ПРЕДИСЛОВИЕ

Механика сплошных сред в программах педвузов представлена в малом объеме. Однако роль теории ее различных разделов неуклонно возрастает в связи с новыми задачами, которые выдвигает практика. Поэтому при подготовке преподавателей физики и математики средней школы целесообразно более серьезное знакомство с механикой сплошных сред. Последнее может быть реализовано при чтении спецкурсов, написании студентами курсовых работ и проведении спецсеминаров, которые обязательны в педвузах.

Литература по механике сплошных сред весьма обширна. Для понимания ее требуются глубокие предварительные знания. Поэтому знакомство с этой важной областью в ограниченное время затруднительно. В настоящей книге, предназначенной для студентов физических и математических факультетов педвузов, ставится цель познакомить читателя в достаточно краткой форме с уравнениями ряда основных разделов механики сплошных сред и применением их к некоторым техническим задачам.

В первой части курса показано, что из законов Ньютона следуют уравнения, необходимые, но недостаточные для описания движения произвольных сплошных сред. Дополнительные аксиомы, замыкающие уравнения движения, определяют различные разделы механики сплошных сред, основными из которых являются гидродинамика (вторая часть) и механика деформируемых тел (четвертая часть). В книгу включена теория фильтрации (третья часть), которая является одной из технических дисциплин. Однако широкая разработка этой области в настоящее время по праву позволяет считать теорию фильтрации одним из разделов механики сплошных сред.

В качестве нового в учебной литературе материала в книгу включена глава, посвященная изучению двумерных течений в слоях, расположенных на криволинейных поверхностях. Эта часть позволяет расширить круг задач, решаемых методами классической гидродинамики, что может представить интерес для самостоятельных исследований читателя.

Материалом для книги послужили лекции и семинары, проводимые автором в течение ряда лет в Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской.

В книге изложены не все разделы механики сплошных сред. Различным ее разделам посвящена обширная литература — монографии, учебные пособия и статьи по оригинальным исследованиям, принадлежащие перу отечественных и зарубежных исследователей. Механика сплошных сред в целом в трудах советских ученых представлена в фундаментальных монографиях:

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Механика сплошных сред. М., Гостехтеоретиздат, 1953;

Л. И. Седов. Механика сплошной среды, т. 1, 2. М., «Наука», 1970.

Наиболее полно литература по механике сплошных сред советских авторов приведена в книгах:

Развитие механики в СССР. Под ред. акад. И ш линек о г о А. Ю. М., «Наука», 1967;

Развитие исследований по теории фильтрации в СССР за 50 лет. Под ред. акад. К о ч и н о й П. Я. М., «Наука», 1969;

Механика в СССР за 50 лет. Под ред. акад. С е д о- в а Л. И., т. 1—4. М., «Наука», 1969—1970.

В заключение считаю своим приятным долгом поблагодарить рецензентов доктора физ.-мат. наук, профессора С. В. Измаилова и доктора техн, наук А. С. Ги- невского, а также ряд лиц, принявших участие в обсуждении рукописи, за критические замечания, которые способствовали ее улучшению. Особую признательность выражаю рецензенту доктору физ.-мат. наук профессору Г. Ю. Степанову, который подробно разобрал рукопись и сделал ряд критических замечаний, использованные мною при доработке рукописи.

Автор

ЧАСТЬ!

КИНЕМАТИКА И НЕОБХОДИМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНЫХ СРЕД

ГЛАВА 1

МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД, ЕЕ ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫИ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Предмет механики сплошных сред

В настоящем курсе изучаются законы механического перемещения материальных объектов в пространстве и времени. Под материаль- ,ными объектами подразумеваются всевоз-

. Сплошные среды

можные тела, которые могут как угодно изменять свою форму в процессе их изучения. К ним относятся разнообразные упругие, пластические тела, сыпучие среды, жидкости и газы.

Многочисленные наблюдения указывают на молекулярное строение изучаемых материальных объектов. Однако при рассмотрении механических движений различных тел принято допущение о сплошности последних. Это представление не противоречит физическим данным, ибо тело, состоящее из молекул, можно разделить на малые элементы объема, содержащие много молекул. Заметим, что кубик воздуха со стороной 0,001 мм содержит 2,7-107 молекул. Такие элементы можно назвать физически бесконечно малыми. Характеризуя их средними величинами скоростей, ускорений, сил, действующих на молекулы, придем к представлению о теле как сплошной среде. Это представление удобно в том отношении, что методы математического анализа приспособлены для сплошных сред, тогда как математическая обработка прерывных сред значительно затруднена. Представление о телах, как сплошных средах, и обусловило общее название предмета «механика сплошных сред».

На ка механика Механика есть наука, изучающая движе- уние и равновесие материальных тел в про

странстве и времени. Движение в широком смысле слова есть форма существования материи. Механика изучает только простейшую

форму движения — относительное перемещение тел, или механичес

кое движение.

Часть механики, известная под названием теоретическая меха

ника, содержит методы математического описания механического движения материальных объектов; их основные законы, уравнения движения и равновесия. Уравнения теоретической механики позволяют полностью описать, например, движение абсолютно твердого тела. Но эти уравнения недостаточны для описания движения деформируемых тел и газов.

Так как все тела в тех или иных условиях деформируемы, то абсолютно твердое тело представляет собой модель, к которой в оп

ределенных условиях можно отнести изделия из различных металлов, пластмасс, дерева. Модель абсолютно твердого тела не применима к телам, изготовленным из резины, губки, а также жидкостям и газам. В этих случаях приходится строить другие модели. При этом к уравнениям теоретической механики присоединяют ряд до

полнительных условий — экспериментальных законов, отражающих

специфику изучаемых3. Практическое значение механики сплошных средспецифику изучаемых3. Практическое значение механики сплошных средобъектов.

специфику изучаемых

3. Практическое значение механики сплошных сред

специфику изучаемых

3. Практическое значение механики сплошных сред

Механика сплошных сред возникла из запросов практической деятельности человечества, именно из разрешения, например, таких простейших вопросов, как закономер

ности истечения жидкостей и газов из сосудов, изучения закономерностей просачивания жидкости через грунт, прогиба балок и растяжения брусков, находящихся под нагрузкой, и т. д. Исследование этих частных задач привело к формулировке основных экспери

ментальных законов движения и равновесия сплошных сред. Стечением времени перед механикой сплошных сред возникали более сложные вопросы. Например, проблема полета на аппаратах тяжелее воздуха, эксплуатации нефтяных месторождений и др. Эти вопросы в настоящее время в значительной мере разрешены на базе основных уравнений движения, входящих в те или иные разделы механики сплошных сред, и в ряде случаев дополнительных гипотез (сформулированных как обобщение экспериментальных данных), которые, в частности, позволяют упростить общие уравнения. Теоретическое решение тех или иных вопросов механики сплошных сред имеет большое практическое значение, ибо позволяет целесообразно проектировать механические конструкции (например, наземные сооружения, самолеты и т. д.) и заранее планировать эксплуатационные характеристики каких-либо объектов (например, прочность тех или иных сооружений, количество откачиваемой из заданного пласта нефти и т. д.).

Перед механикой возникают все новые и новые проблемы, среди которых, например, можно указать вопросы движения разреженных газов, движения сред с учетом физико-химических процессов, происходящих в них, вопросы устойчивости течений и т. д. Разрешение этих проблем стимулирует дальнейшее развитие механики сплошных сред и возникновение ее новых разделов.

4. Основныеразделы механикисплошных сред4. Основныеразделы механикисплошных средВ настоящее время механику сплошных сред можно разделить на две крупные области, определяемые объектом исследований: механику жидкостей и газов, которая имеет

4. Основныеразделы механикисплошных сред

4. Основныеразделы механикисплошных сред

название «Гидродинамика», и механику деформируемых тел.

Гидродинамика включает в себя следующие основные разделы: механика идеальной (невязкой) жидкости, механика идеальной сжимаемой жидкости, механика вязкой жидкости, механика турбулентных течений. К гидродинамике непосредственно примыкают теоретические разделы технической механики, основные из которых следующие: аэродинамика, магнитная гидродинамика, механика фильтрационных течений.

Ряд разделов гидродинамики и технической механики отражены во II и III частях пособия.

Механика деформируемых тел в зависимости от дополнительных экспериментальных законов распадается на разделы, основные из которых следующие: теория упругости, теория пластичности, механика сыпучих тел.

Механика деформируемых тел отражена в IV части книги.

Основные уравнения движения механических систем

Основными законами механического движения материальных объектов являются законы Ньютона, которые справедливы в прост, о ттранстве. описываемом геометрией Евклида,

. Законы Ньютона г 7г’

при скоростях, далеких от скорости света.

Первый закон Ньютона определяет инерциальные системы координат, в которых движение материальной точки описывается уравнением

тпа=К

представляющим второй закон Ньютона.

Третий закон Ньютона открывает возможность исследования систем материальных точек.

Необходимые Если механическая система состоит из п уравнения движения точек, то движение каждой из них описы- механических систем вается уравнением

"b^F^’ + F^-(1.2.1)

Внутренние силы, характер которых в общем случае неизвестен, могут быть из последних уравнений исключены, так как в силу третьего закона Ньютона

S F^ = 0; SrAxF^ = 0

А=1

и тогда справедливы соотношения:

А=1А==1

VV(1'2'2)

2г»хт»а.= 2 sxF»,

А=1А—1

которые являются необходимыми, но недостаточными уравнениями движения механических систем.

Произведя несложные преобразования, можно показать, что соотношения (1.2.2) представляют собой теоремы о количестве и моменте количества движения систем. Уравнения (1.2.2) необходимы для описания движения механических систем, состоящих из дискретных материальных точек. Если механическая система представляет собой сплошную среду, заполняющую часть пространства F, то левые части уравнений (1.2.2) превратятся в определенные объемные интегралы, и массы отдельных точек тк преобразуются в бесконечно малые элементы dm сплошной среды. При этом если на среду будут действовать п сосредоточенных сил и силы, распределенные по всем точкам сплошной среды, то необходимые уравнения движения сплошной среды будут иметь вид

apdF = 5 F^ + J FpdF,

VA—1V

г х apdF = 2 rft X F^ + J г x FpdF,VA=1V

где p — плотность, pdV = dm и F — сила, действующая на единицу массы.

Так как — J apdF и — j* г х aodV называются соответственно VV

главным вектором и главным моментом сил инерции, то последние равенства перепишутся в виде

- j apdF + J FpdF + S FV’ = 0,VVA=1

n(1-2.3Э

— f r x apdF + f г x FpdF + V r6 X F» ’ = 0.

VVA=1

Их можно интерпретировать как равенства нулю главного вектора и главного момента всех сил, действующих на систему, включая и силы инерции.

Уравнениями, необходимыми, но недостаточными для описания движения сплошных сред, будут уравнения (1.2.3). Поэтому они и являются исходными при выводе уравнений движения жидкостей и деформируемых тел.

ГЛАВА 2

КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Переменные Лагранжа и Эйлера

Как известно, движение материальной точки * Лагранжа*16 описывается уравнениями движения ее в конечном виде:

г=г(0,

ж=ж(<), У=У^, z=z(t),(2.1.1)

где г — радиус-вектор точки в выбранной системе координат, х, у, z — координаты точки.

Если частицу сплошной среды рассматривать как материальную точку, то последние уравнения опишут ее движение. Сплошная среда, непрерывным образом заполняющая пространство или часть его, состоит из бесчисленного числа точек, следовательно, чтобы описать движение всех точек среды при помощи уравнений (2.1.1), необходимо ввести в них параметры, характеризующие ту или иную точку среды.

Пусть параметром, характеризующим отдельную точку среды, будет постоянный вектор

r0=ai+bj+ck.

Тогда уравнения движения точек сплошной среды запишем в виде г=г(г0, 0;(2.1.2)

х=х(а, Ь, с, t ^ у=у{а, b, с, t), z^z^a, b, с, t).

Функция r(r0, t) будет являться непрерывной по t и иметь непрерывные первые и, как правило, вторые производные по времени. Кроме того, эта функция в силу того, что она описывает упорядоченные движения сплошной среды, должна быть непрерывной по а, Ь, с и должна иметь непрерывные частные производные по а, Ь, с. Чтобы найти скорость v и ускорение а какой-либо точки среды (характеризуемой г0), надо взять производные по времени от уравнений (2.1.2), полагая, что г0 или а, Ь, с постоянны. Запишем векторы скорости и ускорения в виде

v = 9г (г0,/) . а = йМгоЛ).(2 ! 3)

at ’at^ *\/

Соответственно проекции этих векторов по осям координат будут:

Эх (а, Ь, с, /) е dy(atb, с, t) . д^(а, b, с, t) е

~ at ’ у ”1— "at ’

д^х (а, b, с% t) е д^у (a, b, с, t) .d2z(a, b, с, /)9/2’ У^2’«d<a

Способ описания движения (2.1.2) сплошной среды при помощи векторного параметра г0 (или скалярных параметров а, Ь, с), характеризующего отдельные точки, носит название метода Лагранжа. Вектор г0 или параметры а, Ь, с носят название переменных Лагранжа. Вектор г0 характеризует индивидуальность отдельных точек среды. В частности этот вектор можно выбрать так, чтобы он определял начальное положение точек среды. Тогда при ^=0 будем иметь

го=г(О, г0)

или

а=ж(01 a, b, су b=y(O, a, bt с); c=z(0, а, Ь, с).

Вектор Полагая, что г0 определяет начальное поло- перемещения жение точки, введем вектор

s=ui+z;j+^k,

который определяется по формуле

8 = Г—Го.

Отсюда

r=r0+s(2.1.4)

или

ж=аА-и; y=b+z;; k=c-Vw.(2АА')

Вектор s характеризует перемещение точки по отношению к ее начальному положению и называется вектором перемещения. Вектор s, а также его проекции и, и, w являются функциями a, b, с, t. В начальный момент при ^=0 s=0.

Используя формулу (2.1.4), запишем скорость и ускорение точек сплошной среды через вектор перемещения s в виде:

dsd2s(r0,Z)

v = — , а =;

atdt2

ди (а, by су t) у ди ^а у by с у Гр дю (a, by с, t)хd/ ’ v ~ 9t’

(2.1.5)

д2и (ау by с у t) ^ д2и ^а, by с у t) ~ д2ю (а, b, с, t)а =■ , а., —, а v — г ■— .

Л at43 at4z9t

_ „G помощью переменных Лагранжа изучает-

Эйлерася Движение сплошной среды, представляю

щей непрерывную совокупность точек, т. е. движение отдельных точек среды. Однако движение среды можно изучить, рассматривая изменение с течением времени различных элементов движения в разных точках координатной системы. С этой точки зрения, развитой Эйлером, различные векторные и скалярные элементы движения рассматриваются как функции координат точки

х, у. z и времени t. Эти четыре аргумента х, у, z, t носят название переменных Эйлера. Однако необходимо отметить, что при изучении движения сплошной среды в переменных Эйлера приходится рассматривать смещение частицы среды из фиксированной точки пространства в бесконечно близкую с тем, чтобы в дальнейшем предельным переходом перейти к характеристике того или иного элемента движения среды в данной точке.

Разрешим уравнение движения сплошной среды, записанное в переменных Лагранжа:

г=г(г0, О

относительно г0, получим

г0=г0(г, 0(2.1.6)

ИЛИ

a=a(xt yt z, ty b=b^xv у, z, ty, c=c^x, у, z, ty (2.1.6')

Пусть a, b, с определяют начальное положение точки среды. Тогда последние уравнения указывают начальное положение точки среды, которая находится в момент времени t в точке пространства ж, у, z.

Вектор смещения s в переменных Лагранжа имеет вид

s=s(r0, 0.

Подставив значение г0 из равенства (2.1.6), получим s в переменных Эйлера:

s=s(r, /).

Это вектор смещения различных точек среды, попадающих в различные моменты времени t в фиксированную точку пространства, определяемую радиусом-вектором г.

Чтобы найти смещение некоторой точки среды, занимающей положение в пространстве, определяемое вектором гх в момент tv дадим времени приращение Д^, тогда точка сместится на Двх, равное

Дв1=з(г1, ^-hV)—s(rx, tty

или в общем случае смещение точек из каких-либо положений можно записать в виде

As=s(r, £+A£)—s(r, t).

Вычисленные смещения As точек среды фактически снова возвращают нас к переменным Лагранжа, где начальное положение точек определяется неподвижным пространством переменных Эйлера. Однако смещения As в переменных Эйлера будут бесконечно малыми в отличие от вектора смещения s в переменных Лагранжа, который может быть конечной величиной. Следовательно, изучение смещений отдельных точек среды можно вести только в переменных Лагранжа. Переменные Эйлера в этом случае фактически неприме-

нимы, и переход от них к переменным Эйлера есть формальная операция, не меняющая точки зрения, с которой изучается жидкость. Разделив последнее равенство на Д£ и пе- и ускорения Точек рейдя к пРеДелУ ПРИ А^О, выразим вектор сплошной среды скорости точки среды в момент t, расположенной в точке пространства, определяемой радиусом-вектором г, через переменные Эйлера:

v = lim — = ds (г* - = v (г, tY(2.1.7)

am м at хх

Эту зависимость можно получить и другим способом. Действительно, если известен закон движения сплошной среды в переменных Лагранжа, то, подставив в v=v(r0, £) значение г0 из равенства (2.1.6), найдем

v=v(r, tY

Вычислим теперь ускорение точек движущейся среды в переменных Эйлера. Пусть в момент ^ точка среды, ускорение которой нас интересует, занимала положение в пространстве, определяемое радиусом-вектором г1? и имела скорость ух, т. е.

vi=v(r1, у.

В следующий момент /2 та же точка среды переместится в пространстве и займет положение г2, следовательно, она будет иметь скорость

v2=v(r2, t2),

или, так как

г2—гх=Дг, Z2—£х=Дг, то

у2^(гх+Дг, *1+Д0-

Отсюда приращение вектора скорости Ду— у2—vx за время Д^ будет

Ду=у(гх+Дг, ^+Д^)—у(г17 tyY

Разделив это равенство на Д£ и перейдя к пределу при Д£->0, получим

а = iim V(ri + Ar, /X + AQ —v(rx, t^ ,дмоА^’

или

а = lim V(ri + Ar- <i +АО —у(Г1 + Дг, М । lim уСп+Дг, ft)—v^./Q амоМдмоА/

откуда

а = -^- + (v • v)v.(2.1.8)

Иногда равенство (2.1.8) коротко записывается в виде

(2.1.8')(2.1.8')Dvа = —.

(2.1.8')

(2.1.8')

Dt

Символ V? называемый оператором Гамильтона, означает

д . , д . . d ,д

v = —1+ j 4- k = grad.

dx dy dz

dvY,диуЛ дуdzdvvдимZ2|- V ,у дуdzди.ди zV„ + ^2—”•у дуdzdvY,диуЛ дуdzdvvдимZ2|- V ,у дуdzди.ди zV„ + ^2—”•у дуdz(2.1.8")(2.1.8")Проекции вектора ускорения а запишутся в виде

dvY,диу

Л дуdz

dvvдим

Z2|- V ,

у дуdz

ди.ди z

V„ + ^2—”•у дуdz

dvY,диу

Л дуdz

dvvдим

Z2|- V ,

у дуdz

ди.ди z

V„ + ^2—”•у дуdz

(2.1.8")

(2.1.8")

dvY , ди у ।а у = —£ + Uy —^ +х dt х дх

9un , ^У Iav —р и„Ну dtдх

ди у j дъ2 Ia = —2. 4- у —L 4.2 dt ' дх

Эти формулы определяют ускорения точек движущейся среды через скорости точек среды, заданные в переменных Эйлера. Вектор ускорения можно записать еще и через вектор смещения в виде

dv I / х52s , / X

а = — + (v • v) v = — + (v • v)v.

Если известно движение среды в переменных Лагранжа, то известно и ускорение точек, как функции г0 и /, т. е.

а=а(г0, Г).

Подставив сюда вместо г0 его значение из равенства (2.1.6), найдем

a=a(r, t).

Если движение сплошной среды неизвестно и его надо найти, причем за аргументы движения должны быть выбраны переменные Эйле-

ра, то мы не сможем получить последнее выражение. В этом случае при подсчете ускорения нужно воспользоваться формулами (2.1.8).

5. Формулы,определяющие5. Формулы,определяющиеОстановимся на частном случае, когда вектор смещения точек сплошной среды мал.

5. Формулы,определяющие

5. Формулы,определяющие

значениях смещениязначениях смещенияускорения при малых При этом скорость отдельных точек сплош-

значениях смещения

значениях смещения

ной среды также будет мала. Предположив,

что будут малы и производные вида dv/dx, дч!ду, dvldz, получим, что член(у-\/)у будет второго порядка малости и им можно пренебречь. Следовательно, в этом случае вектор ускорения в переменных Эйлера будет иметь упрощенный вид

(2.1.9)(2.1.9)а „ a2s (г, /)0/2

(2.1.9)

(2.1.9)

или

Э2ид2иd2w

; аи =; а, =.dt2 у at2 z at2

(2.1.9')

Это весьма важный случай^ ибо малые смещения характерны для движения упругих тел. При рассмотрении этих движений мы столкнемся с производными в переменных Лагранжа и Эйлера вида dslda, ds/Эх и т. д. Чтобы найти связь между этими производными, подсчитаем ds/dx, полагая, что s задано в переменных Лагранжа:

ds (а, Ь, с, t)

Эх

ds да . ds db , ds da dx db dx de

de

dx

Ho

a=x—u; b=y—и; с=ъ—wt

следовательно,

da A du db du de dw dxdx dx dx dx dx

ds

dx

ds

da

(dsdu- dsdu। dsdw

dadx dbdx dodx

Но если смещения s малы и малы изменения смещений при переходе от одной точки среды к другой, то будут малы Эв/да, ди/дх и т. д. Следовательно, величина, стоящая в скобках, будет величиной второго порядка малости и ею можно пренебречь, тогда

ds ds

dxda

и аналогично

ds ds e ds ds dydb ’ dzde

(2.1.10)

(2.1.11)

6. Переходот переменных Эйлерак переменным Лагранжа

В п. 3 этого параграфа был рассмотрен переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера. Однако возможен и обратный переход — от переменных Эйлера к переменным Лагранжа.

Действительно, пусть заданы vx, vy, vz как функции координат х, у, z и времени I. Так как в переменных Лагранжа составляющие скорости будут производными по времени соответствующих коорди

нат, то можно записать

~7 = ^(л:, у, z, ty, ^- = v(x,ytz,ty ^- = vz(x, у, z, ty (2.1.12) dtdtot

Интегрируя последние равенства и определяя постоянные интегрирования из условий

I—0; х=а; y=b; z—e,(2.1.13)

находим x=x(t, a, b, с); у=у(^ a, b, с); z=z(^ а, Ь, с).(2.1.14)

Если в начальный момент 2=0 частицы располагались на поверхности, определяемой параметрическими уравнениями:

ж=а(тп т2); у^Цч,^; z=c(tp т2),(2.1.15)

то, подставляя равенства (2.1.15) в соотношение (2.1.14), находим уравнение поверхности, на которой будут располагаться эти частицы в момент t:

х=х^, TV т2); y=y(t, т„ t2); z=z(f, ч, т2).(2.1.16)

§ 2. Движение точек малой частицы сплошной среды

Мысленно выделим в сплошной среде при помощи любой односвязной (например, шаровой) поверхности малую частицу и обра-

1. Смещениеотдельных точекмалой частицы1. Смещениеотдельных точекмалой частицытимся к изучению движения ее отдельных точек.

1. Смещениеотдельных точекмалой частицы

1. Смещениеотдельных точекмалой частицы

Выберем в частице некоторую точку О,

которую примем за полюс, и одновременно рассмотрим произвольную точку М частицы (рис. 1). Пусть два положения частицы I и II соответствуют моментам £0 и tv

Выбранные точки в момент £0 будут занимать положения О, М и в момент 1Х— положения О', М'. Если бы частица представляла собой абсолютно твердое тело, то из положения I она могла быть переведена в положение II одним поступательным движением, соответствующим перемещению s0 полюса и вращательным движением вокруг полюса с углом поворота Д ф^со^—£0), где со — конечная угловая скорость вращения частицы (рис. 2). Если угол поворота мал, что справедливо для малых промежутков времени ^~^0 или малых значений со, то перемещение s' точки М за время tx—£0 можно записать в виде

s'=s0+to(^—<о) xR,

где R — вектор, соединяющий точки О и М. Введя обозначение

ю(<1—М=Аф, последнюю формулу перепишем в виде

s'=s0+Ay xR.

Заметим, что угол Дф не зависит от расположения точки М в частице. Для деформируемых сред последняя формула будет иметь дополнительный член в правой части. Обозначим его s2, тогда

8=80+Дф XR+S2.Член s2 характеризует деформацию частицы: тие вектора R за время (^—^0) и добавочный8=80+Дф XR+S2.Член s2 характеризует деформацию частицы: тие вектора R за время (^—^0) и добавочный(2.2.1)растяжение или ежа поворот этого вектора за то же время. Вектор s2 зависит(2.2.1)растяжение или ежа поворот этого вектора за то же время. Вектор s2 зависитподвижной) системы координат через их проекции:подвижной) системы координат через их проекции:от расположения точки М в частице.Найдем в явном виде Ду из2. Поскольку объектом изучения являются перемещения сплошной среды, то, как указывалось в § 1, надо воспользоваться переменными Лагранжа.Пусть положение I частицы (см. рис. 1) будет начальным, с. положения точек О и М в этот момент определяются радиусами- векторами г0 и Гд^, проведенными из начала основной (условно не- OY (рис. 3). Эти векторы запишемот расположения точки М в частице.Найдем в явном виде Ду из2. Поскольку объектом изучения являются перемещения сплошной среды, то, как указывалось в § 1, надо воспользоваться переменными Лагранжа.Пусть положение I частицы (см. рис. 1) будет начальным, с. положения точек О и М в этот момент определяются радиусами- векторами г0 и Гд^, проведенными из начала основной (условно не- OY (рис. 3). Эти векторы запишем

8=80+Дф XR+S2.

Член s2 характеризует деформацию частицы: тие вектора R за время (^—^0) и добавочный

8=80+Дф XR+S2.

Член s2 характеризует деформацию частицы: тие вектора R за время (^—^0) и добавочный

(2.2.1)

растяжение или ежа поворот этого вектора за то же время. Вектор s2 зависит

(2.2.1)

растяжение или ежа поворот этого вектора за то же время. Вектор s2 зависит

подвижной) системы координат через их проекции:

подвижной) системы координат через их проекции:

от расположения точки М в частице.

Найдем в явном виде Ду из2. Поскольку объектом изучения являются перемещения сплошной среды, то, как указывалось в § 1, надо воспользоваться переменными Лагранжа.

Пусть положение I частицы (см. рис. 1) будет начальным, с. положения точек О и М в этот момент определяются радиусами- векторами г0 и Гд^, проведенными из начала основной (условно не- OY (рис. 3). Эти векторы запишем

от расположения точки М в частице.

Найдем в явном виде Ду из2. Поскольку объектом изучения являются перемещения сплошной среды, то, как указывалось в § 1, надо воспользоваться переменными Лагранжа.

Пусть положение I частицы (см. рис. 1) будет начальным, с. положения точек О и М в этот момент определяются радиусами- векторами г0 и Гд^, проведенными из начала основной (условно не- OY (рис. 3). Эти векторы запишем

r0=ai+bj+ck;

гм=(а+£)144&+л)]4Чс+Ок^

откуда вектор ОМ-^К—г0—тм найдем по формуле R^r+nj+^k-

Точки О и М сплошной среды в момент времени tx займут соответственно положения О'М\ которые определяются радиусами-век- торами г0', гдр Вектор СУМ* назовем R', вектор перемещения ОО’ точки О обозначим через s0, вектор перемещения ММ’ точки М — через s' и запишем очевидное равенство:

s=s0+R —R,

откуда

R'—R=s—s0.

Зекторы перемещений точек, как указывалось, являются функциями начальных положений точек среды и зависят от времени, которое отсчитывается от момента начального положения частицы. Поскольку рассматриваются два положения частицы, соответствующие двум определенным моментам, то время в векторах перемещений s0 и s будет одинаково. Следовательно, эти векторы будут только функциями начальных координат точек О и М:

s0=s(r0); s=s(rM)

R'—R=s(rM)— s(r0), или более подробно

s—s0=s(a+^, b+^7 c+^)—s(a, &, c).

Разложив последнее выражение в ряд, запишем

где а — члены высших порядков, индекс «О» относится к значениям соответствующих производных в точке О.

В общем случае смещение s является сложной функцией а, &, с. Однако для малой частицы среды £, ц, £ будут малы, и членами, содержащими произведения |, ц, £ и степени их выше первой, можно пренебречь. Тогда

(

ds \ ^ , / ds \, / ds \ у

— ? + — ^ + ■— с./о \ /о \ /о

Переменные £, Ц, £ можно рассматривать как координаты точки М в системе, имеющей начало в точке О и оси, параллельные неподвижным осям координат, т. е. как относительные координаты точки М. Вектор s—s0=R'—R есть вектор относительного перемещения точки М по отношению к точке О. Из последней формулы следует, что относительные смещения являются линейными функциями относительных координат. Такая деформация сплошной среды называется однородной. Поэтому деформацию малого элемента сплошной среды можно рассматривать как однородную. Запишем последнюю формулу в проекциях на оси координат:

.ди ухди.ди у

ы = и0+— £+—V) +— С;

дадодс

.ди у.ди.до у

^^ +5 + — V] + —С;

дадЬдс

хдю у.дю.дю у

дадодс

После алгебраических преобразований, указанных Коши, эти формулы можно привести к виду:

Справедливость приведенных формул легко проверяется, если раскрыть скобки в последних выражениях и привести подобные члены.

Введем для краткости следующие обозначения:

ди е ди , ди?еаа~~да' ebb~~db' ^ — Цс

ди, диди. ди?ди?. ди

еаЪ =+ "ТГ : еас =еЬс = "ТГ + "Т" •

да додс дадо дс

Из этих формул следует, что еаЬ = е6й; еас = еса; еЬс = есЬ. Кроме того, выражение -^-rota, где а = /(а, Ь, с), запишем в виде

1.1 / ди?ди\. ,1 / диди? \. .1 / диди \.

22 \ дЬдс /2 \дсда )2 \дадЬ )

Представим R в виде

R^i+ni+Sk

и введем функцию

/ = у W + *^2 + ес^ + ей6^ + eb^ + ес^.

Тогда вектор смещения будет

s=s04- yrot s xR4-grad/.

В этой'формуле вектор -^rot s не зависит от расположения точки М и полностью определяется точкой О. Далее будет доказано, что вектор grad / характеризует деформацию частицы сплошной среды. Следовательно,

S2=grad /.

Обращаясь к формуле (2.2.1), можем записать

rot s=rot(s0+A? xR+s2)=rot So+rot (Ay xR)+rot grad /.

Здесь rot so=O, так как вектор s0 постоянен (остается неизменным при изменении положения точки М);

rot grad /=0;

rot (Аф X R) =rot (Аф X R) =кдat;Д<Р£Ч — Дф^

rot (Аф X R) =

rot (Аф X R) =

Так как Дф постоянный вектор, то из последнего следует, что го1(Дф xR)=2Aф.

Таким образом,

Аф= ^rot s,

и вектор смещения может быть записан в виде

s^So+Дф xR+grad /.(2.2.2)

Следовательно, смещение некоторой точки малой частицы среды равно сумме смещения выбранной другой точки О частицы, смещения в результате поворота частицы вокруг выбранной точки (причем угол поворота Дф= -^rot s) и смещения в результате деформации.

При изучении смещений точек сплошной

Деформация среды ограничимся рассмотрением только жидкой частицы. гг

Удлинения малых смещении, которые имеют место в конечные интервалы времени. Если же смещения точек среды в конечные интервалы времени велики, то будем брать малые интервалы времени. При этом смещения по-прежнему остаются малыми.

Характерной чертой движения сплошной среды является изменение со временем расстояния между отдельными ее точками, т. е. изменение длины линейных элементов и изменение углов между линейными элементами, исходящими из одной точки.

Введем вектор относительного удлинения 1, равный

1 = R—RlRl

Пользуясь формулами п.1, последнее выражение запишем в виде

1 = — 5 4in 4С — ,(2.2.3)

\да эь * дс / Rх '

ди дади даtg а —tg а —R' — RRR' — RR&Ry диr — 77’&Ry диr — 77’

ди да

ди да

tg а —

tg а —

R' — R

R

R' — R

R

&Ry ди

r — 77’

&Ry ди

r — 77’

или в развернутой форме

ди дидидидиди

"Т-" £ + "77" Ч+ “£"7~5+ '77' ^1+ Т^

да дЪдс . .дадЬдс. .

! -|J 4)А2 4 W/ £2 4 ^ + ^

дюдюдю

"Т- £+"77'Ч+ ~ ^

,дадЬдс,

н______^___—к.

V г2 + f + с2

Предположим, что линейный элемент R первоначально расположен на прямой, параллельной координатной оси ж, тогда Л“^—0 и вектор относительного удлинения 1 будет вида

t ди . , ди . , дю , L = — 1Нj Нк. да да да

Положим, что на перемещения вдоль какой-либо оси не влияют смещения вдоль других осей. Тогда проекция 1Х на ось х (рис. 4) будет

R — R.

== = 7_ 1.

| R |R

Отсюда ди!да есть относительное удлинение линейного элемента, рас

положенного вдоль оси х.

Следовательно, коэффициент еаа=ди!да1 введенный ранее, представляет собой относительное удлинение элемента, расположенного

вдоль оси х.

Проекция 1С на ось у, или ди/да, есть угол, на который поворачивается элемент, расположенный вдоль оси ж, в направлении оси у, так как согласно рис. 4 имеем

и в силу малости угла а можно принять tg а=а. Аналогично dw/da есть угол, на который поворачивается элемент, расположенный вдоль оси х^ в направлении оси z.

Если линейные элементы первоначально располагались вдоль оси у и вдоль оси z, то согласно формуле (2.2.3) получим векторы:

। ди। диди"дЬди"дЬдю "дЬдю "дЬ

। ди

। ди

ди

"дЬ

ди

"дЬ

дю "дЬ

дю "дЬ

-ди . , ди . , дю t

1= —1 Н1 Нк.гдс дс дс

Применяя рассуждения, проведенные выше, можно показать, чтопри малых смещениях проекции 1у на ось у и 12 на ось z, или dv/db и

dwldc, представляют собой относительные удлинения элементов, расположенных соответственно вдоль осей у и z. Величины ди/дЪ, dw!dby duldcydvldc представляют соответственно углы, на которые поворачиваются элемент, расположенный вдоль оси у, в направлении осей х и z и элемент, расположенный вдоль оси z, в направлении осей х и у.

3. Деформацияжидкой частицы.Сдвиги3. Деформацияжидкой частицы.СдвигиРассмотрим теперь, как изменяется прямой угол, образованный линейными элементами, расположенными параллельно осям х и у. Элемент, расположенный вдоль оси ж,

3. Деформацияжидкой частицы.Сдвиги

3. Деформацияжидкой частицы.Сдвиги

повернется на угол dvlda, а элемент, расположенный вдоль оси у, — на угол duldb. Следовательно, рассматриваемый прямой угол после деформации частицы уменьшится на сумму углов, равную

ди . ди

— + "77 еаЬ*

да до

Эту деформацию называют сдвигом.

Аналогично получим деформацию углов между осями х и yt у и z:

ди) . ди

17 +17 _ еас"’

дш । ди

"ГТ + — = еЬс"

дЬ дс

Таким образом, доказано, что шесть величин: еаа, еьь, есс,еаЬ, еЬс, есЬ определяют введенную ранее функцию / и характеризуют деформацию частицы. Они носят название компонентов малой деформации.

4. Относительноеудлинение линейногоотрезка4. Относительноеудлинение линейногоотрезкаОпределим теперь удлинение произвольно направленного линейного отрезка, выходящего из точки О. Для этого найдем отношение длины линейного элемента R' после

4. Относительноеудлинение линейногоотрезка

4. Относительноеудлинение линейногоотрезка

деформации к его длине R до деформации как функцию направления отрезка до деформации. Направляющие косинусы отрезка до деформации I , т, п определяются по формулам:

I — — т — — ; RRI — — т — — ; RRRR

I — — т — — ; RR

I — — т — — ; RR

R

R

Вектор Z, т, п.Вектор Z, т, п.dsдсdsдс

Вектор Z, т, п.

Вектор Z, т, п.

ds

дс

ds

дс

относительного удлинения в переменных Лагранжа череа согласно формуле (2.2.3), выражается в виде

। _ R' — R ds ^ । ds IRI да дЬ

или

Отсюда, пренебрегая квадратами и произведениями величин вида

ди дим

— , —,, найдем да дЪ

( 5LV = Z2 + т2 + и2 + 2 (—Z2 + —m2 + — n2^ +

\R )да дЪ дс ) 1

। 9 Г/ ди . ди \ 7। / дш , ди \. / ди . dw \ .1

+ 21\1т +\тп +1ш .

[\ да дЪ) \дЬ дс )\ дсда ) \

Но Z2 + т* + и2 = 1. Следовательно,

^^ —1 = 2 <еааР + е66тп2 + ессп» + еаЬ1т + еьстп + ecanlY

Отсюда относительное удлинение отрезка будет

f—У —1 = Z(Z + 2).

\R )

Но так как рассматривается малая деформация, то относительное удлинение 1 мало и квадратом его можно пренебречь. Следовательно,

m2_i = 2z \R )

и

Н I = еаа^ + ^6^2 + Ссс^ + eGblm + ebcmn + ecanl*

Последняя формула позволяет определить относительное удлинение любого линейного отрезка, исходящего из заданной точки среды О, если известны шесть компонентов деформации для точки О.

В заключение параграфа заметим, что так как в нем рассматриваются только малые смещения, то во всех формулах производные по а, 6, с могут быть заменены соответственно производными по х, yt Z.

§ 3. Эллипсоид деформации

Поставим своей целью исследовать деформацию малой частицы сплошной среды, имеющей первоначально шаровую форму. Как уже выяснено в §2, деформация опре- 1. Деформация деляется вектором s2=grad /. До деформации шаровой поверхности относительный радиус-вектор точки был R, после деформации точка будет иметь радиус-вектор R+s2. Соответственно относительные координаты точки частицы до деформации будут g, ц, £, после деформации относительные координаты той же точки будут g', ц', £'. Они определяются по формулам:

Ч = 4“ Cb£ + (1 + ^й) ^ + 4" е»^’

c' = y^ + у е^ + (1 + ^)С.

Так как рассматриваются малые деформации, то £', ц', £' отличаются на малые величины от £, ц, £; малы одновременно и производные типа ди!да, ди/дЪ,.. . Следовательно, с точностью до величин второго порядка малости, можно положить, что

V = £ + ео£ 4- -А- еаЬч( + А- е^';

ч( = т) + -A- eboV + еььт( + -A-^^';

C = C + -Lea^ + _Lecb7i' + e^,

откуда

£ — (1 еаа) 2 ваЬ^ "вас^ *

Ч =^-eabV + (1 — eb^ V — -у ebcU;

= — есХ — -у есХ + (1 — ес^ V.

Из приведенных формул следует, что точки малой частицы сплошной среды, располагавшиеся до деформации на сфере радиуса Л, уравнение которой

^2_|_^2_|_^2=^2<

перейдут после деформации на поверхность второго порядка, уравнение которой, с точностью до величин второго порядка малости, будет

' =А

Поверхность, определяемая последним уравнением, может быть только эллипсоидом, ибо при малых деформациях шаровая поверхность, отмеченная в сплошной среде, может претерпевать только изменения своей формы.

Этот эллипсоид носит название эллипсоида деформации.

Если оси координат выбраны так, что они

Главные совпадают с главными осями эллипсоида оси деформациих

деформации, которые носят название главных осей деформации, то последнее уравнение записывается в канонической форме и имеет вид

(1-2е^'2+(1-2^)Л'24(1-2е^

где еп ег, е3 являются относительными удлинениями отрезков, рас- ноложенных параллельно осям новой системы координат. Новы&

оси замечательны тем, что смещения частиц, расположенных первоначально на этих осях, происходят только вдоль этих осей или точки, расположенные до деформации на главных осях деформации, и после деформации остаются на тех же осях. Указанное свойство есть непосредственное следствие результатов предыдущего параграфа.

Так же, как и в предыдущем параграфе, ввиду того, что рассматриваются малые смещения, во всех формулах производные по а. 6, с могут быть заменены производными по х^ у, z.

§ 4. Тензоры деформации и скоростей деформации

1. Вычислениекомпонентовдеформациив преобразованнойсистеме координат1. Вычислениекомпонентовдеформациив преобразованнойсистеме координатВектор деформации з2 частицы определяется шестью компонентами деформации. Последние записаны выше в переменных Лагранжа. Теперь будем рассматривать движение сплошной среды с точки зрения переменных Эйлера и выразим через них шесть компонентов деформации.

1. Вычислениекомпонентовдеформациив преобразованнойсистеме координат

1. Вычислениекомпонентовдеформациив преобразованнойсистеме координат

В § 1 было указано, что при малых

деформациях справедливо равенство производных вида:

дидидиди

— = —; — = — и т. д.дадхдЬду

В связи с этим компоненты малой деформации, представляющие собой относительные удлинения, могут быть записаны в виде

ди ди ди дх ' ду ' да '

а компоненты малой деформации, представляющие собой сдвиги, — в виде

диди е ди । дю ,дидю

дхду 'да дх 'даду *

Чтобы записать компоненты малой деформации в переменных Эйлера, будем пользоваться для них следующими обозначениями:

ди ди дю

ди .диди . дюди . дю

у дх дуда дх у да ду

Шесть компонентов деформации есть функции координат х1 у, z точек пространства.

Займемся вопросом, как изменяются компоненты деформации при изменении системы координат х, у, z на х, у, z. Для этого подсчитаем скалярное произведение s2-R, которое не зависит от того, в какой системе координат оно вычисляется.

Пусть в старой системе координат R имеет координаты g, ц, £; в новой системе — координаты g, ц, £. Так как вектор R пред став-

ляет собой относительный радиус-вектор точки, то изменение системы координат приводит только к повороту осей координат и связь между старыми и новыми осями будет выражаться соотношениями:

g=gcos(#, я)+т) cos(z/, #)+£ cos(z, х); t^Jcos^ z/)+j] cos(^, y)+3 cos(z, y); £=£ COs(#, z)4-T] cos(y, z)+ ^ cos(z, z).

Для сокращения записи введем обозначения:

cos (ж, я) = ап; cos(y, ^) = a2i; cos(z, ^) = a3i и т. д.

Так как R характеризует относительный радиус-вектор точки среды и s2 есть деформация жидкой частицы, то скалярное произведение этих векторов будет величиной неизменной для преобразования координат. Следовательно,

S2 * R~^xxB 24“£^^24_£z^24~£xi/^^^h£^z^£j45zx^ — _~бХ ^ 2~Ь^ y^ ^^Z ?£ 2+^Х ^ Л~Ь^ 2Л £ 4'^2 л£ £ •

Подставляя в последнее соотношение значения £, ц, £, выраженные через £, ц, £) и сравнивая затем коэффициенты при £2, ц2, £2 в обеих частях равенства, придем к формулам, из которых следует, что

6хх + ®уу + е7г = ехх + еуу + егг

В частности, если новые оси координат выбраны вдоль главных осей эллипсоида деформации, то последнее соотношение можно записать в виде

,, ди , ди , дю j.

в-. Ч~ ^о -к вп = — Ч~ — Ч~ — — div s. 112,3 дх ду dz

Отсюда следует, что div s остается неизменной при преобразовании координат.

Если ввести обозначения:

Ф11=^хх» Ф^~еу1П Ф 33~ezz*">

111

Ф 1^—Ф ^l—^^xy t Ф IS^^Sl — ^^z» Ф 23 “Ф 32"”2eyzi

то формулы преобразования компонентов деформации примут следующий вид:

з з

^lk “ S S Фтз^^кз (^> ^ ~ 1, 2, 3).

Г—1 S=1

Шесть величин, зависящих от я, у, z и деформации удовлетворяющих последним формулам преобразования координат, образуют так называемый афинный ортогональный тензор второго ранга.

Следовательно, можно сказать, что шесть компонентов деформации образуют тензор, который естественно назвать тензором деформации.

Тензор деформации в каждой точке пространства характеризует деформацию частицы сплошной среды, окружающей данную точку. Обозначим этот тензор через ф и изобразим, как принято, в виде следующей таблицы?

ехх ~ еху 9 exz

1 2 zx1 2 zx2 ezy ezz2 ezy ezz

1

2 zx

1

2 zx

2 ezy ezz

2 ezy ezz

Если x, у, z выбраны вдоль главных осей деформации (см. предыдущий параграф), то ф будет вида

6хх

0

0

ф = •

0

е- - у у

0

0

0

6zz

Вычислим скорости различных точек малой

Скорость частицы сплошной среды. Как было указа- точек малой но, смещение произвольной точки малой час- частицытицы сплошной среды можно представить

в виде

s=s0+s1+s2, где s1=Aq)XR.

Полагая, что это смещение происходит за бесконечно малый промежуток времени М, отнесем к нему последнее выражение и перейдем к пределу при Д^О, тогда получим формулу, связывающую скорости точек частицы сплошной среды:

v^o+Vi+v^

где уо„ скорость поступательного движения частицы;

(здесь(здесьVi=o XR

(здесь

(здесь

1 .

со =y rot v

представляет собой вращательную скорость частицы относительно точки О; см. рис. 3) и

va = grad ^- = grad /

есть скорость деформации жидкой частицы.

Проекции вектора скорости v будем обозначать соответственно ух, уу» yz« Кроме того, введем обозначения:

_ 9их% р _t ^z . р — ди* I 8vx

ду ax' yz dz ау ’ 2Х дх dz

Величины ехх, еуу1 ezz представляют собой скорости относительного удлинения элементов, расположенных соответственно параллельно осям координат; exyi eyzi ezx— скорости деформации прямых углов.

Используя введенные обозначения, функцию / запишем в виде /=^ 2-HW4 2 + ^zz? 2-Н^у^Т| +^2T|^ “b^za^ •

Шесть величин ехх, eyyi ezzi exyi eyzi ezx носят название компонентов скоростей деформации.

м Формулы преобразования компонентов ско-

Тензор скоростей ростей деформации будут аналогичны фор- Деформации мулам предыдущего параграфа. Следовательно, они образуют тензор, который обозначим ф. Последний имеет вид

ф - ■

.1•JL

ехх2^У26x2

..1•

еухеуу2в^2

.j ••

егх2 в^вгх

Тензор ф носит название тензора скоростей деформации.

§ 5. Уравнение неразрывности

Важной характеристикой сплошной среды является ее плотность. Для ее определения выделим в жидкой среде малый объем ДУ, ох- 1 Плотность спелы ватывающий точку М, плотность которой *р д ищется. Пусть масса выделенного объема бу

дет Дгм. Тогда плотностью среды в точке М называется предел отношения массы Дт элементарного объема к величине объема ДУ при ДУ->0, т. е.

р = limДУ->0р = limДУ->0АтaF*АтaF*

р = lim

ДУ->0

р = lim

ДУ->0

Ат

aF*

Ат

aF*

Это определение имеет смысл только в том случае, когда среда сплошным образом заполняет рассматриваемый объем. Последнее Условие налагает ограничения на перемещения и плотности точек

сплошной среды. В случае конечных перемещений налагается ограничение на скорости точек среды в виде уравнения неразрывности.

2. Уравнение неразрывности2. Уравнение неразрывностиВоспользуемся переменными Лагранжа и запишем условие того, что выделенный объем сплошной среды в два момента времени —

2. Уравнение неразрывности

2. Уравнение неразрывности

начальный tQ и конечный ty— будет иметь одинаковую массу, т. е.

ff J 9odadbdc ~ ^^rdxdydz,

где р0— плотность среды в момент tOl являющаяся функцией а, Ь, с, 1^ р1 — плотность в момент ^=/0+AZ, являющаяся функцией а, 6, г, г04-А£. Заменим во втором интеграле переменные xs у, z через переменные а, 6, с, тогда

гдегдеС С С prdxdydz = 1 Ц pxDdadbdcViVOx ду dz да да да дх ду dzD ="дЬдЪдЪдхдуdzдсдсдсС С С prdxdydz = 1 Ц pxDdadbdcViVOx ду dz да да да дх ду dzD ="дЬдЪдЪдхдуdzдсдсдс

где

где

С С С prdxdydz = 1 Ц pxDdadbdc

Vi

V

Ox ду dz да да да дх ду dz

D =

"дЬдЪдЪ

дхдуdz

дсдсдс

С С С prdxdydz = 1 Ц pxDdadbdc

Vi

V

Ox ду dz да да да дх ду dz

D =

"дЬдЪдЪ

дхдуdz

дсдсдс

Но через составляющие вектора перемещения [см. формулы (2.1.4')] последний детерминант можно представить в виде

। । диди

дада

dw да

ди , . ди

D =— 1 Н

дЪдЬ

dw

"эъ

диди

дсдс

1 + 51 дс

или в силу того, что рассматриваются малые перемещения, можно пренебречь произведениями типа dwldb, dvldc и т. д., и тогда

_ 1 + —.

да дЬ де

Подставив преобразованный интеграл в исходное равенство, получим

^J (р0 —р^) dadbdc = 0. " у

Так как выбранный объем V произволен, то, чтобы выполнялось последнее равенство, необходимо равенство нулю подынтегрального выражения, т. е.

Ро —Р1^ = 0.(2.5.1)

Это уравнение неразрывности, записанное в переменных Лагранжа. Подставив значение D, перепишем уравнение неразрывности в виде

++/2.5.2)

ргда db де

Перейдя к переменным Эйлера, как это уже неоднократно делалось, запишем это равенство в виде

А _ 1 = д- — + —(2 5 2Z)

Р1дх ay dzх ’

Докажем, что последнее равенство представляет собой относительное объемное расширение А при деформации. Так как

д ^^г- dVdV

то, в силу неизменности массы объема при деформации, имеем

p1dV1 = 90dV.

Следовательно,

А = ^2_ — 1 = — + — + —,(2.5.2")

р!Эх dy dz

что и требовалось доказать. Возвращаясь к равенству (2.5.2'), запишем

р(я, У, z, /)। ди । dvdw

р(ж4-Аж, у + Ду, z 4-Az, / 4-AZ)дх dydz

Это равенство связывает плотность частицы в двух точках пространства, определяемых координатами я, у, z и х-\-Дх, у+Ду, z+Az. Эти положения точка сплошной среды занимает в моменты t и Z+A^, смещаясь за время Д1 на малый вектор s, имеющий проекции и, и, w. Чтобы найти связь между плотностью в данной точке пространства я, у, z и скоростью в той же точке, необходимо разделить последнее равенство на Д1 и перейти к пределу при Д^О. Следовательно, получим

d 1 dvx dvy gUz^ dt pdx ‘ dy ‘ dz 1

или, вводя

dlV V = — H H,dx dy dz

запишемзапишем— + pdiv v = О, dl v— + pdiv v = О, dl v(2.5.3)(2.5.3)илиили

запишем

запишем

— + pdiv v = О, dl v

— + pdiv v = О, dl v

(2.5.3)

(2.5.3)

или

или

(2.5.37(2.5.37— + divp v = О.

(2.5.37

(2.5.37

Равенство (2.5.3) или (2.5.3') является уравнением неразрывности, записанным в переменных Эйлера. Оно накладывает ограничение на скорости точек сплошной среды и применяется в тех случаях» когда смещения точек среды велики.

Полученное уравнение может быть записано в виде

- dt \- dt \Й = div V.

- dt \

- dt \

Pi /

Но ——1 выражает объемное расширение при деформации, следо-

Pi

вательно, —(——1), или div v, является скоростью объемного рас- )

ширения сплошной среды при деформации.

В заключение заметим, что, как следует из приведенного вывода» уравнение неразрывности (2.5.3) представляет собой условие неизменности массы выделенного в жидкости объема, или закон сохранения массы. Последняя трактовка этого уравнения является в ряде случаев полезной.

Поле скоростей и его основные характеристики

Изучая движение сплошных сред в переменных Эйлера, в части пространства, занятого жидкостью, в каждый заданный момент в . „„ каждой точке можно построить вектор ско-

Поле скоростей

г рости. Совокупность этих векторов образует так называемое поле скоростей. Так как вектор скорости v зависит от координат ж, у, z и времени t, то в общем случае поле скоростей будет изменяться с течением времени. Однако в частном случае v может быть функцией только координат. В этом случае поле скоростей называется стационарным, или установившимся.

о _Линии, в любой точке которых касательная

Линии тока

совпадает с направлением вектора скорости» называется линией тока.

Касательная к линии тока составляет с осями координат углы,

определяются выражениями:dadsопределяются выражениями:dadsкосинусы которых соответственно

определяются выражениями:

da

ds

определяются выражениями:

da

ds

dxdy

) •dsds

Косинусы углов, которые составляют скорость с осями коорди- нат, будут

— I —— I ——. •V V V

На основании определения линий тока соответствующие углы должны быть равны. Следовательно, дифференциальные уравнения линий тока будут

dx dy dz ds^ g j)

vx (ж, y, z,/)Vy(»,y,z,Z)vz (ж, у, z, /) v

где ds —• элемент дуги линии тока; dx, dy, dz — его проекции на оси декартовой системы координат; t играет роль параметра.

Уравнения (2.6.1) определяют семейство линий тока. При изменении t будет изменяться семейство линий тока.

В частном случае стационарного поля скоростей [или v = =^х, у, z)] в (2.6.1) отсутствует время t. Благодаря этому линии тока не изменяются с течением времени и представляют собой траектории, вдоль которых перемещаются частицы сплошной среды.

Уравнения семейства линий тока и траекторий в этом случае будут

(2.6.2)(2.6.2)dx _ dy dz

(2.6.2)

(2.6.2)

Vxk.x» У» z) yy(^,y,z) иДх,у^

В общем случае линии тока и траектории точек сплошной среды не совпадают.

Одной из существенных характеристик поля

Поток скорости скоростей является понятие потока ско- (и массы) роста. Под последним понимается объем сплошной среды, протекающей через некоторую неподвижную поверхность ст за единицу времени. Обозначив поток скорости через Q, на основании определения запишем его в виде поверхностного интеграла:

Q = J N*ds = J vnds = j* vxdydz + vydzdx + vzdxdy,

где da— вектор направлений перпендикулярно к площади da, V — вектор скорости, Nn— его проекция на da.

Если поверхность ст замкнута, в качестве da выбирается внешняя нормаль поверхности. При этом условно принято, что объем вытекающей среды положителен, а втекающей — отрицателен.

Поверхностный интеграл на основании теоремы Гаусса можно записать в виде

Q = J N-da = J divvdF.(2.6.3)

аV

Наряду с объемом сплошной среды, вытекающей через заданную поверхность, можно рассматривать массу среды, протекающую через поверхность и определяемую интегралом

J pv-ds.

Этот интеграл назовем потоком массы. Если ст замкнута, то

J pN-ds= J divpvdV.(2.6.4)

аV

Если жидкость несжимаема или течение стационарно, то из уравнения неразрывности следует, что последний интеграл равен нулю.

4. Вывод уравнениянеразрывностина основании понятияпотока массы4. Вывод уравнениянеразрывностина основании понятияпотока массыПонятие потока массы позволяет просто получить уравнение неразрывности, рассмотренное в §2. Именно, поток массы сквозь некоторую неподвижную замкнутую поверхность ст определяет вытекающую в

4. Вывод уравнениянеразрывностина основании понятияпотока массы

4. Вывод уравнениянеразрывностина основании понятияпотока массы

единицу времени массу сплошной среды. Это повлечет за собой умень-

шение плотности в точках внутри ст за единицу времени на величи- др»

ну —~~и соответствующее уменьшение массы среды, заключенной в а, равное —j ^^f т* е‘ v

С div pxdV — — С — dV.

JJ

VV

Так как объем V произволен, то из последнего уравнения имеем

Это и есть уже указанное ранее уравнение неразрывности.Это и есть уже указанное ранее уравнение неразрывности.— + divpv = 0. at

Это и есть уже указанное ранее уравнение неразрывности.

Это и есть уже указанное ранее уравнение неразрывности.

Второй существенной характеристикой поля

5. Циркуляция скорости и её связь с потоком завихренностинием обхода:5. Циркуляция скорости и её связь с потоком завихренностинием обхода:скоростей является понятие циркуляции скорости. Последняя обозначается Г и определяется как криволинейный интеграл по замкнутой кривой L с заданным направле-

5. Циркуляция скорости и её связь с потоком завихренности

нием обхода:

5. Циркуляция скорости и её связь с потоком завихренности

нием обхода:

Г = ф Nds = \ vxdjc + v^dy + v^z,(2.6.5)

LL

где ds — элемент кривой L.

Согласно теореме Стокса Г можно записать еще в виде

Г = (j) v • c?s = J rot v • da,(2.6.5')

Lа

где а — любая поверхность, ограниченная L. В п.3§4 было доказано, что скорость вращения частиц сплошной среды определяется вектором

(O^-yTOt v.

Вектор

Q=2w=rot v

называется вектором завихренности движения, или вектором вихря скорости. Этот вектор, как очевидно, характеризует вращение частиц сплошной среды. Как следует из формулы (2.6.5'), циркуляция скорости равна потоку завихренности сквозь любую поверхность, ограниченную контуром L.

6. Классыбезвихревыхи завихренныхдвижений6. Классыбезвихревыхи завихренныхдвиженийВведенное понятие завихренности поля скоростей позволяет разбить движения сплошных сред на два класса. К первому отнесем движения, для которых выполняется условие:

6. Классыбезвихревыхи завихренныхдвижений

6. Классыбезвихревыхи завихренныхдвижений

Q —rot v=0.

Такие движения будем называть безвихревыми, или потенциальными. Но последнее соотношение является необходимым и достаточным условием того, что вектор v есть градиент некоторой функции ф, носящей название потенциала скорости, т. е.

v=grad ф.

Так как вектор v является функцией х, у, z и t, то и потенциал скорости зависит от тех же переменных.

Ко второму классу движений сплошных сред отнесем такие, для которых

rot V^=0.

Эти движения называются завихренными.

Рассмотрим завихренные движения. Пусть

Полеточки, в которых вектор Q отличен от ну-

ля, сплошным образом заполняют некоторый объем. В этом случае можно говорить, что поле скоростей порождает поле завихренности, ибо каждой точке пространства будет соответствовать вектор Q. Так же, как и для поля скоростей, для поля завихренности введем понятие вихревых линий. Под последними будем понимать линии, касательные к которым в любой точке совпадают с вектором завихренности в данной точке. Согласно определению, дифференциальные уравнения вихревых линий будут

dx ду dz

OrQyQz

Так как

div Q = div rot v = 0,

то поток завихренности через замкнутую поверхность равен нулю. Действительно, по теореме Гаусса имеем

j div Qtk = J Й • dj = J 2л<й = 0.

Выберем в качестве замкнутой поверхности трубку тока, ограниченную двумя любыми нормальными с ней сечениями (рис. 5). Пусть площадь этих сечений будет огх и о2. Обозначим через п вектор нормали к этим сечениям (рис. 6) и через Йх и Й2 нормальные составляющие векторов завихренности, действующих на площадках огх и ст2, Qx и Q2. Тогда, так как для поверхности вихревой трубки нормальная составляющая вектора завихренности равна нулю, то

Величина, равная произведению площади нормального к вектору вихря сечения вихревой трубки на модуль Й, носит название интенсивности вихревой трубки, или интенсивности вихря.

Из последнего соотношения следует так называемая первая теорема Гельмгольца, которая гласит: интенсивность вихря остается постоянной вдоль вихревой линии.

Так как сечения огх и ст2 вихревой трубки выбраны произвольно, то из последнего равенства следует, что вихревые трубки не могут прерываться, или вихревые трубки либо будут замкнуты, либо будут кончаться на границе жидкости.

Применим теорему Стокса для вихревой трубки, выбрав в качестве кривой L любой контур, охватывающий трубку. Тогда

Г ^QX^^008^^)^^

где а’— площадь сечения трубки, ограниченной контуром L, а — площадь соответствующего нормального сечения (см. рис. 6).

В силу последнего равенства имеем следующий результат: интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по любому контуру, расположенному на вихревой трубке и охватывающему вихревую трубку.

ГЛАВA 3

НЕОБХОДИМЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНЫХ СРЕД

§ 1. Силы, действующие в сплошных средах

Выделим в сплошной среде объем 7, ограниченный поверхностью ст. Все силы, действующие на выделенную часть сплошной сре- ды, можно разбить на два класса. К одному 1. Массовые силы классу относятся силы, действующие на каждый элемент объема dV, независимо от того, существуют или нет рядом с выделенным объемом другие части сплошной среды. Эти силы называются массовыми. Если обозначить через F массовую силу, отнесенную к единице массы, то на объем dV, масса которого будет pd7, действует массовая сила Fpd7. Главный вектор массовых сил, действующих на весь объем V, будет выражаться в виде интеграла:

[ FpdV.

V

Примером массовых сил могут служить гравитационные силы, силы инерции и другие силы.

К другому классу сил относятся силы вза-

Поверхностные имодействия между отдельными частями силысплошной среды. Главный вектор и главный

момент этих сил внутри выделенного объема 7, в силу третьего закона Ньютона, будут уравновешены.

Таким образом, эти силы останутся приложенными только к поверхностным частям объема 7 или они будут приложены по поверхности or. Поэтому они называются поверхностными силами. Поверхностная сила будет зависеть от ориентации площадки, к которой она приложена. Поверхностную силу, действующую на единицу площади, ориентация которой задана в пространстве внешней нормалью п, обозначают через рл и называют напряжением сил на рассматриваемом элементе поверхности.

На элемент поверхности des будет действовать поверхностная сила pndcr. Главный вектор поверхностных сил, действующих на объем 7, будет выражаться в виде интеграла, распространенного по замкнутой поверхности ст:

J Р,А

Вектор рп в общем случае не направлен по нормали п к поверхности, к которой он приложен. Проекция рп на направление нормали носит название нормального напряжения, или нормального давления. Проекция рп на площадку, к которой рп приложено, носит название сдвигающего или срезывающего напряжения (касательного напряжения) .

Тензор напряжения

Подробно исследуем вектор рп. Для этого мысленно выделим в сплошной среде элементарный тетраэдр, три грани которого МВС, МАС и МАВ параллельны координатным

Компоненты плоскостям (рис. 7). Внешние нормали к этим граням будут направлены соответственно противоположно осям Ох, Оу и Oz. Внешнюю нормаль к четвертой наклонной грани АВС обозначим и. Пусть и составляет с осями Ох, Оу, Oz углы, косинусы которых назовем соответственно ап1, ап2, ап3. Тогда, если площадь грани АВС будет do, то площади граней МВС,

Рис. 7Рис. 7Соответственно массовыеСоответственно массовыеanldor, an2cZo-, a^da.anldor, an2cZo-, a^da.МАС, МАВ, являясь проекциями do, будут соответственно равны

Рис. 7

Рис. 7

Соответственно массовые

Соответственно массовые

anldor, an2cZo-, a^da.

anldor, an2cZo-, a^da.

Рассматриваемый тетраэдр вместе со всей сплошной средой, к которой он принадлежит, находится в движении. Обозначим объем тетраэдра через dV, тогда массовые силы, действующие на тетраэдр, будут

FpdV.силы инерции будутapdF,

где а — ускорение элементарного тетраэдра.

Поверхностная сила, действующая на грань АВС, будет Pndo,

и в силу того, что внешние нормали к соответствующим остальным граням тетраэдра будут —х, —у, —z, поверхностные силы, действующие на них, соответственно выразятся как

P-Ai^, p^a^da, p.^a^do.

Одно из необходимых уравнений движения тетраэдра, как было указано ранее, будет заключаться в том, что геометрическая сумма всех сил, действующих на него, включая силы инерции, равна нулю, т. е.

(F — а) pdr + pnda + P-^ni^ + P-y^2da + P-A3da = 0.

Если И — высота тетраэдра, то объем его будет dV—-^-do.

Следовательно, последнее уравнение можно переписать в виде

(Г — а) -5- Р + Рл + Р-А1 + Р-Аг + Р-Аз = °-(3.2.1)

Перейдя в последнем равенстве к пределу при h->0, получим

Рл Р-Л1 Р-у%2 Р-г%3’

Сила рх есть воздействие на грань МСВ частиц среды, лежащих вне тетраэдра. Соответственно рх будет сила воздействия на ту же грань МСВ частиц среды, находящихся внутри тетраэдра. Но, в силу равенства действия и противодействия, будем иметь

Р-х~ Рх*

Аналогично запишем

р.^—рУ; p-z=~pz*

Отсюда

Рл "Рх^щ + Ру^пг + Рг^пЗ*(3.2.2)

Это равенство указывает, что напряжение рп при произвольной ориентировке внешней нормали п может быть определено, если известны напряжения в той же точке для площадок, внешние нормали которых параллельны осям Ox, Оу, Oz, и одинаково с ними направлены. Проекции векторов рх, ру, pz на оси х, у, z обозначим соответственно

РхХ1 Pxyi PxZI Рухч Pyyi Рух И Pzxi Pzy, Pzz*

Эти проекции носят название компонентов напряжения.

Тензор Проектируя равенство (3.2.2) на оси коор- напряжения динат, будем иметь:

Pnx”Pxx^nvV Рух^п^ Pzx^n3i

Pny=Pxy^nl~^ Руу^пъ^ Pzy^nSi(3.2.2')

Pnz~Pxz^nl"V" Pyz^n^A" Pzz^nS*

Рассмотрим теперь произвольное направление т и обозначим через рпт проекцию рп на это направление. Кроме того, введем обозначения:

cos(m, x^amV соа^пцу^а^, cos(m, z^am3.

Тогда

Р nm”Pnx^mVAРпуО'т^'АРпх^тЗ)

или, с учетом формул (3.2.2'),

Рпт Pxx^nl^ml 4" Рух^п^т! 4~ Ргх ^п^тХ + Рху anl am2 4” Руу СЬп2 ^тй +4“ Рху^п^т^А'Рхх^пхО'т^А" Рух^т^тзАг Pzz^n3^m3*

Положив в этой формуле последовательно п и т равными "х, у^, получим формулы, позволяющие вычислить компоненты напряжения в новой системе координат х, у, z через компоненты напряжения в старой системе координат х, у, z. Сравнивая эти формулы с форму-

П =П ='РххРух Ргх'РххРух Ргхлами преобразования компонентов деформации или компонентов скоростей деформации частицы сплошной среды, можно установить их идентичность. Следовательно, компоненты напряжения образуют тензор П вида

П =

П =

'Рхх

Рух Ргх

'Рхх

Рух Ргх

Рху РXX

Руу Руг

Ргу Ргг

Этот тензор носит название тензора напряжения.

В дальнейшем будет доказано, что тензор П симметричный, т. е. выполняются равенства:

Рху—Pyxi Руг—Pzyi Pzx—Pxz*

Таким образом, напряжение в данной точке среды есть функция шести величин:

Рххч Рууч Pzzi Рхуч РуXI Pzx*

Тензор напряжения обладает теми же свойствами, что и тензор деформации (см. гл. 2, § 3, п. 2), а именно существуют три взаимно перпендикулярные главные оси тензора напряжений, относительно которых тензор напряжения имеет вид

П -П -Pi О о о р2 о о о р3.

П -

П -

где ръ р^ рз— главные напряжения. Кроме того, имеет место соотношение:

PxxA-Pyy+Pzz— Pl+PrVp^

т. е. сумма нормальных напряжений на три взаимно перпендикулярные площадки не зависит от ориентации этих площадок. Компоненты напряжения характеризуют внутренние силы, действующие в сплошной среде. Эти компоненты будут изменяться с течением времени t и при переходе от одной точки пространства, занятого сплошной средой, к другой. Таким образом, компоненты напряжения, являясь функциями £, ж, г/, z, выражаются в переменных Эйлера.

§ 3. Необходимые уравнения движения сплошных сред

1. Главный вектори главный момент сил,действующихна произвольныйэлемент сплошнойсреды1. Главный вектори главный момент сил,действующихна произвольныйэлемент сплошнойсредыВыделим мысленно произвольный объем dV сплошной среды.

1. Главный вектори главный момент сил,действующихна произвольныйэлемент сплошнойсреды

1. Главный вектори главный момент сил,действующихна произвольныйэлемент сплошнойсреды

Главный вектор всех массовых сил выделенного объема будет

fFpdF,(3.3.1)

V

где F — массовая сила, отнесенная к единице массы сплошной среды, dV — элементарный объем сплошной среды, р — ее

плотность. Главный вектор сил инерции, действующих на выделенную часть жидкости, аналогично будет

— ^ apdF,v

(З.З.Г)

где а — вектор ускорения. Наконец, если а — поверхность, ограничивающая выделенный объем У, тогда главный вектор всех поверхностных сил будет

J Рл^.

(3.3.1")

где рп— поверхностная сила, отнесенная к единице площади, а da — элемент поверхности а.

Как было указано в § 2 гл. 1, необходимыми, но недостаточными уравнениями движения выделенного объема V сплошной среды будут равенство нулю главного вектора всех сил, действующих на этот объем, т. е.

[ FpdF — [ apdF + J pnda = О, VVa

(3.3.2)

и равенство нулю главного момента всех внешних сил, действующих на объем У, т. е.

^‘ г х (F — a) ^dV + J г х pnds = 0. Va

(3.3.3)

2. Уравнения движения в напряжениях

На основании формулы (3.2.2) предыдущего параграфа имеем

J pnd= = j* (рхая1 + руал2 + РЛз) ^.

Но последний поверхностный интеграл преобразуется в объемный интеграл по формуле

j (РЛ1 + Руал2 + P^W = )+ —

аV

+ ^ dV.

Следовательно, уравнение (3.3.2) может быть записано в виде

СГ(Е —а)р + -^+ -^ + —l^F =0,

J L9х ду dz J

откуда, вследствие произвольности объема V, имеем

F_ap + ^+^ + ^. = O.dx ду dz

Поверхностный интеграл, входящий в формулу (3.3.3), может быть представлен в виде

J г х P„ds = J Г х (рА1 + руал2 + рАз) da =

= f / dr X рх . dr X ру dr X рг \ dy =

J \ дхдуdz )

= Crx^ + ^ + ^ dV +у дх ду dz )

+ \^xpx+^-xp^^xp>dV.J \dxdy J dz /

V

Ho

r^i+z/j+^k.

Следовательно,

dr . dr . dr 1

— = i, — = J. — = k,dxdydz

где i, j, k — единичные векторы координатных осей.

Уравнение (3.3.3) теперь может быть записано в виде

Пг X /Ер — ар + -^ + ^- + -^-) + ixp^+jxp 4-kxpJ^y = О, v L \dx dy dz )уj

откуда, в силу произвольности объема V, имеем

rx^Fp — ар + v^ + v^ + v^) + ixp^ +jXpy + kxpz = O, Idx dy dz )y

или окончательно, принимая во внимание уравнение (3.3.2), имеем iXpx+j XPy+k X pz=0.

В силу равенств (3.2.2) последнее уравнение перепишем в виде

ZW X i+Pxz/i X j +ZW X к +pyx j X WPyy j X j +pyz j Xk+pxxk X i+

-\-pzyk X j +pzzk X к=0, или

(pxy Pyx)i-"V(jPzx Pxz^ + (Pyz Pzy>—0,

откуда имеемоткуда имеемРху Ру XI Рхх Pxxs Рух Рху*

откуда имеем

откуда имеем

(3.3.4)(3.3.4)(3.3.5)(3.3.5)Следовательно, второе необходимое уравнение движения сплошной среды указывает, что тензор напряжений, рассмотренный в предыдущем параграфе, является симметричным. Уравнение сплошной среды в векторной форме на основании (3.3.2) будет иметь вид

(3.3.4)

(3.3.4)

(3.3.5)

(3.3.5)

Отсюда скалярные уравнения движения будут:

^ + 7^ + 7az = Fz + “7 рaz = Fz + “7 р9 Рху9у9руу8у8pzy9у9 Рху9у9руу8у8pzy9у(3.3.5')(3.3.5')

^ + 7

^ + 7

az = Fz + “7 р

az = Fz + “7 р

9 Рху9у

9руу

8у

8pzy

9у

9 Рху9у

9руу

8у

8pzy

9у

(3.3.5')

(3.3.5')

Эти уравнения носят название уравнений движения сплошных сред в напряжениях. В уравнениях (3.3.5') время t и координаты х, у, z являются независимыми переменными. Это значит, что время и место наблюдения движения точек сплошной среды произвольны. Выбор в качестве независимых переменных координат хп у, z пространства, заполненного сплошной средой, указывает, что эти уравнения написаны в переменных Эйлера.

При изучении механики сплошных сред задача состоит в исследовании движения сплошной среды под действием заданных сил. Таким образом, в уравнениях (3.3.5) компоненты массовой силы F рассматриваются как величины заданные. Остальные величины, а именно: плотность р, компоненты напряжения рХХ1 р^ р^ рху1 Pyzi Рхх и компоненты ускорения аХ1 ау1 аг (либо компоненты векторов скорости или смещения, через которые а выражается), являются величинами, подлежащими определению. Уравнения (3.3.5) представляют систему трех уравнений относительно 10 неизвестных. Следовательно, уравнения (3.3.5') являются, как очевидно, уравнениями необходимыми, но недостаточными. Недостающие уравнения для описания движения сплошных сред принципиально не могут быть найдены методами классической механики. Их можно получить, только рассматривая основные физические характеристики тех или иных сплошных сред и строя на основании их гипотезы о характере внутренних сил, действующих в сплошных средах.

ЧА СТЬП

ГИДРОДИНАМИКА

ГЛАВА 4

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

§ 1. Основные уравнения и задачи движения идеальнойжидкости

Гидродинамикой называется раздел, изучающий движения существующих в природе жидкостей и газов, совокупность которых принято именовать общим термином жидкость.

Идеальная Первоначально ограничим исследование изу- жидкостьгг

чением движения жидкостей, которые не оказывают сопротивления при скольжении одного слоя по другому. Такие жидкости называются идеальными. Идеальная жидкость представляет собой понятие абстрактное, так же как, например, понятие абсолютно твердого тела. Значительный интерес раздела механики, изучающего движение идеальной жидкости, определяется главным образом тем, что вода и воздух в вряде задач могут быть приняты за идеальную жидкость.

Так как идеальная жидкость не оказывает сопротивления при скольжении одного слоя по другому, то взаимодействие отдельных частей жидкости будет осуществляться только в виде силы нормального давления. Следовательно, сдвигающие напряжения будут равны нулю: Рху=рух=Рхх=0. Воспользуемся равенством, связывающим напряжения внутренних сил, действующих на различно ориентированные площадки:

Pn “Px&ni~bPz/&n2~b Pz&ns»

где ап1, ап2, ал3— косинусы углов, которые составляют оси координат, и внешняя нормаль поверхности, ограничивающей выделенный объем среды. Применив это равенство для идеальной жидкости и спроектировав его на оси координат, получим следующие соотношения:

Рп^П1=РхХ^Т111 Pn^nZ^Pyy^nit РпР^З^Р ZZ^n3

или

Рп Рхх Ру у Ргх*

Из последнего соотношения следует, что давление в идеальной жидкости не зависит от ориентации плогцадки^ к которой оно приложено.

Нормальное давление направлено внутрь объема или в сторону, противоположную внешней нормали. Следовательно, векторы рх, ру, рг для идеальной жидкости будут иметь вид

Рх=—pi, Ру=—pj, Pz=—pk,

где i, j, k — единичные векторы прямоугольной системы координат, определяющей пространство, в котором движется жидкость. Аналогично давление на произвольно выбранную площадку с внешней нормалью п запишем в виде

Рп=—рпо,(4.1.1)

где п0— единичный вектор внешней нормали; рп0 носит название вектора гидродинамического давления.

Основной задачей гидродинамики является

Уравнения движения определение поля скоростей жидкости по идеальной жидкости заданным массовым силам, действующим в ней.

Под полем скоростей прнимается совокупность векторов скоростей отдельных точек жидкости, заполняющей пространство. Таким образом, задача гидродинамики в указанной постановке должна разрешаться в переменных Эйлера. Обращаясь к уравнениям движения в напряжениях и пользуясь результатами предыдущего пункта, уравнение движения идеальной жидкости получаем в виде

-^ + (vgrad) v = F— gradp.(4.1-2)

Это уравнение Эйлера.

Вместе с уравнением неразрывности

-^- + divpv = 0(4.1.3)

в случае сжимаемой жидкости при заданных F, уравнение (4.1.2) содержит пять неизвестных: плотность, давление и три компоненты скорости, которые являются функциями координат и времени.

Выражения (4.1.2) и (4.1.3) составляют сис-

Уравнения движения тему четырех скалярных уравнений отно- идеальноиrг j г

несжимаемой жидкости сительно пяти неизвестных. иХ1 vyi vzi рч р.

Следовательно, для их разрешения необходимо дополнительное уравнение. Простейшим из них является условие несжимаемости жидкости:

р = const.(4.1.4)

Жидкость, подчиняющаяся этому условию, называется несжимаемой. При условии (4.1.4) уравнение Эйлера (4.1.2) запишем в виде

— + (v grad) v = F — grad —(4.1.5)

dtp

и уравнение неразрывности — в виде

divv = 0.(4.1.6)

Выражения (4.1.4)—(4.1.6) составляют систему уравнений, описывающих движение идеальной несжимаемой жидкости.

Основными параметрами, определяющими

Уравнения физическое состояние жидкости, являются состояния

плотность р, давление р и абсолютная температура Т. Эти параметры состояния не являются независимыми.

Жидкости, плотность которых есть функции только давления:

Р=/(р),(4-1.7)

называются баротропными.

Для так называемого идеального газа имеет место уравнение Клапейрона—Менделеева:

p—RTp.(4.1.8)

Движение жидкости, плотность и давление которой связаны уравнением

(4.1.9)(4.1.9)9 = Ср^

(4.1.9)

(4.1.9)

(4.1.10)(4.1.10)где С и п — постоянные, называется движением при политропическом процессе. Число п называется показателем политропы. При п=\ процесс является изотермическим:

(4.1.10)

(4.1.10)

р = —р-Ро

5. Начальныеи граничные условияуравнений идеальнойжидкости5. Начальныеи граничные условияуравнений идеальнойжидкостиПроекции уравнений (4.1.2) и уравнение (4.1.3) представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Их решение совместно с (4.1.9) будет содержать произвольные функ-

5. Начальныеи граничные условияуравнений идеальнойжидкости

5. Начальныеи граничные условияуравнений идеальнойжидкости

ции и постоянные, которые определяются из граничных и начальных условий.

Начальные условия имеют вид

при 2=0

(4.1.11)(4.1.11)v=v(a:, у, z); р= р(х, у, z); р =р(ж, у, z).

(4.1.11)

(4.1.11)

Если жидкость ограничена неподвижной твердой поверхностью, нормаль к которой п, то граничное условие вдоль нее будет

nv=0,

или

gradT^-v^O,

(4.1.12)

где F^x, у, z) — уравнение поверхности. Условие (4.1.12) является примером кинематического граничного условия, так как оно накладывает ограничение на скорость жидкости.

Если жидкость соприкасается с другой неподвижной средой (например, вода с воздухом), то вдоль границ этих сред давление будет постоянным:

Р^Рь-Р^Рь-(4.1.13)

Р^Рь-

Р^Рь-

Так как последнее условие накладывает ограничение на поверхностные силы, то (4.1.13) является примером динамического граничного условия.

Уравнению Эйлера (4.1.2) можно придать

Уравнениеиной вид, если ввести в него в явном виде

Ламба— Громекивектор завихренности. Для этого восполь

зуемся преобразованием:

grad — = (v grad) v + v X rot v.

Тогда, введя Q в уравнение движения идеальной жидкости, получим

— + grad ——Q х v = F— grad р. (4.1.14) at 2р

Это уравнение Ламба—Громеки.

Если жидкость баротропна, т. е.р=/(р), то можно ввести функ-

Р d р

цию Р = \ — , тогда J Р

— grad р = grad Р Р— grad р = grad Р Р(4.1.15)(4.1.15)

— grad р = grad Р Р

— grad р = grad Р Р

(4.1.15)

(4.1.15)

и уравнение Ламба—Громеки можно записать в виде

(4.1.16)(4.1.16)dv ,1 / и2 I С 9р\ . /х

(4.1.16)

(4.1.16)

— + grad — +— + Q X v = F.

<9/\ 2 J Р /

В ряде исследований пользоваться уравнением Ламба—Громеки удобнее, чем уравнением Эйлера.

7. Уравнение Гельмгольца

Преобразуя уравнение (4.1.2), можно исключить из него р, полагая, что жидкость баротропна. Так как

rot — = — rot v; rot grad—H f —\ = 0; div Q = 0;

at atb \ 2 J p /

rot (v xQ) = (Q grad) v — (v grad) Q + v div 2 — Q div v,

то, подсчитав rot от уравнения (4.1.2), имеем

-^5- + (v grad) 42 — (42 grad) v + 42 div v = rot F. dt

Ho

ST = IT + (v grad)Q(4.1.17)

Окончательно получим уравнение

-^-— (Q*v) v + Qdivv = rotF,(4.1.18)

которое называется уравнением Гельмгольца. Заметим, что (4.1.11) справедливо только для баротропных жидкостей. Если жидкость несжимаема (div v=0) и массовые силы обладают потенциалом (F—grad U, rotF~0), то уравнение Гельмгольца приобретает особенно простой вид:

^- = (Q.V)v.(4.1.19)

§ 2. Уравнения движения в криволинейных ортогональныхкоординатах

Изучая движение сплошной среды с точки зрения Эйлера, можно (как указывалось в п. 8 § 6 гл. 2) определить точки неподвиж- vного пространства, в котором движется

Криволинейныежидкость, при помощи не только декартовых

координатыгг

гкоординат х, у, z, но и криволинейных коор

динат qv q^ q^ связанных с декартовыми координатами соотношениями:

Уь=У1^ У. №=1, 2, 3).(4.2.1)

Уравнения

q^i У^ z)=const (&=1, 2, 3) определяют семейство поверхностей, которые называются координатными поверхностями. Три семейства кривых, представленных уравнениями:

qk (х, у, z) = const 1 к = п = 1, 2, 3(4 2 2)

qn (х, у, z) = const ) кфп,

называются координатными линиями.

В каждой точке пространства будут пересекаться три координатные линии, касательные к которым можно принять за координатные оси. Эти оси, скрепленные с каждой точкой пространства, будут неподвижны и иметь различное направление в ней. Единичные векторы вдоль этих осей назовем соответственно ix, i2, i3. Если по- 46

следниЦ взаимно ортогональны во всех точках пространства, то криволинейные координаты называются ортогональными.

Полагая, что якобиан ^1?-21l-£3) 0ТЛИчен от нуля, уравне-

9 (ж, у, z)

ние (4.2.1) можно однозначно разрешить относительно х, у, z, что записывается в векторной форме

(4.2.3)(4.2.3)r-r^, q^ q3Y

(4.2.3)

(4.2.3)

2. Квадратлинейного элемента2. Квадратлинейного элементаБесконечно малое перемещение вдоль координатных линий будет определяться соот

2. Квадратлинейного элемента

2. Квадратлинейного элемента

ветственно приращениями г вида

ач = ^-аЧк (д = 1,2,з).(4.2.4)

9qu

Использовав соотношение (4.2.4) и положив, что криволинейная система ортогональна, квадрат линейного элемента запишем в виде as* = ат • ат = f (—У аЧь = £ hV(4.2.5)

где

— коэффициенты Ламэ.

Элементарное перемещение вдоль координатных осей qt (g2=const, q3—const), g2(gx=const, q3—const), q3(qi —const, g2=const) определяется соотношением

d§k—^k^k (^ — 1» 2, 3).(4.2.7)

3. Проекции вектораскорости и векторамассовой силы на осикриволинейной системы3. Проекции вектораскорости и векторамассовой силы на осикриволинейной системыУравнения движения идеальной жидкости в проекциях на оси, определяемые в каждой точке единичными векторами ix, i2, i3, можно получить, если известны проекции всех членов уравнения (4.1.2) на эти оси. Так

3. Проекции вектораскорости и векторамассовой силы на осикриволинейной системы

3. Проекции вектораскорости и векторамассовой силы на осикриволинейной системы

как эти оси ортогональны, то, обозначив проекции вектора скорости соответственно ик (к—1, 2, 3), запишем

з

(4.2.8)(4.2.8)v = X vkV

(4.2.8)

(4.2.8)

к=1

Отсюда, так как \к в каждой точке не меняются с течением времени, то

(4.2.9)(4.2.9)9n VI 9иь .

(4.2.9)

(4.2.9)

Подобно (4.2.8) вектор F можно представить через его проекции на \к в виде

з

F=1XVА2Л0)

4. Основные операции Так как проекция вектора grad С на ка- векторного исчисления КОе-либо направление есть производная от С в криволинейных1х

ортогональных в этом направлении, то, обращаясь к фор- координатах муле (4.2.7), запишем

grad С = S(4.2.11)

^i Ик9(1к

Формальные операции позволяют вычислить rot Ь и div b

ь-ь-3 \

ь-

ь-

5 bkik в криволинейных координатах:

аяАd9iаяАd9i(4.2.12)(4.2.12)1 / дН^ _ ан2ь2 \ .1 / эн^

аяАd9i

аяАd9i

(4.2.12)

(4.2.12)

Н2Н3 ( 8q38q3 J 11 + Я3ЯХ 8q3

,1 / эя2ь2 _ ан^л. .

ЯХЯ2 ( Э918q, )1з’

divb =

1

НгН3Н3

8 (Ь.Н^Н^

8qi

8 (Ь3Н3Н^

9q^

8 (b^HJ8q3

(4.2.13)

Д<р=HJI3H3Д<р=HJI3H35. Уравнения движения идеальной жидкости в криволинейных координатах(4.2.11) имеют вид:5. Уравнения движения идеальной жидкости в криволинейных координатах(4.2.11) имеют вид:

Д<р=

HJI3H3

Д<р=

HJI3H3

5. Уравнения движения идеальной жидкости в криволинейных координатах

(4.2.11) имеют вид:

5. Уравнения движения идеальной жидкости в криволинейных координатах

(4.2.11) имеют вид:

Положив в последнем равенстве b=grad ср, найдем выражение дл^ оператора Лапласа в криволинейных координатах:

3 Н3Н3 8^ з8с? г НгН3 8^ \

Я! Oq^ гЯ 28q3; Я3 8q3 |

8qi8q38q3 J

(4.2.14)

Уравнения движения идеальной жидкости в форме Ламба—Громеки (4.1.9) в проекциях на направления in i2, i3 ортогональной криволинейной системы координат на основании равенств (4.2.8), (4.2.9), (4.2.10) и

dv^ । j. а у 1 + yj + рз dt Hv dqy2

(У2^3^3^2) — ^177^ а >

pHi dqx

dv2 ।15_dt Н^ dqa

^1 + ^2 + и32

— О’зА— У12з) =^2

1 др , рЯ2 dq3 ’

(4.2.15)

где йц Q2, &з— составляющие вектора завихренности Q=rot v, определяемые формулой (4.2.12). Подставив Qlt Q2, Q3 в (4.2.15) и произведя преобразование членов, придем к системе уравнений движения в криволинейных координатах вида:

8Ук I fi 2£* -L у2 Эик . 1-3 8vk J

8tHi Ogi Н 2 5^2 Н3 8q3

। vk / У1/ у а и11кНк \ Нх oqi Я2 ддй। vk / У1/ у а и11кНк \ Нх oqi Я2 ддйи3 8НкН3 8qs

। vk / У1/ у а и11к

Нк \ Нх oqi Я2 ддй

। vk / У1/ у а и11к

Нк \ Нх oqi Я2 ддй

1 / ^1 ЭЯ1 , ^2 9Нг , ^з ЗиЛ =

Нк \ Hi dqk н8 аЧк Н3 8qk )

-г,—V^r(4'2Л6>

^Нк а9к

Уравнение неразрывности (4.1.2) на основании (4.2.13) имеет видУравнение неразрывности (4.1.2) на основании (4.2.13) имеет видв криволинейных координатахв криволинейных координатах

Уравнение неразрывности (4.1.2) на основании (4.2.13) имеет вид

Уравнение неразрывности (4.1.2) на основании (4.2.13) имеет вид

в криволинейных координатах

в криволинейных координатах

1HXH^1HXH^дН^Н^ р^!аЧ\дН^Н^ р^!аЧ\анхнй ру2^2анхнй ру2^2дН^Ц рр3\а9з /дН^Ц рр3\а9з /0. (4.2.17)0. (4.2.17)

1

HXH^

1

HXH^

дН^Н^ р^!аЧ\

дН^Н^ р^!аЧ\

анхнй ру2^2

анхнй ру2^2

дН^Ц рр3\

а9з /

дН^Ц рр3\

а9з /

0. (4.2.17)

0. (4.2.17)

§ 3. Уравнения движения жидкости в неинерциальной системекоординат

<спользуя теорему Кориолиса, уравнение Эйлера в неинерциальной истеме координат запишем в виде

a^F—grad р—апер—2w0 xv,(4.3.1)

где

апер=ао+®о xr+<0o(tobr)—ГСО2,(4.3.2)

г, v, а — соответственно радиус-вектор, скорость и ускорение частицы жидкости в неинерциальной системе координат, а0, <о0, е0— соответственно ускорение начала координат, угловая скорость и ускорение неинерциальной системы координат относительно инерциальной.

В форме Ламба—Громеки уравнение (4.3.1) приобретает вид

— + grad — + Qxv = F gradp —апер — 2w0xv. (4.3.3)

Уравнение неразрывности в неинерциальной системе отсчета имеет тот же вид, что и в инерциальной системе.

§ 4. Интегралы уравнений движения

Уравнения движения идеальной жидкости не интегрируются в общем виде. Однако в некоторых частных предположениях о массовых силах и характере движения удается

Оо упрощении проинтегрировать уравнения движения жид- гидродин^ки кости в инерциальной системе координат или получить их первые интегралы. Эти интегралы аналогичны теореме о кинетической энергии ньютониан- ской механики. В гидродинамике они играют столь же существенную роль, как и в механике твердого тела, так как позволяют значительно упростить математическую сторону поставленных задач.

ИнтегралСделаем следующие предположения отно-

Бернуллисительно движущейся жидкости:

жидкость идеальна. Следовательно, ее движение можно описать уравнением Ламба—Громеки;

движение жидкости установившееся. Это значит, что все переменные, входящие в уравнения движения, не зависят от времени t;

массовые силы, действующие в жидкости, принадлежат к потенциальному силовому полю, т. е. F=grad U;

жидкость баротропна, т. е. р=/Ср).

В сделанных предположениях уравнение Ламба—Громеки принимает следующий вид:

grad -—р 2 х vgrad U — grad С -^- ,

2J Р

или

grad (——И С —C7^ = vxQ.

\ 2 J Р /

Умножим полученное уравнение скалярно на элементарное перемещение dr^^dt вдоль линии тока. Тогда, так как движение установившееся, получим

Дифференциал взят при перемещении вдоль линии тока, следовательно,

^+^_и = Сл,(4.4.1)

2 J р

где Сл — постоянная для данной линии тока; она вообще меняется при переходе от одной линии к другой.

Полученное соотношение носит название интеграла Бернулли.

Если плотность постоянна и массовые силы есть силы тяжести, то, направив ось z вертикально вверх, найдем

U=— gz.

Тогда интеграл Бернулли приобретает вид

gz + 4+JL=c„

р

или

++ -=СЛ.(4.4.2)

2g pg

Размерность всех членов, входящих в последнее выражение, есть размерность длины.

Первый член z в уравнении (4.4.2) есть высота жидкой частицы линии тока над некоторой основной горизонтальной плоскостью; она носит название геометрической высоты. Второй член -^ есть та высота, на которую поднимается в пустоте материальная точка, брошенная вертикально вверх с начальной скоростью и. Эта высота носит название скоростной высоты. Третий член есть высота покоящегося столба жидкости, имеющего у основания давление р. Эта высота называется пьезометрической высотой.

Следовательно, интеграл Бернулли заключается в том, что сумма высот геометрической, скоростной и пьезометрической вдоль линии тока остается величиной постоянной.

Если жидкость покоится, то равенство (4.4.2) приводится к виду

Pl — 7 I ^2PgPgPl — 7 I ^2PgPg(4.4.3)(4.4.3)

Pl — 7 I ^2

PgPg

Pl — 7 I ^2

PgPg

(4.4.3)

(4.4.3)

где z и z2— координаты двух произвольных точек жидкости; ри р^— давления в этих точках.

Суммы, входящие в последнее равенство, вида

z + — = h(4.4.3')

pg

называются пьезометрическим напором.

Интег ал КошиПерейдем к рассмотрению второго интегра-

нтеграл оши^а уравнений движения. Он справедлив

при следующих предположениях относительно движущейся жидкости:

жидкость идеальна;

движение потенциально, т. е. вектор завихренности равен нулю:

2=0, откуда v=grad у,

жидкость баротропна. Следовательно, р=/(р).

Так как

grad q> = grad ,

то в сделанных предположениях уравнение Ламба—Громеки приобретает вид

grad p + ±L+ f ^=F.

Отсюда следует, что в рассматриваемом случае движение возможно только, если массовые силы, действующие в жидкости, обладают потенциалом, т. е.

F=grad U.

Таким образом, окончательно уравнение Ламба—Громеки будет иметь вид

grad ^+—+ С ^-u\ = Q.

\ 012 J р /

Но так как градиент некоторой функции, зависящей от я, у, z, t, равен нулю, значит, что функция, стоящая под знаком градиента, зависит только от ^, т. е.

5-+4 + f —<4лл^ 012 J р

где /(£) — произвольная функция времени.

Полученное соотношение носит название интеграла Коши. Присоединив к уравнению (4.4.4) уравнение неразрывности, которое при сделанных предположениях будет иметь вид

— + divр grad ф = 0,(4.4.5)

ot

и уравнение состояния

р=/(р),(4.4.6)

получим систему трех уравнений для трех неизвестных ср, р и р. Таким образом, уравнения задачи о движении жидкости значительно упрощаются по сравнению с их общим видом.

Предположим, что одновременно выпол-

Интеграл няются условия интегралов Бернулли и

Бернулли- Эйлера КошИ) а ИМдНН0, ^^ 1} жвд£ость иде. альна; 2) движение установившееся; 3) движение потенциально; 4) жидкость баротропа; 5) внешние силы принадлежат потенциальному силовому полю.Тогда из уравнения Ламба—Громеки получим интеграл уравнения движения вида

— + Г 2£ _ и = с,2 J Р— + Г 2£ _ и = с,2 J Р(4.4.7)(4.4.7)

— + Г 2£ _ и = с,

2 J Р

— + Г 2£ _ и = с,

2 J Р

(4.4.7)

(4.4.7)

где

у2 /Jt\2 I (JW I /5$.у.\ Ох /\ Оу j \ dz /

Равенство (4.4.7) называется интегралом Бернулли—Эйлера. Постоянная С в этом интеграле сохраняет одно и то же значение для всех частиц движущейся жидкости.

Присоединив к интегралу Бернулли-Эйлера уравнение состояния р=/(р) и уравнение неразрывности, которое в рассматриваемом случае будет иметь вид

div pgrad ф=0,(4.4.8)

получим систему уравнений для определения ср, р и р.

Особенно простой вид приобретают уравнения, описывающие движение жидкости, если к условиям существования интеграла Бернулли—Эйлера добавить еще условие несжимаемости жидкости. Действительно, в этом случае интеграл (4.4.7) будет иметь вид

— + — — С/ = с.(4.4.9)

2 р

В частном случае, если внешними силами, действующими на жидкость, будут силы тяжести, (4.4.9) запишется в виде

4 ++ gz = С.

2 р

Для потенциальных движений несжимаемой жидкости уравнение неразрывности обращается в уравнение Лапласа:

div grad ср == Аф = 0,(4.4.10)

которое служит для определения ср при заданных граничных условиях. Уравнение (4.4.9) используется для нахождения давления в жидкости при заданных U и значениях скорости и давления в какой- либо точке жидкости.

Значительное упрощение исходных уравнений, описывающих движение идеальной жидкости в случаях, когда имеют место интегралы уравнений движения, открывает широкие возможности для решения конкретных частных задач гидродинамики. Простейшие задачи такого рода рассматриваются в конце настоящего параграфа.

5. Интеграл Бернулли — Эйлера в неинерциальной системе координатжущейся жидкости5. Интеграл Бернулли — Эйлера в неинерциальной системе координатжущейся жидкостиРассмотрим движение жидкости в неинерциальной системе координат, которая движется относительно инерциальной системы поступательно с ускорением а^соо^ео^О). Предположим, что по отношению к дви- выполняются условия, при которых справед

5. Интеграл Бернулли — Эйлера в неинерциальной системе координат

жущейся жидкости

5. Интеграл Бернулли — Эйлера в неинерциальной системе координат

жущейся жидкости

лив интеграл Бернулли—Эйлера.

Тогда согласно равенству (4.3.3) уравнение движения жидкости будет

grad ^- = F~ grad С —а0.(4.4.11)

2J р

Так как рассматривается движение установившееся, то следует положить, что а0=const. Тогда а0 можно записать в виде

а0 = grad (а0 • г) = grad (аОхк + а^у + л0^).(4.4.12)

Следовательно, (4.4.11) можно переписать в виде

Гgrad It +Гgrad It +—+ (а0-г)1 =F.р J—+ (а0-г)1 =F.р J(4.4.13)(4.4.13)

Гgrad It +

Гgrad It +

—+ (а0-г)1 =F.

р J

—+ (а0-г)1 =F.

р J

(4.4.13)

(4.4.13)

Из этого равенства заключаем, что рассматриваемое движение имеет место только, если внешние силы обладают потенциалом F=grad U. Итак, имеем равенство

— + С-^- + (а0-г)— U = const,(4.4.14)

2 J р

т. е. справедлив интеграл уравнения движения, который можно назвать интегралом Бернулли—Эйлера в неинерциальной системе координат. Присоединив к этому уравнению уравнения неразрывности и состояния:

divp grad (р=0; р =/(р),divp grad (р=0; р =/(р),(4.4.15)(4.4.15)

divp grad (р=0; р =/(р),

divp grad (р=0; р =/(р),

(4.4.15)

(4.4.15)

получим систему уравнений для определения ф, р и р.

6 Пьезомет Прибор, позволяющий определить давление *р жидкости, текущей по трубам, на стенку

трубы, называется пьезометром. Этот прибор представляет собой

полую трубку, вмонтированную в стенку трубы (рис. 8). Пусть вы

сота жидкости в трубке, считая от ее основания, равна fe=z2—2Р Так как трубка открыта, то на высоте z2 давление в жидкости равно атмосферному р0. В основании трубки на уровне zt давление р будет соответствовать давлению жидкости, которое она оказывает на стенку. Полагая, что жидкость идеальна, несжимаема и находится только под действием силы тяжести, применяем уравнение (4.4.7) к покоящейся в трубке жид-

Рис. 8кости:

— + g^ = — + gZy РР

Так как атмосферное давление р0 известно, известна разность ^2—zi, определяющая высоту жидкости в трубке, то последнее равенство позволяет найти пьезометрический напор движущейся по трубе жидкости.

Давление жидкости на стенку в области, где монтируется пьезометр, определяется соотношением

P-Po+gp^—zj.

§ 5. Теоремы о сохраняемости потенциальных и вихревых движений

Одной из существенных характеристик общего случая движения

идеальной жидкости являются вихревые линии, имеющие опреде-

1. Теорема Томсона1. Теорема Томсоналенную конфигурацию в каждый данный момент времени. Рассмотрим вопрос о пове

1. Теорема Томсона

1. Теорема Томсона

дении вихревых линий с течением времени. Как указывалось, вихревые линии тесно связаны с понятием циркуляции скорости. По

этому изучение поведения вихревых линий начнем с установления

теоремы о циркуляции скорости.

Ограничимся рассмотрением идеальной баротропной жидкости^ находящейся под действием массовых сил, принадлежащих к потенциальному силовому полю. Тогда

р=/(р) и F=grad и,

где р и р — соответственно плотность и давление в жидкости, U — силовая функция.

Пусть линия, состоящая из жидких частиц в момент t, занимает положение АВ. В момент времени t* эти же жидкие частицы займут новое положение по линии А'В'.

Подсчитаем циркуляции скорости в момент t по линии АВ и в момент Z' по линии А'В* соответственно:

v' -ds',v' -ds',I v • ds,

v' -ds',

v' -ds',

АВ

где v — скорость частиц жидкости для момента t; v — то же, для момента f.

Согласно последним равенствам изменение циркуляции скорости с течением времени будет

dr Г' —г

— = lim (AZ = t — Z).

dt д/->о AZ

Каждую из выбранных частиц, составляющих в момент Z кривую АВ или в момент I' кривую А'В', можно характеризовать некоторым параметром т. Например, в качестве т можно выбрать длину дуги кривой А0В01 вдоль которой были расположены рассматриваемые частицы в некоторый начальный момент. Заметим, что параметр т играет здесь роль лагранжевых переменных а, Ь, с.

Итак, радиусы-векторы частиц можно записать в виде

г=г(т, Z),

где т и Z являются независимыми переменными.

Теперь циркуляцию скорости по дуге АВ можно записать в виде тв

= | V- —dt.

Так как т и t — независимые переменные, то при дифференцировании Г по t надо Jt рассматривать как величину постоянную. Следовательно,

dv dr 7 ,CZT +dt dTdv dr 7 ,CZT +dt dTd2rdtdxd2rdtdxd^.d^.ТАТАНо, по определению вектора скорости, имеемdr /d2r 5v(t,— = v (т, О и = ——L ,dt7 dtdTdxНо, по определению вектора скорости, имеемdr /d2r 5v(t,— = v (т, О и = ——L ,dt7 dtdTdxпо определению вектора ускорения запишем=а <’■dtОтсюдапо определению вектора ускорения запишем=а <’■dtОтсюдаdr dtdr dtтвI а • —с?т +J дттвI а • —с?т +J дтПервый член правой части этой формулы представляет собой циркуляцию от ускорения и его можно записать в видеПервый член правой части этой формулы представляет собой циркуляцию от ускорения и его можно записать в видеВf a •Вf a •в\ а • ds.в\ а • ds.ааИспользуя формулу d (vИспользуя формулу d (vv) = 2v • dx. имеем v • ^-d*t = z’dTv) = 2v • dx. имеем v • ^-d*t = z’dT£2£2dz?2 Д ф——d^. Тогдаdz?2 Д ф——d^. Тогда

dv dr 7 ,CZT +

dt dT

dv dr 7 ,CZT +

dt dT

d2rdtdx

d2rdtdx

d^.

d^.

ТА

ТА

Но, по определению вектора скорости, имеем

dr /d2r 5v(t,

— = v (т, О и = ——L ,

dt7 dtdTdx

Но, по определению вектора скорости, имеем

dr /d2r 5v(t,

— = v (т, О и = ——L ,

dt7 dtdTdx

по определению вектора ускорения запишем

=а <’■

dt

Отсюда

по определению вектора ускорения запишем

=а <’■

dt

Отсюда

dr dt

dr dt

тв

I а • —с?т +

J дт

тв

I а • —с?т +

J дт

Первый член правой части этой формулы представляет собой циркуляцию от ускорения и его можно записать в виде

Первый член правой части этой формулы представляет собой циркуляцию от ускорения и его можно записать в виде

В

f a •

В

f a •

в

\ а • ds.

в

\ а • ds.

а

а

Используя формулу d (v

Используя формулу d (v

v) = 2v • dx. имеем v • ^-d*t = z’dT

v) = 2v • dx. имеем v • ^-d*t = z’dT

£

2

£

2

dz?2 Д ф

——d^. Тогда

dz?2 Д ф

——d^. Тогда

df2 ,1 / 22 \

rfT =^в_ул).

отZ

Итак, возвращаясь к исходной формуле, получаем

drdt

в

a-c/s + £(vB — VaV

Если контур АВ представляет собой замкнутую линию, то точки А и В совпадают и последнее соотношение приобретает вид

Отсюда имеем следующую теорему: производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому контуру, проведенному в жидкости, равна циркуляции ускорения по тому же контуру.

Используем теперь условия, что жидкость баротропна и массовые силы имеют потенциал. Согласно уравнению Эйлера запишем

а = Fgrad р — grad

Р

Отсюда производная по времени от циркуляции скорости может быть записана в виде

grad (U — С • ds.\ J Р /

Но

grad (и — [• ds = d (и — f -^Л

\ J P /\ J P /

И

dt

Интегрируя последнее равенство, находим

Полученное соотношение составляет теорему Томсона, которая гласит: если жидкость идеальна баротропна и массовые силы имеют потенциал, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, проведенному в жидкости, во все время движения остается неизменной.

2. Теорема Лагранжа ^кажем ва®ное следствие теоремы Томсона.

Предположим что в какой-то начальный момент времени в некоторой части жидкости не имелось вихрей. Тогда поток вектора завихренности через любую поверхность, проведенную в этой части жидкости, равен нулю, т. е.

У Qnda = 0.

Но

&nda.&nda.

&nda.

&nda.

Следовательно, циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, проведенному в незавихренной в данный момент части жидкости, равна нулю. Применяя теорему Томсона, имеем, что в любой момент в этой части жидкости циркуляция по замкнутому контуру равна нулю, или эта часть жидкости во все время остается незавихренной. Этот результат составляет содержание теоремы Лагранжа, которую можно еще формулировать в виде: если жидкость идеальна баротропна, массовые силы имеют потенциал и в начальный момент времени движение обладало потенциалом скорости, то оно будет обладать потенциалом скорости и во все время движения.

Итак, нами доказана теорема о сохраняемости потенциальных движений жидкости.

3. Первая теоремаГельмгольца3. Первая теоремаГельмгольцаДокажем, используя предыдущие результаты, две теоремы о сохранении вихревых движений или о сохранении вихревых линий и трубок.

3. Первая теоремаГельмгольца

3. Первая теоремаГельмгольца

Пусть по-прежнему жидкость идеальна баротропна и пусть массовые силы имеют потенциал. В момент времени t проведем в жидкости какую-либо кривую и через каждую точку ее вихревые линии. Это возможно сделать, если первоначальная кривая не является вихревой линией. Указанная совокупность вихревых линий образует так называемую вихревую поверхность, которую обозначим or. Циркуляция по любому контуру L, проведенному на этой поверхности, равна нулю, ибо

j v-ds = J &ndo = О,

и нормальная составляющая вихря Qa равна нулю, так как лежит в касательной к поверхности плоскости. По теореме Томсона циркуляция по выбранному контуру остается неизменной с течением времени. В рассматриваемом случае эта циркуляция будет равна нулю. Следовательно, для всех контуров, расположенных на вихревой поверхности в момент I, циркуляция будет нулем. В любые другие моменты циркуляция по этим контурам остается равной нулю, а это значит, что эти контуры расположены все время на вихревой поверхности. Отсюда имеем следующий результат: частицы жидкости, составляюгцие в некоторый момент времени вихревую поверхность, будут во все время образовывать вихревую поверхность.

Пусть частицы образуют в некоторый момент t вихревую линию. Эту линию можно рассматривать как пересечение двух вихревых поверхностей в тот же момент. В другой момент tx частицы, которые в момент времени t располагались на вихревых поверхностях, снова будут образовывать другие вихревые поверхности, причем частицы, расположенные на линии пересечения этих поверхностей в момент I, в момент ty будут образовывать снова линию пересечения вихревых поверхностей.

Итак, вихревые линии сохраняются с течением времени. Этот результат можно сформулировать в виде первой теоремы, принад-

лежащей Гельмгольцу: если жидкость идеальна баротропна и массовые силы имеют потенциал, то частицы жидкости, образующие в некоторый момент времени вихревую линию, будут образовывать вихревую линию и во все время движения жидкости.

Эта теорема выражает свойство сохраняемости вихревых линий. Из этой теоремы следует, что при тех же условиях любая вихревая трубка во все время своего движения будет оставаться вихревой трубкой, ибо она ограничена вихревыми линиями, которые сохраняются с течением времени.

Докажем теперь вторую теорему Гельмголь-

Вторая теорема ца которая гласит: если жидкость идеаль- Гельмгольца

на баротропна и массовые силы имеют потенциал, то интенсивность любой вихревой трубки во все время движения жидкости остается постоянной.

Напомним, что интенсивность вихревой трубки определяется циркуляцией по контуру, охватывающему один раз вихревую трубку, т. е. интенсивность равна

r=^v-<ZS.

Но циркуляция по замкнутому контуру остается неизменной по теореме Томсона, следовательно, и интенсивность вихревой трубки остается постоянной с течением времени. Вторая теорема Гельмгольца таким образом доказана.

Из теорем Гельмгольца вытекает, что образование вихревых линий и трубок в жидкости возможно только в случае, если плотность р не является функцией давления или внешние силы не имеют потенциала.

Образование вихревых линий в жидкости может быть результатом вязкости жидкости.

Результаты настоящего параграфа указы-

Вихревые линии Вают, что в идеальной, баротропной жид- в природе и в идеальной ’о ог

жидкостикости, в которой действуют массовые силы,

обладающие потенциалом, не могут образовываться вихревые нити и трубки. Однако следует отметить, что возникновение вихревых трубок и вихревых линий в жидкости есть явление весьма распространенное в природе. Действительно, в реках за быками мостов образуют ярко выраженные дискретные вихревые линии, перпендикулярные к поверхности реки. Такие же вихри образуются за веслами лодки, за моторными лодками и кораблями. В атмосфере Земли возникают циклоны и антициклоны, которые с гидродинамической точки зрения представляют собой вихревые образования. Особенно ярким примером вихревой нити могут служить смерчи, которые возникают в земной атмосфере.

Теория движения идеальной жидкости, благодаря своей относительной простоте, позволяет разрешить значительное количество конкретных задач.

Чтобы эти задачи имели практическую ценность, в ряде случаев следует ввести в идеальную жидкость вихревые линии и вихревые

трубки, подчинив их тем или иным физическим условиям. Заметим, что присутствие вихревых нитей в идеальной жидкости не противоречит общим уравнениям движения и исследованиям настоящего параграфа.

Введение вихрей в идеальную жидкость в большинстве случаев есть своеобразный учет вязкости жидкости. Значительная роль вихревых нитей в разрешении практических задач выдвигает перед теорией важный вопрос о том, какие движения в идеальной жидкости вызываются наличием в ней областей, завихренность которых отлична от нуля.

Г Л А В A 5

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

§ 1. Уравнения плоскопараллельных движений идеальнойжидкости

Движение идеальной жидкости называется плоскопараллельным, или просто плоским, если все частицы, лежащие на одном и том же перпендикуляре к некоторой неподвижной

. Общие уравнения плоскости, имеют одинаковые давление, плоскопараллельныхJ

движений плотность и движутся параллельно этой плоскости. Выберем в качестве основной неподвижной плоскости координатную плоскость ху и воспользуемся уравнениями движения жидкости в декартовой системе координат. Тогда, согласно определению плоскопараллельного движения, все искомые величины v, р, р и заданный вектор массовых сил F будут функциями х, у, t, и проекция v на ось z будет равна нулю (^z=0). Уравнения Эйлера в данном случае в проекциях на х и у будут иметь вид

дих"дГдих"дГдихдхдихдхдихдудихду1 др , р дх1 др , р дх(5.1.1)(5.1.1)

дих"дГ

дих"дГ

дихдх

дихдх

дихду

дихду

1 др , р дх

1 др , р дх

(5.1.1)

(5.1.1)

dt "hdt "hdvy дУу! 9р

dt "h

dt "h

V уН V V — г*7

дх ^ ду ^ р ду

а в проекции на ось z приводит к Fz=0, т. е. массовые силы при плоскопараллельном движении располагаются в плоскости движения жидкости.

Уравнение неразрывности при плоскопараллельном движении в декартовой системе координат имеет вид

Д = У№)+а Н1„0|(5Л2)

dt дхду

а уравнение состояния сохраняет свой общий вид.

Функция тока В частных случаях плоского движения жид- цкости уравнение неразрывности тесно свя

зано с уравнением линий тока, имеющим в данном случае следующий вид:

<1Х dy77 А

= — , или иду — иЯх = О,

где их и иу будут функциями координат х, у и времени t, которое рассматривается как параметр.

Предположим, что можно подобрать такой интегрирующий множитель р, что последнее уравнение обращается в полный диффе-

ренциал некоторой функции ф, зависящий от переменных х, у и параметра t, т. е.

d^=pvxdy—pvydx=O

и(5.1.3)

ф(я, у, t) = const.

Это уравнение определяет семейство линий тока, в силу чего ф называется функцией тока.

Из соотношения (5.1.3) следуют равенства:

Р^ = —; ри у = — —,(5.1.4)

г х ду г у дхх 7

откуда имеем

д (ри^ _9 (Р^у)

дхду

ИЛИ

Уу>+У^_0.(51.5)

дхдух 7

Соотношение (5.1.5) является условием существования функции тока. Из сравнения (5.1.2) и (5.1.5) следует, что (5.1.5) представляет собой частный случай уравнения неразрывности плоских течений, когда dpldt —0. Последнее имеет место в трех случаях:

жидкость несжимаема. Уравнение неразрывности в этом случае имеет вид

dvyдим

— + -^ = 0.дхду

При этом интегрирующий множитель в (5.1.3) можно принять равным единице и проекции скорости их и иу через функцию тока будут выражаться в виде

(5.1.6)

/ х д^ (х, у, f)дх

движение установившееся т. е. — ’^^ = “^р == 0.

В этом случае уравнение неразрывности будет

д(р^) | 8(РРУ)дх ду

Интегрирующий множитель в (5.1.3) представляет собой плотность р. Проекции скорости через функцию тока согласно (5.1.4) для баротропной жидкости записываются в виде

uxU,y)=^-uxU,y)=^-5ф (Д. У)Эу *5ф (Д. У)Эу *

uxU,y)=^-

uxU,y)=^-

5ф (Д. У)

Эу *

5ф (Д. У)

Эу *

5ф U, У) .дх ’5ф U, У) .дх ’(5.1.7)

5ф U, У) .

дх ’

5ф U, У) .

дх ’

/ X1

У у к$, У) = —Р(Р)

жидкость несжимаема и движение установившееся. В этом случае проекции скорости запишутся в виде

V, кх, У) =V, кх, У) =ЭУ(х, у)дуЭУ(х, у)ду

V, кх, У) =

V, кх, У) =

ЭУ(х, у)ду

ЭУ(х, у)ду

(5.1.8)

,. дИх, у)

V, кх, У) =^-^

5дх

Итак, функция тока существует, если имеет место один из трех указанных случаев. Функция тока ф удовлетворяет тождественно уравнению неразрывности. Введя эту функцию в уравнения (5.1.1), получим систему двух уравнений относительно ф, р или ф, р, р. Присоединив в последнем случае уравнение состояния, получим замкнутую систему для определения искомых функций.

3. Векторзавихренности плоскогодвижения жидкости3. Векторзавихренности плоскогодвижения жидкостиyz—О и иХ1yz—О и иХ1Vy будут только функциями 2 будетVy будут только функциями 2 будетНайдем вектор завихренности при плоском движении жидкости. Так как в этом случае

3. Векторзавихренности плоскогодвижения жидкости

3. Векторзавихренности плоскогодвижения жидкости

yz—О и иХ1

yz—О и иХ1

Vy будут только функциями 2 будет

Vy будут только функциями 2 будет

х, у, t, то вектор завихренности определяться только своей проекцией на ось я, т. е.

Если жидкость несжимаема, то, введя функцию тока согласно (5.1.6) и (5.1.8), запишем завихрэнность движения в виде

52ф о2ф

^ " ”—~ А ^(5.1.9')

где А — оператор Лапласа.

Если движение установившееся и жидкость сжимаема, то согласно (5.1.7) завихренность течения определяется равенством

(5.1.9")(5.1.9")£291 д ф д 1 д ф

(5.1.9")

(5.1.9")

дх р дх ду р ду

Уравнения плоских Пусть жидкость идеальна и несжимаема, потенциальныхвнешние силы принадлежат к потенциаль-

движений°несжимаемой НОМУ силовому полю и движение жидкости жидкостиустановившееся, потенциальное и плоское.

При сформулированных условиях уравнение Эйлера приводится к интегралу Эйлера—Бернулли [см. формулу (4.4.9)]:

Р

— + —-7- и- ■ -и = const.(5.1.10)

(5.1.11)(5.1.11)(5.1.12)(5.1.12)Уравнение неразрывности имеет вид

(5.1.11)

(5.1.11)

(5.1.12)

(5.1.12)

дх ду

Условие отсутствия завихренности будет

£2 = Q = ^ — ^ = 0.дх ду

Уравнения (5.1.11) и (5.1.12) служат для определения vx, vy при заданных граничных условиях. Эти уравнения можно записать еще в виде

(5.1.13)(5.1.13)dvxdvy dvxdvy

(5.1.13)

(5.1.13)

дхду 1 дудх *

Из уравнения неразрывности (5.1.11) и условия отсутствия завихренности (5.1.12) следует существование функции тока гр и потенциала скорости ф, через которые их и vy определяются в виде

(5.1.14)(5.1.14)д фд фSepд ф

(5.1.14)

(5.1.14)

^ дхду ’дудх *

Из последних соотношений, исключая ф и гр перекрестным дифференцированием, находим, что эти функции должны удовлетворять уравнениям Лапласа:

Аф=0, Агр-О.(5.1.15)

Таким образом, задачи о плоских потенциальных установившихся движениях идеальной несжимаемой жидкости, на которую действуют силы потенциального поля, сводятся к интегрированию уравнений Лапласа относительно ф и гр при заданных граничных условиях, к определению vx, vy из (5.1.14) и давления из (5.1.10).

кПусть жидкость идеальна, несжимаема, вне-

Уравнения плоских 17’

потенциальных шние силы принадлежат к потенциальному неустановившихся силовому полю и движение жидкости по- движений несжимаемой тенциальное, плоское и неустановившееся.

жидкости При сформулированных условиях уравнение Эйлера приводится к интегралу Коши:

4г+т + ^^U = FW.(5.1.16)

Уравнение неразрывности и условие отсутствия завихренности также, как и в случае стационарных движений, могут быть записаны в виде

(5.1.17)(5.1.17)дих (^, У, 0 5уу (ж, у, Одхду

(5.1.17)

(5.1.17)

дих(х, у, t) диу (я, у, t)дудх *

Из этих соотношений следует, что существуют потенциал скорости ср и функция тока гр, удовлетворяющие соотношениям, определяющим vx и vy:

#Ф Vх» У. 05 Ф(я, У» 0

(5.1.18)(5.1.18)= дх = ду ’

(5.1.18)

(5.1.18)

оср (х, у, t) дф (я, у, 0

УУдудх

Отметим, что кинематические уравнения (5.1.17) и (5.1.18), описывающие рассматриваемое нестационарное движение, отличаются от уравнений соответствующего установившегося движения только параметром I.

Из соотношении (5.1.18) следует, что ср и гр удовлетворяют уравнениям Лапласа:

(5.1.19)(5.1.19)АфСг, у, 0=0; Агр(ж, у, 0=0

(5.1.19)

(5.1.19)

где t по-прежнему — параметр.Таким образом, рассматриваемая задача сводится к интегрированию одного из уравнений (5.1.19) при заданных граничных условиях и определению р из (5.1.16) при заданных начальных условиях.где t по-прежнему — параметр.Таким образом, рассматриваемая задача сводится к интегрированию одного из уравнений (5.1.19) при заданных граничных условиях и определению р из (5.1.16) при заданных начальных условиях.6. Уравнения плоскихустановившихсядвижений6. Уравнения плоскихустановившихсядвиженийсжимаемойсжимаемойжидкостижидкостиние Эйлерание Эйлераприводится кприводится кПусть жидкость идеальна и баротропна, внешние силы принадлежат к потенциальному силовому полю и движение жидкости потенциальное, плоское установившееся. При сформулированных условиях уравне-Пусть жидкость идеальна и баротропна, внешние силы принадлежат к потенциальному силовому полю и движение жидкости потенциальное, плоское установившееся. При сформулированных условиях уравне-интегралу Бернулли—Эйлера вида:интегралу Бернулли—Эйлера вида:,2 + У2- и - const.,2 + У2- и - const.(5.1.20)(5.1.20)Уравнение будут видаУравнение будут виданеразрывностинеразрывностии условиеи условиеотсутствияотсутствиязавихренностизавихренностид р удхд р удхд р иу дих ду ’ ”дуд р иу дих ду ’ ”дудиудх *диудх *(5.1.21)(5.1.21)

где t по-прежнему — параметр.

Таким образом, рассматриваемая задача сводится к интегрированию одного из уравнений (5.1.19) при заданных граничных условиях и определению р из (5.1.16) при заданных начальных условиях.

где t по-прежнему — параметр.

Таким образом, рассматриваемая задача сводится к интегрированию одного из уравнений (5.1.19) при заданных граничных условиях и определению р из (5.1.16) при заданных начальных условиях.

6. Уравнения плоскихустановившихсядвижений

6. Уравнения плоскихустановившихсядвижений

сжимаемой

сжимаемой

жидкости

жидкости

ние Эйлера

ние Эйлера

приводится к

приводится к

Пусть жидкость идеальна и баротропна, внешние силы принадлежат к потенциальному силовому полю и движение жидкости потенциальное, плоское установившееся. При сформулированных условиях уравне-

Пусть жидкость идеальна и баротропна, внешние силы принадлежат к потенциальному силовому полю и движение жидкости потенциальное, плоское установившееся. При сформулированных условиях уравне-

интегралу Бернулли—Эйлера вида:

интегралу Бернулли—Эйлера вида:

,2 + У2

- и - const.

,2 + У2

- и - const.

(5.1.20)

(5.1.20)

Уравнение будут вида

Уравнение будут вида

неразрывности

неразрывности

и условие

и условие

отсутствия

отсутствия

завихренности

завихренности

д р удх

д р удх

д р иу дих ду ’ ”ду

д р иу дих ду ’ ”ду

диу

дх *

диу

дх *

(5.1.21)

(5.1.21)

Из этих соотношений следует, что существуют потенциал скорости ср и функция тока гр, удовлетворяющие соотношениям, определяющим vx и t^:

д(р(я,у)1 дф(х, у)

У' дх р(^,У) ^У *

(5.1.22)

д<р(я,у)1дф(я,£/)

УУ (^, У)^ур (ж, у) дх *

Из последних соотношений следует, что ф и гр удовлетворяют уравнениям

(5.1.23)(5.1.23)

(5.1.23)

(5.1.23)

Присоединив к указанным соотношениям уравнение состояния р=/(р), получим систему уравнений относительно vx, vy, р, р либо ф (или гр), р и р.

Плоскопараллельные движения несжимаемой жидкости,обладающие постоянной величиной завихренности

Изучение завихренных движений жидкости представляет значительные затруднения, ибо при этом в общем случае не имеют места интегралы уравнений движения. Простей-

Кинематические ший СЛуЧай таких движений, допускающий уравнения движения?7 J '

интеграл уравнении движения,— это плоское течение несжимаемой жидкости, обладающее постоянной величиной завихренности, которое имеет место при относительном движении во вращающихся объемах.

Итак, пусть движение несжимаемой жидкости плоское неустановившееся. Тогда проекции вектора скорости vxi vy (yz=0) будут функциями координат х, у и времени t. Из уравнения неразрывности

^=о.бу^=о.бу(5.2.1)(5.2.1)

^=о.

бу

^=о.

бу

(5.2.1)

(5.2.1)

следует существование функции х. у, t;следует существование функции х. у, t;тока гр, которая будет зависеть оттока гр, которая будет зависеть от

следует существование функции х. у, t;

следует существование функции х. у, t;

тока гр, которая будет зависеть от

тока гр, которая будет зависеть от

д фV х = — х дуд фV х = — х дудф; им = — -г-.7 У дхдф; им = — -г-.7 У дх(5.2.1')(5.2.1')

д ф

V х = — х ду

д ф

V х = — х ду

дф

; им = — -г-.

7 У дх

дф

; им = — -г-.

7 У дх

(5.2.1')

(5.2.1')

Используя (5.1.9) и (5.2.Г), условие постоянства завихренности запишем в декартовых и полярных координатах:

/92 Ф 92ф\

& = —А тЬ = — -т-5- + — = const; т \ 9х2 ду2/’

1/99 ф 91 9ф \

~ г у7 + уТ г ае)= const* (5.2.2)

Это уравнение Пуассона служит для определения функции тока при заданных начальных и граничных условиях. Функция тока полностью определяет кинематическую картину течения жидкости. Продифференцируем Q частным образом по времени; ^огда, так как Q = const, будем иметь

(5.2.3)(5.2.3)9 Q 9 dvMд ди *

(5.2.3)

(5.2.3)

dtdx dtОу dt

Из последнего равенства следует, что 8vx/8t и 8vyldt обладают потенциалом скорости 8^181, который зависит от хп у, t:

ди уд 9 ф ди«д дер

dtдхdt ' dtdy dt '\ • • J

Дифференцируя соотношения (5.2.Г) частным образом по времени t и сравнивая результаты с (5.2.3'), получаем соотношения:

dvxd 9 ф9 9 ф

dtdx dtdy dy ’

(5.2.4)

dvyd d ф9 9 ф

dtdy dtdx dt *

Из полученных соотношений следует, что 8^181 и 8^/81 удовлетворяют системе уравнений (5.1.14).

2. Интегралдинамическихуравнений движения2. Интегралдинамическихуравнений движенияОбращаясь к определению динамической картины движения несжимаемой жидкости или к определению распределения давления в жидкости, покажем, что уравнения движе

2. Интегралдинамическихуравнений движения

2. Интегралдинамическихуравнений движения

к интегралу типа инте- форме Ламба—Громекик интегралу типа инте- форме Ламба—Громекиния в рассматриваемом случае приводятся грала Коши.

к интегралу типа инте- форме Ламба—Громеки

к интегралу типа инте- форме Ламба—Громеки

Действительно, уравнения движения в для плоского движения имеют вид

Эих ,

9

_1

дв

дГ +

dx

2~

dx ’

(5.2.5)

dvN

d

у2_

1

9р

1Г +

"бу

2- + fi^ = ^-T

*8» ‘

Используя равенства (5.2.1) и (5.2.3), имеем

5Ох5Ох/дф у2р \

5

Ох

5

Ох

\5Г + ~F + ^ 'Ф ^у = ^х'

(5.2.6)

0 (до и2р \

"37 V3F + Т +^Ф+ —) =

Отсюда следует, что рассматриваемое движение возможно только под действием консервативных сил, выражаемых равенствами:

„ ди ди

F = — • F = —^ дх ’ У ду '

и уравнения движения (5.2.6) допускают интеграл вида

дсп и2р

4+ — + Q^ + -^-U = Ф(t),(5.2.7)

где Ф(^ — произвольная функция времени, определяемая по начальным условиям.

Кинематическая картина течения определяет функцию тока ф, по которой находятся и2 и --. Так как известен потенциал внешних сил U, то формула (5.2.7) служит для определения распределения давления в жидкости р.

В случае плоских стационарных движений несжимаемой жидкости функции vxi vyi ф будут зависеть только от х, у, Соотношения (5.1.1) и (5.1.2) сохраняют свой вид, а соотношение (5.2.7) обращается в уравнение:

V8р

+ £2ф + — — <7 = 0,(5.2.8)

2р

которое по-прежнему служит для определения распределения давления в жидкости, когда известна функция тока ф.

м 1. Пусть скорость плоскопараллельного ус-

Примеры течений тановившегося течения в инерциальной сис- с постоянной величинойг

завихренности теме координат имеет только одну составляющую вдоль оси #(^=0) и эта составляющая их будет функцией только у. Тогда, обращаясь к соотношению (5.2.2), имеем

dvy d2 ф

Отсюда

рх=—Йу+^о-(5.2.10)

где р0— скорость на оси х.

Следовательно, рассматриваемое течение обладает скоростью их(иу=0), которая по линейному закону меняется вдоль оси у. Это течение при Q>0 изображено на рис. 9.

Функция тока этого течения из (5.2.10) определяется в виде

ф =2~ Z/a + у0У + Фо-(5.2.11)

Пусть имеется установившееся течение с постоянной величиной завихренности, линиями тока которого являются концентрические окружности. Обращаясь к равенству (5.2.2), имеем

(5.2.12)(5.2.12)d d фd

(5.2.12)

(5.2.12)

-т- г -3— = —12 г, или — rv<n = — 2 г.

dr dr1 dr

Рис. 9Рис. 9

Рис. 9

Рис. 9

Из последнего равенства запишем $2г2

гр? =2“ г2 + С; ф =^—Н С 1пг + фо- (5.2.13)

При г=0 составляющая скорости, перпендикулярная г, должна обращаться в нуль, следовательно, С=0. Линия тока при г=0 вырождается в точку, поэтому резонно положить ф=0 при г=0, значит ифо=О, и окончательно формулы (5.2.12) приобретают вид

ОQ г2

= — ^ г; Ф 2“.(5.2.14)

Таким образом, рассматриваемое течение обладает скоростью и^ , меняющейся по линейному закону вдоль радиуса (рис. 10).

§ 3. Уравнения плоскопараллельных потенциальныхустановившихся движений

1. Различные формы уравнений движения

Запишем уравнения, определяющие плоскопараллельные течения идеальной несжимаемой жидкости:

рVй

— + "2U = const;(5.3.1)

дер

* дж

д фд фд ф

~ ду 1 Vyду "дх ’

(5.3.2)

В полярных координатах они имеют вид

дер 1 d фд фд ф

«.-4-^--4'<5-3-3>

или

„ 1d<?1 дф,1 дер1 дф

^r г din гг d6 * У6 г d6г д In г \ • • )

Расход жидкости П через цилиндрическую расположенную в плоскости х, у поверхность, высота которой равна единице и направляющая /, будет

в

П = J vndS = ^vxdy—Uydx = ^B— -фл.(5.3.4)

LА

Если L замкнута и в каждой точке внутри нее divv=0, то

П = ^ vndS = 0.(5.3.5)

Циркуляция скорости по контуру L будет

в

Г= |* vs ds = ^vxdx+ vydy= cp5— Фл. (5.3.6) ABA

Если L замкнута и в каждой точке внутри нее rot v=0, то

Г=ф vsds=0.(5.3.7)

Уравнения (5.3.5) и (5.3.7) представляют собой уравнение неразрывности и условие потенциальности течения в интегральной форме.

2 Связь ме ^3 УРавнен™ (5.3.2) и (5.3.3) можно опре- потенциалом “сДсти Делить ф через ф или ф через ф в виде:

и функцией тока

Г d ф d ф

» = ]*<5-3-8)

f 1 УФУФ

J ~ ST йг-г^7

Г dф dф

^ = J 144(5-3-9)

Г до1 dф

ip = I r-^d 6— ^-dr.

J иГГии

Семейства кривых ф= const, называемых эквипотенциалями^ и кривых x|)=const, называемых линиями тока, будут взаимно

ортогональны, так как из (5.3.2) следует условие их ортогональности:

(5.3.10)(5.3.10)д ф д ф д ф д фдх дх ду ду

(5.3.10)

(5.3.10)

Эти два семейства равноправны, ибо, если заданы фХ, фп то ф2= — 'Фп Ф2=ф1-(5.3.11)

Последние равенства будут отвечать течениям со скоростями:

и2Х — Vlyi и2У~ U1X*и2Х — Vlyi и2У~ U1X*(5.3.12)(5.3.12)

и2Х — Vlyi и2У~ U1X*

и2Х — Vlyi и2У~ U1X*

(5.3.12)

(5.3.12)

3. Построениеновых теченийпо заданным3. Построениеновых теченийпо заданнымф=фх+ф2, ф=фх+фг-ф=фх+ф2, ф=фх+фг-(5.3.13)(5.3.13)

3. Построениеновых теченийпо заданным

3. Построениеновых теченийпо заданным

ф=фх+ф2, ф=фх+фг-

ф=фх+ф2, ф=фх+фг-

(5.3.13)

(5.3.13)

Следовательно, линии тока и эквипотенциали взаимозаменяемы.

Из уравнений (5.3.2) следует принцип наложения потоков: сумма решений фП фх и ф2, ф2 будет их новым решением:

(5.3.14)(5.3.14)(5.3.15)(5.3.15)

(5.3.14)

(5.3.14)

(5.3.15)

(5.3.15)

Также из (5.3.2) очевидно, что, если известно решение фх, фх» то новое решение ф2, ф2 можно получить путем дифференцирования в виде

8фхдф,

^ — дх ’ ^2 — дх ’

или

д<Р15<Рх

Если гиданы ф2, фг» то> используя (5.3.8), (5.3.9) и (5.3.14), (5.3.15), можно получить новое решение ф 1,ф1 путем интегрирования в виде

Ф1=Сф2^—ф2^;

ф1=^2^У+ф2^.

(5.3.16)

Связь функций ф и или соотношениями1. Комплексныйпотенциали комплекснаяскоростьСвязь функций ф и или соотношениями1. Комплексныйпотенциали комплекснаяскорость

Связь функций ф и или соотношениями

1. Комплексныйпотенциали комплекснаяскорость

Связь функций ф и или соотношениями

1. Комплексныйпотенциали комплекснаяскорость

Следует отметить, что различные решения настоящего параграфа всегда можно интерпретировать как решение некоторой краевой задачи.

Комплексный потенциал и некоторые его свойства

Ь, осуществляемая условиями Коши—Римана 5.3.2), (5.3.3), (5.3.8), (5.3.9), указывает, что ф иф можно рассматривать как действительную и мнимую части аналитической функции zz; от комплексного переменного z= =s+ty:

^(2)=ф(^ ^+1^)^ у),(5.4.1)

где i2=—1.

вектора скорости, т. е.вектора скорости, т. е.2. Операциисложения и вычитаниякомплексныхпотенциалов2. Операциисложения и вычитаниякомплексныхпотенциалов

вектора скорости, т. е.

вектора скорости, т. е.

2. Операциисложения и вычитаниякомплексныхпотенциалов

2. Операциисложения и вычитаниякомплексныхпотенциалов

Функция w^ называется комплексным потенциалом^ а ср, ф — соответственно его действительной и мнимой частями. Производная аналитической функции (не зависящая в силу условий Коши— Римана от направления изменения Az) может быть записана в виде

(5.4.2)(5.4.2)dw ду , дф дердере

(5.4.2)

(5.4.2)

dz дх ~^ ^ дх дх ду ^х ^У

Выражение их-^1иу можно рассматривать как вектор скорости v, для которого vx и иу— соответственно проекции на оси х и у. Выражение vx—wyi которое будет сопряженной функцией vx-\-ivy) есть зеркальное изображение вектора скорости по отношению к оси, параллельной оси х (рис. 11). Выражение (5.4.2) называется комплексной скоростью. По модулю комплексная скорость равняется модулю

I

dlD I■ / 09„

^1 = Г Ух + уу= У.(5.4.3)

Для аналитических функций комплексного переменного опреде- делены аналитические и интегральные операции. В применении к комплексному потенциалу w эти операции позволяют по заданному течению строить новое. Последнее и рассматривается далее.

Пусть комплексные потенциалы: ^^Фт+^п

определяют два течения. Сумма или разность этих течений определяется равенством

^ = ^1±^2=ф1±ф2+^1^№2)-

(5.4.4)

Так как фЬ фт и ф2, ф2 удовлетворяют условиям Коши—Римана, то и суммы или разности ф1±ф2,ф1±ф2 будут также удовлетворять этим условиям (о чем говорилось ранее). Следовательно, сумма или разность комплексных потенциалов определяет новое течение по двум ранее заданным. Сказанное является сформулированным ранее принципом суперпозиции.

Дифференцируя (5.4.4) по z и используя (5.4.2), запишем

— = ^ — iyy = ^ + и^) — г (р1у ± У2у).(5.4.5)

Из этого равенства следует, что при суперпозиции заданных течений их поля скоростей в каждой точке складываются по правилам сложения векторов.

Умножение комплексного потенциала wv

Умножение определяющего какое-либо течение, на ал- потенщГаТнХ^постоянную а будет соответ-

постоянную ствовать умножению действительной и мнимой частей на эту постоянную, т. е.

w=awt=афШ1р 1-(5.4.6)

Так как ф1? грг удовлетворяют условиям Коши—Римана, то и Яф^ а*фт также будут удовлетворять этим условиям. Поле скоростей, определяемое awx согласно соотношению (5.4.2), будет изменено в а раз по сравнению с полем скоростей, определяемым wv Если а отрицательно, то поле скоростей awv будет иметь обратное направление по сравнению с wv Из сказанного следует, что умножение комплексного потенциала на алгебраическую постоянную определяет течение, в котором по сравнению с исходным течением сохраняются семейства линий равного потенциала и линий тока и поле скоростей изменяется в + а раз.

Рассмотрим операцию умножения w1 на V.

w =ф + ftp = iwx=—гр i+1ф 1*(5.4.7)

Если фт, гр! удовлетворяют условиям Коши—Римана, то ф= —гр$ игр=ф! также будут удовлетворять условиям Коши—Римана [см. формулы (5.3.2)]. Поле скоростей при этом будет определяться согласно (5.4.2) равенством

.^1 = ^ _ iPy = у1у + ww(5.4.8)

ИЛИ

vx=vly, Vy = —Vlx.

Следовательно, вектор v представляет собой вектор v1? повернутый на л/2 по часовой стрелке. Таким образом, умножение на г комплексного потенциала приводит к новому течению, которое по сравнению с заданным течением повернуто на л/2.

Рассмотренные выше операции умножения и^ на а и г позволяют сформулировать операцию умножения wv на комплексную постоянную a+ib:

м=ф -Нф —aw^ibwp (5.4.9)

Это равенство можно рассматривать как суперпозицию течений awt и ibwv, а отсюда следует, что m, гр удовлетворяют условиям Коши—Римана. Таким образом, из (5.4.9) имеем: умножение комплексного потенциала на комплексную постоянную приводит к новому течению, которое представляет собой суперпозицию двух заданных течений*, течения, увеличенного в а раз, и течения, увеличенного в b раз и повернутого на л/2.

4. Формальные методыпостроениякомплексныхпотенциалов4. Формальные методыпостроениякомплексныхпотенциаловСреди операций над комплексными потенциалами, которые приводят к новым аналитическим функциям, т. е. к новым течениям, следует отметить умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, про

4. Формальные методыпостроениякомплексныхпотенциалов

4. Формальные методыпостроениякомплексныхпотенциалов

изводную , интегр ал.

Следовательно, если задано течение, определяемое комплексным

потенциалом ш^ то, произведя с ним указанные выше операции,

получим новые течения. Последнее открывает широкие возможности построения разнообразных течений, если задано какое-либо одно

течение. Гидродинамический смысл некоторых из указанных операций разбирается на конкретных примерах в следующей главе.

5. Конформноепреобразование5. КонформноепреобразованиеПредположим, что известен комплексный потенциал, определяющий течение в плоскости z^x-Viy^ который запишем в виде

5. Конформноепреобразование

5. Конформноепреобразование

^=^х, у)+гт](ж, У).(5.4.10)

Будем рассматривать 5, ц как координаты новой плоскости £ =£ ~Нц. Тогда из равенств

l=U^ у), п=п(ж> у)

(5.4.11)(5.4.11)можно в принципе найти х и у как функции £, ц: х=х^,ч\У, у=уЦ, ц), ИЛИ

(5.4.11)

(5.4.11)

s=/(£).

Предположим, что известен другой комплексный потенциал u^Xz), определяющий течение в плоскости ж, у:

iyi(z)=q)i(^, у)+(ф1(а:, у)(5.4.12)

Заменив х, у в последнем равенстве через £ , ц по формулам (5.4.11), будем иметь

^1 [Z (С)] = № (9 = Фх VX 6, ^У у @, 7])] + 1ф/[Ж (|, 7]), у (£, 7])] =

= Ф (I, ч) + ^ & ч)-(5.4.13)

Докажем, что w(^) описывает течение в плоскости £, отличное от течения (5.4.12), определенное в плоскости 2. Для этого следует показать, что ф и ф удовлетворяют условиям Коши—Римана. Так как

dcpjL^Ф1^915фг

Эхду ’ дуЭх ’

то можно записать

дер д£ дф дт]дф д£ ' дф дт]

д^ Эх + diq Эхд£ ду "^ дт] ду ’

дфд; дфдт)дфд£дфdiq

д^ду+ дт)дуд^дхдт]дх *

Но так как £, ц в силу (5.4.10) удовлетворяют условиям Коши— Римана, то последние равенства можно записать в виде:

/ <9фдф \ д$/ дф дф \ д;

\ д£дт) ) дх\ д-q + д; / ду ^’

(5.4.14)

/ дф \ д; / дф дф \ д^ ILL = 0.

\ д£ dq ] ду \дч\ д^ / дх

Так как эти соотношения представляют собой однородные уравнения относительно скобок, в них входящих, и детерминант системы не равен нулю, то из (5.4.14) следует, что ф, ф удовлетворяют условиям Коши—Римана. Преобразование координат, осуществленное выше, называется комформным.

Таким образом, можно строить новые течения из заданного путем конформного преобразования плоскостей.

Докажем, что при конформном преобразовании линии тока и линии равного потенциала переходят соответственно в линии тока и линии равного потенциала. Действительно, используя преобразование (5.4.11), можем записать:

w(z)=<pOr, t/)+iip(x, у) =tr(/(^)) =<рх(^,4)+гФ1(^**п)-

Из этого равенства следует, что при ф = const и ф = const имеем фх = const и ф1 = const, что и требовалось доказать.

Докажем также, что циркуляция скорости и расход жидкости через соответствующие кривые сохраняются при конформном преобразовании. Действительно,

м; (z) = J — dz = J vxdx + v^dy + г У vxdy — v^dx = Г + IQ, где Г — циркуляция скорости, Q — расход жидкости.

Производя в последнем выражении замену переменных по формулам (5.4.11), запишем fdwГ dw

~ dz = J & =г +(5-4-15)

Следовательно, Г и Q остаются неизменными при конформном преобразовании, что и требовалось доказать.

Заканчивая вопрос о преобразовании коор-

Перенос начала динат, укажем еще на простейшее преобра- координат зование, которое представляет собой перенос начала координат и осуществляется заменой:

z^—z0.(5.4.16)

где z0— постоянное комплексное число. Как нетрудно убедиться, это преобразование конформное и переход от плоскости z, где течение определяется w^Y к плоскости zb где течение определяется w(zi—z0), не изменит характера рассматриваемого течения.

ГЛABA 6

ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ ПЛОСКИХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ

§ 1. Простейшие плоскопараллельные потенциальные течения идеальной несжимаемой жидкости

Как указано в предыдущей главе, для того чтобы получить многообразие различных плоских потенциальных течений, необходимо

. m „иметь некоторое исходное течение. В каче

стве такого рассмотрим точечный вихрь, который характерен линиями тока в виде концентрических окружностей. Так как в этом случае функция токаф будет функцией только г, то из уравнения (5.3.3) имеем

(6.1.1)(6.1.2)(6.1.3)(6.1.1)(6.1.2)(6.1.3)dtp dtp<Ц)

(6.1.1)

(6.1.2)

(6.1.3)

(6.1.1)

(6.1.2)

(6.1.3)

dr^’ rdOdr ’

откуда dtpdtp

_ = г = тdr

где т — постоянная. Из (6.1.2) получим

ф=тО; ф =—mlnr.

Возвращаясь к равенствам (6.1.1), находим, что составляющие скорости рассматриваемого течения будут:

т

vr = 0;v6=—.(6.1.4)

Течение, определяемое уравнениями (6.1.3), имеет так называемую особую точку в начале координат, где скорость равна бесконечности. Характерной особенностью этого течения является то, что циркуляция скорости по любой замкнутой кривой, охватывающей особую точку, будет постоянна. Действительно, выбрав окружность произвольного радиуса Д, имеем

(6.1.5)(6.1.5)Г — 2т; Rv^ = 2т; R —. = 2r.m.

(6.1.5)

(6.1.5)

Используя (6.1.3) и (6.1.5), комплексный потенциал точечного вихря, расположенного в начале координат, находим в виде

ГPi. Г

W — ф + /ф =(6 — Мп г) = — — (1п г + Z9) = __ 1п 2. (6.1.6)

где к^ге^ и циркуляция Г направлена против часовой стрелки (рис. 12). Как следует из результатов предыдущего параграфа, комплексный потенциал вида

Г

ю = 2^7 ln(z-z«)

(6.1.7)

описывает течение, созданное вихрем, расположенным в точке 2о = ^о"4"^Ое

Комплексный потенциал

лена по часовой2. Точечный источниклена по часовой2. Точечный источник^ = 2Г ln(z —zo)-^ = 2Г ln(z —zo)-(6.1.9)(6.1.9)

лена по часовой

2. Точечный источник

лена по часовой

2. Точечный источник

^ = 2Г ln(z —zo)-

^ = 2Г ln(z —zo)-

(6.1.9)

(6.1.9)

описывает течение, созданное вихрем, циркуляция которого направ

стрелке (рис. 13).

Умножение на г комплексного потенциала (6.1.7) приводит к течению, которое описывается комплексным потенциалом вида

где Q — постоянная (которая уже не характеризует циркуляцию скорости).

Переходя к полярным координатам, начало которых расположено в точке z0 или а—^^ге^, из (6.1.9) будем иметь

w = <р + tip = — (In г + 16).

и

QQФ = -^1пг; ф= ^ 6.QQФ = -^1пг; ф= ^ 6.(6.1.10)(6.1.10)

QQ

Ф = -^1пг; ф= ^ 6.

QQ

Ф = -^1пг; ф= ^ 6.

(6.1.10)

(6.1.10)

Составляющие скорости этого течения будут:

=— Лдг 2лг * ^9 гдб=— Лдг 2лг * ^9 гдб(6.1.11)(6.1.11)

=— Л

дг 2лг * ^9 гдб

=— Л

дг 2лг * ^9 гдб

(6.1.11)

(6.1.11)

Таким образом, уравнение (6.1.9) описывает течение, линиями тока которого будут прямолинейные лучи, выходящие из точки z0, соответственно эквипотенциалями будут концентрические окружности

с центром в точке z0 (рис. 14). Скорости этого течения, направленные по лучам, будут убывать обратно пропорционально расстоянию от точки плоскости z0. Такого типа течение называется точечным источником.

Установим физический смысл постоянной @, входящей в последние формулы. Для этого вычислим количество жидкости, протекающее в единицу времени через круглый цилиндр с направляющими, перпендикулярными к плоскости течения хуп имеющий высоту,

Рис. 15Рис. 15

Рис. 15

Рис. 15

равную единице, и осевую линию, проходящую через точку z0. Согласно (6.1.11) будем иметь

О^ \vr | = 2кг ^ = Q.

Итак, Q определяет количество жидкости, выбрасываемое источником в единицу времени; оно носит название мощности (или обильности^ или напряжения источника.

Комплексный потенциал вида

ю =2Г 1П (Z-Zo)ю =2Г 1П (Z-Zo)(6.1.12)(6.1.12)

ю =2Г 1П (Z-Zo)

ю =2Г 1П (Z-Zo)

(6.1.12)

(6.1.12)

будет описывать течение, линиями тока которого будут прямолинейные лучи, выходящие из точки z0. Скорости этого течения будут направлены к точке z0 (рис. 15) и Q будет характеризовать количество жидкости, поглощаемое в единицу времени в точке z0. Такого типа течение называется стоком. Величина Q, входящая в (6.1.12), называется мощностью, или обильностью стока. Сток можно назвать также источником с отрицательной обильностью.

о _Суперпозиция течений (6.1.7) и (6.1.9) опи-

. ихреисточник сывается комплексным потенциалом вида

Q — /ГГ 4- iQ

W =^— In (2 — z0) =^— ln(z—z0).(6.1.13)

Разделив в (6.1.13) действительную и мнимую части, найдем потенциал и функцию тока течения в видеРазделив в (6.1.13) действительную и мнимую части, найдем потенциал и функцию тока течения в виде91пг + Г6<?6—Г1пгф =; ф= 91пг + Г6<?6—Г1пгф =; ф= (6.1.14)(6.1.14)где г, 6 — полярные координаты точки. Начало полярной системы расположено в точке 20. Из (6.1.14) следует, что семейства эквипо-где г, 6 — полярные координаты точки. Начало полярной системы расположено в точке 20. Из (6.1.14) следует, что семейства эквипо-тенциалей и линий тока соответсттенциалей и линий тока соответственно определяются уравнениями: гот = Схе * .т = С^ (6.1.15) и представляют собой взаимно ортогональные семейства логарифмических спиралей (рис. 16).Совокупность течений, определяемых комплексным потенциаломвенно определяются уравнениями: гот = Схе * .т = С^ (6.1.15) и представляют собой взаимно ортогональные семейства логарифмических спиралей (рис. 16).Совокупность течений, определяемых комплексным потенциаломw= + ^ — In (z — z0),(6.1.13')w= + ^ — In (z — z0),(6.1.13')в качестве линий тока и эквипотенциал ей будет иметь различно ориентированные логарифмические спирали, течение вдоль которых будет направлено к точке 20 (при (?>0) и отв качестве линий тока и эквипотенциал ей будет иметь различно ориентированные логарифмические спирали, течение вдоль которых будет направлено к точке 20 (при (?>0) и отнее (при @<0). Этим течениямследует, чтанее (при @<0). Этим течениямследует, чтаможно дать общее название вихреисточники.Из всего вышеизложенногоможно дать общее название вихреисточники.Из всего вышеизложенного4. Вихри, источникии вихреисточникив бесконечно удаленнойточке плоскости4. Вихри, источникии вихреисточникив бесконечно удаленнойточке плоскостикомплексный потенциал видаw^C 1п(2—20)(6.1.16)в зависимости от того, мнима, действительна или комплексна постоянная С, определяет течение, вызванное точечным вихрем, источником (стоком) икомплексный потенциал видаw^C 1п(2—20)(6.1.16)в зависимости от того, мнима, действительна или комплексна постоянная С, определяет течение, вызванное точечным вихрем, источником (стоком) ивихреисточником, которые расположены в конечных точках плоскости. Покажем, что одновременно (6.1.16) определяет и вихрь, сток (источник) и вихреисточник в бесконечно удаленной точке плоскости. Для этого от плоскости 2 перейдем при помощи конформного преобразования к плоскости 2Х по формулевихреисточником, которые расположены в конечных точках плоскости. Покажем, что одновременно (6.1.16) определяет и вихрь, сток (источник) и вихреисточник в бесконечно удаленной точке плоскости. Для этого от плоскости 2 перейдем при помощи конформного преобразования к плоскости 2Х по формуле1220 ~ "^ »1220 ~ "^ »(6.1.17>(6.1.17>откудаоткуда2Х =2Х =12 — Zq12 — Zq(6.1.17')(6.1.17')

Разделив в (6.1.13) действительную и мнимую части, найдем потенциал и функцию тока течения в виде

Разделив в (6.1.13) действительную и мнимую части, найдем потенциал и функцию тока течения в виде

91пг + Г6<?6—Г1пг

ф =; ф=

91пг + Г6<?6—Г1пг

ф =; ф=

(6.1.14)

(6.1.14)

где г, 6 — полярные координаты точки. Начало полярной системы расположено в точке 20. Из (6.1.14) следует, что семейства эквипо-

где г, 6 — полярные координаты точки. Начало полярной системы расположено в точке 20. Из (6.1.14) следует, что семейства эквипо-

тенциалей и линий тока соответст

тенциалей и линий тока соответст

венно определяются уравнениями: го

т = Схе * .т = С^ (6.1.15) и представляют собой взаимно ортогональные семейства логарифмических спиралей (рис. 16).

Совокупность течений, определяемых комплексным потенциалом

венно определяются уравнениями: го

т = Схе * .т = С^ (6.1.15) и представляют собой взаимно ортогональные семейства логарифмических спиралей (рис. 16).

Совокупность течений, определяемых комплексным потенциалом

w= + ^ — In (z — z0),(6.1.13')

w= + ^ — In (z — z0),(6.1.13')

в качестве линий тока и эквипотенциал ей будет иметь различно ориентированные логарифмические спирали, течение вдоль которых будет направлено к точке 20 (при (?>0) и от

в качестве линий тока и эквипотенциал ей будет иметь различно ориентированные логарифмические спирали, течение вдоль которых будет направлено к точке 20 (при (?>0) и от

нее (при @<0). Этим течениям

следует, чта

нее (при @<0). Этим течениям

следует, чта

можно дать общее название вихреисточники.

Из всего вышеизложенного

можно дать общее название вихреисточники.

Из всего вышеизложенного

4. Вихри, источникии вихреисточникив бесконечно удаленнойточке плоскости

4. Вихри, источникии вихреисточникив бесконечно удаленнойточке плоскости

комплексный потенциал вида

w^C 1п(2—20)(6.1.16)

в зависимости от того, мнима, действительна или комплексна постоянная С, определяет течение, вызванное точечным вихрем, источником (стоком) и

комплексный потенциал вида

w^C 1п(2—20)(6.1.16)

в зависимости от того, мнима, действительна или комплексна постоянная С, определяет течение, вызванное точечным вихрем, источником (стоком) и

вихреисточником, которые расположены в конечных точках плоскости. Покажем, что одновременно (6.1.16) определяет и вихрь, сток (источник) и вихреисточник в бесконечно удаленной точке плоскости. Для этого от плоскости 2 перейдем при помощи конформного преобразования к плоскости 2Х по формуле

вихреисточником, которые расположены в конечных точках плоскости. Покажем, что одновременно (6.1.16) определяет и вихрь, сток (источник) и вихреисточник в бесконечно удаленной точке плоскости. Для этого от плоскости 2 перейдем при помощи конформного преобразования к плоскости 2Х по формуле

1

220 ~ "^ »

1

220 ~ "^ »

(6.1.17>

(6.1.17>

откуда

откуда

2Х =

2Х =

1

2 — Zq

1

2 — Zq

(6.1.17')

(6.1.17')

При этом переходе точке z=z0 будет соответствовать бесконечно удаленная точка плоскости 21? и точке 2= со — начало координат плоскости 2Р Следовательно, для того чтобы исследовать поведении функции и? в бесконечно удаленной точке плоскости 2, достаточно

исследовать поведение этой функции в начале координат плоскости zv Так как

1

w = С In (z — z0) = С In — = — С In zv Z1

то в точке z^O в зависимости от значения С расположен источник (сток) или вихревая точка, или вихреисточник. Таким образом, течение, описываемое комплексным потенциалом (6.1.16), при С действительном определяет течение, вызванное одновременным действием источника в конечной точке плоскости и стока, расположенного в бесконечно удаленной точке плоскости. Физическое объяснение этого обстоятельства очевидно. Действительно, если жидкость выбрасывается в какой-либо точке плоскости, то во избежание накопления она должна в других местах поглощаться. Если рассматривать одновременно источник и сток, расположенные в конечных точках плоскости, то в бесконечно удаленной точке уже будут отсутствовать стоки (или источники). При С чисто мнимом уравнение (6.1.16) определяет течение, вызванное одновременным действием двух вихрей противоположных знаков, расположенных в конечной точке плоскости и в бесконечно удаленной ее точке. Если рассматривать два вихря одинаковой напряженности и противоположных знаков, расположенных в конечных точках плоскости, то в бесконечно удаленной точке вихрь будет отсутствовать. При С комплексном уравнение (6.1.16) определяет течение, вызванное одновременным действием двух вихреисточников, противоположных знаков, расположенных в конечной точке плоскости и бесконечно удаленной ее точке. Если два вихреисточника противоположных знаков расположены в конечных точках плоскости, то в бесконечно удаленной точке вихреисточник отсутствует. Подводя итоги, можно констатировать, что потенциальные плоские течения имеют место, если суммарная напряженность вихрей, мощность источников и вихреисточников, расположенных на плоскости (включая и бесконечно удаленную точку), равна нулю.

Следует заметить, что вихри, источники и вихреисточники, расположенные в точках Z —оо, не оказывают существенного влияния на скорости течения в плоскости ху, ибо скорость течения (6.1.16) в бесконечности равна нулю. Но роль их весьма существенна, когда используется конформное преобразование и точка z=oo переходит в конечную точку плоскости, определяемой zv

Рассмотрим суперпозицию стока и источ-

Параника равной мощности Q, расположенных

источник—стокг। Л

соответственно в точках z0 и z1=z0+Az0. Такую комбинацию назовем парой. Комплексный потенциал этого течения будет вида

w = 5_ [In (z — Z]) — In (z — z0)].(6.1.18)

Представим Az0=z1—z0 в виде Аз0=ке^, где h — расстояние между

совпадающим с направлениемсовпадающим с направлениемРис. 11Рис. 11^i2+(j/i—aA^^W 1-М)2.^i2+(j/i—aA^^W 1-М)2.(6.1.21)(6.1.21)

совпадающим с направлением

совпадающим с направлением

Рис. 11

Рис. 11

^i2+(j/i—aA^^W 1-М)2.

^i2+(j/i—aA^^W 1-М)2.

(6.1.21)

(6.1.21)

стоком и источником. Произведение Qh назовем моментов пары. Центром пары назовем среднюю точку отрезка, соединяющего источник и сток. Линии тока и направление скоростей течения, созданного парой и описываемого комплексным потенциалом (6.1.18), изображены на рис. 17. Одна из линий тока этого течения будет прямая, уходящая в бесконечность. Эту прямую назовем осью пары.

Направление этой оси будем считать вектора скорости частиц, находящихся на оси вне отрезка, соединяющего точки расположения источника и стока.

Исследуем характер течения, вызванного парой источник—сток. Для этого введем новую систему координат а^, i/f. ось хг направим по оси пары; начало координат расположим на середине отрезка, соединяющего точки z0 и zx (см. рис. 17), длину которого обозначим 2а. Из уравнения (6.1.18) следует, что потенциал скорости ф и функция тока ф находятся в виде

<р = In ^-; t|) = —е2,(6.1.19)

'2 где

М — а)2 + у, ; r2 = V (а^ + а)2 + у2 ;

tg —; tg 02 = .

° 1 х^ — а ь 2 хг -f- а

Из. соотношений (6.1.19) следует, что семейства эквипотенциален и линий тока определяются равенствами:

4 = Л; tg(61-02) = —,г2Л

где Л — произвольная постоянная.

Преобразуя последние равенства, находим, что эквипотенциали представляют собой окружности с центрами, расположенными на

оси Хр

хг — ахг — а(6.1.20)(6.1.20)i-MV ,2( 2а У"А У

хг — а

хг — а

(6.1.20)

(6.1.20)

Т^д) +У1= {-т^А~} •

Линиями тока этого течения будут окружности с центрами, расположенными на оси ух:

Линии тока и направление скоростей течения показаны на рис. 17.

Рассмотрим семейство <р—const и обозначим через R радиус какой-либо эквипотенциали и I расстояние ее центра от начала системы координат xv уР Тогда на основании (6.1.20) имеем

откудаоткудая^^;1 = ая^^;1 = а1— А ’1— А ’Следовательно,Следовательно,1 + Z±; 1—R1 — Л1 + Z±; 1—R1 — Л1- ул= а1 4-УЛ1- ул= а1 4-УЛ

откуда

откуда

я^^;1 = а

я^^;1 = а

1— А ’

1— А ’

Следовательно,

Следовательно,

1 + Z±; 1—R

1 — Л

1 + Z±; 1—R

1 — Л

1- ул

= а

1 4-УЛ

1- ул

= а

1 4-УЛ

l^R^s.l^R^s.(6.1.22)

l^R^s.

l^R^s.

Эта формула позволяет просто геометрически определить положение на оси хг центра эквипотенциали заданного радиуса R.

Подобным же образом, обозначая через RT радиус какой-либо линии тока и через lt— расстояние ее центра от начала системы координат Xi, yv на основании (6.1.21) запишем

R j ну/ 1Ц— А, Z^=а А,

откуда

илиилиД12~а/1+^2.Д12~а/1+^2.(6.1.23)(6.1.23)

или

или

Д12~а/1+^2.

Д12~а/1+^2.

(6.1.23)

(6.1.23)

Отсюда просто геометрически определяется положение центра линии тока радиуса R± на оси yv

Итак, пара источник — сток в качестве линий тока и эквипотен- циалей имеет неконцентрические окружности.

(6.1.24)(6.1.24)Па а вих й Парой вихрей назовем совокупность двух ара вихрей вихрей равной интенсивности и противоположных знаков. Пусть вихри расположены соответственно в точках гг и z0. Умножив (6.1.18) на I и заменив Q на Г, найдем комплексный потенциал такого течения в виде

(6.1.24)

(6.1.24)

w^2T lln (z — zi) — In (z — z0)].

Обозначим Zi—z0= kz^he^ и назовем произведение ГА моментом пары вихрей. Центром пары вихрей назовем середину отрезка, соединяющего точки расположения вихрей.

Линии тока и эквипотенциали пары источник — сток в случае пары вихрей перейдут соответственно в эквипотенциали и линии тока. Последние изображены на рис. 18, где указано также и направление течения. Одна из линий тока этого течения будет прямая, которую назовем осью пары вихрей. Направление этой оси будем

считать совпадающим с направлением вектора скорости частиц жидкости, расположенных на этой оси (см. рис. 18).

Следует заметить, что фактически не существует одиночного вихря, одиночного источника или стока, а всегда существует пара вихрей и пара источник—сток, одна из составляющих которых может быть расположена в бессконечности или центр пары может быть в бесконечности.

Дип льПерепишем комплексный потенциал пары

Дипольв виде

(6.1.25)(6.1.25)Qhe^[z — (z0 + Az0)] — In (z — z0)

(6.1.25)

(6.1.25)

W = —- 7

Перейдем в последнем равенстве к пределу, полагая, что Az0 стремится к нулю, тогда А-^0. Пусть при этом Q-^cx таким образом, что произведение Qh стремится к постоянной величине М к. В результате из (6.1.25) находим

М^ 9 X ,X

W = T"^ ln(z-^0) =

2к г — z02к г — z0(6.1.26)(6.1.26)Течение, полученное предельным сближением стока и источника,

2к г — z0

2к г — z0

(6.1.26)

(6.1.26)

описываемое комплексным потен

циалом (6.1.26), называется ди

полем. Или иначе, диполь представляет собой предельный случай пары. Постоянная Мг называется моментом диполя. Направление, определяемое углом 60, называется осью диполя.

Исследуем характер течения, вызванного диполем. Для этого

введем полярные координаты г, а, полюс которых расположен в точке z0 и ось направлена под углом 60 к оси х (рис. 19).

Мх— *2лг (cosa—isina).Мх— *2лг (cosa—isina).(6.1.267)(6.1.267)Тогда 2 —= ге^й^1 и (6.1.26) можно записать в виде

Мх

— *2лг (cosa—isina).

Мх

— *2лг (cosa—isina).

(6.1.267)

(6.1.267)

Откуда потенциал и функция тока течения будут вида

(6.1.27)(6.1.27)Мх cosaМх sin a

(6.1.27)

(6.1.27)

^ = —^—г-’ ^= —и—г

ил"=т (6Л'28)ил"=т (6Л'28)Введем декартовы координаты х17 у1п начало которых расположено в точке 20, ось хг направлена по полярной оси и ух перпендикулярна хт (см. рис. 19). Тогда

ил

"=т (6Л'28)

ил

"=т (6Л'28)

Г = V ^ + У1 ; cosa = - - - 11 - —V ^+^

Из равенств (6.1.27) и (6.1.28) следует, что уравнения эквипотенциальных линий и линий тока в системе я1? yv будут вида

Х1 +’ »t + y2v ’

где А и В —■ произвольные постоянные.

Последние уравнения удобнее записать в виде /1 \2 о 19/1 \21

(^"м) +^‘ = Ж‘ + ^1+-2б) =4В^- ^-^^^

XXРис. 19Рис. 19

X

X

Рис. 19

Рис. 19

Из (6.1.29') следует, что семейства эквипотенциалей и линий тока течений, вызванного диполем, представляют собой соответственно окружности с центрами, расположенными на осях хх и уХ1 и все эти окружности проходят через начало координат системы xv уА (рис. 20). Используя формулы (6.1.27), находим составляющие скорости этого течения в виде

(6.1.30)(6.1.30)дер Мх cos»дф Мх sin»

(6.1.30)

(6.1.30)

Uf "dr = ~ "Т7" ’ Уа 757 = — ” ~7^ ;

в соответствии с этими формулами направление течения указано на рис. 20. Заметим, что ось диполя направлена вдоль вектора скорости прямолинейной линии тока рассматриваемого течения.

Диполь можно получить как предельный случай не только пары, но и пары вихрей. Действительно, перепишем комплексный потенциал пары вихрей (6.1.24) в виде

ГМW =^ -—ГМW =^ -—In [z — (zq + Az0)] — In (z — z0)

ГМ

W =^ -—

ГМ

W =^ -—

.Az0

и перейдем к пределу при Az0-> 0, положив, что при этом h—>0, а Г->оо таким образом, что АГ стремится к конечной величине Mv Тогда из последнего равенства имеем

.2

или, так как — = — г = — е , то

M^i 1М^ '1

W"=^.6.1.31)

2 гz — z0z — z0 х 7

Полученный комплексный потенциал определяет диполь, ось которого расположена под углом %+-~ к оси х (рис. 21). Итак<

дипольслучаемЕсли следует,дипольслучаемЕсли следует,является предельным пары вихрей.является предельным пары вихрей.6о-О, что6о-О, чтото из (6.1.31)то из (6.1.31)MxiMxi11w =т-w =т-2 —Zo2 —ZoМхе 21Мхе 212г2г2 — Z0 ’2 — Z0 ’т. е. эта формула определяет диполь, ось которого расположена вдоль оси у.Если формулу (6.1.26) записать в видет. е. эта формула определяет диполь, ось которого расположена вдоль оси у.Если формулу (6.1.26) записать в виде

диполь

случаем

Если следует,

диполь

случаем

Если следует,

является предельным пары вихрей.

является предельным пары вихрей.

6о-О, что

6о-О, что

то из (6.1.31)

то из (6.1.31)

Mxi

Mxi

1

1

w =т-

w =т-

2 —Zo

2 —Zo

Мхе 21

Мхе 21

2г

2г

2 — Z0 ’

2 — Z0 ’

т. е. эта формула определяет диполь, ось которого расположена вдоль оси у.

Если формулу (6.1.26) записать в виде

т. е. эта формула определяет диполь, ось которого расположена вдоль оси у.

Если формулу (6.1.26) записать в виде

12— Z0 ’12— Z0 ’MiCOsOo 1 MxsinGoi

1

2— Z0 ’

1

2— Z0 ’

W =5—5

Zk. Z — Zo

то можно заключить, что диполь, ориентированный под углом 60, представляет собой наложение двух диполей, оси которых ориентированы по двум взаимно перпендикулярным осям координат.

8 М льтиполи Продолжим процесс суперпозиции потоков уль ии ^ рассмотрим два диполя, обладающих одинаковым моментом и диаметрально противоположными осями и расположенных соответственно в точках z0 и z0+Az0. Комплексный потенциал этого течения будет вида

I(6.1.32)

2г(zq + Azq) z — z0 Jx 7

Линии тока его и направляющие течения изображены на рис. 22. Представим Az0 как tv^—W^1 и перепишем (6.1.32) в виде

MxhA£

1

Az0

Г 1

L z — (z0 + Аг 0)

М^г 912ic Szq z 1 ZqМ^г 912ic Szq z 1 Zq2тс2тс1(2 — 20)2 *1(2 — 20)2 *(6.1.33)(6.1.33)(6.1.34)(6.1.34)Рис. 24Рис. 24w =w =Рис. 23Рис. 23

М^г 91

2ic Szq z 1 Zq

М^г 91

2ic Szq z 1 Zq

2тс

2тс

1

(2 — 20)2 *

1

(2 — 20)2 *

(6.1.33)

(6.1.33)

(6.1.34)

(6.1.34)

Рис. 24

Рис. 24

w =

w =

Рис. 23

Рис. 23

Пусть далее диполь в точке z0+Az0 неограниченно приближается к диполю, расположенному в точке z0, и момент диполей Мх увеличивается так, что

limM^ = М9.

Комплексный потенциал такого предельного течения будет вида

Течение, описываемое (6.1.33), называется квадруполем. Линии тока и направления скоростей этого течения изображены на рис. 23.

Процесс суперпозиции однотипных течений с последующим предельным переходом, который проведен выше, можно продолжить. В результате по

лучим течения, описываемые комплексными потенциалами вида

Мпе^ 1

2тс (z zo)

Такого типа течения имеют общее название мультиполей. Для 60 —О линии тока и направления скоростей показаны на рис. 24. Из рис. 23 и 24 следует, что число «лепестков», определяющих линии тока мультиполей, равно 2п. Следует заметить, что это будет справедливо не только для п=2 и п. = 3, но и при любых п.

9. Мультипольв бесконечноудаленной точке.Поступательный поток9. Мультипольв бесконечноудаленной точке.Поступательный потокДля построения комплексных потенциалов мультиполей, расположенных в бесконечно удаленной точке плоскости, можно воспользоваться формулой (6.1.34), произведя конформное преобразование плоскости 2 в плос

9. Мультипольв бесконечноудаленной точке.Поступательный поток

9. Мультипольв бесконечноудаленной точке.Поступательный поток

кость хг таким образом, чтобы точка z=z0 переходила в бесконечно удаленную точку плоскости ^, согласно формуле

1

z =

12— Z0

Отсюда комплексный потенциал мультиполей в бесконечно удаленной точке z плоскости будет

w—C^,w—C^,(6.1.35)

w—C^,

w—C^,

где С — некоторая комплексная постоянная.

В частном случае при п = 1 будем иметь в бесконечно удаленной точке диполь. Комплексный потенциал создаваемого им течения обычно записывается в виде

w=voe~B<>*z.(6.1.36)

Потенциал скорости и функция тока этого течения будут вида

ср =у0(ж cos 90+У sin 6о);

ф =Уо(У cos 60—я sin 90).

Отсюда семейство эквипотенциальных линий будет прямыми, выражаемыми уравнением

У = — х ctg 90+Л,

где Л — произвольная постоянная.

Семейство линий тока рассматриваемого течения будет определяться уравнением

У^х tg 60+В, где В — произвольная постоянная.

Составляющие скорости этого течения найдем по формулам:

дер

= —х = y0cos60;

у == y0sin90,

ду

откуда модуль вектора скорости течения величина постоянная, ибо

v=/^V=y0.

Таким образом, диполь в бесконечно удаленной точке определяет течение, обладающее постоянной величиной и направлением ско-

рости (рис. 25), где линии тока — прямые, направленные под углом 0О к оси х, т. е. это будет прямолинейное поступательное движение жидкости. Такое течение называют поступательным потоком.

В частном случае при 0о=О из (6.1.36) имеем

W^VqZW^VqZ(6.1.37)

W^VqZ

W^VqZ

— комплексный потенциал поступательного потока, направленного вдоль положительных х (рис. 26).

Рис. 26Рис. 26

Рис. 26

Рис. 26

Рис. 27Рис. 27

Рис. 27

Рис. 27

Рассмотрим далее мультиполь в бесконечности с п—2. Комплексный потенциал его будет

w=№.(6.1.38)

Рассмотрим случай, когда С — действительная положительная величина. Тогда потенциал скорости и функция тока в декартовых координатах будут иметь вид

ф=С(я:2—у2); ^=2С ху.

Эквипотенциальные линии в этом случае будут представлять собой равнобочные гиперболы, для которых оси координат будут осями симметрии и уравнение которых будет

х^—у^А,где А — постоянная величина.

Линиями тока будут равнобочные гиперболы, для которых координатные оси служат асимптотами. Уравнение этих линий будет

ху—В

где В — константа.

Составляющие скорости рассматриваемого течения найдем по формуле:

8S 99S

vr " -7— = 2c x\ i; — — = 2cu.x dxy dy y

Линии тока и направление скоростей рассматриваемого течения изображены на рис. 27.

10. Формальныеметоды построенияпростейших течений10. Формальныеметоды построенияпростейших теченийВсе многообразие простейших течений, рассмотренных в этом параграфе, можно получить, не прибегая к использованным физическим соображениям, формальными мето-

10. Формальныеметоды построенияпростейших течений

10. Формальныеметоды построенияпростейших течений

дами, изложенными в последнем параграфе предыдущей главы. Действительно, w—C^ где C0=const удовлетворяет условиям Коши— Римана. Интегрируя п раз Со или интегрируя один раз Сй и возводя далее полученный комплексный потенциал в n-ю степень, получаем течение, определяемое комплексным потенциалом вида

w = Спгп,

где Сп— некоторая постоянная. Такое течение, как указывалось, определяет мультиполи в бесконечности. Так как функция, обратная заданному комплексному потенциалу, также будет комплексным потенциалом, то из последнего выражения можно получить комплексный потенциал вида

СпZZ2 = " *

который описывает течение, созданное мультиполями в начале координат. Перенеся начало координат в точку z=z0 и положив

М Л ;°

Сп~ е4»1, получим комплексный потенциал вида

W —W —Ме^ 1Ме^ 12^^-^п'2^^-^п'

W —

W —

Ме^ 1

Ме^ 1

2^^-^п'

2^^-^п'

который, как указывалось, описывает течение, созданное мультиполями, расположенными в точке z=z0 и ориентированными вдоль направления 9=9О.

При п=Х из последней формулы, интегрируя, находим комплексный потенциал в виде

w^C In (z—z0)t

где С — постоянная, различное зна чение которой, как указывалось, в этой формуле будет определять комплексные потенциалы вихря либо источника — стока, либо вихреисточника.

Простейшие течения играют существенную роль при построении всевозможных плоскопараллельных течений, ибо многообразие их представляет наложение простейших течений. С точки зрения аналитических функций мультиполи в конечных точках плоскости и бесконечности представляют собой полюсы и нули аналитической функции, по которым эти функции разлагаются в ряд Лорана.

В заключение заметим, что, рассматривая многообразие источников — стоков, вихрей и мультиполей, которые характеризуются 20, расходом Q, циркуляцией Г и моментом Me~Bi или величинами ^ » "^ »5“ ^-9/ иногда удобнее обозначать одной буквой (например, т) и называть кратко одним термином напряженность.

Точки расположения источников, вихрей и мультиполей называются особыми точками течения. Их расположение и напряженность определяют комплексные потенциалы, описывающие течение.

Обтекание окружности поступательным потоком

1. Течения,ограниченныенепроницаемымиповерхностями1. Течения,ограниченныенепроницаемымиповерхностямиВсе рассмотренные в предыдущем параграфе решения отвечают определенным краевым задачам. Так как при изучении течений идеальной жидкости исключаются из рассмотрения силы трения, то в случае плоскопараллельного течения любую линию тока какого-либо течения можно заменить твердой стенкой. Следовательно, любое такое течение яв

1. Течения,ограниченныенепроницаемымиповерхностями

1. Течения,ограниченныенепроницаемымиповерхностями

ляется решением серии краевых задач, отвечающих условиям на твердых стенках. Например, течение, описываемое комплексным потенциалом w—и2 (см. рис. 27), представляет собой течение, идущее из бесконечности, в качестве непроницаемой границы которого будет прямой угол или ветвь гиперболы.

Рассмотрим далее некоторые задачи о плоскопараллельном движении жидкости, ограниченной непроницаемой стенкой, и покажем, что решение этих задач сводится к наложению простейших течений, изученных нами в § 1.

Рассмотрим безграничное цилиндрическое

Задача о движении непроницаемое твердое тело, которое движет- щииндр^ тела ся в беспредельной идеальной жидкости так, в идеальной жидкости что каждая точка тела имеет в любой момент времени скорость, направленную перпендикулярно к образующим цилиндра. Движение тела вызывает движение жидкости, окружающей тело. Такое движение тела и жидкости, его окружающей, будет плоскопараллельным, и, следовательно, достаточно изучить движение сечения цилиндра, перпендикулярного его образующим, и жидкости, расположенной в плоскости этого сечения. Интерес указанной задачи заключается в том, что при движении удлиненных цилиндрических тел, например крыльев самолетов, в средних частях их почти не сказывается влияние концов тела.

Остановимся конкретно на поступательном прямолинейном и равномерном движении сечения тела в идеальной жидкости. Будем рассматривать движение жидкости, окружающей сечение, по отношению к системе координат, жестко связанной с этим сечением. Тогда на основании галилеева принципа относительности классической механики можно задачу о поступательном прямолинейном и равномерном движении тела в жидкости, покоящейся в бесконечности,

свести к задаче об установившемся обтекании неподвижного тела безграничным потоком жидкости, скорость которого в бесконечности будет противоположна скорости тела. Таким образом, задача о поступательном плоскопараллельном движении тела сводится к изучению обтекания жидкостью заданного контура плоским поступательным потоком. Последний называется набегающим потоком. Установление кинематической картины движения сводится к определению потенциала скорости ф или функции тока ф, которые удовлетворяют уравнению Лапласа.

о „ Выясним, каким граничным условиям дол- s. Граничные условия r у .

г 5 жны удовлетворять функции ф и ф на окружности. Как уже указывалось, в силу идеальности жидкость будет свободно скользить вдоль поверхности тела. Следовательно,

Рис. 28

вдоль этой поверхности нормальная составляющая скорости будет равна нулю. Выразим последнее условие через потенциал скорости и функцию тока (рис. 28):

vn = vx cos (n,^) + vy cos (п, у) = vx sin 6 — v^ cos 6 —dydxdx dy

=^vH = 0.

x ds У ds x dn ' У dn

Подставив значения vx, vy по формулам

Sepдфdtpdф

Ux ~ dxdy ' Uy ~ dydx 1

получим 5ф dy dф dxс?ф

^ dy ds ~^~ dx dsds

И

_ ^ ax_ dS au _ ^ _

« эх an + dy an ~ an(6.^.1)

Отсюда

d^

-j- = 0 или ф = const(6.2.2)

на неподвижном контуре. Следовательно, неподвижный контур должен являться линией тока или частью линий тока, как было указано в начале этого параграфа.

Найдем условия, которым должны удовлетворять ф и ф на бесконечности.

Обозначим проекцию вектора скорости в бесконечности соответственно

ух=^о cos0o; иу=и0 sin60.

Отсюда для потенциала скорости ф и функции тока ф на бесконечности имеем условия:

д^>6^

=у0cos 6о> -д7 = уоsin 6»;

(6.2.3)

4. Общаяпостановка задачио плоскопараллельномобтекании контурапоступательным потоком4. Общаяпостановка задачио плоскопараллельномобтекании контурапоступательным потоком=y0cos00,= — p0sin90.

4. Общаяпостановка задачио плоскопараллельномобтекании контурапоступательным потоком

4. Общаяпостановка задачио плоскопараллельномобтекании контурапоступательным потоком

Итак, задача о плоскопараллельном обтекании контура поступательным потоком при помощи функции тока ф математически формулируется следующим образом: найти функцию двух переменных, имеющую заданное

^=ио cos0o;^=ио cos0o;постоянное значение на контуре тела и удовлетворяющую уравне

^=ио cos0o;

^=ио cos0o;

нию Лапласа Дф = 0 и условиям на бесконечности:

дф

— = —у0 sin90. Задачи такого рода в математике носят название задач

Дирихле. Разрешение указанной задачи Дирихле дает кинематическую картину течения. Если последняя известна, то давление в жид

кости или динамическую картину движения находят, пользуясь интегралом Бернулли—Эйлера.

Математически задачу о плоскопараллельном обтекании контура поступательным потоком через потенциал скорости ф можно также формулировать в следующем виде: найти функцию двух переменных, имеющую на заданном контуре известную нормальную производную ^-~- = 0 ) и в бесконечно удаленной точке принимающую значе- дфдф

ния -^- = y0cos60, -^- = z;osinOo. Во всех остальных точках пространства функция должна удовлетворять уравнению Лапласа. Задачи такого рода в математике получили название задач Неймана.

Следовательно, задача о плоскопараллельном обтекании тела сводится к решению задачи Дирихле либо задачи Неймана. Заметим, что в рассматриваемом случае всегда задачу Дирихле можно свести к задаче Неймана и наоборот, ибо, зная функцию тока, всегда можно найти скорость и наоборот. Определение ф, удовлетворяющей урав-

нению Лапласа при заданных условиях на границе тела, называется краевой задачей.

Кинематическую задачу об обтекании заданного контура поступательным потоком можно также разрешить путем построения комплексного потенциала, действительная и мнимая части которого удовлетворяют вышеуказанным граничным условиям. Общий вид комплексного потенциала при этом можно указать. Действительно, проекция скорости течения их и иу представляют собой однозначные функции от координат плоскости х и у. При приближении к бесконечно удаленной точке их и иу стремятся к значениям у0 cos9c; к0 sin60 соответственно. Комплексная скорость

на основании сказанного будет аналитической функцией от z вне контура С, обтекание которого рассматривается. В бесконечно удаленной точке ~ =Koe“0ez. Но тогда комплексная скорость разлагается в ряд Лорана вида

(6.2.4)

Интегрируя это равенство и опуская аддитивную постоянную, находим

w — иое z + CJnz --^w — иое z + CJnz --^(6.2.5)(6.2.5)

w — иое z + CJnz --^

w — иое z + CJnz --^

(6.2.5)

(6.2.5)

Выберем в качестве контура окружность радиуса а, центр которой расположен в начале координат плоскости течения ху.Выберем в качестве контура окружность радиуса а, центр которой расположен в начале координат плоскости течения ху.5. Обтекание5. Обтеканиеусловия через ф и ф следует записать в видеусловия через ф и ф следует записать в виде[ф (г* 6)]г=а = const;[ф (г* 6)]г=а = const;' ^(г, 6)' ^(г, 6)(6.2.6)(6.2.6)

Выберем в качестве контура окружность радиуса а, центр которой расположен в начале координат плоскости течения ху.

Выберем в качестве контура окружность радиуса а, центр которой расположен в начале координат плоскости течения ху.

5. Обтекание

5. Обтекание

условия через ф и ф следует записать в виде

условия через ф и ф следует записать в виде

[ф (г* 6)]г=а = const;

[ф (г* 6)]г=а = const;

' ^(г, 6)

' ^(г, 6)

(6.2.6)

(6.2.6)

Постоянные Cv С31 С3, ... в полученном разложении комплексного потенциала определяются по условиям на границе контура. Так как эти условия заданы для функций ф и ф, в последнем разложении надо отделить действительную и мнимую части.

кругового цилиндра лэ-у

(кинематическая Введем полярную систему координат г, картина течения) (рис. 29). Тогда на окружности граничные

Предполагая далее, что поток в бесконечности имеет скорость v^ направленную под углом 0О к оси х, комплексный потенциал течения можно представить в виде (6.2.5). В общем случае постоянные Cv Сп, ... будут комплексными величинами:

Ck—Ak+iBk-

Введя полярные координаты z^re^, из разложения комплексного потенциала найдем разложения потенциала скорости и функции тока в виде:

Ф = ^о cos (6 — 0о) г 4- At In г — ST0 — ^- cos 6sin 0 —

Л3 cos 20 4- В2 sin 20

2r2

ф = р0 sin (6 — 0О) г 4- Вг In г + ^416 —

■S2Л 2

—— cos 64—— sin 6 4-

Л3 sin 20 — В2 cos 20

Н 2^Н... .

Удовлетворяя граничному условию для ф, запишем

voa sin 6 cos 90 — voa sin 60 cos 6 4* Вг In а 4- ^0 —

В»Л2Л3sin20 — B2cos20

cos 0 4- — sin 0 4т-2н ... = const, а'а12а2*’

откуда имеем

Л1=0; А2 = — noa2cos0o;

В2= —y0a2sin90; 43=52=...=0.

Постоянную величину Bv представим в виде

Г

Теперь потенциал скорости и функции тока можно представить в виде

Гvoa^

ф = vQr cos (0 — 0О) —0 4—~— cos (0 — 0О);

(6.2.7)

Гу0а2

ф = Vor sin (0 — 0О) 4- “27 In г 4— sin(0 —0О).

Отсюда комплексный потенциал искомого течения будет вида

—М . и0а2е^°г । ^ 1п

и) еz 42Нт In z.(6.2.8)

Заметим, что найденное решение задачи содержит ничем не ограниченную постоянную величину В^Г/2^.

Рассмотрим случай, когда Вх=0 или Г=0. Тогда комплексный потенциал имеет вид

д2520о/2д2520о/2(6.2.9)

д2520о/

2

д2520о/

2

Это течение носит название бесциркуляционного обтекания ок

ружности поступательным потоком.

Не нарушая общности рассуждений, можно исследовать бес

циркуляционное обтекание круга поступательным потоком, пред

полагая, что скорость течения в бесконечности направлена вдоль положительного направления оси ж(9о=О). В этом случае комплексный потенциал имеет вид

w = uoz 4- —^— . (о.2.9 )

Рис. 30Рис. 30а-ж2 4 у2а-ж2 4 у2(6.2.10)(6.2.10)Ф = ^о г—) sin 6 = иоу 11 —Ф = ^о г—) sin 6 = иоу 11 —Потенциал скорости и функция тока этого течения будут иметь вид

Рис. 30

Рис. 30

а-

ж2 4 у2

а-

ж2 4 у2

(6.2.10)

(6.2.10)

Ф = ^о г—) sin 6 = иоу 11 —

Ф = ^о г—) sin 6 = иоу 11 —

где х, у — декартовы координаты плоскости, на которой рассматривается течение.

Из вида функции тока следует, что нулевая линия тока распадается на прямую, направленную вдоль оси х^у —0), и окружность, уравнение которой ^2+у2 = а2. Остальные линии тока представляют собой кривые третьего порядка (рис. 30), определяемые уравнением

У (1 —У (1 —а2Я2 + у2 /а2Я2 + у2 /= const.= const.

У (1 —

У (1 —

а2

Я2 + у2 /

а2

Я2 + у2 /

= const.

= const.

Полярные составляющие скорости исследуемого течения найдем по формулам:

8^/ а2 \

4 =1 cos 6;

Т or ° \ Г2 /

(6.2.11)

д^/ а2 \

»ь = ТаГ = ~ М1 + ~) sin6-

Отсюда модуль вектора скорости

и = у0 у (j — 7г) cos20 + ^1 + 7г) sin20 •

Скорость на поверхности цилиндра будет

уг=0; ив =—2z;osin8.(6.2.1Г)

Отсюда следует, что в двух точках цилиндра 6 ^0 и 6=л скорость течения равна нулю.

Такие точки носят название критических точек течения.

При 0 —±л/2 модуль скорости на поверхности цилиндра будет максимален и равен удвоенной скорости набегающего потока: и~2и0.

Рассмотрим теперь случай обтекания цилиндра, когда Г^=0. Этот случай получил название циркуляционного обтекания окружности поступательным потоком.

Предположим, что 0О—0, тогда из (6.2.8) комплексный потенциал циркуляционного обтекания окружности при направлении скорости набегающего потока в бесконечности вдоль оси х будет вида

/1 \ Г

W = ро (2 + —) + 27 In 2.(6.2.12)

Из (6.2.10) найдем потенциал скорости и функцию тока в виде

/л2 \г

Ф — г Нcos 0 — -тг- 6;

° \г )2л

(6,2.13х / а2 \Г'

Ф — ^п г) sin 0 + -Г” In г.

Составляющие скорости рассматриваемого течения будут:

дф / а2 \

vr — -т— = vQ 1 cos 0;

r dr u \ r- )’

(6.2.14)

u6 =— yo ^ + 7г] sm 6 —.

Модуль скорости определим по формуле

/ 71Г 1Г 12~

и=р рЦ1 — ^jcos26 + |v0^l +sine +-g^-j .(6.2.15)

Составляющие скорости на поверхности цилиндра в этом случае будут

и = 0; v. = — 2р0 sin 6 — -5— .(6.2.14х)

Найдем критические точки на поверхности цилиндра. Обозначив 96

через 6^ полярный угол критической точки, будем иметь для ее определения уравнение

Г

2Уо sinfj. + ^^O,

откуда

(6.2.16)

Рис. 32Рис. 32Этому уравнению удовлетворяют два значения 0Л и л—6Д. Таким образом, в общем случае имеются две критические точки, располо-

Рис. 32

Рис. 32

Рис. 31

женные на цилиндре симметрично относительно оси у. или имеется ^ямая, соединяющая критические точки на цилиндре, которая параллельна направлению вектора скорости в бесконечности. Если в последней формуле Г>0, то критические точки будут находиться в нижней полуплоскости. Картина такого течения указана на рис. 31. Если Г<0, то критические точки будут находиться в верхней полуплоскости (рис. 32). Если Г>4лау0, то критические точки на цилиндре отсутствуют, течение будет вида, указанного на рис. 33. Еслп Г=4лар0, то 0^ =—л/2 и течение будет с одной критической точкой, расположенной на поверхности цилиндра (рис. 34).

Как следует из картин течения, изображенных на рис. 31—34, характер обтекания окружности поступательным потоком определяется в основном расположением критических точек течения. Поэтому при рассмотрении общего случая циркуляционного обтекания цилиндра, когда скорость набегающего потока в бесконечности составляет с осью х угол 60, ограничимся только нахождением критических точек.

Обращаясь к формуле (6.2.8), найдем комплексную скорость течения в виде

2kzZ *2kzZ *(6.2.17)

2kzZ *

2kzZ *

Так как -^- = ие а\ где а — угол, который составляет вектор скорости с осью хп то для определения критических точек достаточно найти корни уравнения —=0, т. е.

V—~)-2ГТ = 0’ (62Л8)

Будем искать критические точки, расположенные на поверхности цилиндра, для которых i^ae^. тогда последнее уравнение перепишем в виде

Л' -J- П _ 26,Z _ п

ИЛИИЛИ^(6—OoV _ е-(9-90)/^(6—OoV _ е-(9-90)/П2тг^оа ’П2тг^оа ’

ИЛИ

ИЛИ

^(6—OoV _ е-(9-90)/

^(6—OoV _ е-(9-90)/

П

2тг^оа ’

П

2тг^оа ’

откуда

(6.2.19)(6.2.19)sin (9 — 90) = — -.

(6.2.19)

(6.2.19)

4тси0а

Критические точки будут располагаться на цилиндре, если

|Г|4лу0а|Г|4лу0а<1.<1.

|Г|4лу0а

|Г|4лу0а

<1.

<1.

Обозначив через а наименьший по абсолютной величине угол, определяемый уравнением

Гsin а = —.,

47iv0a

получим для искомых критических точек, углы которых 9t и 92, уравнения:

6Т — 90 = а; 92 — 0о = т:— а, или

^ = а + 90; 02 = к — а + 90.

Обозначив критические точки через отметим их на рис. 35. Из последнего следует, что прямая, соединяющая точки zT и z2, будет параллельна направлению набегающего потока в бесконечности. Таким образом, в общем случае циркуляционного обтекания окружности хорда, соединяющая критические точки, будет параллельна скорости потока в бесконечности.

Так как zt и z2 являются корнями уравнения (6.2.18), то dwldz можно записать в виде

йи)(z — Ч) (z — ч)

-——= уое 0 з.

d,z °z

г^ае^1 и z^ae^6^,г^ае^1 и z^ae^6^,Если критическая точка определяется углом а+6о=О или zx=as то, так как

г^ае^1 и z^ae^6^,

г^ае^1 и z^ae^6^,

2 26OZ

21^2 = — ere 0

при этом z2 — — ae26otпри этом z2 — — ae26otaw+nr - u°e гaw+nr - u°e г(6.2.20)(6.2.20)комплексная скорость принимает вид

при этом z2 — — ae26ot

при этом z2 — — ae26ot

aw+

nr - u°e г

aw+

nr - u°e г

(6.2.20)

(6.2.20)

6. Давлениев поступательномпотоке,обтекающем цилиндр6. Давлениев поступательномпотоке,обтекающем цилиндрРаспределение давления в потоке, обтекающем окружность, определим на основании интеграла Бернулли—Эйлера, который справедлив при стационарном потенциальном течении жидкости. Пусть внешние

6. Давлениев поступательномпотоке,обтекающем цилиндр

6. Давлениев поступательномпотоке,обтекающем цилиндр

силы отсутствуют, тогда этот интеграл запишем в виде

г — const.2 р

(6.2.21)(6.2.21)Постоянную этого интеграла найдем из условий на бесконечности. При поступательном потоке скорость на бесконечности равна р0 и пусть давление на бесконечности будет р0, тогда можем записать

(6.2.21)

(6.2.21)

откудаоткуда

откуда

откуда

Р = Ро + у (уо—У2).(6.2.21;

Подставив в (6.2.21) значение скорости и циркуляционного обтекания окружности по формуле (6.2.15), найдем распределение давления в потоке:

Р " Ро + — ( у2 — ^о (1cos2 6 — f 1 + —1 sin 9 Н——1 !

°2 I 0\ г2 /L \^ /2т:г J j

(6.2.22)

Давление на поверхности цилиндра найдем, положив в последней формуле г=а:

Ра = Ро + vf уо —(2posin0 + T-)T (6.2.23)

(6.2.24)(6.2.24)При бесциркуляционном обтекании цилиндра Г=0, и давление на окружности согласно формул (6.2.22) будет

(6.2.24)

(6.2.24)

Ра = Ро + — I1 — 4 sin20l-

Из формулы (6.2.24) следует, что в критических точках течения 6=0; л давление на поверхности цилиндра будет максимально и равно

(6.2.25)(6.2.25), Р”о

(6.2.25)

(6.2.25)

Ра = Ро + — •

В точках максимальной скорости на окружности, где 6=±~, давление будет минимально и равно

(6.2.26)(6.2.26)Зр^о

(6.2.26)

(6.2.26)

РаРо 2

При циркуляционном обтекании окружности давление в критических точках 6Л, которые удовлетворяют уравнению [см. (6.2.19)1

Из формул (6.2.25) и (6.2.27) следует, что давление в критических точках на окружности при обтекании ее с циркуляцией равно давлению в критических точках на окружности при ее бесциркуляционном обтекании, если скорость потока в бесконечности постоянна.

7. О записи комплексного потенциала7. О записи комплексного потенциалаВ заключение вопроса об обтекании кругового цилиндра поступательным потоком следует обратить внимание на то, что формула

7. О записи комплексного потенциала

7. О записи комплексного потенциала

величинахвеличинахв безразмерных бесциркуляционного обтекания окружности

величинах

величинах

а следовательно, и формула (6.2.18)

могут быть упрощены специальным выбором осей координат и введением безразмерных величин. Действительно, если выбрать ось х направленной вдоль направления поступательного потока, то 60—0. Далее, если скорости всех частиц жидкости отнести к скорости набегающего потока р0, то следует положить у0=1, и если все линейные размеры на плоскости течений отнести к радиусу обтекаемой окружности, то а~1. Следовательно, в указанной системе координат в безразмерных величинах формула (6.2.9) будет иметь вид

(6.2.28)(6.2.28), 1

(6.2.28)

(6.2.28)

w — 2 + — .

Упрощенная по сравнению с предыдущими формула (6.2.28) не играет существенной роли при исследовании одного из простейших случаев течения, исследованных в настоящем параграфе. Однако такого типа упрощения весьма существенны при исследовании более сложных случаев.

§ 3. Обратные краевые задачи

Из вида комплексного потенциала (6.2.8) следует, что циркуляционное обтекание окружности поступательным потоком представ

ляет собой наложение трех течений: посту-

построенияплоскопараллельныхтеченийпостроенияплоскопараллельныхтеченийОбратные задачи нательного потока, имеющего скорость v0>

построенияплоскопараллельныхтечений

построенияплоскопараллельныхтечений

направленную под углом 60 к оси x^wk — —Vq^^1 z)\ диполя, расположенного в начале координат, с осью, направленной под углом

л+60 к оси х, и обладающего моментом M=2Ttvoa2(w^voae9»'™ У вихря, расположенного в начале координат, обладающего напря-

П

женностью Г(гг3—~lnz). Таким образом, краевую задачу о циркуляционном обтекании окружности можно рассматривать как пример наложения потоков. Из сказанного следует, что различные комбинации простейших течений можно интерпретировать как ту или иную краевую задачу. Отсюда можно указать обратный метод решения краевых задач. Именно, рассматривать те или иные комбинации простейших комплексных потенциалов и определять, какой

краевой задаче плоскопараллельного течения это будет соответствовать. Например, уже изученный комплексный потенциал вида (6.2.28), представляющий наложение диполя в бесконечности и диполя, расположенного в начале координат, можно рассматривать как обтекание окружности единичного радиуса диполем, расположенным в начале координат (рис. 36), или обтекание окру ж-

рис 36ности поступательным потоком, как это

указывалось в § 2.

Ряд течений, полученных в результате комбинации простейших течений, будет изучен в настоящем параграфе.

2.Наложение пары источник—сток и поступательного потоканый поток, скорость2.Наложение пары источник—сток и поступательного потоканый поток, скоростьТак как пару источник — сток можно рассматривать как раздвинутый вдоль оси диполь, то, поместив ее в поступательный поток, следует ожидать, что получим обтекание овала. Итак, рассмотрим поступатель- которого направлена вдоль оси х, и пару ис

2.Наложение пары источник—сток и поступательного потока

ный поток, скорость

2.Наложение пары источник—сток и поступательного потока

ный поток, скорость

точник — сток, ось которой направлена в сторону, обратную поступательному течению. Комплексный потенциал такого течения будет

w = i;nz НIn0 2л г —аw = i;nz НIn0 2л г —а(6.3.1)(6.3.1)иметь вид

w = i;nz НIn

0 2л г —а

w = i;nz НIn

0 2л г —а

(6.3.1)

(6.3.1)

где и0— скорость поступательного потока в бесконечности, Q — мощность источника и стока, а — расстояние источника и стока, расположенных на оси х, до начала координат. Упростим формулу (6.3.1), для этого отнесем все скорости исследуемого течения к скорости набегающего потока,т. е. положим у0=1. Все линейные размеры отнесем к расстоянию источника или стока до начала коор-

Q

динат, т. е. положим а=1. Обозначим для компактности ~ ~т, перепишем формулу (6.3.1) в виде

w = z + т In 2 "^ ^ .(6.3.Г)

Функция тока и потенциал скорости течения, как следует из (6.3.Г),

будут, если принять 2 — 1 — rxe^xl и 2 + 1 = г2 е02', определяться равенствами (рис. 37):

ф = у— тп^ —02);

(6.3.2)

q = х + т In — , Г1

где

rx — К(я* —1)2 + ^2; г2 = VT^T^+V.

61 = arccos ~; 62= arccos .

Отсюда уравнение семейства линий тока запишем в виде

—arccos — х —— = const. (6.3.3)

™V (я —1)2 + у2 /(x + 1)2 + i/2

Из последнего равенства следует, что картина течения будет симметрична относительно оси х. Этот результат следует и из физических соображений. Именно, поступательный поток и пара источник — сток с осью, направленной по оси xs симметричны относительно последней. Следовательно, будет симметрично и течение, полученное в результате наложения этих течений, т. е. картина течения будет вида, указанного на рис. 38, из которого следует, что на оси х располагаются две критические точки. Найдем их. Для этого подсчитаем комплексную скорость, которая запишется в виде

(6.3.4)(6.3.4)dw . , 2т— = 1 н.dz1 — z2

(6.3.4)

(6.3.4)

Отсюда уравнение для определения критических точек ^к имеет вид

Ч = *Ч = ± V 1 + 2т .Ч = *Ч = ± V 1 + 2т .(6.3.5)(6.3.5)

Ч = *Ч = ± V 1 + 2т .

Ч = *Ч = ± V 1 + 2т .

(6.3.5)

(6.3.5)

Таким образом, критические точки действительно расположены на оси х симметрично относительно начала координат (как показано на рис. 38), от которого они отстоят на расстоянии }Л 1+2т>1. Из (6.3.3) следует, что через критические точки проходит нулевая

линия тока, которая и определяет форму обтекаемого контура. Запишем уравнение этой линии согласно (6.3.2) в виде

тт(6.3.6)

т

т

Уравнение обтекаемого контура (6.3.6) представляет собой достаточно сложную трансцедентную кривую. Однако можно указать простой прием ее графического построения. Действительно, обращаясь к рис. 37, имеем, что 0!—02 есть угол при вершине С, определяющий у

точку С. Но при заданном ©i—02 или — будет не одна точка С, а совокупность точек, расположенных на окружности (рис. 39), для которой отрезок АВ = 2 служит хордой. Следовательно, заданному значению ух будут соответствовать точки, лежащие на окружности и определяемые углом 0t— 62 = — . Радиус этой окружности т

1. У1sm —1. У1sm —R =-sin (0! — 62)R =-sin (0! — 62)(6.3.7)(6.3.7)будет

1

. У1sm —

1

. У1sm —

R =-

sin (0! — 62)

R =-

sin (0! — 62)

(6.3.7)

(6.3.7)

Чтобы найти xv соответствующее yD где яп уг— координаты точки, лежащей на обтекаемом контуре, надо найти точки пересечения указанной окружности и прямой у=у± (см. рис. 39). Таких точек будет две, как показано на рис. 39. Они определят симметричные относительно у точки обтекаемого контура. Особый интерес представляют эти точки, когда они сливаются в одну, ибо это будут точки, определяющие максимальное значение координаты ут на обтекаемом контуре (см. рис. 38). Запишем уравнение, определяющее ут. Из рис. 39 следует, что в этом случае

Ут = Д+ 7?cos(91 —62),

или, используя (6.3.6) и (6.3.7), имеем

УтУт111 + COS . т )1 + COS . т )

Ут

Ут

1

1

1 + COS . т )

1 + COS . т )

Преобразовав это уравнение, можем записать его в виде

Ctg -^- = Ут- (6.3.8)

В заключение заметим, что овалы, описываемые уравнением (6.3.6), как показывают расчеты, близки к эллипсам и отличаются от них в случае равенства наибольших и наименьших размеров незначительно большей полнотой.

3. Пара вихрейв поступательномпотоке3. Пара вихрейв поступательномпотокеРассмотрим пару вихрей, помещенную в поступательный поток так, что ось пары направлена в сторону, противоположную поступательному потоку. Пусть поступатель

3. Пара вихрейв поступательномпотоке

3. Пара вихрейв поступательномпотоке

ный поток имеет скорость у0) направленную вдоль оси х^ тогда комплексный потенциал течения будет

(6.3.9)(6.3.9)। Г 1 z 4- atw = voz 4In!2tci z — ai

(6.3.9)

(6.3.9)

где z—dzai — точки расположения вихрей, Г — циркуляция вихрей Упростим формулу (6.3.9), положив ий—

= 1, а=1 и -^—т. Тогда w запишется в виде

w = z 4- mi In •(6.3.9')

z 4~ i

Обозначив z — г = r^xl и z + i = r^^ (рис. 40), из (6.3.9) найдем потенциал скорости и функцию тока в виде

<р = ж —т(6х —02);(6.3.10)

ф = у + т In — ,

где

гх = ]/ж2 + (у + I)2 ;r2 = VXй + (у — I)2 ;

= arcsin -LzL£ ; Q2 = arcsin -^^--. rir2

Уравнение семейства линий тока запишем в виде

у + — In —^—^-^—У— — const.(6.3.11)

2 х^ 4- (у 4-1)2

Из этого уравнения следует, что изучаемое течение будет симметричным относительно оси х. Это вытекает и из физических соображений.

Комплексная скорость течения, как следует из (6.3.9'), будет

Отсюда уравнение для определения критических точек zk будет вида

(6.3.13)(6.3.13)z2 4-1 — 2m,z2 4-1

(6.3.13)

(6.3.13)

или

zk = ± ]/ 2т — 1 .

(6.3.13х)

Из формулы (6.3.13') следует, что критические точки лежат на оси х симметрично относительно начала координат, если 2т>>1. Две критические точки сливаются в одну, расположенную в начале координат, если 2т = 1. Если 2т<1, то критические точки расположены на оси у симметрично относительно начала координат и уда

ляются от начала на расстояния, меньшие единицы. При т=0, как следует из (6.3.13'), критические точки отсутствуют.

Картины течения для случаев 2т^>^, 2т—1=8, где е —положительная, но малая величина, 2т = 1 и 2т<<11 изображены соответственно на рис. 41. Если критические точки расположены на оси х, то, как следует из (6.3.11), нулевая линия тока будет проходить через них, и следовательно, определять форму обтекаемого контура, уравнение которого можно записать в виде

(6.3.14)(6.3.14)= in ж2 + (У + I)22 ж2 + (у -1)

(6.3.14)

(6.3.14)

Из этого уравнения х можно выразить как функцию у в явной форме:

X2 =X2 =(у + I)2 ~ (У ~ I)2 е2^(у + I)2 ~ (У ~ I)2 е2^2у/т е — 12у/т е — 1(6.3.14')(6.3.14')

X2 =

X2 =

(у + I)2 ~ (У ~ I)2 е2^

(у + I)2 ~ (У ~ I)2 е2^

2у/т е — 1

2у/т е — 1

(6.3.14')

(6.3.14')

Из этого уравнения следует, что обтекаемый контур будет симметричен относительно осей х и у. Уравнением (6.3.14') можно воспользоваться, чтобы построить обтекаемый контур по точкам.

4. Обтекание окружности источником4. Обтекание окружности источникомБесциркуляционное обтекание окружности радиуса а, которое описывалось в § 2, как говорилось, представляет собой наложение двух диполей. Опираясь на этот результат,

4. Обтекание окружности источником

4. Обтекание окружности источником

можно построить обтекание окружности стоком. Так как диполь можно рассматривать как источник и сток и так как два диполя противоположных знаков в бесконечности и в начале координат дают обтекание окружности, то, заменяя ди

поль в бесконечности источником в

точке z=—b и стоком в бесконечности и заменяя также диполь в начале координат стоком в начале координат и источником в точке 2 =—by iby*<bY можно будет получить обтекание окружности (радиуса меньшего и большего Ъ^ стоком вне ее. Если положить, что мощность указанных источников и стоков одинакова, то течение, вызванное ими, будет описываться комплексным потенциалом

Рис. 42Рис. 422тс2тс(z 4- Ц (2 + Ъу^(z 4- Ц (2 + Ъу^(6.3.15)(6.3.15)вида

Рис. 42

Рис. 42

2тс

2тс

(z 4- Ц (2 + Ъу^

(z 4- Ц (2 + Ъу^

(6.3.15)

(6.3.15)

(6.3.17)(6.3.17)Ф — — In -^1 =const;ГуФ — — In -^1 =const;Гу(6.3.18)(6.3.18)

(6.3.17)

(6.3.17)

Ф — — In -^1 =const;

Гу

Ф — — In -^1 =const;

Гу

(6.3.18)

(6.3.18)

Введем полярные координаты, оси которых расположены вдоль положительного направления оси х и начало находится в точках z=0, z= —by, z=—b (рис. 42). Тогда

г r^9^;2 + by = r^e11;& -\-b = r^al,(6.3.16)

где

rx = ]Ar2 + j/2 ; r2 = К(ж + b^2 + у2; r3 = Р''(^ + b)2 + y2 ;

Пользуясь указанными полярными координатами, формулу (6.3.15) перепишем в виде

w = -5- [in ш +1 (е2 + е3 — epl.2т: I ГI

Следовательно, линии тока и эквипотенциали рассматриваемого течения будут иметь вид

ф = у- (02 + 03 — 0j) = const.

Уравнение семейства линий тока перепишем в виде tg (62 + 63 — 91) = const, или

tg62 + tg63 —tg Ox + tg61tge2tg93 = cousL

1 +tg61tg62 — tgQatgeg + tgextgSx*

Подставив значения tg8x, tgO2 и tg03, придем к уравнению вида

УУ _ У У^

х + Ъх х -Vb х 1 х ^х + b^ (х -|- Ь).

_~"——* С О И Sv.

1 +JL у _ у - У _ - + у у

х х + bL х + by х + b х 4-6 х

Умножив числитель и знаменатель последнего выражения на ^(z+bj^+b), найдем уравнение нулевой линии тока в виде

y^+b^x+yx^x+b^—y^x-Vb^x-Y-+Ь)+У3=0,

ИЛИ

у^+^-^^О.(6.3.19)

Рис. 43Таким образом, нулевая линия то

ка распадается на прямую (у=0) и окружность зс^+у^ — Ь^. При заданном расположении источника (z=— b) можно задать радиус указанной выше окружности а—-^bLb. Тогда источник внутри окружности будет расположен в точке z= = — b^a^/b.

Картина течения, вызванного комплексным потенциалом (6.3.15), изображена на рис. 43. Приняв окружность нулевой линии тока этого течения в качестве твердой стенки, получим, что рассматриваемое течение определяет обтекание источником окружности радиуса t^bb^a.

Если источник вне окружности расположен в произвольной точке т.^г^»1, то внутри окружности соответствующий источник будет -1 W 1

расположен в точке z =—е =—, и обтекание окружности °го20

источником определяется комплексным потенциалом вида

/а2 \

(z — z0) z — -^-о\z° /

w — — In .(6.3.20)

2лz

Это течение отличается от рассмотренного выше только поворотом осей координат. Точки гои a2/ z называются инверсными относительно

окружности радиуса а. Если задана точка z0, то можно указать простой геометрический прием построения точки a2/ z0. Действительно, проведем из точки и0 касательные к окружности радиуса а и соединим точки касания прямой; пересечение ее с прямой, соединяющей z0 и центр окружности, определит точку a2/ z0 (рис. 44). В последнем можно убедиться, рассматривая прямоугольные треугольники, изображенные на рис. 44.

Подводя итоги сказанному, можно указать правило построения комплексного потенциала. определяющего обтекание окружности источником*, надо источники равных мощностей расположить в инверсных точках относительно окружности и сток в центре окружности. Меняя в указанной картине источники и стоки соответственно на стоки и источники, будем получать обтекание окружности стоком.

Пользуясь комплексным потенциалом (6.3.1), определим комплексную скорость течения в виде

dw dzdw dzz?* — а2z?* — а2_ /а2а2z2 z + b + — +\02_ /а2а2z2 z + b + — +\02а2а2а22 4-— +&4- — zbа2а2а22 4-— +&4- — zb(6.3.21)(6.3.21)

dw dz

dw dz

z?* — а2

z?* — а2

_ /а2а2

z2 z + b + — +

\02

_ /а2а2

z2 z + b + — +

\02

а2

а2а2

2 4-— +&4- — zb

а2

а2а2

2 4-— +&4- — zb

(6.3.21)

(6.3.21)

откуда следует, что точки z=±fl, лежащие на окружности, будут критическими.

Чтобы найти распределение скоростей вдоль окружности, подставим в (6.3.21) z—ae. тогда

(6.3.22)(6.3.22)

(6.3.22)

(6.3.22)

е 6* 2Z sin О

а2

2а cos 9 + Ь 4- —£-

Отсюда модуль скорости на поверхности окружности будет равен

и —и —(6.3.23)(6.3.23)2 sin 9

и —

и —

(6.3.23)

(6.3.23)

а2

2а cos 0 4- Ь + —b

Чтобы найти точку 9М максимальной скорости на окружности, приравняем нулю производную от (6.3.23) по 6:

2cos6 ^2cos6 ^г2г2sin 9 = 0,sin 9 = 0,

2cos6 ^

2cos6 ^

г2

г2

sin 9 = 0,

sin 9 = 0,

откуда

cos 9М =cos 9М =2аъ2аъ2аЬЬ2 4- &22аЬЬ2 4- &2(6.3.24)(6.3.24)Так как а<;Ь, то — <1, — <Ь и b-V —<2Ь. Следовательно,b bьcos 90 > cos 9М, т. е. 9М находятся во второй и третьей четвертях окружности и располагаются в диапазоне (рис. 45).Так как а<;Ь, то — <1, — <Ь и b-V —<2Ь. Следовательно,b bьcos 90 > cos 9М, т. е. 9М находятся во второй и третьей четвертях окружности и располагаются в диапазоне (рис. 45).9о 2> 9М >.9о 2> 9М >.(6.3.25)(6.3.25)Если на рассматриваемое течение (6.3.15) наложить вихрь, расположенный в начале координат, то получим циркуляционное обтекание окружности источником.Если на рассматриваемое течение (6.3.15) наложить вихрь, расположенный в начале координат, то получим циркуляционное обтекание окружности источником.5. Обтеканиеокружности вихрем5. Обтеканиеокружности вихремЗаменяя в предыдущей задаче [см. (6.3.15)1 источники и стоки вихрями, можно получить бесциркуляционное обтекание окружностиЗаменяя в предыдущей задаче [см. (6.3.15)1 источники и стоки вихрями, можно получить бесциркуляционное обтекание окружностивихрем (рис. 46), причем из геометрических соображений следует, что надо взять вихри противоположных знаков в инверсных относительно окружности точках и вихрь в начале координат того же знака, что вихрь вне окружности. Положив напряжение всех вихрей равными, комплексный потенциал рассматриваемого течения запишем в видевихрем (рис. 46), причем из геометрических соображений следует, что надо взять вихри противоположных знаков в инверсных относительно окружности точках и вихрь в начале координат того же знака, что вихрь вне окружности. Положив напряжение всех вихрей равными, комплексный потенциал рассматриваемого течения запишем в видеW =W =~ In2тс/~ In2тс/Z (Z 4- ^)Z (Z 4- ^)а2 г+та2 г+т(6.3.26)(6.3.26)Используя формулы (6.3.16), функцию чения запишем в видеИспользуя формулы (6.3.16), функцию чения запишем в видетока рассматриваемого те-тока рассматриваемого те-ib = In -^- .ib = In -^- .(6.3.27)(6.3.27)

cos 9М =

cos 9М =

2а

ъ

2а

ъ

2аЬ

Ь2 4- &2

2аЬ

Ь2 4- &2

(6.3.24)

(6.3.24)

Так как а<;Ь, то — <1, — <Ь и b-V —<2Ь. Следовательно,b bь

cos 90 > cos 9М, т. е. 9М находятся во второй и третьей четвертях окружности и располагаются в диапазоне (рис. 45).

Так как а<;Ь, то — <1, — <Ь и b-V —<2Ь. Следовательно,b bь

cos 90 > cos 9М, т. е. 9М находятся во второй и третьей четвертях окружности и располагаются в диапазоне (рис. 45).

9о 2> 9М >.

9о 2> 9М >.

(6.3.25)

(6.3.25)

Если на рассматриваемое течение (6.3.15) наложить вихрь, расположенный в начале координат, то получим циркуляционное обтекание окружности источником.

Если на рассматриваемое течение (6.3.15) наложить вихрь, расположенный в начале координат, то получим циркуляционное обтекание окружности источником.

5. Обтеканиеокружности вихрем

5. Обтеканиеокружности вихрем

Заменяя в предыдущей задаче [см. (6.3.15)1 источники и стоки вихрями, можно получить бесциркуляционное обтекание окружности

Заменяя в предыдущей задаче [см. (6.3.15)1 источники и стоки вихрями, можно получить бесциркуляционное обтекание окружности

вихрем (рис. 46), причем из геометрических соображений следует, что надо взять вихри противоположных знаков в инверсных относительно окружности точках и вихрь в начале координат того же знака, что вихрь вне окружности. Положив напряжение всех вихрей равными, комплексный потенциал рассматриваемого течения запишем в виде

вихрем (рис. 46), причем из геометрических соображений следует, что надо взять вихри противоположных знаков в инверсных относительно окружности точках и вихрь в начале координат того же знака, что вихрь вне окружности. Положив напряжение всех вихрей равными, комплексный потенциал рассматриваемого течения запишем в виде

W =

W =

~ In

2тс/

~ In

2тс/

Z (Z 4- ^)

Z (Z 4- ^)

а2 г+т

а2 г+т

(6.3.26)

(6.3.26)

Используя формулы (6.3.16), функцию чения запишем в виде

Используя формулы (6.3.16), функцию чения запишем в виде

тока рассматриваемого те-

тока рассматриваемого те-

ib = In -^- .

ib = In -^- .

(6.3.27)

(6.3.27)

^2^2X + — + у2X + — + у2(6.3.28)(6.3.28)(6.3.29)(6.3.29)Отсюда семейство линий тока будет определяться уравнением

^2

^2

X + — + у2

X + — + у2

(6.3.28)

(6.3.28)

(6.3.29)

(6.3.29)

г| г^ (Ж2 + у2) [(я: Н-6)2 + У2]’

где С — произвольная постоянная.

Обозначив для краткости

x2-Vy2 —г2, г2—a2=z2, перепишем уравнение (6.3.28) в виде

г2 + 2 -^х + ^ - сг2 (г2 + 2^ + Ь2^

или

z2 + — (b2 + 2Ьх + а2) - с (z2 + a2) (z2 + а2 + 2b х + 6). д2

Обозначив далее

(6.3.30)(6.3.30)а2+Ь2+2Ьа;=:и,

(6.3.30)

(6.3.30)

последнее равенство перепишем в виде

Z2 _|_ ^ и с (^2 _|_ а^ (г2 _|_ и^(6.3,28')

или

z2 [с (z + а2 + ^) — 1] = ^2^ (~-•

\ 62/

1

Положив в последнем равенстве с=т~ и использовав обозначения 02

и (6.3.30), придем к уравнению, определяющему одну из линий тока рассматриваемого течения:

(я2+у2—а2)(я2+^2+2^^(6.3.31)

т. е. линия тока распадается на две окружности:

^24_у2==а2; (жЦ-^а+^^ь2—а2.(6.3.32)

Выбрав одну из этих окружностей в качестве непроницаемой границы получим бесциркуляционное обтекание окружности вихрем. Координаты точек пересечения окружностей (6.3.32) будут: х =—;

ь

у = zh — V Ь2 — а2 . Отсюда, на основании предыдущего, эти точки ь

определяются касательными, проведенными из центра вихря, расположенного вне окружности, к окружности, которую он обтекает. Указанные точки пересечения окружностей будут критическими

точками течения. Помимо указанных вихрей, помещая в начало координат вихрь того или иного знака и напряжения, будем получать циркуляционное обтекание окружности. В частности, если вихрь в начале координат компенсировать вихрем противоположного знака, то получим течение, вызванное двумя вихрями равного напряжения и противоположных знаков, которое называется парой вихрей и определяется в общем виде следующим комплексным потенциалом:

= Л In .(6.3.33)

2тс/ 2 z2

Рис. 47Рис. 47Картина этого течения изображена на рис. 47.

Рис. 47

Рис. 47

Если рассмотреть течение, которое описывается суммой комплексных потенциалов (6.3.15) и (6.3.26), то получим картину обтекания окружности вихреисточником.

Подводя итоги настоящему параграфу, следует заметить, что подбор особых точек течения, базирующийся на соображениях физической природы

этих особых точек, позволяет строить плоскопараллельное обтекание тел, форму которых в общих чертах можно предсказать заранее.

Применение метода конформных преобразований к построению плоских течений

Метод конформного преобразования плоскости и, в которой происходит заданное движение жидкости, позволяет строить течения с ,другими граничными условиями в плоскостях

Вводные замечания 1

“zn z2, ..., что значительно расширяет круг за

дач плоских течений. Применение метода конформных преобразований и иллюстрируется в настоящем параграфе. В качестве исходного движения при этом берутся произвольные течения вне окружности или в полуплоскости.

2. Теоремаоб окружности2. Теоремаоб окружностиВо всех течениях, рассмотренных в настоящей главе, обращает на себя внимание тот факт, что обтекание окружности диполем,

2. Теоремаоб окружности

2. Теоремаоб окружности

расположенным в бесконечности, источником и вихрем, расположенных в конечных точках плоскости, можно построить, если внутри окружности поместить заданные вне ее особенности. Причем точки расположения особенностей вне окружности и внутри нее будут удовлетворять равенству

Р1Р2 = «2,

где рп р2— расстояния особой точки вне окружности и внутри нее до центра окружности, а — радиус окружности.

Рис. 48Рис. 48но мнимая напряженность ихно мнимая напряженность их11а2а20т = — 0.0т = — 0.

Рис. 48

Рис. 48

но мнимая напряженность их

но мнимая напряженность их

1

1

а2

а2

0т = — 0.

0т = — 0.

Такие точки называются инверсными относительно окружности.

Обобщая этот результат, можно высказать следующую общую теорему: обтекание окружности течением, вызванным любыми особыми точками, лежащими вне ее, описывается комплексным потенциалом, который содержит все заданные особые точки и те же особенности, расположенные соответственно в инверсных относительно окружности точках, причем коэффициенты особых точек, располо

женных внутри окружности, меняют знак при г на обратный, по сравнению с коэффициентами заданных особенностей.

Построим на основании высказанной теоремы комплексный потенциал, описывающий течение вне окружности. Пусть /(z) будет комплексным потенциалом течения, которое определяется особыми точками, расположенными вне окружности радиуса а. Точки ^—ге^1 пусть будут расположены в области вне окружности (рис. 48). Построим комплексный потенциал /^Z}), где zT находится внутри окружности радиуса а. Пусть /^zj имеет особые точки, что и /(z), противоположна, тогда

A(zi)—/(zi)-

Найдем теперь зависимость 2г от z такую, чтобы точке вне окружности соответствовала инверсная ей точка z01, лежащая внутри окружности. Для этого воспользуемся конформным преобразованием плоскости z в zx вида

(6.4.1)

или

М а2 — ^rxe = — ег

(6.4.Г)

Из этого преобразования следует, что ось ух направлена противоположно оси у (см. рис. 48) и отсчет углов 9г и 9 диаметрально противоположен. Таким образом, конформное преобразование (6.4.1) переводит точку z0 в точку z01, причем z01 и z0 лежат на одном и том же луче, выходящем из начала координат под углом 9 либо —9V Из а2

сказанного следует, что функция /(^~) имеет особые точки, располо-

ИЗИЗ5—168

ИЗ

ИЗ

женные инверсным ооразом относительно окружности радиуса а, такие же, как и функция f^. Согласно сформулированной теореме комплексный потенциал, описывающий обтекание окружности, будет вида

to = /(z) 4. /(—Vto = /(z) 4. /(—V(6.4.2)(6.4.2)

to = /(z) 4. /(—V

to = /(z) 4. /(—V

(6.4.2)

(6.4.2)

Докажем формальным образом справедливость формулы (6.4.2). Для этого достаточно показать, что окружность является линией тока комплексного потенциала (6.4.2). Так как на окружности

ez fl2_

z — ае t — — ае = z, то

Иг=а = / (Z) + 7 (Я •

Так как последнее выражение действительно, то доказано, что ф=0 на окружности и (6.4.2) описывает ее обтекание.

Сформулированную и записанную в виде формулы (6.4.2) теорему, следуя Милн Томсону, называют теоремой об окружности. Покажем, что изученные ранее случаи обтекания окружности диполем в бесконечности, источником и вихрем можно получить как частный случай формулы (6.4.2).

Действительно, при / (z) = roz, / — =—- и w — v0 z -|,

\ 2 ) Z\Z )

е. получаем комплексный потенциал бесциркуляционного обтекания окружности.

При /(z)=mln(z—zj

/ ( —) — mlnzTJ = т In4 In| z) 4- In(— zj .

z jу Z j L 2\I

Последний член, как постоянная в выражении комплексного потенциала, может быть откинут. Следовательно,

ю = т In (z — z^ 4- т In I z — —I — m In z.(6.4.3)

\ ч )

При m действительном полученный комплексный потенциал описывает обтекание окружности стоком; при т чисто мнимом — бесциркуляционное обтекание окружности вихрем; при т комплексном— обтекание окружности вихреисточником.

Теорему об окружности можно рассматривать не только как обтекание окружности внешним потоком, но и как обтекание окружности внутренним потоком. Этот поток будет создан особыми точками, расположенными внутри окружности, причем суммарная напряженность источников и суммарная напряженность вихрей этого потока будут равны нулю.

3. Теорема о прямой Аналогично обтеканию окружности можно построить обтекание прямой. Действительно, пусть задана функция /(z), определяющая течение, особые точки которого расположены в верхней полуплоскости. Построим функцию /1(^1), особые точки которой те же, что и у /(z), расположены симметрично относительно х заданным точкам. Пусть коэффициенты при построенных точках сопряжены коэффициентам соответствующих особых точек /(z). Тогда комплексный потенциал /(z)+/i(21) будет определять обтекание оси х. т. е.

(6.4.4)(6.4.4)w =f^ +/1(Z1) =/(z) +/(z),

(6.4.4)

(6.4.4)

где /!=/ и zx=z расположены в нижней полуплоскости (рис. 49).

Докажем, что комплексный потенциал (6.4.4) в качестве линии тока имеет ось х. На последней z действительно, и тогда

(1Р)у_о=/(ж)— К^=0-

Следовательно, ось x будет нулевой линией тока и (6.4.4) действительно описывает обтекание прямой.

w=t^— ia) +/(z” *a) •w=t^— ia) +/(z” *a) •(6.4.5)(6.4.5)Рис. 49Рис. 49Если обтекаемая прямая параллельна оси х и находится от нее на расстоянии а (рис. 50), то комплексный потенциал течения будет вида

w=t^— ia) +/(z” *a) •

w=t^— ia) +/(z” *a) •

(6.4.5)

(6.4.5)

Рис. 49

Рис. 49

Если прямая, которая обтекается, повернута относительно оси х на угол 90 (рис. 51), то комплексный потенциал этого течения будет

(6.4.6)(6.4.6)Рис. 50Рис. 50Рис. 51Рис. 51

(6.4.6)

(6.4.6)

Рис. 50

Рис. 50

Рис. 51

Рис. 51

Наконец, если прямая, которая обтекается, пересекает ось у в точке at и наклонена к оси х под углом 90 (рис. 52), тогда комплексный потенциал такого течения будет

^ = / [ e~V (z — ia)] + / [ е~м (z — ia)].(6.4.7)

Построенное обтекание прямой течениями, обладающими произвольными особыми точками, можно назвать теоремой о прямой.

В частном случае, если t^^rnY^—^ обтекание прямой, совпадающей с осью ж, будет иметь комплексный потенциал

w=mln(z—z0) 4- ^ln(z—z0). (6.4.8)

Если m действительно, то (6.4.8) представляет собой обтекание прямой источником. Картина этого течения изображена на рис. 53. При тп чисто мнимом (6.4.8) представляет обтекание оси х вихрем. Если рассматривать всю плоскость z, то это будет течение, созданное парой вихрей, изученное в гл. 6, § 1, п. 7. Если тп комплексно, то (6.4.8) определяет обтекание прямой вихреисточником.

Обтекание прямой диполем, ось которого расположена вдоль оси у. описывается комплексным потенциалом вида

W =+ -^-.(6.4.9)

z — bi z + bi

Чтобы получить обтекание прямой диполем в бесконечности, следует согласно формуле (6.4.9) расположить два диполя, противоположно ориентированных в бесконечности. Но такой предельный случай будет соответствовать квадруполю в бесконечности, комплексный потенциал которого

w —тпт,^.(6.4.10)

Это течение представляет собой обтекание прямой диполем, расположенным в бесконечности.

кости.4. Об обтекании произвольного контуракости.4. Об обтекании произвольного контураВ заключение следует заметить, что течения, ограниченные прямой, можно рассматривать как в одной, так и в другой полуплос

кости.

4. Об обтекании произвольного контура

кости.

4. Об обтекании произвольного контура

Если известно течение в плоскости z, заданное комплексным потенциалом

w=/(z),(6.4.11)

то конформное преобразование плоскости £ в плоскость Z

к-Е^(6.4.12)

позволяет построить

го будет вида

новое течение, комплексный потенциал которо

w^VF^Y

(6.4.13)

Так как при конформном преобразовании линии тока переходят в линии тока, то непроницаемые стенки, ограничивающие течение (6.4.11), перейдут в новые границы, ограничивающие течение (6.4.13). Далее, так как при конформном преобразовании сохраняются особые точки течения, то (6.4.13) будет комплексным потенциалом течения, описывающим обтекание новых границ старым потоком, который задается особыми точками (6.4.11).

(6.4.12')(6.4.12')В ряде случаев преобразование плоскости £ в плоскость z задается функцией, обратной (6.4.12):

(6.4.12')

(6.4.12')

£=^),

где F осуществляет конформное преобразование плоскости z в плоскости £.

Совокупность соотношений

w—f(^ и £=F(z)(6.4.14)

можно рассматривать как параметрическое задание течения (6.4.13).

Если в качестве (6.4.11) выбрать обтекание окружности (6.4.2) и если (6.4.12) или (6.4.12') осуществляет преобразование окружности в какой-либо контур, то обтекание последнего течением, обладающим теми же особенностями, что и течение, обтекающее окружность, будет описываться комплексным потенциалом

^ = /[^(01 + /(6.4.15)

Так как принципиально при конформном преобразовании из окружности можно получить любой контур, то (6.4.15) представляет собой комплексный потенциал, который описывает обтекание произвольным потоком произвольного контура, где F^) осуществляет конформное преобразование плоскости £ в плоскость z, при котором заданный контур переходит в окружность.

Используем приведенные рассуждения для 5. Обтекание эллипса построения комплексного потенциала, описывающего обтекание эллипса. Конформное преобразование плоскости z в плоскость £ вида

C = C(Z +(6.4.16)

(где с — постоянная) переводит окружность радиуса а в плоскости z в эллипс плоскости £. Действительно, точки, лежащие на окружности, определяются следующим z:

z=ae^.^AAl^

Эти точки на плоскости £ переходят в точки, определяемые соотношением

£ = 6 + i^ = с (а Д- — cos 9 + ic (а—sin 9. (6.4.18) X аX а

Отсюда следует, что координаты Н, ц, плоскости £, соответствующие на плоскости z точкам окружности, удовлетворяют уравнению эллипса вида (рис. 54)Отсюда следует, что координаты Н, ц, плоскости £, соответствующие на плоскости z точкам окружности, удовлетворяют уравнению эллипса вида (рис. 54)(6.4.183(6.4.183Эллипс вырождается в отрезок прямой длины 4с, симметрично расположенный относительно начала координат при a—V В дальнейшем будем рассматривать а>1.Из (6.4.183 следует, что большая полуось эллипса А. его меньшая полуось Б, половина фокусного расстояния С и эксцентриситет е определяются равенствами:Эллипс вырождается в отрезок прямой длины 4с, симметрично расположенный относительно начала координат при a—V В дальнейшем будем рассматривать а>1.Из (6.4.183 следует, что большая полуось эллипса А. его меньшая полуось Б, половина фокусного расстояния С и эксцентриситет е определяются равенствами:\1 \а 3); В = с ( а1а )\ а у;\1 \а 3); В = с ( а1а )\ а у;С — 2с;С — 2с;С 2а е = — —Л а2 + 1С 2а е = — —Л а2 + 1(6.4.19)(6.4.19)Чтобы в плоскости £ получить эллипс, эксцентриситет которого е и большая полуось А заданы, следует положить в формуле (6.4.16)Чтобы в плоскости £ получить эллипс, эксцентриситет которого е и большая полуось А заданы, следует положить в формуле (6.4.16)1 + /1 — е2 .Ле ' с— 1'« +— а1 + /1 — е2 .Ле ' с— 1'« +— а(6.4.193(6.4.193Таким образом, преобразование (6.4.16) осуществляет переход окружности, расположенной в плоскости z, в произвольный эллипс, расположенный в плоскости £.Согласно формулам (6.4.14) и (6.4.15) обтекание эллипса или в частном случае прямой будет описываться следующим комплексным потенциалом, записанным в параметрическом виде:^ = /(z) + 7(y)'> + (6Л,20)где особые точки / определяют характер течения. Например, обтекание эллипса поступательным потоком (диполем в бесконечности), направленным под углом 60 к оси я, будет описываться равенствами:Таким образом, преобразование (6.4.16) осуществляет переход окружности, расположенной в плоскости z, в произвольный эллипс, расположенный в плоскости £.Согласно формулам (6.4.14) и (6.4.15) обтекание эллипса или в частном случае прямой будет описываться следующим комплексным потенциалом, записанным в параметрическом виде:^ = /(z) + 7(y)'> + (6Л,20)где особые точки / определяют характер течения. Например, обтекание эллипса поступательным потоком (диполем в бесконечности), направленным под углом 60 к оси я, будет описываться равенствами:w = и^е е°'w = и^е е°'

Отсюда следует, что координаты Н, ц, плоскости £, соответствующие на плоскости z точкам окружности, удовлетворяют уравнению эллипса вида (рис. 54)

Отсюда следует, что координаты Н, ц, плоскости £, соответствующие на плоскости z точкам окружности, удовлетворяют уравнению эллипса вида (рис. 54)

(6.4.183

(6.4.183

Эллипс вырождается в отрезок прямой длины 4с, симметрично расположенный относительно начала координат при a—V В дальнейшем будем рассматривать а>1.

Из (6.4.183 следует, что большая полуось эллипса А. его меньшая полуось Б, половина фокусного расстояния С и эксцентриситет е определяются равенствами:

Эллипс вырождается в отрезок прямой длины 4с, симметрично расположенный относительно начала координат при a—V В дальнейшем будем рассматривать а>1.

Из (6.4.183 следует, что большая полуось эллипса А. его меньшая полуось Б, половина фокусного расстояния С и эксцентриситет е определяются равенствами:

\1 \

а 3); В = с ( а1

а )\ а у;

\1 \

а 3); В = с ( а1

а )\ а у;

С — 2с;

С — 2с;

С 2а е = — —

Л а2 + 1

С 2а е = — —

Л а2 + 1

(6.4.19)

(6.4.19)

Чтобы в плоскости £ получить эллипс, эксцентриситет которого е и большая полуось А заданы, следует положить в формуле (6.4.16)

Чтобы в плоскости £ получить эллипс, эксцентриситет которого е и большая полуось А заданы, следует положить в формуле (6.4.16)

1 + /1 — е2 .Л

е ' с— 1'

« +— а

1 + /1 — е2 .Л

е ' с— 1'

« +— а

(6.4.193

(6.4.193

Таким образом, преобразование (6.4.16) осуществляет переход окружности, расположенной в плоскости z, в произвольный эллипс, расположенный в плоскости £.

Согласно формулам (6.4.14) и (6.4.15) обтекание эллипса или в частном случае прямой будет описываться следующим комплексным потенциалом, записанным в параметрическом виде:

^ = /(z) + 7(y)'> + (6Л,20)

где особые точки / определяют характер течения. Например, обтекание эллипса поступательным потоком (диполем в бесконечности), направленным под углом 60 к оси я, будет описываться равенствами:

Таким образом, преобразование (6.4.16) осуществляет переход окружности, расположенной в плоскости z, в произвольный эллипс, расположенный в плоскости £.

Согласно формулам (6.4.14) и (6.4.15) обтекание эллипса или в частном случае прямой будет описываться следующим комплексным потенциалом, записанным в параметрическом виде:

^ = /(z) + 7(y)'> + (6Л,20)

где особые точки / определяют характер течения. Например, обтекание эллипса поступательным потоком (диполем в бесконечности), направленным под углом 60 к оси я, будет описываться равенствами:

w = и^е е°'

w = и^е е°'

^ = c(z-V-L\

\2 /

6. Обтеканиенекоторых кривыхтретьего порядка6. Обтеканиенекоторых кривыхтретьего порядкагдегдеw=f(z—ia) +/(z— ia),w=f(z—ia) +/(z— ia),(6.4.21)(6.4.21)

6. Обтеканиенекоторых кривыхтретьего порядка

6. Обтеканиенекоторых кривыхтретьего порядка

где

где

w=f(z—ia) +/(z— ia),

w=f(z—ia) +/(z— ia),

(6.4.21)

(6.4.21)

Используем общие положения об обтекании произвольного контура в следующем конкретном случае. Пусть течение описывается соотношением

Конформное преобразование плоскости z в плоскость £ (6.4.21) переводит прямые плоскости z, параллельные оси х. в кривые третьего порядка плоскости £. Действительно, из (6.4.21) следует

^ + ^ = — (? +^ + ^ = — (? +S2 + Ч2 / ’S2 + Ч2 / ’

^ + ^ = — (? +

^ + ^ = — (? +

S2 + Ч2 / ’

S2 + Ч2 / ’

откуда (рис. 55) при у=а

(6.4.22)(6.4.22)у,*— ае

(6.4.22)

(6.4.22)

+ Tj2

Так как комплексный потенциал (6.4.21) в плоскости z определяет обтекание прямой у=а, то в плоскости £ он будет описывать обте-

кание кривых третьего порядка (6.4.22). Через £ этот потенциал записывается в виде

Рис» 56Рис» 56соотношениями:соотношениями:7. Обтеканиепараболы7. Обтеканиепараболы

Рис» 56

Рис» 56

соотношениями:

соотношениями:

7. Обтеканиепараболы

7. Обтеканиепараболы

Если а=0, то из (6.4.22) следует, что (6.4.2Г) определяет обтекание полуплоскости, ограниченной прямой т]=0 и окружностью, уравнение которой £2+^2=1 (рис. 56).

Пусть течение описывается следующими

w =f(z—ai) +/(z—at);(6.4.23)

£ = Z2, ИЛИ Z = V£.

Из (6.4.23) следует, что, если обозначить £ = pcw, z^re^ то

г=Ур, 9 = -у;

^УГсозА (6Л24>

У —Ур sin -у-.

Отсюда имеем, что обтекание прямой в плоскости z переходит в плоскости £ в обтекание кривой (рис. 57), которая описывается уравнением

]/р sin~- = a. (6.4.25)

Преобразуем это уравнение, вводя декартовы координаты. Так как

р sin2 = X- (1 — cos &),

то (6.4.25) перепишем в виде

у v-W fi-=2а^\ Ке2 + ч2 /

т. е. получим уравнение параболы

(6.4.25')

Таким образом, соотношения (6.4.23) описывают обтекание парабол (см. рис. 57). В предельном случае, когда а—О (6.4.23) описывает обтекание полупрямой в плоскости £, ибо, [см. (6.4.24)], ось х на плоскости 2 переходит на плоскости £ в положительную часть оси £.

8. ОбтеканиеРассмотрим далее течение, которое описы-

гиперболывается соотношениями*.

w=j^—af)+/(z-—аг),(6.4.26)

Отсюда

При у—О

g-О, л-0;(6.4.27)

при у—а

ал

^-2 *(6-4-27)

Таким образом, ось х в плоскости 2 переходит на плоскости £ в стороны прямого угла, ограниченного £—О, л^О, и прямые z/—а в плоскости z переходят в равнобокие гиперболы в плоскости £ (рис. 58). Следовательно, (6.4.26) описывает обтекание гиперболы и в предельном случае при а—0 — обтекание прямого угла в плоскости £.

Чтобы получить обтекание любого угла, следует в (6.4.26) преобразование 2—£2 заменить преобразованием 2—£”. Например, при п ?) угол 0^6<^л на плоскости £ перейдет в угол 0^у<л/3 на плос-

atat

at

at

кости С и, следовательно, аналогично тому, как это указано выше строится обтекание угла в 60°. Прямые у~а на плоскости z при этом преобразовании перейдут в гиперболы на плоскости £ (рис. 59), асимптотами которой будут прямые, расположенные под углом 60е.

9. Теченияvnvtni z, в wwvnuviD и, >на многолистныхг 1 / .1поверхностях6 — “Т” I 2 “г9. Теченияvnvtni z, в wwvnuviD и, >на многолистныхг 1 / .1поверхностях6 — “Т” I 2 “гПреобразование, указанное Жуковским, плоскости z в плоскость £, которое имеет вид

9. Теченияvnvtni z, в wwvnuviD и, >

на многолистныхг 1 / .1

поверхностях6 — “Т” I 2 “г

9. Теченияvnvtni z, в wwvnuviD и, >

на многолистныхг 1 / .1

поверхностях6 — “Т” I 2 “г

поверхностяхь — 2 \‘ z /

переводит точки вне окружности единичного радиуса в точки всей плоскости и точки, лежащие внутри окружности — в точки, заполняющие всю плоскость. Таким образом, приведенное преобразование переводит плоскость z в два листа плоскости g.

Та же картина имеет место при преобразовании вида

т. е. плоскости z будут соответствовать два листа плоскости £.

Из сказанного можно заключить, что если задано течение на всей плоскости z, то ему на плоскости £ будет соответствовать течение на двух листах.

Например, если течение в плоскости z определяется комплексным потенциалом

w^mln z,

где тп действительно, то при конформном отображении g = И2+"7) источник в начале координат плоскости z перейдет в источник, расположенный в бесконечности на одном листе, и на другом листе в бесконечности будет расположен сток. Жидкость с одного листа на другой будет перетекать через разрез вдоль оси g на плоскости g, в который переходит окружность единичного радиуса плоскости z. Так кат

то линии тока источника (0 = 0О) перейдут на плоскости g в линии, определяемые уравнениями:

^ Y(r + T)cos0°:

1 /1 \

тк = — гsinO,

2 \г )1

исключив из которых г, найдем уравнение линий тока на плоскости g;

Таким образом, источнику на плоскости z будет на листах плоскости g соответствовать течение, представляющее собой вытекание или

10. Определение пэля скоростей10. Определение пэля скоростейРис. 60Рис. 60-^ = ^HF®y,dC, ds,-^ = ^HF®y,dC, ds,(6.4.31)(6.4.31)dwHEdwHEdz dz1dz dz1(6.4.31')(6.4.31')

10. Определение пэля скоростей

10. Определение пэля скоростей

Рис. 60

Рис. 60

-^ = ^HF®y,dC, ds,

-^ = ^HF®y,dC, ds,

(6.4.31)

(6.4.31)

dw

HE

dw

HE

dz dz1

dz dz1

(6.4.31')

(6.4.31')

втекание жидкости из разреза вдоль гипербол (6.4.28), как это изображено на рис. 60.

В заключение настоящего параграфа ука-

жем, как определяется поле скоростей на плоскости С, если течение определяется ком-

плексным потенциалом

w=f(z)(6.4.29)

и z связано с £ соотношением

z=F(£), или g^F^z), (6.4.30)

где F и Рг — некоторые функции, осуществляющие соответственно конформное отображение плоскости £ на z и, наоборот, плоскости z на £.

Так как комплексную скорость на плоскости £ можно записать в виде

dw dw dz

1т " dz 1

то согласно формулам (6.4.29) и

(6.4.30) имеем

Из формулы (6.4.31) можно определить скорость течения в точках плоскости £, а из формулы (6.4.3Г) — скорость течения в плоскости

если задавать точки z и находить соответствующие точки £.

11. Обтеканиепластинкипоступательнымпотоком11. ОбтеканиепластинкипоступательнымпотокомВ качестве примера рассмотрим циркуляционное обтекание поступательным потоком отрезка прямой (или бесконечной пластинки). Пусть пластинка расположена в

11. Обтеканиепластинкипоступательнымпотоком

11. Обтеканиепластинкипоступательнымпотоком

плоскости £, а вспомогательная окружность — в плоскости z (рис. 61). Из (6.4.20) следует, что течение,

обтекающее пластинку, можно описать следующим комплексным

потенциалом, представленным в параметрическом виде

(6.4.32)(6.4.32)

(6.4.32)

(6.4.32)

Из (6.4.32) следует, что точки Л, В окружности в плоскости z переходят в точки Л, В отрезка прямой, расположенного в плоскости £ (см. рис. 61). Комплексная скорость потока, обтекающего пластинку, на основании формулы (6.4.31) будет вычисляться по формулам

/26^ \..

^о — 60Z I , е \ III е 1 — 4-

dw 2\ z2 / 2тс 2

2 V — z2 /

(6.4.33)

Из (6.4.33) следует, что поступательный поток в плоскости £ расположения пластинки в бесконечно удаленной точке (Г=0, z=0) будет иметь комплексную скорость Уо^о^, модуль этой скорости равен у0 и она направлена под углом 0О к оси х.

Из формул (6.4.33) также следует, что критические точки (точки С) на плоскости z (см. рис. 61) перейдут в критические точки (точки С) на плоскости £.

Точкам Л и В на плоскости £ будут соответствовать точки Л И В ПЛОСКОСТИ Z, для которых z=±l. Из формулы (6.4.33) следует, что в точках Л и В скорость будет бесконечной. Это будут точки, в которых

нарушается конформность преобразования плоскости z в плоскость £. Однако скорость, например, в точке В может быть и не бесконечной, если эта точка будет критической. Чтобы последнее имело место, необходимо, чтобы при z —1 числитель первого равенства (6.4.33) обращался в нуль, т. е.

j_2

—^i\

v^ (1— е ) =

Г/

2л ’

Отсюда циркуляция скорости Г должна определяться равенством

(6.4.34)(6.4.34)Г=2л sin90

(6.4.34)

(6.4.34)

Если точка В будет критической, то картина течения будет вида,

указанного на рис. 62.

Элементы аэродинамики

Развитие вопросов о плоскопараллельных течениях идеальной жидкости послужило основой для создания теории авиации, центральное место в которой занимает аэродинамическая

Понятие о крыле теория крыла. Основная цель последней бесконечного размаха1~

заключается в определении сил воздействия воздуха на движущееся в нем крыло. Обычным условием установившегося горизонтального полета самолета будет его поступательное движение. Если выбирать систему координат, связанную с крылом специальным образом, то такое движение можно рассматривать как обтекание крыла поступательным потоком скорость которого в бесконечности направлена вдоль положительного направления

оси х.

Пусть крыло имеет в плане прямоугольную форму и сечения крыла плоскостями, параллельными среднему сечению, одинаковы (рис. 63). Обтекание таких сечений потоком в зависимости от того, будет это сечение близко к середине крыла или к концу крыла, различно. Однако если не учитывать концов крыла и рассматривать только средние сечения его, то будем иметь дело с крылом в плоскопараллельном потоке. Строго говоря, последнее условие имеет место, если крыло бесконечно большого размаха.

Теорию крыла конечного размаха можно рассматривать как обобщение исходных положений, которые лежат в основе теории крыла бесконечного размаха. Последняя является одним из разделов науки, которая называется аэродинамикой.

2. Первая формулаЧаплыгина— Блязиусаваясь рассмотрением2. Первая формулаЧаплыгина— Блязиусаваясь рассмотрениемЗаймемся основным вопросом аэродинамики — определением сил воздействия воздуха на движущееся в нем тело. Ограничи- плоскопараллельного потока идеальной жид

2. Первая формулаЧаплыгина— Блязиуса

ваясь рассмотрением

2. Первая формулаЧаплыгина— Блязиуса

ваясь рассмотрением

кости, остановимся на обтекании произвольного контура L или на обтекании бесконечного цилиндрического тела плоскопараллельным потоком, направленным перпендикулярно к образующим цилиндра. Обозначим через R и М соответст

Рис. 64Рис. 64венно главный вектор и главный момент сил гидродинамического давления, приложенных к элементу цилиндра, имеющего высоту, равную единице. Введем вектор R, который сопряжен с R, и назовем его вектором комплексного давления жидкости.

Рис. 64

Рис. 64

Пусть

R—Rx-\-iRy\

K—Rx—iRti1

где Rx и Ry— составляющие вектора R, направленные вдоль координатных осей. Обозначим через р давление жидкости, через п — единичный вектор, направленный по внешней нормали к контуру, а через 6 ■— угол между элементом контура ds и осью х (рис. 64). Тогда, так как р направлено по внутренней нормали к контуру, то R= —^p[sin(n, х)—icos(n, y)Ads= — ^p(sin 9—I cos 6)ds=—i(^pe-9£ds.

LLL

Но так как

тотоdz—dx+idy^ds^cosO -H sin9)=e9zds,dz^dx—idij —&(cos9 —i sin9) = e^ds—e^ldzs

то

то

K=—i(^pdz.

Давление, входящее в последнюю формулу, определим из интеграла Бернулли—Эйлера, который справедлив в рассматриваемом случае. Предполагая, что массовые силы в потоке отсутствуют, запишем

= с,

откудаСледовательно,откудаСледовательно,Р 2’

откуда

Следовательно,

откуда

Следовательно,

р=рс— |р^2-

R = — i ф cdz + ^ф vad^.LL

Но интеграл по замкнутому контуру от постоянной равен нулю и

dz=e“20z dz, следовательно:

LL

L

L

Величина ver-0Z представляет собой комплексную скорость, и окончательно вектор комплексного давления запишется в виде:

(6.5.1)

L

текание этого контура.3. Вторая формулаЧ аплыгина— Блязиус атекание этого контура.3. Вторая формулаЧ аплыгина— Блязиус аЭта формула называется первой формулой Чаплыгина—Блязиуса. Она позволяет непосредственно вычислить давление, действующее на контур, если задан комплексный потенциал, определяющий об

текание этого контура.

3. Вторая формулаЧ аплыгина— Блязиус а

текание этого контура.

3. Вторая формулаЧ аплыгина— Блязиус а

Подобно тому как определен главный вектор давления на контур L, найдем главный момент сил М гидродинамического давления.

Так как рассматривается плоскопараллельное течение, то главный момент сил давления, действующих на элемент цилиндра высотой, равной единице, сведется к моменту М их относительно оси, перпен

дикулярной к плоскости течения, которая, как предполагаем, проходит через начало координат. Обозначив по-прежнему через р

давление в жидкости, запишем

LLLL—^р[ж cos(n, у)~у cos(n, х)Ш==^>р(х cosG+y sin8)ds=($p(xdx+ydy).

L

L

L

L

Подставляя р из интеграла Бернулли и используя равенство

получаем для М выражение вида

М =— ^ у2 ^xdx 4- ydyY

L

Подсчитаем следующую комбинацию:

zdz=(х+1 у) (dx— idy) = xdx+ydy+i(ydx—xdy).

Следовательно, xdx-\-ydy есть действительная часть zdz, тогда

Далее, так как v2 = i^e20^ v2 = р2е 29\ dz = е-^ ds, dz = el ds, to nMz = v^ ds и N^dz = W%1 ds имеют одинаковые действительные части. Таким образом, можно записать

М = Re \— (£ N^zdz ) .

2 Л

\ L/

Но N—duoldz, следовательно, окончательно имеем

М = ReМ = Re(6.5.2)(6.5.2)

М = Re

М = Re

(6.5.2)

(6.5.2)

Эта формула называется второй формулой Чаплыгина—Блазиуса. Она позволяет непосредственно вычислить главный момент сил, действующих на контур, если задан комплексный потенциал, определяющий обтекание контура.

Давление Пусть контур L обтекается поступательным на контур, вызванное П0Т0К0Ме Тогда, как ранее указывалось, поступательным’

потоком.комплексная скорость может быть разложена

Теорема Жуковского в ряд Лорана:

du? ■

— = voedz

Проинтегрируем dwldz по замкнутому контуру L. Этот интеграл по известной теореме о вычетах запишется следующим образом:

-^- dz = 2^(7^.

Перепишем его в виде

-у- dz = ^ v dz = ^ (vr — iu^ (dx + idy) =

L ZLL

= ^ vxdx + vydy + г ^ vxdy — v^dx = ^ vsds + i ^ vnds.

LLLL

Интеграл (j)Vsds представляет собой циркуляцию скорости Г вдоль контура L* интеграл (^vnds есть поток скорости или секундное объемное количество жидкости, вытекающее через контур L. Так как контур L представляет собой границу твердого тела, то фуп^=О. Таким образом, окончательно имеемL

^ dw^^^ _ ^гСг = Г,

L откуда

Следовательно, в области бесконечно удаленной точки имеет место разложение

div "М — = dzdiv "М — = dz+ — —+ — + •2^ z z2+ — —+ — + •2^ z z2

div "М — = dz

div "М — = dz

+ — —+ — + •

2^ z z2

+ — —+ — + •

2^ z z2

Используя эту формулу, подсчитаем квадрат комплексной скорости:

J_+(2a2v0 —J_+(2a2v0 —

J_+(2a2v0 —

J_+(2a2v0 —

и

/ div \2—2. Pv0 . / о — Г \ 1,

2 —— ) — Vo 2 -);[- 2б?2У0—И • • •

\ dz )гл I4л2 у z

Используя снова теорему о вычетах, будем иметь

(6f—У di= 'Ы^.- = 2Гу0;

("Т")2dz = 2™ (^отт

L \ dz /\4к2 ,

Отсюда, обращаясь к формулам Чаплыгина—Блязиуса, имеем

R = ipFv = 1рГу0;(6.5.3)

М= Reirpi Г—J2C2v01 = 2rplm (—C2v0 ),(6.5.4)

L 4г.2J

где Im (—C2Vo)—мнимая часть произведения комплексных величин — C2v0.

Перепишем формулу (6.5.3) в виде

Rx — iRy = /рГр0 (cos 90 — i sin 90) = рГу0 (sin 90 + г cos 0о).

Отсюда

Rx = рГг0 sin 90; Ry = — рГу0 cos 90,

или

R=—iprv0.(6.5.5)

Формула (6.5.5) составляет содержание теоремы Жуковского, которую можно формулировать следующим образом: сила, с которой воздействует на контур L поступательный поток, плавно обтекающий этот контур, по величине равна произведению плотности жидкости р на величину скорости потока в бесконечности v0 и циркуляцию скорости Г вокруг контура L. Направление этой силы определяется поворотом скорости потока в бесконечности на прямой угол против направления циркуляции.

вычисления R и М5. О построении поступательного потока, обтекающего крыловые профиливычисления R и М5. О построении поступательного потока, обтекающего крыловые профилиФормулы (6.5.5) и (6.5.4) для вычисления главного вектора и главного момента сил, действующих на обтекаемой поступательным потоком контур Ls содержат только три первых коэффициента разложения комплексной скорости в области бесконечно удаленной точки. Следовательно, полностью знать обтекание контура для

вычисления R и М

5. О построении поступательного потока, обтекающего крыловые профили

вычисления R и М

5. О построении поступательного потока, обтекающего крыловые профили

не нужно.

Как было показано, силы, действующие на обтекаемый контур, будут определены, если известен комплексный потенциал, описывающий это течение. Чтобы построить комплексный потенциал, описывающий обте

кание поступательным пользовать конформныекание поступательным пользовать конформныепотоком крылового профиля, следует ис- преобразования.

кание поступательным пользовать конформные

кание поступательным пользовать конформные

Пусть в плоскости комплексного переменного £ расположен контур L, обтекание которого нас интересует. Обозначим через D область плоскости £=^-Нц, расположенную вне контура и включающую в себя бесконечно удаленную точку. Введем, кроме того, вспомогательную плоскость z комплексного переменного z—x+iy, в которой расположена окружность радиуса а с центром в начале координат (рис. 65). Область вне окружности плоскости С, включая бесконечно удаленную точку, обозначим через Д. Можно установить единственным образом взаимно однозначное конформное соответствие между областями D и Д при помощи однозначных аналитических функций:

(6.5.6)(6.5.6)g=/(z) и z=F(t>),

(6.5.6)

(6.5.6)

если потребовать, чтобы £ = оо соответствовала точка х—оо и значение dtjdz в точке z=oo было положительным. Аналитическая функция /(z) в бесконечно удаленной точке будет иметь полюс первого порядка. В остальных точках области она будет голоморфна и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:

£ = Cz + Co+-£l+-^ + ...,(6.5.6')

где С>0, ибо f—.>0.

\ dz )z=«>

Пусть контур L обтекается потенциальным потоком, скорость которого на бесконечности равна v0. Комплексный потенциал этого течения запишем в виде

И^НФ+гФ.

Заменим £ по формуле (6.5.6) через z, тогда получим функцию

(6.5.7)

которая представляет собой комплексный потенциал течения на вспомогательной плоскости г.

Эта новая функция будет аналитической функцией г в области А , поэтому она описывает некоторое течение на плоскости г вне окружности. Комплексная скорость этого течения будет

aw azaw azaw <at, azaw <at, az

aw az

aw az

aw <at, az

aw <at, az

Так как для бесконечно удаленной точки

awа^ z/=ooawа^ z/=ooaz 8=ооaz 8=оо= с,= с,

aw

а^ z/=oo

aw

а^ z/=oo

az 8=оо

az 8=оо

= с,

= с,

то dwldz в этой точке принимает значение

(6.5.8)

е. в бесконечно удаленных областях вспомогательной плоскости z имеет место поступательный поток со скоростью си0.

Далее из (6.5.6) следует, что линии тока и линии равного потенциала на плоскости £ переходят в линии тока и линии равного потенциала на z, в частности окружность на плоскости z будет линией тока, ибо соответствующий ей контур L на плоскости £ является линией тока. Таким образом, zz;(z) является комплексным потенциалом поступательного потока, обтекающего окружность, скорость которого на бесконечности равна ev0. Комплексный потенциал такого течения на основании (6.2.8) запишем в виде

(6.5.9)(6.5.9)w (z) = cvoe • z +

(6.5.9)

(6.5.9)

Подставив сюда согласно (6.5.6) £ вместо z, получим комплексный потенциал, определяющий обтекание поступательным потоком контура L*.

ЛОЛОw ю = w (F ©) = си^ (ГО +In F (9. (6.5.10)

ЛО

ЛО

Заметим, что в ряде случаев известно отображение окружности на контур L (а не наоборот), тогда известным является £=/(z). Комплексный потенциал, описывающий обтекание поступательным потоком контура L, в этом случае задается параметрически в виде

(6.5.11)

где z следует рассматривать как параметр.

Комплексную скорость при задании течения в виде (6.5.11) в плоскости £ можно определить исключением z из равенств:

_^L = СУ е-м (1 _ £^idZ °Z=_^L = СУ е-м (1 _ £^idZ °Z=Г2лГ2л11zz(6.5.12)(6.5.12)

_^L = СУ е-м (1 _ £^idZ °Z=

_^L = СУ е-м (1 _ £^idZ °Z=

Г

2л

Г

2л

1

1

z

z

(6.5.12)

(6.5.12)

На основании сказанного задача об обтекании контура L (или

крылового профиля) поступательным потоком с циркуляцией сводится к определению функций (6.5.6). Однако отметим, что в (6.5.10) или (6.5.11) циркуляция Г пока не определена. Обсуждению этого вопроса посвящено дальнейшее исследование.

дИтак, обтекание крылового профиля опре-

Парадокс Даламбера-1г

деляется обтеканием окружности, для которой надо подобрать циркуляцию. Если имеет место бесциркуляционное обтекание цилиндра (Г=0), то согласно теореме Жуковского

(6.5.5) на неподвижный бесконечный цилиндр, обтекаемый идеальной несжимаемой жидкостью, не действуют силы со стороны жидкости. Или, что то же самое, поступательно двигающийся в неподвижной жидкости цилиндр не требует сил для поддержания своего движения. Этот результат, противоречащий опыту, получил название парадокса Даламбера. В дей

ствительности, благодаря действию сил вязкости, обтекание цилиндра не будет плавным, как показано на рис. 30, а будет сопровождаться образованием спутной зоны, как показано на рис. 66. Такое течение представляет собой движение с

поверхностями разрыва.

Схема безотрывного обтекания цилиндра играет вспомогательную роль при рассмотрении обтекания крылового профиля, который получается конформным преобразованием окружности в профиль. Как было указано, при бесциркуляционном обтекании окружности отсутствует сила, действующая на крыло, что противоречит действительности. При циркуляционном обтекании окружности равнодействующая сил давления, действующая на отрезок цилиндра высотой, равной единице, по теореме Жуковского (6.5.5) имеет составляющие вида

7^=0; Д^Грг^.(6.5.13)

Следовательно, если вихрь, расположенный в центре окружности, имеет направление по часовой стрелке (Г<0), то цилиндр обладает подъемной силой, направленной вертикально вверх.

Качественная сторона возникновения подъемной силы объясняется тем, что скорость при Г<0 на верхней части окружности будет больше, чем на нижней части. Отсюда по теореме Бернулли—Эйлера

лового профиля.7. ПостулатЧаплыгина—Жуковского.Присоединенный вихрьлового профиля.7. ПостулатЧаплыгина—Жуковского.Присоединенный вихрь

лового профиля.

7. ПостулатЧаплыгина—Жуковского.Присоединенный вихрь

лового профиля.

7. ПостулатЧаплыгина—Жуковского.Присоединенный вихрь

имеем, что давление на верхней части окружности будет меньше, чем на нижней, и результирующее давление будет направлено вверх. Так как Г определяет расположение критических точек, то можно

сказать, что расположение их играет решающую роль при опреде

лении подъемной силы кругового цилиндра, а следовательно, и кры

Крыловные профили обычно имеют угловую точку, например, точку В на рис. 65. При одной и той же скорости набегающего потока, но при различных значениях цир

куляции возможны обтекания профиля с различным расположением критических точек (рис. 67): в случаях а и б жидкость, обходя зад

нюю кромку, перетекает с одной поверхности профиля на другую; случай b соответствует плавному обтеканию крылового профиля со сходом струй с острой задней кромкой.

Крыловые профили имеют удлиненную форму, как изображено на последних рисунках. Наибольший линейный размер I профиля называется хордой крыла. Угол а между хордой крыла и направлением потока, обтекающе

го крыло, в бесконечности называется в аэродинамике углом атаки (рис. 68).

Экспериментально установлено, что для широкого диапазона крыловых профилей удлиненной формы и для достаточно широкого диапазона их углов атаки имеет место плавное обтекание со сходом струй с задней кромки (см. рис. 67, в).

У словив плавного обтекания профиля, сводящееся к тому, что задняя кромка профиля является критической точкой течения, представляет собой постулат Чаплыгина—Жуковского.

При преобразовании окружности в профиль крыла, в результате нарушения конформности, на острой задней кромке будет бесконечная скорость, если она не является критической. Таким образом, постулат Чаплыгина—Жуковского является условием отсутствия

бесконечной скорости на профиле крыла. Этот постулат позволяет определить циркуляцию скорости Г вокруг крылового профиля, а следовательно, используя формулу (6.5.13), можно найти его подъемную силу.

Пользуясь этим постулатом, определим значение циркуляции вокруг крылового профиля, имеющего острую кромку в точке В (см. рис. 68). Пусть точке В на плоскости £ соответствует точка z=a на плоскости z (см. рис. 65). Комплексная скорость в бесконечности на вспомогательной плоскости z равняется си0 [см. формулу (6.5.8)]. Пусть с — комплексная величина, которую представим в виде с = ЪеХ£. Тогда

Г—')(6.5.14)

\ dz ) z= оо

Отсюда следует, что направление скорости набегающего потока в бесконечности на вспомогательной плоскости будет определяться углом 0О—X и величина этой скорости будет и0Ь. Согласно постулату Чаплыгина—Жуковского точка z=a должна быть критической точкой течения. Тогда, используя формулу (6.5.9), комплексную скорость на вспомогательной плоскости z можно записать в виде

-^- = vbe" (% -М /v6a4A-^ + _£_ _L,(615Л5)

dz^z22тс^ z

где Г>0.

Для того чтобы точка z=a была критической, необходимо выполнение уравнения

0 v7 2ка

Отсюда можно записать

Г—4nyoabsin(0o—X).(6.5.16)

Так как при конформном преобразовании циркуляция по соответствующим контурам остается неизменной, то формула (6.5.16) определяет циркуляцию по крыловому профилю.

Вихрь, представляющий собой циркуляционное обтекание крылового профиля, для которого Г определяется по формуле (6.5.16), называется присоединенным вихрем.

Используя (6.5.16), при помощи теоремы Жуковского (6.5.5) находим модуль подъемной силы крылового профиля в виде

Z?=pyor=4jn;2pabsin|0o—Х|.(6.5.17)

В частном случае, когда окружность единичного радиуса (#=1) отображается на пластинку, хорда которой равна двум \Ъ~Х1^ Х=0; см. (6.4.32)], подъемная сила пластинки записывается в виде

Д=2лу2р8т0о.(6.5.17')

Однако следует заметить, что при рассматриваемом обтекании на передней кромке пластинки скорость будет бесконечной и, следовательно, в реальных условиях будет иметь место отрывное обтекание пластинки.

Возникновение циркуляции по замкнутому контуру или возникновение вихрей в условиях течения идеальной несжимаемой жидкости при массовых силах, обладающих потенциалом, невозможно, как следует из теоремы Гельмгольца.

Таким образом, обтекание крылового профиля при наличии циркуляции следует рассматривать как результат вязкости жидкости. Присоединенный вихрь есть своеобразный учет вязкости жидкости, который позволяет в рамках идеальной жидкости решать один из центральных вопросов аэродинамики об определении подъемной силы крылового профиля.

Как говорилось, построение плоскопарал-

Об обратном методе лельного течения, обтекающего заданный построения крыловых профиль, сводится к определению конформ- и»™ преобразования окружное™ „а про- филь. Однако найти такое преобразование в конкретных случаях представляет задачу большой трудности. Поэтому решаются такие задачи приближенно или решаются так называемые обратные задачи. Последние заключаются в том, что задаются отображающие функции, как правило, содержащие параметры, и исследуется, каким крыловым профилям будет соответствовать заданное отображение. Указанный метод позволяет строить серии теоретических профилей, среди которых может быть подобран профиль, достаточно близко отвечающий тем или иным требованиям.

Так как крылья самолетов конечны, то окончательное решение вопроса о силах, на него действующих, относится к трехмерным задачам. Принципиальным в схеме такого обтекания является сохранение понятия присоединенного вихря. Однако в трехмерном случае это будет П-образная вихревая нить, сходящая с концов крыла, в отличие от плоского случая, когда вихревая нить прямолинейна. Исследования показывают, что П-образная вихревая нить будет вызывать силу сопротивления крыла, которая называется индуктивной.

§ 6. Нестационарные плоскопараллельные течениянесжимаемой жидкости

Как указывалось в гл. V, нестационарные плоскопараллельные течения несжимаемой жидкости описываются так же, как и соответствующие стационарные течения, при помо- 1. О построении щИ соотношений, представляющих собой ус- нестационарныхJ

плоских течений ловия Коши—Римана. Однако потенциал скорости ср и фукция тока ф в этом случае будут зависеть не только от координат точки, но и от времени. Так как стационарные течения, описываемые условиями Коши—Римана, определяются особыми точками течения: источниками — сто-

ками, вихрями и мультиполями, то и в случае нестационарных течений те же особенности будут определять эти течения. Однако постоянные стационарных течений, входящие в комплексные потенциалы и характеризующие напряженность особых точек (^А) и их расположение z^, в случае нестационарных течений будут зависеть от времени t, которое играет роль параметра. Следовательно, комплексный потенциал нестационарных течений несжимаемой жидкости можно записать в общем случае в виде

^=/(z, zn ..., z„, ти ..., m„),(6.6.1)

где / — аналитическая функция z и

Ч=Ч^ mh=mk(t) (£=1, ..., и).

В конкретных нестационарных задачах функции mk(t) и zk(t) могут быть либо заданы, либо определяться из тех или иных условий задачи. В частности, нестационарные течения могут быть вызваны нестационарностью граничных условий, например, передвижением со временем непроницаемой стенки, ограничивающей течение. Как следует из результатов § 4, условия на непроницаемых неподвижных границах удовлетворяются подбором особых точек течения.

В случае подобных подвижных границ условия на них могут быть удовлетворены соответствующим подбором подвижных особых точек, обладающих переменной напряженностью. Примерам нестационарных течений посвящен дальнейший текст этого параграфа.

Рассмотрим простейший случай нестацио-

Квазистационарные нарного течения. Пусть комплексный ПО- теченияrJ»

тенциал wt представляет собой произведение некоторой функции времени K^t^ на аналитическую функцию z, т. е.

w^K^ip^,(6.6.2)

где w^ не зависит от времени.

Это имеет место, если все особые точки течения неподвижны и напряжения их меняются с течением времени по одному и тому же закону.

Представим w^ в виде

w^ = ^x, у)+^(х, у).(6.6.3)

Тогда комплексную скорость wt можно записать в виде

=— ,(6.6.4)

dzdz

откуда

Эхду

(6.6.4')

'оуох

Из этих равенств следует, что из уравнений, определяющих течение, выпадает время I. В частности, исключается t в уравнениях линий тока. В связи с этим траектории и линии тока совпадают с определенными по формуле (6.6.3). Семейства эквипотенциалей и линий тока будут определяться равенствами:

ф(^> y)=const, ^(х. z/)=const.(6.6.5)

На основании последних равенств течение, определяемое уравнением (6.6.2), называют квазистационар ним. Коэффициент К^., входящий в (6.6.2) и (6.6.4), называют коэффициентом нестацио- нарности рассматриваемого течения.

Таким образом, из любого заданного стационарного плоскопараллельного течения несжимаемой жидкости можно получить соответствующее квазистационарное течение, обладающее линиями равного потенциала и линиями тока заданного течения, если умножить комплексный потенциал и комплексную скорость заданного течения на коэффициент нестационарности.

Например, можно сформулировать теоремы об окружности и прямой в случае квазистационарного течения и, пользуясь конформными преобразованиями, построить квазистационарное обтекание непроницаемых границ различной формы.

в. Постулато неподвижностиизолированных особыхточек теченияв. Постулато неподвижностиизолированных особыхточек теченияОсобую точку течения будем называть изолированной, если это будет единственная особая точка течения на бесконечной плоскости, на которой исключена бесконечно удаленная точка, либо особая точка, pac-

в. Постулато неподвижностиизолированных особыхточек течения

в. Постулато неподвижностиизолированных особыхточек течения

положенная в бесконечно удаленной точке плоскости.

Предположим, что особые точки течения могут смещаться, двигаясь в поле скоростей, созданном тем или иным течением. Как уже указывалось (см. гл. 4, § 7, п. 6), в силу симметричности течения, вызванного единичным вихрем, считается, что такой вихрь не может вызвать своего движения или что он неподвижен. Распространим это положение на все особые точки течения и будем считать, что любая особая точка течения не вызывает сама своего движения. Отсюда следует, что смещение какой-либо особой точки течения может быть вызвано только наличием скорости в точке расположения этой особенности, обусловленной другими особенностями течения.

Предположим, что движение особых точек с подвитыми определяется скоростью течения, вызван- особенностями ного совокупностью этих особых точек.

Комплексный потенциал такого нестационарного течения будет вида (6.6.1), где тк будут известные функции времени и хк являются пока неизвестными функциями времени. Комплексную скорость такого течения запишем в виде

(6.6.6)(6.6.6)dwt = d/(z, zn ,, zn» ту» , тп) dzdz

(6.6.6)

(6.6.6)

Используя сформулированный выше постулат, скорость особых точек течения найдем по формуле

/ dwt \_ /_^/2^^_^1jjjj2_^l^(6 6 7)

\ ^z )z==zk \^г'z==zk *

где f— аналитическая функция, обладающая особыми точками функции / за исключением особой точки, расположенной в zk. Комплексную скорость точки ^=^к можно представить в виде

/—^= „ lv(6.6.7')

\ dz )г=гк xk -к at at at’

Отсюда (6.6.7) можно переписать в виде

d-Ч = Г df$

dt LdzJz=zk

(k = 1, ... , ny

Правая часть (6.6.7) будет известной функцией времени и комплексных переменных гъ ..., zn. Отделив в последних равенствах действительные и мнимые части, найдем

dxk\

—^ = u(t,xv yv...,xn,y„); at

^- = v(t,x1,y1,...,xn,yn)(6.6.8')

(к = 1, ..., ну

где и, и — известные функции указанных переменных. Формулы (6.6.8') представляют собой дифференциальные уравнения для определения хк1 ук (Zc=l, ..., пу Начальные условия должны определять положение особых точек в момент времени ^=0, т. е. при £—0

^=^о, Ук=Ум (к=1, ..., га).

Используя начальные условия, найдем из уравнений (6.6.8) значения хк1 ук и zk=xkA-tyk как функцию времени. Подставив ’ zk в (6.6.1), получим wt как известную функцию z и времени t.

Рассмотрим нестационарное течение, выз-

Движение, ванное парой источник — сток равной на- вызванное подвижнойгг»

парой источник—сток пряженности, которые движутся под действием друг друга.

Комплексный потенциал такого течения будет вида

wt = -5- In z—,(6.6.9)

2л z — z^

где Zy— точка расположения источника, z^— точка расположения стока, зависимость zY и z^ от времени пока неизвестна, Q — постоянная мощность источника. Выберем систему координат так, чтобы в

начальный момент времени источник располагался в начале координат и сток на оси х (рис. 69), т. е. при 2=0

Zi=^i+^i=0 и Ч=хй-\-1у^=а.(6.6.10)

Комплексная скорость будет

dwtQ / 1dt2г \z — zLdwtQ / 1dt2г \z — zL12—2212—22Отсюда скорость точек ^ и z2 согласно (6.6.8) будет определяться соотношениями:

dwtQ / 1

dt2г \z — zL

dwtQ / 1

dt2г \z — zL

1

2—22

1

2—22

dzx Р 1 dt2г zL — z2

(6.6.12)

d4_P 1 .

dt2л z2— 21

Из полученных соотношений следует, что точки расположения источника и стока движутся с одинаковыми скоростями. Выписывая соотношения (6.6.8), из (6.6.12) имеем

(6.6.11)(6.6.11)dxx dx^ Рх^ — Xiе

(6.6.11)

(6.6.11)

dtdt2г(z2 — 2^)2 + (у2 —у^2’

^Ухdy^р У2—Уг

dtdt2г(я2 — *i)2 + (У 2—У1У

(6.6.13)(6.6.13)ОтсюдаОтсюда"Г^г — ^i) = 0;-^-(у2 —У1) = 0,

(6.6.13)

(6.6.13)

Отсюда

Отсюда

dtdt

и, используя начальные условия (6.6.10), находим первые интегралы (6.6.13) в виде

ж2—хг=а, z/2—z/i=0.(6.6.14)

Используя (6.6.14), запишем (6.6.13) в виде

^ = ^1=_У_; ^ = ^ = ().(6.6Л5)

dt dt 2т.а dt dt'

Интегрируя (6.6.15) и используя начальные условия (6.6.10), окончательно получаем

У1=0; У2=0,

откуда

Qt .2га ’Qt .2га ’Z2 —Z2 —Qt2гаQt2га+д+д(6.6.16)(6.6.16)

Qt .

2га ’

Qt .

2га ’

Z2 —

Z2 —

Qt

2га

Qt

2га

+д

+д

(6.6.16)

(6.6.16)

Из соотношений (6.6.14), (6.6.15) и (6.6.16) следует, что пара источник — сток, воздействуя друг на друга, движется вдоль прямой, их соединяющей, в направлении от источника к стоку, оставаясь на постоянном расстоянии, со скоростью, прямо пропорциональной напряженности источника — стока и обратно пропорциональной их расстоянию.

Используя (6.6.16), комплексный потенциал нестационарного течения (6.6.9), вызванного парой источник — сток, которые воздействуют друг на друга, запишем в виде

(6.6.17)(6.6.17)Q Г, (Qt \. I

(6.6.17)

(6.6.17)

= — In 2 — —— — In г — а1 2г [\2га /\

6. Движение,вызванное подвижнойпарой вихрей.Движение вихря околопрямолинейной стенки6. Движение,вызванное подвижнойпарой вихрей.Движение вихря околопрямолинейной стенкиРассмотрим далее нестационарное течение, вызванное парой вихрей, которые движутся под действием друг друга. Комплексный потенциал такого течения будет

6. Движение,вызванное подвижнойпарой вихрей.Движение вихря околопрямолинейной стенки

6. Движение,вызванное подвижнойпарой вихрей.Движение вихря околопрямолинейной стенки

— In— In(6.6.18)

— In

— In

лагался в точке гг ——а, а вихрь вращения —- в точке z3 = +a (рис.

где Z! и z2 — точки расположения вихрей противоположного направления, зависимость zx и z3 от времени пока неизвестна. Пусть циркуляция вихрей будет какой-либо известной функцией времени:

Г=Г(0.(6.6.19)

Выберем систему координат так, чтобы в начальный момент времени вихрь с положительным направлением вращения распо- с отрицательным направлением 70), т. е. при ^=0

2i=^i+^i=—^;

(6.6.20)(6.6.20)22 ^A*ty^—а.

(6.6.20)

(6.6.20)

Комплексная скорость течения согласно (6.6.18) будет

dwtdt

Г /1

2г i \z — zx

1

г — z2

(6.6.21)

Отсюда скорость точек zt и z2 будет определяться соотношениями:

_ Г 1.

dt2ni zr — z2

_(6.6.22)

dza Г 1 dt2т.С z2 — Zj

Следовательно, так же, как и в предыдущем случае, вихри пары имеют одинаковые скорости. Перейдя к декартовым координатам перепишем (6.6.22) в виде

dxx _ dx^ Г у2 — У1 .

dtdt2к (х2 — ж^2 + (у2 — У1)2 ’

(6.6.23) di^ _ dy2 _ Г х^ — хг

dtdt 2к(х2—^i)2 + (Уг—У1)2

Используя начальные условия (6.6.20), первые интегралы (6.6.23) запишем в виде

ж2—^=2»; у2—У1=0.(6.6.24)

Учитывая (6.6.24), перепишем (6.6.23) в виде

dxx dx^ qdt ~ dt ~ ’

(6.6.25) dyi _ dy» _ Г (Q dt dt 4r.a

Интегрируя уравнения (6.6.25) при начальных условиях (6.6.20), находим

х^ ——а; х^а;

^1 = Z/2 = ~— ( г (0 dt = b;

о

(6.6.26)

2! =—a+ib; z2=a+ib.

Из соотношений (6.6.24), (6.6.25) и (6.6.26) следует, что пара вихрей движется в направлении, перпендикулярном прямой, соединяющей их, как указано стрелкой на рис. 70, оставаясь на постоянном расстоянии, со скоростью, обратно пропорциональной их расстоянию.

Используя уравнение (6.6.26), комплексный потенциал (6.6.18) рассматриваемого течения запишем окончательно в виде

irz = —^ [In (z 4- а — id) — In (z — a — ib)^ (6.6.27) 2~ i

где

о

или в частном случае при Г=const

ь = —.

4иа

Рассмотренному течению можно дать интерпретацию, отличную от данной выше. Действительно, подставив (6.6.26) в (6.6.21), найдем скорость течения на оси у по формуле

аГГ. [«2 (у + 6)2] *аГГ. [«2 (у + 6)2] *илиилиЮх=о = 0;(t;y)x=G=Юх=о = 0;(t;y)x=G=

аГ

Г. [«2 (у + 6)2] *

аГ

Г. [«2 (у + 6)2] *

или

или

Юх=о = 0;(t;y)x=G=

Юх=о = 0;(t;y)x=G=

Следовательно, скорость точек, расположенных на оси у, направлена вдоль оси или ось у является линией тока течения. Последнее означает, что ось у можно рассматривать как непроницаемую границу (рис. 71). На основании сказанного разобранный выше пример означает, что свободный вихрь (точка расположения которого не закреплена), находясь вблизи прямолинейной границы, будет перемещаться вдоль нее. Отсюда можно сделать вывод, что если поток ограничен непрони

цаемыми стенками, то последние могут вызвать перемещение особых точек течения, а следовательно, явиться причиной возникновения плоского нестационарного течения.

В заключение следует заметить, что источники, стоки и вихри, рассмотренные в двух последних пунктах, могут моделировать, например, смерчи и области повышенного и пониженного давлений, которые возникают и движутся в атмосфере Земли.

Причиной нестационарности плоскопарал-

Обтекание лельных течений несжимаемой жидкости поступательным потоком может служить, как уже указывалось, из- Т=Я менение со временем непроницаемых стенок, ограничивающих течение.

В силу неразрывности течения нормальная составляющая скорости жидкости на границе подвижной стенки должна равняться

нормальной скорости ее точек. В качестве примера нестационарного течения указанного выше типа рассмотрим обтекание поступательным потоком раздувающейся (или сжимающейся) окружности.

Пусть граница окружности перемещается с постоянной нормальной скоростью иа. В этом случае радиус окружности а будет изменяться с течением времени по закону

а=а0+^,(6.6.29)

где а0— радиус окружности в начальный момент ^=0. На границе окружности должно выполняться условие

(^г)^ №= Vtt.(6.6.30)

\ ОГ )г=а

Сформулированную задачу можно решить, разложив искомое решение в ряд Лорана, и далее подобрать коэффициенты разложения из условий на бесконечности и на границе окружности. Такой метод решения будет аналогичен решению задачи об обтекании неизменной окружности поступательным потоком, рассмотренном в §2 настоящей главы [формулы (6.2.4) и (6.2.5)].

Однако поставленную задачу можно решить подбором особых точек течения. Действительно, рассмотрим поток, который описывается комплексным потенциалом вида

wt — VQe | Z H— I -]In Z.(0.0.01)

Отсюда комплексная скорость течения определится в виде

= ^Г9”' ( 1 -•(6.6.32)

Так как при z = оо ~^= V ° > то уо— скорость в бесконечности набегающего на окружность потока и 90— угол, который составляет эта скорость с осью х. Подсчитаем, пользуясь равенством (6.6.32), значение скорости на границе окружности. Так как в этом случае z = de9*, то из (6.6.32) имеем

vx = ^^sin (6 — 60) -j—sin 6 -]— cos 9,

\2га /2г.а

(6.6.33)

у„ — — f2у0 sin (9 — б0) -|—\ cos 6 ^— sin 6.

Нормальную составляющую скорости на поверхности цилиндра через составляющие их и иу запишем в виде (рис. 72)

pn=pxcos9+pysin9(6.6.34)

и, использовав (6.6.33), найдем

(ип)г=а —(ип)г=а —Q .2тгаQ .2тга(6.6.35)(6.6.35)

(ип)г=а —

(ип)г=а —

Q .

2тга

Q .

2тга

(6.6.35)

(6.6.35)

Чтобы удовлетворить граничному условию (6.6.30), необходимо подобрать Q так, что оно удовлетворило бы равенству

Q=2n,vaa=2nva(a0+vat).(6.6.36)

Таким образом, граничные условия задачи удовлетворены и окончательно комплексный потенциал, описывающий обтекание циркуля

ционным поступательным потоком раздувающейся окружности, будет вида

Wf — V 2 +Wf — V 2 +■^-i-^^^-] + уа ка0 + иа^ 1П 2 + ~ 1П 2> (6.6.37) z J2л

Wf — V 2 +

Wf — V 2 +

где Г — произвольная постоянная или переменная по времени циркуляция скорости по контуру окружности. При Г=0 картина течения, описываемая формулой (6.6.37), изображена на рис. 73.

При и^О равенство (6.6.37) описывает обтекание раздувающейся окружности, а при иа<0 — обтекание сжимающейся окружности (уменьшающегося радиуса).

Изучение рассмотренного в этом пункте течения представляет интерес как модель обтекания тела, подвергающегося обледенению или обгорающего при своем движении.

8. Теоремао нестационарномобтеканиираздувающейсяокружности8. Теоремао нестационарномобтеканиираздувающейсяокружностиИспользуя результаты предыдущего пункта, можно указать комплексный потенциал, описывающий обтекание раздувающейся (или сжимающейся) окружности потоком, обладающим произвольными особенностями, ле

8. Теоремао нестационарномобтеканиираздувающейсяокружности

8. Теоремао нестационарномобтеканиираздувающейсяокружности

жащими вне окружности. Действительно, пусть на границе окружности нормальная скорость будет заданной функцией времени va= и(^1У тогда радиус а окружности будет меняться по закону

а —а0+J vadt(6.6.38)

и на границе окружности должно выполняться условие va=vn. (6.6.39)

(6.6.40)(6.6.40)Если теперь воспользоваться формулой безотрывного обтекания окружности (6.4.2) и добавить к ней источник (или сток в случае сжимающейся окружности), мощность которого удовлетворяет соотношению

(6.6.40)

(6.6.40)

или

(6.6.41)

то комплексный потенциал wt вида

/ / Г , \2 \

^ = /(2)+/

будет удовлетворять граничному условию (6.6.39). Особые точки /(г) определят характер течения, обтекающего окружность. Мощность этих особых точек может быть заданной функцией времени. Также может быть задано и смещение особых точек как функция времени. Из формулы (6.6.42) при иа=0, как частный случай, получим обтекание окружности неизменяемого радиуса, которая при неподвижных особых точках неизменной мощности совпадет с формулой (6.4.2). Итак, в общем случае (6.6.42) определяет обтекание раздувающейся (или сжимающейся) окружности потоком, обладающим лежащими вне окружности особыми точками переменной мощности, перемещение которых с течением времени задано. Формулу (6.6.42), по аналогии с формулой (6.4.2), можно назвать теоремой о нестационарном обтекании раздувающейся окружности. Заметим, что подобно этой теореме можно сформулировать теорему о прямой.

9. Нестационарныеконформныепреобразования9. НестационарныеконформныепреобразованияКак уже говорилось (гл. 5, § 4, п. 9), всякий комплексный потенциал можно использовать как конформное преобразование, которое позволяет получить из заданного те

9. Нестационарныеконформныепреобразования

9. Нестационарныеконформныепреобразования

чения новое течение. Так как возможно строить комплексные потенциал нестационарных течений, то возможно рассматривать и нестационарные конформные отображения, служащие для построения новых течений из заданных. Например, конформное преобразование вида

где c(f) — некоторая функция времени, переводит окружность постоянного радиуса а плоскости 2 в эллипсы плоскости £, которые обладают постоянным эксцентриситетом и изменяющейся со временем большой полуосью, как это следует из формул (6.4.19).

ГЛАВА 7

ДВУМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В СЛОЯХ,РАСПОЛОЖЕННЫХ НА КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

§ 1. Двумерные уравнения движения идеальной жидкости

Как следует из предыдущих глав, плоскопараллельные течения в гидродинамике занимают особое место. Этот раздел механики сплошных

1. Значение теории двумерных движений идеальной жидкости1. Значение теории двумерных движений идеальной жидкостипрактических задач,практических задач,сред разработан и продвинут значительно лучше, чем другие разделы. Этому во многом способствовало применение аппарата функций комплексного переменного и важность которые сводятся к плоскопараллельным те-

1. Значение теории двумерных движений идеальной жидкости

1. Значение теории двумерных движений идеальной жидкости

практических задач,

практических задач,

чениям. Например, такой существенный раздел, как теоретическая аэродинамика, только некоторые вопросы которой были освещены выше, в большей своей части базируется на плоскопараллельных потенциальных течениях. Изучение плоских движений идеальной жидкости фактически выходит за рамки рассмотрения движения жидкости без трения. Ибо, например, введение в течения дискретных Вихрей, в частности присоединенного вихря Жуковского, представляет собой своеобразный учет вязкости, что и определяет широкие приложения плоских движений. Двумерные течения, о которых говорится ниже, представляют собой обобщение плоских движений, которые являются их частным случаем. Этот новый раздел находит все более широкие применения (особенно существенные в теории фильтрации, которая изучается в настоящей книге). Вопросам теории двумерных течений и посвящена настоящая глава.

Плоскопараллельные течения идеальной

Двумерные движения жидкости были получены ранее как частный идеальной жидкости „ „ х „

вдоль координатных поверхностей характеризоваться отсутствием сос-вдоль координатных поверхностей характеризоваться отсутствием сос-случаи уравнении движения идеальной жидкости, записанных в декартовой системе координат. Обобщением такого движения будут двумерные движения идеальной жидкости, представляющие частный случай уравнений движения, записанных в криволинейных координатах. Ограничимся рассмотрением только ортогональных криволинейных координат. Тогда уравнения движения идеальной жидкости будут записаны в виде (4.2.15) или (4.2.16) и уравнение неразрывности будет (4.2.17) (см. гл. 4, § 2). Изучим

вдоль координатных поверхностей характеризоваться отсутствием сос-

вдоль координатных поверхностей характеризоваться отсутствием сос-

течения, которые происходят g3=const. Эти течения будут тавляющей скорости и3, т. е.

(7.1.1)(7.1.1)у3=0.

(7.1.1)

(7.1.1)

Предположим далее, что рассматриваемое течение описывается двумерными уравнениями движения. Это значит, что кинематические иъ у2, динамические (р, F) и геометрические (определяемые параметрами Ламэ) характеристики движения зависят только от двух криволинейных координат qu q2i т. е.

Pi=Vi(9i, 9г, ty f2=v2(9i, g2, ty (7.1.2)

P=P(9i, 92, 0; F=F(9i, 92, t); (7.1.3) Hr*, q2y H^H^h, q2y H3=H3(qu qj. (7.1.4)

Так как квадрат элемента дуги ds2 поверхности в криволинейных ко- ординатах определяется из формулы

ds2= 2 Н^и = 5 d^ (7.1.5) k^Y к=1

то условия (7.1.4) означают, что дуги, расположенные на поверхностях q^Cx и q^—C^ ограниченные координатными кривыми qt= =А1, q^Bx и ^1=Л2, q^B^ будут равны между собой. Кроме того,; отношение расстояний между поверхностями Уз=СХ1 q^C^ и $3= — С^, q^—C^ отсчитываемое по дугам ^x=const, g2=const, не зависит от значений qv и q^. (Во всех рассуждениях Л, В и С могут выбираться каким угодно образом.)

Из приведенных рассуждений следует, что условия (7.1.4) выполняются точно, если поверхности g3—const представляют собой плоскости, параллельные либо пересекающиеся по какой-либо прямой.

Таким образом, двумерные задачи, полученные как частный случай трехмерных пространственных течений идеальной жидкости, приводятся к движениям, идентичным в семействах параллельных плоскостей (эти движения называются плоскопараллельными) и к движениям, идентичным во всех пересекающихся по одной прямой плоскостях (эти движения называются осесимметричными).

Условия (7.1.4) будут выполняться приближенно, если рассматривать течение в слое, толщина которого мала по сравнению с радиусом кривизны поверхности в каждой точке поверхности, вдоль которой расположен слой. Из (7.1.5) следует, что толщина слоя будет различной в различных точках поверхности и закон изменения ее толщины определяется Н3. При Я3—1 слой будет постоянной толщины.

В дальнейшем поверхность, на которой расположен слой, будем называть подошвой слоя, и поверхность, ограничивающую слой по толщине,— кровлей слоя.

Условия (7.1.4) выполняются для любых поверхностей g3=const, если рассматривать течение в бесконечно тонкой пленке, покрывающей эти поверхности. Все течения идеальной жидкости, происходящие в бесконечно тонкой пленке, будут удовлетворять условиям (7.1.2) и (7.1.3). Течения идеальной жидкости в бесконечно тонких пленках, покрывающих произвольные поверхности, можно назвать двумерными течениями по поверхностям.

Из сказанного следует, что пространственные течения можно приближенно описать серией двумерных движений. Действительно, предположим, что известны поверхности тока g3=const.

Разобьем все пространство течения на слои, ограниченные q^— =const,— такие, чтобы их толщина была мала по сравнению с ра-

диусами кривизны ограничивающих слой поверхностей. Течение в каждом из этих слоев можно рассматривать как двумерное. Чем меньше будет расстояние между слоями, тем точнее серия двумерных течений опишет пространственное течение. Таким образом, двумерные течения, о которых говорилось выше, представляют собой в известной мере некоторый шаг в изучении пространственных течений.

При сделанных предположениях (7.1.1)—

Двумерные (7.1.4) вектор завихренности движения Q уравнения движения согласно формуле (4.2.12) запишется в виде

q 1/ ЭН^и^ ЭН^рх \ .(7.1.6)

нгн3 k aqi аЧг / 3'

Отсюда следует, что изучаемое движение характеризуется направлением вектора завихренности вдоль координатных линий, перпендикулярных к поверхностям, ограничивающим пленку, в которой происходит движение жидкости.

Уравнение движения жидкости в проекции на i3 в предположении (7.1.1) имеет вид

Л ангЛан^ . 1 аР „

НХН3 8q3Н3Н3 8q3 ' Н3 8q33

Механический смысл этого уравнения состоит в том, что движение жидкости вдоль координатных поверхностей q3 =const происходит под действием сил, проекция которых на нормаль к поверхности уравновешивается перепадом давления в том же направлении и центробежными силами.

Выполнение условий (7.1.2) и (7.1.3) приводит последнее уравнение к виду

2^3=0.

Исчезновение из предшествующего уравнения членов левой части, характеризующих центробежные силы, означает, что рассматриваемое частное движение, определяемое условиями (7.1.1), (7.1.3) и (7.1.4), строго выполняется только для течений, ограниченных параллельными плоскостями. Этот результат, следующий из рассмотрения динамического уравнения, ранее был получен при изучении геометрии движения. В случае движений в искривленных пленках исчезновение из уравнений членов с множителями dHJdq3 и 8HJdq3 указывает на отсутствие в уравнениях характеристик искривленности слоя (в частности, на отсутствие в уравнениях центробежных сил).

Уравнения движения баротропной идеальной жидкости в искривленных пленках на основании условий (7.1.1)—(7.1.5) будут вида

JEl 1 1 а (

at + Нх ддг V 2

^v2 ,19_ / ^1 + ^2

at Н^ dq^ \2

Преобразуя эти уравнения, приводим их к виду

ди1 ух dux . у^ dvx I ^1^2 ЭНгу2 dH2 р 1 dP е

dt Ht dqL Н2 dq2 HYH2 dqY НгН2 dqY 1 Нх dqr

dv2Ух ди2у^ dv2, УхУ2 дНх У1 аНх р1ЭР

dtНх dqxН2 dq2 НхН2 dq^НхН2 dq2Н2dq2

п С dp где Р= \ —. J Р

Уравнение неразрывности будет иметь вид а? ,1Г a^jijL^d^HxH^)

dt НхН2Н3 [ dqx^2

Заметим, что div v рассматриваемых двумерных движений определяется выражением

div V —I JMG#s\m j g\

НхН2Нг V dqYdq2 )

В уравнениях (7.1.7) и (7.1.8) Нг^ и Я22 есть коэффициенты первой квадратичной формы поверхности, по которой происходит движение жидкости; Я3 представляет собой закон изменения толщины слоя.

Если qYl q^ q^ являются прямоугольными декартовыми координатами (Я!—Я2—Я3 —1), то уравнения (7.1.7) и (7.1.8) описывают плоскопараллельное движение жидкости.

Если воспользоваться цилиндрическими координатами, положив qx^r, q^z, q^^, то Hx^H^V, Н^г и уравнения (7.1.7) и (7.1.8) описывают осесимметричное движение идеальной жидкости.

Таким образом, плоскопараллельное и осесимметричное движение можно рассматривать как простейшие частные случаи движения жидкости в пленках, расположенных на плоскостях, толщина которой в первом случае постоянна, а во втором случае в плоскости z, г меняется по закону Н3=г. Однако подчеркнем еще раз, что эти простейшие случаи двумерных движений являются частными случаями пространственных течений жидкости.

Как уже говорилось, в уравнениях движения

Об изгибании слоя, отсутствуют характеристики искривленности в котором происходит „ г

движение жидкости поверхности, на которой расположен слои.

Благодаря этому уравнения движения в пленках будут инвариантны к изгибанию поверхности, на которой пленка расположена. Но при изучении течений жидкости на поверхности необходимо рассматривать геометрию в целом, а в этом случае не все поверхности при соблюдении условий правильности могут быть изогнуты. Например, поверхности сферы, эллипсоидов не изгибаются (обладает жесткостью), а поверхности цилиндров изгибаются.

5. О выборекоординатных сетокповерхности5. О выборекоординатных сетокповерхностиУравнения движения (7.1.7) и (7.1.8) имеют достаточно сложный вид, который определяется зависимостью Нг1 Н^ Н3 от qT и q^ или квадратом дифференциала дуги поверхности:

5. О выборекоординатных сетокповерхности

5. О выборекоординатных сетокповерхности

<?82=Я^+Я!М (7.1.10)

Эти уравнения упрощаются, если специальным образом выбрать координатные сетки на поверхности, вдоль которой движется жидкость. Наиболее простой вид уравнения движения принимают, если за координатную сетку на поверхности выбрать геодезические линии и их ортогональные траектории, ибо тогда квадрат элемента дуги поверхности имеет вид

азг=ддНса^ (7.1.11)

и уравнения (7.1.6) будут отличаться от уравнений плоскопараллельного движения жидкости только одним добавочным членом. Весьма удобно в общих уравнениях движения воспользоваться так называемыми изотермическими координатами £, ц поверхности, в которых дифференциал дуги ее можно представить в виде

ds^c^d^Hd^. (7.1.12)

В изотермических координатах уравнения движения (7.1.7) имеют симметричный вид, который не имеет места, если взять в качестве координатных кривых геодезические линии и их ортогональные траектории.

§ 2. Функция тока

1. Условиясуществованияфункции тока1. Условиясуществованияфункции токаУкажем некоторые свойства двумерных уравнений движения для частных случаев. Пусть

1. Условиясуществованияфункции тока

1. Условиясуществованияфункции тока

(7.2.1)(7.2.1)^ = 0.dt

(7.2.1)

(7.2.1)

Это равенство имеет место в трех случаях: 1) жидкость несжимаема; 2) движение установившееся; 3) жидкость несжимаема и движение установившееся.

В этих случаях уравнение (7.1.8) имеет вид

^2^ЯзР । диАДзР = р^2^ЯзР । диАДзР = р^i^i^2^2(7.2.2)(7.2.2)

^2^ЯзР । диАДзР = р

^2^ЯзР । диАДзР = р

^i

^i

^2

^2

(7.2.2)

(7.2.2)

Покажем, что (7.2.2) влечет за собой существование функции тока. Уравнение линий тока двумерных движений имеет вид

dsxV1dsxV1ds^ ^2 1ds^ ^2 1(7.2.3)(7.2.3)

dsx

V1

dsx

V1

ds^ ^2 1

ds^ ^2 1

(7.2.3)

(7.2.3)

где dsYl ds^— элементарные перемещения по координатным линиям поверхности, на которой расположена пленка; vv и^— функции переменных qu q^ и времени t, которое рассматривается как параметр.

Так как

dsY—HYdqY и ds^H^dq^

то (7.2.3) можно переписать в виде

vjl^dq^—vJIjdq^O,(7.2.3')

или, помножив на неравный нулю множитель Н3 р, запишем

РхН^Нз pdq^—v^HJI^ pdq^Q.(7.2.3")

Из (7.2.2) следует, что множители при dqY и dq^ в уравнении (7.2.3") удовлетворяют равенствам:

р= ^ , и2НгН3 Р = —,(7.2.4)

и уравнение линий тока (7.2.3х) можно записать в виде

^(91, 9s, 0=0,

где qYl g2— независимые переменные, t — параметр. Следовательно, семейство линий тока определяется соотношением

гр^, ^2» 0=const,(7.2.5)

где гр резонно назвать функцией тока.

Заметим, что£Г3р играет роль интегрирующего множителя уравнения (7.2.3").

Составляющие скоростей вдоль координатных линий поверхности через функцию тока гр из равенств (7.2.4) выражаются в виде

1 дф1 av9

У =L у —е(7.2.6)

1 ягязР д922 нгнзР dqiv '

Если жидкость несжимаема, то в уравнении неразрывности отсутствует р и составляющие скорости имеют вид

1 ЭЬ1 дф- о Г7\

=; и^ =.(7.2.7)

1 НгН3 8q,2 Н1Н3 д91'

Согласно этим равенствам квадрат модуля скорости и5 и завихренность движения Q определяются соотношениями [см. (7.1.6)]:

2 / М\22 / 5ф \2

Я2+И —

(7.2.8)(7.2.9)(7.2.8)(7.2.9)у2 _''2 ’.

(7.2.8)

(7.2.9)

(7.2.8)

(7.2.9)

Н^Н,’

1/ 8Н2дф 8 Hj84-

НгН2 I, 8qiHiH38qi+ dqiН2Н38qi

Так как модуль скорости движущейся жидкости и ее завихренность суть физические величины, то они не будут зависеть от выбора системы координат, т. е. соотношения (7.2.8) и (7.2.9) инвариантны относительно любого преобразования координат поверхности.

В тех случаях, когда существует функция

Уравнения тока, последнюю можно ввести в уравнения движения, записанные ’п

через функцию тока Движения. Действительно, подставив (7.2.6) в (7.1.7), получим систему уравнений относительно двух неизвестных ф и р, которые являются функциями q^ q^ и t. Уравнение неразрывности при этом будет удовлетворяться автоматически. Можно без труда получить и уравнение, содержащее только функцию ф. Для этого достаточно воспользоваться уравнением Гельмгольца (4.1.18) (см. гл. 4, § 1), справедливым для баротропных жидкостей. Для двумерных течений это уравнение приведется к одному скалярному уравнению относительно Q:

(7.2.10)(7.2.10)-^ + 2divv = (rotF),3,at

(7.2.10)

(7.2.10)

где

(rotF).8=-A_№_^

5 HYH2 \ дЧ1 dq2

Подставив в (7.2.10) Q из (7.2.9) и div v, использовав (7.2.8) и (7.2.6), получим одно уравнение для определения функции токаф.

Как и в общем случае пространственных те-

|3. Интегралы чений, уравнения движения (7.1.7) при соответствующих условиях сводятся к интегралам Коши (4.5.7) и Бернулли—Эйлера (4.5.7) (см. гл. 5, § 7). Помимо названных, можно указать также специфический интеграл двумерных движений, который выполняется при следующих условиях: 1) движение установившееся, т. е.

диг др2 Q др дрdt dt ’ dt dt

внешние силы обладают потенциалом, т. е.

F=grad (7;

толщина слоя, в котором происходит течение, постоянна:

Я3=1;

завихренность течения во всех точках поверхности, на которой расположен слой, постоянна:

й=К (7^=const).

При сформулированных условиях уравнения движения (7.1.7) согласно (7.2.6) запишем в виде

J_ _L_ (2^ + Р-и\ = v^ = - — —;

Hi 8qt \ 2)Hx 8qx

Я2 dg2 \ 2/я2 dq2

откуда имеем специфический интеграл двумерных движений вида

-у + Р —17 4-^ = С,(7.2.11)

Р dp

где Р=1 —; С — постоянна, сохраняющая свое значение для всей массы жидкости.

§ 3. Уравнения потенциальных двумерных теченийидеальной жидкости

1. Потенциалскорости и уравнениядвижения1. Потенциалскорости и уравнениядвиженияПредположим, что двумерное движение незавихренное (Q =0). Тогда на основании (7.1.6) будем иметь уравнение

1. Потенциалскорости и уравнениядвижения

1. Потенциалскорости и уравнениядвижения

дН2а дН^и^ q(7 3 1)

^1^2

из которого следует, что существует потенциал скорости ф, зависящий в общем случае от qXl q^ t, связанный с составляющими скорости иъ v2 при помощи уравнений:

9S-;и. = —.(7.3.2)

Нх 8qt1 Ha 8qa

Обращаясь к уравнению неразрывности (7.1.8), запишем уравнение, которому удовлетворяет ф:

др .1/ д рЯ2Я3 дерdt НХН2Н^ \ dqx Hi dqxдр .1/ д рЯ2Я3 дерdt НХН2Н^ \ dqx Hi dqx+ — ?Л1Ез J5L\ = 0. (7.3.3) дд2 Я2 dq2)+ — ?Л1Ез J5L\ = 0. (7.3.3) дд2 Я2 dq2)

др .1/ д рЯ2Я3 дер

dt НХН2Н^ \ dqx Hi dqx

др .1/ д рЯ2Я3 дер

dt НХН2Н^ \ dqx Hi dqx

+ — ?Л1Ез J5L\ = 0. (7.3.3) дд2 Я2 dq2)

+ — ?Л1Ез J5L\ = 0. (7.3.3) дд2 Я2 dq2)

Если жидкость баротропна, тор =/(р), где / задано. Незавихрен- ные движения баротропной жидкости возможны, как указывалось в § 4, гл. 4, только под действием потенциальных сил, и в этом случае уравнения (7.1.7) сводятся к интегралу Коши:

^-и = ж р^-и = ж р(7.3.4)(7.3.4)

^-и = ж р

^-и = ж р

(7.3.4)

(7.3.4)

где U — потенциал массовых сил, составляющие и определяются из соотношений (7.3.2).

Уравнения (7.3.3), (7.3.4) и соотношения (7.3.2) описывают двумерные течения баротропной жидкости.

дер др

Если движение установившееся, то ^~=0; ^ — 0, и уравнения (7.3.3), (7.3.4) упрощаются.

2. Течения,описываемые потенциаломскоростии функцией тока2. Течения,описываемые потенциаломскоростии функцией токаКак говорилось в предыдущем параграфе, если движение установившееся либо жидкость несжимаема, либо одновременно движение установившееся и жидкость несжи

2. Течения,описываемые потенциаломскоростии функцией тока

2. Течения,описываемые потенциаломскоростии функцией тока

маема, то для двумерных движений всегда

имеет место функция тока гр.

Если, кроме того, движение незавихрено и известен потенциал

скорости ср, то составляющие скорости иг и и^ можно записать через ф и гр в виде

1д^ 1 дф .

Нг dqxH2Hzp dq^ ’

(7.3.5)

1 дф 1 дф

я2 ^2 яхя3р а91

Соотношения (7.3.5) справедливы для установившихся движений сжимаемой жидкости. Если жидкость несжимаема и ее движение неустановившееся, то вместо (7.3.5) имеем:

1 1 дф е

(7.3.6)(7.3.6)Нг ддх Н2Н3 Эд2 ’

(7.3.6)

(7.3.6)

1^ф 1дф

Н2 Эд2HtH3 Эдг ’

где ф, гр будут функциями ^, g2, I.

Из (7.3.5) или (7.3.6) можно найти уравнения, которым удовлетворяют ф иф. Например, из (7.3.6) найдем

— (я3-^- 2г_\ +JL (н32^_ J$-^ = o 8qt \ Нг 8дг ) дд2 ( 3 Я2 8д2 )

(7.3.7)

8 / 1Я2ЭУ \8 Г 1Н2Уф

dqx \ Я3НхdqY /ддг \ Я3Я2dg2

Уравнения (7.3.7) являются самосопряженными однородными уравнениями в частных производных эллиптического типа.

В каждой конкретной задаче надлежит интегрировать одно из этих уравнений при заданных начальных и граничных условиях, ибо поле скоростей определяется равенствами (7.3.6) и через ф, и через гр. Так как из (7.3.6) следуют равенства:

HiH2H3HiH2H3т-а^- 8qiт-а^- 8qiay . h2

HiH2H3

HiH2H3

т-а^- 8qi

т-а^- 8qi

—^-dq,—8ga 41 H1H3

(7.3.8)

НаН3HiНаН3Hid<? j HjHsd<? j HjHs-^dqv8qa 1-^dqv8qa 1

НаН3

Hi

НаН3

Hi

d<? j HjHs

d<? j HjHs

-^dqv8qa 1

-^dqv8qa 1

при помощи квадратур, знаяф, можно найти ф, и наоборот. Из равенств (7.3.5) и (7.3.6) имеем, что ср иф удовлетворяют соотношению

(7.3.9)(7.3.9)15срдф1дфдф _ Q

(7.3.9)

(7.3.9)

я2ддгdqt^2dq2dq2

Но H1dq1=ds1 и II2dq^ds2 представляют собой бесконечно малые перемещения по координатным линиям поверхности, следовательно, (7.3.9) можно записать в виде

дфдф। дфdsxдзг д$2дфдф। дфdsxдзг д$2-^- = 0.-^- = 0.(7.3.9')(7.3.9')

дфдф। дф

dsxдзг д$2

дфдф। дф

dsxдзг д$2

-^- = 0.

-^- = 0.

(7.3.9')

(7.3.9')

Это соотношение есть условие того, что семейства линий равного потенциала ф(х, у, £)=const и линий тока ф(ж, у, £)= const, которые определяют кинематическую картину течения, будут взаимно ортогональны. Давление в жидкости находится из соответствующих ин

тегралов уравнений движения.

3. Уравнения плоскихтечений в пленкепеременной толщины,плоскопараллельных3. Уравнения плоскихтечений в пленкепеременной толщины,плоскопараллельныхука-рас-нейчтоука-рас-нейчтоРассмотрим некоторые частные случаи занных уравнений.

3. Уравнения плоскихтечений в пленкепеременной толщины,плоскопараллельных

3. Уравнения плоскихтечений в пленкепеременной толщины,плоскопараллельных

ука-

рас-ней

что

ука-

рас-ней

что

Пусть слой переменной толщины положен на плоскости. Выбрав на

и осесимметричных декартовы координаты х, у, получим,

H^H^l; qx=x\ q^y.(7.3.10)

Тогда уравнения (7.3.6), (7.3.7) и (7.3.8) будут иметь вид

дф

Эх

’ Н8

dф

ау

; и,

дф ау

1 ш

Нэ дх ’

(7.3.11)

д

дх

(#3

9^ \ дх /

(н

\ 3 ау )

= 0;

(7.3.12)

д /

9у \

1

Н3

дф \ дх /

( 1 дф'

\Я8 ду.

) = 0.

(7.3.13)

Если на плоскости выбрана полярная система координат (^i=r, ^2—^)7 Для которой квадрат элемента дуги на плоскости будет

ds^ —dr^-Vr^d^

и

Я1=1; Н^г,(7.3.10')

тогда соотношение (7.3.6) будет иметь вид

=и=_91_ =L±L, (7.3.11')

т 8г гН3 808 гдв Н3 8г*

е. q> ичр будут удовлетворять уравнениям:

9^= 1дф .дер 1 дф™ g

a In г Н886 ’86Н3din г' х • -)

Уравнения (7.3.7) приобретут вид

А (гя, ^4-—/^2. ^ = 0;(7.3.12')

— !j_ £L^ _i_JL С1., £L\ = о. (7.3.13') dr \ Нэ dr )89 \ гНэ 89)

Уравнения (7.3.11), (7.3.12), (7.3.13) и (7.3.1Г), (7.3.12'), (7.3.13') описывают течения несжимаемой жидкости в пленке переменной толщины, расположенной на плоскости, которая определяется декартовыми и полярными координатами.

Если слой, расположенный на плоскости, постоянной толщины Я3 = 1, то соотношения (7.3.11) при выполнении условий (7.3.10) обращаются в условия Коши—Римана и (7.3.12), (7.3.13) превращаются в уравнения Лапласа.

Рассмотрим цилиндрические координаты. Тогда qv q2, q3 и коэффициенты Ламе можно записать в виде

qv=z; q2=r; g3=6;

Нг=Н2=1; H3—r.(7.3.14)

Если движение жидкости таково, что все величины, его характеризующие, не зависят от 6 и Уе =0, то картина течения будет идентична во всех полуплоскостях, пересекающихся вдоль оси z. Такое течение называется осесимметричным. Уравнения (7.3.6) в этом случае будут иметь вид

(7.3.15)(7.3.16)(7.3.17)(7.3.15)(7.3.16)(7.3.17) дф 1 дф # дф 1 дфz dz г dr 1 Т drг dz

(7.3.15)

(7.3.16)

(7.3.17)

(7.3.15)

(7.3.16)

(7.3.17)

d / 1 дф\О / 1 дфdz \ г dz ) dr \ г drd / 1 дф\О / 1 дфdz \ г dz ) dr \ г drУравнения (7.3.7) и (7.3.8) будут

d / 1 дф\О / 1 дф

dz \ г dz ) dr \ г dr

d / 1 дф\О / 1 дф

dz \ г dz ) dr \ г dr

Формулы (7.3.15), (7.3.16) и (7.3.17) являются уравнениями, описывающими осесимметричные течения.

Итак, потенциальные плоскопараллельные течения и осесимметричные течения являются частным случаем уравнений течений в пленке переменной толщины, расположенной на плоскости [см. уравнения (7.3.10), (7.3.11), (7.3.12) и (7.3.13)1.

Рассмотрим двумерное установившееся дви- 4. Течения с постоянной жение несжимаемой жидкости, обладающей завихренностью и их связь постоянной величиной завихренности (Q = ° ПтечениямиНЫМИ= ^=const). Уравнениями, описывающими

кинематическую картину такого течения, будут уравнение неразрывности:

du^H 2Нз . , dv2H уН3 q(7 3 18^

9qxdq2 1*

из которого следует, что

(7.3.19)(7.3.19)(7.3.20)(7.3.20)10ф10ф

(7.3.19)

(7.3.19)

(7.3.20)

(7.3.20)

1 Я^з ^2ЯД ддй

и условие постоянства завихренности

1 рН^ЭН^ '

ЯХЯ2 \ Oqi dq2 ,

Пусть известно частное решение (7.3.19) и (7.3.20), которое обозначим рн Р2 и соответствующую функцию тока обозначим^*.

Решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям, будем искать в виде

Vi=v/+vi*; и^и^'Л-и»*; il)=i|)'+tp*.(7.3.21)

Подставив (7.3.21) в (7.3.18) и (7.3.19), получим, что vx' и v2' удов- летворяют условию (7.3.19) и условию отсутствия завихренности [т. е. условию (7.3.20) при Я=0]. Следовательно, dx и и^ связаны соотношениями (7.3.6) и задача сводится к уже рассмотренным потенциальным течениям. Поле давлений определится из интеграла (7.2.11), который в данном случае имеет вид

JL-^-K-U + KW-V^^C.2 рJL-^-K-U + KW-V^^C.2 р(7.3.22)(7.3.22)

JL-^-K-U + KW-V^^C.

2 р

JL-^-K-U + KW-V^^C.

2 р

(7.3.22)

(7.3.22)

§ 4. Простейшая форма уравнений потенциальныхдвумерных течений

При рассмотрении уравнения движения в пленках, покрывающих криволинейные поверхности, на координаты последних не наклады-

1. Изотермическая сетка поверхности (квазидекартовы координаты)ворилось в гл. 7, §1. Изотермическая сетка поверхности (квазидекартовы координаты)ворилось в гл. 7, §валось никаких ограничений, за исключением условия их ортогональности. Однако специальный подбор ортогональных сетей на поверхности позволяет значительно упростить уравнения движения (как об этом уже го- 1). Если координатная сеть на поверхности,

1. Изотермическая сетка поверхности (квазидекартовы координаты)

ворилось в гл. 7, §

1. Изотермическая сетка поверхности (квазидекартовы координаты)

ворилось в гл. 7, §

которую назовем g, ц, выбрана так, что квадрат элемента дуги по

верхности определяется соотношением

(7.4.1)(7.4.1)б/s2 —С2 (g 9 T])(d£ 24~C?T)2),

(7.4.1)

(7.4.1)

то сеть будет изотермической. При этом g^g, g2=r|, Нх=Нй=с и уравнения потенциальных течений (7.3.6) приобретают вид,

р, = —(7.4.2)

с 0$ сН3 дг\с дц сН3 0£

Следовательно, ср, ф удовлетворяют условиям:

^1 =1^Ф .^^1/7 Z QX

5$Я30т| ’0т|яз0$V • • /

Уравнения (7.3.7) и (7.3.8) на основании (7.4.3) в изотермических координатах имеют вид

— ^3^ + — ^.^ = 0;(7.4.9$ \ d 9$ /9 т) \ 3 9т) /— ^3^ + — ^.^ = 0;(7.4.9$ \ d 9$ /9 т) \ 3 9т) /

— ^3^ + — ^.^ = 0;(7.4.

9$ \ d 9$ /9 т) \ 3 9т) /

— ^3^ + — ^.^ = 0;(7.4.

9$ \ d 9$ /9 т) \ 3 9т) /

Уравнения (7.4.3)—(7.4.5) идентичны уравнениям (7.3.11) — (7.3.13). Следовательно, выбор изотермической сети на поверхности приводит к тому, что течение в пленках, расположенных на криволинейных поверхностях, сводится к течениям в пленках, расположенных на плоскости, если интерпретировать g, ц как декартовы координаты плоскости. В случае течений в пленках постоянной толщины (Я3=1) соотношения (7.4.3) приводятся к уравнениям плоскопараллельных течений (условиям Коши—Римана) вида

(7.4.6)(7.4.6)^фдф #дф d\)

(7.4.6)

(7.4.6)

d£di\ ’дт]д£ ’

где под g, ц можно подразумевать декартовы координаты плоскости.

Таким образом, координатную сеть на поверхности, через которую элемент ее дуги определяется равенством (7.4.1), назовем изотермической сеткой поверхности в квазидекартовых координатах.

2. Изотермическаясетка поверхности(квазиполярныекоординаты)2. Изотермическаясетка поверхности(квазиполярныекоординаты)Ортогональную сеть на поверхности можно выбрать методом иным, чем было указано выше. Пусть квадрат элемента дуги на поверхности определяется соотношением

2. Изотермическаясетка поверхности(квазиполярныекоординаты)

2. Изотермическаясетка поверхности(квазиполярныекоординаты)

ds^c^ (7?, ^(dR^R^)-^ (R, %) R^ ((dln7?)2W2).(7.4.7)

Тогда

H^H^c^R, ^R^

и уравнения потенциальных течений (7.3.6) будут вида

_ 1

дф

=1

cR

9 In Я

cRH3

99 ’

9<р

1

(7.4.8)

9ф

2“ cR

99 ~

cRH3

d In R

Следовательно, (р и ^ удовлетворяют условиям:

dtp

дф е

din R

(7.4.9)

дф _

1

дф

Я3

dlntf ‘

Уравнения (7.4.9) идентичны уравнениям (7.3.1 Г7). При Я3=1, т. е. для пленок постоянной толщины, они обращаются в условия Коши—Римана, записанные в полярных координатах R, ^:

a in R ^ ’ д» a in R *х • • >

Следовательно, координатную сеть на поверхности, через которую элемент ее дуги определяется равенством (7.4.7), назовем изотермической сеткой поверхности в квазиполярных координатах.

Итак, одновременно с заданной поверхно-

Конформность стью, которую будем обозначать z, можно рас- преобразования течения сматривать вспомогательную плоскость с к течению" на*"плоскости координатами £, т], которую будем обозна- чать, zx причем каждой точке на поверхности z будет соответствовать вполне определенная точка на плоскости zx, т. е. имеет место отображение поверхности на плоскость или на часть плоскости. Покажем, что это отображение таково, что угол между какими-либо двумя направлениями на поверхности z равен углу между соответствующими направлениями на плоскости zv Пусть какое-либо направление на z характеризуется бесконечно малым перемещением

dsa=Hx4q^-\-H2Mq^

и другое направление характеризуется бесконечно малым перемещением

Ss^H^qi^H^q?.

Последние перемещения на z можно записать так же в изотермических координатах:

ds^^c^^A-d^;

ds^c^ (6g2+6n2)-

Косинус угла между ds и 6 s определится формулой

COS р = Н^1+H4dqM,4

V H^dt^-V 4 dq^ V Н^ Sq^ + H^q^

или в изотермических координатах

cos Р = ——М±^__.(7.4ДГ)

V& + ^Ч2 V й£2 + ^^2

Направлениям на поверхности z, которые характеризуются перемещениями ds^cd^^ cdv[) и 8s (cd^, cJr]) на плоскости z1? будут соответствовать направления dsx и6$], которые характеризуются составляющими d^, dx\ иб^» 6л* Следовательно, на плоскости zx косинус угла между dsx иб^! будет определяться формулой (7.4.11). Таким обра-

зом, при рассматриваемом отображении поверхности z на плоскости Zj углы сохраняются , т. е. отображение будет конформным. Полученный результат указывает на то, что сеть линий тока ф(^1? g2)^const и ф(^, ^2)^const на поверхности z на вспомогательной плоскости zT перейдет в ортогональное семейство ф(£, ц)=const линий равного потенциала иф(£ , ц) = const линий тока на плоскости zv

Соотношения (7.4.3) можно интерпретировать как составляющие скорости v^ и ич течения на вспомогательной плоскости:

V, = 5l = JL ^L. и =95, =L .(7.4.3')

5 а^ н3 а< ч а^ я3 а^'

Тогда из равенств (7.4.2) и (7.4.3) следует, что скорости и на поверхности z и ^ на вспомогательной плоскости zr связаны соотношением

и^с^.(1АЛ2}

Квадраты же элемента дуги на поверхности z и на плоскости zv как следует из (7.4.1), связаны соотношением

ds^-^-ds^.(7.4.13)

Из последних равенств следует, что интервалы времени для течений

на поверхности z не соответствуют интервалам времени течений на вспомогательной плоскости zv Следовательно, нестационарные те

чения на вспомогательной плоскости zt нельзя переносить на соот

ветствующие течения вдоль криволинейных поверхностей, конформное преобразование которых на плоскость известно.

Итак, все многообразие задач об установив

о теченияхна криволинейныхповерхностяхУказанную общуюо теченияхна криволинейныхповерхностяхУказанную общуюПостановка задачи шихся потенциальных течениях в пленках

о теченияхна криволинейныхповерхностях

Указанную общую

о теченияхна криволинейныхповерхностях

Указанную общую

переменной толщины, расположенных на криволинейных поверхностях, сводится к рассмотрению уравнений (7.4.3) либо (7.4.9)

задачу о течениях в пленках, расположенных

на криволинейных поверхностях z, используя вспомогательную плоскость zv теперь можно формулировать следующим образом. Пусть известно конформное преобразование поверхности z на плоскость zv При этом заданные границы на поверхности z перейдут в

заданные границы на вспомогательной плоскости zv а граничные условия, сформулированные для течений на поверхности — в соответствующие условия для течений на вспомогательной плоскости zv Из решений уравнений (7.4.3) либо (7.4.4), либо (7.4.5) при граничных условиях на L найдем ф либо ф как функции |, ц. Поле скоростей на поверхности определим по равенствам (7.4.2) и поле давлений из интеграла Бернулли—Эйлера.

Так как скорости и элементы дуг на поверхности и вспомогательной плоскости связаны соотношениями (7.4.12), (7.4.13), преобразование конформно и кривая на плоскости переходит в соот

ветствующую кривую на поверхности, то циркуляция скорости Г= ] vsds и расход жидкости Q=\vnds вдоль кривых на плоскости

и соответствующих кривых на поверхности остаются неизменными. Отсюда следует, что напряжения вихрей и источников — стоков на поверхности и на вспомогательной плоскости будут одними и теми же.

гались в предыдущейгались в предыдущейСледует подчеркнуть, что течения в криволинейных пленках постоянной толщины (Я3=1) на вспомогательной плоскости можно свести к плоскопараллельным течениям, которые подробно изда

гались в предыдущей

гались в предыдущей

главе.

5. Связь потенциальныхдвумерных теченийс изотермическимисетками5. Связь потенциальныхдвумерных теченийс изотермическимисеткамиКак указано, течение на поверхности связано с течением на плоскости, если известна изотермическая сетка на поверхности. Покажем, что всякую изотермическую сетку можно рассматривать как некоторое тече-

5. Связь потенциальныхдвумерных теченийс изотермическимисетками

5. Связь потенциальныхдвумерных теченийс изотермическимисетками

ние в пленке постоянной толщины, расположенной на поверхности. Действительно, если положить ф^, х^ц, то уравнения (7.4.6) удовлетворяются автоматически. Можно доказать и обратное положение. Именно, что сетка, образованная ф=сопз1 и ip=const, будет изотермической. Для этого в выражении

ds^№xdq\A-H^dq^

перейдем от переменных qx и q^ к переменным ф и ф:

ds2 = нЧdtp + -^- JxpV + Я2 f-^_ J(p + -^-

1 \ dtpдр /2 \ dtpдр /

+ я^ &\21 ^ +

2 \ J

I 2 (и^ ^^г^^VI /j2 ^^2 ^2 \\ 1 dtpdp 2 dtpdtp /I 2 (и^ ^^г^^VI /j2 ^^2 ^2 \\ 1 dtpdp 2 dtpdtp /' 1dtpdL(1dtpdtp//f9qx8qx+ #29g2Qq^11dtpdLdtpdpЯ2 Я2 ^1941 dq2 dq^' 1dtpdL(1dtpdtp//f9qx8qx+ #29g2Qq^11dtpdLdtpdpЯ2 Я2 ^1941 dq2 dq^

I 2 (и^ ^^г^^VI /j2 ^^2 ^2 \

\ 1 dtpdp 2 dtpdtp /

I 2 (и^ ^^г^^VI /j2 ^^2 ^2 \

\ 1 dtpdp 2 dtpdtp /

' 1dtpdL(1dtpdtp

//f9qx8qx+ #29g2Qq^

11dtpdLdtpdp

Я2 Я2 ^1941 dq2 dq^

' 1dtpdL(1dtpdtp

//f9qx8qx+ #29g2Qq^

11dtpdLdtpdp

Я2 Я2 ^1941 dq2 dq^

Но последний член равен нулю в силу ортогональности семейств ф и ф и коэффициенты при с?ф2 и с?ф2 равны в силу уравнений движения в пленках постоянной толщины, которые являются следствием уравнений (7.3.6) и имеют вид

1 dtp1 dL е 1 dtp1 dL

7^i 9qxH^ dq2 H^ 9q^Hx 9qx

Итак, сеть линий равного потенциала и линий тока образуют изотермическую сеть. Следовательно, чтобы найти конформное отобра-

жение поверхности на плоскость (найти изотермические координаты)^ достаточно найти какое-нибудь одно течение на поверхности в пленке постоянной толщины. Последнее приведет задачу о течениях на криволинейных поверхностях к течениям на плоскости.

В некоторых частных случаях изотермичес-

О формальном методе КуЮ сеть на поверХности можно получить изотермических сеток простым формальным методом. Пусть какая-либо ортогональная сеть поверхности

Ч1-) 4г такова, что

НХ=А^В (д2); Я2=С №(9г),НХ=А^В (д2); Я2=С №(9г),(7.4.14)(7.4.14)

НХ=А^В (д2); Я2=С №(9г),

НХ=А^В (д2); Я2=С №(9г),

(7.4.14)

(7.4.14)

где А, В, С, D — некоторые произвольные функции соответствующих переменных. Тогда ds2 можно записать в виде

ds» = А» (91) В» (9а) dq\ + С» (91) D» ^ dq. =

= В» (q^ С» kq^ {[^ГтГ ^1 + [^г4Г ай ) = с2 № + а^> (7-4Л5)

Из равенства (7.4.11) следует, что изотермическая сетка на поверхности g , т] определяется при помощи интегралов (7.4.16). Заметим, что класс поверхностей вращения, цилиндрических и конических поверхностей при соответствующем выборе координатных сеток удовлетворяет равенствам (7.4.14). Действительно, выберем для произвольных поверхностей вращения в качестве криволинейных координат долготу qY и ширину ^2 (рис. 74). Сети ^^const и ^2=const на поверхности будут взаимно ортогональны. Расстояние г точки, расположенной на поверхности вращения, до начала координат будет

зависеть от угла #2, т- е* г—Кч^ и декартовы координаты ее можно записать в виде

я=/ (^)cos ^2 cos ^;

y=f (9а) cos g2sin qv,(7.4.17)

z=/ (92) sin g2.

Отсюда Ну и Я2 для любых поверхностей вращения можно записать в виде

Я1=/ k!ti cos ?2; Н2=//2 k^)+f2 (q2).(7.4.18)

Для произвольной цилиндрической поверхности в качестве координатных линий выберем образующие цилиндра и ортогональные

Рис. 76Рис. 76к ним траектории, которые определяются цилиндрическими координатами ^i и ^2 (рис. 75). Тогда координаты точек поверхности можно записать в виде

Рис. 76

Рис. 76

^=/ (9i) cos qv,

U=f (9i) sin qT; (7.4.19)

2 = 92,

где / (qy^r — расстояние точек цилиндрической поверхности до оси 2.

Из соотношения (7*4.15) следует, что Ну и Я2 для произвольных цилиндрических поверхностей определяются равенствами:

HX=VW^, Я2=1.(7.4.20)

Рассмотрим произвольную коническую поверхность, поместим начало координат в ее вершине. В качестве ортогональной координатной сетки поверхности выберем образующие конической поверхности, которые определяются углом дг, и ортогональные к ним кривые, точки которых расположены на одном и том же расстоянии от начала координат, определяемые q^ (рис. 76). Обозначая через у угол, который составляет та или иная образующая конической поверхности с осью z, запишем координаты точек поверхности в виде

фАЗДфАЗДж=^2 sin Y cos ^i»у=^2 sin у sin qy,

фАЗД

фАЗД

z—q^ cos y,

где Y^/^i)- Из соотношения (7.4.17) следует, что для любой конической поверхности

^i = 92]/(-^-)2 + sin2Y ; Я2 = 1.(7.4.22)

Равенства (7.4.18), (7.4.20) и (7.4.22) будут частными случаями (7.4.14). Следовательно, для конических, цилиндрических поверхностей вращения без труда находится изотермическая сеть поверхности, или определяется конформное преобразование их на плоскость.

Обращаясь снова к равенству (7.4.15), запишем его в виде

ds2 = S2 (qA С2 (qA /Г^Г]2 dq2 + L2MT dqA = c2 [(d In Й)2 +(d&)2], IL C (90 J 1 L В ^ J J^ ^

где

(7.4.24)(7.4.24)

(7.4.24)

(7.4.24)

1. Меркаторовскаяи стереографическаяпроекции сферына плоскость1. Меркаторовскаяи стереографическаяпроекции сферына плоскостьРис. 77Рис. 77

1. Меркаторовскаяи стереографическаяпроекции сферына плоскость

1. Меркаторовскаяи стереографическаяпроекции сферына плоскость

Рис. 77

Рис. 77

Равенства (7.4.23) и (7.4.24) указывают, как строится изотермическая сетка поверхности, при помощи которой можно перейти к плоскости, определяемой полярными координатами R и 9-. Для поверхностей вращения, цилиндрических и конических можно воспользоваться последними формулами, чтобы перейти к плоскости с полярными координатами.

§ 5. Течения в пленке постоянной толщины,расположенной на сфере

Как показано в § 4, течения в пленках постоянной толщины, расположенных на криволинейных поверхностях, сводятся к плоскопарал

лельным течениям или описываются анали-

тическими функциями. Покажем, как строятся течения в пленке постоянной толщины, расположенной на сфере. Для этого построим конформное преобразование поверхности

сферы на плоскость. Поверхность сферы является частным случаем поверхности вращения. В качестве координатной сетки на ней выбе-

рем параллели и меридианы, которые будут определяться широтой ^=0 и долготой q^X (рис. 77). Обозначив через А радиус сферы, координаты точек поверхности сферы согласно (7.4.17) запишем в виде

х—А cos 0 cos X;

у=А cos Osin X; (7.5.1)

z=A sin0.

Обращаясь к равенствам (7.4.18), коэффициенты Ламе для рассматриваемого случая: f^q^^A, #1=0, q^—X запишем в виде

Нг=А; Н^А cosO.(7.5.2)

Следовательно, квадрат дифференциала дуги поверхности можно записать в виде

ds2=A2-d^+A4os2Q dV^ds2=A2-d^+A4os2Q dV^(7.5.3)(7.5.3)

ds2=A2-d^+A4os2Q dV^

ds2=A2-d^+A4os2Q dV^

(7.5.3)

(7.5.3)

ds2 = Л2 cos2 9ds2 = Л2 cos2 9ИЛИ

ds2 = Л2 cos2 9

ds2 = Л2 cos2 9

+ dK2 = Л2 cos2 9 d \ + dP , cos 6 У JIA J cos 6 У .

= Л2 cos2 9 d In tg+ d\A .(7.5.3')

1 X 24 У I J

Согласно формулам (7.4.16) запишем изотермические координаты £, ц в виде

(7.5.4)(7.5.4)£ = In tg f ——|- —) ;= X; с = A cos 0.

(7.5.4)

(7.5.4)

\ 24 У 1

Переменные X и 9 на поверхности сферы меняются в пределах:

0<Х<2к;0<Х<2к;(7.5.5)(7.5.5)

0<Х<2к;

0<Х<2к;

(7.5.5)

(7.5.5)

Из равенств (7.5.4) следует, что g, ц будут меняться в пределах:

(7.5.6)(7.5.6)— °° ^ 5 ^ °°; о < ^ < 2п.

(7.5.6)

(7.5.6)

Следовательно, сфера отображается на полосу бесконечной протяженности плоскости zv Эта полоса параллельна оси g и ширина ее равна 2л (рис. 78). Рассмотренное конформное преобразование сферы на плоскость носит название меркатор овской проекции. При этой проекции параллели сферы (0= const) переходят в прямые, параллельные ц на плоскости (g=const), и меридианы переходят в прямые, параллельные оси g (ц = const).

Если воспользоваться полярными координатами Я, &, на плоскости z^, то из равенств (7.5.3') и (7.4.24) следует:

(7.5.7)(7.5.7)Так как~ ^ 9 ^ —22Так как~ ^ 9 ^ —22/z^tgf—+ —V » = х.6 I 24 Г

(7.5.7)

(7.5.7)

Так как~ ^ 9 ^ —

22

Так как~ ^ 9 ^ —

22

и 0^Х^2тг, то й и & меняются в пре

делах:

0<Я0<ЯОО ; о ^ & -^ 2я.ОО ; о ^ & -^ 2я.(7.5.8)(7.5.8)

0<Я

0<Я

ОО ; о ^ & -^ 2я.

ОО ; о ^ & -^ 2я.

(7.5.8)

(7.5.8)

Следовательно, сфера при помощи преобразования (7.5.7) конформно отображается на всю плоскость, определяемую полярными

координатами R и & (рис. 79). Такое преобразование поверхности €феры на плоскость называется стереографической проекцией. В этой проекции параллели на сфере переходят в окружности на плоскости (R =const), причем окружности 7? = 1 на плоскости соответ-

Рис. 78Рис. 78Рис. 79Рис. 79

Рис. 78

Рис. 78

Рис. 79

Рис. 79

из начала координат2. Скорость течения на сфере и ее связь со скоростьюна вспомогательной плоскостииз начала координат2. Скорость течения на сфере и ее связь со скоростьюна вспомогательной плоскости«ствует экватор 0=0, окружностям /?<1 — точки южного полушария «сферы (0<0) и Д>0 — точки северного полушария сферы (0>О). Меридианам сферы соответствуют на плоскости лучи, выходящие ' м. рис. 79).

из начала координат

2. Скорость течения на сфере и ее связь со скоростью

на вспомогательной плоскости

из начала координат

2. Скорость течения на сфере и ее связь со скоростью

на вспомогательной плоскости

Составляющие скорости на сфере согласно

(7.3.5) и (7.5.2) запишем в виде

1 dm 1 аф

у = у —X =L •

16 Л 96 л cos в ах

(7.5.9)

1 a® 1 д^ =- = .

* л cos бах л ай

Если воспользоваться изотермическими координатами g, ц [формулы (7.5.4)], то эти скорости можно записать в виде

1 а® 1 аф 1

V =X = .

R cos 9 d; R cos 6 дт] R cos 0

(7.5.10)

1 а®1 аф 1

у =г —L = у

х R cos 6 а^ R cos 6 а^ R cos 6

где и^ , и^ — скорости течения на вспомогательной плоскости g, ц (см. рис. 79).

Если воспользоваться изотермическими координатами In 7?, ft (формулы (7.5:7)], то составляющие скорости на поверхности сферы можно записать в виде

1 а® 1 аф Rи =I— =ь = и ;

Л cos 6 a In R Л cos 6 а^ Л cos 6

(7.5.11)

1 а®1 аф r

V —X- =! = у

хЛ cos 6 а^ Л cos 6 a In R Л cos 6

где Ur и v& — составляющие скорости на вспомогательной плоскости которые определяются формулами:

дф"дНдф"дН(7.5.12)(7.5.12)до дф8ф

дф"дН

дф"дН

(7.5.12)

(7.5.12)

—— ~ = ~ ; Ра = ——

^ ЭК Кд% * Кд%

3. Построение теченийв пленке постояннойтолщины на сфере3. Построение теченийв пленке постояннойтолщины на сфереТечение на вспомогательной плоскости zt можно определить при помощи комплексного потенциала, который в общем случае имеет вид

3. Построение теченийв пленке постояннойтолщины на сфере

3. Построение теченийв пленке постояннойтолщины на сфере

(7.5.13)(7.5.13)w-f^RRe^.

(7.5.13)

(7.5.13)

Определив действительную и мнимую части в последнем равенстве, запишем

Ф=ф(7?, ^); ф=ф(/?, $).(7.5.14)

Заменив в (7.5.14) R и & по формулам (7.5.7), найдем соответственно потенциал скорости и функцию тока течения на сфере:

ftgХ^ ; ф = ф ftg (—- + —\. (7.5.15)

Составляющие скорости течения на плоскости zT согласно формулам (7.5.14) и (7.5.12) будут

vR^vR(R3y, v^v.(R^).(7.5.16)

Составляющие скорости на сфере Ре , Рх , используя формулы (7.5.11), (7.5.16) и (7.5.7), запишем в виде

В частном случае, если воспользоваться, например, теоремой об окружности и записать (7.5.13) в виде

W = / ^Hf (~ е-йгу(7.5.18)

то по указанной схеме можно построить течение на части сферы, ограниченной любой параллелью. Если в равенстве (7.5.18) а=1, то при переходе на сферу оно определит течение на полусфере.

Поле давлений на сфере определяется согласно интегралу Бернулли—Эйлера:

+ —U = const.Р

4. Простейшиетечения на сфере4. Простейшиетечения на сфереw=m In z^m (In 7?+i8).w=m In z^m (In 7?+i8).(7.5.19)(7.5.19)

4. Простейшиетечения на сфере

4. Простейшиетечения на сфере

w=m In z^m (In 7?+i8).

w=m In z^m (In 7?+i8).

(7.5.19)

(7.5.19)

I. Источник и сток. Пусть комплексный потенциал на zx соответствует источнику в начале координат (и стоку в бесконечности), т. е.

Тогда потенциал скорости и функция тока на сфере будут

ФФ= т In is;\ 24 /= т In is;\ 24 /ф = ^9,ф = ^9,(7.5.20)(7.5.20)

Ф

Ф

= т In is;

\ 24 /

= т In is;

\ 24 /

ф = ^9,

ф = ^9,

(7.5.20)

(7.5.20)

следовательно, уравнение

^=const(7.5.21)

определяет семейство линий тока, т. е. течение идет вдоль меридиа

нов (рис. 80). Составляющие скорости течения на плоскости zx будут

^ = 0-(7.5.22)

Составляющие скорости течения на сфере, как следует из равенств (7.5.17), будут

у6 = —-; у. = 0.(7.5.23)

6 4cos0 х'

Скорость течения на полюсах будет бесконечной, ибо в этих точках будут расположены в южном полушарии источник и в северном полушарии сток. Минимальная скорость течения будет на экваторе.

Как говорилось в предыдущем параграфе, ф и ф, определенные (7.5.20), можно соответственно приравнять^ иц и рассматривать как конформное преобразование поверхности на плоскость.

П а р а вихрей. Пусть комплексный потенциал на zx соответствует вихрю в начале координат и вихрю противоположного знака в бесконечности (рис. 81), т. е.

ip=—ml In z=ni(&—г In R\ip=—ml In z=ni(&—г In R\(7.5.24)(7.5.24)

ip=—ml In z=ni(&—г In R\

ip=—ml In z=ni(&—г In R\

(7.5.24)

(7.5.24)

Тогда потенциал скорости и функция тока на сфере будут

(7.5.25)(7.5.25)Ф = тй; ф — — m In tg f-~ + ~-

(7.5.25)

(7.5.25)

следовательно, параллели

6= const(7.5.26)

будут семейством линий тока (рис. 82).

Составляющие скорости течения на сфере будут

Л cos 6Л cos 6У8= °;

Л cos 6

Л cos 6

На полюсах с^еры будут расположены два вихря противоположных знаков.

§ 6. Некоторые свойства простейших уравнений теченияжидкости в пленках переменной толщины

Как было указано в § 5, течения в пленках переменной толщины, расположенных на криволинейной поверхности, сводятся к течениям . ~в пленках переменной толщины, расположен-

Основные уравненияrг

гных на плоскости, или к течениям в пло

ских пленках, уравнение которых [см. (7.4.9)] на плоскости, определяемой декартовыми координатами ж, у, можно записать в виде

21 = 1 ^ .21 =L 21(7 6 1)

ЭхР ду ’дуР Эх ’

где ф (ж, у) — потенциал скорости, ф (х, у) — функция тока и Р(х, У^—Р^з— закон изменения толщины слоя, расположенного на плоскости. Уравнения, которым удовлетворяют ф и ф:

д (р 21\ । а [р 21\ = О,

(7.6.2)

д М 5^ \д / 1 д^ \ = 0

дх \ Р дх )ду \ Р ду /

являются частным случаем сопряженных эллиптических уравнений. По аналогии с плоскопараллельными течениями можно строить функцию

ty=/(z)=<p (ж, у^-Н^зс, у),(7.6.3)

для которой выполняются соотношения (7.6.1). Эта функция называется Р-аналитической.

Поле скоростей плоских пленок будет определяться [см. (7.6.1)!

== V _a. = __L JL. (7.6.4)

дх Р ду у ду Р дх

Отсюда расход жидкости по толщине пленки и циркуляцию скорости вдоль L соответственно запишем в виде

в

п = J Pvnds = С Р (vxdy — vydx) = % — ^A;(7.6.5)

L Л

В

г = j vsds = J vxdx + vydy = <ps — фА-(7.6.6)

LA

Для замкнутых контуров имеем

(7.6.7)(7.6.7)П-0 и Г-0.

(7.6.7)

(7.6.7)

Последние соотношения можно рассматривать как условия неразрывности течения и отсутствия завихренности или как уравнения движения в интегральной форме. Соотношения (7.6.4) можно записать в полярных координатах:

===(7.6.8)

r dr P rd6 6 rdbP dr7

или в виде

5ф 1 дф е дер 1 dAJ

din г "di ’ "di ~ Р d In г *

Уравнения (7.6.8), так же как и (7.6.1), будут основными уравнениями, описывающими течения в плоских пленках переменной толщины, записанными в полярных координатах.

Функции ср(ж, z/) и ф(ж, z/), связанные форму-

Связь междулой (7.6.1), можно назвать Р-сон ряженными.

функцией токаЕсли одна из Функции ср или ф найдена, то

другая через первую может быть выражена

в квадратурах. Действительно, из (7.6.1) следует

,dtp , dtp J 1/ дф J

dxdxаФ — —— dx А—- dy = — — ахdx du Р \9у

dx

dx

откудаоткуда1 , d'V п . дф , n / dtp 1 dtp , \ d^ = —— dx -\ dy — Р I -L- dy dx ,dx du\ dx du )1 , d'V п . дф , n / dtp 1 dtp , \ d^ = —— dx -\ dy — Р I -L- dy dx ,dx du\ dx du )(7.6.9)(7.6.9)

откуда

откуда

1 , d'V п . дф , n / dtp 1 dtp , \ d^ = —— dx -\ dy — Р I -L- dy dx ,

dx du\ dx du )

1 , d'V п . дф , n / dtp 1 dtp , \ d^ = —— dx -\ dy — Р I -L- dy dx ,

dx du\ dx du )

(7.6.9)

(7.6.9)

Если ф игр выражены в полярных координатах, то, используя (7.6.4)г имеем

^ф = ^г+^6 = ^-(^4г--^г^;

Y dr 90P \ r90dr )

d^^^dr + ^db^P^rdb-^dr}.

W dr90\ drrd^ /

Отсюда

J р \ rdQ

гр = С Р (— rd®- J \9г

— -^ г<ге);

9г/

—^drV

rd6 )

(7.6.10)

или

С 1л

Ф = \ — — d Inr

J Р V9

d In г /

(7.6.10')

■ф = С> 1-^2—d9- J \dlnr

— ^2_ d In rV

96;

3. Сопряженные

Семейство эквипотенциален пленки„»

и семейство линии тока

ф(^, z/)=const ф(ж, y)=const.

удовлетворяющих уравнению (7.6.1), будут взаимно ортогональны. Действительно, из (7.6.1) следует условие их ортогональности:

9cp dx

d'/I 5? d^ _ g

dx dy dy

(7.6.11)(7.6.11)Эти два семейства не будут равноправны в том смысле, что семейство эквипотенциалей нельзя рассматривать как семейство линий тока нового течения в том же слое Р и семейство линий тока нельзя рассматривать как семейство эквипотенциалей в слое Р, как это имело место в плоскопараллельных течениях. Однако если произвести указанную замену, то получим течение в слое с другим законом изменения толщины. Действительно, пусть фт и грт удовлетворяют уравнению (7.6.1). Рассмотрим течение ф2, гр2, которое связано с фп гр! равенствами:

(7.6.11)

(7.6.11)

Фх3^; ^1=—Ф2*

Тогда из (7.6.1) следует, что <р2 и 'Фг удовлетворяют соотношениям:

(7.6.12)(7.6.12)gl?2 = р ^^2 .9?2_ р tyi

(7.6.12)

(7.6.12)

dxdy ’ dydx

Следовательно, ф2, гр2 определяют течение в слое с законом изменения

толщины Рх=-р. Если законы изменения толщины пленок Рх и Р2 связаны соотношением

РА=ЬРА=Ь(7.6.13)

РА=Ь

РА=Ь

то такие пленки назовем сопряженными.

Из сказанного следует, что равенства (7.6.11) по заданному течению в слое Р определяют течение в сопряженном слое ИР.

Предположим, что известны два частных

Принцип решения уравнений (7.6.1): фх» TpT и ср2, наложения потоков 5 mх

гр2. 1огда, сложив уравнения, которым они удовлетворяют, запишем

дф1 । дф2 =1^ду дуРдф1 । дф2 =1^ду дуРd'h . ^2 А дх дх /d'h . ^2 А дх дх /

дф1 । дф2 =1^

ду дуР

дф1 । дф2 =1^

ду дуР

d'h . ^2 А дх дх /

d'h . ^2 А дх дх /

откуда

4~ (Ф1 + Фа) = 4 4" ^ +

ЭхР ду

(7.6.14)

— (Ф1 + Фа) = — (Ф1 + Фа)-

оуР дх

Из полученных равенств следует принцип наложения потоков или принцип суперпозиции, который можно сформулировать в следующем виде: сумма решений будет новым решением уравнений потенциальных течений несжимаемой жидкости в пленках переменной толидины. Этот принцип аналогичен соответствующему принципу плоскопараллельных течений.

Рассмотрим частный вид функции Р. Пусть

Понятие о р зависит только от у. Тогда уравнения 2-дифференцировании (? gд) запишем в виде

дф _1££. дф _ 1 дЬg ^g

дх Р ((/) ду ' дуР (у) дх

Продифференцируем эти равенства по ж, тогда получим д дф 1 д д^ е

дх дх Р (у) ду дх ’

(7.6.16)

д дф 1 д д\>

ду дхР (у) дх дх

Из последних равенств следует, что если <рх и фх— решения уравне- d^vd^i

ний (7.6.15), то <р2 = и ф2 = будут решениями тех же

уравнений. Сказанное позволяет строить новые решения (7.6.15)

по заданным. Если решение системы (7.6.15) рассматривать в виде (7.6.3), то по известному комплексному потенциалу

1Р=/(з)=/(ж+1г/)=ф(а:, yWiW, У)

на основании сказанного можно построить новую функцию Wf , которую обозначим /s (z), удовлетворяющую (7.6.15), вида

17 Эх Эх Р(у) дуJ ду

(7.6.17)

/^ называется S-производной и).

Предположим теперь, что Р=Р(г). Воспользуемся в этом случае уравнениями (7.6.8'), которые перепишем в виде

9<Р =1 а^ е д^ 19^(7.6.18)

д In г Р (г) 99 ’99 Р (г) 9 In г

Отсюда очевидно, что если фх и фх будут решениями (7.6.18), то ф2 = ^- и ф2 = *‘~ также будут решениями исходных уравнений (7.6.18). На основе сказанного можно построить 5 -производную от w — f(z)=f(reB£), записанную в полярных координатах:

/ (2) = / (те1") = — + г =-~|- IP (г) — ^ -- =

79990 Р (г)9 In г7 9 In г

=— fl-ViP^r^.(7.6.19)

Р (г) 9г7 9г7

Понятие 5-дифференцирования позволяет строить новые течения по заданным в случае частных законов изменения Р. Заметим, что наравне с указанными Р можно построить понятие 5 -производной для Р, которые представимы в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одной переменной.

Пусть толщина пленки зависит только от

Понятие о у т с выполняются уравнения (7.6.15).

-интегрировании Обращаясь к равенствам (7.6.9), перепишем их в виде

6 9ср1 9ф

т J дхР дх

С(7.6.20)

где ф и Ф будут удовлетворять (7.6.15).

Как указано в предыдущем пункте, дф/дя:и 8^,дх будут решением системы (7.6.15). Тогда, обозначив их соответственно фх и фх^ перепишем (7.6.20) в виде

ф2 = J Ф1<йг — -^г ^гау;

Р(7.6.21)

'Ра = I

Из последнего следует, что если известно какое-либо решение уравнений (7.6.15) фп грх, то (7.6.21) позволяет найти новое решение той же системы уравнений.

Использовав (7.6.3), запишем

w=f^')=<p1(x, yj+ty^y)

и (7.6.21) запишем в виде

^2 = J / (2) ^2 = J ^г(1х^- гр^у + г У Рф^у + гр^. (7.6.22)

Функция w^ называется S-интегралом от ио.

Предположим далее, что течение описывается уравнениями (7.6.18). Использовав эти уравнения, перепишем равенства (7.6.10) в виде

Г 1 дфдо

<р = J -р "аГ ^ln г + ~аГ №’

(7.6.23)

С д^Эф

где ф, гр будут удовлетворять (7.6.18). Как в предыдущем пункте было показано, если ф, гр — решения уравнений (7.6.18), то и ^ , d^

^ также будут их решениями. Обозначим эти решения фт и грп тогда формулы (7.6.23) можно переписать в виде

С 1

ф2 = J ~р ^d In г + ф^О;

(7.6.24)

гр2 = J гр^9 — Р ф^ In г,

или

С

Ф2 =“Р7 dr + Ф^О;

(7.6.24')

^2 = J ^9— ДГ.

Из последних равенств следует, что если известно какое-либо решение уравнений (7.6.18) ф1? грг, то соотношения (7.6.24) или (7.6.24') позволяют найти новое решение той же системы уравнений. Тогда равенство (7.6.22) можно переписать в виде

w2 = J / (Z) dz = JA dr + T^Q + г J -ф^О — ^- dr. (7.6.25)

Комплексное выражение (7.6.25) также можно назвать 5-интегралом от w^ записанным в полярных координатах. Некоторая неидентич- ность формул (7.6.22) и (7.6.25) определяется тем, что в уравнениях (7.6.15) Р является функцией второй из переменных ж, у. а в уравнениях (7.6.18) Р есть функция первой из переменных г, 0.

Так же, как и 5 -дифференцирование, понятие 5 -интегрирования позволяет строить новые решения по заданным в случае частных законов изменения Р. В частности, следует обратить внимание на то, что системе уравнений (7.6.15) и (7.6.18) тождественно удовлетворяют значения ср=const и ф=const или w = const. Используя эти решения, можно строить решения исходных уравнений при помощи (7.6.21) и (7.6.24) при заданных Р, зависящих от у или х.

Понятие 5-интегрирования, так же как и понятие 5-дифференцирования, обобщается на случай, когда Р является произведением двух функций, каждая из которых зависит только от одного переменного.

§ 7. Осесимметричное потенциальное движение идеальнойжидкости

В качестве примера течений в плоской пленке переменной толщины рассмотрим осесимметричные течения жидкости. Эти течения опи. ~сываются уравнениями (7.3.15), которые за-

Основные уравнения1

пишем в декартовых координатах х, у (рис. 83), полагая z^x, у=г:

(7.7.1)(7.7.1)5ф1дфд(^1д^

(7.7.1)

(7.7.1)

дхудуVy дуудх *

Рис. 83Рис. 83или в полярных координатах г, 0, полагая #=rcos0, y=r sin0 (см. рис. 83):

Рис. 83

Рис. 83

5ф 1 дф^г дг г2 sind 56 ’

(7.7.2)

5ф1 д^

V® r56 rsin 6 дг *

2. Движения вдолькоординатных осейдекартовой системы2. Движения вдолькоординатных осейдекартовой системыПостроим осесимметричные течения, скорость которых направлена вдоль координатных осей. Пусть vx = v0 и иу=0. Тогда из уравнений (7.7.1) имеем

2. Движения вдолькоординатных осейдекартовой системы

2. Движения вдолькоординатных осейдекартовой системы

5ф 1 д^5ф1 5ф

.■--№’^-7-^<7-«)

откуда следует, что ф есть функция только х и ф будет функцией только у и

d^)=vodx; d^ = vQy.

Интегрируя последние равенства, находим

ф — иох; ф = ^- у2.Ф-ТА)

Течение, описываемое уравнениями (7.7.4), можно рассматривать как поступательный прямолинейный поток, направленный вдоль оси х и обладающий скоростью и0. Рассмотрим поток, скорость которого направлена вдоль оси у (ось изменения толщины слоя). В этом случае из

* 7(7.7.1) следует

JSep _ 1

*удх " у "ду е

/Таким образом, ф есть функция только у иф

d^ 1 drsin 6 d^ ’

где с — константа. Следовательно, dr

^ф = с — ; с?ф = с sin 6 и с

Ф =—; ф = — с cos 0.(7.7.7)

Скорость рассматриваемого течения из (7.7.7) определяется формулами: с

«Г =; уе = °-(7-7-8)

Используя эти формулы, подсчитаем количество жидкости Q, протекающее в единицу времени через сферу радиуса г, центр которой расположен в начале координат:

д = 4т:г2 — = 4т:с.(7.7.9)

Следовательно, количество жидкости, протекающее через сферу, не зависит от ее радиуса. Из (7.7.9) имеем

Q с = —-(7.7.9')

и окончательно формулы (7.7.7) можно переписать в виде

Q 1Q

Ф =^ —; ф= - — cost).(7.7.7')

На основании сказанного течение, описываемое формулами (7.7.7'), можно рассматривать как пространственный источник, расположенный в начале координат (рис. 85). Величина Q называется мощностью, или обильностью источника.

Рис. 85

Рис. 86

Если в формулах (7.7.7') сменить знаки на обратные и положить Q 1О

т = —coS9,(7.7.10)

то скорость течения будет направлена в сторону, обратную г и равенства (7.7.10) будут описывать течения, вызванные стоком, расположенным в начале координат (рис. 86). Переходя к декартовым координатам, формулы (7.7.7'), можно переписать в виде

(7ЛЛ")(7ЛЛ")Q 1Q х

(7ЛЛ")

(7ЛЛ")

Ф = ;Ф =■■— .

4л: уд.2^24л: У ж2 -f у2

Если источник расположен не в начале координат, а в произвольной точке х0 оси симметрии слоя х, то на основании (7.7.7") Ф и ф такого источника определятся в виде

ф = — Л;=21 ~. (7.7.11)

^ У (х-х0)а+^у^-^^у^

о Так как справедлив принцип наложения

4. Пространственный ПрИ рассмотрении течений в пленках пере- дипольг

меннои толщины, то можно, используя (7.7.11), записать (риф течения, созданного одновременным действием источника и стока (рис. 87), в виде

„ Q /11

ф — ■I„____^ZZZ^ZZZZZZZZZZZZZZ2ZZ1—

^ х У L ^ — (20 -+- ^)Р -Ь У2У (^ — ^о)2 Т Ул

(1ЛЛ^

Ф = Q /* — (*о 4- ^)х—х0 \

4л; \|/ ^_ (Ж() _|_ ^^2 у (х —я0)2 + у2 )

Рис. 87Рис. 87где й — расстояние между источником и стоком.

Рис. 87

Рис. 87

Разделим и умножим последние равенства на h и перейдем к пределу, полагая, что h стремится к нулю, a Q — к бесконечности так, что произведение Qh все время остается постоянной величиной, т. е.

lim Qh = М.

h->0

Q-*oo

Тогда формулы (7.7.12) можно записать в виде

М 81.

ф — 1 1"" — ” * *

4л дх0 У (х-^Р+У2

м ax — xq

Ф --.

4д дх0 У (я — ж0)2 4- у2

Подсчитав производные, эти равенства перепишем в виде

Мх — х0

(7.7.13)(7.7.13)Ф =— —1 - ;

(7.7.13)

(7.7.13)

, му2

lb ■

4л V U$-=o?-ty43

Течение, описываемое уравнениями (7.7.13), представляет собой предельный случай пространственных источника и стока. По ана

логии с плоским случаем такое течение следует назвать простран

ственным диполем. Величину М назовем моментом диполя. Если пространственный диполь расположен в начале координат, то ф и гр его на основании (7.7.13) будут вида

Из этих равенств следует, что уравнения линий тока пространственного диполя будут

(7.7.15)(7.7.15)у4=Л(я2+у2)3,

(7.7.15)

(7.7.15)

где Л — постоянная, определяющая ту или иную линию семейства. Нулевой линией тока будет ось х (И=0; у=0). Заметим, что, в отличие от плоского случая, уравнения линий тока пространственного диполя уже не будут окружностями. Однако все линии тока как в плоском, так и в пространственном случае будут проходить через начало координат, будут симметричны относительно осей х, у, и, следовательно, характер течения, как в обоих случаях, будет одинаков (рис. 88).

Используя полярные координаты, уравнения (7.7.14) можно

записать в виде

М cos6 . М sin26

(7.7.15')(7.7.15')Ф =; гр =

(7.7.15')

(7.7.15')

4л г24л г

Из последних равенств следует, что нулевая линия тока гр=О совпадает с полярной осью 9=0 и ее продолжением 9=л, т. е. совпадает с осью х. Скорость течения вдоль этой линии будет

(Уг)о=0,л(Уг)о=0,л/ Мcos6\ 2л гз/ Мcos6\ 2л гз6=0. тс6=0. тс

(Уг)о=0,л

(Уг)о=0,л

/ Мcos6

\ 2л гз

/ Мcos6

\ 2л гз

6=0. тс

6=0. тс

7*7*е. она всегда направлена в положительную сторону оси х (см* рис. 88).

7*

7*

17^

Ось х, как следует из рис. 88, можно рассматривать как ось диполя, г^оторый описывается равенствами (7.7.15'). Если ось диполя направлена в отрицательную сторону оси х, то в формулах (7.7.15) следует сменить знаки на обратные, т. е.

(7.7.15")(7.7.15")М cos 6,М sin26

(7.7.15")

(7.7.15")

m =; ф =

4л г24л г

5. Применение операцийS - дифференцированияи S-интегрированиядля построенияосесимметричныхтеченийО которой говорилось5. Применение операцийS - дифференцированияи S-интегрированиядля построенияосесимметричныхтеченийО которой говорилосьВ предыдущем пункте пространственный диполь был получен из физических соображений путем предельного сближения источника и стока. Однако пространственный диполь можно получить и формальным методом путем операции 5 -дифференцирования, ранее.

5. Применение операцийS - дифференцированияи S-интегрированиядля построенияосесимметричныхтечений

О которой говорилось

5. Применение операцийS - дифференцированияи S-интегрированиядля построенияосесимметричныхтечений

О которой говорилось

Действительно, дифференцируя, как указано в п. 6 § 6, (7.7.7")

п раз по х, находим

1 .

Ф ;

(7.7.16)(7.7.16)4л дхп |/ж2 _|_ у2

(7.7.16)

(7.7.16)

,Q дп х

ф =—

4л дхп ух2 ±у2

Отсюда при и=1 определяются ф и ф диполя [см. формулы (7.7.13)] и при п>1 — потенциал скорости ф и функция тока ф течений, которые соответствуют мультиполям, расположенным на оси симметрии слоя.

Подобным же образом, применяя операцию 5-интегрирования, можно получить некоторые осесимметричные течения, в частности течения (7.7.4) и (7.7.5). Действительно, формулы (7.7.1) удовлетворяются тождественно, если ф иф будут постоянными, т. е.

ф^Л; ф=5.(7.7.17)

Используя формулы (7.6.21), найдем течение, которое определяется потенциалом скорости и функцией тока вида

ф= ( Adx— — dy= Ах— В In у;

(7.7.18) ф = j Aydy Bdx = ^—|- Вх.

Уравнения линий тока этого течения будут

А^+Вх-С,(1ЛЛ9

где Av В. С — произвольные постоянные.

в-41в-41Из равенства (7.7.19) следует, что линиями тока будут параболы,

в

-41

в

-41

которые при значенияхкоторые при значениях<0 изображены на рис. 89. При 5=0

которые при значениях

которые при значениях

уравнения (7.7.18) определяют течение (7.7.4) и при А =0 — течение (7.7.5).

Используем уравнения (7.7.18) для построения нового течения по формулам (7.6.21). Пусть В=0, А=1, тогда получим

Г ,1 У2 . ж2 у2 .

<р = j

Г yxdy Н—— dx — Г -^-dx-V ( xydy =(7.7.20)

J2 J 2 J

LX»у»

2Ур ДрУр , ду2 ху^ ху2 ( ^

22 + ~2Г" ~ “ + С1

Рис. 90Рис. 90

Рис. 90

Рис. 90

Линии тока нового теченияЛинии тока нового течениябудут определяться уравнением

Линии тока нового течения

Линии тока нового течения

ху^=С,ху^=С,(7.7.21)

ху^=С,

ху^=С,

где С — постоянная. Следовательно, нулевыми линиями тока будут координатные оси.

Так как скорости течения (7.7.20) определяются равенствами:

(7.7.22)(7.7.22)и

(7.7.22)

(7.7.22)

V = Х\ Vv =,

х у 2

то начало координат а;=у=О будет критической точкой течения, изображенного на рис. 90. Это течение можно рассматривать как аналог плоскопараллельного течения, вызванного квадруполем, расположенным в бесконечности.

Течение (7.7.18) можно рассматривать как аналог поступательного прямолинейного плоскопараллельного течения, произвольным образом расположенного относительно осей координат. Применяя последовательно формулу (7.6.21) и беря в качестве исходного течения (7.7.18), можно построить для осесимметричного течения аналоги плоскопараллельных течений, вызванных мультиполями, расположенными в бесконечности.

. Обтекание Рассмотрим обтекание поступательным по- полубесконечного тела током полубесконечного тела вращения, ось которого совпадает с направлением потока. Поставленная задача осесимметричная, следовательно, достаточно изучить течение в плоскости ж, у, описываемое уравнениями (7.7.1) или (7.7.2). Так как тело обтекается потоком идеальной жидкости, то сечение тела с плоскостью ж, у должно быть линией тока. Будем решать обратную задачу. Рассмотрим наложение двух течений: пространственного источника (7.7.7') или (7.7.7") и поступательного потока (7.7.4). Среди линий тока найдем полубесконечную кривую, скорость течения вдоль которой будет конечна. Форма этой кривой определит границу тела. Итак, рассмотрим, течение, представляющее собой наложение (7.7.7") и (7.7.4). Тогда ф и гр можно записать в виде

(7.7.23)

24л -j/ д.2 _j_ у2

Отсюда составляющие скорости течения будут определяться по формулам: до , Qх

Vx—= у0 + ~—; :■—-=-;

9хV (я2 4- у2)3

(7.7.24) у = J?У е уа у4л у^+р)3

Из (7.7.24) следует, что течение имеет критическую точку, координаты которой будут

^кр = --^-; г/кР = о.(7.7.25)

v4лр0

Обращаясь к (7.7.23), имеем, что через критическую точку проходят прямая

и линия тока, уравнение которой с учетом, что zKp отрицательно, будет

^2 _ _2_1= _2_.(7.7.26)

24л уха _|_ у2 4л

Равенство (7.7.26) можно записать в виде cos9=-^ у2 —1,(7.7.26')

где 9 — полярная координата плоскости ж, у. 182

Уравнение (7.7.26) описывает кривую, которая является образующей полубесконечного тела вращения, обтекаемого поступательным потоком (рис. 91). Из (7.7.26) следует

l-^-z/2—1 |<1,

I Q I или

_1’1 </5-<7-7-27)

Отсюда у — j/*~- будет асимптотой — образующей полубесконечного тела вращения (см. рис. 91), которое обтекается поступательным потоком.

Рис. 91Рис. 91

Рис. 91

Рис. 91

Заметим, что уравнение (7.7.26), определяющее обтекание тела вращения, удобно для построения формы этого тела.

В качестве еще одного примера обратной

. Обтекание шара краевой задачи рассмотрим течение, соз- поступательным потоком гv „

данное наложением прямолинейного посту

пательного потока (7.7.4) вдоль положительного направления оси

х и диполя, расположенного в начале координат с осью, направленной в отрицательную сторону оси х (7.7.15).

Пользуясь полярными координатами, ф и ф такого течения запишем в виде

Ф = V + г cos9;

\4л; г2 /

(7.7.28)

ф = —sin29.

Y \ 24^ г )

Отсюда следует, что нулевая линия тока распадается на две кривые: ось х

6 =0, л(7.7.29)

и окружность радиуса

Г =•(7.7.29-)

Следовательно, уравнения (7.7.28) определяют обтекание поступательным потоком окружности с центром в начале координат, которая расположена в слое переменной толщины Р—у (рис. 92).

С пространственной точки зрения (7.7.28) описывают обтекание поступательным потоком шара.

Для того чтобы поступательный поток, имеющий скорость р0, обтекал сферу радиуса а, на основании (7.7.29') следует положить момент диполя, равным

М = 2™0а3.(7.7.30)

Тогда составляющие скорости течения будут, как следует из (7.7.20), определяться формулами:

,аз х(7.7.31)

1 НsinO.

\2г3 /

Следовательно, на сфере будут две критические точки0=0, л. Распределение скорости на поверхности шара определяется из (7.7.31) формулой

3. Л

у = — у0 sin9,

т. е. в точках 0=±л скорость течения на поверхности сферы будет 3

максимальной (.и—уи^. Так как рассматривается установившееся потенциальное течение идеальной жидкости, то имеет место интеграл Бернулли—Эйлера, согласно которому давление в жидкости будет

P = Po + -f [^-(^+^)]«(7.7.32)

где vr и Рэ определяются из (7.7.31).

В частности, на поверхности шара давление находится из равенства

Р = Ро +— sin2db(7.7.33)

Из последней формулы имеем, что давление будет одинаково в точках шара, расположенного симметрично относительно плоскости 6—л/2. Отсюда следует, что суммарное давление, оказываемое жидкостью на шар, равно нулю, т. е. шар, обтекаемый жидкостью, не испытывает сопротивления. Этот результат при больших скоростях набегающего потока, противоречащий опыту, называется, по аналогии с соответствующим плоским случаем, парадоксом Даламбера. Он указывает на то, что схема безотрывного обтекания сферы поступательным потоком, скорость которого не слишком мала, не имеет места. В последнем случае с поверхности шара срывается поток, который образует за шаром вихри, существенно изменяющие всю картину обтекания шара и распределения давления на нем.

Заключение В настоящем параграфе рассматривались течения в пленке, закон изменения толщины которой Р=у. Характерной особенностью этого слоя является то, что она обладает особой линией — линией нулевой толидины слоя. Существование этой особой линии накладывает на течение определенные ограничения. Например, можно требовать, чтобы жидкость не протекала через эту линию или она была линией тока.

Уравнения, описывающие течения в пленке Р=у, совпадают с уравнениями, описывающими пространственные осесимметричные течения, если течение будет симметрично относительно линии нулевой толщины.

Только простейшие течения в слое Р—у или осесимметричные течения, которые отвечают особым точкам, расположенным на линии нулевой толщины слоя или в бесконечно удаленных точках, изучены в настоящем параграфе. Однако можно построить течения, вызванные любым расположением особых точек относительно линии нулевой толщины слоя Р=у, если рассмотреть круговой вихрь, круговой источник и применить операции S интегрирования, описанные ранее.

Пространственный аналог течения в слое переменной толщины имеет место только в случае Р^ у. Поэтому для общего случая закона изменения слоя переменной толщины следует указать критерии решений, уравнений движения, которые отвечают источникам (стокам) и вихрям. Имея в распоряжении указанные особенности, можно построить течения с любыми особыми точками, применяя операции S-дифференцирования и S-интегрирования.

§ 8. Первые фундаментальные решения уравнений движенияи их связь с источниками и вихрями

Построение источников или стоков и вихрей в плоских (а следовательно, и искривленных) слоях переменной толщины можно выполнить, используя решения сопряженных

Обобщениеэллиптических уравнений (7.6.2), описыва-

формулы ГринаJ г47

*ющих движение в пленках.

Запишем эти уравнения в виде

"г(р^ +/- (Р-^-) = ИДф + —-vv) = 0, (7.8.1)

дх \ дх / ду \ оу /\/

где А = —- -]оператор Лапласа, v = — i А7 дх^ дузг Г, V дх I /

ратор Гамильтона.

Введем операторы, которые можно рассматривать как обобщение 1

оператора Лапласа. Обозначим их Д(Р, ...), А(”,...) и определим следующим образом:

Д(Р,...) = р(д + ^.у);

(7.8.3)(7.8.3)

(7.8.3)

(7.8.3)

При помощи этих операторов уравнения движения (7.8.1) и (7.8.2) можно записать в виде

Д (Р, ф) = 0; Д (А, ^ = 0.(7.8.4)

Из (7.8.3) следует, что введенные операторы при Р=1 обращаются в оператор Лапласа, характерный для плоскопараллельного движения, ибо уравнения, которым удовлетворяют ф игр, в этом случае будут Аф=0 и Дгр=О. Операторы (7.8.3) характерны для течений в плоских пленках переменной толщины, ибо уравнениями, которым удовлетворяютф игр, в этом случае будут (7.8.4).

Используя операторы (7.8.3), построим формулы, которые будут обобщением формулы Грина. Пусть ф, фь гр, гр г— произвольные непрерывные функции х, у. обладающие двумя непрерывными производными в области а. Подсчитаем интегралы по области or вида

[фА (Р,фх) — фхА (Р, ф] dxdy\[фА (Р,фх) — фхА (Р, ф] dxdy\Согласно (7.8.3) эти интегралы перепишем в видеСогласно (7.8.3) эти интегралы перепишем в виде

[фА (Р,фх) — фхА (Р, ф] dxdy\

[фА (Р,фх) — фхА (Р, ф] dxdy\

Согласно (7.8.3) эти интегралы перепишем в виде

Согласно (7.8.3) эти интегралы перепишем в виде

Используя формулу преобразования двойного интеграла по области от в криволинейный по границе этой области L*.

Pdx + QdyPdx + Qdy

Pdx + Qdy

Pdx + Qdy

и формулыи формулы

и формулы

и формулы

dnds е dn ds

dxdy ' dydx

где n — внешняя нормаль к контуру L и s — направление дуги контура, получаем обобщение формулы, Грина вида

С С [фД (Р, ф^ — ф,Д (Р, Ф)] dxdy = f Р ( ф ^ — ф! -^Ц ds;

(7.8.5)

Если справедливы уравнения (7.8.4), то криволинейные интегралы (7.8.5) обращаются в нуль:

С Р ( ср —ds — 0;

J \ дпдп )

L(7.8.5')

^(<^-^-^\ds^.

з Р V Эпдп )

L

Если только ф иф удовлетворяют (7.8.1) и (7.8.2), то из (7.8.5) имеем

J J фД (Р, Ф1) dxdy = f Р ( Ф ^ - Ф1-^) ds;

С С / 1\С 1 /\(7.8.5 )

(-7. ^a*-^ -7 (l -1ч 57) 4s-

Определение

функции тока и потенциала Частные решения (7.8.1) и (7.8.2) называют- черезСихРзначенияся главными, или первыми фундаменталь-

на границе области ными, если они имеют вид

Фф = С [Фо (Л у- ж0. Уо) In + / (ж, у, х0, у0)];(7.8.6)

Фф = ^[Фо (ж, у, х0, у0) In -L + ^ ^ у> ^ Уо)],(7.8.7)

где г^уЧк—КоУ-Ну—УоУ^ фо иф0— соответственно решения (7.8.1) и (7.8.2), которые равны единице при x=xOs y=yQ; /, fT обращаются в нуль при х=х01 у=у^ полагается, что функции ф0, ф0, /, j\ непрерывны вместе со своими первыми и вторыми частными производными в области, где определены решения (7.8.1) и (7.8.2); С, Сх— постоянные.

Рассмотрим одновременно с фф ифф какие-либо решения (7.8.1) и (7.8.2), непрерывные вместе со своими частными производными первого и второго порядка всюду в области решения этих уравнений. В точке х=х01 у=у0 фундаментальные решения (7.8.6) и (7.8.7) претерпевают нарушение непрерывности по логарифмическому закону. Поэтому для того чтобы применить обобщение формулы Грина

(7.8.5') для указанных фф, ф и грф, гр, исключим точку ж0, у0 из пределов рассматриваемой области, окружив ее кольцевым контуром Lx радиуса г0 с центром в этой точке, и соединим контур Lx разрезом I с контуром L (рис. 93). Применим равенство (7.8.5") к построенному контуру. Так как вдоль разреза I интегралы берутся дважды в противоположных направлениях, как указано стрелкой, то они уничтожаются. Интегралы по L и Lx берутся в противоположных направлениях, следовательно, предполагая направление обхода L и Lx одинаковым, интегралам по L и Lx нужно приписать обратные знаки. На основании сказанного (7.8.5) можно записать в виде

[ р( <Р^ —Фф 44 »s = [ р( Ф^ —Ф* 44 ds- (7-8-8)

J \ т дпдп ) Jonдп )’ v 7

LLv

f 1 / . дФф . дф \ , f 1 / 1 ^ф . ^А ЛQ

1 ф Ф<ьIФ —:Фл ^s-(7.8.9)

J Р \ дпдп ) J Р \ т дпdn )х 7

LLx

ра 11С5<р01п —ра 11С5<р01п —Используя (7.8.6) и (7.8.7), запишем интегралы по Lx в виде двух интегралов:

ра 11

С5<р01п —

ра 11

С5<р01п —

I Р I ф ^о V тдпLi хI Р I ф ^о V тдпLi хФо In ——) ds + С ] Р ( ф ~ —/ds;

I Р I ф ^

о V тдп

Li х

I Р I ф ^

о V тдп

Li х

г дп )1 J \ т дп дп )’

(7.8.9')

Так как ф и-ф, по условию, удовлетворяют соответственно (7.8.1) и (7.8.2), то последние интегралы, используя (7.8.5'), запишем в виде

с^ р ^^ — f ^ ds = С ^ фА(Р,/) axdy;

С1 Г 4" (^ ^~~^ Т") ds = C1 f ( ^Л ("р" ’ ^ dxdy- ) Р \ дп дп IJ J \ Р /

Ц°i

Так как Д(Р, /) и Д(-р-, f^ внутри окружности радиуса г0 непрерывны то справедливы неравенства:

С JJ срД (Р, /) dxdy < Л J j dxdy = Лиго ;

Сх J J фА ^- , /1 ) dxdy < 5 j ^ dxdy = Вч^Л ,

где А и В— постоянные величины, большие соответственно, чем 1

СфА(Р, /) и СхфА^, /J внутри окружности Lv

Из последних формул следует, что при г0—>0 последние интегралы стремятся к нулю. Оставшиеся интегралы (7.8.9) запишем в виде

С С Р In -1, ( ф — ф ds + С \ Рффо —а - Г — rdti;

Jr0 \ т dnOn )1) ТТО ^г

LtLt

рdin А

Cl ( 4" ln ~ ( ^ Т1 ~ ^ f4 ds + Ci f 4" Wo97^— rdQ,

J P rQ \ dndn) Por

ULt

где r0— радиус окружности Lx и 0 — ее полярный угол.

Первые из интегралов последних формул на основании соотношений (7.8.5) обращаются в нуль. Оставшиеся же интегралы в пределе, когда го^О и при этом ф0=1 иф0=1, соответственно равны:

— 2irCP (ж0, у0) <р (ж0, у^;^С ■ • \р (ж0, у0).

Р^е, Уо)

Так как исходные равенства (7.8.8) и (7.8.9) справедливы в пределе, когда г0->0, то на основании приведенных исследований имеем

Ф (^о, Уо) = 2лСР(х0> у0) j V* "F ^“f)^®’(7-8-10)

Р (х0, Уо) (1 / I ^Ф\

ф(^о,?/о)= -^сГ" .1 "рds’ <7'8Л1)

L

где С, Сх— постоянные, которые могут иметь и положительное, и отрицательное значения; фф, фф—соответственно фундаментальные решения уравнений (7.8.1) и (7.8.2); Р^ у0) — толщина слоя в точке, где фундаментальное решение претерпевает нарушение непрерывности по логарифмическому закону.

Формулы (7.8.10) и (7.8.11) длЯф,ф Ифф,фф, удовлетворяющих (7.8.1) и (7.8.2), позволяют определить значения этих функций во внутренних точках области о по значениям их на границе области L.

Соотношения (7.8.10) и (7.8.11) можно рассматривать как обобщение соответствующих формул для гармонических функций, в которые они переходят при P — V

vЧастными решениями уравнений (7.8.1) и

Точечный источник (7 g 2) будут постоянные значения ф и ф. переменной толщины Выберем эти постоянные в качестве ф и ф, входящих в формулы (7.8.10) и (7.8.11).

Тогда эти уравнения примут вид

2кСР <х01 у^ =2кСР <х01 у^ =(7.8.12)(7.8.12)"аГ ds-"аГ ds-(7.8.13)(7.8.13)2nCtР (^о. do)2nCtР (^о. do)Рис. 94Рис. 94и vti к составляющим скорости ии ии vti к составляющим скорости ии и„ ^фф 1 5Фф Покажем, что —3— и ——т-On Р on представляют собой соответственно скорость иа1 направленную по внешней нормали контура Ls и скорость vs, направленную по касательной к контуру, причем положительное направление обхода контура L считается против часовой стрелки. Действительно, перейдем от составляющих скорости их vs. Согласно рис. 94 имеем:„ ^фф 1 5Фф Покажем, что —3— и ——т-On Р on представляют собой соответственно скорость иа1 направленную по внешней нормали контура Ls и скорость vs, направленную по касательной к контуру, причем положительное направление обхода контура L считается против часовой стрелки. Действительно, перейдем от составляющих скорости их vs. Согласно рис. 94 имеем:dx ,Уп = ух — + У.dn •dx ,Уп = ух — + У.dn •dy'у — ^ ^. апdy'у — ^ ^. ап4-".4-".dx е dsdx е dsdxdxVs = V — > dnVs = V — > dndydy .+ Vdnds 'dydy .+ Vdnds 'dx dsdx dsТак как ux и vy можно записать в видеТак как ux и vy можно записать в виде

2кСР <х01 у^ =

2кСР <х01 у^ =

(7.8.12)

(7.8.12)

"аГ ds-

"аГ ds-

(7.8.13)

(7.8.13)

2nCt

Р (^о. do)

2nCt

Р (^о. do)

Рис. 94

Рис. 94

и vti к составляющим скорости ии и

и vti к составляющим скорости ии и

„ ^фф 1 5Фф Покажем, что —3— и ——т-

On Р on представляют собой соответственно скорость иа1 направленную по внешней нормали контура Ls и скорость vs, направленную по касательной к контуру, причем положительное направление обхода контура L считается против часовой стрелки. Действительно, перейдем от составляющих скорости их vs. Согласно рис. 94 имеем:

„ ^фф 1 5Фф Покажем, что —3— и ——т-

On Р on представляют собой соответственно скорость иа1 направленную по внешней нормали контура Ls и скорость vs, направленную по касательной к контуру, причем положительное направление обхода контура L считается против часовой стрелки. Действительно, перейдем от составляющих скорости их vs. Согласно рис. 94 имеем:

dx ,

Уп = ух — + У.

dn •

dx ,

Уп = ух — + У.

dn •

dy

'у — ^ ^. ап

dy

'у — ^ ^. ап

4-".

4-".

dx е ds

dx е ds

dx

dx

Vs = V — > dn

Vs = V — > dn

dydy .

+ V

dnds '

dydy .

+ V

dnds '

dx ds

dx ds

Так как ux и vy можно записать в виде

Так как ux и vy можно записать в виде

dtp 1^ . ^91dф

ЭхРду ’У дуРдх '

то

(7.8.14)(7.8.14')(7.8.14)(7.8.14')у ==1■

(7.8.14)

(7.8.14')

(7.8.14)

(7.8.14')

" 8п Р ds ’

dtp 1 дфds"р~да

Из формул (7.8.12) и (7.8.14) следует, что I Р -^- ds по произ- L

вольному замкнутому контуру L, охватывающему точку л:0, у0, представляет собой расход жидкости П через поверхность, вырезан*

ную в слое, опирающуюся на контур L, образующие которой нормальны к подошве и кровле слоя.

Как следует из соотношения (7.8.12), этот расход постоянен и С может быть выражено через П в виде

Следовательно, точка ж0, у0, в которой решение уравнения потенциала скорости фф претерпевает логарифмическое нарушение непрерывности, обладает характерным свойством источника. Отсюда следует, что фундаментальное решение уравнения потенциала скорости (7.8.1) описывает течение, которое обладает источником, расположенным в точке х0, у0.

Величину П назовем расходом источника, расположенного в слое переменной толщины. Как следует из (7.8.14), II зависит от толщины слоя в точке расположения источника. В связи с этим введем одновременно понятие обильности источника Q, которое связано с П соотношением

QP(x0, у0)—П.(7.8.16)

с = — 5-.2 л:с = — 5-.2 л:Отсюда С можно записать в виде

с = — 5-.

2 л:

с = — 5-.

2 л:

(7.8.15')

Заметим, что источник, расположенный в слое переменной толщины, следует рассматривать как равномерное распределение пространственных источников вдоль отрезка кривой, проходящего через точку х0, уп и ограниченного подошвой и кровлей слоя, к которым этот отрезок перпендикулярен. Поэтому П характеризует суммарное количество жидкости, которое выбрасывается всем указанным отрезком в слой; Q характеризует количество жидкости, выбрасываемое только одной точкой распределенного вдоль указанного отрезка источника.

Обращаясь к равенствам (7.8.6), (7.8.15) и (7.8.15'), потенциал скорости источника можно записать в виде

ПГ41

Фист[Р] = - — Фо1п —+ /1,(7.8.17)

2т;Р(х01у0) LГJ

где символ [Р] указывает, что источник расположен в слое с законом изменения Р, П — расход источника, или

(7.8.17')(7.8.17')Л /4\

(7.8.17')

(7.8.17')

Фиет [-Р] =— (Фо 1П — + /) ,

2л: \г/

где Q — обильность источника.

Источник, потенциал которого записан в виде (7.8.17'), называется нормированным.

Если в формулах (7.8.17) и (7.8.17') знаки сменить на обратные, то они будут описывать потенциал скорости стока, расположенного в точке х0. у0.

Из формул (7.8.13) и (7.8.14) следует, что — 1 "р^Г ^s

по произвольному замкнутому контуру L. охватывающему точку х0. у0. представляет собой циркуляцию скорости Г вдоль L.

Как следует из соотношения (7.8.13), эта циркуляция будет постоянна для всех контуров L и Сг может быть выражено через Г в виде

С^ = ГР^У^,(7.8.18)

Следовательно, точка х0. у0. в которой решение уравнения функции тока фф претерпевает логарифмическое нарушение непрерывности, обладает характерным свойством вихря. Отсюда следует, что фундаментальное решение уравнения функции тока (7.8.2) описывает течение. которое обладает вихрем. расположенным в точке xQ, у0.

Наряду с циркуляцией Г введем величину

Г-=ГР^ Уо),(7.8.19)

которую назовем суммарной циркуляцией вихря по слою. Обращаясь к равенствам (7.8.7), (7.8.18) и (7.8.19), функцию тока вихря, расположенного в слое с законом изменения Р. можно записать в виде

^вих [^1 =(to In -7 + А),(7.8.20)

где Г — циркуляция вихря, или

^вих [Р] = 4" (^о1п — + А ) ’(7.8.20')

2л; \г /

где Г' — суммарная циркуляция вихря.

Вихрь, функция тока которого записана в виде (7.8.20'), называется нормированным.

Формулы (7.8.20) и (7.8.20') описывают вихри, направление циркуляции которых против часовой стрелки. Если в (7.8.20) и (7.8.20') сменить знаки на обратные, то такие формулы будут описывать вихрь, циркуляция которого в плоскости течения направлена по часовой стрелке.

Следует подчеркнуть, что в пленках переменной толидины источники и вихри описываются однотипными решениями в оби^ем случае различных уравнений (7.8.1) и (7.8.2), которым удовлетворяют у иф.

Формулы (7.8.17), (7.8.17') определяют потенциал скорости источника, а формулы (7.8.20), (7.8.2Г) — функцию тока вихря. Обращаясь к равенствам (7.6.9), при помощи квадратур можно получить функцию тока источника (фист[Р0 и потенциал скорости вихря (<Рвих1Р1).

Заметим, что уравнения (7.8.1) и (7.8.2) можно рассматривать как уравнения, которым удовлетворяют потенциалы скорости для сопряженных пленок с законами изменения толщин Р и 1/Р. С этой точки зрения следует сказать, что построение источников и вихрей в слое Р связано с нахождением первых фундаментальных решений для ф в основной пленке и ей сопряженной.

Уравнения движений (7.8.1) и (7.8.2) мож- 4. Приведенный потенциал но Привести к простейшему виду, если за- и приведенная функция менить ^ и ^ через новые функции ф, т> пользуясь соотношениями:

ф = Л:; ^ = y^V.

Vp

(7.8.21)

Функции ф и V назовем соответственно приведенным потенциалом и приведенной функцией тока. Осуществив в уравнениях (7.8.1) и (7.8.2) замену (7.8.21) и произведя соответствующие вычисления, придем к уравнению относительно приведенного потенциала ф и приведенной функции тока

Vр ( Аф—Ф А = 0;

\ V? /

д X \

AYК£_ Y I = 0,

Vp /

(7.8.22)

(7.8.23)

или, записывая эти уравнения несколько иначе, имеем

ДФ _ Л у Р .

Ф уу

Ф ”1 е

(7.8.22х)

(7.8.23')

Замечательной особенностью уравнений (7.8.22') и (7.8.23') является то, что они соответственно симметричны относительно ф, у Р иТ у=.

Преобразование уравнений (7.8.1) и (7.8.2) к виду (7.8.22) и (7.8.23) может быть в частности использовано при отыскании фундаментальных решений относительно ф иф, существенная роль которых указана выше.

Действительно, пусть известны первые фундаментальные реше- нияфф (7.8.22) и Фф (7.8.23), тогда согласно формулам (7.8.21) найдем

Ф = Л ФФ; 1) =^ф-(7.8.24)

Vp

Из последних соотношений можно построить фундаментальные решения для ф игр. Для этого следует умножить равенства (7.8.24) на такие функции х^ у01 чтобы коэффициенты при фф и Тф обращались в единицу при х=х0 и у=у^. Из сказанного очевидно, что

Фф = К^^. Фф.(7 8 25>

V р у)

% =(7.8.26)

V Р(^о> У о)

Формулы (7.8.25) и (7.8.26) будут частным случаем преобразований:

«р-Р^.у^^-Рух^УРЧ, (7.8.27)

где F и FT— произвольные функции хй. у0. Преобразования (7.8.27) так же как и (7.8.21), сводят уравнения (7.8.1) и (7.8.2) к уравнениям вида (7.8.22), (7.8.23) или (7.8.22'), (7.8.23').

Построение простейших течений в пленке с толщиной, меняющейся по экспоненциальному закону

Как было указано в § 8, построение источников и вихрей в пленках переменной толщины связано с отысканием фундаментальных ре.шений уравнений движения относительно

Основные уравнения .иг

*1ф и гр или ф или т.

Рассмотрим наиболее простые случаи уравнений (7.8.22) и (7.8.23).

Пусть ф удовлетворяет метагармоническому уравнению вида

АФ+Х2Ф=0,(7.9.1)

где X может быть либо действительной, либо мнимой.

Из уравнения (7.8.21) следует, что для того чтобы ф удовлетворяло выражению (7.9.1), корень квадратный из закона изменения толщины слоя должен удовлетворять также метагармоническому уравнению

\VPWVP=^.(7.9.2)

Ограничимся рассмотрением пленок, толщина которых есть функция одной переменной у.

Р=Р^.(7.9.3)

Тогда дифференциальное уравнение (7.9.2) в частных производных относительно у Р обратится в обыкновенное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

— УТ + Х2УР = 0.(7.9.2')

dy2

При Х=гц общим решением (7.9.2') будет

УР= С^ + С^"

и при X действительном

Р = С^ + Сге~"'и‘.

где Сх и С2— произвольные постоянные, действительные или комплексные.

Среди частных решений (7.9.2)* определяющих Р, вида

Р = е2'^» е ^^ sin2 Ху, cos2Xy, sh2 у, ch2y(7.9.4)

выберем такое, для которого уравнение приведенной функции тока

(7.8.23), также будет метагармоническим уравнением (7.9.1). Для

1

этого необходимо, чтобы тт= удовлетворяло (7.9.2). Очевидно, для

выполнения последнего условия среди частных решений (7.9.4) следует выбрать

(7.9.5)(7.9.5)р—е^и.

(7.9.5)

(7.9.5)

Рельеф этого слоя изображен на рис. 95. В дальнейшем слои, закон изменения толщины которых удовлетворяет (7.9.5), будем коротко называть экспоненциалъным слоем.

Итак, течение в пленке, изменение толщины которой меняется по экспоненциальному закону (7.9.5), описывается метагармоническим уравнением

(7.9.6)(7.9.6)Л^+(р02^=0,

(7.9.6)

(7.9.6)

где и равно либо приведенному потенциалу ф течения, либо его приведенной функции тока V. Последнее свойство выделяет пленку (7.9.5) среди пленок переменной толщины как простейшую, ибо течение в ней описывается одним уравнением, в отличие от общего случая, когда ф и Т удовлетворяют различным уравнениям. На основании замечания, сделанного в § 8, п. 3. такую пленку назовем самосопряженной. Очевидно, что самосопряженной пленкой будет и пленка

постоянной толщины. Таким образом, течения в пленках Р = 1 и р=е^у в известной мере родственны.

Для закона (7.9.5) переход от приведенных потенциала скорости ф и функции тока V к потенциалу скорости ср и функции тока ф течения осуществляется согласно (7.8.21) по формулам:

45 = ^0 = ^ и;

(7.9.7)

ф = е^ ¥ = ги и.

где и удовлетворяют уравнению (7.9.6).

Для дальнейших исследований основные уравнения (7.9.6) удобно записать в полярных координатах г и 0, полагая

х—ж0=г cos 0;

• а(7.9.8)

У—Уо^г sin0.х 7

Тогда равенство (7.9.6) приобретает вид

^L + _L ^ -I- _1_ _^_ += 0.(7.9.6')

8т* г dr г» 9№ Хх’V ’

Заметим, что решение уравнений (7.9.6) или (7.9.6') описывает течение не только в пленке, толщина которой меняется по экспоненциальному закону (7.9.5), но и в пленке, толщина которой меняется по экспоненциальному закону вида:

р = eax"^v

а

ибо, если повернуть систему осей координат на угол arctgy или так, чтобы новая ось ординат была направлена вдоль прямой аж-ЦЗу

и положить ] а2+Р2=2|л, то этот закон в новой системе координат будет вида (7.9.5).

Итак, течение в экспоненциальном слое опи-

Общий вид сывается решениями уравнений (7.9.6) или потенциала скорости (7.9.6 ). Остановимся на уравнении (7.9.6 ), и функции тока течении ''х 7

в экспоненциальном слое записанном в полярных координатах г, 0 и будем искать общее решение его в виде суммы частных решений, представляющих собой произведение двух сомножителей. Пусть каждый из этих сомножителей зависит от одной переменной, т. е. и будем искать в виде

и-Н<г>Т^.(7.9.9)

Подставляя (7.9.9) в (7.9.6), придем к уравнению

(7.9.10)(7.9.10)

(7.9.10)

(7.9.10)

левая часть которого зависит только от г, правая — только от 0. Следовательно, последнее равенство возможно только, если п2 будет постоянной величиной.

Из формулы (7.9.10) для Т будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение вида

Г-Vn^T-O.(7.9.11)

Так как и может либо не зависеть от0, либо быть периодической функцией от 0 с периодом 2л, то, как следует из последнего уравнения, п2 должно быть положительно и п может принимать значения:

м=0, 1, 2, ... .(7.9.12)

Общее решение уравнения (7.9.11) Тп будет вида

ТП=Л1П cos nQ -M2n sin n0,(7.9.13)

где Л1П, Л2П— произвольные постоянные, различные при разных п. При п=0 Т'о—const.

Обращаясь к уравнениям (7.9:10) и (7.9.12), при заданном п для R будем иметь уравнение

д"^ _L Д' —/ц«^.—] Я =0,(7.9.14)

г\Г2 /

При п=0 уравнение (7.9.14) обращается в уравнение Бесселя:

R" + — 7?' + (iy-^R = 0.(7.9.15)

Г

Решениями этого уравнения, линейно независимыми друг от друга при (ip2)<C0, являются цилиндрические функции мнимого аргумента нулевого порядка первого рода 70(^г) и второго рода К^г^) (или функция Макдональда). Таким образом, общее решение уравнения (7.9.15) будет

^Ш0+В20^(7.9.16)

где Вто и В20— произвольные постоянные. При п^О (7.9.15) будет уравнением цилиндрических функций мнимого аргумента порядка п. Общее решение уравнения (7.9.15) в этом случае будет

Rn=B^rWB2nKn^,(7.9.17)

где 4/цг) и Кп(у.г) — соответственно цилиндрические функции или функции Бесселя мнимого аргумента первого и второго рода порядка п. В1п и В^— произвольные постоянные.

(7.9.18)(7.9.18)Из сказанного следует, что общее решение метагармонического уравнения (7.9.6') можно представить в виде

(7.9.18)

(7.9.18)

и— 27^7?,п=0

где

2 TnRa = 2 {cos «0 VaJn far) + ьЛп (Иг)] + л—Ол=0

+ sin nS [c„Zn (pr) + dnKn (Fr)]}»(7.9.18')

где an, bn, cn и dK— произвольные постоянные.

Обращаясь к формулам (7.9.7), общее выражение потенциала скорости и функции тока в переменных г, 0 для течений в слое с экспоненциальным законом изменения толщины запишем в виде

Ф = ^ 5 TaRn;(7.9.19)

л=0

=f TnR„,(7.9.20)

п=0

где ^TnRK определяется формулой (7.9.18).

п—0

Отдельные члены ряда (7.9.18), входящего в (7.9.19), (7.9.20), и комбинации их будут определять конкретные течения в пленке с экспоненциальным законом изменения толщины.

Как указано в предыдущем параграфе, ис-

Источник точник в слое переменной толщины опреде- в экспоненциальном1

слоеляется первым фундаментальным решением

уравнения для потенциала скорости или вспомогательного уравнения относительно приведенного потенциала. Среди членов ряда, входящего в формулы (7.9.19) и (7.9.20), функция Макдональда ^(^г) имеет при г=0 логарифмическую особенность и представляет собой фундаментальное решение мета- гармонического уравнения (7.9.6).

Следовательно, согласно (7.8.25) фундаментальное решение фф будет вида

^ф = Се-^и-^ К0Н-(7.9.21)

Отсюда потенциал источника, расположенного в экспоненциальном слое, который обладает расходом П, можно, используя формулу (7.8.15), записать в виде

Фиет [8 К»<7-9-22)

Переходя к мощности источника Q по формуле (7.8.16) или к нормированному источнику, (7.9.22) можно переписать в виде

Фиет [ е2^ = -^e-^r sin 6 К6 И- (7.9.22')

Из (7.9.22') следует, что семейство линий равного потенциала источника в экспоненциальном слоем определяется уравнением

sin 0 =sin 0 =In Я о (нН — СIn Я о (нН — С

sin 0 =

sin 0 =

In Я о (нН — С

In Я о (нН — С

где С — постоянная, определяющая семейство. Задавая линию семейства С=Сг и рассчитывая правую часть (7.9.23) для различных

Рис. 96Рис. 96

Рис. 96

Рис. 96

С, можно найти соответствующие им 0. Указанным образом по точкам строятся линии равного потенциала источника (рис. 96). Линии тока строятся как система ортогональных траекторий к линиям равного потенциала (сплошные линии на рис. 96). В картине течений на рис.

96 обращает на себя внимание то, что жидкость, выбрасываемая источником в слой, толщина которого меняется по экспоненциальному закону, устремляется в сторону возрастающей толщины слоя.

4. Вихрьв экспоненциальномслое4. Вихрьв экспоненциальномслоеАналогично потенциалу источника можно записать функцию тока вихря. Обращаясь к формулам (7.9.5), (7.9.7), (7.8.26) и (7.8.20), будем иметь

4. Вихрьв экспоненциальномслое

4. Вихрьв экспоненциальномслое

(7.9.24)

Вихрь, определяемый формулой (7.9.24), обладает циркуляцией направленной против часовой стрелки. Из (7.9.24) следует, что семейство линий тока вихря в экспоненциальном слое определяется равенством

sin 9 =,(7.9.25)

где С — постоянная, определяющая семейство.

Рис. 97

Из сравнения (7.9.23) и (7.9.25) следует, что кривые семейства (7.9.25) получаются из кривых семейств (7.9.23), если заменить 0 на —0. Следовательно, линии тока вихря будут овалы, изображенные на рис. 96 пунктиром, повернутые на 180° относительно оси, параллельной ос и проходящей через точку ж0, у0. Линии тока вихря изображены на рис. 97 сплошными линиями. Семейство линий равного потенциала, которые ортогональны к линиям тока, изображены на рис. 97 пунктиром.

Характерной особенностью вихря в экспоненциальном слое является, как следует из рис. 97, то, что линии тока его вытягиваются в направлении возрастания толщины слоя.

В этом параграфе среди многообразия частных решений уравнения потенциала скорости и функции тока течений в экспоненциальном слое, которые могут быть получены из (7.9.19) и (7.9.20), рассмотрены только решения, отвечающие источнику и вихрю. Так как (7.9.19) и (7.9.20) являются общими решениями уравнений относительно ср и ф, то любые течения в экспоненциальном слое в принципе можно получить из (7.9.19) и (7.9.20).

§ 10. Формулы перехода

Построение потенциальных течений идеальной жидкости в пленках переменной толщины в каждом конкретном случае функциональной . „зависимости Р представляет значительные

Методы перехода

г трудности. Однако можно указать пленки, обладающие различными законами, течения в которых связаны так, что, зная течения в одной пленке, можно построить аналогичные течения в другой пленке. Такой переход может быть осуществлен различным образом. Совокупность таких переходов можно назвать методами перехода, а соответствующие формулы — формулами перехода. Значение последних заключается в том, что можно указать серию слоев, построение течений в которых нуждается в нахождении решений только одного уравнения. Методам перехода и формулам перехода и посвящен настоящий параграф.

о ~Уравнения, которые описывают течение в

Основные уравнения«

*гжидкости в различных слоях переменной

толщины, приведенные ранее, записаны в различной форме. Чтобы не обращаться к различным страницам книги, соберем и выпишем все уравнения, которые служат базой для формул перехода.

Исходные уравнения (7.6.1), описывающие течения в пленках переменной толщины, запишем заново:

дер 1 дфv х = _L =; у v =х дх Р дудер 1 дфv х = _L =; у v =х дх Р ду8^_1 дф8^_1 дф8у8уР дхР дх(7.10.1)(7.10.1)

дер 1 дф

v х = _L =; у v =

х дх Р ду

дер 1 дф

v х = _L =; у v =

х дх Р ду

8^_1 дф

8^_1 дф

8у

8у

Р дх

Р дх

(7.10.1)

(7.10.1)

Отсюда следует, что, зная ф, можно найти ср и, обратно, зная фг можно найти ф по формулам:

С 1 / 5ф 77\

ф — \ — __ дх dy ;

J Р \ дудх )

(7.10.2}

ф = С Р (-^- dydx .J \ дхду /

Исключив из формул (7.10.1) последовательно ф и ф, получим относительно них уравнения (7.8.4) вида

А (Р, <р) = 0; А (у, ф ) = 0,(7.10.3)

где (У7 Р \

А Н—— • \7 1— обобщенный оператор Лапласа;

А = р —оператор Лапласа;дх2 ду2

V = ~ i + — 7— оператор Гамильтона. дх ду

Переходя от ф и ф к приведенному потенциалу Ф и приведенной функции тока ¥ по формулам (7.8.21):

ф = ф = у"р чг,(7.10.4)

получим уравнения движения в виде

(7.10.5)(7.10.5)Дф А У? „ Д^ mIVp у

(7.10.5)

(7.10.5)

= = А; = —" а

Ф /РФ УУ Р

При заданном законе Р=Р(х, у) коэффициенты К и Кх будут известными функциями х. у, которые определяются через Р из уравнений (7.8.10).

В общем случае приведенный потенциал Ф и приведенная функция тока Т не описывают течения в каком-либо слое, ибо они удовлетворяют уравнениям (7.10.5), отличным от уравнений с законом изменения толщины Р.

Потенциал скорости и функцию тока течения, происходящего в слое с законом изменения толщины Р, будем в дальнейшем

обозначать ф[/9] иф[Р]. Из формул (7.10.1) следует указанное ранее [см. (7.6.11)] свойство, что

г 1 1

(7.10.6)(7.10.6)—]; Ф Р1 = — ф [у] •

(7.10.6)

(7.10.6)

Эти формулы представляют собой простейшие формулы перехода, связывающие течение в слое с произвольным законом изменения толщины и течение в слое сопряженном, и позволяют, не производя дополнительного интегрирования исходных уравнений, по совокупности течений в некотором слое строить совокупность течений в сопряженном слое.

В частном случае, когда рассматривается слой постоянной толщины (Р = 1), формулы (7.10.6) приобретают вид

ф[1]=ф[11; ф[11 =—ф[1].ф[1]=ф[11; ф[11 =—ф[1].(7.10.7)(7.10.7)

ф[1]=ф[11; ф[11 =—ф[1].

ф[1]=ф[11; ф[11 =—ф[1].

(7.10.7)

(7.10.7)

Отсюда следует сформулированное ранее (см. гл. 5, § 3) положение о том, что потенциал скорости и функция тока некоторого течения в слое постоянной толщины можно рассматривать как функцию тока и потенциал скорости с обратным знаком нового течения в слое постоянной толщины.

4. Пример4. ПримерВ качестве нетривиального, как указано выше, примера перехода к сопряженной

4. Пример

4. Пример

пленке можно рассмотреть основную пленку, закон изменения толщины которой Р=у (или осесимметричные течения, рассмотренные в § 7 настоящей главы). Тогда сопряженной пленкой будет пленка с законом

(7.10.8)

рельеф которой изображен на рис. 98. Следовательно, если изучено осесимметричное течение, то для изучения течений в пленке (7.10.8) не нужно дополнительных исследований, достаточно только воспользоваться формулами (7.10.7). Конкретно течение в пленке Р=ут описываемое формулами (7.7.20), которые перепишем в виде

-у2-у24; *w =44; *w =4ху22ху22

-у2

-у2

4; *w =

4

4; *w =

4

ху2

2

ху2

2

в течение, описываемоев течение, описываемоеОтсюда составляющие скорости течения в пленке Р=\!у будутОтсюда составляющие скорости течения в пленке Р=\!у будут

в течение, описываемое

в течение, описываемое

Отсюда составляющие скорости течения в пленке Р=\!у будут

Отсюда составляющие скорости течения в пленке Р=\!у будут

в пленке Р = Иу перейдет согласно (7.10.6) формулами:

Рх=4- = -^;ру = -?- = -2^-(7.10.10)

дху ду

Следовательно, на оси ^(^=0) или вдоль линии, где слой имеет бесконечную толщину, скорость рассматриваемого течения стремится к нулю. Составляющая скорости вдоль оси у (х—0) равна нулю, а составляющая скорости вдоль оси х направлена в ее отрицательную сторону. Картина течения, описываемая формулами (7.10.9) и (7.10.10), изображена на рис. 99.

Будем интерпретировать уравнения (7.10.1) 5. Конформное как уравнения, описывающие течения в

РАМАПРТНП АЛПАП v х 1

плоских пленках переменной толщины. Эти уравнения сохраняют свою структуру при конформном преобразовании, характерным свойством которого, отличающим слои переменной толщины от слоев постоянной толщины, будет то, что закон изменения толщины слоя при этом изменяется.

Докажем сказанное. Перейдем в уравнениях (7.10.1) от координат ^ у к координатам g, т). Так как преобразование конформное, то

(7.10.11)(7.10.11)(7.10.12)(7.10.12)д£ дт] , д; dq

(7.10.11)

(7.10.11)

(7.10.12)

(7.10.12)

дхду ’ дудх

и соотношения (7.10.1) могут быть записаны в виде

дф 1 дГ — "Рдф 1 дГ — "РОф \ д^ . / £ф1 дф \ дд

дф 1 дГ — "Р

дф 1 дГ — "Р

дд ) ду \ ддР д^ ) ду

дф1дф \д;/ дф1дф \дц

д^Рдд )дх\ ддРд; )дх

Отсюда следует

дф 1дф ,дф 1дф

д;Рдд ’ддРд;

где

Р=Р {^,Т!), у (^rj)} =Р*М.(7.10.14)

Формулы (7.10.13) и (7.10.14) доказывают высказанное утверждение.

Как говорилось в § 4 настоящей главы, конформное преобразование плоскости на какую-либо поверхность осуществляет переход от течений в пленке переменной толщины, расположенной на плоскости, к пленке переменной толщины, расположенной на поверхности. В качестве исходной пленки на плоскости можно брать различные пленки с законами (7.10.14). Отсюда можно получать течения в пленках на поверхности с различными законами изменения толщины.

Итак, конформное преобразование осуществляет переход от течения в слое Р, расположенном на плоскости или на поверхности, к течению в новом слое с законом Р*.

Таким образом, конформное преобразование можно рассматривать как один из методов перехода. Формулы перехода этого метода в сочетании с формулами (7.10.6) будут вида

(7.10.15)(7.10.15)Ф И = Ф [^*] = [у = ^ у].

(7.10.15)

(7.10.15)

или

"1 Г 1 1

у] = Ф I у] .(740.15')

где

РЧ1- ^=р {^. п). у(Ь п))

и g, ц— сопряженные гармонические функции. Из формул (7.10.15) следует, что для того чтобы получить течения в слоях Р*, необходимо задать течения в исходном слое Р. Соответствующие течения

в слое Р и слоях Р* будут родственны, поэтому совокупность слоев Р* можно назвать конформным семейством слоев, а слой Р — родоначальником этого семейства.в слое Р и слоях Р* будут родственны, поэтому совокупность слоев Р* можно назвать конформным семейством слоев, а слой Р — родоначальником этого семейства.6. Пример6. ПримерДля иллюстрации сказанного рассмотрим две плоскости z и £ (рис. 100):Для иллюстрации сказанного рассмотрим две плоскости z и £ (рис. 100):z—x+iy = Re^;z—x+iy = Re^;(7.10.16)(7.10.16)которые связаныкоторые связаныконформным преобразованием:конформным преобразованием:сz = / ; с =-J Inz. (7.10.17)Тогда-тех = е cos — % У — е sin ~ ^(7.10.18)Д = е ; & = -j- т], и обратносz = / ; с =-J Inz. (7.10.17)Тогда-тех = е cos — % У — е sin ~ ^(7.10.18)Д = е ; & = -j- т], и обратноРис. 100Рис. 1005= -L 1пД, т)= А а,5= -L 1пД, т)= А а,(7.10.18')(7.10.18')где х, у и R, й — соответственно декартовы и полярные координаты плоскости z; |, ц — декартовы координаты плоскости £. Из формул (7.10.18) и (7.10.18') следует, что вся плоскость z преобразуется в бесконечную полосу плоскости £, параллельную оси £, ширины 21 {рис. 100).Рассмотрим в плоскости z слой, толщина которого меняется по закону Р^у. Течение в этом слое соответствует осесимметричному течению. Тогда из выражений (7.10.18) следует, что толщина слоя Pt на плоскости £ будет меняться по законугде х, у и R, й — соответственно декартовы и полярные координаты плоскости z; |, ц — декартовы координаты плоскости £. Из формул (7.10.18) и (7.10.18') следует, что вся плоскость z преобразуется в бесконечную полосу плоскости £, параллельную оси £, ширины 21 {рис. 100).Рассмотрим в плоскости z слой, толщина которого меняется по закону Р^у. Течение в этом слое соответствует осесимметричному течению. Тогда из выражений (7.10.18) следует, что толщина слоя Pt на плоскости £ будет меняться по законуPt — е sin — V].Pt — е sin — V].(7.10.19)(7.10.19)

в слое Р и слоях Р* будут родственны, поэтому совокупность слоев Р* можно назвать конформным семейством слоев, а слой Р — родоначальником этого семейства.

в слое Р и слоях Р* будут родственны, поэтому совокупность слоев Р* можно назвать конформным семейством слоев, а слой Р — родоначальником этого семейства.

6. Пример

6. Пример

Для иллюстрации сказанного рассмотрим две плоскости z и £ (рис. 100):

Для иллюстрации сказанного рассмотрим две плоскости z и £ (рис. 100):

z—x+iy = Re^;

z—x+iy = Re^;

(7.10.16)

(7.10.16)

которые связаны

которые связаны

конформным преобразованием:

конформным преобразованием:

с

z = / ; с =-J Inz. (7.10.17)

Тогда

-те

х = е cos — % У — е sin ~ ^

(7.10.18)

Д = е ; & = -j- т], и обратно

с

z = / ; с =-J Inz. (7.10.17)

Тогда

-те

х = е cos — % У — е sin ~ ^

(7.10.18)

Д = е ; & = -j- т], и обратно

Рис. 100

Рис. 100

5= -L 1пД, т)= А а,

5= -L 1пД, т)= А а,

(7.10.18')

(7.10.18')

где х, у и R, й — соответственно декартовы и полярные координаты плоскости z; |, ц — декартовы координаты плоскости £. Из формул (7.10.18) и (7.10.18') следует, что вся плоскость z преобразуется в бесконечную полосу плоскости £, параллельную оси £, ширины 21 {рис. 100).

Рассмотрим в плоскости z слой, толщина которого меняется по закону Р^у. Течение в этом слое соответствует осесимметричному течению. Тогда из выражений (7.10.18) следует, что толщина слоя Pt на плоскости £ будет меняться по закону

где х, у и R, й — соответственно декартовы и полярные координаты плоскости z; |, ц — декартовы координаты плоскости £. Из формул (7.10.18) и (7.10.18') следует, что вся плоскость z преобразуется в бесконечную полосу плоскости £, параллельную оси £, ширины 21 {рис. 100).

Рассмотрим в плоскости z слой, толщина которого меняется по закону Р^у. Течение в этом слое соответствует осесимметричному течению. Тогда из выражений (7.10.18) следует, что толщина слоя Pt на плоскости £ будет меняться по закону

Pt — е sin — V].

Pt — е sin — V].

(7.10.19)

(7.10.19)

Течению в верхней полуплоскости z в слое Р будет соответствовать течение в полосе O^n-^Z на плоскости £ в слое, рельеф которого показан на рис. 101. Следовательно, течениям в слое Р = у на плоскости z будут соответствовать течения в расширяющейся «галереи» (см. рис. 101).

Конкретно течению (7.7.4) в плоскости z будет соответствовать течение в плоскости £ (рис. 102), т. е.

Течению (7.7.7) на плоскости z будет соответствовать на плоскости £ течение (рис. 103), которое определяется следующими формулами:

ффZ • ТС е sin — vjZ • ТС е sin — vj(7.10.21)(7.10.21)

ф

ф

Z • ТС е sin — vj

Z • ТС е sin — vj

(7.10.21)

(7.10.21)

Течению (7.7.11) на плоскости z будет соответствовать на плоскости £ течение (рис. 104), которое определяется формулами:

ФФZ • к е sin — V]Z • к е sin — V]

Ф

Ф

Z • к е sin — V]

Z • к е sin — V]

(7.10.22)

где точке х=1, у=0 плоскости z будет соответствовать £=0, т]=0 плоскости £.

Таким образом, всем течениям на плоскости z в слое Р—у будут соответствовать течения на плоскости £ в слое Р*=е sin уТ]. Заметим, что легко построить течения и в сопряженном слое Р\ — слое с законом изменения толщины

Рл = е ‘Рл = е ‘1Кsin — 11Кsin — 1(7.10.19')(7.10.19')

Рл = е ‘

Рл = е ‘

1

К

sin — 1

1

К

sin — 1

(7.10.19')

(7.10.19')

Обращаясь к формулам (7.5.5), перейдем при помощи конформного преобразования от плоскости £ к поверхности сферы. Тогда, так как

(7.10.23)(7.10.23)Е = Intg (-|- + -^ ; 7] = X,\ 24 /

(7.10.23)

(7.10.23)

Рис. 105Слои Р,Рис. 105Слои Р,7. Формулы перехода,построенные на базеприведенныхпотенциала скоростии функции тока7. Формулы перехода,построенные на базеприведенныхпотенциала скоростии функции токаф Ф1ф Ф1фФ1 ■фФ1 ■(7.10.25)(7.10.25)

Рис. 105

Слои Р,

Рис. 105

Слои Р,

7. Формулы перехода,построенные на базеприведенныхпотенциала скоростии функции тока

7. Формулы перехода,построенные на базеприведенныхпотенциала скоростии функции тока

ф Ф1

ф Ф1

ф

Ф1 ■

ф

Ф1 ■

(7.10.25)

(7.10.25)

то закон изменения толщины пленки Рг* (7.10Л9) на плоскости £ на сфере будет иметь вид

Р3 = tgSin _ Л,\ 24 /I

(7.10.24)

где 0 и X — соответственно широта и долгота сферы. Из формул (7.10.23) следует, что полосе в плоскости £ ширины I на сфере будет соответствовать «лунка», ограниченная двумя меридианами, отстоящими на угол I и течениям на плоскости £ в полосе 0<^^^Z будут соответствовать течения в «лунке» на сфере в слое с законом изменения толщины (7.10.24). Рельеф этого слоя изображен на рис. 105.

длежат одному семейству.длежат одному семейству.Р х (7.10.19), Р2 (7.10.19') и Р3* (7.10.24) прина

длежат одному семейству.

длежат одному семейству.

Симметричные относительно Ф, V Р и Т, 1

j^zz уравнения (7.10.5) позволяют построить формулы перехода. Действительно, пусть Фх— произвольное решение (7.10.5) при заданном Pv Тогда из соотношения (7.10.4)

имеем

Ф1

VP1

где Фх будет также решением соответствующего уравнения (7.10.5), откуда следует, что Ф1 можно рассматривать как закон изменения толщины слоя. Возвращаясь к (7.10.4), имеем

Отсюда, используя (7.10.4) и (7.10.6), можем записать:

ф [^pj = £Е11 = ф [l/^pj _ №1,(7.10.26)

где фх— частное решение соответствующего уравнения (7.10.3). Аналогично, обращаясь ко вторым соотношениям (7.10.4) и (7.10.5), имеем

== _ ф [фг/pj =,(7.10.27)

-PiФх

где гр!— частное решение соответствующего уравнения (7.10.3). Заметим, что знаки в формулах (7.10.26) и (7.10.27) не существенъы.

Эти формулы являются формулами перехода, они позволяют от течений в слоях с законами: Рг и МРХ перейти к течениям в слоях с законами: ф1Рц 1/ф1Р1, /Уфь *^Рц где фх и г^ — какие-либо частные решения уравнений (7.10.3), для которых Р=Рк.

Коэффициенты К и КТ1 входящие в урав-

. ерии слоев нения (7.10.5), как говорилось, определяются по заданному Р, в конкретном случае равному Pv Однако, используя (7.10.5), можно ставить обратную задачу: задавать К, как это, например, делалось в § 9, и определять законы изменения слоев Р согласно уравнениям (7.10.5). Если, кроме того, положить K=KV то переход от одного уравнения (7.10.5) к другому будет означать переход к сопряженному слою. Докажем это.

При К-Ку из уравнений (7.10.5) имеем

Дф = АФ или Д (9 УЛ = А (ф/ УР)ф w, ?ур ф/ур *

Последняя формула представляет собой переход к сопряженному слою. Отсюда имеем: при К=КХ формулы (7.10.26) и (7.10.27) будут идентичны, ибо каждая из них уже содержит сопряженные слои.

Все слои, течения в которых сводятся к интегрированию уравнения вида

ДФ-ЯФ=0,(7.10.28)

где К — заданная функция х и у, назовем слоями серии К.

Заметим, что в принципе результаты интегрирования уравнения (7.10.28) определят все течения в том или ином слое, принадлежащем серии К. Однако практическое осуществление построения заданного типа течения, например вихрей, как следует из результатов § 8, приведет к дополнительным трудностям. Для заданной серии К^х. у) перепишем формулу (7.10.26) в виде

ф [ф?] = ф [1/Ф?] = 2_.(7.10.29)

Отсюда следует, что частные решения (7.10.28) определяют течения в слоях

Л=Ф? и Л=1/Ф1.(7.10.30)

Совокупность слоев (7.10.30) при различных Фт можно назвать первым семейством серии К. Применив результаты п. 5, получим, что каждый слой первого семейства серии К может служить родоначальником конформного семейства.

Серия Л*=О Заслуживает особого внимания серия К=0.

В этом случае уравнение (7.10.28) обращается в уравнение Лапласа и вспомогательная функция Ф приобретает физический смысл: ее можно рассматривать как потенциал скорости (или функцию тока) течения в слое постоянной толщины (Р = 1). Обозначив гармоническую функцию Ф через /, формулу (7.10.29) для серии К=0 запишем в виде

фШ=ф[1//1] = 4--<7Л0-31)

/1

Отсюда следует, что всевозможные представители слоев первого семейства серии К—0 могут быть получены путем конформного преобразования, например, из следующей частной формулы (7.10.3) вида

ф [у2] = ф [1/z/2] = -L.(7.10.32)

у

В связи со сказанным очевидно, что первое семейство серии К—0 совпадает с конформным семейством, для которого родоначальником можно выбрать слой Р^у2. (Последнее справедливо только для частного случая серии К—0).

Итак, течения в любых слоях, закон изменения толщины которых есть квадрат гармонической функции, описываются гармоническими функциями согласно равенству (7.10.31).

Формулы перехода (7.10.26) и (7.10.27) по-

Последовательности зволяют строить последовательности слоев, слоевг

в которых течение в последующем слое связано с течением в предыдущем слое. Действительно, обращаясь, например, к формуле (7.10.26) и полагая, что закон изменения какого-то слоя Рк1 можем записать формулу перехода для течений от слоя Рк к слою РА+1 = 1/ф^ Рк;

= ф [Pft+1],(7.10.33)

где фд, является каким-то конкретным течением в слое Рк. Формула (7.10.33) представляет собой схему, по которой можно строить течения согласно формулам (7.10.2), определяющим ф через ф в последовательности слоев: Pv Р^^ ..., Рк1 ..., если известны течения в слое Pv

Последовательность слоев можно строить также на базе формул перехода (7.10.27) или соотношений вида

= Ф [^+iL где Рк+1 =(7.10.34)

и ф^ — частное течение в слое Рк. Следует заметить, что последовательности (7.10.33) и (7.10.34) могут не иметь места или обрываться, если фх, ф2, ...; ф1? ф2, ..., будут выбираться по какому-либо единому

закону. Например Р2 может обращаться в Pv Это будет иметь место, если окажется, что Ф]= -5- или ф^, ~PV

Из формул перехода (7.10.26) и (7.10.27) можно строить последовательности следующего вида:

= <р [^+1], где РА+1 = ф! Рк;(7.10.35)

= Ф 1Л+1Ь где Рк+1 = -^- .(7.10.35')

ФлФа

Но из формул (7.10.4) следует, что

(7.10.36)(7.10.36)Следовательно, величины Ра+ь определенные формулами (7.10.35) и (7.10.35'), соответственно будут:

(7.10.36)

(7.10.36)

^А+1 — Фл "> ^А+1 — "^2 п

Для заданной серии, как следует из формулы (7.10.30), выражения (7.10.36) определяют первое семейство серии К. Следовательно, (7.10.35) и (7.10.35') не определяют какие-либо новые формулы перехода. Другое положение будет с последовательностями (7.10.33) и (7.10.34). Если ф[Р11 последовательности (7.10.33) соответствует определенному К, то ф[Р2] будет соответствовать уже другому К.

Для получения потенциалов течений в пленках с законом изменения Р2, Р3, ... необходимо вычисление первого из интегралов (7.10.2). Таким образом, переход от течений, определяемых ф и ф в пленках с одним законом изменения толщины согласно формулам (7.10.33) и (7.10.34), к течениям в пленках с другим законом изменения толщины не требует интегрирования уравнений (7.10.3), а сводится к квадратурам. Если рассматривать Р2 как родоначальник нового семейства, то такое семейство можно назвать одним из вторых семейств серии К, или первым семейством новой серии К. Сказанное можно повторить и для формулы (7.10.34).

.. т.Построение последовательности слоев свя

зано с выбором частных решении ^к1 фЛ уравнений (7.10.3) при Р=Рк (&=!, 2, ...). Этот выбор может быть упорядочен, т. е. целесообразно ввести классификацию слоев по виду Р и подобрать в последовательности фА и ф^ так, чтобы все Рк относились к одному классу. Например, можно говорить о классе слоев, для которых

(7.10.37)(7.10.37)Р=Х^¥(уУ

(7.10.37)

(7.10.37)

где X и У — произвольные функции. Слои вида (7.10.37) назовем классом слоев с разделяющимися переменными. Чтобы последо-

вательности слоев (7.10.33)—(7.10.36) не выходили из этого класса, следует искать частные решения фх и гр! также в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от х или у:

Ф!^^^)/?^); ^Q'W^Y(7.10.38)

Найдем вид Q, R, Q’, R'. Подставив формулы (7.10.27) и (7.10.38) в соотношения (7.10.3), получим

xQxx + XxQxYRyy + YyRy *

XQ"YR’

^Qxx ^xQxYR'у у YyRy

XQ'”YR'’

где индексами x и у обозначаются вторые и первые производные по х и у. Так как правые части уравнений (7.10.39) зависят только от у, а левые — от х, то эти уравнения справедливы только, если они равны постоянным (соответственно С=С").

Будем искать частные решения уравнений (7.10.39), такие, чтобы С=С"=О, тогда

Qxx^Х ЛууYy

,(7.10.

Qxx %X . Ryy Yy

Q = c^^’ Q' = СЛ Xdx'

R = Ca^;R' = c^ Ydy,

где Cn C2, C^ C^— произвольные постоянные.

Возвращаясь к формулам (7.10.38), запишем фг и грх в виде

Ф1 = л J -^- J -^.; ^ = В J Х^у Ydy, (7.10.41)

где А и В — постоянные.

Можно рассматривать класс слоев, зависящих только от одного переменного, например,

Р=РМ(7.10.42)

Такой класс можно назвать классом слоев одного переменного.

Если строить последовательность слоев, не выходящих из класса (7.10.42), то в (7.10.38) следует положить Q—Q'^i и формулы (7.10.41) примут вид

(7.10.43)(7.10.43)Ф1 = ^ f "ТТ’ ^ =5 f р1аУ’

(7.10.43)

(7.10.43)

где А и В — произвольные постоянные. Можно говорить и о других классах слоев, объединяя их по тому или иному признаку и указывая общий вид частных решений соответствующих уравнений движения жидкости в них.

Заметим, что представители одного класса слоев являются только отдельными представителями тех или иных семейств. Если ограничиться классом слоев одного переменного, то можно строить последовательность (7.10.33), для которой

ф6 = дф6 = д(7.10.44)

ф6 = д

ф6 = д

В частном случае

7\ = еу; Ф1 = ^ у; Р^ = 2 па *

Следовательно, для Pv—e^ в классе слоев одного переменного последовательность (7.10.33) обрывается.

Последовательность (7.10.35) всегда обрывается в классе любых слоев, зависящих от одного переменного. Действительно,

Ф1= J77; ^ = <Р1Л;

Р з—Фг Рг—Р\-Р з—Фг Рг—Р\-

Р з—Фг Рг—Р\-

Р з—Фг Рг—Р\-

Следовательно, в рассматриваемом случае последовательность (7.10.35) обрывается на втором члене. В частном случае второй член этой последовательности в классе слоев одного переменного приводит к формулам перехода вида

ф [е>] = е“У |<у] = ^ф р].

12. Примеры слоев,принадлежащиходной серии12. Примеры слоев,принадлежащиходной серииI. Рассмотрим серию К=0. Закон изменения толщины слоев этой серии определяется уравнением

12. Примеры слоев,принадлежащиходной серии

12. Примеры слоев,принадлежащиходной серии

(7.10 45)(7.10 45)д,р=0.

(7.10 45)

(7.10 45)

Ограничимся в данной серии классом слоев, зависящих от одного переменного у. Тогда толщины слоев первого семейства при соответствующем выборе постоянных будут

(7.10.46)(7.10.46)Р = у\ Р = -1-.

(7.10.46)

(7.10.46)

v L у2 J У1v L у2 J У1(7.10.47)последователь-(7.10.47)последователь-Up- = ф [у4]У3Up- = ф [у4]У3(7.10.48)(7.10.48)

v L у2 J У1

v L у2 J У1

(7.10.47)

последователь-

(7.10.47)

последователь-

Up- = ф [у4]

У3

Up- = ф [у4]

У3

(7.10.48)

(7.10.48)

Течения в этих слоях согласно соотношениям (7.10.26) и (7.10.27) будут определяться формулами:

Обращаясь к формулам (7.10.33) и (7.10.34), найдем ности слоев заданной серии и класса вида

(7.10.49)(7.10.49)

(7.10.49)

(7.10.49)

21^21 = ф [„2л+2,^2«+1 ТJ

Эти последовательности, полученные независимо, представляют собой переход к сопряженным слоям.

Итак, серия К=0 класса слоев одного переменного содержит слои вида

Р = уйп; P = -L (И = 1,2, . ..).(7.10.50)

Течения в этих слоях строятся на базе гармонических функций (ибо ф[1] и ф[1] представляют собой гармонические функции). Характерной особенностью слоев (7.10.46) и (7.10.50) является то, что ось х будет либо линией нулевой толщины, либо линией бесконечной толщины. В связи с этим следует потребовать вдоль оси х выполнение физического условия неперетекания жидкости или условия у что х является линией тока. Сказанное накладывает ограничение на гармонические функции, которые лежат в основе построения течений указанных слоев.

Из равенств (7.10.27) и (7.10.35) при Р^уп имеем

<Р [уп+21 = —77 Ф [У"]-(7.10.51)

Из последней формулы следует, что при п нечетном течения в слоях уп сводятся к осесимметричным течениям.

11Конформное преобразование (7.10.51) приводит к формуле

1

1

(7.10.52)

где / — гармоническая функция. Формула (7.10.52) включает в себя как частный случай (7.10.51), (7.10.47), (7.10.48) и (7.10.49) и описывает течения в двух указанных выше сериях.

_ Итак, задача плоскопараллельных течений

Заключение к главе 1

обобщается на двумерные течения в пленках постоянной или переменной толщины, расположенных как на плоскости, так и на криволинейных поверхностях. В частности, обобщаются все задачи нестационарных плоскопараллельных течений, которые были рассмотрены в гл. 6 на случай двумерных течений. По сравнению с плоскопараллельным течением математический аппарат, описывающий течение в слоях переменной толщины, расположенных на криволинейных поверхностях, усложняется, как было показано на простейших примерах, вошедших в настоящую главу.

В общем случае двумерная задача о течениях на поверхности сводится, как показано, к течениям на плоскости. Этот переход для многосвязных областей описывается интегралами Абеля. Течение на вспомогательной плоскости описывается усложненными соотношениями Коши—Римана (приводящимися к эллиптическим уравнениям частного вида) или так называемыми ^-аналитическими функциями.

Сложность последних заставляет с вниманием отнестись к методам перехода, которые позволяют значительно расширить случаи пленок, течения в которых доступны всестороннему исследованию.

Характерной особенностью пленок переменной толщины является наличие в них особых линий и точек, где толщина слоя обращается в нуль или бесконечность. Эти точки оказывают существенное влияние на течение в пленках. Кроме того, если пленка расположена на криволинейной поверхности, то последняя может обладать изломами, которые также будут оказывать влияние на течения. Эти вопросы требуют специального исследования.

В заключение обратим внимание на идентичность уравнений (7.6.1) и уравнений газовой динамики (Чаплыгина), из которой следует определенная связь рассмотренных в главе вопросов и теории движения сжимаемой жидкости.

ГЛАВА 8

ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

§ 1. Гравитационные волны

Типичными случаями нестационарных течений жидкости являются волновые движения, для которых характерны колебательные движения отдельных частиц. Примером таких 1. Понятиядвижений служат волны на поверхности

гравитационных*жидкости, возникающие в результате того

У РУчто поверхность выведена из состояния рав

новесия и колеблется под действием сил тяжести. Такие волны назы

ваются гравитационными. При их изучении сжимаемость и вязкость

жидкости не играют существенной роли, поэтому гравитационные волны описываются уравнениями нестационарных течений идеальной несжимаемой жидкости.

Упругими называются волны, возникающие во всей толще сжимаемой жидкости в результате поперечного расширения и сжатия частиц. Эти волны обусловлены упругими свойствами жидкости. Частным случаем их являются звуковы’е волны, распространяющие

ся в воздухе, которые описываются нестационарными уравнениями идеальной сжимаемой жидкости.

Рассмотрим гравитационные волны, воз-

Уравнения движения, пикающие в идеальной несжимаемой жид- описывающие кости в результате некоторого начального гравитационные волны1 J„ г

возмущения последней, которое заключается в отклонении жидкости от состояния равновесия. Предположим, что этим начальным возмущением являются мгновенные добавочные

давления, вызванные, например, порывом ветра.

Докажем, что возникшие при этом движения будут потенциальны. Так как жидкость идеальна, то воспользуемся уравнениями движения Эйлера (см. гл. 4, § 1), которые проинтегрируем в интервале времени т действия импульсных сил. Тогда

+ (v grad) v-—F-|—— gradp 1 dt = 0.(8.1.1)

J L ^p J

о

Предположим, что в начальный момент жидкость была неподвижна. Тогда, учитывая, что р постоянно (жидкость несжимаема), из последнего уравнения имеем

(8Л.Г)(8Л.Г)(vgrad) Ndt = I Ydt—— Sra^ I P^*

(8Л.Г)

(8Л.Г)

JP J

ooo

Мгновенные добавочные давления характеризуются тем, что за малый промежуток времени т интеграл от давления является конечной

величиной. Но при малом значении т остальные интегралы последнего выражения будут малыми величинами, которыми можно пренебречь. Следовательно, в начальный момент движения вектор скорости жидкости определяется выражением

v=grad ф.(8.1.2)

Далее, так как жидкость идеальна, несжимаема, внешние силы являются силами тяжести, которые обладают потенциалом, то движение, будучи в начальный момент потенциальным, будет безвихревым в любые моменты времени или во все время исследования (см. гл. 4, § 6). Итак, доказано, что формула (8.1.2) справедлива во все моменты времени. Заметим, что для нестационарных движений ф будет определяться с точностью до произвольной функции, зависящей от времени.

При рассматриваемых условиях уравнение движения Эйлера приводится к интегралу Коши (см. гл. 4, § 5) вида

-^7" + -у- + — + g2 = /(8.1 3)

ot 2 о

где gz представляет собой потенциал сил тяжести, действующих в жидкости.

Уравнение неразрывности при условии несжимаемости жидкости и потенциальности движения обращается в уравнение Лапласа:

J!L + 2i + ^ = o.(8 1.4)

дх^ ду2 dz2v 7

Рассмотрим волновые движения, характеризующиеся медленным перемещением частиц, тогда квадратом скорости (и2) в уравнении (8.1.3) можно пренебречь по сравнению с остальными членами. Кроме того, так как ф определяется с точностью до произвольной функции, зависящей от времени, то можно в этом выражении /(^) опустить и переписать его в виде

T = -^"gz-(8.1.3')

рOt

Соотношения (8.1.2), (8.1.3') и (8.1.4) описывают движения рассмотренных гравитационных волн.

Сформулируем граничные условия, которые имеют место при изучении гравитационных гравитационных волнг jг

волн.

Предположим, что жидкость, на поверхности которой образуются волны, ограничена непроницаемыми поверхностями. В частности, если глубина жидкости конечна, то такой поверхностью может быть дно. Так как жидкость идеальна, то скорость течения вдоль непроницаемой поверхности будет направлена по касательной к ней. Следовательно, нормальная составляющая скорости вдоль этой поверх-

ности равна нулю и на непроницаемой поверхности имеет место условие

" dh" dh(8.1.5)

" dh

" dh

Граница жидкости с газом (воды с атмосферой) называется свободной поверхностью.

При равновесии жидкости свободная поверхность будет плоскостью, которую примем за координатную плоскость ху. На свободной поверхности жидкости давление р сохраняет постоянную величину р^ равную давлению газа над жидкостью, ибо давление должно меняться непрерывно при переходе из газа в жидкость. Так как ср определяется с точностью до произвольной функции, в частности с точностью до постоянной, то равенство (8.1.3') можно переписать в виде

PZvPo = __ g2.(816>

рdt

Запишем уравнение свободной поверхности в произвольный момент времени в виде

(8.1.7)(8.1.7)2=С(^> у» А-

(8.1.7)

(8.1.7)

Из соотношений (8.1.6) и (8.1.7) следует, что на свободной поверхнос

ти имеет место равенство

дер (ж, у , Z, £)дер (ж, у , Z, £)dt.dt.k=ck=c+ gz = 0.+ gz = 0.

дер (ж, у , Z, £)

дер (ж, у , Z, £)

dt.

dt.

k=c

k=c

+ gz = 0.

+ gz = 0.

Так как можно считать колебания жидкости малыми, то на свободной поверхности можно положить z=0, тогда последнее условие запишем в виде

^^ у, 0, 0 + g^ = 0(8.1.8)

dt

Дифференцируя это равенство по времени, получаем

(8.1.9)(8.1.9)5С 1 d2cp ^х, у, Q, t^

(8.1.9)

(8.1.9)

dtgdt2

Приближенно можно считать, что составляющая скорости вдоль оси 2 на свободной поверхности будет

Действительно, обращаясь к (8.1.7), имеем

= — =vy Ни...

2 dt dt dxdy y

Но двумя последними членами можно пренебречь, считая малыми — и —. Это следует из того, что касательная плоскость к свободной

поверхности мало отличается от горизонтальной плоскости. Следовательно, на свободной поверхности на основании равенств (8.1.9) и (8.1.10) имеет место условие

дер 1д2уdzgdt2 9дер 1д2уdzgdt2 9(8.1.11)(8.1.11)

дер 1д2у

dzgdt2 9

дер 1д2у

dzgdt2 9

(8.1.11)

(8.1.11)

справедливое при 2=0.

верхности жидкости.4. Начальные условия гравитационных волнверхности жидкости.4. Начальные условия гравитационных волнИтак, задача о движении гравитационных волн сводится к интегрированию уравнения Лапласа (8.1.4) при граничном условии (8.1.5) на твердой поверхности и условии (8.1.11) на свободной по-

верхности жидкости.

4. Начальные условия гравитационных волн

верхности жидкости.

4. Начальные условия гравитационных волн

Обратимся к начальным условиям, которые имеют место при рассмотрении гравитационных волн. Пусть возмущенная поверх

ность жидкости в начальный момент (^0) определяется уравнением

&=Rx, у).(8.1.12)

Тогда, используя (8.1.12), можем равенство (8.1.8) переписать в виде

= — gHx, У).(8.1.13)

dt

Последнее равенство справедливо при ^=0, 2=0. Начальные скорости, как следует из (8.1.2), возникают в результате действия импульса давления, равного J pdx. Считая, что этот импульс известен о

только на свободной поверхности или приближенно при 2=0, и обозначая его через f^x, у), можно потенциал скорости в начальный момент представить в виде

4

<р =А (ж, у).(8.1.14)

р

Соотношения (8.1.13) и (8.1.14) представляют собой начальные условия, которые должны иметь место при изучении гравитационных волн.

Так как волновые движения — это явления, периодически меняющиеся с течением времени, то начальные условия, сформулированные выше, в ряде случаев заменяются условием периодичности решения с течением времени. Последнее демонстрируется в конкретном случае гравитационных волн, который рассматривается далее.

Полагаем, как это делалось ранее, что плос-

Плоские волны кость ху совпадает с невозмущенной поверхностью жидкости. Пусть эта поверхность будет безграничной, движение жидкости происходит в плоскостях, параллельных плоскости £2, и давление р, скорость v не зависят от координаты у.

Движение жидкости, удовлетворяющее сформулированным условиям, называется (см. гл. 5) плоскопараллельным, а соответствую-

щее волновое движение называется плоскими волнами. В этом случае свободная граница жидкости будет представлять собой цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси у. Так как при указанном плоскопараллельном движении нет протекания между плоскостями, параллельными плоскости xz, и жидкость идеальна, то любые плоскости, параллельные^, можно принять в качестве твердых границ движущейся жидкости.

(8.1.15)(8.1.16)(8.1.17)(8.1.15)(8.1.16)(8.1.17)Пусть жидкость ограничена плоским горизонтальным дном, отстоящим от свободной поверхности на расстоянии h. При сформулированных условиях плоские волны описываются уравнениями, которые вытекают из соотношений (8.1.4), (8.1.5) и (8.1.11):

(8.1.15)

(8.1.16)

(8.1.17)

(8.1.15)

(8.1.16)

(8.1.17)

dz2 ду2 ’

^=0;

\ dz jz——h

d2tp (ж, 0, 0 дер (х, 0, 0

—ot^dz

где искомый потенциал скорости ф является функцией х, z, t. Начальные условия заменим требованием периодичности по времени t и координате х искомого решения.

Будем искать решение ф в виде

Ф=0(О-Фи, z).(8.1.18)

Подставив последнее в уравнения (8.1.15) и (8.1.17), получим

^+^®=0;(8.1.19)

dz2 ду2

дФ (ж, 0)

= -g.(8.1.20)

9(0Ф(я,0)

Так как правая и левая части соотношения (8.1.20) являются функциями одного переменного t и х соответственно, то оно справедливо, если правая и левая части будут равны постоянной величине.

Так как на искомое решение наложено условие периодичности движения, то следует положить, что эта постоянная равна а2, т. е.

= _ ^,(8.1.21)

о (0

откуда

0(^)=Л1 cosa^-pX2 sinaf.(8,1.22)

Обращаясь к уравнению (8.1.19), применим метод Фурье и будем искать ф в виде произведений двух функций, каждая из которых зависит только от х и z соответственно, т. е.

ф(х, z^X^-Z^Y(8,1.23)

Тогда из уравнения (8.1.19) имеем

= — к\(8.1.24)

Х^Z (z)*v 7

где к2— постоянная величина и знак минус при к2 определяется условием периодичности движения по х. Из соотношения (8.1.24) имеем

Х^—Вх cos kx~VB2 sin кх,

Z^=Схе^ + С2е~^.(8.1.25)

Следовательно, искомое решение уравнения (8.1.25) можно записать в виде

Ф ^х. z, Z) = (Лг cos at + Л2 sin о0 (^icos к% + ^2 sin ^^) X

XtC^ + C^),(8.1.26)

где Аг1 Л2, Вг, В2, Cv С2— произвольные константы.

Удовлетворим условию (8.1 Л6), предположив, что жидкость бесконечной глубины, т. е. й=оо. Тогда в равенстве (8.1.26) следует положить С=0 ибо в противном случае при z~>co потенциал и его производная по z будут возрастать неограниченно. Следовательно, для жидкости бесконечной глубины решение (8.1.26) приобретает вид

ф(ж, z, t)^(Dx cosst+D2 sin at^Bx cos kx-VB2 sin kx^2,(8.1.27)

где Dx^AyCxi D2=A2Cx«

Покажем, что константы а и А: в последнем выражении связаны некоторым соотношением. Действительно, из равенств (8.1.20) и (8.1.23) имеем

6" (0Z'^

0(02(0) *

Но для бесконечно глубокой жидкости, используя соотношения (8.1.25), имеем

м_=к2(0)

и с учетом равенства (8.1.21) получим

к=—.(8.1.28)

g

Определим далее форму свободной поверхности жидкости. Так как это цилиндрическая поверхность, то достаточно определить ее направляющую, которая носит название профиля волны. Обращаясь к уравнению (8.1.28), профиль волны £ найдем из соотношения

(8.1.29)(8.1.29)1 дер (х, О, Q g dt

(8.1.29)

(8.1.29)

или, используя равенство (8.1.27), профиль волны для бесконечно глубокой жидкости запишем в виде

£ = (Е1 sin st-VE^ cos а0(Вг cos кх+В2 sin кх), (8.1.29')

где Ех = -£11; Е2 =—. Раскрыв скобки в решении (8.1.27),

gg

найдем, что потенциал <р представляет собой сумму четырех членов, каждый из которых является некоторым решением поставленной задачи. Каждому из этих решений будет соответствовать определенный профиль волны.

Следовательно, рассмотренные в настоящем параграфе колебания жидкости можно представить как результат наложения четырех колебаний.

Различные частные случаи формулы (8.1.27) представляют собой волны, наблюдаемые в природе.

с „Проведем подробное исследование частного

о. Прогрессивные волны

случая плоских волновых движении, который определяется потенциалом скорости вида

^=Aekz cos^kx—ot).(8.1.30)

Заметим, что эту формулу можно получить как частный случай формулы (8.1.27).

Так же, как и в предыдущем пункте, из граничных условий следует, что к и or связаны соотношением

Используя формулу (8.1.29), уравнение профиля волны в этом случае получим в виде

— ^L sin (кх — at).(8.1.31)

g

Так как А, о, g являются константами, то профиль волны представляет собой синусоиду. Пересечения профиля волны с осью х носят название узлов. Уравнение последних будет £ =0, или

(8.1.32)

где п — любое целое число.

Самые высокие точки профиля волны называются гребнями; самые низкие точки профиля называются подошвами. Гребни и

подошвы соответствуют координатам хх и х^ определяемым формулами:

а , .1/ те о \

1 к к \ 2/

(8.1.33)

= — t -|——,

к к \ 2)

где п — любое целое число.

Расстояние между двумя соседними гребнями или подошвами называется длиной волны и обозначается X. Из формулы (8.1.32) находим

(8.1.34)

Отсюда физический смысл постоянной к заключается в том, что это есть величина, обратная длине волны, т. е.

(8.1.34')

Абсолютная величина отклонения точек поверхности жидкости от невозмущенной поверхности ее называется амплитудой волны. Обозначив последнюю через а, из формулы (8.1.31) имеем

(8.1.35)

Бремя, в течение которого совершается полное колебание, носит название периода волны. Обозначив период через т 7 из формулы (8.1.31) определим его в виде

(8.1.36)

Величина, обратная периоду, т. е. 1/л, называется частотой колебаний и представляет собой число колебаний в единицу времени.

Из формулы (8.1.36) следует, что физический смысл константы су заключается в том, что она является величиной, обратно пропорциональной периоду волны.

Используя связь между коэффициентами к и су , находим зависимость между длиной волны X и ее периодом т:

(8.1.37)

Отсюда имеем, что длина волны пропорциональна квадрату ее периода.

Из формулы (8.1.31) и (8.1.33) следует, что узлы, а также гребни и подошвы волны перемещаются вдоль положительного направления

оси х с одинаковой постоянной скоростью и, определяемой равенством

« = — = — .(8.1.38)

Используя равенства (8.1.34) и (8.1.36), находим

и = —.(8.1.38')

Следовательно, узлы (гребни, подошвы), а значит и вся волна перемещаются вдоль оси абсцисс с постоянной скоростью, равной по величине отношению длины волны к ее периоду. Последний факт обусловил название рассматриваемых волн, а именно прогрессивные волны.

Распределение скоростей в движущейся жидкости получим в виде

vx = -^- = Akekz sin (кх — а^),

(8.1.39) pv == Akekz cos (кх — at).

Отсюда модуль вектора скорости определяется по формуле

v=Akekz.(8.1.40)

Из формул (8.1.39) и (8.1.40) следует, что вектор скорости умень-- шается по модулю с увеличением глубины по экспоненциальному закону и при этом направление не меняется. Обозначим через х0 и z0 координаты частиц жидкости при ее равновесном состоянии. Положив, что частицы совершают только бесконечно малые перемещения, в формулах (8.1.39) заменим ж, z через х0) z0 соответственно и перепишем эти формулы в виде

= — Akekz° cos (&z0 — at);

(8.1.41)

= Akekz° sin (kx0 — at).

Проинтегрировав последние уравнения в пределах от х до х0 и от z до z0, найдем приближенные уравнения движения частиц жидкости в конечной форме вида

х = х0— ekz° sin (кх0 — at);

(8.1.42) z = z0— е kz° cos (kxQ — at).

Исключив из последних уравнений время I. получим уравнение траекторий, которые описывают частицы жидкости при ее движении, в виде

(X - Яо)2 + (^ - z0)s = ^.(8.1.43)

Отсюда, частицы жидкости в случае прогрессивных волн описывают окружности радиусов Л, определяемых по формуле

r = _^L е^6,(8.1.35')

а

или, используя соотношение (8.1.28) и формулу (8.1.35), получим 7? = аекг\(8.1.44)

Следовательно, радиусы траекторий, которые описывают частицы жидкости на поверхности ее, равны амплитуде волны и с увеличением глубины радиусы траекторий частиц жидкости уменьшаются по экспоненциальному закону.

Следует обратить внимание на тот факт, что прогрессивные волны перемещаются вдоль оси ж, однако частицы жидкости при этом остаются все время вблизи своих равновесных положений ж0, я0, описывая вокруг них окружности радиусов, определяемых по формуле (8.1.44).

Отметим, что результаты теоретических исследований, посвященных гравитационным волнам, хорошо согласуются с волнами, наблюдаемыми в природе.

§ 2. Звуковые волны

1. Упрощающиепредположенияи уравненияраспространениязвуковых волн1. Упрощающиепредположенияи уравненияраспространениязвуковых волнРассмотрим упругие, или звуковые волны, которые представляют собой малые колебательные движения, происходящие во всей толще жидкости, вызванные попеременно малыми сжатиями и разрежениями.

1. Упрощающиепредположенияи уравненияраспространениязвуковых волн

1. Упрощающиепредположенияи уравненияраспространениязвуковых волн

Предположим, что указанное движение происходит при отсутствии массовых сил (F=0) и будет потенциальным (v=grad ф).

Далее, в силу малости колебаний в звуковой волне скорость движения жидкости будет мала. Также следует положить, что будут малы изменения скорости при переходе от одной точки пространства к другой, т. е. будут малы члены типа dvjdx, диу1ду и т. д. Отсюда следует, что в уравнениях движения можно пренебречь членом (v grad) v. В звуковой волне плотность р и давление р изменяются (так же, как и скорость) в малых пределах. Благодаря этому их можно представить в виде

(8.2.1)(8.2.1)р=ро+р';р=Ро+р',

(8.2.1)

(8.2.1)

где р0 и р0— постоянные значения плотности и давления в невозмущенной жидкости, ар' и р' — малые по сравнению с р0 и р0 добавки, зависящие от времени t и координат точек пространства ж, у, z. При сделанных предположениях уравнение движения идеальной жидкости Эйлера (см. гл. 4, § 1) запишется в виде

gradф Н5— (р0 + р') = 0.

dtРо +р

Преобразуем это уравнение, изменяя порядок дифференцирования в первом члене, пренебрегая во втором члене р' по сравнению с ро и учитывая, что grad ро=О, к виду

grad —^- -|—— grad р' — 0,dt ро

или, так как р0 постоянно, то

grad= 0.

\ dt р0 / Отсюда

4г + —= /<^(8.2.2)

dt ро

где /(^) — произвольная функция от времени. Но так как ф определяется с точностью до произвольной функции времени, то окончательно уравнение движения звуковой волны (8.2.2) можно записать так:

+ — = 0.(8.2.2')

dt ро

К уравнению движения (8.2.2') следует присоединить уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости, которое для рассматриваемого случая с учетом равенств (8.2.1) будет

d<P«±±L div [(р0 + р') v] = 0.at

Так как — = 0 и произведение p'v есть величина второго порядка dt

малости и ею можно пренебречь, то последнее уравнение перепишем в виде

+ р0 divgrad ср = 0, dt

или окончательно уравнение неразрывности будет

44 + РоАср = 0,(8.2.3)

dt

где А — оператор Лапласа.

Уравнение движения (8.2.Г) и уравнение неразрывности (8.2.3) содержат три неизвестных ф, р', р'. К этим уравнениям следует присоединить уравнение состояния.

Так как движение идеальной жидкости представляет собой адиабатический процесс, то имеет место уравнение Пуассона:

(8.2.4)(8.2.4)Р*

(8.2.4)

(8.2.4)

-у- = const,р

где у есть отношение удельной теплоемкости жидкости при постоянном

объеме, записатьобъеме, записать(Ро + Р) :(ро + Р')(Ро + Р) :(ро + Р')РоРоТРоРоТдавлении к ее удельной теплоемкости при постоянном Последнее равенство для рассматриваемой задачи можно в виде

объеме, записать

объеме, записать

(Ро + Р) :

(ро + Р')

(Ро + Р) :

(ро + Р')

Ро

РоТ

Ро

РоТ

или

Ро V Ро /

Разлагая последнее выражение по биному Ньютона

(1 + ^г-1 h^ + ^^Fkb..

находимнаходим(8.2.5)(8.2.5)\ Ро /Ро2!\ Ро /

находим

находим

(8.2.5)

(8.2.5)

и отбрасывая малые члены р7р0 выше первого порядка, р' = Ро

Обозначив постоянный коэффициент

№ _ с2>

Ро

окончательно уравнение состояния запишем в виде

р'-су.(8.2.5')

Уравнения (8.2.2'), (8.2.3) и (8.2.5') полностью описывают движение звуковых волн.

Пользуясь этой системой уравнений, найдем уравнение, которому удовлетворяют потенциал скорости ср. Для этого из (8.2.5') подставим значение р' в уравнение (8.2.2'), откуда

Р' = —.(8 2 6)

dtv 7

Отсюда др' _ ро д^ dtс2 dt^

Подставив последнее соотношение в уравнение (8.2.3), получим

(8.2.7)(8.2.7)-^- — с2 Аср = 0.

(8.2.7)

(8.2.7)

Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных относительно потенциала скорости. Оно носит название волнового уравнения.

Волновому уравнению удовлетворяют также и две другие неизвестные р' Ир'. Действительно, умножим уравнение (8.2.7) на —р0/с2 и продифференцируем его по времени, тогда из равенства (8.2.6) следует, чтор' удовлетворяет волновому уравнению. Так как р* связано с р' соотношением (8.2.5), то оно также удовлетворяет тому же уравнению. Ему также будут удовлетворять и компоненты скорости рх, vy и vr Итак, вопрос о распространении звуковых волн сводится к интегрированию волнового уравнения (8.2.7).

_^рL ^L = ot dz2c2 dt2_^рL ^L = ot dz2c2 dt2(8.2.8)(8.2.8)Остановимся на рассмотрении звуковой зв^ковая^^о^ня волны, в которой все величины зависят только от координаты х и времени L Такая волна носит название плоской. Волновое уравнение в этом случае будет иметь вид

_^рL ^L = ot dz2c2 dt2

_^рL ^L = ot dz2c2 dt2

(8.2.8)

(8.2.8)

Применим для его интегрирования метод характеристик. Введем вместо переменных х и t новые переменные £ и ц при помощи соотношений:

^—х—eV, Tj=x+ci.

В новых переменных последнее уравнение примет вид

-^- = 0.

Интегрируя это уравнение по £, находим

Интегрируя полученное уравнение еще раз по ц, получим ф=Л(^)+^2(т1)’

где Т^), ^(ц) — произвольные функции соответственно £ и ц. Возвращаясь к переменным х и t, решение уравнения для плоской звуковой волны запишем в виде

ср —F^x—ct^-VF^x^-cf).(8.2.9)

Изменения давления, плотности и скорости в плоской звуковой волне будут описываться такими же функциями, как потенциал скорости ф. Например, изменение плотности жидкости будет описываться соотношением

p'-F^x-ctHF^x+ct).(8.2.10)

Чтобы выяснить смысл полученного решения, положим F2—0 тогда

p'-F^x-cty(8.2.11)

При значениях :r=const+c£ плотность жидкости (а также р*, и Иф) будет оставаться неизменной. Это значит, что если в начальный момент плотность жидкости (а также р', и и ф) в некоторой точке имела определенное значение, то такое же значение через время /

будет иметь плотностьр (и р', у, ф) в точке, находящейся на расстоянии ct вдоль оси ж, т. е. картина движения распространяется в жидкости вдоль оси х со скоростью с, которая носит название скорости звука.

Говорят, что функция F^x—ct) представляет собой бегущую плоскую волну, которая распространяется в положительном направлении оси х. Аналогично функция F^x-\-ct) представляет собой плоскую звуковую волну, которая распространяется в отрицательном направлении оси х. Скорость движения жидкости направлена в рассматриваемом случае вдоль оси ж, т. е. вдоль распространения звуковой волны. Такие волны называются продольными.

Пусть значение потенциала скорости ф определяется выражением

^=F^x~ct).(8.2.12)

Тогда скорость движения жидкости будет

и === F^ (х—ct).(8.2.13)

дх

Пользуясь равенствами (8.2.2') и (8.2.12), находим

р' = — Ро ^- = PoC^i^ — ctY(8.2.14)

ot

откуда

р' ^Х — Ct) = -5— — с — ,Ро* Ро

Следовательно, скорость движения жидкости можно записать теперь в виде

и = с 51.(8.2.15)

Ро

Отсюда заключаем, что скорость передвижения частиц жидкости будет величиной весьма малой, ибо мало отношение р7р0.

Подсчитаем скорость распространения звуковой волны, т. е. скорость звука. Из формулы (8.2.5) запишем

с^=г 1/1^0;(8.2.16)

Г Ро

для воздуха имеем у=1,41; при 2 = 0 плотность равна р0 = = 1,293-Ю3 г/см3; давление ро=76О мм рт. ст. =1,013-106 дин!см\ тогда с=332 м/сек. Полученный результат хорошо согласуется с известной скоростью распространения звука в воздухе. Это указывает на то, что упрощающие предположения, которые были сделаны в настоящем параграфе, имеют место в действительности.

Формула (8.2.16), служащая для вычисления скорости звука, впервые была получена Лапласом.

ГЛАВА9

ДВИЖЕНИЕ вязкой жидкости

Уравнения движения вязкой изотропной жидкости

В реальных жидкостях при относительном движении ее отдельных слоев возникают силы, препятствующие этому движению. Такие силы называются силами трения или сдви-

. Экспериментальный гаюи^ими напряжениями.

закон Ньютона

Вели эти силы незначительны и ими можно пренебречь, то движение среды описывается уравнениями идеальной жидкости, которое и рассматривалось в предыдущих главах. Однако в ряде случаев силами трения пренебрегать нельзя. Жидкости, при движении которых учитываются силы трения, называются вязкими. Уравнениям движения вязких жидкостей и некоторым примерам их применения посвящена настоящая глава.

Чтобы получить уравнения, описывающие движение вязких жидкостей, необходимо к уравнениям движения в напряжениях присоединить дополнительные выражения, связывающие напряжения с кинематическими характеристиками движения.

Экспериментальный закон Ньютона устанавливает следующую зависимость: при движении жидкости вдоль оси х касательное напряжение рух1 приложенное к площадке, перпендикулярной х. определяется формулой

=(9.1.1)

где р, — коэффициент вязкости (первый коэффициент вязкости), имеющий постоянное значение для определенной жидкости и при определенной температуре.

Предположим, что жидкость изотропна и в предельном случае отсутствия вязкости выполняется условие идеальности жидкости:

Рхх = Руу = Pzz = Pl

Рху~ Pyz=Pzx 0.(9.1.2)

Тогда имеет место обобщенный закон Ньютона, связывающий тензор напряжения П, тензор скоростей деформации ф и единичный тензор Г.

П = £ — р -V ^1" Р* j div v j I + 2р-Ф,(9.1.3)

где X называется вторым коэффициентом вязкости.

Если сжимаемость среды несущественна, то Х=0. Б дальнейшем ограничимся только случаями, когда Х=0, тогда из формулы (9.1.3) следуют соотношения:

р = — pdiv v

xx r 3

, 9 9г,У •

^divv + 2^ —,

2dvz

PZZ = ~Pp.divv + 2y. —;(9.1.4)

/ dux dvy \

ryx I \ uy 1 OX ]

I dvydvz\

Pvg " Pz\! " P* \—ДI >

i' dzoy )

I dvzdvx \

Pzx ” Pxz ~ Iх^ a^"у •

Б ряде случаев удобнее вводить вместо коэффициента р, величину ц/р (где р — плотность жидкости). Эта величина обозначается

^^(9.1.5)

р

и называется кинематическим коэффициентом вязкости.

При температуре ^=0° С для воды имеем v=0,018 см^сек; для воздуха v=0,133 см^/сек.

Обращаясь к уравнениям движения сплош-

Навье^Стс^НЫХ сРеД В напРяжениях (3.3.5) и исполь-

в —зуя равенства (9.1.4), запишем уравнение

движения вязкой изотропной жидкости в векторной форме

~- + (v grad) v = F — J_ grad p H——grad div v + vAv. (9.1.6) dtp3

Это соотношение называется уравнением Навье—Стокса.

Уравнение неразрывности для вязкой жидкости сохраняет свой прежний вид

't-divpv = 0.(9.1.7)

dt

Уравнения (9.1.6) и (9.1.7), к которым добавляется уравнение физического состояния жидкости, связывающее давление и плотность, в качестве неизвестных содержат вектор v и скаляры р ир.

Подобно тому как это было выполнено для идеальной жидкости,, можно преобразовать уравнение Навье — Стокса (9.1.6) так, чтобы в левую часть его в явном виде входил вектор завихренности Q. Тогда уравнение движения вязкой жидкости будет иметь вид

-^у- + [£2v] 4- grad ■—- = F— grad p +

+-~ grad div v + mAv.(9.1.6')

Если жидкость несжимаема, то уравнение движения вязкой жидкости, как следует из формул (9.1.6) и (9.1.6'), будет вида

+ (v grad) v = F— grad p + vAv, (9.1.8) dtp

^ИЛИ

+ [Qv] + grad ~- = F— grad p + vAv. (9.1.8')

Уравнение неразрывности (9.1.7) для несжимаемой жидкости приобретает вид

diw=0.(9.1.9)

Неизвестными в уравнениях (9.1.8) и (9.1.9) будутv и р, которые из них определяются при заданных начальных и граничных условиях.

Начальные условия при движении вязкой

Начальные жидкости будут такими же, как и для иде- альнои жидкости. Например, при движении вязкой несжимаемой жидкости в начальный момент (^=0) следует задать поле скоростей и поле давлений как известные функции координат ti и /2, т. е.

у(ж, у, z, О)^/^, у, z);

р^, у, z, 0^=f^x, У) 2).

в ряде случаев будутв ряде случаев будутГраничные условия вязкой жидкости

в ряде случаев будут

в ряде случаев будут

отличаться от соответствующих граничных условий идеальной жидкости. Например, на твердой неподвижной стенке частицы жидкости будут прилипать. Это значит, что равняться нулю должна не только нормальная к стенке составляющая вектора скорости частиц жидкости, соприкасающаяся со стенкой (как это было в случае идеальной жидкости), но и касательная к стенке, составляющая вектора скорости.

На свободной поверхности вязкой жидкости принимается, что касательное напряжение равно нулю, а нормальное напряжение равно постоянному давлению среды, с которой граничит жидкость.

Следует заметить, что изучение движения вязкой жидкости является задачей более сложной, чем изучение движения идеальной жидкости, не только потому, что уравнение Навье — Стокса сложнее уравнений Эйлера, но и потому, что в ряде случаев имеют место более

сложные граничныесложные граничные4. О невозможностипотенциальныхдвижений вязкойжидкости4. О невозможностипотенциальныхдвижений вязкойжидкостиположение и в случае чтоположение и в случае чтоQ =0,Q =0,условия. Сказанное иллюстрируется далее. Из предыдущих глав можно убедиться, какое огромное значение в изучении движения идеальной жидкости имеет предположение о потенциальности движения. Поэтому кажется естественным сделать такое же пред- движения вязкой жидкости. Итак, положим,

сложные граничные

сложные граничные

4. О невозможностипотенциальныхдвижений вязкойжидкости

4. О невозможностипотенциальныхдвижений вязкойжидкости

положение и в случае что

положение и в случае что

Q =0,

Q =0,

илиилиdt 2 рdt 2 р

или

или

dt 2 р

dt 2 р

v=grad ф,

тогда уравнение неразрывности приводится к уравнению Лапласам

Аф =0,

в силу которого член, характеризующий вязкость в уравнении движения, обращается в нуль, т. е.

XAv= у grad Аф=0.

Уравнение движения вязкой жидкости обращается в уравнение* движения идеальной жидкости вида

grad + 1L += F,

\ dt 2 р /

из которого следует, что такое движение возможно только в случае» сил, принадлежащих потенциальному силовому полю, т. е.

F=grad U*

Следовательно, уравнение движения жидкости приводится к интегралу Коши:

и задача сводится к интегрированию уравнения Лапласа и определению давления из интеграла Коши.

Отличие движения вязкой жидкости от идеальной в рассматриваемом случае будет заключаться только в разной формулировке граничных условий. Действительно, на неподвижной твердой стенке в случае течения идеальной жидкости ставится только условие равенства нулю нормальной к стенке составляющей скорости, т. е.

Для вязкой же жидкости на твердой стенке ставится условие равенства нулю как нормальной, так и касательной составляющих вектора скорости, т. е.

Этим условиям не могут удовлетворить решения уравнения Лапласа^ в чем можно убедиться на примере обтекания тел идеальным потоком жидкости, рассмотренном ранее. Таким образом, сделанное* предположение о потенциальности движения вязкой жидкости противоречит граничным условиям и, следовательно, не существует потенциальных движений вязкой жидкости, особенно в непосредственной близости к твердым стенкам.

Таким образом, изучения движенияТаким образом, изучения движенияизучение движения вязкой жидкости сложнее идеальной жидкости и вследствие более слож

Таким образом, изучения движения

Таким образом, изучения движения

ных уравнений, и вследствие усложнения граничных условий.

5. Основныенаправления изучениядвижениявязкой жидкости5. Основныенаправления изучениядвижениявязкой жидкостиСложность изучения различных задач о движении вязкой жидкости столь велика, что только в случае сравнительно небольшого числа частных задач удается проинте

5. Основныенаправления изучениядвижениявязкой жидкости

5. Основныенаправления изучениядвижениявязкой жидкости

грировать уравнения движения при задан

ных граничных и начальных условиях. Вследствие этого при решении ряда задач, выдвигаемых практикой, приходится обращаться

к эксперименту и ставить вопрос о критерии моделирования течения. Последний решается теоретическим путем, как это будет показано в следующем параграфе.

Кроме того, изучение движения вязкой жидкости можно успешно осуществить, если воспользоваться приближенными уравнениями движения вязкой жидкости. При использовании тех или иных приближенных уравнений движения вязкой жидкости важно указать область их применимости.

Основные приближенные уравнения движения вязкой жидкости рассматриваются в последних параграфах настоящей главы.

Уравнение Навье — Стокса описывает так называемые лами

нарные течения жидкости, которые характерны тем, что отдельные слои течения не смешиваются. Однако в природе существуют течения, характерные резким перемешиванием отдельных частиц различных слоев. Такие течения описываются средними значениями скоростей, давлений, плотности и называются турбулентными. Уравнение Навье — Стокса служит базой для получения уравнений турбулентных течений.

Критерии подобия

Остановимся на уравнении движения вязкой несжимаемой жидкости

и преобразуем его так,чтобы в него входили только безраз-

1. Уравнениядвижения в безразмерныхвеличинах1. Уравнениядвижения в безразмерныхвеличинахмерные величины. Для этого введем характерные для каждого течения длину LOl скорость и01 давление р0, время То и силу g0, приходящуюся на единицу массы. Приме

1. Уравнениядвижения в безразмерныхвеличинах

1. Уравнениядвижения в безразмерныхвеличинах

ром этих величин могут служить в случае обтекания цилиндра: диаметр цилиндра LOl скорость невозмущенного потока и0 (или скорость в бесконечности), давление невозмущенного потока р0 (или давление в бесконечности), период срыва вихрей с поверхности цилиндра TQ и сила тяжести g0, действующая в потоке жидкости

на единицу массы.

Введенные характерные величины можно рассматривать как масштабы длины, скорости, давления, времени и силы. Все переменные размерные величины, входящие в уравнение движения, при этом можно представить как произведение характерных масштабов на безразмерные величины. Обозначив безразмерные величины соот-

ветветствующих размерных величин буквами с индексом «1», имеем 1=^; v=yov1; p=p0Pv t = Totv F=g0Fv

Отсюда

grad p = -^- grad p^ (v grad) v = —— (v1grad) vP

Обозначив постоянное значение плотности через р0, уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости в безразмерных величинах запишем в виде

— — + — (V grad) V1 = F^o— grad px + Avr (9.2.1) 'o ot Lop£0Lo

Уравнение неразрывности в безразмерных величинах для несжимаемой жидкости будет вида

div уг=0.

Числа ~ Разделим уравнение (9.2.1) на v^ILq, тогда подобия течении оно приобретает вид

^о ^vi , ,§^р0v д /о о

—+ (Vr grad) vx= — F,— gradP1+ — Avr(9.2.1 ) 7 o^o ^yoPoyo

Так же, как и в уравнении (9.2.1), все члены уравнения (9.2.Г) будут безразмерными величинами. Множители этого уравнения, составленные из характерных для данного течения величин, также будут безразмерными. Эти множители носят общее название чисел подобия.

Как следует из уравнения (9.2.Г), чисел подобия будет четыре, и каждое из них носит имя автора, который впервые ввел его в рассмотрение течения:

число, содержащее давление, называется числом Э й л ер а и обозначается Е:

Е = —^-;(9.2.2)

Ро^О

число, в которое входит сила тяжести, называется числом Ф р у д а и обозначается F:

F = -^-;(9.2.3)

gLeх 7

число, содержащее характерное время, носит название числа Струхаля и обозначается S:

S =.(9.2.4)

Т

число, содержащее кинематический коэффициент вязкости, носит название числа Рейнольдса и обозначается R:

(9.2.5)(9.2.5)R — ^о^0

(9.2.5)

(9.2.5)

Вводя числа Эйлера, Фруда, Струхаля и Рейнольдса в уравнение движения (9.2.1'), перепишем последнее в виде

s ^- + (V! grad) V1 = i- - Е grad Pi + "^ Avi- (9.2.1")

Если движение установившееся (-^^О) и если в качестве характерного давления выбрать величину pzV> которая носит название скоростного напора, то в уравнении (9.2.Г') выпадут числа Струхаля S и Эйлера Е. Тогда уравнение движения для установившихся течений будет иметь вид

(v, grad) Vi = -L F, + grad рх + -^- Avr (9.2.6)

о-Как указывалось ранее,вследствие сложности

уравнении движения ряд задач приходится решать экспериментальным путем, причем при обтекании тел модели, с которыми приходится иметь дело в гидродинамике, как правило, меньше тел натуральных. При этом, естественно, возникает вопрос, как следует поставить эксперимент, чтобы его данные отвечали действительности, т. е. как следует выбрать критерии подобия течений.

Две задачи будут идентичны, если они описываются одними и теми же уравнениями и в случае установившихся движений имеют одинаковые граничные условия. Чтобы осуществить совпадение граничных условий в натуральных условиях и в эксперименте, необходимо потребовать геометрического подобия тел и их расположения в пространстве относительно потока. При использовании безразмерных уравнений стационарных течений вязкой жидкости (9.2.6) совпадение уравнений движения в натуральных условиях и в эксперименте будет осуществлено, если при этом совпадают числа Фруда и Рейнольдса. Совпадение этих чисел является критерием подобия установившихся течений.

Если обозначить характерные величины натурального течения через LH, vH и характерные величины геометрически подобного эксперимента через L3, v3, то, следовательно, при постановке эксперимента необходимо соблюдение следующих равенств:

2222

-^- = -у— , ИЛИ -— = -—-

L^u^ L3v3

Если кинематические коэффициенты вязкости в натуре и в эксперименте одинаковы (vH=v3), то точное выполнение этих двух условий невозможно. Действительно, если модель меньше натуры, т. е. LH/L3>1, то из равенства чисел Фруда следует, что ^/рэ >1 и характерная скорость течения жидкости в эксперименте должна быть уменьшена по сравнению с соответствующей скоростью в натуре. Из равенства же чисел Рейнольдса следует, что если LJL^l, то при этом рэ/рн>1, т. е. характерная скорость течения жидкости в эксперименте должна быть увеличена по сравнению с соответствующей скоростью в натуре. Чтобы одновременно выполнить условия равенства чисел Фруда и Рейнольдса, необходимо в эксперименте изменить кинематический коэффициент вязкости, однако практическое осуществление этого весьма трудно. Поэтому в практике, сохраняя неизменным v, осуществляют выполнение одного из чисел подобия, который наиболее существен в рассматриваемой задаче. Другим числом подобия при этом пренебрегают, т. е. осуществляется только приближенное моделирование явления. В тех задачах, где очень существенную роль играют силы тяжести, например, в задачах гравитационных волн, при моделировании явления пользуются числом подобия Фруда. В задачах о движении без свободной поверхности основным числом подобия принимается число Рейнольдса, которое в этих вопросах играет существенную роль, характеризуя качественные особенности течений вязкой несжимаемой жидкости, как это будет показано далее.

Число Рейнольдса в уравнении (9.2.Г') было получено путем деления множителя при квадратичных инерционных членах вида v^ILq на множитель при члене, характеризующем вязкость жидкости вида v vJLq. Поэтому число Рейнольдса определяет порядок величины отношения сил инерции к силам вязкости. Отсюда следует, например, что большим числам Рейнольдса будут соответствовать большая величина инерционных членов уравнений движения по сравнению с членами уравнения, характеризующими вязкость. Подобно тому как введены числа подобия установившихся движений, можно ввести числа подобия неустановившихся течений. В частности, не- установившиеся периодические течения в качестве основного критерия подобия имеют число Струхаля, которое согласовано с граничными условиями.

Течение Пуазейля

В качестве примера точного интегрирования уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости рассмотрим течение в трубах. Пред-

Исходные уравнения положим. что течение стационарно и внеш- ние силы отсутствуют, т. е.

-£L = 0; F = 0.(9.3.1)

atv '

Предположим далее, что течение направлено вдоль оси трубы, т. е., используя цилиндрическую систему координат, имеем

vr=v4 =0; Рг=р(Я, 9, z).(9.3.2)

Обращаясь к уравнению неразрывности (4.2.17), которое запишем в цилиндрической системе координат (см. гл. 4, § 2):

9<иящ , a(vzR) ( avB п

"8R++ "дГ U’

имеем

—^- = 0, или vz — v ^R, 9).

Далее, из физических соображений следует предположить, что течение обладает осевой симметрией, т. е. у2 есть функция только R:

vz-v№.(9 3.3)

Используя условия (9.3.1) и (9.3.2), уравнения движения запишем в виде

lL = o;^L = O;-^ = пЛу.(9.3.4)

ан аз az '

Используя равенство (4.2.14), оператор Лапласа в цилиндрических координатах запишем в виде

Уравнение (9.3.4) с учетом (9.3.3) и (9.3.5), примет вид

d2v . 1 du 1 dpdR2 R dRpi dz ’

ИЛИ

1 d ( R dy \ 1

R ~dR \ dR I ~

Интегрируя последнее равенство, находим

р = _L Ri + A In R + в.

4|х dz

Константы интегрирования А и В найдем

Исследование из граничных условий. Предполагая, что решениярадиус трубы R=a и жидкость прилипает

на стенках, имеем

р-0.(9.3.6)

Кроме того, предполагая, что скорость всюду ограничена, находим

А = 0; В =— -^-,

4pi dz откуда

у = J_ (R» - а2)(9.3.7)

4|Л dz

Таким образом, распределение скоростей по сечению круглой цилиндрической трубы подчиняется параболическому закону и наибольшая скорость на оси трубы определяется формулой

^макс^максa2 dp4jx dza2 dp4jx dz(9.3.8)(9.3.8)

^макс

^макс

a2 dp

4jx dz

a2 dp

4jx dz

(9.3.8)

(9.3.8)

Расход жидкости через сечение трубы Q будет

ааООvRdR =— -^- —4|х dz 4vRdR =— -^- —4|х dz 4Но так какНо так как9р дг9р дгPz. — Р\IPz. — Р\IPi — Р2IPi — Р2I(9.3.9)(9.3.9)

а

а

О

О

vRdR =— -^- —

4|х dz 4

vRdR =— -^- —

4|х dz 4

Но так как

Но так как

9р дг

9р дг

Pz. — Р\

I

Pz. — Р\

I

Pi — Р2

I

Pi — Р2

I

(9.3.9)

(9.3.9)

где рг и р^ — давления в двух сечениях трубы, отстоящих друг от друга на расстоянии I, то

Q = — -EizlPk .(9.3.10)

8|х I

Разделив это выражение на площадь поперечного сечения трубы ла2, определим среднюю скорость течения:

Q = д2Pi — Р2га2 8|х IQ = д2Pi — Р2га2 8|х I(9.3.11)(9.3.11)

Q = д2Pi — Р2

га2 8|х I

Q = д2Pi — Р2

га2 8|х I

(9.3.11)

(9.3.11)

или с учетом равенств (9.3.8) и (9.3.10) имеем

^ср 2 ^макс*

мулоймулойПри экспериментальном изучении движения жидкости по трубам обычно находится разность давлений в двух сечениях трубы рг—р2. Из формулы (9.3.11) следует, что эта разность определяется фор

мулой

мулой

(9.3.12)(9.3.12)8|л/^ S^lIvq^^ 4гса4 а2 ’

(9.3.12)

(9.3.12)

которую полностью подтвердили экспериментально независимо друг от друга ученые Гаген и Пуазейль. Имя второго ученого и получило рассмотренное выше течение.

Формула (9.3.12) составляет содержание закона Гагена — Пуазейля, который гласит: при ламинарном течении жидкости в трубе падение давления вдоль оси трубы прямо пропорционально секундному объему протекающей жидкости и длине отрезка трубы и обратно пропорционально четвертой степени радиуса трубы.

Пользуясь формулой т =[А -^, определим силу трения, действующую в жидкости:

(9.3.13)(9.3.13)т = Р^РА- R.

(9.3.13)

(9.3.13)

Отсюда на стенках трубы получим максимальное значение силы

трения, равное

(9.3.14)(9.3.14)(Pi — Рг) а 4Ууср тмакс —21а

(9.3.14)

(9.3.14)

Приближенные уравнения движения Стокса

Все приближенные методы, существующие в гидромеханике, основаны на том, что либо в основных уравнениях отбрасывается часть

Уравнение Стокса членов’ либ° опускаются некоторые из граничных условии. Уравнения Стокса, которые будут рассмотрены в настоящем параграфе, представляют собой один из примеров приближенных уравнений движения вязкой жидкости.

Запишем уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости в безразмерных величинах (9.2.1") в виде

SR + R (у* grad) v4 = — Ег — ER grad рх + Avt (9.4.1) dtF

и предположим, что число Рейнольдса весьма мало. В этом случае квадратичными членами в уравнении движения (9.4.1) можно пренебречь. Чтобы при этом сохранить остальные уравнения, содержащие в качестве множителя число Рейнольдса, следует потребовать выполнения следующих неравенств:

SR>1; у >1; ER>1.(9.4.2)

Из последнего неравенства (9.4.2), в которое подставим значения Е и R, получим неравенство вида

Ро>^.(9.4.3)

Отсюда следует, что при отбрасывании в уравнениях движения квадратичных членов инерции давление будет находиться в прямой зависимости от характерной скорости течения г0 и вязкости ц и в обратной зависимости от характерной длины Zo. Отбрасывая квадратичные члены инерции в уравнении движения несжимаемой жидкости, перепишем его в виде

= F — grad — 4-vAv.(9.4.4)

dtр

Приближенное уравнение (9.4.4) носит название уравнения Стокса.

В качестве примера применения уравнения очень вязкоТжидкости Стокса рассмотрим течение очень вязкой между двумя близкими жидкости между двумя параллельными пла- параллельными станками, находящимися на малом рас- пластинками стоянии h друг от друга. Предположим, что внешние силы отсутствуют, движение установившееся и скорости течения малы, а вязкость жидкости велика так, что число Рейнольд-

са очень мало, и, следовательно, применимо приближенное уравнение Стокса. В рассматриваемом случае это уравнение может быть записано в виде

grad р=цДу.(9.4.5)

Выберем систему координат так, чтобы плоскость ху совпадала с одной из пластин, тогда уравнения граничных плоскостей будут вида

z=0; z=ft.(9.4.6)

Предположим, что скорость частиц жидкости параллельна граничным плоскостям, т. е. рассмотрим двумерное течение:

Предположим далее, что в результате малости расстояния Н изменение скоростей иХ1 иу в направлении оси z происходит гораздо быстрее, чем в направлении осей х и у. Это значит, что производными 8vx/8x, 8vx!8y^ диу!дх, 8vyldy, 82vj8x\ 82vxl8y\ 82vyldx\ 82vy!8y2 можно пренебречь по сравнению с производными 8vxldz, 8vyldz, 82vxl8z2, 82vyldz2, тогда уравнение (9.4.5) в проекциях на оси координат может быть записано в виде

дР а^х аР дЧу 5р

= Iх= 0.(9.4.7)

ох г dzA дуг dz2 ’ dzх '

Из последнего уравнения следует, что р зависит только от х , у. К уравнениям (9.4.7) следует еще присоединить уравнение неразрывности вида дих дим

-^ + lif = 0-(9-4-8)

В силу независимости р от z впервые два уравнения (9.4.7) легко интегрируются:

z2 др

№ = — -^- + гЛ ^х, у) + В (ж, у);

z2 др

= т +zC (^ у) + D ^ уУ

Используя граничные условия для вязкой жидкости, которые в рассматриваемом случае имеют вид

vjc=p9=0 при z=0 и z=h, получим

В (х, у) = D (х, у) = 0; А (х, у) = — А -А-; 2 Ох

Р .К др

Окончательно имеемОкончательно имеемУд =Уд =——— z(h— z);2(4 дх V '——— z(h— z);2(4 дх V 'vy =— z(h — z).У 2(4 ду 'vy =— z(h — z).У 2(4 ду '(9.4.9)(9.4.9)Подставив найденные значения иХ1 иу в уравнение неразрывности:Подставив найденные значения иХ1 иу в уравнение неразрывности:Др =Др =д^рдх2д^рдх2l^p ду»l^p ду»= 0.= 0.(9.4.10)(9.4.10)

Окончательно имеем

Окончательно имеем

Уд =

Уд =

——— z(h— z);2(4 дх V '

——— z(h— z);2(4 дх V '

vy =— z(h — z).

У 2(4 ду '

vy =— z(h — z).

У 2(4 ду '

(9.4.9)

(9.4.9)

Подставив найденные значения иХ1 иу в уравнение неразрывности:

Подставив найденные значения иХ1 иу в уравнение неразрывности:

Др =

Др =

д^р

дх2

д^р

дх2

l^p ду»

l^p ду»

= 0.

= 0.

(9.4.10)

(9.4.10)

Из формул (9.4.9) и (9.4.10) следует

02vxд2их д2им8^ич

дх2ду2 и’ дх2ду2

Таким образом, найденное решение (9.4.9) строго удовлетворяет исходному уравнению (9.4.5).

Скорости течения ^ср, ууср, осредненные по высоте, определим по формулам:

Уд-ер (*> ^ = 4" f UjC^’ У* ^ d2"’о

«Ч (ж, У) = — | У У (^ У» z) ^ 'срh J

0

или

(9.4.11)(9.4.11), хh2 др , vh2 др

(9.4.11)

(9.4.11)

•^P Х Я' 12(4 Эх уср V У’ 12(4 ду

Вводя функцию

Ф (ж. у) =Ф (ж. у) =№12(4 Р’№12(4 Р’

Ф (ж. у) =

Ф (ж. у) =

№

12(4 Р’

№

12(4 Р’

запишем

(9.4.12)(9.4.12)5<рд<^

(9.4.12)

(9.4.12)

Vx^ = ”дх ’ Uw = ~ду •

Так как р удовлетворяет уравнению Лапласа (9.4.10). то и функ- ция ср, которая отличается от р только на постоянный множитель, будет удовлетворять уравнению Лапласа. Следовательно, средние скорости изучаемого течения обладают потенциалом и кинематика среднего движения рассматриваемой задачи аналогична кинематике потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости.

Элементы теории пограничного слоя

В настоящем параграфе рассмотрим приближенный метод интегрирования уравнений движения вязкой жидкости при больших числах . „„ Рейнольдса. Большие числа Рейнольдса бу-

. ограничныи слои ДуТ иметь Место, когда велика характерная длина £0 или когда велика характерная скорость и0, или когда мал кинематический коэффициент вязкости у. Обращаясь к уравнению установившихся движений в безразмерных величинах (9.2.1"), можно предположить, что в этом случае можно пренебречь членом уравнения, характеризующим вязкость. Однако тогда уравнение движения вязкой жидкости обратится в уравнение движения идеальной жидкости, и, как уже указывалось, мы не сможем подобрать решение, удовлетворяющее граничным условиям вязкой жидкости на твердой стенке. Отсюда можно сделать заключение, что главное воздействие вязкости при течении жидкости с большими числами Рейнольдса проявляется вблизи поверхностей, ограничивающих течение. Вследствие этого можно предположить, что вдали от стенок движение жидкости мало отличается от движения идеальной жидкости. Следовательно, при больших числах Рейнольдса в потоке жидкости, не соприкасающемся непосредственно со стенкой, течения описываются с большим приближением уравнениями движения идеальной жидкости. В узком слое, непосредственно прилегающем к стенке, который получил название пограничного слоя, следует пользоваться уравнениями движения вязкой жидкости. Однако, используя малую толщину пограничного слоя, можно из общих уравнений движения вязкой жидкости получить приближенные уравнения движения вязкой жидкости пограничного слоя. Последние получили название уравнений движения пограничного слоя Прандтля.

2. Уравнениядвижения жидкостив пограничном слоелетворяющей условию2. Уравнениядвижения жидкостив пограничном слоелетворяющей условиюРассмотрим обтекание пластинки поступательным потоком, направленным вдоль оси х* Предположим, что пластинка совпадает с координатной полуплоскостью хг, удов- ж^О. В этом случае течение будет плоско-

2. Уравнениядвижения жидкостив пограничном слое

летворяющей условию

2. Уравнениядвижения жидкостив пограничном слое

летворяющей условию

параллельным. Ограничимся далее рассмотрением ламинарного течения жидкости вблизи пластинки, т. е. течением, в котором отсутствуют резкое перемешивание частиц и резкая пульсация вектора скорости. Кроме того, предположим, что внешние силы отсутствуют. Обращаясь к уравнениям движения вязкой несжимаемой жидкости (9.1.6), запишем их для рассматриваемого случая в виде

Эих , „ QVx х „ 9их1 др /д2их д2их\

dtдх ”дуv ^*55^ + ^2 )

дуудиудуу1 др/ д2и vд2уЛ

"дГ + Ux + Vур -^— + у 4- —J ;(9.5.1)

ду хди«

—_ JL — л

Эхду ~

Займемся упрощением последних уравнений, сравнивая отдельные члены по их относительной величине. Обозначим через 6 толщину пограничного слоя и будем предполагать, что 6 есть малая величина (по сравнению С характерным размером рассматриваемой задачи). Толщина пограничного слоя в данной задаче будет функцией координаты х и времени ^, т. е.

6 =6 (я, 1\

Пусть и0 будет характерной скоростью течения. Составляющая скорость их на внешней границе пограничного слоя может иметь различные значения, но она будет иметь один и тот же порядок у0. На поверхности пластинки их=0. Следовательно, при изменении у от 0 до 6 составляющая их меняется от 0 до у0, отсюда среднее значе- дих

ние в точках, принадлежащих пограничному слою, имеет порядок Vq/6 . Подобным же образом получаем, что внутри пограничного ^vxи0

слоя имеет порядок — . Изменение их при перемещении вдоль пластинки будет порядка и0, следовательно, вводя характерный размер LOl можно сказать, что -д— будет порядка — и аналогично ox

&vX ,y0 „

диди-г-,- будет порядка -я- .Так как из уравнения неразрывности имеем

ди

ди

диу

дудх ’

то порядок ^ будет — . Вдоль пластинки по условию прилипа- 9уLo

ния ^=0, следовательно,

и я

f дуу лу =— dy.

о

Отсюда порядок^о5 дет порядка ——Отсюда порядок^о5 дет порядка ——иУиУИ,И,р0& диуv^ , d^Vy

Отсюда порядок

^о5 дет порядка ——

Отсюда порядок

^о5 дет порядка ——

иУ

иУ

И,

И,

будет -у- и будет порядка -р- , бу-

d2Vy1>о&V»

наконец, -^ будет порядка -^ = рр Об

ращаясь к первому уравнению (9.5.1), на основании предыдущих д2их

рассуждений заключаем, что членом » порядок которого

—р-, можно пренебречь по сравнению с членом -^-, порядок ко

торого -^-, ибо, как указано, толщина пограничного слоя 8 мала по сравнению с Lo. Следовательно, первое уравнение (9.5.1) приобретает вид

91 х дх у дур дх ду191 х дх у дур дх ду1(9.5.2)(9.5.2)

91 х дх у дур дх ду1

91 х дх у дур дх ду1

(9.5.2)

(9.5.2)

Порядок всех членов этого уравнения должен быть один и тот же.

дихдЧх

Но, например, членимеет порядок -~-, а член v имеет

иХz>qоу

^^0

порядок -^2- • Отсюда толщина пограничного слоя б должна быть порядка 1/ —, или, вводя число Рейнольдса, имеем, что б будет порядка р^* Итак, первый результат теории пограничного слоя гласит: при течениях, обладающих большими числами Рейнольдса R, толщина б образующегося пограничного слоя имеет порядок, обратно пропорциональный корню квадратному из числа Рейнольдса.

Переходя ко второму уравнению (9.5.1), на основании вышеприведенных рассуждений имеем, что членом -^- можно пренебречь д2УумУо^2

по сравнению с членом » ибо первый член имеет порядок —, а второй член имеет порядок . Далее, так как порядок остальных членов второго уравнения будет б, то всеми оставшимися членами уравнения можно пренебречь. В частности, член уравнения

дрVo1 др

— -^- имеет порядок -^ б, в то время как— имеет поря- 0рж

док -у-.

Следовательно, градиент давления в направлении нормали к контуру мал по сравнению с градиентом давления вдоль оси х и им можно пренебречь. Отсюда имеем второй результат теории пограничного слоя: давление внутри пограничного слоя не меняется в направлении нормали к контуру, и, следовательно, равно давлению на внешней границе пограничного слоя в соответствующей точке.

На основании всего вышеизложенного приходим к заключению, что движение в пограничном слое определяется уравнениями Прандтля вида

^+l,^ + „= _(9.5.3)

dt х дх у дур дх ду*Х

9VX |^^у Q

дх ду ’

где vx, Uy есть неизвестные функции х, у, t; р есть заданная функция х, t и = 0.

9у

Используя криволинейные координаты в плоскости так, как это сделано для декартовых координат, можно получить уравнения

пограничного слоя на цилиндрической поверхности, уравнение которой совпадает с одной из координатных линий, если толщина слоя

значительно меньше радиуса кривизны поверхности в каждой точке.

3. Постановказадачи о течениив пограничном слое3. Постановказадачи о течениив пограничном слоеКак уже говорилось, вне пограничного слоя при больших числах Рейнольдса течение описывается уравнениями движения идеальной жидкости. Однако пограничный слой,

3. Постановказадачи о течениив пограничном слое

3. Постановказадачи о течениив пограничном слое

возникающий в результате внешнего потока, набегающего на тело, оказывает на него обратное влияние. Именно, этот поток в области

пограничного слоя становится вихревым. За телом эта завихренная область, покидая поверхность тела, образует так называемый «аэ

родинамический след» (рис. 106). искажающий потенциальный поток, в котором не учитывается пограничный слой. Только в первом приближении можно пренебрегать возникновением следа за телом. При построении внешнего потока, ограничиваясь этим приближением,

найдем давление на внешней границе пограничного слоя. Решая задачу об обтекании тела потоком идеальной жидкости, определим давление на границе тела. Далее, используя основные результаты

теории пограничного слоя о малости толщины его и неизменности давления в направлении нормали к телу, пренебрегая толщиной пограничного слоя, примем значение давления на границе пограничного слоя, равное известному давлению в соответствующей точке на

границе тела.

Для интегрирования уравнений движения пограничного слоя Прандтля (9.5.3) необходимо задать пограничные условия, которые на твердой стенке будут соответствовать условию прилипания, т. е. их=0. На границе пограничного слоя 6 составляющая их должна обращаться в соответствующее значение скорости, полученной из решения задачи о течении идеальной жидкости. Пренебрегая по- прежнему толщиной пограничного слоя, принимаем, что их на его границе равно соответствующему значению скорости идеальной жидкости на границе тела.

Если рассматривается неустановившееся движение, то кроме граничных условий следует задать еще начальные условия.

В указанной постановке задачи о ламинарном течении жидкости в пограничном слое понятие толщины пограничного слоя носит неопределенный характер, ибо в действительности нет резкой границы, отделяющей пограничный слой от внешнего потока, в котором можно не учитывать силы вязкости.

Так как в сформулированной выше задаче не указываются методы определения толщины пограничного слоя б, указывается только порядок б , то можно вместо условия на внешней границе погранич-

ного слоя принять условие асимптотического приближения на бесконечности скорости их к соответствующей скорости потока идеальной жидкости.

Влияние пограничного слоя на искажение внешнего потока может быть учтено количественно.

w Пусть поступательный поток набегает на

Асимптотический пластинку длины Z, расположенную по послом на пластинке __/ п\

луплоскости Х^Х^ЛУ), вдоль оси х со скоростью р0. Движение установившееся, в основном потоке отсутствует градиент давления вдоль оси ж, т. е.

Эх

пусть также отсутствуют внешние силы. Тогда уравнения движения Прантдля в пограничном слое приобретают вид

8Vy . dVy

ду2 ’ду2 ’, 1—- 4- yv —- = Vдх у ду8vxdvy _ n

ду2 ’

ду2 ’

дхду

Граничные условия в предположении асимптотического слоя будут иметь вид

vx = vy = 0vx = vy = 0dvx"9?dvx"9?= 0; z;y = 0= 0; z;y = 0^ = уо^ = уопри у = 0, O^rr-^Z;при #<0 или х>>1;при у - оо и любых х.при у = 0, O^rr-^Z;при #<0 или х>>1;при у - оо и любых х.

vx = vy = 0

vx = vy = 0

dvx"9?

dvx"9?

= 0; z;y = 0

= 0; z;y = 0

^ = уо

^ = уо

при у = 0, O^rr-^Z;

при #<0 или х>>1;

при у - оо и любых х.

при у = 0, O^rr-^Z;

при #<0 или х>>1;

при у - оо и любых х.

Поставленная задача была рассмотрена Блязиусом, который предложил вместо пластинки конечной длины рассматривать приближенно пластинку бесконечную вдоль оси ж, и тогда задача сводилась к обыкновенному дифференциальному уравнению

2£,„+^„=0,

решение которого было получено в виде ряда.

Не останавливаясь на подробностях этого достаточно громоздкого решения, укажем, что если оно известно, то силу, действующую на единицу площади пластинки, получим на основании соотношения

^=0

Силу сопротивления, испытываемую обеими сторонами пластинки длины I и ширины 6, получим в виде

ь

x, = 2b f р. fdx.

J \ ду о

Обычно в рассмотрение вводятся не эти силы, а безразмерные коэффициенты Cs, которые связаны с силами соотношением

Tz = Cs S , ИЛИ Cs=,

25 Р^

2

2

где 5 — площадь поверхности, на которую действует сила, 121 — величина, называемая скоростным напором. Коэффициенты Cs, полученные теоретическим путем и экспериментально, хорошо согласуются. Это значит, что предпосылки, положенные в основу вывода уравнений пограничного слоя Прандтля, и формулировка граничных условий отражают основные особенности течения вязкой жидкости вблизи твердых стенок.

5. СоотношениеКармана и егообобщение5. СоотношениеКармана и егообобщениеУравнения движения в пограничном слое Прандтля представляют собой систему нелинейных уравнений в частных производных, для которых не существует общих методов

5. СоотношениеКармана и егообобщение

5. СоотношениеКармана и егообобщение

решения, и в каждой конкретной задаче разрешение этих уравнений вызывает большие трудности. Это обстоятельство заставило исследователей искать более простые пути в решении задачи о течении в пограничном слое, не обращаясь к непосредственному интегрированию уравнений движения. В этом направлении велись исследования ряда ученых, которые взамен ранее указанного асимптотического (или бесконечного) пограничного слоя ввели понятие конечной толщины пограничного слоя как некоторой области толщины б (я, О» обладающей тем свойством, что внутри нее сосредоточено все влияние вязкости. Границу слоя б можно определить как поверхность, вдоль которой скорость пограничного слоя х(х, у, t) отличается от скорости потока идеальной жидкости ут(ж, у, t) в соответствующей точке на малую наперед заданную величину е, т. е.

Чх, у, £) = (1—8 )Vi(&, У, t),

и на границе пограничного слоя пренебрежимо мало.

Вводя понятие 6 (ж, 0, проинтегрируем уравнение Прандтля в пределах от 0 до б:

Займемся преобразованием отдельных членов этого соотношения. Так как

— f vxdy = f ^ dy + vx (ж, 8, о —,at J х J atat

9о

тото

то

то

88

С дих . д С ,/5 » 06

^ rfy = vxdy—vx (ж, 8, < —.

J 9t9t Jdt

ОО

8Далее, интеграл вида I и^ —- о лой интегрирования по частям:8Далее, интеграл вида I и^ —- о лой интегрирования по частям:йу преобразуем, пользуясь форму-йу преобразуем, пользуясь форму-

8

Далее, интеграл вида I и^ —- о лой интегрирования по частям:

8

Далее, интеграл вида I и^ —- о лой интегрирования по частям:

йу преобразуем, пользуясь форму-

йу преобразуем, пользуясь форму-

888

f ", 77I ” J 77=

О00

8

= и (х, 8, 0 их (х, 8, <) — ( vx ^1 dy,J оу

О

так как их—иу=0 при у=0. Представим ^(л:, 6, 0, входящее в последнее выражение, в несколько ином виде. Из уравнения неразрывности имеем

диуди х

откудаоткудадудх ’

откуда

откуда

8

уДхЛЛ^-^ -57 dy.о

Так как

dy + vx(x, 8, t) —.dy + vx(x, 8, t) —.

dy + vx(x, 8, t) —.

dy + vx(x, 8, t) —.

то окончательно имеем

8

Vy (Ж, 8, t) = — ■£- J Гр^у +^ 81 f) ^

О

и отсюда

86

j уу -^- dy = —vx (ж, 8, 0 ■£■ ^ vxdy -V Ух (ж, 8, <) -^- + оо

8

о

Последний интеграл можно записать в виде

8

6

5

ООООО

О

О

О

О

— их (х, 8, f) __ .2дх

Собирая результаты последних вычислений, можем записать 8

V

5

д С . ,

1?) "А+

о

о

8

дих I

■/■+ УУ

дх

о

8

f и^у-и^хЛ,^ 2- о

Займемся далее вычислением интегралов

8

О

6

и тт d«-

J ду2

О

Так как давление р не зависит от у, то

С Jp. dy = 8р_ 8

J Эхдх

О

И

6

С д2их л / дих \/ дих \

\ —- ау = ——— ——

J ду2\ ду )у=^\ ду jy=o

О

Следовательно, в результате интегрирования уравнения Прандтля получаем

8

О

8

^ v2x dy — v

6

-J vxay—v,^,§,t^ =

ду )у=Ь

У=О

В силу того, что на границе пограничного слоя скорость течения в пограничном слое v^x, 6, f) равна скорости потока идеальной жид-

кости у0 и

8

9их \_ _^о

ду )у=^ ду

8

= О, окончательно имеем

О

/- f У* dy — УоС Эх J

О

р дх

6

О

ду )у=о

(9.5.4)

Это так называемое интегральное соотношение Кармана.

Для установившегося движения соотношение Кармана будет

вида

— С иМу— v0^ — f vxdy = — AE_s_J!Al\ . (9.5.4') dx j х У 0 v 1 dx J x p dx \dy )^ V ’ оо

Основная идея использования этого соотношения заключается в следующем: задать распределение скоростей их в слое, достаточно близкое к действительности, и на основании этого из соотношения Кармана определить толщину пограничного слоя 6 и силу сопротивления тела.

Подобно тому как было получено соотношение Кармана, можно получить более общее соотношение. Если умножить уравнение Прайд- тля на их (где к — любое положительное число) и проинтегрировать его по у в пределах от 0 до 6, то после преобразований получим соотношение В. В. Голубева вида

^+2"Г+Т

А: + 1

^У =

65

= _L Al С vk 4у—&v С р dx J х.)

ОО

dy — v

VR —— \ х Оу

у=0

При к = 0 из этого соотношения получается соотношение Кармана, при к=1 — соотношение Л. С. Лейбензона.

Для использования любого из указанных интегральных соотношений необходимо иметь достаточно широкие и ясные представ

ления о характере движения жидкости в пограничном слое.

6. Пример применения интегрального соотношения Кармана

неен и удовлетворяет Тогда

Рассмотрим задачу о пограничном слое на пластинке. Пусть движение установившееся. Остановимся на первом приближении, предполагая, что профиль скоростей прямоли- условиям: ух=0 при у=0, vx=v0 при у=6.

и ух = ^о •

Подставляя последнее выражение в соотношении Кармана (9.5.4), записанное для установившегося движения, и принимая во внимание

значения интегралов:

—~ f U2dy = ——— 0 dx 62 J0 dx 62

0

68 _ Pp 96

з ~ з ax 9

"o^tJ ^^o

9 62 = ^ 96dx 262 dx ’

и условие -^- = 0, окончательно получаем

VqдЪvq

= у — ,

илиили6а®6

или

или

g 98 6»

откудаоткудаЭХVg

откуда

откуда

826v

= X

2Го

и толщина пограничного слоя определяется по формуле

Подставляя последнее в формулу для определения ц^., имеем

и

Отсюда силу, действующую на единицу площади пластинки, запишем в виде

Для более точного приближения следует выбрать параболический закон изменения скоростей по толщине пограничного слоя. Например, выбирая в качестве закона их кубическую параболу, коэффициенты последней получим, удовлетворяя граничным условиям: v = 0 при у = 0 и их = г0 при у = 8, ^- = 0, ^-~ = 0. Ука- 9у ду2 ванные различные приближения были введены Польгаузеном.

7. О срыве потока с поверхности тела7. О срыве потока с поверхности телаВсе рассуждения о расчете толщины пограничного слоя, приведенные ранее, относились к случаю, когда тело плавно обте

7. О срыве потока с поверхности тела

7. О срыве потока с поверхности тела

калось набегающим потоком. Однако пограничный слой может

срываться с поверхности тела, не доходя до его конца, что резко нарушает его плавное обтекание. Картина распределения скоростей в пограничном слоем в этом случае изображена на рис. 107 (толщина

слоя дана в увеличенном масштабе), где показано обратное по отношению к набегающему потоку течение в пограничном слое, приводящее к его срыву. В этом случае потенциальный поток идеальной жидкости вне пограничного слоя не может моделироваться как картина плавного обтекания и должен

быть заменен какой-либо другой

° мммРис 101

схемой, отвечающей той или инои задаче. Например, может быть принята схема струйного течения или схема обтекания тела системой вихрей за ним. Такие вихри наблюдаются в природе (например, за опорами мостов, расположенных в реках) и могут рассматриваться как результат действия вязкости жидкости в области пограничного слоя, ибо завихренность срывающегося пограничного слоя и приводит к образованию вихрей.

ЧАСТЬ III

ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ

ГЛАВА 10

УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ

§ 1. Основные понятия фильтрационных движений.Уравнение неразрывности

Своеобразной задачей о движении сплошных сред является изучение перемещения жидкости в грунтах. Все реальные грунты, как правило,

1. Понятиефильтрационныхдвижений1. Понятиефильтрационныхдвиженийпредставляют собой нагромождение твердых частиц разнообразной формы, между которыми имеются свободные промежутки, называемые порами. Таковы каменистые и песча-

1. Понятиефильтрационныхдвижений

1. Понятиефильтрационныхдвижений

ные грунты. Порами в глинистых грунтах служит сложная система трещин. Свободное перемещение воды, нефти, газа между порами грунта под действием массовых сил (среди которых особую роль играют силы тяжести) и сил гидродинамического давления носит название фильтрационных движений, или просто фильтрации.

Изучение этих движений весьма существенно в таких задачах, как учет просачивания воды под плотинами, приток жидкости к дренажным щелям, фильтрация нефти и газа к буровым скважинам и т. д.

Благодаря значительному развитию теории фильтрации в настоящее время последнюю можно рассматривать как одну из частей механики сплошных сред.

Так же, как и в любом разделе механики сплошных сред, общие дифференциальные уравнения, описывающие движение сплошных сред, при изучении фильтрационных движений замыкаются экспериментальным законом, характеризующим фильтрацию и выделяющим ее в самостоятельный раздел.

При выводе основных уравнений фильтрации широко используются уравнения гидродинамики идеальной жидкости. В связи с этим уравнения гидродинамики и фильтрации родственны, родственны и методы их решения.

Таким образом, теория фильтрации близко примыкает к гидродинамике и в известной мере может рассматриваться как ее ветвь.

Рассмотрим малый объем грунта У, окру. ористссть жающий точку М. Пусть объем пор в объеме V будет FP Тогда величина, равная отношению

у = °»(Ю.1.1)

называетсяобъемнойпористостью, илипростопористостью грунта.

Из определенияor следует, что пористостьменяетсявпределах

0<сг<1.(10.1.2)

При су=О поры в объеме V отсутствуют (грунт без пор); при ог=1 поры занимают весь объем У, т. е. жидкость занимает весь объем У.

В реальных грунтах а меняется в пределах от 0,25 до 0,9.

В однородных грунтах пористость а будет постоянной величиной; в неоднородных — будет меняться от одной точки грунта М к другой. Таким образом, для неоднородных грунтов о будет функцией координат точек, например, в декартовой системе координат — функцией х, у, 2.

Пористость грунта может меняться с течением времени t, например, в результате закупорки пор частицами грунта, переносимыми фильтрационным потоком. Такой грунт можно назвать нестационарным. Увеличение давления протекающей по порам жидкости может повлечь за собой увеличение просветов между частицами грунта, в которых протекает жидкость. Таким образом, о может зависеть от давления р в жидкости.

Наконец, пористость а может меняться в результате изменения температуры грунта, которую назовем Тп, и температуры фильтрующейся жидкости Тж. Изменение указанных температур может происходить, например, при изменении атмосферной температуры, при закачке газа и пара в нефтяной пласт и т. д. Таким образом, в самом общем случае пористость а будет выражаться функциональной зависимостью вида

ст = сг(ж, у, z, р, t, ТП, Тж\(10.1.3)

Пористая среда считается в целом недеформируемой, поэтому функциональная зависимость (10.1.3) будет заданной.

При движении жидкости в сложном лаби- ^остГфидь^ ринте УЗКИХ пор от одной точки жидкости к другой происходит чрезвычайно резкое изменение направления и величины скорости. Однако доступны измерению и, представляют практический интерес только средние скорости частиц жидкости, протекающей в грунте, занимающем объем V.

Введем понятие средней скорости по объему пор У1? которая называется физической скоростью и обозначается уф, и понятие средней скорости по объему V, которая называется скоростью фильтрации

и обозначается у. Пусть точка М расположена в порах грунта. Проведем через нее площадку Д5 и обозначим расход жидкости, протекающей в единицу времени через эту площадку, Д^. Ориентируя площадку, проходящую через точку М, различным образом, можно добиться того, что Д^ будет максимальным. Введем обозначения: максимальный расход А(?макс, соответствующая площадка А Sn и единичный вектор нормали к Д5П, направленный в сторону вытекающей жидкости, п0 (рис. 108). Пусть площадь пор, пересекающих Уф.ср, будет ASln. Тогда средняя физическая скорость, отнесенная к площадке, будет

V =-^L п(10.1.4)

*с₽ Д51л 04’

Наряду с Уф.ср можно ввести понятие средней скорости фильтрационного потока vcp, отнесенной к площадке, которая определяется формулой

VcP = -^n0.(10.1.5)

Фильтрационный поток можно рассматривать как некоторую модель осредненного по площади физического потока. Из равенств (10.1.4) и (10.1.5) имеем

Уф.ср A Sin = vCp Д Sn,(10.1.6)

Рассмотрим малый объем У, окружающий точку М. Представим

V как набор площадок &Sni п0 которых являются касательными к некоторой дуге OS (рис. 109). Тогда V можно представить в виде

V = j A Sn(s)ds,(10.1.7)

И

^У=Д5П(5)^(10.1.7')

Аналогично, обозначив через V\ объем пор, расположенных в объеме У, имеем

P^jASmds(10.1.8)

(10.1.8')(10.1.8')dVt=^ Slnds.

(10.1.8')

(10.1.8')

Применяя равенство (10.1.6) к различным площадкам объема V, получаем, что уф.ср и vcp, Д«|п и Дх„ будут функциями s. Умножив (10.1.6) на ds и проинтегрировав в пределах от 0 до s, имеем

( v».opAsmds = J Vcp^ds,

6о

или, используя (10.1.7') и (10.1.8'), запишем

ф.Ср 1 J ср >

где Ух— объем пор в объеме V.

Среднее по объему значение Уф,Ср будет скоростью физического потока Уф ; среднее по объему значение уср будет скоростью фильтрационного потока у. Используя теорему о среднем значении интеграла, из последнего соотношения имеем

Vф J ^ = У J dV,

v

или

уф F^vK

Используя равенство (10.1.1), имеем

у=огуф.(10.1.9)

Из формулы (10.1.9) следует, что физическая скорость Уф всегда больше, чем скорость соответствующего фильтрационного потока у. В самом общем случае физическая скорость, а следовательно, и скорость фильтрации будут функциями координат и времени.

Понятие фильтрационной скорости не отражает реального потока и является фиктивной величиной, определенным образом связанной со средней по объему реальной скоростью. Введение этого понятия удобно при составлении уравнений движения фильтрационных потоков.

Используя понятие скорости фильтрации, неразрывно™и запишем уравнение неразрывности фильтра- р рционного потока. Выберем в пористой сре

де некоторый объем V, ограниченный замкнутой поверхностью s. Масса жидкости, вытекающей через эту поверхность в единицу времени в результате фильтрации, будет

^ndS =^ndS =div pvdV,div pvdV,(10.1.10)(10.1.10)

^ndS =

^ndS =

div pvdV,

div pvdV,

(10.1.10)

(10.1.10)

где vn— нормальная составляющая скорости фильтрации у в точках поверхности 5, р — плотность реальной жидкости, протекающей по порам. Масса жидкости, заключенная в единице объема пористой среды У, будет -^ = ар. Уменьшение ее за единицу времени равно — ~дГ* Уменьшение массы жидкости в объеме dV в единицу времени будет—-^ dV. Во всем объеме V уменьшение массы жидкости в единицу времени выражается интегралом

dV.at

Следовательно, используя равенство (10.1.10), имеем

fdivpvdy=—dV.

уу at

Отсюда в результате произвольности объема V имеем следующее уравнение неразрывности фильтрационного потока:

+ div pv = 0.(10.1.11)

dt

Если перейти в последнем уравнении от скорости фильтрации к физической скорости Уф согласно формуле (10.1.9), то придем к уравнению вида

+ div раУф = 0.(10.1.1Г)

dt

Уравнение неразрывности (10.1.11) или (10.1.1Г) представляет собой закон сохранения массы фильтрующейся жидкости, записанный при условии, что объем, занимаемый жидкостью, остается неизменным.

В общем случае v и уф будут функциями координат и времени, р определяется из уравнения состояния фильтрующейся жидкости, согласно которому р представляет собой функцию давления р и температуры жидкости ТЖ1 причем Тж связана с температурой грунта Тп и последняя предполагается заданной.

Динамические уравнения фильтрации

Динамические уравнения движения грунтовых вод являются основой теоретического изучения фильтрационного движения так же, как и любого из разделов механики.

О фильтрационных грак как фИЛЬТпация происходит в узких уравнениях движения каналах сложной формы, которыми являются поры, то в этих движениях чрезвычайно велика роль сил вязкости, ибо последние проявляются главным образом вблизи твердых стенок (см. гл. 9). Поэтому изучение фильтрации должно

было бы опереться на уравнение движения вязкой жидкости Навье — Стокса. Однако решение последних при сложнейших граничных условиях на поверхности твердых частиц, ограничивающих поры, практически не осуществимо. Вследствие этого в основу теоретического изучения фильтрации положены экспериментальные законы фильтрации. Эти законы так же, как и уравнения гидродинамики, устанавливают зависимость между полями скоростей, давлений и массовых сил и относятся к осредненным значениям скоростей жидкости при ее фильтрационном движении.

Уравнение Эйлера, как следует из предыду-

Теоретическиещей части,являетсяосновным ипростей-

предпосылкишим уравнениемдинамическогоповедения

к экспериментальнымжипко^рй”

законамжидкостей.

Предполагая, что это уравнение в какой- то мере отражает и фильтрационные движения жидкостей, можно надеяться при помощи его установить основной характер экспериментального закона, описывающего фильтрационные движения.

Итак, предположим, что средняя скорость физического потока Уф или связанная с ней соотношением (10.1.9) скорость фильтрации у удовлетворяет уравнению Эйлера. В этом потоке будут действовать сила гидродинамического давления-grad р и массовая сила F В частном случае F будет силой тяжести, которая в декартовой системе координат, если ось z направлена вертикально вверх, имеет вид —^-grad gz. Кроме того, так как при фильтрации жидкости очень большую роль играют силы трения, то последние в уравнении Эйлера можно моделировать силами сопротивления. Как известно, силы сопротивления являются некоторыми функциями скорости точки и направлены в сторону, противоположную вектору скорости, т. е. эти силы имеют вид — f^—^ где /(v) — положительная функция модуля вектора скорости фильтрации. Итак, уравнение движения фильтрационного потока можно записать в следующем виде:

-^- + (у grad) у =— grad р + F — / (v) —.(10.2.1)

dtру

Фильтрационные движения происходят с малыми скоростями (просачивание через грунт идет очень медленно). Невелики и изменения скоростей по координатам. Вследствие этого в уравнении (10.2.1) можно пренебречь членом (vgrad)v по сравнению с силами сопротивления среды. Это будут так называемые ползущие движения (см. гл. 9, § 4). Уравнение (10.2.1) приобретает вид

-р- = - — gradр + F —/(р) -L.(10.2.2)

utру

В частном случае для стационарных режимов формулу (10.2.2) перепишем в виде

/(р)—= F— gradр.(10.2.3)

УР

Для стационарных режимов несжимаемой жидкости, происходящих под действием силы тяжести, (10.2.2) имеет вид

(10.2.4)(10.2.4)/ (р) — = — grad (— + gz) =gJ,v\ p 1

(10.2.4)

(10.2.4)

где безразмерная величина

J = — grad (— + zX PS'J = — grad (— + zX PS'(10.2.5)(10.2.5)

J = — grad (— + z

X PS'

J = — grad (— + z

X PS'

(10.2.5)

(10.2.5)

есть градиент пьезометрического напора.

Следовательно, искомые силы сопротивления консервативны.

(10.2.6)(10.2.6)Экспериментально установлено, что при мелкозернистом грунте и сравнительно малых скоростях фильтрации имеет место линейная зависимость v от J:

(10.2.6)

(10.2.6)

v = kJ = — кх grad (— + z\Р£

а в плотных глинах

v^j-i^(10.2.7)

где i0 называется начальным градиентом.

За пределами линейной зависимости, что, вероятно, следует связать с переходом от ламинарного режима фильтрации к турбулентному, установлены закономерности вида

(10.2.8)(10.2.9)(10.2.8)(10.2.9)J = (Лу + By2) —;

(10.2.8)

(10.2.9)

(10.2.8)

(10.2.9)

V

V

Постоянные kv i0, Л, В, С, п определяются из эксперимента.

о _Ограничимся рассмотрением линейной за-

Закон Дарсигх

г висимости скорости фильтрации и градиента пьезометрического напора (10.2.6), которая отвечает наиболее распространенным условиям фильтрации в природных грунтах. Эта зависимость называется законом Дарси. Фильтрационные течения, подчиняющиеся закону Дарси, называют линейной фильтрацией.

Закон (10.2.6) описывает линейную стационарную фильтрацию несжимаемой жидкости, находящейся под действием сил тяжести в однородном грунте.

В теоретических исследованиях закону Дарси обычно придают следующую форму:

(10.2.10)(10.2.10)у — —£l grad р* = — — grad р*,Р£7

(10.2.10)

(10.2.10)

где р* =p+pgz=p+y2 называется приведенным давлением.

Можно указать верхний предел применимости закона Дарси (10.2.10). Он справедлив при следующих числах Рейнольдса:

R = -^34-10,

где и — скорость фильтрационного потока, обычно выражаемая в смкек; d — средний линейный размер частиц грунта (в см); n — кинематический коэффициент вязкости фильтрующейся жидкости (в см2кек). Для воды у=0,018 см21сек, следовательно, рс?^0,07-~0,18. Таким образом, закон Дарси применим (как уже говорилось) для мелкозернистых грунтов и малых скоростей фильтрующейся жид

кости.

Существует и нижний предел применимости этого закона. Тонкая структура грунта и малые скорости движения жидкости приводят к тому, что начинают играть существенную роль силы молекулярного сцепления, нарушающие свободный проток жидкости между порами. Это приводит к тому, что не выполняются условия, определяющие фильтрацию жидкости.

Коэффициент кх в равенстве (10.2.10) имеет размерность скорости и носит название коэффициента фильтрации. Он зависит от свойств грунта, величины и формы зерен, образующих грунт. Эксперименты указывают, что при просачивании воды коэффициент фильтрации для различных грунтов колеблется от 1 смкек до 0,000 000 3 смкек. Например, для различных чистых песков кх меняется от 1 до 0,01 смкек; для глинистого песка — от 0,01 до 0,005 смкек; для солнцеватой глины — от 0,000 001 до 0,000 000 3 смкек. Предельным случаем будет абсолютно непроницаемый грунт, для которого ^=0. Однако в природе таких грунтов нет и под не

проницаемым грунтом понимают грунт, проницаемость которого

очень мала по сравнению с проницаемостью грунта сосед

него слоя. Другим предельным случаем будет в грунте область свободной жидкости, не стесненная порами. Она характеризуется кх= со.

4. Коэффициентпроницаемостии зависимостьвязкости от давления4. Коэффициентпроницаемостии зависимостьвязкости от давленияКоэффициент фильтрации кх зависит не только от свойств грунта, но и от свойств фильтрующейся жидкости, именно зависит от вязкости жидкости ц, которая, в свою

4. Коэффициентпроницаемостии зависимостьвязкости от давления

4. Коэффициентпроницаемостии зависимостьвязкости от давления

очередь, зависит от давления в жидкости р и температуры жидкости Тж. Таким образом, коэффициент фильтрации кх характеризует и грунт, и жидкость, которая в нем фильтруется. Если рассматривать в одном и том же грунте фильтрацию различных жидкостей, например, воды, нефти, газа, то последнее обстоятельство весьма неудобно. Вследствие этого, рассматривая фильтрацию различных жидкостей, целесообразно придать закону Дарси (10.2.10) другой вид, а именно ввести в этот закон в явном виде коэффициент вязкости жидкости р:

v =— grad р*,v =— grad р*,(10.2.11)(10.2.11)

v =— grad р*,

v =— grad р*,

(10.2.11)

(10.2.11)

где к носит название коэффициента проницаемости грунта.

Из равенств (10.2.10) и (10.2.11) следует

Р^ И или, так как v = рь/р, то

к. == К(10.2.12)

Коэффициент проницаемости к связан с пористостью грунта а. Эта зависимость дается достаточно сложными экспериментальными формулами.

В качестве примера зависимости к от а можно указать формулу Козени вида

к = 8,4 (1,275 — 1,5а)2^ ,

(1-ар

где d — диаметр (эффективный) зерен, составляющих грунт.

Коэффициент вязкости в случае постоянной температуры и значительных перепадов давлений в жидкости зависит от давления линейно:

(10.2.13)(10.2.13)ц=пр+а,

(10.2.13)

(10.2.13)

где п и а — некоторые постоянные, определяемые экспериментально.

। |Л от р не зависит. Дарси справедлив। |Л от р не зависит. Дарси справедливКак указывалось, законКак указывалось, закон5. Обобщение законаДарси на случайпроизвольных сил5. Обобщение законаДарси на случайпроизвольных силНо если перепады давления не слишком велики, то

। |Л от р не зависит. Дарси справедлив

। |Л от р не зависит. Дарси справедлив

Как указывалось, закон

Как указывалось, закон

5. Обобщение законаДарси на случайпроизвольных сил

5. Обобщение законаДарси на случайпроизвольных сил

для несжимаемой жидкости, стационарно фильтрующейся под действием сил тяжести. Перепишем для этого случая (^=0)

равенство (10.2.2) в виде

/ (у) — = F— grad р =— (р grad zg + grad р).(10.2.14)

vрр

Последнюю скобку с учетом закона Дарси (10.2.11) можно записать так:

— (р grad zg + grad Р) = j v>

Отсюда равенству (10.2.14) можно придать вид

/М ^ V.(10.2.14')

Vр/с

Обобщением этого закона на стационарные режимы будет предположение, что он справедлив при действии не только сил тяжести, но и любых других сил. Последние могут быть, например, силами электрического или магнитного происхождения, а при относитель-

ном движении фильтрующейся жидкости — силами инерции переносного и кориолисова ускорений.

Итак, используя равенство (10.2.14) или (10.2.14'), обобщенный закон Дарси для любых сил можно записать в виде

к

v = — (pF —gradp).(10.2.15)

В этом равенстве Л/ц есть постоянная величина, что вытекает из соотношения (10.2.14'). Следовательно, закон (10.2.15) имеет место для стационарных режимов однородных грунтов и жидкостей с постоянной вязкостью.

6. Обобщениезакона Дарсина неоднородные грунтыи сжимаемую жидкость6. Обобщениезакона Дарсина неоднородные грунтыи сжимаемую жидкостьПродолжая дальнейшие обобщения закона Дарси, предположим, что грунт неоднороден. Так как коэффициент проницаемости связан с пористостью грунта а, то в самом общем случае для неоднородных нестационарных

6. Обобщениезакона Дарсина неоднородные грунтыи сжимаемую жидкость

6. Обобщениезакона Дарсина неоднородные грунтыи сжимаемую жидкость

грунтов к будет зависеть от тех же переменных, что и а, т. е.

к-к^х. у. z, t. р. Гд, Гж).(10.2.16)

Вид функциональной зависимости к в фильтрационных задачах должен быть задан.

Далее, вязкость жидкости может быть также переменной величиной и меняться в зависимости от изменения давления ритемперату- ры Тж:

Ц=ц(р, Т^.(10.2.17)

Вид этой зависимости должен быть указан.

Плотность жидкости р также в общем случае есть функция давления и температуры:

р=р(р, Т^.(10.2.18)

Предполагая, что равенство (10.2.18) выполняется и в случае (10.2.16), (10.2.17), получим дальнейшие обобщения закона Дарси, справедливость которых должна проверяться и подтверждаться экспериментом.

Заметим, что приведенное в настоящем пункте обобщение уже предполагает, что силы сопротивления — /(у) ~ таковы, что коэф- V

фициенты, входящие в /, будут зависеть от координат х, у, z, давления р и температур жидкости 7Ж и породы Тп.

7. Закон Дарем для Рассмотрим нестационарные режимы дви- нестационарных режимов жения жидкости. Обращаясь к равенству фильтрации жидкости (10.2.2), заменим в нем силы сопротивления—

/(у)— по формуле (10.2.14) и будем иметь

V

— grad р + F^ у.(10.2.19) OtРкрv

Последнее равенство описывает нестационарную фильтрацию жидкости в изотропном грунте.

Пусть грунт, в котором происходит фильтрация, имеет слоистую структуру. Это приводит к тому, что при фильтрации вдоль слоя в перпендикулярном к слою направлении коэффициент проницаемости будет иметь разные значения. В этом случае можно говорить, что слой анизотропен. Предположим, что коэффициент проницаемости различен вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений х^ у, z. Тогда взамен уравнения (10.2.19) имеют место равенства вида:

dvY _1dvY _1dtди^ st ~Эр3 _ atdtди^ st ~Эр3 _ atР1Р1Р1Р1—-^-+л-J^^-.Н1 dqYн» aqipk2 2’—-^-+л-J^^-.Н1 dqYн» aqipk2 2’(10.2.20)(10.2.20)11Р Н3Р Н31l+f3—^Уз.aq» 3 Р&з1l+f3—^Уз.aq» 3 Р&з

dvY _1

dvY _1

dt

ди^ st ~

Эр3 _ at

dt

ди^ st ~

Эр3 _ at

Р

1

Р

1

Р

1

Р

1

—-^-+л-J^^-.

Н1 dqY

н» aqipk2 2’

—-^-+л-J^^-.

Н1 dqY

н» aqipk2 2’

(10.2.20)

(10.2.20)

1

1

Р Н3

Р Н3

1l+f3—^Уз.

aq» 3 Р&з

1l+f3—^Уз.

aq» 3 Р&з

члены dv^dt соотношенийчлены dv^dt соотношений^i =^i =(10.2.21)(10.2.21)9р \ .9qi / ’9р \ .9qi / ’1^з = — Лр И к 3 Н31^з = — Лр И к 3 Н3

члены dv^dt соотношений

члены dv^dt соотношений

^i =

^i =

(10.2.21)

(10.2.21)

9р \ .

9qi / ’

9р \ .

9qi / ’

1

^з = — Лр И к 3 Н3

1

^з = — Лр И к 3 Н3

Исследования конкретных случаев указывают, что (4=1, 2, 3) малы по сравнению с другими членами

(10.2.20), поэтому закону Дарси для нестационарных движений можно придать вид

др \ ф ~д^)’

где vv v^ и31 FXl F2, F3, p, p будут функциями координат и времени.

8. Роль закона Дарсив линейной теориифильтрации8. Роль закона Дарсив линейной теориифильтрацииЗакон Дарси, полученный на основе эксперимента, дает осредненные значения величин, в него входящих. Таким образом, он носит статистический характер.

8. Роль закона Дарсив линейной теориифильтрации

8. Роль закона Дарсив линейной теориифильтрации

Закон Дарси (10.2.10) и его обобщения, справедливые в линей

ной фильтрации (которые все в дальнейшем будем называть коротко законом Дарси), устанавливают зависимость между расходом

жидкости, связанным с физической скоростью и скоростью фильтрации, гидродинамическим давлением, плотностью жидкости и ее вязкостью. Таким образом, это динамический закон, который в теории линейной фильтрации играет такую же роль, как и уравнение Навье—Стокса в теории движения вязкой жидкости и уравнение Эйлера в теории движения идеальной жидкости.

Так же, как и уравнение Навье—Стокса, закон Дарси получен при использовании уравнения Эйлера. Отметим, что в закон Дарси и его обобщения входила скорость фильтрации v . Однако, используя равенство (10.1.9), можно ввести во все виды этого закона физи

ческую скорость.

9. Система уравненийи неизвестныев задачах фильтрации9. Система уравненийи неизвестныев задачах фильтрацииПри изучении фильтрации жидкости следует задать характеристики грунта, основные свойства фильтрующейся жидкости, силы, действующие на нее, и термодинамические условия, в которых происходит филь

9. Система уравненийи неизвестные

в задачах фильтрации

9. Система уравненийи неизвестные

в задачах фильтрации

трация. Грунт характеризуется пористостью а и коэффициентом проницаемости &, которые в общем случае должны быть заданы в виде некоторых функций координат, времени, давления в жидкости и температур жидкости и грунта. Свойства фильтрующейся жидкости характеризуются ее вязкостью, которая в общем случае должна быть задана как функция давления и температуры жидкости. Кроме того, должны быть указаны свойства, характеризующие сжимаемость жидкости, которые задаются тем или иным уравнением состояния (см. гл. 4, § 1), дающим функциональную зависимость плотности р, давления р и температуры жидкости Тж:

(10.2.22)(10.2.22)/(р, Р, гж)=о.

(10.2.22)

(10.2.22)

Массовые силы, действующие на фильтрующуюся жидкость, должны быть заданы. Как правило, в задачах фильтрации это будут силы тяжести. Если температуры жидкости и грунта постоянны, то (см. гл. 4, § 1) уравнение (10.2.22) будет иметь вид

(10.2.22х)(10.2.22х)р = ср1/п.

(10.2.22х)

(10.2.22х)

В этом случае искомыми в задачах фильтрации являются поле скорости у, поле давления р и плотность жидкости р, т. е. в случае баротропной жидкости искомыми являются пять скалярных величин. Для определения этих неизвестных имеем три уравнения (10.2.21) обобщенного закона Дарси, уравнение неразрывности (10.2.9) и уравнение состояния (10.2.22), конкретный вид которого зависит от характера фильтрующейся жидкости.

Если температуры жидкости и грунта изменяются, то к указанным уравнениям должны быть присоединены еще два уравнения, включающие Тж и Тп.

От уравнений (10.2.21), используя уравнение неразрывности (10.1.11), можно перейти к одному уравнению, записанному в ортогональных криволинейных координатах qv q^ q3 [см. формулу (4.2.17)]:

н^л, ^ + —/ь —L+

3 5i dgi И \ Нх 9qJ

I ® ^UgHiki / и 1 Эр .

+ ИI 2РЯ2 5gJ +

_Э_ рЯ^Д 1р _5Р_\ = 0(10.2.23)

6q3 V- \ Н3 8q3)V7

Это уравнение можно назвать уравнением фильтрационных движений, подчиняющихся закону Дарси, или коротко уравнением линейной фильтрации.

Уравнение линейной фильтрации представ- фтьтраци^шх^Т^ ЛЯет собой Дифференциальное уравнение в частных производных, поэтому следует указать типы граничных условий, при которых оно должно интегрироваться. Перечислим простейшие из этих условий.

Границей области фильтрации является непроницаемая поверхность (область 1 на рис. 110). Вдоль этой поверхности нормальная составляющая скорость долж- 2на равняться нулю:

Рис. 110Рис. 110Ml =0. (10.2.24)

Рис. 110

Рис. 110

костью касательные составляющие скорости равны нулю:костью касательные составляющие скорости равны нулю:Области фильтрации жидкости могут граничить с областями свободной жидкости. Вдоль таких границ жидкость, уже не стесненная порами, вытекает свободно нормально к поверхности. Следовательно, на границах L области фильтрации со свободной жид

костью касательные составляющие скорости равны нулю:

костью касательные составляющие скорости равны нулю:

(10.2.25)(10.2.25)Ml=0-

(10.2.25)

(10.2.25)

Предположим, что водный бассейн, с которым граничит область фильтрации, столь велик, что всасывание или выбрасывание жидкости в результате фильтрации на L пренебрежимо мало (область 2 на рис. 110). Тогда можно считать, что в бассейне давление подчиняется гидростатическому закону (см. гл. 4, §4, п. 3). Если на свободной поверхности бассейна давление равно атмосферному ра, то на границе L должно выполняться следующее динамическое условие:

P*^PA-№X,L =Ра,P*^PA-№X,L =Ра,(10.2.26)(10.2.26)

P*^PA-№X,L =Ра,

P*^PA-№X,L =Ра,

(10.2.26)

(10.2.26)

где координата z отсчитывается от свободной поверхности и имеет положительное значение в направлениях вертикально вверх.

Предположим, что область фильтрации граничит с атмосферой (область 3 на рис. 110). Такие границы называются поверхностями высинивания. На них фильтрующаяся жидкость высачивается и стекает струйками вдоль поверхности или испаряется. Давление на поверхности высачивания равняется атмосферному. Поэтому для приведенного давления имеем условие

(P*)l =Ра + р^.

Предположим, что L представляет собой поверхность, разделяющую области I и II различной скачкообразно изменяющейся на L проницаемости. В этом случае должны выполняться кинема-

тическое условие равенства на L нормальных составляющих скоростей в областях I и II и равенства давлений на L этих областей, т. е.

(10.2.27)(10.2.27)(цц)4 =(^2)4;

(10.2.27)

(10.2.27)

CP14=kP^L*

Граничные условия, указанные выше, характерны тем, что они осуществляются на заданной неподвижной поверхности L. Значительно более сложными являются граничные условия, которые должны выполняться на неизвестных заранее поверхностях.

Границей области фильтрации, например, может служить поверхность раздела между сухим и влажным грунтом (область 4 на рис. 110). Такая поверхность называется свободной, или депрессионной. Уравнение этой поверхности при формулировке фильтрационной задачи неизвестно. Полагая, что поры грунта сообщаются с атмосферой, следует положить, что на депрессионной поверхности L давление равняется атмосферному. Следовательно, приведенное давление на L подчиняется условию

(10.2.28)(10.2.28)(Р*>4 =Pa+pgz.

(10.2.28)

(10.2.28)

Одновременно на депрессионной поверхности должно выполняться кинематическое условие, а именно при установившейся фильтрации депрессионная поверхность не перемещается, вследствие этого составляющие скорости фильтрации по нормали к поверхности равны нулю:

(10.2.29)(10.2.29)Ml-0.

(10.2.29)

(10.2.29)

VII. Изучая вопросы фильтрации жидкости в пористых средах, приходится сталкиваться с вопросами вытеснения одной жидкости другой. Например, при эксплуатации газовых месторождений приходится сталкиваться с вытеснением нефти и газа водой. Это будут задачи о движении в пористой среде границы раздела двух жидкостей с различными физическими свойствами — вязкостью и плотностью. На этой подвижной границе раздела L двух сред должны выполняться условия равенства давлений и нормальных скоростей обеих сред, т. е.

(10.2.30)(10.2.30)Ю1=(^2)4|

(10.2.30)

(10.2.30)

(Pi)£5=(P2)l

Таким образом, условия (10.2.27) и (10.2.30) идентичны. Однако (10.2.27) выполняются на заданной границе L, а (10.2.30) выполняются на подвижной неизвестной в общем случае границе. Поэтому должны быть указаны дополнительные условия для определения этой поверхности.

§ 3. Фильтрационные течения, описываемые уравнениемЛапласа. Фильтрация газа

вании равенств (10.2.11) и (10.1.11) можно записать в видед рк др* . д рк др* . д рк др* п—- =1 —Г Г -3—— = V.вании равенств (10.2.11) и (10.1.11) можно записать в видед рк др* . д рк др* . д рк др* п—- =1 —Г Г -3—— = V.1. Уравненияустановившейсяфильтрации1. УравненияустановившейсяфильтрацииУравнения установившейся фильтрации жидкости, находящейся под действием силы тяжести, в декартовых координатах на осно

вании равенств (10.2.11) и (10.1.11) можно записать в виде

д рк др* . д рк др* . д рк др* п—- =1 —Г Г -3—— = V.

вании равенств (10.2.11) и (10.1.11) можно записать в виде

д рк др* . д рк др* . д рк др* п—- =1 —Г Г -3—— = V.

1. Уравненияустановившейсяфильтрации

1. Уравненияустановившейсяфильтрации

несжимаемой жидкости дх V» дх ду р, ду dz р ^^q gj)

Если жидкость несжимаема, обладает постоянной вязкостью и грунт однороден, то можно ввести функцию ф вида

ф = — ~ Р* = — — (р + °Мф = — ~ Р* = — — (р + °М(10.3.2)(10.3.2)

ф = — ~ Р* = — — (р + °М

ф = — ~ Р* = — — (р + °М

(10.3.2)

(10.3.2)

относительно которой (10.2.23) обращается в уравнение Лапласа.

Вводя понятие массовой скорости, равной произведению р на V, и используя закон Дарси (10.2.1Г), запишем

(10.3.3)(10.3.3)pv^grad ф*.

(10.3.3)

(10.3.3)

Следовательно, массовая скорость представляет собой потенциальный вектор. Но для несжимаемой жидкости, которая рассматривается в настоящем пункте, в уравнении (10.3.1) р можно сократить и записать

v = grad (—= grad Г— (р + 72) 1 = grad ф, (Ю.З.З7)

\ и / L иJ

где ф (и р) является функцией координат:

ф = ф (х, у, z).

Обращаясь к равенству (10.3.1), получим, что ф равенства (10.3.3') удовлетворяет уравнению Лапласа.

Следовательно, для несжимаемой, обладающей постоянной вязкостью жидкости, фильтрующейся в однородном грунте, скорость фильтрации обладает потенциалом, который удовлетворяет уравнению Лапласа.

2. Уравнения2. УравненияПри изучении фильтрации сжимаемой жидкости в большинстве случаев следует пре-

2. Уравнения

2. Уравнения

установившейся небречь силами тяжести, ибо для упругих сжимаемойРжидкости жидкостей они малы по сравнению с силами давления. При фильтрации газа, плотность которого мала, силы тяжести незначительны и, следовательно, ими можно пренебречь. Тогда уравнение (10.3.1) заменится уравнением вида

дх р дх ду у* ду dz р dz

Предположим, что р, А, р зависят только от давления р. В этом случае можно ввести функцию Лейбензона:

(10Л5)

Так как массовая скорость фильтрации в рассматриваемом случае на основании (10.2.11) определяется в виде

pv = — — grad р = grad ф,(10.3.6)

то функция Лейбензона ф, как следует из равенства (10.3.4), удовлетворяет уравнению Лапласа.

Итак, при стационарной фильтрации газа, когда плотность жидкости, ее вязкость и проницаемость грунта зависят от давления, массовая скорость фильтрации обладает потенциалом, который удовлетворяет уравнению Лапласа.

Результаты, полученные в п. 1 и 2 настоящего параграфа, замечательны в том отношении, что изложенные в них задачи фильтрационных движений сжимаемой и несжимаемой жидкостей сводятся к уравнению Лапласа. Вследствие этого справедлив принцип наложения потоков.

Для того чтобы фильтрационные течения несжимаемой и сжимаемой жидкостей описывались одним и тем же решением уравнения Лапласа, необходимо, чтобы эти течения обладали одинаковыми граничными условиями, сформулированными для ф* [равенство (10.3.3)] и ф [равенство (10.3.6)].

I. Пусть движение установившееся и жид-

3. Простейшие кость несжимаема. Используя равенство граничные условия (10.3.3), запишем условие на проницаемой границе:

уп=НН=0-(10-3-7)

\ On j L

Аналогично, используя (10.3.3), запишем условие на границе свободной жидкости:

= о.(10.3.8)

\ OS )L

Но так как переменное s направлено на поверхности L, то из последнего равенства следует, что на границе свободной жидкости ф сохраняет постоянное значение, т. е.

(ф)^ =const.(10.3.8')

Условия на границе раздела грунтов с различными проницаемо- стями (10.2.27), если v определяется равенством (10.3.3), можно записать в виде

/ 5<Р1\= / дф2 \ ,

\ дп )l \ дп )l ’

(10.3.9) («Ti)l = ML ,

где фт и ф^— потенциалы скоростей в областях соответственно с проницаемостями кх, к^ и а = kjkv

Граничным условиям (10.3.9) можно придать другой вид. Дифференцируя последнее равенство по s, найдем

(10.3.10)

где vsl и у52— составляющие скорости вдоль поверхности L соответ

ственно в областях с проницаемостями kY и к^. Первое равенство (10.3.9) запишем в виде

(у1пк = k2nk ,(у1пк = k2nk ,(10.3.11)

(у1пк = k2nk ,

(у1пк = k2nk ,

где vXK и р2п— нормальные к поверхно- \/^15сти L скорости соответственно в обла-

\/ \стях с проницаемостями кк и к^. Разде-

\ /Ха, \ лив (10.3.11) на (10.3.10), имеем

/— (—^ = f—) •(Ю.3.12)

Z,\ /a \vs1)l \vs2)l

^1п

Но vnl/vsl и vn2/vst представляют собой

Рис. 111тангенсы углов ат и а2, которые состав

ляют векторы скорости с поверхностью L в областях с проницаемостями кх и к^ соответственно (рис. 111), т. е.

tg a^atg а2. (10.3.12')

Последнее равенство, идентичное (10.3.9), указывает, что отношение тангенсов, которые составляют скорости V] и v2 с поверхностью L, равно а. Таким образом, линии тока преломляются на поверхности L.

Рассмотренные выше три типа граничных условий (10.3.7), (10.3.8) и (10.3.9) могут быть заменены одним условием (10.3.9) или (10.3.12). Действительно, (10.3.7) следует из (10.3.12) при а—О и (10.3.8) следует из (10.3.12) при а=оо.

(10.3.13)(10.3.13)II. Пусть жидкость сжимаема, р, р являются функциями р и к постоянно. Перепишем условия (10.2.24) и (10.2.25) для массовой скорости, тогда они будут иметь вид

(10.3.13)

(10.3.13)

(p^nk =0

(р^к=о.(10.3.14)

Точно так же условие (10.2.27) можно записать в виде

(p^ik = (Pyn2k;

(10.3.15)

Обращаясь к равенствам (10.3.5) и (10.3.6), условия (10.3.15) перепишем в виде

(10.3.16)

где ф( и ф2— потенциалы массовых скоростей в областях с проницае- мостями соответственно кх и к^; kVl к^ постоянны.

(10.3.17)(10.3.17)Равенства (10.3.16) идентичны с равенствами (10.3.9). Следовательно, граничные условия на твердых стенках, на границах свободной жидкости и на границах раздела областей с различными про- ницаемостями, записанные для потенциала скорости в случае несжимаемой жидкости и для потенциала массовой скорости в случае сжимаемой жидкости при кх и к^ постоянных, будут идентичны. Отсюда следует, что рассмотренные в настоящем параграфе вопросы фильтрации сводятся к решению уравнения Лапласа вида

(10.3.17)

(10.3.17)

^i )l \h II'^i )l \h II'Д[/ = 0при граничных условиях

^i )l \h II'

^i )l \h II'

(10.3.18)

где — = а меняется в пределах кг

0 Я ^ оо.

4. Поля скоростей,давлений и плотностипри стационарнойфильтрации жидкости4. Поля скоростей,давлений и плотностипри стационарнойфильтрации жидкостиПредположим, что найдено решение уравнения Лапласа (10.3.17) в виде

4. Поля скоростей,давлений и плотностипри стационарнойфильтрации жидкости

4. Поля скоростей,давлений и плотностипри стационарнойфильтрации жидкости

U=U(x, у, ^ (10.3.19) при граничных условиях (10.3.18), которые выполняются на какой-либо поверхности L.

Тогда на основании равенств (10.3.2) и (10.3.5) можем записать:

и (г, у, z) = — (р + pgz);(10.3.20)

и (ж, у, z) = J Р-^р dp = f(p).(10.3.21)

Отсюда можно определить поля давлений соответственно несжимаемой и сжимаемой жидкостей в виде

Р=^- (Р^2— Щх, у. z));(10.3.22)

p=ifVU(x. у, z)l,(10.3.23)

где /х является обращением функции fYU=f^p)A.

Поля массовых скоростей при стационарной фильтрации несжимаемой и сжимаемой жидкостей будут одинаковыми:

pv=gradJ7(^, у, zY(10.3.24)

Поля скоростей для несжимаемой и сжимаемой жидкостей будут различными. Для несжимаемой жидкости (p=const) имеем

v=-~- grad U (я, у z);(10.3.25)

для сжимаемой жидкости

v=^) srad и (ж> У» z)>(10.3.26)

где р определяется равенством (10.3.23) и p^p^p^pUilU^x. у. z)]}. Это равенство определяет поле давлений сжимаемой жидкости при ее стационарной фильтрации.

Таким образом, любое решение U=U(x, у, z) уравнения Лапласа при граничных условиях (10.3.18) будет решением той или иной задачи стационарных фильтрационных течений несжимаемой и сжимаемой жидкостей.

Как следует из равенства (10.2.23), урав-

Неустановившаяся нение фильтрации, записанное в декарто- фильтрация1

несжимаемой жидкости ВЬ1Х координатах (10.3.1), имеет место и при неустановившихся движениях, если плотность жидкости р и пористость грунта ст не меняются с течением времени. В этом случае при постоянных значениях коэффициента проницаемости к грунта и вязкости р и при предположении, что на жидкость действуют силы тяжести, можно ввести потенциал скорости [аналогичный (10.3.3)]

v=grad^——(p+yz) j =gradф,(10.3.27)

где [в отличие от (10.3.3)] ф (и р) является функцией координат и времени:

ф=ф(я, у, z, t).

Потенциал ф в рассматриваемом неустановившемся движении будет удовлетворять уравнению Лапласа, как следует из уравнений (10.3.27) и (10.3.1) (р полагается постоянным).

В простейшем случае нестационарность фильтрационных течений может явиться результатом того, что изменяется давление в свободной жидкости, ограничивающей по неизменной поверхности L грунт, в котором происходит фильтрация. В этом случае ф на границе свободной жидкости L согласно (10.3.8) будет удовлетворять равенству

(<P)l=/(O.(10.3.28)

Так как касательная составляющая скорости на неменяющейся с течением времени поверхности L будет оставаться равной нулю, то одновременно на L имеем

№ =0.(10.3.29)

\ 9s

Так как L неизменна и условие (10.3.29) идентично условию стационарных течений, то следует полагать, что потенциал скорости фильтрации будет выражаться как произведение двух функций, одна из которых зависит только от времени t, другая будет функцией х, у, 2, т. е.

Ф=/(Офо(*, У, 2).

При фильтрации газа сила давления зна-

Неустановившаяся чительно больше силы тяжести, т. е. чле- фильтрация газа ном yz можно пренебречь по сравнению с р.

Закон Дарси в этом случае запишем в виде

уу=—grad J ^dp,(10.3.30)

где yv называется весовой скоростью; у является функцией давления. Уравнение неразрывности (10.1.11) в случае нестационарной фильтрации через весовую скорость запишем в виде

^+divYv=0.(10.3.31)

Из анализа фильтрации различных газов в природных грунтах следует, что сжимаемость газа несущественна, однако пористость грунта меняется пропорционально давлению, т. е. справедливы следующие зависимости:

Jy^=YoP; YCT=xYoP,(10.3.32)

где уо— постоянная; х — постоянный коэффициент, учитывающий свойства грунта и жидкости. В предположениях (10.3.32) уравнение (10.3.33) имеет вид

х — — div — grad р = 0.(10.3.33)

dt[л

Дифференциальное уравнение (10.3.33) относительно р описывает нестационарную фильтрацию газа. Оно должно интегрироваться при заданных начальных и граничных условиях.

ГЛАВА ИГЛАВА ИДВУМЕРНЫЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ПРЕРЫВНОНЕОДНОРОДНЫХ ГРУНТАХДВУМЕРНЫЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ПРЕРЫВНОНЕОДНОРОДНЫХ ГРУНТАХ§ 1. Уравнения движения двумерной фильтрации§ 1. Уравнения движения двумерной фильтрацииРассмотрим уравнения плоскопараллельной линейной фильтрации,Рассмотрим уравнения плоскопараллельной линейной фильтрации,предполагая, что на1. Уравненияплоскопараллел ьнойфильтрациипредполагая, что на1. Уравненияплоскопараллел ьнойфильтрациирости по осям х, у запишем в видерости по осям х, у запишем в видежидкость действуют силы тяжести. Оси х, у декартовой системы координат расположим в плоскости, параллельно которой происходит фильтрация. Тогда, обращаясь к закону Дарси (10.2.11), составляющие ско-жидкость действуют силы тяжести. Оси х, у декартовой системы координат расположим в плоскости, параллельно которой происходит фильтрация. Тогда, обращаясь к закону Дарси (10.2.11), составляющие ско-VVк др* е ^ к др*[л дх у р, дук др* е ^ к др*[л дх у р, ду(11.1.1)(11.1.1)где приведенное давление p*=p-Vgpx.Уравнение неразрывности (10.1.11) в рассматриваемом случае будет видагде приведенное давление p*=p-Vgpx.Уравнение неразрывности (10.1.11) в рассматриваемом случае будет видадР° । Jp^, J- = о. dt ' дх дуПредположим, что жидкость баротропна, т. е. р=/(?)•дР° । Jp^, J- = о. dt ' дх дуПредположим, что жидкость баротропна, т. е. р=/(?)•(11.1.2)(11.1.3)(11.1.2)(11.1.3)Система уравнений (11.1.1)—(11.1.3) описывает двумерную фильтрацию баротропной жидкости.Остановимся на частных случаях плоскопараллельной фильтрации.I. Пусть жидкость несжимаема (р = const), обладает постоянной вязкостью (p^const) и фильтрация происходит в однородном грунте. Ограничимся рассмотрением течения в плоскости z=0. Тогда уравнения (11.1.1) и (11.1.2) запишем в видеСистема уравнений (11.1.1)—(11.1.3) описывает двумерную фильтрацию баротропной жидкости.Остановимся на частных случаях плоскопараллельной фильтрации.I. Пусть жидкость несжимаема (р = const), обладает постоянной вязкостью (p^const) и фильтрация происходит в однородном грунте. Ограничимся рассмотрением течения в плоскости z=0. Тогда уравнения (11.1.1) и (11.1.2) запишем в видед /кр \ фдх \И /д /кр \ фдх \И /д ”У~ дуд ”У~ дуди* . 9иУ = лдх ' ду "ди* . 9иУ = лдх ' ду "(11.1.4)(11.1.5)(11.1.4)(11.1.5)Введем потенциал скорости <р:Введем потенциал скорости <р:кркрИИ(11.1.6)(11.1.6)

ГЛАВА И

ГЛАВА И

ДВУМЕРНЫЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ПРЕРЫВНОНЕОДНОРОДНЫХ ГРУНТАХ

ДВУМЕРНЫЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ПРЕРЫВНОНЕОДНОРОДНЫХ ГРУНТАХ

§ 1. Уравнения движения двумерной фильтрации

§ 1. Уравнения движения двумерной фильтрации

Рассмотрим уравнения плоскопараллельной линейной фильтрации,

Рассмотрим уравнения плоскопараллельной линейной фильтрации,

предполагая, что на

1. Уравненияплоскопараллел ьнойфильтрации

предполагая, что на

1. Уравненияплоскопараллел ьнойфильтрации

рости по осям х, у запишем в виде

рости по осям х, у запишем в виде

жидкость действуют силы тяжести. Оси х, у декартовой системы координат расположим в плоскости, параллельно которой происходит фильтрация. Тогда, обращаясь к закону Дарси (10.2.11), составляющие ско-

жидкость действуют силы тяжести. Оси х, у декартовой системы координат расположим в плоскости, параллельно которой происходит фильтрация. Тогда, обращаясь к закону Дарси (10.2.11), составляющие ско-

V

V

к др* е ^ к др*

[л дх у р, ду

к др* е ^ к др*

[л дх у р, ду

(11.1.1)

(11.1.1)

где приведенное давление p*=p-Vgpx.

Уравнение неразрывности (10.1.11) в рассматриваемом случае будет вида

где приведенное давление p*=p-Vgpx.

Уравнение неразрывности (10.1.11) в рассматриваемом случае будет вида

дР° । Jp^, J- = о. dt ' дх ду

Предположим, что жидкость баротропна, т. е. р=/(?)•

дР° । Jp^, J- = о. dt ' дх ду

Предположим, что жидкость баротропна, т. е. р=/(?)•

(11.1.2)

(11.1.3)

(11.1.2)

(11.1.3)

Система уравнений (11.1.1)—(11.1.3) описывает двумерную фильтрацию баротропной жидкости.

Остановимся на частных случаях плоскопараллельной фильтрации.

I. Пусть жидкость несжимаема (р = const), обладает постоянной вязкостью (p^const) и фильтрация происходит в однородном грунте. Ограничимся рассмотрением течения в плоскости z=0. Тогда уравнения (11.1.1) и (11.1.2) запишем в виде

Система уравнений (11.1.1)—(11.1.3) описывает двумерную фильтрацию баротропной жидкости.

Остановимся на частных случаях плоскопараллельной фильтрации.

I. Пусть жидкость несжимаема (р = const), обладает постоянной вязкостью (p^const) и фильтрация происходит в однородном грунте. Ограничимся рассмотрением течения в плоскости z=0. Тогда уравнения (11.1.1) и (11.1.2) запишем в виде

д /кр \ ф

дх \И /

д /кр \ ф

дх \И /

д ”У~ ду

д ”У~ ду

ди* . 9иУ = лдх ' ду "

ди* . 9иУ = лдх ' ду "

(11.1.4)

(11.1.5)

(11.1.4)

(11.1.5)

Введем потенциал скорости <р:

Введем потенциал скорости <р:

кр

кр

И

И

(11.1.6)

(11.1.6)

При стационарных течениях ф является функцией х, у при нестационарных течениях — функцией х, у и времени I. Из уравнения (11.1.5)

следует, что имеет место функция тока ф, связанная с составляющими скорости соотношениями:

дф8удф8уд^ дхд^ дх(11.1.7)(11.1.7)

дф

8у

дф

8у

д^ дх

д^ дх

(11.1.7)

(11.1.7)

Из равенств (11.1.4), (11.1.6) и (11.1.7) следует:

(11.1.8)(11.1.8)иу = — = — ; у ==-

(11.1.8)

(11.1.8)

dy ду У ду дх

где ф, ф в общем случае есть функции ж, у и L Итак, при постоянных р, ц и к плоские фильтрационные течения описываются соотношениями Коши—Римана.

Следовательно, применим аппарат функций комплексного переменного и каждая аналитическая функция комплексного переменного является комплексным потенциалом рассматриваемого фильтр ационного течения.

Пусть жидкость несжимаема, обладает постоянной вязкостью и фильтрация происходит в неоднородном грунте, т. е. к является заданной функцией координат:

к=Цх, у), (11.1.9)

где к — известная функция х, у.

„ -к-^ = —-^ ,(ИЛЛГ)6 гдО дг7„ -к-^ = —-^ ,(ИЛЛГ)6 гдО дг7Тогда, вводя функцию ф вида

„ -к-^ = —-^ ,(ИЛЛГ)

6 гдО дг7

„ -к-^ = —-^ ,(ИЛЛГ)

6 гдО дг7

ф =

Р

Р-

(11Л ЛО)

запишем составляющие скорости

(11.1.7) и (11.1.9) в виде

на основании равенств

(11Л.4),

V = к-^- = ^-- хдхду ’

удудх

(11ЛЛ1)

или в полярных координатах

и = к•

г дг гдб ’

где ф и ф будут функциями х, у или г, 0 в случае стационарной фильтрации и будут также функциями t в случае нестационарной фильтрации.

Следовательно, при постоянных р и ц плоские фильтрационные течения описываются уравнениями движения в пленках переменной толщины (см. гл. 7, § 4) или обобщенными условиями Коши—Римана.

Пусть жидкость сжимаема, р, ц, к будут функциями давления и движение установившееся.

Вводя в этом случае функцию Лейбензона (10.3.5) составляющие массовой скорости запишем в виде

х дху ду

где

ф = у dp.(11.1.12)

Уравнение неразрывности в этом случае будет вида

ар^ ._ р.(11.1.13)

дх ду

Следовательно, составляющие массовой скорости выражаются через функцию тока и из равенств (11.1.12) и (11.1.13) имеем:

рр = 2$_ = ^L;ру = 21 =^L(11.1.14)

х 9хду ’г у дуЭхv 7

где ф и ф — функции х. у.

Итак, если р, р, к будут функциями давления и плоская фильтрация стационарна, то такие течения описываются условиями Коши— Римана или так же, как в случае (11.1.8), применим аппарат функций комплексного переменного.

Рассмотрим установившиеся фильтра-

Фильтрация ционные течения, происходящие в слое, в искривленных слояхrТ «

расположенном на криволинеинои поверхности. Пусть на поверхности выбрана изометрическая сетка с координатами g, т) и уравнение поверхности записывается в виде

х—х^, Т]); у=у(£, п), Z=z(|, я)-(11.1.15)

Квадрат дифференциала дуги поверхности пусть имеет вид ds^c^dVA-dx^Y(11.1.16)

Так как фильтрационные течения удовлетворяют закону Дарси (10.2.11) и при двумерной установившейся фильтрации имеет место функция тока, то при ц и р постоянных имеем следующие соотношения, описывающие фильтрацию жидкости в слое постоянной толщины, расположенном на поверхности (11.1.15) [см. формулу (7.4.2)]:

к д<^ 1 д^ ес д^с д-^ 1

(11.1.17)

& дер 1 дф4 с дщс д^ *

где ср, ф, ct к — функции g, Л, а Ф связано с давлением в жидкости соотношением

Ф=—к^+^з^, ч)]_(11.1.18)

Г

Если фильтрация при вышеуказанных условиях происходит в слое переменной толщины с законом Н=Н(х, у). то уравнения, описывающие такую фильтрацию, будут:

к до1дф

у =1- = ;

с д^сН 5т]

(11.1.19) к дер 1 аф

71 с дт\сН dz ’

где ф по-прежнему определяется равенством (11.1.18). В частном случае к и Н в соотношениях (11.1.17) и (11.1.19) могут быть постоянны.

(11.1.20)(11.1.20)рУ == - ^ ,73 дт] д£рУ == - ^ ,73 дт] д£Если фильтрация установившаяся р, р, к будут функциями только давления и слой, расположенный на поверхности, постоянной толщины, то соотношения, описывающие фильтрацию, будут вида:

(11.1.20)

(11.1.20)

рУ == - ^ ,

73 дт] д£

рУ == - ^ ,

73 дт] д£

где ф связано с давлением в жидкости соотношением (11.1.12).

представляют собой3. Замечанияо методах решениядвумерных задачфильтрациипредставляют собой3. Замечанияо методах решениядвумерных задачфильтрацииСоотношения (11.1.20) и (11.1.19), (11.1.17) при к и Н постоянных условия Коши—Римана.

представляют собой

3. Замечанияо методах решениядвумерных задачфильтрации

представляют собой

3. Замечанияо методах решениядвумерных задачфильтрации

Как указано ранее, плоскопараллельная фильтрация и двумерная фильтрация жидкости описываются соотношениями Коши— Римана или их обобщением. Этими же соотношениями описываются плоские потен

циальные течения идеальной жидкости. Граничные условия двумерных фильтрационных течений и течений идеальной жидкости в ряде случаев аналогичны. В связи с этим решение той или иной двумерной задачи течения идеальной жидкости может найти интерпретацию как некоторой задачи фильтрационного течения.

Однако в фильтрационных задачах выполняются условия на границах, не имеющие прямого аналога в задачах течения идеальной жидкости. К этим условиям следует отнести поверхности, ограничивающие области фильтрации, вдоль которых грунт соприкасается со свободной жидкостью. Условие на границах скачкообразного изменения проницаемости грунта в задачах фильтрации имеет аналог в задачах течения идеальной жидкости только с известной натяжкой (о чем будет говорится далее). Некоторое расширение граничных условий двумерных фильтрационных течений по сравнению с двумерными течениями идеальной жидкости не влияет принципиально на характер рассматриваемых задач. Вследствие этого все методы, применимые для построения плоскопараллельных течений идеальной жидкости (метод разложения в ряды, метод подбора особых точек течения, метод конформных преобразований и т. д.),

используются и для фильтрационных задач с расширенными граничными условиями. Сказанное и будет проиллюстрировано в последующих параграфах настоящей главы.

§ 2. Искажение поступательного потока круглым цилиндромзаданной проницаемости

Рассмотрим плоскопараллельный установившийся потенциальный поток однородной несжимаемой жидкости, обладающей неизменной 1. Постановка задачи вязкостью и фильтрующейся В однородной среде с коэффициентом проницаемости kv

Указанное течение будет описываться соотношениями (11.1.8). Выбирая ось х вдоль направления фильтрации, это течение опишем комплексным потенциалом ио вида

(11.2.1)(11.2.1)w=/(z)=z;oz,

(11.2.1)

(11.2.1)

где и0— фильтрационная скорость, связанная с потенциалом ср и давлением р в жидкости формулой

v0=gгadф=gгad^—,(11.2.2)

\ у* )

где ц — коэффициент вязкости жидкости.

лом (11.2.1). В связилом (11.2.1). В связиВнесем в рассматриваемый поток круглый цилиндр радиуса а с образующими, перпендикулярными плоскости движения. Пусть цилиндр, уравнение которого представляет собой грунт, проницаемость которого к^ (рис. 112).

лом (11.2.1). В связи

лом (11.2.1). В связи

функцию ^(z). чтобы комплексный потенциалфункцию ^(z). чтобы комплексный потенциалПри внесении указанного цилиндра в поступательный поток картина течения уже не будет описываться комплексным потенциа- с этим возникает задача: определить такую

функцию ^(z). чтобы комплексный потенциал

функцию ^(z). чтобы комплексный потенциал

«’i=q>i+i^i=/(z)+/i(z)(11.2.3)

описывал течение вне окружности |z| =а, и определить функцию /2(z) такую, чтобы комплексный потенциал

(11.2.4)

описывал течение внутри окружности.

Скорости фильтрационных потоков вне цилиндра (vj и внутри цилиндра (v2) будут связаны с фг и ф2 соотношениями:

vx = grad (pf, v2 = grad ф2;

(11.2.5)

ф = , ф2 =;

где рг и р2— соответственно давления вне и внутри цилиндра. Сформулируем граничные условия, которым должны удовлетворять комплексные потенциалы (11.2.3) и (11.2.4). Так как внесение в поток цилиндра с проницаемостью й2 не нарушит первоначального потока (11.2.1) в бесконечности, то для wx имеем условие на беско

нечности виданечности вида(11.2.6)(11.2.6)

нечности вида

нечности вида

(11.2.6)

(11.2.6)

(11.2.8)(11.2.8)

(11.2.8)

(11.2.8)

На границе раздела (|г|=а) грунтов с различными проницаемос- тями [согласно условиям (10.3.16)] имеем следующие условия:

(11.2.7)

где г — полярный радиус, 0 — полярный угол (см. рис. 112).

Граничные условия (11.2.7) и (11.2.8), отвечающие соответственно равенству нормальных скоростей и давлений на границе скачкообразного изменения проницаемости, можно записать через функцию тока. Действительно, так как

dtp ^^ .дф дф

дггд® 1гдбдг ’

то равенство (11.2.7) можно переписать в виде

откуда, интегрируя по0, имеем

(11.2.7)(11.2.7)(Ф1)г=а = (^2)r=a*

(11.2.7)

(11.2.7)

Далее, дифференцируя равенство (11.2.8) по 0, перепишем его в виде

.(11.2.8')

\ к^ dr )r=a \ к^ dr Jr—а

2. Определение комплексных потенциаловности, может быть т. е.2. Определение комплексных потенциаловности, может быть т. е.Поле скоростей вне цилиндра в соответствии с поставленной задачей не должно иметь особых точек в этой области, следовательно, функция dwjdz, определенная вне окруж- представлена в виде главной части ряда Лорана,

2. Определение комплексных потенциалов

ности, может быть т. е.

2. Определение комплексных потенциалов

ности, может быть т. е.

-^ = Со+§^.,(11.2.9)

П=1 откуда

^^V + c^lnz — £(11.2.10)

п=2 П 2

Используя граничное условие (11.2.6), из соотношения (11.2 9)

имеем

c0=v0.(11.2.11)

В общем случае комплексные постоянные с.^ (при п^О), представим в виде

С _п=а_п+гр_л,(11.2.12)

где а_п и р_п— действительные числа и

z — те

Соответственно поле скоростей течения внутри окружности может быть представлено в виде правильной части ряда Лорана, т. е.

-^ = с+^спг",(11.2.13)

ах л=1

откуда

(11.2.14)(11.2.14)W2 = cz + У ——— z^1п + 1

(11.2.14)

(11.2.14)

где

£ Ct+^P» Сп СС7г”1~^П7£ Ct+^P» Сп СС7г”1~^П7(11.2.15)(11.2.15)

£ Ct+^P» Сп СС7г”1~^П7

£ Ct+^P» Сп СС7г”1~^П7

(11.2.15)

(11.2.15)

а, р, ап, рп— действительные числа.

Чтобы удовлетворить граничным условиям (11.2.7) и (11.2.8), найдем потенциалы скоростей фт и ср? соответственно из равенств (11.2.10) и (11.2.13). Учитывая равенства (11.2.11), (11.2.12), (11.2.13) и (11.2.15), запишем:

ф1= v^r cos 0 + а_т In г — р_г 6 —

— s1“-л cos (п — 1) 9 — р_„ sin (n — 1) 6] (11.2.16)

п—2

И

ф2 = аг cos 6 — pr sin 0 +

+ Е +-7- [a„cos(n +1)9 + p„sin(n +1)9].(11.2.17)

n=i " + 1

На основании граничного условия (11.2.8) и формул (11.2.16) и (11.2.17) имеем

— !р0 a cos 0 + а_т In а + р_г 6^ cos 9 + -^- sin 6 —

/ci Lаа

s -+

о Л 1 п=3

1а"”1

[а_п cos (тг —1)6 — р_л sin

(«-1)6]) =

1^21^2

1

^2

1

^2

аа cos 6 4- ра sin 0 + ^

П=1

/тЛ+1

+ Pn sin (« + 1)6]

(11.2.18)

Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых косинусах и синусах, имеем:

а_г In а — р_л 6 = 0;

(11.2.19)

1 /\ла

— роа = —;

^ \0 )к^

(11.2.20)

1 Р-2 __ Ра .

/с^01к^

(11.2.21)

(11.2.22)

где п=1, 2, 3, ... .

Используя равенства (11.2.15) и (И.2.17),подсчитаем дф^дг и Э^дт и потребуем удовлетворения граничного условия (11.2.7), из которого будем иметь

у о cos 6 4-4- ^ — [а_л cos (тг — 1) 6 — р_л sin (тг — 1) 6] =

а _ ап

п=2

= a cos 6 — р sin 6 + ^ап [а„ cos (n + 1) 6 + р„ sin (n + 1) 6].

Отсюда

"(11.2.23)

а = у» + -^г- ;(11.2.24)

Р= --^-;(11.2.25)

“■^ = 0;(11.2.26)

CL— Л^^+2 CL *

~(n + 2)

(11.2.27)

P_(n + 2) = ^p„,

где n=l,2,3,.

Из соотношений (11.2.19), (11.2.20) и (11.2.25), (11.2.26), (11.2.22) и (11.2.27) следуют равенства:

а^ = 0; 0_1 = 0; 0 = 0, 0_2 = 0; а_(п+2) = 0;

Р-(п + 2) = °; «л = 0; 0„ = О,(11.2.28)

где п=1,2,3, ... ;

2к^Ур&1 + ^2

Таким образом, q>i и <р2 имеют вид ср = р /г cos 0 + —— ~ кг cos 6^ ;

(11.2.29)

2&2п

<Р2= ,—ГГ- ^008 0.&1 -f- /С2

Соответствующие этим потенциалам функции тока будут вида

Г S1H 6-— Sin 6 I ;

г к± -f- к^ )

(11.2.30)

и комплексные потенциалы искомых течений имеют вид

^ = ^(2 + -Г?Г —^(1L2-31>

\ ki + кг 4 )

wa =2^ г>(Ц.2.32)

^1 + ^2

Из последних двух равенств следует, что течение вне окружности определяется наложением поступательного течения и диполя в центре окружности с осью, направленной параллельно скорости в бесконечности. Течение внутри окружности представляет собой поступательный поток.

Рассмотрим частные случаи формул (11.2.31) и (11.3.32).

3. Непроницаемоевключениев поступательномфильтрационном потоке3. Непроницаемоевключениев поступательномфильтрационном потоке1^1 = Ь'о 2 ч \2и>2=0.1^1 = Ь'о 2 ч \2и>2=0.(11.2.33)(11.2.33)Рис. 113 меняться в зависимости от по-Рис. 113 меняться в зависимости от по-4. Кавернав поступательномпотоке4. Кавернав поступательномпотоке(11.2.35)(11.2.35)

3. Непроницаемоевключениев поступательномфильтрационном потоке

3. Непроницаемоевключениев поступательномфильтрационном потоке

1^1 = Ь'о 2 ч \2

и>2=0.

1^1 = Ь'о 2 ч \2

и>2=0.

(11.2.33)

(11.2.33)

Рис. 113 меняться в зависимости от по-

Рис. 113 меняться в зависимости от по-

4. Кавернав поступательномпотоке

4. Кавернав поступательномпотоке

(11.2.35)

(11.2.35)

Пусть к^О, что соответствует включению в поступательный плоскопараллельный поток круглого непроницаемого включения радиуса а. В этом случае эти формулы обращаются в формулы вида

Таким образом, поступательный фильтрационный поток, искаженный внесенным в него непроницаемым цилиндром, описывается комплексным потенциалом шл (11.2.33), Внутри цилиндра поток отсутствует (^2=0) (рис. 113). Функция wv определяемая равенством (11.2.31), описывает также бесциркулярное обтекание поступательным потоком идеальной жидкости круглого цилиндра, как было исследовано ранее (см. гл. 6, § 3). Касательная скорость вдоль поверхности цилиндра будет лярного угла 0 по формуле

(11.2.34)(11.2.34)и^ =— 2z;osin0.

(11.2.34)

(11.2.34)

В грунте имеют место пустоты, которые при фильтрации жидкости по порам грунта заполняются жидкостью. Эти области называются кавернами.

Пусть в поступательный плоскопараллельный поток внесена круглая каверна, проницаемость которой &2=оо. Поступательный поток, искаженный каверной, описывается формулами (11.2.31) и (11.2.32) при к^ оо, т. е.

/а2 '

^;^оН

\2

lp2=2p0z.

Из вида функции и?2 (11.2.35) следует, что внутри каверны будет иметь место поступательный поток, скорость которого вдвое больше поступательного фильтрационного потока вне каверны в бесконечном удалении от нее.

Комплексный потенциал ш^ определяемый формулой (11.2.35), не имеет аналога в теории плоскопараллельных потенциальных движений идеальной жидкости. Это течение можно назвать обтеканием полностью проницаемого цилиндра поступательным потоком

или протеканием поступательного фильтрационного потока через круглую каверну. Линии тока этого течения изображены на рис. 114. Распределение скоростей фильтрации на границе каверны определяется по формулам:

pr=2yocos0; уо =0, (11.2.36) откуда следует, что критические точки течения на цилиндре будут определяться углами 0 = ± -^ •

Картины течений (11.2.33) и (11.2.35) на рис. ИЗ и рис. 114 указывают, что качественно непроницаемый цилиндр раздвигает линии тока фильтрационного поступательного потока в своей окрестности, а каверна в своей окрестности стягива

ет линии тока этого потока.

5. Частичное обтеканиеи частичное протеканиепотока через круглыйцилиндр5. Частичное обтеканиеи частичное протеканиепотока через круглыйцилиндрПодводя итоги всему сказанному в настоящем параграфе, можно констатировать, что формулы (11.2.31) и (11.2.32) можно рассматривать как обобщение задач об обтекании поступательным потоком непроницае

5. Частичное обтеканиеи частичное протеканиепотока через круглыйцилиндр

5. Частичное обтеканиеи частичное протеканиепотока через круглыйцилиндр

мой окружности и каверны. Из многообразия значений кг и &2,

характеризующих проницаемость грунта вне окружности и внутри нее, следует выделить два типа задач.

Пусть

&1 /* ^2'

( ^О)»,^, =1(ре)л2 = о ц.А( ^О)»,^, =1(ре)л2 = о ц.Аkiк^ + ^2kiк^ + ^2<1.<1.(11.2.37)(11.2.37)Используя формулы (11.2.29) и (11.2.34), найдем отношение касательной скорости на границе цилиндра при к-^к^ и касательной

( ^О)»,^, =1

(ре)л2 = о ц.А

( ^О)»,^, =1

(ре)л2 = о ц.А

ki

к^ + ^2

ki

к^ + ^2

<1.

<1.

(11.2.37)

(11.2.37)

скорости при fc2—0. Отсюда следует, что отношение касательных скоростей не зависит от полярного угла и является величиной, меньшей единицы. В связи с этим фильтрационное течение приЛ1>Л2 можно назвать частичным обтеканием круглого цилиндра.

Пусть теперь

Используя формулы (11.2.29) и (11.2.36), найдем отношение нормальной скорости на границе цилинда при к^Ск^ и нормальной скорости на границе цилиндра при &2=0:

I vr 1&2= соI vr 1&2= со1^21^2(11.2.38)(11.2.38)

I vr 1&2= со

I vr 1&2= со

1

^2

1

^2

(11.2.38)

(11.2.38)

Отсюда следует, что отношение нормальных скоростей не зависит от полярного угла и является величиной, меньшей единицы. В связи с этим фильтрационное течение при к^к^ можно назвать частичным протеканием через круглый цилиндр. Из формул (11.2.37) и (11.2.38) при кх=к^ что соответствует случаю, когда в поток не внесен грунт другой проницаемости, имеем:

(ро)^1=^2 1 е .^^lz^. — ^ (11 2 39) ( v \ ” 2 ’ (иЛ 2 * V • • 7 V 0)^=0 V ^=00

Следовательно, частичное обтекание круглого цилиндра переходит в частичное протекание через круглый цилиндр, когда отношение соответствующих касательных скоростей и отношение соответствующих нормальных скоростей равны 1/2. Таким образом, обтекание круглого цилиндра поступательным потоком занимает среднее положение между невозмущенным потоком и потоком, возмущенным непроницаемым включением; частичное протекание через круглый цилиндр поступательного потока занимает среднее положение между невозмущенным потоком и потоком, возмущенным каверной. Сказанное открывает возможность приближенного изучения влияния полупроницаемых включений, внесенных в основной поток, при помощи изучения влияния непроницаемых включений и каверн.

Теорема об окружности и прямой для фильтрационныхтечений

Разобранный в предыдущем параграфе вопрос является обобщением задачи об обтекании непроницаемой окружности поступательным потоком. Последняя задача позво- фильт^^лила высказать предполагаемую формули-

об окружности ровку теоремы об окружности (см. гл. 6, §5). Подобным же образом, используя результаты предыдущего параграфа, можно предполагать, что будет верна обобщенная теорема об окружности.

Пусть невозмущенный плоскопараллельный фильтрационный подток в грунте с проницаемостью кх определяется функцией f^z), особые точки которой лежат вне окружности ]z\=a. Если заполнить эту окружность грунтом, проницаемость которого к^, то возмущенное течение вне окружности определится комплексным потенциалом и\ и внутри окружности комплексным потенциалом w^,

которые имеют вид

Wy^f (z) +

ky — k^ ky -p k^

(11.3.1)

^2 = ,2^. /(2).

ky + k^

Частный вид течений, определяемых равенствами (11.3.1), рассматривался в предыдущем параграфе [см. формулы (11.2.31) и (11.2.32)j. Формулам (11.3.1) можно придать другой вид:

^1=/(2) +

ку — к^ ку ~j~ к^

и 2 =

2к2ку + к^

/(2).

(11.3.Г)

Для доказательства идентичности формул (11.3.1) и (11 З.Г) доста-

точно доказать, что

(11.3.2)

Так как функция /(z) не имеет особых точек внутри окружности z| =а, то она разлагается в степенной ряд:

/(z)= 5 МФ#^

6=0

где г, Q — полярные координаты, ак1 Р^ — постоянные. На основании последней формулы можем записать:

/9 х°0А

t — + е«2(«, + ^)^^№ Х Z Z к=0

И

' z '^ = 0

Далее,

/— = Ъ (ak~lPk) — е х * fe=0

/-—-(a^cos/i:6 + рА sinfcO)—

002

—- i J] ^ (ак sin кВ + Pfccos&6) = г

- S ^[(аЛ —^*)cosfcO —1(ай —фЛ)81п/г6] =

А-0 Г

Таким образом, справедливость формулы (11.3.2) доказана, и, следовательно, доказана идентичность (11.3.1) и (11.3.Г).

Внесение в плоскопараллельное фильтра-

Доказательство ционное течение, происходящее в грунте с фильтрш^ою^ПрОницаемостью окружности, заполнен

ной грунтом с проницаемостью к21 не должно сопровождаться появлением дополнительных особых точек течения внутри и вне окружности. Следовательно, для доказательства справедливости (11.3.1) надо показать, что вне окружности нет особых точек помимо определенных /(z) и внутри окружности вообще нет особых точек. Последнее выполняется. Действительно, так как особые точки /(z) лежат вне окружности Izl =а, то особые точки / а? \'

/ — 1 все лежат внутри окружности. Таким образом, течение вне \ z /

окружности z| =а, соответствующее комплексному потенциалу wx (11.3.1), будет иметь особые точки функции /(z). Течение внутри окружности |z| —а. определяемое комплексным потенциалом w^ не имеет внутри нее особых точек, так как их не имеет /(z).

Помимо сказанного, для доказательства формул (11.3.1) нужно показать, что удовлетворяются граничные условия (11.2.7) и (11.2.8)

Запишем функции, входящие в равенства (11.3.1), в виде /(z)=<p(r, 9)+i#, 9);

, 2, о х(11.3.3)

\ г /\ г /

Комплексные потенциалы wx и и^ (11.3.1) запишем в виде

^1=Ф1(г, ЭШф^г, 9);

^^^г, бН^г, 6).

Отсюда, используя соотношения (11.3.3) и (11.3.1), имеем:

Ф, = Ч> (г, 6) + -1 - 8 у — , 6 ;Н- к^ \ ^/

(11.3.4)

Дифференцируя равенства (11.3.4) по г, найдем:

/ а2 \

8rdrк} +к2 Эи \ г2 j

(11.3.5)

8^4 2кг 9<р (г, 0) dr кх -4- кг 00’

где и = а2/г.

При г=а из последних равенств имеем

дф1 \_ дф(а, 6) kj — к2 д^^а, 6) _

2/с2 дф (а, 0) ^1 + ^2 9а2/с2 дф (а, 0) ^1 + ^2 9адг /г—а дак^ + ^2 9а

2/с2 дф (а, 0)

^1 + ^2 9а

2/с2 дф (а, 0)

^1 + ^2 9а

.(11.3.6)

8г )г=а

Таким образом, первое граничное условие (11.2.7) выполняется.

Обращаясь к равенствам (11.3.4), можем записать:

<Pi \= ?(а> 6) Zjк^ /г—а к^ \/ фг \ 2^2\ ^2 )г=а к2 ^к^ “F к^<Pi \= ?(а> 6) Zjк^ /г—а к^ \/ фг \ 2^2\ ^2 )г=а к2 ^к^ “F к^^1 к2 \^1 + ^2/^1 к2 \^1 + ^2/ф (а, 6) =ф (а, 6) =2к^ “J— &22к^ “J— &22&1 + к22&1 + к2ф (а, 6);ф (а, 6);ф (а, 6).ф (а, 6).

<Pi \= ?(а> 6) Zj

к^ /г—а к^ \

/ фг \ 2^2

\ ^2 )г=а к2 ^к^ “F к^

<Pi \= ?(а> 6) Zj

к^ /г—а к^ \

/ фг \ 2^2

\ ^2 )г=а к2 ^к^ “F к^

^1 к2 \

^1 + ^2/

^1 к2 \

^1 + ^2/

ф (а, 6) =

ф (а, 6) =

2

к^ “J— &2

2

к^ “J— &2

2

&1 + к2

2

&1 + к2

ф (а, 6);

ф (а, 6);

ф (а, 6).

ф (а, 6).

Из последних равенств следует, что выполняется второе граничное условие (11.2.7).

Используя формулы (11.3.4) и (11.3.6), можно определить составляющие скорости на границе раздела двух сред или на границе окружности |z| -а для обеих сред:

(vlr)r=a — (и^г)г=а —(vlr)r=a — (и^г)г=а —дф (а, 0)7г ’дф (а, 0)7г ’

(vlr)r=a — (и^г)г=а —

(vlr)r=a — (и^г)г=а —

дф (а, 0)

7г ’

дф (а, 0)

7г ’

(11.3.7)(11.3.7)7 х 2/^дср(а,0)

(11.3.7)

(11.3.7)

7^Г=а " кх + ^2^9’

, к 2А:2д<?(а,6)

28 ГkY + к2адб’

где и1г1 v2r и ^16, ^20— соответственно составляющие скорости вдоль радиуса г и вдоль направления образующей цилиндра для сред с проницаемостями кг и к^*

Предположим, что задано плоскопараллель-

Фильтрационная ное течение в грунте, проницаемость кото- теорема о прямой рого ^ и осодые точки этого течения располагаются в верхней полуплоскости. Пусть комплексный потенциал этого течения будет /(z). Предположим, что проницаемость нижней полуплоскости изменена и характеризуется к^. Тогда течение в верхней и нижней полуплоскостях уже не будет определяться /(z), а комплексные потенциалы верхней полуплоскости ipx и нижней полуплоскости w2 будут вида

W1= 1^ + -ТТТ-/ ^ = f^ + т^т- /И;кх + к2кг + к2

(11.3.8)

^2= , ^а,/(Z).

ki + к2

где функция /(z) определена в нижней полуплоскости.

Так же, как и в случае фильтрационной теоремы об окружности, заполнение нижней полуплоскости грунтом с проницаемостью кй не должно сопровождаться появлением дополнительных особых точек течений в верхней и нижней полуплоскостях. Сказанное выполняется, ибо /(2) представляет собой преобразование верхней полуплоскости в нижнюю, и, таким образом, комплексный потенциал w^s определяющий течение в верхней полуплоскости, не имеет дополнительных особых точек. Комплексный потенциал, определяющий течение в нижней полуплоскости, не имеет особых точек в этой области. Для доказательства справедливости равенств (11.3.8) надо также проверить выполнение граничных условий (10.3.16), которые в рассматриваемом случае будут иметь вид

/ дф1 \

\ ду )у=о \ ду )у=й

(11.3.9)

\ ^1 / У=0 \ ^2 / У=0

Так как

/(з)=ф(ж, У^+^^х, у),

то, обращаясь к формулам (11.3.8), имеем:

Ф1 = Ф (ж, У) +ф (х, — у);

(11.3.10)

Фа = -Т^ГГ" фкг + к2

Иdcpi _ дср(я, у) ki — k2 дер (я, — у) едудукг 4-к2 ду

(11.3.11)

д<р2 _2к2 дф (я, у)

ду кх + к2 ду

Из последних равенств следует, что выполняются граничные условия (11.3.9).

Таким образом, справедливость равенств (11.3.8) доказана.

Эти равенства можно рассматривать как математическую формулировку фильтрационной теоремы о прямой. Последнюю можно рассматривать как предельный случай фильтрационной теоремы об окружности, когда последняя вырождается в прямую.

Из соотношений (11.3.10) и (11.3.11) следует, что на границе раздела зон однородности (z/=0) составляющие скорости будут определяться равенствами:

х _2/qд^^х, 0)

1jJz/=0 — ~— ;

^1 + &2^

Мм - т^г- -^-^ ;(11.3.12)

Ку + к^ ОХ

(^lyl^O — (^2у)&=0 —(^lyl^O — (^2у)&=0 —9^ (Ж, 0)9у9^ (Ж, 0)9у

(^lyl^O — (^2у)&=0 —

(^lyl^O — (^2у)&=0 —

9^ (Ж, 0)9у

9^ (Ж, 0)9у

Фильтрационным теоремам об окружности 4‘ М™^3±”Я и прямой можно дать геометрическую ин- исиишл точек

терпретацию.

Пусть функция /(z), определяющая невозмущенное течение в плоскости с проницаемостью kv имеет особые точки вне окружности |z| = =а, расположенные в z1? z2, •••> zn, и обладающие соответственно на-

Pllc. 116Pllc. 116

Pllc. 116

Pllc. 116

пряженностями H1+ZB1, А^А-гВ^ .... An4-iBn. Если окружность |z] = =a заполнена грунтом с проницаемостью к^ то возмущенное течение вне окружности (рис. 115) помимо указанных особых точек будет определяться еще особыми точками, лежащими внутри окружности. Как следует из равенств (11.3.1), эти дополнительные точки будут по характеру аналогичны заданным и соответственно расположены

в a2/zp a2/ z2,... , a2/ zn и будут иметь напряженности

4^2- (Л, - i5 j, А^- (Л2 - iB^ ,..., 2^_ {Ап _ iB „у

ку "V к^ку -{-ку + к^

Течение внутри окружности, проницаемость грунта в которой к^ будет определяться особыми точками, расположенными в я17 z2, Яд, напряженности которых будут соответственно

-^- (Л, + tB^, -^- (Л2 + гВ^ ,..., -^- 1Ап + гВпу

ку + к^ку + к^ку -]- к^

Аналогично пусть f^ определяет течение в плоскости с проницаемостью кг и имеет особые точки, расположенные в верхней полуплоскости в точках z1? ..., zn, обладающих соответственно напряженностями A1+iS1, ..., Ап-НВп. Если нижнюю полуплоскость заполнить грунтом с проницаемостью к^ то возмущенное течение в верхней полуплоскости помимо особых точек /(z) будет определяться еще особыми точками, лежащими в нижней полуплоскости (рис. 116). Как следует из равенств (11.3.8), эти дополнительные особые точки будут по характеру аналогичны заданным и соответственно расположены в zb ..., zn и будут иметь напряженности

(4 _ iB^,..., ^—^(4 - IB,уkt + k4 1 v’ kL-Vk4 v n

Течение в нижней полуплоскости определится особыми точками, расположенными в zD ..., zn, имеющими соответственно напряженности

-2^— (A + ^J,..., —2L(4„ + i5„).

Указанный геометрический метод построения течений в кусочно неоднородных средах, когда границами раздела является окружность и прямая, называется методом изображения особых точек. Этот метод в ряде случаев удобен при построении конкретных течений.

В фильтрационных теоремах об окружности и прямой и в их геометрической интерпретации рассматривались случаи, когда исходное течение, определяемое /(z), вызывалось особыми точками, расположенными вне окружности, разделяющей области с проницае- мостями кх и Zc2, и в верхней полуплоскости, когда границей изменения проницаемостей кг и к^ являлась ось х. Однако формулировка этих теорем не изменится, если особые точки /(z) соответственно располагаются внутри окружности и в нижней полуплоскости.

В частном случае окружность, внесенная в

5. Фильтрационное фильтрационной поток, может быть непро- оотекание непроницаемойТ7 п ./ла пах

окружности и каверны ницаемои, тогда Л2=0 и формулы (11,3.1) имеют вид

u>1 = wH = /(z)+7|'—Ъ

V 2 1(11.3.13)

w2=0.

Формулы (11.3.13) составляют содержание теоремы об окружности, полученной ранее при рассмотрении плоскопараллельных течений идеальной жидкости (см. гл. 6, § 5). Из них следует, что составляющие скоростей на поверхности непроницаемой окружности будут

(^1г)г=а = 0;

(11.3.14)

V\ „о М»> 9)

Если в фильтрационный поток внести каверну, то к^оо и формулы (11.3.1) приобретают следующий вид:

«^«^-/(у);iy2=2/(z).«^«^-/(у);iy2=2/(z).(11.3.15)(11.3.15)

«^«^-/(у);

iy2=2/(z).

«^«^-/(у);

iy2=2/(z).

(11.3.15)

(11.3.15)

Используя равенства (11.3.15), составляющие скоростей на поверхности каверны найдем в виде

vb = (v3= 2^а- 9) :

(11.3.16)(11.3.16)V r,r=aада '

(11.3.16)

(11.3.16)

(= 0.

Из формул (11.3.7) и (11.3.15) найдем отношение касательной скорости частично обтекаемой окружности к касательной скорости непроницаемой окружности

11(11.3.17)(11.3.17)

1

1

(11.3.17)

(11.3.17)

где 0<Ar2<Ax.

Аналогично из формул (11.3.7) и (11.3.16) найдем отношение нормальной скорости частично протекаемой окружности (с проницаемостью к^ к нормальной скорости на поверхности каверны

(у1г),=а1,к»(у1г),=а1,к»(11.3.18)(11.3.18)

(у1г),=а1,

к»

(у1г),=а1,

к»

(11.3.18)

(11.3.18)

где к^к^оо.

Из формул (11.3.17) и (11.3.18) следует, что если в фильтрационный поток не внесена возмущающая поток окружность другой проницаемости, то касательная и нормальная скорости невозмущенного потока в точках окружности |z| —а будут связаны со скоростями на поверхности непроницаемой окружности и каверны формулами вида

(11.3.19)(11.3.19)( ^1э)г—а — 2 ^=0’

(11.3.19)

(11.3.19)

И». = -7^=0. >

где Рю и иЛг— составляющие скорости невозмущенного фильтрационного потока.

Формулы, подобные (11.3.17), (11.3.18) и (11.3.19), имеют место также для течения в кусочно неоднородной среде на границе раздела сред, если этой границей является прямая.

6. Использованиекаверныи непроницаемоговключенияв формулировке теоремы6. Использованиекаверныи непроницаемоговключенияв формулировке теоремы/(z) = — («?„ + ^к);/(z) = — («?„ + ^к);

6. Использованиекаверныи непроницаемоговключенияв формулировке теоремы

6. Использованиекаверныи непроницаемоговключенияв формулировке теоремы

/(z) = — («?„ + ^к);

/(z) = — («?„ + ^к);

Используя результаты предыдущего пункта, фильтрационной теореме об окружности можно дать иную формулировку. Формально из равенств (11.3.13) и (11.3.15) найдем /(z) и /(—) через комплексные потенциалы

обтекания непроницаемой окружности wH и через комплексный потенциал обтекания каверны wK в виде

Так как wu и wK определяют течение только вне окружности или только в области с проницаемостью kv то в равенствах (11.3.1) через iph и шк можно выразить только 1Рг и переписать их в виде

(и>н —^к);(и>н —^к);1 /.\ .1 кг — k^

(и>н —^к);

(и>н —^к);

„,,=-(„,„+u,K)+-x-i-

(11.3.20)

«i -f- k^

или в болееили в болеесимметричной форме

или в более

или в более

±—к\ + k^±—к\ + k^w» + ТТЛ- ^w» + ТТЛ- ^(11.3.207)(11.3.207)ш2ш2Течение вне ловиям:Течение вне ловиям:окружности наокружности наkx + k^ x 7границе последней удовлетворяет ус-kx + k^ x 7границе последней удовлетворяет ус-

±—

к\ + k^

±—

к\ + k^

w» + ТТЛ- ^

w» + ТТЛ- ^

(11.3.207)

(11.3.207)

ш2

ш2

Течение вне ловиям:

Течение вне ловиям:

окружности на

окружности на

kx + k^ x 7

границе последней удовлетворяет ус-

kx + k^ x 7

границе последней удовлетворяет ус-

«1 + «2«1 + «2(11.3.21)(11.3.21)ki

«1 + «2

«1 + «2

(11.3.21)

(11.3.21)

k^ -f- k^

где рк — скорость течения на границе каверны, рн — скорость течения на непроницаемой окружности.

Формулы (11.3.20) и (11.3.20'), определяющие и)Х1 интересны как пример разложения сложного течения на два простейших. Представление шг в виде суммы двух течений удобно в некоторых случаях построения фильтрационных течений (см. следующий параграф).

7. Течение,вызванное стоком,расположенным в средес круглой границейизменения проницаемости7. Течение,вызванное стоком,расположенным в средес круглой границейизменения проницаемостиВ качестве конкретного примера применения фильтрационной теоремы об окружности и метода изображений рассмотрим течение, вызванное стоком обильности Q, расположенным в точке х=—b, у=0. Пусть сток рас

7. Течение,вызванное стоком,расположенным в средес круглой границейизменения проницаемости

7. Течение,вызванное стоком,расположенным в средес круглой границейизменения проницаемости

положен вне окружности \z\=a (b>a), которая является границей изменения проницаемости.

Пусть комплексный потенциал течения в среде с проницаемостью кг в рассматриваемом случае будет

/(2) = ~ ^-1П(3 + Ь)./(2) = ~ ^-1П(3 + Ь).(11.3.22)(11.3.22)

/(2) = ~ ^-1П(3 + Ь).

/(2) = ~ ^-1П(3 + Ь).

(11.3.22)

(11.3.22)

Отсюда, обращаясь к формулам (11.3.1), имеем

Произведя преобразование и откидывая постоянную^—^ In b последние равенства перепишем в виде

(11.3.23')

Последние формулы представляют собой построение течений в среде с круглой границей изменения проницаемости методом изображений (см. п. 4). Действительно, заданному стоку в точке х= =—Ь, у~0 и соответствующему ему источнику в бесконечности внутри окружности | 2 |=а будут соответствовать сток в точке х =— ~,

у—й и источник в начале координат.

Картина течения, определяемая формулами (11.3.22) или (11.3.23') изображена на рис. 117.

Предположим, далее, что по-прежнему вне окружности | 2 | ^а проницаемость грунта кг и внутри окружности проницаемость грунта кй. Пусть

/ (2) = — ^7 In (z + 6)

описывает течение в среде с проницаемостью кх и Ь<чц т. е. сток расположен внутри окружности. Течение, вызванное стоком, расположенным в

точке х=—Ь, у=0, в среде с проницаемостью к^ будет описываться формулой

^^-ln(z + Z>).(Н.3.24)

Теорема об окружности в рассматриваемом случае непосредственно не применима, ибо /х имеет особые точки и внутри окружности, и вне ее (в бесконечно удаленной точке будет располагаться источник), как следует из формулы (11.3.22). Однако можно применить теорему об окружности или метод изображений дважды к внешней и внутренней областям окружности. Воспользуемся сделанным замечанием для построения комплексного потенциала вне окружности и)х и внутри окружности w2. Течение вне окружности будет определяться особой точкой, расположенной внутри окружности (х=—b, у=0) (11.3.24), или комплексным потенциалом

Ы, =^—A In (z + Ь),(11.3.25)

к,. + кг 2л ki

а также особой точкой, расположенной в начале координат, которая является изображением источника, расположенного в бесконечно удаленной точке, или комплексным потенциалом

w = ^-к, Q_ k^iQZ(11.3.25')

ку ~j— к^ 2т ку

Наложение течений (11.3.25) и (11.3.25') определяет течение, вызванное стоком в точке х——b, у=0, источником в начале координат и источником в бесконечности, напряженность которого будет — —. Следовательно, 2т ку

Гin (z + b) + h~±L_ in zl. (11.3.26) 2т ку ку к^ку + к^ J

Течение внутри окружности будет определяться особой точкой расположенной внутри окружности (х~—Ь, у=0), или согласно (11.3.22) комплексным потенциалом

(11.3.27)(11.3.27)w = — In (z + 6),

(11.3.27)

(11.3.27)

а2 b 'а2 b 'ку 2т'

а2 b '

а2 b '

и особой точкой, расположенной вне окружности = — у = 0), или комплексным потенциалом

w = — -^—^in fz + —V(11.3.28)

^1Н- к2 ку \ Ъ )

Наложение течений (11.3.27) и (11.3.28) определяет течение, выз

ванное стоками, расположенными в точках х=—Ь, у=0 и х——^>

у=0, и источником, расположенным в бесконечности, напряженность

которого будет ~~

2^

кг + к^

. Следовательно,

и>2 = -—-Min(z + b) +

к^ к^ кг + кй

Течение, описываемое (11.3.29), изображено

8. Обтекание стокомкруглой каверны

комплексными потенциалами (11.3.26) и на рис. 118.

Остановимся подробнее на рассмотрении течения, вызванного стоком, которое искаже-

но присутствием

щаясь к формуле (11.3.23), комплексный чения найдем полагая ^=00, в виде

круглой каверны. Обра- потенциал указанного те-

Рис. 118

а2

z (z + Ь) ’

9 1

IP = — 1П

2л

(11.3.30)

где Ь*>а. Отсюда семейство линий равного потенциала определяется формулой

2

+ У2