Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Название этой книги, как мы надеемся, обратит на себя внимание специалистов по механике деформируемого твердого тела двумя моментами. Первый момент выдает ее отношение к одному из интереснейших и, как нам представляется, весьма сложных разделов механики — теории контактных задач. Вторая часть заглавия книги может показаться многим довольно непривычной. Термин "растущее тело" возник в механике совсем недавно и отражает в обобщенном виде характерные черты некоторых природных и многочисленных технологических процессов, круг которых постоянно расширяется.
Настоящая монография посвящена новым задачам механики деформируемого твердого тела — контактным задачам для растущих тел. В ней рассмотрены следующие относительно самостоятельные классы задач： контактные задачи механики непрерывно растущих тел, дискретного наращивания деформируемых тел системами жестких элементов и взаимодействия жестких растущих тел с деформируемыми основаниями.
Каждый из представленных классов имеет характерные черты, определяемые особенностями моделируемых реальных процессов, среди которых можно отметить процессы постепенного возведения оснований и сооружений, последовательного монтажа инженерных и строительных конструкций. Подробнее о приложениях будет сказано во введении и в преамбулах к главам.
Исследования, положенные в основу книги, выполнены авторами в Институте проблем механики АН СССР. Мы не претендуем на исчерпывающее изложение теории контактных задач механики растущих тел и методов их решения. Это научное направление только складывается, и ему предстоит еще пополниться новыми результатами. Мы будем признательны читателям за критические замечания.
Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность И.Г. Горячевой и Р.И. Мазингу за рецензирование монографии.
Мы особенно благодарим И.И. Воровича за весьма полезное для нас обсуждение рукописи книги.
ВВЕДЕНИЕ
В природе и технологии часто встречаются объекты, масса которых изменяется за счет разнообразных процессов массообмена с окружающей средой. Процессы массообмена при этом, как правило, протекают одновременно с воздействием различных силовых факторов, под влиянием которых тела переменной массы изменяют также свою конфигурацию и перемещаются в пространстве. Примеров тел переменной массы из окружающей нас действительности можно привести много, начиная от растущих биологических тканей и кончая аккрецирующими галактическими объектами.
Настоящая монография посвящена разработке теоретических основ контактного взаимодействия твердых деформируемых тел, которые в процессе деформирования изменяют свою массу за счет добавления материала извне к внешней поверхности.
Задачи контактного взаимодействия наращиваемых тел встречаются, в частности, при анализе осадок последовательно возводимых фундаментов сооружений, при технологической проработке операций усиления фундаментов на слабых грунтовых основаниях, при расчете напряженно-деформированного состояния схватывающихся клеевых соединений и постепенно затвердевающих покрытий, наносимых на субстрат в жидком состоянии, при исследовании взаимодействия конструкций с намораживаемым ледяным покровом и грунтовыми массивами, подверженными осадконакоплению.
Важной особенностью контактных задач для растущих тел является изменяемость области контакта при эволюции контактной системы. При этом изменяемость области контакта обусловлена не только деформацией взаимодействующих тел, как в классических контактных задачах, но и изменениями конфигурации контактной системы в процессе наращивания. При дискретном наращивании систем могут возникать новые участки контакта, а при непрерывном наращивании — расширяться первоначально сформировавшаяся область контакта за счет добавления материала к взаимодействующим телам.
Другая важная особенность процессов деформирования растущих тел заключается в необходимости учета их реологического поведения, что определяется кругом практических приложений механики растущих тел. В самом деле, в реальных ситуациях приходится иметь дело с такими материалами, как бетон, грунты, полимеры, лед, — типичными реологическими средами. Свойства таких материалов часто характеризуются нестабильностью, т.е.
сравнительно медленной изменяемостью со временем. Такие материалы называются стареющими. Если массивное тело, скажем бетонное основание, подвергается наращиванию в течение продолжительного периода, то его свойства в различных точках оказываются различными в силу специфической возрастной неоднородности, обусловленной тем, что элементы тела изготавливаются (зарождаются) неодновременно. Механическое поведение тел, обладающих возрастной неоднородностью, при этом может существенно зависеть от распределения возрастов элементов материала по объему тела. Такие тела называются неоднородно стареющими телами»
Определяющие соотношения (уравнения состояния) неоднородно стареющих тел получаются сдвигом времени в определяющих соотношениях однородного по возрасту стареющего материала, предложенных в монографии [12] и ориентированных главным образом на описание реологического поведения бетона. При этом величина сдвига (или запаздывания) зависит от момента зарождения соответствующего материального элемента. Модель неоднородно стареющего вязкоупругого (или, что то же самое, упругоползучего) тела разработана в [13], а в монографии [19] дано систематизированное изложение теории вязкоупругости неоднородно стареющих тел. Анализу уравнений состояния стареющих материалов, также ориентированных на описание механического поведения бетона при длительных нагружениях, посвящены работы [73, 74].
В работе [14] построена математическая модель неоднородно стареющего растущего вязкоупругого тела, которая образует методологическую основу для исследования рассматриваемых контактных задач механики растущих тел. Не приводя здесь обзора работ по механике растущих тел, мы рекомендуем читателю ознакомиться с монографией [17], в которой имеется подробная библиография. В упомянутой монографии приведены также постановки и решения двух первых задач для дискретно наращиваемых контактных систем. Там же предложено выделить задачи о контактном взаимодействии дискретно и непрерывно наращиваемых систем в класс эволюционных контактных задач.
Остановимся на кратком обзоре исследований, не отраженных в [17], которые имеют отношение к проблемам контактного взаимодействия непрерывно наращиваемых тел.
В строительной механике часто возникают задачи, связанные с оценкой взаимодействия заглубляемых конструкций (подпорных стенок, облицовок шахт и колодцев, элементов фундаментов и т.п.) с последовательно засыпаемыми (в данном контексте можно сказать — наращиваемыми) грунтовыми основаниями. Задачи этого круга рассматривались, например, в [75, 78]. Аналогичные задачи встречаются также при описании процесса заполнения тонкостенных резервуаров (силосов, бункеров и т.п.) сыпучими материалами.
В работе [82] решена одна из первых задач для непрерывно наращиваемого упругого тела, в которой исследовалось напряженно-деформированное состояние послойно укладываемого грунтового массива с пологим откосом под действием собственного веса.
В последние годы возрос интерес к моделированию процессов изготовления различных полуфабрикатов с помощью технологий, осжэвшшых на мх наращивании. Это процессы изготовления полупроводниковых пленок дня
солнечных батарей, выращивания кристаллов, быстрого отверждения, укладки пленок и листов в рулоны и др. В задачах указанного круга основное внимание уделяется анализу поведения полуфабриката в процессе наращивания, формирования в нем остаточных напряжений, а также взаимодействия его с элементами технологического оборудования. Не приводя здесь перечня многочисленных публикаций отмеченного направления, укажем, в частности, работы [72, 83, 84, 87,95].
И еще один класс задач наращивания заслуживает отдельного упоминания —это задачи наращивания снежных и ледовых покровов. Основной интерес в задачах такого типа связан с оценкой их устойчивости в процессе наращивания (аккумуляции) и прогнозированием обрушения, а также с описанием воздействия снежных и ледовых массивов на инженерные сооружения, например на внебереговые платформы или покрытия здания. Задача о напряженном состоянии снежной плиты исследовалась в [76].
Глава 1
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСТУЩЕГО ТЕЛА
Объектом исследований в механике деформируемого твердого тела являются реальные элементы конструкций и детали машин, которые подвергаются воздействиям комбинированных внешних нагрузок, структурным изменениям, взаимодействуют с другими элементами и внешней средой. При этом их состояние и поведение может зависеть от большого числа факторов различной природы, полный учет которых в рамках сколько- нибудь обозримой теории нереален. К числу таких факторов могут быть отнесены явления диссипации, повреждаемости, износа и т.п. При рассмотрении процессов наращивания круг эффектов, отражающихся на поведении растущих тел, вообще говоря, расширяется, поскольку конкретные технологии наращивания имеют свои характерные особенности. Если сравнить, к примеру, технологические процессы намотки и литья под давлением, то можно отметить их некоторые существенные отличия. В первом случае к наиболее важным эффектам следует отнести предварительный натяг укладываемых слоев и релаксацию напряжений в них, которые отражаются, в частности, и на давлении, оказываемом намотанным материалом на оправку. В случае литья под давлением необходимо учитывать эффекты, которыми сопровождается отверждение расплава, явления тепломассопереноса ит.п.
Математическое описание процессов деформирования наращиваемых тел применительно к более или менее широкому кругу задач может быть осуществлено только в рамках обобщенной модели, которая не в состоянии учесть все аспекты реальных процессов наращивания. В то же время эта модель должна учитывать наиболее существенные и характерные моменты, которые присутствуют во всех рассматриваемых процессах. Таким характерным моментом, отличающим растущее деформируемое тело от тела постоянного состава, является приток дополнительного материала извне, который вовлекается в деформирование по мере его приращивания.
В этой главе излагается теоретический подход к моделированию процессов наращивания деформируемых тел при малых деформациях, который в последующих главах будет использован при анализе контактных и смешанных задач для растущих тел. Основным результатом главы является формулировка эволюционной граничной задачи для растущего вязкоупругого тела в виде замкнутой системы соотношений, описывающих эволюцию напряженно-деформированного состояния тела в процессе наращивания. Для решения эволюционной граничной задачи в каждом конкретном случае могут быть использованы аналитические или численные методы.
Основные понятия
В настоящей монографии рассматриваются твердые деформируемые тела, масса которых увеличивается за счет присоединения дополнительного материала к их внешней поверхности.
В зависимости от конкретных условий процесс наращивания деформируемых систем может происходить дискретно или непрерывно. В первом случае к системе, состоящей из одного или нескольких тел, в отдельные моменты времени последовательно присоединяются элементы конечных размеров. Во втором случае, т.е. при непрерывном наращивании, за каждый бесконечно малый промежуток времени к телу присоединяется элемент инфинитезимальных размеров.
Ясно, что анализ деформирования дискретно наращиваемой системы может быть проведен последовательно на временных интервалах, в которых конфигурация системы не изменяется. Отличие задач такого типа от классических задач для систем постоянного состава заключается при этом в учете условий сращиваний в заданные моменты времени, которые должны быть сформулированы особо.
Иначе обстоит дело для непрерывно наращиваемых тел, когда их состав изменяется в каждый момент времени за счет присоединения материальных элементов бесконечно малого объема. В этом случае задача исследования напряженно-деформированного состояния растущего тела имеет принципиальные отличия от классических задач. Остановимся вкратце на некоторых понятиях, используемых при исследовании задач непрерывного наращивания тел.
Процесс присоединения к телу новых элементов будем называть наращиванием, а соответствующую часть внешней поверхности, к которой в текущий момент времени присоединяются бесконечно тонкие слои материала,— поверхностью наращивания. Поверхностью наращивания может быть вся свободная внешняя поверхность тела (односвязная или многосвязная) или ее часть.
Тело, существовавшее до начала наращивания, будем называть основным телом. Тело, составленное из материальных элементов, которые присоединились к основному телу за промежуток времени от момента начала наращивания до рассматриваемого момента времени, назовем дополнительным телом, а объединение основного тела с дополнительным телом — растущим телом или наращиваемым телом.
Возможны процессы наращивания, начинающиеся с зарождения единственной материальной частицы, когда основное тело, как таковое, отсутствует. Такая возможность в последующих рассуждениях, как правило, не исключается. Однако, учитывая особенности реальных процессов наращивания, будем предполагать, что основное тело существует.
Эволюционная граничная задача для растущего тела
Начнем этот раздел с изложения кинематики растущего тела.
Пусть в начальный момент времени f = 0 (в некоторой абсолютной шкале времени) имеем основное тело ®Oj занимающее в трехмерном евклидовом пространстве открытую область % с границей 3%.
Всюду в дальнейшем, ограничиваясь обычными допущениями теории инфинитезимальных деформаций сплошной среды, не будем делать различия между начальными и актуальными координатами материальных частиц.
Будем полагать, что начиная с момента f = 0 с течением времени растущее тело 毋(г) занимает в пространстве расширяющуюся открытую область a(f) с границей S(f) = а П(г). (Таким образом, для любых двух моментов времени tv и 厶，таких, что 々 < t2, имеем С(/) U а«2)・)Через C*(f) = A(f) 'А。будем обозначать область, занятую дополнительным телом.
Введем в рассмотрение поверхность наращивания S *(Г), определяющую в каждый момент времени часть внешней поверхности тела 笈(г), по которой к нему присоединяются дополнительные частицы извне. Ясно, что 5*(0 С S(f). Момент времени (в упоминавшейся абсолютной шкале), в который к телу 毋(?) присоединяется частица с координатами х = (х】， 》2,》з), будем обозначать т*(х) и называть моментом присоединения этой частицы к растущему телу. Функция пространственных координат т*(х) определяет скорость и последовательность изготовления тела. Общими ограничениями, накладываемыми на функцию т*(х), обычно являются требования ограниченности и кусочной непрерывности.
Таким образом, имеем следующее определение поверхности наращивания:
5*(0 = {х: т*(х) = г}, Г > 0. (2.1)
Закон движения поверхности 5*(0 , вообще говоря, должен определяться из системы соотношений, описывающих массообмен растущего тела с окружающей средой. Так дело будет обстоять, например, в тех случаях, когда наращивание тела осуществляется за счет фазового перехода типа жидкость—твердое тело. В дальнейшем, как правило, будет предполагаться, что закон движения поверхности S*(f) задан непосредственно явным образом.
Скорость движения поверхности 5* по нормали будет, очевидно:
% 二 Вт*— (2.2)
где ▽，* — градиент функции т *.
Заметим, что введенный в рассмотрение момент присоединения частицы т*(х) к растущему телу, вообще говоря, не совпадает с моментом ее образования. Момент времени, начиная с которого имеет смысл говорить о существовании материальной частицы, присоединяющейся впоследствии к растущему телу в месте с координатами х, будем называть моментом зарождения этой частицы и обозначатьт^ (х). Очевидно, что Ть(х)《т *(х), где знак равенства имеет место в тех случаях, когда в силу особенностей моделируемого процесса наращивания не имеет смысла различать моменты зарождения и присоединения. (Для основного тела, разумеется, Ть(х)= =т *(х) = 0.)
Перейдем к обсуждению вопросов, связанных с определением тензора деформации растущего тела. Представим, что частица после момента зарождения, но до момента присоединения (т.е. при Ть(х)《f《т*(х)) находится в составе некоторого бесконечно малого элемента материала, который де-
формируется под действием приложенных к нему усилий. Эта деформация происходит независимо от деформации растущего тела, поэтому приращиваемый элемент в момент присоединения может в принципе находиться в произвольном напряженно-деформированном состоянии, не связанном с состоянием элементов растущего тела, с которыми он сращивается. При t > т*(х) присоединившийся элемент деформируется уже в составе растущего тела и дополнительные деформации, приобретаемые им с момента присоединения, будут согласованными с деформациями элементов, присоединившимися раньше него.
Таким образом, принципиальное отличие растущего тела от деформируемого континуума постоянного состава заключается в том, что каждый его элемент (имеются в виду элементы дополнительного тела) деформируется совместно с другими элементами тела лишь с момента его присоединения. Из сказанного следует, что уравнения совместности полных деформаций для растущего тела, вообще говоря, не выполняются.
Полные деформации элемента складьшаются из деформации, приобретаемой им до момента присоединения (назовем ее первичной деформацией), и деформации в составе растущего тела (вторичной деформаций). Обозначим тензор полной деформации элемента растущего телд через Е(х, г), а тензоры первичной и вторичной деформации через Е】(х, т) и Еп(х, т). Подчеркнем, что тензор Е1 определен при ть(х) < т < т *(х), а тензор Еп — при т > т*(х). Будем полагать, что известна вся предыстория тензора деформации элемента от момента зарождения до момента присоединения {Е】(х, г), т^(х)< т & т*(х)} . Значение тензора Е1 в момент т*(х) обозначим
Е1(х,т*(х))= Е*(х), х £ А*«)・(2.3)
В соответствии с принятым разложением тензора полной деформации будем иметь
E(x,f) = Е*(х) + Еп(х, Г), х £ £2*(0, Г > т*(х).(2.4)
Введем в рассмотрение вектор u(x, f), определяющий смещение частицы х из положения, соответствующего моменту присоединения т*(х) (начального положения), в положение, соответствующее некоторому моменту времени t > т *(х) (текущее или актуальное положение). Следуя [54], определим вектор
w(x, Г, т) = и(х, Г) - и(х,т),(2.5)
равный смещению частицы х на отрезке времени [т, t].
В некоторый момент времени ^ > 0 рассмотрим произвольную частицу х, принадлежащую дополнительному телу (х£ С *(/)), вместе с некоторой ее окрестностью. Выделим в этой окрестности бесконечно малый
элемент материала, содержащий рассматриваемую частицу х и деформирующийся в составе растущего тела на отрезке времени [т,打.Тензор деформации Н(х,厶 т), характеризующий искажение выделенного элемента при переходе из конфигурации, соответствующей моменту т > т*(х), в конфигурацию, соответствующую моменту / >т:
Н(х,厶 т) = def w(x,厶 т), х £ С *(r),(J .6)
где
def w = ^[Vw +(Vw)r];
▽ — набла-оператор.
В кинематике растущего тела принимается, что тензор вторичной деформации элемента есть предел:
Еп(х, г) = lim Н(х,/,т)・(2.7)
т-*т*(х)+О
Полагая, что этот предел существует, из соотношений (2.4)-(2.7) будем иметь
E(x# = Е*(х) + defu(x# - [defu(x,T)] 1尸戸@),(2.8)
х £ С*«), t > т*(х).
Заметим, что для элементов основного тела геометрическое соотношение между тензором деформации и вектором перемещения имеет обычный вид:
Е(х, f) = defu(x, Г), х £ %, Г > 0,(2.9)
где тензор Е уже нет смысла разделять на первичную и вторичную деформации, так как все элементы основного тела начинают деформироваться одновременно в момент г = 0, а вектор и характеризует смещение частицы из положения, которое она занимала при 才=6, в текущее положение.
Таким образом, соотношения между деформациями и смещениями для растущего тела принципиально отличаются от таковых для тела постоянного состава. Зададимся вопросом: при каких условиях деформации элементов растущего тела будут совместны? Вслед за [54] заметим, что если
Е*(х) - [defu(x,r)] I т=тЧх) = defv(x),(2.10)
где v(x) — произвольный вектор, то (см. (2.8)) этого необходимо и достаточно для совместности деформаций.
Непосредственное включение соотношения (2.8) в систему соотношений, описывающих поведение растущего тела, привело бы к определенным трудностям, связанным с тем обстоятельством, что соотношение (2.8) содержит "запаздывающие'' значения градиента искомого вектора смещений. Обычно при формулировке задач механики растущих тел поступают иначе (см., напр.: [17]). Соотношение (2.8) после дифференцирования по f записывается в виде
Ё(х, f) = defu(x, 0(2.11)
и в такой форме включается в систему основных соотношений. Соотноше-
ние (2.11), как и (2.8), выполняется для всех внутренних точек дополнительного тела.
Перейдем к формулировке эволюционной граничной задачи для растущего тела, ограничившись наиболее простым вариантом смешанных граничных условий на стационарной части внешней поверхности растущего тела. Нагружение и, следовательно, реакцию тела будем считать квазиста- тическими.
Как обычно в механике деформируемого твердого тела, из условия равенства нулю главного вектора и главного момента сил, действующих на произвольный элемент объема растущего тела, выводится дифференциальное уравнение равновесия
▽・Т + pb = 0, х £ С()(2.12)
где Т — симметричный тензор напряжений при инфинитезимальных деформациях; b — вектор массовых сил; р — плотность материала. Уравнение равновесия (2.12) должно выполняться во внутренних точках растущего тела.
Тензор напряжений Т связывается с тензором деформаций определяющим соотношением,* которое всякой предыстории тензора деформации элемента материала, расположенного в окрестности точки х, ставит в соответствие значение тензора напряжений в этой точке. Предысторию тензора деформации элемента от момента зарождения до некоторого текущего момента времени Г будем, как обычно, обозначать
Е»(х,т)二{Е(х,т), ть(х) < т < г}.(2.13)
Определяющее соотношение запишем пока в общей тензорно-функциональной форме:
Т(х,Г),=泸(Е»(х,т)), х £ Q(0,(2.14)
имея в виду, что в следующем разделе вид используемых в дальнейшем определяющих соотношений будет конкретизирован. Заметим только, что тензор-функционал F может параметрически зависеть от х и ^.
Следствием геометрического соотношения (2.11) является уравнение совместности скоростей деформации растущего тела:
VX(VXE) = 0,(2.15)
где операция, обозначаемая знаком X, определяется, как в [43].
Обратимся к установлению граничных и начальных условий. Будем считать, что внешняя поверхность тела, т. е. граница 5(0, состоит из трех не- пересекающихся и, вообще говоря, многосвязных кусков (рис. 1.1):
S(0 = 5*(0USa(0USw(0,(2.16)
где S* — поверхность наращивания, по которой в рассматриваемый момент времени осуществляется приращивание частиц; S。н S〃 一 части поверхности, на которых заданы усилия и смещения соответственно (обе эти части могут расширяться со временем).
На участках границы S。и Su граничные условия имеют вид
T•叫厂 p，叫〃3，(2.17)
Рис. 1.1. Схематическое изображение растущего тела в виде пирамиды
Непрерывное наращивание осуществляется по основанию пирамиды. Поверхность наращивания показана в два момента времени — 厶 и t2 (厶 < t3). Основное тело представлено областью, заключенной внутри пирамиды OABCDt а дополнительное тело — внутри усеченной пирамиды ABCDAlBl Cj Dj в момент Г =々 или ABCDA2B2C2D2 в момент г = %• Часть поверхности тела, на которой заданы кинема* тические граничные условия, показана состоящей из двух участков: S〃 = S£ U S%； на этих участках на тело могут действовать, например, жесткие штампы
где р и и0 — заданные векторы напряжения и перемещения соответственно; и — единичный вектор нормали к поверхности Sa. Точкой в записи Т-п и всюду далее в аналогичных случаях обозначается скалярное произведение.
Условия (2.17) имеют обычный вид, в то время как с условиями на поверхности наращивания S* ситуация выглядит совершенно иной. Из (2.8) видно, что
Е (х,т*(х)) = Е*(х), х £ £2*(Г)• (2.18)
При этом, естественно, тензор напряжений в каждой точке х дополнительного тела в момент присоединения соответствующего элемента т*(х) определяется по предыстории тензора деформации (2.13) до момента т*(х) из определяющего соотношения (2.14):
Т(х,т*(х))=疥(Е「*(X)(х, т) ). (2.19)
Полученное соотношение перепишем в более компактной форме, обозначив начальное значение тензора напряжений через Т*:
Т(х, т*(х)) = Т*(х), х £ С*«)・ (2.20)
Соотношения (2.18), (2.20) имеют характер начальных условий, задаваемых для каждой точки дополнительного тела в момент ее присоединения.
Возможно, стоит подчеркнуть то обстоятельство, что задание начальных условий вида (2.18), (2.20) является отличительной особенностью математической постановки задачи об определении напряженно-деформированного состояния растущего тела. Действительно, ввиду наличия в соотношениях (2.11), (2.15) частных производных по Г система дифференциальных уравнений задачи имеет первый порядок по времени и, следовательно, постановку рассматриваемой задачи необходимо дополнить начальными значениями компонент напряжений, деформаций и перемещений [68]. С этим обстоятельством отчасти связана квалификация задачи о наращивании деформируемых твердых тел как неклассической начально-краевой задачи, которая в настоящей монографии именуется эволюционной граничной задачей.
Применительно к условиям непрерывного наращивания указанное требование является математическим отражением того очевидного с физической точки зрения факта, что зародившийся элемент до его стыковки с основным телом никак не связан с последним и для принципиальной возможности определения напряженно-деформированного состояния растущего тела необходимо задать полное напряженно-деформиро- вэнное состояние приращиваемого элемента.
Поскольку, согласно определению (2.1), поверхность наращивания S*⑴ является поверхностью уровня функции т*(х), можно заключить, что условия (2.18), (2.20) при различных фиксированных значениях функции т*(х) выполняются на поверхностях, которые являлись поверхностями наращивания в соответствующих пройденных конфигурациях растущего тела.
В самом деле, пусть поверхность S* в некоторый произвольный момент времени t задана в параметрическом виде:
х* = х*«,ос,0),(2.21)
где а, 0 - некоторые скалярные параметры (криволинейные координаты на 5*).
Очевидны тождества:
产伊也,a,0))三3(2.22)
x*(r*(z), а, 0)三 z,(2.23)
где z = z(a, 0) — некоторая поверхность уровня функции т*.
Внося точки х* = х*(才，а, 0), лежащие на поверхности наращивания S*(t) в текущий момент времени Г, в (2.18), (2.20), в силу тождества (2.22) получим
Е(х*,0 = Е*(х*),(2.24)
Т(х*,0 = Т*(х*), х*е5*(г).(2.25)
Соотношения (2.24), (2.25), которые эквивалентны соотношениям (2.18), (2.20), в отличие от последних уже имеют смысл граничных условий, задаваемых на поверхности наращивания S*«).
Таким образом, на поверхности наращивания S*(f) мы имеем весьма необычные для механики деформируемого твердого тела граничные условия в виде задаваемых полных тензоров деформации и напряжения. Подчеркнем, что правые части в (2.24), (2.25) не могут задаваться независимо друг от друга, а должны быть связаны принятым определяющим соотношением, как в (2.19). Поэтому фактически необходимо задать лишь один из тензоров Е*, Т* (в виде предысторий), так как другой при этом находится в результате разрешения уравнения состояния. В частном случае, когда момент зарождения элемента дополнительного тела совпадает с моментом его
Рис. 1.2. Усилия, действующие на гранях элемента, вырезанного из бесконечно тонкого приращиваемого слоя материала (компо- неты Г^, и Г*, не показаны)
Элемент изображен в предельный момент времени, непосредственно предшествующий его присоединению к поверхности наращивания S*
присоединения, т.е. предварительная деформация элемента осуществляется непосредственно в момент приращивания, тензоры Е* и Т* в (2.24), (2.25) и, конечно, в (2.18), (2.20) будут связаны мгновенной частью определяющего соотношения (2.14), например упругой связью, если соотношение (2.14) таковую предусматривает.
Формулировка граничных условий в форме (2.24), (2.25) не исключает задания внешнего силового воздействия (вектора напряжения) на поверхность наращивания S*. Пусть, например, наряду с условием (см. (2.25))
"s* ⑺二 T*'s*(r) (2.26) задано условие
Т・п%*(г)= Р*， (2.27)
где р* — вектор напряжения, действующий на поверхность наращивания.
В соответствии с (2.26) в точках, лежащих на S*, должны задаваться независимо друг от друга все шесть компонент тензора напряжения Т. Условие же (2.27) накладывает на величины этих компонент три дополнительных условия. Следовательно, при фиксированном условии (2.27) независимыми остаются только тр〃^сомгюненты тензора Т*.
Сказанное можно интерпретировать следующим образом. Выделим бесконечно малый элемент, стягивающийся в точку х, лежащую на поверхности S* (рис. 1.2). Локальную систему координат выберем так, чтобы направление оси х】совпадало с направлением единичного вектора нормали к 5* в точке х. В этом случае величины Т^, Т?2, Т：з определяются компонентами заданного вектора внешних усилий р*, а величины Т*2, Т『з, Вз можно трактовать как кон троп ируемое пр ед вари гель- ное нагяжение приращиваемого элементарного слоя [22].
Резюмируя изложенное, заметим, что особые граничные условия (2.24), (2.25) на поверхности наращивания S*, эквивалентные в определенном смысле начальным условиям (2.18), (2.20), задаваем^ в каждой внутренней точке дополнительного тела, дают основания рассматривать постановку задачи для растущего тела как неклассическую начально-краевую задачу с изменяющейся границей. Под изменяющейся границей понимается, естественно, движущаяся (может быть, точнее было бы сказать, распространяющаяся) вследствие непрерывного притока вещества извне по-
iicpxiiocib наращивания 5*(0. Эта задача, как уже отмечалось, называется эволюционной граничной задачей для растущего тела.
Итак, приведем полную систему уравнений и условий эволюционной граничной задачи, приняв во внимание, что все необходамые комментарии даны выше:
V-T + pb = 0,х£С«), Г > т*(х),
(2.28)
(2.29)
Е= defu,хЕС*«), t > т*(х),
Е = defu,xWCo, t>Q,
(2.30)
Т = /(Ег(х,т)), хеод, »%(х).
(2.31)
Т-п1 =р,Ю,
(2.32)
ul =u°,f>0,
(2.33)
Els*“)= E*,f>0.
(2.34)
Т“Т，Q。，
(2.35)
Е(х,т*(х)) = Е*(х),x£C*G),
(2.36)
Т(х,т*(х)) = T*(x), х £ £2*(0,
c(D = с。и £i*(o, s «)三 а ^(о = sa и su и s*a).
(2.37)
Заметим, что до сих пор ничего не говорилось об условиях на
границе
раздела основного и дополнительного тел, т.е. на общей границе областей Со и С*«). Обозначим эту границу через SJ. В принципе она может изменяться со временем, поэтому отождествлять ее с границей S* (0), вообще говоря, нельзя. Учитывая, что основное и дополнительное тела в общем случае могут состоять из различных материалов, а сама граница S* может расширяться в процессе наращивания, на этой границе следует сформули-
ровать условия перемещения:[Т・п] 15* = 0,向 1sL,ровать условия перемещения:[Т・п] 15* = 0,向 1sL,непрерывности вектора напряжения и скорости векторанепрерывности вектора напряжения и скорости вектораГ>0,Г>0,(2.38)(2.38)才 >0, S^ 三 ЗСо сас*«)・才 >0, S^ 三 ЗСо сас*«)・(2.39)(2.39)
ровать условия перемещения:
[Т・п] 15* = 0,
向 1sL,
ровать условия перемещения:
[Т・п] 15* = 0,
向 1sL,
непрерывности вектора напряжения и скорости вектора
непрерывности вектора напряжения и скорости вектора
Г>0,
Г>0,
(2.38)
(2.38)
才 >0, S^ 三 ЗСо сас*«)・
才 >0, S^ 三 ЗСо сас*«)・
(2.39)
(2.39)
Здесь квадратные скобки означают скачок заключенной в них величины при переходе через поверхность S^； и — вектор нормали к S片.Поставленные условия, естественно, соответствуют случаю, когда по границе 5* осуществляется полный механический контакт основного и дополнительного тел.
В работе [22] показано, что эволюционная граничная задача (2.28) — (2.39) математически эквивалентна некоторой краевой задаче для скоростей искомых величин, в которой на изменяющейся границе S* формулируется граничное условие в напряжениях обычного вида, т.е. задается вектор напряжений. Воспроизведем здесь эти рассуждения.
Для вывода упомянутого граничного условия на 5*(0 подействуем
оператором дивергенции на соотношение (2.37):
T.Vr*+V-T = V-T*.(2.40)
Приняв во внимание равенство
Vr*= IVr*ln,(2.41)
где п — единичный вектор нормали к S*, н воспользовавшись уравнением равновесия (2.28), получим
knl S* ⑦=(▽•「+Pb)%,(2.42)
где sn — скорость распространения поверхности S* по нормали в точке х, определенная формулой (2.2).
Полученное соотношение (2.42) и образует искомое "векторное” граничное условие на поверхности наращивания S*(f).
Дифференцируя по времени уравнение равновесия (2.28), соотношение (2.30) и условия (2.32), (2.33), (2.38) на ^стационарных участках границы по времени Г, будем иметь:
▽・i+pb = o,
х£С«),
(2.43)
Е = defu,
х£С«),
(2.44)
T-nl =р,
(2・45)
ul =й°,
(2.46)
(2・47)
При записи уравнения (2.44) учтено, что оно сохраняет силу и в области С*.
К условиям (2.45)-(2.47) добавим условие (2.39), которое остается без изменений:
向%* = 0・(2俐
Уравнение состояния "задачи в скоростях” получается дифференцированием определяющего соотношения (2.31) исходной задачи по времени t и последующей подстановкой в него выражения
чается от левосторонней производной, определяемой по заданной предыстории тензора деформации {Е1 (х,т), тъ (х) < т < т*(х) } •
Для нахождения скоростей напряжений, деформаций и перемещений из системы уравнений (242) — (2.49) могут быть использованы известные аналитические или численные методы.
06 определяющих соотношениях неоднородно стареющегорастущего вязкоупругого тела
При формулировке эволюционной граничной задачи для растущего тела определяющие соотношения не конкретизировались. Предполагалось только, что они, согласно общепринятой терминологии, относятся к классу определяющих соотношений реологически простого материала. Математическая модель растущего тела, естественно, не накладывает никаких ограничений на вид используемых определяющих соотношений.
Тем не менее можно заключить, что характерная особенность реальных технологических процессов, в которых встречаются растущие тела, состоит в том, что приращиваемые элементы в момент присоединения имеют иные механические и реологические свойства, нежели элементы, расположенные в глубине растущего тела, которые были присоединены к нему ранее. Эго обстоятельство связано непосредственно с технологией приращивания элементов, поскольку для осуществления рассматриваемого процесса их, как правило, необходимо перевести в иное реологическое состояние. Например, при плазменном напылении керамики приращиваемые частицы материала находятся лишь в частично отвержденном или даже полностью расплавленном состоянии и только после присоединения к растущему телу охлаждаются, существенно изменяя при этом свои механические свойства. В качестве другого примера упомянем технологические процессы намотки композитных изделий, предполагающие укладку слоев тонкой ленты, пропитанной связующим веществом. После укладки связующее постепенно отверждается, изменяя и деформативность ленты. Еще один пример — сравнительно недавно разработанные технологические процессы намоно- личивания бетонной или фибробетонной массы набрызгиванием неотверж- денной смеси на субстрат.
Совершенно очевидно, что для адекватного математического моделирования широкого спектра процессов наращивания необходимо использовать определяющие соотношения, которые учитьшают изменяемость физикомеханических свойств материала со временем, а также их зависимость от пространственных координат.
Зависимость свойств материала от времени часто называют старением. Что касается зависимости свойств материала от пространственных координат, то она в растущем теле имеет особый характер, связанный с неодно- временностью присоединения элементов материала разного возраста. Понятие неоднородно стареющего тела, процесс старения в элементах которого протекает с тем или иным запаздыванием или опережением по сравнению с окружающими элементами, введено в работах [13,14].
Предложенные в [13] линейные определяющие соотношения для неоднородно стареющего вязкоупругого (или, что то же самое, упругоползу- 18
чего) тела с учетом их модификации для случая анизотропного материала можно записать в виде
Е (х, 0 = L« - т*(х)) • Т (х, Г)-
-f —L(Z- т*(х), т —т*(х)) ・Т(х,т)"(3.1)
т*(х) ОТ
или
Т (х, 0= G" — Т*(х)) • Е(х, 0 一
，aJ)
/ 丁 G(f(x), т*(х) 8т
гдео°
Е⑴三L(f"); G(Z)= G(r, Г);(3.3)
т*(х) — введенный в разд. 1.2 момент присоединения элемента к растущему телу, который в приведенной записи предполагается совпадающим с моментом зарождения (для основного тела, естественно, т*(х)三 0). Тензоры четвертого ранга L«, т) и G(r, г) называются функциями наследственности, в частности тензор L (奪 т) — функцией ползучести, а тензор G (才，г) — функцией релаксации.
В определяющих соотношениях (3.1) или (3.2) функции L и G могут явным образом зависеть от пространственной координаты х, которая в этом случае должна быть включена в качестве дополнительного аргумента. Явная зависимость от аргумента х при этом будет отражать обычную (дополнительно к возрастной) неоднородность материала растущего тела.
Таким образом, определяющее соотношение (3.2) представляет собой конкретизацию соотношения (2.31) в общей постановке эволюционной граничной задачи для растущего тела. Замена (2.31) на (3.2) приводит к линейной постановке задачи.
Дальнейший обзор линейных определяющих соотношений проведем в индексных обозначениях. Компоненты тензоров напряжения и деформации будем далее обозначать。炉 и е^. Раскладывая тензоры напряжения и деформации на девиаторные и шаровые составляющие, будем иметь:
。尸〃+ 3〃。，K% 恥，
%』• + %£，е=1/з%мб)
где $炉，е仔—компоненты девиаторов напряжения и деформации; о — гидростатическое давление; е — объемная деформация; 5^ — символ Кронекера.
Прежде чем перейти к развернутой записи необходимых для дальнейшего определяющих соотношений, отметим следующее. Элемент материала, сформированный в момент зарождения ть (х) и вступивший в состав растущего тела в момент присоединения т*(х), вообще говоря, начинает деформироваться под действием каких-либо приложенных к нему напряжений в некоторый момент времени, который не совпадает ни с моментом зарождения, ни с моментом присоединения. Назовем этот момент времени моментом загружения и обозначим его т0 (х). В общем случае имеют место неравенства ть (х) & То(х) & т*(х).
Поясним, с какой целью в ''жизни" элемента выделяются эти три момен* та времени. Дело в том, что в случае стареющих материалов их физикомеханические свойства начинают изменяться с момента зарождения рассматриваемого материального элемента, даже если этот элемент сразу после зарождения не загружается. Это обстоятельство, разумеется, должно быть отражено в определяющих соотношениях, поскольку именно в Ммо- лодом,5 возрасте свойства материалов изменяются наиболее интенсивно. Далее, выделение момента загружения имеет существенное значение, поскольку именно с этого момента начинается отсчет предыстории деформирования рассматриваемого элемента. Наконец, с момента присоединения рассматриваемый элемент "включается” в деформацию в составе растущего тела. Часто при моделировании реальных технологических процессов наращивания можно полагать ть (х) = т0(х) = т*(х), однако иногда такое допущение неприемлемо.
Определяющие соотношения линейной вязкоупругости применительно к изотропному неоднородно стареющему телу имеют вид [13]:
%(х, О%(х, О%(х,Г)2G(у (х))%(х,Г)2G(у (х))
%(х, О
%(х, О
%(х,Г)
2G(у (х))
%(х,Г)
2G(у (х))
(3.5)(3.6)(3.5)(3.6)人修("％ (х)，—％(x))dT,
(3.5)
(3.6)
(3.5)
(3.6)
To(x) 2 G(7 —%(x))
/ 、o(x,0
e(x, 0 =
E*(f(x))
r a(x,
/ 7~^°2«-%(x), 7 — %(x))dT・
7°(x) E*(T-%(X))
Здесь G(f),E*(t) 一 упругомгновенные модули сдвига и объемной деформации; 01(厶 т), 02 (% т) — ядра ползучести при сдвиговой и объемной деформации соответственно.
Ядра 01 (%, т) и 02 G，т) — это экспериментально определяемые функции, на описании аналитических выражений которых мы здесь не останавливаемся, хотя некоторые важные свойства этих функций в дальнейшем будут явно или неявно использоваться. Читателя, заинтересованного в детальном ознакомлении со свойствами ядер ползучести и релаксации стареющих материалов, мы отсылаем к монографиям [18, 19].
Определяющие соотношения для сдвиговой и объемной деформации (3.5) и (3.6) можно объединить в одно соотношение, связывающее компоненты тензоров деформации и напряжения:
%(x,t) = ("QD(爲尸"三^^"/](翼),
(3.7)
где операторы I, Qi и Q2 действуют следующим образом:
"仆,0"仆,02G(>%)2G(>%)(% = %(х)),(% = %(х)),
"仆,0
"仆,0
2G(>%)
2G(>%)
(% = %(х)),
(% = %(х)),
0瓜X,7) -Qi^-Tb,T-Tb)dT,2G(т-%)0加X") J乙、; Qi(" %"-%)-2G(т —%) L0瓜X,7) -Qi^-Tb,T-Tb)dT,2G(т-%)0加X") J乙、; Qi(" %"-%)-2G(т —%) L1 -2匕(т-%)1 +%(т —%)1 -2匕(т-%)1 +%(т —%)02a _%" —02a _%" —dr.dr.
0瓜X,7) -Qi^-Tb,T-Tb)dT,
2G(т-%)
0加X") J乙、
; Qi(" %"-%)-
2G(т —%) L
0瓜X,7) -Qi^-Tb,T-Tb)dT,
2G(т-%)
0加X") J乙、
; Qi(" %"-%)-
2G(т —%) L
1 -2匕(т-%)
1 +%(т —%)
1 -2匕(т-%)
1 +%(т —%)
02a _%" —
02a _%" —
dr.
dr.
Здесь 匕(f) — коэффициент поперечного сжатия (коэффициент Пуассона) при упругомгновенной деформации.
При решении прикладных задач часто принимают
匕 О 〃 = const.(3.8)
Тогда определяющее соотношение (3.7) принимает вид
(3.9)(3.9)%(х, t)=(l+ 〃)(1 — Q)(誓)-叫(I 一 Q)(詈)，
(3.9)
(3.9)
где
j %心，7)7т0(х)Е(т-ть)j %心，7)7т0(х)Е(т-ть)0(" %,7 — %)dT0(" %,7 — %)dT(% = %(x))・(% = %(x))・
j %心，7)
7т0(х)Е(т-ть)
j %心，7)
7т0(х)Е(т-ть)
0(" %,7 — %)dT
0(" %,7 — %)dT
(% = %(x))・
(% = %(x))・
Здесь 0(% т) — ядро ползучести при одноосном растяжении-сжатии; £(£)— модуль Юнга стареющего материала.
Если принять, что объемная деформация является идеально упругой, то определяющее соотношение (3.7) записывается в форме
……晦)f翁),
(3.10)
где оператор Qi — тот же, что и в (3.7).
Приведенные в этом разделе определяющие соотношения теории вязкоупругости неоднородно стареющих тел в дальнейшем будут использованы при решении конкретных задач. Эти соотношения отражают влияние характерных особенностей процесса наращивания на возрастную неоднородность растущих тел, т.е. учитывают органическую связь процессов наращивания и неоднородного старения.
Глава 2
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИНЕПРЕРЫВНО РАСТУЩИХ ТЕЛ
В главе дается постановка смешанной задачи для вязкоупругого стареющего тела в процессе его кусочно-непрерывного наращивания. Предлагается метод исследования получаемых смешанных краевых и начально-краевых задач. Рассматриваются конкретные контактные задачи. Выводятся их интегральные или парные сумматорные уравнения. Строятся решения уравнений и приводятся численные примеры. Обсуждаются качественные и количественные эффекты, в частности влияние способа и скорости наращивания тел на контактные характеристики.
Наиболее яркими примерами прикладного аспекта изучаемых задач являются расчеты возводимых гидростанций, дамб, плотин,наращиваемых элементов конструкций и деталей машин.
Смешанная задача для кусочно-непрерывно растущего тела
Постановка смешанной задачи. Пусть вязкоупругое однородное стареющее тело, изготовленное в момент времени ть = 0, занимает область Со с поверхностью 50 и до момента загружения т0 свободно от напряжений. От момента загружения на поверхности тела задаются в общем случае четыре типа граничных условий: на &«) — поверхностные силы, причем существует стационарный участок поверхности 5* С Si«), где поверхностные силы равны нулю; на 52(0 - перемещения； на 53(г) - нормальные перемещения и касательные усилия; на 54(г) — нормальные усилия и касательные перемещения.
Участки поверхности, на которых задаются разные граничные условия, не пересекаются и в целом занимают всю поверхность тела. Зависимость Sj от времени t учитывает возможность движения линий смены граничных условий по поверхности 50 (движение нагрузок, штампов и т.п.). Если поверхность тела не замкнута, то на бесконечности задается поведение напряжений или перемещений.
В момент 71》г。начинается непрерывное наращивание тела элементами, изготовленными одновременно с ним (% (х) = 0). В процессе роста оно занимает область C(f) с поверхностью S (г). Поверхность роста 5*(г)(5*(т!)= =S*) движется в пространстве, при этом участки задания граничных условий Sj(f)(i = 1, ..., 4) могут изменяться за счет загружения неподвижной поверхности дополнительного тела [17, 22]. Будем считать, что задаваемый на поверхности роста полный тензор напряжений согласован с нулевыми поверхностными силами на S*(f), а момент приложения нагрузки к приращиваемым элементам совпадает с моментом их присоединения к растущему телу (т0(х) = т*(х)).
В момент времени т? > т* наращивание тела прекращается, и с этого момента на поверхности S* = 5(т2) тела, занимающего область С】= =С(Т2), задаются четыре типа граничных условий на участках Sj(f), причем участка с заданными нулевыми поверхностными силами может и не существовать, а поверхность Sf = 5*(т2 ) может загружаться.
22
Рассмотрим далее медленные процессы, такие, что в уравнениях равновесия можно пренебречь инерционными членами. Объемные силы полагаем равными нулю.
Напряженно-деформированное состояние тела до начала наращивания. Исследуем напряженно-деформированное состояние вязкоупругого однородно стареющего тела на интервале времени t € [т0, rj. Имеем следующую краевую задачу:
У т = о,
x£Si(f): п * Т = ро, х€ S* С Sx(f): п • ТО,
x£S2(f)： u = u0,
х£5з«): nn u = U!, n Т — n • Т • nn = pi,
xES4(t): n • T • nn = p2, u — nn • u = u2,
E = ^[Vu + (Vu)r],(1.1)
T=E(1 + 叮i(I+N(To,a)但+以 1 -2py1I1(E)ll,
(i-l(7O,o)=(i + n(7O,O)-1,
L(7o,O/(O=}/(T)^(r,7)d7, To
K",*= Е(т)(а/ат)[£-1 (r) + C«")]・
Здесь T, E, u, р/ и 山一тензор напряжений, деформации, вектор перемещений, задаваемые векторы поверхностных сил и перемещений (аргументы х (радиус-вектор точки тела) и f (время) опущены); и — единичный вектор нормали к поверхности тела; Е = Е") — модуль упругомгновенной деформации при растяжении; 1Х(Е) — первый инвариант тензора деформации; 1 — единичный тензор; С«, т) — мера ползучести при растяжении; I — тождественный оператор; V — набла-оператор; коэффициенты Пуассона упругомгновеннрй деформации и деформации ползучести совпадают и равны р (см. (13.9)).
Поскольку набла-оператор и оператор (I — L(r0,0) коммутативны, полагая
T0 = (I-L(a))TL,(1.2)
преобразуем краевую задачу (1.1) к удобному для исследования и построения решения виду:
V т° = о,
xGSx(0： n-To = (I-L(To,O)Po^-1 =Р°,
x£S*USi(f): n • Т° = 0, x£S2«)： u = u0,
х£5з«): nn • u = Ux, n • T° — n • T° • nn =
= (I — L(n,f))PiET=p?,(1.3)
x£ 叉⑺：ft • T • nn = (I - L(t0,0)p2^-1 = P2,
u — nn • u = u2,
E = ^[Vu + (Vu)r],
T° = (1+u)T[e + 〃(1—2〃)—％(E)l].23
Решив (1.3), восстановим истинные напряжения по формуле
Т(х, 0 = £(0[Т°(х, 0+ /Т°(х, T)R(ttT)dr],(1.4)
где R (厶 т) — резольвента ядра К (Г, т).
Отметим, что для решения краевой задачи (1.1) можно при соответствующих краевых условиях воспользоваться принципом соответствия из [12,19].
Смешанная начально-краевая задача для непрерывно растущего тела. Рассмотрим теперь непосредственно процесс наращивания деформируемого тела (тх < Г < т2). Смешанная начально-краевая задача для растущего тела имеет вид [20]:
V т = о,
x£Si(f): п • Т = ро, хе$2«)： u = uo,
xG53(г)： nn u = ui, n • Т - n • Т • nn = pi,
xWSMf): n -T -nn=p2, u -nn • u = u2,
(L5)(1.6)(L5)(1.6)x€S*(r)： T = T*, Г = т*(х),
(L5)
(1.6)
(L5)
(1.6)
E- = ^[Vu+(Vu*)T],
T = £(l +p)-1(I + N(70(x),0)[E + p(1 -2P)-1 -Л(Е)1]
7I ТОМЕ%,
(t*(x),x£C«)\%・
Здесь точкой над функциями обозначено дифференцирование по Г; т*(х)— момент присоединения к телу элемента, характеризуемого радиус-вектором х; оператор (I - L(Tq(x)")) и обратный к нему (I + N (т0 (х), Г)) определяются из (1.1) заменой т0 на т0 (х); Т* = Т*(х) = Т(х, т*(х))- задаваемый на 5*(0 полный тензор напряжений, удовлетворяющий условию
xGS*(0： п-Т* = 0 (и <Г<т2).(1.7)
Как показывают соотношения (1.5), (1.6), исследуемый процесс наращивания тела новыми элементами в общем случае приводит к определяющим соотношениям, содержащим разрывы на поверхности раздела основного и дополнительного тел. Поэтому рассмотрим отличный от общего, изложенного в гл. 1, подход, являющийся более эффективным в задачах выбранного класса.
Представим уравнение поверхности роста S*(f) при t = Ti(S*(Ti) = S*) в виде Р =尸(х) = 0 (xG S*), гдеР< 0 при х£ О0 иР> 0 при х£ 6⑴\£2(>. Будем считать, что Р достаточно гладкая функция, такая, что VP Н 0 при Р = 0 (т.е. на поверхности S* нет особых точек). Введем характеристическую функцию 6 (Р), равную единице при Р > 0 и нулю при Р < 0 [34]. Теперь оператор Н = (I — L(r0 (х), г) ) можно записать в виде
(L8)(L8)Н/С) = (I - L(T°(x)/))/•«) - 口 -哨]L5m)/v),
(L8)
(L8)
где
L'C"】){) = ? f(T)K& T)dT；(1.9)
T°(x) = Ti + 0(P)[r*(x)-71],(1.10)
причем
xG 5*： t*(x) = t1.(1.11)
Вернемся теперь к краевой задаче (1.1), заметим, что
x£S*:п«Т=0 (То《Ут)(1.12)
и докажем следующую теорему.
Теорема 1. На множестве тензорнозначных функций, определенных в области G(f) и удовлетворяющих условиям (1.7), (1.12), операторы дивергенции и Н коммутативны.
Покажем, что HV .ТЕТ = V • НТЯ-1, если справедливы (1.7) и (1.12). Действительно:
У • НТ^т = HV • ТЕ-】+ е(Р)Ут*(х) • Т*(х*т(т*(х))К«, т*(х)) +
+ 3(Р) ▼尸・и(Тот)ТЕТ,(1.13)
где 5(Р) — обобщенная функция на гладкой поверхности (аналог дельтафункции Дирака) [31,34] и учтено, что Vт°(х) =^(P)Vr*(x).
Второе слагаемое выражения (1.13) равно нулю при xG По в силу определения 0(Р), а при х £ П(Г)\Л0 в силу (1.7), так как Vr*(x) совпадает по направлению с нормалью к поверхности роста S*(f) (xG S*«) : т*(х)=
Третье слагаемое (1.13) равно нулю вследствие (1.12), поскольку VP при х £ S* совпадает по направлению с нормалью к S*. Теорема доказана.
Механический смысл условий (1.7) и (1.12) состоит в следующем: поверхность основного тела, к которой будет происходить приток вещества, до момента начала наращивания не загружается, как не загружается и сама поверхность роста в процессе наращивания.
Подействуем оператором Н на выражения из (1.5), содержащие Т, предварительно разделив их на Е. Вводя обозначение
Т° = НТ£Т(1.14)
и применяя теорему 1, получим
V т° = о,
x£Si«): пТ° = Нро = р°,
x£S2(D： и 二 Uo,
xWS3(f): nn・u = ui, n • T° - n • T° • nn= Hpx = p?,
xG54(r): n • T° • n = Hp2 = p§, u — nn • u = u2,
x£S*«): т° = Т°* = Т*ЕТ, n-T* = 0, Г=т*(х),(1.15)
E- = ^[Vu4-(Vu)T],
T0 = (l +〃)一1 [E + "l -2u)T厶(E)R.
Соотношения (1.15) представляют собой начально-краевую задачу с операторными напряжениями Т°, определяющие соотношения которой не имеют разрывов.
Преобразуем начально-краевую задачу (1,15) к краевой задаче относительно скоростей Т°, Е и и. Для этого продифференцируем по Г уравнения равновесия, граничные условия на Sz (0 (/ = 1,..., 4) и уравнения состояния. Для вывода граничного условия на S*«) подействуем оператором дивергенции на начально-краевое условие Т°(х, т*(х)) = Т°* (х), тогда
x£S*(f): n-T0，= V •T°*IVt*(x)|-1.(1.16)
Заметим, что
У ・Т。* 二У ・(Т*(х)£7(т*(х))) = У ・Т*(х)£т(т*(х))_
-V7*(x) • Т*(х)Е“(т*(х))Е*(т*(х)),
где второе слагаемое равно нулю в силу условия (1.7).
Окончательно с учетом (1.16) и (1.17) будем иметь (см. [20]):
V Т° =0,
x£Si(f): n-T° =р° =Rp0,
x£S2«)： u* = Uo,
X G S3O nn • U = ui , n.To_n.To.nn = po= Rp](1.18)
XW&C)： n-T0, nn=p2* = Rp2, u' — nn • U = ui , xGS*(0： n・T5=V ・T*£T|Vt*L,才= t*(x), E・二％pW + (yif)T],
T0，= (l+1/)-1 [Б' + p(l - 210T 厶(E，)l],
где оператор R определяется выражением
R介霊芈Е«)т°(х)"R介霊芈Е«)т°(х)"8С(/, То(х))8С(/, То(х))8c(fd? +
R介霊芈Е«)т°(х)"
R介霊芈Е«)т°(х)"
8С(/, То(х))
8С(/, То(х))
+F(Mx))+F(Mx))Здесь использован тот факт,Здесь использован тот факт,(1.19)
+F(Mx))
+F(Mx))
Здесь использован тот факт,
Здесь использован тот факт,
что на основании C(t, f) = 0 выполняется ра
венство
8С(г,т)ас«,7) с
t-T\ += 0.
btдт
Таким образом, начально-краевая задача наращивания вязкоупругого стареющего тела (1.5) приведена к краевой задаче (1.18) для скоростей перемещений и", деформаций Е* и операторных напряжений Т°\ где время Г играет роль параметра. Заметим, что краевые задачи (1.3) и (1.18) математически эквивалентны, поскольку граничные условия на 凡⑺ и 5*(0
в задаче (1.18) идентичны, т.е. на поверхности задается, как и в задаче с фиксированной границей, всего четыре типа граничных условий.
После решения (1.18) операторные напряжения Т° и перемещения и определяются по их скоростям из соотношений вида
(1.20)(1.20)з(х, г)=з(х,т°(х))+ / 3'(x,T)dT, т°(х)
(1.20)
(1.20)
а истинные напряжения находятся из уравнения Вольтерра второго рода (1.14).
Формулы для напряжений и перемещений в растущем теле при С《f & 丁2 имеют вид:
xG£20; T(x,r) = E(r) I+ ；RG т)斗 IL Е(т^ % Е(т)儿 jJ
(1.21)(1.21)+ S^'^z^d^Rit^ T)dr
(1.21)
(1.21)
u(x, 0 = u(x,Tl) + Ju'(x,T)dr,(1.22)
хЕ^(Г)Шо： T(x,r) = E(0j ^(^ ^dA +
+ / [t°-(x,t)+ / T°・(x,z)dzRGT)]d，，(1.23)
r*(x)Lt*(x)」 丿
U(x, 0= / u'(x,T)dT, T*(x)
где использована информация о напряжениях и перемещениях при т0 & & f & 丁1, полученная на предыдущем шаге решения задачи. Начальные значения перемещений в дополнительном теле и (х, т* (х)) (поскольку они не влияют на напряженно-деформированное состояние) положены равными нулю.
Соотношения (1.18) —(1.24) показывают, что на напряженно-деформированное состояние растущего вязкоупругого тела влияет вся история его загружения и наращивания. Кроме того, на основе этих соотношений можно найти такие режимы загружения, при которых влияние наращивания на состояние основного тела будет весьма мало, а само дополнительное тело будет практически не деформировано, Действительно, если предположить, что загружается поверхность только основного тела, воздействия стационарны, наращивание происходит без натяга и момент начала наращивания гораздо больше момента загружения, то, пользуясь свойствами ограниченной ползучести вязкоупругого материала
lim^oodCCr,T)/bt = 0, на основании (1.18)-(1.24) придем к сформулированным выводам. К тем же выводам приводит режим загружения, при котором воздействия длительное время до начала наращивания остаются постоянными независимо от их изменения в предыдущие моменты (предполагается, что, выйдя на стационарные значения, воздействия больше не изменяются).
Рассмотренные эффекты имеют ясный механический смысл. Вязкоупругое тело в условиях ограниченной ползучести при стационарных воздействиях с течением времени практически перестает деформироваться. Его последующее наращивание ненапряженными элементами приводит к ситуации, когда взаимное влияние основного и дополнительного тел несущественно.
Отметим, что вопрос об однозначной разрешимости начально-краевой задачи наращивания (1.5) решается одновременно с вопросом о существовании и единственности решения краевой задачи (1,18).
О деформировании тела после остановки роста. Пусть теперь в момент времени т2 наращивание тела прекращается. В этот момент оно занимает область С】с поверхностью 5Х, на которой задаются четыре типа граничных условий, причем S*&2)= S* U Sj ⑦ (f = 1, ..., 4). В этом случае краевая задача имеет вид (1.5), где отсутствует начально-краевое условие на 5* (Г) и т*(х) = т2 при х £ Sf (Г > т2) • После преобразований, аналогичных проделанным для начально-краевой задачи наращивания, краевая задача для определения напряженно-деформированного состояния после остановки принимает вид (1.18), где опускаем условие на растущей поверхности. Напряжения и перемещения в этом случае отыскиваются по формулам (см. (1.6))
Т(х# = Е⑴f ■^^K(T2,T)d7][l +石(丁2) t°(x) E(t)
+ /R&7)dT + / T)dr+ f T°-(x, 7)d7 +
q 」T0(x) E(T) Q
f Г 々 T(x, z) т c 1 I
+ / / ^KSz"%* /T°・(x,z)dz R(%T)dT , (1.25) t3 lr0(x) E(z) % 」 1
u(x, 0 = u(x, Q)+ / W(x, 7)dT. (1.26)
В соотношениях (1.25), (1.26) учитывается поведение напряжений и перемещений при т°《f & т】，найденное из решения краевой задачи (1.1), и при г】 《f《丁2，полученное после исследования начально-краевой задачи (1.5).
На основании предложенного метода можно рассмотреть кусочно-непрерывный процесс наращивания вязкоупругого стареющего тела с любым конечным числом моментов начала роста и остановок. При этом участки поверхности тела, к которым будет происходить приток вещества, не должны загружаться. Свободной от нагрузок должна быть и поверхность
роста в процессе наращивания. Если на некотором участке этой поверхности предполагается после остановки через определенное время подолжить наращивание, то этот участок также не должен загружаться. Задачу с и моментами начала роста (и, естественно, с м остановками) можно привести к исследованию 2м + 1 однотипных задач, где время является параметром, а напряженно-деформированное состояние вязкоупругого тела восстанавливается по известным формулам, в общем случае имеющим после начала роста следующий вид:
(Т(х, т0(х))»
+ / T°・(x,7)dT+ // Т0，(х, z)dzR(tfT)dr\ t(1.27)
%(Х)То(х) т0(х)丿
u(x, r) = u(x,T0(x))+ / u(x,T)dT.(1.28)
%(x)
Следует помнить, что соотношения (1.27), (1.28) необходимо преобразовывать в соответствии с конкретным этапом процесса (после начала наращивания, после первой остановки и т.п.), так как выражения для скоростей операторных напряжений и перемещений на различных этапах получаются из решения различных задач.
Отметим также, что при численной реализации удобнее пользоваться не (1.21) — (1.26), а эквивалентными им (1.27), (1.28).
Взаимодействие вязкоупругого стареющего клинас гладким жестким штампом при угловом наращивании
Постановка задачи. Рассмотрим однородный стареющий клин с углом раствора а0, изготовленный в нулевой момент времени (рис. 2.1). В момент времени т0 в одну из граней клина на участке а < г < b начинает вдавливаться гладкий жесткий штамп с формой основания g(r), На штамп действует сила P(f) и момент M(t), эксцентриситет приложения силы равен е (г). Другая грань клина свободна от напряжений.
В момент времени т^ незагруженная грань начинает наращиваться ненапряженными элементами так, что с течением времени изменяется угол раствора клина а (Г). Наращивание по такому закону назовем угловым. В момент времени т2 рост клина прекращается, угол его раствора к этому моменту равен ах < 2тг, а грань, к которой происходил приток вещества, свободна от напряжений и при Г>т2.
Будем считать, что приращиваемые элементы изготовлены в один и тот же момент с исходным телом, а перемещения точек клина при г -> 8 стремятся к нулю. Клин находится в условиях плоской деформации.
. Вывод интегральных уравнений. Заменим штамп некоторой нормальной распределенной нагрузкой р (г, f), действующей на том же участке. Тогда на основании разд. 2.1 придем к решению трех краевых задач: относительно Т° и и на интервале от момент загружения до начала наращивания,
Рис. 2.1. К контактной задаче для клина при угловом наращивании
Величины а0 и а】 характеризуют начальное и конечное значения угла раствора клина. Функция а«) задает закон изменения его формы
Т°* и и' от начала наращивания до остановки и от остановки до сколь угодно большого значения времени.
Указанные краевые задачи можно представить едиными соотношениями:
8叶 18叶 1
8叶 1
8叶 1
2%1 ЗФе2
(2.1)(2.1)(2.2)(2.2)1.+ ф д = О, drг ьег
(2.1)
(2.1)
(2.2)
(2.2)
Фг= ［(1 —)% + 〃也］/ В + 办(1 - 2喇，
Ф® = © - 〃)％ + 〃匕］/IO + 〃)(1 一 2喇，(2.3)
① m =田m/(1 +〃)，
0 = 0: Ф0 =Д(г, t)(a<r< b),
Фе =0 (b《г & q), Фг0 = 0,(2.4)
二入：①@ = Ф* = 0,(2.5)
где Ф, Ф и и с соответствующими индексами, которые временно опустим, зависят от г, 0 и t, причем на интервале времени от т0 до т】：
Ф = а°(г,仇 0 = (1- Мт。/))«，,仇 Е)£Т«),
Ф = е(г,0,О,
u = 〃&,0"),(2.6)
△(厶 0 = P°&，0=(1- L(To, ty)p(r, /)£Т(f), 入=%;
на интервале от 门 до т2:
dr +dr +(2・7)(2・7)(2.8)(2.8)Ф =。° & 仇 0,屮=e *(r, 6, 0, и = 〃 (г,仇 О, 。。色 0, 0 = (1-L(T°(0),r))a(r,仇 f)£T ⑺- 一 [1 - 〃(8 -%)]U(Q,「)o&,仇 f)ET(f), #(8) = T1+力(8-削)[产(8)-口],
dr +
dr +
(2・7)
(2・7)
(2.8)
(2.8)
△(f) = p°GD 二△(f) = p°GD 二dr btdr bt，(厶 г) + : эр (г, т) ас«, т)
△(f) = p°GD 二
△(f) = p°GD 二
dr bt
dr bt
/ 、ac（D
+ р（"。）一丁
入=а(0
и при Г》г? в отличие от (2.7) 入二%.
Здесь а(г, 0, t), e(r, 0, f), u(r96,t) с соответствующими индексами - компоненты тензоров напряжений, деформации и вектора перемещений в цилиндрической системе координат, ноликом обозначены их операторные значения, а точкой — скорости;力(0 — а〔) — функция Хевисайда; т*(8)— момент присоединения элемента с координатой 8 к основному телу.
Решение краевой задачи (2.1) —(2.5) можно построить при помощи интегрального преобразования Меллина [3,66], в частности:
2(1 -р2) ь
и®(4 0, Г)=『左S", Х)Д(р,0^Р,(2・9)
、8 ssin2 入+ sh2 入 s
心"'人)7 一派m入s . s2s"入СO'""5 + %臂(0 ”m(»)，6о)
(2.И)(2.И)я(2Х + sin 2 入) n『("丁・
(2.И)
(2.И)
Интеграл в соотношении (2.10) существует только в смысле обобщенных функций, и его регуляризация определена с точностью до произвольного функционала, сосредоточенного в нуле [34]. Следствием последнего замечания является выполнение равенства (2.9) с точностью до произвольной аддитивной функции времени.
Полагая теперь р&, г) = —q&, f) и приравнивая w0(r, 8, » и〃“г,仇。при 0 = Оиа^г<Ь перемещению и скорости перемещения штампа как жест-
кого целого, на основании (2.6) —(2.11) получим интегральные уравнения задачи в виде [20]:
2(1 -〃2) ьс
/ 左(夕,К ao)q°(p, f)dp = ^(t)r-g(r) (r0 <r<T!),(2.12)
2(12 ) bC
J k(p, A a(D)q° *(p, Ddp = з'(少
(Т1<Г<Т2),(2.13)
2(1 —〃2)bс
，左(亿乙 ％)q°・(p, t)dp = Зр)т
(On),(2.14)
где з«) — угол поворота штампа, а его осадка и скорость осадки как аддитивные функции времени справа в (2.12) —(2.14) опущены.
К уравнениям (2.12) —(2.14) следует добавить условия равновесия штампа, справедливые для любого момента времени:
Л0=『q(〃 f)办，(2.15)
M(f)二尸⑺★) = /«—§) q& f)立(2.16)
a 2
В исследуемой контактной задаче возможны два случая: 1) известны сила и угол поворота, а отыскиваются контактные давления и эксцентриситет приложения силы (момент); 2) известны сила и эксцентриситет (момент), а определяются контактные напряжения и угол поворота штампа.
Используя (2.15), представим условия на qQ(r, г) и ^°*(г，才)в обоих случаях в форме (см. (1.19) прихЕС。，(2.6) и (2.7))
外О(0")曲=(I 一 L(7o, r))P(O^1(O =尸。⑺
(“』】)，(2.17)
Ь，、用尸(),；"(7) Эф, 7)
(2.18)(2.18)+ 尸仇)gC?」D =R°P(0 = P°(r)(f》q)・
(2.18)
(2.18)
На основании (2.16) в случае 1
fpq(pt t}dp = M(f) + afpq(pt t}dp = M(f) + a3- P«) (r>T0),3- P«) (r>T0),(2.19)(2.19)
fpq(pt t}dp = M(f) + a
fpq(pt t}dp = M(f) + a
3- P«) (r>T0),
3- P«) (r>T0),
(2.19)
(2.19)
(2.20)(2.20)e(r) = №)k(f);
(2.20)
(2.20)
а в случае 2
/р^(р, t)dp = (/ - z(70, 0)(M0+ —尸«)) E"⑴
(”I1),(2・21)
ьc a+b亠 a+b 一
央 q° ・(p")dp =R° «0+ — P(0)=JW°40 + —^ 9)
(Ат)(2.22)
. Решения интегральных уравнений. Исследуем интегральное уравнение, включающее (2.12) —(2.14) как частные случаи, с дополнительным условием типа (2.17), (2.18). Запишем их в виде
2(1-户)ъ
f ^(Р, г,入)9(Р, f)dp = W«)r -力&),(2.23)
(2.24)(2.24)b
(2.24)
(2.24)
丿心，t)dp = №). a
Аппроксимируем множитель подынтегральной функции ядра (2.10), представленный дробью, функцией cthtnf-^X)^] s~l. Погрешность такой аппроксимации при всех s G [0, °°] и 0 < X < 2я не превосходит 15%, а для я/2 < X < 2я не превосходит 5% [3, 32]. Тогда, используя регуляризацию интеграла [35]
b Cth7Tj*T (入)5к
/ — cossrjds = -ln[2sh ],(2.25)
aS2
получим следующее выражение для ядра уравнения (2.23):
к(р,г, Х) = -\п[(р^-г^)1р^К)]-(2.26)
Подставляя (2.26) в (2.23) и дифференцируя по г (эту операцию обозначим штрихом) полученное уравнение, будем иметь (см. также [3]):
2(1-m) ьс(入)凶(人)-1,
—/ — UP, Ddp =屮«)-力'&) •(2.27)
万 "萨(入)一六(入)
Уравнение (2.27) заменой переменных приводится к хорошо изученному сингулярному интегральному уравнению (см., напр.; [71]). Решение (2.27) с учетом дополнительного условия (2.24) имеет вид.
次小）=次小）=“3（入）—a^Kb（b^ -小入））］%“3（入）—a^Kb（b^ -小入））］%XXX 〃⑴一X 〃⑴一/ ［（0式入）- m（入））（b^ -d（入））］弦x/ ［（0式入）- m（入））（b^ -d（入））］弦x
次小）=
次小）=
“3（入）—a^Kb（b^ -小入））］%
“3（入）—a^Kb（b^ -小入））］%
X
X
X 〃⑴一
X 〃⑴一
/ ［（0式入）- m（入））（b^ -d（入））］弦x
/ ［（0式入）- m（入））（b^ -d（入））］弦x
(2.28)33(2.28)33
(2.28)
33
(2.28)
33
Y 收D -〃‘(P) 7 I
X dp 5
济(入)一尸(入)I
3. Зак. 1035
Рассмотрим теперь интегральное уравнение (2.12) с дополнительным условием (2.17). На основании (2.23), (2.24) и (2.28)
0貝%)/%)Т
q(К t) = — X
"[&«%)_ 卢。】))(/% )_ 戸(％ ))]力
I 2(1 -") "
(2.29)(2.29)X (b久%)-0貝%))]坟二^~乏史人 dpi(70 & 方 & 71).
(2.29)
(2.29)
卢%)«(%) J
Если угол поворота штампа з(£)задан, то операторные напряжения 4。(了, Г) в силу (2.29) определены. Остается только восстановить контактные напряжения по формуле (1.4) и найти эксцентриситет приложения силы, пользуясь соотношениями (2.19), (2.20). Если известен момент 7И(0, то подставляя (2.29) в (2.21) найдем угол поворота €о(0, вернемся к (2.29) и при помощи (1.4) получим контактные давления.
Решение интегрального уравнения (2.13) при условии (2.18) на основании тех же соотношений можно записать в форме
^^ ^= п[(г^а^ 一 “Н。⑴ 1)(/Л【а(')1 _^9«)1)]%
x[ро()- ——f [,[。⑺ 1 -m[。⑴ J)X
I2(12)。
X (菸s⑴]—济S(£)])]%^-^dp\(T1 《?《n).(2.30)
济[0(力]_/[0(力) J
выберем бе гон. Перейдем к безразмерным величинам по формулам:
г* = га'1, р* = ра~1,
e*(f*) = е(ОйГ* 产=仃 U,
т* = тто1, т? = т1то1,
建=乙7义 e = ba~x,
&*«*)= a(f),^*(r* г*) = q&, t)E-‘ (t),(2.31)
Р*(Г*) = Л^"1(0^"\
K*(f*, т*)二 К«, т)то, g*(r*) = g&)4T,
3*(产)二 3(f)
(звездочки далее опустим). Замечая, что в рассматриваемом примере решение не зависит от коэффициентов Пуассона, зададимся следующими значениями функций и параметров [12, 19, 20]:
С(г, т)=(С° +/%—仃)(1 —е-)("「))，
gе) = (я/2)(f + а 一 271)/(々-T)
尸")=1,(2.32)
C°= 0,5522, /о = 4,
0=0,31,) = 0,6,
с =9,з«) = 0,風尸)=0,
т0 = 10 сут.
Исследуем случаи медленного и быстрого углового наращивания клина: 1) медленное угловое наращивание - тг = 2, т2 = 10, а*(г) = 7г/16; 2) быстрое угловое наращивание - Ti = 2, т2 = 4, а*(г) = я/4. Видно, что во втором случае скорость наращивания a'(f) вчетверо превосходит скорость наращивания, выбранную для первого случая.
На рис. 2.2. показаны предельные распределения контактных давлений под штампом q при % f 8 H разных скоростях наращивания, а также распределение от момента т0 до момента rlf которое с течением времени на этом интервале не меняется. На краях штампа функции распределений имеют особенности, но для удобства графического исполнения область г < 0,1 исключена, а значения напряжений при г = 0,1 обозначены точками.
На рис. 2.3 даны изменения по времени контактных напряжений q^ у левого края штампа (г = 0,1), q2 У правого края (г = 8,9) и зависимости эксцентриситета приложения силы е от времени t для двух заданных процессов.
Вертикальными сплошными прямыми обозначены интервалы времени, на которых происходит непосредственное наращивание тела (этим обозначением будем пользоваться и далее).
Видно, что процессы, характеризуемые скоростью наращивания, имеют существенные качественные и количественные различия. При быстром наращивании наиболее интенсивное изменение напряжений и эксцентриситета идет на интервале Z £ [Ti, т2] и продолжается после остановки роста. Напряжения при этом, например у левого края, возрастают в 3,5 раза, а эксцентриситет уменьшается почти вдвое.
Рис. 2.2. Распределения контактных напряжений под штампом при угловом наращивании клина
Перед началом наращивания (сплошная линия) и предельные распределения (г f 8)для быстрого (штриховая линия) и медленного (штрихпунктир) процессов
При медленном наращивании изменения характеристик более плав ные, причем с некоторого момента времени /° * 8 напряженно-деформированное состояние тела становится практически безраличным к процессу наращивания, т.е. в условиях ограниченной ползучести действующая на штамп постоянная
сила исчерпьшает свой ресурс и дальнейшее наращивание или остановка не изменяют уже установившихся значений напряжений и эксцентриситета. Отметим для сравнения, что при медленном наращивании напряжения у левого края возрастают в 2,4 раза, а эксцентриситет уменьшается в 1,5 раза. Исследование процесса медленного наращивания расширяет и понимание закономерностей формирования полей перемещений и напряжений в растущем вязкоупругом теле при стационарных воздействиях (см. разд. 2」).
Несмотря на то что в момент остановки тело имеет форму полуплоскости, распределение контактных напряжений под штампом ни при каком f》丁2 не является симметричным, а эксцентриситет приложения силы весь
ма далек от нуля, т.е. представление о теле, выросшем до полуплоскости, как о полуплоскости может привести просто к качественно ошибочному пониманию явления.
Вообще говоря, в бесконечном многообразии значений параметров процесса наращивания можно выбрать случай, когда задаваемые предыстории тензора деформации приращиваемых элементов обеспечивают совместность деформаций во всем теле. Контактные характеристики в задаче для тела, выросшего до полуплоскости при условии совместности деформаций, совпадают с характеристиками контактной задачи для полуплоскости. Однако реализация такого процесса на практике сомнительна, к тому же в теории нарацщвания этот случай является вырожденным, так как приводит к обычным в механике деформируемого твердого тела уравнениям и граничным условиям в области, изменяющейся со временем.
Отметим, что при расчетах появляется необходимость вычислять ин
тегралы вида
Z= / d±.
a [(Dd)]*“
Их удается свести к определенным интегралам без особенностей. При этом справедлива формула
х (1 — z2)-*dz.
36
Рис. 2.3. Контактные напряжения у лево го (〃)и правого ⑺ краев штампа, а также поведение эксцентриситета приложения вдавливающей силы, обеспечивающего отсутствие перекоса штампа (в), при быстром (штриховые линии) и медленном (штрихпунктиры) угловом наращивании клина
Контактная задача для клинапри произвольном законе наращивания
Постановка задачи. Рассмотрим вязкоупругий стареющий клин с углом раствора а。, изготовленный в нулевой момент времени. В момент времени т0 на участке @《х《b в него начинает вдавливаться силой Р(0 с эксцентриситетом приложения 貝才)гладкий жесткий штамп. Форма основания штампа описьшается функцией 虱х), а поверхность клина, исключая участок а <х < h, свободна от воздействий. В момент т】начинается наращивание клина ненапряженными элементами, изготовленными одновременно с ним. При этом общая конфигурация тела как клина с произвольным углом раствора сохраняется. Наращивание прекращается в момент времени т2 ・ Предполагается, что и при г > т2 поверхность тела, образованного в процессе роста, по-прежнему подвергается только контактному воздействию штампом.
P(t)P(t)Рис. 2.4. К контактной задаче для клина, растущего по произвольному законуНачальная конфигурация клина задается его углом раствора %, окончательная — величинами % и Д „ Изменение формы клина в процессе наращивания описывается функциями a(t) и /")Рис. 2.4. К контактной задаче для клина, растущего по произвольному законуНачальная конфигурация клина задается его углом раствора %, окончательная — величинами % и Д „ Изменение формы клина в процессе наращивания описывается функциями a(t) и /")
P(t)
P(t)
Рис. 2.4. К контактной задаче для клина, растущего по произвольному закону
Начальная конфигурация клина задается его углом раствора %, окончательная — величинами % и Д „ Изменение формы клина в процессе наращивания описывается функциями a(t) и /")
Рис. 2.4. К контактной задаче для клина, растущего по произвольному закону
Начальная конфигурация клина задается его углом раствора %, окончательная — величинами % и Д „ Изменение формы клина в процессе наращивания описывается функциями a(t) и /")
Исследуемый процесс роста можно описать заданием двух неубывающих функций, непрерывно зависящих от времени: функцией Дг), характеризующей расстояние вдоль оси х от вершины основного клина до вершины наращиваемого, и функцией а«), характеризующей угол раствора растущего клина. Очевидно, что Дг) = 0 и а«) = а0 при т0《才 &、； кроме того, положим ДО = Л и а(» = cq при t>T2 (рис. 2.4).
Заметим, что условие сохранения телом формы клина вносит некоторые ограничения на изменения функций /(г) и а(г). Действительно, пусть а0 < я и ах > я. Тогда при достижении углом раствора а(?) величины я при некотором значении времени г0 £ [т】,т2 ] функция Дг) должна быть постожной для всех / > ?о- Если &(£ ) всегда меньше я, то функция Дг) может изменяться произвольно.
Разрешающие интегральные уравнения и дополнительные условия. Заменим, как и прежде, штамп нормальной распределенной нагрузкой р(х, f) и перейдем к подвижной системе координат (г, 6) (см. рис. 2.4). Действуя аналогично проделанному в разд. 2.2, установим связь перемещений и скоростей перемещений с операторными нагрузками и их скоростями. Возвращаясь к исходной фиксированной системе координат (х, у) и полагая р(х, г) = -q(x, г), получим интегральные уравнения задачи в форме
2(1 — р^ ) ь
"(e X, %)4°(£ 分臂=3е)x - g(x) (70& 方 & 匕)，(3.1) Я а
2(1 一〃2) b
—Sk^^fi^x^fit), а«))Х
7Г а
(3.2)(3.2)X q°•底才)成=з・«)x «1 <Г<т2), 38
(3.2)
(3.2)
2(1 -〃2) b
-/左倉+力，x+力，s)X
Яа
X£(E?)dW = 3()x(% >72).(3.3)
Здесь q°(x,才)и q°・(x, %) - операторные значения контактных давлений q(x, г) и их скорости; з⑺ и з() — угол поворота штампа и скорость его изменения; ядра интегральных уравнений определяются выражениями (2.10), (2.11).
Дополнительные условия даются следующими равенствами:
Р⑺二 Jq(x, t)dx,(3.4)
&a + b、
M0 =尸⑺e⑺二 /q(x, z)(X - —-—) dx.(3.5)
В контактной задаче о наращивании клина по произвольному закону также возможны две ситуации (см. разд. 2.2), когда наряду с усилием задается угол поворота з(£)или эксцентриситет е(?). При помощи (3.4)、 (3.5) получим дополнительные условия на q°(x, г) и ^°*(х, г), приспо собленные к тому или иному варианту, в виде (2.17)— (2.22), где 夕 заменяется на 扌(при ссылках в разд. 3.3 на соотношения (2.17)— (2.22) будем считать, что такая замена произведена).
Решения контактной задачи на различных этапах процесса ку сочно-непрерывного наращивания. Исследование интегральных урав нений (3.1) —(3.3) с дополнительными условиями (2.17) — (2.22) аналогично проведенному в разд. 3.2 для уравнений (2.12)-(2.14). Поэтому остановимся лишь на окончательных результатах.
Решение уравнения (3.1) при условии (2.17) имеет вид
4°(х, 0 =4°(х, 0 =XX§&）代9。）-1
4°(х, 0 =
4°(х, 0 =
X
X
"［（x'^a。）一庐9。））（菸9。）一 X^a°））］ %
(3.6)(3.6)X(*%)— aa。))]%^^^ 國](To&Yq),
(3.6)
(3.6)
где штрихом обозначено дифференцирование по £
Пусть угол поворота з«) известен (случай 1), тогда, воспользовавшись последовательно (3.6), (1.4), (2.19), (2.20), найдем q°(x, %), q(x, г), M(t) и e(t) соответственно. При заданном эксцентриситете e(t) (случай 2), подставим (3.6) в (2.21), определим з⑺ (а значит, и q°(x, /))и на основании (1.4) восстановим q(xf %).
Интегральное уравнение (3.2) и дополнительное условие (2.18) дадут
、傾f)](x+/V)声叭"1X
(Г (x, 0=
Н(Х +Д0)йа(Г)，-(« +加))乂“⑴】俨
X [(b +/))乂a⑴]_(X +/V)"9(叫-% X
x "о- —ла+/(о)йа(01 -(а+ло)йа(0,]% х
х [(ь+г(о/[а(01 -a+/(o/lO£(f),]% х
X 3()偿 +/(П)На⑴ 1 -(X +/V))乂。⑴"-%“
(q《г《72).(3.7)
В случае 1 определим q(x, г) н е(г) при помощи (3.7), (1.21), (2.19) и (2.20), а в случае 2 отыщем q(xj) и аХ/), используя (3.7), (2.22), (1.21), (1.22).
Решение (3.3) и (2.18) (£》乙)получим, полагая в (3.7) ЯО = Л и МВ 二 &i・ Контактные напряжения, эксцентриситет или угол поворота найдем, действуя аналогично предыдущему, но пользуясь вместо (1.21), (1.22) формулами (1.25), (1.26).
Заметим, что предположение о ненапряженности приращиваемых элементов в рассмотренных контактных задачах не является принципиальным. Если новые элементы присоединяются к основному телу с некоторым натягом, то в правой части уравнения (3.2) появляется известный добавочный член, зависящий от х и г и характеризующий скорость искажения контактирующей поверхности тела за счет натяга приращиваемых элементов.
Очевидно, что наращивание по произвольному закону содержит как частный случай способ углового наращивания (Д。= 0), описанный в разд. 2.1.
Выделим еще один способ наращивания, в известной мере альтернативный угловому. Пусть a(r) = а。= const < я, а функция/(f) произвольна, т.е. свободная грань растущего клина движется, оставаясь параллельной первоначальному положению, причем общая конфигурация тела как клина с фиксированным углом раствора сохраняется. Такое наращивание назовем трансляционным (рис. 2.5).
Ниже проведем численный анализ контактной задачи для трансляционно наращиваемого клина и сравним два способа наращивания по их влиянию на контактные характеристики.
Численный пример. Рассмотрим задачу о трансляционном наращивании четвертьплоскости (а0 二 я/2) ненапряженными элементами с постоянной скоростью [20] (см. также [15, 65]). Пусть заданы постоянная сила и нулевой угол поворота. Основание штампа предполагается плоским. Конфигурация тела в любой момент времени задается координатой вершины четвертьплоскости х = -W) (Дг) = 0 при т0《f《q). Будем считать, что остановки процесса наращивания не происходит (т2= <»),т.е. в пределе тело вырастает до полуплоскости. Перейдем к безразмерным величинам
Рис. 2.5. К контактной задаче для клина, наращиваемого трансляционным способом
Угол раствора а0 фиксирован. Изменение формы описывается функцией /(0, принимающей в момент остановки роста значение £
по формулам (2.13), где г, р заменим на х, & и, кроме того, положим /*(£*)二 Я0д1 (звездочки опустим). Упругие и реологические характеристики материала возьмем из соотношений (2.32). Также будем считать, что режимы загружения четвертьплоскости штампом до момента начала наращивания здесь и в разд. 2.2.4 полностью совпадают.
Найдем распределения контактных давлении и эксцентриситеты приложения силы, обеспечивающие отсутствие перекоса штампа, при разных скоростях трансляционного наращивания. Положим ДО = 1, а0 = я/2, с = 9,з«) = 0,風x) = 0,q = 2,то = 1.
Рассмотрим два случая:
медленное трансляционное наращивание: ЯО = Г - 2,广(г)= =1 (Г>Т1)；
быстрое трансляционное наращивание: Дг) = 6(? _ 2), /()= 二 6(0 Т1)・ . ’
Видно, что в случае 2 скорость наращивания /О в 6 раз больше, чем в случае 1.
Поскольку в настоящем и рассмотренном в разд. 2.2.4 примерах загруженная штампом четвертьплоскость вырастает до полуплоскости (в настоящем примере в пределе при f f °°), сравним также угловой и трансляционный способы наращивания по их влиянию на распределения контактных напряжений и эксцентриситеты. На приводимых графиках сохраним обозначения из разд. 2.2.4, помня о различии способов наращивания и о том, что остановки роста не происходит. В остальном проводится полная аналогия.
На рис. 2.6 показаны предельные распределения контактных напряжений при различных скоростях f (г) и распределение от момента т。= 1 до момен- га ri = 2.
На рис. 2.7 даны изменения по времени контактных напряжений q】 у левого (х = 0,1), q2 у правого (х = 8,9) краев штампа и зависимости эксцентриситета е от времени t для выбранных значений скорости роста.
Рис. 2.6. Распределения контактных давлений под штампом при трансляционном наращивании четвертьпло- скости
Перед началом наращивания (сплошная линия) и предельные распределения (方-* 8)для быстрого (штриховая линия) и медленного (штрихпунктир) процессов
Отметим, что в случае 1 напряжения, например у левого края, увеличиваются в 1,4 раза, эксцентриситет уменьшается в 1,2 раза. В случае 2 эти величины соответственно равны 2,7 и 1,5. При г = г° 8 и любой скорости наращивания процесс устанавливается и дальнейший рост тела практически не изменяет контактных напряжений и эксцентриситета.
Сравнение примеров из разд. 2.2 и 2.3 показывает, что способ трансляционного наращивания в отличие от углового приводит к более плавным изменениям характеристик, его влияние на состояние под штампом слабее. При постоянных воздействиях независимо от скорости и способа наращивания существует характерный момент времени 产，начиная с которого влиянием процесса наращивания на контактные характеристики можно пренебречь.
О формировании полей напряжений в растущей упругой четверть- плоскости. Исследование процессов наращивания коренным образом меняет представление о напряженно-деформированном состоянии не только рассмотренных вязкоупругих, но и упругих тел. Из соотношений разд. 2.3.1 легко видеть, что наращивание упругого тела при постоянных во времени воздействиях ненапряженными элементами не приводит к каким-либо изменениям состояния как основного, так и ненапряженного дополнительного тела.
Другое дело, когда воздействия изменяются в процессе наращивания упругого тела или новые элементы присоединяются к нему с некоторым натягом. В этом случае состояние растущего упругого тела существенно зависит от последовательности его возведения и загружения, хотя и не зависит непосредственно от скорости роста, как в случае вязкоупругого тела.
Значительный интерес представляют закономерности формирования полей напряжений и перемещений в растущем теле и вне области контакта со штампами, например на поверхности раздела основного и дополнительного тел. Очевидно, что имея решение контактной задачи осуществить такое исследование не составляет труда.
Для полноты картины коснемся некоторых упомянутых аспектов на примере одной задачи [15]. Пусть на упругую четверьплоскость действует сосредоточенная сила Р(г) (при исследовании напряженного состоя- 42
Р и с. 2.7. Контактные напряжения у левого (а) и у правого ⑹ краев штампа, а также поведение эксцентриситета приложения вдавливающей силы, обеспечивающего отсутствие перекоса штампа, (в) при быстром (штриховые линии) и медленном (штрихпунктирные) транслят юн- ном наращивании четвертьплс гко- сти
ния тела в точках, расположенных на достаточном расстоянии от штампа, замена распределенной контактной нагрузки силой вполне допустима). В момент времени г = 0 исходное тело занимает область {/ > 0, х2 > > —д(0) = —д0} , сила приложена в начале координат параллельно оси х j. В тот же момент времени начинается трансляционное наращивание чет- вертьплоскости ненапряженными элементами, причем в каждый момент времени t она занимает область {打 > 0, х2 > -д(0 } (рис. 2.8). Заметим, что исследуемое напряженное состояние тела не зависит от упругих постоянных материала, а значит, одинаково во всех случаях плоской задачи (плоская деформация, плоское напряженное и обобщенное плоское напряженное состояния).
Рис. 2.8. К задаче определения напряженно-деформ ир ованного состояния растущей четвертьплоскости
Начальная конфигурация тела определяется величиной %. Изменение конфигурации задается функцией Ь(г)
Техника получения выражений для напряжений в форме контурных интегралов при помощи преобразования Меллина достаточно ясна, поэтому остановимся на общих заключениях и численных результатах подробнее см. [15]). Отметим только, что в случае растущего упругого тела методики исследования начально-краевых задач наращивания, изложенные в первой и второй главах, совпадают.
Можно показать, что при непрерывно дифференцируемых по времени функциях RD (RO) ¥= 0) и Ь(?) напряжения o22(Xir x2f 0 и а12(хь х2, 0 непрерывны по каждой из переменных xlf х2, а ах i(xi, Х2, 0 претерпевает скачок на линии х2 = —bQ- При снятии нагрузки в четвертьплоскости появляются остаточные напряжения.
Для численного анализа задачи возьмем зависимости силы и положения поверхности роста от времени в виде
А0 = R。)(1 + 峭，方⑺=bo (1 + 僚)，
где параметры а и j3, характеризующие скорости изменения указанных функций, имеют размерности, обратные времени. Введем безразмерные величины по формулам
洋=X1/瓦，^2 =x2/bQt 产=g ) = 6/a,
>(产)=b0仇，РО(产)=其产7(0) • 103,
。1(%?,x2, ^°) = ^11(^1,^2, t)bQ/P(O),
02(Х?,叫产)=022(%1，%2, О^0/Л0),
7(Х?,谑，犬)=012(%1，%2,力瓦/R0).
Можно показать, что напряжения а1э а2 нт зависят от Rf) = (1 + ?)Х ХЮ3 и b(t) = 1 + 7г (нулевой индекс опустим), где параметр 7 характеризует отношение фактической скорости наращивания к скорости изменения реального усилия, т.е. последовательность возведения и загружения четвертьплоскости. Обращаясь к безразмерным величинам, отметим, что
Рис. 2.9. Изменения нормальных и кас& тельных напряжений по времени при быстром (штриховые линии) и медленном (сплошные линии) наращивании чет- вертьплоскости для трех различных точек
1 - X] = 0,1 и х2 = -1-0; 2 - к】= =0,1 н 七=—1,3; 3 - X] = 0,1 н%2 = —1，6
7 есть скорость движения безразмерной поверхности роста, и далее будем называть параметр 7 скоростью наращивания, или роста.
Исследуем изменения напряжений по времени в точках дополнительного тела в зависимости от скорости наращивания у.
Кривые на графиках, относящиеся к случаю 7 = 1, обозначим сплошными линиями, а 7 = 3 — штриховыми. Выберем точки с горизонтальными координатами х2 = —1—0, х2 = —1,3 и х2 = —1,6. Точки с координатой *2 = —1—0 присоединяются к основному телу в момент г = 0. Моменты присоединения других точек (а значит, и моменты, с которых изучается напряженное состояние в этих точках) различны и зависят от скорости наращивания у. Обозначим их на графиках для х2 = —1,3 и х2 = —1,6 темными и светлыми точками соответственно.
На рис. 29 показаны изменения нормальных и касательных напряжений по времени в зависимости от скорости роста для выбранных точек на глубине к】=0,1. Графики демонстрируют существенную зависимость напря-
45
Рис. 2.10. Изменения нормальных и касательных напряжений по времени
Быстрое наращивание — штриховые линии, медленное — сплошные: 1 — хх - =0,5 и х2 = -1-0; 2 — к】=0,5 и х2 = =—1,3; 3 - Х[ = 0,5 их2 = —1,6
жений от скорости наращивания: в фиксированной точке в один и тот же момент времени, но при различных скоростях роста напряжения сильно отличаются или даже имеют разные знаки. Например, в точке с координатами к】=0,1 их2 = —1—0 в момент времени г = 0,7 напряжения о1 при скорости роста у = 1 в 27.3 раза больше, чем при скорости роста у= 3. В точке %1 = 0,1 и х2 = —1,3 в момент t = 0,4 напряжения а2 при скорости наращивания > =3 превосходят те же напряжения при скорости наращивания 7 = 1 в 37 раз.
На рис. 2.10 приведены графики, аналогичные показанным на рис. 2.9, но на глубине хг = 0,5.
О кручении растущего цилиндра жестким штампом
Постановка задачи. Предположим, что в нулевой момент времени из стареющего вязкоупругого материала изготовлен круговой цилиндр длины / и радиуса bQ, причем отношение I к Ь° достаточно велико, т. е. цилиндр достаточно длинный. Один из торцов цилиндра сцеплен с недефор- мируемым основанием, а к другому соосно прикреплен жесткий круговой в плане штамп с плоской подошвой радиуса а < ^)0. В момент времени т0 на штамп начинает действовать крутящий момент M(t), поворачивающий его на угол а(0- Боковая поверхность цилиндра свободна от напряжений.
В момент времени т】к боковой поверхности цилиндра начинается при- гок вещества. При этом новые приращиваемые элементы не напряжены и момент их изготовления совпадает с моментом изготовления основного г ел а. В момент присоединения происходит сцепление каждого элемента с недеформируемым основанием со стороны закрепленного торца. Закон роста цилиндра полностью задается функцией В«), характеризующей изменение его радиуса с течением времени. Естестественно, что bd) = Ь°・ Наращивание прекращается в момент времени 々・ К этому моменту радиус цилиндра принимает значение bi(b(r2) = bi), а его боковая поверхность свободна от воздействий и при Г > т? • Контактная задача изучается в рамках квазистатического приближения при отсутствующих объемных силах (рис. 2.11). Цилиндр считается относительно длинным в процессе роста и после его прекращения (отношения 〃力(f) м 〃bi достаточно велики).
Вывод парных сумматорных уравнений контактной задачи. Рассмотрим основные соотношения поставленной задачи на интервале времени t £ [т0, 71] • Для основного вязкоупругого стареющего цилиндра имеем [см. (1.3.5), (1.3.6)]：
—=0(У・Т = 0),(4.1)
dr 8z г
z = 0,0<r<a: 〃з = а(少，
Z = 0, 4 & 夕 & 匕0 ： %z =。，
r=bo,0&z&/: т“ = 0,(4.2)
z =/, о.&^&м： 〃屮=°,
=~ —\ ^2 = ^ —- (E = ^[Vu + (Vu)r]),(4.3)
or roz
T=2G(O(I + F(to,O)E,(4.4)
(I-S(To,f)) = (I + F(0)T,
a i
А^1(Л r)= G(r)— [—— + W(^, T)],
dr G(t)
Р и с. 2.11. К контактной задаче кручения растущего цилиндра жестким штампом
где Ти Е— тензоры напряжений и деформации с ненулевыми компонентами т?屮、 T^z и €” £g соответственно; и - вектор перемещений с единственной ненулевой компонентой 〃夕.Аргументы 八 z, f в случаях, когда это не затруднит чтения формул, будем опускать.
Положим
T°=(I~S(to,O)TG-1(4.5)
и подействуем оператором (I — S(r0» ^)) на выражения (4.1), (4.4). Тогда с учетом (4.5) получим следующую краевую задачу:
居т招 +卫丄=0(д・т° = о),
» 紘 г(4.6)
z = 0,0<r<a:"屮= a(f)r,
z = Q9a<r<bQ: т°2 = 0,(47)
r = bQ,0<z< /: *9 = 0, z-^CXr^bQiu^^O,
E=^[Vu + (Vu)r],T°=2E.(4.8)
D〃3D〃3++г »г »11〃3户〃3户=0.=0.(4.9)(4.9)Подставляя (4.8) в уравнение равновесия (4.6) [см. также (4.3) ], получим
D〃3
D〃3
+
+
г »
г »
1
1
〃3
户
〃3
户
=0.
=0.
(4.9)
(4.9)
В соответствии с [90] возьмем решение уравнения (4.9) в форме (см. [1,16,26,28,61])8
心Gz,f) = ®&⑺"l-zL) +三 ^d^J^^l^il-z)] X
XshT(5"),"=i(4.10)
где dk(f) (k = 0,…，8)— неизвестные функции времени; 6л(п= 1,..., °°)— неопределенные константы; 4(х) — функция Бесселя порядка р.
Заметим, что выражение (4.10) для перемещения 〃夕 сразу удовлетворяет граничному условию (4.7) на закрепленном торце цилиндра при z =厶 Воспользовав шись формулами (4.3), (4.8), определим и компоненты тензора операторных напряжений Т°:
③忆 z, t) = ^dQ(t)r-^ dMJ^S^h 瓦” z)] sh-Ч^О, 8”(4.11)
"*z, f) = -E 厶«)厶(吗)皿瓦”z)] sh-p"). n = l
Граничное условие (4.7) на боковой поверхности цилиндра (г = &0) позволяет теперь найти множество постоянных 5〃・ Действительно, приравнивая выражение для т% нулю при г = Ь@, получим, что 6〃 =入“Ь^^, где 入〃 есть корни уравнения J2 (Хл) = 0.
Удовлетворяя, наконец, граничным условиям при z = 0, для отыскания последовательности функций dk(t) будем иметь следующие парные сум- маторные уравнения:
lb^dQ(t)r^ Z b^d^J^X^ctityr (0<r<a), л=1
b^do^r^ £ ^(ОЛСбо^нОсЛСЬо^л0 = о (a《y《b)・ Л = 1
Поскольку 入〃》入1 = 3,8317 и отношение /瓦】=〃о А 1, сЙ1(Ь^ 入〃/) с высокой степенью точности можно положить равным единице и исследовать уравнения (4.12) в форме [90]
心&, 0,0=Modo(0r+ ^b^dn(t)Jx(b^\nf) = a(t)r (0<r<a), (4.13)
⑶亿0,0 =坛4")" ^产(r)厶仇1入")=0 (a<r<M.
Парные сумматорные уравнения (4.13) описывают поставленную контактную задачу на интервале / G [т0, Ti ], причем само время входит в них параметрически. К построению решения (4.13) обратимся несколько ниже, предварительно получив разрешающие уравнения задачи в процессе непрерывного наращивания и после остановки роста. Отметим только, что истинные напряжения восстанавливаются по найденным 儿 и т^2 при решении интегрального уравнения Вольтерра второго рода (4.5). Их можно получить по формуле (1.4), где х ={r, z} , заменив в ней Е(/ на G(t) и Я(Г, т) на резольвенту Я! (% г) ядра At (Г, т).
Пусть f £ [fi, т2]. Тогда начально-краевая задача для скручиваемого штампом растущего цилиндра имеет вид [50]:
(4.14)(4.15)(4.16)(4.17)(4.14)(4.15)(4.16)(4.17)也 + ^+ 力=о (V.T=O)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
(4.17)
Эг bz г
z = 0, 0<г<а: 〃з = а(г)厶
z = Q,a<r<b(t): %z = 0, 夕=b(f), 0<z<Z: тг^ = 0, r^z = 0 (T = T* = O),r = r*(r), z = Z, 0 < r < b(f): 〃9 = 0, 也=我(-^- 农)=(E，= 我 加+皿，)勺)，
Эг г8z
T=2G(O(I + F(ro(r),O)E,
494940 Зак 1035
49
49
{To, r<bQ,
%(，) = (产6),瓦《Yb(0(4」8)
где точкой обозначено дифференцирование по времени; 7*(尸} — момент присоединения к растущему цилиндру элементов с координатой 厶 причем т*(Ь(т)) = т.
Запишем оператор, обратный к (I + F(ro0, 0)> следующим образом (Л(г - %。)一 функция Хевисайда):
(I - S(ro(r), 0)/(0=(I ~ s(7°(r), 0) ЛО - [1 -W — MHS&iW"), т,(4.19)
S4ro,Ti)/(O = / /(7)к1"，力力，产&)=后+力(广-ьо)[产&)一门].
Действуя оператором (4.19) на соотношения (4.14), (4.17), второе и третье условия (4.15), с учетом обозначения
Т° = (7(тО)е(4.20)
будем иметь
礬+礬+警=0⑴TН叽
z = 0,0 & 夕《〃：i/屮=a(r)r,
z = 0, a V Y b(f):吟 z = 0,
『 = />«),0《zW 厶 "з = 0,吟n = 0 (T°=T°* = T*G~1 =0), / = т\г)9
z = lf 0<r<5(r): % = 0,
E' = % [Vif + (Ун)7! , T° = 2E.(4.21)
Для справедливости (4.21), очевидно, достаточно показать, что
—(I- SQ)⑺,0)方屮 GT =(I~S(r0(r),切—GT ・
drdr
В самом деле [см. (4.19)]:
3rLЬтгф 1Эт*(г) ,
T = (I - S(r0(r), 0) ^G-i + 力& -m)%GT(产⑺)X drdrdr
X && 产⑺)+ 56- M) Sf(r0,Ti)“t ,(4.22)
причем второе и третье слагаемые в правой части равенства (4.22) равны нулю по условиям задачи:儿=0, т“ = 0 при f£ [r0,Ti] иг = Ь^,(Хг & & / (6 (г - б。) — дельта-функция Дирака).
Дифференцируя теперь по времени уравнение равновесия, определяющие соотношения, первое, второе и четвертое граничные условия из (4.21) и действуя оператором дивергенции на начально-краевое условие Т° = =Т0*, получим следующую краевую задачу:
产 +— + ―— =0(v-T° =0),
dr dz r
z = 0,0 & r & 〃： u^~a(t)r,
z = 0, a<r<b(t)：吟；=0,(4.23)
r = “f), 0<z<Z: т^ =0,Г = т*(г),
z = /, 04夕《ь"): "^ = 0,
E*=^ [vu* +(vu*)r],T0# = 2E\
Легко видеть, что скорость перемещения 〃展 удовлетворяет уравнению D〃j = 0 [см. (4.9) ], а выражения для 〃: и скоростей операторных напряжений 7■黑 и 吟；могут быть записаны в форме
“；(г, z, 0 = /尸0) d*Q "1 - z/т ) +
+丄 暧⑺ ％ ⑺厶ом。] shmnaa-z)] л-ч^сол,
③亿 z") = -b~\t) dg «) — E d^J^n^ ch 团⑺О - z)] X
Xsh^^COZ],e(4.24)
瑞匕 z, t) = -2 呼«)厶[—〃«)] sh d«) (/ - z)] sh"1 [%«)/]・ w = l
Здесь d£(f) (k = 0, ..., °°) и i?«(0 (九=1,…,°°) — последовательности подлежащих определению функций.
Удовлетворяя краевым условиям из (4.23), с учетом того, что lb^(t) > > 1, придем к парным сумматорным уравнениям для отыскания d£(r):
":亿0,0寸⑺成(少+ e b⑺入7或⑺Ji [l⑴入"]=a・(少 屮«=1
(0w尸&a)，
也色 0# =尸⑺碗(小 +Z d^J^it^r]^^(4.25)
(a<r<b(t)),
rin(0 =入九尸⑺，MD =山т⑺，^i <t<T2.
Если найдены d£«), а значит, T°* и u\ то тензор напряжений Т(г, z, Г) и вектор перемещения u(г, z, г) восстанавливаются по формулам (1.27), (1.28), где х ={r, z} , а £(r), R& т), т0 (х) заменяются на G"), &«, т), То6) соответственно [смч(1.14) и (4.20)].
Краевая задача для наращиваемого цилиндра после прекращения роста (Г>т2 =т*(^!)) имеет вид
z = 0, 0 W 夕《a："屮=a(少，
z^0,a<r<bi： %z = °,
r=b*Q《z《l: т“ = 0,(426)
Z = /, 04夕《丛："9 = 0,
E' = % |Vu* + (Vu*)r], T = 2G«)(1 + F(r0 6), D)E.
Аналогично предыдущему ее можно привести к краевой задаче в скоростях перемещений и операторных напряжений с решением в форме (4.24) при условии Ь«)=友.Разрешающие парные сумматорные уравнения сохраняют вид (4.25), где b(t)=办,〃 (г) = % = /瓦】;??〃(/)="九= =入〃b；i; Г》丁2・ После их решения напряжения т“, т^2 и перемещение "屮 определяются при помощи (1.27), (1.28) с оговоренными изменениями. Следует отметить, что зависимость Т°* и и* от времени t является параметрической.
К полученным парным сумматорным уравнениям необходимо добавить условие равновесия штампа, справедливое на всем интервале времени:
М«) = -2я/т(р, t)p?dp, T(p,t) = %z(P, 0,0•(4.27)
о
На основании (4.27) можно получить и следующие условия:
M°(0 = (I- S(7o, t^M^G-1 (0 = -2Я ；7°S")p2dp(7。《％《71), (4.28) о
М。・（＞电出+； ам（Т）аз（“）М。・（＞电出+； ам（Т）аз（“）dr btdr btЗз(/, Т0) dT+M(7o)— btЗз(/, Т0) dT+M(7o)— bt
М。・（＞电出+； ам（Т）аз（“）
М。・（＞电出+； ам（Т）аз（“）
dr bt
dr bt
Зз(/, Т0) dT+M(7o)— bt
Зз(/, Т0) dT+M(7o)— bt
(4.29)(4.29)=一2” J Q(p, t)p?dp (f》Ti), о
(4.29)
(4.29)
более удобные для построения решения контактной задачи в ряде случаев<>
Легко видеть, что приведенные рассуждения распространяются на случай t^z * 0, т. е. наращивание цилиндра с некоторым натягом присоединяемых элементов. Для этого варианта задачи в соотношениях (4.23)
7”*』号「宀"7”*』号「宀"z*=b«), 0《z《/:z*=b«), 0《z《/:изменяется только условие на поверхности роста:
7”*』号「宀"
7”*』号「宀"
z*=b«), 0《z《/:
z*=b«), 0《z《/:
Фактически должны выполняться довольно естественные условия отсутствия воздействий на поверхность тела, к которой будет происходить приток вещества, и на самое поверхность роста в процессе наращивания. Эти условия полностью идентичны условиям, оговоренным в разд. 2.1. Впрочем, в задаче кручения может быть рассмотрен вязкоупругий стареющий материал самого общего вида, т. е. природа операторов L(t0, Z)и S(To, 0 различна.
Решение парных сумматорных уравнений контактной задачи. Разрешающие парные уравнения задачи на трех основных интервалах времени представимы едиными соотношениями:
(4.30)(4.30)«9ох+ 2 К｝屮 М1@пх) = “х (0《х《с), и = 1
(4.30)
(4.30)
-р(х) = 9о>+ Z *^«Л(Ли^) = 0 (с《х《1), П = 1
где при Г£ То,门]полагаем $ =〃о,屮左=&«) (к = 0, ..., 8),р(х) = т°(хМ, О, W = а"), с = 〃阮I х =г^о1,при Г€ [tj ,r2J имеем f =д (»,伙=d%«), W = а，(Г), р(х) = 7°*Qcb(t), f), с = а%т «), х =巾"«), а для t>T2 в отличие от предыдущего 勺=d,b(t) = Ь*.
Построим решение (4.30), следуя [92] (см. также [28]). Пусть
PW= [— /^® (?2 -x2)~y2d^h(c -х).(4.31)
ОХ X
Ряд из второго уравнения (4.30) представляет собой разложение Дини [29] функции -р(х), коэффициенты 9k (к = 0, ..., 8)которого с учетом (4.31) даются формулами
9о = -4/ x2p(x)dx = 8f Wg(RdN
00(4.32)
9〃 = -2J[2 (猫)/ xp“M(入九 х)必=2J[2(\n)f^) sin(Xw0^ оо
(〃=1,8)・
Подставляя (4.32) в первое уравнение (4.30) и пользуясь техникой из [67, 7 9, 89, 92, 93], получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода для определения функции g(x):
с
g(x) + /g(Dk(xN)W=——(1&X&C), 07Г
(4.33)
164 00
k(x,扌)=—(1 - 2j)x^ + — /岱戒厶伪)-shxy sh®] dy, я行 0厶0)
где К〃(у),厶&) — функции Бесселя мнимого аргумента порядка 〃.
Решение уравнения (4.33) дает, очевидно, и полное решение поставленной контактной задачи. Оно может быть найдено численно [90] либо при помощи итерационных методов [28, 91]. Здесь рассмотрим один способ построения приближенного решения (4.33), предложенный в [90]. Отметим, что при j》10 отклонение приближенного решения от численного при с = 0,7 не превышает 8,5%, при с = 0,6—7% и при с & 0,5-1% [90].
Воспользуемся тем, что f достаточно велико, и ограничимся первым членом ядра к(х, О [см. (4.33)]:
16с4“х /
g(x) + —(1—2j)x Jg⑸纪扌=—— (l《x《c)・(4.34)
7ГОЯ
Тогда, подставляя g(x) = Ах в (4.34) и определяя Л, будем иметь
g(x) = 4Wx[Tr+16(2j-l)c3/3]T ,
откуда в силу (4.31)
р(х)= -4ф[тг + 16(2f - 1)с3/3] "^(с2 - х2)-^.(4.35)
На основании (4.35) зависимости операторных контактных напряжений
и их скоростей от угла поворота штампа могут быть записаны в форме 产&")= _4<х«)[тг + 16(2/瓦 1 — 1“з 玩з/з「1«〃2 —产)-%
54…)，(4.36)
7。・&")=一匂。")" + 16 ⑵l⑺ 一 1]a3lg)/3尸m"2 一产)-%
(Т1<Г<Т2),
.(厶 0 = -4a-(0 [Я + 16(2仿7 - 1)43后3/3] 7*"2 -产)-%38)
宀 2).•
При заданном угле поворота штампа по формулам (4.36) —(4.38) сразу находятся т° (г, 0, т° * (г, 0 и при помощи ранее описанных соотношений восстанавливаются контактные напряжения т(〃 Г). Момент, действующий на штамп, вычисляется по формуле (4.27) • Заметим, что при а«)= =const взаимное влияние основного и дополнительного ненапряженного цилиндров не проявляется.
При заданном крутящем моменте M(t) на основании (4.5), (4.28) и (4.36) будем иметь
7(L")=3m")(47газ)t«"2 -产)一%，(4.39)
32/-坛M(t)
а(0=[—Г" + —~爲—](I-S(7o"))GTV (toWYti). (4.40) 16а а 绢G«)
(4.41)(4.41)(4.42)(4.42)Воспользовавшись (4.29), (4.37), (4.38), в конечном итоге для контактных напряжений при Z》丁1 получим соотношение (4.39), а для угла поворота следующие выражения:
(4.41)
(4.41)
(4.42)
(4.42)
а«) = ad) + / a・(7)dr d《Z《々),
支e)=a(々)+ / a«)d7(^ >t2).
Оказывается, что при кручении штампа моментом процесс наращивания цилиндра мало влияет на распределение контактных напряжений, если радиусы штампа и цилиндра не очень близки (конкретные отношения даны выше). Однако в этом же случае проявляется существенная зависимость угла поворота штампа от момента времени, с которого цилиндр начинает расти, и от скорости роста.
4.4. Численный пример. Рассмотрим поставленную контактную задачу, считая, что цилиндр изготавливается из бетона с модулем упругомгновенной деформации сдвига G(t) = G = const и мерой ползучести при сдвиге в форме
з«,т) = (Д)+ 尸 е~6т)(1 - da，)).
Сделаем замену переменных по формулам
г* = га~х 9 р* = р〃т,产=Гто1, т* = тт/,戸(1,产〉=丁亿 f)G-1,
Т； = т1т31,7* = 72 nLM*(产)=M«)GT，3, М(产)=峨?)，
3* = Wo, 了* = Ж 師=bo〃T，道= b“,
b* (产)=b (f)@T/* = 1尸，D《=DoG,F*= FG,
и, опуская звездочки в обозначениях, зададимся следующими значениями функции и параметров:
м= 1/0,7, /=20/0,7, Ь") =坛« + 72-2п)(Т2—Т1)7,
bl = 2bo, м«) = 1, А = 0,251,尸=1,818,
0=0,31,7 = 0,6, г。= 10 сут.
Легко видеть, что за время наращивания радиус цилиндра увеличивается вдвое. Скорость роста постоянна и определяется только моментами начала и прекращения нараивмвания. Крутящий момент, действующий на штамп, не изменяется с течением времени. Кроме того, на протяжении всего процесса отношение длины цилиндра к его радиусу больше либо равно 10, а отношение радиуса штампа к радиусу цилиндра не превосходит 0,7, т. е. можно воспользоваться формулами приближенного решения.
По поводу распределения контактных напряжений достаточно сослаться на выражение (4.39), отметив, что оно (распределение) практически не зависит от свойств материала и при постоянном крутящем моменте с достаточной степенью точности может считаться неизменным (т(г, t)= Зг/[4я(1 — 一产声)).
Поведение угла поворота штампа в зависимости от основных характеристик процесса кусочно-непрерывного наращивания цилиндра требует более детального анализа.
На рис. 2.12 показаны изменения угла поворота а по времени Г для цилиндра, рост которого начинается одновременно с приложением крутящего момента (т】=1) при медленной (%•«) = Ьо/9, 丁2 = Ю), умеренной (%•«) = Ьо/3, т2 = 4) и быстрой (b，(r) = bQ, 丁2 = 2) скоростях наращивания.
На рис. 2.13 даны зависимости угла поворота штампа от времени при различных скоростях наращивания b*(t) для цилиндра, загружаемого в момент времени т = 1 и начинающего расти в момент времени 门=2:加⑺= =bo/8 (丁2 = 10) — штрихпунктир, b*(t) = b°/2 (r2 = 4) — штриховая линия.
Графики демонстрируют существенную зависимость угла поворота а«) от скорости наращивания и момента начала наращивания. Так, пре・ дельное значение приращения угла поворота штампа △(<») (△«) = а«)— —支(г。)) при медленном наращивании цилиндра может превосходить то же значение при быстром наращивании в 2,7 раза. При постоянном крутящем моменте существует характерный момент времени, начиная с которого влиянием процесса кусочно-непрерывного наращивания на характеристики контактного взаимодействия можно пренебречь. В этом же случае проявляется сильная зависимость предельного значения угла поворота штампа от интервала времени между моментами начала нагружения и начала роста.
Рис. 2.12. Зависимости угла поворота штампа а от времени Г при одновременном начале процессов роста и нагружения цилиндра при разных скоростях наращивания Быстрое — штриховая линия, медленное — сплошная линия и наращивание с умеренной скоростью — штрихпунктир. Вертикальными сплошными прямыми отмечены моменты остановки роста
Рис. 2.13. Зависимости угла поворота штампа а от времени t в случае, когда процесс нагружения предшествует началу роста цилиндра, при быстром (штриховая линия) и медленном (штрихпунктир) наращивании
Сплошной линией показано изменение угла поворота штампа, скручивающего цилиндр фиксированного радиуса Ьо. Участки кривых, расположенные между вертикальными сплошными прямыми, х ар актер из уют поведение угла поворота штампа на интервалах непрерывного наращивания цилиндра
В заключение отметим, что методика исследования задач наращивания вязкоупругих стареющих тел, изложенная в этой главе, может быть распространена и на ситуации, когда поверхность, к которой предполагается добавлять новые элементы, предварительно загружена или нагружается сама поверхность роста в процессе наращивания. В этих случаях уравнения равновесия и условия на поверхности роста итоговых краевых задач будут содержать дополнительные известные члены [см. (1.13), (1.17), (4.22)]. Учет объемных сил также приведет к появлению некоторых добавочных членов, причем и в самом общем случае зависимость перемещений, операторных напряжений и их скоростей от времени останется параметрической. Условия загружения указанных поверхностей с точки зрения приложений являются довольно экзотическими, поэтому в большинстве практически важных задач предлагаемая методика может применяться без изменений.
2.5. Контактная задача о растущем куполе*
Постановка задачи наращивания. В момент времени Г = 0 на гладкой горизонтальной поверхности начинается непрерывное наращивание сферического купола. Введем сферическую систему координат (г,», 9), начало которой совпадает с центром купола, угол » отсчитывается от направленной вертикально вверх оси f. Единичные векторы сферической системы координат обозначим ег, е^, е^. Наращивание осуществляется на отрезке времени [О, Т]. Радиус внутренней боковой поверхности купола Ло- Радиус внешней боковой поверхности купола в момент времени t равен R(r), R(7) = R* (рис. 2.14). При непрерывном наращивании за время dt на внешнюю боковую поверхность купола налагается сферическая оболочка (&«)《，《R(f) + d&«), 0《》《я/2, 0《9《2я) и мгновенно присоединяется к растущему телу. На купол действует сила тяжести и контактные напряжения со стороны жесткого основания. Нагрузка на боковых поверхностях равна нулю. Поведение материала купола описывается уравнением состояния линейно-упругого тела:
Т= + -^—Л(Е°)1]. (5.1)
1 + Р L 1 — 2р 」
Здесь Т — тензор напряжений; Е° — тензор деформации при переходе из естественной в актуальную конфигурацию; 7\(Е°) — первый инвариант тензора Е°; 1 — единичный тензор, Е — модуль Юнга; р — коэффициент Пуассона.
Пусть u = ur (Г, г, 9) е，+〃》«/, ») еа, и* = и^(г,») е，+ “;(，，》) е》- векторы перемещения, а Е(Г, г, ») и Е*&, 3) — тензоры деформаций точек растущего тела при переходе из начальной в актуальную и естественную конфигурации [17]. Тензор Е° определяется по формуле Е° = Е — Е*.
Требуется по заданному закону наращивания определить поля напряжений и перемещений в растущем сферическом куполе (см. также. [36]).
Дискретный процесс наращивания. Процесс непрерывного наращивания купола представляет собой предел следующего дискретного процесса наращивания. Разобьем отрезок времени [О, Т] точками 决=kT[N、 к = 0, 1, ..., N. В момент времени 才改 к растущему куполу, занимающему в начальной конфигурации область (RQ < г < Rk), присоединяется наращиваемый элемент, занимающий область (Rk < г < 2?fc + !), и мгновенно соеданяется с наращиваемым телом. К куполу и наращиваемому элементу приложены силы тяжести и реакции основания. Под действием этих усилий соединяемые тела деформируются. Для реализации процесса наращивания необходимо, чтобы перемещения иг и uv на внешней боковой поверхности купола и внутренней боковой поверхности наращиваемого элемента совпадали. Этого можно добиться за счет выбора естественного состояния наращиваемого элемента.
Предположим, что естественная конфигурация наращиваемого элемента может быть получена из начальной с помощью деформации его усилиями, которые не зависят от угла 9 и приложены к внешней боковой поверхности полусферы. Согласно [27], переход из начальной в естественную конфигурацию под действием указанной нагрузки определяется вектором перемещения и* с компонентами
5757♦Раздел написан Н.Х. Арутюняном и А.Д. Дроздовым.
57
57
Рис. 2.14. К задаче о тяжелом растущем упругом сферическом куполе, опирающемся на гладкое жесткое основание
"'=号/J出 + 1/龙(/+1)(/-2 + 4〃)
/ + 1
I +
-R 左片左 О + 1)(?у + 2］弓(cos»).
吟=*^。［^ + 1 盟《 + 5-4〃)
Rk +丿
+ ^C*J-/+4-4p)
+
(5.2)
+ @%(少厂］
叫(cos S)
d3
Здесь A；加 В；修
, , , - произвольные постоянные; 目二目(cos8)— полиномы Лежандра. Без ограничения общности считаем, что В^ к = =CJ,左=0, а индекс / принимает только четные значения.
к
Соответствующие полю перемещений (5.2) компоненты тензора напряжений а* и 心 равны
+ %($)">/(cos3)，
(5.3)
/+1
)—
谓П,S
竺停少 (Rk《YRkG
Входящие в эти соотношения коэффициенты определяются по формулам а； к = А；卜灯 + 1)(/2 - / 一 2 一 2р),碎左=成 kj(j - 1),
(5.4)(5.4)。九=C：,"(产+ 3，-2) dfk = D：kU+DG + 2),
(5.4)
(5.4)
/2 + 2/ - 1 +21/尸-/-2-2〃/2 + 2/ - 1 +21/尸-/-2-2〃—尸 _ 2 + 2“从2‘ _ /2 + 3/-2P
/2 + 2/ - 1 +21/尸-/-2-2〃
/2 + 2/ - 1 +21/尸-/-2-2〃
Представим поверхностные усилия F^ = Fr)^е? + Ьз’^е®, которые требуется приложить к боковой поверхности наращиваемого элемента, чтобы перевеет^ его из начальной в естественную конфигурацию, в виде рядов по полиномам Лежандра:
(5.5)(5.5)%=Z泾禺・(cos3), Kk + 1 / > О
(5.5)
(5.5)
F 仁=以 £ / d6(cos” Rk+ 1 /> о ” dS
Здесь р* 匕 Q；左—подлежащие определению коэффициенты; 8k = Rk + i — — 衣化；индекс / принимает четные значения.
Из (5.3), (5.5) и граничных условий на боковой поверхности наращиваемого элемента следуют равенства
〃凯+汇左一矿/1 -卢■「mi/ y^-j ++ 从2, C —〃凯+汇左一矿/1 -卢■「mi/ y^-j ++ 从2, C —iipf к，pf к，& + 1丿& + 1丿
〃凯+汇左一矿/1 -卢■「
mi/ y^-j ++ 从2, C —
〃凯+汇左一矿/1 -卢■「
mi/ y^-j ++ 从2, C —
i
i
pf к，
pf к，
& + 1丿
& + 1丿
(56)(56)-鲁("卢广=卢%農，
(56)
(56)
%(「為 丫 + %(1 .叁yТ_% +%=0,
1——JRk + 11——JRk + 1/ - 2
1——J
Rk + 1
1——J
Rk + 1
+ 〃2/= 0.
Соотношения (5.6) справедливы при / > 0. При / = 0 имеем [1 - 0 - $k]Rk + 1)3]磕 k =(^к/^к + 1 )吨 it，
[1 ~ (1 —闕/R太 + l)3 ]^0, к = - 出k/Rk + 1)^0, к*
Компоненты вектора перемещений при переходе из начальной в актуальную конфигурацию под действием силы тяжести:
% = ОPQ产cos3 а +Е 卜左 + 1 4力 к(/ +i)x
X(/-2+4p)[-^—)Z +Rk+lBi-kI\-^-)二
+ Rk Cj,左/(/ + 3 — 4u)(§) - RkDj, к(7 + D(~^) 「/(cos »),
〃9 = -(1 ~~ 2/(1 U9 pgr2 sin9cos2 В + ^-^ x(5・7)
2(1 一 v)EE
号。["-4"""4")(訂)'+R…3小(為)+
+ R®(T・+一吟У + “М§П 丁
(&女аГ V Rk + i)。
Здесь Aj,化，Bj, к，Q, к，°/, к - подлежащие определению постоянные. Без ограничения общности полагаем 5%化= Со,左=0 и считаем, что индекс / принимает только четные значения.
Соответствующие полю перемещений (5.7) напряжения аг и аг^ определяются по формулам
аг =嘗 г cos® [(1 — 2p)cos2i> + р] + S 卜设(^"^~) +
+%(訂厂+吟(旷个0广宇•
Аналогичную структуру имеют формулы для напряжений о» и %, которые не пртводятся. Здесь
а1 к aL к - ^ к^ 叫 к =玩 к - 4, к9
或化=-ё九；dlk = 4» -公.
Величины @/, к，bj, kt q, к, dj,太 можно найти из соотношений (5.4), в которых следует опустить индекс ♦.
Выражения (5.8) удовлетворяют уравнениям равновесия и граничным условиям на торцевых поверхностях купола. Удовлетворим граничным условиям на боковых поверхностях растущего купола. Воспользовавшись результатами работы [27] и равенствами (5.6), получим
"1L С^(1 -昌)’+外(1 -訖广=
=S/Rk + 1 + 卢一 q： k.
-С/, к + dj, к = TjRk,
一+心用一
(5.9)
Соотношения (5.9) справедливы при / > 0. При / = 0 граничные условия принимают вид
[1 — (1 — ”/灭改 + 1)3]^0, к = @ljRk + l)pj, Jt + [1 —(1 — “/&改 + 1)4]Х
X TqRk + 1 ,
口 一(1 — BjJRk + 1)3]% к = —(dk/Rk + i)[城卜 + То& + i] •
Величины 4 н у определяются по формулам
» 二上 eWO+l)二 2此 If
'(/-3)(/+4) 〃'1-^ (/-3)(/ +4)'
l _ (_1)0+叫!⑵+ 1)
’24/-1)(/+2)[(//2)!]2,
Непрерывное наращивание купола. Разрешим соотношения (5.9) относительно a* bj k, Cjtk, djk. Следуя [27], найдем
。"%左=礎(1 +H2/)[l /1 - 急hУ - ^；)‘+
+ 班(1 一 宁 R 2/)[1 - (1 - ^^)]>
加 д/л = ^v- 771)t1 "О"+
(5.10)(5.10)+ 确(1 +“)(1 一 含厂[1 一 (1 - 證У]
(5.10)
(5.10)
2小4弘1 -鼻内加-(1 - ^；)‘]-
Вычислим величину Дд^ с точностью до (bk/Rk + х)3,а величины 2^ 一 с точностью до (bk/Rk + J2:'Вычислим величину Дд^ с точностью до (bk/Rk + х)3,а величины 2^ 一 с точностью до (bk/Rk + J2:'
Вычислим величину Дд^ с точностью до (bk/Rk + х)3,а величины 2^ 一 с точностью до (bk/Rk + J2:'
Вычислим величину Дд^ с точностью до (bk/Rk + х)3,а величины 2^ 一 с точностью до (bk/Rk + J2:'
△/Л = BklRk + 1)2(1 -2/6"&改 + !)△/,
△；2 二 @k/Rk + *)1(р：к + (/+ l)q%)(l — (/— 2)玩/& - 1) —
-(/- 3)(7} + (/ + 1)»)&к + Ml 一 О 一 2)阮/(2Rk + i))],
△/Л = ^Rr + i) [(p*fc - iQ^k) + (/ + 4)(7} - fSf)Rk + i X
X(l-(j + 3)6J(2&+i))],
/Л =(玩/R一 i)[(P江мu - " + 1)*左 +0 + 2)(加力 -(5.11)
-(/ + DS/)Rk + i (1 - (/ + D“/(2趺 + J)],
/Л =(8〃灭左 + 1) [—(Р^к^2/ + jq；,k)Q — j$ljRk + 1) +
+ (/ + 1)(勿2/ + jSi)Rk +1(1- ""(2& + 1))],
/ =〔4(1+/j)(l+427)+ ⑵一 1)(2/ + 3)@l 一)(血/一 备)]•
Обозначим через р* (г) и ^*(г) пределы при “ 今 0 кусочно-постоянных функций, принимающих значения pfk и qf k на интервалах 困改,灭改 + х). Введем функции р；'6) и qj'&), которые представляют собой пределы при 6改-> 0 кусочно-постоянных функций, принимающих значения (р* ^ + х — -Р；,к)1Вк И (就 к + 1 - я1,к)1^к на интервалах [Rkf Rk + i ). В дальнейшем предполагается, что указанные пределы существуют. Аналогично определяются функции а； (г), bf(r),勺(г),学6) и их производные по г.
Подставим выражения (5.11) в соотношения (5.10). После перехода к пределу при 玩— О найдем
«/&)«/&)1 - 7 •1从2,)%:6)+1 - 7 •1从2,)%:6)+
«/&)
«/&)
1 - 7 •1从2,)%:6)+
1 - 7 •1从2,)%:6)+
++++2(1 +〃2/)(j + 1) — j⑵—D(1 — ^у~)^2/]^*(r)+ (/ + 4)⑵—1)(1 — ^y^〃2，(n -/百)— 2(/- 3)(1 +5)(4 + (/ + 1)S/)} } A；,
+
+
+
+
bj(r)=bj(r)=
bj(r)=
bj(r)=
[(/+1)(2/+ 3)^2jt - y^) +2/(1+Д1/)]^ +
+ [(/ + 2)(2/ + 3*" 一 告)(7>1/一(7・+1»/) +
(5.12)(5.12)+ 2(/-1)(1 +从")⑺〃2/ + iSf)^ } A；, c/G) = { [(2/+ 3)(1- £〃 j —2(1 +〃и)卜*) +
(5.12)
(5.12)
+ [(/ +1)(2/ + 3)(1- yt_ “J + 2/(1 +Д1/)]办6) 一
[(/- 3)(2/ + 3)(l- %Q(Tj + (/ + 1)S/ +
+ 2(/+ 4)(1 +〃 力⑺-同)]"△六嘯
4G) = {-[2(i + 从 2，)// + ⑵一1)卜仃一^^)"24p；G) +
+(2(/+1)(1 +д2/)-/(2/-1)(Д1/-宁)]疗6) +
+ [(/ 一 1)⑵ 一 1)(“罗⑺从2# 沔)-
2(/+1)(1+42,)(勿1,-(1+/同.)卜/.
Функции 力⑺，b/0, C/(r), d}(r) получаются с помощью непосредственного диффе^енци{ювания соотношений (5.12). Аналогично вводятся функции а*(г), Ь；⑦,炉6), d；(f). Эти функции определяются по формулам (5.12), в которых следует положить 7} = g = 0.
Для определения функций р；&), %*&) потребуем равенства перемещений иг и 〃9 на боковых поверхностях соединяемых элементов, т.е. при г = Я^ + 1. Из соотношений (5.7) после перехода к пределу при 6改->0 найдем с помощью (5.4)
j-2 +4u尸-/一2-2丿+ / + 3-4^ (广+ 3/ - 26j-2 +4u尸-/一2-2丿+ / + 3-4^ (广+ 3/ - 26(0一亨"占®-(0一亨"占®-О-2) &八 +О-2) &八 +/ + 5 - 4р/ + 5 - 4р(/+1)(/2 _/_2 — 2吩(/+1)(/2 _/_2 — 2吩+ SLzg) = o,+ SLzg) = o,/\(5.13)/\(5.13)
j-2 +4u
尸-/一2-2丿
+ / + 3-4^ (
广+ 3/ - 26
j-2 +4u
尸-/一2-2丿
+ / + 3-4^ (
广+ 3/ - 26
(0一亨"占®-
(0一亨"占®-
О-2) &八 +
О-2) &八 +
/ + 5 - 4р
/ + 5 - 4р
(/+1)(/2 _/_2 — 2吩
(/+1)(/2 _/_2 — 2吩
+ SLzg) = o,
+ SLzg) = o,
/\(5.13)
/\(5.13)
-7^)(，"”^)固屮…
Подставим выражения (5.12) в уравнения (5.13). После некоторых преобразований получим (х/ = /(/ + 1))
J :产讨'+ X/矿 + £ [(Х/-1)Р； + 可疗]= ^[(4 + 3咖L 2出,
p『+ 2qj + В [" jg~ P； + X/Q；] = ~~ K2 + 〃)巧 + 2(1 + 2р)]£/.
Разрешим эти соотношения относительно производных pj' н 矿
(1 -咖广-(W)財-1 _p)p* + (1 + 冲修明=-pg[(2 + р)Х/ -2]£/,
(D%*[I(D%*[I1 + "1 + "22EQ
(D%*[I
(D%*[I
1 + "
1 + "
上 Р； + 肃^ 疗]=Pg [(2 + 〃)Q - 2户]£/.
Соотношения (5.14) с начальными условиями p；(Ro) = 0, qj(Ro) = 0 представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений для определения функций р*(г) и q*(r). После того как эти функции найдены, перемещения точек растущего купола определяются по формулам (5.7), а напряжения — по формулам (5.8), в которых необходимо осуществить соответствующий предельный переход.
Решение задачи о непрерывном наращивании сферического купола получено в виде рядов по полиномам Лежандра. Вопросы сходимости этих рядов исследуются аналогично [27].
2.5.4. Численный анализ результатов. Рассмотрим распределение контактного давления на основание для наращиваемого сферического купола и нерастущего купола, к которому приложена сила тяжести. Распределение контактных усилий а0(г) = —аа, (г, я/2) в нерастущем куполе имеет вид
o。G)= S n,(产+带+2+2 叭, + 1)(三)' + 万 / > о
-Q/(/2 -2/-1+2p)(^)+ Dz(/+l)2 (^)]与(0)・
Входящие в это выражение коэффициенты Л/, By Cj,乌 определяются по формулам работы [27].
Контактное давление на основание в момент окончания процесса наращивания сферического купола
a0(r) = r е [a?(/2 +4/+2 + 2f)(/+1) + ^73 -e?(/2 -2/-1 +2f)+ /> о
+ 冴0 +1)*(0).
Рис. 2.15. Зависимости контактных напряжений на торце купола от радиуса
7 н 2 — нерастущии купол; 3 и 4 — купол, возведенный в процессе непрерывного наращивания; 1, 3 - v = 0,1; 2, 4 — и = 0,4
Величины /% В®, С，，邛 найдем из соотношений (5.4) и равенств:
"? = [(/ + 4)(2/ —1)(1 — / / 1〃 2j) X
X(7}-/Sz)-2(/-3)(1+M2/)X
X⑺+ (/+1)号)]号， 号=「(/ + 2)(2/ +3
Х(7；Д1/-(/ + 1)^) + 2(/-1)Х x(1 +〃и•)(勿 2/ +同)]夕，
=[-0-3)(27 + 3乂1一木〃1水7；. +(/+1)y)+
+ 2(/ +4)(1+д1/)(7}-/5/)]△'；＞
df =[(/-1m2，-1)®,- ^^)⑺42/+方岳)一
-2(/+i)(i +42,)(勿 1/-(/+1)У)%?.
Графики зависимости безразмерного контактного давления на торце купола о* = o0/(pgRl) от безразмерного радиуса у* =，個 при R。= 0J& построены на рис. 2.15.
Результаты расчетов свидетельствуют о существенном влиянии процесса наращивания на распределение контактного давления. Дня нерастущего купола давление на горизонтальную плоскость монотонно убывает с ростом г*. Максимум безразмерного контактного усилия достигается на внутренней боковой поверхности купола и составляет 1,45 при р = ОД и 1,6 при р = 0,4. Минимум давления достигается на внешней боковой поверхности купола и равен 055 при р = 0,1 и 0,52 при р = 0,4. Для растущего купола интенсивность контактного давления монотонно возрастает по линейному закону. Минимум давления достигается на внутренней боковой поверхности купола и равен 0,09 при р = 0,1 и 0,14 при и = 0,4. Максимум контактного давления достигается на внешней боковой поверхности купола и составляет 1,24 при и = 0,1 и 1,14 при р = 0,4. На внутренней тверхности контактное давление для нерастущего купола превышает давление для
5. Зак.1035
растущего купола в 16,1 раза при ^ = 0,1 и в 11,4 раза при 丿=0,4. На внешней поверхности контактное давление для растущего купола превышает давление для нерастущего купола в 2,3 раза при ^ = 0,1 и в 2,2 раза при р = 0,4- Контактное давление в растущем и нерастущем куполах совпадает при г* = 0,64, если р = 0,1, и при г* = 0,68, если и =0,4, т.е. в окрестности срединной поверхности купола. Зависимость контактных усилий от коэффициента Пуассона р при 0」《〃& 0,4 выражена достаточно слабо. С ростом коэффициента Пуассона контактное давление монотонно возрастает в окрестности внутренней боковой поверхности и монотонно убывает в окрестности внешней боковой поверхности купола.
О кручении наращиваемого усеченного конуса*
Постановка задачи. Пусть основное тело представляет собой усеченный конус с углом полураствора 屮。.Один из торцов конуса является частью плоскости, расположенной на расстоянии а от его вершины, второй — частью сферы радиуса R с центром в вершине конуса. В момент времени f = То к плоскому торцу прикладывается крутящий момент М = М(£), а на свободной от нагрузок боковой поверхности начинается наращивание материала без натяга. Приток вещества осуществляется на интервале времени [0, Т]・ Угол полураствора растущего конуса изменяется по закону 9* = 9*(力(рис. 2.16).
При непрерывном наращивании за время dt к конусу присоединяется коническая оболочка (屮*(力 < 夕 < g*(f + dr)) и мгновенно сращивается с растущим телом. Массовые силы отсутствуют. Сферический торец жестко защемлен.
Введем цилиндрическую систему координат 乙9, z, ось z которой совпадает с осью конуса. Единичные векторы цилиндрической системы координат обозначим er,e^, ez.
Пусть т*(<р) — возраст материала в окрестности точки с углом д:
т*(9)= О(О《9《9о), т*3—(9 = 9*0))・(6.1)
Механическое поведение материала конуса подчиняется уравнению 8 = 26(^-т*)ДГ)ЕЗ, /(r)= Tg - i.(6.2)
Здесь S и Ej — девиаторы тензоров напряжений и деформации; Г = *1” Е%)% - интенсивность деформации; G(才)—обобщенный модуль сдвига; д е (0,1] — параметр нелинейности материала.
Входящий в соотношение (6.2) тензор Е? определяется по формуле
Е> Ed - Е九(6.3)
где Ed — девиатор тензора деформации, выражающийся через вектор перемещения ©; Ej — девиатор тензора деформации в момент зарождения элемента тела. При наращивании без натяга имеем
Е"9)= 0(0 & 9《9о),E"g) = Ed (т*®)(9о V 9&9*(Т))・(6.4)
♦Результаты этого раздела получены на основе точного решения нелинейной задачи о кручении неоднородного конуса, данного в работе: Арутюнян Н.Х. О кручении конических труб 〃 Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 5. С. 119-125 (см. также [17]).
Рис. 2.16. Осевое сечение растущего конуса со сферическим закрепленным торцомРис. 2.16. Осевое сечение растущего конуса со сферическим закрепленным торцом
Рис. 2.16. Осевое сечение растущего конуса со сферическим закрепленным торцом
Рис. 2.16. Осевое сечение растущего конуса со сферическим закрепленным торцом
Решение задачи. Будем искать вектор перемещения при кручении растущего конуса в виде
》=a%，%=4")①(V)г, y=r2+ z2,(6.5)
где Л (г), Ф (у) — подлежащие определению функции.
В рассматримаемой задаче шаровая составляющая тензора деформации равна нулю и девиатор тензора деформации Ed совпадает с тензором Е, поэтому ненулевые компоненты тензора Ed выразятся через перемещение 也 определяемое соотношением (6.5), следующим образом:
(6.6)(6.6)
(6.6)
(6.6)
Из соотношений (6.5) и (6.6) следует равенство (здесь и в дальнейшем штрих обозначает производную по у):
0升 = /0)0‘00户，3 =4⑴@G)厂z.(6.7)
Тогда при помощи (6.4) и (6.7) найдем компоненты тензора Е*
啥=4*(9№'0)产，啧=4*(9)①G)厂z.(6.8)
Входящая в эти соотношения функция Л*((р) определяется следующим образом:
/*(9)=0 (О«9《9о), 4*(9)= 4(产3))(9。〈屮《屮式Т))・(6・9)
Подставив выражения (6.7)—(6.9) в (6.3), найдем компоненты тен-
зора 吗 в виде
战尸 МС)-4*(砌甘⑺尸 凤=[А(0-Л*(ф)]Ф#(у)Г2.(6.10)
Определю^ с помощью (6.2) и (6.10) интенсивность деформации:
Г = (2码-%% = {4[鳳y +(也>]产二
=2 [Л (Г) - Л *® ] Ф'(у)产厂(6.11)
Подставляя выражения (6.10), (6.11) в уравнение состояния (6.2), определим компоненты девиатора напряжений s®，и s^z, которые в точности совпадают с компонентами тензора напряжений 09rH a^z в силу того, что шаровая составляющая тензора напряжений равна нулю:
о®，= G« - т*(9))疗 3 т)/2 [2(4(。- А*(9)) Ф'&)"七0 ⑵
o»z = G« - т*(9)) zySт)/2 [2 (Л(0 - /*(9)) Ф'О) г] “•
Запишем уравнение равновесия элемента тела:
U (*3' + 6(~。标)=。■
Подставляя в него соотношения (6.12), получим
^{Py^-^l^ G<t - r^\2(A(t) - А^ Ф#(у) И м} +
±3 {"少 3-DCG(r - r^))[2(A(t) - А^У) Ф#(у) г]м ) =0.(6.13)
Вычислив производные в левой части уравнения (6.13) и имея в виду, что9 = arctg(z/r), ar2 +z2 =у9 приведем соотношение (6.13) к виду
2муФ"О) + (3 + 2ц) »О) = 0.(6.14)
Общее решение уравнения (6.14) запишем в форме
Ф(У)=-(Д/3)С17 3/2、g,(6.15)
где Ct, С2 — подлежащие определению постоянные.
Поскольку функция A(t) пока не определена, без ограничения общности полагаем С\ = 1. Постоянную С2 определим из условия отсутствия смещения на сферическом торце, т.е. при^ = R?. Имеем
(6.16)(6.17)(6.18)(6.19) нормали к(6.16)(6.17)(6.18)(6.19) нормали кФ(К2)=-1/з"-з/弘+g=0, G = % дЯ-з/巴
(6.16)
(6.17)
(6.18)
(6.19) нормали к
(6.16)
(6.17)
(6.18)
(6.19) нормали к
Из соотношений (6.15), (6.16) находим
Ф(У)=^13)[Я^3^ _у-з/(2и)]
Подставив выражение для Ф*(у) из (6.17) в (6.12), получим
。什=G(r - 7*3))严 + 屮⑺-4*3)力-("4)/2, o»z 二G«- T^r^z(A(t)-A^^y-^+^2.
Вектор поверхностных усилий определяется по формуле
f=n- Т, где Т — тензор напряжений; п — единичный вектор внешней 68
поверхности конуса, причем на боковой поверхности конуса и = cos 9*% — sin g*ez•(6.20)
Подставляя выражения (6.18) и (6.20) в (6.19), находим
f = Ae^, h=G(t-T*^p^) r^(A(t) - A^^y^^^l2(r cqs^ -
-z sin 9*).
Поскольку на боковой поверхности конуса sin 9* = «г2 + z?)", cos <p* = z(r2 +z2)~^, выражение (6.21) тождественно равно нулю.
На торце конуса, к которому приложен крутящий момент, вектор и имеет вид
п=У・(6.22)
Согласно (6.18), (6.19) и (6.22), на этом торце
启=-o^z(tf г, а)= -G(t - т*(^))r^a(A(t) - /*(9))«产 + /)-3+4)/2.
v(6.23)
Удовлетворяя граничным условиям при z = «, получим atg9*(f) _
M(t) = —2я/ 務/dr.
о
Подставляя в это соотношение выражение (6.23), найдем @tg9*(f)/
ЛГ(0=2я/ G(t - т*(^)) r^a(A(t) - А^^^г2 + 仅2)-Q+4)/2r2d匚
Сделаем замену переменной под знаком интеграла:
г = a tg <р, dr = adwlcG^w, г2 + а2 = (а/cos <р)2.
Тогда
М«) =2я / G(t - т*(9)) sinM+2^(^(0 - 4*(9)pdg・ о
Представим интеграл в правой части в виде суммы двух интегралов: в пределах от 0 до 90 H от 9。до 9*0 С помощью (6.9) будем иметь
9о丄 с9*")
М(0= 2я[ / G(0 АД(Г)sin"*?两 + f g« — т*(9))(4«)- О9о
—4(T*(9))%in"+2/9]・
Сделаем во втором интеграле замену переменной 0 = ^*(s), dip = <pl(s)^s* При этом т*(9)= t*(9*G)) = 5. Тогда
f
М(0 = 2я[С(0 力“«) / sin“+2两 + / G« _ s)(力«)- ,°°(6.24)
-力(s))%in"29*G)%(£)厶],
где точкой обозначается дифференцирование по s.
Таким образом, при заданном законе наращивания д*«) соотношение (6.24) представляет собой нелинейное интегральное уравнение для определения функции времени A(t). После того как функция Л(0 определена
из интегрального уравнения (6.24), пользуясь выражениями (6.18), (6.10) и (6.5), определим компоненты тензора напряжений о»〃 a^z, реформ步 ции e^r, £§z н перемещение и® в растущем неоднородно стареющем конусе.
Найдем усилие Д, действующее на конус со стороны жесткой заделки.
На заделанном торце единичный вектор внешней нормали n = sin де「+ + cos(pez,HB силу (6.18), (6.19) имеем
启=o”sin 屮 + o^z cos 9 = G« -г*®))严у-3+4)/2(4«)_
-4*3))"① sin 9 + z cos9).(6.25)
На поверхности заделки r = Rsmip9z = Rcos\p,y = R2, и соотношение (6.25) принимает вид
f产 G(” #3)) (Л(0- А^ 血％欠一3(6.26)
Таким образом, на поверхности заделки конуса действуют только тангенциальные контактные напряжения Д, определяемые формулой (6.26).
Глава 3
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИСКРЕТНОГО НАРАЩИВАНИЯДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ СИСТЕМАМИ ЖЕСТКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
В главе рассматриваются плоские и осесимметричные задачи взаимодействия неоднородных стареющих вязкоупругих тел с произвольными конечными системами жестких элементов (штампов, втулок, колец). Исследуемые классы задач отличают два основных момента. Во-первых, это неодновременность установки или снятия жестких элементов (комплексов элементов), диктуемая особенностями монтажа инженерных конструкций. Во-вторых, свойства возрастной и конструкционной неоднородностей самих деформируемых тел, обусловленные процессами изготовления и возведения реальных объектов.
Даются постановки задач. Выводятся системы разрешающих двумерных интегральных уравнений. Формулируется общая математическая задача для операторного уравнения в абстрактном гильбертовом пространстве. Предлагается проекционно-спектральный метод ее решения. Проводится численный анализ ряда конкретных процессов, причем исследуются закономерности как индивидуального, так и совместного влияния основных факторов на характеристики контактного взаимодействия.
Изучаемые в главе классы задач возникают при последовательном монтаже комплексов сооружений на фундаментах и основаниях, при определении допустимых кренов объектов, возводимых в непосредственной близости друг от друга, при постепенном усилении инженерных или строительных конструкций, при расчетах сосудов высокого давления, подземных сооружений, горных выработок и элементов глубоководных аппаратов.
О постановках плоских контактных задачтеории ползучести неоднородных телдля систем неодновременно присоединяемых штампов
Вывод систем двумерных интегральных уравнений контактных задач. Рассмотрим задачи о действии произвольной системы жестких штампов на основания, обладающие свойствами неоднородности, ползучести и старения, в условиях плоской деформации (рис. 3.1). Пусть основания состоят из двух слоев. Нижний слой толщины Н контактирует без трения или сцеплен с жестким основанием, верхний слой лежит без трения на нижнем. Каждый i-й штамп контактирует с участком %《х《Ь» верхнего слоя толщины Л, где х - горизонтальная координата. Предполагается, что min,(力》- “。＞ 力，т.е. верхний слой относительно тонкий. Момент приложения /-го штампа обозначим т», а момент снятият?(方＜ т?； / = 1,2,…,и), силу и момент, действующие на него,尸》«) и М»«) соответственно, где t — текущий момент времени [47,48].
Будем считать, что верхний слой — неоднородный стареющий по глубине и описывается уравнениями состояния, аналогичными соотношениям (1.3.5), (1.3.6), где момент приложения нагрузки совпадает с моментом присоединения первого штампа, т.е. т0(х) = т】.Кроме того, коэффициенты Пуассона деформации ползучести и упругомгновенной деформации материала слоя равны и не зависят от времени (см. (1.3.9)).
吟)(x,J)£1«一疗60))吟)(x,J)£1«一疗60))Тогда
吟)(x,J)
£1«一疗60))
吟)(x,J)
£1«一疗60))
*(х") = (1 + 匕 0))(1 - J)
(x, Г)
(1.1)(1.1)一“%①)(1-Ly)守吟，
(1.1)
(1.1)
d?(x")二匕 &)[o$?(x, 0 +(4?(х, OJ
eS?(x,O = O,
Ц/(х, 0= //(х, 7)к⑴«-"&), т-疗(у), у) dr, &
где в определяющем уравнении (1.1) для верхнего слоя т^(у) - момент изготовления элемента, характеризуемого вертикальной координатой у; х = {х,у}.
Нижний вязкоупругий слой изготовлен из одного материала в момент т手 и стареет однородно, причем его соответствующие коэффициенты поперечного сжатия равны и постоянны. Тогда на основании (1.3.9) будем иметь
еР＞(х,Г) = (1+p2)(I-L) а(^— - 6j"2(I-L)埶(1.2)
e粤(x, %) = 0,。君(x,分=也 М?(х, 0 +。照)(x, Г)],
L/(X, 0= f F(x, 7)K(2\t-T$9 7- 7扌)dr.
不也勿不也勿、Мз⑹、Мз⑹Рис. 3.1. К плоским контактным задачам для систем неодновременно присоединяемых или снимаемых жестких штамповРис. 3.1. К плоским контактным задачам для систем неодновременно присоединяемых или снимаемых жестких штампов
不也勿
不也勿
、Мз⑹
、Мз⑹
Рис. 3.1. К плоским контактным задачам для систем неодновременно присоединяемых или снимаемых жестких штампов
Рис. 3.1. К плоским контактным задачам для систем неодновременно присоединяемых или снимаемых жестких штампов
Заменим конечную систему штампов некоторой распределенной нормальной нагрузкой р(х, Г), тождественно равной нулю вне зон контакта.
Далее аргументы функций будем опускать, воспроизводя их лишь
в окончательных результатах и в случаях, когда их отсутствие может затруднить понимание. Для задачи о нагрузке, действующей на пакет слоев, кроме определяющих соотношений (1.1) и (1.2), будем иметь следующие уравнения и граничные условия и"》一горизонтальные и вертикальные перемещения соответственно):
8of? Эа<0
(1.3)(1.3)(L4)(L4)—=0, dх 勿
(1.3)
(1.3)
(L4)
(L4)
州22或
Эх by
噌=a"")/aх, e丝=加")/勿，
吧=%(■丁 + —) (/=1,2), 勿 dх
y = h：。£)=P(x, f),Q・5)
哈)=0,(1.6)
y = 0:。少=。"，(1・7)
U(l)=u(2),(1.8)
壮？=市)=0,(1.9)
у = —H:璃)=0, u(2)= 0(1.10)
в случае гладкого контакта
у = -Я: 〃(2)= 0, и(2)= 0(1」1卜
в случае сцепления с жестким основанием нижней грани пакета. Задача замыкается условиями равенства нулю перемещений, напряжений и деформаций на бесконечности по 1x1.
Построим решения для верхнего и нижнего слоев отдельно и срастим их по линии сопряжения у = 0. Рассмотрим верхний слой. Запишем его уравнения состояния (1.1) в разрешенном относительно напряжений виде:
Е?=-%)+)+〃©?】，а」2)
(1 -2%)(1 +〃i)
。少=0+Ny)е f)鸣』阎％(1」з)
壮？= (I + Ny)e<V,
l+^i(1.14)
(1 + %) = (1一Ь尸.
Возьмем отдельный участок активного загружения слоя, имеющий характерный размер % и будем считать пока, что p(xf t)=pQ(x, f) отлична от нуля только на этом участке. Учтем тот факт, что характерный размер зоны активного загружения слоя а гораздо больше его толщины. Сделаем замену переменных, воспользовавшись для преобразования линейных размеров и перемещений масштабным коэффициентом а. Тогда новая (безразмерная) толщина слоя окажется гораздо меньше единицы. Последующие рассуждения будем проводить, считая что соответствующая замена переменных выполнена.
Разложим касательное напряжение о^ в ряд Тейлора пор в окрестности точки у = 0 и ограничимся только линейными членами [45], т.е.
屮? = 9(х, D + Ф(хД)у.(1.15)
Тогда из граничных условий (1.6), (1.9)
*)= 0・(1.16)
Подставим (1.16) во второе уравнение равновесия (1.3). Определим о^ = MG, г), что с учетом граничного условия на верхней грани (1.5) даст
о£)= Ро(х, 0-(1.17)
73
На основании (1.17) и (1.13) выразим деформацию 明)через нагрузку Ро(х, Г) и деформацию《？ Действительно:
*)=0- 2 迦5 q-LQ?-产-齡. (1.18)
Подставляя теперь (1.18) в формулу (1.12) для напряжения о^9 получим
。!？= ~~ Р^ 0 + ；3~(I + Ny)"?・(1・19)
1 — Pj1 一也
* Но из первого уравнения равновесия (1.3) в силу (1.16) o^9 = ^i(Р, 0, и с учетом того, что о$?=0 при 1x1
d？ = 0.(1.20)
Из соотношений (1.19), (1.20) будем иметь
6? = т】(1 + %)(I - Ц)р0(х, 0 М\(1.21)
а из (L18) и (1.21) придем к выражению
К? = (1 -诉)(I - Ly)po(x, t)E^，(1.22)
Заметим, что в размерных величинах формулы для напряжений и деформаций имеют вид (1.16), (1.17), (1.20)—(1.22).
Полученное приближенйое решение показывает, что напряженное состояние относительно тонкого слоя с точностью до величин порядка h2cT2 сосредоточено под нагрузкой, а сам слой работает на сжатие (эффективность такого приближения обсудим ниже). Тогда на основании соотношений (1.22), (1.4) и граничного условия (1.8) определим вертикальные перемещения точек верхнего слоя при действии на пакет слоев нагрузки р(х,)
u(D(x, % Г) = / —7 丁& р(х,力一
о Ei0-"(z),z)
-f P(x, T)f ———— J^1^ - rf(z)9 T - Tf(z),z) dzdT +
&0 Ei(T-疗(z),z)
+ u(2)(x, 0,)(K23)
где v^(x, 0, 0 — вертикальное перемещение точек верхней грани слоя толщины Н.
Обратимся теперь к решению задачи для нижнего слоя. Заметим, что в силу (1.7), (1.9), (1.17) на его верхней грани будем иметь
у = 0: o^=p(xtt\ o^^Q,
т.е. придем к задаче о действии распределенной нормальной нагрузки р(х, t) на однородно стареющий слой. Решение такой задачи может быть получено на основании принципа соответствия [12,19] при помощи упругого решения [32]. Перемещение 户匕，0, t) будет иметь при этом вид
^,0,0= ^^-(I-D ；屮 М 誓)或，(1.24)
8 L(u)%(s) = / cos su du,о u8 L(u)%(s) = / cos su du,о uгде при условии (1.10)
8 L(u)%(s) = / cos su du,о u
8 L(u)%(s) = / cos su du,о u
ch 2〃 一 1
£(«)=,
sh 2〃 + 2u
а при условии (1.11)
2K sh 2〃 - 4u
L(u) =；；，” 3 — 4〃2.
2x ch 2u + 4w2 + 1 + d
(1.25)(1 26)(1.25)(1 26)(1.27)(1.27)Приравнивая теперь вертикальные перемещения точек верхней грани основания, вызванные нагрузкой
(1.25)
(1 26)
(1.25)
(1 26)
(1.27)
(1.27)
-%(%"),做《х《仇； 0 в противном случае,
перемещениям жестких штампов, с учетом (1.23), (1.24) получим разрешающую систему интегральных уравнений контактной задачи в виде
/ £7一亦%a/)-/ ^T)f-一X
о El ОТО), у)т( О 吊 STS)/)
小2(1一归)n g
хк()”WS,y)力〃+ Д [/
Q/住, Г) хQ/住, Г) х马0一戒）马0一戒）成X成X' H) q〃j as-建)' H) q〃j as-建)X K(2)(f - 建,т 一建)drj = s(f) + “•《)(%_ gg “) -^x -纟产)
Q/住, Г) х
Q/住, Г) х
马0一戒）
马0一戒）
成X
成X
' H) q〃j as-建)
' H) q〃j as-建)
(а/<x<Л/, i=l,..・,〃)，(1.28)
^<t<Tc. <?f(x, 0 = 0,
NO。，S«) =。，
/ 匆+勿 g小 丁
Здесь qQ, f) - контактные напряжения под Lm штампом; 加(力，а»«), g/[x - @ + bf)/2] — осадка, угол поворота и форма основания этого штампа соответственно.
К системе уравнений (1.28) следует добавить условия равновесия штампов на деформируемом основании:
bi
Г %(%#必=В«),(1.29)
勺
/(х - ^у^)也® О dx=Mt⑴(^9=А(0 勺⑺)，(1.30)
吟 <^<п： Л(О = о, ^(0 = 0,
где ef(Г) — эксцентриситет приложения 力й силы.
Соотношения (L28)— (1.30) задают пошаговый процесс получения систем разрешающих уравнений задачи, где в момент взаимодействия с основанием к штампов имеем к уравнений, 2k дополнительных условий, и при этом учитывается вся история загружения основания. Получение систем уравнений на каждом шаге для конкретной задачи проводится индивидуально. Соответствующие примеры будет даны ниже. Здесь остановимся на выводе систем интегральных уравнений для оснований другого типа.
Пусть при всех равных прочих условиях материал верхнего елся ведет себя при всестороннем сжатии чисто упруго и описывается следующими уравнениями состояния [см. (1.3.5), (1.3.6) и (1.3.10)]:
£ ⑴(X =^ _ f ^X
“ x ' 2Gl (—仃(у)& 2G1 (т-"(y)j)
xK口("疗8), 一疗(f) j)办 +[—理— _
3硏®3 L 2G仆"8)j)
-；К「《 —道8),T-Tt(yly)dTl (1.31)
Тогда аналогично тому, как это было проделано, можно получить следующую систему уравнений:
f 2Gy+EW>)2(1-翦)《%&#
f dyqi(xf Г) + 2 J X
о Gy[Gy+2Ef(y)]八八я /=1 U. E2(t-r^
哈⑴+色（碓--哈⑴+色（碓--p^^ 2p^^ 2方斗%仔^-%弊（2）6 - T九7 - О勿］e2（7-7岁）\ H ）J方斗%仔^-%弊（2）6 - T九7 - О勿］e2（7-7岁）\ H ）J
哈⑴+色（碓--
哈⑴+色（碓--
p^^ 2
p^^ 2
方斗%仔^-%弊（2）6 - T九7 - О勿］
e2（7-7岁）\ H ）J
方斗%仔^-%弊（2）6 - T九7 - О勿］
e2（7-7岁）\ H ）J
(af<X<bi, z= l,...,w),(1.32)
Gy1 /(x, r) = — /x
2Gi« 一 疗(y)j) & 2Gl(7一疗8)/)
x Kf)« — 疗0), T -Tt(y\y)dT.(1.33)
Методы расшифровки представленных здесь и всюду далее операторных выражений подробно обсуждались в [18, 19, 21]. Отметим только, что в случае, когда Е*(у) велико, т.е. материал слабо сжимаем, можно считать [2Gy + EfSHG^YG» + 2Ef (у)] -1 弋 G/J/2 и пользоваться при решении выражением (1.33). Дополнительные условия сохраняют вид (1.29), (1.30).
Рассмотрим еще один тип основания, когда верхний слой описывается уравнениями состояния (1.1), а нижний однородно стареющий слой изготовлен из материала с чисто упругим поведением при всестороннем 76
сжатии, т.е.
£俨(х, 0 = G-喟)(хJ) - ％ [G-1-^)-1 ]啜)(x, 0/3,(1.34)
G-7(x, Г)=G-7(x, Г)=f (%")2G2(T)f (%")2G2(T)
G-7(x, Г)=
G-7(x, Г)=
f (%")2G2(T)
f (%")2G2(T)
T-T2)dT.T-T2)dT.(1.35)(1.35)
T-T2)dT.
T-T2)dT.
(1.35)
(1.35)
Тогда, решая вспомогательную задачу и используя при исследовании однородно стареющего слоя принцип Вольтерра [19, 37, 41, 59, 60 и др.], получим следующую систему интегральных уравнений:
"1—u；(y)t" [1-Р? (у)]
/ ———dyqi(xf t)- fqi(xf t)厂」——— X
X К⑴ а _ т： (у),т-Г* (у),^)dydr +
+ *G(G + 20);
=5f (0 + 8 (0(х -号^ ) _&(х - “1；"')
а《х《勿，i = 1,...,"),(1.36)
где ядро контактной задачи к[ (х -与)/印 описывается выражениями (1.25), (1.26), т.е. на нижней грани пакета слоев предполагается гладкий контакт.
Вариант сцепления с недеформируемым основанием рассматриваемого пакета слоев в общем случае будем опускать, поскольку само ядро контактной задачи становится функцией оператора G.
Действительно, по принципу Вольтерра следует заменить константу к в (1.27) ее операторным выражением (7G + 2^*)/ (G + 2"). При этом возникает математическая задача, выходящая за рамки настоящей книги. Однако для слабосжимаемого материала можно положить к = 1, учесть, что (4G + 2Ef)G-i(G + 2Е；)Т « G"*1, и рассматривать как вариант гладкого контакта нижней грани, так и вариант ее сцепления, используя для ядра контактной задачи соотношения (1.25) и (1.27). Дополнительные условия остаются прежними.
Наконец, приведем систему уравнений задачи, когда верхний и нижний слои имеют уравнениями состояния соотношения (1.31) и (1.34) соответственно. В этом случае при тех же дополнительных условиях
л f ол f оXX2Gy+Ef(y)4/ …4G+ 2明
л f о
л f о
X
X
Gy 0 +2Ef (у)]勿俏 Q + 7rG(G + 2£t)
(1.37)77(1.37)77x £，‘%詹"）《^^）若=也《）+ %3卜_"^^
(1.37)
77
(1.37)
77
Рис. 3.2. К плоским контактным задачам для многослойных оснований, наращиваемых системами штамповПоказан участок трехслойного основания с Lm штампом, вдавливаемым силой Р;(0 , эксцентриситет приложения которой е,(г)Рис. 3.2. К плоским контактным задачам для многослойных оснований, наращиваемых системами штамповПоказан участок трехслойного основания с Lm штампом, вдавливаемым силой Р;(0 , эксцентриситет приложения которой е,(г)
Рис. 3.2. К плоским контактным задачам для многослойных оснований, наращиваемых системами штампов
Показан участок трехслойного основания с Lm штампом, вдавливаемым силой Р;(0 , эксцентриситет приложения которой е,(г)
Рис. 3.2. К плоским контактным задачам для многослойных оснований, наращиваемых системами штампов
Показан участок трехслойного основания с Lm штампом, вдавливаемым силой Р;(0 , эксцентриситет приложения которой е,(г)
где относительно ядра к\(х —与)何] остаются в силе все рассуждения, проведенные для системы уравнений (1.36).
Полученные системы двумерных интегральных уравнений описывают явление контактного взаимодействия приближенно. Такое приближение эффективно в случае, когда податливости элементов слоев составных тел имеют одан порядок или тонкие слои более податливы [10]. Поэтому всюду далее будем считать, что элементы ввх слоев рассматрив аемых тел имеют при одинаковых нагрузках упруго мгновенные деформации и деформации ползучести одного порядка либо податливости элементов тонких слоев больше.
Заметим, что аналогично проделанному можно получить систему уравнений контактной задачи для основания, состоящего из пакета контшсти* рующих друг с другом без трения тонких слоев, находящегося в условиях гладкого контакта с подстилающим однородно стареющим слоем (важно только, чтобы суммарная толщина тонких слоев была существенно :меньше характерного размера области контакта) (рис. 3.2).
Операторное уравнение плоских юонтактных задач. Исследуем полученные системы двумерных интегралшых уравнений. Поскольку структуры систем уравнений (1.28), (1.32), (1.36) и (1.37) сходны, рассмотрим дня определенности соотношения (1.28)—(130), положив
匕 0)=^1, ^i (^ - rf (у),у) = Ei (t-Tf (у)),
к⑴(г - г? (у), т-rf (у),у)=ка)(/- т^ О),т-т?О)).
Такое изменение параметров системы уравнений рассчитано только на доследующее использование вводимом замены переменных при конкретных расчетах и не ограничивает общности рассуждении.
Сделаем в (1.28)—(1.30) замену переменных по формулам
2х - di — bi-曲-bi
X* =—臂=--1(映《X《力，at^KbiY
—勺Dj — ctj
产="J, Т* = ТТ* т： = /т/,[叩*= T*J,
"8)]* = kS"J, "]* =建寸，
2Я〃/ + bjb]—〃]九—I2Я〃/ + bjb]—〃]九—I9 - 4j bi —i9 - 4j bi —i以(x*)=以(x*)=2g"x-@ + &)/2]2g"x-@ + &)/2]bi -〃ibi -〃i.2岔⑺号/2.з/2
2Я〃/ + bj
b]—〃]九—I
2Я〃/ + bj
b]—〃]九—I
9 - 4j bi —i
9 - 4j bi —i
以(x*)=
以(x*)=
2g"x-@ + &)/2]
2g"x-@ + &)/2]
bi -〃i
bi -〃i
5"（产）=一产亠，廿（尸）=%•0）$丁,
〃 *2%・（х/）（1 -说）№
& a - rt& a - rt疗（六）=疗（六）=с (Г*)=с (Г*)=in1 (r*) =in1 (r*) =們0)(1 一后)旷,E2 (Г- T扌)(& - 4»)(1 — 1^；) E2«—T扌)力(1一〃分Е? (r)Si -。i)8M ?)(1 一分 中/們0)(1 一后)旷,E2 (Г- T扌)(& - 4»)(1 — 1^；) E2«—T扌)力(1一〃分Е? (r)Si -。i)8M ?)(1 一分 中/(1.38)(1.38)e* (严)=e* (严)=E2 (f-T^ibi-ai^ 2s, bi-atE2 (f-T^ibi-ai^ 2s, bi-atq"（x*,濟）=
& a - rt
& a - rt
疗（六）=
疗（六）=
с (Г*)=
с (Г*)=
in1 (r*) =
in1 (r*) =
們0)(1 一后)旷,
E2 (Г- T扌)(& - 4»)
(1 — 1^；) E2«—T扌)力
(1一〃分Е? (r)Si -。i)
8M ?)(1 一分 中/
們0)(1 一后)旷,
E2 (Г- T扌)(& - 4»)
(1 — 1^；) E2«—T扌)力
(1一〃分Е? (r)Si -。i)
8M ?)(1 一分 中/
(1.38)
(1.38)
e* (严)=
e* (严)=
E2 (f-T^ibi-ai^ 2s, bi-at
E2 (f-T^ibi-ai^ 2s, bi-at
財（ОМ （т-建）с
К2 （f*,T*） = К（2）（力一建扌）T1,
緖a*,曾二喫 《卫士产3_）二粵m号
1E?⑴1E?⑴11dydyh о 防("t： (у))*h о 防("t： (у))*
1
E?⑴
1
E?⑴
1
1
dy
dy
h о 防("t： (у))*
h о 防("t： (у))*
峻⑺夕К⑴("君8)"一疗8))
(1^*1 < 1, IFI《1), ойуская в (1.38) звездочки, с учетом обозначений
L： (т/, Z) w (?) = ,w (r) Kk (% r) d t,
A护(x) = J C(x, W)u(D 港
(/,/ = 1, ••/； 〃= 1, 2)
получим (I* — тождественный оператор)
с (О (Г - Lf (% Г))『&, Г) + (I*一 L： (1,0)± A；d (x, r)=
=鼠(f) + 箇(f)X - 炉(X)
(1^1 < 1, i=l, •••,〃)，(1.39)
/ qt GJ)dx = p»(r),(1.40)
j”i(XJA必=疗()疗⑴=Р‘(r)a(r);(1.41)
т? < t < Ti : q» (x, Г) = 0, N (0 = 0,
紹(f) = 0, q'(x) = 0, p'(r) = 0,加'(Г) = 0.
Приведем пример конкретного процесса последовательного присоединения к основанию отдельных штампов. На интервале времени 勿 & 《Г《 ％+i (化=1,...,〃) система уравнений (1.30) будет иметь вид
с (Г) (I* - L：(人 J))炉(х, Г) + (I* - L? (т J))W A； q/ (x, Г)=
=“ (f) + 储《)х -gi 0) + С (0 L* (ть TQ q'a，г) +
+ 6 蚱:L夢(/ *) A* 厘(x, 0 (i = 1,…,к),(1.42)
L；“(Tit тк) w (Г) = / w (г) Kt (Г, т) dr (I = 1, 2),
I 0, “1,
е 3)=
I 1,左*1,
где слагаемые в правой части (1.42), содержащие q^ (х, г), находятся из решения задачи на предыдущем шаге и зависят от х и Г. Они определяют искажение поверхности вязкоупругого основания за счет ползучести материала. Фактически решение (1.42) эквивалентно решению задачи о присоединении к деформируемому основанию в момент тк одао- временно к штампов с формами подошв, определяемых тремя последними членами в правой части (1.42).
Итак, дня изучения произвольного процесса присоединения или снятия штампов необходамо на каждом интервале времени [ 5, т? + J , когда количество штампов N фиксировано, решать систему уравнений вида
с (0 (I* 一 L：)『(ХJ) + (I* - L：)『] А；少(х, Г)=
=б1' (0 + а» «)х -gi(x/)
(|х|《L г £ d, "+J, i = 1 …М
LX = L* (тг, 0, m = 1, 2)(143)
с дополнительными условиями (1.40), (1.41), где ^ (х, г) - известные функции.
Остановимся на некоторых математических аспектах, возникающих при исследовании основной системы двумерных интегральных уравнений (1.43). Далее будем обозначать операторы, тензоры и векторы полужирным шрифтом соответственно большими буквами со звездочкой, большими и малыми буквами, а также пользоваться символикой тензорного анализа из [43].
Рассмотрим вектор-функщш f (х) = /l(x)if и тензор-функции двух переменных N(x, 6 = 〃"(х, Ri% (/,/= 1, ...,7V), где i* (% = 1,…,N) 一 орто- нормированный алгебраический векторный базис TV-мерного евклидова пространства К Отметим, что всюду по верхним повторяющимся индексам ведется суммирование.
Введем гильбертово пространство 厶 ([-1,1], К) вектор-функций со следующими глобальным скалярным произведением и нормой [30, 64]:
1
а(х),Ь(х)£к ([Т1],Ю：(а,Ь) = / a(x)・b(x)dx,
а (х) • b (х) = ак (хг) Ьк (х),
II а II = (а, а)*.
Аналогично введем гильбертово пространство тензор-функций двух переменных:
N(x,0,M(x,0eL2([-l,l],r): [N,M]= / / N(x/)・・MT(xN)X
Xd 妙，
N(x, О •• Мг(х,扌) = М'(х, W)m"(x,我
III N HI = [N, N]%・
Глобальным произведением (справа) тензор-функции на вектор-функцию назовем выражение
1
(N(x, а а(0) = / N(x,6・a(W)W,
N(x, 6・а&) = М"х, ^aj^V.
Заметим, что вектор-функция a(x)G£2([-l, 1], П тогда и только тогда, когда ее компоненты 0*(%)£丄2〔一1, 1], а тензор-функция N (х, ^)GL2([-1,1], V) тогда и только тогда, когда 九"(х,打£ ELH—1,1] [63, 64].
Остановимся теперь на вопросе разложения функций из 丄 2([ — 1,1 ], Р) и LzQ—1,1], К) в ряды по функциональным векторным базисам. Пусть {Р*(х)}(左=0,1,…)-базис 丄2 [Т, 1], тогда
а(х) = d(x)Y = £ &尸；(x)Y=W 4Р：(х), “О £ *fc=0 к &
Р：(х)=尸：(*)"，(р；(X)，р/ (х)) = 8кп 5</,(1.44)
Зак. 103581
где р； (х) О = 1,…,N；左=0,…,8)— базис丄2([Т, 1], Q； 8ml ~ символ Кронекера.
Аналогично предыдущему получим, что
N(x,D = *(x,&)iF =言 f *П尸*(x)片售)/y=
m = On=O
=2 S A?， m = O w=O 内
Теорема 2. Оператор N*, образуемый глобальным произведением тен- зор-функции на вектор-функцию, т.е.
N*a(x) = (N(x, О, а(0), N(x, e)€L2([-l, 1], F)，
является вполне непрерывным из Z2([~l, 1], Ю в ^г([-1, 1], Р)； если N(x, E) = N‘(E, х), то оператор N* самосопряженный.
В самом деле, исследуемый оператор действует из 厶2([—1, 1], И) в А2([~ 1,1], И) в силу оценки
«(N(x, 0, а (О) И & IIIN(x^)lll II а (5)11,
его полную непрерывность можно доказать на основании разложений N (х, ?) и а (Е) в ряды по базису (1.44), пользуясь тем фактом, что предел сходящейся по следов ателъно сти вполне непрерывных операторов вполне непрерывен [38, 40]. Условие самосопряженности легко проверяется непосредственно.
Положим
q(x, ?) = 4‘(х,力匕 а(0 = S^Oi1*,
Ь«) = М«)Г, g(x, z) = g'(x,z)Y, • .(L45)
K(x,分=m(x,酬w，
P«) = P”&)Y, тС)=т%)1.
Тогда система уравнений (1.43) и допоинительные условия (1.40), (1.41) примут вид
с «) (I* - L：) q(XJ) + (I* - 1Л) A*q (х")=
=a(t) + b(r)x -g(x, 0 (|Х 1《1, t^[rr, тг+1]),
(1.46)
1
/ q(x, t)dx = р(0,
(1.47)
1
/ q(x, Oxdx = m«),
(1.48)
A*f(x) = (K(x, 0, f&))・
(1-49)
Таким образом, система уравнений (1.43) приведена к одному операторному уравнению (1.46) в функциональном векторном простран- 82
стве, а последовательности условий (1.40), (1.41) — к двум векторным условиям (1.47) и (1.48) соответственно.
Рассмотрим свойства оператора А*, возникающего в поставленных плоских контактных задачах. На основании (1.25), (1.38), (1.45), (1.49) можно утверждать, что А* вполне непрерывный из Z2( [ —1, 1], И) в £2([T,1],Q, так как М (х, О G L2([-l ,1] ,К (х：打 eL2([-l, 1], Q и справедлива теорема 2. Кроме того, к" @, &)=庐(&, х), т.е. К (х, &)= =К т (&, х), и по той же теореме А* самосопряженный. Доказательство положительной определенности оператора плоских контактных задач А* заинтересованный читатель может найти в [21].
Итак, будем исследовать операторное уравнение (1.46) с дополнительными условиями (1.47), (1.48), где с (?)〉0 - непрерывная по f функция; q(x, f), g(x") - непрерывные по Г в Z2( [ -1, 1], ^) вектор- функции; a(r), b(f), р«), т(?) - непрерывные по времени вектор-функ- ции; оператор А* — вполне непрерывный, самосопряженный и положительно определенный из £2([-1, 1 ], ^) в А2([-1, 1], К); L£(Z = 1,2) - интегральные операторы Вольтерра по времени с непрерывными либо слабосингулярными ядрами. Заметим, что функция c(f) по физическому смыслу должна быть всегда непрерывной по времени, а введенные вектор-функ- ции могут быть и кусочно-непрерывными по л Дальнейшее рассмотрение только непрерывных по t вектор-функций проводится для краткости формулировок и не ограничивает общности рассуждений.
Варианты математической постановки. Контактные задачи дискретного наращивания деформируемых тел отличаются тем, что исследуются произвольные процессы контактного взаимодействия, при которых идет постоянное присоединение или снятие жестких элементов на произвольных участках тел. В эюм смысле можно представить себе бесконечное множество вариантов таких процессов, отличающихся количеством присоединяемых элементов, их расположением и т.д. Поэтому ограничимся изучением случая, когда на определенном интервале времени количество воздействующих на тело элементов неизменно.
Пусть в некоторый момент тг количество штампов, вдавливаемых в неоднородное стареющее вязкоупругое основание, установилось равным N и до момента тг+1 неизменно. Имеем соотношения (1.46)-(1.49), где g(x, г) определяется всей предыдущей историей загружения и формами оснований штампов. Необходимо определить контактные давления q (х, Г) и кинематические, квазистатические или смешанные характеристики на каждом штампе в зависимости от того, какие условия на этом штампе заданы. Действительно, на одном штампе можно задавать четыре типа условий: силу и момент, силу и угол поворота, осадку и момент, осадку и угол поворота. При этом необходимо отыскивать соответственно осадку и угол поворота, осадку и момент, силу и угол поворота, силу и момент. Но на разных штампах могут быть поставлены разные условия, поэтому введем следующую классификацию [49].
Группой штампов назовем произвольное конечное число штампов, на которых заданы условия одного и того же типа. В произвольной системе штампов таких групп, очевидно, может быть от одной до четырех.
Рассмотрим возможные варианты постановки задачи о системе штам-
пов. Пусть система представляет собой группу штампов. Поскольку на группе штампов можно задать четыре типа различных условий, имеем четыре варианта постановки. Если система состоит из двух групп, т.е. на каждой группе выставляются различные условия из четырех возможных, то имеем еще шесть вариантов. Заметим, что на разных группах системы следует задавать разные условия. В противном случае (по определению группы штампов) придем к ситуации, когда система представляет собой одну группу. Для системы, состоящей из трех групп, получим еще четыре варианта постановки, а для системы, состоящей из четырех групп, — один.
Таким образом, существуют пятнадцать возможных вариантов постановки плоской контактной задачи для системы штампов, на детальном разборе которых остановимся в дальнейшем.
Анализ всех вариантов показывает, что они обладают одной закономерностью. Так, всегда можно выделить два ортогональных подпространства £i([ -1, 1], Р) и £扌([-1, 1], V) пространства Z 2 ([ -1, 1], Р)= =^([-1, 1], К) ф £1([-1, 1], К) и представить вектор-функции q(x, Г) и g0(x, Z)(обозначим так всю правую часть уравнения (1.46)) в виде
q (%, 0 = qi(%, 0 + q28 0, go»") = go (%, 0 + go (%"),
где qf (х, ^), go (x, t) непрерывны по Г в £2 ([-1, 1], Ю (»=1,2), что qi(x, Г) и go(x, Z)окажутся известными, a q2 (х,才)и g，x, Z)будут представлять искомое решение задачи.
Данное обстоятельство позволяет вместо исследования каждого варианта постановки перейти к изучению одной задачи для операторного уравнения в абстрактном гильбертовом пространстве и затем уже вернуться к конкретным случаям.
Об одной задаче для операторного уравнениятеории контактных взаимодействийи проекционно-спектральном методе ее решения
• Некоторые сведения из функционального анализа. Приведем без доказательства ряд фактов и теорем функционального анализа [38, 40, 63]. При обсуждении общих вопросов будем пользоваться традиционными обозначениями (см., напр.: [40]) без использования полужирного шрифта, звездочек и т.д.
Всякое подпространство гильбертова пространства либо является конечномерным евклидовым пространством, либо само представляет собой гильбертово пространство.
Говорят, что гильбертово пространство Н есть прямая сумма своих подпространств Mi, М2,…，必：Н = Mi ® М2 ® ：. ® 必，если подпространства 屬 попарно ортогональны (т.е. любой элемент из Mi ортогонален любому элементу из Мк при i^k) и взаимно дополняют друг друга до Я
Каждый элемент / G Я представим единственным образом в виде
У = Лх + 力2 + …+ 力м， Лл £
Рассмотрим гильбертово пространство Н = Н* фЯ2, т.е. представим каждый элемент Л €Яв виде 力="+ % (也 £"〃 »= 1,2).
84
Оператор 目：P# =力» называется оператором ортогонального проектирования или ортопроектором Н на Н» (i = i, 2). Очевидно: Р2 = / - Pi (/- тождественный оператор).
Укажем некоторые свойства ортопроекторов:尸也》= %, P、h? = P2^i =0, ЛР2л = о,НЛН = 1.
Ортопроектор является линейным, непрерывным, самосопряженным оператором в Н.
Для того чтобы линейный оператор 尸 в Н был ортопроектором, необходимо и достаточно, чтобы Р был самосопряженным оператором и для каждого х £ Н выполнялось равенство Р(Рх) = Рх.
Сформулируем также ряд основных утверждений, относящихся к теории линейных непрерывных операторов в гильбертовом пространстве.
Все собственные значения самосопряженного оператора в Я действительны, а собственные элементы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
Множество собственных значений вполне непрерывного оператора в Н не более чем счетно с единственной возможной предельной точкой в нуле.
Все собственные значения вполне непрерывного, самосопряженного и по ложительно определенного оператора в Н положительны.
Для того чтобы последовательность собственных элементов вполне непрерывного и самосопряженного оператора Л, соответствующих собственным значениям, отличным от нуля, являлась полной ортонормированной системой в гильбертовом пространстве Н, необходимо и достаточно, чтобы нуль не был собственным значением оператора Л, т.е. чтобы элемент Л/был отличен от нуля при/=/= 0.
Последовательность собственных элементов вполне непрерывного самосопряженного и положительно определенного оператора в Н образует базис этого пространства.
Линейная комбинация вполне непрерывных операторов вполне непрерывна.
Если Л — вполне непрерывный оператор, а В - ограниченный, то операторы АВ и ВА вполне непрерывны.
В гильбертовом пространстве Н оператор ортогонального проектирования на подпространство вполне непрерывен в том и только в том случае, если это подпространство имеет конечную размерность.
Приведенные сведения не претендуют на полноту, и заинте ре сов анный чй- татель может более подробно ознакомиться с соответствующими разделами функционального анализа по указанным выше монографиям.
Постановка задачи для операторного уравнения в абстрактном гильбертовом пространстве. Рассмотрим уравнение
с«)(/—厶)七 + {I-L^Axt 二九(2.1)
где 看 н 衣一непрерывные функции f со значениями из гильбертова пространства Н; с") > 0 — непрерывна по t; / - тождественный оператор; А — вполне непрерывный, самосопряженный и положительно определенный оператор из Я в Н; Li н % — операторы Вольтерра (по f), такие, что построенные по ним операторы (/- Li), (/-厶2),(『一(3i«)，i + cj2(O ^2)) и обратные им не выводят функции из класса непрерывных 3i(r) и 32(f)— непрерывны no Z).
Представим гильбертово пространство Н в виде суммы ортогональных подпространств Н-Нх ㊉ % • Для непрерывных по г функций со значениями из Н справедливо разложение
4 = F； + /，х” х； + х；, где F；，х： - непрерывные по Г функции со значениями из 修(i = 1,2).
Рассмотрим теперь оператор В ортогонального проектирования Н на %. Оператор Р2 = / - В проектирует "на %. Очевидно, что 尸》九=f, 尸祢产 x；(i= 1,2).
Пусть xt и ft удовлетворяют уравнению (2.1). Требуется по заданным х； и# определить неизвестныех^ н,.
Решение задачи, его существование и единственность. Подействуем операторомР2 на уравнение (2.1), тогда оно примет вид [49]
^(I-L^x^ + (I-L2)P2Ax^ =彳一 (I-L2)P2Ax^.(2.2)
Теорема 3. Оператор Р2Л — вполне непрерывный, самосопряженный и положительно определенный из % н %.
Действительно, Р2 - линейный, непрерьшный и ограниченный оператор в Н. Оператор А — вполне непрерывен по определению, но тогда (см. разд. 3.2.1)尸2< вполне непрерывен. Очевидно, что Р2Л отображает Я2 в себя. Самосопряженность исследуемого оператора вытекает из цепочки равенств:
(P2Au2t 也)=(/"2,尸2也)=(/〃2,也)=(〃2, /也)=(尸2"2,/也)=
=3, %/ 也)，
〃2, U2 £ %,(2.3)
в которой использована самосопряженность Р2, ▲用 тождества вида ^2^2 = =〃2 • Положительная определенность следует из соотношения
(尸2』〃2, «2)二(/“2, 〃2),(2.4)
полученного на оаювании (2.3), так как оператор Л — положительно определенный.
Собственные функции ⑵ оператора Р2Л, соответствующие его собственным числам а；, т.е.
PzA® = &м,(2.5)
образуют базис в Я2 • Тогда для непрерывных по t функций со значениями из % справедливо представление
х； = %«)*•,尸=2力⑺仍
g: = (/一%)尸2小1 =*向 S，(2.6)
где Q«), /ХО, g/0 ) - непрерывны no t.
Подставляя (2.6) в (2.2), получим
(/-〃)〃《) = Ф〃)，
cо丄1 + a也
2 =,
с(Г)+ %•
务⑴务⑴力⑴- gi")с(г) + CQ力⑴- gi")с(г) + CQ
务⑴
务⑴
力⑴- gi")с(г) + CQ
力⑴- gi")с(г) + CQ
(2.7)(2.7)勿⑴=（/一厶尸①山）.
(2.7)
(2.7)
Заметим, что I) и ФДг) всегда определены в силу положительности с«) и 勿 и, кроме того,丄"今 厶,①» — (ДО 一 gi«)/c(r) при / 今 8 (см. разд. 3.2.1). В силу условии, наложенных на операторы и функции, ряд (2.6) для х； сходится равномерно по г в Я к непрерывной no f в% функции [31] • Уравнение (2.2) линейно и при乃 =0,х) = 0 имеет нулевое решение.
Теорема 4. В выбранных классах функций, решение уравнения (2.2) существует и единственно.
Таким образом к； найдено. Для отыскания # подействуем оператором В на уравнение (2.1), тогда
方=C(t)(l-L^ + (I-L^P.A^ + 貯)，(2.8)
что сразу дает выражение для 片,поскольку х J задано, а к； определено. Вопрос существования и единственности f ； решается одновременно с вопросом о существовании и единственности х ^ по теореме 4.
Для окончательного обоснования метода необходима следующая теорема.
Теорема 5. Для того чтобы xf и ft удовлетворяли уравнению (2.1) при заданных проекциях 尸iXf и Р2Л, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения (2.2) и (2.8)・
Доказательство этой теоремы легко построить, пользуясь тождеством 爲+p2=/■
На основании теорем 4 и 5 можно сформулировать еще одно утверждение.
Теорема 6. Решение уравнения (2.1) при заданных хJ и/? существует и единственно тогда и только тогда, когда существует и единственно решение уравнения (2.2).
Заметим, что при Р? = I изложенный метод переходит в классический метод разделения переменных, где решение представляется в виде ряда по собственным функциям оператора Л.
Можно показать, что при применении традиционных процедур разложения решений в ряды по произвольному базису Я или по собственным функциям оператора Л, когда 史2H 丄 возникает проблема изучения бесконечной системы операторных уравнений Вольтерра. Это ставит серьезные теоретические проблемы и создает существенные вычислительные трудности при решении прикладных задач, например для больших систем двумерных интегральных уравнений. Проекционно-спектральный метод дает, кроме теоретической ясности, эффективный численный алгоритм, в котором требуется решать последовательность независимых уравнений Вольтерра [см. (2.7)].
Следует также отметить, что выбор условий положительности с(г) и положительной определенности А продиктован только физическим содержанием рассматриваемых контактных задач. Можно опустить эти условия и без труда обобщить основные результаты.
Проблема построения специальных методов решения контактных задач при заданных дополнительных условиях в случае одного уравнения была поставлена в [5, 6], развита в [7, 44] и решена в [4, 9, 46] (см. также [21]) при помощи теорем о представлении ядер (их можно получить как следствие применения общего метода при исследовании конкретных двумерных интегральных уравнений).
Вернемся к уравнению (1.46) при дополнительных условиях (1.47), (1.48). Заметим, что задание тех или иных квазистатических, кинематических или смешанных условий на штампах, по существу, определит и ортопроектор в 丄2([-1」],Ю, зависящий от варианта постановки и приводящий контактную задачу к математической задаче разд. 3.2.2. Ряды, полученные проекционноспектральным методом, будут равномерно сходиться по г в 丄2([一1」],Ю к решению (1.46)-(1.48) [31]. Воспользовавшись свойствами ядра К(х, V) оператора А* на основании [11, 38, 55] можно получить и следующий результат: если g(x, f) — непрерывная по г в а【-1」],Ю вектор-функция, где С([—1 J], F) - пространство непрерывных и ограниченных на отрезке [-1,1] вектор-функций, зависящих от х; ядро К(х, V) непрерывно в целом, т.е.
/ |К(х1，0-К(х1，01^ < е, |хх -х2 I < 6,
|MQ/)| = (М(к/)・・МТ(х,勁产，
то ряды, представляющие решения, будут сходиться регулярно в квадрате {]х I < 1, тг <Г<тг+1} к непрерывным по совокупности аргументов век- тор-функциям (предполагается, что вектор-функция g® г) может быть разложена в регулярно сходящийся в указанном квадрате ряд по собственным вектор-функциям соответствующего оператора).
Решения плоских контактных задач наращиваниянеоднородных стареющих вязкоупругих основанийсистемами жестких штампов
О решении задачи в случае системы штампов, представляющей из себя группу. Рассмотрим операторное уравнение (1.46) с дополнительными условиями (1.47) и (1.48) (см. [48]). Будем считать, что на всех штампах заданы кинематические условия: осадки a(f) и углы поворотов Ь(г). Кроме того, известны формы оснований штампов и искажение поверхности тела под ними за счет ползучести материалов, т.е. g(x, Г).
Требуется определить контактные напряжения q(x, Г), усилия p(f) и моменты m⑴.
Будем пользоваться обозначениями вида В = Р*} понимая под этим, что ортопроектор В общего метода совпадает в данном конкретном случае с некоторым ортопроектором Я = £2([-1 Л], Q・ Отметим, что в силу 尸1 +尸2 =/ достаточно указывать один из ортопроекторов.
В рассматриваемом случае 尸？ = I* н решение (1.46) —(1.48) следует представить в форме
q(x, 0 = ^ 3«)f；(x), g(x, f) = £ g?(f)f；(x), 1=01=0
a(f)=尹⑴产=評⑴衣5：4(x),a(f)=尹⑴产=評⑴衣5：4(x),(3.1)(3.1)
a(f)=尹⑴产=評⑴衣5：4(x),
a(f)=尹⑴产=評⑴衣5：4(x),
(3.1)
(3.1)
b(f)x = ak(t)xik = a*(r) 2 X：f；(x),(化=1, ...,7V),
где f；(x) — собственные вектор-функции оператора А*, соответствующие его собственным числам а?, т.е.
A*f；(x) = а沮(х) (i = 0, 1,...)・(3.2)
Тогда получим
з,•⑴=(I* + N『)^(t) (/ = 0,1,...),(3.3)
50)=储(/)5： + 仙⑴冲-g；«)]/[a； + c(f)],
N*/(0 = ff(T)R^tfT)drf方+J,
где R % (力 r) — резольвента ядра
磋 & т,唬)=ШК.^ т) + 唬 & G T)J / [c ⑴ + 政].(3.4)
Таким образом, контактные напряжения q(x, г) найдены, a p(f) и m(f) определяются из (1.47), (1.48).
Построим теперь собственные вектор-функции и собственные числа оператора А*. Возьмем fp (х) в виде
С@)=纟睢(р)Р*)(р =0,…,8；/= 1,…,7V),(3.5)
где Р；(х) - базис 厶2([-1,1], F) (см. (1.44)).Разложим ядро К(к,与)оператора А* в двойной ряд по тому же базису:
k(X, 0 =炉a与)iN =玄纟 胃曾/⑺尸;⑥国= m = 0 n=0m 德
二 J 北p；a)p^)・о©
m=0 n=0
Заметим, что в силу К(х,与)=К%, х) справедливо равенство
川=戸・(3.7)
тп пт' 丿
Подставим соотношения (3.5), (3.6) в (3.2). Тогда придем к алгебраической системе уравнений
^тпап^ =吟必(р)(加=0,8； i, / = I, Ю(3.8)
для нахождения собственных чисел а； и коэффициентов разложения собственных вектор-функций в ряд (3.5) по функциональному векторному базису. На основании равенства (3.7) матрица системы (3.8) будет симметричной. Ограничиваясь к членами базиса, будем получать ^«е приближение метода Бубнова-Галеркина [56].
Взяв за базис 丄2 [-1,1] систему полиномов Лежандра (пусть далее для определенности Р* (х) — ортонормированные полиномы Лежандра) в по-
компонентной записи получим [см. (1.44)]
qk(xf 0 = S(^i(t)f]k(x)=总 з式f) S 〃％P；(x), i=0'1=0/=0 八"/
p\o =总 3j(f)5” 2% £ ^i(t^(3.9)
i=0"i=0и，"
加*(f) = S 3向冲=(2/3)%玄з«)〃电卜 I=o 11=0
где qk(xf г) — непрерывные по г в L2 [-1,1] функции; pk(t), mk(t) - непрерывны no f (% = 1,..., TV).
Построим решение задачи при заданных на всех штампах квазистатичес- ких условиях. Пусть теперь в (1.46) —(1.48) заданы усилия р(г), моменты m(z) и вектор-функция g(x, f), а необходимо найти контактные давления q(x, f), осадки a(f) и углы поворотов Ь(г).
Представим 七2([—1,1], К) в виде суммы ортогональных подпространств, т.е.
£2([-1Д],Ю =丄2(1,^)$仇(％ Юф^2([-1Л],Ю,
где 丄2(1, Q - пространство алгебраических векторов; L2(x, V) — пространство вектор-функций, образуемых умножением алгебраических векторов на х (х £ [—1,1]), £§([—1Д], К) гильбертово пространство вектор- функций из 丄2([-1」],F), ортогональных вектор-функциям из Z2(h Ю н%® Ю・
Заметим, что функциональными векторными базисами £2(1, Q и 丄2@, Ю являются ро(х) = 2~^ifc и pi (х) = (3/2)%хУ (к = 1, ..., 7V) соответственно; за базис £?([-1 Д], Q можно взять {р*&)}(左=1,…，2, 加=2, ..., 8), где р^(х) =Р* (х)产.Тогда представим q(x, ?) и правую часть уравнения (1.46) в форме
q(x, Г) = zUO Ро (%) +z； «) Pi (х) + ^^(t) р*(х),(3.10)
а(Г) + b⑴х - g(x, 0 =跳(Г) - g$ ⑺]pj(x) + d(f)-
-点f)] P；(x) + Zggpjjx).(ill)
Обратимся к условиям (1.47), (1.48). Легко видеть, что
4(0 = (q(x, ) PoW) = 2一％ / qi(x")必=2-%p»(z),
z；(f) = (q(x, f), pl (x)) =(3/2)% J qi(x, f)必=(3/2)% 疗(f),
т.е. дополнительные условия задают проекцию q(x, f) на пространство непрерывных ПО Г В 丄2(Ю =七2 (1, Q ㊉厶2 X Q вектор-функций [см. (3.10)]. С другой стороны, как следует из (3.11), для правой части уравнения (1.46) такая проекция как раз неизвестна. Таким образом, решение зада-
чи можно найти проекционно-спектральным методом, где
Л = Р&)： P&)f(x)= (Р依)Р%⑧ + Р依)Р&)，僧))・
Воспроизведем основные этапы построения решения, необходимые для численной реализации задачи. Воспользуемся разложениями (i = 1, ...,7V)
q(x, f) = zj(t) pj(x) + zf(/)p；(x) + S zk(t) f^ (x), 左二2 "
q(x, 0 = g；(r)p；(x) + g；«)p；(x) + £ gMD*(%),(3.12)
где f£(x) — собственные вектор-функции оператора (I* — Р%))А* в £? ([-1,1], Ю, соответствующие его собственным числам 限 т.е/
(I* -Р；"А* 理(х)=從哇(х) (к = 2,..., 8).(3.13)
Собственные вектор-функции f^ (х) представим в виде
f沁)=£b/)p；(x)(左=2,…，8； / 工 1,…，TV).(3.14)
Тогда для спектральной задачи (3.13) с учетом (3.6), (3.14) получим 总'，%左)=^к^т(к)(т 二 2,8； i,j = 1, TV).
Искомые функции полностью определяются следующими выражениями [см. (3.11), (3.12)]:
z“f) = 41* + D*) {麻⑴ + (I*-I4)
⑵⑴冷⑴ ^ z^k^Mlcit)^^ ]}
(左=2,8； i = 1,…，TV),
6《)=2-1/2 {c(r)T —卄”融)+ (I*-L*)l 言 z“f)冷)+
+ 吟(Х«) + %Z{⑼ + g?)⑴ 3
MB 二(3/2)1/*{с⑴(I*-Lf)z&) + (I*-L*)[S Zk")M + 左=2' '
+ U1Z《《) + #oZ&(f)] + gj (0 } ,(3.15)
也广曾Mk) (/ =D'
4(0 =2-^pz(0, z；⑺=(3/2产加'(f) (i= 1, TV),
D*/(0 = j/(7)K«, 7)”，/£%•, 7"J, Tr
где R 2 G t) , резольвента ядра К?(厶 т, 0分[см (3.4)].
Для вариантов, когда на всех штампах системы заданы однотипные комбинированные условия, дадим только краткие формулировки и выпишем разрешающие ортопроекторы (подробнее см. [21 ]). Предположим сначала,
что в соотношениях (1.46)-(1.48) известны вектор-функции p(r), b(f) и g(x, f), а требуется определить q(x, f), a(f ) и m(r). Тогда
Л = P：2)：P^)f(x)尸(PoWpUO, f(0),
где P*2} проектирует Z2 ([-1Д ], И) на%(1, Q・
Если же в уравнении (1.46) и дополнительных условиях (1.47), (1.48) заданы a(f), m(f) и g(x, г), а необходимо найти q(x, г), р(г) и Ь(г), то
Л = Р：з)： Р：з/(х)二(pi(x)p{(0,貿纨
причемР：з)проектирует£2([-1Д], Ю на%® D・
Таким образом, исследованы первые четыре варианта постановки контактной задачи о взаимодействии неоднородных стареющих вязкоупругих оснований с системами неодновременно присоединяемых или снимаемых штампов.
Принцип соответствия. Предположим, что все элементы исследуемых оснований изготовлены из одного и того же материала в один и тот же момент времени, а все штампы системы, воздействующей на основания, приложены одновременно, т.е. в (1.46) с(г) = с°, Lf = L^ = L*, g(x, г)= = g(x). Пусть также известно решение аналогичной упругомгновенной задачи (L* 二 0), напряжения, осадки и т.д. в которой обозначим теми же буквами, что ив (1.46), но с индексом 0.
Справедливы утверждения ((I* - L*)^1 = (I* + N*)):
при заданных a(r) = а0 (г), b(r) = b°(f), g(x) = g°(x) решение задачи теории ползучести дается формулами
qgf) = (I* + №)q。® f), р(0 = (I* + N*)p°(0，
m(r) = (I* + N*) m°(0;
при заданных p(r) = p°(r), m(r) = m°(f) и g(x) = g° (x) = 0 имеем q(x") = qO(x"), a(0 = (I* 一 L*)a°(0, b(r)二(I* - L*) b。");
при заданных p«) = P°«), b(f) = b°(0 = 0 и g(x) = g°(x) = 0 получим, что
q(x, 0 = q°(x, 0, m(f) = m°(0, a(0 = (I* 一 L*) a°(r).
Утверждения 1) и 2) являются обобщением известных для изолирован* ных штампов [4, 9], а 3) нетривиально только для системы штампощ^а основании указанных соответствий можно сделать и следующее заключение: для того, чтобы под воздействием заданных усилий одновременно присоединенные к однородному стареющему вязкоупругому основанию штампы с плоскими подошвами не испытывали перекоса, эксцентриситеты приложения действующих на них усилий следует взять из решения соответствующей упругомгновенной задачи, при этом контактные напряжения совпадут с упругомгновенными, а осадка будет изменяться по закону из 3). Других физически реализуемых соответствий плоская задача о системе штампов не имеет.
Отметим, что для вьшолнения 1)-3) необходимы не только однородность оснований и плоские подошвы штампов (для 2) и 3)), но и одновременность присоединения последних.
Установленные соответствия выполняются для оснований, изготовлен-
ных как из материалов с постоянными коэффициентами поперечной деформации, так и из материалов с упругим поведением при всестороннем сжатии. Различие состоит только в виде действующих на функции операторных выражении [см. (137) при Е：(у) =Е? =Е и Gy =G].
Решения контактных задач для двух и более групп штампов. Вернемся к операторному уравнению (1.46) с дополнительными условиями (1.47) и (1.48) (см. [47, 49]). Будем изучать систему N штампов, состоящую из двух групп. Штампы первой группы (соответственно и компоненты вектор-функций) пронумеруем от 1 до 〃q, а второй — от 〃о+ 1 до N. Верхние индексы г и / пробегают все значения от 1 до N, Z и г — от 1 до «о, Р и ^7 — от По + 1 до 2V. Поскольку вектор^функция g(x,f) по смыслу задачи известна всегда, далее упоминать об этом в отдельных случаях не будем.
Пусть на части штампов заданы углы поворота a'(f), на части — моменты mp(t) и на всех штампах заданы силы p，(f). Требуется определить ql (х, г), aP(f),加'(f) и
В этом случае
尸I =唯)：％f(x) = (pK)pJR) + P；(x)P；⑨，f(Z)，
где %)проектирует L2([-l, 1], F) =I2([-1,1], П1 e Ь2([-1,1], П2 на丄2 ([-1,1], P)i, причем
f(x)£ Z2([-l,l],r):f(x)= &(x)+ f2(x),
fi (x) £ 厶([-1, 1], И) i ：fi (x) = /Ы(х) + 外曲(x),
f2(x) £ 厶2([-1, 1], P)2：f2(X)=片 P：«) + 巨2 “P；(x)・
Собственные вектор-функции hfc(x) и собственные числа )》оператора (1*-Р^)) А* в 丄2 ([-1, 1], Р)2 определяются из соотношений
h 鼠х)= d⑹ Р；(х)+ 上2。%由出 (七= 2,..., 8), |匕噎化)+ ^2Сп(к)Г1п =嘘 б(砂(/= 1,…,〃о)'
+ ^2еп^Гтп =噥点⑻(加=2,...严；i = N》
Все вектор-функции операторного уравнения (1.46) представляются в виде суммы вектор-функций непрерьшных по г в L2 ([-1, 1], K)x и 丄2 ([一1, 1], Р)2, т.е. q(x, Г) = qi (х, t) + q2 (х, t) и т.д., причем
qi(x,力二 M«)pg(x) + "；(才)唄%), q2(x, f)=毒？ ％«)%(%)， 街«) = 2% 川(f)pj(x), a2 (0 =0,瓦(f)x =(2/3产M(f) pf (x),
00(3.16)
Ь? (f)x =左三2 气⑴％ (x),a^(r) ^(2/3^al(t)c[(k),
gi(x, f) = 4(r)Po(x)+ gf«)P；(x)，g2(x, f) = ^|2^(0\(х).
Решение задачи полностью определяется следующими формулами (см. (3.16)]:
人g = T+可){&")-g)(?)- t-l力®(力网⑴ +
+ u；⑺空⑵)]/[c(r) +曬]}(%=2,...严)，
々(f) = /"T)及沁7)加 fе [%勿+ J
凡⑴=ri0 R%)+ ^2 喘Се唯2) = riVi(fc>+ ^2 薔唠的
М«)二 2~%р'О "；«) = (3/2)%mP«)、
川g =(2/3产上2%(力a左)，5々)=2一%{ c(D(I*- L：)M0) + +(u OUKK"?⑺吆 + 邑％⑺皐⑴] + g：«)}， a^(0 =(3/2)^{c(O(I*-H)vf(O + (I*-l4)必⑺疗° +
+ u,(f)喟 + l^BP^^^t)}^(3.17)
где R^ (Г, г) - резольвента ядра С&т,曬)[см. (3.4)].
Полученные соотношения представляют собой алгоритмизованную реализацию проекционно-спектрального метода, что позволяет непосредственно использовать их при численных расчетах плоских контактных задач. Далее, не приводя подробных решений, остановимся только на формулировках еще не исследованных вариантов и выпишем их разрешающие ортопроекторы (детальный анализ можно найти в [21]).
По-прежнему, рассматривая случай двух групп штампов в системе, будем считать, что теперь на части штампов заданы осадки b'(f) и углы поворотов а"«), а на части — силы pp(Z)и моменты 加р«). Определяются q1 (х, f), 6卩(£), ap(f), p'(f) и т'«). Для этого варианта
匕=р*5): P*5)f(x)=(啾工川工⑹，f®)・
Предположим, что на части штампов заданы осадки 5' (f), на части — силы p«f) и на всех штампах — углы поворотов a'(f). Необходимо найти q'G，f), 5P(f), pl(t) и "(f)・ В этом случае
А = Р*6): P*6)f(x)= (рМ(х)рЗ® +pf(x)pf(6,f(D)・
Когда на всех штампах заданы осадки 6^ (г), на их части — углы поворотов а() и на части — моменты 加「«), а требуется определить q‘ (х, f), pi(f),加华)，ар(Г), тогда
Л = Р*7) ： Р*7)/(х)= (pf(x)pf(0, f ⑸).
Пусть теперь на всех штампах заданы моменты 加'«), на части штампов — осадки b'(f) и на части - силы р。")，а разыскиваются q'(x, г),
а'(г), 8Р(Г)и р'(г)・ В этом случае
吊=喰)：р*8) г(х)二(р/)рП? + P；(x)P；(D, f(D).
Наконец, обратимся к случаю, когда на части штампов заданы осадки Ь‘(£)и моменты m'(f), а на части — силы р。") и углы поворотов &卩(才). Требуется определить 幻(工，f), Sp(t), mP(t), p'(f), az(r). Разрешающий ортопроектор для этого варианта имеет следующий вид:
Л= Р；9)： P；9)f@)二(Р?а)Р&® + Р：“)Р；®, f(D)・
Этим исчерпываются варианты постановки плоской контактной задачи при задании различных условий на двух группах штампов системы.
Рассмотрим систему штампов, состоящую из трех групп. Штампы первой грутаы пронумеруем от 1 до пх, второй — от nx+ 1 до и2, третьей — от 几2 + 1 до N. Соответствующую нумерацию установим и для компонент вектор-функций. Будем считать, что i изменяется от 1 до 2V, Z — от 1 ДО П1, р — ОТ 〃1 + 1 ДО «2, S — ОТ 〃2 + 1 до N.
Предположим, что на части штампов заданы усилия "(f) и моменты ml(t)9 на части — осадки 6。(才)и углы поворотов &。«) и на оставшихся штампах — усилия р$ (f) и углы поворотов а' (/). Требуется определить qi(x,Q, 5《)，а%), рР«), МО 6s(f)n ms (t). Разрешающий ортопроектор задачи имеет вид:
尸 1 =抬о) ： P(io)f(x)=(Р：(х)Р"Ь + Р：(х)Р：(Е) +
+ Р；“)Р；⑸，f(W))・
Пусть заданы теперь р'«),加'(力，6卩《),标⑴，”(f), ms(t), a необходимо найти ql(x, r), 6z(r), az(r), pp(t)9 mP(f), ps(t) и as(t). Тогда
Л= P&D : P；ii)f(x)二(Ро(х)Ро(Й + P；(x)P：⑧ +
+ P；(x)P；&)，f«))・
Если известны p'(f).疗(f), P°(r),标«), 615(г) и ms(t)9 а разыскиваются qi& t), 6z(0, « l(t), 5P(d，^p(0, Ps(0 и to
尸1 二 P(i2): P：i2) f“)=( P(J(x)Po(S)+ P：(x)P：(? + P^@)Pf 6) +
+ P；(x)P；G))，f«))・
Наконец, в случае, когда по заданным pl(t), а(), 6卩(才)， 仪卩(力, 6 s (г) и ms(t) определяются q'(x, f), 6(), ml(t), р°«), mplt), и а$«):
Л=吃з)： Р；1з)Мх)=( P：(x)P；G)+ P；@)P；(D , f(D).
Осталось исследовать еще один вариант постановки, когда система
штампов состоит из четырех групп. Будем в отличие от предыдущего считать, что штампы третьей группы пронумерованы от 〃2 + 1 Д。^з и $ изменяется в тех же пределах. Штампы четвертой группы пронумерованы от Из + 1 до N, и и принимает те же целочисленные значения. Тогда при заданных Sz(r), o/(f), 6飞)，т°(г), Р’О 公«), Р”О 加"«) и отыскиваемых pl(t),加七)，Р°а),仪°«), ”厶)，”О а"(Г), q'(x, f) имеем
Л=咕4) ： Р；14) f(X)=(Р，@)Р；&)+ Р；(X)Р： 6)+
+ р；(х)рК» + р；(х)р；(В , f(D).
Таким образом, исследованы все варианты постановки плоской контактной задачи о системе наращиваемых штампов и выделены пятнадцать их (включая тождественный) разрешающих ортопроекторов.
В заключение следует отметить, что собственные функции (вектор-функ- ции) возникающих операторов можно строить любым из известных методов [38, 40, 63], не опираясь на разложение ядра К(х, ? оператора А* в двойной ряд (3.6). Однако информации о коэффициентах разложения 点 достаточно для построения по методу Бубнова—Галеркина собственных функций всех необходимых операторов, и в этом плане она универсальна. К этому добавим, что матрицы бесконечных алгебраических систем спектральных задач в силу 匕=匕 всегда симметричны [см., напр.: (3.8), (3.13)].
Модельный пример. Следующий пример демонстрирует эффективность полученных решении при исследовании качественного поведения контактных характеристик многопараметрических задач для систем штампов.
Пусть на упругом слое толщины Я, находящемся в условиях гладкого контакта или сцепления с недеформируемым основанием, лежит без трения вязкоупругий относительно тонкий слой толщины h. В момент 勺 в поверхность пакета слоев начинает вдавливаться постоянными силами % система N гладких жестких штампов на интервалах 询《х《 勿・ Причем на первых и0 штампах заданы нулевые углы поворота, т.е. создаются условия, при которых отсутствует их перекос, на остальных штампах заданы нулевые моменты, т.е. силы приложены центрально и точка приложения их не меняется. Все штампы имеют плоские подошвы. Система уравнений задачи и дополнительные условия имеют вид (1.28)-(130), где
h= N, n = 71,e20一不)=e2,k(2)(Г-点 7 - 右)=0,
gjx- (а/ + 力)/2] = 0,Р/(0 = Р/,
«/(О =0 (/=1,…,〃°), Mp(t) =0 (р = 〃о+1,-,N).
Кроме того, предположим, что верхний слой однородный и описывается простейшей моделью вязкоупругого тела так, что в (1.28)
也(У)=也， & (Г-т：(у), у)=吊，
К⑴ С-т：(У), т-т：(У), у} = —So.
После замены переменных (1.38), в которой Ki(f*, 7*) = -Soq = =—S*, опуская звездочки в обозначениях, перейдем к задаче для двух групп штампов. Действительно: Q‘(f) = 0(/= 1, ...,п0), 加。«) = О
(р = 〃о+ 1,.・”N),Р‘(Г)= Р‘ (« = 1, •••,%), а требуется определить
~(х, Г), m'«), qP«) и &»&)•
Решение такой задачи дается соотношениями (3.16), (3.17), где
吗《) =2-%",vf(r) =0,% (Г) =0,
go (О =0, g；(f)=O, gf(O = 0, c(t) =с,
%") = -Р‘网⑴ exp[cS(l Т)/(с + К)]/[2%(с + К)]・
Для больших значений времени, удерживая главные члены разложений, будем иметь
q'(% О = Р‘/2,疗《) =0,qP«) = 3% Р‘嘘/2,
6'С) = % [ср、Р，喘 + cSp^t- 1)],
т.е. напряженные состояния под штампами стремятся к равномерным, эксцентриситеты приложения сил, исключающие перекосы, e'(f)= =m'(f)/p‘ — к нулю, углы поворотов под штампами с центрально приложенными силами - к постоянным величинам, а осадки — к линейным по времени функциям.
Численный пример. Рассмотрим двухслойное неоднородное, стареющее, вязкоупругое основание, изготовленное из бетона с модулем упругомгновенной деформации Е, коэффициентом Пуассона р и мерой ползучести
e"") = (* + 4产)(1-l"-").
Будем считать, что нижний слой основания стареет однородно, а верхний имеет некоторое неоднородное распределение возраста элементов. Обсудим сначала те условия, при которых исследуемое основание приобретает указанное распределение возрастной неоднородности [21].
Отметим случаи, когда нижний слой может считаться однородно стареющим: 1) процесс изготовления слоя протекает достаточно быстро, и возрастной неоднородностью можно пренебречь; 2) возраст всех элементов слоя к моменту приложения нагрузки так велик, что имевшаяся в нем возрастная неоднородность практически нивелировалась.
Пусть теперь на нижнем слое начинает вводиться еще один слой с целью усиления, наращивания высоты, ремонта и т.д. Если процесс возведения растянут во времени, то слой, полученный в результате, будет необходимо неоднородно стареющим. С другой стороны, даже если слой возведен достаточно быстро и в момент прекращения его изготовления может считаться однородно стареющим, внешние условия (влажность, температура, облучение и т.д.) могут привести к тому, что в момент приложения нагрузки он будет уже неоднородно стареющим. К сказанному следует доба-
вить вариант, когда слои основания стареют одаородно, но моменты их изготовления различны. В этом случае также можно говорить о неоднородном старении основания в целом.
Из множества возможных распределений возраста по толщине слоя выделим два наиболее часто встречающихся случая [4, 8]. Случаем естественно неоднородного старения назовем вариант, когда возраст элементов слоя уменьшается по высоте, что соответствует процессу его последовательного возведения. Случаем искусственно неоднородного старения назовем случай, когда возраст элементов слоя растет по высоте, что может произойти под влиянием внешних воздействий.
Данные определения относятся только к особенностям распределения возрастной неоднородности й не связаны с причинами, обусловливающими процесс старения. В рамках указанных распределений возраста старение тела может быть как естественным, так и искусственным. В дальнейшем, говоря о том, что слой стареет естественно неоднородно или искусственно неоднородно, будем считать, что он по тем или иным причинам приобрел к моменту приложения нагрузки соответствующие распределения возрастной неоднородности и далее стареет в естественных условиях.
Исследуем последовательное присоединение жестких штампов к неоднородно стареющему основанию. Считая, что трение между верхним тонким слоем и подстилающим слоем произвольной толщины отсутствует, а нижняя грань пакета сцеплена с недеформируемым основанием, придем к соотношениям (1.28)—(130). После замены переменных (1.38) с учетом конкретных свойств материала получим операторное уравнение (1.46) с дополнительными условиями (1.47), (1,48), где, в частности:
S «")[Е (Q + /Ме'°7 (1 — °)]， от
&«")=+)(l-e
dr
f %k(y) , c °
〃 =丁 / e 力，0o = 071, 7o = % • 力о
Параметр неоднородного старения 〃 характеризует распределение возраста элементов верхнего относительно тонкого слоя. Можно показать [10,44], что в случае естественно неоднородного старения
1 < д < /°,
а в случае искусственно неоднородного старения
ОС д< 1
(начало отсчета времени выбирается так, чтобы элементы нижней грани тонкого слоя были изготовлены в нулевой момент времени).
Если д = 1, то все элементы слоя в момент приложения первого штампа имеют возраст %, если же д = е备,то этот возраст равен нулю. При д = 0 возникает тот предельный случай, когда весь материал слоя в момент приложения первого штампа настолько старый, что эффекты, связанные со старением, не проявляются.
Ограничимся системой из двух неодинаковых, последовательно присоединенных штампов, на которых задаются усилия и моменты [см. (3.12), (3.15)]. В соответствии с (1.38) и [19,48] возьмем
с (Г) = с° = 0,2,入=15, fi= 1, " = 2, i?i = 0, "2=5,
加1 (f)=加2 (Г) =0, р】(Г) = 1,
p2(f)=2〃2, g1 (x) = g2 (x) =0, r?= 0, Co^ = 0,5522,
4E = 4, p = 0,1, |3 = 0,031 сут"1, 7 = 0,06 сут"1,
т.е. длина линии контакта первого штампа (儿一〃1) вдвое меньше длины линии контакта второго (历一〃2)• Расстояние между ними равно Ь^- 〃】. Сила, действующая на второй штамп, вчетверо превосходит силу, вдавливающую первый, и обе они приложены в центрах штампов (моменты равны нулю). Толщины слоев характеризуются величинами с° н 入,а распределение возраста элементов основания — параметром неоднородного старения 〃 и моментом изготовления т*. Первый штамп присоединяется в момент времени 1, второй — в момент т2. Действительный момент присоединения первого штампа т】измеряется в сутках и является масштабным коэффициентом времени [см. (1.38)], Подошвы штампов плоские.
Исследуем поведение основных безразмерных контактных характеристик при однородном (д = 1, с = 20 сут и ?! =100 сут), естественно неоднородном (д = 10, т】=100 сут) и искусственно неоднородном (д = =0,1, г】=20 сут) распределениях возраста элементов основания в зависимости от момента приложения второго штампа т2. Кривые на графиках для трех указанных случаев будем обозначать сплошными, штриховыми и штрихпунктарными линиями соответственно. Для идентификации напряженного состояния под разными штампами построим графики в координатах, где Хо = х§ + % (I х I & 1) , т.е. для первого штампа (i = 1) —1《 & Хо & 1, для второго штампа (i = 2) 3 & х()& 7 (нулевой индекс при % далее опустим). Значения контактных давлений %(%, f) = q"(x, t)^^, увеличенные в 10 раз, отложим по осям q. Зависимости осадок 5«)二 b'(f) j” от времени построим в реальном масштабе в осях 6 и г/а углов поворота а；(г) = а() j[*, увеличенных в 100 раз, — в осях &1, а2 и f・ Кривые осадок и углов поворота для первого и второго штампов обозначим темными и светлыми точками соответственно.
На рис. 3.3 и 3.4 показаны распределения контактных давлений под неодновременно и одновременно присоединяемыми штампами для случая естественно неоднородного старения основания. Кривые 1 на рис. 3.4 описьшают также не зависящие от времени контактные напряжения при одновременном присоединении штампов к однородно стареющему основанию (см. принцип соответствия из разд. 3.3.2).
На рис. 3.5 даны распределения давлений под неодновременно присоединяемыми штампами для однородно стареющего основания (тх = 100 сут).
Проведем анализ напряженного состояния под штампами и сделаем качественные вьшоды о влиянии естественно неоднородного старения и фактора неодновременности присоединения штампов на характеристики контактного взаимодействия.
Рис. 3.3. Распределения контактных давлений под неодновременно присоединяемыми штампами в случае естественно неоднородного старения основания
1 — в момент установки первого штампа; 2 — непосредственно перед присоединением второго штампа; 3 ~ в момент установки второго штампа т2 = 1,5; 4 — при больших значениях времени
Рис. 3.4. Распределения контактных напряжений под одновременно (г2 = 1) присоединенными штампами (естественно неоднородное распределение возраста элементов основания)
2 — в момент установки; 2 — при больших значениях времени
Пусть штампы приложены одновременно. Тогда в случае однородного старения основания контактные напряжения от времени не зависят. В случае же естественно неоднородного старения обнаруживается тенденция к существенному сглаживанию их распределений с течением времени.
Неодновременное присоединение штампов при однородном старении
проявляет тенденцию к увеличению по времени неравномерности распределений напряжений под штампами, хотя мгновенные распределения в
Р и с. 3.5. Распределения давлений под неодноврем енно присоединяемым и к однородно стареющему основанию штампами (т, = 100 сут, т2 = 1,5 сут)
7 — под первым штампом от момента установки до момента присоединения второ го штампа; 2 — под обоими штампами в момент установки второго; 3 — предельные распределения. Распределение напряжений под первым штампом после установки второго с течением времени изменяется незначительно и представлено одной кривой
момент приложения второго штампа более равномерны, чем при одновременном воздействии. Для первого штампа указанные эффекты малы.
При неодновременном воздействии штампов в случае естественно неоднородного старения происходит наложение тенденций к сглаживанию по времени напряженного состояния за счет типа старения и к увеличению его неравномерности за счет разновременности приложения. Так, при установке второго штампа в момент т2 = 1,25 распределения напряжений сглаживаются под обоими штампами, в том же случае, когда т2 = 1,5, под первым штампом они сглаживаются, а под вторым наоборот. Момент приложения второго штампа существенно влияет на мгновенные распределения и изменения распределений с течением времени для обоих штампов.
Для исследованных случаев кривые распределений контактных напряжений имеют вид парабол с максимумами на удаленных друг от друга краях штампов. Минимумы напряжений смещены от центров штампов к тем же краям. Асимметрия кривых распределений выражена неярко, что является следствием отсутствия моментов (центрального приложения сил).
На рис. 3.6 показаны зависимости осадок штампов от времени для случаев однородного и естественно неоднородного старения.
На рис. 3.7 показаны изменения углов поворота штампов по времени в зависимости от факторов, учитываемых при изучении осадок. Тип старения мало влияет на характер изменения угла под первым штампом и существенно под вторым.
На рис. 3.8 даны распределения контактных напряжений под первым штампом непосредственно перед присоединением и сразу после установки второго штампа (случай естественно неоднородно стареющего основания).
Рис. 3.6. Зависимости осадок штампов от времени для случаев однородного (т【= =100 сут, сплошные линии) и естественно неоднородного (штриховые линии) старения основанияНижние кривые показывают изменения осадок первого штампа в ситуации, когда второго штампа нет. Точками обозначены различные моменты установки второго штампа. В эти моменты времени осадка первого штампа претерпевает скачок по вертикали вверх от одной темной точки к другой» а начальная осадка второго штампа принимает значение, отмеченное светлой точкойРис. 3.6. Зависимости осадок штампов от времени для случаев однородного (т【= =100 сут, сплошные линии) и естественно неоднородного (штриховые линии) старения основанияНижние кривые показывают изменения осадок первого штампа в ситуации, когда второго штампа нет. Точками обозначены различные моменты установки второго штампа. В эти моменты времени осадка первого штампа претерпевает скачок по вертикали вверх от одной темной точки к другой» а начальная осадка второго штампа принимает значение, отмеченное светлой точкой
Рис. 3.6. Зависимости осадок штампов от времени для случаев однородного (т【= =100 сут, сплошные линии) и естественно неоднородного (штриховые линии) старения основания
Нижние кривые показывают изменения осадок первого штампа в ситуации, когда второго штампа нет. Точками обозначены различные моменты установки второго штампа. В эти моменты времени осадка первого штампа претерпевает скачок по вертикали вверх от одной темной точки к другой» а начальная осадка второго штампа принимает значение, отмеченное светлой точкой
Рис. 3.6. Зависимости осадок штампов от времени для случаев однородного (т【= =100 сут, сплошные линии) и естественно неоднородного (штриховые линии) старения основания
Нижние кривые показывают изменения осадок первого штампа в ситуации, когда второго штампа нет. Точками обозначены различные моменты установки второго штампа. В эти моменты времени осадка первого штампа претерпевает скачок по вертикали вверх от одной темной точки к другой» а начальная осадка второго штампа принимает значение, отмеченное светлой точкой
описанных в комментарии к рис. 3.6
Система обозначений соответствует введенной ранее. Угол поворота первого штампа cq в момент приложения второго претерпевает скачок от нуля до значения, отмеченного темной точкой, а начальное значение угла поворота второго штампа о? характеризуется светлой точкой
Рис. 3.8. Контактные напряжения под первым штампом (случай естественно неоднородного распределения возраста элементов основания)
，3, 5 — непосредственно перед присоединением второго штампа; 2, 4, 6 — в момент установки второго штампа т2 = 1,25; 1, 2 - ц = 10; 3, 4 — 以=5; 5, 6 - м = 20
Рис. 3.9. Контактные давления под неодновременно присоединяемыми к основанию штампами (случай исскусственно неоднородного распределения возраста элемента основащш)
7 — в момент установки первого штампа; 2 — непосредственно перед присоединением второго штампа; 3 — в момент установки второго штампа т2 = 1,95; 4 — предельные распределения
Исследуем теперь влияние искусственно неоднородного распределения возраста элементов основания и фактора наращивания на напряженное состояние под штампами, их осадки и углы поворота.
На рис. 3.9 и 3.10 приведены распределения контактных напряжений под неодновременно и одновременно присоединяемыми штампами для случая искусственно неоднородного старения основания. Кривые 1 на рис. 3.10 описывают также постоянные во времени контактные напряже-
103
Р и с. 3.10. Распределения контактных напряжений под одновременно (т2 = 1) присоединенными к искусственно неоднородно стареюще у основанию штампами
7 — в момент установки; 2 — при больших значениях времени
Р и с. 3.11. Контактные напряжения под неодновременно присоединяемыми штампами в случае однородного старения основания (q = 2 сут, j = 1,95)
- под первым штампом от момента установки до момента присоединения второго штампа (напряжения с течением времени не изменяются) ; 2 — под обоими штам> пами в момент установки второго; 3 — предельные распределения. Напряжения под первым штампом после установки второго мало меняются с течением времени и показаны одной кривой
ния при одновременном воздействии штампов на однородно стареющее основание.
На рис. 3.11 показаны распределения напряжений под неодновременно присоединяемыми штампами для однородно стареющего основания (q = =20 сут).
Полученные результаты позволяют четко проследить тенденцию к существенному увеличению по времени неравномерности распределений кон-
тактных напряжений за счет искусственно неоднородного старения основания, когда штампы устанавливаются одновременно. Тенденция к увеличению неравномерности распределений контактных давлений за счет неодновременности присоединения штампов обсуждалась ранее. При неодновременном присоединении штампов в случае искусственно неоднородного старения происходит, как правило, наложение этих аналогичных тецденций и неравномерность распределении контактных напряжении под общими штампами с течением времени увеличивается. Однако в последнем общем случае (с учетом как неоднородности, так и фактора наращивания) были обнаружены моменты приложения второго штампа, когда кривые распределения контактных напряжении под первым претерпевали качественные изменения или же происходило отслаивание первого штампа (отслаивание верхнего слоя от нижнего). Действительно, штрихпунктирные кривые 3 на рис. 3.9 показывают распределение напряжений в момент приложения второго штампа 窃= 1,95. Контактные давления под первым штампом в этот момент описываются двугорбой кривой с минимумом у правого края (при моменте приложения т2 = 1,97 происходит отслаивание у этого края). Отметим, что двугорбая кривая распределений с течением времени распрямляется и далее приобретает вид параболы.
На рис. 3J2 показаны зависимости осадок штампов от времени для случаев однородного и искусственно неоднородного старения. Здесь отметим только, что для искусственно неоднородно стареющего основания при т2 = ^ = 1,95 скачок осадки под первым штампом отрицателен, т.е. его центр несколько приподнимается.
На рис. 3.13 показаны изменения углов поворота штампов по времени, согласованные со случаями, исследованными для осадок.
Рис. 3.14 демонстрирует мгновенное изменение распределения контактных напряжений под первым штампом в момент присоединения второго 丁2 при разных значениях т> (случай искусственно неоднородного старения основания).
Сплошные кривые на графиках позволяют проследить и влияние момента изготовления однородного основания на контактные напряжения осадки и углы поворота штампов.
Отметим некоторые общие особенности поведения контактных характеристик в задачах о системах наращиваемых штампов.
Естественно, что в моменты тк присоединения (снятия) штампов искомые величины могут иметь конечные скачки значений, так как меняется система разрешающих уравнений. Скачки искомых величин могут появляться и в случае фиксированной на данном интервале времени системы штампов, если на этом интервале претерпевает скачок хотя бы одна из задаваемых функции.
Отдельно следует указать на необходимость проверки в каждый момент времени физического содержания решений, т.е. наличия под штампами сжимающих напряжений. Момент времени, в который происходит смена знака напряжений хотя бы в одной точке, является моментом начала отслаивания штампа от основания, и для дальнейшего исследования процесса предлагаемые алгоритмы неприменимы. Наличие в некоторый момент сжимающих напряжений под всеми штампами не говорит о том, 105
Рис. 3.12. Зависимости осадок штампов от времени для случаев искусственно неоднородного и однородного (т, - 20 сут) распределения возраста элементов основания Обозначения аналогичны рис. 3.6Рис. 3.12. Зависимости осадок штампов от времени для случаев искусственно неоднородного и однородного (т, - 20 сут) распределения возраста элементов основания Обозначения аналогичны рис. 3.6Рис. 3.13. Изменения углов поворота штампов по времениРис. 3.13. Изменения углов поворота штампов по времени
Рис. 3.12. Зависимости осадок штампов от времени для случаев искусственно неоднородного и однородного (т, - 20 сут) распределения возраста элементов основания Обозначения аналогичны рис. 3.6
Рис. 3.12. Зависимости осадок штампов от времени для случаев искусственно неоднородного и однородного (т, - 20 сут) распределения возраста элементов основания Обозначения аналогичны рис. 3.6
Рис. 3.13. Изменения углов поворота штампов по времени
Рис. 3.13. Изменения углов поворота штампов по времени
что в предыдущие моменты не могли происходить перемены знаков напряжений, поэтому важно исследовать весь временной интервал развития процесса.
При проведении расчетов была использована информация о разложении ядра К(х,扌)в ряд (3.6), где
klJ(xf ?) = —/ —— cos [©к + 勿-&七-切)〃入-i ] du. я о w
Рис. 3.14. Контактные напряжения под первым штампом (случай искусственного неоднородного распределения возраста элементов основания)
1,3 — непосредственно перед присоединением второго штампа; 2, 4 — в момент установки т2 второго штампа; 2, 2 - т2 = 1,35; 3, 4 - т? = 1,8
Коэффициенты разложения 点〃 вычислялись по формулам [48]:
(—1 )("+"-‘)/2火馬(加 и л _ четные: / = 0; тип - нечетные:
Г= тп
(—1)(е +〃-兀)/2 р，(ди _ четное и и - нечетное:左=1;加 - нечетное и и — четное: к = —1),
七乙=]fmn (") cos[Si -用)"入"I也
P^n =o『唸他)sin К/-%""] du,
"〃 =(2加 + 1)%(2〃 + 1)% 入丄(〃)〃 -2Jm+V2 ©・〃L)4 +】/2&〃入一1), полученным на основании [35], где Jv (х) 一 функция Бесселя порядка р, а базисом £2[ —1, 1] была выбрана система ортонормированных полиномов Лежандра.
Заметим, что при больших тип интегралы в выражениях для 产/ быстро осциллируют. Эффективный алгоритм численного интегрирования можно построить на основании [42], представляя подынтегральные функции в форме произведения медленно и быстро меняющихся функций, причем для последних должны существовать явные выражения первообразных. Такой алгоритм позволяет также по известному поведению L (“)〃~1 при и—Оим—в [10, 32] легко определить то конечное значение верхнего предела, которое удовлетворяет заданной точности вычисления коэффициентов разложения. Все необходимые выражения для первообразных можно найти в [58].
При расчетах контактных задач наращивания неоднородно старею-
щих вязкоупругих оснований системами штампов на каждом шаге возможен контроль эффективности вычисления собственных вектор- функций операторов и функций времени, присутствующих в разложениях решений. Для собственных вектор-функций он основан на том, что они не зависят от времени, и осуществляется следующим образом. На выбранном шаге рассматривается система заданного фиксированного числа штампов и строится упругомгновенное решение контактной задачи (не зависящее от времени) эффективным в этом случае методом ортогональных полиномов [38, 39]. Затем в решении вязкоупругой задачи, полученное проекционно-спектральным методом, подставляется начальное значение t из рассматриваемо го интервала времени и численные результаты двух методов сравниваются. Очевидно, что сравнение результатов даже в одной точке временного интервала позволяет судить об эффективности вычисления собственных вектор-функций. Отметим, что такое сравнение в рассмотренных контактных задачах давало совпадение всех цифр задаваемой точности.
Проверка эффективности вычисления функций времени основана на использовании принципа соответствия, (см. разд, 3.3.2), когда при значении параметра неоднородного старения д = 1 должны получаться заранее прогнозируемые результаты. Например, при заданных постоянных силах и моментах, а также нулевых функциях форм оснований штампов контактные напряжения под одновременно присоединенными штампами в этом случае не должны изменяться с течением времени.
Часть главы, посвященную плоским контактным задачам наращивания деформируемых тел системами жестких элементов, завершим ссылками на работы [17, 23], где исследовались последовательная установка гладких жеских штампов на однородно стареющую полуплоскость и взаимодействие наращиваемой системы вязкоупругих накладок с упругой полуплоскостью.
Осесимметричные контактные задачидля вязкоупругих слоистых оснований,наращиваемых системами кольцевых в плане штампов
Постановки и системы двумерных интегралшых уравнений контактных задач. Предположим, что в поверхность неоднородного стареющего слоистого основания вдавливается система концентрических кольцевых в плане штампов (естественно, что один из штампов может быть и круговым). Каждый z-й штамп взаимодействует с участком поверхности основания а/ < г 《Ь», момент его присоединения — п，момент снятия - т；. Форма подошвы z-ro штампа описывается функцией gf (г), вдавливающая штамп сила — функцией Р»«)・ Деформируемое основание состоит из двух слоев. Верхний неоднородный по вертикальной координате z стареющий слой имеет толщину 力，причем h < min/ (Z>/ -^) Нижний слой толщины Я стареет однородно. Трение между слоями отсутствует, а весь пакет находится в состоянии гладкого или идеального контакта с подстилающим жестким основанием (рис. 3.15)(51].
Будем считать, что оба слоя изготовлены из материалов с коэффициентами Пуассона, не зависящими от времени [см. (1.1), (1.2) ], и запи- 108
Рис. 3.15. К осесимметричным контактным задачам для вязкоупругих слоистых оснований, наращиваемых системами кольцевых в плане штампов
Схематически показан процесс присоединения в моменты времени 汽 и снятия в моменты времени т； жестких гладких штампов, где / — номер штампа в системе
шем их уравнения в следующем виде:
для верхнего слоя
。?)(г, z, 0 = ^i (Г-П (z),z) [(1 — 2%(z)) (1 + %(z))「i X
X (I + Nz) [(1 — ％(z)) £?)6, z, f) + 匕(z) (""% z") + е£)6, z"))], 。产(“,0 = E^t-Ti (z),z) [(1 - 2px(z)) (1 +Pi (z))『X
X(I + Nz) [(1 一匕(z)) e，)(r, z, 0 + 匕(z)(6?)亿 z, f) + ef)&, z"))], (4.1)
。，"6,2")=邑«-# (z),z) [(1 -2%(z))(l +%(z))「】X
X (I + №) [(1 - %(z)) ep> (г, z, 0 + %(z)(*)6, z, Г) + У)亿 z, 0)], 4V =石 « -疗(z), z) (1 + 匕(z))、(I + №) 4? 6, z, Г)
(I + Nz 尸=(I-Lz),
Lzf6,z") = / f(r,z, t)K(D«— 疗(z),7-t： (z),z)dr;
для нижнего слоя
(4.2)(4.2)02) 6, z/)=后2 « — ")К1 - 2 也)(1 + 匕)「1 (I + N2 ) X х[(1 -也)е)2)(，, z") + р2 (е<2) (г, z, Г) + "2)(г, z, 0)1, 瓚)g z, Z)=后2« -建)[(1 一 2p2)(1 + 匕)广(I + №) X X [(1 — 〃2)e£2)0, z, о + 也(e，2)e，Z") + 色2)亿 Z, f))], 壮2)亿 z, t)-E2(t - т*) [(1 - 2也)(1 +а)「1 (I + N2) X X [(1 一 也)《2)亿 Z, r) + 也(e?)&, Z, f) + §2)(r, z, 0)], *)= E2 (r - 7*) (1 +”2尸(I + N2)0?6,Z"),
(4.2)
(4.2)
(1 + N2)" = (1-L2),
L2 f 亿 Z") = / f(，,Z, T)K ⑵ «一若，7-7介右
Заменим штампы распределенной нормальной нагрузкой р (г, ?), равной нулю вне участков az < г < ft,, и дополним соотношения (4.1), (4.2) следующими уравнениями и граничными условиями (аргументы опускаем, 〃⑴ и w⑴ — радиальные и вертикальные перемещения соответственно для верхнего (z = 1) и нижнего (/ = 2) слоев)：
3。⑴
+
+ -
吟
1 г
7⑴
+ 'I =。，
-=0,
(4.3)
别）
Ъг
3z
3。⑺ z
3z
e(0 =
e(0 = rz
加⑴小"⑴
dr0г
1 г о"⑴加⑴]
/2 [ dz + dr J
3w ⑴
6a)=,
z3z
(4.4)
z = h:
哽=P (小)，(4.5)
6? = 0,(4.6)
z = 0:
。「W),(4.7)
w(D = w ⑵，(4.8)
6? = f =。，(4・9)
причем в случае гладкого контакта по нижней грани пакета
z = -Я：巡)=0, w°)= 0,(4.10)
по
а в случае идеального контакта
(4.11)(4.11)z = -Н: и^ - Q, w⑵=0.
(4.11)
(4.11)
При z -> 8 напряженно>деформированное состояние пакета слоев стремится к нулевому.
Рассмотрим. верюшй слой и, воспользовавшись тем, что h《min/ (加一〃》) = а, представим касательное напряжение в виде [см. также (1.15)J;
т,? = з(小)+ za^f(rt г).
Если учтем граничные условия (4.6), (49), то получим, что т£> = 0・ Отсюда и из второго уравнения равновесия (4.3) при помощи определим
。尸=Р&,г)・(442)
Приравнивая теперь выражения для о「из (4Д) и (4.12), найдем связь е⑴，e/D и e,D , в самом деле:
еГ>=-^^广ЗГ)).(4•⑶
1 —Р1£ I1 — 〃i
Тогда [см. (4.1), (4.13)]
(4.14)(4.14)i = 1, иметьi = 1, иметьо?)= 7^Рб")+ (I + Nz)(e，D + ”i"D), aj°—Р (г, О + 7^7(1+М)("1)+ %е”.
(4.14)
(4.14)
i = 1, иметь
i = 1, иметь
°1 -Р11 - Pi“ г
Используя (4.14) и первое уравнение равновесия (4.3) при с учетом равенства нулю касательных напряжений т\? будем
户 + e， e「—"D1 一看 ^户 + e， e「—"D1 一看 ^_%(1 +匕)_%(1 +匕)Р‘(К f)Р‘(К f)1 — Pj1 — Pj(4.15)(4.15)
户 + e， e「—"D
1 一看 ^
户 + e， e「—"D
1 一看 ^
_%(1 +匕)
_%(1 +匕)
Р‘(К f)
Р‘(К f)
1 — Pj
1 — Pj
(4.15)
(4.15)
где штрихом обозначено дифференцирование по г. При помощи (4.15), тождества (е\1)- е/1))『-'=е,〔) и того факта, что напряженно-деформированное состояние пакета при z -> 8 стремится к нулевому, получим
(4.16)(4.16)е?) + «1)=-匕(1 + 匕)(/- Lz)p&, f)EfL
(4.16)
(4.16)
Наконец, подстановка выражения (4.16) в соотношение (4.13) для ；「приводит к следующему результату:
e；D = (1—这)(/-Lz)p&C)EL・(4.17)
Можно определить и все оставшиеся характеристики напряженно- деформированного состояния относительно тонкого слоя [45], однако для постановки контактной задачи данных достаточно. Действительно,
на основании (4.17), соотношений (4.4) и граничного условия (4.8) при z = 0 вертикальные перемещения точек верхнего слоя могут быть записаны в виде
d6 (г, Г)-d6 (г, Г)-一 / Р 匕 т) /Т1о一 / Р 匕 т) /Т1о1 - u; 6)Ei(lt： 9$)1 - u; 6)Ei(lt： 9$)К ⑴(Г-т『 (О,т-тГ(О,О^т +К ⑴(Г-т『 (О,т-тГ(О,О^т +
d6 (г, Г)-
d6 (г, Г)-
一 / Р 匕 т) /
Т1о
一 / Р 匕 т) /
Т1о
1 - u; 6)
Ei(lt： 9$)
1 - u; 6)
Ei(lt： 9$)
К ⑴(Г-т『 (О,т-тГ(О,О^т +
К ⑴(Г-т『 (О,т-тГ(О,О^т +
(4.18)(4.18)+ w(2) (г, О,f),
(4.18)
(4.18)
где w^ (г, 0, t) отыскивается из решения задачи для нижнего слоя, на поверхности которого в силу (4.7), (4.9), (4.12) имеем
z = 0 : 0?)= р (г, 0, 0? = 0.
Используя принцип соответствия [12, 19] и упругое решение [32], найдем
w (2)(г, 0, Г) =О - U) /к (—, — )pdp, (4.19)
Но Е2 НН
8(4.20)
左(〃 Р) = JL (〃)厶(r“)Jo (p〃)d〃， о
где L (“)в случаях гладкого или идеального контакта с недеформируе- мым основанием принимает вид (1.26) или (1.27) соответственно.
Приравнивая теперь вертикальные перемещения точек верхней грани пакета слоев, вызванные нагрузкой
[-%6, f), “i &『& 力， Р 亿”)~ I 0 в противном случае,
перемещениям жестких штампов, на основании (4.18) —(4.20) получим систему двумерных интегральных уравнений контактной задачи в форме [см. (1.28) - (130)]
力 1 — Pi (z)о Eiit-Ti (z),z)力 1 — Pi (z)о Eiit-Ti (z),z)eл 1 —以彳(z)dzqi^t}-^^eл 1 —以彳(z)dzqi^t}-^^
力 1 — Pi (z)
о Eiit-Ti (z),z)
力 1 — Pi (z)
о Eiit-Ti (z),z)
eл 1 —以彳(z)
dzqi^t}-^^
eл 1 —以彳(z)
dzqi^t}-^^
XXK^ (t -Ti (z),T- г? (z), z) dzdT +
X
X
++2(1 -M) g％77
+
+
E U z- к (——，——)pJp -
；,%(р, т)J斤£2(7-建)；,%(р, т)J斤£2(7-建)Я/ = 1 az E2(t-T2) я Я 7
；,%(р, т)J斤£2(7-建)
；,%(р, т)J斤£2(7-建)
к (—, — ) pdpK ^(t - г*, г — т*) ^т]=
(4.21)(4.21)=5 0) -& &) @・ &『《“•，i = 1,...,矶
(4.21)
(4.21)
т^ < t <Ti\ d・ &, f) = 0, 6, (0 = 0, gj (r) = 0,
где qi(rt t) — контактные напряжения под штампами; 6, (Г) - их осадки.
равновесия штампов на деформируемомравновесия штампов на деформируемомЛ (0 = 27r / qi (р, Г) pdptЛ (0 = 27r / qi (р, Г) pdpt* V Г V 勿：尸«) = 0.* V Г V 勿：尸«) = 0.(4.22)(4.22)
равновесия штампов на деформируемом
равновесия штампов на деформируемом
Л (0 = 27r / qi (р, Г) pdpt
Л (0 = 27r / qi (р, Г) pdpt
* V Г V 勿：尸«) = 0.
* V Г V 勿：尸«) = 0.
(4.22)
(4.22)
Дополнительные условия основании имеют вид
Если оба слоя основания изготовлены из материалов с чисто упругим поведением при всестороннем сжатии, уравнениями состояния которых служат соотношения (1.31) и (1.34) соответственно, то разрешающая система двумерных интегральных уравнений контактной задачи может быть записана в форме [см. (1.37)]
л 2Gz+E：(z)
/——一一dzqi (г, О +
。GzG+2E：(z)]丿
4G + 2E： n 片г p
"G(G + 2E力 /=1。户丿 Я Я
(4.23)(4.23)=& (f) -g» ⑺ @・ & z•《玩 i = 1,..., *
(4.23)
(4.23)
“ "Q 2GiaT(z),z)
-£ T^fcK「"d(z)，…：(z),z)“,
причем дополнительные условия сохраняют вид (4.22).
Системы уравнений контактных задач еще для двух типов оснований, содержащих слои, изготовленные из материалов как с постоянными коэффициентами Пуассона, так и проявляющих при всестороннем сжатии упругое поведение, можно получить, поменяв в правой части (4.21), (4.23) местами в неинтегральные по координате слагаемые [см. также (1.32), (1.36)]. Отметим, что системы интегральных уравнений для оснований, нижний слой которых изготовлен из материала с упругим поведением при всестороннем сжатии, могут быть исследованы в общем случае только при наличии гладкого контакта на нижней грани пакета слоев. Когда же перемещения точек нижней грани равны нулю, необходимо предполагать несжимаемость материала однородно стареющего слоя.
На основании изложенного могут быть легко получены системы интегральных уравнений контактных задач, в которых верхняя часть основания представляет из себя пакет тонких слоев, взаимодействующих друг с другом без трения (рис. 3.16). При этом толщина пакета должна быть гораздо меньше характерного размера области контакта.
В качестве примера рассмотрим трехслойное основание, верхний слой которого имеет толщину Л и уравнения состояния (4.1). Второй слой толщины 〃з изготовлен из несжимаемого неоднородного стареющего вязкоупругого материала (его характеристики будем сопровождать индексом 3). Пакет из двух слоев покоится на однородно стареющем третьем, имеющем произвольную толщину Н и определяющие соотношения (4.2). Система интегральных уравнений контактной задачи для
纟勿纟勿Рис. 3.16. К осесимметричным контактным задачам для многослойных оснований, Наращиваемых системами кольцевых в плане штамповПоказан участок четырехслойного основания с /-м кольцевым штампом, вдавливаемым силой P/(t)Рис. 3.16. К осесимметричным контактным задачам для многослойных оснований, Наращиваемых системами кольцевых в плане штамповПоказан участок четырехслойного основания с /-м кольцевым штампом, вдавливаемым силой P/(t)
纟勿
纟勿
Рис. 3.16. К осесимметричным контактным задачам для многослойных оснований, Наращиваемых системами кольцевых в плане штампов
Показан участок четырехслойного основания с /-м кольцевым штампом, вдавливаемым силой P/(t)
Рис. 3.16. К осесимметричным контактным задачам для многослойных оснований, Наращиваемых системами кольцевых в плане штампов
Показан участок четырехслойного основания с /-м кольцевым штампом, вдавливаемым силой P/(t)
такого основания при условии 力 + /?з《min/ (Ь» - 〃》) имеет вид
h и оh и о1 -^i(Z)1 -^i(Z)dzdzJO-т： (z),z)JO-т： (z),z)dz + / г—■— 1 Qi(Л 0 —° 4Gз« — Тз (z), z)dz + / г—■— 1 Qi(Л 0 —° 4Gз« — Тз (z), z)
h и о
h и о
1 -^i(Z)
1 -^i(Z)
dz
dz
JO-т： (z),z)
JO-т： (z),z)
dz + / г—■— 1 Qi(Л 0 —
° 4Gз« — Тз (z), z)
dz + / г—■— 1 Qi(Л 0 —
° 4Gз« — Тз (z), z)
N〃")Ч G而万内"f(Z)，7i (Z)，Z) dz +
+『中"建(Z),；色Z),包一
o4Gз(т-建(z),z)」
(哈，齐加P-(哈，齐加P-+ 2d)£ J/qgf) ~Я/=1 У e2("建)
(哈，齐加P-
(哈，齐加P-
(,―)pdpK^(t - 7*, 7 - Тз )^т]=
=3・ «)-&&) (%•&『《玩 i=l, •••,〃)•
Заметим, что полученные системы интегральных уравнений контактных задач эффективно описывают явление взаимодействия при ограничениях на податливости элементов слоев составных тел [2], оговоренных в разд. 3.1.1.
Легко видеть, что существует четкая аналогия между системами плоских и осесимметричных контактных задач, причем структуры уравнений самих осесимметричных задач сходны. Для определенности рассмотрим систему двумерных интегральных уравнений (4.21) с дополнительными условиями (4.22). Не ограничивая общности дальнейших рассуждений, будем считать, что в системе (4.21) имеем
匕(z)=匕，吊(Г-" (zy^y^E^t -Ti (z)),
К⑴《- т： (z), t-t* (z),z) = К⑴(f 一 疗(z), 7- 7： (z))・
Данный выбор упругих и реологических характеристик сделан лишь для удобства сравнения результатов решения плоских и осесимметричных задач.
Операторное уравнение осесимметричных контактных задач. Сделаем в соотношениях (4.21), (4.22) замену переменных по формулам [см. также (1.38)]
产一及р2-q?
(/)2 = 72r »(0*)2 = 71^，(/《尸&з，"»4Р&勿)，
b. —b. —a.
"(z)]* = t：(z)tJ,[建]t『tJ, #= kJ,
T* = TTf1, T* = TiT{\ [r?]*= t；tJ,
一 〃以一寸一寸
入一，S 一,£— ,
b* —41 bx _〃1 J (bl —%)
i g«)c 火i/f*、8«)<・
^ (^*) =7，5 (^*) =7，
b\ —〃ib\ —a】
2%(小)(1 -翦居入、 Л(0(1-^)Г/
q e 尸)一—以"^5P")П总(一行eF刃
с«*)= [(1 -%&("")町/В —这)Е? «)©-〃/，(4.24)
贽⑴邑8一建） e
Ki«*,#）= 一二一 К? 0，т） 71, 一丿赞⑺e2（"君）
К2^,Т^ 二 К（2）е-т『，Т-建）Т1,
（（（产）2片+硝%（3）2号+"；）% 二 入入， 入
亠化(J&), 入 я я
11〃dzс
—=—/ т, K? (f Т)=
匿⑺ ％ о Ei("T：(z))< 丿
用⑺夕 K(D« — T：(z),7 — T：(z))
=/ Т dz
丸 0^1(т- 71 (z))
(0&rWl, 0&Р&1).
Опуская звездочки в соотношениях (4.24) и вводя обозначения
L：G・, 0/(0 ="⑺ Kk 亿 7)Jr,
Ti
B：j 屮⑦=± k"①，p)屮(p) pdp Q,j = 1, ...,〃； k= 1,2),
будем иметь
с (0(1* - L： Q")) 丁 (小)+ (I* _ L，(l, 0)2 ] В； q/(小)=
=5f(0-?(r) 0=1,(4.25)
/『S，Dpdp = p' (0,(4.26)
о
t； < t < Ti ： q»G 0 = 0, 540 = 0, gi&) = 0, p»(D = 0.
Аналогично проделанному в разд. 3.1 для плоских контактных задач исследование системы уравнений (4.25) при дополнительных условиях (4.26) проводится пошагово. Систему уравнений (4.25) на интервале времени [тг, т，+/, когда число штампов неизменно, можно записать в виде (L^ = L\ (тг, 0,加=1,2)
с (Г) (I* - L? ) 4令,f) + (I* - L? 2 В* 〃(小)=
=6々)一以6") (0<r<l, te[Tr,Tr^]9 i=L …2,(4.27)
где g" (г, О — функции, учитьшающие формы подошв штампов и искажение поверхности деформируемого основания за счет ползучести материалов, найденное из решения задачи на предыдущем шаге. Дополнительные условия сохраняют вид (4.26).
Воспользуемся обозначениями, введенными в разд. 3.1.2 для вектар- функций и тензор-функций, и преобразуем (4.26), (4.27) к одному уравнению с дополнительным условием в некотором функциональном векторном пространстве.丿
Рассмотрим гильбертово пространство Z2[ ^2] функций, интегрируемых с квадратом в области С, где С - круг единичного радиуса. Подпространство Ь2[Щ функций, зависящих только от радиальной координаты, обозначим 2г2(С)・ Очевидно Г что Z2(^) является гильбертовым пространством со следующими скалярным произведением и нормой:
Уб), g0)62&)：(/；g)a = ；FS)gS)pd。，旷卜=(/；/)东 о
Рассмотрим также гильбертово пространство LzjC], функции которого интегрируемы с квадратом в области [0<г<1, 0 <р< 1, 0<(р<2я, 0 & 0 < 2я]. Его подпространство Ь2(П) содержит все функции, не зависящие от угловых координат, и является гильбертовым пространством со скалярным произведением и нормой в форме
к (г, р), h (г, р) е L? (С):你,％] а =
=J I ^ (^ Р)Л (г, р)prdpdrt III А; |||п =卜,左]^・ о оw
Если {&(『)} — некоторый базис Ь2(^), то для / (г) £ Z2(^) и 左&, р) £ L2(£2) справедливы разложения
/0) =玄厶或⑺，%g")= £ W "小〃尸*6)HS),
]k=0m = 0 л = 0
/尸北6)尸:0)出，=5小公
о
Введем теперь гильбертово пространство £2®, И) вектор-функций со следующими глобальным скалярным произведением и нормой (а (г)= = /(М i = 1,...,N):
а (г), b(r)GZ2(fl, V) ： (a,b)(n,r)= "a(p)・b(p)pdp,
” a H(n,r)=(a,a)?a,p)・
Заметим, что вектор-функция a (г) £ Z2(^，修)тогда и только тогда, когда ее компоненты d (г) £丄2(^)・
Аналогично введем гильбертово пространство L2(^, И) тензор-функ- ций двух переменных (М &, р) = м"(г, p)F У； i, j = Т, ...,N):
M(r,p), N(r,p)GL2(Q, Г)： [M,N](n,r)=
=/ }^(rtp)^T(rfp)prdpdrf |||M|||(n>F)= [M,M]^,n*
Легко показать, что тензор-функция М(г, р) £ L2(^, И) тогда и только тогда, когда 加炉& р) £ L2 (С).
Построим функциональный векторный базис пространства 厶2(^, И), взяв за основу базис £ 2 (С) • Действительно:
а&)£〃(С, Q ： а&)；二〃》6)У = S Р^ (r)if = S 4р；6),
左=0fc=0
Р；&)=尸工 б*,配 О р/ 6))= / Р； 6) -Р/ 6)心дкп; (4.28) о
где {р^ (г)} (i=l,..・,N; ”0, ...,8)一 базис 厶9, Ю・
Тензор-функция K(r, р) £ L2(fi, К) может бьпь разложена в следующий двойной ряд:
К&,р) =玄 S 硝J*6)P£S)・(4・29)
ш = 0 п = 0
В самом деле:
К6») = Н%“)У# = £ S k^P^P^^VV, m = 0 九=°
но Pm G)i" = pj (r), Pn (p)i' = р^ (p) и равенство (4.29) очевидно.
Определим глобальное произведение (справа) тензор-функции К(г, р) £ L2(^, К) на вектор-функцию f(р) £ 丄2(^, К) следующим соотношением:
(К 6"), f S))8『)=j К ", р)・ f (р) pdp.
Теорема 7. Оператор В*: B*f(r) = (K(r,p), f (р))(п, У) - вполне непрерывный из 12(П, Г) в 5®，Р)・ Если К(г, р) = КТ(р, г), то оператор В* самосопряженный.
Доказательство этой теоремы в основном повторяет ход доказательства теоремы 2 и не приводится.
Будем считать, что
q &, f) = QG Di", a (0 = 5 %)』，g &") =g"G，力匕
P (0 = P %) i», К 亿 p) = f 6, p) i' i人(4.30)
Тогда систему уравнений (4.27) с дополнительными условиями (4.26) можно записать в виде
с «)(代-L：) q (小)+ (I* - L?) B*q (小)=a“) - g 亿 t)
(0 < r < 1, te[Trf T"J),(4.31)
i
^ q (p, 0 pdp = p«),(4.32)
где c(f) > 0 — непрерывная no t функция; q(r, f), g(r, t) — непрерывные по г в 丄2(^,声)вектор-функции; a(f), p") - непрерывные по времени вектор-функции; оператор В* — вполне непрерывный, самосопряженный и положительно определенный из 丄2(^，°) в 丄2(^,匕)；ядра, операторов Вольтерра L* (左=1, 2) — непрерьшны либо слабо сингулярны.
Свойства оператора В*, порождаемого системами интегральных уравнений осесимметричных контактных задач, устанавливаются аналогично проделанному в [21] дня оператора А* плоских задач. Отметим только, что при доказательстве положительной определенности В* на заключительном этапе используется не свойство преобразовайия Фурье, а аналогичное свойство интегрального преобразования Ханкеля [66].
Варианты математической постановки. Принцип соответствия. Рассмотрим варианты постановки контактной задачи о системе штампов, возникающие в осесимметричном случае. Как и прежде, за основу классификации возьмем определение группы штампов (см. разд. 3.1.3). Легко видеть, что на каждом штампе можно задать один из двух типов условий: осадку или вдавливающую силу. Отсюда следует, что в осесимметричной задаче о системе штампов возможны только три варианта постановки. Действительно, два варианта возникают в случае, когда система представляет из себя группу и на всех штампах заданы либо кинематические, либо квазистатические условия. И еще один вариант появляется при исследовании системы, состоящей из двух групп штампов, на одной из которых заданы осадки, а на другой — усилия. Далее построим решения всех вариантов, однако сначала установим соответствия, существующие межу решениями упругой и вязкоупругой контактных задач для систем штампов.
Будем считать, что все элементы исследуемых оснований изготовлены из одного и того же материала в один и тот же момент времени, а все штампы системы присоединяются к основаниям одновременно. Рассмотрим соотношения (4.31), (4.32), где c(f) = с°, L； = L； = В, g(『")=g&)・ Пусть решение соответствующей упругомгновенной задачи (L* = 0) известно и обозначено символами, аналогичными (4.31), (432), но с нулевым индексом. Тогда ((I* — L*)"1 =(I* + N*))
при заданных а(“ = а0 (0, g(r) = g°&) имеем q&, /) = (I* + N*) X Xq№/), p«) = a* + N*)p。")；
при заданных p«) = p°(f) и g&) = g°0 = 0 решение задачи теории ползучести имеет вид q(r, 0 = q°化 0, а(0 = (I — L*)a℃)・
Следует заметить, что установленные соответствия справедливы как для материалов с равными и постоянными коэффициентами Пуассона упругомгновенной деформации и деформшщи ползучести (как показано выше), так и для материалов, проявляющих при всесторонйем сжатии упругое поведение. В последнем случае операторы Вольтерра по времени имеют несколько иной вид (см. (4.23) дая однородного материала).
3,44 Решения 1фи заданных кинематических или квазисгатических условиях на группах системы штампов. Для нахождения решений всех вариантов постановки задачи воспользуемся проекционно-спектральным методом разд. 3.2. При конкретной реализации метода в гильбертовом пространстве Я = £2(П, F) сохраним аналогию с обозначениями, введенными в разд. 3.3.
Построим конкретный функциональный векторный базис гильбертова пространства £?(◎, Q・ Для этого рассмотрим последовательность функций 或 6) (т = 0, 1, ..., °°), составляющую базис пространства £2(П) [44, 46]:
抬&) = (4加+ 2)% 尸小(1 —2户)(m = 0,1,・.・,8),
где Лп(х) — полином Лежандра; дтп — символ Кронекера. Тогда на основании (4.28) последовательность вектор-функций р%(『)(р^(г) = Р£«)У； z = 1,..., N; к = 0,1,..., 8)составит базис 丄2 (口, Ю, построенный при помощи полиномов Лежандра. В дальнейшем для определенности будем использовать именно этот базис.
Итак, исследуем операторное уравнение (4.31) с дополнительным условием (4.32). По смыслу контактной задачи положим вектор-функцию g(% Г) известной для лю5эго варианта постановки и далее упоминать об этом не будем.
Пусть система кольцевых в плане штампов представляет из себя группу с заданными осадками штампов 5 "(f). Требуется определить распределения контактных напряжений q^, f) и вдавливающие усилия p'(f)(i= 1, ...,7V).
В этом случае % = I拿 н решение (4.31), (4.32) представляется в форме
q(〃 0= S sk(t)喉(г), g(г, 0 = 2 g±(r)刈左⑺,(4.33)
к =0
а(/) = бУ)У = 6《)Е 皐 wM)
где wjtW — собственные вектор-функции оператора В*, соответствующие его собственным числам 磁:
В* w%&)=嘘 w%6)•(4.34)
Подставляя (4.33) в (4.31), с учетом (4.34) будем иметь 貳f) = (I* + Z)S〃) (i= 0,1, ・・•, 8),
&(r)=[M«)砰-g；«)]/[c«) + a；)], . г(4.35)
Z； 9(。=/ 9(т) £ т) dr, Г £ [тг,тг+1],
где R； (Г, г) — резольвента ядра
K；& т,а；)=匕⑺&(£, 7)+ а：К式t, r)]/[c(t) + а*].(4.36)
Для решения спектральной задачи (4.34) возьмем собственные вектор- функции в виде
W式加:%或⑺.(4.37)
Подставляя (4.37) в (4.34), с учетом (4.29) получим систему алгебраических уравнений с симметричной матрицей (если К (г, р) = К『(р, г), то 七М〃 =碎力)W^ определения собственных чисел а* и коэффициентов разложения соответствующих им вектор-функций в ряд (4.37):
^=。 '''几)=О^以S)(加=。,…严片片1, •••,n).
На основании (4.33), (4.35), (4.37) получим выражения для контактных напряжений и вдавливающих штампы усилий:
qtJ) =^ jMf)Z £卜)尸")，
рЗ=\ %«)% = 2f ^о sk(t)f^ky
Пусть теперь система кольцевых штампов является группой с заданными на всех штампах усилиями pl(t). Необходимо определить контактные давления ^^, г) и осадки штампов 8'«).
Для этого варианта
А = рп(1): р% ⑴ f&)=国⑺ p6S)，®)),
где Рп(1)проектирует 厶®, D =厶(5 Ю1 ф 丄2(С, 6 на 厶⑸ Qi, причем
f6)££2(C,Q： f(0 = fi(r) + f2(r),
fi(r)££2(C,P)i： А&)=Л/р%6),
f2&)e厶(& 6: f20 = g ,p： 6) •
Спектральная задача для оператора (I* — P^ ⑴)В* в 丄2(& Юг приводится к виду
h%6) = S 或左)Н&)(兀=1,8),
纟或/厶广球曦*)(m=1，…产；i,六1,・・・,n)•
где h*&) и 0* — его собственные вектор-функции и числа.
Решение как сумма вектор-функций, непрерывных по времени в соответствующих подпространствах, дается формулами
qiG, О=^о(0 рАО Ч2(г,0 = 2 л(0 hs(0,
gi 6, а =或(0 Ро 6), q26, 0=Е g$(r) %&),
»i(0= 2-弘 5/(OpoW,a2(O = O,
^(0 = -(I* + Y：)｛［跺⑴+ (I* - L?)m⑴发］/2⑺+焦］｝化=1,…严)， 鼠⑺=2气с«) (1Ф - L：)M (0 + (I*-L?)［毗弘(0 +(4.38)
+£ 产⑴ K；］+gQ,
吟=匕%e二⑺，公⑺=2弘p④，
Y* 9«) = / 9(т)殿《, r)电 ZG ［тг,тг+1］, 力
где R±(f, т) — резольвента ядра K*(t т,箧)［см. (4.36)］.
Наконец, рассмотрим вариант, когда система штампов состоит из двух групп, на одной из которых заданы квазистатические, а на другой кинематические условия. Штампы первой группы (с известными вдавливающими силами) пронумеруем от 1 до п0, а второй (с известными осадками)— от л0 + 1 до j4 Будем считать, что номер штампа совпадает с порядковым номером компоненты соответствующих вектор-функций и, кроме того, верхние индексы i и / пробегают все значения от 1 до TV, Z и г — от 1 до ^о, Р и(7 - от л0 + 1 до 7V；
Пусть на части штампов заданы силы pl(t), а на части — осадки /«). Требуется найти контактные давления q"&, г), осадки Ь‘(Е)и вдавливаю* щие усилия " (Г).
Разрешающий ортопроектор
Л= Р%(2)： Р% (2) f6) = (Ро &) Ро S), К。))
отображает 12(П, F) = ^2(^ Юз $厶9,刀4 на%(С, Г)з,причем
f(r)GZ2(H, Q: f(r) = f3(r) + f4(r),
f3(r)GZ2(£2, Пз：£з6)=#р6б),
f4(r)GZ2(H, Ю4^40=Яро(г)+Д^р/0.
Собственные вектор-функции d*&) (к = 1, ..., °°) и собственные числа 7* оператора (I* —启(2))В* в 丄2(^, К)4 определяются из соотношений
或 6) = С标)рЗ &) + g С；*)р；&) (% = 1,…,8),
左oo C8(z)+ 2 к。； Cn(k、= Tk Со(к)(р = n° + \,…,N),
点。CG) + ^ J黑 ^)=曜 G(k)(加=1，•••,°0； i= 1,…,ЛО・
Все векторфункции операторного уравнения (4.31) представляются в виде суммы вектор-функций непрерывных по г в
丄2®, Юз ИZ2(Q, F)4, Т・ е・ q(L, Г) = q3(^ 0 + Ч4(Л 0 и т. д., причем
q3(r,/) = 4 (0 Ро (О, q4&, D = 2 〃式D《6),
S=1
в(4・39)
g3亿 0 = g6 (0 Po 6), g4&") = 2 g*(0 d$6),
s=l
аз«)= 2-% 8’⑺p6(9 a«) = 2-% /⑺p^g、^ 时⑺d/),
6*(r)= 2-％ C^(s)5p(0.' 1
Решение задачи полностью определяется следующими формулами:
^(o=(i*+ х%)#*) -4(о 一(『一 1Д)〃$(о G? /к ⑺+曠]}
(左二 1,.・.,8),
8() = 2%{с«) (I* - L：)说⑴ + (I* -L：)[^o 4(0 +
+£ 产⑺ G£]+g§},@40)
G片臨。版)+〜
m =1、/
〃6 0) = 2%"(犷⑺=2-% S Uk9C^» k = l'
x* 屮⑦=/ 9(T)& G T)dTft G [тг,тг+1],
где & (Г, т) - резольвента ядра К\ (% 7,7^) (см. (4.36)).
На основании [31] можно утверждать, что ряды, представляющие решения, равномерно сходятся no f к непрерывным по Г в 丄2 (С, Q вектор- функциям.
Представляет интерес вопрос о том, когда решения операторного уравнения осесимметричных контактных задач будут не только квадратично суммируемыми, но и непрерывными по 匚
Рассмотрим пространство непрерывных в области С функций C[J2]. Его подпространство функций, зависящих только от г, обозначим через С(С). Пространство вектор-функций с компонентами, принадлежащими , обозначим через С(С, V).
Пусть g(厶才)[см. (4.31)] непрерывная по Г в С(С, F) вектор-функция, разлагающаяся в регулярно сходящийся в квадрате {6 ^r^l.Ty^t^ & т，+1 } ряд по собственным функциям соответствующего оператора.
Кроме того, ядро К&, р) непрерывно в целом, т. е.
/ I К(Г!, р) - K(r29p)\pdp<€,lri -г2 |<5, о
|N(r,p)| = (N(r,p)..Nr(r,p))%.
Тогда (см. [38, 55]) ряды, представляющие решения, сходятся регулярно в указанном квадрате к функциям, непрерывным как по t, так и по г. Напомним, что все задаваемые в (4.31), (4.32) функции полагаются непрерывными по времени на интервале ГЕ [тг, тг+1].
Заметим, что анализ различных случаев, связанных с тем или иным распределением возрастной и конструкционной неоднородностей элементов исследуемых оснований при решении осесимметричных контактных задач для кольцевых в плане штампов, полностью аналогичен проведенному для плоских задач. Так, можно рассмотреть случаи естественно и искусственно неоднородного старения оснований, ввести определяемый ими параметр неоднородного старения и т. п. Для подробного изучения вопроса заинтересованный читатель может вернуться к разд. 3.3.5 и сравнить замены переменных (1.38) и (4.24).
Модельный пример. Рассматриваемый пример в полной мере показывает преимущества решений осесимметричных контактных задач, полученных проекционно-спекральным методом (см. также разд. 3.2.3). Так, в достаточно сложной многопараметрической контактной задаче для системы штампов удается получить явные формулы главных членов разложения решений при большом времени и сделать все необходимые качественные выводы.
Предположим, что в двухслойное неодаородное основание в момент С начинает одновременно вдавливаться система N гладких жестких кольцевых в плане штампов с плоскими подошвами. На штампы, пронумерованные в от 1 до л0, действуют постоянные вдавливающие силы. На оставшихся штампах создаются условия, при которых их заданные осадки не изменяются с течением времени. Верхний относительно тонкий вязкоупругий слой пакета имеет толщину Л, описывается моделью Максвелла [59] и лежит без трения на нижнем. Нижний упругий слой имеет толщину Н. Между ним и подстилающим недеформируемым основанием осуществляется гладкий или идеальный контакт. Система уравнений и дополнительные условия поставленной задачи имеют вид (4.21), (4.22), где
n = N,y,EK -小= Е?, К(2)« - 建,т 一 ") = О,
g«) = 0,尸｛)=目(/ = 1,…,и0),
5р⑺=■ (р = и0 + 1,...,AQ, ^i(z) = ^i.
刍 С - т； (z))=品，К⑴(Г - т； (z), т -建(z), z)=-尸о •
Проведя замену переменных (4.24), в которой Ki^*, г*) = -Fqti = =一猫，опуская далее звездочки в обозначениях, получим задачу для двух групп штампов с решением в форме (4.39), (4.40), где
с«) = %, 〃依)=2% " g\ ⑺=0, g* (0 = 0,
磋⑺=2-% C^\pl(t) = plf^(t) = b^
〃MD = C§g ” 一 2" G； ] /[ 2" (% + 7*)] exp 匕。龜(1 一。/(“ + у*)].
X123
Для больших значений времени t, оставляя только главные члены разложений, будем иметь
q’G") = 2"*3 = 2&р‘ + А：ооР‘ + %尸0« - 1)"],
qp(r, Г) = 0,^(0 = 0 0= 1,・・・，％()； Р = м。+ 1,・・・,Л0・
Отсюда легко видеть, что с течением времени распределения контактных напряжений под штампами, вдавливаемыми постоянными силами, сглаживаются и стремятся к равномерным. Осадки этих штампов для больших t описываются близкими к линейным по времени функциям. Для поддержания заданных постоянных осадок оставшихся штампов действующие на них силы должны монотонно убывать до нуля. Естественно, что при этом распределения контактных напряжений стремятся к нулевым.
0 последовательном усилении неоднородных цилиндрических телсистемами жестких элементов
Взаимодействие неоднородного стареющего полого цилиндра с наращиваемой системой втулок. Исследуем процесс последовательной установки гладких жестких втулок на двухслойный полый цилиндр, слои которого изготовлены из разных вязкоупругих стареющих материалов в разные моменты времени. Будем также учитывать возможность снятия некоторых втулок.
Пусть каждая /-я втулка насаживается без тремя на участок цилиндра 勿《z《Ь» (i = 1, 2, ..., и). Натяг z-й втулки — В『(/, профиль ее внутренней поверхности — gj [z - (а； + Ь»)/2], момент установки — т〃 момент снятия — т* Внешний слой цилиндра, непосредственно контактирующий с втулками, изготовлен в момент времени q и имеет толщину Л. Внутренний слой изготовлен в момент времени т*, его геометрические размеры характеризуются величинами радиусов а и д (а < 6). Предполагается, что min/f - -а()> h, b > h и9 кроме того, податливости элементов внешнего относительно тонкого слоя и элементов внутреннего слоя произвольной толщины имеют один порядок или внешний слой более податлив [10]. Между слоями осуществляется гладкий контакт. Внутренняя поверхность двухслойного цилиндра подвергается воздействию равномерного давления Ро(О [52], подаваемого в момент времени т* > max[т?, т*] (рис. 3.17), либо в цилиндре с самого начала устанавливается 6《一 натяга жесткая гладкая или фиксирующая вставка, создающая условия гладкого или идеального контакта (рис. 3.18). В процессе наращивания втулки располагаются на достаточном расстоянии от торцев цилиндра, чтобы их влиянием на перемещения самих торцев можно было пренебречь. Кроме того, в задаче с задаваемым внутренним давлением (задача о трубе высокого давления) считается, что торцы закрыты жесткими заглушками, устраняющими их осевое перемещение.
Определяющие соотношения материала внешнего слоя (/ = 1) возьмем в .Форме (4.1), где ^(z)=也，t；(z) = т；, "(f - r*(z), z) = ^(Г - т?), К⑴О - т：0), т - T：(z),z) = K(D(r- т；,т -t；),Lz = Li,№ =№・ Материал внутреннего слоя (i = 2) описывается выражениями (4.2). Уравнения равновесия и соотношения Коши имеют вид (4.3), (4.4), где 〃⑴ и w«)(i = =1, 2) — радиальное и осевое перемещение соответственно.
忆"忆"Г72Г72衣7衣7'//////////////////A'//////////////////Aу////у////占占44& Z& ZРис. 3.17. К контактной задаче о последовательном усилении неоднородной стареющей трубы высокого давления системой жестких втулок
忆"
忆"
Г72
Г72
衣7
衣7
'//////////////////A
'//////////////////A
у////
у////
占
占
4
4
& Z
& Z
Схематжески показан процесс последов， тельной установки втулок в моменты време* ни п
Рис. 3.18. К задаче о двухслойном цилиндре с гладкой или фиксщ)ующей вставкой, нар аг щиваемом системой жестких элементов
Показан участок цилиндра с 1^й втулкой
Для вывода систем двумерных интегральных уравнений поставленных контактных задач заменим жесткие втулки некоторой распределенной нагрузкой p(z, f), отличной от нуля на участках контакта. Заметим, что в задаче о трубе высокого давления такой прием составляет лишь первый этап вывода, и положим Ро(О = 0.
К соотношениям (4.1) —(4.4) добавим следующие граничные условия:
r = b + h:。，)=p(z, f)，Z)= O,(5.1)
r=b： ofD =0，2), "⑴= "(2),
T)=f =。’(5.2)
|zI f 8 a(0,0俨,《",T,?, 〃⑴,w⑺今 0,(5.3)
r = "：0？)=0,寸)=0,(5.4)
если внутренняя поверхность цилиндра свободна от воздействий;
г = а： 〃⑵= 0,т,；)= 0,(5・5)
если жесткая вставка создает условия гладкого контакта;
г = а: 〃(2)= 0, w(2)= 0,(5.6)
если жесткая вставка сцеплена с внутренней поверхностью цилиндра.
Воспользовавшись относительной малостью толщины внешнего слоя, разложим касательное напряжение т£)в ряд по степени (г 一 ЬУтшДЬ/ - и ограничимся только линейными членами (см.разд.3.1.1; 4.1 и [52]). Тогда в силу (5.1), (5.2) 丁，)= 0 икз второго уравнения равновесия (4.3) о/ = /(г, Г)・ Но о£)-> 0 при |z I f 0, поэтому о^ = 0, и на основании выражения (4.1) для。,〉：
^ = -^Ue^l{^^.(5・7)
Подставляя (5.7) в (4.1), будем иметь
о^ =^а + Ni) (е^) + ^b/d - ^i),(5.8)
说 1)=当(1 + №)(*)+%巡))/(1-说).
Первое уравнение равновесия (4.3) с учетом равенства нулют；；)и (5.8) дает (штрих обозначает производную по г):
(职)'+ %砂)')/(1 一%)+ (职)-ej1))/r = O.(5.9)
Интегрируя (5.9), при помощи тождества (£?)—唠%~ = £，) установим, что
е「+ 齊)= 2W(z, Г),(5.10)
откуда, обращаясь к (4.4), получим уравнение для определения перемещения и^\ т. е.
8〃⑴/» + u^/r = 2W(z")・(5.11)
Решение (5.11) запишем в форме
"(1)=L业0, Z)+ O(z,0/匚(5.12)
Сращивая теперь радиальные перемещения по поверхности сопряжения слоев [см. (5.2)], придем к выражению
0(z, t) = it(2)© z, t)b - W(z, t)b2.(5.13)
Тогда [см. (4.4), (5.12), (5.13)]
以(D = w(z,。&一 b2rl)-^u^(bt z, t^br"1 f
e,) =3(z, f)(l +62广2)-〃(2)(瓦2, z)b厂2,(5.14)
e$D = 3(Z, r)(l -从厂2)+〃(2)(b, z, t)br~2.
Подставим соотношения (5.14) в формулу (5.8) для а^\ Будем иметь "D =Ei(I + Ni){3(z") [1 + % +(1 -乙)产尸2] _(i 一；]力广2X
X〃(2)(b,z,f)}/(1-"分(5.15)
Удовлетворяя первому граничному условию (5.1) с учетом (5.15) и 126
пренебрегая далее величинами порядка htf' по сравнению с единицей, получим
W(z, f) = %[(1 一中)(I 一 LJp(z")『1 + (1 —匕)〃⑵(瓦专 f)L]. (5.16)
Выражения для радиального перемещения внешней поверхности цилиндра и напряжения а^1) при г-b примут вид [см. (5.14)—(5.16)]
и^(Ь + 九 z, 0 = (1-说)(I 一 J) "&尹-+ 〃(2)(仇乙 Г),(5.17)
0f)(仇/ t) = p(zft),1
причем 〃S)(b, z, 0 определяется из решения задачи для внутреннего слоя, на внешней поверхности которого в силу (5.2) имеем следующее граничное условие:
r = b: а<2) =p(z, г), т^> = 0,(5.18)
Условие при 尸=〃 в зависимости от конкретной ситуации выбирается в форме (5.4), (5.5) или (5.6).
Напряженно-деформированное состояние внутреннего слоя найдем при помощи принципа соответствия [12, 19] и упругомгновенного решения задачи, построенного на основе представления Галеркина [70]:
9(厶 z) =，[А(а)/о(ат*) + 3(а)arlx(af) + C(q)Kq(ql) + DiojarK^iaf^ X
X е『％
△△v?= 0, △ = Э2/Эг2 +<1d/dr + d2/9z2,
0)=丁 [也△9一-^-],0，[(2一 〃2)△9一-^], ' azdr2 z azdz2
。产=^ 仅2一 ；^], d)= ± e 一 吟△"譬],
⑵1+^ Mg
e2 ar8z
w(2)= —— [2(1-a) Aw ——], E28z
где /о(а) Zi(ar), К。(&夕)，KiQr) — функции Бесселя мнимого аргумента.
Выражение для радиального перемещения толстостенного цилиндра при г -b можно записать в форме
"⑵(瓦 z r)=^^(I-L2)/^^化(f)逃，(5.19)
я一8 后2 b - а
z Т 7 丄[0 -〃)а]
左()=/ —— cosa(z - Rd%(5.20)
b - а 0 а
где в случае свободной от воздействии внутренней поверхности
£ [(Ь ~ а)а] = а [с^аВ} (а) - a0D] (а) - а^ ]5-1 (а),(5.21)
Si (a) = ao*-1+ ь%Т + /а0； (a) - »巒必“①+ ^^(吟一
-а°Ьа2С1 (а),
4 i(a)=厶(ad)K0(ab)-厶(ab)K()(аа),
51 (а) = /о (аа)К] (ab) + 厶(аЬ)К<)(аа),
Ci(a) = Z0 (аЬ)К1(аа) + /式覆〃)仆(ад),
Р1(а) = Л(аа)Х：1(аЬ)-/1(аЬ)АГ1(аа),
а0 = 2 (1 -也)尸 + да2,
Ь° = 2(1-р2)Г1+Ьа2,
при наличии жесткой вставки и условиях гладкого контакта с ней [69]
七[0 - а)Н = oD； (a)S 尸(а),(5.22)
S2(a) = а2 b@ (а) - b叨;(а)-尸,
и при условиях идеального контакта с жесткой вставкой
L[(b - а)а] ={а-1 + 4(1 - р2)aB1(a)D1(a) - аа2 [5? (а)-
一刀;(a)]}S?(a),(5.23)
S3 (a) = 8 (1 - "2аa [49)53) - &9)&9)] + к% 因 3) 一0*喇 + + abc?[Cl(a) 一 / (а)] - 4(1 - v2)\bo?Al(a)C1(a) + "々(а)5(а)] + + 2(1 -也)(1 一2〃2)a7尸尸一(而7 +犷)*
Таким образом, радиальное перемещение внешней поверхности слоистого цилиндра под действием нагрузки p(z, /) дается следующей формулой [см. (5.17), (5.19)-(5.23)]:
2（1-济）；2（1-济）；яя-^r%q)成e2 « 一 T2 ) b - a-^r%q)成e2 « 一 T2 ) b - a(5.24)(5.24)
2（1-济）；
2（1-济）；
я
я
-^r%q)成
e2 « 一 T2 ) b - a
-^r%q)成
e2 « 一 T2 ) b - a
(5.24)
(5.24)
где момент приложения к телу нагрузки совпадает с моментом установки первой втулки 门•
Следует заметить, что ядро "[(z — W)/(b — а)], определенное выражением (5.20), для всех £ [ (Ь - а) а] и (5.21)-(5.23) сохраняет основные свойства ядер плоских контактных задач [10, 32]. Так, например, в исследуемых осесимметричных задачах дня цилиндрических тел в соотношении (5.20) всегда L(u)u^>0 (|м|<°°).
Перейдем ко второму этапу вывода системы уравнений контактной задачи о трубе высокого давления. Рассмотрим плоскую деформацию исходного двухслойного вязкоупругого стареющего цилиндра под действием равномерного внутреннего давления Ро (0 • Решение такой вспомогательной задачи можно построить в замкнутом виде. В частности.
для радиального перемещения точек внешней поверхности цилиндра имеем 〃⑴(Ь + 九 z, 0 = (1- L1)(I+N3)01(O(I-匕"。⑺Е『« - т；)，(5.25)
01(0 = ^10(0, 0(0= 口2吊a一W)后『0一万)一*『， di = 2(1 — 匕)(b + 无)7(1 + 也){(1 一 2a)b —
一 a?"(b^a2Yl [(1- 2也)力尸 + 尸]},
心=(1 + h)T [(b + h)'2- b-2] (1 + 也"2^2 02 一 “2)-1 [(1 _ 2 "2)b〃T + b」, 厶=(1一2力)3 + /0-2/> + 时1,
№зЗ(Г)= / з(т)Кз(Г，7)勿，
где Л3(/, т) — есть резольвента ядра
Кз& т)= \d2K^(t -Т2, т-т^Е^т- rj)^1^ - ^2)~
-d3K(D(f-T；,T-T；)]®(f),
а момент приложения к телу нагрузки совпадает с моментом подачи давления f00).
Теперь искомое перемещение 〃⑴(b + 丸 z, f) в задаче о трубе высокого давления получим как результат суперпозиции решений двух вспомогательных задач, а именно про суммировав (5.24) и (5.25).
Приравнивая найденные в каждой задаче перемещения натягу втулок с учетом профиля их внутренней поверхности, получим системы двумерных интегральных уравнений всех поставленных осесимметричных контактных задач для цилиндрических тел. Их можно записать в единой форме Q(z, f) = y(z")>:
(1 一吟)无(I - Li(《 0)^/U t)E^ (t-r^
2(1-汲)? ? q>(£ ?)
+(I-GSi,。)2 / ——_左(7—)d^ =
я/=1 ay E^if ~ T2) b — a
=S(0 一g/z - Q・ + 勿)/2] + a(r- т* ) (I - Li g, 0)(1 + N3(r#, Г)) X
X & (f) (I - J(7*, f)) Po «*『(t-rj)
(®；(r) = @i(D, a^z^bi，i=l,九)，(5.26)
7^ <t<Ti： Qj(z, r)=0, 6/(0 = 0,
@； (0= 0,置[z - 3 + 瓦)/2] = 0,
L"s")3«)= J 屮⑺ К3& -僚，T 一 ％dT, N3(t#>0 = N3,
где q“z, 0 — контактные давления под i-й втулкой; H(t — т*) — функция Хевисайда, причем в задаче о трубе высокого давления k[(z — ^)/(b — а)] определяется соотношениями (5.20), (5.21), а в задавши с жесткой вставкой в зависимости от условий на ней - выражешщми (5.20) и (5.22) или (5.23). Кроме того, в задачах со вставкой в системе уравнений (5.26) следует положить Ро (0 = 0 [см. также (1.28)].
Проведем в системе уравнений (5.26) замену переменных по форму-
лам [см. (1.38)]
2z — л —芟一 @ %
z =—-,w=-("j《Z《力，勿《扌《勿)，
Dj — QjOf — 4»
[书「=r'」，[磋「=喂7?(左=1,2), T：=TjJ,
Т + bj4 —勺・20_q)
T一切，二,一入，
d(z；・)=鱼比石(卫土正也),鱼好外i), я入я b — а
8 £(w)
左(s) = / cossudu, u-(b-d)a. о w
q»(z*J*) = 2qi(z, f)(l 一济)©•产 Ег1^ - т^9
640= 26,-(Г) ^(Р^а,У\
g《z*) = 2图[z - 3 + 勿)/2](二•产(时一 q1)一1，(5.27)
汽(C = 2Po(r)(l -密)©)%£『《-⑴，
^(П-^^^^у^Ь^агУ1,
cin-Cl-yl^Ct^T^hCl-^E^-T^Cb^arY1,
R；(r*,T*) = &3& T)T1, Ko(r*,T*) = K(D(r—T；, T-T；H1,
Ki(U,T*) = Ei(f-T；)E2(T-G)Ej(r—W)E『«-t；) X XKQr-T；, T- T；)q,
K2(r*,「*)=长冲《 — T；，T- T2)Ti,
L£(S, f)/(r)= t f ⑦Km (A r)dr (加=0, 1, 2), s
N*(s,f)/•⑺=/汽7)r:a7)書，I* = I,
产(z*,尸)=3«广)一g«z*) + 〃(广一T：)(I*-Li(T：, C)(I*+N*(T：C*))X X ©j(b) (I* — 14((, О盟《*)(lz*I《1, I门《1).
Тогда, опуская звездочки в обозначениях для всех величин, за исключением операторов, будем иметь
c(f)(I*-L；(n，f))q《z,/)+(1*-匕(1#) S A；q/(z,尸尸(z, Г), (5.28)
^ifv^)= /^(z^v^dl
Tf<t<n：『(z, f) = 0,尸(z,/)=0.
Соотношения (5.28) задают пошаговый процесс решения контактных задач для цилиндрических тел и могут быть на каждом шаге приведены 130
к одному операторному уравнению в функциональном векторном пространстве [см. (1.46)]:
с ⑴(Г - L；)q(zj) + (Г - 1Д) A*q(z, Г)= c(z, f)
(|z|《l, t^[rr9Tr+i]\ (5.29)
A*a(z)=(K(z，D, a(0), K(z, D=KT(£z),
q(z, f) = qi(z,f)K c(z, f) = d(z, f)R
K(z, DW(zY)iF,
где q(z, f) — непрерывная no t векто p-функция контактных давлений со значениями нз 厶2([—1, 1], О； c(f)So — непрерывна по г； K(z, ^)G € L2([—1, 1], F); c(z, r) — непрерывная no t в L2([—i, 1], F) вектор- функция, учитывающая натяг втулок, профили их внутренней поверхности, искажение поверхности цилиндра за счет ползучести его материалов, а также влияние подаваемого давлеф!я в задаче о трубе.
Исследованию и построению решений операторного уравнения (5.29) было уделено достаточно внимания при изучении плоских контактных задач. Здесь отметим только, что в задачах для цилиндрических тел возможен только одан вариант постановки, когда задана правая часть (5.29), т.е. разрешающий ортопроектор проекционно-спектрального метода совпадает с тождественным оператором Р2 =1* [см. (3.1)—(3.9)],
Прежде чем перейти к конкретным примерам, укажем на некоторые интересные особенности задачи о трубе высокого давления. Во-первых, заслуживает внимания тот факт, что правая часть системы уравнений такой контактной задачи задается и силовым воздействием (если втулки имеют нулевой натяг и плоские профили контактирующих поверхностей, то исключительно внутренним давлением). Во-вторых, в ситуации, когда втулка насаживается на трубу через некоторое время после подачи давления, существует возможность задавать не только нулевой, но и отрицательный ее натяг.
В случае, когда все элементы деформируемого цилиндра изготовлены из одного материала (L】=L2 = L, рх = р2 = р, Ег= Е2-Е) в один и тот же момент времени (т； = т； ), а все втулки устанавливаются одновременно [см. (1.1)], можно сформулировать следующий принцип соответствия:
в задаче о воздействии на внутреннюю поверхность цилиндра равномерного давления, подаваемого одновременно с установкой втулок, натяг которых равен нулю, а профили внутренней поверхности описываются фушащями, тождественно равными нулю, ползучесть не оказывает влияния на напряженное состояние тела и оно совпадает с упругим;
в контактных задачах с жесткой вставкой решение может бьпь получено при помощи решения упруго мгновенной задачи, на которое следует подействовать оператором Е(Г)(1 + N)E~i(/)“де (I + N) = (I — L)"1.
Заметим, что не составляет принципиальных трудностей рассмотреть задачи, в которых вставка устанавливается в цилиндре в момент времени т2 с некоторым натягом b*(f)・ Для этого необходамо дополнительно решить задачу о плоской деформации двухслойного цилиндра с заданными на его внутренней поверхности перемещениями и воспользоваться при выводе систем уравнений контактных задач принципом суперпо-
зиции. Второе утверждение принципа соответствия остается в силе и для произвольного b*(f)・
Численные примеры. Исследуем ряд конкретных задач дискретного наращивания неоднородного вязкоупругого стареющего цилиндра системой жестких усиливающих втулок. Для идентификации различных кривых графического материала примем единые обозначения. Так, на графиках, приводимых ниже, обозначим распределения контактных напряжений в момент установки очередной втулки или одновременной установки нескольких втулок сплошными линиями. Те же распределения непосредственно перед установкой следующей втулки (нескольких втулок) обозначим штриховыми линиями. Если процесс наращивания закончен и установлены к необходимых элементов, то момент установки следующей втулки положим равным бесконечности (тд； +1 = °°), т.е. штриховые кривые в этом случае будут показывать предельные распределения контактных напряжений (распределения при больших значениях времени). Интегральные характеристики контаклЛк напряжений
厶 «)= /『(z, f)dz
дадим на графиках сплошными линиями, причем дометим их для первой, второй и третьей втулок (как правило, будут изучаться процессы установки трех втулок) соответственно светлыми точками, темными точками и звездочками.
Рассмотрим двухслойную трубу высокого давления, слои которой изготовлены из полимера или бетона с постоянными упругими характеристиками £, р и мерой ползучести в виде [12, 94]
С (Г, т) = (Со + 4е-的)(1 - еТ«т)).
Положим CqE= 0,5 522, АЕ-^, р = 0,1, 0 = 0,031 сут'1, 7 = 0,06 сут-1 и в соответствии с заменой переменных (5.27) зададимся следующими значениями параметров:
с (Г) =0,26, 0j(O= 14,4,凤«) = 2,1, g»(z) = 0,
5' = 0,匕=1, "i = 0, "2 = 8, "з=16
(i =1,2,3; h (^-aiY^ 0,26,方(仇一的尸=5,犷=0,8),
т.е. втулки одинаковой ширины с плоскими профилями внутренней поверхности устанавливаются на трубу без натяга на одном и том же расстоянии друг от друга, равном трем размерам ширины втулок.
Будем считать, что внешний слой цилиндра изготовлен в нулевой момент времени, а внутренний через 50 сут (здесь можно установить соответствие со случаем искусственно неоднородного распределения возраста элементов оснований плоских контактных задач и осесимметричных задач дня кольцевых в плане штампов). Внутреннее давление подается еще через 15 сути начинается установка втулок.
На рис. 3.19 показаны распределения контактных давлений для одной (71= к 72=8), ДВУХ(71 = & 二】，丁3 = 8)И Трех(Ti = Т2 = Т3= 1, Т4 = ^) одновременно установленных втулок. Легко видеть, что при данном распределении возраста элементов слоев (т； = 0, т* = 0,77) и одновременном присоединении втулок проявляется тенденция к усилению неравномер- 132
J и с. 3.19. Распределения контактных давлений под одной (〃), двумя (6) и тремя (в) эдновременно установленными без натяга на неоднородную стареющую трубу высо кого давления втулками: в момент установки (сплошные линии) и при больших значениях времени (штриховые линии)
ности распределений контактных давлений, а процессы релаксации напря кений выражены слабо. Следует заметить и то, что функции контактных давлений практически симметричны относительно центров втулок. ，е. втулки, установленные одновременно на расстоянии, втрое большем нх ширины, мало влияют друг на друга.
Пусть теперь в момент подачи давления устанавливается только первая втулка, через 13 сут — вторая и еще через 26 сут — третья. Для данного 1роцесса дискретного наращивания цилиндра, иллюстрируемого кривыми рис. 3.20, безразмерные характеристики определяющих временных параметров принимают значения т* = q = 1, т2 = 1,2, т3 = 1,6, т* = 0? т； = 0,77.
Отметим, что установка второй втулки в момент времени т2 = 1,2 мало злияет на контактные давления под первой. Укажем также на принципиаль» чое отличие данные распределений контактных напряжений от распределений, возникающих при одновременном присоединении всех элементов в особенности под центральной втулкой), и на то, что взаимное влияние <еодновременно устанавливаемых элементов (в отличие от присоеди- ченных в о дан и тот же момент времени) проявляется на гораздо больших расстояниях между ними. Полученные кривые изменения интегральных характеристик контактных напряжений по времени позволяют су- 1?пъ об интенсивности релаксационных процессов.
Перейдем ко второму примеру. Предположим, что внешний слой тру- эы изготовлен в нулевой момент времени (т： = 0) из вязкоупругого ста- эеющего материала с характеристиками из предыдущего примера (упру- ие характеристики £ и р снабдим далее индексом 1), а внутренний слой птругий и изготовлен из стали с модулем юнга Е? и коэффициентом Пуас-
Рис. 3.20. Контактные напряжения под последовательно без натяга устанавливаемыми на неоднородную стареющую трубу высокого давления втулками
а — под первой втулкой в момент установки (сплошная линия) и непосредственно перед присоединением второй втулки (штриховая линия); б — под двумя втулками в момент установки второй втулки т2 = 1,2 (сплошные линии)г и непосредственно перед присоединением третьей (штриховые линии) ; в - под тремя втулками в момент установки третьей втулки т3 = 1,6 (сплошные линии) и при больших значениях времени (штриховые линии). Изменения интегральных характеристик контактных напряжений по времени (г) под первой, второй и третьей втулками отмечены светлой точкой, темной точкой и звездочкой соответственно
сона 〃2・ Через 15 сут после изготовления внешнего слоя в трубу подается давление и начинается установка усиливающих элементов. Возьмем следующие значения безразмерных величин:
c(f) = 2,17, 0^(0= 17,6,汽《)=匕 g»(z) = 0,
口 =1,勿=。，生=4, т?з = 8 (/=1,2,3; %Е『=0,025,匕= 0,1,
р2 = 0,3, h^-aiY^OftS, bibi-aS^S, ab-^0,8),
т.е. в отличие от ранее рассмотренного примера расстояние между втулками сокращается втрое, а их натяг пока не определен.
На рис. 3.21 приведены распределения контактных напряжений под одной (а = 1,后=8), двумя(Т1 = г2 = 1, т3-<») и тремя (тх = т2 = Тз = h
Рис. 3.21. Контактные напряжения под одной (д), двумя (6) и тремя (в) одновременно установленным и без натяга на конструкционно неоднородную трубу высокого давления втулками
Сплошными линиями показаны распределения давлений в момент установки втулок, а штриховыми — предельные р ас пр ед ел ения
丁4 = 8)установленными одновременно без натяга (61 = 52 =53 = 0) втулками. Из явлений, присущих конструкционно неоднородным цилиндрическим телам, здесь отметим существенное проявление релаксационных процессов и в случае одновременной установки усиливающих элементов.
Исследуем теперь процесс неодновременной установки втулок, когда в момент подачи давления присоединяется первая втулка и через 3 и 9 сут после установки первой — вторая и третья втулки соответственно (ri =1^2 = 1,2, Тз = 1,6, т；= 0, т； — не определяется, поскольку внутренний слой цилиндра упругай).
На рис. 3.22,а показаны распределения напряжений под первой втулкой, установленной без натяга (51 = 0) в момент времени =т* = 1.
Расчеты показали, что в случае установки всех втулок без натяга в выбранные моменты времени при заданном расстоянии между ними в момент установки третьей втулки происходит отслаивание под второй. Поэтому второй втулке был дан натяг. На рис. 3.22,6 приведены распределения напряжений под двумя втулками, причем тх = 1, т2 = 1,2, 52 = 7,62.
При установке третьей втулки в момент времени 73 = 1,6 ее натяг выбирался так, чтобы интегральные характеристики напряжении под всеми втулками были близки. Такой натяг оказался отрицательным, т.е. 53 = -4,36.
Отметим общий факт, касающийся задачи об усилении трубы высокого давления втулками, который может оказаться полезным при решении проблемы герметизации. В большинстве случаев интегральная характеристика под центральной из трех установленных втулок минимальна.
〃
Рис. 3.22. Контактные напряжения под одной (〃)，двумя (б) и тремя (в) последовательно установливаемыми с натягом на конструкционно неоднородную трубу высокого давления втулками и изменения их интегральных характеристик с течением времени (г)
Более того, установка третьей втулки иногда приводах к тому, что центральная втулка сильно разгружается (интегральная характеристика напряжений под ней падает вдвое).
Рассмотрим еще один пример. Предположим, что все исходные данные новой задачи совпадают с данными первого примера в ситуации, когда втулки устанавливаются неодновременно. Теперь в отличие от указанного случая будем считать, что в цилиндр помещена без натяга гладкая жесткая вставка, а втулкам дается одинаковый натяг (51 = 52 = = 53 = 5,92).
На рис. 3.23 показаны распределения напряжений под одной (а), двумя (б) и тремя (в) втулками, а также изменения интегральных характеристик контактных давлений (г).
На рис. 3.24 даны совмещенно аналогичные приведенным на рис. 3.23 графики с той только разницей, что внутренний слой цилиндра изготовлен одновременно с внешним через 50 сут после начала отсчета времени (т* = т* = 0,77), т.е. цилиндр стареет однородно. Отметим, что рис. 3.24/
Рис. 3.23. Распределения контактных давлений в задаче о двухслойном неоднородном стареющем цилиндре с гладкой жесткой вставкой, на который последовательно с некоторым натягом устанавливаются втулкиРис. 3.23. Распределения контактных давлений в задаче о двухслойном неоднородном стареющем цилиндре с гладкой жесткой вставкой, на который последовательно с некоторым натягом устанавливаются втулки
Рис. 3.23. Распределения контактных давлений в задаче о двухслойном неоднородном стареющем цилиндре с гладкой жесткой вставкой, на который последовательно с некоторым натягом устанавливаются втулки
Рис. 3.23. Распределения контактных давлений в задаче о двухслойном неоднородном стареющем цилиндре с гладкой жесткой вставкой, на который последовательно с некоторым натягом устанавливаются втулки
иллюстрирует второе утверждение принципа соответствия из разд. 3.51, а сравнение рис. 3.23 и рис. 3.24 позволяет судить о влиянии возрастной неоднородности на характеристики контактного взаимодействия.
Контактные задачи для слоистого вязкоупругого стареющего цилиндра, подкрепляемого системой колец. Рассмотрим процесс установки и снятия гладких жестких подкрепляющих колец в полом двухслойном цилиндре, слои которого изготовлены в различные моменты времени из неодинаковых материалов. Будем считать, что внутренний относительно тонкий слой толщины Л изготовлен в момент времени г*. Внешний слой внутреннего радиуса а и наружного b изготовлен в момент времени т；. Ограничения на податливости элементов слоев аналогичны обсуждавшимся ранее. Каждое Ле кольцо устанавливается с натягом 5f (г) на участке цилиндра а$《z《/^ в момент времени т» и снимается в момент т，. Профили внешней поверхности колец описываются функциями gt [z — Qf + b»)/2]. Предполагается, что minf (& — /)»〃 и « » 力，а между слоями цилиндра осуществляется гладкий контакт. В момент времени
Рис. 3.24. Распределения контактных напряжений и изменения их интегральных характеристик с течением времени для однородного двухслойного цилиндра с гладкой жесткой вставкой
т*》max [т；, т；] на внешнюю поверхность цилиндра начинает действовать равномерное давление Ро(О (рис. 3.25) либо на цилиндр предварительно надевается без натяга жесткая гладкая или фиксирующая обойма (рис. 3.26). Расстояние между кольцами и торцами цилиндра достаточно велико, а сами торцы закрыты жесткими заглушками, предотвращающими их осевое перемещение.
Определяющие соотношения материалов слоев возьмем из разд. 3.5.1, лишь поменяв для удобства индексацию. Характеристики внутреннего относительно тонкого слоя будем сопровождать индексом 1, а внешнего — индексом 2.
Как и прежде, заменим кольца распределенной нормальной нагрузкой р (z, г)，отличной от нуля на участках контакта, и положим РоС)三 6. К соотношениям (4.1)—(4.4), преобразования которых оговорены в разд. 3.5.1, добавим следующие граничные условия:
r=a -h: o^ = p(zt Г), т$)= 0, (5.30) 尸=а: о^ = ор\ 〃⑴=〃⑵，т9 = т9=0, (5.31)
//////〃
4?
a多e
")7〃////7
V/〃〃//〃〃〃〃//〃〃
Y〃〃7777/777/7/〃〃Q
Рис. 3.25. К контактной задаче о последовательном подкреплении двухслойного цилиндра, находящегося под действием внешнего давления 尸° (Г), системой жестких колец
Схематически показан процесс установки колец в моменты времени 万， где i — номер кольца в системе
Рис. 3.26. К задаче о наращиваемом системой колец двухслойном цилиндре, вставленном в жесткую гладкую или фиксирующую обойму
Показан участок цилиндра с i-m кольцом
多・经
|z| —8： of),國)，О” 7$?, 〃⑴,w⑴ f О, r = b: 0s2)= 0,理=0,
если внешняя поверхность цилиндра свободна от воздействий;
尸=Ь: 〃⑵=0,啰=0,
если обойма гладкая;
(5.32)
(5.33)
(5.34)
r = b: 〃⑵=0, w⑵=0,(5.35)
если обойма фиксирующая.
Используя то обстоятельство, что Л< min/(Z>f-a/) и граничные условия (5.30)-(532), аналогично проделанному в разд. 3.5.1 можно показать справедливость соотношений (5.7)—(5.12) для напряжений, деформаций и перемещений внутреннего слоя в рассматриваемых задачах.
Тогда на основании (5.12) и (5.31) получим
Ф (z, t) = u ⑵(a, z, t}a - Ф (z, t)a2.(5.36)
Подставляя (5.36) в (5.12) и учитывая соотношения (4.4), будем иметь 〃⑴=W(z, r)G — 〃2>*T) + 〃(2)Q z, Г)а?т , 60) = ф(2, /)(1 +"2尸-2)一〃(2)(4, Z,才)4r-2,(5.37)
ef)= W(z, f) (1 -c^r^^u^ia, z, r)ar'2.
Выражения (5.8) для о?)и (5.37) дадут
0?)= -% (I + Ni){w(z, 0[1 +% + (1)"2尸2]_
1 - Pi
-(1 —р^аг^и^^. г^} .(5.38)
Удовлетворяя теперь граничному условию (5.30) для о^ с учетом (5.38) и пренебрегая далее величинами порядка hax по сравнению с единицей, найдем
Ф(г, 0 = ^[ (1 —说)(I-L])^^+(1 —匕)〃(2)Qz")〃T].(5.39)
E\
После чего радиальное перемещение внутренней поверхности двухслойного цилиндра и напряжение 。/丨) при г = а в силу (5.37) — (5.39) можно записать в форме
“(D (a-h,z9t) = -(1 —〃；)(I — Li)p(z, 方力/M + “°)(%z,f),
(5.40)
“D (%z") = p(z,f),
причем “(2)(a, z,r) определяется из решения задачи для внешнего слоя при следующем граничном условии на его внутренней поверхности [см. (5.31), (5.40)]:
r = a: of) = P(z, f), т，？ = 0.(5.41)
Граничное условие при г = Ъ выбирается в зависимости от постановки контактной задачи в форме (5.33), (5.34) или (5.35).
Выражение для радиального перемещения точек внутренней поверхности толстостенного цилиндра, полученное на основании представления Галеркина (см. разд. 3.5.1 и [69]) и принципа соответствия [12, 19] имеет вид (см. [53])
2(1 —^1)°° Р(2,Г) z —与
〃(2)(%Z")= —-(I-L2) J
7Г—ooZi 2Ь—d.
где к [(z — ^)1 (b - а)] дается соотношением (5.20); причем в случае свободной от воздействий внешней поверхности
L[(b^a)a] = a[b-^bQDl (а) 一Мьс； g)] s J Q)；(5.43)
при наличии гладкой жесткой обоймы
L[(b-a)a] = аВ? (a) S^1 (а), S4 (а) = а'1 + а°В? (а) -(5 44)
-о^аВЗ (а);
для фиксирующей жесткой обоймы
丄[(Ь - а)а] = {4(1 - р2)аСх (а)Вх (а) +
+ Ьа2[с；(а)_0；(а)]-产}$尸3),(5.45)
S5 (а) = 8(1 - vDalA^d^D^a) 一当(а)& (а)] +
+ 6а°а[С1 (а) - D； (а)] + “bd [§； (а) _/；(&)] +
+ 4(1 -也)[а°Сх (а)£>! (а) — аа2Л t (a)^i (а)] +
+ 2(1 —〃2)(1 -2v2)a^1a~1b~1 -(力一】+Ь〃т)а.
Теперь на основании (5.40) и (5.42) — (5.45) радиальное перемещение внутренней поверхности двухслойного цилиндра под действием нагрузки p(z, г) может быть записано в форме
и^ (а - h,z,t) = -(1 - vl)h (I- Li)и^ (а - h,z,t) = -(1 - vl)h (I- Li)2(1 — pj)8————(I-U) J2(1 — pj)8————(I-U) JP(Bм0-建)P(Bм0-建)Ei«—若)~z - WkJ——)呢,Ei«—若)~z - WkJ——)呢,(5.46)(5.46)
и^ (а - h,z,t) = -(1 - vl)h (I- Li)
и^ (а - h,z,t) = -(1 - vl)h (I- Li)
2(1 — pj)8
————(I-U) J
2(1 — pj)8
————(I-U) J
P(B
м0-建)
P(B
м0-建)
Ei«—若)~
z - W
kJ——)呢,
Ei«—若)~
z - W
kJ——)呢,
(5.46)
(5.46)
где момент приложения к телу нагрузки совпадает с моментом установки первого кольца, а ядра всех задач, задаваемые выражениями (5.20), (543) — (5.45), сохраняют основные свойства плоских контактных задач.
Для вывода системы уравнений контактной задачи, в которой учитывается внешнее сжимающее цилиндр давление, необходимо исследовать вспомогательную задачу о плоской деформации двухслойного вязкоупругого стареющего цилиндра под действием равномерного внешнего давления Ро (^) • Замкнутое решение этой задачи позволяет записать перемещение 〃⑴ при r-a-h в ваде
〃⑴(q-mzj) = -(1-J) (I+ №)®i (I-L2)Po «)£?«-"), 01(0 =^!0(0, ®«) = ®Ei ("т『)Е尸《—建)+&]-'O'"
% = 2(1 - pj (a - h)"1 (1 + p2) {(1 一2也)〃 +
+ a2b2 (a2 — ^)"1 [(1 — 2〃2)〃产 + a-1]},
C2 = (1 + 匕)7 [a-? -(Q - /О'] (1 + 〃2)〃2b2 (ft2- Л2)"1 X
X [(1 一2也)曲-2 + qT],
Сз = (1 - 2%) (a - h)"2a + a"1,
№з«) = j з(т)&(仆)力，
где момент приложения к цилиндру нагрузки совпадает с моментом появления внешнего давления, аЛ3 (f, т) — резольвента ядра
& а, 7)= &к(2)«- к, т - т介邑 & 一 #е尸 а 一 ")+
+ СзК(1)(Г-тГ, T-rt)]0(f).
Радиальное перемещение внутренней поверхности двухслойного цилиндра в задаче о действии на него нормальной распределенной нагрузки p(z,z) и внешнего давления Ро (^) получим, просуммировав (5.46) и (5.47).
Полагая p(z, f)二一q(z, Z) и приравнивая найденные перемещения натягу колец с учетом профиля их внешней поверхности, получим разрешающие системы двумерных интегральных уравнений поставленных контактных задач. Единая форма этих систем сохраняет вид (5.26), где символы имеют смысл, оговоренный в разд. 3.5.3. К этому стоит только добавить, что ядра контактных задач для системы наращиваемых колец описываются выражениями (5.20), (5.43) —(5.45) и что в задачах с жесткой обоймой в (5.26) необходимо положить Ро 0) = 0.
Заметим, что можно исследовать сходные с рассмотренными задачами, в которых жесткая обойма надевается на цилиндр в момент времени т： с некоторым натягом b*(f). Основная идеология вывода систем уравнений и сами системы уравнений таких контактных задач принципиально ничем не отличаются от данных в разд. 3.5.3.
Если все элементы цилиндра изготовлены из одного и того же материала в один и тот же момент времени, а все кольца устанавливаются одновременно, то (см. принцип соответствия из разд. 3.5.1):
при воздействии на внешнюю поверхность цилиндра равномерного давления, возникающего одновременно с установкой колец, натяг которых равен нулю, а профили внешней поверхности плоские, ползучесть не влияет на напряженное состояние тела и оно совпадает с упругим;
решение контактных задач для цилиндра, вставленного в жесткую обойму, имеющую произвольный натяг, может быть получено при помощи решения упругомгновенной задачи, на которое следует подействовать оператором E(t) (I + N)£~1 (г). .
5.4. Численные примеры. Рассмотрим задачу о последовательном усилении двухслойного цилиндра, на который действует равномерное внешнее давление, системой жестких подкрепляющих колец. Будем считать, что слои цилиндра изготовлены из одного и того же вязкоупругого стареющего материала с упругими и реологическими характеристиками £, р и C(f, т) из первого примера разд. 3.5.2. Кроме того, в соответствии с
Рис. 3.27. Контактные напряжения под одним (0), двумя (б) и тремя (в) одновременно установленными без натяга в неоднородно стареющем цилидре кольцами в случае, когда на цилиндр действует равномерное внешнее давление
Сплошными линиями показаны распределения напряжений в момент установки колец, а штриховыми — при больших значениях времени
заменой переменных (5.27) положим
с (Г) =0,25, 统=17,1, 网⑴=2,6,g'(z) =0,
b'=0,£=1,勿=0,小=4, ть = 8 (z = 1,2,3;
〃(分-%)T =0,25, bib^a^1 =5, ab^ = 0,8),
т.е. кольца одинаковой ширины с плоскими профилями внешней поверхности устанавливаются в цилиндр на одном и том же расстоянии друг от друга, равном ширине колец. Натяг всех колец равен нулю, а действующее на цилиндр внешнее давление не изменяется с течением времени.
На графиках, приведенных ниже, даны распределения контактных давлений под кольцами и их интегральные характеристики. Для идентификации различных кривых воспользуемся системой обозначений из разд. 3.5.2.
Пусть внешний слой цилиндра изготовлен в нулевой момент времени, а внутренний — через 50 сут (здесь можно установить соответствие со случаем естественно неоднородного распределения возраста элементов слоистых оснований плоских и осесимметричных контактных задач). Еще через 15 сут начинается установка колец и одновременно возникает внешнее давление.
На рис. 3.27 показаны распределения контактных напряжений под ОДНИМ(Т1 = 1, 72=°°), двумя(71 = Т2 = 1, Т3 = <») И ТрвМЯ(Т1 = Т2 = =т3 = 1, 『4=8) одновременно установленными кольцами. При заданном распределении возраста элементов слоев цилиндра (т* = 0,77, т* = 0)
143
Р и с. 3.28. Распределения контактных напряжений в задаче о неоднородно стареющем цилиндре, на который действует равномерное внешнее давление, в случае последовательной установки колец
а — под первым кольцом в момент его присоединения (q = 1, сплошная линия) и непосредственно перед присоединением второго кольца (штриховая линия) ; б — под двумя кольцами в момент установки второго кольца (т2 = 112 (сплошные линии) и в момент времени Г = 1,6 (штриховые линии). Кольца устанавливаются без натяга
и одновременном присоединении колец видна тенденция к сглаживанию неравномерности распределений контактных давлений с течением времени. Процессы релаксации напряжений выражены слабо.
Предположим теперь, что через 65 сут после начала отсчета времени устанавливается только первое кольцо, а через 13 и 39 сут после первого —второе и третье соответственно. Характерные временные параметры принимают следующие значения: т* = ?i = 1, & = 1,2, 门=1,6, т” 0,77,存=0.
Иллюстрацией данной задачи служит рис. 3.28.
Здесь отметим только влияние неодновременности присоединения жестких элементов на интенсификацию релаксационных процессов и то, что установка третьего кольца в момент времени т3 = 1,6 привела к отслаиванию под вторым у его правого края. Заметим, что аналогичная ситуация и возможность ее устранения за счет придания усиливающим элементам некоторого натяга обсуждалась в разд. 3.5.2.
Исследуем процесс последовательной установки колец, совершенно идентичный рассмотренному, но для однородного цилиндра, слои которого изготовлены в один и тот же момент времени.
На рис. 3.29 показаны распределения контактных напряжений под одним (а), двумя (б) и тремя (в) неодновременно устанавливаемыми кольцами, а также изменения их интегральных характеристик (г) для цилиндра, слои которого изготовлены через 50 сут после начала отсчета времени.
На рис. 3.30 даны распределения напряжений под одним (71 = 1, & = 1,2) и двумя (丁2 = 1,2, т3 = 1,6) неодновременно устанавливаемыми кольцами для цилиндра, слои которого изготовлены в нулевой момент времени. Заметим, что в момент присоединения третьего кольца происходит отслаивание под вторым.
Сравнение рис. 3.29 и 3.30 показывает существенное влияние момента изготовления слоев однородного цилиндра на поведение характеристик 144
Рис. 3.29. Контактные напряжения под кольцами в задаче о последовательном подкреплении однородно стгфеющего цилиндра (" = т； = 0,77), находящегося под действием внешнего давления
Кольца устанавливаются без натяга в моменты времени т, = 1, та = 1,2 и т3 = 1,6. Штриховая линия Q) описывает постоянные контактные напряжения под первым кольцом вплоть до момента установки второго
контактного взаимодействия в процессе наращивания тела усиливающими элементами.
На рис. 3.31 показаны распределения контактных давлений для однородного цилиндра, в который одновременно устанавливаются одно (Т1 = 1»「2 = 8》，два (71 = 72 = 1, Тз = 8)н три (口 = т2 = т3 = 1,
Q = °°) кольца. В этом случае напряжения не зависят ни от времени (дав* ление постоянно), ни от момента изготовления самого цилиндра. Заслуживает внимания и тот факт, что интегральная характеристика контактных напряжений под центральным из трех колец (см. рис. 3.31, в) почти вдвое меньше аналогичных характеристик под боковыми кольцами.
Заметим, что рйс. 3.29, а, 3.30, а и 3.31,а иллюстрируют первое утверждение принципа соответствия, сформулированного в разд. 3.5.3.
На основании проведенных в разд. 3.5 исследований можно сделать
14514510. Зак. 1035
145
145
Рис. 3.30. Распределения контактных напряжений под одним (а) и двумя (б) кольцами в задаче о последовательном подкреплении однородно стареющего цилиндра
Рис. 3.31. Контактные напряжения в задаче об однородно стареющем полом цилиндре, находящемся под действием внешнего давления, в который одновременно устанавливаются без натяга одно (а), два (О) и три (в) подкрепляющих кольца
общий вывод о том, что процесс последовательного присоединения жестких элементов к вязкоупругим однородным и неоднородным цилиндрическим телам приводит к качественно новым явлениям в поведении характеристик контактного взаимодействия, не проявляющимся при одновременной установке систем усиливающих элементов.
Глава 4
НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИО ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЖЕСТКИХ РАСТУЩИХ ТЕЛС ДЕФОРМИРУЕМЫМИ ОСНОВАНИЯМИ
В предыдущих главах рассматривались задачи контактного взаимодействия жестких штампов с наращиваемыми деформируемыми телами, а также задачи о действии систем последовательно прикладываемых штампов к телам фиксированных размеров. Жесткими штампами в контактных задачах моделируются элементы контактных систем, деформатив- ностью которых можно пренебречь по сравнению с контртелами. Такая идеализация принимается, естественно, для упрощения математической формулировки задачи.
Основной проблемой в теории контактного взаимодействия наращиваемых тел, с нашей точки зрения, является разработка математических постановок и аналитических методов решения прикладных задач о взаимодействии тел переменного состава, в которых учитывается деформатив- ность всех контактирующих тел. Особый интерес при этом представляют ситуации, когда материал добавляется непосредственно в зону контакта. Такие ситуации встречаются, например, при взаимодействии затвердевающих и кристаллизующихся полуфабрикатов с элементами технологического оборудования, а также при моделировании различных природных процессов, в частности взаимодействия формирующихся линз льда с промерзающими грунтовыми основаниями или взаимодействия прилегающих Д{^т к другу растущих тканей в развивающихся биологических системах. Задачи указанного круга, как представляется, весьма сложны и пока еще ждут своего исследователя.
Контактные задачи механики растущих тел имеют свои особенности и характерные черты, обусловленные конкретными условиями, в которых происходит формирование напряженно-деформированного состояния контактирующих тел, и анализ этих задач в прикладном аспекте непременно потребует уточнения постановок задач, учета дополнительных факторов, влияющих на параметры контактного взаимодействия тел. Однако эти задачи имеют и ряд общих моментов, связанных с основными закономерностями перераспределения контактных и внутренних напряжений в растущих телах, которые, собственно, и являются предметом исследования в настоящей монографии.
В этой главе рассматриваются простейшие задачи о взаимодействии непрерывно наращиваемых жестких тел с деформируемыми основаниями.
Вдавливание растущего штампа в упругое основаниес тонким вязкоупругим покрытием
Постановка задачи. Пусть имеется составное основание, образованное упругим полупространством и вязкоупругим слоем постоянной толщины h, лежащим на границе упомянутого полупространства. Пусть далее к верхней (свободной) поверхности слоя в момент времени г = 0 по замкнутой односвязной области прикладывается жесткий штамп. На штамп
147
Рис. 4.1. Жесткий растущий штамп, вдавливаемый в упругое полупространство с тонким вязкоупругим покрытием
В начальный момент времени подошва штампа определяется областью По. В последующем штамп разрастается таким образом, что область его контакта с верхней поверхностью слоя С*«) монотонно расширяется
действует нагрузка, статически эквивалентная вдавливающей силе Р и паре опрокидывающих моментов Мх и Му. Усилия Р, Мх и Му непрерывно изменяются со временем.
Начиная с момента времени г = 0 осуществляется наращивание штампа за счет добавления к нему недеформируемого материала таким образом, что участок контакта непрерывно расширяется. Обозначим через Йо исходную область контакта, соответствующую моменту Г = 0, а через G*(r) — дополнительную область контакта, образующуюся при наращивании штампа. При этом £2*(0) = © н ◎*(%) U С*«2), если ti < t2 • Полную область контакта обозначим £2 (г) = По U £2* (г). Граница области Go задается замкнутой кривой г = р0 (<Р), а граница области П(г)— кривой r = р^ (t,^. В дальнейшем будут использоваться две системы координат — прямоугольная (х, у, z) и цилиндрическая (『,9, z), показанные на рис. 4.1.
Для простоты будем предполагать, что слой лежит без трения на полупространстве, а штамп, находящийся также в условиях гладкого контакта со слоем, не отстает от основания в процессе наращивания и нагружения. Кроме того, будем считать, что толщина h слоя намного меньше характерного линейного размера области %.
Для описания реологического поведения тонкого слоя будем пользо- 148
ваться определяющими уравнениями вида (1.3.9), не учитывая в них наличие фактора неоднородного старения. Очевидно, что зависящая от времени реакция основания и изменяемость внешней нагрузки приведут к непрерывному перераспределению контактных давлений и осадок основания под штампом.
Задача формулируется следующим образом: для заданных функций 尸")，必«), Му «), До(9), Р*С，9)и известных реологических свойств составного основания определить давления и смещения в изменяющейся со временем области контакта.
Основное интегральное уравнение задачи. Область контакта растущего штампа с основанием разделена на две подобласти, в которых условия контакта различаются принципиальным образом. В исходной области По контакт устанавливается в начальный момент времени Г = 0, а в наращиваемой области G*(z) формируется последовательно за счет непрерывного присоединения к штампу жестких элементов инфинитезимальных размеров.
Рассматривая только нормальные смещения точек подошвы штампа и составного основания, условия совместной осадки штампа и основания для областей Go н G*(f) запишем в виде
w°(Г,дг, у) = W! (Г, х, у) + w2 (Г, ЛГ, у), (х,у) G Qo> f》0, (1.1)
"& xfy) = ”1(% X, у) + ”2 «, X, У), (1 ・2) (х,у)е £2*(0，Г>т*(х,у),
где w°(Z, х, у) и w* (Г, х, у) — вертикальные смещения подошвы исходного штампа и его наращиваемой части; Wi (f, х, у) — функция, определяющая смещение сжатия тонкого вязкоупругого слоя (т.е. относительное сближение поверхностей слоя); w2 (厶 х, у) — вертикальное перемещение поверхности упругого полупространства (точка вверху означает производную по времени). Функция т* (х, у) определяет момент времени, в который расширяющийся участок контакта проходит через точку (х, у) £ С* (f). Упомянутый момент времени совпадает с моментом присоединения к штампу элемента с координатами (х, у), а также с моментом времени, начиная с которого на поверхность слоя действует давление в точке (х, у). Если (к, у)£ С。， то т*(х, у) = 0. Оговоримся сразу, что все смещения и их скорости в (1.1), (1.2) считаются неотрицательными, хотя штамп смещается в отрицательном направлении оси z.
Запись условия контакта (1.2) в скоростях смещений является следствием инкрементального характера формирования контакта штампа и основания в области наращивания Й* (г).
Считая подошву исходного штампа плоской, запишем выражение для смещения w° :
w° (Г, дг, у) = 6(Г)+ xay(t) - уax(t)9 (xfy) £ %, (1.3)
где 5(f) — вертикальное смещение штампа в точке х = у = 0; &%«) н ау 0) — углы поворота исходного штампа вокруг осей координат хну соответственно; положительные значения 5 отсчитываются в отрицательном направлении оси z; правило отсчета положительных значений углов проиллюстрировано на рис. 4.2. 149
Рис. 4.2. Кинематическая схема осадки растущего штампа под действием вдавливающей силыР и опрокидывающих моментов Л/д； мМуЗамкнутым штриховым контуром показаны очертания подошвы исходного штампа, которая считается плоской. Плоскость z = О совпадает с нед сформированной верхней поверхностью тонкого вязкоупругого слоя, к которой прикладывается штампРис. 4.2. Кинематическая схема осадки растущего штампа под действием вдавливающей силыР и опрокидывающих моментов Л/д； мМуЗамкнутым штриховым контуром показаны очертания подошвы исходного штампа, которая считается плоской. Плоскость z = О совпадает с нед сформированной верхней поверхностью тонкого вязкоупругого слоя, к которой прикладывается штамп
Рис. 4.2. Кинематическая схема осадки растущего штампа под действием вдавливающей силыР и опрокидывающих моментов Л/д； мМу
Замкнутым штриховым контуром показаны очертания подошвы исходного штампа, которая считается плоской. Плоскость z = О совпадает с нед сформированной верхней поверхностью тонкого вязкоупругого слоя, к которой прикладывается штамп
Рис. 4.2. Кинематическая схема осадки растущего штампа под действием вдавливающей силыР и опрокидывающих моментов Л/д； мМу
Замкнутым штриховым контуром показаны очертания подошвы исходного штампа, которая считается плоской. Плоскость z = О совпадает с нед сформированной верхней поверхностью тонкого вязкоупругого слоя, к которой прикладывается штамп
Что касается точек подошвы штампа, расположенных в области наращивания Q* (?), то об их смещениях можно говорить лишь начиная с моментов присоединения к штампу соответствующих элементов. При этом естественно полагать, что смещение каждого элемента штампа в момент присоединения равно нулю, т.е. w* (т* (х, у) }х,у) = 0. Смещение же элемента до приращивания остается неопределенным. Поскольку после присоединения произвольного элемента расположение точек подошвы штампа друг относительно друга не изменяется и штамп смещается как жесткое целое, приращения функций 5«), а^О) и ау (f) будут определять и приращения смещений точек штампа в области наращивания. Таким образом:
w*(f,x,y) =6(0 + хау (z) - yax(t)9 (х,у) £ ◎*«),(1.4)
или
w*(f,x,y>= 5(0 + xay(t) - yax(t) - [5(т*(х,у)) +
+ хау(т^(х,у)) - уах(т*(х,у))],(х,у) G ◎*«).(1.5)
Рассматривая асимптотику точного решения задачи о действии нормальной нагрузки на слой при стремлении толщины слоя к нулю, можно показать, что реакция тонкого слоя с точностью до малых высших порядков эквивалентна реакции винклеровского вязкоупругого основания. Эта реакция определяется уравнением
W1 G х, у)W1 G х, у)Р (力 х, у)Р (力 х, у)； р(т,х,у)/——— Q(t,T)dT,т*(х, У)； р(т,х,у)/——— Q(t,T)dT,т*(х, У)(1.6)(1.6)
W1 G х, у)
W1 G х, у)
Р (力 х, у)
Р (力 х, у)
； р(т,х,у)
/——— Q(t,T)dT,
т*(х, У)
； р(т,х,у)
/——— Q(t,T)dT,
т*(х, У)
(1.6)
(1.6)
（x,y）e 3（） c 尸（x丿），
где 化«) = Ei(£)九一1 (1-〃；)т - коэффициент жесткости (Е\ - модуль упругости материала слоя); Q(f, т) - ядро ползучести; р (厶 х, у)- нормальное давление на поверхность слоя, равное нулю вне области контакта. Уравнение (1.6) следует из (1.3.9) в рамках указанного приближения для тонкого слоя.
Для нормального перемещения поверхности упругого полупространства под действием нормального давления р (г, х, у) (того же, что в (1,6), поскольку винклеровский слой передает нагрузку без ее перераспределения) имеем известное выражение (см., напр.: [85])
W2 (f, х, у)=W2 (f, х, у)=1 一也 2яС721 一也 2яС72а") [(х - 02+ (У-г?)?产а") [(х - 02+ (У-г?)?产(1.7)(1.7)
W2 (f, х, у)=
W2 (f, х, у)=
1 一也 2яС72
1 一也 2яС72
а") [(х - 02+ (У-г?)?产
а") [(х - 02+ (У-г?)?产
(1.7)
(1.7)
где G2, “2 — модуль сдвига и коэффициент Пуассона полупространства.
Интегрируя уравнение (1.2) по времени от момента установления контакта т*(х,у) в произвольной рассматриваемой точке (х, j) G £2* до некоторого текущего момента г, будем иметь
w*(厶х,у)=也(f,х,у) - Wi (г*, х, у) + W2 (Г, х,у) 一
И (1.8),И (1.8),一 W2(T*, х,у), т*三 т*(х,у),(х, J/)G £2*(г).(1.8)
И (1.8),
И (1.8),
Подставляя выражения (1.3), (1.5) —(1.7) в уравнения (1.1) получим
1 - "2〃p(f,3") dW dr?
2宀 a(/)[(x-D?+(у-»)?]%
1 — “21 — “2р(т*(х, y),K")d铝7? +[(X-D* (У —")」％
1 — “2
1 — “2
Р（т,х,У）北（7）Р（т,х,У）北（7）0(厶 г) Jr -0(厶 г) Jr -+ PC，% 力_ j
Р（т,х,У）北（7）
Р（т,х,У）北（7）
0(厶 г) Jr -
0(厶 г) Jr -
к (О 7 *(%, у)
р (г* (х, у), X, у)
成х，У)-7f^- =6a) + 叫(,)一网("
一 Н(х,7)[6(т*(х,у)) + хау(т*(х,у)) - у&к(т*(х,у))],(1.9)
、f 0, (х, у) G %,®у)£С«), 〃(“)= 「〉1ис：/、I 1, (а) е с*«)・
Последнее слагаемое в левой части определяет мгновенное упругое сжатие вязкоупругого слоя, осуществляемое в момент приращивания соответствующего жесткого элемента штампа. Если элемент прикладывается к основанию без предварительного вдавливания, то указанное слагаемое в уравнении (1.9) естественно, отсутствует.
Уравнение (1.9) должно рассматриваться совместно со следующими интегральными условиями равновесия штампа:
Л р(^,х, y)dxdy =尸(f),
JJ Р(力 ％ У)ydxdy = 一必《),(110)
a")
JJ p(r,x,y)xdxdy =(г).
a(r)
Задаваемыми величинами в задаче (1.9), (1.10) являются нагрузки (правые части в (1.10)), закон изменения области П(г), механические характеристики слоя и полупространства (величины % (?), Q(t9r) ,^2>^2) • Определяемые величины — р(厶х, у), 6(г), а%(г), ау〃).
Уравнение (1.9) — основное интегральное уравнение задачи о действии растущего штампа на составное основание, образованное упругим полупространством и тонким вязкоупругим слоем. Характерным для этого уравнения является наличие "запаздывающих" значений искомых функций, ввиду чего не представляется возможным отнести уравнение (1.9) к какому-либо известному типу или классу интегральных уравнений.
В дальнейшем при анализе рассматриваемой задачи ограничимся случаем, когда вязкоупругий слой лежит на жестком основании. Такое упрощение существенно облегчает решение задачи, но вместе с тем позволяет исследовать влияние параметров наращивания на формирование давлений в области контакта.
4.3.1. Вдавливание штампа произвольной в плане формы в вязкоупругий слой. Если в постановке задачи упругое полупространство заменяется жесткой подстилающей поверхностью, то основное интегральное уравнение (1.9) сводится к следующему интегральному уравнению Вольтерра (см. также [57]):
-(1.11)
%«)7*(XJ) MD
Здесь введено обозначение:
笫(力 ％ у) = 6(r) + xay(t) -jax(r)-
—〃(xj)步(T*“j)) + хау(т*(х,У)) -ya* (丁*(“, У)) - b*(x, y)],(1.12)
где неотрицательная величина
5*(x j) = P^(xt y),xfy)lk(r*(xf y))
может интерпретироваться как произвольно задаваемое мгновенное сжатие вязкоупругого винклеровского слоя в момент приращивания соответствующего элемента штампа; если элементы прикладываются к слою без предварительного внедрения, то 6*(х, у)三 0.
Перепишем уравнение (1.11) в обращенном виде:
p(r,x,j) = fc(r)[vv(r,x, j)+ J w(Tfxfy)R(ttT)dT],(1.13)
(x,y)ea(f), t>T*(x,y),
152
где R (厶 т) — резольвента ядра 0(Г,т); если принять ядро ползучести в форме, предложенной для стареющих упругоползучих материалов в [12], то резольвента R (Г, т) имеет аналитическое выражение, приведенное, например, в [19].
Подставляя уравнение (1.13) в первое уравнение (1.10), используя приведенное выражение для функции 济(％х,у) и переходя к полярной системе координат, получим
2"о(3)
/ J 16(f) + Gy (г) г 8S3 — ах (f) г sin(^ + о о
t
+ / [5 (т) + ay(r)rcosip - ах (т) г sin(^] R (г, т) dr} rdrd^p + о
2я Р*(%屮)
+ //{ 6(。+ Gy (t)r саз — ах(Г)r sin屮一
о Pq3
-6(t*G,屮))一ау (т*(г, в))?cos3 + %(т*(厶屮))夕就口屮 + 6*(厶屮)+
+ /[5(т) + ау (т)г 8S3 - ах (т)г sin屮一6(т*(〃 屮))-
r*G,3)
一 а^(т*(г,屮))F0S3 + otx(T*(r, 3)) r sin(p + 6*(〃 3) ] X
X^(r,T)dr} rdrd<p^P(t)!k(t).(1.14)
Заметим, что функция т*(乙 3), определяющая момент вступления в контакт штампа и основания в точке (г, 3), и функция р* (Г, 3), задающая изменяющуюся границу области контакта, являются взаимно обратными по первому аргументу при фиксированном втором:
р^(T,屮),9)三厶T*S*G9),3)三Z.(1.15)
Рассматривая аргумент 屮 как фиксированный, выполним в интеграле по г в (1.14) замену переменной т* (г, <р)=与(или, что то же самое, г = =Р*(Кз)・ Переставляя порядки интегрирования и производя другие весьма громоздкие преобразования, представим уравнение (1.14) в форме
^(05(0-J 5(т)~ [^(т)Я(Л 叨右 + о Эт
»а ~
+ Sy(f)ау (г) -f а扒т) — [Sy (т)К (г, т)]右 一 S%(f)%(f) + оОТ
+ Jax(T)— [Sx(T)^(r,T)]dT = /(0,(1.16)
0
где введены следующие обозначения:
2〃 Р*6,3)27r Р式&6
F(r)= JJ『did屮；Sx(f)= /J产 simpdrd屮;
оооо…
%«)= I j 产cos屮drd屮；R«,t)= 1 +/Л(Г,扌)若； о о7
『(?)=十 -/&«")【，尹з(т，оз)р*а屮)…J<川打・
Здесь F и Sx> Sy — площадки статические моменты увеличивающейся области контакта; функция R&T)характеризует релаксационные свойства материала основания; функция — изменение нагруженного состояния штампа во времени.
Второе и третье уравнения (1.11) преобразуются аналогичным образом и могут быть представлены в форме
ГЭ ~
^(05(0-J5(r)—瓦⑺R& r)]dr^ оЭт
+ ^(0^(0-/ 厶⑺ 丁 伉式T)R«, T)]dT — о от
f d 〜
一厶«)%«) + /%(t)「Ux(t)&«, 0】加= g(r),(1.17)
г а
Sy⑴5«) - J 6(7)— [Sy(r)R(tt t)Wt +
0
f d
+ Zy(O^(O - /«y(0— [/y(r)^(r, T)]dT - о
tЭ~
-Wf>x(0 + /^W— U»(T)R(f, T)]dT = 〃a).(1.18)
оОТ
Здесь введены следующие обозначения (厶,"и 1ху - полярные и центробежные моменты инерции площадки контакта):
27r p*(tw)
7х(0 = / J г3 sin2 ^drd tp •, о о
27r p№6
"«)= J / r3co32^drd^\ о 0
2тгр*(&3)
Ixy(t) = J / r3sin(pcos(pdrd(p; о о
Mx(t) f 〜27rЭр*(т,<р)
g(')=- j^G T)[ / b*S*(T,9),9)p：(3 3) siiupd屮]勿；
左0 о оа7
Г 〜27rар*(т, 9)
h(e)^ -— - j R(ttT)[ / 6*(0*(7,9),中)0；(7,屮) cos^d屮]力.
0o8 T
Таким образом, задача о вдавливании растущего жесткого штампа произвольно изменяющейся в плане формы в тонкий вязкоупругий слой сводится к определению из системы уравнений (1.16)-(1.18) трех функций времени: внедрения 6 (г) и углов перекоса штампа ах (?) и ау (Z). Уравнения (1.16) —(1.18) являются интегральными уравнениями Вольтерра второго рода. Численное исследование этой системы может быть осуществлено посредством дискретизации ее по времени.
Случай упругого слоя. Остановимся более ^подробно на от чае упругого винклеровского слоя, когда R(f, т) = О, R (Г, т) = 1. Система уравнений (1.16) —(1.18) в этом случае принимает вид (здесь и далее штрихом наверху обозначается производная функции по единственному аргументу)
斤⑴ 6(0 - J S^F^dT^Sy^ay^ 一 j %(t)S〃7)勿一 оо
-SKM «) + / %(т) Sl(T)dT = /(0, о
Sx«)6«) - i 6(T)S【⑺沙 +/»")%«) - j ay^I^dr- 0о
一厶«)%«) + /ax(T)/】(T)dT = g«),(1.19)
о
Sy(f)6«) — J b^S^dr^ %«)%«) - f 旳⑺与⑺打一 0о
t
-Ixy(t)ax(t) + / %(т)小⑺圻=h (0. о
Здесь в выражениях доя функций /, g и Л (они введены выше) также необходимо положить R (г, т) = 1. Продифференцируем уравнения (1.19) по t :
(1.20)(1.20)F6' + S№-Sxa】 = 3
(1.20)
(1.20)
S* 5 + Ixy йу — Ix a% = g ,
Sy 6’ + Jy a, — Ixy0Lx = Л \
Здесь аргумент t у функции для краткости опущен, а правые части:
Рк-к'Р 27rРк-к'Р 27r一 J 5*(p*(力 9),9)p*(%9) о一 J 5*(p*(力 9),9)p*(%9) оmg 9)二—：d6btmg 9)二—：d6btg =g =М[к-к'МхМ[к-к'Мх-/ 5*(P*(^, ^,<P)P^(f^ sm9d屮,оOf-/ 5*(P*(^, ^,<P)P^(f^ sm9d屮,оOf(1.21)(1.21)
Рк-к'Р 27r
Рк-к'Р 27r
一 J 5*(p*(力 9),9)p*(%9) о
一 J 5*(p*(力 9),9)p*(%9) о
mg 9)二
—：d6
bt
mg 9)二
—：d6
bt
g =
g =
М[к-к'Мх
М[к-к'Мх
-/ 5*(P*(^, ^,<P)P^(f^ sm9d屮,
оOf
-/ 5*(P*(^, ^,<P)P^(f^ sm9d屮,
оOf
(1.21)
(1.21)
力'=力'=M'yk - k'MyM'yk - k'My2〃ар*(%9)
力'=
力'=
M'yk - k'My
M'yk - k'My
-/ 5*(P*G, 9), 9)р*(Л 9)—：cosw").
0ot
Разрешая систему (1.20) относительно производных 6', а； на； и интегрируя затем полученные выражения по времени от 0 до некоторого текущего значения 厶 будем иметь:
5(0 = 6° + / [(厶 4 - %7)尸 + (SyIxy - S"y)g' ^(SxIxy - Syl^h1} Ad* о
%«) = a； - j RS"% - SxIxy)f ^(FIxy - £Sy)g' + (理-Fl^h1] zWt,
0(1.22)
曲⑴=叭一 j[(S"» - SxIy)f^ (FIy - S^)gf + (SxSy - %y”] AdT, о
A 三(2SxSy%y - Sily-S^Ix +FIJy-F务尸,
где аргумент т (переменная интегрирования) у функций в подынтегральных выражениях опущен. Начальные значения 5° и углов перекоса 成， 吼 определяющих мгновенную осадку штампа непосредственно перед началом его наращивания, находятся из системы линейных алгебраических уравнений, которая соответствует системе (1.19) при f = 0. Эти значения определяются следующими выражениями:
6。= [(&/； - /爲)尸。-(S簿厂醛◎心 ^(S^y- S；©/] A。/%。，
a戸-[(S；& - S^y)P°-(FXy~ S%；M + (S『-F°I^M^/k\
(1.23)
К = -[Wy-S^P°-(FQI^ - S；2)收 + dS； - F^^M^/k0,
△° = ^S^y-S^I； 一 S『E +尸。&/； -FXy 尸•
Градусом наверху здесь и далее отмечаются величины, соответствующие начальному моменту времени Г = 0 и исходной конфигурации штампа.
Вдавливание штампа круглой в плане формы. Рассмотрим задачу о вдавливании в слой круглого в плане штампа, радиус которого увеличивается со временем. Примем, что опрокидывающие моменты равны нулю (Мх = % = 0), вдавливающая сила приложена в центре штампа х = у = 0, а функция 6*, характеризующая начальную осадку слоя в месте приращивания соответствующего элемента штампа, зависит только от радиальной координаты. В рамках указанных ограничений задача становится осесимметричной. При этом будем иметь Sx = Sy = Ixy = 0, g(f)=力«) = 0 и из системы (1.16)-(1.18) получаем ax(r) = ay(0 = 0.
Осадка штампа 5(f) определяется из следующего уравнения Вольтерра второго рода:
гд
^(06(0 - /6(7)—[尸SAG 7)]曲二 Л0,(1.24)
оН
Д0 =呎(В, Л0= 梨—2疗両,7)5*S*(T))p*(T)p：(T)d九
Обращение уравнения (1.24) запишем в виде
(1.25)(1.25)ДО г Дт)
(1.25)
(1.25)
5«)=爲 + / -ттт QG 7)力，
F(r) о 尸(7)
где Q«, т) — резольвента ядра blF^^F^1 (t)R(tt т)] /Эт. Если принять ядро релаксации материала основания в форме [19]
«,41r U(T)-^)[l^exp(-7(r-T))]| (7= const), (1.26)
то ядро уравнения (1.24) будет вырожденным и для резольвенты 以才，г) в (1.25) можно получить аналитическое выражение (соответствующие формулы довольно громоздки и здесь не приводятся).
В случае упругого винклеровского слоя из (1.24) (илииз (1.20)) получаем (左=左° = const):
"?)= 琨，/0)=-^ -2力*(幺⑺)"况⑺.
к
Проинтегрировав полученное выражение для 6'(f) с учетом начального условия 5° = PQl(Trk°Po), будем иметь
5(0=——г欣。忌5(0=——г欣。忌+丄/学⑴包欣。0 "(т)Ро Р+丄/学⑴包欣。0 "(т)Ро Р(1.27)(1.27)
5(0=——г
欣。忌
5(0=——г
欣。忌
+丄/学⑴包欣。0 "(т)Ро Р
+丄/学⑴包欣。0 "(т)Ро Р
(1.27)
(1.27)
где Ро - исходный радиус штампа. Выражение (1.27) можно получить непосредственно из (1.22), (1.23).
При заданных функциях 尸(/), p*(f) и 5*(г) выражение (1.27) определяет изменение осадки растущего штампа со временем. Заметим, что если задана осадка 6(0, то любая из функций Р(0 и 6*&) в принципе может играть роль "управляющего фактора”，обеспечивающего заданное изменение осадки.
Пусть, например, при заданном законе увеличения внешнего радиуса подошвы штампа p*(f) и известных предварительных сжатиях слоя 5*(г) требуется поддерживать осадку, заданную непрерывной функцией бо(г), такой, что 6о(О) = 5°. Из (1.27) в этом случае получается, что вдавливающая сила должна изменяться следующим образом:
t ,
KD = P + ттк°/до(т)р2(т)с1т + 27rF J 6*(p) pdp. о *Po
Пусть теперь задан закон изменения вдавливающей силы Rf) и закон наращивания штампа р*() а поддержание осадки 5о(О (6о(О) = 5°) необходимо осуществить посредством надлежащего выбора функции 6*. Из (1.27) находим, что предварительные сжатия слоя при разрастании штампа для обеспечения заданного изменения осадки ядра штампа должны быть равны
Рис. 4.3. Схема осадки растущего штампа в плоском варианте задачи
Скорости разрастания штампа в обоих боковых направлениях в общем случае различаются
По существу, это выражение определяет форму (профиль) подошвы штампа, которая формируется в процессе его взаимодействия со слоем.
Плоский вариант задачи. Положим, что координата у явным образом в постановке задачи не фигурирует, а все определяющие величины рассчитаны на единицу длины вдоль оси у. В этом случае, очевидно, должно быть Мх = 0, ах = 0.
Пусть в момент времени f = 0 исходный штамп с плоской подошвой прикладывается к недеформированной границе слоя на участке —а。& & х & bo и загружается усилиями 产 и Л^ ^М°. Начиная с момента времени г = 0 осуществляется наращивание штампа в обе стороны вдоль оси х, а приложенные усилия изменяются со временем по законам Р(0 и M(f). Наращивание производится таким образом, что участок контакта расширяется: —a(t) < х < b(t) (рис. 4.3), где а(г) и b(f) — заданные монотонно возрастающие непрерывные положительные функции.
В рассматриваемом случае система (1.16)-(1.18) приводится к следующим двум интегральным уравнениям относительно осадки б точки х = 0 и угла поворота штампа ау 三а :
[〃⑺ + 力⑺]5«) - /5(7)—- {[〃(т) + Ь(т)]R(tf T)}dr + о от
+ ^ [庐⑺一小⑺]a ⑺-j а(т) ~ || [b2(r)- a2(r)]^(r, r)pT =
="^ - / * *(-a⑺)储⑺ + § *(Ю)У⑺從G т)力，(1.28)
~ [万2(以 一 〃2(D)6«) -fS(r) 31^2(Т)- q2(T)]R«, т)| 勿十
+ 7 [й3(0 + 63(0] «(О-九⑺止{ y [а?⑺ + ^(т)}я(г, 7)1 dr =
3о ат 1J
ЛГ(£) t, у
(1.29)(1.29)=~-~ + j[д^(-а(т))а(т)а (т) - Ь*(Ь(т))Ь(т)Ь(7)]R«* T)dr. о
(1.29)
(1.29)
ференцируем полученные уравнения по г： (а + Ь)5'十弘(办2 - а1)^ - f fференцируем полученные уравнения по г： (а + Ь)5'十弘(办2 - а1)^ - f f(1.30)(1.30)Здесь R(tf т) - функция, характеризующая реологические свойства слоя (введена в разд. 4.1.3), а угол а отсчитывается, как доказано на рис. 4.3. В случае упругого слоя положим в (1.28), (1.29) R (г, т) = 1 и продиф-
ференцируем полученные уравнения по г： (а + Ь)5'十弘(办2 - а1)^ - f f
ференцируем полученные уравнения по г： (а + Ь)5'十弘(办2 - а1)^ - f f
(1.30)
(1.30)
Ы(Ь2 一а?"' + '/з(〃з +63)а =/,
где производаые/ м g‘ в правых частях определяются формулами (左=左° = =const):
尸=尸伙0一 ^(-d}a - 6*9)廿，
g' = M'/%° + 5*(-а)加一 b\b)bbf.
Разрешая уравнения (1.30) относительно производных 6\ а и интегрируя полученные выражения по 厶 будем иметь
6(0 = 5° IМт) + Ь3(т)Уг(т) 一 ； [М(т) - /(T)]g'(T)10(7)力，
№ 二优 一 j {В〔'")- MSAL'S) — RS) + 6(7)Jg'(7)} °⑺力，(131)
夂丁)三 Р/зИт) + b(7)] [^(T) + Ь3(Т)]~^[Ь\Т)一 〃2(Т)] 2 } - •
Здесь начальные значения функций%(Z>° =改0).)：
5° = [73(^ + 况严-我(况 - a^Af]D°/k°9
优二一因(bl-al)P° -(а0 ^b0)M°]DQ/k°.
Выражения (1.31), разумеется, можно получить непосредственно из (1.22).
Пусть штамп вдавливается в основание без перекоса, т.е. М = 0, % =瓦， Х0 = 6(f) • В этом случае из уравнения (1.29) следует, что а(г) = 0, а уравнение (1.28) принимает вид
Г 8~尸⑺ t а,
а(Г)5(0 - С(т) — \a(r)R{tt т)] dr=无--jR(% т) ¥(«т))〃 ⑺dr. ° т(1.32)
Если ядро релаксации принять в форме (1.26), то решение уравнения (1.32) можно получить в аналитическом виде.〜
Остановимся на случае упругого основания. Полагая Л(г, г) = 1 и диффе-
159
ренцируя уравнение (1.32) по 厶 будем иметь
, Р6*(а)储
Интегрируя это выражение по 厶 аналогично (1.27) получим
Выражение (1.33) позволяет проанализировать поведение растущего штампа в ряде частных случаев.
Заключительные замечания. Основной вывод, следующий из рассмотренных в этом разделе задач для растущих штампов, состоит в том, что предыстория наращивания и загружения штампа оказывает решающее влияние на распределение контактных давлений и другие параметры контактного взаимодействия. Это утверждение верно и для упругих оснований.
Проиллюстрируем этот важный вывод на качественном уровне следующим примером. Пусть жесткий растущий штамп с первоначально плоским основанием начиная с момента времени г = 0 вдавливается в упругую полуплоскость или слой (конкретика здесь не важна) . Примем, что вдавливающее усилие прикладывается центрально (штамп внедряется без перекоса), а предварительное заглубление приращиваемых элементов штампа отсутствует (6* = 0). Пусть начальный участок контакта имеет полуширину 〃о, а полуширина участка контакта при наращивании Ю и закон изменения вдавливающего усилия 貝才)一есть непрерывные гладкие и монотонно возрастающие функции времени (г》0), такие, что 〃(0) = а0, R0) = 0.
Рассмотрим теперь две программы наращивания и загружения штампа (рис. 4.4) • Пусть в первом случае полуширина штампа возрастает сравнительно медленно, затем быстрее, а вдавливающая сила 一 сначала быстро, затем медленно. При этом вся программа наращивания и загружения продолжается до момента времени 厶,причем конечное значение полуширины штампа есть 〃】,а вдавливающей силы 尸】.Качественная картина, иллюстрирующая профиль подошвы штампа, сформировавшегося к моменту времени f 1, показана на рис. 4.4, а.
Пусть теперь во втором случае функция 〃(f) возрастает сначала сравнительно быстро, затем медленно, а функция R» - сначала медленно, затем быстро. Наращивание заканчивается в тот же момент времени fb причем конечные* значения функций 〃(/) и Л(0 сохраняются прежними: 〃(厶)=〃i, 貝厶)=А- В этом случае сформируется профиль подошвы растущего штампа, качественно отраженный на рис. 4.4, б.
Очевидно, что в двух рассмотренных случаях будут получены совершенно различные профили оснований штампов, а вместе с ними и распределения контактных напряжений. Еще раз подчеркнем, что речь в рассмотренном примере шла об упругих основаниях.
Рассмотренные задачи позволили в общих чертах исследовать влияние специфических параметров процесса наращивания на вдавливание растущего штампа в простейшее модельное основание. Ценой некоторых усложнений приведенные решения переносятся на другие типы модельных оснований (см. обзор модельных оснований в [86]). Из полученных формул сле-
Рис. 4.4. Программы наращивания и загр ужения жесткого штампа, вдавливаемого
в упругое основание
Внизу показаны результаты реализации этих программ
дует, что при одних и тех же нагрузках поведение штампа, т.е. его внедрение и углы поворота, существенно зависит от кинематики разрастания штампа. Хотя рассмотренные примеры для тонкого слоя, подстилаемого жестким основанием, служат лишь довольно "грубым" приближением к задаче о внедрении растущего штампа, скажем, в упругое полупространство, тем не менее представляется, что сделанные качественные выводы будут справедливы и для более сложных случаев.
Отметим, что задача о наклонном штампе произвольной в плане неизменной формы на упругом полупространстве рассматривалась в [80]. Некоторые задачи для штампов сложной формы исследовались, в частности, в [62].
Задача о контактном взаимодействии растущего массивного тела со скальным основанием возникает, например, при анализе поддвижек ледников, геометрическая форма и опорная поверхность которых изменяются за счет осаждения и намерзания дополнительных объемов снега и льда.
42 Взаимодействие растущей накладкис тонким вязкоупругим слоем
Постановка задачи и основные уравнения. Как и в задаче, обсуждавшейся в предыдущем разделе, рассмотрим сначала составное основание, образованное упругим полупространством и покрывающим его тонким однородным слоем из стареющего вязкоупругого материала. Слой будем полагать сцепленным с полупространством.
11. Зак. 1035 161
Рис. 4.5. Растущая накладка на упругом полупространстве с тонким вязкоупругим покрытием
Нижняя поверхность накладки расположена в плоскости z = О и в начальный момент времени г =0 занимает прямоугольную область % = { (х, у>: 1x1 <#0, \у \ < %} (ядро накладки). При f〉0 область, покрываемая накладкой, есть П(г) = {(х, у): -а2(г) < х < at(г), \у\ < Ь(0 I, где %, &，》—непрерывные положительные функции времени, причем % (0) = а2(0)=咻，Ь(Г) = Ьо. Изменяющаяся со временем суммарная касательная нагрузка Q прикладывается по яерхней поверхности накладки. Распределение усилии, равнодействующая которых равна Q, должно бнть симметричным относительно оси х
Представим далее, что на верхнюю границу слоя укладывается нерастяжимая прямоугольная в плане накладка, которая также сцепляется со слоем. На накладку действует касательная нагрузка 0(f), прикладываемая в начальный момент времени f = 0. Начиная с момента f = 6 осуществляется наращивание накладки во всех направлениях таким образом, чтобы ее форма оставалась прямоугольной (рис. 4.5).
Введем необходимые для дальнейшего обозначения: С。— область под исходной накладкой; C*(f) - расширяющаяся область под наращиваемой частью накладки; £2(0 = £20 C*(f) •
Учитывая, что соотношения, описывающие кинематику контакта в областях С。и £2*(0 имеют свои особенности, рассмотрим их раздельно. В области под исходной накладкой условие контакта записывается в полных смещениях, поскольку все точки исходной накладки вступают в контакт с основанием одновременно:
"°gX, j) = 〃1g%У)+ 〃2a,匕у)，(x,J)eCo, f》0, (2.1) где и° — смещение точек исходной накладки вдоль оси х из ненагруженно- го положения; 〃】—сдвиговое смещение точек верхней поверхности слоя в области контакта с накладкой относительно точек его нижней поверхности; и2 — смещение граничных точек полупространства вдоль оси х.
Считая для простоты растущую накладку нерастяжимой, смещения точек исходной накладки запишем в виде
〃°&х,У)= 7(0, (^ У) G ^о, ^ > 0,(2.2)
где 7(г) - подлежащая определению функция времени.
Рассмотрим теперь область наращивания £2*«), для которой характерно последовательное "включение'' нерастяжимых элементов в состав накладки и в контакт с основанием. Для элементов, приращиваемых к накладке, имеет смысл говорить только об их смещениях из положения в момент приращивания; обозначим этот момент времени через т*(х, у). Пусть 〃*«, х, у) — есть упомянутое смещение точки накладки в области наращивания, отсчитываемое от начального положения в момент т*(х, у). Поскольку приращения смещений элементов после присоединения в силу условия нерастяжимости равны соответствующему приращению смещения исходной накладки, можно записать
〃*«, х, У) = 7(0 - 7(т*(х,『))，(2.3)
или
U\ttxfy) = 7(0, (х,у) £ £2*(0,(2.4)
где точкой наверху, как обычно, обозначается дифференцирование по времени.
Ввиду того что, как уже было сказано, формирование контакта растущей накладки с основанием в области С* носит инкрементальный характер, условие контакта следует записать в скоростях смещений:
〃*«,х,У)= 〃1«,х,у)+ dz&xj), (х,у) £ С*,(2.5)
где функция и* определена в (2.3), (2.4), а функции wb и2 те же, что в (2.1).
Интегрируя соотношение (2.5) по времени от момента т*(х, у), совпадающего с моментом образования контакта в точке (х, у), до некоторого текущего момента f, будем иметь следующее условие контакта в области наращивания С*« ):
7(0 — 7(т*) = u^x.yy-Ui (г*,х, у) + и2(Л х, у) - м2(г* х, у), (2.6) г* = т*(х, у).
Как и в предыдущей задаче, будем полагать, что тонкий вязкоупругий слой работает по типу винклеровского покрытия (в силу малости его толщины по сравнению с минимальным размером области %) н его смещения определяются уравнением
q(f, х, у) г 4(т, х, J)
и^х.у) = "： Г -/8&7)办，(2.7)
ЦО тЧх, у)左(т)
(х,у) W
где q — касательные усилия в области контакта накладки со слоем; k(t) и S(f, г) - коэффициент жесткости и ядро ползучести материала слоя; т*(х, у) = 0 для (х, у) £ %.
Из (2.7) следует, что в момент приращивания к накладке очередного элемента и сцепления его со слоем мгновенное сдвиговое смещение слоя
имеет место только в том случае, если ^(т* (х, у), х, у)力 0. Эта величина может интерпретироваться как произвольно задаваемое мгновенное сдвиговое нагружение слоя в месте приращивания соответствующего элемента накладки. Полагая ее равной нулю, будем иметь
“ 1 (т*(х，У), % У) = 0, (% у) £ С *(0 • (2.8)
Смещения граничных точек упругого полупространства в момент t в области С(Г)под действием касательных усилий q(f, х, у) (см. напр.: [85]):
11一叫 6-К
〃2& X, у) = —Я q«，久刀)[ + 叱-~з~ ] d±dq,
2яС2 с (г)sГ
$ 三 KW — x)2+Sr)2 产，(2.9)
где G? н 叱一модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала полупространства.
Подставляя выражения (2.7) и (2.9) в условия контакта (2.1) и (2.6)
и учитывая (2.8), получим
~~ я q«, g 7?) [ + »23] d^dn -
2яС2 a (t)s
H(x，y)1-叱 住一X)2
-Л Q(T*(XJ),古,叫[——-+ 叱] d纪7? +
2я^2 а(т*(х, у))s
q(%x,j) г 0(т,х,У)
+ -/S0, t)Qt =
к© 7*(XJ)左(т)
=Т(0- Н(X，J)7(Т*(Х，У)), S 三 KW - Х> + S - J)2 产，
jo, (О) £н(х,у)="(хтса*е(2.10)
Это основное интегральное уравнение сформулированной задачи. Оно должно решаться совместно с уравнением
Л q(f, Е 哈 d±dn =。⑴,(2.11)
a(力
которое является условием равновесия накладки. Из системы уравнений (2.1(^, (2.11) находятся неизвестные функции q (f, к,历 н у(Г). Обратим внимание на то обстоятельство, что интегральное уравнение (2.10) содержит "за・ паздывающие55 значения искомых функций, наличие которых не позволяет классифицировать его по нзученнь皿 типам интегральных уравнений.
Случай вязкоупругого сй^я на жестком основании. Если вязкоупругий слой по нижней своей поверхности сцеплен с жестким основанием, то основное интегральное уравнение задачи (2.10) редуцируется к виду
q«, %，У)q«, %，У)у q(T,x,y) т*(х,у) %(т)у q(T,x,y) т*(х,у) %(т)s(t, т) dT =s(t, т) dT =
q«, %，У)
q«, %，У)
у q(T,x,y) т*(х,у) %(т)
у q(T,x,y) т*(х,у) %(т)
s(t, т) dT =
s(t, т) dT =
(2.12)(2.12)=Х0- H(xty)y(r^(xty^ (х,у)£а«), где, напомним, т*(х, у)三 0 при (х, у) € С。.
(2.12)
(2.12)
Обращение уравнения (2.12) запишем через резольвенту R", г) ядра т):
q«, % 丿)=%(f) 11(0- "(%丿)7(т*(х，У)) + / Ь(т)-
7*(Х,У)
-"(х, у)似т*(х,『))]RG т)办｝, 8 J) e a⑴.(2.13)
Подставив (2.13) в уравнение (2.11) и выполнив довольно громоздкие преобразования, получим следующее интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно искомой функции у (г):
7(0 [4aQbQ + 2竽匕(x)dx + 2一？ Y2(x)dx +
«о-«2 (0
+ 2 7°[^ (У)-厅(У)] dy\ + /т(т)｛ 4a0bQR(tf т)~ %о
-2У1(а1(т))а；(т)[1 +/《《,幻词-2У2(-а2(т))^(т)[1 + 加& 冒)询- 77
-2 [Г；1 (Ь(т))-朽19(т))]Ь'(т) 口 + j&a，RdW] +
7
+ 2&G т)九片 & ⑹”附 + % (-〃2(，)&6) + о
+ (У?例打)-厅(№))"《)]呢｝ dT =依)/№),(2.14)
где штрихом обозначается производная функции по единственному аргументу, а функции У1(х) и Y2(x) определяют геометрическое место точек, в которых пересекаются движущиеся прямолинейные границы области С(Г), соответствующие одному и тому же моменту времени (рис. 4.6) • Скажем, границы области П(Г) в первом квадранте определяются прямыми х = ai(t) и у = b(t)\ функциональная зависимость у =匕“)получается исключением времени из указанных уравнений прямых. Таким образом:
匕(х) = b@i (х)),% (х) = b 風(-“))•(2.15)
Уравнение (2.14) может эффективно решаться посредством дискретизации по времени и замены тех интегральных членов, которые не допускают замкнутых аналитических квадратур, по формулам прямоугольников или трапеций.
Частные случаи. Положим в уравнении (2.14) К (% т)三 0 и 左 «)= =%о = const, что соответствует упругому винклеровскому слою постоянной сдвиговой жесткости. Кроме того, будем считать, что накладка наращивается только вдоль направления действия нагрузки, причем в одну сторону: 〃i(f) = “о = const, b(t) = bo = const (рис. 4.7). В этом случае уравнение (2.14) предельно упрощается и принимает вид
T(0[4aо^о+ 2 了 Y2(x)dx] 一 力⑺[2匕(一出⑺河⑺m7 =0e)候0，
-/⑴。(2.16)
где в соответствии с (2.15) имеем У2(х) = bQ.C учетом последнего обстоя-
Рис. 4.6. Схематическое изображение в плане растущей накладки
Накладка считается жесткой в своей плоскости. Сдвиговая нагрузка Q(t) действует вдоль оси х в ее положительном направлении. Моменты присоединения к накладке волокон, условно показанных тонкими штриховыми прямыми, обозначаются т[(х), Tfl(x), TfnOO н「ivU) в подобластях I-IV области наращивания П*(0 соответственно. Выполняются очевидные тождества: 7f(% (打)三 V, "[(—@2(与))三 久 TIII(^(^))三与， Tp(-b(V)) = V. Пунктирные кривые состоят из точек, в которых пересекаются приращиваемые в один и тот же момент времени волокна из подобластей I—IV
Рис. 4.7. Накладка, наращиваемая в одну сторону (наподобие раскатываемой ковровой дорожки)
Смещение исходной накладки (заштрихована) зависит от соотношения порядков роста функции Q«) и а2 ⑺
тельства уравнение (2.16) перепишем в виде
7(0[«o +a2(01 - »Ь(7)或⑺d*00)/(30左0).(2.17)
о
Продифференцируем это уравнение по 九
7‘0)[% +"2(切=0'⑴/(2 瓦后 0),
а затем снова проинтегрируем, сводя тем самым нахождение функции 7(f) к квадратуре:
1 Г Qf(T)dT
Т(О = То +/ ~7—•(2.18)
2bQkQ о 〃о+〃2(Т)
Через 70 здесь обозначено начальное значение сдвигового смещения накладки в момент ^ = 0: уо = 2о/(4@оЬо%о), 0о =6(0).
Пусть теперь сдвиговое усилие, действующее на накладку, и ее длина возрастают по линейным закомм:
。«) = Оо + В(Q = const > 0),〃2(f) = “о + а» (а = const > О).
Тогда из (2.18) имеем
Т(0= —— [ — + -In (1 + —.
2b0к0L2的 a 、2%丿」
Видно, что в этом случае сдвиговое смещение ядра накладки неограниченно возрастает со временем.
Оставляя теперь прежнюю линейную зависимость для сдвигового усилия и принимая экспоненциальный закон удлинения накладки: а2(0 = =%е例(0 = const > 0), из (2.18) будем иметь
、1/0。 J 2e卽
y(f) = (+ ——In).
2“0%0左()、 20] + e。r
В этом случае более высокий порядок роста длины накладки по сравнению с возрастанием сдвигового усилия приводит к выходу смещения накладки на конечное предельное значение.
ЛИТЕРАТУРА
Абрамян Б.Л. Контактные (смешанные) задачи теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. № 4. С. 181-197.
Авилкин В,И., Александров 8М, Коваленко ЕВ Об использовании уточненных уравнений тонких покрытий в теории осесимметричных контактных задач для составных оснований 〃 ПММ. 1985. Т. 49, вып. 6. С. 1010-1018.
Александров SM Контактные задачи для упругого клина // Инж.ж. МТТ. 1967. № 2. С. 120-131.
Александров ВМ,, Арутюнян Н.Х., Манжиров АЗ. Контактные задачи теории ползучести неоднородно стат реющих тел 〃 Аналитические и численные методы решения краевых задач пластичности и вязкоупругости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. С. 3-13.
Александров ВМ., Галин 〃.4, Пириев Н.П. Плоская контактная задача при наличии износа для упругого слоя большой толщины // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 4. С. 60-67.
Александров 5М, Коваленко ЕВ Об одном классе интегральных уравнений смешанных задач механики сплошных сред // До к л. АН СССР. 1980JT. 252, № 2. С. 324-327.
Александров ВМ, Коваленко Е.В. Математические методы в контактных задачах с износом // Нелинейные модели и задачи механики деформируем ого твердого тела. М.: Наука, 77-89.
Александров ZM, Коваленко Е.В., Манжиров АВ Некоторые смешанные задачи теории ползучести неоднородно стареющих сред // Изв. АН АрмССР. Механика. 1984. Т. 37, № 2. С. 12-25.
Александров 5М, Манжиров АВ О двумерных интегральных урав
нениях в прикладной механике деформируемых твердых тел // ПМТФ. 1987. № 5. С 146-152.
Александров 5M, Мхитарян СМ. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983.488 с.
Арсенин В凡 Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984. 384 с._
Арутюнян Н、Х. Некоторые вопросы теории ползучести. М.; JL: Гостех- издат, 1952. 323 с.
Арутюнян Я.Х О теории ползучести для неоднородно наследственностаг реющих сред // Докл. АН СССР. 1976. Т. 229, № 3. С. 569-571.
Арутюнян Н.Х. Краевая задана теории ползучести для наращиваемого тела 〃 ПММ. 1977. Т. 41, вып. 5. С. 783-789.
Арутюнян Н.Х. Фундаментальные решения задач для растущето тела в форме четвертьплоскости // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 2. С. 85-90.
Арутюнян HJT” Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М.: Физмат- гиз, 1963. 686 с.
Арутюнян Н、Х., Дроздов 42., Наумов ВЗ Механика растущих вязкоупругопластических тел. М.: Наука, 1987. 472 с.
Арутюнян Н、Х.» Зевин 44 Расчет элементов строительных конструкций с учетом ползучести. М.: Строй- издат, 1988. 257 с.
Арутюнян НХ.» Колмановский В,Б, Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука, 1983.336 с.
Арутюнян Н.Х., Манжиров 45. Контактные задачи механики растущих тел II ПММ. 1989. Т. 53, вып. 1. С. 145-158.
Арутюнян 而.X.,Манжиров AJB.
Контактные задачи теории ползучести. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1991.
Арутюнян Н.Х., Метлов ВВ Нели-
нейные задачи теории ползучести наращиваемых тел, подверженных старению // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. №4. С. 142-152.
Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э. О контактном взаимодействии наращиваемой системы вязкоупругих накладок с однородной по л уплос костью 〃 Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 2. С. 144-154.
Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю,Н. Динамическое наращивание деформируемых тел. М., 1989. 44 с. (Препр./Ин-т проблем механики АН СССР; №374).
Арутюнян Н.Х., Наумов ВЗ, Радаев Ю.Н. Волны в растущих упругих телах. М., 1989. 44 с. (Препр. Ин-т проблем механики АН СССР; №405).
Баблоян А.А., Тоноян В.С. Некоторые задачи кручения валов переменного сечения со смешанными граничными условиями // Изв. АН АрмССР. Сер. физ .-мат. наук 1961. Т. 14, №6. С. 49-63.
Бондарева В.Ф. Одна задача об упругом равновесии весомой толстостенной полусферы // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 1. С. 87-94.
Бородач ев НМ., Бородачева Ф.Н. Контактная задача о кручении полу- бесконечного упругого цилиндра, боковая поверхность которого свободна от напряжений 〃 Изв. АН АрмССР. Механика. 1966. Т. 19, № 5. С. 13-21.
Ватсон ГЛ, Теория бесселевых функций, М.: Изд-во иностр, лит., 1949. Ч. 1. 798 с.
Векуа И,Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978. 296 с.
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512с.
Ворович И.И,, Александров В.М., Бабешко В,А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455 с.
Галин ЛА Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980. 304 с.
Гельфанд И.Н., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958. 439 с.
Град штейн И.С., Рыжик 〃М Таблицу интегралов, сумм рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.
Дроздов A JJ. Задача о растущем
сферическом куполе // Докл. АН УССР. Сер. А. 1988. № 6. С. 30-32.
Ильюшин А.А., Победря Б.Е, Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.
Канторович 〃.А, Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.
Канторович Л.В., Крылов В.И., Приближенные методы высшего анализа. М.; Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.
Колмогоров А.Н., Фомин CJB. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.
Кравчук 4С, Майборода ВЛ, Ур- жумцев Ю,С. Механика полимерных и ком поз иционных материалов. М.: Наука, 1985. 304 с.
Крылов В,И., Бобков В.В., Мона- стырный П,И. Интерполирование и интегрирование. Минск: Наука и техника, 1983. 288 с.
Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
Манжиров А.В.Осесимметричные
контактные задачи для неоднородно стареющих вязкоупругих слоистых оснований 〃 ПММ. 1983. Т. 47, вып. 4. С. 684-693.
Манжиров А.В. Плоские и осесим* метричные задачи о действии нагрузок на тонкий неоднородный вязкоупругий слой 〃 ПМТФ. 1983. № 5. С. 153-158.
Манжиров А.В. Об одном методе решения двумерных интегральных уравнений осесимметричных контактных задач для тел со сложной реологией // ПММ. 1985. Т. 49, вып. 6. С. 1019-1025.
Манжиров А.В. О некоторых постановках и решениях контактных задач теории ползучести для произвольных систем штампов // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 3. С. 139151.
Манжиров А.В, Контактные задачи о взаимодействии вязкоупругих оснований, подверженных старению, с системами неодновременно прикладываемых штампов // ПММ. 1987. Т. 51, вып. 4. С. 670-685.
Манжиров АВ Проекционноспектральный метод решения операторных уравнений, возникающих в механике сплошных сред // Тр. XIII науч, конф. мол. учен. Ин-та механики АН УССР. Киев, 24-27 мая 1988 г. Ч. 2. С. 423-427. / Ин-т механики
АН УССР. Киев, 1988. Деп. в ВИНИТИ 27.12.88, №9072-В88.
Манжиров 4/. О кручении растущего цилиндра жестким штампом // ПММ. 1990. Т. 5 4, вып. 5. С. 84 2- 850.
МанжировА.В. Осесимметричная
контактная задача для вязкоупругого слоистого основания, наращиваемого системой кольцевых в пла- штампов // Тр. XV науч. конф. мол. учен. Ин-та механики АН УССР. Киев, 29 мая - 1 июня 1990 г. Ч. 2. С. 266-272 / Ин-т механики АН УССР. Киев. 1990. Деп. в ВИНИТИ 10.07.90, № 3801-В90.
Манжиров А.В., Черныш 8.4 О взаимодействии жесткой усиливающей втулки с неоднородной стареющей трубой высокого давления 〃 Из в. АН СССР. МТТ. 1988. № 6. С. 112- 118.
Манжиров 45., Черныш 84 Контакта ая задача для слоистого неоднородного стареющего цилиндра, подкрепленного жестким кольцом // ПМТФ. 1990. - № 6. - С. 101-109.
Метлов В.В., Турусов Р.4 О формировании напряженного состояния вязкоупругих тел, растущих в условиях фронтального отверждения // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 6. С. 145-160.
Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. 232 с.
Михлин С.「Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.
Наумов В,Э. Вдавливание растущего штампа в стержневое вязкоупругое основание // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. № 3. С. 84- 94.
Прудников АЛ, Брычков ЮА., Марич ев О,И. Интегралы и ряды: Специальные функции. М.: Наука, 1983. 752 с.
Работное ЮЛ. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.
Работное ЮЛ. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977.384 с.
Развитие теории контактных задач в СССР / Под ред. Л. А. Галина. М.: Наука, 1976.493 с.
Рвачев BJJ., Проценко В.С, Контактные задачи теории упругости для не классическихобластей. Киев:
Наук, думка, 1977. 235 с.
Рисе Ф., Секефальви-Надъ 6. Лекции 170
по фун кциональн ом у анализу. М.: Мир, 1979. 587 с.
Толдыкин А.Т. Векторные функции и уравнения (с приложениями к теории управления). Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.351 с.
Тоноян В.С. Об одной плоской контактной задаче для упругой четверть- плоскости // До к л. АН АрмССР. 1963. Т. 37, №3. С 121-130.
Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.; Л.: Наука, 1967. 402 с.
Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. Л.: Наука, 1977. 220 с.
Харлаб BJ7. Линейная теория ползучести наращиваемого тела 〃 Механо ка стержневых систол и сплошных сред: Сб. науч. тр. Л., 1966. Вып. 49. С. 93-119.
Черныш В4 О действии нормальных и касательных нагрузок на одно- и многослойные полые круговые цилиндры / Ин-т проблем механики АН СССР. М., 1988. 40 с. Деп. в ВИНИТИ 31.08.88, № 6784-В88.
Шапиро Г.С. О сжатии бесконечного полого и кругового цилиндра давлением, приложенным на участке боковой поверхности // ПММ. 1943. Т. 7, вып. 5. С. 379-383.
Штаерман 〃.凡 Контактная задача теории упругости. М.; Л.: Гостех- издат, 1949. 270 с.
Anestiev L.A. An analysis of heat and mass transfer and ribbon formation by rapid quenching from the melt // Mater. Sci. and Eng. 1989. Vol. AllO. P. 131-138.
Bozant Z.P. Mathematical models for creep and shrinkage of concrete // Creep and shrinkage in concrete structures / Ed. by Z.P. Bazant and F.H. Wit* tmann. London: John Wiley and Sons Ltd, 1982. P. 163-256.
Bazant Z.P., Panula L. Practical prediction of time-dependent deformations of concrete. Pt. I: Shrinkage; Pt. II: Basic creep // Mater, et constr. 1978. Vol. 11. N 65. P. 307-328
Brown C.B. Forces on rigid culverts under high fills // J. Struct. Div., Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. 1967. Vol. 93, N 5.P. 195-215.
Brown C.B., EvansR.J., LaChapelleE.R. Slab advancing and state of stress in snow 〃 J. Geophys. Res. 1972. Vol. 77, N 24. P. 4570-4580.
Brown CB, Goodman L.E. Gravitational stresses in accreted bodies // Proc. Roy. Soc. London, A. 1963. Vol. 276. N 1367. P. 571-576.
Christiano 尸.尸.，Chantranuluck S. Retaining wall under action of accreted backfill // J. Geotechn. Eng. Div., Proc. Amer. Soc. Civil Engres. 1974. Vol. 100, N 4. P. 471-476.
Cooke J.C. The solution of triple and quadruple integral equations and Fourier-Bessel series 〃 Quart. J. Meeh, and Appl. Math. 1972. Vol. 25, pt. 2. P. 247-263.
Fabrikant КЛ Inclined flat punch of arbitrary shape on an elastic halfspace // Trans. ASME, J. Appl. Meeh. 1986. Vol. 53, N 4. P. 798-806.
Gladwell G.M.L. Contact problems in the classical theory of elasticity.- Alphen aan den Rijn: Sijthoff and Noordhoff, 1980. XV+716 p.
Goodman L.E., Brown C.B. Dead load stresses and the instability of slopes // J. Soil Meeh, and Foundat. Div., Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. 1963. Vol. 89, N3. P. 103-134.
Grant N.J. Near net shape fonning of rapidly solidified metals and alloys // Casting of near net shape products, Proc. Int. Symp. / Ed. by Y. Sahai, I.E. Battles, R.S. Carbonara and C.E. Mobley. Warrendale: Met. Soc., 1988. P. 203-221.
Hearn E.W., Werner D.J., Doney D.A. Film-induced stress model // J. Electro chem. Soc. 1986. Vol. 133, N 8. P. 1749-1751.
Johnson K.L. Contact mechanics.- Cambridge: Cambridge University Press, 1985.XI+452p.
Kerr A.D. Elastic and viscoelastic foundation models // Trans. ASME,
J. Appl. Meeh. 1964. Vol. 31, N 3. P. 491-498.
Mathur 尸.，Apelian D.t Lawley A. Analysis of the spray deposition process // Acta metaU. 1989. Vol. 37, N 2. P. 429-443.
Smolen Г Static analysis of structures on deformable foundation formulated in rheological bearing 〃 Stud, geotechn. et. mech. 1987. Vol. 9, N 1-2. P. 35- 58.
Sneddon LN., Srivastav RR Dual series relations. I. Dual relations involving Fourier-Bessel series // Proc. Roy. Soc. Edin., A. 1962-1963. Vol. 66, pt. 3. P. 150-160.
Sneddon ZX, Srivastav RE, Mat- hur S.C. The Reissner-Sagoci problem for a long cylinder of finite radius // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1966. Vol. 19, pt. 2. P. 123-129.
Sneddon I.N., Tait R.J. The effect of a penny-shaped crack on the distribution of stress in a long circular cylinder // Int. J. Eng. Sci. 1963. Vol. 1, N3.P. 391-409.
Srivastav R.P. Dual series relations. II. Dual relations involving Dini series // Proc. Roy. Soc. Edin., A. 1962-1963. Vol.66,pt.3.P. 161-172.
Srivastav R.P. Dual series relations. III. Dual relations involving trigonometric series 〃 Proc. Roy. Soc. Edin., A. 1962-1963. Vol. 66, pt. 3. P. 173- 1984.
Strut к L.C.E. Physical aging in amorphous polymers and other materials Amsterdam: Elsevier, 1978. 229 p.
Tsai C.T„ Dillon O.W. Thermal viscoplastic buckling during the growth of silicon ribbon 〃 Int. J. Solids and Strict. 1987. Vol. 23, N 3. P. 3 87- 402.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 4
Глава 1. Математическая модель растущего тела7
Основные понятия 8
Эволюционная граничная задача для растущего тела 8
Об определяющих соотношениях неоднородно стареющего растущего 18
вязкоупругого тела• . . . 22
Глава 2・ Контактные задачи механики непрерывно растущих тел .....•• 22
Смешанная задача для кусочно-непрерьшно растущего тела
Постановка смешанной задачи
Напряженно-деформированное состояние тела до начала наращивания , . 。 q • « q 23
Смешанная начально-краевая задача для непрерывно растущего тела 24
О деформировании тела после остановки роста ......«.....»« 28
Взаимодействие вязкоупругого стареющего клина с гладким жестким штампом при угловом наращивании 29
Постановка задачи ,・•・・,・《.・匕・,・、,・,.・ 29
Вывод интегральных уравнений,、、*..、 , 29
Решения интегральных уравнений 33
Численный пример 34
Контактная задача для клина при произвольном законе наращивания •・，37
Постановка задачи 37
Разрешающие интехральные уравнения и дополнительные условия . . 38
\Решения контактной задачи на различных этапах процесса кусочно- йепрерывногонаращивания 39
Численный пример40
О ^юрмировании полей напряжений в растущей упругой четверть- плоскости 42
О кручении растущего цилиндра жестким штампом ・•.・,,、・ + *... 、 47
Постановка задачи ,•.,・ 47
Вывод парных сумматорных уравнений контактной задачи ・・.,,..47
Решение парных сумматорных уравнений контактной задачи ・・,.,.52
Численный пример 54
Контактная задача о растущем куполе 57
Постановка задачи наращивания57
Дискретный процесс наращивания 57
2・5・3・ Непрерывное наращивание купола,61
Численный анализ результатов ・・,・・,・・、・，・.,•，、・,.・,. + + 64
О кручении наращиваемого усеченного конуса .66
26.L Постановка задачи ..…。… ・…….…………… 66
Решение задачи67
Глава 3. Контактные задачи дискретного наращивания деформируемых тел системами жестких элементов 70
О постановках плоских контактных задач теории ползучести неоднородных тел для систем неодновременно присоединяемых штампов 71
Вывод систем двумерных интегральных уравнений контактных задач 71
Операторное уравнение плоских контактных задач 78
Варианты математической постановки 83
Об одной задаче для операторного уравнения теории контактных взаимодействий и проекционно-спектральном методе ее решения 84
Некоторые сведения из функционального анализа 84
Постановка задачи для операторного уравнения в абстрактном гильбертовом пространстве 85
Решение задачи, его существование и единственность °86
3・3・ Решения плоских контактных задач наращивания неоднородных стареющих вязкоупругих оснований системами жестких штампов 88
О решении задачи в случае системы штампов, представляющей из себя группу 88
Принцип соответствия 92
Решения контактных задач для двух и более групп штампов 93
Модельный пример • • * ：96
Численный пример 97
3・4・ Осесимметричные контактные задачи для вязкоупругих слоистых оснований, наращиваемых системами кольцевых в плане штампов * . 108
Постановки и системы двумерных интегральных уравнений контактных задач 108
Операторное уравнение осесимметричных контактных задач 115
Варианты математической постановки. Принцип соответствия • • « . . Ц8
Решения при заданных кинематических или квазистатических условиях на группах системы штампов 119
Модельный пример 123
3.5. О по еледовательном усилении неоднородных цилиндрических тел системами жестких элементов . . • • • “ ) 124
Взаимодействие неоднородного стареющего полого цилиндра с наращиваемой системой втулок124
Численные примеры 132
Контактные задачи для слоистого вязкоупругого стареющего цилиндра, подкрепляемого системой колец137
Численные примеры .. 142
Глава 4. Некоторые модельные зад эти о взаимодействии жестких растущих тел с деформируемыми основаниями . . * •. 147
Вдавливание растущего штампа в упругое основание с тонким вязко- упругим покрытием . . 147
Постановка задачи 147
Основное интегральное уравнение задачи149
Вдавливание штампа произвольной в плане формы в вязкоупругий слой152
Случай упругого слоя < • . 155
Вдавливание штампа круглой в плане формы156
Плоский вариант задачи 158
Заключительные замечания160
Взаимодействие растущей накладки с тонким вязкоупругим слоем . . » • 161
Постановка задачи и основные уравнения161
Случай вязкоупругого слоя на жестком основании ............ 164
Частные случаи165
CONTENTS
Preface. 3
Introduction 4
Chapter 1. Mathematical model of a growing solid 7
Basic concepts 8
Evolutionary boundary value problem 8
Constitutive equations for a non-homogeneously aging growing viscoelastic soHd 18
Chapter 2. Contact problems in mechanics of continuously growing bodies. . . .22
Mixed boundary value problem for a piecewise continuously growing body. . . .22
Formulation of the mixed problem 22
Stress state of the solid before beginning of up-building process23
Mixed initial-boundary value problem for a continuously growing solid . .24
On the straining of a solid after growth cessation 28
Interaction between a viscoelastic aging wedge and a smooth rigid punch in the case of angular up-building 29
Formulation of the problem 29
Derivation of integral equations 29
Solutions to integral equations 33
Numerical example 34
Contact problem for a wedge in the case of aibitraiy up-building law 37
Formulation of the problem 37
Basic integral equations and auxiliary conditions 38
Solutions to the contact problem at different stages of piecewise conti- :nuous up-building process 39
Numerical example 40
On the formation of stress fields in a growing elastic quater-plane42
Torsion of a growing cylinder by a rigid punch 47
Formulation of the problem 47
Derivation of dual series relations for the contact problem 47
Solving dual series relations for the contact problem 52
Numerical example 54
Contact problem for a growing dome 57
Foimulation of the problem 57
Discrete up-building process 57
Continuous up-building of the dome 61
Numerical results 64
Torsion of a growing truncated cone 66
Formulation of the problem 66
Solution to the problem 67
Chapter 3. Contact problems for solids discretely up-built by systems of rigid elements 7。
Formulations of plane contact problems in the theory of creep for non-homo- geneous bodies interacting with systems of punches applied non-simultaneously .71
Derivation of two-dimensional integral equations systems for contact problems 7]
Operator equation for plane contact problems 78
Versions of mathematical formulation . . 83
The problem for contact mechanics operator equation and the projective- spectral method for its solution 84
Some knowledge from functional analysis 84
Formulation of the problem for the operator equation in an abstract Hilbert space 85
Solution to the problem, its existence and uniqueness 86
Solving plane contact problems for non-homogeneous aging viscoelastic foundations up-built by systems of rigid punches 88
Solutions to the problem in the case when the system of punches represents a group 89
The correspondence principle 92
Solving contact problemsfor two and more groups of punches 93
Model example 96
Numerical example 97
Axisymmetrical contact problems for viscoelastic layered foundations up-built by systems of annular punches 108
Formulations and systems of two dimensional integral equations for axisymmetrical contact problems Ю8
Operator equation for axisymmetrical contact problems 115
Versions of mathematical formulation. The conespondence principle ...118
Solutions for prescribed kinematic or quasistatic conditions on punches groups 119
Model example 123
Successive stiffening of non-homogeneous cylindrical solids by systems of rigid elements 124
Interaction between a non-homogeneous aging hollow cylinder and an upbuilt system of sleeves 124
Numerical examples132
Contact problems for a non-homogeneous aging layered cylinder up-built by a system of bushes 137
Numerical examples 142
Chapter 4. Some model problems on the interaction between rigid growing bodies and rheological foundations. 147
Indentation of a growing punch into an elastic foundation with a viscoelastic covering layer 147
Formulation of the problem 147
Basic integral equation of the problem 149
Indentation of a punch of arbitrary shape into a viscoelastic layer152
A case of elastic layer 155
Indentation of a punch of circular shape 156
Plane problem 158
Concluding remarks 160
Interaction between a growing stiffener and a thin viscoelastic layer 161
Formulation of the problem and basic equation 161
A case of viscoelastic layer on a rigid substratum 164
Special cases 165
Научное издание
Арутюнян Нагуш ХачатуровичМанжиров Александр ВладимировичНаумов Вячеслав Энгельсович
КОНТАКТНЫЕЗАДАЧИМЕХАНИКИРАСТУЩИХ ТЕЛ
Утверждено к печатиИнститутом проблем механикиАН СССР
Редактор НА БерезниковаХудожник 4r КобринХудожественный редактор В,Ю. ЯковлевТехнический редактор ЯМ БуроваКорректор Л.А. Агеева
Набор выполнен в издательствена наборно-печатающих автоматах
ИБ № 48398
Подписано к печати 29.01.91Формат 60 X 90 1/16. Бумага офсетная № 1Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетнаяУсл.печ.л. 11,0. Усл.кр.-отт. 11,4
Уч.-изд.л. 11,8. Тираж 900 экз.Тип.зак. 1035. Цена 2 р. 40 к.
Ордена Трудового Красного Знаменииздательство "Наука” 117864 ГСП-7,Москва В-485, Профсоюзная ул., д. 90
Ордена Трудового Красного Знамени 1-я типография издательства "Наука" 199034, Ленинград В-34, 9-я линия, 12
Н.Х.Арутюнян АВ.МанжировВ. Э. Наумов
КОНТАКТНЫЕЗАДАЧИМЕХАНИКИРАСТУЩИХ ТЕЛ
Е (х, Г) = Е*(х)+ / def而(х, 7)dт, Т*(х)
совпадающего с (2.8).
Полученное в результате уравнение состояния запишем в виде
Т = ^ (defi(x,r), т*(х)<т<0， х £С«).(2.49)
Таким образом, соотношения (2.42) —(2.49) образуют полную систему соотношений эквивалентной краевой задачи, в которой граничное условие на поверхности наращивания имеет обычный вид (2.42). Под граничными значениями функций при этом понимаются взятые внутри области, занятой телом, пределы соответствующих величин. Применительно к условию на S* это означает, что граничное значение Т есть правосторонняя производная по времени от Т (х, t) в момент / = т*(х), которая, вообще говоря, отли-
В случае 1, когда задан угол поворота о (0, а значит, и з(), формула (2.30) сразу дает выражение для скорости операторных напряжений q°・(f, f). Определив контактные напряжения q(rtt ) при помощи (1.21), эксцентриситет приложения силы е(才)найдем из (2.19), (2.20). В случае 2, когда известен M(t), подставим (2.30) в (2.22), отыщем з() и восстановим q(rt г) и со(0 по формулам (1.21) и (1.22).
Решение (2.14) и (2.18) найдем, полагая в (2.30) a(f) = ai. Аналогично определим q亿 г) и &f) или 丸 г) и co(t), воспользовавшись формулами (1.25), (1.26), где т0(х) = т0, вместо (1.21), (1.22) (см. также (1.27), (1.28)).
АКАДЕМИЯ НАУК СССРИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ
Н.Х.Арутюнян АВ.МанжировВ. Э. Наумов
КОНТАКТНЫЕЗАДАЧИМЕХАНИКИРАСТУЩИХ ТЕЛ
Ответственный редакторакадемик И.И. ВОРОВИЧ
МОСКВА "НАУКА"1991
УДК 539.3
Контактные задачи механики растущих тел / НЛ. Арутюнян, А.В. Манжиров, В.Э. Наумов. М.: Наука, 1991. — 176 с. — ISBN 5-О2-ОО6752-О
В монографии рассматриваются вопросы теории контактного взаимодействия растущих тел, обладающих сложными реологическими свойствами. Излагаются основы механики растущих тел применительно к задачам взаимодействия последовательно возводимых сооружений с деформируемыми основаниями, действия штампов на массивные тела изменяющейся вследствие наращивания конфигурации, контакта деформируемых тел в процессах типа напыления, осаждения, фазовых превращений, намораживания и тл. Используются определяющие соотношения, учитывающие старение и возрастную неоднородность материала. Даются постановки контактных задач для растущих неупругих тел, предлагаются методы их исследования. Приводятся результаты анализа модельных и прикладных задач. Исследуется влияние реологических свойств материалов и параметров процесса наращивания на характеристики контактного в заимодействия.
Для специалистов в области механики деформируемого твердого тела.
Ил. 56. Библиогр.: 95 назв.
Contact problems in mechanics of growing solids / N.Kh. Arutyunyan, A.V. Manzhirov, V.E. Naumov. M.: Nauka, 1991. - 176 p.
In this book some a^ects of mechanics of growing solids are discussed. The growth (the tenns 'up-building' of Accretion* are also employed) is considered to be a process of attaching some complementary mateiial volumes to the solid at various moments. The discrete and continuous processes of growth are discerned. In the latei1 case the inHnitesimal material volumes (laminae of infinitesimal thickness, for instance) are attached to the surface of growing solid during the each infinitesimal space of time.
The general boundary屮alue problem for growing solid is formilated and constitutive equations to describe the rheological behavior ; of nonhomogeneously ageing material are presented. Some classes of contact problems for both discretely and continuously growing contact systems are considered. The results of analytical treatment and numerical calculations are presented for some applied contact problems. The effects of specific parameters of the up-building process on contact behavior are displayed. Several applications of mathematical modeling of contact interactions of growing solids in technology and nature are outlined.
Рецензентыдоктор физико-математических наук И.Г. Горячевакандидат физико-математических наук Р.И. Мазинг
1603040000037 А 235-91 1 полугодие042(02)-911603040000037 А 235-91 1 полугодие042(02)-91© Издательство "Наука", 1991© Издательство "Наука", 1991
1603040000037 А 235-91 1 полугодие
042(02)-91
1603040000037 А 235-91 1 полугодие
042(02)-91
© Издательство "Наука", 1991
© Издательство "Наука", 1991
ISBN 5-02-006752-0