Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЙ БИНГАМОВСКИХ СРЕД
Редактор Е.Ю. Ходан
Оригинал-макет Д.В. Горбачева
Оформление переплета А.Ю. Алехиной
Подписано в печать 10.01.05. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 17. Уч.-изд. л. 18,7. Заказ №
ISBN 5-9221-0566-3ISBN 5-9221-0566-3Издательская фирма «Физико-математическая литература»
ISBN 5-9221-0566-3
ISBN 5-9221-0566-3
МАИК «Наука/Интерпериодика» 117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru; http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография «Наука» 121099, Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0566-3ISBN 5-9221-0566-3© ФИЗМАТЛИТ, 2004
ISBN 5-9221-0566-3
ISBN 5-9221-0566-3
© А. В. Гноевой, Д.М. Климов, В. М. Чесноков, 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Введение 9
Глава 1. Элементы теории течений сплошных сред 15
Переменные Лагранжа и Эйлера 15
Гипотеза сплошности. Силы и напряжения 17
Уравнения движения сплошной среды 20
Скорости деформации 22
Уравнение неразрывности 25
Рассеяние механической энергии 26
Уравнение теплопереноса 28
Глава 2. Некоторые сведения из реологии 32
. Реология как научная дисциплина. Аксиомы реологии32
. Реологические свойства. Идеальные тела 34
2.3. Определение реологических кривых 37
Глава 3. Уравнения течений бингамовских сред 43
Бингамовская среда как объект исследования 43
Общие уравнения 54
Постановка граничных условий 58
Безразмерная форма уравнений течения 62
Уравнения течения бингамовских сред 71
Глава 4. Плоские течения бингамовских сред. Точные решения . .77
. Стационарное течение между параллельными плоскостями . . .77
4.2. Круговое течение в зазоре между двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами 83
. Течение в круглой прямой трубе 88
Глава 5. Плоские течения бингамовских сред. Приближенные решения 96
. Один общий случай квазистационарного течения в тонком слое с изменяющимися внешними границами 96
5.2. Некоторые частные случаи квазистационарного течения в тонком слое 117
5.3. Нестационарное течение между параллельными плоскостями при изменяющемся перепаде давления 130
. Нестационарное круговое течение в зазоре между двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами 142
. Вытеснение среды из плоских каналов 147
Глава 6. Применение метода эквивалентной вязкости для исследования течений бингамовских сред 150
. Метод эквивалентной вязкости 150
. Общая постановка задачи и ее решение 151
. Сжатие среды между двумя параллельными плоскостями . . . . 156
. Расход среды в каналах различной формы 157
6.5. Пространственное течение среды из мягкой емкости при сжатии ее двумя параллельными пластинами 165
6.6. Плоское течение среды из мягкой емкости при сжатии ее двумя непараллельными пластинами 171
. Плоское течение среды из двухгранного угла, стороны которого сближаются 177
Глава 7. Эффекты, возникающие в текущей среде 183
Бингамовская среда как объект управления 183
Течение среды между подвижными параллельными пластинами 200
Течение среды ввибровискозиметре 205
Глава8. Практическоеприменение 208
Технологические машины с мягкими деформируемыми рабочими органами 208
Принципы построения вибрационно-волновых пищевых технологических машин 213
Примеры технических решений 226
Иерархическое моделирование течений в каналах и полостях рабочих органов технологических машин 239
Способы измерения реологических констант бингамовских сред 248
Проблема перемешивания различных сред 256
Приложение 259
Список литературы 267
ПРЕДИСЛОВИЕ
Проблема исследования течений бингамовских сред в каналах и полостях с изменяемыми по времени и пространству формами вибрирующих стенок появилась в 80-х годах прошлого столетия непосредственно из потребностей практики, а именно при разработке авторами монографии нового поколения пищевых технологических машин, работающих на вибрационно-волновых принципах.
Принципиальное отличие таких машин от известных состоит в наличии у них мягкого деформируемого рабочего органа, имеющего вид полости или канала, стенки которых приводятся механизмом их деформации одновременно в низкочастотное волновое и высокочастотное вибрационное движения. Рабочий орган при этом деформируется и приобретает некоторую изменяющуюся со временем форму. С таким необычным рабочим органом непосредственно и взаимодействуют обрабатываемые пищевые бингамовские среды.
Эксперименты, проведенные на таких машинах с различными средами, дали большой экспериментальный материал. Однако в рамках существовавших представлений и известных результатов в механике сплошной среды, физике, биохимии дать объяснение многим из полученных положительных экспериментальных результатов, а тем более построить некую достаточно общую теорию поведения обрабатываемых пищевых бингамовских сред при данном виде сложного механического воздействия на нее в то время не представлялось возможным.
Сложность проблемы изучения течений бингамовских сред заключалась еще и в том, что принципиальная техническая новизна вибрационно-волновых машин потребовала рассмотрения новых, ранее не рассматривавшихся постановок краевых задач для сред со сложной реологией. Их суть состоит в том, что среда рассматривается находящейся под воздействием нестационарных внешних факторов двух типов: переменная граница области течения и переменные массовые силы. Для сообщения среде желаемого движения граница предполагается изменяющейся медленно, а массовые силы считаются быстро осциллирующими
для целенаправленного изменения эффективных реологических параметров среды.
Решение этой проблемы в предлагаемой монографии дается благодаря дальнейшему развитию аппарата исследования течений таких сред в следующем ряде компонентов:
уточнена модель бингамовской среды;
предложена, теоретически обоснована и проверена на примере бингамовских сред новая постановка задач о течении таких сред при изменяемых границах областей течения;
получена новая система уравнений для исследования течений сред со сложной реологией, из которых уравнения течений бингамовских сред получаются в соответствии с третьей аксиомой реологии (М. Рейнер) как частный случай;
в новой постановке и с помощью новых уравнений решен ряда практически важных задач.
Развитый в работе аппарат исследования течений сред со сложной реологией позволил разработать и принципы конструирования технологических машин с мягкими деформируемыми неметаллическими рабочими органами, а также ряд образцов таких машин и технологий для пищевой промышленности, в которых целенаправленно применяются эффекты, обнаруженные в таких средах.
В монографии приводятся результаты двадцатилетней работы авторов по проблеме исследования течений бингамовских сред, выполненные ими в основном в период с 1982 г. по 2002 г.
Монография состоит из введения, восьми глав и списка цитируемой литературы.
Во введении дается подробное описание проблемы и ее состояния, актуальности, технических приложений, а также краткий обзор выполненных по проблеме работ.
В главе 1 приводятся необходимые сведения из механики сплошных сред, достаточные для понимания дальнейшего изложения материала, без обращения к другим источникам.
В главе 2 приводятся некоторые сведения из реологии, необходимые для понимания дальнейшего изложения материала.
В главе 3 приводятся: сведения о свойствах и поведении бингамовских сред, полученные в результате последних научных исследований; общие уравнения, описывающие течения вязкопластичных сред в новой форме их записи и как частные случаи течения вязких, пластичных и бингамовских сред; новая постановка граничных условий; безразмерная форма уравнений течения и представление предложенных уравнений течения в различных ортогональных системах координат.
В главе 4 приводятся точные решения некоторых известных классических задач плоского течения бингамовских сред в новой постановке: течение между параллельными плоскостями и в кольцевом зазоре.
В главе 5 приводятся приближенные решения некоторых задач плоского течения в новой постановке: течение в тонком слое с изменяющимися внешними границами; некоторые случаи квазистационарного течения в тонких слоях; нестационарное течение между параллельными плоскостями при изменяющемся перепаде давления; нестационарное круговое течение в зазоре между двумя коаксиальными, вращающимися цилиндрами; примеры вытеснения среды из плоских каналов при различных законах деформирования их стенок.
В главе 6 приводится: описание метода эквивалентной вязкости и применение его для решения задач; примеры решения некоторых задач методом эквивалентной вязкости: плоское течение среды в канале с деформируемыми стенками; сжатие среды двумя параллельными плоскостями; сжатие среды двумя непараллельными плоскостями; вытеснение среды из двугранного угла.
В главе 7 приводятся постановки двух классов задач об управлении течением и свойствами сред путем изменения их напряженных состояний; излагаются два предложенных способа управления изменением этих свойств: изменение сопротивления течению среды и изменение ее физического состояния путем управляемого деформирования стенок каналов и полостей, в которых движется среда, а также путем сообщения среде дополнительных движений со стороны недеформируемых стенок каналов и полостей. В новой постановке дается решение двух задач на сложный сдвиг: течение среды между двумя подвижными пластинами; течение среды в вибровискозиметре.
В главе 8 приводятся: принципы построения машин с мягкими деформируемыми рабочими органами и примеры технической реализации таких машин и технологий; методология их совершенствования путем иерархического моделирования течений сред, происходящих в этих машинах; усовершенствованные способы измерения реологических констант бингамовских сред; некоторые существующие подходы к проблеме перемешивания бингамовских сред.
Формулы обозначаются тремя цифрами. Первая цифра в этой комбинации — номер главы, вторая — номер параграфа, третья — номер формулы. При ссылке на формулу в пределах одного параграфа указывается только одна последняя цифра — ее по-
рядковый номер. При ссылке на формулу из другого параграфа в пределах одной главы указываются две цифры — номер параграфа и порядковый номер формулы в этом параграфе. При ссылке на формулу из другой главы указывается вся комбинация цифр, присвоенная формуле.
Рисунки обозначаются двумя цифрами. Первая цифра — номер главы, вторая цифра — порядковый номер рисунка.
Таблицы обозначаются двумя цифрами. Первая цифра — номер главы, вторая цифра — порядковый номер таблицы.
ВВЕДЕНИЕ
Теоретические исследования течений вязкопластичных сред были начаты Б. Сен-Венаном (В. Saint-Venant), М. Леви (М. Levy) и Р. Мизесом (R. Mizes). Впервые о возможности получения уравнений, описывающих течение вязких жидкостей с пределом текучести, и пояснение, каким именно образом они могут быть получены, сообщил Б. Сен-Венан (1871г.) в своей работе [76]. В последнем пункте этой работы он пишет: «Сделаю последнее замечание: если к шести компонентам напряжения 9 аж, ау, az, Tyz, txz прибавить члены
диди_ ди)/ ди , ди) \
+
Эхду dz\dz ду /
(Эти ди\(диди\
£\Эх"^ 9z/\дуЭх/
соответствующие динамическому трению в вязких жидкостях при ламинарном движении, то уравнения теории пластичности будут пригодны и для случая, когда скорости деформации, хотя и не очень большие, смогут создать те дополнительные сопротивления, о которых шла речь в п. III и которыми обычно пренебрегают».
В этой же работе [76] Б. Сен-Венаном была записана система уравнений плоского течения пластической среды, состоящая из динамических уравнений движения сплошной среды, уравнения неразрывности, введенного им условия пластичности для плоской деформации, и условия пропорциональности максимального касательного напряжения и максимальной скорости деформации сдвига. Эта система уравнений не претерпела никаких изменений до настоящего времени и используется для решения плоских задач пластической деформации. Б. Сен-Венаном были сформулированы и условия сопряжения на границе раздела упругой и пластической областей [75].
М. Леви (1871 г.) развил идеи Б. Сен-Венана и в работе [54] привел систему уравнений, описывающих пространственное течение пластической среды. Эта система уравнений состоит из
9 Имеются в виду пластические напряжения.
динамических уравнений движения сплошной среды, уравнения неразрывности, введенного им условия пластичности для пространственного деформированного состояния, условия пропорциональности касательных напряжений соответствующим скоростям деформации сдвига и разности нормальных напряжений, соответствующей разности объемных скоростей деформации. Следует отметить, что условие пластичности М. Леви, в отличие от условия пластичности для плоской деформации Б. Сен-Венана, не имело законченного вида, принятого в современной теории. М. Леви (1871 г.) в работе [55] была сделана попытка интегрирования общих уравнений плоского течения пластической среды путем преобразования системы координат, связанное с линиями скольжения, которая, однако, не получила дальнейшего развития.
Строгое обоснование условия пластичности для произвольного деформированного состояния было дано Р. Мизесом (1913 г.) в работе [59]. В дальнейшем это условие получило экспериментальное подтверждение и используется в современной теории пластичности. В частном случае плоской деформации условие пластичности Мизеса переходит в условие пластичности Сен- Венана. В этой же работе Р. Мизесом была получена система уравнений, описывающая пространственное течение пластической среды. Однако, в отличие от уравнений Сен-Венана-Леви, в этих уравнениях связь компонент напряжения с компонентами скоростей деформации была записана в форме соотношений гидродинамики, в которых коэффициент пропорциональности (аналог коэффициента вязкости в гидродинамике) определялся из условия пластичности.
Поскольку условие пластичности Сен-Венана-Мизеса неоднозначно, так как в него входят квадраты и произведения компонент напряжения, то гидродинамические соотношения между компонентами напряжения и компонентами скоростей деформации так же неоднозначны. Кроме знаковой неоднозначности, в этих соотношениях могут возникать неопределенности другого характера, которых не возникает при использовании уравнений Сен-Венана-Леви [54,76].
Тензор пластических напряжений Г. Генки назвал статическим тензором, а тензор вязких напряжений — динамическим тензором. При этом, компоненты пластических напряжений записывались так же, как и Р. Мизесом [59] при использовании условия пластичности, аналогичного условию пластичности Мизеса. Таким образом, связь между компонентами напряжения и компонентами скоростей деформации в уравнениях Генки, так
же как и в уравнениях Мизеса, записывалась в виде соотношений гидродинамики вязких жидкостей с той же неоднозначностью компонент пластических напряжений, как и в уравнениях Мизеса. Уравнения Генки переходят в уравнения Мизеса при равенстве нулю коэффициента динамической вязкости среды.
В этой же работе [93] Г. Генки было сделано предположение о том, что в среде с пределом текучести имеется внутренняя граница, на которой динамический тензор обращается в ноль и остается только статический тензор. Эту поверхность Генки называет «граничной поверхностью между упругой и пластической областями». Данное предположение эквивалентно тому, что на этой внутренней границе обращаются в ноль все компоненты тензора скоростей деформации.
Полученные уравнения Г. Генки пытался использовать, прежде всего, для решения задач прокатки и штамповки металлов, т. е. для области, отличной от той, которую рекомендовал Б. Сен- Венан в работе [76]. Это обстоятельство, позднее, было особо подчеркнуто М. Рейнером (1960 г.) в его работе [70]. В ней он отмечает, что уравнения Генки более пригодны к исследованию течений бингамовских сред, нежели к исследованиям пластических течений металлов. Там же М. Рейнер пишет: «В действительности, теория пластичности в приложении к металлам является, почти исключительно, теорией сен-венанова тела».
Устранить или решить отмеченные проблемы пытались различными путями. Например, В. П. Мясниковым (1961г.) была рассмотрена задача о сдавливании вязкопластичного слоя жесткими плитами [60]. Целью этой работы было дать поправку на эффект вязкости к известному решению Л. Прандтля (L. Prandtl) задачи о сдавливании пластического слоя жесткими, шероховатыми плитами [67]. При решении этой задачи ядро течения уже не принималось жестким, а считалось также вязкопластичной средой, но с большим числом Сен-Венана, т. е. с большим пределом текучести. У очень тонкого слоя среды вблизи плит, наоборот, число Сен-Венана считалось малым. Г. Липскомб и М. Денн (1984 г.) предлагают в своей работе вводить модель ядра в виде некой вязкой жидкости со специально вычисляемым ими коэффициентом вязкости [96].
Начиная с 1981 г. А. В. Гноевым, Д. М. Климовым, В. М. Чесноковым изучались течения вязкопластичных сред в тонких плоских и пространственных слоях при изменении формы физических границ слоя [15-22,26,27,33,36,37,89]. Были также получены результаты, противоречившие принятой модели жесткого ядра течения, так как распределение скоростей в ядре те-
чения не совпадало с распределением скоростей в твердом теле. Для частичного преодоления этого противоречия при решении практических задач, был предложен приближенный метод их решения [15, 17].
Этот метод заключается в замене вязкости и предела текучести одной «эквивалентной вязкостью», что позволило свести задачу исследования течения бингамовской среды к аналогичной задаче течения вязкой жидкости с заранее неизвестным коэффициентом эквивалентной вязкости. Был предложен метод теоретического определения данного коэффициента. В такой постановке решен ряд прикладных задач, например, о сдавливании среды двумя параллельными пластинами, о вытеснении среды из каналов различной формы, о течении среды из мягкой емкости при сжатии ее параллельными и непараллельными пластинами [15,36,37].
Существенное значение в понимании авторами физической картины течения среды со сложной реологией имели работы одного из основателей современной реологии М. Рейнера [69,70]. Помимо подробного анализа уравнений Генки и области их применения, о чем говорилось ранее, М. Рейнером были обобщены и систематизированы большинство, имевшихся на то время теоретических и экспериментальных результатов исследования течений различных сред. На основании этого им были сформулированы три аксиомы реологии, явившиеся основой дальнейшего развития теории течения сплошных сред, в частности бингамовских [70]. Эти аксиомы дали возможность авторам провести анализ известных решений задач о течении бингамовских сред в каналах со сложной геометрией и установить, что решения, которые были получены при использовании модели квазитвердо- го ядра, не соответствуют, например, третьей аксиоме реологии.
Для решения вышеназванных проблем при анализе течений бингамовских сред авторами (А. В. Гноевой, Д.М. Климов, В. М. Чесноков, 1997) была предложена новая постановка таких задач и новые уравнения для их решения [16,20]. Сущность предложения заключается в следующем: а) ядро течения такой среды принимается, в соответствии с моделью бингамовской среды, идеально пластичным телом (телом Сен-Венана); б) в текущей среде, в зависимости от ее напряженного состояния, различаются следующие области: а) область сдвигового течения, в которой интенсивность напряжений больше предельного напряжения сдвига; б) область идеально пластического течения, в которой интенсивность напряжений равна предельному напряжения сдвига; в) граничными условиями являются: на стенках
канала (емкости) — условие прилипания; на границах раздела областей покоя и сдвигового течений — условия непрерывности скорости и напряжения; на границах раздела областей сдвигового и пластического течений — условия непрерывности скорости и напряжения; г) для изучения течений бингамовских сред как в области сдвигового, так и в области пластического течений применяются единые уравнения, полученные авторами путем преобразования уравнений Генки.
В такой новой постановке авторами было дано полное решение задач о течении среды между плоскими горизонтальными поверхностями при постоянном перепаде давления, о течении среды в кольцевом зазоре между соосными вращающимися цилиндрами и о течении среды между сближающимися, плоскими, горизонтальными поверхностями [16]. В последней задаче, как частный случай, было получено решение для чисто пластического течения, результаты которого совпали с основными результатами, полученными Л. Прандтлем [67].
В работе [18] 2000 г. авторами, на примере общей постановки плоской задачи, была показана невозможность существования, в общем случае, движущихся областей течения, в которых скорости точек были бы распределены так же, как и в твердом теле. В этой же работе, в новой постановке, было дано решение плоской задачи о течении бингамовской среды в слое между поверхностями, деформируемыми по произвольным законам. Как частный случай, было получено решение для чисто пластического течения.
В работах [19, 20] 1997-2000 гг. авторами были получены общие уравнения движения сред, для которых зависимость между компонентами напряжения и компонентами скоростей деформации выражалась произведением некоторой функции, зависящей от интенсивности скоростей деформации, на соответствующую компоненту скорости деформации. При записи данной системы уравнений была взята за основу форма записи уравнений движения пластических сред М. Леви [54]. Предлагаемая система уравнений состоит из динамических уравнений движения сплошной среды; уравнения неразрывности для несжимаемой среды; основного реологического уравнения данной среды, записанного через компоненты напряжения и проекции скорости; четырех независимых уравнений, вытекающих из условия пропорциональности касательных напряжений соответствующим скоростям деформации сдвига и разности нормальных напряжений соответствующей разности объемных скоростей деформации.
В работе [89] 2001 г. с помощью полученной системы уравнений для бингамовских сред, авторами было дано решение нестационарной задачи, в нулевом приближении, о течении среды между горизонтальными, плоскими поверхностями при перепаде давления, изменяющемся с течением времени по произвольному закону.
Приведенный краткий обзор работ, посвященных проблеме исследования течений бингамовских сред, не претендует на полноту и не охватывает все работы, в которых обсуждались подобные вопросы. Здесь приведены, в основном, работы, связанные с основной идеей авторов по систематическому изложению проблемы и основных этапов в ее решении, а также перечню тех работ, в которых отражены эти этапы.
Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЙСПЛОШНЫХ СРЕД
В главе 1 приводятся необходимые сведения из механики сплошных сред [48, 52, 56, 74], основные понятия и определения.
. Переменные Лагранжа и Эйлера
В механике сплошных сред нашли применение две эквивалентные друг другу точки зрения (два метода) на исследование движения таких сред: точка зрения Лагранжа и точка зрения Эйлера.
Когда исследование концентрируется на конкретной частице сплошной среды и интересуются историей движения этой среды, то этот подход составляет сущность точки зрения Лагранжа.
Когда исследование концентрируется на данной точке пространства, в которую приходят разные частицы движущейся сплошной среды, то этот подход составляет сущность точки зрения Эйлера.
Точка зрения Лагранжа (метод Лагранжа). Так как объектом исследования в данном случае является движение отдельных частиц среды, то их движение задается также, например, как и для каждой конкретной точки движущейся среды, т. е. радиусом- вектором этой точки r(i)
г = r(i) или в координатной форме
X = x(t\ у = y(t\ X = z(t)
Изучение движения частиц среды состоит:
в исследовании изменений, которые претерпевают различные векторные и скалярные величины, например, скорость, плотность, температура и другие, характеризующие движение некоторой фиксированной частицы сплошной среды, в зависимости от времени;
в исследовании изменений тех же величин при переходе от одной фиксированной частицы к другой частице этой же среды.
Таким образом, упомянутые выше, векторные и скалярные величины, характеризующие движение частиц среды, рассматриваются как функции от времени и тех чисел, которыми отмечается индивидуальность каждой взятой частицы. За такие числа принимаются начальные декартовы координаты частицы среды (xo,i/o^o) или любые три величины (а, Ь, с), связанные с (ядъУо^о) взаимно однозначным соответствием (например, начальные криволинейные координаты частицы).
Например, если числа (а, Ь, с) являются начальными декартовыми координатами частицы исследуемой среды, то уравнение движения этой частицы примет следующий вид:
г = г(г0,Д
или в координатной форме
х = х(а, Ь,сД\ У = у(<Г Ъ, с, i), г = г(а, Ь, с, t).
С точки зрения Лагранжа переменные (£, а, Ь, с) являются аргументами, определяющими значения различных векторных и скалярных функций, характеризующих движение среды. Эти переменные носят название переменных Лагранжа.
С помощью известных уравнений движения частицы определяются ее скорость v и ускорение w
v = dr/dt, w = d2r/dt2, или
vx = dx^a, b, c, t)/9t, vy = dy^a, b, c, t)/dt, vz = dz^a, b, c, t)/dt,wx = Э2х(а, b, c, t^/dt2, wy = d2y(a, b, t^/dt2,
wz = Э2г(а, b, c, t)/9t2.
Точка зрения Эйлера (метод Эйлера). Так как объектом исследования в данном случае является некоторая точка пространства, в которую приходят разные частицы движущейся сплошной среды, то изучается:
изменение во времени различных характеристик движения среды в данной фиксированной точке пространства;
изменение этих характеристик при переходе от данной фиксированной точки пространства к другим точкам этого же пространства.
С точки зрения Эйлера, различные векторные и скалярные характеристики движения рассматриваются как функции координат (x^z) точки и времени t. Четыре аргумента (х^гД) называются переменными Эйлера.
При определении скорости частицы среды в каждой точке пространства, с точки зрения Эйлера (в переменных Эйлера), следует иметь в виду, что имеет смысл рассматривать только очень малые (в пределе бесконечно малые) смещения Ar(r,t) частиц среды из данного положения. В методе Лагранжа смещения частиц среды (г — rg) из данного положения рассматриваются как конечные. Поэтому в переменных Эйлера вектор скорости определяется следующим соотношением:
Ar(r,t) / .
v= hm —;—- = vr,t,At^O At v
или
Vx = vx(x,y,z,t\ Vy = Vy(x,y,z,t), Vz = Vz(x,y,Z,tY
В механике сплошной среды наибольшее распространение получил метод Эйлера, применение которого для составления уравнений движения сред и анализа полученных решений позволило эффективно использовать хорошо разработанные методы векторного анализа и теорию векторных и скалярных полей.
Гипотеза сплошности. Силы и напряжения
Объектом рассмотрения в механике сплошной среды являются тела, состоящие из большого числа отдельных частиц, которые заполняют определенный объем. Согласно вводимой гипотезе сплошности подобное тело рассматривается как среда, заполняющая эту часть пространства сплошным образом (непрерывный континуум или сплошная среда). К таким средам относятся, например, газы, жидкости, деформируемые упруго или пластически твердые тела.
Классификация сил, действующих на выделенный объем среды. Напряжения. Силы, действующие на выделенный элемент сплошной среды принято делить на объемные и поверхностные.
Объемными или массовыми называют силы, которые действуют на каждый элемент объема или массы среды, т. е. действуют на каждую частицу выделенного объема. Массовыми силами являются, например, веса отдельных ее частиц.
Поверхностными называют такие силы, которые действуют на поверхность AS выделенного объема АУ среды и пропорциональны величине этой поверхности. Эти силы направлены по нормалям к поверхности.
На рис. 1.1 приведен пример некоторого произвольного объе
ма, например, в форме тетраэдра, выделенного в сплошной среде.ма, например, в форме тетраэдра, выделенного в сплошной среде.Рис. 1.1Рис. 1.1ментарного объема среды; AS? щадки с внешней нормалью п;ментарного объема среды; AS? щадки с внешней нормалью п;Ребра тетраэдра ОД, ОС и ОБ совпадают с осями прямоугольной системы координат Oxyz, а начало координат помещено в произвольную точку О среды.Для рассматриваемого случая: jFpdV — главный век- vтор массовых сил; j rn AS — sглавный вектор поверхностных сил; AS — поверхность выделенного объема среды; AS — поверхность выделенного эле- г — поверхность наклонной пло- АУ — выделенный малый объемРебра тетраэдра ОД, ОС и ОБ совпадают с осями прямоугольной системы координат Oxyz, а начало координат помещено в произвольную точку О среды.Для рассматриваемого случая: jFpdV — главный век- vтор массовых сил; j rn AS — sглавный вектор поверхностных сил; AS — поверхность выделенного объема среды; AS — поверхность выделенного эле- г — поверхность наклонной пло- АУ — выделенный малый объемсреды; AV — элементарный объем; F — массовая сила, отнесенсреды; AV — элементарный объем; F — массовая сила, отнесен
ма, например, в форме тетраэдра, выделенного в сплошной среде.
ма, например, в форме тетраэдра, выделенного в сплошной среде.
Рис. 1.1
Рис. 1.1
ментарного объема среды; AS? щадки с внешней нормалью п;
ментарного объема среды; AS? щадки с внешней нормалью п;
Ребра тетраэдра ОД, ОС и ОБ совпадают с осями прямоугольной системы координат Oxyz, а начало координат помещено в произвольную точку О среды.
Для рассматриваемого случая: jFpdV — главный век- v
тор массовых сил; j rn AS — s
главный вектор поверхностных сил; AS — поверхность выделенного объема среды; AS — поверхность выделенного эле- г — поверхность наклонной пло- АУ — выделенный малый объем
Ребра тетраэдра ОД, ОС и ОБ совпадают с осями прямоугольной системы координат Oxyz, а начало координат помещено в произвольную точку О среды.
Для рассматриваемого случая: jFpdV — главный век- v
тор массовых сил; j rn AS — s
главный вектор поверхностных сил; AS — поверхность выделенного объема среды; AS — поверхность выделенного эле- г — поверхность наклонной пло- АУ — выделенный малый объем
среды; AV — элементарный объем; F — массовая сила, отнесен
среды; AV — элементарный объем; F — массовая сила, отнесен
ная к единице массы среды; р — плотность среды; тп — вектор напряжения или поверхностная сила, отнесенная к единице поверхности элементарной площадки AS с внешней нормалью п; ng — единичный вектор внешней по отношению к выделенному объему среды нормали на наклонной грани АВС тетраэдра с направляющими косинусами cosq, cos^, cosy.
Площадь наклонной грани АВС тетраэдра AS с вектором внешней по отношению к выделенному объему среды нормали По считается положительной. Площади граней АОС, ВОС и АОВ, нормали к которым j, i, к направлены внутрь выделенного объема среды, считаются отрицательными. С учетом этого справедливы следующие соотношения:
(1/2)АуАг = —AS cos а,
(1/2)ДгДж = -AScosA(1.2.1)
(1/2)Ах Ai/ = —AS cos у.
Если обозначить через тж, т^, тг поверхностные силы, действующие на грани с нормалями i, j, к, то, применяя принцип Даламбера, можно записать условия равновесия тетраэдра (см. рис. 1.1), т. е. равенство нулю главного вектора и главного момента всех приложенных к выделенному малому объему АУ среды сил. Из условия равенства нулю главного вектора всех прило-
женных к выделенному объему среды сил следует равенство
тпА8 + тж(1/2)АуАг + т^(1/2)АгДх + тг(1/2)АжАу +
+ FpAV - pAVv = 0. (1.2.2)
Здесь — pAVv — это сила инерции, действующая на выделенный объем среды; v = dv/dt — ускорение центра масс этого объема. С учетом соотношений (1) выражение (2) приводится к следующему виду:
тп AS — тж AS cos а — Ту AS cos 3 — tzAS cos 7 +
+ FpAV - pAVv = 0. (1.2.3)
Деля обе части выражения (3) на AS и переходя далее к пределу при Ах 0, Ар 0, Az 0 (тетраэдр сжимается в точку О), получаем выражение для вектора напряжения в данной точке О среды тп(тпх, тпу, rnz)
Тп — тх cos а — Ту cos /3 — tz cos 7 = 0, или
ти = тх cos а + Ту cos 3 + tz cos 7,(1.2.4)
где
тпх = тхх cos а + ТуХ cos (3 + tzx cos 7,
ТПу = ТХу COS СУ + Туу COS^ + TZy COS 7,(1.2.5)
ttiz = Txz cos a + TyZ cos (3 + tzz cos 7.
Равенства (4), (5) впервые были получены Коши. Они выражают напряжение, приложенное к любой элементарной площадке в сплошной среде, через напряжения, приложенные к трем взаимно перпендикулярным площадкам в той же точке среды. Таким образом, если задана ориентация элементарной площадки сплошной среды (направляющие косинусы нормали к ней) и известна таблица из девяти величин, которую называют тензором напряжений Тт, то можно из (5) определить вектор напряжения тп в точке.
Тензор напряжений
(
Тхх Тух Tzx \
Тху Туу TZy I , ТХу = ТуХ, Txz = TZXl TZy = TyZ, Txz TyZ Tzz)
является симметричной матрицей. Это следует из второго условия равновесия тетраэдра — равенства нулю главного момента приложенных к нему сил.
Таким образом, тензор ТТ характеризует напряженное состояние сплошной среды в данной конкретной точке, и его можно рассматривать в этом смысле как единую физическую величину. Тензор напряжений является однозначной функцией точки среды и, следовательно, образует поле.
Элементы тензора напряжения Тт с одинаковыми индексами (тжж,т^,т^) называют нормальными напряжениями, а с
Рис. 1.2Рис. 1.2
Рис. 1.2
Рис. 1.2
разными индексами (тху, тух, тХ2, т2Х, т2у, ту^ — касательными напряжениями (рис. 1.2).
Равенства (5) можно записать в силу симметричности тензора напряжений в следующем виде:
тп = пТт = Ттп.(1.2.6)
Выражение (6) не зависит от выбора направлений осей координат.
Уравнения движения сплошной среды
Для получения в векторной форме уравнения движения некоторого произвольного объема V сплошной среды, ограниченной поверхностью S, применяется теорема об изменении количества движения механической системы
(1.3.1)(1.3.1)dQ/dt = Re.
(1.3.1)
(1.3.1)
Здесь Q — вектор количества движения системы; Re — главный вектор внешних сил, приложенных к системе. В рассматриваемом случае количество движения Q точек сплошной среды, заключенной в объеме V, и главный вектор внешних сил Re, приложенных к этому же объему, равны соответственно
(1.3.2)(1.3.3)(1.3.2)(1.3.3)Q = | р vdV,v
(1.3.2)
(1.3.3)
(1.3.2)
(1.3.3)
Re = | EpdV + ^TndS.
Vs
Подставляя эти значения (2) и (3) в (1), получим следующее
выражение:выражение:P^dV р dtP^dV р dtFpdV+ TndS.FpdV+ TndS.(1.3.4)(1.3.4)
выражение:
выражение:
P^dV р dt
P^dV р dt
FpdV+ TndS.
FpdV+ TndS.
(1.3.4)
(1.3.4)
С помощью теоремы Гаусса-Остроградского второе слагаемое в выражении (4) преобразуем, т. е. интеграл по поверхности представим интегралом по объему (5), и подставим его в (4):
тn dS —s sтn dS —s sпу cos 3 + тП, cos 7) dS =пу cos 3 + тП, cos 7) dS =P^dV = FpdV +VVP^dV = FpdV +VVv' /Эт.v' /Эт.Эт nyЭуЭт nyЭуU I nydyU I nydydr^dzdr^dzдтп dzдтп dz(1.3.5)(1.3.6)(1.3.5)(1.3.6)
тn dS —
s s
тn dS —
s s
пу cos 3 + тП, cos 7) dS =
пу cos 3 + тП, cos 7) dS =
P^dV = FpdV +
VV
P^dV = FpdV +
VV
v
' /Эт.
v
' /Эт.
Эт nyЭу
Эт nyЭу
U I ny
dy
U I ny
dy
dr^dz
dr^dz
дтп dz
дтп dz
(1.3.5)
(1.3.6)
(1.3.5)
(1.3.6)
Так как объем V был выбран произвольным, то из последнего выражения (6) получаем уравнение dвuжeнuя сплошной cpedu в напряжениях в векторной форме
Р dt Р Эх Эу ЭхР dt Р Эх Эу Эх(1.3.7)(1.3.7)
Р dt Р Эх Эу Эх
Р dt Р Эх Эу Эх
(1.3.7)
(1.3.7)
Следуя Эйлеру, производную от вектора скорости по времени можно записать в виде следующего равенства:
dvdvdvdv dvdv ,.
-XT = "xr + Vx + vy + vz = — + Vv v, (1.3.8) dtdtdxdya dzdt
V7 _ э Э d
где V — ——Ь ——Ь —.
dx dy dz
После подстановки (8) в (7) уравнение движения сплошной среды в векторной форме примет вид
(1.3.9)(1.3.9)9v№ х9тхдту9tz
(1.3.9)
(1.3.9)
р—А- р Vv v = ^F + Щ Щ
atoxopoz
В проекциях на оси координат векторное уравнение (9) запишется в виде системы трех уравнений
9нх , 9нх , 9нх , 9нх, 1 / дтхх , ЭтуХ , 9тгх\
ot ox op y ozp \ ox op oz /
Ду , Дж, + Дж,- F J- 1 (^ J- Дж JL Дж
otохор У OZр \ oxopOZ
9vz 9xz 9vz 9xz1 ( 9txz 9t^z 9tzz\
1^ + ^^ + ^^ + -^^ = ^ + -—^ + —+ ot ox op y ozp \ ox op oz /
(1.3.10)
где проекции векторов напряжений из уравнения (9) на оси координат соответственно равны
Тж — Ткх^ 4" Тху) + ту^к,у = Тух^- 4" Туу) 4" т^к,Тг = tzx\ + Tzy) + Т^к.
Уравнения движения сплошной среды (10), записанные в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат содержат десять неизвестных {vx, Vy, ^z^xx^ ^уу, tZZi тЖу, txz^ Tyz^ р^ и не являются, таким образом, замкнутой системой уравнений для определения всех неизвестных. Для замыкания этой системы уравнений к ним добавляются уравнения, отражающие физическую сущность рассматриваемых задач. К таким уравнениям относятся уравнения «неразрывности» или «сплошности» среды и уравнения модели исследуемой среды (реологическая модель среды).
В дальнейшем будут рассматриваться так называемые бингамовские среды, в которых напряжения зависят только от скоростей деформации.
§1.4. Скорости деформации
Выделим в среде точку А(х, р, z) вместе с окружающим ее малым объемом ДУ. Полагаем, что скорость в этой точке известна: v(x, р, z) = уд (ж, р, z\ Вычислим скорость v(xi, р\, Z^) = = ум в некоторой точке М^х\, рх, м), произвольно выбранной в
Рис. 1.3Рис. 1.3Ar-окрестности точки А. Координаты точек связаны зависимостями (рис. 1.3)
Рис. 1.3
Рис. 1.3
жить в ряд Тейлора в окрестности Аг точки А в следующемжить в ряд Тейлора в окрестности Аг точки А в следующемх\ = х + Ах, у\ = у + /Ху,z\ = z + ^Z,Ar = ^/Ах2 + А?/2 + Аг2 .Полагаем, что компонентыскорости являются гладкимифункциями, и их можно разло-
жить в ряд Тейлора в окрестности Аг точки А в следующем
жить в ряд Тейлора в окрестности Аг точки А в следующем
виде:
v(«i,yi,^i) = у(ж,у,г) + |^Дж + ^Ду + ^Дг + ...; (1.4.1) Эх оу OZ
здесь у(ж1,уЬ21) = vM, v(x,y,z) = vA(x,y,z).
Спроектируем (1) на оси координат, сохраняя слагаемые только первого порядка малости относительно Ах, /Ху, /Xz
Хх(хх,ух,2р =xx^x,y,z^ 4- Дж+ -^ Ду + -^Дг, Эх оу Эz
ЩжьУь^) = Щж,у,г) + ^ Дж + ^ Ду + ^ Дз, (1.4.2)
ЩжьУь^) = жг(ж,у,г) + ^ Ах + ^ Ду 4- ^ Az;
ЭхоуOZ
здесь
Xx(x,y,z') = ХАх, х^х,у,^ = ХАу, vz(x,y,z) = VAz,Хх^Х\,у\,%\^ = ХМх, Ху(<Х\,у\,^ =ХМу, Vz{xx,yi,Zl) =vMz-
Систему (2) можно преобразовать следующим образом:
хж(хх,ух,2х) = Xx(x,y,z) + — Дж + -—^ + — Ду + Эх 2 \ ох оу у
1 /дщМ \ л , 1 /9хж1 /Эпу9хж\
2 \ oxoz )2 \ ozox J 2 \ oxoy /
^Ц1, У1, ^1) = ^(ж, У, г) + ^Ах + ^Ду +
2 \ Эу 9z )2 \ Эх Эу )2 \ ду 9z )
9uy_ Мdz Эр9uy_ Мdz Эр12 к с, du12 к с, duf ^к Эрf ^к Эр1 fdxx2 k^i1 fdxx2 k^i9хг9хг(1.4.3)(1.4.3)^жж^жж9ххЭх '9ххЭх 'Еху — &Еху — &_ дну^ ~ др' £'1 / дну с уж = 2 № Л_ дну^ ~ др' £'1 / дну с уж = 2 № Лdz 'dz '
9uy_ Мdz Эр
9uy_ Мdz Эр
1
2 к с
, du
1
2 к с
, du
f ^
к Эр
f ^
к Эр
1 fdxx
2 k^i
1 fdxx
2 k^i
9хг
9хг
(1.4.3)
(1.4.3)
^жж
^жж
9хх
Эх '
9хх
Эх '
Еху — &
Еху — &
_ дну
^ ~ др' £'
1 / дну с уж = 2 № Л
_ дну
^ ~ др' £'
1 / дну с уж = 2 № Л
dz '
dz '
Если ввести следующие обозначения:
_ _ 1— ^^ — 21- 2_ _ 1— ^^ — 21- 2
_ _ 1
— ^^ — 2
1
- 2
_ _ 1
— ^^ — 2
1
- 2
dz др J2 к Эх
dxz 9vy\ _ 1 / dvx dxzЭр dz /^2 к 9z Эх
/ ди уdvx \
к Эхдр /
то систему (3) можно записать в более простом и физически обозримом виде
^Мх — ^Ах 4" ^жж^^ 4" ЕХуАр 4" ЕЖ^А2 4" UJyAz OJzAp,
У Му = ^Ау 4- еухАх + Еуу Ар + Eyz Az + wzAx - udxAz, (1.4.4) ^Мг = ^Az 4- ezxAx + EzyAp + EzzAz + шхАр - uyAx.
Из теоретической механики известно, что движение твердого тела можно представить совокупностью двух движений: поступательного вместе с полюсом (произвольно выбранная точка) и вращательного (поворот) вокруг оси, проходящей через этот полюс. Описание движения сплошной среды, которая является деформируемым телом, более сложно. Подобно тому, как это принято для твердого тела, в системе (4) выделяются поступательное и вращательное движения, а оставшаяся часть представляет собой движение, обусловленное деформацией среды
vm = vA + vx + v2.
Здесь Ул — скорость поступательного движения выделенного малого объема AV среды как твердого тела вместе с полюсом (точка Л); V1 = увр = о; х Аг — скорость вращения точки М объема AV среды как твердого тела вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс Л, с угловой скоростью о;; v2 = удеф —
скорость деформации объема АУ среды со следующими проекциями на оси координат согласно (4):
^2ж = ^жж^^ 4" ЕХу^У 4" ЕЖ^А^,
^2г/ = £уж^ 4" буу^У 4" EyZ^.Z1(1.4.5)
^2^ = ^жАх + EZy^y + Е^Аг.
Матрицу коэффициентов в выражении (5) называют тензором скорости деформации Т£. Тензор Т£ является симметричным. Он полностью определяет деформационную скорость в рассматриваемой точке среды
(
^жж ЕХу EXz \ Еух Еуу EyZ I . Ezx EZy Ezz)
Уравнение неразрывности
Как уже ранее отмечалось, для замыкания системы уравнений (3.10) к ним добавляются уравнения, отражающие физи
ческую сущность рассматриваемых задач и, в частности, уравнение «неразрывности» или «сплошности» среды.
Для нахождения уравнения неразрывности сплошной среды рассматривается некоторый выделенный в ней объем У, ограниченный поверхностью S (рис. 1.4). Полагаем, что это тот же самый объем, который представлен на рис. 1.3, и с той
же самой системой координат. Масса среды ms, протекающей в единицу времени через поверхность S выделенного объема в
направлении внешней нормали п, определяется выражением
msmspvn dS.pvn dS.
ms
ms
pvn dS.
pvn dS.
Масса среды my, которая убывает из объема V в единицу времени, равна соответственно
9tav.
V
Из условия неразрывности потока среды следует, что количество убывающей из объема V среды должно быть равно количеству
среды, вытекающей через его поверхность S:
Если первое слагаемое представить по теореме Гаусса-Остро- градского в виде
pvndS =SVpvndS =SV[д(риС[д(риСЭ(руу)дуЭ(руу)дуdz Jdz J
pvndS =
SV
pvndS =
SV
[д(риС
[д(риС
Э(руу)ду
Э(руу)ду
dz J
dz J
то сумму можно преобразовать к виду
' № + а(№) ++= Oi
L ot ох оу oz J V
ИЛИдр ! d(pva) ! д(^) ! д(руг) _ Q(15 1)
dt дх ду dz '* *
Уравнение (1) называется уравнением неразрывности сплошной среды.
Если р = const, то уравнение (1) превращается в уравнение (2)
которое называют условием (или уравнением) несжимаемости.
Рассеяние механической энергии
При движении консервативной механической системы работа сил, приложенных к ней, идет целиком на изменение кинетической энергии этой системы. При движении сплошной среды, обладающей вязкими свойствами, часть работы приложенных к ней сил из-за наличия в ней внутреннего трения идет на нагревание. Этот процесс называется процессом рассеяния или диссипации механической энергии.
Выделим в среде произвольный объем V (см. рис. 1.3). Кинетическая энергия этого объема
ЕрЕрEav.Eav.(1.6.1)(1.6.1)
Ер
Ер
Eav.
Eav.
(1.6.1)
(1.6.1)
Для выделенного объема среды теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме имеет вид
Me^dV = Nm + Ns_Nd, (1.6.2)
V
где Nm — мощность массовых сил, Ng — мощность поверхностных сил, Na — мощность диссипативных сил, v — скорости точек выделенного объема.
Мощность массовых сил Nm, приложенных к объему V, есть
Nm = ^pEvdV,vNm = ^pEvdV,v(1.6.3)(1.6.3)
Nm = ^pEvdV,v
Nm = ^pEvdV,v
(1.6.3)
(1.6.3)
где F — плотность массовых сил. Мощность поверхностных сил Ng, действующих на объем V, есть
№ = |pnvd5,(1.6.4)
s
где рп — вектор полного напряжения на поверхности элементарной площадки с внешней нормалью п. Согласно равенствам (3) и (4) соотношение (2) запишется в следующем виде:
dtVdtV(1.6.5)(1.6.5)^-dV = pFvdV+ PnvdS-Nd.
dt
V
dt
V
(1.6.5)
(1.6.5)
Vs
Продифференцировав по времени подынтегральную функцию в левой части равенства и применив в правой части равенства к интегралу по поверхности преобразование Гаусса-Остроградско- го, можно с учетом разложения вектора напряжения рп преобразовать равенство (5) к виду
pvwdVvpvwdVvPFvdV + [v(^ + ^ + ^pV +
pvwdV
v
pvwdV
v
J \ ox oy oz )vv
/\
+ (Px^L-\-p™+pz^W-Nd, (1.6.6)
V ox y oy oz)
V
где w = dv/dt — ускорения точек выделенного объема.
Далее воспользуемся векторной формой записи динамического уравнения движения сплошной среды (3.7), умножив скалярно его левую и правую части на вектор скорости v:
(1.6.7)(1.6.7)pv — = pF v + v
(1.6.7)
(1.6.7)
Сравнивая равенства (6) и (7), найдем мощность Ny диссипативных сил в выделенном объеме V сплошной среды:
Nd =vNd =v/ dv dv dvVх Эх ^ dp P^ dz/ dv dv dvVх Эх ^ dp P^ dz(1.6.8)(1.6.8)
Nd =
v
Nd =
v
/ dv dv dv
Vх Эх ^ dp P^ dz
/ dv dv dv
Vх Эх ^ dp P^ dz
(1.6.8)
(1.6.8)
Физический смысл мощности диссипативных сил Ny состоит в том, что она равна количеству механической энергии в объеме среды, которая переходит в тепло (рассеивается) за единицу времени.
Подынтегральная функция в выражении (8) равна количеству рассеянной механической энергии в единице объема за единицу времени и называется функцией рассеяния Ер:
(1.6.9)(1.6.9)dv , dv , dv
(1.6.9)
(1.6.9)
Ed = Px тг + py ^ + p2 ^-.
dx y dy dz
§1.7. Уравнение теплопереноса
Уравнение теплопереноса характеризует распространение в движущейся среде тепла как за счет теплопроводности, так и за счет конвекции частиц среды. Для вывода этого уравнения используются следующие физические допущения.
Первое допущение. Количество тепла q, необходимого для нагревания тела массы т от температуры Ti до Т2 (на АТ), определяется равенством
q = cmAT, (1-7.1) где с — коэффициент теплоемкости тела, который для жидкостей и газов может определяться при постоянном давлении ср или при постоянном объеме cv; АТ = Т2 — Ti — разность температур.
Второе допущение. Количество тепла Ад, проходящего через элементарную площадку AS с нормалью п за время At при градиенте температуры VT, определяется по закону Фурье
Ag = — Ат n VTAS At,Ag = — Ат n VTAS At,(1.7.2)(1.7.2)
Ag = — Ат n VTAS At,
Ag = — Ат n VTAS At,
(1.7.2)
(1.7.2)
где Ат — коэффициент теплопроводности. Знак минус показывает, что поток тепла всегда направлен противоположно градиенту температуры.
Выделим в среде произвольный объем V (см. рис. 1.3) и составим для него уравнение теплового баланса:
где (—AQs*) — количество тепла, которое поступает в данный объем V через его поверхность S за промежуток времени At; AQd — количество тепла, которое возникает в этом же объеме из-за рассеяния механической энергии за тот же самый промежуток времени; AQ — количество тепла, которое идет на нагревание среды в этом объеме на АТ. Знак минус перед величиной AQs взят по той причине, что поток этого тепла направлен против внешней нормали п к элементарной площадке AS на поверхности S данного объема.
Вычислим величины, входящие в уравнение теплового баланса (3). Количество тепла AQ, идущее на нагревание среды в объеме V на АТ, согласно выражению (1) равно
AQ = | ср р AT dV.(1.7.4)
v
Количество тепла (—AQ,s)> которое поступает в данный объем V через его поверхность S за промежуток времени At, согласно закону Фурье (2) равно
- AQS = | Ат п0 VT At dS.(1.7.5)
s
Интеграл по поверхности в выражении (5) заменяем по формуле Гаусса-Остроградского на интеграл по объему
-AQS = | V(AT VT) At dV.(1.7.6)
v
Количество тепла AQ^ (энергия диссипации), которое возникает в объеме среды У из-за рассеяния механической энергии за время At, согласно равенствам (6.8) и (6.9) равно
AQd = j EdAtdV.(1.7.7)
v
Подставив полученные выражения (4), (6), (7) в уравнение теплового баланса (3), получим выражение
Ср р АТ = V(Ат VT) At + Ed At,
в котором после деления обеих его частей на At перейдем к пределу при At 0:
Если коэффициент теплопроводности Ат считается постоянным, то, разделив в этом случае левую и правую части равенства (8) на величину срр, получим
^ = aV2T+—,(1.7.9)
atсрр
где а = Ат/(ср/)) — коэффициентом температуропроводности.
Так как распространение тепла в движущейся среде происходит как за счет теплопроводности, так и за счет конвекции частиц среды, то в общем случае температура в различных точках среды является функцией координат и времени, т. е. Т = = T(t, ж, у, г). С учетом этого замечания выражение (9) представляется в следующем виде:
ат , ат , атат/а2т , а2т , а2т\ , Ed
9t Эх 9 Эу9zV Эх2 Эу2 9z2 / срр
(1.7.10)
Уравнение (10) называется уравнением теплопереноса. Если уравнение теплопереноса (10) применять для исследования распространения тепла в неподвижных средах (сж = vy = vz = 0), то оно примет вид обычного уравнение теплопроводности:
ат _ /а2т а2т а2т\ Ed9t\ Эх2 9у2 9z2 / срр
Уравнение массопереноса. Подобно тому как было получено уравнение теплопереноса (10) может быть получено и уравнение массопереноса, т. е. уравнение переноса растворенного вещества и в движущихся средах. Для этого вместо закона Фурье для теплопереноса используется закон Нернста для массопереноса. Согласно закону Нернста масса вещества Ams, которая поступает через малую площадку AS за малый промежуток времени At, равна
Ams = —fc^ng VnASAt,(1.7.12)
где kd — коэффициент диффузии. Изменение количества вещества Amw в малом объеме среды АУ при изменении концентрации в этом объеме на Ап равно
Am, = Ап АУ.(1.7.13)
При выводе уравнения массопереноса соотношения (12) и (13) распространяются на произвольный объем У среды и далее составляется уравнение массового баланса для данного выделенного объема. При этом не учитывается возможное про-
текание растворенного вещества через поверхность объема V, а так же наличие внутри области течения источников (стоков) вещества.
Уравнение массопереноса имеет следующий вид:
При использовании уравнений тепломассопереноса совместно с уравнениями течения сплошных сред необходимо к начальным и граничным условиям, налагаемым на скорости точек среды, добавить соответствующие граничные и начальные условия, налагаемые на температуру точек среды и концентрацию вещества в точках среды.
Глава 2
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ РЕОЛОГИИ
. Реология как научная дисциплина.Аксиомы реологии
Реология, как научная дисциплина возникла в 20-30 годы XX столетия. Она сформировалась во многом трудами и энтузиазмом Е. Бингама (Е. Bingham) [82,83], Г. Скотт-Блэра (G. Scott-Blair) [102-104], В. Гершеля (W. Herschel) [94], Е. Хат- чека (Е. Hatschek) [92], Е. Кремера (Е. Kraemer) [95], М. Рейнера (М. Reiner) [69-71,97-99] и занимает, по словам М. Рейнера
Твердое телоТвердое телоТвердое Деформируемое(евклидово тело)Твердое Деформируемое(евклидово тело)ЖидкостьЖидкостьВязкаяВязкаяИдеальная (паскалева жидкость)Идеальная (паскалева жидкость)
Твердое тело
Твердое тело
Твердое Деформируемое
(евклидово тело)
Твердое Деформируемое
(евклидово тело)
Жидкость
Жидкость
Вязкая
Вязкая
Идеальная (паскалева жидкость)
Идеальная (паскалева жидкость)
Идеальноеупругое(гуково тело)Идеальноеупругое(гуково тело)Неидеальноеупругое телоНеидеальноеупругое телоНеньютоновская Классическаяжидкость (ньютоновскаяжидкость)
Идеальноеупругое(гуково тело)
Идеальноеупругое(гуково тело)
Неидеальноеупругое тело
Неидеальноеупругое тело
Область реологии
Рис. 2.1
(1932), область «между идеально упругими телами и идеальными и вязкими жидкостями» (рис. 2.1) [97].
Е. Бингам, один из основателей реологии как научной дисциплины, определил реологию как исследование деформации и течения веществ. Так как течение представляет собой изменение деформации во времени, то М. Рейнер и Г. Скотт-Блер уточнили определение реологии, данное Е. Бингамом, и определил его как исследование деформации материалов, включая и течение. Современные определения реологии подчеркивают связь между напряженным и деформированным состоянием веществ, а также
связь между напряжениями и скоростями деформации для различных веществ.
Реология как учение и как наука занимается физическими свойствами веществ, которые основываются на их деформационном поведении и течении. Эти свойства имеют большое значение, как для оценки качества веществ, так и для определения способности веществ к переработке. Само название «реология» (от греческого слова рео — течь) возникло на учредительном собрании Американского общества реологии 29 апреля 1929 г. [100].
М. Рейнером были введены в реологию следующие три аксиомы [70].
Первая аксиома реологии. Под действием всестороннего равномерного давления все материалы ведут себя одинаково — они ведут себя как идеально упругие тела.
Вторая аксиома реологии. Каждый материал обладает всеми реологическими свойствами, хотя и в различной степени.
Третья аксиома реологии. Существует иерархия идеальных тел в соответствии с различным реологическим поведением реальных материалов, причем реологическое уравнение более простого тела (низшего по иерархии) может быть получено из реологического уравнения менее простого тела (высшего по иерархии), если положить какие либо константы последнего равными нулю.
Реологические свойства принадлежат к классу механических свойств, однако с ними не полностью идентичны. Таким образом, механические свойства, которые не связаны с деформацией, не принадлежат, строго говоря, к реологическим. Деформационные свойства проявляются у всех материалов под действием механической нагрузки. Различают упругую, пластическую, вязкую деформации и всестороннее сжатие. При упругой деформации изменение формы тела обратимое, т. е. после снятия нагрузки форма тела полностью восстанавливается. При пластической деформации изменение формы тела необратимое, течение наблюдается по достижении нагрузки некоторого граничного значения. При вязкой деформации изменение формы тела необратимое, течение наблюдается как под действием внешней нагрузки, так и под действием собственных массовых сил при любом их значении, т. е. граница начала течения отсутствует. При всестороннем сжатии под действием изотропного давления объем тела уменьшается, плотность увеличивается, но форма остается неизменной. При снятии давления тело возвращается в первоначальное состояние.
2 А.В. Гноевой, Д.М. Климов, В.М. Чесноков
Если рассматривать не элементарную призму, как это было в гл. 1 (см. рис. 1.1), а, как это принято в реологии, элементарный
кубик с ребрами, совпадающими с теми же осями декартовой
системы координат, то тензор деформации (1.21) для этого кубика можно записать в виде
(^жж ^ху ^xz \ £ух ^уу ^yz I = ^zx ^zy ^zz /
(^жж ^ху/^ ^xz/^X
^ух/^ £уу ^yz/^ I ) (2.1.1)
Т?ж/2^zy/^^zz )
где ежж, Еуу, Ezz — линейные деформации растяжения или сжатия; ^у. 7^, 7^ — угловая деформация
сдвига.
дующего вида:дующего вида:Для случая простого сдвига, представленного на рис. 2.2, угловая деформация представляется тензором деформации сле
дующего вида:
дующего вида:
/О 7жу/2 0\
(2.1.2)(2.1.2)Л = о 00 ;
(2.1.2)
(2.1.2)
\0 О О/
здесь у — градиент сдвига или относительный сдвиг; 7/2 — угол поворота; Ах — сдвиг в направлении оси Ох.
. Реологические свойства. Идеальные тела
Для характеристики различных веществ М. Рейнером было предложено использовать существенные реологические свойства, которые определяют параметры реологических уравнений для этих веществ [71]. Существенные свойства в свою очередь разделяются на фундаментальные и сложные.
К фундаментальным свойствам относят следующие: упругость, вязкость, пластичность. Этими свойствами обладают вещества, названные по именам ученых их предложивших: соответственно тело Гука (гуково тело), ньютоновская жидкость (вязкая жидкость), тело Сен-Венана (сен-венаново тело). Эти три идеальные тела, которые обладают только одним из фундаментальных свойств, являются своего рода эталонами, с которы-
ми сравниваются реальные вещества. Каждое из этих тел имеет свои феноменологическую модель и реологическое уравнение.
Сложные свойства являются совокупностью фундаментальных свойств, присущих реальным веществам (телам) в той или иной степени. Это соответствует второй аксиоме реологии и находит отражение в большом количестве феноменологических моделей и в соответствующих им реологических уравнениях, которые ставятся в соответствие этим телам. Появились целые классы веществ, имеющих одинаковые феноменологические модели и реологические уравнения, поведение которых имеет характерные признаки, присущие только данному классу, и не зависит от природы происхождения этих веществ. В качестве примеров некоторых тел, обладающих сложными свойствами, можно назвать тело Максвелла (Maxwell), тело Кельвина-Фойг- та (Kelvin-Voigt), тело Прандтля (Prandtl), тело Шведова-Бингама (Schwedoff-Bingham) [71, 100].
Идеальные тела. Рассматриваемые далее идеальные тела, их феноменологические (механические) модели и реологические уравнения приводятся для принятого в реологии подхода, когда рассматривается простое механическое воздействие, сообщающее телу одноосный сдвиг и соответствующее этому сдвигу напряженное состояние.
Тело Гука. Тело Гука (гуково тело) обладает только упругостью. На рис. 2.3 приведены механическая модель и реоло
гическая кривая, соответствующая реологическому уравнению.
Реологическое уравнение, или закон Гука, соответствует деформированию тела, которое приведено на рис. 2.2, т. е. чистому
сдвигусдвигут = G • у,т = G • у,(2.2.1)(2.2.1)
сдвигу
сдвигу
т = G • у,
т = G • у,
(2.2.1)
(2.2.1)
где G — модуль упругости второго рода; у — относительный сдвиг; т = тжу. Зависимость, соответствующая выражению (1), приведена на рис. 2.3, б.
Закон Гука может быть представлен и в других переменных
■2'3,е):<7 = Е •(2.2.
ЕЕ(2.2.3)(2.2.3)где а = тжж, е = ежж, Е — модуль упругости первого рода. Модули упругости первого и второго рода связаны следующим соотношением:
Е
Е
(2.2.3)
(2.2.3)
G =
где pi — коэффициент Пуассона.
Ньютоновская жидкость. Ньютоновская жидкость (вязкая жидкость) обладает только вязкостью, поэтому чаще употребляется термин «вязкая жидкость». Представим себе, что верхнее и нижнее, совпадающее с осью Ох, ребра элементарного кубика (см. рис. 2.2) являются соответственно подвижной и неподвижной параллельными пластинками, между которыми расположена
Рис. 2.4Рис. 2.4
Рис. 2.4
Рис. 2.4
о том, что при возникаюо том, что при возникаювязкая жидкость. Можно говорить
о том, что при возникаю
о том, что при возникаю
щем в этом случае ламинарном одномерном сдвиговом течении, которое происходит под действием приложенного касательного напряжения тжу, верхний слой жидкости движется со скоростью с = Аж/t. Угловая деформация и скорость угловой деформации соответственно равны 7 = d^x/dy, ThУ = dy/dt = dAx/dy - dt.
пр Tq На рис. 2.4. приведены механиче-
JU т°ская модель и реологическое уравне-
7 ние для вязкой жидкости
абт = ц-^,(2.2.4)
рис 25где т = тху, ц — коэффициент дина' 'мической вязкости.
Тело Сен-Венана. Тело Сен-Венана (сен-венаново тело) обладает только пластичностью. На рис. 2.5 приведены механическая модель и реологическая кривая, соответствующая реологическому уравнению. Реологическое уравнение соответствует деформи-
рованию тела, которое приведено на рис. 2.2, т. е. соответствует чистому сдвигу
г = то = const,(2.2.5)
где то — предельное напряжение сдвига, соответствующее границе течения. Это означает, что при напряжениях т < т^ течения нет и у = 0, а при напряжениях т ^ то течение существует и 7 сю.
Таким образом, в зависимости от напряженного состояния в точках тела возможны следующие ситуации:
при т < то во всех точках тела тело не деформируется (не течет);
при т > то во всех точках тела тело деформируется (течет);
при наличии точек в теле, для которых выполняются либо соотношение т < то, либо соотношение т ^ то, в теле имеются две области (недеформируемая область и область течения), разделенные границей течения т = tq.
Приведенные идеальные тела (их математические модели — реологические уравнения) образуют классы веществ, обладающих подобными свойствами, и являются объектами исследования соответствующих научных дисциплин: тело Гука — теория упругости; ньютоновская жидкость — гидродинамика; тело Сен- Венана — теория пластичности.
Рассматриваемое в качестве примера в данной работе тело Шведова-Бингама является телом, обладающим несколькими фундаментальными свойствами (вязкостью и пластичностью). Реальные вещества, свойства которых соответствуют телу Шведова-Бингама, образуют класс таких веществ, называемых телами Шведова-Бингама или чаще просто бингамовскими средами. Тела, обладающие вязкостью и пластичностью в различной степени и образующие более широкий класс веществ, называют вязкопластичными или вязкопластическими средами. По аналогии с предыдущим замечанием о разделах научных дисциплин и исследуемых ими телах авторы излагают далее теорию течений таких сред как научную дисциплину, условно названную ими теорией вязкопластичности.
§ 2.3. Определение реологических кривых
Проблема решения системы уравнений течения конкретной исследуемой сплошной среды (1.3.10), как это уже отмечалось в гл. 1, связана с ее неопределенностью и необходимостью нахождения дополнительных уравнений. Такими дополнительны-
ми уравнениями являются реологические уравнения. Реологические уравнения являются своего рода математическими моделями исследуемых сред. Их можно получить путем определения (построения) реологических кривых или кривых течения среды с помощью специальных приборов, реализующих определенные методики измерений фундаментальных свойств веществ (реологических параметров).
Все измерения реологических параметров проводятся в соответствии с принятой моделью среды путем прямых, косвенных, совокупных, динамических или иных принятых по метрологической классификации измерений [72]. При прямых измерениях измеряемая величина или параметр непосредственно сравниваются (сличаются) с мерой (эталоном). Например, это измерение длины отрезка линейкой или взвешивание тела на рычажных весах. При косвенных измерениях измеряемая величина или параметр находятся путем вычислений их значений по формулам, в которые входят величины, полученные путем прямых измерений. Например, определение площади прямоугольника S по формуле S = а • Ь, в которую входят величины его сторон а и Ь, полученные путем их прямых измерений.
Один из реологических параметров, например, динамическая вязкость р для ньютоновских жидкостей, получают также путем косвенных измерений из формулы (2.4):
Г =Г =(2.3.1)
Г =
Г =
где напряжения сдвига т и градиент скорости у в зависимости от методики измерения и реализующего ее прибора представляют собой задаваемые или измеряемые величины. Это служит основанием разделения этих приборов по типу на CS-реометры и CR-реометры [91].
Прежде чем продолжить изложение технической стороны проведения измерений реологических параметров, необходимо привести принятые допущения и гипотезы [48, 52].
Гипотеза об изотропии исследуемой среды. Среда считается изотропной, если ее механические свойства одинаковы во всех направлениях.
Принятие гипотезы об изотропии существенно упрощает математический аппарат расчета напряженного и деформированного состояний.
Гипотеза коаксиальности тензоров напряжений ТТ и скорости деформации Т£. Для изотропных веществ принято, что
направления главных нормальных напряжений и главных скоростей относительных удлиннений для таких веществ совпадают.
В теории пластичности существует подобная гипотеза коаксиальности девиаторов напряжения и скорости деформации, принято считать, что компоненты девиаторов напряжения и скорости деформации пропорциональны.
Гипотеза о единой реологической кривой. Функции, связывающие инвариантные характеристики напряженного и деформируемого состояний и определяемые экспериментально, не зависят от вида деформации (растяжение, сжатие, кручение и др.) и от напряженного состояния и могут быть найдены в простейших экспериментах, а результаты могут быть распространены на общий случай. Например, реологическая кривая Т = Т(Н) связывает в общем случае интенсивность касательных напряжений Т и интенсивность скоростей деформации сдвига Н. Для вязкой жидкости реологическая кривая приведена на рис. 2.4,6, а соответствующая ей функция, называемая реологическим уравнением или реологическим законом — в выражении (2.4).
Для рассматриваемого примера измерения динамической вязкости у ньютоновской жидкости и определения соответствующей ей реологической кривой принято еще одно допущение о ла- минарности одномерного или одноосного потока исследуемой жидкости. Это допущение реализуется методикой измерения и прибором (техническим средством), с помощью которых проводятся измерения.
Для проведения измерений реологических параметров и построения реологических кривых в настоящее время широко используются ротационные реометры, для измерения только вязкости — вискозиметры.
Ротационные реометры имеют одну из измерительных систем типа «соосные цилиндры», «пластина-пластина», «конус- пластина» (рис. 2.6). Имеются две принципиальные возможности, которые реализуются при создании этих приборов. Эти принципиальные возможности связаны, как это уже ранее отмечалось, с методикой измерения вязкости у по зависимости (1), соответствующей (2.4).
СЪ-реометры (английская транскрипция — Controlled Stress Rheometer). В реометрах этого принципа измерений напряжение сдвига т задается, а градиент скорости 7 определяется (рис. 2.6).
CR-реометры (английская транскрипция — Controlled Rate Rheometer). В реометрах этого принципа измерений градиент скорости 7 задается, а напряжение сдвига т определяется (рис. 2.7, 2.8).
Рис. 2.6 CS-реометр системы Сарле (—- задаваемые параметры; ^ измеряемые параметры)Рис. 2.6 CS-реометр системы Сарле (—- задаваемые параметры; ^ измеряемые параметры)Рис. 2.7 CR-реометр системы СарлеРис. 2.7 CR-реометр системы Сарлевв
Рис. 2.6 CS-реометр системы Сарле (—- задаваемые параметры; ^ измеряемые параметры)
Рис. 2.6 CS-реометр системы Сарле (—- задаваемые параметры; ^ измеряемые параметры)
Рис. 2.7 CR-реометр системы Сарле
Рис. 2.7 CR-реометр системы Сарле
в
в
Рис. 2.8 CS-реометр системы Куэтта
В зависимости от типа применяемой на реометрах измерительной системы существуют реометры системы Сарле (Searle) и системы Куэтта (Couette), названные по имени предложивших их авторов. В реометрах, соответствующих системе Сарле, во вращение приводится внутренний цилиндр (ротор) измеритель-
ной системы, а наружный цилиндр неподвижен. В реометрах, соответствующих системе Куэтта, наоборот, во вращение приводится наружный цилиндр. На рис. 2.6-2.8 приведены схемы CS- и CR-реометров систем Сарле и Куэтта.
На рис. 2.6 приведена схема CS-реометра системы Сарле с измерительными элементами в виде двух соосных цилиндров (рис. 2.6, а), двух параллельных соосно расположенных круглых пластин (рис. 2.6,6), соосно расположенных круглой пластины и конуса (рис. 2.6, в). Обычно конструктивно предусмотрена возможность замены в реометре одних измерительных элементов на другие. Наружный цилиндр и нижние пластины измерительных элементов по системе Сарле стационарно закреплены и в процессе измерений остаются неподвижными. Это позволяет упростить систему термостатирования исследуемой среды. Внутренний цилиндр (ротор) приводится в движение от управляемого электромотора М, и с его помощью регулирует-.
ся величина крутящего момен-'
та на валу ротора. Исследуемая среда, находящаяся между наружным цилиндром и ротором, оказывает сопротивление враще-I
нию ротора. В зависимости отi
этого сопротивления, обусловленного вязкостью среды, число
оборотов ротора (градиент скорости) будет различным для одного и того же значения крутящего момента. Число оборотоврис 2.9
ротора п измеряется, например, оптическим датчиком. Таким образом, с помощью присоединенного к реометру компьютера (рис. 2.9) с необходимым программным обеспечением можно построить реологическую кривую, соответствующую выражению (2.4) и определить вязкость исследуемой среды.
На рис. 2.7 приведена схема CR-реометра системы Сарле с измерительными элементами в виде двух соосных цилиндров (рис. 2.7, а), двух параллельных соосно расположенных круглых пластин (рис. 2.7,6), соосно расположенных круглой пластины и конуса (рис. 2.7, в). Схема этого CR-реометра отличается от предыдущего CS-реометра наличием измерительного упругого элемента (измерительная пружина). Эта пружина измеряет кру-
тящий момент, вызванный силой сопротивления вращению ротора в среде. По величине этого момента определяется напряжение сдвига, которое соответствует известному числу оборотов ротора (градиенту скорости). Число оборотов ротора регулируется двигателем. Регулируя число оборотов двигателя (задавая градиент скорости) и измеряя крутящий момент (напряжение сдвига), можно построить реологическую кривую и определить вязкость среды.
На рис. 2.8 приведена схема CR-реометра системы Куэтта с измерительными элементами в виде двух соосных цилиндров (рис. 2.8, а), двух параллельных соосно расположенных круглых пластин (рис. 2.8, б), соосно расположенных круглой пластины и конуса (рис. 2.8, в). В реометре системы Куэтта вращается наружный цилиндр (нижняя пластина) от регулируемого мотора Мц Термостатирование для такой системы создать технически гораздо сложнее. Вращение наружного цилиндра передается через исследуемую среду ротору. К ротору присоединен второй мотор «М2». С помощью второго мотора создают измеряемый компенсирующий крутящий момент на валу ротора, который направлен в сторону, противоположную вращению ротора, создаваемому внешним цилиндром. Величина компенсирующего крутящего момента подбирается таким образом, чтобы остановить вращение ротора. По величине этого компенсирующего крутящего момента определяют (измеряют) напряжение сдвига. Регулируя число оборотов первого двигателя (задавая градиент скорости) и измеряя компенсирующий крутящий момент второго двигателя (напряжение сдвига), можно построить реологическую кривую и определить вязкость среды.
Глава 3
УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЙ БИНГАМОВСКИХ СРЕД
. Бингамовская среда как объект исследования
Как уже отмечалось в гл. 2, тело Шведова-Бингама (Schwed- off-Bingham) является телом, обладающим несколькими фундаментальными свойствами: вязкостью и пластичностью [100]. Реологическое уравнение тела Шведова-Бингама для чистого сдвига имеет вид [71]
T = T0 + p,-^. (3.1.1)
На рис. 3.1, а, б приведены механическая модель и кривая течения, соответствующие существовавшим представлениям о свойствах бингамовской среды [71].
Рис. 3.1Рис. 3.1
Рис. 3.1
Рис. 3.1
Вещества, свойства которых соответствуют телу Шведова- Бингама, образуют класс веществ, называемых телами Шведова-Бингама или чаще просто бингамовскими средами. Среды, обладающие вязкостью и пластичностью в различной степени и образующие более широкий класс веществ, чем бингамовские среды, называют вязкопластичными средами. Реологические свойства бингамовских сред проявляются и, следовательно, экспериментально и инструментально могут быть выявлены только в процессе их механического движения относительно неподвижного измерительного элемента прибора или, наоборот, движения измерительного элемента прибора относительно неподвижной
среды. Сказать что-либо о свойствах покоящейся в некоторой емкости среде невозможно.
Изучением реологических свойств сред, обладающих вязкостью и пластичностью, впервые начали заниматься Т. Шведов [101], Е. Бингам и X. Грин (Н. Green) [83], М. Рейнер [69,70], Г. Скотт-Блэр [103], М. Воларович [105]. Ими экспериментально изучалось поведение таких сред, как, например, масляные краски, глина, суспензии торфа, пищевые массы, для случаев чистой деформации сдвига. Было установлено, что течение таких сред начинается только с того момента, когда касательное напряжение т в точках среды достигает некоторой определенной величины, которая была названа предельным напряжением сдвига т^ или пределом текучести. При дальнейшем увеличении касательного напряжения движение этих сред происходило в соответствии с законом вязкого трения Ньютона.
Необходимо отметить следующий очень важный момент в изучении бингамовских сред. Впервые на возможность получения уравнений, описывающих течение вязких жидкостей с пределом текучести, и каким именно образом эти уравнения могут быть получены указал Б. Сен-Венан (1871 г.) в своей работе [76]. Сами уравнения были получены позднее Г. Генки (1925 г.) в его работе [93], а соотношения между компонентами напряжений и компонентами скоростей деформации, предложенные Б. Сен- Венаном для случая сложного напряженного состояния таких сред [76], явились обобщением экспериментального соотношения (1), установленного Е. Бингамом и Т. Шведовым для чистого сдвига.
Предложенные Б. Сен-Венаном соотношения между компонентами напряжений и компонентами скоростей деформации, позволили записать обобщенное реологическое уравнение, или обобщенную реологическую модель бингамовской среды, в следующем виде [16]:
Т = т0 + 2//Я, (3.1.2)
(3.1.4)(3.1.4)
(3.1.4)
(3.1.4)
где Т — интенсивность касательных напряжений, Н — интенсивность скоростей деформации сдвига. Выражения (3) и (4) ха-
рактеризуют напряженное и деформированное состояние среды в произвольной ее точке. Исходя из полученных выражений и результатов экспериментальных исследований была уточнена и модель самой бингамовской среды (см. рис. 3.1,в) [16,18,19].
В соответствии с обобщенной реологической моделью среды (2), если интенсивность напряжений во всех ее точках меньше предельного напряжения сдвига Т < тд, то среда будет находиться в состоянии покоя (см. рис. 3.1,6, в).
Течение среды начнется, когда интенсивность напряжений Т в некоторых ее точках будет равна или превысит значение предельного напряжения сдвига тд, т. е. будет выполняться условие Т Тд.
Область текущей среды, в точках которой Т > тд, является областью сдвигового течения. В этой области проявляются как вязкие, так и пластические свойства среды (см. рис. 3.1, б, в). Это хорошо известно из экспериментов на ротационных вискозиметрах. С помощью ротационных вискозиметров определяют вязкость pi и предельное напряжение сдвига тд, соответствующие каждой конкретной бингамовской среде.
Область текущей среды, в точках которой Т = тд, является областью пластического течения. В этой области проявляются только пластические свойства среды, а вязкие свойства здесь не проявляются (см. рис. 3.1, в).
Точки среды, лежащие на поверхности разделяющей области сдвигового и пластического течений, образуют внутреннюю границу течения среды. В точках среды на внутренней границе течения интенсивность напряжений равна предельному напряжению сдвига Т = тд. Таким образом, в текущей среде нет областей (точек среды), где бы интенсивность напряжений была меньше предельного напряжения сдвига Т < тд.
На основании вышесказанного можно говорить о следующих физических состояниях (в «динамическом» смысле этого слова), в которых находится исследуемая бингамовская среда в зависимости от ее внутреннего напряженного состояния [16]:
покой при Т < тд во всех точках среды;
сдвиговое течение при Т > тд во всех точках среды;
пластическое течение при Т = тд во всех точках среды;
вязкопластическое течение с образованием двух областей течения (область сдвигового течения в точках среды, где Т > тд, и область пластического течения в точках среды, где Т = тд).
Подобное представление об областях течения, состоянии и свойствах бингамовских сред, которые проявляются по-разному в зависимости от их внутреннего напряженного состоя-
ния, появилось сравнительно недавно и было впервые представлено в работах А.В. Гноевого, Д.М. Климова, В.М. Чеснокова [16, 18-20]. Далее приводится обоснование этого представления.
Начиная с работы Г. Генки (1925 г.), было принято считать, что в текущей среде наряду с областью сдвигового течения существует и область, где интенсивность напряжений Т может быть меньше или равна предельному напряжению сдвига Т < < то [9,15,22,62,69,70,73,93]. Интенсивность скоростей деформации Н в такой области полагалась равной нулю. Таким образом, еще до решения задачи по определению поля скоростей полагалось, что в среде имеется область, где Т = tq, Н = 0, движущаяся как твердое тело. Эта область получила название квазишвердой, жесткой области или ядра течения. При этом область течения, в которой могло быть Т = tq, Н ^ 0 (пластическая область), не рассматривалась.
Большое влияние на понимание авторами физической картины течения бингамовских сред оказала работа М. Рейнера (1960 г.) [70]. В ней дан подробный анализ уравнений Г. Генки, области их применения и своего рода ключ к пониманию поведения сред имеющих несколько фундаментальных свойств. М. Рейнером, в частности, отмечается, что «в соответствии с третьей аксиомой реологии реологическое уравнение более простого тела (низшего по иерархии) может быть получено из реологического уравнения менее простого тела (высшего по иерархии), если положить какие-либо константы последнего равными нулю». Это значит, например, что из реологического уравнения тела Шведова-Бингама (1) при щ = 0 можно получить реологическое уравнение вязкой жидкости, а при р = 0 — реологическое уравнение тела Сен-Венана (пластического тела). В этой же работе Рейнер развивает свою мысль далее: «В соответствии с третьей аксиомой реологии, если известно решение задачи для бингамова тела, можно получить решение аналогичной задачи для сен-венанова тела, полагая величину pnjl равной нулю». Здесь под рпЛ Рейнером понимается коэффициент динамической вязкости среды или, как его называют в реологии, коэффициент пластической вязкости.
Анализ многочисленных научных работ и особенно работ Б. Сен-Венана, Г. Генки, М. Рейнера, Г. Липскомба и М. Денна и других исследователей, а также собственные попытки решать более сложные задачи чем одномерные задачи о течении бингамовских сред, с использованием существующего представления о модели среды как о теле с квазитвердым ядром, показал несоответствие этих решений третьей аксиоме реологии [70]. Это
несоответствие состояло в том, что из полученных решений не следовали соответствующие решения для пластического течения, если приравнивать к нулю коэффициент пластической вязкости среды: // = 0. Позднее авторами было установлено, что этот результат и не мог быть иным, так как при пластическом течении ядро должно занимать всю область течения, а при квазитвердом ядре, как это будет показано далее, это возможно только в некоторых частных случаях (ядро, прилипшее к стенке канала, или одномерные по скоростям течения) [16].
Таким образом, существующее представление о ядре течения бингамовской среды как о твердом или квазитвердом теле противоречит как самой модели этой среды, так и третьей аксиоме реологии. Покажем это на следующем примере.
Пример. Рассмотрим задачу о плоском течении бингамовской среды в канале с произвольно деформируемыми стенками
(рис. 3.2). Течение среды вызвано как движением стенок самого канала, так и перепадом давления на его торцах.
Положим, как это было принято ранее, что существует область, где бингамовская среда движется как твердое тело. Задаваясь законом деформирования стенок Нх^хД) и Ъ^хДУ можем найти проекции скорости их точек на оси х и z. В качестве внешних граничных условий используем условия прилипания среды к стенкам канала. Предполагая, что на некоторых расстояниях zx^t) — Их(хД) и Н^хД) — Z2(x,t) от стенок канала имеется область течения, где среда движется как твердое тело, сформулируем граничные условия на границах раздела сдвиговых и жесткой областей. Поскольку напряжения в жесткой области неопределенны, то внутренними граничными условиями будут только условия непрерывности скорости течения на границах раздела областей.
Все сказанное позволяет сформулировать граничные условия задачи в следующем виде:
z = h\(x,ty xx = U\(x,ty xz = W\(x,ty
(3.1.5)(3.1.5)z = zi (x, t): x^x, i) = ^Xx^x, ty x^x, i) = xX^x, ty z = z^x, i):^(ж,^) = ^ж^’ ^X x^x, i) = x^^x, t),
(3.1.5)
(3.1.5)
z = h^x,ty vx = U2(x,ty vz = W2(x,ty
x = xp. txxXX = -P\,
x = x2: тххХХ =-ps,
где верхними индексами виг обозначены проекции скорости соответственно со стороны сдвиговой и жесткой областей течения.
Решение начнем с определения проекций скорости в жесткой области (ядре). Для этой области запишем условия равенства нулю компонент тензора скоростей деформации: ехж = 0, ezz = = 0, exz = 0. На основании уравнения несжимаемости проекции скорости выразим через функцию тока Ф по формулам:
Согласно равенствам (6) условия равенства нулю компонент скоростей деформации запишутся в следующем виде:
У2Ф _ д2Ф У2Ф _
8х Эг. ’ ЭЕ Эх2 '
Решение первого уравнения системы (7) дает
Ф(ж, 2, t) = /(ж, t) + Цг, t).(3.1.8)
Подстановка этого решения во второе уравнение системы (7)
приводит и Х^ЛУ
к двум уравнениям относительно функций /(ж, t)
д2 f д2Е
ХА = ХУ = еХ.(3.1.9)
OXOZ
Решение уравнений (9) имеет следующий вид:
ж2
рхл^ех^ + с^у + см
2(3.1.10)
CXHW^ + C^z + C^ty
На основании равенства (8) для функции тока получим выражение
22
фц, 2, t) = ох |- + сх х х + с^ + ох |- + с3(Щ + с4Х-
(3.1.11)
Используя равенства (6), найдем проекции скорости точек жесткого ядра:
= -0(1) х - Ci (t),vx = 0(1) г + C3 (t).(3.1.12)
Как и следовало ожидать, получены выражения проекций скорости точек твердого тела, совершающего плоское движение. Так как проекции скорости xz точек жесткого ядра не зависят от координаты г, то удовлетворить условиям (5) для этой проекции на границах раздела сдвиговой и жесткой областей в общем случае не представляется возможным. Такое положение противоречит общей постановке задачи о плоском течении бингамовской среды.
Таким образом, сделанное предположение о наличии в движущейся бингамовской среде твердого ядра неверно. Что и требовалось показать.
Однако в некоторых случаях это не влияет на результат [15]. Например, когда рассматривается течение среды параллельно оси х (течение между плоскостями параллельными оси ж), имеем xz = 0. Тогда, как следует из первого равенства (12), функции 0(t) и Cx(t) будут равны нулю, и из второго равенства (12) получим
^ = сгХ-(3.1.13)
Точно так же всем внутренним граничным условиям (5) можно удовлетворить и в случае чисто кругового течения среды. Тогда со стороны сдвиговой области на границе раздела скорости точек среды будут иметь следующий вид:
^ = coz, х^ = —шх,(3.1.14)
где w(t) — угловая скорость физической границы раздела сдвиговой и жесткой областей. В данном случае функции Cx(t) и C^(t) равны нулю, а функция 0(t) равна cj(t), и распределение скоростей точек жесткой области, как и следовало ожидать, будет таким же, как и во вращающемся твердом теле:
xx = ujz, xz =—сих.(3.1.15)
Условиям на границе раздела областей сдвигового течения и жесткого ядра можно удовлетворить и для нулевых значений
скоростей на этой границе. Но это означает, что квазитвердая область (ядро) может существовать только как часть среды, прилипшей к неподвижным стенкам. Так, например, при течении вязкопластичной среды в кольцевом зазоре между двумя соосными круговыми цилиндрическими поверхностями, из которых внешняя поверхность неподвижна, а внутренняя вращается с постоянной угловой скоростью, возможно существование твердой области, прилипшей к неподвижным стенкам внешнего цилиндра.
Из вышесказанного следует, что основным недостатком в существовавшем представлении о течении вязкопластичных сред является постулирование существования области течения, скорости в которой распределены так же, как в твердым теле.
Принятие данного постулата приводило к следующим проблемам при решении задач о течении бингамовских сред.
Несоответствие модели вязкопластичной среды.
Принятие модели жесткого ядра для бингамовской среды в механике сплошной среды ничего не говорит о ее физических свойствах (вязкость и пластичность), которые имеют большое значение для практики.
Некорректная постановка задач о течении сплошной среды, когда распределение скоростей в некоторой области среды указывается до решения задачи об определении поля скоростей.
Неопределенность поля напряжений в постулируемой ква- зитвердой области.
Противоречие с третьей аксиомой реологии, т. е. невозможность в общем случае получить все характеристики течения пластической среды из решения соответствующей задачи для вязкопластичной среды путем приравнивания к нулю коэффициента пластической вязкости.
Невозможность в общем случае удовлетворить условию непрерывности скорости на внутренней границе, разделяющей области жесткого ядра и сдвигового течения, что ведет к неопределенности и поля скоростей.
Для устранения вышеназванных проблем при анализе течений бингамовских сред авторами было предложено следующее [16]:
считать в соответствии с моделью бингамовской среды (2) ядро течения такой среды телом Сен-Венана Т = т^ при Н ^ 0 в общем случае;
различать в текущей среде в зависимости от напряженного состояния следующие области: область сдвигового течения, в
которой интенсивность напряжений Т больше предельного напряжения сдвига то (Т > то); область идеально пластического течения, в которой интенсивность напряжений Т равна предельному напряжению сдвига то (Т = то).
Приведем теперь основное реологическое уравнение бингамовской среды (2) к безразмерной форме. Для этого введем характерный линейный размер I, характерную скорость U и характерное напряжение 0. Подставив в равенство (2) вместо размерных величин их выражения через соответствующие безразмерные величины и характерные параметры, приведем уравнение (2) к следующему виду:
©Т = т0 + 2 ^ Я',(3.1.16)
где Т и Н' — соответственно безразмерные интенсивности напряжений и скоростей деформации, имеющие такой же вид в безразмерных переменных, как и в размерных (3), (4).
В соответствии со структурой выражения (16) характерное напряжение 0 в бингамовской среде должно складываться из характерного пластического напряжения, равного предельному напряжению сдвига то, и характерного вязкого напряжения, равного pU/l, т. е.тт
е = т0+^.(3.1.17)
С учетом данного соотношения уравнение (16) приводится к следующему виду:
+(3.1.18)
где S — параметр Сен-Венана,
S = ^.(3.1.19)
ри
Если S = 0 (то = 0), то из уравнения (18) будет следовать основное реологическое уравнение для вязкой (ньютоновской) жидкости в безразмерной форме
Tf =(3.1.20)
Если S = сю (р = 0), то из уравнения (18) будет следовать основное реологическое уравнение для идеально пластической (сен-венановской) среды в безразмерной форме
Г' = 1.(3.1.21)
Рис. 3.3Рис. 3.3На рис. 3.3 приведены графики зависимости безразмерной интенсивности напряжений Т от безразмерной интенсивности скоростей деформации Н! (18) при различных значениях параметра S. Из графиков видно, что сдвиговое течение в бингамовской среде существует при значениях 8^0и8^оои при безразмерной интенсивности напряжений Г' > 1 и безразмерной
Рис. 3.3
Рис. 3.3
интенсивности скоростей деформации Н’ > 0,5.
При Т = 1, Hf = 0,5 в среде существует пластическое те
чение. Таким образом, в текущей бингамовской среде значения
безразмерных параметров могут принимать только следующие значения: Tr 1, Нг 0,5.
Вышесказанное позволяет дать следующее графическое представление о реологическом поведении бингамовской среды и ее состояниях в зависимости от значений безразмерных параметров Г', Н’ (рис. 3.4).
Рис. 3.4Рис. 3.4Первое возможное состояние среды — покой. Состояние покоя будет, если во всех точках среды безразмерная интенсивность напряжений Т < 1, а безразмерная интенсивность скоростей деформации во всех ее точках Н' = 0. У среды, которая находится в покое, ее фундаментальные свойства вязкость и пластичность не проявляются, и она ведет себя как твердое тело. Эти свойства проявляются и могут быть измерены, как об этом ранее уже говорилось, только в движущейся или текущей среде. Состоянию покоя среды соответствует прямая О А на рис. 3.4. Второе возможное состояние среды — пластическое течение. Пластическое течение будет в тех точках среды, где безразмерная интенсивность напряжений Т = 1, а безразмерная интенсивность скоростей деформации 0,5 ^ Я' > 0. У среды, кото-
Рис. 3.4
Рис. 3.4
рая находится в состоянии пластического течения, проявляются только пластические свойства (пластичность), а вязкость не проявляется. Этому состоянию среды соответствует прямая АВ на рис. 3.4.
Третье возможное состояние среды — сдвиговое течение. Сдвиговое течение будет в тех точках среды где безразмерная
интенсивность напряжений Т > 1, а безразмерная интенсивность скоростей деформации Н* > 0,5. У среды, которая находится в состоянии сдвигового течения, проявляются как пластические (пластичность), так и вязкие (вязкость) свойства. Этому состоянию среды соответствует прямая ВС на рис. 3.4.
Таким образом, в текущей среде нет областей, где бы она находилась в «твердом» состоянии, т. е. где бы выполнялись условия на безразмерные параметры Tr < 1, Нг = 0. И наоборот, если в текущей среде имеется область, в точках которой выполняются условия Tf < 1, Hf = 0, то это область где среда находится в состоянии покоя. Физически это возможно только для той области среды, которая «прилипла» к стенкам канала и которая относительно этих стенок не движется.
Исходя из поведения бингамовской среды (рис. 3.4) можно сформулировать следующие критерии определения ее физического состояния.
Критерий 1. Для того чтобы бингамовская среда нахо- дилсь в состоянии покоя, необходимо и достаточно, чтобы безразмерные параметры удовлетворяли следующим соотношениям*. Т < 1, Н! = 0.
Критерий 2. Для того чтобы бингамовская среда находилась в состоянии пластического течения, необходимо и достаточно, чтобы безразмерные параметры удовлетворяли следующим соотношениям*. Tr = 1, 0,5 > Нг > 0.
Критерий 3. Для того чтобы бингамовская среда находилась в состоянии сдвигового течения, необходимо и достаточно, чтобы безразмерные параметры удовлетворяли следующим соотношениям*. Т > \, Н! > 0,5.
Такой подход к анализу бингамовской среды позволил авторам уточнить ее модель в части, касающейся ее физических состояний и реологического поведения, в зависимости от ее напряженного и деформированного состояния. Одновременно с уточнением модели потребовались и уравнения, которые можно было бы использовать для всех областей течения среды. Уравнения же Генки, как это хорошо известно, применимы только для исследования областей сдвиговых течений. Как уже ранее было отмечено, уравнения Генки переходят в уравнения Мизеса, описывающие движение пластических сред, если в уравнениях Генки положить равным нулю коэффициент пластической вязкости. Однако уравнения Мизеса записаны в такой форме, которая в некоторых случаях не позволяет получить однозначное решение. Поэтому при применении уравнений Генки к пластической
области течения могут возникнуть те же проблемы с однозначностью решения, что и при применении уравнений Мизеса.
Для устранения этой проблемы далее дается способ преобразования уравнений Генки к форме, пригодной для изучения течений бингамовских сред, как в области сдвигового течения, так и в области пластического течений [19, 20].
§3.2. Общие уравнения
В этом параграфе приводится система уравнений для исследования течений бингамовских сред во всей области течения, т. е. как в области сдвигового течения, так и в области пластического течения [19,20]. Эта система уравнений отличается от ранее известных уравнений Генки [93] тем, что содержит неоднозначность только в одном уравнении — реологическом уравнении (основной реологический закон деформирования среды). Неоднозначность же в реологическом уравнении устраняется из физических соображений или механической постановки самой задачи.
Из приведенных уравнений для исследования течений бингамовских сред как частные случаи следуют уравнения течений вязких (ньютоновских) жидкостей и идеально пластических сред. Эти частные случаи получаются из приведенных уравнений путем приравнивания в них к нулю соответствующих реологических констант, что соответствует третьей аксиоме реологии.
Обычно в механике сплошных сред уравнения течения делятся на общие динамические уравнения, описывающие течения всех сплошных сред, и реологические уравнения, связывающие компоненты тензора напряжения в точках данной среды с компонентами тензора скоростей деформации в этих же точках. Реологические уравнения характеризуют течение конкретной исследуемой среды и, как правило, дают неоднозначные соотношения, обусловленные присутствием в этих уравнениях второго инварианта тензора скоростей деформации. Поэтому в дальнейшем под неоднозначностью уравнений понимается неоднозначность именно такого вида, т. е. связанная с неопределенностью знака компонент напряжения или скоростей деформации. Достаточно подробно проблема подобного рода неоднозначности, но применительно к исследованиям течений пластических сред, рассмотрена в работе Л.М. Качанова [50]. Применительно к задачам исследования пластических течений она решена в работах Б. Сен- Венана (1871 г.) [76] и М. Леви (1871 г.) [54] таким образом, что неоднозначность сохраняется только в одном уравнении (обобщенное уравнение деформирования или условие пластичности).
Неоднозначность в этом уравнении может быть устранена «из механической постановки самой задачи» [50].
Подобная проблема стоит и при исследовании течений бингамовских сред с применением уравнений Г. Генки (1925 г.). Это связано с тем, что модель данной среды содержит в себе модели вязкой и пластической сред [16]. Далее излагается один из возможных способов получения уравнений для исследования течений бингамовских сред, в которых вышеназванная проблема решается.
Рассматривается изотермическое течение изотропной, несжимаемой бингамовской среды. Для получения уравнений течения таких сред к известным динамическим уравнениям движения сред и уравнению несжимаемости добавим уравнения, связывающие компоненты тензора напряжений с компонентами тензора скоростей деформации. Представим их в виде, справедливом для записи уравнений течения любой изотропной несжимаемой среды:
Тхх = ^о + Ф(Я)ежж, туу = а0 + Ф(Н)е№ tzz = а0 + $(H)eZZi
(3.2.1)(3.2.1)Тху = Ф(Я)€од, Txz = ^^H^EXZl Tyz = Ф^Н^Еу^
(3.2.1)
(3.2.1)
где Ф(Я) — неопределенная пока функция, зависящая от интенсивности скоростей деформации Я, а среднее нормальное напряжение равно
Подставив выражения интенсивности напряжений Т (1.3) и интенсивности скоростей деформации Я (1.4) с учетом равенства (2) и уравнения несжимаемости divv = 0 в обобщенное реологическое уравнение (1.2), найдем функцию Ф(Я):
Ф(Я) = 2М+^.(3.2.3)
Компоненты тензора напряжений (1) в этом случае примут следующий вид:
Тхх = ^0 + ^2/7 + — ^ЕХх,Туу = 67 q + ^2/Z + "jj^£yyi
Tyz — ^2/z + ^)s^-(3.2.4)Tyz — ^2/z + ^)s^-(3.2.4)
Tyz — ^2/z + ^)s^-(3.2.4)
Tyz — ^2/z + ^)s^-(3.2.4)
Таким образом, получены известные реологические соотношения для бингамовских сред, которые являются следствием
основного реологического закона (1.2) и соотношений (1), и, наоборот, уравнение (1.2) является следствием соотношений (4).
Из системы неоднозначных уравнений (4) путем исключения из них среднего нормального напряжения а^ и комплекса (2/z + то/Н) с учетом равенств (1.3) и (1.4) получим уже известную однозначную систему уравнений следующего вида [54]:
2 тХу 2тжг 2т^г dvx/dy + dvy/dx dvx/dz + dvz/dx dvy/dz + dvz/dy
(3.2.5)(3.2.5) Диж — Tyy Txx — Tzzdvx/dx — dvy/дуdvx/dx — dvz/dz'
(3.2.5)
(3.2.5)
Следует отметить, что из приведенных десяти уравнений (5) только четыре являются независимыми. Этими уравнениями будут любые четыре, содержащие все компоненты тензора напряжения или тензора скоростей деформации.
(1.2)(1.2)Уравнения течения. Полная система уравнений течения бингамовских сред (система I), состоит из следующих урав-
(1.2)
(1.2)
нений:
dxx dt
_ 1
P
( U 1 XX | k dx
^xy_ , Эу
9txz \ dz / ’
dt)y dt
P
( 9туХ \ 9x
Эт
Эу
dz / ’
(3.2.6)
dxz dt
_ 1
P
/ 9tzx
\ dx
ЭТгу Эу
9tzz\ dz / ’
<Мдху_М
ЭхЭуdz
(3.2.7)
Т = т0 + 2/1Я,
‘ ху ^lxz ^'yz
dvx/dy + dvy/dx dvx/dz + dvz/dx dvy/dz + dvz/dy Гх — Tyy Txx — Tzz
dvx/dx — dvy/дуdvx/dx — dvz/dz'
Здесь величины T и Я, входящие в уравнение (1.2), должны быть выражены соответственно через компоненты тензора напряжения и проекции скорости.
Полученная система уравнений I, состоит из девяти независимых уравнений и содержит девять неизвестных функций координат и времени (шесть компонент тензора напряжения и три проекции скорости). Можно показать, что из уравнений (1.2) и (5) с помощью равенств (2) и (7) могут быть получены все реологические соотношения (4). Поэтому вместо обобщенного
реологического уравнения (1.2) в полную систему уравнений движения бингамовских сред можно включить одно из реологических соотношений (4).
Система I отличается от уравнений Генки тем, что шесть неоднозначных реологических уравнений (4), входящих в систему уравнений Генки, заменены четырьмя однозначными независимыми уравнениями из системы (5) и одним неоднозначным уравнением (1.2), являющимся реологической моделью бингамовской среды.
Из полученной системы I, описывающей течение бингамовских сред, как частные случаи следуют уравнения движения вязких и идеально пластических сред. Для этого в уравнении (1.2) необходимо поочередно приравнять нулю соответствующие значения реологических констант tq и pi. При щ = О получаются уравнения течения вязких сред, а при pi = 0 — пластических сред [54]. При использовании полученной системы уравнений для вязких сред давление в среде р уже не является независимой функцией, определяемой из уравнений движения. Оно может быть определено из реологических соотношений (4), если принять для несжимаемых сред а^ = — р.
Следует особо подчеркнуть, что система уравнений, аналогичная системе I, будет описывать течение любой сплошной среды, для которой имеют место соотношения (1). Для этого в системе I следует заменить уравнение (1.2) соответствующим обобщенным реологическим соотношением, связывающим интенсивности напряжений и скоростей деформации для новой среды.
Уравнения плоского течения. Получим теперь из общих уравнений системы I уравнения для плоского течения среды параллельно координатной плоскости Oxz. В этом случае
п Д = п ^ _ 1 /М Эуу\ _ 1 Эху\ _ у ’ ду ’ ду 2 \ ду дх /2 \ ду дх /’
и из уравнений (5) следует т^ = 0 и тху = 0. С учетом этого система I примет следующий вид (система II):
),(3.2.8)(3.2.9)(3.2.10)),(3.2.8)(3.2.9)(3.2.10)dcx 1 / ЭтххЭтхг \сТщ 1/ Этгх^tzz
),(3.2.8)
(3.2.9)
(3.2.10)
),(3.2.8)
(3.2.9)
(3.2.10)
dtp у дхdz J’dtpу dxdz
dvx .= л
dx dz 1
T = tq + 2piH,
^XZ I..) — VXX ^zz) ( T n I,
\ OX OX )\ OX OX /
туу — ^о — 2 ^жж + ) (3.2.12) Г=|У^Г^)2 + 4^, (3.2.13)
Система II состоит из пяти уравнений и содержит пять определяемых функций координат и времени: три компоненты тензора напряжений и две проекции скорости. При /л = 0 данная система уравнений превращается в известную систему уравнений для плоской деформации пластической среды [76].
Таким образом, система I — система уравнений, описывающая течения бингамовских сред, которая позволяет исследовать течение таких сред во всей области течения, т. е. как в области сдвигового течения, так и в области пластического течения.
Из системы I, как частные случаи следуют уравнения течений вязких (ньютоновских) жидкостей и идеально пластических сред. Эти частные случаи течений получаются путем приравнивания в системе I к нулю соответствующих реологических констант (то и ^), что соответствует третьей аксиоме реологии М. Рейнера.
Кроме того, полученные уравнения (система I, система II) позволяют формализовать подход к решению широкого класса задач о течении бингамовских сред и эффективно использовать для этих целей компьютеры (ЭВМ).
Уравнения течений пластических сред, которые получаются из системы I при значении /л = 0, совпадают с известными уравнениями Леви [54].
Постановка граничных условий
Граничные условия наряду с начальными условиями позволяют получить единственное решение системы I или системы II, которые описывают соответственно пространственное или плоское течения бингамовских сред. В этом параграфе приводятся граничные условия как на внешних (физических), так и на внутренних (между областями) границах областей течения среды.
Рассматривается изотермическое течение среды в каналах или полостях как с деформируемыми во времени и в пространстве стенками, так и с недеформируемыми стенками. Процессы массопереноса не рассматриваются.
Граничные условия — это формализованные в виде математической модели физические условия на границе (границах) течения исследуемой среды.
Начальные условия — это значения искомых механических переменных в каждой точке исследуемой среды в начальный момент времени (t = 0).
Так как в исследуемой среде может быть несколько областей (DJ где она находится в определенном физическом состоянии (см. §3.1), то условиями на внешних и внутренних границах, или граничными условиями будут:
на стенках канала (емкости) — условие прилипания;
на границах раздела областей покоя и сдвигового (вязкопластичного) течений — условия непрерывности скорости и напряжения;
на границах раздела областей вязкопластичного и пластического течений — условия непрерывности скорости и напряжения.
Примем следующие обозначения: Dr — область покоя; Dp — область пластического течения; Ds — область вязкопластичного течения; Г — физическая граница (стенки канала); Га — граница, образованная множеством точек среды, непосредственно соприкасающихся с физической границей Г; Гб — граница, образованная множеством точек среды, прилегающих к ней как со стороны области покоя Г^, так и со стороны вязкопластичного течения Г|; Гв — граница, образованная множеством точек среды, прилегающих к ней как со стороны области пластического течения Гв, так и со стороны вязкопластичного течения Г|; верхние индексы обозначают области течения соответственно, г — область покоя, s — область вязкопластичного течения, р — область пластического течения.
Запишем теперь граничные условия, соответствующие случаям а), б) и в), в нижеследующем формализованном виде.
Граничные условия а) для всех точек М среды, принадлежащих границе Га, — это условие прилипания*.
VMeTa: ум = vp. (3.3.1)
Здесь vp — скорость точек, принадлежащих физической границе Г (стенки канала или емкости).
Для случая б) принимаются условия непрерывности скорости и напряжения. Непрерывность скорости означает, что проекции вектора скорости точек среды на касательную и нормаль к элементарной площадке по обе стороны от границы раздела областей течения должны быть одинаковыми. Это значит, что
отсутствует скольжение точек среды, находящейся в одном физическом состоянии относительно соприкасающихся с ними точек этой же среды, находящейся в другом физическом состоянии, а также эти части среды всегда должны находиться в физическом контакте друг с другом.
Непрерывность напряжения отражает физический закон взаимодействия частей среды, находящихся в различных физических состояниях на их границе раздела.
Граничные условия б) для всех точек М среды, прилегающих к границе Гб как со стороны области покоя Г^, так и со стороны вязкопластичного течения Г|, — это условия непрерывности скорости и напряжения*.
умегб = (цигц VM = VM, т^т^. (3.3.2)
Граничные условия в) для всех точек М среды, прилегающих к границе Гв, как со стороны области пластического течения Гв, так и со стороны вязкопластичного течения Г|, — это условия непрерывности скорости и напряжения*.
^М^ = {^ГЛ Щ = Уд„ tpm = tsm. (3.3.3)
Начальные условия назначают, исходя из физических условий, соответствующих началу течения среды при t = 0:
VMeDs, t = 0: Ум = Ум(ж,у,г), (3.3.4)
где Ds — область течения среды.
Формулировка начальных условий значительно упрощается, если в начальный момент времени среда находилась в покое, т. е. если исследуется течение среды из состояния покоя. Для исследования стационарных течений начальные условия не формулируются.
Для разъяснения некоторых особенностей в постановке граничных условий рассмотрим их на примере плоского течения среды в канале Г с деформируемыми в пространстве и во времени стенками по закону
2 = /(жД); (3.3.5) здесь f(x,t) — однозначная непрерывная функция. Полагаем, что стенки канала нерастяжимые и неупругие и закреплены с возможностью вертикального перемещения вдоль оси Oz только одной точки Мд (рис. 3.5). По условию прилипания среды к стенкам канала скорости пограничных точек среды Га и стенок Г будут одинаковыми.
Рис. 3.5Рис. 3.5
Рис. 3.5
Рис. 3.5
Определим проекции скоростей пограничных точек среды на оси координат Oxz. Полная производная по времени от функции (5) есть
dz _ dz dxdz
dt dx dtdt1
илиили^ =^ =dz , dzdz , dz(3.3.6)(3.3.6)
или
или
^ =
^ =
dz , dz
dz , dz
(3.3.6)
(3.3.6)
В этом случае длина L отрезка MqM кривой (рис. 3.5) равна
(3.3.7)(3.3.7)Полная производная от функции (7) по времени с учетомПолная производная от функции (7) по времени с учетомусловия нерастяжимости стенок канала равнаусловия нерастяжимости стенок канала равна(3.3.8)Из полученного уравнения (8) проекции скоростей точек стенок канала на ось Ох равна(3.3.8)Из полученного уравнения (8) проекции скоростей точек стенок канала на ось Ох равна
(3.3.7)
(3.3.7)
Полная производная от функции (7) по времени с учетом
Полная производная от функции (7) по времени с учетом
условия нерастяжимости стенок канала равна
условия нерастяжимости стенок канала равна
(3.3.8)
Из полученного уравнения (8) проекции скоростей точек стенок канала на ось Ох равна
(3.3.8)
Из полученного уравнения (8) проекции скоростей точек стенок канала на ось Ох равна
После подстановки хх (9) в равенство (6) находятся выражения проекций скоростей точек стенок канала на ось Oz;
dzdz1 э_dt1 э_dtdz\2dz\2ООdz^. (3.3.10)dz^. (3.3.10)
dz
dz
1 э_
dt
1 э_
dt
dz\2
dz\2
О
О
dz
^. (3.3.10)
dz
^. (3.3.10)
Для течения среды в тонком слое, т. е. когда выполняется условие dz/dx С 1, из выражений (5) и (6) следует
vx 0, vz^dz/dt.(3.3.11)
Выражения, аналогичные (И), получаются и для граничных условий в случае пространственного течения среды в тонком слое.
Наряду с условиями прилипания бингамовской среды к внешним физическим границам течения (стенкам) должны быть поставлены условия на внутренних границах, разделяющих области течения, в которых бингамовская среда находится в различных физических состояниях (вязкопластическом или пластическом). Такими граничными условиями являются условия непрерывности скорости точек среды и напряжения в этих точках при переходе границы раздела областей.
Рассмотрим, как выражается условие непрерывности напряжения для случая плоского течения среды (см. рис. 3.5). Для этого воспользуемся формулами (1.2.5), полагая в них cos^ = 0. В силу непрерывности напряжений на границе Гв (3) выражения (1.2.5) примут следующий вид:
бхх -тЩсо8а + Щ -T^)COS7 = 0,- TZ) COS а + (т|2 - T^Z cos 7 = 0.
Если уравнение границы Гв раздела областей среды имеет вид ^i(^,i) (см. рис. 3.5), то косинусы углов единичного вектора нормали любой элементарной площадки, находящейся на границе раздела, выражаются через уравнение границы по формулам
9zx(9x1z .
cos q = ,cos 7 =. (3.3.13)
у 1 + (9zx / Эх)2у 1 + ^9z\ / Эх)2
Для течения среды в тонком слое ^dzyjdx С 1, cos а ~ 0, cosy ~ 1) выражения непрерывности напряжения (12) примут следующий вид:
т* -= 0, г" - < = 0.(3.3.14)
Безразмерная форма уравнений течения
В этом параграфе приводится безразмерная форма уравнений течения бингамовских сред, а также вывод уравнений для исследования течений в тонких слоях.
Для представления системы I в безразмерной форме вводятся следующие характерные параметры: Zi, Z2, Z3 — характерные длины в направлении осей х, у, % соответственно (рис. 3.6); Z7,
Рис. 3.6
V, W — характерные проекции скорости точек среды на оси х, у, z соответственно; i — характерное время; 0 — характерное напряжение, определяющее компоненты напряжения, зависящие от компонент скоростей деформации; Ар — характерный перепад давления между входным и выходным сечениями канала, определяющий среднее нормальное напряжение; а^ — средняя величина безразмерных нормальных напряжений.
Для характерных длин пока не делаем никаких предположений о порядках их соотношений. Конкретное выражение характерного напряжения О дано ниже.
Запишем теперь соотношения между размерными и безразмерными переменными. Компоненты нормальных напряжений представляются в виде суммы среднего нормального напряжения, не зависящего от компонент скоростей деформации, и той части нормальных напряжений, которые зависят от скоростей деформации:,,,
ж = 1\х , у = 12У , z = I3Z ,
'У = Ux' vy = Vx' xz = Wx’
t = tt\(3.4.1)
Txx = а^АрА- ©тгХХ1 Ту у = a'Q Ар + ©Tfyy, tzz = a^Ap + ©r'^,Txy = ^Txy' TXZ = ©^, T3jz = ®T-yz-
Найдем соотношения между характерными проекциями скоростей и характерными длинами, подставив необходимые соотношения (1) в уравнение неразрывности (2.7):
U Эх' V Эх' W Эх' п
£ jу jz = /1 Эх' и ду1 /з эе
Потребуем, чтобы уравнение неразрывности, записанное в безразмерных переменных, имело такой же вид, как и в размерных переменных. В этом случае должно быть
(3.4.3)(3.4.3)и _ V _ W
(3.4.3)
(3.4.3)
Zi h Z3
В дальнейшем, используя соотношения (3), будем выражать характерные скорости V и W через характерную скорость U.
Выразим компоненты скоростей деформации и интенсивность скоростей деформации (см. §1.4) через безразмерные переменные (1):,
ии М и Эх'
Sxx~Tx^'
1 I/ / 1 M , 7 M\1 /7 / 1 ж , 7 dxL\
^ху Q 77 Д/ I , EXZ I, + ^2 д ,
2 1х \кх др Эх у2 1х хк^ dz Эх /
£yz~2P U£yz~2P Uэ2' + кзэ2' + кзdv' \Wrdv' \Wr(3.4.4)(3.4.4)
£yz~2P U
£yz~2P U
э2' + кз
э2' + кз
dv' \
Wr
dv' \
Wr
(3.4.4)
(3.4.4)
(3.4.5)
и? _ лI Р/2 ।। г/2
11 у0"Г "Г CXZ "Г •
(3.4.6)
Здесь е' е’, е’, е' е' е' — безразмерные компоненты
«Av «Av ' у у ' Av Av«Av у ' «Av Av ' у Av11
скоростей деформации, определяемые соотношениями
=
^хх
Эх'1
=
° У У
" ЭУ’
dv'
= d7’
1 ( 1 Эх^
+ кх
' 1 9х'ж
1 / ^vz
+ ^2^
ОХ
2 \¥х "д7
Эх' у 1
2 \
,к2 9z'
1 ( 1
Эх'Эх' ’
£'yz -
1 2
dz' 3 Эр',
) 1
(
^ху
(3.4.8)(3.4.8)к\ = 1^,к2=11кг=11
(3.4.8)
(3.4.8)
ЧЧ^2
Исходя из структуры обобщенной реологической модели бингамовской среды (1.2) запишем характерное напряжение 0 в следующем виде:
0 = to + ^ = ^(S+1), г =1,2,3;(3.4.9)
здесь S — параметр Сен-Венана,
8 = ^,г=1,2,3.ри8 = ^,г=1,2,3.ри(3.4.10)(3.4.10)
8 = ^,г=1,2,3.
ри
8 = ^,г=1,2,3.
ри
(3.4.10)
(3.4.10)
В формуле (10) li — это тот из характерных размеров, по которому определяется характерное напряжение 0.
Безразмерные уравнения пространственного течения. Безразмерные уравнения пространственного течения бингамовских сред получаются путем преобразования уравнений системы I в соответствии с соотношениями (3)-(10):
/ Эт'
= fc2^ + (S+l)(fc3^
Эх\ Эу
т Эс' 7 7 _ / , Эс' , Эс' , Эс'л kxk^^^kxk^x^^^^z^ =
Эт'/Эт'Эт' \
fc2Sh ^4 + ^r4 z 9t z \fc2Sh ^4 + ^r4 z 9t z \M + V M\ Эу' z ЭУ /M + V M\ Эу' z ЭУ /= fc3^ + (S+l)42^ + ^), (3.4.11) Эу\Эх9z J
fc2Sh ^4 + ^r4 z 9t z \
fc2Sh ^4 + ^r4 z 9t z \
M + V M\ Эу' z ЭУ /
M + V M\ Эу' z ЭУ /
Эт' / Эт' Эт' \^ + (s+i)42^ + fc3^),9z \ Эх Эу /
М , (Н = оЭх' Эу' dz'М , (Н = оЭх' Эу' dz'S 1г 2Н's +1 + Г s + гS 1г 2Н's +1 + Г s + гг = 1,2,3,г = 1,2,3,(3.4.12)(3.4.13)(3.4.12)(3.4.13)
М , (Н = о
Эх' Эу' dz'
М , (Н = о
Эх' Эу' dz'
S 1г 2Н'
s +1 + Г s + г
S 1г 2Н'
s +1 + Г s + г
г = 1,2,3,
г = 1,2,3,
(3.4.12)
(3.4.13)
(3.4.12)
(3.4.13)
к 2т'у(8+1)= к 2t'2(S+1)=
dv'g. /Эу' + fcf дг>у /Эх'2 dv^. /dz' + Ц 8v'z/Эх'
_ к 2Ty2(S + 1) тхх — тта тхх — xzz
3 dvy fdz' + кз dv'z /Эу'dvx /Эх' - дх'у /Эу'Эх'х /Эх' - dv'z /dz''
(3.4.14)
Здесь Т' — безразмерная интенсивность напряжений,
(3.4.15)(3.4.15)3 А.В. Гноевой, Д.М. Климов, В.М. Чесноков3 А.В. Гноевой, Д.М. Климов, В.М. Чесноков
(3.4.15)
(3.4.15)
3 А.В. Гноевой, Д.М. Климов, В.М. Чесноков
3 А.В. Гноевой, Д.М. Климов, В.М. Чесноков
i = 1,2,3,
(3.4.16)
— число Струхаля;
-^ pUk
г = 1,2,3,
(3.4.17)
— число Рейнольдса;
Тхх Sictq + (S + 1)тжж, ТууS1 ctq + (S + 1)т^,^
4 = s,4 + (s + 144
Безразмерные компоненты нормальных напряжений связаны с размерными компонентами нормальных напряжений следующими соотношениями:
(3.4.19)(3.4.20)(3.4.19)(3.4.20)ТХХ —7 Тжж, Туу —Tzz —
(3.4.19)
(3.4.20)
(3.4.19)
(3.4.20)
ччч
Si = ^Г, г= 1,2,3.
Число Сен-Венана (20), рассчитано по характерному перепаду давления.
Систему уравнений (11) можно переписать в несколько ином виде, которым удобно пользоваться для описания движения частных случаев бингамовских сред — вязких жидкостей (то = 0) и пластических сред (/z = 0). Для этого левую и правую части этих уравнений разделим на число Рейнольдса R. После этого данная система уравнений примет следующий вид:
k2 Shl dt' + 2 Vх Эх' + y эу' + 2)
= «2+ К + - fc3 —
ox \ R/ \ Эу
dv' dv' \
— ks ^T'yy + (к 4- 1 Д fco ^Туж 4- ^Tyz
- k3 + lK + r Jr2 dZ +
fc2 Shl —+ fc2 Ux + V + Vz =
dt z Эх y dy 9z /
9z \ R/ \ Эх Эу
ЗдесьЗдесь(3.4.22)(3.4.22)
Здесь
Здесь
(3.4.22)
(3.4.22)
другая форма записи безразмерных компонент нормальных напряжений, которые связаны с размерными компонентами нормальных напряжений соотношениями
Ъсх — pU т'ХХ1 Туу — pU т'уу, tzz — pU t'ZZi (3.4.23)
к=1=-^к, = ^=^;<ЗА24)
к рии ри
Sh, - - А(3.4.25)
новое число Струхаля.
Таким образом, вместо системы уравнений (11)-(14) можно пользоваться системой уравнений (21), (12)-(14). Из этой системы как частные случаи вытекают безразмерные уравнения течения вязких жидкостей (tq = О, S = О, К = 0) и безразмерные уравнения течения идеально пластических сред (у = 0, S = сю, l/R = 0).
Безразмерные уравнения плоского течения. Из системы уравнений (21), (12)-(14) получим безразмерные уравнения плоского течения бингамовских сред, например, параллельно координатной плоскости Oxz. В этом случае х' = 0,= 0, и
у оу система уравнений (21), (12)-(14) принимает следующий вид:
k2 Shik2 Shi7F7F£. 4- 7/ 2Эх' 2 Эг*£. 4- 7/ 2Эх' 2 Эг*дт' = Л —дт' = Л —1 \ Эт^R/ Лё"1 \ Эт^R/ Лё"
k2 Shi
k2 Shi
7F
7F
£. 4- 7/ 2
Эх' 2 Эг*
£. 4- 7/ 2
Эх' 2 Эг*
дт' = Л —
дт' = Л —
1 \ Эт^R/ Лё"
1 \ Эт^R/ Лё"
5tzЭт'OXOZ5tzЭт'OXOZ(3.4.26)(3.4.26)
5tzЭт'
OXOZ
5tzЭт'
OXOZ
(3.4.26)
(3.4.26)
к^ Shiк^ ShiI 7 2 / / 91)'I 7 2 / / 91)'Т' = —Т' = —/ Эёд _ Эт'%^эё) ■ ЛёЭх' Эх'ииЖ I UUZ _ АЭх' эе ~ ’к 2Н'/ Эёд _ Эт'%^эё) ■ ЛёЭх' Эх'ииЖ I UUZ _ АЭх' эе ~ ’к 2Н'1 \ ^Т2ЖR/ Эх' ’(3.4.27)1 \ ^Т2ЖR/ Эх' ’(3.4.27)i = 1,2,3,(3.4.28)i = 1,2,3,(3.4.28)
к^ Shi
к^ Shi
I 7 2 / / 91)'
I 7 2 / / 91)'
Т' = —
Т' = —
/ Эёд _ Эт'%^эё) ■ Лё
Эх' Эх'
ииЖ I UUZ _ А
Эх' эе ~ ’
к 2Н'
/ Эёд _ Эт'%^эё) ■ Лё
Эх' Эх'
ииЖ I UUZ _ А
Эх' эе ~ ’
к 2Н'
1 \ ^Т2Ж
R/ Эх' ’
(3.4.27)
1 \ ^Т2Ж
R/ Эх' ’
(3.4.27)
i = 1,2,3,(3.4.28)
i = 1,2,3,(3.4.28)
2T;,(s+i) =2r;s(s+i)=2t;,(s+d =
02 Э^ /Э^г + Г^ Эх^ /Эх' 3 О
жх ‘ гг/о 4 пп\д^дх' -di/jd^жх ‘ гг/о 4 пп\д^дх' -di/jd^ Тхх — ТууЭх'ж / Эх'
жх ‘ гг/о 4 пп\
д^дх' -di/jd^
жх ‘ гг/о 4 пп\
д^дх' -di/jd^
Из системы уравнений (29) следует т^ = т^ = 0. Поэтому второе уравнение системы (26) обращается в тождество. Преобразуем уравнение (28), подставив в него выражения интенсивности напряжений Г' (15), с учетом соотношений (22), и скоростей деформации Н* (6), (7), определенные для плоского деформированного состояния Д = 0, д/дуг = 0, т^ = т^ = 0, т'^ = d^Q = ^хх + т!z^f^Y В этом случае имеем
(3.4.30)(3.4.30)1 /2 у (К+ 1/R)21 /2 у (К+ 1/R)2б'хх - т'^)2 + 4т^2 ,б'хх - т'^)2 + 4т^2 ,1(К+ 1/R)21(К+ 1/R)2(3.4.31)(3.4.31)1212Щ2 - т'^)2 + 4т^2Щ2 - т'^)2 + 4т^2S1S + 1 + Ы\ S + 1S1S + 1 + Ы\ S + 1г = 1,2. (3.4.32)г = 1,2. (3.4.32)
(3.4.30)
(3.4.30)
1 /
2 у (К+ 1/R)2
1 /
2 у (К+ 1/R)2
б'хх - т'^)2 + 4т^2 ,
б'хх - т'^)2 + 4т^2 ,
1
(К+ 1/R)2
1
(К+ 1/R)2
(3.4.31)
(3.4.31)
1
2
1
2
Щ2 - т'^)2 + 4т^2
Щ2 - т'^)2 + 4т^2
S1
S + 1 + Ы\ S + 1
S1
S + 1 + Ы\ S + 1
г = 1,2. (3.4.32)
г = 1,2. (3.4.32)
Систему уравнений (29) запишем в другом виде, учитывая
равенства (22):
(3.4.33)(3.4.33)+ R Д 9х> dzf j — v хх Т,
(3.4.33)
(3.4.33)
+ к) 9х, ~{тхх т уу) dz, .
Если в первом уравнении этой системы величину Э^/ЭУ выразить через dv’x/dxY используя уравнение неразрывности (27), а затем соответственно левые и правые части первого и четвертого уравнений поделить друг на друга, то из полученного соотношения будет следовать уже использовавшееся известное в теории плоской деформации [77] выражение
Таким образом, в случае плоской деформации в системе уравнений (33) будет одно независимое уравнение (любое из двух).
С учетом сказанного выше выпишем окончательно безразмерную систему уравнений плоского движения бингамовской среды:
9т'хх /к Ц Mzэя \ R/ эе ’
bill 9t, + k2 ^ж g$, + vz 9z, J ^ + k2 ^K + R J g$, ,
(3.4.35)
^ + ^ = o,(3.4.36)
OX oz
11 о2 V (К+ 1/R)2 ^11 о2 V (К+ 1/R)2 ^)2 + 4r^2 =)2 + 4r^2 =S1+ 1 + Ы\ S + 1S1+ 1 + Ы\ S + 12fc2fK + l \ к2fc2fK + l \ кдс'х Эс^Эх' dz'дс'х Эс^Эх' dz'XXXXM: dz'M: dz'г = 1,2, (3.4.37).2 Ma2 Эх' /'г = 1,2, (3.4.37).2 Ma2 Эх' /'
11 о
2 V (К+ 1/R)2 ^
11 о
2 V (К+ 1/R)2 ^
)2 + 4r^2 =
)2 + 4r^2 =
S1
+ 1 + Ы\ S + 1
S1
+ 1 + Ы\ S + 1
2fc2fK + l \ к
2fc2fK + l \ к
дс'х Эс^
Эх' dz'
дс'х Эс^
Эх' dz'
XX
XX
M: dz'
M: dz'
г = 1,2, (3.4.37)
.2 Ma
2 Эх' /'
г = 1,2, (3.4.37)
.2 Ma
2 Эх' /'
(3.4.38)
Безразмерные уравнения пространственного течения в тонком слое. Предположим, что средняя толщина слоя h отсчитывается по оси z, а характерные размеры в направлении осей х и у одинаковы. В этом случае
Zi=Z2 = Z, Z3 = ^, &1 = 1, k2 = k3 = h/l < 1.(3.4.39)
Характерным размером k, определяющим характерное напряжение, в данном случае является средняя толщина слоя, т. е. k = Zg = h. Считаем, кроме того, что при течении среды в тонком слое характерная скорость течения весьма мала. Поэтому число Рейнольдса также будет весьма малой величиной, т. е.
К = pUhfii^ 1. (3.4.40)
Взяв за основу систему уравнений (21), (12)-(14), оценим порядки чисел К и Ki. Прежде всего, отметим, что Кд > К. Это будет в силу того, что характерный перепад давления Ар должен быть пропорционален величине 1/к2. Так, например, если в качестве характерного перепада давления взять тот, при котором начнется течение бингамовской среды в слое между плоскими,
9vA 2Эх' /9vA 2Эх' /параллельными поверхностями при том же расстоянии h между ними, что и средняя толщина слоя, то получим Ар = r^l/h = = то!^ [9]. При этом, как следует из формул (24), Ki/K = 1/^2- Порядок нового числа Струхаля Shi может быть не малым, это будет определяться величиной характерного времени i. Также большой величиной может быть число Сен-Венана Si, рассчитанное по характерному давлению. Найдем безразмерную интенсивность скоростей деформации Н' (6) с учетом соотношений (7) и (26):
9vA 2
Эх' /
9vA 2
Эх' /
(3.4.41)
На основании сделанных выше оценок и соотношений (39)(41) система уравнений (21), (12)-(14) примет следующий вид:
^2 Shi —у = /С221 9^2^2 Shi —у = /С221 9^2, (у IЭх' \ R/ 92 ’, (у IЭх' \ R/ 92 ’
^2 Shi —у = /С2
21 9^2
^2 Shi —у = /С2
21 9^2
, (у I
Эх' \ R/ 92 ’
, (у I
Эх' \ R/ 92 ’
(3.4.42)(3.4.43)(3.4.44)(3.4.42)(3.4.43)(3.4.44)Ш М = п Эх' Эу' ЭСШ М = п Эх' Эу' ЭСлт.7S11 / ЭХ';,. \г = S4 1S4 1 VV927 +1\ Э^' /лт.7S11 / ЭХ';,. \г = S4 1S4 1 VV927 +1\ Э^' /
(3.4.42)
(3.4.43)
(3.4.44)
(3.4.42)
(3.4.43)
(3.4.44)
Ш М = п Эх' Эу' ЭС
Ш М = п Эх' Эу' ЭС
лт.7S
1
1 / ЭХ';,. \
г =
S4 1
S4 1 V
V927 +1
\ Э^' /
лт.7S
1
1 / ЭХ';,. \
г =
S4 1
S4 1 V
V927 +1
\ Э^' /
и к^ Shi — ^т'та 4- (к 4- С
2^^+!^) =2т'2(К 4 1/R) =2r'z(K+l/R) =
Эх'д./ду' + Эху/Эх' 3 Эх^/дС 3 dx'y/dz'
_ т' хх — т'уу _т'XX — т’ хх/О д д г\
dvrx/dxr -dv'y/dy' Э^Эх' -Э<)Эхм v >
Выпишем из системы уравнений (45) четыре независимых уравнения:
2ЦК + нМдЛ "= V 97’
92^92’
7 ! (Э'и'з.Эх' \, Эх'ж
^ХЭу'Эх')жу ЭС’
2Ь=(К +1)<-\ гС/
бЭ^ \ Эх'
С учетом соотношений (39) из данной системы получим новую систему уравнений
хх т гг’ ЭС ■ и’ т^ ЭС - т^ ЭС ’
-1 9VX _ А ху Э2- ~
(3.4.46)
Таким образом, безразмерная система уравнений (42)-(44), (46) описывает течение бингамовской среды в пространственном тонком слое.
Безразмерные уравнения плоского течения в тонком слое. Для случая плоского течения имеют место те же оценки, что и для пространственного тонкого слоя. С учетом этих оценок из системы уравнений плоского движения (35)-(38) следует
и CL UUX _ Ъ XX |XZ
k2Sh, -57-14^ + ^ + -)^.
ЭС ’
94 I М _ А
Эх' эе
(3.4.47)
(3.4.48)
_ s 1 |Я,д
S+ 1 S + 11 ЭС I’
г =1,2, (3.4.49)
(3.4.50)
Связь между безразмерными компонентами нормальных напряжений устанавливается с помощью соотношений (19) и (23): тхх = ТО'хх, r'zz = Rt'^.(3.4.51)
§ 3.5. Уравнения течения бингамовских сред
В §3.2 была получена система I уравнений, описывающая изотермическое течение однородных, несжимаемых бингамовских сред без учета внешних сил в декартовой системе координат.
Далее в этом параграфе приводится полученная уже с учетом внешних сил полная система уравнений течения таких сред в развернутой форме применительно к различным ортогональным системам координат.
Уравнения течения в декартовых координатах. В декартовых координатах (ж,у, г) полная система уравнений течения однородных бингамовских сред с учетом внешних сил в развернутой форме имеет следующий вид:
9их , 9нх 9нх 9иж _1 (9тхх 9тХу 9txz\
"тт" + тх — Ь ^ — h —— — Fx А— I -7 1—7 1—7— ),at dx у dy dzр \ ох оу dz /
9хг 9xz9xz 9xz19tzx 9т^9tzz\
-7г + vx — + vy— +vz —= Fz + --7h -7-^ +-7— ,
dt dx y dy dzp \ ox dy dz /
Эр , s(№) , эс^ 5(^2) _ n
7 +++" °’(3.5.1)
T = T0 + 2цН,(3.5.2)
Txx Tyy Tyy — тzz 2тж^
9vx/9x - 9vy/9y9vy/9y - 9vz/9z9vx/9y + 9vy/9x
_ Frzx
9vy/9z + 9vz/9y 9xz(9x + 9vx/9z'* '
Здесь
^xy TyXl TyZ ^zyi ^ZX TXZl
P g ^TXX 4" Tyy + TZZ^),
_ dxx_ 9xy _ 9vz
^XX — “7 )— “7 ) ^ZZ — Щ )
oxoyoz
1 (9xx , 9xy\1 /Эху , 9xz\
жу 2 \ dy 9xyz 2 \ dz 9y /
Для несжимаемой бингамовской среды (р = const) уравнение неразрывности имеет вид
div v = О,
т. е.т. е.^жж + Е-у-у + Ezz — 0.^жж + Е-у-у + Ezz — 0.
т. е.
т. е.
^жж + Е-у-у + Ezz — 0.
^жж + Е-у-у + Ezz — 0.
Уравнения течения в цилиндрических координатах. В цилиндрических координатах (г,^,г) полная система уравнений течения однородных бингамовских сред с учетом внешних сил в развернутой форме имеет следующий вид:
9dt , 9dt , Dm дпТ , 9dtVm
-хт + ст ——|— h dz ——
dt dr r dp dzг
।/ дтгг1 дтГр 9ttz ттт ^рр А
— г т Н I |— h —|1,
р \ dr г dp dz г /
9d^9t9d^9tdPp Pp 9Dp9Dp _ DTDp _
9d^
9t
9d^
9t
гл +ГЛ + C z „
dr r dp dz r
1 / дт 1 дт дт
I I II ГЛ I
р \ dr г dp dz г
9d2dt9d2dtdr г дрdr г дрЭр9(ртрг)J_ д^рр^dt drг dpЭр9(ртрг)J_ д^рр^dt drг dp9dz _ Vz dz "J_ 6 9tzt p \ drd(£Vz)dz9dz _ Vz dz "J_ 6 9tzt p \ drd(£Vz)dz1 9TZp । 9tzz г dp 9z1 9TZp । 9tzz г dp 9z= 0,= 0,
9d2dt
9d2dt
dr г др
dr г др
Эр9(ртрг)J_ д^рр^
dt drг dp
Эр9(ртрг)J_ д^рр^
dt drг dp
9dz _ Vz dz "
J_ 6 9tzt p \ dr
d(£Vz)dz
9dz _ Vz dz "
J_ 6 9tzt p \ dr
d(£Vz)dz
1 9TZp । 9tzz г dp 9z
1 9TZp । 9tzz г dp 9z
= 0,
= 0,
(3.5.5)(3.5.5)Т = т0 + 2/1Я,
(3.5.5)
(3.5.5)
Trr ^^Р^РТрр 7"zz
дгг/дг — (1/г) dDp/dp — DT)r (1/г) дг^/др + DT)r — 9dz/9z
I гр ^'pz
(1 /г) дгг/др + дгр/дг - D^jr dr^/dz + (1 /г) dDz/dp 2т
= . /я Д m ■ (3.5.6) dDz/ dr + dDr/dz
ЗдесьЗдесьТТр — ТрГ, TpZ — Tzp^ Tzr — TTZlТТр — ТрГ, TpZ — Tzp^ Tzr — TTZlТ =Т =
Здесь
Здесь
ТТр — ТрГ, TpZ — Tzp^ Tzr — TTZl
ТТр — ТрГ, TpZ — Tzp^ Tzr — TTZl
Т =
Т =
Для несжимаемой бингамовской среды (р = const) уравнение неразрывности имеет вид
div v = О,
т. е.т. е.Етт -|- Ер,у + ^zzЕтт -|- Ер,у + ^zz= 0.= 0.
т. е.
т. е.
Етт -|- Ер,у + ^zz
Етт -|- Ер,у + ^zz
= 0.
= 0.
1 / дтТГ р \ dr1 / дтТГ р \ dr1г sin#1г sin#дтТр1 дтТ92тгг ^рр ^99 + ^9дрг Э0гдтТр1 дтТ92тгг ^рр ^99 + ^9дрг Э0г
1 / дтТГ р \ dr
1 / дтТГ р \ dr
1
г sin#
1
г sin#
дтТр1 дтТ92тгг ^рр ^99 + ^9
дрг Э0г
дтТр1 дтТ92тгг ^рр ^99 + ^9
дрг Э0г
Уравнения течения в сферических координатах. В сферических координатах (г, 99,#) полная система уравнений течения однородных бингамовских сред с учетом внешних сил в развернутой форме имеет следующий вид:
дсТ Эгтие дгт Dp дрт
dtVr drг Э0г sin# др г г
dtdtdУф ! У9 d^Vr dr г 9= Fр \ drdУф ! У9 d^Vr dr г 9= Fр \ drУф дУф + утУф + УрУф ctg 0 _ г sin# dp ггУф дУф + утУф + УрУф ctg 0 _ г sin# dp гг1 дтфф г sin 9 dp1 дтфф г sin 9 dp1 dтф9 ЗтТф + 2тф6 ctg 9г d9г1 dтф9 ЗтТф + 2тф6 ctg 9г d9гdyp dr6v6 dr6 r^ dr6rTr6_ у^ ctg 9
dt
dt
dУф ! У9 d^
Vr dr г 9
= F
р \ dr
dУф ! У9 d^
Vr dr г 9
= F
р \ dr
Уф дУф + утУф + УрУф ctg 0 _ г sin# dp гг
Уф дУф + утУф + УрУф ctg 0 _ г sin# dp гг
1 дтфф г sin 9 dp
1 дтфф г sin 9 dp
1 dтф9 ЗтТф + 2тф6 ctg 9
г d9г
1 dтф9 ЗтТф + 2тф6 ctg 9
г d9г
dtVr drr d9r sin 9 dp r r
(t69 - Тфф) ctg 9 ^ 3t6,(t69 - Тфф) ctg 9 ^ 3t6,p _1 (9т0Т1 dт9ф £ dT6e
(t69 - Тфф) ctg 9 ^ 3t6,
(t69 - Тфф) ctg 9 ^ 3t6,
9 p\ dr r sin 9 dp r 89
d£ 1 d(pr6) 1 d^pr^ i 2w i уe ctg 9 = dt r 99 r sin 9 dp r r
T — tq + 2p,H,
9vr/9r — (l/(r sin#)) dr^fdp — rT]r — Г9 ctg#/r
У99
(1/r) dr^fdp - (l/(r sin#)) dr^fdp - V9 ctg9/r
1Гф
(l/(r sin#)) dvr/dp + dVф/dr — Уф/г
2Тф9
(l/(r sin#)) dv9/dp + (1/r) dVф/d9 - Гф ctg9/r
2тдт
(3.5.7)(3.5.8)(3.5.7)(3.5.8)(3.5.9)(3.5.9)(1/r) dvr/dr + dv9/dr — У9/Г'
(3.5.7)
(3.5.8)
(3.5.7)
(3.5.8)
(3.5.9)
(3.5.9)
Здесь
Т"тф — Уфт
1 Тфб — ^6ф^ T6r — Tr6i
Ттт —
—p + (2/2 +
^ETT — — ^2/Z + —^ETT + Ефф + 899^
Tw =
-p + (2// +
^фф — g ^t1 +(eTT + Ефф + 899),
T99 =
—p + (2/2 +
^Ебб — g ^2/z + -^^ (eTT + 8фф + 899),
T^ip = (^/z
1 To\
"г д- 1 £r<p> Тф9 -
= ^2p, + -^^ev9,T9r = ^2p, + ^^б'г^
P= "
1 dv6
, vr1 diJm , vr , V0 ctg 6
^тт =1
dr
'£69 = - ^7"
r d9
+,8фф —.++,
rrsm9 dp rr
_ 1 / 1 9пгднеvg \
£т92 \ г дОдтт /
_ J_ / 1Э^еj_9i^ _ ^ ctg 0 \
Е^е 2 yrsin^ дрг дО г /
_ 1 бдп^ 1 dvr _ т^Х
Ет(р 2 \ дт г sin (9 dz т /
у4b9r 1
Для несжимаемой бингамовской среды (р = const) уравнение неразрывности имеет вид
div v = О,
т. е.т. е.8ТТ + £(р(р + £00 — 0.8ТТ + £(р(р + £00 — 0.
т. е.
т. е.
8ТТ + £(р(р + £00 — 0.
8ТТ + £(р(р + £00 — 0.
Глава 4ПЛОСКИЕ ТЕЧЕНИЯ БИНГАМОВСКИХ СРЕД.ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
§4.1. Стационарное течениемежду параллельными плоскостями
Рассматривается задача о стационарном изотермическом течении несжимаемой бингамовской среды между двумя горизон-
Рис. 4.1Рис. 4.1
Рис. 4.1
Рис. 4.1
тальными параллельными плоскостями при заданном перепаде давления (рис. 4.1) [16, 19,86].
Для решения этой задачи используется система II. Так как течение симметрично относительно плоскости z = 0, то задача решается при следующих граничных условиях (см. рис. 4.1):
z = jzh; хх = О,
(4.1.1)(4.1.1)2 = ±2i:= т^ = т2р2, т|г = т^2,
(4.1.1)
(4.1.1)
х = 0: р = pi,
х = 1: р = Р2, Рх > РЪ
здесь ±^i — координаты поверхностей, разделяющих области сдвигового и пластического течений.
При сделанных допущениях
dvx/dt = 0,vz = 0.
(4.1.2)
Из уравнения несжимаемости (3.2.9) следует
Vx = Vx^Y
Система II примет следующий вид: дтхх 9txz q9tzx 9tzz q
9xdz'dxdz1
(4.1.3)
(4.1.4)
'^xx -+ 4^ = т0 + ^ ^ ,
(4.1.5)
Дальнейшее
^ (Тхх - T.U = 0.
dz
решение проводится отдельно для
(4.1.6)
областей
сдвигового и пластического течений, а затем полученные результаты стыкуются с помощью граничных условий.
Решение для области сдвигового течения — h < 2 < —21, ^1 < z < h. В сдвиговой области /л ^ 0. Для этой области dvx/dz ^ 0, за исключением тех точек области, где профиль скорости имеет точки экстремума. Поэтому для этой области из уравнения (6) следует
^жж =(4.1.7)
В этом случае уравнение (5) с учетом равенства знаков напряжений слева и справа, имеет вид
. du хdu х/. i x
= TQSign —+ jtz—.(4.1.8)
dzdz
Отсюда в силу равенства (3) следует
= ^жг(^)-(4.1.9)
Тогда уравнения (4) примут следующий вид:
Из второго уравнения системы (10) и равенства (7) следует
Txx=Tzz = fCY(4.1.11)
В первом уравнении системы (10) переменные разделяются:
(4.1.12)(4.1.12)dxxx dux ■dx dz
(4.1.12)
(4.1.12)
здесь k — константа разделения.
Проинтегрировав полученные уравнения, получим
Тжг = Ь + Сь(4.1.13)
тжж =—кх + С2.(4.1.14)
Постоянные к и С2 находятся из граничных условий (1) для давления. Полагается, что при х = 0,Z нормальное напряжение тжж сводится к взятому со знаком минус давлению получаем
С2 = -рх, к = -/\р/1, /\р = рх-р2. (4.1.15)
Компоненты напряжения с учетом равенств (И), (13)-(15) равны
Txz = -^2 + Сь Тжх = Tzz =-рх-V ^-х.(4.1.16)
Скорость течения среды иж в сдвиговой области определяется после интегрирования дифференциального уравнения (8), в которое подставляется выражение тЖ2 из первого равенства (16):
Ар z21 /. dt)x\1 1
=т0sign-Cl U + C3.(4.1.17)
pl 2р \ dz/
Постоянная интегрирования С3 находится из (17) при выполнении первого граничного условия (I):
С3 =TQSign-^-Ci4.1.18
pl 2 р \ dz /
После подстановки (18) в (17) выражение для определения скорости примет следующий вид:
Ар h2 — z2 , I /. d^x А । 7\1 1
= —г—9ь- TOsign-Cx\(±h-zY (4.1.19)
Знак плюс перед h соответствует положительным значениям координаты z, и sign^t^/dz) = — I, а знак минус — отрицательным значениям координаты z, и sign^t^/dz) = +1 (см. рис. 4.1).
Решение для области пластического течения —zx < z < < zi. При решении задачи в пластической области используется так же система уравнений II, в которой величина коэффициента динамической вязкости р полагается равной нулю.
Если предположить, что уравнение (6) так же, как и в предыдущем случае, имеет решение (7), то при р = 0 из уравнения (5) следует тЖ2 = tq. При подстановке этого значения касательного напряжения в уравнения (4) при условии (7) получается тжж = = tzz = const. Такое решение противоречит физическому смыслу задачи и граничным условиям (I) для давления. Таким обра-
зом, сделанное предположение неверно. В пластической области должно быть тжж ф tzz и, следовательно,
й17ж/йг = 0, vx = С4.(4.1.20)
(4.1.21)(4.1.21)Система уравнений (4), (5) решается при условии, что в пластической области так же, как и в сдвиговой области, касательное напряжение есть функция только координаты г:
(4.1.21)
(4.1.21)
следует
Гт
£7^ + а7^ = (),£2^ = 0.(4.1.22)
Эхdzdz
Txz — Txz\^
На основании этого из системы уравнений (4), как и ранее,
Второе уравнение этой системы, как и в предыдущем случае,
дает
Тгг = тДх\(4.1.23)
Из уравнения (5) при // = 0 следует
Тхх = Tzz ±2дт%- t^z .(4.1.24)
Подстановка этого выражения тжж в первое уравнение (4) с учетом равенств (21) и (23) приводит к дифференциальным уравнениям относительно функций тжж(х) и txz^
dxzzdTxz ,
ахdz
(4.1.25)
где кх — константа разделения.
Решение этих уравнений дает
тгг = k^x + С5, Txz = -kiz + C&.(4.1.26)
Постоянные кх, С5, Сб находятся из граничных условий (1) на границе раздела областей и выражений (16) для компонент напряжения в сдвиговой области:
кх = -к = ^p/k С5 = -рх, С6 = Сх.(4.1.27)
В силу симметрии линейной функции txz^ относительно плоскости 2 = 0 согласно (26) и (27) получаем
Компоненты напряжения в области пластического течения в силу (24), (26), (27) имеют вид
। АрАрр Г
-Pl +rxz =—-2, гхх = tzz -р .
(4.1.29)
В последнем равенстве (29) перед корнем знак минус оставлен из физических соображений, поскольку компоненты нормальных напряжений должны быть отрицательными в любых точках течения и при любых значениях параметров.
Координаты ^1 точек границы раздела областей сдвигового и пластического течений определяются из условия, что на границе раздела областей интенсивность напряжений в сдвиговой области Ts = tq равна касательному напряжению, определяемому из равенств (16) с учетом (29):
^1 = р(4.1.30)
Ар
Скорость течения в пластической области хх определяем, используя последнее равенство (22), выражение скорости течения в сдвиговой области (19) с учетом (29), (30) и условие непрерывности скорости на границе раздела областей течения из граничных условий (1):
^Х = 1рЧ^2;(4.1.31)
здесь знак минус соответствует 21 > 0, знак плюс соответствует 21 < 0. При 2i = h имеем предельный случай, когда течение в пространстве между пластинами пластическое. При 21 > h среда находится в состоянии покоя.
Проанализируем полученные результаты с точки зрения их физического смысла. Расход Q бингамовской среды, текущей между параллельными плоскостями, определяется выражением
Q = | ххр dz = 2 | ^(2) dz + 2 j ^ dz. (4.1.32) — h0
Если в (32) подставить выражения скоростей течения в сдвиговой (19) и пластической (31) областях и значение координаты 21 (30), то для расхода среды получится следующее выражение, совпадающее с известной формулой А.М. Гуткина [9]:
Др£ Г2 _^ + 1.(4.1.33)
pl L3 пАр 3 хпАру J
Из полученной формулы расхода среды (33) путем поочередного приравнивания в ней к нулю соответствующих реологических констант получаются выражения для определения расходов вязкой и пластической сред. При щ = О получается выражение для расхода вязкой жидкости [77]. При р, = 0 и zi = h — выражение для расхода пластической среды.
Однако в этом последнем случае правая часть в выражении расхода в силу соотношения (30), неопределенна. Для раскрытия этой неопределенности используется выражение скорости течения среды в пластической области (31), откуда определяется отношение z\/h, которое затем с учетом (30) подставляется в выражение расхода (33). После этого получается следующее выражение для расхода пластической среды:
Q = 2^^. (4.1.34)
Отсюда следует, что течение пластической среды между параллельными плоскостями представляет собой ее скольжение как твердого тела по тонкому прилипшему к стенкам слою этой среды. Аналогичный результат был получен Л.М. Качановым [50] для течения пластической среды в круглой прямой трубе.
Перепад давления, при котором бингамовская среда будет течь как пластическое тело, определяется из выражения для z\ при его значении z\ = h. Это предельный перепад давления, при котором еще может существовать течение среды. При меньшем перепаде давления среда будет находиться в состоянии покоя. При перепаде давления большем предельного чисто пластического течения уже не будет, так как появится область сдвигового течения, и ^ < ^ при любых значениях параметров течения среды.
На рис. 4.1 приведены результаты решения этой задачи в виде эпюр скорости течения и напряжений. Эпюры скорости 1)х^ и касательного напряжения тжг(г) соответствуют ранее известным представлениям о течении бингамовских сред (см. введение). Эпюра нормального напряжения тхх^ получена уже в рамках нового представления о течении таких сред и не могла быть получена в рамках прежнего представления. Эпюра нормального напряжения tzz на рис. 4.1 не показана, так как она соответствует прямоугольной части эпюры тхх. Неоднозначность при определении нормальных напряжений тжж и для области пластического течения устраняется тем, что их значения принимаются отрицательными для любых значений параметров, что следует из физического смысла задачи.
§4.2. Круговое течение в зазоре между двумякоаксиальными вращающимися цилиндрами
Рассматривается задача о стационарном изотермическом те
чении несжимаемой бингамовской среды в кольцевом зазоре между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами (рис. 4.2) [16,32].
Задача решается с помощью уравнений системы II, записанных в цилиндрической системе координат (г,^ г). Течение считается плоским и осесимметричным. При этих условиях система II примет следующий вид:
1 / ОТГГ । Ттт ^"^Ч5т р \ Эт г
О = -| - ')
р \ Эт г /
Рис. 4.2Рис. 4.2(4.2.1)(4.2.1)т=^ Щ - Twy + 4т^ = то + д|^ -
Рис. 4.2
Рис. 4.2
(4.2.1)
(4.2.1)
Уравнение неразрывности в системе (1) удовлетворяется тождественно, а все искомые величины, входящие в эту систему, являются функциями только координаты г.
Система уравнений (1) решается при следующих граничных условиях (см. рис. 4.2):
г = Их:= оохНх,
г = Яо: ^ = ^> Т®т = тД, т®г = тД, Ts = Тр = То,
= Й2: „„ =(4 2 2)
здесь До — радиус условной цилиндрической поверхности, разделяющей области сдвигового и пластического течений.
Второе уравнение системы (1) интегрируется сразу для всех областей течения:
т^т =(4.2.3)
здесь Сх — постоянная интегрирования, которая будет определена позднее. При этом граничное условие (2) для касательного напряжения т(рг автоматически выполняется.
Дальнейшее решение проводится отдельно для областей сдвигового и пластического течений, а затем полученные результаты стыкуются с помощью граничных условий.
Решение для области сдвигового течения R\ < г < Rq. Прежде всего, отметим, что последнее уравнение системы (1) для сдвиговой области будет иметь решение
(4.2.4)
так как в сдвиговой области в общем случае величина дор/дг — — Opjo ^ 0. Таким образом, в сдвиговой области на основании известного равенства
^о = Р = 2+ ^"рр^
нормальные напряжения сводятся к взятому со знаком минус давлению:
тТТ = tw = -р.(4.2.5)
Из третьего уравнения системы (1) находится окружная скорость Ор. Для этого в данное уравнение подставляются выражения касательного напряжения ТрТ (3) и нормальных напряжений (5). После интегрирования его по координате г найдем
Ст = — sign г In г + Сог;(4.2.6)
2р г р \ до т )
здесь С2 — постоянная интегрирования.
В том случае, когда вращения внутреннего и внешнего цилиндров направлены в одну сторону (см. рис. 4.2), скорости точек среды в сдвиговой области либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают с возрастанием координаты т. Это значит, что знак касательного напряжения ТрТ и sign (дор/дг — Ор/г) в сдвиговой области не изменяются с изменением координаты г.
Для нахождения констант Ci и С2 в выражении (6) составляются два алгебраических уравнения, содержащих эти константы. Одно из уравнений получается путем подстановки первого из граничных условий (2) в соотношение (6):
= -4-^-^signf^-^)7?iln7?i+C27?i.(4.2.7)
2р р \ or т )
Второе уравнение получается из граничного условия (2) для интенсивности напряжений Ts на границе раздела R^ сдвиговой и пластической областей течения. С учетом соотношений (3), (4) и выражения интенсивности напряжений для плоского течения
среды (3.2.13), записанного в цилиндрической системе коорди-
нат, получим
(4.2.8)(4.2.8)о 2 •/ dDp Dp
(4.2.8)
(4.2.8)
Сх = тоДоsign! —
здесь знак постоянной Сх определяется по знаку касательного напряжения ТрГ в соответствии с равенством (6). Сама же постоянная интегрирования Сх может быть определена только после определения величины R^.
Выражение касательного напряжения ТрГ (3), справедливое во всех областях течения среды, в соответствии с равенством (8) имеет следующий вид:
ТфГТфГRq ./dDp= T04p Sign — г2 \ drRq ./dDp= T04p Sign — г2 \ dr(4.2.9)(4.2.9)
ТфГ
ТфГ
Rq ./dDp
= T04p Sign — г2 \ dr
Rq ./dDp
= T04p Sign — г2 \ dr
(4.2.9)
(4.2.9)
Решение для области пластического течения Rq ^ г ^ R2. При решении задачи в пластической области используется так же система уравнений (1), в которой величина коэффициента динамической вязкости полагается равной нулю. Решение последнего из этих уравнений для пластической области находится путем исследования двух возможных случаев: 1) тТТ — Трр = О, что имело место и для сдвиговой области; 2) dvp/dr — Vp/r = = 0. В первом случае из третьего уравнения (1) при // = 0 следует ТрГ = tq. Это противоречит выражению ТрГ из равенства (3), справедливого для всех областей течения. Таким образом, следует принять, что в области пластического течения решение последнего уравнения системы (1) должно иметь следующий вид:
Ttt-tw^0, ^-^ = 0.(4.2.10)
Окружная скорость точек среды в пластической области определяется путем интегрирования уравнения (10):
г)р = С3т;(4.2.11)
здесь С3 — постоянная интегрирования. Эта постоянная определяется из граничного условия (2) для скорости Dp в пластической области:
Сз = ^2.(4.2.12)
Окружная скорость точек среды в пластической области с учетом (12) равна
Dp =(4.2.13)
Из полученного выражения следует, что распределение скоростей точек по координате г в пластической области бингамовс-
кой среды будет таким же, как и при вращательном движении твердого тела относительно неподвижной оси.
Разность нормальных напряжений тТТ — tw находится из третьего уравнения системы (1) при // = О подстановкой в него выражения касательного напряжения т^ из равенства (9):
=(4.2.14)
V т
Производная drrr/dr находится из первого уравнения системы (1) при подстановке в него (14) с учетом выражения (13):
dT'p'pdrdT'p'pdr2-г- 2щ=—2-г- 2щ=—(4.2.15)(4.2.15)
dT'p'pdr
dT'p'pdr
2-г- 2щ
=—
2-г- 2щ
=—
(4.2.15)
(4.2.15)
Нормальное напряжение тТГ в ляется интегрированием левой иНормальное напряжение тТГ в ляется интегрированием левой ипластической области опреде- правой частей уравнения (15)пластической области опреде- правой частей уравнения (15)
Нормальное напряжение тТГ в ляется интегрированием левой и
Нормальное напряжение тТГ в ляется интегрированием левой и
пластической области опреде- правой частей уравнения (15)
пластической области опреде- правой частей уравнения (15)
по координате г:2 2Пт =± Т0по координате г:2 2Пт =± Т0+ С4.+ С4.(4.2.16)(4.2.16)
по координате г:
2 2
Пт =± Т0
по координате г:
2 2
Пт =± Т0
+ С4.
+ С4.
(4.2.16)
(4.2.16)
Значение tw определяется из (14) подстановкой в него нормального напряжения тТГ (16):+ С4.(4.2.17)Значение tw определяется из (14) подстановкой в него нормального напряжения тТГ (16):+ С4.(4.2.17)Т ТО V 1 - -4 + In 2\ V тТ ТО V 1 - -4 + In 2\ V тrA-R^rA-R^RoRo
Значение tw определяется из (14) подстановкой в него нормального напряжения тТГ (16):
+ С4.
(4.2.17)
Значение tw определяется из (14) подстановкой в него нормального напряжения тТГ (16):
+ С4.
(4.2.17)
Т ТО V 1 - -4 + In 2\ V т
Т ТО V 1 - -4 + In 2\ V т
rA-R^
rA-R^
Ro
Ro
Как следует из (16), (17), нормальные напряжения определяются с точностью до постоянной С4. При необходимости эта константа может быть определена путем экспериментального измерения давления в среде по выражению
г2 + Jг4 -
Р(д = -а0(Р =± то In^1 + с4.(4.2.18)
Стыковка полученных результатов. Для получения замкнутой системы уравнений, из которой определяются все три параметра Ci, С2 и R^ необходимо найти еще одно уравнение. Для этого в соответствии с граничными условиями (2) приравняем друг к другу правые части равенств (6) и (13) при г = Rq. В результате получим третье уравнение
ш^ =^ - - signf2^ - ^ЩЬЯо + C2R0. (4.2.19)
Rq pi \ or г )
Таким образом, уравнения (7), (8) и (19) образуют замкнутую систему для определения констант Ci, С2 и радиуса Rq границы
раздела сдвиговой и пластической областей течения. Решение этой системы следующее:
Ci = -2ц(сщ - w2) 99 - 2то sign 99 1п
- Д^V dr г ) Rl-R] Ro
(4.2.20)
„ _ wiR2 — Ш2Д0 то . /dv^ vv\ R2{ 1пД] — Дд1пДо
2 =Д2-Д2 " 7 Slgn№ " T’
2ц(иц ^2)• /dvpUp \ /1. -I \\
- = sign —- (1 — а + Ina ;(4.2.21) тоу dr г /
здесь
а = R^fRV(4.2.22)
параметр Eq определяется из уравнения (21).
Окружная скорость Гр точек среды, находящихся между двумя соосными вращающимися цилиндрами, определяется из (6) при подстановке в него Ci и С2 с учетом (22):
_ (од - ^2)Др - (/Щ - ^У2 _
— 1)г
То . fdrm Гт\ Ro\na^r2\na\ - аг\иа0
- — sign - — —;п; (4.2.23) 2ц у dr г )(а - 1)г
здесь
ai = R^fr2, а^ = I^/r2.(4.2.24)
На этом решение поставленной задачи заканчивается.
Случай ш2 = 0, сщ = ио. Рассмотрим часто встречающийся в различных технических приложениях случай, когда внешний цилиндр покоится, а внутренний вращается с постоянной угловой скоростью со (CS-реометр системы Сарле гл. 2).
В этом случае
са2 = 0, cai = ca, sign(d^/dr — Vp/r) = — 1.
На основании равенства (13) в пластической области среда будет покоиться, а в сдвиговой области скорости точек среды будут определяться следующей формулой:
_ ш(Но - г2) т0 До1па + г21па1 -^lna0 м Q (а—1)г 2ц(а — 1)г'' '
Параметр Яо определяется из уравнения
= -(1 -a) -Ina.(4.2.26)
То
Момент сил сопротивления среды, действующих на единицу длины вращающегося цилиндра М/, определяется выражением
Mz =-то^Мпа, (4.2.27)
а — 1 а — 1
которое следует из выражения касательного напряжения (9), куда вместо величины т^Н^ подставляется равная ей величина Ci (20) с учетом знака касательного напряжения. Момент (27), приложенный к любой цилиндрической поверхности радиуса г единичной длины, выделенной в среде, не зависит от радиуса этой поверхности, что следует из выражения (9).
Следует иметь в виду, что отрицательным знак момента сил будет для тех цилиндрических поверхностей, которые имеют нормали к площадкам, направленные от оси вращения внутреннего цилиндра (внешние нормали). Для цилиндрических поверхностей с внутренней нормалью эти моменты будут положительны. Физически это означает, что для цилиндрических поверхностей с внешней нормалью силы, приложенные к этой поверхности, являются пассивными, а для цилиндрических поверхностей с внутренней нормалью численно такие же силы будут активными.
Соотношения (25) и (27) используются для определения реологических констант то и /1 бингамовских сред в некоторых типах ротационных вискозиметров. Для более удобного использования этих соотношений из уравнения (25) находится область значений числа Сен-Венана, равного pim/ht Для которой радиус До удовлетворяет неравенству До > Д2. Это означает, что область сдвигового течения среды распространяется на все пространство между цилиндрами. В этом случае в формулу (27) вместо неизвестной величины До подставляется известная заранее величина Д2, и формула (27) приобретает следующий вид:
р2р2
М/ = -2^Д-;о^Ы:(4.2.28)
здесь
b = R2/Rv(4.2.29)
Течение в круглой прямой трубе
Рассматривается стационарное изотермическое течение однородной бингамовской среды в круглой прямой трубе под действием постоянного перепада давления. Принимается, что течение среды осесимметричное и линии тока параллельны оси трубы.
Задача решается с помощью уравнений системы II, записанных в цилиндрической системе координат (г, 99, г). Ось Oz направлена вдоль оси трубы. В этом случае
щ = 7;^ = О, vz = v, dv/dt^Q, д)дф = 0.(4.3.1)
С учетом дующий вид:С учетом дующий вид:соотношений (1) система уравнений примет сле-соотношений (1) система уравнений примет сле-«О, dz«О, dzдтТТ дтгг Трз дт dz9ttz 9tzzdr dzТ2 = 4тр + Угг(т -т ) —дтТТ дтгг Трз дт dz9ttz 9tzzdr dzТ2 = 4тр + Угг(т -т ) —= 0,= 0,О \2(4-3-2)он уотО \2(4-3-2)он уот
С учетом дующий вид:
С учетом дующий вид:
соотношений (1) система уравнений примет сле-
соотношений (1) система уравнений примет сле-
«О, dz
«О, dz
дтТТ дтгг Трз дт dz
9ttz 9tzzdr dz
Т2 = 4тр + Угг
(т -т ) —
дтТТ дтгг Трз дт dz
9ttz 9tzzdr dz
Т2 = 4тр + Угг
(т -т ) —
= 0,
= 0,
О \2(4-3-2)
он у
от
О \2(4-3-2)
он у
от
Задача решается при следующих граничных условиях:
г = R: v = 0,
r = R0; vs = vp, rs = тр, т^т = т?Г, T8 = T^ = tOi
r = 0: cp ^ 00, Tp ^ 00,
2 = 0: Tzzy, 0) = —рУ, 0) = -p\,
Z = l- Tzzy, I) = —рУ, /) = -p2,,
здесь R — радиус трубы, R^ — радиус цилиндрической поверхности, разделяющей области сдвигового и пластического течений, I — длина рассматриваемого участка трубы, т = tTZi верхними индексами s и р, как и ранее, обозначены соответствующие характеристики течения среды в сдвиговой и пластической областях течения.
Из уравнения неразрывности для всех областей течения еле- ДуеТ 4) = ^. (4.3.4)
Дальнейшее решение проводится отдельно для областей сдвигового и пластического течений, а затем полученные результаты стыкуются с помощью граничных условий.
Решение для области сдвигового течения Rq < г ^ R. В области сдвигового течения pi ф 0. Для этой области dv/dr ^ 0 за исключением тех точек области, где профиль скорости имеет точки экстремума. Поэтому для этой области из последних двух уравнений системы (2) следует
Ут — т^р^р — tzz — р.Ут — т^р^р — tzz — р.(4.3.5)(4.3.5)
Ут — т^р^р — tzz — р.
Ут — т^р^р — tzz — р.
(4.3.5)
(4.3.5)
В этом случае из четвертого уравнения системы (2) с учетом равенства знаков напряжений слева и справа, следует
т = -т0 + м^-(4.3.6)
dr
На основании соотношений (4), (6) получим
т = т(г\(4.3.7)
Первые два уравнения системы (2) с учетом равенств (5) и (7) примут следующий вид:
= о, - I- (гт) - f = 0.(4.3.8)
ОТТ ОТ
Из первого уравнения системы (8) следует
р = р(^У(4.3.9)
а из второго уравнения этой системы, разделяя переменные,
получим
1Г (тт\ = ?р = кг drdz’
(4.3.10)
здесь к — константа разделения.
Касательное напряжение т найдем интегрированием первого уравнения (10):
т=^г + ^-;(4.3.11)
здесь С\ — постоянная интегрирования.
Давление р найдем интегрированием второго из уравнений (10):
р = Ь + С2;(4.3.12)
здесь С2 — постоянная интегрирования.
Постоянные к и С2 находятся из последних двух граничных условий (3):
С2=и, к = -^^.(4.3.13)
На основании (13) выражения для касательного напряжения (И) и давления (12) примут следующий вид:
Т = -Е1^1г + ^’(4.3.14)
р=-Ш^г + р].(4.3.15)
Скорости точек среды найдем из дифференциального уравнения, получающегося путем подстановки касательного напря-
жения (14) в соотношение (6), с последующим интегрированием этого уравнения:
V = - (-Р1 Ч Г2 + — Inr + тог\ + С3.(4.3.16)
р \г/
Здесь Сд — постоянная интегрирования, которая находится с помощью первого граничного условия (3):
С3 =(-^^Я2 + С11пЯ + т0я).(4.3.17)
С учетом (17) скорости точек среды (16) имеют следующий вид:
= 5 Р^Чг^ ('? - Л’> + V 111 5 + <1 - я] ■ <4-3.18)
Оставшаяся неопределенной константа Ci будет найдена в следующем пункте.
Решение для области пластического течения 0 < г < Rq. При решении задачи в пластической области используется так же система уравнений (2), в которой величина коэффициента динамической вязкости р полагается равной нулю. Если предположить, что последние два уравнения системы (2) так же, как и в предыдущем случае, имеют решение (5), то при р = 0 из четвертого уравнения (2) следует ttz = т = tq. В этом случае первые два уравнения (2) будут иметь противоречивые решения:
др/9т = О, р = р(^\ др/dz =—т^/г, р = (—to/t/z + С.
Таким образом, остается принять, что решениями последних двух уравнений системы (2) являются
^/dr = 0, т = С4.(4.3.19)
Постоянная С^ находится с использованием второго граничного условия (3) для скорости. Для этого радиус Rq границы, разделяющей области сдвигового и пластического течений, подставляется в выражение (18), которое затем на основании (19) приравнивается к С4. В итоге получим следующее выражение для скорости течения среды в пластической области:
= -(^ - Я2) + ^ Ы ^ + тЦЯо - R^ ■ (4.3.20)
Р LТЦ) llJ
Перейдем к определению напряжений в пластической области, предварительно показав, что для осесимметричного течения среды при условии vr = 0 компонента нормального напряжения
определяется как tw = а^ = —р. Для этого из системы уравнений (2) составим следующие два уравнения:
Т<р<р ^^ТТ<р<р ^^Т— lTZ— lTZdvr/dr — пт1тdvz/dr + dvr/dz"— dvz/dzdvz/dr + dvr/dz'dvr/dr — пт1тdvz/dr + dvr/dz"— dvz/dzdvz/dr + dvr/dz'(4.3.21)(4.3.21)
Т<р<р ^^Т
Т<р<р ^^Т
— lTZ
— lTZ
dvr/dr — пт1тdvz/dr + dvr/dz"— dvz/dz
dvz/dr + dvr/dz'
dvr/dr — пт1тdvz/dr + dvr/dz"— dvz/dz
dvz/dr + dvr/dz'
(4.3.21)
(4.3.21)
Вычтем из левой и правой частей верхнего уравнения (21) соответственно левую и правую части нижнего уравнения (21), после чего получим
тгг Ztw + tzz-Zttz dVz/dr + dVr/dz '
Воспользовавшись уравнением неразрывности из системы (1) для осесимметричного течения, найдем из него сумму Эг)т/Эг + + dvz/dz, которую затем подставим в правую часть (22). В результате с учетом vr = 0 находим
= 2 ^тт 4" tzz\(4.3.23)
Далее из системы уравнений (23) и (22) исключается сумма ттт + tzz, после чего получается
tw = сг0 = -р,(4.3.24)
что и требовалось доказать.
С помощью (23) исключим из первого уравнения системы (1) нормальное напряжение tw и с учетом р = 0 из системы (1) получим новую систему уравнений относительно компонент тензора напряжения в пластической области течения среды
дттт 1 ттт — tzz Qdr 2 г ’
Д + 1 + Д^ = о(4.3.25)
dr г dz 1
4т2 + Щ = 4tq .
Систему уравнений (25) решаем в предположении, что в пластической области течения среды касательное напряжение г, как и в сдвиговой области течения, является функцией только координаты г. Это предположение оправдано тем, что касательные напряжения в текучих средах зависят только от проекций скорости течения. Так как в данном случае единственная не равная нулю проекция г зависит только от г, то и касательное напряжение может зависеть только от г.
При сделанном предположении из второго уравнения системы (25) находится нормальное напряжение
=+(4.3.26)
Произвольная функция /(г) и касательное напряжение т определяются путем подстановки в (26) последних двух граничных условий (3). В результате находим
№) = -;>!.(4.3.27)
(4.3.28) т атI21 г
В силу третьего граничного условия (3) необходимо, чтобы С5 = 0. В этом случае для касательного напряжения в области пластического течения среды (28) получим следующее выражение:
Нормальное напряжение в области пластического течения среды (26) на основании равенств (27) и (28) примет следующий вид:
(4.3.30)
Таким образом, нормальное напряжение тгг в пластической области течения среды так же, как и в сдвиговой области течения, сводится к взятому со знаком минус давлению (15).
На основании равенства (24) нормальное напряжение tw в области пластического течения среды так же, как и в сдвиговой области течения, сводится к взятому со знаком минус давлению (15):
Tw = Plz21z_pv (4.3.31)
Нормальное напряжение ттт в области пластического течения среды находится из последнего уравнения (25) путем подстановки в него выражений т (29) и (30):
Рх -р^Рх -р^z-pxz-px(РХ -Р2 к 21(РХ -Р2 к 21(4.3.32)(4.3.32)
Рх -р^
Рх -р^
z-px
z-px
(РХ -Р2 к 21
(РХ -Р2 к 21
(4.3.32)
(4.3.32)
Исходя из физической постановки задачи должно выполняться условие ттт < 0 для любых значений параметров, входящих
в соотношение (32). На этом основании в формуле (32) перед корнем следует оставить знак минус, т. е.
Этот результат получен впервые, что явилось следствием новой постановки задачи о течении бингамовской среды.
Оставшуюся неопределенной постоянную интегрирования Сь найдем, используя третье граничное условие (3) для касательного напряжения т. Для этого приравняем друг к другу выражения касательных напряжений в сдвиговой области течения (11) и в пластической области течения (29) при значении координаты т = = До. В результате получим Q = 0, и выражение касательного напряжения в сдвиговой области течения (11) будет таким же, как и в пластической области (29).
Выражения для скорости г) в сдвиговой и пластической областях течения среды получим из соотношений (18) и (20), полагая в них Ci = 0:
Vs = - [—^^р^ (^2 — ^2) + щ(г — Д)], До < г < Д,
М(4.3.34)
vp = - [-Е4г^ (До " Я2) + to(Ro - R^ 0 < г < Яо-
(4.3.35)
Радиус области пластического течения До определяется из пятого граничного условия (3) для интенсивности напряжений Т. Интенсивность напряжений в области сдвигового течения среды (см. пятое уравнение системы (1)) с учетом равенств (5) равна абсолютной величине касательного напряжения. На этом основании вышеуказанное граничное условие дает для радиуса До следующее значение:
= 2то1^(4.3.36)
Р1 -Р2
что совпадает с ранее полученными результатами [84, 98].
Определим расход среды Q, используя выражение
z^oR х
Q =| D^rdr-V | if т dr у(4.3.37)
здесь dp — скорость течения среды в пластической области, которая находится по формуле (35), а щ5 — скорость течения
среды в сдвиговой области, которая находится по формуле (34). Подставив в (37) эти выражения скоростей из (34) и (35), после интегрирования получим
(4.3.38)(4.3.38)тгД4(р1 -р2) Г, _ 4 /Яо\ J_ /^Vl8/zZL 3 У R / + 3 У R ) Г
(4.3.38)
(4.3.38)
Полученное соотношение известно как формула Букингама для определения расхода бингамовской среды, текущей в круглой прямой трубе при постоянном перепаде давления [84].
Таким образом, задача исследования течения бингамовской среды в круглой прямой трубе при постоянном перепаде давления полностью решена.
Глава 5
ПЛОСКИЕ ТЕЧЕНИЯ БИНГАМОВСКИХ СРЕД.ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
. Один общий случайквазистационарного течения в тонком слоес изменяющимися внешними границами
Рассматривается плоское изотермическое квазистационарное течение однородной несжимаемой бингамовской среды в узком
Рис. 5.1Рис. 5.1
Рис. 5.1
Рис. 5.1
канале, стенки которого медленно деформируются по произвольным законам Нх^хД) и Ь^хД^ (рис. 5.1) [18].
Задача решается с помощью безразмерной системы уравнений для плоского течения бингамовской среды в тонком слое в безинерционном приближении (3.4.35)-(3.4.38). Функции Нх^хД) и Н^хД) считаются гладкими и однозначными. Силы вязкого и пластического сопротивлений принимаются значительно превышающими силы инерции. Это означает, что безразмерные числа К и 1/R, входящие в систему уравнений (3.4.35)(3.4.38), значительно больше единицы.
Система уравнений плоского течения (3.4.35)-(3.4.38) в безинерционном приближении имеет следующий вид:
о = к2 + (К + 1)ох \ R/о = к2 + (К + 1)ох \ R/dz 1dz 10=^г+^ К+п oz \ R/ Уж0=^г+^ К+п oz \ R/ Уж(5.1.1)(5.1.1)
о = к2 + (К + 1)
ох \ R/
о = к2 + (К + 1)
ох \ R/
dz 1
dz 1
0=^г+^ К+п oz \ R/ Уж
0=^г+^ К+п oz \ R/ Уж
(5.1.1)
(5.1.1)
dvx МЭх dzdvx МЭх dz(5.1.2)(5.1.2)1 / 12 V (K+ 1/R)21 / 12 V (K+ 1/R)2)2 + 4t^z)2 + 4t^zSS11dvx l2 dvzdz 2 8xdvx l2 dvzdz 2 8xXXXX^,г=1,2,dx /(5.1.3)9vx , ,2dz 2 dx /^,г=1,2,dx /(5.1.3)9vx , ,2dz 2 dx /_ _ (5.1.4) здесь к^ = U/1 = h/k h — средняя по времени и по координате х толщина слоя, все верхние индексы в обозначениях безразмерных переменных опущены.Система уравнений (1)-(4) решается методом последовательных приближений в сочетании с методом малого параметра [6]. В качестве нулевого приближения берется решение задачи для тонкого слоя в безинерционном приближении. Соответствующие уравнения получатся из системы (1)-(4), если величину к^ = hjk которая будет в этом случае малым параметром, устремить к нулю.Ограничиваемся случаем, когда бингамовская среда по своим свойствам близка к свойствам идеально пластической среды. В этом случае характеристические числа К 1, К 1/R, S 1_ _ (5.1.4) здесь к^ = U/1 = h/k h — средняя по времени и по координате х толщина слоя, все верхние индексы в обозначениях безразмерных переменных опущены.Система уравнений (1)-(4) решается методом последовательных приближений в сочетании с методом малого параметра [6]. В качестве нулевого приближения берется решение задачи для тонкого слоя в безинерционном приближении. Соответствующие уравнения получатся из системы (1)-(4), если величину к^ = hjk которая будет в этом случае малым параметром, устремить к нулю.Ограничиваемся случаем, когда бингамовская среда по своим свойствам близка к свойствам идеально пластической среды. В этом случае характеристические числа К 1, К 1/R, S 1и при к^ = вид:и при к^ = вид:е 0 система уравнений (1)-(4) примет следующийе 0 система уравнений (1)-(4) примет следующийЭт3Эт3Эт^9zЭт^9z(5.1.5)(5.1.5)9zdvx М =Эх dz9zdvx М =Эх dz(5.1.6)(5.1.6)(5.1.7)(5.1.7))2 +4Т2 = 1 + 1 1^:)2 +4Т2 = 1 + 1 1^:(5.1.8)(5.1.8)
dvx М
Эх dz
dvx М
Эх dz
(5.1.2)
(5.1.2)
1 / 1
2 V (K+ 1/R)2
1 / 1
2 V (K+ 1/R)2
)2 + 4t^z
)2 + 4t^z
S
S
1
1
dvx l2 dvzdz 2 8x
dvx l2 dvzdz 2 8x
XX
XX
^,г=1,2,
dx /
(5.1.3)
9vx , ,2
dz 2 dx /
^,г=1,2,
dx /
(5.1.3)
9vx , ,2
dz 2 dx /
_ _ (5.1.4) здесь к^ = U/1 = h/k h — средняя по времени и по координате х толщина слоя, все верхние индексы в обозначениях безразмерных переменных опущены.
Система уравнений (1)-(4) решается методом последовательных приближений в сочетании с методом малого параметра [6]. В качестве нулевого приближения берется решение задачи для тонкого слоя в безинерционном приближении. Соответствующие уравнения получатся из системы (1)-(4), если величину к^ = hjk которая будет в этом случае малым параметром, устремить к нулю.
Ограничиваемся случаем, когда бингамовская среда по своим свойствам близка к свойствам идеально пластической среды. В этом случае характеристические числа К 1, К 1/R, S 1
_ _ (5.1.4) здесь к^ = U/1 = h/k h — средняя по времени и по координате х толщина слоя, все верхние индексы в обозначениях безразмерных переменных опущены.
Система уравнений (1)-(4) решается методом последовательных приближений в сочетании с методом малого параметра [6]. В качестве нулевого приближения берется решение задачи для тонкого слоя в безинерционном приближении. Соответствующие уравнения получатся из системы (1)-(4), если величину к^ = hjk которая будет в этом случае малым параметром, устремить к нулю.
Ограничиваемся случаем, когда бингамовская среда по своим свойствам близка к свойствам идеально пластической среды. В этом случае характеристические числа К 1, К 1/R, S 1
и при к^ = вид:
и при к^ = вид:
е 0 система уравнений (1)-(4) примет следующий
е 0 система уравнений (1)-(4) примет следующий
Эт3
Эт3
Эт^9z
Эт^9z
(5.1.5)
(5.1.5)
9z
dvx М =
Эх dz
9z
dvx М =
Эх dz
(5.1.6)
(5.1.6)
(5.1.7)
(5.1.7)
)2 +4Т2 = 1 + 1 1^:
)2 +4Т2 = 1 + 1 1^:
(5.1.8)
(5.1.8)
XXXX(5.1.9)(5.1.9)М9z
XX
XX
(5.1.9)
(5.1.9)
Система уравнений нулевого и последующих приближений решается при условии прилипания среды к стенкам канала и условии непрерывности скорости и напряжения на границах раздела областей сдвигового и пластического течений. Эти гранич-
4 А.В. Гноевой, Д.М. Климов, В.М. Чесноков
ные условия в приближении тонкого слоя имеют следующий вид:
z = Их*. ^ь t) ~ О, цДж, Их, t) Shi(5.1.10)
dt
z = h2.Vx(x,h2,t) ~ о, Щж,/i2, £) « Shi ^,(5.1.11)
z = ^1:ж$(х,21Д) = x^x, zx,t\ ^(зс^хД) = x^(x, zx,t),
Xz^^b^ = т№^\Л^T®z(x,Z\,t) = T^X^lHY
(5.1.12)
Z = 22: Ж$ (ж, ^2, ^) = ^ж(Ж’ ^2 Д)^ж|(х, 22, ^) = ^(x, ^2, ^),
Txz(x,z2X) = T^x,z2,f), T®^x,z2,tX = T^x,z2,t),
(5.1.13)
z = h*: (хЩхЛ\Р = ^*ЧхЛ*,С),(5.1.14)
ж = Ж1:p(x\,z,t) =P\X) или Q(xi,t) = QoP), zciicx
ж = ж2: р(ж2, z,t) = P2X.' '
Shi =(5.1.16)
Здесь Нх^хД), И2^хД) — поверхности канала; zx^x.ty Z2^x,t) — поверхности раздела областей сдвигового и пластического течений; Shi — число Струхаля; Q(xx,t) = Qo№ — расход среды в начальном сечении канала; i — характерное время; U — характерная скорость; Н*(хД) — уравнение поверхности, на которой выполняется условие (14); (х^У — поперечная скорость xz в верхней части от поверхности Н*(хД); (х^У* — поперечная скорость xz в нижней части от поверхности Н*(хД).
Далее решение проводится аналогично тому, как это было сделано при решении задачи о сжатии слоя вязкопластичной среды двумя параллельными плоскостями [16,60]. В области сдвигового течения ограничиваемся нулевым приближением, а в области пластического течения — первым приближением. Для этого выражения нулевого приближения подставляются в те слагаемые уравнений (1)-(4), которые отбрасывались при отыскании нулевого приближения. Затем проводится оценка величин слагаемых по малому параметру е и отбрасываются те слагаемые, которые содержат множитель е в степени выше первой.
Начнем с решения системы уравнений (5)-(9) нулевого приближения. Из уравнения (6) для всех областей течения следует
Дальнейшее решение рассмотрим отдельно для сдвиговых и пластической областей течения. При этом как и раньше все кинематические и динамические характеристики течения в сдвиговых областях будем обозначать верхним индексом s, а все кинематические и динамические характеристики течения в пластической области верхним индексом р.
Решение в областях сдвиговых течений h\ ^ z < z\, z% < < z ^ h2- Из уравнения (9) для сдвиговой области следует
г" =т" , (5.1.18)
поскольку второе решение этого уравнения dvx/dz = 0 для сдвиговой области в общем случае не имеет места. На основании вида функции (17) и равенства (18) имеем
Тхх = тхх(Х' ^\ (5.1.19)
Производная drxz/dz находится из уравнения (5). Затем с учетом выражения (19) путем интегрирования левой и правой частей получившегося равенства по координате z определяется касательное напряжение txz\
,5J20)
Произвольная функция /1(хД) находится с учетом значения безразмерной интенсивности напряжений Т (3.4.30) на границе раздела областей сдвиговых и пластического течений среды. На основании равенства (3.4.28) это значение, равное значению интенсивности напряжений в пластической области, получится при стремлении числа Сен-Венана S к бесконечности. Таким образом, имеем
ТЩ = lim(-|- + ^) = l, г =1,2. (5.1.21)
Подстановкой в данное равенство выражения интенсивности напряжений (3.4.30) с учетом (18) и значения касательного напряжения (20) на границах сдвиговых и пластической областей (г = ^, г = 1,2) получим соотношение
<5L22>
Из уравнения (4) следует, что знаки касательного напряжения txz и производной dvx/dz совпадают, так как всегда совпадают знаки выражений в скобках, находящихся в левой и правой частях этого равенства. Поэтому, раскрывая знак абсолютной
величины в правой части уравнения (22), получим следующее выражение произвольной функции /i(x,t):
г = 1,2.г = 1,2.f г а9тхх
г = 1,2.
г = 1,2.
fl (х, t) = sign uz I ^ К их
Вместо sign^M введем равную ей величину (—1)г+1 signQ, где Q(x,t) — расход среды в произвольном сечении х. При этом signQ соответствует двум случаям направления течения в
этом произвольном сечении канала: при течении в направлении оси Ox signQ > 0, а при течении в противоположном направлении signQ < 0. Поэтому функция /i(x,t) примет следующий
вид:
• 1Р Ят8
= (-Щ1 signQ +г =1,2.(5.1.23)
к ох
Выражение для касательного напряжения т^ получим, подставив в соотношение (20) величину /i(x,t) (23):
р Ят8
= (-l)i+l signQ - | ^ (г - ^), i = 1,2.(5.1.24)
Производную dvx/dz найдем подстановкой полученного выражения касательного напряжения тхг в уравнение (8) с учетом соотношения (18) и равенства знаков касательного напряжения и производной dxx)dz\
^ =г =1,2.(5.1.25)
Выражение проекции скорости точек среды на ось х в областях сдвиговых течений получим интегрированием левой и правой частей уравнения (25) по координате г:
^ = -^^(г2-2^г) + /2(Ж,а, г =1,2.(5.1.26)
Произвольная функция f^x.t^ определяется с использованием условия прилипания среды (10), (11) к стенкам канала:
№,Щ^^(^-2/гМ г =1,2.(5.1.27)
Подстановка функции (27) в выражение (26) приводит его к следующему виду:
Ят8
Производная dvsz/dz находится из уравнения неразрывности (7), подстановкой в него выражения ^ (28):
dv! eR f Этхх г 2 у 2 о у м ।
г =1,2. (5.1.29)
О JU LОО JU J J
Проекция ^| скорости среды в сдвиговой области находится интегрированием левой и правой частей равенства (29) по координате г:
2 I Эх L 3\ 2/ J2 I Эх L 3\ 2/ J+ /з(ж7), г =1,2. (5.1.30)+ /з(ж7), г =1,2. (5.1.30)
2 I Эх L 3\ 2/ J
2 I Эх L 3\ 2/ J
+ /з(ж7), г =1,2. (5.1.30)
+ /з(ж7), г =1,2. (5.1.30)
Произвольная функция /з(ж7) определяется путем подстановки граничных условий (10), (11) в равенство (30):
ЫхЩ = Shi ^ + ^ {^ [-^ + c^j +
+ 2^+?=1,2. (5.1.31)
Выражение проекции и® скорости точек среды в сдвиговой области с учетом (31) примет следующий вид:
^Ц + г33^Ц + г33Э%г С -Э%г С -
^Ц + г3
3
^Ц + г3
3
Э%г С -
Э%г С -
ч dhi еН Г
= 8111 аГ - Т { +
Нормальные напряжения в сдвиговой области определяются из системы уравнений, составленной из уравнения (22):
£ Эт^~к "di^1 ^i^’h = sign<9’£ Эт^~к "di^1 ^i^’h = sign<9’|, ^с 22 + /1 (ж, t) = - sign Q.Ж(5.1.33)|, ^с 22 + /1 (ж, t) = - sign Q.Ж(5.1.33)
£ Эт^
~к "di^1 ^i^’h = sign<9’
£ Эт^
~к "di^1 ^i^’h = sign<9’
|, ^с 22 + /1 (ж, t) = - sign Q.
Ж(5.1.33)
|, ^с 22 + /1 (ж, t) = - sign Q.
Ж(5.1.33)
Система уравнений (33) ции /i(x,t) и производнойСистема уравнений (33) ции /i(x,t) и производнойрешается относительно функ- dT^xjdz. В результате решениярешается относительно функ- dT^xjdz. В результате решения
Система уравнений (33) ции /i(x,t) и производной
Система уравнений (33) ции /i(x,t) и производной
решается относительно функ- dT^xjdz. В результате решения
решается относительно функ- dT^xjdz. В результате решения
получим следующие соотношения:
„ ,= sign Q^i + ^2) Ут^ = 2К signQJ
V V22 - 21’ Эх £ 22 — 21 ‘'
Уравнение, связывающее перепад давления Ар = pi — р2 на заданном участке канала с уравнениями внутренних границ 22 — — 21, отделяющих области сдвигового течения среды от области пластического течения, получим интегрированием левой и правой частей второго из соотношений (34) по координате х с использованием граничных условий (15)
ж2
Л 2К . f dx
Zip = — sign О ,
£J 22 - 21
х(5.1.35)
ч, 2К . f dx
Тхх = -Р1 + — sign Q -
£J 22 — 21
Ж1
Нормальное напряжение т^хД) в сдвиговой области находится из соотношения ж
2К Г dr
т8хх =signQ(5.1.36)
Ж1
Решение в области пластического течения 21 < 2 < 22. Рассмотрим течение среды в пластической области 22 ^ 2 < 21. Для этой области в уравнениях (5)-(9) число Сен-Венана S = сю. В этом случае изменится только уравнение (8), которое примет следующий вид:
+= 1-(5.1.37)
у К
Исключим из системы уравнений (5), (6) и (37) компоненты нормальных напряжений т^ и ТхЖ. Для этого выразим из уравнения (37) нормальное напряжение Тхх-
т^х = тР ± 2К^Гщ^.(5.1.38)
Подстановкой этого выражения т$х в уравнение (5) система уравнений (5) и (6) приводится к следующему виду:
УжУж \ V/ az(5.1.39)
е ЭтР^/дг = 0.
Далее перекрестным дифференцированием из данной системы исключается нормальное напряжение т^, и при стремлении малого параметра е к нулю получается дифференциальное уравнение относительно касательного напряжения т^:
(5.1.40)(5.1.40)d2T^/d22 = 0.
(5.1.40)
(5.1.40)
Решением этого уравнения будет линейная функция координаты г:
Txz = М$ЛУ + ЫЖЛ\(5.1.41)
Произвольные функции f^x.t^ и /з(хД) находятся из условий непрерывности касательного напряжения (12) и (13) подстановкой в них функций (24) и (41). В результате получим следующую систему уравнений:
(5.1.42)(5.1.42)МхЛЩ + Мх,Ц = signQ,ДСМЦг + ЛСМ) = - sign Q.
(5.1.42)
(5.1.42)
Решив систему (42), находим искомые функции
МхХ =—signQ, ЫхЩ = Л±Л signQ. (5.1.43)
Выражение касательного напряжения (41) в пластической области с учетом равенств (43) примет следующий вид:
^^ signQ.^^ signQ.(5.1.44)(5.1.44)
^^ signQ.
^^ signQ.
(5.1.44)
(5.1.44)
Сравнение выражения касательного напряжения в пластической области (44) с выражением касательного напряжения в сдвиговой области (24) с учетом равенств (34) показывает их полное совпадение. Таким образом, во всей области течения hi < < г < ^2^ касательное напряжение rrz определяется одинаково: либо по формуле (24), либо по формуле (44).
Перейдем к определению нормальных напряжений т^ и тжх в пластической области. Нормальное напряжение tzz выражается одной и той же функцией (17) во всех областях течения среды, поэтому в силу граничных условий (12) и (13), а также соотношений (18) и (36) для этой функции во всех областях течения будем иметь одно и то же выражение:
' dx.^2-^1$1' dx.^2-^1$1(5.1.45)(5.1.45)2К
' dx
.^2-^1
$1
' dx
.^2-^1
$1
(5.1.45)
(5.1.45)
"zz = ТЕ = тхх = -Pl + — sign Q
Нормальное напряжение тжж (38) в пластической области на основании соотношений (44) и (45), также определено.
Определим проекции скоростей точек среды на осях х и z. Проекция скорости х^ находится из уравнения (9) путем его применения к пластической области течения среды. Поскольку в этой области течения среды нормальные напряжения т^ и тжж не равны между собой, то в данной области должно выполняться условие dx^/dz = 0, что приводит к соотношению
х^ = ЫхД\(5.1.46)
Произвольная функция f^{x,t), а вместе с тем и проекция скорости хж, определяются с помощью граничных условий (12) и (13) подстановкой выражения проекций скорости на ось х (28) и (46) в данные граничные условия:
< ==г = 12(5.1.47)
Из равенства (47) следует, что в любом поперечном сечении канала, стенки которого деформируются по произвольным законам, описываемым функциями координаты х и времени i, расстояния от стенок до границ раздела областей сдвиговых и пластического течений одинаковы (рис. 5.1), т. е.
21 — h\ = hp — 22 = ^о-(5.1.48)
Формула (47) с учетом равенств (48) примет следующий вид:
”- = Т%2»'15149)
Проекции х^ скоростей точек среды на ось z находятся из уравнения неразрывности (7) подстановкой в него проекции скорости (49) и интегрированием его левой и правой частей по координате z\
=kWY (5.1.50)
Произвольная функция ^хД) определяется подстановкой проекции скорости (50) в граничные условия (12), (13) с использованием выражения проекций скоростей точек среды на ось z в сдвиговой области (32):
,=1’2- (5L5I)
Для проекций ^ скоростей точек среды в пластической области (50) на основании выражения (51) получим следующее соотношение:
_ Shl 9Нг eR, 2 9т®х dz0 \ ,.
++г= 1,2.
2 L3 Эх2Эх ЭхJ
(5.1.52)
При г = 1 равенство (52) справедливо для области пластического течения среды, лежащей ниже поверхности 2 = h\ т. е. для координат ^1 < 2 < А*. При г = 2 равенство (52) справедливо для области пластического течения среды, лежащей выше срединной поверхности 2 = h*, т. е. для координат h* < 2 < 22.
Второе уравнение, связывающее нормальное напряжение тхх
с координатами точек границы раздела сдвиговых и пластической областей течения, получим интегрированием уравнения неразрывности (7) по координате 2 во всей области течения hi
< 2 < ^2^ используя граничное условие (14), выражения для dx (28), d$ (49) и равенства (48). В результате этого получим следующее уравнение:
дЭхдЭхЭтх, ЭхЭтх, Эх2 Shi ЭНsR dt *2 Shi ЭНsR dt *(5.1.53)(5.1.53)
д
Эх
д
Эх
Этх, Эх
Этх, Эх
2 Shi ЭНsR dt *
2 Shi ЭНsR dt *
(5.1.53)
(5.1.53)
Здесь h — половина ширины всей области течения среды:
h=(h2-hx)/2.h=(h2-hx)/2.(5.1.54)(5.1.54)
h=(h2-hx)/2.
h=(h2-hx)/2.
(5.1.54)
(5.1.54)
Несложно проверить, что уравнение (53) получается так же и путем приравнивания друг другу выражений для ^ (52) при г = = 1,2, если положить 2 = h^x.t^ = <Jix + h2)/2. Это доказывает тот факт, что граничное условие (14) выполняется только на срединной поверхности, отстоящей на равных расстояниях от граничных поверхностей Нх(хД) и h2^x/t\ т. е. h* = h^.
Уравнение для определения границ раздела пластической и сдвиговых областей течения среды получим, принимая во внимание соотношения (36) или (38), а также равенства (50) и (54): д (zih-zl/3\ . n^vdh,, 1
k— =-signQ—— —.(5.1.55)
Эх \ h - 20 /S Эt
Как уже было сказано выше, рассматривается течение бингамовской среды, состояние которой близко к пластическому. Это значит, что области сдвигового течения очень узкие, т. е. 2о <^ <С h2 — hx. Поэтому следует ожидать, что решение уравнений тонкого слоя в безинерционном приближении достаточно точно
описывает течение среды в сдвиговой области. В области же пластического течения проведем уточнение полученного решения, найдя первое приближение.
В этом случае используется метод последовательных приближений путем подстановки решения уравнений нулевого приближения в пластической области течения среды в те члены уравнений системы (1)-(4), которые были отброшены при нахождении нулевого приближения в пластической области. При этом по-прежнему рассматриваются уравнения (1), в которых не учитываются инерционные члены. С учетом вышеизложенного и равенств ks = е, S = сю и 1/R = 0 запишем систему уравнений для пластической области течения среды в следующем виде:
9п9п(5.1.56)(5.1.57)(5.1.58)(5.1.59)(5.1.56)(5.1.57)(5.1.58)(5.1.59)9т^Эх
9п
9п
(5.1.56)
(5.1.57)
(5.1.58)
(5.1.59)
(5.1.56)
(5.1.57)
(5.1.58)
(5.1.59)
Гт
= о
Эх Эх
9хж
Эх + dvz!dz
Граничные условия, при которых интегрируется система уравнений (56)-(59), остаются теми же, что и для уравнений нулевого приближения. Найдем решение замкнутой системы уравнений равновесия пластической среды (56), (58). Из этой системы уравнений получается система уравнений первого приближения, путем определения из равенства (58) нормального напряжения т^ и подстановки его во второе уравнение (56):
^±2кА(^Гч^) + Ск^й = о.^±2кА(^Гч^) + Ск^й = о.(5.1.60)(5.1.61)(5.1.60)(5.1.61)
^±2кА(^Гч^) + Ск^й = о.
^±2кА(^Гч^) + Ск^й = о.
(5.1.60)
(5.1.61)
(5.1.60)
(5.1.61)
Первое из уравнений системы (56) и уравнение (61) образуют систему уравнений относительно функций тжж и тЖ2. Исключим из данной системы уравнений нормальное напряжение тжж перекрестным дифференцированием и оставим в полученном уравнении слагаемые, содержащие сомножителем малый параметр е
в степени не выше первой. В результате получим уравнение первого приближения относительно функции т^:
о2трО2 /
= ±2е J\ - (т^)2 .(5.1.62)
Эх dz N х 7
Таким же образом исключим из той же системы уравнений частные производные dTxz/дх и dTxz/dz. Уравнение первого приближения относительно функции т^ж, которое не содержит слагаемых с малым параметром, получается в результате оценки слагаемых по малому параметру е:
о2трл2 /
= Т2К Ц1 - (тРг)2 .(5.1.63)
drdzz V
Уравнение (62) решается подстановкой в правую часть этого уравнения функции t$z нулевого приближения (46), которая преобразовывается с учетом соотношений (48) и равенства h\ + + hz = 2^о- В результате уравнение (62) примет следующий вид:
(5.1.64)(5.1.64)д^т^Э2 /( z — Kei \
(5.1.64)
(5.1.64)
8z2dxdz \ \h - zq)
Решением этого уравнения является функция
' XZ' XZЭХ ~ z0 ЭхЭХ ~ z0 Эхz — ho d(h — zq) h — zq Эхz — ho d(h — zq) h — zq Эхz-h0\2 h- z0)z-h0\2 h- z0). z - ho arcsin h - zo. z - ho arcsin h - zo+ ^(x,t)z + ЫХ^\+ ^(x,t)z + ЫХ^\(5.1.65)(5.1.65)
' XZ
' XZ
ЭХ ~ z0 Эх
ЭХ ~ z0 Эх
z — ho d(h — zq) h — zq Эх
z — ho d(h — zq) h — zq Эх
z-h0\2 h- z0)
z-h0\2 h- z0)
. z - ho arcsin h - zo
. z - ho arcsin h - zo
+ ^(x,t)z + ЫХ^\
+ ^(x,t)z + ЫХ^\
(5.1.65)
(5.1.65)
(5.1.66)(5.1.66)(5.1.67)(5.1.67)
(5.1.66)
(5.1.66)
(5.1.67)
(5.1.67)
Произвольные функции ^(хД) и ^(ж^) находятся с использованием граничных условий (12) и (13) для касательного напряжения. Подстановкой в эти условия выражений Txz из (65) и т^ из (26) с учетом (36) получим систему двух уравнений для определения искомых функций
Щх,1Щ +Щх,0 = signQ(l - у ^х^У
Щх,Щ2 + ЫЖЕ) = -signal - у ^Ду^-).
Решив систему (66), найдем
_signQЛетгd(h — zo)\
h — zo\2Эх / ’
_ho sign QЛ _ елd(h - zQ) \
h — zq\29x /'
Подстановкой полученных выражений функций £i(x,t) и ^хД) в соотношение (65) приведем его к следующему виду:
'EY = -signC{|—у V и — гр'EY = -signC{|—у V и — гр— Е— ЕГ/2 ^о [ к ЭхГ/2 ^о [ к Эхг — Нр д(Н — гр) Н — гр Эхг — Нр д(Н — гр) Н — гр Эхххг-Нр \2 Н- гр)г-Нр \2 Н- гр)Э(Н - гр)ЭхЭ(Н - гр)Эх. г-Но arcsin -Н - го. г-Но arcsin -Н - готг д(Н - гр) г - Д01 1 2 Эх Н — гр\)тг д(Н - гр) г - Д01 1 2 Эх Н — гр\)
'EY = -signC{|—у V и — гр
'EY = -signC{|—у V и — гр
— Е
— Е
Г/2 ^о [ к Эх
Г/2 ^о [ к Эх
г — Нр д(Н — гр) Н — гр Эх
г — Нр д(Н — гр) Н — гр Эх
х
х
г-Нр \2 Н- гр)
г-Нр \2 Н- гр)
Э(Н - гр)Эх
Э(Н - гр)Эх
. г-Но arcsin -
Н - го
. г-Но arcsin -
Н - го
тг д(Н - гр) г - Д01 1 2 Эх Н — гр\)
тг д(Н - гр) г - Д01 1 2 Эх Н — гр\)
(5.1.68)
Решение уравнения (63) находится двукратным интегрированием его левой и правой частей по координате г\
< = Т2кф - (т^)2 + Ш tv + Ых, tY(5.1.69)
Подстановка этого выражения Тхх в равенство (60) позволяет определить нормальное напряжение т^:
= Ы^Ф + £4СМ)-= Ы^Ф + £4СМ)-(5.1.70)(5.1.70)
= Ы^Ф + £4СМ)-
= Ы^Ф + £4СМ)-
(5.1.70)
(5.1.70)
Произвольные функции ^з(х,/;) и ^(xV) найдем, используя граничные условия (12) и (13) для нормального напряжения т^. Подстановкой в эти условия выражения нормального напряжения т^ из (70) и т^ из (18) с учетом соотношения (38) получим систему уравнений для определения этих функций
(5.1.71)(5.1.72)(5.1.71)(5.1.72)^х, ^гх + ^х, t) = —рх + Др(ж, i), Ыж, 1)г2 + ^х, t) = -рх + Др(ж, t)\ здесьж
(5.1.71)
(5.1.72)
(5.1.71)
(5.1.72)
Ap(x,t) = — signQ ———ег2- гх
Решение системы уравнений (71) имеет следующий вид:
(5.1.73)(5.1.73)6 СМ = 0,^хЛ) = -рх + ^хД).
(5.1.73)
(5.1.73)
Таким образом, на основании равенств (70) и (73) следует, что нормальное напряжение т^ как в нулевом приближении, так и в первом приближении сводится к взятому со знаком минус
давлению, т. е.давлению, т. е.Гг = "РХ + Xp(x,tYГг = "РХ + Xp(x,tY(5.1.74)(5.1.74)
давлению, т. е.
давлению, т. е.
Гг = "РХ + Xp(x,tY
Гг = "РХ + Xp(x,tY
(5.1.74)
(5.1.74)
Нормальное напряжение т§ж (69) с учетом равенств (68) и (73) полностью определяется:
т^х = -р\ + △щ.^тгкф-цр,)2.(5.1.75)
Неоднозначность компонент касательного напряжения т^ (68) и нормального напряжения тжж (75) устраняется исходя из физического смысла поставленной задачи. Поскольку предполагается, что в рассматриваемом течении нет зон, где среда испытывает растяжение, то в любой точке среды и при любых значениях параметров течения должно быть тжж < 0. В этом случае у последнего слагаемого в равенстве (75) должен быть оставлен знак минус. Тогда в равенстве (68) также должен быть оставлен знак минус.
Перейдем к определению проекций скоростей точек среды. Для этого воспользуемся уравнением (59), подставив в левую часть этого уравнения выражения проекций скорости и касательного напряжения в нулевом приближении (равенства (49), (52) с учетом (36)). Разность нормальных напряжений тжж — т^ с учетом соотношений (68), (74) и (75) запишем в следующем виде:
тР = -2КА/1 --еф(ж,2^)12;(5.1.76)
здесь
’ ’\ Эх h — zq Эх )\ \h — zq)
- 8('V arcsill + ; aU’j с">(5.1.77)
ОХП — Zq 2 ОХ П — Zq
На основании вышеизложенного и равенства (76), уравнение (59) приводится к виду
9^ = _9 д«)0«)о
х1=; (5.1.78)
у 1 - ^(2(^)0 sign9 + гФ)(1 - (т^)-1
здесь через (^)о и (^)о обозначены, соответственно, проекция скорости точек среды на ось х и касательное напряжение точек среды в нулевом приближении, определяемые формулами (44) и (49) с учетом соотношений (48).
Для нахождения первого приближения функции хж(х^Д) разложим последний сомножитель в правой части равенства (78) по формуле бинома Ньютона. После этого всю правую часть данного равенства разложим на слагаемые по степеням малого параметра е и оставим в этой сумме только те слагаемые, которые содержат е в первой степени. В результате получим еле-
дующее уравнение первого приближения относительно проекции скорости ^(х, г, i):
(5.1.79)(5.1.79)э< = _2е 9Н)о «)о
(5.1.79)
(5.1.79)
Яг ' ае
Решение уравнения (79) с учетом равенств (44), (49) и (48) приведем к следующему виду:
уР = -2еХ - г0) ^^^ Sign <2^/1 - (т^ + ЫЖЛ\ (5.1.80)
условий:условий:(5.1.81)(5.1.81)Произвольная функция ^(хД) находится подстановкой выражения проекции скорости ^(^,^,t) из (80) и ^(x,^,t) из (30) в граничные условия (12) и (13) для проекций скоростей точек среды на ось ж, принимая во внимание соотношения (44) и (48). Эта функция будет одной и та же для каждого из этих граничных
условий:
условий:
(5.1.81)
(5.1.81)
Ы^Х = Юо-
Выражение проекций скоростей точек среды на ось х для пластической области течения на основании равенства (81) запишем в следующем виде:
= (VP)o - 2еХ - го) signQ^l-^ .(5.1.82)
Проекции скоростей точек пластической области течения среды на ось г найдем из уравнения неразрывности (57), подставив в него выражение проекций скоростей этих точек на ось х. Определив из данного уравнения производную dv^/dz и проинтегрировав левую и правую части получившегося соотношения по координате z, получим
+ arcsin«)o) + 2(/г - г0)2^7^ V1 “ ^0 1 + ^бЦ, t).
/ОО JUVJ
(5.1.83)
Произвольная функция ^(x,t) находится из граничных условий (12) и (13) для проекций скоростей точек среды на ось z, подстановкой в эти условия выражения г^х^Д) из (83) и чД(х^Д) из (34) с учетом соотношений (36) и (48):
Ыж7) = D^x.ZiX) + 9^° Zi + (-1)г+1 sign Q у X
х^Щ-го)2^^), г =1,2. (5.1.84)
ОХ \OX J
Подставив выражение функции (84) в равенство (83), получим для проекций скоростей точек среды ^(х,гД) следующее соотношение:
р sz9^-^ ,\ Г 9\2 9(^)о\
oxV9x Vox J
X ((А)о ДД5А| + arcsin(rP2)o - | signQ(-iy+1) +
+ 2 (^ - г0)2 ДД J1 - №)2], г =1,2. (5.1.85) ox ox Vи J
При г = 1 соотношение (85) справедливо для области пластического течения среды, лежащей ниже срединной поверхности г = Дь т. е. Для координат ц <z< До- При / = 2 соотношение (85) справедливо для области пластического течения среды, лежащей выше срединной поверхности г = h^ т. е. для координат ho < % < ^2-
Для нахождения границы раздела областей сдвигового и пластического течений среды, как и в случае нулевого приближения, проинтегрируем уравнение неразрывности (7) по координате % во всей области течения с учетом граничного условия (14) и выражений для ^ (28), ^ (82). В результате получим следующее уравнение:
9 f 1 А 2 ^оА о7Г .у 2\ 9zq 2 9кД 1
т ^2о ”Sign Q (2^0^ - z0) z^ — I =
ox I h - zq V u 3 /2 LЭх u oxa J
. n 2 Shi dh.
= -signQ^——. (5.1.86)
Как и для нулевого приближения, это же уравнение может быть получено приравниванием друг к другу значения выражения (85) при z = ho и индексе г = 1,2, с учетом выражений (34), (36), (44), (48) и (49).
Порядок дифференциального уравнения (86) можно понизить, проинтегрировав один раз его левую и правую части по координате х;
=
=-signQ^L [Ц&: + 0(1). (5.1.87)
Покажем, что выражение в левой части равенства (87), умноженное на число Сен-Венана S, представляет расход среды через любое поперечное сечение канала. Для этого подсчитаем
расход Q по следующей формуле:расход Q по следующей формуле:^2^2^2Q = \ xxdz = \ dz + \ dz + г£ dz.hxhx^1^2^2^2^2Q = \ xxdz = \ dz + \ dz + г£ dz.hxhx^1^2(5.1.88)(5.1.88)Подстановка в интегралы правой части равенства (88) выражений проекций скорости хж из соотношений (30) (в первый интеграл это выражение подставляется при г = 1, а в третий интеграл — при г = 2) и (82) с учетом равенств (44), (48) и (49) приводит к соотношениюПодстановка в интегралы правой части равенства (88) выражений проекций скорости хж из соотношений (30) (в первый интеграл это выражение подставляется при г = 1, а в третий интеграл — при г = 2) и (82) с учетом равенств (44), (48) и (49) приводит к соотношению(ЬЛ - z°(ЬЛ - z°Е7Г • Z^F/O 72\ С^О 2^1)-ySignQ[(2V.-Zo)Е7Г • Z^F/O 72\ С^О 2^1)-ySignQ[(2V.-Zo)®ЕЧ. (5.1.89)®ЕЧ. (5.1.89)Из сравнения равенств (87) и (89) следует, что ды Q через любое поперечное сечение канала равенИз сравнения равенств (87) и (89) следует, что ды Q через любое поперечное сечение канала равенрасход сре-расход сре-Q(x, i) = —2 Shi sign QQ(x, i) = —2 Shi sign Q— dx + C(t). ot— dx + C(t). ot(5.1.90)(5.1.90)
расход Q по следующей формуле:
расход Q по следующей формуле:
^2^2^2
Q = \ xxdz = \ dz + \ dz + г£ dz.
hxhx^1^2
^2^2^2
Q = \ xxdz = \ dz + \ dz + г£ dz.
hxhx^1^2
(5.1.88)
(5.1.88)
Подстановка в интегралы правой части равенства (88) выражений проекций скорости хж из соотношений (30) (в первый интеграл это выражение подставляется при г = 1, а в третий интеграл — при г = 2) и (82) с учетом равенств (44), (48) и (49) приводит к соотношению
Подстановка в интегралы правой части равенства (88) выражений проекций скорости хж из соотношений (30) (в первый интеграл это выражение подставляется при г = 1, а в третий интеграл — при г = 2) и (82) с учетом равенств (44), (48) и (49) приводит к соотношению
(ЬЛ - z°
(ЬЛ - z°
Е7Г • Z^F/O 72\ С^О 2^1)
-ySignQ[(2V.-Zo)
Е7Г • Z^F/O 72\ С^О 2^1)
-ySignQ[(2V.-Zo)
®ЕЧ. (5.1.89)
®ЕЧ. (5.1.89)
Из сравнения равенств (87) и (89) следует, что ды Q через любое поперечное сечение канала равен
Из сравнения равенств (87) и (89) следует, что ды Q через любое поперечное сечение канала равен
расход сре-
расход сре-
Q(x, i) = —2 Shi sign Q
Q(x, i) = —2 Shi sign Q
— dx + C(t). ot
— dx + C(t). ot
(5.1.90)
(5.1.90)
С учетом этого уравнение (89) примет следующий вид:
(ЬЛ _ Щ-z2^- z2 —1 = ^М
h-z0V° з) 2 slSnC^(^0^ zQX дх z0 9ж\ s ■
(5.1.91)
Формула (90) также непосредственно следует из определения проекции скорости хх путем интегрирования уравнения неразрывности (57) по координате ж, а затем подстановки получившегося выражения в интеграл, находящийся в левой части равенства (88), с последующим его интегрированием в заданных пределах и с учетом граничных условий (10) и (11). Произвольная функция C(i) находится с помощью второго из граничных условий (15). На основании этого условия для функции C(i) получим следующее выражение:
C(t) = Q0(t) + 2ShiC(t) = Q0(t) + 2Shi5^1ot 1ж=ж15^1ot 1ж=ж1(5.1.92)(5.1.92)
C(t) = Q0(t) + 2Shi
C(t) = Q0(t) + 2Shi
5^1
ot 1ж=ж1
5^1
ot 1ж=ж1
(5.1.92)
(5.1.92)
На основании соотношений (90) и (92) расход среды через
любое поперечное сечение канала равен
Q(x,t) = Q0(t) - 2 ShiQ(x,t) = Q0(t) - 2 ShiЭН 7 — dx. dtЭН 7 — dx. dt(5.1.93)(5.1.93)
Q(x,t) = Q0(t) - 2 Shi
Q(x,t) = Q0(t) - 2 Shi
ЭН 7 — dx. dt
ЭН 7 — dx. dt
(5.1.93)
(5.1.93)
Таким образом, задача о течении бингамовской среды в тонком слое между двумя деформирующимися с течением времени поверхностями полностью решена.
Об одном частном случае течения идеально пластической среды. Покажем, что из полученных соотношений для бингамовской среды как частный случай могут быть получены и все характеристики течения идеально пластической среды (при тех же условиях, что и в рассмотренной задаче).
Для этого во всех полученных соотношениях для бингамовской среды необходимо перейти к пределу при числе Сен- Венана S ею. При этом, как следует из уравнения (91), величина поперечного размера го каждой из областей сдвигового течения среды стремится к нулю. На этом основании все характеристики течения пластической среды могут быть получены из соответствующих характеристик течения бингамовской среды в пластической области при стремлении числа Сен-Венана S к бесконечности.
Для вышеуказанного предельного перехода следует выразить величину го через число Сен-Венана S путем решения уравнения (91). Получим асимптотическое решение этого уравнения, т. е. решение, соответствующее величине гд ^ 1, найдя предварительно асимптотическое решение уравнения нулевого приближения (53). Проинтегрируем левую и правую части уравнения (53) по координате х. С учетом соотношений (45) и (93), получим следующее уравнение:
(51М) п гд \ о / о
Асимптотическое решение данного уравнения, которое обозначим через 5, имеет следующий вид:
Zo = 5=VO/S. (5.1.95)
Для нахождения асимптотического решения уравнения (91) подставим асимптотическое значение нулевого приближения (95) в те слагаемые уравнения (91), которые были отброшены при нахождении нулевого приближения. В результате получим следующее уравнение:
hz^ = А -1 <$3 +
+ signQ[(2/i25-3M2 + 53)^-(M2-53)^]. (5.1.96)
Так как на основании равенства (95) — = — ^—, то сла- ox ох
гаемые ЗЬб^дб/дх и 63д6/дх имеют порядки соответственно 53, 54. Отбрасывая в уравнении (96) слагаемые, имеющие порядок малости выше 52, получим асимптотическое решение уравнения (96), а значит, и уравнения (91):
.(5.1.97)
V 2\ ох ох;
Имея асимптотическое значение поперечного размера го (95) каждой из областей сдвигового течения среды, найдем выражения касательного напряжения и проекций скоростей точек среды на ось х для идеально пластической среды в нулевом приближении. Эти выражения будут использованы в дальнейшем для вычисления остальных характеристик течения пластической среды. Для этого подставим величину го из (95) в соотношения нулевого приближения (44) и (49) с учетом (48) и перейдем в этих соотношениях к пределу при S сю. В результате получим выражения нулевого приближения касательного напряжения и проекции скоростей точек среды на ось х для течения идеально пластической среды
= Иш (Д-Jo =(5.1.98)
(„,)„= НшИ), У(5.1.99)
Кинематические и динамические характеристики течения пластической среды в первом приближении находятся подстановкой в соотношения (68), (74), (75), (82), (85) с учетом выражений (44), (45), (48), (49), (98), (99) асимптотического значения поперечного размера го каждой из областей сдвигового течения среды (97) и последующим переходом в этих соотношениях к пределу при стремлении числа Сен-Венана S к бесконечности. Таким образом, для пластического течения среды во всем рассматриваемом объеме получаются следующие результаты:
TXZ = lim < =
= Щ)о + £ (2 sign Q - (txz)q —) J1 - (т^)2 +
dh . , x 7Г dh , x 1+ ^аг<$ш(г„)0-5-(г1=)0].
LnA /\(5.1.100)
тгг = hm r^. = -pi + Ар(ж^),
S—>oc
(5.1.101)(5.1.101)lim t^xlim t^x(5.1.102)(5.1.102)
(5.1.101)
(5.1.101)
lim t^x
lim t^x
(5.1.102)
(5.1.102)
Др(ж,£) = lim App(x,t) = — signQ
S—>oc£
Задача Прандля. Как частный случай из соотношений (98)(104) получим выражения для проекций скорости и компонент тензора напряжения для задачи Прандтля о сжатии пластичес
0
t и
ZZhh—h—hххкой среды между двумя параллельными плоскостями [60, 84] (рис. 5.2).
Z
Z
h
h
—h
—h
х
х
На рис. 5.2 показана система координат, оси которой лежат в плоскостях симметрии течения. Через U обозначена скорость каждой из сближающихся плоскостей. В силу сим-
метрии течения относительно коор-рис 52
динатных плоскостей х = 0 и г = 0
рассмотрим течение в области х Е [0,Z], % е [О,^]- Безразмерные параметры течения, входящие в соотношения (98)-(104), и безразмерный расход Q определяются равенствами
Z = 1, h2 = h = 1, ho = 0,
(5.1.105)(5.1.105)dhs _ dh _1
(5.1.105)
(5.1.105)
dt dt 8Shi’
x\ = 0: Q(xi,t) = 0; signQ =1, Q = 2x/s.
На основании соотношения (104) выражения проекций скорости и компонент напряжения (97)-(103) примут следующий вид:
рхРо = Wo = ^>(5.1.106)
=-Р2-К(1-ж)/е, тхх = tzz - 2^1^ ,(5.1.107)
txz = — z, dx = тг/2 + ж/е — 2 V1 — г2 , vz = — zp. (5.1.108)
Равенства (106)-(108) приводятся к размерной форме с помощью соотношений (3.4.1), (3.4.9), (3.4.18), (3.4.19), (3.4.22), (3.4.23) и с учетом равенств (3.4.3), (3.4.10), (3.4.17), (3.4.20), (3.4.24) при /1 = 0, т. е. при S^x и 1/R = 0. Переход к размерной форме в формулах нормальных напряжений проводится с помощью соотношений (3.4.23), а размерная форма давления р определяется через безразмерную так же, как и для среднего нормального напряжения а^. В результате получим
ТЖЖ = т^-2т0а/1 - (I) , tzz = -р2 - Ж \ (5.1.109)
Txz = — То -, тж = и \-— 2\ 1 — -, vz = —и
и h х \2 h V)h
(5.1.110)
Сравнение полученных формул с аналогичными, приведенными в работе [60] для задачи Прандтля, показывает их полное совпадение в главных членах разложений. При этом следует учесть, что в решении Прандтля начало координат помещалось в середине левого торца слоя, т. е. сдвинуто в отрицательную сторону оси х на величину I по сравнению с показанным на рис. 5.2. Некоторое отличие от решения Прандтля имеется в выражении компоненты нормального напряжения тжж, что объясняется различной постановкой граничных условий. В задаче Прандтля задавалось интегральное условие отсутствия нормального напряжения тжж на левом торце слоя.
Таким образом, решение рассмотренной плоской задачи, полученное для бингамовской среды, включает в себя как частные случаи решения для идеально пластической среды и вязкой жидкости.
Этот вывод находится в полном соответствии с третьей аксиомой реологии [70], так как из реологического уравнения бингамовской среды (3.1.1) могут быть получены при р = 0 реологическое уравнение идеально пластического тела (2.2.5) и при т^ = = 0 реологическое уравнение вязкой жидкости (2.2.4). Поэтому если положить в полученном решении для бингамовской среды
то = О, то получим решение задачи о течении вязкой жидкости; если же положить в полученном решении для бингамовской среды у = 0, то получим решение задачи о течении идеально пластической среды [16].
Полученное решение плоской задачи о течении бингамовской среды не противоречит также известным ранее решениям аналогичных задач, что позволяет говорить об эффективности выбранного метода решения.
. Некоторые частные случаи квазистационарноготечения в тонком слое
В предыдущем параграфе была рассмотрена общая плоская задача о течении бингамовской среды в тонком слое между двумя поверхностями, которые могут деформироваться по заданным законам. В этом разделе рассматриваются некоторые частные задачи, решение которых следует из полученных в §5.1 общих соотношений.
Сжатие слоя бингамовской среды двумя жесткими параллельными плоскостями (плитами). Рассматривается течение бингамовской среды в узком канале, образованном двумя ограниченными параллельными медленно сближающимися с одинаковой скоростью U плитами длины 2Z, расстояние между которыми равно 2h (см. рис. 5.2).
В этом случае имеется симметричное течение относительно двух плоскостей, в которых располагаются оси неподвижной декартовой системы координат (рис. 5.2). Ось Оу направлена перпендикулярно плоскости чертежа. В силу симметрии рассматривается область течения, расположенная между положительны
ми осями х и г.
Из-за особенностей геометрии [16] (см. рис. 5.2) рассматриваемой области течения получаются следующие соотношения:
^2 - ^2 = h - г2 = 20.^2 - ^2 = h - г2 = 20.(5.2.2)(5.2.2)
^2 - ^2 = h - г2 = 20.
^2 - ^2 = h - г2 = 20.
(5.2.2)
(5.2.2)
Характерным поперечным размером является половина расстояния между плоскостями, характерным продольным размером — половина длины плит. В этом случае половина безразмерного расстояния между плоскостями равна h = 1 и половина
безразмерной длины плоскостей равна Z = 1. В силу симметрии течения относительно координатной плоскости pOz расход среды в начальном сечении равен нулю, т. е. Q(O,t) = Qo = 0 (ось на рис. 5.2 не показана).
Число Струхаля Shi для рассматриваемого случая определяется следующим выражением:
Shi = 1,Shi = 1,dN _ UdN _ U(5.2.3)(5.2.3)
Shi = 1,
Shi = 1,
dN _ U
dN _ U
(5.2.3)
(5.2.3)
Выражение (3) получается при подстановке значений характерных параметров i = h/U и U = Ul/h в формулу (3.4.25).
Характерная скорость U может быть определена как отношение половины расхода среды через одно из торцевых сечений канала к половине его ширины h.
В соответствии с (3) при h = 1 и Z = 1 определяются компоненты тензоров напряжений и скоростей деформации отдельно для областей сдвигового и пластического течений.
Решение в области сдвигового течения Z2 < z ^ h. Для области сдвигового течения в соответствии с (1.24), (1.28), (1.32), (1.34), (1.36) получаются следующие соотношения:
= -и + Ч(5.2.5)
О
= -1 Г2 - 1 + 2(1 - го)(1 - <(5.2.6)
8 J d f 1 А г(1 -г)32 I дх \ 1 — zq / [38 J d f 1 А г(1 -г)32 I дх \ 1 — zq / [320(1 - г220(1 - г22 п -
8 J d f 1 А г(1 -г)3
2 I дх \ 1 — zq / [3
8 J d f 1 А г(1 -г)3
2 I дх \ 1 — zq / [3
20(1 - г2
20(1 - г2
= -Pi + Ар(ж>0>
(5.2.10)
К f dr ^p(x,t^ = -
£ J 1 - ^0 0
(5.2.11)
15 = M)„-2E(l-3„)^>2^1-№)g,
(5.2.12)
р s/ jA ^(vk)o / х Г О ((.х2^(уж)о\
уР = у®Ц,г2,0Z-Z2 -еЦ 1- г0)2 д X ЭхL Эх \Эх )
X ((^Ь ДСДт^Ц + arcsin^o + |) +
+ 2(1 - г0)2 ДД° Э(Д)о J1 - «)2 ], (5.2.13) Эх Эх Vи J
ж
QtxX = -2 Shi \^dx = 2еж. (5.2.14)
В соотношениях (8), (12), (13) величины (т^)о, (^ж)о выражаются следующим образом:
№>0 = -^. Пк-тХ^.(5-2.15)
На основании равенства (7) и соотношений (2) выражение x(x^2,t), входящее в (13), имеет следующий вид:
। $ Г д / 1 \,1 Эго 21
1Щ,г2,0 = -eU + ^ 7- Н+ 7ТГ20- (5.2.16)
2 L Эх \ 1 — го) 31 — го Эх J
Сжимающая сила, которую надо приложить к плитам, чтобы они двигались с заданной скоростью, равна
1
(5.2.17)(5.2.17)F = —21 т^^х, t) Эх.о
(5.2.17)
(5.2.17)
Формулой (17) удобнее воспользоваться, если выражение в ее правой части проинтегрировать по частям. В этом случае выражение (17) примет следующий вид:
1
(5.2.18)(5.2.18)F = —2тЩж, t) • ж +2 x^^dx.
(5.2.18)
(5.2.18)
Io J Эх
о
Величина дт^/дх находится дифференцированием левой и правой частей соотношения (5), а асимптотическое значение без-
размерной толщины го сдвиговой области течения находится из соотношения (1.97) с учетом (1.95), (2.1) и (2.14):
(5.2.19)(5.2.19)Эт^ _ К 1
(5.2.19)
(5.2.19)
Эх s 1 — го ’
^о =^о =(5.2.20)(5.2.20)
^о =
^о =
(5.2.20)
(5.2.20)
Выражение силы (18) после подстановки в него найденных значений (19), (20) и последующего интегрирования с учетом граничных условий (1.15) примет следующий вид:
F = 2р2 -F = 2р2 -X (V2 + Е7Г — V^) —X (V2 + Е7Г — V^) —1 - уД/s i 1 - ДЩ V2 + £7Г .11 - уД/s i 1 - ДЩ V2 + £7Г .1InIn(5.2.21)(5.2.21)
F = 2р2 -
F = 2р2 -
X (V2 + Е7Г — V^) —
X (V2 + Е7Г — V^) —
1 - уД/s i 1 - ДЩ V2 + £7Г .1
1 - уД/s i 1 - ДЩ V2 + £7Г .1
In
In
(5.2.21)
(5.2.21)
Выражение (21) упрощается, если в последнем слагаемом равенства (21) логарифм частного представить разностью логарифмов, а затем каждый из них разложить в ряд следующего вида [44], в котором удерживаются первые пять членов:
(5.2.22)(5.2.22)у (5.2.23)у (5.2.23)
(5.2.22)
(5.2.22)
у (5.2.23)
у (5.2.23)
В разложении (22) значение а для числителя логарифма в выражении (21) равно а = ^U)S уСтг, а для знаменателя — а = y/Z7/S V2 + етг. В выражении (23) опущены слагаемые, содержащие множители ел в степени выше первой. Таким образом, получено более простое выражение силы F, пригодное для случая, когда U/S <^ 1, т. е. для больших чисел Сен-Венана.
Выражение (23) приводится к размерной форме с учетом того, что давление приводится к размерной форме так же, как и нормальное напряжение в соответствии с равенствами (3.4.23). Для этого левая и правая части равенства (23) умножаются на величину pU2l, а безразмерная скорость плоскостей Ur выражается через размерную величину U. Используя соотношения (3.4.3) и (3), найдем Ur = 1. Число Сен-Венана S на основании
выражения (3) для характерной скорости U запишется в следующем виде:2
S=^'(5.2.24)
Выражение для сжимающей силы в размерной форме с учетом К (3.4.24) имеет следующий вид:
F = 2Р21 + ^(\ ++ ^ + ^хЬЖИТ^\ (5-2.25)
\2 о у топ/
Нулевое приближение сжимающей силы Fq получается из выражения (25), если положить в нем € = 0:
Р0 = 2р21 + ^РЦ(5 2 26)
Это выражение сжимающей силы полностью соответствует аналогичным результатам, полученным в работах В.П. Мясникова [60] и авторов [15].
В работе [15] считалось, что течение среды между сближающимися плитами имеет две области: область почти вязкого течения и область почти пластического течения. Первая область очень узка и примыкает непосредственно к плитам. Она в свою очередь разделена второй областью течения, которая расположена симметрично между ними. В работе [15] область, расположенная посередине между областями вязкопластического течения, принималась квазитвердой.
Если движение плит считать безинерционным, то с помощью выражений (25) или (26) можно решать две основные задачи динамики: прямую — задачу определения силы, действующей на каждую из плит при заданном законе изменения расстояния между ними; обратную — задачу определения закона изменения расстояния между плитами при заданном законе изменения силы.
Обратная задача. Определяется закон изменения расстояния между плитами h при действии на них постоянной силы F.
Для упрощения поставленной задачи используется соотношение (26), из которого находится скорость U как функция искомого расстояния h:
и = ah2(bh- I)2;(5.2.27)
здесьГ О 1
а = ^, b=F° F .(5.2.28)
2pLTol2
Так как при сжатии плитами слоя бингамовской среды скорость с течением времени убывает, то численное значение скорости U = —dh/dt.
Искомый закон изменения расстояния между плитами h(t) находится из равенства (27) после подстановки в него значения U = —dh/dt и последующего интегрирования получившегося обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:
-2Ып|^-^-| - -^- = —at + C. (5.2.29) h I h I oh - 1
Постоянная интегрирования С находится из начального условия: при to = О, ЦО) = Zg. С учетом этого условия функция h(t) находится из следующего трансцендентного уравнения:
= at.= at.(5.2.30)(5.2.30)^оI о Lip h(bh 1),2Zp h
= at.
= at.
(5.2.30)
(5.2.30)
lohЦЫ0-\у (Ыо- \)(bh- 1)
Следует отметить следующую особенность сжатия слоя бингамовской среды двумя параллельными плитами. Она состоит в
том, что при заданной постоянной силе, приложенной к плитам, сжатие слоя среды возможно только до некоторой минимальной величины Zimin ^ 0. Это следует из равенства (27), так как скорость движения плит U обращается в нуль при bh — 1 = 0. Таким образом, При Zimin = ЦЬ скорость Z7 = 0.
Если Ц0) = Zg = Zimin, т. е. в начальный момент времени расстояние между плитами равно минимальному для заданной силы расстоянию, то в этом случае сжатие слоя бингамовской сре
ды невозможно.
На рис. 5.3 приведены результаты расчета зависимости h(t) (половины расстояния между плитами h от времени t) для следующих значений параметров:
Zq = 0,01 м, то = 100 Па,// = 10 Па • с, Р2 = Ю5 Па,Fo = 3-1O4H/m, Z = 0,1m.
В данном примере слой бингамовской среды можно сжать до
толщинытолщины2^min = 2-10 4 М.2^min = 2-10 4 М.
толщины
толщины
2^min = 2-10 4 М.
2^min = 2-10 4 М.
Течение бингамовской среды в слабо расширяющем
ся плоском диффузоре. Рассматривается течение бингамовской
среды в плоском канале, образованном двумя плоскостями, расположенными под углом 2р друг к другу (рис. 5.4).
Угол р считается малым, чтобы рассматривать данное течение как частный случай общей задачи о плоском течении (см. §5.1). В силу симметрии течения среды относительно срединной плоскости ис
следуется течение выше этой плоскости. Расположение осей декартовой системы координат показано на рис. 5.4.
Исходя из геометрии канала имеем следующие размерные
соотношения:
h^ = 0,(5.2.31) входного иh^ = 0,(5.2.31) входного иh2 = h = ах + b, а = ^—р—= tg b = Lx,dhdhлdh
h^ = 0,
(5.2.31) входного и
h^ = 0,
(5.2.31) входного и
= а<1,^т= 0;
охdxat
здесь L\ и L2 — соответственно половина ширины
выходного сечений канала (см. рис. 5.4), I — продольная длина канала. При этом безразмерная продольная длина канала Z = 1, а
тангенс угла наклона верхней плоскости к срединной плоскости, выраженный через безразмерные длины, равен
а = tg^ = L2 — Lx.(5.2.32)
На основании соотношений (31), (32) записываются выражения компонент тензоров напряжений и скоростей деформации для сдвиговой и пластической областей течения. Для пластической области в данном примере удобно сразу найти асимптотическое значение безразмерной толщины zq сдвиговой области, учитывая постоянство расхода среды в любом сечении канала.
(5.2.33)(5.2.33)Решение для области сдвигового течения 22 < 2 < Zl Для области сдвигового течения в соответствии с (1.24), (1.28), (1.32), (1.34), (1.36) получаются следующие соотношения:
(5.2.33)
(5.2.33)
"хг h-z0’
tsXXtsXXчК , ах + b —
ts
XX
ts
XX
гг = ~Р = -Р\ 41П -—-
еа b-zo(O)
(5.2.34)(5.2.35)(5.2.36)(5.2.34)(5.2.35)(5.2.36)-p-ph - z0h - z0^о =^о =(5.2.37)(5.2.37)zzh- z0h- z0. z— arcsin -n - ^o. z— arcsin -n - ^ozz2 h — zq2 h — zq(5.2.38)(5.2.38)»=-„,+! b)L^L_ 2K J] -ea L\ — zq у»=-„,+! b)L^L_ 2K J] -ea L\ — zq уzz = -P = -Pl + ~ Inzz = -P = -Pl + ~ In( г V\h- zti) h- Zq( г V\h- zti) h- Zq==n aSzQ piz — 2гп v; =-—о H eaz2(A - =„? V 3n aSzQ piz — 2гп v; =-—о H eaz2(A - =„? V 3C 722(h - z0)C 722(h - z0)(5.2.39)(5.2.40)(5.2.41)(5.2.42)(5.2.39)(5.2.40)(5.2.41)(5.2.42)Решение для области пластического течения 0 < z < ^. Для области пластического течения в соответствии с (1.47)(1.49), (1.52), (1.68), (1.74), (1.75), (1.82), (1.85), (1.91), (1.93) получаются следующие соотношения:
(5.2.34)
(5.2.35)
(5.2.36)
(5.2.34)
(5.2.35)
(5.2.36)
-p
-p
h - z0
h - z0
^о =
^о =
(5.2.37)
(5.2.37)
z
z
h- z0
h- z0
. z
— arcsin -
n - ^o
. z
— arcsin -
n - ^o
z
z
2 h — zq
2 h — zq
(5.2.38)
(5.2.38)
»=-„,+! b)L^L_ 2K J] -ea L\ — zq у
»=-„,+! b)L^L_ 2K J] -ea L\ — zq у
zz = -P = -Pl + ~ In
zz = -P = -Pl + ~ In
( г V
\h- zti) h- Zq
( г V
\h- zti) h- Zq
=
=
n aSzQ piz — 2гп v; =-—о H eaz
2(A - =„? V 3
n aSzQ piz — 2гп v; =-—о H eaz
2(A - =„? V 3
C 72
2(h - z0)
C 72
2(h - z0)
(5.2.39)
(5.2.40)
(5.2.41)
(5.2.42)
(5.2.39)
(5.2.40)
(5.2.41)
(5.2.42)
Следует иметь в виду, что выражения (37)-(42) получены из общих соотношений с учетом постоянства значения zq, что следует из равенства (37).
Зависимость расхода среды Q от перепада давления Ар меж-
жения:жения:ду начальным и конечным сечениями канала определяется с помощью соотношений (37) и (42). Для этого первоначально из равенства (42) в соответствии с граничными условиями (1.15) определяется величина zq, а затем из равенства (37) находится расход Q(Ap). Таким образом, получаются следующие выра-
жения:
жения:
(5.2.43)(5.2.43)_ L2 -bie£aAp/K
(5.2.43)
(5.2.43)
^1 _ ^еа/Хр/К
Q = SQ = SL2 - LxeeoAp^VZj _ ^еаАр/К )L2 - LxeeoAp^VZj _ ^еаАр/К )(5.2.44)(5.2.44)
Q = S
Q = S
L2 - LxeeoAp^VZj _ ^еаАр/К )
L2 - LxeeoAp^VZj _ ^еаАр/К )
(5.2.44)
(5.2.44)
При получении (43) и (44) в выражении (37) для толщины сдвиговой области 2g под корнем было опущено слагаемое eo/kQ/(2S) как величина, значительно меньшая, чем величина Q/S.
Из равенства (44) можно определить значения параметров, при которых течения в расходящемся диффузоре не будет, eQ °^^hA(5.2.45)
В выражении (45) при строгом неравенстве получаемые значения параметров таковы, что течение в диффузоре отсутствует. При равенстве в (45) возможно существование чисто пластического течения.
При исследовании течения бингамовской среды в плоском расходящемся диффузоре представляет интерес определение координаты точки отрыва среды от стенок диффузора и угла раствора диффузора, при котором произойдет отрыв при перепаде давления Ар = pi — Р2 > 0, т. е. при течении среды в сторону понижения давления.
Для определения точки отрыва находится нормальная составляющая полного напряжения на стенке канала в соответствии с формулами разложения напряжений на косой площадке (см. (1.2.5)). Затем направляющие косинусы внешней нормали к элементарной площадке выражаются через угол р между стенкой канала и срединной плоскостью. В результате получается следующее равенство:
Тпп = т^ sin2 г - ^xz sin г cos г + tzsz cos2 ^.(5.2.46)
Так как в сдвиговой области компоненты напряжения определяются соотношениями (38), (39), то с их учетом равенство (46) запишется в следующем виде:
Уп = -Р1 + ^ Ьsin 2^.(5.2.47)
set — 2g и — Zq
Условием отрыва потока среды от стенок канала является равенство нулю нормальной компоненты полного напряжения на стенке канала, т. е. r^n{x,h, i) = 0, или
—pi + — In —— + —-— sin 2р = 0.(5.2.48)
set L\ — zq 5 — 2g
Из уравнения (48) следует, что отрыв потока от стенок канала произойдет в том случае, когда проекция касательного напряжения т^ на нормаль к стенке (второе слагаемое левой части уравнения) станет больше по абсолютной величине давления среды в данной точке стенки (первое слагаемое в левой части уравнения). Таким образом из уравнения (48) и размерных соотношений (31) можно найти все требуемые параметры, обеспечивающие безотрывное течение среды на данном участке канала.
Безотрывное течение в диффузоре. Рассмотрим задачу о расходящемся течении среды в диффузоре при заданных значениях полуширины начального сечения канала L\ и полуширины конечного сечения L^, а также давления р2 в конечном сечении канала (см. рис. 5.4). Найдем значения угла р и длину канала I, при которых существует безотрывное течение среды.
Для определения условий существования безотрывного течения среды подставим в уравнение (48) h = Ls. Тогда первые два слагаемых данного уравнения дадут, согласно равенству (34), взятое со знаком минус давление в концевом сечении канала. После этого приведем уравнение (48) с учетом выражений го из (43) и а из (32) к следующему виду:
(5.2.49)
Для дальнейшего анализа полученного соотношения (49) оно приводится к размерной форме следующего вида:
5.2.505.2.50sin2p _ р2 L2 — L\то
5.2.50
5.2.50
Это размерное условие отрыва потока среды.
Следует обратить внимание на то, что в полученных уравнениях (49) и (50) размерные и соответствующие им безразмерные величины обозначены одинаково.
Представим соотношение (50) несколько в ином виде:
(1 _e-(^b)tg^sin2(/; = Щ1 - ^1\(5.2.51)
То \Ь2/
Левая часть уравнения (51) изменяется от нуля при угле р = 0 до единицы при tgp —> сю. При этом если полуширина начального и конечного сечений канала существенно различны, то решение уравнения (51) будет иметь место только для весьма малых отношений р^/пр т. е. практически при истечении среды в вакуум. Таким образом, если на выходе из канала поддержи-
вать большое давление, то отрыва течения от стенок канала не произойдет.
Рассмотрим эту же задачу (см. рис. 5.4) при заданном давлении на входе канала р\ (0) и заданном постоянном расходе среды Q = const. Определяются давление в выходном сечении канала P2G) и геометрия канала (длина I, угол р\ при которых обеспечивается безотрывное течение.
Определяемое давление p^(V) находится из соотношения (34), приведенного к размерной форме:
р2 = Р1 -;nL2-V^O7^.(5.2.52)
W Lv- V^OFo
В этом случае перепад давления Ар на длине канала I будет равен
Др = In L2 " ^Q/ъ(5.2.53)
Условие безотрывного течения (51) с учетом соотношений (52), (53) примет следующий вид:
L; sin2p = ^ - ctgpln HlV^IEl (5.2.54)
L<2-^yQ!TQ t°Lx-VyQ/T0
Из полученного уравнения (54) определяется угол р, а затем, для заданных значений L\, L^ и найденного значения р определяется длина канала I.
Пример. Рассматривается безотрывное течение бингамовской среды в плоском диффузоре, параметры которого удовлетворяют условиям течения среды в тонком слое, т. е. характерные числа должны иметь значения: R^(1,S)^1,K)^1.
Чтобы выполнялись условия тонкого слоя, принимаются следующие величины геометрических, кинематических и динамических параметров течения среды:
L\= 0,02 м, L2 = 0,04 м, Q = 0,01 м2/с, pi = 105 Па,р = 20 Па • с, то = 1000 Па.
Половина угла раствора диффузора р = 0,042 рад находится численным методом из уравнения (54). Длина канала Z 9 м находится из второго соотношения (31). Давление ps = 351,87 Па в конечном сечении канала х = Z находится по формуле (52). По расчету оно должно быть примерно в триста раз меньше атмосферного.
Перистальтическое течение в плоском канале. Рассматривается течение среды в плоском канале, стенки которого мед
ленно деформируются по закону бегущей волны h(x, i) симметрично относительно срединной плоскости (рис. 5.5).
Исходя из геометрии течения имеем следующие соотношения:
h2 = h, ho = 0, го = h — г2.(5.2.55)
В силу симметрии течения среды относительно плоскости г = = 0 рассматривается область течения, расположенная над этой плоскостью.
Безразмерная форма записи закона деформирования стенок канала имеет следующий вид:
h(x, i) = h + a sin 2л(«it —(5.2.56)
здесь h — средняя полуширина канала, а — амплитуда колебаний стенок канала, «1 и «2 — волновые числа, равные
cq = 1/£Л, а2 = 1/А,(5.2.57)
t\ — временной период волны деформации, А — длина волны деформации.
В данной задаче ограничиваемся определением расхода среды Q(t) через конечное сечение канала, считая область сдвигового течения го очень узкой. Для этого используются соотношения (1.92), (1.94), (1.96). Из (1.94) с учетом (56) и (57) определяется расход среды Q(x,ty.
Q(x,t) = Qoto + 2ncShi signQ ^ЦхД) — ЦОДУ; (5.2.58)
здесь Qo(t) — расход среды в начальном сечении канала, I — длина канала, хс — скорость распространения волны деформации, равная
хс = X)t\. (5.2.59)
Если в формуле (58) положить х = I (Z — длина канала), то получится формула расхода среды через конечное (выходное) сечение канала
Q(Z,£) = Qo(i) + 2^cShi sign Q[A,(Z, i) — ЦОД)У (5.2.60)
Для упрощения дальнейших расчетов положим, что на длине канала Z укладывается целое число волн. Это значит, что h(l,t) = = ЦОД). В этом случае расход среды через конечное сечение канала будет равен расходу через его начальное сечение, т. е.
(5.2.61)(5.2.61)Q(U) = (MtY
(5.2.61)
(5.2.61)
^оЦЛ)^оЦЛ)Ширина области сдвигового течения zq находится по асимптотической формуле первого приближения (1.96) подстановкой в нее выражения h (56) и 5 = y/QotoTS (1.94):
^оЦЛ)
^оЦЛ)
[Qo + 2щ Shi sign.Q(h — a)] со$2тг(аД —
S’
(5.2.62)
Уравнение, связывающее расход Qo(i) и перепад давления Ар на длине канала Z, получается подстановкой в соотношение (1.35) выражений h (56), zq (62) с учетом равенств (1.48):
1
д (5 2 63) Е J h — Zq
0
Расход среды Qo(t) находится из соотношения (1.96) подстановкой в него значения 5 из трансцендентного уравнения (63) с учетом (62). Определение расхода среды проводится уже численным методом.
Используя вышеприведенные соотношения, можно поставить обратную задачу: определить перепад давления Ар на концах канала, необходимый для создания заданного расхода Qo(ty Для этого необходимо численно проинтегрировать правую часть равенства (63) с учетом выражений (58)-(62) и (1.94).
На рис. 5.6 показаны результаты этого расчета для случая постоянного безразмерного расхода Qo = 2 при следующих значениях размерных и безразмерных параметров: е = 0,01, h = 1,
5 А.В. Гноевой, Д.М. Климов, В.М. Чесноков
АрАрРис. 5.6Рис. 5.6Рис. 5.7Рис. 5.7
Ар
Ар
Рис. 5.6
Рис. 5.6
Рис. 5.7
Рис. 5.7
tx = 1, А = 1, I = 2А, а = 0,1, U = 1, Shi = 1, S = 100, р = = 1000 кг/м3, то = 1000 Па, р = 10 Па • с.
На рис. 5.7 приведены графики зависимостей от координаты ж: границы канала h (кривая /) и границы раздела сдвиговой и пластической областей течения среды ^2 (кривая 2).
Из сравнения законов изменения границы канала от времени (56) и перепада давления от времени, показанного на рис. 5.6 видно, что для создания постоянного расхода при волновом движении границы канала перепад давления должен испытывать колебания, находящиеся в противофазе с колебаниями границы с такой же частотой, что и колебания границы.
Из рис. 5.7 следует, что закон изменения границы раздела областей течения среды ^2 от координаты х при тех же значениях параметров почти в точности повторяет закон изменения границы канала h от этой же координаты.
. Нестационарное течение между параллельнымиплоскостями при изменяющемся перепаде давления
В §4.1 рассматривалась задача о стационарном течении бингамовской среды между параллельными плоскостями и было получено точное ее решение с определением всех кинематических и динамических характеристик этого течения [16, 19].
В данном параграфе дается нестационарное решение той же самой задачи для случая, когда перепад давления на рассматриваемом участке течения может быть произвольной функцией времени [89]. Решение этой задачи проводится с помощью метода Слезкина-Тарга.
Рассматривается задача о плоском нестационарном изотермическом течении несжимаемой бингамовской среды между дву-
мя неподвижными горизонтальными параллельными плоскостями при заданном перепаде давления Ap(t) на длине канала I (рис. 4.1)
В задаче полагается, что линии тока параллельны стенкам канала по всей его длине.
Для решения задачи используется система II. При сделанных выше предположениях о геометрии течения xz = 0, ezz = 0. В этом случае система уравнений (3.2.8)-(3.2.13) имеет следующий вид:
9тжж от от otzz ~ /с о п = + S + DT = 0' (5-31)
(5.3.2)(5.3.2)^=0,
(5.3.2)
(5.3.2)
= то + ^д/ (г.. - ..Г + 44г,(5.3.3)
здесьздесь^ — ^Ж) Т — ^XZ^ ^хх^ — ^Ж) Т — ^XZ^ ^хх2т ^ -- г„) ^=(5.3.4)
здесь
здесь
^ — ^Ж) Т — ^XZ^ ^хх
^ — ^Ж) Т — ^XZ^ ^хх
9т ж _ 9xzгл 1 ^ ZZ гл ,OX OZ
_ _ 1^xz — ^zx — 2_ _ 1^xz — ^zx — 2
_ _ 1
^xz — ^zx — 2
_ _ 1
^xz — ^zx — 2
Система уравнений (1)-(4) решается при следующих граничных условиях:
z = h: v{t,x,h) = 0,(5.3.5)
Z = Z\\ VS(t, X, 21) = ^(t, X, 21),7"Щ£, X, 21) = TP^(t, X, 21),
TS(t, X, 21) = TP(t, X, 21), TS(t, X, 21) = TP(t, X, 21) = 7q,
Ж = 0:тххЦХ,р =-р\Ц\(5.3.6)
x = l:тххЦ,1, z) =-р2Ц).(5.3.7)
Начальные условия задачи принимаются соответствующими стационарному течению среды при t < 0:
to = 0:^(0,2) = ^0(2), 2i(0) = 2g.(5.3.8)
В частности, может быть предельное состояние покоя среды ^0(2) = 0 и 2i(0) = h или состояние пластического скольжения среды ^0(2) = const и 2i(0) = h. В этих случаях развитие течения во времени начнется при наложении перепада давления большего, чем тот, при котором происходило пластическое скольжение среды.
Дальнейшее решение проводится отдельно для областей сдвигового и пластического течений, а затем полученные результаты стыкуются с помощью граничных условий.
Решение для области сдвигового течения zi < г < h. Из уравнений (2) и (4) следует
(тжж - Т^)— 0.(тжж - Т^)— 0.(5.3.9)(5.3.9)
(тжж - Т^)— 0.
(тжж - Т^)— 0.
(5.3.9)
(5.3.9)
в общем случае dv/dz ^ 0, должно выполняться:в общем случае dv/dz ^ 0, должно выполняться:Для области сдвигового течения поэтому на основании уравнения (9)
в общем случае dv/dz ^ 0, должно выполняться:
в общем случае dv/dz ^ 0, должно выполняться:
Тхх — Tzz-Тхх — Tzz-(5.3.10)
Тхх — Tzz-
Тхх — Tzz-
Из уравнения (2) следует
(5.3.11)(5.3.11)V = v(p zY
(5.3.11)
(5.3.11)
На основании соотношений (10), (11) и с учетом знаков величин г, то и dv/dz уравнение (3) в области сдвигового течения запишется в следующем виде:
/, хdv= -т0 + м^./, хdv= -т0 + м^.(5.3.12)(5.3.12)
/, хdv
= -т0 + м^.
/, хdv
= -т0 + м^.
(5.3.12)
(5.3.12)
Второе из уравнений (1) с учетом (12) имеет решение
(5.3.13)(5.3.13)Tzz = T^t.xY
(5.3.13)
(5.3.13)
Из выражений (3.2.12), (10) и (13) следует
Тхх = Тгг = -p(pxYТхх = Тгг = -p(pxY(5.3.14)(5.3.14)
Тхх = Тгг = -p(pxY
Тхх = Тгг = -p(pxY
(5.3.14)
(5.3.14)
С учетом равенств (14), первое уравнение (1) примет следующий
вид:вид:dv _ дрдтР dtдхdz *dv _ дрдтР dtдхdz *(5.3.15)(5.3.15)
вид:
вид:
dv _ дрдт
Р dtдхdz *
dv _ дрдт
Р dtдхdz *
(5.3.15)
(5.3.15)
Если в уравнение (15) подставить выражение касательного напряжения т из (12), то получается известное неоднородное уравнение теплопроводности для функции v(pz) с неизвестной переменной границей zy^pxY Так как решение уравнения теплопроводности в этом случае представляет большие трудности [93] и анализ этого решения также представляет большие проблемы, то в данном случае для решения уравнения (15) используется метод Слезкина-Тарга, который уже применялся ранее для решения этой же задачи, но в постановке «квазитвердого» ядра [98]. Однако, в отличие от работы [98], здесь дается развитие этого метода, заключающееся в осреднении ускорения точек среды только в границах области сдвигового течения.
Применение метода Слезкина-Тарга обусловлено тем, что он был разработан авторами специально для такого класса задач в гидродинамике, и с его помощью был решен ряд практически важных задач [69, 84]. Кроме того, этот метод был развит в дальнейшем другими авторами применительно не только к задачам гидродинамики, но и к задачам теплопроводности [4].
После замены в уравнении (15) произведения pdv/dt его средним значением по формуле
1?^ = ^)(5.3.16)
dt h - J 8t 7v 7
оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными следующего вида:
+ 1г = х-(5317)
OX OZ
Интегрированием левой и правой частей уравнения (17) по координате z находится выражение касательного напряжения т~
т = (e+^z + C^t).(5.3.18)
\ ох)
Интенсивность напряжений в сдвиговой области, как это следует из выражения (3), с учетом равенств (14) сводится только к касательному напряжению, т. е. Т = т. На этом основании из последнего граничного условия (6), принимая во внимание знак касательного напряжения, находится произвольная функция Ci(t) из (18):
С\^ = -то -(^ + ^фь(5.3.19)
\ ох)
Подстановкой выражения Cx(t) в соотношение (18) находится далее касательное напряжение в области сдвигового течения
т = -ТО+ ф +(5.3.20)
\ ох)
Выражение для определения скорости точек среды определяется приравниванием выражений касательного напряжения (12) и (20) и последующим интегрированием полученного уравнения по координате z\
v=^(0 + ^W-2^) + C2(t).(5.3.21)
\ ox)
Произвольная функция C^t^ определяется из условия прилипания (5):
C2^ = -PU^^W(5.3.22)
2ц \ Эх)
После подстановки С^) (22) в (21) получается следующее выражение для скорости течения среды в области сдвигового течения:
v = —(в +[Л2 — 22 — 2^i(h — г)].(5.3.23)
2ц \ ох)
Решение для области сдвигового течения (21), (27) и (30) содержит три пока неизвестные функции, 9^1\ р^хД) и zi(£), которые определяются далее.
Решение для области пластического течения 0 < г < zi. В области пластического течения реологическая константа ц = 0 и система уравнений (1)-(4) запишется в следующем виде:
Эс 9тхх Эт Эт 9tzz.
'-'а=^Г + аг 5i + ^7 = a (5 3'24) 1^ = 0,(5.3.25)
Эх
Схх - Tzzy + 4т2 = То,(5.3.26)
2т^ = (т^-Щ)^.(5.3.27)
Эхdz
Из уравнения (25) следует выражение (11) и, с учетом (27), уравнение (9). Так как решение уравнения (9) для области пластического течения, соответствующее решению (10) для области сдвигового течения, с учетом уравнения (26) дает т = ±tq, что приводит к разрывному решению для касательного напряжения, то такое решение в дальнейшем не рассматривается. Находится второе решение уравнения (9)
до
Тхх + TZZ,= 0.(5.3.28)
dz
В этом случае скорость течения постоянна по сечению пластической области и зависит только от времени:
v = U(t\(5.3.29)
На основании независимости скорости течения от координаты х следует, что касательное напряжение в области пластического течения не зависит от координаты х:
Из второго уравнения (24) с учетом (30) следует
(5.3.31)
Нормальное напряжение тхх определяется из уравнения (26):
(5.3.32)(5.3.32)Тхх = тДЬ ж) ± 2^/тТ^ЧТТ •
(5.3.32)
(5.3.32)
С учетом выражений (29)-(32) первое уравнение (24) примет следующий вид:
Касательное напряжение (30) определяется из уравнения (33) путем интегрирования его левой и правой частей по координате ^:
т= (5-3'34)
В силу линейности функции (34) по координате г и симметрии течения относительно плоскости г = 0, выполняется условие т(£,0) = 0 и, следовательно, ^i(t) = 0.
Стыковка решений для областей сдвигового и пластического течений. Скорость течения в области пластического течения находится в соответствии с (29) путем подстановки выражения скорости в пластической области (23) в граничное условие для скорости (6):
(5.3.35)(5.3.35)
(5.3.35)
(5.3.35)
Компонента напряжения tzz определяется из граничного условия (6) для нее в соответствии с (14) и (31):
(5.3.36)(5.3.36)Тгг = -рЦ,$У
(5.3.36)
(5.3.36)
Таким образом, компонента нормального напряжения tzz сводится к среднему нормальному напряжению как в области сдвигового, так и в области пластического течений. Используя граничное условие (6) для касательного напряжения т и его выражение в областях сдвигового (20) и пластического (34) течений, с учетом равенства (36) получается следующее соотно
шение:шение:^ + др _ _7о ^ dt дх^ + др _ _7о ^ dt дх
шение:
шение:
^ + др _ _7о ^ dt дх
^ + др _ _7о ^ dt дх
Касательное напряжение в пластической области (34) в соответствии с (37) при 9^1 (t) = 0 имеет следующий вид:
т = -то Д(5.3.38)
Так как касательное напряжение в областях сдвигового (20) и пластического (38) течений выражается линейными функциями координаты г, принимающими одинаковые значения на границе раздела этих областей, то это должна быть одна и та же функция. На этом основании, сравнивая левые и правые части выражений (20) и (38), получается соотношение
9^^ = _Т1.(5.3.39)
ОХ
Из сравнения выражений (37) и (39) находится зависимость, выражающая равенство ускорения точек области пластического течения и среднего ускорения точек области сдвигового течения по ширине этой области:
Давление в точках среды определяется в соответствии с равенством (40) из уравнений (37) или (39) путем интегрирования соответственно их левой и правой частей по координате х:
р = — (— + О^х + уд (^Y(5.3.41)
Из граничных условий (7) для давления в соответствии с (41) находятся уд^) и 6"
Выражение для давления (41) с учетом (42) примет следующий вид:Л
Р = Р1^х.(5.3.43)
Неизвестные функции 9 (или dU/dt) и zi определяются из уравнения (37) подстановкой в него выражения скорости в области пластического течения (35) в соответствии со вторым равенством (42):
(h - гД(-^ + #)' - 2Д/1 - Д(-^ + у) = -^6, (5.3.44) здесь и далее в параграфе штрихами обозначаются производные по времени.
Дифференциальное уравнение для границы раздела областей сдвигового и пластического течений определяется из уравнения (44) заменой в нем величины 9 ее выражением из второго равенства (42):
(h — zxY I — \ — 2^i (h — I — ) = —— I —). (5.3.45) pTo \ I 21 J
Для удобства решения этого уравнения приведем его к безразмерной форме и разрешим относительно первой производной:
= -2 Anz* " Z1;(5.3.46)
at i -
здесь Zi = 2i jh, АП = ^ph/^l), t = p,t/(ph2). Уравнение (46) решается при начальном условии (8) для координат 21 границы раздела областей сдвигового и пластического течений.
Если рассматривается течение при постоянном перепаде давления, то уравнение (46) может быть проинтегрировано в квадратурах. Его решение в этом случае может быть представлено в следующем виде:
(5.3.47)
(ДП)2 ДП ■ Zo - 1 Zo ДПv ’
здесь Zq = z^/h. Приведенное решение имеет физический смысл только при условиях
АП • Z1 - 1 > О, АП • Zo - 1 > 0.(5.3.48)
Эти условия являются необходимыми для существования течения среды при заданном перепаде давления в начальный и текущий моменты времени.
На рис. 5.8 приведены графики, которые были получены в результате численного решения уравнения (46). На них представлены зависимости безразмерной координаты Zi (кривая /) границы раздела областей сдвигового и пластического течений для среды с числом Сен-Венана S = 100, а также безразмерного перепада давления АП (кривая 2) от безразмерного времени t для следующих случаев:
Zo = 1, АП = 4;
Zg = 1, АП = 4 + 4 sin тг£;
Zo= 1, An = 4 + 4siny.
Рис. 5.8, а соответствует «разгонному» течению среды, которая в начальный момент времени находилась в пластическом
Рис. 5.8Рис. 5.8
Рис. 5.8
Рис. 5.8
состоянии (предельного состояния равновесия или пластического скольжения).
Рис. 5.8,6, в соответствуют случаям, когда безразмерный перепад давления АП изменяется по гармоническому закону с
Рис. 5.9Рис. 5.9различными частотами, но около постоянного среднего значения АП = D + + Hsincjt В нашем случае D = А = 4, из = 7г,тг/3. Из анализа полученных результатов следует, что с увеличением частоты из переменной составляющей давления характер изменения безразмерной координаты Zi приобретает такой же вид, как и при постоянном перепаде давления D, но с наличием наложенной на него малой по амплитуде периодической составляющей (рис. 5.9)
Рис. 5.9
Рис. 5.9
ххРис. 5.10Рис. 5.10Безразмерная скорость г? определяется из выражения (23) путем замены в нем величины 9 + др/дх с помощью (42) и (43) на величину —щ/щ. Таким образом получается следующее выражение:
х
х
Рис. 5.10
Рис. 5.10
(5.3.49)
здесь х = x/U^ S = r^h/^pU^ — параметр Сен-Венана, По — характерная скорость течения (например, средняя начальная скорость, или средняя скорость установившегося течения среды).
~ На рис. 5.10 приведены профили безраз
мерной скорости x(t,Z) для той же самой среды S = 100 и постоянного безразмерного перепада давления АП (рис. 5.8, а);
кривая 1 соответствует времени t = 0,4, кривая 2 — времени t = 0,8, кривая 3 — времени t = 1,2. Профили скоростей для безразмерных перепадов давления АП (см. рис. 5.8,6, в) имеют такой же характер, как и на рис. 5.10.
Расход среды определяется по формуле
Q = 2^| vs dX(5.3.50)
Х 0/
После подстановки в правую часть равенства (50) выражения скоростей в пластической ^р (35) и сдвиговой ^ (23) областях течения получается следующее выражение:
+^)2- (5-3-51)
р \ ox) L 3J
С учетом соотношения (39) выражение (51) приобретет следующий вид:
Q =-[^i + l^-^i)](5.3.52)
pl 3 х X щ
Выражение расхода (52) в безразмерной форме определяется по формуле
д = з[^ + | (1-^)](5.3.53)
здесь Q = Q/U^h.
На рис. 5.11 приведены графики зависимости безразмерного расхода Q (53) (кривая 1) и тех же самых перепадов безраз-
Q, АПQ, АПРис. 5.11Рис. 5.1102_ 4tб02_ 4tб
Q, АП
Q, АП
Рис. 5.11
Рис. 5.11
02_ 4
t
б
02_ 4
t
б
мерного давления АП (кривая 2, (рис. 5.8)) от безразмерного времени t, полученные для той же самой среды S = 100 с использованием решения уравнения (46).
Рис. 5.11, а соответствует «разгонному» течению среды, которая в начальный момент времени находилась в пластическом состоянии (предельного состояния равновесия или пластического скольжения).
Рис. 5.11, бе соответствуют случаям, когда безразмерный перепад давления изменяется по гармоническому закону с различными частотами, но около постоянного среднего значения. Из анализа полученных результатов следует, что с увеличением частоты ш переменной составляющей давления характер изменения безразмерного расхода Q приобретает такой же вид, как и при постоянном перепаде давления D, но с наличием наложенной на него малой по амплитуде периодической составляющей. Характер изменения графика Q(t) соответствуетреркально отраженному относительно оси абсцисс графику Zx^ (рис. 5.9).
Безразмерное касательное r(t, Z) и безразмерное нормальное r^(t,X,Z) напряжения определяются по формулам, следующим из соотношений (32), (38) в соответствии с (43) путем приведения их к безразмерной форме:
T = - = -f, (5.3.54) то
тхх = — = -Р1+ДП.Х-2а/1-Щ) , (5.3.55) то V
здесь рх = pi/t0, X = x/h.
На рис. 5.12_и рис. 5.13 приведены графики безразмерного касательного t(£,Z) и безразмерного нормального тхх^ X.Z)
Рис. 5.12Рис. 5.12Рис. 5.13Рис. 5.13
Рис. 5.12
Рис. 5.12
Рис. 5.13
Рис. 5.13
напряжений, построенные по формулам (54), (55) при АП = 4 и для той же самой среды S = 100. На этих рисунках кривая 1 соответствует времени t = 0,4, кривая 2 — времени t = 0,8, кривая 3 — времени t = 1,2. Профили напряжений для остальных
безразмерных перепадов давления АП (рис. 4.10, б, в) имеют такой же характер, как и на рис. 4.14, 4.15.
Исходя из физических соображений представляется, что полученное решение тем точнее, чем уже область, занимаемая течением среды в сдвиговой области. Это значит, что число Сен-Венана S велико и свойства бингамовской среды близки к свойствам пластического тела. Проверим это предположение, подставив полученные приближенные соотношения в исходные уравнения, например, в уравнение (15) для области течения в сдвиговой области. Представим это уравнение в безразмерной форме:~_
Эи h Эр дт/со
(5М6)
При этом давление р, определяемое равенством (43), может быть представлено в безразмерной форме следующим соотношением:
р = р\- ДП^;(5.3.57)
здесь р = р/т0, р\ = р\/тй.
Подставив в уравнение (56) выражения безразмерной скорости течения среды в сдвиговой области (49), безразмерного давления (57) и безразмерного касательного напряжения (54), получим равенство
-^(1-^)2 = ДП-4-.(5.3.58)
Это равенство с учетом дифференциального уравнения (46) приводится к следующему виду:
(1-Z)2=l-Zf.(5.3.59)
Из этого соотношения следует, что уравнение (56) для области сдвигового течения не обращается в тождество при подстановке в него полученных приближенных решений. Перенесем выражение, стоящее в правой части уравнения (59), в его левую часть. В этом случае левая часть данного уравнения, взятая по модулю, будет представлять абсолютную погрешность, с которой удовлетворяется уравнение (56) при подстановке в него приближенного решения. Обозначив эту погрешность через 6(Z, ZJ, исследуем ее значения при различных соотношениях между текущей безразмерной координатой Z и безразмерной координатой точек раздела границы областей течения Z\. Таким образом, имеем
d(Z,Zi) = |(l-Z)2-(l-Z2)|. (5.3.60)
Отсюда видно, что если величина Zi стремится к единице (в этом случае текущая координата Z точек области сдвигового течения также стремится к единице), то абсолютная погрешность, с которой удовлетворяется уравнение (56), стремится к нулю.
Система уравнений (24)-(27) для области пластического течения удовлетворяется точно при подстановке в эту систему выражений скорости (35), нормального напряжения (36), касательного напряжения (38) и давления (43) с учетом соотношений (42) и (45).
§ 5.4. Нестационарное круговое течение в зазоремежду двумя коаксиальными вращающимисяцилиндрами
В §4.2 уже рассматривалась задача о стационарном течении бингамовской среды между двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами и было получено точное ее решение с определением всех кинематических и динамических характеристик этого течения [16].
В данном параграфе дается нестационарное решение той же самой задачи, но для случая, когда цилиндры вращаются с изменяющимися по времени различными угловыми скоростями. Решение этой задачи проводится с помощью метода Слезкина- Тарга.
Рассматривается задача о круговом нестационарном изотермическом течении несжимаемой бингамовской среды между двумя коаксиальными, вращающимися с различными угловыми скоростями цилиндрами (рис. 4.2).
Задача решается с помощью системы дифференциальных уравнений системы II, но записанных в цилиндрических координатах (г, у?, г) (3.5.4)-(3.5.6). Среда считается несжимаемой, течение среды — плоским, изотермическим и осесимметричным.
В этом случае система (3.5.4)-(3.5.6) примет следующий вид:
О 1 / птт — т \
г р \ дгг /
1 / Ап-Оп- \
dt р \ Эт г / ’(5.4.1)
Т =2 + <Ч, = Ч +- ^|.
(т _т \(^l _- о
Vtt Tw)J _ и.
При этом уравнение неразрывности удовлетворяется тождественно, а все искомые величины, входящие в систему (1), являются функциями только координаты г и времени t.
Система уравнений (1) решается при следующих граничных и начальных условиях:
г = Дц = сщДь
т = Rq" ^ = Ур, уг = <, t^ = t^, Т8 = ТР = т0,
г = R2: 1)^ = ш^Н^,(5.4.2)
t = 0: -uv = f(rY
Угловые скорости цилиндров сщ и с^ в общем случае — произвольные функции времени.
Решение проводится отдельно для областей сдвигового и пластического течений, а затем полученные результаты стыкуются с помощью граничных условий.
Решение для области сдвигового течения R\ < г < Rq. Прежде всего отметим, что последнее уравнение системы (1) для области сдвигового течения будет иметь решение
так как в этой области в общем случае dv^/dr — с^т ^ 0. Таким образом, на основании известного равенства
^о = Р = 2 кТтт + RppV нормальные напряжения сводятся к взятому со знаком минус давлению:
тТГ = tw = -р.(5.4.4)
После интегрирования второго уравнения системы (1) в соответствии с модифицированным методом Слезкина-Тарга (см. §5.3) получается следующее уравнение:
B(i) = -(^ + ^);(5.4.5)
р \ от г /
здесьДо
ВЦ) = —[ ^dr.(5.4.6)
I ОТ
Rx
Уравнение (5) решается относительно касательного напряжения т^ методом разделения переменных. Это решение имеет следующий вид:~
^ = С + тЯад; (5Л7)
здесь С\ — константа интегрирования, к — константа разделения.
Комплекс (Cx/k)B(t) находится из соотношения (7) с помощью граничного условия (2) для интенсивности напряжений с учетом равенств (4):
ВЩ - ro^sigu^ - f B(t\ (5.4.8)
Касательное напряжение т^ (6), на основании (8) равно
т„. = 5 (-■ - ^ВЩ + ^ sigu(^ - а).(5.4.9)
Из третьего уравнения системы (1) находится окружная скорость Для этого в данное уравнение подставляются выражения касательного напряжения т^ (9) и нормальных напряжений (4). После интегрирования его по координате г найдем
Dm =signЫпг + Щ М -
р у or г ) Зр у2г)
-^^sign(^-^)+C2№r; (5.4.10)
р 2г У orг )
здесь С2^ — произвольная функция времени, подлежащая определению.
Одно из уравнений, связывающее функции B(t?p Ro^t) и C2(tY получается путем подстановки выражения г^ (10) в соотношение (6):
g Р 1 Г^ RqRqр Но — Ну [2g Р 1 Г^ RqRqр Но — Ну [21 ^о.11,1 н?з1 ^о.11,1 н?з/тэЗ7 Ир - кхУ 3/тэЗ7 Ир - кхУ 3+ Мп^)В-2 Ку /+ Мп^)В-2 Ку /. / dv^ \ п2 ] Hq . Rq Нх/ с и 1 1 \"то81ёп(^"^)Ео1п^ + ^2°2Г (5Л11). / dv^ \ п2 ] Hq . Rq Нх/ с и 1 1 \"то81ёп(^"^)Ео1п^ + ^2°2Г (5Л11)
g Р 1 Г^ RqRqр Но — Ну [2
g Р 1 Г^ RqRqр Но — Ну [2
1 ^о.1
1,1 н?з
1 ^о.1
1,1 н?з
/тэЗ
7 Ир - кх
У 3
/тэЗ
7 Ир - кх
У 3
+ Мп^)В-
2 Ку /
+ Мп^)В-
2 Ку /
. / dv^ \ п2 ] Hq . Rq Нх/ с и 1 1 \
"то81ёп(^"^)Ео1п^ + ^2°2Г (5Л11)
. / dv^ \ п2 ] Hq . Rq Нх/ с и 1 1 \
"то81ёп(^"^)Ео1п^ + ^2°2Г (5Л11)
здесь точка над буквой означает производную по времени.
Второе уравнение получается подстановкой в равенство (10) первого из граничных условий (2):
D( dv^p Dp \ Р 173 I 7 тэ2 I Rq \ D/j-\
sigu^ - f )Я, In-
- -+С2ГОЯ1 (5.4.12)
р 2Н\ У or г J
Третье уравнение приводится ниже.
Решение для области пластического течения Но < г < R2.
При решении задачи в области пластического течения исполь-
зуется та же система уравнений (1), в которой величина коэффициента динамической вязкости полагается равной нулю (// = = 0). Решение последнего из этих уравнений для пластической области находится путем исследования двух возможных случаев:
тТТ — tw = 0, что имело место и для сдвиговой области;
dv^/dr — ^/г = 0.
В случае 1) из третьего уравнения системы (1) при pi = = 0 следует т^ = tq. Если это значение т^ подставить во второе уравнение системы (1), то получающееся решение данного уравнения не позволяет удовлетворить граничному условию для (2). Таким образом, следует принять, что в области пластического течения решение последнего уравнения системы (1) должно иметь следующий вид:
Ттт -TW^O, ^ -= 0.(5.4.13)
Окружная скорость точек среды в области пластического течения определяется путем интегрирования уравнения (13):
^ = С3г;(5.4.14)
здесь С3 — постоянная интегрирования. Эта постоянная определяется из граничного условия (2) для скорости d^ в этой области:
Сз = ^2.(5.4.15)
Окружная скорость точек среды с учетом (13) равна
= с^2г.= с^2г.(5.4.16)
= с^2г.
= с^2г.
Из полученного выражения следует, что распределение по координате г скоростей точек бингамовской среды в области пластического течения будет таким же, как и при вращательном движении твердого тела относительно неподвижной оси.
выраже- методом(5.4.17)выраже- методом(5.4.17)Касательное напряжение находится из второго уравнения системы (2) после подстановки в это уравнение ния d^ (16) и дальнейшего его интегрирования разделения переменных:
выраже- методом
(5.4.17)
выраже- методом
(5.4.17)
_ ^2 ^2 . С4 с52
Комплекс C4W2/X находится из соотношения (17) с помощью граничного условия (2) и равенства (9):
6Й^2 тэ2 *(7?qC52/г д 1 О\
—- = roEosign5.4.18)
А\ or г )4
Касательное напряжение т^ (17), с учетом (18) равно
4 V г2 / г2 ®\Эт г)*
Третье уравнение, связывающее функции В(А RoA и CAY получается из граничного условия (2) для скоростей точек (10) и (16) на границе областей течения с учетом их значений на этой границе (г = RA
= -^ signf^ - Щя01иЯ0 +-
ц \ от г J2р
-^^signf^-^+Cstofio. (5.4.20)
Уравнения (11), (12) и (20) образуют систему относительно функций В(£), Bq(^) и CAY Решение этой системы уравнений должно удовлетворять начальному условию (2) для скоростей точек среды. Так как в области пластического течения начальное распределение скоростей точек определяется только угловой скоростью wAY то начальное условие задается только для скоростей точек среды в области сдвигового течения. На этом основании с учетом соотношения (10) получается г/ х т0 .1 / 2 , В^(0)\/ .
г г =sign гшг + — г НВ(0 —
р у от г JЗр у 2т )
---^sign —+с2 0 г. 5.4.21 р 2т у от т )
Из (21) следует, что функция /(г) не может быть задана произвольно. При В(0) = 0 правая часть равенства (20) дает решение соответствующей стационарной задачи. Функция /(г), характеризующая начальное распределение скоростей точек среды, по этой же причине должна удовлетворять решению стационарной задачи. В этом случае величина 62(0) будет равна величине С^ из (2.20).
Таким образом, полученное приближенное решение данной нестационарной задачи имеет место только для случая стационарного распределения скоростей точек по координате г в начальный момент времени. При этом, как уже отмечалось, угловые скорости внешнего и внутреннего цилиндров могут быть произвольными функциями времени.
В данной задаче определение нормальных напряжений не проводится. Поскольку решение системы уравнений (И), (12) и (20) может быть получено только численными методами, то на этом аналитическое решение задачи считается законченным.
§ 5.5. Вытеснение среды из плоских каналов
В этом параграфе рассматривается задача вытеснения бингамовской среды из плоских каналов с целью определения полной работы всех приложенных к границам каналов внешних сил. Сравнительный анализ энергозатрат на вытеснение среды проводился для одного и того же канала при различных законах деформирования его стенок и при условии равенства вытесненных объемов среды за одно и то же время.
При решении задач принимается, что в начальный момент времени канал имеет прямоугольную форму со следующими размерами: 0 < х < I, 0 < % < ho. Сечение канала при х = О считается непроницаемой перегородкой.
Среда вытесняется из канала путем непрерывного деформирования его стенок по закону
h = hof(x,,t,y xf = x/l, t^t/tp, (5.5.1)
здесь tp — время деформирования границы.
Объем среды V, вытесненной за время tp, и ее расход Q определяются по формулам
1
V == 1 - Y^'XW, Vo = 2hol, (5.5.2)
О
Q' = ^ = 9^ = ”\^Г^ах'’ Qq = V- (5'5'3) ot J attp
О
Размерная мощность Ng (1.6.4) внешних сил, приложенных на всех границах канала, имеет следующий вид [15]:
Ng =Ng =To\Q\dxH\-zqyTo\Q\dxH\-zqy(5.5.4)(5.5.4)Ж1Ж1
Ng =
Ng =
To\Q\dx
H\-zqy
To\Q\dx
H\-zqy
(5.5.4)
(5.5.4)
Ж1
Ж1
Работа внешних сил Ад за время tp определяется интегрированием мощности Ng (4) по времени. Безразмерная работа А1 определяется из (4) в соответствии с выражениями (2) и (3):
А'А'Ад АоАд Ао1 1Ч \Qf\dxfdtf001 1Ч \Qf\dxfdtf00(5.5.5)(5.5.5)
А'
А'
Ад Ао
Ад Ао
1 1
Ч \Qf\dxfdtf
00
1 1
Ч \Qf\dxfdtf
00
(5.5.5)
(5.5.5)
здесь Ло = ToQotpl/^о> ^о — безразмерная ширина области сдвигового течения среды, определяемая формулами (1.95) или (1.97).
Далее приводятся примеры решения поставленной задачи при различных законах деформирования стенок канала. Эти законы деформирования получены из условия равенства вытесненных объемов среды за одно и то же время.
Пример 1. Стенки канала деформируются по закону
(5.5.6)(5.5.6)f^'t') = е
(5.5.6)
(5.5.6)
Пример 2. Стенки канала деформируются по закону
Ж) =Ж) =1 -at'1 -at'(5.5.7)(5.5.7)
Ж) =
Ж) =
1 -
at'
1 -
at'
(5.5.7)
(5.5.7)
ваемых случаях равнываемых случаях равны(5.5.9)(5.5.9)Рис. 5.14Рис. 5.14от безразмерного времениот безразмерного времени
ваемых случаях равны
ваемых случаях равны
(5.5.9)
(5.5.9)
Рис. 5.14
Рис. 5.14
от безразмерного времени
от безразмерного времени
Безразмерные объемы среды V', вытесненной в обоих случаях за время Д, по условию равны и определяются в соответствии с формулой (2):
у' = 1(е-«-а+1).(5.5.8)
а
Безразмерный расход среды Q' (3) и безразмерная ширина области сдвигового течения среды Zq (1.95) в обоих рассматри-
Безразмерная работа А! (5), затраченная на вытеснение объема V', определяется численно с учетом (9) и (10).
На рис. 5.14 приведен график зависимости безразмерной работы А* t' для рассмотренных случаев вытес
нения среды. Графики построены для значений параметра Сен- Венана S = 10 и S = 100. В обоих случаях а = 3; кривые 1 (S = = 100) и 2 (S = 10) соответствуют второму случаю вытеснения среды (7); кривые 3 (S = 100) и 4 (S = 10) соответствуют первому случаю (6).
Как видно из рис. 5.14 работа внешних сил на вытеснение среды из канала в обоих случаях тем больше, чем меньше число Сен-Венана. Это связано с тем, что с уменьшением числа Сен- Венана увеличивается ширина области сдвигового течения ^ (1.95) и одновременно увеличивается перепад давления в канале между начальным и конечным его сечениями (1.72). Кроме того, работа для вытеснения среды будет больше чем для второго способа. Это значит, что наименее энергоемким является второй способ вытеснения среды, который может быть реализован путем сближения параллельных стенок канала.
Глава 6
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЭКВИВАЛЕНТНОЙВЯЗКОСТИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ
БИНГАМОВСКИХ СРЕД
. Метод эквивалентной вязкости
Метод эквивалентной вязкости был предложен А.В. Гноевым и В.М. Чесноковым (1984 г.) [15,27,28] и развит далее совместно с Д.М. Климовым (1993 г.) [17]. Метод заключается в линеаризации зависимости тензора напряжений от тензора скоростей деформации (3.2.3), (3.2.4) в реологических уравнениях путем введения коэффициента эквивалентной вязкости це и его дальнейшем аналитическом определении.
Линеаризацию предлагается проводить следующим образом. Комбинация ц + т^^ЕГ) заменяется величиной це1 которую предлагается называть эквивалентной вязкостью данной, бингамовской среды:
= (6.1.1)
С физической точки зрения такая замена означает, что эффект проявления предельного напряжения сдвига и эффект вязкости бингамовской среды заменяются некоторой эквивалентной этим двум эффектам вязкостью. Таким образом, под эквивалентной вязкостью це бингамовской среды будем понимать вязкость такой ньютоновской жидкости, которая оказывает такое же сопротивление своему относительному перемещению, как и данная вязкопластичная среда.
Эквивалентная вязкость бингамовских сред це (1), в отличие от вязкости обычных вязких жидкостей, зависит не только от физических констант данной среды, но и от поля скоростей этой среды, различных для каждой конкретной задачи.
В отличие от известных приемов экспериментального нахождения «фиктивной» или «эффективной» вязкости [40,80], предлагается определять эквивалентную вязкость це среды как некоторую величину, характерную для данного течения бингамовской среды, получаемую в результате следующей процедуры.
В нулевом приближении эквивалентная вязкость р,е считается постоянной величиной.
Поле скоростей и давления находится из решений уравнений Навье-Стокса, получаемых из уравнений (3.1.2), (3.2.6), (3.2.7) путем замены /хе = //+ то/(2Я). При этом находится граница Г, разделяющая области пластического и сдвигового течений, характерные для бингамовских сред. Граница находится из следующего динамического граничного условия:
Г|г = т0.
Определяются компоненты е^ тензора скоростей деформации и интенсивность скоростей деформации Н как функции координат, времени и введенной эквивалентной вязкости.
Найденное значение Н подставляется в (1). Таким образом, получается уравнение относительно эквивалентной вязкости р,е
_ .т0
Решением приведенного уравнения является це либо как функция всех параметров, координат и времени, либо как константа или функция некоторых параметров течения.
Определяется значение функции pie^^To^x^y, z,t\ позволяющее найти наилучшее приближение решений уравнений Навье-Стокса к уравнениям системы I или системы II. Эта операция проводится, например, либо путем применения различных способов осреднения полученного выражения р,е, либо путем замены текущих координат и времени некоторыми характерными их значениями.
Находится поле скоростей, давления и граница областей течения (см. п. 2) путем подстановки найденного значения р,е (п. 5) в соответствующие выражения п. 2.
Таким образом, в результате проведенных операций (п. 1-6) находится нулевое приближение уравнений системы I или системы II.
Найденное нулевое приближение можно уточнять, используя процедуру последовательных приближений.
. Общая постановка задачи и ее решение
Постановка задачи. Рассматривается задача о плоском ква- зистационарном изотермическом течении несжимаемой бингамовской среды в тонком слое, заключенном между поверхности-
Рис. 6.1Рис. 6.1
Рис. 6.1
Рис. 6.1
ми, заданными уравнениями % = Нх^хД) и г = Ь^хД^) (рис. 6.1) [15,87].
ют видют видУравнения тонкого слоя, записанные в напряжениях, име
ют вид
ют вид
др = дтхг5Е = л
(6.2.1)(6.2.1)Эхdz 1dz
(6.2.1)
(6.2.1)
= n
Эх dz *
Касательное напряжение txz записывается в приближении тонкого слоя с учетом введенного понятия эквивалентной вязкости ре
Txz = Це(6.2.2)
Ре = М + тзУттЛ-(6.2.3)
\dvx/dz\
Система уравнений (1)-(3) интегрируется при следующих граничных условиях:
z = Их(хДУ vx = 0,=
z = h^x, t): vx = 0, xz = ^2,/g 2 4A
x = xx: p = Px или Qx = Q(xx,ty * *
x = x2: P = P2;
здесь Qi = Q(xx,t) — расход среды в сечении канала с координатой Хх-
На условных границах областей сдвигового и пластического течений в приближении тонкого слоя должны выполняться следующие условия:
(6.2.5)(6.2.5)z = zx {х, t): Txz = т0 sign Q,z = z2(x,t)- тхг = -т0 signQ.
(6.2.5)
(6.2.5)
Вводим функцию тока Ф(х,2Д) по формулам
гу. = ЭФ/Э2, xz = —ЭФ/Эж.(6.2.6)
Функция тока Ф в соответствии с граничными условиями для хх (4) и соотношениями (6) принимает на границах областей течения следующие значения:
ж
z = hx(x,t\. Ф = Ф1 = — | h\ dx,
" X(6.2.7)
2 = h^x, ^): Ф = Ф2 = Q(^i Д) — | h% dx.
Расход среды Q = Q(x,t) через любое сечение канала х 6 6 [^1,^2] равен
Q(x,t) = Ф2-Ф] =Q(xi,t)-2 j hdx; (6.2.8)
здесь1
(6-2.9)
Интегрируя по 2 первое уравнение системы (1) получим
txz = ^^(ЩхЩ(6.2.10)
ОХ
Используя граничные условия (5), определяем градиент давления и касательное напряжение txz\
Эр _ 2T0signQ(6 2 11)
дх 21 — 22 ’* *
Txz = T^Q^_Zx_^.(6.2.12)
Выражение (12) справедливо для всей области 2 е [^1,^2]- Для нахождения функции тока согласно выражениям (2), (6) и (12) получим уравнение
д2Ф = То sign Q Qz - Ti - т2)^ 2 13х
dz2 Me ^1 - Т2 '' '
Функцию тока Ф(ж,2Д) получаем путем интегрирования уравнения (13) с учетом граничных условий для хх (4) и граничных условий (7), полагая, что pie зависит только от х и t:
Ф = Ф + Л£^Ч Г1 ^з _ 2^3) _ ^2 + hih ^ _ ^1. (6 2 14)
2це(Д-20)13J
здесьФ= ^(Ф1 + Ф2),здесьФ= ^(Ф1 + Ф2),1212(6.2.15)(6.2.15)Уравнения для определения условных границ областей течения имеют видУравнения для определения условных границ областей течения имеют вид^i - h\ = h2 - z2 = z0,^i - h\ = h2 - z2 = z0,ЗЛО _ЗЛО _112tq/i2 1 — ^о ’Zo = У2tq/i2 1 — ^о ’Zo = У(6.2.16)(6.2.17)(6.2.16)(6.2.17)(6.2.18)(6.2.18)
здесь
Ф= ^(Ф1 + Ф2),
здесь
Ф= ^(Ф1 + Ф2),
1
2
1
2
(6.2.15)
(6.2.15)
Уравнения для определения условных границ областей течения имеют вид
Уравнения для определения условных границ областей течения имеют вид
^i - h\ = h2 - z2 = z0,
^i - h\ = h2 - z2 = z0,
ЗЛО _
ЗЛО _
1
1
2tq/i2 1 — ^о ’Zo = У
2tq/i2 1 — ^о ’Zo = У
(6.2.16)
(6.2.17)
(6.2.16)
(6.2.17)
(6.2.18)
(6.2.18)
С учетом выражений (16) и (18) выражение градиента давления (11) можно представить в следующем виде:
(6.2.19)(6.2.19)Эр _ т0 sign Q 1
(6.2.19)
(6.2.19)
Эхh 1 - Zq
Перейдем теперь к определению эквивалентной вязкости р,е в соответствии с приведенной в §6.1 процедурой. Делается это следующими двумя способами.
Первым способом эквивалентная вязкость Це определяется из выражения (3) в некоторой точке г = г* из интервалов [^i,^i] или [22,^2] так, чтобы ее значение в этой точке наилучшим образом согласовывалась с физическим смыслом поставленной задачи.
Вторым способом эквивалентная вязкость Це определяется из выражения (3) путем подстановки в него среднего значения величины \Эиж/Э^\ в области [^i,^i] или [г2,М-
Первый способ. Значение \Эг)ж/Эг\2* = |Э2Ф/Эг2|^* подставляется в выражение эквивалентной вязкости (3), и с учетом выражения для функции тока (14) получается уравнение для определения эквивалентной вязкости pte. Решив это уравнение, находим значение це в точке г*:
р,е = И1- = Г (6.2.20)
Подставляя выражение (20) в уравнение (17), приведем его к
виду
(62'2,)
здесь
а=в.(6.2.22)
Из физического смысла поставленной задачи должно следовать а ею, Zo 1 и а 0, Zo 0. Первое условие в (21)
выполняется. Второе условие выполняется при |Z* — h/h\ = 1. Отсюда следует
Z* = ^±l, Z* = h\ или Z = /i2.(6.2.23)
С учетом этого выражение (20) для р,е примет вид
Це = ц/Zq.(6.2.24)
Значение Zg находится из уравнения (21) с учетом значений г* из (23):
Z° = 3^2’(6'2'25)
Z* = ^±l, ^ = hx или Z = ^2.
Второй способ. Определяется среднее значение выражения \8dx/8z\ в области [^i,^i] или
-^^=77 _ 7 Y <6-2-26)dz 2це(1 Zg)-^^=77 _ 7 Y <6-2-26)dz 2це(1 Zg)Эйх _ 1 ' Энх 7 _ 1 Р'
-^^=77 _ 7 Y <6-2-26)
dz 2це(1 Zg)
-^^=77 _ 7 Y <6-2-26)
dz 2це(1 Zg)
ГЛГЛ OjZ
Полученное значение dvx/dz подставляется в выражение (3),Полученное значение dvx/dz подставляется в выражение (3),OZ 2g J ^^^0
Полученное значение dvx/dz подставляется в выражение (3),
Полученное значение dvx/dz подставляется в выражение (3),
(6.2.29)(6.2.29)и таким образом получается уравнение относительно pie. Решение этого уравнения —
(6.2.29)
(6.2.29)
це = цЦ^. (6.2.27)
Уравнение (21) с учетом (27) примет вид
2 _ 9а + 2 z + 2 = 0(6.2.28)
ба
Решением этого уравнения является функция Zg(a):
v 9a + 2
Из выражения (29) следует, что при а ^ ос Zg 1, а
при а 0 Zg 0. Это полностью удовлетворяет физическому
смыслу задачи.
На рис. 6.2 приведены график зависимости Zg(a) для соотношений (25) и (29) (кривые 2 и 3 соответственно), которые сравниваются с точной зависимостью Zg(a) (кривая /) [15]. Из графиков видно, что зависимость Zg(a) из выражения (29) лучше
и на большем диапазоне изменения параметра а (0,2 С а < сю) аппроксимирует точную кривую Z^a\ чем зависимость из выражения (25). Более простая зависимость Zg(a) из (25) с достаточной степенью точности (погрешность менее 10%) приближает точную зависимость Zg(a) в диапазоне 1 < а < сю. Практически использовать зависимость (29) очень сложно. Поэтому для значений параметра а ^ 1 можно рекомендовать зависимость (25), а для малых значений параметра из (29) можно получить
(6.2.30)
Соотношения, связывающие перепад давления и мощность внешних сил на участке канала [xi,x], получаются на основании выражения (19) как функции Z^;
X
6.2.316.2.31Zip _ f sign Q dxТо J h 1 - Z о1xxX
6.2.31
6.2.31
Ns = [(6.2.32)
xx
Интегралы в выражениях (31) и (32) берутся с учетом (25), если a > 1, или (30), если 0,2 < a < 1.
Сжатие среды между двумя параллельнымиплоскостями
В этом параграфе рассматривается применение результатов, полученных в §6.2, для определения, например, силы, действующей на плоские прямоугольные пластины при сжатии ими слоя бингамовской среды.
Рассматривается задача о плоском, квазистационарном, изотермическом течении несжимаемой бингамовской среды в тонком слое, заключенном между двумя параллельными сближающимися поверхностями.
Полагается, что расстояние между пластинами равно 2h, скорость сближения пластин U = 2|А,|, длина пластин равна 21 при х\ = 0, Q(0, i) = 0, sign Q = 1.
В этом случае в соответствии с выражением (2.8) расход среды Q будет равен
Q = -Ux. (6.3.1)
Параметр а (2.22) примет следующее значение:Параметр а (2.22) примет следующее значение:pUx Toh2pUx Toh2(6.3.2)(6.3.2)Рассматривается случай сжатия слоя среды при малых значениях параметра а (0,2 < а < 1), т. е. когда среда ведет себя как почти пластичное тело (большие числа Сен-Венана). Давление р среды находится интегрированием по г уравнения (2.19) с учетом выражения (2.30) и граничных условий на концах пластин Qp = рх при х = ±Z):Рассматривается случай сжатия слоя среды при малых значениях параметра а (0,2 < а < 1), т. е. когда среда ведет себя как почти пластичное тело (большие числа Сен-Венана). Давление р среды находится интегрированием по г уравнения (2.19) с учетом выражения (2.30) и граничных условий на концах пластин Qp = рх при х = ±Z):Р = Р1 -Р = Р1 -4 . (3/2)a+l3ai (3/2)ai + 14 . (3/2)a+l3ai (3/2)ai + 1здесьздесьрШ ai = —Toh2рШ ai = —Toh2(6.3.4)(6.3.4)Сила, формулеСила, формуледействующая на каждую из пластин,действующая на каждую из пластин,находится понаходится поF = 2 pdx = 2pxl — 2 x^-dx. oxF = 2 pdx = 2pxl — 2 x^-dx. ox(6.3.5)(6.3.5)оооо
Параметр а (2.22) примет следующее значение:
Параметр а (2.22) примет следующее значение:
pUx Toh2
pUx Toh2
(6.3.2)
(6.3.2)
Рассматривается случай сжатия слоя среды при малых значениях параметра а (0,2 < а < 1), т. е. когда среда ведет себя как почти пластичное тело (большие числа Сен-Венана). Давление р среды находится интегрированием по г уравнения (2.19) с учетом выражения (2.30) и граничных условий на концах пластин Qp = рх при х = ±Z):
Рассматривается случай сжатия слоя среды при малых значениях параметра а (0,2 < а < 1), т. е. когда среда ведет себя как почти пластичное тело (большие числа Сен-Венана). Давление р среды находится интегрированием по г уравнения (2.19) с учетом выражения (2.30) и граничных условий на концах пластин Qp = рх при х = ±Z):
Р = Р1 -
Р = Р1 -
4 . (3/2)a+l
3ai (3/2)ai + 1
4 . (3/2)a+l
3ai (3/2)ai + 1
здесь
здесь
рШ ai = —
Toh2
рШ ai = —
Toh2
(6.3.4)
(6.3.4)
Сила, формуле
Сила, формуле
действующая на каждую из пластин,
действующая на каждую из пластин,
находится по
находится по
F = 2 pdx = 2pxl — 2 x^-dx. ox
F = 2 pdx = 2pxl — 2 x^-dx. ox
(6.3.5)
(6.3.5)
о
о
о
о
После подстановки значения давления р из (3) в выражение (5) получается следующее выражение для определения силы:
При значениях ах <^ 1 выражение (6) записывается в видеПри значениях ах <^ 1 выражение (6) записывается в видеF = 2р\1 + ^" (Д+2avYF = 2р\1 + ^" (Д+2avY(6.3.7)(6.3.7)
При значениях ах <^ 1 выражение (6) записывается в виде
При значениях ах <^ 1 выражение (6) записывается в виде
F = 2р\1 + ^" (Д+2avY
F = 2р\1 + ^" (Д+2avY
(6.3.7)
(6.3.7)
Если давление на границе пластин равно нулю (рх = 0), то при ах < 0,5 величина силы, вычисленная по выражению (7), с погрешностью порядка 4-7% совпадает со значением силы, полученным В.П. Мясниковым [60] для случая сжатия среды параллельными прямоугольными плитами при больших числах Сен-Венана.
Расход среды в каналах различной формы
В этом параграфе проводится сравнение расходов Q одной и той же среды в каналах различной формы, но одинаковой длины I и при одинаковом заданном перепаде давления Ар [15].
Рассматриваются следующие формы каналов:
расстояние между стенками канала 2h = 2 До = const;
расстояние между стенками канала изменяется по закону
2h = 2 (До + Л1 sincjt);(6.4.1)
расстояние между стенками канала изменяется по закону 2Д = 2(До + А2 sin kx);(6.4.2)
расстояние между стенками канала изменяется по закону бегущей волны синусоидальной формы
2h = 2\h0 + А3вт2т;(Г - £Н;(6.4.3)
расстояние между стенками канала изменяется по закону бегущей волны следующего вида:
hx (х, t) = — ho + A sin 2лhx (х, t) = — ho + A sin 2лh^x, t) = ho — A sin 2л ( —h^x, t) = ho — A sin 2л ( —t х\Л + Лt х\Л + Лх \АДх \АД(6.4.4)(6.4.4)
hx (х, t) = — ho + A sin 2л
hx (х, t) = — ho + A sin 2л
h^x, t) = ho — A sin 2л ( —
h^x, t) = ho — A sin 2л ( —
t х\
Л + Л
t х\
Л + Л
х \
АД
х \
АД
(6.4.4)
(6.4.4)
здесь 2ho — среднее расстояние между стенками; А^ — амплитуда колебаний одной из стенок (г = 1,2,3); си = 2тг/1\ — циклическая частота колебаний; t\ — период колебаний точек волны; к = 2л/А, А — длина волны.
В рассматриваемых случаях Ах = А2 = Аз = Л; ho, t\, А одинаковы. Далее расход определяем, используя для координаты Zo выражение (2.25).
P-Qo Toh^P-Qo Toh^Для случая а) расход среды Q = Qo(O) = const. Величина параметра а (2.22) равна
P-Qo Toh^
P-Qo Toh^
(6.4.5)
Полагая в (2.31) signQ = 1, хх = О, Х2 = I и интегрируя с учетом (2.25) и (4), получается уравнение для определения расхода Qq. Решая это уравнение относительно Qo, находим его значение: 2
д0 = ^0(Поо-1). (6.4.6)
Если в (4) принять а ^> 1, то из выражения (6) с учетом (5) получается П^ ^> 1, и выражение (6) будет практически совпадать с формулой, полученной из решения соответствующей нестационарной задачи для а 1 при t ос [15].
Для случая б) в соответствии с (2.8), (2.31) и (2.25) получаетсяДля случая б) в соответствии с (2.8), (2.31) и (2.25) получаетсяQ = Qo - 2Асих cos act,pQo 2рАшх ,a = -—2~—cos^^To^o TOhoQo = ^ (П^ - 1) + AoZcoswtQ = Qo - 2Асих cos act,pQo 2рАшх ,a = -—2~—cos^^To^o TOhoQo = ^ (П^ - 1) + AoZcoswt(6.4.7)(6.4.7)(6.4.8)(6.4.8)(6.4.9)(6.4.9)
Для случая б) в соответствии с (2.8), (2.31) и (2.25) получается
Для случая б) в соответствии с (2.8), (2.31) и (2.25) получается
Q = Qo - 2Асих cos act,
pQo 2рАшх ,
a = -—2~—cos^^
To^o TOho
Qo = ^ (П^ - 1) + AoZcoswt
Q = Qo - 2Асих cos act,
pQo 2рАшх ,
a = -—2~—cos^^
To^o TOho
Qo = ^ (П^ - 1) + AoZcoswt
(6.4.7)
(6.4.7)
(6.4.8)
(6.4.8)
(6.4.9)
(6.4.9)
Средний расход Qo находится путем осреднения функции Qo (9) по времени за период колебаний с учетом выражения h^t) (1):
^0 = ^0^-1) + ^!(ЗПос-1). (6.4.10) op op
Из сравнения выражений (6) и (10) следует, что величина среднего за период расхода среды Qo через канал, стенки которого колеблются по закону (1), больше расхода той же среды через канал постоянного сечения при одинаковых значениях П^. _ _
Чтобы сравнить расход Qo (10) с расходом Q, полученным при решении соответствующей нестационарной задачи, возьмем в (3.3.20) со <^ 1 (случай малых частот колебаний, для которых справедлива формула (10)) [15]. В этом случае величина расхода Q из (3.3.20) будет равна
^0^0 / ^ тт 1 А । йрЧ 7 ГТ А
Р \о/ Р \2)
что при П^ 1 практически совпадает с (10).
Для случая в) расход среды в канале, стенки которого деформируются по закону (2), постоянен: Q = Qo(O) = const. На основании (2.22), (2.31) и (2.25) получается
здесьздесьЖ, А)Ж, А)pQoто(^о + 4sin kx^ ’pQoто(^о + 4sin kx^ ’_ 4тгтоЛоЗцДНо.А) V 00_ 4тгтоЛоЗцДНо.А) V 002тг' duь [1 + (A/Ziq) sin и]3 о2тг' duь [1 + (A/Ziq) sin и]3 о(6.4.11)(6.4.12)(6.4.13)(6.4.11)(6.4.12)(6.4.13)
здесь
здесь
Ж, А)
Ж, А)
pQo
то(^о + 4sin kx^ ’
pQo
то(^о + 4sin kx^ ’
_ 4тгтоЛо
ЗцДНо.А) V 00
_ 4тгтоЛо
ЗцДНо.А) V 00
2тг
' du
ь [1 + (A/Ziq) sin и]3 о
2тг
' du
ь [1 + (A/Ziq) sin и]3 о
(6.4.11)
(6.4.12)
(6.4.13)
(6.4.11)
(6.4.12)
(6.4.13)
Чтобы сравнить (12) с выражением, полученным в результате решения аналогичной нестационарной задачи для случая, когда А/ho = е 1, находим интеграл (13), беря под знаком интеграла разложение подынтегральной функции по степеням е до третьего слагаемого включительно [15]. После подстановки значения интеграла (13) в (12), получаем
^^(П^-1)-^^(Пос-1). (6.4.14)
При Поо ^> 1 оба выражения практически совпадает. Из выражения (14), кроме того, следует, что расход среды в канале, стенки которого деформированы по синусоидальному закону, меньше, чем расход в канале с параллельными стенками при одинаковой длине каналов, равенстве среднего расстояния между изогнутыми стенками канала расстоянию между параллельными стенками и одном и том же перепаде давления.
Для случая г) расход среды в канале, стенки которого деформируются по закону (3), определяется на основании (2.7) с учетом h = —vc{dh/Эх) выражением
(6.4.15)(6.4.15)Q = Qo + 2xc\_h(x, t) - ЦО, i)];
(6.4.15)
(6.4.15)
здесь хс — ХЦ\ — скорость волны.
Параметр а (2.22) на основании (15) будет определяться в этом случае выражением
(6.4.16)(6.4.16)р Qo + 2vc[h(x,t) — h(O,t)] tqЪЦхЛ)
(6.4.16)
(6.4.16)
Уравнение для расхода среды через начальное сечение канала Qo(O,t) получается из выражения (2.31) с учетом (2.25) и (16). Решение этого уравнения относительно Qo(O,t) имеет следующий вид:
здесь
ll1
т ( dx т ( dx т ( dxл
Jx = ту—Л =• (6.4.18)
J Цх,1)J h2(x,t)J h3(x,t)
ООО
Для сравнения выражения (16) с аналогичным выражением, полученным при решении соответствующей нестационарной задачи, интегралы (17) вычисляются в предположении, что А/Ао = = е <С 1 [15]. В этом случае значения обоих интегралов будут
равны. После подстановки величин интегралов из (3.4.7) в выражение (17) и сохранения при этом слагаемых, содержащих 9
степени не выше е , получается следующее выражение для расхода Qo(O, t):
Qo(O, t) = (Поо - 1) + г2хсН0 sin |^ t +
op
. 2 Го 7 5ro^o /4 _2\]
+ e \3ucho. (6.4.19)
Выражение (19) при a ^ 1 (соответствует П^ ^> 1) практически совпадает с аналогичным выражением, полученным при решении соответствующей нестационарной задачи [15].
Средний расход Qo среды в канале, стенки которого деформируются по закону бегущей волны, находится путем определения среднего за период волны значения Qo(O,i):
Со = ^ (Поо - 1) + е2 Wo - ^ Р Пос - |)] . (6.4.20)
Это выражение при а ^ 1 практически совпадает с аналогичным выражением, полученным при решении соответствующей нестационарной задачи [15]. Сравнение Qo из выражения (20) с Qo из выражения (6) позволяет отметить наличие трех возможных режимов течения вязкопластичной среды, аналогичных приведенным в работе [15].
Для случая д) половина расстояния между стенками К, согласно (2.8), будет изменяться по закону стоячей волны:
h = h0-Acos — sin^.(6.4.21)
A
Q(x, t) = Q(0, t) — 2vcA sin —- (1 — cos ^^ tx V aQ(x, t) = Q(0, t) — 2vcA sin —- (1 — cos ^^ tx V aВ соответствии с (2.8) и (21) расход Q(x,f) среды в любом сечении канала определяется выражением
Q(x, t) = Q(0, t) — 2vcA sin —- (1 — cos ^^ tx V a
Q(x, t) = Q(0, t) — 2vcA sin —- (1 — cos ^^ tx V a
(6.4.22)
Это выражение для расхода определялось при од = 0.
Выражение для определения местного безразмерного параметра а находится путем подстановки выражения расхода (22) в (2.22)
_ Q(O,Z)-2vcAsin(27rt/^)[l-со8(2тгж/А)](6 4 231
° tq \ho — A cos(2tt^/^a) sin(27ri/tx)] '' '
6 A.B. Гноевой, Д.М. Климов, B.M. Чесноков
В дальнейшем приняты следующие допущения: a^l, Q(0,t)>4i?cA, A/ho = E<cX.
Первое допущение означает, что при определении безразмерного расстояния Zg от стенок канала до условной границы областей течения используется выражение (2.25). Второе допущение связано с первым. Третье вводится с целью отыскания решения в виде ряда по степеням малого параметра е. Ограничиваемся далее слагаемыми, содержащими малый параметр в степени не выше е^ .
Для определения параметра а предварительно находится расход Q(O,t) среды в начальном сечении канала. После подстановки выражения а (23) в (2.31) и последующего его интегрирования от х\ = 0 до Х2 = I получается следующее уравнение относительно Q(O,t):
2irt2irtN =_ 2vcA sin _tq 2tq \N =_ 2vcA sin _tq 2tq \txtx\2тг/р2^) + xcAJ3(t) sin -h Ji(t);/tx(6.4.24)\2тг/р2^) + xcAJ3(t) sin -h Ji(t);/tx(6.4.24)
2irt
2irt
N =_ 2vcA sin _
tq 2tq \
N =_ 2vcA sin _
tq 2tq \
tx
tx
\2тг/
р2^) + xcAJ3(t) sin -h Ji(t);
/tx
(6.4.24)
\2тг/
р2^) + xcAJ3(t) sin -h Ji(t);
/tx
(6.4.24)
здесь
оооооо2тгж dx COS —5-.A h32тгж dx COS —5-.A h3(6.4.25)(6.4.25)
о
о
о
о
о
о
2тгж dx COS —5-.
A h3
2тгж dx COS —5-.
A h3
(6.4.25)
(6.4.25)
Интеграл J3^ легко вычисляется (обращается в ноль), если длина канала равна целому числу длин волн, т. е. I = nA (п = = 1,2,...).
Выражение для определения расхода находится путем решения относительно Q(0,i) уравнения (24) именно для такого случая длины канала Г.
Q(0,t) = ^+ 2vcAsin ^.(6.4.26)
Средний за период волны tx расход среды Q(O,t) на основании (22) и с учетом (26) определяется по формуле
Со = С(0, <) = ^ [dt. (6.4.27)
J J2Vt) 0
Интегралы Ji(t), J2W из (25) находятся путем разложения подынтегральных функций в ряды по степеням малого парамет-
ра е, ограничиваясь тремя слагаемыми:
J1 (t) = — 1 + — cos2 — ,J2(^) = -т 1 + Зе2 cos2 — .
по \2 Гд /\/
(6.4.28)
Интегралы (26) могли быть вычислены точно, однако полученные в этом случае выражения оказались бы затруднительными для анализа. Выражения (26) и (27) с учетом (28) принимают следующий вид:
_ ^О^О Г/ТТ П 5е2/6тт2 27Г^,
<2(0, t)(Поо 1) I П^ 1 I cos f +
op L\ о/ J
+ e2vcAho sin — t, (6.4.29)
Q(M = ^ [(Поо - 1) - ^ ^Поо - 1)1;(6.4.30)
здесь Поо определяется при h = ho аналогично тому, как это было сделано в работе [15].
Сравнивая выражение (30) с аналогичным выражением в работе [15], приходим к выводу, что при а ^ 1 расход среды, текущей в канале, расстояние между стенками которого изменяется по закону стоячей волны, определяется почти также как и в канале с неподвижными стенками, имеющими форму синусоиды. В обоих этих случаях расход одной и той же среды, текущей в канале с деформированными стенками меньше расхода среды, текущей в канале с параллельными стенками при одном и том же перепаде давления Ар, одинаковой длине каналов I и среднем расстоянии между стенками 2/щ, равном расстоянию между параллельными стенками. Если перепад давления Ар изменяется по более сложному закону, например, Др = Ард + Ах cos -—, то выражения (26) и (27) будут иметь следующий вид:
Q(M = ^Q(M = ^+ 2dcA sin,+ 2dcA sin,
Q(M = ^
Q(M = ^
+ 2dcA sin,
+ 2dcA sin,
t2x(6А31)
= 2то ' (АроЛД+_ОДЛДсод(27г^4
3^t2A JJ2W’
О
здесь /да равно либо наибольшему из периодов t\ и Пл, если эти периоды кратны, либо t^x сю, если эти периоды не являются кратными.
При А/ho = е <С 1 выражение (32) совпадает с (30). Это значит, что наличие гармонической составляющей в законе изменения перепада давления не влияет на средний расход среды. При А/ho ^ 1 интегралы Ji(t), J2W должны вычисляться точно. Если значение интеграла
I1 '^2А0I1 '^2А0(Л1/то) COs(2tt/£ia)£МО(Л1/то) COs(2tt/£ia)£МОdt^O,dt^O,
I
1 '
^2А
0
I
1 '
^2А
0
(Л1/то) COs(2tt/£ia)£
МО
(Л1/то) COs(2tt/£ia)£
МО
dt^O,
dt^O,
то колебания перепада давления окажут влияние на расход среды.
Интересным, на наш взгляд, представляется поведение области ядра течения различных сред в зависимости от формоизменения канала. Это связано с возможностью разрушения области течения ядра, т. е. нарушением его сплошности. На рис. 6.3, 6.4 приведены построенные по формулам (2.25), (23) и (26) формы границы ядра для двух сред с // = 20 Па • с и предельными напряжениями сдвига, равными соответственно то = 200 Па, то = = 500 Па. Исследования проводились для канала со следующей геометрией:
ho = 0,05 м, А = 0,1 ho, п = 3, А = 0,5 м,
при значении v = 1 Гц.
На приведенных рис. 6.3, 6.4 видно, что для среды с предельным напряжением сдвига то = 200 Па происходит нарушение
сплошности ядра течения. Это явление было отмечено ранее в работе В.И. Вишнякова, К.Б. Павлова, А.С. Романова [8] при исследовании ими плоского течения вязкопластичной среды в канале, стенки которого симметрично деформируются по закону бегущей волны.
§6.5. Пространственное течение средыиз мягкой емкости при сжатии еедвумя параллельными пластинами
В этом разделе рассматривается применение метода эквивалентной вязкости це для исследования течения среды из мягкой деформируемой емкости (оболочка) через одну из ее сторон. Течение среды из оболочки происходит под действием двух параллельных сближающихся прямоугольных пластин, между которыми расположена эта емкость. Нижняя пластина при этом совершает дополнительное движение.
Рассматривается задача о пространственном изотермическом течении из оболочки через одну из ее сторон несжимаемой бингамовской среды под действием двух параллельных медленно сближающихся прямоугольных пластин, между которыми расположена эта оболочка, для случая, когда нижняя пластина совер-
УУhhо ^^у=Ьажк1о ^^у=Ьажк1УУббjx = asinHjx = asinHу=bcosktу=bcosktаа
У
У
h
h
о ^^
у=Ьажк1
о ^^
у=Ьажк1
У
У
б
б
jx = asinH
jx = asinH
у=bcoskt
у=bcoskt
а
а
Рис. 6.5
шает дополнительное плоское колебательное движение, перпендикулярное направлению сближения этих пластин х = asinfct, у = bcoskt (рис. 6.5).
Принято, что колебания нижней пластины происходят с малой амплитудой и большой частотой, т. е. характерным временем процесса будет время сжатия среды пластинами. Начало неподвижной декартовой системы координат Oxyz находится на основании оболочки и фиксируется в момент ее покоя (см. рис. 6.5). Эквивалентная вязкость це не зависит от координат, но зависит от времени.
Рассматриваемые колебания нижней пластины практически не оказывают влияния на поле скоростей, обусловленное сжатием слоя среды, но могут оказывать влияние на эквивалентную вязкость среды.
Уравнения Рейнольдса в этом случае имеют следующий вид:
др (Эх = pe{d2vx/dz2),др/ду = pe^Dyld^Ydp/dz = О,(дЩдж) + (dvy/dy) + (dvz/dz) = 0.
Система (1) решается при следующих граничных условиях:
ж = 0: др/дх = 0,
ж = Z]: др/дх = О,
(6.5.2)(6.5.2)у = 0:др/ду = О,
(6.5.2)
(6.5.2)
У = ^: p = ^Y
2 = 0:vx = ak cos kt, vy = — bk sin kt, vz = 0,
z = h:vx = vy = 0, vz = —v;
здесь h — текущая толщина сжимаемого слоя среды; v — скорость сближения пластин (см. рис. 6.5). Вид функции устанавливается далее.
В соответствии с третьим уравнением системы (1) давление р не зависит от координаты z, и поэтому интегрирование первых двух уравнений этой системы позволяет получить скорости Vx, Vy\
= С^2 + С,2 + С2,(6.5.3)
ox
= X ^2 + c^ + c4;(6.5.4)
2pe 9y
здесь Q, Cs, C3, C4 — постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий.
В соответствии с граничными условиями (2) выражения (3), (4) записываются в следующем виде:
vx = —(z2 — hzA +(z —cos kt,(6.5.5)
2pe oxh
Vy = —(z2 — hzA +(z —sin kt.(6.5.6)
y 2pe oyh
Скорость vz получается после подстановки выражений (5) и (6) в последнее уравнение системы (1) и последующего его интегрирования по координате z;
Г 1 Э2Р z 27 X ,1 Э2Р ( 2
\_2 ре Эх22 ре Эу2
В равенство (7) входят постоянная интегрирования С^ и неизвестное давление р, которые определяются из двух последних граничных условий (2). В соответствии с этими граничными условиями выражение для скорости xz имеет вид
(6.5.8)(6.5.9)(6.5.8)(6.5.9)_1 / д2р д2р \ / г3
(6.5.8)
(6.5.9)
(6.5.8)
(6.5.9)
2Ре \Эх2 ду2/ х 3
Э2рЭ2р _ 12уе
Эх2ду2 h3
среде необходимо проинте- Для этого в уравнении (9)среде необходимо проинте- Для этого в уравнении (9)Для определения давления р в грировать уравнение Пуассона (9).
среде необходимо проинте- Для этого в уравнении (9)
среде необходимо проинте- Для этого в уравнении (9)
делается заменаделается замена6реХ о , аор= iFy +1’6реХ о , аор= iFy +1’(6.5.10)(6.5.10)
делается замена
делается замена
6реХ о , ао
р= iFy +1’
6реХ о , ао
р= iFy +1’
(6.5.10)
(6.5.10)
здесь Ф = Ф(ж, у, z\ а^/2 = const.
После подстановки выражения для давления (10) в уравнение Пуассона (9) получается уравнение Лапласа для функции Ф:
(6.5.11)(6.5.11)ДА»
(6.5.11)
(6.5.11)
Эх2 ду2
Частное решение уравнения (11) имеет следующий вид:
Фд = (Ад cos Ах + Вд sin Аж) (Сд chAy + ВдзН Ay). (6.5.12)
Общее решение уравнения (9) в соответствии с (10) и (12) есть
+ У^ (Ад cos Ах + Вд sin Аж) (СдсНАу + ВдзЬ Ау\ (6.5.13)
Значения Ад, Вд, Сд, Вд определяются из граничных условий (2). В соответствии с граничными условиями (2) получаются следующие выражения:
АдСд = Ап, Вд = 0, Вд = 0, А = пл//1 (п = 1,2,3,...),
оо(6.5.14)
/ х tto ВреХ , V^ л^х 1 ^^2г 1
-у-^ + 2^ЛпСО8—ch-^.(6.5.15)
Функция ^(ж) (15) определяется из условия
(др/дх)\у=р = 0 при ж = 0, ж = /ь
а также предположения, что функция (dp/dx)\y=i2 = 0 является параболой вида
(dp/dx)\y=l2 = Цх2 -1\х\
(6.5.16)
В этом случае распределение давления среды на границе, через которую он вытекает, равно
р(х) = р(х) = Ьх^ (З — Ы1Х2/2 + d.
(6.5.17)
Постоянные Ь, d находятся из условия
х = 0: р = Р2,
x = lft р = р\ (pi > P2Y
(6.5.18)
Выражение (15) с учетом этого принимает следующий вид:
/ ч6(pi -рС) (X31\Х2\
^д=Р2р Uо )■
(6.5.19)
После подстановки (19) в (15) определяются коэффициенты разложения функции р^ в ряд Фурье по косинусам
,, 12uevZo
«0 = Pl + Р2 +з 2 ,
. _ 4(pi — Р2) Г3п2тг2 + 6(1 — СО8П7г)1
(6.5.20)
Давление в среде на основании (14) и (20) определяется следующим выражением:
V -+ ^ ft - ft) -
4(pi — Р2)Зп27Г2 + 6(1 — СОбПТг)П7ГХ 1 тшу
л7л,, хCOS чСП 7.
7Г4^-^ п4 сН(пТг//1)/2^1^1
(6.5.21)
Полная сила F, действующую со стороны вытесняемой среды на подвижную плоскость, определяется следующим выражением:
6 Z2
F = 2 р dx dy = S Ц1 + р2 Н—^-1^ ); 0 0
(6.5.22)
здесь S = Ц • Ц — площадь половины деформируемой пластинами части оболочки.
Если принять, что pi ~ Р2, то б этом случае полная сила F равна
F = S(2p2 + ^/2).(6.5.23)
и секундный расход среды Q через сечение оболочки у = 1^ определяется выражением
Q = 2Q = 2й кО Ой кО О^(ж, Z2, 2, i) Ах dz^(ж, Z2, 2, i) Ах dz= 2хS — bhlxk sin kt.= 2хS — bhlxk sin kt.(6.5.24)(6.5.24)Средний за период колебаний tp нижней пластины расходСредний за период колебаний tp нижней пластины расходсреды Q равенсреды Q равенQ dt = 2xS;Q dt = 2xS;оо(6.5.25)(6.5.25)здесь х — средняя за период колебаний скорость нижней пластины.Считая силу, действующую на деформируемую пластинами часть оболочки, постоянной, найдем из (23) закон изменения расстояния К между пластинами от времени t. Для этого из (23) выражается скорость х = —dh/dt и интегрируется полученное дифференциальное уравнение первого порядка при начальном условии t = 0, h = ho, где ho — начальное расстояние между пластинами. В результате для закона движения верхней ны h(t) получим следующее выражение:здесь х — средняя за период колебаний скорость нижней пластины.Считая силу, действующую на деформируемую пластинами часть оболочки, постоянной, найдем из (23) закон изменения расстояния К между пластинами от времени t. Для этого из (23) выражается скорость х = —dh/dt и интегрируется полученное дифференциальное уравнение первого порядка при начальном условии t = 0, h = ho, где ho — начальное расстояние между пластинами. В результате для закона движения верхней ны h(t) получим следующее выражение:пласти-пласти-(6.5.26)(6.5.26)/г = Z^Aqa 9;^jJLeSl^Feh^tздесь Fe = F — 2p^S — эффективная сжимающая сила.Подстановкой h из (26) в соотношение (23) найдем закон изменения скорости верхней пластины при действии на нее эффективной постоянной силы Fe:V = Feh3ol2vns ^eSl^FFeh^tr^- (6.5.27)Эквивалентная вязкость ре определяется выражением (1.1) для тонкого слоя:Me = М + .Т°=•(6.5.28)у (Эхж/Эг)2 + (Эх^/Эг)2 + (Эхг/Эг)2Согласно (28) эквивалентная вязкость ре является функцией всех трех координат и времени, и для того, чтобы пользоваться/г = Z^Aqa 9;^jJLeSl^Feh^tздесь Fe = F — 2p^S — эффективная сжимающая сила.Подстановкой h из (26) в соотношение (23) найдем закон изменения скорости верхней пластины при действии на нее эффективной постоянной силы Fe:V = Feh3ol2vns ^eSl^FFeh^tr^- (6.5.27)Эквивалентная вязкость ре определяется выражением (1.1) для тонкого слоя:Me = М + .Т°=•(6.5.28)у (Эхж/Эг)2 + (Эх^/Эг)2 + (Эхг/Эг)2Согласно (28) эквивалентная вязкость ре является функцией всех трех координат и времени, и для того, чтобы пользоватьсяиз негоиз него
Q = 2
Q = 2
й к
О О
й к
О О
^(ж, Z2, 2, i) Ах dz
^(ж, Z2, 2, i) Ах dz
= 2хS — bhlxk sin kt.
= 2хS — bhlxk sin kt.
(6.5.24)
(6.5.24)
Средний за период колебаний tp нижней пластины расход
Средний за период колебаний tp нижней пластины расход
среды Q равен
среды Q равен
Q dt = 2xS;
Q dt = 2xS;
о
о
(6.5.25)
(6.5.25)
здесь х — средняя за период колебаний скорость нижней пластины.
Считая силу, действующую на деформируемую пластинами часть оболочки, постоянной, найдем из (23) закон изменения расстояния К между пластинами от времени t. Для этого из (23) выражается скорость х = —dh/dt и интегрируется полученное дифференциальное уравнение первого порядка при начальном условии t = 0, h = ho, где ho — начальное расстояние между пластинами. В результате для закона движения верхней ны h(t) получим следующее выражение:
здесь х — средняя за период колебаний скорость нижней пластины.
Считая силу, действующую на деформируемую пластинами часть оболочки, постоянной, найдем из (23) закон изменения расстояния К между пластинами от времени t. Для этого из (23) выражается скорость х = —dh/dt и интегрируется полученное дифференциальное уравнение первого порядка при начальном условии t = 0, h = ho, где ho — начальное расстояние между пластинами. В результате для закона движения верхней ны h(t) получим следующее выражение:
пласти-
пласти-
(6.5.26)
(6.5.26)
/г = Z^Aqa 9;
^jJLeSl^Feh^t
здесь Fe = F — 2p^S — эффективная сжимающая сила.
Подстановкой h из (26) в соотношение (23) найдем закон изменения скорости верхней пластины при действии на нее эффективной постоянной силы Fe:
V = Feh3ol2vns ^eSl^FFeh^tr^- (6.5.27)
Эквивалентная вязкость ре определяется выражением (1.1) для тонкого слоя:
Me = М + .Т°=•(6.5.28)
у (Эхж/Эг)2 + (Эх^/Эг)2 + (Эхг/Эг)2
Согласно (28) эквивалентная вязкость ре является функцией всех трех координат и времени, и для того, чтобы пользоваться
/г = Z^Aqa 9;
^jJLeSl^Feh^t
здесь Fe = F — 2p^S — эффективная сжимающая сила.
Подстановкой h из (26) в соотношение (23) найдем закон изменения скорости верхней пластины при действии на нее эффективной постоянной силы Fe:
V = Feh3ol2vns ^eSl^FFeh^tr^- (6.5.27)
Эквивалентная вязкость ре определяется выражением (1.1) для тонкого слоя:
Me = М + .Т°=•(6.5.28)
у (Эхж/Эг)2 + (Эх^/Эг)2 + (Эхг/Эг)2
Согласно (28) эквивалентная вязкость ре является функцией всех трех координат и времени, и для того, чтобы пользоваться
из него
из него
ею только как функцией времени движения верхней пластины, находится некоторое осредненное по координатам и периоду колебаний нижней пластины ее значение, характерное для данного процесса.
Поскольку основные параметры процесса связываются с действующей на пластины силой Fe, то характерной эквивалентной вязкостью следует считать ее значение непосредственно около пластин. В силу этого компоненты тензора скоростей деформации в (28) вычисляются при значении % = h. После осреднения подкоренного выражения в (28) по времени за период колебаний tp нижней плоскости и подстановки туда h из (26) получим полное кубическое уравнение относительно эквивалентной вязкости pie, которое для численного решения удобно привести к следующему виду:
Аналитическое решение уравнения (29) связано с очень громоздкими расчетами, поэтому его лучше решать численно. При этом единственным корнем этого уравнения, удовлетворяющим физическому смыслу, будет pie pi.
Далее приводятся некоторые результаты численного решения уравнения (29) при следующих значениях параметров:
pi = 10 Па • с, то = 100 Па, S = 1 м2, ]л = 12 = 0,5 м,
/г0 = 0,1м, а = 6 = 10-3 м, Fe = 1000H, fc = 20c"1.
Полученные результаты:
при t = 0 с рье = 510 Па • с;
при t = 100 с pie = 223,83 Па • с;
при t = 1000 с pie = 42,54 Па • с.
Увеличим амплитуду колебаний в десять раз, т. е. а = b = = 10-2 м, при сохранении неизменной циклической частоты колебаний к нижней пластины и остальных параметров.
Полученные результаты:
при t = 0 с pie = 60 Па • с;
при t = 100 с pie = 16,34 Па • с;
при t = 1000 с pie = 11,71 Па • с.
Аналогичные результаты получатся, если в десять раз увеличить циклическую частоту колебаний нижней пластины при сохранении неизменными остальных параметров.
Из проведенных методом эквивалентной вязкости расчетов следует, что при сжатии слоя среды параллельными пластинами ее эквивалентная вязкость монотонно снижается, стремясь к предельному минимальному значению, равному коэффициенту динамической вязкости среды.
Увеличение амплитуды или циклической частоты колебаний нижней пластины существенно снижает коэффициент эквивалентной вязкости среды, что позволит при одной и той же силе, действующей на верхнюю пластину, и за одно и то же время сжать слой среды до меньшей толщины.
Например, используя выражение (26) и приведенные ранее расчеты, найдем, до какой толщины h будет сжат слой среды за t = 100 с при амплитуде колебаний нижней пластины а = = b = 10-3 м и при амплитуде а = b = 10-2 м. Для этого в (26) подставим все данные выше параметры процесса, время t = 100 с и значения эквивалентной вязкости в этот момент времени pte = = 223,83 Па-с и pie= 16,34 Па • с.
Для первого случая получим h = 0,043 м, а для второго случая — h = 0,013 м.
§ 6.6. Плоское течение среды из мягкой емкости при сжатии ее двумя непараллельными пластинами
В этом параграфе рассматривается применение метода эквивалентной вязкости pte Для исследования течения среды из мягкой деформируемой емкости (оболочка) под действием двух непараллельных сближающихся прямоугольных пластин, между которыми расположена эта емкость. Нижняя пластина при этом совершает дополнительное движение.
Рассматривается задача о плоском, изотермическом течении из оболочки через одну из ее сторон несжимаемой бингамовской среды под действием двух непараллельных сближающихся прямоугольных пластин, между которыми расположена эта оболочка, для случая, когда одна из пластин совершает дополнительное колебательное движение (рис. 6.6).
Принято, что нижняя горизонтальная пластина движется по закону х = asinfct. Верхняя пластина, расположенная под углом а к нижней пластине, сближается с ней со скоростью х, двигаясь поступательно (рис. 6.6). Задача решается в приближении тонкого слоя.
С использованием метода эквивалентной вязкости уравнения движения среды в тонком слое (уравнения Рейнольдса) и урав-
Рис. 6.6
нение неразрывности имеют следующий вид:
др/дх = Ре^Хх) д2?\
др/д-у = p^Vy/dz2),(661)
dp/dz = О,
(дЩдж) + (dvy/dy) + (dvz/dz) = 0.
Система (1) решается при следующих граничных условиях:
у = 0: vx = ak cos kt, vy = 0,
<662* x = 0: op/ox = 0,
x = I2 cos a; p = p*;
здесь a = const, h = ho + xtga, x — скорость сближения пластин.
Проекция скорости течения среды на ось х определяется следующим выражением:
U JUfl
Выражение (3) получается путем интегрирования первого уравнения системы (1) в соответствии с граничными условиями (2). После подстановки (3) в последнее уравнение системы (1) и последующего его интегрирования по у получаются выражения для проекции скорости течения среды на ось у и уравнение для определения давления:
1 Э2р / у3 hy2 \ ,1 Эр у2 , ak 91,
9^^8, = _1^ М^т^ 6
Эх2 h Эх h3 h3
После интегрирования (5) в соответствии с граничными условиями (2) получаются следующие выражения для определения давления:
Эр г 2х - ak tg a cos kt (77 ч , C(t)г
К(6М)
р = з№(6.6.7)
tg2 а2h
* о 2v — ak tg a cos kt 2h2h{h2 — h) — hQ^h^ — h2)
P = P + ОЦеn7^72, (b.b.6)
tg a
^2 = ^0 + ^2 sin ^;(6.6.9)
здесь
no (2v - ak tg a cos kt) {2h2 - h0)
C — U, Ci — p — о pieль о
^2 tg а
— постоянные интегрирования, которые определяются в соответствии с граничными условиями (2).
Нормальное напряжение, действующее на среду со стороны верхней пластины, определяется следующим выражением:
Тип = -Р + 2ре ^ COS2 (О) + 2Де ^ COS2 (О) +
+ 2це(^- + cos(nTx) cos(n^), (6.6.10) \ Эу Эх J
здесь п — единичный вектор нормали к внешней поверхности среды (см. рис. 6.6).
Сила, действующая на верхнюю пластину со стороны вытесняемой среды в направлении нормали к этой пластине, равна
Fn = -Zi ^Pnndl = lx ^pdl;(6.6.11)
оо
здесь Zi — поперечный размер пластины (на рис. 6.6 не показан).
Равенство нормального напряжения на поверхности среды, примыкающей к верхней пластине, давлению:
получается, если в выражение (10) подставляются частные производные от скорости (4), (5)
Й = 6,,^ + ^fl-3^'|costi.
ох \y=hhh \h /
$i|= 6» tg „ + “'■' (f ° (1 - 3 cos kt.
dx \y=hh2h \h J
dvv Ir h - hQ aktga /1h - h0\7 ,
—= —bi7 1—3 — ) cos kt
Эр \y=hh2 h \ h J
с учетом (8) и того, что cos(nTx) = — sin a , cos(nT^) = cos a.
Выражение для определения силы, действующей на верхнюю пластину со стороны вытесняемой среды в направлении нормали к этой пластине, находится путем интегрирования выражения (11) после перехода в нем в подынтегральной функции от переменной h к переменной I:
(6.6.13)(6.6.13)h = ho + I sin a.
(6.6.13)
(6.6.13)
В результате этого получается следующее выражение для определения силы:
, о с 217 - aktgacoskt Г h2 (Д2 - До) № - Ы
Гп Р + ojleo22Щ’
До tg2 a L ДоДо
(6.6.14)
здесь S — площадь пластины.
Главный момент сил давления на пластину со стороны среды относительно оси, проходящей через ближнюю к нижней пластине сторону пластины, определяется следующим выражением:
МО1 = -С 11тпп dl = h \ Ipdl = ^ + оо
о с 217 — ak tg a cos kt Г А 7 \ 2Д^+5Д2Д0— До i
-г o[J(u - ; 2 7 2( Д2 ^0 ) О7 2ЗДд 1^- 7“ •
Z2Sin atg a L\ /2Д2ДoJ
(6.6.15)
Выражение (15) получается так же, как и в предыдущем случае, путем интегрирования подынтегрального выражения в (15) после перехода в нем от переменной Д к переменной I согласно (13).
Положение центра давления относительно точки О\ определяется формулой
_ /2 P^jP3Me^4pgj^MC|^^
° 2 р + ЗцеЛ/8та[21п^2/^о ™ (^2 - ^о)(3^2 - ^о)/^] '
(6.6.16)
здесь Fn, МО1 соответствуют (14), (15);
_ 217 — ak tg a cos ktI2 sin2 atg2 a
Расход вытесняемой среды находится далее с помощью функции тока Ф. В соответствии с уравнением неразрывности (последнее уравнение системы (1)) получаем
(6.6.17)(6.6.17)хж = ЭФ/Эу,1)^ = — Э^ (Эх.
(6.6.17)
(6.6.17)
После интегрирования обеих частей выражений (17) соответственно первого по у, а второго по х получаются следующие выражения для функции тока:
3(217 — ak tg о cos kt)(h — ho) (у3 hy2^ !
h3^W +
(6.6.18)(6.6.18)+ у Qiy - у) cos kt + /(ж, t),
(6.6.18)
(6.6.18)
_ 3(2v — ak tga cos kt)(h — ho) (p hy2^ !
=T- ТГ
+ ^y2 eosktF #y,t). (6.6.19)
Из сравнений (18) и (19) следует, что
/(ж, t) = 0,(р(у, t) = ak cos kt, (6.6.20)
и выражение для функции тока может быть представлено в следующем виде:
3(217 — ak tga cos kt)(h — ho) (у3 hy2\
h3 tg о\ 32 /
+ ^ (2hy — y2) cos kt. (6.6.21)
Для плоского течения среды расход Q на единице поперечной длины через некоторую незамкнутую кривую находится как разность значений функции тока на концах этой кривой [77].
В нашем случае проведем две кривые: одну через точки с координатами х = Z2C0Sа, у = h^, и х = Z2C0SQ, у = 0, а вторую через точки с координатами х = 0, у = ho и х = 0, у = 0. Полный расход среды Q находится как сумма расходов Qi и Q2 через указанные кривые, умноженная на поперечный размер Zi верхней пластины. В результате получим
Q — Qi + Q2 —
= Zi [Ф^ cos а, ^2) — Ф(^2 cos а, 0)] + Zi [Ф(0, Hq) — Ф(0,0)] =
= xS cos а + cos kt. (6.6.22)
Z2
Чтобы найти расход среды по формуле (22), необходимо знать зависимость h^tY Эта зависимость находится из соотношения (14) путем определения из этого соотношения скорости движения х верхней пластины и замены х = —dh^/dt с последующим интегрированием обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:
_ Щ = ak t а cos а +.
(6.6.23) здесь h2 определяется из выражения (8).
Эквивалентная вязкость определяется на верхней пластине, т. е. при у = h
/ / ЭнЭн \ 2/ Гн\2\ 2 I1
/ / ууж।ууу \।/ ууу\।п / ууу \
у \ ГуЭх )\ Эх)\ 9у /
(6.6.24)
Подставив в (24) выражения компонент скоростей деформации (12) при у = h, получим
Не = Н + Toh2 tg a\6x(h - ^0) +
+ (3Hq — 2h) tg a cos fct]-1afc(l + tg4 o)-1/2. (6.6.25)
Все предыдущие математические операции позволяют использовать эквивалентную вязкость це как функцию времени. Эта функция, например, может быть получена путем замены величины h в (25) ее средним значением h по координате x(h) = = ho + (Z2 sina)/2, определения зависимости ho(t) из уравнения (23) и подстановки этой зависимости в (25). Такая операция может быть проведена численным способом.
§6.7. Плоское течение среды из двухгранного угла,стороны которого сближаются
В этом параграфе рассматривается применение метода эк
исследования течения несжима- мягкой деформируемой емкости двугранном угле, образованномисследования течения несжима- мягкой деформируемой емкости двугранном угле, образованномРис. 6.7Рис. 6.7вивалентной вязкости ре для емой бингамовской среды из (оболочка), расположенной в сближающимися пластинами. Течение среды происходит через одну из сторон емкости. Нижняя пластина при этом совершает дополнительное движение.
исследования течения несжима- мягкой деформируемой емкости двугранном угле, образованном
исследования течения несжима- мягкой деформируемой емкости двугранном угле, образованном
Рис. 6.7
Рис. 6.7
Рассматривается задача о плоском изотермическом течении несжимаемой бингамовской среды через одну из сторон мягкой деформируемой
емкости, расположенной в двухгранном угле, образованном двумя подвижными пластинами при их сближении (рис. 6.7).
Задача решается в приближении тонкого слоя при следующих предположениях: горизонтальная пластина колеблется по закону х = asinfct; пластина, расположенная в начальный момент вре
мени к горизонтальной пластине под углом а, поворачивается с угловой скоростью ио относительно соприкасающихся сторон до сближения пластин (см. рис. 6.7).
Для рассматриваемого случая уравнения Рейнольдса и неразрывности имеют такой же вид, как и (6.1)
др/дх = Це^Хх! д^\др/ду = pe^Vy/dz2"),dp/dz = О,{дхх/дх) + {дху/ду) + (Э^/Эг) = 0.
Задача решается при следующих граничных условиях:
ж = у = 0: хх, ху,
х = I2 сова: р = р*,
у = 0:хх = ak cos kt, ху = 0,
у = h = xtga: хх = 'usina = cjxtga,
Ху = — с cos а = —шх.
Интегрирование системы (*) в соответствии с граничными условиями (1) позволяет получить следующие выражения для компонент скорости и уравнения для определения давления:
(у2 — хуtgaA + f 1—Aakcoskt + cay, (6.7.2)
ж 2pe Эх V/ V xtgaVy v 7
_1 92p fy3y 2pe Эх2 \ 3_1 92p fy3y 2pe Эх2 \ 3\- 9p y2— tga+ — — ^-tga-2/ 2pe Эх 2\- 9p y2— tga+ — — ^-tga-2/ 2pe Эх 2xy‘xy‘,2,211Эх 2Эх 2у2 71 -L—5ak cos kt,2x2 tgoу2 71 -L—5ak cos kt,2x2 tgo(6.7.3)(6.7.3)Э2р3 ЭрЭх2x ЭхЭ2р3 ЭрЭх2x Эх12 СО Цех2tg3а12 СО Цех2tg3а6peakcos ktх3 tg2 а6peakcos ktх3 tg2 а(6.7.4)(6.7.4)
_1 92p fy3
y 2pe Эх2 \ 3
_1 92p fy3
y 2pe Эх2 \ 3
\- 9p y2
— tga+ — — ^-tga-2/ 2pe Эх 2
\- 9p y2
— tga+ — — ^-tga-2/ 2pe Эх 2
xy‘
xy‘
,2
,2
1
1
Эх 2
Эх 2
у2 71 -L
—5ak cos kt,
2x2 tgo
у2 71 -L
—5ak cos kt,
2x2 tgo
(6.7.3)
(6.7.3)
Э2р3 Эр
Эх2x Эх
Э2р3 Эр
Эх2x Эх
12 СО Цех2tg3а
12 СО Цех2tg3а
6peakcos ktх3 tg2 а
6peakcos ktх3 tg2 а
(6.7.4)
(6.7.4)
Так как время входит в (4) в качестве параметра, (4) можно
проинтегрировать:
дрдрвиоре 6реакcos kt С^х,^виоре 6реакcos kt С^х,^ж tg3 ож tg3 ох2 tgoх2 tgo.3.3Э2р _ виоре12реак cos kt3C/^x,t^Эх2х2 tg3 о х3 tg2 аж4Э2р _ виоре12реак cos kt3C/^x,t^Эх2х2 tg3 о х3 tg2 аж4(6.7.5)(6.7.6)(6.7.5)(6.7.6)
др
др
виоре 6реакcos kt С^х,^
виоре 6реакcos kt С^х,^
ж tg3 о
ж tg3 о
х2 tgo
х2 tgo
.3
.3
Э2р _ виоре12реак cos kt3C/^x,t^
Эх2х2 tg3 о х3 tg2 аж4
Э2р _ виоре12реак cos kt3C/^x,t^
Эх2х2 tg3 о х3 tg2 аж4
(6.7.5)
(6.7.6)
(6.7.5)
(6.7.6)
^ШЦе6pettk COS kttg3 а х tg2 а^ШЦе6pettk COS kttg3 а х tg2 а^^ + cb(x,tY2х^^ + cb(x,tY2х(6.7.7)(6.7.7)
^ШЦе6pettk COS kt
tg3 а х tg2 а
^ШЦе6pettk COS kt
tg3 а х tg2 а
^^ + cb(x,tY2х
^^ + cb(x,tY2х
(6.7.7)
(6.7.7)
В соответствии с (2), (3) и граничными условиями (1) имеем
(6.7.8)(6.7.8)С^х, t) = О,
(6.7.8)
(6.7.8)
। всеуе , ,6реак cos kt ,~
С5^хД)=р но— ln/2COSQd—.(6.7.9)
tgdoi^cosatg а
На основании (5)-(9) выражения для компонент скорости (2), (3) и давления (4) примут вид
/3co= (“3\ x tg а/3co= (“3\ x tg аЗак cos ktх2tg2аЗак cos ktх2tg2а—-—Аак cos kt + сиу, (6.7.10) X tgo/—-—Аак cos kt + сиу, (6.7.10) X tgo/\ х2 tg3 а\ х2 tg3 а* воре ip = p - -Г- ьtg «* воре ip = p - -Г- ьtg «2akcoskt\ 3 yak cos kt 2x3 tg2 a / x tg a '6peak cos kt fl 12akcoskt\ 3 yak cos kt 2x3 tg2 a / x tg a '6peak cos kt fl 1(6.7.11)(6.7.11)I2 cos оI2 cos оtg2atg2aI2 cos оI2 cos о
/3co
= (“3
\ x tg а
/3co
= (“3
\ x tg а
Зак cos ktх2tg2а
Зак cos ktх2tg2а
—-—Аак cos kt + сиу, (6.7.10) X tgo/
—-—Аак cos kt + сиу, (6.7.10) X tgo/
\ х2 tg3 а
\ х2 tg3 а
* воре i
p = p - -Г- ьtg «
* воре i
p = p - -Г- ьtg «
2akcoskt\ 3 yak cos kt 2x3 tg2 a / x tg a '
6peak cos kt fl 1
2akcoskt\ 3 yak cos kt 2x3 tg2 a / x tg a '
6peak cos kt fl 1
(6.7.11)
(6.7.11)
I2 cos о
I2 cos о
tg2a
tg2a
I2 cos о
I2 cos о
Дальнейшие результаты приводятся в полярной системе координат (г, р) (рис. 6.7)
х = г cos р,vr = хх cos р + vy sin р,
y = rsinp,х^ = xxsmp + Хур,(6.7.13)
г = I.
Компоненты скорости (10), (11) и давление (12) в полярных координатах имеют следующий вид:
W = у sin2y?{l -ctg3a[3(tgv?-tga) + tg3 у?]} -
— ak cos kt ctg a sin y?( 1 — tg a ctg ф — 2 ctg a tg3 ф + 2 tg2 ф),
(6.7.14)
= шг sin2 y?[l — ctg3 a(2 tg ф — 3 tga)] —
— ak cos kt ctg a sin ptgp(ctg a tgp — 1), (6.7.15)
* 6uae i /2 cos a6ueakcos kt 7 11\
p = p + —-— In— —1—).
tg3 a t cos p tg2 a \rcosp ^cosa/
(6.7.16)
Далее определяются главный вектор и главный момент сил давления, действующих на пластину со стороны вытесняемой среды. Для этого предварительно определяется нормальное напряжение ри на поверхности среды, примыкающей к пластине:
Pn\ip^a = PW\ip=a = \—Р + ^Ре(-=
L\Т up Г
= -р* - In к + 2^2(3-tg2 о) -Зг ak cog kt.7 J 7
tg3 а г rl2 sin a tga
здесь xTl р — значения из выражений (14)-(16).
Для определения средней за период колебаний нижней пластины силы нормального давления на пластину делается допущение, что все осредненные по времени кинематические и динамические характеристики течения будут определяться по тем же формулам, что и без колебаний этой пластины, но с эквивалентной вязкостью зависящей от частоты и амплитуды колебаний пластины.
На основании сделанного допущения слагаемые в выражениях (14)-(17), которые содержат произведение akcoskt, приравниваются к нулю при их осреднении по времени за период колебаний нижней пластины. Сами же выражения, записанные для осредненных значений кинематических и динамических
параметров течения, примут следующий вид:
vr = ^- sin2y?{l - ctg3 a[3(tgy? - tga) + tg3 у?]},(6.7.18)
vv = шт sin2 y>[l — ctg3 a(2 tg y? — 3 tga)],(6.7.19)
p = p* + ^p In(6.7.20)
tg a r cos p
Pn\v=a = -P* -^ln^;(6.7.21)
здесь чертой отмечены средние за период колебаний tp значения величин.
Средние за период колебаний сила нормальной реакции среды на пластину и главный момент сил давления относительно начала координат определяются выражениями
F„ =s, (6.7.22)
Z2_
Mo = -/1 Upn\v=adr= (p*+ ^Aslr (6.7.23) J\ tg a)
здесь pn\(p=a — значение из (21).
Средний за период колебаний нижней пластины расход среды равен_
Q = h ^W* = ^;(6.7.24)
о
здесь Гр — значение из (18).
Выражение (24) может быть получено и из чисто геометрического решения. Объем среды АУ, вытесненной при повороте на угол Аск верхней пластины, равен
ДУ = Zi |д« = ^ Да.
v Аскlim —— =At^O Atv Аскlim —— =At^O AtSl2uSl2uТогда средний за период колебаний нижней пластины расход среды можно вычислить следующим образом:
v Аск
lim —— =
At^O At
v Аск
lim —— =
At^O At
Sl2u
Sl2u
Q = lim —— = —-
At^o At 2
Определим теперь расход среды Qo из Угла ПРИ полном сближении пластин. Для этого угловая скорость поворота пластины си
из (23) выражается через средний за период главный момент сил давления и подставляется в (24), получаем
C^-P*s) tg3a, (6.7.25)
Q = f^ - p*s\.(6.7.26)
Расход среды Qo определяется в предположении^ что выражение в скобках в (26) есть постоянная величина 2M0/Z2 — p*S = = const:
1
Qo = zz \ Q da =
О — Oo J
a0
= Z2[(2MoA)-^S] Г1 2 _ _ 2+ ln cosa 1.2
6/ie(a-ao) L2cos co J
здесь oq, ay = a — начальный и конечный углы между пластинами, Q — значение из (26). Если конечный угол мал, т. е. а О и cos сё ^ 1, то в этом случае (27) примет следующий вид:
п ~ Z2[(2M0/Z2)-p*S] /1,2। 1\
вязкость среды определяется по следующимвязкость среды определяется по следующимQo ~ ——й ^ «о + In cos Q0 •(6.7.28)
вязкость среды определяется по следующим
вязкость среды определяется по следующим
+ 2е2 1=+ 2е2 1=Эквивалентная формулам:
+ 2е2 1=
+ 2е2 1=
Ре = р А" То^2етР2
= И + То\sin а= И + То\sin а2a2k2 cos kt\2a2k2 cos kt\22г cos а22г cos а(6.7.29)(6.7.29)
= И + То
\sin а
= И + То
\sin а
2a2k2 cos kt\
2a2k2 cos kt\
22
г cos а
22
г cos а
(6.7.29)
(6.7.29)
1 Энт Этф г Эт1 Энт Этф г Эт_ Эпт £тт — — ? от_ Эпт £тт — — ? отздесь =
1 Энт Этф г Эт
1 Энт Этф г Эт
_ Эпт £тт — — ? от
_ Эпт £тт — — ? от
1 ЭТт ,
Г Оф г
а выражения для тГ, v^ — значения из (14), (15).
Эквивалентная вязкость может быть представлена также через динамические, геометрические и другие параметры. Для этого в (29) все переменные (а, и, cos2 kt) заменяются их средними за период значениями, а сама эквивалентная вязкость (29) осред- няется по г на интервале [О, Ц. Значение си при этом берется из (25), а величина 2Mq/Z2 — P*S выражается через расход среды Qo из (27). Выражение для вычисления эквивалентной вязкости
примет следующий вид:
Ре = /л + l£^^!_^ (х/д^нВ^^— |B|afc5cosQ^ |В|;
(6.7.30) здесь
А = 6Q0(^ - aoY
В = - (tg а - tg а0) + In.2cosqq
Сила, действующая на верхнюю пластину со стороны внешних устройств, находится из (22) в предположении, что в любой момент времени эта средняя за период колебаний сила равна средней силе, с которой вытесняемая среда действует на эту же пластину. Для этого в (22) подставляются выражения со (25) и /хе(30), а величина 2Мо/Ц — p*S выражается через расход Qo (27). В результате получается выражение для определения силы:
Q I 12/iTg(ct — Q0) ।
=йв+
+ ^o^cos a Z' у a.2 + 52^^252 cog2 q _ |£?|afcS cos a). (6.7.31) A2 \/
Аналогичным образом из (23) находится средний за период колебаний нижней плиты главный момент сил давления относительно начала координат. Для этого в (23)_подставляется выражение эквивалентной вязкости /хе(30), а Мд выражается через расход Qo (27):
д т Г * с I бцтДск q0) I TqS COS а
м° = Vp s+йв+ А2 Х
х (V^2 + B2a2fc2S2 cos2 a - |B|afcScosa)j. (6.7.32)
По теореме Вариньона находится положение относительно начала координат центра давления на верхней пластине:
Zo = M0/Fn,(6.7.33)
здесь Mo, Fn — соответственно из выражений (22), (23). Величина Zq необходима для осреднения положения точки приложения силы Fn. Эта сила должна быть приложена возможно ближе к центру давления, чтобы уменьшить момент пары сил, образованных ею и силой сопротивления среды.
Глава 7
ЭФФЕКТЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В ТЕКУЩЕЙСРЕДЕ
. Бингамовская среда как объект управления
В §3.1. бингамовская среда рассматривалась как объект исследования. Было отмечено, что в ней как в среде со сложной реологией проявляются различные свойства в зависимости от ее внутреннего напряженного состояния. Были сформулированы три критерия ^Т, Нг) для определения физических состояний среды. Сформулированные критерии непосредственно связывают физическое состояние среды с ее внутренним напряженным состоянием.
Этими физическими состояниями для бингамовской среды в настоящей работе считаются следующие состояния:
состояние покоя ^Т < 1, Я' = 0);
состояние пластического течения (Т = 1, 0,5 > Я' > 0);
состояние сдвигового течения ^Т >\, Н' > 0,5).
Известны способы изменения физических состояний различных сред, например путем ее нагревания или охлаждения. Однако имеются среды, например, растительного и животного происхождения, с которыми проводили исследования авторы и которые нельзя подвергать в некоторых случаях интенсивной термообработке, так как при этом необратимо изменяются их биохимические и иные свойства. Для работы с такими средами и предлагается представленный в этом параграфе способ чисто механического управления свойствами среды, при котором изменение ее физического состояния (в понимаемом в работе смысле) происходит без дополнительного температурного воздействия.
Предлагаемый способ управления свойствами среды со сложной реологией отличается от известных тем, что управление свойствами среды осуществляется путем изменения ее физического состояния. Изменение же физического состояния среды осуществляется в текущей среде путем только целенаправленного изменения ее внутреннего напряженного состояния. Из-
менение внутреннего напряженного состояния в текущей среде осуществляется управляемым деформированием стенок канала или емкости, относительно которых движется среда.
С управляемым деформированием стенок каналов, относительно которых движется бингамовская среда, и связаны два рассматриваемых далее класса задач в постановке тонкого слоя.
К первому классу относятся задачи, в которых требуется определить закон деформирования стенок канала (физической границы течения), при котором область пластического течения среды была бы минимальной в смысле введенного критерия.
Ко второму классу относятся задачи, в которых требуется определить оптимальный вид функций, характеризующих внешние воздействия, рассматриваемые как управления, с тем, чтобы обеспечить экстремум некоторых функционалов, определенных на движениях среды. Такими функционалами могут быть, например, расход среды при заданных энергозатратах, работа и мощность внешних сил и другие.
Приведем пример задачи первого класса.
Рассматривается задача определения закона деформирования стенок канала (физической границы течения бингамовской среды), при котором область пластического течения была бы минимальной в смысле введенного критерия.
В качестве критерия вводится площадь ст области пластического течения. Общий случай деформирования физической границы течения среды в тонком слое исследовался ранее в §5.1. Ширина области пластического течения 22 —21, определяемая соотношением (5.1.48), равна
г2 - 21 = 2(Л - г0).
Площадь ст области пластического течения в этом случае определяется интегралом
1
ст = 2 j (h — 2g) dx. (7.1.1) о
В отличие от обычной вариационной задачи данная задача решается далее в иной постановке.
Потребуем, чтобы ширина сдвиговой области 2g с любой степенью точности приближалась к полуширине области течения h, т. е. 2g = kh, где коэффициент к может быть функцией координаты х, или постоянной величиной, но всегда меньше единицы. В этом последнем случае границы раздела областей
сдвигового и пластического течений должны быть подобными с коэффициентом подобия к.
Рассмотрим случай, когда коэффициент к = Цх\ Коэффициент к^ называется в дальнейшем коэффициентом формы. Воспользовавшись формулой (5.1.96) и выражением расхода среды (5.1.94), получим следующее уравнение:
QoW Q Sh . f ЭН
—- 2 — sign Q — dx = kh,
S S J at
0
ИЛИж
5^-2^ sign Д^с/ж^/г2.(7.1.2)
S S J at
0
Интегральное уравнение (2) заменяется соответствующим дифференциальным уравнением
+ Ак2^- + A^h2 = 0;(7.1.3)
atoxdx
здесь
=(7.1.4)
Дифференциальное уравнение (3) допускает разделение переменных, если функцию h(x, i) представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от времени, а вторая — только от координаты х:
h = f(x>X-(7.1.5)
После подстановки выражения Н в уравнение (3) и деления его левой и правой частей на произведение fp? переменные разделяются. В результате получаются два уравнения для определения функций /(ж) и p(t\.
^ = -2Ak2f-Af^ = -X*;(7.1.6)
dx
здесь A* — константа разделения.
Уравнения (6) используются далее для решения прямой и обратной задач управления в этом классе.
Прямая задача заключается в определении закона деформирования стенок канала Цх, i) (физической границы течения) по заданному коэффициенту формы к^х).
Обратная задача заключается в определении коэффициента формы к^х) по заданному закону деформирования стенок канала h(x, t).
Необходимо отметить, что решение обратной задачи в общем случае не дает такого выражения для коэффициента к(хУ которое было бы необходимо для заданного значения ширины области пластического течения 2(h — го). Поэтому решение обратной задачи требует дополнительного исследования функции к^х) с целью получения наилучшего приближения к заданной форме границ области пластического течения среды. Необходимо отметить ( в соответствии с выражением (6) ), что законы изменения границ канала, определяемые функцией p(ty для прямой и обратной задач должны быть одинаковыми.
Прямая задача. Для заданного коэффициента формы к(х) необходимо определить закон деформирования стенок канала h(x, t).
Закон деформирования стенок канала Н(хД) (функции p(t) и /(ж)) находится путем интегрирования уравнений (6):
(717>
(7L8>
здесь Сх и Cs — постоянные интегрирования.
Так как функция Цх, i) (8) является решением дифференциального уравнения (3), а не интегрального уравнения (2), то необходимо проверить, при каких условиях эта функция будет также и решением уравнения (2). Для этого выражение ЦхД) (8) нужно подставить в (2) и выяснить условия, при которых это уравнение обратится в тождество. Это можно сделать, только задавшись конкретным видом функции к(х\
Постоянные Сх и С^ находятся путем задания начальной формы полуширины области течения Цх,0У Для этого должно выполняться следующее условие:
(7.1.9)(7.1.9)
(7.1.9)
(7.1.9)
здесь а и b — заданные постоянные.
Таким образом, постоянные интегрирования равны
01 2а А1 °2 2а А*01 2а А1 °2 2а А*(7.1.10)(7.1.10)
01 2а А1 °2 2а А*
01 2а А1 °2 2а А*
(7.1.10)
(7.1.10)
После подстановки значений (10) в выражение полуширины области течения (8) оно приобретает следующий вид:
МхХ = -L fa |+ Л(2аЛ^+ I)"1.(7.1.11)
к(х) \ J к(х) /
Далее решение прямой задачи рассматривается для некоторых конкретных значений коэффициентов формы к(х\
Случай, когда к^ = к = const.
Для этого случая закон деформирования стенок канала Цх,1\ согласно (11), будет иметь следующий вид:
7 / I \1 ах kb
=(7.1.12)
Таким образом, прямая задача для заданного значения коэффициента формы к^ решена, но для более глубокого анализа задачи необходимо определить дополнительно еще ряд параметров. Такими параметрами являются расход среды Q(x,t) и перепад давления Ap(x,t).
Подстановка выражения (12) в интегральное уравнение (2) позволяет определить закон изменения расхода среды в начальном сечении канала (условие, при котором уравнение (2) обращается в тождество):
Со(Щ2-(7.1.13)
(2а At + I)2
Перепад давления на участке канала, который будет иметь место при законе (12) деформирования его стенок, находится подстановкой выражения (12) с учетом го = kh в формулу (5.1.35) и дальнейшим ее интегрированием:
д / i\ Кк 2aAt Ч-! . /oil ^^ Т ^^ |/7 i 1 л \
= s,gn<3 hll 1(7-1 14)
При этом принималось во внимание, что
sign= sign Q, х\ = 0, Х2 = х.
OZ \z=h\
Расход среды в произвольном сечении канала с координатой х определяется путем подстановки выражения полуширины канала h(x,t) (12) в формулу расхода среды (5.1.94):
Координата х сечения канала, в котором расход среды равен нулю, находится из равенства (15) путем приравнивания к нулю правой части выражения (15) с учетом (13):
(7.1.16)(7.1.16)х = —kb/a.
(7.1.16)
(7.1.16)
Для того чтобы сечение с нулевым расходом принадлежало области х 6 [0, ж], необходимо выполнение следующих условий:
b/а < 0,0 < —kb/a < 1.
На рис. 7.1-7.3 приведены трехмерные графики изменения верхней границы канала А,2(ЖД)\ расхода среды Q(x,t) и перепада давления Др(жД). Графики построены для следующих
Рис. 7.1Рис. 7.1
Рис. 7.1
Рис. 7.1
Рис. 7.3Рис. 7.3и ^2 (ж) совпадают. Этои ^2 (ж) совпадают. Это
Рис. 7.3
Рис. 7.3
и ^2 (ж) совпадают. Это
и ^2 (ж) совпадают. Это
значений задаваемых безразмерных параметров:
А = 5, S = 100, а = 0,5, b = 0,5, к = 0,9, К = 1000.
При этом считается, что нижняя граница канала не деформируется и совпадает с плоскостью г = 0, т. е. hx(xA) = 0. В этом случае h^x.t^ = 2ЦхД\ Безразмерная координата х изменяется от 0 до 1, безразмерное время — от 0 до 1.
Совмещенные графики изменения границ гх(х) и ^(х) раз
дела областей сдвигового и пластического течений среды для
времени t = 0, а также для верхней границы канала А^М приведены на рис. 7.4.
Графики построены с учетом того, что
zx (х, i) = 2q(x, i) = kh(x, i),
2h(x, i) — го = (2 — к)Цх, i).
Графиками являются наклонные прямые линии ^(х) — прямая 1, 22(ж) — прямая 2, гх(х) — прямая 3).
При значении коэффициента формы к = 1 графики зависимостей zx(x)
означает, что пластическая область течения среды отсутствует. Однако этот случай практически не может быть реализован, так как при к = 1 перепад давления (14) обращается в бесконеч
ность.
Случай, когда ^(ж) определяется выражением
(7.1.17)(7.1.17)к = к\х + к2.
(7.1.17)
(7.1.17)
Для этого случая закон деформирования стенок канала ЦхД) имеет следующий вид:
,1(1;Л)=1(7.1.18)
v 72а At + 1к\х + к2
Остальные параметры равны соответственно
<ш = и<ш = иа In к2 + к\Ь\ 22aAt + 1 /а In к2 + к\Ь\ 22aAt + 1 /(7.1.19)(7.1.19)
<ш = и
<ш = и
а In к2 + к\Ь\ 22aAt + 1 /
а In к2 + к\Ь\ 22aAt + 1 /
(7.1.19)
(7.1.19)
Q(x,t) = Q0(t) +
। 2<zS Г а n 2/7 I \ i 2 7 ] I l i k\x + k2 1
H5- < —— In (k\x + kA — In ко +oln:>.
kx(2aAt^ I)21k2 J
(7.1.20)
Др(ж, t) = ^|^ (2aAt + 1) x
x Г(kyx + ^d® (7 121)
V(a/k\) ln(/cix + k2) + ^](1 - k\ x - k2\' *
0
Трехмерные графики зависимостей (18), (20), (21), представленные на рис. 7.5-7.7, построены для следующих значений задаваемых параметров:
кх=ОД, к2 = 0,8, 8=100, Л = 5,а = 0,1, 6 = 0,5, К = 1000.
Рис. 7.6Рис. 7.6Рис. 7.7Рис. 7.7^2, ^2, ^1^2, ^2, ^1Рис. 7.8Рис. 7.8
Рис. 7.6
Рис. 7.6
Рис. 7.7
Рис. 7.7
^2, ^2, ^1
^2, ^2, ^1
Рис. 7.8
Рис. 7.8
Совмещенные графики изменения границ раздела областей сдвигового и пластического течений среды ^i(x), ^(х) и верхней границы канала для значения времени t = 0 показаны на рис. 7.8.
Обратная задача. Ранее было отмечено, что функция p(t) имеет один и тот же вид (7) для указанных двух задач управления. Поэтому интегрируется только второе уравнение (6) относительно функции к^х)
= 774 J^\KxW + C2,(7.1.22)
Jw у л j
при этом должно выполняться условие
Это значит, что при разных знаках слагаемых в подкоренном выражении (22) берется их арифметическая разность.
Функция /(ж), определяющая форму граничных поверхностей канала, должна быть известна по заданному закону изменения Н(хД) полуширины области течения среды, который, согласно (5) и (7), имеет следующий вид:
1,(1^ = «Гц1,(1^ = «Гц(7.1.23)(7.1.23)
1,(1^ = «Гц
1,(1^ = «Гц
(7.1.23)
(7.1.23)
Константа разделения А* и постоянная интегрирования Сц также определяются по заданному закону h(x,ty Постоянная интегрирования С2 определяется путем задания коэффициента к^х) на границе области течения, т. е. при х = 0 или х = I. Так, если задаются значения к(0) = к^ и /(0) = /о, то функция к^х) примет следующее выражение:
(7.1.24)(7.1.24)
(7.1.24)
(7.1.24)
Тем же способом, что и при решении прямой задачи, находятся условия, при которых функции (23) и (24) являются решениями интегрального уравнения (2). Этим условием является изменение расхода в начальном сечении канала по закону
QoW = s(QoW = s(Мо у x*t -cjМо у x*t -cj(7.1.25)(7.1.25)
QoW = s(
QoW = s(
Мо у x*t -cj
Мо у x*t -cj
(7.1.25)
(7.1.25)
Расход среды в произвольном сечении канала с координатой х определяется путем подстановки заданного выражения полуширины канала h(x, t) (23) в формулу расхода среды (5.1.94):
(7.1.26)(7.1.26)Q(x, 7) = QqX + т^^^ [ /Ч)t — Ci) J
(7.1.26)
(7.1.26)
Перепад давления на участке канала, который будет иметь место при законе деформирования (23), находится подстановкой выражения (23) с учетом го = кН в формулу (5.1.35) и дальнейшим ее интегрированием:
sign Qsign Qdxdx
sign Q
sign Q
dx
dx
При этом принимается во внимание, что
sign ——= signQ, «1 = О, ж 2 = ж.
uZ \z—h\
Далее рассматривается пример решения обратной задачи.
Пример. Определяется коэффициент формы fc(x) по заданному закону деформирования стенок канала /г(жД):
^(ж,£) = !/(£ + 1).(7.1.28)
Этот закон соответствует сжатию слоя среды параллельными плоскостями. В рассматриваемом случае
А* = L С\ = — 1, /(ж) = 1 = const.
Коэффициент к(х) находится по формуле (24) с учетом этих заданных значений:
Цж) = У^ + ж/А.(7.1.29)
Следует обратить внимание на то, что данное выражение коэффициента к(х) никак не отражается на законе движения границ канала, так как этот закон был задан. Однако этот коэффициент оказывает существенное влияние на величину перепада давления в канале (27) и на величину сил, под действием которых стенки канала приходят в заданное движение. Кроме того, зависимость к^х) существенно отражается на форме и величине пластической области течения среды.
Константы ко и А выбираются таким образом, чтобы коэффициент к(х) был близок к единице на всем интервале х 6 [0, 1] и чтобы при этом выполнялось условие 0 < к(х) < 1. В этом случае величину ко следует положить близкой к единице, а постоянной А (6) придать наименьшее допускаемое физическими условиями, значение.
Необходимое значение константы А находится из зависимости Ар(Л) между этой константой и перепадом давления. Для этого произведем интегрирование в формуле (27), учитывая значения величин A*, Ci и /(ж), приведенные выше. В результате получим
ДЩЖ =
= signQ — (21п^+ 0,9 - аД2 + Л (t + 1).
6 V l-V^o + W V
Др3,0 • 1 о5 —IIII—2,5-105-1-2,0-105-|-1,5-105 Л-1,0 • 105'т" 1 —'0 20 40 60 80 100ЛДр3,0 • 1 о5 —IIII—2,5-105-1-2,0-105-|-1,5-105 Л-1,0 • 105'т" 1 —'0 20 40 60 80 100ЛРис. 7.9Рис. 7.9дела областей сдвиговогодела областей сдвиговогоком минус. Это давление,ком минус. Это давление,клклЕЕ1-^01 - ^к^Е х/А1-^01 - ^к^Е х/А+ к0- JkE^(t+\Y (7.1.32)+ к0- JkE^(t+\Y (7.1.32)
Др
3,0 • 1 о5 —IIII—
2,5-105-1-
2,0-105-|-
1,5-105 Л-
1,0 • 105'т" 1 —'
0 20 40 60 80 100
Л
Др
3,0 • 1 о5 —IIII—
2,5-105-1-
2,0-105-|-
1,5-105 Л-
1,0 • 105'т" 1 —'
0 20 40 60 80 100
Л
Рис. 7.9
Рис. 7.9
дела областей сдвигового
дела областей сдвигового
ком минус. Это давление,
ком минус. Это давление,
кл
кл
Е
Е
1-^0
1 - ^к^Е х/А
1-^0
1 - ^к^Е х/А
+ к0- JkE^(t+\Y (7.1.32)
+ к0- JkE^(t+\Y (7.1.32)
График зависимости Др(Л) на интервале А Е [0, 100] для значений параметров К = 1000, е = 0,1 и ко = 0,9 при t = О показан на рис. 7.9.
Обычные перепады давления, при которых осуществляется транспортирование или сжатие исследованных нами бинга-
мовских сред, составляют величины порядка 104-105 Па. Это соответствует величине безразмерного давления порядка 105—106 и значению параметра А 5-6.
Чтобы выполнялось условие 0 < < к(х) < 1 при х Е [0, 1], значение параметра выбирается равным А = = 6. В этом случае
= УО,81 +ж/6. (7.1.31)
Это обеспечивает близость к(х)
к единице на всем интервале изменения координаты х.
Совмещенные графики изменения границ гх(х) и 22 (ж) раз
и пластического течений среды для момента времени t = 0, а также для верхней границы канала ^(ж) приведены на рис. 7.10. Графики построены с учетом того, что
21 (ж, t) = zq(xA) = kh^x.t),
22(ж) = 2h(x, i) — 20 = (2 — k)h(x, i).
Сила, действующая на сближающиеся плоскости со стороны среды, находится с учетом того, что в тонком слое нормальное напряжение тгг сводится к давлению, взятому со зна- с учетом (27), равно
р(х, i) = рх (t) — Др(ж, i) = рх (t) —
График изменения давления по координате р (х, 0) для начального момента времени t = 0 и тех же значений параметров, что и в рассмотренном выше примере, показан на рис. 7.11. Из приведенного графика следует, что давление в среде падает
по длине канала, что характерно для течения среды в сторону понижения давления.
Таким образом, в данном примере управление течением должно обеспечивать начальный перепад давления на длине канала, показанный на рис. 7.11, и движение верхней граничной плоскости, обеспечивающий выполнение закона (28). При этом необходимый перепад давления Др(ж, i) может быть
получен путем задания давления в начальном сечении канала и движения верхней граничной плоскости по закону (28).
Сила, действующая на каждую стенку канала со стороны среды равна
F^P) = — j р^х, t) dx = —рх (t) + ^^ + х о
х {1п( 1 - fco) (1 - А + 4 ) + А(Д - 1) InС^ +
v Vx_^k^x(A
Аf 7 А 1 +1 Г1 А 37 1
++ 7 ”k0p23 [у А + а) М Г
(7.1.33)
Для иллюстрации влияния коэффициента к(х) на величину
Рис. 7.12Рис. 7.12силы F(t) рассмотрим следующий пример.
Рис. 7.12
Рис. 7.12
Пример. Определяется сила F(t) (33), необходимая для сжатия слоя среды параллельными плоскостями до 1/4 его первоначальной толщины при к(х) = = \Jk^ + х/А следующих двух значений коэффициента /цу А = = 0,6 и А = 0,9.
Параметры, для которых при-
водится решение, такие же, как
и в ранее рассмотренных задачах: А = 6, К = 1000. Графики зависимости F^t) для к^ = 0,9 (линия /) и кр = 0,6 (линия 2) приведены на рис. 7.12.
В рассматриваемых случаях, согласно (28), конечная безразмерная полуширина канала равна h = 1/8, а безразмерное время, необходимое для сжатия слоя среды до этой толщины, равно t = 7. При /с0 = 0,9 (кривая /) для этого времени безразмерное значение силы равно F = 8,48 • 106. Для размерной длины канала Z = 0,1 м это соответствует размерному значению силы F = 8,48 • 104 Па/м.
При /с0 = 0,6 (кривая 2) для того же самого безразмерного времени безразмерное и размерное значения силы в 2,7 раза меньше, чем при fcg = 0,9.
Как следует из рассмотренного примера, большему значению коэффициента формы Цх) соответствует большее значение силы F(t). Это связано с тем, что при увеличении коэффициента формы увеличивается и область сдвигового течения, что требует и соответствующего повышения перепада давления в канале.
Расход среды Q(x,t) в произвольном сечении х канала определяется путем подстановки величин А* = 1, С\ = — 1, /(ж) = 1 в формулу расхода среды (26):
Q(^i) = Qo(£) + (7.1.34)
Из (34) следует, что расход среды Q(x,t) в любом сечении канала пропорционален координате х этого сечения и не обращается в нуль ни в одном сечении при Qo№ т4 0.
Согласно (25) Qoto = 0 при ко = 0. Расход среды (34) при этом будет равен
Q(x, t) = х = 2 Sh Ux. (7.1.35) (t + 1)
Здесь U = —dh/dt. Это выражение расхода полностью совпадает с аналогичным выражением (5.1), полученным для задачи симметричного сжатия среды параллельными плоскостями.
Таким образом, сечение с нулевым расходом будет находиться в плоскости симметрии течения, перпендикулярной граничным плоскостям. В этом случае начало оси должно совпадать с плоскостью симметрии. Сечение с нулевым расходом физически может быть реализовано просто в виде непроницаемой перегородки, расположенной в начале координат. Это означает, что среда течет в канале, стенки которого движутся по определенному закону, а одна из его торцевых сторон закрыта при этом непроницаемой перегородкой.
Приведем примеры задач второго класса.
Рассматривается задача об управлении плоским течением бингамовской среды в тонком слое (в постановке, изложенной в §5.1) между двумя границами Нх(хД), h^x.t^ (см. рис. 5.1).
Предварительно определяются необходимые управляющие функции. Безразмерная ширина Z^(a) сдвиговой области течения среды находится из уравнения (5.1.91) и для нулевого приближения определяется по формуле (5.1.96). Соотношения (5.1.74), (5.1.91) и (5.1.93) устанавливают связь между расходом Q, перепадом давления Ар и функцией ЦхД), определяющей деформацию границы течения. Таким образом находятся аналитические выражения для функционала Q {h, dh/dt, Ар}, в котором функции ЦхД) и Ap(i) можно считать управляющими.
Рассмотрим теперь примеры некоторых постановок и решения задач оптимального управления.
Пример. Рассмотрим течение бингамовской среды в слое постоянного сечения h при числах Сен-Венана S ^ 1 под действием медленно меняющегося со временем периодического перепада давления Ap(i), ограниченного по амплитуде | Ар| < Артах и со средним по времени перепадом давления равным нулю
1k
(7.1.36)(7.1.36)(5.1.74), асимпто-(7.1.37)(5.1.74), асимпто-(7.1.37)(7.1.38)(7.1.38)/\р = — [ Ap(t) dt = 0.tk J
(7.1.36)
(7.1.36)
(5.1.74), асимпто-
(7.1.37)
(5.1.74), асимпто-
(7.1.37)
(7.1.38)
(7.1.38)
о
здесьздесьВ этом случае безразмерный расход Q с учетом (5.1.91), (5.1.95) и (5.1.93) определяется по следующей тической формуле:
здесь
здесь
/ К \ 2
Ф(£) = yh — j^j sign Др.
Покажем, что наибольший по величине средний по времени расход будет иметь место при прямоугольном импульсе давления. Найдем средний за период tk расход среды по формуле
_S tk_S tk(7.1.39)(7.1.40)(7.1.39)(7.1.40)Ikj Ф^) dt.о
_S tk
_S tk
(7.1.39)
(7.1.40)
(7.1.39)
(7.1.40)
По условию задачи/ К \2тах|Ф(£)| = (h) ,
1 VksApmaJ ’
/ К \2min |Ф(#) I = (h.) = 0.
v k sApKp/
Последнее условие выражает отсутствие течения в плоской трубе постоянного сечения, если перепад давления на концах трубы меньше критического значения Аркр, определенного из (42)._
Чтобы средний за период расход Q был наибольшим, функция Ф(£) должна удовлетворять следующим требованиям: _ 1) график функции Ф(£) должен располагаться над осью t при Q > 0;
площадь, ограниченная кривой Ф(£) с заданным максимумом Фтах и осью t на отрезке [0,t], должна быть максимальна.
Однако в силу условия (37) функция Ф(£) на интервале [0,t] меняет знак, т. е. sign Ар = 1, если t Е [0, 4], и sign Др = — 1, если t Е [4, t^Y Поэтому чтобы удовлетворить первому требованию, следует положить, что на отрезке [4,^] выполняется условие запирания трубы и Ар < Дркр.
Требование 2) будет выполнено, если на отрезке [0,4] графиком функции Ф(£) будет прямая, параллельная оси t и отстоящая от нее на расстояние Фтах (Ар = Артах), а величина отрезка [0,4] будет наибольшая.
Величина отрезка [0,4] находим из условия (36), записав его в виде
| Ap(i) dt + | Ap(i) dt = 0.(7.1.42)
оtx
Первый интеграл в (42) равен Apmax-4- На участке [4,^] функция Ap(i) может изменяться по произвольному закону так, что 0 < |Ap(i)| < Аркр. Поэтому второй интеграл в (43) вычисляется с учетом sign Ар = — 1 по формуле
tk
| Др(Д dt = -Др*(Д - ti);
здесь Ар* — некоторое среднее значение функции |Ap(t)| на интервале [4,^].
Решение уравнения (42) позволяет определить момент времени 4, когда функция Ap(i) меняет знак
tv = tk -—7 = 41 ~ Л APmaXA-J ■(7.1.43)
Apmax + Ар V Артах + Ар /
Отсюда следует, что наибольшее время 4 соответствует наибольшему значению Ар*, которое равно Аркр, если на отрез-
ке [ti,^] функция Ap(t) = — Дркр = const. На этом основании время t\ из (8) определяется выражением
tx = tk . Аркрд,
Apmax 4" Аркр
а промежуток времени [й,^] равен
■. . Артах
tk И —.
Арупах 4" АрКр
(7.1.44)(7.1.44)(7.1.45)(7.1.45)Таким образом, из вышеизложенного следует, что за время ty, равное периоду функции Ap(t) или Ф(£), перепад давления Ap(t)
(7.1.44)
(7.1.44)
(7.1.45)
(7.1.45)
будет представлять ступенчатую функцию, график которой показан на рис. 7.13.
Пример. Рассмотрим течение бингамовской среды в слое переменного сечения h (ж) под действием постоянного перепада давления Ар = const.
Считается, что сечение Цх) меняется по периодическому по координате х закону
h(x) = h = h* + M(x);(7.1.46)
здесь h* = const, 1\Цх) < Л, Л — амплитуда (рис. 7.14).
Безразмерный расход Q находится на основании (5.1.74), (5.1.91), (5.1.95) и (5.1.93) с учетом (47) и соотношения /ХЦх) ~ Zq(x) С 1. При вычислении интеграла в (5.1.74), подынтегральное выражение раскладывалось по формуле бинома Ньютона степени минус единица с удержанием первых трех слагаемых, а интеграл
1
|[ДЛЦ)]2^ = [(ДО]2, о
где (АА,) — среднее значение функции Mi^ на интервале [0, 1]. В результате имеем следующее асимптотическое выражение для расхода среды:
Q = Sp^L^p-hфv + ^)] .(7.1.47)
Из (47) следует, что максимальный расход будет в случае, когда (АЛ) = 0, что соответствует асимптотической формуле расхода бингамовской среды (S » 1) при ее течении между параллельными плоскостями при постоянном перепаде давления. Минимальный расход будет в том случае, когда (АЛ) = А, т. е. границы канала будут иметь вид кусочно постоянной по координате х функции (см. рис. 7.14).
Наименьшая амплитуда А, при которой расход равен нулю (течения нет), определяется из уравнения
+=0.(7.1.48)
к р V (Л*)2/v 7
. Течение среды между подвижнымипараллельными пластинами.
В этом параграфе рассматривается явление снижения сопротивления движению тела в среде при сообщении ему дополнительного движения и дается объяснение этому явлению [15,30, 41,42,90]. Это явление связано с эффектом «преобразования» вязкопластичного сопротивления и напоминает эффект «преобразования» сухого трения (Н.Е. Жуковский, 1896) при сообщении телу, движущемуся по шероховатой поверхности, дополнитель-
Рис. 7.15Рис. 7.15ного движения, составляющего с основным (заданным) движением некоторый угол [45].
Рис. 7.15
Рис. 7.15
Рассматривается задача о движении слоя бингамовской среды 1 между двумя жесткими параллельными горизонтальными плоскостями (пластинами 2, 3), движущимися во взаимно перпендикулярных направлениях (рис. 7.15).
Считается, что слой среды Л имеет на торцах одинаковые нормальные на
пряжения, т. е. движение слоя среды происходит только за счет движения плоскостей. Скорости плоскостей направлены вдоль
осей координат Oxyz: v — вдоль оси х, и — вдоль оси у (см. рис. 7.15).
Задача решается с помощью системы I (см. §3.2). Так как для данной задачи vz = 0, dvx/dt = dvy/dt = 0, vx = vx^z\ vy = = xy(zY то система I имеет следующий вид:
и 1 XX |ЭхЭт и'ху IУ У9txz 9z= o,дту^ ЭхТЛж I Эу9TyZ 9z= 0,9tzx Эх+Эу9tzz 9z= 0,и 1 XX |ЭхЭт и'ху IУ У9txz 9z= o,дту^ ЭхТЛж I Эу9TyZ 9z= 0,9tzx Эх+Эу9tzz 9z= 0,T — tq + 2pH,T — tq + 2pH,Тху 2txz 2 Tyz тхх туу 0 dvx/dz dvy/dz 0Тху 2txz 2 Tyz тхх туу 0 dvx/dz dvy/dz 000(7.2.1)(7.2.2)(7.2.3)(7.2.1)(7.2.2)(7.2.3)
и 1 XX |
Эх
Эт и'ху I
У У
9txz 9z
= o,
дту^ Эх
ТЛж I Эу
9TyZ 9z
= 0,
9tzx Эх
+
Эу
9tzz 9z
= 0,
и 1 XX |
Эх
Эт и'ху I
У У
9txz 9z
= o,
дту^ Эх
ТЛж I Эу
9TyZ 9z
= 0,
9tzx Эх
+
Эу
9tzz 9z
= 0,
T — tq + 2pH,
T — tq + 2pH,
Тху 2txz 2 Tyz тхх туу 0 dvx/dz dvy/dz 0
Тху 2txz 2 Tyz тхх туу 0 dvx/dz dvy/dz 0
0
0
(7.2.1)
(7.2.2)
(7.2.3)
(7.2.1)
(7.2.2)
(7.2.3)
Уравнение несжимаемости удовлетворяется тождественно: divv = 0. Система (1)-(3) интегрируется при следующих условиях на внешних границах:
2 = 0: vx = 0, vy = и = const, клч(7'2Л)
z = пл vy = О, vx = v = const i.
Граничные условия данной задачи на внутренних границах будут сформулированы позднее.
Из системы уравнений (3) для всех областей течения среды следует
тЖу = 0, txz ^-= Tyzтхх-Туу = 0, Txx-Tzz = 0.
(7.2.5)
На основании двух последних равенств (4) все компоненты нормальных напряжений одинаковы, а значит, каждая из них будет равна взятому со знаком минус давлению, т. е.
Тсж = Туу = тzz = — р.(7.2.6)
В силу равенств (5) и vz = 0, vx = v^z^ Vy = Vy^ уравнение (2) запишется в следующем виде:
+ т^+ т^/ / dvx \ = то+^Ы)/ / dvx \ = то+^Ы)Vdz /Vdz /(7.2.7)(7.2.7)
+ т^
+ т^
/ / dvx \ = то+^Ы)
/ / dvx \ = то+^Ы)
V
dz /
V
dz /
(7.2.7)
(7.2.7)
Из этого уравнения следует, что касательные напряжения txz и TyZ являются функциями только координаты z, т. е. txz = тх^\
Tyz = Tyz(^Y В результате с учетом тху = 0 система уравнений (1) примет следующий вид:
= др dryz = др „ _ др(7 2 8)
dz дх' dz Эу1 dz** *
Из последнего уравнения системы (8) следует, что давление в точках среды может быть функцией только координат х и у, т. е. р = р(х, уУ Поскольку левые части первых двух равенств (8) не зависят от координат х и у, а их правые части не зависят от координаты z, то каждая из них соответственно будет равна некоторой постоянной величине, т. е.
==^ = §- = к2,(7.2.9)
dz oxdz оу
где kx и k2 — константы разделения.
Таким образом, дифференциальные уравнения (9) легко интегрируются как относительно давления, так и относительно касательных напряжений txz и т^. Проинтегрировав эти уравнения относительно давления, получим
P = kxxA-fWC P = k2yA-^x\ (7.2.10) где f^y) и ^(х) — произвольные функции, зависящие соответственно только от у и только от х. Константы разделения kx, k2 и функции f(yY £(ж) находятся из условия равенства давлений в любой точке среды. Это может быть только в том случае, если
f^=dx)=Po. ki=k2 = o. (7.2.11)
Проинтегрировав уравнения (9) относительно касательных напряжений txz и т^, найдем
тХ2 = Сх, т^ = С2,(7.2.12)
здесь Сх и С2 — произвольные постоянные интегрирования.
Так как касательные напряжения постоянны для всех областей течения, то при движении поверхностей интенсивность напряжений во всех точках слоя среды (7) больше предельного напряжения сдвига, т. е. Т > tq. Это означает, что в данном случае имеется только одна сдвиговая область течения среды, и, следовательно, внутренние граничные условия на границах раздела областей течения отсутствуют.
Из второго соотношения (5) находим
1b \С"2))
Из равенства (7) подстановкой в него выражения dvy/dz из (13) получим дифференциальное уравнения для определения проекции скорости Xx^z):
dz цdz ц(7.2.14)(7.2.14)tq sign(M/^)
dz ц
dz ц
(7.2.14)
(7.2.14)
м [i + ^/co2]1/2'
Дифференциальное уравнение для определения функции ху^ получается на основании (13) с учетом (14):
dxydzdxydzС^Г Cl IС^Г Cl IClClTo sign (MAN ) M [l + ^/C])2]1^/'To sign (MAN ) M [l + ^/C])2]1^/'(7.2.15)(7.2.15)
dxydz
dxydz
С^Г Cl I
С^Г Cl I
Cl
Cl
To sign (MAN ) M [l + ^/C])2]1^/'
To sign (MAN ) M [l + ^/C])2]1^/'
(7.2.15)
(7.2.15)
Поскольку знак dvx/dz сохраняется для всех значений z Е Е [0, Д], то уравнения (14) и (15) легко интегрируются:Поскольку знак dvx/dz сохраняется для всех значений z Е Е [0, Д], то уравнения (14) и (15) легко интегрируются:_ Г Ci т0 sign(M/^) 1Щ М [l+^/C])2]1^/— 21 / П _ Т1 .1 ,^"СхУц (1 ' [I + (С2/С1)2]‘/2Г_ Г Ci т0 sign(M/^) 1Щ М [l+^/C])2]1^/— 21 / П _ Т1 .1 ,^"СхУц (1 ' [I + (С2/С1)2]‘/2Г(7.2.16)(7.2.17)(7.2.16)(7.2.17)здесь С3, С4 — постоянные интегрирования.Постоянные интегрирования Сц С^ С3, С4, а значит, и касаздесь С3, С4 — постоянные интегрирования.Постоянные интегрирования Сц С^ С3, С4, а значит, и касательные напряжения тх% и Tyz, определяются путем подстановки граничных условий (4) в соотношения (16) и (17):тельные напряжения тх% и Tyz, определяются путем подстановки граничных условий (4) в соотношения (16) и (17):тт. dux"xz = Cl = --/z +, o o To sign — ,иv.тт. dux"xz = Cl = --/z +, o o To sign — ,иv.c3 = o,(7.2.18)C4 = u.c3 = o,(7.2.18)C4 = u.После подстановки постоянных интегрирования (18) в (16) и (17) определяются выражения проекций скорости ^х, г)у для среды, находящейся в зазоре между подвижными параллельными пластинами:^ж = (y/K)z,(7.2.19)г)у = Ц1 -zfhY(7.2.20)После подстановки постоянных интегрирования (18) в (16) и (17) определяются выражения проекций скорости ^х, г)у для среды, находящейся в зазоре между подвижными параллельными пластинами:^ж = (y/K)z,(7.2.19)г)у = Ц1 -zfhY(7.2.20)Проекция на ось х силы сопротивления, приложенной к пластине площади S, определяется по формулеПроекция на ось х силы сопротивления, приложенной к пластине площади S, определяется по формулеFx — TxzS.Fx — TxzS.(7.2.21)(7.2.21)В соответствии с (18) и sign^T^/dz) = 1 для силы сопротивления получается следующее выражение:В соответствии с (18) и sign^T^/dz) = 1 для силы сопротивления получается следующее выражение:
Поскольку знак dvx/dz сохраняется для всех значений z Е Е [0, Д], то уравнения (14) и (15) легко интегрируются:
Поскольку знак dvx/dz сохраняется для всех значений z Е Е [0, Д], то уравнения (14) и (15) легко интегрируются:
_ Г Ci т0 sign(M/^) 1
Щ М [l+^/C])2]1^/
— 21 / П _ Т1 .1 ,
^"СхУц (1 ' [I + (С2/С1)2]‘/2Г
_ Г Ci т0 sign(M/^) 1
Щ М [l+^/C])2]1^/
— 21 / П _ Т1 .1 ,
^"СхУц (1 ' [I + (С2/С1)2]‘/2Г
(7.2.16)
(7.2.17)
(7.2.16)
(7.2.17)
здесь С3, С4 — постоянные интегрирования.
Постоянные интегрирования Сц С^ С3, С4, а значит, и каса
здесь С3, С4 — постоянные интегрирования.
Постоянные интегрирования Сц С^ С3, С4, а значит, и каса
тельные напряжения тх% и Tyz, определяются путем подстановки граничных условий (4) в соотношения (16) и (17):
тельные напряжения тх% и Tyz, определяются путем подстановки граничных условий (4) в соотношения (16) и (17):
тт. dux
"xz = Cl = --/z +, o o To sign — ,
иv.
тт. dux
"xz = Cl = --/z +, o o To sign — ,
иv.
c3 = o,
(7.2.18)
C4 = u.
c3 = o,
(7.2.18)
C4 = u.
После подстановки постоянных интегрирования (18) в (16) и (17) определяются выражения проекций скорости ^х, г)у для среды, находящейся в зазоре между подвижными параллельными пластинами:
^ж = (y/K)z,(7.2.19)
г)у = Ц1 -zfhY(7.2.20)
После подстановки постоянных интегрирования (18) в (16) и (17) определяются выражения проекций скорости ^х, г)у для среды, находящейся в зазоре между подвижными параллельными пластинами:
^ж = (y/K)z,(7.2.19)
г)у = Ц1 -zfhY(7.2.20)
Проекция на ось х силы сопротивления, приложенной к пластине площади S, определяется по формуле
Проекция на ось х силы сопротивления, приложенной к пластине площади S, определяется по формуле
Fx — TxzS.
Fx — TxzS.
(7.2.21)
(7.2.21)
В соответствии с (18) и sign^T^/dz) = 1 для силы сопротивления получается следующее выражение:
В соответствии с (18) и sign^T^/dz) = 1 для силы сопротивления получается следующее выражение:
Fx — ^М 4"Fx — ^М 4"трКVv2 Е и2трКVv2 Е и2hh
Fx — ^М 4"
Fx — ^М 4"
трК
Vv2 Е и2
трК
Vv2 Е и2
h
h
Из анализа выражения (22) видно, как изменяется величина и характер сопротивления движению тела в бингамовской среде при сообщении телу или среде дополнительного относительного движения. В рассматриваемом примере это скорость и. При увеличении скорости и сила Fx уменьшается, и движение пластины начнется при любой малой величине Fx. При и = 0, т. е. когда наблюдается одномерное сдвиговое течение, движение пластины
начнется только при достижении напряжения равного tq.
TphVv2 Г и2TphVv2 Г и2Me = м +Me = м +(7.2.23)(7.2.23)Эквивалентная вязкость р,е определяется выражением, следующим из (15), (22),
Tph
Vv2 Г и2
Tph
Vv2 Г и2
Me = м +
Me = м +
(7.2.23)
(7.2.23)
В рассматриваемой задаче эквивалентная вязкость це определена точно. Полученный результат (23) наглядно иллюстрирует зависимость эквивалентной вязкости pie не только от физиче
ских, но и от гидродинамических параметров.
Рассмотрим еще один способ решения этой задачи. Так как
dv/dz\д\/dz\dv/dz\д\/dz\dvdv(7.2.24)(7.2.24)течение среды является одномерным, направленным под некоторым углом к выбранной системе координат, то в данном случае используется известная модель среды Бингама, записанная в векторной форме:
dv/dz\д\/dz\
dv/dz\д\/dz\
dv
dv
(7.2.24)
(7.2.24)
здесь dv/dz — вектор, имеющий компоненты Э^/Эг и dvy/dz, определяемые формулами (19) и (20).
Проекции вектора т на выбранные оси координат имеют вид соответственно
тх = tzx = ^- ц + , "т0,(7.2.25)
^ = ^ = -т м + F-— то. (7.2.26)
Проекция силы сопротивления на ось х имеет вид
Fx = -тх8 = -Г + , T°h ) у 8.(7.2.27)
х у 7 1
Таким образом, результат (27) получается аналогичным предыдущему его значению (22).
Анализ выражений (24)-(27) показывает, что наличие дополнительного движения со скоростью и приводит к повороту вектора силы сопротивления F в направлении вектора результирующей скорости. Поворот вектора силы сопротивления бинга-
мовской среды или силы вязкопластичного сопротивления F при сообщении телу или среде дополнительного движения напоминает поворот вектора сухого трения, если телу, движущемуся по шероховатой поверхности, сообщить дополнительное движение под некоторым углом к основному движению. Впервые эффект преобразования сухого трения был объяснен Н.Е. Жуковским (1896 г.)
По аналогии с эффектом преобразования сухого трения предлагается называть для случая подобного сложного сдвигового течения изменение величины и характера вязкопластичного сопротивления в заданном направлении эффектом преобразования вязкопластичного сопротивления [15].
Минимальная величина силы сопротивления будет при угле между заданным ^ и дополнительным (%) движениями, равном 90°.
7.3. Течение среды в вибровискозиметре
Результаты экспериментальных исследований на специальных приборах вибровискозиметрах свойств бингамовских сред, например, в пищевой промышленности, при воздействии виб
раций позволили говорить ряду исследователей о том, что при наличии вибрации наблюдается значительное снижение вязкости у всех сред с предельным напряжением сдвига tq. Вязкость
же сред без предельного напряжения сдвига оставалась практически неизменной при вибрационном воздействии на них [58].
Для подробного исследования данного явления был создан вибровискозиметр с электродинамическим источником колебаний (рис. 7.16). На этом приборе были произведены экспериментальные исследования ряда пищевых продуктов [28,31,43]. В процессе исследований температура образца среды поддерживалась постоянной, давление окружающей среды — также. Полученные результаты и характер показаний вибровискозиметра соответст
вовали результатам, полученным другими исследователями, и фиксировали обнаруженное для бингамовских сред явление аномального поведения вязкости сред с предельным напряжением
сдвига.
Для выяснения причин и объяснения подобного аномального поведения вязкости сред с предельным напряжением сдвига помимо экспериментальных были проведены и теоретические исследования течения бингамовской среды в кольцевом зазоре между приводимым в колебательное движение стаканом (/) со средой (2) и погруженным в него ротором (3) вибровискозиметра (см. рис. 7.16).
Для теоретических исследований использовались уравнения, записанные в цилиндрической системе координат Orpz. Уравнения записывались в предположении осевой симметрии течения, независимости характеристик течения от координаты z, несжимаемости среды, постоянства температуры среды и окружающего давления [31].
В процессе теоретических исследований было установлено, что вектор касательного напряжения т на площадке 8, перпендикулярной радиусу ротора R, можно представить в следующем виде [28, 30]:
т = т0р + 2р,е,(7.3.1)
1£1
здесь ергу,егУ — вектор скорости деформации,
е — - [г — fе — -(^Г\(7 3 2)
ч)^ vz — соответственно окружная и осевая составляющие скорости среды.
Первое слагаемое в (1) — это вектор предельного напряжения сдвига
т0 = т0^-(7.3.3)
совпадающий по направлению с вектором е. Таким образом, изменение направления вектора е в результате изменения соотношения между его компонентами (2) ведет к такому же изменению направления вектора тд без изменения его модуля, т. е. к его повороту в плоскости, перпендикулярной радиусу ротора.
Приложение осевых колебаний к стакану вибровискозиметра приводит к появлению компоненты etz вектора скорости деформации и, следовательно, к повороту вектора е в площадке, перпендикулярной радиусу ротора (см. рис. 7.16). Это приводит в свою очередь к повороту вектора предельного напряжения сдвига tq в той же площадке, уменьшению его проекции на окружное направление и, как следствие этого, к снижению сопротивления вращению ротора.
Таким образом, явление изменения сопротивления вращению ротора вибровискозиметра при исследовании бингамовских сред, которое трактовалось ранее как изменение вязкости этих сред (аномальное поведение вязкости сред с предельным напряжением сдвига), связано в действительности с эффектом преобразования вектора предельного напряжения сдвига тд в плоскости сдвига [15, 28, 30, 41]. В основе этого эффекта лежит изменение величины проекции вектора тд на заданное или рабочее направление, которым для вибровискозиметра является вращение ротора.
Отсутствием данного эффекта у сред без предельного напряжения сдвига объясняется неизменность сопротивления такой среды вращению ротора в вибровискозиметре, что свидетельствует о неизменности вязкости среды при постоянных температуре исследуемой среды и окружающего давления.
Глава 8
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ
. Технологические машины с мягкимидеформируемыми рабочими органами
Проблема исследования течений бингамовских сред в каналах и полостях с изменяемыми формами вибрирующих стенок появилась непосредственно из потребностей практики, а именно при участии авторов в разработке нового поколения пищевых технологических машин, работающих на вибрационно-волновых принципах [10-15, 24, 26, 28, 29, 38, 39, 42, 43, 88, 90].
Принципиальное отличие таких машин от известных состоит в наличии у них мягкого деформируемого рабочего органа (МДРО) /, имеющего форму полости или канала (рис. 8.1), стенки которых приводятся механизмом их деформации 2 одно-
аб
Рис. 8.1
временно в низкочастотное волновое и высокочастотное вибрационное движения (рис. 8.1).
Рабочий орган 1 при этом деформируется и приобретает некоторую изменяющуюся со временем форму. С таким необычным рабочим органом непосредственно и взаимодействуют обрабатываемые бингамовские пищевые среды, к которым относятся, например, различные мясные и рыбные фарши, сырково-творожные массы и многое другое.
Впервые работы по разработке пищевых вибрационно-волновых машин и вибрационно-волновых технологий начали проводиться А.В. Гноевым и В.М. Чесноковым в Московском технологическом институте мясной и молочной промышленности (МТИММП) (ныне Московский государственный университет прикладной биотехнологии — МГУПБ) в 1981 г. Совместно с В.М. Горбатовым (Всесоюзный научно-исследовательский институт мясной промышленности — ВНИИМП) были получены первые положительные результаты, которые позволили говорить о возможности выполнения нескольких технологических операций в одной такой машине путем управления деформацией ее рабочего органа, о существенном сокращении при этом длительности ряда технологических операций, об одновременном снижении энергозатрат и о получении новых положительных физических эффектов (таких, как, например, эффект изменения величины и характера сопротивления движению среды относительно рабочего органа при сообщении ему дополнительного движения, составляющего с основным рабочим движением некоторый угол) [26,28,30,43,90].
Необходимость в разработке принципиально новых пищевых универсальных технологических машин возникла в начале 80-х годов XX столетия (в МТИММП, ВНИИМП).
Это было связано во многом со следующими проблемами.
Объектом переработки в мясной промышленности является сырье животного и растительного происхождения, отличительная особенность которого — это значительный разброс параметров и свойств даже для одного конкретного вида. Кроме того, в процессе хранения и переработки свойства и параметры сырья также изменяются.
Существующие машины и технологии, применяемые для переработки сырья растительного и животного происхождения, во многом схожи с аналогами, которые имеются в общем машиностроении, строительстве, химической промышленности и не учитывают специфику сырья. У этих машин отсутствует возможность регулировки рабочего режима в широких пределах, т. е. выбора наиболее подходящего режима для переработки сырья с заданными свойствами и параметрами, что создает дополнительные производственные трудности в получении готовых продуктов питания определенного стабильного качества на традиционном оборудовании, рабочие режимы которого слабо регулируются и не согласуются с сырьем. Кроме того, существующие машины обладают малой универсальностью. В основном это специали-
зированные под одну технологическую операцию машины, а не многооперационные универсальные.
Сырье и необходимые по рецептуре компоненты в существующих технологических машинах подвергаются интенсивному воздействию металлических рабочих органов (шнеки, лопатки, оребренные роторы, металлические каналы и т. д.). Это снижает биологическую ценность готового продукта, а иногда приводит и к необратимым изменениям в нем. Продукт меняет свой традиционный вид и вкус иногда даже до «неузнаваемости». В этом и состоит одна из причин развития направления, которое коротко можно назвать «косметикой пищи». Для придания продуктам большей привлекательности стали применять в виде добавок в рецептуру корректоры ее вкуса, цвета, запаха. Особенно эта проблема актуальна при использовании низкокачественного сырья и низкокачественного ненастроенного технологического оборудования.
Область применения готовых продуктов — внутреннее потребление их человеком. Поэтому к машинам и технологиям предъявляются повышенные требования как по сохранению биологической ценности перерабатываемого сырья и получаемого из него готового продукта питания, так и по их безопасности для человека.
Форма организации современного технологического процесса производства продукта питания дифференциальная, т. е. процесс разбивается на ряд операций, каждая из которых проводится в отдельной технологической машине. Машины при этом соединены между собой в единую последовательную технологическую цепочку — линию.
Согласование работы машин в технологической цепочке дифференциального производственного процесса по времени и пространству осуществляется человеком или межоперационным транспортом, в качестве которого чаще всего используются транспортеры, трубопроводные системы, манипуляторы, роботы и т. д.
Вышеперечисленные проблемы, а также жесткие требования к энергосбережению, защите окружающей среды, экономии и сокращению производственных площадей, обслуживающего персонала и сроков освоения новых видов продукции при одновременном снижении качества отечественного сырья, увеличении разброса его параметров ставило достаточно остро проблему создания нового поколения универсальных машин с регулируемыми в широком диапазоне рабочими параметрами воспроизво-
димых технологических процессов. При наличии подобных машин появлялась возможность решать и следующую актуальную проблему — проблему разработки и создания новых наукоемких технологий в мясной промышленности.
Отмеченные ранее проблемы 1-6 можно проиллюстрировать на примере процесса механического перемешивания нескольких сред в различных отраслях промышленности. Перемешивание ингридиентов по рецептуре при производстве колбасного фарша проводится идентично тому, как это происходит при получении раствора или бетона в строительстве, лаков и красок в химической промышленности или порошкового состава при производстве деталей в машиностроении.
Процесс перемешивания осуществляется в мешалках, конструкции которых похожи и имеют следующие одинаковые функциональные элементы: емкость, куда помещаются составляющие приготавливаемого продукта согласно рецептуре; рабочий орган в виде, например, шнека, спирали, лопаток, размещенный в технологической емкости с возможностью его вращения; привод рабочего органа, например электрический.
Функциональная схема мешалки «технологическая емкость - рабочий орган-привод рабочего органа» является классической. У современных мешалок рабочий орган имеет постоянную и неизменяемую геометрическую форму, определенное место и пространственную ориентацию в емкости. По классической схеме построены, например, отечественные фаршемешалки ФМ-100, ЛПК1000К, Л5-ФМ2-У-150, Ф-50 и многие другие.
При такой схеме построения мешалки регулировать можно только число оборотов ее рабочего органа. У известных отечественных и зарубежных мешалок число оборотов в основном не регулируется. Таким образом, практически отсутствует возможность влиять на качество перемешивания. Чтобы улучшить перемешивание, в фаршемешалках классической схемы построения применяют дополнительно вакуумные и вибрационные системы. Примерами отечественных вакуумных фаршемешалок являются ФМВ-015, 221ФМ005, а отечественных вакуумных вибромешалок — РЗ-СВВ, Я2-ФФД.
Подобные добавления усложняют исходную машину, не меняя ее существа. Кроме того, в мешалках можно провести только одну технологическую операцию — перемешивание. Таким образом, увеличить число проводимых технологических операций в рамках приведенной жесткой классической схемы невозможно.
Проблема универсальности или многооперационности технологических машин и согласования их рабочих режимов с па-
раметрами обрабатываемого сырья и других элементов рецептуры решается различными разработчиками по-разному. Анализ существующего оборудования и технологий показывает, что в ведущих фирмах-производителях машин для пищевых отраслей в настоящее время существует устойчивая тенденция к созданию компьютерно управляемых многооперационных технологических машин и интегральных технологий. Интегральной технологией (в отличие от дифференциальной технологии) будем называть технологию или технологический процесс, при котором несколько его операций проводятся в одной машине.
Сейчас уже имеются различные многооперационные машины, например, для производства колбасы — отечественный агрегат, состоящий из волчка ВШ-70 с фаршемешалкой ФЭ-30, и зарубежный (Беларусь) универсальный привод УПК-300. С их помощью можно измельчать мясо, перемешивать его с добавками по рецептуре, заполнять колбасную оболочку. Немецкие фирмы «INOFEX» и «MADO» совместно разрабатывают и производят для мясной промышленности универсальные компьютерно управляемые волчки-сепараторы и волчки-шприцы [38].
Конструирование современных многооперационных машин состоит, как правило, в объединении ряда известных рабочих органов или узлов известных машин в одной машине (агрегатирование). Такие агрегатированные машины имеют либо один привод, к которому поочередно подключаются различные рабочие органы, либо несколько приводов, т. е. каждый рабочий орган имеет свой привод.
Однако следует подчеркнуть, что рабочие органы существующих как многооперационных, так и однооперационных машин, имеют по-прежнему постоянную и неизменяемую геометрическую форму. Регулируется в таких машинах только число оборотов приводного вала. Совершенно очевидно, что такие технические решения ничего принципиально нового не дают, но серьезно усложняют кинематику машины, ее обслуживание и управление.
Известные пути увеличения объема производства продуктов в рамках традиционной рецептуры в основном связаны с интенсификацией работы технологических машин за счет увеличения их рабочих параметров. Однако естественные ограничения, связанные со скоростями протекания в продукте физико-химических, биохимических и других процессов и их последовательностью, является очевидным серьезным препятствием для дальнейшего развития этого направления [42].
Анализ качества выпускаемых пищевых продуктов подтверждает, что многие технологические процессы уже достигли или
приблизились к своим предельным параметрам. Попытка дальнейшего их ускорения за счет интенсификации работы машин путем повышения рабочих параметров может привести к существенному ухудшению качества готовых изделий.
Таким образом, из краткого анализа особенностей и состояния современного оборудования и способов организации с его помощью технологических процессов следует, что проблема поиска новых направлений в пищевом машиностроении и способов технологической организации производства, которые решили бы частично или полностью перечисленные проблемы 1-6, по- прежнему чрезвычайно актуальна.
В качестве одного из возможных направлений решения перечисленных проблем А.В. Гноевым в начале 80-х годов XX столетия были предложены и разработаны принципы построения и классификации нового поколения технологических машин с мягкими деформируемыми неметаллическими рабочими органами (МДНРО) и новых безопасных интегральных щадящих и природосберегающих технологических процессов. Им же были сконструированы и первые действующие макеты таких машин, а затем в ТОО «ВИВАТ» разработана и построена первая технологическая машина такого класса. Этот новый класс машин и технологии А.В.Гноевым было предложено называть вибрационноволновыми по виду воздействия, которое оказывается на сырье и добавки в мягком деформируемом неметаллическом рабочем органе такой машины [10-13, 26, 28, 29, 38, 39, 88, 90].
Позднее, А.В. Гноевым, Д.М. Климовым и В.М. Чесноковым (Институт проблем механики РАН — ИПМех РАН) совместно были разработаны основы теории течений бингамовских сред в таких машинах [15, 16].
Совместно В.М. Горбатовым, Н.С. Лосевой, А.И. Степаненко (ВНИИМП), А.В. Гноевым (ИПМех РАН) были проведены технологические испытания первой универсальной вибрационноволновой машины ММШ2ВВ-5/ВИВАТ (ТОО «ВИВАТ») и разработаны первые вибрационно-волновые технологии приготовления колбасных и ветчинных изделий (МТИММП, ВНИИМП, ТОО «ВИВАТ») [2, 23, 28, 34, 39, 42, 43, 90].
. Принципы построения вибрационно-волновыхпищевых технологических машин
Принципы построения вибрационно-волновых пищевых технологических машин с МДНРО базируются на кинематическом анализе некоторых видов волнообразного деформирования подоб-
ного рабочего органа и предложенной конструктивной классификации этих машин [12, 13, 39, 88].
Вибрационно-волновые машины, как об этом уже ранее говорилось, содержат МДНРО (/) и компьютерно управляемые механизмы (2) его деформации (см. рис. 8.1), которые связаны с ним, например кинематически. Эти механизмы приводят рабочий орган (РО) одновеменно в вибрационное (колебательное) и волновое движения.
Для приведения РО в колебательное движение применяются известные способы вибровозбуждения: кинематический, динамический, параметрический, автоколебательный. Наибольшее распространение в технологических машинах в настоящее время получили первые два способа вибровозбуждения — кинематический и динамический.
Для приведения РО в низкочастотное волнообразное движение применяются приведенные ниже способы волнообразования, основанные на анализе движения волн деформации по поверхности РО.
Кинематический анализ некоторых видов волнообразного деформирования МДНРО.
Для анализа движения волн деформации по поверхности МДНРО приняты следующие основные допущения: форма и величина поверхности волны деформации, а также объем пространства, ею ограниченный, являются величинами постоянными [12, 13].
Это условие можно пояснить следующим примером. Представим себе твердое тело (шаблон), например, имеющее форму половины шара, которое лежит на плоскости. Накроем его мягкой и плотно облегающей тканью. В месте, где лежит тело, ткань волнообразно деформируется. Образовавшаяся таким образом на ткани волна деформации имеет форму и величину поверхности, а также объем ею ограниченного пространства, соответствующие охватываемому твердому телу. При перемещении тела по плоскости волна деформации будет двигаться по поверхности ткани без изменения своей формы, величины поверхности и объема ограниченного ею пространства.
Для изучения движения таких волн деформации МДНРО вводятся подвижная O\x\y\z\ и неподвижная Oxyz системы координат. Поверхность волны задается уравнением в подвижных координатах
^1 = Л(Ж1,У1), (8.2.1)
где yi = /2Ц1), {ж1,У1} — область определения %\ (рис. 8.2).
Рис. 8.2
Связь координат в системах Оху % и О\х\у\%\ следующая:
х = а + х\ cos«1 + ух cos«2 + 21 COS«3,
у = b + х\ cosД + ух cos^2 + 2i cosРз,(8.2.2)
2 = С + Хх COS 71 + УХ COS 72 + 21 cos 73.
В рассматриваемом случае a, b, с, a^ Pi, ^i, г = 1,2,3, являются в общем случае функциями времени. Рассмотрим примеры некоторых условных «видов движений» волн деформации по поверхности МДНРО и зависимости для определения их форм и кинематических параметров их точек.
Поступательное прямолинейное движение шаблона волны на плоскости.
Рис. 8.3
Для волны 1 произвольной формы (1) (рис. 8.3) при а = с = = О, b = vy -1:
х = Xi, vx = О, ax = О, у = У\^гСуИ, г)у = Ху, ay = i)y,(8.2.3)
2 = 2i, vz = 0, а- = 0.
Для цилиндрических волн 2 (рис. 8.3) рассматривается движение сечения волны (на рис. 8.3 (выделено)). Сечение волны представляет собою плоскую волну на Oyz.
012 L ух
Рис. 8.4
Для единичной плоской волны, например,
= -(У1 — I)2 + 1, У1 € [0,2],
которая движется на отрезке [OL] со скоростью ^ (рис. 8.4) y^yx^vyt, vy = vy, ау = г)у,
% = 21, vz = 0, az = 0.' '
Время прохождения единичной волной [OL] равно
tx = L/vy.(8.2.5)
Если волны повторяются через время t\, то t\ называется периодом движения волны, а величину и, равную
v = l/t\ = Vy/L,(8.2.6)
называют частотой движения волн.
Если на УОЦ задается группа единичных волн, то можно считать их за одну единичную волну сложной формы и анализировать так же, как в примере. Слово «единичная» применительно к волне сложной формы подчеркивает следующее: волны в группе могут быть как одинаковые, так и разные, расстояние между ними в группе могут быть как одинаковые, так и разные.
Следующий пример — это когда группа волн на (—сю, +сю) задается в системе О\ххух%\ функцией 21 = f^y\\ периодической по у\. В этом случае при движении группы волн относительно Oyz функция 2i = f(yi) становится периодической по времени. В этом случае можно говорить не о группе волн, а просто о движении волн. Это можно представить себе в виде бесконечной «гребенки», которая движется вдоль оси с определенной скоростью.
Для группы волн
21 = 1 — cosyi, Ух Е ( — сю, +сю),
которая движется на [OL] со скоростью Dy (рис. 8.5),которая движется на [OL] со скоростью Dy (рис. 8.5),У = ух + vy • i, vy = Dy, ay = Dyz = zx, dz = 0, az = 0.У = ух + vy • i, vy = Dy, ay = Dyz = zx, dz = 0, az = 0.(8.2.7)(8.2.7)Аналогично предыдущему примеру время прохождения [OL] группой волнАналогично предыдущему примеру время прохождения [OL] группой волнравноравно<А1 = L/vy.<А1 = L/vy.(8.2.8)(8.2.8)Если на [OL] поместилось п = L/X единичных волн длины А, то условное время прохождения одной волной равноtx = twfn = Хру. (8.2.9)Если на [OL] поместилось п = L/X единичных волн длины А, то условное время прохождения одной волной равноtx = twfn = Хру. (8.2.9)Рис. 8.5Рис. 8.5Отсюда получается известное выражение для фазовой скоростиОтсюда получается известное выражение для фазовой скоростиволныволныDy = Xftx = А • v.Dy = Xftx = А • v.(8.2.10)(8.2.10)
которая движется на [OL] со скоростью Dy (рис. 8.5),
которая движется на [OL] со скоростью Dy (рис. 8.5),
У = ух + vy • i, vy = Dy, ay = Dyz = zx, dz = 0, az = 0.
У = ух + vy • i, vy = Dy, ay = Dyz = zx, dz = 0, az = 0.
(8.2.7)
(8.2.7)
Аналогично предыдущему примеру время прохождения [OL] группой волн
Аналогично предыдущему примеру время прохождения [OL] группой волн
равно
равно
<А1 = L/vy.
<А1 = L/vy.
(8.2.8)
(8.2.8)
Если на [OL] поместилось п = L/X единичных волн длины А, то условное время прохождения одной волной равно
tx = twfn = Хру. (8.2.9)
Если на [OL] поместилось п = L/X единичных волн длины А, то условное время прохождения одной волной равно
tx = twfn = Хру. (8.2.9)
Рис. 8.5
Рис. 8.5
Отсюда получается известное выражение для фазовой скорости
Отсюда получается известное выражение для фазовой скорости
волны
волны
Dy = Xftx = А • v.
Dy = Xftx = А • v.
(8.2.10)
(8.2.10)
После подстановки t\ = 2tt/cj в (10) получается зависимость
между Dy И CDмежду Dy И CDиз = (2тг/А)^.из = (2тг/А)^.(8.2.11)(8.2.11)
между Dy И CD
между Dy И CD
из = (2тг/А)^.
из = (2тг/А)^.
(8.2.11)
(8.2.11)
Таким образом, при движении бесконечной волны вдоль оси Оу имеем периодическую по времени волну. Это свойство в дальнейшем будет представлено одним из способов волнообразования. Оно свидетельствует о том, что волны на поверхности МДНРО можно образовывать не только при поступательном движении относительно его постоянной формы или шаблона волны, но и при вращательном движении соответствующего шаблона волны.
Поступательное криволинейное движение волны на Оху.
В этом случае системы Oxyz и Охххух^х остаются параллельны друг другу и в уравнении волны а = a(t), b = b(ty Например, для движения единичной произвольной волны (1) при
Z = Zx,= 0,= 0.Z = Zx,= 0,= 0.(8.2.12)(8.2.12)а = г cos cct, b = r sin wt, x = xx + t cosut, у = yx + r sinc^t, Dx = —CJrSHWt, Dy = CDTCOSCCt, ax = —cd2t coscct, ay = —cj2rsinc^t,
Z = Zx,= 0,
= 0.
Z = Zx,= 0,
= 0.
(8.2.12)
(8.2.12)
В этом случае волна движется с периодом t\ = 2тг/сс и частотой и = cd/2tv. Траектория точек поверхности волны — окружности.
Вращательное движение волны вокруг совпадающих осей Oz и Oxzx.
Для произвольной волны (1), которая вращается вокруг осей с угловой скоростью ои (рис. 8.6), имеем
х = хх cos out — ух sinujt, у = хх sinc^t + ух cos out,
^ =
хх = —cj(xi sincjt + ух cos out), vy = ои (яд cos out — yx sinwi),Щ = 0,
ax = —cj2(xi cos out — yx sinwi),
a z — 0.a z — 0.ay = —cj2(xi siiwt + yx cosout),
a z — 0.
a z — 0.
(8.2.13)
Для вращательного движения так же, как для поступательного, большой практический интерес представляют цилиндрические волны. Их изучение проводится подобно тому, как это делается для поступательных волн.
Рис. 8.6Рис. 8.6Рис. 8.7Рис. 8.7
Рис. 8.6
Рис. 8.6
Рис. 8.7
Рис. 8.7
Вращательное движение волны вокруг параллельных, но не совпадающих осей Oz и Oxzx.
Для произвольной волны (1), которая вращается вокруг осей Oz и Oxzx с угловой скоростью си (рис. 8.7)
X = Хх cosout — Ух sincjt + г cosout,у = хх sincjt + ух cos out + г sin out,z = Zx,
vx = —cj(xi sincjt + yx cosout + t sinuji),
Vy = cj(xi cosout — yx sincut + r coscut), (8.2.14) = 0,
ax = —ou2 (x i cos out — yx sin out + r cos out),ay = —cj2(xi sincjt + yx cos out + r sincut),= 0.
Плоское движение волны на Oz при параллельных осях Oz и 0\z\.
Этот вид движения волны является совокупностью поступательного и вращательного движений, и поэтому можно использовать предыдущие результаты
х = xx coswt — ух sincjt + г cosout,
у = Xi sin out + ух cos out + t sin
Z = Z\,
vx = а^х\ sina(i) — a(t)yx cos a(t) + a(t),
vy = a(t)xx cos a(t) — a(t)yx sina(£) + b(t),(8.2.15)
= o,
ax = — xx (cisin a — a2 cosq) — yx^a cos a — a2 sin a) + a^t),ay = xx (й cos a — a2 sin a) — yx^asina + 6? coso) + b(t),a z = 0.
Пространственное движение волны.
В этом случае определение кинематических параметров для произвольных точек волны (1) следует из равенств (2) их дифференцированием.
В качестве примера следует привести важный для практических приложений случай винтового движения волны по поверхности МДНРО цилиндрической формы х2 + у2 = г2. Для произвольной волны (1), которая вращается с угловой скоростью ои вокруг оси Oz, отстоящей от Oxzx на расстояние г, и одновременно движется вдоль Оz со скоростью v = vz (оси Оz и Ох^х при этом параллельны), имеем
х = xx cosout — ух sincjt + т cosout,
у = xx sin out + yx cosout + т sinw£,
Z = Zx + vz • t,
vx = —cj(xi sincjt + yx cos out + r sinuji),
Vy = uj(^i cosout — yx sinout + т cosout),(8.2.16)
ax = —cj2(xi cosout — yx sinwt + r cosout),ay = —cj2(xi sincjt + yx cosout + r sinout),az = 0.
Период и частота движения волны определяются приведенными выше равенствами.
На основании анализа рассмотренных видов движений волн были сформулированы способы волнообразования на МДНРО или волнообразного деформирования МДНРО. Во всех случаях волнообразование, т. е. придание волне определенной формы и организация ее движения, в работе проводится кинематически. Динамический принцип волнообразования не рассматривается. Способы волнообразования приведены на рис. 8.8. Во-пер-
ааРис. 8.8Рис. 8.8
а
а
Рис. 8.8
Рис. 8.8
вых, это способ волнообразования поступательными шаблонами (рис. 8.8, а). Во-вторых, это способ волнообразования вращающимися шаблонами (рис. 8.8, б). В-третьих — это способ волнообразования поточечным или локальным деформированием МДНРО (рис. 8.8, в).
При волнообразовании внешними или внутренними шаблонами они приводятся в требуемое движение, и волна (или волны), созданная ими, начинает двигаться по поверхности МДНРО. При локальном деформировании волне на МДНРО можно придавать как постоянные форму и движение, так и переменные, т. е. проводить изменение формы и характера движения волн соответствующим управлением, например от компьютера. В отличие от жестких шаблонов в данном способе имеется возможность изменять процесс волнообразования.
Приведенные способы волнообразования дают возможность на рабочих органах таких технологических машин создавать волны требуемых форм, направлений, параметров и длительностей. Это позволяет проводить в таких машинах различные технологические операции процессов обработки пищевых масс, как по отдельности, так и в совокупности.
Классификация пищевых машин с МДНРО.
Полученные при кинематическом анализе результаты были использованы для разработки конструктивной классификации нового поколения пищевых машин с МДНРО, работающих на вибрационно-волновых принципах [12, 13, 39, 88].
В табл. 8.1 приведена эта классификация, включающая характеристики организации технологий, сущности технологических процессов, технологических машин, обрабатываемых сред, МДНРО, волнообразования на МДНРО и вибровозбуждения МДНРО.
Пищевые технологические машины с МДНРО предлагается различать или классифицировать по следующим признакам.
По организации технологии (техпроцесса) (дифференциальные и интегральные).
По видам технологических процессов (транспортирование, перемешивание, фильтрование, ..., объединенные).
По классам (транспортирующие, перемешивающие, ..., универсальные, объединяющие ряд операций).
По подклассам (технологические среды) (жидкие, газообразные, пластичные, вязкопластичные, ...).
Следующий ряд признаков характеризует МДНРО.
По видам МДНРО (полностью мягкие (гибкие) МДНРО и частично мягкие (гибкие) МДНРО).
По форме МДНРО (линейные, плоские (полосы, пластины), пространственные (поверхности и каналы различных форм)).
По расположению обрабатываемой среды относительно МДНРО (имеющие среду внутри, вне, внутри и вне МДНРО).
По собственным свойствам материала МДНРО (электропроводные, водонепроницаемые, водопроницаемые, ..., комбинированные).
Следующий ряд признаков характеризует волнообразование на МДНРО.
По принципу волнообразрвания (кинематический и динамический).
По способу волнообразования (волнообразование поступательным шаблоном, вращающимся шаблоном, поточечной или локальной деформацией, ...).
По виду движения волн деформации (поступательные, вращательные, плоские, пространственные, комбинированные).
По характеру волн (единичные, группы, периодические, случайные, ...).
По направлению волн (однонаправленные и разнонаправленные).
По способу организации движения волн (имеющие нерегулируемое движение волны, регулируемое периодически, регулируемое программно (или от компьютера) движение волны).
Таблица 8.1. Классификация волновых и вибрационно-волновых машин с мягкими деформируемыми рабочими органами
Технологии
Дифференциальные
Интегральные
Процессы
Транспортирование
Перемешивание
Фильтрование ...
Объединение процессов
I. Класс Технологические машины
Транспортирующие машины
Перемешивающие машины
Фильтрующие машины ...
Универсальные машины
II. Подкласс Технологические
среды
Жидкие
Газообразные
Вязкопластические
Суспензии ...
Виды Р О
Полностью мягкие
Частично мягкие
По форме РО
Линейные
Плоские
Пространственные
По расположению технологической среды относительно РО
Среда внутри РО
Среда вне РО
Среда
внутри и вне РО
По собственным свойствам материала РО
Влагонепро Электропровод- Ферромагнит- Термостойкий Влагопро^ ™цаемыи ный материал ный материал материал Н^Ц^™И материал н материал
По принципу волнообразования
Кинематический принцип
Динамический принцип
По способу волнообразования
Поступательным шаблоном
Вращающимся шаблоном
Локальная деформация
По виду движения волн деформации РО
Поступательные
Вращательные
ПлоскиеПространственные
По характеру волн деформации РО
Единичные волны
Группы волн
ПериодическиеСлучайные волны
У ЧнИНЫс ВОЛНЫ
ВОЛНЫJ
По направлению волн деформации
РО
Однонаправленные
волны
Разнонаправленные волны
По способу организации движения волны деформации РО
Нерегулируемое движение волн
Периодически регули-Программно регулируемое движение волнруемое движение волн
III. Группа По типу привода волнообразования
Механический
Пневматический
ГидравлическийЭлектромагнит-
По способу вибровозбуждения колебаний РО
Кинематический
Динамический
Параметрический Автоколебательный
По виду вибраций РО
Гармонические
Полигармонические
Случайные
По способу организации вибровозбуждения РО
Нерегулируемое
ПериодическиПрограммно
регулируемоерегулируемое
IV. Подгруппа По типу вибровозбудителей
Механический
ПневматическийЭлектромагнитный ...
По группам (по типу привода волнообразования) (механический, пневматический, ...).
Следующий ряд признаков относится к вибровозбуждению.
По способу вибровозбуждения МДНРО (кинематический, динамический, параметрический, автоколебательный).
По виду вибрации МДНРО (гармонические, полигармо- нические, случайные, ...).
По способу организации вибровозбуждения МДНРО (нерегулируемые, регулируемые периодически, регулируемые программно).
По подгруппам (по типу вибровозбудителей) (механические, пневматические, электродинамические и иные вибровозбудители).
Приведенная классификация технологических машин с МДНРО является конструктивной в том смысле, что позволяет создавать новые типы машин и принципиально по-новому организовывать в них протекание технологических процессов. В этом смысле данная классификация и табл. 8.1 — это основа структурного синтеза различных классов пищевых машин. Этот новый класс машин и технологии было предложено называть вибрационно-волновыми по виду воздействия, которое оказывается на сырье и добавки в рабочем органе такой машины. Первый положительный опыт в создании таких машин и технологий уже имеется [10-15,23,24,26,28,34,39,42,43,90]. Эти результаты представлены в следующем разделе.
Принципы построения вибрационно-волновых машин.
Для разработки нового поколения вибрационно-волновых технологических машин и вибрационно-волновых технологий приготовления продуктов питания были сформулированы следующие направления, которые и составили основные принципы построения этого класса машин.
Разработка и создание интегральных технологических процессов с совмещением протекания ряда технологических операций в одной машине и объединение их с операцией транспортирования.
Разработка пищевых машин, отличающихся от известных тем, что с целью сохранения биологической ценности сырья при его переработке и совмещения ряда технологических операций в одной машине рабочие органы таких машин выполняются из мягкого неметаллического материала, например, пищевых полимеров, в форме емкости или канала и снабжаются механизмами деформации рабочего органа, которые управляются источниками
волнового и вибрационного воздействий при помощи компьютера или иного программного устройства.
Механизмы деформации рабочего органа кинематически связаны с ним и расположены таким образом, чтобы придать ему необходимую геометрическую форму, реализующую волновой, виброволновой или перистальтический принципы взаимодействия рабочего органа с рецептурой продукта.
Разработка принципов согласования работы пищевых машин, отличающихся от известных тем, что с целью придания машине новых или универсальных возможностей, упрощения ее переналадки на новые режимы и рецептуры и согласования ее работы с другими машинами согласование работы машины во времени и пространстве приводится не на механическом, а на более высоких уровнях, например, электрическом, электронном.
Первое направление, или первый принцип, — интегралъ- ностъ организации технологического процесса.
Интегральная организация процесса предполагает совмещение отдельных операций в одной технологической машине и совмещение этих операций с операцией транспортирования. Это вполне естественно, так как операция транспортирования, как правило, не является содержательной для любого процесса и служит своего рода данью за неумение создавать технологические машины, которым бы не требовалось механическое согласование во времени и пространстве при собирании их в единую технологическую линию.
Совмещение операций, безусловно, значительно сокращает время приготовления продукта и может быть использовано для увеличения их количества, но само по себе совмещение операций еще не служит источником существенного улучшения их качества.
Второе направление, или второй принцип, — применение виброволновых машин с управляемыми МДНРО.
Второй принцип реализуется следующим образом:
Во-первых, путем выполнения рабочих органов таких машин из мягкого неметаллического материала, например, пищевых полимеров, что позволяет создавать щадящие режимы переработки сырья в пищевой продукт.
Во-вторых, путем придания мягкому рабочему органу формы емкости или канала, в которые загружается перерабатываемое сырье и добавки по рецептуре.
В-третьих, путем снабжения мягкого рабочего органа механизмами его деформации с управляемыми источниками волнового и вибрационного воздействий. Механизмы деформации
8 А.В. Гноевой, Д.М. Климов, В.М. Чесноков
рабочего органа кинематически с ним связаны и расположены в пространстве таким образом, чтобы придать ему необходимую изменяемую геометрическую форму, реализующую волновой, вибрационно-волновой или перистальтический принципы взаимодействия рабочего органа с рецептурой продукта.
В-четвертых, путем снабжения машины компьютерным управлением процессом деформации рабочего органа и контроля за рабочими режимами переработки сырья и качеством получаемых продуктов питания.
Третье направление, или третий принцип, — проведение согласования работы машин на возможно более высоком уровне (электрическом, электронном).
Это неотъемлемая часть второго принципа, так как позволяет в процессе работы машины деформировать ее рабочий орган таким образом, чтобы провести в ней необходимые технологические операции и согласовать ее работу с соседними машинами, соединенными в единую технологическую линию. Таким образом, появляется возможность создавать принципиально новые технологические машины (новые типы) и принципиально по-новому организовать технологические процессы, объединяя целый ряд традиционных технологических операций, увеличивая тем самым интеграцию технологических процессов.
Предлагаемые новые принципы согласования работы машин в самом широком смысле этого слова являют собой для пищевого машиностроения основу наиболее естественного и органичного метода, разработки надежных и совместимых машин как при их совместной работе в единой технологической линии или различных технологических линиях, так и при переходе на новые рецептуры продуктов и технологические режимы.
Машины с такими качествами относятся к машинам нового поколения, у которых механика, помимо системы управления и регулирования в обычном смысле, подкреплена «интеллектом» в виде компьютера с соответствующим программным обеспечением. Подобное сочетание качеств относит эти машины к достаточно молодой науке «мехатронике».
Примеры технических решений
Прежде чем приводить примеры технических решений изложенных ранее принципов конструирования вибрационно-волновых машин с МДНРО и вибрационно-волновых, технологий необходимо еще раз подчеркнуть сущность и принципиальное отличие этих технологий.
Сущность вибрационно-волновых методов обработки сырья заключается в одновременном воздействии на него низкочастотного волнового и высокочастотного вибрационного воздействий [14,29,42,90].
Принципиальным отличием этих методов является способ передачи воздействий. Оба воздействия — волновое и вибрационное — передаются сырью одним рабочим органом, выполненным из химически нейтрального к обрабатываемым средам мягкого неметаллического материала в форме единого деформируемого замкнутого объема или канала.
По результатам проведенных исследований в настоящее время установлен диапазон рабочих режимов для некоторых пищевых сред. Волновое воздействие: частота 0,5-10 Гц; площадь пережима сечения канала или емкости в конкретном ее сечении 70-100%; формы волны деформации могут быть различными (см. табл. 8.1). Вибрационное воздействие (для гармонической вибрации): частота 20-100 Гц; амплитуда 0,05-2,0 мм.
Разработка вибрационно-волновых машин проводилась с 1981г. по 1992 г. в МТИММП, а с 1992 г. ведется в Институте проблем механики РАН (ИПМех РАН) и ТОО «Вибрационно-волновые альтернативные технологии» (ТОО «ВИВАТ»). Экспериментальные исследования применительно к мясной промышленности проводились совместно с ВНИИМП.
530530
530
530
Машина ММШ2ВВ-5/ВИВАТ (рис. 8.9) — первая модель нового поколения универсальных вибрационно-волновых тех-
нологических машин для мясной промышленности, в которой использованы вибрационно-волновые механические воздействия для обработки сырья при приготовлении колбасных и ветчинных изделий [10,34,39]. Машина разработана и создана на предприятии ТОО «ВИВАТ» в соответствии с приведенной в §8.2 классификацией и испытана совместно ВНИИМП и ИПМех РАН в лабораторных и производственных условиях. Конструкция машины и принцип ее работы защищены рядом патентов и авторских свидетельств [1,63-66].
По результатам испытаний машина рекомендована к использованию в специализированных или универсальных малообъемных пищевых производствах (кафе, рестораны, столовые, индивидуальные и фермерские хозяйства и др.) для быстрого приготовления мясного и рыбного фарша, колбасных и ветчинных изделий, сливочного масла, творожных масс, кондитерских кремов, коктейлей и других продуктов.
Машина оснащена набором легкосъемных неметаллических мягких рабочих органов для различных видов сырья, компьютерным полуавтоматическим управлением с набором программ для выработки необходимой продукции, источником волнового и вибрационного воздействий на обрабатываемый продукт. Ее отличают малые габариты и масса, низкое энергопотребление, высокая производительность, универсальность и удобство при эксплуатации, включая упрощенную санитарную обработку.
Основные технические показатели ММШ2ВВ-5/ВИВАТ (применительно к производству колбасных и ветчинных изделий):
средняя производительность по колбасным изделиям — 20 кг/ч;
разовая загрузка — 5 кг;
выполняемые операции — массирование, перемешивание, перемешивание с массированием, шприцевание;
давление в подводимой воздушной магистрали (собственного компрессора) — не более 0,6/(0,6) МПа;
электропитание от сети — 220 В;
максимальная потребляемая мощность (с собственным компрессором) — 0,5/(2,0) КВт;
максимальные габаритные размеры — 600 х 600 х 1500 мм;
управление — полуавтоматическое от микропроцессора;
масса комплекта (с собственным компрессором) — 90/(120) кг.
Работа машины. При выработке колбасных и ветчинных изделий мясо без предварительной выдержки в рассоле измель-
чается и вместе с остальными ингредиентами в соответствии с рецептурой загружается в рабочий орган машины. Включается один из вибрационно-волновых режимов обработки, и сырье подвергается этому воздействию в течение требуемого времени. После окончания этой операции машина самостоятельно останавливается и автоматически переводится в следующий режим. При шприцевании машиной управляет оператор с помощью ножного рычага или педали, как на обычном колбасном шприце, заполняя фаршем колбасную оболочку или форму.
Длительность приготовления одной 5-килограммовой порции фарша, например, вареных колбас или ветчины типа сорта «Для завтрака», в экспериментах и при производственных испытаниях в зависимости от рецептуры составляла 3-5 мин [2].
Исследования показали, что фарш, подвергшийся 3-5-минутному вибрационно-волновому воздействию, соответствует по качеству фаршу, приготовленному из мяса после 24-36-часового посола по традиционной технологии [2]. При такой механической обработке в мясе проходят все необходимые биохимические процессы.
Такого эффекта ускорения посола удалось добиться благодаря управляемому вибрационно-волновому механическому воздействию, максимально разрушающему «квазитвердую» область течения, присущую бингамовским пищевым средам. За счет этого практически ликвидируются застойные зоны во всем обрабатываемом объеме, что повышает подвижность всей среды и способствует одновременности протекания в ней биохимических процессов.
Следует отметить еще один положительный факт применения вибрационно-волнового способа обработки сырья. Он обеспечивает наилучшее перемешивание не только по равномерности распределения ингредиентов фарша, но и по наименьшей насыщенности его воздухом. При таком перемешивании воздух не затягивается в обрабатываемую массу, а наоборот, вытесняется. Это позволяет получать однородную и плотную структуру фарша за короткое время без предварительной выдержки мяса в рассоле и без применения дополнительных вакуумных систем.
Полный цикл работы машины, включая загрузку всех компонентов, приготовление фарша и наполнение им колбасной оболочки или иной формы, не превышает 15 мин. Обслуживает машину один человек. В описанном технологическом процессе машина выполняла функции нескольких традиционных машин, а именно: массажера, мешалки, объемного насоса, шприца и ускоренного «созревателя» фарша. Таким образом, можно гово-
рить, что по функциональным возможностям представляемая машина — это вибрационно-волновой массажер-мешалка-насос - шприц - созреватель.
Санитарная обработка машины проводится либо путем заполнения рабочего органа моющим раствором с последующим проведением полного рабочего цикла, либо рабочий орган снимается и заменяется на ранее вымытый. Оба эти способа равноценны и могут применяться по усмотрению обслуживаюцего персонала.
Технологические экспериментальные исследования на машине ММШ2ВВ-5/ВИВАТ проводились при участии В.М. Горбатова, А.В. Гноевого, Н.С. Лосевой, А.И. Степаненко в лабораторных и производственных условиях [23, 39].
Далее приводятся результаты эксперементальных исследований вибрационно-волнового способа на примере приготовления ветчины сорта «Для завтрака» (ГОСТ 18236-85).
Для сравнения была выработана ветчина сорта «Для завтрака» традиционным способом в соответствии с «Технологической инструкцией по производству продуктов из свинины» (ВНИКИМП, М., 1990). Согласно этой инструкции технологический процесс осуществляли в следующей последовательности: разделка — обвалка, жиловка и отбор нежирной свинины; измельчение сырья на волчке с решеткой диаметром 16-24 мм; посол — шприцевание, массирование, выдержка 24-48 ч при температуре 2-4 °C; формование — набивка в оболочку диаметром 100-120 мм; выдержка осадка на раме в течение 1-2 ч; термообработка; контроль качества.
По этой инструкции были приготовлены образцы ветчины сорта «Для завтрака» с 36-часовой предварительной выдержкой мясного шрота в рассоле в камере созревания при температуре 2-4°C (табл. 8.2).
Часть этого же сырья была подвергнута вибрационно-волновой обработке различной продолжительности и затем приготовлена ветчина по той же рецертуре — образцы 1, 2, 3 (см. табл. 8.2).
Принципиальное отличие вибрационно-волнового способа приготовления ветчины состояло в изменении содержания операций, оборудования и соответственно технологических режимов. По предлагаемому способу сырье после измельчения на волчке вместе с остальными ингредиентами загружали в машину ММШ2ВВ-5/ВИВАТ и подвергали вибрационно-волновой обработке. Длительность вибрационно-волнового массирования с перемешиванием составляла 5 мин (образец 1), 15 мин (образец 2) и 40 мин (образец 3) для всех серий образцов. Для шприцевания
Образец
Выдержка в рассоле
Внешний вид
Консистенция
Вид на разрезе
Запах и вкус
0 (контрольный)
t = 36 ч при Т = 2-4°С
Соответствует требованиям ГОСТа: поверхность батонов чистая, сухая, оболочка не нарушена; батоны прямой формы длиной около 300 мм
Соответствует требованиям ГОСТа: консистенция плотная без бульонных отеков
Соответствует требованиям ГОСТа: цвет мышечной ткани розово-красный, без серых пятен; куски мышечной ткани неопределенной формы при нарезании не распадались, воздушные полости отсутствовали
Соответствует требованиям ГОСТа: запах приятный; вкус слабо-соленый; посторонних вкуса и запаха нет
1
t = 5 мин при Т = 2-4°С вибрационноволновая обработка
Соответствует требованиям ГОСТа: поверхность батонов чистая, сухая, оболочка не нарушена; батоны прямой формы длиной около 300 мм
Соответствует требованиям ГОСТа: консистенция плотная без бульонных отеков
Соответствует требованиям ГОСТа: цвет мышечной ткани розово-красный, без серых пятен; куски мышечной ткани неопределенной формы при нарезании не распадались, воздушные полости отсутствовали
Соответствует требованиям ГОСТа: запах приятный; вкус слабо-соленый; посторонних вкуса и запаха нет
2
t = 15 мин при Т = 2-4 °C вибрационноволновая обработка
Батоны сухие, с небольшими складками и отклонениями от прямолинейности
Консистенция плотная; небольшие бульонные отеки
Структура слегка перебитая
Запах приятный; вкус слабо-соленый; посторонних вкуса и запаха нет
3
t = 40 мин при Т = 2-4 °C вибрационноволновая обработка
Батоны сухие, сморщенные, сильно деформированные
Консистенция неплотная; большие бульонные отеки
Разваливающаяся рыхлая структура
Запах приятный; вкус слабо-соленый; посторонних вкуса и запаха нет; ощущались признаки перетертости сырья
Таблица 8.2
§8.3. Примеры технических решений
использовали целлофановую оболочку диаметром 100 мм. Последующие операции проводили согласно традиционной технологии.
Органолептическая оценка образцов представлена в табл. 8.2. Анализы экспериментальных образцов 1 показали следующее: массовая доля поваренной соли — 2,3%; массовая доля нитрита — 0,0024%. Полученные результаты свидетельствуют о том, что 5-минутная вибрационно-волновая обработка сырья с ингредиентами по рецептуре соответствуют 36-часовому традиционному посолу сырья в камерах созревания.
Позднее машина ММШ2ВВ-5/ВИВАТ была значительно усовершенствована как по техническим возможностям, так и по своему дизайну. В этой работе приняли участие ЗАО «Ягуар-М» (Москва) и ООО «ПЭМЗ» (Подольск).
На рис. 8.10 приведен образец машины, созданный совместно ТОО «ВИВАТ», ИПМех РАН, ЗАО «Ягуар-М».
Рис. 8.11
На рис. 8.11 приведен образец машины, созданный совместно ТОО «ВИВАТ», ИПМех РАН, ООО «ПЭМЗ».
На базе машины ММШ2ВВ-5/ВИВАТ, в рамках совместного проекта с участием фирмы MADO (Германия) и ИПМех РАН на фирме MADO в 2003 г. А.В. Гноевым был сконструирован, изготовлен и испытан прибор VW2-5/VIWAT для исследования различных бингамовских сред, в том числе и пищевых (рис. 8.12). Прибор ВВ2-5/ВИВАТ (VW2-5/VIWAT) является научной разработкой ИПМ РАН (Россия), инженерной разработкой ТОО «ВИВАТ» (Россия) и изготовлен на фирме «MADO» (Германия) в единственном экземпляре для научных исследований в ИПМех РАН вязких и вязкопластичных (бингамовских) сред.
Прибор ВВ2-5/ВИВАТ (VW2-5/VIWAT) предназначен для научных исследований свойств и поведения вязких и вязкопластичных сред при вибрационно-волновых, волновых и вибрацион-
Технические параметры прибора VW2-5/VIWAT
Объем (вес) исследуемой среды
max 5 л (кГ)
Виды управляемых механических
вибрационные, волновые,
воздействий на среду
вибрационно-волновые
Величина и интенсивность механических
полуавтоматическое от
воздействий (регулируются)
микрокомпьютера
Время механических воздействий на среду (регулируется)
1-15 мин
Источник механических колебаний: амплитуда (регулируется)
тахЗ мм
частота (регулируется)
5-30 Гц
Источник волновых воздействий: форма волны (регулируется)
задается компьютером
скорость волны и направление ее
0,5-5 Гц
движения (регулируются)
Давление в воздушной сети прибора (регулируется)
max 0,6 бар
Источник электропитания
220 в
Потребляемая эл. мощность:
с автономным источником воздуха
max 1,7 квт
без автономного источника воздуха
max 0,2 квт
Габариты
800 х 660 х 1400 мм
Вес
137 кГ
пых механических воздействиях различных видов и форм на эти среды.
Устройство прибора. Прибор состоит из рабочего органа 1 и стойки управления 2 (рис. 8.12).
Рабочий орган 1 содержит мягкую оболочку и источники волнового и вибрационного воздействия на исследуемую среду (среды), помещаемую (помещаемые) в эту оболочку. Оболочка имеет входное и выходное отверстия. Входное отверстие закрывается крышкой 3 с запором 4. Выходное отверстие закрывается запором 5.
Стойка управления 2 содержит электропереключатель 6, контрольный манометр 7, ножной переключатель S, люк 9 и систему управления прибором, включающую в себя средства управления источниками волнового и вибрационного воздействия на исследуемую среду, а также средства визуального и акустического контроля работы прибора.
Рис. 8.12
Регулирование параметров прибора осуществляется с помощью пульта управления 10 с клавиатурой 11 и дисплеем 12. На пульте установлена кнопка аварийного отключения прибора 13.
Работа с прибором. Прибор подключается к источникам питания (электросеть 220 В, воздушный компрессор) (рис. 8.13). Включается переключатель 6 (кнопка 13 отключена). На пульте управления 10 с помощью клавиатуры 11 выбирается желаемый режим воздействия на исследуемую среду, визуальный набор которого контролируется на дисплее 12 (рис. 8.14). Для этого с помощью клавиши MI-FU включается режим MISCHEN (см. дисплей). В этом режиме с помощью клавиши PAW последовательно выбираются визуально представленные на дисплее 12 параметры (выбранный параметр на дисплее мигает). Выбранный параметр изменяется в большую или меньшую сторону с помощью клавиш со стрелками.
Исследуемая среда помещается в мягкую оболочку через входное отверстие. Для этого снимается крышка 3 с запором 4 и
Рис. 8.13
на их место устанавливается загрузочная воронка 14 (рис. 8.15). После помещения среды в оболочку, воронка 14 снимается и крышка 3 с запором 4 устанавливаются на свои места.
Выбранный режим механического воздействия на среду (рис. 8.14,6) включается клавишей I (выключается клавишей О, рис. 8.14, а\ Визуальный контроль (за формой движение волны и ее скоростью) осуществляется с помощью светодиодов VI, V2, V3, V4 на пульте 10 (рис. 8.14, а). После истечения выбранного времени механического воздействия на среду прибор автоматически останавливается, и включается акустический сигнал.
Отбор проб среды для дальнейшего анализа проводится в режиме FULLEN. Для этого клавишей MI-FU включается режим FULLEN (см. дисплей). В этом режиме с помощью ножного переключателя 8 через открытый запор 5 среда вытесняется в пробные емкости.
Выбор желаемого механического воздействия на исследуемую среду производится подключением EIN или отключением AUS с помощью клавиш GEN и VIB на клавиатуре И соот-
б
Рис. 8.14
ветственно источников волнового и вибрационного воздействий (рис. 8.14, а).
Машина ММШ2ВВ-8/ВИВАТ (рис. 8.16) — вторая модель универсальных пищевых машин нового поколения. Машина имеет аналогичную с первой машиной схему принципиального исполнения.
Основные технические показатели ММШ2ВВ-8/ВИВАТ (применительно к мясной промышленности):
средняя производительность по колбасным изделиям — 32 кг/ч;
разовая загрузка — 8 кг;
выполняемые операции — массирование, перемешивание, перемешивание с массированием, шприцевание;
1468
давление в подводимой воздушной магистрали (собственного компрессора) — не более 0,6/(0,6) МПа;
электропитание от сети — 220 В;
максимальная потребляемая мощность (с собственным компрессором) — 0,5/(2,0) КВт;
максимальные габаритные размеры — 600 х 900 х 1500 мм;
управление — полуавтоматическое от микропроцессора;
масса комплекта (с собственным компрессором) — 130/(160) кг.
Иерархическое моделирование течений в каналах и полостях рабочих органов технологических машин
В настоящее время для решения проблем управления технологическими процессами широко используют математические модели этих процессов. Однако существует ряд объективных трудностей, существенно снижающих качество управления и не позволяющих достаточно эффективно использовать эти модели. Первой, на наш взгляд, является часто встречающееся необоснованное расширение границ применимости конкретных моделей. Вторая трудность заключается в отсутствии возможности объяснения причинно-следственной связи между параметрами процесса, которые входят в используемую математическую модель процесса.
Для устранения имеющихся трудностей в понимании и использовании существующих моделей процессов проанализируем их с точки зрения информативности и границ применимости, а также некоторые возможные пути их совершенствования на примере процесса перемешивания. Анализ проводится согласно нижеследующей предлагаемой трехуровневой иерархической системе классификации существующих моделей процессов [35].
Модели первого уровня. К математическим моделям первого уровня, описывающим технологический процесс, будем относить модели, которые содержат графические или аналитические зависимости между параметрами процесса, получаемые в результате экспериментальных исследований на конкретной установке или приборе.
Это наиболее широкий класс моделей, как правило, он представляет дискретный набор значений измеренных параметров (таблица или точки на графике), которые в дальнейшем подвергаются математической обработке для получения аналитической зависимости между этими параметрами. В результате такого подхода обрабатываемая среда не находит отражения в математической модели процесса, так как отсутствует аналитическая взаимосвязь между параметрами процесса с точки зрения законов физики, механики, химии, биохимии или др. Обрабатываемая среда присутствует в такой модели процесса не явно, а лишь косвенно.
Какова значимость этой модели в описании процесса? По нашему мнению, не следует обольщаться «мощностью» математического аппарата, применяемого для обработки измеренных в процессе экспериментальных исследований параметров. С помощью статистического или регрессионного анализа никакой новой информации о процессе, кроме той, которая уже имеется в экспериментально измеренных значениях параметров, получить нельзя. Это значит, что математический аппарат помогает только более удобно представить полученную информацию, но не отвечает за ее достоверность. За достоверность отвечает сам исследователь, который проводит измерения параметров вручную автоматически, непрерывно или дискретно. В этой ситуации применяемые методы и технические средства измерений могут оказать более существенное влияние на достоверность полученных результатов, чем математический аппарат, используемый для их дальнейшей обработки. Не вдаваясь в метрологические подробности и теорию измерений, отметим лишь самое главное, что характерно для моделей первого уровня:
— отсутствие причинно-следственной связи между параметрами процесса;
— узкая область применения — только исследуемый объект или его точные копии.
Отсутствие причинно-следственной связи между параметрами у моделей не позволяет ответить, например, на вопрос, почему так, а не иначе изменяются параметры. Кроме того, такая модель не учитывает влияние времени на изменение зависимости между параметрами. Известно, что в процессе эксплуатации оборудования параметры систем изменяются. Следовательно, изменяется и взаимная зависимость между параметрами, т. е. модель со временем перестает соответствовать процессу.
Таким образом, модели первого уровня являются, как правило, малоинформативными и узконаправленными. Их можно считать только первой ступенью в познании объекта исследования.
Модели первого уровня нашли широкое распространение в силу простоты и доступности их получения, а также некоторой их идеализации или приписывания им отсутствующих возможностей. Однако при правильном их использовании, т. е. в своей области применения и при надлежащем метрологическом контроле оборудования, эти модели могут достаточно эффективно применяться для управления несложными технологическими процессами.
Усовершенствовать данные модели можно за счет улучшения методов и технических средств измерений, выбора необходимого
и достаточного числа измерений, построения математической модели второго уровня. Последнее особенно важно, так как измерение параметров проводится в соответствии с принимаемой моделью процесса даже тогда, когда эта модель чисто умозрительная, и пока нет ее достаточно полного и достоверного аналитического описания.
Модели второго уровня. К математическим моделям второго уровня, описывающим технологический процесс, будем относить модели, которые представляются в виде уже хорошо известных и изученных процессов и их моделей, но с введенными в них соответствующими экспериментальными или аналитическими поправочными коэффициентами.
Это более узкий, чем предыдущий, класс моделей. Получаются они путем замены неизвестного исследуемого процесса другим, более простым и хорошо известным. При таком подходе тоже необходимо проводить измерения как реологических констант обрабатываемых сред, так и других параметров процесса.
Принципиальным отличием проводимых на этом уровне измерений является то, что они осуществляются в точном соответствии с принятой математической моделью. Результаты измерений обрабатывают по принятой приближенной модели, получая при этом математическую модель исходного процесса.
Какова значимость этой модели в познании, а следовательно, и в описании процесса? Более высокая информативность модели позволяет ответить на ряд вопросов. Например, уже можно определить поля скоростей и напряжений, расходы, требуемые мощности.
Таким образом, появляется возможность оценить влияние оборудования на конкретный процесс и достаточно глубоко его проанализировать, чего в принципе не обеспечивает модель первого уровня. Область применения модели второго уровня такая же, как и первого, с разницей только в объеме (области) проводимых измерений.
Модели второго уровня имеют меньшее распространение из- за высокой трудоемкости их получения. Однако по тем возможностям, которыми обладают эти модели, они заслуживают, по нашему мнению, большего внимания.
Возможные пути улучшения модели второго уровня: совершенствование методов и технических средств измерений; выбор оптимального числа измерений; уточнение самой модели путем вычисления поправочных коэффициентов, входящих в фундаментальные законы, связывающие параметры процесса; построение математической модели третьего уровня.
Модели третьего уровня. К математическим моделям третьего уровня, описывающим технологический процесс, будем относить модели, в которых параметры процесса связаны известными законами механики, физики и др. Это еще более узкий класс моделей. Получаются они путем глубоких теоретико-экспериментальных исследований и отражают уровень современных представлений о конкретном процессе и входящей в него обрабатываемой среде.
Какова значимость этой модели в познании, а следовательно, и в описании процесса? Информативность модели намного выше предыдущих, так как модель позволяет уже ответить на вопрос: почему так? Например, уже можно определить поля скоростей и напряжений, расходы, требуемые мощности для истинной обрабатываемой среды, а не ее имитации.
Таким образом, появляется возможность анализировать истинное и наиболее полное влияние оборудования на обрабатываемую среду в рассматриваемом технологическом процессе. Это позволяет сделать подробный анализ процесса, что в принципе нельзя сделать с помощью модели второго уровня.
Математическая модель третьего уровня является своеобразным «эталоном технологического процесса», и по ней можно как контролировать сам технологический процесс, так и оценивать математические модели более низких уровней. Область применения модели этого уровня — любые подобные установки, отличающиеся только габаритами.
Возможные пути улучшения математической модели третьего уровня: совершенствование методов и технических средств измерений; выбор места и числа измерений; развитие математического аппарата; уточнение модели обрабатываемой среды и технологического оборудования; получение новых экспериментальных данных о среде и оборудовании.
Проиллюстрируем предложенную трехуровневую иерархическую систему классификации существующих моделей процессов на примере построения моделей всех трех уровней применительно к конкретному технологическому процессу перемешивания реальной бингамовской среды на установке, схема которой подобна схеме ротационного вискозиметра РВ-8. В качестве реальной бингамовской среды берется фарш свиных сосисок, математическая модель которого приведена в монографии А.В. Горбатова [40]. Эта модель представляет фарш как бингамовскую среду (далее просто — как среда) со следующими значениями реологических констант: у = 10 Па-с — динамическая вязкость; то = 450 Па — предельное напряжение сдвига. В силу принци-
пиальной и конструктивной схожести установки с вискозиметром РВ-8 физическое моделирование процесса перемешивания проводится на вискозиметре со следующими параметрами: Rx = = 0,016 м — радиус ротора; R2 = 0,019 м — внутренний радиус стакана; h = 0,1 м — глубина погружения рабочей части ротора
в исследуемую среду.
Последовательно «построим» соответствующие процессу перемешивания в конкретной технологической установке математические модели всех трех уровней, опираясь на результаты экспериментальных исследований или, в нашем случае, на физическое моделирование процесса в вискозиметре РВ-8.
Пример модели первого уровня. Модель первого уровня для описания процесса перемешивания бингамовской среды, находящейся в кольцевом зазоре между ротором и внутренними стенками стакана, строится по результатам ряда измерений угловой
Рис. 8.17Рис. 8.17скорости ротора ио (с-1) от величины приложенного к нему вращающего момента М (Нм).
Рис. 8.17
Рис. 8.17
На рис. 8.17 приведены результаты таких измерений — пять экспериментальных точек (1,2,3, 4, 5\ Математическая обработка результатов измерений дает следующие показания (линия Д):
М = 1,11 • 10“2w + 0,08; (8.4.1) здесь частота ш = 2,5-43,8 с-1.
В зависимости (1) отсутству-
ет среда, с характеризующими ее
реологическими константами. Можно констатировать только наличие зависимости M(uj), но объяснить, почему она именно такая, не удается из-за отсутствия параметров среды. Не удается определить и параметры, определяющие эффективность перемешивания среды, например, поля скоростей и напряжений, расходы среды и др. Конечно, можно взять пробы среды и определить
экспериментально качество ее перемешивания, но получить от
вет на вопрос: почему качество перемешивания с изменением скорости вращения ротора изменяется и как именно, применяя выражение (1), не удается.
Таким образом, полученная модель процесса перемешивания среды M(w) (1) малоинформативна и узконаправлена и может быть использована только в области проведенных измерений для данной модельной установки или в установках, которые являют-
ся ее точными копиями. Перенести или использовать полученную модель для установок, имеющих принципиальную и конструктивную схожесть с данной, но имеющих иные, например, большие размеры, нельзя.
Пример модели второго уровня. Модель второго уровня для описания процесса перемешивания бингамовской среды строится, например, с помощью некой модельной вязкой жидкости с коэффициентом Уф «фиктивной» ИЛИ /1эф «эффективной» вязкости. Вязкая жидкость выбирается как наиболее хорошо изученная по сравнению с бингамовской средой и близко подходящая по свойствам к исследуемой среде.
Для вязкой жидкости математическая модель процесса в модельной установке известна [78]:
(8.4.2)(8.4.2)М = куш;
(8.4.2)
(8.4.2)
здесь к = 4т?КН^а2/(а2 — 1) — константа установки, г а = R^/R\.
Модельная вязкая жидкость, которая оказывала бы на параметры процесса подобное бингамовской среде влияние, подбирается в соответствии с выражением (2):
М — куэфШ.
В этом случае выражение для определения вязкости модельной жидкости будет иметь вид
(8.4.3)(8.4.3)Мэф — к \ ш
(8.4.3)
(8.4.3)
где кх = М/к.
По формуле (3), используя результаты предыдущих измерений (пять экспериментальных точек на рис. 8.17), определяются
значения для уэф в пяти точках измерения и после необходимой математической обработки строится графическая зависимость ^эф(<^) (рис. 8.18).
В рамках принятой модели вязкой жидкости можно говорить о том, что заданная бингамовская среда моделируется в каждой из пяти точек измерения различными, вязкими жидкостями (с различными, но постоянными для данной жидкости коэффициентами динамической вязкости).
Таким образом, понадобилось «взять» пять различных вязких жидкостей, чтобы смоделировать поведение одной бингамовской среды в пяти точках измерений. Если измерений больше, то
и трудоемкость получения результата существенно возрастает. Однако информативность модели второго уровня намного выше,
чем первого.
В модель процесса входит уже характеристика среды. Правда
это еще не сама бингамовская среда, а лишь ее модель —
имитация вязкой жидкостью, но уже имеется возможность в рамках принятой модели объяснить некоторые моменты. Например, приведенное на рис. 8.17 изменение угловой скорости си вращения ротора от действующего вращающего момента М связано с изменением эффективной вязкости среды /хэф (см. рис. 8.18).
Эффективная вязкость /хэф при увеличении угловой скорости си асимптотически стремится к своему пределу динамической вязкости pt данной бингамовской среды. Кроме того, можно уже определить поля скоростей и напряжений в рабочем кольцевом
пространстве R2 — Rx модельной установки, расходы и требуемые мощности. Например, на рис. 8.19 приведена эпюра изменения скоростей и (г) для вязкой среды /хэф в рабочем пространстве R2 — Rx (линия /). Мощность, необходимую для вращения ротора, можно определить из соотношения N = = Ми.
Таким образом, появляются
новые параметры, определяющиерис g ^д
процесс, которые позволяют по-' '
строить более эффективную стратегию управления процессом. Как видим, модель второго уровня позволяет уже ответить на многие вопросы: почему так? Все это выявляет уже принципи
ально новые возможности проведения анализа процесса и управления им. Модель первого уровня такими возможностями не обладает.
Однако область использования модели второго уровня такая же, как и у модели первого уровня, т. е. только область проводимых измерений для данной модельной установки или установок, которые являются ее точными копиями. Перенести
или использовать полученную модель для установок, имеющих принципиальную и конструктивную схожесть с данной, но имеющих иные габариты, так же, как и для модели первого уровня, нельзя. Выход за эти рамки требует серьезного обоснования, которое, как правило, отсутствует, что и приводит к серьезным ошибкам.
Пример модели третьего уровня. Модель третьего уровня для описания процесса перемешивания бингамовской среды в установке строится на базе известной или заранее принятой модели среды. В нашем случае это фарш для свиных сосисок (бингамовская среда) с известными реологическими константами у = 10 Па • с и то = 450 Па.
В этом случае движение (течение) среды в модельной установке принципиально отличается от того течения, которое давала модель второго уровня (модель первого уровня течение среды вообще не описывает).
Рис. 8.20Рис. 8.20Следовательно, математическая модель третьего уровня, соответствующая исследуемому процессу, будет серьезно отличаться от модели второго уровня. Наличие предельного напряжения сдвига то обусловливает присутствие в рабочем пространстве установки двух областей течения: при т > tq области сдвигового течения, при т = tq области ядра, т. е. области, где течение отсутствует. Модель же второго уровня дает только одну область течения — область сдвигового течения, так как ядра нет. На рис. 8.19, 8.20 приведены графики зависимости окружной скорости для точек бингамовской среды в рабочем пространстве R2 — — Ri установки. Эти графики построены в соответствии с формулой (4.2.25) и уравнением (4.2.26) для случаев (линия 2) и (линия 3).
Рис. 8.20
Рис. 8.20
Линия 2 построена для угловой скорости.
Имеющиеся уравнения течения бингамовской среды дают следующую зависимость M(uj) [78]:
м =+ то In b),(8.4.4)
Ь2-Ы2 = 1+2^;(8.4.5)
ТО
здесь Дд — радиус границы ядра (см. рис. 8.20); b = Rq/Ri.
Как следует из выражения (5), радиус границы ядра R^ изменяется в пределах Д1 < Rq < R2 в зависимости от скорости вращения ротора 0 < ио < cjkp- При и = 0 ядро заполняет все пространство между ротором и стаканом. При си икр ядро отсутствует, т. е. все пространство между ротором и стаканом занимает область сдвигового течения, и перемешивание в этом случае наилучшее. Опираясь на эти результаты, можно выбирать скорость си, обеспечивающую лучшее перемешивание.
Одновременно можно решать задачу оптимизации процесса перемешивания, например, по минимуму потребляемой мощности. Это означает, что можно найти минимальную мощность, необходимую для вращения ротора с такой угловой скоростью, при которой перемешивание фарша будет во всем рабочем пространстве установки, т. е. ядро течения отсутствует, и все пространство будет занято областью только сдвигового течения.
Такой режим перемешивания устанавливается при угловой скорости со = wKp. При перемешивании с минимально потребляемой мощностью процесс будет наилучшим во всем рабочем пространстве установки и с точки зрения минимальных температурных воздействий на среду, что обеспечивает лучшую сохранность всех полезных свойств обрабатываемого сырья.
Наличие модели третьего уровня позволяет решить самые актуальные задачи управления, в том числе и интенсификации перемешивания, чего в принципе не могут дать модели первого и второго уровней.
Для сравнения моделей построим зависимость М(^) по выражениям (4), (5) на рис. 8.17 (линия Б). Этот график на участке О < со < 10 с-1 отличается от прямолинейного, соответствующего модели первого уровня. Наличие криволинейного участка на графике модели третьего уровня объясняется присутствием в рабочем пространстве между ротором и стенкой стакана вискозиметра неподвижного ядра, т. е. имеются две области течения среды.
При со > 10 с-1 график модели третьего уровня прямолинейный. Это означает, что ядро отсутствует, и в рабочем пространстве имеется только сдвиговое течение. Угловая скорость со = = 10 с-1 = cjKp является критической скоростью. И хотя в этом примере показаны далеко не все возможности модели третьего уровня, но и это достаточно убедительно показывает, что информативность модели третьего уровня несравненно выше, чем модели второго уровня.
Область применения модели третьего уровня (4), (5) — различные по габаритам установки с подобным принципом действия, т. е. нет ограничения по размеру. Это достигается путем приведения модели (4), (5) к следующей критериальной форме:
М* = fc2(2S-1 +1пс), (8.4.6) c-lnc= 1+ 2S"1; (8.4.7)
здесь k^ = с/(с— 1) — коэффициент формы, с = R^/R^; М* = = M/Mq — безразмерный вращающий момент; Mq = 2тг R^Kto —
минимальный вращающий момент, при действии которого начинается вращение ротора (до начала движения ротора ядро занимает все рабочее пространство установки); S = тд/реи — число Сен-Венана.
Для того чтобы процессы перемешивания среды в различных по габаритам установках протекали одинаково, должно выполняться равенство чисел Сен-Венана S для этих установок.
Таким образом, модель третьего уровня достаточно универсальна, и область ее применения определяется областью, где выполняется равенство параметров Сен-Венана для установок различных габаритов. Поэтому данная модель, полученная с помощью физического моделирования процесса перемешивания среды на ротационном вискозиметре РВ-8, может быть использована для управления реальной установкой при соблюдении перечисленных условий. С помощью этой модели можно решать все перечисленные задачи оптимизации управления процессом.
Необходимо отметить, что не всегда удается найти аналитическое решение задачи и построить модель третьего уровня. Это связано с тем, что при исследовании течения бингамовских сред приходится решать нелинейные уравнения. Это не всегда удается, и поэтому в настоящее время получили развитие различные приближенные методы.
Авторами был предложен метод определения эквивалентной вязкости /хэкв модельной вязкой жидкости с использованием модели бингамовской среды [17]. Этот метод дает процедуру определения /хэкв (см. §6.1). Коэффициент эквивалентной вязкости учитывает все параметры течения, включая и геометрию, что позволяет определять многие параметры процесса, например, поля скоростей и давлений, расходы, потребляемые мощности, границы ядра. Это дает возможность строить модель третьего уровня даже в тех случаях, когда нет аналитического решения поставленной задачи.
Способы измерения реологических константбингамовских сред
Наиболее распространенными приборами для экспериментального определения реологических констант бингамовских сред являются ротационные и капиллярные вискозиметры. Теория ротационного вискозиметра основывается на хорошо изученной теоретической зависимости момента сопротивления сре-
ды, находящейся в кольцевом зазоре между двумя соосными цилиндрами, от угловой скорости внутреннего цилиндра при неподвижном внешнем цилиндре (4.2.27), (4.2.28) [3,40,100].
Теория капиллярного вискозиметра основана на точной теоретической формуле, связывающей расход бингамовской среды через любое сечение круглой прямой трубы с перепадом давления на данном участке трубы (формула Букингама (4.3.38)) [40,84, 100].
В экспериментальных исследованиях бингамовских сред ка
пиллярные вискозиметры используются только для определения, так называемой эффективной или эквивалентной вязкости и не используются для определения реологических констант этих сред. Это связано, по-видимому, с громоздкими расчетами в частности с необходимостью решать алгебраическое уравнение четвертой степени. Поэтому практически единственными приборами для определения реологических констант бингамовских сред до сих пор являются ротационные вискозиметры. Для опре
деления предельного напряжения сдвига используются конические пластометры [40, 100]. Это позволяет провести частичную проверку результатов измерений, проведенных на ротационном вискозиметре.
В настоящее время известны различные способы определения реологических констант бингамовских сред, например приведенные в работах [3,40,100]. В этом параграфе рассматриваются два усовершенствованных способа измерения реологических констант бингамовских сред, которые позволяют расширить возможности ротационной и капиллярной вискозиметрии.
Определение реологических констант бингамовских сред на капиллярных вискозиметрах. Излагаемый способ определения реологических констант бингамовских сред пригоден для применения на любых типах капиллярных вискозиметров.
Коэффициент динамической (пластической) вязкости pi и предельное напряжение сдвига то определяются из формулы Букингама (4.3.38). Для их определения необходимо иметь ми-
нимально два реологические уравненийнимально два реологические уравненийэксперимента (два измерения). В этом случае константы // и то определяются из системы двух
нимально два реологические уравнений
нимально два реологические уравнений
TT0d3 /41 4\
_ 7TT0d3 /41 4\
(8.5.2)(8.5.2)^\ _ 4r0Zd d^-px^x"
(8.5.2)
(8.5.2)
№)2 =4т01.
d d(p2-Pl)2’
здесь d — диаметр капилляра (трубы); I — длина капилляра; (do)i и (^0)2 — диаметры «ядра» течения соответственно в первом и во втором экспериментах; (рх — ^2)1 и (рх ”^2)2 — перепады давления на концах капилляра соответственно в первом и во втором экспериментах; Qi и Q2 — расходы среды соответственно в первом и во втором экспериментах.
Система уравнений (1) может быть решена либо относительно ni, либо относительно П2. Например, при делении друг на друга соответственно левых и правых частей уравнений системы (1) получается неполное алгебраическое уравнение четвертой степени для пх
nf + спх + q = 0;(8.5.3)
здесь
4(Л-1)З(А-В)Qxп2 _(Рх-Р2)х
АВ2 - \5(Л53-1)Qini (pi-ргЬ
(8.5.4) Уравнение (3) решается графически или аналитически методом Феррари [53] по следующим формулам:
з Л \ 1/3 +7з Л \ 1/3 +7
з Л \ 1/3 +7
з Л \ 1/3 +7
9 Р .9V
^1 + 9 = ±\ Цу - cn+ — — q;
2 V4(8.5.5)
здесь подкоренное выражение второго уравнения (5) является полным квадратом. Находится действительный корень уравнения (5), удовлетворяющий условию
(8.5.6)(8.5.6)0 < ni < 1.
(8.5.6)
(8.5.6)
Для этого правая часть второго уравнения системы (5) преобразуется к виду
9У2nf - СП1 + —9У2nf - СП1 + —
9У2
nf - СП1 + —
9У2
nf - СП1 + —
и подставляется во второе уравнение системы (5). Полученное квадратное уравнение относительно ni
9д ,чтп17у +|±9д ,чтп17у +|±(8.5.8)(8.5.8)
9д ,
чтп17у +|±
9д ,
чтп17у +|±
(8.5.8)
(8.5.8)
имеет следующий действительный корень, удовлетворяющий условию (6):
П1= 2П1= 2-1 + 2-1 + 2(8.5.9)(8.5.9)
П1= 2
П1= 2
-1 + 2
-1 + 2
(8.5.9)
(8.5.9)
Предельное напряжение сдвига т^ определяется из выражения (2) путем подстановки в него найденного значения пц Коэффициент динамической вязкости pi определяется из первого уравнения системы (1) подстановкой в него того же самого значения п\.
Поступая таким образом, можно по сравнительно небольшому количеству экспериментов получить достаточное для математической обработки количество значений тд и pi. Количество значений реологических констант тд и pi определяется числом сочетаний из количества проделанных экспериментов N
по два:по два:Z = C?j = (N- l)-N/2;Z = C?j = (N- l)-N/2;(8.5.10)(8.5.10)
по два:
по два:
Z = C?j = (N- l)-N/2;
Z = C?j = (N- l)-N/2;
(8.5.10)
(8.5.10)
Рис. 8.21Рис. 8.21
Рис. 8.21
Рис. 8.21
здесь Z — количество значений тд или pi.
Например, проделав четыре эксперимента, можем опреде
лить шесть значений реологических констант тд и pi. Для пяти экспериментов получаем уже десять значений Тд и pi.
Определение реологических констант вязкопластичных сред на ротационных вискозиметрах. Приводится способ определения реологических констант (тд, /z) вязкопластичных сред применительно к конкретному типу ротационных вискозиметров (см. гл. 2) — ротационному вискозиметру РВ-8 [3] (рис. 8.21).
Корпус вискозиметра содержит основной измерительный элемент, выполненный в виде съемного осесимметричного стакана 1 с располо-
женным соосно внутри него осесимметричным ротором 2. Стакан
неподвижен и имеет полость с вертикальной осью симметрии, верхняя часть которой, имеющая цилиндрическую форму, сопряжена с нижней частью, имеющей форму полусферы. Между стаканом и ротором имеется некоторый определенный зазор, внутрь которого помещается исследуемая среда 3. Ротор имеет возможность вращения вокруг оси симметрии. Ротор так же, как и стакан, состоит из верхней цилиндрической части, сопряженной с нижней полусферической частью. Радиус цилиндрической части полости стакана R2, радиус цилиндрической части ротора Rx, высота погружаемой в исследуемую среду рабочей цилиндрической части ротора h. На вертикальной оси вращения ротора жестко закреплен блок 4 радиуса R3, на который намотаны две нити, перекинутые через блоки с горизонтальными осями вращения. На концах нитей подвешены грузы весом Р каждый. Зазор между ротором и стаканом R2 — Rx выбирается настолько малым, чтобы течение среды в нем распространялась на весь зазор при значениях угловых скоростей вращения ротора из области значений рабочих параметров. Высота рабочей цилиндрической части ротора h значительно больше его радиуса Rx. В этом случае для расчета реологических констант бингамовской среды можно пользоваться выражением (4.2.28). Для этого строится график зависимости М(^), который является прямой линией для бингамовских сред, составляющей с осью си острый угол а и отсекающей на оси М отрезок (3. Величины а и Д как следует из (4.2.28), находятся из соотношений
tga = 4тгА,tga = 4тгА,р2 р2р2 р2р2 р2 ^’Л2 — rqр2 р2 ^’Л2 — rq>2>2р2 р2Р = 47тН 7R\R2 - ^1р2 р2Р = 47тН 7R\R2 - ^11^21^2(8.5.11)(8.5.11)
tga = 4тгА,
tga = 4тгА,
р2 р2
р2 р2
р2 р2 ^’
Л2 — rq
р2 р2 ^’
Л2 — rq
>2
>2
р2 р2
Р = 47тН 7R\
R2 - ^1
р2 р2
Р = 47тН 7R\
R2 - ^1
1^2
1^2
(8.5.11)
(8.5.11)
здесь h — глубина погружения ротора в исследуемую среду, которая принимается равной высоте цилиндрической части ротора.
Из первой формулы (11) находится коэффициент динамической (пластической) вязкости pi, а из второй формулы (11) — предельное напряжение сдвига tq.
Рекомендуется следующий порядок расчета реологических констант т^ и pi.
Определяется рабочий участок L равномерного движения грузов Р или определяется целое число оборотов ротора пт, соответствующее этому участку. (Для упрощения расчетов реологических констант дальнейшие измерения проводятся только на этом рабочем участке.)
С этой целью можно, например, измерять расстояния и время, за которое проходятся грузами Р эти расстояния, и строить график зависимости пройденного грузами расстояния от времени. Таким образом, определяются участок разгона и участок равномерного движения грузов. Рабочий участок, т. е. численные значения L или пТ, выбирается на участке равномерного движения грузов.
Рекомендуется определение рабочего участка проводить с использованием ньютоновской среды с малым коэффициентом вязкости pi. Это могут быть вода, глицерин, веретенное масло и другие среды.
Находится абсолютная погрешность прибора.
С этой целью строится зависимость моментов сопротивления вращению ротора с учетом сопротивления исследуемой среды Mi (и), находящейся в полусферической части измерительного элемента прибора. Для этого в зазор между стаканом и ротором помещается такое количество исследуемой среды, чтобы в нее была погружена только полусферическая часть ротора. Затем при различных весах грузов проводится серия измерений угловой скорости си вращения ротора и момента Mi сопротивления среды,
uj = L/R3, Mi = 2РД3,(8.5.12)
и по точкам строится график зависимости Mi (и;).
Находится полный момент сопротивления вращению ротора М2(^), погруженного в исследуемую среду.
Для этого в зазор между стаканом и ротором помещается такое количество среды, чтобы она занимала всю рабочую часть ротора. Проводится серия измерений и строится график зависимости М2(^) подобно тому, как это делалось в п. б).
Находится момент сил сопротивления вращению только рабочей части ротора M(uj).
С этой целью строится результирующий график зависимости
МИ = М2И - М1М.(8.5.13)
Следует особо подчеркнуть, что основной особенностью самого графика для бингамовских сред является прямолинейный характер зависимости момента сил сопротивления, действующих на цилиндрическую часть вращающегося ротора, от угловой скорости вращения ротора. Эта особенность может служить одним из идентификационных признаков для распознавания таких сред.
Значения реологических констант tq и pi определяются по формулам (11).
Эксперименты на вискозиметре и построение графиков зависимости M(w) необходимо проводить как при увеличении, так и при уменьшении массы грузов, т. е. как при возрастании, так и при убывании угловой скорости вращения ротора. Это делается для того, чтобы установить принадлежность (и величину отклонения) исследуемой среды к бингамовской и обоснованно воспользоваться (или отказаться) вышеприведенной процедурой определения реологических констант. Принадлежность (и величина отклонения) исследуемой среды к бингамовской установ- ливается по величине отклонения графика зависимости M(w) от прямой.
Для сред, обладающих достаточно стабильными свойствами бингамовской среды, реологические константы можно находить подобно тому, как это приводится делается для капиллярных вискозиметров (см. выше), т. е. по сочетанию пар нескольких экспериментов. Для этого достаточно провести четыре эксперимента (N = 4, Z = 6). Величины предельного напряжения сдвига то и динамической вязкости pi для каждой пары экспериментов определяются с помощью (4.2.28) и (12) по следующим формулам. +.
Р = к^Р. - Р2 + Р^ - РП (P^-v (8.5.14)
. (8.5.15)
здесь Рх, ?2 — веса каждого из грузов в каждой паре экспериментов; Р^ Р^ — веса каждого из грузов, компенсирующих ранее приведенные погрешности прибора в каждой паре экспериментов (эти веса могут быть найдены из графика п. б)), построенного согласно выражению (12)); /щ t^ — время прохождения грузами расстояния L в каждой паре экспериментов; к\, к^ — постоянные прибора
(8.5.16)(8.5.16)к = (Я2 - Л2)^ = (Я[-ЯДйз1 PPR'^RIh ^hR^R^N ’
(8.5.16)
(8.5.16)
к _ <R^ - R^R,2 ^TthR^XWMRxY
Формулы (14)-(16) могут использоваться и для определения осредненных реологических констант тех сред, свойства которых мало отличаются от свойств бингамовских сред. Константы определяются по результатам экспериментов. Количество экспериментов выбирается из условий обеспечения требуемой точности определения констант. Например, для пяти экспериментов (N =
= 5) получается десять значений (Z = 10) констант тд и pi. Это позволяет найти средние арифметические значения тд и pi, достаточно близкие к действительным:
1 N! N
г=1г=1
Далее приводятся примеры исследования некоторых сред с помощью изложенной методики. Ротационный вискозиметр РВ-8 имел следующие размеры ротора и стакана: Rx = 16 мм, R% = = 18,9 мм, h = 100 мм. Величины L, пг выбирались согласно п. а).
Проведенные эксперименты позволили с достаточной точностью найти участки разгона I = 300 мм, равномерного движения L = 1380 мм, что соответствовало пТ = 10 оборотам.
В качестве исследуемых сред были выбраны следующие: глицерин; смесь мелкоразмолотого мела с глицерином (в весовом соотношении 3:2); смесь мелкоразмолотой глины с глицерином (в весовом соотношении 4:5); смазка «ФАЭТОЛ».
Эксперименты проводились при нормальных условиях. Графики зависимости моментов сил сопротивления, приложенных к вращающемуся ротору вискозиметра, от его угловой скорости для исследуемых сред приведены на следующих рисунках: рис. 8.22 — глицерин, рис. 8.23 — смесь глины с глицерином, рис. 8.24 — смесь мела с глицерином, рис. 8.25 — смазка «ФАЭТОЛ». На этих рисунках цифрой 1 обозначена зависимость Mi (и), цифрой 2 — зависимость M^fw), цифрой 3 — зависимость М(^). Отдельными точками на графиках показаны результаты экспериментов.
По этим графикам были вычислены реологические константы исследуемых сред с использованием формул (11) и с последую-
Рис. 8.25Рис. 8.25
Рис. 8.25
Рис. 8.25
щей проверкой по формулам (14) и (15). Результаты расчетов представлены в табл. 8.3.
Таблица 8.3
Глицерин
Мел с глицерином
Глина с глицерином
Смазка «Фа это л»
То, Па
0
2,9
6,44
11,5
р, Па-с
1,47
4,39
2,55
22
Глицерин как ньютоновская жидкость с известными свойствами, был выбран для поверки вискозиметра и апробации вышеприведенного способа определения реологических констант вязкопластичных сред. Как следует из проведенных экспериментов (см. табл. 8.3), полученные значения предельного напряжения сдвига и коэффициента динамической вязкости глицерина совпадают с их известными значениями [51] с высокой степенью точности.
Проблема перемешивания различных сред
Постановка задач о перемешивании сред. Процесс перемешивания рассматривается здесь как чисто механический процесс взаимного проникновения (например, частиц сплошной среды с одними физическими свойствами между частицами сплошной среды с другими физическими свойствами) с целью получения возможно более однородной сплошной среды с новыми свойствами, отличающимися от свойств смешиваемых сред.
Под частицей сплошной среды подразумевается ее обычное определение как макроскопической частицы, содержащей достаточно большое количество молекул вещества. Количество молекул в частице должно быть таково, чтобы ее движение зависело
от движения всех молекул, а не от движения отдельно взятой молекулы.
Рассматривается задача перемешивания бингамовских сред или любых других сред с бингамовской средой. Принято, что одна из сред, занимающая почти весь рассматриваемый объем, называется основной или несущей средой. Остальные среды, имеющие объемы в совокупности значительно меньшие, чем объем несущей среды, называются добавочными средами или добавками.
Степень перемешивания или качество перемешивания сред в настоящее время определяется по-разному, например путем взятия проб перемешиваемых сред с последующей оценкой различными способами степени их перемешивания [80, 100].
Здесь качество перемешивания определяется положением в основной среде некоторого ограниченного числа частиц добавок. Считается, что основная среда обладает большой вязкостью и частицы добавок условно «вмороженны» в нее. В этом случае задача определения положения частиц добавок сводится к задаче определения положения частиц основной среды, совпадающих с положением соответствующих частиц добавок. Приведем алгоритм решения этой задачи.
В рассматриваемом объеме основной среды (рабочий объем) выделяется малый объем, занимаемый в начальный момент времени одной из добавок. На границе и внутри выделенного объема выбирается ряд характерных точек. Точки нумеруются 1,2,...,п.
Определяется рабочий объем V, который делится на количество характерных точек п. Каждая характерная точка окружается сферой радиуса
Составляются и интегрируются дифференциальные уравнения траекторий характерных частиц. Текущие координаты частиц выражаются через определяющие параметры. Для каждой пары выделенных частиц находится расстояние между ними
Pij = V бз - жй2 + (% - УЙ2 + бз - гй2 ’ М = 1,2,,,п.
(8.6.2)
Количество ку таких, пар равно
к0 = С^ = (п- 1)п/2.(8.6.3)
9 А.В. Гноевой, Д.М. Климов, В.М.. Чесноков
После каждого характерного интервала времени tp (h = = 1,2,...) (одного из определяющих параметров перемешивания) определяется число пар частиц к в рабочем объеме V, для которых выполняется следующее условие:
Pij^Sr, i^j, i,j = l,2,...,n.(8.6.4)
Степень перемешивания х определяется величиной
х = к/к0.(8.6.5)
Для заданных значений х = X* и 6 находится длительность перемешивания tp путем сравнения с условием
|Х"Х*|<5(8.6.6)
после каждого характерного интервала времени tp. Если условие (6) выполняется, например, при h = hi, то время перемешивания равняется
tP = h\-th.(8.6.7)
Для реализации предлагаемого подхода к оценке степени перемешивания определяется минимальное число п характерных точек. Число точек определяется по заданной величине х* сле" дующим образом:
n=H\ + J\ + -^Y(8.6.8)
2 \ у 1 у /
При вычислении (8) берется ближайшее большее целое значение числа п.
Следует отметить, что существует очевидная связь между выбираемым количеством характерных частиц в добавочной среде, задаваемой степенью перемешивания, и длительностью вычислительной процедуры по приведенному алгоритму (пп. 1-5).
Кроме того, необходимо помнить, что предложенный способ оценки степени перемешивания реализуется только в тех случаях, когда задача определения координат частиц среды в рабочем объеме может быть решена аналитически или численно.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Уравнения течения
Пространственное течение. Система I:
dvx
_ 1
/ ЭтЭтЭт \
/ U 1 XX | u ‘ xy | u 1 xz \
dt
P
\ dxdydz /
dvy
_ 1
/ ЭтЭтЭт \
dt
P
/1 yx |1 yy |' yz \
к Эхdydz /
(3.2.6)
dvz
_ 1
(9tzx Эт2у 9tzz\
dt
P
\ Эхdydz /
9vx dx
, <H , M = 0
dy dz'
(3.2.7)
Г = t0 + 2pH,
(1.2)
2тжу 2тЖ2 2туг dvx/dy + dvy/dx dvx/dz + dvz/dx dvy/dz + dvz/dy ^xx — ^yy ^xx —
dvx/dx - dvy/ду dvx/dx - dvz/dz'
Плоское течение. Система II:
M = (9тхх + Этхг\ M = J_ (9tzx + dxzz\dt p \ dx dz / dt p \ dx dz /
dvx M = 0 dx dz’
T = t0 + 2pH,
(3.2.9)
(3.2.10)
9 /М _ M\
к Эх dz J
\(dvx dvz\
(3.2.11)
Tyy
= ^O = 2 C"xx "6 tzz, )
(3.2.12)
T =
УCxx - Tzzy + 4t2z ,
(3.2.13)
H = Jt [(e^)2 + ^^ + (ezz - e^)2] + 4z .
Граничные условия
e Га:
vm = vr,
(3.3.1)
УМеГ6 = (ЦиП): v^
_ VSr _ s
— VM> TM-TM,
(3.3.2)
УИШВ = (ГОТ: v^
_ vsP _ s
—TM — TM’
(3.3.3)
VMeDs, t = 0:
VM = vM^,y,xY
(3.3.4)
Для тонкого слоя
vx ~ 0, v
-г st dz/dt.
(3.3.11)
^ - ^х) COS а + (т®2 - (^ - Tj COS а + (т|2 -
Tx^cos^ = 0, t^)cos7 = 0,
(3.3.12)
ts — т^ = 0
1 xz 1 xz
ts —= 0
1 ZZ1 ZZ
(3.3.14)
Уравнения течения в различных системахкоординатах
Уравнения течения в декартовых координатах.
dt
, 9xx dx
, 9xx a dy
, 9xx dz
= Fx
1
p
/ u 1 XX
\ dx
dx u ‘xy ,
dy
9txz \ dz / ’
dxy
dx..
dx..
1 ,
( dTqiT
dx vV У-?/'?/
9xyz \
= Fy
+ -
+
+
dt
dx
У dy
dz
У
p
( dx
dy
dz / ’
dvz
dvz
, 9xz
9xz
1 >
9tzx
dTzy ,
9tzz \
dt
dx
+ ey
y dy
dz
= Fz
p '
dy
dz / ’
dp dt
, S(№) dx
d(yvy) dy
a(pn2) dz
= 0,
(3.5.1)
Т = т0 + 2/1Я,(3.5.2)
ТЖх Туу Хуу xzz 2тж^
dvx/dx — dvy/дуdvy / dy — dvz/dz dvx/dy + dvy/dx
2т^г 2тгж
dvy/dz + dvz/dy dvz/dx + dvx/dz'
Здесь
^xy = Яж’ ^^ = T^’ Яж = ^жг,
1ч
Р — — з (^жж 4" Туу + Tzzy
_ 9гх_Эху_ 9xz
^ХХ— “V)Еуу—“V )Ezz — “V)
ОХdpdz
1(9vxdvy\1(dvy9г z\Ежу 2\ Эр"^Эх /£,уг2\ dz "^Эр/1(9vxdvy\1(dvy9г z\Ежу 2\ Эр"^Эх /£,уг2\ dz "^Эр/
1(9vxdvy\1(dvy9г z\
Ежу 2\ Эр"^Эх /£,уг2\ dz "^Эр/
1(9vxdvy\1(dvy9г z\
Ежу 2\ Эр"^Эх /£,уг2\ dz "^Эр/
Для несжимаемой бингамовской среды (р = const) уравнение неразрывности имеет вид
div v = О,
т. е.т. е.^жж 4" Еуу 4" eZ2 — 0.^жж 4" Еуу 4" eZ2 — 0.
т. е.
т. е.
^жж 4" Еуу 4" eZ2 — 0.
^жж 4" Еуу 4" eZ2 — 0.
drTdtdrTdtdipdtdipdtdr2dtdr2dt
drTdt
drTdt
dipdt
dipdt
dr2dt
dr2dt
Уравнения течения в u^uAUHdpuuecKux Koopduuamax.
, drT , drT , drT
4- dt —И ^ ——
dr Г dp OZ Г
тр । 1 Z- 9ttt i 1 Эт-р^р । dTyZ
=I IIII,
p \ dr r dp dz r /
dr r dp dz r
77 । 1' cpr । u 1 ipip . u 1 Lpz ।1 rip \ p \ dr r dp dz r )
drzГр dxzdxz _
4" ^1h Dz —
drr dpdz
rp । 1 / drzr1 drZp9tzzttz \
p \ drr dp dzr J
Эр , Э(ртУр1 Э(рурЭ^ртР =
dt дтг dip dz
(3.5.5)(3.5.5)Т = т0 + 2р,Н,
(3.5.5)
(3.5.5)
Trr ^~РР^РР^zz
9vr/9r — (1/r) dv^/dp — rT(r (1/r) Эг^/др + rT(r — 9vz/9z
(1/r) 9vr/9p + dv^/dr -+ (1/r) 9vzj9p
(3-5-6)
ovz/or + ovr/oz
Здесь
^rp = Tw, T^z = Tz^, Tzr = tTZi
1 ^^ ^г Э<рr 11 ^^ ^г Э<рr 1ErrErr9rT dr 19rT dr 1^zz^zzdvz 9z 1dvz 9z 1
1 ^^ ^
г Э<рr 1
1 ^^ ^
г Э<рr 1
Err
Err
9rT dr 1
9rT dr 1
^zz
^zz
dvz 9z 1
dvz 9z 1
^тр) —^тр) —1 / 1 ЭгтЭг^2 \r Эрdr1 / 1 ЭгтЭг^2 \r Эрdr1 / 1 dvz 9tu \ p = Jr. I2 \ r 9p 9z /1 / 1 dvz 9tu \ p = Jr. I2 \ r 9p 9z /
^тр) —
^тр) —
1 / 1 ЭгтЭг^
2 \r Эрdr
1 / 1 ЭгтЭг^
2 \r Эрdr
1 / 1 dvz 9tu \ p = Jr. I
2 \ r 9p 9z /
1 / 1 dvz 9tu \ p = Jr. I
2 \ r 9p 9z /
^ZT^ZT1 /^^ I ^T2\9r 9z1 /^^ I ^T2\9r 9zДля несжимаемой бингамовской среды (р = const) уравнение неразрывности имеет видДля несжимаемой бингамовской среды (р = const) уравнение неразрывности имеет вид
^ZT
^ZT
1 /^^ I ^T
2\9r 9z
1 /^^ I ^T
2\9r 9z
Для несжимаемой бингамовской среды (р = const) уравнение неразрывности имеет вид
Для несжимаемой бингамовской среды (р = const) уравнение неразрывности имеет вид
div v = О,
т. е.т. е.£тт + Ер;v + Ezz£тт + Ер;v + Ezz= 0.= 0.
т. е.
т. е.
£тт + Ер;v + Ezz
£тт + Ер;v + Ezz
= 0.
= 0.
Этрр 1 9тТф 1 дтр0dr г sin 0 dtp г dOЭтрр 1 9тТф 1 дтр0dr г sin 0 dtp г dOdtdtМ_ У0_М Vr dr г О= F р \ drМ_ У0_М Vr dr г О= F р \ drУф dv^ УрУф У@Уф ctg 0 _ г sin# dp ггУф dv^ УрУф У@Уф ctg 0 _ г sin# dp гг1 дтфф г sin 0 dp1 дтфф г sin 0 dp1 dтф9 ЗтТф + 2тф6 ctg О г dOг1 dтф9 ЗтТф + 2тф6 ctg О г dOг
Этрр 1 9тТф 1 дтр0dr г sin 0 dtp г dO
Этрр 1 9тТф 1 дтр0dr г sin 0 dtp г dO
dt
dt
М_ У0_М Vr dr г О
= F р \ dr
М_ У0_М Vr dr г О
= F р \ dr
Уф dv^ УрУф У@Уф ctg 0 _ г sin# dp гг
Уф dv^ УрУф У@Уф ctg 0 _ г sin# dp гг
1 дтфф г sin 0 dp
1 дтфф г sin 0 dp
1 dтф9 ЗтТф + 2тф6 ctg О г dOг
1 dтф9 ЗтТф + 2тф6 ctg О г dOг
Уравнения течения в сферических координатах.
dvr Эуг Эут уф Эут _ ^ _ ^_ _ р ।dt Vr dr г дв г sin У dip г г г
2тгг - tw - тее + тт9 ctg 9г
dy0 dr6Г0 dveГф dv0rTr6_ Уф ctg 0 _
dtVr drr dOrsin# dp r r
= P I 1 I 1 5lN I 1 Ml _L (т^ -тфф)с^О ^ Mr
9 p\ dr rsin# dp r dOr
(3.5.7)(3.5.7)9p 1 d(pr6) 1 d^pr^ 2^ r6 ctg 0 = Q dt r dO r sin 0 dp r r
(3.5.7)
(3.5.7)
(3.5.8)(3.5.8)T — tq + 2p,H,
(3.5.8)
(3.5.8)
dvr/dr — (l/(r sin#)) dv^/dp — rT]r — r)0 ctgO/r
У00^"^Ф
(1/r) dVф/dp - (l/(r sin#)) dVф/dp - t)0 ctgO/r
I Гф
(l/(r sin#)) dvr/dp + dVф/dr — Уф/г
2Тф0
(l/(r sin#)) dv0/dp + (1/r) dVф/dO - Гф ctgO/r
(3.5.9)(3.5.9)2t0T
(3.5.9)
(3.5.9)
(1/r) dvr/dr + dv0/dr — У0,г*
Здесь
Т"тф —
^"фТ i
тф0
— т0фу
1"9r
Trr —
-p +
(2^ +
M
H>
1 ETT
1(2.+
H)
Tw =
-p +
(2// +
tF
H>
)£фф —
II
H
T99 =
-p +
(2^ +
70^
H>
^00 ~
U2^ +
II?
H)
— Tr0i
Тф
Тдт —
£0ri
£тт —
Р д (ТГГ ++ ^"99^1
dvr _ 1 дпд хт _1 дт^
9т 1£" г 90 т 1^^ г sin# Эр
1 / 1 8нт Энд V0 \
V6 Ctg 6
^т9 —
_ j_ / 18т01 дт^
£(р9 2\TsinO дрг 80
_ 1 / 8т 1 8нт
£rtp 2 \ дт г sin 0 dz
^V
^V
н =
- gee)2 + (see - Err)2 , 2 ।
4""г ьТ(р -r c^q -r C0T ,
т =
^00)^00 Ттт^ I 2 I 2 I 2
"" + ^ + ^6 + < .
Для несжимаемой бингамовской среды (р = const) уравнение неразрывности имеет вид
div v = 0,
т. е.
Err + Е(р(р + £99 — 0.
Безразмерная форма уравнений течения
Пространственное течение
fcifc2Sh ^ + fcifc2R^'fcifc2Sh ^ + fcifc2R^'\
fcifc2Sh ^ + fcifc2R^'
fcifc2Sh ^ + fcifc2R^'
x Эх' ^ у 8V ^ г 8z')
8тг/ ЭтгЭтг \
;3^ + (s + i)Vv^ + iV)’ (ЗЛ11)
Эу\ Эхdz J
k2Sh^ + k2Rpx3^ + Vyg^ + VZ^r)-,
= ^ + (s+i)V^ + fc3^v),
8z\ Эх 8y J
М ,, N: = А
Эх' Эу' dz'
S Ц 2Н'
S + 1 + Гх S + Г
г = 1,2,3,
(3.4.12)
(3.4.13)
к 2r'y(S+l)= к 2t'z(S+1)=
dv’x/dy' + fcf dv'y/dx' 2 дг^/д/ + Ц dvz (Эх'
_ К+ 1)_ Псх - Туу _ У
3 Эх' ]Э^ + ^ dv'z (Эу'дх'Ддх' - dvy/Эу'дх'ж/дх' - dxz /dz'‘
(3.4.14)
Здесь Т' — безразмерная интенсивность напряжений,
(3.4.15)
Sh =
pl\li ip 1
г = 1,2,3,
(3.4.16)
— число Струхаля;
R =
pUk
г = 1,2,3,
(3.4.17)
— число Рейнольдса;
У = Sier'+ (S+ 1)У, y = Sy + (S + 1)т^,У = Si^o + (8 + \У„.
Плоское течение
iК, дх'ж\_ д?жж /1 \ эу
дт1
0 = fc2^ + ^,(3.4.26)
OX OZ
/с2 bhi 9t, + к2 ^х э$, + vz dz, J 9z, + k2 ^K + R J 9$, ,
^ + ^ = o,(3.4.27)
dx dz
Т' = ^ + г^-^= 1,2,3,(3.4.28)
о + 1 q о + 1
2t(,(S+1) =2t(s(S+1)=2t;,(S+1)
102 Эх^ /8/ + к^ 8xz /Эх'3 О
хх уу _ 1 хх 1 zz
Энх /Эх' Энх /Эх' - dv'z /8z''
(3.4.29)
5. Уравнения тонкого слоя
Пространственное течение
и CL иих _ и ' жж I / TZ I 1 1 U XZ
Эх' 8т'/1 \ 8т'
дх' эу' де ’
S + 1 S + 1 V V SV 7 V аV 7 ’
(3.4.42)
(3.4.43)
(3.4.44)
гт'^К+ун) = 2тук+МН) =2r'z(K+l/R)
dv'x/dy' + dv'y/dx' 3 dv'x/dz'3 dv'y/dz'
XX УУ XX zz
Эх^ /Эх' - Эигу /Эр'dvfx /Эх' - dv'z /d^z'
Плоское течение
Mln ^ = fc2^y +
at ох
0 = лН’
94 , М _ л дх' dz'
(3.4.45)
(3.4.47)
(3.4.48)
= sTT + sTTli7l' • =(3-4'49)
(Лх - т'гр |^ = 0.(3.4.50)
Список литературы
А.С. 1220684 СССР. Устройство для перемешивания и транспортирования материалов преимущественно компонентов колбасного фарша / А.В. Гноевой, А.В. Горбатов, В.М. Чесноков и др. Б.И., 1986, № 12.
А.С. 1261611 СССР. Способ производства колбасных изделий / В.М. Горбатов, А.В. Гноевой, В.М. Чесноков и др. Б.И., 1986, №37.
Белкин ИМ., Виноградов Г.В., Леонов А.И. Ротационные приборы. Измерение вязкости и физико-механических характеристик материалов. — М.: Машиностроение, 1967.— 272 с.
Бражников АМ., Карпычев В.А., Пелеев А.И. Аналитические методы исследования процессов обработки мясопродуктов. — М.: Пищевая промышленность, 1974.—232 с.
Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. — М.: МИР, 1967.-310 с.
Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. — М.: Мир, 1967.-310 с.
Виноградов Г.В., Малкин А.Я. Реология полимеров. — М.: Химия, 1977.-438 с.
Вишняков В.И., Павлов К.Б., Романов А.С. Перистальтическое течение неньютоновской вязкопластичной жидкости в щелевом канале // ИФЖ.- 1976.-XXXI, №3.-С. 499-505.
Воларович М.П., Гуткин АМ. Течение вязкопластичного тела между двумя параллельными плоскими стенками и в кольцевом зазоре между коаксиальными трубками // ЖТФ. — 1946.— Т. XVI, вып. З.-С. 321-329.
Гноевой А.В. Вибрационно-волновые машины и технологии // Мясная индустрия. — 1994. —№2.—С. 10-11.
Гноевой А.В. Машины с деформируемыми неметаллическими рабочими органами — основа интегральной технологии // Молочная и мясная промышленность. — 1989. —№3. —С. 10-14.
Гноевой А.В. Механические системы пространственного вибровозбуждения для виброиспытаний и вибротехнологий: Автореф. дис. д-ра тех. наук / ЙПМех РАН. —М.: 1992. —43 с.
Гноевой А.В. О новых направлениях развития пищевого машиностроения, основанного на волновых, виброволновых и перистальтических принципах // Волновая динамика машин / Под ред. акад. К.В. Фролова. —М.: Наука, 1991.—С. 56-65.
Гноевой А.В., Горбатов А.В., Мачихин Ю.А. Перспективы использования вибрационно-волновых методов обработки сырья в пищевой промышленности // Тр. Пятой Всесоюзн. конф. «Электрофизические методы обработки пищевых продуктов». — М, 1985.-С. 363-366.
Гноевой А.В., Климов ДМ., Чесноков В.М. Исследование течений вязкопластичных сред в каналах и полостях с изменяемыми
формами их стенок (элементы теории и техническое приложение).—М.: Полиграф сервис, 1995.— 128 с.
Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.М. К теории течений бингамовских сред. — М., 1998. — 68 с. (препр. / ИПМ РАН; №626).
Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.М. Об одном методе исследования пространственных течений вязкопластичных сред // МТТ.- 1993. —№5. —С. 150-158.
Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.М. Об одном случае плоского течения бингамовских сред // Изв. РАН. МТТ. — 2001.— №5.-С. 63-73.
Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.М. Об уравнениях течения бингамовских сред // Изв. РАН. МТТ. — 2001. — № 6. — С. 108-114.
Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.М. Система уравнений, описывающая течение бингамовских пищевых сред. — М.: ВНИИМП, 1997.-С. 182-188.
Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.М., Петров А.Г. Плоское течение вязкопластичных сред в узких каналах с деформируемыми стенками // Изв. РАН. МЖГ.- 1996.-№2.-С. 23-31.
Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.М., Петров А.Г. Течение вязкопластичной среды между круглыми параллельными пластинами при их сближении и удалении // Изв. РАН. МЖГ. — 1996.— №1.-С. 9-17.
Гноевой А.В., Степаненко А.И., Лосева Н.С. Вибрационно-волновая технология получения колбасных изделий // Tehn. mesa, God XXXVI, Broj 2-3, Str. 44-254, Beograd, maj-juni 1995.
Гноевой А.В., Степаненко А.И., Марков А.И. О новом поколении технологических машин для пищевой промышленности // Мясная индустрия.— 1999. —№9. —С. 19-21.
Гноевой А.В., Чесноков В.М. Бингамовская среда, как объект исследования // МТТ. — 2003. — № 3. — С. 90-98.
Гноевой А.В., Чесноков В.М. Волновые и перистальтические способы передачи колебаний вязкопластическим средам // Тр. Всесо- юзн. конф. «Пути совершенствования технологических процессов и оборудования для производства, хранения и транспортировки продуктов питания». — М.: МТИПП, 1984.—С. 196.
Гноевой А.В., Чесноков В.М. Определение эквивалентной вязкости вязкопластичных сред в пищевой промышленности // Тр. Всесоюзн. конф. «Пути совершенствования технологических процессов и оборудования для производства, хранения и транспортировки продуктов питания». — М.: МТИПП, 1984. —С. 195.
Гноевой А.В., Чесноков В.М. Применение вибрационно-волновых методов в мясной промышленности // Мясная индустрия СССР.— 1985.-№9.-С. 40-43.
Гноевой А.В., Чесноков В.М. Технологический процесс и его влияние на качество готовой продукции // Мясная индустрия.— 1995.-№4.-С. 22-25.
Гноевой А.В., Чесноков В.М. Эффект преобразования вектора предельного напряжения сдвига и его применение в пищевой промышленности // Тр. Всесоюзн. конф. «Пути совершенствования технологических процессов и оборудования для производства,
хранения и транспортировки продуктов питания». — М.: МТИПП, 1984.-С. 196.
Гноевой А.В., Чесноков В.М., Гавриленков А.Ю. Вибровискозиметр с электродинамическим источником колебаний // Мясная индустрия СССР. — 1984.—№4.—С. 33-34.
Гноевой А.В., Чесноков В.М., Гноевой В.А. Некоторые математические модели течений пищевых бингамовских сред // Мясная индустрия. — 1998. —№7.— С. 30-32.
Гноевой А.В., Чесноков В.М., Кулаков А.В. Течение вязкопластичной среды при волнообразном деформировании гибкого канала // Тр. 3 Всесоюзн. конф. «Теоретические и практические аспекты применения ИФХМ с целью совершенствования и интенсификации технологических процессов пищевых производств».— М, 1990.-С. 394-395.
Гноевой А.В., Чесноков В.М., Степаненко А.И. Вибрационноволновая машина МШ2ВВ-5/ВИВАТ // Tehn. mesa, God XXXVI, Broj 2-3, Str. 44-254, Beograd, maj-juni 1995.
Гноевой А.В., Чесноков B.M., Степаненко А.И. К проблеме математического моделирования технологических процессов // Мясная индустрия. — 1998. —№5. —С. 23-26.
Гноевой А.В., Чесноков ВМ., Степаненко А.И. Расчет механизма деформации вибрационно-волнового смесителя при его колебаниях вместе с рабочим органом // В тр. конф, работников мясной промышленности. Углич, октябрь, 1995.—С. 54-55.
Гноевой А.В., Чесноков ВМ., Степаненко А.И. Расчет механизма деформации вибрационно-волнового смесителя при колебаниях основания его рабочего органа // В тр. конф, работников мясной промышленности. Углич, октябрь, 1995.—С. 56-57.
Гноевой А.В., Чесноков В.М., Степаненко А.И., Вилъке Ю., Хаак Э. Некоторые особенности и проблемы современных технологических машин // Мясная индустрия. — 1997.—№4.—С. 9-12.
Гноевой А.В., Чесноков В.М., Степаненко А.И., Вилъке Ю., Хаак Э. Универсальные вибрационно-волновые машины и технологии // Мясная индустрия. — 1997.— №5.—С. 9-11.
Горбатов А.В. Реология мясных и молочных продуктов. — М.: Пищевая промышленность, 1979.—384 с.
Горбатов В.М., Гноевой А.В., Чесноков ВМ. Преобразование сил сопротивления при сложном относительном движении мясных масс в рабочих органах машин // Тр. XXXI Европейского конгресса научных работников мясной промышленности, 1985, Болгария.—С. 718-720.
Горбатов В.М., Гноевой А.В., Чесноков В.М., Гавриленков А.Ю. Влияние вибрации на ускорение технологических процессов производства мясопродуктов. —М.: ЦНИИТЭИмясомолпром, 1985.— 32 с.
Горбатов В.М., Гноевой А.В., Чесноков В.М., Гавриленков А.Ю. Применение вибрационной техники для интенсификации технологических процессов приготовления вареных колбас // Тр. XXXI Европейского конгресса научных работников мясной промышленности, 1985, Болгария.—С. 715-717.
Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.—М.: Наука, 1976.—576 с.
Жуковский Н.Е. Заметка о плоском рассеве // Собр. соч. Т. 3.— М.: ГНТИ, 1949.-700 с.
Ильюшин Л.Л. К вопросу о вязкопластичном течении материала // Тр. Конф, по пласт, деформации. — М.: Изв. АН СССР, 1936.— С. 5-18.
Ильюшин Д.Д. Деформация вязкопластичного тела // Уч. записки МГУ. Сер. Механика. Вып. 39.-М.: МГУ, 1940.-С. 3-81.
Ильюшин Д.Д. Механика сплошной среды. 2-е изд. —М.: Изд-во МГУ, 1978.-288 с.
Ишлинский А.Ю. Об уравнениях пространственного деформирования не вполне упругих вязкопластических тел // Изв. АН СССР. ОТН.- 1945. — №3.— С. 250-260.
Качанов ЛМ. Основы теории пластичности. —М.: Наука, 1969.— 420 с.
Кокошин И.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике.—М.: Наука, 1976. —256 с.
Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. — М.: Металлургия, 1986. —688 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1978.—831 с.
Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости // Теория пластичности / Под ред. Ю.Н. Работнова. — М.: ИЛ, 1948.-452 с.
Леви М. Об интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных, относящихся к внутренним движениям в твердых пластических телах, когда эти движения происходят в параллельных плоскостях // Теория пластичности / Под ред. Ю.Н. Работнова. —М.: ИЛ, 1948.-452 с.
Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. В 2-х томах. Т. 1, 2. —М.: Наука, 1982, 1983.
Малинин И.И. Прикладная теория пластичности и ползучести.— М.: Машиностроение, 1975.—398 с.
Мачихин Ю.А., Максимов А.С. Реологические свойства конфетных масс при вибрационных воздействиях // Изв. Вузов СССР. Пищевая технология. — 1976. —№6.—С. 108-111.
Мизес Р. Механика твердых тел в пластически-деформированном состоянии // Теория пластичности / Под ред. Ю.Н. Работнова.— М.: ИЛ, 1948.-452 с.
Мясников В.И. О сдавливании вязкопластичного слоя жесткими плитами // Изв. АН СССР. Сер. Механика и машиностроение.— 1963.-№4.-С. 92-96.
Мясников В.И. Течение вязкопластичной среды при сложном сдвиге // ПМТФ.- 1961, №5.-С. 76-87.
Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные движения вязкопластичных сред. —М.: Изд-во МГУ, 1977. — 373 с.
Пат. 1777554 РФ. Устройство для перемешивания и транспортирования вязкопластичных материлов / А.В. Гноевой. Б.И., 1992, №43.
Пат. 2035866 РФ. Механизм деформации гибкого рабочего органа вибрационно-волновой машины для производства пищевых продуктов / А.В. Гноевой. Б.И., 1995, № 15.
Пат. 2035149 РФ. Устройство для перемешивания и транспортирования вязкопластичных материалов / А.В. Гноевой. Б.И., 1995, №14.
Пат. 2035867 РФ. Устройство для перемешивания и транспортирования вязкопластичных материалов / А.В. Гноевой. Б.И., 1995, № 15.
Прандтль Л. Примеры применения теоремы Генки к равновесию пластических тел // Теория пластичности / Под ред. Ю.Н. Работ- нов.-М.: ИЛ, 1948.-452 с.
Ребиндер П.А. Физико-химическая механика дисперсных структур // Физико-химическая механика дисперсных структур. — М.: Наука, 1966.-С. 3-16.
Рейнер М. Десять лекций по теоретической реологии. — М.-Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1947.— 134 с.
Рейнер М. Деформация и течение. — М.: ГНТИНиГЛ, 1963.— 381 с.
Рейнер М. Реология. —М.: Наука, 1965.—224 с.
Розенберг В.Я. Радиотехнические методы измерений. — М.: Изд-во стандартов, 1970.—308 с.
Сафрончик А.И. Неустановившееся течение вязкопластичного материала между параллельными стенками // ПММ. — 1959. — Т. XXIII, вып. 5. —С. 925-935.
Седое Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2.—М.: Наука, 1970. Т. 1.-536 с. Т. 2.-568 с.
Сен-Венан Б. Дифференциальные уравнения внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах, и граничные условия для этих тел. Некоторые приложения // Теория пластичности / Под ред. Ю.Н. Работнова. —М.: ИЛ, 1948. —452 с.
Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости // Теория пластичности / Под ред. Ю.Н. Работнова. — М.: ИЛ, 1948.-452 с.
Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Гостехиздат, 1955. —520 с.
Тарг СМ. Основные задачи теории ламинарных течений. — М.- Л.: Гостехиздат, 1951. —420 с.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1966.—724 с.
Урьев Н.Б., Талейсник М.А. Физико-химическая механика и интенсификация образования пищевых масс.—М.: Пищевая промышленность, 1976. —240 с.
Шульман З.П., Байков В.И. Реодинамика и тепломассообмен в пленочных течениях. —Мн.: Наука и техника, 1979. —296 с.
Bingham Е. Fluidity and Plasticity. — New York, 1922.
Bingham E.C., Green H. Paint, a plastic material and not a viscous liquid. — Proc. Amer. Soc. Testing Materials. — 1919.—V. 11, №19.-P. 640.
Buckingham E. On plastic flow through capillary tubes // Proc. Amer. Soc. Testing Materials. — 1921.—№ 1154.
Chesnokov VM., Gnoevoy A.W., Klimov DM. Flow of bingham media. Applications in food technology // Applied Mechaninics and Engineing. — 1999.—V. 4. — Specialissue: ICER’99. — P. 413-415. ICER’99, Zielona Gora, 27-30 June, 1999.
Chesnokov VM., Gnoevoy A.V., Klimov DM. Mathematical Modeling of Bingam Media flow // Proceedings of the 3rd International Conference «Mechanics of Time Dependent Materials», Germany, Erlangen, September 17-20, 2000. — Erlangen, P. 69-70.
Chesnokov VM., Gnoevoy A.V., Klimov DM., Petrov A.G. The Flow of Viskoplastic Medium through Channels and Chambes with Variable Boundares // Book of Abstracts «The Tihrd International Congress on Industrial and Applied Mathematics», Hamburg, 3-7 July, 1995, P. 328.
Gnoevoy A. V. The Wave-Vibrations Machine and its application // Proceedings of the 3rd International Conference «Mechanics of Time Dependent Materials», Germany, Erlangen, September 17-20, 2000.—Erlangen, P. 142-144.
Gnoevoy A. V, Chesnokov VM., Gnoevoy V.A. About of nonsta- tionary flow bingham media // International Conference «Fluxes and structures in fluids», Russia, Moskow, June 20-22, 2001. —M., 2001.
Gorbatov WM., Gnoewoj A.W. Anwendung der Vibrations-Wellen- Methode in der Fleischindustrie // Fleischwirtschaft. — 1991. — B. 71, № ll.-S. 1349-1351.
Haake Rheometer // 386 s.
Hatschek E. The Viscosity of Liquids.—London, 1928.
Hencky H. Langsame stationare Strommungen in plastischen Massen // Z. Angew. Math, und Meeh. — 1925. — B. 5, №2.- S. 115-124.
Herschel W.H. On the rate of shear in capillary tubes // J. Rheology.- 1930.-V. l.-P. 505-506.
Kraemer E.O., Williamson R.V. Internal friction and the structure of «solvated» colloids // J. Rheology. — 1929.—V. 1.— P. 76.
Lipscomb G.G., Denn MM. Flow of Bingam fluids ill complex geometries // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. — 1984.— V. 14.-P. 337-346.
Reiner M. Die Hydrodinamik disperser Systeme // Naturwiss. — 1932.-B. 19.-S. 878-880.
Reiner M. Ueber die Stroemung einer elastischen Flussigkeit durch eine Kapillare // Kolloid. Z.- 1926.-B. 39.-S. 80-87.
Reiner M., Riwlin R. Ueber die Stroemung einer elastischen Flussigkeit im Couette Apparat // Kolloid. Z.— 1927.—B. 43.—S. 1-5.
Rheology der Lebensmittel // D. Weipert, H.-D.-Tscheuschner, E.-Windhab.— Hamburg: Behrs, 1993.—620 s.
Schwedoff T. Recherches experimentals sur la cohesion des liq- uides // J. de Phys. - 1890. V. 2, №9.-P. 34.
Scott-Blair G.W. Introduction to Industrial rheology. — London: J. and A. Churchill Ltd., 1938.
Scott-Blair G.W. Reology in food research // Adv. Food Res.— 1958.-B. 8.-S 1-61.
Scott-Blair G.W. Survey of General and Applied Rheology. — London: Sir J. Pitman & Sons Ltd., 1943.
Wolarowitsch M.P., Kulakoff N.N., Romansky A.N. Untersuchun- gen der plastisch-viskosen Eigenschaften der Torfmasse // Kolloid. Z.- 1935.-B. 71.-S. 267.
г=1,2. (5.1.32)
1^0(1-2)2|. (5.2.7)
1 — Zq oxJ
Решение в области пластического течения 0 < z < z^. Для области пластического течения в соответствии с (1.47)-(1.49), (1.52), (1.68), (1.74), (1.75), (1.82), (1.85), (1.91), (1.93) получаются следующие соотношения:
С = (Оо + е || [(ОоД - СхРо - arcsin«)0 + | «)о]>
(5.2.8)
Тхх = ”Р\ + Хр(х, <) - 2К^ 1 - «)2 ,(5.2.9)
УДК 532
ББК 22.25
Г 56
Гное в ой А. В., Климов Д. М., Чесноков В. М. Основы теории течений бингамовских сред. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0566-3.
Монография посвящена проблеме исследования течений сред со сложной реологией в каналах и полостях с изменяемыми по времени и пространству формами их стенок. В работе предложена, теоретически обоснована и путем расчетов проверена на примере бингамовских сред новая постановка задач о течении таких сред при изменяемых границах областей течения; предложена новая система уравнений для исследования течений сред со сложной реологией, из которых уравнения течений бингамовских сред получаются в соответствии с третьей аксиомой реологии (М. Рейнер) как частный случай; в новой постановке и с помощью новых уравнений решен ряд практически важных задач. Приведены принципы конструирования технологических машин с мягкими деформируемыми рабочими органами, а также ряд образцов таких машин и технологий для пищевой промышленности, в которых целенаправленно применяются эффекты, обнаруженные в таких средах.
Для научных и инженерно-технических работников, а также для преподавателей, студентов и аспирантов высших учебных заведений, занимающихся исследованием течений сред со сложной реологией и конструированием оборудования в химической, биохимической и пищевой отраслях промышленности или изучением подобных учебных дисциплин.
Научное издание
ГНОЕВОЙ Александр Васильевич
КЛИМОВ Дмитрий Михайлович
ЧЕСНОКОВ Валерий Макарович