, ул. Достоевского, 53 /‘‘Книга—почтой"/; 252030 Киев, ул. Ленина, 42; 252142 Киев, пр-т Вернадского, 79; 252030 Киев, ул. Пирогова, 2; 277012 Кишинев, пр-т Ленина, 148 /^Книга-почтой*5/； 343900 Краматорск, Донецкой обл., ул. Марата, 1 /"Книга—почтой”/; 660049 Красноярск, пр-т Мира, 84; 443002 Куйбышев, пр-т Ленина, 2 /5'Книга-почтой*7; 191104 Лениград, Литейный пр-т, 5 7; 199164 Ленинград, Таможенный лер., 2; 196034 Ленинград, В/О, 9 линия, 16; 220012 Минск, Ленинский пр-т, 72 /''Книга-почтой''/; 103009 Москва, ул. Горького, 19-а; 117 312 Москва, ул. Вавилова, 5 5/7; 6 3007 6 Новосибирск, Красный пр-т, 51; 630090 Новосибирск, Морской пр-т, 22 /''Книга - почтой*7； 142284 Протвино, Московской обл., ул. Победы, 8; 142292 Пущино, Московской обл., МР, ''В'', 1; 620161 Свердловск, ул. МаминаСибиряка, 137 /''Книга—почтой"/； 700000 Ташкент, ул. Ю. Фучика, 1; 700029 Ташкент, ул. Ленина, 73; 700070 Ташкент, ул. Ш. Руставели, 43; 700185 Ташкент, ул. Дружбы народов, 6 /‘‘Книга—почто*'/； 634050 Томск, наб. реки Ушай- ки, 18; 634050 Томск, Академический пр-т, 5; 450059 Уфа, ул. Р. Зорге, 10 /"Книга—почтой"/; 450025 Уфа, ул. Коммунистическая, 49; 720000 Фрунзе, бульвар Дзержинского, 42 /"Книга-почто*'/; 310078 Харьков, ул. Чернышевского, 87 /''Книга-гючтой''/.'
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ
Прочность и вязкоупругопластичность
Серия основана в 1983 г.
ПЛАСТИЧНОСТЬ И РАЗРУШЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ
Ответственный редактор доктор физико-математических наук Р.В. ГОЛЬДШТЕЙН
МОСКВА “НАУКА” 1988
УДК 539.3
В настоящем сборнике представлены результаты теоретических и экспериментальных исследований по современным направлениям теории пластичности и механики разрушения тел с трещинами и дефектами преимущсственно при сложном напряженном состоянии.
Книга предназначена для специалистов в области механики деформируемого твердого тела, математической физики, материаловедения, инженеров, занимающихся проектированием и расчетом конструкций, а также студентов и аспирантов соответствующих специальностей.
Редакционная коллегия серии:
академик А.Ю. ИШЛИНСКИЙ (председатель),
академик АН АрмССР Н.Х. АРУТЮНЯН (зам. председателя),
академик С.А. ХРИСТИАНОВИЧ,
доктор физико-математических наук Р.В. ГОЛЬДШТЕЙН, доктор физико-математических наук А.Г. ГОРШКОВ
Рецензенты:
В.К. ТРИНЧЕР, Г.Н. ЧЕРНЫШЕВ
© Издательство "Наука", 1988© Издательство "Наука", 1988„ 1703040000-428
© Издательство "Наука", 1988
© Издательство "Наука", 1988
口 ^1^-3 4V
ISBN 5-02-006028-3