Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками относятся к ныне обширной области теории контактных и смешанных задач механики деформируемого твердого тела. Они включают в себя как задачи о контактном взаимодействии между тонкостенными элементами типа накладок (стрингеров) или включений различных геометрических форм с массивными деформируемыми телами, так и задачи о контакте тел, армированных тонкими покрытиями или прослойками. Указанные контактные задачи, с одной стороны, тесно примыкают к классическим контактным задачам механики деформируемого тела, а с другой стороны, непосредственно связаны с важными для инженерной практики вопросами передачи нагрузок от тон・ костенных элементов к деформируемым телам. Стрингеры и включения, как штампы и разрезы, являются концентраторами напряжений. Поэтому изучение концентрации напряжений в таких задачах и разработка методов ее снижения представляют собой теоретическую и практическую проблемы большой значимости. Контактные задачи для тел с покрытиями и прослойками имеют также важные приложения в связи с широким распространением в технике композиционных материалов, конструкций, усиленных или армированных тонкостенными элементами, в вопросах изучения«масштабного фактора», тензометрирования и других областях прикладной механики.
Очевидно, что при исследовании указанных контактных задач в существенной мере должна быть учтена тонкостенность покрытий и прослоек. Это диктуется как необходимостью разработки эффективных аналитических и численных методов изучения закономерностей изменения основных механических величин, так и необходимостью учета главного и пренебрежения второстепенным. Эта идея во всей книге была ведущей; руководствуясь ею, при помощи строгих математических методов теории упругости были выведены основные уравнения тонких покрытий
и прослоек, проведено сравнение их с уравнениями известных механических моделей тонкостенных элементов и в определенном смысле установлены границы применимости последних. На этой базе затем сформулированы разрешающие уравнения рассматриваемых контактных задач в виде сингулярных интегральных или интегро-дифференциальных уравнений, содержащих характерные геометрические и физические параметры контактирующих пар. Исследована структура решений этих уравнений. Для приближенного решения уравнений применены различные аналитические методы, позволяющие контактные напряжения, а также их локальные и интегральные характеристики представить явными формулами довольно простой структуры, удобными для численной реализации на ЭВМ и для инженерных приложений. Для многих обсуждаемых в книге задач в широком диапазоне характерных параметров проведен численный анализ основных механических величин и выяснены закономерности их изменения, составлены графики и таблицы. Значительная часть книги посвящена исследованию контактных задач теории упругости, вместе с тем в последней главе изучены некоторые контактные задачи вязкоупругости для неоднородно-стареющих и нелинейно-старею- щих тел.
В книге впервые собраны воедино результаты многих исследований по контактным задачам для тел с тонкими покрытиями и прослойками, дается последовательное изложение различных методов их изучения. При этом авторы в первую очередь опирались на работы Н. X. Арутюняна, а также на свои исследования. Результаты работ других авторов, в частности Г. П. Александровой, Е. В. Коваленко, Г. Я. Попова, затронуты лишь по мере необходимости для большей полноты освещения излагаемых в книге вопросов. Важно отметить, что методы решения контактных задач, данные в книге, имеют более широкое значение, поскольку они применимы ко многим задачам математической физики со смешанными граничными условиями. Эти методы эффективно могут быть использованы при решении смешанных задач гидроаэроупругости, термовязкоупругости, термодинамики, диффузии, электростатики и т. д.
Многие результаты, изложенные в книге, как уже было отмечено, основаны на идеях Н. X. Арутюняна и получены совместно с ним. Кроме того, при работе над книгой он неоднократно
давал ценные советы, проявлял постоянное внимание и интерес. За все это Н. X. Арутюняну авторы глубоко и искренне признательны.
Большую помощь авторам при написании гл. V——VII оказал Е. В. Коваленко, а при подготовке рукописи ——В. И. Авилкин, В. Н. Акопян, И. Ф. Александрова, К. Г. Гуляй, А. В. Манжи- ров, С. М. Марченко, А. Н. Оганесян, Ф. С. Торосян, Л. А. Ше- кян. Улучшению всего изложенного материала способствовали замечания, сделанные В. И. Моссаковским п В. Л. Рвачевым, а также А. К. Приварниковым и Н. С. Синекопом, которые взяли на себя труд прочитать рукопись киигп. Всем перечисленным товарищам авторы сердечно благодарны.
В. М. Александров,
С М. Мхитарян
ВВЕДЕНИЕ
Исследование вопросов контактного взаимодействия тонкостенных элементов в виде накладок и покрытий, включений и прослоек, пластин и оболочек различных геометрических форм с массивными деформируемыми телами представляет собой актуальную проблему как в теоретическом, так и в прикладном аспекте.
В теоретическом аспекте эти вопросы непосредственно связаны с важной проблемой контактного взаимодействия тел в широком смысле, одно из которых в данном случае является тонкостенным телом. Учет тонкостешюсти в рамках различных допущений и теорий приводит, вообще говоря, к новым постановкам задачи контакта деформируемых тел, существенно отличным от постановок классических контактных задач теории упругости. В результате возникает класс новых задач механики сплошных сред со смешанными краевыми условиями. Несмотря на своеобразие указанных задач, они по своей физической природе и структуре описывающих их уравнений родственны обычным контактным и смешанным задачам. Поэтому для их изучения могут быть использованы многие фундаментальные результаты и методы, изложенные в обзорной монографии [1], подытожившей развитие в СССР (до 1975 г.) проблемы контактного взаимодействия тел.
В прикладном аспекте упомянутые задачи, будучи связаны с вопросами передачи нагрузок, часто встречаются в различных областях строительства и машиностроения, и их развитие все время стимулируется возрастающими потребностями инженерной практики. Они возникают при проектировании авиационных и других тонкостенных конструкций, в практике сварных соединений, в строительной механике при расчете фундаментов зданий, дорожных и аэродромных покрытий, в измерительной технике, при разработке методик прочностных расчетов композитов, а также различных инженерных конструкций и их деталей, усиленных или армированных тонкостенными элементами, в вопросах предотвращения развития трещин в конструкциях и в других отраслях прикладной механики. Основные достижения этой области теории упругости в значительной степени отражены в монографиях В. 3. Власова, Н. Н. Леонтьева [2], Л. А. Галина [31, Э. И. Григолюка, В. М. Толкачева [41, Б. Г. Коренева [51,
И. Моссаковского, В. С. Гудрамовича, Е. М. Макеева [6], Л. Пелеха, М. А. Сухорольского [7], Г. Я. Попова [8], Л. Рвачева, В. С. Проценко [9], Г. Н. Савина, В. И. Тулчего )],В. М. Сеймова 1111, Т. Ш. Ширинкулова [12] и др.
Задачи о контакте тонкостенных элементов с массивными де
формируемыми телами можно разделить на два больших класса.
К первому классу относятся задачи об изгибе тонкостенных элементов типа балок и плит на деформируемом основании.
Ко второму классу относятся задачи о взаимодействии с массивными телами тонкостенных элементов, изгибная жесткость которых пренебрежимо мала. Задачи второго класса часто встречаются в инженерных приложениях и поддаются строгому математическому исследованию, а также имеют свои глубокие аналоги в родственных областях математической физики и механики сплошных сред. Кроме того, что важно подчеркнуть, эти задачи допускают широкое применение арсенала аналитических методов и алгоритмов вычислительной математики, приводящих к эффективной численной реализации конечных результатов на ЭВМ.
В настоящей книге обсуждаются задачи только второго класса и вовсе не рассматриваются задачи об изгибе, изложение результатов по которым может быть предметом отдельной мон(а графин. 、
Изучению задач о передаче нагрузки от тонкостенных элементов, лишенных изгибной жидкости, к массивным телам и воздействию штампов на массивные тела через указанные тонкостенные элементы посвящено много работ. Первые исследования в этой области теоргш уцругости восходят к работам Мелапа. Впоследствии в этом направлении существенный прогресс был достигнут в работах Рейсснера, Койтера, Буфлера, Муки, Стем- берга и советских ученых [1]. В данной книге в основном отражены результаты исследований авторов и Н. X. Арутюняна. Работы других исследователей затронуты лишь ио мере необходимости; ссылки на них даны в литературе к соответствующим главам.
Книгу можно разбить на три части: глава I, главы II—IV, главы V——VIL Ниже дадим их краткую характеристику.
В первой части — главе I ——дается классификация тонких упругих покрытий (прослоек). Эта глава является вводной для всей книги, из нее в дальнейшем берутся все необходимые уравнения. Здесь с помощью интегрального преобразования Фурье получено решение задачи о равновесии бесконечной упругой полосы, находящейся под действием произвольных нормальных и касательных усилий. Далее, найденное решение асимптотически упрощается с учетом того, что- упругая полоса является относительно тонкой (длина участка ее активного нагружения велика по сравнению с толщиной). Выводятся различного уровня точности уравнения для тонких покрытий (прослоек). Дастся асимп-
тотическое решение задачи о равновесии упругой полосы конечной длины, когда ее длинные грани нагружены произвольными нормальными н касательными усилиями. В итоге другим путем вновь получаются прикладные уравнения для тонких покрытий (прослоек) различного уровня точности. Приводятся также уравнения для двухслойных покрытий. Продемонстрирована возможность использования полученных прикладных уравнений для исследования задач 1) о сдвиге штампом покрытия, сцепленного со сдвиговым винклеровским основанием, и .2) о вдавливании штампа в пластинку, лежащую на винклеровскол! основании. Результаты решения второй задачи, полученные с помощью прикладных теорий, сравниваются с точным решением, полученным на основании уравнений теории упругости. Последнее найдено путем использования нового спектрального разложения для одного интегрального оператора и метода ортогональных много* членов. Наконец, приводится вывод уравнений для тонких упругих прямоугольных, кольцевых, цилиндрических и сферических покрытий (накладок).
Вторая часть книги (гл. II—IV) посвящена изучению задач о взаимодействии накладок и включений с упругими телами различной формы.
Во второй главе дано исследование плоских смешанных задач для упругих тел, усиленных прямоугольными накладками. Здесь рассматривается задача о передаче нагрузки от полубесконечной накладки к упругой полуплоскости и плоскости. При этом модуль упругости накладки по ее длине изменяется по произвольному закону. В случае однородной накладки при помощи одного интегрального соотношения и аппарата полиномов Чебышева —— Эрмита разрешающее интегро-дифференциальное уравнение задачи сведено к дискретному уравнению Винера ——Хопфа довольно простой структуры. Таким путем удается получить принципиально повое замкнутое решение задачи о полубесконечной паклацке. Далее излагается решение задачи о контактном взаимодействии стрингера конечной длины и переменной жесткости с упругой полуплоскостью или плоскостью, описываемой интегро-дифференциальным уравнением Прандтля при определенных граничных условиях. На основе аппарата полиномов Чебышева это уравнение сведено к вполне или квазивполне регулярной бес- копечной системе. Здесь же обсуждены многие частные случаи и произведен их численный анализ. Эта же задача исследуется в случае двух одинаковых стрингеров или периодической системы стрингеров. Дано построение решений задачи о взаимодействии стрингера копечной длины с полуплоскостью, когда концентрация напряжений на концах участка контакта отсутствует. Излагаются другие методы решения задачи о взаимодействии накладки конечной длины с полуплоскостью. Именно, используются асимптотические методы и метод специальных ортонормировап-
ных многочленов. Здесь же полученные результаты применяются к вопросам расчета погрешностей тензометрирования. Приводятся данные эксперимента, подтверждающие правильность теоретических выводов. Обсуждается периодическая задача для полосы, усиленной по граням накладками и ослабленной поперечными трещинами. Наконец, рассматривается контакт накладки конечной длины с упругим клином произвольного раствора.
В третьей главе исследуются плоские смешанные задачи для упругих тел, усиленных кольцеобразными накладками и тонкостенными включениями. Здесь дано решение задачи о передаче нагрузки от кольцеобразной накладки к упругой бесконечной пластине. Исследуется задача о напряженном состоянии упругой плоскости с круглым отверстием, усиленным по обводу кольцеобразными накладками. Показано, что такое усиление благоприятно влияет на концентрацию напряжений в окружном направлении. Изучено напряженное состояние тяжелого круглого диска, усиленного кольцеобразными накладками и подвешенного нерастяжимыми лентами к одной неподвижной точке. Далее, решаются задачи о контактном взаимодействии прямоугольных тонкостенных включений конечной и полубесконечной длин, а также двух одинаковых или периодически расположенных включений с упругой плоскостью. Предлагается способ определения осевых усилий на концах включений, основанный на использовании выражений коэффициентов интенсивности осевых напряжений в плоскости, содержащей разрезы соответствующих форм.
В четвертой главе рассматриваются пространственные смешанные задачи для упругих тел, усиленных накладками. Здесь дается постановка и решение задачи о контакте узкой прямоугольной накладки конечной длины с упругим полупространством. Обсуждается контактная задача о напряженном состоянии упругого полупространства, усиленного узкой прямоугольной накладкой бесконечнбй или полубесконечной длины. Рассматривается осесимметричная контактная задача о передаче нагрузки от круглой накладки к упругому полупространству. Решается задача о взаимодействии цилиндрической накладки конечной длины с упругим бесконечным сплошным цилиндром или с бесконечным пространством при наличии в нем цилиндрической полости. Наконец, рассматривается равновесие тяжелого упругого шара, усиленного симметрично относительно экватора сферической поясо- вой накладкой и подвешенного при помощи нерастяжимых лент к одной неподвижной точке. Обсуждаются различные постановки этой задачи.
Третья часть книги (гл. V—VII) посвящена изучению задач о передаче усилий от штампов к массивным деформируемым телам через тонкостенные элементы, лишенные изгибпой жесткости. Здесь также рассмотрены контактные задачи для полосы, подстилаемой такими тонкостенными элементами.
В пятой главе исследуются плоские контактные задачи для упругих тел с тонкими покрытиями (прослойками). Здесь дан общий асимптотический анализ задачи о передаче давления от штампа через покрытие на упругую полосу. Показано, что в зависимости от своей относительной жесткости и толщины покрытие может работать как пластина, описываемая уравнениями различного уровня точности, как накладка или как винкле- ровский слой. Рассмотрена контактная задача для упругой полосы или полуплоскости с тонким покрытием винклеровского типа. Задача рассмотрена как в статической, так и в динамической постановке. В последнем случае предполагается, что динамические эффекты локализуются лишь в покрытии. Изучена контактная задача для упругой полуплоскости с тонким нелинейным покрытием винклеровского типа. Для решения использованы асимптотические методы. Исследована контактная задача для упругой полосы, усиленной по основанию прослойкой типа накладки. Рассмотрена задача о движении штампа с постоянной скоростью по границе упругой полуплоскости, усиленной накладкой. Наконец, дано решение задачи о вдавливании круглого упругого диска в границу кругового отверстия в упругой плоскости, поверхность которого усилена тонким покрытием.
В шестой главе книги исследуются осесимметричные контактные задачи для упругих тел с тонкими покрытиями (прослойками). Здесь рассмотрена задача о передаче давления от штампа на упругий слой и полупространство через линейное или нелинейное покрытие винклеровского типа. Нелинейный случай изучен с помощью асимптотических методов. Далее, дано решение задачи о вдавливании штампа в упругий слой и полупространство, поверхность которых усилена покрытием типа накладки. Результаты используются для объяснения явления «масштабного фактора». Приводятся данные эксперимента, подтверждающего правильность теоретических соображений. Рассмотрена также контактная задача для слоя, армированного по основанит(1 прослойкой типа накладки или тонким покрытием винклеровско- го типа. Наконец, дано решение задачи о вдавливании упругого шара в границу сферической полости в упругом пространстве, поверхность которой усилена тонким покрытием.
Последняя, седьмая, глава посвящена исследованию контактных задач вязкоупругоети для полосы с тонким покрытием вип- клеровского типа. В ней даны основные уравнения теории ползучести неоднородно-стареющих и нелинейно-стареющих тел; получено асимптотическое решение задачи о равновесии на жест- ком основании топкого стареющего слоя. Далее, на основе этих результатов поставлена и решена контактная задача для составного неоднородно-стареющего по глубине основания (втшклр- ровское покрытие на полосе или полуплоскости). Наконец, рас- смотрена задача о вдавливании штампа в упругий слои, арми'?о-
ванный нелинейно-стареющим покрытием. С помощью асимптотических методов построены решения указанных контактных задач для больших и малых промежутков времени.
Для всех основных механических характеристик рассматриваемых в книге задач, каковыми являются контактные напряжения, коэффициенты их интенсивности, усилия в тонкостенных элементах, авторы стремились получить явные формулы достаточно простой структуры. В значительной степени это удалось сделать, поэтому многие из полученных результатов могут быть рекомендованы для инженерных расчетов. В ряде случаев численным анализом выявлены закономерности изменения указанных величин в широком диапазоне геометрических и физических параметров; эти данные сведены в таблицы и графики. Следует также отметить, что в ряде случаев для рассматриваемых в книге смешанных (контактных) задач предложены новые методы решения, которые представляют интерес и для исследования других задач математической физики при смешанных граничных условиях. Большинство результатов, приведенных в книге, удалось строго математически обосновать.
ГЛАВА I
КЛАССИФИКАЦИЯ ТОНКИХ УПРУГИХ ПОКРЫТИЙ(ПРОСЛОЕК)
§ 1. Решение некоторых задач о равновесии упругой полосыс помощью интегрального преобразования Фурье
Рассмотрим первую краевую задачу о равновесии упругого слоя толщины 2九，находящегося в условиях плоской деформации. Пусть нормальное сечение слоя — полоса — занимает область —8V/V8,—无 WyW九(рпс. 1.1). Как известно [11? при решении подобных задач с большим эффектом может быть использовано интегральное преобразование Фурье по переменной, пробегающей бесконечный интервал (в данном случае %). Кратко изложим схему применения указанного интегрального преобразования.
Напомним основные уравнения теории плоской деформации упругих тел.
Уравнения движения в перемещениях (уравнения Ламе) имеют вид
GAu +GAu +G АНG АН1 — 2v О/1 — 2v О/GAr +GAr +(1.1)(1.1)
GAu +
GAu +
G АН
G АН
1 — 2v О/
1 — 2v О/
GAr +
GAr +
(1.1)
(1.1)
Запишем еще выражения для деформаций и напряжении
ди , Оиди dv
(1.2)(1.2)®一。公 国 一 ду^ Y翼"一 dy十d炉
(1.2)
(1.2)
^4% [(1 - V)% + VEJ, % =占^ [(1 - V)ЕУ + 3
^Х(/ = Gy^g.
Здесь и и v ——перемещения соответственно по осям 芯 и у, 力——время, G и V ——модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала, р ——его плотность. Для случая плоского напряженного состояния необходимо во всех формулах заменить v на v(l 十屮尸.
Для рассматриваемого нами случая равновесия упругой полосы ее напряженно-деформируемое состояние не зависит от времени и инерционные члены, стоящие в правых частях уравнений (1.1), обращаются в нуль. С учетом этого факта, подставив в (1.1) перемещения ь и и в форме интегралов Фурье
(1.3)(1.3)V =V =2~ J 卩(® g) е "“da—Q宓+ &2~ J 卩(® g) е "“da—Q宓+ &〃=击 j и (а, у) e~mxda + с3у + q,
(1.3)
(1.3)
V =
V =
2~ J 卩(® g) е "“da—Q宓+ &
2~ J 卩(® g) е "“da—Q宓+ &
и выполнив все необходимые дифференциальные операции под знаками интегралов, а затем приравняв нулю в полученных соотношениях подынтегральные выражения, придем к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно трансформант Фурье tZ и V
(1 - 2v) U； - 2 (1 —電)a2U 一 力а% = О,
2 (1 - V)7у - (1 - 2v) а27 - iaUy = 0."⑷
Решение системы уравнений (1.4) легко может быть получено и имеет вид
U=U+ + ay。, V = i(V+ + ayVI,
U+ = & ch ag + b2 alz sh ay, U~ = bS^yY1 sh ay + a2 ch ay, *(1.5)
V+ = (A — x〃2)ch ay + a2 ay sh ag,
V~ = (〃£ — xb2)(ay)-‘ sh ay + 仇 ch ag.
Для частного случая упругой полуплоскости (—8V 优 V8, —8VyW0) решение системы уравнений (1.4), с учетом затухания напряжений и деформаций при у — — 8, можно представить в форме
U = (а1 + а2\а\У)萨匕
V = i sgn a (a】一ха? + 〃2 1al У)^у-
Подставляя (1.5), а затем (1.6) в (1.3), получим общее решение системы уравнений (1.1) (без инерционных членов) соответственно для полосы и полуплоскости
(1.7)(1.7)〃=击 f(U+ + ayU~)宀da + с3у + q,u = 号 J (卩+ + 冲y_)「a%a—e3x 4- 3,
(1.7)
(1.7)
"=£ J («1 + «21« I У) е，а| У~!аж da + с3у + с^
Г(1-8)
и =訂 J sgn а (“1 — ха2 + а2 1al у) eMv~mxda — %2+&・
Здесь и выше х = 3 — 4v;内,⑮,乩 и 62 — функции от а, подлежащие определению из граничных условий задачи при у = Л и у =—无(о том, как это делается, см. ниже).
Зная перемещения и и v, определим теперь по формулам (1.2) деформации и напряжения соответственно в полосе и полуплоскости
% = —击](〃+ + ayU~) а宀&“、
% = ~^п J(Е* + ауЕ~) ае-з&а,
Yxy = ； J(Г+ + аг/Г-) ae~mxda,
Е+ = % — 2 (1 — 2v)瓦1 ch ад + 仇冲 sh ад,
Е~ = [^ — 2(1 — 2v)吗(аУ)т sh ад + а2 ch ад,
Г+ = [& — (1 — 2v) а2] cli ад + а2ag sh ад, [一二 & — (1 一 2v) %](冲尸 sh ay + ^ ch ay.
% = — ^ [(£』+ 冲三 J ае-з&а, '—ОО
% =胃 J(2+ + ay^-) ae~iaxda,
2j = & + 2Vb2)ch 冲 + b2ag sh ay,
2x =(仇 + 2v&) (a^)T sh ay + & ch ay,
£^ = [〃i — 2 (1 — v) %] ch ay + b2ag sh ay,
27 =[仇—2 (1 — v) a2] (az/)'1 sh 冲 + a? ch ag,
5 =告 J (г+ + а"-) ае-『а;(1.9)
2 в. М. Александров, С. М. Мхитарян
丫" 3 f ® - О丫" 3 f ® - Оde =Oy =de =Oy =融=一訐 J (〃1 + X I у) aeE"T""da,
丫" 3 f ® - О
丫" 3 f ® - О
de =
Oy =
de =
Oy =
2v) ^2 + й2 I a I ZyJ I 1 办da,
+ 2Vq2 + % 丨 a 丨 У)a/竄" j%a,
2 (1 - v)仰 + a2 1al g]备"他-‘"%a,
5 = ^ J [ax — (1 — 2v) a2 + a2 1a [y] | a | e[a[,J~w-xda. (1.10)
С помощью формул (1,9) удовлетворим далее следующим условиям на гранях полосы:
(1.11)(1.11)оу（^,无）=0式力），t印（n, h） = q（/）,
(1.11)
(1.11)
S（名一无）=02（%），％У（%,一无）=0（/）,
а также условию отсутствия напряжений на бесконечности, т. е. при \х\8.
Будем предполагать, что функции о《/) и 工式力)(力=1, 2) удовлетворяют одному из следующих условий:
Oi(^) — т^(^) = 0 при 1^1 > Z, где 0 < Z < с»； при |%| W 2 функции d(%) и Ti(^) имеют вид
й=0 I 胃ад I左=0 I I
Здесь "Voo, TV V oo, la/wZ,也[W 厶 0 V 卩丸 V 1, Q<vk<i, а функции g* (ж) и 成)(ж) е 7 (— Z, Z) классу функций, имеющих при \х\ W I ограниченное изменение [2].
о$(%) и tiS)三卩(一8, 8)DZ/(—8, оо), кроме того,芯?б(/) и ^(^) е L(— оо7 оо). Если к тому же оК%) и 口(芯)三 0(—8, 8), то они исчезают па бесконечности, как 阮丨一^… и |^|-2~\ где е — сколь угодно малое положительное число [2]. Здесь L(— Z, 2)— пространство абсолютно суммируемых при I%|W2 функций, С(—厶 Z) ~ пространство непрерывных при 1^1 WZ функций.
Известно [3, 41, что при условиях 1) или 2) функции о£%) и Ti(^) могут быть представлены в форме интегралов Фурье
6 (х)=公 J 为(а) е-%а, у W = ^ J Р (а) е^8cdа, (1.12)
обращение которых имеет вид
&(а) = f S ⑥产庞，Т *(а) = j у (日产成 (1.13)
(при условиях 1) здесь будут интегралы в пределах от —2 до 2). Функции Si (а) и Т£(а), называемые трансформантами Фурье функций в(%) и 工式胃)，по меныпей мере непрерывны при всех а 三(—оо, оо) и стремятся к нулю [3, 41 при |а1 8 не слабее, ”ем |а|т+“ и lal~I+v, ц = sup (|ife), v == sup (vfe), при условиях I) и не слабее, чем |а|", при условиях 2).
Чтобы удовлетворить граничным условиям (1.11), подвергнем п工 преобразованию Фурье. Будем иметь
2ZGa(2^ + aj/WJ) |片” =% (a), 2Ga (Г+ + a“-) \y=h = I\ (a),
(1.14)
2iGa ⑵ + ayly ) \v=-h = 22 (a)，2Ga (Г++ ayF~) 〃=—= T? (a).
Из системы алгебраических уравнений (1.14) найдем функции ©(a) и R(a) (i = 1, 2),
(a)= “ ：寸{[2i ⑺ + Z (a)]邑(a) — 八T】(a) — T2 (a)] C2 (a)}, 〃2 (a)= 2鼠-(a) {-[2i(a)-22(a)l cli 効+ % [Q (a) + T2(a)]sh a% 仇 3)=⑺-^2 3)] & (a) — i [J (a) + T2 (a)]52(a)},
% ⑺=^^ {—【4 3) + * ⑺]sh 効 + Z
D* (a)= sh 2a九 + 2am 。一(a) = sh 2a九 一 2aA,
%(a)= —(1 — 2v)ch ah-^ahshah, C?g = —2 (1 — v) ch ah+afe sh ah, Si(a)= — (1 —2w)sha% + a九cha%，^(a) = —2(1—w)sha九+ a^cha%.
(145)
Теперь по формулам (1.7) и (1.9) нетрудно найти в полосе в 匝ор- ме интегралов Фурье перемещения, деформации и напряжения. При этом возникает два вопроса: сходятся ли полученные интегралы и исчезают ли, согласно граничным условиям задачи, напряжения при 1^1 — 8.
2*
Заметим, что, поскольку полоса под действием изображенных на рис. 1.1 нагрузок находится в равновесии, выполняются равенства ‘
J [0]⑺ —% (方)]d方=0, j[G (龙)—% (尤)]/=0,
Г二 °0(1.16)
J [ox (^)— o2 (zc)] X dx- h J [q (%)+ % (叫 d龙=°。
Нетрудно убедиться, что в трансформантах Фурье условия (1.16) будут иметь вид
21(0) = 22(0)1 *(0) = Т2(0),
W；(0) —W；⑵ + 2/TJ0) = 0.'
Чтобы исключить жесткое перемещение полосы, положим
〃 (0, 0) = и (0, 0) = s (0, 0) ~ 0, s = % — uyj (1.18) тогда на основании (1.3)1 найдем
q =—亲 J t； (а, 0) da, Q =—亲 J 卩(а, 0) da,
不 .(1-19)
% = — G J [〃 (a，°)+ 奴卩(a, 0)] da.
С учетом (1.19) и (1.5) соотношения (1.3) примут вид
〃 =£ J [。十 + ^yU~) е~з — ^ — 2 (1 — v)々收]&%
D =金 J [(卩 + + аур-) e7"” 一 仇 + 乂a2 — 2Xa宓(1 — V)削]da.
Заметим, что при малых а имеют место, в силу указанных свойств в①) и 七式胃)，следующие асимптотические представления [31:
E*(a) =z(0) + 姬:(0)+。з2),「(a) = ?(0)+0(a) (/ = 1,2).
(1.21)
Используя (1.21), а также указанное выше поведение трансформант WKa), 1\(а) при lai f 8, получим следующие асимптотические представления для функций е(а) п R(a) (г = 1, 2) вида (1.15):
при |al + 8
«1 (а) =。(e-岡” I а「+) а2(а) =。{e^h | а 尸+丫)，
% @)=0储一口叫 а「中), % (a)=0а-闵" 1 aD (,) где 7 = sup (|i, v) при условиях 1) относительно функций 0式胃)и Ti(^) и 7 = 0 при условиях 2):
при a f О
0(а) — 1а~1 + 0(1), &(а) = mg? + 0(а"),
，(1.23)
R(a} = (1 — 2v)wa~2 + 0(а~1)ч &2(а) =+ 0(1).
Здесь 厶 т, п —— постоянные. Следует также отметить, что аКа) и А(а) по меныпей мере непрерывны при всех е W lai W °°.
На основании формул (1.22) и (1.23) найдем следующие асимптотические оценки для трансформант Фурье (1.5), (1.9):
при a О
и+ = /а-1 + О (1),и-1 = 2 (1 — V)ma-2 + О (а-1),
(1.24)(1.24)卩+ = — 2 (1 — v) ma-2 +0(a~i), L = [2 — 2(1 — 2v)n]a_1 +(9(l),
(1.24)
(1.24)
E+, г+, Г-, 2+ 劾,％ 〜。(a-1), E-,决〜。(a-2), при a f 8
(1.25)(1.25)u+, e+, г+, H,价〜。(I a 尸+v e~\^h~\y\^ ”
(1.25)
(1.25)
U~, 丁, E,「2/ WJ 〜。(I a L eTal(”f)
Все эти трансформанты, кроме того, являются при & W lai W4 V < °°, где А — сколь угодно большое число, и \у\ ^h непрерывными функциями.
Теперь нетрудно заключить, что перемещения а и v, определяемые формулами (1.5)1, (1.20), а также деформации и напряжения, определяемые формулами (1.9), являются при |у丨《无一£ и |%|W4 непрерывными вместе со всеми своими производными функциями, ибо соответствующие им интегралы сходятся равномерно. Более того, как функции комплексной переменной z = z + i^ деформации и напряжения будут аналитическими функциями, регулярными [4] в полосе —оо < х < оо, |自| < А— \у\. Заметим еще, что функции (С/+ + ^yU~) a, (E+ + ayE~) a, (「+ + + ai/Г*) a,(£^ + ag££)a,(工^ + ayEj) a абсолютно интегрируемы на (—8, 8)по <х при \у \ ^ А — е. Поэтому [31 деформации и напряжения при |y|WA —е стремятся к нулю, когда Ы °°. Относительно перемещений *〃 и и можно утверждать, что при I况丨 + 8 и фиксированном \у\ W 无一&
ь ~ 4 sgn х + В^ V С\х\ + D\n\x\ + Ex + F (1.26) (Л, В, С, D, Е, F = const).
Более тщательный анализ показывает, что для условий 1) относительно 0式力)и Ti(^) функции (U+ + ayU~)a, .. - ,(2у + ссу££)а по комплексной переменной <z = о + гт являются аналитическими и регулярными в некоторой полосе —8V(jVoo, |t|Vx при \у\ ^h~ г. поэтому [4] деформации и напряжения экспоненциально убывают при \х\ f 8.
§ 2. Вывод основных уравненийдля тонких упругих покрытий (прослоек)в плоском случае путем асимптотического анализаточного решения задачи теории упругости для полосы
Воспользуемся решением задачи о равновесии упругой полосы, полученным в предыдущем параграфе. Будем предполагать, что в случае условий 1) (первый вариант нагружения полосы) безразмерный параметр 九=AZ"1, характеризующий относительную толщину полосы, мал; здесь 2 ——длина^участка нагружения полосы. В случае условий 2) (второй вариант нагружения полосы; оба варианта указаны в § 1) также введем безразмерный параметр 入=无2一’ и будем предполагать его малым; здесь в качестве 2 возьмем длину участка активного нагружения полосы户 т. е. такого участка, где поверхностные нагрузки s(%) и 七：(力)составляют, например, не менее 5% от их максимальных значений.
Найдем теперь по формулам (1.5) и (1.7) средние по толщине полосы значения производных от перемещений и' и п". Будем иметь
В' Q) = _ 点 j [(Я1 - 62)d ch ah e一汝%d%
(2-1) 俨(s)=—输 J ｛电—4 (1 — V)a2] ?*% + a2 ch a/j)厂“^加.
Подставив сюда выражения (1.15) и применив затем оператор Фурье к обеим частям равенств (2.1), получим
2GD+(a)aU = — 2vj[S1(cz) + S2(a)l (<%无)一 sh2 аД +
+ [「(a) — T2(a)](2(z7z)~1[(l — 2v) sli 2ah — 2oM, (? ?) 2GD-(a)ccV = 0(a) — 工⑷](2a%)」[(3 — 2v) sh 2a无 一 2аД] 一*
— 2(1 — v)f[Tj(a) + T2(a)]((z/i)*1 sh2 аД.
Разложим здесь справа и слева выражения в ряды по параметру 儿 ограничиваясь членами порядка %2 в первом соотношении (2.2) и членами порядка 九'во втором. При этом следует учесть, что в контактных задачах и ~ 七无,и ~ и无(см., например, вырожденные решения для слоя малой толщины [5]). Возвра-
щансь теперь в полученных таким путем соотношениях к оригиналам, будем иметь
4G力〃〃 =—(1 — v) (q — т2) + -~^^-无2 (工；—式)—vA (и；丄 и；),
*(2.3)
-|- G/QV = (1 — V)9l — %) — 3 ；・2”，％2(O1 — O2) +
4- ^ 胪(。f一。f)+(1 一 V"出+Т；)一中犷(Т:+ £).
Первое равенство (2.3) представляет собой уточненное дифференциальное уравнение одноосного растяжения пластинки (стрингера). Обычно вторым слагаемым в правой части пренебрегают, хотя, как будет показано ниже (см. § 5), удержание его при рассмотрении контактных задач представляется существенным. Второе равенство (2.3) представляет собой уточненное дифференциальное уравнение изгиба пластинки (балки). Если пренебречь в его правой части третьим слагаемым, то получим дифференциальное уравнение изгиба пластинки типа Рейсснера [6]. Если отбросить еще второе и пятое слагаемые, то получим дифференциальное уравнение изгиба пластинки Кирхгофа. Как будет показано в § 6, удержание третьего слагаемого наряду с остальными во втором уравнении (2.3) при решении контактных задач оказывается существенным.
Сформулируем граничные условия для уравнений (2.3) в случае, когда пластинка имеет конечную длину (丨力I Wa) и ее края свободны. Для этого прежде всего заметим, что должны выполняться для всей пластинки в целом условия равновесия
аа
[[% (胃)一％ 3)1 d£ = О, J [q (胃)—т2 (z)] dx = О,
7「(2・4)
J [aх (优)—% (胃)]胃d胃—斤[[T1(£)+ T2 (胃)]=0，
—а—а
и для бесконечно малого элемента пластинки уравнения равновесия•
дх + ду 一 U 3方 + Ау — °，(乙°)
Введем в рассмотрение осевое усилие, перерезывающую силу и из-- гибающий момент, действующие в сечении пластинки:
Лhh
Т (s) = J oxdy, Q (尤)=J Txydy, M 3) = J 0圖dy. (2.6)
Умножая теперь уравнения (2.5) на dy и интегрируя в пределах от —Д до Д, найдем
ГМ + s -匕=О, Q'⑵ + в — 5 = О. (2.7) Умножая первое уравнение (2.5) на ydy и интегрируя в тех же пределах, получим
7И‘(力)+ %(q + у) — Q = °.(2.8)
Из уравнений (2.7); (2.8), учитывая, что край пластинки х = — а свободен от усилий, будем иметь
XX
(2・9)—%)富 dx.(2・9)—%)富 dx.—7 ® = J (q — 0)ds, — Q ⑺=J 31 —。2庇， —a
(2・9)
—%)富 dx.
(2・9)
—%)富 dx.
x
—7И ⑺=“(G + т2) dx~Y x
Принимая теперь во внимание условия равновесия (2.4) и (2.9), получим
7( 士 a) = Q(士а) = М(士а) = 0.(2.10)
Свяжем Т, Q 貝 М с перемещениями и и г. Для этого с учетом
2.7)$ (2.8) перепишем уравнения (2.3) в виде
4G庇"=(1 - v) Т' — 1专匕无27〃 一 V无(《+ &),
£ G无常V = _(1 _ V)°，+ 1^1 胪q，〃 — ±^L 胪qv +
+ (1 — v)A (т； + Ts)—弋上胪(Т；' + 證)，⑵ 11)
等 Gh^vN = - (1 - v) M" + 3~2v h^Q'"-等 Gh^vN = - (1 - v) M" + 3~2v h^Q'"-3 —2v3 —2v151151胪QV_胪QV_
等 Gh^vN = - (1 - v) M" + 3~2v h^Q'"-
等 Gh^vN = - (1 - v) M" + 3~2v h^Q'"-
3 —2v
3 —2v
15
1
15
1
胪QV_
胪QV_
(2.11) почленно один пределах от х до а),(2.11) почленно один пределах от х до а),Интегрируя первое и второе соотношения раз по % в пределах от —а до 力 (или в
(2.11) почленно один пределах от х до а),
(2.11) почленно один пределах от х до а),
а третье соотношение (2.11) почленно два раза но % в тех же пределах и учитывая равноправие концов а и —а, будем иметь
3)=誓 + •匕然■ Т" 3)十占(％ + %)，
Q{x) =-宵公(%) — 霜设)+
к/3 (1 — V) 1 3 (1 ~ V) у/15 (1 — V) у /
+ 无(G + T2)(q + 七2),
m⑺——师=7 + 3"一寸胪Q⑷一
1^(1 :;)胪0"'⑺一g(5 + 七2).(2.12)
Отсюда с учетом (2.10) при х — ± а имеем следующие граничные условия свободного края для уравнений (2.3):
4G应-2 £上胪(云-式)+ vh (01 + %)= 0,
-巽戌〃 —f胪(壮一d)+土詳胪(0:_喲+
+ (1 一 V)无(T1 + т2)— 2 § ?胪(Т1 十 т2) = 0,
—~ GW' — ^^ h2 (o2 — a2) + Ц^ Д4 (ст" — стЭ ~()
- 写宀无3 (七；+七；)=0.
Первые два соотношения (2.12) можно также представить в виде一d7" + 7 =广⑺，
(2.14)(2.14)(2.15)(2.15)启=肝身，/ 3)=偿+法j (力+02)龙+以；
(2.14)
(2.14)
(2.15)
(2.15)
04QIV 一 232?2Q，，十 Q = g"⑺，
-(3-2V)胪2 _ (3-2v)庐
P ~ 15(1 —v)' P 丫 — 3 (1 — 旬，
g ⑺=—У^Т~ + у f (T1 + %)(久一Е)2 龙一
),3 Г
—т j(Ti + T2)龙 + 4 + Dm +d^.
Интегрируя уравнения (2.14), (2.15) относительно Т и Q, найдем
T (z)=T (z)=^，(2.16)
T (z)=
T (z)=
Q (z)=Q (z)=筵（碎一喲Л筵（碎一喲Лr (g)[fc2S11M^_fciShM^-r (g)[fc2S11M^_fciShM^-龙+龙+
Q (z)=
Q (z)=
筵（碎一喲Л
筵（碎一喲Л
r (g)[fc2S11M^_fciShM^-
r (g)[fc2S11M^_fciShM^-
龙+
龙+
,瓦/клXkT历纪
+ A sh -^—Н 4 ch -p—|- 4 sh -p—p D& ch(247)
Здесь с учетом того, что 7 > 1 при всех 0 v u W 0,5, введены обозначения
& = М?2 十 /у4 — 1, ”2 = Mw — vV — 1.
Возьмем теперь интегралы в (2.16) один раз по частям, а в (2.17) три раза по частям, «освобождая /(/) и g(N)от производных», и затем рассмотрим разности
Т{х + 0)- 7(% - 0), Q(力 + 0) — Q(力 一 0) (1力1 v а).
Нетрудно показать, что эти разности равны нулю, если функции /(%) и g(力)таковы, что их первообразные принадлежат классу ¥(—а, а), а> 0. Таким образом, функции ТЕ) и Q(力)непрерывны 4), если
(2.18)(2.18)f ^ 龙三刑(一а, а),/(б + %)必三 С (一 ", "),
(2.18)
(2.18)
J vd^ 三 Яа (— а, a), J (% +т2)龙 м C (— а, а).
—а
Далее, на основании (2.8) можем заключить, что функция 〃(/) также непрерывна, если выполняются третье и четвертое условия (2.18). Из этих результатов следует, что при решении конкретных задач с помощью уравнений (2.3> достаточно обеспечить лишь кусочную непрерывность функций w,爲 <Ji + а2,七i + & (они могут иметь разрывы первого рода либо второго рода вида \х — Xi\~i+a)^ и это автоматически обеспечит непрерывность ?(%), Q(力)и M(n), т. е. отсутствие соответствующих сосредоточенных усилий и момента.
Введем в рассмотрение еще усилия
Р(第)=J (01 + 02)d第，S (n) = J (tx+t2) dx (2.19) —a—a
и рассмотрим следующие частные случаи уравнений (2.3). Положим at = а2 = 0, при этом из (2.3) имеем
4G7lL = — (1 — V)(Т1 — т2) +— Т2 ),
(2.20)
-^胪产=(1 - V)h(T1 + k) - ^^ 胪(七7+ то-
Основываясь на уравнениях (2.20), получим соотношения
4G血'=(1 - v) 7 - 展"倉，
(2 21)
IG胪丁 = (1 - v) 5 -宁 hS".■
Рассматривая, далее, соотношения (2.21) как уравнения относительно осевого усилия Т{х) и продольного сдвигающего усилия S(%), убедимся аналогично тому, как это сделано выше, что функции 7(%), S(力)и М{х) будут непрерывны, если при использовании уравнений (2.20) обеспечить кусочную непрерывность в указанном ранее смысле функций й,方'.
Положим теперь Т1 = т2 = 0 в уравнениях (2.3). Будем иметь
(2.22)(2.22)4Gu = — w0i + %)，
(2.22)
(2.22)
4 Gh^ = (l-v)伝—％) 一土言胪(a：-喲 +
+皆胪(。雪一。貝).
Основываясь на уравнениях (2.22), получим соотношения
4 G胪L = _ a — V)Q 十宁胪Q〃 一 ^ 胪Qiv.(2・23)
Можно убедиться, что поперечное растягивающее усилие 尸(力), а также Q(力)и М{х\ будут непрерывны, если кусочно непрерывна в указанном ранее смысле функция 方 и непрерывна функция 窃.
Следует отметить, что уравнения (2.3) описывают лишь деформации продольного растяжения и поперечного изгиба покрытия. При этом они не учитывают деформаций продольного сдвига и поперечного сжатия. Однако можно специально получить уравнения, отражающие указанные два последних вида деформации.
Усредняя по толщине перемещения и и у, определяемые формулами (1.5), (1.7), следующим образом:
—ft-一ft-
будем иметь
從=—誥^ f ［瓦 shi (a力)+ 仰 sh аД］ ^~гахос da,
分=^T f ［shi (a%) (〃i — 乂％) + % sh a川 6一2“切a,(2.24)
shi Q) = j芋就=一»［千+ si (綺］ о
где si(x) — интегральный синус.
Подставив в (2.24) выражения (1.15) и применив затем оператор Фурье к обеим частям равенств (2.24), получим
2Gab (a) U* = ^〈一 i 禺(а) — S2(«)1X
Х{[— (1 — 2v) ch ah + a力 sh ah] shi (a无)—sh ah ch a储—
—[J (a) + T2 (a)] {[— 2(1 — v) sh ah*ah ch ah] shi (a%)—sh? a%}〉,
(2.25)
2GaZ>+ (a)卩* = ^〈沁(a) + S2 (a)] X
X {[2 (1 — v) sh ah +a力 ch ah] shi (a/?,)—sh3 ah}~i [Tj (a)—T2 (a)]X
X{[(1 — 2v) ch a力 + ah sh ah] shi (叫一sh a力 ch a/z}〉・
Разложим здесь справа и слева выражения в ряды по параметру 入，ограничиваясь членами порядка 九"в первом соотношении (2.25) и членами порядка 九？ во втором. При этом, как и ранее, учтем, что 卫 ~ 七力 и и ~ ch, Возвращаясь затем в полученных указанным образом соотношениях к оригиналам, будем иметь
土 季從(怎士力)=-(1 - u)(马-厶)+丄播"力2(0； - 0；)-
—(1 — v)力(т； + К) + ^^ "3(七；+ Ю (2.26)
± 4先* (名 土 历)=(1 - u)力(01 +02)+ й(Q -七2)，
Выражения (2.26〉при Oi = a2 = 0 можно назвать уравнениями сдвигового основания. Эти же выражения при Ti = т2 = 0 представляют собой уравнения основания Винклера. Заметим, что если во втором соотношении (2.25) удержать члены порядка 入，то вместо уравнений основания Винклера при Ti = т2 = 0 из выражений типа (2.26) были бы получены уравнения основания с двумя коэффициентами постели [7].
Основываясь на уравнениях (2.26), получим соотношения
土 "^"m* ("，士力)=-(1 - V)J(X -自)91 - %)成 +
+ ' J 胪(°1 一 0r2)—(1 —w)力s + 1 汽力3sM(2.27)
士 4GA (名 ± 期=(1 — w) hPr, + v(Tj — т2).
Далее, как и ранее, с помощью соотношений (2.27) можно убедиться, что функции S(a), Р(/) и M(n) будут непрерывны, если кусочно непрерывны в указанном выше смысле функции м* и и*
п, кроме того,
J 91 — %) dg 三 С (— а, 〃)， J (tj — т2) dg м С (— а, а).
Аналогичным образом можно показать, что в частном случае ◎1 = 02 = 0 функции S(a), 7(力)и М(х} будут непрерывны, если функция м* кусочно непрерывна и 少* непрерывна. В частном случае Т1 == т2 = 0 функции Q{x)^ 尸(力)и М(х) будут непрерывными, если кусочно непрерывны функции м* и и*.
§ 3. Асимптотический анализточного решения задачи теории упругостидля полосы на ее границах
Получим отличные от (2.3} и (2.26) уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние тонких покрытий (прослоек), которые одновременно учитывали бы как деформации продольного растяжения и поперечного изгиба, так и деформации их продольного сдвига и поперечного сжатия. Для этого рассмотрим в соответствии с формулами (1.5) и (1.7) перемещения w и и отдельно на верхней (у = %) и нижней (у = —%) гранях упругой полосы. Будем иметь
и1и1% ch ah * b.^h sh а力 士% ch ah * b.^h sh а力 士
и1
и1
% ch ah * b.^h sh а力 士
% ch ah * b.^h sh а力 士
，士(& sli ah + a^h ch(xh)]e~wn da,..(3.1)
u" (x, 土无)=—E I {(&— ха?) ch afe + a^h sh a/г 士
士 [("1—x62) sh a后 + b^h ch a%]}e一3必也.
2iG(a胪)т A(a)U =2iG(a胪)т A(a)U =Подставив сюда выражения (1.15} и применив затем оператор Фурье к обеим частям равенств (3.1), получим
2iG(a胪)т A(a)U =
2iG(a胪)т A(a)U =
[St (a) + S2 (a)] — — (1 — 2v) sh 2ah + a/г +
+ 2i(l - V)ch2 ah 储(a) - 7% (a)]} 士 D+ (叫& (a) - 22 (a)] X X[< ^ (1 - 2v) sh 2a〃 一 a/г]十 2i (1 — v) sh2 а/ЦТ^а) + T? (a)]}〉, 2Gh~' A (a) V = ^〈£)+ (a) {2 (1 — v) ch2 ah [弟(a) — S2 (a)] +
+ 力[Т] (а) -р Т2 (а)] [—^ (1 — 2v) sh 2ah — а%]} 土
土 D~ (а)(2 (1 一 v) sh2 аД & (а) + S2 (а)] +(3.2)
—у (1 — 2v) sh 2аД + аД }〉
А (а) =。+ (а) D" (а) = sh2 2аД — 4а2Д2.
Разложим здесь справа и слева выражения в ряды по параметру 九 и ограничимся удержанием членов порядка X4. Возвращаясь затем в полученных указанным образом, соотношениях к оригиналам, будем иметь
4G加加"(伤±h) =
± (2 — 3v)胪(о； — о；)干(1 — w)力[3 (К + К) — 2胪(т； + 工；")], 4Gh%*“ (胃,土 Д) =(3.3)
=3 (1 — у) [% — % —祭(°； — о；) + ^~ g；V — a2V)] +
+ 3无(1 — V)(ri + K) — (2 — 3v) h3 (т： + 七工)士
土(1 - u)胪(o；v + 0貝)士 w胪(七:一 T；)
Уравнения (3.3) несут в себе всю информацию о деформации поверхностей покрытия (прослойки) под действием приложенных к ним усилий. В совокупности они учитывают не только деформации продольного растяжения и поперечного изгиба покрытия, но также и деформации продольного сдвига и поперечного сжатия, т. е. они сочетают в себе качества ранее полученных уравнений (2.3) и (2.26) и сохраняют ту же точность по 入.
Следует еще отметить, что использование уравнений (3.3) при решении контактных задач для тонких покрытий (прослоек) не приводит, как и использование уравнений (2.3) и (2.26), к появлению на границах сопряжения участков сосредоточенных усилий или моментов. Действительно, основываясь на уравнениях (3.3) и используя соотношения (2.9) и (2,19), найдем 4G勿①"⑶ 土〃) = - vh2P" + (1 - v) 〃 (『一形 7") ±
± [3 (1 - V)Q —(2 — 3v) h-Q"] + (l-v)A(3S, 一 2公卜〃)， 4G/^〃(瑞 ±fe)= -3(1-v)(<?—岑Q" + 響О】")+
+ 3h(l~ v) S' - (2 — 3v) h3S " ± (1 — v) /^piv 干 v/^T".
Решая систему четырех уравнений (3.4) относительно Р(а), 7(况), Q(a) и S(n), убедимся, что эти функции, а также М{х) вида (2.9) будут непрерывными, если кусочно непрерывны (см. § 2) функции 员(怎 ±九)и и(爲 士 力).Таким образом, при указанных условиях сосредоточенные усилия и молгенты будут отсутствовать. Важным фактом является еще то обстоятельство, что если функции и(х, ± 6) и и(瑞 ±7z), определяемые уравнениями (3.3), имеют разрывы непрерывности первого рода, то такого же типа разрывы будут иметь и напряжения о” т( (% = 1, 2) и наоборот, причем эти разрывы взаимно связаны согласно формулам
-4做(z, ±h) =期鼻二豈(q _ т2) ± 2〃 (1 _ v) (q + т2),
4Gu (z, 士 无)=11 飞二 v) (О] — g) 土 /г (1 — V)(班 + %)；
Таким, же свойством обладают уравнения (2.3) и (2.26).
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнений (3.3). При О] — о2 = 0 уравнения (3.3} принимают вид
^Ghu (%，士力)=
к — (1 — w)k — т2 — ~- (т工 一 r) ± 3 (% + 7)乎 2胪(q + T2)j, 4G%2”〃(招 ±力)=(3.5)
=3 (1 — w) (q + “)一(2 — 3v) h2 (ri + To) 土 vh2 (ri —式).
Основываясь на уравнениях (3.5), получим соотношения
^Ghu'(2，土〃)= (1 - V)—豊 T"千 3s 士 2招?")，
\?/(J.U)
4G胪讨(怎士力)=3 (1 - V)S- (2 - 3v)胪S"干"胪倉.
Решая первые два соотношения (3.6) относительно 7(%) и S(x), убедимся, что функции 7(力)，S(n) и М(х) непрерывны, если кусочно непрерывны функции гг(爲 ±九).При этих условиях из последних двух соотношений (3.6) определим, что функции и(瑞 士力)непрерывны.
При ti = т2 = 0 уравнения (3.3) принимают вид
4G胪以"Q, 土力)=
~ -w胪(6 + 6)干[3 (1 — v)伍一oj 一 (2 一 3v) h2 (0上一02)],
4G"3/v(芻 ± 〃)=(3・7)
=3 (1 - V)[01 - % - •У- (0； - 0；) + ^~ (0：Y一0/)]土
±(l-v)^ (а^ + ст1у).
Основываясь на уравнениях (3.7), получим соотношения
4G无2犷(伤 ± 无)=一泌2" ± [3 (1 一 夕)Q - (2 - 3匂"Q]
4G胪片(ж, ±h) = -3(1 -v)(Q-~ Q" +嗒Q【v)土(1-v)胪p【v.(3.8)
Решая вторые два соотношения (3.8) относительно Q(%) и Р(%), убедимся, что функции Q(/),尸(囂)и М(х) непрерывны, если кусочно непрерывны функции и(© 士 无).При этих условиях из первых двух соотношений (3.8) найдем, что функции 北(％, 士 ％)、 непрерывны.
Уравнения, описывающие деформацию продольного растяжения, получим из (3.5\ положив Т1 = — т2. Будем иметь
4Gyz (力，土无)=士 u (q - T2).
Уравнения, описывающие деформацию поперечного изгиба покрытия (прослойки), получим из (3.7), положив О1 = —仃2・ Именно, найдем
4G"方"(旳士五)=
—-F [3 (1 — u)伍一％) — (2 — 3v)胪(5 — e)], 4点3户7招士无)=(3.10)
= 3(l-v)值—% 一冢爲 —硝+粤(不_e叫
В частном случае ri = т2 из (3.5) получим отличный от (2.26) вариант уравнений сдвигового основания, описывающих деформацию продольного сдвига
4Ghu"(瑞 士无)Н (1 - й)[干 3 (q + T2) 士 2胪(k+式)],
4GhV (^, ± fe) — 3(1 — V)(тх + т2) — (2 — 3v) й2(Ti + 式).'
В частном случае 01 = о2 из (3.7> получим уравнения основания Винклера, описывающие деформацию поперечного сжатия
4G无力'(％, ± h) = ~ v^2(6i + 02),
(3.12)
4Gu(花，土无)=土 (1 - 9)无(6 + 5).
Если бы при выводе уравнений (3.3) были удержаны члены порядка 无* то вместо (3.12) были бы получены уравнения основания с двумя коэффициентами постели [7].
Введем в рассмотрение средние арифметические перемещения.
и (%, h) + u(z,—h)— d (芻 九)+ и (%, — h)
〃a =2, ^a =2，
тогда по формулам (3.3) найдем
^GhuA — —(1一v)k — т2 — ^- (Ti 一 б)]—旷无(玩 + &),(3.13)
I m*V = (1_扑「% —季(0:_ © + 零 &V _叁)]+
+ 无(1 — V)(T； + K)—传一V)无3(T；' + T；').
Уравнения (3.13) по своей структуре полностью совпадают с (2.3), отличаясь, от последних лишь некоторыми коэффициентами. Эти коэффициенты в формулах (2.3) следует считать более точными, поскольку там они получены осреднением соответствующих величин по всей толщине покрытия.
Рассмотрим еще следующий упрощенный вариант уравнений (3.3). Пренебрежем в первом уравнении (3.3) в правой части членами порядка й, а во втором ——в левой и правой частях членами порядка Л2 и выше. Будем иметь
4Gh2uw (х, 士无)=—vh2 (и； + 硝—(1 — v) Л (т^ — t；)干
-F 3 (1 — u) (% — и?) 土(2 — 3v)胪(di —出)干 3 (1 — V)h(Ti 4- т2)О = 3 (1 — u) (“ 一 ％) + 3%(1 — v) (ri + К).
Преобразуя теперь первое из полученных соотношений с помощью второго, получим
^Ghu (%, 士％) = — (1 —夕)(q — r2) — vft (и； + и；).(3.14)
В такой форме мы будем накладки (включения)； при дующих главах. Уравнение уравнением (2.3) и первымВ такой форме мы будем накладки (включения)； при дующих главах. Уравнение уравнением (2.3) и первымиспользовать уравнение деформации решении конкретных задач в после- (3.14) полностью совпадает с первым уравнением (3.13), если в них отбро
В такой форме мы будем накладки (включения)； при дующих главах. Уравнение уравнением (2.3) и первым
В такой форме мы будем накладки (включения)； при дующих главах. Уравнение уравнением (2.3) и первым
сить вторые слагаемые.
В заключение этого параграфа дадим упрощенный вывод уравнения (3.14). По формулам закона Гука найдем, что деформация полосы в направлении оси х от действия на ее грани нормальных усилий 0! и о? равна
跚=一系31 + %），
а деформация полосы в том же направлении от действия продольного усилия Т равна
БИБЛИОТЕКАБИБЛИОТЕКА(2)—7
БИБЛИОТЕКА
БИБЛИОТЕКА
функцию напряжений Эрифункцию напряжений ЭриАаФ = О,АаФ = О,А2А2行+ 2病？+林行+ 2病？+林8⑦28⑦2дидхдидх1朝1朝dv e尸药dv e尸药1毋1毋я2т(l-v)^-(1-V)驾я2т(l-v)^-(1-V)驾一V一Vй2(рдх @у'й2(рдх @у'++dvdv1 @2屮G дх ду *1 @2屮G дх ду *
функцию напряжений Эри
функцию напряжений Эри
АаФ = О,
АаФ = О,
А2
А2
行+ 2病？+林
行+ 2病？+林
8⑦2
8⑦2
ди
дх
ди
дх
1朝
1朝
dv e尸药
dv e尸药
1毋
1毋
я2т
(l-v)^-(1-V)驾
я2т
(l-v)^-(1-V)驾
一V
一V
й2(р
дх @у'
й2(р
дх @у'
+
+
dv
dv
1 @2屮
G дх ду *
1 @2屮
G дх ду *
Для производной от суммарной деформации получим формулу
%=匕费T| ~i （网十 翁
Подставляя сюда 7’ из первого соотношения (2.7), окончательно найдем
kGhu = — (1 — и)(豆一r2) — vh (и； + ”)• (3.15)
Такого типа простые соображения будут далее (см. § 8) использованы при выводе уравнений для двумерных, а также неплоских накладок (включений).
§ 4. Вывод основных уравненийдля тонких упругих покрытий (прослоек)в плоском случае путем асимптотическогоинтегрирования уравнений теории упругости
Рассмотрим прямоугольную пластинку, длина которой 2a много больше ширины 2%, т. е. параметр £ = %/〃 достаточно мал.
Пластинка по большим сторонам нагружена нормальными и касательными усилиями (рис. 1.2), причем выполнены условия равновесия (2.4), малые стороны свободны от напряжений.
Для решения этой плоской задачи теории упругости воспользуемся представлением напряжений .и деформаций через
Выразим еще перемещенияВыразим еще перемещениячерез функцию Эри. Интегрируя ея
Выразим еще перемещения
Выразим еще перемещения
в пределах от нуля до % и е? от нуля до у, будем иметь
и —и —и =и =L=o) + 厶(》L=o) + 厶(》42)42)
и —
и —
и =
и =
L=o) + 厶(》
L=o) + 厶(》
42)
42)
Дифференцируя первое соотношение (4.2) и подставляя полученные выражения в (4.1), найдемДифференцируя первое соотношение (4.2) и подставляя полученные выражения в (4.1), найдемпо у, а второе по % последнюю формулупо у, а второе по % последнюю формулу
Дифференцируя первое соотношение (4.2) и подставляя полученные выражения в (4.1), найдем
Дифференцируя первое соотношение (4.2) и подставляя полученные выражения в (4.1), найдем
по у, а второе по % последнюю формулу
по у, а второе по % последнюю формулу
/1 匂)+ /； (?)=—/1 匂)+ /； (?)=—1 — V—2G -1 — V—2G -d/ + 2d/ + 2Ox dyOx dy
/1 匂)+ /； (?)=—
/1 匂)+ /； (?)=—
1 — V
—2G -
1 — V
—2G -
d/ + 2
d/ + 2
Ox dy
Ox dy
2G \dx dy [算=0 十 次%:ду 1y=o2G \dx dy [算=0 十 次%:ду 1y=o(4.3)(4.3)Для бигармонической функции ф может бытьДля бигармонической функции ф может бытьполучено соотно-получено соотно-шениеXшениеX
2G \dx dy [算=0 十 次%:ду 1y=o
2G \dx dy [算=0 十 次%:ду 1y=o
(4.3)
(4.3)
Для бигармонической функции ф может быть
Для бигармонической функции ф может быть
получено соотно-
получено соотно-
шение
X
шение
X
+ ~Т dy = о+ ~Т dy = о粵蔗+2井J 6尸dx ду粵蔗+2井J 6尸dx ду
+ ~Т dy = о
+ ~Т dy = о
粵蔗+2井
J 6尸dx ду
粵蔗+2井
J 6尸dx ду
Подставляя его в (4.3), найдем следующие выражения для /1(у) и /2 (%) (учитывая их симметрию относительно замены 力 на у и наоборот):
。力 8у Ь=0 丿 2G дх ду 1x^0 ' 3， у=0 /。力 8у Ь=0 丿 2G дх ду 1x^0 ' 3， у=0 /
。力 8у Ь=0 丿 2G дх ду 1x^0 ' 3， у=0 /
。力 8у Ь=0 丿 2G дх ду 1x^0 ' 3， у=0 /
Определяя отсюда, наконец,万匂)и %(%) и подставляя их в (4.2), будем иметь
〃=需 j 第"А『&—П)/[=产_2 磐 L+y^L - 00Я =0 -
-§ё 石 + ~55~ 石 ко + %у + q,
у—о
V
龙一2聳
н Оу
2 — V 5(р
2G 一可
片0」
二。一^十毋（4.4）
Преобразуем вторую формулу (4.4). Заметим, что имеет место соотношение
оо声中U 3声中U 3Oy |x=0Oy |x=05ф5фУКУК++氈Idy 1汽=0y=o氈Idy 1汽=0y=o也Id? |y=0也Id? |y=0. 声屮 Id2cp I. 声屮 Id2cp I
о
о
声中
U 3
声中
U 3
Oy |x=0
Oy |x=0
5ф
5ф
УК
УК
+
+
氈I
dy 1汽=0
y=o
氈I
dy 1汽=0
y=o
也I
d? |y=0
也I
d? |y=0
. 声屮 Id2cp I
. 声屮 Id2cp I
С учетом этого соотношения вторая формула (4.4) примет вид
VVV 5фV 5ф|ос=О片О|ос=О片О
V
V
V 5ф
V 5ф
|ос=О片О
|ос=О片О
-% 方 +e2.(4.5)
Для исключения жесткого перемещения пластинки примем условия (1.18), тогда в (4.4), (4.5) будет с^ с2=^ с3^ 0. Далее, следуя [8], будем искать решение уравнения (4.1) для функции Эри в виде степенного разложения по малому параметру s2. Ограничиваясь первым членом этого разложения (первое приближение), получим
(4.6)и со-(4.6)и со-(р(/, z/)1 = А^х}у3 + 4(%)у2 + Л2(^)у + 4(%).
(4.6)
и со-
(4.6)
и со-
При этом с той же точностью из первого соотношения (4.4) отношения (4.5) имеем
и —и —1 —V1 —V
и —
и —
1 —V
1 —V
Напряжения по-прежиему выражаются формулами (4.1).
Удовлетворяя теперь с помощью (4.6) граничным условиям по большим сторонам пластинки
оу(гг, 士无)= и(/)\ тху(гг, 士无)= “％) (i = 1, 2),
найдем выражения для 力式花)(к = 0, 1, 2, 3). Затем получим следующие выражения для напряжений:
+ ^ J (т2 — Ti)庇 + D^ + 2D2xy + 2,
334儿4儿(匕 + Z)+(匕 + Z)++ 4_ "2 + Tl)^ (工2 一 豆)一无叨2 (齐 _■ ') . (4.8)+ 4_ "2 + Tl)^ (工2 一 豆)一无叨2 (齐 _■ ') . (4.8)
3
3
4儿
4儿
(匕 + Z)+
(匕 + Z)+
+ 4_ "2 + Tl)^ (工2 一 豆)一无叨2 (齐 _■ ') . (4.8)
+ 4_ "2 + Tl)^ (工2 一 豆)一无叨2 (齐 _■ ') . (4.8)
Удовлетворим граничным условиям по малым сторонам пластинки. Здесь можно пойти двумя путями: удовлетворить граничные условия поточечно или интегрально. Рассмотрим первый путь. Можно точно удовлетворить условиям свободного края. Именно, из условий о■式士а, у) =0 вытекают условия равновесия пластинки (2.4) и Z)i =/)2 = Оз = 0. Условия т修(士〃,沙)=0 будут выполнены, если Ti(±a) = т2(±а) = 0. Последние ограничения являются естественными и вытекают из условий парности касательных напряжений. Второй путь позволяет удовлетворить граничным условиям нагруженного края. Пусть на крае пластинки / = а действуют растягивающее усилие Т^ перерезывающее усилие Qi и изгибающий момент АЛ； соответственно на крае х = — а действуют 7\, °2 и 加2・ Заметим, что условия равновесия пластинки (2.4) теперь примут вид
аа
j (% - q)应 + ?2 - ?1 =。，j(% 一5)龙 +Q2 — Qi =。，
—J l^—a^dl—h j (т2 + tx)dl + a(<?2 + Q^ + M2 — Mx = 0.
Подставляя выражения для напряжений (4.8) в формулы (26)\ найдем
(4.10)(4.10)т ⑺三 J «2 — q)贬 + 2无2, Q ⑺=卜％—%) dl+-^-h3D2,т ⑺三 J «2 — q)贬 + 2无2, Q ⑺=卜％—%) dl+-^-h3D2,M(/)=M(/)=
(4.10)
(4.10)
т ⑺三 J «2 — q)贬 + 2无2, Q ⑺=卜％—%) dl+-^-h3D2,
т ⑺三 J «2 — q)贬 + 2无2, Q ⑺=卜％—%) dl+-^-h3D2,
M(/)=
M(/)=
Потребуем теперь, чтобы имели место равенства
7( 士а) = 7\, Q(士а) = ©, М(士 〃)=関(i = 1,2), (4.11)
при этом получим условия равновесия (4.9) и
2hD± =柒，百 h3D2 = Q, m 历叨з = 4厶 + 〃&•
Используя найденные выражения для 4卜(花) (乃=0, 1, 2, 3) и выражение (4,6) для ср(/, у), найдем по формулам (4.7) перемещения и и р. Далее, после несложных преобразований будем иметь
儿"'(瑞 士无)=
=%九；[士 з(% —")干3无(з + q) + 无(n — q)L
。〃、(4.12)
и~(2, ± 无)=4cу). [- (% - 5)+ 〃 (К +1；)]・
Полученные выражения (4.12) полностью совпадают с (3.3), если в последних справа отбросить члены порядка h2 и выше.
Удержим теперь два члена в разложении ср(花，у) по е2 (второе приближение). При этом получим
(4.13)(4.13)ф 3, у) = Фо 3, у) + е2ср!(2, у) + о (е4),
(4.13)
(4.13)
= 0, е2T+ 2」^ = 0.
@у"дудзгду
Отсюда найдем
Ф (瑞沙)=^о (力)* + 4 ⑺ I/2 + 43) у + аЗ (^) 一
一需 4 (/)I/541⑺ у^. (4.14)
(4.4) и соотноше-(4.4) и соотноше-С той же точностью из первого соотношения ния (4.5) имеем
(4.4) и соотноше-
(4.4) и соотноше-
1-vU=F1-vU=FХ=0期=0Х=0期=0VV2G 石2G 石2 - V ^(p I2G дх lx=o,1 y=0‘2 - V ^(p I2G дх lx=o,1 y=0‘0= ~2G~0= ~2G~—I” Y)§2 斎卜患 + 屮)L。—0У=0_—I” Y)§2 斎卜患 + 屮)L。—0У=0_2 ——v ^<р . v ^<р I№ 罚■十莎 行I*』.(4.15)y=o2 ——v ^<р . v ^<р I№ 罚■十莎 行I*』.(4.15)y=oВыражения для напряжений сохраняют вид (4.D. Используя эти формулы и (4.14), найдемВыражения для напряжений сохраняют вид (4.D. Используя эти формулы и (4.14), найдем% = 64y+24 — 2Л0 у32А1у2,(4.16)% = 64y+24 — 2Л0 у32А1у2,(4.16)—-3/b2 - 2/仅一4 + 等 40 y4 + /■ 4工д3.—-3/b2 - 2/仅一4 + 等 40 y4 + /■ 4工д3.Далее для простоты рассмотрим случай, когда на сторонах пластины у = 士无 отсутствуют нормальные усилия, т. е. d(%) = 0, а касательные ус,илия по-прежнему равны тК%) (% = 1,2). Удов-Далее для простоты рассмотрим случай, когда на сторонах пластины у = 士无 отсутствуют нормальные усилия, т. е. d(%) = 0, а касательные ус,илия по-прежнему равны тК%) (% = 1,2). Удов-летворяя с помощью (4.16) этим граничным условиям,летворяя с помощью (4.16) этим граничным условиям,получимполучим4 -无：4 =亲 J（T2 - Ti）龙 + Q,无;н于, 4匚一（4 +等无;41）胪，4 -无：4 =亲 J（T2 - Ti）龙 + Q,无;н于, 4匚一（4 +等无;41）胪，庐（447）庐（447）4 =4 =丄丄胪.胪.—a—a4。 -无m。 = - —2 J (T2 + Tl) d自一04/一05，无:=4。 -无m。 = - —2 J (T2 + Tl) d自一04/一05，无:=Решая первое и третье дифференциальные уравнения (4.17)Решая первое и третье дифференциальные уравнения (4.17)
1-v
U=F
1-v
U=F
Х=0
期=0
Х=0
期=0
V
V
2G 石
2G 石
2 - V ^(p I
2G дх lx=o,1 y=0‘
2 - V ^(p I
2G дх lx=o,1 y=0‘
0= ~2G~
0= ~2G~
—I” Y)§2 斎卜患 + 屮)L。—
0У=0_
—I” Y)§2 斎卜患 + 屮)L。—
0У=0_
2 ——v ^<р . v ^<р I
№ 罚■十莎 行I*』.(4.15)
y=o
2 ——v ^<р . v ^<р I
№ 罚■十莎 行I*』.(4.15)
y=o
Выражения для напряжений сохраняют вид (4.D. Используя эти формулы и (4.14), найдем
Выражения для напряжений сохраняют вид (4.D. Используя эти формулы и (4.14), найдем
% = 64y+24 — 2Л0 у32А1у2,(4.16)
% = 64y+24 — 2Л0 у32А1у2,(4.16)
—-3/b2 - 2/仅一4 + 等 40 y4 + /■ 4工д3.
—-3/b2 - 2/仅一4 + 等 40 y4 + /■ 4工д3.
Далее для простоты рассмотрим случай, когда на сторонах пластины у = 士无 отсутствуют нормальные усилия, т. е. d(%) = 0, а касательные ус,илия по-прежнему равны тК%) (% = 1,2). Удов-
Далее для простоты рассмотрим случай, когда на сторонах пластины у = 士无 отсутствуют нормальные усилия, т. е. d(%) = 0, а касательные ус,илия по-прежнему равны тК%) (% = 1,2). Удов-
летворяя с помощью (4.16) этим граничным условиям,
летворяя с помощью (4.16) этим граничным условиям,
получим
получим
4 -无：4 =亲 J（T2 - Ti）龙 + Q,无;н于, 4匚一（4 +等无;41）胪，
4 -无：4 =亲 J（T2 - Ti）龙 + Q,无;н于, 4匚一（4 +等无;41）胪，
庐（447）
庐（447）
4 =
4 =
丄
丄
胪.
胪.
—a
—a
4。 -无m。 = - —2 J (T2 + Tl) d自一04/一05，无:=
4。 -无m。 = - —2 J (T2 + Tl) d自一04/一05，无:=
Решая первое и третье дифференциальные уравнения (4.17)
Решая первое и третье дифференциальные уравнения (4.17)
относительно и 4°, будем иметь
4 =表『(т2 ~ Ti) [ — ch 广万 Е丿]+ 2 + —a
+ 4 sh * + 4 ch
11 (4.18)
—a
-Ash云一7曲芸
Рассмотрим теперь вопрос об удовлетворении граничным условиям по малым сторонам пластины 花=± а. Подставляя выражения (4.16) —(4.18) в формулы (2.6), найдем
Т (%) = J (т2 —т^ d^ + ihDri Q(/)4历3Q&,
-(4.19)
M (x) ~ ~h J (r2 4- q)國—4历з/)№ — 4历з%.
Удовлетворим интегрально с помощью соотношений (4.19) граничным условиям на краях пластины 力=± а. Именно, потребуем, чтобы выполнялись условия (4.11). Тогда получим условия равновесия (4.9)1 ири*4 = 0 и навдем
4hDi =厶，—WD^ = 02, — 4犷鼻=м + aQ・
Заметим, что в выражениях (4.18) остались неопределенными коэффициенты Di (г = 2,3, 6, 7) при последних слагаемых. Нетрудно убедиться, что эти слагаемые представляют собой однородные при у = 士无 решения задачи и не дают вклада в выражения для Т(/), 0(%) и М(/). В силу последнего при интегральном удовлетворении граничным условиям на краях пластины 胃=± a указанные коэффициенты можно положить равными нулю.
Относительно поточечного удовлетворения граничным условиям при / = ±а с помощью выражений (4.16>—(4.18) можно сказать следующее. Хотя точно удовлетворить условиям свободного края при / = ±а в отличие от случая первого приближения (4.8) здесь не удается, тем не менее возможности для поточечного удовлетворения граничным условиям при 花=±。в данном случае шире, ибо выражения для напряжений (4.16) содержат большее количество коэффициентов Di (семь вместо трех), подлежащих определению.
Используя выражения (4.17), (4.18) и выражение (4.14) для функции ср(花,у), найдем, наконец, по формулам (4.15) переме-
щения а и и. После громоздких, но не сложных преобразований получим
4鉄(1 一屛g),u 3 士例=
* V){±[- 3(T2 + Tj) + 2加(T2 + q) - ^-(云Y + "Т#)] + + ⑴一G - g 加位一弍)+ ^ 阻V - 云V)),
={з (1 — V)(т2 + Т]) — (2 — 3v)胪(р； + р；)—
*公 gv + t：v）+ ^ 胪 hг + Рг） ± [- vQ （式_/）+ 宀么审胪（云V - t：V） — ^勿（£]一。У）卜
Как уже отмечалось в § а именно для этого будут но здесь оставить справа и при зтом следует иметьКак уже отмечалось в § а именно для этого будут но здесь оставить справа и при зтом следует иметьпри решении контактных задан, использованы уравнения (4.20), нуж- и слева члены одного порядка по h в виду, что когда 0： — 0 (2=1, 2), то
Как уже отмечалось в § а именно для этого будут но здесь оставить справа и при зтом следует иметь
Как уже отмечалось в § а именно для этого будут но здесь оставить справа и при зтом следует иметь
при малых h асимптотически и 〜无岳 и 〜fe°r. Учитывая эти обстоятельства, сохраним в уравнениях (4.20} лишь члены до порядка 无2 (т. е. порядка е2) включительно согласно принятой в (4.13) точности разложения функции ср(/, у). Будем иметь
iGhu (X, 土无)=(1 — ”)[千 3 (т2 + q) 土 2h2 (т； + т；) +
J (4 2П
4Gh2* (с, ± 无)=3 (1 — v) (т2 + q) —
—(2 — 3山)无 2(T2 + T1)干 vh2(T2 — T1).
Полученные уравнения полностью совпадают с уравнениями (3.5).
Если изложенный процесс построения асимптотического разложения по е2 для 屮(花,у) продолжить дальше, то, например, удерживая члены порядка е4 (третье приближение), для функции 屮(花，у) найдем представление
屮(招 у) = 4oZ/3 + 4严 + А2У + Аз — ^Q 4* — A- 4f +
+ 费 + По— i 霜认(4.22)
При этом выражения для перемещений теперь уже получим по полным формулам (4.4) (для а) и (4.5), а напряжения, как и ранее,——по формулам (4.1). Удовлетворяя далее граничным условиям по большим сторонам пластины у == 士无,найдем выражения для ААх) (i = 1, 2, 3, 4), которые уже будут содержать одиннадцать (вместо семи) постоянных Dkl подлежащих определению, причем восемь из них будут коэффициентами перед слагаемыми, являющимися однородными при у == 土无 решениями задачи, не вносящими вклада в выражения для 7(/), Q(/) и М(х\ Таким образом, возможности для поточечного удовлетворения граничных условий при / = ±а становятся еще шире; для приближенного удовлетворения этих граничных условий может быть, например, использован метод коллокации.
Заметим, что в изложенной схеме построения асимптотического при малых е решения плоской задачи о равновесии пластины в едином процессе с заданной точностью по е2 находится как «внешнее» асимптотическое разложение (проникающее решение), так и «внутренние» по отношению к краям пластины / = ±а асимптотические разложения (локальные решения типа «погранслоя»). Таким образом, изложенная схема может рассматриваться как модификация, применительно к задаче о цилиндрическом изгибе пластины, общего асимптотического метода решения задачи об изгибе толстой плиты [9, 10].
В заключение этого параграфа приведем решение задачи в первом приближении о растяжении двухслойной пластинки, которое нам понадобится в § 7 второй главы. Пусть, как и ранее, длина пластинки 2а;无八 ％〃 и G{ — соответственно толщина и упругие постоянные нижнего слоя пластинки； ^2, v2 и С2 — толщина и упругие постоянные верхнего слоя. Начало системы координат расположим посредине нижней грани пластинки и будем считать, что растяжение пластинки осуществляется самоуравио- вепгенными касательными усилиями т(н), приложенными к этой же грани. Предположим, что слои пластинки жестко соединены друг с другом и закреплена точка пластинки, совпадающая с на^ чалом координат. Итак, для данной задачи в безразмерных координатах
； J =斉(В =无1 + &)
5удем иметь (штрихи далее опускаем):-
граничные условия
% = о, Тад =— Т(ж)при у = 0, |z|&l,
Ор = Тзд = 0при у = 1, |ж|.<1；
интегральные условия свободного края
7(士〃)= Q(±〃)= 〃(土а) 0;
в)в)г)г)условия сопряжения слоев при у = hJH и Ixl ^ 1
в)
в)
г)
г)
。^ = 6；, тху = ^ху, 〃工=〃2，% = “2
условия равновесия
Jt(/)d%=0;
д) условия закрепления пластинки
Ui(Os 0) = Pi(0, 0) = 0.
По изложенной выше схеме найдем в первом приближении следующее решение рассматриваемой задачи [8], удовлетворяющее всем условиям а)——д):
о： = е-1П；'匂)"?)， Оу = еПг (у) t" (ж),
Тху =— rii (у) I' 0), щ = ^П - (г/) Ji(^) &,20
(4.23),
Vi =- 西ПГ⑨)I (Z -三)陶能，
0
e = ^, г (ж) = J T 化)龙；Е* = —；_•
Здесь индекс г = 1 соответствует первому слою пластинки, а г = 2 — второму и введены обозначения
口1(У)= 4 (% — У)3 + 4(% — У)? + 4(% — У)+ 4,
П2 (у)=加т Ао 仇-у)з + 加т &(% -疗 + Л2 (% - у) + А3г
6 = &电，s = £；%/(员期)，y0 - hJH, -
& =加(1 + 26 十加)/(A涼)，4 = s(2 +3J戸S)/(A%),
4 = [1 一加(3 + 2切/a，4 = 一 % 口 + s (2 + 切/A，
A = 1 + 2s (2 + 3, + 2") + b2 s2.(4.24>
Найдем еще выражения для усредиеииого по у перемещения 我2 верхнего слоя пластинки и перемещения щ точек иижней границы иижиего слоя пластинки, к которой приложена нагрузка..
Будем иметь
":位）=詁г阳能,
(4.25)
〃:L (% °)=
4/口+3b(l + b)+ 庐 s]
典》
о
Для случая плбского иапряжеииого состояния следует в формулах (4.23)—(4.25) заменить Е* соответствеиио на модули Юига Ei слоев пластинки.
§ 5. Контактная задача для сдвигового винклеровскогооснования, усиленного покрытием
В качестве примера приложения выведенных в предыдущих параграфах уравнений рассмотрим следующую контактную задачу. Пусть сдвиговое осиоваиие Винклера усилено покрытием (рис. 1.3). На участке Ы ^ а верх-
Рис. 1.3.Рис. 1.3.ией грани покрытия находится жесткая иа растяжение, ио гибкая накладка. Между осиоваиием и покрытием, а также между накладкой и покрытием осуществлено полное сцепление. К накладке приложена сдвигающая сила Т.
Рис. 1.3.
Рис. 1.3.
воспользу- немвоспользу- немПри указанной постановке задачи для ее решения емся вначале первым уравнением (2.3) и положим в
воспользу- нем
воспользу- нем
Qi = а2 = 0, т2 = кй,■ (5.1)
где 厶——коэффициент постели основания. Будем иметь
Fa — (1 — W)〃u = — (1 — v)工工 + ' [ 2V力2 Ti,(5.2)
ь=4G力+=•空胪儿
Учтем еще, что
й -> 0 (l/]f 8), Ti = 0 (|/|>〃)，房=£ (I/|W〃)，(5.3)
где е — величина жесткого горизонтального переметцсния накладки под действием силы 7.
При 丨/l >а получим
从而"一私=0, b2 = FL(l-v)k]~l.
Отсюда найдем
и =
При \х\ Wa из (5.2))имеем
с2Т1 — % =—呪，с? = (1 — 2v)胪[3 (1 — #)「* b>c.
Отсюда получим
% =屈 + Л2 ch ..
Таким образом, запишем решение поставлеииой задачи в форме
4ехр(—|z|>〃， I 卜|^|>a.
(5.4)
Удовлетворим теперь исходному дифференциальному уравнению (5.2) выбором произвольных постоянных 力1 и А2. Как было отмечено ранее, перемещения й и напряжения Ti могут допускать разрывы непрерывности при переходе через точки ж = ± а. Учитывая это обстоятельство и подставляя (5.4) в (5.2), будем иметь [11]
[3(/ — а) — 6 (z + а)] — Ь? [& —力]exp (——^j X
X [S' (z — а) — & (/ + d)]二力2 奈 sh g [3 (/ — а) — § (/ + а)]—-
—巒(е + 力/ch?) [& (z — а) — & (z + а)]. (5.5)
Приравнивая теперь в соотношении (5.5) коэффициенты левой и правой частей при дельта-функциях и их первых производных, получим для определения 4± и Л2 систему линейных алгебраических уравнений, решение которой имеет вид
/]=aa exp (- T-K 42 be ch ~ + &2 sh ~Наконец, используя условие статики7 = J 修(p)dz,/]=aa exp (- T-K 42 be ch ~ + &2 sh ~Наконец, используя условие статики7 = J 修(p)dz,腕(庐—J
/]=aa exp (- T-K 42 be ch ~ + &2 sh ~
Наконец, используя условие статики
7 = J 修(p)dz,
/]=aa exp (- T-K 42 be ch ~ + &2 sh ~
Наконец, используя условие статики
7 = J 修(p)dz,
cCh- + bcshT
найдем связь') между 7 и е
(庐一c) sh -
Т = 2кг а Ч—.
c2ch 一 + be sh —一С」
Заметим, что в точках н = 土。функции 近 и 巧 имеют разрывы первого рода, в то же время усилие Т(н) непрерывно (сосредоточенные усилия в точках н = ±а отсутствуют). Этого оказалось возможным достигнуть благодаря удержанию в первом уравнении (2.3) второго члена в правой части.
Приведем другой метод решения поставленной задачи ——метод интегральных уравнений. Переходя в (5.2) к трансформантам Фурье, будем иметь“
归1+庐公归1+庐公
归1+庐公
归1+庐公
откуда с использованием формул (1.3) найдем
% =盡 j q (У 産 J •：上詁 cos a 居一x) da. (5.7)
Принимая теперь во внимание второе и третье соотношения (5.3)1 (заметим, что первое соотношение (5.3) выполнено, так как функция, определяемая интегралом Фурье, исчезает на бесконечности [4]), а также значения известных интегралов
J cosazda = 2ji3(z),J cosazda = 2ji3(z),cos azcos azda = ±e®l (55)da = ±e®l (55)
J cosazda = 2ji3(z),
J cosazda = 2ji3(z),
cos az
cos az
da = ±e®l (55)
da = ±e®l (55)
и свойства дельта-функции, получим интегральное уравнение относительно неизвестных под накладкой контактных касательных напряжений
~j~q ⑺+ ・\/广 J T](?exp(—」；l)dg = e (l^|<«).
(5-9)
Разыскивая решение интегрального уравнения (5.9) в виде
% =力 + В ch В (Л, В = const),(5.10)
придем после ряда преобразований к выводу, что Л = fee, В = А2.
Подставляя теперь (5.10) в (5.7), получим формулы (5.4). Связь между Тле по-прежнему находится с помощью условия статики (5.6) и имеет приведенный выше вид.
Отметим, что в случае, когда жесткость покрытия по сравнению с жесткостью сдвигового винклеровского основания мала, нужно использовать вместо первого уравнения (2.3) первое уравнение (2.26). Получим изложенным выше методом для определения контактных касательных напряжений интегральное уравнение (5.9), в котором вместо параметров 62 и с2 следует писать /="/з,尸= т/3.
Покажем теперь, как решение рассматриваемой контактной задачи может быть произведено с помощью первых двух уравнений (3.3). Обозначая
，觇(/, h) == u+, 〃(⑨ —h) = u_
п полагая в соответствии с приведенной ранее постановкой задачи
т2 — ка_,
представим первые два уравнения (3.3) в виде
流□； = — ~ (тх — 2晶т；) — ~ ("——冠
〜2m1 =〜2m1 =GhGh22Z/igU— + U —Z/igU— + U —2庐2庐(5.11)(5.11)(1 - v)1 恤二—,(1 - v)1 恤二—,Gh I 執2左（1 f）十丁.Gh I 執2左（1 f）十丁.. При решении уравнений (5.11) должны щие условия:耳 f 0 (丨比]f 8), 耳 =ea-f 0(l/|f 8)? T] = 0. При решении уравнений (5.11) должны щие условия:耳 f 0 (丨比]f 8), 耳 =ea-f 0(l/|f 8)? T] = 0быть учтены следую-быть учтены следую-(6 W «),(1/1 > a),(6 W «),(1/1 > a),(5.12)(5.12)
〜2
m1 =
〜2
m1 =
Gh
Gh
2
2
Z/igU— + U —
Z/igU— + U —
2庐
2庐
(5.11)
(5.11)
(1 - v)1 恤二—,
(1 - v)1 恤二—,
Gh I 執2
左（1 f）十丁.
Gh I 執2
左（1 f）十丁.
. При решении уравнений (5.11) должны щие условия:
耳 f 0 (丨比]f 8), 耳 =e
a-f 0(l/|f 8)? T] = 0
. При решении уравнений (5.11) должны щие условия:
耳 f 0 (丨比]f 8), 耳 =e
a-f 0(l/|f 8)? T] = 0
быть учтены следую-
быть учтены следую-
(6 W «),
(1/1 > a),
(6 W «),
(1/1 > a),
(5.12)
(5.12)
а также четность задачи по 况,условие непрерывности и_ и условия взаимосвязи скачков функций и+ и Xi при переходе через точки / = ± а.
Рассмотрим участок aV/Vg. Из второго уравнения (5.11) имеем
"一 =4 exp (- ^^}(5.13)
Подставляя (5.13) в первое уравнение (5.11) и интегрируя его, получим
"+= 一 ^/^/(碣一欣)eхp(一(5.14)
Формулы (5.13), (5.14) можно распространить па участок
—оо V / V — а, если в них заменить г па |力丨.
' Перейдем к рассмотрению участка 1Hl W а. Из второго уравнения (5.11) имеем
g ⑹"I 专卜&+ 4ch^,
(5.15)
Используя условие непрерывности м_, с учетом (5.13) запишемИспользуя условие непрерывности м_, с учетом (5.13) запишем
Используя условие непрерывности м_, с учетом (5.13) запишем
Используя условие непрерывности м_, с учетом (5.13) запишем
Рассматривая далее второе соотношение (5.15) как уравнение относительно т1; будем иметь
а
「^ Jg(E)sh|^M + 4ch^.(5.18)
Учитывая теперь условия скачков напряжений н перемещений при переходе через точки / = ±а, согласно (5.12) из соотношений типа (5.5) будем иметь •
金(渦一后)4 +^sh^4 = — 2 jg (E)ch^i 能,
у (m3 —冠)4 — ~Y~ ch 至 4 = 2m2 J g (E) sh ^^ 能—e".
—a
Решение последней линейной алгебраической системы может быть легко получено и записано в форме
Л3 = —2m3 (ml — m2) 1 em：shЛ3 = —2m3 (ml — m2) 1 em：shaaD-\D-\
Л3 = —2m3 (ml — m2) 1 em：sh
Л3 = —2m3 (ml — m2) 1 em：sh
a
a
D-\
D-\
“5 =金 J g© m3ch -^i + m2sh^-^ j d^ D~\
D=m2Ch^- + m3Sh^~.
Наконец, подставляя (5.18) в соотношение (5.17), получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функции g(a)，
dEdE(5.20)(5.20)W"(7 + n)g ⑷+ Jg(&)[^sh
dE
dE
(5.20)
(5.20)
4"%/С〃匕2
На основании теории уравнений Фредгольма [ 12] уравнение (5.20) однозначно разрешимо в пространстве квадратично суммируемых функций 厶2(—1, 1) почти при всех значениях параметров тп2, тпз, к е (0, 8)и при этом gU)三0(—1, 1).
Представим решение уравнения (5.20) в виде
g 3) = ? 4gl ⑺—4 45g2 ⑺,
где gM(H) (几= 1,2) удовлетворяют соответственно уравнениям
Xgn =九，/1 二疝启，/2 = ch 寿. (5.21)
Здесь H — оператор, стоящий в левой части уравнения (5.20). Решив (5.21) с учетом (5.16), (5.19), найдем Л4 и Л5 из следующей линейной алгебраической системы:
А '1-~д f g.2(^) [^3ch^ + m2sh^-1 j ^ ■ +
+ / t gi 低)匾 ch + m, sh
厂 4 2%〃 J 51 0 [ 3%2% ]2m2〃
A^ ^ J gz(&)sh 三一龙一希jr J g2(&)ch 為産 +
+ 4+h訂 + 部 J g](3ch^ 恋一炭 J g](0sh 党"扌=
—a—a丿
2/n 証
4 В. М. Александров, С. М. Мхитарян
По формулам (5.6) и (5.18) выразим сдвигающее усилие Т через функцию g(/)
Т = 2к \ g(E“ch^ch±-lM+24Fsh：.
Приближенные решения интегральных уравнений Фредгольма 2~го рода (5.21) могут быть получены любым методом дискретизации, например методом ортогональных многочленов, изложенным в работе [13].
§ 6. О давлении штампа на пластинку, лежащуюна винклеровском основании
Пусть пластинка бесконечной длипы, находящаяся в условиях цилиндрического изгиба, лежит на основании Фусса ——Винклера с коэффициентом постели 厶 На пластинку действует симметричный гладкий жесткий штамп, прижимаемый силой Р. Основание штампа описывается уравнением у = 3 — б/* а линия контакта определяется неравенством |/丨 W а (рис. 1.4).
Физико-механические свойства покрытия будем описывать вначале
вторым уравнением (2.3), полагая в нем
T1=口 = 0, (h = I它.(6.1)
Тогда запишем
应工V 一 J / 2y 胪/ + (1 -- v)広=(1 _ V)q - 3 ；即胪0； +
萨胪冠V,(6.2)
R=^Gh3+V 胪丄
Решение уравнения ловиям:方 f 0 (|/| f оо),Перейдем в (6.2) кРешение уравнения ловиям:方 f 0 (|/| f оо),Перейдем в (6.2) к(6.2) должно удовлетворять следующим ус-(6.2) должно удовлетворять следующим ус-dd0 (1/1>* 方=3 - 6炉(1/|Wa).(6.3)0 (1/1>* 方=3 - 6炉(1/|Wa).(6.3)трансформантам Фурье. Будем иметьтрансформантам Фурье. Будем иметь_ 1 1 + &2a2 + b产 &y ~r'。〜 4 乙 1，Z 1 十犷 + 54a41…,3 ——2v , л 7_ 1 1 + &2a2 + b产 &y ~r'。〜 4 乙 1，Z 1 十犷 + 54a41…,3 ——2v , л 7(6-4)(6-4)RR3 —2v=-ТТЛГ〃“， 办4 = TF71Г 儿н， * 二-771Г3 (1 — V) ，415(1—V) ，4 Z (1 — у)3 —2v=-ТТЛГ〃“， 办4 = TF71Г 儿н， * 二-771Г3 (1 — V) ，415(1—V) ，4 Z (1 — у)
Решение уравнения ловиям:
方 f 0 (|/| f оо),
Перейдем в (6.2) к
Решение уравнения ловиям:
方 f 0 (|/| f оо),
Перейдем в (6.2) к
(6.2) должно удовлетворять следующим ус-
(6.2) должно удовлетворять следующим ус-
d
d
0 (1/1>* 方=3 - 6炉(1/|Wa).
(6.3)
0 (1/1>* 方=3 - 6炉(1/|Wa).
(6.3)
трансформантам Фурье. Будем иметь
трансформантам Фурье. Будем иметь
_ 1 1 + &2a2 + b产 &
y ~r'。〜 4 乙 1，
Z 1 十犷 + 54a41
…,3 ——2v , л 7
_ 1 1 + &2a2 + b产 &
y ~r'。〜 4 乙 1，
Z 1 十犷 + 54a41
…,3 ——2v , л 7
(6-4)
(6-4)
R
R
3 —2v
=-ТТЛГ〃“， 办4 = TF71Г 儿н， * 二-771Г3 (1 — V) ，415(1—V) ，4 Z (1 — у)
3 —2v
=-ТТЛГ〃“， 办4 = TF71Г 儿н， * 二-771Г3 (1 — V) ，415(1—V) ，4 Z (1 — у)
Опуская выкладки, с учетом (6.3), (6.4) и первой формулы (5.8) получим интегральное уравнение относительно неизвестных контактных давлений под штампом
П%6 G) + (% - A) f01 位)龙 J£"加=
乙Xd + b2a + 匕 4a
—冗2" (6 —阪2)(I x I ^ a),(6.5)
к которому нужно добавить условие статики, выражающее равновесие штампа на пластине:
a
(6.6)(6.6)p = J %仅)壶，
(6.6)
(6.6)
а также условия непрерывности напряжений б(н) при переходе через точки н = 士а, которые служат для определения величины неизвестной области контакта а:
(6.7)(6.7)6(±а) = 0.
(6.7)
(6.7)
Допустим теперь, что физико-механические свойства покрытия описываются третьим и четвертым уравнениями (3.7). С учетом обозначений v(x, 士％) == vAx) и 02 =加- запишем
3 iv4疟 "16м iv / 4経 "2 ,4 IV)
3 U十 н 01 01+ -j^-(4 - 2 [u_^-ь一 + 下无 r. )，
(6.8)
6。了=— ¥。'；+h^_"厂一享乙)，
。4 Gh3 , 16公，
J = k "IГ?— t.
3 1 — v 115
Применяя для решения дифференциальных уравнений (6.8) интегральное преобразование Фурье, найдем
m —m —44Gh3Gh33 1 — v3 1 — vV (a, h)=V (a, h)=(6.9)(6.9)1 1 + “а? + C产4 у■^ 1 + С?+* “1 1 + “а? + C产4 у■^ 1 + С?+* “К,К,
m —
m —
4
4
Gh3
Gh3
3 1 — v
3 1 — v
V (a, h)=
V (a, h)=
(6.9)
(6.9)
1 1 + “а? + C产4 у
■^ 1 + С?+* “
1 1 + “а? + C产4 у
■^ 1 + С?+* “
К,
К,
я = sr1 + ~ h\ C4 sr1.
Теперь, согласно (6.9), нетрудно выписать интегральное уравиеиие 4*'
поставленной контактной задачи. Итак, имеем
8c4。1(2)+ & — cj8c4。1(2)+ & — cjJ。1阳龙J。1阳龙da —da —
8c4。1(2)+ & — cj
8c4。1(2)+ & — cj
J。1阳龙
J。1阳龙
da —
da —
лтс4 (6 — P-z2)(|瓮|&办(6.10)
Заметим, что, как и прежде, к уравнению (6Л0) необходимо добавить условие статики (6.6) и соотношения (6.7), служащие для определения величины а.
Произведем в интегральных уравнениях (6.5), (6.10) замены переменных и введем обозначения
0 — G(1 — V)-1, п ~ 0(^Z)~\ 辽=%a,入=7za~\V = g〃_* 宓/ = хаг\ 6 = Aa, р = Y&—1,6(a 宓‘)8" = g(2‘)， (3 — 2v)(l — v)-1 =卩；
для (6.5):
卩 加 2 = §，卩 加 2 = §，〃2〃2
卩 加 2 = §，
卩 加 2 = §，
〃2
〃2
для (6.10):
也1 = *^冗九(72 +书)}+也1 = *^冗九(72 +书)}+九2 =卜+気卜十4）1九2 =卜+気卜十4）14 加2 =于4 加2 =于恤:告（九+4）-恤:告（九+4）-
也1 = *^冗九(72 +书)}+
也1 = *^冗九(72 +书)}+
九2 =卜+気卜十4）1
九2 =卜+気卜十4）1
4 加2 =于
4 加2 =于
恤:告（九+4）-
恤:告（九+4）-
При этом уравнения (6.5) и (6.10) запишутся в единой форме (штрихи здесь и далее опущены)
%q(z) + % |д0)К(^^)或：=п(А — у叫(|^|<1),(6.11)
/ 12
]十 mu// _ t \
L (и) cos d〃， L (〃)=r (z —.
01+\л/
*(6.12)
Трансформанта Фурье ядра интегрального уравнения (6.11) представляет собой рациональную функцию, поэтому уравнение (6.11) весьма просто решается в замкнутой форме [12]. Именно, записав ядро (6.12) в виде
К (z)-就(/ё法口 + 4产2同)，(6.13)
будем искать решение уравнения (6.11) в форме
2
(6.14)(6.14)q (2)=8i + 82力2 + E 巳 cos
(6.14)
(6.14)
где В§, F§ (у = 1, 2) — подлежащие определению неизвестные постоянные, 匀,& ——лежащие в верхней полуплоскости нули и полюсы функции % + 位出£(自)(I = u + tv),忆=Res [£(g), &]. Здесь учтена четность задачи по 宓・
Подставляя (6.13), (6.14) в (6.11) и приравнивая в получеп-
ном соотношении коэффициенты левой и правой частей
х2 и агрегатах ехр+ ехр (近,(^ " } имеем
(6.15)(6.16)(6.15)(6.16)旧1 +口а??2]/ = nA,[也1 +na??2]з2 = - я7；aнР 1 + a12危 ~ 仇，a2/ 1 + a22ь2 =，2；
(6.15)
(6.16)
(6.15)
(6.16)
(/,女=1, 2),(/,女=1, 2),脸 cos ^- + zk sin 争 研=一彳w
(/,女=1, 2),
(/,女=1, 2),
Алгебраические системы (6.15), (6.16) служат для нахождения неизвестных постоянных В3 и % После их решения с учетом формул (6.14), (6.6) найдем контактные напряжения 。(宓) и связь между величиной вдавливающей силы Р и осадкой пластинки 6. Кроме того, с учетом д(±1) = 0 (сравните с формулой (6.7)) определим неизвестную область контакта а штампа с по
крытием.
Заметим, что когда жесткость пластинки по отношению к жесткости основания Винклера мала, то следует вместо второго уравнения (2.3) использовать уравнения (2.26). С учетом (6.1) из первого уравнения (2.26) с точностью до。(无？)найдем о^ = о力 а из второго уравнения (2.26) будем иметь
士 [4G% (宓，士无)+ С] = 2 (1 — v) tov
Исключая далее произвольную постоянную С и замечая, что 0\ = 2u* (宓,一无),получим
и* (比,无)=(1 + n^hB^Gr (^).(6.17)
Из (6.17), принимая в расчет формулы (6.3), без труда установим, что
5（2）Т；『К + /г尸（8—胧）
(I ЖК«), (|z|>a),
[6 —限2
%(2/无)=%
(|^|<а), (I ^ !>«)•'
Далее, из (6.6), (6.7) найдем
Р = 20а(6 - Р -у-) [Л (1 + п)Г\ а=У^.
' Рассмотрим теперь поставленную контактную задачу с помощью уравнений изгиба пластин теории Кирхгофа ——Лява
0尸V 十员=5，0 =告昌(6.18)
и теории типа Рейсснера [6J
历TV - 3-2V 胪疗 + 広=3_-2v;(6 19)
3 (1 — v)113 (1 — v) 丄 ' 丿
Переходя в (6.18) и (6.19), как и ранее, к трансформантам Фурье, придем к формуле (6.4), в которой соответственно следует положить
% = 2 = 0, % = Dl~\,
"〜(6.20)
6)瓦=0, % = з([ 一 у) '* % =。卜上
Принимая, далее, в расчет условия (6.3) с учетом (6.4) и (6.19), получим интегральное уравнение относительно неизвестных контактных давлений под штампом.. В безразмерных переменных, приведенных выше, и с учетом обозначений
ОНО примет вид (штрихи далее опущены)
]\低)川^1)或=g(a-¥喲 (⑺&1),(6.21)
где. ядро K(z) представимо в форме (6.12), причем
а)厶(м)=а)厶(м)=п1十％dп1十％dб) L (a)=б) L (a)=(1 + 福2〃2) П1十福2产+掰/4(1 + 福2〃2) П1十福2产+掰/4(6.22)(6.22)
а)厶(м)=
а)厶(м)=
п
1十％d
п
1十％d
б) L (a)=
б) L (a)=
(1 + 福2〃2) П
1十福2产+掰/4
(1 + 福2〃2) П
1十福2产+掰/4
(6.22)
(6.22)
К уравнению (6.21) следует добавить условие равновесия штампа (6.6).
В силу того что трансформанта ядра уравнений (6.21) представляет собой рациональную функцию, то, как было ранее от-
метено, решение его может быть получено в замкнутом виде. Здесь, однако,, возникает вопрос о структуре функции g(方)в (6.21). Заметим, что в работах [14, 151 найдены методом «разбиения по участкам» решения поставленных задач об изгибе пластин Кирхгофа ——Лява и Рейсснера па основании Фусса ——Винклера. Результаты указанньгх статей дают основание утверждать, что контактные усилия, возникающие между штампом и поверхностью, пластинки, будут: а) складываться из распределенной нагрузки 乌*(宓),а также сосредоточенных сил Р*, действующих на краях линии контакта, т. е.
虱2)= 0*(宓)+p*3(/_1)+?*6(宓+1)；(6.23)
представлять собой только распределенную нагрузку. Неизвестная область контакта 〃 штампа с поверхностью покрытия в случае а) определяется из условия [14]
方〃(1)= 一2匕(6.24)
а в случае б)—— соответственно из соотношения [151
广(1) = 0.(6.25)
Для получения решения интегрального уравнения (6.21) воспользуемся, как и ранее, методом, изложенным в [12]. Записав ядро его в виде (6.13), будем искать решение в форме
q (宓)= 51 + &炉 + P* [5 (宓一1) + 6 (x + 1)],(6.26)
q ⑺=当 + B^ + 储 e。S(6.27)
Здесь по-прежнему Въ 82,歹拆 P* ——неизвестные постоянные, подлежащие определению, a zb £心自2——нули и полюсы функции £(自) (6.22) (^ = iz + iv\ лежащие в верхней полуплоскости.
Подставляя (6.26), (6.27) в (6.21) и выполняя, как и выше, необходимые преобразования, получим
Bi = А厂％Г % к — Y^%t,Р一您(当”一^w质)，『也•(6.28)
Заметим, что условия (6.24) и (6.25) соответственно дают
当 ±当 + 2/犯4^ + 24 炉 16^ = 0,费—£=0. (6.29)
В выражениях (6.28), (6.29) постоянные 仪门，a2a 田，瓦 имеют вид (6.16).
В заключение отметим, что решения задач об изгибе пластин Кирхгофа ——Лява и Рейсснера (6.26), (6.27), полученные в данном параграфе, полностью согласуются с результатами отмеченных выше работ [14, 15].
§ 7. Анализ точности прикладных теорийв сравнении с решением, полученнымс помощью уравнений теории упругости
Исследуем, наконец, поставленную в § 6 контактную задачу о вдавливании штампа в полосу, лежащую на основании Фус- са ——Винклера, с помощью уравнений теории упругости (1.1), (1.2). Граничные условия задачи при сделанных предположениях будут иметь вид
у = h： тку = 0, g = 0(1宓1>a),
(7.1)(7.1)V == —(6 —昵2)(|方| W a),
(7.1)
(7.1)
У =—无：Txy = 0, Оу =历；
напряжения и перемещения исчезают при \х\ f 8.
Прежде чем приступить к решению основной задачи (7.1), рассмотрим следующую вспомогательную задачу о равновесии упругой полосы с граничными условиями:
у = h: хху = 0, Оу = —0式方)，
(7.2) у = _无：％у = 0, % = 2%
напряжения и перемещения исчезают при 丨方| f 8. Здесь функция 01 (方)удовлетворяет одному из двух условий, указанных в § 1, обеспечивающих представление ее в форме интеграла Фурье.
Применяя для решения задачи с граничными условиями (7.2) преобразование Фурье по продольной координате подобно тому, как это было сделано в § 1, и полагая в (1.15)
Ti — Тз = О, S2 — lVy=-h^
для функций 2(а) ” ЬКа) (i=l, 2) получим следующие выражения:
ar (a) sh а无二一b2 (a) S^ (а),仇(a) ch a/z 工—〃？ (а) & (а), (必 _1 £nahD^ (a) ch ah sh ah sh 2ah(7》
Gia 1 sh 4a无十 4a/z + ??а/г (ch 4a无一1 — 8a?序)'
7 (a)—1 £nahD~ (a) sh aA + ch aA sh 2ah
GZa 1 sh 4а/г 十 4a无 + nah (ch 4a/г — 1 — 8a2h^) 1
n Q (/")—1 r = G (1 — V)-1.
Подставляя затем (7.3) в (1.5), после несложных преобразований будем иметь
(7.4)(7.4)и& 无)J о工⑹或 j L @К)、
(7.4)
(7.4)
£(〃)=£(〃)=ch 4u —■ 1 + nu (sh 4u-|-4u)
£(〃)=
£(〃)=
sh 4tz + 4辽 + nu (ch 4u — 1 — 8北？)
Удовлетворяя теперь решением вспомогательной задачи (7.4) краевым условиям основной, получим интегральное уравнение относительно неизвестных контактных давлений под штампом. С учетом обозначений предыдущего параграфа оно перепишется в форме
1.
(7.5)(7.5)卜化)к(与%= n(а 一 Y炉)(1尤1&1),
(7.5)
(7.5)
K(z) — ^ L (〃) 〃т cos из du (z = -^-=-^y
Здесь функция L{u)u^ непрерывна, вещественна и четна на действительной оси, а также имеют место следующие асимптотические представления:
L(u)u~l = Л + OW} 0), 4 = 1 + %
(7.6)
£(м) = 1 + 0{е~^и[) (El f 8).
На основании (7.6) найдем [5]
(…0).(…0).K(z) = О(1п |z|)
(…0).
(…0).
Основываясь теперь на результатах теорем [5] (с. 227, 228), можно утверждать, что если решение интегрального уравнения (7.5) существует в Lp(— 1, 1) (!</)< 2), то при всех X ^ (0, 8) оно имеет вид4)
g(况)=(о(①)(1 —炉)i",g(况)=(о(①)(1 —炉)i",(7.7)(7.7)
g(况)=(о(①)(1 —炉)i",
g(况)=(о(①)(1 —炉)i",
(7.7)
(7.7)
причем функция(o(z) бесконечно дифференцируема на сегменте [—1, 1]. Если при этом
(о(±1) = 0,(7.8)
то 7(г) ==(o*(r)Vl — г2, где функция (о*(г) также бесконечно дифференцируема на сегменте [—1, 1].
【)Здесь LP (—Z, Z) — пространство абсолютно суммируемых при [n| W L со степенью р функций.
(7.9)(7.9)В силу (7.6) представим функцию £(м) в виде [16]
(7.9)
(7.9)
Подставляя (7.9) во вторую формулу (7.5), на основании известного интеграла
—In I th 雯卜 J 勺^ cos (uz) duо
(7.Ю)(7.Ю)получим следующее представление для ядра: K(z)—— m|th 朗+ w(z),
(7.Ю)
(7.Ю)
N(2)= J 7? (м) i/T cos (mz) du, о
причем функция 2V(z) бесконечно дифференцируема при |z| V8 и экспоненциально исчезает при |zl -> оо. Таким образом, первое слагаемое в выражении для K(z) вида (7.10) полностью отражает все основные свойства ядра интегрального уравнения (7.5) при всех 丨z| < oof в то время как второе слагаемое 2V(z) является гладким и играет роль малой добавки. Отсюда следует, что если точно обратить интегральный оператор
■5ф= - f(P©ln|th^|^,(7.11)
то, по сути дела, будет качественно точно выявлено поведение решения уравнения (7.5) при всех значениях параметра 九巨(0, 8). На этой основе может быть развит приближенный метод решения интегрального уравнения (7.5), одинаково эффективный при всех значениях 厶三(0, 8). Последний существенно использует знание собственных функций оператора (7.11). Именно, имеет место следующее спектральное соотношение:
-f InlthI *;一=lnTn(X),(7.12)
J I4现I"吮2r- ch2疋 n、丿
г =爲？ У = cos s, X = cos i, Xo =咅屯 К (e-2r),
& = *KJ 5 = 1,2,
nreI К a 丿 J
n Г /. 下 發' _ 6一2時二^：)
s 7—к 尸 arcsinI/ с 工今—,I/ 1 — e ,
Kr (e~2r)〈 У 2 sh 2r ，？厂
Здесь 驳(后), 驳'(衣),F(cp,. к) — эллиптические интегралы первого рода.
В соответствии с (7.7) будем искать решение интегрального уравнения (7.5) в виде
q (2)=寸=1竺.=+,(7.13)
"']/ch 2r-ch 2rx' 丿
где функция 8(宓)бесконечно дифференцируема на сегменте [—1, 1]. Такая функция 0(^) может быть представлена на [—1, 11 равномерно сходящимся рядом Фурье по полиномам Чебышева
6 (宓)~ £ 〃jT2j (X).(7.14)
Функцию А — у%* а также регулярную добавку ядра N(z) вида (7.10) разложим соответственно в одинарный и двойной ряды по указанной системе многочленов. Будем иметь
ОООО ОО
А — 丫公=£ bnTin(X), N®= 2 2 етп 伪)т2т (У) 4n (X). n—0т=о п—0
(7-15)
В силу указанных выше свойств функции N(z), а также гладкости функции А — 丫宓2, ряды (7.15) равномерно сходятся к А — ^х2 и N(z) при всех \х\ W 彳，Igl 1, Z > 0.
Воспользовавшись условием ортогональности полиномов Чебышева.
』％(X)T“(X)历嗇前』％(X)T“(X)历嗇前V2V21"(产)1/2 О1"(产)1/2 О(т ~ п = 0), (т = /г* 0), (m * 原)，(т ~ п = 0), (т = /г* 0), (m * 原)，(7.16)(7.16)получим соотношения,f(A —Y”n(X)получим соотношения,f(A —Y”n(X)dx,dx,^тп (九)=PnPm^тп (九)=PnPm1 11 1-1 -1-1 -172加(У)72支(吋4，厶.~|/ch 2r — ch 2疋 ~|/ch 2r — ch^r^'72加(У)72支(吋4，厶.~|/ch 2r — ch 2疋 ~|/ch 2r — ch^r^'；(7.17)；(7.17).
』％(X)T“(X)历嗇前
』％(X)T“(X)历嗇前
V2
V2
1
"(产)1/2 О
1
"(产)1/2 О
(т ~ п = 0), (т = /г* 0), (m * 原)，
(т ~ п = 0), (т = /г* 0), (m * 原)，
(7.16)
(7.16)
получим соотношения
,f(A —Y”n(X)
получим соотношения
,f(A —Y”n(X)
dx,
dx,
^тп (九)=PnPm
^тп (九)=PnPm
1 1
1 1
-1 -1
-1 -1
72加(У)72支(吋4，厶.
~|/ch 2r — ch 2疋 ~|/ch 2r — ch^r^'
72加(У)72支(吋4，厶.
~|/ch 2r — ch 2疋 ~|/ch 2r — ch^r^'
；(7.17)
；(7.17)
Ро = * [ V2K' (е-г)]т,也=20。(九 > 1).
Подставляя теперь (7.10), (7.13) —(7.15) в интегральное уравнение (7.5), используя соотношения (7.12), (7.16) и приравнивая
в полученном выражении коэффициенты левой и правой частей при многочленах Чебышева одинакового номера, придем к следующей бесконечной алгебраической системе для определения неизвестных коэффициентов 出：
а： = —(九)а?г + gj (у = 0, 1, 2,...
_(7.18)
gj =h方①，^nj (九)=九j P，2 &?j (入)•
Лемма. Для коэффициентов етп(к) вида (7.17) имеют место следующие оценки:
I етаз)|《4*!?：:，必(大),&0")|《就即1,
I %n (Ml《姿吟2 也 M]()I е。。Q) I《4，(7.19)
Mi (X) = 2 + ^^ 乎 D (th r), Di = max 丨 N⑴(z) |,
D(k)——полный эллиптический интеграл третьего рода.
Для доказательства проинтегрируем выражение для етгШ вида (7.17) дважды по частям по ①吸 один раз по 自.После ряда несложных выкладок и оценок придем к (7.19).
Теорема. Оператор, стоящий в правой части (7.18), действует из пространства квадратично суммируемых последовательностей 勾 в 勾 вполне непрерывно при всех 九巨(0, 8)и является оператором сжатия при X > Хо. Постоянная Хо находится из уравнения
ZR)= "^"{"^""thr)^^ [历(九)+ 京据(矶 +
+ 片 +青研=1. (7.20).
Для доказательства возьмем интеграл в первой формуле (7.17) дважды по частям. Легко убедиться, что последовательность {gj 巨为・ Далее, с помощью оценок (7.19) можно показать, что
£ 2 [Cmn (讶2《Z G) V ОО.(7.21)
m=0 九=0
Из (7.21) следует, что оператор, стоящий в правой части (7.18), действует из 厶 в Z2 и является там вполне непрерывным при X 巨 三(0, 8). Отсюда на основании теоремы Гильберта [17] бесконечная система (7.18) однозначно разрешима почти при всех значениях параметра 九.Из (7.21) видно, что при выполнении равенства (7.20) указанный выше оператор будет оператором сжатия в %2・ Следовательно, при X > Zo решение бесконечной системы
в пространстве 勾 существует, единственно и может быть колучено с любой степенью точности методом последовательных приближений.
Заметим, что бесконечную систему (7.18) можно еще представить в форме
•)，•)，(7.22)(7.22)^п а口方北 "N ^m^mn （九）（也=。，1, 2, m=o
•)，
•)，
(7.22)
(7.22)
a几=^/Дл, Cmn (九)=Pm 九m ^m?z (^)*
Нетрудно показать, что {6壮}三厶 где 2 — пространство абсолютно суммируемых последовательностей. Получив для стп (X) оценки типа (7.19), можно также убедиться, что оператор, стоящий в правой части (7.22), действует из Z в Z. Можно доказать, что бесконечная система (7.22) квазивполне регулярна при % > 0. Тогда, если существует ее ограниченное решение, то {а^}三， Можно указать некоторое 入* >0, такое, что при 厶> 九* бесконечная система (7.22) вполне регулярна.
Как легко заметить, если решение исходного интегрального уравнения (7.5) берется в виде (7.13), то ограниченное решение уравнения (7.5) будет иметь место при условии
6(±1)=0, (7.23)
что эквивалентно условию (7.8). Условие (7.23) служит для определения неизвестной величины области контакта штампа с полосой при заданном значении вдавливающей силы
Q = Р (а6)т = J 9 (%) dx. (7.24)
Проведем теперь асимптотический анализ трансформанты Фурье ядра уравнения (7.5), полагая, что
/г 〜九m ”0). (7.25)
Здесь при т>0 жесткость основания Фусса ——Винклера больше жесткости покрытия, а при m < 0 ——наоборот.
Пусть т = 0, 1. Подставляя (7.25) во вторую формулу (7.4) и пренебрегая членами порядка О(^), получим L(u) ^ 1 + п, что соответствует случаю, когда покрытие моделируется винклеров- ским слоем, т. е. случаю уравнения. (6.17).
Допустим теперь, что т = i (Х = 2, 3, 4). Отбрасывая члены порядка 。(九')в выражении для L(u) вида (7.4), будем иметь 厶(м)内 1. Такой результат получится, если считать, что все составное основание соответствует модели Фусса ——Винклера с коэффициентом постели Qh~l.
с увеличением значения теориям I，III, IV будет теории VI. Более того,с увеличением значения теориям I，III, IV будет теории VI. Более того,
с увеличением значения теориям I，III, IV будет теории VI. Более того,
с увеличением значения теориям I，III, IV будет теории VI. Более того,
Положим далее т = —i (» = 1, 2). Пренебрегая в L(u) членами порядка 0(*), получим предыдущую модель Фусса ——Винклера с коэффициентом постели Z:
L(m) в п. (7.26)
Пусть теперь mW—3. Подставим, как и ранее, (7.25) в формулу для L(〃) вида (7.4) и пренебрежем членами порядка °(入？)• Тогда
(7.27)
что совпадает с трансформантой Фурье ядра (6.22а), т. е. в случае (7.27) покрытие работает как пластинка Кирхгоффа — Лява. Аналогично, пренебрегая членами порядка OW) при т = —3 и 。(九4) при т = —4, —5, получим (6.226) (покрытие моделируется пластинкой типа Рейсснера).
Используя результат данной главы, приведем теперь конкретные примеры расчета характеристик рассматриваемой задачи по
прикладным теориям и с помощью уравнений теории упругости. Для определенности подолбим 屮=0,3; р无=1,5 • 10-2; п = 0,5т (тп = —4,…，0). В дальнейшем условимся относить результаты, полученные при использовании уравнений (6.2), к I теории, (6.8) — ко II теории, (6.18) — к III теории, (6.19) — к IV теории, винклеровской модели (6.17) или (7.26) — к V теории, а решение, полученное с помощью уравнений теории упругости,— к VI теории.
На рис. 1.5, 1.6 пока- заны графики зависимости
внедрения штампа 6^-1 от действующей силы Q九一 при 7nH — 3, —1 соответственно (здесь и далее номер кривой соответствует номеру использованной теории). Заметим, что кривая 4 на указанных
рисунках будет лежать между кривыми 3 д 1, почти совпадая с последней. Как видно из рисунков, а также табл. 1.1 (тп = —2),
параметра т решение по прикладным все сильнее отличаться от основного по применение модели Фусса — Винклера
Рис. 1.6.
(теория V) дает для т А —2 более точные результаты, чем, например, модели Кирхгофа ——Лява (теория III) или Рейсснера (теория IV). Таким образом, численные данные качественно подтверждают асимптотический анализ уравнения (7.5) при условии (7.25). Отметим, что решение по теории II оказывается более точным по сравнению с решениями по другим прикладным теориям.
Таблица 1.1. Значения <2Х-1-102
б/»т
0,067
0,1
0,133
0,167
0,2
Теории I
6,277
10,392
15,121
20,429
26,272
II
4,832
8,160
11,970
16,231
20,913
III
7,166
11,088
15,732
21,000
26,825
IV
6,349
10,446
15,170
20,478
26,323
V
4,685
8,606
13,250
18,518
24,342
VI
5,146
8,414
12,198
16,439
21,104
Изучим далее распределение контактных давлений. В табл. 1.2 приведены значения q{x) при тп — — 4 для ^V1 = 7,19 • 10~2. Напомним, что по теории III па краях области контакта возникают сосредоточенные усилия, а по теории IV будут ненулевые значения контактных давлений, что не позволяет соответствующим
Таблица 1.2. Значения д-103
х/а
0,0
0,2
0,4
0,6
°，8,
0,95
1,0
Теории I
2,297
2,306
2,304
2,172
1,623
0,566
0,0
II
2,075
2,043
1,928
1,656
1,090
0,339
0,0
III
1,159
1,158
1,156
1,152
1,146
1,139
1Д30
IV
2,180
2,209
2,299
2,459
2,704
2,957
3,218
VI
2,245
2,234
2,185
2,040
1,660
0,923
0,0
теориям эффективно моделировать исходную задачу. С увеличением значения параметра т (см. табл. 1.3 (при т = —2 для Q九-| = 0,122) и рис. 1.7 (при тп = 0 для ^V1 = 0,50)) точность приближения для теорий I, III и IV будет уменьшаться. Здесь, так же как и при анализе внедрения штампа от действующего на него усилия, решение по теории II будет достаточно хорошо отражать распределение контактных давлений для всего диапазона изменения параметра т.
Еще более сильные отличия различных теорий будут проявляться при анализе величины области контакта V1 в зависи-
Рис. 1.8.
мости от действующего на штамп усилия QL* Точность различных теорий можно оценить по рис. 1.8 (тп = —3) и рис. 1.9
Таблица 1.3. Значения q^ 102
х/а
0,0
0,2
0,4
0,6
0.8
0,95
1,0
Теории I
4,218
4,168
4,046
3,639
2,577
0,863
II
■3,587
3,505
3,234
2,688
1,703
0,514
III
2,713
2,708
2,695
2,673
2,642
2,614
2,606
IV
4,074
4,089
4,136
4,226
4,378
4,547
4,580
V
3,155
3,028
2,650
2,019
1,136
0,308
VI
3,792
3,752
3,608
3,286
2,597 .
1,4И
(т = —1). Связь между величиной области контакта 入一‘ и внедрением штампа 3无一‘ показана в табл. 1.4 для случая m = 0.
В заключение численного анализа отметим, что рассмотренная в § 6, 7 задача является многопараметрической п при соответствующем соотношении между параметрами можно получить как сильное различие между прикладными теориями и теорией Таблица 1.4. Значения X-1
-0,067
о/ .
0,133
0,167
0,2
Теории I
4,670
2,30
2,525
2,875
3*93
II
1,833
2,287
2,679
3,028
3,345
III
0,589
1,063
1,462
1,814
2,132
IV
1,339
1,801
2,196
2,546
2,863
V
2,108
2,582
2,981
3,333
3,651
VI
1,518
1,974
2,368
2,719
3,046
VI, так и вполне удовлетворительные результаты хотя бы по ряду характеристик решения. Лучшее приближение к теории VI всегда получается при использовании уравнений (6.8) теории II, поскольку последняя в отличие от других рассмотренных прикладных теорий учитывает сжатие пластины.
Основные уравнения для тонких прямоугольных,кольцевых, цилиндрических и сферических упругихпокрытий (накладок)
В этом параграфе приведем основные уравнения для тонких прямоугольных, кольцевых, цилиндрических и сферических накладок, трактуя их в рамках теории тонких оболочек и пластин, которые лишены жесткости на изгиб и кручение.
Уравнения теории тонких оболочек, основанные на классических гипотезах Кирхгофа — Лява, сводятся к следующим [9, 18]： уравнения равновесия
不++丿+耳+ т+-т- = 0,
RI
/ дАТ^dAT^@4 Е©4、 ％砂
1 йа2 '+ da； % J da”J 丨 & 丨 Р+一 °'
1 1
d4M
、41 +
如"2 )
吗丿
」?+0- - °，
4 /
дАМпл
дАл
dа\
А А
да 1
йа м12'
而-м2)-他=W；
1 2
2
2
1 /
4 /
У дАМ^
次也。
呎
认 \
1
12 _|_
212
十% &1
da」以1丿п％u,9•丄)
компоненты деформации срединной поверхности
1
6以1
1
.1 w
"А
"2 丁
дип
九2十
1
〃1 +
w
44
勺
(8.2)(8.2)упругие соотношенияEhEh21 ~ 42 (81 + Vie2)T ?2= ^2 (»2 + Viei)'упругие соотношенияEhEh21 ~ 42 (81 + Vie2)T ?2= ^2 (»2 + Viei)'
(8.2)
(8.2)
упругие соотношения
EhEh
21 ~ 42 (81 + Vie2)T ?2= ^2 (»2 + Viei)'
упругие соотношения
EhEh
21 ~ 42 (81 + Vie2)T ?2= ^2 (»2 + Viei)'
/3E庐
M^ = W^^^+^ Mk 巫г (/ + %/), (8.3)
鸣4" 24d4/~ 招：3 ад叫％^2дА^т dAi , и dAi _鸣4" 24d4/~ 招：3 ад叫％^2дА^т dAi , и dAi _1 % 8s 可4恒■1 % 8s 可4恒■
鸣4" 24d4/~ 招：3 ад
叫％^2дА^т dAi , и dAi _
鸣4" 24d4/~ 招：3 ад
叫％^2дА^т dAi , и dAi _
1 % 8s 可4恒■
1 % 8s 可4恒■
712 = 2 (1" VJ (з + 颯т} ?21 = 2(131)|з + ё^т}М12 = -^21 = " = ]2 (1 十 ％) Т；
уравнения неразрывности деформаций
’电1;吟%2%十4 ^2
1 ( 招% да2
A 2 Е] А/ I d% 4 L 2 d% d%、21/
+ 而” 1 _ 员)_ E 4 E _ 石”D = °-
В этих уравнениях а【и а?——координатные линии на срединной поверхности оболочки, совпадающие с ее линиями главной кривизны; Нт и Н2 — радиусы их кривизны; /】и Л2 — соответствующие параметры Ляме; N, Т s М — соответственно перерезывающие силы, осевые усилия и моменты в оболочке; 〃力 и2 и w — компоненты перемещений соответственно вдоль линий аи а2 и вертикали а3 к срединной поверхности; Е“ vi ——упругие постоянные; h——толщина оболочки, а т土, р土, q土 ——компоненты внешней нагрузки, действующей на верхней (+) и нижней (—) гранях оболочки.
При решении конкретных задач к этим уравнениям должны быть добавлены граничные условия [18].
Теперь из уравнений (8.1) —— (8.4) выведем основные уравнения теории тонких пластин, для чего положим
(Z1 = х, guy, (Z3= 2, Ai^Az — As — 1, Rt — °°, /?2 = °°«
Тогда на основании (8.1) —(8.4) получим:
уравнения равновесия
%дх%дхдТ21дТ21+ т+ — т- = О,+ т+ — т- = О,07卜亭厂+卫+一p- = 0,07卜亭厂+卫+一p- = 0,(8.5)(8.5)dN、 8N.k + 歹 +。+ 一0一 = °，dN、 8N.k + 歹 +。+ 一0一 = °，吗！叫1дх 十 ду吗！叫1дх 十 ду3%с дх ~3%с дх ~компоненты деформациикомпоненты деформации—%2 = °；—%2 = °；упругие соотношенияе 马无，、е Eh71 = j- T2 ® + %垣)，？2 = t _* (82 + %/)，упругие соотношенияе 马无，、е Eh71 = j- T2 ® + %垣)，？2 = t _* (82 + %/)，(8.6)(8.6)M 马庐，、居庐Ml = 12 (1 _ 唠(% 十 ％“2)' “2 = 12 (1 - V?) (/ 十M 马庐，、居庐Ml = 12 (1 _ 唠(% 十 ％“2)' “2 = 12 (1 - V?) (/ 十(8-7)(8-7)Ti2=n#v, gM]2 н M21 = H —Ti2=n#v, gM]2 н M21 = H —T — 7 / 21 — / 12,T — 7 / 21 — / 12,уравнения неразрывности деформацийуравнения неразрывности деформаций--..I :一 一 I I .' g ". I /- 一ду d忆 '8化 8y ， дх2--..I :一 一 I I .' g ". I /- 一ду d忆 '8化 8y ， дх2(8.8)(8.8)Далее будем считать, что местности пластин на изгиб и кручение пренебрежимо малы, т. е. положимДалее будем считать, что местности пластин на изгиб и кручение пренебрежимо малы, т. е. положимDs =Ds =Е^312 (1 — V；)Е^312 (1 — V；)а 0, Ge —а 0, Ge —12 (1十*)12 (1十*)^ 0.^ 0.
%дх
%дх
дТ
21
дТ
21
+ т+ — т- = О,
+ т+ — т- = О,
07
卜亭厂+卫+一p- = 0,
07
卜亭厂+卫+一p- = 0,
(8.5)
(8.5)
dN、 8N.
k + 歹 +。+ 一0一 = °，
dN、 8N.
k + 歹 +。+ 一0一 = °，
吗！叫1
дх 十 ду
吗！叫1
дх 十 ду
3%с дх ~
3%с дх ~
компоненты деформации
компоненты деформации
—%2 = °；
—%2 = °；
упругие соотношения
е 马无，、е Eh
71 = j- T2 ® + %垣)，？2 = t _* (82 + %/)，
упругие соотношения
е 马无，、е Eh
71 = j- T2 ® + %垣)，？2 = t _* (82 + %/)，
(8.6)
(8.6)
M 马庐，、居庐
Ml = 12 (1 _ 唠(% 十 ％“2)' “2 = 12 (1 - V?) (/ 十
M 马庐，、居庐
Ml = 12 (1 _ 唠(% 十 ％“2)' “2 = 12 (1 - V?) (/ 十
(8-7)
(8-7)
Ti2=n#v, g
M]2 н M21 = H —
Ti2=n#v, g
M]2 н M21 = H —
T — 7 / 21 — / 12,
T — 7 / 21 — / 12,
уравнения неразрывности деформаций
уравнения неразрывности деформаций
--..I :一 一 I I .' g ". I /- 一
ду d忆 '8化 8y ， дх2
--..I :一 一 I I .' g ". I /- 一
ду d忆 '8化 8y ， дх2
(8.8)
(8.8)
Далее будем считать, что местности пластин на изгиб и кручение пренебрежимо малы, т. е. положим
Далее будем считать, что местности пластин на изгиб и кручение пренебрежимо малы, т. е. положим
Ds =
Ds =
Е^3
12 (1 — V；)
Е^3
12 (1 — V；)
а 0, Ge —
а 0, Ge —
12 (1十*)
12 (1十*)
^ 0.
^ 0.
Тогда ЛЛ = 〃2 = "t2 = “2t = 0 и уравнения (8.5) —(8.8) переходят в следующие:
忆I附12дх 1 ду忆I附12дх 1 ду十 н — т_ = О,十 н — т_ = О,叫2дх叫2дх67+ — + Р+ ~ Р- о,67+ — + Р+ ~ Р- о,q^ = q~\q^ = q~\(8.9)(8.9)
忆I附12дх 1 ду
忆I附12дх 1 ду
十 н — т_ = О,
十 н — т_ = О,
叫2дх
叫2дх
67
+ — + Р+ ~ Р- о,
67
+ — + Р+ ~ Р- о,
q^ = q~\
q^ = q~\
(8.9)
(8.9)
%1 = 0, 2V2 = 0；
”"1 дх '
丁，
二 v；
3 = 丁 +行;
(8.10)
Eh
(S2 + Vl£l)> T12 = 2 0+*,) 3；
居2戸8 I経% _ Q
d/ дх ду 十，勿2•
(8.11)
(8.12)
Уравнения (8.9)—(8.12) идентичны уравнениям плоской теории упругости в случае обобщенного плоского напряженного состояния [19]. Этими уравнениями описывается механическое поведение пространственных прямоугольных накладок.
Теперь рассмотрим случай плоской деформации бесконечной в обоих направлениях пластины, когда w2 = 0 и все величины не зависят от у. В этом случае из (8.6) вытекает, что
& = з = 乂2 = т = 0,
и, следовательно, из упругих соотношений (8.7) будем иметь Tl2 = T2i ==
Тогда уравнения (8.5) —(8.7) сводятся к следующим:
-^ + н - т_ = 0,-^ + н - т_ = 0,dM,
-^ + н - т_ = 0,
-^ + н - т_ = 0,
— + q+-q- = O, — - ^ = 0,
М = 0;М = 0;(8.13)
М = 0;
М = 0;
(8.14)
(8.15)
а уравнения (8.8) превращаются в тождество.
Уравнения равновесия (8.13), очевидно, можно записать в виде
B =(846)
или при помощи упругих соотношений (8.15)—— в виде
Es
тг = J — н， ах
(8.17)
Ds-
d%
=一 0—— ？+•
(8.18)
Уравнения (8.17) и (8.18) представляют собой общеизвестные уравнения соответственно растяжения стержня и изгиба балки.
Положив, как выше, Ds = 0, из (8.18) получим'
q- = %,(8.19)
и основным уравнением будет (8.16) (или (8.17)). Этими уравнениями описывается поведение прямоугольных накладок, находящихся в одноосном напряженном состоянии. Если, в частности, q+三 0, то, согласно (8.19), также ,_三0,.皿，следовательно, придем к известной гипотезе Мелана [20].
Заметим, что уравнения (8.16) и (8.17) можно получить также из системы уравнений (8.9) —(8.12), рассматривая случай плоской деформации.
Случай обобщенного плоского напряженного состояния пластины, как обычно, приводит лишь к изменению констант 豆匕 vt.
В дальнейшем уравнение (8.16) (или (8.17)) неоднократно будет использовано.
Перейдем теперь к выводу определяющих уравнений для тонких кольцеобразных накладок. Их будем трактовать как неполную круговую цилиндрическую оболочку с осью z, бесконечно длинную в обоих направлениях и находящуюся в условиях плоской деформации. При этом положим
© = s, а2 = 2, аз = г =打，
где 5 ™ длина дуги средней линии накладки: s = E今.В данном случае
At = А2 ~ А3 = 1, R = R,几=8,
〃2 =^ $2 == 乂2 === S u7 T = 0.
Отсюда сразу вытекает, что уравнения неразрывности деформаций (8.4) тождественно удовлетворяются. С другой стороны, из упругих соотношений (8.3) получим
7\ =瓦 ％,北=£sv8t, Mi = 2乂匕 Mz — Dsvk^
(8.20)
7t2 = Mi =園2 = M2l = 0.
Положив, как выше, Ds = 0, находим, что уравнения равновесия (8.1) сводятся к следующим:
1 dT. /Г】
万号= t(e)，一自=g(9)，(8.21)
T ⑹=T-(0)—工+(0), 9(9) = q-(0) — q+(0).
Уравнения (.8.21) можно переписать в виде
黑=一T⑼，(8.22)
4•号="⑼•(&23)
"Рис. 1.10."Рис. 1.10.8%8%j 5,目)_ °/ *(8.24)——=°，j 5,目)_ °/ *(8.24)——=°，
"Рис. 1.10.
"Рис. 1.10.
8%
8%
j 5,目)_ °
/ *(8.24)
——=°，
j 5,目)_ °
/ *(8.24)
——=°，
Уравнения (8.22) —(8.23) вместе с первыми двумя уравнениями (8.20) являются основными уравнениями для тонких кольцеобразных накладок, которые должны сообразно конкретным случаям рассматриваться при определенных граничных условиях.
Перейдем далее к выводу основных уравнений для тонкого кольцеобразного стержня (бруса, стрингера) с круговой осью. Пусть кольцеобразный стрингер с круговой осью радиуса R, толщины h1 ширины d, угла раствора 2a (-0 < а < л) и с упругими константами Е^ vi на своей верхней грани загружен касательными силами интенсивности т+("), сосредоточенными вдоль линии (дуги окружности) этой грани, а на своей нижней грани ——касательными и радиальными силами соответственно интенсивностей т_(^) и (令)(рис. 1.10). Будем считать, что 九 d《R. Кроме того, будем считать, что изгибная жесткость стрингера в направлении z пренебрежимо мала, вследствие чего, согласно двум последним формулам (8.9), Oz |z=_d/2 = Oz |z=d/2 = 0- • Исходя из последнего, по всей высоте вообще положим dz * 0. Тогда поведение стрингера будет опи
сываться остальными уравнениями (8.9) — (8.12), которые в ортогональных криволинейных координатах (s, к) (§ — Е") будут иметь вид
где os, on, Tsn ——компоненты напряжений. Закон Гука (8.11) в координатной системе (§, п) запишется следующим образом:
仇=2山统 + 厶侈，оп = 2р/1еп + Л1^, Tsn = gi^sn, (8.25)
где компоненты деформации будут даваться формулами
(8.26)(8.26)е$ - 1 + n/R ~ + 1 + nlR^R' е = е$ +
(8.26)
(8.26)
〃 _, Л . n \ д (%\
e” 而,esn — 1 + n/R IT +^T \ 1 + n/R Л
Здесь u^ = us и Ur = Ur — компоненты перемещений вдоль осей s и тг соответственно, т. е. вдоль " и г, а е] л &匕
"i = 2(t + vj 入1 = 丁齊
—константы Ляме материала стрингера. Отметим, что во всех формулах (8.24)——(8.26) фигурируют средние по ширине бруса величины. При этом в пределах допустимой точности теории тонких оболочек в (8.26) можно положить 1 + n/R « 1.
Теперь уравнения (8.24) осредним по толщине бруса [9]. Приняв во внимание отсутствие напряжений оп и т5П на поверхностях п = 士无/2 бруса, придем к уравнениям
号 + 帚3 = °，—--R-~~d— = °'
号一M = 0; (8.27)
h/2h/2
i/2h/2q-(0) = j g_ (0, n) dn, (8.28)f/2h/2J nos(s, n) dn.-h/2i/2h/2q-(0) = j g_ (0, n) dn, (8.28)f/2h/2J nos(s, n) dn.-h/271(5) = 71(9)= J os(s, n) dn, M = j rsn (s, и) dn,
i/2h/2
q-(0) = j g_ (0, n) dn, (8.28)
f/2
h/2
J nos(s, n) dn.
-h/2
i/2h/2
q-(0) = j g_ (0, n) dn, (8.28)
f/2
h/2
J nos(s, n) dn.
-h/2
h/2
t_ (8) = j T_ (也 n) dn,
H(s) =
С другой стороны, трактуя круговой брус как тонкую неполную цилиндрическую оболочку длины d, загруженную по своим нижним и верхним граням, и положив
cti = s, а2 = 2, а3 = п = г, Л1 = Л2 = 1,瓦=R, /?2 = 8,
к уравнениям равновесия (8.1) применим известную процедуру получения уравнений обобщенного плоского напряженного состояния из общих уравнений теории упругости [191. В результате опять придем к уравнениям (8.27). При этом упругие соотношения (8.3) или (8.20) примут вид
7\=笈 1无”，М[=-^—%;(8.29}
〃а(0) = %(§)= I к 也几)d%(8.30)
九/2
Ur(0) = Un (s) = I un (s, n) dn.
-h/2
Заметим, что первое соотношение (8.29) можно получить нз за-
кона Гука (8.25), положив о^ ^ 0 и затем полученное равенство осреднив по толщине бруса/).
• Далее пренебрегаем изгибпой жесткостью бруса в поперечном направлении, т. е. положим
Е 也 з/[2^о.
Тогда Mi = Ni = Q и уравнения равновесия (8.27) сводятся к следующим:*
4•崇 十耳⑻ J卫二。’(°)= ~i~T1^ (-aV®Va).
(8.31)
(8.32)(8.32)Из (8.31) непосредственно вытекает, что dq_ ..
(8.32)
(8.32)
— т-(0)(— a<0<a).
Уравнения (8.31) вместе с первым уравнением (8.29) составляют основную систему уравнений для тонкого кольцеобразного стрингера с круговой осью, к которым должны быть добавлены соответствующие граничные условия.
Рассмотрим теперь полную цилиндрическую оболочку конечной длины при осевой симметрии. Положим
а】=z, а2 = s (§ = К").
Тогда Ai = А2 = 1, Ri = °°, R?= R, и из соотношений (8.2) будем иметь
61 = -J7-, % =亙，％2 = 3 = т = 0, % =^2，(8.33)
а из упругих соотношений (8.3) получим
Т[=笈 б(% + Vle2)T ?2 = Es(&2 + %%)，
妬 刀№, M2 =1,
S ~ Ti2 = ?2i — Л/12 = Л/21 = Н = 0(8.34)
EsEsE]h1 — VjTE]h1 — VjT瑞九3、А = ЩГ^・瑞九3、А = ЩГ^・
Es
Es
E]h
1 — VjT
E]h
1 — VjT
瑞九3、
А = ЩГ^・
瑞九3、
А = ЩГ^・
Уравнения равновесия (8.1) переходят в следующие:
■Зг + т+ — т- = 0,■Зг + т+ — т- = 0,石一耳+ 9+ — 9- = 0,石一耳+ 9+ — 9- = 0,<Ш\dz<Ш\dz忆=0,忆=0,
■Зг + т+ — т- = 0,
■Зг + т+ — т- = 0,
石一耳+ 9+ — 9- = 0,
石一耳+ 9+ — 9- = 0,
<Ш\dz
<Ш\dz
忆=0,
忆=0,
(8.35)
i) Первое соотношение (8.30) получается из (8.26), если придерживаться точности теории тонких оболочек, т. е. в нем положить 1 + h/R ^; 1.
а уравнения неразрывности деформаций (8.4) сводятся к му-единственному уравнению^ + Т = о.Последнее уравнение в усилиях и моментах имеет видR 十变不一—а уравнения неразрывности деформаций (8.4) сводятся к му-единственному уравнению^ + Т = о.Последнее уравнение в усилиях и моментах имеет видR 十变不一—одно-одно-(8.36)(8.36)[181[181(8.37)(8.37)
а уравнения неразрывности деформаций (8.4) сводятся к му-единственному уравнению
^ + Т = о.
Последнее уравнение в усилиях и моментах имеет вид
R 十变不一—
а уравнения неразрывности деформаций (8.4) сводятся к му-единственному уравнению
^ + Т = о.
Последнее уравнение в усилиях и моментах имеет вид
R 十变不一—
одно-
одно-
(8.36)
(8.36)
[181
[181
(8.37)
(8.37)
Далее, как всегда, полоя^им Ds ^ 0. Тогда Mi = М2 = 0 и уравнения (8.35) приобретают вид
幽T
石=一 “ = — 6 五=q+ — q- = q・ (8.38)
Кроме того, в данном случае Xi = 0, что показывается далее. С учетом этого равенства уравнение (8<36) приобретает вид
(8.39)
откуда при помощи (8.33) будем иметь
(8.40)
(841)(841)(8-42)(8-42)С другой стороны, положив в (8.37) Mi = М2 = 0, получим d2(T2-%厶)_ A
(841)
(841)
(8-42)
(8-42)
что с учетом (8.3幻 совпадает с (8.39) или (8.40).
Теперь, интегрируя (8.41), находим
dT. dT. с
石 7у = с。，
и, учитывая (8.38),
R^^ = C0.
Уравнение (8.42), полученное из уравнения неразрывности деформаций (8.41) при помощи уравнений равновесия (8.38), показывает, что внешние нагрузки и т не могут быть произвольными и должны быть подчинены условию (8.42). Считая, что конечная цилиндрическая оболочка занимает область a^z^ bt еще.раз интегрируем соотношение (8.42):
冗虱z) =CqZ— vi J x(y)dy + Do (a&z&6)・ (8.43)
Для определения неизвестных постоянных Со и Do нужны дополнительные условия. С этой целью рассмотрим равновесие продольного волокна оболочки (рис. 1.11). Условие моментного равновесия этого волокна относительно его конца z = а даст
、ь
J (г — л) g(z)dz = 0.(8.44)
Другие условия равновесия этого волокна не приводят к новым
Рис. 1.11.
это волокно, равен нулю, то (8.42) примет вид
増
dz
соотношениям, не вытекающим из уравнений равновесия (8.38) и условий равновесия всей оболочки как абсолютно жесткого тела.
Теперь, последовательно интегрируя (8.41) и приняв во внимание (8.39) и (8.40), получим
⑵=耳^ 2 + -D.
Отсюда видно, что Со характеризует угол поворота продольного волокна. Но поскольку вследствие (8.44) момент, действующий на следует положить Со = 0. Тогда
二一山T. (8.45а)
Постоянная же DQ определится из (8.44).
Теперь легко видеть, что при условии (8.42) или (8.45а), действительно, Xi = 0. Это утверждение непосредственно* вытекает из соотношения
ur(z) = D — const,(8.456)
полученного выше. Очевидно также, что (8.45а) и (8.456) эквивалентны.*
Отметим, что здесь рассматривалось безмоментное напряженное состояние оболочки. Моменты равны нулю не только в дифференциальных элементах оболочки, но и, согласно (8.44), в ее продольных волокнах. Перемещения оболочки при ее безмомент- ном напряженном состоянии определяются известным способом [11.
Наконец, перейдем к сферическим оболочкам. Пусть имеем сферическую накладку в виде тонкой сферической оболочки (пояса) радиуса R, загруженной осесимметричной нагрузкой. Положим
«1 = а?=屮，a3：=r = z.
Тогда 41 = /?, А2 = И sin^. При аксиальной симметрии иф == 0 и все величины не зависят от ф. Пренебрегая, как всегда, изгиб- ной жесткостью оболочки D&, обнаружим, что в разбираемом случае Mi = М2 = M2i = Ti2 = Т21 = 0. Следовательно, уравнения равновесия (8,1) сводятся к следующим двум:
R~db+ ~n~T^Г2 += 0,灭 + 才= д+-д_.
(8.46)
Соотношения (8.2) примут вид
% = % =互丽 + 方 22 = % =互(两ctg " + mГ)， t d (du \1 du(8,47)
% =—表為帰% = —^Ctg|®(爲—叫 CO = T = 0S
упругие соотношения (8.3) — вид
Ti = £"§(% + wa), Т2 = Es(£2 + 5%),(8.48)
а уравнения неразрывности деформаций (8.4)——видJ)
sin 令肃 + cos 令(e2 —彳)=0.(8.49)
Учитывая (8.48), уравнения (8.49) преобразуем к следующему:
sin е 言⑴ 一 v£)+ (1 + %) cos e (応 一 Л) = 0.(8.50)
Решение системы уравнений (8.46), если нижний край оболочки 2 = Р не нагружен силами, выражается формулами [18]
Ti ^― J [q (u) cos 乂 一 t (и) sin u] sin и d〃，(8.51)
sin %
T = Eq(") 4—— I [q (u) cos u — r (u) sin u] sin udu (a V" Vp),
sin 3 J
где
q(") = q+(") — 9-("), т(^) = j(") — t_(0).
Подставляя (8.51) в (8.50), придем к соотношению
嘉+ (1 + %)т2) = 0.(8.52а)
Таким образом, уравнение неразрывности деформаций (8.50) или
*) Здесь учтены равенства 衍=也=0, правомерность которых в данном случае показывается далее.
удовлетворяется, если компоненты внешней нагрузки связаны между собой зависимостью (8.52а)..
Займемся определением перемещений сферической безмомент- ной накладки. При помощи (8,47) и (8.48) будем иметь
警一 Ctg ° = ^1 Е (7\ — ?2)・
Интегрирование этого уравнения с учетом (8.51) даст
f q (u) du 丄 J sin и * 0f q (u) du 丄 J sin и * 08080(cos 心一COS 北)(f + COS 3 COS ")(cos 心一COS 北)(f + COS 3 COS ")(1 — cos2 3)(1 — cos2 u)(1 — cos2 3)(1 — cos2 u)+ ь+ ь0 ctg^0 ctg^ctgf」ctgf」义义к® = C sin " + 胃孑兄2 sin ®
f q (u) du 丄 J sin и * 0
f q (u) du 丄 J sin и * 0
8
0
8
0
(cos 心一COS 北)(f + COS 3 COS ")
(cos 心一COS 北)(f + COS 3 COS ")
(1 — cos2 3)(1 — cos2 u)
(1 — cos2 3)(1 — cos2 u)
+ ь
+ ь
0 ctg^
0 ctg^
ctgf」
ctgf」
义
义
(8.53)(8.53)X [q (〃) cos u — т (u) sin u] sin и d〃
(8.53)
(8.53)
(aV"vp).
Приняв во внимание (8.53), опять из (8.47) и (8.48) получпм
FT 甯 cos^FT 甯 cos^J sin 〃10J sin 〃10
FT 甯 cos^
FT 甯 cos^
J sin 〃1
0
J sin 〃1
0
pp(cos 心 ——ces и) (1 + cos 8 cos u)(cos 心 ——ces и) (1 + cos 8 cos u)(1 — cos2 ^) (1 — cos2 u)(1 — cos2 ^) (1 — cos2 u)e 1 ctg^e 1 ctg^— т (〃) sin м] sin udu -\— т (〃) sin м] sin udu -\冗2冗2ctg^」 Вctg^」 ВE〃)cos 〃 一E〃)cos 〃 一SID 8 今SID 8 今cos и —cos и —
p
p
(cos 心 ——ces и) (1 + cos 8 cos u)
(cos 心 ——ces и) (1 + cos 8 cos u)
(1 — cos2 ^) (1 — cos2 u)
(1 — cos2 ^) (1 — cos2 u)
e 1 ctg^
e 1 ctg^
— т (〃) sin м] sin udu -\
— т (〃) sin м] sin udu -\
冗2
冗2
ctg^」 В
ctg^」 В
E〃)cos 〃 一
E〃)cos 〃 一
SID 8 今
SID 8 今
cos и —
cos и —
—七(〃)sin w] sin и du (a V " V§)・ (8.54)
Перемещения и© и ur, дающиеся формулами (8.53) и (8.54), соответствуют безмоментному напряженному состоянию сферического пояса.
Далее, рассматривая равновесие волокна оболрчки вдоль меридиана, находим, что моментное условие равновесия относительно начала координат приводит к соотношению
R^x(u) sin 〃 d〃 = To sin a, (8.55) a
где To = Ti(a). Другие условия равновесия указанного волокна не приводят к новым соотношениям, не вытекающим из равновесия всей оболочки. Таким образом, благодаря (8.55) моменты равны нулю не только в дифференциальных элементах оболочки, но и в волокнах вдоль меридиана.
Теперь покажем, что при условии (8.52а) в самом деле & — =х2 = 0. С этой целью, исходя из первых двух соотношений (8.47), запишем следующую систему из двух дифференциальных уравнений в частных производных [181:
=輔筹+%)=矗(4 一%兀)，
'中 瓦也"ctg " + "Г) = ~e~!r ('2 一 "1?1)，
где усилия Ti и Т2 даются формулами (8.51).
Подставляя отсюда выражения е® и е<р через Ti и Т2 в уравнение (8.49), как ранее, придем к соотношению (8.52а).
С другой стороны, если опять отсюда выражения е^ и е<р через и^ и иг подставить в (8.49), то придем к зависимости
^ = %$(8.526)
между компонентами перемещений оболочки. В справедливости (8.526) можно непосредственно убедиться также при помощи выражений и^ и ит из (8.53) и (8.54), полученных в результате интегрирования указанной системы уравнений в частных производных. Из (8.526) сразу вытекает, что Xi = х2 = 0. Эти рассуждения одновременно показывают, что соотношения (8.52а) и (8.526) эквивалентны.
Резюмируя изложенное в этом параграфе отметим, что, как уже неоднократно говорилось, усиливающие покрытия (накладки) рассматриваются как тонкие оболочки или пластины, лишенные изгиб ной жесткости. Последнее приводит к их безмомент- ному напряженному состоянию. При этом, однако, уравнения неразрывности деформаций обычно оказываются нарушенными [181. Более того, в перемещениях, определенных на основе без- моментного напряженного состояния, как показано в [181, наряду с перемещениями оболочки как твердого тела на равных правах всегда присутствуют перемещения чистого изгиба. Но при постановке задач безмоментной теории, как отмечается в [181, перемещения чистого изгиба должны быть либо вовсе устранены или по крайней мере надлежащим образом ограничены. Один из способов устранения этих перемещений заключается в наложении ограничения типа (8.45) или (8.52) на компоненты внешней нагрузки, благодаря которым уравнения неразрывности деформаций оказываются удовлетворенными. Таким образом в рамках
безмоментной теории оболочек можно полностью удовлетворить системе основных уравнений теории тонких оболочек.
■ С другой стороны, поскольку изложенные здесь результаты в дальнейшем будут применены в исследованиях задач контактного взаимодействия тонкостенных усиливающих накладок с массивными деформируемыми телами, то указанные компоненты внешней нагрузки выступают в роли контактных напряжений. Наложенные при этом на них ограничения типа (8.45) и (8.52) приводят к новым постановкам контактных задач, существенно отличным от постановок классических контактных задач теории уйругости. Кроме того, в этих задачах, хотя уравнения неразрывности деформаций и оказываются нарушенными, благодаря условиям контакта, заключающимся обычно в приравнивании компонент перемещений контактирующих пар (притом перемещения усиливающих покрытий определяются на основе безмо- ментной теории), мы в определенной мере добиваемся удовлетворения уравнений совместимости деформаций для тонкостенных элементов. Таким путем возникают различные постановки задач контактного взаимодействия с массивными деформируемыми телами; некоторые из них будут обсуждены в дальнейшем.
ГЛАВА II
ПЛОСКИЕ СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГИХ ТЕЛ,УСИЛЕННЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ НАКЛАДКАМИ
§ 1. Передача нагрузки от полубесконечной накладкик упругой полуплоскости или плоскости
Рассмотрим плоскую контактную задачу о передаче нагрузки от полубесконечной накладки (стрингера) к упругой полуплоскости или плоскости. При этом накладку будем рассматривать как упругую тонкую пластину, лишенную изгибной жесткости
[1], вследствие чего
Оу = 02 (а) ^ 0.
нее приводит одномерного континуума в сочетании < контакта по .
Послед- к модели упругого накладки
с моделью линии [2],
что описывается соотношениями (3.14) и (3.15) гл. L
Перейдем к постановке задачи.
Эту задачу обсудим для упругой полуплоскости при обобщенном плоском напряженном состоянии (первый случай), при ее плоской
деформации
(второй
случай) и для упругой бесконечной пластины (третий случай). Пусть в первом случае упругая полуплоскость (% v2) на своей границе у = 0 усилена жестко сцепленной упругой полубесконечной накладкой *(ESi Vi) малой высоты 无,
■У
Рис. 2.2.
загруженной на конце сосредото-
ченной силой Р, а по верхней границе ——тангенциальными усилиями интенсивности 耳(久)(рис. 2.1).' Во втором случае задача ставится точно таким же образом. В третьем случае упругая 6 В, М. Александров, G. М. Мхитарян
плоскость на своей верхней грани усилена полубесконечной накладкой, загруженной тем же способом (рис. 2.2). Чтобы возникающие при этом изгибные эффекты свести к минимуму, можно было бы считать, что плоскость на своей нижней грани симметрически усилена такой же накладкой, что не вносит изменений в уравнения. Однако и без того указанные эффекты, вообще говоря, пренебрежимо малы, вследствие чего, как в ⑶，будем рассматривать плоскость с одной накладкой. Требуется определить закон распределения контактных касательных напряжений Т-(^) под накладкой, коэффициент их интенсивности на ее конце, а также закон распределения осевых напряжений в ней. Выведем разрешающие уравнения задачи.
Поскольку (1 — Vi)X-1 > Vi и, кроме того, верхняя грань накладки не нагружена нормальными усилиями, т. е. <ч(况)三0, а 。2(力)мало изменяется по длине накладки, то посдедним членом в правой части уравнения (3.15) гл. I можно пренебречь. Тогда дифференциальное уравнение (3.15) растяжения накладки примет вид
Eh 〃
—77 МХ = — т+ (ж) — т- (х) (0V2V8). (1.1)
С другой стороны, исходя из указанного выше предположения оу = о2(^)^ 0 относительно накладки, при помощи закона Гука получим
忌懾，. (1.2)
Рис 2.3.Рис 2.3.где nJ и 邑一соответственно осевое напряжение и осевая деформация накладки, а
Рис 2.3.
Рис 2.3.
• = 冗=及 (1.3)
соответственно для плоской деформации и обобщенного плоского напряженного состояния.
Обращаясь к первому случаю, рассмотрим равновесие любой конечной части накладки (рис. 2.3). Условие равновесия этой
части даст
Р — d^ 工一 (“)du — ооР — d^ 工一 (“)du — оо(О &N v 8), (1.4)(О &N v 8), (1.4)
Р — d^ 工一 (“)du — оо
Р — d^ 工一 (“)du — оо
(О &N v 8), (1.4)
(О &N v 8), (1.4)
где А3 — площадь поперечного сечения накладки, й — ее эффективная ширина, по которой она контактирует с основанием, хЛх) — неизвестное тангенциальное контактное напряжение, от-
несенное к единице ширины накладки. Поскольку при 况一＞ 8 осевое напряжение о± исчезает, то отсюда находим, что искомое напряжение 女(况)должно удовлетворять условию
(1.5)(1.5)d J т_ (〃) du + J т+ (и) d〃 = Р.
(1.5)
(1.5)
ооо
о
о
Теперь, учитывая (1.2), из (1.4) получим
Приняв во внимание первую формулу (1.3), легко заметить, что при плоской деформации (1.6) эквивалентно (1.1). Далее, деформация е^ граничных точек полуплоскости в направлении, оси Ох от распределенных по полубесконечному интервалу (0, 8) тангенциальных напряжений интенсивности t_(n) выражается формулой
或("一念号 d"，(L7)
2 О
где интеграл понимается “в смысле главного значения по Коши.
Так как на участке соединения накладки с основанием должно иметь место условие контакта
6х(N)= £х(N)(。V N V 8),
то соотношения (1.6) и (1.7) приводят к интегро-дифференциальному уравнению
решение которого должно быть подчинено условию (1.5). В дальнейшем будем предполагать, что модуль упругости материала накладки является, вообще говоря, величиной переменной и задается следующим образом:
Е$=Е,ЕЕ) Ш0) = 1),,(1.9)
где Е{х)——положительная функция из достаточно общего класса. Далее, следуя работе [31, введем безразмерные величины
纥 4 . ЕА.Р 成PEd
a=可小 T- = 1^T，J =(14°)
ZZis1 5
Тогда уравнение (1.8) примет вид
尸⑹尸⑹% (п)對% (п)對(1.11)(1.11)九* (Е) = ЕТ (к) = £Т九* (Е) = ЕТ (к) = £Т
尸⑹
尸⑹
% (п)對
% (п)對
(1.11)
(1.11)
九* (Е) = ЕТ (к) = £Т
九* (Е) = ЕТ (к) = £Т
а условие (1.5) — вид
J т(Т]) di]十 j То ⑺ dr] = 1.(1-12)
Оо
Обращаясь теперь ко второму и третьему случаям, совершенно аналогичным образом получим, что решение поставленной задачи опять-таки сводится к решению интегро-дифференциального уравнения (1.11) при условии (1.12), но связь между старыми и новыми переменными во втором случае осуществляется формулами
马九e也pe?pe
?=丁自，" =丁小’-R，Т+ =肃"。，2211
а в третьем случае — формулами
(1.13)(1.14а)(1.146)случаям,(1.13)(1.14а)(1.146)случаям,2 = (3 — v2)(l + %) g^ L И = (3- v2) (1 + v2) -^J
(1.13)
(1.14а)
(1.146)
случаям,
(1.13)
(1.14а)
(1.146)
случаям,
8 尸线dp与
Здесь
生1一d.(! - V2)E ⑺ 2
притом (1.14а) соответствует первому и, третьему
(1.146)——случаю плоской деформации полуплоскости, а _£(/) —— функция из (1.9).
Таким образом, поставленная задача во всех обсуждаемых трех случаях описывается единым интегро-дифференциальным уравнением (1.11) при условии (1.12). Переход к конкретным случаям осуществляется при помощи формул (1.10) и (1.13).
Пользуясь условием (1.12), уравнение (1.1Д) можно записать в виде уравнения
；,[悪必1 = _ 2⑹卜⑺dll - V⑹7。⑹，(1.15)
решение которого должно удовлетворять условию
J т (?) ^ = 1 - 7°.(1.16)
О
Здесь введены обозначения
?。⑶=⑺ 师 7。=北(0),(1.17)
а функция 九*(自)соответственно указанным случаям выражается формулами (1.14).
Введя в рассмотрение еще функцию
ф(?) = — ^Т(Т]) ЙТ] (0&三＜：8),(1.18)
уравнение (1.15) при условии (1.16) запишем в виде эквивалентного интегро-дифференциального уравнения
3 W 尸阳屮⑶一公⑹7。⑹(1.19)
0
при граничном условии
屮(0)=Т°—丄(1.20)
В дальнейшем будем исходить из интегро-дифференциального уравнения (1.19) при условии (1.20). ‘
Отметим, что, после того как определено распределение тангенциальных контактных напряжений т(^), осевые напряжения & в накладке будут, согласно (1.4), определяться формулой
О (日=1 — J Т(Т]) dr] — J т0(Т]) ЙТ] (0 &自 V 8)
Оо
или же, согласно (1.16) — (1.18),— формулой
a(g)=—屮(自)+ 北(自)(0 W 自 V оо), (1.21) где безразмерная величина о связана с 或 соотношением о = =号忌 для первого и третьего случаев и соотношением о=万成 для второго случая.
Заметим, что уравнение (1.11) при однородной накладке, когда А*(自)三 1, и при т()(自)三0 совпадает с известным интегро- дифференциальным уравнением Койтера [3]. Когда же 0 = 0, в (1.30) нужно формально положить 4) 70 == 2.
1) Если Es|*=q = 0, то, исходя из физических соображений, следует считать Р = 0.
Решение уравнения (1.19) представим в виде
t （目=屮‘（三）=t （目=屮‘（三）=Ф (A) cosФ (A) cos（W筹）丸（W筹）丸(1.22)(1.22)
t （目=屮‘（三）=
t （目=屮‘（三）=
Ф (A) cos
Ф (A) cos
（W筹）丸
（W筹）丸
(1.22)
(1.22)
где Ф(Х) — неизвестная функция. Положив здесь У2& = и и приняв во внимание формулу обращения косинус-преобразования Фурье, при помощи (1.20) легко находим, что
①(0) = ? =貝1一7。).
С другой стороны, поскольку коэффициент интенсивности на конце накладки ——величина конечная, то должно быть
lim КЗ玩(g) = Л < оо,
и, следовательно, интеграл
J ф 仇)(Д . о
должен быть сходящимся. Последнее будет обеспечено, если ⑦(А) = 0(Lf(…8, £ > 0).
Далее из (1.22) и (1.20) получим
屮阳=J屮 sinGP 噺如+7°—1(0<g<oo),
о .
или, учитывая выражение разрывного интеграла Дирихле,
<Р (?) = J - ^~ Т Sin(Z /21) ЙХ (0<g<oo).(1.23)
О
Теперь запишем интегральное соотношение
ОО '
(0<自V8),(0<自V8),(1.24)(1.24)1 С COS (А]/苏i) .sin (厶]/啕
(0<自V8),
(0<自V8),
(1.24)
(1.24)
不；J (-)"而l W
которое можно непосредственно вывести из формулы преобразования Гильберта для косинус-функции [41. Затем (1.22) и (1.23) подставим в уравнение (1.19), поменяем порядок интегрирования, .законность чего можно обосновать так же, как в [31, и воспользуемся соотношением (1.24). В результате после несложных выкладок для определения функции ①(入)получим
уравнение
①仇）一打 K 0, "） k ：仙）办=A,（九）（0V 九 V8）, （1.25） 0
К Q,"）=J "九* （夕）sin 九" sin d"，
L 222（1,26）
/о （九）=J以*管 П 团sin九"du ,（自=当， 0
притом предполагается, что 入*（自）一> 0 при gf 8 c необходимой скоростью. Если же 入*（自）f const или 入*（自）f ℃ при 自 f °°, то придем к уравнению
^^ 十打乙&"）0）（卩）即=痂（九）（0<х<оо）, （1.27） О
乙口，卩）=jsi：j;：E^”d〃, g°3） = ^jn管sinMe 九.（1.28）
Заметим, что случай 入*（自）f ℃ при 自 f 00 физически мало реален, потому что тогда модуль упругости стрингера на бесконечности обращается в нуль и, следовательно, передача нагрузки фактически осуществляется через стрингер конечной длины. Но последнее противоречит самой постановке задачи. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только уравнение （1.25）. Уравнение же （1.27） будет обсуждаться только в случае 入*（自）=1.
Так как потенциальная энергия деформации, накопленная в системе стрингер — основание, есть величина конечная, то равнодействующая тангенциальных контактных напряжений ——также величина конечная, что и обеспечивается условием （1.20）. Поэтому будем считать, что 工（自）三上（0, °°）. С другой стороны, хорошо известно [5], что если /（自）wE（0, оо）, то ее преобразование Фурье F^ на всей оси —'℃）< X < ℃ равномерно непрерывно и исчезает при 入 f ±8. Последнее наводит на мысль, что принцип неподвижной точки Банаха для уравнения （1.25） естественно провести в пространстве непрерывных на сомкнутой полуоси [0, 8〕функций С[0, оо], принимающих на бесконечности конечные значения и наделенных нормой
IIФИ = max I Ф（Х） I，
Q《入《00
Поэтому везде далее будем предполагать:
,1） 〃叽*（箇/2）®Е（0, оо）（衣=1, 2）,
функция г?入*（〃2/2） на （0, ℃） не возрастает.
Тогда из （1.26） можно получить
衣&卩）=■! IS（九 + 卩）一5（1九一卩1）1&卩）0）,
5 （X） = J （1 - cos 入"）"九* "/2）о
По известным результатам М. Г. Крейна [6, 7] отсюда вытекает, что ядро К（入,卩）является положительно определенным. Более того, из предположения 2） и одной теоремы о синус-интеграл ах Фурье （[8], с. 223） следует, что К（儿卩» 0 при X,卩 2 0.
Теперь введем в рассмотрение оператор К:
T（х）= ^Ф = 1 j К仇,卩）匕醬即十爲（М，О
действующий в пространстве С[0, ℃]. Покажем, что оператор К пространство С[0, °°] отображает в себя. Действительно, можем записать
1中仇+^）—Ч4大）1 = ； j[K仇+软,“）一k&间匕*力"， о
притом, согласно （1.26）,
h （X, ДХ,卩）=К 仇 + АA（,卩）一к （九，林）=
=J wX* （m）回11 （入 + A入）“ 一sin Xu] sin 卩次 du. о
Далее зафиксируем X из （0, ℃） и положим
НЕ, ДХ, |л） 4 С\（儿 А入沁К卩） （ц -> 0）,
"（儿 ДХ, ц） 4 a（儿 A入沁2（模）（模 f 8）.
Очевидно, что ①式卩）-> 0 при ц -> 0 и ①2（卩）f 0 при 卩一> ℃. С учетом последних формул можно написать
/8（儿秋,"戸-？佃如 《IG（儿△九）| j^!1I?-Ф（ц）мн +
Аf〃仇46сАf〃仇46с++*0о
А
f〃仇4
6с
А
f〃仇4
6с
+
+
где 60 ——достаточно малое положительное число, а А — достаточ-
но большое положительное число. Эти числа выберем таким образом, чтобы было
0-
值（А, А»]Ц^|у —①⑴）的 V%
и их зафиксируем. С другой стороны, легко видеть, что
I 8仇十А九,М） W
《 ；口'（I入+ a入一卩I） - ^ （I九一卩1）1 + I论仇+a九+卩）一力（九+卩）1],
力仇）=J "九* （m/2） cos 九" d". 0
Теперь, воспользовавшись свойством равномерной непрерывности преобразования Фурье [5], можно утверждать, что ly^（X, АХ, м）?二W 郎 & J IН & А儿卩）I」L："" du < g,,
если только |AX| < 6（e）. При помощи этих неравенств обнаружим, что
|ЧГ（Х + А%） — ЧЧ入）1 < £ при I ДХ| V 6（£）・
Последнее доказывает требуемое.
Приступив к выяснению условия сжатия оператора К, можем записать
I 屮 1 0）一中2 （九）I 4 4■ J 区 （з M） $唯$"" dM.
Отсюда
11%仇）—47VH sup Л[^МИ^|]Ф1_ф2||.0《九<8霏J 卩
О
Следовательно, при условии
（1.29）（1.29）sup —^йн<1
（1.29）
（1.29）
0《九<8几J 卩 О
оператор К сжимающий.
Для упрощения условия (1.29) положим .
ОООООО
G (入)=；f 4® 冉 "卩=uX* (g) sin Xu sin 卩""u.
оо0
Поменяв порядок интегрирования, получим
1Д*传 о1Д*传 оG (%)=f J uX* (号)sin Xu du『8'[n辽 d卩= оо
1Д*传 о
1Д*传 о
sin 入u du & } J uX*(¥)du,о
ооdu V 1du V 1откуда видно, что при условии
о
о
du V 1
du V 1
(1.30)
оператор К сжимающий.
Таким образом, при условии (1.30), согласно принципу неподвижной точки Банаха [9], решение уравнения (1.25) в С(0, «>] можно построить методом последовательных приближений.
После того как найдена функция Ф(Х), коэффициент интенсивности тангенциальных контактных напряжений Ло определяется следующей формулой:
4 = J*。°⑶Р& =会J①仇)^・
Следует отметить, что двойной несобственный интеграл
iff uX* (倒2). 4. л л
—sin Zu sin 卩и du d卩
о о
не существует в смысле его точного определения ([10], с. 214).
Но если бесконечный прямоугольник (0, 8； 0, 8)исчерпывать .
су-су-прямоугольииками вида [0, Л; 0, 5], то указанный интеграл ществует, т. е. существует интеграл
су-
су-
limВт оо °limВт оо °при помощи которого указанной переменыпри помощи которого указанной перемены壮，⑵ sin 九" sin 卩" du d",0
lim
Вт оо °
lim
Вт оо °
при помощи которого указанной перемены
при помощи которого указанной перемены
можно' обосновать возможность только что порядка интегрирования. А именно, из
сходимости повторного интеграла
J U九* (u2/2) I sin 九北 I du J 丄91n ""I d卩 'о0
по теореме Фубинпи для неотрицательных функций вытекает сходимость двойного интеграла
— f I 及九*包/2) I sjnNu 11玩П入口 I dиd卩,
о 0
откуда в свою очередь вытекает сходимость обычного двойногооткуда в свою очередь вытекает сходимость обычного двойногоинтеграла в прямоугольнике реме ФубинииА Винтеграла в прямоугольнике реме ФубинииА В[О, А; 0, 8]. Отсюда опять по тео-[О, А; 0, 8]. Отсюда опять по тео-〃％* (г?/2)〃％* (г?/2)ММв Аsin 九〃 sin ци йа йP = —и九* (u2/2) хо 'ов Аsin 九〃 sin ци йа йP = —и九* (u2/2) хо 'оНо здесь вJ-卢卯GНо здесь вJ-卢卯GАВX sin Xu sin ^udu — -^-^ 以九* (饋/2) sin Xu du J 观п 卩产 d卩,ооАВX sin Xu sin ^udu — -^-^ 以九* (饋/2) sin Xu du J 观п 卩产 d卩,ооВ■Ви『书』（叫=，干初 ооВ■Ви『书』（叫=，干初 оол С sin у . л [ 3\Вигде si(况)——интегральная синус-функция [11]. Следовательно,л С sin у . л [ 3\Вигде si(况)——интегральная синус-функция [11]. Следовательно,А В о оА В о оДалее,Далее,，入(匕⑵,sin Хм sin 卩以 du dp = g- f uX* (饋/2) sin Xu du +oA+ g『w^* (u2/2) sin 九以 si (Bu) du. овоспользовавшись асимптотическим представлением [11] si (/)4c： 第 + 0 (况_2)(宓一> о0),，入(匕⑵,sin Хм sin 卩以 du dp = g- f uX* (饋/2) sin Xu du +oA+ g『w^* (u2/2) sin 九以 si (Bu) du. овоспользовавшись асимптотическим представлением [11] si (/)4c： 第 + 0 (况_2)(宓一> о0),легко показать, что второй интеграл при 4 -> ℃ исчезает, и поэтому АВооlim — f f (“ ⑵ sin Xu sin uu du d卩Af oo霏J J 卩BT8 0 0легко показать, что второй интеграл при 4 -> ℃ исчезает, и поэтому АВооlim — f f (“ ⑵ sin Xu sin uu du d卩Af oo霏J J 卩BT8 0 000
откуда в свою очередь вытекает сходимость обычного двойного
откуда в свою очередь вытекает сходимость обычного двойного
интеграла в прямоугольнике реме Фубинии
А В
интеграла в прямоугольнике реме Фубинии
А В
[О, А; 0, 8]. Отсюда опять по тео-
[О, А; 0, 8]. Отсюда опять по тео-
〃％* (г?/2)
〃％* (г?/2)
М
М
в А
sin 九〃 sin ци йа йP = —и九* (u2/2) х
о 'о
в А
sin 九〃 sin ци йа йP = —и九* (u2/2) х
о 'о
Но здесь в
J-卢卯
G
Но здесь в
J-卢卯
G
АВ
X sin Xu sin ^udu — -^-^ 以九* (饋/2) sin Xu du J 观п 卩产 d卩,оо
АВ
X sin Xu sin ^udu — -^-^ 以九* (饋/2) sin Xu du J 观п 卩产 d卩,оо
В■Ви
『书』（叫=，干初 оо
В■Ви
『书』（叫=，干初 оо
л С sin у . л [ 3\
Ви
где si(况)——интегральная синус-функция [11]. Следовательно,
л С sin у . л [ 3\
Ви
где si(况)——интегральная синус-функция [11]. Следовательно,
А В о о
А В о о
Далее,
Далее,
，入(匕⑵,sin Хм sin 卩以 du dp = g- f uX* (饋/2) sin Xu du +o
A
+ g『w^* (u2/2) sin 九以 si (Bu) du. о
воспользовавшись асимптотическим представлением [11] si (/)4c： 第 + 0 (况_2)(宓一> о0),
，入(匕⑵,sin Хм sin 卩以 du dp = g- f uX* (饋/2) sin Xu du +o
A
+ g『w^* (u2/2) sin 九以 si (Bu) du. о
воспользовавшись асимптотическим представлением [11] si (/)4c： 第 + 0 (况_2)(宓一> о0),
легко показать, что второй интеграл при 4 -> ℃ исчезает, и поэтому АВоо
lim — f f (“ ⑵ sin Xu sin uu du d卩
Af oo霏J J 卩
BT8 0 0
легко показать, что второй интеграл при 4 -> ℃ исчезает, и поэтому АВоо
lim — f f (“ ⑵ sin Xu sin uu du d卩
Af oo霏J J 卩
BT8 0 0
0
0
что и утверждает законность указанной выше перемены порядка интегрирования.
Следует еще отметить, что если, в частности, положитьuX* (u2/2) = е~₽и (Р>О),
то в законности указанной перемены порядка интегрирования можно убедиться непосредственным вычислением, притом
2 (§2；九2)・
Условие же (1.30) в данном случае даст ^ > 1/2. С другой стороны, любую функцию Х*(и2/2) из достаточно общего класса можно представить рядом Дирихле [12, 13]
uX* (u2/2) = £ an^nU,,九=1
где последовательность {Xn}^Lx положительная и возрастающая. Положив
uX* (u2/2) Q味
汽=1
можно провести метод последовательных приближений в случае такой функции неоднородности.
Заметим, что если Х*(|) = 1/V2|, то при помощи (1.26) получим
К (X,卩)=J sin Xu sin [iudu =号 6 (入一ц), о
где 6(九)—— дельта-функция Дирака, и, следовательно, уравнение (1.25) допускает замкнутое решение в виде
Если жеЕсли же2%/ (%)— т
Если же
Если же
九 *(自)=(2自)一(‘+""2(o<v<l),
то (1.25) переходит в уравнение
①6) +
r (1 - V)甸丁)
2л
I 九 - N I1-v (九十 N)‘f
①（N）一 7
М
d" = /о (九)，
где F(z) — гамма-функция Эйлера. При помощи замены переменных
九=* 模=仪
последнее уравнение преобразуется к разностному уравнению, замкнутое решение которого можно построить методом работы [3].
Перейдем к важному частному случаю, когда Х*(|) ^ 1, т. е. когда накладка однородная. В этом случае, согласно (1.27) и (1.28), придем к уравнению j)
'叱—"=fm 言；I ①（口）即=g。（九）（o<x<oo）,（i.3i） .о
g°3)=wi 0g°3)=wi 0sin (九 V2a a”~~.sin (九 V2a a”~~.
g°3)=wi 0
g°3)=wi 0
sin (九 V2a a”~~.
sin (九 V2a a”~~.
Желая уравнение (1.31) преобразовать в уравнение на бесконечном интервале, положим
/⑶= g°6) +子(0<Х<оо)
и эту функцию, а также искомую функцию Ф(А) нечетным образом продолжим на отрицательную полуось. Тогда ①(入)будет удовлетворять уравнению
■^+W Jin7T7r①3)如=/(九)(一8VAV8). (1.32)
Далее, введем в рассмотрение функции
$*6)= 2.) Id 浦①(卩)卯, (1.33)
О
%(')= ! Jin-^Зур Ф(и) ^Н (— ОО <х< оо), (1.34)
где ①(入)—преобразование Фурье функции Ф(Х), т. е.
ф(Х) =^[Ф] = j easo(s)ds.
Легко видеть, что_
网①]=-2冗①(九).
Из этого уравнения непосредственно вытекает, что ①'(0) =0.
94 гл. II. ПЛОСКИЕ задачи для упругих тел с накладками
С учетом последнего из 41.34), трактуя преобразование Фурье в рамках теории обобщенных функций, получим
Это соотношение вместе с (1.33) позволяет уравнение (1.32) записать в виде .
2л-耳［Л + 29* (入)=/仇)(-8 V 入 V 8).(L35)
Теперь, продифференцировав (1.33) и (1.34), а затем воспользовавшись формулой обращения Гильберта ［8］, будем иметь
①仇)=-；j出?■徽(1-36)
Применение преобразования Фурье к равенству (1.36) даст
Ф(х)= I 入|歹［屮*1,
что, конечно, можно было бы получить и из (1.33). Сопоставле-- ние последнего уравнения с (1.36) приводит к соотношению
переходящему после применения преобразования Фурье к следующему:
尸［院］歹［中*］］ = |九|尸件*1.
Отсюда определим 歹［屮*］ и подставим' в (1.35). Тогда для определения функции ср* (X) окончательно получим функциональное уравнение
一嘉口1猫口9司+ 2|入1内(入)=1入1/(入)(-оо<Х<oс).
(1.38)
После решения уравнения (1.38) искомая функция ①(入)определится из (1.36).
(1.39)(1.39)Сведем теперь уравнение (1.38) к эквивалентной бесконечной системе линейных уравнений. С этой целью положим
(1.39)
(1.39)
n=0n=09东(入)二士/屮2П+1 (九)(ОО 入8),
n=0
n=0
где срп(Х) = ехр (—Х2/2)ЯП(Х) — функции Эрмита, а Нп(М — полиномы Чебышева — Эрмита. Воспользовавшись известным соотношением ([81, с. 108).
Fl^ni =沖У2жрпЕ) (п == 0, 1, 2,...),
при помощи (1.39) и§ (1.38) будем иметь
G方 E (一 ‘广 "J H " I 92?г+1 (卩)]+ 2 e ^nSP2n+l 仇)=[入 I / 仇)
V /冗 72=0汽=0
(-8 V入V喲.
Далее положим
I 入 I ^2П+1 (九)=X k吃?Й92m+I (%)，
.I 入| / (Q = f 九屮2"+1 (入)= 0, 1, • • .) (- OO <x < OO).
После некоторых простых преобразований для определения коэффициентов хл (п = 0, 1, ...) получим следующую бесконечную систему уравнений:
2o[2 + (-l)n-m]^n,mz„ = /m (m = 0,l, ...).(1.40)
При этом ядро Кп 用 и свободные члены /т бесконечной системы (1.40) выражаются формулами
(1.41)(1.42)(1.41)(1.42)Кп,т — -дJ 九е ^ ^2п+1 (^) Н2m+工(入)欧,
(1.41)
(1.42)
(1.41)
(1.42)
m 0
觴=* j GE伍)#2m+l仇)丸 о
hm = /n22m+1 (2m + 1)!(九,m = 0, 1,
Далее, используя формулы 8.972.3 ([14], с. 1051) и 7.414.9 ([14], с. 859) вычислим интеграл (1.41). После несложных выкладок находим
(明 m ~ 0,1,...).(明 m ~ 0,1,...).(-1)?г一?и 22(吋m)[ 5 + 3/2)л [1/4 — 5 — m)2J m!
(明 m ~ 0,1,...).
(明 m ~ 0,1,...).
-Исходя из последнего, введем новые неизвестные коэффициенты& = 22"+2r5 + 3/2К",
после чего (1.40) примет вид
£ ^т—п^п = ^т£ ^т—п^п = ^т1+2(一1严3(1 一“)-Пт =22m+2m! fm1+2(一1严3(1 一“)-Пт =22m+2m! fm(^ = 0, 1, 2,...),(тп = 0, ± 1, ± 2,.(^ = 0, 1, 2,…)，(^ = 0, 1, 2,...),(тп = 0, ± 1, ± 2,.(^ = 0, 1, 2,…)，(1.43)(1.44)(1.45)(1.43)(1.44)(1.45)
£ ^т—п^п = ^т
£ ^т—п^п = ^т
1+2(一1严
3(1 一“)-
Пт =22m+2m! fm
1+2(一1严
3(1 一“)-
Пт =22m+2m! fm
(^ = 0, 1, 2,...),
(тп = 0, ± 1, ± 2,.
(^ = 0, 1, 2,…)，
(^ = 0, 1, 2,...),
(тп = 0, ± 1, ± 2,.
(^ = 0, 1, 2,…)，
(1.43)
(1.44)
(1.45)
(1.43)
(1.44)
(1.45)
а 九一даются формулой (1.42).
Таким образом, в разбираемом частном случае разрешающее интегро-дифференциальное уравнение (1.19) при условии (1.20) в конечном итоге сводится к бесконечной системе (1.43) с ядром, зависящим от разности индексов и выражающимся (1.44), и со свободными членами (1.45).
Решение бесконечной системы (1.43) построим методом М. Г. Крейна [151. Следуя [15], введем в рассмотрение функцию
а ©и 2 а 湛m& = е",—冗&方 Vn).
Приняв во внимание (1.44), запишем
а&) = 1Ет=1а&) = 1Ет=1cos mt 彌一 1/4cos mt 彌一 1/4(一1严 m2 — 1/4(一1严 m2 — 1/4cos mt,cos mt,
а&) = 1Е
т=1
а&) = 1Е
т=1
cos mt 彌一 1/4
cos mt 彌一 1/4
(一1严 m2 — 1/4
(一1严 m2 — 1/4
cos mt,
cos mt,
откуда при помощи формул 1.445.6 и 1.445.8 ([14], с. 54) найдем
〃(С)=〃(С)=备 IVr +(2-i)词/(2十0頂+下-j备 IVr +(2-i)词/(2十0頂+下-j(0《方V寫)，(1.46)(—h VI t《0).(0《方V寫)，(1.46)(—h VI t《0).
〃(С)=
〃(С)=
备 IVr +(2-i)词
/(2十0頂+下-j
备 IVr +(2-i)词
/(2十0頂+下-j
(0《方V寫)，
(1.46)
(—h VI t《0).
(0《方V寫)，
(1.46)
(—h VI t《0).
Очевидно, что функция 。(之)из (1.46) нигде на единичной окружности |^|=1 не обращается в нуль, и, кроме того, она непрерывная и четная. Поэтому
ind [«(g)H[£I=I = 0.
Отсюда, по теореме 13.1 ([15], с. 69) система (1.43) в любом из пространств Е, описанных в [15], имеет единственное решение, которое строится при помощи компонент канонической факторизации функции L(G на единичной окружности:
aT© = g+(W)g_®& = е"),(1.47)
In [g+(z)] =—击，々工粤_典(|z|Vl),(1.48)
4房.(2)]=击中¥粤北(|Z1>1).(1.49)
Займемся вычислением интегралов из (1.49). При помощи (1.46) будем иметь
In [g_ (z)] = In -у + р (z) + g (z)(|z|>l),
P(z)=P(z)=g(z)=g(z)=
P(z)=
P(z)=
g(z)=
g(z)=
Отсюда
in I sin — + 2 cos
(e "二痒
.it
i dt,
и интегрирование по частям даст
"2 tg — — 1
也In 2(5 2或
— 2л c z — 1~.9 cos i isint — z
0 ig 丁 十/
Далее, положив 啰=tg，图 получим
dp —1h2 _ f(2方 - 1川
石- 2ЙГ 'z —1 J (① + 2) [(1 + z) / — 2 设 + 二 if
Воспользовавшись методикой интегрирования рациональных
функций, после некоторых простых операций находим
dp dz
1 In 2(2 — i) In 2j
2л c z — 1(2 — i) z 十 2 + 力 4z
工(2 - i) z - 2 - i J (i
十 2z (2-i)z+2+i 1 1 V z4-l /J
(|z|>l)・
Аналогичным образом
(2 + j) In 2— ，冗丄 (實2 — i
(2 + i) z + 2 — i 4s I £ (2 + X) z + 2 — i
] (2 + i) z — 2 + X [ / z — 1 ]]2z (2 + i) z + 2 - i V z +「丹
(1И>1)-
7 В. М. Александров, С. М. Мхитарян
Из последних двух равенств можем записать
dp 丄 dq dz 十 dzdp 丄 dq dz 十 dz41n2Я(5产十6z十5)(|z|>l,41n2Я(5产十6z十5)(|z|>l,1 / 11 / 13 - 4% a =―—3 - 4% a =―—41п (i “力41п (i “力л(5z* + 6z 十5)л(5z* + 6z 十5)
dp 丄 dq dz 十 dz
dp 丄 dq dz 十 dz
41n2
Я(5产十6z十5)(|z|>l,
41n2
Я(5产十6z十5)(|z|>l,
1 / 1
1 / 1
3 - 4% a =―—
3 - 4% a =―—
41п (i “力
41п (i “力
л(5z* + 6z 十5)
л(5z* + 6z 十5)
Так как In [g_(z)] = О при кладок окончательно получимТак как In [g_(z)] = О при кладок окончательно получимz оо, то после несложных вы-z оо, то после несложных вы-
Так как In [g_(z)] = О при кладок окончательно получим
Так как In [g_(z)] = О при кладок окончательно получим
z оо, то после несложных вы-
z оо, то после несложных вы-
g-⑶=(堂g-⑶=(堂汁丁 exp汁丁 expIn 2 I . AIn 2 I . A4 H寻№ hJ 5d + 6切十54 H寻№ hJ 5d + 6切十5(1.50)(1.50)
g-⑶=(堂
g-⑶=(堂
汁丁 exp
汁丁 exp
In 2 I . A
In 2 I . A
4 H寻№ hJ 5d + 6切十5
4 H寻№ hJ 5d + 6切十5
(1.50)
(1.50)
Здесь логарифмическая функция понимается следующим образом:
m ,毋卜 1п|4тг I Zarctg 將 (z° = i^|~).
a (g) = аa (g) = аИз (1.50) на основе свойства функции 〃(g):
a (g) = а
a (g) = а
е")
непосредственно вытекает, что входящая в (1.48) функция равна
g+(z)=gr丿g+(z)=gr丿In (i，一 У)dwIn (i，一 У)dw(|zYi)・(|zYi)・5力2 + 6切十5(1.51)5力2 + 6切十5(1.51)
g+(z)=gr丿
g+(z)=gr丿
In (i，一 У)dw
In (i，一 У)dw
(|zYi)・
(|zYi)・
5力2 + 6切十5
(1.51)
5力2 + 6切十5
(1.51)
Таким образом, компоненты канонической факторизации функции 〃т (力 на единичной окружности даются формулами (1.50) и (1.51). '
Далее, используя соотношения
in«4S)T+min«4S)T+m1п 4тт = - 2 £丸=11п 4тт = - 2 £丸=11 - Z 1Т+722Й-11 - Z 1Т+722Й-12〃一 12〃一 1(|z|Vl),(|z|Vl),
in«4S)T+m
in«4S)T+m
1п 4тт = - 2 £
丸=1
1п 4тт = - 2 £
丸=1
1 - Z 1Т+7
22Й-1
1 - Z 1Т+7
22Й-1
2〃一 1
2〃一 1
(|z|Vl),
(|z|Vl),
в виде бесконечного выкладки, првдедемв виде бесконечного выкладки, првдедем
в виде бесконечного выкладки, првдедем
в виде бесконечного выкладки, првдедем
правую часть (1.51) может представить произведеяия. Опуская промежуточные
окончательный результат:
g+ (Z) = ®ехр 售(祭 ^^ 碎 т)](I z I v 1), (1.52)
л O7 sin 2ka 】n .
Ph = N cos 2ka2In 2 +-
+ Sin 2to£。学寸-cos 2to£ sing•二”, r=lr—1
^ = * cos (2* -l)a- sE0^_|)a. g 2 +
h—■1h—1
+sin(2A — 1) a E 山讶 J COS 傑 一 1)a £包嚟十
Г—1r=l
A: = 1, 2,…；a = arctg-|-),
притом последние две суммы при к~ 1 полагаются равными нулю. При z = W = e" из (1.52) после некоторых преобразований получим
g+ &) = П exp [ak №)1 {cos [国(®)] +i sin [网(®)]}(— л <0< л),
比=1
(1.53)
am®) - 今"cos 2及® —豆!不 cos (2友-1)®]，
阮(0)=彳 佘 sin 2友62/—T s'11(2友一1) 6 •
Теперь, следуя работе [15], функцию g+(G разложим в степенной ряд
g+ (С) = £=戸)，
72^0
что эквивалентно соответствующему ряду Фурье. Отсюда
Y” =击 J g+ (評)ef %(九=0, 1, 2,…).(1.54)
Легко видеть, что 丫冗=丫似 С другой стороны, так как ([141, с. 22, формула 0.237.1)
2中二1一亏，
можем записатьможем записатьe一订出 еe一订出 е=Дехр=Дехр2也0■力\4fc2 — 1 У'2也0■力\4fc2 — 1 У'
можем записать
можем записать
e一订出 е
e一订出 е
=Дехр
=Дехр
2也0■力\
4fc2 — 1 У'
2也0■力\
4fc2 — 1 У'
Внося последние выражения в (1.54) и учтя (1.53), ■ после несложных выкладок находим
Y” = ；JRexp [ah (®)J “£[; :%- + 阮⑹]说(九=0,1,..
°(1.55)
Заметим, что 代=1, что вытекает из соотношения g_(8)= l.
После того как по (1.55) определены коэффициенты 丫％ (тг = О, 1, ...), элементы резольвентной матрицы ymn задаются по формуле
min(m.n)
Ymn = N Ym—rYn—г(^，= 0, 1, 2,...),
а решение бесконечной системы (1.43)——по формуле
5m ~ X ТтпЛп (^ ~ 0, 1, 2,...).
Далее, если построено решение системы
2 ат^п = ?Г (т = 0, 1,2,(1.56)
п=0
где lg(Jvl, то известным способом можно построить решение этой же системы при произвольной правой части, притом решением (1.56) являются координаты вектора [15]
Г*+⑶g- 0/")
Последнее представляет собой аналог известной формулы Хоп- фа — Фока.
Отметим, что коэффициенты уя из (1.55) могут быть со сколь угодно большой точностью аппроксимированы следующими выражениями:
exp[afe(0)]cosexp[afe(0)]cos工仔十氏⑻工仔十氏⑻&6・&6・
exp[afe(0)]cos
exp[afe(0)]cos
工仔十氏⑻
工仔十氏⑻
&6・
&6・
Вычисление последних интегралов может быть осуществлено известными методами [16, 17].
Теперь выразим тангенциальные контактные напряжения и осевые напряжения в стрингере через коэффициенты хп (п = 0, 1,…)，которые в конечном итоге определяются из бесконечной
системы (1.43). Сначала заметим, что поскольку 〃(©)=/= 0 нигде на единичной окружности 1^1 = 1 и ind [〃(©)] |咼=「= 0, то по известной теореме [18] к системе (1.43) применим метод редукции. С другой стороны, нетрудно показать, что эта система вполне регулярна, откуда опять вытекает возможность применения к ней метода редукции. Чтобы показать полную регулярность системы (1.43), представим ее в виде
Ут + 1s ^т—пУп = 〃ти (^ ~ 1 ? 2, . . .),(1.57)
71=1
где ут = |m-i, 〃用=刀用一1, а штрих у знака суммы означает пропуск члена с индексом п — т. Далее, оценим суммы
т
^т ~ jS I I (Ш- =1,2,...).
После элементарных операций легко получим, что
5" = t出 16га" - 15" = t出 16га" - 1+ 2 le^-i72=1+ 2 le^-i72=1+ 4-2 4(2ra_11)2_1 ++ 4-2 4(2ra_11)2_1 +ОтсюдаОтсюда%' v 2 £"=1%' v 2 £"=1116/г2 — 1116/г2 — 1+42+4211(4п — 1) (4п — 3) *(4п — 1) (4п — 3) *4(2a一：)2 _ 1(г=1,2, ...).
5" = t出 16га" - 1
5" = t出 16га" - 1
+ 2 le^-i
72=1
+ 2 le^-i
72=1
+ 4-2 4(2ra_11)2_1 +
+ 4-2 4(2ra_11)2_1 +
Отсюда
Отсюда
%' v 2 £
"=1
%' v 2 £
"=1
1
16/г2 — 1
1
16/г2 — 1
+42
+42
1
1
(4п — 1) (4п — 3) *
(4п — 1) (4п — 3) *
1л28~'1л28~'Но ([14], с. 22, формула 0.237.2)
1л
28~'
1л
28~'
W 16亠 1
С другой стороны ([14], с. 24, формула 0.244.1 и с. 305, формула 3.231.1),
11^^ (4也一1) (4也 --3)^^ (4也一1) (4也 --3)Следовательно,Следовательно,16 £1о16 £1о11(п — 1/4) (п — 3/4)(п — 1/4) (п — 3/4)£-3/4 - £-1/4Л . Л———^ = —ctg^-£-3/4 - £-1/4Л . Л———^ = —ctg^-лл$2Г V2$2Г V2++J "，477・J "，477・
1
1
^^ (4也一1) (4也 --3)
^^ (4也一1) (4也 --3)
Следовательно,
Следовательно,
16 £
1
о
16 £
1
о
1
1
(п — 1/4) (п — 3/4)
(п — 1/4) (п — 3/4)
£-3/4 - £-1/4Л . Л
———^ = —ctg^-
£-3/4 - £-1/4Л . Л
———^ = —ctg^-
л
л
$2Г V2
$2Г V2
+
+
J "，477・
J "，477・
Точно такая же оценка имеет место для 52r-i, которая и показывает полную регулярность бесконечной системы (1.57). Эти
402 гл. П. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ для упругих тел с накладками
оценки одновременно показывают, что поскольку g = l —n/6V < 0,5, то метод редукции оказывается довольно быстро сходящимся процессом.
Теперь, приняв во внимание (1.36) и формулу
Sn+l (入)=^"中2П+2 (九)+ (2也 + 1)中2及(九)他=0,1, 2,..)
будем иметь
①仇)=2 хП "^ 仇八+2 (九)-(2汽 + 1)%"(%)(0 V 大 V 8),
n=0 丄」
(1.58)
Gn 仇)=* j ；丈-即(n= 0,1, 2,
Отметим, что функции GO (п = 0, 1, ...) в пространстве Ь2(—°°, 8)образуют полную ортогональную систему функций. Последнее вытекает из того, что преобразование Гильберта в указанном пространстве является унитарным оператором [8]. Чтобы получить их представления, воспользуемся формулами ([11], с. 193, формула (2) и с. 189, формула (7))
^(M = (-l)H22nn!V(V),^(M = (-l)H22nn!V(V),(1.59)5 = 0,1, 2,…)，(1.59)5 = 0,1, 2,…)，
^(M = (-l)H22nn!V(V),
^(M = (-l)H22nn!V(V),
(1.59)
5 = 0,1, 2,…)，
(1.59)
5 = 0,1, 2,…)，
где .L「(X)——многочлены Чебышева ——Лагерра, преобразованием Фурье, а также формулой (24) из [19] (с. 73). В результате будем иметь
^2п (九)=
=-/2Г(2т + 1)九工(…品Кн/2)①卜 + 1；等；一4~),
х(1.60)
где ①(а; с; %)——вырожденная гипергеометрическая функция.
Далее, при помощи формулы (1.58), обладающей, как легко видеть, нужной асимптотикой на бесконечности, пз (1.22) для тангенциальных контактных напряжений получим
T阳=福营"
仇冷+2 (九)cos ( X ]/^2e)d入一
(1.61)(1.61)-(2九 + 1) f G2n G) cos 0 p廟眯о
(1.61)
(1.61)
а из (1.23) для осевых напряжений в стрингере будем иметь
<р(а)= n - 1+e得-y J ^2«+Й(")sE (九 m 2a)-y
?i=o L X ”
-(2n * 1)『G2n (曲 sin G 卜灰)牛 (0 & E V 8). (1.62)
Прежде чем записать окончательные выражения т(^) и <р&), вычислим интегралы
Mk (м) = j 九①(4 + 1;( -|-;—— 冬)cos 入乂 d儿 о
N卜(м) = J ①(4 + 1; --; 一 ■^卜in 九乂 d九(A: = 0, 1,...). о
Для вычисления первого интеграла в формуле 7.663.1 из [14] (с. 887) положим v = —1/2, а = n — А:+ 1, b = 3/2, X = 1/2, а = =3/4, а для второго интеграла в этой формуле положим v — 1/2, a=荊一4+1,b=3/2,%= 1/2, g = 1/4. Тогда
碇国；* + 1,3/2)，
/43) =4 +1/2)-
В правых частях этих формул фигурируют G — функции Мейера [20]. Теперь, подставляя (1.60) в (1.61) и (1.62), окончательно получим
Т ⑺=霁 Е Уп £ (- D"1 ^ — 1)К?/У("1/2) *
*G詆 J [ ：； ], 3/2)+ (- 1 尸 г(Д-1/2) *
X 专 G；阳；二+3/2)｝，MB)
ОО р—1
屮(Е) = То1Н—— ?产m产f^™Х
(1.64)
притом первая сумма в (1.63) при 汽=1 опускается.
Для рассматриваемых функций Мейера G выведем формулы, пригодные при малых и больших & С этой целью воспользуемся их представлением в виде контурного интеграла Меллина ——Бернса ([20], с. 203). Будем иметь
产“％ 1,3/2[—丄 f r(l — s)F(z + l — s)r(s) $
23〈б 1, /4-1, 3/2丿—而 J ~r(s-i72)r(372-s)G*b
(% = 0, 1, 2,...),
притом удовлетворяются все условия второго определения контура £ = (—力吗汝)[20], так как полюсы Г(1 — s) и Г(/ + 1 — s) расположены справа от 厶 а полюсы F(s) — слева от L. Тогда этот интеграл сходится при ^ > 0, и при помощи соотношения Г(§ — 1/2)Г(3/2 — s) = —л/cos ns его можно представить в виде
阊Е1： 2十1, 3/2)= _ *丄门1T门2+1-S) X
X「⑶ cos л s£ds (Е > 0).
Замкнем контур L справа и заметим, что точки s = 1, 2, ..., 2для подынтегральной функции являются простыми полюсами,а точки s = Z + 1 + р (р = 0, 1, 2,...)——двукратными полюсами.Воспользовавшись представлением гамма-функцип в виде суммымероморфной и целой функций ([20], с. 16, формулы (7) и (8))nz)=P(z)^Q(z),
ос；
尸(z) = £ ^ТТТ)5 。(z) = Je-，zT威,8=01
по теории вычетов после некоторых выкладок получим следующее асимптотическое разложение:
+ 偽回;:：；], 3/2)4；N(Z — r_l)!F_
( ГР-1
0=0Z+p-11 p£(-1)??! +2 q=0」 q=l0=0Z+p-11 p£(-1)??! +2 q=0」 q=l)-j- 2Ei (— 1) + ； 士 (— 1)»! +
0=0
Z+p-11 p
£(-1)??! +2 q=0」 q=l
0=0
Z+p-11 p
£(-1)??! +2 q=0」 q=l
^~^^jd・65)
где ЕКх) — интегральная показательная функция [19] и все сум* мы, верхние индексы которых меньше нижних, опускаются.
Аналогичным образом получим
-；S •*；?/' (тг [2Ei(Т) + ；£(Т尸g! + 0=01〔 L
l + p — l"I p81
+4 2(-)% +E鹏一工冷 (i°)・ u・66)
q=0J g=l ' "Q=1‘ 丿
Замыкая же контур слева, будем иметь
礙仲礙仲1, 3/2'1, / + 1, 3/2,1, 3/2'1, / + 1, 3/2,J ~ _ ~лJ ~ _ ~л21 (Z + p)! .2 й ^21 (Z + p)! .2 й ^1> 3/2\1“1,7 + 1, 1/2^ — ~ '1> 3/2\1“1,7 + 1, 1/2^ — ~ '+ 2,p=i+ 2,p=i(% + р)!(% + р)!(p + 〃2) у(p + 〃2) у(1.67) ("8).(1.67) ("8).
礙仲
礙仲
1, 3/2'
1, / + 1, 3/2,
1, 3/2'
1, / + 1, 3/2,
J ~ _ ~л
J ~ _ ~л
21 (Z + p)! .2 й ^
21 (Z + p)! .2 й ^
1> 3/2\1“
1,7 + 1, 1/2^ — ~ '
1> 3/2\1“
1,7 + 1, 1/2^ — ~ '
+ 2
,p=i
+ 2
,p=i
(% + р)!
(% + р)!
(p + 〃2) у
(p + 〃2) у
(1.67) ("8).
(1.67) ("8).
Формулами (1.65) —(1.67) даются асимптотические представления G ——функций для малых и больших 邑 при помощи которых из (1.63) и (1.64) получим соответствующие асимптотические представления для т(Е)и 屮(自).С другой стороны, при помощи (1.65) легко обнаружить, что в (1.63) явным образом содержится особенность при ^ = 0 в виде квадратного корня ¥自・ При этом для коэффициента интенсивности напряжений т(0 в точке ^ = 0 получим
4= limp玩(Е),(1.68)
где т(Е)выражается формулой (1.63).
В частном случае, когда стрингер нагружен только на своем конце, имеем /(X) = y/Z, и, следовательно, при помощи (1,42) и (1.45) можем записать
= Нт-1 = ^^；2*— ：3 J С 2 /тт (X) бДо
(тп = 1, 2, ..у 2/л).
Далее, воспользовавшись формулами (1.59), а также формулой 7.414.5 из [14] (с. 858), после простых операций получим
"т = Т^ Г (:牌/2) g (— 1 戶畸彖 f(m = l, 2,...). (1.69)
В указанном частном случае проведены числовые расчеты, которые осуществлялись на ЭВМ ЕС-1022. Сначала методом редукции с точностью до 10-6 решалась бесконечная система (1.57) при правой части (1.69), притом для достижения этой точности необходимо было удержать первые 25——30 уравнений. Затем по формуле (1.63) при помощи (1.65) и (1.67) вычислялись значения т(^) при малых и больших £ Результаты вычислений приведены в табл. 2.1. С возрастанием 自 тангенциальные контактные напряжения строго монотонно убывают, что укладывается в рамки уже известных представлений о закономерностях их изменения. Для коэффициента интенсивности, выражающегося формулой (1.68), получилось А^ = 0,878.
Таблица 2.1
瓚）
0,01 8,597
0,1 2,024
仇2
1,212
0,3 0,787
0,4 0,475
三
1,2
1,5
2
2,5
3
瓚）
0,293
0,210
0,136
0,097
0,074
Далее по формуле (1.64) при помощи (4.66) в некоторых точках были вычислены значения 屮化)，которые с обратным знаком, согласно (1.21), дают значения осевых напряжений в стрингере. Эти вычисления дали $(0,001) =—0,934, ф(0,005) = —0,866, <р(0,01) = —0,812. Последние с обратным знаком весьма близки к результатам, приведенным в [3].
§ 2. Упругие полуплоскость и плоскость, усиленные накладкой конечной длины переменной жесткости на растяжение.
Интегро-дифференциальное уравнение Прандтля,различные аналитические методы его решения
В постановке, изложенной в предыдущем параграфе, рассмотрим смешанную задачу о передаче нагрузки от накладки (стрингера) конечной длины и переменной жесткости на растяжение к упругой полуплоскости и плоскости.
Пусть упругая полубесконечная пластина толщины d? на конечном отрезке своей границы усилена жестко сцепленной с ней накладкой длины 2a и толщины 厶.Пусть, далее, пластина на бесконечности подвержена равномерному растяжению с интенсивностью Pq, а накладка по своей верхней грани нагружена тангенцпалышми силами интенсивности т+(/) и одновременно на ее концах действуют сосредоточенные силы Pt и Р2 (рис. 2.4). Требуется определить закон распределения тангенциальных контактных напряжений, их интенсивность на концах накладки, а также осевые напряжения в ней.
Выведем определяющее уравнение поставленной задачи. Сначала рассмотрим равновесие любой части [—а,力]накладки. Можем написать
(2.1)(2.1)成4 + dx J т_ (и) du + J т+ (м) Un — Р] = О,
(2.1)
(2.1)
—а
где обозначения те же, что и в предыдущем параграфе. Отсюда при помощи (1.2) получим
W 厂 a 一厶)(^) J T+ (w) du .(2.2)
Как и в предыдущем параграфе, модуль упругости накладки Е. будем считать переменной величиной и положим
Е$ = ЕЕ⑺(Е(况)>0, Е(0) = 1).(2.3)
Кроме того, введем в рассмотрение понятие эффективной шириКроме того, введем в рассмотрение понятие эффективной ширины й = %ф контактной зоны, по которой накладка фактически скреплена с пластиной. В том частном случае, когда накладка в поперечном направлении по всей ширине скреплена с пластиной, d = min (d^ &2)・ Прины й = %ф контактной зоны, по которой накладка фактически скреплена с пластиной. В том частном случае, когда накладка в поперечном направлении по всей ширине скреплена с пластиной, d = min (d^ &2)・ ПриРис. 2.4.Рис. 2.4.частичном скреплении d < di,办 С учетом последнего и (2.3) соотношениечастичном скреплении d < di,办 С учетом последнего и (2.3) соотношение(2.2) можем представить в виде(2.2) можем представить в виде
Кроме того, введем в рассмотрение понятие эффективной шири
Кроме того, введем в рассмотрение понятие эффективной шири
ны й = %ф контактной зоны, по которой накладка фактически скреплена с пластиной. В том частном случае, когда накладка в поперечном направлении по всей ширине скреплена с пластиной, d = min (d^ &2)・ При
ны й = %ф контактной зоны, по которой накладка фактически скреплена с пластиной. В том частном случае, когда накладка в поперечном направлении по всей ширине скреплена с пластиной, d = min (d^ &2)・ При
Рис. 2.4.
Рис. 2.4.
частичном скреплении d < di,办 С учетом последнего и (2.3) соотношение
частичном скреплении d < di,办 С учетом последнего и (2.3) соотношение
(2.2) можем представить в виде
(2.2) можем представить в виде
班一44/⑺班一44/⑺Рх — d J 工一 3) d〃 — J т+ (м) du .Рх — d J 工一 3) d〃 — J т+ (м) du .(2.4)(2.4)—а—аС другой стороны, деформация граничных точек полубесконеч- ной пластины от действующих на отрезке [—а, а] ее границы тангенциальных напряжений т_(%) и равномерно распределенных на бесконечности растягивающих напряжений Ро будетС другой стороны, деформация граничных точек полубесконеч- ной пластины от действующих на отрезке [—а, а] ее границы тангенциальных напряжений т_(%) и равномерно распределенных на бесконечности растягивающих напряжений Ро будети 一力и 一力du + -^-,du + -^-,(2.5)(2.5)
班一44/⑺
班一44/⑺
Рх — d J 工一 3) d〃 — J т+ (м) du .
Рх — d J 工一 3) d〃 — J т+ (м) du .
(2.4)
(2.4)
—а
—а
С другой стороны, деформация граничных точек полубесконеч- ной пластины от действующих на отрезке [—а, а] ее границы тангенциальных напряжений т_(%) и равномерно распределенных на бесконечности растягивающих напряжений Ро будет
С другой стороны, деформация граничных точек полубесконеч- ной пластины от действующих на отрезке [—а, а] ее границы тангенциальных напряжений т_(%) и равномерно распределенных на бесконечности растягивающих напряжений Ро будет
и 一力
и 一力
du + -^-,
du + -^-,
(2.5)
(2.5)
где *интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. Приняв во внимание очевидное условие контакта
班=%：( a V} х vZ a),
при помощи (2.4) и (2.5) придем к следующему уравнению относительно Т—(/):
d〃 Н—^~ =d〃 Н—^~ =
d〃 Н—^~ =
d〃 Н—^~ =
-XX.
⑵6)⑵6)千話匕一d Jt一⑷du—J J®〃U
⑵6)
⑵6)
丄 $ L一。-a-
(—a V % Va).
Преобразуем это уравнение к каноническому виду. С этой целью прежде всего заметим, что условие равновесия всей накладки, согласно (2.1), даст
d J т_ (u) du = Z\(2.7)
где P ——равнодействующая всех сил, действующих на накладку. А именно
Р = Р\ —尸2 — ^от為=J J(М)九.
—a
Теперь в уравнение (2.6) и условие (2.7) введем безразмерные координаты 自，т|：
х = 〃自,и = ОТ]
и безразмерные величины
号 т_ (成) = Т(Е), -^-т+ (ag) = т0 (g), у (g) =
…4吗pp _耳4Р。(2.8)
В результате уравнение (2.6) перейдет в уравнение
V f 曲旳=入Y(日[貝叫如一入y(三)了® (-1<ё<1), —1—1
(2.9)
а условие (2.7) — в условие
J т(г|) dt| = 1,(2.10)
где положено
/隽)=Л. — j % (n) dn — Po/丫 (占).⑵ 11)
Введение функции
中隽)=J Т⑺)對 (一1 V占V1)
позволяет уравнение (2.9) записать в виде следующего интегро- дифференциального уравнения:
* J 得 *1 =九y⑹中阳-入Y®/(三)(-Кё<1), (2.12)
решение которого, согласно (2.10), должно удовлетворять граничным условиям
Ф(-1)=0, (р(1) = 1.(2.13)
Рис. 2.5.Рис. 2.5.Таким образом, решение поставленной контактной задачи в разбираемом случае в конечном итоге сводится к решению сингулярного интегро-дифференциального уравнения (2.12) при граничных условиях (2.13). Уравнение (2.12) и представляет собой известное интегро-дифференциальное уравнение Прандтлй из теории крыла конечного размаха [21].
Рис. 2.5.
Рис. 2.5.
Пусть теперь имеется упругая бесконечная пластина, которая на своей верхней плоскости усилена накладкой конечной длины. Будем стотать, что контактирующая пара накладка —пластина подвержена тем же самым силовым воз- действиямг что и в предыдущем случае (рис. 2.5). Кроме того, будем считать, что для бесконечной пластины справедлива
модель обобщенного плоского напряженного состояния, благодаря чему она деформируется как плоскость.
Учитывая последнее обстоятельство, будем иметь соотношение
(3 一 %)(+2)4n后2(3 一 %)(+2)4n后2du + 寸, 22du + 寸, 22
(3 一 %)(+2)4n后2
(3 一 %)(+2)4n后2
du + 寸, 22
du + 寸, 22
которое в сочетании с (2.4) в конечном итоге опять-таки приведет к (2.12) при граничных условиях (2.13), притом все обозна-
чения в данном случае совпадают с (2.8) с той лишь разницей,
что здесьчто здесь^E2ad2=（3一%）（屮2）々4，^E2ad2=（3一%）（屮2）々4，(2-14)(2-14)
что здесь
что здесь
^E2ad2
=（3一%）（屮2）々4，
^E2ad2
=（3一%）（屮2）々4，
(2-14)
(2-14)
Обратимся, наконец, к случаю, когда упругая полуплоскость, находящаяся в условиях плоской деформации, по своей границе усилена накладкой длины 2a и высоты h. В разбираемом случае
2 d)2 d)
2 d)
2 d)
*(呜~р~*(呜~р~（1一唠叫 一（1_唠2力々（1一唠叫 一（1_唠2力々Ро =Ро =="о (Е),(1 一哨 р/ '="о (Е),(1 一哨 р/ '(2.15)(2.15)
*(呜
~р~
*(呜
~р~
（1一唠叫 一（1_唠2力々
（1一唠叫 一（1_唠2力々
Ро =
Ро =
="о (Е),
(1 一哨 р/ '
="о (Е),
(1 一哨 р/ '
(2.15)
(2.15)
I Т_(EZ)2м ——J т+ (ez) du I.a—a-J
Последние два соотношения также сводят решение поставленной задачи к решению интегро-дифференциального уравнения (2.12) при граничных условиях (2.13), но соответствующие новые обозначения выглядят следующим образом:
а остальные обозначения те же, что и в (2.8).
Таким образом, поставленная задача во всех указанных трех случаях математически формулируется в виде единого интегро- дифференциального уравнения (2.12) при граничных условиях (2.13), а переход к конкретным случаям осуществляется при помощи формул (2.8), (2.14) и (2.15).
Следует отметить, что изложенная здесь постановка задачи несколько шире, чем в предыдущем параграфе, где неявно предполагалось, что di = d2 = d.
Сведем интегро-дифференциальное уравнение (2.12) при граничных условиях (2.13) к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. С этой целью воспользуемся формулой обращения сингулярного уравнения с ядром Коши на конечном отрезке [22]. Будем иметь
中'0)=中'0)=Ml-*Y⑺中(⑴办]+Ml-*Y⑺中(⑴办]+
中'0)=
中'0)=
Ml-*Y⑺中(⑴办]+
Ml-*Y⑺中(⑴办]+
++
+
+
(-1<ё<1)(-1<ё<1)入 f力一哈＞（m⑺丄 e冢不 !的十TT^F
(-1<ё<1)
(-1<ё<1)
где С ——неизвестная пока постоянная. Обе части последнего равенства проинтегрируем и примем во внимание выражение интеграла [14, 22]
f _ 审 二2 . ln I-En + M匸的)(1-喂)
J 匕一『(三—⑺2 /1 — n2 i Tn — Hi —併)(i —唄)
ПолучимПолучим+金J m-1+金J m-1"1 —刖 + M(i — 1)(1 —喂).[m 一 P (1 一 1) (1 一 限)"1 —刖 + M(i — 1)(1 —喂).[m 一 P (1 一 1) (1 一 限)丫 ⑺ ср ⑺ di] +丫 ⑺ ср ⑺ di] +1 一自什 V7匸-1)" -限)]TL P(1 - g2) (1 - n2)1 一自什 V7匸-1)" -限)]TL P(1 - g2) (1 - n2)Y (n) f (n)對+C arcsin g+CpY (n) f (n)對+C arcsin g+Cp
Получим
Получим
+金J m
-1
+金J m
-1
"1 —刖 + M(i — 1)(1 —喂).[m 一 P (1 一 1) (1 一 限)
"1 —刖 + M(i — 1)(1 —喂).[m 一 P (1 一 1) (1 一 限)
丫 ⑺ ср ⑺ di] +
丫 ⑺ ср ⑺ di] +
1 一自什 V7匸-1)" -限)]TL P(1 - g2) (1 - n2)
1 一自什 V7匸-1)" -限)]TL P(1 - g2) (1 - n2)
Y (n) f (n)對+C arcsin g+Cp
Y (n) f (n)對+C arcsin g+Cp
(2.12) при интеграль-(2.12) при интеграль-Удовлетворяя граничным условиям (2.13), находим
(2.12) при интеграль-
(2.12) при интеграль-
Следовательно, интегро-дифференциальное уравнение граничных условиях (2.13) эквивалентно следующему ному уравнению Фредгольма второго рода:
学⑹+备 J к 囹 n) Y (n)屮(n) dn = g (E),(2.16)
к (占，n) = Inк (占，n) = In1 一刖 + MG -1)(1 — 倘)l-^n- /(1 - &2) (1 - n2)
к (占，n) = In
к (占，n) = In
1
g (E) = ；arcsinE + 备 J К (g, г]) Y(П)f(П)&П + 等・
Очевидно, что уравнение (2.16) можно рассматривать в пространстве £$(—1, 1) с весом 惟)，где оно представляет собой интегральное уравнение с ядром Гильберта — Шмидта, которое, более того, является положительно определенным ядром. Согласно известным результатам [9], на основа принципа сжатых отображений Банаха при условии
九 <2п||К||Т,
1 1U/2
И|1 = И J ” 怎 n)Y(W)Y⑺庶嗣，
-1 -1J
решение уравнения (2.16) можно построить методом последовательных приближений.
В частном случае, когда у(§) = 1, т. е. когда имеется однородная накладка, можно построить собственные функции и собственные числа соответствующего (2.16) ядра. А именно, исходя из известного интегрального соотношения
4- Г—可、.=*(三)(-Кё<1), (2.17)
где Tn(^) — полиномы Чебышева первого рода, a Un~S^ — полиномы Чебышева второго рода, и применяя только что изложенную процедуру, находим
— all/ J，厶
Последнее соотношение можно записать в виде
嘉 J 乙怎 n)VT^UnT(n)dn = ； %T(占)(-1<ё< 1),
L (ё, n) = [(1 - ^2) (1 - П2)Г1/2 К (g, 11)(兀=1, 2 ,...),
что и дает собственные функции и собственные числа ядра 乙电П).
В классических контактных задачах линейной теории упругости особенности, присущие контактным напряжениям на концах участков соприкосновения упругих тел, имеют, вообще говоря, вид квадратного корня. Оказывается, что особенности такого же типа присущи контактным напряжениям на концах упругих накладок и в случае класса расоматриваемых нами задач. Для доказательства этого факта, следуя работе [2], воспользуемся некоторыми результатами из монографии [23], относящимися к поведению интеграла типа Коши вблизи концов линии интегрирования. Нужный для нашей цели результат из [23] состоит в следующем.
Пусть [а, Ь]——конечный отрезок действительной оси, и пусть плотность интеграла типа Коши
①⑵
'， J s — z
в окрестности одного из концов а или 6, который обозначим через с, представима в виде
W = ^(°<У),
где функция ср*(%) в окрестности с удовлетворяет условию Гёль-
дера, т. е. принадлежит классу Н в окрестности точки с. Тогда справедливо представление
①⑺=士 7中* ©成+ Ф*⑺，(2.18)
где верхний знак берется при с = а, а нижний ——при с = 6, притом
(2.19)(2.19)Ф* (⑵)=，①**(2 .(0<a0< a)
(2.19)
(2.19)
I X — C I 0
и функция ①**(况)принадлежит классу Н в окрестности точки с. Заметим, что потенциальная энергия, накопленная в упругой полуплоскости вследствие ее деформации контактными напряжениями под упругими накладками, должна быть величиной конечной. Поэтому возможные особенности контактных напряжений на концах упругих накладок должны быть интегрируемого порядка. Сказанное позволяет утверждать, что контактное напряжение под накладкой можно представить в виде
嘀=中'阳=万津%где %(自，М — непрерывная по 自 на удовлетворяющая условию Гёльдера.Займемся определением значений леднюю формулу запишем в виде嘀=中'阳=万津%где %(自，М — непрерывная по 自 на удовлетворяющая условию Гёльдера.Займемся определением значений леднюю формулу запишем в виде(0V4 BV1),(2.20)(0V4 BV1),(2.20)отрезке [―1, 1] функция,отрезке [―1, 1] функция,а и р. С этой целью пос-а и р. С этой целью пос-貝e）=貝e）=4怎入）4怎入）(1 + ^)а(1 + ^)а++%信入）（1一评'%信入）（1一评'(2.21)(2.21)2)= ^В，Очевидно, что функции 左(自，九)рестностях точек 自=—1 и 自=12)= ^В，Очевидно, что функции 左(自，九)рестностях точек 自=—1 и 自=1x2/入)x2/入)И心电入）И心电入）2(1十旷.соответственно в ок-2(1十旷.соответственно в ок-принадлежат классу Я.принадлежат классу Я.Приняв во внимание (2.18), а также (2.20) и (2.21), интегро- дифференциальное уравнение (2.12) представим в видеПриняв во внимание (2.18), а также (2.20) и (2.21), интегро- дифференциальное уравнение (2.12) представим в виде厶（一 1,入）厶（一 1,入）（1 +自产（1 +自产ctg ал —ctg ал —%(1,%)%(1,%)(1 -訥(1 -訥^₽л + Ф：（ё）+ Ф；（占）=^₽л + Ф：（ё）+ Ф；（占）=
嘀=中'阳=万津%
где %(自，М — непрерывная по 自 на удовлетворяющая условию Гёльдера.
Займемся определением значений леднюю формулу запишем в виде
嘀=中'阳=万津%
где %(自，М — непрерывная по 自 на удовлетворяющая условию Гёльдера.
Займемся определением значений леднюю формулу запишем в виде
(0V4 BV1),(2.20)
(0V4 BV1),(2.20)
отрезке [―1, 1] функция,
отрезке [―1, 1] функция,
а и р. С этой целью пос-
а и р. С этой целью пос-
貝e）=
貝e）=
4怎入）
4怎入）
(1 + ^)а
(1 + ^)а
+
+
%信入）
（1一评'
%信入）
（1一评'
(2.21)
(2.21)
2)= ^В，
Очевидно, что функции 左(自，九)рестностях точек 自=—1 и 自=1
2)= ^В，
Очевидно, что функции 左(自，九)рестностях точек 自=—1 и 自=1
x2/入)
x2/入)
И心电入）
И心电入）
2(1十旷.
соответственно в ок-
2(1十旷.
соответственно в ок-
принадлежат классу Я.
принадлежат классу Я.
Приняв во внимание (2.18), а также (2.20) и (2.21), интегро- дифференциальное уравнение (2.12) представим в виде
Приняв во внимание (2.18), а также (2.20) и (2.21), интегро- дифференциальное уравнение (2.12) представим в виде
厶（一 1,入）
厶（一 1,入）
（1 +自产
（1 +自产
ctg ал —
ctg ал —
%(1,%)
%(1,%)
(1 -訥
(1 -訥
^₽л + Ф：（ё）+ Ф；（占）=
^₽л + Ф：（ё）+ Ф；（占）=
(2.22)(2.19),(2.22)(2.19),(l+W)a(D：(E)fOa-w)6(D：(w)f оТеперь обе части равенства (2.22) а потом на (1 —自)° и перейдем к8 в. М. Александров, С. М. Мхитарян(l+W)a(D：(E)fOa-w)6(D：(w)f оТеперь обе части равенства (2.22) а потом на (1 —自)° и перейдем к8 в. М. Александров, С. М. Мхитарянпри g-> — 1, при Ef 1.при g-> — 1, при Ef 1.(2.23)(2.23)умножим сначала на (1 4- g)a, пределу при 自 f—1 и 1умножим сначала на (1 4- g)a, пределу при 自 f—1 и 1
(2.22)
(2.19),
(2.22)
(2.19),
(l+W)a(D：(E)fO
a-w)6(D：(w)f о
Теперь обе части равенства (2.22) а потом на (1 —自)° и перейдем к
8 в. М. Александров, С. М. Мхитарян
(l+W)a(D：(E)fO
a-w)6(D：(w)f о
Теперь обе части равенства (2.22) а потом на (1 —自)° и перейдем к
8 в. М. Александров, С. М. Мхитарян
при g-> — 1, при Ef 1.
при g-> — 1, при Ef 1.
(2.23)
(2.23)
умножим сначала на (1 4- g)a, пределу при 自 f—1 и 1
умножим сначала на (1 4- g)a, пределу при 自 f—1 и 1
=入Y⑹屮(S 一入Y阳/位).(-i<g<i).
Фигурирующие здесь функции Ф* (g) и ①;(g), согласно обладают свойствами
соответственно. Учитывая (2.23) и абсолютную непрерывность функции <р(自)на отрезке [—1, И, а также предполагая функции Y(自)и /(自)на этом отрезке непрерывными или даже обладающими на концах 自=土1 особенностями, порядок которых ниже, чем а и соответственно, для определения неизвестных степеней а и получим следующие трансцендентные уравнения:
ctg ал = 0, ctg ^л = 0.
Беря наименьшие положительные корпн этих уравнений, непос- редствелно находим а = § = 1/2.
Таким образом, контактное напряжение вдоль участка соединения накладки с полуплоскостью имеет вид
貝…(н苏 “9.(2.24)
Отметим, что %(自,0) = l/冗(一1WW&1). Это следует из того, что, когда X = 0, уравнением (2.12) описывается классическая контактная задача о вдавливании жесткого штампа с плоским основанием в упругую полуплоскость и формулой (2.24) должно даваться известное решение Садовского этой задачи [24, 251. Из рассмотрения получаемых далее бесконечных систем линейных уравнений следует, что по крайней мере в некоторой окрестности точки Z = 0 функция %(&,入)и по X является непрерывной функцией. Поэтому %(±1, X) ¥= 0 по крайней мере в некоторой окрестности точки X = 0. Сказанное и означает, что присущие контактным напряжениям особенности на концах упругой накладки характеризуются квадратным корнем по формуле (2.24).
Теперь изложим методику сведения интегро-дифференциального уравнения (2.12) при граничных условиях (2.13) к эквивалентной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Тем самым к этой бесконечной системе сведется и интегральное уравнение (2.16).
С указанной целью, исходя из (2.24), решение уравнения (2.12) представим бесконечным рядом
t (自)=中'(自)=' 2得爲低)(-l<g<l) (2.25)
А 1 —三2 у。
с известными коэффициентами хп (и = 0, 1, 2, ••・). Из последнего получим
中(三)=j t J =
44 S и 1 - n
=E / ! j^i^ di]=仆(子+6rcsinE)— /1 — ^2 £毋?7n-i(^).
Удовлетворяя граничным условиям (2.13), находим, что xQ = 1/л, и, следовательно,
屮(占)=W (子 + arcsin 目-]Л二p £ 年阳(-1<ё<1).
(2.26)
Далее, (2.25) и (2.26) подставим в уравнение (2.12) и воспользуемся соотношением (2.17). В результате придем к равенству
£ ^nUп-± (&)=九у (Е)£ ^nUп-± (&)=九у (Е)+ arcsing)—+ arcsing)—
£ ^nUп-± (&)=九у (Е)
£ ^nUп-± (&)=九у (Е)
+ arcsing)—
+ arcsing)—
-/I77!5 2 V Un-i (^) - ^Y (?) /(^)(—1VEV1). (2.27)
n=lJ
Здесь было использовано известное соотношение
dr）（口T）人一优dr）（口T）人一优0.0.
dr）
（口T）人一优
dr）
（口T）人一优
0.
0.
Теперь обе части равенства (2.27) умножим на функцию ¥1 —自2"一式自)，проинтегрируем от —1 до 1 и примем во внимание условие ортогональности полиномов Чебышева второго рода
Pи[0, 力声0,
Jк = п 的兀= 1,2,…).
После некоторых элементарных операций для определения неизвестных коэффициентов хп получим бесконечную систему линейных уравнений
胃尼 + 九 U Кк,п£п — ak (力=1, 2, ...), (2.28)
где введены обозначения
1
Me = V 凡 д 碍 п = 4 J и пт (ё) %-1 ⑶(1 一 F) Y (ё)龙，
!(2.29)
^ = ^ j[之(子+ arcsin a) - / 卸 %Г囹/1^Y ⑹龙
(",% = 1, 2,...).
Таким образом, интегро-дифференциальное уравнение (2.12) при граничных условиях (2.13) эквивалентно бесконечной системе (2.28).
8*
Исследуем на регулярность бесконечную систему （2.28）, для чего введем в рассмотрение пространство ограниченных числовых последовательностей w, в котором метрика порождается формулой
р （久1, &） = sup I 或）—42） I，；
где 况i = {况2）}^Li （/ = 1, 2）, и которое в смысле этой метрики является полным метрическим пространством [9]. Далее, в этом пространстве рассмотрим оператор 宜：
У = {у&£=1, / ~ {/}&=i,
Уh = a在一人工区互,П龙龍（衣=1, 2,…
П—1
притом a ={ak}k^=i ^mn x^m. Очевидно, что при условии
sup S \Kh,П\<ОО左 n—1
оператор К пространство m отображает в себя. Поэтому займемся оценкой сумм
Воспользовавшись неравенством Коши ——Буняковского, будем иметь
/ ОО尸 СО/ ОО
汽=1 ”71=1Г °71=1
Теперь, как в работах Г26, 27], коэффициенты Rki п будем трактовать как коэффициенты Фурье функции “一（自）¥1 —苧惟）из пространства вещественных квадратично суммируемых функций £^[——1, 1] с весом р（自）=¥1 — F по полной ортогональной системе полиномов Чебышева второго рода Un-i（自）（整=1, 2,...）. Тогда, согласно равенству Парсеваля, из теории ортогональных рядов
2 ЕМ = 4 f UL （ё）（1-ёГ2 У2 （占）d&. n—1
Следовательно,Следовательно,Ukl⑶(1一占2)3/匕2 (三)就Ukl⑶(1一占2)3/匕2 (三)就
Следовательно,
Следовательно,
Ukl⑶(1一占2)3/匕2 (三)就
Ukl⑶(1一占2)3/匕2 (三)就
=4^ [J sin?(衣 arccos 己)厂1 -孑『(占)成 《Л^у。, I" 1"I "2
(2.30)(2.30)Считая 丫0 конечной величиной, отсюда обнаружим, что при условии
(2.30)
(2.30)
Vз ?。V
(2.31)(2.31)оператор К не только отображает пространство m в себя, но одновременно является и сжимающим оператором в этом пространстве. Поэтому по принципу сжатых отображений оператор К имеет единственную неподвижную точку, которую можно найти методом последовательных приближений. Последнее означает, что бесконечная система (2.28) имеет единственное решение, которое можно получить указанным методом. С другой стороны, условие (2.30), очевидно, представляет собой обычное условие полной регулярности [281 бесконечной системы (2.28), которое обеспечивает возможность решения последней также методом редукции. Условие (2.30) можно записать в виде
(2.31)
(2.31)
Итак, при условии (2.31) бесконечная система (2.28) вполне регулярна.
Более подробно остановимся на случае однородной накладки, т. е. на частном случае, когда 丫(自)=1. В этом случае ядро бесконечной системы (2.28) из (2.29) можно, элементарным способом вычислить. Действительно,
1
&,n = If и…（S）4T 位）（1 -孑）成=
2
J sin kt sin nt sin t dt
о
(E = cos 力).
отсюда находим следую-(汽 у= А： — 1,汽* А + 1), (п = к ——1,汽=А： + 1).отсюда находим следую-(汽 у= А： — 1,汽* А + 1), (п = к ——1,汽=А： + 1).Опуская промежуточные выкладки, щее простое выражение:
отсюда находим следую-
(汽 у= А： — 1,汽* А + 1), (п = к ——1,汽=А： + 1).
отсюда находим следую-
(汽 у= А： — 1,汽* А + 1), (п = к ——1,汽=А： + 1).
'4〃h + (—1)"+А]
кк,П = 一"炉 一(左一1丹1/一(力+1沟
'о
(2.32)
Свободные члены системы (2.28) в разбираемом случае приобретают вид
1
僚=打 长(arcsin "部 Т ⑶]"т ⑹ /i^ 龙(2.33)
(A — 1, 2,..)
В данном случае у0 = Ул/2 и условие полной регулярности системы (2.31) преобразуется к следующему:
(2.34)(2.34)入 v?^ 0,78.
(2.34)
(2.34)
Однако в обсуждаемом частном случае, как показано в работе [26), интервал полной регулярности бесконечной системы (2.28) получается шире, чем (2.34). Желая расширить интервал (2.34), удобно тангенциальное контактное напряжение представить в виде суммы своец четной и нечетной частей, тем самым отдельно рассматривая случаи кососимметрического и симметрического нагружения накладки. А именно положим
t(^) = T+(^) + (自)(工土(一三)=±号(自)). ⑵35)
Теперь (2.35) подставим в уравнение (2.12) и отделим друг 0T друга его четные и нечетные члены. В результате в симметрическом случае получим интегро-дифференциальное уравнение
7 J ^у ^ = X J т- (п) ^ + 4 - v+ (Ю (2.36)
при условии
1
(2.37)(2.37)J 工- (n) dn = о, -1
(2.37)
(2.37)
а при кососимметрическом случае — уравнение
(2.38)(2.38)■^ J霍d9=入/工+ (n№n-"!-芻-⑸ -1-1
(2.38)
(2.38)
при условии
1
(2.39)(2.39)J т+(Л)@" = 1.
(2.39)
(2.39)
-1
Здесь 产(自)一соответственно четные и нечетные компоненты заданной нагрузки 堆).
Исходя из (2.35) и (2.25), решение уравнения (2.36) представим в виде
Ю = 0Ю = 0Z2n-1^2n-l(^)Z2n-1^2n-l(^)(-l<g<l).(-l<g<l).(2.40)(2.40)
Ю = 0
Ю = 0
Z2n-1^2n-l(^)
Z2n-1^2n-l(^)
(-l<g<l).
(-l<g<l).
(2.40)
(2.40)
Очевидно, что условие (2.37) удовлетворяется тождественно. Для получения эквивалентной бесконечной системы подставим (2.40) в уравнение (2.36) и проделаем изложенную выше процедуру. В результате, как и следовало ожидать, получим бесконечную систему
工2"1 + 九 £ "z^T, 2n—1^2п—1 —仇月—1(右=1? 2, • •(2.44)
I
& = j广⑹龙，：
/(2.42)
如7 = 一 2广位)5一 ⑸ Vr^^ (后=2,3,...). 0
В случае уравнения (2.38) положим
J阳J阳£ “2??2?1(三)?1=0£ “2??2?1(三)?1=0(-.1<^<1),(-.1<^<1),(2.43)(2.43)
J阳
J阳
£ “2??2?1(三)
?1=0
£ “2??2?1(三)
?1=0
(-.1<^<1),
(-.1<^<1),
(2.43)
(2.43)
Из условия (2.39), как и выше, непосредственно находим, что хе = 1/л, а соответствующая ^бесконечная система имеет вид
g月 + 九~ ^2& (乃 ~ 1, 2, •..),(2.44)
n=i
三j(：；?) ])2 一 ^ J厂化)S『i化)m厂百龙伯=1,2,
(2.45)
Согласно (2.32), ядра бесконечных систем (2.41) и (2.44) будут
выражаться формулами
"2月 -1,2n-1 =-
8（2”Т）
n: ［（2П二-17 一 4 体一I），［（2汽 - I/ — 4川］
^2й,2п =
（^? ^ = 1,2,...）,
16卷
（2.46）
n [4n2 — （2" — I）2] [4汽2 - （2fc + I）2] （友，汽=1, 2,…）.
Следуя работе [26], вычислим суммы
^2й-1 =九 £ I K2k-l,2n~l I =
_ 4 V 8（2*一1）
~ 自1 I （2汽一 l）3 一 4 （" 一 I）2 11 （2?z - l）2 一 曲，
（6 = 1,2,...）.
Легко видеть, что K2k-i, 2»-i < 0 при всех 汽 м Е, кроме случая 汽=力,при котором К^-1,2n-i > 0. Следовательно,
q 8九（2〃 一 1）1.
2"1一 n （4"_3）（44_1）十
N ［（2a 一 1）2 一 4 （左 一 I）2］ ［（2n - I）2 一 4户］
где штрих означает пропуск члена при п = к. Последнее, однако, можно записать в виде
L
（曲—3）（4"一1）十
S [（2n 一 1）2 一 4 （" 一 l）2][（2n 一 I）2 - 4的
Воспользовавшись элементарным тождеством
^2A-1 —
8九（2左一 1）
л
1
[（2汽- ]）2_ 4 （"T）2] [（2汽一[）2 -4户]—
=1 Г]
——4 （2〃 一1） [（2汽一 I）? — 4 （厶 一 if
（2-［）2—4庐］
и известным разложением на простейшие дроби （[14], с. 50, фор* мула 1.421 （1））
tg :忑_4z
1
（2a- if —戸
легко находим
S2/1T
16九儲一 1)
л (4〃 一 3) (4〃 ——1)
入(64 — 3j?)
12л
("=2，3,…)
(I).
Вполне аналогичным способом [261 получим
S2 k =九S2 k =九44(4Л2 —I)2]'(4Л2 —I)2]'
S2 k =九
S2 k =九
4
4
(4Л2 —I)2]'
(4Л2 —I)2]'
своих максималь- что бесконечная(2.47)своих максималь- что бесконечная(2.47)九 V51,1,64 — 3d九 V51,1,64 — 3dОчевидно, что суммы S2k~i и 52^ достигают пых значений при к = 1* Отсюда получается, система (2.41) вполне регулярна при условии
своих максималь- что бесконечная
(2.47)
своих максималь- что бесконечная
(2.47)
九 V51,1,
64 — 3d
九 V51,1,
64 — 3d
а бесконечная система (2.44) вполне регулярна при условии
45
(2.48)(2.48)九 v^KA* л а? 2,5.
(2.48)
(2.48)
С другой стороны, ПОСКОЛЬКУ S2在一]f О И 82^ — 0 при 论 f 8 и любом значении параметра 入，то указанные бесконечные системы в общем случае, когда 0 < А, < °°, квазивполне регулярны.
Следует отметить, что интервалы полной регулярности (2.47) и (2.48), полученные в работе [261, шире, чем интервал (2.34), и шире, чем интервалы, первоначально полученные в работах [29, 301, а также в [311.
После того как построено решение интегро-дифференциального уравнения (2.12) при граничных условиях (2.13) в форме (2.25), осевое напряжение в накладке в случае полубесконечной и бесконечной пластинок, согласно (2.1), будет выражаться следующей формулой:
О ⑹=Pl _ 3停 + arcsin 引 +
十 ME 2 ^。…⑷一卜⑺ dn (-l<g< 1), (2.49)
где введена безразмерная величина aQ) = A^^a^lP. Аналогично в случае упругой полуплоскости, находящейся в условиях плоской деформации, будем иметь ту же самую формулу (2.49), где, однако, и(&)=力或(成)/Р. Исходя из общей формулы (2.25) для тангенциального контактного напряжения
工⑹=-上十 £ 3“(自)(-l<g<l), (2.50) Л /1-g2 Vl-^2
вычислим также коэффициенты интенсивности этих напряжений
(2.51)(2.51)4= lim tQ) /1+1=-^ g + E(_i)%n
(2.51)
(2.51)
4 = нт T (自)Y1 一 自=.
В*。1/2 [口 М 」
Рассмотрим несколько частных случаев и соответствующие решения проиллюстрируем численными расчетами.
Пусть неоднородность накладки характеризуется функцией
Y(S =Y(S =1УК1УК(-1<^<1).(-1<^<1).
Y(S =
Y(S =
1
УК
1
УК
(-1<^<1).
(-1<^<1).
Тогда, согласно (2.29),晶，制=&, ”(兑汽=1, 2, ...), где 6瓦叫一 символ Кронекера^ и, следовательно, бесконечная система (2.28) допускает замкнутое решение в виде
為=丸;aa左(后=1, 2, . . . )•
Замкнутые решения можно получить также при у ⑹= ^^р(-1<^<1),
где 7?(自)——некоторая рациональная функция. Этот случай подробно рассмотрен в [24, 32], поэтому мы на нем останавливаться не будем.
В общем случае неоднородности накладки можно положить
Y (占)=£ Yp“t 低)(-Kg<l, Y ⑹ >0).(2.52)
卩=1
Поскольку 丫(0) = 1, то при сходимости последнего ряда в точке ^ = 0 должно удовлетворяться соотношение
w (- 1)Р Y2卩-1 = 0.
Далее, по (2.29) получим
&,п = £ &1np丫卩，(2.53)
领Р[1 -(一坟+计间7.,. м
时产一 . (#十^+Р-2八寸)2/庐一2庐曲(Р煮-PW^ + 砂，
,0(p=1於一小Lр=於+左).
Кроме того, будем иметь
=¥ 4" W + ~ 礎)一〃俨](^ = 1, 2, ...),(2.54)
或=2 関Yp(i = 1, 2, 3),阑=i 以p,
P=1
-JI 严4^7 ("*P)'
"[o(A = P),
鳩=J At (3 "⑹ Vi^f^dl (厶,p = 1, 2,...).
Пусть
现(n) = Е0Я(^ + a) + (豆 一 Ео)Я(^),В=Ро = О, т+(^) = о,
где Ж^) — единичная функция Хевисайда. Очевидно, что в разбираемом случае будем иметь кусочно-однородную накладку, нагруженную только на правом конце сосредоточенной силой Р2. Следовательно,
—% = °, Pi = °, Ро=°, то(з = а
Y(S =Y(S =1.е产(三+ 1) + (1—%)互Е)1.е产(三+ 1) + (1—%)互Е)
Y(S =
Y(S =
1.
е产(三+ 1) + (1—%)互Е)
1.
е产(三+ 1) + (1—%)互Е)
Легко получить коэффициенты разложения в (2.52):
YL* …(р = 2 宀；1,2,...),YL* …(р = 2 宀；1,2,...),(2.55)(2.55)?0 =?0 =(_行—^——-2_ л(4r2 —1) е0(_行—^——-2_ л(4r2 —1) е0(p = 2r; г = 1,2, •••).(p = 2r; г = 1,2, •••).
YL* …(р = 2 宀；1,2,...),
YL* …(р = 2 宀；1,2,...),
(2.55)
(2.55)
?0 =
?0 =
(_行—^——-2_ л(4r2 —1) е0
(_行—^——-2_ л(4r2 —1) е0
(p = 2r; г = 1,2, •••).
(p = 2r; г = 1,2, •••).
В данном случае нужно решить бесконечную систему (2.28) с ядром (2.53) и при правых частях (2.54), подставляя в последние формулы коэффициенты т@ из (2.55) и учитывая, что 〃肾)= 0. При различных значениях параметров А и е0 на ЭВМ ЕС-1022 была решена соответствующая (2.28) укороченная система линейных уравнений, состоящая самое большее из 40 уравнений. Затем по формуле (2.50) в различных точках были вычислены значения тангенциальных контактных напряжений т(^). Коэффициенты их интенсивности на концах накладки Ai и Л2 были вычислены по формулам (2.51). Результаты вычислений, полученные с точностью до 10~5, приведены в табл. 2.2—2.5.
Анализ приведенных в табл. 2.3 числовых результатов показывает, что при всех указанных значениях параметра 九 и при
00 = 2 значения т(^) в интервале ( —1, 0) убывают, а в интервале (0, 1) возрастают, притом они в окрестности точки & = —1 меньше, чем в окрестности точки ^ = 1. К последнему заключению можно прийти также при помощи табл. 2.2. Это объясняется тем, что на правом конце накладки приложена сосредоточенная сила.
Таблица 2.2. Значения At, А2 (е0 = 2)
А
0,1
0,5
1
2
5
4
0,21124
0,17047
0,13870
0,10433
0,06699
力2
0,27014
0,42100
0,56796
0,79528
1,26425
Кроме того, легко видеть, что почти во всех точках интервала (—1, 1), за исключением нескольких точек вблизи точки 自=1, при возрастании параметра 九 напряжения 工(自)заметно падают. Возрастание параметра 九 можно истолковать как увеличение полу длины накладки а или уменьшение жесткости системы накладка —полуплоскость EJE&.
Таблица 2.3. Значения т(Е) (% = 2)
Е
0,1
0,5
1 1
I 2
1 5
■—0,95
0,95136
0,75101
0,59509
0,42596
0,23137
—0,9
0,68086
0,53563
0,42290
0,28667
0,14677
—0,8
0,49145
0,37697
0,28878
0,19492
0,09403
-0,7
0,41256
0,31564
0,24139
0,15695
0,06958
-0,5
0,34004
0,25982
0,19869
0,12491
0,05482
—0,3
0,30744
0,23107
0,17316
0,11279
0,05140
—0,1
0,28804
0,19603
0,12760
0,09008
0,03683
0
0,28203
0,17746
0,10002
0,01367
—0,09459
0,1
0,29302
0,21341
0,15164
0,11397
0,05231
0,3
0,32625
0,29599
0,26107
0,20688
0,12129
0,5
0,37809
0,39507
0,38787
0,34041
0,22505
0,7
0,48286
0,57670
0,62483
0,62324
0,50190
0,8
0,59107
0,75753
0,86549
0,94041
'0,87251
0,9
0,84245
1,17870
1,44367
1,71031
1,88802
0,95
1,19576
1,74872
2,22520
2,82799
3,56332
Аналогичные закономерности выявляются при анализе данных табл. 2.4 и 2.5, составленных для фиксированного значения 儿 При возрастании относительной жесткости накладки 8尸 ЕМЕ^ напряжения т(^) почти везде существенно возрастают.
В обоих случаях напряжения т(&) вблизи точки ^ — 0 довольно интенсивно возрастают. Легко показать, что в этой точке онп
имеют логарифмическую особенность, что обусловлено разрывностью осевых деформаций накладки (%) из (2.4), которая в свою очередь приводит к нарушению уравнений совместности деформаций для основания. Согласно известным результатам [1Г такая же особенность присуща напряжениям т(^), когда в какой-нибудь точке верхней грани накладки действует горизонтальная сосредоточенная сила; случай такого нагружения накладки будет рассматриваться ниже.
Таблица 2.4. ЗначенияЛ1,Л2 (九=0,5)
0,1
0,5
0,7
1
1,5
5
10
0,06970
0,12781
0,14212
0,15381
0,16478
0,18278
0,18737
力2
0,46381
0,43389
0,43155
0,42728
0,42388
0,41654
0,41492
3) Пусть имеется та же самая контактирующая пара накладка —основание, но только здесь также 2 = 0 и основание на бесконечности подвержено действию равномерно распределенных усилий интенсивности А.
Таблица 2.5. Значения 1(g)(九=0,5)
g
Co
0,1
0,5
1 0,7
1
1,5
5
10
-0,95
0,22917
0,53523
0,60226
0,66374
0,72079
0,81557
0,83964
—0,9
0,14128
0,36591
0,41709
0,46316
0,50607
0,58851
0,60810
—0,8
0,08855
0,25423
0,29288
0,32759
0,35984
0,41359
0,42726
—0,7
0,08060
0,21686
0,24583
0,27348
0,29924
0,34630
0,35763
—0,5
0,08421
0,19686
0,21502
0,23205
0,24732
0,27933
0,28642
—0,3
0,13601
0,21239
0,21947
0,22518
0,22940
0,23429
0,23528
-0,1
0,26421
0,26756
0,25291
0,23708
0,22129
0,16537
0,15390
0,85042
0,39829
0,31451
0,24931
0,19105
0,12632
0,10763
0,1
0,49456
0,32125
0,29275
0,26603
0,24195
0,17631
0,16281
0,3
0,44041
0,34971
0,33215
0,31730
0,30307
0,28067
0,27503
0,5
0,50110
0,43127
0,41807
0,40705
0,39703
0,38636
0,38314
0,7
0,66901
0,60878
0,59755
0,58788
0,57921
0,56860
0,56561
0,8
0,85800
0,79221
0,78302
0,77303
0,76388
0,74645
0,74239
0,9
1,30362
1,21822
1,20458
1,19156
1,17959
1,16927
1,16577
0,95
1,93522
1,81399
1,79470
1,77667
1,76041
1,72882
1,72154
В обсуждаемом случае решение задачи сводится к решению интегро-дифференциального уравнения
(2.56)(2.57)(2.56)(2.57)3⑹中(自)+九p。
(2.56)
(2.57)
(2.56)
(2.57)
при граничных условиях
(р(—1) =(р(1) = 0.
Здесь обозначения те же самые, что и в уравнении (2.12), только в формулах (2.8) и (2.15), кроме выражения &, в случае полубесконечной и бесконечной пластинок следует Р заменить на Р0Лв, а в случае упругой полуплоскости ——на PGh. Кроме того, в первом случае должно быть р()=耳丿％ a bq втором случае
-Ро = (1 —喲 е/(1 —喲 ％
Если решение уравнения (2.56) искать в виде
t (&)=屮'(&)=t (&)=屮'(&)=t^fZ产阳t^fZ产阳(-l<g<l),(-l<g<l),
t (&)=屮'(&)=
t (&)=屮'(&)=
t^fZ产阳
t^fZ产阳
(-l<g<l),
(-l<g<l),
то условия (2.57) будут удовлетворяться тождественно. Следуя изложенной выше методике, в результате получим бесконечную систему (2.28) с ядром (2.53) и со свободными членами
'丄=-jx" Р。，口々=О (А = 2, 3, . • •
Численные результаты для этого случая качественно полностью совпадают с результатами предыдущего случая и поэтому здесь не приводятся.
ПустьJ) y(&)三 1,尸0 = _₽1=2 = 0; t+(n) = Q6(n), где 6(n)——дельта-функция Дирака. В данном случае будем иметь однородную накладку, нагруженную в середине своей верхней грани сосредоточенной силой величины Q. Очевидно, что здесь
.=网=0, TlQ-P, /(自)=一6(自)，/(自)=〃(自)•
В обсуждаемом случае решается бесконечная система (2.28) с ядром (2.32) или система (2.44) с ядром (2.46), поскольку задача кососимметрическая, и со свободными членами
(论=2r; г = 1, 2,...).(论=2r; г = 1, 2,...).〃々=0 (E = 2r —1; г = 1,2,…),
(论=2r; г = 1, 2,...).
(论=2r; г = 1, 2,...).
3 =抬⑷ 2—]户十()я(4г2-1)\
Поскольку при г -> 8 〃2「f const, то на ЭВМ была решена соответствующая (2.28) укороченная система, состоящая из большого числа уравнений, а именно из 100 уравнений.
Вычисленные затем по формуле (2.50) значения напряжения 喳)при различных 九 приведены в табл. 2.6. .
В разбираемом случае опять имеют место указанные в примере 2 закономерности изменения т(^). Нужно только отметить, что, как и в [1], напряжения в точке ^ = 0 имеют логарифмическую особенность.
Пусть Pi = Pi = Ро = 0; j(n) = Q/(2a) (|%| V 〃). В этом случае однородная накладка нагружена равномерно распределенной
1) Далее будет1) Далее будетрассматриваться только однородная накладка.
1) Далее будет
1) Далее будет
нагрузкой. Здесь Р = — Q ~ — Тй и
Pi = Ро^ 0,七0隽)=1> / (自)-” *(— 1 V 自 V 1)・
Нужно решить бесконечную систему (2.28) с ядром (2.32), или систему (2.44) с ядром (2.46), и со свободными членами
= £(4产一［)2(“ = 2r； г = 2Т 3,...),
〃々=О (А = 2г + 1; г = 1, 2,…).
Значения тангенциальных контактных напряжений т(^), которые относительно точки 自=0 распределяются симметрически, приведены в табл. 2.7.
Таблица 2.6. Значения т(^)
入
0,5
1
2
5
10
0
1,01821
1,64449
2,74715
5,91268
9,69227
0,1
0,52884
0,68432
0,89759
1,14767
1,23882
0,3
0,37124
0,38711
0,38655
0,32454
0,21271
0,5
0,33683
0,30799
0,25777
0,17078
0,09235
0,7
0,36932
0,31386
0,23969
0,12209
0,05646
0,8
0,42461
0,34878
0,24815
0,14349
0,09191
0,9
0,58953
0,49068
0,36324
0,18634
0,09805
0,95
0,83462
0J0415
0,53437
0,26220
0,10265
Таблица 2.7. Значения т(^)
5
0"
0,5
1
2
5
10
0,31831
0,35216
0,37608
0,40732
0,44867
0,47098
0,31991
0,35306
0,37655
0,40732
0,44825
0,47092
0,33368
0,36134
0,38146
0,40866
0,44692
0,46925
0,34730
0,36986
0,38673
0,4Ю30
0,41542
0,46752
0,36755
0,38322
0,39560
0,41400
0,44432
0,46553
0,39789
0,40439
0,41057
0,42144
0,44383
0,46271
0,44572
0,43998
0,43745
0,43706
0,44576
0,45983
0,53052
0,50789
0,49272
0,47481
0,45883
0,45999
0,73025
0,68026
0,64337
0,59288
0,52210
0,48535
0,95
1,01940
0,94241
0,88351
0,79856
0,66307
0,57035
В разбираемом случае напряжения т(^) изменяются довольно медленно и на интервале (—1, 1) распределяются почти равномерно. '
Иуств.Р1=尸2 =尸0 = °； т+ (z)=另 sgnz (I z| <a),т. e. накладка нагружена кососимметрической равномерно распределенной нагрузкой. Здесь 70 = Р = 0, поэтому во всех формулах (2.8) и (2.15) следует заменить Р на 0. В данном случае
Р1 = Ро = о, То (I) = Y sgn w, / (Е) = /+(&)=匸值丄■(I & IV1)
и, кроме того, т(—W)= —т(В т. е. т(^) = т_(^) и имеем симметрический случай. Определяющим уравнением задачи будет уравнение (2.36) при условии (2.37). Решение представляется в форме (2.40), после чего получается бесконечная система (2.41) с ядром (2.46) и со свободными членами
& =像-4")儿如T = (- ')" 口(力 +^@匸③侬= 2,3, ...).
Коэффициенты интенсивности выражаются формулой
力工=—力2 = — ^ТТ 2 ^2n-l-и 2 71=1
Результаты вычислений приведены в табл. 2.8 и 2.9.
Таблица 2.8. Значения т(三)
0,5
1
2
5
10
0
0
0
0
0
—0,04621
—0,08219
—0,13389
—0,22833
—0,29335
—0,07197
—0,12132
-0Д8820
—0,29280
—0,36424
-0,09034
—0,14835
—0,22287
—0,32809
-0,39614
-0,10427
—0,16934
-0,24891
-0,35498
-0,41277
—0,11526
—0,18416
-0,26524
—0,36740
—0,42157
—0,12448
—0,19553
—0,27621
—0,37253
—0,42613
-0,13335
—0,20631
-0,28592
-0,37630
—0,42837
—0,14465
—0,22039
—0,29837
—0,37983
—0,42335
0,95
-0,21666
—0,31954
—0,40918
—0,46341
—0,46520
T а
блица 2.9
Значения
А
0,5
1
2
5
10
厶
-0,04287
-0,06309
—0,08047
-0,08899
—0,08482
Пусть Pi = P& = Q、Ро = 0;工+(/)=0 (1/1 < а) притом силы Pi и Р2 направлены противоположно друг другу. Здесь pi = 1,
р0 = 0, 7о = Р = О, То/)三 0, а в формулах (2.8) и (2.15) следует заменить Р на —Q.
Очевидно, что имеем симметрический случай. В данном случае нужно решить бесконечную систему (2.41) с ядром (2.46) и со свободными членами
bi ——入，匕2一 = 0, (к = 2, 3,...).
Tангепциальпые контактные напряжения т(^} опять вычисляются по формуле (2：40), Результаты вычислений приведены в табл. 2.10 и 2.11<
Таблица 2.10. Значения т(^)
Е
0,5
1
2
5
10
0
0
0
0
0
—0,01448
—0,01873
—0,01899
—0,01272
—0,00717
—0,02959
—0,03845
—0,03927
—0,02650
—0,01519
—0,04608
—0,06039
—0,06258
—0,04344
—0,02519
—0,06486
—0,08611
—0,09107
—0,06560
—0,03894
—0,08748
—0,11810
—0,12834
—0,09708
—0,05978
-0,11652
—0,16075
-0,18103
—0,14654
—0,09492
—0,15726
—0,22296
—0,26283
—0,23291
-0,16254
—0,22275
-0,32727
—0,40937
—0,40975
—0,32014
—0,36415
—0,56119
—0,76104
—0,90709
—0,85066
0,95
—0,55651
—0,88575
—1,26997
—1,71837
—1,86260
Пусть Pj = Р2 =(2, Ро = 0, т+(^) = 0 (1/1 V а), притом силы Р и А направлены в одпу сторону. Здесь 〃 = 1/2; р0 = 0, 70 = 0; Р = 20; /(自)曰0, а в формулах (2.8) и (2.15) следует заменить Р на 2Q. Очевидно, что имеем кососимметрический случай, который описывается уравнением (2.38) при условии
Таблица 2.11. Значения &
入
0,5
1
2
5
10
4
-0,13683
—0,22909
—0,35947
—0,60601
—0,87470
.39). Решение этого уравнения представляется формулой (243), что приводит к бесконечной системе (2.44) с ядром (2.46), а свободные члены согласно (2.45) будут
仇* ~ 冗2(4^2 — 02 (左—1» 2, 3,...).
В, М. Александров, С. М. Мхитарян
В данном случае
4 = 4=/(!+|；产"
Результаты вычисления приведены в табл. 2.12 и 2.13.
Таблица 2.12. Значения 工传)
0,5
1
2
5
10
0,31831
0,24420
0,19288
0,12767
0,04601
0,00486
0,1
0,31991
0,24678
0,19593
0,13103
0,04900
0,00739
0,2
0,32487
0,25473
0,20537
0,14144
0,05857
0,01529
0,3
0,33368
0,26875
0,22206
0,15999
0,07590
0,02959
0,4
0,34730
0,29022
0,24770
0,18879
0,10321
0,05246
0,5
0,36755
0,32168
0,28543
0,23180
0,14529
0,08806
0,6
0,39789
0,36791
0,34116
0,29655
0,21143
0,14509
0,7
0,44572
0,43903
0,42729
0,39890
0,32193
0,24404
0,8
0,53053
0,56107
0,57557
0,57974
0,53232
0,44536
0,9
0,73025
0,83623
0,90942
0,99796
1,06981
1,02131
0,95
1,01940
1,21955
1,37112
1,58412
1,38550
2,00374
Таблица 2.13. Значения Аг
入
0
0,5
1
2
5
10
0,22508
0,28291
0,33178
0,41248
0,58649
0,78593
§ 3・ Упругие полуплоскость и плоскость,усиленные системой двух накладок
В изложенной в предыдущем параграфе постановке рассмотрим контактную задачу о передаче, нагрузки от системы двух одинаковых накладок к упругой полуплоскости п плоскости. При этом будем обсуждать случаи симметрического н кососимметрического нагружения накладок.
Пусть упругая полубескопечная пластина толщины d2 на двух симметрических отрезках своей границы [—〃，一Ь] и [&, а\ (b Va). усилена жестко сцепленной с ней двумя одинаковыми накладками длин 6 — а п толщин dP Пусть далее пластина на бесконечности подвержена равномерному растяжению усилиями интенсивности А, а накладет по своим верхним граням нагружены тангенциальными силами интенсивности т+(£)и одновременно па их концах действуют сосредоточенные силы Pi и Рг так, что имеет место симметрический случай нагружения накладок (рис. 2.6).
Случай кососимметрического нагружения накладок показан на рис. 2.7. Требуется определить закон распределения тангенциальных контактных напряжений, их интенсивность на концах накладок, а также осевые напряжения в них.
Рис. 2.7.Рис. 2.7.mm
Рис. 2.7.
Рис. 2.7.
m
m
Выведем разрешающее уравнение задачи. Сначала рассмотрим случай симметрического нагружения накладок и запишем условия равновесия любой части [/, — Ь] первой накладки и любой части [仇 /] второй накладки. В результате будем иметь
-^~ Р] — & j 1V— (〃)du — J 工+ (〃)du (e 三[b, a])，
S ：](3.1)
притом условие равновесия второй накладки выглядит так:
aa
d j (u) du + j н (u) du = P± — P2,(3.2)
а условие равновесия первой накладки получается отсюда пере- 9*一
ходом на отрезок [—а,—田 и учетом того, что в разбираемом случае т_(—а) = — t-(a) и т+(—^)1 = — r+(z). Заметим, что, как следует из (3.1), в данном случае о^ (^) — четная функция.
параграфе, нахо-
иметь вид
(х^[Ь,а]),(х^[Ь,а]),(/ 三[_ a, 一 可),(/ 三[_ a, 一 可),Далее способом, изложенным в предыдущем дим, что разрешающее уравнение задачи будетДалее способом, изложенным в предыдущем дим, что разрешающее уравнение задачи будетВведением безразмерных координат ^ = х/д и мерных величин по формуле (2.8) последнее
(х^[Ь,а]),
(х^[Ь,а]),
(/ 三[_ a, 一 可),
(/ 三[_ a, 一 可),
Далее способом, изложенным в предыдущем дим, что разрешающее уравнение задачи будет
Далее способом, изложенным в предыдущем дим, что разрешающее уравнение задачи будет
т] = и/a и безраз- уравнение можнот] = и/a и безраз- уравнение можно加=入丫 低）中+ （自） - W 位）/+ 低）+ 入p。, （3.3）加=入丫 低）中+ （自） - W 位）/+ 低）+ 入p。, （3.3）преобразовать в следующее интегро-дифференциальное уравнение:
т] = и/a и безраз- уравнение можно
т] = и/a и безраз- уравнение можно
加=入丫 低）中+ （自） - W 位）/+ 低）+ 入p。, （3.3）
加=入丫 低）中+ （自） - W 位）/+ 低）+ 入p。, （3.3）
решение которого, согласно (3.1) и (3.2), должно удовлетворять граничным условиям
(ф+ (р) = О, Ф+ (1)= 1?Н 4>
[屮十(—р)= 0,Ф+(- 1)^1.
Здесь р = Ъ/а. а
卜(n)dn, Е w[p, gФ+ (Е) = Р
J 一 I T(n)d% 占芸[—— Pl,
网- J 7(外)明，自w[p, 1],
/+ (&)'-p
Pi + f %(Л)&% E 三 I — '，— pl，
притом 丫(一自)=Y(g), To(—&)=—小(自)，t(—自)=—т(^). Все остальные обозначения те же самые, что и в предыдущем параграфе.
Отметим, что в виде интегро-дифференциального уравнения
при граничных условиях (3.4) математически формулирует-
ся поставленная задача и в этом случае, когда вместо упругой полубесконечной пластины имеется упругая полуплоскость, находящаяся в условиях плоской деформации, или бесконечная пластина, находящаяся в условиях обобщенного плоского напряженного состояния, причем обозначения идентичны с соответствующими обозначениями предыдущего параграфа.
'Совершенно аналогичным образом находим, что обсуждаемая задача в случае кососимметрически нагруженных накладок математически формулируется в виде сингулярного интегро-дифференциального уравнения
^ （[ + 0 ^^ dn = хт （Е） ф_ 隽）一入Y 隽）九（Е） + 入Р。sgn Е （3.5）
при граничных условиях
（36）（36）Ф—（Р）= 0, 屮- （1） = 1» 屮一（一Р）= °, Ф- （— 1） = — 1,
（36）
（36）
J Т （n） c?n, &M[p, 1],
Ф-（^）=° -p
—J r（n）c?n, 1,—p],
Pi - j то（П）dx\, Jw[p,l], 九⑹=Р
—Pi + f то（П）^Л> 占三—[—1，— Pl
（T（—S = T（E）；Y（—占）=丫隽），T°（—E） = T。隽））,
а все остальные обозначения те же самые, что и в предыдущем параграфе.
Теперь разрешающие интегро-дифференциальные уравнения, имеющие место на двух симметрических отрезках {[—1, —р], [р, 1]}, сведем на отрезок [—1, 1]. С этой целью сначала при помощи свойств четности входящих в эти уравнения функций преобразуем их на отрезке [р, 1], а затем перейдем к новым переменным по формулам
"空尸口，S（pа自，е；-у,у）. 1 — р [ — р
^ Следует отметить, что при помощи этих формул преобразования переменных в работе Г. И. Баркова [33] построены ортогональные на двух симметричных отрезках {[—1, р], [р, 1]} полиномы. Последние получаются из полиномов Чебышева указанным преобразованием переменных.
После несложных выкладок уравнение (3.3) преобразуется в уравнение 1
~/^^ dv = Х7+ ⑺屮+(力)-九Y+ (方)g+ (力)+ Mo， (3.7)
а граничные условия (3.4) примут вид
(3.8)(3.8)中+(-1) = 0, ^+(1) = 1.
(3.8)
(3.8)
При этом введены следующие обозначения:
Y+ (i) = у ( V ct+ d), g+ (0 = f+(Vct + d),
屮+ (力)=T(/或+ d),_ 1+ p2 '一2--屮+ (力)=T(/或+ d),_ 1+ p2 '一2--
屮+ (力)=T(/或+ d),
_ 1+ p2 '
一2--
屮+ (力)=T(/或+ d),
_ 1+ p2 '
一2--
Таким образом, решение поставленной задачи в случае симметрически нагруженных накладок в конечном итоге сводится к решению интегро-дифференциального уравнения (3.7) при граничных условиях (3.8)«
Аналогичным образом в кососимметрическом случае получим интегро-дифференциальное уравнение
1 f
^ J -^如=入肝-(力)屮:⑺一厶乔+ (0 g-⑺+ ^^ (3.9)
при граничных условиях
гдегдеV_(-l) = 0,屮 _(1) = 0,V_(-l) = 0,屮 _(1) = 0,(3.10)(3.10)Y (""+力Y (""+力/_ (Уct+d) g-⑴=-1/汴/_ (Уct+d) g-⑴=-1/汴亚产 4c ⑴=т (р/П).亚产 4c ⑴=т (р/П).
где
где
V_(-l) = 0,屮 _(1) = 0,
V_(-l) = 0,屮 _(1) = 0,
(3.10)
(3.10)
Y (""+力
Y (""+力
/_ (Уct+d) g-⑴=-1/汴
/_ (Уct+d) g-⑴=-1/汴
亚产 4c ⑴=т (р/П).
亚产 4c ⑴=т (р/П).
Заметим, что уравнение (3.7) имеет структуру, вполне аналогичную структуре уравнения (2.12), а уравнение (3.9) фактически идентично с ним.
Методика свецепия интегро-дифференциального уравнения (3.7) при граничных условиях (3.8) к эквивалентной бесконечной системе уже изложена в § 2. Следуя этой методике, в (3.7) положим
4)+ (0 = -7^=2 4n(i) (-1<Z<1). (3.11)
Тогда
^+(0 = 12(о (-i<i<i), п=о
Gn (力)-:dv (72 = 0,1,2,(3.12a)
巴二］/1 — у2
или же, положив
t = cos 8, v = cos ф,
будем иметьлGn (cos 曹)=Jбудем иметьлGn (cos 曹)=J岩H 西(九=0,1,2,...)岩H 西(九=0,1,2,...)（0《心《冗）.（0《心《冗）.
будем иметь
л
Gn (cos 曹)=J
будем иметь
л
Gn (cos 曹)=J
岩H 西(九=0,1,2,...)
岩H 西(九=0,1,2,...)
（0《心《冗）.
（0《心《冗）.
(3.126)
Легко заметить, что граничные условия (3.8) эквивалентны соотношению
(3.13)(3.13)2若G^⑴=^. n—О
(3.13)
(3.13)
Далее, известным способом, уже наложенным в § 2, исходя из (3.11), уравнение (3.7) сведем к следующей эквивалентной бесконечной системе:
&,п^ = «а (& = 1,2, ...);(3.14)
П=1
&,П= — J Gn (i) y+(t)Uh_x (i) /1 — t2dt {k, re = 1, 2,...), 以=k
^, (3.15)
仇=J G。⑴Y+ (i)"—1⑴/1 一产阳
-1
1
伞=J Y+ (i) g+ (i)玖7 ⑴ VT^i^dt (〃 = 1, 2,…)，
d* зтр()/2, dh =： 0 (力=^ 2, 3,..
После того как коэффициенты ^ (Л = 1, 2, ...) определятся из (3.14), неизвестный до сих пор коэффициент ^^ определится
1-361-36ГЛ. II ПЛОСКИЕ задачи для упругих тел с накладками
1-36
1-36
из соотношения (3.13). А именно, обозначив через ^г (г = = 1,2,3,…)решение бесконечной системы (3.14) при правых частях, равных соответственно b『“ ck и dk, из этого соотношения находим
若=.(3.16)
G。⑴+丝］，乌⑴
Перейдем теперь к исследованию па регулярность бесконечной системы (3.14). С этой целью в интегральном выражении ядра из (3.15)1 положим £ — cos О. Применив формулу интегрирования по частям, после некоторых простых операций придем к представлению
(左，72 = 1, 2,…•),(左，72 = 1, 2,…•),
(左，72 = 1, 2,…•),
(左，72 = 1, 2,…•),
При помощи последних формул суммы
% = ^Е|&，”1 ”1,2,...)71=1
можно оценить чим, что приможно оценить чим, что при(3.17)(3.17)изложенным в § 2 способом. В результате полу-
можно оценить чим, что при
можно оценить чим, что при
(3.17)
(3.17)
бесконечная система (3.14) вполне регулярка. Здесь
k2 =
случае однородных накладок,случае однородных накладок,
случае однородных накладок,
случае однородных накладок,
Остановимся более подробно на когда y+ (cos тЭ1)三 1. В этом случае
丄 2 J c cos 仆/
о
n / . 2 Q . 4 О
г 「4 sinк
4 ^ d^.
2 J (с cos 廿十 d)^
Исходя из значения интеграла ([14], с. 380, формула 3.613.1) л
J]十X)S产丿乙?(|и1<1)，
элементарными вычислениями можно убедиться, что
冗 1 / 0 I —(n2 一 8n + 6)+N 闽]Ж I" 十 J 2 (1—俨
откуда
К2<к2 =
(3.18)
(3.19)
Таким образом, при условии (3.17), где постоянные ^ и К2 даются формулами (3.18) и (3.19), бесконечная система (3.14) в разбираемом частном случае вполне регулярна. С другой стороны, можно показать, что при любом значении характерного параметра 厶(0 < X < °°) эта система квазивполне регулярна, притом скорость убывания соответствующих сумм довольно высока. Действительно, в данном случае ядро Kk< n из (3.15) можно представить в виде
К&п = ^п + 詳 £匂1屮—言 L^lijn
(厶=1, 2,…)，(3.20)
sin AO sin〃&
sin 廿 d3
~|/c cos 61 + d
sin A-0 sin 汽0
sin 3 d3
(c cos 今十 d)3/2
(”，^ — 1,2, • . •),
sin八今
О sin 今 d®
(c COS 廿 + d)3/2
(?г — 1, 2,...).
Легко обнаружить, что
""~ 41/3 ("+ / -辑+i — N九+辑+i - Nh-見-i),
"'к 4d /才？ (Mk^n-i + Mji+i — Mk+n^i — Мй-n-i) (3.21)
(А\ 72 = 1, 2,...);
л,京带口，л,京带口，лУ(7Т瞪ВлУ(7Т瞪В
л
,京带口，
л
,京带口，
л
У(7Т瞪В
л
У(7Т瞪В
М =『，No =此=0),.
а р ——любое целое число, лучить, что1%|&р^р где 3 =а р ——любое целое число, лучить, что1%|&р^р где 3 =Интегрированием по частям лёгко по-Интегрированием по частям лёгко по-11(1 - М)3/2 十(1 - М)3/2 十(1 + g)3/2 十 2(1-n)3/2‘(1 + g)3/2 十 2(1-n)3/2‘
а р ——любое целое число, лучить, что
1%|&р^р где 3 =
а р ——любое целое число, лучить, что
1%|&р^р где 3 =
Интегрированием по частям лёгко по-
Интегрированием по частям лёгко по-
1
1
(1 - М)3/2 十
(1 - М)3/2 十
(1 + g)3/2 十 2(1-n)3/2‘
(1 + g)3/2 十 2(1-n)3/2‘
Теперь составим суммы
% = ^£|&,"1 3 = 1,2,...)
п=1
и выясним их поведение при к f 8. Исходя из (3.20) и исполь- зун (3.21) и (3.22), получим
оо友—2^^ п(п~\~ к +1) + 2^ п{к — п ——1) Тоо友—2^^ п(п~\~ к +1) + 2^ п{к — п ——1) Т
оо友—2
^^ п(п~\~ к +1) + 2^ п{к — п ——1) Т
оо友—2
^^ п(п~\~ к +1) + 2^ п{к — п ——1) Т
+ 2+ 2п—йп—йn {n~-a+1)n {n~-a+1)+ 2П—1+ 2П—1п (к ——п 4-1)п (к ——п 4-1)П—fe+2П—fe+2n {n 一 к --1)n {n 一 к --1)
+ 2
+ 2
п—й
п—й
n {n~-a+1)
n {n~-a+1)
+ 2
П—1
+ 2
П—1
п (к ——п 4-1)
п (к ——п 4-1)
П—fe+2
П—fe+2
n {n 一 к --1)
n {n 一 к --1)
оооо3
св у ],、], у,
16dl/l(R-l)[自"(" + a _ 2)十 ("十 A) ^п (к-п-2)
+ 士 п (п — А: +2) + Е п (к — п) + 2 п {п — к) +n=k—i 'п—1n=k+i-
~ оооой—1
丄 СВ У 1•丄 У .1! У [.
十16d у5 (a+1) £汽s + 十言"5十论+2)丁 £j(论一汽)
(3.23)(3.23)+ 孔(见一左)+ 用— ?г+2)+ 2 п (п - к — 2)
(3.23)
(3.23)
?2=8 + 1、/ 二 72=1‘/n=k+3
Займеися вычислением сумм~ооNNЗаймеися вычислением сумм~ооNN
Займеися вычислением сумм
~ооNN
Займеися вычислением сумм
~ооNN
/ N^+fe\
N78 \?1=1n=在+1/
l = ^±(2j~ J+1^) =
?在=e -厂[2、= lim ? l - lim £ (丄上)
£花5十储 N-g三汽(汽十向 ^N-ooS1汽也十乐丿
"^-石吧号"宀+…十寻步吟费
3=1,2, ...).
С другой стороны ([14], с. 16, формула 0.131),
n=ln=l= С + 1п“+^_^ 左(厶十1) .."^ 十 g—1) f
n=l
n=l
где С——.известная постоянная Эйлера (С = 0,577216), а коэффициенты /д определяются формулой
4= у(1 —况)(2 —况)…(？ 一 1 —况)d/ (g = 2, 3* …)
о
Тогда
T^ = 2 nW+ky = 1^ ^^4^^~^ ^)]1(3.24)
%(")= ^E(M+f..* +『F …厶…).(3.25)
Указанным способом вычислим также следующие суммы, имеющие аналогичный тип:
左一1
2=i\c+Mk~i)+一％佑一q,(3.26)
E 号UnF —(矶(3.27)
Очевидно, что все суммы, входящие в формулу (3.23), являются суммами типа или (3.24), или (3.26), или же (3.27). Но, согласно (3.24} и (3.25),
7…。(尚(^-),
где б ——сколь угодно малое положительное, по фиксированное число. Следовательно, исхоця из (3.23), можно утверждать, что
(〃f8).(3.28)
Последнее соотношение и доказывает квазиполную регулярность бесконечной системы (3.14) в указанном частном случае однородных накладок при любом значении характерного параметра 0 < X < °°. Следует одновременно отметить, что, согласно (3.28), суммы Sh убывают при А: -> g с довольно высокой скоростью.
Отметим, что, пользуясь равенствами типа (3.24), (3.26) или (3.27), можно оценить суммы в (3.23) и в результате получить более широкий интервал полной регулярности бесконечной системы (3.14), чем интервал (3.17). Однако па этом здесь останавливаться не будем.
Теперь кратко остановимся на кососимметрическом случае нагружения накладок. Как уже отмечалось, эта задача математически формулируется в виде интегро-дифференциального уравнения (3.9) при граничных условиях (3.10)1, полностью совпадающего с уравнением (2.12) при тех же граничных условиях. Поэтому для уравнения (3.9) имеют место все результаты, изложенные в. § 2 в случае одной накладки. В частности, при неоднородности типа Т(三)=三 уравнение (3.9) совпадает с соответствующим уравнением для одной однородной накладки (см. § 2). Если же Y(三)三 1, то для уравнения (3.9) можно получить, результаты, вполне аналогичные приведенным выше в симметрическом случае.
Для симметрического случая нагружения накладок приведем выражения характерных механических величин, а также некоторые числовые результаты.
■ Переходя в выражении (3.11) к первоначальной переменной g, находим, что тангенциальные контактные напряжения под накладками будут задаваться формулой
т ⑹=p(t)f" 2 若北尸 二】1) (p W).
(3.29)
Здесь коэффициенты 况^ (北=1, 2, ...) определяются из бесконечной системы (3.14), ядро и свободные члены которой выражаются формулой (3.15), а коэффициент 况^ находится согласно (3.16). : Далее, из (3.1) будем иметь следующее выражение для осевого напряжения:
о 低)=Pl — J Т ⑺ dr] — J % ⑺ d^ (p & E & 1),
ppp
p
p
где введена безразмерная величина
。⑹=^4^)(р<^<1).
Приняв во внимание (3.29)，можно записать
О (&) = Pi 2 况孔g?277=0О (&) = Pi 2 况孔g?277=0%⑺d%%⑺d%(3.30)(3.30)
О (&) = Pi 2 况孔g?2
77=0
О (&) = Pi 2 况孔g?2
77=0
%⑺d%
%⑺d%
(3.30)
(3.30)
где функция G„(i) дается формулой (3.12а) или (3.126).
Коэффициенты интенсивности контактных напряжений, согласно (3.29), равны
(3.31)(3.31)Л1=Пт/Г^т(^)=4/^2(-1)П^АрР ??=g
(3.31)
(3.31)
Л 2 = lim /1^1 т (^)= 4 /^ 2 磊
0
Таким образом, все характерные величины в симметрическом случае выражаются формулами (3.29) — (3.31).
Рассмотрим частный случай, когда накладки однородные (丫(三)=Y+&)三］),а нагружение определяется следующим образом:
у(况)三 0, Ро = Р = О и В*。.
В разбираемом случае 〃o = Zh = To = O, /+(E)=g+(»=O и Р = =—「2. Следовательно, нужно решить бесконечную систему (3.14) с ядром из (3.20) и, согласно (3.15), со свободными членами
aft = ^ J Go (0 Uk-г (i) Vi^dt 佳=1,2, ...). (3.32)
-1
После решения бесконечной системы (3.14) коэффициент /^ определится из (3.16):
(3.33)(3.33)с"⑴十^E崂点⑴с"⑴十^E崂点⑴
(3.33)
(3.33)
с"⑴十^E崂点⑴
с"⑴十^E崂点⑴
Тангенциальные контактные напряжения будут выражаться формулой (3.29), коэффициенты их интенсивности — формулами (3.31), а осевые напряжения, согласно (3.30),— формулой
—р2 — 1j 21 —Р—р2 — 1j 21 —Р(pWD・(pWD・
—р2 — 1
j 2
1 —Р
—р2 — 1
j 2
1 —Р
(pWD・
(pWD・
В обсуждаемой задаче важно изучение взаимовлияния накладок друг на друга, которое в первую очередь сказывается на значениях коэффициентов интенсивности 4 и Л2 и особенно на 4. Для выяснения этого вопроса сначала была решена соответствующая (3.14) укороченная система уравнений, после чего значение коэффициента 况^ определилось из (3.33). Затем по формулам (3.31) были вычислены коэффициенты интенсивности Ai и А2. Результаты' вычислений при различных значениях р и 九 приведены в табл. 2.14, где в первых строках записаны значения 4匕 а во вторых — значения А2.
Таблица 2.14. Значения Аи ^2
р
0
1 ，
214
6
0,1
0,42376 1;52383
1,16061
4,46891
1,41728
1,52949
1,63064
1,74140
1,72985
2,01508
®,2
0,19637 1,54190
0,62489 1,41316
0,81773
1.36998
0,99378 1,36082
1,07367
1,38987
0,3
0,11023 1,53915
0,3976， 1,41663
0,55368 1,35473
0,71693 1,29981
•0,80019 4,28347
0,4 -
0,08787
1,52279
0,28506 1,42274
0,40832
1,36230
0,55327 1,29559
0,63529
1,26294
0,5
0,10775
1,49669
0,24105 1,42207
0,33420 1,37108
0,45560 1,30698
0,53110 1,26977
0,6
0,16510
1,46488
0,25124 1,41384
0,31724 1,37536
0,41164
1,32160
0,47588
1,28640
0,7
0,26684 1,43437
0,31794
1,40322
0,36028
1,37768
0,42634
1.33839
0,4755(
1,30977
0,8
0,44128 1,42410
0,46689 1,40840
0,48962
1,39452
0,52817 4,37445
0,55962 1,35226
Анализ приведенных в этой таблице данных показывает, что значения коэффициентов /^ и /； существенно зависят от р и %, притом для каждой пары (р,入)всегда Л2 > Л1? что обусловлено наличием сосредоточенных сил, приложенных на крайних концах накладок. Для фиксированных 入 увеличением р, что приводит к удалению друг от друга ближних концов накладок, значения /^ сначала уменьшаются, а затем увеличиваются. В уменьшении значений Ai сказывается эффект ослабления взаимовлияний ближних концов накладок, что тем существеннее, чем больше 入, а в их увеличении сказывается влияние крайних концов накладок на ближних, что с увеличением р становится существенным. Такая же закономерность, вообще говоря, наблюдается и для Л2. Для фиксированных р с увеличением X значения Л2, вообще говоря, уменьшаются, что означает уменьшение тангенциальных
контактных напряжений вблизи концов накладок с уменьшением жесткости системы накладки — основание EJES. При этом за счет передачи нагрузки значения 4 увеличиваются.
Упругие полуплоскость и плоскость,усиленные периодической системой накладок
В постановке, изложенной в предыдущем параграфе, исследуем задачу о контактном взаимодействии периодической системы накладок с упругой полуплоскостью или плоскостью. При этом накладки имеют переменную по длине жесткость на растяжение.
Пусть упругая полубесконечная пластина толщины @2 усилена на своей, границе перподическоп с периодом 2Z системой накладок длин 2a (aVZ) и толщин (Д. Пусть, далее, эти накладки по своим верхним граням загружены одинаковыми тангенциальными силами интенсивности т+(т), а на своих концах — сосредоточенными силами Pi и 尸2 (рис. 2.8). В предположении, что все
Рис. 2.8.
накладки имеют одинаковые, но переменимте по длине модули упругости Е& = EiES) (Е(0) ^ 1), требуется определить закон распределения тангенциальных контактных напряжении под ними, коэффициенты интенсивности этих напряжений, а также величины осевых напряжений.
Совершенно аналогично ставится указанная задача, когда в качестве основания берется упругая полуплоскость, находящаяся в условиях плоской деформации, пли бесконечная пластина, находящаяся в условиях обобщенного плоского напряженного состояния (см. § 2). На этих случаях здесь поэтому останавливаться не будем.
Приступив к выводу разрешающего уравнения поставленной задачи, сначала заметим, что деформация 螳⑺ в направлении осп Ох граничных точек упругой полубескопечной пластинки, нагруженной на своей границе спстемоп тангенциальных напряжений t_(N), которые сосредоточены на отрезке [—а, а] и затем периодически повторяются с периодом 2厶 согласно [34, 24],
或（况）或（况）выражаются формулой
或（况）
或（况）
ТЁ~Т"2Г J ctg( ^) т_ (u) du,
22 -а
где интеграл, как обычно, понимается в смысле главного значения по Коши. С другой стороны, приняв во внимание выражение осевой деформации накладок (2.2) и условие контакта, придем к
2 d л 1吗 4 2/ -)ctg (乱('J" " ”) т_ (м) d〃 =2 d л 1吗 4 2/ -)ctg (乱('J" " ”) т_ (м) d〃 =уравнениюуравнению7\ — d I т_ (%) d〃7\ — d I т_ (%) d〃т+ (u) duт+ (u) du,(4.1),(4.1)
2 d л 1
吗 4 2/ -
)ctg (乱('J" " ”) т_ (м) d〃 =
2 d л 1
吗 4 2/ -
)ctg (乱('J" " ”) т_ (м) d〃 =
уравнению
уравнению
7\ — d I т_ (%) d〃
7\ — d I т_ (%) d〃
т+ (u) du
т+ (u) du
,(4.1)
,(4.1)
где прйняты обозначения § 2. Введем безразмерные переменные Е, тр по формулам
и безразмерные величины по формулам
t © 亲"仔)=T。⑶，
В результате получим следующее интегро-дифференциальное уравнение:
а
』J ct^ '^' ,PZ(^)d^ = ZV ^ ^(^)- ^ ^ ^ ®(0 < а < л)
—а
(4.3) при граничных условиях
(р(—а) = 0, (р(а) ~ 1.(4.4)
§与
<Р (^) = J Т (п) (й), / (&) = Pl - J То 8) d%
—а—а
а другие обозйачения, не входящие в (4.2), те жет что и в § 2.
Таким образом, задача контактного взаимодействия периодической системы накладок с упругой полубесконечной пластиной математически описывается сингулярным интегро-дифференциальным уравнением с ядром Гильберта (4.3) при граничных условиях (4.4).
Сведение уравнения (4.3) при граничных условиях (4.4) к эквивалентной бесконечной системе основывается на следующих интегральных соотношениях:aСведение уравнения (4.3) при граничных условиях (4.4) к эквивалентной бесконечной системе основывается на следующих интегральных соотношениях:aJ ctg—aJ ctg—an — а Лг (tg (n/2)/tg (a/2)) cos (n/2)n — а Лг (tg (n/2)/tg (a/2)) cos (n/2)22”2(cos 刀一cos a)”2(cos 刀一cos a)aCSC -0-aCSC -0-Sm-i (::-開))ПРИ п = 2т (т=1,2,...),Sm-i (::-開))ПРИ п = 2т (т=1,2,...),aCSC -yaCSC -y2(m—1)2(m—1)
Сведение уравнения (4.3) при граничных условиях (4.4) к эквивалентной бесконечной системе основывается на следующих интегральных соотношениях:
a
Сведение уравнения (4.3) при граничных условиях (4.4) к эквивалентной бесконечной системе основывается на следующих интегральных соотношениях:
a
J ctg
—a
J ctg
—a
n — а Лг (tg (n/2)/tg (a/2)) cos (n/2)
n — а Лг (tg (n/2)/tg (a/2)) cos (n/2)
2
2
”2(cos 刀一cos a)
”2(cos 刀一cos a)
a
CSC -0-
a
CSC -0-
Sm-i (::-開))ПРИ п = 2т (т=1,2,...),
Sm-i (::-開))ПРИ п = 2т (т=1,2,...),
a
CSC -y
a
CSC -y
2(m—1)
2(m—1)
при гг = 2т — 1 (— ©VW <a), (4.5)
a—aa—aЛ 一Л 一22cos(п/2)cos(п/2)"|/2(cosq — cos a)"|/2(cosq — cos a)&П = 0.&П = 0.(4・6)(4・6)
a
—a
a
—a
Л 一
Л 一
2
2
cos(п/2)
cos(п/2)
"|/2(cosq — cos a)
"|/2(cosq — cos a)
&П = 0.
&П = 0.
(4・6)
(4・6)
Соотношения (4.5) и (4.6)(2.17) при помощи заменыСоотношения (4.5) и (4.6)(2.17) при помощи заменыaf Un-jaf Un-j—a—atg， atg—tg， atg—tg 2 \ I/2 (cos I — cos a)tg 2 \ I/2 (cos I — cos a)tg 下tg 下cos3cos3龙龙
Соотношения (4.5) и (4.6)
(2.17) при помощи замены
Соотношения (4.5) и (4.6)
(2.17) при помощи замены
a
f Un-j
a
f Un-j
—a
—a
tg， a
tg—
tg， a
tg—
tg 2 \ I/2 (cos I — cos a)
tg 2 \ I/2 (cos I — cos a)
tg 下
tg 下
cos3
cos3
龙
龙
выводятся из известного соотношения t tg (1/2)- tg(n/2)
переменных Е -宛Е「+ 兀G'
Нам понадобится также условие ортогональности полиномов Чебышева второго рода, записанное в новых переменных:
0 при п^=т, са 9 a(4.7)
2冗 cos -у tg2 -у при п= т* ''
Приведенное тангенциальное контактное напряжение представим бесконечным рядом
WОО
МеМ 京善前"(器I)(-avya).
(4.8) Отсюда
W 'ОО
屮(三)=)т(Т)) (й) = ?纪n4 (&)(—a WWW a),(4.9)
где введено обозначение
4(E) = J2 dT) (n = o,l, 2,
fa \ 里(°/“)/1/2 (cos rj — cos a)
10 B. M. Александров, С. M. Мхитарян
При помощи замены переменных
(0 0屮,0wЛ)(0 0屮,0wЛ)tg—^—
(0 0屮,0wЛ)
(0 0屮,0wЛ)
cos О = , cos ср =
tg—tg
легко получить
4 (Е) = 4〔2 arctg (cos 0 tg 切=7^ f，1 風實犯 西
1 + cos -у О
(4.10)
0 VO V л; v =0 VO V л; v =tg? (a/2) ')21tg2з/2)丿tg? (a/2) ')21tg2з/2)丿
0 VO V л; v =
0 VO V л; v =
tg? (a/2) ')
21tg2з/2)丿
tg? (a/2) ')
21tg2з/2)丿
1 十 cos2 —1 + v cos 2<p — a1 十 cos2 —1 + v cos 2<p — aДалее, исходя из формул 3.613.1 и 3.613.5 ([14], с. 380 и 381), нетрудно установить разложение一
1 十 cos2 —
1 + v cos 2<p — a
1 十 cos2 —
1 + v cos 2<p — a
3 + £ (— l)m (tg 仔厂 cos 2m ф (0 <(p < л), (4.11)
с использованием которото функцию (4.10) (0 < ф < л) можно представить бесконечным рядом
4(S=—平—i(-ir 卜 g 2 n'叱 a翼'+
,J0 npi1 兀=2「二((r = L2,・..)，
n~2m J [(- l)r (tg -J-)2r (л —e — S1DS^ ) при n = 2r,
(442)
(0 w0&冗),(0 w0&冗),4(E) = 口一0- t(7严(tg-t)2™sin27no
(0 w0&冗),
(0 w0&冗),
притом штрих у знака суммы означает пропуск члена ряда при т = г, если п = 2г. Из (4.12) или (4.10) вытекает, что
ОО4 (1)=4 (1)=(zz = 2г — 1; г = 1, 2,...),(zz = 2г — 1; г = 1, 2,...),л(—l)「(tg 告『(zz = 2г; г = 0,厶2,…).л(—l)「(tg 告『(zz = 2г; г = 0,厶2,…).(4.13)(4.13)
О
О
4 (1)=
4 (1)=
(zz = 2г — 1; г = 1, 2,...),
(zz = 2г — 1; г = 1, 2,...),
л(—l)「(tg 告『(zz = 2г; г = 0,厶2,…).
л(—l)「(tg 告『(zz = 2г; г = 0,厶2,…).
(4.13)
(4.13)
Теперь выражения (4.8) и (4.9) подставим в уравнение (4.3),
находим, чтоesc -2- e第2見и 2П-1П=1находим, чтоesc -2- e第2見и 2П-1П=1+ CS е等е第2辑一工U 2П-2п—1+ CS е等е第2辑一工U 2П-2п—1а затем воспользуемся соотношениями (4.5) и (4.6). В результате
находим, что
esc -2- e第2見и 2П-1
П=1
находим, что
esc -2- e第2見и 2П-1
П=1
+ CS е等е第2辑一工U 2П-2п—1
+ CS е等е第2辑一工U 2П-2п—1
а
а 2 (- 1)"Т «g —)&пт =統丫 (Е) 4)(Е) +
+ cos2 ~2 見=工
十m（三） 2/4闺一大Y化）/（京
П = 1
Далее, обе части последнего равенства умножим на и2Й-1 (号盜)sec3 -|~ /2 (cos ^ — cos а)龙, ^2А-2 (罂賜)sec3 等 /2 (cos g — cos а)或
и проинтегрируем от —а до а, приняв во внимание при зтом условие ортогональности (4.7). В результате получим бесконечную систему
*k + ^" Ctg ""2~ ^^ ^A,n*^n = aA+无丸(" =1, 2, ... )，(4.14^ n=l
Kk.n = — J Y (Е) 4 (E) Ar (圖骗)sec3 等 /2 (cos g —cos a) dg —a
他,九=1,2,…),(4.15)
a纭=J Y隽)4(E)%—aa纭=J Y隽)4(E)%—a%= ^ctg 长(仇/ 一绦) 体=1,2, ...),(4.16)
a
纭=J Y隽)4(E)%—a
a
纭=J Y隽)4(E)%—a
т I 且：-jsec3 等］/2 (cos 自—cos a)龙(4.17) \怩等丿
(及=1, 2,・..),(及=1, 2,・..),a卜阳/化)/—aa卜阳/化)/—a2(-1尸 n=l2(-1尸 n=l等 p2 (cos 自—cos a)龙,等 p2 (cos 自—cos a)龙,瓦=瓦=since tg-y-since tg-y-2(1 +COS2 £)2(1 +COS2 £)2（n-l）第2乳一工，九々=°2（n-l）第2乳一工，九々=°(及=2, 3,・..)・(及=2, 3,・..)・
(及=1, 2,・..),
(及=1, 2,・..),
a
卜阳/化)/
—a
a
卜阳/化)/
—a
2(-1尸 n=l
2(-1尸 n=l
等 p2 (cos 自—cos a)龙,
等 p2 (cos 自—cos a)龙,
瓦=
瓦=
since tg-y-
since tg-y-
2(1 +COS2 £)
2(1 +COS2 £)
2（n-l）
第2乳一工，九々=°
2（n-l）
第2乳一工，九々=°
(及=2, 3,・..)・
(及=2, 3,・..)・
С другой стороны, согласно (4.9) и (4.13) удовлетворение граничных условий (4.4) даст соотношение
宏о + £ (— 1)" 0g 詈)宏2к = g・(4.18)
n=l
Итак, интегро-дифференциальное уравнение (4.3) при граничных условиях (4.4) эквивалентно бесконечной системе (4.14) и соотношению (4.18). Но целесообразно из системы (4.14)； отделить уравнение при к = 1 м присоединить к уравнению (4.18), рассматривая их как систему из двух уравнений для определения коэффициентов х^ и 况厶 а коэффициенты хк (Е = 2, 3, ...) определить из бесконечной системы (4.14). Такой путь приведет к бесконечной системе
^А+1 + 奈 C’g 长 £ Kfe+工，n+l^n+1"左+1 — 2~ C’g 等 ^A+1,1^1
n=l
(4.19) и системе из двух уравнений
(4.20) a21%0 + a22宏1 ^3 办.
Здесь введены обозначения
〃n =九仇—言 ctg £ ^i.n+l^n+l + n=l
a21 = 1 十 言 Ctg £ f (- l)n 0g 号)/,
仰2 = 一奈 Ctg 长 E (- D"卜gg")或,
©1 =呢1 —而 Ctg 告 £ Kltn+\Xn^-\ + n=l
Xsinatg-|-Xsinatg-|-2(1+соУ 毋2(1+соУ 毋£(— i)《g 晉)4n+it£(— i)《g 晉)4n+it
Xsinatg-|-
Xsinatg-|-
2(1+соУ 毋
2(1+соУ 毋
£(— i)《g 晉)4n+it
£(— i)《g 晉)4n+it
@2 = ； + 含 Ctg 告 £ (— l)nftg-2-)胃鐺
где 胃倉1 (% = 1, 2, 3)—— решения бесконечной системы (4.19) при правой части, равной &й+ь 7Гй+1, i и с在 соответственно.
Таким образом, после того как коэффициенты %&+【(乃=1, 2,.. •) определяется из бесконечной системы (4.19), неизвестные коэффициенты х0 и Xi будут определены из системы (4.20), которая даст,
胃0 =74.? 宏工-方 , D = %_1我22 一 ^12^21,
Займемся исследованием бесконечной системы на регулярность. С этой целью сначала выясним структуру ядра К瓦汴 из (4.15). Исходя из (4.10), интегрированием по частям получим
Ап (Е)=—Ап (Е)=—n^l+C0S2-J-)[_1+VC0S 28n^l+C0S2-J-)[_1+VC0S 282v2vsin ntpsin 2(р dtp (1 + v cos 2(p)2sin ntpsin 2(р dtp (1 + v cos 2(p)2
Ап (Е)=—
Ап (Е)=—
n^l+C0S2-J-)[_1+VC0S 28
n^l+C0S2-J-)[_1+VC0S 28
2v
2v
sin ntpsin 2(р dtp (1 + v cos 2(p)2
sin ntpsin 2(р dtp (1 + v cos 2(p)2
(n = 1, 2,...).
Последнее подставим в (4.15), где заранее перейдем к переменной интегрирования 令 по формуле cos В = ；^ (а券 После элементарных выкладок можем записать
?о⑼=??о⑼=?2 arctg cos 令 tg2 arctg cos 令 tg
?о⑼=?
?о⑼=?
2 arctg cos 令 tg
2 arctg cos 令 tg
Перейдем к оценкам сумм
=奈^击e I Kt+im+т I wn=l=奈^击e I Kt+im+т I wn=lZ 2九•W — sin aZ 2九•W — sin a十2v£圭П=1十2v£圭П=12毋п=12毋п=1(* 丫口(8) sin (n + 1) ^ sin (儿十 1)仔 sin 8J1 + v cos 2呑о(* 丫口(8) sin (n + 1) ^ sin (儿十 1)仔 sin 8J1 + v cos 2呑оsin (n 4- 1) tp sin 2(p (1 卄 v cos 2(p)2sin (n 4- 1) tp sin 2(p (1 卄 v cos 2(p)200w十w十Yo (C) sin (" +1) C sin 0 @0Yo (C) sin (" +1) C sin 0 @0
=奈^击e I Kt+im+т I wn=l
=奈^击e I Kt+im+т I wn=l
Z 2九•
W — sin a
Z 2九•
W — sin a
十2v£圭
П=1
十2v£圭
П=1
2毋
п=1
2毋
п=1
(* 丫口(8) sin (n + 1) ^ sin (儿十 1)仔 sin 8
J1 + v cos 2呑
о
(* 丫口(8) sin (n + 1) ^ sin (儿十 1)仔 sin 8
J1 + v cos 2呑
о
sin (n 4- 1) tp sin 2(p (1 卄 v cos 2(p)2
sin (n 4- 1) tp sin 2(p (1 卄 v cos 2(p)2
0
0
w十
w十
Yo (C) sin (" +1) C sin 0 @0
Yo (C) sin (" +1) C sin 0 @0
Воспользовавшись неравенством Бесселя из теории рядов Фурье и поступив совершенно аналогично изложенному в § 2, найдем, что при условии
Д/л sin а (К】+ vX2)
喏⑼ sin：[de, (1 + vcos 26)”喏⑼ sin：[de, (1 + vcos 26)”或口吃中 (1 + v cos 2(p)4或口吃中 (1 + v cos 2(p)4d(pd(p% (&) sin 仇沁% (&) sin 仇沁
喏⑼ sin：[de, (1 + vcos 26)”
喏⑼ sin：[de, (1 + vcos 26)”
或口吃中 (1 + v cos 2(p)4
或口吃中 (1 + v cos 2(p)4
d(p
d(p
% (&) sin 仇沁
% (&) sin 仇沁
(4.22)(4.23)(4.22)(4.23)
(4.22)
(4.23)
(4.22)
(4.23)
бесконечная система (4.19) вполне регулярна.
Более подробно остановимся на частном случае, когда положительная функция 7(三)четная(Y(—g) = 丫值)),и, следовательно, исходную задачу можно разбить на две задачи: симметрическую и кососимметрическую. Положим
Т(Е)= %^(1> + х~^), /(三)=fAV + f-^(—a < g < a),
(4.21) t±(-g)=’± T±(g), /士(一三)=士厶(三).
Тогда будем иметь
屮(&) = J т+ (n) dr\+ ^ t-(T]) dT]—a—a
и, следовательно,
aa
$(—&) = J t+ (n) ^n — J T~ (n) dx\-
При помощи (4.22) и (4.23) легко получить
屮土⑹=4■[屮低)±屮(-閒=J T干⑺d9 ± ±，(4.24)
—a
Теперь (4.21) и (4.24) подставим в уравнение (4.3) и отделим друг от друга его четные и нечетные члены. В симметрическом случае придем к интегро-дпфференциальному уравнению
a/ I\
4~ j ctg^-^Lm)dT]=九 Y(?( J T-(T]) dn + 4~ I ~
一九Y(S/+0)(-av^va) (4.25)
при условии
а в кососимметрическом случае — к интегро-дифференциальному уравнению；J ctg^l# (я) dr] = Ху (I) ( j т+ (п) ^П —~—а\—а丿一入Y⑹/一⑥ (一av&va) (4.27)а в кососимметрическом случае — к интегро-дифференциальному уравнению；J ctg^l# (я) dr] = Ху (I) ( j т+ (п) ^П —~—а\—а丿一入Y⑹/一⑥ (一av&va) (4.27)при условиипри условииaJ' т+ (я) dt] = 1.—aaJ' т+ (я) dt] = 1.—a(4.28)(4.28)В дальнейшем нам понадобятся следующие интегральные соотношения:В дальнейшем нам понадобятся следующие интегральные соотношения:а打ctg—аа打ctg—аЛ —Л —т (tg(T|/2)\—/"Т匕但慢^- dn = esc j sec21 U2吁2 cos 7 Д/2 (cos T| — cos a)т (tg(T|/2)\—/"Т匕但慢^- dn = esc j sec21 U2吁2 cos 7 Д/2 (cos T| — cos a)В-2 a -2 g g t tВ-2 a -2 g g t ta7 J ctg-—aa7 J ctg-—a(兀= 1,2,(— a <g<a),7 fsin(r)/2)) c а外—& 2n \sin (a/2)/2 ,a E 〃• dt] = esc 歹 cos ”2n-i// 2 (cos T] — cos a)乙 乙(兀= 1,2,(— a <g<a),7 fsin(r)/2)) c а外—& 2n \sin (a/2)/2 ,a E 〃• dt] = esc 歹 cos ”2n-i// 2 (cos T] — cos a)乙 乙(^ = lj 2,...),(^ = lj 2,...),(4.29)sin J/(4.30)(4.29)sin J/(4.30)которые получаются вместе с (4.6) дифференцированием обеихкоторые получаются вместе с (4.6) дифференцированием обеих
а в кососимметрическом случае — к интегро-дифференциальному уравнению
；J ctg^l# (я) dr] = Ху (I) ( j т+ (п) ^П —~
—а\—а丿
一入Y⑹/一⑥ (一av&va) (4.27)
а в кососимметрическом случае — к интегро-дифференциальному уравнению
；J ctg^l# (я) dr] = Ху (I) ( j т+ (п) ^П —~
—а\—а丿
一入Y⑹/一⑥ (一av&va) (4.27)
при условии
при условии
a
J' т+ (я) dt] = 1.
—a
a
J' т+ (я) dt] = 1.
—a
(4.28)
(4.28)
В дальнейшем нам понадобятся следующие интегральные соотношения:
В дальнейшем нам понадобятся следующие интегральные соотношения:
а
打ctg
—а
а
打ctg
—а
Л —
Л —
т (tg(T|/2)\
—/"Т匕但慢^- dn = esc j sec21 U2吁2 cos 7 Д/2 (cos T| — cos a)
т (tg(T|/2)\
—/"Т匕但慢^- dn = esc j sec21 U2吁2 cos 7 Д/2 (cos T| — cos a)
В-2 a -2 g g t t
В-2 a -2 g g t t
a
7 J ctg
-—a
a
7 J ctg
-—a
(兀= 1,2,(— a <g<a),
7 fsin(r)/2)) c а
外—& 2n \sin (a/2)/2 ,a E 〃
• dt] = esc 歹 cos ”2n-i
// 2 (cos T] — cos a)乙 乙
(兀= 1,2,(— a <g<a),
7 fsin(r)/2)) c а
外—& 2n \sin (a/2)/2 ,a E 〃
• dt] = esc 歹 cos ”2n-i
// 2 (cos T] — cos a)乙 乙
(^ = lj 2,...),
(^ = lj 2,...),
(4.29)
sin J/
(4.30)
(4.29)
sin J/
(4.30)
которые получаются вместе с (4.6) дифференцированием обеих
которые получаются вместе с (4.6) дифференцированием обеих
частей спектральных соотношений соответственно:
аа117 pg (t)/2^ 2"T [iH^7 pg (t)/2^ 2"T [iH^cos ^ l/2 (cos т| 一 cos а)cos ^ l/2 (cos т| 一 cos а), 1 I^2山1 =^Г=1$ес^Т2"Т —I VS 2., 1 I^2山1 =^Г=1$ес^Т2"Т —I VS 2.а—аа—а11/（索卜。嗯/（索卜。嗯2lsin—^1 ”2 (cos т| — co 西2lsin—^1 ”2 (cos т| — co 西曲]=曲]=
а
а
1
1
7 pg (t)/2^ 2"T [iH^
7 pg (t)/2^ 2"T [iH^
cos ^ l/2 (cos т| 一 cos а)
cos ^ l/2 (cos т| 一 cos а)
, 1 I^2山1 =^Г=1$ес^Т2"Т —I VS 2.
, 1 I^2山1 =^Г=1$ес^Т2"Т —I VS 2.
а
—а
а
—а
1
1
/（索卜。嗯
/（索卜。嗯
2lsin—^1 ”2 (cos т| — co 西
2lsin—^1 ”2 (cos т| — co 西
曲]=
曲]=
舄)d，2,..・)，
ln(^72j)(" = °)(-av&va).
Приступим к решению уравнения (4.25) при условии (4.26). Решение представим в виде
ОО
откуда после несложных выкладок находим
С 下一 S) dn = ~ esc а £^二;02*2 ( ~^- I sec-|- У2 (cos^ — cosa).
-а仁1 "\tgE 丿
(4.32)
Очевидно, что условие (4.26) удовлетворяется тождественно. Теперь (4.31) и (4.32) подставим в уравнение (4.25) и воспользуемся интегральным соотношением (4.29), а также условием ортогональности (4.7). При помощи операций, совершенно аналогичных проделанным выше, для определения неизвестных коэффициентов xzn (孔=1, 2,. • ) приходим к бесконечной системе
где введены обозначениягде введены обозначения^2П—2^2П—2◎ат + ^ csc2 у t Rh,ngnT = ak (乃=1, 2, ...), (4.33) n=l
где введены обозначения
где введены обозначения
^2П—2
^2П—2
-^ I у (g) sec2 -| (cos &—cos a)成,, tg与丿
S = ^ctg^(氏 一2%) 伯,〃 = 1, 2,…)，(4.34)
bk =U2/t-21 —~ I sec у И 2 (cos & ——cos a) d&,
(4.35)(4.35)ааООtgqtgqV2 (cos ^ — cos а)成佑=1, 2,...).V2 (cos ^ — cos а)成佑=1, 2,...).0V^T/
(4.35)
(4.35)
а
а
О
О
tgq
tgq
V2 (cos ^ — cos а)成佑=1, 2,...).
V2 (cos ^ — cos а)成佑=1, 2,...).
Как и выше, переход к переменной интегрирования 令 по формуле cos О = tg(l\^j позволяет выражение ядра (4.34) представить в виде
4sm atgj 「sinE" /七-(2n —l)^l + cos2 yj ^4sm atgj 「sinE" /七-(2n —l)^l + cos2 yj ^(2п — 1) (р sin (2R — 1) ф sin 屮丫。(ф)(2п — 1) (р sin (2R — 1) ф sin 屮丫。(ф)1 + V cos 2(р1 + V cos 2(р(Др.(Др.
4sm atgj 「sin
E" /七-
(2n —l)^l + cos2 yj ^
4sm atgj 「sin
E" /七-
(2n —l)^l + cos2 yj ^
(2п — 1) (р sin (2R — 1) ф sin 屮丫。(ф)
(2п — 1) (р sin (2R — 1) ф sin 屮丫。(ф)
1 + V cos 2(р
1 + V cos 2(р
(Др.
(Др.
(4.36)
Обращаясь к оценке сумм
(乃=1, 2, •・.),(乃=1, 2, •・.),就= ^csc2》E I砧"[
(乃=1, 2, •・.),
(乃=1, 2, •・.),
n=l
примем во внимание формулу (4.36) и процедуру, изложенную в § 2. В конечном итоге находим, что при условии
2|l + cos2y)ул sin aRQ2|l + cos2y)ул sin aRQл Y^(<p)sin2(pd(pл Y^(<p)sin2(pd(pJ (1 + V cos 2 ф)2 оJ (1 + V cos 2 ф)2 о(4.37)(4.37)
2|l + cos2y)ул sin aRQ
2|l + cos2y)ул sin aRQ
л Y^(<p)sin2(pd(p
л Y^(<p)sin2(pd(p
J (1 + V cos 2 ф)2 о
J (1 + V cos 2 ф)2 о
(4.37)
(4.37)
бесконечная система (4.33) вполне регулярна.
помощи формулыпомощи формулыОстановимся на частном случае, когда имеются однородные
помощи формулы
помощи формулы
накладки и, следовательно, 丫。(屮)三 1. Тогда при 3.613.1 ([14], с. 380) получим
я广 sin2 (p dtpя广 sin2 (p dtpJ (1 + v cos 2(p)2 .J (1 + v cos 2(p)2 .(1 + cos2 h\(1 + cos2 h\88а、2а、2cos ~2cos ~2
я
广 sin2 (p dtp
я
广 sin2 (p dtp
J (1 + v cos 2(p)2 .
J (1 + v cos 2(p)2 .
(1 + cos2 h\
(1 + cos2 h\
8
8
а、2
а、2
cos ~2
cos ~2
и поэтому условие (4.37) можно записатьи поэтому условие (4.37) можно записатьтак:так:
и поэтому условие (4.37) можно записать
и поэтому условие (4.37) можно записать
так:
так:
入 Vf—ctg^P secT，入 Vf—ctg^P secT，(4.38)(4.38)
入 Vf—ctg^P secT，
入 Vf—ctg^P secT，
(4.38)
(4.38)
Интервал полной регулярности (4.38) несколько шире, чем интервал Х<-^- ctg —, полученный в работе [35].
Покажем, что бесконечная система (4.33) при любых значениях параметра 入(0 < Л < °°) в разбираемом частном случае ква- зивполне регулярна. Действительно, ядро (4.36) при 丫式屮)三 1 можно представить формулой
sin а tg 芽
^А.П = ^Г (-^2П-]-2А-з+-^2П-2А4-1 — ^2П4-2Й-1—N2n…一力,
(2n-l) h+cos2 ^.1
(4.39)
C Sinpcpdy (р=±1, 士 3,…).
р J 14- v cos 2(p，亠，/
о
Интегрированием по частям с учетом нечетности р в данном случае легко установить следующее неравенство:
1 门Г1 + V (1 — V)2
Учитывая последнее неравенство, из (4.39) получим
.2 * ас sin а tgy
Rh、n & /Г X
(1 十 cos2 ^] (2n — 1)
X 2n + 2* — 3 + 2n + 2* — 1 + I 2n — 2* + 11 一 | 2n - 2* — 1 |，任％。)
Далее, исходя из (4.40) и поступая совершенно аналогично тому, что было сделано в § 3, обнаружим, что
7才=*csc42i国，"I =。(割 依f8),
что и доказывает квазиполную регулярность бесконечной системы (4.33).
Отметим, что для вычислений удобно, воспользовавшись разложением (4.11), ядро Rhi п представить в ввде следующего довольно быстро сходящегося ряда:
〃=8sin 讶! []
"" 2П 一 1 4m十归一*一I 4 (n 一儿)2 - 1
+ 2 2 ^knm (—l)m (tg ~j (4.41)
G 4 (к 十儿一1)2 — 1 十 4加24 (к — А)® — 1 十
Йnm[4 (n -J- ^ - I)? — 1 - 4m2k一16川[4 (n - ^)2 — 1 - 4?n2]2 -16?n2
(尤 n, zn, — 1, 2,...).
Перейдем теперь к кососимметрическому случаю. В этом случае решение уравнения (4.27) ищем в виде бесконечного ряда
cos ~2cos ~2~|/2 (cos J — cos а)~|/2 (cos J — cos а)黑/sin-y \£ %" ?2" —^ (— a v E V a), (4.42) n=o\sin уу黑/sin-y \£ %" ?2" —^ (— a v E V a), (4.42) n=o\sin уу
cos ~2
cos ~2
~|/2 (cos J — cos а)
~|/2 (cos J — cos а)
黑/sin-y \
£ %" ?2" —^ (— a v E V a), (4.42) n=o\sin уу
黑/sin-y \
£ %" ?2" —^ (— a v E V a), (4.42) n=o\sin уу
откуда после элементарных операции находим
f т+ ⑺ dn = %+ arcsin 学
A\si*
%csc^ p2(cos& —cosa)£j (—a&&&a).
n—1\sin
(4.43)
Согласно (4.43), условие (4.28)- непосредственно даст
а ла л
а л
а л
L%n =L%n =^А — ~ CSC у (&д — %),^А — ~ CSC у (&д — %),(4.46)(4.46)
L%n =
L%n =
^А — ~ CSC у (&д — %),
^А — ~ CSC у (&д — %),
(4.46)
(4.46)
Далее, по известной процедуре уравнение (4.27) сведем к эквивалентной бесконечной системе
宏2左 + ^^ esc? -2 ^^ Lk,n*2n -a在(% = 1, 2, .. .),(4.44)
n—1
sin -у \
―7 Y (Е) (cos Е — cos а)龙,(4.45) sinT丿
bfc = — arcsin I ——卜(J) 5”i ( —— I /2 (cos 三—cos a)庞, о "in T/\sin у/
ааоо/ sin ~2 \
а
а
о
о
C/2ft-il —— I V2 (cos ^ — cos a)龙(乃=1, 2, •・) pm2丿
Переход к переменной интегрирования 令 по формуле cosO = sin(J/2)-V
=金兀碇⑵ позволяет выражение ядра (4.45) преобразовать в
следующее:
8 "|/W sin3 •冗fa
Lh,n = —f=- f sin 2n^ sin 2k&y0 (B)諸 \< d& (4.47)
/ l + cos崂^HTCM28
6 =^-, % ⑼=Y 2 arcsin (cos » sin —jj.
+ cos2 ~2.
На основании (4.47) получим условие полной регулярности бесконечной системы (4.44):
入V谈必手，厶А值⑵匸鼻设(4風
期口牙厶00
В частном случае, когда 汽⑻ 三 1, будем иметь л (1 + cos? )
厶一
cos ~2
и, следовательно, условие (4.48) даст
А- V 2 丫3 ctg 今 j/^sec ^.(4.49)
Если же воспользоваться точным значением постоянной L^.
7?/ 1 +cos2Tу 1 + cos "2
то (4.49) можно еще более уточнить и вместо него записать
Л 4Л 4(4.50)
Л 4
Л 4
Интервалы полной регулярности бесконечной системы (4.49) или (4.50} шире, чем соответствующий интервал в [35].
В разбираемом частном случае однородных накладок выражение (4.47) можно записать в следующей эквивалентной форме:
21/2 sin3 ILk,n =/ ■ a (M2n+2k-i~\-M2n-2k+l — M2n+2k+l—Л^2П-2Й-1)гУ 1 + cos?黄 И21/2 sin3 ILk,n =/ ■ a (M2n+2k-i~\-M2n-2k+l — M2n+2k+l—Л^2П-2Й-1)гУ 1 + cos?黄 ИМрМргде р ——любое целое число.где р ——любое целое число.лfSinp 仔J "|/1 — 5 cos 20 "' олfSinp 仔J "|/1 — 5 cos 20 "' о(4.51)(4.51)
21/2 sin3 I
Lk,n =/ ■ a (M2n+2k-i~\-M2n-2k+l — M2n+2k+l—Л^2П-2Й-1)г
У 1 + cos?黄 И
21/2 sin3 I
Lk,n =/ ■ a (M2n+2k-i~\-M2n-2k+l — M2n+2k+l—Л^2П-2Й-1)г
У 1 + cos?黄 И
Мр
Мр
где р ——любое целое число.
где р ——любое целое число.
л
fSinp 仔
J "|/1 — 5 cos 20 "' о
л
fSinp 仔
J "|/1 — 5 cos 20 "' о
(4.51)
(4.51)
Интегрирование по частям приводит к неравенству 厶=уг^ 十(1 一 6)3/2,
Это неравенство в сочетании с (4.51) позволяет утверждать, что
= csc2 Т 2 I I =0 (^ь) 2 8,
что и показывает квазиполную регулярность системы (4.44).
Приведем здесь выражения осевых напряжений в накладках и коэффициентов интенсивности тангенциальных напряжений. После простых операций для осевых напряжений будем иметь
о = о (&) = Р1 — J То (叫 &Т] — J т (叫 dT] (—а & Е & а), (4.52〉
—а—а
где введена безразмерная величина о =： g^AJP. Вычислим также коэффициенты интенсивности контактных напряжений
&= lim ]/а — Е т (图,4= Нт /а + Ет(&), |-»а—оа+о
для которых, согласно (4.8), получим
/] = ^ Мctg ~ 2 ^п, 4 = ^ Jctg^ 工(―1)"宏к. (4.53)：K=on=0
Отметим, что, исходя из (4.9), формулу (4.52) можем записать, также в виде
° = J % (叫 dll — S (Е) = / (Е) — Z хпАп (§. (4.54) _а汽=0汽=0
в сим-в сим-(4.55)(4.55)Далее, учитывая формулы (4.31) и (4.32), вместо (4.54)
в сим-
в сим-
(4.55)
(4.55)
^2n-l тт ^П 0 271-2^2n-l тт ^П 0 271-2метрическом случае будем иметь
^2n-l тт ^П 0 271-2
^2n-l тт ^П 0 271-2
и 二 /+ (&) + esc a sec-|-厂2 (cos & — cos а) £
71 —1
(—а W 三 W а),
а вместо (4.53)
& =& =-4 =n sec22-4 =n sec22/2其一1 ♦/2其一1 ♦(4.56>(4.56>
& =
& =
-4 =n sec22
-4 =n sec22
/2其一1 ♦
/2其一1 ♦
(4.56>
(4.56>
Аналогично, в кососимметрическом случае, согласно (4.42) и (4.43), получим
О = /_(?_ 不 у 十 arcsin I— I +
L\sinT/_
(4.57)(4.58)(4.57)(4.58)
(4.57)
(4.58)
(4.57)
(4.58)
Теперь рассмотрим два частных случая.
Пусть периодическая система однородных накладок нагружена только на своих концах противоположно направленными сосредоточенными силами Р「Р? = Q. Здесь 工+(宓)三 0 и имеет место симметрический случай. В данном случае р^ = 0,尸=О,
Таблица 2.15. Значения 璀)
а
2
4
6
8
10
л
0.131
0,262
0,393
0,524
0,655
—0,02769
—0,05872
—0,09820
-0,15776
-0,28085
-0,03836
—0,08232
-0,14059
-0,23329
-0,43606
-0,04256
—0,09320
—0,16497
—0,28927
—0,58822
-0,03997
-0,08896
-0,16206
-0,29736
-0,64894
—0,03608
—0,08434
-0,15169
-0,28906
-0,67016
-0,03226
—0,07351
—0,13976
—0,27494
-0,67175
л
г
0,262
•0,524
0,785 1,047 1,309
-0,01999 -0,04296 -0,07353
—0Д2238 —0,22962
—0,02183
-0,04788
—0,08495
—0,14943
—0,30503
—0,01823
—0,04118
—0,07704
—0,14727
—0,34281
—0,01449
—0,03337
—0,06469
-0,13116
-0,33700
-0,01174
-0,02738
-0,05439
—0,11511
-0,31955
-0,00975
-0,02293
—0,04637
-0,10131
-0,29924
Зл
丁
0,393 0,785 1,178 1,571 1,963
-0,01473
—0,03223
-0,05698
—0,09953
—0,20035
-0,01323
-0,02978
-0,05525
-0,10392
-0,23390
—0,00908
—0,02116
—0,04183
—0,08698
—0,23000
-0,00653
-0,01553
-0,03187
-0,07061
-0,20876
-0,00 芻 9 -0,01200 —0,02522 -0,05827 —0,18693
—0,00399
-0,00966
-0,02063
-0,04908
—0,16745
г。(三)三 О, /+(Е)= 1- и в формулах (4.2) следует заменить Р на Q, Нужно решить бесконечную систему (4.33) с ядром (4.39) пли 《4.41), а свободные члены, согласно (4.35), будут
Для получения числовых результатов сначала была решена соответствующая (4.33) укороченная система линейных уравнений, состоящая из двадцати уравнений. Дальнейшее увеличение числа уравнений привело к изменению лишь шестого знака после запятой в решении этой системы. Вычисленные по формулам (4.31) и (4.56) с точностью до 10-5 значения напряжений 工(己) и их коэффициентов интенсивности -4^ при различных значениях параметров 入 и а приведены в табл. 2.15 п 2.16.
Таблица 2.16. Значения Ai
а
1
2
4
6
8
л/4
-0,42959
—0,22118
—0,35307
-0,45165
-0,53282
—0,603(5
п/2
-0,16543
—0,25995
—0,38680
—0,48032
—0,55773
—0,62523
Зл/4
-0,19940
—0,29174
—0,41270
—0,50256
—0,57758
—0,64341
Из табл. 2.15 видно, что при увеличении X или а напряжения т(三)по абсолютной величине, вообще говоря, уменьшаются.
Таблица 2.16 показывает, что при увеличении 入 или а значения коэффициента интенсивности /1 по абсолютной величине, монотонно возрастая, значительно увеличиваются.
Таблица 2.17. Значения 工(g)
а
&
1
2
4
6
0,131
0,34999
0,29691
0,22402
0,17711
л
0,262
0,37460
0,32530
0,25480
0,20728
0,393
0,42433
0,38313
0,31891
0,27146
0,524
0,52293
0,49930
0,45302
0,4Ю86
0,655
0,76745
0,79173
0,80903
0,80348
0,262
0,16100
0,12208'
0,07959
0,05758
п т
0,524
0,17386
0,13657
0,09334
0,06957
0,785
0,20020
0,16699
0,12360
0,09693
1,047
0,25321
6,23024
0,19047
0,15969
1,309
0,38780
0,39877
0,38957
0,36589
0,393
0,10805
0,07629
0,04629
0.03241
四
0,785
0Д1625
0,08513
0,05326
0,03717
1,178
0,13346
0,10507
0,07236
0,05464
4
1,571
0,16802
0,14699
0,11466
0,09316
'1,963
0,25618
0,26161
0,24554
0,22198
-Пусть теперь периодическая система однородных накладок нагружена только на своих концах одинаково направленными сосредоточенными силами Р『Р? = Q. Здесь р、= 1, 匕(三)三 0r /_ (g) = 0 и 尸=2Q. Очевидно, что имеет место кососимметриче-
ский случай; поэтому нужно решить бесконечную систему (4.44) с ядром (4.51) и, согласно (4.46), при следующих свободных членах:
si嗒；si嗒；d(p.d(p.sin A'tp cos 手j/1+6 cos ф
si嗒；
si嗒；
d(p.
d(p.
В этом случае распределение тангенциальных контактных напряжений т(Е) дается формулой (4.42), а коэффициенты их интенсивности—формулой (4.58).
Таблица 2.18. Значения Ai
а
1
2
3
4
6
л/4
0,30679
0,35920
0,40633
0,44934
0,52606
л/2
0,24008
0,30502
0,36013
0,40853
0,49168
Зп/4
0,19870
0,27047
0,32900
0,37909
0,46280
Вычисленные по этим формулам значения 工(自)и /^ приведены в табл. 2.17 и 2.18.
丄С曾_成=入［T⑺一尸（切—а、丄С曾_成=入［T⑺一尸（切—а、⑺w〃,九=笳）о分⑺w〃,九=笳）о分Исследование случаев отсутствия концентрациинапряжений на краях накладки
丄С曾_成=入［T⑺一尸（切
—а、
丄С曾_成=入［T⑺一尸（切
—а、
⑺w〃,九=笳）о分
⑺w〃,九=笳）о分
при граничных условиях
Т(—а) = А, Т^ = А + FS(5.2)
Здесь приняты несколько иные обозначения, чем в § 2.
Здесь £ц ——модуль Юнга для полуплоскости (случай плоского напряженного состояния) и введены функции
Т⑺二 Jt(S) d^+Pi,歹⑶=j“⑶成，(5.3)
где т(/)——искомое контактное касательное напряжение, действующее между накладкой и полуплоскостью в области 丨胃1 W а.
Переходя в (5.1)—(5.3) к безразмерным координатам
/=自=自a ц = ХЙ it вводя обозначения
①(宓’)=7(比‘a)，/(比‘)=F(xfa\
перепишем (5.1) и (5.2) в виде
~ I^T^* =卩【屮⑶一貝初](1胃101),(5 4)
①(一1)=九 ①(1)=2+,⑴；
штрихи у 宓'и『здесь и далее опускаем.
На основании результатов работы [37] и гл. V монографии [38] можно сформулировать относительно структуры функции т(?), определяемой уравнением (5.1)——(5.3), следующие теоремы.
Теорема 1. Если F{x) Яа(— а, а), 0 < а ^ 1, и при данном 入三(0, 8)существует решение уравнения (5.1) —(5.3) такое, что т(/)三厶р(—а, а), 1 V р V 2, то т(宓)имеет вид
т (.Г) =-, со (ж) е Я7 (— а, а), 丫 = Inf (а,彳冃.(5.5)
Теорема 2. Если 1)尸(宓)三 Н“(一а, а), О Vа W 1; 2)歹(宓)三 三犷(а—7 а), 8 > 0, 1/2V0W1，и при данном 入三(0, 8)существует решение уравнения (5.1) — (5.3) такое, что 1) т(宓)三 三 厶(一а, а), 1 V р V 2; 2) I т(宓)I W M при а — в W 宓 W а, где М = =const и выполняется соотношение
а、а
p= !工⑶就=一大][?(?-ь(？]U志龙，(5.6) то т(/) имеет вид
т (?) = / 7^ 3 (х), 3 ⑺三 Я7 (— а, а), у = Inf (а, Р - у,宁}
(5.7)
Теорема 3. Если 1)歹(宓)三 〃“(一а, а), О V а W 1; 2) F(x)三 三 Н*(а— 8, 0), 8 > 0, 1/2 V § W 1; 3)尸(宓)三环(一а, — а+ е), е > 0, 1/2 < 7 < 1, и при данном 入三(0, °°) существует решение урав- И В. М. Александрсв, С. М. Мхитарян
нения (5.1)—(5.3) такое, что 1)工(/)三厶式一а, а), 1 < р < 2; 2) |t(/)l & Мири а — е & / & % 3) It(n)丨 W Nпри — @ W n W — а +e, где M и N ——постоянные, и выполняются соотношения
а
(5.8)(5.8)p=_大J [7(自)一ь⑹]
(5.8)
(5.8)
—а
а .
0 = J [7(日一ь(期
—а
то т(/) имеет вид
(5.9)(5.9)т (胃)=р@2 _ 兴 з(/), з (胃)三 Я6 (— а, а),
(5.9)
(5.9)
6 = Inf (а, Р —1 т —6 = Inf (а, Р —1 т —1 р — 11 р — 1
6 = Inf (а, Р —1 т —
6 = Inf (а, Р —1 т —
1 р — 1
1 р — 1
Из теорем 2 и 3 следует, что если соответствующим образом нагрузить накладку по ее верхней грани, т. е подобрать функцию 歹(/) так, чтобы выполнялись условия (5.6) или (5.8), то будут существовать решения, ограниченные на одном либо двух краях накладки вида (5.7), (5.9). В случае 歹(力)三 0 вопрос о существовании ограниченных решений остается открытым. Одпако численное исследование задачи при произвольных значениях сил Pl и 尸2 показало, что в диапазоне 0 ^ Z ^ 120 решение имеет вид (5.5), причем со(±(г) ^ 0.
Как в § 2, представим функцию со(^) в (5.5) в виде ряда
@-%(а/)=屮‘⑺・弘4 —/2 = £ МпТ乳⑺.(5.10)
n—О
Такое представлепие возможно в силу того, что з(а/)三环(一1，1), при этом ряд (5.10) сходится равпомерпо.
На основании (5.10) имеем
屮(/) = % 十 £ xnFn (项 Fn (/) = —： sin 汽0 (n》1), X(5.11)
尸о (?)=冗一也 = arccos
при этом первое граничное условие (5.4) удовлетворено. Удовлетворяя второму граничному условию (5.4), найдем
% = 2园一%+加.(5.12)
Далее разложим /(^) ^ №(— 1, 1) в равномерно сходящийся ряд по полиномам Чебышева второго рода
/(%)=£ fnUn-i (х).
СИЗ)
Подставляя (5.10), (5.11) и (5.13) в* уравнение (5.4) и принимая во внимание формулу (2.17), придем к соотношению .
ОСГОСОО
Е 黑？=卩 % + %(“-。)一斗П哭^- e加號？ •
(544)
Умножим обе части (5.14) па sin ^ sin т ^ и проинтегрируем в пределах от 0 до л. В результате придем к бесконечной алгебраической системе, совершенно аналогичной системе (2.28):
н 卩 ~ % (。1 + 冗胃0)^+ ~ ^ ^n^m,n ~ /т
% =0(m>i), "="J, ^ = 一2^[(一1)7+1](卢一1厂2 (m> 1),
(5.15)
2
q = -, 仆方=2/n [(- l)m+n + 1] [(m - * - 丁"例十汽)2—丁1
(^ 声『％ — 1, ^ 声汽十 1), Kn-l,n = Kn+itn = 0.
После решения алгебраической системы (5.15) коэффициенты интенсивности напряжений т(宓)на концах х — ± 1 могут быть найдены соответственно по формулам
^i (м) = 2 жп, л2(н) =2(— 1)п*«.(5.16)
71=0П—0
Рис. 2.9.Рис. 2.9.Пусть, далее, длина накладки 1 = Ь + а, Ь>а и по своей длине она нагружена по верхней грани распределенной Нагрузкой интенсивности j(宓)，а в точках / = —~аих = Ь — силами Р^ и Р2. В то же время контакт между накладкой и границей полуплоскости осуществляется лишь на участке — а^х ^а (рис. 2.9). При этом будем предполагать, что в точке х — а контактное касательное напряжение t(宓) ограничено.
Рис. 2.9.
Рис. 2.9.
Такая задача по-прежнему сводится к интегро-дифференци- альиому уравнению (5.1) при граничных условиях
Т(—а) = Е, TS) =Р2 + F®(5.17)
Здесь функции Т⑺ и 歹(宓)имеют вид (5.3).
В старых безразмерных переменных интегро-дифференциальное уравнение будет иметь вид (5.4), а граничные условия (5.17) запишутся следующим образом:
(р(— 1) =Л, ф(1) = Р2 + /(х),乂 =儿"Л(5.18)
Согласно теореме 2, решение задачи, ограниченное на крае = 1, будем искать в виде ряда
屮‘(况)= MW£ zdMr/2)(2).(5.19)
丁 n=0
Здесь P^n'^ (胃)—полиномы Якоби. Представление (5.19) возможно в силу того, что в соответствии с (5.7) ^{ах') Ят(— 1, 1), при этом ряд в (5.19) сходится равномерно.
Интегрируя (5.19) и удовлетворяя первому граничному условию (5.18), получим
屮(/) = А + 2 岔 nFn (胃)，F0(x) = п — ^ + sin e, n=0屮(/) = А + 2 岔 nFn (胃)，F0(x) = п — ^ + sin e, n=0® = arccos /,® = arccos /,Fn (/)=Fn (/)=(2n ——1)1! pin (孔 + 1)今(2n)!l[ n 4- 1(2n ——1)1! pin (孔 + 1)今(2n)!l[ n 4- 1sin nOsin nO(5.20)(5.20)
屮(/) = А + 2 岔 nFn (胃)，F0(x) = п — ^ + sin e, n=0
屮(/) = А + 2 岔 nFn (胃)，F0(x) = п — ^ + sin e, n=0
® = arccos /,
® = arccos /,
Fn (/)=
Fn (/)=
(2n ——1)1! pin (孔 + 1)今
(2n)!l[ n 4- 1
(2n ——1)1! pin (孔 + 1)今
(2n)!l[ n 4- 1
sin nO
sin nO
(5.20)
(5.20)
(n = 1, 2,...).
Удовлетворяя второму граничному условию (5.18), найдем
% = т [爲一А + 〃%)]•% = т [爲一А + 〃%)]•(5.21)(5.21)
% = т [爲一А + 〃%)]•
% = т [爲一А + 〃%)]•
(5.21)
(5.21)
Разложим теперь функцию f(x) ^ №(— 1, х) в равномерно сходящийся при I 宓I W 1 ряд по полиномам Якоби
f ® = & fnP「2，"2> ®.(5.22)
Подставляя (5.19), (5.20) и (5.22) в уравнение (5.4} и принимая во внимание значение интеграла
j 中；二®庇=_ nP『/2J/2)⑺(I z 区 1),
(5.23) придем к соотношению
ОО，ГОООО
—Xz諸J"J/2)(2)= n 厶十 £?$”(")一 2 /諸丁/"*).
?г—0n=o ~"=0.
(5.24)
Умножим обе части (5.24) на 丿(1 + 宓)/(1 ——х) Р『®，⑵(胃) и проинтегрируем в пределах от — 1 до 1. С учетом условия ортогональности полиномов Якоби [14] получим бесконечную алгебраическую систему
爲=Е Km,nZ^ + Mm (иг = 0,1, ...).(5.25)
тг—О
Здесь введены обозначения:
觉* — (2m一4)!!—(2m一()!! // _ p /5 9外
(2m)!! m,(2m)!!几 一 /оg.—UJ
i4
У 冗2 + 4 (zn = 0), § (^ = 1)，
Лт>°(2к + i)2 (2к — i)Z,
(2及—()2(2及 + 4)、)
(п2 — т2) (и 4- т -|- 2)[(n -|- I)2 — w2] (п — т^ i)
(几耍 zn, и у= т — 1, п =# т + 1),
告("叱‘京三(п = т-1),
(2т + 3)(2т+1)(几=^ + D
(п = 1, 2, . . т = 0,1,...).
Принимая во внимание (5.21), бесконечную систему (5.25) перепишем в виде
*2一p1 + /的小+ ¥) +多[尸2+p1+f3)一2加+
+ ^£宀方武=0, (5.27)
胃酬 ~ —勺 £ Km,n xn + bm (m = 1, 2, .. .),(5.28)
n=i
bm =卩爲^- Km,о [% - % + / (乂)]■
Отметим, что уравнение (5.27) является условием ограниченности решения задачи на крае / = 〃 (типа условия (5.6)) и служит после определепия коэффициентов ^ из системы (5.28) для нахождения величины а при заданных Ь и законе нагружения иакладки.
На основании результатов, приведенных в работе [39J, мож
но утверждать, что справедлива следующая
Теорема 4, Бесконечная алгебраическая система (5.28) квазивполне регулярна при всех 卩三(0, 8)и вполне регулярна при 卩 < У6/2.
Пусть теперь длина накладки I = 2Ь, а контакт между накладкой и границей полуплоскости осуществляется лишь па участке — @ W % W @, а < Ь.. По всей своей верхней грани 'накладка нагружена распре
деленной нагрузкой интенсивности т+(6, а в точках х = '±Ь — сосредоточенными силами Р» и Р2 (рис. 2.10).
При этом будем предполагать, что в точках 笈=± а
рис 2 [° контактное касательное на''' пряжение т(宓) ограничено.
Задача по-прежнему приводится к интегро-дифференциальному уравнению (5.1) при граничных условиях (5.17). При этом 7(宓)имеет вид (5.3), а
F(x) = J"r+ (自)龙.-bF(x) = J"r+ (自)龙.-b(5.29)(5.29)
F(x) = J"r+ (自)龙.
-b
F(x) = J"r+ (自)龙.
-b
(5.29)
(5.29)
В указанных выше безразмерных переменных интегро-дифференциальное уравнение будет иметь вид (5.4), а граничные условия —вид (5.18).
В соответствии с теоремой 3 решение задачи, ограниченное на краях / = ± 1, будем искать в виде ряда
U(7)=匕1一 ％2 2 ^nU(/).U(7)=匕1一 ％2 2 ^nU(/).(5.30)(5.30)
U(7)=匕1一 ％2 2 ^nU(/).
U(7)=匕1一 ％2 2 ^nU(/).
(5.30)
(5.30)
Разложение (5.30) возможно в силу того, что в соответствии с (5.9) (о(ах) Яб(— 1, 1), при этом ряд в (5.30) сходится равномерно.
Интегрируя (5.30) и удовлетворяя первому граничному условию (5.18), получим
屮⑶=匕十 £ xnFn (r), %(胃)=扌卜—sin 2®} (5.31)
(冷=2, 3，…)G = arccos 吼(冷=2, 3，…)G = arccos 吼p z v _ sin (n + 1)^ sin m — 1)仔 '"()——2(Ш2 5 — 4)
(冷=2, 3，…)G = arccos 吼
(冷=2, 3，…)G = arccos 吼
Удовлетворяя второму граничному условию (5.18), найдем
21 =；阳一匕十/(叨・(5.32)
Представим /(%)三"。(一х, х) в форме равномерно сходящегося при Ixl W 1 ряда по полиномам Чебышева первого рода
/ (ж) = 5 fnTn (ж).(5.33)
п—О
Подставляя (5.30), (5.31) и (5.33) в уравнение (5.4) и принимая во внимание значение интеграла [14]
f 用^学一⑹ <^ = ~пТп^ (|Ж|<1; 〃 = 1, 2, ...), (5.34)
получим соотношение
—£ ^п cos 冷® =—£ ^п cos 冷® ='ОООО
—£ ^п cos 冷® =
—£ ^п cos 冷® =
.(5.35).(5.35)卩 К + 2 土“歹久(COS 0) — £ /" COS "今
.(5.35)
.(5.35)
.n=lП—0
Умножая обе части равенства (5.35) на cos ш^ и интегрируя в пределах от 0 до л, придем к следующей бесконечной алгебраической системе:
^m^m ~ 冗 ^^^ ZnKm,ti + 卩/m 卩尸仔皿(W = 0, 1,...),
Cm =。优 Q 0), em = 1 (m> 1), &J =炉/4,© 36)
《仇覧=■~ 4『z 02? — 1) 2 (几》2), Km^n = 0 (n=m—1, n=m -pl),
Km,n = 卻!(二* 十也 + 'l厂 — n=f=m + l).
[(n + ^) -l][(n —w)2- 1]'丁 I 丿
Принимая во внимание (5.32), бесконечную систему (5.36) перепишем в виде
。=e /覧&),覧 + 号[Р2 + 尸1 + ， (乂) - 2/0],(5.37)
■2
元[尸2 —尸 1 + J (X)l (1 + "у-] — ~~ £ ^n^m,n + 卩九\/71=2元[尸2 —尸 1 + J (X)l (1 + "у-] — ~~ £ ^n^m,n + 卩九\/71=2况m况m~ T^~ ^^ znK1nm + bmn=2~ T^~ ^^ znK1nm + bmn=2(wz h^ 2, 3,...),(wz h^ 2, 3,...),(5.38)(5.39)(5.38)(5.39)
元[尸2 —尸 1 + J (X)l (1 + "у-] — ~~ £ ^n^m,n + 卩九\/71=2
元[尸2 —尸 1 + J (X)l (1 + "у-] — ~~ £ ^n^m,n + 卩九\/71=2
况m
况m
~ T^~ ^^ znK1nm + bmn=2
~ T^~ ^^ znK1nm + bmn=2
(wz h^ 2, 3,...),
(wz h^ 2, 3,...),
(5.38)
(5.39)
(5.38)
(5.39)
% =bUm H2" K"1 [尸2 - 尸1 + / (Y)]，
Отметим, что соотношения (5.37) и (5.38) являются условиями ограниченности решения задачи на краях % = 士〃 (типа условий (5.8)) и служат после определения хп из (5.39) для нахождения величины а при заданном 6, накладывая вместе с тем некоторое ограничение на характер нагружения накладки.
На основании результатов, приведенных в работе L39J, можно утверждать, что справедлива
Теорема 5. Бесконечная алгебраическая система (5.33) квазивполне регулярна при всех 林已(0, 8)ц вполне регулярна при ц < V6.
В качестве конкретных примеров рассмотрим следующие задачи при сцеплении накладки с полуплоскостью по всей ее длине (рис. 2.8): a) t+(n)三 О, Р = 1, Р2 = 1; б)工+(忆)三 0,尸i = — 1, А = 1； В)J(N)三 1, А =Р2 = О； Г)“(N)三 N, Pi= Р2 = 0.
По формулам (5.16) подсчитаны коэффициенты интенсивности касательных напряжений на краях накладки в диапазоне 0 WjxW 10. При решении системы (5.15) методом редукции в урезанной системе бралось 20 уравнений. В табл. 2.19 даны результаты вычислений для 力式林)；гарантируется точность 1%. Здесь следует принять во внимание, что ЛДц) = — Л2(ц) для задач а) и г) и Л Дц)=力2(林)для задач б) и в).
Таблица 2.19. Значения 4式卩)
乩
a
6
в
г
0,5
0,3867
0,8218
0,5949
0,08496
1,0
0,6472
0,9807
0,5622
0,1274
1,5
0,8479
1,121
0,5357
0,1402
2,0
1,014
1,248
0,5136
0,1668
2,5
1,158
1,363
0,4946
0,1766
3,0
1,286
1,471
0,4782
0,1832
3,5
1,403
1,571
0,4637
0,1876
4,0
1,510
1,665
0,4508
0,1906
4,5
1,610
1,754
0,4391
0,1925
5,0
1,703
1,839
0,4286
0,1938
5,5
1,792
1,920
0,4189
0,1945
6,0
1,875
1,998
0,4101
0,1948
6,5
1,955
2,072
0,4019
0,1948
7,0
2,032
2,144
0,3942
0,1946
7,5
2,105
2,213
0,3871
0,1942
8,0
2,176
2,280
0,3805
0,1937
8,5
2,244
2,345
0,3742
0,1930
9,0
2,310.
2,408
0,3683
0,1923
9,5
2,374
2,469
0,3628
0,1915
10,0、
2,436 、
2,528
0,3575
0,1907
Пользуясь принципом наложения решений, рассмотрим следующие комбинированные случаи загружения накладки:
1)尸1 = Р2 = Р, j(n) = — а/,
2)尸1 = Е = Р, t+(n) = — 4
Pl — Pl P, h(n)=仏
Pi = - Р^ = P, t+(N)= a^,
T+U) = — Q, t+(n) = —ах, t+(n) — 7 — а/.T+U) = — Q, t+(n) = —ах, t+(n) — 7 — а/.Pi = 0, В = Р, 6) л = 0, Е=р 7)Е = 0, 2 = 0,
T+U) = — Q, t+(n) = —ах, t+(n) — 7 — а/.
T+U) = — Q, t+(n) = —ах, t+(n) — 7 — а/.
В первом и третьем из указанных случаев соответствующим подбором 尸,a, q при заданном значении 卩 можно добиться одновременной ограниченности решения на краях % = ± 1. В остальных случаях можно таким образом добиться ограниченности решения на крае х = i.
Таблица 2.20
ц.
1) Р/а
2) P/q
3) P/q
4) P/а
5) P/g
6) P/а
7) g/а
0,1968
■ 0,8687
0,5733
0,1299
0,6907
0,1565
0,2266
0,1645
0,5065
0,4115
0,1337
0,4541
0,1475
0,3248
0,1425
0,3719
0,3251
0,1245
0,3469
0,1329
0,3831
0,1262
0,2985
0,2708
0,4145
0,2840
0,1201
0,4228
0,1138
0,2517
0,2331
0,1054
0,2420
0,1094
0,4522
0,1039
0,2187
0,2053
0,09750
0,2118
0,1006
0,4750
'0,09577
0,1940
0,1839
0,09076
0,1888
0,09320
0,4937
0,08902
0,1749
0,1669
0,08496
0,1708
0,08694
0,5091
0,08325
0,1594
0,1529
0,07986
0,1561
0,08152
0,5221
10
0,07828
0,1468
0,1414
0,07544
0,1440
0,07683
0,5334
В табл. 2,20 даны при различных 林 значения отношений 尸/а, P/q и g/а для всех семи указанных случаев нагружения накладки, при которых имеют место ограниченные решения.
§ 6. Другие методы решения задачио взаимодействии накладки с полуплоскостью.Приложение к расчету погрешностей тензометрирования
Исходя из результатов главы I, в этом параграфе заново выведем разрешающее интегральное уравнение относительно кон
тактных касательных напряжений между накладкой и полуплоскостью. Исследуем характер решения этого уравнения и покажем возможность построения асимптотических решений при большой и малой относительной жесткости накладки [40], а также остановимся
на применении полученных результатов в вопросах расчета погрешностей тензометрирования [41].
Пусть тонкая (历《а) упругая пластинка деформируется усилиями, как показано на рис. 2.11. Следуя схеме, изложенной
в § 4 главы I, и отыскивая функцию Эри в форме ряда по степеням Л2, получим в нулевом приближении для относительного удлинения пластйнки в направлении4 оси Ох следующее выражение:
十尸I-）“。⑹+ T⑼成一卜Т。⑹-МУ] -1
(6.1)
Здесь 忆1 — перемещение в направлении оси On, Es — Е± (1 — ——з；)-',а Ei и Vi, как обычно, упругие достоянные пластинки. Заметим, что при выводе (6.1) граничные условия на гранях у = =± 6 удовлетворены точно, а на торцах n = ± 1 — в интегральном смысле.
Из (6.1) найдем деформацию срединной 'плоскости пластинки
葭=察『=金巴一 J爲⑹一Т勁龙・(6.2)
Заметим также, что имеет место условие статики
1
Л-Л= У [т(^)-т0©]^.(6.3)
Деформация относительного удлинения в направлен^ оси Ох граничных точек упругой полуплоскости от приложенной там контактной касательной нагрузки t(n) дается выражением
(6.4)(6.4)
(6.4)
(6.4)
Здесь Е2 и v2 — упругие постоянные полуплоскости.
Учитывая, что на линии контакта n 已 I— 1，1] накладки (пластинки), как в § 2, выполняется условие е； = е^ (—1Vn< < 1), получим относительно функции распределения неизвестных контактных касательных напряжений t(n) следующее интегральное уравнение, фактически совпадающее с (2.9) при 僧)三1：
e也e也应一Л大，T（三）应=几大-1应一Л大，T（三）应=几大-1
e也
e也
应一Л大，T（三）应=几大
-1
应一Л大，T（三）应=几大
-1
Обращая сингулярный интегральный оператор в (6.5), как в § 2, придем к интегральному уравнению ^(") = 7= т。—芻⑶十^ j%?w ]т@)能]
! 工n T(6.6)
?。=^/Т阳能')(z)=』『^^d1! J"⑶龙-4"(岡&1).
-1-1-1
После несложных преобразований (6.6) моадю привести к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром (см. также § .2)
—入T] + 入nT2 —入/(N)—"
—-^ Jsp) P(1 _ 吟(1 —优)In [ - 7吟彳匕p (f 2). d% (6.7) -1
3（N）= T（N）pl —罠2,3（N）= T（N）pl —罠2,j &(E)dE, 7\ =j &(E)dE, 7\ =](① R)](① R)arcsin^ dj.arcsin^ dj.
3（N）= T（N）pl —罠2,
3（N）= T（N）pl —罠2,
j &(E)dE, 7\ =
j &(E)dE, 7\ =
](① R)
](① R)
arcsin^ dj.
arcsin^ dj.
Заметим, что ядро интегрального уравнения (6.7) суммируемо с квадратом по совокупности переменных. Также заметим, что если To(n)=尸з6(н —с) (|c|vi, 8<(х) — дельта-функция Дирака), то
—尸з [ У ]—炉 In !二俨 + р«三)((-с ). — р[―發十 ^arcsine (6.8)
и, следовательно, по крайней мере /(/)三 Л2(— 1,1). Рассмотренный случай является самым неблагоприятным с точки зрения свойств функции /(%); он соответствует действию на накладку в точке х — с сосредоточенной касательной силы Р3.
Из сказанного вытекает, что уравнение (6.7) в классе 乙2(— 1, 1) может иметь лишь счетное число действительных собственных значений. Поэтому в L2(— 1, 1) уравнение (6.7) однозначно разрешимо почти при всех X ^ (0, 8). Таким образом,
Т&)= “ 8(2)三厶(一1,1). (6.9)
Рассмотрим теперь случай, когда t0U) е Lp(— 1, 1), р > 丄 Следуя далее схеме исследования свойств сингулярных интегралов на конечном интервале, предложенной в работе 137J, уста-
новйм, что функция /(%) удовлетворяет при х е [ —1? 1] условию Гельдера с показателем а = (р —1)р~* т. е. /U) е Яа(— 1, 1). Предположим также, что t(n)已厶(一1,1), 1 < q < 2. Тогда двукратный интеграл в уравнении (6.6) как функция n будет удовлетворять при ^ ^ L— 1,1] условию Гельдера с показателем 0 = =(7 —1)7-1. Следовательно, если при данном 九 уравнение (6.6) разрешимо в 厶(一1, 1), то t(n) имеет вид (6.9), причем
s(n)三炉(一1,1),s(n)三炉(一1,1),丫 = min (a, -|——■ 0).丫 = min (a, -|——■ 0).
s(n)三炉(一1,1),
s(n)三炉(一1,1),
丫 = min (a, -|——■ 0).
丫 = min (a, -|——■ 0).
При малых значениях параметра 九 решение уравнения (6.6), очевидно, можно представить в форме
т (/) Р1.— %* = N ®(N)^г-(6.10)
г-0
По принципу неподвижной точки Банаха найдем, что ряд (6.10) будет сходиться в норме L2(— 1, 1), если 九 V 0,96.
Для частного случая /(n)=0, Pt = Pz~Р при малых X получим следующее асимптотическое решение задачи:
т (n)=т (n)=/СТ/СТ[х + 九（От（N）+ 入2（^2（N）+。（入3）],[х + 九（От（N）+ 入2（^2（N）+。（入3）],(6.11)(6.11)
т (n)=
т (n)=
/СТ
/СТ
[х + 九（От（N）+ 入2（^2（N）+。（入3）],
[х + 九（От（N）+ 入2（^2（N）+。（入3）],
(6.11)
(6.11)
吗(2)=；卜1一/)111兰^+22 ,
"2 (') j^ [^^ N - 8^3 — '2"5 - (1 + 7*2 — 2"4 — 6叫 1口 ； 二 ；
При построении со2(^) здесь использована аппроксимация
(1 -吟 in 1±± + 2n 2n (2 一公)，
погрешность которой при всех n®[—1, 1] не превосходит 8%.
Чтобы построить асимптотическое решение задачи при больших значениях параметра X, приведем интегральное уравнение (6.5) к виду
11
j 券能=等 Jd(B-T⑶ + 2P26但-1)_
-1
-2Pi5(E + l)]sgn(E — N)应.(6.12)
Теперь не представляет труда найти вырожденное (проникающее) решение при X
Too(n) = Tq(n) + 2P26(% — 1) — 2P[5(n + 1).(6.13)
Решение типа погранслоя для края х = — 1 (аналогично для края z = 1) можно построить, решив следующее интегральное
уравнение Винера — Хопфа:
if-1if-1(6.14)(6.14)-1-1(—1 & X V 8).(—1 & X V 8).
if
-1
if
-1
(6.14)
(6.14)
-1
-1
(—1 & X V 8).
(—1 & X V 8).
Здесь функция t()(n) плавным образом продолжена в область 1 V 宓 V ОО.
Интегральное уравнение (6.14) по обычной схеме метода Винера —Хопфа может быть приведено к функциональному уравнению
sgn иТ+[и)=【歹+ ①)一T+(w)— 2尸JqT + EL(北)(一8 V 北 V 8),
(6.15)
где 7\(и) и 歹+(北)——трансформанты Фурье функций T-(o^-i —1) и т0(аЛ-1 — 1). Для дальнейшего решения функционального уравнения нужно лишь аппроксимировать па всей вещественной осп функцию 1+ |и| выражением, удобным для последующей процедуры факторизации. '.■
После построения решений типа погранслоя главный член асимптотики решения интегрального уравнения (6.12) при больших 九 может быть представлен в виде [38]
T(N)= T+(N)+ Т_(N)— To(N).(6.16)
Заметим, что функции t+(n) и t_(n) определяются с точностью до некоторой произвольной постоянной, которая затем может быть найдена из условия статики (6.3).
Рассмотрим еще один способ построения приближенного решения задачи при достаточно малых значениях параметра 入.Продифференцируем соотношение (6.2) один раз по %. Будем иметь
跋⑵=^; 1T (?) 一 т。(')】•跋⑵=^; 1T (?) 一 т。(')】•(6.17)(6.17)
跋⑵=^; 1T (?) 一 т。(')】•
跋⑵=^; 1T (?) 一 т。(')】•
(6.17)
(6.17)
С учетом (6.17) не представляет труда привести уравнение (6.6) к интегро-дифференциальному уравнению относительно /(%)= =2EshuSx). А именно
(|^|<1).(6.18)(|^|<1).(6.18)
(|^|<1).(6.18)
(|^|<1).(6.18)
『(—1)=р, /'(1)=В・『(—1)=р, /'(1)=В・(6.19)(6.19)Добавим сюда еще граничные условия, вытекающие из (6.2) и (6.3):
『(—1)=р, /'(1)=В・
『(—1)=р, /'(1)=В・
(6.19)
(6.19)
Интегро-дифференциальное уравнение (6.18)——(6.19) может быть в свою очередь сведено к интегральному уравнению
174 гл. II. ПЛОСКИЕ задачи для упругих тел с накладками
Фредгольма второго рода с симметричным ядром
/'⑺卡 ^ f /’⑶ 1n ―R二？"© 龙=g(2),
t久(6.20)
g@)= J沾声⑹J或
co, всеми вытекающими отсюда возможностями.
Оставляя в стороне этот путь, применим для нахождения приближенного решения задачи метод ортонормпрованных полиномов [42] к интегро-дифференциальному уравнению (6.18) — (6.19). Ограничившись рассмотрением случая 〃=尸2==0, построим систему ортопормированпых полиномов
口q/)+Hq吗/不• (6.2D
удовлетворяющих также условиям “(±1) = 0.
Несколько первых таких полиномов имеют вид
для четного случая задачи
q4 ⑺=(迺-2炉)М71/2, Qs ⑺=(/ 一 2逛+讲)m尸/2；
<?8 ⑺=卜 + 色8 - £) У + 偉8 - 2a8)Ж4 + @8 -2也)耳 m”2，
%256 ,4 9256 ,, 3
М4 = 105 +лХ32> Мб = П^ + пХ顽，
% =舞+瀛霜儀+盖(符+ ^8十明'
as =-(畿 + #嗚)〃「，仇=-(霜 + ^設)M； (622)
47■-国■亠 21 w _ 80 , 16 , , 85 / 1 , \ "з— 5 十以;V5 - 13 + T as + Л^ 128+ as)«
"7=碉十而出十 ||35a7+07)+||8九農+•^+з5a7+也)],
/ (/) = с + £ 4@ ⑶，4 =)『3%/ (/) = с + £ 4@ ⑶，4 =)『3%1? °—% 3) Qk (x)dx, (6.24)1? °—% 3) Qk (x)dx, (6.24)T (岁)u1T (岁)u11/Г-71/Г-77久 j 空(6・25)А=3 т_7久 j 空(6・25)А=3 т_
/ (/) = с + £ 4@ ⑶，4 =)
『3%
/ (/) = с + £ 4@ ⑶，4 =)
『3%
1? °—% 3) Qk (x)dx, (6.24)
1? °—% 3) Qk (x)dx, (6.24)
T (岁)u1
T (岁)u1
1
/Г-7
1
/Г-7
7久 j 空(6・25)А=3 т_
7久 j 空(6・25)А=3 т_
崎 27=一［瑞+ ^出+|^Н入(■|" + a5)p/71 ,
(6.23)
Теперь приближенное решение задачи дается формулами
Вычисление сингулярных интегралов в (6.25) не вызывает труда, если принять во внимание, что Q£n) — полиномы, В формуле (6.24) постоянная С определяет жесткое перемещение. Проведенные вычисления для случаев xQ{x) = Р = const и То(/)=а/ показали высокую эффективность метода. * *
Теперь остановимся на вопросе об определении погрешностей тензометрмрования. В связи с этим следует отметить, что большое распространение в технике измерений и экспериментальных исследований получило электротензометрирование при помощи проволочных преобразователей омического сопротивления на бумажной или пленочной основе. Эти тензопреобразователи очень удобны благодаря плоской форме и малым габаритам, относительно просты по конструкции и обладают хорошими измерительными свойствами.
Тензопреобразователи показывают истинную деформацию е6 поверхности тела в месте наклейки, если величина жесткости преобразователя на растяжение пренебрежимо мала по сравнению с величиной жесткости материала детали в исследуемом месте.
В машиностроении встречаются детали, изготовленные из всевозможных заменителей, имеющих меньшую жесткость по сравнению с металлами (пластмассовые, резипокордиые и т. и.).
Если определить деформацию таких деталей при помощи указанных тензопреобразователей, то в ряде случаев необходимо иметь в виду погрешности, возникающие за счет того, что те изо-, преобразователь увеличивает жесткость материала детали в месте наклейки. При этом он будет показывать некоторую искаженную деформацию s V 80.
Таким образом, для учета погрешностей при тензометрирова- шш деталей из материалов относительно малой жесткости с помощью тензопреобразователей необходимо знать коэффициент искажения деформации
Для выяснения возможной величины указанного коэффициента искажения деформации и факторов, влияющих на его величину, были проведены теоретические и экспериментальные исследования, изложенные ниже.
Рассмотрим тот частный случай указанной выше задачи, когда к грани упругой полуплоскости, растягиваемой на бесконечности равномерно распределенными усилиями интенсивности р, жестко прикреплена абсолютно гибкая пластинка (тензопре- образователь) длины 2а с жесткостью на растяжение отнесенной к единице ширины пластинки (рис. 2.12).
Неискаженная деформация 80 границы упругой полупло- :и
So = 4(6.27)
для случаев соответственно плоского деформируемого или плоского напряженного состояний.
Определив среднюю по длине деформацию пластинки 81 (искаженную деформацию), по (6.26) без труда найдем коэффициент искажения к.
Учитывая (6.5) или (2.6), иптегро-дифференциалыюе уравнение для определения тангенциальных контактных напряжений t(n) в разбираемом случае представим в виде
(6.28)
—а
—а
Здесь введен безразмерный параметр
d = aE2/[2Es (1 —若)]или d = aE2/[2Es](6.29)
для случаев соответственно плоского деформируемого или плоского напряженного состояний.
Определив T(n) из (6.28), найдем затем
玩=；J.^^ dz = ； ° («, 0)-U (0, 0)]=髙 j T ⑹ &‘(6.30) 0s 0
u m 0)=击卜⑹跖
Приблп?кепные решения (6.28) могут быть найдены методом коллокацип в виде
т(Z)尸导•/彌П £ 4 信『.(6.31)
В качестве точек коллокации удобно брать корни полинома Чебышева .
乙计2 G
Оказалось возможным при решении (6.28) ограничиться случаем 汽=0. При этом было получено
7(”2(i，/西 РНб%)
Соответствующий коэффициент искажения, определенный по формулам (6.26), (6.27), (6.30), имеет вид
^ = i(1 + 4)-(6・33)
Формулу (6.33) рекомендуется употреблять в диапазоне 0 < V d V 10. При d > 10 коэффициент искажения практически равен
единице.
Для проверки полученных аналитических зависимостей экспериментально был определен коэффициент искажения деформации
Рис. 2*3,Рис. 2*3,тензопреобразователя, наклеенного на разино- вую полосу, а также определены соответствующие упругие постоянные и вычислен по этим данным теоретический коэффициент искажения деформации. *
Рис. 2*3,
Рис. 2*3,
Из партии серийных тензопреобразователей на бумажной основе из константановой проволоки с базой 2a = 20 мм и сопротивлением 140 Ом было выбрано семь штук.
Три тензопреобразователя были наклеены на тарировочпую балку, для четырех была определена жесткость Es при помощи специального приспособления, схематично представленного на рис. 2.13. За свободные бумажные кон-
цы тензопреобразователь с одной стороны подвешивали, а с другой нагружали при помощи приклеенной проволочной подвески ступенями по 0,49 Н до 2,94 Н. При этом при помощи тензопреоб- разователей, наклеенных на тарировочпую балку, фиксировали относительное удлинение тензопреобразователя.
Жесткость подвешенного тензопреобразователя определяли по формуле
ЕзЕзде，де，(6.34)(6.34)
Ез
Ез
де，
де，
(6.34)
(6.34)
12 в. М. Александров, С. М. Мхитарян
где г — ch ——относительное 5гдлинеппе тензопреобразователя; с ——коэффициент тарировочиой балки;无 ——показание прибора.
Осредненное по измерениям четырех тензопреобразователей значение составило Es = 7,8 - 105 Н/м2.
После определения Es все четыре тензопреобразователя были приклеены к резиновой полосе прямоугольного сечения 5,6 X X 33 мм (歹=1,85 см) на середине меньшей грани. Длина полосы составляла 120 мм.
Резиновую в полосу подвешивали на том же приспособлении и нагружали ступенями ио 0,98 Н до 7,85 Н. Очевидно, что в резиновой полосе осуществлялось напряженное состояние, которое приближенно можно считать плоским и линейным. При помощи тарировочноп балки определяли деформацию тензопреобразовате- ля, наклеенного на резиновую полосу, т. е. определяли £「
Усредненные данные по четырем тепзопреобразователям составили па каждые 0,98 Н нагрузки % = 3,1 • 10-*
На тех же резиновых полосках (после тщательного удаления тензопреобразователей при помощи горизонтального микроскопа с микрометрическим впитом было получено при том же нагружении усредненное значение е0 на каждые 0,98 Н нагрузки (£()= -9,3 • 10-4).-
По полученным данным было определено
^=-^- = 5,69-Ю5 Н/м2, & =崇=0,036.
Теоретический коэффициент искажения информации определяли по (6.33):论т = 36; экспериментальный коэффициент искажения деформации — по (6.26): кэ = 30,
а = 10а= 20%.
Полученный результат показывает, что упрочняющее влияние тензопреобразователя прп тензометрии резинового образца искажает истинную деформацию в Аэ раз. При учете же этой погрешности тензоизмерений предлагаемым способом получаем погрешность, равную 20%. Эта погрешность при таком большом коэффициенте искажения практически вполне допустима.
Таким образом, при тензометрировании деталей, изготовленных из низкомодульных материалов (пластмассовые, резинокордные и т. п.), необходимо учитывать возможные погрешности тен- зометрирования за счет упрочняющего влияния тензопреобразователей в зоне их наклейки.
Оценку указанной погрешности можно вести прн помощи коэффициента искажения деформации, величина которого может
быть определена по (6.33). Для практического пользования зтб卤 формулой необходимо знать жесткость тепзопреобразователя Е$ п упругие постоянные материала детали.
Двухслойная накладка на полосе.Приложение к вопросам тензометрирования
Рассмотрим плоские задачи о растяжении упругой бесконечной полосы приложенными на бесконечности усилиями при наличии на одной из ее граней тонкой упругой накладки. Между поверхностями полосы и накладки осуществляется полное сцепление. Покажем, как полученные результаты могут применяться для определения коэффициента искажения деформации при тензомет- рировании низкомодульных материалов проволочными тензопре- образователями омического сопротивления на бумажной или пленочной основе [43].
Пусть к верхней, границе упругой бесконечной полосы конечной толщины 无 приклеена слоем клея толщины h^ упругая накладка (пластинка) толщины %2 и длины 2〃・ Относительно нижней границы полосы будем предполагать, что она 1) лежит без трения на жестком основании или 2) свободна от усилий. Полоса растягивается на бесконечности силами Р = ph.
В дальнейшем будем рассматривать накладку п слой клея, которым опа приклеена, как двухслойную топкую пластинку при условии полного сцепления ее слоев. Будем, кроме того, предполагать, что гибкость этой двухслойной пластинки велика, т. е. велика величина
力=军，&=^Е(1 —v?)T.
Здесь E и v ——упругие характеристики полосы, D ——усредненная цилиндрическая жесткость на изгиб пластинки. В то же время жесткость пластинки на растяжение будем считать соизмерь мой с жесткостью на растяжение полосы. Таким образом, наличие накладки будет существенно влиять на продольные деформации полосы при ее растяжении и почти не будет искажать ее поперечных деформаций.
Последнее обстоятельство позволяет при решении задачи о совместной деформации системы полоса ——накладка, как в § 2, пренебрегать нормальными контактными напряжениями в зоне склейки их поверхностей, что существенно упрощает математике- ску/b схему задачи.
Вначале рассмотрим вспомогательную задачу о растяженпи двухслойной пластинки произвольной самоуравновешенной касательной нагрузкой, приложенной к одной из ее граней (плоское 12*
напряженное состояние). Пусть длина пластинки 2〃； ht и £,—— соответственно толщина и модуль Юнга слоя, к нижней грани которого приложены растягивающие усилия т(%); Л2 и Е2 — толщина и модуль Юнга верхнего слоя. Предположим, что оба слоя пластинки жестко соединены друг с другом. Допустим, что мал параметр £ = 〃а」\ где Я = Ai + h2. "Рогда в Качестве приблюкешюго решения этой задачи можно использовать асимптотическое решение, полученное в конце § 4 гл. I. Именно, нам далее понадобятся формулы (4.25) из гл. I, в которых нужно только заменить Е* на Ei (i= 1, 2).
Перейдем теперь к .решению основных задач, поставленных выше. Будем рассматривать для полосы случай плоского напряженного состояния (при реализации случая плоского деформируемого состояния следует упругие постоянные изменить известным образом).
Используя интегральное преобразование Фурье в сочетании с методом наложения, можно рассмотреть задачу о растяжении упругой полосы равномерно распределенными на бесконечности усилиями интенсивности р, к одной границе которой у = 0 на участке 1/1 & а приложена самоуравновешенная касательная нагрузка 工(n), а на противоположной стороне полосы у =—无 выполняется условие 1 или 2. При этом для продольного перемещения точек границы полосы у = 0 получим выражение
(7.1)(7.1)С ^= lim uL(u)< (〃f0), t(n)=—步(方).С ^= lim uL(u)< (〃f0), t(n)=—步(方).“/) =“/) =(7.2)(7.2)
(7.1)
(7.1)
С ^= lim uL(u)< (〃f0), t(n)=—步(方).
С ^= lim uL(u)< (〃f0), t(n)=—步(方).
“/) =
“/) =
(7.2)
(7.2)
Здесь для случая 1
L(u) = ch2 涼ch 〃 sh 〃 + 以)—* C = 1/2,(7.3)
для случая 2
厶位)=(ch e sh 我一〃)(sh2 北—歩尸，С = 2.(7.4)
Чтобы рассмотреть совместную деформацию системы полоса — накладка, надо воспользоваться условием их контакта 北(N, 0)= =%(⑨ 0), где 我(n, 0) определяется формулой (7.1), а и^х, 0)—— второй формулой (4.25) гл. I. При этом для определения неизвестных контактных касательных напряжений 工(n) придем к
интегральному уравнению
Xy = -Xy = -"「阳成+ //n卜⑶國=券，"101,(7.5)
X
y = -
X
y = -
(7-6)(7-6)N ⑺=\ L (u) sin uy duо
(7-6)
(7-6)
卩=2aE [1 +.3b (1 + b) + 独](后2坛A)」'+ CVL(7.7)
Здесь использованы четность' функции 貿n) и Обозначения, введенные в § 4 гл. I. Заметим, что для случая однослойной пластины 口九=оо уравнение (7.5) может быть приведено к интегро-дифференциальному уравнению (6.28).
Введем жесткость на растяжение верхней пластинки и относительную жесткость на растяжение полосы соответственно по формулам
民2)=協无2§, Es =石无6爪，(7.8)
где 6 — ширина. Тогда
"=2旦[I + 3b (1+6)+讲S](民油尸 + cv1.(7.9)
Ограничимся далее изучением интегрального уравнения (7.5) для больших .значений параметра Л. Если, кроме того, жесткость па растяжение верхней пластинки велика по сравнению с относительной жесткостью на растяжение полосы, то параметр ^можно считать малым.
При больших 入 ядро (7.6) можно представить в виде
N (У) = У~1 + F (У),(7.Ю)
夕(力=工。炉I卜=*)，(7.U)
где степенной ряд (7.11) абсолютно сходится при Х> 1.
Применим теперь к сингулярному интегральному уравнению (7.5) регуляризацию решением его характеристического уравнения [22], учитывая при этом, что 1(± 1)=0. В итоге получим интегральное уравнение второго рода
со (/) = 1 + Мо [со] + 2 厂2%Zt [со](7.12)
относительно неизвестной функции (о(%), которая введена по
формуле
£ 仅)=^ р pl — %2 з 3).(7.13)
При этом использовано разложение функции 歹(£) в ряд (7.11) и введены обозначения
， А (7-14)
а[3] = ^—— г口 3阳(T一断1成，
”1,2,3,…).
Интегральное уравнение (7.12) будем решать методом последовательных приближений. Ищем решение в виде
3(Z)= $ 2 g,R (ж)Д-2А.(7.15)
г=о 丸=о
Подставим выражение (7.15) в- интегральное уравнение (7.12) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметров 卩 и 九；получим для определения функций оъ,式N)бесконечную систему интегрдльных уравнений
3o0(z)m1, aoh (ж) = 2 ajLj [<oo,ft_j],
3to (z) = d [сОг_11О](俏 г = 1, 2, 3, ...),(7.16)
k
仅)=^o【3"i田]+ W a/j
которая решается последовательно.
Ограничиваясь в выражении (7.15) членами до порядка О(ц3,九~б), из формул (7.16) получим
сооо ⑶ м 1, з” (м)=— 〃丿2, со。？⑷—(2а； — 3&)/8 — a2R (/)/2, (olo 3)=-卜⑺ + S (%)]/2口, 3以 (胃)=一询[3式31(,⑺一2]/6冗，
312 (胃)=(2a； - зa2) Зm 3)/8 + 价[6五(N)V 信)+ 9s ⑺ +
+ 167?(%)]/48几 一(20^1 - 11a2)/б0я,
w20 (胃)=-[28310 ⑷ + 1 + (1 - * N (2)/2 + 12sl ⑺]/3*
01 (胃)=-«1 [зЯ2(о2о 仅)-2口(01。 (/) -1,6272]/6*
3，22 (才)=(a:一3&)①20 (n)/4 -(20a； - 17〃2)<olo 仅)/60口 +
+ 2仰(1 一炉)V 仅)/15Л2 丁 出(1 一炉)2 N (^)/40h2 一
-(0,4803〃； + 0,0803〃2)/3冗2 + 0,3212a2H (^)/л2.(74 7)
Здесь введены обозначения
卩⑺=2…中,S(卡宀£理圖—, n位)=4(1d占一口2), Sm/强/, 氏(z) = d+3,
(7.18) причем функции U2k(%) определяются из рекуррентного соотношения (1.15) работы [44], ряд Sftxld — ^2) хорошо аппроксимирует Формула (1.16) работы [44], ряд в 5(%) затабулирован в работе (45].
Постоянные а】и а? в формулах (7.17) найдены численным ин- тегрироваипем и соответственно равны
а】=—0,2735, & = 0,3329 для задачи 1,
& = 2,9014,& = —1,1720 для задачи 2.
По формулам (7.13) и (7.15) находим
方⑺="^" p /f -必[1 + 入 2301 (①)十 九 4g2 (")+
+ N【310(2)+ X-2MU (ж) + V%12 3)] + 卩2 [320 (с) +
+ L%1 ⑺ +『叫2(£)]}+0(№，L).(7.19)
По формулам (4.23)——(4.25) гл. I теперь можем определить напряжения л деформации, возникающие в накладке и клее.
Остановимся на вопросе применения полученных результатов к вычислению деформаций деталей при электротензометрирова- нин проволочными преобразователями омического сопротивления на бумажной или пленочной основе. В настоящее время эти преобразователи получили широкое распространение в технике измерений и экспериментальных исследований. Наклеенный на деталь, такой преобразователь показывает деформацию, близкую к истинной деформации поверхности детали в месте наклейки только в том случае, если величина жесткости на растяжение преобразователя пренебрежимо малЕГпо сравнению с величиной жесткости на растяжение детали в исследуемом месте, т. е. если в соответствии с (7.8) ES^>E^. Но на практике часто приходится измерять деформацию деталей, изготовленных из материалов с жесткостью, пе только соизмеримой с жесткостью тензопреобра- зователя, но и значительно меньшей (например, детали, изготов- лепнЪге из пластических материалов, резинокордные и т. п.). В этих случаях за счет упрочнения материала в месте наклейки тензопреобразов.атель показывает некоторую искаженную деформацию. Поэтому для определения истинной деформации е0
184 ГЛ. II. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГИХ ТЕЛ С НАКЛАДКАМИ необходимо знать коэффициент искажения
к = 8/£-(7.20)
Задача о вычислении возможной величины указанного коэффициента искажения, деформации, а также факторов, влияющих на эту величину, была уже частично изучена в § 6. Дальнейшие теоретические исследования изложены ниже.
Пусть на одну из кромок полосы толщины 6 и ширины h приклеен тензопреобразователь с базой 2〃 и шириной, равной толщине полосы; толщина клея равна 九「Будем считать, что противоположная кромка полосы находится в условиях 1) или 2), указанных в начале параграфа, и полоса растягивается на бесконечности усилиями интенсивпости р.
Рассматривая тензопреобразователь и слой клея, которым он приклеен к полосе, как гибкую двухслойную пленку, находим, что удлинение тензопреобразователя определяется по первой формуле (4.25), причем функция 力(力)удовлетворяет интегральному уравнению (7.5), решение которого дается выражением (7.19). Определив теперь среднюю по длине деформацию верхнего слоя пленки, получим искаженную деформацию ео которую показывает тензопреобразователь:
ei = 7 J ~дГ~ dx = V； J t © ^В；(7.21)
Оо
здесь Л2 имеет вид (4.24) гл. I. Неискаженная деформация полосы определяется по формуле
£。=卩/及(7.22)
Подставляя (7.22) и (7.21) в формулу (7.20), получим [43] для коэффициента искажения деформации к следующие выражения:
противоположная тензопреобразователю граница полосы лежит без трепия на педеформируемом основании
"=8 (口林2)T [1 + 0,1368V2 - 0,2309厂4- 内(0,4244-{-0,1161V2-
-0,1162V4)—冠(0,2198 + 0,0355厂2 - 0,0826厂％т +
+0(L，间；(7.23)
противоположная тензопреобразователю граница полосы свободна от усилий
"=8 (п卩2)т [1 - 1,4507V2 + 2,984V4 一
-回(0,4244 - 1,231 耿т + 3,005V4)-卩；(0,2198 -
-0,3765V2 + 0,5492V4)?1 +。(L, /)• (7.24) Здесь введены обозначения
回=£/1 + 36 (1 + 6) + ^s]IE^\,卩2 = E# ~bs{3 + 2b)]/以2)A, (7-25)
причем Es и Е'? определяются по формулам (7.8), а величины Ь, s и А даются формулами (4.24) гл. I.
В том случае, когда влиянием клея можно пренебречь, необходимо устремить в выражениях (7.25).无i к нулю. Тогда
卩1 =卩2 =豆/£，)•(7.26)
Изложим некоторые основные результаты анализа теоретических зависимостей (7.23) и (7.24) при наличии клея. Из формул
Рис. 2.14.Рис. 2.14.(7.23)—(7.25) видно, что коэффициент искажения деформации к может быть положительным, равным нулю или отрицательным. Это зависит от того, какое значение принимает выражение
Рис. 2.14.
Рис. 2.14.
1 丁加(3 + 26). (727)
Если выражение (7.27) стремится к нулю, коэффициент искажения деформации неограниченно возрастает.
На рис. 2.14 изображена кривая, вдоль которой коэффициент Е обращается в бесконечность, а также области положительной и отрицательной деформаций тензопреобразователя в зависи-
мости от заданных значений параметров 6 н s. Для. реальных случаев оказывается, что 1 V 乃 V 8.
Упругая полоса, усиленная по граням накладками и ослабленная поперечной трещиной
Исследуем контактную задачу о передаче нагрузки от периодической системы стрингеров к Полосе, когда последняя ослаблена периодически повторяющимися с тем 撩е периодов центральными трещинами. ”
Пусть упругая полоса ширины 2b ослаблена периодической системой с периодом 2Z симметрично расположенных центральных трещин длины 2c(OWcVb). Оба края полосы усилены периодически повторяющимися с тем же периодом, симметрично расположенными упругими стрингерами малой толщины h и длины 2〃(OWaVZ). Пусть, далее, стрингеры на своих концах загружены растягивающими силами Р, а на берегах трещины действует только нормальная нагрузка интенсивности f0(?/) (рис. 2.15, а).
Как и в § 2, 4, в предположении, что стрингеры находятся в одноосном напряженном состоянии, требуется определить законы распределения тангенциальных контактных напряжений под стрингерами, а также коэффициенты интенсивности нормаль-
186 гл. II. ПЛОСКИЕ задачи для упругих тел с накладками
ных напряжений на концах трещин и в конечном итог? выявить эффект взаимодействия стрингеров и трещин.
С целью формулировки поставленной задачи в виде определенного уравнения построим сначала функцию влияния для соответствующей плоской задачи. Последнее равнозначно построению решения для ослабленной указанным способом полосы в предположении, что стрингеры отсутствуют, а на ее краях непосредственно приложены растягивающие сосредоточенные силы Р・
Рис. 2.15.Рис. 2.15.
Рис. 2.15.
Рис. 2.15.
Ввиду периодичности и симметричности задачи рассмотрим только четвертую часть основного периода (рис. 2.15,6). Соответствующие граничные условия для нее будут иметь вид
(瑞 0) = тху(0, у) = у) = 0,
(8.1) 口2(а, у) = %(怎 0) = 0(0 W n W 厶 0 W у V 6);
%(%，b) =Р6(^ —Хо),
(8.2)
“(怎 b) = 0(0 < х0 < Z, OWnWQ;
仇(0, У)=/о(У),
(8.3) 口2(0, у) = о (О W у V С, с W у 0 6),
где 8(х) — известная дельта-функция Дирака, а и2(х, у) и р2(^, у) — горизонтальные и вертикальные перемещения точек полосы.
Решение задачи представим при помощи функции напряжения Эри 戶(①,у), связанной с напряжениями и перемещениями известными формулами”
(8.4)
(〃,Uq, Vq = const).
Здесь & =后2，v2 =「2 при обобщенном плоском напряженном состоянии и £* =不 2了, г* = 丁d? при плоской деформации полосы, где Е2 — ее модуль упругости, a v2 — коэффициент Пуассона.
Функцию 尸(х, у) представим в виде разложения
р(7. у) = £ COS 仇同(4 ch (М) +BkKh у sh (厶创)+ 儿=1
,V / JchW(/ —砌| 7 ch (Ni) sh(gfe (Z -г))1
+ "/s(%y)[ 阿喃 +十^" sh((V)产 k —
-寸炉；Xfe =Л砧，卩耳=Л论/6 (8.5)
с неизвестными коэффициентами u0, Ль Bk и Ek (к = 1, 2,...). Приняв ^о = ^о = 0 и используя (8.4) и (8.5), нетрудно убедиться, что условия симметрии (8.1) удорлетворяЮтся тождественно.
Далее, используя разложение
оо '■
6 (胃-勺) = 7 e sin (航% sin (入友胃)(0 v 瑞/ V I)
и известные разложения функций ch (ц^), sh (ц^), /ch(pu/), х sh (цкх) в ряды Фурье [46] по coskkx в интервале (0, 2), при удовлетворении граничных условий (8.2) придем к соотношениям
4 =4 =2Psi口（九左彳。）2Psi口（九左彳。）sh (九的)4 sh (V) + 4b ch (М) V (一 分罹*%
4 =
4 =
2Psi口（九左彳。）
2Psi口（九左彳。）
^(М両 刍成十喲
亠2Psin (从%) ch (大的竺0也§ (一1产成%
L+ Д 储十唠)
А ⑺工(sh 2比 + 2^)/2,
а из (8.4) при помощи (8.5) находим
〃2(0, У)=备士战a COS(卩团十需(O&y&b). (8.7)
L2 a=i%
Положив
2л
+ £ кЕк Gos (砌=
目=1
卜⑴(0<f<p), [о(В We),
(8.8)
будем иметь
〃о = —
yj ^ (0 dt, Ек = 0
7Т f gz (0 sin (屏)dt, 0
(8.9)
где g&)——неизвестная функция,卩=лс/Ь, а % = ny/b.
Обращаясь теперь ко второму из граничных условий (8.3), при помощи (8.7) и (8.8) легко видеть, что оно удовлетворяется тождественно. Удовлетворяя же первому из граничных условий (8.3), на основе (8.6) и (8.9) после несложных, но довольно громоздких выкладок для определения неизвестной функции (力 получим следующее сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта:
^ J 卜tg 宁 + ctgl±l + 修2 伉 ю] g'⑴ dt=PKl(%，3十2疗僅)
8(0<^<₽);(8.10
k22 (力 S t + 4 e Л/ft cos 侬)sin (例)-
一半 W 累:;:[(I - M cth (»m)) ch (礙)+ Y忌 sh (Y忘)]，
^*1 (%,自)=醬 £ sin 岑* X
X [(7лn th 仇П)- 2) ch (Y出-Y疋 sh (礙)],(8.11)
Mh = s；!；：?, 一 1>%⑺=t ch g力)一n cth (YМ)sh (Y飘).
/*(Е) = %/о 停)，YA = m/Z, qh = kl/b.
Отметим, что первый интеграл в (8.10) следует понимать в смысле главного значения цо Коши.
Очевидно, решение уравнения (8.10) должно удовлетворять условиям
g() 士—g，(T), /(0) = 0.
Не останавливаясь здесь на решении уравнения (8.10) (оно будет дано ниже), отметим лишь, что из физического смысла функции g‘(力 и из уравнения (8.10) следует, что она должна иметь особенность порядка 1/2 в точке 力=0, т. е. па конце трещины. Но так как
争网(仇子)=*j卜tg ^-^ + Ctg T$ +k22(力s] g'(力近一
-^k北(%, &)(6V&W n)，(8.12)
где к22(力 3 m ^21 (%,自) даются формулами (8.11), то, как известно [23], и Ох(0, 6三/冗)имеет особенность порядка 1/2 при
三 f В + 0, что согласуется с известными асимптотическими формулами в окрестности конца трещины [47].
Имея функцию g'(〃 из (8.9) и (8.5) можем определить 网， Е^ Ah и Bh, а по формулам (8.4) — поле напряжений и перемещений, В частности, для перемещения точек края полосы будем иметь формулу
sin (九月e0) sin (九在支)
к
£* w2(^ 6)="^~1п
ё 。即ch （n的e g嚥h （卩丸支）
-时（"口）Й?sЧМ"
-& q儿办⑺5山0m)_皀яsin tsh2(MJ 1 昌 厶切》110vI)b g b"/b + cost —
匕 ch 岸 + cost О
(8.13)
必=1 - ch2 (Y向/А (7向.
При получении (8.10) и (8.13) были использованы разложения [14]
ОО
入=1
8,
y (.一 1y sin 也片)—_' sh (aw)
U ~庐 + J~_ 2 sh (an)
(0 V 花 V 2л),
(0<^< л),
£ p%in (кх)=
々=1
р sin 力
1 — 2p cos 胃 + 六
(|р|<1)-
Возвращаясь теперь к решению основной контактной задачи (рис. 2.15, а), еще раз отметим, что, как и в § 1, вследствие малости толщины h жесткость стрингера па изгиб пренебрежимо мала, вследствие чего его нормальным давлением на полосу можно пренебречь.
Р — ) т_ (б) dsР — ) т_ (б) dsОбозначим через т-(^) подлежащее определению тангенциальное контактное напряжение, возникающее под стрингерами. Тогда из уравнения равновесия конечного элемента стрингера и на основании закона Гука будем иметь
Р — ) т_ (б) ds
Р — ) т_ (б) ds
(0&У a). (8.14)
Здесь Еа ——модуль упругости материалов стрингера, и^) — горизонтальное перемещение его точек.
С другой стороны, на основании принципа наложения из (8.13) получим
/ 一= ^f f [ctg 多《 -胃)+ ctg 多《 + /)+ ^11 (力呼 x
k:1亿/) = - 4 京 网sin (入切cos (入⑺, 力=1k:1亿/) = - 4 京 网sin (入切cos (入⑺, 力=1巌仆户A等工』产巌仆户A等工』产m7 shg)1 ^лm7 shg)1 ^л曲d 21目=i户cos (九i)源（"2市Л2sh (1r卜 infA(Yfe")sh (%л)庐[chl)+ COS t 1曲d 21目=i户cos (九i)源（"2市Л2sh (1r卜 infA(Yfe")sh (%л)庐[chl)+ COS t 1л ch （从左芯） sh出产）л ch （从左芯） sh出产）++(8.16)(8.16)
k:1亿/) = - 4 京 网sin (入切cos (入⑺, 力=1
k:1亿/) = - 4 京 网sin (入切cos (入⑺, 力=1
巌仆户A等工』产
巌仆户A等工』产
m7 shg)
1 ^л
m7 shg)
1 ^л
曲d 2
1目=i
户cos (九i)
源（"
2市
Л2
sh (
1r卜 inf
A(Yfe")
sh (%л)
庐
[chl
)+ COS t 1
曲d 2
1目=i
户cos (九i)
源（"
2市
Л2
sh (
1r卜 inf
A(Yfe")
sh (%л)
庐
[chl
)+ COS t 1
л ch （从左芯） sh出产）
л ch （从左芯） sh出产）
+
+
(8.16)
(8.16)
Подставляя (8.14) и (8.15) в условие контакта
% % (0 & / 〃)，
после некоторых элементарных выкладок относительно контактных напряжений получим следующее сингулярное интегро-дифференциальное уравнение с ядром Гильберта:
а
7 J [ctg+ ctg -Ц^-' + ^11 («, у)屮'«)成 +
о L」
+ J&2«, у)屮⑴成=^屮仅)(0&yva);(8.17)
о
Kll(t> у) =/2(力 y) =y)，
/JI(JU/
а
屮仅)=P—J\ ⑴成，а = nail, т«) = ^т一代力｝(8.18)
у
if ⑴=g‘ «)/6, .A = Е*1/(ЬЕ^)
при граничном условиипри граничном условии屮(а) =Р・屮(а) =Р・
при граничном условии
при граничном условии
屮(а) =Р・
屮(а) =Р・
Следует еще отметить, что истинное распределение тангенциальных контактных напряжений теперь дается формулой
Уравнение (8.17) с уравнением (8.10), которое в обозначениях (8.18) имеет вид
4 J|ctg 宁 + ctg产 + K22(t, Ы屮(0 dt +
а
+ J&1«，Е)屮'⑴夜=^ 产⑹ (O&EVB), (8.19) О
к”, Е)=—M^(g,引,
а 区21 и К22 даются формулами (8.11)т образуют систему двух сингулярных интегральных уравнений для определения нужных функций 屮'(力)и “(％).
Следует отметить, что при 0 = 0 и Ь->8 уравнение (8.17) переходит в уравнение (4.3) при 丫(三)曰 1.
Вследствие симметричности задачи, решение системы сингулярных уравнений (8.17) и (8.19) представим формулами
V Qn+Jtg^ctg^)
и ⑴=工 хп —-丄-,(8.20)
■n=o ' cos ~2 ~l/2(cos t ——cos a)
8 Qn+Jtg^ctg 专)
t у» —($2D
” 自 cos-Ly2(cosZ —cos P)
{Х^, У“}農о — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
Подставляя (8.20) и (8.21) в (8.17) и (8.19) и имея в виду следующее функциональное соотношение между многочленами Чебышева первого и второго рода:
aft a \
Г Г . —s —*J + s]7泌+1 tg^ctg^"
3r J [ctg — + Ctg —j\山=
0cos 2 "j/2 (cos f — cos a)
(k = 0, 1, 2……а<л),(k = 0, 1, 2……а<л),/ s a
(k = 0, 1, 2……а<л),
(k = 0, 1, 2……а<л),
：~a 2 ssin 2~cos ~2
непосредственно вытекающее из (4.29), по известной процедуре (см. § 4) для определения неизвестных коэффициентов {^n^Yn} ?1^0
получим следующую систему бесконечных систем алгебраических уравнений:
линейных
Xm + ^^ A.m nXri -[- £ Bm nYn = 〃m
n—0
气=0
(8.22)
I'm + 2 Ст>пХп ~l~ £ ^т.п^п = ^m (^ = 0, 1, 2,...)；
71=0
4⑴ л/п,п
72=0
4— /⑴丄/⑵
лт,п лт,п г ^т,пч
8 АГ
^2 (2^ + 1) *Jf (a) J * (Р),
4⑵ лт,п
tgy p
л^ (2『z + £) J
sin e sin [(2?n + 1)賓]sin [(2т?十 1) x]
2 a 2
1 + tg 彳 cos x
d芻
8щ,п = В^п +，8 爲? + 8鼠,
В^п =В^п =4cos 玄Г(2n 十 1) cos ~24cos 玄Г(2n 十 1) cos ~2(_lf+n tga(_lf+n tga2m+l Г □ ]2冗+1Ь4]2m+l Г □ ]2冗+1Ь4]
В^п =
В^п =
4cos 玄
Г
(2n 十 1) cos ~2
4cos 玄
Г
(2n 十 1) cos ~2
(_lf+n tga
(_lf+n tga
2m+l Г □ ]2冗+1
Ь4]
2m+l Г □ ]2冗+1
Ь4]
矶=一号（2，也+ 1） cos f J帀向丽鹿⑺容（P，0"⑴）+
+宀E"⑹
Um (a,力 sh&力))
g/i冗
Wm (a, ch (g")) -
sh "n)
3总=-
2/2, У sh (%у) и27n (tg "I" c'g "^ ) %
я^2 tg -^ о cos-|- }/2 (cos t — cos a)"-1^2
X
8 xj 0
sin 力 72n+l 卜g‘‘В 芽)
(ch (”у) + cos £)2 cos у }/2(cos t — cos a)
仅7ИCOS 彳(一1) [tg 丁]
4b
л3/ tg у cosy 丸=i A(‘心)
,方 sh (限))+
必^ =
8&
加(2也+ 1)
+ (2 — 丫丸冗 th (у^л)) Um (P，ch (у/))],
(一严|g北2E,
0寫="e"』" 2 M^⑹爲)⑹，
叫=——J 2 誥五 Tn (6,臥(t))[ykUm (p, i sh (y疝))十
Я2/2 tg у 互=1 А "丸)
+ (1 -吋丸 cth (Y丸Л))Um (自 ch (阿)],
Здесь введены следующие обозначения:Л/2Здесь введены следующие обозначения:Л/2J$)(a) = J cos {(2р 4-1) z} sin ^2q ;J$)(a) = J cos {(2р 4-1) z} sin ^2q ;оа7р (а, / (0) = J / (0ооа7р (а, / (0) = J / (0оа/(а,/«)) = 〃《) Оа/(а,/«)) = 〃《) Оarctg 卜g у cos ']} dx,arctg 卜g у cos ']} dx,Лр+1(^ТС^Т)cos 区 ”2 (cos 力一cos а)“2р (^у ctg у) ”2 (соГ— cos а)Лр+1(^ТС^Т)cos 区 ”2 (cos 力一cos а)“2р (^у ctg у) ”2 (соГ— cos а)COS-g-COS-g-
Здесь введены следующие обозначения:
Л/2
Здесь введены следующие обозначения:
Л/2
J$)(a) = J cos {(2р 4-1) z} sin ^2q ;
J$)(a) = J cos {(2р 4-1) z} sin ^2q ;
о
а
7р (а, / (0) = J / (0о
о
а
7р (а, / (0) = J / (0о
а
/(а,/«)) = 〃《) О
а
/(а,/«)) = 〃《) О
arctg 卜g у cos ']} dx,
arctg 卜g у cos ']} dx,
Лр+1(^ТС^Т)
cos 区 ”2 (cos 力一cos а)
“2р (^у ctg у) ”2 (соГ— cos а)
Лр+1(^ТС^Т)
cos 区 ”2 (cos 力一cos а)
“2р (^у ctg у) ”2 (соГ— cos а)
COS-g-
COS-g-
Следует отметить, что ядра бесконечных систем (8.22) зависят лишь от отношений Ь/厶 c/d, a/Z.
Легко заметить, что регулярные части ядер интегральных уравнений(8.17) и (8.19) и их частные производные, как нетрудно убедиться,——квадратично интегрируемые функции. Тогда можно доказать (см. § 4), что при любом значении 九(0 ^ % < °°) система бесконечных систем линейных уравнений (8.22) квази- вполне регулярна. При этом сумма модулей ядер бесконечных систем (8.22) при т~^ ^> стремится к нулю по крайней мере как 由一1/2°\ где е — малое положительное число.
Определив из (8.22) коэффициенты {Хп, Уп}п-о» по формулам (8.20) и (8.21) определим функции 屮‘⑴ и 卄(力.
3 В. М. Александров, С. М. Мхитарян
Напряжение а(0, у) на продолжении линий трещины определяется формулой (8.12). Опираясь на результаты [231 о поведении интеграла типа Коши вблизи концов линий интегрирования, для определения коэффициента интенсивности нормальных напряжений на конце трещины будем иметь формулу
К = lim v'2n (у ~с)ах (0, у)=.心一“ £ У» (8.23)
&f ccos 乞"b sin § n=o
Рассмотрим теперь следующую задачу. Упругая полоса ширины 2b ослаблена центральной трещиной длины 2с, перпендикулярной к краям полосы. Одновременно полоса по своим краям усилена упругими стрингерами длины 2а, симметрично расположенными относительно трещины. На обоих концах стрингеров приложены растягивающие силы Р, а на берегах трещины действует нормальное давление ах(0, у) =/о(^) (1^1 < с). Кроме того, предполагается, что полоса на бесконечности растягивается однородным полем напряжений А.
Заметим, что эта задача при отсутствии стрингера рассматривалась во многих работах, из которых укажем [481.
Отметим, что решение этой задачи можно получить из решения рассмотренной выше задачи при .помощи предельного перехода Z о© в интегральных уравнениях (8.17) и (8.19), добавляя при этом, конечно, соответствующие члены, зависящие от Д. Но проще разбираемую задачу решить заново, представляя функцию напряжения Эри в виде.
F (/, y) = J [4 (九)ch (相)4- Б 仇)九y sh (九y)] cos (入/) d九+
+ 2 E&e "胪(1 —屮同 cos (|зд) + 君 H 现=nk/b.
Тогда совершенно аналогичным образом, как это сделано выше, решение этой задачи можно привести к решению следующей системы сингулярных интегральных уравнений:
j^Jj占十圭+ «11(%“)6«)成 +
О
+ j 及12 (%, z)屮⑴或=^•仇*<р (?) — a%](O&zV% (8.24)
О
^"j [”g "Т^ + "g 与” + *22 (% У)屮⑴或 +
О
+ J к2х (г, у) ф, («) dt = g* (^)(0 < ^ < р),;
О
К1г (^, %) = 2а J N (入л) sin (入a%) cos (九а/) d九， о
Ki2也/)=a j九m (九冗)£"仇力二:黑伍用sh(及) cos (九a浦 以一 о
仪2汇 sh (ax) sin t
[ch (cu) + COS 订2 *
亿 У) = g f 項一近处3+ ®shM ch 仇n) sin(%at)丸 0
一Лcth （入值）sh （九£）九d九,
g* 伍)= ^[~p° + fo 伊)}屮(“)=P - J T (s) ds,а =早，т (s) = ат_ (as), N (%л)=。：(黑)—1,m (ал) = 2Хm/a (九冗)，九* = е*a/(无瓦).
Остальные обозначения соответствуют обозначениям первой задачи. Решение системы (8.24) представим в виде разложения
中'⑴=2齊：11%屮") = 2 Z，)n=0 了 1 一 产=0中'⑴=2齊：11%屮") = 2 Z，)n=0 了 1 一 产=0?2n+l (tgictg|)
中'⑴=2齊：11%屮") = 2 Z，)
n=0 了 1 一 产=0
中'⑴=2齊：11%屮") = 2 Z，)
n=0 了 1 一 产=0
cos-у "j/ 2 (cos t — cos P)
(8.25)
Подставляя (8.25) в (8.24), для определения неизвестных коэффициентов {Zn\ Z『"二о получим квазивполне регулярную систему бесконечных систем линейных уравнений, имеющую совершенно аналогичную с (8.22) структуру.
Численные результаты получены для первой задачи на ЭВМ «Наири-2» при следующих значениях параметров задачи: Z = Ь, X = 1, f0(y) = —g0 == const. Различным значениям 0(0; л/4; л/2; Зл/4) соответствуют трещины разных длин, а значениям а(0; л/4; 冗/2; Зл/4) — стрингеры различных длин. 13*
Для таких значений параметров были вычислены контактные напряжения под стрингерами, а также коэффициенты интенсивности разрывающего напряжения. При этом бесконечные системы (8.22) решены методом редукции (16 уравнений), а соответствующие коэффициенты бесконечных систем вычислены с точностью 0,0001. Некоторые результаты этих вычислений приведены
в виде графиков (рис. 2.16) и табл. 2.21 и 2.22. В табл. 2.21 приведены значения отношедия коэффициентов интенсивности напряжений К/К8, где К9 ——коэффициент интенсивности разрывающих напряжений в конце трещины при наличии стрингеров, когда растягивающие силы Р приложены к их концам, а К——тот же самый коэффициент интенсивности напряжений, но при отсутствии стрингеров, когда силы Р в соответствующих точках
Таблица 2.21
В=Зл/4
р=#о, q@=o
F=0, q#0
а
л/4
М2
Зл/4
л/4
л/2
Зл/4
К
石
16,1980
4,9837
1,3203
1,10010
1,0182
1,1713
непосредственно приложены к полосе. Оба они определяются формулой (8.23), где коэффициенты {Уп}^=о соответственно указанным случаям определяются при помощи бесконечной системы (8.22).
В табл. 2.22 приведены значения осевых напряжений 疝0) в стрингерах.
Сопоставление графиков показывает, что:
при 0 = 0 (трещина отсутствует) коэффициент интенсивности тангенциальных напряжений при возрастании а увеличивается;
при 0*0, Р = 0 с изменением а контактные напряжения резко изменяются, становясь даже знакопеременными, В обоснование этого утверждения можно привести следующее соображение. Под внутренним давлением qQ берега трещины расходятся, вследствие чего ее конец с опускается. Последнее в свою очередь приводит к тому, что горизонтальные перемещения точек края полосы в полупериоде (0, /) становятся знакопеременными, чем и обусловлена знакопеременность контактных напряжений;
Таблица 2.22
В1
0
л/4
Зл/4
а
1 л/4
1 л/2
Зл/4
л/4
л/4
л/2
Зл/4
夕%0）
評（0）
0,8847
0,7739
0,6446
0,8852
0,8851
-0,1079
0,7814
-0,0840
0,6568
—0,0516
если д()= 0, Г*。, то при малых 0 трещина фактически не влияет на распределение контактных напряжений (эти графики не показаны). При 0 = Зп/4 присутствие трещины влияет, хотя и мало, на распределение контактных напряжений, увеличивая их в средних участках контакта и уменьшая у концов стрингеров.
В этом параграфе изложены результаты работы [491.
§ 9. Упругий клин, усиленный накладкой конечной длины
Рассмотрим две плоские смешанные задачи о передаче нагрузки от стрингера (накладки) конечной длины к упругому бесконечному клину произвольного раствора.
Пусть клин на некоторой конечной части своей границы(р = 0 усилен жестко сцепленным с ней упругим стрингером малой высоты Л, причем в первой задаче предполагается, что другая грань (Р = а клина свободна от внешних напряжений (рис. 2.17), а во второй задаче она защемлена. Требуется определить закон распределения тангенциальных контактных напряжений вдоль линии* крепления упругого стрингера с клином, когда на стрингер действует касательная нагрузка произвольной интенсивности т+(г) и сосредоточенная сила Р, приложенная к его правому концу.
Воспользуемся, как обычно, следующей системой обозначений: перемещения и деформации в стрингере отметим индексом 1, а в клиноводной пластине ——индексом 2.
При этом, как и в § 1, 2, будем считать, что вследствие малости высоты h жесткость стрингера на изгиб пренебрежимо
мала и поэтому можно пренебречь нормальным давлением стрингера на упругий клин,.
т. е. считать, что
备(г, а) « О {Ь < г < а).
Иными словами, примем, что стрингер находится в одноосном по направлению г напряженном состоянии. Относитель
но же клина будем предполагать, что он находится в условиях обобщенного плоского напряженного состояния.
При сделанных предположениях выведем разрешающее уравнение поставленной задачи. G этой целью сначала рассмотрим равновесие стрингера. Из условия равновесия произвольной части [&, г] стрингера будем иметь
О； (г) = ^
ь
(Ь&『&。)，(9.2)
где Ог (г) — осевое напряжение в стрингере, т-(г) — неизвестное касательное напряжение, действующее вдоль линии соединения стрингера с основанием, Аа ——площадь прямоугольного поперечного сечения стрингера, d — его ширина.
Теперь, приняв во внимание (9.1), из второго соотношения закона Гука будем иметь
Оф = 2цЕф + 厶6工=О,
откуда
где 3 и 山一константы Ляме материала стрингера.
Подставив последнее равенство в первое соотношение Гука, получим
о；=
4% (入i+ ni)
Но легко видеть, что в случае обобщенного плоского напряженного состояния
4%®+%)人+ 2%4%®+%)人+ 2%瓦,瓦,
4%®+%)人+ 2%
4%®+%)人+ 2%
瓦,
瓦,
где Ел — модуль упругости стрингера. Таким образом, при сделанных предположениях закон Гука для стрингера запишется в виде
5* = Es^ry
который идентичен (1.2).
Отсюда с помощью (9.2) находим
djT-(r0) dr0 —djT-(r0) dr0 —оо(9.3)(9.3)
djT-(r0) dr0 —
djT-(r0) dr0 —
о
о
(9.3)
(9.3)
Здесь £r (r) — осевая деформация стрингера.
G другой стороны, деформация в направлении г граничных точек клина от действующих по тому же отрезку тангенциальных контактных напряжений t-(r), согласно [50—521, определяются формулой “
證寸瞰п斗一（""%.證寸瞰п斗一（""%.(9.4)(9.4)
證寸瞰п斗一（""%.
證寸瞰п斗一（""%.
(9.4)
(9.4)
4(% z)=4(% z)=厶(％ z)=厶(％ z)=(9.5)(9.5)(9.6)(9.6)
4(% z)=
4(% z)=
厶(％ z)=
厶(％ z)=
(9.5)
(9.5)
(9.6)
(9.6)
Здесь w? (г) — горизонтальные перемещения граничных точек клина, Е? — его модуль упругости, притом
Kj (力)=J 厶(a, z) sin (砌 dz —再(a)(7 = 1, 2)г
о
sh (2az) — z sin (2a)2sh2 (az) — 2z2 sin2 a
2 乂 sin (2a&) + 2z sin (2a)
4乂 sh2 (az) + 4z® sin2 a + (1 + x)2
л 2a — sin (2a).—《
似a) = 4 a2-sin2a '" '$ = ln^.
0,7=2,
Отметим, что для первой задачи следует брать 7 = 1, а для второй j = 2.
Легко видеть, что для функций L/a, z) (7 = 1, 2), определяемых формулой (9.6), имеют место соотношения
厶(a, z) -> 1 (z~> 8), Z2(a, z) f £ (zf 8). .(9.7)
Исходя из (9.7) и используя известные значения интегралов [141, после некоторых выкладок получим
(9.8)
Rj (i) = j 口 一 Е； (a, z)] sin (z力)dz + 再(a).(9.9)
о
Таким образом, ядра из (9.5) можно представить в виде (9.8), где первое слагаемое представляет собой сингулярную часть, а второе слагаемое из (9.9)——непрерывную часть этих ядер.
Подставляя выражения ядер из (9.8) в (9.4), получим a
或⑺=負 ⑴卜一 ^dr^ (94°)
На участке [&, а] контакта упругого стрингера с клином должно выполняться условие
Е (г)=廉(г) (b V Г V а,屮=о)
Подставляя сюда выражения e；(r) (i — 1, ^) из (9.3) и (9.10), придем относительно т_(г0)к уравнению
^7^^— Ri^-^dr0 = ~- djr_(ro)dro-Jr+(r0)dr0 ,
2 bLbb・
которое должно рассматриваться при условии aa
"Т-(啕九=Q, Q = P + J j (r0) dr0,
эквивалентном условию равновесия стрингера. В этих уравнениях перейдем к безразмерным величинам, положив
т = ах, п = ау,
«т, (ау)(政).、
= то(У)，.= т(У)・
Тогда они примут соответственно вид
屮(Р)= 0,屮(1) = 1；(9.12)
badE -_ 〃
『，2占$/$，x，
xx(9.13)
<p (z) = J t (y) dy, / (z) = J r0 (y) dy.
1 ]у =讶 In р,1 ]у =讶 In р,Далее, в (9.11)—(9.13) положим
1 ]
у =讶 In р,
1 ]
у =讶 In р,
/ = e»(E+D, y = e»5+D
中[wз)]=①图，/ [e喷+D]=歹⑹,
в результате чего (9.11) и (9.12) примут соответственно вид
j ｛含-М^1^ - g)])①，(n) dn =九b(8+1)[Ф ⑹一F ⑹],(9.14)
ф (-!)== 0, Ф ⑴=1,(9.15)
Mj [у (n —切 т 丫生[丫 (n — g)]=
=у J [1 Zj (a, z)] sin [yz (t] — g)] dz + yPj (a)(7 = 1, 2).
0
Таким образом, решение поставленных выше контактных задач окончательно сводится к решению сингулярного интегро- дифференциального уравнения (9.14) при граничных условиях (9.15). Ядро этЪго уравнения состоит из ядра 'Коши 1/(口一 &> и непрерывной от своих аргументов функции ТИД^Ст] — ^)1 (/ = 1, 2).
Следует отметить, что в частном случае a = л, т. е., когда клин превращается в полуплоскость, уравнение (9.14) в точности совпадает с уравнением (2.12)#при 惟)三1.
Для решения разрешающего уравнения (9.14) при граничных условиях (9.15) функцию ①'(三)представим в виде ряда
•①'⑹=Е(-IVvl). (9.16)
Далее, следуя методике, изложенной в § 2, уравнение (9.14) при помощи (9.16) сведем к бесконечной системе
Zm — W [ М窑 + 加•窝]咳=Fm,(9.17)
71=1
где ядра М^п (j = 1,2) и свободные члены Fm выражаются формулами
〃弘=М j MG0吁1'⑹[j助m(n - g)] ^=四卜，
1
"黑=一争 f 产+D (1 _ f)0…(9 ОтТ (曲庞，
j УГ^ Отт ⑶[f ^[V(T]- g)] у== d"j УГ^ Отт ⑶[f ^[V(T]- g)] у== d"雄+雄+
j УГ^ Отт ⑶[f ^[V(T]- g)] у== d"
j УГ^ Отт ⑶[f ^[V(T]- g)] у== d"
雄+
雄+
1
+ Xy J 幽*+”(Л — arccos 三)pl —岁 Om-KS 雄—
2入y2入y1，
2入y
2入y
J m+1 YT^I2 F (三)Om-l 阳龙 -1
При этом из граничных условии (9.15) непосредственно получим 々 = 1/л.
Перейдя к исследованию бесконечной системы (9.17), докажем, что для любого значения параметра X (0 WAV 8)эта бесконечная система квазирегулярна.
Действительно, из (9.18) можем записать
^„=|r^n, ^п = ^Г^п (%" = 1,2,…)，
У^^= ^ j УГ^ит-^) [ j吗噜二月丄 pF0吁1(“)呵卜，
(9.19)
嘘=一察J产+1) (1- F) 0…⑹几-1⑹喉 -1
притом первое соотношение (9.19) получается из первого соотношения (9.18) при помощи интегрирования по частям.
Следовательно,
$т= 2|^„+М^п|<$т= 2|^„+М^п|<=言[/两 + m廉](m = l, 2,...),=言[/两 + m廉](m = l, 2,...),ОО8，⑴ 一 У I 7⑴ |2 ,⑵ —T(2) 12n—1n=lОО8，⑴ 一 У I 7⑴ |2 ,⑵ —T(2) 12n—1n=l
$т= 2|^„+М^п|<
$т= 2|^„+М^п|<
=言[/两 + m廉](m = l, 2,...),
=言[/两 + m廉](m = l, 2,...),
ОО8
，⑴ 一 У I 7⑴ |2 ,⑵ —T(2) 12
n—1n=l
ОО8
，⑴ 一 У I 7⑴ |2 ,⑵ —T(2) 12
n—1n=l
С другой стороны, как легко видеть, коэффициенты {彌厶偌用=1 и [7^^}^黒=1 являются коэффициентами Фурье квадратично суммируемых в квадрате — 1 W 氤 Т)^ 1 определенных функции по полной ортогональной системе функций{E^n-i ("П) Um-i (^)}m,n=i*
Тогда при помощи неравенства Бесселя из теории рядов Фурье можем утверждать, что
8888
2 2 1^пГ<оо, XX|*/"V8. n=l m=lп=1 т=1
тп=1т=1тп=1т=1Следовательно, по известной теореме из анализа [53] будут сходиться и ряды
тп=1т=1
тп=1т=1
Отсюда по крайней мере
где £ ——фиксированное малое положительное число.
Приняв во внимание выражение Sm, будем иметь
Sm = °(；；^)g8).
Далее, при помощи формулы интегрирования по частям можно показать, что свободный член этой системы стремится к нулю， при m -> 8 co скоростью не менее, чем тп-1.
Это обстоятельство позволяет утверждать, что бесконечная система уравнений (9.17) квазивполне регулярна.
Отметим, что ряд контактных задач подобного типа для бесконечного клина был рассмотрен в работах [54—561.
грани усилена кольцеобразнымграни усилена кольцеобразнымРис. 3.1.Рис. 3.1.
грани усилена кольцеобразным
грани усилена кольцеобразным
Рис. 3.1.
Рис. 3.1.
ГЛАВ A III
ПЛОСКИЕ СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГИХ ТЕЛ,УСИЛЕННЫХ КОЛЬЦЕОБРАЗНЫМИ НАКЛАДКАМИИ ТОНКОСТЕННЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
§ 1. Передача нагрузки от кольцеобразной накладкик упругой бесконечной пластине
Рассмотрим контактную задачу о передаче нагрузки от кольцеобразной накладки (стрингера) с круговой осью к упругой бесконечной пластине. При этом предположим, что высота и ширина стрингера бруса малы по сравнению с его длиной, вследствие чего его изгибная жесткость в двух взаимно перпендику
лярных направлениях, а именно в вертикальном и поперечном направлениях, пренебрежимо мала. Перейдем к постановке
задачи.
Пусть упругая бесконечная пластина высоты 丸 модуль упругости которой 后2, а коэффициент Пуассона v2, на своей верхней
стрингером с круговой осью радиуса R, имеющим высоту d, ширину Д, угол раствора 2а (О < а < л), модуль упругости 瓦 и коэффициент Пуассона Vp Пусть, далее, стрингер на своей верхней грани загружен тангенциальными силами интенсивности 工十(8), сосредоточенными вдоль средней линии дуги окружности этой грани, а также сосредоточенными силами Pi и 尸2, приложенными на его концах (рис. 3.1). Будем считать, что 九 d^R, Требуется
определить контактные напряжения в области соединения стрингера с пластиной.
Сначала обратимся к стрингеру. При указанных выше пред
положениях основные уравнения тонкого стрингера с круговой осью выведены b § 8гл. I. Воспользуемся уравнениями (8.31) гл. L Интегрируя первое уравнение (8.31) гл. I, получим
?1 ⑼=号 J [т- (w) — т+ (и)] du +С.
—а
Примем во внимание очевидные граничные условия
?i(-a) =号，=(1.1)
откуда непосредственно обнаружим, что С = PJd, и, следовательно,
?1⑼=?Jr-⑷-"⑹电+营 (-а&е&а). (1.2)
—а
При этом второе граничное условие (1.1) эквивалентно, как покажем ниже, моментному условию равновесия кругового бруса
аа
7? J т- (u) du = Р, Р = % —尸工 + Т, Т = R \ т+ (〃)d〃. (1.3)
При помощи (1.2) из второго уравнения (8.31) гл. I получим
g_(O) = —^— J [т- (и) — т+ (u)] du (—а&О&а). (1.4)
—а
Далее, из (8.29) гл. I и (1.2) для осевой деформации £】бруса получим выражение
財⑼=WX % + 冗 J [*一(u) — T+ (乂)1 加 (一а < О V а), (1.5) 1 I -а■
где 4 =无区一площадь поперечного сечения бруса.
Теперь запишем уравнения равновесия кругового бруса как абсолютно жесткого тела. Они имеют вид
а■
7? J {。―⑼ cos ® + [т+ (О) — т- (О)] sin 0} d® = — (Рх + 匕)期口 а«
—а
а
R J {。― (8) sin ®—[工十(0)— t- (0)] cos 0} dO = (% — A) cos а,-
(1.6)(1.6)—а
(1.6)
(1.6)
a一
吗鹏2吁吟一吟"
—а
Интегрированием по частям и при помощи (8.32) гл. I можно показать, что первые два уравнения (1.6) удовлетворяются тождественно. Третье же уравнение (1.6), выражающее условие равенства нулю главного момента, эквивалентно второму граничному условию (1.1) и, как легко видетр, сводится к (1.3).
Отметим, что при больших 7?, как вытекает из второго урав* нения (8.31) гл. I, можно считать "(О) « 0.
Обратимся теперь к упругой бесконечной пластине.
Приняв во внимание (8.32) гл. I, при помощи известных результатов из [1] после простых выкладок для деформации в окружном направлении £： от сосредоточенных вдоль круговой дуги радиуса R и раствора 2сс тангенциальных и радиальных сил интенсивностей т-С^) и 歹一⑻ соответственно получим выражение
(1 + %)(3 - %) 8nЕ2d 2(1 + %)(3 - %) 8nЕ2d 2U哥"T_ (m) du -U哥"T_ (m) du -
(1 + %)(3 - %) 8nЕ2d 2
(1 + %)(3 - %) 8nЕ2d 2
U哥"T_ (m) du -
U哥"T_ (m) du -
「аа'
募学- 告(Л + 尸2)- J WT_ (u) du+ ^ ur+ ® du
2 2 L—a—a
— 0 П：~— 靑[Л sin (a + 9) + & sin (a —C)] +
a
+ J sin (u — ^) r+ {u) du . (1.7)
—a,
Далее, запишем условие контакта
處=晶(一aV®Va),
которое с учетом (1.5) и (1.7) решение поставленной задачи окончательно сводит к решению интегро-дифференциального уравнения
a.
J ctg " j " q/ (u) du =厶屮(®) + /(") — v0C (— a & ® V a) (1.8)
—a■
(1.9)(1.9)при граничных условиях (p(—a) = 0, (p(a) = 1, вытекающих из (1.3). Здесь введены обозначения
(1.9)
(1.9)
X =X =8nA%/8nA%/(1 +%)(3— %宀,分1 r(1 +%)(3— %宀,分1 rV 2(f)。—3一7aV 2(f)。—3一7a
X =
X =
8nA%/
8nA%/
(1 +%)(3— %宀,
分1 r
(1 +%)(3— %宀,
分1 r
V 2(f)
。—3一7
a
V 2(f)
。—3一7
a
/(£) =入？丄—)t0 (u) du + v0 a(Pi + ?2)+ J r0(u)udu +
—a—a—a *
—a
—a
a
aa00+ Pi sin (a + ®) + A sig (a — ®) + j sin (w — 0) % (乂)d〃, —a
a
a
0
0
(p(®)= j x(u) du, C= j их (и) dut • r (w) = ^- г- (w)t (1.10)
—a—a—a
—a
—a
% (比)=~p- T+(U),J?】=-у, P2 = -p"
Радиальные контактные напряжения будут определяться по формуле
g (О) = — Pi — <Р 2) + J т0 (〃) d%(1.10а)
—а
д(6) =务“⑼(一а&О&а).
Далее, решение уравнения (1.8), как и в § 4 гл. I и в [2], представим в виде
心00
т ⑼=<р' (О) =„ 2 ==• Е хпТп (tg -у- ctg 史
У 2 (cos 今—cos a)\ 乙 乙丿
(—a V О V a). (1.11)
■ Отсюда после простых выкладок получим
(p(O)=sec 登％(p(O)=sec 登％(1.12)(1.12)
(p(O)=sec 登％
(p(O)=sec 登％
(1.12)
(1.12)
притом для вычисления интегралов от многочленов Чебышева положено
cos£= tg ctg 丁・
Из граничных условии (1.9) непосредственно находим
11aaд = COS —тт~ • ■FC Zд = COS —тт~ • ■FC Z
1
1
a
a
д = COS —тт~ • ■FC Z
д = COS —тт~ • ■FC Z
Далее, следуя известной процедуре, изложенной в § 4 гл. I, для определения неизвестных коэффициентов {©JJ получим следующую систему уравнении:
*т + ^j Кт.п^п ~ fm %C^m(^ = 1 j. 2, • . .)?(1.13)
где введены обозначения
л
小 1 2入丄 a f sin ф sin ?n(p sin n(p .., „、
Am>n= — — tg-^ ―1 ——^d<p (wi," = l, 2,..)
я * l + tg2-^cos2<p
+ 2U0 ： f包二中啓睫理卽+ gm
Я о 1 + tg2 — cos2(p
m — 2k — 1上 т— 2kт = 2儿т = 2к — 1.m — 2k — 1上 т— 2kт = 2儿т = 2к — 1.(乃=1, 2,.・)(乃=1, 2,.・)V (-I)ATCOS 告 tg2ft-l 告,
m — 2k — 1上 т— 2k
т = 2儿
т = 2к — 1.
m — 2k — 1上 т— 2k
т = 2儿
т = 2к — 1.
(乃=1, 2,.・)
(乃=1, 2,.・)
.0,
年(一I)ACOS等tg油告,0,
Воспользовавшись результатами § 3 и 4 гл. I, легко показать, что при условии Av]/^^ctg£ бесконечная система (1.13) вполне регулярна, а для остальных X эта система квазивполне ре- 1'улярна, притом, как в § 3 и 4 гл. I, ^m = 0{n^~l) (т f 8).
Далее, можно показать, что свободные члены бесконечной системы (1.13) стремятся к нулю при ти-> 8 co скоростью не менее, чем т~ш.
Займемся определением постоянной С Пусть {*)僚=i Иb型}片=1 будут решениями бесконечной системы (1.13) при правых частях, равных {/m}3i и {Am}^=i соответственно. Тогда решение {^m}3i системы (1.13) будет даваться формулой
хт = W — %。规)(тп = 1, 2,・•.)・ (1.15)
С другой стороны, из (1.10) и (1.1) получим
2 %*)c=^1——『(1.16)
П=1
Сп =2 sec~ Jarctg (tg 长 cos(p) cos (n(p) d(p (n = 0д 1； ...). (1.17) о
Для коэффициентов интенсивности касательных напряжений имеют место формулы (4.53) гл. I или (3.46) гл. III.
Для числовых расчетов положим 丁十(仆)三 0 и рассмотрим случай кососимметрического нагружения стрингера. В этом случае
尸2 =—Pi, Pi === 2P2. Следовательно, формулы (1.11), (1.10a) и (1.13) примут соответственно вид
т(^)—т(^)—6 sec-g"6 sec-g"1/2 (cos 今一cos а)1/2 (cos 今一cos а)1°0~ COS 长 + 工 x2nT^n n—11°0~ COS 长 + 工 x2nT^n n—1tgtgtgtg色а色а
т(^)—
т(^)—
6 sec-g"
6 sec-g"
1/2 (cos 今一cos а)
1/2 (cos 今一cos а)
1°0
~ COS 长 + 工 x2nT^n n—1
1°0
~ COS 长 + 工 x2nT^n n—1
tg
tg
tg
tg
色
а
色
а
(1.18)(1.18)+ — arccos+ — arccos（—a《行《a）?（—a《行《a）?q (8) =2—f—^- secq (8) =2—f—^- sec2n arccos I11 +2n arccos I11 +(1.19)(1.19)
(1.18)
(1.18)
+ — arccos
+ — arccos
（—a《行《a）?
（—a《行《a）?
q (8) =2—f—^- sec
q (8) =2—f—^- sec
2n arccos I11 +
2n arccos I11 +
(1.19)
(1.19)
(—а<^<а),
ОО
(1.20)(1.20)^2m + 工 К2т,2п^2п и /2т(^ = L 2岂• • •)£
(1.20)
(1.20)
п—1
/2т = (— l)m -~- ctg 爸卜g詈)(皿 sin 2a + 2 sin 子｝
где К2т, 2«, как ранее, дается формулой (1.14), притом q(a) = —1/2.
Численная реализация (1.18)—(1.20) была осуществлена при а = л/8, п/4, Зл/8, л/2, Зп/4; Л = 0; 2; 6; v2 — 0,3, причем каждое
Рис. 3.2.Рис. 3.2.
Рис. 3.2.
Рис. 3.2.
значение а сочеталось со всеми заданными значениями X. Сначала на ЭВМ ЕС-1022 была решена соответствующая (1.20) укороченная система уравнений. Затем вычисления производились по формулам (1.18) и (1.19). Значения т(^) и qW приведены на графиках (рис. 3.2—3.4).
В. М. Александров, С, М. Мхитарян
Анализ этих результатов показывает, что по мере возрастания размеров контактной зоны йапряжения т(^) и q(令)(по абсолютной величине) заметно падают. Такую же закономерность можно обнаружить при возрастании X, т. е. при уменьшении жесткости
системы стрингер — основание. В разбираемом случае можно утверждать, что при aVn/8 напряжениями q(O) (по-абсолютной величине) можно пренебрегать по сравнению с т(®)・
Рис. 3.5.Рис. 3.5.
Рис. 3.5.
Рис. 3.5.
§ 2. Упругая плоскость с круглым отверстием,усиленная по обводу отверстиякольцеобразными накладками
В постановке, изложенной в предыдущем параграфе и в § 8 гл. I, рассмотрим задачу о контактном взаимодействии тонких кольцеобразных накладок с круговой осью и упругой бесконечной плоскости с круглым отверстием. Параллельно будут рассматри
ваться три задачи.
В первой задаче бесконечная пластина с круглым отверстием радиуса R вдоль дугового отрезка аа (а = R*) обвода отверстия
усилена жестко сцепленной с ней упругой кольцеобразной накладкой малой ТОЛЩИНЫ 務 КОТО' рая загружена произвольными тангенциальными силами интенсивности 1r+(®) (рис. 3.5).
Во второй задаче на обводе отверстия имеются две одинаковые симг метрично расположенные накладки, загруженные тангенциальными силами, обладающими симметрией относительно оси Ох, т. е. "(9 +л)=工+(今) (рис. 3.6).
Наконец, в третьей задаче, как и во второй, на обводе отверстия име~ ются две одинаковые симметрично расположенные накладки, которые в данном случае загружены теми же силами, симметричными относительно оси Оу, t. ё. 1r+("十n)= q(一今) (I田 Wai
Во всех трех задачах пластина на бесконечности растягивается в направлении оси Оу силами постоянной интенсивности р. Считается, что пластина с накладками находится в условиях плоской деформации.
Требуется определить законы распределения тангенциальных т_(®) и нормальных q_(9) контактных напряжений вдоль отрезков
креплений упругих накладок с основанием, а также коэффициенты интенсивности контактных напряжений на концах накладок и усилия в них.
В дальнейшем подробно будет рассматриваться первая задача^ а для второй и третьей задачи соответствующие результаты будут приведены в готовом виде.
Предварительно решается первая граничная задача для бесконечной пластины с круглым отверстием, загруженной на дуге а 2 (а = 7?е1а) (а < л/2) своей границы радиальными и тангенциальными силами соответственно интенсивностей 夕_(仆)и т-(^) (—aW8Wa) и растягиваемой в направлении оси Оу силами постоянной интенсивности р, т. е.
Решение этой задачи в рядах построено в [1]. Согласно этому решению для перемещений и「и и今(в полярной системе координат (г, О)) на обводе отверстия бесконечной пластины получим 2 氏(％ + 海)= -^R^ 14T e-佃-E £ 磊 * +
々=2 й=0 '
+ 十他 + 1)7?一 专的+ 1)7?е-2 (一8<分《叫(2.1)
а
4 = 一 2~ J [0- 3) - 反-(u)]ё-*(e=0, ± 1, ± 2, . .) —Ct
Здесь i\, d今—соответственно радиальные и тангенциальные перемещения граничных точек бесконечной пластины с круглым отверстием, х2 ——постоянная Мусхелишвили, ц2 — £2/2(1 + v2), а £"2 и v2 — соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона для материала пластины. '
Подставляя значения коэффициентов Ак в (2.1), меняя затем порядок суммирования и интегрирования, а также учитывая соотношения [3]
£ ^— = — lnl2sin^-l±Z 严弓⑺ sgnx (— 2л VaV2冗),
придем к следующим выражениям для vr и De：
（%十1）五（%十1）五ааааК (В — %) д一 (%) du + I E (合一u) т_ (u) du +К (В — %) д一 (%) du + I E (合一u) т_ (u) du +
（%十1）五
（%十1）五
а
а
а
а
К (В — %) д一 (%) du + I E (合一u) т_ (u) du +
К (В — %) д一 (%) du + I E (合一u) т_ (u) du +
—а—а—а—а
—а
—а
—а
—а
+忘的+ 1)E+忘的+ 1)Epp(% + 1) E cos (2今)(一л V 今 & л%(% + 1) E cos (2今)(一л V 今 & л%
+忘的+ 1)E
+忘的+ 1)E
p
p
(% + 1) E cos (2今)(一л V 今 & л%
(% + 1) E cos (2今)(一л V 今 & л%
Z6Z6^5^-[J £ 2 - “)q-з 阪-^5^-[J £ 2 - “)q-з 阪-К 2 — %) т_ (u) dui +К 2 — %) т_ (u) dui +
Z6
Z6
^5^-[J £ 2 - “)q-з 阪-
^5^-[J £ 2 - “)q-з 阪-
К 2 — %) т_ (u) dui +
К 2 — %) т_ (u) dui +
『(％ + l)Esin(2©), (2.2)
К ⑼=cos ^ In - - у- — -^- ~~т^ sin ^ (л — I ^ I) sgn ^,
2卜山石2
Z ⑼=sin© In -] *们 + } * £ cos" (к — I © I) sgn仇
2 sin 万2
Приступив к выводу разрешающего уравнения первой задачи, отметим, что на линии соединения накладки с основанием должно иметь место следующее очевидное условие контакта:
兩(3 =嗡 2)(—avOVa),兩(3 =嗡 2)(—avOVa),(2.3)(2.3)
兩(3 =嗡 2)(—avOVa),
兩(3 =嗡 2)(—avOVa),
(2.3)
(2.3)
где ej.— относительное удлинение (деформация) срединной линии накладки по направлению ■&, а ее — деформация в том же направлении, относящаяся к основанию, т. е.
1 网,%-
左-5У 十万
Подставляя сюда значенияПодставляя сюда значенияvr и Do из (2.1), для е| получим
Подставляя сюда значения
Подставляя сюда значения
аа
J ctg色萨т_&)阪十 需上J q_(u)du-
—ct一а
-^^ q-⑼ +1^(X cos 0 + Y sin 3) +
4十I4%4十I4%乂9 +1 pcos2&+^—p,乂9 +1 pcos2&+^—p,(2.4)(2.4)
4十I4%
4十I4%
乂9 +1 pcos2&+^—p,
乂9 +1 pcos2&+^—p,
(2.4)
(2.4)
где X и У — компоненты по осям Ох и Оу главного вектора внешних нагрузок, действующих на накладку:
а-а
X + 2У = 27? J р (〃)eiudu 工 Е J [。—(〃)+ 玩一(〃)]拠d〃・(2.5) —а—а
Главный же момент внешних нагрузок равен
аа
(2.6)(2.6)М = R2 ^ р (〃) du = ¥ J т_ (〃) du.
(2.6)
(2.6)
—а
Перейдем теперь к определению деформации накладки еМ
Рассматривая накладку как топкую цилиндрическую оболочку, находящуюся в условиях плоской деформации, на основе результатов § 8 гл. I обнаружим, что ее основными уравнениями будут уравнения (8.22) и (8.23) гл. I, которые должны рассматриваться при граничных условиях
7\(®)к±а = 0,(2.7)
выражающих отсутствие на концевых сечениях накладки продольной силы 7\(®), отнесенной к единице ширины накладки. При помощи первого соотношения (8.20) гл. I получим .
Е й f付)=宀"(吩(2，8)
Из первого уравнения системы (8.22)——(8.23) гл. I имеем
7\ ⑼=7? J [т_ (〃) 一 т+ (〃)] du, .(2.9)
—•Ct
притом условия (2.7) выполняются ввиду (2.6). Кроме того, из (8.22)—(8.23) гл. I вытекает, что
q_ ⑼=—^^2 = — J [т- (u) — т+ (u)] du, (2.10) —a
q(a) = q(—a) = 0.
■ Отметим, что ввиду соотношения (2.10) условие равновесия накладки
aa
R J [q_ (〃)+ 反一 (u)] ^du = г7? J t+ (〃)eiudu,
вытекающее из (2.5), удовлетворяется тождественно, в чем легко убедиться при помощи формулы интегрирования по частям.
Далее, из (2.8) с учетом (2.9) будем иметь
е* = ‘芯『Е j [т-(") — т+ (")]&" (—av^Va). (2.11) 1 —a
Подставив (2.4) и (2.11) в условие контакта (2.3) и перейдя к безразмерным величинам, после элементарных операций для определения тангенциальных контактных напряжений придем к следующему сингулярному интегро-дифференциальному уравнению:
при граничных условиях
<р(— а) = 0,(р(а) = MI^J^ =飓.
Здесь / — 1, 2, 3 соответственно для первой, второй и третьей задач и введены обозначения
屮(今)=J T(u)du, т(u) = ~^- = ii^т_^t
,=4%五"一唠 _ % - 1 (一唠 E/ _ 1一2七
4厶(％十1)V+Г - -2(l-v；)EM — 2(1-vj；
勺付,“) = 0, /(О, “) = tg e『",江32, u) = — tg上尹,
aa
f2 (^) = -^ J Ф (w) d"—专 J T。(w) dw + g 2),—a—a
%(©) = *『<₽ (“)"“ — *『％ 3)du 十—a—a
++2叫7? (x2 +1)2叫7? (x2 +1)Psin^ 4-g(^) tPsin^ 4-g(^) t
+
+
2叫7? (x2 +1)
2叫7? (x2 +1)
Psin^ 4-g(^) t
Psin^ 4-g(^) t
%(©)=T+(u)m, g(©)= — % ⑼—風 pcos2©—帆p.
Тангенциальные контактные напряжения выражаются формулой
Т(^)=①’⑹，
а нормальные контактные напряжения после определения т(窃) определяются формулой
?⑼=铝?-=-屮⑹+ т。⑼ (一a &"& a).
Отметим, что решение разрешающего уравнения (2.12) можно построить при помощи аппарата ортогональных многочленов Чебышева, как это сделано в предыдущем параграфе и в § 4 гл. II. Для получающихся при этом бесконечных систем уравнении
имеют место результаты указанных параграфов (см. также § 3 гл. III).
Обсудим числовой пример. Рассмотрим подробнее третью задачу, когда внешние нагрузки, действующие на накладку, отсутствуют и на пластину на бесконечности действует только растягивающее напряжение р. При этом
工斗俗)=0, ToW) = 0, Х = У = 0;
кроме того,
— q(8), М—窃)——т(8), <р(—窃)=<р(^), и разрешающее уравнение задачи (2.12) примет вид
а
j ctg (u —窃)屮‘(〃)d〃 =%屮(今)十 ％ (今)(一a V 今 V a) (2.13)
при граничных условиях
(р(—а) = <р(а) = 0;
где
/з (©) = ； j у (и) du —靑 р —击 р cos 2仇
—а22
Нормальное контактное напряжение будет даваться формулой q(行)=一学(行).
Уравнение (2.13) запишем в виде
* J ctg^^¥：(")&" = м>*⑼+ /*(")(—Rv^VB, ₽<Л),
(2.14)
屮*(—P)=屮*(P)= 0,
где
6= 2a, (p* ⑼=中传｝ /* ⑼=启传).(245)
Решение уравнения (2.14) представим в виде (см. § 4 гл. II)
屮：佇)=近丿:еXт偌t(В), ("16)
"2 cos 6 — 2 cos §\ ig(p/9/
屮* (8) — — CSC Р 2 Хт (2тп — I)-1 М2 COS 窃一2 COS В X m=］
хsec -|-力吁2 (制需)⑵16)
Подставляя (2.16) в (2.14) и используя соотношение (4.29) гл. II,. известным способом (см. § 4 гл. II) получим бесконечную систему линейных уравнений относительно коэффициентов Хт (次=1,2,...)
(/z = I, 2, • •)(/z = I, 2, • •)■^п + 2 Кт^Хт =｝卜 tg 3) 1 (昔碍)+ Abn^
(/z = I, 2, • •)
(/z = I, 2, • •)
где
a
"砧"=^ f "I(:瑞；卜)力m-2(竄常)X —a
X sec2 丁 (2 cos 6 — 2 cos P) dd,
Am =、［(2тп —I)4:rsin2-|~］：
成'=2^ J cos 窃 sec £ P2 cos 窃一2&sB U2n-2
= л(1 + vj sin P(2n-1)(- 1)" (tg 令广T, 唠=f sec/2 cos ^-2 cospCZ2„_2 (•善粽)找=
=4Л sin ? (- 1尸卜g 用g,
A = -^^^du-^p
=sec ~|~ £ Xm (2zn — 1)-1(— l)m (tg£『1n 1 — ^ 卩(2.17)
Коэффициенты ｛X^｝霜i представим в виде
Хт = ^Х“4Х禽Хт = ^Х“4Х禽(2.18)(2.18)
Хт = ^Х“4Х禽
Хт = ^Х“4Х禽
(2.18)
(2.18)
где Х£ 0 = 1,2)- решения бесконечных систем
х2)+ 2 /，澀=4- Eg£ 户 в.
Постоянная 4 определится из равенства (2.17), которое после подстановки в него (2.18) примет вид
sec-L 2 хт ^т " 1Г1^т (^ ^^т 1 —(1+%)/4
/ 1-sec-L J 彌)(2吁 1)T (- 1 严(tg 令广
Для числовых расчетов ядро Кт*п удобно представить в виде быстро сходящегося ряда (см. (4.41) гл. II) [2]
^m,n=-^-X(2n-l)X
£(~l)ft (2* + l)^tg-|-yfe+1
* А=о [(2* — 2га + 2)2 — (2тп — I)2] [(2* + 2га)2 — (2m — I)2]'
Числовые расчеты получены при следующих значения^ параметров: vt = v2 = 0,3; EJE「2; 1; 0,5; 0,2； 0,1; 0; h/R == 0,05; 2a = 30°; 60° (20 = 60°; 120°).
Табл ица 3.1. Значения %
2
1
0,5
0,2
0,1
0
0,0454
0,0762
0,1163
0,1780
0,2026
0,2497
加-30°&
0,0163
0,0169
0,0132
0,0040
-0,0026
-0,0132
0,0069
0,0056
0,0038
0,0019
0,0010
0
0,0030
0,0021
0,0013
0,0006
0,0003
0,0001
0,0014
0,0010
0,0006
0,0003
0,0001
0
0,0410
0,0739
0,1243
0,2123
0,2789
0,4079
匸2
0,0098
0,0093
0,0023
—0,0185
—0,0378
—0,0791
2a=60° 啰3
0,0085
0,0086
0,0076
0,0065
0,0065
0,0080
S
0,0039
0,0030
0,0020
0,0008
0
—0,0011
&
0,0021
0,0015
0,0010
0,0006
0,0003
—0,0001
&
0,0012
0,0008
0,0006
0,0003
0,0001
—0,0001
Бесконечные системы решались методом редукции, причем ограничивались лишь решением системы из шести уравнений, поскольку ее решение с точностью по крайней мере до пяти знаков совпало с решением системы из пяти уравнений.
Числовые результаты приведены в табл. 3.1.
В табл. 3.1
хп =(n = 1, 2, ..6).
Далее, определены значения нормального напряжения о^(г,^) в точке (R, 0) для различных контактирующих пар и длин участков контакта. Эти результаты приведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2. Значения 气1р
EJE1
2
1
0,5
0,2
од
0
2а=30°
2,642
2,327
1,870
1,197
0,788
0,173
2a=60°
2,802
2,620
2,313
1J29
1,263
0,331
Общеизвестно, что отверстия в пластинах являются зонами концентрации напряжений, в частности замечаются концентрации нормального напряжения с^ в точках (R, 0) и (7?, л), равного утроенному значению внешнего растягивающего напряжения р [1]. Из табл. 3.2 видно, что эти напряжения при наличии кольцеобразных накладок на границе отверстия пластины заметно уменьшаются, причем, как и следовало ожидать, этот эффект заметнее при малых значениях отношения EJE、.
Напряженное состояние тяжелого круглого упругогодиска, усиленного кольцеобразными накладками
Исследуем напряженное состояние весомого круглого упругого диска, усиленного по своей границе двумя одинаковыми и симметрично расположенными кольцеобразными накладками (стрингерами) малой толщины, при помощи которых диск двумя нерастяжимыми лентами подвешен к одной неподвижной точке.
Предварительно при плоской деформации рассмотрим задачу об определении перемещений граничных точек круглого упругого диска радиуса R, загруженного на двух симметрически расположенных дугах своей граничной окружности Ба и аЬ радиальными н тангенциальными силами соответственно интенсивностей q_ ⑹ и т_(О) и одновременно находящегося под действием сил тяжести. Здесь начало координат помещено в центре диска и ось Ох направлена вертикально вниз, а = Re严',6 = R^^ (0 V % V <₽! V 冗；0 V % V 冗/2; % + 01 = л), a q_ (8) и т_ (0) (аг < 101 < < Pi) — соответственно четная и нечетная функции. Для компонент массовых сил будем иметь X = pg, У = 0, где р ——плотность материала диска, принимаемая постоянной, a g ——ускорение свободного падения.
Решение этой задачи складывается из решения однородной задачи (относящиеся к ней величины отметим индексом 0) и из частного решения неоднородной задачи (относящиеся к ней величины отметим индексом 1). Тогда
4(Г, 6) = 6%(r, » + d(r, "),
仿0(* 8) =t% (Г，心)+晶(人心)；
4 (г, 8)『R = q- (О), Tro (г, 0)『к = т_ (О)(— л V。&冗)，
(3.2)
где считается, что функции q_($) и т_(О) вне интервалов ai V < 1^1 V 瓦 продолжены тождественным нулем.
Компоненты напряжений и перемещений, обусловленные массовыми силами тяжести (частное решение неоднородной задачи), имеют вид [1]
成=—pg/, W = du = 0,
- 一精^ Pg'2-希KT ^丸(3-3)
2”2乙=2 (% " %)Pg研
где 九2 и 卩2 亠 параметры Ляме материала диска. По формулам перехода будем иметь
{ =i- pgr cos 8 (1 + cos 20), Tro =扌 Pgr cos ^ sin 2®・(3.4)
При помощи (3.1) и ()3.4) граничное условие (3.2) запишется в эквивалентной форме
x& ⑼ + iYn (^) = [q_(8) + 沅_(0)]e2 + pgR cos2 d (- л<д<л), где Х^(心)и У^^) — компоненты вектора поверхностной нагрузки на окружности диска по направлениям осей Ох и Оу соответственно.
Теперь введем в рассмотрение функцию
/?⑼ + 渣 W = iR ^ [^n 3) + iFn(u)] du =
0
=»R f [0— (〃)+ 玩—(〃)] eiudu 十 ~ »pgR2 卜十 9 + 扌 sin
(—л <^^ л).
Как легко показать /；(冗)=/2(冗)=0, что выражает условие равенства нулю главного вектора внешних сил. Легко показать
также равенство нулю главного момента этих сил. Далее, потакже равенство нулю главного момента этих сил. Далее, положивложивg-(8) + 2T-(®)= e B伊з 出h=BQ(一冗＜；8忘冗)h=—8g-(8) + 2T-(®)= e B伊з 出h=BQ(一冗＜；8忘冗)h=—8и следуя известной процедуре [1], после несложных операций с учетом (3.3) получими следуя известной процедуре [1], после несложных операций с учетом (3.3) получим〃)+K—(0 — u)—2usin 〃 cos。一〃)+K—(0 — u)—2usin 〃 cos。一[乂e一 (0.一 %) 4"乙+(0 - u)—[乂e一 (0.一 %) 4"乙+(0 - u)—2 и cos и cos 0] т_ (u) du ,2 и cos и cos 0] т_ (u) du ,& (0) =7^—/4 叫12& (0) =7^—/4 叫12~ai 瓦、Г -|- f |[xZ/_ (0 — 〃) + 乙十(。一〃)一~ai 瓦、Г -|- f |[xZ/_ (0 — 〃) + 乙十(。一〃)一(3.5)(3.5)2〃 sin 〃 sin 0] q_ (u) du — I J V₽i2〃 sin 〃 sin 0] q_ (u) du — I J V₽i+ J 卜кК+ (0 — 〃) + К_ (0 — 〃) + а1/+ J 卜кК+ (0 — 〃) + К_ (0 — 〃) + а1/+ 2〃 cos 〃 sind] T- (u) d〃 + -^— sin® ,+ 2〃 cos 〃 sind] T- (u) d〃 + -^— sin® ,К士(О) = cos 0 InК士(О) = cos 0 Inlsin 4*1lsin 4*1工士(0)=式口 01口 -j^2 sin "2~工士(0)=式口 01口 -j^2 sin "2~土 g- sin 0 (兀一IОI) sgn 亂£(3.6)± 彳 COS 0 (冗一I 0 I ) sgn 0,土 g- sin 0 (兀一IОI) sgn 亂£(3.6)± 彳 COS 0 (冗一I 0 I ) sgn 0,
также равенство нулю главного момента этих сил. Далее, по
также равенство нулю главного момента этих сил. Далее, по
ложив
ложив
g-(8) + 2T-(®)= e B伊з 出h=BQ(一冗＜；8忘冗)
h=—8
g-(8) + 2T-(®)= e B伊з 出h=BQ(一冗＜；8忘冗)
h=—8
и следуя известной процедуре [1], после несложных операций с учетом (3.3) получим
и следуя известной процедуре [1], после несложных операций с учетом (3.3) получим
〃)+K—(0 — u)—2usin 〃 cos。一
〃)+K—(0 — u)—2usin 〃 cos。一
[乂e一 (0.一 %) 4"乙+(0 - u)—
[乂e一 (0.一 %) 4"乙+(0 - u)—
2 и cos и cos 0] т_ (u) du ,
2 и cos и cos 0] т_ (u) du ,
& (0) =7^—
/4 叫12
& (0) =7^—
/4 叫12
~ai 瓦、
Г -|- f |[xZ/_ (0 — 〃) + 乙十(。一〃)一
~ai 瓦、
Г -|- f |[xZ/_ (0 — 〃) + 乙十(。一〃)一
(3.5)
(3.5)
2〃 sin 〃 sin 0] q_ (u) du — I J V₽i
2〃 sin 〃 sin 0] q_ (u) du — I J V₽i
+ J 卜кК+ (0 — 〃) + К_ (0 — 〃) + а1/
+ J 卜кК+ (0 — 〃) + К_ (0 — 〃) + а1/
+ 2〃 cos 〃 sind] T- (u) d〃 + -^— sin® ,
+ 2〃 cos 〃 sind] T- (u) d〃 + -^— sin® ,
К士(О) = cos 0 In
К士(О) = cos 0 In
lsin 4*1
lsin 4*1
工士(0)=式口 01口 -j^
2 sin "2~
工士(0)=式口 01口 -j^
2 sin "2~
土 g- sin 0 (兀一IОI) sgn 亂
£(3.6)
± 彳 COS 0 (冗一I 0 I ) sgn 0,
土 g- sin 0 (兀一IОI) sgn 亂
£(3.6)
± 彳 COS 0 (冗一I 0 I ) sgn 0,
vr(0) и v^(t&)——соответственно радиальная и окружная компоненты перемещения граничных точек диска, ах — постоянная Мус- хелишвили.
Перейдем теперь к изложению постановки задачи. Пусть круглый диск радиуса R и плотности р, подверженный действию сил тяжести и находящийся в условиях плоской деформации, на дугах Ъа и ab своей граничной окружности усилен двумя одинаковыми кольцеобразными накладками малой толщины Л. Далее,
при помощи" последних диск подвешен на двух нерастяжимых лентах, сходящихся к одной неподвижной точке (рис. 3.7), Кольцеобразные накладки, как уже говорилось в § 8 гл. I, будем рассматривать в рамках теории оболочек, вследствие чего величинами порядка h/R по сравнению с единицей будем пренебрегать. При этих предположениях требуется определить нормальные и
тангенциальные контактные напряжения (соответственно д_(8) и 工一⑻) и коэффициенты интенсивности этих напряжений на концах накладок, а также усилия в накладках.
Приступим к выводу уравнения поставленной задачи.
” Ввиду симметрии рассмотрим только правую накладку, основными уравнениями для которой будут уравнения (8.22)—(8.23) га. I.
Эти уравнения должны рассматриваться при граничных условиях
Рис. 3.7.普⑼ 1卄士％ = 0, ?1 ⑼ Ь=0т = Т，(3.7)
где Т ——сила натяжения в лентах, направленная по касательной к средней линии накладки в точке 4) s = Ь. Из условий равновесия всей системы диск ——накладки определим значение Т:
2 sin % '
где Р = npgR ——вес диска. Следовательно, из (8.22)——(8.23) гл. I при помощи (3.7) находим
?1 (0) = 7? J т_ (u) dut(3.8)
ai
0一 ⑼=^— = — J т_ (и) du (&1 v 心 v 01),(3.9)
(340)(340)(р
(340)
(340)
R I т_ (u).
J/ sin се】
Из (3.9) и (3.10) непосредственно вытекает, что dq
方= — т_(8) (a】vOVPi),(3.11)
g_ (a。~ 0, g_ (Pi) = 2Л sin a '(3.12)
Теперь запишем уравнения равновесия всей накладки: 垣
R j [т_ (u) sin и — q_ (u) cos u] du = -y,
R J [t_ (u) cos и + q_ (u) sin u] du =——看 ctga1?
R^x-{u}du^[R+^T.
притом первые два равенства выражают условия равенства нулю компонент главного вектора внешних сил по осям Ох и Оу соответственно, а третье равенство — моментное условие их равновесия. Записав последнее равенство в виде
足 J T-3）而=h7（1十 备）
и придерживаясь точности теории тонких оболочек, обнаружим, что оно совпадает с (3.10). Первые же два уравнения удовлетворяются тождественно, в чем легко убедиться при помощи (3.11)—— (3.12) и формулы интегрирования по частям.
Далее, из первого соотношения (8.20) гл. I и из (3.8) будем иметь
%⑼=编=-月工二区%⑼=编=-月工二区т_ (u) diiт_ (u) dii(&i V。V0)(&i V。V0)
%⑼=编=-月工二区
%⑼=编=-月工二区
т_ (u) dii
т_ (u) dii
(&i V。V0)
(&i V。V0)
В дальнейшем будем предполагать, что модуль упругости накладки Es ——переменная по ее длине величина, притом
Es = EtE(®) (EGJ = 1; . a】V О V/J.
Следовательно,
4 2) = е；百*-" J т-(“)阪 («1 < ^ < Pi)- (3.13) 1-
С другой стороны, из (3.5) и (3.6) после несложных преобразований получим
где ej (д) — деформация граничных точек диска в окружном направлении. Но учитывая (3.11) —(3.12), можем записать
/~а1 0т\₽1
I J +j I cos (^―u) q-(u) du^ — n^gR cos^ 4- 2cos^Jsin ux~~(u)du.
Приняв во внимание эту формулу, окончательно будем иметь
處2)= ^^ J[ctS!LT^ + ctg，賢 卜—3) du + 2к^^-(").
(3.14)
Подставляя (3.13) и (3.14) в условие контакта
el (8) = £争⑼(％ V 8 V Pi),
перейдя к новым переменным
S = V2", t) = m2-
и к безразмерным величинам, после элементарных операций для определения тангенциальных контактных напряжений придем к следующему сингулярному интегро-дифференциальному уравнению:
a
4" J(ctg』萨-tg -ln~)屮'⑺面=九丫(S 屮(E) (3.15)
при граничных условиях
(Р (— a) — 0, (p (a) = 丁 sec a.(3.16)
Здесь введены обозначения
中(2)=产5)师 T(日=—--—а —Y*⑹=e7(6)=夕*+号),中(2)=产5)师 T(日=—--—а —Y*⑹=e7(6)=夕*+号),J (Е + 九/2)J (Е + 九/2)2 «н2 «н(―а&Е&а),Р = 2npgE,(3.17)(―а&Е&а),Р = 2npgE,(3.17)(I Т)Е《 」1 — 2%(I Т)Е《 」1 — 2%九=九1 +九1,九=九1 +九1,
中(2)=产5)师 T(日=—--
—а —
Y*⑹=e7(6)=夕*+号),
中(2)=产5)师 T(日=—--
—а —
Y*⑹=e7(6)=夕*+号),
J (Е + 九/2)
J (Е + 九/2)
2 «н
2 «н
(―а&Е&а),
Р = 2npgE,
(3.17)
(―а&Е&а),
Р = 2npgE,
(3.17)
(I Т)Е《 」1 — 2%
(I Т)Е《 」1 — 2%
九=九1 +九1,
九=九1 +九1,
乂+ МЧ阳=九Y阳,
где v2 — коэффициент Пуассона материала диска, Е2 ——модуль упругости, ар —— вес материального кольца диска с радиусом R внешней окружности, единичной ширины в направлении радиуса и единичной толщины. После того как построено решение уравнения С3.15), остальные механические характеристики задачи будут определяться по формулам
Т；(Е) = $(В 0阳=二$化)(一а&Е&а),
(3.18)
^)7=5"(三)—=乂产.
Формулы (3.18) непосредственно вытекают соответственно из (3.8) и (3.9).
Отметим, что уравнение (3.15) уже встречалось в предыдущем параграфе. Здесь несколько подробнее остановимся па нем.
Интегро-дифференциальное уравнение (3.15) при граничных условиях (3.16) сведем к эквивалентной бесконечной системе линейных уравнений. С этой целью положим
(c°s g—cos a)\ ig (a//) /
一(3.19)
где коэффициенты xn неизвестны и подлежат определению. Отсюда будем иметь
屮阳=jТ(n) dn = £ 2*4(Е) (— a<g < а), (3.20) —а乳=0
An(l)An(l)secg"辛薇三鳥-5 (У。"，"secg"辛薇三鳥-5 (У。"，"
An(l)
An(l)
secg"
辛薇三鳥-5 (У。"，"
secg"
辛薇三鳥-5 (У。"，"
1 5 В. М. Александров, С. М. Мхитарян
Для вычисления этого интеграла (см. § 4 гл. II) положим
cos 8 =cos 8 =tg("2) tg(a/2)tg("2) tg(a/2)cos ср =cos ср =tg(W2)'V(a/2) •tg(W2)'V(a/2) •(3.21)(3.21)
cos 8 =
cos 8 =
tg("2) tg(a/2)
tg("2) tg(a/2)
cos ср =
cos ср =
tg(W2)'V(a/2) •
tg(W2)'V(a/2) •
(3.21)
(3.21)
После элементарных выкладок
sec 等 冗一arccos('步寫)](冷 =0),
—esc a sec 毋 /2 (cos g — cos a) — Un-X (蕊/2)丿
(”1, 2,(3.22)
sec asec aИз (3.20),(3.22) и (3.16) непосредственно находим
sec a
sec a
(3.23)
4л sec -j-
Теперь (3.19) и (3.20) подставим в уравнение (3.15), учтем (3.22) и воспользуемся интегральными соотношениями для полиномов Чебышева (4.5) и (4.6) гл. II. Следуя известной процедуре, изложенной в § 4 гл. II, в результате придем к следующей бесконечной системе:
泰 Ctg 长 ZК/И'тЛе ~ 〃m (矶—1? 2, .,.). (3.24)
(3.25)(3.25)Здесь введены обозначения
(3.25)
(3.25)
硯，几=J?a)4 ⑹ Um-1 (:北骗)sec 4 /2 (cos g-cos a)乐，
—a•
(3.26)
a
K^n = ； f % (E) Uz ( ^謂)sec 4 /2 (cos g-cos a)龙，
(3.27)
a
斗阳=ftg干小：；7嗯吗彳也5, (3.28)
J 2/2 (cos t] — cos a)
ат = -^ Ctg 告[Кт,
,o — sec ~- %) R,
(3.29)
::從｝) s箕等m2 (cos自—cos a)近
(3.30)
(m = 1, 2,…；n — 0, 1, 2,...).
Для упрощения входящих в (3.2G) — (3.28) и (3.30) интегралов
перейдем к переменным С3.21). Тогда
硯— 4 tg2 告 V(О) sin(d)si£2) sine 加,
о1 + ^2 ~ cod 8
研,。=4 tg2 告"。(e)(л- 8) sin (? sin 6川，
О1 + tg2— cos2 6
^m(n^m(n± Jsin 仇今)sin 0 [gm (0) + hm ⑼]dO,
^m(n
^m(n
0
(3.31)(3.32)(3.31)(3.32)(3.33)(3.33)sec ~rl ~ J2 cos tg32 + tg2 告sec ~rl ~ J2 cos tg32 + tg2 告cos(№(p) d(pcos(№(p) d(pa E1 — tg ~2~ tg-^- cos (pa E1 — tg ~2~ tg-^- cos (paf cos ((7n — 2) 0)J 1 + V cos 2仆0af cos ((7n — 2) 0)J 1 + V cos 2仆0Mg"0ЛMg"0Л00cos （汽屮）cos 屮 d（pcos （汽屮）cos 屮 d（p1—tg-^-tg^ COS (p1—tg-^-tg^ COS (pcos ((m + 2) ®)1 + 夕 cos 28cos ((m + 2) ®)1 + 夕 cos 28(m,整=1, 2,…)，sin (тпср) sin (p cos2 (p d(p(m,整=1, 2,…)，sin (тпср) sin (p cos2 (p d(p1 + cos2 (p tg21 + cos2 (p tg2gm 2) = 2 tg5 a 'gm 2) = 2 tg5 a '1 — tg2 长 cos 8 cos (p)1 — tg2 长 cos 8 cos (p)sin (m(p) sin 屮 d(p1 + cos2 8 tg2 告)(1 — tg2 告 COS 8 COS фsin (m(p) sin 屮 d(p1 + cos2 8 tg2 告)(1 — tg2 告 COS 8 COS ф2，2，(3.34)(3.34)(3.35)(3.35)¥o(o)= Y{2arctg[cos 8 tg (a ⑵]}, v = [tg2(a/2)]/[2 + tg2(a/2)].¥o(o)= Y{2arctg[cos 8 tg (a ⑵]}, v = [tg2(a/2)]/[2 + tg2(a/2)].Далее, воспользовавшись выражением интеграла 3.613.1 ([3], с. 380), получимДалее, воспользовавшись выражением интеграла 3.613.1 ([3], с. 380), получимвП低)вП低)3Tsec 告(1 + tg2 等) I 1 — V 1 —tg2 告 tg2-|~ tg -j- jZi - tg2 -2. tg2 A у tg £ tg -|~a /— * 2 Eл sec /1 + tg统⑹二一Л/ 一^~ \ ]/ 1 一 tg2 W tg2 等3Tsec 告(1 + tg2 等) I 1 — V 1 —tg2 告 tg2-|~ tg -j- jZi - tg2 -2. tg2 A у tg £ tg -|~a /— * 2 Eл sec /1 + tg统⑹二一Л/ 一^~ \ ]/ 1 一 tg2 W tg2 等'"— (-1)在 4Л sin：长卜g 告),m = 2k'"— (-1)在 4Л sin：长卜g 告),m = 2k(及=1, 2,…).(及=1, 2,…).当（E）=
(3.31)
(3.32)
(3.31)
(3.32)
(3.33)
(3.33)
sec ~rl ~ J
2 cos tg3
2 + tg2 告
sec ~rl ~ J
2 cos tg3
2 + tg2 告
cos(№(p) d(p
cos(№(p) d(p
a E
1 — tg ~2~ tg-^- cos (p
a E
1 — tg ~2~ tg-^- cos (p
a
f cos ((7n — 2) 0)
J 1 + V cos 2仆
0
a
f cos ((7n — 2) 0)
J 1 + V cos 2仆
0
Mg"
0
Л
Mg"
0
Л
0
0
cos （汽屮）cos 屮 d（p
cos （汽屮）cos 屮 d（p
1—tg-^-tg^ COS (p
1—tg-^-tg^ COS (p
cos ((m + 2) ®)1 + 夕 cos 28
cos ((m + 2) ®)1 + 夕 cos 28
(m,整=1, 2,…)，
sin (тпср) sin (p cos2 (p d(p
(m,整=1, 2,…)，
sin (тпср) sin (p cos2 (p d(p
1 + cos2 (p tg2
1 + cos2 (p tg2
gm 2) = 2 tg5 a '
gm 2) = 2 tg5 a '
1 — tg2 长 cos 8 cos (p)
1 — tg2 长 cos 8 cos (p)
sin (m(p) sin 屮 d(p
1 + cos2 8 tg2 告)(1 — tg2 告 COS 8 COS ф
sin (m(p) sin 屮 d(p
1 + cos2 8 tg2 告)(1 — tg2 告 COS 8 COS ф
2，
2，
(3.34)
(3.34)
(3.35)
(3.35)
¥o(o)= Y{2arctg[cos 8 tg (a ⑵]}, v = [tg2(a/2)]/[2 + tg2(a/2)].
¥o(o)= Y{2arctg[cos 8 tg (a ⑵]}, v = [tg2(a/2)]/[2 + tg2(a/2)].
Далее, воспользовавшись выражением интеграла 3.613.1 ([3], с. 380), получим
Далее, воспользовавшись выражением интеграла 3.613.1 ([3], с. 380), получим
вП低)
вП低)
3Tsec 告(1 + tg2 等) I 1 — V 1 —tg2 告 tg2-|~ tg -j- jZi - tg2 -2. tg2 A у tg £ tg -|~
a /— * 2 E
л sec /1 + tg
统⑹二一Л/ 一
^~ \ ]/ 1 一 tg2 W tg2 等
3Tsec 告(1 + tg2 等) I 1 — V 1 —tg2 告 tg2-|~ tg -j- jZi - tg2 -2. tg2 A у tg £ tg -|~
a /— * 2 E
л sec /1 + tg
统⑹二一Л/ 一
^~ \ ]/ 1 一 tg2 W tg2 等
'"— (-1)在 4Л sin：长卜g 告),m = 2k
'"— (-1)在 4Л sin：长卜g 告),m = 2k
(及=1, 2,…).
(及=1, 2,…).
Учет формул (3.36) позволяет (3.27) (или (3.33)) представить в виде-л4 r sin (mO) sin 令^7П,П =~ I「— =~ Xtg2n-l_ 0 со"】扑 j/1 一 tg，长 COS?扑Учет формул (3.36) позволяет (3.27) (или (3.33)) представить в виде-л4 r sin (mO) sin 令^7П,П =~ I「— =~ Xtg2n-l_ 0 со"】扑 j/1 一 tg，长 COS?扑X (1—/1 — tg^^cosa ®) d®, (3.38)cos 扑(2 + cos"办 tg2 ~^) у "|/~ 1 — tg" "у- COS2 0 丿(3.39)X (1—/1 — tg^^cosa ®) d®, (3.38)cos 扑(2 + cos"办 tg2 ~^) у "|/~ 1 — tg" "у- COS2 0 丿(3.39)Теперь в соответствии с (3.29) решение бесконечной системы (3.24) при правой части Лт, о обозначим через %*, а при правой части Ьт — через ^. Тогда“т = €? "g 告卜^ — sec "У~ 编)“0・(3.40)Теперь в соответствии с (3.29) решение бесконечной системы (3.24) при правой части Лт, о обозначим через %*, а при правой части Ьт — через ^. Тогда“т = €? "g 告卜^ — sec "У~ 编)“0・(3.40)Для исследования бесконечной системы (3.24) оценим суммыДля исследования бесконечной системы (3.24) оценим суммы5^= 2 \к^п\ (/ = 1, 2)и примем во внимание (3.25), а также (3.31), (3.33)——(3.35). Оценку этих сумм можно произвести при помощи неравенства Коши ——Буняковского и равенства Парсеваля из теории рядов Фурье. Следуя известной методике (см. § 4 гл. II), находим, что при условии5^= 2 \к^п\ (/ = 1, 2)и примем во внимание (3.25), а также (3.31), (3.33)——(3.35). Оценку этих сумм можно произвести при помощи неравенства Коши ——Буняковского и равенства Парсеваля из теории рядов Фурье. Следуя известной методике (см. § 4 гл. II), находим, что при условии(3.41)(3.41)
Учет формул (3.36) позволяет (3.27) (или (3.33)) представить в виде
-л
4 r sin (mO) sin 令
^7П,П =~ I「— =~ X
tg2n-l_ 0 со"】扑 j/1 一 tg，长 COS?扑
Учет формул (3.36) позволяет (3.27) (или (3.33)) представить в виде
-л
4 r sin (mO) sin 令
^7П,П =~ I「— =~ X
tg2n-l_ 0 со"】扑 j/1 一 tg，长 COS?扑
X (1—/1 — tg^^cosa ®) d®, (3.38)
cos 扑(2 + cos"办 tg2 ~^) у "|/~ 1 — tg" "у- COS2 0 丿
(3.39)
X (1—/1 — tg^^cosa ®) d®, (3.38)
cos 扑(2 + cos"办 tg2 ~^) у "|/~ 1 — tg" "у- COS2 0 丿
(3.39)
Теперь в соответствии с (3.29) решение бесконечной системы (3.24) при правой части Лт, о обозначим через %*, а при правой части Ьт — через ^. Тогда
“т = €? "g 告卜^ — sec "У~ 编)“0・(3.40)
Теперь в соответствии с (3.29) решение бесконечной системы (3.24) при правой части Лт, о обозначим через %*, а при правой части Ьт — через ^. Тогда
“т = €? "g 告卜^ — sec "У~ 编)“0・(3.40)
Для исследования бесконечной системы (3.24) оценим суммы
Для исследования бесконечной системы (3.24) оценим суммы
5^= 2 \к^п\ (/ = 1, 2)
и примем во внимание (3.25), а также (3.31), (3.33)——(3.35). Оценку этих сумм можно произвести при помощи неравенства Коши ——Буняковского и равенства Парсеваля из теории рядов Фурье. Следуя известной методике (см. § 4 гл. II), находим, что при условии
5^= 2 \к^п\ (/ = 1, 2)
и примем во внимание (3.25), а также (3.31), (3.33)——(3.35). Оценку этих сумм можно произвести при помощи неравенства Коши ——Буняковского и равенства Парсеваля из теории рядов Фурье. Следуя известной методике (см. § 4 гл. II), находим, что при условии
(3.41)
(3.41)
бесконечная система (3.24) вполне регулярна. С другой стороны, из (3.31) вправе записать
^m,n ~ — tg'(%mi+1 — Nт-п-1 — %т + п + 1 + ^m+?i-l),
No = O, Np= Т %2)sin5e)dO, %2) =^^~—
才1+C°s2"tg2 告
.(p = ± 1, ± 2,..
Если функция 匕（心）обладает абсолютно интегрируемой производной в интервале （0, л）, то
л
l^K-TTf Л = 1Т1（°）1 + 1?1（П）1 +flviwl^.
о
Следовательно,
SM4 tg堂二n（m n —n=l '1SM4 tg堂二n（m n —n=l '11Г m
SM4 tg堂二
n（m n —
n=l '1
SM4 tg堂二
n（m n —
n=l '1
+ 2я^Ьw=m+2+ 2я^Ьw=m+27П—2j^n（m — n — 1）7П—2j^n（m — n — 1）盲"（"_ m十1）十2"（"+"+1）盲"（"_ m十1）十2"（"+"+1）Далее, положим"（m 十；十1）Далее, положим"（m 十；十1）8--V—.纟？l（m+〃一1）1（3.42）8--V—.纟？l（m+〃一1）1（3.42）（m = 1, 2,（m = 1, 2,Tj =4tg?卷 Z"（m」"干彳）
+ 2я^Ьw=m+2
+ 2я^Ьw=m+2
7П—2
j^n（m — n — 1）
7П—2
j^n（m — n — 1）
盲"（"_ m十1）十2"（"+"+1）
盲"（"_ m十1）十2"（"+"+1）
Далее, положим
"（m 十；十1）
Далее, положим
"（m 十；十1）
8--
V—.
纟？l（m+〃一1）
1（3.42）
8--
V—.
纟？l（m+〃一1）
1（3.42）
（m = 1, 2,
（m = 1, 2,
Будем иметь, как и в § 3 гл. II,
Нm = -^- V—=—47- е + In （加 + 1） + тг4гй- - 3（^ + 1）］，
⑺=；Z （m + 1）...м十%.7），4 =当（I）…（—-"）点• Отсюда вытекает, что при тп -* °°
Совершенно аналогично можно поступить с остальными суммам®, входящими в （3.42）. В результате при 加 f 8
SI（T｝）・
Что касается сумм S^, то опять при помощи неравенства Коши — Буняковского и равенства Парсеваля из теории двойных рядов Фурье легко получим, что при 加 f 8
где £ ——сколь угодно малое фиксированное положительное число. Из этих асимптотических формул непосредственно следует, что бесконечная система （3.24） в общем случае квазивполне регулярна.
Рассмотрим частный случай, когда накладки однородные 吗 следовательно, т(三)=丫*(自)三 1. Тогда, воспользовавшись разложением '
11 + v cos 2令11 + v cos 2令1 + cos2 Y1 + cos2 YссСО5 0ссСО5 04- + 2(-i)₽P=14- + 2(-i)₽P=12P cos(2pO)2P cos(2pO)которое можно(13], с. 380), изкоторое можно(13], с. 380), изq , 储(a/2)0 V 0 V 冗；J =包T-〈2 +tg2 (ct/2)установить опять при помощи формулы 3.613.1(3.31) получимq , 储(a/2)0 V 0 V 冗；J =包T-〈2 +tg2 (ct/2)установить опять при помощи формулы 3.613.1(3.31) получим
1
1 + v cos 2令
1
1 + v cos 2令
1 + cos2 Y
1 + cos2 Y
сс
СО5 0
сс
СО5 0
4- + 2(-i)₽
P=1
4- + 2(-i)₽
P=1
2P cos(2pO)
2P cos(2pO)
которое можно(13], с. 380), из
которое можно(13], с. 380), из
q , 储(a/2)
0 V 0 V 冗；J =包T-
〈2 +tg2 (ct/2)
установить опять при помощи формулы 3.613.1
(3.31) получим
q , 储(a/2)
0 V 0 V 冗；J =包T-
〈2 +tg2 (ct/2)
установить опять при помощи формулы 3.613.1
(3.31) получим
Km.n = 一 2 sin 告 tg 号Km.n = 一 2 sin 告 tg 号^m,n + 4" £ (— 1)Р (tg 用'[Mm-?i+i,2p —^m,n + 4" £ (— 1)Р (tg 用'[Mm-?i+i,2p —Мт—п~1,2р ~■ Mm^-n-\-i^p 一卜 A^m+^—1>2р1Мт—п~1,2р ~■ Mm^-n-\-i^p 一卜 A^m+^—1>2р1(m, п = 1, 2, . . .), (3.43)(m, п = 1, 2, . . .), (3.43)
Km.n = 一 2 sin 告 tg 号
Km.n = 一 2 sin 告 tg 号
^m,n + 4" £ (— 1)Р (tg 用'[Mm-?i+i,2p —
^m,n + 4" £ (— 1)Р (tg 用'[Mm-?i+i,2p —
Мт—п~1,2р ~■ Mm^-n-\-i^p 一卜 A^m+^—1>2р1
Мт—п~1,2р ~■ Mm^-n-\-i^p 一卜 A^m+^—1>2р1
(m, п = 1, 2, . . .), (3.43)
(m, п = 1, 2, . . .), (3.43)
mH +(—i 严]mH +(—i 严]^т,п^т,п[т?2 ——(т — 1)21 [/г* — (m 十 I)']' 0,[1 + (-1尸"及[т?2 ——(т — 1)21 [/г* — (m 十 I)']' 0,[1 + (-1尸"及п /= w—1;п /= w—1;п = т—1;п = т—1;п 声 /п+1,п 声 /п+1,п = /п + 1,п = /п + 1,Mk,2pMk,2p庐一4状 0,庐一4状 0,^ =# 士 2р,^ =# 士 2р,及=± 2p.及=± 2p.
mH +(—i 严]
mH +(—i 严]
^т,п
^т,п
[т?2 ——(т — 1)21 [/г* — (m 十 I)']' 0,
[1 + (-1尸"及
[т?2 ——(т — 1)21 [/г* — (m 十 I)']' 0,
[1 + (-1尸"及
п /= w—1;
п /= w—1;
п = т—1;
п = т—1;
п 声 /п+1,
п 声 /п+1,
п = /п + 1,
п = /п + 1,
Mk,2p
Mk,2p
庐一4状 0,
庐一4状 0,
^ =# 士 2р,
^ =# 士 2р,
及=± 2p.
及=± 2p.
Аналогичным способом из (3.32) получим
(3.44)(3.44)硯,0 = 4tg2§(%-/)旧=1,2,...)；
(3.44)
(3.44)
0,m = 2及，
(一 l)”i2M ctg-|-csc-|-cos2-J(tg^y\ m = 2k-i ^к=^^---^
OO-
Fm =cosFm =cosaa匕T»3+£ (-l)P(tgyyP(Pm-i,2p-Pm+i,2P),
Fm =cos
Fm =cos
a
a
Р?Н,2PР?Н,2P[(-1Г-1][(-1Г-1]涼 + 4P2涼 + 4P2(后一4w2‘(后一4w2‘т 声 2p,т 声 2p,(3.45)(3.45)(p =1,2,...),(p =1,2,...),P?n-l,0 ~P?n-l,0 ~0,'(_1)тт_](in — I)2冗2丁，0,'(_1)тт_](in — I)2冗2丁，m = 2pm = 2p『"声1,Pm+1,0W — 1,『"声1,Pm+1,0W — 1,_(—4 严+1 一 1_(—4 严+1 一 1(^ + 1)2(^ + 1)2
Р?Н,2P
Р?Н,2P
[(-1Г-1]
[(-1Г-1]
涼 + 4P2
涼 + 4P2
(后一4w2‘
(后一4w2‘
т 声 2p,
т 声 2p,
(3.45)
(3.45)
(p =1,2,...),
(p =1,2,...),
P?n-l,0 ~
P?n-l,0 ~
0,
'(_1)тт_](in — I)2冗2丁，
0,
'(_1)тт_](in — I)2冗2丁，
m = 2p
m = 2p
『"声1,
Pm+1,0
W — 1,
『"声1,
Pm+1,0
W — 1,
_(—4 严+1 一 1
_(—4 严+1 一 1
(^ + 1)2
(^ + 1)2
Запишем также выражения коэффициентов интенсивности тангенциальных контактных напряжений на концах накладок:
lim /а —京阳,4=】im /а + gr (g).
Е~а-оА-а+о
Приняв во вниманиеПриняв во внимание"1 ="1 =а sec^а sec^sec аsec а"j/2 sin а"j/2 sin а4Л限答4Л限答+ 2+ 2/2 -/2 -а sec еа sec еsec аsec а■j/2 sin а■j/2 sin а4л s©W4л s©W+ 2(-1)“&?+ 2(-1)“&?(3.46)(3.46)и (3.23), будем иметь
Приняв во внимание
Приняв во внимание
"1 =
"1 =
а sec^
а sec^
sec а
sec а
"j/2 sin а
"j/2 sin а
4Л限答
4Л限答
+ 2
+ 2
/2 -
/2 -
а sec е
а sec е
sec а
sec а
■j/2 sin а
■j/2 sin а
4л s©W
4л s©W
+ 2(-1)“&?
+ 2(-1)“&?
(3.46)
(3.46)
системысистемыОтметим, что условие полной регулярности бесконечной (3.24) принимает вид
системы
системы
а
$|-(入口 ]/cos 号+ tg а) < 1-
В разбираемом частном случае однородных накладок на ЭВМ ЕС-1022 были приведены числовые расчеты. Было положено v2 = =0,3 и рассматривались следующие значения параметров 九瓜 а: 入= 4/7; 1; 2; 4; 6; а = л/16, л/8; л/4; 7л/16, притом каждое значение 九 сочеталось со всеми данными значениями а. Отметим,
что значение 九==4/7 соответствует случаю абсолютно жестких накладок (^ = 8). Вычисления проводились с точностью
до 10~5, для достижения чего понадобилось заранее решать соответствующую (3.24) укороченную систему, состоящую из 15—20 уравнений. При этом существенно использовались фор-" мулы (3.43)—(3.45), а также формулы (3.38) и (3.39). Вычисленные по формулам (3.19) и (3.18) значения тангенциальных и радиальных контактных напряжений т(^) и q(g) при указанных
значениях параметров X и а приведены на графиках (рис. 3.8——
. Значения коэффициентов интенсивности ^! и Л2 в указан-
ной последовательности, вычисленные по формулам (3.46), приведены в табл. 3.3.
Анализ численных результатов позволяет сделать следующие выводы.
При возрастании X и а напряжения т(^) в каждой фиксированной точке, как правило, в интервале (—а, 0) убывают.
а в интервале (0, а) возрастают. Их возрастание в интервале (0, а) обусловлено краевым эффектом в точке ^ = а. Дело в том, что возрастание 九 приводит к уменьшению жесткости системы накладка —диск EJEf вследствие чего сила натяжения в лентах в основном передается некоторой малой окрестности точки 心=а. Последнее в свою очередь приводит к увеличению коэффициента интенсивности А{ и уменьшению коэффициента Л2, что видно из габл. 3.3.
Напряжения же q(g) в каждой фиксированной точке с возрастанием X и а строго возрастают.
По мере возрастания X и а напряжения т(^) и ?(己)меняют знак, что обусловлено появлением значительной поперечной деформации в направлении реи Оу.
3) По данным графиков на рис. 3.8—3.9 (а = п/16, п/8) напряжениями q(W)по сравнению с т(^) практически можно пренебречь. По данным же графиков на рис. 3.10—3.11 (а = п/4, 7п/彳6) напряжения g(g), как правило, существенно превосходят
Таблица 3.3. Значения Alt А2
а
4/7
1
2
4
6
л/16
0,15222
0,11808
0,16823
0,10888
0,20489
0,08802
0,27548
0,04859
0,34273
0,01192
л/8
0,13344
0,08164
0,15731
0,06790
0,21094 0,03757
0,31062
—0,01674
0,40180
-0,06410
л/4
0,16880 0,06619
0,21362
0,03956
0,31007
—0,01545
0,47706
-0,10343
0,61981
-0,17165
7л/16
0,90475
0,14361
1,17419
—0,03903
1,68346
—0,35255
2,44448
—0,74557
3,04534
—1,00281
напряжения т(^), и ими нельзя пренебречь. Итак, при малых а (а < л/4) действительно можно не учитывать радиальных напряжений q(R).
Упругая плоскость, усиленная включениемконечной длины
В этом параграфе изложим решение задачи контактного взаимодействия тонкостенного прямолинейного включения конечной
Рис.-3.12.Рис.-3.12.длины с упругой плоскостью.
Рис.-3.12.
Рис.-3.12.
Пусть упругая плоскость с модулем упругости Е2 и коэффициентом Пуассона v2 (параметры Ляме 九2 и 卩2)на конечном отрезке оси Ох [~ а, а] усилена включением малой толщины 无瓜 в точках zh = =4 + 力办(/г = 1, 2,. •N; zh =# 士а) загружена сос-
редоточенными силами Qk = Xk+. iY^ а на бес
конечности по направлению осей Ох и Оу подвержена равномерно растягивающим усилиям интенсивностей р н q соответственно (рис. 3.12). В условиях плоской деформации требуется определить контактны^ напряже-
пия, действующие на участке соединения включения с плоскостью, и осевые усилия на его концах.
Включение будем считать тонкой пластиной, лишенной изгиб- ной жесткости. Следовательно, для него основными уравнениями будут (8.17) гл. I, которые в рассматриваемом случае запишем в виде
(4.1)(4.1)(—а <С % -^ а) I Es =(—а <С % -^ а) I Es =Е^1 一酬Е^1 一酬旦2~ = — н (%) + Т-(①)，g (%) = 5+ (%) = 0-(N)
(4.1)
(4.1)
(—а <С % -^ а) I Es =
(—а <С % -^ а) I Es =
Е^
1 一酬
Е^
1 一酬
Здесь а土(n) и 七土(n)——соответственно нормальные и тангенциальные неизвестные контактные напряжения на верхнем (с индексом «+») и нижнем (с индексом «~») берегах включения,比式花)и vY{^ — перемещения его то^ек в горизонтальном и вертикальном направлениях соответственно.
Итак, нормальные напряжения на берегах включения скачка не им^ют, а тангенциальные напряжения вследствие Ei^O на берегах включения всегда имеют скачок. Далее, обозначив
m花)=t+(花)一хАx) (一a v 力 v a)，
из (4.1) будем иметь
一 х-
Е (%) = & J = "g~ 尸1 — ] £§ (s) d§ (—。V n V a). (4.2)
Условие равновесия стержня имеет вид
[ts (s) ds = Pi —尸2,[ts (s) ds = Pi —尸2,(4.3)(4.3)
[ts (s) ds = Pi —尸2,
[ts (s) ds = Pi —尸2,
(4.3)
(4.3)
где Pi и P2 ——неизвестные осевые усилия на его концах n =—仅 и х = а соответственно.
Рассмотрим две постановки задачи. В первой постановке принимается условие совместимости горизонтальных деформаций включения и упругой однородной сплошной плоскости, загруженной по отрезку [―仇 а] оси 0% тангенциальными напряжениями интенсивности —т5(ж), а также указанными выше сосредоточенными силами и силами на бесконечности. Эта модель, по существу, совпадает с принятой в работе [4]. Горизонтальная деформация точек оси Ох плоскости 幾⑺ от этих силовых факторов,
согласно известным результатам [И, имеет вид
а2呻2 а + 乂)J $—£а2呻2 а + 乂)J $—£ds -ds -
а
2呻2 а + 乂)J $—£
а
2呻2 а + 乂)J $—£
ds -
ds -
2叫（5）a %_%广+yf十叫（+）д s依一咽2+y計2
0 (― 8 OV8).0 (― 8 OV8).,1 V v ("f)2T “ . X+1
0 (― 8 OV8).
0 (― 8 OV8).
十2叱5 EJft"一%)2+确产什丽P
(4.4)
Приняв во внимание условие контакта
£х (n) % (n)( а "^ n а)
и перейдя к безразмерным величинам, из (4.2) и ^А) получим следующее интегро-дифференциальное уравнение задачи:
J ^f1 =大? ⑹ Ф(?) + / ⑶一九网? ⑥，(4.5)
屮'(E)=工(E)，屮(E) = J т (n)师 Y (E) = 1% (E),
…务后X 至:庐鵠f+
+ 与 g y左 f（E-W^+确* % + '°'° 一卩"'（4 6）
4“1-у；）（1—у?）/二 «J唠2 以тнe前帀人。一房二寸，因4“1-у；）（1—у?）/二 «J唠2 以тнe前帀人。一房二寸，因4V2 (D4V2 (D3一統3一統,x=3—-4v2.,x=3—-4v2.
4“1-у；）（1—у?）/二 «J唠2 以
тнe前帀人。一房二寸，因
4“1-у；）（1—у?）/二 «J唠2 以
тнe前帀人。一房二寸，因
4V2 (D
4V2 (D
3一統
3一統
,x=3—-4v2.
,x=3—-4v2.
При этом условие (4.3) приобретает вид
J t⑹或=Pi — Pz・(4・7)
Здесь введены безразмерные координаты
n = ag, у ат], № = /, j =：擬 (“匸 1, 2, . ♦N)
п безразмерные величины
"7 (成) 心Xk -—a— = T 代)，一у- = ай"7 (成) 心Xk -—a— = T 代)，一у- = ай7- = h (к = 1,2,N),7- = h (к = 1,2,N),
"7 (成) 心Xk -
—a— = T 代)，一у- = ай
"7 (成) 心Xk -
—a— = T 代)，一у- = ай
7- = h (к = 1,2,N),
7- = h (к = 1,2,N),
匕％aPaq
-p~ = Pi， —p~ = 02，丁 = P^- 丁 ^ %，
где P — одна из сил IX/, I Yk\ (A = 1, 2,.. .,N), ар и aq、которые, очевидно, одновременно не обращаются в нуль. Кроме того,, функция х(Е)характеризует неоднородность включения, и, как ранее, считается
К"/)=笈i(ag) = Ei(O)Yi(W)= EiYi(W) (^i = E^)).
Усилия /л и 卩2, точнее Pi и P2, будем определять из соотношений
拉/2Л/2
j 5с (— а, у) dy 二尸1,} 6с (а, У)dy ~ Р^
-й/2 +-й/2
九0,I о(1, ZZ)血=02， 』о/2二 р , у = аи.九0,I о(1, ZZ)血=02， 』о/2二 р , у = аи.(4.8а)(4.8а)где cf*(n, у)——горизонтальная компонента поля напряжений, вызванного в упругой однородной сплошной плоскости распределенными по отрезку оси Ох (—а, а) и направленными по ней силами интенсивности —Ts(n), а также указанными выше сосредоточенными силами и силами на бесконечности. Эти соотношения в безразмерных величинах выглядят так:
九0,
I о(1, ZZ)血=02， 』о/2
二 р , у = аи.
九0,
I о(1, ZZ)血=02， 』о/2
二 р , у = аи.
(4.8а)
(4.8а)
"“2
J о(— 1, и) du = Ри -ло/2
, h г(/у) 耳工力 0 & m) = p
Во второй постановке задачи принимается условие совместности горизонтальных деформаций включения и упругой однородной плоскости со щелью по отрезку [—а, а], загруженной по берегам щели нормальными и горизонтальными силами соответственно интенсивностей —q土(n) и —т土(n), а также исходными сосредоточенными силами и силами на бесконечности. Чтобы вывести уравнение задачи в этом случае, отдельно рассмотрим верхнюю и нижнюю полуплоскости, притом относящиеся к ним величины отметим индексами «+» и «—» соответственно.
Сначала запишем формулы для перемещений точек верхнего п нижнего берегов включения [5, 6]
〃i (n, 0) ± ?心1〃i (n, 0) ± ?心1=% (% 0)( а V； n V； а),=% (% 0)( а V； n V； а),(4・9)(4・9)
〃i (n, 0) ± ?心1
〃i (n, 0) ± ?心1
=% (% 0)( а V； n V； а),
=% (% 0)( а V； n V； а),
(4・9)
(4・9)
где 〃i(胃,0) и 少1(胃,0)——перемещения (горизонтальные и вертикальные) точек срединной линии включения.
Перемещения же граничных точек верхней и нпжпей полуплоскостей даются формулами [И
〃万(胃,0)==
=干謊 j 1ПЙ=Й t土 ⑹ ds -詔 j sgn(x-s)g土(s)ds+/± (%),
ук(4.10)
碍⑷0)=
=±鑑]1nl^7rg 土 (s) ds-気 j Sgn(x-s)t土 (s)ds + g 土⑺
(—OO Vk <8).
Здесь /土(胃) и g土(胃) —— соответственно горизонтальные и вертикальные перемещения граничных точек верхней и нижней полуплоскостей от приложенных к ним исходных сосредоточенных сил и сил па бесконечности, притом если сосредоточенные силы приложены к точкам оси Or, то половинки этих силовых векторов отнесем к верхней полуплоскости, а половинки ——к нижней.
Далее, потребуем непрерывности компонент перемещений:
以i (花，± 无/2) = u^ (芻 0),(, I分
% (瑞 土 无/2) = % (/,0)=诘(胃,0) = V；(%,0)(— a V宏 Va).
Но поскольку
疗(/,0)=或(芻 0)(— a V 胃 V a),
то отсюда и при помощи последних соотношений (4.11) и (4.10) можем записать
鎧 j Iny^g^dsN^ J Sgn(z-S)Ts(s)dS-g0^)
(—8 V 况 V OO).
После дифференцирования последнего равенства и его обращения как сингулярного интегрального уравнения на бесконечном интервале получим
9 ® = - Й^П j Г=Т ds + гйг)仇⑺(1 °° V ^<00),(442)
G)(尤)=J •，？：, go ⑴=g+ ⑺-g_(纪).
С другой стороны, используя первые два равенства (4.11), а затем (4.9) и (4.10), получим
〃i (爲 0)=
二—誤 j In 击 Ts(s)ds—露 J SSn(x-S)q(S)dS + f(x), 2 _oo2
откуда
总⑺=-諡 j 一号g⑺+广⑺，(4」3)
/ (况)=3 3 ⑺ + /一 ⑺](一a V 胃 V a)，
где /(胃)一 половина горизонтальных перемещений точек оси Ох плоскости со щелью, загруженной исходными сосредоточенными силами и силами на бесконечности.
Отметим, что в уравнении (4.12) отражено условие непрерывности вертикальных перемещений верхней и нижней полуплоскостей на линии включения, а в уравнении (4.13) отражено условие совместимости горизонтальных деформаций включения и плоскости со щелью.
Снова обращаясь к (4.9) и (4.11), получим
h ^- = 〃^ (况，0)——〃^ (方,0)(—-a V 胃 V a)，.
% (胃,0) = 4"[好(况,0) + 不(花,0)](- 8 V 花 V оо).
Но из (4.10) имеем
%(%,0) = —帰 J sgn (ж-s) [т+ (s)+t_ (s)] ds+g (ж) (—aVz<a).
Сопоставление последних формул даст
—^•九[工+ (#) + т- (z)] + 九g'⑺=U2 (昊,0) — ut (z, 0) (4.14)
g(%)= T [g+ ⑺ + gj ⑺](一 〃 v 胃 v 〃)，
где g(胃)——половина вертикальных перемещений точек оси Ох плоскости со щелью, загруженной исходными сосредоточенными силами (силы на бесконечности на оси Ох не дают вертикальных перемещений),
С другой стороны, из (4.10) будем иметь
J 1пТ7~Г| [т+(S)+T- (s)]ds+f_(x)—f+(x) = u2 (ж,0)—^(ж,0) 2 -оо
(—8 V 力 V ОО).
Введем обозначения
"、_ 卜+8)+ t-(2) |х1Va,2)=①(办\х\>а,
屮(久)=a^ (х，0) - а£ (Х，0)(— оо V 2 V оо);
очевидно, что「(胃)，0 при |穽| V а и *(胃)三 0 при \х\ >а. Тогда
^- J 1п]7^у 力(s) ds = — 屮(z) + /0 (ж) (-оо <ж< оо), 2 -ОО
откуда после дифференцирования и обращения соответствующего сингулярного уравнения находим
*浦=京可而! *_一而罚)不h (-8VXV8), (4.15)/oU) = /+(£)一/一(花).
После подстановки сюда выражения t(x) = т+(х) + т-(л：) (I胃I V V а) из (4.14) придем к следующему сингулярному интегро* дифференциальному уравнению:.
£■]"導' =誥士誥屮 ®+4(х)(-aVxV〃)，(4.16)
(4.17)(4.17)w(一a)=w(a)=0,
(4.17)
(4.17)
尸。8)=^ j'^ + ^^g'® (|£|V〃)・
При этом, как только что говорилось, из (4.14)
* G)= 万嘉万伙g'(х) +屮位)](12|Va)■(4.18)
Итак, определяющими уравнениями при второй постановке задачи являются (4.12), (4.13) и (4.15) —(4.18).
Далее, из (4.12) выражение g(z) подставим в (4.13) и учтем (4.2) и (4.4). После элементарных преобразований и перехода к безразмерным величинам для определения скачка тангенциальных контактных напряжений на берегах включения при вто-
рой постановке задачи получим следующее сингулярное интегро- дифференЦиальное уравнение:
при прежнем условии (4.7), где
九期=4/a）-七，d（啕，仇侬）=J得师
а остальные обозначения те же самые, что и в (4.6).
Теперь определим q(y), для чего значение интеграла из (4.13) подставим в (4.12) и учтем (4.2). После несложных выкладок будем иметь
7⑹=一屁⑹屮⑹+屈⑹Pi + Й<?о (啕一月⑹(一 1 V自V 1)，
'(4.20)
不 叩2(К — !)(!— V；)- a% d + K)
G® =啥,万(з = T^T"Е)， 41yx^+"〃'侬)="日-
Итак, после того как решено уравнение (4.19), нормальные контактные напряжения на берегах включения определятся по формуле (4,20) или же на всей оси Ох — по формуле (4.12).
Наконец, интегро-дифференциальное уравнение (4.16) при граничных условиях (4.17) в безразмерных величинах можно представить в виде、
1
^ J 署 W = A*%(E) + f*(E),(4.21)
1 %(-1) = "1) = 0,(4.22)
% (e) = J М (皿)师 九* = 需"卜 -1
8,
(E)-ь()(或)—-J 口 一三 I—h — 1 g(或)，
Х^Ра «_Га)2 +礁—
_ V J(自 -工У —确-I . У(自一或)确
I А [СМ)?+ 常 УК I t(L犷+冊1
16 в. M. Александров, С, М, Мхмтаряв
При этом соотношение (4.18) принимает вид
%") = i (成)=% [瓦屋(延)+ % ⑹](|g|<l),(4.23)
8%0h
0 А (х — 1)° 优
Итак, после того как решено интегро-дифференциалыюе урав- некие (4.21) при граничных условиях (4.22), сумма тангенциальных контактных напряжении па берегах включения определится по формуле (4.23) или же на всей оси Ох — по (формуле (4.15).
Неизвестные осевые усилия в концах включения при второй постановке задачи определяются из условий
九"2呢2
，о (― 1, 〃) d〃 = —「и J о (1, 〃)&〃 = —夕2 (4.86) 一九()/2一&)/2
(o(E, и) = a% (芻 y)/P).
Очевидно, что условия (4.86), как и условия (4.8а), непосредственно вытекают из условий непрерывности напряжений ох справа и слева на вертикальных отрезках {% = ±а, \у\ < h/2} стыковки включения с упругой плоскостью и фактически выражают эти условия в интегральной форме. Здесь “(е, у) — горизонтальная компонента поля напряжений в упругой плоскости со щелью по отрезку [—а, а」，вызванного приложенными сосредоточенными силами и силами па бесконечности, а также нормальными и горизонтальными силами соответственно интенсивностей — qAx) и —т土(е), действующими на верхнем и нижнем берегах щели.
Таким образом, при первой постановке задачи разрешающими уравнениями являются пнтегро-дифференциальное уравнение (4.5)при условии (4.7) и уравнения (4.8а), в результате решения которых определяется скачок тангенциальных контактных напряжений на берегах включения и осевые усилия па его концах.
При второй постановке задачи разрешающими уравнениями являются: (4.19) при условии (4.7); (4.21) при условиях (4.22), (4.86); а также уравнения (4.20), (4.12) и (4.23), (4.15), откуда все характеристики задачи полностью определяются.
Отметим, что уравнения (4.5) и (4.19) отличаются друг от друга только своими правыми частями. Это обстоятельство указывает на то, что качественная картина распределения основных механических характеристик при обеих постановках задачи одна и та же. Отметим еще, что при второй постановке задачи добавляется уравнение (4.23), откуда определяется скачок горизонтальных перемещений па берегах щели, и, следовательно, его появление обусловлено наличием щели.
Построим теперь решение указанных уравнений. Решение уравнения (4.5), как и в § 2 гл. П, представим в виде
2 Wn⑸
№ = $'(&) =、一,(-1VEV1).(4.24)
Тогда
屮⑸=% 得十 arcsin J) - УГ^2 ^ Ui ⑥(一1 V E V1),
(4.25) притом из (4.7)
& = ；(Pi —Р2)・(4・2б)
Далее, известным способом получим бесконечную систему
^т + 九 ^J Km,TiNn ~ ^т + 人入Ьт九РКт(^ = 1, 2, . . ) (4.27)
/," =^ ]\(自心吁1(自)乙-1 ⑹(1 一賢)恋(m,n = l,2, ...),
1.
…打 〃§ UmT (E) /匸&E,
т(4.28)
% = J «十 ^arcsin, Um-i (三)Pl —¥丫 闺疵 (m = 1, 2,...),
Решение бесконечной системы при правой части, равной ат, обозначим через ^т, при правой части Ьт через 汇^, а при правой части Ст — через е^. Тогда
宏т =爲 + 入/球—入р丄编(т = 1, 2, ...).(4.29)
Обращаясь теперь к интегро-дифференциальпому уравнению (4.19), его решение тоже представим в виде (4.24). В результате опять придем к бесконечной системе (4.27) и формулам (4.28), где, однако, функцию /(^) следует заменить функцией 无(三).
16*
В данном случае (4.29) также имеет место. При помощи последнего и из (4.24), -14.25), (4.20) и (4.26) можем записать Ч
t （自）=屮'（3 =t （自）=屮'（3 =1 +九儿阳一入冗必阳1 +九儿阳一入冗必阳Р1Р11 +九在阳 ,爲阳1 +九在阳 ,爲阳
t （自）=屮'（3 =
t （自）=屮'（3 =
1 +九儿阳一入冗必阳
1 +九儿阳一入冗必阳
Р1
Р1
1 +九在阳 ,爲阳
1 +九在阳 ,爲阳
(4.30)
Ф (^) = ^ + - arcsin 自一3 /1 一 f①Ь (三)十% Ml -$①e (自)]Pi - -[|+ 3rcsin 自 一事/=1a自)]网一m匸0①。位)(图VI)； (4.31) 《(В = a (三)+ «1 (占)P1 + «2 (占)P2，(4.32)
X/ (E) = W хпТп(自)(力=*
8 /(4.33)
①"3 =二 …(3；
a阳=口G。(啕一石(S +丽(E) Фа阳/厂号(I 自 I V) 旬(三)=呪闺 住一 / arcsin自+ ^ M厂贯琢化)一九 万二百叫則,
(4.34)
“2 (3 =猊 ®[4 + ^- arcsin 占-% МГ^¥а 间.
представим формулойпредставим формулойНаконец, решение уравнения (4.21)
представим формулой
представим формулой
%(Е)=%(Е)=2 у/“(&)м=02 у/“(&)м=0/1 -g2/1 -g2(Rl<i)，(Rl<i)，
%(Е)=
%(Е)=
2 у/“(&)
м=0
2 у/“(&)
м=0
/1 -g2
/1 -g2
(Rl<i)，
(Rl<i)，
притом из (4.22)孔=0 н, следовательно,
%(Е) = _/Г=Т 方“т ⑹.
])Формулами (4.30) и (4.31) дается решение уравнения (4.5).
При помощи последнего уравнения функция %(/) определяется из (4.23), а коэффициенты {у^}農i ——из бесконечной системы
Ут + 入來 » ^m,n Уп = dtnin=i
1
E“n = ^ J Un^ ^U^^ V^^<^ (网兀= 1,2,…)，
麻=^ J f* (S um^ pr^应.
Исследование на регулярность полученных здесь бесконечных систем проведено в § 2 гл. II, и поэтому на нем здесь останав^ ливаться не будем.
Отметим, что 7?т,« выражается формулой (2.32) гл. II.
Перейдем к рассмотрению важного вопроса об определении усилий на концах включения. Этот вопрос сначала обсудим в первой постановке задачи. Воспользуемся известной формулой [1J
Ох + irxy = Ф(г) + Ф(Г) - гФЪ) - W),(4.35)
где комплексные потенциалы Колосова — Мусхелишвили в разбираемом случае упругой однородной сплошной плоскости имеют вид [1J
aN
⑦] С % (s) ds] q X片 + %Q
丿一 2Л(1 + 况)J s - z 2a (1 + X)纟 z - z片十 4 ，
= ―— f M—f Es(s.)艺 +
(丿 2a (1 + h) J s -z 十 2Л(1 + *)J (s_ z)2 十 — а—а/
NN・
] 况 К X在 一 »У在1§ (Xk + iYk)zk ' I q — p
十 K(1 FxJ £2л (1 + x) £ —(z—z在)2h 2 •
(4.36)
После некоторых несложных операций и перехода к безразмерным величинам из (4.35) и (4.36) находим *)
-2"（；L）［U）2 -7^> 卜⑺ d^-
口 （1 + %） Re
£爲d»几+ 2 £爲一 ％ 1
仁 1 ■ Zk2 M 一 /
十（爲一声*十凡・（4・37）
Теперь, подставляя （4.37） в （4.8а）, притом заранее полагая 匕= =±1 + iu （|〃| < /г-о/2）, а затем вычисляя некоторые элементарные интегралы, после несложных выкладок получим соотношения
- 前金J arctg ［环%卜⑺dn +秋3 （ ［arctg ［箫f-
-1 -1 I
2 五1n
—4耳+77+砾卜⑺词一丛=a+' &・38）
— 詰^jarctg（而% *⑺力］十
+击而J卜rctglmf）—4（外_1）2皐砾卜⑺對一网=乙
Здесь введены обозначения
N
^+ - - hQpQ 干行工 XkA （士 马，y&, 九。）-
N
/（^1） 2 ^h 山［歩（± 爲，加，*0）+ 0 （± 爲，嘉，%）］干
干 £ Ха 6（±冲，一Ун, h0）C （± а：д,—Уа, %）） J I %"十
莒 Lло + 2%
十 6 （ ± %, yh, h^C （± 容，yk, h0） -2~+
'л （1 + x）
^Yk
巨=1
◎ （ 士 3，-Уk,期）
仇一2疗
（Ло + 2犷
—С2 （士 簿г, Ук, ^0）
仇+ 2加）2］（% - 2?加）［
4（4, У hi 力 °） ~
arctg
ho 一 2%
2（1+ 陶
卜 arctg
综+ 2y儿
^+^）1
с （五，yk, h0） =A& = М4（1 + ^）2 + （% + 2^）2.
Далее, воспользовавшись （4.30） для определения неизвестных усилий 卩]и 卩2, из （4.38） получим следующую систему из двух уравнений:
aгpi +a12歹2 —
（4.39）
&通 +a22 卩 2 ="一， где
a11 = Xj_Af+ + x2n+ 1, a21 ~ 乂1?1/ + "2%，
a12 ~ 覚 1 加"^ 乂2n^，a22 ~ Y1 加"oX^Nо 1，
_3十况2
"1 一 Я （1 + X）1"2 一以（1 + %）'
7?=17?=1
£±800
?г=1п=1
需=、（4.40）
"士 =- 乂2 ? L^X*,"士 =- 乂2 ? L^X*,
"士 =- 乂2 ? L^X*,
"士 =- 乂2 ? L^X*,
砲⑺di] /1—n2砲⑺di] /1—n2^«^ Jarctg（^Tiy）• /^ （兀= 0,1,2,
砲⑺di] /1—n2
砲⑺di] /1—n2
Г± （Ч\、2 小外 ±1）
Ln = J] [arctg（2g 土 1）J - 4（外± 1）2+%
Таким образом, в первой постановке задачи определение неизвестных усилий на концах включения сводится к решению алгебраической системы （4.39）.
Перейдем теперь к обсуждению условий (4.86), откуда должны определяться усилия р、и р2 при второй постановке задачи. В этом случае в отличие от первого аналитическое выражение напряжений о式土& у) для плоскости со щелью довольно сложно. Однако их распределение в окрестности концевых точек щели (разреза) довольно точно и просто описывается коэффициентами интенсивности напряжений. Поэтому целесообразно предварительно вычислять соответствующие коэффициенты интенсивности, для чего следует пользоваться комплексными потенциалами для плоскости со щелью, загруженной по берегам силами —д±(/) и —t土(а) («+» относится к верхнему берегу, а «—» относится к нижнему бёрегу), исходными сосредоточенными силами и силами на бесконечности. Но очевидно, что при этом сосредоточенные силы роли не играют, и, следовательно, их можно опускать. Для данного случая комплексные потенциалы имеют вид [1]
①(z) = Фо (z) + X；，)- "^「'，R (z)二。。⑶ + 齧^ +y「，
Фо (z)=Фо (z)=Qo (z)=Qo (z)=11112лЕХ (z)2лЕХ (z)X (s) p* (s)曲X (s) p* (s)曲厶⑻ds厶⑻ds2л iX (z)2л iX (z)aa(4.41)(4.41)
Фо (z)=
Фо (z)=
Qo (z)=
Qo (z)=
1
1
1
1
2лЕХ (z)
2лЕХ (z)
X (s) p* (s)曲
X (s) p* (s)曲
厶⑻ds
厶⑻ds
2л iX (z)
2л iX (z)
a
a
(4.41)
(4.41)
X (z) = p匸猪，Л (z) = CQz + J, X ⑺=X+ ⑺=2 p二获
притом
T (z) — Й (z)—①(z) — z* (z),
P*(2)= - q(2)- #(z)， 0*(2)=-子匕(2),(4.42)
「一p十0 _ q 一 p
После подстановки (4.42) в (4.35) получим о% (伤 у)=
-|[ф(Z)+ 西]+ 打 В (z) — ^7^] — ^ [Q (刁 + 屯(2)], (4.43)
где, согласно (4.41),
①」一f Pd — s2[2g (s) + i“s)] ds_ 4л Mz? — a2 &s — z
q —Pq —P(4.44)(4.44)一丄f卫竺办+空空一
q —P
q —P
(4.44)
(4.44)
4 冗工 $ - z + /?Z^
114n /?Т^ Д4n /?Т^ ДPd — S? [2q (s) — “ (s)]Pd — S? [2q (s) — “ (s)]ds +ds +(4.45)(4.45)] j J/一 s? [2g (s) + " (s)]4n V^z2 — a2 Ja (s — z)?
1
1
4n /?Т^ Д
4n /?Т^ Д
Pd — S? [2q (s) — “ (s)]
Pd — S? [2q (s) — “ (s)]
ds +
ds +
(4.45)
(4.45)
(4.43a)(4.43a)%(C/ + %)z
(4.43a)
(4.43a)
m?二7 —①一/)3/2•
2 (х + 1)2 (х + 1)丄W；匸7丄W；匸7或T + 乂或T + 乂Для определения постоянных Со и С^ имеем соотношения [1]以=T十^口，
2 (х + 1)
2 (х + 1)
丄W；匸7
丄W；匸7
或T + 乂
或T + 乂
(4.46)(4.46)+ J [Q^ ⑺一Q) (e)] dx = 0,
(4.46)
(4.46)
где второе равенство выражает условие однозначности перемещений.
При помощи (4.41) легко получить
^("■)一фо(2)= "т ｛匕占主@殁十g*(2)
a • (丨 z|Va),
Qj(2) - Q丁 (z) = —7== J P/[W*C)咆-g* (%)•
Отсюда с учетом формулы (2,16) гл. II находим
a -а
j [崂(2)—①;Г ⑺]d2 = j g*(2)汲，
Подставляя последнее уравнение в (4.46), окончательно будем иметь
& = * С^-^^Г^-Р^(4・47)
У)(0 СУ 2)・вычислим пределС М戸二?2[2д⑻+ 计 W] ds_У)(0 СУ 2)・вычислим пределС М戸二?2[2д⑻+ 计 W] ds_Приступим теперь к вычислению коэффициента интенсивности
У)(0 СУ 2)・вычислим предел
С М戸二?2[2д⑻+ 计 W] ds_
У)(0 СУ 2)・вычислим предел
С М戸二?2[2д⑻+ 计 W] ds_
麻=lim /^аж (а,
у-*+о
竝产(s)4л J s — z竝产(s)4л J s — zСначала, исходя из (4.43) и (4.44), lim МуФ (z) = limУ?「「
竝产(s)
4л J s — z
竝产(s)
4л J s — z
办 + См + С\) ‘yl^£ F — Му 9%? (z = а + 勿)，
Чтобы найти предел последнего интеграла, воспользуемся представлением (4.24), которое в данном случае удобнее записать в виде
(|z|Va),(|z|Va),
(|z|Va),
(|z|Va),
и известным способом вычислим интеграл типа Коши [11, кото
рый даст
2 Г Т"(з/а)ез不!(-z))Z亡?2 Г Т"(з/а)ез不!(-z))Z亡?11lim ^-Р^У-十。汽=0lim ^-Р^У-十。汽=0工(z/a)(n 二 0).工(z/a)(n 二 0).(n — 1, 2, • • •),(n — 1, 2, • • •),На основе этого равенства 9На основе этого равенства 9lim公+olim公+o匕2_/匕2_/
2 Г Т"(з/а)ез
不!(-z))Z亡?
2 Г Т"(з/а)ез
不!(-z))Z亡?
1
1
lim ^-Р^
У-十。汽=0
lim ^-Р^
У-十。汽=0
工(z/a)
(n 二 0).
工(z/a)
(n 二 0).
(n — 1, 2, • • •),
(n — 1, 2, • • •),
На основе этого равенства 9
На основе этого равенства 9
lim
公+o
lim
公+o
匕2_/
匕2_/
e-E/工 К Т* (а) е-Е/4 布2产=g •
')Этот предел можно вычислить также при помощи асимптотических формул для интеграла типа Коши вблизи концов отрезка интегрирования ]；：(см. § 5).
Следовательно,Следовательно,lim Му ①(z)“Тоlim Му ①(z)“То譌l2g…(s)] }/君 +譌l2g…(s)] }/君 +
Следовательно,
Следовательно,
lim Му ①(z)
“То
lim Му ①(z)
“То
譌l2g…(s)] }/君 +
譌l2g…(s)] }/君 +
(4.48)(4.48),e』气®, (%c + %)e-E/4
(4.48)
(4.48)
十 4"盃 T 诵
Аналогичным образом
lim ру Q (z) = ——т=”+о丿 4 叭/2。lim ру Q (z) = ——т=”+о丿 4 叭/2。J [2g (s) — it (s)] J注-ds —
lim ру Q (z) = ——т=
”+о丿 4 叭/2。
lim ру Q (z) = ——т=
”+о丿 4 叭/2。
ее1仙球⑷I (С№+С1)1仙球⑷I (С№+С1)е— Е/4е— Е/44 V2反4 V2反у 2；у 2；(4.49)(4.49)
е
е
1仙球⑷I (С№+С1)
1仙球⑷I (С№+С1)
е— Е/4
е— Е/4
4 V2反
4 V2反
у 2；
у 2；
(4.49)
(4.49)
产2?f pc" — s2[2g(s) + "(s)] 74" 俨 一 /)3/2 j國产2?f pc" — s2[2g(s) + "(s)] 74" 俨 一 /)3/2 j國产Q ( z4 p/T^W?^产Q ( z4 p/T^W?^
产2?f pc" — s2[2g(s) + "(s)] 7
4" 俨 一 /)3/2 j國
产2?f pc" — s2[2g(s) + "(s)] 7
4" 俨 一 /)3/2 j國
产Q ( z4 p/T^W?^
产Q ( z4 p/T^W?^
Далее, для вычисления предела lim у3/2Фг (z) заметим, что функ- ции q(/) и %(胃)при z = 士〃 ограничены. Ограниченность g(片) при х = ±а вытекает из (4.12), (4.13) и (4.2), а ограниченность 力(力)при е = ±а——из (4.18). Исходя из этого, положим
[2g⑶+ it3川』=Q
и вычислим интеграл
G % = W J - :二 $ ds = Q(V^ ~ a2 — z).
Отсюда имеем G，(z) = Q (.尸：」.—1 j. Теперь при помощи \ И 22 一 a2 /
последнего соотношения из (4.43а) можем записать
lim г/3/2Ф7 (z) = lim
У 3/2 С р/ — s2[2g(s)+"(s)—Q]血一4mm式二7丄，(s_z产
必f人丄 (C。z+%)z产]
В этом выражении второе, третье и пятое слагаемые стремятся
к нулю, и, следовательно, аналогично сделанному выше получим
lim 严2①'(z)=lim 严2①'(z)=ae-3E4 * ,、(С/ + %)魂-3m/4
lim 严2①'(z)=
lim 严2①'(z)=
_4(2炉/2 а ⑷：(2^
-Z^f 幽⑻十双S)] M沼 ds. (4.50)
Приняв во внимание (4.48) —(4.50), из (4.43) находим
Ит Уу % (а, у)=夂扌(0 V у V 力/2),(4.51)
=号房 j° ⑸ y^ds + ^=\t(s)/^ds + r —a—a
+託T：S)+手以+爲g■(452)
Аналогичным образом установим также следующие соотношения: lim V^a^a, у) = Ka, lim Уу ох(—а,у) = К±а, ут-0 -
lim /?%(一a,y)=女二(0VUV九/2);(453)
к±а =к±а =a—77= f ”s) 8л Д/a ❷a—77= f ”s) 8л Д/a ❷з 腺 т/7 с】+ 8V7Ts ⑷ + 診& + Г{7^з 腺 т/7 с】+ 8V7Ts ⑷ + 診& + Г{7^M^d$ +鳥:M^d$ +鳥:a — (454)J g(s)/^ds-a — (454)J g(s)/^ds-—a3—a38 ]/〃 a8 ]/〃 a* /\% 一 毋* /\% 一 毋4m ~|/a"p(WgI"(s) —4m ~|/a"p(WgI"(s) —2而—2而—
к±а =
к±а =
a
—77= f ”s) 8л Д/a ❷
a
—77= f ”s) 8л Д/a ❷
з 腺 т/7 с】
+ 8V7Ts ⑷ + 診& + Г{7^
з 腺 т/7 с】
+ 8V7Ts ⑷ + 診& + Г{7^
M^d$ +鳥:
M^d$ +鳥:
a — (454)
J g(s)/^ds-
a — (454)
J g(s)/^ds-
—a
3
—a
3
8 ]/〃 a
8 ]/〃 a
* /\% 一 毋
* /\% 一 毋
4m ~|/a"p(WgI"(s) —
4m ~|/a"p(WgI"(s) —
2而—
2而—
Л/2f Ох (4 у) dy =二九2Л/2f Ох (4 у) dy =二九2
Л/2
f Ох (4 у) dy =
二九2
Л/2
f Ох (4 у) dy =
二九2
Далее, при помощи (4.51) и (4.53) можем записать
0九/2
Sc (a, У)dy =Sc (a, У)dy =J 0H (a, y)dy + J
Sc (a, У)dy =
Sc (a, У)dy =
-Л/2*0
р К十「.
= -^dy+ Z~dy= (я+ + К~) р瓯.
Аналогично
九/2
J % (— а, у) dy = (Kt。+ К二)У1К.
-%/2
Следовательно, в силу (4.86)
к±а + к-а = -^, Kt + K~ = -^.
В последних равенствах подставим выражения коэффициентов интенсивности из (4.52) и (4.54), затем перейдем к безразмерным величинам и примем во внимание формулы (4.30)——(4.32), а также формулы (4.47). После некоторых преобразований для определения неизвестных усилий р、и р2 отсюда получим следующую алгебраическую систему из двух уравнений:
(4.55)(4.55)Ъцр\ + 田2 卩 2 — С-,匕2 汉 i + 匕 22P2 = C+*
(4.55)
(4.55)
Здесь введены обозначения
&2 = 一 忆十 4市事-^ f "2(n)V|^ "n,
-1
_ а+ _ J м (п) М罟 а%
%? = _*г + 0+-4；(Г%Т j〃2(п)М|^а% к О—1
С± = 土 Y土 + ¥ 十急 f " ⑺ J*^ 办1'
-1
"土 =盡［1 +入融(± 1)-入口左(士力，
B土 = ^ к + 九融(土 I)］，Y土 = X。(土 1)，
Входящие в (4.56) функции 〃(&),貪式己)и 〃2(Е)выражаются формулами (4.34), а 左(Е)и ①t(E)(力=〃，fe, с) — формулами (4.33).
Таким образом, при второй постановке задачи усилия на концах включения определяются из системы (4.55).
Отметим, что вторая постановка точнее первой описывает исходную задачу. Одйако в первой постановке основные определяющие уравнения имеют более простую структуру.
Рассмотрим два частных случая загружения плоскости. В первом случае пусть Qk = Xk + iYk = О (А = 1, 2,…，TV), q = 0, 〃 # 0. Примем Р = ар, и тогда 〃о = 1, 7о = 0. Примем также, что включение однородное, т. е. у(三)三 1. Следовательно, из (4.6) f (三)三儿. С другой стороны, ввиду симметрии &九=0 ("= =0, 1, 2，...), откуда, в частности, вытекает, что р「р〔 Далее, из (4,28) с учетом (2.32) гл. II будем иметь
。8(2扭一1)
=_冗[(2汽—1)2 — 4 (m - 1)也(2汽二 1)2二 2j
W,汽=1, 2,…)，(4.57)
研т = [о,龍=2,3,32 = b m = 2,3,
Мт = 2(4.58)
•0,『几=2, 3，. • •
После решения бесконечной системы (4.27) с ядром (4.57) и правыми частями (4.58) в первой постановке задачи скачок тангенциальных контактных напряжений на берегах включения определится по формуле (4.30), а осевые напряжения ——по формуле (4.31). Система же (4.55) для определения неизвестных усилий 〃i и р2 в разбираемом случае вырождается в одно уравне
ние, откуда
PL = % + 〃二=% + 噎PL = % + 〃二=% + 噎(4.59)(4.59)
PL = % + 〃二=% + 噎
PL = % + 〃二=% + 噎
(4.59)
(4.59)
При второй постановке в данном случае внешних сил go(3)= =g(况)三 0, и поэтому в уравнении (4.19)力(自)=^/(三)三 &/2, а в уравнении (4.21) ，*(自)三0. Следовательно, последнее уравнение вследствие граничных условий (4.22) имеет лишь тривиальное решение /(^)曰 0, с учетом чего из (4.23) t(x)三 0 (|з|Са). Далее, исходя из (4.56), введем следующие обозначения:
0土 =击0土 =击〃(П)М 5^ "П,〃(П)М 5^ "П,
0土 =击
0土 =击
〃(П)М 5^ "П,
〃(П)М 5^ "П,
讨=* J "i⑺V注^明，Q# 二击f "2⑺V芸T "斗 一1
Учитывая (4.33) и (4.34), после
элементарных операдий получим
Q 土
л
2
7 ГЛ2干4丄2%；唸-1 一 吟… —[ 2n 十 £ 2 —(2n-l)2—
(4.60)
2nL£1(2" I)"
Кроме того, будем иметь
(4.61)(4.61)а士 Р石1 土入e卩;n-i -n%£-i]
(4.61)
(4.61)
~ОО~ОО
Р 土 =爲1 ±入胃2汴7 ,Y 土 = ±zE况2冷-
Таким образом, в обсуждаемом случае опять-таки нужно решить бесконечную систему (4.27) с ядром (4.57) и правыми частями (4.58), но только 入о следует заменить на 入о/2, а затем нужно решить систему (4.55), элементы матрицы и правые части которой даются формулами (4.56), (4.60) и (4.61). Однако эта система также вырождается в одно уравнение, откуда
% + %2 匕 + ”22’% + %2 匕 + ”22’(4.62)(4.62)
% + %2 匕 + ”22’
% + %2 匕 + ”22’
(4.62)
(4.62)
после чего основные характеристики задачи получаются из (4.30)-(431).
В обсуждаемом частном случае загружепия плоскости при помощи ЭВМ ЕС-1022 получены численные результаты, позволяющие выявить некоторые характерные особенности изменения усилий 〃t в зависимости от параметров 入 и Ло. Вычисленные по формулам (4.59) и (4.62) значения усилий 〃匕 когда v2 = =0,3, для различных значений 入 и 无° соответственно первой и второй постановкам задачи приведены в табл. 3.4 и 3.5.
Сопоставление полученных численных результатов показыва
ет, что
как в первой, так и во второй постановке задачи при фиксированном значении 入 по мере умепыпепия относительной толщины 无о усилия 〃i также умепыпаются;
при фиксированном значении hQ по мере увеличения параметра 入，характеризующего отношение Е』Е、； наблюдается та
же самая закономерность;
hQ усилия /л в первой второй постановке. По-hQ усилия /л в первой второй постановке. По-при фиксированных значениях 入 и постановке получаются больше, чем во
hQ усилия /л в первой второй постановке. По-
hQ усилия /л в первой второй постановке. По-
следнее можно объяснить тем, что во второй постановке задачи на берегах щели в плоскости действуют нормальные напряжения, приводящие к падению усилий 〃£ в сплошной плоскости. Однако по мере уменьшения Яо и увеличения А они становятся более близкими друг другу.
Таблица 3.4, Значения р】
储
V5
1/6
1/7
1/8
1/11
1/14
1/17
1/20
0,2694
0,2375
0,2138
0,1953
0,1580
0,1359
0,1216
0.1119
0,2065
0,1748
0,1518
0,1348
0,1011
0,0818
0,0693
0,0604
0,2025
0,1722
0,1497
0,1326
0,0998
0,0808
0,0684
0,0597
0,2006
0,1698
0,1476
0,1309
0,0985
0,0798
0,0675
0,0589
0,1979
0,1676
0,1457
0,1292
0,0973
0,0788
0,0667
0,0582
0,1954
0,1655
0,1439
0,1276
0,0962
0,0779
0,0660
0,0576
0,1930
0,1635
0,1422
0,1261
0,0951
0,0770
0,0652
0,0569
0,1907
0,1616
0,1406
0,1247
0,0940
0,0762
0,0645
0,0563
0,1886
0,1598
0,1391
0,1234
0,0930
0,0754
0,0638
0,0557
0,1866
0,1581
0,1376
0,1221
0,0921
0,0746
0,0632
0,0551
10
0,1846
0,1565
0,1363
0,1209
0,0912
0,0739
0,0626
0.0546
Таблица 3.5. Значения р】
ho
V5
1/6
:"7
1/8
1/11
1/14
1/17
1/20
ю-4
0,0432
0,0394
0,0365
0,0341
0,0290
0,0257
0,0233
0,0215
1
0,0411
0,0376
0,0349
0,0327
0,0280
0,0249
0,0226
0,0209
0,0392
0,0360
0,0335
0,0315
0,0270
0.0241
0,0220
0,0203
0,0375
0,0345
0,0322
0,0303
0,0262
0,0234
0,0214
0,0198
0,0360
0,0332
0,0310
0,0293
0,0254
0,0227
0,0208
0,0193
0,0346
0,0320
0,0300
0,0283
0,0246
0,0221
0,0203
0,0188
0,0333
0,0309
0,0290
0,0274
0,0240
0,0216
0,0198
0,0184
0,0322
0,0299
0,0281
0,0266
0,0233
0,0210
0,0193
0,0180
отози
0,0290
0,0273
0,0259
0,0227
0,0205
0,0189
0,0176
0,0301
0,0281
0,0265
0,0252
0,0222
0,0201
0,0185
0,0173
10
0,0292
0,0273
0,0258
0,0245
0,0217
0,0196
0,0181
0,0169
Отметим, что, поскольку 无《а, можно положить Ло = hl а ^ О, и, следовательно, при помощи (4.55) и (4.56) получим р^ = р2 = 0. Тогда включения фактически заменяются накладками, концы которых свободны от внешних нагрузок,
Упругая плоскость, усиленная включениемполубесконечной длины
В постановке, изложенной в предыдущем параграфе, рассмотрим задачу о напряженном состоянии упругой плоскости, усиленной полубескопечпьш включением из другого материала.
Пусть упругая плоскость (Е?, v2) усилена включением (石匕 tj полубесконечной длины и в точках zk = хк + iyk (% = 1, 2, ..., N) загружена сосредоточенными силами 0互=乂九+%1 论(к = 1, 2,... ..TV). При плоской деформации определим серячок тангенциальных контактных напряжений па берегах полубескопсчпого включения и другие механические характеристики задачи. При зтом будем придерживаться второй постановки задачи, изложенной в предыдущем параграфе.
Исходя из (4,12) —(4ЛЗ), (4.16) —(4.18), сразу находим, чти определяющие уравнения в разбираемом случае имеют вид
或=-2叽展干 1) J U dS — Й^й^ G° (砌 + /'⑶(0 VZV8),
(5.1)
^Jgds = U+ 鋒⑺，(5.2)
0
屮(0) = 0,(5.3)
t ⑺=h(：±不〔'g'⑶ + 屮(')】(0<ж< oo), (5.4)
『(支)=y [检⑺ + /-(")], /о 位)=/+ ⑶-/-⑶，
g' (?) = у [4(%)+ g-⑶],g；(，)= 4 3)- g「⑷，
2(% + 1)X - 12(% + 1)X - 1g'⑷,g'⑷,
2(% + 1)
X - 1
2(% + 1)
X - 1
g'⑷,
g'⑷,
G。(砂=f^^ds (0<，<8),
а остальные обозначения те же самые, что и в предыдущем параграфе.
Далее, исходя из основного уравнения (8.16) гл. I, для включения в данном случае будем 瓜ме工ь
(5.5)(5.5)& (工)=J~ Т — J Ts (s) ds ,L o-
(5.5)
(5.5)
q @) =，+ (况)=q-(3)(0 V 3 V 8),
где T ——неизвестное осевое усилие на конце 方=0 включения.
17 В. М. Александров, С. И. Мхитарян
Поскольку £^(N)f 0 при N f 8, то из (5.5)
f ts (s) ds = T.(5.6)
о
Теперь выражение £；(%) из (5.5) подставим в (5.1) и, как в
§ 1 гл. II, перейдем к безразмерным величинам 酬%无%
В результате, после некоторых простых операций, относительно скачка тангенциальных контактных напряжений на берегах включения т получим интегро-дифференциальное уравнение Прандтля на полубесконечном интервале
(5・7)(5・7)(5.8)(5.8)H^^ = V(p (E)十历(E).0
(5・7)
(5・7)
(5.8)
(5.8)
при граничном условии
Ф(0) = —То,
вытекающем из условия значения:中(Е) = — ftOl)©%вытекающем из условия значения:中(Е) = — ftOl)©%(5.6). Здесь приняты следующие обо-(5.6). Здесь приняты следующие обо-7。=先，7。=先，4 (1 一 寸)(1 = %)(3 - 4v2) (1 + v2)4 (1 一 寸)(1 = %)(3 - 4v2) (1 + v2)
вытекающем из условия значения:
中(Е) = — ftOl)©%
вытекающем из условия значения:
中(Е) = — ftOl)©%
(5.6). Здесь приняты следующие обо-
(5.6). Здесь приняты следующие обо-
7。=先，
7。=先，
4 (1 一 寸)(1 = %)(3 - 4v2) (1 + v2)
4 (1 一 寸)(1 = %)(3 - 4v2) (1 + v2)
(5・9)(5・9)E/0 —2%) “(3 —4%)(1+%)P °E/0 —2%) “(3 —4%)(1+%)P °=一4/4代）+ 2九2坛（3+入2期阳，=一4/4代）+ 2九2坛（3+入2期阳，(5.10)(5.10)
(5・9)
(5・9)
E/0 —2%) “(3 —4%)(1+%)P °
E/0 —2%) “(3 —4%)(1+%)P °
=一4/4代）+ 2九2坛（3+入2期阳，
=一4/4代）+ 2九2坛（3+入2期阳，
(5.10)
(5.10)
(° vE V 8),
где Р — одна из сил IX/ или |У/, которые, очевидно, одновременно не обращаются в нуль.
При помощи известных результатов из [1] получим
go (善三卜一 2儿 Jg扌(В - gf ⑹]+ 2X2[ g^ (E) 一 g^ (§]-
一4斯[gh§ —g『(E)],
,_ С —4%)0+%)Р40 + %)Р
― 一8吟九(1 — %)—- 豆專(1-%»
瓦阳=2复二毎(日=t庶应守，(5.11) Й=1比冗=工A在
N--N 土一
мо = Е*u»訳g摊)=e房与£
Aa =(匕一砌2 + yt
Здесь N± — число сосредоточенных сил соответственно в верхней и нижней полуплоскостях, причем если некоторые силы приложены в точках оси Ох, то половинки этих силовых векторов считаются приложенными к верхней полуплоскости, а половинки — к нижней, а
X丸=X丸/Р,爲=匕/P,
хк — Е2х^{ЕМ^ yk = E^yJ^Eih)(倉=1, 2, ..., TV).
Приняв во внимание (5.10) и (5.11), выражение 无(己)из (5.9) преобразуем к виду
⑸=一 *九1⑹+砌占万[2〃2⑹+期⑹]+
十(3 — 4V2)筛 J ^jTTg恋 一 M ) ^jTTg办1 +
…g—n)—gjq),.
+ 2M J ^у7т^力1，(J■12)
%= 2.
°4”2 (1 - %) (3 - 4V2).
Далее, учитывая (4.12), где интеграл распространен на интервале (0, 8), при помощи (5.5) и (5.6) будем иметь
7低）=一叫囹十昵。（*q _ Yг（若g,7低）=一叫囹十昵。（*q _ Yг（若g,(5.13)(5.13)
7低）=一叫囹十昵。（*q _ Yг（若g,
7低）=一叫囹十昵。（*q _ Yг（若g,
(5.13)
(5.13)
-。 Eh"-v；)(i — 2v‘)
g(3=彥。⑺，а = ；3 -忐(宀小
斗(D/О —2%)
冗 G + vJ (3 — 4%)戸 Y— (3-4v2)(1+v2)P ■
Обращаясь теперь к уравнению (5.2) при условии (5.3), после перехода к безразмерным величинам представим его в виде
V J W =嶽⑹ + 〃 ⑹，(5.14)
о
% (0) = 0，(5.15)
% 低)=—j з ⑺ 〃％ з (自)=R (普力，Xo = ；£ 2；j"
Здесь
=-—J -口—^+— J —N—"n +
十与• f 智)二")d^ —九"］阳十応g2国一 2X；g3(g)
(0vEV8), (5.16)
(3-4v2)(1+v2)P，—(宀2产
A1 — ―2лЕ‘ 0 — 2V2)一，“2 — 2mEJ 0 — 2Vg)，
脣阳= ^Yh(自一诚加，(5.17)
k=l△a
g］(E)=±爲^, 出阳=e爲 *一 加,
k=l九九=1一 底
g3(S*匕迎
九=1%
При этом сумму тангенциальных контактных напряжений на берегах включения 力(з) из (5.4) можем представить в виде
z(自)=3卜(举)+ 等］(548)
где х(Е)— решение уравнения (5.14) при условии (5.15), а 2Е hЕЕ 无
8 = 0 + %) g 一 几)。 '%=Vs "⑹=亏" (现g，自)=-入igl (E) + 入2g2 需)—2入2g3 (自)•
Перейдем теперь к определению Го. G этой целью запишем выражения комплексных потенциалов для плоскости с полубес- конечным разрезом. Рассматривая разрез [0, а], предельным переходам а -> 8 из соответствующих известных результатов [1, 81 в данном случае получим
①(z)①(z)[2q⑶十计(s)]©3[2q⑶十计(s)]©34jii "|/г4jii "|/г1 ： q («),石 J 7^7 ds01 ： q («),石 J 7^7 ds04Q(Z)= ;-pr4Q(Z)= ;-pr[2q(s)十琳(s)][2q(s)十琳(s)]ОтсюдаОтсюда,,1 f Ts (s) /rfS+4^jT=T^0,,1 f Ts (s) /rfS+4^jT=T^0(5.19)(5.19)O'(z)O'(z)1fV；[29(S) + ii(S)J01fV；[29(S) + ii(S)J04冗»"!/z。4冗»"!/z。f]/W[2q (s) + 江(s)]f]/W[2q (s) + 江(s)](s -犷(s -犷ds~l^ J^^ ds-(5.2。)ds~l^ J^^ ds-(5.2。)
①(z)
①(z)
[2q⑶十计(s)]©3
[2q⑶十计(s)]©3
4jii "|/г
4jii "|/г
1 ： q («),石 J 7^7 ds
0
1 ： q («),石 J 7^7 ds
0
4
Q(Z)= ;-pr
4
Q(Z)= ;-pr
[2q(s)十琳(s)]
[2q(s)十琳(s)]
Отсюда
Отсюда
,,1 f Ts (s) /rfS+4^jT=T^
0
,,1 f Ts (s) /rfS+4^jT=T^
0
(5.19)
(5.19)
O'(z)
O'(z)
1fV；[29(S) + ii(S)J
0
1fV；[29(S) + ii(S)J
0
4冗»"!/z。
4冗»"!/z。
f]/W[2q (s) + 江(s)]
f]/W[2q (s) + 江(s)]
(s -犷
(s -犷
ds~l^ J^^ ds-(5.2。)
ds~l^ J^^ ds-(5.2。)
Далее, как и в предыдущем параграфе, положимz=W = y戶/2(ovyv?)
и вычислим предел
Нт 九仇;(0, у),дт+о
где 仇(怎 g) дается формулой (4.43).
Можем записать
/ Г-_00
lim УуФ^ = lim 一—鼻^"^口0⑹七^明或一
s+os+oL 4л；у2 J s — z
Vy f %(s)Vy f %(s)4几」 о4几」 оS - 2S - 2р-ЗЛг/4「dsF^j【2g(s) + "(s)]-^ —0р-ЗЛг/4「dsF^j【2g(s) + "(s)]-^ —0
Vy f %(s)
Vy f %(s)
4几」 о
4几」 о
S - 2
S - 2
р-ЗЛг/4「ds
F^j【2g(s) + "(s)]-^ —
0
р-ЗЛг/4「ds
F^j【2g(s) + "(s)]-^ —
0
Затем положим
ts (况)=? f (0V£V8)・у £
Тогда имеем
lim Уу Г ^4^ 曲=т* (0) lim f:- +
+ lim
+o
Теперь на основе известных асимптотических формул для интеграла типа Коши вблизи концов отрезка интегрирования [7] непосредственно получим, что второй предел в последнем равенстве равен нулю, а первый даст пт* (0) еп^. При этом значение первого предела можно получить также непосредствепным вычислением интеграла. Следовательно,
lim руф (z)= У—+0lim руф (z)= У—+0
lim руф (z)= У—+0
lim руф (z)= У—+0
Таким же образом при помощи (5.19) и (5.20) можно вычислить остальные пределы, причем, как и в предыдущем параграфе, можно показать, что внутренний интеграл в (5.20) в указанных пределах вклада не вносит.
В результате находим
lim 九 &(0, y) = к0, ут+0lim 九 &(0, y) = к0, ут+0lim 厂刁 & (0, у) = Kq,lim 厂刁 & (0, у) = Kq,
lim 九 &(0, y) = к0, ут+0
lim 九 &(0, y) = к0, ут+0
lim 厂刁 & (0, у) = Kq,
lim 厂刁 & (0, у) = Kq,
翡』⑹言一粉：(0), (5.21)翡』⑹言一粉：(0), (5.21)^kb(s)^kb(s)3 4Д/2п3 4Д/2п5ЯЛ5ЯЛ
翡』⑹言一粉：(0), (5.21)
翡』⑹言一粉：(0), (5.21)
^kb(s)
^kb(s)
3 4Д/2п
3 4Д/2п
5
ЯЛ
5
ЯЛ
Далее, запишем соотношение
Л/2
f “(0,汾或/ = —т,
-Л/2
представляющее собой аналог соотношений (4.86). Поступив затем аналогично тому, что сделано в предыдущем параграфе, и используя соотношения (5.21) придем к следующему уравнению
относительно То：
埠 т*(0), (5.22)埠 т*(0), (5.22)
埠 т*(0), (5.22)
埠 т*(0), (5.22)
^j^■加=2厶*屮值）+2九位）. О^j^■加=2厶*屮值）+2九位）. О(5.23)(5.23)аа入* +（_（严（入* + I）（I — 4病）入* +（_（严（入* + I）（I — 4病）(m = 0, ± 1, 士 2, . • •),(m = 0, ± 1, 士 2, . • •),
^j^■加=2厶*屮值）+2九位）. О
^j^■加=2厶*屮值）+2九位）. О
(5.23)
(5.23)
а
а
入* +（_（严
（入* + I）（I — 4病）
入* +（_（严
（入* + I）（I — 4病）
(m = 0, ± 1, 士 2, . • •),
(m = 0, ± 1, 士 2, . • •),
в котором ?(п)и т*(0) зависят от Tq.
Чтобы получить явные выражения зависимости ^(т)) и т*(0) от TV, обратимся к разрешающему уравнению (5.7), записав его в виде
Сравнение этого уравнения с уравнением (1.19) гл. II показывает, что в нем следует положить
"(自)=2f 7。(自)=-无电/产
a 7\ в условии (1.20) гл. II и везде нужно заменить на 1 — Последовательно, решение уравнения (5.7) или (5.23) можно построить при помощи методики, изложенной в § 1 гл. II. Поступив аналогично сделанному в § 1 гл. II, покажем, что (5.23) в конечном итоге сводится к дискретному уравнению Винера — Хопфа
(5.24)
五 m - j^rg 22m+2Trt! /m(m = 0,1,2, ...).
Обозначения идентичны принятым в § 1 гл. II, только в разбираемом случае
丫=告7。, g。仇Х一备j无⑧Sin匕^廟成.
Кроме того, здесь
1nm = ^m + T()P?n (^ = 0, 1, 2, • . •),
2"%! gm, % = ^122m+2rn!/m,
(0 w力Vh)/(甘-*),(一冗 W0).(0 w力Vh)/(甘-*),(一冗 W0).'n U + 次*) f ^. 1 一 以* Vr\
(0 w力Vh)
/(甘-*),
(一冗 W0).
(0 w力Vh)
/(甘-*),
(一冗 W0).
Т(Г+Т*Г\ 十 i +认* у'丿 冗(1 +鏡*) / /斤,1 —м* 1 \ n(不干F) I p b十1 +鏡* " j,
Поскольку ае)声 0 при енe"(-n V 力0n)и ind [а 售)]1电=1 = О, то к (5.24) применим метод редукции.
Теперь решение системы (1.57) гл. II при правой части, равной am-i обозначим через у*, а при правой части §团一1 —— через Ут- Тогда
Ут ~ Ут + 7必2 (加—z 1, 2 ?...).
Следовательно, из (1.63)' гл. II
俨(0) = lim р玩(自)=儿十 Т.А^(5.25а)
ооГП—1
Aa = 2V 2j« 工(一1)Аt& 伍『俞综)!^ + 32). +
+ H(”；U2)以}，(5・256)
斗=斗=. ООГп—1n=l 1总=1. ООГп—1n=l 1总=12& (га —1)!(Л —1)! (п —к)! Г (к+ 1/2)2& (га —1)!(Л —1)! (п —к)! Г (к+ 1/2)++
斗=
斗=
. ООГп—1
n=l 1总=1
. ООГп—1
n=l 1总=1
2& (га —1)!
(Л —1)! (п —к)! Г (к+ 1/2)
2& (га —1)!
(Л —1)! (п —к)! Г (к+ 1/2)
+
+
+ (―[严+i r(n + 1/2)Cn},
Ch=善6^包Ch=善6^包1, 3/2 \l
Ch=善6^包
Ch=善6^包
1,衣 + 1,3/2丿1e=0.
Далее, выясним асимптотическое поведение 屮(自)при 自-> g, для чего положим
T(S=8*^d「巨器〃"Оо
или же
?® =打器對，
причем т(^) на полуось —оо < ^ < 0 продолжается тождественным нулем. Применив к обеим частям последнего равенства преобразования рурье, а затем, следуя известной процедуре [9], находим
- т7(8一請- т7(8一請(g-> оо).(g-> оо).(5.26)(5.26)
- т
7(8一請
- т
7(8一請
(g-> оо).
(g-> оо).
(5.26)
(5.26)
функции <р(Е) при больших уравнения (5.7) при помощифункции <р(Е) при больших уравнения (5.7) при помощи
функции <р(Е) при больших уравнения (5.7) при помощи
функции <р(Е) при больших уравнения (5.7) при помощи
Асимптотическое представление 自 будет получено из разрешающего
сравнения асимптотик его правой и левой частей. С этой целью
сначала выясним асимптотическое поведение функции 历(&) при 占 f 8, для чего предположим, что
£ M = £ 爲=X, X 爲=士爲=р; ft—1ft—1左=工ft—1
тогда, согласно (5.11), обеспечивается порядок О^~2) при & +8 для плотностей интегралов типа Коши, входящих в (5.12). Приняв во внимание (5.26), при помощи (5.11) из (5.12) получим 无低)1^位一＞8),(5.27)
V 1 — 2vn1 — 2vn
H= -^——,——一仇十「屛^G2-
冗 4n" (1 一 %)4n" (I 一 %)(3 - 4%)
?G3,2n2 (1—)(3 —統)
Gt = J [^(П) — ^Г(П)] ^П (i = 1, 2, 3).
Наконец, при помощи (5.26) и (5.27) из уравнения (5.7) получим асимптотическую формулу
屮(S 4 — *(-^-+ 8)Т~ (Jf 8)・(5.28)
С другой стороны, имеем
中(")4一北.("f 0).(5.29)
Далее, вычислим интеграл
где ?(г|) дается формулой (5.13). Можем записать
аQаQ屮屮Ор +Ор +仇仇IK. оYIK. оYв五一 2в五一 2<<онон+ф+ф屮屮
а
Q
а
Q
屮
屮
Ор +
Ор +
仇
仇
IK. о
Y
IK. о
Y
в
五一 2
в
五一 2
<
<
он
он
+ф
+ф
屮
屮
Для вычисления первого интеграла воспользуемся формулой (5.29), а для вычисления второго — формулой (5.28). Таким
путем получим
dn -dn -Q="(‘e-*。(斗)
dn -
dn -
一中（胃n）許+号
Последнее выражение подставим в (5.22) и учтем (5.25а) и (5.256). После простых операций определим постоянную 7T°:
(5.30)(5.30)Tq =冗 Р%Tq =冗 Р%dr)dr)4aЯ + 2九*阳0 — 2%*7尸，+ 2入万 - nA*4a 2n2入* 一 4 р^а (n九* + I) + 川 17^64aЯ + 2九*阳0 — 2%*7尸，+ 2入万 - nA*4a 2n2入* 一 4 р^а (n九* + I) + 川 17^6
(5.30)
(5.30)
Tq =冗 Р%
Tq =冗 Р%
dr)
dr)
4aЯ + 2九*阳0 — 2%*7尸，+ 2入万 - nA*4a 2n2入* 一 4 р^а (n九* + I) + 川 17^6
4aЯ + 2九*阳0 — 2%*7尸，+ 2入万 - nA*4a 2n2入* 一 4 р^а (n九* + I) + 川 17^6
Наконец, для определения Т выясним асимптотику функций 〃(”)из (5.16) и у(”)из (5.14) —(5.15). При этом отметим, чго для нахождения у(") можно к уравнению (5.14) —— (5.15) применить изложенную в § 1 гл. II методику.
Поступив совершенно аналогично сцеланному выше, при помощи (5.17) находим
"(E) 4 告(В-> оо),
кк2%冗 丄2%冗 丄冗冗22整% 一2厅整% 一2厅
к
к
2%
冗 丄
2%
冗 丄
冗
冗
2
2
整% 一2厅
整% 一2厅
Тогда из уравнения (5.14) —(5.15) получим
(5.31)(5.31)% (У 亠一合”8),
(5.31)
(5.31)
% (go(—0).
Учитывая (5.31) и (5.18), будем иметь
26K4%26K4%
26K
4%
26K
4%
Таким образом, все входящие в (5.30) величины определены.
Как в предыдущем параграфе, при 八о « 1 можно положить То 0.
§ 6. Упругая плоскость, усиленная двумяодинаковыми включениями
В постановке, изложенной в § 4, рассмотрим задачу о контактном взаимодействии двух одинаковых включений с упругой плоскостью.
Пусть упругая плоскость (^2, v2) на отрезках [—а, — Ь] и [Ь, а] (& < а) оси Ох усилена двумя одинаковыми включениями, в точках zk=^ хк + iyk (况左 >0, к = 1, 2, ..., N) подвержена действию сосредоточенных сил Q& = Х&+ iYk (А = 1, 2, ..., N), ав точках ~zh = —хк + iy抬 симметричных относительно оси Оу, подвержена действию сосредоточенных сил — Q& = — Х& + iYh (к ^ =1, 2, ..., N). Кроме того, плоскость на бесконечности в направлениях осей。宠 и Оу подвержена действию равномерно распределенных сил интенсивностей 卩 双 q соответственно. Требуется определить скачок тангенциальных контактных напряжений на берегах включений и другие характеристики задачи при плоской деформации.
В обсуждаемом случае задача симметрическая и, согласно (4.12)—(4.13), (4.16) —(4.18), основными уравнениями задачи будут・
岐⑺一小可(T + j)二-若号7仇(,)+ /，(4 (bV|£|Va),(6.1)
鼻用=識斗w⑺+凡(吟(6-2А鼻用=識斗w⑺+凡(吟(6-2А
鼻用=識斗w⑺+凡(吟(6-2А
鼻用=識斗w⑺+凡(吟(6-2А
屮(士 a)=屮(± b) = 0,(6.3}
2)=历洛5%'(2)+ 2(切 他 V|z|Va),(6.4).
а остальные обозначения те же самые, что и в иредыду丄цих двух параграфах.
匕—j 工§ (〃)du-b2 —卜(〃)d〃匕—j 工§ (〃)du-b2 —卜(〃)d〃Далее, из основных уравнений (8.17) гл. I при плоской деформации можелг записать
匕—j 工§ (〃)du
-b
2 —卜(〃)d〃
匕—j 工§ (〃)du
-b
2 —卜(〃)d〃
(6.5)
причем уравнение равновесия правогопричем уравнение равновесия правого/ w [ — а, ―- 6],включения имеет вид
причем уравнение равновесия правого
причем уравнение равновесия правого
J q (〃)du = Р\ —尸2・(6.6)
ь
Здесь /\ и 尸2 ——неизвестные осевые усилия, действующие на концах правого включения м = b и % = а соответственно.
Теперь (6.5) подставим в (6.1) и учтем симметричность задачи. В результате после простых выкладок относительно скачка тангенциальных контактных напряжений т(^) получим следующее интегро-дифференциальное уравнение:
1±
± J ?]?2，〃П =九 J т(П)〃П — S + 自)位)，(6.7)
рр
которое, согласно (6.6), должно рассматриваться при условии
1
(6.8)(6.8)J Р (п) 〃П = Р1 — Р2, р
(6.8)
(6.8)
где р — Ь® а остальные обозначения заимствованы из § 4, причем
4а£п (1 — ”с)аЕ (1 — 2vn1
无о(§ =(3 — 4V2)(1 + v?) P『(欣)—л (1 + v2) (3 - 4v2) P 仇(成).(6.9)
Далее, как и в § 3 гл. II, перейдем к новым переменным, положив
2三2 _ р2 _ 41-р22三2 _ р2 _ 41-р21-р-1-р-
2三2 _ р2 _ 41-р2
2三2 _ р2 _ 41-р2
1-р-
1-р-
Тогда уравнение (6.7) преобразуется в уравнение
1
(6.10)(6.10)(6.11)(6.11)dv = ХФ+ (i)—入& + h ⑺, -1
(6.10)
(6.10)
(6.11)
(6.11)
а условия (6.8) — в условия ①+(-1) = 0,①+(1) = 21 - 22,
^+(t) = T(Vct + d),①+(力)=耳謠综如,八(力)=% ( /с力 + d), с = 1 2 P , d = I -^ P .
(3.7) гл. II при(3.7) гл. II приУравнение (6.10) совпадает с уравнением
(3.7) гл. II при
(3.7) гл. II при
Y+⑺三 1,g+«) = —"^, Ро=—Pi.
Выясним структуру функции 无(,(自)из (6.9). Воспользовавшись известными результатами из [1], после несложных выкладок
получим [1
+ 亏(3 - 4V2) J 0+ 亏(3 - 4V2) J 0g^(U)-g£(i1),—三?一ndn+g^(U)-g£(i1),—三?一ndn+g点⑺T；⑺g点⑺T；⑺刀2一刀2一%⑹=^/阳+ &(3二%71[2%⑹+ % (引+
+ 亏(3 - 4V2) J 0
+ 亏(3 - 4V2) J 0
g^(U)-g£(i1),
—三?一ndn+
g^(U)-g£(i1),
—三?一ndn+
g点⑺T；⑺
g点⑺T；⑺
刀2一
刀2一
2(1-马)22% (1 一 ％)
00П” П Н3 — 4%~ P。3 — 4%~ 'б
0
0
毎阳弋*（-）絶+琏+爾一國忌调，
%（出 = e/［宙+凝）停一遞一瀛）®-爐+瀛）+
w土 一
公（自）=e -球+加）
N 土 一
g^ （自）=自e~^" IF就2成（F +球）3成］在，
N 土 7—
^©=^2^堆2十3笳）+ 2日一週+麻
а остальные обозначения те же самые, что и в § 4 и 5.
Далее, учитывая (4.12), где интеграл распространен на интервалах [—а, —Ь] и [&, а], при помощи (6.5) и (6.6) будем иметь
?⑹=一 a①+j二丁) + ар]+貶式紘)一Y广(响，(6.12)
一耳后0十%)(3 - 4%)， n(l + v2)(3-4v2)P »
у = а 十 ％)(з — 40 р，q © =下 q (闽，
/'（成）=儿毎（E）+2m%低）+大2刨位）+ P - 2 2E此9， 22
Go SE) = — 4 九1J ^77gn d" —2入2 J ^TTgn djl +
- оо
十2入j受『%而0-
(3 . 4%)(1+%)尸 _(1 十%)尸
% — -4吗 a(l —%) -也a口一g・
Обратимся теперь к уравнению (6.2) при условиях (6.3). Поступив совершенно аналогично тому, что было сделано при получении уравнения (6.10), запишем его в виде
,
4「屮⑺)
祟)厶=М-(0 У- (0 + F-⑺，(6.13)
-1
•屮—(一1) = ЧС(1) = 0,(6.14)
戶0 (a^ct + d)2 ~|/c£ 十 d戶0 (a^ct + d)2 ~|/c£ 十 d"二£卜'(we)宀，
戶0 (a^ct + d)
2 ~|/c£ 十 d
戶0 (a^ct + d)
2 ~|/c£ 十 d
1
— Blgl (E) + B2[g2(E)-g3 低儿
b _(3一" + %)p2(+户
Pl 冗&。(I — 2%)， P2 — n£2a (1 — 2%)
и, кроме того, функции 丸吉(自)(Z = 1, 2, 3) получаются из функций hS^^ если в выражениях последних N заменить соответственно па N土, а функции gXg) (i= 1, 2, 3) получаются из функ- Чпй g丰信), если в выражениях последних заменить N± на N.
При этом из (6.4)
t ⑹=% у (成)+ * у (В)] (Р V Е V1),(6.15)
(-vjjf+v"，自=j 彳位)=**成)，
g'(成)=一ь网阳+ 2稲%(1) - g3 (自)].
Решение уравнения (6.13) —(6.14) может быть построено при помощи методики, изложенной в § 3 гл. II.
Перейдем теперь к вопросу определения р^ и 夕2・ С этой целью запишем выражения комплексных потенциалов для плоскости с разрезами [—а, ~~Ь] и [&т а]. Учитывая, что в данном случае
д(—а) == q(况)，t(~x) = ~1{х), т§(—况)==—т式况)，
из [1] получим
①(z)=—①(z)=—( С l/А(S)[2sq (s)十江方(s)],2nT/S#— J ?^?
①(z)=—
①(z)=—
Й (z)=—Й (z)=—1 f s%(s),.1 f s%(s),.川十 2clz + 2Q川十 2clz + 2Q2 УТ^2 УТ^a 1 f 了厶 @ {2sq (s)—— 江力(s)]a 1 f 了厶 @ {2sq (s)—— 江力(s)]2л "l/А ⑶ J2л "l/А ⑶ J,2 — ,2,2 — ,2ds +ds +q — pq — p(6.16)(6.16)
Й (z)=—
Й (z)=—
1 f s%(s),.
1 f s%(s),.
川十 2clz + 2Q
川十 2clz + 2Q
2 УТ^
2 УТ^
a
1 f 了厶 @ {2sq (s)—— 江力(s)]
a
1 f 了厶 @ {2sq (s)—— 江力(s)]
2л "l/А ⑶ J
2л "l/А ⑶ J
,2 — ,2
,2 — ,2
ds +
ds +
q — p
q — p
(6.16)
(6.16)
丄!fA丄•蛮2+2牛+2c2 ,
+ 沂 J s2一z2 ' +2丁
A (z) = (z2 — a2) (z2 —沪).
Входящие в (6.16) константы Ct и С2 определяются из условий однозначности перемещений [1]. Опуская промежуточные вы
кладки, приведем их окончательные выражения：
— 4冗(1 — %)( 1 — ?2)，с2 -2 К {к)И Р
(6.17) где К(к) и Е{к)——полные эллиптические интегралы соответственно первого и второго рода.
Далее, следуя процедуре, изложенной в § 4, находим
lim Vyox(b, у) = Кь, lim V—yox(b, у)二 KJ, y->+0〃r-0
lim /уох （а, у） = К*, lim /— уах （а, у） = К~, у-»+ои—-О
12л К"& （/ — 庐）12л К"& （/ — 庐）sq （s） ds —sq （s） ds —22223b3b4Л Mb （a2 -庐）4Л Mb （a2 -庐）储储444九吁一庐） т：®4九吁一庐） т：®2 九（J 一外）2 Mb （/ 一庐）4 Mb （/一庐）'2 九（J 一外）2 Mb （/ 一庐）4 Mb （/一庐）'АГАГ2n Mb（J—庐厂｝ I2n Mb（J—庐厂｝ I2 _ 2зи?sq ⑶ ds +2 _ 2зи?sq ⑶ ds +К*К*++56564л K"b （а2 — I3%4л K"b （а2 — I3%寻1/言《…13g庐寻1/言《…13g庐3С卫2]<6（/一庐）3< （少3С卫2]<6（/一庐）3< （少2 %（/ 一庐）—4 mh? 一 庐） 4 %（？-庐），2 %（/ 一庐）—4 mh? 一 庐） 4 %（？-庐），（6.18）（6.18）11С]/ s2 —庐С]/ s2 —庐2111Az 储一庐）,F /2111Az 储一庐）,F /.2.2sg （s） ds +sg （s） ds +
1
2л К"& （/ — 庐）
1
2л К"& （/ — 庐）
sq （s） ds —
sq （s） ds —
22
22
3b
3b
4Л Mb （a2 -庐）
4Л Mb （a2 -庐）
储
储
4
4
4九吁一庐） т：®
4九吁一庐） т：®
2 九（J 一外）2 Mb （/ 一庐）4 Mb （/一庐）'
2 九（J 一外）2 Mb （/ 一庐）4 Mb （/一庐）'
АГ
АГ
2n Mb（J—庐厂｝ I
2n Mb（J—庐厂｝ I
2 _ 2
зи?sq ⑶ ds +
2 _ 2
зи?sq ⑶ ds +
К*
К*
+
+
56
56
4л K"b （а2 — I
3%
4л K"b （а2 — I
3%
寻1/言《…
13g庐
寻1/言《…
13g庐
3С卫
2]<6（/一庐）
3< （少
3С卫
2]<6（/一庐）
3< （少
2 %（/ 一庐）—4 mh? 一 庐） 4 %（？-庐），
2 %（/ 一庐）—4 mh? 一 庐） 4 %（？-庐），
（6.18）
（6.18）
1
1
С]/ s2 —庐
С]/ s2 —庐
2111Az 储一庐）,F /
2111Az 储一庐）,F /
.2
.2
sg （s） ds +
sg （s） ds +
+ ——厂2I/ / ⑶ ds ++
4л/а 储一庐）? k - s4ра（『一庐）
M6一再 2 мa （/ 一户）2乙（/一庐）
2〃）Л （江一庐）J V 工7*sq（s）ds —
—尸广一一 一… 1/ ■ 2—2 t （s） ds +7 s '二_ +
411Mа（/ —庐），И J — s?4ра（/—庐）
I3 储З&а3%
4乙（/一庐）2乙（/ 一庐）十2乙/ 一庐）
Здесь положено
Ts （2） УА （2） = Т：（2）.
Условия （4.86） в данном случае приводят к соотношениям（浦 + Кь） М% = — Л，（碇 + К~） V2h = - 4,
которые с учетом (6.18) и (6.17) после некоторых простых преобразований запишутся в виде
X t (n) di] — ?0р2 — 2С1р — 2С® — Т* (р) У2% = — Р1，(6.19)
质⑺必1-急j ]/ ；二之『⑺W +
+ ?0 + 2C: + 2或 + T* (1) М丽=一网;
Qo = 丁， ^1 = 丁，匕 2 = —p^
頁什学，1*(1)=等,(6.20)
4 冗(1—%)旧一网)，5 — — 2 К®，
Далее, воспользуемся результатами § 3 гл. II. Тогда уравнение (6.10) при условиях (6.11) сводится к следующей бесконечной системе:
^ + V 2= ай 他=1, 2,(6.21)
71—1
1
Khm ~ — J ^n(0 Ufe-1 ⑴ Ml —力2 dt (宓,ZZ = 1, 2,...),
-1
入с 厶 + ]2. 2X ,
1
^= J G。⑺力т ⑴ рТЗГ^Й,
%= J 无⑺％т«)рГ^¥近，
-1
(—冗/2,力=1,盡0,加=2, 3,
Решение бесконечной системы (6.21) при правой части Ък обозначим через n^i, при правой части ск ——через х^ при правой 18 В. М. Александров, С. М. Мхитарян.
части dk ——через ^3. Следовательно,
(6.22)
С другой стороны, граничное условие (6.11) в разбираемом случае запишется в виде
£ 2Ml(i)=mg—?2), 气=0
откуда при помощи (6.22) находим
— К\Р* — К 2P2 —《3，(6.23)
~ОО"ОО
/ =岳П—标工碱3电(1)，!% =券,/=呑e班鱼(1),
Lft=lJh=l
0=%(1)+^三崂6M1).
Теперь подстановка (6.23) в (6.22) окончательно даст зависимость 力^ ОТ Р1 и р2:
^ = y^Pi — Ун}Р2 — y{k (*== 1, 2, .. .),(6.24)
成о = А (сК闆 1 + 2電з)，成* = ~ /*，
При этом имеем
t阳=t阳=М(1— /(1-р2)М(1— /(1-р2)£若тпm=0£若тпm=0(6.25)(6.25)
t阳=
t阳=
М(1— /(1-р2)
М(1— /(1-р2)
£若тп
m=0
£若тп
m=0
(6.25)
(6.25)
откуда при помощи (6.24) получим
т* (р)=础)Р1 — к)% —鶴D, т* (1) = К<?Р1 —磴)& 一 磯)， (6.26)
笈1)二 /此十*(一 1户成)］麻)=e ［后 + £成)
(=1,2,3).
Выясним также структуру функций Ф+(^) и ?(三).Учитывая (6.24) и (6.25), из (6.12) получим
①+⑴-R⑴P1 一 ф2⑴p2 一①3 ()
万⑹=а [1 —① 1 (切 + а①2 (О Р2 +Q ⑹ g =若 ГрJ ), (6.27)
Ф«) = £ Кб。⑴+£ 威％ ⑴ (i = 1,2,3).
Подставляя (6.26) и (6.27) в (6.19) и учитывая (6.20) после простых операций, получим следующую систему уравнений относительно pi и 卩2：
/llPl + /12p2 = 51， /21p1 + /々2?2 = B
备事一叫
=aj Ф2(0^^+冗 g у а —р=aj Ф2(0^^+冗 g у а —р,P 0 — 2%) 十 211a _%),P 0 — 2%) 十 211a _%)4「耳L4「耳L芒g-к-①1（小自塞+芒g-к-①1（小自塞+1 — 2v2 2к(—2)+1 — 2v2 2к(—2)+5i =5i =18*18*/?2 = 1 +/?2 = 1 +=2 — 2三营•①2⑴自公一=2 — 2三营•①2⑴自公一/^7)./^7).%Р“-%Р“-三沁旧三沁旧1 — 2у1 — 2у2л (1 — v2)—噸['2л (1 — v2)—噸['；2—p2力®麻 产函 к3，；2—p2力®麻 产函 к3，
=aj Ф2(0^^+
冗 g у а —р
=aj Ф2(0^^+
冗 g у а —р
,P 0 — 2%) 十 211a _%)
,P 0 — 2%) 十 211a _%)
4「耳L
4「耳L
芒g-к-①1（小自塞+
芒g-к-①1（小自塞+
1 — 2v2 2к(—2)+
1 — 2v2 2к(—2)+
5i =
5i =
18*
18*
/?2 = 1 +
/?2 = 1 +
=2 — 2
三营•①2⑴自公一
=2 — 2
三营•①2⑴自公一
/^7).
/^7).
%Р“-
%Р“-
三沁旧
三沁旧
1 — 2у
1 — 2у
2л (1 — v2)—噸['
2л (1 — v2)—噸['
；2—p2力®麻 产函 к3，
；2—p2力®麻 产函 к3，
Q^ldl +力(9騎+ k®Q^ldl +力(9騎+ k®
Q^ldl +
力(9騎+ k®
Q^ldl +
力(9騎+ k®
Если Ao Q 0, то, как и в предыдущих параграфах, опять можно положить 卩I =卩2 0.
§ 7. Упругая плоскость, усиленная периодическойсистемой включений
Рассмотрим задачу о напряженном состоянии упругой плоскости, усиленной периодической системой включений и находящейся в условиях плоской деформации.
Пусть упругая плоскость (£2, v2) на отрезках оси 。力 一а + + 2тг1 W w W а + 2汽2 (а < Z;孔=0, ± 1, ±2, ...) усилена периодической системой одинаковых включений (笈^ vt) и в точках zk^ хк + 2nl + iyk (к = 1, 2, N) загружена одинаковыми сосредоточенными силами Qh = Xk + iYh (к = 1, 2, ..., TV). Кроме того, плоскость па бесконечности в направлении оси Оу подвержена действию равномерно распределенных усилий интенсивно- 、сти д. Требуется определить скачок тангенциальных контактных напряжений на берегах включений и другие характеристики задачи.
Согласно (4.12)一(4.13), (4.16) — (418), основные уравнения задачи можно записать в виде
оо а-^2Ш
或(/)=—^gf (2 ds — з 二三^ 八 Gg ⑶ + 广(/)
' 丿+ 1)々 J s —с(X + 1) 丿 I 丿
?1=—8 —a^nl
(―〃OV。)，(7.1)
OO a^nl
J 乎 ds = ^^ 屮(2)+ % ⑺，(7.2)
曾=—О0 一a+2爪
才 3)=万7*iy 伍g'К) + 屮(с)】(一"V'Va),(7.3)
分⑺=；e J空拆十学竺*g'⑺，(7.4)
п=-8 —а+2?覓
0оa十2也2 ,
G(j(%)= £ j ^^"ds (—av^va), (7.5)
а остальные обозначения идентичны принятым в предыдущих параграфах. Преобразуем выражение
а+2加а+2加一0+2nz一0+2nzds =ds =u — с ~{- 2 应u — с ~{- 2 应ds =ds =
а+2加
а+2加
一0+2nz
一0+2nz
ds =
ds =
u — с ~{- 2 应
u — с ~{- 2 应
ds =
ds =
；8
(s = u + 2硝.(s = u + 2硝.=J %⑶ds e /一:王2就
(s = u + 2硝.
(s = u + 2硝.
一a九=一8
Но известно, что
V ]=У 2(m一宏) 几f冗("一6)
〃200M 一◎十2球—a -宓 £3一宓)2一4川户一 2Z g 2Z
где использована формула 1.421.3 из [3]. Следовательно,
ОО а+2 泣a
Z j 注 ds =务 J ctg 〃(；[ £"s (s) 〃s.
n=-oo _а+2Ы—a
Поэтому уравнения (7.1)——(7.5) переходят в следующие:
硅位) = -展 + [)J ctg'^'^i- Ts (") du - 2；("；1产0(7)+ /'®
2
(—aV/V*(7.6)
% i ctg " ("戸 2'(")du =注;:w⑵ + /(叫 (7.7)
Е)=a(:21)'[' g'⑺ + 2("H (一 avzva), (7.8)
/⑷=± f ctg 叫产)/； (") du + 乎旱 / ⑺，(7.9)
仇(力)=当 jctg 三32尸)g；(")d〃 (一 0V加 Va). (7.10)
Далее, из основных уравнений для включения, как всегда,
&(/)=% 尸1一 jq(〃)d〃 (一 aV^Va), (7.11)
где Е — неизвестное осевое усилие на конце / = —а включения.
Подставляя (7.11) в (7.6), после некоторых простых преобразо-
ваний относительно скачка тангенциальных контактных напряжений т получим интегро-дифференциальное уравнение
а
-7 J ctg -^=^ <р‘ (n) ch] = Х(р (自)一％Р1 + 无(自)(7.12)
при граничных условиях
(р(—ct) = 0, ф(ос) = pi —灰.(7.13)
Здесь, как и в § 4 гл. II,
ЛИЛИлатлат=а,=а,
ЛИ
ЛИ
лат
лат
=а,
=а,
т (Е) = $ Ts屮化)=J T(П)d%
Г 一乙九一 8(1 -《)0一%)阳
Р1 戶，Pz 尸， 冗(1 + %) (3 — 4%) E^h，
-8(04%_— 一2 (1 — 2%) J G 仕 E80+%)(3 - 4%)p/(冗 G 丿 Д2 (l + v2) (3-4v2)P 八门G
При помощи известных результатов из [1] и с учетом (7.10)
广(点)=-儿瓦(自)-巾包⑸一 h3(^]- "产J %,
G。(3 自)=-3 j ctg 写M [g,⑺-gf (n)] di] +
+ 整，J ctg ^^J^- [g2 (n) — g^ ⑺]&9 +л
+ J ctg ^^ [gf (n) — g~(Л)] di] ,(7.14)
(1 + %) (3 — 4%) P(1 + %) p也
— 16(1—%)%，- 32 (1 - v2) Z£2 ?p，
期⑸= t^Rekg(№^],
自⑸=2 ПА Im [sin-2':号一% )],
"工』^2^ ^2^)== 一一阳 ⑹ ⑹i^ ±^ 号"工』^2^ ^2^)== 一一阳 ⑹ ⑹i^ ±^ 号сМ^^)]，сМ^^)]，卜「户w卜「户w偽囹=2 ПЛ Re [sin- (б二岁弧)],
"工』^2^ ^2^)== 一一阳 ⑹ ⑹i^ ±^ 号
"工』^2^ ^2^)== 一一阳 ⑹ ⑹i^ ±^ 号
сМ^^)]，
сМ^^)]，
卜「户w
卜「户w
%
N± ——число сосредоточенных сил в верхней полуполосе {UI < Z; у > 0}, N_ ——число сосредоточенных сил в нижней полуполосе {Ы V%； у VO}. С учетом (7.14) будем иметь
+ 2% (3 — 4%) j ctg'H^ [gt ⑺—gf (喇曲1 —一 Л
—%о，ctg_!l^ [g^ (n) — g£ (n)l di)—j ctg 14*[g^ ⑺ 一 g^(叫附-*二:¥ 9。
Далее, учитывая (4.12), при помощи (7.11) получим
r(b：= - %中(三)+ 尊。р1 十阳0 (4 » - Y广(g g (-尊 V 自 V a),
(7.15)
(T)(lf)Е?2(一2)勺 一
% — л (1 + v2) (3 — 4v2) £2Л， P — i? (1 十 v2) (3 — 4v2) P‘
(1 - 2v2) £2Z-？、
? = "十 %)(3—4%)p'陶_三?0I 云斗
Обратимся теперь к уравнению (7.7). Преобразуем его к виду а
亲 J ctg ^^ 寸⑴)dx\ =入:% 图 + Я 低)，(7.16)
%(-а) = %(а) = 0,(7.17)
*=.*у一,簿)=!屮‘(3)师〃固=储申).
Приняв во внимание (7.9), будем иметь
*阳=一 Xigj (^) + 入2 依2 (自)+ g3 (自)1 - а
一急 f ctg石^质⑹一"'⑴]西-
а
-羞 J ctg ^T^ ["⑺一说⑺]W + —а а
+ 荟 j Ctg ^^ [时(n)-无/ (n)] d%
где 无赤⑥(i = 1, 2, 3) получаются из функций 自(自)，если в выражениях последних N заменить соответственно на N±, а функции gKg)(力=《，2, 3) получаются из функций g丰(三)，если в выражениях последних заменить N± на N;
丿(l + %)(3f )Р丿 (l + v2)P
— 87r二也产7
При этом в (7.8)
『(？ = % 卜(寓十3%®| (—aWa), (7.18)
% 一乳0十%) (1 — 2%) P ' 0⑹一乳P (丸冲
g'传引=一 "g必+福屈阳+ g3闺](一 a V自V a).
Перейдем теперь к определению 卩匕 р2- С этой целью запишем выражения комплексных потенциалов в случае периодической системы разрезов. Совершив предельный переход в выражениях комплексных потенциалов для случая конечного числа
разрезов [1], как и в [10, И], получим
(7.19)(7.19)①⑶=Ф()(2) + л7^ 卜 sin 传)+ 3 cos 传力一 fQ (z) - & ⑶ + 焉 S sin 传)—3 COS 传4- f,
(7.19)
(7.19)
4 = g, B^-^^-P,),4 = g, B^-^^-P,),A（2）=A（2）=
4 = g, B^-^^-P,),
4 = g, B^-^^-P,),
A（2）=
A（2）=
①。⑶=-^< J ctg ^^ A (s) [2g (S) + " (s)] ds -
-G f ctg -吟 j@ % (s) ds, (7.20)
Q。％ = - •gi^W J ctg ^^£1 A ⑻[2q (s) + " (s)] ds +
十康 j ctg 吟戸■ TS (s) ds,
В (7.19) и (7.20) положим
力(* u) — % (u), T§ (g u)=工0 (〃)•
Тогда имеем
a
①(z) =①(z) =8冗"2 ( cos a — cos w)8冗"2 ( cos a — cos w)J Ctg-^^ [2% 3) + % 3)] X —a
①(z) =
①(z) =
8冗"2 ( cos a — cos w)
8冗"2 ( cos a — cos w)
a
X p2 (cos u — cos a) du —急 J ctg-^^to(u)du +
++ww4 sin — + В cos 芽ww4 sin — + В cos 芽”2 (cos a—cos s)”2 (cos a—cos s)f. (7.21)f. (7.21)
+
+
ww
4 sin — + В cos 芽
ww
4 sin — + В cos 芽
”2 (cos a—cos s)
”2 (cos a—cos s)
f. (7.21)
f. (7.21)
Q (z)=—Q (z)=—118nlz2 (cos а — cos w)8nlz2 (cos а — cos w)аctgаctg〃一〃一22竺[2备 3) — %(〃)]X竺[2备 3) — %(〃)]X—а—аX /2 (cos и — cos a) du 十击『ctg—aX /2 (cos и — cos a) du 十击『ctg—a〃一〃一22—To (〃) du +—To (〃) du +Далее, положимДалее, положимctgctgu--wu--w++22то（〃）~то（〃）~"|/2 (cos а — cos ^) — pd — &2"|/2 (cos а — cos ^) — pd — &2. WWA sin ~2 — В cos ~2. WWA sin ~2 — В cos ~2"|/2 (cos а 一 cos 妨"|/2 (cos а 一 cos 妨+ 亲(7.22)+ 亲(7.22)~ + 2K (и — u?),(3 — a) W + a)~ + 2K (и — u?),(3 — a) W + a)2 sin —2— 12 sin I —g—2 sin —2— 12 sin I —g—
Q (z)=—
Q (z)=—
1
1
8nlz2 (cos а — cos w)
8nlz2 (cos а — cos w)
а
ctg
а
ctg
〃一
〃一
2
2
竺[2备 3) — %(〃)]X
竺[2备 3) — %(〃)]X
—а
—а
X /2 (cos и — cos a) du 十击『ctg
—a
X /2 (cos и — cos a) du 十击『ctg
—a
〃一
〃一
2
2
—To (〃) du +
—To (〃) du +
Далее, положим
Далее, положим
ctg
ctg
u--w
u--w
+
+
2
2
то（〃）~
то（〃）~
"|/2 (cos а — cos ^) — pd — &2
"|/2 (cos а — cos ^) — pd — &2
. WW
A sin ~2 — В cos ~2
. WW
A sin ~2 — В cos ~2
"|/2 (cos а 一 cos 妨
"|/2 (cos а 一 cos 妨
+ 亲(7.22)
+ 亲(7.22)
~ + 2K (и — u?),
(3 — a) W + a)
~ + 2K (и — u?),
(3 — a) W + a)
2 sin —2— 12 sin I —g—
2 sin —2— 12 sin I —g—
“&)= 2"E U—La
Воспользовавшись этими представлениями, при помощи указанной в предыдущих параграфах этой главы методики находим
lim /устх(— а, у) = Kta, y->+0lim Ууих (а, у) = К^, ут+Оlim /устх(— а, у) = Kta, y->+0lim Ууих (а, у) = К^, ут+Оlim m与% (- а, у) а к二а,lim Z — yox (a, y) = Ka , JT—0lim m与% (- а, у) а к二а,lim Z — yox (a, y) = Ka , JT—0
lim /устх(— а, у) = Kta, y->+0
lim Ууих (а, у) = К^, ут+О
lim /устх(— а, у) = Kta, y->+0
lim Ууих (а, у) = К^, ут+О
lim m与% (- а, у) а к二а,
lim Z — yox (a, y) = Ka , JT—0
lim m与% (- а, у) а к二а,
lim Z — yox (a, y) = Ka , JT—0
区工=一 У 一8冗］/汽 sin a区工=一 У 一8冗］/汽 sin a3 v716л"|/л sin a3 v716л"|/л sin aaJ j/Ctg-—aaJ ]/ ctg—aaJ j/Ctg-—aaJ ]/ ctg—a"片 4 ]/2 (sin а—sin u)q0 (“) du —"片 4 ]/2 (sin а—sin u)q0 (“) du —Т"4 р2 (sin а — sin и) % (〃) du —Т"4 р2 (sin а — sin и) % (〃) du —
区工=一 У 一
8冗］/汽 sin a
区工=一 У 一
8冗］/汽 sin a
3 v716л"|/л sin a
3 v716л"|/л sin a
a
J j/Ctg-
—a
a
J ]/ ctg
—a
a
J j/Ctg-
—a
a
J ]/ ctg
—a
"片 4 ]/2 (sin а—sin u)q0 (“) du —
"片 4 ]/2 (sin а—sin u)q0 (“) du —
Т"4 р2 (sin а — sin и) % (〃) du —
Т"4 р2 (sin а — sin и) % (〃) du —
3v78л"|/л sin a3v78л"|/л sin a
3v78л"|/л sin a
3v78л"|/л sin a
3/t*(—a) ] 1/Msin^ 31/ZBcos 导
8"|/^a2"|/л sin а 2"|/л sin a
к二。к二。j Mctg '看 仪 p2 (sin а — sin и) % (〃) d〃 + —а
к二。
к二。
+ Ч^Ш^ У /ctg扌/2 (sin а-sin М) % 3) du-
_ 5俏т* (一 a).3T/L4sin£ — 5ДЛв cos子
8Д/启21/f sin а 2"|/л sin а
Ka = Gf /Ctg/2 (sin а + sin u) q0 (w) du +
8л V л sin a'и
+ •高黑 in a，J A"ctg 宁匕(Sina + sin”居 ® du +
十空4上空J金,(7 23)
8]/?та2~|/я sin a 2~|/Ksina
—a—a5m16л"|/л sin a5m16л"|/л sin aaaKa ---^l=- ctg -a-^-- 1^2(310 a 4-sin 〃)％(〃)d〃一 8л |/ л sin a/
—a
—a
5m
16л"|/л sin a
5m
16л"|/л sin a
a
a
仪，辽 M2 (sin a 4- sin u) tQ (u) d〃 +
+ 5俄工* (a) + 3m4 sin£ + 54/" cos 刍8"|/na2~|/л sin а 2"|/л sin a
Условия (4.86) в данном случае приводят к соотношениям(К，+ К二а) /2Д = -匕，(唠 + Ka) /2fe = -匕，
которые с учетом (7.23) запишутся в виде
ctg 円专，乌]/"2 (sin a — sin u) q0 (〃)du +
+ ^n" J Mctg—-^ - У2 (sin a — sin u) % (〃)du —
二*-胃涉过? + 24 sin-J - 4B.cos -J 厂质=-%, (7.24)
У2 (sin a + sin 〃) q0 (〃)d〃 —
аа—а—а++т* (a)"|/5indV5т* (a)"|/5indV524 sin у + 4В cos — I р2£ = — Р2.24 sin у + 4В cos — I р2£ = — Р2.
а
а
—а
—а
+
+
т* (a)"|/5ind
V5
т* (a)"|/5ind
V5
24 sin у + 4В cos — I р2£ = — Р2.
24 sin у + 4В cos — I р2£ = — Р2.
Теперь построим решение уравнения (7.12) при условиях (7.13). Очевидно, что (7.12) получается из уравнения (4.3) гл. II, если в последнем положить
т© = 1> /(&) = Р1-5
Следовательно, решение (7.12) можно построить при помощи методики, изложенной в § 4 гл. II. Следуя этой методике, уравнение (7.12) сведем к бесконечной системе (4.19) гл. II, причем в данном случае
耿十 1 — ~2п "g *2"(近十储о 一 Pi%+i + 阪十J (^ — 1» 2,...),
% =% =2л cos ~ tg2 — ,后=1，
% =
% =
0,Л = 2, 3,...
=£ J 无(*)Uл I -学-I sec3 P2 (cos & — cos а)庞
-aVgT 丿
и остальные обозначения те же самые, что и в § 4 гл. II.
Решение бесконечной системы (4.19) гл. II при правой части, равной bk+l, обозначим через 力箱1, при правой части Kh+lt ± —— терез 胃晖厶 при правой части eh+l — через 力鋒и при правой части 力Z+工一через 嘉厶.Тогда
=舎 c'g Т [建L"o —"農 1% — Pix^+i + ^м-i] (^ — 1> 2,...).
(7.25)
Условие (7.13) в разбираемом случае имеет вид
“О + W (—今"(К v) “2П =(P1 —卩2)‘ •
что вместе с уравнением (4.14) гл. II при к — 1 вопрос опреде-
лепия /о и Rj сводит к решению системы
旬 1"0 +。12"1 = d1，。21ko +。22"1 ~ d2,
2 (1 + cos 彳)31
奈 ctg у 2 ^l.^+l^M-l»n=l
2 аа
d]=d]=G +G +sinatg^sinatg^i(-ir(tg|)2n^+1-i(-ir(tg|)2n^+1-2ll + cos2|2ll + cos2|PlPl4急ctg y2 ",九+信縉一4急ctg y2 ",九+信縉一"=1"=1sina tg2卜+cd畠sina tg2卜+cd畠九=1\九=1\л sin a tg2л tg
d]=
d]=
G +
G +
sinatg^
sinatg^
i(-ir(tg|)2n^+1-
i(-ir(tg|)2n^+1-
2ll + cos2|
2ll + cos2|
Pl
Pl
4急ctg y2 ",九+信縉一
4急ctg y2 ",九+信縉一
"=1
"=1
sina tg
2卜+cd畠
sina tg
2卜+cd畠
九=1\
九=1\
“2 = • 3 + 急 ctg — D" (tg ?丿或)]Pl _ j Pz _
一击 ctg ■? £(-6“(tgT)礎，
Из этой системы найдем
% = 4，)Pi + А^р2 + 4，々=5f)Pi 十 Bgip? + 53, (7.26)
sin a tg 告 心=出+ ^^
2ll+cos2^
一击 ctg ~ e "1,n+1建，71=1一击 ctg ~ e "1,n+1建，71=1a22Дa22Д
一击 ctg ~ e "1,n+1建，71=1
一击 ctg ~ e "1,n+1建，71=1
a22Д
a22Д
g + 奈 ctg号 2 (- l)n 0g 告)碗
43 - -^- / ctg 等 2 Kl,n+1 尤彳*1 ~
n—1
smatg-y н/“ \2也，
7,—< 2 (- 1产 0g ~4-/ 第2^+1 一 面 +
2 l+coS2-J-，^、4 /
+资专^学2（一 D" （tg等）或71=1
%1%1出+出+sinatg-^-sinatg-^-2°+cos2告2°+cos2告
%1
%1
出+
出+
sinatg-^-
sinatg-^-
2°+cos2告
2°+cos2告
83 =是-亲ctg告E к1招子1宏尸）1 —
sin а tg —
2 (1 十 cos2 告
，（一i）《g等广礎3一工
_哈 亲ctg长斗-m电"?"）或，
Далее, объединив (7.25) и (7.26), получим
^ = С^Р. + С^р2 + Ск (/с = 0,1, 2, ...),(7.27)
Л<0),后=0,
國〕,.8“ A: = l,
奈ctg告［/f* -理)霍一建)］国=2, 3,…)，
*，后=0,
以2)= B* 〃 = 1,
专ctg卷［鸡%产一儿1)磅)］*=2, 3,…)，
4，к = 0,
0丸—%，" = 1,
+"g告［/3况2‘ 一邑宏俨+胃£)］(Л - 2, 3,...).
Теперь, подставляя (7.27) в (4.8) и (4.9) гл. II, будем иметь
(а) ="|/"^^ cos 等 士 资Р工 + ± *Р2 + ± 以，：
4=0月=0片=0.
(7.28)
(- a) =cos 等工(-1)唄"1 + 2(一 1 产*p2 +
'Lh=Ok—0
oo"
88М 」629)
$(&)=* 赍4 居)Л+ 2 c^Ak ® p2+ 1 ChAk^. 月=0兀=0月=0
Приняв во внимание (7.29), из (7.15) находим
q 低)二一&①1 ⑹ Р1 — &①2 ® Р2 十①3(U(—avEVa), (7.30)
①1 (占)=£ 僚4 低)-1,①2 (E) = S C^Ak ◎
①з（&）——&£ chAk低）+昵（*力_ 丫广传4
Наконец,' подставляя (7.30) и (7.28) в (7.24), после некоторых простых преобразований для определения pt и р? получим систему уравнений
2,2,41門 + "1202 =%，41P1 + 422Р2 B、
2,
2,
4л4л1 厘1 — ―/ ГТ '1 ' "|/ л sin a1 厘1 — ―/ ГТ '1 ' "|/ л sin a・《拦 V2 (sin a — sin &)①】(&)庞 +・《拦 V2 (sin a — sin &)①】(&)庞 +
4л
4л
1 厘
1 — ―/ ГТ '1 ' "|/ л sin a
1 厘
1 — ―/ ГТ '1 ' "|/ л sin a
・《拦 V2 (sin a — sin &)①】(&)庞 +
・《拦 V2 (sin a — sin &)①】(&)庞 +
8
+ 冗 cos -^ £ (— 1)丸С?，一 cos -~h=0
412412?S U j ^^ P2(2si晡①雜)d"?S U j ^^ P2(2si晡①雜)d"
412
412
?S U j ^^ P2(2si晡①雜)d"
?S U j ^^ P2(2si晡①雜)d"
+ n cos 告"£ (—■ 1)5俨 + cos ■—
4141уж^р 丄уж^р 丄专i /2 (sin a + sin ^)①](3 册一专i /2 (sin a + sin ^)①](3 册一
41
41
уж^р 丄
уж^р 丄
专i /2 (sin a + sin ^)①](3 册一
专i /2 (sin a + sin ^)①](3 册一
ОО■
—…长e僚)+ COS等 4=0
“22 =“22 =-^Hz-t f Jctg卜2 (sin a + sin &)①2 (&) / —
“22 =
“22 =
|/ л sm a LJ^ r/
ОО
51 =51 =па — sin Е) t Q)龙一па — sin Е) t Q)龙一-—12 С俨一cos £ 女=0
51 =
51 =
па — sin Е) t Q)龙一
па — sin Е) t Q)龙一
/2 (sin a — sin E)①3 ⑶ d& +
…曰e (—^ch + 2g。sin 等,
h=0
马马V2 (sin а + sin &) Ф3 (^)恋—
马
马
-专 J /ctg -■"■■- /2 (sin а + sin ^) Z 低)成 +—а
00-
十 л cos -^- E。左 + 2,0 sin -~ , h0 =
Отметим, что если h0 Q 0, то р「р2y 0.
Изложенную в § 4 гл. II методику можно применить также к решению уравнения (7.16) при условиях (7.17), в результате чего определяется функция %(?), входящая в (7.18).
В несколько другой постановке задачи § 4—7 были рассмотрены в работах [12—151.
ГЛАВА IV
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИДЛЯ УПРУГИХ ТЕЛ, УСИЛЕННЫХ НАКЛАДКАМИ
Упругое полупространство, усиленное узкойпрямоугольной накладкой конечной длины
Перейдем к исследованию пространственных задач о контактном взаимодействии между тонкостенными элементами в виде накладок малой толщины и массивными деформируемыми телами. Сначала рассмотрим контактную задачу о передаче нагрузки от прямоугольной упругой пакладкп малого прямоугольного поперечного сечения н конечной длины к упругому полупространству. При этом будем основываться на результатах работы [1].
Пусть упругое полупространство （Е2, v2） на некоторой части своей граничной плоскости усилено упругой накладкой прямоугольного поперечного сечения и конечной длины （рис. 4.1）. Будем считать, что площадь As поперечного сечения накладки достаточно- мала в том смысле, что высота h и полуширина 6 накладки малы по сравнению с ее полудлиной а （儿 6《а）. Требуется определить закон распределения контактных напряжений в полоске соединения накладки с полупространством, когда она загружена указанными на рисунке силами.
Как в § 8 гл. I для кругового бруса, будем предполагать, что вследствие малости 无近 6 жесткость накладки на изгиб в двух взаимно
перпендикулярных направлениях, а именно в направлениях осей Oz и Оу, пренебрежимо мала. Последнее приводит к тому, что в контактной зоне будут действовать только тангенциальные напряжения. Но так как 6《〃,то в контактной' зоне можно пренебрегать п тангенциальными напряжениями туг.
Из этих предположений следует, что в полоске соединения накладки с полупространством действуют только тангенциальные контактные напряжения т^Е,沙）=一工$（力,у）. Если принять модель контакта по лпнпп и предположить, что напряжения сосредоточены вдоль средней линии полоски контакта, т. е. вдоль оси абсцисс, и приложены к полупространству, то можно прийти к следующему выводу. Как известно [2], перемещения вдоль
§ 1. ПОЛУПРОСТРАНСТВО С НАКЛАДКОЙ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ 291 оси Ох граничных точек полупространства с координатами （力,у） от сосредоточенной в начале координат силы Q, направленной по топ оси, даются формулой
з（2, y）=《金"p；^ （1+丁士’叶产）• （1,1）
В частности, для точек, расположенных па оси абсцисс, будем иметь
"2 （"，°）="2 （"，°）=d + %）Q 1 ~ГТ?d + %）Q 1 ~ГТ?
"2 （"，°）=
"2 （"，°）=
d + %）Q 1 ~ГТ?
d + %）Q 1 ~ГТ?
В случае распределенной по отрезку ности 夕（力）получимВ случае распределенной по отрезку ности 夕（力）получимоси Ох нагрузкиоси Ох нагрузкииптенсив-иптенсив-
В случае распределенной по отрезку ности 夕（力）получим
В случае распределенной по отрезку ности 夕（力）получим
оси Ох нагрузки
оси Ох нагрузки
иптенсив-
иптенсив-
〃2 （爲 °）=〃2 （爲 °）=g（s）I 充一s|g（s）I 充一s|ds.ds.
〃2 （爲 °）=
〃2 （爲 °）=
g（s）
I 充一s|
g（s）
I 充一s|
ds.
ds.
Однако этот интеграл в точке s =力 не сходится ни в обычном смысле сходимости несобственных интегралов, ни в смысле главного значения по Коши. Следовательно, такая постановка задачи математически некорректна, и модель одномерного упругого континуума накладки в сочетании с моделью контакта по линии здесь непосредствеипо не применима.
Предположим теперь, что напряжения т$（胃,у） во всей полоске контакта {—д < х < а; —8 <у <8} распределены по поперечному направлению равномерно, т. е. предположим, что имеет место модель контакта по площади. Тогда т$（爲 у） = т$&）, и па основании （1.1） будем иметь
〃2 （胃，°） = 2（^-上）J Н （х — s） Ts （s） ds,2
Н（“）= In 击+ In（6 + 丿尹百）+
v Г2■
+ ~ J 1 — //,、（― 2。V 胃 V 2。）.
/б2 + ^（б + /б2 + ^2）］
Последние формулы показывают, что если ввести предположение о равномерности распределения контактных тангенциальных напряжений в поперечном направлении, то тогда перемещения точек средней лиипп полоски контакта по той же линии будут вполне определенными величинами. Однако такое распределение Ts（3 у） возможно, если они на линиях у = ±6 ограничены.
Но в действительности линии у — ±6 являются особыми линиями для напряжений т3（^, у）. Чтобы выявить точный вид особенностей этих напряжений на линиях у = ±6, для простоты ограничим- 19*
1 一公 С 内 Q，У)= Я£ 2 J1 一公 С 内 Q，У)= Я£ 2 Jся случаем, когда область контакта представляет собой узкую бесконечную полосу {—оо < ^ < оо； ——bVyVb}. Тогда перемещения граничных точек упругого полупространства вдоль оси Ох от распределенных по этой полосе напряжений тКа, у), согласно (1.1), будут даваться формулой
1 一公 С 内 Q，У)= Я£ 2 J
1 一公 С 内 Q，У)= Я£ 2 J
十不% 俏3/2卜，怎叫力1 •
Применив преобразование Фурье по переменной х к обеим частям этого равенства, получим
6
^2 (^. У) = 2^^ j ["0(九丨少一"1)一
—v3?v I г/ — 111 ^ (?v I г/ — ц I)] т, (I, л) ^П 仇 >0), (1.2)
也2 仇，У)= J u2 (ж, г/) e^dx, % 仇，沙)=J rs (ж, у) e^dx,
а К。(第)и KS~x} — известные функц-ии Макдональда. Приняв во внимание выражения этих функций в виде рядов [3], можем записать'
a(九历一"D - *2九1y一1]1兄(九历一nl)= Ь \y — т],-1 + 7?(|г/ - т]1), где 7?(а) ( — °0 V 第 V оо)——непрерывная функция.
Такое представление ядра, фигурирующего в соотношении (1.2), позволяет утверждать, что особенности функции rs(^, у) на линиях у = ±6 будут типа квадратного корня, как и в случае классической контактной задачи о вдавливании штампа в упругую полуплоскость без учета сил трения.
Приведенные рассуждения наводят на мысль, что в полоске соединения накладки с упругим полупространством распределение контактных напряжений в поперечном направлении можно считать таким же, какое получается па основании решения указанной плоской контактной задачи. Это допущение принимается также в задаче о вдавливании узкой балки в упругое полупространство [4]. Оно аналогично предположению, на котором построена теория узкого крыла конечного размаха.
Итак, вместо предположения о равномерности распределения контактных напряжений т5(^, у) в поперечном направлении примем, что закон распределения этих напряжений дается
формулойформулой
формулой
формулой
(1.3)(1.3)где т_(第)一напряжение на единицу длины накладки, подлежащее определению.
(1.3)
(1.3)
Теперь перемещения 典2(爲 0) граничных точек упругого полупространства, лежащих на средней липни области контакта, происходящие вдоль той же линии контактных напряжений —Ts(爲 у), приложенных к полупространству, согласно (1.1) и (1.3), будут иметь вид
1 — V?
X I duX I dudy.dy.以2 (第，0) =^- X'
X I du
X I du
dy.
dy.
Отсюда
□2 (第,0) =□2 (第,0) =2(f) Г2 —a2(f) Г2 —aк {x — u) -f-彳「】% (第一尻)т- 3) du,к {x — u) -f-彳「】% (第一尻)т- 3) du,(1.4)(1.5)(1.4)(1.5)66J/'J/'
□2 (第,0) =
□2 (第,0) =
2(f) Г
2 —a
2(f) Г
2 —a
к {x — u) -f-彳「】% (第一尻)т- 3) du,
к {x — u) -f-彳「】% (第一尻)т- 3) du,
(1.4)
(1.5)
(1.4)
(1.5)
6
6
J/'
J/'
a K(k)——полный эллиптический интеграл первого рода модуля к. Можно показать, что К(第)и 2(第) являются сингулярными интегралами [4, 5]. Положив
будем иметь
С другой стороны, приняв во внимание следующую формулу
ИЗ * [6]：
令)=&'К(〃),
окончательно получим
к⑺二•广丄=k 7=:
(1.6)
Далее, легко заметить, что
*2)= 一/一^•
Следовательно, учитывая формулу дифференцирования функции К(") из [6〕：
'dK(k)_E(k) К(к)
dk kN? к *
находим
2(/)= -7-— Е л —
/д2 + ^2 к/б2+^2
Е(к)二
1
(1.7)
где Е(к)——полный эллиптический интеграл второго рода модуля к. '
Обратимся теперь к накладке. Ее основные уравнения можно получить из (8.31) гл. I предельным переходом при R + 8； откуда б разбираемом случае будем иметь (用О = х) уравнение
dlj
■^ —е Е+ (/) + т-(窠)](―@ V 第 V а),
которое должно рассматриваться при условиях
7\ К) I Ai - & 瓦厶⑺ Iaq =巳仇,(1.8)
Интегрирование этого уравнения с учетом первого условия (1.8) даст
Т工(幼——^― Р1 — ] Т— (w) du 7~ J t+ (zz) du
Учет второго условия (1.8) приводит к кладки:
(—〃《£&〃).
(1-9)
условию равновесия на-
j (zz) du = Р, Р = Рг — Р? — Tg У7。= J Т-|_ (и) d比.
Заметим, что
7](£)=25或(吟
(1.10)
где dx (/)——осевое напряжение в сечении х накладки.
Далее, из упругого соотношения (8.29) гл. I
玩=% (/)=
где £±(力)——осевая деформация накладки, a Es — ее модуль упругости. Отсюда при помощи (1.9) получим
或(化)=7Al 尸1 — I т_ (и) du — I т+ (zz) du (—〃＜；%＜；〃)，
(1.11)
где As = 2h8 — площадь поперечного сечения накладки.
Теперь (1.4) и (1.11) подставим в условие контакта
1du (2，0) g
ei (力)—-^=或(%)(— 0 V 力 V @)
и перейдем к безразмерным величинам
?a J (您)一、 (庇) 心
力=成，U = Ш],p = T (自)，P —т0 (自)，
0工二乃，б。 =
В результате для определения неизвестных касательных контактных напряжений т(^) получим следующее интегро-дифференциальное уравнение:
皆張 J I^o(I ^ — Л I) + vo^o(I Е — Л 1)1 屮'(")d"=
二%Y⑶屮⑶一3位)丫⑹，(1.12)
которое, согласно (1.9) и (1.10), должно рассматриваться при граничных условиях
屮(—1) = 0,屮(1) = 1.(1.13)
Здесь, как всегда, положено
Е& = Е]Е(%)
и введены обозначения
入 ^_Y (9 = ет 時)，
0 24&« —峻)
中(自)=J T⑺d/ / (自)=月1一]%⑺力],% = ?^T.
2
Функции 儿(占)II 厶(占)непосредственно получаются из (1.6)— (1.7) н имеют вид .
к0 (^) = л 1 К f л 6°, Zo © =Е [
Р%+『1九宀2丿 九\/6^ + §2J
(1.14)
Выясним структуру этих функций б окрестности точки ^ = 0.
С этой целью воспользуемся известным разложением [6】
女（何=（in4女（何=（in4++InIn44221-21-2к12к121・3・51・3・5Г2 ЗТ4 — 5^6/Г2 ЗТ4 — 5^6/
女（何=（in4
女（何=（in4
+
+
In
In
4
4
2
2
1-2
1-2
к12
к12
1・3・5
1・3・5
Г2 ЗТ4 — 5^6/
Г2 ЗТ4 — 5^6/
при помощи которого после простых операций получим
А。⑹= =】п击 +Ю，(1.15)
£(^?Ш1пШ+
_(竺丫 hn4丨自1. . + 二 +
[2・4丿[P碌^ 十]■2十3.4卜%+1)2
\2・4・6丿/%+£1，23/丁 5・6 (з； + у)з j 、/
Что касается функции 2心),то опа непрерывна и, согласно известному разложению 8.114.1 из [6], представляется в виде
2。（自）=2。（自）=тстс2 m喏+廿2 m喏+廿3；12-3 弟「乖工硬"一克? （%+自2）22/^t? （2,2，，%用3；12-3 弟「乖工硬"一克? （%+自2）22/^t? （2,2，，%用(1-17)(1-17)
2。（自）=
2。（自）=
тс
тс
2 m喏+廿
2 m喏+廿
3；12-3 弟
「乖工硬"一克? （%+自2）2
2/^t? （2,2，，%用
3；12-3 弟
「乖工硬"一克? （%+自2）2
2/^t? （2,2，，%用
(1-17)
(1-17)
где F(at b, c; a)——пшергеометрическая функция Гаусса. С учетом (1.15) можем записать
Г (自)=勺(Ю+ М ⑹=記11 高 + Q 囹， (1.18)
q（自）=上（自+髙囹,
где £(占)и ОКЕ) даются формулами (1.16) и (1.17). Из (1.15) вы-
текает, что функция "。（占）в точке § = 0 обладает логарифмической особенностью. То же самбе для г（Е）вытекает из （1.18）.
Входящая в （1.18） функция Q（E）в силу （1.16） и （1.17） представляется в виде ряда. Но ее можно представить также в виде интеграла, для чего рассмотрим преобразование Фурье функции
ОО8ОО
Rg= J Г （е） eМ或=J勺阳标爲成十V。J Z。（自）e依庇.
—ОО—8— 8
Далее, подставим сюда выражения функций "。（占）и 厶（占）в виде интегралов （1.5）, в которых следует 6 заменить на 60. Затем поменяв порядок интегрирования и воспользовавшись формулой 3.773.6 из [6], находим
R （А）=R （А）=2》吟（九⑴2》吟（九⑴dr）.dr）.
R （А）=
R （А）=
2》吟（九⑴
2》吟（九⑴
dr）.
dr）.
Наконец, использование формулы （86） из [7] （с. 144） даст
"（九）=h［（1 + V。） ?。 （》）+ 匕6篦1 （^）］ ко （屮）一叫（1.18а）（—'оо V 九 V оо）,
где 厶（力）и 乙（第）一модифицированные функции Бесселя первого рода. Теперь
откудаоткудаG （X）--G （X）--Г⑶=3j五6）cos （姑）说， оГ⑶=3j五6）cos （姑）说， о喇7喇7（1.19）（1.19）
откуда
откуда
G （X）--
G （X）--
Г⑶=3j五6）cos （姑）说， о
Г⑶=3j五6）cos （姑）说， о
喇7
喇7
（1.19）
（1.19）
Выясним асимптотическое поведение функции G（九）при больших А. С этой целью воспользуемся известными асимптотическими разложениями [6]
‘° ⑺-yfe （‘ 十 В 十 £ 十• • •）,
+ / + …）（…8）•
Легко получим соотношение
G(g亡 + 諳(1-20)
при помощи которого (1.19), следуя известной методике [8], можно преобразовать к виду
翁一点+ '[吉-G (矶sin (陶林 (1.21)
Очевидно, что в силу (1.20) последний интеграл сходящийся.
Из (1.21) опять вытекает (1.18), причем。(占)уже представится входящим сюда интегралом.
Теперь, воспользовавшись (1.18) или (1.21), уравнение (1.12) преобразуем к виду
』『[a + К^~ n)]屮'(n) d4 =编⑹T图一编阳"三)(1.22)
鹏)=6。% = j [1 — 6°G(Q] sin (熊)爪 (1.23) 0
Интегро-дифференциальное уравнение (1.22) имеет такую же структуру, что и уравнение (2.12) гл. II, и отличается от пего лишь слагаемым 衣(占一“).Поэтому его решение может быть построено при помощи методики, изложенной в § 2 гл. II. Следуя этой методике, положим
=(-1<^<1),
в результате чего придем к бесконечной системе
彳?тг 十 £ [ХцRyn,n 十 ^т,?г]礼乳=йт (Ш = 1, 2, . . . ),(1.24)
后т方=鳥j U…("心…⑹Y(自)(1-消^
居= F K(E —n)-r==d^ (1.25) 冗,Jу 1 _ n2
…斗二…w什
1■
十入屮之信+ arcsin 自)一 / 闻 丫 ⑸ Um-\ ⑹ /T^F成
При этом из граничных. условий (1.13) непосредственно следует, что No = 1/л.
Исследование бесконечной системы (1.24) в случае одного ядра Rm,« из (1.25) проведено в § 2 гл. II. Покажем, что добавление к этому ядру нового ядра Кт, п не нарушает регулярности исходной бесконечной системы в смысле ее квазиполной регулярности. Действительно, в выражение ядра Кт)п из (1.25) подставим Е = cos О,刀=cos ср. Тогда
Km,n = W J j К (cos 仔—cos ф) sin О sin 现О cos шр "О йф, "оо
откуда при помощи интегрирования по частям по переменной 学
получимполучим^тп,п^тп,п1—Мт,п,1—Мт,п,
получим
получим
^тп,п
^тп,п
1
—Мт,п,
1
—Мт,п,
Мт,к =Мт,к =斎[К (cos 6 -斎[К (cos 6 -
Мт,к =
Мт,к =
斎[К (cos 6 -
斎[К (cos 6 -
cos ф)] sin О sin mb sin 孔屮 dO йф.
Заметим, что Мт, ^ являются коэффициентами Фурье функции 际[К (cos О — cos ф)] sin О
по полной ортогональной в квадрате 0 V О, ф < л системе 巾унк- ций {sinm^sin/zcp}m,n^i- С другой стороны, согласно (1.20) й (1.23), эта функция в указанном квадрате квадратично суммируема. Поэтому в силу неравенства Бесселя двойной ряд
£ I МтгП |2 сходится. Но тогда сходится и ряд [9] £ М^ fn,7i=l■m=l
力An = 2 |Мт,п『，откуда, по крайней мере,
Мт =。(皿-°+®) (m-> оо, е> 0).(1.26)
Теперь, если положить
Sm — -2~ £ I I —今工; 匹,"1,
то при помощи неравенства Коши — Буияковского получим
击рЕ击рЕ
击рЕ
击рЕ
Приняв во внимание (1.26), будем иметь
Sm = О(тпУ+е"2) (m f 8),
что и доказывает высказанное выше утверждение.
2. Упругое полупространство, усиленное узкойпрямоугольной накладкой бесконечнойили полубесконечной длины
В постановке, изложенной в предыдущем параграфе, рассмотрим контактные задачи о передаче нагрузки от накладки узкого прямоугольного поперечного сечения бесконечной или полубес- копечной длины к упругому полупространству.
Пусть упругое полупространство (£2, v2) на своей граничной плоскости усилено упругой накладкой прямоугольного цопереч- ного сечения бесконечной длины. Будем считать, что 无,8《1 и внешние усилия 工十(力)на всей оси 。力 имеют конечную равнодействующую. Выведем разрешающее уравнение задачи.
В данном случае вместо (1.11) будем иметь
Еэс (?)=—Еэс (?)=—J т_ (a) du +J т_ (a) du +т+ (и) duт+ (и) du(—оо V 第 V g),(—оо V 第 V g),
Еэс (?)=—
Еэс (?)=—
J т_ (a) du +
J т_ (a) du +
т+ (и) du
т+ (и) du
(—оо V 第 V g),
(—оо V 第 V g),
(2.1) причем из условия е；(第)f 0 при rr и отсюда вытекает, что
J 工一 3) d〃 = — 丁口 二 J т+ (и)du < оо. (2.2)
С другой стороны, вместо (1.4) в разбираемом случае будем иметь
2(1 —京)Г
0)=夾方'J [左(I I) + v0Z (\x — u I)] r_(zz) du
(—оо V 第 V g),(2.3)
где обозначения те же самые, что и в предыдущем параграфе. Подставляя (2.1) и (2.3) в условие контакта
d%®0)2d%®0)2(—8 V X V 8),(—8 V X V 8),
d%®0)2
d%®0)2
(—8 V X V 8),
(—8 V X V 8),
придем к интегро-дпфференциальному уравнениюпридем к интегро-дпфференциальному уравнению2 (1 — ^2)dл2£22 (1 — ^2)dл2£2J [А- (I ж — w I) + v0Z (I rr — w I)] т_ (“) duJ [А- (I ж — w I) + v0Z (I rr — w I)] т_ (“) duт_ (и) d〃 +т_ (и) d〃 +т+ (a) duт+ (a) du(—бо V 窠 V 8)(—бо V 窠 V 8)
придем к интегро-дпфференциальному уравнению
придем к интегро-дпфференциальному уравнению
2 (1 — ^2)dл2£2
2 (1 — ^2)dл2£2
J [А- (I ж — w I) + v0Z (I rr — w I)] т_ (“) du
J [А- (I ж — w I) + v0Z (I rr — w I)] т_ (“) du
т_ (и) d〃 +
т_ (и) d〃 +
т+ (a) du
т+ (a) du
(—бо V 窠 V 8)
(—бо V 窠 V 8)
или же к иптегро-дпфференциалыюму уравнению
j【左(I I) + %Z (] z —3)] т_ (и) du =j【左(I I) + %Z (] z —3)] т_ (и) du =2(1一燭)解
j【左(I I) + %Z (] z —3)] т_ (и) du =
j【左(I I) + %Z (] z —3)] т_ (и) du =
и к обеим частям интегро-дифференциального уравнения (2.4) применим преобразование Фурье. В результате получим алгебраическое соотношение
т(&) = —т(&) = —.（九）%十九2p⑷，.（九）%十九2p⑷，
т(&) = —
т(&) = —
.（九）
%十九2p⑷，
.（九）
%十九2p⑷，
где, согласно (1.18а),
Р6) = М(А) + М(А),=
=л (1 + v0) р0 (等)+ %入厶(告)К° ^-^j — nv0.
Отсюда по формуле обращения Фурье
⑸…2p.)
Пусть, в частности, t；+(n) = P5(n), где 8(х) — дельта-функция Дирака. Тогда Т0(Х) = 1 и, следовательно,
工⑹=_ & f C°S 片 (_ 8 V E V 8).
Л >0 + 大 Р (九)
Далее, на основе (1.20)
% + МР6) 4 % 十哈(1 十2舒十...)=Ио + лх + 竺抖" Итак, имеем
Но + 2Р 仏)4 % + 冗厶 + ^~6 f ОО). (2.5)
Исходя из последнего равенства, можем записать
= Г 11]1=
屋卜九2尸(九)—仆十九2尸⑷一%十п九 ，Vo +_
九2 P (九)一П九
-"0十^(¥10+^)(%十炉Р(九)): Теперь распределение тангенциальных контактных напряжений под бесконечной накладкой можем представить в виде т 售)=_ 号 j 一『含F 十乎 j Р。(Qcos 抵 &入(-OO<^<0O), о 0о
(2.6) р m \九р (九)n九
=储十北“瓜十^,⑷「
Очевидно, что /%(0) == 0, а, согласно (2.5),
尸o(Q =。传)6foо),
вследствие чего второй интеграл в (2,6) довольно быстро сходится. Первый же интеграл в (2.6) выражается формулой
j *需=-^[cos 侬)Ci 侬)+ sin (陶 Si 陶](g =今)，
О 0
где si(花) и Ci(N)——интегральные синус и косинус [3]. Следовательно,
т© = 5[cos(Т9Ci 偿Е)+ sin偿 9si偿矶十
+ ~^P0 (Q cos (词 dK (- 0O< g< 0O). (2.7) 0
Первый член в (2.7) представляет собой известное решение Ме- лана [10], а интеграл в (2.7) при 己 +8 быстро исчезает. Поведение 工传)при ^f 0 полностью описывается решением Мелана, т. е. первым членом (2.7). Так как [3]
п=1 ' '
где у ——постоянная Эйлера — Маскерони, то из (2.7) вытекает, что т(自)при g -> 0 имеет логарифмическую особенность, которая, таким образом, присуща решению Мелана.
Обратимся теперь к полубес- конечной накладке. Пусть уп
Рис. 4.2, данном случае будем иметьРис. 4.2, данном случае будем иметьругое полупространство на своей граничной плоскости усилено упругой накладкой узкого прямоугольного поперечного сечения и полубесконечной длины (рис. 4.2) и загружена указанным на рисупке образом. В
Рис. 4.2, данном случае будем иметь
Рис. 4.2, данном случае будем иметь
〃2(N，0)=〃2(N，0)=XX
〃2(N，0)=
〃2(N，0)=
2 (1 - 喲2 (1 - 喲〃丨)+ v0Z {\x — u\)]x~(u) du〃丨)+ v0Z {\x — u\)]x~(u) du(0 Vn V oo).(0 Vn V oo).У Т- (〃)d〃 一 j " 3) du оо
2 (1 - 喲
2 (1 - 喲
〃丨)+ v0Z {\x — u\)]x~(u) du
〃丨)+ v0Z {\x — u\)]x~(u) du
(0 Vn V oo).
(0 Vn V oo).
Как и выше, получим интегро-дифференциальное уравнение
陳IЕ 丨)+ в (Iп I) В (п)办1 = о
=V (g)<p(^)-^ (g)T0(g), (2.8)
(2.9)(2.9)которое должно рассматриваться при условии
(2.9)
(2.9)
Ф(О) = Т0-1.
Здесь положено
6T (施)3q (峭
Т(Е) = -
屮(B = —『T(n)dn，To (g) = J r0(n)t/n,
л£о62
…（。），^）=（口）&屈冠
причем, как и ранее,
Es = EiE(x) (О V n V сю),
а остальные обозначения те же самые, что и выше.
Уравнение (2.8) при условии (2.9), когда 九*(己)=const, методом Випера — Хопфа рассмотрено в [1].
С другой стороны, если воспользоваться представлением (1.21), когда 60 = 1, то (2.8) можно записать в виде
V J [豈 + К 偌一⑴]屮'⑴)Йn =大* (S 屮(3 - V (?) 7。⑹，(2.10)
О
«)=『*—[(1+%)厶(4)^о (4)+ о
(—8 VW V 8).(—8 VW V 8).
(—8 VW V 8).
(—8 VW V 8).
Для построения решения уравнения (2.10) при условии (2.9) можно пользоваться методикой, изложенной в § 1 гл. П.
§ 3. Упругое полупространство,усиленное круглой накладкой
Рассмотрим задачу о контактном взаимодействии между упругой круглой пластинкой малой толщины (накладки) и упругого полупространства [11].
Пусть тонкая (0 W z W 无《1) упругая круглая пластинка (rW l), жестко сцепленная по поверхности z = 0 с упругим по-
лупрострапством, нагружена симметричным образом по поверхности 2 = Л касательными напряжениями %(『). Требуется определить закон распределения радиальных перемещений ⑷⑴)и касательных напряжений тГ2(г) в области (z = 0, г&1). Рассматривая равновесие элемента тонкой пластинки в цилиндрической системе координат [13] и используя затем связь между компо-лупрострапством, нагружена симметричным образом по поверхности 2 = Л касательными напряжениями %(『). Требуется определить закон распределения радиальных перемещений ⑷⑴)и касательных напряжений тГ2(г) в области (z = 0, г&1). Рассматривая равновесие элемента тонкой пластинки в цилиндрической системе координат [13] и используя затем связь между компо-нентами тензора напряжений и компонентами тензора ций, придем к дифференциальному уравнениюнентами тензора напряжений и компонентами тензора ций, придем к дифференциальному уравнениюдеформа-деформа-2Gl/г2Gl/г片%（r）片%（r）2 —匕 L dr12 —匕 L dr1[1 %(r) _ 匕(г)'r dr 产[1 %(r) _ 匕(г)'r dr 产=2) — т(г)=2) — т(г)(У!)(3.1>(У!)(3.1>
лупрострапством, нагружена симметричным образом по поверхности 2 = Л касательными напряжениями %(『). Требуется определить закон распределения радиальных перемещений ⑷⑴)и касательных напряжений тГ2(г) в области (z = 0, г&1). Рассматривая равновесие элемента тонкой пластинки в цилиндрической системе координат [13] и используя затем связь между компо-
лупрострапством, нагружена симметричным образом по поверхности 2 = Л касательными напряжениями %(『). Требуется определить закон распределения радиальных перемещений ⑷⑴)и касательных напряжений тГ2(г) в области (z = 0, г&1). Рассматривая равновесие элемента тонкой пластинки в цилиндрической системе координат [13] и используя затем связь между компо-
нентами тензора напряжений и компонентами тензора ций, придем к дифференциальному уравнению
нентами тензора напряжений и компонентами тензора ций, придем к дифференциальному уравнению
деформа-
деформа-
2Gl/г
2Gl/г
片%（r）
片%（r）
2 —匕 L dr1
2 —匕 L dr1
[1 %(r) _ 匕(г)
'r dr 产
[1 %(r) _ 匕(г)
'r dr 产
=2) — т(г)
=2) — т(г)
(У!)
(3.1>
(У!)
(3.1>
с граничным условием
(3.2>(3.2>■^■(“) = 0 (г = 1)，
(3.2>
(3.2>
где Gi, Vj ——упругие постоянные пластинки (накладки).
К полученной формуле необходимо присоединить интеграль-
полу-Учи-полу-Учи-(3.3)(3.3)ное уравнение, выражающее связь между перемещениями пространства 〃2(『)и касательными усилиями —т(г) [141. тывая, что 〃2(『)三〃К『)при r& 1, запишем
полу-
Учи-
полу-
Учи-
(3.3)
(3.3)
1
冗29 J
2 о
Здесь Е2 ——модуль Юнга полупространства; JG)——функция Бесселя первого рода.
Используя результаты работы [131, можно показать, что решение интегрального уравнения (3.3) имеет вид
/、4С wi (р) + pwi (р),
―V7^Р —
11гг* PW1 (р) +『勺(р)* PW1 (р) +『勺(р)0м^=70м^=7卯]7^4(3・4>卯]7^4(3・4>Подставляя (3.4) в (3.1), приходим к интегро-дифференциальному уравнению, которое при условии (3.2) является самосопряженным:Подставляя (3.4) в (3.1), приходим к интегро-дифференциальному уравнению, которое при условии (3.2) является самосопряженным:d 1 d z 、丨 R 一石 ^丁（/%）十Ed 1 d z 、丨 R 一石 ^丁（/%）十Edd1 г-J % (0) + j1 г-J % (0) + jЕ, где R = 3—:Е, где R = 3—:о2(1一%)о2(1一%)RR1,1^С Мр) + рМр)1,1^С Мр) + рМр)р《(р) + 也(р)р《(р) + 也(р)/1^7/1^7dpdpdp -dp -=-=Z(r), (3.5)=-=Z(r), (3.5)—безразмерньщ параметр.—безразмерньщ параметр.
1
1
г
г
* PW1 (р) +『勺(р)
* PW1 (р) +『勺(р)
0м^=7
0м^=7
卯]7^4(3・4>
卯]7^4(3・4>
Подставляя (3.4) в (3.1), приходим к интегро-дифференциальному уравнению, которое при условии (3.2) является самосопряженным:
Подставляя (3.4) в (3.1), приходим к интегро-дифференциальному уравнению, которое при условии (3.2) является самосопряженным:
d 1 d z 、丨 R 一石 ^丁（/%）十E
d 1 d z 、丨 R 一石 ^丁（/%）十E
d
d
1 г
-J % (0) + j
1 г
-J % (0) + j
Е, где R = 3—:
Е, где R = 3—:
о
2(1一%)
о
2(1一%)
R
R
1,
1^С Мр) + рМр)
1,
1^С Мр) + рМр)
р《(р) + 也(р)
р《(р) + 也(р)
/1^7
/1^7
dp
dp
dp -
dp -
=-=Z(r), (3.5)
=-=Z(r), (3.5)
—безразмерньщ параметр.
—безразмерньщ параметр.
2° В. М. Александров, С. М. Мхитарян
Выражение (3.5) может быть сведено к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром со всеми вытекающими отсюда возможностями: существование решения, его единственность, а также хорошо разработанные методы его построения [141. Оставляя в стороне этот путь, применим для нахождения приближенного решения задачи (3.5) более эффективный метод специальных ортонормированных полиномов [15] — представим приближенное решение уравнения (3.5) в виде
"1 ⑺=2 dhQh (「)•月=3"1 ⑺=2 dhQh (「)•月=3(3.6)(3.6)
"1 ⑺=2 dhQh (「)•月=3
"1 ⑺=2 dhQh (「)•月=3
(3.6)
(3.6)
Здесь QJr)——полная в энергетическом пространстве [161 система полиномов, удовлетворяющих условию (3.2) и ортонормированных по отношению к оператору:
Е [〃1 (『)]=Е [〃1 (『)]=d—石d—石▼而(s) +▼而(s) +匕(p) + рм; (р)匕(p) + рм; (р)dp-dp-^ + ^^±^Ldp^ + ^^±^Ldp(3.7)(3.7)
Е [〃1 (『)]=
Е [〃1 (『)]=
d
—石
d
—石
▼而(s) +
▼而(s) +
匕(p) + рм; (р)
匕(p) + рм; (р)
dp-
dp-
^ + ^^±^Ldp
^ + ^^±^Ldp
(3.7)
(3.7)
Из сказанного следует, что
jz[@(r)S(r)rdr= ｛片 忆(3・8)
0I u - -/- 〃，/.
Несколько первых полиномов при нечетном поверхностном загружении пластинки имеют вид
Оз (г) = 6 —2г)/ /Ж，
(3.9)(3.9)05 б = ^5 — («5 — "F) Г3 — ^Ь^УМ~Ъ,
(3.9)
(3.9)
07 (Г)=*7 + 卜7I"" + [(a5a7 +07)1~ a7 г3 -
—2 (a5a7 十 ％) г，P 〃7・
Коэффициенты а5, а7, 07 определяются из второго обобщенного условия ортогональности (3.8).
Входящие в выражение (3.6) коэффициенты ак найдем так. Подставим формулу (3.6) в уравнение (3.5), умножим почленно на Qm⑺г и проинтегрируем ио г в пределах от 0 до 1. Используя
затем соотношение (3.8), получим
〃А = J "г) Qa (г) rdr.(3.10)
О
Установив приближенное выражение_ для 〃式г), найдем затем безразмерное касательное напряжение тп(г), которое дается вторым слагаемым левой части уравнения (3.5). Отметим, что кажущаяся особенность при г = 0 для касательных напряя^ений устранима.
Таблица 4.1
н
Координаты
X
0,2
0,4
0,6
0,8
2
0,016
0,031
0,044
0,053
0,017
4
0,029
0,058
0,082
0,099
0,030
6
0,041
0,081
0,115
0,139
0,042
8
0,051
0,101
0,144
0,174
0,052
10
0,061
0,119
0,169
0,205
0,063
В качестве примера рассмотрим приваренную к упругому полупространству круглую накладку, нагруженную по закону 貿г) == г. По формуле (3.10) вычислим коэффициенты 〃々：
йз = -1/3/л7；, as = _^+W 喇 МЩ
'111/ (3」今
仰=—[石 + W а? + "У (a5a7 + Р?)У к М7.
Тогда приближенная формула для касательных напряжений после вычисления несложных квадратур [6] примет вид
(г) = -•…/J {/ (г) + /⑺ + и. (г)},(3.12}
9я И 1 — г2
03 (r) =a3 (4Г3 - 5г)/ /拓，
4 (Г) =a5[整?5 +(4a5 一等卜十 ^- 5a5)Г]/ YM5,
解/+停а?一需К [要_書a-
+ 4 (a5a7 + %)卜з + [4^|~ + -у а7 — 5 (а5а7 + %)» VМ・(3.13)； 20*.
И наконец, интенсивность касательных напряжений по контуру пластинки (『=1)
z-lim /Г=^ 九”⑺=落。3 d)十 / (0 + ^7(1)]. (3.14)
Значения касательных напряжений представлены в табл. 4.1.
§ 4. Упругий цилиндр if упругое пространство с бесконечнойцилиндрической шахтой, усиленные цилиндрическойнакладкой конечной длины
В этом параграфе рассмотрим две контактные задачи о передаче нагрузки от тонкой цилиндрической оболочки (накладки) конечной длины к упругому сплошному бесконечному цилиндру пли пространству с бесконечной цилиндрической шахтой.
В первой задаче пусть упругий сплошной бесконечный цилиндр (£*2,電2)радиуса R на своей боковой поверхности усилен тонкой цилиндрической оболочкой (Е“ vj длины 2a и толщины
务2 QZ务2 QZ一勺*『产产广T亍一勺*『产产广T亍
务2 QZ
务2 QZ
一勺*『产产广T亍
一勺*『产产广T亍
Рис. 4.3.
А (рис. 4.3). При этом оболочка на своей боковой поверхности загружена как тангенцпальными, так и радиальными усилиями соответственно интенсивностей j(z) и g+(z). Кроме того, па своих торцах она загружена продольными силами интенсивностей ТУ〉и 7? Требуется определить тангенциальные и радиальные контактные напряжения и усилия в оболочке.
Во второй задаче упругое бесконечное пространство (Е2, v?) с бесконечной цилиндрической шахтой радиуса R на некоторой части поверхности шахты усилено тонкой цилиндрической оболочкой (Е1Т vj длины 2@ и толщины А, загруженной так же, как и выше.
Сначала выведем разрешающие уравнения первой задачи. Как и в § 8 гл. I, будем предполагать, что жесткость цилиндрической оболочки на изгиб пренебрежимо мала, т. е. Ds ^ 0. Тогда общие уравнения цилиндрической оболочки (8.33)「(8.37) гл. I сводятся к (8.38) н (8.41) той же главы. Применительно
к данному случаю уравнения (8.38) гл. I запишем в виде
崇=(4.1)
?2 = —"g“，g“(z) = g+(z) —g-G) (—〃vzv。)，
где учтено, что неизвестное тангенциальное контактное напряжение t_(z), действующее на оболочку, направлено вдоль положительного направления осп Oz, а приложенное к ней неизвестное радиальное контактное напряжение q_(z) направлено в сторону возрастания координаты г. Тогда соотношение (8.45) гл. I переходит в следующее:
"甘= %[t+(z) + t-(z)] (—avzva). (4.2)
Уравнения (4.1) должны рассматриваться при граничных условиях
(Z)卜=賣(z) |z=a =•(4.3)
Интегрирование первого уравнения (4.1) даст
& (z) = С — J [т+ (и) + т- (〃)] d〃，
откуда при помощи первого условия (4.3) находим, что С = Т?L Следовательно, имеем
ZZ
(z) = 7,)— J н (u) du — [ т— (〃)d〃， —а—а
Т 式 Z)= — Rqn(z)(—〃&2&а)・ (4.4)
Второе условие (4.3) в силу (4.4) приводит к соотношению
J т- (〃) d〃 = Т,(4.5)
т = т^- Т^-То, ，= J н (〃)d〃.
Очевидно, что (4.5) выражает условие равновесия цилиндрической накладки.
Далее, приняв во внимание первые два упругих соотношения (8.34) гл. I, из (4.4) можем найти %:
(—a Vz V〃)・(4.6)(—a Vz V〃)・(4.6)
(—a Vz V〃)・
(4.6)
(—a Vz V〃)・
(4.6)
d吟)I _ 1d吟)I _ 1Но нетрудно определить также перемещения цилиндрической оболочки 〃「口"必7 находящейся в безмоментном напряженном состоянии. Действительно, подставляя выражения 7\ и Г2 из (8.34) гл. I в уравнения (4.4) н учитывая первые два соотношения (8.33) гл. I, можем записать
d吟)I _ 1
d吟)I _ 1
71p — I т_ (u) du — I r+ (〃) du ,
d吟)I a?)/?.
Vib+~F 一瓦"J“⑵•
Отсюда ■zz
"'"(z) = "Ё^Г 7a + %E j 9“ 3) du— J (z — u) r+ (u) du — 1 L—a—a
—J (z'— u) t— (〃) du + 6, (4.7)
ZZ
*'（z）=-赤*'（z）=-赤Rqn (z) + v*「— Vj J t+ (%) dzz — % J t_ (m) du L
*'（z）=-赤
*'（z）=-赤
где 6 характеризует меру жесткого перемещения цилиндрической накладки вдоль оси 0z. ,
Обратимся теперь к упругому сплошному бесконечному цилиндру. Исходя из уравнений Ляме в цилиндрической системе координат, при помощи интегрального преобразования Фурье легко построить функции влияния для бесконечного цилиндра. А именно, перемещения граничных точек бесконечного цилиндра от единичной сосредоточенной вдоль окружности в сечении z =. 0 кольцевой радиальной нагрузки, направленной к центру этой окружности, при условиях ограниченности перемещений на оси цилиндра н затухания напряжений на бесконечности имеют вид
oo
(2 = z!R). (4.8)(2 = z!R). (4.8)即(凡Z)= 脸• ! 4^ Sin入2 / = 金■%(7)
(2 = z!R). (4.8)
(2 = z!R). (4.8)
Эти же перемещения в случае аналогичной нагрузки, направ-
ленной по положительному направлению оси Oz, имеют вид
质)(E, z)= 詰一j用? sin版;(Д =局丁自2⑶,2 02质)(E, z)= 詰一j用? sin版;(Д =局丁自2⑶,2 02成"（凡引=誌7f-0林2成"（凡引=誌7f-0林2Д„ (X).* cos 入％ d'K = △ (人)Д„ (X).* cos 入％ d'K = △ (人)&9)&9)2”％)，2”％)，2冗以及22（*）（/=z/片）；12冗以及22（*）（/=z/片）；1% = 2(1—%)% = 2(1—%)
质)(E, z)= 詰一j用? sin版;(Д =局丁自2⑶,2 02
质)(E, z)= 詰一j用? sin版;(Д =局丁自2⑶,2 02
成"（凡引=誌7f
-0
林2
成"（凡引=誌7f
-0
林2
Д„ (X)
.* cos 入％ d'K = △ (人)
Д„ (X)
.* cos 入％ d'K = △ (人)
&9)
&9)
2”％)，
2”％)，
2冗以及22（*）（/=z/片）；
1
2冗以及22（*）（/=z/片）；
1
% = 2(1—%)
% = 2(1—%)
(4.10)(4.10)A (九)=1 + %炉口 一 乂2 仇)],A](九)=X (X) + %入[1 一 乂2 伍)], 2
(4.10)
(4.10)
Д2 (Q = v0 [1 - n2 仇)]+ -^- X (X) - X2 仇)，X (X)=人(QZ (九).
Следуя известной методике [2], можно исследовать корни трансцендентного уравнения Д(Х) = 0. В частности, легко показать, что это уравнение не имеет действительных корней, кроме 入=0.
Далее, воспользовавшись представлениями модифицированных функций Бесселя первого рода /0(Х) и /式入)в виде степенных рядов при малых 入 и пх асимптотическими разложениями при больших 入[3], можем вывести асимптотические формулы
+ 0^) (一 0),+ 0^) (一 0),~ 1 一統 + 48(1 — 4v0)2 + ° С) 仇 f °),小-苏-塞+心)(^^).42(1-2%) 1九
+ 0^) (一 0),
+ 0^) (一 0),
厶⑷ 一 1 — 4vo 九十 4(1 —4v0)
%⑷%⑷■^^ 亠 _ Ц^ + 0 (厂2) 3 f8),
%⑷
%⑷
(入 f 0),(入 f 0),4 -号丁再号+。曲）
(入 f 0),
(入 f 0),
4 T0（厂）（X-> OO）.
0'
На основе этих асимптотических формул при помощи известной методики [8] для входящих в (4.8) —(4.9) функций А:订(n)亿 / = =1, 2) получим
кп (z) 4 О(£-岡)(z—> оо),
自1(©1п|х| +Ц-^л|х| + С + O(z2]n|/|)(%f 0),
оо
— 2v
За(")— 二 & • 口 sgn / 十。(e-M> Q f оо),
归12 (牙)———9———Л Sgn X2—Л—牙(111 I е[ + С) +。(/2)
(N—> 0),
(4.11)(4.11)(^->0),(^->0),包2(") 1 qf^o I I + ° (e-図)(2 f 8),
(4.11)
(4.11)
(^->0),
(^->0),
&2 (") iE 77r + c +。(公 In I a-1)
dxdx1 — VHи~Л Sgn £ —][A⑷十v。十1 — VHи~Л Sgn £ —][A⑷十v。十—о—о%⑺=可" n sgn "+J [玄歹+十%⑺=可" n sgn "+J [玄歹+十sin Az dA (ж -> 0),sin Az dA (ж -> 0),sin入/ d九sin入/ d九(胃->0),(胃->0),(右-> 0).(右-> 0).
dx
dx
1 — V
Hи~Л Sgn £ —
][A⑷十v。十
1 — V
Hи~Л Sgn £ —
][A⑷十v。十
—о
—о
%⑺=可" n sgn "+J [玄歹+十
%⑺=可" n sgn "+J [玄歹+十
sin Az dA (ж -> 0),
sin Az dA (ж -> 0),
sin入/ d九
sin入/ d九
(胃->0),
(胃->0),
(右-> 0).
(右-> 0).
Теперь, учитывая (4.8) и (4.9) для осевых перемещений граничных точек бесконечного цилиндра, загруженного на участке Ы < а своей поверхности радиальными и тангенциальными усилиями соответственно интенсивностей q_(z) и —t_(z), будем иметь
戒）（凡z）=戒）（凡z）=J ЛГ2 (^-^) ?- («) du -J ЛГ2 (^-^) ?- («) du -
戒）（凡z）=
戒）（凡z）=
J ЛГ2 (^-^) ?- («) du -
J ЛГ2 (^-^) ?- («) du -
(4.12)(4.12)Далее, запишем условие контактаДалее, запишем условие контакта(—a VzV«)(—a VzV«)
(4.12)
(4.12)
Далее, запишем условие контакта
Далее, запишем условие контакта
(—a VzV«)
(—a VzV«)
j &2 ( " £ " ) * ® &〃(—ooVzVoo).
и подставим сюда выражения (4.6) и (4.12), в результате чего получим
T Sgn (z — и) т- (〃)d〃
7，)+ %Rg+(z) — *%Ад_ (z) — | t+ (u) du — | r~ (u) du
—а—а— а
—а
—а
Затем учтем соотношение (4.2), а также формулы (4.11). Тогда после простых операций придем к следующему иптегро-диффе- ренциалыюму уравнению:
1
z ~ a^, 〃 =碎，Tz ~ a^, 〃 =碎，T"g_ (啕~т"g_ (啕~т=石阳，=石阳，vop2Y(Dvop2Y(D= g（S，吗纯）т经田2= g（S，吗纯）т经田2数+ （噌数+ （噌ТТ%©%©ap =万,ap =万,~ 00 (三)，~ 00 (三)，VoP — (1 — Vo)匕P， 厶=VoP — (1 — Vo)匕P， 厶=
z ~ a^, 〃 =碎，
T
z ~ a^, 〃 =碎，
T
"g_ (啕
~т
"g_ (啕
~т
=石阳，
=石阳，
vop
2Y(D
vop
2Y(D
= g（S，
吗纯）т经田2
= g（S，
吗纯）т经田2
数+ （噌
数+ （噌
Т
Т
%©
%©
a
p =万,
a
p =万,
~ 00 (三)，
~ 00 (三)，
VoP — (1 — Vo)匕P， 厶=
VoP — (1 — Vo)匕P， 厶=
% = ~^%pg (-力
自2 （三）-自2 （三）-Z +——5Z +——5cos (入 pj) азcos (入 pj) аз
自2 （三）-
自2 （三）-
Z +——5
Z +——5
cos (入 pj) аз
cos (入 pj) аз
磕低)=j К —卜n (XpE)
-1-111九低）=VoVip2九低）=VoVip2A + у % 低)一f % ⑺ &П +A + у % 低)一f % ⑺ &П +V(n 一 ЮV(n 一 Ю-1+ h2(-1)][*^-1+ h2(-1)][*^—%(n) dn ——%(n) dn —_ F -t。(哨]附•_ F -t。(哨]附•
-1
-1
1
1
九低）=VoVip2
九低）=VoVip2
A + у % 低)一f % ⑺ &П +
A + у % 低)一f % ⑺ &П +
V(n 一 Ю
V(n 一 Ю
-1
+ h2(-1)][*^
-1
+ h2(-1)][*^
—%(n) dn —
—%(n) dn —
_ F -t。(哨]附•
_ F -t。(哨]附•
Разрешающее уравнение (4.13) должно рассматриваться при определенных условиях, для вывода которых обратимся к (4.5) и (8.44) гл. I. Последнее условие, как уже отмечалось, указывает на отсутствие моментов в продольных волокнах оболочки. После перехода к безразмерным величинам онп примут соответственно вид
J Т 低)騎=1,/低 一 1) g 低)资=/%,(4.14)
-1-1
M。= J低-1)击低)國.
-1
С другой стороны, из (4.2) будем иметь
高(患一患)=一貝自)一%低)(TW)， откуда
t 低)=-± д'⑸ + 靑涼(？ 一 % 低)(-к?<1). (4.15)
Подстановка (4Д5) в первое условие (4.14) даст
4Т \
—[7 (— 1) — 7 (1)] = 1 + -у?- + — @ (— 1) — % (I)]- (4・16)
Второе же условие запишем без изменения:
J ^-l)q^)d^ = M0,(4.17)
-1
?© = ?(- 1)+ ! / (П)^-(4.18)
-1
.Таким образом, интегро-дифференцпальное уравнение (4.13) должно быть подчинено условиям (4.16) п (4.17).
Отметим, что g( —1) — величина неизвестная и определяется в ходе решения задачи, после чего q(^) выразится формулой (4.18),. “
(4.19)(/ = z/й);(4.19)(/ = z/й);Обратимся теперь ко второй задаче. Сначала запишем аналоги формул (4.8)—(4.10) для бесконечного пространства с цилиндрической шахтой радиуса й. При условии затухания напряжений на бесконечности они имеют вид
(4.19)
(/ = z/й);
(4.19)
(/ = z/й);
涼2）（凡Z）涼2）（凡Z）1cA (入).1
涼2）（凡Z）
涼2）（凡Z）
й I f /R sin 九N d% = -x人2 (方)
2nM2 J A (A)2叫 /
(4.20)(n = z/R);(4.20)(n = z/R);，炉(凡Z)= 一 + J m (九)*欧=一丸IM， 2岁(凡 Z) = 一 ^- f 氨^ COS \X d\ = - ~~ 厶2(2)
(4.20)
(n = z/R);
(4.20)
(n = z/R);
A 仇)=1 + %Д2 H 一 乂2 仇% A] Q) _ :^入[1 - x2 Q)] 一 乂(九),
(4.21)
Л2 8) = %[1 一 乂2 (%)] 一 长乂仇)一"2 代), x (Q = k。(入)/К1 8).
Отметим, что перемещения по формулам (4.19) соответствуют единичной сосредоточенной вдоль окружности в сечении 2 = 0 кольцевой радиальной нагрузке, направленной в сторону возрастания координаты г, т. е. внутрь бесконечного пространства. Формулы (4.20) соответствуют такой же нагрузке, что и формулы (4.9). Далее, из (4.19) —(4.21) выведем следующие асимптотические формулы:
缶(2)4。(I # L) (2fOO),
Ai(n) — ~1П7И 4内 ° 几丨胃1 + С + О (a：2 In I x 1)(г->0),
0*]/%
Z12 (x) ~ — ^2 sgn X + О ( I X |-«)(2f8),
1 - vnfl — 2夕)V+2(1-v I2
(2 (幼4 -27Л Л Sgn 2 - ~— 2 (In I I + C) +0{^)
(N-> 0),
^2(^) — —-|7] +^(I^M)(2f℃)(e>0),(4.22)
4
7'22(N)亠一In I 优 I + С +。( I 优 I )(优 f 0),
cos入优d九cos入优d九% （Жw尤I）+ j ［急^ - 一苏寸 （一8 V 优 V8）,
cos入优d九
cos入优d九
乙2（优）=-^r这吃口n+
A (九) v -1
-rm、~ sin 以,
A (九)v0X J
厶2 (胃)=—论К° (罔 X 1-)+ ) [ А%)
4
cos九胃d九（次=1/No）.
Теперь при помощи (4.19) и (4.20) можем записать выражение осевых перемещений от нагрузок 9 g_(z) п t_(z):
а
这2)(忆 z) = -g— J 42 (宁f) g- 3) du +
+ "Й^Г J Z22( ~'7? ~)т- ^ du (—8VZV8). (4.23)
Далее, запишем условие контакта:
閱(z)= 〃罗(z)(— а & z & а)
в перемещениях, позволяющее одновременно определить жесткое смещение оболочки 6 вдоль оси цилиндрической шахты. Подставляя в это условие выражения перемещений и^ и 〃^) соответственно из (4.7) и (4.23), а затем вводя безразмерные величины, как при первой задаче, после несложных выкладок получим следующее интегро-дифферепциальное уравнение:
.川Мm卄⑺附+.川Мm卄⑺附+q(n)小1=q(n)小1=⑺W -⑺W -
.川Мm卄⑺附+
.川Мm卄⑺附+
q(n)小1=
q(n)小1=
⑺W -
⑺W -
=—储 J 4 ⑺ W + m2^ (^― Л) g' S) W —書一/2 (自).(4.24) -1-1
Здесь введены обозначения
—2%叫岩 _2卩戸。
儿2 ——，疗‘2 —可一
° 2(f)'° 2(f)'%2卩2%1'1Р У"： Ро =工，
° 2(f)'
° 2(f)'
%⑶%⑶++7"2Vlp 7岔-2" J 处3)办］—j (^ — 11) T0(呜力1 --1
%⑶
%⑶
+
+
В этой задаче в отличие от первой задачи подлежат определению радиальные напряжения g+(z). Чтобы сохранять прежние обозначения, следует во всех уравнениях накладки формально поменять местами q+ (z) и q~ (г), что фактически сводится к простой замене g+(z) на —g+(z) и g — (z) на —g_(z).
十孔2十孔20；⑺ + To (n)] d%0；⑺ + To (n)] d%+ % J 低一n) g；⑺ dn + F%p J (自一Т|) т0 (n) dn +
十孔2
十孔2
0；⑺ + To (n)] d%
0；⑺ + To (n)] d%
00,1 у p泸产у РП2тФ(^ + 1)
0
0
А16)1 - %
a (九)一 +'九 Sin(P三入)"儿
A。(入)к 1
л2П' +，—>— “' cos (p^Z) dk
A(九)十 r^ + X2-J ' '
Отметим, что при выводе разрешающего уравнения (4.24) существенно использовались формулы (4.22).
Таким образом, при принятых, предположениях решение второй задачи сводится к решению интегро-дифференциального уравнения (4.24), которое опять должно рассматриваться при условиях (4.16) и (4.17), но только в (4.16) следует поменять местами д(1) и g(—1).
Уравнения (4.13) и (4.24) имеют одинаковую структуру, аналогичную структуре интегро-дифференциальпого уравнения Прандтля на конечном интервале. Поэтому их решения могут быть построены при помощи методики, изложенной в § 2 гл. II. Следуя этой методике, положим
У ⑹="2 Е ”"Т?2 (&)•
Тогда уравнение (4.13) сведется к следующей бесконечной системе:
^т +К7n,п/п = a^q ( 1) + Ьтх^ 十 /m(，几=1, 2, • . .(4.25)'
f f a；2 (自 一 ％ Um-1 低)就相]一
1 1
一 W j j **2(1^-П|) Um-l (3⑺ М (1 —守)(1 — If)龙對 +
-1 -1
+ 入1"mjz (^,孔==1, 2,…
•47n [1 + (-1 严+豆]
л [п2 — (т — 1)2Ц# — (m + I)2]
О,
冷声 Ш — 1, W 抬 7?l + 1, п = m — 1, n = тп+ 1ж冷声 Ш — 1, W 抬 7?l + 1, п = m — 1, n = тп+ 1ж〃m = - J J "% (I -I) U*1 (三)丿4一自纭自 d" +
冷声 Ш — 1, W 抬 7?l + 1, п = m — 1, n = тп+ 1ж
冷声 Ш — 1, W 抬 7?l + 1, п = m — 1, n = тп+ 1ж
丄 2 A 2y \
九 I) (g + arcsin 力〃…® pi—F國 d什
+ 五 hm'
九=^ J /1 (3 ^-1阳M匸百龙,
4，
"加=2m[l + (-l)m] I " — I/
m = 1,A?2 — 2, 3, ♦・.，m = 1,A?2 — 2, 3, ♦・.，7" = 1,—二 2, 3,.・・7" = 1,—二 2, 3,.・・。 —丄 7。*9。(-D—g。"。- n 1 + T +r，。 —丄 7。*9。(-D—g。"。- n 1 + T +r，Из условий (4.16) и (4.17) определяются /о и д( — 1):
m = 1,
A?2 — 2, 3, ♦・.，
m = 1,
A?2 — 2, 3, ♦・.，
7" = 1,
—二 2, 3,.・・
7" = 1,
—二 2, 3,.・・
。 —丄 7。*9。(-D—g。
"。- n 1 + T +r，
。 —丄 7。*9。(-D—g。
"。- n 1 + T +r，
Таким же путем уравнение (4.24) сводится к бесконечной системе
优皿Е (и方优п = 0 (— 1) тЬт— тКт^Хи —，"力и (4.26)
(7/1 — 1, 2,...)
и соотношению
л ]п 2 % + £ к^пхп = g (— 1) % — 6产—/0,(4.27)
где введены следующие обозначения:
1 1
f [%(p。化—nl) -%及(I.nl)]尸\ +
+ J J £低一叭斤 + arcsinn丿 丿^ (m = 0, 1, 2,
1 11 1-1 -1-1 -1Tm⑹TП（M）笹附 九一算"一尸Tm⑹TП（M）笹附 九一算"一尸
1 1
1 1
-1 -1
-1 -1
Tm⑹TП（M）笹附 九一算"一尸
Tm⑹TП（M）笹附 九一算"一尸
一；jj£(自一"心”7(叫^⑹
⑺=0, 1, 2, ...; гг = 1, 2, .. .j,
"(J 亍冗，~1"2", dm ―― 0(77Z —二 2, 3,...),
1/т = ^],2叫中1/т = ^],2叫中(ш = 0, 1, 2,...),(ш = 0, 1, 2,...),
1
/т = ^],2叫中
1
/т = ^],2叫中
(ш = 0, 1, 2,...),
(ш = 0, 1, 2,...),
上低）=一々厶2低）+仇2 -恤）1内gn自
厶2(自)=上2； h Sgn ^ + Z：2 低).
Из граничных условийИз граничных условий(4.16) п (4.17) в данном(4.16) п (4.17) в данномслучае получимслучае получимлл
Из граничных условий
Из граничных условий
(4.16) п (4.17) в данном
(4.16) п (4.17) в данном
случае получим
случае получим
л
л
Жесткое смещение накладки определяется из соотношения (4.27).
Отметим, что регулярность бесконечных систем (4.25) и (4.26)
может быть установлена способом, изложенным в § 2 гл. II и в § 1 гл. IV.
Ядра и свободные члены бесконечных систем (4.25) п (4.26) вырКкаютсл трехкратными интегралами. Для численной реализации обсуждаемых здесь задач, а так?ке задачи § 1 этой главы можно пользоваться способом упрощения этих интегралов, изло
женным в приложешш.
§ 5. Равновесие тяжелого упругого шара,усиленного сферической поясовой накладкой
Пусть упругий тяжелый шар радиуса Я на участке своей граничной поверхности г = Я, а V О V р, притом а + § = л, симметрично относительно экватора усилен тонкой сферической поясом-накладкой и прп помощи последней перастяжимыми лентами подвешен к одной неподвижной точке (рис. 4.4). При этом
предполагается, что ленты распределены достаточно густо и в предельном случае заполняют некоторую коническую поверхность, вследствие чего обсуждаемая задача осесимметрическая. Здесь, только для простоты, предполагается, что ленты направлены вдоль касательных к срединной поверхности сферического пояса. В предположении, что шар находится под действием только сил тяжести, требуется определить законы распределения контактных напряжений в зоне контакта, коэффициенты их интенсивпости и усилия в подкрепляющей сферической оболочке.
Сначала рассмотрим равновесие упругого шара, подверженного действию объемных сил тяжести п поверхностной нагрузки аг1г=л =。(0), Trelr=j? = т(О) (а V 令 v р), притом。(0) и МО) направлены по поло
жительным направлениям соответствующих координатных линий и вне интервала (а V О V §) обращаются в тождественный нуль. Определим радиальную 〃,)и тангенциальную i/絹 компоненты перемещений точек граничной поверхности шара.
*2)(Е, 0)*2)(Е, 0)К (露 и) и (и) sin и du —К (露 и) и (и) sin и du —Воспользовавшись известными результатами А. И. Лурье [2], после несложных преобразований будем иметь
*2)(Е, 0)
*2)(Е, 0)
К (露 и) и (и) sin и du —
К (露 и) и (и) sin и du —
j L (8, 〃)т (〃) sin и du 十j L (8, 〃)т (〃) sin и du 十myR2垃口 О2G2 (m 十 1) •myR2垃口 О2G2 (m 十 1) •
j L (8, 〃)т (〃) sin и du 十
j L (8, 〃)т (〃) sin и du 十
myR2垃口 О2G2 (m 十 1) •
myR2垃口 О2G2 (m 十 1) •
济不f_pycoso (Ovevn), (5.1)
〃俨(7?, 0) = ^- [j M (0, а) о (a) sin a da 十
+ [ N(露〃)七(〃)sin и du —a-
Здесь С2 ——модуль сдвига, v2 = 1/zn ——коэффициент Пуассопат Y ——удельны访 вес материала шара, а
风露")=2/=)~~：(，а?со$ ® COS " + Е КпРп (cos ®) Pn (cos “),
£(О,= S LnPn (cos d) Pn} (cos w),(5.2)
n=2
M(o, "尸幣洋singcos 〃一 £ MnPn} (cos ^) Pn (cos 〃)， 72=2
W(B, 〃) = X NnPn} (cos ^) Pn} (cos u), 71=2
Kn = 2 (w ~ 1} + ^：(« = 2,3,
K* — ]2 (m — 2)2n2 —(2経一3m + 4)n + 3絞 + 2m — 4
П 2mmn3 + 2n2 — n — m — 1'
Ln = "n = m；a」1) — V=1(" = 2, 3,..
n工 2)冷 + m + 句一'I)
Nn=，2」广一 %一此(九= 2,3,…)，
N* _(8m—4m — 8)川 +(7川—m — 12)冷 + з/ — m — 4
“ 2mn (n — 1) [mn3 十(2тп + 2)川十(2m + 3)冷十 m 十 1J '
Pn(cos -О) (n = 0, 1, 2, ...) — полиномы Лежандра, Р«} (cos д) (п = 0, 1, 2, ...) ~ присоединенные функции Лежандра первого рода.
Отметим, что условие равновесия шара сводится к следующему:
J [а (〃)cos 〃一 t (〃) sin 〃] sin udu ^ ^、R.(5.4)
а
При помощи последнего соотношения вторую формулу (5.1) можно представить в виде
〃『)三 备 J М (也 и) о (〃) sin и d〃 +J N (®, 〃) т (u) sin 〃 d〃 + 2 L аа-
+ »彳一：с YR? sin В, I 4G2旧 + 1) 了，
21 в. M. Александров, С. М. Мхитарян
М (^, и) = — 2 МпРп} (cosв) Рп (cos и),?г=2
N (6, и) = ^^ sin О sin 〃 + £ N”理)(cos О)理(cos “).
Следовательно, здесь L^, и) = М(и, О), что является непосредственным следствием закона взаимности работ Бетти в теории упругости. В дальнейшем, однако, будем пользоваться формулами (5.1).
Обратимся теперь к сферической оболочке, считая, как уже делалось выше в § 8 гл. I, ее напряженное состояние безмомент- ным. Тогда основными уравнениями сферической оболочки (накладки) будут уравнения (8.46)——(8.50) гл. I, в которых применительно к данному случаю следует положить д+(О)三 0, д_(О)= =о(О); j(話)胃 0, j(O) = t(O). При этом решение системы (8.46) гл. I должно быть подчинено граничным условиям
北 Ь=В = & ^1 |&=а — Т(р(5.5)
где TQ ——сила натяжения в лентах, определяемая из условия равновесия всей системы шар ——накладка:
北Р 9 -, где 73 = 4 п/?3у —вес шара,
2лЕ sin aJ
или же
70 — -|- yR2 esc2 а.(5.6)
Следовательно, в силу первого условия (5.5) из (8.51) гл. I будем иметь
R f*
I [о (〃)cos и — т(〃)sin и] sin и
sE 笃(5.7)
?2 = — Но (О1)^― J [а (〃)cos и —т (и) sin u] sin и du.
При помощи (5.6) и (5.7) легко обнаружить, что второе граничное условие (5.5) попросту эквивалентно соотношению (5.4), выражающему условие равновесия шара или всей оболочки в целом.
Теперь необходимо подчеркнуть, что решение (5.7) построено, как обычно это делается в безмоментной теории оболочек, вне зависимости от дифференциальных уравнений неразрывности деформаций срединной поверхности оболочки, которые в разбираемом случае сводятся к одному-единственному уравнению в
(5.7) удовлетворяли также операций придем к соот-(5.7) удовлетворяли также операций придем к соот-(5-8)(5-8)усилиях (8.50) гл. I. Требуя, чтобы этому уравнению, после. простых ношению
(5.7) удовлетворяли также операций придем к соот-
(5.7) удовлетворяли также операций придем к соот-
(5-8)
(5-8)
訪+ (1 + %)т(®) = 0 (avovp),
непосредственно вытекающему из (8.52а) гл. L Полученный результат можно сформулировать так. Для того чтобы решение (5.7), построенное по безмоментной теории, одновременно было и решением для данной сферической оболочки в общей постановке теории тонких оболочек, необходимо и достаточно, чтобы искомые контактные напряжения удовлетворяли соотношению (5.8). Таким путем в данном случае удовлетворяются все уравнения теории тонких оболочек.
Далее, для перемещений 〃，‘ и и^ оболочки из (8;53) и (8.54) гл. I будем иметь
4 _1_ V* = 一鸣产尸sin04 _1_ V* = 一鸣产尸sin0sin иsin и6-
4 _1_ V
* = 一鸣产尸sin0
4 _1_ V
* = 一鸣产尸sin0
sin и
sin и
+ j У?(也〃)无(〃)d〃 (&VOV0),
(5.9)
力1)力1)г РВ导比cos巾*+ J E稣^ (〃)彰1вг РВ导比cos巾*+ J E稣^ (〃)彰1в(а<&<р).(а<&<р).(5.10)(5.10)
力1)
力1)
г РВ
导比cos巾*+ J E稣^ (〃)彰
1в
г РВ
导比cos巾*+ J E稣^ (〃)彰
1в
(а<&<р).
(а<&<р).
(5.10)
(5.10)
Здесь введены следующие обозначения:
R (0*, и)=R (0*, и)=(cos О — COS и) (1 + cos 3 cos и)(cos О — COS и) (1 + cos 3 cos и)sin2 3 sin2 usin2 3 sin2 u+ In+ In6 ctg万6 ctg万uCtg0uCtg0
R (0*, и)=
R (0*, и)=
(cos О — COS и) (1 + cos 3 cos и)
(cos О — COS и) (1 + cos 3 cos и)
sin2 3 sin2 u
sin2 3 sin2 u
+ In
+ In
6 ctg万
6 ctg万
u
Ctg0
u
Ctg0
h (&) = [a (&) cos 0 — r (&) sin 3] sin &.
Следует отметить, что определенные по безмоментной теории формулами (5.9) и (5.10) перемещения 〃А“ и *° будут истина ными перемещениями точек оболочки в том и только в том случае, когда имеет место соотношение (5.8), выражающее условие неразрывности (совместимости) деформаций ее срединной но верхности.
Теперь примем во внимание условия контакта
公 1）= "了（凡分），碍）=加）（凡 0） （av分 V0）,（5.11）
которые с точностью до жесткого перемещения эквивалентны 21*'
следующим:
"=£伊(А,0), * =嚟(凡⑴(avovp), (5.12)
выражающим неразрывность (совместимость) деформаций контактирующих тел в зоне контакта. При этом компоненты деформации имеют вид
£『）= ；（雾+ 涼2））,啸）=^ （涼）ctg a + 源））（О V 尸《忆 o<^< л）.
Подчеркнем, что, как утверждалось выше, при произвольных напряжениях с(0) и т(3) выражениям (5.9) и (5.10) не соответствуют действительные перемещения точек оболочки, поскольку уравнение неразрывности деформаций (5.8) будет нарушено. Однако если эти выражения в силу условий (5.11) отождествить с действительными перемещениями граничных точек упругого шара, то тем самым будет наложено ограничение на контактные напряжения с(О), т(О)и в определенном смысле будет удовлетворено уравнение неразрывности (совместимости) деформаций оболочки. В конечном итоге можно считать, что последнее уравнение вследствие указанной трактовки условий контакта (5.11) окажется нарушенным в меньшей степени. Придерживаясь этой точки зрения, примем такую постановку задачи, когда выражения (5,9) и (5.10), определяемые по безмоментной теории тонкой сферической оболочки, в силу условий (5.11) в зоне контакта отождествляются с действительными перемещениями граничной поверхности упругого весомого шара.
После подстановки выражений (5.1) и (5.9)—(5.10) в условия (5.11) и выполнения элементарных преобразований для определения неизвестных контактных напряжений с(О) и т(О) в указанной постановке задачи получим следующую разрешающую систему из двух интегральных уравнений:
с с
J Кц & Т]) о。(n) COS n^n — j К12 (g，n) To (n) cos 五 &n =
一篇一篇。。⑹1 + %。。⑹1 + %(―cvEv，),(5.13)(―cvEv，),(5.13)
一篇
一篇
。。⑹
1 + %
。。⑹
1 + %
(―cvEv，),
(5.13)
(―cvEv，),
(5.13)
сс
J ^21(L Г]) ^0 (n) c°s n ^П + J К?2 & 五)％ М) cos 五 dn =
С
=-% j [需-%&⑴屮⑴)卜五cos E 一卜。一 ^) COS三,
решение которой, согласно (5.4), должно быть подчинено условию с
『(Р (п) ^П = — 41(5・14)
21^ = %(u(iv&,nvc),
Kи (三,五)=k 6 +千,五+子｝ К12 (三，五)=乙G +寸，五+弓｝ %i (E，哨=m (a + 扌，n +为，%2 (E, n) = N (a + ^, n 十专)，
=-九卜十扌，五十 "^")=[°。位)"n三+ " (三)cos三]cos三，
一 2G/0 + %)—煙 = 可，一田，
где 6 —— жесткое вертикальное перемещение упругого шара как абсолютно жесткого, подлежащее определению.
Теперь обсудим вторую постановку задачи, основанную на условиях контакта (5.12) и на соотношении (5.8). Прежде всего заметим, что в рассматриваемой задаче вследствие (5.8) или (8.526) § 8 гл. I одно из условий (5.11) или (5.12) (например, второе) удовлетворяется автоматически, и, следовательно, можно ограничиться только первыми условиями (5.11) или (5.12). Однако в случае узкого сферического пояса (ctg，； “ < 】)вторым условием (5.12) в данной задаче можно попросту пренебрегать, поскольку компонента деформации £今 превалирующая, т. е. в деформации весьма узкой оболочки основной вклад принадлежит растягиваемым вдоль меридиана волокнам, а их поперечная деформация £^'—— малая величина.
В обоснование этого утверждения можно привести следующие рассуждения. Приняв во внимание выражения £今 и £屮,вправе
написать
du®du®т + С)т + С)由*亠《/4 I Sg 0 __ + l-[lq-__U()
du®
du®
т + С)
т + С)
Но в линейной теории тонких оболочек перемещения малы по сравнению с толщиной. Поэтому
ctg6资 =0修)，方=。(2)■
Следовательно, придерживаясь точности теории тонких оболочек, можно считать 1 (а<О<0).
Приведенные рассуждения позволяют из двух условий контакта (5.12) оставить только первое:
"〉=療〉(凡 9)(а<^<₽).(5.15)
Далее, исходя из (5.1), вычислим £$、：
£俨(凡。)=房I(仇〃)er (〃) sin 〃—
-去『"® ")° (")sin udu- ё^??)cos °；(5'6)
G{6, u) = —+ К (仇")=у® + t)+ 2“ + 1)cos 抄 cos 〃 +
+ N [Kn + n(n + 1) Mn] Pn (cos 9) Pn (cos a) +
+ ctg О £ MnP^ (cos 今)厶(cos a), (5.17)
〃 (§, a) = E (6, u) — ?恥，用=
=£ [At + и(и + 1) N1t] Pn (cos 今)内)(cos a) +
+ ctg 今? N,圖)(ccs 9)找)(cos “),
j G (О, и) о (〃) sin и du -\~ аj G (О, и) о (〃) sin и du -\~ а=入0=入0壹。（0）+壹。（0）+1 sin2 О1 sin2 Оuduudu
j G (О, и) о (〃) sin и du -\~ а
j G (О, и) о (〃) sin и du -\~ а
=入0
=入0
壹。（0）+
壹。（0）+
1 sin2 О
1 sin2 О
udu
udu
притом, согласно (5.3),
2т
厶 + п(п + 1)2(丁1 + %包-或， (5.18)
/*(3ff?+ 3川- 20zn + 16)汽2+(2^3— 7"+ 16m - 8)孔一2^3+7^2 +4zn-8
”2/ (mn3 + 2n2 — n — m — 1)'
(2zn3 ——5ffz2 — 12ffz + 16)汽2 —(3zn3 + 4n?——12ffz + 8)汽—2(zn3 — 3m? + 4)
П2m^n (mn3 + 2n2 — n — m — 1)
(7Z2, 3, ♦..
С другой стороны, из упругих соотношений (8.48) гл. I и из
находим'
£$)= ^й |‘о(0)+ '.+；i [ [о (〃) cos 〃 一 t (и) sin и] sin и d〃
(a VOVR).(5.19)
Затем примем во внимание (5.8), откуда можем записать
о (О) = о (р) + (1 + %)f t(〃)d〃.(5.20)
Последнее выражение, а также (5.16) и (5.19) вносим в условие контакта (5.15). После элементарных операций придем к следующему интегро-дифференциальному уравнению:
《；у J Н (О, 〃) о' 3) sin udu~
1 а
(a VO V0),(5.21)(a VO V0),(5.21)
(a VO V0),
(5.21)
(a VO V0),
(5.21)
+ тг-г~— f o' (〃)sin2 и du 4-竺；"?R cos 0 d + %) sid 8 Q 、丿」丁 zn + 1 1r
решение которого, согласно (5.4), должно быть подчинено условию
J о (〃) cos и sin 〃 d〃 + 彳工 J az (u) sin2 udu^ ^、R. (5.22) a1 a
Так как значение радиального контактного напряжения па нижнем краю оболочки о(0)——также неизвестная величина, то для корректности постановки задачи необходимо, чтобы, кроме условия (5.22), выражающего условие равновесия всей оболочки в целом, имело место еще одно дополнительное условие. Это дополнительное условие получим, если рассмотрим равновесие волокна оболочки, растянутого вдоль меридиана. При этом моментное условие равновесия указанного волокна сводится к следующему:
(5.23)(5.23)2
(5.23)
(5.23)
d (〃)sin zz dw = у (1 + %) esc a.
Итак, условие (5.23) вместе с принятой безмоментной теорией обеспечивает отсутствие моментов пе только в бесконечно малых (дифференциальных) элементах оболочки, по и в ее волокнах, растянутых вдоль меридиана.
Таким образом, интегро-дифференциальное уравнение (5.21) должно рассматриваться вместе с условиями (5.22) и (5.23).
В зтом уравнении, а также в этих условиях, как и выш^, от переменных 仇 и перейдем к новым переменным 三，i)и безразмерным напряжениям. В результате (5.21) преобразуется в следующее иитегро-дифференциалыюе уравнение:
J Go (^ n)^o(n)cosn</ri +J Go (^ n)^o(n)cosn</ri +丁； % J^o(^ П) ^о(Л)丁； % J^o(^ П) ^о(Л)cos 1] dr)=cos 1] dr)=
J Go (^ n)^o(n)cosn</ri +
J Go (^ n)^o(n)cosn</ri +
丁； % J^o(^ П) ^о(Л)
丁； % J^o(^ П) ^о(Л)
cos 1] dr)=
cos 1] dr)=
=九。rj^ a0 (三)—^Jrj J a0 (n) cos n sin 1] dT] +
+ ^r^^!°；3)cos2 n 阳-*输冉(5.24)
условие (5.22) — в условие
J О；(Т]) cos?五 dn — (1 + %) J o°(n) Sin n COS i] t/n |-(1 + %)，(5.25) —c—c
а условие (5.23)——в условие
J и；(Т)) cos Т)di] = у (1 十匕)sec %(5.26)
G° & n) = G(E + ± ri + 勺 Ho (s, n) = /7(g + f, л + 卦(5.27)
。0 低)=% + J % (n) dn, ?o =嘿，
。。阳=2^^，Т0@ = Ц^т(ид.
Резюмируя, можем утверждать, что вторая постановка разбираемой задачи, основанная на условиях контакта (5.12) и па уравнении неразрывности деформаций оболочки (5.8), полностью соответствует замкнутой системе теории тонких оболочек и решение задачи сводит к решению интегро-дифференциального уравнения (5.24) при условиях (5.25) и (5.26).
Наконец, обсудим постановку данной задачи, когда сферический пояс весьма узкий (ctgc« 1). В этом случае каждое волокно пояса вдоль меридиана с большой точностью может рассматриваться как прямолинейная стержепь-иакладка, подверженная только действию тангенциальных контактных напряжений. Иными словами, с большой точностью можно принять гипотезу Кирхгофа для пластин, вследствие чего радиальными контактными напряжениями по сравнению с тангенциальными можно пренебречь.
В обсуждаемом случае положим о(О) ^ 0 и будем исходить из условия контакта (5.15), не считаясь с соотношением (5.8). Разрешающее уравнение задачи получим, если в (5.24) формально положим Оо(Е)= 0, а 0；(占)/(,1 + vj заменим на ~т()(^). В результате получим интегральное уравнение смешанного типа
П) % (⑴ cos 外山1 = [ т0(1]) cos2 п 山1 Sin 三，cos 三? I
откуда определится безразмерное тангенциальное контактное напряжение т0(^) = т(^ + у)/(7Й). При этом условие (5.25) перейдет в следующее:
j т0 (н) cos2 x\dx\ = — j, (5.29)
Таким образом, третья постановка задачи, основанная па допущении о(О) а 0 в контактной зоне, приводит к интегральному уравнению (5.28) при условии (5.29).
В дальнейшем в основном будем иметь дело с последними двумя постановками задачи и будем существенно пользоваться малостью ширины зоны контакта, т. е. узостью сферического пояса.
Предлагаемый далее метод решения уравнений обсуждаемой задачи основывается на представлении их ядер в виде суммы своих сингулярных (главных) и регулярных частей. В связи
с этим возникает необходимость изучения структуры ядер (5.2), входящих в формулы (5.1), а также ядер (5.17), входящих в формулу (5.16). Выделение главных частей указанных ядер можно произвести предложенной в [2] методикой или из замкнутого решения, построенного в [171. Однако в данном случае проще и удобнее воспользоваться другой методикой, основанной на асимптотическом разложении полиномов и присоединенных функций Лежандра.
Приступив к изложению этой методики, сначала приведем известные формулы асимптотического разложения для полиномов Лежандра ([6], с. 1017, формула 721.4)
几(C0S 6)亠{C0S М + 却 H + sin [(» + 4)叩 +。偿)
(0 V £ & О《冗一£,咒》1/e)(5.30)
и для присоединенных функций Лежандра первого рода (там же)
理(cos 0)// 儡(cos [卜 + g T _ sin I ("+ 加]} +o (制 (0V£《O《R — £,咒》1/e),(5.31)
где £ ——сколь угодно малое, но фиксированное число.
Теперь при помощи (5.3) и из первой формулы (5.2) можем записать
& (今，〃)=£ KnPn (cos 今)尸骏(cos и)=
="智"，2 PJcos 分)尸" (cos u) +k；(分，"),
71=2
К； (О, 〃) = £ КпРп (cos О) Рп (cos 口). n—2
Затем (5.30) вносим в последнюю формулу:
К] (0, 〃)=；X
пт у sin 3 sin и
X £ [cos (n + 1/2)廿十 sin (n 十 1/2)&] [cos (л + 1/2) и 十 siir(/i + 1/2) u ] 直=2n十
+ "^出 £ 仍n (COS 今)Pn (COS и) —
_[cos (汽 + (/2) 8 + sin (汽 + 1/2) 8] [cos (汽 + (/2)m + sin (也 + 1/2)五])〔 nn l/sin sin uJ
Далее, воспользовавшись известными разложениями
р cos 汽廿 11 р sin 汽9 л — IО I qq
2^T- = lnq_2-^- = —^Sgn9(—nV今 vn), ?】=i2 sin 2几=1
после несложных выкладок получим
К1 (也 u) = -2 产-'L.二 пт Т/sin О sin 〃
-2sin2-2sin21.仔+叫1
-2sin2
-2sin2
—7- 1П - 1+ S1H —；5- 1П q 丄'"
2 Sin-T~2sm-^-
n-|^-u||. ^-u| ! л -*(a + «)® + «「厂3(9一")
2I Sln I 2cos —cos —2
-sin 3 2岁]+ К； (0, и) + K；* (今,〃)(О V 今,〃 V 办(5.32)
K；* (今，〃)=2包J-" £ 仍骏(cos 今)73rl (cos и)—71=2 I
cos [(汽 + 1/2)(仆一 我)]+ sin [(汽 + (/2) (9 + 我)]' 靠汽]/sin # sin u,
Аналогичным образом при помощи (5.30) и (5.31) получим
L (О, и) ~L (О, и) ~m 一 2лтп l/sin 8 sin um 一 2лтп l/sin 8 sin uу sgn (О — 〃) — 2 Sin2l^^xу sgn (О — 〃) — 2 Sin2l^^xXX^2Li|^sgn(^^M)_^+sin3^^^2Li|^sgn(^^M)_^+sin3^^Jt -(仆 + 我)式口 3 (H + 我)-Jt -(仆 + 我)式口 3 (H + 我)-2 sm —2~2 sm —2~2222
L (О, и) ~
L (О, и) ~
m 一 2
лтп l/sin 8 sin u
m 一 2
лтп l/sin 8 sin u
у sgn (О — 〃) — 2 Sin2l^^x
у sgn (О — 〃) — 2 Sin2l^^x
X
X
^2Li|^sgn(^^M)_^+sin3^^
^2Li|^sgn(^^M)_^+sin3^^
Jt -(仆 + 我)式口 3 (H + 我)-
Jt -(仆 + 我)式口 3 (H + 我)-
2 sm —2~
2 sm —2~
2
2
2
2
— I^^.^ + L^^.u)— I^^.^ + L^^.u)N 2, u)=-少—」； л m у sin О sin uN 2, u)=-少—」； л m у sin О sin uIn-；23总In-；23总(0 VO, 〃 V 冗)；(5.33)Q . 2 3 (O — w) 2sin2—X4(0 VO, 〃 V 冗)；(5.33)Q . 2 3 (O — w) 2sin2—X4
— I^^.^ + L^^.u)
— I^^.^ + L^^.u)
N 2, u)=-少—」； л m у sin О sin u
N 2, u)=-少—」； л m у sin О sin u
In-；
23总
In-；
23总
(0 VO, 〃 V 冗)；(5.33)
Q . 2 3 (O — w) 2sin2—X
4
(0 VO, 〃 V 冗)；(5.33)
Q . 2 3 (O — w) 2sin2—X
4
11л — I — u 11 . 3 (О — u) I л — (0 + u)
X j2I Sln —2— I2X
2 sin
X cos ^2^ 一 sin ^t±) in —- N* (我 “)+ N** (0, 〃)2 sin ―2—
(5.34)(5.34)(0 VO, 〃 vu),
(5.34)
(5.34)
ОО
厶** (廿,а) = I Т1 °а (cos®) BP (cos а),
£**(0,w)=片 £ 占[尸“ (cos 竹)％° (cos а) —气=2I
sin [(,2 + 1/2) (0 -叫 + cos [(" + 1/2) (8 +
n "sin 0 sin в
N* (6, а) = £ 鶴理)(cos 仔)必° (cos а), 气=2
N** (0, u)N** (0, u)_ 孔{cos [但 + 1/2)(甘 一 〃)]一 sin [5 + 1/2) (0 + 〃)卜 л "|/sin 0 sin и_ 孔{cos [但 + 1/2)(甘 一 〃)]一 sin [5 + 1/2) (0 + 〃)卜 л "|/sin 0 sin и
N** (0, u)
N** (0, u)
_ 孔{cos [但 + 1/2)(甘 一 〃)]一 sin [5 + 1/2) (0 + 〃)卜 л "|/sin 0 sin и
_ 孔{cos [但 + 1/2)(甘 一 〃)]一 sin [5 + 1/2) (0 + 〃)卜 л "|/sin 0 sin и
Кроме того, согласно (5.3) и (5.2), будем иметь
L (е, О) = Мх (^, е)=三 МпРп} (cos О) Рп (cos и).
Итак, на основе формул (5.32) —(5.34) ядра из (5.2) могут быть представлены суммой своих главных н регулярных частей, притом последние выражаются довольно быстро сходящимися рядами. Последние представления дают возможность систему уравнений (5.13) привести к одному интегральному уравнению относительно комплексной комбинации о£三) и т。*) с ядром, выражающимся суммой главной части ядра в виде комплексной комбинации логарифмической и сигнум функций и его регулярной части. На этом, однако, здесь останавливаться не будем.
Далее, нужные в указанном смысле представления ядер G(O, и) и 〃(3, и) из (5.17) можно получить из (5.32) — (5.34). Однако этот путь приводит к довольно громоздким выкладкам л непростым результатам. Поэтому все-таки лучше, как выше, непосредственно исходить из (5.18), (5.17) и а си мп то тиче ских формул (5.30)——(5.31). Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательные результаты:
Go (Е, 11) = —гД== cos 却工 б (^ — n) + ^1 怎 叫，
W у cos gcosri z(5 35)
"。@叫=一言誌制耍+/怎叫(-CVE，9 VC)，
где 6(g) — дельта-функция Дирака, G0(g, rj) п 巨式己，гр выражаются формулами (5.17) и (5.27) и введены следующие
обозначения:
^a,n) = -丿一；…不} sin宇 tg审一cos ЦЛ _пт у cos § cos Л \ z/
1 W + n Q . 3g . 3n\ 13标一12^ + 8
-，c餐—2 sm，sm+ 231Klz&cos 外 X
X 卩~鼻■-2sin2fln . “ ； +cos审 x 2卜e号2卜inf
Е -Т]Е -Т]2 cos—2~2 cos—2~22++Esin 中—Esin 中—22
Е -Т]
Е -Т]
2 cos—2~
2 cos—2~
2
2
+
+
Esin 中—
Esin 中—
2
2
—2 sin 尊 sin 粤—2 sin 尊 sin 粤8*-2 4*П (sin S 尸П (sin 叫 +(：7空1- Xят V cos gcos n8*-2 4*П (sin S 尸П (sin 叫 +(：7空1- Xят V cos gcos n
—2 sin 尊 sin 粤
—2 sin 尊 sin 粤
8*
-2 4*П (sin S 尸П (sin 叫 +(：7空1- Xят V cos gcos n
8*
-2 4*П (sin S 尸П (sin 叫 +(：7空1- Xят V cos gcos n
X -^-sgn (g —г])— 2 sin2X -^-sgn (g —г])— 2 sin23(E - n)n -1占一g3(E - n)n -1占一g+ sin3 ,C J ⑴ in —2 sin+ sin3 ,C J ⑴ in —2 sin41--г; — SIH中41--г; — SIH中22sgn@一叫一与」1sgn@一叫一与」13隽+⑴3隽+⑴22In^2h2cos 中In^2h2cos 中
X -^-sgn (g —г])— 2 sin2
X -^-sgn (g —г])— 2 sin2
3(E - n)n -1占一g
3(E - n)n -1占一g
+ sin3 ,C J ⑴ in —
2 sin
+ sin3 ,C J ⑴ in —
2 sin
4
1-
-г; — SIH
中
4
1-
-г; — SIH
中
2
2
sgn@一叫一与」1
sgn@一叫一与」1
3隽+⑴
3隽+⑴
2
2
In^2h
2cos 中
In^2h
2cos 中
—tg E £ 之1 砂(sin ^)A (sin 叫 +n=2—tg E £ 之1 砂(sin ^)A (sin 叫 +n=2
—tg E £ 之1 砂(sin ^)A (sin 叫 +
n=2
—tg E £ 之1 砂(sin ^)A (sin 叫 +
n=2
+ tgE 2占m (sin § Pn (sin T])—n=2 Isin[5 + 1/2)(自一⑴]+ (一 1 产 sin [5 + 1/2) (E + t])[+ tgE 2占m (sin § Pn (sin T])—n=2 Isin[5 + 1/2)(自一⑴]+ (一 1 产 sin [5 + 1/2) (E + t])[+2(*也+71=2 \+2(*也+71=2 \л "j/cos 自 COS T] 3?n2 -12?n + 8 \л "j/cos 自 COS T] 3?n2 -12?n + 8 \2M2M及2怎叫及2怎叫++Pn (sin g) Pn (sinn)—Pn (sin g) Pn (sinn)—cos [d + 1/2)隽一叫 + (— 炉 cos [5 + 1/2) (E + 叫cos [d + 1/2)隽一叫 + (— 炉 cos [5 + 1/2) (E + 叫m - 1m - 1冗汽l/cos&cos n■ т — 23 (2?n — 3)十 2(zn-f~l)2 (m -\- 1)COS T] — COS W冗汽l/cos&cos n■ т — 23 (2?n — 3)十 2(zn-f~l)2 (m -\- 1)COS T] — COS W++sin自 sin 刀， (5.36)sin自 sin 刀， (5.36)nm "j/cos n Д/cos J cos t] ("cos 己-f- "}/cos t])nm "j/cos n Д/cos J cos t] ("cos 己-f- "}/cos t])Ctg_Ctg_2 (m — 1)2 (m — 1)nzn/j/cos 三 COS T]nzn/j/cos 三 COS T]sin2 ^ ~ ^-ctgsin2 ^ ~ ^-ctgE — ПE — П22+ ~sin ^-1 —sin ^T-1 ++ ~sin ^-1 —sin ^T-1 +
+ tgE 2占m (sin § Pn (sin T])—
n=2 I
sin[5 + 1/2)(自一⑴]+ (一 1 产 sin [5 + 1/2) (E + t])[
+ tgE 2占m (sin § Pn (sin T])—
n=2 I
sin[5 + 1/2)(自一⑴]+ (一 1 产 sin [5 + 1/2) (E + t])[
+2(*也+71=2 \
+2(*也+71=2 \
л "j/cos 自 COS T] 3?n2 -12?n + 8 \
л "j/cos 自 COS T] 3?n2 -12?n + 8 \
2M
2M
及2怎叫
及2怎叫
+
+
Pn (sin g) Pn (sinn)—
Pn (sin g) Pn (sinn)—
cos [d + 1/2)隽一叫 + (— 炉 cos [5 + 1/2) (E + 叫
cos [d + 1/2)隽一叫 + (— 炉 cos [5 + 1/2) (E + 叫
m - 1
m - 1
冗汽l/cos&cos n
■ т — 23 (2?n — 3)
十 2(zn-f~l)2 (m -\- 1)
COS T] — COS W
冗汽l/cos&cos n
■ т — 23 (2?n — 3)
十 2(zn-f~l)2 (m -\- 1)
COS T] — COS W
+
+
sin自 sin 刀， (5.36)
sin自 sin 刀， (5.36)
nm "j/cos n Д/cos J cos t] ("cos 己-f- "}/cos t])
nm "j/cos n Д/cos J cos t] ("cos 己-f- "}/cos t])
Ctg_
Ctg_
2 (m — 1)
2 (m — 1)
nzn/j/cos 三 COS T]
nzn/j/cos 三 COS T]
sin2 ^ ~ ^-ctg
sin2 ^ ~ ^-ctg
E — П
E — П
2
2
+ ~sin ^-1 —sin ^T-1 +
+ ~sin ^-1 —sin ^T-1 +
2 (〃2 — 1 )2 (〃2 — 1 )4- 2 sin 岑 cos ^л4- 2 sin 岑 cos ^л
2 (〃2 — 1 )
2 (〃2 — 1 )
4- 2 sin 岑 cos ^л
4- 2 sin 岑 cos ^л
00 (
± Pn (sin E) Pn} (sin T]) +
П=2 I
+ 5m[5 + 1/2)(a一叫 + (二1严+%e炉 + 1/2)(三+口"] _1/cosgcos ЛJ
—2 仇一 DtgE Г119 Sin2 3 С ⑴ Jn — 1 ——
nm l/cos^cosn 2|sinlr_n| -42 卜 in?|
I2 I/乙乙
X In —1 +tg?2 %計「(sinS P^ (sin 叫-
2 cos 号-九=2
J 吗口 tg占2 忌F卜俨(sin 9尸汐(sin Г))-
及{cosG + l/2)(E-")] + (—l)"+icos[S + l/2)(m+n)]} _л ]/cos 3 cos 刀
—£； Pn (sin E)内)(sin f]) + 2 Sn^n (sin J)内)(sin 口). mn—2n—2
(5.37)
Теперь (5.35) подставим в уравнение (5.24). После элементарных преобразований это уравнение сведем к следующему:
сс
-—j ctg ^lo^T])^ — Xj J Kx (占，Г])。0 3) cos T] dT]—
;^7j J 女2 (占，T)) &(П)cos 11dT)=—入％ (占)+
^It °。⑺ sin T] cos г)對一—~^~~^ о； (П) cos2 т] ^П +
cos” ！(1 +%)cos”mg
+ %^|sinj, (5.38)
_«(l + v1)_ / Xovx m_2)d+Vi)m ^(1 + %%
人1 m -1 '儿可Q丁厂方一1歴_i人o，
(5.39)
Таким образом, решение исходной задачи во второй постановке сводится к решению интегро-дифференциального уравнения (5.38) при условиях (5.25) и (5.26).
Совершенно аналогичным образом, учитывая (5.35) и (5.28), получим, что решение исходной задачи в третьей постановке сводится к решению следующего интегрального уравнения:
3 J ctg ^^ т。 ⑺ 加一；^7 j 瑞(E，n) Т0 ⑺ cos n^n = — С—с
с
(5.40)(5.40)ТТ^г'т。⑺с°'п""—吊si喈
(5.40)
(5.40)
при условии (5.29).
Построение эффективного решения уравнений (5.38) и (5.40) с ядрами Ki(自，т]) и 区式自，тр нз (5.36) и (5.37) соответственно связано с определенными трудностями вычислительного характера. Поэтому ограничимся здесь рассмотрением асимптотического случая, когда ширина подкрепляющей сферической оболочки весьма мала. Будем предполагать, что ширина оболочки настолько мала, что в разложениях ядер К^^ “)и К2(£ П)в степенные ряды по 三 и % а также в аналогичных разложениях членами порядка 。(自^) или O(rf) (丫>1) по сравнению с членами низших порядков можно пренебречь!).
Придерживаясь указанной точности, будем иметь
ctg -о ■ ^ г!卞). Sin а ^ a, cost к 1, COS С ^'1.
А для того, чтобы в рамках принятой точности получить приближенные выражения ядер К&, П)и 区2(三，")，заметим, что все ряды в (5.36), кроме последнего, а также все ряды в (5.37), кроме последних двух, довольно быстро сходятся, и их можно заменить эквивалентными степенными рядами относительно 三 и ”. Что же касается указанных медленно сходящихся рядов, то при помощи вторых членов асимптотических разложений (5.30)——(5.31) выделим, как и выше, их главные части и просуммируем. В итоге придем к элементарным функциям точно таких типов, которые уже фигурируют в (5,36) и (5.37)1. Последние легко разлагаются в степенные ряды. Опуская промежуточ^ ные выкладки и преобразования, приведем окончательные результаты:
/怎")^ 謚…m/怎")^ 謚…m1ТТ^1ТТ^5 m2 — 2m + 16iw5 m2 — 2m + 16iwl^-nl +l^-nl +
/怎")^ 謚…m
/怎")^ 謚…m
1ТТ^
1ТТ^
5 m2 — 2m + 16iw
5 m2 — 2m + 16iw
l^-nl +
l^-nl +
+ ^Esgn(E — 】]) + K；,(5.41)
* i) Дело в том, что в- указанные разложения, кроме целых положительных степеней W или % будут входить, например, и такие члены g In g = =。图一£), GlnE = O抬2-g)(&_>°), которые в первом случае удерживаются, а во втором случае отбрасываются.
*2 & ⑴ ~ 2 %/)但 ln |& — ri| + 3i] in 2|& —“)-
-容孝(自-⑴In •吒」川+("一貝：sgn但-11) +
& = ——ГТ1〕2 —
2 \m + 1 пт)nm2
_ V Л* n① + ‘/2)2(北一2) у Rn总汴一丽-M 台_ V Л* n① + ‘/2)2(北一2) у Rn总汴一丽-M 台к* = ^^ я2 +к* = ^^ я2 +2 (m —2 (m —HIHI^н*^н*m — 12jwm — 12jwГ?(左+ 1/2)Г?(左+ 1/2)(码2(码26(^-1).6(^-1).…鉄2 '…鉄2 '
_ V Л* n① + ‘/2)2(北一2) у Rn总汴一丽-M 台
_ V Л* n① + ‘/2)2(北一2) у Rn总汴一丽-M 台
к* = ^^ я2 +
к* = ^^ я2 +
2 (m —
2 (m —
HI
HI
^н*
^н*
m — 1
2jw
m — 1
2jw
Г?(左+ 1/2)
Г?(左+ 1/2)
(码2
(码2
6(^-1).
6(^-1).
…鉄2 '
…鉄2 '
十审m2-3号一导
_（，〃一 2）2_（，〃一 2）2% +% +2 (m ■— 1)〃* m — 1ni 12 m汽2 (m ■— 1)〃* m — 1ni 12 m汽2 (m — 1)пт(m — 2)22 (m — 1)пт(m — 2)22лт22лт2Ш2 —J：Ш2 —J："1 = *方 士A=1"1 = *方 士A=1Г2(我十1/2)2氏(2氏+1)Г2(我十1/2)2氏(2氏+1)(用)2(用)24〃一 1 ,4〃一 1 ,
_（，〃一 2）2
_（，〃一 2）2
% +
% +
2 (m ■— 1)〃* m — 1
ni 12 m汽
2 (m ■— 1)〃* m — 1
ni 12 m汽
2 (m — 1)пт
(m — 2)2
2 (m — 1)пт
(m — 2)2
2лт2
2лт2
Ш2 —J：
Ш2 —J：
"1 = *方 士A=1
"1 = *方 士A=1
Г2(我十1/2)2氏(2氏+1)
Г2(我十1/2)2氏(2氏+1)
(用)2
(用)2
4〃一 1 ,
4〃一 1 ,
后=丄"V ]d(〃 十 1/2) (2〃+1)2 _2.上SkQ面P后=丄"V ]d(〃 十 1/2) (2〃+1)2 _2.上SkQ面P4G —3，4G —3，
后=丄"V ]d(〃 十 1/2) (2〃+1)2 _
2.上SkQ面P
后=丄"V ]d(〃 十 1/2) (2〃+1)2 _
2.上SkQ面P
4G —3，
4G —3，
朗小丸=1朗=4~2丸=1朗小丸=1朗=4~2丸=1Г2(〃十1/2) 2A(24 + 分..J_丽4允一1十就Г2(〃十1/2) 2A(24 + 分..J_丽4允一1十就[2(〃+1/2) (2〃 十 1)2[2(〃+1/2) (2〃 十 1)2(川)2(川)24"3-紹,4"3-紹,
朗小
丸=1
朗=4~2
丸=1
朗小
丸=1
朗=4~2
丸=1
Г2(〃十1/2) 2A(24 + 分..J_
丽4允一1十就
Г2(〃十1/2) 2A(24 + 分..J_
丽4允一1十就
[2(〃+1/2) (2〃 十 1)2
[2(〃+1/2) (2〃 十 1)2
(川)2
(川)2
4"3-紹,
4"3-紹,
притом последние ряды сходящиеся.
Указанный принцип упрощения распространим также на граничные условия (5.25) и (5.26), а также на условие (5.29). В конечном итоге получим, что уравнение (5.38) перейдет в следующее интегро-дифференциалыюе уравнение:
/ (Е,哨 ％ (л)對—
щим:
а граничные
т
т——1
j。0 ⑴)n ^n = °> jo；⑴)對=~|~ a + Vj
(5.43)
Уравнение же (5.40) при упрощении перейдет в следующее ин- тегро-дифференциальпое уравнение:
事i( а -)屮'⑺g一曰j勺怎П)炉⑺w=
—C—с
=九*屮(E)+ 詳彳自(入* =匸% )，(544)
а условие (5.29) — в следующее:
屮(—с) = —等，屮(с) = 0, 4)(?) = J То (п) ЙТ1 (—c WE О “(5.45)
Отметим, что левая часть первого условия (5.43) имеет порядок О(с2), и поэтому в рамках принятой точности им можно пренебречь. Следовательно, это условие вообще отпадает, и остается только второе условие (5.43). С другой стороны, поскольку в указанной упрощенной постановке 仇(三)фактически совпадает с осевым напряжением в накладке, которое на ее нижнем краю обращается в нуль, то можно положить q0 = 0.
Таким образом, во второй постановке решение исходной задачи для узкого сферического пояса сводится к решению ин- тегро-дифференциалыюго уравнения (5.42) при втором условии (5.43), а в третьей постановке — к решению интегро-дифференциального уравнения (5.44) при условиях (5.45).
Решение последних уравнений, как и в § 2 гл. II, построим при помощи аппарата полиномов Чебышева. С этой целью в случае уравнения (5.42), как обычно, положим
2 з(W)
то (&) = — Оо (&) = 11 力^~=|^(— с V 占 V с) (5.46)
22 В. М. Александров, С. М. Мхитарян
и воспользуемся интегральным соотношением
1 e 7n(哈)Wn 1(n一e)匕j*1 e 7n(哈)Wn 1(n一e)匕j*=；«2т(”)(п = 1,2,...),=；«2т(”)(п = 1,2,...),
1 e 7n(哈)W
n 1(n一e)匕j*
1 e 7n(哈)W
n 1(n一e)匕j*
=；«2т(”)(п = 1,2,...),
=；«2т(”)(п = 1,2,...),
а также условием ортогональности полиномов Чебышева второго рода:
孔声例 м = А.孔声例 м = А.
孔声例 м = А.
孔声例 м = А.
Rkn= _ k(左一1?］伍2 一 (左 + 1丹‘ '.0,Rkn= _ k(左一1?］伍2 一 (左 + 1丹‘ '.0,22"儿="儿=(2% 一n)mXQ4л ("z — 1)(2% 一n)mXQ4л ("z — 1)+ 1 (1 +、1)с,+ 1 (1 +、1)с,2叫 ОТ)3л2 (m — 1) (M — 1)2叫 ОТ)3л2 (m — 1) (M — 1)［1 + (— 1再 С —［1 + (— 1再 С —
Rkn= _ k(左一1?］伍2 一 (左 + 1丹‘ '.0,
Rkn= _ k(左一1?］伍2 一 (左 + 1丹‘ '.0,
2
2
"儿=
"儿=
(2% 一n)mXQ4л ("z — 1)
(2% 一n)mXQ4л ("z — 1)
+ 1 (1 +、1)с,
+ 1 (1 +、1)с,
2叫 ОТ)3л2 (m — 1) (M — 1)
2叫 ОТ)3л2 (m — 1) (M — 1)
［1 + (— 1再 С —
［1 + (— 1再 С —
Из второго граничного условия (5.43) непосредственно находим
“о =—元('+ "°，(5.47)
Далее применим изложенную в § 2 гл. II процедуру сведения разрешающего интегро-дифференциального уравнения к бесконечной системе линейных уравнений. При этом, не выходя из рамок принятой точности, везде будем удерживать только линейные относительно с члены, вследствие чего эквивалентная (5.42} бесконечная система запишется в виде
(5.48)(5.48)力木 + S f^k,n^n — ^А (" н 1, 2, ♦.)
(5.48)
(5.48)
(А " = 1, 2,...),п^=к ± i.
(5.49)孔=А ± 1,
4(+”,—(』2,3,..・).
Зл2т (т — 1)(庐一l)2
Обращаясь теперь к уравнению (5.44) и представляя его решение в виде (5.46), аналогичным образом получим бесконеч' ную систему (5.48), где в разбираемом случае
; I (т — 2)2 ］修1,тг 人东十加5二1) J; I (т — 2)2 ］修1,тг 人东十加5二1) J(m孔=1, 2,….),(m孔=1, 2,….),
; I (т — 2)2 ］修1,тг 人东十加5二1) J
; I (т — 2)2 ］修1,тг 人东十加5二1) J
(m孔=1, 2,….),
(m孔=1, 2,….),
4 入*с8 5 — 2)2%(5.50)
" 3川(4戸一1) лт (т — 1) (4г2 — 1)2 '
〃2「+1 =0 (Г ~ 1, 2,...),
притом 砍=-2/(3n).
Следует отметить, что бесконечная система (5.48) по своей структуре идентична бесконечной системе (2.28) с ядром (2.32) гл. II. Следовательно, все результаты о регулярности бесконечной системы (2.28) гл. II полностью переносятся на (5.48), и поэтому на них здесь останавливаться не будем.
Итак, тангенциальные контактные напряжения выражаются формулой (5.46). Нормальные же напряжения 仇(三)будут выражаться формулой
% (Е) = ("^arcsin-|-j % Н—^- 2 "7Г 〃пт (Е%)丿巒一巳
или же, с учетом (5.47), формулой
。。⑥=-^Г(1 + 匕)(？ - arcsin 4) +
(—С&&&С).(5.51)(—С&&&С).(5.51)
(—С&&&С).(5.51)
(—С&&&С).(5.51)
Далее, усилия в оболочке, дающиеся формулами (5.7), после простых преобразований могут быть представлены так:
т； (§ = — sec2 a J 卜0 ⑺ sin 1] —cos т] cos т] dr],
鑑⑶=—。0 代)+ sec2 a [ о。(T)) sin T] — ：*)cos T] cos т] d%
Ь1 J
где введены безразмерные величины
yRyR
Поенье упрощения по указанному выше принципу будем иметь 7:(自)=一道，费(自)= 一畳。。闺(一С《自《e). (5.52)
Аналогичным образом в третьей постановке задачи
驾(Е)= — 屮⑶，资(Е)=屮(Е) (— с & Е & %(5.53)
Un-1 (&С)(5.54)Un-1 (&С)(5.54)
Un-1 (&С)(5.54)
Un-1 (&С)(5.54)
(—V&c)・
Наконец, коэффициенты интенсивности тангенциальных контактных напряжений на концах оболочки будут даваться формулами
(5.55)(5.55)& = lim 丿自 + с % (自)=- " + £ (- £)n%n
(5.55)
(5.55)
4 ~ lim рЕ + с % (E) = ——/== I % + £ ^n ]• jCV2\ 总丿
Резюмируя сказанное, можно утверждать, что картина распределения основных механических характеристик в узком сферическом поясе (обруче) в поставленной задаче качественно совпадает с картиной распределения характеристик в прямолинейной накладке, жестко сцепленной с упругой плоскостью или лолуплоскостью.
ГЛАВА V
ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГИХ ТЕЛС ТОНКИМИ ПОКРЫТИЯМИ (ПРОСЛОЙКАМИ)
§ 1. Передача давления от жесткого штампачерез покрытие на упругую полосу
Пусть с поверхностью упругого слоя толщины Н、лежащего без трения на педеформируемом основании, шарнирно сцеплен тонкий слой О W у W 无.Предпо-
Рис. 5.1.：,присвоен номер j = 1, 2)Рис. 5.1.：,присвоен номер j = 1, 2)ложим, что в верхнюю границу такой составной среды вдавливается без трения силой Р жесткий штамп (рис. 5.1), поверхность основания которого описывается функцией у = /(ж), а линия контакта определяется неравенством \х\ W 〃.
Рис. 5.1.
：,присвоен номер j = 1, 2)
Рис. 5.1.
：,присвоен номер j = 1, 2)
Граничные условия поставленной задачи заппщутся в виде (каждому слою, считая сверху bi
у = — н： Тху — Г2 == О,
(1.1)(1%|>〃)(1.1)(1%|>〃)у = 0： $ =吟爲二=Тху = 0，№ = г1,
(1.1)
(1%|>〃)
(1.1)
(1%|>〃)
у = h: т±у = 0, 炉=6 + а% — / (%) (I % I & а), о\ = 0
напряжения в бесконечно удаленных точках принимаются равными нулю. В (1.1) 6 + оса: —■ жесткое перемещение штампа под действием приложенной к нему силы Р с эксцентриситетом е.
Напряженпо-деформпрованпое состояние нижнего слоя будем описывать уравнениями теории упругости (1.1) гл. I, а верхнего —уточненными уравнениями пластинок (второй формулой (3.3) гл. I при Ti = т2 ^ 0).
Для вывода интегрального уравнения поставленной задачи сформулируем две вспомогательные задачи.
Рассмотрим задачу о равновесии упругого слоя, нагруженного по верхней границе у = 0 распределенной нормальной нагрузкой о3(^) и лежащего без трения на жестком основании. Граничные условия запишутся в форме
(1・2)(1・2)у = 0: Оу ~ % (“)‘ т*у = 0, у = — Н： Тху = и? = 0;
(1・2)
(1・2)
напряжения исчезают на бесконечности, может быть легко получено с помощью разования Фурье по координате х (см. §
Решение этой задачи интегрального преоб- 1, гл. I) и имеет вид
吸=厶 З) 4， “а) = , (1.3)
где 吸一трансформанта Фурье функции v2 при у = О, S2 — трансформанта Фурье функции о2(^), Сг, *% — модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала нижнего слоя.
2) Рассмотрим задачу об изгибе пластинки, загруженной по верхней грани у = h нормальной нагрузкой Oi(a), а по нижней у = 0 нормальной нагрузкой о2(^). Граничные условия этой
задачи, примут вид
у ~ ht тХу ~ 0,
^y ~ j (/),
沙=0： ХХу = 0, О； =。2 (“)•
(1.4)
Решение (3.3), (1.4) найдем, используя по-прежпему интегральное преобразование Фурье (см. § 6, гл. I):
Gh3D ~ -^yj—.
Здесь V± — трансформанта Фурье функции v1 соответственно при у = h и у = 0; Wt — трансформанта Фурье функции оДх); Gi, Vi — упругие характеристики материала верхнего слоя.
Удовлетворяя теперь решениями вспомогательных задач граничным условиям (1.1) основной задачи, получим относительно функции распределения нормальных контактных давлений о； = g ⑺(I n I & а)следующее интегральное уравнение первого
рода: а■
Jg(&)K (占一z)龙=л a ；2 vj 田 + az — / ⑺](I я1 К a),
…a(1.6)
К (z) = R (a) cos az da (z =占一砧(1.7)
о
Заметим, что к уравнению (1.6) следует еще добавить условия равновесия штампа
尸=J q (^) @瑞 М = Ре — J g (n) х @n,(1.8)
—а—а
служащие для установления связи между величинами Р, е и 6, а.
Пользуясь теперь относительной малостью толщины верхнего слоя (九=无。一’《1), рассмотрим частные случаи поставленной задачи.
Положим подобно тому, как это было сделано в § 7 гл. I, 8 〜犷 8 + 0),(£9)
где п ——некоторое число (положительное или отрицательное), причем ?г > 0 соответствует случаю, когда жесткость нижнего слоя много больше жесткости верхнего, a zz < 0 соответствует обратному варианту, т. е. случаю, когда жесткость нижнего слоя много меньше, чем жесткость верхнего.■
Положим вначале zz = 0. Тогда, подставляя (1.9) во вторую формулу (1.7) и ограничиваясь в полученном выражении удержанием членов порядка 0(九)(九—0), получим
凡(а) = 1+ 需厶(а),(1.Ю)
что соответствует трансформанте Фурье ядра интегрального уравнения контактной задачи о вдавливании штампа в полосу, покрытую винклеровскими пружинами, т. е. в этом случае верхний слой будет работать по типу упругого основания Фусса — Винклера.
Заметим, что при " = 1, 2, отбрасывая в упомянутом выше выражении для 7?(а) члены порядка O(Z4)(九—0), будем иметь
凡(а) = Т?2(а)=凡(а).(1.11)
Пусть теперь zz W — 2. Подставляя (1.9), как и ранее, во вторую формулу (1.7) и пренебрегая в полученном соотношении членами порядка O(Z2)(九 f 0), найдем
2В2ВR-m (а) ~R-m (а) ~B虐户6—B虐户6—£ (а) + 1£ (а) + 1(m^ 2).(m^ 2).(1.12)(1.12)
2В
2В
R-m (а) ~
R-m (а) ~
B虐户
6—
B虐户
6—
£ (а) + 1
£ (а) + 1
(m^ 2).
(m^ 2).
(1.12)
(1.12)
Выражение (1.12) соответствует трансформанте Фурье ядра интегрального уравнения задачи о вдавливании штампа в полосу, усиленную по верхней границе покрытием, работающим по типу пластинки Кирхгофа ——Лява.
Аналогично, если пренебречь в полученном выражении для А(а) членами порядка 0(炉)(九 f 0) прп zz = — 2 и 0(V) (九 f 0) при zz W — 3, то
R~~m (a)R~~m (a)28/28/B 庐 a3 ,d 庐―g £ (ос) + 1 + -~з-B 庐 a3 ,d 庐―g £ (ос) + 1 + -~з-("2》2).("2》2).(1.13)(1.13)
R~~m (a)
R~~m (a)
28/
28/
B 庐 a3 ,d 庐
―g £ (ос) + 1 + -~з-
B 庐 a3 ,d 庐
―g £ (ос) + 1 + -~з-
("2》2).
("2》2).
(1.13)
(1.13)
В этом случае можно убедиться, что напряженпо-деформировап- пое состояние усиливающего покрытия будет описываться уравнениями типа пластинок Рейсснера.
Рассмотрим случай zz = —1. Проделав указанные выше операции относительно трансформанты R(加 из (1.7) и препебрегая в полученном соотношении членами порядка O(Z2)(九 f 0), будем иметь
7?т(а) =需厶(a). (1.14)
Формула (1.14) соответствует трансформанте Фурье ядра интегрального уравнения (1.6) контактной задачи о вдавливании жесткого штампа в упругую полосу. Таким образом, в этом случае влиянием покрытия на распределение нормальных давлений под штампом можно пренебречь.
Допустим теперь, что zz = 3, 4, 5. Подставив (1.9) во вторую формулу (1.7) и отбросив в полученном выражении члепы порядка 0(炉)при zz = 3, порядка 0(炉)при 汽=4 п порядка ОС) при п — Ь (九 f 0), получим
凡(a) = l (3WzzW5), (1.15)
e. в этом случае двухслойное основание будет работать по типу основания Фусса ——Винклера.
Пусть в (1.9) zzN6. Тогда из (1.7), (1.9) найдем
爲3)=:『好 5^6),(1.16)
1 ^ з — + ГТ"
что соответствует трапсформапте Фурье ядра интегрального уравнения контактной задачи о вдавливании штампа в пластинку (3.3) гл. I, лежащую на жестком основании, т. е. в этом случае нижняя полоса работает по типу жесткого основания. Заметим, что если в формуле (1.16) пренебречь членами порядка 。(九")(九 f 0), то придем к выражению (1.15).
Итак, при рассмотрении контактной задачи для упругого слоя, шарнирно усиленного по верхней грани тонким упругим покрытием, относительная толщина которого характеризуется параметром Z, а относительная жесткость ——параметром В, мо-
гут представиться различные случаи. В зависимости от порядка параметра В по Z и порядка удерживаемых в трансформанте Фурье 7?(а) ядра (1.7) членов по X (九 f 0) могут получиться задачи о вдавливании штампа в упругий слой, усиленный по верхней. грани: а) слоем випклеровских пружин, б) пластинкой Кирхгофа — Лява, в) пластинкой типа Рейсснера, г) пластинкой, описываемой уточненной теорией пластин типа (3.3) гл. I. Кроме того, могут иметь место два предельных случая: задача о вдавливании штампа в слой без покрытия и задача о вдавливании штампа в покрытие (пластинку, описываемую уравнениями (З.З)1 гл. I), подстилаемое жестким основанием.
Аналогичный асимптотический анализ может быть проведен для задачи о вдавливании штампа в упругий слой, с верхней гранью которого жестко сцеплено тонкое усиливающее покрытие. Для описания напряженно-деформированного состояния покрытия здесь нужно использовать полную систему уравнений (3.3) уточненной теории пластин. При этом вновь контактная задача будет приведена к интегральному уравнению (1.6) с ядром типа (1.7). При асимптотическом анализе трансформанты Фурье 7?(а) этого ядра, в частности, может быть получен случай вдавливания штампа в упругий слой, усиленный по верхней грани упругой накладкой вида (3.14) гл. I.
§ 2. Давление штампа на упругую полуплоскость,армированную покрытием винклеровского типа
Как было показано в предыдущем параграфе, в ряде случаев тонкое покрытие может работать подобно слою винклеров- ских пружин. Это имеет место, когда жесткость покрытия соизмерима или меньше жесткости основного упругого тела (см. случай (1.10) при п = 0, 1, 2). В соответствии со сказанным, в данном параграфе рассмотрим задачу о вдавливании штампа в двухслойное линейподеформируемое основание, состоящее из тонкого винклеровского верхнего слоя и нижнего слоя, представляющего собой изотропную и однородную упругую полуплоскость или полосу большой толщины. Впервые такая контактная задача была поставлена и исследована И. Я. Штаерманом [1], а затем опа изучалась в работах [2—5].
Физико-механические свойства верхнего винклеровского слоя будем моделировать слоем вертикальных, непрерывно расположенных упругих стержней (О W у W h). Такое стержневое ос- повапне в случае плоской деформации описывается уравнениями
и】—0, % =力(у), % — 0, £у = Rg» Уху = °, (2.1) E = (1 — 2vi)[2G](1 —V1Hт,区=%(1 — 片尸味 d? = 0,
ь；(у) = 0. (2.2)
Здесь ии Vi ——перемещения точек стержней соответственно по осям /,沙；vb Gt ——коэффициент Пуассона и модуль сдвига материала стержней. Из формул (2.1), (2.2) найдем, что при 沙=无
% = RhOy + % I片о.(2.3)
Для упругого полупространства в случае его плоской деформации 4) при 沙=0 имеем [11
:。汴=。6|自 —成一& 8= 4(二：()％ , (2.4)
где v2, 62 ——упругие характеристики материала полуплоскости, С ——произвольная постоянная. Если вместо упругой полуплоскости рассматривать полосу очень большой толщины Н), то постоянная С может быть определена и имеет вид [61
'=лё- °" " + 初 J 吗 I片。成，
где а。= — 0,352, когда полоса лежит без трения на жестком основании, и а。= — 0,527 при *2 — 0,3, когда полоса жестко защемлена по основанию.
Учитывая далее, что по толщине стержневого слоя 学 не изменяется, а также используя формулы (2.3), (2.4) и условие контакта vd^h = gkr). придем к следующему интегральному уравнению второго рода относительно функции распределения контактных давлений д(/) на линии контакта — a W w W а:
"д(2)——^г j g(§ln |& —z| 恋=g(c) + С (|z|&a). (2.5)
Здесь к = Rh, g(N)——функция осадки поверхности основания, определяемая формой основания штампа и величиной его жесткого перемещения. При выводе интегрального уравнения (2.5) можно было бы также воспользоваться формулами (1.6), (1.7) и (1.10), причем в последней нужно тогда положить £(а) = 1.
Заметим, что при ^ = 0, согласно (2.5),
砌(0)-$- У?(1) ln|||^ = g(0) + C. (2.6)
】)В (2.4) учтено, что на границе полуплоскости 叨2 = 0, что обеспечивает контакт полуплоскости со стержневым слоем по перемещению % если же на границе полуплоскости и стержневого слоя тХу — 0, то в (2.4) 0 = =G2(l —V2)-1.
Вычитая почленно (2.6} из (2.5), исключим из рассмотрения постоянную С. Будем иметь
\dl = g(x) — g (0)\dl = g(x) — g (0)(I^K«)-(2.7)(I^K«)-(2.7)
\dl = g(x) — g (0)
\dl = g(x) — g (0)
(I^K«)-
(2.7)
(I^K«)-
(2.7)
В общем решении интегрального «(0), как легко догадаться, будет Его можно выразить через силу Р, пование, если принять во вниманиеВ общем решении интегрального «(0), как легко догадаться, будет Его можно выразить через силу Р, пование, если принять во вниманиеуравнения ⑵7) значение оставаться неопределенным, вдавливающую штамп в ос- условия статики для штампауравнения ⑵7) значение оставаться неопределенным, вдавливающую штамп в ос- условия статики для штампа
В общем решении интегрального «(0), как легко догадаться, будет Его можно выразить через силу Р, пование, если принять во внимание
В общем решении интегрального «(0), как легко догадаться, будет Его можно выразить через силу Р, пование, если принять во внимание
уравнения ⑵7) значение оставаться неопределенным, вдавливающую штамп в ос- условия статики для штампа
уравнения ⑵7) значение оставаться неопределенным, вдавливающую штамп в ос- условия статики для штампа
Р= jg(E)龙，М = Ре= J^a)^,Р= jg(E)龙，М = Ре= J^a)^,(2.8)(2.8)
Р= jg(E)龙，М = Ре= J^a)^,
Р= jg(E)龙，М = Ре= J^a)^,
(2.8)
(2.8)
где е ——эксцентриситет приложения силы.
Введем безразмерные переменные и безразмерный параметр
а также обозначения
中(片)=g(N)『* /(/') = g(0)8-1 + (及8)T[gE) - g(O)L
Тогда уравнение (2.7) можно представить в форме (штрихи у х и V здесь и далее опускаем)
1
学⑺一+/屮(3ln I I 龙=f (支)(I ^!<1)- (2.9)
Точное решение интегрального уравнения (2.9) неизвестно. Приближенному решению посвящено много работ, среди которых отметим, например, [1—4].
Далее, следуя работе [5], построим асимптотическое при малых с решение уравнения (2.9).
Прежде всего заметим, что уравнение (2.9) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода, ибо его ядро интегрируемо с квадратом
И-1-1 -1И-1-1 -1£~^— Id^dx ~ т2 <Z 8・£~^— Id^dx ~ т2 <Z 8・(2.10)(2.10)
И-1
-1 -1
И-1
-1 -1
£~^— Id^dx ~ т2 <Z 8・
£~^— Id^dx ~ т2 <Z 8・
(2.10)
(2.10)
Из (2.10) следует, что левая часть уравнения (2.9) представляет с°бой липейный ограниченный оператор, действующий в про- стравдтве L2^—1, 1). Кроме того, интегральный оператор
1
8中=3 J中阳1n| 上千|成(2.11)
является в 乙2( —1, 1) вполне непрерывным. Таким образом, уравнение (2.9) однозначно разрешимо в L2( —1, 1) почти при всех значениях параметра с*). Далее, если при данном с уравнение (2.9) разрешимо и /(办三以一1, 1), то его решение есть непрерывная функция х. Последнее будет очевидно, если доказать непрерывность функции (2.11) при (р(|) ^ Д( —1, 1). Для этого оценим модуль разности
1©Е = —||<р I|l2(-i,i)g(4, &)•1©Е = —||<р I|l2(-i,i)g(4, &)•
1
©Е = —||<р I|l2(-i,i)g(4, &)•
1
©Е = —||<р I|l2(-i,i)g(4, &)•
Легко убедиться, что
g(伤,g) f 0 при Ni -况2, 佐,g 三[-1, 1].
Оцепим норму оператора (2.11) в L2( —1, 1)：
II 伙Р |k2(-i,i)=II 伙Р |k2(-i,i)=
II 伙Р |k2(-i,i)=
II 伙Р |k2(-i,i)=
Здесь постоянная тп2 дается интегралом (2.10); вычисляя последний, окончательно получим
2,85л-.(2.12)
При вычислении интеграла (2.10) использована аппроксимация
(1 - В) In (1 - W) + (1 + В) In (1 + W)=皆[1 + (21п2- 1)В2], (2.13) погрешность которой при 0 < ||| < 1 не выше 8%; в точках | = 0 и 自=±1 погрешность равна нулю. Из (2.12) следует, что интегральный оператор сВ(р будет в пространстве £2 (—1, 1) оператором сжатия, если
5 匸‘V 2,85" = 0,35.
Тогда по принципу Банаха «неподвижной точки» при \с\ < 1,1 решение уравнения (2.9) в 厶(一1, 1) существует, единственно и может быть найдено методом последовательных приближений.
Ограничиваясь рассмотрением случаев: a) g(N)= 6 = const (/(n)=①(0)——плоский штамп); б) g(况)=6 + а/, а = const Q(x) =(р(0) + сах — плоский наклонный штамп*)) и решая уравнение (2.9) методом последовательных приближений с точностью до O(c') найдем
а) Ф (^) — Ф (0) 1 + ~ Ф1W Н■■屮2 ⑺ +。(^у) ]，(2.14)
① 1 (化)=(1 — N)ln (1 —况)+ (1 十 n) In (1 + N),
①2 (/)=万[(1 — ^) hl (1 -况)+ (1 + ^3) In (1 + 况)]+
+ — (2 In 2 ~ 1) [(1 —书 In (1 — n) + (1 + ^) In (1 + 况)]—
2 + t屮1⑶十与屮2（2）+。（上12 + t屮1⑶十与屮2（2）+。（上1一等炉一等(2 In 2 - 1)产(皆+炉)，
2 + t屮1⑶十与屮2（2）+。（上1
2 + t屮1⑶十与屮2（2）+。（上1
⑵15)⑵15)6)①(况)=ca
⑵15)
⑵15)
6 (支)=} (1 一 炉)In ；工:-2,
屮2 3) = — 4" (/ — 4z" + 3) In 4^7 + 4" 2(11 一 3炉)・
При построении s(n) использованы аппроксимации: а) (2.13) и б) %(1 — №) In [(1 — ^)(1 + /)т] —ж ——①(2 — %) Погрешность последней при 0 < 1^1 < 1 не выше 7 %, а в точках % = 0, / = =± 1 погрешность равна нулю.
Связь между Q = Р(а0)-1 и величиной ①(0) в случае а) найдем по первой формуле (2.8)
Q = 2(р(0)[1 + 0,1229с 一 0,02640с2 + О(с3)],(2.16)
а между Qi = М(0а2)-1 и величиной а в случае б)——по второй формуле (2.8》
Qi =仔 са [1 - 0,2122с + 0,09757с2 +。(с3)].(2.17)
Формулы (2.14)——(2.17) можно практически использовать при с W1/2. Допускаемая при этом погрешность составляет не более 5%.
Далее дадим алгоритм построения решения интегрального уравнения (2.5) или (2.9) в случае больших с на примере зада- 叮и о вдавливании в упругую полуплоскость, покрытую винкле- ровским слоем, параболического штампа g(x) = 6 — ^7(27?). Вво-
ця обозначения е = с-1 <^ 1, ф(^/) = R{aQ)~^q(x\ преобразуем (2.5) к виду
е2⑺一屮(1)}・W J 屮阳 1п||е(|©Е= "Ц^ (к|<1). (2.18)
Полагая в (2.18) е=0, выпишем вырожденное при е +0 интегральное уравнение поставленной задачи:
一]中。阳1m三卜占=》(1 一炉)(!^I<1).(2.19)
Как известно [6], решение (2.19) имеет вид
%(况)=/上千(N 一况2).(2.20)
Введем еще в рассмотрение функцию
(2.21)(2.21)⑵ 19).⑵ 19).* /、 N — 1
(2.21)
(2.21)
⑵ 19).
⑵ 19).
удовлетворяющую однородному интегральному уравнению Здесь и в (2.20) N ——пока произвольная постоянная.
Перейдем теперь к исследованию уравнения (2.18) при е《1 методом сращиваемых асимптотических разложений [7]. Под внешней областью будем понимать интервал 丨况|W1 —mj на котором в качестве решения уравнения поставленной задачи с достаточно малой ошибкой может быть принято вырожденное решение (2.20). Внутренними областями назовем малые окрестности точек /=±1 с характерными размерами me (т > 1); в этих областях влияние деформируемости покрытия на распределение контактных напряжений под штампом соизмеримо с влйянием деформируемости упругой полуплоскости. Во внутренних областях должны быть построены решения типа погран- слоя, которые бы на границах областей n = 1 — те, ^ = — 1 + те плавно сращивались с вырожденным решением ①式讶).
Вычтем из уравнения (2.18) соотношение
1
-Jk）（E） 一中：（自）］同宅1成=千（1一炉）（12|《1）,
следующее из формулы (2.19) и аналогичной формулы для функции 屮o(n)」B результате получим
З疗(况)一^J疗(自)1口||^{|筵=e[d(l)— pl -司(kK1)-
т(2.22)
Здесь учтено, что для функций вида (2.20) и (2.21) Фо⑺一中：⑺=/1 -*
и введено обозначение
g* (力=屮 ® — Фо ⑺ + Фо (支)•(2.23)
Растянем окрестность точки х = 1 в уравнении (2.22) путем перехода к новым переменным
т = У，仁1^，g(t)-=g*(^gXl)L(2.24)
и устремим затем е к нулю при фиксированном L В итоге будем иметь следующее интегральное уравнение для определения функции g(力 типа погранслоя 4) в окрестности точки х~ i\
q(t) — q (т) In J 三不丿 J dr = 1 (0 &力 < оо). (2.25} о
Срастим теперь функцию ,*(况)вида (2.23) с функцией ①。(况)вида (2.20) на границе х = 1~ те внешней и внутренней областей. Именно, потребуем, чтобы выполнялось соотношение
ср (1 — т€} = g* (1) q (m) + Р2me ~ ①。(1 — ms)ср (1 — т€} = g* (1) q (m) + Р2me ~ ①。(1 — ms)N — i"|/2矶N — i"|/2矶(2.26)(2.26)
ср (1 — т€} = g* (1) q (m) + Р2me ~ ①。(1 — ms)
ср (1 — т€} = g* (1) q (m) + Р2me ~ ①。(1 — ms)
N — i"|/2矶
N — i"|/2矶
(2.26)
(2.26)
Отсюда следует, что
(2.27)(2.27)g*⑴0(®~爲(心今・
(2.27)
(2.27)
Таким образом, при больших i решение g(力 интегрального уравнения (2.25) в силу (2.27) должно вести себя как t~l\ Помимо этого, можно доказать следующее: если допустить, что |g(£)| W W Л/V о© при всех 0 W £ V 8, то ^(О)1 = 1. Это вытекает из (2.27) и самой структуры уравнения (2.25). После решения уравнения (2.25) главный член равномерно пригодного асимптотического решения интегрального уравнения (2.5) или (2.9) при больших значениях параметра с можно представить в виде
Фи（R）=Фи（R）=N —1N —1(2.28)(2.28)
Фи（R）=
Фи（R）=
N —1
N —1
(2.28)
(2.28)
при этом постоянную N в (2.28) можно выразить через Q = = АР(8〃2)-* —— относительное значение силы, действующей на
])В силу четности рассматриваемой задачи по т в окрестности точки 工=—1 уравнение для определения погранслоя будет также иметь вид (2.25).
штамп, по первой формуле (2.8). Если края штампа не врезаются в поверхность покрытия, т. е. полудлина линии контакта а изменяется в зависимости от вдавливающей штамп силы Р, то величину а можно определить из соотношения
屮虱(1)=-力廿['+ ° [；)] = ° (2.29)
Наконец, отметим, что если, как указывалось в начале параграфа, вместо упругой полуплоскости рассматривать полосу очень большой толщины, то постоянная С в (2.6) будет конечной величиной. Тогда, подставляя в (2.6) асимптотическое решение при малых с вида (2.14), (2.16) или при больших с вида (2.28), можно найти связь между вдавливающей силой Р и поступательным перемещением штампа 6.
В заключение вкратце остановимся па вопросе о построении решения интегрального уравнения (2.25); Рассмотрим вместо (2.25) несколько видоизмененное уравнение
?V(0 - f 9v (т) In I iv^pT = e-vi (0&力＜8). (2.30) о
Решение уравнения (2.30), очевидно, вырождается в решение уравнения (2.25) при 2 fo. Подвергнем уравнение (2.30) преобразованию Меллина. Будем иметь
QKs) — s-1 ctg nsQMs + 1) = v_T(s) (0 V Re s V 1). (2.31)
Здесь Qv(s) — трансформанта по Меллину функции qv{t), F(s)— гамма-функция. Соотношение (2.31) представляет собой так называемое разностное функциональное уравнение, решение которого может быть получено, например, методами, изложенными в работах [8, 9].
Давление штампа на границу упругой полосы,армированную покрытием винклеровского типа
Рассмотрим теперь задачу, аналогичную изученной в § 2, с тем лишь отличием, что здесь штамп вдавливается в поверхность упругой полосы произвольной толщины Н (плоская деформация), усиленной покрытием винклеровского типа. Сама полоса либо а) лежит без трения на жестком основании, либо б) жестко защемлена по нижней грани. При изложении будем придерживаться работы [4].
Для указанной задачи функцию u(z)； характеризующую перемещения граничных точек всего составного основания, можно на основании схемы § 2 и с учетом известной [6] функции
353353§ з. давление штампа на полосу с покрытием
353
353
Грипа для упругой полосы представить в виде
(3.1)(3.1)u (х)= kq(x) + ^ ^ q (Е) dE [厶(〃)〃т cos (^^ —ао
(3.1)
(3.1)
、г / 、 ch — 1
"(")= sh 2"十2"'
L (u) = ——
2处ch 2〃 + 4我2十1 +必
乂 = 3-4*2， 8 = G(l — u)T,
а интегральное уравнение (2.5) с учетом (3.1) перепишется в форме
包（"）+鳥 以⑹整^卜占=g⑶ （|"1w* （3.2）
К (z) = j 七(％) cos uz du (z = E ^ ? }(3.3)
Вводя безразмерные величины согласно § 2, преобразуем (3.2), (3.3) к виду
$(")+ *『屮(Е)К(『)龙= /&)(同&力 С%) 入=H(rL /(£•') = (的)Tg (z), с = а(〃е)т.
Здесь, как и ранее, штрихи ,у безразмерных величин опускаем.
Предпошлем решению интегрального уравнения (3.4), (3.3) доказательство теорем, устанавливающих его разрешимость в пространстве квадратично суммируемых функций. Прежде всего заметим, что
функции £(口)口一* данные формулами (3.1), непрерывны, вещественны и четны на действительной оси;
(3.5)(3.6)(3.5)(3.6)L (以)u-1 > 0(I u| < oo)；
(3.5)
(3.6)
(3.5)
(3.6)
L (u) = Au + О (u3) (i/f 0);
1a) A 匸，；6) 4 =1a) A 匸，；6) 4 =4 (х — 1)4 (х — 1)(乂 + 1)2(乂 + 1)2L(u)^i + O (e~'2,ul)(|〃|f 8)；
1
a) A 匸，；6) 4 =
1
a) A 匸，；6) 4 =
4 (х — 1)
4 (х — 1)
(乂 + 1)2
(乂 + 1)2
Из формул (3.6) следует [6]
Л*е м м а 1. При z -> 0 справедлива оценка K(z) = O(lnlzl).
При 丨z| > e > 0 функция K(z) непрерывна.
23 в. м. Александров, С. М. Мхитарян
На основании леммы 1 доказывается Теорема 1. Оператор
М州 (中)國
действует из 厶(一1, 1) в 厶(一1, 1) вполне непрерывно.
Теперь с учетом (3.5) введем гильбертово пространство Н%、 необходимое в дальнейшем. Обозначим через 〃％ .множество функций 历(％), таких, что
II h ||н1/2 — J L (и) zz-11 Н (zz) ^du < оо, 8(辽)=f 历⑺或”冕 ％/.
В работе [10] доказана следующая
Лемма 2. Имеет место вложение пространства £2 в Я/2. Докажем основную теорему данного параграфа.
Теорема 2. Если /(胃)w 厶(一1, 1), то в пространстве 厶2(—1, 1} решение интегрального уравнения (3.4) существует и единственно при любых значениях параметров с,入三(0, 8).
Для доказательства умножим (3.4) на 屮(胃)三£2(—I, 1) п проинтегрируем по всей оси. Получим
1
II 屮 11ч + 爵 I晡Н1/2= j / ⑺屮⑺ dz.(3.7)
Здесь нужно учесть, что 屮(胃)三 0 при \х\ > 1. В силу условий теоремы 2 и леммы 2 соотношение (3.7) корректно. Из теоре~ мы 1 следует, что к уравнению (3.4) применима теория Фредгольма [Ц], а в силу (3.7)1 имеем: если /(z) = 0,啰三[—1, 1], то 叭胃)三 0, \х\ < оо. Теорема доказана.、
Следствие 1. Если в уравнении (3.4) fix) ^ С(—1, 1), то и(p(£)i 三以一1, 1).
Следствие 2. Интегральное уравнение (2.9) однозначно разрешимо в £2(—1, 1) при любом с ^ (0, 8).
Далее ограничимся изучением лишь четного случая, т. е. предположим, что функция /(%), а следовательно, и(р(/) в (3.4) четные. Рассмотрение нечетного случая можно провести аналогичным образом.
Будем искать функцию 屮(胃)в (3.4) в виде следующего ряда по нормированным полиномам Лежандра:
屮(z)= £ amPlm(2),彌(z) = /"^^ Рт 位).(3.8)
Известно [11], что они составляют базис в пространстве Д(—1, 1); В силу теоремы 2 ряд (3.8) сходится по норме про-
странства 厶(一1, 1), а соответствующие последовательности {«„} принадлежат %2 ввиду равенства Парсеваля [11]. Функции K(z) и /(/) разложим соответственно в двойной и одинарный ряды по указанной системе полиномов. Будем иметь
K(z)= £ £ 侬(筒陽(Е)理(2),(3.9)
t=0 6=0
/ (^) = 5o bmp*m {X).(3.10)
В силу леммы 1 и ограничений, наложенных на функцию /(%) в теореме 2, ряды (3.9), (3.10) сходятся по норме пространства 乙式一1, 1). Воспользовавшись известным свойством ортогональности полиномов Лежандра,-иолучим
33 (Х)= J J k (上产)P募(三)p黄z)龙dx,丁1(3.11)
bm = \ f ⑺ P；m (z) dx.
Подставив в первую формулу (3.11) функцию K(z) в форме равенства (3.3) и используя интеграл [121
I Р^п (胃)cos ихdx = (— l)n \f Ji 3),(3.12)
J7—-+2П
02
представим коэффициенты，订(入)в виде
Qj (%)=
=(-1产P而/W (啲j晋传)J” (T)儿
°(3.13)
Лемма 3. Если /(/)三厶(一1, 1), то любому решению ср(第) из класса £3(~15 1) уравнения (3.4) соответствуют последовательность чисел {〃J из класса 勾,удовлетворяющая бесконечной системе линейных алгебраических уравнений .
^« =^nm (入)〃m + 4z (^ = 0, 1, 2, • .(3.14)
Наоборот, если /(胃)三厶2(—1, 1), то любому решению {%} из класса 厶 системы (3.14) соответствует решение(р(/)三厶(一1, 1) уравнения (3.4) вида (3.8).
Для доказательства подставим с учетом теоремы 2 в интегральное уравнение (3.4) функции 屮(胃)，/(%), K(z) в виде (3.8)~
п вычислим интегралы, используя свойство ортогонально- 23*
сти полиномов Лежандра. Получим соотношение, в левой и правой частях которого стоят рядьГ по четным полиномам Лежандра. Приравнивая коэффициенты обеих частей при полиномах одинакового номера, получим бесконечную систему (3.14). Легко производятся и обратные преобразования с учетом соотпоше- НИЯ ||ф||ь2(-1,1) =||ф||/2.
Теоре ма 3. Если /(第)鼻七2(—1，1), то оператор, стоящий в правой части (3.14), действует в пространстве 勾 и является в нем вполне непрерывным при всех значениях с,九三(0, 8). Система (3.14) однозначно разрешима в "
Учитывая поведение ядра интегрального уравнения (3.4) (лемма 1) и равенство Парсеваля ||<p||l2(-i,i)=||(р||/2, нетрудно показать, что
2 2 cL(^) < оо, {bm} е Z2. (3.15) ш=0 п—О
Отсюда следует, что оператор, стоящий в правой части (3.14), действует в пространстве последовательностей 勾 и является там вполне непрерывным при с,入 w(0, 8). Поэтому к системе (3.14) применима альтернатива Гильберта [11] о разрешимости бесконечных систем. Поскольку соответствующее системе (3.14) решение интегрального уравнения (3.4) существует и единственно в пространстве 厶(一1, 1)? то в силу леммы 3 существует единственное нетривиальное решение бесконечной алгебраической системы (3.14), принадлежащее пространству " которое мюжво найти с любой степенью точности методом последовательных приближений. Теорема доказана.
Таблица 5.1
тп
△=2
九=1
&=%
тп
九=2
九=1
儿=4
00
2,4544
1,4159
0,7477
22
0,4497
0,4484
0川80
01
-0,3073
—0,1959
—0,0742
03
-0,0087
-0,0085
-0,0099
02
-0,0343
—0,0389
-0,0394
13
—0,0271
—0,0274
-0,0327
11
0,8262
0,7726
0,5807
23
-0,1205
-0,1201
-0,1118
12
-0,1863
—0,1797
-0,1309
33
0,3091
0,3094
0,3053
Решив систему (3.14), найдем затем по формуле (3.8) решение интегрального уравнения (3.4). При этом сила, действующая на штамп, вычисляется по формуле
Q = J 屮(三)@& = Р2ao.
В качестве примера рассмотрим контактную задачу а) о вдавливании штампа с плоским прямолинейным основанием (/(%) = 6) в упругую полосу, покрытую тонким вппклеровским
слоем и лежащую без трения на жестком основании. Значение коэффициента с в (3.4) будем, например, брать равным л. Коэффициенты разложения стп(Х) подсчитывались с четырьмя точ
ными знаками после запятой при различных значениях К и занесены в табл. 5.1.
На графике (рис. 5.2) приведены распределения контактных напряжений при различных значениях параметра 九 (九=2 ——кривая 1,入=1 ——кривая 2,九='人一 кривая • 3). При этом 06亠’= =1,848; 2,627; 3,606 соответственно для 九=2, 1, 72. Отметим, что погрешность приведенных результатов не превосходит 1,5%. При этом в урезанной системе (3.14) достаточно было взять не более четырех уравнений.
Для сравнения приведем [6]
Рис. 5.2.Рис. 5.2.значения QB^' при с = оо соответственно для 九=2, 1, V2： 06~'= = 2,75; 4,97; 8,96. Отсюда и из вышеприведенных результатов
Рис. 5.2.
Рис. 5.2.
следует, что осадка основания под штампом в случае двухслойного пакета больше аналогичной осадки для гладкой полосы при одной и той же силе, действующей на штамп.
§ 4. Колебания штампа на границе упругой полосыбольшой толщины, покрытой винклеровским слоем
В настоящем параграфе дается решение задачи, являющейся динамическим аналогом задачи, изученной в § 2. Как и ранее, рассматривается упругая полоса большой толщины Я, лежащая
на жестком основании, верхняя: граница которой покрыта тонким
Рис. 5.3.Рис. 5.3.слоем непрерывно распределенных вертикальных упругих стержней (О W у W 无).Допустим, что в поверхность верхнего слоя вдавливается без трения симметрично приложенной силой 尸(力 =尸。+ + Р{е^ жесткий штамп ширины 2а, имеющий плоское основание (рис. 5.3). В силу линейности рассматриваемой задачи решение ее ■
Рис. 5.3.
Рис. 5.3.
можно построить как суперпозицию решения при 尸(力=Ро = const, которое получено в § 2, и решения при 尸(力=Ptem/, которое будет построено в настоящем параграфе.
Как и в § 2, стержневой слой в случае плоской деформации будем описывать уравнениями (2.1) и
居_丄居 2 —] 犷一№日产，卩 P]R，居_丄居 2 —] 犷一№日产，卩 P]R，(4.1)(4.1)
居_丄居 2 —] 犷一№日产，卩 P]R，
居_丄居 2 —] 犷一№日产，卩 P]R，
(4.1)
(4.1)
где pa — плотность материала стержневого слоя. Из (4.1) найдем
У 三У 三(4.2)(4.2)
У 三
У 三
(4.2)
(4.2)
где 4 = 4(%)(/ = 1, 2) — некоторые произвольные функции.
Принимая далее во внимание граничные условия следующей вспомогательной задачи
■£ L=o _ qR' 芻 L=”=—р凡(4-3)
(4.4)(4.4)V — —р* (у — 0),V — —р* (у — 0),где 卩(％, t)——нагрузка, действующая на верхнюю границу стержневого слоя, g(£, t) — реактивная нагрузка, действующая на нижнюю грань со стороны упругой полосы, а также условие контакта слоев
(4.4)
(4.4)
V — —р* (у — 0),
V — —р* (у — 0),
где г* — перемещение по оси g верхней границы упругой полосы, из (4.2) будем иметь
Удовлетворим теперь с помощью (4.5) условию контакта дитампа с поверхностью стержневого слоя
u = -6 ⑴ 匂=无，1况1w我)，(4.6)
тде 8(力——поступательное перемещение штампа под действием лриложенной к нему силы 尸(力.При этом получим
8 (0 = -^2-q + V* — \ \— у) dy (|к|《а). Y47)
Удерживая инерционный член в уравнении (4.1) для покры- т'ия, будем вместе с тем пренебрегать динамическими эффектами в упругой полосе. Такое пренебрежение возможно, если Pi《PG. Именно, в этом случае динамические эффекты будут локализоваться лишь в покрытии, если принять еще во внимание, что
реальная конструкция является вязкоупругой (при данном рассмотрении этой малой вязкостью мы пренебрегаем). В силу сказанного для р* будем иметь следующее выражение (сравните* с формулой (2.4)):
q^z)_ 1п+ йо]^'© = W三譬，
(4.8)
Подставляя (4.8) в (4.7), выпишем интегральное уравнение поставленной задачи для двухслойного основания в форме
б ⑺=-^j 7(?")十 $ J g (Е") [— in」与土丨十 «0| 成—
К, У, t) dyК, У, t) dy(|^|<«). (4.9)'(|^|<«). (4.9)'
К, У, t) dy
К, У, t) dy
(|^|<«). (4.9)'
(|^|<«). (4.9)'
Кроме того, должно выполняться уравнение движения штампа
I р (х, t)dx Р (^) — Мб,(4.10)
где М — масса штампа.
Предполагая далее, что перемещения точек стержневого слоя мало меняются по толщине, можем записать
V(2, y,t)^~ и*(2,乙(1 —,贽)—-f-6 ⑺.
Отсюда интегрированием найдем
^ v(x,y,t) dy ^ ~ -^ ~ 俨(小)十 6 ⑺], о
f (〃一 У) >(支,у, t)dy(2")十 6(/)],
тогда окончательно интегральное уравнение (4.9) и условие (4.10) примут вид
■^jg(x") + *J g(E")十储(h) -ь l^-1 + й0 rfg =
=6⑺一告⑺(⑷《〃)，(4.11).
尸⑴=J q (胃，0 dx + pjfeaS ⑴ + —a
+ 鬻)J g(E") — In ^ ff x | + aoj dl dx + M6 (0. (4.12)
Ограничиваясь далее рассмотрением режима гармонических колебаний штампа, представим функции д(/,力 и 8(力,входящие в формулы (4.11), (4.12), в форме
U(n,力=g*(花)0必\ 8(力= 8*e‘叫(4.13)
Подставляя (4.13) в (4.11), (4.12) и разделяя в них переменные, получим интегральное уравнение и условие, связывающее амплитудные значения контактных напряжений и вдавливающей штамп силы. В безразмерных переменных и с учетом обозначений
%' = ад-1, У =己〃一1,九=〃〃т, 7* (胃)0-1 — ф ("),с = с* (1 一 А?), Р = Y% (1 + %，)，Ь = 3冗-唳2分，2°1
v = e* =*，Q =景，Q=±， 屮⑺杀，
a = N — b Ey + (a。+ 1 + In 九)N] — Л/о)2у0-1
будем иметь (штрихи опускаем)
1
学⑺+ */学阳[-In 与旦+旬*ё=6(I^(<1), (4.14)
-1
1
Q = a + 等 J Ф (^) [(1 + 胃)In (1 + /) + (1 — x) In (1 一 n)] dx. (4.15)
Для решения уравнения (4.14) может быть использован весь арсенал методов, изложенных в § 2, 3. Однако в отличие от интегрального уравнения (2.9) уравнение (4.14) при о)> VSjiA^1 может иметь счетное множество положительных характеристических чисел Сп, которым отвечает система собственных функций {屮式/)}. Эта система ортогональна и полна в пространстве квадратично суммируемых функций [Ц].
Будем искать решение интегрального уравнения (4.14) в виде
9⑺=£ 〃乳9乳⑺.(4.16)
Разлагая функцию _^1rl 1 §,%£丄十询卜 биортогональный ряд
-In」己「1 + a0 =冗 2 ； Si (E) фn (%)，
с учетом представления оо1
6 = » ^пфп (%), ^n = 6 J фп (胃)d%,%=1一1
а также подстановки (4.16) —(4.18) в (4.14) получим
(4.17)(4.18)(4.19)(4.17)(4.18)(4.19)Ряды (4.16) —(4.18) сходятся к соответствующим функциям в среднем квадратичном. Из (4.16), (4.19) следует, что при，f f —(тг = 1, 2, . . .) при конечной осадке штампа напряжения под ним будут неограниченно возрастать, т. е. в этом случае наблюдается явление резонанса.
(4.17)
(4.18)
(4.19)
(4.17)
(4.18)
(4.19)
Для приближенного нахождения собственных функций интегрального оператора в (4.14) с логарифмическим ядром воспользуемся методом Ритца [11]. В качестве последовательности координатных элементов, как и в § 3, возьмем систему ортонорми- рованных полиномов Лежандра, а именно будем искать 屮式胃) и виде
фп (胃)=£ g；尸2j (%)• (4.20)
麻3)一成+1⑺ФЙ⑷麻3)一成+1⑺ФЙ⑷<е,<е,Величина Z в (4.20) выбирается из неравенства
麻3)一成+1⑺
ФЙ⑷
麻3)一成+1⑺
ФЙ⑷
<е,
<е,
которое должно выполняться при любых, значениях 胃三[ — 1,1]. Здесь £ ——заданная величина погрешности вычислений. Представим приближенно ядро интегрального уравнения (4.14) в виде
上 А + й0|=22 电 б)尸3占)Р*^- (4.21),2=0 3=0
Используя, далее, интегралы (3.12) и
1 I I f cos uz — e~u ,
—h I z I = Jdu0
подобно тому, как зто было сделано в § 3, запишем коэффициенты разложения в (4.21) в форме
券吃2 3) - L券吃2 3) - LООии7,2九 + ~й" a^7,2九 + ~й" a^
券吃2 3) - L
券吃2 3) - L
О
О
и
и
7,2
九 + ~й" a^
7,2
九 + ~й" a^
备 j (入)一(-1) + 认m4%+1)^47 + 1f- J1(m)/ 1 Q)dm
J U —+21w + 2J
О 24
(力 + 7>0).
Подставляя теперь (4.20), (4.21) в однородное уравнение 《4.14) при с = —%, используя условие ортогональности полиномов Лежандра и приравнивая в полученном соотношении козф- фициенты левой и правой частей при многочленах одинакового номера, получим
Cn£g?% — g£ = 0(«>!；* = о, 1,2, ...,N).(4.22)
Чтобы существовало нетривиальное решение системы (4.22), приравняем нулю ее определитель; придем к уравнению для нахождения первых I характеристических чисел сп интегрального оператора в (4.14) с логарифмическим ядром. Определив с“, найдем затем выразив их через g；,
g； = g»7 旧=1). (4.23)
В результате получим
I
屮n(z) = g； 1M2), Wn ⑺=£ 盼尸务(?)(九》1).(4.24)
Постоянные g； в (4.23), (4.24) должны быть подобраны из условия нормировки собственных, функций 9Tl(/) упомянутого выше, интегрального оператора, а именно
(4.25)(4.25)J 9丸(/)фn (/)dx = gogo ^] hjh3 = 6^n, —i7=o
(4.25)
(4.25)
тде 6由“——символ Кронекера. После нахождения go из (4.25) бу- 口ут найдены /-приближения искомых собственных функций. За-
метам, что в силу свойств интегрального оператора с логарифмическим ядром, указанных в § 2, 3, процесс Ритца для однородного интегрального уравнения (4.14) (с < 0) будет сходящимся при I f ОО [11].
Проиллюстрируем численно предложенный алгоритм. Положим «о = — 0,352 (см. § 2), М = 0,= (
м 九=16. На рис. 5.4 приведены зависимости между величинами 屮(£)丫~' и %, подсчитанные при Q2 = 0; 0,1; 0,3 (кривые 7, 2, 3 соответственно), для этих же значений Q2 имеем
QL = 0,657; 0,618; -0,296.
■ В заключение отметим, что первые три значения параметра % соответствующие появлению резонанса в рассмотренной системе, подсчитывались при указанных выше величинах а。 и 九 на ЭВМ с тремя точными знаками после запятой и равны ct = 0,485, с2 ~ 3,529,，з — 6,671.
Передача давления от штампачерез нелинейное покрытие винклеровского типана упругую полосу большой толщины
В данном параграфе исследована задача о вдавливании беа трепня штампа в толстую упругую полосу при наличии на ее’ верхней грани покрытия винклеровского типа, деформация которого в отличие от задачи, рассмотренной в § 2, описывается достаточно общей нелинейной функцией давления. Аналогичная задача, как впервые заметил И. Я. Штаерман [1], может моделировать контактное взаимодействие шероховатых упругих тел; правда, И. Я. Штаерман принимал линейный закон деформирования мпкронеровпостей. Несколько позже экспериментально было установлено [13], что зависимость между сжимающим усилием п деформацией микронеровностей носит существенно нелинейный характер и может быть, например, аппроксимирована степенпой функцией. С учетом этого факта Л. А. Галиным была впервые сформулирована нелинейная постановка контактной за- Д^чй для шероховатых упругих тел. Приближенные решения этой задачи были- затем получены в 114—16].
Здесь, следуя работе [14] и опираясь на материал, изложеп- иий в § 2, исходные уравнения упомянутой выше контактной
задачи для толстой упругой полосы запишем в виде
(5.1)(5.1)屮 * (о) — * J q (t}\n\t — x\dt = С ~ g {х)(I zI & а),
(5.1)
(5.1)
J ?W dt = P, C=-^P(lnH+ao) + 8, 8 = ^?，
где a ——полудлина отрезка контакта; q(宏)——контактное давление; Р — внешнее усилие, приложенное к штампу; G и v — упругие постоянные полосы;(p*(q) — функция, характеризующая контактную деформацию покрытия под действием давления q; Н — толщина полосы (〃。一|》1); 6 ——внедрение штампа; glx) ~ функция, описывающая форму его основания. По поводу определения постоянной о。см. начало § 2. Приводимый ниже анализ интегрального уравнения (5.1) будет относиться к случаю фиксированной области контакта 。и четной неотрицательной функции g(宏).Варианты переменной области контакта 口 нечетной функции g(宏)могут быть рассмотрены аналогично.
Введем безразмерные величины
宏'=宏0-\ 〃(宏')-q(宏)(q*)-* [中*(〃)]' =6(p*(q)(q*a)-\
貝宏')=6g(宏)(q*a)-\ C' = ^q^a)-YC + In 〃，
где q* ——характернде давление (герцевское давление в центре подошвы плоского штампа при заданной вдавливающей силе), q^a = Р/л. В этом случае интегральное уравнение исходной задачи может быть записано в следующей форме (штрихи здесь и далее опущены):
九屮(р,入)一-^ J р (t) ln \ t — z \ dt = С — f (х)(|土|&1), (5.2)
-1
1
f р (力)dt = л.(5.3)
При этом в уравнении (5.2) учтено, что 屮*(夕)=入屮(夕，入)，где 入一 безразмерный параметр, равный отношению характерных деформаций полосы и покрытия и зависящий от конкретного вида функции(р*(〃). Будем предполагать в дальнейшем, что 屮(夕，入)——■ кусочно-гладкая функция и
中(p,а)>о, Фр (P, ^) > 0,中；一1(?，九)>0 (p,Z>0),
中(〃,九)=4 (九)户 + …，a>0 (? f oo), (5.4) 4 (入)=4 (0)十.… / (0)〉0 (入 f 0).
Временно считая 屮(卩，入)известной функцией, представим решение задачи (5.2), (5.3) в виде [11
Р（2）=Р（2）=1+4 J-11+4 J-11 +1 +U（f）力一产U（f）力一产t — Xt — X-1屮;(P«),九)p' (£) Ml —-1屮;(P«),九)p' (£) Ml —t — 2Ct — 2C11.2.2dt+dt+2一矶2一矶(1/9,(1/9,(5.5)(5.5)1.f 屮（P （力），九）d£ -1.f 屮（P （力），九）d£ -.2.2
Р（2）=
Р（2）=
1
+4 J
-1
1
+4 J
-1
1 +
1 +
U（f）力一产
U（f）力一产
t — X
t — X
-1
屮;(P«),九)p' (£) Ml —
-1
屮;(P«),九)p' (£) Ml —
t — 2C
t — 2C
1
1
.2
.2
dt+
dt+
2
一矶
2
一矶
(1/9,
(1/9,
(5.5)
(5.5)
1
.f 屮（P （力），九）d£ -
1
.f 屮（P （力），九）d£ -
.2
.2
Уравнения (5.2), (5.3) и (5.5) эквивалентны.
Ниже для случаев 入》1 и 入《1 предоагается асимптотический метод решения уравнений (5.2), (5.3) или (5.5).
Изложим метод регулярных возмущений. Рассмотрим случай •入》1. При этом решение в главном определяется деформацией покрытия. Из структуры уравнений (5.5) следует^ что решение при 九《1 нужно искать в виде асимптотических разложений р(7)= £『Р式以 С =入 £ ^~hCh.(5.6)
А—ОА=0
Очевидно, такое представление возможно лишь в случае бесконечно дифференцируемой функции 屮(夕，入)в окрестности точки р —夕q. При этом предположении будем иметь
屮(р,入)=£「Wh(Ро,…，Ра),(5.7)
左=0
где введены обозначения
Фо 仇)=屮(Ро, °°)， 5 3, Р1)=屮；Т (Ро, °°) + Р1Ф； 3, 8),… (5.8)
С помощью (5.6) — (5.8) получим на основании (5.2) и (5.3) для первых членов асимптотических разложений 卩(宏)и С уравнения
1
屮(р0(7), О0) = с0，.1%(%)近=n，
-1
фр (Ро (%), 8)Р1 (%) +(р；т(Ро(2), оо)—
1
—~^ ^ p0(t)ln\t— z\dt = C1 — f(x), (5.9)
-11J Pi (宏)dt = 0,-1
Из (5.4) следует, что уравнения (5.9) разрешимы, причем
Г1
Pi (宏)- [аp (子，8)]"4In 2 + } j / (0 dt +
-г
4—^- (1 一%)In (1 一 %)H—^- (1 + 宏)1л. (1 + /) 一 / (宏)],(5.10)
ОООО1
ОО
ОО
& = "IIn 2 —^-
-1
Совокупность формул (5.6) —(5.8) и (5.10) определяет двучленное асимптотическое разложение решения поставленной задачи, равномерно пригодное на отрезке [ — 1,1]. Из вида pQ(x) и р^х) следует, что гладкость 卩(宏)при 九》1 па интервале (—1,1) определяется гладкостью /(%), а при 宏一＞ ±1 функция р"(宏)f °°, если /"(±1) ограничена. Из формул (5.10) видно, что с увеличением степени деформируемости покрытия 九 распределение давления под штампом становится более равномерным, а его осадка возрастает. '
Изложим теперь метод сингулярных возмущений. Исследуем уравнения (5.5) при 九《1 методом сращиваемых асимптотических разложений, ограничиваясь рассмотрением лишь главных членов асимптотических рядов. Для возможности построения этих членов достаточно, чтобы выполнялись условия (5.4). Будем также предполагать, что /'(宏)удовлетворяет условию Гельдера nd отрезке [ — 1,11.
Под внешней областью будем понимать интервал, па котором в качестве решения уравнений (5£) с малой ошибкой может быть принято решение вырожденной задачи
ро (宏)=ро (宏)=1 l , 1 j产⑺力-产1 l , 1 j产⑺力-产Co = In 2 -|-Co = In 2 -|-[C /")山3Tq J]—产[C /")山3Tq J]—产(5.11)(5.11)
ро (宏)=
ро (宏)=
1 l , 1 j产⑺力-产
1 l , 1 j产⑺力-产
Co = In 2 -|-
Co = In 2 -|-
[C /")山
3Tq J]—产
[C /")山
3Tq J]—产
(5.11)
(5.11)
соответствующей задаче о вдавливании штампа с острыми кромками в толстую полосу. Решение задачи (5.11) легко может быть получено предельным переходом 九今 0 при 宏 ± 1 〜1 и 〃(/)〜1. Внутренними областями будем называть малые окрестности точек ^ = ±1 с характерными размерами £ =，応(儿 а)《1, в кото- ])ых вклад покрытия в решение задачи соизмерим с вкладом Ро(»
Рассмотрим внутреннюю область, примыкающую к точке 况= =~1, и введем в ней переменную г==(方+1)£一乙 Так как штамп имеет острые кромки в точках % —1±1, то
0<]^|<оо, (5.12)0<]^|<оо, (5.12)n = 1.+皆 J )'⑴ VttT 弘
0<]^|<оо, (5.12)
0<]^|<оо, (5.12)
—1
Pq (况)4 —7==- при Г
Предполагая, что давление во внутренней области (пограничном слое) сращивается с 卩°(宏) при 宏—1, имеем 夕(宏)〜е",/2 при г 〜1.
На основании приведенных выше рассуждений, ограничиваясь рассмотрением главных членов асимптотик, будем искать решение уравнений (5.5) в виде
夕(况)=р。(宏)+ 0(1),〃0(誥)~1 при宏± 1〜1,
• (5.13) p(宏)=£~"2g(r) +。(£-"2), q(r)〜1 при r 〜1;
夕(宏)=£T/2g(£)+ O(£"/2), g(s) ~ 1 при £ 〜1,(5.14)
，н & + 5[(儿 а)& + o(6i), 3]《1, &〜1,'
где ,q(宏)и 0° определяются из (5.11), № (^ ~ 1)е-1 ——внутренняя переменная в окрестности точки 尤=2.
В уравнении (5.5) для 〃(宏)перейдем к внутренней переменной г и устремим 九 к нулю при фиксированном г 〜1. Тогда, используя соотношения (5.4), получим для главного члена q(r) разложения р(/) во внутренней области уравнение [7]
д(г) = /Ь + а 千[夕也 и；,?"步血(5.15)
V2r I；)J
а для характерного размера внутренней области будем иметь
(5.16)(5.16)£（儿 а） =£/（"）.
(5.16)
(5.16)
Аналогичным образом в окрестности точки 宏=1 получим, учитывая четность /(宏),
Р(—%) = P(z)，g(s) = g(—s),
^s^v=^\N+a^s^v=^\N+at — st — s4(0) f g，"-1 ⑴ Д/R 威 I В.")
^s^v=^\N+a
^s^v=^\N+a
t — s
t — s
Можно показать, что интегралы, входящие в уравнения (5.15) и (5.17), стремятся к нулю при г -> оо и §->—8 соответственно, т. е. q(r) сращивается с N/V2r, a g(s) — с TV/У—2s.
Из интегрального условия в (5.5) и соотношений (5.11), (5.13), (5.14) и (5.16) получим
1
(5.18)(5.18)с-Со = — I 1dL =。( X),0g& 力_产
(5.18)
(5.18)
при этом член порядка е в (5.18) возникает при оценке интеграла по внутренней области, а член порядка 入一по внешней. Из (5.18) при 0 < а < 1 с помощью (5.11) и (5.14) найдем
1* = ； J号签号 dt' 'I仇'编=儿1* = ； J号签号 dt' 'I仇'编=儿(5.19)(5.19)
1
* = ； J号签号 dt' 'I仇'编=儿
1
* = ； J号签号 dt' 'I仇'编=儿
(5.19)
(5.19)
Это означает, что С\ при 0 < а < 1 определяется внешним решением. Из (5.18) следует, что при а == 1 внешняя и внутренняя области дают вклад одного порядка в &. На основании (5.13) определим при а = 1 равномерно пригодное (сравните с (2.28)) решение уравнения (5.5) [7]
рu (/)—eрu (/)—e2 р?Т7守2 р?Т7守р。(%) о 匕р。(%) о 匕(5.20)(5.20)
рu (/)—e
рu (/)—e
2 р?Т7守
2 р?Т7守
р。(%) о 匕
р。(%) о 匕
(5.20)
(5.20)
Тогда с помощью (5.14), (5.18) и (5.20) получим
G =—1 лG =—1 л1，中（乙⑴，0）出1，中（乙⑴，0）出22.2.281 (九，1)=入=£.81 (九，1)=入=£.(5.21)(5.21)
G =—
1 л
G =—
1 л
1
，中（乙⑴，0）出
1
，中（乙⑴，0）出
2
2
.2
.2
81 (九，1)=入=£.
81 (九，1)=入=£.
(5.21)
(5.21)
При а > 1 из (5.16) и (5.18) следует, что основной вклад в & дают внутренние области, поэтому на основании (5.14) будем иметь
& = 2『^^，6】@, а) = е. (5.22)
Из формул (5.19), (5.21) и (5.22) вытекает, что &>0 при всех 0 < а < сю. Поэтому осадка С штампа, вдавливаемого в полосу, армированную по верхней грани покрытием, больше, чем осадка при контакте штампа с гладкой упругой полосой. При этом осадка С возрастает с увеличением степени деформируемости покрытия 入.Для частного случая
屮⑵入)н р", А = Qka^{q^^\ fit) = 0,
где 厶——коэффициент постели нелинейного основания Фусса —— Винклера, из формул (5.6), (5.10) и (5.11), (5.14), (5.19)
соответственно найдемсоответственно найдем(5.23)(入《1, 0<а<1).(5.23)(入《1, 0<а<1).（九》1）,（九》1）,9С = In 2 十入 /_ Г |/ JT9С = In 2 十入 /_ Г |/ JTЗдесь ГЧ%) — гамма-функция. Видно, что С возрастает при увеличении степени нелинейности а. Вычисления контактного давления 〃(％) для различных значений а, произведенные по формулам (5.6), (5.10)(入》1) и (5.11) — (5.13), (5.15)(入《1), показали, что при увеличении степени нелинейности а, как и при увеличении степени деформируемости покрытия 入,распределение давления под штампом становится более равномерным. При любых 入 > 0 и а > 0 контактные давления для плоского штампа (/(力三 0) монотонно возрастают от центра к краям линии кон
соответственно найдем
соответственно найдем
(5.23)
(入《1, 0<а<1).
(5.23)
(入《1, 0<а<1).
（九》1）,
（九》1）,
9
С = In 2 十入 /_ Г |/ JT
9
С = In 2 十入 /_ Г |/ JT
такта, оставаясь ограниченными.
В ^заключение отметим, что знание постоянной С позволяет определить связь между внедрением штампа 6 и величиной действующей на него силы Р.
2a взапмодействует с2a взапмодействует сконтактная задача, соответст-контактная задача, соответст-Давление штампа на упругую полосу, усиленнуюпо основанию прослойкой типа накладки
2a взапмодействует с
2a взапмодействует с
контактная задача, соответст-
контактная задача, соответст-
Путем асимптотического анализа, аналогичного произведенному в § 1, для случая двухслойной упругой полосы, лежащей без трения и а жестком основании, можно показать, что
если трение между слоями предполагается отсутствующим, а относительная толщина нижиего слоя мала, то он ведет себя как основание Фусса ——Винклера; вующая такому предельному случаю, была изучена в § 7 гл. 1;
если между слоями осуществлено полное сцепление, относительная толщина нижнего слоя мала, а его относительная жесткость достаточно велика, то он ведет себя как накладка, описываемая уравнением вида (3.15) гл. I; ниже будет рассмотрена контактная задача, соответствующая этому предельному случаю.
Пусть жесткий штамп ширины
постью упругой полосы толщины Я, которая подстилается прослойкой типа накладки (—无 W у W 0,无《4), лежащей в свою очередь без трения на не деформируемом основании. Между полосой и накладкой осуществлено условие жесткого сцепления. Штамп вдавливается в полосу силой Р, эксцентриситет приложе- 24 в. М. Александров, С. Мхитарян
иия которой е (рис. 5.5). Силы трения на линии контакта предполагаются отсутствующими. Вне штампа полоса не нагружена, массовыми силами пренебрегаем. Упругие постоянные полосы и накладки соответственно равны Gb Ач и Ga, v2. Рассматривается случай плоского деформированного состояния. Физико-механические свойства полосы будем описывать системой уравнений Ламе (1.1) гл. I без инерционных членов, а прослойки (накладки)—— уравнением (3.15) гл. I, в котором только заменим 2h на h.
Граничные условия задачи при сделанных предположениях будут иметь вид
g — Н: Тху — 0, % — 0 (I % [。)，б =[6 + a% — / (%)] (|%|&a)，
(6.1)
У = 0： 〃i = 口 2，% = 0, Оу = О уч Тху — Тху,(6.2)
У =—无：爲=0, р2 ~ 0;(6.3)
при (%, у) -> 8 напряжения в полосе и накладке исчезают. Здесь 8 + a*r ——жесткое перемещение штампа под действием силы Р, приложенной с эксцентриситетом е, fix')——форма основания штампа, а индексы «1» и «2» приданы величинам^ связанным соответственно с полосой и накладкой. Требуется определить распределение контактных нормальных напряжений под штампом <^|и=н = q(%) для \х\ W а, связь между Р, е и 8, а, а также полудлину линии контакта а в случае штампа с закругленными углами.
dy (%, 0) — Qy (%,dy (%, 0) — Qy (%,С помощью (6.2), (6.3) преобразуем уравнение деформации растяжения накладки (3.15). Именно, с учетом формулы (см. § 3 гл. I)
dy (%, 0) — Qy (%,
dy (%, 0) — Qy (%,
-^^ —2~[式У (倡 °)+ 爲/(瑞一%)]=。,
запишем
2G2月现2 = - (1 - %) Tх^ (^, 0) - % ^_ {2[eУ； (%, 0)]-
Y [晶(倡 0) +
Пользуясь, далее, малостью толщины прослойки (h《Н) и снося последнее условие со срединной плоскости накладки на нижнюю границу полосы у = 0, а также пренебрегая в полученном соотношении, как и ранее, членами порядка О(А?), будем иметь
2G2方息(2, 0) = — (1 — %) &(2, 0) — v2h [dy (c, 0)]'.(6.4)
Подобно тому как это сделайо в § 7 гл. I, система д^巾巾ерен- циальных уравнений Ламе в совокупности с граничными условиями (6.1)—(6.4) может быть приведена к интегральному уравне-
ншо первого рода относительно функции распределения контактных давлений q(%). Для этого в соответствии с общей теорией решения смешанных задач [6] рассмотрим вспомогательную задачу со следующими граничными условиями:
У = ": Тху — 0, % = ■ — q (%)；
у = 0: % = 0, 2G2tzi = — (1%)己一屮2A (°i)
(напряжения на бесконечности исчезают) и используем для ее решения аппарат интегрального преобразования Фурье. Получим следующие выражения для определения функций ©(а) и R(a) (i = 1, 2) в формулах (1.5), (1.9) гл. I
仇(а) = 乂％ 3), 〃i (а) = 2a2 (а) /п (аЯ)-1 — 2mnb2 (а),
〃2 (а) =〔с 仪厶(а)三(а) ch аЯ — (1 — 2%) sh ab — 2mn sh а〃],
% (а)=—沼产а (а) 2 (а) [2 (1 — %) ch а〃 + afl sh а〃 +
+ 2m (аЯ)-1 sh аЯ], (6.5)
А (а) = 2a也2 十 4m 十 2т (а〃)т sh 2аН 十 ％ ch 2aH 十
V2 -I- 1一
о —V?)о —V?)九气九气7+ 2mnx 十 2mn ch 2а4;
о —V?)
о —V?)
九气
九气
Н(1—%)，Н(1—%)，乂 = 3 — 4%.
Н(1—%)，
Н(1—%)，
Здесь принимаем, что G2 > GiV2. Подставляя затем (6.5) в (1.5) гл. I, будем иметь
匕 Q〃)= *2(a)乙(а〃)，8 =不看，(6.6)
г / х _, 2乂 sh 2〃 一 4u -|- 47ntz~1 (泣tz sh 2tz ch 2〃 一 1)
2x ch 2u -|- x2 + 1 + 4〃2 十 4m〃—i (几乂〃 十 пи ch 2〃 十 2〃 十 sh 2汉)
Удовлетворим теперь решением (6.6) вспомогательной задачи краевым условиям (6.1)——(6.4) основной, задачи со смешанными краевыми условиями. С учетом обозначений
хг = ха^1,『=% = На： 8'= 8。~\
0(%)6一1 = g'(%‘)，a~lf(x) = g(%‘)
запишем исходное интегральное уравнение поставленной задачи 24*
в форме
1
(6.7)(6.8)(6.7)(6.8)Jg(E)K(上萨-)龙=口g+ az _g(z)](1/1《1),
(6.7)
(6.8)
(6.7)
(6.8)
К (z) = j £ 3) jT cos ®z) du,z = E 不胃
о
Штрих у безразмерных переменных и обозначений здесь и далее будем опускать. К уравнению (6.7), (6.8) необходимо еще добавить условия статики
11
Q = Р (〃6)т = J g (宏)&宏，Q± = Ре (й^Н厂'=J 複(宓)&宏，(6.9) -1
выражающие условия равновесия штампа на верхней грани полосы.
Прежде чем приступить к решению интегрального уравнения (6.7), изучим характерные свойства его ядра K(z) вида (6.8). Нетрудно убедиться, что функция L(u)u-‘ непрерывна при всех, значениях О W iz V 8 и имеют место следующие асимптотические формулы:
L {и) = Аи + О (〃з) (t0),
A(U)= 1 +0(6-2") (bf OO),
/ = 4Y 一 1 +2?n (1 + 改)
(x + I)2 + *4^ [4 + n (1 + x)]'
с учетом которых представим функцию 厶(〃)из (6.6) в виде (7.9) гл. I.
Таблица 52 Значения @仔)6一】а
九
Q6 1a
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
0,95
1/2
3,905
3,887
3,863
3,821
3,961
5,739
-8,571
1
1,964
1,967
* 1,984
2,048
2,328
3,804
4,648
2
1,011
1,021
1,058
1,150
4,425
2,555
2,716
Рассматривая, далее, четный вариант поставленной задачи (а 三 0, /(宏)三 0 ——штамп имеет плоское основание) и используя для ее решения алгоритм, изложенный в § 7 гл. I, построим функцию q(宏)в виде (7.13), (7.14) гл. I. Коэффициенты。?・ по- прежнему будут удовлетворять бесконечной алгебраической системе (7.18) гл. I. Проиллюстрируем сказанное числовым при-
мером. Положим в (6.6) т = 10; п = 0,1; % = 0,3. В табл.5.2 приведены значения контактных давлений q(方)3一】& подсчитанные при различных 誥 и 九.В последней колонке таблицы даны при различных 九 значения отношения Qba действующей на штамп силы к осадке штампа. Отметим, что при получении всех этих результатов в урезанной системе (7.18) гл. I бралось не более пяти уравнений; погрешность вычислений при этом ие превосходит 3%.
§ 7. Движение штампа по границе упругой полуплоскости,усиленной покрытием типа накладки
Как отмечалось в конце § 1, при асимптотическом анализе задачи о воздействии штампа на упругий слой через жестко сцепленное с ним покрытие в качестве одного из вариантов возникает контактная задача для слоя, усиленного по верхней грани накладной типа (3.15) гл. I. Далее рассмотрен динамический аналог последней задачи.
Рис. 5.6.Рис. 5.6./(宏'),а линия контакта качестве й)изико-механи-/(宏'),а линия контакта качестве й)изико-механи-Пусть полуплоскость с упругими постоянными G?, v2 и плотностью р2, находящаяся в условиях плоской деформации, по всей своей границе у = 0 усилена тонким тгокрытием в виде сцепленного с ней бесконечного слоя малой толщины Й с упругими ПОСТОЯННЫМИ Gi, Vi， Пусть, далее, вдоль границы такого составного основания движется с постоянной скоростью V без трения жесткий штамп, прижимаемый к нему силой Р, эксцентриситет приложения которой е (рис. 5.6). Допустим, что в подвижной системе координат, связанной со штампом, основание его описывается функцией определяется неравенством \xf\^a. Е人
Рис. 5.6.
Рис. 5.6.
/(宏'),а линия контакта качестве й)изико-механи-
/(宏'),а линия контакта качестве й)изико-механи-
ческой модели усиливающего слоя возьмем модель тонкой па- кладки. Такой усиливающий слой описывается уравнением (3.15) гл. I с добавлением инерционного члена в правой части (сравните с 巾ормуноИ (6.4)):
2 ] _ у 〃i = %«[二 у ・(％) + 9\hu^ .(7.1)
З.хесв, как и ранее, индекс «1» присвоен верхнему слою, а «2» — упругой полуплоскости, дифференцирование ведется по переменной xf = х — Vt^ pi ——поверхностная плотность материала усиливающего слоя. Известно также, что в силу условий контакта
штампа с покрытием и покрытия с полуплоскостью
У =力：— 16 + а^' — / (^z)] (I /' I & а),(7 刀
У = °： 〃1 = 〃2，"1 ~ 少2， Gy = Vty, °“ н Оу,
где 6 + а/'——жесткое перемещение штампа под действием силы Р, приложенной с эксцентриситетом е. Учитывая, далее, что 以;у 卩2以1, и пользуясь малостью толщины усиливающего покрытия (ha~l < 1), снесем условие (7.1) со срединной плоскости покрытия на границу полуплоскости у = 0. Аналогично, первое условие (7.2)——с верхней границы у — h накладки на тргши“у полуплоскости у = 0. Будем иметь
у = 0: sh & — Тху — 2力(寸)，”2 = — [6 + a片'一/ (")] (I 胃'I W〃), (7.3)
s = Pi(Wi)' " = г^‘ Q= VpT^J"
Кроме того, к (7.3) необходимо присоединить условия затухания напряжений в полуплоскости и накладке на бесконечности. Штрих у далее опускаем.
Прежде чем приступить к решению краевой задачи (1.1) гл. I, (7.3), рассмотрим следующую вспомогательную задачу о равновесии упругой полуплоскости при граничных условиях:
(7.4)(7.4)у = 0： 協=—g (%), shu2 = №у — 2力(寸)'
(7.4)
(7.4)
и при условии, что напряжения исчезают при (炉 + у?) f 8. Воспользуемся для ее решения интегральным преобразованием Фурье по продольной координате /. Получим для трансформант Фурье 。2(々，у) и 卩2(а, у) следующие выражения (сравните с (1.6) гл. I):
/ (а，У)= ^2 sgn a [〃 (a)眦以他 + b (a) 丫到矶], 广 几(a, у) = -^[a (a.) ^eWy + Й (a) e^y], 仏"
причем функции a(a) и 6(a) удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений
а (а) а2р 邵仇 + 巒力 | а |) + 方(а) а2 [С2(1 + у2) + d力丫 | а |] = IhQ ⑺,
а (а) а2р I a I [v2 — (1 — v2)俨]—(7.6)
俨=俨=-b (а) а2у|а|(1-2v2) = 一 Q (a) (1 — 2v2)(2G2)-1;-b (а) а2у|а|(1-2v2) = 一 Q (a) (1 — 2v2)(2G2)-1;Здесь Q(a) — трансформанта Фурье функции д(%).Здесь Q(a) — трансформанта Фурье функции д(%).
俨=
俨=
-b (а) а2у|а|(1-2v2) = 一 Q (a) (1 — 2v2)(2G2)-1;
-b (а) а2у|а|(1-2v2) = 一 Q (a) (1 — 2v2)(2G2)-1;
Здесь Q(a) — трансформанта Фурье функции д(%).
Здесь Q(a) — трансформанта Фурье функции д(%).
Из (7.5), (7.6) найдемИз (7.5), (7.6) найдем%(а,0)=^у^%(а,0)=^у^货(1 一丫2) + I а I 九[sG£i (1 — By) + "2阡一1 -Y2)]货(1 一丫2) + I а I 九[sG£i (1 — By) + "2阡一1 -Y2)]$ + I а I hsG^y (1 — у?)$ + I а I hsG^y (1 — у?)Q(a),Q(a),3 = 4By—(1+Y2 户3 = 4By—(1+Y2 户(7.7)(7.7)Удовлетворяя теперь решением вспомогательной задачи (7.5)— (7.7) краевым условиям (7.3) основной, сведем ее к следующему
Из (7.5), (7.6) найдем
Из (7.5), (7.6) найдем
%(а,0)=^у^
%(а,0)=^у^
货(1 一丫2) + I а I 九[sG£i (1 — By) + "2阡一1 -Y2)]
货(1 一丫2) + I а I 九[sG£i (1 — By) + "2阡一1 -Y2)]
$ + I а I hsG^y (1 — у?)
$ + I а I hsG^y (1 — у?)
Q(a),
Q(a),
3 = 4By—(1+Y2 户
3 = 4By—(1+Y2 户
(7.7)
(7.7)
интегральному уравнению распределения нормальных штампом [17]：
1
первого рода отгшсителыю функции контактных напряжений q(x) подпервого рода отгшсителыю функции контактных напряжений q(x) под九九㈡您㈡您/7寻/7寻sin uz du, 中(力*)sin uz du, 中(力*)о一 SY S — Y?)•—“ s(1 — By) + ig2 (2眈一1 — y?)'о一 SY S — Y?)•—“ s(1 — By) + ig2 (2眈一1 — y?)'0⑺/2、(7.8)S九 Y (1 — Y )0⑺/2、(7.8)S九 Y (1 — Y )D =-呻"齐丫), %* =十 g (#*)=D =-呻"齐丫), %* =十 g (#*)=aBG2a .aBG2a .Звездочку у 力* далее опускаем. К уравнению еще добавить условия равновесия штампаЗвездочку у 力* далее опускаем. К уравнению еще добавить условия равновесия штампа(7.8) необходимо(7.8) необходимо0=上c卩a0=上c卩aJ屮代）龙，＜21 =—1J屮代）龙，＜21 =—111dt (7.9)dt (7.9)Ре储Ре储Ниже ограничимся рассмотрением этом OViWgWl и, кроме того,'1 -₽vНиже ограничимся рассмотрением этом OViWgWl и, кроме того,'1 -₽vслучая, когда V < с2. Прислучая, когда V < с2. При-<0.-<0.(7.Ю)(7.Ю):гй[а — g，(#*)](I ж* К 1),
первого рода отгшсителыю функции контактных напряжений q(x) под
первого рода отгшсителыю функции контактных напряжений q(x) под
九
九
㈡您
㈡您
/7寻
/7寻
sin uz du, 中(力*)
sin uz du, 中(力*)
о
一 SY S — Y?)•—
“ s(1 — By) + ig2 (2眈一1 — y?)'
о
一 SY S — Y?)•—
“ s(1 — By) + ig2 (2眈一1 — y?)'
0⑺
/2、(7.8)
S九 Y (1 — Y )
0⑺
/2、(7.8)
S九 Y (1 — Y )
D =-呻"齐丫), %* =十 g (#*)=
D =-呻"齐丫), %* =十 g (#*)=
aBG2
a .
aBG2
a .
Звездочку у 力* далее опускаем. К уравнению еще добавить условия равновесия штампа
Звездочку у 力* далее опускаем. К уравнению еще добавить условия равновесия штампа
(7.8) необходимо
(7.8) необходимо
0=上c卩a
0=上c卩a
J屮代）龙，＜21 =
—1
J屮代）龙，＜21 =
—1
1
1
dt (7.9)
dt (7.9)
Ре
储
Ре
储
Ниже ограничимся рассмотрением этом OViWgWl и, кроме того,
'1 -₽v
Ниже ограничимся рассмотрением этом OViWgWl и, кроме того,
'1 -₽v
случая, когда V < с2. При
случая, когда V < с2. При
-<0.
-<0.
(7.Ю)
(7.Ю)
Будем еще предполагать, что s > 0, т. е. скорость движения штампа V меньше с3 — скорости распространения продольных волн в покрытии. Наконец, допустим, что V меньше VP — скорости распространения поверхностных волн Рэлея; тогда 笈 >0. Помимо указанных ограничений на скорость движения штампа, будем также считать, что выполнено неравенство
(7.11)(7.11)s > IGa，
(7.11)
(7.11)
Неравенства (7.10), (7.11), а также все другие сделанные допу- прения обеспечивают положительность постоянных ц, X, и Z) в
В частном случае V =0 постоянные 卩,А и 刀 примут вид —2%、1—2%
林一4(1+ 吁叫，С - 2(1-%)，20^,八 仇
厶=~ёу， ° = u ° — ％)，仇=—% '
а ограничение типа (7.11) теперь будет иметь форму
01(1 + *)>/С2*.(7.13)
Если относительная жесткость покрытия велика, т. е. G、》G^ то в формулах (7.3), (7.4), (7.6) —(7.8), (7.12) членами, содержащими множителем величину 厶 можно пренебречь. Это будет соответствовать случаю, когда в уравнении для покрытия (7.1) в правой части можно отбросить второй член. Именно такой случай рассмотрен в работе [17]. Диалогичное упрощение будем принимать в гл. VI (§ 4, 5).
Представим интегральное уравнение (7.8) в виде
J告粤恋 + (0一 1)" (三) 〃(与二)您=a入[a - g，(2)] (I^)<1).
(7.14)
〃(z) = j 黑等九(7.15)
О
При решении уравнения (7.8) или (7.14) вместе с первым условием (7.9) могут представиться три случая:
если g'(±l 干 0) — g'(±l ± 0) = const * 0, то величина 。 должна считаться заданной, а функция ср(力)в точках 力=±£ может иметь интегрируемую особенность;
если в окрестности точки 花=1 (или х = —1) производная функции g(/) непрерывна, то величина а подлежит определению, а функция <р(力)должна быть ограничена в точке 力=1 (или х = —1);
если производная функции g(x) непрерывна в окрестности точек 力=±1, то величина 〃 также подлежит определению, а функция 屮(力)должна быть ограничена в точках z = ±1.
Перейдем теперь к построению решений интегрального уравнения (7.14), (7.15). Вычисляя интеграл (7.15) [121, представим ядро 〃(z) интегрального уравнения (7.14) в виде
-〃(z) = (ci 2sin lz| ~ cos zsi Izl) sgn z.(7.16)
Здесь ci z и si z ——интегральные косинус и синус. Используя известные [12] разложения этих функций в ряды при малых з, убедимся, что для H(z) при всех OWlzIVs справедливо
представление
Н (z) = In ] z I Н] (z) + I z I % ⑶ + % ⑶ + 4~ 冗 sgn z,
Нi (z) = 』 a说z2"+1 (г = 1, 2, 3),
(一1 卢"(一1产+1 一L 4(747)
"1k = (2* + 1)! ' “2月=2 (2A 十 2)!，"зо = ° ~' 1，
g尸(T){ (24 + 1)!仅 2* + 1 )+ ^ 2/(2川(2厶一^+1)(2/一2中)!:
С — постоянная Эйлера, G ^= 1 'в выражении a3h. Анализируя представление (7.17), заключаем, что при всех, |z|W/?, где Я — любое сколь угодно большое число, справедливо соотношение Ч
Я (г) — -^ sgn z + z In I z [ + 歹(z), F (z) q H\ (―凡 R),(7.18)
Приведем далее некоторые теоремы [17], уста на влива ющие структуру решений уравнения (7.14).
Теорема 1. Пусть g ⑺三 Н^{— 1, 1), 0 < а ^ 1. Тогда, если при данном 九曰(0, 8)существует решение уравнения (7.14), такое, что 屮(①)м LP( —1,1), 1 V р V 2, то ср(力)имеет вид 屮⑺=3设)(1 —吟Т2, з 设)三 Н" (― 1,1), 丫 = inf (e, p ~ 1 ')•
(7.19)
Теорема 2. Пусть 1) g (^) e H^ I— 1,1), 0 < a ^ 1; 2) g (/)三方f (1 — e, 1), в > 0, 1/2 V 0 W I. Тогда, если при данном X ~ (0, с») существует решение уравнения (7.14), такое, что 1) ср(力)м %(—1,1), 1 < р < 2; 2) 1(р(力)1 W zn, m>0 при 1-eW W 力 & 1, и выполняется соотношение
Q = — сМ + f У-1±к[^'(^)+(2)-1)屮⑶]庇， т /(7.20)
屮(#)= ； J 屮⑶"Р-2^-)或，
то 学(力)имеет вид
¥(#) = /s(①),«(z) еЯ?(—1,1),
:\(7.21)
丫 = W (a, ^^, § - 4-)-
D Здесь и далее "彳(——Z, 2)—— класс функций, р ——Z производные которых при I〜I W 2 удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а; 明Т,/) =『(—2").
Теорема 3. Пусть 1) g (/)至 Н； (— 1, 1), 0 < а ^ 1; 2) g(力)三 三 H? (1 — 8, 1), В > 0, 1/2 V 卩 W 1; 3) g (胃)三 H? (— 1, — 1 + 8). Тогда, если при данном 九曰(0, ℃) существует решение уравнения (7.14), такое, что 1)屮(力)曰厶式一1,1), 1 V 卩 V 2; 2) |中％)| W ^ m, m > 0 при rr[1 — e, 1J и 力曰[―1, —1 +'el, и выполпяют-
то 中(関)имеет видто 中(関)имеет вид中(力)=①(/)pl — * ①⑺三Hv (- 1, 1),中(力)=①(/)pl — * ①⑺三Hv (- 1, 1),(7.22)(7.22)Y = in(a,号1Y = in(a,号1(7.23)(7.23)
то 中(関)имеет вид
то 中(関)имеет вид
中(力)=①(/)pl — * ①⑺三Hv (- 1, 1),
中(力)=①(/)pl — * ①⑺三Hv (- 1, 1),
(7.22)
(7.22)
Y = in(a,号1
Y = in(a,号1
(7.23)
(7.23)
Для примера приведем доказательство теоремы 3 с учетом того, что теоремы 4, 2 доказываются проще и по аналогичной схеме. Покажем, что функция t|)(z) вида (7.20) обладает следующими свойствами:
屮 3)三 〃°(—1,1), S = -^-, Я，(ж)еЯГ° (1-е,1), Я，ИеЯГ°(-1,-1 + е).(7'24)
Для этого представим 屮(北)с помощью (7.18) в форме 以力)=UK/) + 屮 2(/)+ G(/)，(7.25)
屯⑺=$Q— J q> (5) d^
屮2 ⑺=受(Q# — Qi) in 入+ J <p (В(” 一 #)in I 三一” I 龙，
屮3⑺屮3⑺-X-X龙龙
屮3⑺
屮3⑺
-X
-X
龙
龙
В силу свойств функции 中(三)，указанных в теореме, и свойств 尸(z), отмеченных выше, можно показать, что хр3 (^) е Н\ (—1, 1). Продифференцируем「2(力)口。力 и произведем оценки
I屮;(/)一芯(初1《士 Js(bi m . ]?•.恋《
1|1п|49~|ри &『лл(р|%|/ —
(7.26)
I 城(1) 一 中；(2) I w春 V Ч> (三) 11 In I -$三!- U 您 & 广%* (1 - 2尸",
力> —1,
I 也⑺一d(一1) I & / JI 中⑹ 11 ln|洽 U 成& V%*(2 + I)1-0,力V 1.
Из (7.26) следует, что 屮2⑺三必一北-& 今，屮2(力)三"『(l - * 1) и ip2 (力)三 X； ° (— 1, — 1 + 8). Здесь и ниже 6 = 1/g = (р—1)/р. Для функции 屮К力)имеют место оценки
15(%)一5(/)1&J屮(自)龙 Wllq>%E -%产，
I 城(1)-風(叫 W I 屮(1)-屮(叫=九(t -矶 # > - 1，(7.27)
I 屮1 (%)—屮1 (— 1) I I 屮(一1) — q> (ж) I = и (1 + ж), # < 1.
Из (7.27) следует, что 屮i (力)曰 H” (— 1,1)7 屮i (力)曰 H； (1 — в, 1) и 屮 1 (a) W Н；(—1,—1十&)・ Таким образом, соотношения (7.24) доказаны.
Заметим, что интегральное уравнение (7.14) можно записать в форме
Jl^d&unpja — g，®] —(。一1)2(明(|z|<l). (7.28)
Временно будем считать функцию t|)(z) известной; тогда решение сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши (7.28), обладающее указанной в условии теоремы структурой, будет иметь вид [6]
中（力）=]/1 一 /2（0 （力）,
PTRc%)PTRc%)(7.29)(7.29)1
PTRc%)
PTRc%)
(7.29)
(7.29)
s(#) = W J 垃g'(&) + (O — l)W(&)] -1
при дополнительных условиях (7.22). Здесь существенно использованы свойства функции g(/), указанные в условии теоремы,
и также свойства (7.24) функции р(力).Второе соотношение (7.29) можно переписать следующим образом:
1
(7.30)
/⑺=7/ =0°g'⑺-1 ~2~'g'(-d —」1" zg'⑴]+
+ (O - 1)卜(吁丄/屮(一1)一中4(i)]}•
Заметим, что в окрестности точек 力=± 1 по условию теоремы, а также в силу* формул (7.24) имеют место неравенства
I g'⑺一g' (- 1) - g'⑴ I & const .(1 ± ж)3,
/ / (7.31)
I 屮⑺一-1 ^-屮(一 1) 一 1 ^ 中(1) J 《 const •(! 士 方)一。.
Следовательно,历(±1)=0, и, кроме того, с учетом (7.31), а также других свойств функций g(力)и 屮(力)придем к заключению, что 力&)曰〃7( —1, 1), T = inf(a, 0 — 1/2, 6). Проводя далее рассуждения для сингулярного интеграла в (7.30), подобные рассуждениям относительно интеграла (2.3) [18], убедимся, что функция(о(力)вида (7.29) принадлежит классу 攵乂一1, 1), и теорема доказана. '
Вернемся к рассматриваемой задаче. Для варианта б) условие (7.20) послужит для определения величины 〃, для варианта в) из первого условия (7.22)' будет определена величина 〃, а второе условие (7.22) вместе со вторым условием (7.9) позволит определить величины а и е.
Решение интегрального уравнения (7.14) при больших значениях параметра 九，как подсказывает разложение (7.17), нужно искать в вцде
屮⑺=^t2Sj (/)入一2 (In 2九У (1 一/2尸 2.(7.32)
G=0 j—0
Подставляя (7.17), (7.32) в уравнение (7.14), обращая точно его сингулярную часть и приравнивая затем в полученном соотношении коэффициенты в левой и правой частях при одинаковых степенях 九"и In 2Х, получим бесконечную систему соотношений для последовательного определения функций ①?•式《г). Ограничившись в (7.32) конечным числом членов, будем иметь
So。⑺=Q, ^ю (力)=—Q 千(Z)—l) E 传—力2)+s &+刍—尤')}
321 (/)=Q (少一1) a10 ( "^第2321 (/)=Q (少一1) a10 ( "^第2① 22(/) = 0.(7.33)Здесь принято, что а = 0, g'(/)M。 (рассматривается случай штампа с плоским основанием), и в процессе определения оьК%) использована аппроксимацияarcsin / = ~^ (7?/ + S/3), R = 0,41422, S = 0,58578.Используя принцип Банаха «неподвижной точки», можно найти такое 九°, 0 < Хо < °°, что при 厶>九° решение уравнения (7.14) в классе LP(—1, 1), 1 < р < 2, существует и единственно, а двойной ряд (7.32) равномерно сходится по 入 в порме пространства 乙0( — 1, 1). Как показывают вычисления, погрешность предложенного асимптотического решения (7.33) интегрального уравнения (7.14) при 入 А2 составляет не более 6%.Заметим, что в (7.17) 0W Iz| W 2/儿 и поэтому при достаточно больших 九 можно приближенно принять Я(з) = V2n sgn 2. В этом случае уравнению (7.14) можно придать вид интегрального уравнения Прандтля для крыла конечного размаха+n2i[a-gz (^)] (1研01),(7.34)① 22(/) = 0.(7.33)Здесь принято, что а = 0, g'(/)M。 (рассматривается случай штампа с плоским основанием), и в процессе определения оьК%) использована аппроксимацияarcsin / = ~^ (7?/ + S/3), R = 0,41422, S = 0,58578.Используя принцип Банаха «неподвижной точки», можно найти такое 九°, 0 < Хо < °°, что при 厶>九° решение уравнения (7.14) в классе LP(—1, 1), 1 < р < 2, существует и единственно, а двойной ряд (7.32) равномерно сходится по 入 в порме пространства 乙0( — 1, 1). Как показывают вычисления, погрешность предложенного асимптотического решения (7.33) интегрального уравнения (7.14) при 入 А2 составляет не более 6%.Заметим, что в (7.17) 0W Iz| W 2/儿 и поэтому при достаточно больших 九 можно приближенно принять Я(з) = V2n sgn 2. В этом случае уравнению (7.14) можно придать вид интегрального уравнения Прандтля для крыла конечного размаха+n2i[a-gz (^)] (1研01),(7.34)dldls (/)—s (/)—
321 (/)=Q (少一1) a10 ( "^第2
321 (/)=Q (少一1) a10 ( "^第2
① 22(/) = 0.(7.33)
Здесь принято, что а = 0, g'(/)M。 (рассматривается случай штампа с плоским основанием), и в процессе определения оьК%) использована аппроксимация
arcsin / = ~^ (7?/ + S/3), R = 0,41422, S = 0,58578.
Используя принцип Банаха «неподвижной точки», можно найти такое 九°, 0 < Хо < °°, что при 厶>九° решение уравнения (7.14) в классе LP(—1, 1), 1 < р < 2, существует и единственно, а двойной ряд (7.32) равномерно сходится по 入 в порме пространства 乙0( — 1, 1). Как показывают вычисления, погрешность предложенного асимптотического решения (7.33) интегрального уравнения (7.14) при 入 А2 составляет не более 6%.
Заметим, что в (7.17) 0W Iz| W 2/儿 и поэтому при достаточно больших 九 можно приближенно принять Я(з) = V2n sgn 2. В этом случае уравнению (7.14) можно придать вид интегрального уравнения Прандтля для крыла конечного размаха
+n2i[a-gz (^)] (1研01),
(7.34)
① 22(/) = 0.(7.33)
Здесь принято, что а = 0, g'(/)M。 (рассматривается случай штампа с плоским основанием), и в процессе определения оьК%) использована аппроксимация
arcsin / = ~^ (7?/ + S/3), R = 0,41422, S = 0,58578.
Используя принцип Банаха «неподвижной точки», можно найти такое 九°, 0 < Хо < °°, что при 厶>九° решение уравнения (7.14) в классе LP(—1, 1), 1 < р < 2, существует и единственно, а двойной ряд (7.32) равномерно сходится по 入 в порме пространства 乙0( — 1, 1). Как показывают вычисления, погрешность предложенного асимптотического решения (7.33) интегрального уравнения (7.14) при 入 А2 составляет не более 6%.
Заметим, что в (7.17) 0W Iz| W 2/儿 и поэтому при достаточно больших 九 можно приближенно принять Я(з) = V2n sgn 2. В этом случае уравнению (7.14) можно придать вид интегрального уравнения Прандтля для крыла конечного размаха
+n2i[a-gz (^)] (1研01),
(7.34)
dl
dl
s (/)—
s (/)—
① (力)=。，①20 (幫——Q (0一 1) («30 + "10)(_^/) +
+ ±<?(Z)-1^^2(l-^) + 4 + ^(l-^2ln^](fl+4^-
_ 十 A 2 (1 _ /2)2 一 g (2 _ * + 善十胃(1 _ /2)2 ln
s@)=『屮⑹恋，s(— 1) = 0, s (1) = Q-
Для нахождения приближенных решений уравнения (7.34) можно использовать весь арсенал методов теории крыла конечного размаха, а также теории упругих накладок (стрингеров) (см. § 2 гл. II). При очень больших 入,когда уже можно пренебречь выражением в первых квадратных скобках в правой части (7.34), решения для вариантов а)——в) поставленной задачи имеют вид:
вариант а)
中(①)="7三•0+仆m+ j 弋e尸矶 (7.35)
Q1 =入 辱 一 j g' (В /Г^Т^ ；(7.36)
-—1-
вариант б)
屮(#)=入 МЩ[- а + ! j /g 曹 Т； (7.37)
сюда также надо добавить (7.36) и (7.20) при 屮(力)三0; вариант в)
1-11-1方二Fd)方二Fd)(7.38)(7.38)
1
-1
1
-1
方二Fd)
方二Fd)
(7.38)
(7.38)
сюда также надо добавить (7.36) и (7.22) при 耿胃)三 0.
Некоторое вцдоизмепение метода «малых 入》 [61 позволяет построить главный член асимптотического решения уравнения (7.14) рассматриваемой задачи при малых значениях параметра X. Основная трудность заключается в проведении факторизации функции
Далее ограничимся построением лишь «вырожденного» решения, пригодного для случая очень малых 入广 Заметим, что при больших z для ядра K(z) вида (7.8) имеет место асимптотическое представление
К⑺〜Dz：(7.39)
и вырожденное при очень малых 入 решение задачи будет определяться уравнением
1
j粵或= ^[a-g，(切 (!^)<1).(7..40)
Тогда решение задачи при очень малых 九 по-прежнему дается формулами (7.35) —(7.38), а также (7.20), (7.22) при 以重)曰 0, в которых необходимо только величину 九 заменить на 九力".
Для приближенного решения интегрального уравнения (7.14) можно также использовать метод ортогональных многочленов. Именно, функцию 屮(力力 представим в виде
9⑺=9⑺=m е аптП(/),И 1 —??=0m е аптП(/),И 1 —??=0(7.41)(7.41)
9⑺=
9⑺=
m е аптП(/),
И 1 —??=0
m е аптП(/),
И 1 —??=0
(7.41)
(7.41)
в результате чего уравнение (7.14) по известной процедуре (см.
§ 2 гл. II) сведется к следующей эквивалентной бесконечной
алгебраической системе:
I 2(。一 1)弋 р/о ,
Gm +~ ^j К-т,п^п = /m ・(П1 = 1,2,
кт,п= J f Н (1^ j ит^ (х) Тп(^)У== ^ ^ (7.42)
(т = 1,2, . . .; тг — 0,1, 2,...
fm = 2Х f[a - g，⑹](&) УТ^Р^ 一 ?出『上仆,。.
Из первого условия (7.9) непосредственно найдем «0 = n^^Q, Способом, изложенным в § 2 гл. II, можно доказать, что система -(7.42) квазивполне регулярна при всех D> 1 и X > 0.
В заключение заметим, что в рамках известных допущений теории Герца аналогично изложенному можно рассмотреть задачу о вдавливании упругого штампа в упругую полуплоскостьг усиленную покрытием типа накладки. Такое усложнение лишь изменит значение коэффициента перед вторым слагаемым в левой части интегрального уравнения (7.14), а также перёд, его правой частью.
§ 8. Вдавливание круглого упругого дискав границу кругового отверстияв упругой плоскости, усиленного тонким покрытием
Пусть в круговой вырез радиуса г2 упругой бесконечной пластины, усиленный кольцевым покрытием малой толщины 无, вставлен диск радиуса п. Диск прижимается к пластине силами 尸 1, Р2 (рис. 5.7). Считается, что механическое поведение этих тел описывается уравнениями плоской задачи теории упругости. Разность е = Го ~ Tt (г0 = г2 — А) предполагается величиной порядка упругих перемещений. Предполагаем, что в области кон二 такта трение отсутствует и в ней действует только нормальное давление д+(6). При этом вследствие симметрии задачи область контакта ——симметричная относительно оси Ох дуга, причем «+(—今)=д+(®). Контактным участком пусть будет [—а, а】. Требуется определить закон распределения контактного давления д+(8) под диском и размер области контакта а.
В качестве физической модели усиливающего покрытия, как и в § 8 гл. I, принимается геометрическая гипотеза Кирхгофа ——
Лява теории тонких оболочек, причем изгибной жесткостью тонкого покрытия пренебрегается.
Обозначим через q_⑹ и 工_(杼)нормальные и тангенциальные контактные напряжения, действующие на линии соединения усиливающего покрытия с основанием. Через и” и*' обозначим радиальные и тангенциальные компоненты упругих перемещений граничных точек диска (/=1) и отверстия бесконечной пластины (/ = 2), а через ^^, ^ и и】，火一компоненты переме-
Рис. 5.7.Рис. 5.7.щения граничных точек усиливающего кольца, где индексы «+» и « —» соответствуют точкам, находящимся на окружностях с радиусами Г2 И Г0.
Рис. 5.7.
Рис. 5.7.
Эта задача при отсутствии усиливающего покрытия (无=0) и при Р2 = 0 поставлена и приближенно решена И. Я. Штаерманом [1]. В [1] сила Р4 заменяется усилиями, распределенными по поверхности диска по тому же закону, что и неизвестные контакт- иые давления; это в случае малой контактной области оправдывается по принципу Сен-Венана. Но так как радиусы сжимаемых ци
линдров предполагаются почти равными, то контакт между их поверхностями может распространяться на значительную часть этих поверхностей, и такая замена, вообще говоря, неправомерна. В настоящей книге такой заменой пользоваться не будем.
Предварительно решим первую граничную задачу для диска и бесконечной пластины, загруженных силами, указанными на рис., 5.7.
Решение этих задач при Р = 0 в рядах построено в [19]. Представляя поверхностную нагрузку Р、при помощи дельтафункции Дирака и разлагая ее в комплексный ряд Фурье, поверхностную нагрузку на границе диска можем написать в виде
N= — 912) — 06(0—п)= £(4 + 厶；)产'(—л < о< л),
а
4 = —2~ j 7+ (〃)е ihudu, 4 = — ?J е 话"(^―0, ± 1, ±2,….)
—а1
послепослеиесло/кныхиесло/кныхДалее, след^^я известной процедуре [19], oirepa((nn получплг
после
после
иесло/кных
иесло/кных
""=今;"1 fg+(a)ln2 卜山^^卜氏一["a)(8-a)g+3)m+/1(8), 1 二 a—a
(勺 一 1) h(勺 一 1) h(8.1)
(勺 一 1) h
(勺 一 1) h
■ J ?gn (0 u) q+ (〃)J K(2) (0— u) q^ {u) du+f2W
—a—a
(—冗V卄《冗).
(8.2)(8.2)При этом имеет место условие равновесия диска q J 夕+ (乂)cos u du = Px^ P2.
(8.2)
(8.2)
Здесь Xi ——постоянная Мусхеллшвилп, jiij ——параметр Лнме (卩1 = Е\/[2(1 + vJD п введены обозначения
К⑴笛一〃) =К⑴笛一〃) =4叫乜4叫乜"ii (。一 m)+ .( \冗卩)1 #12 (8 - m)，"ii (。一 m)+ .( \冗卩)1 #12 (8 - m)，区⑶(&_〃)_ (々+31区⑶(&_〃)_ (々+314Л卩]4Л卩]%2（廿一①）十穿*%2纣一也）一练沪2 一 "）,%2（廿一①）十穿*%2纣一也）一练沪2 一 "）,
К⑴笛一〃) =
К⑴笛一〃) =
4叫乜
4叫乜
"ii (。一 m)+ .( \冗卩)1 #12 (8 - m)，
"ii (。一 m)+ .( \冗卩)1 #12 (8 - m)，
区⑶(&_〃)
_ (々+31
区⑶(&_〃)
_ (々+31
4Л卩]
4Л卩]
%2（廿一①）十穿*%2纣一也）一练沪2 一 "）,
%2（廿一①）十穿*%2纣一也）一练沪2 一 "）,
A口8— 以)=- 2 sin2-^-=^ In 2 I sin ^-^-1,
7?12 (0 — u) = sin (0 ~ /г) (л — I 0 — zz I) sgn (0 — 乂)，
Т?21 (О — и) = sin (心—w) In 2 j sin •" [ " L(‘界)
Т?2? (0 — 乂)= —2 sin2 上干(л —10 ~ u|) sgn(0 — 乂)，.
/1(В) =/1(В) =（々丄‘m8лн]（々丄‘m8лн]—a% + 1 4nHi—a% + 1 4nHiй~гг" P2 cos —2%% (々十 1) 2й~гг" P2 cos —2%% (々十 1) 2匕 cos О 1л(2 cos ^~)—匕 cos О 1л(2 cos ^~)—XIXI-1-18叫I8叫I— Pi 8 sin 8, 1— Pi 8 sin 8, 1%(0) =%(0) =PQPQ7_- sin 仆4~ ~r——？i sin 0 In (2 cos —2叫(x「M)口 4л((1 1〈2,7_- sin 仆4~ ~r——？i sin 0 In (2 cos —2叫(x「M)口 4л((1 1〈2,%-1瓦『2 cos仇%-1瓦『2 cos仇
/1(В) =
/1(В) =
（々丄‘m8лн]
（々丄‘m8лн]
—a
% + 1 4nHi
—a
% + 1 4nHi
й~гг" P2 cos —
2%% (々十 1) 2
й~гг" P2 cos —
2%% (々十 1) 2
匕 cos О 1л(2 cos ^~)—
匕 cos О 1л(2 cos ^~)—
XI
XI
-1
-1
8叫I
8叫I
— Pi 8 sin 8, 1
— Pi 8 sin 8, 1
%(0) =
%(0) =
PQ
PQ
7_- sin 仆4~ ~r——？i sin 0 In (2 cos —
2叫(x「M)口 4л((1 1〈2,
7_- sin 仆4~ ~r——？i sin 0 In (2 cos —
2叫(x「M)口 4л((1 1〈2,
%-1
瓦『2 cos仇
%-1
瓦『2 cos仇
Далее нам понадобятся выражения и^ и и『)в рядах, полученные 25 В, М. Александров, С. М. Мхитарян
в [19]：
2M 帛 + 陽沿)=S A- if £ g 产(8.4) 仁 2”0*
(—я < 0^ л),
母=一嘉 J [0- 3)—玩-(")] e~tkudu
(а户0, ±1, ±2…)(瓦=区)(9_ (一北)=0一(以); t-(-")= -T-(以)). Здесь х2 — постоянная Мусхелишвили, g2 = Е2/12(1 + v2)l —- параметр Ляме.
Приступим к выводу разрешающего уравнения поставленной задачи.
На липин соединения усиливающего кольца с основанием можем записать условия 疗=^2), 缁—v^ (—冗 < 仆 & 冗).
Поскольку толщина h усиливающего кольца предполагается малой {h/r2 ^ 1/20), то можно принять и】а z言 ^и俨.Учитывая эти соотношения, будем иметь известное условие контакта [1]
—и，'十审)=6 cos В — е (1 — cos 8), (8.5)
где b — неизвестное жесткое смещение диска в направлении оси Ох.
После подстановки в (8.5) соответствующих выражений из (8.1) и (8.4) получим разрешающее интегральное уравнение поПосле подстановки в (8.5) соответствующих выражений из (8.1) и (8.4) получим разрешающее интегральное уравнение поставленной задачи, которое, кроме искомого контактного давле- ния，+(е), будет содержать также неизвестшде контактные пап- ряткетшя q_(0} и т_(0). Последние можно исключить iipn помощи длфферепциальных уравнений равновесия тонкого покрыставленной задачи, которое, кроме искомого контактного давле- ния，+(е), будет содержать также неизвестшде контактные пап- ряткетшя q_(0} и т_(0). Последние можно исключить iipn помощи длфферепциальных уравнений равновесия тонкого покрытия, трактуемого в рамках теории тонких оболочек. Пренебрегая изгибной жесткостью тонкого покрытия, на основе (8.22) —(8.23) и (8.20) гл..1 будем иметьтия, трактуемого в рамках теории тонких оболочек. Пренебрегая изгибной жесткостью тонкого покрытия, на основе (8.22) —(8.23) и (8.20) гл..1 будем иметь& /综(八2& /综(八2厂2 4、,2 у d О'2 10 \h//片喈)厂2 4、,2 у d О'2 10 \h//片喈)++?+ ⑼—-(В),?+ ⑼—-(В),r~ 1—v^ \ d6r~ 1—v^ \ d622十k=*（妙十k=*（妙(8.6)(8.6)
После подстановки в (8.5) соответствующих выражений из (8.1) и (8.4) получим разрешающее интегральное уравнение по
После подстановки в (8.5) соответствующих выражений из (8.1) и (8.4) получим разрешающее интегральное уравнение по
ставленной задачи, которое, кроме искомого контактного давле- ния，+(е), будет содержать также неизвестшде контактные пап- ряткетшя q_(0} и т_(0). Последние можно исключить iipn помощи длфферепциальных уравнений равновесия тонкого покры
ставленной задачи, которое, кроме искомого контактного давле- ния，+(е), будет содержать также неизвестшде контактные пап- ряткетшя q_(0} и т_(0). Последние можно исключить iipn помощи длфферепциальных уравнений равновесия тонкого покры
тия, трактуемого в рамках теории тонких оболочек. Пренебрегая изгибной жесткостью тонкого покрытия, на основе (8.22) —(8.23) и (8.20) гл..1 будем иметь
тия, трактуемого в рамках теории тонких оболочек. Пренебрегая изгибной жесткостью тонкого покрытия, на основе (8.22) —(8.23) и (8.20) гл..1 будем иметь
& /综(八2
& /综(八2
厂2 4、,2 у d О'2 10 \
h//片喈)
厂2 4、,2 у d О'2 10 \
h//片喈)
+
+
?+ ⑼—-(В),
?+ ⑼—-(В),
r~ 1—v^ \ d6
r~ 1—v^ \ d6
2
2
十k=*（妙
十k=*（妙
(8.6)
(8.6)
Еще раз отметйм, что в основе этих уравнений лежит гипотеза о прямойiineiiiioM нормальном элементе, которая сводится к пренебрежению напряжением Озз ио сравнению с остальными напряжениями п сдвигами S3, е23 по сравпеипю с остальными деформациями. Здесь целесообразно модифицировать классическую гппО' тезу Кирхгофа — Лява, заменяя условие Озз = 0 условием Езз = 0, т. е. пренебрегать поперечной деформацией тонкой обо-
лочки. При этом в выражениях (8.6) следует заменить Е。 на Е： = %/(1 — Vo), a v0 ца v； = v/ (1 — v).
Отметим, что при выводе (8.6) за перемещения срединной линии оболочки приняты перемещения линии соединения усиливающего покрытия с основанием.
Для исключения 夕一(令)п т_(令)достаточно* подставить в правую часть (8.6). разложения функций 夕土(令)и т_(令)в ряд Фурье, в левую часть ——выражений^ и и『)из (8.4), а затем приравнивать коэффициенты при е*" (论=0, ± 1, ±2, . ..). Упомянутые разложения имеют вид
ооа
8口
一,一⑼+玩一纣)=E马产，以=—亲，［9_3)一仁(叨l%也
Выполняя поочередно указанные операции, получим
5-月=-T7(4 + /一月)+丸(我=2, 3,…)
Re BQ = j-p^Re/40, Im50 = Im Ao, Br = Лх,区т =/т/(1 + 6),
JD = 2/ (6 + 1)/(/ +' 1), d⑶=—2 S + l)/(x2 + 1),
J© = % (2%6 - 2)/(/ + 1), J* = - (2乂的-2)/的 + 4),
2(1+%)(1—2%)s%・2(1+%)(1—2%)s%・以=修修3一1) +ь(我+1) + 2, b =
2(1+%)(1—2%)s%・
2(1+%)(1—2%)s%・
Так как А-к = Ак, то находим
2反=乔4+2反=乔4+2(%一1)仅十1)2/2(%-l)(%b-1)
2反=乔4+
2反=乔4+
(8.8)(8.8)(左= 2,3,...).
(8.8)
(8.8)
Подставляя выражения Bk (к = 0, 土 1, ±2, ...) в (8.4), будем иметь
2M2 (龈 + 勿俨)=—г? (j^ КеЛ0—г Im/。) 一—
2%(乂2一)(叶')\?Ah -ik& 2乂『2 *V 4 /а
2(к2-1)(к2Ь- 1)г3 ^4 м 112
(1ш 4 = lm В。= 0; Re 4= 4)・
Внося сюда значения Ak (衣=0, ± 1, ± 2亠...):
4 =—击 J g + (&) e lKudu
и следз^я известной процедуре [ J 9], после несложных операций
получим
壮一靑萨Г Jln2|Sin^f^|?+ И du +
aa
V :羽-J ^n(°—w) Q+(u)du+ 2^-『N(U—〃)g+(〃)d“ + /；⑼,
(8.9)
a
1$ = 7j7- Jji ■ \ ^21 (8 — w) g丁® du + 儿卩22十 _a
+ f <2 (0 — zz) q+ (〃) d〃 + 片(0) ■ —a
(—л < 0 ^ n),
:*:*N (0 — 〃)= 2 -^ cos [к (3 — zz)], Q (3 —辽)=2 仇 sin [介(仆一zz)],Y24〃生十乂2*一友十/+[/乂2—1 乂2&+k+2乂#+；<2—1"A =子 (庐一1)%,— 守 (庐一1.)乙.,N (0 — 〃)= 2 -^ cos [к (3 — zz)], Q (3 —辽)=2 仇 sin [介(仆一zz)],Y24〃生十乂2*一友十/+[/乂2—1 乂2&+k+2乂#+；<2—1"A =子 (庐一1)%,— 守 (庐一1.)乙.,fi 2)fi 2)
:*
:*
N (0 — 〃)= 2 -^ cos [к (3 — zz)], Q (3 —辽)=2 仇 sin [介(仆一zz)],
Y24〃生十乂2*一友十/+[/乂2—1 乂2&+k+2乂#+；<2—1
"A =子 (庐一1)%,— 守 (庐一1.)乙.,
N (0 — 〃)= 2 -^ cos [к (3 — zz)], Q (3 —辽)=2 仇 sin [介(仆一zz)],
Y24〃生十乂2*一友十/+[/乂2—1 乂2&+k+2乂#+；<2—1
"A =子 (庐一1)%,— 守 (庐一1.)乙.,
fi 2)
fi 2)
Отметим, что, когда на обводе отверстия ^тиливающее покрытие отсутствует (力= 0), из (8.7) и (8.8)- получается
Bh — Ah (к — 0,±2,...),
и тогда из (8.4) для и；" и и乎)получим следующие выражения:
壮* =-匕需^盘 j In 2 卜 in^^ 卜+(〃)&〃+ '乙⑴(8 —a)g+(a)du,
(8.10)
aa
力俨=—e^/’C J sgn(O'— и) 7_ц (u) du-\~ J 工⑶(令一〃•)夕十(比)d〃，
2—a
(& 一 1) 78叫(& 一 1) 78叫冗12 (8 —")，冗12 (8 —")，
(& 一 1) 7
8叫
(& 一 1) 7
8叫
冗12 (8 —")，
冗12 (8 —")，
工⑵纣一“尸^^&式抄一"尸^^/式杼一“Н^^笛一〃).
Здесь ядра 7?仃(0 —〃)(j, / = 1, 2) даются формулами (8.3).
(一aw白w吟(8.11)(一aw白w吟(8.11)Подставив выражения и「и 峭仃3 (8.1) и (8.9) в условие контакта (8.5) и перейдя к безразмерным величинам, после элементарных операций для определения контактного давления под диском придем к следующему интегральному уравнению:
(一aw白w吟
(8.11)
(一aw白w吟
(8.11)
0⑵=0⑵=Г20十 ")4呻产Г20十 ")4呻产-I自二〃 T +区(廿一4)0(〃)九 =/(e) 2 sin—
0⑵=
0⑵=
Г20十 ")4呻产
Г20十 ")4呻产
K(^ - u) - 7?11 (白一〃)+ 01区12 (仆一口)+ 02 N 〃儿 COS [〃 (仔—m)], 月=2
=(自 + 1) Y cos 0 — 丫 十[4Г^T^~) Jq(u)d〃+^Pio—
分[丸[-1Y
-Pio cos 廿 In 2 cos 丁宕 勺不厂 Pio® sin 6 4- [271 口)一
-ХТГ]^ Cos ® + [цД^— ~^+^^\р^ cos 仇
Здесь
Y = г2Ц1/[Г1|12(1 + xj],^-^^т^^т} ' 82 = 27(1 + ^^) ' 6。=6/'£,Рю = г2Р1/(4л|12ег1), • 1P20 =乙&/(4呻2"1).
26 в. М. Александров, С. М. Мхитарян
Приведем определяющее уравнение, когда усиливающее покрытие отсутствует (无= 0). При этом задача сводится r аналогичному (8.11> по структуре уравнению
j Ь -j分二q ]. + K*C&一〃)0(北)阪=/*(0) (一а&оаa),
-aL2®——I_
(8.12)
к* 2 — 〃)= &i С& — и) Ц-卩 0尺12 2 — 〃)，
[1 + Y (% + 1)] /* ⑻=(3° + 1) у cos 杼一丫 + } j g (")加 +
今 1 丸1 — [2 乂
+ 玄 Pio—Pio^^ In 2 cosy — у 々 + d PsOsni令+『++pp20cos8,
_1 々_1 1_(%_1)产 p。— т~ ~
Y = %卩丿卜串2 (1 + %)〕，Y* = 0卩工/К小2 (% — !)]•
Отметим, что ядра К(0 —辽)и К* (令—и) непрерывны в области (—a W 杼，а ^ а) и имеют квадратично суммируемые частные производные первого порядка.
Таким образом, решение поставленной выше контактной задачи свелось к решению интегрального уравнения (8.11), к которому следует добавить условия равновесия диска (8.2) и условие ограниченности контактного давления на концах зоны контакта(
q(—а) = 7(а)1 = 0.(8.13)
При этом условие (8.2) в безразмерной форме им.еет вид
J q (u) cos udu =凸0 + p20.(8.14)
Решение уравнения (8.11) представим в виде
д(〃)=д(〃)=иCos~2~"|/2 cos и — 2 cos аиCos~2~"|/2 cos и — 2 cos а(8.15)(8.15)
д(〃)=
д(〃)=
и
Cos~2~
"|/2 cos и — 2 cos а
и
Cos~2~
"|/2 cos и — 2 cos а
(8.15)
(8.15)
с неизвестными коэффициентами {%т}3о・
Метод решения уравнения (8.11) основывается на интегральном соотношении для многочленов Чебышева первого рода
Г1 1 т / sin^、 COS — du
2\[~Д^р2Д~| 丿仆…2 M =
приведенной в § 4 гл. II.
Следуя известной процедуре, изложенной в § 4 гл. II, получим следующую бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов хт (т = 1, 2,...):
Кроме того, для определения коэффициента 况о получим соотношениеK?n,oZ?n =—冗 * (in gin £旷％. (8.18) ЗдесьКроме того, для определения коэффициента 况о получим соотношениеK?n,oZ?n =—冗 * (in gin £旷％. (8.18) Здесь词 Ч—(п = 1, 2, ...). (8.17)
Кроме того, для определения коэффициента 况о получим соотношение
K?n,oZ?n =—冗 * (in gin £旷％. (8.18) Здесь
Кроме того, для определения коэффициента 况о получим соотношение
K?n,oZ?n =—冗 * (in gin £旷％. (8.18) Здесь
а/ sin JL \а/ sin _1 \
= f ?2т ( 1-3) dU ^K{^f — U)笃久(^-卜(O)d®
±\sin ~ Л\sin — /
—(тп, n = 0,1, 2,...),
"尸j/纣)72"仔__卜(0)*(九=0,1,2,...),
-CC\ sin ~ /
/2 cos 今一2 cos а
Числовые результаты получены при. pt = 0. При этом (8.14) примет вид а
I q {и} ^QSudu = /)20,(8.19)
кроме того, будем иметь
/ (О) = ^i(60 + 1) cos 2 — & + /3Р20 cos 仇/* (б) = Л* (60 + 1) cos е —複 + л*р2о cos о,
4%Y )
7
2(1+ 6) и2 + 1
I 2々
4 = Y [1 + ?(1 + х2)]-1, А* =
g(〃) du - 7 [l+v(l + x2)]-1,
黑黑Для получения шем в виде丄 4n、*力71 十 2-к7n,П^Щm—1Для получения шем в виде丄 4n、*力71 十 2-к7n,П^Щm—1
黑
黑
Для получения шем в виде
丄 4n、*力71 十 2-к7n,П^Щ
m—1
Для получения шем в виде
丄 4n、*力71 十 2-к7n,П^Щ
m—1
=[1+Y的+ 1)尸,?
(1 + 4)
числовых результатов систему (8.17) запп-
М&& + 1)”％。^*。*〉
(п — 1, 2,...),
—a
Sin~
sin~
ip (О) cos 仆d令=
л cos2 长， 几=0,
^-SIIl"-^-,『2 = 1, .0, n ■ 2 ： 3, *..,
Кп,о (^ = 1,2,...).
Теперь заметим, что коэффициенты хп (^ = 1, 2,. . .) можно представить в виде
= 14 (^о + 1)+ /3Р20]① 9’ + %建)，
где коэффициенты 理)(j = 1, 2) — решения бесконечных систем
曲十乌2 k:,总)=鸟理(« = 1,2, 优m==1n一
Неизвестные постоянные р2о, 60 и ж0 определяются из соотношений (8.14), (8.18) и (8.19);
Таблица 5.3
"/『2=0,G5
九=0
a=30°
1 a=60。
'a=75。
a=3(T
1 a=60。
a=75>
Р20
0,0295
0,2003
0,4972
0,0284
0,2110
0,7778
Зо
0,2144
0,7686
1,5370
0,1938
0,8904
2,6330
=0
0,0097
0,0730
0,1911
0,0093
0,0770
0,3057
-0,0096
-0,0710
-0,1966
—0,0093
—0,0750
-0,2965
&
—0,0001
-0,0018
0,0060
0
-0,0020
—0,0084
办
0
-0,0002
-0,0005
0
0
—0,0008
%ах⑼
0,0371
0,1420
0,3225
0,0359
0,1500
0,4865
было братьбыло брать
было брать
было брать
Числовые расчеты выполнены для следующих двух случаев: 1) при наличии усиливающего покрытия на обводе отверстия пластины, причем hl г г = 0,05; 2) при отсутствии покрытия (无=0)..
-Числовые расчеты для различных значений а были проведены при плоской деформации, когда упругие постоянные диска и пластины одинаковы (Е、= ЕС. Было принято Е0/Е2 = 0,5, v0 = Vj = v2 = 0,3 и положено т\ г0 при £ = г。一 ？\ ¥= 0.
При указанных значениях параметров бесконечные системы решались па ЭВМ методом редукции, притом, чтобы получить максимальные контактные напряжения с тремя точными знаками, достаточно всего три
уравнения из бесконечной системы. Числовые результаты приведены в табл. 5.3.
На рис. 5.8 приведены зависимости полудлины участка контакта а и величины жесткого смещения '6(6/е) от прижимающей' силы 2 (параметр нагрузки .о = 2/(4冗卩20).
При отсутствии тангенциальных контактных напряжений результаты
работы [20] в основном совпадают с изложенными здесь применительно к случаю 2).
Обнаружено, что при больших значениях а контактные давления резко возрастают. Это свидетельствует о наличии предельного (критического) угла захвата gp V 冗/2 [20].
Числовые данные показывают, что наличие тонкого покрытия на обводе отверстия бесконечной пластины существенно меняет закон распределения контактного давления по сравнению со случаем отсутствия покрытия, причем этот эффект заметнее при больших значениях параметра нагрузок />2о. Из приведенных графиков видно, что при наличии покрытия интенсивность контактного давления уменьшается, иначе говоря, одна и та же область контакта достигается мепьшимп нагрузками.
Г Л А В A VI
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИДЛЯ УПРУГИХ ТЕЛ
С ТОНКИМИ ПОКРЫТИЯМИ (ПРОСЛОЙКАМИ)
§ 1. Передача давления от штампа через покрытиевинклеровского типа на упругое полупространство
Пусть поверхность упругого полупространства усилена по всей плоскости (1x1 < <», lyI < <») тонким упругим слоем, работающим по типу основания Фусса — Винклера. Таким слоем, как уже отмечалось в § 2 гл. V, может быть тонкий слой линейных упругих стержней; при этом коэффициент постели винклеровского слоя оказывается равным
где vi и Gi ——механические постоянные стержней, /г — их длина (толщина винклеровского слоя). Функция wkx, у), характеризующая перемещения граничных точек такого линейно-дефор- мируемого основания, будет иметь вид
如у) = i〃 (Q) g 3, у) 一备[j Е；喘工2,
е = -п^г， (1-1)
где q(% у)—давление, приложенное к границе основания по области Й; V и G — упругие постоянные полупространства; Жй) — функция, равная единице при (力,y)^Q и нулю вне области Й. Здесь первый член в правой части (1.1) есть перемещение вследствие чисто местной деформации покрытия, второй член ——перемещение от упругой деформации полупространства [1].
На основании (1.1) аналогично тому, как это сделано в § 2 гл. V, интегральное уравнение контактной задачи для описанного основания можно представить в форме
匂К,у)+ 壶 尸二迴?电F=g(瑞у) ((х,у)ей),
(1.2) где g(x, у) теперь уже будет подлежащим определению контактным давлением, g(力，^) = 6 + ах + ^ — /(х, у), причем 6 十 а% + »у ——жесткое перемещение штампа под действием при-
ложенной к нему силы Р, а /(х, у) — функция, описывающая форму основания штампа в области контакта Q.
Для случая осевой симметрии интегральное уравнение (1.2) перепишется в виде
2Л а
…嘉!叫。2Hs「⑺(y)，d.3) r = Yx2 + у2, а =卩三 О,
а — радиус области контакта. Вычисляя в (1.3) интеграл по у, будем иметь
傾⑺ Jq (p) к (.=g 6(Г《a)•(L4)
о
Здесь K(z)——полный эллиптический интеграл первого рода. Введем безразмерные величины согласно формулам
г' = гсг\ р‘ = pG, с = а(/с8)-\ <р(产)=q(r\ 貝产)=g(r)Ar*
Тогда уравнение (1.4) можно переписать следующим образом (штрихи далее опущены):
屮⑺ + 告 с J 屮(р) К (^^) ^_ = /(г)(г<1). (1.5)
О
Интегральное уравнение (1.5) является уравнением Фредгольма второго рода,, поскольку
J J № (е) e2drdp = 52 <； оо(е = ；丫岁)•(1.6)
о о
Из (1.6) следует [2], что интегральное уравнение (1.5) однозначно разрешимо в L2{Q\ где й — круг I"W1, почти4) при всех значениях параметра с. Можно также показать, что если при данном с уравнение (1.5) разрешимо и /(r)MC(Q), то его решение есть непрерывная функция г.
Оценим норму выражения
1_
"中=告j中8)К(帑)卷.(丄7)
о
С помощью неравенства Гёльдера найдем
II ^Ф||ь2(й)^-^-|| ф|1ь2(й)'(厶8)
】)В следующем параграфе будет показано, что оно однозначно разрешимо в Z2(Q) при любом положительном значении с.
Отсюда по принципу Банаха «неподвижной точки» [3] следует, что решение уравнения (1.5) в 厶2(°) может быть найдено методом последовательных приближений при |с| < лВ"1.
Найдем значение постоянной 5. Для этого представим интеграл (1.6) в виде
J = ^dp\K\e)e^^.(1.9)
О о
С учетом соотношений
于= 々(2 —е2—2рГ=^), 4- = —^=- при г<р,
"~ ~ ~^"(2 —成 + 2 ]/Ч — С?), -^- —j^e -彳 ПРИ r > Р (1.10)
перейдем во внутреннем интеграле (1.9) к интегрированию по переменной е. Будем иметь
2 V片]生三de +е /1-е22 V片]生三de +е /1-е211
2 V片]生三de +е /1-е2
2 V片]生三de +е /1-е2
2力)ттг?2力)ттг?(1.11)(1.11)J = 2『pdp j к© о о
2力)ттг?
2力)ттг?
(1.11)
(1.11)
+ 2 p dp R2 (e)7=1de k*
У ?*eVl-e2'
Произведем изменение порядка интегрирования во втором слагаемое (1.11). После несложных преобразований получим
J = 32 = 2 £ К? «) 2-七122^- de,(1.12)
qe у 1 — e2
откуда численным интегрированием найдем 区" = 0,345.
Приведем некоторые результаты из работы [4]. Ограничиваясь рассмотрением случая g(r) = 6 = const (плоский штамп) и решая уравнение (1.5) методом последовательных приближений, будем иметь
(р(г) =(р(0)[1 + ф1(г)с+ф2(г)с2 + О(с3)],
5(г) = 1 —jE(r),("43)
% (г) = 0,1060 亠 Е (г) (0,02057 + 0,07587г2 + 0,02053г4) +
+ К (г) (1 - г2) (0,04692 + 0,01027г2),
К(г) п Е(г) — полные эллиптические интегралы.
При построении <р2(^)использована аппроксимация
屮1(r)=产(q+C2产)，
погрешность которой при с0 = 1/4 и с2 ^ 3/4 — 2/л не превосходит 10% для всех『三[О, U. В точках г = 0 и г = 1 погрешность равна нулю.
Принимая во внимание условие статики для штампа
а1
Р = 2冗 J q (р) р dp = 2n〃2 J ①(р) Р dp = 〃2Q,
00
найдем связь менаду величинами Q и(р(0):
Q = л(₽(0)[1 + 0,1512с 一 0,02819с2 + ОС)].(1.14)
При этом связь между величинами (р(0) и 6 имеет вид
6 =，屮* (； + 1 + 0,09857с - 0,01578с2 +。(с3)]. (1.15)
Асимптотические формулы (1.13)——(1.15) можно практически использовать при Icl W 1. Допустимая при этом погрешность не превосходит 5%.
Приведем результаты некоторых вычислений по формулам (1.14), (1.15). При с — 0, 1/2, 1 соответственно будем иметь
-Л- = 0,318; 0,298; 0,283; 0,159,
оо； 3,0453; 2,083; 0,250.
Последние значения отвечают случаю классической задачи (с = 8)0 вдавливании круглого в плане плоского штампа в упругое полупространство.
Заметим, что для круглого в плане штампа при отсутствии осевой симметрии интегральное уравнение (1.2) можно представить в ваде
2Л а
"°(г，е)+晶!存*抹h = g('，e) (Уа)・
(1.16)
Будем искать решение уравнения (1.16) в форме ряда Фурье — Бесселя:
9 (J 8)= N 9m (г)以叫9 (J 8)= N 9m (г)以叫(1.17)(1.17)
9 (J 8)= N 9m (г)以叫
9 (J 8)= N 9m (г)以叫
(1.17)
(1.17)
Функцию g(r, е) также разложим в ряд:
g(r,e)= £ gm ⑺产.(1.18)
Подставляя (1.17), (1.18) в (1.16), после несложных преобразо-
ваний получим интегральные уравнения для определения qm(r)
砲тп (г) +砲тп (г) +Рр2 + 产一2pr cos уРр2 + 产一2pr cos у=gm⑺=gm⑺(y办(1.19)(y办(1.19)
砲тп (г) +
砲тп (г) +
Рр2 + 产一2pr cos у
Рр2 + 产一2pr cos у
=gm⑺
=gm⑺
(y办
(1.19)
(y办
(1.19)
Из (1.19) при т~0 (нулевая гармоника — осевая симметрия) получим уравнение (1.3).
Далее исследуем подробно лишь случай тп=1 (первая гармоника). Взяв в (1.19) интеграл по т при т = 1, будем иметь
句16+ 鳥 j°i(P)M(e)不曙r = gi(r)(，&а)，
M(e) = -V [(2 - е》К (е) - 22 (е)] ^^F\^, -f, 3, е2],
F(a, 0, т, х)——гипергеометрическая функция.
Вводя безразмерные переменные и обозначения подобно тому, как это было сделано выше, перепишем интегральное уравнение (1.20) следующим образом:
1
ф! W + 4 с J Ч5! ^ М(е)ТТТ -f^ ('Ю 口纟1) о
Уравнение (1.21), как и уравнение (1.5), является уравнением Фредгольма второго рода, и поэтому оно однозначно разрешимо в £2(Q), а при непрерывной правой части — в C(Q), почти при всех значениях параметра с. По принципу Банаха «неподвижной точки» мoя^нo доказать, что решение уравнения (1.21) в ^2(Q) может быть найдено методом последовательных приближений при |e| V冗8工l где
3； = 2 J 犷(е) 2-7^_^ Y de = 2,00.(1.22)
Ограничиваясь рассмотрением случая gi(r) = цг, 卩=const (плоский, наклонный штамп), и решая уравнение (1.21) методом последовательных приближений, будем иметь [4]
①工⑺=『屮(0) [1 + 必 &) е + 5 ⑺ с2 + О (с3)],
心⑺=4■-宀【(2产 一 1) E (r) + (l-产)К (г)],
Зяг „(1.23)
屮 ⑺=0,04128[(- 81,63 + 31,67r2 + 114,63r4 +
£575屯
十 38,52r6)£(r) + (1 - г2) (81,63 + 74,16戸十 19, 26N)к (г)].
В процессе построения гр2(г) использована аппроксимация216) = Г2 (с0 + с2г2),
погрешность которой при с0 = 3/16 и с2 = 5/16 — 2/(Зл) не превосходит 12% для всех г е [0, 1]. В точках г = 0 и г = 1 погрешность аппроксимации равна нулю.
Принимая теперь условие статики для штампа, которое в данном случае можно представить в форме
а1
Л/ = Л J % (р) р2dp = ЛЯ4 J 屮(р) рЗ©р =公❷， ОО
найдем связь между величинами Qi и 2(0):
Qi = ?屮(0)[1 + 0,1601с 一。01245с2 + О (с3)].(1.24)
При зтом связь между величинами「(0) и 卩 имеет вид
卩=а^) [； + } + 0,0378с - 0,004792с2 +。(с3) . (1.25)
Асимптотические формулы (1.23)~(1.25) можно практически использовать при kl ^ 1. Допускаемая при зтом погрешность не превосходит 5%.
Приведем, далее, результаты некоторых вычислений. По формулам (1.24) и (1.25)( при с == 0, 1/2, 1 соответственно будем иметь
-М- = 1,273; 1,182; 1,109; 0,477,
-^•=8； 2,978; 1,708; 0,375.
Последние значения отвечают случаю классической задачи (с = 8) 0 вдавливании плоского наклонного штампа, круглого в плане, в упругое полупространство.
§ 2. Осесимметричная задача о вдавливании штампав упругий слой, армированный покрытиемвинклеровского типа
Рассмотрим осесимметричный аналог задачи, изученной в § 3 гл. V. Как известно, функция iv(r, —ft), характеризующая перемещения граничных точек всего составного основания (слой с покрытием), будет иметь вид [5]
а8
(г, — 3 =询⑺+备 j g_(p) pdp“ (и) Jo(J- г) Jo (子 p) du,о0
где L(u) даются формулами (3:1) гл. V и обладают указанными там свойствами 1) — 3), J^x) — функция Бесселя. Считая теперь функцию w{r^ —无)при IrlWa известной (задача о штампе) и равной 6(г) (функция, характеризующая жесткое перемещение штампа под действием приложенной к нему силы Р), получим интегральное уравнение контактной задачи
а
kq ⑺ + ё^ J 0(Р)「К (告'齐)dp = 6 ⑺(0 & г & а), (2.1)
о ОО'
К (^, z) = ^ L (u) Jo (u^) JQ (mz) du.(2.2)
о
Введем безразмерные величины
九=На』* р‘ ~ р〃т, гг = га-1, q (аг‘)旷‘=①(力，
f (С = 6{ar^ik^1, с = а2 (АЯ6)-1
и перепишем исходное интегральное уравнение (2.1) в форме (штрихи здесь и далее опущены)
1
Ф (r) + С Jф(Р)P^(-J-, -J-pp = /(r) (0 < г < 1).(2.3)
О
Последнее справедливо при очевидном условии статики
1
Q = P (%2)т = 2я J г(р (г) dr.(2.4)
О
Изучим свойства ядра К& z). Заметим, что при всех 0 W 自 V < °°, 0Wz<8 для К(&, z) вида (2.2) имеет место представление [5]
b(g, 2)= J [1 — Е (u)] Jo 低乂) Jq (zm) du.
0
причем K(e)——полный эллиптический интеграл 1-го рода, а функция 歹(&, z) непрерывна со всеми производными по совокупности переменных &, z в круге О W F + z? W 7?2 V 8. С учетом этого нетрудно установить (см. также (1.6)) лемму.
Лемма 1. Интегральный оператор
（尢十）弱（尢十）弱1
（尢十）弱
（尢十）弱
b屮=b屮=j 屮(Р)рко
b屮=
b屮=
действует из £?(Q) в £2(Q), где Q — круг г < 1, вполне непрерывно.
Таким образом, интегральное уравнение (2.3) является уравнением Фредгольма второго рода. Тогда по общей теории таких интегральных уравнений [2] (2.3) однозначно разрешимо в £2(Q) почти прп всех значениях параметра с ^ (0, 8)，если /(г)三 厶9)・ Здесь следует отметить, что если j(r)MC(Q), то и 屮(「)三。9), а в силу единственности решения уравнения (2.3) можно утверждать, что решение интегрального уравнения, принадлежащее C(Q), одновременно есть и решение этого уравнения в £?(Q) и наоборот. Отсюда следует
Теорема 1. Если /(胃)三。(Q), то в пространстве 厶9) (или C(Q)) решение интегрального уравнения (2.3) существует и единственно при любых значениях параметров с,九三(0, о°).
Для доказательства единственности с учетом того факта, что (р(г)三 0 при г > 1, умножим скалярно (2.3) на r(p(r) ^ C(Q):
181
(2.5)(2.6)(2.5)(2.6)J 尸屮2 (г) dr + с J ①2 他)е з)du = J г/ (г) ср (г) 〃г, ооо
(2.5)
(2.6)
(2.5)
(2.6)
1
Ф (u) = J г(р (г) Jo (十 м) d〃.о
Запись (2.5) возможна в силу формул (3.6) гл. V п оценки Ф(гЛ) = 0(兄一"2)(北 f 8),
оополучаемой из (2.6) с использованием интеграла 1
о
о
(ar) dr = —Jt (а),
Если теперь /(г) = 0, г ^ Q, то ф(г) = 0 (OWrVoo), поскольку L(u) > 0 (см. (3.5> гл. V), и теорема доказала.
Сл едстви е 1. Уравнение (1.5) однозначно разрешимо в C(Q) прп『⑺三 С9).
ф(г)= 2 ^т (г), %„ (г) = 2 M"l/2 Рт (1 - 2r2), е1(2.7)ф(г)= 2 ^т (г), %„ (г) = 2 M"l/2 Рт (1 - 2r2), е1(2.7)Перейдем теперь к построению приближенного решения интегрального уравнения (2.3). Для этого представим функцию (р(г) в впде следующего ряда по ортонормированпой на отрезке [0, 1] с весом г системе полиномов:
ф(г)= 2 ^т (г), %„ (г) = 2 M"l/2 Рт (1 - 2r2), е1(2.7)
ф(г)= 2 ^т (г), %„ (г) = 2 M"l/2 Рт (1 - 2r2), е1(2.7)
йт = J Гф(Г)Pm(Г)dr.
о
Здесь Рщ(%)——полиномы Лежандра. В согласии с теоремой 1 ряд
сходится по норме пространства Л2(й), a {aQ 三勾 в силу равенства Парсеваля [31.
Ядро К(р7儿 г/九)и функцию /6〉разложим соответственно в двойной и одинарный ряды по указанной системе полиномов. Будем иметь
仆卜梵Qj")P；Mp)P；j(r), (2.8) /i=0 j=o
ОО
4#)=JА3)生(^RjljL^du!0.
1
国(z) = J r，o (rz) P募(r) dr, 0
居(Z)=亭乙(z), R^ = -^ [л (z)—告厶(Z)J,
%⑶=平[A⑵-~^-(⑶+长4 (z)],…，
OO1
/(r)= 2 AnP；m ⑺，加=(r)尸農(r) 〃•(2.9)
m=0q
Используя свойства К(р/儿 r/九)，указанные выше, а также ограничения, наложенные на функцию /(г) в теореме 2, легко заключить, что ряды (2.8儿(2.9) сходятся по норме пространства А2, а последовательности их коэффициентов принадлежат пространству Z2, т. е.
£ £ 昂仇)V 8,£ 落 V 8.(2.10)
i—0 j=0m=o
Заметим еще, что при больших 入 может быть доказана оценка分⑴~。(九一(计"
Лемма 2. Если /(『)三。(0), то любому решению (р(г) уравнения (2.3) из класса С(й) соответствует последовательность чисел {ат)из класса 勾,удовлетворяющая бесконечной системе линейных алгебраических уравнений
〃т — — С》Сшп (九)^n 4~ fm (^ ~ 0, 1} 2, . * .).(2.11)
Наоборот, если f(r)1 е С(й), то любому решению {ат)из класса 为 системы (2.11) соответствует решение (p(r) ^ C(Q) уравнения (2.3》вида (2.7).
Для доказательства с учетом теоремы 1 подставим в интегральное уравнение (2.3) функции 屮(г), /(г), ЛГ(р/Л, r/九)в виде (2.7)——(2.9). Получим соотношение, в левой и правой частях ко-
торого стоят ряды по полиномам Рт (г). Приравнивая коэффициенты обеих частей при многочленах одинакового номера, получим бесконечную систему (2.11).、
Пусть теперь последовательность {ат} "Является решением бесконечной алгебраической системы (2.11) и принадлежит Z2. Тогда, очевидно, ряд (2.7) сходится по норме пространства A2(Q) к некоторой функции ф(г) (здесь следует иметь в виду равенство Парсеваля [3]). Обратным преобразованием бесконечной системы (2.11) к интегральному уравнению (2.3) легко убедиться, что функция(р(г) Л2(й)является решением (2.3). А тогда в силу рассуждений, приведенных выше, (p(r) ^ C(Q), и лемма доказана.
Теорема 2. Если /(г) ^С(Й), то оператор, стоящий в правой части (2.11), действует из пространства 勾 в 厶 вполне непрерывно при всех значениях параметров с,九三(0, °°). Система (2.11) однозначно разрешима в 厶・
стп人=2%=4с001,15742,8226%f0Д8460,3902с02-0,0219—0,0451С110,43550,8705С120,10430,2117С220,25720,5Шстп人=2%=4с001,15742,8226%f0Д8460,3902с02-0,0219—0,0451С110,43550,8705С120,10430,2117С220,25720,5ШТаблица 6.1Таблица 6.1
стп
人=2
%=4
с00
1,1574
2,8226
%f
0Д846
0,3902
с02
-0,0219
—0,0451
С11
0,4355
0,8705
С12
0,1043
0,2117
С22
0,2572
0,5Ш
стп
人=2
%=4
с00
1,1574
2,8226
%f
0Д846
0,3902
с02
-0,0219
—0,0451
С11
0,4355
0,8705
С12
0,1043
0,2117
С22
0,2572
0,5Ш
Таблица 6.1
Таблица 6.1
Первое утверждение теоремы непосредственно следует лз (2.40). А тогда к системе (2.11) применима альтернатива Гильберта [3] о разрешимости бесконечных систем. Поскольку соответствующее бесконечной алгебраической системе (2.11) решение интегрального уравнения (2.3) существует и единственно в пространстве C(Q), то в силу леммы существует единственное нетривиальное решение бесконечной алгебраической системы (2.11), принадлежащее пространству Z2, которое можно найти с любой степенью точности методом редукции пли методом последовательных приближений. Теорема доказана.
Проиллюстрируем сказанное числовым примером на задаче о вдавливании силой Р жесткого штампа с плоским основанием (3(г)三 3, / = 3("8尸)радиуса а в поверхность слоя толщины Я, лежащего без трения на жестком основании и усиленного по своей верхней границе покрытием винклеровского типа. В этом
404 ГЛ. VI. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ С ПОКРЫТИЯМИ случае функция £包)имеет вид (3.1а) гл. V. Положим в (2.3), например, с = 1. Значения коэффициентов разложения <?仃(九) при значениях параметра 入=2; 4 занесены в табл. 6.1. На рис. 6.1 даны графики распределения контактных напряжений (А = 2 -~ кривая 7, Л = 4 — кривая 2). При этом значение величины Q/т подсчитывалось согласно формуле (2.4) и равно 1,47; 0,84 соответственно для 入=2; 4. Погрешность приведенных результатов не превосходит 3%. При этом в урезанной системе (2.11) достаточно было взять не более трех уравнений.
Для сравнения, как и ранее, приведем 【5] значение величины О/— при с = оо и 九=2; 4: 0厂1 = 6,03; 4,88.^ Отсюда следует, что осадка основания под штампом в случае двухслойного пакета, как п в плоском случае, больше аналогичной осадки для слоя без покрытия при одной и той же вдавливающей силе.
Передача давления от штампачерез нелинейное покрытие винклеровского типана упругое полупространство
Рассмотрим осесимметричную задачу о вдавливании штампа в упругое полупространство; поверхность которого усилена тонким упругим слоем, работающим по типу нелинейного винклеровского основания. Аналогичная плоская задача была изучена в § 5 гл. V; там же было сказано о тесной связи этой задачи с вопросом контактного взаимодействия шероховатых упругпх тел. Указанная осесимметричная задача исследовалась в работах [6, 7]. Здесь будем придерживаться плана решения задачи с помощью асимптотических методов, данного в [71. При этом сразу рассмотрим важный частный случай, когда функция ф*(д) (см. (5.1) гл. V) аппроксимирована степенной зависимостью, т. е. когда осадка v точек поверхности покрытия связана с приложенным к ней давлением q соотношением и = kq\ а > 0, и, кроме того, радиус а области контакта штампа с поверхностью полупространства фиксирован *).
В соответствии со сказанным и по аналогии с формулами (1.4) данной главы и (5.1) гл. V представим интегральное уравнение рассматриваемой контактной задачи и условие статики для штампа в виде а
"g"(r)+ 俞f д(р)к(^^^)^^ = 6 — g(r) (г < а),
、(3.1)
Р = 2njg(p)pdp, е=号三含，g(0) = 0. о
Варианты более общей зависимости и от д для покрытия и переменной области контакта могут быть рассмотрены аналогично.
Здесь q(r) — подлежащее определению контактное давление. К(е) ——полный эллиптический интеграл первого рода, 6 ~ внедрение штампа, g(r) — неотрицательная функция, описывающая форму его основания, Р — вдавливающая штамп сила, G п v — упругие постоянные полупространства.
Введем безразмерные величины
pg =审,pg =审,g* =g* =Р2门产Р2门产
pg =审,
pg =审,
g* =
g* =
Р
2门产
Р
2门产
"**）“，農 g（r%）= 〃），。=探
где q* ——характерное давление (герцевское давление в центре подошвы плоского круглого в плане штампа при заданной вдавливающей силе). В этом случае соотношения (3.1) могут быть записаны в следующей безразмерной форме (штрихи опущены):
V W + lJp (Р) М 臨)縉=С т (г) (У 力(3.2) О
jp(p)pdp = l, / (0) = 0. о
Известно [11, что интегральный оператор в уравнении (3.2) можно при /(r)u&(Q)\ где Q — круг единичного радиуса, точно обратить. При этом получим
PC =77^PC =77^1/1-р2，/1-р21/1-р2，/1-р2+ ^+ ^ds元匸7十ds元匸7十+当JM'器一『"+当JM'器一『"@Р +@Р +(3.3)(3.3)
PC =77^
PC =77^
1
/1-р2，/1-р2
1
/1-р2，/1-р2
+ ^
+ ^
ds
元匸7十
ds
元匸7十
+当JM'器一『"
+当JM'器一『"
@Р +
@Р +
(3.3)
(3.3)
Уравнения (3.2) и (3.3) эквивалентны.
Исследуем уравнение (3.2) при 儿》1 методом регулярных возмущений. В этом случае, очевидно, решение в главном определяется во всей области контакта деформацией покрытия. По- 27 в. М, Александров, С. М. Мхитарян
этому будем искать решение задачи в виде
Р(Г)= &厂％ (г) (г<1), с = X i %-kCh. (3.4) 冗=0月=0
Подставим (3.4) в (3.2) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях 入；в результате получим
Pq (г) = 2, Со = 2",
Р1(г)=^Ь^ ^ + 2『/(р)р&р-/(г)-±Е(г),(3.5)
S = ^+2 卜(p)pdp.о
Соотношения (3.4), (3.5) определяют двучленное равномерно пригодное приближение к решению задачи при 入》1, а > 0 и произвольной достаточно гладкой функции /(г).
Исследуем теперь уравнение (3.3) при 九《( методом сращиваемых асимптотических разложений [8]. Для краткости ограничимся случаем /(г)三 0 (плоский штамп). Как и в § 5 гл. V, под внешней областью будем подразумевать область, в которой в главном влиянием усиливающего покрытия можно пренебречь. Очевидно, это — внутренняя часть области контакта Q При этом решение вырожденной задачи (入=0) во внешней области в соответствии с (3,3) имеет вид
Ро(г)「= (( — г2)-'% а = л/2. (3.6)
Во внутренней области, примыкающей к контуру г = 1 области контакта, введем переменную R = (г —()/% где е = &(儿 а)《1 —— характерная ширина внутренней области. Решение уравнения (3.3) будем искать в виде
卩(г) == Ро(г) + о(1)т "(г)「〜1 при г — 1. ~
р(г) = &~hq(R) + о(е_1/з), - q(R)〜1 при 7? ~ (,(3.7)
e = & + 3£(九，a)а +。(九), Ci 〜4, bi《1,
где “(г) и CQ определяются формулами (3.6).
Аналогично изложенному в § 5 гл. V перейдем в уравнении (3.3) к внутренней переменной R и устремим Л к нулю при фиксированном R 〜1. Тогда с помощью (3.6), (3.7) во внутренней области получим
。吁占卜。吁占卜0
。吁占卜
。吁占卜
2а С д' (р) д“т (р) dp冗工一一
0「$
(3.8)(3.8)а С ( С д' (р)产 т (р) dp
(3.8)
(3.8)
R ，L —oo r 『
При этом для е будем иметь
Е(儿 а)=%”(а + 2(3.9)
С помощью (3.3), (3.7) и (3.9) нетрудно найти (см. также § 5 гл. V)
Cj — (1 — о0т, 6 (尢 а) = %, О V а v 1,
^i ™ Ри (0) + j* Р( — р2 Ри (р) Ри 1 (р) dp, & 仇,1) =Х=8, а — 1,
(3.10)
Ра (г) = 8~1/2 У 脩 0 (—)， о
= а J 2P『(р) да 1 (р) @р, 3】(％ а) = & а > £
Здесь р佻(г)——равномерно пригодное по г при а =( представление решения уравнения (3.3), Полученные результаты легко распространить на случай произвольной функции /(г).
На основании формул (3.4), (3.5) при /(力=0 и формул (3.6), (3.7), (3.10) имеем
e=瑞+ 2" 仇》D，
е(3.11)
° 7 +告(九《(，°Va<)
Видно, что относительная осадка штампа С возрастает при увеличении степени деформируемости покрытия 九 и степени его нелинейности а. Такой же характер зависимости С от а и X сохраняется при /(г) * 0 или а > 1. Вычисления контактного давления р(г} для различных значений % и а, произведенные по формулам (3.4), (3.5) (%》1) и (3.6) —(3.9) (X < 1), показали, что при увеличении степени деформируемости покрытия % и степени его нелинейности а распределение давления под штампом становится более равномерным. Это имеет место, как видно из формул (3.5), вне зависимости от формы основания штампа. При любых 九>0 и а>0 контактные давления для плоского штампа монотонно возрастают от центра области контакта к ее краям, оставаясь ограниченными.
В случае штампа произвольной формы в плане с достаточно гладкой границей при 九》1 решение будет иметь структуру равномерно пригодного ' в области контакта разложения типа (3.4). При этом давление в главном постоянно и определяется лишь площадью области контакта, а осадка штампа зависит, кро- 27*
ме того, от характера нелинейности покрытия. Упругие деформации полупространства начинают сказываться на решении при Л > 1 лишь с приближения первого порядка.
Вдавливание штампа в упругое полупространствос тонким усиливающим покрытием тппа накладки
Рассмотрим задачу о вдавливании без трения штампа в упругое полупространство (zWO). При этом вместо обычного предположения об отсутствии на границе (2 = 0) полупространства касательных напряжений будем считать, что радиальное перемещение и точек его границы и касательное усилие тг2 на границе связаны соотношением (см. (3.1) гл. IV)
"(工+ ；累一?) = %z, 0^r<oo. (4.1)
Аналогичное граничное условие уже принималось в § 7 гл. V; оно механически соответствует наличию на границе цолуцростран- ства неограниченной по г упругой накладки, жесткость на растя- 4жепие которой равна к, а изгибная жесткость равна нулю. Между поверхностью накладки и границей полупространства осуществлено полное сцепление. Физически такая накладка моделирует тонкое упрочняющее покрытие (например, металлизированное покрытие полимерной детали [9]).
Пусть осесимметричней штамп вдавливается в поверхность полупространства силой Р, приложенной по оси его симметрии, тогда область контакта будет кругом радиуса а. Граничные условия задачи при всех сделанных предположениях будут иметь вид (4.1) п
d(r, 0) = 0 (г > а\ 以г, 0) = —g(r) (rW〃). (4.2)
Кроме того, будем считать, что напряжения и перемещения в полупространстве исчезают при Vr2 + 22 -> оо. В (4.2), как обычно, g(r) = 3 —/(г), где 6 — величина внедрения штампа, /(г)——функция, описывающая форму его основания. Необходимо определить закон распределения контактных давлений, т. е. q(r) = —ог(г, 0) прп г W 〃.
Чтобы привести рассматриваемую контактную задачу к интегральному уравнению относительно g(r), предварительно найдем решение следующей вспомогательной задачи для упругого долуцространства: при 2 = 0
U (0^r<oo), (4.3)
” g(r) (Y〃)， ” = 0 (r>*
при ▼产 + 22при ▼产 + 22—°0 напряжения п перемещения исчезают.
при ▼产 + 22
при ▼产 + 22
Для осесимметричных задач одно из частных решеппп уравнений Ламе имеет вид [10]
①= 7r + z粛，徹=右 + z^一@一^)5,
1 3G 。%一仏⑷
++ -? = 0 (i = 1, 2);
力2 Г dr ' 5z2'■，
напряжения пайдем по формулам закона Гука; в частности, по
лучим
5 = 2G
-2(( 一陰 +号 + *],
t『z = 2G
發屮102tp9 ](4.5)
[a 2v)侪 1 dr dz+-dr
Используем для решения задачи (4.3), (4.4) интегральное преобразование Ханкеля [ 10]. Для этого представим гармонические функции q)i в виде
фг (г, Z)= J Oi (у, z) Jo (гу) у dy. ■ (4.6) о
Здесь Л)(力)——функция Бесселя. Подставляя (4.6) в уравнения (4.4), дифференцируя под знаком интеграла и приравнивая затем подынтегральные выражения нулю Ч, получим относительно трансформант ①$ следующие обыкновенные дифференциальные уравнения:
① iz - ?2①£ = 0.
Решения этих уравнений, удовлетворяющие условию обращения в нуль функций Ф：, а следовательно, и функций 屮厶 при z-> —8 имеют вид)
①f = a(Y)e叱(4.7)
Теперь с помощью представлений (4.6), (4.7) по формулам (4.4), (4,5) найдем
и = — 1[С1 (у) + zC2 (у)] е"% (”•) yd»
8 °(4・8)
徹=j Qi(¥)¥ + G(¥)zy — (3 — 4v) C2 (у)] evV0 (") у dy, 0
(т2 = 2gJ[— 2(1 — V)С2 (у) + а (у) Y +。2 ⑺纟也 ^J^ (yr) y2dy, 0
Trz = — 2G j [— (1 — 2v) C2 (?) + & (渺 + C2 ⑺ zy] e,zJ1 (yr) y2dy. О
Введем в рассмотрение трансформанту Ханкеля Q(y) функции g(r). Будем иметь
QW = j g (р"о(PY)Р dp，g (г) (г《а) • = j Q(Y)厶(2 丫 势・(4.9)
0о (г>а)0
Удовлетворяя, далее, с помощью формул (4.8), (4:9) граничным условиям (4.3), найдем выражения для функций CiCy)- и С2(у). Удовлетворение граничного условия на бесконечности обеспечено по построению функций 屮Kr,z). Получим теперь по формуле (4.8) выражение для ip(r, 0); имеем
» ОО'
0(Г，0)= 一点j<2(Y)^^厶(24%9* =泣(4(0) е = G(l-V)-1, Н = kQ-1, z = (4х)-1 (1 + х)2, X = 3 - 4v.
Вернемся к рассматриваемой контактной задаче, имея целью использовать формулу (4.10). Видим, что в ходе ее вывода граничное условие (4.1), первое граничное условие (4.2), а также условие на бесконечности выполнены. Удовлетворяя второму граничному условию (4.2) с помощью формул (4.9) и (4.10), получим относительно контактного напряжения g(r) следующее интегральное уравнение первого рода:
jg(p)pdp j 注務 Jo(W)Jo(YP)野= 9*g(r) (r《G・(4・M) 00
К уравнению (4.11) нужно еще добавить условие равновесия штампа а
Р = 2л J g (р) р dp.(4.12)
О
Отметим важное обстоятельство [9]. К интегральному уравнению (4.11) приводится также задача о вдавливании штампа без трения в двухслойное упругое основание (верхний слой толщины h с упругими постоянными Gi и vo нижний слой ——полупространство с упругими ПОСТОЯННЫМИ G 瓜 V)при условии полного Сцепления слоев и следующих дополнительных ограничениях:
относительная толщина верхнего слоя 入=无/〃 мала, а относительная его жесткость n = Q^ велика, при этом безразмерный параметр о = 2入孔 фиксирован и Н = 〃о.
Введем безразмерные величины согласно формулам
и = Н& г' =\ ст = На *
ТТ(4.13)
中(Г‘)= g(r'a) е > ^(r ) =g(r'd)a \
Тогда уравнение (4.11) можно представить в виде
卜ё闺*券如=叫⑺(y)(4.14)
О
к(n© =『£® /(恥)4(S)九，乙(")=^^・(445) 0
Штрихи здесь и далее опущены.
Заметим, что здесь выражение функции L(u) то же, что и в аналогичной плоской контактной задаче, рассмотренной в § 7 гл. V (сравните с формулами (7.8) гл. V). Этот факт имеет общее значение. Именно, если ядро интегрального уравнения плоской контактной задачи представлено в одной из форм
К (力)=j 斗^ cos ut du、M (t) = ^ L (u) sin ut du (力=己 ~J，)‘ о0
ndndгагато ядро интегрального уравнения аналогичной осесимметричной контактной задачи будет иметь вид )
nd
nd
га
га
к (П, 0 = J 乙他)厶⑴①)Jo (S) du 0
Используя интеграл
(4.16)(4.16)(4.17)(4.17)J /(w)J。(3) du =而% к (e), e =整, 0
(4.16)
(4.16)
(4.17)
(4.17)
представим ядро (4.15) в формах [51
K^^ = ^~^K(e) + l^F^^
P（小u = ）1十：加，
0
— a一乂）2.
%(4.18)
О
Здесь К(е)——полный эллиптический интеграл первого рода. Исследуем, далее, свойства функций 7r(n, g) и G(r), g). Нетрудно убедиться, что в квадрате 0 ^ т) Л, 0&之&4 (Л < оо) при условии п'С функция 歹(％ ?) непрерывна по совокупности переменных. На диагонали " = g функция 歹(rj, g) имеет логарифмическую особенность в точке Л ^ £ ^ 0. Относительно функции G(r), С) можно утверждать, что в четвертьплоскости £ W n V 8, е ^ ^ < оо (е > 0) при условии п'С она непрерывна по совокупности переменных. На диагонали п = С функция G(n, С) имеет логарифмическую особенность. При больших п 。Е функция G(n, ?) вырождается в нулевую гармонику двумерной дельтафункции
То(П/) = j 叫(W)，о(3)九(4.19)
о
Подставляя выражение (4.17) в (4.14), будем иметьh(P)K(署)墻 Т 仲⑺一*屮(р)嗚，g)pdp (YDоО
(4.20)
Рассмотрим теперь случай о》£ На основании указанных выше свойств функции 歹(％ С)и структуры уравнения ()4.20) можно утверждать, что в главном решение фто(г) для этого случая будет определяться из уравнения *)
J<Po°(P)^(|^)7^ = T^(r)(У)・(4-21)
о
Заметим, что при малых а может быть построено регулярное асимптотическое разложение решения интегрального уравнения (3.19) в форме
ф (г) = £ 工 фтпп (г) O~m (In 0户；
m=o n—0
при этом, очевидно,(poo(^)=屮8(歹)・
Уравнение (4.21) отличается от известного [1, 5] интегрального уравнения классической осесимметричной контактной задачи для упругого полупространства лишь множителем I в правой части. Этот множитель в зависимости от величины коэффициента Пуассона 屮 изменяется в пределах от 1,33 при v = 0 до 1 при v = 0,5.
Подставляя выражение (4.18) в (4.14), будем иметь
_1
『屮(Р)К(^^)7^ =y^(0+^J<P(P)G(-7' 7)Р^Р (У»
°°(4.22)
Рассмотрим случай и《1. На основании асимптотического поведения (4.19) функции G(r|, g) при больших значениях ее аргументов, а также известных свойств дельта-функции можно утверждать, что в главном решение ф0(^) для случая и《1 будет определяться пз уравнения *)
j屮。(0k(弟)喀 =^屮(Г)(Г<1),(4.23)
о
которое полностью совпадает с интегральным уравнением указанной выше осесимметричной контактной задачи для упругого полупространства, Решение уравнения (4.23), как известпо [1], имеет вид11屮* (宓)出С,(4.24)которое полностью совпадает с интегральным уравнением указанной выше осесимметричной контактной задачи для упругого полупространства, Решение уравнения (4.23), как известпо [1], имеет вид11屮* (宓)出С,(4.24)Фо (г)Фо (г)2 d2 d%о = 4%о = 4оо■ф* ⑺ dx■ф* ⑺ dx屮(г) г dr屮(г) г drX ]/"/ — г2X ]/"/ — г2
которое полностью совпадает с интегральным уравнением указанной выше осесимметричной контактной задачи для упругого полупространства, Решение уравнения (4.23), как известпо [1], имеет вид
11
屮* (宓)出С,
(4.24)
которое полностью совпадает с интегральным уравнением указанной выше осесимметричной контактной задачи для упругого полупространства, Решение уравнения (4.23), как известпо [1], имеет вид
11
屮* (宓)出С,
(4.24)
Фо (г)
Фо (г)
2 d
2 d
%о = 4
%о = 4
о
о
■ф* ⑺ dx
■ф* ⑺ dx
屮(г) г dr
屮(г) г dr
X ]/"/ — г2
X ]/"/ — г2
о г
Здесь введена безразмерная величина N = Р(3心尸.Можно показать [5], что если вторая производная функции р(г) ограничена в круге г ^ 1, то решение, определяемое формулами (4.24), имеет структуру ф0(г) = со(г)(1 — г2)'172, где функция s(r) удовлетворяет в круге г W 1 условию Гёльдера с показателем § = 1/2.
Сравнивая уравнения (4.21) и (.4.23), придем к выводу, что 屮8(尸)=Zcpo(r) и N8 = INq. Кроме того, па основании полученных результатов можно утверждать, что для рассматриваемой задачи при изменении параметра о от 0 до 00 безразмерное значение вдавливающей силы N при неизменной осадке штампа заключено в пределах
NqVNvNs.
Вырождение уравнения (4.22) в уравнение (4.23) при Gf 8 имеет нерегулярный характер. Функция(р0(г), определяемая из уравнения (4.23), является главным членом асимптотики «проникающего» решения задачи при больших а.
Таким образом, в предельном случае (о -> 8)неучет влияния тонкого упрочняющего покрытия может привести к ошибке в опреде； лении контактной жесткости, которая при v = 0,3 составит (Z—1)100% =9%. Аналогичные результаты, как показано в работе [91, получаются и в общем пространственном случае рассматриваемой задачи, при этом ее интегральное уравнение в принятых выше обозначениях будет иметь вид
f J g (Е,"阂亜四=2nHQ*g (瑞 у)
(4.25)(4.25)(з, у)三 Q, К = p(z —/+ (у —и),K{t)^l^JQ (鹤 du = ^ + ^l* [/ (0- N° (OK
(4.25)
(4.25)
Здесь Q ——область контакта, H^t) — функция Струве, N0(t)—— функция Неймана. '
Заметим, что приближенное решение интегрального уравнения (4.20) может быть также получено методом ортогональных многочленов. Именно, функцию <р(г) представим в виде
屮⑺=7^e%^（丿5）'屮⑺=7^e%^（丿5）'(4.26)(4.26)
屮⑺=7^e%^（丿5）'
屮⑺=7^e%^（丿5）'
(4.26)
(4.26)
где Р2n (刀一полиномы Лежандра, в результате чего уравнение (4.20) по известной процедуре [5, И] с учетом спектрального соотношения
i黑коi黑ко（噺詈痺％囲啮捫2（噺詈痺％囲啮捫2
i黑к
о
i黑к
о
（噺詈痺％囲啮捫2
（噺詈痺％囲啮捫2
(/г = 0,1,...)
сведем к следующей бесконечной алгебраической системе:
'm + 2o" "m 2^ ^m.n^n ~ 历m，m(^ = 1» 2, . • • )(4.27)
71=1
и к соотношению
(4.28)(4.28)〃o + "^ 为о ^^ К。,71ali —历о%.
(4.28)
(4.28)
где введены обозначения
1 11 1Kmtn =Kmtn =о оо оГ \ rpp2m ( Vi^) P2n ( /Г^?)个不丁)—玩二5(,2)一公如Г \ rpp2m ( Vi^) P2n ( /Г^?)个不丁)—玩二5(,2)一公如
1 1
1 1
Kmtn =
Kmtn =
о о
о о
Г \ rpp2m ( Vi^) P2n ( /Г^?)
个不丁)—玩二5(,2)一公如
Г \ rpp2m ( Vi^) P2n ( /Г^?)
个不丁)—玩二5(,2)一公如
(7ПТ П = 0, 1» • - •)?， f I 2m ( Pl 一产)力Р% = q J 屮(r)匕 一 2而一行 а^m^(7ПТ П = 0, 1» • - •)?， f I 2m ( Pl 一产)力Р% = q J 屮(r)匕 一 2而一行 а^m^(^ ~ 1, 2,...),(^ ~ 1, 2,...),
(7ПТ П = 0, 1» • - •)?
， f I 2m ( Pl 一产)力Р
% = q J 屮(r)匕 一 2而一行 а^m^
(7ПТ П = 0, 1» • - •)?
， f I 2m ( Pl 一产)力Р
% = q J 屮(r)匕 一 2而一行 а^m^
(^ ~ 1, 2,...),
(^ ~ 1, 2,...),
(4.29)
L M「W (r) dr 7魂=2,歹*'%L M「W (r) dr 7魂=2,歹*'%4 I (2zn)!!4 I (2zn)!!一Я2 [(2m - 1) !1一Я2 [(2m - 1) !1(4m +1)(4m +1)(^=0,1,...).(^=0,1,...).
L M「W (r) dr 7
魂=2,歹*'%
L M「W (r) dr 7
魂=2,歹*'%
4 I (2zn)!!
4 I (2zn)!!
一Я2 [(2m - 1) !1
一Я2 [(2m - 1) !1
(4m +1)
(4m +1)
(^=0,1,...).
(^=0,1,...).
Заметим, что из условия (4.12) имеем N = 2л«0. Можно доказать, что система (4.27) квазивполне регулярна при всех Z* > 0 и о > 0.
В заключение отметим, что в рамках классических допущений теории Герца аналогично изложенному может быть также рассмотрена осесимметричная задача о вдавливании упругого штампа в упругое полупространство, усиленное покрытием типа накладки. Такое усложнение, изменит лишь значения коэффициентов перед слагаемыми в правой части интегрального уравнения (4.20).
§ 5・ Вдавливание штампа в упругий слой, усиленныйпокрытием типа накладки. Приложение к проблеме«масштабного фактора»
Известно, что макроскопические свойства твердого тела зависят от его абсолютных размеров. Основанием для такого утверждения является характер взаимодействия частиц (атомов, молекул или молекулярных групп) твердого тела [12]. Частицы поверхности испытывают одностороннее взаимодействие со стороны других частиц тела, в то время как для глубинных слоев выполняется условие статистической симметрии силового взаимодействия частиц. В макроскопическом аспекте рассмотрения механических свойств изотропного твердого тела это должно привести к существованию неоднородности вблизи границы и к поверхностному натяжению. Коэффициент поверхностного натяжения твердых тел имеет величину порядка 10_3 кгс/см [13], и в задачах, решаемых в рамках физической и геометрической линейности, эффектом поверхностного натяжения можно пренебречь. В дальнейшем для выявления «масштабного фактора» исследуем только поверхностную неоднородность, полагая, что вдали от границы тело является однородным. В данном параграфе будем придерживаться работы [141.
Для выявления эффектов поверхностной неоднородности в твердом теле рассмотри期 поведение образцов, которые отличаются только геометрически. Их термосиловые предыстории, включая и технологию изготовления, будем считать тождественными. В этом случае все размеры образца велики по сравнению с ожидаемой толщиной поверхностного слоя. Конкретно оценку поверхностной неоднородности произведем на круглых, относительно тонких пластинках. Для усиления исследуемого эффекта необходимы механические состояния с большим градиентом напряжения вблизи поверхности. Такие состояния дает, например, контактное взаимодействие тел. В связи с этим рассмотрим следующую задачу теории упругости.
Пусть в упругое основание осесимметрично вдавливается штамп при отсутствии трения в области контакта rWa. Основание представляет собой жесткое полупространство, на котором лежит без трения пакет двух упругих слоев общей толщины 〃* = 〃 + %. Нижний слой имеет толщину Н и упругие характеристики G, v, а верхний слой ——толщину 无 и упругие характеристики Gu v. Между слоями осуществлено полное сцепление. Предполагается, что h《H,为《а н GvGi. Исследование указанной задачи позволяет оценить степень влияния поверхностной неоднородности на контактную жесткость материала, а изменение в широком диапазоне параметра * = Наг* дает возможность прийти к изучению масштабного фактора.
В работе [9] показано, что при сделанных предположениях верхний слой может рассматриваться как упругая мембрана с жесткостью на растяжение к = 2hG^i — v)"*1 и нулевой изгибной жесткостью (накладка). При 9ToM на границе между накладкой и пижним слоем имеется полное сцепление. Уравнение, характеризующее деформации мембраны в ее плоскости под действием касательных усилий, приложенных к ее границе, для осесимметричного случая имеет вид (см. (3.1) гл. IV)
(—；(「)(△ = £ + ；§,(5.1)
где, как и ранее, в*⑺一перемещения точек накладкп в радиальном направлении. С учетом (5.1) и вышесказанного поставленная контактная задача может быть сформулирована в виде следующей краевой задачи для уравнений Ламе:
tr", 0)=0, ш(г, 0) = 0 при /Na,(5.2)
a(r, Н) = 0, w(r, Н) = —[6 — /(г)] при г < а, (5.3) к(А〃 ——^j = тг2 при z = &0 & г V 8・(5.4)
Напряжения и перемещения исчезают при г -> ℃ф Здесь б — поступательное перемещение штампа вдоль оси симметрии под
действием приложенной к нему силы Р; /(г)——функция, описывающая форму основания штампа. В (5.4) учтено, что z，*(r)= = ь(г, Я) и t(r) = — тГ2(г, Я).
Используя интегральное преобразование Ханкеля по переменной г (см., например, [10]), краевую задачу (5.2) —(5.4) сведем к интегральному уравнению первого рода относительно функции распределения контактных давлений q{r\ действующих между штампом и основанием:
Jg(P)K(gd)pdp=Z8〃[6 — /(r)], у а,(5.5)
О
К (т, t) ~ L (u) J。(ur) Jo (ut) d〃，(5.6)
о
j , . — 〃 sh 2〃 一 2乂—1必 + 2Zm~1sh2u
2u ch2 u 十 щТ (sh 2M 十 2瓦)'
m = k (0Я)"1, 8 = G (1 — в)」* Z= (x + I)2 (4 乂)x = 3-4v.
(5.7)
Здесь 厶(胃)—— функция Бесселя, а функция L(u) обладает свойствами
L (〃) = Аи + О (и, прИ 0, Л = X(上(^?~^7(5.8)
Z(u) = l 十^ +。色)щш гг->оо, В = Ц^1.(5.9)
Перейдем в (5.5) к безразмерным переменным по формулам р‘ = p/а, г = г/«, 6’ = 6/а, (р(р') = g(p), g(r') = cr'j(r), тогда интегральное уравнение задачи примет вид (штрихи здесь и дальше опущены)
1
“屮(р) К (+，•£)dp = Z然[6 —g (г)], yi. (5.10) О
Используем интегралы
]j0(UT)J0(ut)du = ^^K^ е =苦， О
頂 _ А 卜gn(T—力)1п；十 hit斗
Представим ядро вида (5.6) с учетом (5.9) в форме
2/…巾帀2/…巾帀К(е)~^ sgn (т — /) In -I 4- In t, — F (r,力)，
2
/…巾帀
2
/…巾帀
(5.11)
р (叫 t) = j {[1.+ ^ — £ 磔)卜。("t"° M- ^ e-ul^ du. (5.12) О
Здесь функция ^(т, /) по крайней мере ограничена при всех 0 W t W 1/儿 0 W 力 W 1/Л.
Подставляя (5.11) в (5.10) и устремляя 入 к бесконечности, что соответствует (при фиксированном а) случаю вырождения нижне-
следую-следую-(5.13)(5.13)тонкоготонкогого упругого слоя в полупространство (Я = °°), придем к щему интегральному уравнению:
следую-
следую-
(5.13)
(5.13)
тонкого
тонкого
1_
f 體 М黑)dp =兮划6 — g (г)], г & 1.
О
Заметим, что, не зная о существовании у материала
поверхностного слоя, наделенного особыми физико-механическими свойствами, можно было бы принять, что интегральное уравнение (5.13) описывает осесимметричную^ контактную задачу для однородного упругого полупространства (сравните с (1.4) при & = 0, а также с (4.20)), контактная жесткость которого 0* ^ =G*/(l — V)= 0Z. При V = 0,3 величина 0* больше 0 на 9%. Таким образом, поверхностная неоднородность дает здесь незначительное увеличение контактной жесткости. Иначе, как ниже будет показано, обстоит- дело при очень малых 九，когда относительная толщина нижнего слоя стремится к нулю, но по-прежнему h < Н.
Для исследования случая очень малых X нужно найти асимптотику ядра (5.6) при больших т и t Это можно сделать, если в (5.6) заменить L^) ее асимптотическим представлением (5.8) при малых " и затем воспользоваться интегралом [51
у (叫方)=J uJq (мт) J。(ut) du,о
где равенство понимается в смысле теории обобщенных функций, а 7(т,力 представляет собой нулевую гармонику двумерной дельта-функции Дирака. Таким образом, убедимся, что «вырожденное» при очень малых Л решение задачи определяется интегральным уравнением
1
J <Р(Р)V(£- ■£)Р dP ^ ^0^-1 [б — g (г)] ■ (г < 1), (5.14) о
Рис. 6.2.Рис. 6.2.
Рис. 6.2.
Рис. 6.2.
419419вдавливание штампа в слой с накладкой
419
419
следующим из (5.10) при указанных выше преобразованиях. Заметим, что осесимметричная контактная задача для однородного упругого слоя относительной толщины 入 также при очень малых 入 приводится 依 интегральному уравнению вида (5.14), где необходимо только положить /ОЛ'1 = 20*. Здесь при v = 0, 3 величина 0* больше на 9% (т = 1), 18% (тп = 10) и 25% (тп = ℃), чем величина 0. Таким образом, поверхностная неоднородность здесь дает более значительный вклад в увеличение контактной жесткости, в чем и проявляется масштабный фактор.
Техническая реализация контактной задачи требует высокой определенности граничных условий, поскольку перемещение штампов необходимо измерить с разрешением 10-5 мм. Эта определенность касается не только условий силового взаимодействия в зоне контакта, но и деформации штампов как конструктивных элементов установки.
Установка, схема которой показана на рис. 6.2, допускает техническую реализацию рассматриваемой контактной задачи. В соответствии с рис. 6.2 образцы 4 исследуемого ма
териала сжимаются стальными шарами 5, диаметр которых 25 мм. Отличие поверхности стального шара от идеальной сферы не превышает 10~4 мм. Шары сопрягаются с массивными цилиндрами 2, внутренняя торцевая кромка которых притерта к поверхности шара. Во. внутреннюю полость цилиндров подается воздух, который проходит через постоянные дроссели 5. Под действием давления воздуха шары сжимают образцы, отходя при этом от кромок цилиндров. Манометры 1 позволяют регистрировать силы сжатия образцов и нарушение симметрии всей схемы, которая, по сути дела, представляет собой лневматический мост, измеряющий разность взаимного перемещения шаров в обоих плечах моста. Разрешающая способность схемы при измерении перемещения составляет 10-4 мм, прп измерении разности перемещений ——IO-' мм, а при измерении силы ——10~3 кгс. В конструкции установки предусмотрена автоматическая компенсация сигналов от деформации ее элементов и температурных эффектов.
Таким образом, с помощью рассматриваемой установки осуществляется сравнение деформационных характеристик двух 06f разцов, толщина которых может меняться от 10_3 до 10 мм. В опытах на образцах из полиметилметакрилата толщиной 1,77 и 2,37 мм эффект поверхностной неоднородности сказался
при малых ипри малых ибольшихбольших2НЭят2НЭят入—I/ ^F，入—I/ ^F，4 _ T3厂诃不人=I/ 3RP14 _ T3厂诃不人=I/ 3RP13 Г 9P26 = 1/ И 6402л3 Г 9P26 = 1/ И 6402л(5.19)(5.19)
при малых и
при малых и
больших
больших
2НЭят
2НЭят
入—I/ ^F，
入—I/ ^F，
4 _ T3厂诃不人=I/ 3RP1
4 _ T3厂诃不人=I/ 3RP1
3 Г 9P2
6 = 1/ И 6402л
3 Г 9P2
6 = 1/ И 6402л
(5.19)
(5.19)
следующим образом. При силе Р = 2 кгс
(5.15)(5.15)= 1,050 土 0,005,
(5.15)
(5.15)
где индекс 1 соответствует тонкому образцу; 2 — толстому; т — теоретической оценке без учета поверхностной неоднородности; э — данным эксперимента. Если бы поверхностной неоднородности не существовало, то комплекс (5.15) равнялся бы единице. Следует отметить, что симметрия схемы измерения предварительно устанавливается по двум одинаковым образцам с точностью до ±0,003. Нарушение симметрии при неодинаковых образцах связано не только с разницей в толщинах образцов, но и с влиянием поверхностной неоднородности, которое увеличивается с уменьшением толщины образца. Структура комплекса (5.15) определяется тем, что он составлен для количественной оценки влияния поверхностной неоднородности в условиях некоторой неопределенности в деформационных характеристиках образцов. Зависимость значения комплекса (5.15) от ошибки в модулях упругости существенно ослаблено тем, что сравниваются не сами перемещения штампов, а их отношения.
Подсчитаем комплекс (5.15) теоретически, т. е. заменим С61/62)э на соответствующую теоретическую оценку с учетом поверхностной неоднородности. Для рассматриваемого случая радиус сжимающих шаров R = 12,5 мм, сжимающая сила Р = 2 кгс, толщины образцов 2Н] = 1,77 мм, 2儿=2,37 мм, упругие постоянные .материала образцов Е = 3 • 10-4 кгс/см\ v = 0,32. Не зная точного значения постоянной m вида (5.7), примем ее равной 10. Выпишем формулы [5], дающие предельные решения при малых и больших значениях параметра 九=Her1 задачи о сжатии слоя толщины 2Н двумя симметрично расположенными одинаковыми параболическими штампами. При малых 入 имеем
g(r) = ^dT), б = £ ?=鶉 (5.16) при больших 入
。(Г尸鳥/5^，6=4 Р=鹦 (5.17)
Из формул (5.16), (5.17) соответственно 入 найдем
(5.18)
если 入& 2,если 入& 2,Формулы (5.18) обеспечивают достаточную точность,
если 入& 2,
если 入& 2,
а формулы (5.19) — если 入》3 [5]. Для случая тонкого образца по первой формуле (5.18) определим X = 1,64, а для случая толстого образца по первой форл!уле (5.19) определим X = 3,10. Такш! образом,戸ил подсчета з<омилекса (5.13) в случае топкого и толстого образцов можно соответствешю ислользоиать формулы (5.18), (5.19). При з丁он, если образен, по толщшю пеодпородеп, в (5.18) следует заменить 0 па 6* = 29(2/)一\ а в (5.19) — 0 па 0* = Н/. Подсчитывая тап】ш образом отношение 6/5? для случаев одтюрод(гости и леодпородности образцов, ирп т = 10 для комплекса (5.15) получим зггачепие 1,055. Таким же образом убедимся, что коап匚гекс (5.15) больше 1 upi〔 всех 1,43 W『72 V 8.
Итак, существует диапазон значений т, в котором обеспечивается качественное согласие теории с экспериментом, и в этом диапазоне существует значехше 〃2, обеспечивающее количественное совиадеппе. Полученные результаты подтверждают существование поверхностной неоднородности в твердых телах.
Вдавливание штампа в упругий слой, армированныйпо основанию прослойкой
Как было отмечено в § 3, если известно ядро интегрального уравнения плоской контактной задачи теории упругости, представленное в одной из форм
К ⑵工[£ (〃) 〃т cos uz du, М (?) =，£ (и) sin. uz du (z 二 * ；第 оо
то ядро интегрального уравнения соответствующей осесимметрпч- noii задачи имеет вид'
к(11, B = Jz(")/。("⑴人(您)九 卜=^自=2 (6/) 0
а само ypasuemic no+кет быть записано в форме [5]
1
j\p(p)pK(小 自)如=九/⑺.(0*Г0]).(6.2)
О
Основываясь па этом факте, приведем решения осесимметричных аналогов плоских задач, рассмотренных в § 7 гл. I и в § 6 гл. V. Функции L(u) соответственно будут иметь вид (7.4) гл. I и (G.G) гл. V.
Заметим, что пптегральпое уравнение (6.2), (6.1) мо;кно также представить в виде эквпвалеипюго ему парного интегрального уравнения
Jo(V)J0(Vr)L(XV)CZV-/(r) (0<г<1),(6.3)
О
]①(T)4行)?势=0(Г>1),
О
①(т) = J ф(р) pJo(PY)Zp.О
Изложим алгоритм [15] решения (6.3) в предположении, что //х (г) — ограниченная функция,九包(0, ℃).
Введем в рассмотрение операторы
t
и^(г)= /『歹*/ 屮 8 dr' (6“)
0绷⑺=J /1^96勿，(6.5)
Известно, что
U{JQ (号)=cos ?& 0犷0 (号) = y cos yt. (6.6)
Подействовав теперь на первое соотношение из (6.3) оператором (6.4), а на второе оператором (6.5), придем к парному интегральному уравнению
J ①(?) £ (Ху) cos ytdy = g ⑺(0《力& 1),
°8(6・7)
f Ф(7)cos 丫方 d? = 0(力〉1).
Здесь обозначено g(t)=g/⑺.(6.8)
Выполним в первом равенстве (6.7) тождественное преобразование:
ОО8
f ①(7)cos yt йу =[①(丫)[1 — £ (入丫)1 cos ytdy + g«) (0 W 力 W 1)
ОО
и введем обозначение
2 «) = j* Ф(Y)cos yt dy.(6.9)
о
Получим соотношений
ip(i) = J Ф(у)[1 — L (X?)] cos ytdy + g (t)(0 & t & 1), ® [°)
少(力)=0(力> 1)•
Учитывая (6.9) и второе соотношение (6.10), па основании формулы обращения преобразования Фурье имеем
1
①(?)= -^~ j 屮(力)cos yt dt,о
11ооЕсли теперь последнее равенство подставить в первое соотношение (6.10) и изменить порядок интетрпроваипя, относительно функции 屮(力 получим интегральное уравнение второго рода
1
1
о
о
2 屮⑴=T2 屮⑴=TJ [1 — L (入Y)I cos yt cos 叩 d? dx + g (力)(6.11)(0 W 力 W 4).
2 屮⑴=T
2 屮⑴=T
Поскольку функция g«) четна, четной будет и функция 屮(力)・ Учитывая это, уравнение (6.11) преобразуем к виду
1
冗入屮⑺一J 屮⑴ М=冗入g (0(I Н & 1),(6.12)
М (z) = J [1 — £ 他)]cos uz du.(6.13)
о
Возможна и другая форма записи (6.12), (6.13):
dx = ЯХg (力)dx = ЯХg (力)("I&1)，("I&1)，N (z) = j £ (〃)оN (z) = j £ (〃)оcos uzdu.cos uzdu.(6.14)(6.15)(6.14)(6.15)
dx = ЯХg (力)
dx = ЯХg (力)
("I&1)，
("I&1)，
N (z) = j £ (〃)о
N (z) = j £ (〃)о
cos uzdu.
cos uzdu.
(6.14)
(6.15)
(6.14)
(6.15)
При переходе от (6.12), (6,13) к (6.14), (6.15) было использовано интегральное представление дельта-функции Дирака
3 (z) = j cos uz du,о
Решив интегральное уравнение (6.12) или (6.14), без труда можем выписать п решение исходного уравнения (6.3) или, что эквивалентно, решение интегрального уравнения (6,2), Принимая в расчет формулу (6.4), запишем 11t
J 屮(р) РЛ(РТ)dp = ^ J 屮 U) 4" J 竺.di dt =
ООО И — т
tJQ (7/) dt.tJQ (7/) dt.
tJQ (7/) dt.
tJQ (7/) dt.
Сравнивая теперь левую и правую части полученного равенства, будем иметь
屮(г) = ^屮(г) = ^屮⑴屮⑴(6.16) (о&у 1)..(6.16) (о&у 1)..
屮(г) = ^
屮(г) = ^
屮⑴
屮⑴
(6.16) (о&у 1)..
(6.16) (о&у 1)..
Заметим, что имеют место следующие теоремы [5]: Теорема 1. Если 屮(力)三 Н：? (— 1, 1), то
屮(r)= s(r)(2—产尸 ％(6.17)
причем со (г) w 〃； 2 (— 1, 1).
Здесь 屮(力 есть решеппе уравнения (6.12), (6.23), а(р(г) имеет вид (6.16).
Теорема 2. Если /"(г) ограничена, то функция g(力 вида (G.8) принадлежит 〃*(— 1, 1) н, кроме того, решение интегрального 57раЕпештя- (6.12) с ядром (6.13)㈠(力)принадлежит Н； ?(—1, 1).
Для построения приближенного решения интегрального уравнения С6.12), (6.13) воспользуемся методом, изложенным в § 3 гл. V. Приведем числовые результаты, касающиеся поставленных в этом параграфе задач для случая, когда /(尸)=8。一' (штамп имеет плоское основание). Тогда в согласии с (6.8) найдем g(力= =8а~\ Воспользовавшись далее известным [16] представлением полиномов Ле?капдра
炉(r\ _ J_ 1/4/ + 1 У (—1)"⑷一2〃)！
广2八/,一 炉 m ~- y "！ (2/ — 7»「日二一 2『饼"，
из формулы (6.16) получим
中6= -士jmN 号"hi，
j=011=0
(6.18)
Г 1-1
厶允(，)=丁
где 〃j суть коэффшцюиты разло;ке1П1я ретпеппя 寸(打 пптеграль- пого уравнения (6.12), (6.13) в ряд Фу])ье по ортопормпровапноп системе полиномов Леяшпдра вида
Заметим, что а^ находятся из бескопечло1г систспн типа (3.14) гл. V. Ограничиваясь в цоследноп рассмотрением первых трех-
Подставляя теперь (6.19), (6.20) интегралов•А),О (г) = Л,1(Н = Л,2 (г)Подставляя теперь (6.19), (6.20) интегралов•А),О (г) = Л,1(Н = Л,2 (г)Л,о (г) =，2,1 (г)=Л,о (г) =，2,1 (г)=А,0 (г) =，3,1 (г)=А,0 (г) =，3,1 (г)=1 + 4产一8r4з РГГ71 + 4产一8r4з РГГ7четырех уравнений, получим соответственно для первой задачи при п = 0,5 и 九=1/2, 1, 2
Подставляя теперь (6.19), (6.20) интегралов
•А),О (г) = Л,1(Н = Л,2 (г)
Подставляя теперь (6.19), (6.20) интегралов
•А),О (г) = Л,1(Н = Л,2 (г)
Л,о (г) =，2,1 (г)=
Л,о (г) =，2,1 (г)=
А,0 (г) =，3,1 (г)=
А,0 (г) =，3,1 (г)=
1 + 4产一8r4з РГГ7
1 + 4产一8r4з РГГ7
-а2-103--38,555;
2,074;
0,7061;
(z3-103 =
二一5,630;
для второй задачи при
п = 0,1;
т — 10;
w = 0,3;
九=2/2, 1, 2
& = 5,1999;
3,0815;
2,1217,
10 = 7,2487;
1,8587;
0,3002;
(6.20)
& • 103 = 22,746;
8,813;
0,6755;
а3 • Ю3 =
5,977.
& = 2,96905; 1,95274; 1,58487;
^-•10 = -1,6714; 0,27374; 0,16058;(6.19)
в (6.18) и используя значения
」з,о(г)=」з,о(г)=1 + 2г2 + 8г4 — 16г6
」з,о(г)=
」з,о(г)=
5 VT^> '
построим функцию распределения контактных давлений ф (г)『а под штампом в форме
屮(г)У I aQ — 5al (2 — 3r2) + «2 (8 — 40г2 十 35r一 л И 1 - r2 L
一空。3 (16 - 168产十*37&■4 一 231Г6)].
На рис. 6.3, 6.4 приведены зависимости между qj(r)'6-1a и г, посчитанные для указанных выше значений безразмерных параметров соответственно для первой и второй задач. При этом кривой 1 соответствует значение 九= 0,5, кривой 2 ——X — 1, кривой 3 ——九=2. Из графиков видно, что с увеличением ^параметра 九 величина контактных давлений под штампом будет уменьшаться. Кроме того, кривая 4 на рис. 6.3, 6.4 соответствует случаям тг = 0ч % == 1 для задачи 2итп = 0,九=2 для задачи 2. Нетрудно заметить, что когда жесткость нижнего слоя по отношению к верхнему велика, то контактные напряжения больше, чем в случае приведенных выше значений параметров пит при одном и том же А.
28 В. М. Александров, С. М. Мхитарян
В заключение отметим, что после того, как построена функция распределения нормальных контактных напряжений 屮(г)5"а, не составляет труда определить связь между осадкой штампа 6
Рис. 6.4.Рис. 6.4.
Рис. 6.4.
Рис. 6.4.
и величиной вдавливающей его дующее условие статики:и величиной вдавливающей его дующее условие статики:силы. Именно, имеет место еле-силы. Именно, имеет место еле-
и величиной вдавливающей его дующее условие статики:
и величиной вдавливающей его дующее условие статики:
силы. Именно, имеет место еле-
силы. Именно, имеет место еле-
(6.21)(6.21)
(6.21)
(6.21)
Значения Q6~la для первой и второй задач соответственпо равны QLa = 8,40; 5,52; 4,48; 8,79,
QLa = 14,71; 8,72; 6,00; 9,93.
При этом 九= 1/2, 1, 2, а четвертые значения соответствуют случаям тг = 0,九=1 для первой задачи и тп = 0,九=1 для второй. Из приведенных числовых данных видно, что армирование слоя по основанию прослойкой винклеровского типа или типа накладки уменьшает контактную жесткость упругой системы в целом.
Вдавливание упругого шара в границу сферическойполости в упругом пространстве, усиленную тонким покрытием
Пусть в сферической системе координат (г, ®,屮)задано упругое пространство со сферической полостью радиуса Z?2, граничная поверхность которой усилена тонким покрытием в виде упругой сферической оболочки малой толщины 无.Пусть в этой сферической полости находится упругий шар радиуеа А,, который вдавливается в упругое основание осесимметричной нормальной нагрузкой д(8) (у V 8 V л) н находится под действием сил тяжести
индексы «+» и «~» со-индексы «+» и «~» со-(рис. 6.5). При этом, как обычно, предполагается, что в области контакта шара с основанием трение отсутствует, а разность е = =R* — Ri (Ао=7?2—八)имеет порядок упругих смещений. Требуется определить закон распределения контактного давления под шаром —о+(й) и размер области контакта у.
индексы «+» и «~» со-
индексы «+» и «~» со-
Обозначим через о_(В) и т-(8) соответственно нормальную и тангенциальную компоненты контактных напряжений, действующие на поверхности соединения усиливающего покрытия с основанием. Через 〃КВ) и 内(0) обозначим соответственно радиальные и тангенциальные компоненты упругих перемещений граничных точек шара (/ = 1) и сферического основания радиуса R2 (/ = 2), а через 〃土 (心)и и±(О) — компоненты перемещения граничных точек усиливающего сферического покрытия, i
ответствуют точкам, находящимся на сферических поверхностях с радиусами R2 и
Имеют место следующие граничные условия для шара и основания с усиливающим покрытием:
用=о, o「= M(e)= L：*J：]；；Y，琨)=0(「=&)'
(7.1) т^ = 0, a>(O)= ^oR={_aJw) 0<^<7, т^ = о (「=%).
На поверхности соединения усиливающего покрытия с основанием имеют место условия
我+(3)=北2(0)，*(心)=以(心)(0 < ,& < n).(7.2)
Поскольку толщина h усиливающего покрытия предполагается малой {h/R21/20), можно принять
w-(,&) Q 北+(0)，厂(0)冗 u+优)(0 V 0 V n).
При учете этих соотношений условие контакта шара со сферическим основанием радиуса А。можно выразить формулой [1]
—〃К6) + 〃2(О)=6 cos 2 — е(1 — cos 仆) (0 V 仆 V у). (7.3) Здесь 6 ——жесткое смещение шара, также подлежащее определению.
Задача разрешима при условии
2л7?1『％ (a) cos а sin а da = Z + Р,(7.4)
о
где Z ——равнодействующая внешнего давления д(8):
л
Z — — 2冗 A； J g (a) sin а cos а da,
P=告冗A；pg——вес шара, p — плотность материала шара, g —— ускорение силы тяжести.
Как известно [17, 18] %(8) и w2(^) даются формулами л
〃i(e)=砧 J M(a)&"，a)sinada—而不喇cos8, (7.5) "2(3)=
2П% J2П% JR Гsinada+ н\ У2 (а)反з (О, а) sin ada, 2 ОR Гsinada+ н\ У2 (а)反з (О, а) sin ada, 2 О(7-6)N? (а) Q — о_ (а), Т? (а) = — t_ (а)(0 < а < л),1(7-6)N? (а) Q — о_ (а), Т? (а) = — t_ (а)(0 < а < л),1% (О, а)% (О, а)« 2vn1~ 1十匕 + 4 (2 — %) 〃 (1) + Re« 2vn1~ 1十匕 + 4 (2 — %) 〃 (1) + Re+ 专卜(y) dy,+ 专卜(y) dy,
2П% J
2П% J
R Г
sinada+ н\ У2 (а)反з (О, а) sin ada, 2 О
R Г
sinada+ н\ У2 (а)反з (О, а) sin ada, 2 О
(7-6)
N? (а) Q — о_ (а), Т? (а) = — t_ (а)(0 < а < л),
1
(7-6)
N? (а) Q — о_ (а), Т? (а) = — t_ (а)(0 < а < л),
1
% (О, а)
% (О, а)
« 2vn
1~ 1十匕 + 4 (2 — %) 〃 (1) + Re
« 2vn
1~ 1十匕 + 4 (2 — %) 〃 (1) + Re
+ 专卜(y) dy,
+ 专卜(y) dy,
ь2 "，a)ь2 "，a)11+ g 〃伍）或/,+ g 〃伍）或/,〃(У)dy.〃(У)dy.胪=(1 — г/)2 + 4y sin2胪=(1 — г/)2 + 4y sin27,2 — 4y sin 0 sin a7,2 — 4y sin 0 sin a
ь2 "，a)
ь2 "，a)
1
1
+ g 〃伍）或/,
+ g 〃伍）或/,
〃(У)dy.
〃(У)dy.
胪=(1 — г/)2 + 4y sin2
胪=(1 — г/)2 + 4y sin2
7,2 — 4y sin 0 sin a
7,2 — 4y sin 0 sin a
тт 仃 7 — 8v
彳 + ~ё" •『二-?j cos 0 cos a + 4 (1 — v2) и (1)—
тт 4—5vq
反з(0, а)=反з(0, а)=瓦不Г cosOcosa +友
反з(0, а)=
反з(0, а)=
Функция u, входящая в ядра EG, Я2 и 反з, выражается через полный эллиптический интеграл первого рода К(к):
立®) = м (г/, 8, а)= 耳©「^ (1 + 沙 cos О cos а),
Константы 4j, %; (j = 1,2,3) зависят только от коэффициента
Пуассона v； (/ = 1,2):
, с °16v?-16v?-4vn + 5
4 = 8vj — 8vj + 1 + i
,916噜—16律 —+ 5
А2 = 8v2 — 8v> + 2 — %户 г • г,
/3 一端
4 = 4V2 — 3 — %4 = 4V2 — 3 — %.8 喝一6% - 1.8 喝一6% - 1
4 = 4V2 — 3 — %
4 = 4V2 — 3 — %
.8 喝一6% - 1
.8 喝一6% - 1
% = ~ ^i 一 2Vl + i )^3 — 4*；),入2 = }(2 + 2v2 + г J^3—4式),
Ri и 卩2 ——модули сдвига (параметр Ляме) материала шара и упругого пространства со сферической полостью.
После подстановки в (7.3) соответствующих выражений из (7.5) с учетом С7.1) и (7.6) получим разрешающее интегральное уравнение поставленной задачи, которое, кроме искомого контактного давления о+(^), будет содержать также неизвестные напряжения о_(仔)и тДй). Последние можно исключить при помощи дифференциальных уравнений равновесия сферического покрытия, трактуемого в рамках теории тонких оболочек. Предполагая, что оболочка находится в безмоментном напряженном состоянии, на основе уравнений (8.46) —(8.48) гл. I будем иметь
磅(芒由［為"2 (0) + Ctg行為％ (0)十(1- %一 素卜(0)十
+ 0 + V0)煮"我2 (0)}=T一⑼‘
^2 ⑼ + Ctg 0肉(9) + 2我2 ")}0+ (0) - h-(廿).
(7.7)
Отметим, что при выводе уравнений (7.7) за перемещения срединной поверхности оболочки приняты перемещения поверхности соединения усиливающего покрытия с основанием и учтено условие (7.2)
Отметим также, что в основе (7.7) лежит гипотеза о прямолинейном нормальном элементе, что равносильно пренебрежению нормальным напряжением о33 и сдвигами е13 и е2з по сравнению с остальными напряжениями и сдвигом. Однако для обсуждаемой задачи представляется более целесообразным условие о33 = 0 за^ менять условием е33 = 0. При этом в (7.7) заменяются
局 на E^EJ(\-^,
*(/・S)
% на v0 = v0/(l — v0),
где Eq и Vo ——упругие постоянные усиливающего покрытия.
■ Далее нам понадобятся выражения 辽2(О)и %(О) в рядах по многочленам Лежандра Pn(cos3) [17]：
辽 2 (®)=—辽 2 (®)=—凡 7—8vn —R„ 4—5v。一
辽 2 (®)=—
辽 2 (®)=—
Ж U BCM 疯 E； cos ® +
+就e謚•礎% (cosO)+詁2三翼U黑"a(cos勛(7・9)
%[sin® +
218% 1 — v2 128卩2 & — %
+ ^22^1 "爭鳥 ％(cosO)+ 号 Ejz； ； f /肇粉 2 (cos *),
— 2n + 1 а» =—— 2n + 1 а» =—1(7.10)
— 2n + 1 а» =—
— 2n + 1 а» =—
-_ 2n + 1^ = _ 2矶叶1)-_ 2n + 1^ = _ 2矶叶1)J о_ (а) Рп (cos а) sin а da (п = 0, 1, 2,.；.), о
-_ 2n + 1^ = _ 2矶叶1)
-_ 2n + 1^ = _ 2矶叶1)
J т_ (а)詣[Рп (cosa)] sin a da (тг = 1, 2,…), о
/^)= — 2 (2п 4-1) (2球一2匕冷2 + 4汽一5匕汽十 2 — v2)/{A ($+ 2)], 4俨=/，)= 一 2 (2〃 +'l) (n 一 2v2tz；+ 3 - 3v2)/[A (汽 + 2)],
4型=-2\2汽+2)(2标—232汽2+5汽-7^272-4%+4)/[a?(汽+2)(汽+2)], A — тг2 + (1 — 2v2) тг 4- 1 — v2.
Представим правые части (7.7) в виде рядов по многочленам Лежандра
- ОО'
—Т_ (0) = 2 т» ^ % (cos О),
т^ = — ^^ту〕'-(a)言冏(cos a)] sin a da,о
°-⑼=£0np九(COS 0'), Gn = ^一 71=0
OOV
0十⑼=E o^Pn(cosO), 以=一之饺，]仃+ (a) Pn (cos a) sin a da.
Затем подставим выражения 网(8) и 刀2(8) из (7.9) и (7.10) в левую часть(7.7). Имея в виду соотношения
1 =儿(cos 8), cos 8 = % (cos О), sin О =—言尸1 (cos 廿)，
読■ P„ (cos 0) + ctg 0 俞 Pn (cos e)=
=一九 5 + 1)耳厶(cos 8) + —5y 丽 Pn (cos 令)， 济 Pn (cos 廿)+ ctg 0 而 Pn (cos ^ = — n(n + l)Pn (cos 0)
и приравнивая коэффициенты при ^； Рп (cos ^) и Pn(cos^>(n = 0,1,...), после некоторых элементарных выкладок получим晒=若/a + 吟 0T = , 一 ^7^7冲，tT=^T^T0；dn = c^n + 力)。力 > ^n — — 2m (1 v ) °" + 〃"。几('=2, 3,..,),a = E0h/[2[i2B2(i — v0)],
a4)= (1 -f* v°)(峻—2V2九* — %九2 — 5九-f* 7V2九一2 -f* 2%)。*/dni a® = (rnDn + 1 — 2v2)/[2 (1 — %" dn],
Dn = E^i/[2^R, (1 一 喲(九 + 2) A],
dn = 1+刀九[(标+汽-14- V0) (2汽2 - 2v2tz2 + 5汽-7*2汽 + 4 - 4v2)— —2 (1 + %)(疝—2V2峻 + 2球—3V2标一汽 + 2匕汽一1 + v2)], fn = (1 - Vq - 72 - M) (tz + 5V2汽-8若汽-4 + 12v2 ,~ 8芯)+
+ 2 (1 + %)(汽3 — 2":咫 2/г2 — 2w2球一v^2 + 2?Х —
—6v2^ + 5V配 + 1 - 3V2 + 2若) (тг = 2, 3,...).
Подставляя выражения (7.11) в (7.9), для u2(^) иолуннм m6)——今击若一
亳中金三『cos e +幻2品解仁（cos旷 _ 統；£）e孤1 （九十1）"华厶（cos 0）+今 肾 含六諸川侬®）, 点=&N家 + 九 5 + 1）潇%學；以=0（九Т）, ?г^оо. （7.12）
На основе полученного в 117, 18] решения первой краевой задачи для упругого шара 北式今)можно представить в виде
〃2 ⑼=I a+ 2) % (必 口)sin a da (О V О V я), (7.13) z О
3 —9cos О cos a +--и (1)——1 %3 —9cos О cos a +--и (1)——1 %rr1, л 7 - 8v2 + (5 - 6v2) a
3 —9
cos О cos a +--и (1)——
1 %
3 —9
cos О cos a +--и (1)——
1 %
4 (0, a)—不匸c + 守一(1 十 a)(1 _ %)—
，川 2：；、e俨 + *] Pn(cos 0)尸我(cos a),
(2 — 8% + 8v0 /г? +(6 — 25% 十 20v|)孔 + 7 — 15v2 十 &城
5 十 2)[戸 + (1 — 2V2)孔 + 1 — %
(7.14)
(8崂一4v2 - 3)『/ +(20vf — 11V2 4)汽 + 1 — 9% + 8卷
(孔 + 2) ["2 + (!_——2V2)^ + 1 — v2]
Отметим, что когда на поверхности сферической полости упругого пространства усиливающее покрытие отсутствует (Л = 0), то
〃 =0, Е)1-2%〃 =0, Е)1-2%=0, Dn — О,=0, Dn — О,20一%）这20一%）这点 =2（i — v：）m + '）/伊，点 =2（i — v：）m + '）/伊，
〃 =0, Е)1-2%
〃 =0, Е)1-2%
=0, Dn — О,
=0, Dn — О,
20一%）这
20一%）这
点 =2（i — v：）m + '）/伊，
点 =2（i — v：）m + '）/伊，
И ДЛЯ 北2(今)получим
〃2 (") = о+ (О) ”2 (露 a) sin a da (О V О V注)，(7.15)
也(О, a) = ^ + 今U? cos d cos a+ 4(1 — v2) u(1)—
—^ £ e^Pn (cos 0) Pn(cos a) = £ + ^ ； —'：j cos » cos a +
1+ 4(1-V2)w(l)-Re1+ 4(1-V2)w(l)-Re+ 4 我 (力或/.+ 4 我 (力或/.
1
+ 4(1-V2)w(l)-Re
1
+ 4(1-V2)w(l)-Re
+ 4 我 (力或/.
+ 4 我 (力或/.
Выражение 北式仆)дается формулой (7.*5), которое с учетом (7.1) примет вид
1' /2 呻]1' /2 呻]sin a da —q (a) H^, a) sin a da—sin a da —q (a) H^, a) sin a da—
1' /2 呻]
1' /2 呻]
sin a da —q (a) H^, a) sin a da—
sin a da —q (a) H^, a) sin a da—
—тъ-т—г 5- cos О (0<^ <л),(7.16)
16 1 + Vx 叩 Ji\、八、/
% (®, a) = ^ 扌M?1 + 4 (1 — ％)①(1)十 Re j + 3)①仅)dy =
=f fZ—• + 4(1 —Vx)w(l) + ^ 2 謂P" (cos a) Pn (cos a), 十 V171=2
• (7.17)• (7.17)(2 — 8期工 + 8v；) /г? —(2 — 9Vl + 4v；)冷 + 3 十 2v】—4v；
• (7.17)
• (7.17)
(72 — 1) [n2 + (1 + 2VX) П + 1 + Vx]
Подстановка в (7.3) выражений u2(^) и 北,(@) из (7.15) и (7.17) приводит к следующему интегральному уравнению относительно контактного давления с+С&):
о (a) da ~f (^) (7.18)о (a) da ~f (^) (7.18)
о (a) da ~f (^) (7.18)
о (a) da ~f (^) (7.18)
(О V 仆 V у).
В ядре уравнения (7.8) выделены его главная часть в виде К(к) и регулярная часть "(8, a) sin а:
"®")=端产"a)+端;/(爲 a) (% + m*
£(&а) =£(&а) =л &片一2、一 3 t一iT弋—л &片一2、一 3 t一iT弋—2冗(1 — *i) cos 0 cos. а +2冗(1 — *i) cos 0 cos. а +
£(&а) =
£(&а) =
л &片一2、一 3 t一iT弋—
л &片一2、一 3 t一iT弋—
2冗(1 — *i) cos 0 cos. а +
2冗(1 — *i) cos 0 cos. а +
+ 号 £ 碌)P” (cos 8) P“ (cos a).
Л / 16—8%\ I л Г 7-8v2+(5-6v2)a3—統]、，
T ^1+7 — ТЦГ 丿十玄 3(Ц-«)(1-у2)1^ j x
X cos 0 cos aX cos 0 cos a1—2%1—2%或）十或）十у- Pn(cos ®) Pn (cos a),у- Pn(cos ®) Pn (cos a),
X cos 0 cos a
X cos 0 cos a
1—2%
1—2%
或）十
或）十
у- Pn(cos ®) Pn (cos a),
у- Pn(cos ®) Pn (cos a),
% = & (1 — %) /(呻i)，小=% (3 — 4V2)/[4n (1 — v2)历].
Через o(O) обозначено искомое контактное давление в следующем безразмерном виде:
о(О) = (r|i + г|2)о+(О)/е.
Функция /(О), содержащая пока неизвестную константу 6*
имеет вид/⑼= 3о —4ро) cos。一имеет вид/⑼= 3о —4ро) cos。一ллVVsin adasin ada-1,-1,1+^,1+^,А =А =3 1-2%百评匸3 1-2%百评匸凡小+小厂，凡小+小厂，Po =Po =(%+%)「2лЛ^е '(%+%)「2лЛ^е '
имеет вид
/⑼= 3о —4ро) cos。一
имеет вид
/⑼= 3о —4ро) cos。一
л
л
V
V
sin ada
sin ada
-1,
-1,
1+^,
1+^,
А =
А =
3 1-2%百评匸
3 1-2%百评匸
凡
小+小厂，
凡
小+小厂，
Po =
Po =
(%+%)「2лЛ^е '
(%+%)「2лЛ^е '
Условие равновесия шара (7.4) в новых обозначениях примет вид
Yл：
sin a da =沪^ (Лх+Лз) j 7о (cc)cos(zsin(z 加十 pQ, (7.19)
о1v
%3)=%03)/(2冲声).
Отметим, что функция 〃(令，а) sin а в области О V О, а < у имеет квадратично суммируемые частные производные первого порядка.
Таким образом, определение контактного давления о(») сводится к решению интегрального уравнения (7.18). Так как подлежат определению также размер области контакта 丫 и жесткое смещение шара 6, то к уравнению (7.18) следует добавить условие равновесия шара (7.19) й условие ограниченности контактного давления на крае области контакта
g(Y)= O.(7.20)
Приведем также разрешающее интегральное уравнение в том частном случае, когда на границе полости упругого пространства усиливающее покрытие отсутствует {h = 0).
После подстановки выражений 辽式。)и 玄式。)из (7.15) и (7.16) в условие контакта (7.3) придем к интегральному уравнению
{「V詳研 К ("常筝 + 〃* (О' a) sin а] о* (а) da = /* (О)
(0<OVY),(7.21)
имеющему вполне аналогичную с (7.18) структуру. Здесь
О* (а) =(П1 + Па) о+ ⑷总
〃*(°，a) = I■磊畐 2, a) + 余 К (0, a) (% + 倩尸，
驳2 (0, a) = — (7—8%)彳一——cos 0 cos a —
e^Pn (cos О) Рп (cos a),
П=2
/* ⑼=6 — 4*р；) cos 0 —/* ⑼=6 — 4*р；) cos 0 —q (a) % (H, a) sin a da — 1,q (a) % (H, a) sin a da — 1,4*Г^ 詁（％ +喧尸，Р：=4*Г^ 詁（％ +喧尸，Р：=(% + П：)Р(% + П：)Р” 叫(DРешение (7.18) представим в” 叫(DРешение (7.18) представим ввиде рядавиде рядаG⑼=G⑼=sec唱sec唱2 事2 cos 心—22 事2 cos 心—2с известными (7.20) должнос известными (7.20) должно2 冗 t?f2)2 冗 t?f2)z'j (7.22)z'j (7.22)'' 力 ВтпР^т'' 力 ВтпР^ткоэффициентами l^m}m-o- При этом ввиду условие иметь место соотношениекоэффициентами l^m}m-o- При этом ввиду условие иметь место соотношениеN NmP2m (0) =0・ m=0Здесь Pm(N) (zn == 0,1, 2,...) — многочлены Лежандра, нальные на отрезке [—1, 1].В дальнейшем понадобится следующее интегральное шение:N NmP2m (0) =0・ m=0Здесь Pm(N) (zn == 0,1, 2,...) — многочлены Лежандра, нальные на отрезке [—1, 1].В дальнейшем понадобится следующее интегральное шение:(7.23>(7.23>ортого-ортого-СООТНО'СООТНО'2 a \atg -j \tg-yda2 a \atg -j \tg-yda冗р2 V2cos "2~ cos-^-冗р2 V2cos "2~ cos-^-1 к /l/sin4sina、夕1 к /l/sin4sina、夕sinsin^/ 2cos a—2 co s 7^/ 2cos a—2 co s 7(т = 0,1,2, ...), (7,24)子 4-m (哂T[Q成— 1)!!]2,(т = 0,1,2, ...), (7,24)子 4-m (哂T[Q成— 1)!!]2,
/* ⑼=6 — 4*р；) cos 0 —
/* ⑼=6 — 4*р；) cos 0 —
q (a) % (H, a) sin a da — 1,
q (a) % (H, a) sin a da — 1,
4*Г^ 詁（％ +喧尸，Р：=
4*Г^ 詁（％ +喧尸，Р：=
(% + П：)Р
(% + П：)Р
” 叫(D
Решение (7.18) представим в
” 叫(D
Решение (7.18) представим в
виде ряда
виде ряда
G⑼=
G⑼=
sec唱
sec唱
2 事2 cos 心—2
2 事2 cos 心—2
с известными (7.20) должно
с известными (7.20) должно
2 冗 t?f
2)
2 冗 t?f
2)
z'j (7.22)
z'j (7.22)
'' 力 ВтпР^т
'' 力 ВтпР^т
коэффициентами l^m}m-o- При этом ввиду условие иметь место соотношение
коэффициентами l^m}m-o- При этом ввиду условие иметь место соотношение
N NmP2m (0) =0・ m=0
Здесь Pm(N) (zn == 0,1, 2,...) — многочлены Лежандра, нальные на отрезке [—1, 1].
В дальнейшем понадобится следующее интегральное шение:
N NmP2m (0) =0・ m=0
Здесь Pm(N) (zn == 0,1, 2,...) — многочлены Лежандра, нальные на отрезке [—1, 1].
В дальнейшем понадобится следующее интегральное шение:
(7.23>
(7.23>
ортого-
ортого-
СООТНО'
СООТНО'
2 a \a
tg -j \tg-yda
2 a \a
tg -j \tg-yda
冗р
2 V2
cos "2~ cos-^-
冗р
2 V2
cos "2~ cos-^-
1 к /l/sin4sina、夕
1 к /l/sin4sina、夕
sin
sin
^/ 2cos a—2 co s 7
^/ 2cos a—2 co s 7
(т = 0,1,2, ...), (7,24)
子 4-m (哂T[Q成— 1)!!]2,
(т = 0,1,2, ...), (7,24)
子 4-m (哂T[Q成— 1)!!]2,
которое получается из известного соотношения [11]
^КШ 子冃"‘"T -^ WE оу 丄 一 у
при помощи элементарных выкладок.
Подставив (7.22) в (7.18) и используя соотношение (7.24), получим равенство, которое, умножая на
Р2 cos О — 2 cos V，Р2 cos О — 2 cos V，
Р2 cos О — 2 cos V，
Р2 cos О — 2 cos V，
проинтегрируем по ^ в пределах (0, у). Использование свойства ортогональности многочленов Лежандра
О, п,
—tgy sec 千(4n + I)-1, m = n,
приводит к следующей бесконечной системе линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов хт (m = 1, 2,...):
+ (4九 + 1) hn Кп>тхт = (4冷 + 1) Л-n^n (九 1,2, ...(7.25)
Кроме того, для определения коэффициента х0 получим соотношение
% + ® £ ка：тхт =战［吊D + (6。一 4Pо)碎)］.(7.26)
Здесь
Кп,т = j 尸2>1 (/1 _ 叫0 (0) de J " (e, «) ^2m ( /1 — 2 s (a) da 00
(7.27)
(ZZ, 772 = 0, 1, 2,..
bn =猾 + (60 一 APo) b^ + /唠(n = l,2,
VV
^n)=j<p (^)^2» ( pl—逆)s(0)d8,於：)=］尸2“(力一*s2)cose d爲 оо'
唠=—Kn,o, hn = -^- an1 ctg ^ cos2 ^ (" = o,l,2,…)，
屮(H) = — ) % (a) Hi (力，a) sin a da — 1,о
а через 瑞 g и 必 обозначены
二 tg("/2)“ = tg(a/2；〃"川=tg("/2)
tg (丫/2) ' 5tg(?/2) ' I 丿 У2 cosl> — 2cosa^*
Следует отметить, что при численных расчетах обычно задается величина размера области контакта у, а затем определяется равнодействующая контактного давления о (О). Для проведения
числовых расчетов рассмотрим случай постоянной нагрузки 夕2)=夕=const. Тогда
л
屮(0) = —0о] "1(0, a)sinada —1,%= ^^，
6：? = — I (j % (О, a) sin a da) P2M /1 —力 2)必纣)己館
о
Теперь заметим, что неизвестные коэффициенты хп (几=1, 2,.. J можно представить в виде
=夕停型)+ 力^)+ (60 —+ xQx^\
где коэффициенты 力9)(/ == 1, 2, 3,4) — решения бесконечных систем
力俨 + (4冷 + 1) %』Kn^mx^ = (4尸 + 1) %碗)(n = 1, 2, .. ；). (7.28)
Неизвестные константы 夕°, 5°； р0, х0 определяются из соотношений (7.19), (7.23) и (7.26), которые дают систему
% ( £ Xmb^ —学(％ + %) sin2y—(1 + 4)pQ £ 力＞：)磯'+ g(瓦% ( £ Xmb^ —学(％ + %) sin2y—(1 + 4)pQ £ 力＞：)磯'+ g(瓦+б0 2磷畸一+б0 2磷畸一+斗+斗-2成需，-2成需，
% ( £ Xmb^ —学(％ + %) sin2y
—(1 + 4)pQ £ 力＞：)磯'+ g(瓦
% ( £ Xmb^ —学(％ + %) sin2y
—(1 + 4)pQ £ 力＞：)磯'+ g(瓦
+б0 2磷畸一
+б0 2磷畸一
+斗
+斗
-2成需，
-2成需，
外 £力像外 £力像‘Р2m⑼ + bo » 力^’Р2^ (0) 一 ApQ 2 力^)P2m (°) +‘Р2m⑼ + bo » 力^’Р2^ (0) 一 ApQ 2 力^)P2m (°) +
外 £力像
外 £力像
‘Р2m⑼ + bo » 力^’Р2^ (0) 一 ApQ 2 力^)P2m (°) +
‘Р2m⑼ + bo » 力^’Р2^ (0) 一 ApQ 2 力^)P2m (°) +
/ 8%无0 I £ ^т к0)m \m—1/ 8%无0 I £ ^т к0)m \m—1+%3o (』X(inKQtm —屏2’+%3o (』X(inKQtm —屏2’■一*^0^0 (』^п К0}т — Ь俨 I + ^0 ( l + ^o^o,o + ^o £ 瓏)К(),т■一*^0^0 (』^п К0}т — Ь俨 I + ^0 ( l + ^o^o,o + ^o £ 瓏)К(),т
/ 8
%无0 I £ ^т к0)m \m—1
/ 8
%无0 I £ ^т к0)m \m—1
+%3o (』X(inKQtm —屏2’
+%3o (』X(inKQtm —屏2’
■一*^0^0 (』^п К0}т — Ь俨 I + ^0 ( l + ^o^o,o + ^o £ 瓏)К(),т
■一*^0^0 (』^п К0}т — Ь俨 I + ^0 ( l + ^o^o,o + ^o £ 瓏)К(),т
+ 力0 1+2 х(т Р^т (0) = — 2 力^'尸2m (°),
“(碎)一2 ^тк^m\m==l
Таким образом, получены три уравнения с четырьмя неизвестными. Поэтому при числовых расчетах необходимо либо не учитывать силы тяжести шара (ро = О, qQ =^ 0), либо не учитывать нагрузку а(令)5*0, 0q = O).
Исследуем систему (7.28) на регулярность. Введение новых неизвестных по формуле
ж^ = (4n)1-sz/^ (n = 1, 2,...),
у^ — (4n)sgn 2 ^т)~5Нп,тУт = (4吟 gn sinf •龙у^ — (4n)sgn 2 ^т)~5Нп,тУт = (4吟 gn sinf •龙X*(Mi^?)tg2 貝a, ^n = -^ Ctg2 -^- cos ~ ай1 [1 + (4n)-1](九= 1,2,...).X*(Mi^?)tg2 貝a, ^n = -^ Ctg2 -^- cos ~ ай1 [1 + (4n)-1](九= 1,2,...).где s ——сколь угодно малое положительное фиксированное число, приводит к бесконечной системе
у^ — (4n)sgn 2 ^т)~5Нп,тУт = (4吟 gn sinf •龙
у^ — (4n)sgn 2 ^т)~5Нп,тУт = (4吟 gn sinf •龙
X*(Mi^?)tg2 貝a, ^n = -^ Ctg2 -^- cos ~ ай1 [1 + (4n)-1](九= 1,2,...).
X*(Mi^?)tg2 貝a, ^n = -^ Ctg2 -^- cos ~ ай1 [1 + (4n)-1](九= 1,2,...).
(7.29)
Здесь 尸俨"(z) (a = 0,1, 2,...) — многочлены Якоби, причем 磴。)(z) = Р“ (z).
Отметим, что ядро Нп,т получено из ядра К,Пт после интегрирования по частям с учетом .соотношения
2n J Рп @) dN = 2?г j Р^'°)(n) dx = — (1 —力2)Р^ (力)，
которое следует из известной формулы Родрига для многочленов Якоби [161:
2" J (1 - ж)° (1 + ж)р 尸型向 3) dx =
=—(1 — л：严 1 (1 + н)Р+° %匕5+1)(z).
Докажем, что система (7.29) квазивполне регулярна, т. е.
Sn = (4n)s g" £ (4成厂'I Яи>т I f 0 при " f ОО. m=l
При помощи формулы Стирлинга
п! ® Ппе-пу2лп при rtf g
легко показать, что
g^ = / ctg2子 cos -~[2n 4- О (1)], ?г8*
С другой стороны, на основе асимптотического представления многочленов Якоби [16]
B?①(cos 屮)^B?①(cos 屮)^cos {[汽 + (1 + и + р)/2] ср — (1 + 2(j)冗/4}cos {[汽 + (1 + и + р)/2] ср — (1 + 2(j)冗/4}для достаточно iSn = Nn^'2^^для достаточно iSn = Nn^'2^^ф y/2+Pу пп I sin 已 丿 I cos 丿72 ->ЮО,Re (о, p) > — 1, 0Vq)V 冗больших 汽,m будем иметь；寻目氏懿1=n庐2+疗^4ф y/2+Pу пп I sin 已 丿 I cos 丿72 ->ЮО,Re (о, p) > — 1, 0Vq)V 冗больших 汽,m будем иметь；寻目氏懿1=n庐2+疗^4+ 0(—2),+ 0(—2),42 /编w42 /编wp—1p—1^Qn^s^ ±(4%户^Qn^s^ ±(4%户1/21/2p—1p—1
B?①(cos 屮)^
B?①(cos 屮)^
cos {[汽 + (1 + и + р)/2] ср — (1 + 2(j)冗/4}
cos {[汽 + (1 + и + р)/2] ср — (1 + 2(j)冗/4}
для достаточно i
Sn = Nn^'2^^
для достаточно i
Sn = Nn^'2^^
ф y/2+P
у пп I sin 已 丿 I cos 丿
72 ->ЮО,
Re (о, p) > — 1, 0Vq)V 冗больших 汽,m будем иметь；寻目氏懿1=n庐2+疗^
4
ф y/2+P
у пп I sin 已 丿 I cos 丿
72 ->ЮО,
Re (о, p) > — 1, 0Vq)V 冗больших 汽,m будем иметь；寻目氏懿1=n庐2+疗^
4
+ 0(—2),
+ 0(—2),
4
2 /编w
4
2 /编w
p—1
p—1
^Qn^s^ ±(4%户
^Qn^s^ ±(4%户
1/2
1/2
p—1
p—1
Здесь N и Q — некоторые постоянные, а через Я^ обозначено значение (шпУ/2Нп<т для больших п и т, которые в явном виде не приводятся. Отметим лишь, что их можно представить формулой 4
"(8)一 V /⑴)
где Л$^ —коэффициенты Фурье некоторых квадратично суммируемых функций %(Н? a) (Ovd, aVy) по полным ортогональным системам многочленов
{0^(%) ит (у); ип (^) Тт (у); 7\ (力)ит @);爲⑺ тт @)}^п=о・
Следовательно, для каждого разложения имеет место равенство Парсеваля, откуда вытекает сходимость рядов
£(/胤)2 (р = 1,
Тогда сходятся и ряды [19]
|[|«U2 •
Следовательно, по крайней мере
П —> оо,П —> оо,|«^)2 = о[«-(1+2С)],
П —> оо,
П —> оо,
где С ——малое положительное, но фиксированное число. С учетом последнего соотношения для Sn получим
Sn = O^ns~c) при 8.
Выбрав s < С, будем иметь S11fo при м + 8.
Кроме того, можно показать, что правая часть системы (7.29) стремится к нулю при п -> оо со скоростью не менее, чем тг^".
Числовые расчеты выполнены для двух случаев: 1) при наличии усиливающего покрытия на граничной поверхности полости упругого пространства, причем h/R2 = 0,05; 2) прп отсутствии этого покрытия (力= 0). При этом считалось, что па шар действу-
Рис. 6.6.
При вычислении элементов матрицы (7.27) бесконечной системы (7.28) на ЭВМ использовалось то, что ее элементы можно представить в виде
^n,m = ^j Н? J$nJjm(，= 1 ? 2； H, 771 = 0, 1, 2、. •.)，
j=0
J tg*『p( 1 -tg2-y sin2cz \ P2n(cos cc) sin a da cos 子 J \ 1 + tg2 -g- sin2a 丿/ 1 + tg2 * sin2a
Здесь г = 1 относится к случаю 1), г = 2 — к случаю 2), а 〃$" имеет значения
疗=?（限幽+暧即），
*）=/一（% +小尸，限）=备（% +喧）Т，
4几h24兀
=恋)=父二匿)=/)=-4 (1 - %),
1
13 — 4%⑴—7 — 8v2 + (5 — 6v2) a 3 — 4%
2(1 + ^) r^f，©2i =3(1十。)7?一 ”2)^7
Входящие сюда коэффициенты С, е尸，冑)и 或)(/ — 2, 3；... даются формулами (7.12), (7.14) и (7.17).
Таблица 6.2
е2
Е。
石
方，。5
h=0
у=30?
Y=61
?=75。
у = 3(Г
l60：
l75
р
0,0253
0,3203
1,1585
0,0249
0,3219
1,1673
6/8
0,2452
1,2884
3,5023
0,2450
1,3049
3,5684
0,0156
0,1005
0,2890
0,0153
0,1007
0,2919
±1
1
0,5
0,0324
0,2375
0,7418
0,0321
0,2382
0,7471
0,0017
0,0548
0,2693
0,0019
(),0559
0,2712
『3
0
0,0079
0,0612
0
0,0083
0,0640
雁）
0,0480
0,2004
0,5590
0,0476
0,2016
0,5643
р
0,0164
0,2035
0,6846
0,0161
0,1980
0,6796
6/е
0,2392
1,1574
2,8278
0,2387
1,1562
2,9143
&
0,0101
0,0640
0,1715
0,0099
0,0621
0,1722
‘1
0,5
1
0,0209
0,1480
0,4359
0,0207
0,1456
0,4382
0,0010
0,0324
0,1529
0,0011
0,0323
0,1543
心
0
0,0068
0,0348
0
0,0046
0,0351
丽
0,0309
0,1256
0,3266
0,0306
0,1223
0,3285
р
0,0366
0,4736
2,3870
0 0361
0,4832
2,0646
6/8
0,2501
1,4512
5,5831
0,2604
1,56G8
5,3390
0,0215
0 1482
0,6059
0,0222
0,1509
0,5103
2
1
0,0450
0,3514
1,4802
0,0448
0,3604
1,3392
0,0025
0,0842
0,4688
0,0005
0,0890
0,5078
0-
0,0130
0,1332
0,0131
0,0994
0©
0,0668
0,2984
1,1039
0,0623
0,3067
1,0089
Числовые расчеты выполнены при соотношениях (7.8), кроме того, принято v0 = Vj v2 = 0,3; EJE2 = 0,5; 1; 2; EJEZ = 0,5; 1.
Результаты вычислений приведены в табл. 6.2. В таблице введены обозначения—
/ = p/(4口 а 2包e),0(8)=区20+(8)1^/(4n卩好).
29 в. М. Александров, С. М. Мхитарян
На рис. 6.6 представлена зависимость величины области контакта у и жесткого смещения 3(3/е) от веса шара Р (параметр нагрузки Р/(4л卩2Н2Е)) 口ри отсутствии усиливающего покрытия (случай 2)). Кривые 1 соответствуют EJE2 = 1/2, EJE^ — 1; кривые 2 — EJE^ = 1, EJE^ = 1/2; кривые 3 — EJE^ = 1, EJE^ = 2.
-Здесь в отличие от аналогичной плоской задачи наличие топкого сферического покрытия существенно не влияет на распределение контактных напряжений. Последнее объясняется тем, что считаются отсутствующими силы трения в области контакта и изгибная жесткость покрытия.
Здесь, как и в аналогичной плоской задаче, обнаружено, что при больших значениях у контактные напряжения резко возрастают, что свидетельствует о наличии критического угла захвата Ykp V 90°, зависящего от заданных упругих характеристик шара и пространства со сферической полостью.
ГЛАВА VII
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ВЯЗКОУПРУГОСТИДЛЯ ПОЛОСЫ С ТОНКИМИ ПОКРЫТИЯМИ
§ 1. .Основные уравнения теории ползучести стареющих тел
Стареющие материалы и среды широко распространены в технике и строительстве. Типичными их представителями являются многие полимеры и пластмассы, бетон, каучук, горные породы, грунты, лед й т. д. Основные уравнения, теории ползучести, выражающие связь между напряжениями и деформациями для наследственных стареющих сред, в случае малых деформаций имеют вид [1, 2]
2&j «, г）=―«у （т, г） & （力,т） dt «, у = 1, 2, 3）,
” f（1.1）
Здесь t ——время, г ——радиус-вектор точки, Ti ——возраст элемента среды в момент приложения напряжений, $灯（方，г） и 6仃（力 г）—— компоненты девиаторов тензоров напряжений и' деформаций, о（，,г） — среднее напряжение, е（& г）—средняя деформация, G（i）——мгновенный модуль сдвига,笈*（力）——мгновенный модуль объемной деформации,衣К%т） и 区2（厶 т） — ядра сдвиговой и объемной деформации ползучести. Указанные ядра можно представить в форме [1, 2]
（力Т）=后[而' +①（力Т小（1 2）
"2 （力,T）= _^ _ e*（T）+ °* 亿 T）]
Здесь 3（占 т） и С* （& т） — меры ползучести сдвиговой и объемной деформаций. Если ввестл компоненты тензоров -напряжений 。廿 и деформаций е^, то, как известно,
S炉=0万—Об", С" = е仃—&6济 о = g- Он, е = g- &m （1.3）
где 6仃——символ Кронекера; при этом поле перемещении определяется соотношениями Коши
2е“ =向；+ u-j, <>（1-4）
Интенсивность напряжений
деформаций сдвига и
интенсивность касательных
Г2 = 2&国力 Т?=等 SijSij(1.5)
в соответствии с (1.1) будут связаны соотношением
(1.6)(1.6)г (^ г)=戏* 一 J Т (т, г) К, а, т) 〃т.
(1.6)
(1.6)
Аналогичным образом связаны деформации сдвига 丫讶=2«仃=2&尊 (X 耍/) с соответствующими касательными напряжениями 丁可=。仃. Для одноосного напряженного состояния деформации растяжения——сжатия с： = ен будут связаны в силу (1.1) с соответствующими нормальными напряжениями о； = о” формулами
о；（3 г） 「
(1.7)(1.7)/（力 F）= . 后（力）0м （T, г） 及 （詳 T） dt,
(1.7)
(1.7)
及"，（厶h
З^есв ЛХ% т)——ядро ползучести деформации растяжения — сжатия, Е")——мгновенный модуль Юнга,。(力 т) — мера ползучести деформации растяжения — сжатия. Величины GG), E*(t) и Е⑴, а также(о(力 т), С*(厶 т) и С(& т) связаны соотношениями [1, 21
e (力) . f*6一 *")
2[4 + V]⑴广 0 ]_2%⑴，
①(力 t) = 2 [1 + % (厶 т)] C (力 т), О 亿 т) = [1 — 2v2 (厶 т)] C (力 т).
(1.8) Здесь Vi(Z)-- коэффициент Пуассона для упругомгновенной деформации, w(& т) ~ коэффициент Пуассона для деформации ползучести. "
Отметим некоторые из общих соображений и экспериментально установленные для случая естественного старения свойства упругомгновенных модулей и мер ползучести [1, 2]. Упругомгновенные модули являются положительными, непрерывными, ограниченными и монотонно возрастающими функциями при всех TiWT《°°. Тогда, например, для ЕМ будут иметь место следующие условия:
• № - >。(т<8)，£(т)~Ео<：8 (Tf8), Е (Tj) > О, (1.9) где Ео ——модуль упругости для материала весьма старого возраста. Меры ползучести являются неотрицательными и непрерыв-
ными функциями двух переменных в угле tiWtW方 W°°. Кроме того, они обладают рядом специфических свойств; например,
e (方，方)=0, e (力,T) (р (t) (力Т" 8), c (厶 t)-^ 屮(力—T) (t-^"00?t:^力)，
，夕)>0,犯『VO(r<i<oo).(1.10)
Здесь функция ф(т) определяет процесс старения, а функция i|)(y) характеризует наследственные свойства материала. Они обладают следующими свойствами:
"怨т)V。(Т< 00), <р (т) ~ Со > 0 (тт 8), <р (тх) < ОО,
,、(1.11)
•^^>0 0/V8), З(у)〜。。&Т8),屮⑼=0, где Со — предельное значение меры ползучести для материала весьма старого возраста.
Если коэффициенты Пуассона не зависят от ^ и т, т. е. w = =const, v2 = const, то для определения реологических свойств стареющего материала достаточно знать только две функции G⑴ и 3也 т) (или 笈⑴ и 以％ т)). Они могут быть, например, определены из опытов и а простую ползучесть при чистом сдвиге под действием постоянного касательного напряжения t如 приложенного в момент времени q, с помощью аппроксимации диаграммы ползучести для деформации сдвига 丫叮(力)выражением [1, 2]
Y"«) = [ g；t)+з(Ю卜“,力>忌 (1-12) Если материал несжимаем, то vt = v2 = 1/2. Тогда Е*⑴=g, С*(力 т) = 0 и в соответствии с (1.1), (1.2) е = 0.
Соотношения, выражающие компоненты тензора напряжений через компоненты тензора деформаций, могут быть получены из (1.1), (].6), (1.7) путем решения этих уравнений Вольтерра относительно s仃，Т, 5 соответственно. Например, решение уравнения Вольтерра (1.7) относительно Gi можно представить в виде
*，(； = Ei(^, г) + ^ £г(т, г) 7?(厶 т) dx.(1.13)
Здесь R(t, т)——ядро релаксации, т. е. резольвента ядра ползучести К(力 т), умноженного на 矶т). Ниже в связи с обсуждением вопроса о возможных аппроксимациях мер ползучести теми или иными выражениями будут указаны случаи, когда нахождение ядер релаксации по ядрам ползучести возможно в замкнутом виде. В общем случае ядра релаксации при заданной форме ядер ползучести находятся приближенными методами. На основании (1.7) и (1.13) нетрудно убедиться, что между ядрами ползучести
В соответствии с отмеченными свойствами С1.10) ядер ползучести функцию С(% т) обычно аппроксимируют выражением [1, 2]
С (i, т) =—Т, т) = 2 Фа (т) /а (^ — т).(1.15)
Далее подробно рассмотрим простейший случай п = 0. Именно, пусть 1)
С(/, т) =<p(t)/(/ —t).(1.16)
Здесь функция ф(т) определяет процесс старения и удовлетворяет условиям (1.11), а функция /(у) характеризует наследственные свойства материала. В согласии с (1.11) при OWy V8 функция /(?/), монотонно возрастая, изменяется в пределах от 0 до 1.
Воспол^уемся для аппроксимации /(у) суммой экспоненциальных функций
/0/)=х廿竺(1.17)
1=0
Здесь в силу (1.11)
^0 = 1， 士田=о, Yo = 0, ?i> 0 (i = 1, 2, ..., m) (1.18) г=0
и, кроме того, имеем
g) = а/(у).(1.19)
Если в выражении (1.17) положить m = 1, то для ядра ползучести К(% т) получим представление
к «, т) = ^ [贵 + <Р (т)(1- е—)].(1.20)
В этом случае ядро релаксации R(t, т) может быть найдено в
*) Более точной и в то же время достаточно простой является аппроксимация [2]一
С& т) = ф(т)/(/~ т) + 尸«)—歹⑴；
где 耳(q) < оо, р(т), <0, F(oo) = 0.
замкнутом виде [11
R(t, т) = —-^袭 Е (т) — уф (т) £2 (т) ^ J e~wdu , т 丄т」(1.21)
П (т) = j(V [1 + ф (т) Е (т)]— % 修} Нт.
Введем теперь функцию m^t, r)=a(* r)E^{t) и перепишем выражение (1.7) с учетом (1.16) следующим образом:
е (i, г) = Si (力 г) — J (О^ (т, Г) К* 修 т) с/т, ф* ⑴=屮⑴方(*(£22)
% (力T)尸中* ("/(力 -T)—中式t)广(e- T)-[1 + 中*("/(力-T)1(1口方(")‘.
Рассмотрим четыре случая.
Пусть(р^.(т) = Л = const, a (lnE(r))z аппроксимируется выражением
(ln£(T)), = 2 D^(1.23)
片0\q=0/
В простейшем случае s = 0 из (1.23) имеем
Е(т) = Е°ехр(—ge~。)(1.24)
а формула (Д.22) для К*(力 т) примет вид
k* (& T)—-少旅 ° [1 + ，〃力-初一4广(力一T).(1.25)
Нахождение ядра релаксации 7?(& т) для случая (1.25) сводится к решению разностного функционального уравнения
Qi (р，г) +7V"°" (р + ао)"а(Р + а。，г) = Е^р, г)[1+4歹(р)]「 (1-26)
где Q£p, г),瓦(р,. г) и F(p) — трансформанты Лапласа — Карсона соответственно функций(o：(Z + тъ г),勿(/+ Ti, г) и/(?/). Решение этого функционального уравнения может быть получено в замкнутом виде методами, описанными в работах [4, 51.
Пусть по-прежнему 屮*(旧)=Л == const, a (In (E(r))z аппроксимируется выражением
(1пЕ«= 2 Dq{x+gr^ ^Г2~9<оо.?>0\ (1.27) q=0\ q=0/
В простейшем случае s == 0 из (1.27) имеем
£ = £оехР(--^),(1.28)
а формула (1.22) для К^ (力 т) примет вид
К* @ т) = 4 (т + g)T [1 +齒《 — Т)] - Af{t - т). (1.29) Нахождение ядра релаксации R(& т) в этом случае сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения (1 + DQApF^ [Q* + 2Q*(g + q) + Q* (g + tJ2]+4£2*(1 + 4歹)=方彳,
(1.30) где Q* (р, г), £纟(р, г) н 歹(р) — трансформанты Лапласа — Карсона соответственно функций (оХ^ + ть r)" + j + g)-2, &(力+j, г) И /(у).
Пусть 豆(石)=豆()=const и функция ср* (т) аппроксимируется выражением [2, 31
<Р* (т)=廿 饪(1.31)
Здесь в соответствии с (Д.11)
4 =以，》4<8, ро = 0, Рг> 0 (Z = 1, 2, .. ., т).(1.32)
Если в (1.32) положить m = 1, то выражение (1.22) примет вид 及* «, т) = — % {С/ « — т) + &еТ" [Г (^-Т)+ PJ & -т)]}.
(1.33)
Нахождение ядра релаксации 7?(力 т) для случая (1.33) так же, как и для случая (1.25), сводится к решению некоторого разностного функционального уравнения.
Пусть, наконец, по-прежнему £(т) — EQ = const и функция Ф^.(т) аппроксимируется выражением [2, 31
<Р* ⑴=2 4(Т + g)r. •(1.34)
2=0
Здесь jb силу (1.11) т a =》4沼一‘V8, g>0・(1.35)
Если в (1.34) положить 加=1, то выражение (.1.22) примет вид % 亿力=一 4 (т + g) 2 / (^ — т) — [со + & (т + g) I f (t — т).
(1.36)
Нахождение ядра релаксации 7?(力 т) для случая (1.36), как и для
случая (1.29), сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
Отметим еще, что для вырожденных ядер ползучести
К 亿 t) = £ кг (t) li (r)(1.37)
1—о
нахождение ядра релаксации может быть сведено к решению дифференциального уравнения『z-ro порядка [3]. К случаю (1.37) как раз относится ядро вида (1.20).
Обратим внимание, что функция /(у) в (1.16), вообще говоря, может быть такой, что ее производная имеет в нуле слабую особенность. В форме (1.16), (1.17) производная такой особенностью не обладает. Наоборот, в форме (1.16), (1.22) ничто не мешает придать функции /(у) указанное свойство. Например, функцию /(у) можно представить в форме интеграла от ядра ползучести Ржаницыиа [3]
3(啓
где T(s)——гамма-функция, а и s ——некоторые постоянные.
Следуя работе [6J, рассмотрим еще некоторый общий подход к аппроксимации ядер ползучести, когда возможно точное нахождение ядра релаксации. Перепишем соотношение (1.7) следующим образом:
t
Е (t) ej (t, г) = S (力,г) + J 伪(т, г) K* (爲 т) dx,
7(1.39)
K* (厶 т) = — E(')~^ [ e；t)+ C (力,t) •
Аппроксимируем ядро K*(% т) .вида (1.39) одним из выражений
t
К* 亿 t) = Q ⑴ + 5 « — т) + { Q (у) В (х — т) dx,
":(£40)
к；(力 т) = Q ⑴ + 5 (方一т) + Q (力 j 5 (方一/) dx.
Здесь В(у)——положительное слобосингулярное ядро, удовлетворяющее еще другим необходимым ограничениям [7], а ядро Q(t) удовлетворяет условиям
Q (т) > о, Q'(T)V0, Q" (т) > 0, Tj^T< ОО,
(1.41)
J Q (т) dx = q (т) V оо.
Пусть резольвента 7?(у) ядра В(у) известна. Тогда [6] резольвенты ядер (1.40) имеют вид
% (厶 t) = К (% — t) + G t) — \ R (t —①)G (%, r) d/,
t(1.42)
*2 (厶 t) = E (% — t) + G (厶 t) — I G (厶 x) R (^ — r) dx,
G (厶 r) ~ Q (т) ехр [и (т) — и (力)],и(х) = ^ Q ⑴丘
При конкретной реализации формул (1.42) можно принять функцию (JGt) в виде затухающей экспоненты, а ядро 方(у) в форме
(1.43)(1.43)причем тогда
(1.43)
(1.43)
*匂)=%6-為3—(一力力
где 3s二 1 — табулированная дробно-экспоненциальная функция Ра- ботнова [7]. '
В заключение заметим, что к уравнениям состояния для стареющих сред (1.1) — (1.3) при решении конкретных задач, например, в плоской постановке следует, как обычно, добавить уравнения равновесия
(1.44)(1.44)(1.45)(1.45)争-+= %,半也 + 二尸2,
(1.44)
(1.44)
(1.45)
(1.45)
дхdy 丄' dy
уравнение совместности деформаций
%
匆2十 дх2。胃dУ，
а также соотношения Коши (1.4).
Об уравнениях состояния неодноррдно-стареющихи нелинейно-стареющих тел
Технология сооружения конструкций из стареющих материалов обычно связана с процессом их дискретного или непрерывного наращивания элементами с различными механическими характеристиками и различным возрастом. Это приводит к необходимости изучения неоднородно-стареющих тел. Неоднородность, как уже понятно, может быть двух видов: а) пространственная*неоднородность физико-механических свойств среды (в этом случае мгновенные модули и меры ползучести существенно зависят от г, т. е. вид определ^яющцх их функций меняется от точки к точке)； -б) пространственная неоднородность, связанная с неодновременным зарождением отдельных элементов среды《в этом случае вид функций, определяющих мгновенные модули и меры ползучести, для всех элементов среды один тот же, а аргументы их
Неоднородно- и нелинейно-стареющие тела - 451
зависят не только от времени, но и от г). Оба эти вида неоднородности можно описать единым реологическим законом, если соотношения (1.1) представить в следующей форме [8, 9]：
S方(力r)《
2^ (t, г) ==-^——__ ) 5iji (т, г) Кх [t — т^ (г), т — ^(г)^]^,
е«，г) =[ о(т,г)/^ —т*(г),т —т*(г),г]〃р
'%(г)
(%, 7 = 1,2,3)・
В формулах (2.1) функция т0(г) отражает абсолютный момент времени приложения напряжения к элементу тела с координатой г, функция t* (г) отражает абсолютный момент времени зарождения (изготовления) элемента тела с координатой г; очевидно, что т0 (г) ^ т^ (г). Начало отсчета абсолютного времени i может быть выбрано произвольно; например, можно считать, что q (0) = 0*
Введем в рассмотрение функцию тДг), характеризующую возраст элемента тела с координатой г в момент приложения к нему напряжения. Очевидно, что
Z(r) = %(r) —t*(r).(2.2)
Далее, удобно представить ti(r) в виде следующей суммы:
5(г) = j(0) + х(х),х(0) = 0.(2.3)
Из сравнения (2.2) и (2.3) найдем "0) = %(0) = j.
Рассмотрим подробнее случай, когда из указанных выше двух видов неоднородности имеет место только второй (случай б))—— возрастная неоднородность, присущая только стареющим материалам. Пусть, кроме того, абсолютный момент времени приложения напряжений т0 одинаков для всех элементов тела. При указанных упрощениях соотношениям (2.1) можно придать вид
2%"力 б = -&*；；)] ~ f S" (т, г) K^t 4 % (г), т + % (г)] dr, 7(2-4)
е 亿力=Е* / 2(г)] - 1 ° & г) *2 卩 + % (г), т + х (г)] "т
@,/ = 1,2,3).
Соотношения (1.6), (1.7) могут быть записаны аналогичным образом. Функция х(г) в (2.4), характеризующая возрастную неоднородность, является ограниченной и кусочно-непрерывной; кро-
ме того, —х(г) ^ rt. Соотношения, обратные к (2.4), могут быть получены, если принять во внимание, что при любом фиксированном г формулы (2.4) могут, быть рассмотрены как уравнения Вольтерра второго рода относительно s^t, г) и о(& г). Если функции Kilt + х((г), т + x(r)]G[r + x(r)], K^t-V х(г), т + х(г)]£'*[т + + х(г)], а также &式力 г), е(力 т) при фиксированном г интегрируемы с квадратом, когда ti W 力 tWT, то уравнения (2.4) однозначно разрешимы в интервале j W % W 7\ Результат их решения можно представить в виде формул типа (1.13), где аргументы у мгновенных модулей и ядер релаксации нужно заменить на t+ х(г) и т + х(г). С учетом этого могут быть использованы все изложенные ранее результаты относительно нахождения ядер релаксации.
В качестве примера использования уравнений состояния (2.4) дадим решение плоской задачи о действии давления q(& t) на неоднородно-стареющий вязкоупругий тонкий) слой (1/1 Voo, OWyW%), лежащий без трения на жестком основании. Будем считать, что в (1.8)弘(力=丫2(厶 т) = v = const. Тогда для случая плоской деформации на основании формул (1.2), (1.3), (1.7), (1.8) и (2.4) найдем
\(1 — V) ст (Z, Г) — V (1 + V)(Т (Z, г)
玩2(力Г)= J方ей?研一
t
—J [(1 — V2) %2 (т, r) — V (1 + v) k (т, г)] К 卩 + % (r), T + % (r)] dT.
(2・5)
Граничные условия задачи имеют вид
y = %：022 = 一乳①，力，g12 = 0,
У = 0：以2 n 0, 。12 ~ 0,(2.6)
l/i f 8：。仃 f 0 (z, / = 1, 2),
^(z, t) = q(x, t) (Jalw。)， g(/,方)=0 (Izd > a), h<a.
Учитывая, что слой тонкий, вместо условия совместности деформаций (1.45) примем [10]
012 =Ф(伤力+以%，力У.(2.7)
Тогда из условий (2.6) а12 ^ 0 всюду в слое, а из уравнений равновесия (1.44) при отсутствии массовых сил найдем
6工=/匂；力，022 = -0(%,力.(2.8)
Подставляя (2.8) в (2.5) и учитывая, что при замене g(%, t) на
—д(/, t) деформация Е22 должна также менять знак, получим
0"一= f(y, t) т о, e22 = -(1-衿(/ 一 z),
(/-£)(/-£)g (方,力)总 U + x (г)]g (方,力)总 U + x (г)]= 沁，*）_ c 7（方，工） 乂
(/-£)
(/-£)
g (方,力)总 U + x (г)]
g (方,力)总 U + x (г)]
一百卜十乂 （г）］ _ J反（T十乂"）］ *
xK^[t + z(r), т+ z(r)] dx, (2.9)
К* (i, т) = E (т) Д [^y 十 C (i, т)], r = {2, y}.
Теперь с учетом соотношений (2.9) (1.4) и условия 以2 = 0 при у = 0 придем к следующему выражению:
у
"2 = 一 (1一們沁,"eН/)] ~ 0
—『以(瑞 Т)dT『矶；，『(г)]К* 卩十％(г), 丁十"(r)]dy . (2.10) q.
Заметим, что условия (2.6) при \х\ -> ℃ автоматически удовлетворены.
Формула (2.10) показывает, что тонкий иеоднородно-старею- щий вязкоупругий слой работает на сжатие как некоторое вин- клеровское основание с операторным коэффициентом постели.
Далее перейдем к рассмотрению материалов, которые обладают одновременно свойствами нелинейной ползучести и старения. В этом случае соотношения, аналогичные (1.1), будут иметь вид [1]
2侬 «，г) = ^тр - J s» (т, г) [為]办-
—f $U(K r)/[7(t,方勺亿力近， ％ 亿 т) = ^①亿 т), (2.11)
E (厶 Г)=处(j) — f 0rm Г)/ (厶石)"t・
Здесь 7(力 г) определяется второй формулой (1.5), fix) — неотрицательная и монотонная при /》0 функция, K2{t^ т) определяется второй формулой (1.2). Следует отметить, что нелинейные урав-
нения теории ползучести (2.11), строго говоря, применимы лишь в случае отсутствия разгрузок.
В качестве примера использования уравнений состояния (2.11) рассмотрим, как и выше, плоскую задачу о действии давления д(/, 0 на нелинейно-стареющий вязкоупругий тонкий слой (1/1 V V 8, OWyV%), лежащий без трения на жестком основании. Будем считать, что материал слоя несжимаем, тогда второе соотношение (^.11) примет вид £(力 г) = 0. С учетом этого для случая плоской деформации па основании формул (1.3) и (2.11) найдем
2员2 亿 г) = 4w)_ J S22(E r)Д ［肃］九-
—j S22 (т, г) / ［7 (т, г)］左(詳 т) dr, S22 = 22 2 口； (242)
при этом из второй формулы (1.5)
Т = ］& + 呢.(2.13)
Граничные условия задачи по-прежнему имеют вид (2.6).
Далее, используя уравнения (1.44), (2.12), (2.13) и (1.4), по изложенной выше схеме получим следующее решение задачи:
%1 = ^12 =。‘％2 = — 0 ("? *)‘
—\q(x,x)f ^7(怎 t)分(厶 E)dt у. (2.14)
Здесь учтено, что ?(/, ^) > 0 при в«ех 1/1 V 8 и _Т1 ^ ^ < ℃.
Аппроксимируем в формуле (2.11) для k^i, т) функцию co(i, т), согласно (1,16), выражением
•со(^, т) = (А^ А^-^И ~ е~^-хЛ -(2.15)
и положим GU) = G == const. Тогда соотношение (2.14) примет вид
(2.16)
Если величина (力一口)丫 мала и, кроме того, а) 打 мало либо б) 口丫 велико, то выражение(2.16) можно упростить, приближенно представив в форме
〃2 = — ｝卜(^ D 十"'!I"' x)f\jQ(x^ x^dx у, (2.17)
а) А = Ао + Л1? 6) / = 4・
Функцию /(/) часто аппроксимируют степенной зависимостью
/(^) = кх^^ (m 1);(2.18)
например, закономерность (2.18) используют при описании нелинейной ползучести некоторых видов бетона [1, 2】，льда и сильно льдистых грунтов [11].
Контактная задача для составногонеоднородно-стареющего основания
Используя формулы предыдущего параграфа, рассмотрим плоскую контактную задачу о вдавливании без трения силой Р жесткого штампа в поверхность неоднородно-стареющего вязкоупругого слоя толщины h (无《а), лежащего без трения па поверхности однородио-стареющего слоя толщины Я. При этом нижний слой 2 (рис. 5.1) покоится на недеформируемом основании, а вне штампа поверхность верхнего слоя 1 не нагружена. Кроме того, в силу условия контакта при у — h под штампом /=—【6⑴+ а (力)z —g(z)](|z|《a),(3.1)
где 6(i) + a(t)x — жесткое перемещение штампа под действием силы Р и момента М = Ре; е — эксцентриситет приложения силы относительно центра линии контакта 1/1 Wa, g(^) — форма основания штампа. Будем считать, что ynpyroMrnoBenHbiez модули деформаций слоев не зависят от времени, наследственные свойства материалов слоев одинаковы4) и 乂(г) = х(у). Допустим также, что Е2 на порядок превосходит Е^ тогда верхний слой будет работать в основном нм сжатие.
Исследуем вспомогательную задачу о равновесии тонкого неоднородно-стареющего слоя (丨/l V8, О W у W 无)при краевых условиях
У ^ h :0上23=1。，022 ~~ g (/，力)，
У =^ 0 :012 =^ 0，〃2 — 〃2,
I ^|-> оо : 5j->0(i, 7 = 1, 2).
〃；=l-v2 二一干〃；=l-v2 二一干В силу сделанных выше допущений задача (3.2) может быть рассмотрена по схеме решения задачи (2.6). Таким путем в случае плоской деформации при у = h найдем
〃；=l-v2 二一干
〃；=l-v2 二一干
无々(瑞 t) —；jw(2, Т) dr y^r) [t +%(y), T+%(y)]dy '+ .Jl0.
+ ^2 |y=o, КС (力 t)=昌菸 J.(力 t)・(3.3)
На основании решения вспомогательной задачи также получим, Что О22 =一g(瑞力)пРи y = 0.
Для однородно-стареющего слоя 2 в случае плоской деформации с помощью принципа соответствия в линейной теории ползучести стареющих сред [1] и результатов монографии [12] при у = 0 имеем
*=_^.//（自,办"中）龙一*=_^.//（自,办"中）龙一% = ^г^，% = ^г^，
*=_^.//（自,办"中）龙一
*=_^.//（自,办"中）龙一
% = ^г^，
% = ^г^，
8
*z)=『厶(〃)"Т cos uzdu, К? (t, т) = Ea^C式t,叫. ⑸旬 О
В формулах (3.4)笈2 — модуль упругомгновенной деформации материала нижнего слоя, v2 — его коэффициент Пуассона, т 壯一момент изготовления элементов этого слоя, L(u) — функция, удовлетворяющая условиям (3.5) и (3.6) гл. V.
Вернемся теперь к рассматриваемой контактной задаче. Подставим выражение (3.4) в правую часть (3.3). Ограничивая в найденном таким образом соотношении изменение / и 力 пределами 1/1 W a, Ti W 力 W 7 и подставляя его в условие (3.1), получим интегральное уравнение для определения неизвестных под штампом контактных давлений 力
t +乂@)]dy\ +t +乂@)]dy\ +
t +乂@)]dy\ +
t +乂@)]dy\ +
\ / 5 6 (3.\ / 5 6 (3.—j К*}« — т*, т — т*) dr— J q (占，т) Z (^^)成 =一a
\ / 5 6 (3.
\ / 5 6 (3.
=6 «)+а (力)/ — g (力)(I /1 & a, Q & £ & Т V 8, 8 =-
К уравнению (3.5) необходимо еще добавить формулы аа
Р = ^ q{x, t) dx. М = Ре = J xq (%,力)dx,
выражающие условия равновесия штампа на основании.
Далее будем рассматривать только четный вариант (а(力= 三0, g(/)——четная функция %) поставленной задачи, имея в виду, что для нечетного случая все может быть проделано аналогично. С учетом обозначений
g = ga"1 z' = ха-1, У = rtf1, 7' = 7 百 \
т =工*т”，М 仅)=х (у) rf1,
с = Q^nhcT1^^1, q' (s', У) = 8£% (s, «), g' (#) = cT^g (x),
Efij (力 T) = C；(匕 J), M (f,工')=言或(，工')(/ = 1, 2),
k = Ha~L 8' (f) = a~4 ⑴，P = (。4)尸 (3.7)
(штрихи далее опустим) перепишем уравнения (3.5), (3.6) следующим образом:
с q(x, t) — ^q (z, т) Kw (t,工)de + J g 怎力)Z (Ц^)成—
—J к⑶(г — т, т — r) dr J q (占，т) Z (^^)成=к [8 (i) — g®)],
(3.8) h
天⑴(％ r)^^^Kwlt + %(y),-c + %(y)]dy,
0
P = J q(x, i) dx (I / I & 4, 4《力 & T V 8)・
Заметим, что при t = 1 уравнения (3.8) принимают известный из 30 В. М. Александров, С. М. Мхитарян
(1用《)_(3.9)(1用《)_(3.9)
(1用《)_
(3.9)
(1用《)_
(3.9)
В силу соотношений (3.5), (3.6) гл. V и теорем, приведенных в § 3 гл. V, можно утверждать:
Оператор
J q^li^^dl(3.10)
является самосопряженным, вполне непрерывным и положительно определенным оператором, действующим из 厶2(—4, 1) в 厶2( — 1, 1).
Характеристические числа р( оператора (3.10) вещественны, положительны и ^ < р2 W・• W Р( WВ【~ % (% f 8).
Если gGr) е Z/2(—4, 1), то решение интегрального уравнения (3.9) в пространстве L^—\^ 1) существует и единственно при любых значениях параметров с,入三(0, °о) и может быть получено, например, методом § 3 гл. V.
Перейдем теперь к построению решения уравнения (3.8). В соответствии с алгоритмом, изложенным в [13], наряду с (3.8) рассмотрим эквивалентное ему интегральное уравнение
+ J [^ & t) ~ q (g, 1)] % 廉一
一 Jk⑵«- 7, т-т) drj q 怎 т)《〒届=л 口(0- 6 (1)1, (3.11) 1-1
?=j g(瑞方)d力(1叫《1，1《方《7<：8)
и будем искать его решение в форме
，(Ю = % ⑺ + 2 2г(0 兆(N),(3.12)
«) = бу (力)+ % + 工也孤⑴，yi (1) = Zj ⑴，(3.13)
г=1
где 6, & (2 = 0, 1, 2, ...) — постоянные. Подставляя (3.12), (3.13) в уравнение (3.11), получим
做(n) J 左⑴ &, т) 4т + J К⑵(t —亡 т —彳)dt J g0(E)" (^^)成=
=n [y (1) — У ⑼，尸=J % (z) dx, (3.14)
J & (т) [К⑵(％ — t, т — т) + a.K⑴(力 т)] dx =
=(1 + a^) [Zi(t) — Zi (1)], (3.15)
Уг (i) = Zi «) — J Zj(T)К⑵〃 —T, T — T)drT (3.16)
o^Bq» = gw + 侬处，J 缘(力)de = 0,(3.17)
Здесь а；——постоянные, которые должны быть найдены из спектральной задачи (3.17). Заметим также, что одно из счетных множеств постоянных {8J или {勿(1)} при i > 1 может быть в дальнейшем произвольно зафиксированно.
Аппроксимируем далее функции «伉 т) в соответствии с (1.16) выражениями
G(力 f)=屮式1:)/(方一e) (j = l, 2);(3.18)
тогда будем иметь
G (i, т) = /(Z — т) У Jtf! [т + и (у)] dy = ф! (т) / (f — т). (3.19) О
На основании (3.18) и (3.19) перепишем уравнение (3.14) в форме*
% (с) & (力 1) + J « — ?，1 —彳)J % 代"р^)姦=
= ^[y(t)-y(i)]. (3.20)
Полагая в соотношении (3.20)
y(t)=C1(t, 1), у ⑴=0,歹=仰«—彳)?/a),(3.21)
найдем q0(x) из интегрального уравнения Фрёдгольма второго рода
С%+ ь J%⑹m^)成="6 (|2|《1),(3.22)
метод решения которого детально изложен в § 3 гл. V. После решения уравнения (3.22) постоянная 6 может быть выражена через значение силы Р по второй формуле (3.14).
Рассмотрим теперь интегральное уравнение Фредгольма (3.17) и будем искать его решение в виде ряда Фурье по ортонормиро- ванной на -отрезке [—1, 1] системе полиномов Лежандра, составляющих базис в 厶(一4, 1)：
或(n)=n У2 /62 WQj(/).(3.23)
Разлагая ядро l(z) вида (3.4) в двойной ряд по указанной системе многочленов
ОО ОО
z5 仇)Р；т (目成(2)(3.24)
и подставляя (3.23), (3.24) в (3.17), с учетом ортогональности полиномов Лежандра получим
«г £(九)=«п + 6fm «》4, лг = 0, 1, 2, .. .), (3.25)
о
где 6切一символ Кронекера. Согласно неравенству
У 工 Гтп (九)=4 V 8,4 = const,(3.26)
m=0 九=0
вытекающему из (3.15) гл. V, и свойств оператора (3.10), можно утверждать, что оператор, стоящий в левой части (3-25), действует из полного пространства квадратично суммируемых последовательностей 为 в 厶 при любых значениях 九三(0, 8)и является там вполне непрерывным; а тогда, если основной определитель А системы (3.25) отличен от нуля, то к ней применима теорема Гильберта [141 о ее разрешимости.
В силу интегральных условий (3.17) из (3.23) имеем
4 = 0 (i > 1).(3.27)
Соотношения (3.27) служат для определения неизвестных величин oti. Действительно, из системы (3.25) имеем а；—厶工厶一* где △ i — вспомогательный определитель, получающийся из основного Д заменой в ием первого столбца элементами {1, 0, 0, ..., 0, ...}.
Определитель At симметричный, поэтому корни его а = а^ (г > 1) вещественны. Подставляя 必 в систему (3.25), найдем а〃 (/ — 1, 2, .;.) и, таким образом, построим последовательность функций {дч(/)(п¥2%&)т}. Можно показать, что' а； ведут себя по г, как
Удовлетворим теперь выбором счетного множества постоянных 60, 6( и &(1)(ZN1) интегральному уравнению (3.9). Попо- жим6|=аГ^1 где 2^1 н к > 1/2. Такой выбор *) {&} обеспечивает (см. ниже) сходимость в определенном смысле рядов (3.12), (3.13). Предполагая, далее, что g&)三厶2(—1, 1), представим gE) в виде
g(2)= Z gnP*n ⑺，{gn}三 ％•(3.28)
Подставляя (3.24), (3.28) в (3.9), получим
С^ + 2 rjn (X) Х„ = л [ /2 6 (1) 6oi - ^J (/ = 0,丄 …)，(3.29) 71=0
1
Xj = J g(2,1)尸以 3) dx.(3.30)
Решив бесконечную алгебраическую систему (3.29) и подставив в (3.30) выражение
q (瑞 1) = % (%) + л К2 £ а赤网(1) 5 若尸务(叫 (3.31) i=lj=I “
следующее из формул (3.12), (3.23) и (3.27), получим соотношение
?双。=p(3.32)
и систему уравнений относительно постоянных &(1)
Dz (l) = b, bw&(3.33)
D = л р引 а「％： fl，b =卜-j д° (с)发(j, z (1) = {& (1)}
(i-1,2, ...; / = 1,2,...).
Соотношение ((3.32) служит для определения величины 6(1), входящей в правую часть (3.29), а поскольку 6(1) имеет вид
6(l) = So + f 6^(1),(3.34)
то соотношение (3.32) определяет после решения системы (3.33) постоянную 60.
】)В следующем параграфе при конкретных вычислениях принято к = =3/2.
Остановимся подробнее на решении системы (3.33). Во-первых, принимая во внимание результаты работы [15], можно утверждать, что p2t < а： < p2i+2 (i ^ 1). Во-вторых, на основании отмененных выше свойств величин 〃)будем иметь _
自自(а『％护V8,(3.35)
т. е. оператор D является вполне непрерывным из 厶 в 厶・ Элемент z(l)^^ (множество равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных в Z2 последовательностей) назовем квазирешением [16—18] уравнения (3.33) на М, если он доставляет
inf||Dz(l) —Ь||；2.(3.36)
Наряду с (3.33) введем урезанную систему
D*z* (1) =b*,(3.37)
D* = п р» ||а「％孔 ь* = Х?・一J g° (z) Р^ (a;) dx
-1
z*(l) = {Zi (1)}
(i 4, 2,.…，％ j =： 1T 2,...,孔).
Доказано 117, 181, что если оператор D-1 (не обязательно ограниченный) существует, то квазирешение уравнения (3.33) на компакте М также существует, единственно и непрерывно зависит от правой части Ь. Кроме того,
lim ||2(1)-2*(1)||；2 = 0,(3.38)
a z*(l) в (3.37) может быть найдено, например, методом работы 116].
Определив %(1), из системы (3.33) найдем z「(闾 из интегрального уравнения Вольтерра второго рода (3.15). Решение этого уравнения можно представить в форме
Zi«) = Zi(l) 1 + J 7?i (i, r) dr ,(3.39)
L г J
где 凡(力，т) — резольвента ядра
修("工)=T4^^ {[%.(工-^)+ са®1 ⑴]f (-工)}. (3.40)
При достаточной гладкости H^t^ т) функции z^t) вида (3.39) непрерывны и {/〃)}三 厶 при любом фиксированном 1 ^ i < оо. Наконец, используя соотношения (3.16), построим последователь- пость функций уМ^ а вместе с тем и решение, поставленной за-
дачи q(N, %), 6⑴ вида (3.12), (3.13). Заметим^ что из структуры (3.16) следует: ｛仇(力)｝三勾 при фиксированном ivA.
Для окончательного обоснования построенного решения следует доказать сходимость рядов (3.12), (3.13). Оценим остаток ряда S = J N 2n (力)(力)|, / ["《>.1^0 zm(/) I (gm, g龍)工 J J). (3.41) 厶2(一丄，丄)mtn—3
Поскольку при (厶 j) f 8
(分，%)£式-1,1)=2n也£ eС/ N ^n^n ~ / (^i^j)(4 = COnst),
n—1
(3.42) то имеем
8OO
S A 2 J ^Zn (О I S I ^Zm (i) I < e (/->8；l&y?), (3.43) n—jm=j--
где e — сколь угодно малое число. Здесь использовано то, что 伝⑴｝ W 厶 при фиксированном t.
Если выполнено неравенство (3.43), то ряд (3.12) сходится в ^2(—1, 1) равномерно по ^ [1, Т] и, согласно [19], определяет обобщенное решение уравнения (3.8). Равномерная сходимость ряда (3.13) следует из принятого поведения б» при г -> °о и того факта, что ｛“〃)｝巨 Z2 при фиксированном 力
§ 4. Численный анализ, частные случаи
Здесь будут исследованы некоторые предельные случай рассмотренной в предыдущем параграфе задачи, а также приведены числовые результаты для характерных величин.
Аппроксимируем функцию /(у) в (3,18) выражением
/匂) = 1у?(4.1)
тогда резольвента ядра (3.39) может быть найдена согласно (1.21). Пусть, кроме того,
фДт + х(^)] =^CQ + C^^\(4.2)；
тогда в соответствии с (3.19) имеем
л
а (т) = с。+ С1М*，卩 Т J fdy.(4.3)
Заметив, 'что для аппроксимации функций /匂)贝 ф1(т) Можно былр бы использовать и другие выражения, указанные в § ± прй которых возможно точное нахождение резольвенты 明pit (3.39).
Допустим 乂(д)>0 и 乂'(у)》0, т. е. возраст верхнего слоя растет по высоте 4), что происходит, если слой подвержен влиянию внешних воздействий (облучение, нагрев и т. д.). В этом случае OVjiWl. Если 乂匂)V。и 乂'(g)W0, т. е. возраст тонкого слоя
уменьшается по высоте, чтоуменьшается по высоте, чтоДля случая искусственногоДля случая искусственногосоответствует процессу возведения верхнего слоя на нижнем, то 1W. W 卩 W “• Таким образом, изменяя параметр 卩 в указанных пределах, можно построить решение поставленной задачи для любых функций х(у).
уменьшается по высоте, что
уменьшается по высоте, что
Для случая искусственного
Для случая искусственного
В качестве иллюстрации предложенного в предыдущем параграфе алгоритма приведем решение задачи в случае g(z)三 О (штамп имеет плоское основание); е = 0； Р = 1;九=6; с = 0,5; Со = =0,5522, Cj = 4, ф1(т) ~ ср2(т), т ^ 0, а функция L(u) дается выражением (3.1а) гл. V, т. е. нижний слой лежит без трения на жестком основании.
Для случая естественного старения
1<ц<е₽; § = 2,325;
= 4,5; J = 75 сут.
старения
0 < 卩 W 1; § = 0,31; 7 = 0,6;. Tt — 10 сут.
На рис. 7.1 приведены графики распределения контактных давлений в зависимости от n,力 и параметра неоднородности N： %=1 (кривая 7) — упругое решение;力=2, 卩=10 (кривая 2)——естественное старение; i = И, 卩=0,1 (кривая 3)—— искусственное старение.
На рис. 7,2 изображены зависимости между gmax(& 卩)=q(l, %, H), gmin(力 卩)占 g(0,力 卩)и 卩 при различных фиксированных значениях t для случая естественного старения (дтак(1,05; ц) — кривая 7, дтах(2,卩)—кривая 2, gmin(2,卩)—кривая 3, 9пип(1,05;卩)— кривая 4). Можно заметить, что с ростом параметра неоднородности ц максимальные контактные давления уменьшаются, а минимальные увеличиваются..
Для варианта искусственного старения (рис. 7.3) (?max(H, N)— кривая 7, £так(1,5； |1) — КрИВИЯ 2, Qmln(l,5； ц) — кривая 5,
J). Следует;напомнить, лто х(0) = 0 и —1 < к(^) V8.
，min(41, М)— кривая 4) с уменьшением параметра неоднородности р, от 1 до 0 максимальные нормальные контактные напряжения растут, а минимальные ——уменьшаются.
Зависимости 6(%) при фиксированных значениях 卩 для иссле
дуемого случая естественного старения приведены на рис. 7.4
ц = 0；05 一 кривая 3). Видно, что с ростом времени t функция 6(力 возрастает и стремится к предельному значению, которое тем больше, чем больше параметр ц.
Исследуем теперь предельные случаи изменения параметра неоднородности % Пусть 卩=1， т. е. х(у)三 0. Тогда, если слои изготовлены из одного материала и т== 0, а сила, действующая на штамп с плоским основанием, от времени не зависит, получим, Что распределение давлений под штампом будет таким же, Как в аналогичной упругой задаче, т. е. ползучесть в этом случае не оказывает влияния на распределение контактных напряжений.
Пусть |л = 0 (x(g)f °?)・ Тогда верхний слой будет работать йо типу винклеровского основания, материал которого подчиняется закону линейной наследственности [3, 7].
Вариант 卩=е" Му) = — 1) соответствует случаю кусочнооднородного старения двухслойного основания. Этот случай всесторонне исследован в работе [201.
Контактная задача для упругого слоя,армированного нелинейно-стареющим покрытием
Рассмотрим теперь плоскую контактйую задачу о вдавливании без трения жесткого штампа ширины 2a в поверхность нелинейно- стареющего вязкоупругого слоя 1 толщины Л (九《а) (рис. 5.1). Предполагается, что слой 1 лежит без трения на упругом слое 2 толщины Н, подстилаемом жестким основанием. Впе штампа поверхность слоя 1 не нагружена, а под штампом выполнено условие контакта (3.1). На штамп действует сила Р«) с эксцентриситетом е относительно центра линии контакта \х\ Wa.
Для вывода интегрального уравнения контактной задачи подобно тому, как это было сделано в § 3, рассмотрим сначала вспомогательную задачу о равновесии, тонкого слоя 1 Qn1V8, OWgW 九)при краевых условиях (3.2). Допустим, что для материала слоя 7 справедливы все те предположения, которые были сделаны в § 2 при выводе формулы (2.17). Кроме того, пусть модуль сдвига Gi верхнего слоя на порядок превосходит модуль сдвига G2 нижнего слоя. В этом случае слой 7 будет работать в осдовпом на сжатие, и приближенное решение краевой задачи (3.2). можно построить подобно решению задачи (2.6). Таким образом, в соответствии с (2.17) при аппроксимации (2.18) будем для плоской деформации иметь
— -^yA: J gm (^, т) dx + U2 |y=o* (54)
% На основании решения вспомогательной задача так)й& можно сделать вывод, что о；2 |у=о =——q (胃，0-
Для упругого слоя 2 в случае плоской деформации при у = 0 имеем [12]
(5.2)(5.2)城=_* j g(Е")'(^^)"Е (0 = г=^г)'Z (z) = J ^^ cos uz du.
(5.2)
(5.2)
Функция L(u) может быть записана, например, в одной из форм (3.1) гл. V и соответствует случаям, когда нижний слой либо лежит без трения на жестком основании, либо сцеплен с ним.
Подставим теперь выражение (5.2) в правую часть (5.1). Ограничивая в найденном таким образом соотношении изменение 第 пределами InI Wa 且 подставляя его в условие (3.1), получим интегральное уравнение для определения неизвестного ковтактного давления под штампом q(x, t) .
；Aykhqm G") + 爲 g(2,力)+*• J g (В, 0 (^~g~ J旄=
= 6«)+'a(2)z (|^|<«, t>Tj) (5.3) с начальным условием
Д9（瑞G）+焉Д9（瑞G）+焉g & Ti) M^^)砾=6 d) + а (т, X — g(x)
Д9（瑞G）+焉
Д9（瑞G）+焉
(5.4)(5.4)([% [ & % 力=T)
(5.4)
(5.4)
К уравнениям (5.3), (5.4) необходимо еще прнсоединить условия квазиравновесия штампа
Р (%) = J Р 位")d芻 Р «) е = J %Р &") dx.(5用
—a■—a
В безразмерных переменных и с учетом обозначений
屮= y(Q, a(t) = a，(丿)，q)3,y)= g(£")忌，(5.6)
Q"')= p")金，…等学=7(吟
формулы (5.3) —(5.5) примут вид (штрихи далее опускаем)
огдГ(N") + 屮(％") + g J 屮(&"" (^^)恋=
= Y«) + a«)N (|^|<1,力 >0),(5.7)
中(2,0) +系j'中*0)《中)雄=
=丫(0) + a(0" — / (z)(|z］《l, t = 0),(5.8)
〃)= J ф (x, t) dx. Q〃)e= J x(p (x, t) dx.(5.9)
Далее, не нарушая общности рассуждений, будем рассматривать поставленную задачу лишь для случая плоского штампа: /(х)= 三 0, а&) = е 三 0. Построим асимптотическое решение системы уравнений (5.7) —(5.9) для малого времени (%f 0) при условии, что для Q&) в окрестности 力=0 имеет место разложение
QG) = Q。+ Q J + ・・.+ Qn俨 +。(严》(5.10)
Представим 丫⑴ в форме
&) = Yo + 匕力 + 也俨 + ... + 件严 + O{tn^).№ = 丫(0), (5.11)
a(p(x, t) будем искать в виде
p(N,力=фо(£)+(pi(x)i +... + ^)n{x)tn + O(tn+l\ (5.12) где 5(N)= q)(N, 0) определяется из уравнения (5.8).
Подставляя (5.10)—(5.12kй уравнения (5.7), (5.9) и приравнивая в полученных выражениях члены левых и правых частей при одинаковых степенях & получим
J W (х) dx = Qn (n — 0,1,2,...),(5.13)
5 ⑶ + ^ J Ф1 (Ю %，J)恋=Vi —叫？1 (%) Q RI & !)♦
-1-1ф2 (г) + ^- У ф2 0)《中)龙尸 丫2 - 2 от^-1 (х) 6(z)
-1
-1
(I z|《Q，
Интегральные уравнения второго рода в (5.13) в силу свойств оператора (3-10) являются фредгольмовыми и в совокупности с уравнением (5.8) служат для определения фп(х) (п = 0, 1, 2,...) в предположении, что заданы 丫妙.Последние затем определяются из интегральных соотношений (5.13). Приближенные решения указанных интегральных уравнений могут быть найдены, например, методом, изложенным в § 3 гл. V.
Построим теперь асимптотическое решение системы уравнений (5.7), (5.9) для большого времени (力一> 8)при условии, что для Q(t) в окрестности % = 8 имеет место разложение
.Q(j = Q。+ Q^ + ... + Qne~G^ +。5仪…“).(5.14)
Представим ^(t) в форме О
1а)=h% + 匕 + 3传-0£ + ... + ^ne-ant +。储一。5+1"), (5.15) a q)(x, t) будем искать в виде
Ф(^, t) = фте[1 + ф1(х)е~а( +... + ^n{x)e~ant + 0(ei("+a)]. (5.16)
Подставляя (5.14)——(5.16) в систему уравнений (5.7), (5.9) и приравнивая в полученных соотношениях коэффициенты левых и правых частей при одинаковых степенях е-°\ найдем
фоо =讶 Qo， фоо J фп (右)d右=Qn (zi = 1, 2,...),
叫瞿=%,.
(1-暇 T) 5 ® + 系 J 用但)M^)应=£* (kl<!)>(547) —1
(1 — ~ 7П(р于)5®+打中2(机(^)龙=
=自中鲁+4"6(6一4)暇-%:伍)(ixi{i),
Интегральные уравнения Фредгольма второго рода в (5.17) служат для определения 屮式力)(zz = l, 2, ...) в предположении, что заданы ^п. Последние затем определяются из интегральных соотношений (5.17). Приближенные решения интегральных уравнений
】)Здесь 0 W 力 V Т, где величина Т большая,, но такая, что 丫(亡)имеет порядок перемещений в линейной теории упругости, и выполнены условия вывода формулы (2.17).
могут быть найдены, как уже отмечалось, методом § 3 гл. V. Предположим теперь, что существует такое значение 力=备，при котором ф+(х,勿)^屮一(第,办),где ①土(胃，^) - контактные напряжения, полученные соответственно для большого и малого времени по формулам (5.16) и (5.12). Тогда и 丁十(力о)比 丫一(力о), откуда определяем постоянную То в (5.15).
Отметим, что в ряде случаев иногда более полезным бывает другой алгоритм построения решения системы (5.7), (5.9) при большом времени. Изложим его для случая Q&) = Q = со口st. Представим 丫⑴ в форме
8—6 tV (0 = 1M + Yo + 工贏 e~ A +A=18—6 tV (0 = 1M + Yo + 工贏 e~ A +A=12 &е”+…(5.18)用=1n=l2 &е”+…(5.18)用=1n=l
8—6 t
V (0 = 1M + Yo + 工贏 e~ A +
A=1
8—6 t
V (0 = 1M + Yo + 工贏 e~ A +
A=1
2 &е”+…(5.18)
用=1n=l
2 &е”+…(5.18)
用=1n=l
=yI；=yI；0底屮啓-电0底屮啓-电Me,t乂 （号鹏=Me,t乂 （号鹏=九=1九=1/第1《1), (5.21)/第1《1), (5.21)
=yI；
=yI；
0底屮啓-电
0底屮啓-电
Me,t乂 （号鹏=
Me,t乂 （号鹏=
九=1
九=1
/第1《1), (5.21)
/第1《1), (5.21)
и будем искать решение (5.7), (5.9) в виде
ф(х, i) =(poo{l + q)i(x,力+ 屮2(第，力+ ・・.},(5.19)
причем предположим, что отношение 屮丸+工(第,t)屮員'(第，£) (及》1) стремится к нулю при 力一> 8 равномерно по 第.
Воспользовавшись теперь идеей метода Ньютона [14] решения нелинейных операторных уравнений, получим
(5.20)
СТ/ПфСТ/Пф(5.22)(5.22)
СТ/Пф
СТ/Пф
(5.22)
(5.22)
« [屮2 (步，力)+ "2 1屮:(*，力)]+①2 (第,力)+
+ g f 屮2 (I") М^^)恋=—屮工'£ £ Ikn 視 + SQ e e什％"
(kl<i)
Представим решенне интегральных уравнений 45.21) в форме
屮1 (第，力)=2队(第)e ,А=1
用(X, 0=22 %Тг (第)6一("十"",.. •n=l
Тогда после очевидных преобразований запишем
^ JsJSZ(M龙=aksk (z) + 呢$ (I а； К 1),
勺班"(凯勺班"(凯-х-хdе ~a在川在九(n) +dе ~a在川在九(n) +(5.23)(5.23)
勺班"(凯
勺班"(凯
-х
-х
dе ~a在川在九(n) +
dе ~a在川在九(n) +
(5.23)
(5.23)
+2(1 + а在九)S在(N)£兔(N)+ фоо 占左九(]N I & 1) j • • • t
_0m吧T — 6feОтметим, что в силу свойств < почти при всех а& (Л > 1) и ： в L^—i^ 1). Кроме того,_0m吧T — 6feОтметим, что в силу свойств < почти при всех а& (Л > 1) и ： в L^—i^ 1). Кроме того,叫= n^T^・叫= n^T^・оператора (3.10) уравнения九三(0, оо) однозначно разрешимыоператора (3.10) уравнения九三(0, оо) однозначно разрешимы(5.23)(5.23)
_0m吧T — 6fe
Отметим, что в силу свойств < почти при всех а& (Л > 1) и ： в L^—i^ 1). Кроме того,
_0m吧T — 6fe
Отметим, что в силу свойств < почти при всех а& (Л > 1) и ： в L^—i^ 1). Кроме того,
叫= n^T^・
叫= n^T^・
оператора (3.10) уравнения
九三(0, оо) однозначно разрешимы
оператора (3.10) уравнения
九三(0, оо) однозначно разрешимы
(5.23)
(5.23)
О = J 中(n") dz = Qo + £ Q在e "' + N 2 Q/sjiC("+%" +
-i左=1左=1 n=l
/у \l/mj(5.24)
Qo = 2фоо = 2 ^―), Qh ~ фоо J s在(n) dx = 0,
1
Qa?? фоо J Shn (n) dx — 0.
-1
Ищем решения уравнений (5.23) в форме рядов Фурье по ортонормированной системе полиномов Лежандра
S& (с) = V^f ф^1 2 威P；n (z), skn (z) = 2(р^2 2 Ь^пР*)(х). (5.25) 71=0j=0
Принимая далее в расчет равенство (3.24) и
$«^(2)=0 若”P：j(z),(5.26)
j=0
подставляя (5.25),(3.24), (5.26) в (5.23), используя условие ортогональности полиномов Лежандра и приравнивая в полученном соотношении коэффициенты правой и левой частей при много” членах одинакового номера, получим
^2^仇)游一^d=&0矗 (i = 0,l,(5.27)
л j=o
^ rH (М Ь?" — a&“或"=型 2 工(1 + %) г?" +E/mM (5.28)
(i = 0,1, 2,...).
Здесь 8ij ——символ Кронекера. Вид коэффициентов п/Х) приведен в § 3 гл. V.
Поскольку 0三0, то в силу (5.24), (5.25)旖=0,力俨=О (加，修》1)・ Эти условия служат для определения неизвестных величин бп,凝似 Действительно, из (5.27) имеемЛо=Д1Ав1, где А — основной определитель системы (5.27), А【——вспомогательный определитель, который получается из А заменой в нем первого столбца элементами {1, 0, 0, ..., 0, ...}. Определитель Ai симметричный, поэтому корни его а? (/ = 1, 2, ...) вещественны. Кроме того, принимая во внимание результаты работы [15], можно утверждать, что — ^2)+2 < aJ <— ^aj? где 巾=р尸—собственные числа интегрального оператора (3.10). Этим обоснована структура решения (5.18), (5.19) интегрального уравнения (5.7).
Покажем теперь, что условие Ь^“ = 0 служит для однозначного определения 堂月"в (5.18). Из системы (5.28) следует, что b%"= =А3А鼠\ где Д2 = det[xn_1rf/X) — aftn6ij, Д3 — вспомогательный определитель системы (5.28), получающийся из основного Д2 за- менои_ первого столбца элементами (т — 1) 2-1(1 + 仪在气)[г^ + + $2 фооВйп 5 — 1 尸(1 + 融气尸,g\ 度，・…г” …}. Очевидно, чтобы из условия Ьо^ =° можно было подобрать §ftn единственным образом, требуется, чтобы определитель Д4 = detlxn^^ij/X) 一 —aMibid (г, / > 1) был отличен от нуля. Нетрудно заметить, что по своей структуре Д4 совпадает с Аь в котором вместо элементов хлГ力j(九)一出5叮(% 7 > 1) стоят хл-1Гг/Х) — айпй；；. Предположим, что А《 = 0; тогда из условия 仪^=0 и вида akn следует акп = «п, откуда W = — 3 (n^l). Но этого быть не может, так как а^ ——вещественные. Следовательно, А《* 0 и условие ^п = 0 служит для однозначного подбора 七&嘱 в (5.18).
Определив указанным образом числа aw, §ftn, найдем затем из неоднородных систем (5.27), (5.28) aj, b£" и построим функции £<n), skn(x). Отметим, что указанные системы в силу свойств оператора (3.10) и теоремы Гильберта [14] однозначно разрешимы в пространстве квадратично суммируемых последовательностей 厶 при любых значениях параметров 入,х w (0, 8), и для их решения может быть использован метод редукции. При известных ап находим также 6П. Наконец, счетное множество постоянных т° и 堂月 (k^l) определим из условия асимптотического совпадения функций т+«) вида (5.18) и у_(^) вида (5.11) в окрестности некоторой точки 力=方().Для практических целей достаточно как-то зафиксировать постоянные 堂丸(например, положить 自丸=4) и найти 丫。из условия т+(力о) = Т-(方J. Определение 汽 и * завершает построение решения задачи в форме (*5.11), (5.19).
Проиллюстрируем численно предложенные алгоритмы для случая, когда нижний слой жестко защемлен по основанию. Как
было указано в § 3 гл. V, функция L(u) имеет вид (3.16). Предположим, что вдавливающая штамп сила постоянна во времени (Q = l). Тогда в разложениях (5.13), (5.17) соответственно имеем Qo — 1,屮8 = 1/2, ^n = 0 (zz = 1, 2,...).
Положим также в (5.7) и (3.1) гл. V а = 1, х — л} Л = 1, v2 = 0,3.
戶①，"
夕何，.”
Рис. 7.7.
Ограничимся в асимптотических разложениях для 屮(第，力 (,5.12), (5Л6) удержанием первых двух членов. Закон распределения контактных нормальных напряжений 屮(第，t) в зависимости 31 В. М. Александров, С- М. Мхмтарян
от / и 力 приведен на рис. 7.6 (т = 1,5; кривая 2 —£ = 0, кривая 2 — £ = 3, кривая 5 — ^ = 9, кривая 4 — £ = 8) и на рис. 7.7 (т = 2; кривая 2 — £ = 0, кривая 2 — t = l, кривая 3 — £ = 2, кривая 4 —力=10, кривая 5 ——£ = 8). Следует отметить, что асимптотическое разложение для (р(/,力(5.12), построенное при доста
точно малом времени, стыкуется с соответствующим асимптотическим разложением (5.16), построенным для достаточно больших значений t, в случае т = 1,5 при 力0^8, m = 2 при % Q 8,5/ Кроме того, численный анализ поставленной задачи показал, что при m = 1,5 и m = =2 и одинаковых значениях / и t величины ф(л:, t) отличаются друг от друга не более чем на 5—6%.
Для определения постоянной у。в формуле (5.18) положим 気=1 и воспользуемся,
как было отмечено выше, условием ^+(t0) = ^^(tQ). Будем иметь
при m = 1,5 и m = 2 соответственно 匕=1,483 н『=1,577. На рис. 7.8 приведен закон распределения 丫(力 в зависимости от t при m == 1,5 — кривая 1 и при ттг = 2 — кривая 2. Нетрудно за
метить, что эта зависимость носит почти линейный характер. Кроме того, следует отметить, что осадка под штампом тем больше при прочих равных факторах^ чем меньше показатель нелинейности тп.
ПРИЛОЖЕНИЕ
О ВЫЧИСЛЕНИИ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Многочисленные смешанные задачи теории упругости и математической физики для областей различных геометрических форм (плоскость, плоскость с круглым отверстием, полуплоскость, полоса, клин, прямоугольник, круговой диск, круговое кольцо, пространство, полупространство, слой, конечный или бесконечный цилиндр, пространство с бесконечной цилиндрической шахтой и т. д.) методом построения функции влияния сводятся к интегральным уравнениям первого рода с ядрами, представимыми в виде своих главных* й регулярных частей. Применение к ним метода ортогональных. полиномов приводит к бесконечным системам линейных уравнений, ядра которых выражаются, вообще говоря, трехкратными интегралами. При численном анализе указанных задач возникает необходимость вычисления этих интегралов. В таких задачах наиболее ^асто встречаются интегралы следующих типов:
琛:"竹 К …)c二;;二，)， -1у "
к (& 一 ％ тт ⑶ тп (n)W, n = 0,l,2,
匕Y匕一唄
(2)
К黑=j j 碼 7)%Т ⑶%一式⑴匕一自2 /l-г)2 凭 dn W，"=1，2,…),
(3)
к£'п= J р(^-п)Р^)(^)Р^+1,а+1)(п)(1-Юа(1+^(1-п)5+1(1+п)а+1х
Xd^d" (m, n = 0,1,2, ...),(4)
鑑=J M(")嚼72 (РЮ 峭/2 ( PE)X
о оtm+1 «т+1
X— - £ "ЕA, p = 0г 1, 2, ..(5)
К 阳=j cos 觴 do (A); 2) K(E) = jsin 觴 do 仇)，(6)
оо
Km("，⑴ = (熊)4仏*1)4。8)，(7)
1
a=—-—扣 (一8 V 卩 V oo) (m = 0,1,2,…).
Здесь Тщ (I) —полиномы Чебышева первого рода, Z7m-i(B) —полиномы Чебышева второго рода,Р^,а)— полиномы Якоби, Ск 阳一полиномы Геген- баузра, Jm 依)—функции Бесселя первого рода индекса тп, а о(Х) — функция ограниченной вариации на любом отрезке полуоси (0, оо). Интегралы в (6) — (7) следует понимать в смысле Стилтьеса. Если функция о(Х) дифференцируема: (/(%) == р(%), то интегралы (6) превращаются в обычные интегралы Фурье, а (7) — в интегралы Ханкеля. Если же о(Х) представляет собой некоторую функцию скачков со скачками в точках X = и (и = —О, 1, 2, ...), то интегралы (6) превращаются в обычные ряды Фурье, а интегралы (7) при надлежащей функции скачков о(Х) — в ряды Фурье — Бесселя. Интегралы вида (1) — (3) и (5) в частных случаях ранее неоднократно встречались в гл. VI.
Займемся упрощением указанных трехкратных интегралов. Оказывается, что их можно преобразовать в одномерные интегралы, которые при помощи известных алгоритмов легко могут быть численно реализованы на ЭВМ.
Обращаясь к интегралам (1), где ядро К(己 ——“〉выражается первым интегралом (6), можем записать
1
£偿,脅=f d。(X) [ 阳 pl — l COS 觴吒 fCOS xn dT] +
81О-181О-1⑶⑶*44 K,l-<
81
О-1
81
О-1
⑶
⑶
Теперь примем во внимание выражения интегралов ([1]: с. 850, формула 7.355)
j Тп ⑺ cos 入"d” _ |0, и = 2* + 1,
а ~~1 产 (А), ”=2",
(8)
j 7rl(") sin %n d” 一 (°， n = 2k,.
J pl - "2((-1)%/+1(%)，n = 2A -(- 1
(А = 0, 1, 2, ...)•
Отсюда легко получить, что
"m—i ⑸ 1А -1 COS 延吒={3)р-1 л (J] _ 1) “-I伍)/А，" = 2р-1
У Um_r 患)У1 -賛 sin 觴我=卜 D'T 2npJ2P(A)/3m = 2p；
(p = 1, 2,…).
С учетом (8) и (9) будем иметь
磯区+i = 2岛(Т严pt j %+i(A)J2P(%)
0
磯％2A = d (2p — 1) (一 1产+pt J % (A) %т (A)色怨，(10) -0
К*：% = K^j2,2比+1 =。(A = 0, 1, 2, ...; p = l,2,…).
Совершеано аналогичным образом, когда ядро в интегралах (1) выражается вторым интегралом (6), находим
巡:%巡:%不(〃#) 2p-l,2fe+l不(〃#) 2p-l,2fe+l+ 1⑷厶PT （力纟抖+ 1⑷厶PT （力纟抖du (九)du (九)(11)(11)
巡:%
巡:%
不(〃#) 2p-l,2fe+l
不(〃#) 2p-l,2fe+l
+ 1⑷厶PT （力纟抖
+ 1⑷厶PT （力纟抖
du (九)
du (九)
(11)
(11)
К*2,2& = К*県+1 = 0Таким же путем получимК*2,2& = К*県+1 = 0Таким же путем получим(А = 0,1,2, .. .； р = 1, 2,..(А = 0,1,2, .. .； р = 1, 2,..))
К*2,2& = К*県+1 = 0
Таким же путем получим
К*2,2& = К*県+1 = 0
Таким же путем получим
(А = 0,1,2, .. .； р = 1, 2,..
(А = 0,1,2, .. .； р = 1, 2,..
)
)
舄22h =戸(一1 产+P J Jik (X)J2P (X) da (A),О
(12)(12)應+i,2A+L 产(一 1 产+p j %+i(A)%+i 8)而仏),
(12)
(12)
К鼠2A+1= К爆+I,zh = °(p,* = o,l,2,
К鼠2A+1 = — 产(一坟+P j J2P仇)融+1 (A) d。(A),
0
(13)(13)K*+1,2A =产(~l)ft+pJ %+i 3)% (A)加(A),0
(13)
(13)
К馭 2、1К馭 2、1及馭2”1 ~ К$"т,2丸=。(р, 4 = £, 2,・・.);及馭2”1 ~ К$"т,2丸=。(р, 4 = £, 2,・・.);（九）虫⑷ 入2（九）虫⑷ 入2仅）@（九） 丿九2仅）@（九） 丿九2^2p,2fe = ^2p+l,2fe+l ~ °；^2p,2fe = ^2p+l,2fe+l ~ °；(伍)(伍)不(〃)■Л2р—1,2ft不(〃)■Л2р—1,2ftК 馭 2A=K^t,2AT = 0・К 馭 2A=K^t,2AT = 0・(15)(15)
К馭 2、1
К馭 2、1
及馭2”1 ~ К$"т,2丸=。(р, 4 = £, 2,・・.);
及馭2”1 ~ К$"т,2丸=。(р, 4 = £, 2,・・.);
（九）虫⑷ 入2
（九）虫⑷ 入2
仅）@（九） 丿九2
仅）@（九） 丿九2
^2p,2fe = ^2p+l,2fe+l ~ °；
^2p,2fe = ^2p+l,2fe+l ~ °；
(伍)
(伍)
不(〃)■
Л2р—1,2ft
不(〃)■
Л2р—1,2ft
К 馭 2A=K^t,2AT = 0・
К 馭 2A=K^t,2AT = 0・
(15)
(15)
Формулами (12) и (13) даются выражения интегралов (2), когда входящее в них ядро выражается соответственно первой или второй формулой (6). Формулами же (14) и (15) в указанной последовательности даются выражения интегралов (3).
Обргачаясь теперь к интегралам (4), предположим, что функция о(Х) дифференцируема: и'(入)=р(九)• Продолжая функцию р(入)на отрицательную полуось четным образом, из первой формулы (6) будем иметь
k⑹=} J p （厶）抑认
Прп помощи последнего интеграла (4) можно представить в виде ОО1
К编=£ J ра)如JР導而⑹а -旷а +护ё认诬х
1
х J р#+1，а+1)⑺)(1 — П)а+‘ (1 + П)“+ 乂一加dq.
-1
Далее воспользуемся выражением интеграла ([2], с. 117)
J吆元)(У (1 一旷(1 + "卢卡电自 =
-1
=2m 5 («г + а + 1, «г + а + 1) ―^- е^М) («г + а + 1, 2мг + 1; 2力九)，
где В (а, Ъ) — бета-функция Эйлера, а ①(а, с; z) — вырожденная гипергеометрическая функция. Последнюю функцию можно выразить через функцию Уиттекера MKiV(^) формулой ([3], с. 251)
①伍，с； 2)= ez^z~1/2~^MH^ ⑶；• сс — 1
-м — % Y = —2—.
После простых выкладок в результате получим
к£)п = - -^ j Р (М 陷…(2次)忆％”+1 (—2%)备(16)
(р (— %) = р (九)；《г, тг = 0, 4, 2,…)，
丨 F (m 十 4/2 —以)У I F ”+ 3/2 — 加)产
m,乳ттг! «! (2ттг)! (2n 十 2)!，
где Г(а：) - гамма-функция Эйлера.
В том случае, когда ядро К；^—П) в (4) выражается вторым интегралом (6), функция р(Х) на отрицательную полуось продолжается нечетным образом. Поступив совершенно аналогичным образом, будем иметь
К编=-J р⑷珈汕m(2次也7吋+式一 2")*(17)
(P (一九)=一 p (九)；^, n = 0,1, 2,...).
Наконец, обратимся к упрощению интегралов (5). Подставляя выраже-> ние ядра Km(W, П) из (7) в (5), а затем поменяв порядок интегрирования.
479479ПРИЛОЖЕНИЕ
479
479
можем записать
磯匕=j do (A) j Jn (觴)哪+1/2 (/Г^?) 7^^ 雄 X
X f /т 6 ⑴得+1/2 ( /1 - n2)-匹+' d% оИ 1 — П^
Теперь воспользуемся известным разложением ([4], с. 114, формула (3)) % a se吁/^ s『也4屮挑菖舒g -
X r (m + 手)续+1/2 (COS ") %+2月+1/2 (z)■ (о < e < П),
откуда при помощи условия ортогональности полиномов Гегенбауэра получим Я?2
f / (z 8m仔)C然"2(60S ")sinm + 1 " d"=
1,,、(2加 + 4" + 1)5+2加)！如f5+1/2) "小
=y^ Z^+^n+i/2 (z)(2加 + 2汽 + 1)献(m + 孔)！(2®!* ГВ
С другой стороны, если в интеграле
о匕—『
положить 己—sin 熊 то, согласна (18), будем иметь
Т(m)_丄 「(2hг + 4山 + 1) (2m + 初加！ F 依 + 1/2)
厶丸 =ylT Jm+2h+i/2 (A)(2m + 2k + 1) k\ (m + k)l (2m)!~
С учетом последней формулы окончательно находим
嚼=4明Jm+2^+1/2 仇)4+2卩+1/2(入)0，)a9)
0
(加，山，р = 0,1,2,...
嗯=嗯=(团产(2加 + 4山 + 1) (2m + 4p + 1)(2加+向! (2m+p)!F(A：+l/2)F(p+l/2)
嗯=
嗯=
2 (2加 +一2山 + 1) (2^ + 2p + 1)依 p! (m + 的！旧 + p)![(血!『,
Отметим, что при заданном поведении функции. р(Х) на бесконечности, обеспечивающем сходимость соответствующих интегралов, подынтегральные функции в формулах (16), (17) и (19) на бесконечности довольно быстро убывают, что существенно упрощает численную реализацию этих интегралов на ЭВМ.
Отметим еще, что в некоторых случаях удобно пользоваться зависимостью между полиномами Яко血 и Гегенбауэра
Р^'Т/2)(1 - 2/)=Р^'Т/2)(1 - 2/)=c^iVT^),c^iVT^),(2п)! Г (да+ 1/2)22пп! Г(т+п+1/2)
Р^'Т/2)(1 - 2/)=
Р^'Т/2)(1 - 2/)=
c^iVT^),
c^iVT^),
непосредственно вытекающей кз известной формулы ([5], с. 219).
1.4.5.10.И.12.1.4.5.10.И.12.
1.
4.
5.
10.
И.
12.
1.
4.
5.
10.
И.
12.
ЛИТЕРАТУРА
К введению
Развитие теории контактных задач в СССР.— М.: Наука, 4976.
Власов В. 3., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании,— М.： Физматгиз, 1960.
Галин Л. А, Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости.— М.: Наука, 1980.
Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Контактные задачи теории пластин и оболочек.™ М.: Машиностроение, 1980.
Коренев Б. Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании.—М.: Госстройиздат, 1954.
Моссаковский В. И., Гудрамович В. С., Макеев Е. М. Контактные задачи теории оболочек и стержней.— М.: Машиностроение, 1978.
II е л е х Б. Л., Сухорольский М. А. Контактные задачи теории упругих анизотропных оболочек.— Киев: Наукова думка, 1980.
Попов Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений.— М.: Наука, 1982.
Р в ач ев В. Л., Проценко В. С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей.——Киев: Наукова думка, 1977.
Савин Г. Н., Т у л ч и й В. И. Пластинки, подкрепленные составными кольцами и упругими накладками.— Киев: Наукова думка, 1971.
Сеймов В. М. Динамические контактные задачи,— Киев: Наукова думка, 1976.
Ширинкулов Т. 1П. Методы расчета конструкций. на сплошном основании с учетом ползучести.— Ташкент: Фан, 1969.
К главе I
У ф л я н д Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости.— Л.: Наука, 1964.
Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной.— Мл Гостехиздат, 1957.
Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье.— М.: Фпзматгиз, 1962.
Титчмарщ Е. Введение в теорию интегралов Фурье.— М.; Л.: Гос- техиздат, 1948.
Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко' В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости.— М.: Наука, 4974.
Тим ошенко С. П., Войновский-Кригёр С. Пластинки и оболочки.—М_： Физматгиз, 4963.
Власов В. 3., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании.— М.: Физматгиз, 1960." “‘
Александров В. М., Соловьев А. С. Некоторые смешанные плоские задачи теории упругости и их приложение к расчету погрешностей теизоизмерений.— Изв. АН СССР, МТТ, 197Ю, № 1.
Гольденвейзер" А. Л. Теория упругих тонких оболочек.— М.: Наука, 1976.
Аксевтян О. К., Ворович И. И. Напряженное состояние плиты малой толщины.— ПММ, 1963, т. 27, вып. 6.
Кетч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике.— М.: Мнр, 1978.
Интегральные уравнения.— М.: Наука, 1968.
Коваленко Е. В. Об эффективном методе решения контактаых задач для линейно-деформируемого основания с тонким усиливающим покрытием.— Изв. АН Арм.ССР, механика, 1979, т. 32, № 2.
Александров В. М. Некоторые контактные задачи для балок, пластинок и оболочек,— Инженерный журнал, 1965, т. 5, вып. 4.
Александрова Г. П., Шл е н е в М. А. Плоские задачи о вдавливании штампа в пластинку Рейсснера, лежащую ва основании Фусса —— Винклера.— В кн.: Теория плит и оболочек— Ростов-на-Дону: Изд. Ро- товск. инж.-строит. ив-та, 1972.
Александров В. М., Коваленко Е. В. О двух эффективных Методах решения линейных смешанных задач механики сплошных сред.—— □ММ, 1977, т. 41, вып. 4.
Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.— М.: Наука, 1977.
Новожилов В. В. Теория тонких оболочек,— Л.: Судпромгиз, 1962.
Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.— М.: Наука, 1966.
Melam Е. Ein Beitrag zur Theoric geschweisster Verbindungen.— Ingr. Arch., 1932, Bd. 3, H. 2.
К главе II
M e 1 a n E. Ein Beitrag zur Theoric geschweisster Verbindungen.— Ingr. 'Arch., 1932, Bd. 3, H. 2.
Муки P., Стернберг E. Передача нагрузки от растягиваемого поперечного стержня к полубесковечной упругой пластине.— Прикл. мех., Труды Амер, о-ва инж.-мех,, сер. Е, 1968, т. 31, № 4.
К о i t er W. Т. On the diffusion of load from a stiffener into a sheet.— Quart. J. Meeh, and Appl. Math., 1955, v. 8, № 2.
Бейтмен Г., Эрдейи А, и др. Таблицы интегральных преобразований, СМБ, т, II,— М.: Наука, 1970.
Винер Н. Интеграл Фурье и аекоторые его приложения.— М.: Физматгиз, 1963.
Крейн М, Г. Об одном общем методе разложения положительно определенных ядер на элементарные произведения,— ДАН СССР, 1946, т. 53, № 1.
Крейн М. F. О переходной функции одномерной краевой задачи второго порядка.— ДАН СССР, 1953, т.时，№ 3.
Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов ①урье.—М.; Л.: Гос- техиздат, 1948.■
Колмогорова А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.— М.: Наука, 1981..
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. Ш,— М.: Наука, 1966.
И. Бейт м.е н 「， Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, СМБ, т. II,— М.: Наука, 1974.
Титчмарш Е. Теория функций.— М.： Наука, 1980.
Леоатьев А. Ф. Ряды экспонент.— М.: Наука, 1976.
Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.— М.: Наука, 1971.
Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов.— УМН, 4958, т. 13, № 5.
Попов Г. Я. О сведении интегральных уравнений теории упругости к бесконечным системам.— ПММ, 1972, т. 36, вып. 4.
Л а н ц о ш К. Приближенные методы прикладного анализа.— М.: Физматгиз, 1961.
Г о х б е р г И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения.— М.: Наука, 1971.
Бейтмен Г., Э р д е й и А, и др. Таблицы интегральных преобразований, СМБ, т. I.— М.: Наука, 1969.
Бейтмен Г., Э р д е й и А. Высшие трансцендентные функции, СМБ, т. I. — М.: Наука, 1973.
Голубев В. В. Лекции по теории крыла.—М.; Л.: Гостехиздат, 1949.
Г а х о в Ф. Д. Краевые задачи.— М.: Наука, 1977.
Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.— М.: Наука, 1968.
Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости.——М.: Гостех- издат, 1949.
Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости.— М.: Наука, 1980.
Морарь Г. А., Попов Г. Я. К контактной задаче для полуплоскости с упругим конечным креплением.— ПММ, 1970, т. 34, вып. 3.
Арутюнян Н. X., Мхитарян С. М. Некоторые контактные задачи для полупространства, усиленного упругими накладками.— ПММТ 1972, т. 36, вып. 5.
Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа,— М.; Л.: Физматгиз, 1962.
Арутюнян Н. X. Контактная задача для полуплоскости с упругим креплением.— ПММ, 1968, т. 32, вып. 4.
Arutunyan N. К” Mkhitaryan S. М. Some contact problems for a semi-plane with elastic stiffeners.— Trends in elasticity and thermoelasticity (W. Novacki Anniversary volume). Groningen, Wolters — Noord- hoff publ., 1971.
Эрдоган Ф., Гупта Г. Задача о полуплоскости с упругой накладкой.—Прикл. мех., Труды Амер. об~ва инж.-мех., сер. Е, 1971, т. 34, № 4.
В е к у а И. Н. Об интегро-дифференциальном уравнении Прандтля.— ПММ, 1945, т. 9, вып. 2.
Барков Г. И. О некоторых системах многочленов, ортогональных на двух симметричных интервалах.— Известия ВУЗов, математика, 1960, № 4 (17), Казань.
Арутюнян Н. X., Мхитарян С. М. Периодическая контактная задача для полуплоскости с упругими накладками.— ПММ, 1969, т. 33, вып. 5.
Морарь Г. А., Попов Г. Я. К периодической контактной задаче для полуплоскости с упругими накладками.— ПММ, 1971, т. 35, вьш. 4.
Александров В. М., Коваленко Е. В., Мхитарян С. М. Исследование ограниченных решений в задаче о взаимодействии полуплоскости с упругими накладками.— Изв. АН Арм. ССР, механика, 1978, т. 31, № 1.
Александров В. М, О плоских контактных задачах теории упругости при наличии сцепления или трения — ПММ, 1970, т. 34T вып. 2.
Ворович И. И.т Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости,— М.: Наука, 1974.
Арутюнян Н. X., Мхитарян С. М. Некоторые контактные задачи для полуплоскости с частично скрепленными упругими накладками.— Изв. АН Арм. ССР, механика, 1972, т. 25, № 2.
Александров В. М., Солодовник М. Д. Эффективный метод решения задач# о взаимодействии накладки (стрингера) с упругой полуплоскостью в некоторые новые качественные результаты.— Труды X Все-
союзной ковферегнциц по теории оболочек и пластин.—Тбилиси: Мецние- реба, 1975, т. 1.
Александров В. М., Гал аджев Р. С., Соловьев А. С. К расчету погрешностей тензоизмерений.— Измерительная техника, 1966, № 2.
Александров В. М., В оро в ич И. И„ Солодовник М. Д. Эффективное решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве.— Изв. АН СССР, МТТ, 1973, № 1,
Александров В. М., Соловьев А. С. Некоторые смешанные плоские задачи теории упругости и их приложение к расчету погрешностей тензоизмерений.— Изв. АН СССР, МТТ, 1970, № 1.
Александров В. М., Белоконь А. В. Асимптотическое решение одного класса интегральных уравнений и его приложение к контактным задачам для цилиндрических тел,— ПММ, 1967, т. 31, вып. 2.
П ы х т е е в Г. Н. О вычислении некоторых сингулярных интегралов с ядром типа Коши,— ПММ, 1959, т. 23, вып. 6.
Абрамян Б. Л. К Плоской задаче теории упругости для прямоугольника.— ПММ, 1957, т. 21, вып. 1.
Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения.— М.: Наука, 4974.
I s i d а М. Stress intensity factors for the tension of an eccentrigally cracked strip.— J. appl, Meeh., ser. E, 1966, v. 33, № 3.
Мхитарян С. М.т А г а я н К. Л. Об одной периодической контактной задаче для упругой полосы, расслабленной трещинами и усиленной упругими стрингерами.— Изв. АН Ари. ССР, механика, 1978. т. 31, № 3.*
У ф л я и д Я. С. Интегральные преобразования в теории упругости,— М.: Наука, 1968.
Александров В. М. Контактные задачи для упругого клина.— Изв. АН СССР, МТТ, 1967, вып, 2.
А л ej< с а н д р о в В. М. К контактным задачам для упругого клина с одной защемленной гранью.— Изв. АН Арм. ССР, механика, 1968, т. 21, № 2.
Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа, ч. 1.— 'М.: Физматгиз, 1963.
Н у лл ер Б. М. Деформация упругого клина, подкрепленного балкой.—— ПММ, 1974, т. 38, вып. 5.
II у л л е р Б, М< Упругий клин, подкрепленный на конечном участке стержнем переменного сечения.— Пзв. АН СССР, МТТ, 1972, № 5.
Н у л л е р Е. М. Контактная задача для упругого клина, подкрепленного стержнем равного сопротивления.— ДАН СССР, 1975, т. 225, № 3.
К главе III
Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости,— М.: Наука, 1966.
Морарь Г. А” Попов Г. Я. К периодической контактной задаче для полуплоскости с упругими накладками.— ПММ, 1971, т. 35, вып. 1.
Градштейй И. С,, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений,— М.: Наука, 1971.
Стернберг Е. Передача нагрузки и диффузия нагрузки в статике упругого тела.— Механика, периодический сб. иностр, статей, 1972, № 6 (136).「
Новожилов В. В. Теория тонких оболочек.— Л.: Судпромгиз, 1962.
Огибалов П. М., Колтунов М. А. Оболочки и пластины.— М.: Изд~ воЗ(ГУ, 1969.
М у с х е л и ш вили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.— Nf.: Наука, 1968.
Райс Дж. Математические методы в механике разрушопия.—■ В кп.: Разрушение, т. 2.— М.: Мир, 1975.
Lightill M. J. An introduction to Fourier analysis and generalized functions.— Cambridge Univ. Press, 1959.
Б a p e н б л а т т Г. И., Черепанов Г. П. О влиянии границ тела на развитие трещин хрупкого разрушения.— Изв. АН СССР, ОТН, механика и машиностроение, 1960, № 3.
И. Koiter W. Т. An infinite row of collinear cracks in an infinite elastic sheet.— Ingr. Arch., 1959, Bd. 28.
Грилицкий Д. В., Сулим Г. T. Напряженное состояние кусочнооднородной плоскости с тонкостенным упругим включением конечной длины.——Прикл, механика, 1972, т. 8, № 11.
Г р и л и ц к и й Д. В., Сулим Г. Т. Периодическая задача для кусочно- однородиой плоскости с тонкостенными упругими включениями.—— Прикл. механика, 1975, т. 11, № 1.
Грилицкий Д. В., Сулим Г. Т. Периодическая задача для упругой плоскости с тонкостенными включениями.-— ПММ, 1975, т. 39, вып. 3.'
Грилицкий Д. В., Евтушенко А. А., Сулим Г. Т. Распределение напряжений в полосе с упругим тонким включением.— ПММ, 1979, т. 43, вып. 3.
К главе IV
Арутюнян Н. X., Мхитарян С. М. Некоторые контактные задачи для полупространства, усиленного упругими накладками.——ПММ, 1972, т. 36, вып. 5.
Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости.——М.: Гос- техиздат, 1955.'
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, СМБ, т. II.— М.: Наука, 1974.
Г а л и н Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости.— М.: Наука, 1980.-
Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной.— М.: Наука, 1974.
Градштейн И. С., Рыжи к И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.— М.: Наука, 1971.
Бейтмен Гч Эрдейи А.- и др. Таблицы интегральных преобразований, СМБ, т. IL— М.: Наука, 1970.
Lightill М. J. An introduction to Fourier analysis and generalized functions.'— Cambridge Univ. Press, 1959.
Уиттекер 3. T・，Ватсон Дж. H. Курс современного анализа, ч. 1.— М.: Физматгиз, 1963,
М е 1 а п Е. Ein Beitrag zur Theoric geschweisster Verbindungen.— Ingr. Arch., 1932, Bd* 3, H. 2.
И. Александров В. M., Солодовник М. Д. О концентрации напряжений между круглой накладкой и упругим массивным телом.— В кн.: Конструирование и производство транспортных машин.— Харьков: Вища школа. 1976, вып. 8.
Александров В. М» Соловьев А. С. Некоторые смешанные задачи теории упругости — Изв. АН СССР, МТТ, 1969, № 5.
Моссаковский В. И. Основная смешанная задача теории упругости для полупространства с круговой линией раздела граничных условий.—— ПММ, 1954, т. 18, вып. 2.
Интегральные уравнения — М.: Наука, 1968.
Александров В. М., Ворович И. И., Солодовник М. Д. Эффективное решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве.— Изв. ДН СССР, МТТ, 1973,
Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике — М.: Наука, 1970.'
Б о н д ар е в а В. Ф. О действии осесимметричной нормальной нагрузки на упругий шар.— ПММ, 1969, т, 33, вьш. 6.
К главе V
Штаерман И. _Н. Контактная задача теории упругости.— М.; Л.: Гостехйздат, 1949.
Попов Г. Я. Некоторые свойства классических многочленов и их при- * менение к контактным задачам.— ПММ, 1963, т. 27, вып. 5.
Попов Г. Я. Об интегральных уравнениях теории упругости с разностными и суммационными ядрами.——ПММ, 497a т- 34, вып. 4.
Коваленко Е. В. Об эффективном методе решения контактных задач для линейно-диформируемого основания с тонким усиливающим покрытием.— Изв. АН Арм. ССР, механика, 1979, т. 32, № 2.<
Александрова Г. П. Смешанные задачи кручения и сдвига двухслойного основания,— В кн.: Расчет оболочек и пластин.— Ростов-на- Дону, 1979.
Вор о в ич И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассн- ческие смешанные задачи теории упругости.——М.: Наука, 1974.
-7. Ван-Д айк М. Методы возмущений в механике жидкости.— М.: Мир, 1967.
Б а н ц у р и Р. Д. Контактная задача для клина с упругим креплением.- ДАН СССР, 1973, т. 211, № 4.
Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки.— М.: Наука, 1978.
Бабешко В. А. Интегральные уравнения свертки первого рода па системе отрезков, возникающие в теории упругости и математической физике.— ПММ, 1971, т. 35, вып. 1.
Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ — М.: Наука, 1977.
Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.— М.: Физматгиз, 1963.
Демкин Н. Б. Расчет и экспериментальное исследование характеристик контакта шероховатых поверхностей,— В кн.: Контактные задачи и их инженерные приложения.— М.: НИИ машиноведения, 1969.
Александров В. М., К у ди ш И. И. Асимптотический анализ плоской и осесимметричной контактных задач при учете поверхностной структуры взаимодействующих тел.— Изв. АН СССР, МТТ, 1979, № 1..；,
Рабинович А. С. Плоская контактная задача для шероховатых упругих теп.тЦзв. АН СССР, МТТ, 1974, № 3.-
Мартыненко М. Д., Р о м а нч и кВ, С. О решении интегрального уравнения контактной задачи теории упругости для шероховатых тел.-- ПММ, 1977, т. 41, вьш. 2.
Александров В. М., Арутюнян Н. X. Взаимодействие движущегося упругого штампа с упругой полуплоскостью через накладку или тонкий слой идеальной жидкости.— UMM, 1978, т. 42, вып. 3.
Александров В. М. О плоских контактных задачах теории упругости при наличии сцепления или трения.— ПММ, 1970, т. М, вьш. 2.
К(усхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.— М,: Наукат 1966,
Морарь Г. А., Попов Г. Я. К теории контактных задач для цилиндрических тел с учетом сил трения.— Изв. АН СССР, МТТ, 1976, № 2.
К главе VI
Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости.— М.; Л.: Гос- техиздат, 1949.
Интегральные уравнения.— М.: Наука, 1968.
Капторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.— М.: Наука, 1977.
Александрова Г. П. Сметанные задачи кручения и сдвига двухслойного основания.— В кн.: Расчет оболочек и пластин.— Ростов*на- Дону, 1979.
Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости.— М.: Наука, 1974.
Рабинович А. С. Осесимметричная контактная задача для шероховатых упругих тел.— Изв. АН* СССР, МТТ, 1975, № 4.
Александров В. М.( К у д и ш И. И. Асимптотический анализ плоской и осесимметричной контактных задач при учете поверхностной структуры взаимодействующих тел.— Изв. АН СССР, МТТ, 1979, № 1.
Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.— М.: Мир, 1967.
Александрова Г. П. Контактные задачи изгиба плит, лежащих на упругом основании.— Изв. АН СССР^ МТТ, 1973, № 1.
У ф л я и д Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости.— Л.: Наука, 1967.
Попов Г. Я. Некоторые свойства классических многочленов и их применение к контактным задачам.— ПММ, 1963, т. 27, вып. 5.
К и т т е л ь Ч. Введение в физику твердого тела.——М.: Мир, 1963.
Таблицы физических величин. Справочник.— М.: Атомиздат, 1976.
Александров В. М.т Александрова Г. П.г Степаненко Ю. П. К вопросу об учете масштабного фактора в механике твердого деформируемого тела.— ПМТФ, 1981, № 1.
Александров В. М., Чебаков М. И. Смешанные задачи механики сплошных сред, связанные с интегральным -преобразованием Ханке- ля и Мелера-Фока.—■ ПММ, 1972, т. 36, въш. 3.
Бейтмен Г., Э р д е й и А. Высшие трансцендентные функции, СМБ, т II. — М.: Наука, 1974.
Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости.— М.: Гос- техиздат, 1949.
Бондарева В. Ф. О действии осесимметричной нормальной нагрузки на упругий шар.— ПММ, 1969, т. 33, вып. 6.
Уиттекер Э. Т” В а т с о и Дж. Н. Курс современного анализа, ч. 1.— М.: Наука, 1963.
К главе VII
Арутюнян Н. X. Некоторые вопросы теории ползучести.— М.; Л.: Гостехиздат, 1952.
Прокопович И. Е., Зедгенидзе В. А. Прикладная теории ползучести.—М.: Стройиздат, 1980.
.3. Р ж а и и ц ы н А. Р, Теория ползучести.— М.: Строиздат, 1968.
Попов Г. Я., Тихоненко Л. Я. Точное решение плоских задач о контакте полубесконечных балок с упругим клином,— ПММ, 1975, т. 39, вып. 6.
Г ах о в Ф・ Д., Черский Ю. И, Уравнения типа свертки.— М.: Наука, 197&
Арутюнян Н. X., 3 е в и и А. А. Об одном классе ядер для описания ползучести стареющих сред；— ДАН СССР, 1981, т. 258, № 3.
Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел.— М.: Наука, 1977.
В этом параграфе построим решения, ограниченные на краях накладки, которые, как далее показывается, существуют в тех случаях, когда накладка соответствующим образом нагружена [36].
Пусть, как в § 2, граница упругой полуплоскости на участке 夕三[—а, а\ усилена упругой накладкой (стрингером) с жесткостью на растяжение Es. Пусть это подкрепление нагружено со- «редоточенными силами 尸i и Р2 на его краях и распределенной нагрузкой интенсивности т+(/) по верхней грани. Предполагается, что меяеду границей полуплоскости и накладкой осуществлено жесткое сцепление при всех ①三[—а, а\.
При сделанных предположениях рассматриваемая задача может быть приведена (см. § 2) к интегро-дифференциальному уравнению Прандтля4)
i) Для простоты здесь рассматривается тот случай, когда точка подвеса выбрана таким способом, что сила натяжения Т направлена по указанной
JI?/ dx2
=[J ⑺ + T-(切(一8 V £ V Ь0)
Далее, введем безразмерные координаты 口 величины
2 = 6自，и = 6q, т (自)=——, I。(*)= >—.о0
Тогда последнее уравнение преобразуется к следующему:
£ f [m(|^-n|) + %九(I 自一П 1)1 т ⑺固=Мо [т 図 +.т0 化)]
(2.4)
(―8 Vg V 8),
л2£262"°= 244(1 一喏)
(% = const).
При этом (2.2) примет вид
Теперь введем в рассмотрение трансформанты Фурье
TИ仇)=j m闺"6成，n(入)=，〃阳/行您，
T")= J T⑹产就，T。8)= J T。⑶产就
=caz, поскольку решение для /(啰)=屮(0) + саж может быть получено
пространственной контактной задачи будет иметь вид
.K(t) = ^L^J0^t)du(У ^/(&_* +3—)2).
В. М. АЛЕКСАНДРОВС. М. МХИТАРЯН
КОНТАКТНЫЕЗАДАЧИдля тел с тонкимипокрытиямии прослойками
Под редакцией Н. X. АРУТЮНЯНА
МОСКВА «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1983
22.25
A 46
УДК 539.3
Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками.— Александров В. М., Мхитарян С. М.— М.: Наука. Главная редакция физик。- математической литературы, 1983.—488 с.
В книге впервые дается последовательное изложение методов и результатов исследований по вопросам контактного взаимодействия между тонкостенными элементами типа накладок (стрингеров) и включений с массивными телами, а также воздействия штампов на тело с покрытиями и прослойками. Эти задачи рассматриваются в постановке теории упругости и вязкоупругости для стареющих тел.
Решения основных уравнений контактных задач строятся различными аналитическими методами, допускающими удобные численные реализации на ЭВМ. Для характерных механических величин получены формулы простой структуры, которые могут применяться в расчетах прочностных характеристик композитов, различных конструкций, усиленных или армированных тонкостенными элементами, в вопросах, тензометрирования и других областях прикладной механики.
Книга предназначена для специалистов в области механики сплошных сред, математической физики, инженеров, аспирантов и студентов вузов.
Табл. 34, илл. 66, библ. 184 назв.
OMoHMtaeo MM»ow«t
Убедительная просьбаНо всёмъ члтйклцинъ и разснагриваю-щимь инлги( эстампы фотиграфш нт*.
НнкакНхм гпдрисовок-ь, раскрашн- ван!й и отм古тОнь не делать;
при перелистыван]и страницг. ПаПь- цн отнюдь не мочить；
перелястыаать медленно и аккуратно, чтобы нечаян”。углы сграницъ и накпе- енннхь рмсунковь се Загнуть и не смят* а т&к*е прокпапку ив% “апнросноН бумаги темпу рисунками не испортить,
при раЗсматрнванМ зстамповь, g- Тогра^чй и ри<ун КОЬъ въ ям игахъ не иури'ь И табачнымь дымом、нхь не обдавать;
передъ начало卅ь равсмагряеаг11я и чтенм руни Тщательно мыть: потными рунами также отнюдь не брать;
йъ самому рне*нку на зстамсахз 中о тогряф^ямъ я т. д. пальцами не л ри искаться;
Обложку или nepemeTt книги м- ргегь “теМе»> 战ертызэть нъ бумагу;
листы кн^ги для лалята не ззг^бзть,
въ кармамахъ инИгЪ пе носить или же употребляя при атомъ скобою предосто рожги/сть,, чтобы пн*「н не испаччлись и lне измялись.,
А
1703040000-079 ~052(02)-83~
89-83
© Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы, 1983
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Введение 9
Глава I
Классификация тонких упругих покрытий (прослоек)
Решение некоторых задач о равновесии упругой полосы с помощью интегрального преобразования Фурье15
Вывод основных уравнений для тонких упругих покрытий (прослоек) в плоском случае путем асимптотического анализа точного решения задачи теории упругости для полосы22
Асимптотический анализ точного решения задачи теории упругости для полосы на ее границах29
Вывод основных уравнений для тонких упругих покрытий (прослоек) в плоском случае путем асимптотического интегрирования уравнений теории упругости34
Контактная задача для сдвигового винклеровского основания, усиленного покрытием44
О давлении штампа на пластинку, лежащую на винклеровском основании 50
Анализ точности прикладных теорий в сравнении с решением, полученным с помощью уравнений теорииупругости ....56
Основные уравнения для тонких прямоугольных, кольцевых, цилиндрических и сферических упругих покрытий (накладок) ..66
Глава II
Плоские смешанные задачи для упругих тел,усиленных прямоугольными накладками
Передача нагрузки от полубесконечной накладки к упругой полуплоскости или плоскости81
Упругие полуплоскость и плоскость, усиленные накладкой конечной длины переменной жесткости на растяжение. Интегро-дифференциальное уравнение Прандтля, различные аналитические методы его решения106
Упругие полуплоскость и плоскость, усиленные системой двух накладок130
Упругие полуплоскость и плоскость, усиленные периодической системой накладок143
Исследование случаев отсутствия концентрации напряжений на краях накладок160
Другие методы решения задачи о взаимодействии накладки с полуплоскостью. Приложение к расчету погрешностей тензометри- рования 169
179185197179185197204211219234256266276204211219234256266276290300304308320290300304308320341345352357363369373341345352357363369373
179
185
197
179
185
197
204
211
219
234
256
266
276
204
211
219
234
256
266
276
290
300
304
308
320
290
300
304
308
320
341
345
352
357
363
369
373
341
345
352
357
363
369
373
Двухслойная накладка на полосе. Приложение к вопросам тензо- метрирования ....•.*
Упругая полоса, усиленная по граням накладками и ослабленная поперечной трещиной
Упругий клин, усиленный накладкой конечной длины ...
Глава III
Плоские смешанные задачи для упругих тел, усиленныхкольцеобразными накладками и тонкостенными включениями
Передача нагрузки от кольцеобразной накладки к упругой бесконечной пластине
Упругая плоскость с круглым отверстием, усиленная по обводу отверстия кольцеобразными накладками
Напряженное состояние тяжелого круглого упругого диска, усиленного кольцеобразными накладками
Упругая плоскость, усиленная включением конечной длины .
Упругая плоскость, усиленная включением полубесконечной длины
Упругая плоскость, усиленная двумя одинаковыми включениями
Упругая плоскость, усиленная периодической системой включений
Глава IV
Пространственные смешанные задачи для упругих тел,усиленных накладками
Упругое полупространство, усиленное узкой прямоугольной накладкой конечной длины
Упругое полупространство, усиленное узкой прямоугольной накладкой бесконечной или полубесконечной длины
Упругое полупространство, усиленное круглой накладкой ..
Упругие цилиндр и пространство с бесконечной цилиндрической шахтой, усиленные цилиндрической накладкой конечной длины
Равновесие тяжелого упругого шара, усиленного сферической по- ясовой накладкой
(Г л а в ia V
Плоские контактные задачи для упругих телс тонкими покрытиями (прослойками)
Передача давления от жесткого штампа через покрытие на упругую полосу
Давление штампа на упругую полуплоскость, армированную покрытием винклеровского типа
Давление штампа на границу упругой полосы, армированную покрытием винклеровского типа
Колебания штампа на границе упругой полосы большой толщины, покрытой винклеровским слоем
Передача давления от штампа через нелинейное покрытие винклеровского типа на упругую полосу большой толщины ...
Давление штампа на упругую полосу, усиленную по основанию прослойкой типа накладки
Движение штампа по границе упругой полуплоскости, усиленной покрытием типа накладки
Вдавливание круглого упругого диска в границу кругового отверстия в упругой плоскости, усиленного тонким покрытием ..
Глава VI
Осесимметричные контактные задачи для упругих телс тонкими покрытиями (прослойками)
Передача давления от штампа через покрытие винклеровского типа на упругое полупространство394
Осесимметричная задача о вдавливании штампа в упругий слой, армированный покрытием винклеровского типа399
Передача давления от штампа через нелинейное покрытие винклеровского типа на упругое полупространство404
Вдавливание штампа в упругое полупространство с тонким усиливающим покрытием типа накладки408
Вдавливание штампа в упругий слой, усиленный покрытием типа накладки. Приложение к проблеме «масштабного фактора» ..415
Вдавливание штампа в упругий слой, армированный по основанию прослойкой421
Вдавливание упругого шара в границу сферической полости в упругом пространстве, усиленную тонким покрытием .426
Глава VII
Контактные задачи вязкоупругости для полосыс тонкими покрытиями
Основные уравнения теории ползучести стареющих тел ...443
Об уравнениях состояния неоднородно-стареющих и нелинейно- стареющих тел450
Контактная задача для составного неоднородно-стареющего основания 455
Численный анализ, частныеслучаи463
Контактная задача для упругого слоя, армированного нелинейно- стареющим покрытием466
Приложение. О вычислениинекоторых интегралов .475
Литература480