ГЛАВА 1

МОДЕЛЬ ПОЛЯ ПРИТЯЖЕНИЯ

При анализе движения естественных и искусственных небесных тел приходится строить математическую модель, в той или иной степени адекватную истинной природе движения. Простейшая модель состоит в замене небесного тела точкой, в которой сосредоточена вся масса тела. Более сложные модели могут учитывать конечные размеры тела, однородность или неоднородность его внутренней структуры. Выбор модели зависит от постановки задачи и подчиняется общему правилу, согласно которому модель должна быть по возможности проще, но в то же время учитывать основные физические особенности, существенные для данной постановки.

В теоретической механике обычно пользуются понятием силовой функции U(х, у, z^ градиент которой определяет вектор силы: F = grad U. В физике преимущественно пользуются понятием потенциальной функции П(ж, у, z), которая отличается от силовой функции знаком: П(я, у, z^ =—U ^х, у, z). В небесной механике принято использовать понятие силовой функции поля притяжения, которую многие авторы [5, 11, 20, 36, 45, 59] называют потенциалом. В таком случае потенциальная энергия в некоторой точке поля притяжения отличается от потенциала только знаком. При дальнейшем рассмотрении будем, как принято в небесной механике, пользоваться понятием потенциала (силовой функции).

Если в гравитационном поле находится тело единичной массы, то действующая на него сила численно равна ускорению силы притяжения. Поэтому можно говорить о потенциале поля гравитационного ускорения.

Основные вопросы теории притяжения как составной части небесной механики систематически изложены в работах [21, 28].

Закон всемирного тяготения

Движение естественных небесных тел и свободное движение искусственных небесных тел (спутников, космических кораблей, межпланетных автоматических станций и др.) происходит под действием главным образом сил притяжения, или гравитационных сил. Эти силы определяются законом всемирного тяготения Ньютона.

Взаимное притяжение двух материальных точек. Во многих задачах механики космического полета оказывается возможным пренебречь размерами тела по сравнению с расстояниями, которые

характерны для этих задач. В таких случаях обычно тело заменяют его упрощенной моделью — материальной точкой. Понятно, что допустимость подобной замены определяется условиями задачи. Например, при исследовании орбиты спутника его можно рассматривать в качестве материальной точки, а при исследовании движения относительно центра масс нельзя отождествлять спутник с материальной точкой. По существу модель тела в виде материальной точки допустима в тех задачах, где рассматривается только поступательное движение, т. е. не учитывается вращение тела относительно центра масс. Иногда для краткости опускают слово «материальная», когда понятно, что речь идет о материальной точке.

Пусть М и тп — массы двух материальных точек, которые условимся обозначать этими же буквами. Согласно закону всемирного тяготения всякая материальная точка притягивает другую материальную точку с силой, пропорциональной произведению масс этих точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Обозначим через г радиус-вектор, проведенный от точки М к точке тп. Тогда сила F, действующая на материальную точку тп согласно закону Ньютона, будет определяться формулой

(1.1.1)(1.1.1)F = — / ^- г0,

(1.1.1)

(1.1.1)

где / — коэффициент пропорциональности, называемый постоянной притяжения (или постоянной тяготения), rQ = r/r—единичный вектор, г=|г|. Величина постоянной притяжения зависит от выбора единиц измерения. Так, в системе СИ

/ = 6,670 (1 + 0,0007) • НГ11 кг-с

Если ввести произвольно ориентированную декартову систему прямоугольных координат с началом в точке М, то можно определить составляющие силы F в этой системе координат:

(1.1.2)

•Г3Г 1rx '

где x, у, z — составляющие радиуса-вектора г.

В дальнейшем, кроме особо оговариваемых случаев, будем полагать, что масса материальной точки тп равна единице массы (тп = 1).

Если в каждой точке пространства определена некоторая сила Е(я:, у, z), то говорят, что задано силовое поле. Поле, определяемое условием (1.1.1), называют центральным или ньютоновским.

Сила притяжения консервативна, поэтому она имеет потенциал

(1.1.3)(1.1.3)U (х, у, z) = f^,

(1.1.3)

(1.1.3)

частные производные от которого по координатам х, у, z дают со-

ставляющие силы притяжения материальной точки т. Действительно,

8U, М 8r, М х v(л а

дхдх 1 г

согласно равенству

г = Уж2 + у2 + z2.(1.1.5)

Аналогично найдем

ду 3 гг гdz 3 г‘ т''

Геометрическое место точек пространства, в которых потенциал принимает постоянное значение, т. е.

U (х, у, z)= const,(1-1-7)

называется поверхностью уровня или изопотенциалъной поверхностью. Для материальной точки М поверхностями уровня являются концентрические сферы с центром в этой точке.

Найдем физический смысл потенциала U(x, у, z). С этой целью вычислим элементарную работу силового поля

dA = F • dr,(1.1.8)

или

dA = Fxdx + Fydy + Fzdz.

Для потенциального силового поля

dA=dU,(1.1.9)]

откуда

dU = ¥ • dv.(1.1.10)]

Работа силового поля при перемещении точки m из положения zni в положение т2 определяется интегралом по пути

(1.1.11)(1.1.11)А= j Fdr.

(1.1.11)

(1.1.11)

m-pn^

Для потенциального поля

А = U(m2) — U (mi),А = U(m2) — U (mi),(1-1-12)](1-1-12)]

А = U(m2) — U (mi),

А = U(m2) — U (mi),

(1-1-12)]

(1-1-12)]

т. е. работа зависит только от конечного и начального положений точки, а не от пути движения. Для центрального ньютоновского поля

(1.1.13)(1.1.13)A = f — — f—t

(1.1.13)

(1.1.13)

Ч Ч

где и, Г2 — величины радиусов-векторов, проведенных из М соответственно в т\ и та2. Пусть Г2 г, a ri оо, тогда

А = /^ = Щх, у, z).А = /^ = Щх, у, z).(1.1.14)(1.1.14)

А = /^ = Щх, у, z).

А = /^ = Щх, у, z).

(1.1.14)

(1.1.14)

Следовательно, потенциал определяет работу, которая совершается при приближении материальной точки с массой та из бесконечности на расстояние т от М. Потенциальная функция, которая определяет потенциальную энергию в рассматриваемой точке гравитационного поля, для центрального ньютоновского поля имеет вид Щя, у, z) ——Ш]т.

Силовое поле системы материальных точек. Рассмотрим совокупность а притягивающих материальных точек с массами Мг, имеющих координаты xt, yt, zt (i = 1, 2, ..., и) в некоторой декартовой системе прямоугольных координат с началом в произвольной точке О. Пусть та — точка с единичной массой, а х*, у*, z* — ее координаты. Определим, какая сила притяжения действует на материальную точку та в силовом поле, порождаемом системой притягивающих материальных точек М\, М2, ..., Мп. Обозначим

г, = V (х* — xty + (у* — yty +(z* — zxy (1.1.15)

— расстояние между точками Мг и та,

Мл X* — х.v,Мг2*-ЧМл X* — х.v,Мг2*-Ч(1.к16)(1.к16)

Мл X* — х.

v,Мг2*-Ч

Мл X* — х.

v,Мг2*-Ч

(1.к16)

(1.к16)

— составляющие силы F„ с которой точка Мг притягивает точку та. Равнодействующая всех сил притяжения точек М\, М2, ..., Мп, приложенная к точке та, будет иметь следующие составляющие в системе координат Oxyz\

Мл (х* — жЛх=2^ = -/2 л

г=11=1г

у = 2/ 2 ‘ \гУ (1ЛЛ7)

г=11=1i

z=2^=-/2^^-

С другой стороны, эти составляющие можно представить в виде частных производных от потенциала системы притягивающих материальных точек, который получается суммированием потенциалов, соответствующих каждой из точек:

V Мг

U = fZ~T‘(1.1.18)

i=i 4

Рассмотрим систему взаимно притягивающихся по закону Ньютона материальных точек Л/ц Д/г, . •., Ми, которые могут свободно перемещаться в пространстве. Пусть

(1.1.19)(1.1.19)Ггз = V^i — X,)2 +(уг — у,)2 +(Z{ — z5)2

(1.1.19)

(1.1.19)

— расстояние между произвольными точками Мг и М3. Тогда составляющие равнодействующей сил притяжения, приложенных к точке Мг, можно вычислить по формулам

(г—1п

—ж

Умгм5-1—^^ У м.м^-4-- j=lгз j=i+lгз

(' г—1п\

2 MlMj^^- , (1.1.20)

у j=lТгзj=i+l‘гз '

/ г—1п

\j=lТгзj=i+l‘гз

В этом случае имеем потенциал поля

МгМзМгМз(1.1.21)(1.1.21)

МгМз

МгМз

(1.1.21)

(1.1.21)

и его частные производные по координатам произвольной точки Мг равны составляющим равнодействующей сил притяжения, приложенной к рассматриваемой точке:

(1.1.22)(1.1.22)9U у 6U у dU „ъ ^“— ъ "94 — г

(1.1.22)

(1.1.22)

(г = 1, 2, ..., п).

Потенциал (1.1.21) системы п материальных точек зависит от Зп координат этих точек.

Притяжение сферического тела

Более сложной моделью небесного тела по сравнению с материальной точкой является шар со сферическим распределением плотности. Для такого шара во всех точках, равноудаленных от его центра, плотность одинакова. В частном случае, когда плотность одинакова во всех точках, имеем однородный шар.

zzУУРис. 1.1. Притяжение материальной точки сферическим теломРис. 1.1. Притяжение материальной точки сферическим теломПокажем, что для многих задач механики космического полета нет необходимости рассматривать притягивающее тело ri виде шара, поскольку тело со сферическим распределением плотности притягивает внешнюю материальную точку подобно материальной точке, совпадающей с центром шара и имеющей такую же массу.

z

z

У

У

Рис. 1.1. Притяжение материальной точки сферическим телом

Рис. 1.1. Притяжение материальной точки сферическим телом

Потенциал шара со сферическим распределением плотности. Предположим, что притягивающее тело с массой М имеет форму шара радиуса R и сферическое распределение плотности p(Z). Здесь I— расстояние рассматриваемой точки от центра шара (рис. 1.1). Пусть притягиваемая точка т с единичной массой находится на расстоянии г от центра шара, причем r> R. Для определения положения произвольной точки N внутри шара введем сферические координаты Z, X, ф. Угол X отсчитывается в некоторой фиксированной плоскости тела М, перпендикулярной к прямой Мт и условно называемой экваториальной плоскостью (—лСА<л). Угол ср подобно широте определяет отклонение точки N от экватора в меридиональной пло-

(ЛЛ

2

Выделим элементарный объем, заключенный между сферами радиусов Z и Z + dl, двумя меридиональными плоскостями, соответствующими углам А и А + dl, а также двумя плоскостями, которые проходят через центр шара (точку М) и пересекают указанные меридиональные плоскости на широтах ф и ф+1^ф. С точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем dl, dX, dtp, (в меридиональной плоскости), шири

этот объем имеет длину 1dmэтот объем имеет длину 1dmну I cos ф dX (в плоскости, параллельной экватору) и высоту dl. Отсюда величина элементарного объема

этот объем имеет длину 1dm

этот объем имеет длину 1dm

dv = Z2 cos ф dl с?ф dX(1.2.1)

и его масса

dM = p(Z)Z2 cos ф dl с?ф dX.(1.2.2)

Поскольку шар — физическое тело, будем рассматривать его потенциал. Потенциал шара со сферическим распределением плотности на внешнюю материальную точку тп можно записать с помощью интеграла по объему шара им*.

U =Г Р^008?dl t/ф dX.(1.2.3)

V г2 + Z2 — 2rZ sin ф

Вычисляя ^тот интеграл, получим

\ RП/2Л

U-ApWMl С 7ф -=йф рх =

О-^ Уг2 + г2-2гитФ 4

Rп/2

- /-2л [р(/) Mi f 7Ф = av -

о-л/« ' г + ' - 2ri sin Ф

R

=4^^141.(1.2.4)

о

Второй сомножитель в (1.2.4) равен массе притягивающего тела:

R

М = 4л J р^М.(1.2.5)

о

С учетом полученного соотношения можно окончательно записать

U-j^.(1.2.6)

Эта формула совпадает с (1.1.3). Следовательно, для шара со сферическим распределением плотности потенциал на внешнюю материальную точку совпадает с потенциалом материальной точки, расположенной в центре шара и имеющей такую же массу. Отсюда можно сделать вывод, что сила, с которой такой шар притягивает

внешнюю материальную точку, не изменится, если всю массу шара

поместить в его центре.

Взаимное притяжение двух шаров со сферическим распределением плотности. Рассмотрим взаимное притяжение двух внешних по отношению друг к другу шаров, имеющих массы М\ и М2 и сферическое распределение плотности. Центры шаров обозначим через 01 и О2. Сила притяжения является равнодействующей всех

сил, с которыми частицы одного тела притягивают частицы друго

го тела.

Выделим во втором шаре достаточно малый элементарный объем, считая его материальной точкой N2 с массой dM2. Тогда для шара Му со сферическим распределением плотности и материальной точки N2 задача сводится к рассмотренной в п. 1.2.1. Сила притяжения шара М\, с которой он действует на материальную точку W2, вычисляется по формуле

Fm,iv2 = — /Fm,iv2 = — /М dM О N{О^^ IWМ dM О N{О^^ IW(1-2.7)(1-2.7)

Fm,iv2 = — /

Fm,iv2 = — /

М dM О N

{О^^ IW

М dM О N

{О^^ IW

(1-2.7)

(1-2.7)

где 0\N2 — радиус-вектор, проведенный из точки 0\ в точку N2. С такой же силой, но направленной в противоположную сторону, притягивает материальная точка N2 шар М\, причем согласно полу-

ченным ранее результатам всю массу этого шара можно считать сосредоточенной в его центре Оь Отсюда следует, что равнодействующая сил, с которыми все элементарные массы, образующие шар М^ притягивают шар Mi, совпадает с равнодействующей сил, с которыми эти элементарные массы притягивают материальную точку, расположенную в центре первого шара и имеющую массу Mi. Таким образом, два внешних по отношению друг к другу тела, имеющих форму шара со сферическим распределением плотности, притягиваются взаимно как материальные точки, т. е. с силой, прямо пропорциональной их массе и обратно пропорциональной квадрату расстояния между их центрами.

Гипотеза о сферическом распределении плотности притягивающих тел, существенно упрощающая постановку, оказывается допустимой во многих задачах, связанных с поступательным движением естественных и искусственных небесных тел, в частности, в задаче о движении далекого искусственного спутника Земли на большом промежутке времени или движении близкого спутника на коротком промежутке времени.

Разложение потенциала в ряд по сферическим функциям

Если упрощенные модели небесного тела в виде материальной точки или шара со сферическим распределением плотности оказы-

Рис. 1.2. Притяжение тела произвольной формыРис. 1.2. Притяжение тела произвольной формываются неадекватными рассматриваемой задаче, то приходится вводить более сложные модели. Для Земли часто используют модели в виде тела, ограниченного эллипсоидом вращения (сфероид), трехосным эллипсоидом, и некоторые другие, более сложные модели.

Рис. 1.2. Притяжение тела произвольной формы

Рис. 1.2. Притяжение тела произвольной формы

Потенциал тела произвольной формы. Пусть тело с массой М и объемом им имеет произвольную форму, причем его плотность является кусочно-непрерывной функцией координат р(х, у, z). Поместим декартову прямоугольную систему координат Oxyz в центре масс тела М и рассмотрим

вне этого тела материальную точку m с единичной массой и координатами х, у, z. Потенциал притяжения тела М на внешнюю точку m вычисляется по формуле

(1.3.1)(1.3.1)

(1.3.1)

(1.3.1)

где г0 = (жо, Уо, zo) — радиус-вектор произвольной текущей точки N тела М, г = (ж, у, z)— радиус-вектор точки т, I — величина вектора 1 = г — го (рис. 1.2). Найдем

Z = ]/72 — 2гг0 cos ф + Го,(1.3.2)

или

/72

1 = г^ 1— 2 J cos ф + гуЧ ,(1.3.3)

где

Разложим теперь 1/Z в ряд по степеням rofr. Обычно такое разложение осуществляют по сферическим функциям, что позволяет представить потенциал с помощью рядов, приемлемых по сложности для последующего использования в расчетах или аналитических исследованиях.

В теории сферических функций используются полиномы (многочлены) Лежандра [16]. Такой полином n-го порядка можно задавать формулой Родрига

или формулой вида

^n (z) = У (- I/ — 2—2г(1 3 6)

~2 г! (п — г)! (п — 2г)!’''

где п у, если п — четное число, h = 1.

п — 1

—2—, если п— нечетное число.

Для полиномов Лежандра справедливо следующее соотношение:

1V1 — 2az + a21V1 — 2az + a2= 2 “^(z).n=o= 2 “^(z).n=o(1.3.7)(1.3.7)

1

V1 — 2az + a2

1

V1 — 2az + a2

= 2 “^(z).n=o

= 2 “^(z).n=o

(1.3.7)

(1.3.7)

Воспользуемся соотношением по полиномам Лежандра:Воспользуемся соотношением по полиномам Лежандра:(1.3.7) для разложения 1/Z в ряд(1.3.7) для разложения 1/Z в ряд

Воспользуемся соотношением по полиномам Лежандра:

Воспользуемся соотношением по полиномам Лежандра:

(1.3.7) для разложения 1/Z в ряд

(1.3.7) для разложения 1/Z в ряд

Затем найдемЗатем найдемU = jU = j11/ га \пТ = У 2 V 7McoS1f).п=0 '11/ га \пТ = У 2 V 7McoS1f).п=0 '^м^мРп (cos ф)Рп (cos ф)р du.р du.(1.3.8)(1.3.9)(1.3.8)(1.3.9)

Затем найдем

Затем найдем

U = j

U = j

11/ га \п

Т = У 2 V 7McoS1f).

п=0 '

11/ га \п

Т = У 2 V 7McoS1f).

п=0 '

^м

^м

Рп (cos ф)

Рп (cos ф)

р du.

р du.

(1.3.8)

(1.3.9)

(1.3.8)

(1.3.9)

Выразим правую часть (1.3.9) в сферических координатах Л, ф, г (рис. 1.2). Предварительно подставим в формулу (1.3.4) соотношения

х = г cos ф cos Л, у = г cos ф sin Л, z = т sin ф, хо = го cos фо cos Ло, у о = го cos фо sin Ло, z0 = г0 sin ф0;

тогда получим

cos гр = sin ф sin ф0 + cos ф cos фо cos (Л — Ло). (1.3.10) Далее необходимо воспользоваться теоремой сложения для полиномов Лежандра [16]:

Рп [sin ф sin ф0 + cos ф cos ф0 cos (Л — Ло)] = Рп (sin ф) Рп (sin ф0) +

+ 2 2 felTT Р^ (sin Ф) Р^ (sin ф0) cos Л (Л — Ло). (1.3.11)

R=1

Отсюда с учетом (1.3.10) и соотношения

cos Л (Л — Ло) = cos кХ cos кХо + sin кХ sin кХ^

получим

Рп (cos ф) = Рп (sin ф) Рп (sin фо) 4

+ 2 2 ^^^| Р^ (sin ф) cos кХР^ (sin ф0) cos кХ0 4-

4-2 2 ^^'^ ^n (sin ф) sin кХР^ (sin ф0) sin кХ0. (1.3.12)

Здесь ’Рп^ — присоединенная функция Лежандра порядка п и индекса к, которая связана с полиномом Лежандра условием

P'S’ W= (1 - z2)^2 ^^ •(1.3.13)

После подстановки соотношения (1.3,12) в (1.3.9) получим для потенциала тела произвольной формы следующую формулу общего вида:

U = / 2-^ ^n (sin Ф) У J J ГоРп (sin фу) р du + п=о г^м

-н / 2 2 ~^р^ (sin ф)cos

п=0к=1 Т

+ / 2

п=0й=1 Г

xf Г f " го^п\8Ш ф0) sin кХ0 -pdv. (1.3.14)

Вычисление коэффициентов разложения. Введем безразмерные коэффициенты Jn, Спк, Snk, зависящие от формы притягивающего тела и распределения его масс:

Jn = ~ "мй^ I У! ro-Pn (sin ф0) р dv,э

С» = ^ Ш r»P"’(Sin фо)C0S кХ«'р dv’ <L3-15)

^“^Ш МГ ^’(sin^sin^.p^,

Э

где Ла — некоторый линейный размер притягивающего тела М (для Земли в качестве линейного размера обычно используют средний экваториальный радиус). При расчете коэффициентов Спк и 811к должно выполняться условие 1 ^ к С п.

Вычислим некоторые коэффициенты (1.3.15). Полином Лежандра нулевого порядка при любом значении аргумента равен единице, следовательно, Ро(8тфо) = 1. Кроме того,

J J Jp^ = M,(1.3.16)

отсюда имеем

/о = -1.(1.3.17)

Далее, полином Лежандра первого порядка равен своему аргументу, т. е. Pi (sin фо) = sin фо. Учитывая это, вычислим по формуле (1.3.13) присоединенную функцию Лежандра первого порядка и первого индекса: Р^ (sin ф0) = cos ф0. Тогда

с" = щг JП г«cos ф» cos х» ’р ^ = W Ш ^ = ТГ’

э

(1.3.18)

S-1 = ^-Ш г»cos Фо «чЧ-Р^ = l^R-J J f V«dm -

где хМ) ум, £м — координаты центра масс притягивающего тела М, dm = р dv — дифференциал массы. Так как начало координат совпадает с центром масс, то хм = ум = zM = 0. Отсюда

Ji — 0, Си = 0, 5ц — 0.Ji — 0, Си = 0, 5ц — 0.(1.3.19)(1.3.19)

Ji — 0, Си = 0, 5ц — 0.

Ji — 0, Си = 0, 5ц — 0.

(1.3.19)

(1.3.19)

Теперь вычислим по формуле (1.3.6) полином Лежандра второго порядка

Р2(бтф0) = 4(“' 1 + 3sintp0),(1.3.20)

а затем по формуле (1.3.13) найдем присоединенную функцию Лежандра второго порядка и индексами к = 1, 2:

Р^^пфо) = 3 cos ф0 sin tp0, Р^ (sin ф0) = 3 cos2 ф0. (1.3.21)

Используя полученные результаты, определим коэффициенты

2=- ^Ш'“(~1+3 sin2р *=

3 ®м

= ^^r J J J A (cos2 Фо — 2 sin2 фо) p dv =3

= f f f [2 M cos2 Фо cos2 Xo + A cos2 Фо sin2 Zo) — и и и

3

— (A cos2 Фо sin2 Zo + A sin2 Фо) — (A cos2 ф0 cos2 Хо + A sin2 Ф0)]р dv=

_ 2С-(А-УВ')

2MRI ’

С = 121 MR^С = 121 MR^S.S.1121 MR^21 MR^Шг? cos ф0 sin ф0 cos V p dv = -5—wDM9JJJ Го cos Фо 8тф08тХ0‘Р^“ -^,^м3Шг? cos ф0 sin ф0 cos V p dv = -5—wDM9JJJ Го cos Фо 8тф08тХ0‘Р^“ -^,^м3

С = 1

21 MR^

С = 1

21 MR^

S.

S.

1

1

21 MR^

21 MR^

Шг? cos ф0 sin ф0 cos V p dv = -5—w

DM9

JJJ Го cos Фо 8тф08тХ0‘Р^“ -^,^м3

Шг? cos ф0 sin ф0 cos V p dv = -5—w

DM9

JJJ Го cos Фо 8тф08тХ0‘Р^“ -^,^м3

В —А 4MR^ ’(1.3.22)В —А 4MR^ ’(1.3.22)

В —А 4MR^ ’

(1.3.22)

В —А 4MR^ ’

(1.3.22)

CM = J J У ^cos2 ФОСО8 2ХО-Р^ = 8

= -^5- J J J [(4 cos2 Фо COS2 ^o + A sin2 Фо) — 9

— (r2C0S2 Фо sin2 Zo + rosin2 ф0)] p dv =

(1.3.23)(1.3.23)А = j I У (у® + 2") dmi 5 = J f f W + ^ dm’13 МvM

(1.3.23)

(1.3.23)

С = J J J (4 + Й dmv VM

— осевые моменты инерции,

D = J J J y^dm, Е = J j* J xozodm, F = j J j xoyttdm (1.3.24)

VMyMVM

— центробежные моменты инерции притягивающего тела М.

Рп (sin ф) +Рп (sin ф) +2 ^р^2 ^р^Вычисленные коэффициенты (1.3.19) позволяют представить формулу (1.3.14) для потенциала притяжения на внешнюю точку тела произвольной формы в окончательном виде:

Рп (sin ф) +

Рп (sin ф) +

2 ^р^

2 ^р^

(sin ф) (Cnk cos кк + Snk sin кк) .(1.3.25)

Ряд (1.3.25) сходится абсолютно и равномерно, если расстояние г от центра притягивающего тела М до притягиваемой материальной точки т больше, чем расстояние rmax от центра тела до его наиболее удаленной точки. В самом деле, так как |Рп(8тф0)1 ^ 1, то ряды (1.3.8) и (1.3.9) сходятся абсолютно и равномерно при г > гшах > го. Заметим, что в тех случаях, когда одна из осей координат совпадает с главной центральной осью инерции притягивающего тела М, обращаются в нуль центробежные моменты инерции, содержащие соответствующую координату.

Формула (1.3.25) рекомендована Международным астрономическим союзом в качестве стандартной записи потенциала притяжения Земли. Для Земли к — долгота притягиваемой материальной точки, отсчитываемая от гринвичского меридиана; ф — широта точки, отсчитываемая от плоскости экватора; М — масса Земли; Ra — средний экваториальный радиус Земли. Поскольку в этом случае ось Oz является главной центральной осью инерции (как ось вращения Земли), то Gi = S21 = 0.

Зональные, тессеральные и векториальные гармоники. В разложении потенциала (1.3.25) обычно различают составляющие трех типов. Рассмотрим сначала слагаемые вида

Рп (Sin ф), (1.3.26)

собранные в первую сумму. Знак (1.3.26) зависит от знака Рп (sin ф). Так как полином Лежандра n-го порядка имеет п дейст-

вительных различных корней (причем каждый по абсолютной величине меньше 1), функция Рп (sin ф) будет менять знак на п широтах. Следовательно, сфера разделяется на n + 1 широтную зону, в которых слагаемые вида (1.3.26) принимают попеременно положительные и отрицательные значения. Поэтому слагаемые вида (1.3.26) называют зональными, гармониками п-уо порядка.

Рассмотрим теперь из второй суммы (1.3.25) слагаемые вида

У V- (^)”(sin ф) cos kX(1.3.27)

И

/^(^) 5nfeP^)(sinV)sin^,(1.3.28)

где 1 =С к < п. Эти слагаемые обращаются в нуль на п — к параллелях, где

/ь\dkP„ (sin ф)

Р^ (sin ф) = 0, или г— = О,

v<г(8тф)к

и на 2к меридианах, где

cos кк = 0 или sin кк = 0.

Такими параллелями и меридианами сфера делится на п + к + 1 сферическую трапецию, в каждой из которых указанные слагаемые сохраняют знак. Эти слагаемые называют тессералъными гармониками порядка п и индекса к.

Если п = к, то имеем оставшиеся слагаемые второй суммы (1.3.25)

/-^("г) СппРпП)(8Шф)С08^(1.3.29)

и

У^)" Vising,) sinnX.(1.3.30)

Здесь sign Р^ (sin ф) = const, так как

dnP (sin ф)

= const.d (sin ф)п

Отсюда видно, что слагаемые (1.3.29) и (1.3.30) меняют знак только на меридианах, определяемых условиями

cos пк = 0, sin пк = 0.(1.3.31)

Эти условия выделяют 2п меридиональных секторов, в которых слагаемые (1.3.29) и (1.3.30) сохраняют знак, поэтому их называют векториальными гармониками п-го порядка.

Разложение потенциала притяжения Земли на отдельные гармоники имеет вполне определенный физический смысл. Первое ела-

гаемое (1.3.25) соответствует шару со сферическим распределением плотности. Вторая зональная гармоника /2 учитывает полярное сжатие Земли (вдоль оси вращения) и является самой существенной поправкой при переходе к нецентральному полю притяжения. Зональные гармоники нечетного порядка и тессеральные гармоники, для которых число п — к нечетно, учитывают асимметрию Земли относительно плоскости экватора, а секториальные и тессеральные гармоники — асимметрию Земли относительно оси вращения. Коэффициент /2 имеет порядок 10-3, а все остальные коэффициенты разложения (1.3.25) имеют порядок 10~6 и выше. В работе [4] приведены значения коэффициентов Jn до 21-го порядка включительно. Поскольку коэффициенты разложения убывают весьма медленно, ряд (1.3.25) также сходится весьма медленно.

Известны другие методы описания нецентрального поля притяжения Земли. Например, в работе [5] была рассмотрена обобщенная задача двух неподвижных центров с фиксированными массами и найдена соответствующая силовая функция, совпадающая в главном с (1.3.25). Такой подход позволяет интегрировать в квадратурах дифференциальные уравнения движения материальной точки в построенном нецентральном поле притяжения. Для высокоточных численных расчетов траекторий движения вблизи поверхности Земли иногда используется модель в виде совокупности большого числа материальных точек (порядка нескольких сотен), координаты и масса которых определены на основе экспериментальных данных. Такая модель поля притяжения Земли является достаточно сложной даже для реализации с помощью ЭВМ, однако она позволяет учесть локальные аномалии, связанные с неоднородностью внутренней структуры Земли, которые весьма сложно описать другими способами.

Для уточнения модели поля притяжения Земли используются главным образом результаты траекторных измерений движения околоземных и межпланетных космических аппаратов.

Геоид. Сила тяжести

Если тело находится на поверхности Земли, то помимо силы притяжения на него действует также центробежная сила инерции, порождаемая суточным вращением Земли. Равнодействующую этих сил называют силой тяжести. Потенциал силы тяжести равен сумме потенциалов силы притяжения и центробежной силы:

и. = и + Un6. (1.4.1)

- Геометрическое место точек, в которых потенциал силы тяжести имеет одно и то же значение, называют уровенной поверхностью потенциала силы тяжести. В геодезии уровенную поверхность, совпадающую со свободной невозмущенной поверхностью океанов и продолженную под материками, принято называть геоидом. (Иногда

в баллистике под геоидом понимают не поверхность, а тело, которое ограничено поверхностью мирового океана при некотором среднем уровне воды, свободной от возмущений.) Во всех точках геоида сила тяжести направлена по нормали к нему. Вместо геоида часто рассматривают близкие к нему фигуры, допускающие более простое математическое описание.

Нормальный сфероид. Рассмотрим фигуру Земли при некоторых упрощающих предположениях. Пусть распределение плотности Земли обладает осевой симметрией, тогда часть коэффициентов формулы (1.3.25) обращается в нуль (Cnh = Snk = 0). Это значит, что в формуле (1.3.25), записанной применительно к такой модели фигуры Земли, останутся только зональные гармоники:

(1-4.2)(1-4.2)

(1-4.2)

(1-4.2)

Учтем суточное вращение Земли с угловой скоростью юз- Центробежная сила инерции, которая действует на материальную точку т с единичной массой, расположенную на широте ф и расстоянии г от центра Земли, направлена перпендикулярно оси вращения и по величине равна

^цб = юзг cos ф. (1.4.3)

Потенциал центробежной силы инерции вычисляется по формуле

Сцб = у«зг2 cos2 ф.Сцб = у«зг2 cos2 ф.(1.4.4)(1.4.4)

Сцб = у«зг2 cos2 ф.

Сцб = у«зг2 cos2 ф.

(1.4.4)

(1.4.4)

Сложив обе составляющие потенциала силы тяжести, (1.4.2) и (1.4.4), получим уравнение уровенной поверхности:

1 г\ г /_П=21 г\ г /_П=2АЦзЫф) + у й)|г2со8ф’= Со, (1.4.5)

1 г\ г /

_П=2

1 г\ г /

_П=2

где Со — произвольная постоянная.

Для получения уравнения модели геоида в рассматриваемой постановке надо определить постоянную Со таким образом, чтобы экваториальный радиус уровенной поверхности совпадал с экваториальным радиусом Земли, т. е. г = Нэ при ф = 0. Отсюда

..2 п2°VC..2 п2°VC

..2 п2

°VC

..2 п2

°VC

ИЛИ

(1.4.6)

(1-4.7)(1-4.7)где

(1-4.7)

(1-4.7)

9 — ~/лГ"

Тогда уравнение модели геоида

1 Г г \3v <? Ы cos2 Ф1 Г г \3v <? Ы cos2 Ф= /^-Г-S^-^ + le • t1-4-8»= /^-Г-S^-^ + le • t1-4-8»ээ1— 2^™(v) ^п(8Шф) + п=2.

1 Г г \3

v <? Ы cos2 Ф

1 Г г \3

v <? Ы cos2 Ф

= /^-Г-S^-^ + le • t1-4-8»

= /^-Г-S^-^ + le • t1-4-8»

э

э

. зг \2-д- COS2 ф. зг \2-д- COS2 ф1 — J2P2 (0) + ~2 9 *1 — J2P2 (0) + ~2 9 *(1.4.9)(1.4.9)При наличии осевой симметрии в распределении плотности Земли моменты инерции (1.3.23) относительно двух взаимно перпендикулярных осей, расположенных в экваториальной плоскости, будут совпадать, т. е. А = В. Отсюда согласно (1.3.22) найдемПри наличии осевой симметрии в распределении плотности Земли моменты инерции (1.3.23) относительно двух взаимно перпендикулярных осей, расположенных в экваториальной плоскости, будут совпадать, т. е. А = В. Отсюда согласно (1.3.22) найдем■ = С —А 2— М7?|■ = С —А 2— М7?|(1.4.10)(1.4.10)Учитывая далее формулу (1.3.20), можно преобразовать (1.4.9)Учитывая далее формулу (1.3.20), можно преобразовать (1.4.9)к видук виду11-^[^Ll-3Sin22М7?| \ т )-^[^Ll-3Sin22М7?| \ т )зI COS2 фзI COS2 ф1, , С —А , 1= ^V^4S[^q1, , С —А , 1= ^V^4S[^q(1.4.11)(1.4.11)Уравнение (1.4.11) описывает поверхность, которую называют нормальным сфероидом (или эллипсоидом Клероу Заметим, что иногда под нормальным сфероидом понимают не поверхность, а тело, ограниченное этой поверхностью.Несколько преобразуем формулу (1.4.11):Уравнение (1.4.11) описывает поверхность, которую называют нормальным сфероидом (или эллипсоидом Клероу Заметим, что иногда под нормальным сфероидом понимают не поверхность, а тело, ограниченное этой поверхностью.Несколько преобразуем формулу (1.4.11):С —A (Ra\ ,2 х 1 / г X321+ аЙяГ^/ (1-3Ыпф)+тЦ^ СОЗФС —A (Ra\ ,2 х 1 / г X321+ аЙяГ^/ (1-3Ыпф)+тЦ^ СОЗФЛ,Л,1 + 2№| + 2 41 + 2№| + 2 4(1.4.12)(1.4.12)Здесь (С — А^/МНХ и q — величины первого порядка малости, а отношение RJr отличается от единицы на величину первого по-Здесь (С — А^/МНХ и q — величины первого порядка малости, а отношение RJr отличается от единицы на величину первого по-

. з

г \2

-д- COS2 ф

. з

г \2

-д- COS2 ф

1 — J2P2 (0) + ~2 9 *

1 — J2P2 (0) + ~2 9 *

(1.4.9)

(1.4.9)

При наличии осевой симметрии в распределении плотности Земли моменты инерции (1.3.23) относительно двух взаимно перпендикулярных осей, расположенных в экваториальной плоскости, будут совпадать, т. е. А = В. Отсюда согласно (1.3.22) найдем

При наличии осевой симметрии в распределении плотности Земли моменты инерции (1.3.23) относительно двух взаимно перпендикулярных осей, расположенных в экваториальной плоскости, будут совпадать, т. е. А = В. Отсюда согласно (1.3.22) найдем

■ = С —А 2— М7?|

■ = С —А 2— М7?|

(1.4.10)

(1.4.10)

Учитывая далее формулу (1.3.20), можно преобразовать (1.4.9)

Учитывая далее формулу (1.3.20), можно преобразовать (1.4.9)

к виду

к виду

1

1

-^[^Ll-3Sin22М7?| \ т )

-^[^Ll-3Sin22М7?| \ т )

з

I COS2 ф

з

I COS2 ф

1, , С —А , 1

= ^V^4S[^q

1, , С —А , 1

= ^V^4S[^q

(1.4.11)

(1.4.11)

Уравнение (1.4.11) описывает поверхность, которую называют нормальным сфероидом (или эллипсоидом Клероу Заметим, что иногда под нормальным сфероидом понимают не поверхность, а тело, ограниченное этой поверхностью.

Несколько преобразуем формулу (1.4.11):

Уравнение (1.4.11) описывает поверхность, которую называют нормальным сфероидом (или эллипсоидом Клероу Заметим, что иногда под нормальным сфероидом понимают не поверхность, а тело, ограниченное этой поверхностью.

Несколько преобразуем формулу (1.4.11):

С —A (Ra\ ,2 х 1 / г X32

1+ аЙяГ^/ (1-3Ыпф)+тЦ^ СОЗФ

С —A (Ra\ ,2 х 1 / г X32

1+ аЙяГ^/ (1-3Ыпф)+тЦ^ СОЗФ

Л,

Л,

1 + 2№| + 2 4

1 + 2№| + 2 4

(1.4.12)

(1.4.12)

Здесь (С — А^/МНХ и q — величины первого порядка малости, а отношение RJr отличается от единицы на величину первого по-

Здесь (С — А^/МНХ и q — величины первого порядка малости, а отношение RJr отличается от единицы на величину первого по-

Как уже отмечалось, коэффициент К на три порядка больше, чем ближайшие следующие за ним коэффициенты /з и /4. С учетом этого можно еще более упростить модель геоида, отбросив в (1.4.8) слагаемые с номерами п > 2:

1 — Л^) />2 (sin ф) + ^ 5

рядка малости. Отбросив в правой части (1.4.12) величины выше первого порядка малости, получим

г = 7?э(1 — a sin2 ф),(1.4.13)

где

а =4--^=#+4-(1.4.14)

2 MR^ 2V '

Покажем, что уравнение (1.4.13) с точностью до величин первого порядка малости совпадает с уравнением сжатого эллипсоида вращения. Действительно, в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz, начало которой совпадает с центром масс эллипсоида, ось Oz проходит по оси вращения, а оси Ох и Оу расположены в экваториальной плоскости, уравнение эллипсоида вращения

*2 + /*2 + /ZZ(1.4.15)(1.4.15)

*2 + /

*2 + /

Z

Z

(1.4.15)

(1.4.15)

где 7?э и Нп — соответственно экваториальный и полярный радиусы эллипсоида. Переходя к сферическим координатам

х — R cos ф cos Л, у = R cos ф sin Л, z = R sin ф

(здесь R— расстояние от начала координат до точки на поверхности эллипсоида, ф и X — ее широта и долгота), получим

R2 cos2 Ф R2 sin2 фR2 cos2 Ф R2 sin2 фRlRlЯ2Я2= 1,= 1,

R2 cos2 Ф R2 sin2 ф

R2 cos2 Ф R2 sin2 ф

Rl

Rl

Я2

Я2

= 1,

= 1,

откудагдеоткудагдеR = Ra (1 — a sin2 ф),R = Ra (1 — a sin2 ф),(1.4.18)(1.4.18)

откуда

где

откуда

где

R = Ra (1 — a sin2 ф),

R = Ra (1 — a sin2 ф),

(1.4.18)

(1.4.18)

(1.4.16)

(1.4.17)

— сжатие эллипсоида. Если сохранить в разложении правой части (1.4.16) в ряд слагаемые только первого порядка относительно сжатия а, то получим уравнение

которое совпадает с (1.4.13). Итак, с точностью до малых первого порядка нормальный сфероид совпадает с эллипсоидом вращения, у которого а — сжатие, a Ra — экваториальный радиус. Поэтому во многих задачах в качестве фигуры Земли рассматривают эллипсоид.

В 1964 году Международный астрономический союз в качестве рекомендуемой модели фигуры Земли принял общий земной эллипсоид, параметры которого с учетом более поздних уточнений имеют следующие значения [31]:

— экваториальный радиус Ra = 6 378 137 м,

— произведение постоянной тяготения на массу Земли Ш = = 398600,4 км3 • с-2.

Эти параметры выбраны из условий, что объем эллипсоида равен объему Земли, их экваториальные плоскости совпадают, причем малая ось эллипсоида направлена по оси вращения Земли, сумма квадратов разности по высоте между поверхностями эллипсоида и геоида минимальна.

Иногда оказывается целесообразным повысить точность локального описания фигуры Земли (например, на территории одного государства) за счет использования так называемого референц-эллипсоида. Указанный эллипсоид ориентируют таким образом, чтобы его поверхность наилучшим образом совпадала с поверхностью геоида в рассматриваемом месте. При этом центр масс тела, ограниченного референц-эллипсоидом, может не совпадать с центром масс Земли, однако их оси вращения должны быть параллельными. В Советском Союзе в качестве референц-эллипсоида принят эллипсоид Ф. Н. Красовского (1940 г.) с большой полуосью 6 378 245 м и сжатием 1/298,3.

Установлено, что Земля имеет сжатие не только вдоль полярной оси, но также в экваториальной плоскости, правда, примерно в 100 раз более слабое. Поэтому в некоторых задачах рассматривают модель фигуры Земли в виде трехосного эллипсоида. Один из таких трехосных эллипсоидов, отвечающий современным данным астрономии, геодезии и гравиметрии, имеет следующие величины полуосей [25]: « = 6378266,30 м, 6 = 6378053,70 м, с = 6356774,72 м.

1.4.2. Ускорение силы тяжести. Определим ускорение силы тяжести gT, действующее на тело, которое находится на поверхности Земли:

gT = grad (7Т.(1.4.19)

Будем рассматривать модель, соответствующую нормальному сфероиду. Для градиента потенциала силы тяжести имеем

аи„

grad 77т^-п°,(1.4.20)

где п° — единичный вектор внешней нормали к уровенной поверхности. Угол е между вектором п° и радиусом-вектором г произвольной точки поверхности сфероида равен разности географической фг и геоцентрической широт, т. е.

е = фг — ф.

Величина угла е принимает максимальное значение на широте ф = 45°, причем бщах ~ а. Проекция ускорения силы тяжести на радиус-вектор

(1.4.21)(1.4.21)git = —gi cos е,

(1.4.21)

(1.4.21)

но, с другой стороны, на поверхности сфероида

_ dUT gTT-"^7"_ dUT gTT-"^7"t=Rt=R(1.4.22)(1.4.22)

_ dUT gTT-"^7"

_ dUT gTT-"^7"

t=R

t=R

(1.4.22)

(1.4.22)

и с точностью до первой степени сжатия а имеем из (1.4.21) и (1.4.22)

Для принятой модели

1 +1 +С—А 2М7?2С—А 2М7?2— 1 (1 — 3 sin2 ф) + у^Ну) cos2 ф— 1 (1 — 3 sin2 ф) + у^Ну) cos2 ф

1 +

1 +

С—А 2М7?2

С—А 2М7?2

— 1 (1 — 3 sin2 ф) + у^Ну) cos2 ф

— 1 (1 — 3 sin2 ф) + у^Ну) cos2 ф

(1.4.24)

поэтому

(1.4.25)(1.4.25),м . , з c — a(R^,. п . 2 х / R \3 о ^ = ^[1+1Г1^гЫ и-з^чо-^х)cos"4’

(1.4.25)

(1.4.25)

Подставляя сюда соотношения (1.4.13) с заменой r = R и (1.4.14), получим с точностью до слагаемых не выше первого порядка малости:

(1.4.26)(1.4.27)(1.4.26)(1.4.27), М Г.3/ 5

(1.4.26)

(1.4.27)

(1.4.26)

(1.4.27)

, М /, ,3 \£тэ = f—2 1 + а —у дRl\ 2, М /, ,3 \£тэ = f—2 1 + а —у дRl\ 2£т = / —2 1 + 05 — у g + уд — а Sin2 ф Обозначим

, М /, ,3 \

£тэ = f—2 1 + а —у д

Rl\ 2

, М /, ,3 \

£тэ = f—2 1 + а —у д

Rl\ 2

— ускорение силы тяжести на экваторе, тогда с точностью до величины первого порядка малости формулу (1.4.26) можно привести к виду

gi = ^тэ(1 + р 8Ш2Ф),(1.4.28)

где

р = Ад-а.(1.4.29)

Соотношение (1.4.28), определяющее с точностью до малых первого порядка изменение силы тяжести на поверхности неоднородного сфероида, было получено Клеро [33].

Для более сложных моделей геоида можно найти соответствующие зависимости, позволяющие учесть малые величины второго и более высокого порядка. Так, с точностью до малых второго порядка [18]

g = £э(1 + Pi sin2 ф — р2 sin2 2ф), (1.4.30) где

Pi = y7 — “ — ^Ф^ ₽2 = у?а —(1.4.31)

В свое время различными авторами были предложены формулы для вычисления ускорения силы тяжести. Некоторые из этих формул приведены ниже по данным работ [4, 18, 25]. Численные коэффициенты соответствуют размерности ускорения силы тяжести см/с2. Небольшое различие в коэффициентах обусловлено несовпадением исходных значений параметров фигуры Земли.

Формула Гельмерта (1901 г., а= 1/298,2):

gT = 978,030(1 + 0,005302 sin2 ф — 0,000007 sin2 2ф).

Формула для общего земного эллипсоида МАС (1964 г., а = 1/298,25):

g, = 978,0319(1 + 0,00530240 sin2 ф - 0,00000585 sin2 2ф).

Формула Аксенова (1977 г.):

gT = 978,028(1 — 0,0000072 sin ф + 0,005364 sin2 ф +

+ 0,000012 sin3 ф — 0,000063 sin4 ф).

Формула Загребина — Резановой для трехосного эллипсоида (1969 г., полярное сжатие 1/298,25, экваториальное сжатие 1/300Q0):

g. = 978,0318 [1 + 0,00530240 sin2 ф + 0,00001651 cos2 ф •

• cos 2 (X - 15°)- 0,00000585 sin2 2ф].

Здесь ф — геоцентрическая широта, X — долгота. Все формулы, кроме предпоследней, имеют точность второго порядка малости относительно сжатия. Предпоследняя формула учитывает величины до четвертого порядка малости включительно и различие в сжатиях для северного и южного полушарий.

ГЛАВА 2

ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ

Одной из наиболее простых и одновременно достаточно полно отражающих истинную природу движения небесных тел является задача двух тел. При постановке этой модельцой задачи предпола- [ гается, что существуют только два взаимно притягивающихся небес- [ ных тела М и тп, причем первое из них часто имеет большую массу и является шаром со сферическим распределением плотности. Малое тело тп можно рассматривать в качестве материальной точки. Как показано в п. 1.2.1, сила притяжения шара со сферическим ! распределением плотности, действующая на внешнюю материаль- 1 ную точку, не изменится, если всю массу шара сосредоточить в его центре. Таким образом, задача о движении двух тел по существу сводится к задаче о движении двух материальных точек М и т. Материальную точку с большей массой (М) обычно называют при- ' тягиваюгцим центром. Если же речь идет о теле М, то его называют центральным телом. Выбор центрального тела зависит от исследуемой задачи. Например, при изучении движения искусственного \ спутника в околоземном пространстве за центральное тело прини-

Таблица 2.1

Космические объекты искусственного происхождения по состоянию на 31 марта 1988 года (Flight International.— 1988.— V. 134, No. 4124)

Принадлежность

Число объектов на околоземных орбитах и в дальнем космосе

Число объектов, сошедших с орбит

аппараты

фрагменты

аппараты

фрагменты

СССР

1064

2236

1346

7538

США

530

2611

571

2206

Япония

35

47

5

34

Франция

15

24

7

46

Канада

14

0

0

0

Великобритания

9

1

6

4

Прочие страны и организа-

95

469

39

96

ции

Итого

1762

5388

1974

9927

мают Землю, а при изучении орбитального движения Земли как планеты Солнечной системы за центральное тело принимают Солнце. Меньшее тело (или материальную точку) тп часто для краткости называют спутником.

4 октября 1957 года в Советском Союзе был выведен на орбиту первый искусственный спутник Земли. По состоянию на 31 марта 1988 года в космическом пространстве находились 1762 околоземных спутника и автоматических межпланетных аппарата, а общее число объектов, включая последние ступени ракет-носителей и их фрагменты, достигло 7150 (табл. 2.1). К указанной дате прекратили существование (сошли с околоземной орбиты и разрушились в атмосфере) 1974 спутника и 9927 крупных фрагментов ракет- носителей.

Установим основные закономерности задачи двух тел, которые являются определяющими для движения небесных тел, как естественных, так и искусственных.

Уравнения движения

Для описания движения центра масс тела или материальной точки необходимо ввести некоторое начало отсчета — систему координат. При рациональном выборе системы координат часто удается значительно упростить уравнения движения.

Различают инерциальную и неинерциальную системы координат. Инерциальной называют такую систему координат, которая находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного поступательного движения относительно «абсолютной» системы отсчета, например, удаленных звезд, условно называемых неподвижными. Всякая другая система координат является неинерциальной. Заметим, что часто при решении задач механики некоторые неинерциальные системы координат оказывается возможным рассматривать в качестве инерциальных. При этом допускается несущественная для данной задачи погрешность, но зато удается значительно упростить задачу в целом.

Уравнения движения в инерциальной системе координат имеют наиболее простой вид и записываются на основе второго закона Ньютона: произведение массы тела на его ускорение равно действующей силе.

Абсолютное движение и относительное движение. Рассмотрим движение материальных точек М и т в некоторой инерциальной системе координат. Единственной силой, под действием которой совершается движение, является сила притяжения. Для материальной точки т эта сила определяется формулой (1.1.1):

F = _/^го.г

Здесь г°—единичный вектор, направленный от М к т, г—относительное расстояние. Сила, действующая на материальную точку М, равна по величине |F|, но направлена в противоположную сторону.

Запишем на основе второго закона Ньютона уравнения абсолют

ного движения материальных точек с массами т и М*.

d Рхг, Mm 0

dt2 1 Т2dt2 1 Т2m= —/—^-г0at2J t2

dt2 1 Т2

dt2 1 Т2

или

a? -7 r2a? -7 r2• 2 _ f m r0илт• 2 _ f m r0илт(2.1.1)(2.1.1)

a? -7 r2

a? -7 r2

• 2 _ f m r0

илт

• 2 _ f m r0

илт

(2.1.1)

(2.1.1)

где pi — радиус-вектор, проведенный из начала инерциальной системы координат в точку т, а р2 — радиус-вектор, проведенный из начала инерциальной системы координат в точку М. Понятно, что

Pi = Р2 + г, (2.1.2) где г = гг°.

Вычитая из первого уравнения (2.1.1) второе, получим с учетом (2.1.2) уравнение движения материальной точки т относительно притягивающего центра М:

(Z2r, М + т а

»=/ 5 г’

atг

(2.1.3)

или

^JL _и*

at2г2 ’

(2.1.4)

если обозначить

Ц* = j^M + 77l)

(2.1.5)

— произведение постоянной притяжения на сумму масс взаимно притягивающихся материальных точек.

Уравнение (2.1.4) является основным в задаче двух тел. В координатной форме оно эквивалентно трем уравнениям второго порядка

с^х

р* _

aly

р*

a2z

- и* Z

at2 —

г3 х'

at2

rs Я’

at2 —

rs -

\^-1 .о;

где г = "Vx2 + у2 + z2.

Движение непритягивающего спутника. Во многих задачах небесной механики т <^ М и оказывается возможным пренебречь ускорением, которое спутник т сообщает притягивающему центру М. В результате придем к ограниченной задаче двух тел, (или задаче о непритягивающем спутнике). Тогда можно совместить начало инерциальной системы координат с притягивающим центром М (pi = г, р2 = 0) и записать уравнение относительного движения спутника в следующем виде:

илигдеилигдеd2r _ at2 —d2r _ at2 —}Lro2 1 1}Lro2 1 1В=/^В=/^(2.1.7)(2.1.8)(2.1.7)(2.1.8)

или

где

или

где

d2r _ at2 —

d2r _ at2 —

}Lro

2 1 1

}Lro

2 1 1

В=/^

В=/^

(2.1.7)

(2.1.8)

(2.1.7)

(2.1.8)

— произведение постоянной притяжения на массу притягивающего центра.

Из сравнения уравнений (2.1.4) и (2.1.7) следует, что притягивающий спутник с массой т движется относительно притягивающего центра с массой М так, как двигался бы непритягивающий

Таблица 2.2

Характеристики тел Солнечной системы [1]

Небесное тело

Гравитационный параметр ц, км3/с2

Экваториальный радиус, км

Ускорение силы притяжения на экваторе, отнесенное к g

Солнце

132,712438-109

696000

27,96

Меркурий

22032

2439

0,38

Венера

324858,8

6052

0,91

Земля

398600,5

6378,14

1,0

Луна

4902,79

1738

0,166

Марс

42828,29

3397,2

0,38

Юпитер

126712000

71398

2,54

Сатурн

37934100

60000

1,08

Уран

5803160

25400

0,92

Нептун

6871308

24300

1,19

Плутон

44238

2500

0,72

спутник вокруг притягивающего центра с массой М + т. Если, как предполагалось, т < М, то можно принять ц* « ц. Значения ц для различных тел Солнечной системы приведены в табл. 2.2 [1].

Интегралы уравнений движения

Движение спутника относительно притягивающего центра описывается системой дифференциальных уравнений шестого порядка (2.1.6). Обилий интеграл этой системы есть совокупность шести независимых между собою первых интегралов. Вычислим первые интегралы системы (2.1.6).

Интеграл энергии. Умножим скалярно векторное уравнение движения (2.1.7) на 2г, где г = У — скорость движения, точкой сверху обозначена производная по времени. С учетом равенства г° = г/г получим

2гг =г- гг.

ИЛИИЛИ

ИЛИ

ИЛИ

d(r2) _ р d(r2)at / at '

(2-2.1)(2-2.1)Но г2 = V2 = У2 и г2 = г2; поэтому можно записать

(2-2.1)

(2-2.1)

aW р а^ atгз at

а затем

atdt \ r r

Отсюда следует интеграл энергии

Здесь h, — постоянная интеграла энергии, равная удвоенной величине полной энергии единицы массы спутника. Первое слагаемое в (2.2.1)—это удвоенная кинетическая энергия единицы массы спутника, а второе слагаемое — удвоенная потенциальная энергия единицы массы спутника. Из интеграла энергии следует, что полная энергия в задаче двух тел есть величина постоянная. Расстояние спутника от притягивающего центра ограничено, если h < 0, и может увеличиваться неограниченно, если h ^ 0. Действительно, предположим, что спутник может неограниченно удаляться от притягивающего центра, т. е. г -* «>, У У». Тогда из интеграла энергии (2.2.1) получим в пределе

(2.2.2)(2.2.2)У'оо = К.

(2.2.2)

(2.2.2)

Это условие имеет смысл только при h > 0, так как слева стоит квадрат скорости на бесконечности. В рассматриваемом случае физический смысл постоянной интеграла энергии определяется условием (2.2.2). Если же h < 0, то исходное предположение о возможности неограниченного удаления спутника от притягивающего центра оказывается неверным.

Из интеграла энергии следует, что при удалении спутника от притягивающего центра его скорость уменьшается, а в случае приближения — увеличивается. В этом проявляется гравитационное действие притягивающего центра.

Интеграл площадей. Умножим теперь уравнение движения (2.1.7) векторно на г = V, полагая сначала, что гХУ^О, т. е. векторы г и V неколлинеарны. Тогда

rxr= —^-гхг. (2.2.3)

По определению векторного произведения г X г = 0. Вычислим далее

-^(rXr) = rXr + rXr= гхг.(2.2.4)

С учетом этого соотношения можно представить (2.2.3) в виде

4т (rXr) = 0, или (rXV) = 0.

Отсюда найдем векторный интеграл площадей

г X V = С,(2.2.5)

который эквивалентен трем скалярным интегралам

yVz — zVy = Cx, zVx — xVz = Cy, xVy-yVx = Cz. (2.2.6)

Здесь т=(х, у, z), V =(К, Vy, Vz), С = (СХ, Су, Cz); проекции векторов рассматриваются в системе координат, начало которой совпадает с притягивающим центром, а оси имеют постоянную ориентацию в пространстве.

Если умножить уравнение (2.2.5) скалярно на г, то получим

г • С = 0.(2.2.7)

Отсюда следует, что вектор г всегда находится в плоскости, проходящей через центр притяжения и определяемой нормальным к ней вектором С. Эта плоскость, т. е. плоскость движения спутника, называется неизменяемой плоскостью Лапласа. Чтобы получить уравнение плоскости движения спутника в координатной форме, умножим уравнения (2.2.6) соответственно на х, у, z и сложим. Тогда получим

С^ + Суу + Czz = 0.(2.2.8)

Постоянный вектор С можно определить с помощью векторов г и V, заданных в любой момент времени. Например, если эти векторы заданы в начальный момент времени, то

С = г0 X Vo.(2.2.9)

Вектор С можно также определить, задав его величину С и три угла а, р, у, образуемые этим вектором с координатными осями. Поскольку

cos2 а + cos2 р + cos2 у = 1,

то лишь два угла являются линейно независимыми. Можно вообще задавать два любых независимых угла, связанных с вектором С. Обычно в небесной механике рассматривают угол i между плоскостью Лапласа и основной координатной плоскостью (например. 3*

плоскостью экватора) и угол Q — долготу восходящего узла, отсчитываемую от условного нулевого направления (например, на точку весеннего равноденствия) до линии пересечения плоскости движения спутника с плоскостью экватора (рис. 2.1). Эта линия пересечения плоскостей является линией узлов. Восходящим узлом называют точку пересечения траектории спутника с плоскостью экватора при переходе из южного полушария в северное. В нисходящем узле спутник переходит из северного полушария в южное. С помощью углов i и Q запишем составляющие вектора С в экваториальной прямоугольной декартовой системе координат, ось Ох которой направлена в точку весеннего равноденствия, ось Оу лежит

Рис. 2.1. Ориентация плоскости орбитыРис. 2.1. Ориентация плоскости орбитыв экваториальной (или основной координатной) плоскости, а ось Oz дополняет систему координат до правой:

Рис. 2.1. Ориентация плоскости орбиты

Рис. 2.1. Ориентация плоскости орбиты

Сх = С sin i sin Q,

Сц = —C sin г cos Q,

Сг = C cos i. (2.2.10)

Установим физический смысл интеграла площадей. По определению модуля векторного произведения имеем

rV cos 6 = С, (2.2.11)

(2.2.12)(2.2.13)(2.2.12)(2.2.13)(2.2.14)(2.2.14)где 6 — угол наклона траектории, т. е. угол между вектором скорости и нормалью к радиусу-вектору ^0 +-^угол между г и V). Обозначим далее

(2.2.12)

(2.2.13)

(2.2.12)

(2.2.13)

(2.2.14)

(2.2.14)

тогдатогдаVn = V cos 6;rVn = C,

тогда

тогда

или в полярных координатах

г2^ = С,

где й — полярный угол, отсчитываемый от некоторого направления.

Последнее соотношение допускает простое истолкование интеграла площадей. В самом деле, пусть спутник в момент t занимает положение Mi, а в момент t + At—положение М^ (рис. 2.2). За время At радиус-вектор спутника «заметает» площадь, которую с точностью до малых первого порядка относительно Ай можно вычислить по формуле

(2.2.15)(2.2.15)AS = А г2Ай.

(2.2.15)

(2.2.15)

Разделив обе части этого равенства на At и переходя к пределу при At О, получим

asatasat= ^гЧк= ^гЧк(2.2.16)(2.2.16)

asat

asat

= ^гЧк

= ^гЧк

(2.2.16)

(2.2.16)

Здесь dSjdt — векториальная скорость спутника относительно притягивающего центра. С учетом соотношения (2.2.14) можно

as сat ~ 2 *as сat ~ 2 *(2.2.17)(2.2.17)Рис. 2.2. «Заметаемая» плоРис. 2.2. «Заметаемая» площадьщадьзаписать

as с

at ~ 2 *

as с

at ~ 2 *

(2.2.17)

(2.2.17)

Рис. 2.2. «Заметаемая» пло

Рис. 2.2. «Заметаемая» пло

щадь

щадь

Отсюда следует, что секториальная скорость спутника постоянна, а величина интеграла площадей численно равно удвоенной секториальной скорости.

Если за время от to до t спутник проходит путь от точки Мо до точки М и заметает площадь 5, то, интегрируя

промежутка времени,промежутка времени,уравнение (2.2.17) в пределах указанного

промежутка времени,

промежутка времени,

получим соотношение

S = -£(«-«„),(2.2.18)

которое выражает второй закон Кеплера:

Площадь, заметаемая радиусом-вектором спутника, пропорциональна времени, в течение которого она заметена, или за равные промежутки времени радиус-вектор спутника заметает равные площади.

Из интеграла площадей, записанного с помощью полярных координат (2.2.14), следует, что угловая скорость спутника увеличивается по мере приближения к притягивающему центру и уменьшается при удалении от него. Эта закономерность использована в системе телевизионной связи «Орбита», включающей приемо-передающие станции на территории Советского Союза и спутники связи типа «Молния». Спутники выводятся на траекторию, у которой самая близкая к поверхности Земли точка находится в южном полушарии на высоте около 500 км, а наиболее удаленная точка находится в северном полушарии на высоте около 40500 км, плоскость орбиты наклонена к экватору под углом ~63°. Поэтому спутники медленно перемещаются по небесной сфере в северном полушарии, что увеличивает располагаемое для связи время и одновременно улучшает условия работы поворотных антенн наземных станций, отслеживающих движение спутника.

При выводе интеграла площадей (2.2.5) предполагалось, что векторы г и V неколлинеарны. Пусть теперь они будут коллинеарными, т. е. г X V = 0. Легко показать, что в этом случае спутник

движется прямолинейно вдоль радиуса-вектора и понятие плоскости движения теряет смысл.

Интеграл Лапласа. Перемножим векторно уравнение движения (2.1.7) и интеграл площадей (2.2.5):

irXC = -^rX(rxV).(2.2.19)

Преобразуем сначала левую часть равенства (2.2.19) с учетом г = V и С = const:

rxC = A(vxC),(2.2.20)

а затем правую часть с помощью известного тождества для двойного векторного произведения и соотношений г2 = г2, г • г = тт:

—-TrX(rXV) = — -4 [г(г*г)— г (г2)] = Гг

Ц» /9\I ГГ Г \ d I Г |/Г) л г)л\

= - <ггг -- И (-7 - Т J = "аГ <2-2'21)

Приравняв соотношения (2.2.20) и (2.2.21), получим

/ЛТ\/Р\1

-^(VXC)--^-^, или

откуда следует векторный интеграл Лапласа

VXC —p4 = f-(2.2.22)

Если спроектировать равенство (2.2.22) на оси некоторой системы координат, то дополнительно к четырем первым интегралам движения (2.2.1) и (2.2.6) получим еще три. Установим связь между некоторыми интегралами движения. Предварительно заметим, что обе составляющие вектора Лапласа ^VxC и —ру) лежат в плоскости движения спутника. Следовательно, и сам вектор Лапласа всегда лежит в плоскости движения. Имеем

ЬС = 0,(2.2.23)

или

fxCx + fyC^fzCz = 0,(2.2.24)

где f=(/x, /у, А). Условие (2.2.24) является первым соотношением связи между интегралами. Для установления второго условия связи

рассмотрим скалярное произведение

f.f = /= = (vxC-Hy)2 = (VxC)2-2n(VxC)y + |?4- Здесь

(у х с)2 = 1 v х ci2 =(УС)2 = у2с2, так как V-L С, и

(VXC).r = C.(rXV) = C2 = C2, ^ = 1.

Тогда2

/2 = у2С2 _ ML + ^ ИЛИ

/2 = р2 + С2

Отсюда с учетом (2.2.1) получим окончательно второе условие

связисвязи/2 = ц2 + С2К/2 = ц2 + С2К(2.2.25)(2.2.25)

связи

связи

/2 = ц2 + С2К

/2 = ц2 + С2К

(2.2.25)

(2.2.25)

Таким образом, из семи первых интегралов уравнений движения независимыми являются только пять, а следовательно, полученные семь интегралов не образуют общего интеграла уравнений движения.

Покажем один из возможных способов вычисления последнего, шестого интеграла системы (2.1.6). Из семи найденных интегралов (2.2.1), (2.2.6), (2.2.22), а также условий связи (2.2.24), (2.2.25) можно выразить любые пять параметров движения через шестой и постоянные интегрирования h, Сх, Су, Cz, /к, /у, /г. Предположим, что в качестве такого параметра движения взята координата ж, тогда

У Ф^^, ^5 Сх, Су, С z, fx, fy, fz^lz Ф2(ж,h, Сх,Су,Сz,fx, fy, fz),

X = Фз(£,h, Cx,Су,Cz,fx, fy, fz^,(2.2.26)

У = Ф4(&»^, Cx,Cy,Cz,fx, fy, fz^,

= Фб(^,Cx,Cy,Cz,fx, fy, fz).

ЗдесьЗдесь• drx = -^-, и легко видеть,• drx = -^-, и легко видеть,что третье уравнение системы (2.2.26)что третье уравнение системы (2.2.26)

Здесь

Здесь

• dr

x = -^-, и легко видеть,

• dr

x = -^-, и легко видеть,

что третье уравнение системы (2.2.26)

что третье уравнение системы (2.2.26)

(2.2.27)(2.2.27)интегрируется в квадратурах методом разделения переменных х и t:

(2.2.27)

(2.2.27)

Фд (^, И, Сх, Су, С,, / х, fy, f ^

где К — шестая произвольная постоянная. Отсюда в принципе можно определить координату х как функцию времени t. После подстановки найденного выражения для х в систему (2.2.26) получим

шесть соотношений для параметров движения, определяющих их зависимость от времени и шести произвольных постоянных:

x = 4Mt,к, Са,Су,Сг, fx, fy, /z,К),

у = W2(t,h, Сх,Су,Сг, fx, fy, fz,К),

z =3(t,h, Сх,Су,С г, fx, fy, f г,К),

х = ^(t,к, Сх,Су,Cz, fx, fy, fz,К),(2.2.28)

У = 4r5(t,h, Сх,Су,Cz, fx, fv, fz,К),

г = 4T6(t,к, Сх,Су,Cz, fx, fu, fz,K).

Уравнения (2.2.28) составляют общий интеграл уравнений движения (2.1.6). Напомним, что из восьми постоянных интегрирования к, Сх, Су, Сг, fx, fu, fz, К лишь шесть являются независимыми в силу соотношений (2.2.24), (2.2.25).

Таким образом, показано существование общего решения в задаче двух тел. Произвольные постоянные задачи определяются из начальных условий, что, вообще говоря, является довольно сложной процедурой, которая в буквенном виде не разрешается. Поэтому обычно общее решение ищется в другой форме, где в качестве независимой переменной используется не время движения, а полярный угол 'О*.

Уравнение орбиты. Согласно условию (2.2.8) движение спутника происходит в неизменяемой плоскости, т. е. траектория представляет собой плоскую кривую, которую называют орбитой спутника. Для получения уравнения орбиты используем вектор Лапласа. Предварительно найдем скалярное произведение f на г:

fr = (VxC).r — ^ г = С.(гХУ) — рг = С2 — рг.

Но по определению скалярного произведения

f • г = fr cos 'О’,

где '0* — угол между векторами f и г, тогда

fr cos й = С2 — рг и

r(p + / cos й)= С2, откуда

р + / cos Ф '

Вводя обозначения С2 Р =(2.2.29)

и е = — ,Х2-2-30)

получим окончательно уравнение орбиты спутника в полярных координатах

1 + е cos О *1 + е cos О *(2.2.31)

1 + е cos О *

1 + е cos О *

Здесь р — параметр орбиты, определяющий ее линейные размеры, а е — эксцентриситет орбиты, характеризующий ее форму.

С другой стороны, соотношение (2.2.31) представляет собой уравнение конического сечения в полярных координатах с полюсом в фокусе. Это коническое сечение симметрично относительно вектора Лапласа, а полярный угол 'О', который называют истинной аномалией, определяет поворот текущего радиуса-вектора относительно оси симметрии. Полученный результат отражает первый закон Кеплера*.

Движение спутника относительно притягивающего центра всегда совершается по коническому сечению (по эллипсу, окружности, гиперболе, параболе или прямой'), в одном из фокусов которого находится притягивающий центр.

Главная, или фокальная, ось орбиты, совпадающая с направлением вектора Лапласа, называется в астрономии линией апсид. Точки пересечения этой линии с орбитой называют апсидальными, или просто апсидами. Апсиды совпадают с вершинами конического сечения и имеют специальные названия. В общем случае ближайшую к притягивающему центру апсиду называют перицентром, а наиболее удаленную — апоцентром. Заметим, что перицентр существует для любых орбит, а апоцентр — только для замкнутой. В зависимости от притягивающего центра апсиды имеют свои собственные названия. Например, для Земли это перигей и апогей, для Луны — периселений и апоселений, для Солнца — перигелий и афелий и т. д.

Преобразуем теперь формулу (2.2.30) для эксцентриситета орбиты с учетом уравнения связи (2.2.25):

е=у 1 + ^у-. (2.2.32)

Из соотношений (2.2.29) и (2.2.32) следует, что по заданным величинам произведения постоянной тяготения на массу центрального тела (ц), постоянной интеграла энергии (1г) и постоянной интеграла площадей (С) можно вычислить параметр орбиты и ее эксцентриситет, т. е. задать форму и размеры орбиты в ее плоскости.

Скорость спутника

В зависимости от формы и размеров орбиты, а также положения спутника на орбите его скорость может меняться в достаточно широком диапазоне. Наряду с расстоянием до притягивающего центра скорость спутника является одним из основных параметров

движения. Разложим вектор скорости на две составляющие. Будем считать, что одна составляющая (Уг) направлена по радиусу-вектору, а вторая (Уп)—по нормали к

Рис. 2.3. Составляющие скорости спутника

радиусу-вектору в сторону ния (рис. 2.3). Тогда

У = Угг°+Упп°,

где г°, п° — соответствующие

движе-

(2.3.1)

единич-

ные векторы. Составляющую Vr называют радиальной, а составляющую Уп — трансверсальной.

2.3.1. Составляющие вектора скорости. Установим зависимость составляющих скорости Уг и У„ от параметра р и эксцентриситета е орбиты, а также истинной аномалии й.

Сначала рассмотрим радиальную составляющую скоростиР dr dr d^т dtd^ dt *

(2.3.2)

(2.3.3) найдем(2.3.4)(2.3.5)(2.3.3) найдем(2.3.4)(2.3.5)

(2.3.3) найдем

(2.3.4)

(2.3.5)

(2.3.3) найдем

(2.3.4)

(2.3.5)

Дифференцируя уравнение орбиты (2.2.31) по истинной аномалии,

получим

dr ре sin -0- г2 е sin О

^й (1 +е cos й)2 Р

Далее, из уравнения (2.2.14) и соотношения (2.2.29)

^й _ С Т/нр~dt

и окончательно

Уг = р^ у е sin й.

Для трансверсальной составляющей скорости имеем

V„ = r^.(2.3.6)

Подставляя сюда производную (2.3.4), получим

У„ = l/^(i + е cos й).(2.3.7)

Полная скорость спутника

или_

У = У^ V1 4-2есо8Й +е2.(2.3.8)

Из этой формулы следует, что полная скорость спутника на заданной орбите изменяется в фиксированных пределах. Максималь-

нал скорость достигается в перицентре орбиты (-0 = 0)

Уша. = F„ = ]/Ь (1 + е),(2.3.9)

а минимальная скорость — в апоцентре орбиты (0* = л, если апоцентр данной орбиты существует)

(2.3.10)

Вычислим с помощью уравнения орбиты (2.2.31) расстояния от притягивающего центра до спутника в перицентре

rmin = гп = । ^_ е(2.3.11)

и в апоцентре

r max = r а = ~^Z77*(2.3.12)

Как следует из формулы (2.3.5), в перицентре и апоцентре орбиты радиальная составляющая скорости обращается в нуль. С помощью формул (2.3.9) — (2.3.12) можно установить связь между величинами скоростей и радиусами апсидальных точек

Vг

* п а

Vг ’

* ап

ИЛИ

7пГп = Уага.(2.3.13)

Это соотношение по своей форме напоминает «правило рычага» из задачи равновесия моментов сил (вместо сил здесь фигурируют скорости Уп и Уа). По существу (2.3.13) отражает равенство секто- риальной скорости в перицентре и апоцентре.

Связь скорости с типом орбиты. С помощью формулы (2.2.32), определяющей эксцентриситет орбиты через постоянную интеграла энергии, установим зависимость типа орбиты от скорости движения. Как было показано в п. 2.2.1, для замкнутых орбит h < 0. Следовательно, в этом случае по формуле (2.2.32) имеем 0^е<1. Такие орбиты называют эллиптическими. Из интеграла энергии (2.2.1) видно, что в любой точке эллиптической орбиты выполняется неравенство

уг,^^(2.3.14)

В частном случае, когда е = 0, движение происходит по круговой орбите. Согласно уравнению орбиты (2.2.31) при е = 0 имеем г = р = гкр, где гкр — радиус круговой орбиты. Для этого случая по формуле (2.3.8) можно установить, что

F-F,,^)- У(2-3.15)

т. е. скорость движения равна круговой скорости, соответствующей данному радиусу орбиты. Скорость (2.3.15) на поверхности планеты (гкр = R) иногда называют первой космической. В сочетании с величиной радиуса круговой орбиты скорость (2.3.15) характеризует вполне определенный уровень полной энергии спутника, необходимой для движения по круговой орбите.

Космический аппарат (КА) может неограниченно удаляться от притягивающего центра, если h > 0. При выполнении строгого равенства (^ = 0) скорость на бесконечности Утс = 0. Такую орбиту называют параболической (е = 1), для нее скорость определяется формулой

У = Гпар(г)=/-^-.(2.3.16)

Параболическая скорость (2.3.16) на поверхности планеты (г = R) иногда называют второй космической. Это — минимальная скорость, которую необходимо сообщить КА, чтобы он неограниченно удалился от притягивающего центра. Из сравнения круговой скорости движения (2.3.15) с параболической (2.3.16) видно, что

Кп^ = У2Укр.(2.3.17)

Если ^>0, то е>1, и орбита является гиперболической. Для такой орбиты на основе интеграла энергии (2.2.1) и соотношения (2.2.2) можно записать

^(r)-V =

или

V*r(r) = K*ap(r) +(2.3.18)

Следовательно, квадрат местной (на данном расстоянии г) гиперболической скорости равен сумме квадратов местной параболической скорости и скорости на бесконечности. Второе слагаемое (Утс) с учетом (2.3.18) иногда называют гиперболическим избытком скорости.

Примеры круговых скоростей и периодов обращения спутников. Величина круговой скорости (2.3.15) зависит только от параметра ц — произведения постоянной тяготения на массу притягивающего тела и радиуса орбиты гкр. Для некоторых тел Солнечной системы в табл. 2.3 приведены величины круговых скоростей как функции высоты орбиты

Якр = гкр-Д,(2.3.19)

где R — радиус небесного тела. Величины ц и R соответствуют табл. 2.2.

Зная круговую скорость и радиус орбиты, можно посчитать период обращения спутника Т, т. е. время между двумя последовательными прохождениями через одну и ту же точку орбиты.

Действительно, если угловая орбитальная скорость спутника на круговой орбите

0),,,, = ^ =1/4->(2.3.20)

КР V гкр

то период обращения

Т = — =г^.(2.3.21)

«кр Унv '

В табл. 2.3 приведены также периоды обращения спутников на круговых орбитах. Из этих данных следует, что параметры движе-

Таблица 2.3

Орбитальные скорости (км/с) и периоды обращения (мин) спутников на круговых экваториальных орбитах

Высота орбиты, км

Небесное тело

Земля

Луна

Марс

Венера

Юпитер

100

V Кр

т

7,844

86,5

1,633

117,8

3,499

104,7

7,267

88,7

42,098

177,9

200

V ГКр

т

7,784

88,5

1,590

127,6

3,450

109,2

7,208

90,8

42,069

178,2

300

V гкр т

7,726

90,5

1,551

137,6

3,403

113,8

7,151

93,0

42,039

178,6

500

V Ккр

Т

7,613

94,6

1,480

158,3

3,315

123,1

7,041

97,4

41,981

179,3

1000

V гкр

Т

7,350

105,1

1,338

214,3

3,121

147,5

6,787

108,8

41,836

181,2

10000

v кр

Т

4,933

347,7

0,646

1901,9

1,788

784,7

4,499

373,7

39,455 216,0

100000

V кр

Т

1,936

5754,9

0,219

48532

0,644

16824

1,750

6345,4

27,190

660,1

ния спутников Земли и Венеры близки. Такой результат объясняется почти одинаковыми характеристиками гравитационных полей указанных планет.

Характеристики орбит

Невозмущенное движение спутника в центральном поле притяжения часто называют кеплеровским движением. Согласно первому закону Кеплера орбита представляет собой кривую второго порядка, в одном из фокусов которой находится притягивающий центр. Форма и размеры орбиты, определяющие ее тип, зависят от начальных условий движения. Пусть в начальный момент заданы скорость Vo и радиус-вектор спутника го. Найдем единичную нормаль к плоскости движения, фиксирующую эту плоскость,

С° = К^7Г’^АЛ>

Теперь будем рассматривать орбиту, лежащую в зафиксированной плоскости. Начальный угол наклона траектории (т. е. угол между вектором скорости и местным горизонтом в начальной точке) определяется по формуле

0o = ^-arccos^-.(2.4.2)

0 0

Зная теперь величины Vo, И), 0о, можно с помощью (2.2.11) и (2.2.29) вычислить параметр орбиты

cos^ 0

Р = ° V °=rovocos20o,(2.4.3)

где

(2.4.4)

— безразмерный параметр, характеризующий уровень кинетической энергии спутника. Затем с помощью интеграла энергии (2.2.1) и формулы (2.2.32) определим эксцентриситет орбиты

е= 1/ 1+^0— —)——22= /1 + (v0 — 2) vocos20o.

(2.4.5)

При vo = 1 начальная скорость равна местной круговой, т. е. соответствующей величине начального радиуса. В этом случае по формуле (2.4.5) имеем е = Isin0ol. Если одновременно выполняются условия vo = 1 и 0о = 0, то орбита является круговой, если же vo = = 1, но 0о^=О, то орбита оказывается эллиптической. При vo = 2 начальная скорость равна местной параболической, а е = 1. Спутник движется по параболической орбите, а величина 0о при этом не имеет существенного значения. При vo>2 (е>1) скорость спутника превышает параболическую, и он движется по гиперболической орбите.

Как видно из общего уравнения орбиты произвольного типа (2.2.31), параметр орбиты равен величине радиуса-вектора спутни-

ка при значении истинной аномалии О' = 90°, т. е. Г |&—90° = Р*

Самыми распространенными типами орбит являются эллиптиче

ская и гиперболическая.

Эллиптическая орбита. Наиболее часто встречаются орбиты эллиптического типа (h < 0, 0<е<1). Как известно, эллипс представляет собой геометрическое место точек, для которых сумма

Рис. 2 4. Эллиптическая орбитаРис. 2 4. Эллиптическая орбитарасстояний от двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная. В одном из фокусов эллипса находится притягивающий центр, а второй фокус оказывается «пустым». Основными параметрами эллиптической орбиты (рис. 2.4) являются большая полуось

Рис. 2 4. Эллиптическая орбита

Рис. 2 4. Эллиптическая орбита

а = — ^Х (2.4.6)

определяющая среднее расстояние до притягивающего центра, и малая полуось Ь. Фокусное расстояние с называют еще линейным эксцентриситетом.

Подставим радиусы перицентра (2.3.11) и апоцентра (2.3.12) в (2.4.6), тогда

« =(2.4.7)

И

р = а(1-е2).(2.4.8)

Найдем теперь

с = OFt = ОП - FИ = а - г„ = а -

пли с учетом (2.4.8)

а (1 — е2)

с = а—= ае.(2.4.9)

Отсюда

е = ^'(2.4.10)

Из геометрических построений ясно, что сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов равна 2а. Поэтому BFV = а (см. рис. 2.4) и

Ъ = V<^ — с2 = а /1 — е2 = V ар = z р

у 1 — е2

Иногда в качестве исходных параметров орбиты удобнее использовать радиусы перицентра гп и апоцентра га. Согласно формулам (2.3.11) и (2.3.12)

l + e = _L, l-e = _L.(2.4.12)

гпга

Отсюда

9г г

р = -^-<2'4ЛЗ>

'п ~' а

и

е =(2.4.14)

п "Т ' а

Далее с учетом (2.4.12) преобразуем соотношения (2.3.9) и (2.3.10) для скорости спутника в перицентре и апоцентре:

(2.4.15)

(2.4.16)

Установим связь между большой полуосью а и постоянной интеграла энергии h. С этой целью запишем интеграл энергии для спутника, находящегося в перицентре орбиты:

уз _ 2р = hгп

Здесь

У 22рга

П гп (гп + га)

И

ти = а — с = а(1 — е), поэтому

h = —,2-^- - - т^ = -—.(2.4.17)

rn(rn4“ra) гпгп + гаа

а интеграл энергии принимает вид

5")'(2.4.18)

Воспользуемся уравнением (2.4.18) для определения скорости спутника в точке, соответствующей концу малой полуоси (точка В на рис. 2.4). В этой точке т = а и У2 = ц/а = Укр(«), т. е. скорость спутника равна местной круговой скорости.

’О'пред = arccos’О'пред = arccos£е£е(2.4.19)(2.4.19)

’О'пред = arccos

’О'пред = arccos

£е

£е

(2.4.19)

(2.4.19)

Гиперболическая орбита. Среди возможных незамкнутых орбит наиболее часто встречаются орбиты гиперболического типа

(^>0, е>1). Гипербола — это геометрическое место точек, для

каждой из которых разность расстояний до двух заданных точек

(фокусов) есть величина постоянная. Из геометрических построе

ний ясно, что эта разность равна 2а, где а — действительная полуось гиперболы. В самом деле, пусть спутник находится в перицентре орбиты (точкаП на рис. 2.5). Тогда разность расстояний спутника до фокусов есть

ПГ2 - ПГ1 = П7^2 - № = П А = 2а,

так как П^1 = АГг из условия симметрии.

Движение спутника всегда происходит по той ветви гиперболы, в фокусе которой находится притягивающий центр. Значение истинной аномалии,

при котором расстояние спутника до Рис 2.5. Гиперболическая ор- притягивающего центра неограниченнобита

увеличивается (г °°) (а знамена

тель в уравнении орбиты (2.2.31) обращается в нуль), называется предельным (О^ед). По определению

При движении по гиперболической траектории истинная аномалия может меняться в диапазоне

1-0*1 < л — -0*0,1-0*1 < л — -0*0,(2.4.20)

1-0*1 < л — -0*0,

1-0*1 < л — -0*0,

где cos,0'o=l/e. Для гиперболической орбиты полный угол разворота равен углу между асимптотами, т. е.

'О’полн 2-Опред Л,'О’полн 2-Опред Л,(2.4.21)(2.4.21)

'О’полн 2-Опред Л,

'О’полн 2-Опред Л,

(2.4.21)

(2.4.21)

Установим некоторые геометрические соотношения для гиперболической орбиты. Радиус перицентра гп определяется уравнением орбиты (2.2.31) при-0=0:

(2.4.22)(2.4.22). _ Р

(2.4.22)

(2.4.22)

п 1 +е *

Но из построений на рис. 2.5 видно, что

ОтсюдаОтсюдаГп = с — а = а(е — 1).Гп = с — а = а(е — 1).(2.4.23)(2.4.23)

Отсюда

Отсюда

Гп = с — а = а(е — 1).

Гп = с — а = а(е — 1).

(2.4.23)

(2.4.23)

а = -^—е2 —1

Согласно (2.4.23) имеем также

е=иХ(2.4.25)

По построению ОП = а, с другой стороны,

ОП = OB COS (л — ’О'пред) = -7-

(см. рис. 2.5). Отсюда

ОВ = ае = с(2.4.26)

и

OB = OFV.

Найдем теперь

^ОВУ = с2 = а2е2,

но из прямоугольного треугольника DUO

(OB')2 = а2-V b2, следовательно, эксцентриситет

e-V 1 + f-V(2.4.27)

и мнимая полуось гиперболической орбиты

Ъ = ale2 - 1.(2.4.28)

Из соотношений (2.4.24) и (2.4.27) получим .2

р =(2.4.29)

Введем теперь понятие прицельной дальности [47]. Когда ft « « ±й'Пред, направление движения спутника практически совпадает с асимптотой гиперболы. Предположим теперь, что спутник движется к притягивающему центру на достаточно большом расстоянии (й~—йпред). Если бы в этот момент сила притяжения исчезла, то спутник, продолжая двигаться по асимптоте гиперболы, пролетел бы на расстоянии F\N от точки F\ (рис. 2.5). Расстояние F\N называют прицельной дальностью. Вычислим прицельную дальность. С этой целью рассмотрим прямоугольные треугольники ОПВ и ONF\. Согласно (2.4.26) у них одинаковые гипотенузы (OB = OF\ = с), а в силу симметрии асимптот гиперболы равны острые углы ^ИОВ = Z-NOF\ = л — тЛпред). Следовательно, указанные треугольники равны и

FxN = BTV = b,(2.4.30)

т. е. прицельная дальность равна мнимой полуоси гиперболы. Полученный результат позволяет выразить величину интеграла площадей (2.2.11) через параметры движения в бесконечно удаленной

точке (скорость Ую и перпендикулярное к ней плечо FiN = by C = bVx.(2.4.31)

С помощью этого соотношения можно установить физический смысл действительной полуоси гиперболической орбиты. В самом деле, г2 ь2у2

р-т = -^-(2-4-32)

Приравняв правые части (2.4.29) и (2.4.32), получим

(2.4.33)

Оценим величину полного угла поворота траектории спутника при полете мимо притягивающего центра. Из соотношений (2.4.19) и (2.4.21)имеем

^ПОЛН_ _ n1

S1H-COS ^пред

Далее,поформулам(2.4.25)и(2.4.33)найдем

1=1

поэтому ПОЛИ1/г) / О/\

sin -5- —.(2.4.34)

Радиус перицентра орбиты не может быть меньше радиуса центрального тела, т. е. гп R. Отсюда

sinsinиполн2”иполн2”111+ н1+ н

sin

sin

иполн

2”

иполн

2”

1

1

1

+ н

1

+ н

где n/R = Икр № — круговая скорость на поверхности центрального тела. Окончательно получим следующую оценку для полного угла поворота при ближнем облете центрального тела

sinsinПОЛИПОЛИ1Г Роо 1+Икр(Л)1Г Роо 1+Икр(Л)(2.4.35)(2.4.35)

sin

sin

ПОЛИ

ПОЛИ

1

Г Роо 1+Икр(Л)

1

Г Роо 1+Икр(Л)

(2.4.35)

(2.4.35)

По формуле (2.3.18) вычислим соответствующую этому предельному маневру величину скорости в перицентре, отнесенную к мест- 4*

ной круговой скорости:

ЕКР(Л)ЕКР(Л)(2.4.36)(2.4.36)

ЕКР(Л)

ЕКР(Л)

(2.4.36)

(2.4.36)

Рис. 2.6. Характеристики предельного маневра при движении по гиперболической орбитеРис. 2.6. Характеристики предельного маневра при движении по гиперболической орбитекак Й1 < 0.как Й1 < 0.FXQ =FXQ =

Рис. 2.6. Характеристики предельного маневра при движении по гиперболической орбите

Рис. 2.6. Характеристики предельного маневра при движении по гиперболической орбите

как Й1 < 0.

как Й1 < 0.

FXQ =

FXQ =

Формула (2.4.35) справедлива для любого небесного тела, поскольку полный угол поворота зависит только от отношения скорости на бесконечности к круговой скорости на поверхности централь-

ного тела. Если У» 0, то йполн "* 180°. Предельный случай (Уоо = 0) соответствует облету центрального тела по параболической траектории с изменением направления движения на противоположное (йполн = 180°). При неограниченном возрастании скорости на бесконечности (У« -> °0) полный угол поворота уменьшается до нуля, т. е. траектория остается практически прямолинейной. На рис. 2.6 показано изменение предельного угла поворота йпред и относительной скорости в перицентре Уп/У«р (7?) в зависимости от величины Ую/Укр(Я).

Обсудим также некоторые другие понятия, связанные с гиперболическими орбитами. Величину е = F\QJF\N (см. рис. 2.5) называют поджатием орбиты под действием притя

жения центрального тела. Здесь F\N = Ъ, а из прямоугольного треугольника OFiN следует, что

F^-ЕзО cos#p =

где FvO = c = ae, йх = Z OFTN = — (йпред — yj, так Отсюда

Ь = ае соэй,, — = есо8Й1.

1 а1

Согласно уравнению орбиты (2.2.31) и соотношению (2.4.29)

рръй

р

р

1 + е cos б,1 а (1 + е cos б,1)

(2.4.37)(2.4.37)тогда поджатие орбиты b _11

(2.4.37)

(2.4.37)

а е cos'О )а 1 — tg У* "

Будем называть эффективным радиусом (7?Эф) центрального тела величину прицельной дальности, при которой центральное тело достигается, т. е. гиперболическая орбита либо попадает в него, либо хотя бы касается. Сначала рассмотрим попадание в переднюю полусферу, которая выделяется так называемой картинной плоскостью, проходящей через центр тела перпендикулярно к У» (рис. 2.7, а).

Рис. 2.7. Эффективный и полный эффективный радиусы центрального телаРис. 2.7. Эффективный и полный эффективный радиусы центрального тела

Рис. 2.7. Эффективный и полный эффективный радиусы центрального тела

Рис. 2.7. Эффективный и полный эффективный радиусы центрального тела

В этом случае F^N = Ъ = Нэф и F\Q = R, отсюда е = RJRa$. Но для поджатия справедлива общая формула (2.4.37), что позволяет за

писать равенствописать равенствоRъRъ1‘+11‘+1

писать равенство

писать равенство

Rъ

Rъ

1

‘+1

1

‘+1

затем

и после умножения обеих частей на b(R

5 \2 Ъ а"И)

Решая квадратное уравнение относительно -у, найдем

ь

R

у + уУ 1 +4у,

но а = ц/Ую и Ъ = R^, поэтому

^Э*1(Я)?

-Г" = Т + тУ 1 + 4 У-2 ’ (Г”*°>- (2-4.38>

Формула (2.4.38) позволяет вычислить отношение эффективного радиуса центрального тела к его истинному радиусу при условии попадания траектории в переднюю полусферу. Если еще увеличивать прицельную дальность, точка попадания будет смещаться в заднюю полусферу, а в предельном случае орбита только коснется поверхности центрального тела. Этой орбите соответствует полный эффективный радиус центрального тела ЯдфЛН (рис. 2.7, б). Его

Рис. 2.8. Величины эффективного и полного эффективного радиусов центрального телаРис. 2.8. Величины эффективного и полного эффективного радиусов центрального телаРис. 2.9. Соотношение полного эффективного и истинного радиусов небесных тел: 1 — Юпитер; 2 — Земля; 3 — Венера; 4 — Марс; 5 —ЛунаРис. 2.9. Соотношение полного эффективного и истинного радиусов небесных тел: 1 — Юпитер; 2 — Земля; 3 — Венера; 4 — Марс; 5 —Луна

Рис. 2.8. Величины эффективного и полного эффективного радиусов центрального тела

Рис. 2.8. Величины эффективного и полного эффективного радиусов центрального тела

Рис. 2.9. Соотношение полного эффективного и истинного радиусов небесных тел: 1 — Юпитер; 2 — Земля; 3 — Венера; 4 — Марс; 5 —Луна

Рис. 2.9. Соотношение полного эффективного и истинного радиусов небесных тел: 1 — Юпитер; 2 — Земля; 3 — Венера; 4 — Марс; 5 —Луна

величину вычислим с помощью интеграла площадей, записанного для бесконечно удаленной точки и для перицентра:

bVoo = r^V^.

Из условия касания поверхности гп — R, поэтому b/R Уп/Еоо. По формуле (2.3.18) вычислим

V,V,укр (Я)укр (Я)

V,

V,

укр (Я)

укр (Я)

и окончательно найдем

' 2^)' 2^)(2.4.39)(2.4.39)оПОЛН

' 2^)

' 2^)

(2.4.39)

(2.4.39)

R

На рис. 2.8 показано изменение эффективного и полного эффективного радиусов центрального тела, отнесенных к его радиусу, в зависимости от величины Укр(7?)/Уоо. Соотношение полного эффективного и истинного радиусов некоторых небесных тел показано на рис. 2.9. Условие R^™>>R для задачи попадания эквивалентно замене притягивающего центрального тела на непритягивающее, но с увеличенным в несколько раз радиусом.

Параболическая орбита. Такая орбита встречается редко, поскольку она требует выполнения строгого ограничения по скорости: У = Упар(^)= У2ц/г При малейшей ошибке по скорости в ту или иную сторону орбита становится либо эллиптической, либо гиперболической. Для параболы эксцентриситет е = 1, и она представляет собой геометрическое место точек, одинаково удаленных от фокуса и прямой, называемой директрисой (рис. 2.10). Уравнение параболической орбиты

1 + cos О '1 + cos О '(2.4.40)

1 + cos О '

1 + cos О '

Из геометрических построений ясно, что параметр орбиты р = гп/2.

Рис. 2.10. Параболическая орбитаРис. 2.10. Параболическая орбитаДля параболической орбиты, граничной между эллиптическими и гиперболическими орбитами, можно вычислить величину большой полуоси, устремляя эксцентриситет е к 1 в формулах (2.4.7) и (2.4.24). Тогда получим, что большая полуось параболической орбиты неограниченно велика.

Рис. 2.10. Параболическая орбита

Рис. 2.10. Параболическая орбита

Круговая орбита. Эта орбита является частным случаем эллиптической (е = 0). Чтобы спутник двигался по круговой орбите, его скорость должна равняться по величине местной круговой скорости У = Укр (г) = У ц/r и быть направленной перпендикулярно радиусу- вектору. Нарушение любого из двух указанных условий приводит к эллиптической орбите.

Уравнение круговой орбиты гкр = const, а понятия перицентра и истинной ано

малии теряют смысл, поскольку все точки круговой орбиты одинаково удалены от притягивающего центра. Поэтому вместо истинной аномалии обычно рассматривают полярный угол, отсчет которого ведут от некоторого фиксированного направления.

В отличие от параболической орбиты, круговая орбита часто используется в модельных задачах механики космического полета. Это объясняется тем, что для задания круговой орбиты достаточно одного параметра (радиуса орбиты или ее высоты над поверхностью центрального тела).

Связь времени с положением на орбите

Для определения закона орбитального движения спутника необходимо установить зависимость параметров движения от времени. Расстояние спутника от притягивающего центра и его скорость можно достаточно просто вычислить, если известна величина истинной аномалии. Поэтому необходимо связать истинную аномалию с временем движения. Из интеграла площадей можно получить

г2

^ = 2^й.(2.5.1)

Проинтегрируем уравнение (2.5.1) от точки орбиты, соответствующей перицентру, где t = tn и й = О, до некоторой произвольной точ-

Рис. 2 11. Связь между эксцентрической и истинной аномалиямиРис. 2 11. Связь между эксцентрической и истинной аномалиямики, где спутник находится в момент времени t, а величина истинной аномалии при этом равна й. Тогда

Рис. 2 11. Связь между эксцентрической и истинной аномалиями

Рис. 2 11. Связь между эксцентрической и истинной аномалиями

(2.5.2)(2.5.2)»AJa».о

(2.5.2)

(2.5.2)

Но С = ^\ьр и г = р/(1 + е cos й) согласно (2.2.29) и уравнению орбиты (2.2.31); поэтому

t-tn =t-tn =С^-. (2.5.3)

t-tn =

t-tn =

"|/р(1 +еСО8Й)

О

Интеграл (2.5.3) зависит от знака эксцентриситета е, т. е. от типа орбиты спутника.

Случай эллиптической орбиты. Для эллиптической орбиты О < е < 1. Чтобы вычислить интеграл (2.5.3), необходимо перейти к новой переменной, смысл которой поясним с помощью некоторых геометрических построений. Пусть дана эллиптическая орбита с центром О, фокусами F\ и F^ перицентром П и апоцентром А (рис. 2.11). Точка М соответствует текущему положению спутника в момент времени t. Построим окружность радиуса а с центром в точке О и опустим перпендикуляр из точки М на линию апсид. Продолжим этот перпендикуляр до пересечения с окружностью (точка М'). Прямая ОМ' образует с направлением на перицентр

угол Е, который называют эксцентрической аномалией. Из геометрических построений видно, что при изменении истинной аномалии О от 0 до 360° эксцентрическая аномалия Е также изменяется от О до 360°. Оба угла одновременно принимают значения 0, 180° и 360°.

Установим связь между эксцентрической и истинной аномалиями. Из рис. 2.11 видно, что

ON + NFX = OFx = c = ае,

где

Поэтому

ON = a cos Е, NF\ = —г cos й.

ае — a cos Е — г cos *0'

и после подстановки г из уравнения орбиты (2.2.31) получимр COS Йt\

г- = a (cos Е — eV

1 + е cos йv'

Отсюда

ncos Е — е

cos й

— + <? — е cos Е

но согласно (2.4.7) р(а = 1 — е2, поэтому

n cos Е — е

COS Й = -=-.

1 — е cos Е

'(2.5.4)

Далее найдем

M'N = a sin Е, MN = г81пй.

На основании свойств эллипса и формулы (2.4.11)

MN_=L=

M'N а К е ’

или

г sin йa sin Е

е2,

откуда

г sin $ = a"Vl — e2 sin Е.

Подставим сюда т из уравнения орбиты, a cos’d1 заменим соотношением (2.5.4), тогда

Sin й = у V1 — в2 1 +

е (cos Е — е) . _,

-гтг Sin£,

1 — е cos Е

или

зшй =зшй =V1 — е2 sin Е1 — е cos ЕV1 — е2 sin Е1 — е cos Е(2.5.5)(2.5.5)

зшй =

зшй =

V1 — е2 sin Е

1 — е cos Е

V1 — е2 sin Е

1 — е cos Е

(2.5.5)

(2.5.5)

1^1 — е2 sin 2?(1 — е) (1 + cos Е) ’1^1 — е2 sin 2?(1 — е) (1 + cos Е) ’Теперь вычислимf й sin d^21 -]- cos й

1^1 — е2 sin 2?

(1 — е) (1 + cos Е) ’

1^1 — е2 sin 2?

(1 — е) (1 + cos Е) ’

ИЛИ

*8Т-/г^7*«4-(2.5.6)

Полученное уравнение (2.5.6) устанавливает связь между эксцентрической и истинной аномалиями. Произведем теперь замену переменной й на Е в интеграле (2.5.3). Предварительно, дифференцируя соотношение (2.5.5), найдем

cos й d^ =dE

(1 — е cos Ег п, используя (2.5.4), запишем

d^ =—е— dE.(2.5.7)

С учетом соотношений (2.5.4) и (2.5.7)

., _ Р3/2 С (1 — g cos Ef* Kl — в2 а р

(1-е2)2 i-eeosE^1

ИЛИ

Е

1-111 = W&^(1 -е cos Е^Е‘

Интегрируя, получим

i / n \3/2

t —=(£ —esin#),

но согласно (2.4.7) />/(1 —e2) = a, поэтому окончательно аз/2

t— tn = —^(E— esinS).(2.5.8)

Введем теперь понятие средней аномалии

тогда соотношение (2.5.8) можно преобразовать в уравнение Кеплера

E — esinE — M.(2.5.9)

Пусть требуется вычислить время движения спутника между двумя точками эллиптической орбиты, истинные аномалии которых Й1 и йг известны. Сначала по формуле (2.5.6) определим эксцентрические аномалии Е\ и £2, а затем, используя уравнение (2.5.8), вычислим время движения

я3/2

t2 — tx = —.— [Е2 — Ех — е (sin Е2 — sin SJ].

Если спутник совершает полный оборот по орбите (^2 = ^1 + 4-2л), то полученная формула будет определять период обращения

Т =Т =2л-^—.2л-^—.(2.5.10)(2.5.10)

Т =

Т =

2л-^—.

2л-^—.

(2.5.10)

(2.5.10)

же притягивающего центраже притягивающего центраРис. 2.12. К выводу уравненияРис. 2.12. К выводу уравнениясвязи времени с положением на гиперболической орбитесвязи времени с положением на гиперболической орбите

же притягивающего центра

же притягивающего центра

Рис. 2.12. К выводу уравнения

Рис. 2.12. К выводу уравнения

связи времени с положением на гиперболической орбите

связи времени с положением на гиперболической орбите

Отсюда видно, что период обращения на эллиптической орбите зависит только от параметра р, — произведения постоянной тяготения на массу притягивающего центра и величины большой полуоси а, т. е. среднего расстояния спутника в орбитальном движении. Заметим, что полученная ранее формула (2.3.21) для периода обращения на круговой орбите является частным случаем (2.5.10) при & 7*кр*

Предположим, что Т\ и Т^— периоды обращения двух спутников относительно одного и того же притягивающего центра и ai, «2 — большие полуоси их эллиптических орбит. Тогда с помощью формулы (2.5.10) легко установить, что

(2.5.11)(2.5.11)Т^а®

(2.5.11)

(2.5.11)

Т^й2

Это соотношение определяет третий закон Кеплера*.

Квадраты периодов обращения двух спутников (с пренебрежимо

малыми массами} вокруг одного и того относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Случай гиперболической орбиты. Для гиперболической орбиты е> 1. Как и в предыдущем случае, произведем замену переменной в подынтегральном выражении (2.5.3). Предварительно заметим, что для гиперболы, у которой а = Ъ = 1, справедливы соотношения (рис. 2.12):

-^ = Soivmi .r=+chH, y = shH

(2.5.12)

(здесь знак абсциссы зависит от выбранной ветви гиперболы). Для левой

ветви произвольной гиперболы можно по аналогии с (2.5.12) за

писать

х = — achH, у = Ъ зЬЯ = alе2 — 1зЬЯ. (2.5.13)

Введем вспомогательную систему координат 7^£ц с началом в притягивающем центре (рис. 2.12). Тогда

£ = F^O — NO = с — a ch Н = а(е — ch Н},

ц = аУ е2 — 1 sh Н,

но, с другой стороны,

отсюда

£ = г cos 'О',т] = г sin ft,

а (е — ch Н) = г cos 'О',

a Ve2 — 1 sh Н = г sin ■О'.

(2.5.14)

Возводя обе части (2.5.14) в квадрат и складывая почленно, получим

г2 = а2(е-сЬЯ)2 + а2(е2-1)8Ь2Я =

= а2 [е2(1 + sh2 Я)—2е ch Я + ch2 Н - sh2 Я] =

= а2(е2 ch2 Я —2е сЬЯ+1) = а2(е сЬЯ—I)2,

откуда

НайдемНайдемr = a(echH— 1).r = a(echH— 1).(2.5.15)(2.5.15)а затем вычислима затем вычислимИЛИИЛИа ё е — ch ЯCOS V = — = т-77, ’г echH— 1а ё е — ch ЯCOS V = — = т-77, ’г echH— 1sin 'О = —sin 'О = —s — 1 sh Я е ch Я — 1s — 1 sh Я е ch Я — 1(2.5.16)(2.5.16)sin Оsin О— 1 sh Я— 1 sh Я1 + cos О (е — 1) (1 + ch Я) ’1 + cos О (е — 1) (1 + ch Я) ’±lth^— 1 П 2 *±lth^— 1 П 2 *(2.5.17)(2.5.17)

Найдем

Найдем

r = a(echH— 1).

r = a(echH— 1).

(2.5.15)

(2.5.15)

а затем вычислим

а затем вычислим

ИЛИ

ИЛИ

а ё е — ch Я

COS V = — = т-77, ’

г echH— 1

а ё е — ch Я

COS V = — = т-77, ’

г echH— 1

sin 'О = —

sin 'О = —

s — 1 sh Я е ch Я — 1

s — 1 sh Я е ch Я — 1

(2.5.16)

(2.5.16)

sin О

sin О

— 1 sh Я

— 1 sh Я

1 + cos О (е — 1) (1 + ch Я) ’

1 + cos О (е — 1) (1 + ch Я) ’

±lth^

— 1 П 2 *

±lth^

— 1 П 2 *

(2.5.17)

(2.5.17)

Это соотношение устанавливает связь между О и Я. Заметим, что когда спутник, начав двигаться из перицентра, неограниченно удаляется от притягивающего центра, истинная аномалия изменяется от 0 до ^пред, а величина Я изменяется от 0 до °°.

Продифференцируем теперь вторую формулу (2.5.16):

cos *0* d’b =

л е ch2 я — ch я — е sh2 Я г—е — ch Я 1

и с учетом первой формулы (2.5.16) найдем

№ - Л^гЦ АН.(2.5.18)

е ch Я — 1v '

Произведем замену переменных в (2.5.3) с учетом (2.5.16) и (2.5.18):

рЗ/2 Гt - t = I vn JрЗ/2 Гt - t = I vn J(echH— I)2 Ve2—1(echH— I)2 Ve2—11)2 е ch Н— 11)2 е ch Н— 1ан =ан =

рЗ/2 Г

t - t = I vn J

рЗ/2 Г

t - t = I vn J

(echH— I)2 Ve2—1

(echH— I)2 Ve2—1

1)2 е ch Н— 1

1)2 е ch Н— 1

ан =

ан =

l)dH.

о

После интегрирования получим соотношение для гиперболической орбиты, аналогичное уравнению (2.5.8):

(2.5.19)(2.5.19)t — tn = 2у=- (е sh Н — Я),

(2.5.19)

(2.5.19)

где a = pl(e2 — 1) с учетом (2.4.24).

Время перелета между двумя заданными точками гиперболической орбиты определяется по формуле

^-Ч = ^Уе (sh Я2 - sh Н^ - (Н2 - Н^,(2.5.20)

V н

где Я1 и Яг — соответствующие значения переменных, вычисленные с помощью формулы (2.5.17) по заданным величинам Й1 и йг.

Случай параболической орбиты. Для параболической орбиты эксцентриситет е = 1, и уравнение орбиты можно представить в виде

Р = Р =1 + COS У12 ^2 ^2 cos -у cos уР = Р =1 + COS У12 ^2 ^2 cos -у cos у1 + tg2-yh (2.5.21)1 + tg2-yh (2.5.21)

Р = Р =

1 + COS У12 ^2 ^

2 cos -у cos у

Р = Р =

1 + COS У12 ^2 ^

2 cos -у cos у

1 + tg2-yh (2.5.21)

1 + tg2-yh (2.5.21)

так как р,2 = гп.Произведя замену переменнойU = tg -у,так как р,2 = гп.Произведя замену переменнойU = tg -у,(2.5.22)(2.5.22)

так как р,2 = гп.

Произведя замену переменной

U = tg -у,

так как р,2 = гп.

Произведя замену переменной

U = tg -у,

(2.5.22)

(2.5.22)

откудаоткуда0 = 2 arctg и0 = 2 arctg и(2.5.23)(2.5.23)

откуда

откуда

0 = 2 arctg и

0 = 2 arctg и

(2.5.23)

(2.5.23)

и

d^ = —

1 +и2

вычислим интеграл (2.5.3):VjT J (1-j-cos А)24}вычислим интеграл (2.5.3):VjT J (1-j-cos А)24}о,3/2 fо,3/2 f2I d^ =2I d^ =Р J оР J о2 Д/р о2 Д/р о.Z21.Z21,3/2,3/2Н-Н-, 1 з и + у и4, 1 з и + у и4

вычислим интеграл (2.5.3):

VjT J (1-j-cos А)24}

вычислим интеграл (2.5.3):

VjT J (1-j-cos А)24}

о

,3/2 f

о

,3/2 f

2

I d^ =

2

I d^ =

Р J о

Р J о

2 Д/р о

2 Д/р о

.Z

21

.Z

21

,3/2

,3/2

Н-

Н-

, 1 з и + у и4

, 1 з и + у и4

ИЛИ

f — tnf — tn2 "[/ц2 "[/ц. Ф 1 о^т + т^ т. Ф 1 о^т + т^ т(2.5.24)(2.5.24)

f — tn

f — tn

2 "[/ц

2 "[/ц

. Ф 1 о

^т + т^ т

. Ф 1 о

^т + т^ т

(2.5.24)

(2.5.24)

Это — аналог уравнения (2.5.8) для параболической орбиты.

В уравнении (2.5.24) можно выразить tg-у через г—расстояние спутника до притягивающего центра. Действительно, с учетом (2.5.21)

тогдатогда

тогда

тогда

Полученная формула позволяет вычислить, сколько времени необходимо затратить при движении по параболической орбите от перицентра до заданного расстояния г.

Время движения между двумя произвольными точками параболической орбиты определяется по формуле

h - h - tg ^ + у (tg3 - tg3 (2.5.26)

Связь времени движения с расстоянием до притягивающего центра в случае прямолинейной траектории движения подробно рассматривается в работе [20].

Решение уравнения Кеплера. Если время перелета спутника между двумя точками с известными величинами истинной аномалии вычисляется достаточно просто, то обратная задача, т. е. определение положения спутника в заданный момент времени, требует решения трансцендентного уравнения Кеплера или его аналогов для гиперболической и параболической орбит.

Сначала покажем, что для любого значения е из диапазона 0 < < е < 1 уравнение Кеплера имеет одно и только одно решение. Будем считать, что средняя аномалия М, определяющая угол поворота радиуса-вектора спутника при движении с постоянной угловой скоростью Уц/а3/2, может принимать любые значения в соответствии с изменением времени t. Используя уравнение Кеплера (2.5.9), рас-

смотрим вспомогательную функцию

ф(7?) = 7? — е sinT? — Л7(2.5.27)

и ее производную

ф' (Е) = 1 - е cos Е > 0,(2.5.28)

строго положительную, поскольку е<1. Функция ф^) монотонно возрастает и на неограниченном интервале изменения аргумента Е имеет единственный корень Е*, т. е. ф(£'*)=0. Отсюда Е*— единственное решение уравнения Кеплера.

Обсудим алгоритм решения уравнения Кеплера. Если потребная точность невелика, то можно воспользоваться графическим способом. В этом случае корень уравнения (2.5.27) находят как абсциссу точки пересечения прямой х(Е) = (Е — M)fe с синусоидой х^Е^ = s\xlE.

Известно большое число алгоритмов, позволяющих найти приближенное решение уравнения Кеплера с любой степенью точности. Как правило, при построении таких алгоритмов стараются учесть особенности решаемой задачи, например, величину эксцентриситета орбиты, для упрощения вычислений. Так, если эксцентриситет орбиты мал, то можно ограничиться тремя первыми членами разложения Е в ряд по е [45]:

Е = М + е sin М + у е2 sin Ж.(2.5.29)

В качестве примера использования итерационных методов для решения уравнения Кеплера обсудим метод неподвижной точки [11]. Запишем уравнение Кеплера в виде

E = esinE-^M.(2.5.30)

За нулевое приближение Ео искомого корня Е* можно принять любое число, например 0, М и др. Последовательность приближения Еп к Е* определяется следующим алгоритмом:

Еп+\ = е sin^n + М.(2.5.31)

Можно показать, что последовательность {7?п} сходится при любом выборе начального приближения. С этой целью рассмотрим ряд

Ео + (Ei - Яо) + (Е2 - ЯО + (Е3 - Е2) + ... + (En+V -Еиу.., (2.5.32) частные суммы которого совпадают с членами последовательности ^ЕиУ Используя (2.5.31), получим

1 Е№ — Еп | = е I sin Еп — sin Еи_г

9. Еп — Еп-1EnA

= 2е sin^~ cos

так как

I . Е —Е , 1\ Е—Е

Sin П 9 п 1 < п а-п

<е]£„-£„-!,, (2.5.33)

11ЕП + ЕП-1 I,

- , COS 1.

Согласно (2.5.33)

ч |S2-Sil ^e|Si-Sol,

\E^-E2\^e\E2-Ev\ ^еЧЕх-Е^,

\EU^V — EU\ enlEi — Sol.

Отсюда видно, что члены ряда (2.5.32), начиная со второго, межо- рируются соответствующими членами сходящейся геометрической прогрессии

|S1-SOI +dSi-Sol +e2lSi-S0| + ... + e"IS^^

(сходимость обеспечивается, так как 0<е<1). Отсюда следует сходимость ряда (2.5.32) и последовательности {SJ. Пусть Е* — предел этой последовательности, т. е.

lim Еп = Е*. П-»оо

Переходя в (2.5.31) к пределу при п-*«>, получим

Е* = е sin Е* + М,

откуда Е* — решение уравнения Кеплера (и «неподвижная точка» Е* = f(E*) преобразования y = f(E), где /(S)= е sinS + М).

Определим точность и-го приближения:

| Я» - Я„ | = | (£„+1 - Е„) + (£„+2 - £„+1) + (Яп+3 - Я„+2) + ... I <

^ I -^n+i — Еп | + |Sn+2-^n+i I + | Еп+з Sn+2| + ... ^

^iSi-Sol Ч-^1!^-^! 4^^^+ ... =

= ^\Ег-Е0\е

1 — е

Следовательно, l^-^nl^^l^-^ob(2.5.34)

или

I Е* - ЕпК ^ I Еп - Еп_г |.(2.5.35)

Отсюда видно, что даже при неудачном выборе начального приближения можно определить с приемлемой точностью корень уравнения Кеплера за конечное число итерационных шагов.

Обсудим теперь один из возможных способов решения аналога уравнения Кеплера для параболической орбиты [45]. С этой целью перепишем (2.5.24) в виде

4tg’^- + tg^-^(,_M = o. (2.5.36)

Ошш р^ “

Это кубическое уравнение относительно tgy имеет один положительный корень, если t — tn > 0, или один отрицательный корень, если t — tn < 0. Действительно, пусть t — tn > 0, тогда при О' = 0 левая часть (2.5.36) отрицательна, а по мере увеличения О' до 180° она непрерывно увеличивается до + <». Поэтому существует один положительный действительный корень уравнения (2.5.36). Аналогично можно доказать и вторую часть утверждения.

Для решения уравнения (2.5.36) предварительно обозначим

tg у = 2 ctg 2w = ctg w — tg w, тогда

tg3 у = — 3 (ctg io — tg w) ctg 10 tg 10 4- Ctg3 10 — tg3 w, или

tg3 у = — 3 tg у + Ctg3 10 — tg3 w.

Отсюда

у tg3 у + tg у = у (ctg3 Ю — tg3 ю)

и вместо (2.5.36) получим уравнение

ctg3 w — tg3w = ^S(^_ t^.(2.5.37)

р *

Произведем новую замену

ctg3 ю = ctg у, tg3 ю = tg у,

после чего получим_

. S . s 6Vu , ,, .

ИЛИ_

ctg» = ^(t-tn).(2.5.38)

Итак, для решения аналога уравнения Кеплера в случае параболической орбиты возможен следующий алгоритм. Сначала по заданному моменту времени t вычисляется правая часть (2.5.38), а затем величина s. Далее по формуле

ctg и? = "j/ Ctgy

определяется величина ю; наконец, из условия

tgy = 2ctg2w

находится истинная аномалия О', соответствующая заданному моменту времени t.

ГЛАВА 3

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ - К ЗАДАЧАМ БАЛЛИСТИКИ

Основные соотношения, полученные для эллиптической орбиты при рассмотрении задачи двух тел, можно применять при анализе движения летательного аппарата вблизи поверхности Земли. Если в модельной задаче пренебречь влиянием атмосферы, то траектория движения аппарата будет совпадать с частью эллиптической орбиты, которая расположена над поверхностью сферической Земли. Указанная постановка существенно упрощает решение задач внешней баллистики, связанных с изучением свободного движения аппарата после сообщения ему некоторой начальной скорости. Конечные формулы, посредством которых описывается модельное движение, легко проанализировать в общем виде. Вместе с тем такая модель позволяет выявить основные качественные и количественные соотношения истинного движения аппарата с учетом воздействия атмосферы.

Движение на безатмосферном участке исследуется в работах [8, 36, 50, 53].

Прямая задача баллистики

Рассмотрим сначала прямую задачу баллистики в упрощенной постановке, когда по заданным начальным величинам скорости То, высоты Яо и угла наклона траектории к местному горизонту О» (угла бросания) требуется определить дальность по поверхности Земли от начального радиуса-вектора го до радиуса-вектора гР точки падения Р аппарата на поверхность Земли. Эту дальность, т. е. дальность пассивного участка Lp, будем вычислять без учета вра.- щения Земли по формуле

ЬР = НФР, (3.1.1)

где Фр — угол между начальным и конечным радиусами-векторами.

Затем рассмотрим более сложную постановку задачи, когда по заданным начальным параметрам движения и координатам начальной точки требуется определить координаты точки падения.

Угловая дальность пассивного участка. Найдем уравнение, связывающее начальные параметры движения с угловой дальностью пассивного участка. Предварительно получим уравнение орбиты в обратных радиусах. С этой целью в формулу для полной скорости

спутника

72 = уз + у 2

подставим величины радиальной составляющей скорости

/ 1 \

а —

т at аФ at аФ ^аФ

и трансверсальной составляющей скорости

начальногоначального(3.1.3)

начального

начального

Здесь Ф — полярный угол, который отсчитывается от радиуса-вектора. Тогда

(3.1.4)(3.1.4)

(3.1.4)

(3.1.4)

и после подстановки в интеграл энергии (2.2.1) получим

(3.1.5)(3.1.5)

(3.1.5)

(3.1.5)

Продифференцируем (3.1.5) по Ф:

(3.1.6)(3.1.6)

(3.1.6)

(3.1.6)

(3.1.7)(3.1.7)(3.1.8)(3.1.8)

(3.1.7)

(3.1.7)

(3.1.8)

(3.1.8)

Если движение происходит не по прямой, то с?(1/г)/с?Ф ¥= 0 и на этот множитель можно сократить. В результате получим неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно обратного радиуса 1/г:

2/ 1 \

(/Ф2 г с2 *

Решение этого уравнения

— = А + ^ cos Ф + В sin Ф, г С2

а произвольные постоянные А и В определяются из условий

1а —-

г |ф^о ~ г0 ’ аФ

Второе начальное условие (3.1.8) получено из соотношений (3.1.2) и (3.1.3):

Vr 4 vr 4

" аФ ==

где tg 0 = Vr/Vn.

Вычислим произвольные постоянные

B = -Atg0,(3.1.9)

гоо

и подставим их в (3.1.7), тогда

— = А —МсозФ-tg0osinФ. (3.1.10)

w о /о

С учетом соотношений

„ Ф. зФ

2 tg л1 — tg 2

sin Ф =—, cos Ф =у (3.1.11)

l+tg2yl + ^T

(созФ^^О, т. e. Фт^л) получим

~ 7 Д87 ~ ^8 °"8 т ~7 Н + 18т)= °-

откуда

/2Ц11 \ , л Ф 2 , А 4. Ф IА /О А А О\

(^-гу-Т-^Т-^^-г+^-Т-0- <ЗЛЛ2>

Используя (2.2.11) и (2.4.4), найдем

И = И =1

С2 r2y2 COS2 60 r0V0COS260 и

[2г — (r0 + г) v0 cos2 0О] tg2 у — 2vor sin 0о cos 0О tg у —

’ — (r0 — г) v0 cos2 0O = 0. (3.1.13)

Поскольку движение происходит не по прямолинейной вертикальной траектории ^0О=^=-^-, cos0o=£Oj, то можно сократить обе части (3.1.13) cos2 0О. В итоге получим уравнение, связывающее угловую дальность движения Ф с начальными условиями Ио, г0, 0о и радиусом г в конечной точке движения:

[2г (1 + tg2 0О) — (r0 + г) v0] tg2 у — 2vor tg 0О tg у — (r0— г) v0 = 0.

Обозначим

(3.1.15)(3.1.15)a(r) = 2r(l + tg2 Оо) —(ro + r)vo,

(3.1.15)

(3.1.15)

Ъ(г) = VortgOo, c(r) = (r0—r)vo,

тогда уравнение (3.1.14) принимает вид

а (г) tg2 -^ — 26 (г) tg ^| — с (г) = 0.(3.1.16)

Два корня квадратного уравнения (3.1.16)

ф b(r) +V[& (г)]2 + а (г) с (г)(3.1.17)

2 —а (г)

соответствуют двум точкам пересечения эллиптической траектории

с окружностью радиуса г < го, причем знак «+» отвечает нисходящей ветви траектории, а знак «—» относится к восходящей ветви (рис. 3.1). Второй корень не имеет практического смысла при решении прямой задачи баллистики.

Для определения полной угловой дальности, когда аппарат достигает поверхности Земли (т. е. г = 7?), имеем формулу

ф^агс^**-^1'^^^^^(3.1.18)

Предположим, что начальный радиус совпадает по величине с конечным (го = г). Это может быть в том случае, когда начальная

Рис. 3.1. Дальность пассивного участкаРис. 3.1. Дальность пассивного участкаи конечная точки траектории находятся на

Рис. 3.1. Дальность пассивного участка

Рис. 3.1. Дальность пассивного участка

ииа(г0) = 2г0(1 + tg2 0О- v0), b (r0) = voro tg 0o, c(ro) = Ov 0Фр = 2 arctg5-2—5а(г0) = 2г0(1 + tg2 0О- v0), b (r0) = voro tg 0o, c(ro) = Ov 0Фр = 2 arctg5-2—5(3.1.19)(3.1.19)(3.1.20)(3.1.20)одной и той же высоте относительно поверхности Земли. Тогда

и

и

а(г0) = 2г0(1 + tg2 0О- v0), b (r0) = voro tg 0o, c(ro) = O

v 0

Фр = 2 arctg5-2—5

а(г0) = 2г0(1 + tg2 0О- v0), b (r0) = voro tg 0o, c(ro) = O

v 0

Фр = 2 arctg5-2—5

(3.1.19)

(3.1.19)

(3.1.20)

(3.1.20)

Высота апогея траектории. Определим наибольшую высоту траектории относительно поверхности Земли, т. е. высоту апогея траектории, в зависимости от начальных условий. С учетом формулы (2.3.12) имеем

H^r^R-^-R.(3.1.21)

Далее, используя соотношения (2.2.1), (2.2.11), (2.2.29) и (2.2.32), выразим параметр и эксцентриситет орбиты через начальные уело-

вия движения:

ееcos2 0- = rovo cos2 60,7^cos2 0- = rovo cos2 60,7^(3.1.22)(3.1.22)где v0 = F2r0/p,. Отсюда На = —где v0 = F2r0/p,. Отсюда На = —V1—(2—v0)v0cos260,(3.1.23)V1—(2—v0)v0cos260,(3.1.23)rovocos20o-(2-vo) vo cos2 60rovocos20o-(2-vo) vo cos2 60— R.— R.(3.1.24)(3.1.24)

е

е

cos2 0

- = rovo cos2 60,

7^

cos2 0

- = rovo cos2 60,

7^

(3.1.22)

(3.1.22)

где v0 = F2r0/p,. Отсюда На = —

где v0 = F2r0/p,. Отсюда На = —

V1—(2—v0)v0cos260,

(3.1.23)

V1—(2—v0)v0cos260,

(3.1.23)

rovocos20o

-(2-vo) vo cos2 60

rovocos20o

-(2-vo) vo cos2 60

— R.

— R.

(3.1.24)

(3.1.24)

Рис 3 2 Определение координат конечной точки движенияРис 3 2 Определение координат конечной точки движенияФ а 2 ’Ф а 2 ’

Рис 3 2 Определение координат конечной точки движения

Рис 3 2 Определение координат конечной точки движения

Ф а 2 ’

Ф а 2 ’

Угловое расстояние Фа от начальной точки движения до апогея траектории легко вычислить, используя формулу (3.1.20), которая определяет угловое расстояние от начальной точки до конечной при условии, что обе точки находятся на одинаковой высоте. В этом

случае траектория симметрична относительно апогея и

т. е.

Фа = arctg--/^.(3.1.25)

it-tg e„-v0

Координаты конечной точки движения. Пусть в начальной точке движения О, помимо скорости, высоты и угла наклона траектории, известны также широта фо, долгота Хо и азимут Ло, т. е. угол направления движения, отсчитываемый с севера на восток. По- прежнему будем считать, что Земля

не вращается, поэтому заданные параметры описывают движение в некоторой инерциальной системе координат. Требуется вычислить долготу ХР и широту фр конечной точки. Рис. 3.2 иллюстрирует рассматриваемую задачу с использованием построений на сфере еди

ничного радиуса.

Сначала по заданным величинам Fo, го, 6о вычислим с помощью формулы (3.1.18) угловую дальность Фр. Из сферического треугольника ONP (см. рис. 3.2) найдем разность долгот ЛР — Хо и широту фр:

sin фр = cos Фр sin ф0 + cos Ло sin Фр cos ф0,

(3.1.26)

sin (Хр — Хо) =

sin Ло sin Фрcos фр

COS (^р^о)

cos Фр — sin T0'sin фр

COS ф0СО8 фр

поверхности Зем- где(3.1.28)в диапазоне от Оповерхности Зем- где(3.1.28)в диапазоне от ОИспользуя формулы (2.2.1) и луось через начальные параметрыИспользуя формулы (2.2.1) и луось через начальные параметры(2.4.17), вычислим большую по- движения:(2.4.17), вычислим большую по- движения:Г0 °Г0 °О2 — v оО2 — v о(3.1.30)(3.1.30)

поверхности Зем- где

(3.1.28)

в диапазоне от О

поверхности Зем- где

(3.1.28)

в диапазоне от О

Используя формулы (2.2.1) и луось через начальные параметры

Используя формулы (2.2.1) и луось через начальные параметры

(2.4.17), вычислим большую по- движения:

(2.4.17), вычислим большую по- движения:

Г0 °

Г0 °

О

2 — v о

О

2 — v о

(3.1.30)

(3.1.30)

Уточним теперь координаты конечной точки с учетом вращения Земли. Если tp — время полета на пассивном участке, то за это время точка с координатами (ХР1 срр) сместится по параллели на угол to3tp в результате вращения Земли с угловой скоростью <д3. Поэтому в тот момент, когда аппарат достигнет ли, он окажется в точке с координатами ^р, ФР),

^р = Хр to^tp,

Фр ~ Фр-

Здесь рассматривается долгота, изменяющаяся до 2л.

Для определения времени движения на пассивном участке можно воспользоваться, например, соотношением (2.5.9):

(3.1.29)(3.1.29)tp = ^ [Ер — Ео — е (sin Ер — sin О .

(3.1.29)

(3.1.29)

Эксцентрические аномалии Ер и Ео можно найти с помощью (2.5.6) по соответствующим значениям истинных аномалий

Фр = arccos [ — (— —(л<Фр<2л),(3.1.31)

Vp

Фо = arccos[у М^-— 1^1(0<Ф0 < л).(3.1.32)

Параметр р и эксцентриситет е определяются через начальные условия движения по формулам (3.1.22) и (3.1.23).

Обычно начальная скорость, угол наклона траектории и азимут бывают заданы не в инерциальной системе координат, а в системе координат, связанной с вращающейся Землей. Тем самым определяется не абсолютное движение, а движение относительно поверхности Земли. Будем выделять штрихами параметры относительного движения: Уо, ^о, Д,. Установим связь между параметрами абсолютного и относительного движения. С учетом переносной скорости от вращения Земли абсолютная скорость есть

Vo = Vo + 6)3 X г0,(3.1.33)

где составляющие вектора Уо определяются с использованием углов 60 и Ло. Далее по формуле (2.4.2) найдем угол наклона траек-

тории в абсолютном движении:

(3.1.34)(3.1.34)а лr0.V0

(3.1.34)

(3.1.34)

0О = -з— arccos -—

2г«го

Определим теперь азимут Ао в абсолютном движении. Единичный вектор нормали к плоскости начального меридиана

где о>з иг0 — единичные векторы, направленные по угловой скорости вращения Земли и начальному радиусу-вектору. Единичный вектор нормали к плоскости абсолютного движения

n”B = —(3.1.36)

Д COS0O ’'’

где V0—единичный вектор абсолютной начальной скорости. Тогда азимут в абсолютном движении

Ао = arccos (п° • Пдв) •Ао = arccos (п° • Пдв) •(3.1.37)(3.1.37)

Ао = arccos (п° • Пдв) •

Ао = arccos (п° • Пдв) •

(3.1.37)

(3.1.37)

Оптимальная траектория

Если зафиксировать координаты начальной точки пассивного участка и скорость То (или параметр v0 = r0F„/p), а изменять угол бросания 0 о, то дальность пассивного участка будет меняться. Величину угла бросания, при котором обеспечивается максимальная дальность пассивного участка, называют оптимальным углом бросания. Будем обозначать этот угол Oq™. В силу обратимости рассматриваемой задачи оптимальный угол бросания обеспечивает заданную дальность пассивного участка при минимальной начальной скорости. Траекторию, которая реализуется при угле бросания 6оПТ» обычно называют оптимальной.

Вычисление параметров оптимальной траектории. Величину бо™ найдем из необходимого условия оптимальности б?Ф/б?0о = = 0, считая угловую дальность пассивного участка Фр неявной функцией угла бросания ^(Фр, 0о)=О, где функция F определяется соотношением (3.1.14). Найдем

dF

^Ф =g9o = О

d6o—’

дФр

что эквивалентно равенству dFjd^o = 0, или

/фф„ \

I4r tg 0О tg2 — 2vor tg^ I —a— = О, \/ cos

где 0О =# у, Фр Ф 0. Отсюда установим связь максимальной угловой дальности Ф™ах с оптимальным углом бросания 0оПТ:

фШЗХ =(3.2.1)

фтах

Затем, подставляя tg—^— в уравнение (3.1.14), определим оптимальный угол бросания

0°пт = arctg 1/Zl £^o^DA(3.2.2)

'2 v0 + 2(70-l) ’

где го = roIR — отношение начального радиуса к конечному.

Считая теперь угловую дальность фиксированной, определим минимальное значение начального параметра, обеспечивающее достижение заданной угловой дальности с оптимальным углом бросания. Для этого выразим tgOonT из (3.2.1) и подставим в (3.1.14). Вmin

итоге получим квадратное уравнение относительно v0 :

(^‘Т + 2 [(1 +;„) tg2 ^ +70 - 1]- 4tg« ^. - 0.

Отсюда

vrn = -[(i + r0)tg2^+70-i] +

/ Ь 777 Ф 77 Т2 ф~

+ }/ [(1+r0)tg2^ + r0-l] +41^-f. (3.2.3)

Второй корень квадратного уравнения, а именно v™m<0, не имеет смысла.

В частном случае, когда го = 1, т. е. начальная и конечная точки оптимальной траектории находятся на одинаковой высоте относительно поверхности Земли, формула для v™in упрощается:

cos

или Ф 2 sin -у-

—v-<3-2-4)

. р

+ Sin -у

Рис. 3.3 иллюстрирует связь оптимальных параметров движения vmin и доит с максимальной дальностью пассивного участка £™ах.

Рис. 3.4. Геометрическое определение оптимального угла бросанияРис. 3.4. Геометрическое определение оптимального угла бросания2(l + tg20o)tg2T-2(l + tg20o)tg2T-(3.2.5)(3.2.5)1COS2 60 ’1COS2 60 ’1 + g 21 +С08Фр*1 + g 21 +С08Фр*

Рис. 3.4. Геометрическое определение оптимального угла бросания

Рис. 3.4. Геометрическое определение оптимального угла бросания

2(l + tg20o)tg2T-

2(l + tg20o)tg2T-

(3.2.5)

(3.2.5)

1

COS2 60 ’

1

COS2 60 ’

1 + g 21 +С08Фр*

1 + g 21 +С08Фр*

Видно, что при vom<l (т. е. при малых начальных скоростях) и го = 1 оптимальный угол бросания близок к 45°. Если г0>1, то угол оказывается существенно меньше. При v“m->l 0оПГ->0, следовательно, траектория становится более пологой.

Оптимальный угол бросания допускает простое геометрическое толкование. Чтобы показать это, предварительно определим из

Рис. 3.3. Параметры оптимальных тра-екторий

величину начального параметра vo для заданной угловой дальности Фр и угла бросания 0q:

ффр ~

(1 + 70) tg2 -у + 2 tg 0О tg -у + г0 - 1

Далее, используя соотношения

Фр sin Фрtg 21 +cos Фр’

преобразуем (3.2.5) к виду

sin2 фр

0 cos2 0О [2^ (14-cos Фр)+ 81п2Фр4-2 tg 0о sin®p(l+cos Фр) —(1+со8Фр)2]

1 — cos Ф„~

= о~X•(3.2.6)

cos 0О (rQ — cos Фр) + sin 0О cos 0О sin фр

С другой стороны, согласно (3.2.1) при оптимальном угле бросания имеем

(3.2.7)(3.2.7)2 sin 0°пт sin Ф™ах

(3.2.7)

(3.2.7)

° cos 0£™ (1 + cos Ф™ах)

Фр-Ф™ах и 90 =Фр-Ф™ах и 90 =Приравняем правые части (3.2.6) и (3.2.7); учитывая, что

Фр-Ф™ах и 90 =

Фр-Ф™ах и 90 =

о дОПТ2 sin 0Оо дОПТ2 sin 0О0^Т, после несложных преобразований получим sin ф™ах

о дОПТ

2 sin 0О

о дОПТ

2 sin 0О

cos 0°пт (z^ — cos Ф™ах) + sin 0°nTsin Ф“ах*

откуда

i • пдопт /~ " /ьтахХддопт • „ ачтах

[sin 20о \г0 — cos Фр ) = cos 20о sin Фр

и окончательно

Г,„ОАОП.CtgX =" sin^Г,„ОАОП.CtgX =" sin^(3.2.8)(3.2.8)

Г,„ОАОП.

CtgX =" sin^

Г,„ОАОП.

CtgX =" sin^

(3.2.8)

(3.2.8)

Соотношение (3.2.8) связывает оптимальный угол бросания с угловой дальностью при фиксированной величине относительного начального радиуса. Дадим (3.2.8) геометрическую интерпретацию. Пусть треугольник F\OP соединяет центр масс Земли Fi, начальную точку О и конечную точку Р (рис. 3.4). Опустим из точки Р перпендикуляр PD на сторону OF\, тогда

_ OD г — 7?созФ™ах_ OD г — 7?созФ™ах-—(3.2.9)sin Ф™ах v 1-—(3.2.9)sin Ф™ах v 1

_ OD г — 7?созФ™ах

_ OD г — 7?созФ™ах

-—(3.2.9)

sin Ф™ах v 1

-—(3.2.9)

sin Ф™ах v 1

Из сравнения (3.2.8) и (3.2.9) следует, что 6оПТ = Z.POD/2^ т. е. оптимальный угол бросания равен половине угла, образованного начальным радиусом то и направлением из начальной точки О в конечную точку Р траектории.

Затем можно установить также, что

ZВОС =у- 6оПТ, ZРОС = у - ZPOD + еГ=у - бо™,

поскольку /^ POD = 20оПТ. Отсюда

^ВОС = ^РОС.

Следовательно, при оптимальном угле бросания вектор начальной скорости Vo делит пополам угол между местной вертикалью и направлением на конечную точку траектории.

Как известно, нормаль к любой точке эллипса делит пополам угол между фокальными радиусами-векторами этой точки. Поэтому касательная к эллипсу делит пополам угол между радиусом-вектором, проведенным из одного фокуса, и продолжением радиуса- вектора из другого фокуса. Для любой эллиптической траектории один из фокусов совпадает с центром масс Земли, а для оптимальной траектории согласно условию (3.2.10) второй фокус лежит на прямой ОР, соединяющей начальную и конечную точки траектории. Из основного свойства эллипса

FVO + F2O = FiP + F2P = 2а, откуда

F 2Р — F2O = F\О — F \Р = Го — R = Hq.

Таким образом, для определения положения второго фокуса эллипса надо от точки Р отрезка ОР отложить высоту Яо, а оставшийся отрезок поделить пополам.

Рассмотрим теперь частный случай, когда начальная и конечная точки оптимальной траектории находятся на одинаковой высоте (го=1). В этом случае согласно (3.2.8) имеем

фтахctg20oonT = tg-^-

и я фтах

00°™^р_(3211)

т. е. оптимальный угол бросания равен л/4 за вычетом четверти угловой дальности пассивного участка.

3.2.2. Эллипс безопасности. Зафиксируем величину скорости Vo в начальной точке и рассмотрим огибающую семейства траекторий, которые получаются при изменении угла бросания 0о — параметра семейства. Уравнение семейства траекторий будем рассматривать в виде (3.1.14):

[2г (1 + tg2 0О) — (г0 + г) v0] tg2 $ — 2vor tg 90 tgy — (r0 — r) v0 = 0.

Тогда огибающая семейства траекторий будет задаваться системой двух уравнений, включающей уравнение (3.1.14) и его производную по параметру 6о, т. е.

2 tg 0О tgy — v0 = 0.

Отсюда

tg6,=^ctg5-(3.2.12)

и после подстановки (3.2.12) в уравнение семейства (3.1.14) исключим параметр семейства Oq:

2 tg2 т - (7 +4) v«~ *) V« = °'

или

2 tg2® - v„ tg2® + v0 - -^ = ~-v0 (1 + tg=^. Далее найдем

01 / Vo , H r 9 Ф. оФ \9®^-^(vo--2- + 2tg T-Votg Т^^Г^2 — v / ф . ф= “77Д7С03Т + 2sl“701 / Vo , H r 9 Ф. оФ \9®^-^(vo--2- + 2tg T-Votg Т^^Г^2 — v / ф . ф= “77Д7С03Т + 2sl“72 — v v= -75—- -2 + 77 cos Ф + 1 — cos Ф2v0 \22.или2 — v v= -75—- -2 + 77 cos Ф + 1 — cos Ф2v0 \22.или4 — v2 — (2 — v0)2 cos Ф4 — v2 — (2 — v0)2 cos Ф4v04v0яяг 4 — v2 /2 — v-2- = V-2 1 - ^T^COS Ф r 4v0 V 2 + \г 4 — v2 /2 — v-2- = V-2 1 - ^T^COS Ф r 4v0 V 2 + \(3.2.13)(3.2.13)При заданной величине vo уравнение (3.2.13) устанавливает связь между г и Ф, т. е. описывает огибающую семейства траектоПри заданной величине vo уравнение (3.2.13) устанавливает связь между г и Ф, т. е. описывает огибающую семейства траекторий с vo = const. Обозначимрий с vo = const. Обозначимт. е. огибающая является эллипсом (рис. 3.5). Этот эллипс принято называть эллипсом безопасности, поскольку любая траектория семейства vo = const не выходит за его пределы. Линия апсид эллипса безопасности совпадает с начальным радиусом-вектором. Действительно, при Ф = =■ 0 имеем r^ = р' (1 — е'). Один из фокусов находится в центре масс Земли. Найдем положение второго фокуса. Со-т. е. огибающая является эллипсом (рис. 3.5). Этот эллипс принято называть эллипсом безопасности, поскольку любая траектория семейства vo = const не выходит за его пределы. Линия апсид эллипса безопасности совпадает с начальным радиусом-вектором. Действительно, при Ф = =■ 0 имеем r^ = р' (1 — е'). Один из фокусов находится в центре масс Земли. Найдем положение второго фокуса. Со-Рис. 3.5. Эллипс безопасностиРис. 3.5. Эллипс безопасностигласно (2.4.7) и (3.2.14) величина большой полуоси определяется формулойгласно (2.4.7) и (3.2.14) величина большой полуоси определяется формулойа'а'р'1-е'2р'1-е'24v г оо4v г оо(2 + \)% 2(2^v0),(2 + \)% 2(2^v0),

01 / Vo , H r 9 Ф. оФ \9®

^-^(vo--2- + 2tg T-Votg Т^^Г^

2 — v / ф . ф

= “77Д7С03Т + 2sl“7

01 / Vo , H r 9 Ф. оФ \9®

^-^(vo--2- + 2tg T-Votg Т^^Г^

2 — v / ф . ф

= “77Д7С03Т + 2sl“7

2 — v v

= -75—- -2 + 77 cos Ф + 1 — cos Ф

2v0 \22.

или

2 — v v

= -75—- -2 + 77 cos Ф + 1 — cos Ф

2v0 \22.

или

4 — v2 — (2 — v0)2 cos Ф

4 — v2 — (2 — v0)2 cos Ф

4v0

4v0

я

я

г 4 — v2 /2 — v

-2- = V-2 1 - ^T^COS Ф r 4v0 V 2 + \

г 4 — v2 /2 — v

-2- = V-2 1 - ^T^COS Ф r 4v0 V 2 + \

(3.2.13)

(3.2.13)

При заданной величине vo уравнение (3.2.13) устанавливает связь между г и Ф, т. е. описывает огибающую семейства траекто

При заданной величине vo уравнение (3.2.13) устанавливает связь между г и Ф, т. е. описывает огибающую семейства траекто

рий с vo = const. Обозначим

рий с vo = const. Обозначим

т. е. огибающая является эллипсом (рис. 3.5). Этот эллипс принято называть эллипсом безопасности, поскольку любая траектория семейства vo = const не выходит за его пределы. Линия апсид эллипса безопасности совпадает с начальным радиусом-вектором. Действительно, при Ф = =■ 0 имеем r^ = р' (1 — е'). Один из фокусов находится в центре масс Земли. Найдем положение второго фокуса. Со-

т. е. огибающая является эллипсом (рис. 3.5). Этот эллипс принято называть эллипсом безопасности, поскольку любая траектория семейства vo = const не выходит за его пределы. Линия апсид эллипса безопасности совпадает с начальным радиусом-вектором. Действительно, при Ф = =■ 0 имеем r^ = р' (1 — е'). Один из фокусов находится в центре масс Земли. Найдем положение второго фокуса. Со-

Рис. 3.5. Эллипс безопасности

Рис. 3.5. Эллипс безопасности

гласно (2.4.7) и (3.2.14) величина большой полуоси определяется формулой

гласно (2.4.7) и (3.2.14) величина большой полуоси определяется формулой

а'

а'

р'1-е'2

р'1-е'2

4v г оо

4v г оо

(2 + \)% 2(2^v0),

(2 + \)% 2(2^v0),

т. е.т. е.а 2е' *а 2е' *(3.2.16)(3.2.16)

т. е.

т. е.

а 2е' *

а 2е' *

(3.2.16)

(3.2.16)

С другой стороны, для всякого эллипса 2с = 2ае, поэтому для эллипса безопасности

(3.2.17)(3.2.17)2г ef2с' = 2а* е' = -^г- = г0.

(3.2.17)

(3.2.17)

Отсюда следует, что второй фокус эллипса безопасности совпадает с точкой бросания О. Полярный угол Ф отсчитывается от направления на апогей.

Если изменять величину vo, то получим семейство софокусных эллипсов безопасности, полуоси которых возрастают с увеличением vo. При vo 2, когда начальная скорость стремится к местной параболической, размеры эллипса безопасности неограниченно возрастают, и любая точка пространства оказывается внутри него.

Точки пересечения эллипса безопасности с окружностью радиусом ггр определяют границы досягаемости на этой окружности для семейства траекторий с vo = const. Указанные точки отвечают мак-

на окружности ггр. положим г = Ггр вна окружности ггр. положим г = Ггр всимальнои угловой дальности Фгр , достижимои при заданной величине vo. Чтобы найти Ф^ах, (3.2.15). Тогда

на окружности ггр. положим г = Ггр в

на окружности ггр. положим г = Ггр в

Фтах грили с учетом (3.2.14)Фтах грили с учетом (3.2.14)гргрcos Ф™ахcos Ф™ах2 + Vofi2 + Vofi2 —v,2 —v,оо, 2vo2 /9 _ м, 2vo2 /9 _ м4v г-0 0_2ro 2^ = 1vorrp vo/4v г-0 0_2ro 2^ = 1vorrp vo/4 — Vq — 4v(4 — Vq — 4v(го о тгр,2го о тгр,22Vp(2-vo)22Vp(2-vo)2(3.2.18) vorrp /(3.2.18) vorrp /

Фтах гр

или с учетом (3.2.14)

Фтах гр

или с учетом (3.2.14)

гр

гр

cos Ф™ах

cos Ф™ах

2 + Vofi

2 + Vofi

2 —v,

2 —v,

о

о

, 2vo2 /9 _ м

, 2vo2 /9 _ м

4v г

-0 0_

2ro 2^ = 1

vorrp vo/

4v г

-0 0_

2ro 2^ = 1

vorrp vo/

4 — Vq — 4v(

4 — Vq — 4v(

го о т

гр

,2

го о т

гр

,2

2Vp(2-vo)2

2Vp(2-vo)2

(3.2.18) vorrp /

(3.2.18) vorrp /

где Дггр = го — ггр. Далее вычислим

фтах . rp sin ~2“фтах . rp sin ~2“— cos Ф^ах2— cos Ф^ах2vo2 — vovo2 — vo^2-. (3.2.19) vorrp^2-. (3.2.19) vorrp

фтах . rp sin ~2“

фтах . rp sin ~2“

— cos Ф^ах

2

— cos Ф^ах

2

vo

2 — vo

vo

2 — vo

^2-. (3.2.19) vorrp

^2-. (3.2.19) vorrp

Границы зоны досягаемости могут быть достигнуты только при движений по оптимальной траектории. В частном случае, когда гГр = го (Дггр = О), т. е. рассматриваются границы зоны досягаемости на окружности радиуса го, имеем

sinsinфтах чгр2фтах чгр2vo2-vo‘vo2-vo‘

sin

sin

фтах чгр

2

фтах чгр

2

vo2-vo‘

vo2-vo‘

Эта формула согласуется с полученной ранее формулой (3.2.4) для начального параметра оптимальной траектории.

Пусть ггр = Го и vo = 1, что соответствует круговой начальной скорости. Тогда

фшах

sin-^- = j И Ф“ах = л.

В этом случае границы зоны досягаемости находятся на угловом расстоянии ±л, т. е. вся окружность радиуса ггр = го располагается внутри эллипса безопасности, который касается указанной окружности в точке с наименьшим радиусом.

Обратная задача баллистики

Если в прямой задаче баллистики требовалось определить конечную точку траектории при заданных начальных условиях, то в обратной задаче необходимо выбрать начальные условия для траектории, которая должна пройти через заданную конечную точку. Из общих соображений понятно, что обратная задача имеет неоднозначное решение, поскольку существует бесконечное множество траекторий, проходящих через две фиксированные точки. Отсюда появляется возможность учета некоторых дополнительных ограничений при выборе траектории.

Выбор начальных условий. Будем полагать, что начальная точка фиксирована своими координатами (Хо, фо) и радиусом Го, а конечная точка находится на поверхности Земли (гР = R) и имеет координаты (Хр, фр). Предположим также, что в первом приближении известно время движения на пассивном участке tPl тогда можно построить первый шаг итерационной процедуры решения обратной задачи.

Сначала определим координаты точки, в которую должна быть направлена траектория, т. е. координаты точки прицеливания в абсолютном движении:

(3.3.1)найдем(3.3.2)(3.3.1)найдем(3.3.2)Хр = Хр + (Од^р,

(3.3.1)

найдем

(3.3.2)

(3.3.1)

найдем

(3.3.2)

ФР = фР-

Затем из сферического треугольника ONP (см. рис. 3.2) угловую дальность пассивного участка

Фр = arccos [sin фо sin фР + cos (ХР — Хо) cos фо cos фР] (Фр ^ л) и азимут в абсолютном движении

.sin (Хр—Хо) cos фр

cos ф0 tg фр — cos (Хр — хо) sin ф0 Ctg - sin ^р _ ^

Подставляя величину конечного радиуса г = R и угловой дальности Фр в уравнение (3.1.14), найдем из него начальный параметр [см. (3.2.5) ]:

(3.3.4)(3.3.4)2(i + 4:4)tg2^ v° ~ф ~

(3.3.4)

(3.3.4)

(1 + ^) tg22 tg 0о tg-y- +70 - 1

где го = tq/R.

Согласно (3.3.4) каждому углу бросания 0о соответствует своя величина параметра vo (или начальной скорости Го = Vp-Vo/ro). Угол бросания 0о может выбираться из различных соображений. Например, из условий получения траектории с заданной крутизной на нисходящей ветви, с минимальной начальной скоростью, с ограничением на высоту апогея и др.

После вычисления начальных параметров движения 0о, vo в первом приближении необходимо уточнить время пассивного участка tp. Если окажется, что уточненная величина ^ существенно отличается от выбранной в первом приближении, то расчеты повторяются с этим новым значением ^ и т. д., пока не будет обеспечена требуемая точность. В качестве начального приближения tp можно выбрать, например, время движения по оптимальной траектории, вычисленной без учета вращения Земли.

В частном случае, когда начальная и конечная точки траектории расположены на одной высоте, формула (3.3.4) упрощается:

(3.3.5)

Траектории с одинаковой начальной скоростью. Пусть начальная точка и начальная скорость (или vo) фиксированы. Определим все возможные траектории, проходящие через заданную конечную точку, которая находится на поверхности Земли (г = R) на расстоянии Фр от начальной. С этой целью найдем углы бросания, которые обеспечивают угловую дальность Фр при заданной величине vo.

Подставляя r = R и Ф = Фр в уравнение (3.1.14), приведем его к виду

2R tg2 ^ tg2 0О — 2v0R tg ^ tg 0О —

— (г — R^ v0 + [27? — (r0 + 7?) v0] tg2 ^ = 0, или ф„~ v~ V

tg2 60 —voctg-^tg0o —(r0—l)-^-ctg2-^ + 1 —(1 +r0)^-= 0.

Отсюда

if ф

tg 0О= У [vo Ctg^±

„ ф ~ф~

± У v0 ctg2 ^ + 2 (r0 — 1) v0 ctg2 ^ + 2 (1 + r0) v0 — 4T

или

tg60 = y^g^^o ±1/^v0 + 2v0^(l +70)tg2^ + r0 —lj—4tg2^.

(3.3.6)

Если

v? + 2v0 [(1 + 70) tg2 ^ + 70 - 1] - 4 tg2^ > 0,(3.3.7)

то существуют два угла бросания О^ и 0(о2), обеспечивающие достижение требуемой угловой дальности Фр с заданной величиной параметра vo. При этом бУ вычисляется по формуле

tg б^ = у ctg -^ v0 + 1/ v0 +2v0 (1 +r0)tg2^ + r0—1 —4tg2-^k ZZ I1/ZJZ I

(3.3.8)

a 6(02) — по формуле

tg 0? = уctglv0 — V v2 + 2v0[(l +r0)tg2^+70—1]—4tg2^|.

ZZ IVzJZ I

(3.3.9)

Понятно, что б^ > 9(o2)- Более крутую траекторию, соответствующую углу бросания Оо1^ принято называть навесной, а более пологую — настильной. Установим взаимную связь б^, 0(о2) и 0оПТ. С этой целью рассмотрим tg (б(01) + 0(о2)), принимая во внимание- соотношения (3.3.8) и (3.3.9):

(3.3.10)

Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках в знаменателе (3.3.10), с учетом соотношения (3.2.8) для оптимального»

угла бросания:

(1 + r0)tg2^ +r0 — 1 = r0(l + tg2^) — (1 — 1^2^) =

Ф2 Рcos -2*Ф2 Рcos -2*g 2 sin Фр —

Ф

2 Р

cos -2*

Ф

2 Р

cos -2*

ТогдаТогда= 2tg^ctg20r.

Тогда

Тогда

t Ф*>v0ctg-2-

1 - ctg2 -f (tg2^ - v0 tg ^ ctg 20°nTj или

tg (el» + е!,2>) = tg 20™’.(з.з. 11)

Отсюда

О^ + 0<2) = 20°пт(3.3.12)

и

е^ - 0Г = еГ - е(о2).(з.злз)

Следовательно, векторы начальной скорости навесной и настильной траекторий симметрично отклонены в точке бросания соответственно вверх и вниз относительно вектора начальной скорости оптимальной траектории на ту же дальность. Начальная скорость навесной и настильной траекторий одинакова, причем она превышает минимальную потребную скорость для достижения заданной дальности по оптимальной траектории.

Если выполняется строгое равенство

„ Г/ ~ Ф ~1 Ф

Vo + 2v0^(l + r0)tg2^ + Го —lj —4tg2-^ = 0,(3.3.14)

то возможна только одна траектория с углом бросания

0o = arctg—^-.2tg^-0o = arctg—^-.2tg^-(3.3.15)(3.3.15)

0o = arctg—^-.

2tg^-

0o = arctg—^-.

2tg^-

(3.3.15)

(3.3.15)

Сравнивая полученное условие (3.3.15) с (3.2.1), убедимся, что эта единственная траектория является оптимальной, т. е. располагаемая величина vo равна минимальной необходимой для достижения заданной дальности.

Если подкоренное выражение в (3.3.6) отрицательно, то решение обратной задачи баллистики не существует: ни при каком угле бросания заданная угловая дальность не может быть достигнута.

Итак, в зависимости от располагаемой величины начального параметра vo (или начальной скорости Ио) обратная задача баллистики может иметь два решения (навесная и настильная траектории), одно решение (оптимальная траектория) или ни одного решения.

торий.Для точкамиторий.Для точкамиИсследование семейства траекторий между двумя фиксированными точками. Определим некоторые свойства траекторий между двумя фиксированными точками. Эти траектории различаются величинами начального параметра vo и угла бросания 6о. Установим связь vo и 6о с v™in и бу™ для этого семейства траек-

торий.

Для точками

торий.

Для точками

произвольной траектории между двумя фиксированными найдем с помощью (3.2.6):

~1 — соз'Ф„ — v. sin 0n cos 0. sin Ф„r« S°-^2E + cos фр.v0 cos2 0OДля оптимальной траектории по аналогии с (3.3.16) можно~1 — cos Фю — v™in sin 0°г,т cos 0°пт sin Фг« = ^-со/9Г" + cos Ф-~1 — соз'Ф„ — v. sin 0n cos 0. sin Ф„r« S°-^2E + cos фр.v0 cos2 0OДля оптимальной траектории по аналогии с (3.3.16) можно~1 — cos Фю — v™in sin 0°г,т cos 0°пт sin Фг« = ^-со/9Г" + cos Ф-(3.3.16)(3.3.16)записатьзаписать(3.3.17)(3.3.17)

~1 — соз'Ф„ — v. sin 0n cos 0. sin Ф„

r« S°-^2E + cos фр.

v0 cos2 0O

Для оптимальной траектории по аналогии с (3.3.16) можно

~1 — cos Фю — v™in sin 0°г,т cos 0°пт sin Ф

г« = ^-со/9Г" + cos Ф-

~1 — соз'Ф„ — v. sin 0n cos 0. sin Ф„

r« S°-^2E + cos фр.

v0 cos2 0O

Для оптимальной траектории по аналогии с (3.3.16) можно

~1 — cos Фю — v™in sin 0°г,т cos 0°пт sin Ф

г« = ^-со/9Г" + cos Ф-

(3.3.16)

(3.3.16)

записать

записать

(3.3.17)

(3.3.17)

Вычитая (3.3.17) из (3.3.16), получим

^ = 0^ = 0v™mcos2 0°птv™mcos2 0°птv0 cos2 0Оv0 cos2 0О1 — cos Фр — v0‘sin 0о cos 60rsin Фр 1 — созФр— v^sinO^cosO^sin®,

^ = 0

^ = 0

v™mcos2 0°пт

v™mcos2 0°пт

v0 cos2 0О

v0 cos2 0О

или

„min 2 лопт __ 2 а

(1 - cos Фр) ° Z\ -G - ^ 9» - ^ С") si" Фр - °-

VQV COS 0О COS

(3.3.18)

С учетом (3.2.1) имеем

tg9onT =tg9onT =„min ф .ymin sin Ф voP = оP

tg9onT =

tg9onT =

28 22 1—cos Фр

ииsin Фрsin Фр-Ktger(i- cos®p).-Ktger(i- cos®p).(3.3.19)(3.3.19)

и

и

sin Фр

sin Фр

-Ktger(i- cos®p).

-Ktger(i- cos®p).

(3.3.19)

(3.3.19)

множительмножительПосле подстановки (3.3.19) в (3.3.18) и сокращения на (1 — cos Фр)/^“ш ^ 0 найдем

множитель

множитель

..min ___2 лопт „2 л

°s«—У0 - 2 tg е0°™ (tg е0 - tg 9™т) = 0,

VoCOSb0oCOS 0®пт

отсюда

v?,ncos= е„опт - v0 cos 6„ [2 sin 92™ sin (9, - 9?™) + cos 9,]. (3.3.20>

(3.3.21}(3.3.21}Обозначим

(3.3.21}

(3.3.21}

А60 = 60 — 6оПТ;

тогда

^v™mcos2 0°пт = ^0 cos 0О [2 sin 0°пт sin А0О + cos (0°пт + А0О)]. (3.3.22)

Преобразуем теперь правую часть (3.3.22):

cos 0О [2 sin 0°пт sin А0О + cos (0°пт + А0О) ] ='

= v0 cos 0О (sin 0°пт sin А0О + cos 0°пт cos А0О) =

= v0 cos (0°пт 4- А0О) cos (0°пт - А0О) = ^ (cos 20°пт + cos 2А0О) =

= у (2 cos2 0°пт - 1 - 2 sin2 А0О 4- 1) = Vo (cos2 0°пт - sin2 А0О).

С учетом этого

v“m cos2 0оПТ = v0 (cos2 0°пт — sin2 А0О), откуда

(3.3.23)(3.3.23)(3.3.24)(3.3.24)vmin

(3.3.23)

(3.3.23)

(3.3.24)

(3.3.24)

°sin2 Д0о

И

/упнп\2

у2 _ V о )

°sin2 ДОо

~ cos2 0°nV

Формула (3.3.24) позволяет легко построить геометрическое место концов векторов начальной скорости для семейства траекторий, проходящих через две заданные точки. Действительно, введем систему координат Оши, причем ось Ои направим по вектору V™m, а ось Ow — по нормали вверх (рис 3.6). Тогда

sinA0o=^, ^ = m2 + u72(3.3.25)

и

ГуттХг

Т/2X О /

y2cos20;nT

Далее, получим отсюда

(rmln)2

^-^tg2 0^nT=(7“in)2

и окончательнои окончательно(^ш)2(^ш)2^ = 1vmm \ 2к о ]tg20°onT У^ = 1vmm \ 2к о ]tg20°onT У(3.3.26)(3.3.26)Это — уравнение гиперболы. Таким образом, показано, что концы векторов начальной скорости, обеспечивающих прохождение траекторий через две заданные точки, расположены на гиперболе,

и окончательно

и окончательно

(^ш)2

(^ш)2

^ = 1

vmm \ 2

к о ]

tg20°onT У

^ = 1

vmm \ 2

к о ]

tg20°onT У

(3.3.26)

(3.3.26)

симметричной относительно вектора V™m. Для определения положения асимптот, отвечающих условию То -> °°, потребуем обращения в нуль знаменателя (3.3.24):

cos2 бупт — sin2 А0™ах = О,

или'

/лл~попт , а лшахХ доптлпшахХ д

\COS Uq “J- Sill Д00 J ^COS 00 — Sill Д00 J —- (J.

Отсюда

sin A9™ax = ± cos Oq™

и

A0™ax = ± (y- 9°nT).(3.3.27)

"Следовательно, одна из асимптот гиперболы на-

Рис. 3.6. Система координат О игоРис. 3.6. Система координат О игоправлена из начальной точки в конечную, а вторая — по продолжению начального радиуса- вектора (рис. 3.7).

Рис. 3.6. Система координат О иго

Рис. 3.6. Система координат О иго

Из двух ветвей гиперболы необходимо выбрать ту, которая поз-

воляет учесть ограничение на траекторию из условия ее пересечения с поверхностью Земли только в конечной точке.

Заметим, что в том случае, когда рассматривается задача перелета по эллиптической траектории между двумя точками космического пространства и радиус притягивающего тела бесконечно мал, могут быть использованы обе ветви гиперболы. Одна из них будет отвечать восходящим траекториям, а вторая — нисходящим. Выбрав величину начальной скорости, обеспечивающую перелет между заданными точками, можно реализовать две траектории перелета, направленные в противоположные стороны и геометрически обра

зующие один и тот же эллипс.

Предположим, что аппарат имеет некоторую переносную скорость Упер, например, из-за вращения Земли. Тогда для обеспечения движения аппарата по одной из траекторий между двумя фиксированными точками ему следует сообщить дополнительную скорость AV, которую легко определить, соединив конец вектора УПеР с соответствующей точкой гиперболы скоростей (рис. 3.8). Величина дополнительной скорости имеет наименьшее значение, если вектор AV направлен по нормали к гиперболе.

Рис 3 7 Векторы начальной скорости семейства траекторий между двумя фиксированными точкамиРис 3 7 Векторы начальной скорости семейства траекторий между двумя фиксированными точками

Рис 3 7 Векторы начальной скорости семейства траекторий между двумя фиксированными точками

Рис 3 7 Векторы начальной скорости семейства траекторий между двумя фиксированными точками

На рис. 3.9 и 3.10 построены зависимости, позволяющие для заданной дальности пассивного участка Lp определить требуемое сочетание начального параметра vo и угла бросания 0о. Случай го = = 1 отвечает совпадению высот начальной и конечной точек траек-

тории, а го = 1,06 отвечает превышению начальной точки над конечной на ~350 км. Построенные зависимости относительного радиуса апогея га = га/го позволяют оценить максимальную высоту траектории над поверхностью Земли.

Для определения скорости и утла наклона траектории в любой точке можно воспользоваться интегралами энергии (2.2.1) и площадей (2.2.11). Например, в конечной точке траектории

2р _ „2 2р

0 r0 Р И1

откуда

vp = 2^(г0 = r0/R)

го

(3 3.28) и

Гр = |/(3.3.29)

Согласно интегралу площадей гоУо cos 6о = КУФ cos 9р

и

Ор = — arccos I cos 0О1/ -^ I.

\ г VP /

(3.3.30)

Здесь знак «—» взят с учетом нисходящей ветви траектории.

При го = 1 получим

vP = Vo, Op = —Оо,(3.3.31)

что достаточно очевидно из условия симметрии.

Оценим характер изменения времени движения на пассивном участке tp при увеличении крутизны траектории. Время движения найдем через площадь 8, заметаемую радиусом-вектором при перемещении из начальной точки в конечную, и величину С = tqVo cos 0о

Рис 3 9 Параметры траектории движения при го = 1

Рис 3 10 Параметры траектории движения при г0 = 1,06

удвоенной секториальной скорости, которая постоянна по траек

тории:тории:2S _ 2SР~ С "^o^o^V2S _ 2SР~ С "^o^o^V(3.3.32)(3.3.32)

тории:

тории:

2S _ 2S

Р~ С "^o^o^V

2S _ 2S

Р~ С "^o^o^V

(3.3.32)

(3.3.32)

Видно, что с увеличением угла бросания 6о заметаемая площадь S увеличивается, а секториальная скорость уменьшается. Следовательно, время движения на пассивном участке с фиксированной угло-

вой дальностью Фр будет монотонно возрастать по мере увеличения угла бросания 6о. Поэтому время движения по навесной траектории: всегда больше, чем время движения по настильной траектории.

§ 3.4. Параболическая траектория

Траекторию движения на небольшую дальность (50—500 км [36]) в предположении отсутствия атмосферы можно в первом приближении считать параболой, ось симметрии которой параллель

на начальному радиусу-вектору. Принятое ограничение на дальность позволяет существенно упростить расчетные формулы.

3.4.1. Параболическая траектория как предельный случай эллиптической. Можно рассматривать параболическую траекторию как предельный случай эллиптической, если угловая дальность пассивного участка мала. Построим прямоугольную декартову систему координат Оху с началом в точке бросания, осью Ох, направленной горизонтально

Рис. 3.11. Параболическая траекто- в сторону движения, И осью- рияОу, направленной по продолже

нию начального радиусачвектора (рис. 3.11).

Рассмотрим уравнение эллиптической траектории в виде (3.3.16)

(3.4.1)(3.4.2)(3.4.3)(3.4.1)(3.4.2)(3.4.3)г 1 — cos Ф — sin 0„ cos 0. sin Ф 0 .--55H cos Ф.

(3.4.1)

(3.4.2)

(3.4.3)

(3.4.1)

(3.4.2)

(3.4.3)

TV0COS 60

Для малых угловых дальностей можно принять

— —-— = ter Ф » sin Ф Ф, cos Ф « 1;

го г0 + У

отсюда .оф2 ж2

1 — COS Ф = 2 sin2 "2" ~~ 2^"

и

Г = ——кг ^ cos Ф

к г0 + у, Д« 1 — —.(3.4.4)

° Уг г0 + уУг0

го

Вычислим

г V2 У2

т0 = -«Д = Д-,(3.4.5)

0 Иго?

где

88д^р —д^р —^ 2tge0 е i+tg2e0^ 2tge0 е i+tg2e0У2— sin 26О. g 0У2— sin 26О. g 0(3.4.8)(3.4.8)

8

8

д^р —

д^р —

^ 2tge0 е i+tg2e0

^ 2tge0 е i+tg2e0

У2

— sin 26О. g 0

У2

— sin 26О. g 0

(3.4.8)

(3.4.8)

(3.4.6),

— ускорение силы тяжести в точке бросания, и затем преобразуем уравнение (3.4.1) с учетом (3.4.2) — (3.4.6):

i-^-4-^^(i + tg»e.)-^tge0 + i,

Ог0о

или

у = х tg 60 — ^- (1 4- tg2 60) х\(3.4.7)

Уравнение (3.4.7) описывает в системе координат Оху параболическую траекторию, которая получается при начальной скорости То и угле бросания 0о. Для определения полной дальности хр следует положить ур = 0. Тогда первый корень этого уравнения будет определять полную дальность как точку пересечения параболической траектории с горизонтальной линией (осью абсцисс):

Второй корень ^хо = 0) соответствует пересечению параболической траектории с осью абсцисс в начале координат, т. е. в точке бросания.

Из уравнения (3.4.8) следует, что при постоянной начальной скорости Уо максимальная дальность достигается с углом бросания еОПТ / г* О

о = 45 и составляет

ХтахХтахУ2g ■У2g ■(3.4.9)(3.4.9)

Хтах

Хтах

У2

g ■

У2

g ■

(3.4.9)

(3.4.9)

Определим максимальную высоту подъема траектории из условия dy/dx = 0. Дифференцируя (3.4.7), найдем

tg60--|-(l + tg26o)z = O.

•о

(3.4.10)(3.4.10)Отсюда абсцисса точки, в которой достигается максимальная высота, есть

(3.4.10)

(3.4.10)

а 8 l + tg20o

Подставим х^ в (3.4.7) и вычислим максимальную высоту подъема:

I tg6I tg68 l + tg20.8 l + tg20.tg %tg %у2у2tgQpi + tg2 о.tgQpi + tg2 о.у2о tg2o02^ l + tg20eу2о tg2o02^ l + tg20e

I tg6

I tg6

8 l + tg20.

8 l + tg20.

tg %

tg %

у2

у2

tgQp

i + tg2 о.

tgQp

i + tg2 о.

у2о tg2o0

2^ l + tg20e

у2о tg2o0

2^ l + tg20e

ИЛИ

У2

Уа = _Л81п20о.(3.4.11)

Предельная высота подъема достигается при 6о = 90е и составляет

у2

уТХ = ^,(3.4.12)

или

max

уТх = ^(3.4.13)

е. равна половине от полной дальности.

Для оптимального угла бросания 0оПТ = 45°

vt(3-4.14)

ИЛИ max

=(3.4.15)

е. на оптимальной параболической траектории максимальная высота подъема составляет 1/4 от полной дальности.

Основные формулы для параболической траектории можно вывести также непосредственным интегрированием дифференциальных уравнений движения в плоскопараллельном однородном поле силы тяжести, без учета кривизны Земли и плотности атмосферы

^ = 0,(3.4.16)

dt2dt2 &v 7

с начальными условиями

я(0)=у(0) =0,

^1= V„cos0„, ^-1= 7o’sin0„.(3.4.17)

dt |t=000 dt |f=000\ f

Учитывая это замечание, можно достаточно просто получить формулу для времени движения по параболической траектории. Действительно, согласно (3.4.16) и (3.4.17)

dx 1 dx I тг r\

= ' о cosdt dt |t=00

e. горизонтальная скорость постоянна. G другой стороны, дальность до конечной точки

V2

хр = -^ sin 26О.

Отсюда время движения по параболической траектории

(3.4.18)(3.4.18)#,=— = ^sine„.

(3.4.18)

(3.4.18)

' da;g °

dt |t=o

Заметим, что соотношения (3.4.13) и (3.4.15) можно использовать в качестве оценок и при расчете эллиптических траекторий на небольшую угловую дальность.

- = -7—2 1 - cos Ф + 2-S-r 4 \2 + \,- = -7—2 1 - cos Ф + 2-S-r 4 \2 + \,Парабола безопасности. Для семейства параболических траекторий с постоянной начальной скоростью Vo и различными углами бросания 0о можно построить огибающую — параболу безопасности. Уравнение параболы безопасности выведем из уравнения эллипса безопасности (3.2.13)

- = -7—2 1 - cos Ф + 2-S-r 4 \2 + \,

- = -7—2 1 - cos Ф + 2-S-r 4 \2 + \,

cos Ф

с учетом принятых допущений для малых угловых дальностей. Дополнительно учтем, что для малых дальностей можно также принять

v?«0,(3.4.19)

поскольку Vo мало (напомним, что vo — квадрат отношения начальной скорости к местной круговой). Тогда для параболы безопасно

сти получимсти получимилиилиоткудаоткуда

сти получим

сти получим

или

или

откуда

откуда

и окончательно

(3.4.20)

Уравнение параболы безопасности (3.4.20) можно записать в более простом виде, если учесть соотношения (3.4.9) и (3.4.12):

1- ^) •(3.4.21)

Парабола безопасности касается траектории максимальной дальнз сти в точке Р с координатами a^ax = y^Jg^ ур = о.

Заметим, что уравнение параболы безопасности (3.4.20) можно было бы получить непосредственно как уравнение огибающей семейства параболических траекторий (3.4.7), зависящих от параметра 6о и проходящих через две фиксированные точки, начальную и конечную.

Производные конечных параметров движения по начальным

Во многих задачах баллистики возникает необходимость оценки отклонений конечных параметров движения при небольших отклонениях начальных параметров движения. В линейном приближении такие оценки можно получить с помощью соответствующих производных.

Будем рассматривать эллиптические траектории движения, т. е. пользоваться зависимостями, полученными в предположении центрального поля притяжения и отсутствия атмосферы.

Продольное движение. Наиболее часто возникает необходимость оценки изменения дальности пассивного участка при малых отклонениях начальных параметров движения: скорости Уо, угла бросания 0о, радиуса го.

Предварительно рассмотрим производные угловой дальности ФР по начальным параметрам. Для этого воспользуемся уравнением (3.1.14) при г = Н и Ф = Фр, которое определяет угловую дальность как неявную функцию указанных параметров ^(Фр, Уо, Оо, П)) = = 0. Тогда можно записать

8F

, 8F

дфр

= 0,

(3.5.1)

1 5Фр

откуда

5Фр

8F

8V«

8F ^р

8^ 8Vn

00

(3.5.2)

8V

8F

8F

Сначала

вычислим

№т

^ = — R [(1 + r0) tg2-^ + 2 tg 0О tg -^ + Го — 1],

но согласно (3.1.14)

(1 + г0) tg2 Лг + 2 tg 0О tg ^- + г0 — 1 = •^- (1 + tg2 0О) tg2 ^, поэтому

^ = - ^ (1 + tg2 е0) tg2 ^.(3.5.3)

Теперь найдем

^ 2\Ло ч

= —V- U2 (! + ^ 0о) - (1 + Го) v0] tg -/ - v0 tg е, V '

p2 P 11

COS

и, учитывая уравнение движения (3.1.14),

8F9Ф р8F9Ф р(3.5.5)(3.5.5)(3.5.6)(3.5.6)V Я /~Ф_ \

8F

9Ф р

8F

9Ф р

(3.5.5)

(3.5.5)

(3.5.6)

(3.5.6)

ф ф V о 1 т2 .

. Р 2 Р Х'

tg 2 cos 2

Подставим производные (3.5.3) — (3.5.5) в (3.5.2), тогда Ф ф

(3.5.10)(3.5.11)(3.5.10)(3.5.11)гдегде8F8го8F8го(ф \V| tgr2 —К I (ф \V| tgr2 —К I 9Фр 4 (1 + tg2 Oj sin2 —у tg —у т-ф— •

(3.5.10)

(3.5.11)

(3.5.10)

(3.5.11)

где

где

8F

8го

8F

8го

(ф \V

| tgr2 —К I

(ф \V

| tgr2 —К I

сания

8F

d0o8F *

аФр

(3.5.7)

Используя (3.1.14),

вычислим

8F

9% =

--^-(2tgeotg^E-v„')

cos 6 \4/

Ф tg-/

(3.5.8)

и затем найдем

9Фр 2

(l + tg20o)(vo-2tg0o tg-^

) . 2ФР j sin -у

(3.5.9)

д6о

Теперь определим производную угловой дальности по углу бро-

Вычислим теперь производную угловой дальности по начальному

радиусу

8F ( 8F dv0 дФрдгр +^р"

дго_8Р_

8Фр

М

Тогда

= 21 = Л

дго И го '

дФрдго

9Ф

\ + -S-(l + tg2 60)sin2^ и У Xи/£ф

/ ~\ g 2 ‘

V ro-1+t86, ^Т/

(3.5.12)

(3.5.13)

Дальность пассивного участка, измеряемая по поверхности Земли, связана с угловой дальностью условием

Lp — КФР1

(3.5.14)

поэтому производные дальности по начальным параметрам легко получить из найденных выше производных угловой дальности:

4Д 0 + Ч2 6,) si°2 *8 ^

^-=vГГТ

° 'Цг<,~1 + ‘8ео,8~2Ч (l+lg20o)(vo-2tg0otg-^)sin2-^

vo — 1 + tg60

v« + y О+^Ч)8"'2-/ ф

fey1^'

v<>ro-1 + 4eotgV/

У 4

(3.5.15)

(3.5.16)

(3.5.17)

Если высоты начальной и конечной точек траектории совпадают

(го = 1), то полученные формулы упрощаются:

5£р _

5Уо “ Уо vosin20o'’ /Фр \

8Lp = ПпГо-2189о1т81пфр

dOo ~vosin26o

8Lp vo + 2(l + tg2Oo)sin2-^

dr0 -votgOo’

(3.5.18)

(3.5.19)

(3.5.20)

8Lp dLp dLp „

Значения производных-^y1, -^-i -^г- для различных дальностей пассивного участка Lp и углов бросания 0о построены на рис. 3.12 и 2.13 в предположении, что го = 1.

Рис. 3.12. Производные дальности по начальной скорости и углу бросания при Го = 1

Рис. 3.13. Производные дальности по начальному радиусу при го = 1

3.5.2. Боковое движение. Для оценки в линейном приближении величины смещения конечной точки траектории от номинальной плоскости движения используют производные бокового смещения В по азимуту Ло, боковой скорости УЬо и боковому смещению Во в точке бросания.

Предположим, что в точке бросания имеет место ошибка по азимуту ДЛо, т. е. плоскость траектории пассивного участка оказыва-

-ется повернутой вокруг начального радиуса-вектора го на величи- ДЛо относительно номинальной плоскости движения (рис. 3.14).

ну

2 — воз- траекто-

траектория;

лущенная

рия

ха: 1 — номинальная

В результате возникает боковое смещение конечной точки от номинальной плоскости движения, причем в линейном приближении это смещение можно вычислить по формуле

В = R sin ФрДЛо,

(3.5.21)

откуда

= В sin Фр. дАо

(3.5.22)

Появление боковой скорости ДУьо, т. е. составляющей скорости по нормали к номинальной плоскости движения, можно в линейном приближении интерпретировать как ошибку по начальному азимуту ДЛо. Из уравнения связи

ДУь0 —Vo cos 6оДЛо

выразим ДЛо и после подстановки найдем, переходя к пределу,

дВR sin Фр

^ъо - VOS(V

Пусть теперь в начальной точке

(3.5.23)

в (3.5.21)

(3.5.24)

имеет ме-

определить

боковое

сто боковое смещение Во относительно номинальной плоскости движения. Требуется смещение В в конечной точке на поверхности

Земли. Для наглядности номинальную плоскость движения можно представить на сфере радиуса В в виде некоторой «меридиональной» плоскости, начальное боковое смещение задавать в плоскости «экватора», а возмущенную плоскость движения — в виде другой «меридиональной» плоскости, повернутой вокруг «полярной» оси на угол Во/го относительно номинальной плоскости (го — радиус начальной точки). Тогда угловую дальность Фр конечной точки можно рассматривать как ее «широту», а ее боковое смещение В — как расстояние по «параллели» от номинальной плоскости. Отсюда

в -^Ясо8Ф„ гор

и

ДР COS Ф_ ~

("0 = го/ву(3.5.25)

0 го

Рассмотрим производные (3.5.22) и (3.5.24). Обе производные достигают наибольшей величины при Фр = л/2, что соответствует дальности пассивного участка Lp = 10 000 км. При ФР = л (LP = 20 000 км) эти производные обращаются в нуль, поскольку радиусы-векторы начальной и конечной точек оказываются расположенными на одной прямой, а любые ошибки по азимуту или боковой скорости приводят только к повороту плоскости движения относительно указанной прямой.

Производная (3.5.25) положительна при 0 < ФР < л/2, равна нулю при Фр = л/2 и отрицательна при л/2 < Фр < Зл/2.

ГЛАВА 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Продолжим рассмотрение движения спутника в центральном поле притяжения. В главе 2 основное внимание было уделено анализу плоского движения спутника, для чего система координат выбиралась так, чтобы ее оси располагались в плоскости орбиты спутника. Подобный выбор системы координат упрощает исследования модельных задач и получаемые соотношения для описания движения спутника. Если же учесть требования, которые предъявляются при решении практических задач проектирования околоземных орбит спутников или выбора межпланетных траекторий космических аппаратов, то система координат, связанная с плоскостью движения, не всегда оказывается удобной для описания траектории. Например, движение околоземного спутника обычно описывают в экваториальной геоцентрической системе координат, декартовой прямоугольной или полярной. Для описания межпланетных траекторий часто используют эклиптическую декартову систему координат, две оси которой располагаются в плоскости гелиоцентрической орбиты Земли, а третья направлена к северному полюсу мира.

При анализе пространственной траектории спутника обычно рассматриваются следующие основные задачи. Во-первых, выбор совокупности параметров, позволяющих полностью описать пространственное движение. Во-вторых, определение пространственной траектории по результатам измерений некоторых величин, как правило, не являющихся параметрами, которые используются для описания движения. В-третьих, определение трассы спутника, т. е. совокупности точек пересечения текущих радиусов-векторов спутника с поверхностью Земли (или другого небесного тела). Перейдем к последовательному рассмотрению перечисленных задач.

Основные элементы орбиты

Движение спутника относительно притягивающего центра описывается тремя уравнениями второго порядка (2.1.6). Следовательно, чтобы полностью определить движение спутника, надо задать шесть производных постоянных. Например, можно задать три координаты и три составляющие скорости в некоторой точке траектории. Обычно в астрономии используются специальным образом подобранные постоянные, с помощью которых удается наиболее просто и наглядно определить движение спутника.

Выбор элементов орбиты. Шесть произвольных постоянных, которые позволяют полностью определить положение спутника в любой момент времени, называют элементами орбиты спутника. Частично элементы орбиты были рассмотрены в п. 2.2.2, в том числе и Q — долгота восходящего узла (или просто долгота узла).

Рис. 4.1. Параметры орбиты в пространствеРис. 4.1. Параметры орбиты в пространствеЭтот угол фиксирует положение восходящего узла относительно некоторого начала отсчета (рис. 4.1) и может изменяться в диапазоне

Рис. 4.1. Параметры орбиты в пространстве

Рис. 4.1. Параметры орбиты в пространстве

0^Й^2л. (4.1.1)

Был введен также угол г между плоскостью орбиты спутника и основной координатной ПЛОСКОСТЬЮ, причем

О ^ i ^ л. (4.1,2)

Этот угол часто называют наклонением орбиты. Если 0< г<-у, то движение спутника называют прямым, а орбиту восточной, если же-у *< ?<л,

то — обратным, а орбиту — западной. В случае i = О и i = л плоскость орбиты спутника совпадает с основной координатной плоскостью; тогда понятие долготы восходящего узла теряет смысл. Такую орбиту называют экваториальной. При г = л/2 плоскость орбиты совпадает с меридиональной плоскостью. Это — полярная орбита.

Заметим, что для гиперболической и параболической орбит возможны случаи, когда существует только один узел, восходящий или

нисходящий, т. е. траектория пересекает линию узлов только в одной точке. В подобных случаях полагают, что второй узел расположен на линии узлов в бесконечно удаленной точке.

С помощью углов Q и г однозначно фиксируется положение плоскости орбиты в выбранной системе координат (экваториальной или эклиптической). Чтобы определить положение линии апсид орбиты

в ее плоскости, следует задать угол <о между восходящим узлом и радиусом-вектором перицентра орбиты. Этот угол часто называют аргументом перицентра, он может изменяться в пределах

(4.1.3)(4.1.3)0^ со ^ 2л.

(4.1.3)

(4.1.3)

Орбита в своей плоскости характеризуется эксцентриситетом е и параметром р. Для привязки движения спутника по времени задают момент времени tn, когда спутник находится в перицентре.

Таким образом, для задания пространственного движения спутника в астрономии обычно используют следующие элементы орбиты:

Q, I, со, е, р, ta.(4.1.4)

Знание этих (или некоторых других) элементов орбиты позволяет определить положение спутника и его скорость в любой момент времени t.

Положение и скорость спутника в пространстве. Пусть заданы элементы орбиты (4.1.4), а требуется определить координаты и составляющие скорости спутника в экваториальной (эклиптической) системе координат Fxyz (рис. 4.1) в произвольный момент времени t. При этом будем полагать, что орбита спутника эллиптическая (для гиперболической и параболической орбит последовательность вычислений остается такой же, но должны использоваться соотношения, полученные ранее для этих орбит). Ось Fx направлена в точку весеннего равноденствия Т, которая на небесной сфере соответствует линии пересечения плоскостей экватора и эклиптики при переходе Солнца из Южного полушария в Северное.

Чтобы перейти от момента времени t к соответствующей ему ве* личине истинной аномалии -6*, следует предварительно вычислить по формуле (2.4.7) величину большой полуоси орбиты а = р/(1 —е2). Далее, решая уравнение (2.5.8), найдем эксцентрическую аномалию Е по значению Af = t — ta, а затем с помощью формулы (2.5.6)—истинную аномалию ■д'. (

Зная истинную аномалию, можно из уравнения орбиты (2.2.31) определить г — расстояние спутника до притягивающего центра. Радиальная Vr и трансверсальная Vn составляющие скорости вычисляются по формулам (2.3.5) и (2.3.7). Пусть г° и п° — единичные векторы, направленные соответственно по радиусу-вектору и по нормали к нему в плоскости движения. Тогда радиус-вектор спутника

г = гг° (4.1.5) и вектор его скорости

V = 7гг° + 7„п°. (4.1.6)

Чтобы определить векторы г и V в экваториальной (эклиптической) системе координат Fxyz, надо определить в этой системе координат единичные векторы г° и п°, т. е. найти их направляющие косинусы.

Введем дополнительно орбитальную систему координат FXYZ, ось FX которой направлена по радиусу-вектору спутника, ось FY параллельна трансверсальной составляющей скорости Vn, а ось FZ направлена по вектору C = rXV (интегралу площадей). Переход от системы координат Fxyz к системе координат FXYZ совершается путем последовательных поворотов на углы Q, г и и = ю + О'. Угол и называют аргументом широты. Матрицы, соответствующие этим поворотам, имеют вид

" cos й" cos йМй =Мй =— sin й0— sin й0sin й 0cos й 001sin й 0cos й 001(4.1.7)(4.1.7)

" cos й

" cos й

Мй =

Мй =

— sin й0

— sin й0

sin й 0

cos й 0

01

sin й 0

cos й 0

01

(4.1.7)

(4.1.7)

ЧМ^ о оЧМ^ о оо оcos I sin i — sin i cos iо оcos I sin i — sin i cos iM.M.cosu sin u 0"— sin u cos u 0001cosu sin u 0"— sin u cos u 0001(4.1.8)(4.1.9)(4.1.8)(4.1.9)

Ч

М^ о о

Ч

М^ о о

о о

cos I sin i — sin i cos i

о о

cos I sin i — sin i cos i

M.

M.

cosu sin u 0"

— sin u cos u 0

001

cosu sin u 0"

— sin u cos u 0

001

(4.1.8)

(4.1.9)

(4.1.8)

(4.1.9)

Поэтому матрица M, отвечающая переходу от системы координат Fxyz к системе координат FXYZ путем последовательных поворотов па углы ^ -> г -> и, будет вычисляться по формуле

М =М =sin i sin u' sini cos ucos t _sin i sin u' sini cos ucos t _cos u cos Q — cos i sin u sin Q cos u sin Q+cos i sin u cos Q—sin u cos Q—cos i cos u sin Q —sin u sin Q+cos i cos u cos Qsin i sin Q— sin i cos Q

М =

М =

sin i sin u' sini cos u

cos t _

sin i sin u' sini cos u

cos t _

(4.1.10)

С помощью матрицы M любой вектор а, заданный в экваториальной (эклиптической) системе координат Fxyz своими составляющими х, у, z, можно перевести в орбитальную систему координат FXYZ, т. е. найти его проекции X, Y, Z:

илиилиНорбМЯд,НорбМЯд,(4.1.11)(4.1.11)

или

или

НорбМЯд,

НорбМЯд,

(4.1.11)

(4.1.11)

(4.1.12)

Обратный переход осуществляется с помощью обратной матрицы М~\ которая получается транспонированием матрицы М (так как матрица М — ортогональная):

а. = Л/'^оре. (4.1.13)

Вектор г° имеет в орбитальной системе координат составляющие 1, 0, 0. Обозначим его составляющие в системе координат Fxyz через г®, т-y, г°г, тогда

= М-1= М-1Ч'0.0.Ч'0.0.(4.1.14)(4.1.14)

= М-1

= М-1

Ч'0.0.

Ч'0.0.

(4.1.14)

(4.1.14)

или

г® = cos и cos Q — cos i sin и sin Q,

Гу = cos и sin Q + cos i sin и cos Q,(4.1.15)

r* = sin i sin u.

Аналогично для вектора n°, который имеет в орбитальной

системе координат составляющие 0, 1, 0, найдем составляющие в

системе координат Fxyz\

илиили'О’ 1 ,-0 J'О’ 1 ,-0 J(4.1.16)(4.1.16)пх = —sin и cos Q — cos i cos и sin Q,пх = —sin и cos Q — cos i cos и sin Q,ny = —sin и sin Q + cos i cos и cos Q,ny = —sin и sin Q + cos i cos и cos Q,(4.1.17)(4.1.17)nz = sin i cos u.nz = sin i cos u.Итак, составляющие векторов г и V в экваториальной (эклиптической) системе координат Fxyz имеют видх = гг®, у = гГу, z = rrt(4.1.18)Ух = УЛ + 7пих, 7У = УЛ + У^ 7Z = УЛ + УпПх, (4.1.19)Итак, составляющие векторов г и V в экваториальной (эклиптической) системе координат Fxyz имеют видх = гг®, у = гГу, z = rrt(4.1.18)Ух = УЛ + 7пих, 7У = УЛ + У^ 7Z = УЛ + УпПх, (4.1.19)гдегде(4.1.20)(4.1.20)— величина текущего радиуса-вектора спутника.— величина текущего радиуса-вектора спутника.Рис. 4.2. Определение склонения б и прямого восхождения аРис. 4.2. Определение склонения б и прямого восхождения аДля описания положения спутника в экваториальной геоцентрической системе координат можно использовать сферические координаты г, б, а. Радиус г определяет расстояние FM от центра масс Земли до спутника (рис. 4.2). Склонение б — это угол между радиусом^векторомFM и плоскостью экватора. К северу от экватора б > 0, а к югу б < 0. Из прямоугольного сферического треугольника BNM (рис. 4.2) видно, чтоб = arcsin(sin г sin и). (4.1.21)Для описания положения спутника в экваториальной геоцентрической системе координат можно использовать сферические координаты г, б, а. Радиус г определяет расстояние FM от центра масс Земли до спутника (рис. 4.2). Склонение б — это угол между радиусом^векторомFM и плоскостью экватора. К северу от экватора б > 0, а к югу б < 0. Из прямоугольного сферического треугольника BNM (рис. 4.2) видно, чтоб = arcsin(sin г sin и). (4.1.21)Склонение может изменяться в диапазонеСклонение может изменяться в диапазоне— I— Iб ^ гб ^ гприпри— (л — z)— (л — z)ббл — Iл — I0<г<т,0<г<т,припри(4.1.22)(4.1.22)

или

или

'О’ 1 ,

-0 J

'О’ 1 ,

-0 J

(4.1.16)

(4.1.16)

пх = —sin и cos Q — cos i cos и sin Q,

пх = —sin и cos Q — cos i cos и sin Q,

ny = —sin и sin Q + cos i cos и cos Q,

ny = —sin и sin Q + cos i cos и cos Q,

(4.1.17)

(4.1.17)

nz = sin i cos u.

nz = sin i cos u.

Итак, составляющие векторов г и V в экваториальной (эклиптической) системе координат Fxyz имеют вид

х = гг®, у = гГу, z = rrt(4.1.18)

Ух = УЛ + 7пих, 7У = УЛ + У^ 7Z = УЛ + УпПх, (4.1.19)

Итак, составляющие векторов г и V в экваториальной (эклиптической) системе координат Fxyz имеют вид

х = гг®, у = гГу, z = rrt(4.1.18)

Ух = УЛ + 7пих, 7У = УЛ + У^ 7Z = УЛ + УпПх, (4.1.19)

где

где

(4.1.20)

(4.1.20)

— величина текущего радиуса-вектора спутника.

— величина текущего радиуса-вектора спутника.

Рис. 4.2. Определение склонения б и прямого восхождения а

Рис. 4.2. Определение склонения б и прямого восхождения а

Для описания положения спутника в экваториальной геоцентрической системе координат можно использовать сферические координаты г, б, а. Радиус г определяет расстояние FM от центра масс Земли до спутника (рис. 4.2). Склонение б — это угол между радиусом^вектором

FM и плоскостью экватора. К северу от экватора б > 0, а к югу б < 0. Из прямоугольного сферического треугольника BNM (рис. 4.2) видно, что

б = arcsin(sin г sin и). (4.1.21)

Для описания положения спутника в экваториальной геоцентрической системе координат можно использовать сферические координаты г, б, а. Радиус г определяет расстояние FM от центра масс Земли до спутника (рис. 4.2). Склонение б — это угол между радиусом^вектором

FM и плоскостью экватора. К северу от экватора б > 0, а к югу б < 0. Из прямоугольного сферического треугольника BNM (рис. 4.2) видно, что

б = arcsin(sin г sin и). (4.1.21)

Склонение может изменяться в диапазоне

Склонение может изменяться в диапазоне

— I

— I

б ^ г

б ^ г

при

при

— (л — z)

— (л — z)

б

б

л — I

л — I

0<г<т,

0<г<т,

при

при

(4.1.22)

(4.1.22)

Прямое восхождение а — это угол между направлением на точку весеннего равноденствия Т (т. е. осью Fx экваториальной системы координат) и проекцией радиуса-вектора FM на экваториальную плоскость. С помощью треугольника BNM найдем

а = & + arctg (cos i tg и). (4.1.23)

Прямое восхождение изменяется в диапазоне 0 ^ а ^ 2л.

(4.1.24)(4.1.24)Используя углы а и 6, запишем составляющие вектора г° в системе координат Fxyz\

(4.1.24)

(4.1.24)

г® = cos a cos 6, Гу = sin а cos 6, г® = sin 6.(4.1.25)

Определение орбиты по двум положениям и времени

Рассмотрим задачу определения орбиты спутника по двум его положениям относительно притягивающего центра, которые задают-

П и Г2 соответственно в моменты времени txП и Г2 соответственно в моменты времени txся радиусами-векторами

П и Г2 соответственно в моменты времени tx

П и Г2 соответственно в моменты времени tx

и ^2 (^i<^). Тип орбиты (эллиптическая, параболическая, гиперболическая) и направление движения спутника будем считать известными, что справедливо для большинства такого рода задач небесной механики. Требуется вычислить основные элементы орбиты (4.1.4), т. е. найти й, i, со, е, р, ^п»

Пусть векторы ri и гг не лежат на одной прямой. Тогда задание двух векторов эквивалентно заданию шести составляющих этих векторов, зависящих от шести элементов орби

Рис. 4 3. Определение элементов орбиты по двум положениям спутникаРис. 4 3. Определение элементов орбиты по двум положениям спутникаты. Установим связь векторов ri и гг с элементами орбиты. Предположим, что составляющие векторов ri=(^b Ух, 21) И Г2=(^2, У2, 22) ЗЭ-

Рис. 4 3. Определение элементов орбиты по двум положениям спутника

Рис. 4 3. Определение элементов орбиты по двум положениям спутника

даны в геоцентрической системе координат (рис. 4.3). Найдем единичный вектор ш°, перпендикулярный плоскости орбиты,

(4.2.1)

Его составляющие в экваториальной системе координат:

тх — ~ (j/lZ2 Уг21)’ ту = "^ (^2Z1^122)1

!(4.2.2)

где

^ = ^(Z/122 ~ ^i)2+ (^221 — хх^У-^^ХхУг — х^ухУ. (4.2.3)

Пусть с° — единичный вектор внешней нормали к плоскости движения (при наблюдении с конца вектора с° движение спутника

направлено против часовой стрелки), тогда можно записать с° = ± m° sign тг.(4.2.4)

Знак «+» выбирается в том случае, когда при наблюдении с конца оси координат Ей движение спутника направлено против часовой стрелки, а знак «—» отвечает движению по часовой стрелке.

Если плоскость орбиты совпадает с плоскостью меридиана (mz = 0), то

с° = ±ш°,(4.2.5)

причем знак выбирается так, чтобы при наблюдении с конца вектора с°, расположенного в плоскости экватора, движение спутника было направлено против часовой стрелки.

Найдем теперь наклонение I и долготу восходящего узла Q. Соотношения (4.2.4) и (4.2.5) задают составляющие вектора с° = = (сх, су, cz) в экваториальной системе координат Fxyz. С другой стороны, в орбитальной системе координат FXYZ с°=(0, 0, 1). Учитывая преобразование (4.1.14) и матрицу (4.1.10), получим

Cx=snusinQ, су = —sin i cos Q, cz = cost. (4.2.6)

Последнее равенство (4.2.6) позволяет однозначно определить наклонение орбиты

г = arccos cz,(4.2.7)

так как 0 ^ г ^ л. Чтобы вычислить долготу восходящего узла, воспользуемся двумя первыми равенствами (4.2.6):

sinQ = -r^r, cosQ =Д-.(4.2.8)

sin tsin t''

Углы й и i полностью определяют плоскость движения спутника.

Перейдем теперь к вычислению элементов орбиты е, р, <о, которые задают ее геометрию и положение в плоскости движения. Предварительно найдем разность истинных аномалий двух заданных положений спутника:

cos АФ =,(4.2.9)

I Г, X г I

sin АФ = с° • т° 1Г~ 2 ,,«(4.2.10)

Действительная разность истинных аномалий может отличаться от вычисленной по формулам (4.2.9), (4.2.10) на 2лЛ, где к = = 0,1, 2, ...— число полных оборотов спутника за время движения от первого положения до второго (к > 0 возможно только для эллиптической орбиты).

При расчете элементов орбиты вместо эксцентриситета в удобнее вычислять большую полуось а, которая связана с эксцентриси-

тетом условием (2.4.7)тетом условием (2.4.7)а =а =Р1 - е2Р1 - е2

тетом условием (2.4.7)

тетом условием (2.4.7)

а =

а =

Р

1 - е2

Р

1 - е2

в случае эллиптической орбиты и условием (2.4.23)

а =а =Ре2-1Ре2-1

а =

а =

Ре2-1

Ре2-1

Рис. 4.4. Построение эллиптических орбит, проходящих через две точкиРис. 4.4. Построение эллиптических орбит, проходящих через две точкиили с учетом (4.2.13)или с учетом (4.2.13)(4.2.14)(4.2.14)

Рис. 4.4. Построение эллиптических орбит, проходящих через две точки

Рис. 4.4. Построение эллиптических орбит, проходящих через две точки

или с учетом (4.2.13)

или с учетом (4.2.13)

(4.2.14)

(4.2.14)

в случае гиперболической орбиты. Отсюда для эллиптической орбиты

е=]/1--£(4.2.11)

а для гиперболической

е=]Л + Д(4.2.12)

Покажем, как по двум фиксированным положениям спутника в известные моменты времени определить элементы орбиты в плоскости движения [58, 59, 62]. При этом отдельно рассмотрим случаи

эллиптической, гиперболической и параболической орбит.

Эллиптическая орбита. Если величина большой полуоси а известна, то эллиптическая орбита полностью определяется положениями своих фокусов. Один из фокусов (Fi) всегда совпадает с притягивающим центром. С помощью простых геометрических построений найдем положение второго фокуса.

Вычислим расстояния точек М\ и Mi до второго фокуса Ei

гг = 2а — rt1 r2 = 2а — г2

(4.2.13) и построим окружности радиу-

сов rt1 т2 с центрами соответ

ственно в точках М\ и Mi (рис. 4.4). Точки пересечения окружностей определяют возможные положения второго фокуса F2 и Fa, Условие существования точек пересечения

^ + Г2 ^ S,й^ у(Г1 + Г2 + ^

где

$ = У г^ + г2 — 2^^008 АФ(4.2.15)

*— длина отрезка, соединяющего точки М\ и М2.

Если

я = 4^1 + г2 + 5)’(4.2.16)

то существует одна общая точка 7^2 = ^2 (окружности касаются). При

«К^Ух + г2 + $)(4.2.17)

решение не существует в рассматриваемом классе эллиптических орбит с фиксированной величиной большой полуоси.

Пусть выполнено условие (4.2.14); тогда переход из точки М\ в точку Л/г возможен по двум эллиптическим траекториям при движении по часовой стрелке (показаны пунктиром на рис. 4.4) и по двум эллиптическим траекториям при движении против часовой стрелки (показаны сплошными линиями на рис. 4.4). Если второй фокус оказывается вне эллиптического сегмента, ограниченного прямой Л/1Л/2 и траекторией перелета, то такую траекторию будем называть эллиптической орбитой первого рода. Это траектории MilVMs и M\NM^. Если второй фокус оказывается внутри указанного сегмента, то такую траекторию будем называть эллиптической орбитой второго рода. Условию (4.2.16) отвечает граничная эллиптическая орбита, когда второй фокус оказывается на прямой М\М2.

Покажем способ вычисления большой полуоси в рассматриваемой постановке задачи. Связь большой полуоси а с заданными величинами радиусов ri, Г2, угла между ними Аб* и временем перелета At = t2 — t\ устанавливается уравнением Ламберта. Для получения этого уравнения предварительно вычислим площадь эллиптического сектора, ограниченного радиусами т\, т^ и стягивающей их дугой эллипса. Удвоенная площадь такого сектора определяется интегралом

ф=[г2^(4.2.18)

где ^i и ^ — истинные аномалии точек М\ и М2.

Запишем уравнение орбиты через эксцентрическую аномалию Е. С этой целью подставим соотношение (2.5.4) для cos б* в уравнение орбиты (2.2.31). Тогда получим

Р = р(1 — geos £)cos F — g4 e2 ’

1 + g 1

(4.2.19)(4.2.19)или с учетом (2.4.7)

(4.2.19)

(4.2.19)

г = а(1 — е cosЕ).

Производные истинной ношением (2.5.7)Производные истинной ношением (2.5.7)и эксцентрической аномалий связаны соот-

Производные истинной ношением (2.5.7)

Производные истинной ношением (2.5.7)

ай =—е— ав.

1 — в cos Е

Переходя теперь в (4.2.18) к эксцентрической аномалии, вычислим интеграл

ф = а2 1 — е2 [ (1 — е cos Е) dE =

= а2 ]/1 — е2 [Е2 — Еу — е (sin Е^ — sin SJ] =

Г /Еп —+ ЕД

= а2 V1 — е2 (S2 — Ег — 2е sin -^—1 cos —^—-j. Положим

Еп + Е.

E2 — Ey = 2d, е cos ?-™^=cosZ(0<Z<n), (4.2.20)

тогда

Ф = 2а2У 1 — е2 (d — sin d cos Z).(4.2.21)

С помощью уравнения орбиты (4.2.19) установим связь d, I и ri, r2:

ri = a(l — e cos Si), r2 = a(l — e cos E^ ; отсюда

Гу + f2 = 2a — ae (cos Et + cos S2) =

= 2a — 2ae cos—- cos —l-^—= ^a — ^° cos cos (4.2.22)

Для определения длины хорды s, соединяющей точки М\ и М^ рассмотрим декартову прямоугольную систему координат Si^t) (см. рис. 2.11). В этой системе координаты произвольной точки эллиптической орбиты задаются соотношениями

£ = a cos S — ае, т| = b sin Е = all — е2 sinS; (4.2.23)

следовательно, длина хорды

s = /(£2 — ^)2 + (ц2 — т|!)2 =

= а V(cos S2 — cos S^2 + (1 — e2) (sin S2 — sin Егу =

/

Ео + E— E,En +E— E,

sin2 —Цг—- sin2 —Цг—- + (1 — e2) cos2—- sin2 ——- =

= 2<zsincZl/ 1 — e2 cos2 2 ^—1 = 2a sin d sin I (4.2.24)

Найдем далее с учетом (4.2.22) и (4.2.24)

И + Г2 + « = 2а [1 — cos (d + Z) 1,

.n(4.2.25)

И + Г2 — s = 2а [1 — cos(d — Z)}.v '

Обозначим

e = d + Z, ^ = l-d;(4.2.26)

(4.2.27)(4.2.28)(4.2.27)(4.2.28)тогда формулы (4.2.25) можно привести к виду

(4.2.27)

(4.2.28)

(4.2.27)

(4.2.28)

Согласно (4.2.26) имеем

a _ е — 67 _ е + б

2 ’ 1 - 2

и после подстановки в (4.2.21) найдем

= 2а у 1 — в2 —sin ■ — cos -у--1 =

= а V1 — в2 [е — sin е — (б — sin б)], (4.2.29)

где углы е и б определяются с помощью соотношений (4.2.27). Для однозначного вычисления углов 8 и б необходимо иметь дополнительную информацию относительно эллиптического сектора М\Е\М^. Чтобы упростить дальнейший анализ, ограничимся случаем

А^<2л(A^ = ^2-^i),(4.2.30)

который имеет наибольшую практическую значимость в задачах механики космического полета. В указанном случае 2d = Е^ — Ех < < 2л и

0<й<л.(4.2.31)

Согласно (4.2.20) 0 < Z < л; отсюда с учетом (4.2.26)

0 < е < 2л(4.2.32)

и

sin|>0(4.2.33)

для всех взаимных расположений точек Мх и М2.

Определим теперь знак sin(6/2). С этой целью проведем некоторые предварительные преобразования. Умножив формулу (2.5.4) на (4.2.19), получим

г cos О* = <z (cos Е — е).(4.2.34)

В результате вычитания этого соотношения из (4.2.19) и сложенид его с (4.2.19) имеем

r(l — cos О)в а(1 + е) (1 — cos 7?),

r(l + cos '0*) = а(1 — е) (1 + cos Е),

ИЛИИЛИ(4.2.35)(4.2.35)Ут sin -у = У а (1 + е) sin -у,Ут cos у = У а (1 — е) cos-y.

ИЛИ

ИЛИ

(4.2.35)

(4.2.35)

Используя (4.2.35), вычислим

, Дф. л / О ОО 0 \

V Тгт2 cos-л- = V тгт2 cos -у-cos + sin-^sin-s- =

= а (1 — е) cos у cos у + а (1 + <?) sin у sin у =

ГЕл .E^ . Е»

= a cos cos + sin -у- sin — е cos у^ cos — sinsin —^

\2222\2222

( Е —Е.

= a I cos —у^—;

или, принимая во внимание (4.2.20),

У тгт2 cos ^ = a (cos d — cos Z).

^1 + ^2 ecos—у-;—-^1 + ^2 ecos—у-;—-(4.2.36)(4.2.36)Подставим сюда d и I согласно (4.2.28) и окончательно получим АО / е — б е + б\ т^ cos -у = a I cos —£cos —— I,

^1 + ^2 ecos—у-;—-

^1 + ^2 ecos—у-;—-

(4.2.36)

(4.2.36)

или

У тгт2 cos ^- = 2а sin у sin у.(4.2.37)

Согласно (4.2.33) siny>0, поэтому

sign sin у = sign cos ^.(4.2.38)

В зависимости от величины угла АО = Ог — Oi между векторами з*1 и is возможны следующие случаи:

sin-yX), если ОсАОсл,

б(4.2.39)

sin у С 0, если n<A0<;2n.

Определим теперь знаки cos(e/2) и cos(6/2). Предположим, что расстояние М\М^ бесконечно мало; тогда

d=^Lb.«0i 6 = b = l.

Но 0 < I < л; отсюда у = у -< у и

cos у > 0, сов у

Заметим, что cos(e/2) = 0, если sin2(e/2)=l. В последнем случае согласно (4.2.27)

Г1 + Г 2 + 8 = 4(Z, откуда

s =(2а — ri) + (2a — г2), или

s = ri + ri,

т. е. второй фокус эллипса Fi находится па хорде, соединяющей точки 7И1 и Л72.

Рассмотрим изменение знака cos(e/2) в зависимости от углового расстояния между М\ и ТИг. При малом угловом расстоянии cos(e/2)>0. По мере увеличения углового расстояния наступает момент, когда хорда проходит через второй фокус эллипса. Для такого положения точек Мх и Mi имеем cos(e/2)=0. При дальнейшем увеличении углового расстояния cos(e/2)<0. Если в процессе увеличения углового расстояния хорда не проходит через второй фокус эллипса Fi, то cos(s/2)>0 при любом взаимном положении точек 7И1 и Л/г-

Теперь определим условия, при которых cos(6/2) =0. Если это равенство выполнено, то sin2(6/2) = l, и согласно (4.2.27)

г\ 4- п — s = 4а, или

— S = ri 4 ri,

что невозможно в силу положительности s, гх, г2. Следовательно, cos у > 0(4.2.40)

при любом взаимном расположении точек М] и ТИ2.

Теперь можно классифицировать все случаи определения удвоенной площади эллиптического сектора Ф в зависимости от расположения точек М1 и ТИг- С этой целью введем углы

0 < ео < л, 0 < 60 < л,(4.2.41)

определяемые равенствами

и рассмотрим три возможных случая.

Эллиптический сектор первого рода. Пусть эллиптический сегмент, ограниченный хордой М\М2 и траекторией движения спутника от ТИ; к ТИг, не содержит фокусов F\ и Fi. Этот сегмент выделен на рис. 4.5, а штриховкой. В указанном случае 0 < Ай* < л и удвоенная площадь эллиптического сектора будет вычисляться по формуле вида (4.2.29):,

Ф = а2У 1 — е2 [б0 — sin бо — (6о — sin 6о) ].(4.2.43)

Пусть теперь сегмент содержит фокус F\, но не содержит фокуса Ft (рис. 4.5, б). Тогда л < АО < 2л и с учетом условий (4.2.33), (4.2.39)— (4.2.41) получим

sin у > О, cos у > О, sin~y<0, cos-y>0. Следовательно,

e = 8o, 6 = — So

и

Ф = a2V 1 — e2 [eo — sin s0 + (So — sin So) ].(4.2.44)

Эллиптический сектор второго рода. Предположим, что сегмент

гдРис 4 5 Классификация возможных случаев в задаче ЛамбертагдРис 4 5 Классификация возможных случаев в задаче Ламберта

гд

Рис 4 5 Классификация возможных случаев в задаче Ламберта

гд

Рис 4 5 Классификация возможных случаев в задаче Ламберта

содержит фокус Ft, но не содержит фокуса F\ (рис. 4.5, в). В этом случае

sin-|->>0, cos у < О, siny>>0, cosy>0 и

откудаоткуда22 ’22 ’

откуда

откуда

Ф = a2V 1 — в2 [2л — so + sin 8о — (So — sin So) ].(4.2.45)

Если сегмент содержит оба фокуса (рис. 4.5, г), то л < АО < 2ж и справедливы соотношения

sin у > 0, cos у < О, sin у < О, cos-y>0.

Таким образом,

и

Ф = a2V 1 — е2 [2л — 8о + sin 8о + (бо — sin бо) ].(4.2.46)

Формулы (4.2.43) — (4.2.46) можно объединить в две, для эллиптических секторов первого рода

Ф1 = a^v _ е2 [8о _ sin Ео т (So _ sin б(>) j (4.2.47)

и для эллиптических секторов второго рода

Фг = a2V 1 — е2 [2л — (е0 — sin 80) + (б0 — sin б0) ].(4.2.48)

Знак «—» здесь соответствует условию 0 < АФ < 2л, а знак «+» берется при л < АФ < 2л.

Граничный эллиптический сектор. Пусть выполнено условие П + Г2 + s = 4а (рис. 4.5, 5), тогда

ееб0 при 0<АФ<л,s

sin—=1, cos-5-=0; sin—(cos > q

222о при л < АФ < 2л,2

и

[ б0 при 0-<АФ«<л, == б is/ л о

(— б0 при л < АФ < 2л.

В этом случае

Фгр = a2V 1 — е2 [л Т (бо — sin бо) J,(4.2.49)

а знак выбирается по величине угла АФ, как и прежде.

Используем формулы (4.2.47) —(4.2.49), определяющие удвоенную площадь эллиптического сектора, для получения уравнения Ламберта. Согласно (2.2.29) удвоенная секториальная скорость

С = Vp^(4.2.50)

и на основании второго закона Кеплера можно записать уравнение Ламберта

М = -2=,(4.2.51)

У^Р

где At = t2 — ti. Это уравнение устанавливает связь между величинами и + Г2, s, At и а, так как сомножитель Va(l— ^ = Ip, входящий в формулу для Ф, сокращается с величиной Vp в знаменателе (4.2.51). Величину хорды $ можно вычислить по формуле

(4.2.52)(4.2.52)S = У(Я2-Я1)2+(р2- У1)2+(22- Z1)2

(4.2.52)

(4.2.52)

через известные составляющие векторов ri и гг в экваториальной системе координат.

По существу (4.2.51) является трансцендентным уравнением относительно большой полуоси а, которое при 0 < Ай* < 2л имеет единственное решение. Можно показать, что при Аб* > 2л в зависимости от величины At существуют одно или два решения. В случае одного решения имеем эллиптическую орбиту первого рода. При наличии двух решений одно из них всегда определяет эллиптическую орбиту первого рода, а второе — эллиптическую орбиту первого или второго рода, либо же граничную эллиптическую орбиту [62].

Будем полагать теперь, что величина большой полуоси а найдена из решения уравнения Ламберта. Вместе с ней определяются углы е и б. Обсудим последовательность вычислений параметра орбиты р, эксцентриситета е и аргумента перицентра со. Аргумент широты Hi = со + $i, используемый при вычислении со, можно найти из скалярного произведения единичного вектора г” = (г^, г”у, г^) и единичного вектора Тд = (cosQ, sinQ, 0), направленного из начала экваториальной системы координат в восходящий узел орбиты:

иг = arccos (r°xcosQ + rlysinQ). (4.2.53)$

Чтобы однозначно определить угол и\, воспользуемся условием

sign sin ил = sign r^,sign sin ил = sign r^,(4.2.54)(4.2.54)

sign sin ил = sign r^,

sign sin ил = sign r^,

(4.2.54)

(4.2.54)

которое следует из последнего соотношения (4.1.15). Для вычисления аргумента перицентра со необходимо предварительно найти истинную аномалию 6*1. С этой целью вычислим с учетом уравнения орбиты (4.2.19)

/E -V E E —E

ОтсюдаОтсюдагг + r2 = 2a I 1 — e cos ——^—- cos ——-

Отсюда

Отсюда

(4.2.55)(4.2.55)e cos ——2 = 1Ц—£ I sec ——1

(4.2.55)

(4.2.55)

Д \ Да /Д

Аналогично найдем

81П-81П-О • £l + £2r2 — гг = 2-ae sin ——-

81П-

81П-

и

. E-VE 4 — ^ e sin—^ = -2 9 1. E-VE 4 — ^ e sin—^ = -2 9 1csec —csec —(4.2.56)(4.2.56)

. E-VE 4 — ^ e sin—^ = -2 9 1

. E-VE 4 — ^ e sin—^ = -2 9 1

csec —

csec —

(4.2.56)

(4.2.56)

Далее, используя формулы (4.2.20) и (4.2.28), запишем

E-ri = d2°E-ri = d2°s — 62s — 62(4.2.57)(4.2.57)

E-ri = d

2°

E-ri = d

2°

s — 6

2

s — 6

2

(4.2.57)

(4.2.57)

Следовательно, правые части (4.2.55) и (4.2.56) выражены через известные величины, и эти соотношения можно рассматривать в ка-

честве уравнений относительно е и (£'i+£,2)/2. Разделив (4.2.56) на (4.2.55), получим уравнение для определения (Ех + Е^/2\

При вычислении угла ^Ех + 5г)/2 следует учитывать знаки

sinsin£1+^2£1+^222и cos ——-и cos ——-

sin

sin

£1+^2

£1+^2

2

2

и cos ——-

и cos ——-

согласно (4.2.55) и (4.2.56). Зная теперь величину ^Ех-V Е-^/2, можно по формуле (4.2.55) или (4.2.56) вычислить эксцентриситет орбиты е. Затем из системы уравнений

Е2 — Ех = е — 6,

Ех + Е^ = 2 arctgЕх + Е^ = 2 arctg2 12 12« - ^ - ч2« - ^ - чCtgCtg(4.2.59)(4.2.59)определяются эксцентрические аномалии Ех, Ег, а по формуле (2.5.6)— истинные аномалии Оц Ог- По величине й1! можно найти аргумент перицентра:определяются эксцентрические аномалии Ех, Ег, а по формуле (2.5.6)— истинные аномалии Оц Ог- По величине й1! можно найти аргумент перицентра:со = их — Фрсо = их — Фр(4.2.60)(4.2.60)Для вычисления большой полуоси а формулуДля вычисления большой полуоси а формулупараметра орбиты р по известным величинам и эксцентриситета е орбиты имеем простуюпараметра орбиты р по известным величинам и эксцентриситета е орбиты имеем простуюр = а(1 — е2).р = а(1 — е2).(4.2.61)(4.2.61)Наконец, определим время пролета перицентра с помощью уравнения Кеплера:Наконец, определим время пролета перицентра с помощью уравнения Кеплера:аЗ/2tn = ti — ^Ех — е sin Е^.аЗ/2tn = ti — ^Ех — е sin Е^.(4.2.62)(4.2.62)Зтим завершается вычисление элементов эллиптической орбиты Q, г, со, р, в, tn по двум заданным положениям спутника в известные моменты времени.4.2.2. Гиперболическая орбита. Предположим, что заданы два положения спутника Мi и Мг на гиперболической орбите с величиной действительной полуоси а. Найдем величины расстояния этих точек до второго фокуса Ег, т. е. тх и г2, по известным величинам ri и тг расстояния до притягивающего центра Ех.гх = 2а + тх, г2 = 2а + г2. (4.2.63)Построим в центрах Мх и Mi окружности радиусом тх и гаЗтим завершается вычисление элементов эллиптической орбиты Q, г, со, р, в, tn по двум заданным положениям спутника в известные моменты времени.4.2.2. Гиперболическая орбита. Предположим, что заданы два положения спутника Мi и Мг на гиперболической орбите с величиной действительной полуоси а. Найдем величины расстояния этих точек до второго фокуса Ег, т. е. тх и г2, по известным величинам ri и тг расстояния до притягивающего центра Ех.гх = 2а + тх, г2 = 2а + г2. (4.2.63)Построим в центрах Мх и Mi окружности радиусом тх и га

Ех + Е^ = 2 arctg

Ех + Е^ = 2 arctg

2 1

2 1

2« - ^ - ч

2« - ^ - ч

Ctg

Ctg

(4.2.59)

(4.2.59)

определяются эксцентрические аномалии Ех, Ег, а по формуле (2.5.6)— истинные аномалии Оц Ог- По величине й1! можно найти аргумент перицентра:

определяются эксцентрические аномалии Ех, Ег, а по формуле (2.5.6)— истинные аномалии Оц Ог- По величине й1! можно найти аргумент перицентра:

со = их — Фр

со = их — Фр

(4.2.60)

(4.2.60)

Для вычисления большой полуоси а формулу

Для вычисления большой полуоси а формулу

параметра орбиты р по известным величинам и эксцентриситета е орбиты имеем простую

параметра орбиты р по известным величинам и эксцентриситета е орбиты имеем простую

р = а(1 — е2).

р = а(1 — е2).

(4.2.61)

(4.2.61)

Наконец, определим время пролета перицентра с помощью уравнения Кеплера:

Наконец, определим время пролета перицентра с помощью уравнения Кеплера:

аЗ/2

tn = ti — ^Ех — е sin Е^.

аЗ/2

tn = ti — ^Ех — е sin Е^.

(4.2.62)

(4.2.62)

Зтим завершается вычисление элементов эллиптической орбиты Q, г, со, р, в, tn по двум заданным положениям спутника в известные моменты времени.

4.2.2. Гиперболическая орбита. Предположим, что заданы два положения спутника Мi и Мг на гиперболической орбите с величиной действительной полуоси а. Найдем величины расстояния этих точек до второго фокуса Ег, т. е. тх и г2, по известным величинам ri и тг расстояния до притягивающего центра Ех.

гх = 2а + тх, г2 = 2а + г2. (4.2.63)

Построим в центрах Мх и Mi окружности радиусом тх и га

Зтим завершается вычисление элементов эллиптической орбиты Q, г, со, р, в, tn по двум заданным положениям спутника в известные моменты времени.

4.2.2. Гиперболическая орбита. Предположим, что заданы два положения спутника Мi и Мг на гиперболической орбите с величиной действительной полуоси а. Найдем величины расстояния этих точек до второго фокуса Ег, т. е. тх и г2, по известным величинам ri и тг расстояния до притягивающего центра Ех.

гх = 2а + тх, г2 = 2а + г2. (4.2.63)

Построим в центрах Мх и Mi окружности радиусом тх и га

(рис. 4.6). Эти окружности всегда пересекаются в двух точках, поскольку

Г1 + ^2 = 4(Z + Гг + r2 > 8.

Действительно, из треугольника M\F\M2 следует, что и + гг > s; тем более, 4а 4- и + гз > s, так как а > 0. Точки пересечения окружностей (/'’з и ^2) определяют возможные положения второго фокуса. Выбор F^ или F2 подчинен требованию расположения F\ и второго фокуса по разные стороны от траектории движения: при Аб* < л фокусы F\ и F2 расположены по разные стороны от пря

Рис 4 6 Построение гиперболических орбит, проходящих через две точкиРис 4 6 Построение гиперболических орбит, проходящих через две точкимой 71/171/2, а при АО > л фокусы F\ и 7^2 расположены по одну сторону от прямой TI/iTI/2. Следовательно, для гиперболической орбиты рассматриваемая задача имеет единственное решение в случае задания угловой дальности АО или направления движения.

Рис 4 6 Построение гиперболических орбит, проходящих через две точки

Рис 4 6 Построение гиперболических орбит, проходящих через две точки

Из-За незамкнутости орбиты угол АО между точками 7l/i и 71/2 удовлетворяет условию

0 < АО < 2л.

Кроме того, ни при каких положениях точек 71/1 и 71/г гиперболи-

ческий сектор, выделяемый радиусами п, гг и дугой траектории 71/171/г, не будет содержать второго (непритягивающего) фокуса F2. Поэтому в случае гиперболической орбиты может иметь место толь

ко сектор первого рода, когда гиперболический сегмент, ограниченный дугой траектории между точками Tl/i и 71/г, а также хордой 71/171/г, не содержит второго фокуса.

Пусть Я1 и Яг — значения аргумента Я в точках Tl/i и 71/г гиперболической орбиты. Найдем площадь гиперболического сектора M\F\M2. Согласно уравнениям (2.5.20), (4.2.50) и (4.2.51) удвоенная площадь гиперболического сектора

фг = а Vар [е (зЬЯ2 — бЬЯ^ — (Я2 — Ях)] =

= а у ар 2е sh ——1 ch—(Я2 — Н^ .

Введем обозначения

(Z>0)(Z>0)(4.2.64}(4.2.64}Я Н2~Н1 К 7 Л+Я2 d = —^—-, ch I — е ch —^—-

(Z>0)

(Z>0)

(4.2.64}

(4.2.64}

иие = d + I, 6 = I — d,е = d + I, 6 = I — d,(4.2.65}(4.2.65}

и

и

е = d + I, 6 = I — d,

е = d + I, 6 = I — d,

(4.2.65}

(4.2.65}

откуда

d^-^, 1=Ц^-(4.2.66)

Преобразуем теперь с учетом введенных обозначений формулу для удвоенной площади гиперболического сектора:

Фг = 2а V aP (sh d ch I — d) =

= 2a VaP |у [sh (d + 0 — sh Id — l^ —d|=a VaP [sh 8—8—(sh 6—6)].

(4.2.67)

Выразим входящие в (4.2.67) величины 8 и б через п, г2 и АО. Предварительно из уравнения гиперболической орбиты (2.5.15) найдем

П = a (е ch Я1 - 1), r2 = a(е ch Я2 - 1),(4.2.68)

тогда

rt + га = 2a ^е ch —~—- ch —^—1 — 1J, или с учетом (4.2.64)

п + г2 = 2a (ch d ch I — 1).(4.2.69)

Затем установим связь между радиусами п, г2, величиной угла АО = О2 — 01 и хордой s. Но сначала получим некоторые вспомогательные соотношения. Согласно первому уравнению (2.5.14)

г cos О = a (е — ch Я),

отсюда -с учетом уравнения орбиты (2.5.15) найдем

r(l — cosO)= a(e ch Я — 1 — е +сЬЯ) = а(е + 1) (ch Я — 1),(4.2.70)г(1 + cos О) = а(е ch Я — 1 + е — ch Я) = а(е — 1) (ch Я+ 1).

Учитывая соотношения

1 + cos 0 = 2 cos2 ^-, 1 — cos 0 = 2 sin2 -^-,сЬЯ + 1 = 2 ch2ch - 1 = 2sh2y,

преобразуем формулы (4.2.70) к виду

]/г sin-у = Va(e + l)shy,Ут cos — У a (е — 1) ch у,

а затем вычислим

У Г^ ( COS -у COS -у + Sin -у Sin -у I = нн. , я.

= а (е — 1) ch-у ch -у + а (е + 1) sh-y sh -у, иля

доЯ1 + Я2 , ^“^

У r^g cos -у = ае ch ——- — а ch^*

и окончательно, используя (4.2.64),

У^г^з cos ^ = a (ch I — chd).(4.2.71)

Из треугольника M\F\M2 имеем

$8 = г® + Fg — 2r1ra cos А^ = (т^ + г3)2— 4r1r3 cos2 ^-,

и после подстановки соотношений (4.2.69), (4.2.71) вычислим

s2 = 4а2(ch d ch I — I)2 — 4а2(ch I — ch d^ =

= 4а2 (ch2 d — 1) (ch21 — 1) = 4а2 sh2 d sh21, откуда

s = 2a sh d sh I.(4.2.72)

Теперь, используя (4.2.69) и (4.2.72), найдем

ri + r2 + s = 2а [ch (d + Z) — 1],

П + r2 - s = 2a [ch (d - I) - 1],(4.2.73)

а затем с учетом (4.2.65) получим

sh2 -г=sh3 4 - Г1±^-<4-2-74)

Для однозначного определения величин е и б из соотношений (4.2.74) следует установить их знаки. Так как Я2> Н^ то d = = (Я2 — Я1)/2 > 0. Кроме того, по определению Z>0, поэтому всегда выполняется условие

8 > 0.(4.2.75)

Преобразуем правую часть формулы (4.2.71) с учетом (4.2.65) a (ch I — ch d) = 2а sh ^-^ sh уу = 2а sh -у sh -у, тогда

Vт^гх cos ^- = 2а sh -у sh -у.

Отсюда

signjsh -у sign cos ~,(4.2.76)

так как sh(e/2)>0. Следовательно,

(4.2.77)(4.2.77)6 > О при АФ ^ л; б < 0 при АФ > л.

(4.2.77)

(4.2.77)

Вводя обозначения вида (4.2.42) теперь уже для гиперболических функций

4а4а(е^О, 6а> 0), (4.2.78)(е^О, 6а> 0), (4.2.78)

4а

4а

(е^О, 6а> 0), (4.2.78)

(е^О, 6а> 0), (4.2.78)

получим с учетом (4.2.67) общую формулу для удвоенной площади гиперболического сектора:

Фг = а^ар [sh ei — 6i -f- (sh 6i — 6i) ].(4.2.79)

Здесь знак «—» отвечают случаю АФ < л, а знак «+» соответствует случаю АФ > л.

Подставляя удвоенную площадь гиперболического сектора в (4.2.51), получим уравнение для определения действительной полуоси а в случае гиперболической орбиты:

At = —[sh ех — ег =F (sh 6, — 6^],(4.2.80)

где At = t2 — ti.

Теперь остается определить эксцентриситет е, параметр р и аргумент перицентра ы. Предварительно найдем, используя (4.2.68),

а затем —а затем ——- = е ch 2.а—- = е ch 2.а1 о 2 Ch1 о 2 ChЯ2-Я12Я2-Я121.1.ЬЯ1 + Я2 е sh —2—-—-ЬЯ1 + Я2 е sh —2—-—-212а sh —232212а sh —232eCh^Z_2eCh^Z_222а22а1ВЯ2-Я/ch 121ВЯ2-Я/ch 12(4.2.81)(4.2.81)

а затем —

а затем —

—- = е ch 2.а

—- = е ch 2.а

1 о 2 Ch

1 о 2 Ch

Я2-Я1

2

Я2-Я1

2

1.

1.

ЬЯ1 + Я2 е sh —2—-—-

ЬЯ1 + Я2 е sh —2—-—-

21

2а sh —23

2

21

2а sh —23

2

eCh^Z_2

eCh^Z_2

2

2а

2

2а

1

ВЯ2-Я/

ch 1

2

1

ВЯ2-Я/

ch 1

2

(4.2.81)

(4.2.81)

Отсюда получим формулу для вычисления эксцентриситета

е

г 4- г \2

1 + .2— 2]

1 2а /

1

—Н ch2 —21

2

2 1

2

Н — Н 2а sh —21

2

(4.2.82)

где согласно (4.2.64), (4.2.66), (4.2.77) и (4.2.78)

(4.2.83)(4.2.83)Я2— Я1 _ л _ 6 — 6 _ 8i + 6i2 а 22

(4.2.83)

(4.2.83)

(знак «—» берется в случае АФ<л, а знак «+» отвечает случаю АФ> л).

Далее, по формуле

р = а(е2 — 1)

(4.2.84)

вычислим параметр гиперболической орбиты. Расчет элементов гиперболической орбиты завершается вычислением величины (Я1 + Яг)/2 с использованием (4.2.81), которая в совокупности в (4.2.83) позволяет найти Я1 и Яг, затем истинную аномалию Й1 (или йг) из условия

tg-y-- K^tg^- (i = 1, 2)tg-y-- K^tg^- (i = 1, 2)(4.2.85)(4.2.85)и аргумент перицентраи аргумент перицентрасо = и\ — Й)со = и\ — Й)(4.2.86)(4.2.86)

tg-y-- K^tg^- (i = 1, 2)

tg-y-- K^tg^- (i = 1, 2)

(4.2.85)

(4.2.85)

и аргумент перицентра

и аргумент перицентра

со = и\ — Й)

со = и\ — Й)

(4.2.86)

(4.2.86)

находиться только в первойнаходиться только в первойРис. 4.7. Построение параболических орбит, проходящих через две точкиРис. 4.7. Построение параболических орбит, проходящих через две точки(4.2.87)(4.2.87)

находиться только в первой

находиться только в первой

Рис. 4.7. Построение параболических орбит, проходящих через две точки

Рис. 4.7. Построение параболических орбит, проходящих через две точки

(4.2.87)

(4.2.87)

(или со = ы2 — йг). Угол ^112 может или четвертой четверти, поскольку для гиперболической орбиты —л < й < л.

Для вычисления времени пролета перицентра имеем формулу

tn = tx(е sh Нх — Нх\ Ун-

Параболическая орбита. Построим вокруг точек М\ и М^ окружности радиусов т\ и г2. Общая касательная к этим окружностям является директрисой искомой параболы. Если направление

движения не задано, то двум касательным АВ и А'В\ расположен

ным по разные стороны от притягивающего центра, отвечают две возможные параболические орбиты с угловыми дальностями Ай < л и Ай>л (рис. 4.7). Если направление движения задано или известна угловая дальность Ай, то возможна одна параболическая орбита.

Вычислим удвоенную площадь, которую заметает радиус-вектор при движении по параболической орбите

2 / фД \2 / ф\

Фпар =tg -у — tg+ 4- tg3— tg3 —I ,

или

п2 / й\ Г /й, й \/ й„

Фпар =— ^"ГД3+“ ^“fj ]’

(4.2.88)

Здесь й-1, йг — начальное и конечное значения истинной аномалии.

Из треугольника FM\M2 (рис. 4.7) имеем:

52 = (Г1 + Г^ — COS ^.

Отсюда

2 /г^з cos^ = + /(Гх + г2 4- $) (Гх + г2 — s).

Верхний знак перед корнем соответствует случаю АФ < л, а нижний — случаю АФ > л. После подстановки в левую часть величин т\ и Г2 из уравнения параболической орбиты получим первое вспомогательное соотношение

+ tg-^-tg^ = ±у- У\гх + г2 + s)(rx + r^ — sY (4.2.89)

Далее вычислим

(

Ф Ф \

+ tg2^- + tg2-^J

и с учетом (4.2.89) найдем второе вспомогательное соотношение

tg ^ — tg ^ = ^ ( Угг + г2 + s + Vrx + г2 — s).

Подставляя оба вспомогательных соотношения в (4.2.88), определим удвоенную площадь параболического сектора через параметр орбиты р, начальный и конечный радиусы п, гг, а также стягивающую их хорду s:

Флар = ^ [(г, + г2 + ^ т (Г1 + Г2 _ $у/Ч.(4.2.90)

Здесь знак «—» берется при угловой дальности АФ < л, а знак «+» отвечает условию АФ > л.

Используя заданное время движения по параболической орбите Mnap = t2 — t\ и уравнение (4.2.51), запишем формулу Эйлера, связывающую время с геометрическими характеристиками движения (и, Г2, s):

AtnaP = 1гЙ[(г* + Гз + 5)3,2 т (Г1 + Га - 5)8/21'<-2'91)

При выполнении условия М = Мцар орбита является параболической (а = °о). Вычислим параметр параболической орбиты. Предварительно из уравнения орбиты

Преобразуем второе равенство (4.2.92) с учетом первого:

Отсюда

(4.2.93)

Зная величину р, можно из первого равенства (4.2.92) вычислить истинную аномалию Oi, а затем аргумент перицентра

со = Ml — Фрсо = Ml — Фр(4.2.94)

со = Ml — Фр

со = Ml — Фр

Наконец, по формуле (2.5.24) определим время пролета перицентра:

D3/2 (4 О \D3/2 (4 О \(4.2.95)(4.2.95)

D3/2 (4 О \

D3/2 (4 О \

(4.2.95)

(4.2.95)

Случаем параболической орбиты закончим рассмотрение задачи определения основных элементов орбиты по двум заданным положениям КА и времени перелета между ними.

(4.2.96)(4.2.96)Если тип орбиты заранее не известен, то предварительно следует вычислить величины А^ар по формуле (4.2.91) и

(4.2.96)

(4.2.96)

^гр — -^^ — ^^- [л + ($0 — sin д0)].

Сравнивая заданную величину A^ с Atnap и А^р, можно установить тип орбиты. Действительно, при

A^ > А^р

имеем эллиптическую орбиту второго рода, при A^ = А^р

орбита является граничной эллиптической, а при А^гр A^ > ^цар

получим эллиптическую орбиту первого рода. Понятно, что в случае

kt = А^арреализуется параболическая орбита, а приAf< А^арорбита должна быть гиперболической.

Кратко обсудим особые случаи определения орбиты, когда заданные точки Mi, М2 и притягивающий центр F расположены на одной прямой. Если точки М\ и М2 находятся по разные стороны от притягивающего центра (A^ = n), то для построения траектории необходимо задаться плоскостью движения и установить направление движения, поскольку в каждой плоскости возможны две подобные траектории, различающиеся направлением обхода притягивающего центра. Решение задачи проводится при условии

Г1 + Г2 = S,

и в зависимости от заданного времени перелета A^ может реализоваться любая из рассмотренных выше траекторий.

Если точки Mi и М2 находятся по одну сторону от притягивающего центра, то траектория оказывается прямолинейной (эллиптической любого рода, гиперболической, параболической). Заметим, что этот случай сравнительно редко встречается в задачах механики космического полета.

В тех случаях, когда угловая дальность Ай* > 2л, задача несколько усложняется, но орбита может быть только эллиптической. Решение задачи для случаев прямолинейной орбиты и случаев. Ай* > 2я подробно рассматривается в работе [62].

Определение орбиты по измерениям положения

и скорости

Для определения элементов орбиты спутника могут использоваться измерения его положения и скорости, что позволяет упростить вычисления. При определении орбиты спутника с помощью наземного измерительного комплекса обычно проводятся несколько сеансов с большим числом измерений в течение каждого сеанса. Как правило, результаты измерений содержат методические и случайные ошибки. В этой ситуации возникает задача рационального использования избыточной информации для более точного определения элементов орбиты спутника.

Ниже обсуждаются способы решения перечисленных задач.

Использование измерений положения и скорости. Предположим, что в результате проведенных измерений определен радиус-вектор го и вектор скорости Vo в момент времени /о, причем эти векторы не коллинеарны. Определим элементы орбиты спутника.

Плоскость орбиты фиксируется с помощью единичного вектора нормали, направленного по векторному интегралу площадей

с°= kNt(4'зл>

Если сх, су, cz — составляющие вектора с° в экваториальной системе координат Fxyz, то наклонение орбиты и долготу восходя-

щего узла можно вычислить с использованием формул (4.2.7) и (4.2.8):

i = arccos сг (О^г^л),sinQ=—cosQ =СЛ-. (0^Q^2n).sin гsm i \/

Модуль векторного интеграла площадей 67= IfqX Vol позволяет определить по формуле (2.2.29) параметр орбиты

.а с помощью интеграла энергии (2.2.1)

0 г.0 г.= 1г= 1г

0 г.

0 г.

= 1г

= 1г

по формуле (2.2.32) можно найти эксцентриситет орбиты

л //72

е = V 1 +г

По величине эксцентриситета однозначно определяется тип орбиты. При е < 1 орбита эллиптическая, при е > 1 — гиперболическая, а в случае е = 1 — параболическая.

Чтобы вычислить истинную аномалию Фо в момент времени ^, воспользуемся формулами для радиальной (2.3.5) и трансверсальной (2.3.7) составляющих вектора скорости. Тогда

гдегдеVo-^oVo-^o(4.3.3)(4.3.3)sin19^^^^’ со^о^"^0 И"^-1)' (4-3-2)

где

где

Vo-^o

Vo-^o

(4.3.3)

(4.3.3)

V „ = V - 0 У к ГО ’ О I г I F по

I о I

Аргумент широты ио определяется из следующих соотношений:

cos и0 = Гй •cos и0 = Гй •sin и0 =sin и0 =гй X -ту-|" I о Iгй X -ту-|" I о Isign гогsign гог(4.3.4)(4.3.4)

cos и0 = Гй •

cos и0 = Гй •

sin и0 =

sin и0 =

гй X -ту-|" I о I

гй X -ту-|" I о I

sign гог

sign гог

(4.3.4)

(4.3.4)

(О^ио^2л),

где г^ = (cos Q, sin Q, 0) — единичный вектор, направленный из притягивающего центра в восходящий узел, tqz — проекция го на ось Fz. Далее найдем аргумент перицентра

too = и0 — Фо- (4.3.5)

Для определения времени пролета перицентра tn следует воспользоваться знанием типа орбиты. Если орбита эллиптическая, то предварительно вычисляется эксцентрическая аномалия с исполь-

зованием формулы (2.5.6)

(4.3.6)(4.3.6)а затем из уравнения (2.5.8) — время пролета перицентра аз/2.Здесь величина большой полуоси а =^-2.Если орбита гиперболическая, то сначала определяется на Но по формуле (2.5.17)На затем время пролета перицентра ^=^о-^(^ЬЯо-Яо),а затем из уравнения (2.5.8) — время пролета перицентра аз/2.Здесь величина большой полуоси а =^-2.Если орбита гиперболическая, то сначала определяется на Но по формуле (2.5.17)На затем время пролета перицентра ^=^о-^(^ЬЯо-Яо),(4.3.7)(4.3.7)величи-величи-(4.3.8)(4.3.8)(4.3.9)(4.3.9)гдегдеа = -^— е2 — 1а = -^— е2 — 1В случае параболической орбиты время пролета перицентра вычисляется по формуле/ ft л ft \+(4-зл0>4.3.2. Использование многих измерений. В реальных ситуациях измерительная информация обычно содержит ошибки, как методические (систематические), так и случайные. Пусть в результате измерений определяется некоторая величина /„ которая связана с элементами орбиты заданным соотношениемfi = F,(i, Q, со, р, е, tn), i=l, 2, ..., п. (4.3.11)Если п = 6, то в принципе возможно определить все шесть элементов орбиты, независимо от сложности функций F,. Вычисленные таким способом элементы орбиты будут неточными из-за ошибок измерений. Предположим теперь, что п > 6. Число уравнений превышает число искомых параметров, т. е. система является переопределенной. Покажем, как избыточная измерительная информация может быть использована для уточнения элементов орбиты.Обозначим элементы орбиты через хх, ..., х§ и t, — момент времени проведения i-ro измерения. Общее число измерений п > 6. В этом случае имеем систему п > 6 уравненийF^xx, ..., х6, ti) = ft, i = l, 2, ..., п, 14.3.12)В случае параболической орбиты время пролета перицентра вычисляется по формуле/ ft л ft \+(4-зл0>4.3.2. Использование многих измерений. В реальных ситуациях измерительная информация обычно содержит ошибки, как методические (систематические), так и случайные. Пусть в результате измерений определяется некоторая величина /„ которая связана с элементами орбиты заданным соотношениемfi = F,(i, Q, со, р, е, tn), i=l, 2, ..., п. (4.3.11)Если п = 6, то в принципе возможно определить все шесть элементов орбиты, независимо от сложности функций F,. Вычисленные таким способом элементы орбиты будут неточными из-за ошибок измерений. Предположим теперь, что п > 6. Число уравнений превышает число искомых параметров, т. е. система является переопределенной. Покажем, как избыточная измерительная информация может быть использована для уточнения элементов орбиты.Обозначим элементы орбиты через хх, ..., х§ и t, — момент времени проведения i-ro измерения. Общее число измерений п > 6. В этом случае имеем систему п > 6 уравненийF^xx, ..., х6, ti) = ft, i = l, 2, ..., п, 14.3.12)

(4.3.6)

(4.3.6)

а затем из уравнения (2.5.8) — время пролета перицентра аз/2.

Здесь величина большой полуоси а =^-2.

Если орбита гиперболическая, то сначала определяется на Но по формуле (2.5.17)

Н

а затем время пролета перицентра ^=^о-^(^ЬЯо-Яо),

а затем из уравнения (2.5.8) — время пролета перицентра аз/2.

Здесь величина большой полуоси а =^-2.

Если орбита гиперболическая, то сначала определяется на Но по формуле (2.5.17)

Н

а затем время пролета перицентра ^=^о-^(^ЬЯо-Яо),

(4.3.7)

(4.3.7)

величи-

величи-

(4.3.8)

(4.3.8)

(4.3.9)

(4.3.9)

где

где

а = -^— е2 — 1

а = -^— е2 — 1

В случае параболической орбиты время пролета перицентра вычисляется по формуле

/ ft л ft \

+(4-зл0>

4.3.2. Использование многих измерений. В реальных ситуациях измерительная информация обычно содержит ошибки, как методические (систематические), так и случайные. Пусть в результате измерений определяется некоторая величина /„ которая связана с элементами орбиты заданным соотношением

fi = F,(i, Q, со, р, е, tn), i=l, 2, ..., п. (4.3.11)

Если п = 6, то в принципе возможно определить все шесть элементов орбиты, независимо от сложности функций F,. Вычисленные таким способом элементы орбиты будут неточными из-за ошибок измерений. Предположим теперь, что п > 6. Число уравнений превышает число искомых параметров, т. е. система является переопределенной. Покажем, как избыточная измерительная информация может быть использована для уточнения элементов орбиты.

Обозначим элементы орбиты через хх, ..., х§ и t, — момент времени проведения i-ro измерения. Общее число измерений п > 6. В этом случае имеем систему п > 6 уравнений

F^xx, ..., х6, ti) = ft, i = l, 2, ..., п, 14.3.12)

В случае параболической орбиты время пролета перицентра вычисляется по формуле

/ ft л ft \

+(4-зл0>

4.3.2. Использование многих измерений. В реальных ситуациях измерительная информация обычно содержит ошибки, как методические (систематические), так и случайные. Пусть в результате измерений определяется некоторая величина /„ которая связана с элементами орбиты заданным соотношением

fi = F,(i, Q, со, р, е, tn), i=l, 2, ..., п. (4.3.11)

Если п = 6, то в принципе возможно определить все шесть элементов орбиты, независимо от сложности функций F,. Вычисленные таким способом элементы орбиты будут неточными из-за ошибок измерений. Предположим теперь, что п > 6. Число уравнений превышает число искомых параметров, т. е. система является переопределенной. Покажем, как избыточная измерительная информация может быть использована для уточнения элементов орбиты.

Обозначим элементы орбиты через хх, ..., х§ и t, — момент времени проведения i-ro измерения. Общее число измерений п > 6. В этом случае имеем систему п > 6 уравнений

F^xx, ..., х6, ti) = ft, i = l, 2, ..., п, 14.3.12)

с шестью неизвестными Xi, ..., же. Предположим, что известны величины элементов орбиты в первом приближении ^\ v = 1, ... ..., 6. Обычно бывают известны номинальные или некоторые другие априорные величины. Вычислим значения функций ^ при х^ = = ^v1^ v = 1, ..., 6. Тогда получим

F^\ . Ч) = Д< 1,2, ...,«.(4.3.13}

Обозначая разности между точными значениями элементов орбиты и их первыми приближениями через

^Xм = Хм— ^7 v = 1, . .., 6,(4.3.14)

и считая функции Рг непрерывными и дифференцируемыми, запишем приближенные равенства

Fi (^ x6l t-) — Fi У^, xV\ д) «

dFt8F,дЕх

« — А^ + —-Аж2+ ... + г-^А^, г = 1,2, ...,п. (4.3.15)

9Fi. дх^9Fi. дх^Частные производные вычисляются при значениях х^ = х^\ т. е. в точке х^ = (а^, . .., л:^). Обозначим для краткости

9Fi. дх^

9Fi. дх^

= <ziv, г = 1, 2, . . ., п; v = 1, . .., 6,(4.3.16)

x(D

тогда систему уравнений для поправок можно записать в следующем виде:

а^А^ + ai2A^2 + • • • + aieA;re = АД, i = 1, 2, ..., n, (4.3.17) где

А/, = A — Л, i = 1, 2, ..., n.(4.3.18)

Система (4.3.18) содержит шесть неизвестных Лац, ..., A^er а число уравнений п > 6. Поскольку число уравнений больше числа неизвестных, то такая система в общем случае несовместна. С помощью метода наименьших квадратов производится вычисление таких поправок Лац, ..., А^е, чтобы получить наилучшее возможное согласование правых и левых частей уравнений (4.3.17). Рассмотрим соотношение

Q = 2 («цА^! + а^\х2 + ... + aie\xe — АД)2 (4.3.19) i=l

и будем определять числа Лац, ..., А^е из условия минимальности Q. Для этого необходимо равенство нулю первых производных Q по \xv:

^2--0, v = l, . ..,6.(4.3.20)

Дифференцируя Q и собирая коэффициенты при поправках kx^ получим систему шести уравнений относительно A#i, ..., А^:

ЬцА^1 + &1гА^2 + ... + &1бА#6 = Zi,

&21А^1 + &22А#2 + • . . + &2бА#б = ^2,

&6iA^i + &62А#2 + ... + &ббА^б = к-

Здесь коэффициенты b]V и Zv (/, v = 1, ..., 6) вычисляются по формулам

bjv ^Ij^lv + ^2j^2v Т • . . Т ^nj^nv,

Ц = щДЛ + a2vA/2 + ... + апМ-(4.3.22)

Решение системы (4.3.21) позволяет определить поправки первого приближения Лац, ..., А^о, которые «в среднем» наилучшим образом удовлетворяют системе (4.3.17). Затем вычисляются значения элементов орбиты во втором приближении

х? = Х^ + A^v, v = 1, ..., 6.(4.3.23)

Используя их, можно найти по указанному алгоритму значения элементов орбиты в третьем приближении и т. д. до тех пор, пока процесс последовательного уточнения элементов орбиты не сойдется с требуемой точностью.

Полученные результаты зависят от точности измерений. При повышении точности измерений повышается точность определения элементов орбиты. При одной и той же точности измерений точность определения элементов орбиты можно увеличить за счет увеличения числа независимых измерений [3, 12, 63].

Трассы околоземных спутников

Проекцию орбиты спутника на поверхность центрального тела называют трассой спутника. Другими словами, трасса — это совокупность точек пересечения перемещающегося радиуса-вектора спутника с поверхностью центрального тела. В последующем рассмотрении ограничимся трассами околоземных спутников.

Обычно при построении трассы поверхность Земли принимается сферической, что значительно упрощает задачу.

Круговая орбита спутника. Если эксцентриситет орбиты мал (е~0), то ее можно рассматривать в качестве круговой. Это упрощает построение трассы спутника.

Пусть в момент времени to заданы наклонение орбиты i, период обращения Т и географические координаты точки О трассы: долгота Хо и широта фо (рис. 4.8). Требуется определить координаты точки М трассы в момент времени t > t0.

Вычислим сначала координаты X, ф точки М в предположении, что Земля не вращается. Из сферического прямоугольного треуголь-

ника ВСО, построенного на рис. 4.8, следуют соотношения

sin u0sin u0sin <р0 sini ’sin <р0 sini ’sin ДАв =sin ДАв =Hotgi *Hotgi *(4.4.1}(4.4.2)(4.4.1}(4.4.2)

sin u0

sin u0

sin <р0 sini ’

sin <р0 sini ’

sin ДАв =

sin ДАв =

Hotgi *

Hotgi *

(4.4.1}

(4.4.2)

(4.4.1}

(4.4.2)

Отсюда можно определить углы uo — аргумент широты начальной точки и ДАо — разность долгот начальной точки и восходящего узла. При этом необходимо использовать дополнительную информаОтсюда можно определить углы uo — аргумент широты начальной точки и ДАо — разность долгот начальной точки и восходящего узла. При этом необходимо использовать дополнительную информацию о направлении движения спутника.Угловая скорость перемещения спутника по круговой орбите постоянна®кР - ^.(4.4.3)цию о направлении движения спутника.Угловая скорость перемещения спутника по круговой орбите постоянна®кР - ^.(4.4.3)поэтому за время t — t0 спутник проходитпоэтому за время t — t0 спутник проходитугловое расстояниеугловое расстояниеДи = сокр(£ — t0) = -Y^t — t0Y (4.4.4)Для сферического прямоугольного треугольника BDM справедливы соотношения tg(AAo + ДА) = cositg(u0 + Ди), (4.4.5)8Шф = sin isin(uo+ Ди). (4.4.6)Ди = сокр(£ — t0) = -Y^t — t0Y (4.4.4)Для сферического прямоугольного треугольника BDM справедливы соотношения tg(AAo + ДА) = cositg(u0 + Ди), (4.4.5)8Шф = sin isin(uo+ Ди). (4.4.6)Рис. 4.8. К построению* трассы круговой орбиты спутникаРис. 4.8. К построению* трассы круговой орбиты спутникаОтсюда можно вычислить ДА — разность долгот точек М и О, а также ф—широту точки М. Согласно (4.4.6) наибольшая и наименьшая широты точек трассы спутника определяются условием sin ф = = ±sin i, поэтому диапазон изменения широтОтсюда можно вычислить ДА — разность долгот точек М и О, а также ф—широту точки М. Согласно (4.4.6) наибольшая и наименьшая широты точек трассы спутника определяются условием sin ф = = ±sin i, поэтому диапазон изменения широт

Отсюда можно определить углы uo — аргумент широты начальной точки и ДАо — разность долгот начальной точки и восходящего узла. При этом необходимо использовать дополнительную информа

Отсюда можно определить углы uo — аргумент широты начальной точки и ДАо — разность долгот начальной точки и восходящего узла. При этом необходимо использовать дополнительную информа

цию о направлении движения спутника.

Угловая скорость перемещения спутника по круговой орбите постоянна

®кР - ^.(4.4.3)

цию о направлении движения спутника.

Угловая скорость перемещения спутника по круговой орбите постоянна

®кР - ^.(4.4.3)

поэтому за время t — t0 спутник проходит

поэтому за время t — t0 спутник проходит

угловое расстояние

угловое расстояние

Ди = сокр(£ — t0) = -Y^t — t0Y (4.4.4)

Для сферического прямоугольного треугольника BDM справедливы соотношения tg(AAo + ДА) = cositg(u0 + Ди), (4.4.5)

8Шф = sin isin(uo+ Ди). (4.4.6)

Ди = сокр(£ — t0) = -Y^t — t0Y (4.4.4)

Для сферического прямоугольного треугольника BDM справедливы соотношения tg(AAo + ДА) = cositg(u0 + Ди), (4.4.5)

8Шф = sin isin(uo+ Ди). (4.4.6)

Рис. 4.8. К построению* трассы круговой орбиты спутника

Рис. 4.8. К построению* трассы круговой орбиты спутника

Отсюда можно вычислить ДА — разность долгот точек М и О, а также ф—широту точки М. Согласно (4.4.6) наибольшая и наименьшая широты точек трассы спутника определяются условием sin ф = = ±sin i, поэтому диапазон изменения широт

Отсюда можно вычислить ДА — разность долгот точек М и О, а также ф—широту точки М. Согласно (4.4.6) наибольшая и наименьшая широты точек трассы спутника определяются условием sin ф = = ±sin i, поэтому диапазон изменения широт

— i ^ ф ^ z— i ^ ф ^ zпри 0^ г ^ —,при 0^ г ^ —,— (л — г) ^ ф ^ л — i при— (л — г) ^ ф ^ л — i прил / • / — ^ ^Л.л / • / — ^ ^Л.(4.4.7)(4.4.7)

— i ^ ф ^ z

— i ^ ф ^ z

при 0^ г ^ —,

при 0^ г ^ —,

— (л — г) ^ ф ^ л — i при

— (л — г) ^ ф ^ л — i при

л / • / — ^ ^Л.

л / • / — ^ ^Л.

(4.4.7)

(4.4.7)

Долгота точки М для невращающейся Земли

(4.4.8)(4.4.8)А = Ао + ДА.

(4.4.8)

(4.4.8)

Как будет показано в § 8.5, под влиянием сжатия Земли плоскость круговой орбиты спутника прецессирует, т. е. непрерывно вращается с постоянной угловой скоростью Q. При наклонениях 0 -< i <2 <С-у плоскость орбиты прецессирует с востока на запад (Q<0)r а при наклонениях -^- < i < л плоскость орбиты прецессирует с запада на восток (Q>0).

С учетом прецессии орбиты формула (4.4.8) принимает вид

А = Хо + AX + Q(i-i0).(4.4.9)

Определим теперь координаты (X', ф') точки М трассы с учетом вращения Земли, т. е. ее географические координаты, считая, что долгота возрастает от Гринвичского меридиана на восток от 0° до 360°. Если о)з — угловая скорость вращения Земли, то за время t — to Земля повернется на угол

АХ3 = (o3(i — io)

€ запада на восток. Следовательно, в момент времени t под спутником окажется точка, долгота которой на угол АА,3 меньше, чем долгота, определенная по формуле (4.4.9) без учета суточного вращения Земли:

X' =Ao+ AX-(to3-Q) (i-io).(4.4.10)

Прецессия орбиты, как и вращение Земли, не сказывается на широте точек трассы, т. е.

ф'= ф.(4.4.11)

Задаваясь последовательными моментами времени, можно построить трассу первого витка. Витком принято называть часть траектории, соответствующей одному обороту спутника вокруг Земли. Началом каждого витка считается момент прохождения спутника над экватором (в восходящем узле).

Определим смещение спутника по долготе за один виток:

АХв = -(<Вз-Й)Л(4.4.12)

тде Т — период обращения спутника. Если на карту, выполненную в меркаторской проекции (с прямолинейностью меридианов и отсутствием искажения углов), нанести трассу первого витка, то трассы всех последующих витков можно построить путем последовательного смещения трассы первого витка по долготе на величину АЛВ.

В задачах механики космического полета часто используется понятие суточного числа витков спутника (N), т. е. ближайшего целого числа витков (с округлением), которое совершает спутник за одни сутки. Поскольку Земля за сутки поворачивается на угол 2л, а смещение спутника по долготе за один виток есть ААВ, суточное число витков — это ближайшее целое число, определяемое отношением 2л/АХв:

2л

(4.4.13)

Угол

АЛсп = 2л-УА%в(4.4.14)

называют суточным смешением орбиты. Если А%сут > 0, спутник за сутки смещается на восток относительно начального положения

восходящего узла, а в случае АХсут < О — на запад. Понятно, что | АХеут! АХв/2.

Пусть 2л/ААв есть целое число, тогда через сутки спутник возвратится в начальное положение относительно поверхности Земли, а трасса его движения в течение вторых суток совпадет с трассой движения в течение первых суток. В общем случае, когда AAcyT =# О, трасса витков с 2V+1 по 2N получается путем сдвига по долготе на угол ААсут трассы витков с 1 по N.

Предположим теперь, что

(4А15>

где knl — целые числа; тогда

2л/ = /сАХв,

и спутник возвратится в начальное положение относительно поверхности Земли через I суток, сделав к витков по орбите.

На рис. 4.9 в качестве примера построена трасса вторых суток полета (с 17-го по 33-й виток) космического корабля «Союз-22»,

Рис. 4.9. Трасса вторых суток полета (с 17-го по 33-й виток) космического корабля «Союз-22»

выведенного на почти круговую орбиту с высотой — 265 км и наклонением 64°,8. Период обращения 89,6 мин.

Эллиптическая орбита спутника. Рассмотрим теперь более сложную задачу построения трассы при движении спутника по эллиптической орбите. Пусть начальный момент времени £о соответствует нахождению спутника, координаты которого Хо, фо, в перигее орбиты (точка О на рис. 4.8). Задано наклонение орбиты i.

ее эксцентриситет е, параметр р. Требуется определить координаты точки M(V, ф'), соответствующей моменту времени t>to.

Предварительно вычислим величину большой полуоси а = = р/(1 —е2), а затем с помощью уравнения (2.5.8)

аз/2

t — L = (Е — е sin Е')"|/р

найдем эксцентрическую аномалию спутника в момент времени t. Наконец, по формуле (2.5.6)

1 + е1 — е1 + е1 — е*8 4*8 4

1 + е

1 — е

1 + е

1 — е

*8 4

*8 4

определим истинную аномалию й. Согласно обозначениям рис. 4.8 Ей = й. Поэтому для вычисления координат точки М можно использовать формулы, аналогичные (4.4.5) и (4.4.6):

tg(AЛo + АЛ) = cos itg(uo + й),(4.4.16)

зшф = sin isin(no + й).(4.4.17)

Здесь ио + й = и — аргумент широты точки М. Далее найдем долготу точки М для невращающейся Земли

Л = Ло + АЛ.

В § 8.5 будет показано, что прецессию эллиптической орбиты можно приближенно описать с помощью средней скорости смещения долготы восходящего узла Qcp. Тогда долгота точки М, найденная в первом приближении с учетом вращения Земли и прецессии орбиты, будет вычисляться по формуле, аналогичной (4.4.10):

Л' = Ло + АЛ —(о>з — Йср) (t — £о).(4.4.18)

Широта точки М ф' = ф, где угол ф определяется формулой (4,4.17).

Задаваясь последовательными моментами времени, можно определить координаты соответствующих точек трассы спутника. В зависимости от основных элементов эллиптической орбиты трасса спутника может иметь различную конфигурацию [30]. На рис. 4.10 показана трасса типа спутника «Молния», имеющего сильно вытянутую эллиптическую орбиту с периодом обращения 12 ч и апогеем в северном полушарии.

Суточный спутник. Если сидерический (звездный) период обращения спутника равен звездным суткам (Т = 23 час 56,07 мин), то спутник называют суточным, или синхронным. Трасса невозмущенного движения суточного спутника является замкнутой кривой, т. е. трассы всех последующих витков совпадают с трассой первого витка. В этом случае можно получить простое соотношение, связывающее текущие координаты трассы.

Пусть в начальный момент времени tQ спутник находится в восходящем узле круговой суточной орбиты (точка В на рис. 4.8). В момент времени t трасса пройдет через точку О, для которой

Рис. 4.10. Трасса типа спутника «Молния» (без привязки начальной точки)Рис. 4.10. Трасса типа спутника «Молния» (без привязки начальной точки)

Рис. 4.10. Трасса типа спутника «Молния» (без привязки начальной точки)

Рис. 4.10. Трасса типа спутника «Молния» (без привязки начальной точки)

ДАо — долгота, отсчитываемая от восходящего узла В, и фо — широта. Из сферического прямоугольного треугольника ВСО согласно (4.4.1) и (4.4.2) имеем

(4.4.19)(4.4.20)(4.4.19)(4.4.20)• Zsin(Po

(4.4.19)

(4.4.20)

(4.4.19)

(4.4.20)

wn = arcsin ——0\ sm l

/tg ф \

ДХП = arcsin -т—2 .0k tg i /

Орбитальная угловая скорость суточного спутника равна угловой скорости вращения Земли ®3. Отсюда можно найти время перемещения по трассе из точки В в точку О*.

0 ®з

За это время Земля в свою очередь повернется на угол

AQ3 = о)3Д^ = по.(4.4.21)

Теперь можно с учетом вращения Земли определить долготу точки О как функцию ее широты:

лп = ав + arcsin -—— arcsin ——г°\ tg г /\ sin ъ

Из формулы (4.4.22) следует, что при каждом пересечении трассой спутника экватора (фо = 0) долгота точки одна и та же: Ло = = ЛВ. Поэтому трасса спутника имеет вид «восьмерки», т. е. пред-

\120/\120/-90-9090‘90‘ставляет собой замкнутую ^80° i=180oставляет собой замкнутую ^80° i=180oооРис. 4.11. Трассы в северном полушарии суточных круговых спутников ЗемлиРис. 4.11. Трассы в северном полушарии суточных круговых спутников Землидвойную петлю, причем одна петля расположена в северном полушарии, а вторая в южном. На рис. 4.11 построены трассы суточных спутников в северном полушарии при различ-

\120/

\120/

-90

-90

90‘

90‘

ставляет собой замкнутую ^80° i=180o

ставляет собой замкнутую ^80° i=180o

о

о

Рис. 4.11. Трассы в северном полушарии суточных круговых спутников Земли

Рис. 4.11. Трассы в северном полушарии суточных круговых спутников Земли

ных наклонениях орбиты

В южном полушарии картина логична.

Особо следует выделить два дельных случая: i = 0 и i = л.

[7].ана-[7].ана-пре- Припре- Приi = 0 плоскость орбиты спутника совпадает с плоскостью экватора, и спутник вращается с запада на восток с такой же угловой скоростью, что и Земля. Поэтому для наблюдателя, который находится на поверхности Земли, спутник кажется неподвижным. Следовательно,

[7].

ана-

[7].

ана-

пре- При

пре- При

трасса его вырождается в точку. Такой суточный спутник называют стационарным (неподвижным относительно поверхности Земли).

Рис. 4.12. Трассы суточных эллиптических спутников Земли (наклонение i = 60°, эксцентриситет е = 0,6)Рис. 4.12. Трассы суточных эллиптических спутников Земли (наклонение i = 60°, эксцентриситет е = 0,6)При г = л плоскость орбиты спутника также совпадает с плоскостью экватора, но спутник движется на запад, против вращения

Рис. 4.12. Трассы суточных эллиптических спутников Земли (наклонение i = 60°, эксцентриситет е = 0,6)

Рис. 4.12. Трассы суточных эллиптических спутников Земли (наклонение i = 60°, эксцентриситет е = 0,6)

Земли. Такой спутник в течение суток дважды проходит над каждой точкой экватора.

Стационарный спутник представляет наибольший интерес для целей космической связи и наблюдения за поверхностью Земли. Выведение стационарного спутника из точек старта, расположенных вне плоскости экватора, требует больших энергетических затрат.

Поэтому для решения многих задач могут использоваться суточные (синхронные) спутники на круговых и эллиптических орбитах, плоскость движения которых наклонена под большим углом к плоскости экватора. За счет выбора элементов орбиты суточного спутника можно добиться наибольшего эффекта в его использовании для целей связи или наблюдения. На рис. 4.12 построены трассы суточных спутников Земли с наклонением I = 60°, эксцентриситетом е = 0,6 и различными положениями перигея, обозначенного буквой П [66].

В Советском Союзе на геостационарную орбиту выводятся связные спутники типа «Горизонт», «Радуга», «Экран». Всего в различных точках геостационарной орбиты в 1987 году находились около ста спутников, принадлежащих различным государствам.

ГЛАВА 5

МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ

Одной из основных задач механики космического полета является расчет маневров космического аппарата (КА). Маневром называют целенаправленное изменение параметров движения КА, в результате которого первоначальная траектория свободного полета ^начальная орбита) меняется на некоторую другую (конечная орбита или траектория полета). Обычно маневр осуществляется с помощью двигательной установки. Длительность работы, направление вектора тяги и число включений двигателя зависят от начальной и конечной орбит. При расчете маневра необходимо его оптимизировать, т. е. определить такие условия проведения маневра, при которых расход топлива оказывается минимальным. Это — наиболее часто встречающийся критерий оптимальности, хотя в некоторых задачах рассматриваются и другие критерии, например время перелета с одной орбиты на другую, обеспечение высокой точности конечных (терминальных) параметров движения и др. Для некоторых маневров оказывается возможным использовать вместо двигательной установки (или для частичного уменьшения расхода топлива) аэродинамические силы, возникающие при движении КА в атмосфере планеты. Например, торможение КА в атмосфере при совершении посадки, частичное торможение КА при переводе его с подлетной гиперболической траектории на орбиту спутника планеты, поворот плоскости движения в процессе непродолжительного погружения в атмосферу и т. п.

Как уже отмечалось, в большинстве задач механики космического полета маневры осуществляются с помощью двигательной установки. К их числу относятся компланарные маневры, связанные с межорбитальными перелетами в одной плоскости, пространственные маневры, требующие изменения плоскости движения, сход с орбиты для спуска и посадки и др.

Для уменьшения расхода топлива на маневр необходимо определить оптимальные условия проведения маневра, т. е. выбрать моменты времени включения и выключения двигателя, число включений (или активных участков), величину и ориентацию вектора тяги при каждом включении. Орбиту, связывающую начальную и конечную орбиты, называют орбитой (или траекторией) перелета. Точный расчет маневра, включая активные участки и орбиту перелета, обычно выполняется с использованием ЭВМ. В приближенной постановке учитывают тот факт, что в большинстве случаев длительность активных участков пренебрежимо мала по сравнению

с длительностью пассивного полета, т. е. протяженностью орбиты перелета. Тогда удается существенно упростить задачу, аппроксимируя активные участки импульсным (скачкообразным) изменением скорости. При этом предполагают, что в момент мгновенного изменения скорости координаты КА остаются без изменения. Расчет такого маневра сводится к определению числа импульсов скорости ДРг, i=l, 2, ..., и, их ориентации и точек приложения. Полученное решение может использоваться для оценки потребных затрат топлива, а также в качестве хорошего начального приближения при решении задачи в точной постановке с учетом ограниченной величины тяги двигателя.

Опубликованы достаточно подробные обзоры работ, посвященных импульсным маневрам, например [76].

Двухимпульсный перелет

между компланарными друговыми орбитами

Маневр КА без изменения плоскости движения лежит в основе многих задач механики космического полета. Эти задачи исследованы достаточно глубоко, а полученные решения и рекомендации используются при реализации космических полетов.

Формула Циолковского. Расчет импульсных маневров (и даже маневров с учетом ограниченной величины тяги двигателя) часто проводят в терминах потребного приращения скорости. Суммарное приращение скорости на маневр можно пересчитать в потребный запас топлива, если известны характеристики двигательной установки. Для таких пересчетов обычно пользуются формулой Циолковского, которая устанавливает связь между запасом топлива и максимальным возможным приращением скорости КА.

Получим формулу Циолковского, т. е. определим приращение скорости КА под действием тяги двигателя в идеальном случае, когда полет совершается в безвоздушном пространстве и вне поля притяжения. Если тяга двигателя все время направлена по вектору скорости, то траектория КА будет прямолинейной. Уравнение движения КА в проекции на направление скорости

т™ = Р,(5.1.1)

где тп — масса КА, V — скорость,

p=W^-^(5.1.2)

— тяга двигателя в вакууме, W — скорость истечения газов из сопла двигателя, —dmjdt— секундный расход топлива. Сама производная dmjdt отрицательна, так как масса КА убывает, поэтому перед ней поставлен знак минус. Отсюда получим

dVdm

m.—— = — W -тг

dtdt

ИИ

И

И

(5.1.3)(5.1.3)dV = — W —.т

(5.1.3)

(5.1.3)

Интегрируя (5.1.3) в предположении W = const, найдем

V = -WlnmVC.

Для определения произвольной постоянной интегрирования С воспользуемся начальным условием: при т = т^ (начальная масса) имеем У = Уо (начальная скорость). Тогда приращение скорости КА в момент времени t

(5.1.4)(5.1.4)т

(5.1.4)

(5.1.4)

АУ (i) = У (i) — Уо = ТУ 1п^-^.

Полное приращение скорости после выгорания всего топлива, когда т = тк {конечная масса},

(5.1.5)(5.1.5)АУИД= ТУ1пХ

(5.1.5)

(5.1.5)

Формула (5.1.5) определяет идеальную скорость, т. е. приращение скорости КА под действием тяги в «идеальном» случае (отсутствуют атмосфера и притяжение). В реальных условиях величина импульса скорости АУ, потребная для проведения маневра, должна быть увеличена на величину потерь АУЦ0Т, возникающих из-за действия притяжения центрального тела, а также некомпла- нарности векторов тяги и скорости. Сумма указанных величин составляет характеристическую скорость маневра

АУХ = АУ + АУПОТ. (5.1.6)

Знание характеристической скорости позволяет однозначно связать величину потребного для маневра импульса с необходимым запасом топлива тп^. Подставляя АУХ в формулу (5.1.5) вместо АУИд и обращая ее, получим

/ АУ \т« = щ^ ехр (5.1.7)

отсюда

mT = m0 — тк = тпц 1 — ехр!.(5.1.8)

В качестве первого приближения можно принять АУПОт~0, тогда

пгтпгт= т0 1 — ехр= т0 1 — ехрАУ VIWАУ VIW(5.1.9)(5.1.9)

пгт

пгт

= т0 1 — ехр

= т0 1 — ехр

АУ VI

W

АУ VI

W

(5.1.9)

(5.1.9)

Установленная связь между величиной импульса скорости, потребного для маневра, и необходимым запасом топлива позволяет ограничиться анализом потребных импульсов скорости и не рас- ематривать характеристики самого КА при решении многих задач механики космического полета.

Оптимизация маневра. Задача перелета КА между компланарными круговыми орбитами является одной из наиболее изученных задач механики космического полета. Две круговые орбиты с несовпадающими радиусами не имеют точек пересечения, поэтому для перелета между ними требуется приложить не менее двух импульсов скорости. С помощью первого импульса скорости КА переводится с начальной круговой орбиты на орбиту перелета, которая пересекает конечную круговую орбиту или касается ее. В момент достижения конечной орбиты КА сообщается второй импульс скорости для перевода его на эту орбиту. Оптимальную схему двух- импульсного перелета между компланарными круговыми орбитами впервые предложил Гоманн [79]. Траектория перелета типа Го- манна располагается в плоскости начальной и конечной круговых орбит и касается их. Следовательно, импульсы скорости прикладываются в апсидальных точках траектории перелета, которая представляет собой полуэллипс, касающийся меньшей круговой орбиты

Рис. 5.1. Компланарный двухимпульсный перелет типа Романна: а — с меньшей орбиты на большую; б — с большей орбиты на меньшую

в перицентре, а большей круговой орбиты в апоцентре. Такую траекторию перелета часто называют полуэллипсом Гоманна (рис. 5.1). Позднее Лоуден доказал оптимальность подобного маневра [41].

Рассмотрим другой способ доказательства, основанный на прямом исследовании минимума зависимости суммарных затрат характеристической скорости на двухимпульсный маневр от параметров, которые определяют этот маневр. Без ущерба для общности будем полагать, что радиус начальной круговой орбиты ri меньше радиуса конечной круговой орбиты Г2, т. е. ri < гг. Маневр полностью определяется начальным импульсом скорости АУь Действительно, пусть заданы величина первого импульса AVi и угол ф между направлением этого импульса и вектором круговой скорости VKpi в точке Mi начала маневра (рис. 5.2). С помощью векторного треугольника, построенного в точке Mi, вычислим величину скорости КА после

приложения первого импульса

V, = У VSW + ДГ, + гК^ДГ, cos ф (5.1.10)

и косинус начального угла наклона траектории

+ АУ, cos q

cos Oi = Kpl -1-.(5.1.11)

Предполагая, что траектория перелета пересекает круговую орбиту радиуса Г2 в точке М2 (рис. 5.2), с помощью интегралаПредполагая, что траектория перелета пересекает круговую орбиту радиуса Г2 в точке М2 (рис. 5.2), с помощью интегралаРис. 5.2. Схема компланарного перелета между круговыми орбитамиРис. 5.2. Схема компланарного перелета между круговыми орбитами

Предполагая, что траектория перелета пересекает круговую орбиту радиуса Г2 в точке М2 (рис. 5.2), с помощью интеграла

Предполагая, что траектория перелета пересекает круговую орбиту радиуса Г2 в точке М2 (рис. 5.2), с помощью интеграла

Рис. 5.2. Схема компланарного перелета между круговыми орбитами

Рис. 5.2. Схема компланарного перелета между круговыми орбитами

энергии (2.2.1) вычислим величину скорости КА в этой точке

(5.1.12)(5.1.12)

(5.1.12)

(5.1.12)

а затем из интеграла площадей (2.2.11) найдем

cos 02 =cos 02 =(5.1.13)(5.1.13)г У cos 0

cos 02 =

cos 02 =

(5.1.13)

(5.1.13)

Tv

2 2

Тогда величина второго импульса скорости для перевода КА с траектории перелета на круговую орбиту радиуса гг равна

АУ2 — /Ккр2 +^-27Kp2y2cos02.(5.1.14)

Отнесем скорости к VKpi и введем понятие относительного радиуса г = Г2,г\; тогда формулы (5.1.10) — (5.1.14) можно записать в виде

V, = -Д- = /1 + ДР= + 2ДУ, cos ф,*кр1V, = -Д- = /1 + ДР= + 2ДУ, cos ф,*кр1cos 9Хcos 9Х1 + Д^ cos ф1 + Д^ cos фу = Л_К 2 уу = Л_К 2 уCOS 62 =COS 62 =VxCOS0г ^2VxCOS0г ^22У2 cos 022У2 cos 02(5.1.15)(5.1.16)(5.1.17)(5.1.18)(5.1.19)(5.1.15)(5.1.16)(5.1.17)(5.1.18)(5.1.19)

V, = -Д- = /1 + ДР= + 2ДУ, cos ф,

*кр1

V, = -Д- = /1 + ДР= + 2ДУ, cos ф,

*кр1

cos 9Х

cos 9Х

1 + Д^ cos ф

1 + Д^ cos ф

у = Л_

К 2 у

у = Л_

К 2 у

COS 62 =

COS 62 =

VxCOS0г ^2

VxCOS0г ^2

2У2 cos 02

2У2 cos 02

(5.1.15)

(5.1.16)

(5.1.17)

(5.1.18)

(5.1.19)

(5.1.15)

(5.1.16)

(5.1.17)

(5.1.18)

(5.1.19)

где АУ^А^Жрь

Суммарное приращение относительной скорости для выполнения маневров

АР2 = AFi + AF2(5.1.20)

зависит от двух переменных, а именно — относительной величины первого импульса скорости AFi и угла ф, определяющего направление этого импульса. Будем выбирать АГ\ и ф из условия min AFs. При этом на траекторию перелета накладывается допол- Ф,ДУг

нительное ограничение, связанное с требованием пересечения (или по крайней мере касания) заданной круговой орбиты радиуса т^. Указанное ограничение проще всего записать так:

cos 02 ^ 1,

или с учетом (5.1.15) — (5.1.18)

cos 02 =cos 02 =1 4- AFX cos ф1 4- AFX cos ф(5.1.21)(5.1.21)

cos 02 =

cos 02 =

1 4- AFX cos ф

1 4- AFX cos ф

(5.1.21)

(5.1.21)

Здесь знак равенства соответствует касанию круговой орбиты радиуса т^ а знак неравенства — пересечению этой орбиты траекторией перелета.

Возведем обе части (5.1.21) в квадрат и приведем к следующему виду с учетом (5.1.15):

/ (ф. AFJ = (1 4- AFj cos ф)2 — г2 (АУ2 4- 2АУХ cos ф — 1 4-^ 0.

(5.1.21а)

(5.1.22)(5.1.22)ОТ ф,ОТ ф,

(5.1.22)

(5.1.22)

ОТ ф,

ОТ ф,

Предварительно проанализируем функции двух переменных

= о,

dtp ’

без учета ограничения (5.1.21а). и имеем

необходимые условия минимума

8^У.

-^0

5АУ1

Тогда AFi не зависит

яау2

5АУ2

dtp dq. '

(5.1.23)

Дифференцируя (5.1.20), получим с учетом (5.1.19):

9^V^1cos02\ дУ2 V2 d cos 02

5ф ~ ау2 \v 2 -/7) 9<ру~ 9^

(5.1.24)

Затем, используя формулы (5.1.15) — (5.1.18), вычислим необходи

мые производные

^1 дф

АУХ sin ф?1

(5.1.25)

(5.1.26)(5.1.27)(5.1.26)(5.1.27)5cos0,АУ? sin ф ~

(5.1.26)

(5.1.27)

(5.1.26)

(5.1.27)

—6^— ”^5<АГ1 + cos Ф)’

дУ2АУ^ sin ф

V , Т2 +АУ^совфV , Т2 +АУ^совф8 cos 02 АУа sin ^ ( Уг cos 0г У2 cos 0Х

V , Т2 +АУ^совф

V , Т2 +АУ^совф

“ 7у2 I у2уг

(5.1.28)

Подставим теперь производные (5.1.27), (5.1.28) в уравнение

(5.1.24) и упростим полученное соотношение:

9^ _ 1

дф ду2

V,-

cos 02 \ АУХ sin ф АУг sin ф

^2

Уг cos 0Х У2 cos 0Х

УУ

И2к 1

-^2 +

т ' 2

У2 + А^^ cos ф

V,

АУХ sin фД^2^2

~ cos 0О

Угcos0г

COS 0Х

’2

1 + АУХ cos ф

у;

=——-— (г Vг 7? — Vx cos 61 — 7i + 1 + А7г cos ф) =

7 у 7 7^^

А 7 sin фу 1 + АУ1 cos ф ~2~\

=_L—I— г у г 71 —Ух^71 + 1+А71С08ф =

7 У 7 7^7 2 \7Х)

г у г ДУ2

ИЛИ

Здесь r^l, поэтому условие дА7£/дф = 0 может выполняться только при

А71 = 0 или sin ф = 0.(5.1.30)

В случае А 7i = 0 невозможен перелет между круговыми орбитами разных радиусов. Уравнение sin ф = 0 имеет два корня

Ф1 = 0 и ф2 = л.(5.1.31)

Первый корень (ф1 = 0) соответствует разгонному импульсу скорости, который совпадает по направлению с вектором круговой скорости на исходной орбите радиуса ri в точке начала маневра. Такая ориентация первого импульса скорости может оказаться оптимальной при перелете с круговой орбиты меньшего радиуса на круговую орбиту большего радиуса. Второй корень (фг = л) определяет тормозной импульс скорости, который направлен против вектора круговой скорости в точке начала маневра. В рассматриваемых условиях перелета с меньшей орбиты на большую подобная ориентация первого импульса скорости не может обеспечить перелет.

Исследуем теперь производную

Здесь

5А72 дА"^

5АГ2

5AV1

(5.1.32)

5АГ2 _ j ^А^ ” А72

V,

cos 62 \ дУ^

У2 д cos 02

(5.1.33)

1

Как числимКак числим

Как числим

Как числим

и ранее, дифференцируя формулы (5.1.15)—(5.1.18), вы- все необходимые частные производные

дУг А^ + cos ф

дАУ.

д cos 6.

м71

1

(5.1.34)

- = -4у [7i cos ф — (1 + A7i cos ф) (A7i + cos ф)], (5.1.35)

5У2 АУ + cos ф

~~ 2 = ^ [Из cos ф — (1 + АУ^оэф) (АУХ 4- совф)]. (5.1.37)

Подставим производные (5.1.33), (5.1.36), (5.1.37) в (5.1.32) и упростим полученное соотношение с учетом формул (5.1.15) — (5.1.18):

5АУу1cos0„\ АУ, + cos о-

171^7 у*171^7 у*COS фCOS ф—= 1 + -4т- | у2 ——4s—- — ау2 Ц 2/7 ; у2

1

71^7 у*

1

71^7 у*

COS ф

COS ф

[Fg cos ф — (1 + АУХ cos ф) (АУХ + cos ф)

АУХ + cos ф2=(А7Х + cos ф) Vj cos 0Х —

7 У 7 у2

ч4=— (1 + аухcos ф) (^i + cos ф) =

7 У 7 у|

АУХ + cos фАУХ + cos ф(5.1.38)(5.1.38)

АУХ + cos ф

АУХ + cos ф

(5.1.38)

(5.1.38)

Отсюда следует, что при cos ф > О, когда происходит увеличение трансверсальной составляющей скорости, имеет место неравенство

5АУ2 ^А^5АУ2 ^А^0.0.(5.1.39)(5.1.39)

5АУ2 ^А^

5АУ2 ^А^

0.

0.

(5.1.39)

(5.1.39)

Таким образом, производные дАУ^ф, dAFV^AFi не могут обращаться в нуль одновременно, и функция АУ2(ср, АУ1) не имеет стационарных точек ни при каких значениях ср и АУь Поэтому наименьшее значение АУ 2 при двухимпульсном перелете между круговыми орбитами должно достигаться на границе области (5.1.21а), т. е. при cos 02=1.

При выполнении условий ф = 0 и cos 02 = 1 (или 02 = 0) реализуется траектория перелета типа полуэллипса Гоманна, касающаяся начальной и конечной круговых орбит. Соответствующие импульсы скорости вычисляются по формулам

(5.1.40)(5.1.40)(5.1.41)(5.1.41)

(5.1.40)

(5.1.40)

(5.1.41)

(5.1.41)

Заметим, что между первым и вторым импульсами скорости при таком маневре может располагаться любое нечетное число полу-

титков орбиты перелета, имеющей радиус перицентра гп = п и радиус апоцентра га = гг. В рассматриваемой постановке протяженность орбиты (траектории) перелета, содержащей нечетное число полуэллипсов Гоманна, не влияет на величину суммарного приращения скорости при маневре.

Приведенное доказательство оптимальности траектории типа иолуэллипса Гоманна соответствует перелету с круговой орбиты меньшего радиуса на круговую орбиту большего радиуса. В силу обратимости задачи такая траектория является оптимальной и в случае перелета с круговой орбиты большего радиуса на круговую орбиту меньшего радиуса.

Исследуем зависимость от г суммарного приращения скорости при перелете по полуэллипсу Гоманна между круговыми орбитами радиусов п < г2 (т. е. при г > 1):

(7) = - |/_ 1 + * (1 _ V^Z). (5.1.42) *кр1 V 1 + г У Г \ Т 1 + г /

Согласно (5.1.40) зависимость АУДг) монотонно возрастает, причем

Jim АУ^/2 — 1,

что соответствует параболической скорости отлета с начальной круговой орбиты. Зависимость АУ2(г) сначала возрастает, а затем убывает, так как

Иш АУ2 = 0.

Поэтому зависимость АУ2(г) может иметь максимум при некотором значении г = гэкс. Дифференцируя соотношение (5.1.42) по г, получим после некоторых преобразований

гУ^-^+ТЦ/ц-Т-Уг) (5.1.43)

S2~ (1 + 7) V 7 (1 + ^"’

Полагая теперь dWsidr=0, найдем условие обращения в нуль числителя (5.1.43)

г3 — 15г2 — 9г — 1 = 0.(5.1.44)

Это уравнение имеет единственный положительный корень

гэкс = 15,58,(5.1.45)

при котором зависимость Ws^ достигает максимума:

max АУ2 = 0,536.(5.1.46)

Поскольку

ИшАУ2 = /2 — 1^0,414,

то зависимость AF2(f) должна еще иметь точку перегиба при г>гэкс и горизонтальную асимптоту.

На рис. 5.3 приведены зависимости АГ2 и составляющих АГ1, АГ2 от величины г. Если г >3,4, перелет требует большего приращения скорости, чем уход от притягивающего центра по

Рис. 5 3 Характеристики перелета между круговыми орбитами по полуэллипсу РоманнаРис. 5 3 Характеристики перелета между круговыми орбитами по полуэллипсу Романна

Рис. 5 3 Характеристики перелета между круговыми орбитами по полуэллипсу Романна

Рис. 5 3 Характеристики перелета между круговыми орбитами по полуэллипсу Романна

параболической траектории. Если располагаемое приращение АГ2> > 0,536, что позволяет перелететь на орбиту радиуса r^ = 15,58ri, то перелет может быть выполнен также на любую круговую орбиту (произвольного радиуса).

Время движения по траектории перелета типа полуэллипса Го- манна вычислим с использованием формулы (2.5.10):

Т Л Г\3/2Т Л Г\3/2(5.1.47)(5.1.47)

Т Л Г\3/2

Т Л Г\3/2

(5.1.47)

(5.1.47)

Если отнести время перелета к периоду обращения на меньшей орбите

Т ^Л -3/21 ”1 ’

получим

/г.рИ = ^ = у^(1 +r)-^(5.1.48)

С увеличением г относительное время перелета монотонно возрастает (рис. 5.3).

5.1.3/ Сокращение времени перелета. В некоторых задачах перелета между круговыми орбитами существенное значение имеет

ограничение времени маневра. Вместе скорости ДУ2 на маневр не должно быть слишком большим. Если требуемое время перелета меньше времени перелета по полуэллипсу Го- манна, в качестве компромиссного решения можно принять такую траекторию, которая касается внутренней круговой орбиты и пересекает внешнюю (рис. 5.4). В этом случае исключается участок движения вблизи апоцентра траектории, который существенно увеличивает время перелета по полуэллипсу Го- манна.

Для расчета таких траекторий перелета в качестве независимого переменного удобно рассматривать радиус апоцентра га (радиус перицентра задается условием rn = ri). Время перелета £пер и потребное приращение скорости на маневр АГ2 вычисляются в зависимости от вели-

с тем потребное приращениес тем потребное приращениеРис 5 4 Схема перелета с пересечением внешней круговой орбитыРис 5 4 Схема перелета с пересечением внешней круговой орбитычины га. Обсудим последователь

с тем потребное приращение

с тем потребное приращение

Рис 5 4 Схема перелета с пересечением внешней круговой орбиты

Рис 5 4 Схема перелета с пересечением внешней круговой орбиты

эксцентриситетэксцентриситетР Г1 +Р Г1 +аа(5.1.49)(5.1.49)(5.1.50)(5.1.50)ность вычислений. Пусть гп = и и зафиксировано некоторое значение га > Г2. По формулам (2.4.13) и (2.4.14) вычислим параметр

эксцентриситет

эксцентриситет

Р Г1 +

Р Г1 +

а

а

(5.1.49)

(5.1.49)

(5.1.50)

(5.1.50)

и величину большой полуоси

(5.1.51)(5.1.51)Г1 + гаа = ~^2—~

(5.1.51)

(5.1.51)

перелетной эллиптической орбиты. Затем из уравнения этой орбиты найдем для точки ее пересечения с заданной круговой орбитой ра

диуса г2___

cos$2 = —=(0<й2<л) (5.1.52)

е \ г2 /г (га -1)

и вычислим

1 — COS О

1 -)- COS О

Здесь г = гг/гь С помощью формулы (2.5.6) получим д^лее для эксцентрической аномалии

#2#22 V (г — 1) (7а — г)2 V (г — 1) (7а — г)(5.1.53)(5.1.53)(5.1.54)(5.1.54)

#2

#2

2 V (г — 1) (7а — г)

2 V (г — 1) (7а — г)

(5.1.53)

(5.1.53)

(5.1.54)

(5.1.54)

sin Е^ =

Используя теперь уравнение (2.5.8), определим время перелета, отнесенное к периоду обращения на исходной орбите:

^ep=-^- = ^-(^-esin^) =

(1 + г)3/22 }/2 л(1 + г)3/22 }/2 лarctgarctg/ (7-1) (га - 7")/ (7-1) (га - 7")!+ га!+ га(5.1.55)(5.1.55)

(1 + г)3/22 }/2 л

(1 + г)3/22 }/2 л

arctg

arctg

/ (7-1) (га - 7")

/ (7-1) (га - 7")

!+ га

!+ га

(5.1.55)

(5.1.55)

Зная истинную аномалию -йг, можно по формуле (2.3.8) определить скорость КА в момент пересечения круговой орбиты радиуса г2

V,- Ку(1 + 2^005», + е), или с учетом уравнения орбиты —

^2= i/t^-1 +е2)-(5Л-56)

Для угла наклона траектории имеем соотношение

cos = yr—,

2 где согласно (2.3.7) и уравнению орбиты

Fn = yT(1+eCos»2)-/^.

Тогда

Р.„ой - Г2 _^(Ц-^)_Р.„ой - Г2 _^(Ц-^)_

Р

.„ой - Г2 _^(Ц-^)_

Р

.„ой - Г2 _^(Ц-^)_

Определим теперь потребное приращение скорости на маневр. Величина первого импульса скорости вычисляется по формуле вида (5.1.40), где вместо г2 стоит га. Следовательно,

Величину второго импульса скорости можно определить из треугольника скоростей в точке пересечения перелетной орбиты с

Рис. 5.5. Характеристики ускоренного перелета между круговыми орбитами (г = 6,36)Рис. 5.5. Характеристики ускоренного перелета между круговыми орбитами (г = 6,36)

Рис. 5.5. Характеристики ускоренного перелета между круговыми орбитами (г = 6,36)

Рис. 5.5. Характеристики ускоренного перелета между круговыми орбитами (г = 6,36)

заданной круговой орбитой радиуса г2:

(5.1.58)(5.1.58)аг2 = у f=P2 + V= - 2V2VKp2 cos е2.

(5.1.58)

(5.1.58)

Отнеся АУ2 к FKpi и учитывая соотношения (5.1.49), (5.1.50), (5.1.57), (5.1.58), получим

А72 = 1А +1 +I /_ 1 + А

РI Р к Г2/

где~_

А _ 1 + = ~ 4Р _ t ,

r2 '^(i + A\l + ~a /?(1 + ~a)2’

поэтомуАУ2поэтомуАУ2(5.1.59)(5.1.59)

поэтому

АУ2

поэтому

АУ2

(5.1.59)

(5.1.59)

На рис. 5.5 построены относительные величины первого AFi и второго AF2 импульсов скорости, суммарного приращения скорости AF2 = AFi + AF2 и относительное время маневра при ускоренном перелете между круговыми орбитами с г = 6,36. Видно, что за счет увеличения АУ2 в 1,3 раза можно добиться сокращения времени маневра в 3 раза.

Трехимпульсный биэллиптический перелет между компланарными круговыми орбитами

Рассмотрим в несколько более общей постановке трехимпульсный перелет между круговыми орбитами, подобный предложенному Штернфельдом [61]. Для определенности будем полагать, что перелет совершается с круговой орбиты меньшего радиуса и на круговую орбиту большего радиуса г2. С помощью первого, разгонного импульса скорости AVi КА переводится на эллиптическую орбиту, радиус перицентра которой равен радиусу начальной круговой орбиты (гп1 = Г1). В целях общности анализа примем, что величина радиуса апоцентра траектории перелета может быть как больше радиуса конечной орбиты (га>гг), так и меньше нее (га<гг). В апоцентре траектории перелета прикладывается второй, тоже разгонный импульс скорости АУг для увеличения радиуса перицентра (или нового апоцентра, если га < гг) до величины, равной радиусу конечной орбиты гП2 = ^2 (или га2 = Г2). При достижении перицентра (апоцентра) прикладывается третий импульс, тормозной (если га > гг) или разгонный (если га<гг), для выравнивания скорости до круговой, соответствующей орбите радиуса г^. Обе возможные схемы трехимпульсного маневра приведены на рис. 5.6, а и б. Такой маневр часто называют двойным эллиптическим или биэллиптическим.

Выбор оптимальной схемы маневра. Суммарное приращение скорости на биэллиптический маневр, отнесенное к круговой скорости начальной орбиты Укр1, вычисляется по формуле

где га = га/п — относительный радиус апоцентра, г = Г2/гь Знак «+» отвечает случаю та> т^ а знак «—» используется в случае га < гг. При заданной величине г, т. е. при фиксированных радиусах начальной и конечной орбит, суммарное приращение скорости на

Рис. 5.6. Схема трехимпульсного перелета между круговыми орбитами: а — с пересечением заданной орбиты; б — без пересечения заданной орбиты трехимпульсный биэллиптический маневр будет зависеть от величины относительного радиуса апоцентра га. Естественно возникают следующие вопросы:

При какой величине га потребное приращение скорости на биэллиптический маневр оказывается минимальным?

Когда трехимпульсный биэллиптический маневр оказывается экономичнее по AF2, чем двухимпульсный маневр Гоманна?

Как показано в работе [78], при г >15,58 трехимпульсный биэллиптический маневр с га > г экономичнее двухимпульсного, а при г >11,94 можно выбрать такую величину га>г, при которой трехимпульсный маневр будет экономичнее двухимпульсного. Однако общее исследование обуждаемой задачи не опубликовано в доступной литературе, поэтому ниже приводится одно из возможных ее решений.

Будем расматривать весь диапазон изменения относительного радиуса апоцентра

1 ^ Га < сю, который разделим на две части. Первая часть отвечает траектории перелета без пересечения конечной орбиты (рис. 5.6, б)

1<га<г,(5.2.2)

а вторая — траектории перелета с пересечением конечной орбиты (рис. 5.6, а)

r^ra<oo.(5.2.3)

Продифференцируем по га формулу (5.2.1):

(5.2.4) Чтобы избавиться от квадратных корней в числителе, умножим правую часть (5.2.4) на

(1 + Зга) (г + га) 1г + ra + (1 + га) (г + 2ra Т ra) Vr (1 + га)> О, тогда

= (1 + 3?а)2 (7+ 7а)3 - 7(1 + 7а)3 р + 27а Т 7а)2 х

dra 7а(1 + 7а) (7+7а)/27а(14-7а)(7+7а)

X 1._. (5.2.5)

(1 + з7а) (74 7а) /74 7а + (1 +7а) (7 + 27а + 7а) /7(1 +7а)

Знаменатель соотношения (5.2.5) положителен, поэтому знак производной dW^dra определяется знаком функции

Ф(га) = (1 + 3га)2(г + га)3-г(1 + га)3(г + 2га + га)2, (5.2.6) коэффициенты которой, а следовательно, и корни зависят, как от параметра, от соотношения радиусов т конечной и начальной орбит. Исследуем все возможные случаи.

Предположим, что траектория перелета не пересекает конечной орбиты, т. е. параметр га принадлежит диапазону (5.2.2). Тогда в последней скобке (5.2.6) следует взять знак «+», и функция Ф(га) приведется к виду

Ф /а) =

= Т^Г — 1) [9га + 6 (Г + 1)7а + (г2 — 8г + 1) Га — 6г (г + 1) Га — Згф

Для вычисления корней положим Ф(7а) = 0. Поскольку Га^О и г > 1, то должно выполняться условие

9г а + 6 (г + 1) г3 + (г2 — 8г + 1) Л — 6г (г + 1) га — Зг2 = 0. (5.2.7)

Число перемен знаков в последовательности коэффициентов этого многочлена равно 1. Отсюда по правилу знаков Декарта уравнение (5.2.7) будет иметь только один положительный корень г*.

Покажем, что при га = га достигается максимум зависимости AF2(ra) для значений га, принадлежащих диапазону (5 2.2). На левом конце этого диапазона га=1, и потребное приращение скорости согласно (5.2.1) вычисляется по формуле

Следовательно, трехимпульсный биэллиптический перелет трансформируется в двухимпульсный перелет Гоманна из-за обращения в нуль первого импульса скорости. На правом конце отрезка (5 2.2) га = г, и имеет место такая же трансформация из-за обращения в нуль третьего импульса скорости. Таким образом, в граничных точках отрезка (5.2.2) потребное приращение скорости одно и то же.

Определим теперь знак производной dW-zldra на левом конце диапазона (5.2.2). С этой целью подставим значение ra = 1 в (5.2.4), тогда получим

(5.2.8)(5.2.8)d^V2 1 Г г г Н 3

(5.2.8)

(5.2.8)

dr"]/2 V 1+Зг 1фЗг

а га— 1г'

Здесь вычитаемое меньше 1, так как представляет собой произведение трех правильных дробей. Поскольку функция М^г^ принимает на концах диапазона (5.2.2) одинаковые значения, а ее производная на левом конце положительна и имеется единственный корень г* внутри указанного диапазона, то в точке га = га дею ствительно реализуется максимум функции Ws^ray

Итак, если траектория трехимпулъсного биэллиптического перелета не пересекает конечной орбиты (1^га^г), суммарное приращение скорости на ее реализацию при любой величине ra оказывается больше, чем в случае двухимпулъсной траектории перелета типа Гоманна.

Исследуем теперь второй случай, когда трехимпульсная биэл- липтическая траектория перелета пересекает конечную орбиту, т. е. ra принадлежит диапазону (5.2.3). В этом случае производную (5.2.4) можно привести к виду

^5= (9 - 7)72 + е (1 -ы 7а + з?+1

dra (! +^а) Р^^а (1 + ^) (^+ ^[К^ 4 3^а)2 (^+^а) + )/^(1 + К)3]

(5.2.9) а ее знак определяется знаком квадратичной функции

Ф(Д) = (9-7)Д + 6(1 + Ща + Зг + 1.(5.2.10)

Определим знаки функции (5.2.10) в зависимости от значения параметра т. Если г ^9, то Ф(га)>0; отсюда следует, что dAF2/ !dra>0, и величина AF2 растет с увеличением относительного радиуса апоцентра ra траектории перелета. Минимальное суммарное приращение скорости на маневр достигается на левой границе диапазона (5.2.3), когда ra = r и трехимпульсный биэллиптический перелет трансформируется в двухимпульсный перелет типа Гоманна.

Если г > 9, то первый коэффициент квадратичной функции (5.2.9) отрицателен и она имеет один положительный корень

(5.2.11)(5.2.11)~* _ 3 (1 + 7) 4 2 V т (37— 2)Г а,

(5.2.11)

(5.2.11)

Величина г* должна удовлетворять условию г а ^ г, т. е. биэллип- тическая траектория перелета должна пересекать конечную круговую орбиту или по крайней мере касаться ее. Запишем это условие с учетом (5.2.11):

(5.2.12)(5.2.12)2Vr (Зг — 2) > г2 — 12г — 3.

(5.2.12)

(5.2.12)

Возводя обе части (5.2.12) в квадрат, получим после несложных преобразований

г4 - 24г3 + 126г2 + 80г + 9 О, или

(г-9) (г3-15г2-9г-1)^0.

В рассматриваемом случае г > 9, откуда должно выполняться условие

г3-15г2-9г-1^0.(5.2.13)

Кубический многочлен в левой части (5.2.13) имеет один положительный корень г = 15,58 (см. п. 5.1), и условие (5.2.13), или, что то же самое, г*^ т, выполняется при г < 15,58. Итак, при

(5.2.14)(5.2.14)9<г^ 15,58

(5.2.14)

(5.2.14)

квадратичная функция (5.2.10) обращается в нуль в точке га = гат определяемой формулой (5.2.11) и удовлетворяющей ограничению г^т. График квадратичной функции Ф(га) при г > 9 направлен выпуклостью вверх. Функция Ф(га) положительна при г ^га«<га и отрицательна при га > га.

Для значений параметра г >15,58 функция Ф(га) не имеет положительных корней, удовлетворяющих условию га ^ г, т. е. не

изменяет своего знака в диапазоне

(5.2.15)(5.2.15)Г ^ Га < оо.

(5.2.15)

(5.2.15)

Определим этот знак. Когда г-*-°°, Ф(га)<0. Следовательно, для всех значений параметра г >15,58 будет выполняться условие Ф(га)< 0.

Поскольку знак функции Ф(га) совпадает со знаком производной tZAPV^ra, полученные результаты означают, что в диапазоне значений параметра г (5.2.14) функция АР2(га) в точке т^ имеет максимум. Минимальное значение АР2 будет достигаться в одной из граничных точек диапазона (5.2.15). При га = г реализуется двухимпульсный перелет типа Гоманна. При га -> сю (когда г9 справа) имеет место трехимпульсный перелет, для которого радиус

АГ2|~_ = (/2-1) 1+ ‘АГ2|~_ = (/2-1) 1+ ‘(5.2.16)(5.2.16)Если значение параметра г > ' АР7(га) уменьшается с увеличе-Если значение параметра г > ' АР7(га) уменьшается с увеличе-15,58, то dW^/drA15,58, то dW^/drAниемниемНаименьшая величинаНаименьшая величинаAF2 на трехимпульсный биэллиптический перелет достигается, когда га -*• 00. На рис. 5.7 построены примеры зависимостей АР2 (rd) для некоторых значений параметра г.5.2.2. Области оптимальности двух- и трехимпульсных маневров. Вернемся к анализу случая, когда параметр г принадлежит диапазону (5.2.14), и определим, какое из граничных значений радиуса апоцентра орбиты перелета (га = г или Га-^0°) обеспечивает минимальное значение суммарного приращения скорости. Сравним потребные приращения скорости на двухимпульсный перелет по траектории типа Гоманна (га = г) и перелет по предельной биэллиптической траектории (га-^°°). Разница между потребными приращениями скорости на маневр в по формулеAF2 на трехимпульсный биэллиптический перелет достигается, когда га -*• 00. На рис. 5.7 построены примеры зависимостей АР2 (rd) для некоторых значений параметра г.5.2.2. Области оптимальности двух- и трехимпульсных маневров. Вернемся к анализу случая, когда параметр г принадлежит диапазону (5.2.14), и определим, какое из граничных значений радиуса апоцентра орбиты перелета (га = г или Га-^0°) обеспечивает минимальное значение суммарного приращения скорости. Сравним потребные приращения скорости на двухимпульсный перелет по траектории типа Гоманна (га = г) и перелет по предельной биэллиптической траектории (га-^°°). Разница между потребными приращениями скорости на маневр в по формулеО и функцияО и функция0,550,550,500,500,050,050,100,10Рис. 5.7. Зависимость потребного приращения скорости от радиуса апоцентра биэллиптической траекторииРис. 5.7. Зависимость потребного приращения скорости от радиуса апоцентра биэллиптической траекторииz3Vz0.60z3Vz0.60указанных случаях вычисляетсяуказанных случаях вычисляется6Е(г) = /26Е(г) = /2Ц2-1^Ц2-1^(5.2.17)(5.2.17)точки сопряжения перелетных эллипсов неограниченно возрастает а величина второго импульса скорости стремится к нулю. Потребное приращение скорости на предельный биэллиптический перелет вычисляется по формуле

АГ2|~_ = (/2-1) 1+ ‘

АГ2|~_ = (/2-1) 1+ ‘

(5.2.16)

(5.2.16)

Если значение параметра г > ' АР7(га) уменьшается с увеличе-

Если значение параметра г > ' АР7(га) уменьшается с увеличе-

15,58, то dW^/drA

15,58, то dW^/drA

нием

нием

Наименьшая величина

Наименьшая величина

AF2 на трехимпульсный биэллиптический перелет достигается, когда га -*• 00. На рис. 5.7 построены примеры зависимостей АР2 (rd) для некоторых значений параметра г.

5.2.2. Области оптимальности двух- и трехимпульсных маневров. Вернемся к анализу случая, когда параметр г принадлежит диапазону (5.2.14), и определим, какое из граничных значений радиуса апоцентра орбиты перелета (га = г или Га-^0°) обеспечивает минимальное значение суммарного приращения скорости. Сравним потребные приращения скорости на двухимпульсный перелет по траектории типа Гоманна (га = г) и перелет по предельной биэллиптической траектории (га-^°°). Разница между потребными приращениями скорости на маневр в по формуле

AF2 на трехимпульсный биэллиптический перелет достигается, когда га -*• 00. На рис. 5.7 построены примеры зависимостей АР2 (rd) для некоторых значений параметра г.

5.2.2. Области оптимальности двух- и трехимпульсных маневров. Вернемся к анализу случая, когда параметр г принадлежит диапазону (5.2.14), и определим, какое из граничных значений радиуса апоцентра орбиты перелета (га = г или Га-^0°) обеспечивает минимальное значение суммарного приращения скорости. Сравним потребные приращения скорости на двухимпульсный перелет по траектории типа Гоманна (га = г) и перелет по предельной биэллиптической траектории (га-^°°). Разница между потребными приращениями скорости на маневр в по формуле

О и функция

О и функция

0,55

0,55

0,50

0,50

0,05

0,05

0,10

0,10

Рис. 5.7. Зависимость потребного приращения скорости от радиуса апоцентра биэллиптической траектории

Рис. 5.7. Зависимость потребного приращения скорости от радиуса апоцентра биэллиптической траектории

z3Vz

0.60

z3Vz

0.60

указанных случаях вычисляется

указанных случаях вычисляется

6Е(г) = /2

6Е(г) = /2

Ц2-1^

Ц2-1^

(5.2.17)

(5.2.17)

Эта разница обращается в нуль, если

Г* 1Г* 1= 1-/2 + /7*.= 1-/2 + /7*.

Г* 1

Г* 1

= 1-/2 + /7*.

= 1-/2 + /7*.

Возведем обе части равенства в квадрат и приведем полученное

соотношение к виду

1- У2 + (3- У2)г*=(У2 — 1) (1 + г*)Уг*.

Снова возводя в квадрат, получим кубическое уравнение

(3 - 2У2)г*3 - (5 - гУ^г*2 + (6У2 - 7)г* - (3 - 2 У 2) - 0. (5.2.18)

Это уравнение имеет три положительных корня. Только один из них г* =11,94 больше 1. Проверим, что этот корень не является лишним. Подставив найденное значение в (5.2.17), убедимся, что дР(11,94) = 0. Легко проверить также, что

6У^6У^О, еслиО, если9911,94,11,94,О, еслиО, если11,9411,94< т< т<15,58<15,58

6У^

6У^

О, если

О, если

9

9

11,94,

11,94,

О, если

О, если

11,94

11,94

< т

< т

<15,58

<15,58

(рис. 5.8). Тем самым устанавливается граница значений парамет-ра (г* = 11,94), до которой двухимпульсный перелет типа Гоманна

Рис. 5.8. Разница суммарного приращения скорости при двухимпульсном маневре типа Романна и предельном (га->оо) биэллиптическом маневреРис. 5.8. Разница суммарного приращения скорости при двухимпульсном маневре типа Романна и предельном (га->оо) биэллиптическом маневре

Рис. 5.8. Разница суммарного приращения скорости при двухимпульсном маневре типа Романна и предельном (га->оо) биэллиптическом маневре

Рис. 5.8. Разница суммарного приращения скорости при двухимпульсном маневре типа Романна и предельном (га->оо) биэллиптическом маневре

оказывается экономичнее трехимпульсного биэллиптического перелета с любым радиусом апоцентра га.

Объединяя полученные результаты, сформулируем следующие рекомендации. При 1<г< 11,94 выгоднее использовать двухим- пулъсную траекторию перелета типа Гоманна. В диапазоне

(5.2.19)(5.2.19)11,94 < г < 15,58

(5.2.19)

(5.2.19)

можно выбрать такую величину радиуса апоцентра траектории перелета

Г <Га<°°,

при которой трехимпулъсный биэллиптический перелет оказывается экономичнее двухимпулъсного перелета типа Гоманна. Для значе-

ний г - ра (гaний г - ра (гaг) экономичнее, чем двухимпулъсный перелет.г) экономичнее, чем двухимпулъсный перелет.15,58 трехимпулъсный перелет с любым радиусом апоцент- '"Отметим,

ний г - ра (гa

ний г - ра (гa

г) экономичнее, чем двухимпулъсный перелет.

г) экономичнее, чем двухимпулъсный перелет.

Рис. 5.9. Области оптимальности (7) двух- и (77) трехимпульсных перелетов между круювыми орбитамиРис. 5.9. Области оптимальности (7) двух- и (77) трехимпульсных перелетов между круювыми орбитамичто выигрыш, получаемый при использовании трехимпульсно- го перелета вместо гоманнов- ского, в наилучшем случае не превышает величины 0,04FKpi, т. е. 8 % от суммарного приращения скорости для двухим- пульсного перелета.

Рис. 5.9. Области оптимальности (7) двух- и (77) трехимпульсных перелетов между круювыми орбитами

Рис. 5.9. Области оптимальности (7) двух- и (77) трехимпульсных перелетов между круювыми орбитами

Обозначим через ramin величину радиуса апоцентра, при которой трехимпулъсный биэллиптический перелет и двухим- пульсный перелет типа Гоманна требуют одинакового суммарного приращения скорости для любого значения параметра т из диапазона (5.2.19).

Тогда трехимпулъсный биэллиптический перелет экономичнее двух-

импульсного, если га > Та шт. Соответствующие области оптимальности двух- и трехимпульсных маневров показаны на рис. 5.9 [27]. Необходимо отметить, что время на трехимпулъсный маневр в несколько раз больше, чем время на двухимпулъсный маневр.

Перелет с круговой орбиты

на компланарную эллиптическую

Рассмотрим задачу перелета КА с начальной круговой орбиты радиуса гкр на эллиптическую орбиту, которая задана величинами радиусов перицентра гП2 и апоцентра га2 (или значениями эксцентриситета в2 и параметра рг). Если эти орбиты не пересекаются, то для выполнения маневра требуется не менее двух импульсов скорости. В случае пересечения орбит возможен также одноим- пульсный маневр.

Пусть выбраны положение начальной точки Мх орбиты перелета, величина AEi и угол ф1 относительно местного горизонта первого импульса скорости (рис. 5.10). Определим суммарное потребное приращение скорости для двухимпулъсного маневра.

По формулам (5.1.10) и (5.1.11) вычислим величину скорости V\ и косинус угла наклона траектории в точке Мх после приложения первого импульса. Затем по формулам (2.4.3) и (2.4.5) определим параметр

У? cos2 6

и эксцентриситет

2р \ 'kp^i cos2 01г2гкр / р2р \ 'kp^i cos2 01г2гкр / р

2р \ 'kp^i cos2 01

г2

гкр / р

2р \ 'kp^i cos2 01

г2

гкр / р

траектории перелета. Зная трансверсальную составляющую скорости УП1 = и, cos 01,

найдем согласно (2.3.7) истинную аномалию начальной точки траектории перелета

ч1vn = arccos—ч1vn = arccos—г cos 0хг cos 0х(5.3.1)(5.3.1)

ч1

vn = arccos—

ч1

vn = arccos—

г cos 0х

г cos 0х

(5.3.1)

(5.3.1)

причем 0 ^ 6о ^ л. Обозначим через 0*1 и 6г истинные аномалии точки М2 (или М2) соответственно на траектории перелета и на

конечной эллиптической орбите. Тогда из геометрических построе

ний рис. 5.10 найдем

О1 = О2 + О>о-То. (5.3.2) где ^о — угловое расстояние между перицентром конечной орбиты и начальной точкой Mi траектории перелета. Условие равенства радиусов траектории перелета и конечной орбиты в точке М2 (или М2) с учетом (5.3.2) дает уравнение для вычисления О2:

1 + ^cos (^^-^o)

= Р2

1 + е2 cos$2*

Рис. 5.10. Перелет с круговой орбиты на эл- Зная теперь *01 и Й2Г липтическуюможно по формулам

(2.3.5) и (2.3.7) для радиальной и трансверсальной составляющих орбитальной скорости

определить величину второго импульса скорости АУг, посредством которого КА переводится в точке М2 на заданную эллиптическую, орбиту:

дг2 - /дг?2 + дП2.

ЗдесьЗдесьДГГ2 - /цДГГ2 - /ц62 Sin$262 Sin$2е sin^е sin^1 — е^ cos ^1 — е^ cos ^— радиальная составляющая и— радиальная составляющая иДР„2 = /цДР„2 = /ц1+^2 COS О'g1+^2 COS О'g— трансверсальная составляющая второго импульса скорости. Угол второго импульса скорости относительно местного горизонтаср2 - arctg— трансверсальная составляющая второго импульса скорости. Угол второго импульса скорости относительно местного горизонтаср2 - arctgСуммарное приращение скорости АУ2 = АТА + АТА для перелета с круговой орбиты на эллиптическую зависит от величины первого- импульса скорости АТА, его угла относительно местного горизонта Ф1 и точки приложения, задаваемой углом То. При исследовании задачи оптимизации двухимпульсного маневра перелета между не- пересекающимися круговой и эллиптической орбитами было показано, что минимальное суммарное приращение скорости имеет меСуммарное приращение скорости АУ2 = АТА + АТА для перелета с круговой орбиты на эллиптическую зависит от величины первого- импульса скорости АТА, его угла относительно местного горизонта Ф1 и точки приложения, задаваемой углом То. При исследовании задачи оптимизации двухимпульсного маневра перелета между не- пересекающимися круговой и эллиптической орбитами было показано, что минимальное суммарное приращение скорости имеет ме

Здесь

Здесь

ДГГ2 - /ц

ДГГ2 - /ц

62 Sin$2

62 Sin$2

е sin^

е sin^

1 — е^ cos ^

1 — е^ cos ^

— радиальная составляющая и

— радиальная составляющая и

ДР„2 = /ц

ДР„2 = /ц

1+^2 COS О'g

1+^2 COS О'g

— трансверсальная составляющая второго импульса скорости. Угол второго импульса скорости относительно местного горизонта

ср2 - arctg

— трансверсальная составляющая второго импульса скорости. Угол второго импульса скорости относительно местного горизонта

ср2 - arctg

Суммарное приращение скорости АУ2 = АТА + АТА для перелета с круговой орбиты на эллиптическую зависит от величины первого- импульса скорости АТА, его угла относительно местного горизонта Ф1 и точки приложения, задаваемой углом То. При исследовании задачи оптимизации двухимпульсного маневра перелета между не- пересекающимися круговой и эллиптической орбитами было показано, что минимальное суммарное приращение скорости имеет ме

Суммарное приращение скорости АУ2 = АТА + АТА для перелета с круговой орбиты на эллиптическую зависит от величины первого- импульса скорости АТА, его угла относительно местного горизонта Ф1 и точки приложения, задаваемой углом То. При исследовании задачи оптимизации двухимпульсного маневра перелета между не- пересекающимися круговой и эллиптической орбитами было показано, что минимальное суммарное приращение скорости имеет ме

сто на траектории типа Гоманна. Перицентр этой траектории находится на начальной круговой орбите, а апоцентр совпадает с апоцентром конечной эллиптической орбиты [80, 86, 88]. Если оптимальный перелет совершается с внешней круговой орбиты на внутреннюю эллиптическую, то апоцентр траектории перелета должен находиться на начальной круговой орбите, а перицентр — совпадать с перицентром конечной эллиптической орбиты. Обе схемы оптимального перелета показаны на рис. 5.11, а, б. Суммарное приращение скорости для выполнения маневра, отнесенное к круговой

скорости VKp = Ун/гкР, вычисляется по формулескорости VKp = Ун/гкР, вычисляется по формуле(5.3.3)(5.3.3)в случае перелета с внутренней круговой орбиты на внешнюю эл-в случае перелета с внутренней круговой орбиты на внешнюю эл-липтическую и по формулелиптическую и по формулеРис. 5.12. Оптимальный перелет между пересекающимися круговой и эллиптической орбитамиРис. 5.12. Оптимальный перелет между пересекающимися круговой и эллиптической орбитами(5.3.4) в случае перелета с внешней круговой орбиты на внутреннюю эллиптическую. ЗдеСЬ Г а ^*а/^*кр, Т п Гп/ГКр.Если круговая и эллиптическая орбиты пересекаются, то наряду с двух- импульсным возможен также одноим- пульсный маневр. Сравнение потребного приращения скорости для обоих видов маневра показало, что двухим- пульсный маневр типа Гоманна экономичнее одноимпульсного маневра [80].(5.3.4) в случае перелета с внешней круговой орбиты на внутреннюю эллиптическую. ЗдеСЬ Г а ^*а/^*кр, Т п Гп/ГКр.Если круговая и эллиптическая орбиты пересекаются, то наряду с двух- импульсным возможен также одноим- пульсный маневр. Сравнение потребного приращения скорости для обоих видов маневра показало, что двухим- пульсный маневр типа Гоманна экономичнее одноимпульсного маневра [80].При этом перицентр траектории перелета находится на начальной круговой орбите, а апоцентр совпадает с апоцентром эллиптическойПри этом перицентр траектории перелета находится на начальной круговой орбите, а апоцентр совпадает с апоцентром эллиптическойРис. 5.13. Оптимальный одноимпульсный перелет с круговой орбиты на эллиптическуюРис. 5.13. Оптимальный одноимпульсный перелет с круговой орбиты на эллиптическую

скорости VKp = Ун/гкР, вычисляется по формуле

скорости VKp = Ун/гкР, вычисляется по формуле

(5.3.3)

(5.3.3)

в случае перелета с внутренней круговой орбиты на внешнюю эл-

в случае перелета с внутренней круговой орбиты на внешнюю эл-

липтическую и по формуле

липтическую и по формуле

Рис. 5.12. Оптимальный перелет между пересекающимися круговой и эллиптической орбитами

Рис. 5.12. Оптимальный перелет между пересекающимися круговой и эллиптической орбитами

(5.3.4) в случае перелета с внешней круговой орбиты на внутреннюю эллиптическую. ЗдеСЬ Г а ^*а/^*кр, Т п Гп/ГКр.

Если круговая и эллиптическая орбиты пересекаются, то наряду с двух- импульсным возможен также одноим- пульсный маневр. Сравнение потребного приращения скорости для обоих видов маневра показало, что двухим- пульсный маневр типа Гоманна экономичнее одноимпульсного маневра [80].

(5.3.4) в случае перелета с внешней круговой орбиты на внутреннюю эллиптическую. ЗдеСЬ Г а ^*а/^*кр, Т п Гп/ГКр.

Если круговая и эллиптическая орбиты пересекаются, то наряду с двух- импульсным возможен также одноим- пульсный маневр. Сравнение потребного приращения скорости для обоих видов маневра показало, что двухим- пульсный маневр типа Гоманна экономичнее одноимпульсного маневра [80].

При этом перицентр траектории перелета находится на начальной круговой орбите, а апоцентр совпадает с апоцентром эллиптической

При этом перицентр траектории перелета находится на начальной круговой орбите, а апоцентр совпадает с апоцентром эллиптической

Рис. 5.13. Оптимальный одноимпульсный перелет с круговой орбиты на эллиптическую

Рис. 5.13. Оптимальный одноимпульсный перелет с круговой орбиты на эллиптическую

орбиты (рис. 5.12). С помощью первого (разгонного) импульса AVi скорость увеличивается от круговой до эллиптической, а с помощью второго (тормозного) импульса АУг скорость в апоцентре уменьша-

стоя до такой величины, чтобы радиус перицентра уменьшился с г„р до требуемой величины гп.

Одноимпульсный маневр возможен в точке М или симметричной ей точке М'. За счет единственного импульса AV вектор круговой скорости VKP изменяется до вектора эллиптической скорости Уэл, который обеспечивает движение по заданной орбите.

Только в тех случаях, когда круговая орбита касается апсидальных точек эллиптической, оптимальный двухимпульсный маневр вырождается в одноимпульсный. Если круговая орбита касается эллиптической в апоцентре, то импульс должен быть тормозным (рис. 5.13, я), а если в перицентре — разгонным (рис. 5.13,6).

В силу обратимости рассматриваемых задач оптимальные траектории перелета с эллиптической орбиты на круговую будут такими же, как для перелета с круговой орбиты на эллиптическую. При этом величины импульсов скорости сохраняются, а их направление меняется на противоположное.

Перелет между компланарными эллиптическими орбитами

При решении общей задачи перелета КА между компланарными эллиптическими орбитами необходимо определить количество импульсов скорости для выполнения маневра, начальную и конечную точки траектории перелета (если они не заданы), взаимную ориентацию орбит (когда направления больших полуосей не фиксированы) .

Было доказано, что если задано положение точки отлета с исходной эллиптической орбиты, а точка прилета на конечную эллиптическую орбиту может быть выбрана из условия наименьшей величины суммарного приращения скорости при двухимпульсном маневре, то оптимальная траектория перелета должна заканчиваться в апоцентре внешней орбиты (или в перицентре внутренней орбиты, когда перелет осуществляется с большей орбиты на меньшую) [81]. Если задано положение конечной точки, а точка отлета может быть выбрана из того же условия, то оптимальная траектория должна начинаться в перицентре внутренней орбиты (или апоцентре внешней при перелете с большей орбиты на меньшую).

Величина суммарного приращения скорости на двухимпульсный перелет уменьшается, если большие оси орбит располагаются вдоль одной прямой. Такие орбиты часто называют коаксиальными. Коаксиальные орбиты могут быть направлены в одну сторону, когда разность их аргументов перицентра равна нулю, или в противоположные стороны, когда эта разность равна л.

Для перелета между коаксиальными орбитами доказано следующее общее правило [40]. Если коаксиальные орбиты пересекаются, либо направлены в одну сторону, то абсолютная оптимальная траектория перелета должна касаться обеих орбит в апсидальных точ-

ках и проходить через апоцентр с наибольшей величиной радиуса- вектора (рис. 5.14, а, б, в). Если оси коаксиальных орбит направлены в противоположные стороны и эти орбиты не пересекаются, то оптимальной может оказаться любая из двух траекторий, касающихся обеих орбит в апсидальных точках (рис. 5.14, г). Выбор той

Рис. 5.14. Оптимальные двухимпульсные траектории перелета между коаксиальными эллиптическими орбитами: а — пересекающиеся орбиты, одинаково направленные; б — пересекающиеся орбиты, противоположно направленные; в — непересекающиеся орбиты, одинаково направленные; г — непересекающие- ся орбиты, противоположно направленные

или иной траектории перелета определяется относительными размерами исходной и конечной орбит.

Потребные приращения скорости на оптимальный двухимпульс- ный маневр легко вычислить для выбранной схемы перелета и заданных величин радиусов-векторов апсидальных точек орбит.

Если орбиты пересекаются, возможен также одноимпульсный маневр. Однако установлено, что модифицированный двухимпульс- ный перелет типа Гоманна всегда экономичнее одноимпульсного маневра [65, 92].

Сравнение двухимпульсных траекторий типа Гоманна и трех^ импульсных биэллиптических траекторий (рис. 5.15) применительно к задаче перелета между коаксиальными орбитами с одинаково

Рис. 5.15. Трехимпульс- пая траектория перелета между коаксиальными эллиптическими орбитами с одинаковым направлением осейРис. 5.15. Трехимпульс- пая траектория перелета между коаксиальными эллиптическими орбитами с одинаковым направлением осейРис. 5.16. Области оптимальности двухимпульсного перелета типа Гоманна (7) и трехимпульсного биэл- липтического перелета (77) между коаксиальными орбитами с одинаковым направлением осейРис. 5.16. Области оптимальности двухимпульсного перелета типа Гоманна (7) и трехимпульсного биэл- липтического перелета (77) между коаксиальными орбитами с одинаковым направлением осей

Рис. 5.15. Трехимпульс- пая траектория перелета между коаксиальными эллиптическими орбитами с одинаковым направлением осей

Рис. 5.15. Трехимпульс- пая траектория перелета между коаксиальными эллиптическими орбитами с одинаковым направлением осей

Рис. 5.16. Области оптимальности двухимпульсного перелета типа Гоманна (7) и трехимпульсного биэл- липтического перелета (77) между коаксиальными орбитами с одинаковым направлением осей

Рис. 5.16. Области оптимальности двухимпульсного перелета типа Гоманна (7) и трехимпульсного биэл- липтического перелета (77) между коаксиальными орбитами с одинаковым направлением осей

направленными осями показало следующее [85]. Пусть р = = max(pi, р^, po = niin(pi, р^, где рх и рг—параметры рассматриваемых орбит. Тогда при р/ро<9 оптимальной оказывается двух- импульсная траектория типа Гоманна, а при р/ро> 11,94—трех- импульсная биэллиптическая траектория с неограниченно большим радиусом апоцентра (га->•<»). В диапазоне 9 =^р/ро ^ 11,94 выбор траектории, двухимпульсной или трехимпульсной, зависит от величины р]а (рис. 5.16). Здесь <z = max(<ii, аг), <4 и а^—большие полуоси рассматриваемых орбит.

Обсудим теперь траектории перелета с числом импульсов больше трех. Если на оптимальной траектории перелета один из импульсов скорости приложен в апсидальной точке (перицентре или апоцентре) по касательной к траектории, то все остальные импульсы должны прикладываться аналогичным образом [41]. При дальнейшем увеличении количества импульсов свыше трех суммарное приращение скорости на маневр не может быть уменьшено [93].

По существу приведенные выше результаты являются обобщением полученных в работе [78] для случая трехимпульсного перелета между круговыми орбитами.

Вывод относительно количества импульсов, сделанный в работе [93], позволяет ограничиться рассмотрением одно-, двух- и трех- импульсных траекторий перелета между компланарными орбитами.

Перелет с круговой орбиты на компланарную гиперболическую

Рассмотрим перелет с круговой орбиты на компланарную гиперболическую. Такая задача возникает, например, прп разгоне с околоземной круговой орбиты на межпланетную траекторию. Найденное оптимальное решение можно будет использовать и для обратной задачи, т. е. перелета с гиперболической орбиты па круговую.

ское расстояние и ориентацияское расстояние и ориентацияРис. 5.17. Одноимпульсный перелет с круговой орбиты на гиперболическуюРис. 5.17. Одноимпульсный перелет с круговой орбиты на гиперболическуюПредположим, что задана только энергия гиперболической орбиты (или гиперболический избыток скорости Н.»), а перицентриче- осей гиперболической орбиты остаются произвольными. Необходимо определить оптимальный маневр, который удовлетворяет требованиям задачи с наименьшим суммарным приращением скорости. Такой маневр можно выполнить с помощью одного (рис. 5.17), двух, трех и большего числа импульсов. Ограничимся тремя импульсами, чтобы не очень усложнять задачу.

ское расстояние и ориентация

ское расстояние и ориентация

Рис. 5.17. Одноимпульсный перелет с круговой орбиты на гиперболическую

Рис. 5.17. Одноимпульсный перелет с круговой орбиты на гиперболическую

В случае двухимпульсного маневра оптимальная траектория должна касаться исходной круговой орбиты и конечной гиперболической орбиты, г. е. импульсы скорости

прикладываются по касательной. В зависимости от соотношений радиуса круговой орбиты, радиуса перицентра и радиального расстояния до асимптоты гиперболической орбиты (прицельной дальности) оптимальная точка выхода на гиперболическую орбиту будет совпадать либо с ее перицентром, либо с бесконечно удаленной точкой [84]. В первом случае траектория перелета является эллиптической, а во втором — гиперболической с бесконечно большим временем движения. Наибольший практический интерес представляет эллиптическая траектория перелета, которая по существу является модифицированной траекторией Гоманна. В последующем анализе ограничимся этим классом траекторий.

Величина суммарного приращения скорости для перелета с круговой орбиты на гиперболическую по модифицированной траектории

Гоманна зависит от соотношения радиусов круговой орбиты гкр и перицентра гиперболической гп, т. е. от величины г = гкр/гп. Действительно, если 0 < г ^ 1, перицентр эллиптической траектории перелета совпадает с круговой орбитой, а ее апоцентр — с пери-

Рис. 5.18. Возможные схемы двухимпульсного перелета с круговой орбиты на гиперболическую по модифицированной траектории Гоманна: а — при гп/гкр > > 1; б —при ?п/гкр < 1

центром гиперболической орбиты (рис. 5.18, а). В этом случае суммарное приращение скорости на маневр

ДЛ" = дг, + ДГ2 = (У, - У„р) + (У, - У2),

где

— круговая скорость на исходной орбите,

— скорость после приложения первого импульса АУц

— скорость перед приложением второго импульса АУг,

— скорость в перицентре гиперболической орбиты. Подставляя составляющие суммарного приращения скорости и относя их к Гкр,

получим для случая 0 < г ^ 1:

А7^ = -^- = 1/ -^(l-rHj/^ + r)-!, (5.5.1) ккр1 + г

где

п == Jk_(5.5.2)

'^ ‘"пар

— параметр, равный отношению гиперболического избытка скорости Ую к параболической скорости Епар на расстоянии гкр от притягивающего центра.

Если г>1, то апоцентр эллиптической траектории перелета совпадает с круговой орбитой, а ее перицентр — с перицентром гиперболической орбиты (рис. 5.18,6). Суммарное приращение скорости на маневр

Al/’ = AF, + AFa = (F„p - F,) + (Fr - Fa)

ИЛИ ду(2) г

Д^г^-Н-” И2(п2 + И- I 2(1+7)+ 1.(5.5.3)

*кр

Легко проверить, что

AF^ |~=1 - л№> ^ = / 2/7/1) - 1,(5.5.4)

поэтому для каждого фиксированного значения п функция

А72Й =А72Й =(Д^иlAFz’W(Д^иlAFz’Wпри 0 <; г ^ 1, при г ^ 1при 0 <; г ^ 1, при г ^ 1(Р.Р.5)(Р.Р.5)

А72Й =

А72Й =

(Д^иlAFz’W

(Д^иlAFz’W

при 0 <; г ^ 1, при г ^ 1

при 0 <; г ^ 1, при г ^ 1

(Р.Р.5)

(Р.Р.5)

является непрерывной. Найдем ее наименьшие значения для разных п в диапазоне изменения аргумента 0 < г < °°. С этой целью исследуем производные

dAVv1) 11Ч Т 1\„

dr'

<ir = W (/7+7 ~ /Г+т)'(5'5, )

Если п> 1, то по формулам (5.5.6) и (5.5.7) можно установить, что

d^^drd^^dr<0.<0.dAF^

d^^dr

d^^dr

<0.

<0.

^<0 и dr

Следовательно, при п> 1 функция AFz(r) является убывающей в рассматриваемом диапазоне изменения аргумента 0 < г < °°. Поэтому суммарное приращение скорости на маневр тем меньше, чем больше величина т. Отсюда видно, что радиус перицентра гипер-

болической орбиты гп должен выбираться предельно малым с учетом условий безопасности проведения маневра (рис. 5.18,6). Например, величина гп может быть ограничена снизу атмосферой планеты или ее рельефом, когда атмосфера отсутствует.

Проанализируем теперь случай п<1. Согласно (5.5.7) в этом случае

jaH2)

—+>0,

dr

JAy^ drJAy^ dr/2<0./2<0.т. е. функция Ws(f^ возрастает при изменении аргумента в диапазоне 1 < г < с». Между тем

JAy^ dr

JAy^ dr

/2<0.

/2<0.

(5.5.6а)

Следовательно, непрерывная функция AF2(f), определяемая условием (5.5.5), имеет излом в точке г = 1. В точке излома реализуется локальный минимум функции AF2(r), поскольку здесь происходит изменение знака производной с «—» на «+». Осталось теперь проверить поведение AF2(f) при изменении аргумента в диапазоне 0 < г < 1, когда п < 1.

Определим условия обращения в нуль производной (5.5.6). Положив

~+- = 0,dr

получим 1 з + ?1

/ту? ”1+7 /ту? ’

Избавимся от радикалов и после упрощений получим квадратное уравнение относительно г:

(п2 + 3)г2 + 6 (и2 + 1)г + 9 и2 —1 = 0.

Найдем его корни

г* = .-3(”2 + l) ± 2 /з-2п2 ,(5.5.8)

п + 3

Знак «—» перед радикалом отвечает решению г* < 0, которое не имеет физического смысла. Поэтому надо сохранить только знак «+» и дополнительно потребовать, чтобы числитель (5.5.8) был положителен. Отсюда найдем ограничение на величину п

9n4+26n2-3<0,

которое удовлетворяется при

(5.5.9)

Видно, что обращение в нуль производной dbVddf на участке изменения аргумента 0 < г < 1 возможно лишь в одной точке и лишь при значении параметра п из диапазона (5.5.9). На границах этого диапазона имеем

^1„_1 = о, г* |„_0 = 0,155.

3

При промежуточных значениях п величина г* лежит в интервале 0 < г* <0,155.

Согласно формуле (5.5.6) производная

dAy^)drdAy^)dr1 ( 1~ 1/2 \ ”1 ( 1~ 1/2 \ ”(5.5.66)(5.5.66)

dAy^)dr

dAy^)dr

1 ( 1

~ 1/2 \ ”

1 ( 1

~ 1/2 \ ”

(5.5.66)

(5.5.66)

положительна при м<1/3 и равна нулю при п=1/3. При г = 1 согласно (5.5.6а) эта производная отрицательна. Следовательно, при г = г* реализуется максимум функции ДГ4(г)- Минимальные значения этой функции на интервале 0 < г < 1 могут достигаться лишь на границах интервала.

Для нахождения наименьшего значения функции ДУ2(г) при п < 1 следует сравнить ее значения в точках f = 1 и г = 0, т. е. (5.5.4) и

/2(п4-1)—1. (5.5.10) Покажем, что

<5-5Л1)

причем знак равенства возможен только в случае п = 0. Подставляя (5.5.4) и (5.5.10) в (5.5.11), получим

У14-и2<14-и

и далее, после возведения в квадрат, 0 < и, что соответствует определению параметра п формулой (5.5.2).

При значениях параметра п из диапазона у -Oi < 1 производная d^!»r не обращается в нуль ни при каких значениях аргумента в интервале 0<г<1. Поскольку при г = 0 эта производная согласно (5.5.66) будет отрицательна (при п>1/3), то она будет отрицательна на всем интервале. Минимальное значение функции ДУУ^г) достигается на правом конце интервала при г = 1.

Итак, в случае п<1 функция ДУх(г) имеет минимум в точке г = 1. Отсюда следует принять гп = гкр, и оптимальным оказывается не двухимпульсный перелет, а одноимпульсный, когда перицентр гиперболической орбиты располагается на исходной круговой орбите.

Для любого значения параметра п величина АУ2(г) стремится к 1, когда г неограниченно возрастает. Действительно, с учетом (5.5.3) и (5.5.5) имеем

lim АУ2 (г) = ^т АР'^ (г) = 1 + К2 Ит —f у _ = 1. ~->оо г-»оо г->оо У и -j- Т У 1 Г

Это означает, что если радиус перицентра может быть выбран сколь угодно малым, то маневр должен осуществляться следующим образом. Круговая скорость аппарата на исходной орбите гасится почти до нуля, и аппарат «падает» на притягивающий центр почти по вертикальной траектории, которая после прохождения мимо притягивающего центра меняет свое направление движения почти на противоположное. В точке минимального расстояния от притягивающего центра (в перицентре переходной орбиты) скорость движения Уп весьма велика и даже небольшое приращение скорости движения АУг позволяет получить значительное приращение энергии \Е « УПАУ2. Вследствие этого эллиптическая переходная орбита аппарата может быть превращена в гиперболическую с большой величиной Уоо.

Заметим, что в случае га=1 иг>1 из формулы (5.5.3) следует тождество АР\(г)=1, согласно которому суммарное приращение скорости на маневр не зависит от соотношения радиусов круговой орбиты гкр и перицентра гиперболической орбиты гп. Это означает, что в том случае, когда заданный гиперболический избыток скорости равен параболической скорости на расстоянии гьр, для перелета на гиперболическую орбиту может использоваться эллиптическая орбита с произвольной величиной перицентра. Выбор величины перицентра пе влияет на величину суммы импульсов скорости, прикладываемых в начале и в конце переходной орбцты.

Сравнение одноимпульсного и двухимпульсного перелетов с круговой орбиты на гиперболическую можно закончить следующим общим выводом. Если заданный гиперболический избыток скорости меньше параболической скорости на расстоянии гкр от притягивающего центра, т. е. У» < Упар (или п<1), одноимпульсный маневр оказывается экономичнее двухимпульсного. Единственный импульс должен прикладываться по касательной в некоторой точке круговой орбиты, выбираемой с учетом требуемой ориентации гиперболической орбиты. Этот случай представляет наибольший практический интерес, так как гиперболический избыток скорости обычно существенно меньше параболической скорости на расстоянии исходной круговой орбиты.

Если Уоо > Упар (или и>1), более экономичным оказывается двухимпульсный маневр. Первый импульс скорости прикладывается касательно к круговой орбите против направления движения для перевода КА на эллиптическую орбиту, радиус перицентра которой равен радиусу перицентра гиперболической орбиты гп. При этом величина гп должна выбираться минимально допустимой, чтобы

снизить суммарное приращение скорости на маневр AVV В перицентре траектории перелета прикладывается второй импульс по касательной для перевода КА на гиперболическую траекторию.

Аналогичные результаты были впервые получены в работе [83] на основе анализа графических зависимостей АГ (г), построенных для различных значений параметра п (рис. 5.19).

Подобно биэллиптическому перелету между круговыми орбитами возможен трехимпульсный биэллиптический перелет с круговой

Рис. 5.19. Характеристики одно- и двухим- пульсных перелетов с круговой орбиты на гиперболическуюРис. 5.19. Характеристики одно- и двухим- пульсных перелетов с круговой орбиты на гиперболическуюРис. 5.20. Трехимпульсный перелет с круговой орбиты на гиперболическую

Рис. 5.19. Характеристики одно- и двухим- пульсных перелетов с круговой орбиты на гиперболическую

Рис. 5.19. Характеристики одно- и двухим- пульсных перелетов с круговой орбиты на гиперболическую

орбиты на гиперболическую [72]. С помощью первого импульса скорости КА переводится на эллиптическую орбиту с радиусом апо- • центра га > гкр. За счет второго импульса скорости, прикладывав- ! мого в апоцентре, происходит уменьшение радиуса перицентра с гкр до гп. Наконец, в перицентре прикладывается третий импульс ' скорости, чтобы обеспечить переход на гиперболическую орбиту с , заданным гиперболическим избытком скорости Voo (рис. 5.20).’

Суммарное приращение скорости на трехимпульсный маневр, от- . несенное к Укр, вычисляется по формуле]

где га = га/гкр, гп = гп/гкр, Г» = У ~/Укр. Можно показать, что при заданных величинах относительного радиуса перицентра гп (по со-

ображениям безопасности маневра) и относительного гиперболического избытка скорости У<» (по постановке задачи) величина ДУг уменьшается с увеличением относительного радиуса апоцентра га, хотя и не очень существенно. При га -> °° трехимпульсный маневр экономичнее одноимпульсного для всех значений TV Правда, такой

Рис. 5.21. Приращение скорости для перелета с круговой орбиты на гиперболическую: сплошная линия — одноимпульсный перелет, штриховая — трехимпульсный перелет с гп = 0,9 и га = 5, штрихпунктирная — трехимпульсный перелет с гп = 0,9 и га-* «

маневр требует неограниченно большого времени. В случае конечных значений га трехимпульсный маневр экономичнее одноимпульсного только в области больших величин У», а при малых V» выгоднее одноимпульсный маневр, который к тому же требует бесконечно малого времени на реализацию. На рис. 5.21 представлен пример расчета ДУ2 при одноимпульсном и трехимпульсном маневрах с гп = 0,9 и двумя значениями га: 5 и <».

Таким образом, для рассматриваемой задачи перелета с круговой орбиты на гиперболическую при заданной величине У» наибольший интерес по экономичности и времени реализации представляет одноимпульсный маневр.

Поворот плоскости круговой орбиты

Если плоскости начальной и конечной орбит не совпадают, to в процессе перелета между этими орбитами необходимо изменить плоскость движения. Такого вида маневры называют пространственными. Суммарное прпращение скорости на пространственный маневр существенно больше, чем на перелет между такими же компланарными орбитами. Будем рассматривать задачу перелета между некомплапарными орбитами в импульсной постановке. Даже при таком упрощении общее решение оптимального перелета между некомпланарными орбитами пока не получено. Исследованы некоторые частные случаи общей задачи, например, задача перелета между круговыми некомпланарными орбитами, одно-, двух- и трех- импульсные пространственные маневры. Получены также численные решения задачи перелета для фиксированных параметров орбит. Все это позволяет установить рациональные способы выполнения пространственного маневра, оценить потребное приращение скорости на маневр и на этой основе находить решения различных прикладных задач.

Одноимпульсный поворот. Простейшей задачей перелета между некомпланарными орбитами является поворот плоскости движения без изменения формы и размеров орбиты. Возможны различные способы поворота плоскости движения. Самый простой маневр — одноимпульсный. Единственный импульс прикладывается на линии пересечения плоскости начальной и конечной орбит. В дальнейшем для простоты рассмотрения ограничимся круговой орбитой радиуса т. Тогда величина потребного импульса скорости для поворота плоскости движения на угол г, отнесенная к круговой скорости Укр(г), будет определяться формулой

АУ = ^K. = 2sin4.(5.6.1)

Найдем угол % между направлением импульса скорости AV и начальной плоскостью движения (рис. 5.22):

Х = ^-(5-6.2)

Одноимпульсный поворот плоскости движения приемлем, когда угол г сравнительно мал (рпс. 5.23). При больших углах поворота потребное прпращение скорости па маневр становится слишком большим. Так, при i = 60° имеем АУ=Укр, а при i =180° АУ = = 2У р. Поэтому рассматривают другие способы поворота плоскости движения, основанные на следующем правиле: поворот плоскости движения следует осуществлять по возможности в точке траектории, где скорость минимальна.

Трехимпульсный поворот. Возможна простая схема трех- импульсного поворота плоскости круговой орбиты. Первый импульс

скорости прикладывается по касательной к траектории в начальной плоскости движения при пересечении КА линии узлов. Величина импульса выбирается из условия получения заданного радиуса апоцентра га промежуточной орбиты:

(5.6.3)(5.6.3)

(5.6.3)

(5.6.3)

где га = га/гкр. С помощью второгогде га = га/гкр. С помощью второгоимпульса скорости, которыйимпульса скорости, который

где га = га/гкр. С помощью второго

где га = га/гкр. С помощью второго

импульса скорости, который

импульса скорости, который

Рис. 5.22. Схема одноимпульсного поворота плоскости круговой орбиты: 1 — плоскость начальной орбиты; 2 — плоскость конечной орбитыРис. 5.22. Схема одноимпульсного поворота плоскости круговой орбиты: 1 — плоскость начальной орбиты; 2 — плоскость конечной орбитыРис. 5.23. Приращение скорости на одноимпульсный поворот плоскости круговой орбитыРис. 5.23. Приращение скорости на одноимпульсный поворот плоскости круговой орбиты

Рис. 5.22. Схема одноимпульсного поворота плоскости круговой орбиты: 1 — плоскость начальной орбиты; 2 — плоскость конечной орбиты

Рис. 5.22. Схема одноимпульсного поворота плоскости круговой орбиты: 1 — плоскость начальной орбиты; 2 — плоскость конечной орбиты

Рис. 5.23. Приращение скорости на одноимпульсный поворот плоскости круговой орбиты

Рис. 5.23. Приращение скорости на одноимпульсный поворот плоскости круговой орбиты

прикладывается в апоцентре, производится поворот плоскости движения на заданный угол i по одноимпульсной схеме. Величина второго импульса скорости, отнесенная к Укр, вычисляется по формуле:

Вторая половина промежуточной орбиты симметрична первой, но располагается в конечной плоскости движения. При достижении перицентра, радиус которого равен радиусу круговой орбиты, прикладывается третий импульс скорости (против направления движения) для перевода КА на круговую орбиту (рис. 5.24). По величине третий импульс скорости равен первому. Отсюда суммарное приращение скорости на трехимпульсный поворот плоскости круговой орбиты

При г. = 1 формула (5.6.5) переходит в (5.6.1), а трехимпульсный поворот — в одноимпульсный, так как первый и третий импульсы скорости становятся равными нулю. При г а оо получим в пределе

АРх(га = оо)= 2(^2- 1)« 0,82.

Заметим, что в этом случае потребное приращение скорости на маневр не зависит от угла поворота плоскости орбиты, а время маневра неограниченно возрастает.

Характеристики трехимпульсного маневра с поворотом плоскости в апоцентре траектории построены на рис. 5.25. Они включают

Рис. 5.24. Трехимпульсный маневр с поворотом плоскости круговой орбиты в апоцентре траектории перелетаРис. 5.24. Трехимпульсный маневр с поворотом плоскости круговой орбиты в апоцентре траектории перелета

Рис. 5.24. Трехимпульсный маневр с поворотом плоскости круговой орбиты в апоцентре траектории перелета

Рис. 5.24. Трехимпульсный маневр с поворотом плоскости круговой орбиты в апоцентре траектории перелета

суммарное потребное приращение скорости AFs в зависимости от угла поворота и радиуса апоцентра га, а также время перелета Т^ отнесенное к периоду обращения на круговой орбите заданного радиуса (Тх = Т^Ткр).

sin у.sin у.Определим, при каких значениях угла поворота плоскости круговой орбиты I трехимпульсный маневр оказывается экономичнее одноимпульсного. Сравнивая (5.6.1) с (5.6.5), получим, что это имеет место, когда выполнено неравенство

sin у.

sin у.

(5.6.6)

При Fa 1 левая часть неравенства (5.6.6) представляет собой неопределенность вида 0/0. Раскрывая эту неопределенность, найдем:

Рис. 5.25. Характеристики трехимпульсного поворота плоскости круговой орбиты в апоцентре траектории; сплошные линии — AFs, штриховая — 7 $

Рис. 5.26. Области оптимальности одноимпульсного манера (Z) и трехимпульс- ного маневра с поворотом плоскости круговой орбиты в апоцентре траектории (ZZ)

sin у > 1/3. Отсюда i > 38,94°. При га имеем sin у >• ]Л2 — 1, г > 48,94°. На рис. 5.26 построены граничные значения угла поворота irp, для которых одноимпульсный и трехимпульсный повороты плоскости круговой орбиты требуют одинакового приращения скорости. Если заданный угол поворота К 38,94°, то более экономичным оказывается одноимпульсный поворот плоскости орбиты, а при г > 48,94° экономичнее трехимпульсный с произвольным радиусом апоцентра (га>1). Если 38,94° < i < 48,94°, то всегда можно выбрать такую величину га, удовлетворяющую условию (5.6.6), при которой трехимпульсный поворот оказывается экономичнее одно- импульсного.

Модифицированный трехимпульсный поворот. Возможна более сложная модификация трехимпульсного маневра, когда поворот плоскости осуществляется в моменты приложения каждого импульса скорости, т. е. в три приема. При этом основной поворот плоскости движения производится с помощью второго импульса скорости, в апоцентре траектории. Первый и третий импульсы предназначены в основном для разгона и торможения. Кроме того, они дополнительно используются для поворота плоскости движения на небольшие углы.

Пусть ii, i2, is — углы поворота плоскости движения в моменты приложения каждого из трех импульсов. Их сумма должна равняться заданному углу поворота плоскости круговой орбиты:

ii+ 12+13 — 1. (5.6.7)

Суммарное потребное приращение скорости на модифицированный трехимпульсный поворот плоскости, отнесенное к Укр, задается соотношением

+ V -^-2 I/ -VcosG-^-^). (5.6.8) ' i + ra

Предположим сначала, что время маневра задано, тогда радиус апоцентра га траектории перелета определяется однозначно, и суммарное приращение скорости на маневр будет зависеть только от величины углов ii, 12, 13. С учетом равенства (5.6.7) только два угла из трех оказываются независимыми. При оптимальном маневре, обеспечивающем минимум AFs, должно выполняться дополнительное условие: ц = к. Действительно, второй импульс скорости прикладывается только для поворота плоскости движения на угол 12. Первый и третий импульсы скорости прикладываются в одинаковых условиях для разгона (торможения) на траекторию перелета и

одновременного поворота плоскости движения. В силу обратимости задачи оптимального маневра траектория перелета должна обладать симметрией. Отсюда — равенство импульсов скорости AFi = = АР3 и углов ii = z3.

С учетом симметрии маневра можно записать:

COS lY +1 1 raCOS lY +1 1 ra

COS lY +

1 1 ra

COS lY +

1 1 ra

. .1sinz1 ra. .1sinz1 ra! + Га! + ГаДифференцируя (5.6.9) no ?i и положив dAF2/dZ[=O, получим необходимое условие оптимальности угла гц

. .1

sinz1 ra

. .1

sinz1 ra

! + Га

! + Га

COS lY COS HjZ1 I ^ и ?! ^ V

1 + ra\ -/2

(5.6.10)

Величина угла ix , удовлетворяющая условию (5.6.10), зависит от относительного радиуса апоцентра, который может изменяться в диапазоне

1 ^ га < оо. (5.6.11)

Легко проверить, что при га=1 условие (5.6.10) принимает вид

sm-ysm-yliCOS -у- — cosliCOS -у- — cos(_£\2(_£\2

sm-y

sm-y

li

COS -у- — cos

li

COS -у- — cos

(_£

\2

(_£

\2

откуда

Если fa-*°o, имеем ?1ИТ->0. При всех остальных значениях га ве- • ОПТ личина оолыпе нуля.

тяг’ОПТv

Из численных расчетов следует, что угол zx . удовлетворяющий условию (5.6.10), не превышает нескольких градусов, и при 1Х = ,1ПТ зависимость AF2(?i) имеет минимум. Для небольших углов i поворота плоскости круговой орбиты может оказаться, что не существует угол ?°пт, удовлетворяющий условиям (5.6.10) и ii^z/2. В таких случаях наименьшее значение АР2 достигается в точке z'i = z/2, в которой производная d/\V^dii терпит разрыв (угловая точка).

Малость угла нпт можно объяснить из простых физических соображений. Действительно, для малых значений ii имеем cos?i « 1. Тогда первый и третий пмпульсы скорости близки к величинам, полученным для случая поворота плоскости в апоцентре траектории перелета (за один прием). Второй импульс скорости оказывается меньше, чем в указанном случае, так как в апоцентре пло-

скость движения поворачивают на угол i — 2ii, а не на угол I. В итоге суммарное приращение скорости на маневр АГ2 уменьшается.

С учетом малости угла hnT можно получить формулу для вычисления корня уравнения (5.6.10) в первом приближении:

i^^ . (5.6.12)i^^ . (5.6.12)

i^^ . (5.6.12)

i^^ . (5.6.12)

(5.6.12) значение ^ име(5.6.12) значение ^ имеЗаметим, что найденное по формулеЗаметим, что найденное по формулеет достаточную точность для расчетает достаточную точность для расчетаРис. 5 27. Оптимальные величины первого (и третьего) угла поворота плоскости движения при модифицированном трехимРис. 5 27. Оптимальные величины первого (и третьего) угла поворота плоскости движения при модифицированном трехимпульсном маневрепульсном маневре

(5.6.12) значение ^ име

(5.6.12) значение ^ име

Заметим, что найденное по формуле

Заметим, что найденное по формуле

ет достаточную точность для расчета

ет достаточную точность для расчета

Рис. 5 27. Оптимальные величины первого (и третьего) угла поворота плоскости движения при модифицированном трехим

Рис. 5 27. Оптимальные величины первого (и третьего) угла поворота плоскости движения при модифицированном трехим

пульсном маневре

пульсном маневре

потребного приращения скорости АГ2 в случае оптимального маневра. На рис. 5.27 •опт _ построены величины ^ в зависимости от га и ъ. Виднот что наибольшие значения iinT (порядка 5°) имеют место при г а ~ 2 и углах поворота плоскости движения меньше 40°.

Потребные величины АГ2 для модифицированного трехимпульсного маневра в зависимости от га и i построены на рис. 5.28. Здесь же построено время маневра ^2, отнесенное к периоду обращения на заданной круговой орбите. В граничных точ-

ках интервала изменения га (т. е. при га — 1 и га — °°) величины АГ2 для модифи-

цированного трехимпульсно

го маневра совпадают с соответствующими величинами АГ2 для трехимпульсного маневра с

поворотом плоскости движения в апоцентре траектории перелета. Действительно, в указанных точках 1^ = 0 независимо от величины i, поэтому модифицированный трехимпульсный маневр переходит в исходный.

Если сопоставить построенные на рис. 5.25 и 5.28 зависимости АГ2(га, i), то можно установить, что в классе трехимпульсных маневров поворот плоскости в три приема вместо одноразового ново-

рота в апоцентре позволяет уменьшить потребную величину АГ2 не более чем на 0,05 (при г а ~ 2 и 1~ 20°). Таким образом, максимальная экономия не превышает 5 % от величины круговой скорости заданной орбиты. Аналогичные оценки получены и в работах [71, 89].

Сравнивая потребные приращения скорости на модифицированный трехимпульсный маневр и одноимпульсный маневр, можно построить зависимость граничного угла поворота irp(ra), для которой

Рис. 5.28. Характеристики модифицированного трехимпульсного поворота плоскости круговой орбиты (в три приема): сплошные линии — значения АРх; штриховая — значения Г2

величины АГ2 в обоих случаях совпадают. Эта зависимость, а также соответствующие ей величины г^т (?гр, га построены на рис. 5.29.

Видно, что 0° ^ irp < 48,94°. Следовательно, если заданный угол поворота плоскости орбиты находится в диапазоне 0° ^ i ^ 48,94°, то при выборе радиуса апоцентра траектории перелета из диапазона

1<га<га(ггр) модифицированный трехимпульсный маневр оказывается экономичнее, чем одноимпульсный. Для углов поворота 48,94° ^ i ^ 180° модифицированный трехимпульсный маневр экономичнее одноимпульсного при любом выборе радиуса апоцентра 1 < га < °°. Итак, модифицированный трехимпульсный поворот плоскости круговой орбиты оказывается экономичнее одноимпульсного

Рис. 5.29. Области оптимальности одноимпульсного маневра (Z) и модифицированного трехимпульс- ною маневра с поворотом круговой орбиты в три приема (ZZ)Рис. 5.29. Области оптимальности одноимпульсного маневра (Z) и модифицированного трехимпульс- ною маневра с поворотом круговой орбиты в три приема (ZZ)Рис. 5.30. Характеристики оптимально! о модифицированного трехим- пульсного поворота плоскости круговой орбитыРис. 5.30. Характеристики оптимально! о модифицированного трехим- пульсного поворота плоскости круговой орбиты

Рис. 5.29. Области оптимальности одноимпульсного маневра (Z) и модифицированного трехимпульс- ною маневра с поворотом круговой орбиты в три приема (ZZ)

Рис. 5.29. Области оптимальности одноимпульсного маневра (Z) и модифицированного трехимпульс- ною маневра с поворотом круговой орбиты в три приема (ZZ)

Рис. 5.30. Характеристики оптимально! о модифицированного трехим- пульсного поворота плоскости круговой орбиты

Рис. 5.30. Характеристики оптимально! о модифицированного трехим- пульсного поворота плоскости круговой орбиты

во всем диапазоне углов поворота, от малых до больших, в то время как трехимпульсный маневр с поворотом плоскости в апоцентре экономичнее одноимпульсного только для углов г > 38,94°.

Обсудим теперь модифицированный трехимпульсный маневр для случая, когда время маневра не задано. Тогда потребное приращение скорости будет зависеть не только от углов поворота, но также и от величины радиуса апоцентра га траектории перелета, т. е. AF2(i, га). Аналитическое отыскание минимума функции двух переменных (5.6.9) приводит к весьма громоздким выражениям. Между тем зависимости, построенные на рис. 5.28, позволяют определить оптимальные значения га т для заданного угла поворота г с помощью численных методов. Результаты расчетов представлены на рис. 5.30. Если углы поворота плоскости круговой орбиты I не превышают 60°, то существуют конечные величины относительного радиуса апоцентра траектории перелета 1 <С га <Юи соответствующие величины первого (третьего) угла поворота плоскости ,, <4 <4, при которых достигается минимум потрео- ного приращения относительной скорости АГ2 для трехимпульсного модифицированного маневра. Если же углы поворота превышают 60°, то с неограниченным увеличением га потребные величины AEs уменьшаются, достигая предельного значения АЕ2 = 0,828, которое

не зависит от угла поворота. При этом ипт = 0, а модифицированный трехимпульсный поворот плоскости круговой орбиты (за три приема) переходит в трехимпульсный маневр с поворотом плоскости в апоцентре траектории перелета.

Двухимпульсный перелет

между некомпланарными круговыми орбитами

Если радиусы начальной г\ и конечной гг круговых орбит различаются, то минимальное число импульсов для перелета равно- двум. Для определенности будем полагать, что перелет совершается с меньшей круговой орбитой на большую (Г1<гг), a i — угол между плоскостями орбит (угол некомпланарности).

Первый некомпланарный двухимпульсный перелет. Естественным обобщением двухимпульсного маневра на случай перелета между некомпланарными круговыми орбитами является первая некомпланарная траектория типа Гоманна, когда второй импульс скорости прикладывается в апоцентре под некоторым углом х.

Рис. 5.31. Первый некомпланарный двухимпульсный перелет (с поворотом плоскости движения в апоцентре): 1 — плоскость начальной орбиты; 2— плоскость конечной орбиты; 3 — траектория перелетаРис. 5.31. Первый некомпланарный двухимпульсный перелет (с поворотом плоскости движения в апоцентре): 1 — плоскость начальной орбиты; 2— плоскость конечной орбиты; 3 — траектория перелета

Рис. 5.31. Первый некомпланарный двухимпульсный перелет (с поворотом плоскости движения в апоцентре): 1 — плоскость начальной орбиты; 2— плоскость конечной орбиты; 3 — траектория перелета

Рис. 5.31. Первый некомпланарный двухимпульсный перелет (с поворотом плоскости движения в апоцентре): 1 — плоскость начальной орбиты; 2— плоскость конечной орбиты; 3 — траектория перелета

к начальной плоскости (т. е. плоскости исходной орбиты и траектории перелета). Величина второго импульса скорости АЕг и угол % выбираются из условия доразгона до местной круговой скорости и одновременного поворота плоскости движения на угол i (рис. 5.31). Суммарное приращение скорости на такой маневр, отнесенное к круговой скорости начальной орбиты, определяется формулой

АЕ2 =

21 + г21 + гcos г,cos г,А^ + AF2 = Г 2?

2

1 + г

2

1 + г

cos г,

cos г,

^кр1 V 1 + Г

(5.7.1)

а угол % между АУг и начальной плоскостью движения есть

X = arcsin

sin t

2

. , -cos г

1 + r

(5.7.2)

Здесь r = r^rx.

На рис. 5.32 построено суммарное приращение скорости для первой модификации двухимпульсного некомпланарного перелета в

Рис. 5.32. Суммарное приращение скорости при первом неко ^планарном двухимпульс- ном перелете (с поворотом плоскости в апоцентре)

зависимости от угла неком- планарности i и обратной величины относительного радиуса г-1 [89]. Когда I 30°, зависимость AF2(r-1) имеет максимум при больших величинах относительного радиуса (г> 10). Если г 5г 40°, то наибольшее значение AFs достигается при г = 1. Это значит, что перелет на относительно близкую орбиту в случае значительного угла некомпланарности требует большего суммарного приращения скорости, чем перелет на более далекую орбиту с таким же углом некомпланарности.

5.7.2. Второй некомпланарный двухимпульсный перелет. Второй некомпланарный двухимпульсный перелет отличается тем, что поворот плоскости производится с каждым импульсом ско

рости (в два приема). Суммарное приращение скорости на такой маневр, отнесенное к Укрь

вычисляется по формуле

AF2

А^ + АГ2

V

k кр 1

cos ix +

(5.7.3)

Здесь ii — угол поворота плоскости движения в момент приложения первого импульса скорости. Для заданных величин относительного радиуса г и угла некомпланарности i существует оптималь-

иый угол iinT, обеспечивающий минимум АГ7(й). Этот угол определяется из условия dAFs/dii = 0:

г sin i

V1 + 37 — 2 /27(1 + г ) cos fj

sin i cos L— cos i sin L~„

— _1—-1- = 0. (5.7.4)

/з +2 /2(1 + r) (cos i cos iT + sin i sin ij

Расчеты показывают, что угол {°пт не превышает нескольких градусов, как и в рассмотренном ранее случае поворота плоскости круговой орбиты с использованием модифицированного трехим- пульсного маневра (поворот плоскости в три приема).

Такой способ перелета между некомпланарными круговыми орбитами экономичнее первого некомпланарного двухимпульсного перелета во всем диапазоне углов i и относительных радиусов г. Для каждого значения г существует такая величина угла некомпланар- ности г*, при которой достигается наибольшая экономия от использования второго некомпланарного двухимпульсного перелета по сравнению с первым. На рис. 5.33 построена величина наибольшей

Рис. 5.33. Максимальная возможная экономия суммарного приращения скорости при использовании второго некомпланарного двухимпульсного перелета (с поворотом плоскости в два приема)Рис. 5.33. Максимальная возможная экономия суммарного приращения скорости при использовании второго некомпланарного двухимпульсного перелета (с поворотом плоскости в два приема)Рис. 5.34. Условия наибольшей экономии при использовании второго некомпланарного двухимпульсного перелета (с поворотом плоскости в два приема)Рис. 5.34. Условия наибольшей экономии при использовании второго некомпланарного двухимпульсного перелета (с поворотом плоскости в два приема)

Рис. 5.33. Максимальная возможная экономия суммарного приращения скорости при использовании второго некомпланарного двухимпульсного перелета (с поворотом плоскости в два приема)

Рис. 5.33. Максимальная возможная экономия суммарного приращения скорости при использовании второго некомпланарного двухимпульсного перелета (с поворотом плоскости в два приема)

Рис. 5.34. Условия наибольшей экономии при использовании второго некомпланарного двухимпульсного перелета (с поворотом плоскости в два приема)

Рис. 5.34. Условия наибольшей экономии при использовании второго некомпланарного двухимпульсного перелета (с поворотом плоскости в два приема)

возможной экономии dPs для различных значений г-1. Отмеченные на графике точки показывают соответствующие величины угла г* Максимальная экономия (6Р2 = 0,027) достигается при г » 15,38 и i~ 30°.

На рис. 5.34 показаны зависимости от г-1 угла некомпланар- ности i*, при котором достигается наибольшая экономия дР2, •опт

и угла ?! поворота плоскости движения в момент приложения первого импульса скорости [89].

Трехимпульсный перелет

между некомпланарными круговыми орбитами

Рассмотрим трехимпульсные перелеты между некомпланарными: круговыми орбитами. Как и при повороте плоскости орбиты, возможны различные варианты трехимпульсного маневра.

Первый некомпланарный трехимпульсный перелет. Первый некомпланарный трехимпульсный перелет по существу представляет собой биэллиптический перелет с поворотом плоскости движения в апоцентре траектории (га > г). Суммарное приращение? скорости на маневр, отнесенное к круговой скорости начальной (внутренней) орбиты, вычисляется по формуле

Для заданных значений относительного радиуса г и угла неком- планарности орбит i величина AFz является функцией относительного радиуса апоцентра га. Если га = г, третий импульс скорости обращается в нуль, формула (5.8.1) переходит в (5.7.1), а трех- импульсная траектория становится двухимпульсной. Случай га < г не рассматривается, поскольку траектория перелета оказывается неоптимальной по AF2. При га °° обращается в нуль второй импульс, так как поворот плоскости движения на произвольный угол i и любое изменение радиуса перицентра требуют приложения бесконечно малого импульса скорости в апоцентре траектории, радиус которого неограниченно велик. Поэтому

ДГ2 = ( /2 - 1) /1 + (5.8.2).

независимо от угла некомпланарности I.

Аналитическое исследование минимума функции AF2(ra), задаваемой формулой (5.8.1), приводит к весьма громоздким соотношениям. Поэтому ниже представлены только результаты численного анализа трехимпульсных траекторий перелета с поворотом плоскости в апоцентре [77, 89].

Радиус апоцентра га однозначно определяется величиной первого импульса скорости AFi = А71/7КРь Именно AFi удобно использовать в качестве независимой переменной для графического представления результатов расчета, в том числе областей оптимальности

двух- и трехимпульсных траекторий перелета с одноразовым поворотом плоскости движения.

Расчеты показали, что для каждого значения относительного радиуса г существует граничный угол некомпланарности ггр, при котором трехимпульсная траектория перелета вырождается в двух- импульсную, так как га = г и третий импульс скорости равен нулю. В области углов некомпланарности 0 ^ г ^ ггр более экономичной оказывается двухпмпульсная траектория перелета по сравнению с трехимпульсной траекторией, у которой радиус промежуточного апоцентра имеет конечное значение. Эта область выделена на

Рис. 5 35. Области оптимальности двух- и трехимпульсных траекюрий перелета •с одноразовым поворотом плоскости движения: кружки — граничные точки оптимальных двухимпульспых траекторий; штриховые линии — неоптимальные участки кривых; штриховкой обозначена граница области оптимальности двухимпульсных траекторий

рис. 5.35 штриховкой. Вместе с тем при больших величинах относительного радиуса (г > 6) и больших углах некомпланарности, удовлетворяющих условию i ^ zrp, может оказаться, что минимальное потребное приращение скорости на маневр реализуется в случае трехимпульсного пространственного перелета с неограниченно большим радиусом апоцентра (га-*-00). Соответствующие неоптимальные участки изолиний г = const показаны на рис. 5.35 пунктиром.

Для углов некомпланарности z > zrp выгоднее использовать трех- импульсную траекторию, причем в зависимости от z можно выбрать такую величину АРд (или га), которая обеспечивает перелет с минимальным потребным приращением скорости АР^.

Чтобы воспользоваться построенными на рис. 5.35 зависимостями, надо руководствоваться следующим правилом. Пусть заданы величины относительного радиуса г* и угла некомпланарности z*. Построим горизонтальную линию z = z* и найдем ее пересечение с изолинией г = г*. Если точка пересечения находится на сплошной части изолинии, то в случае I* < ггр (пересечение с вертикальной

частью изолинии) оптимальной оказывается двухимпульсная некомпланарная траектория, а в случае I* > ггр (пересечение с наклонной частью изолинии) оптимальной является трехимпульсная некомпланарная траектория перелета с ограниченной величиной, радиуса промежуточного апоцентра. В тех случаях, когда точка

Рис. 5.36. Характеристики двух- и трехимпульсных траекторий перелета между некомпланарными круговыми орбитами (одноразовый поворот плоскости движения в апоцентре): светлые кружки — граничные точки оптимальных двухимпульсных траекторий; черные кружки — оптимальные точки; штриховые линии — неоптимальные участки кривых; штриховкой обозначена граница области оптимальности двухимпульсных траекторий

пересечения расположена на пунктирной части изолинии г ~ г*т оптимальной является трехимпульсная некомпланарная траектория перелета с бесконечно большим радиусом апоцентра (га->оо). Видно, что при г > 60° или г >11,94 всегда оптимальна трехимпульсная некомпланарная траектория перелета с неограниченно большим радиусом апоцентра. Поскольку такой перелет требует бесконечно большого времени, его можно заменить траекторией с достаточно большой, но конечной величиной га без существенного увеличения АР я.

На рис. 5.36 построены значения АРs, отвечающие указанным областям оптимальности. Пунктиром показаны неоптимальные части кривых. Рис. 5.37 иллюстрирует минимальные потребные приращения скорости для перелета между некомпланарными круговыми орбитами с одноразовым поворотом плоскости движения. При г = 32,50 величина АР2 почти не зависит от г и составляет примерно 0,55 (от FKpi). По мере увеличения угла некомпланарности от 32,5° до 90° величина АР2 сначала растет, а затем достигает некоторого предела, который тем больше, чем меньше г. Это означает, что для углов некомпланарности г > 40° перелет на более удаленные орбиты требует меньшего суммарного приращения скорости. АГ2, чем перелет на близкие орбиты.

углов некомпланарности i>40°. Приуглов некомпланарности i>40°. ПриРис. 5.37. Минимальное приращение скорости для перелета между некомпланарными круговыми орбитами с поворотом плоскости в апоцентреРис. 5.37. Минимальное приращение скорости для перелета между некомпланарными круговыми орбитами с поворотом плоскости в апоцентреcos 1г +cos 1г +гугуv КР1v КР1

углов некомпланарности i>40°. При

углов некомпланарности i>40°. При

Рис. 5.37. Минимальное приращение скорости для перелета между некомпланарными круговыми орбитами с поворотом плоскости в апоцентре

Рис. 5.37. Минимальное приращение скорости для перелета между некомпланарными круговыми орбитами с поворотом плоскости в апоцентре

cos 1г +

cos 1г +

гу

гу

v КР1

v КР1

На рис. 5.38 построена наибольшая экономия в суммарном приращении скорости 6Г2 при использовании трехимпульсных пеком-

планарных траекторий перелета вместо двухимпульсных. Видно,

что экономия достигается для фиксированном значении i экономия тем больше, чем меньше относительный радиус г.

Второй некомпланарный трехимпульсный перелет. Обсудим теперь второй некомпланарный трех-, импульсный перелет с поворотом плоскости движения в три приема, когда одновременно с приложением каждого импульса скорости плоскость движения поворачивают на некоторый угол. Установлено, как и в задаче поворота плоскости круговой орбиты, что первый и третий углы поворота не превышают нескольких градусов. Поэтому основной по-

ворот плоскости движения

производится с помощью второго импульса скорости. Каждое изменение плоскости движения выполняется на линии узлов начальной и конечной орбит, а импульсы скорости прикладываются в плоскостях, нормальных текущим радиусам-векторам. Суммарное приращение скорости на такой маневр, отнесенное к Укр1, вычисляется по формуле

При г а = г и й + й = г третий импульс скорости обращается в пуль. Поэтому второй некомпланарный трехимпульсный перелет трансформируется во второй некомпланарный двухимпульсный перелет, а формула (5.8.3) преобразуется в (5.7.3).

Рис. 5.38. Наибольший выигрыш в скорости при использовании трехимпульсных некомпланарных траекторий перелета вместо двухимпульсных (поворот плоскости в апоцентре)Рис. 5.38. Наибольший выигрыш в скорости при использовании трехимпульсных некомпланарных траекторий перелета вместо двухимпульсных (поворот плоскости в апоцентре)Рис. 5.39. Области оптимальности двух- и трехимпульсных траекторий перелета (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости): кружки — граничные точки оптимальных двухимпульспых траекторий; штриховые линии — неоптимальные участки кривых; штриховкой обозначена граница области оптимальности двухимпульсных траекторийРис. 5.39. Области оптимальности двух- и трехимпульсных траекторий перелета (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости): кружки — граничные точки оптимальных двухимпульспых траекторий; штриховые линии — неоптимальные участки кривых; штриховкой обозначена граница области оптимальности двухимпульсных траекторийРис. 5.40. Характеристики двух- и трехимпульсных траекторий перелета между некомпланарными круговыми орбитами (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости); светлые кружки — граничные точки оптимальных двухимпульсных траекторий; черные кружки — оптимальные точки; штриховые линии — неоптимальные участки кривых; штриховкой обозначена граница области оптимальности двухимпульсных траекторий

Рис. 5.38. Наибольший выигрыш в скорости при использовании трехимпульсных некомпланарных траекторий перелета вместо двухимпульсных (поворот плоскости в апоцентре)

Рис. 5.38. Наибольший выигрыш в скорости при использовании трехимпульсных некомпланарных траекторий перелета вместо двухимпульсных (поворот плоскости в апоцентре)

Рис. 5.39. Области оптимальности двух- и трехимпульсных траекторий перелета (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости): кружки — граничные точки оптимальных двухимпульспых траекторий; штриховые линии — неоптимальные участки кривых; штриховкой обозначена граница области оптимальности двухимпульсных траекторий

Рис. 5.39. Области оптимальности двух- и трехимпульсных траекторий перелета (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости): кружки — граничные точки оптимальных двухимпульспых траекторий; штриховые линии — неоптимальные участки кривых; штриховкой обозначена граница области оптимальности двухимпульсных траекторий

В общем случае AF2 является функцией трех аргументов: углов поворота й, й и относительного радиуса апоцентра га. Численное исследование минимума этой функции позволило выделить области оптимальности двухимпульсных траекторий перелета с поворотом плоскости движения в два приема и трехимпульсных траекторий с поворотом плоскости в три приема (при ограниченной величине радиуса промежуточного апоцентра га). Эти области построены на рис. 5.39. Как и прежде, граничный угол некомпланарности irp отвечает случаю вырождения трехимпульсного маневра в двухим- пульсный (га = г, АРз = 0). В отличие от траектории перелета с одноразовым поворотом плоскости движения в апоцентре (см. рис. 5.35), здесь существуют оптимальные трехимпульсные траек-

Рис. 5.41. Оптимальные величины первого угла поворота плоскости движения для двух- и трехимпульсных траекторий перелета (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости): кружки — граничные точки оптимальных кривых; штриховые линии — неоптимальные части кривых; штриховкой обозначена граница области оптимальности двухимпульсных траекторийРис. 5.41. Оптимальные величины первого угла поворота плоскости движения для двух- и трехимпульсных траекторий перелета (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости): кружки — граничные точки оптимальных кривых; штриховые линии — неоптимальные части кривых; штриховкой обозначена граница области оптимальности двухимпульсных траекторийРис. 5.42. Оптимальные величины второго угла поворота плоскости движения для двух- и трехимпульсных траекторий перелета (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости): кружки — граничные точки оптимальных кривых; штриховые линии — неоптимальные части кривых; штриховкой обозначена граница области оптимальности двухимпульсных траекторийРис. 5.42. Оптимальные величины второго угла поворота плоскости движения для двух- и трехимпульсных траекторий перелета (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости): кружки — граничные точки оптимальных кривых; штриховые линии — неоптимальные части кривых; штриховкой обозначена граница области оптимальности двухимпульсных траекторий

Рис. 5.41. Оптимальные величины первого угла поворота плоскости движения для двух- и трехимпульсных траекторий перелета (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости): кружки — граничные точки оптимальных кривых; штриховые линии — неоптимальные части кривых; штриховкой обозначена граница области оптимальности двухимпульсных траекторий

Рис. 5.41. Оптимальные величины первого угла поворота плоскости движения для двух- и трехимпульсных траекторий перелета (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости): кружки — граничные точки оптимальных кривых; штриховые линии — неоптимальные части кривых; штриховкой обозначена граница области оптимальности двухимпульсных траекторий

Рис. 5.42. Оптимальные величины второго угла поворота плоскости движения для двух- и трехимпульсных траекторий перелета (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости): кружки — граничные точки оптимальных кривых; штриховые линии — неоптимальные части кривых; штриховкой обозначена граница области оптимальности двухимпульсных траекторий

Рис. 5.42. Оптимальные величины второго угла поворота плоскости движения для двух- и трехимпульсных траекторий перелета (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости): кружки — граничные точки оптимальных кривых; штриховые линии — неоптимальные части кривых; штриховкой обозначена граница области оптимальности двухимпульсных траекторий

тории даже при углах некомпланарности 0 ^ i ^ 30° и относительных радиусах орбит 1 ^ г ^ 1,5. Пунктиром выделены части изолиний г = const, для которых оптимальным является второй некомпланарный трехимпульсный перелет с бесконечно большим радиусом апоцентра (га °°).

На рис. 5.40 построены потребные приращения скорости, соответствующие областям оптимальности. Если i < 30° и 1,5 < г < 8, то оптимальным оказывается двухимпульсный перелет с поворотом плоскости в два приема. При г > 6 оптимальными являются либо вторая двухимпульсная некомпланарная траектория (вырожденный случай трехимпульсной траектории с га = г и АР3 = 0), либо вторая трехимпульсная некомпланарная траектория с га -* °°. Оптимальная величина радиуса апоцентра не может принимать промежуточных значений 1<га<°°. Только при г <6 возможны оптимальные значения га внутри указанного диапазона.

На рис. 5.41 построены оптимальные величины первого угла поворота плоскости движения 4 . Наибольшая величина гг не превышает 6°, причем максимум достигается вблизи значений i ^ 40" и г « 1,5. Концы оптимальных участков выделены кружками. Если

Рис. 5.43. Оптимальные величины третьего угла поворота плоскости движения для трехимпульсных траекторий перелета (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости): кружки — граничные точки оптимальных кривых; штриховые линии — неоптимальные части кривых

угол некомпланарности превышает значения, отвечающие этим кружкам, то следует принять iT = U.

На рис. 5.42 показаны оптимальные величины второго угла поворота плоскости движения г^- На рис. 5.43 представлены оптиопт мальные величины третьего угла поворота плоскости движения t3 - Наибольшая величина i3nT не превышает 5°, а при г >6 имеем г3пт = 0. Для углов некомпланарности г, при которых нет оптимальных зависимостей г3 (г), следует принять z3 = U.

Области оптимальности двух- и трехимпульсного перелетов. На рис. 5.44 построены минимальные потребные скорости для перелета между некомпланарными круговыми орбитами по двух- и трехимпульсным траекториям с поворотом плоскости движения соответственно в два и в три приема. Видно, что при i « 35° величина AF2 почти не зависит от г. При углах некомпланарности t>45° величина AF2 уменьшается по мере увеличения г. Следо-

вательно, в указанных случаях перелет на более удаленные орбиты требует меньшего суммарного приращения скорости АР^, чем перелет на близкие орбиты.

Заканчивая рассмотрение траекторий перелета между некомпланарными круговыми орбитами с числом импульсов не больше трех.

можно сделать некоторые общие выводы. Для трех- импульсных траекторий перелета с тремя поворотами плоскости движения величины первого и третьего углов поворота не превышает 5°—6°, т. е. малы. В значительном диапазоне углов некомпла- нарности i и относительных радиусов г первый и третий углы поворота равны нулю. Основным оказывается второй поворот плоскости движения, так как ig > 0,73 i. Именно этим объясняется тот факт, что траектория пе

Рис. 5 44. Минимальные приращения скорости для перелета между некомпланарными круговыми орбитами (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости)Рис. 5 44. Минимальные приращения скорости для перелета между некомпланарными круговыми орбитами (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости)релета с поворотом плоскости движения в три приема обеспечивает несущественную экономию APs по сравнению с тра-

Рис. 5 44. Минимальные приращения скорости для перелета между некомпланарными круговыми орбитами (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости)

Рис. 5 44. Минимальные приращения скорости для перелета между некомпланарными круговыми орбитами (при повороте плоскости движения с каждым импульсом скорости)

екторией, на которой поворот плоскости осуществляется только в апоцентре. Таким образом, во многих задачах можно ограничиться рассмотрением трехимпульсных траекторий с поворотом плоскости в апоцентре (первый некомпланарный трехимпульсный перелет), причем га -> сю, если i >45° или г >11,94. Наибольший практический интерес представляет область, заданная условиями i < 30°, г < 8, где оптимальным оказывается первый некомпланарный двух-

импульсный перелет с поворотом плоскости движения в апоцентре, радиус которого равен радиусу большей круговой орбиты (га = г).

Перелет с эллиптической орбиты на некомпланарную круговую

Сложность анализа задачи перелета с эллиптической орбиты на некомпланарную круговую орбиту существенно зависит от взаимного положения линии апсид и линии узлов, образованной плоскостями орбит [68, 70]. В частном случае, когда линия апсид совпадает с линией узлов, оптимальные траектории перелета ничем

Рис 5 45. Схема простран птвенного перелета с эллиптической орбиты на круговую: 1 — плоскость начальной эллиптической орбиты; 2 — плоскость конечной круговой орбиты; 3 — плоскость перелетаРис 5 45. Схема простран птвенного перелета с эллиптической орбиты на круговую: 1 — плоскость начальной эллиптической орбиты; 2 — плоскость конечной круговой орбиты; 3 — плоскость перелета

Рис 5 45. Схема простран птвенного перелета с эллиптической орбиты на круговую: 1 — плоскость начальной эллиптической орбиты; 2 — плоскость конечной круговой орбиты; 3 — плоскость перелета

Рис 5 45. Схема простран птвенного перелета с эллиптической орбиты на круговую: 1 — плоскость начальной эллиптической орбиты; 2 — плоскость конечной круговой орбиты; 3 — плоскость перелета

не отличаются от траекторий перелета между некомпланарными круговыми орбитами: импульсы скорости прикладываются в моменты пересечения линии узлов и направлены в местной горизонтальной плоскости. С учетом соотношения геометрических размеров -орбит оптимальной может оказаться одна из модифицированных траекторий Гоманна (с поворотом плоскости в один или два приема) или одна из трехимпульсных биэллиптических траекторий (с поворотом плоскости в один или три приема). Численные исследования показали следующее. Если радиус апоцентра начальной эллиптической орбиты меньше радиуса конечной круговой орбиты, то оптимальная траектория начинается в перицентре. Если же радиус апоцентра эллиптической орбиты больше радиуса круговой орбиты, -оптимальная траектория начинается в апоцентре.

Рассмотрим сначала общий случай двухимпульсного перелета КА с эллиптической орбиты на некомпланарную круговую. Предположим, что линия апсид не совпадает с линией узлов. Для некоторого упрощения этой общей сложной задачи, которую обычно исследуют численно, вводят дополнительные ограничения на величины, задающие орбиты и их взаимное расположение.

Сначала рассмотрим общую постановку задачи перелета с эллиптической орбиты на круговую при минимальном суммарном приращении скорости на маневр. Заметим, что полученное решение рассматриваемой задачи будет одновременно определять и оптимальную траекторию для обратной задачи перелета с круговой орбиты на некомпланарную эллиптическую.

На рис. 5.45 показана схема перелета с эллиптической орбиты на некомпланарную круговую. Здесь со — аргумент перицентра эллиптической ор

биты, П — перицентр, А — апоцентр, Оо — истинная аномалия точки отправления М\, фк — угловое расстояние от восходящего узла до точки М2 выхода на круговую орбиту, ъ — угол некомпланарно- сти орбит.

При заданной ориентации начальной эллиптической орбиты (т. е. заданном угле со), фиксированных точках отправления и прибытия суммарное приращение скорости АУ2 на двухимпульсный перелет будет зависеть от величины большой полуоси а эллиптической траектории перелета. Для вычисления АУ2 надо знать радиальную и трансверсальную составляющие скорости в точке отправления с эллиптической орбиты и в начальной точке эллипти-

ческой траектории перелета, а также в ее конечной точке. Необходимо еще знать углы й и k, образованные плоскостью перелета соответственно с плоскостями начальной и конечной орбит.

Отнесем радиальную (2.3.5) и трансверсальную (2.3.7) составляющие скорости эллиптической орбиты к круговой скорости Нкр = = VМ-/гКр, где гкр — радиус конечной круговой орбиты; тогда получим

Уг == Р e sin— кр-2 esin г*},(5.9.1)

%рV а (1-е2)Х '

И» - Д = V ^ (1 + е cos ») = 1/ /^ (1 + с cos О). (5.9.2) ' крРГ а (1 — е )

Здесь р, е, а — параметр, эксцентриситет и большая полуось рассматриваемой эллиптической орбиты, 9 — истинная аномалия. Поскольку заданы радиусы точек отправления и прибытия, то формулы (5.9.1) и (5.9.2) с учетом уравнения орбиты (2.2.31) удобнее представить в следующем виде:

Р[ е2 \ r / J — г т а

(5.9.1а)

Гп =^Р^(5.9.2а)

Знак «+»—для восходящей, а «—»—для нисходящей ветвей эллиптической орбиты. Суммарное приращение скорости на двухимпульс- ный перелет, отнесенное к VKp, вычисляется через приращения радиальной и трансверсальной составляющих скорости в точках отправления и прибытия

Д^ = ДР, + АК = V ДИ?! + ДИ?! + /^ТЖ, (5.9.3) где

А7Г1 = | F^p - Frl1,(5.9.4)

А7П1 =(5.9.5)

— соответственно радиальная и трансверсальная составляющие приращения скорости в точке отправления, Fri, ГП1 — радиальная и трансверсальная составляющие скорости начальной эллиптической орбиты в точке отправления, ТжР, ^niP — радиальная и трансверсальная составляющие скорости в начальной точке траектории перелета;

AFr2 = |F"2PL(5.9.6)

ДИ„2 = /(^Ж+ЖЖ1^Ж(5-9.7)

— радиальная и трансверсальная составляющие приращения скорости в точке прибытия на круговую орбиту, Бгар, БпгР — радиальная и трансверсальная составляющие скорости в конечной точке траектории перелета.

Для определения величин cosii, cos ?2, входящих в (5.9.5) и (5.9.7), предварительно рассмотрим единичные векторы пщ П2, ппер, нормальные соответственно плоскостям начальной орбиты, конечной орбиты и траектории перелета. В системе координат Oxyz (рис. 5.45), начало которой совпадает с притягивающим центром, ось Ох направлена в восходящий узел, ось Оу расположена в плоскости конечной круговой орбиты, а ось Oz дополняет систему координат о до правой, единичные радиусы-векторы точек отправления гх и прибытия г” имеют такие составляющие:

г? = [cos (со -[- ^о), cos i sin (со 4- ^0), sin i sin (co 4- ^o)],(5.9.8)

r2 = (cos фк, sin фк, 0).(5.9.9)

Будем полагать, что векторы гр, г2 неколлинеарны, тогда единичный вектор, нормальный плоскости перелета, определяется соотношением

0 г°Хг° Г sin i sin (со 4~ ^п) sin ф^”Пер ~ |r»xr2| ~ Lsin Аф ’

sin i sin (co 4- ^0) cos ф^ cos (co 4- ^0) sin ф^ — cos I sin (co 4" $0) cos фМ 11*'■ 1 *• Ali (и. У .1U)

sin Дф ’sin ДфJ

где Аср — угловая дальность перелета от начальной точки Мх до конечной точки М^ вычисляемая по формуле

Аф = arccos (г?*г”) =

= arccos [cos (со 4- Фо) cos cph 4- cos i sin (co 4- ^0) sin фь]. (5.9.11)

Запишем единичные векторы, нормальные плоскостям начальной и коночной орбит,

п? = (0, —sin i, cosi).(5.9.12)

n° = (0,0,1).(5.9.13)

Теперь можно вычислить

рп, 1- cci^lfc+Al^l^LL!!^^^15 q 141

COS — Пперsin Дф’

. „« „»cos (о+»„) sin 9ь-cos i sin («>+»„) cos 9еz= q ^ =1

COS ?2 —n2 • Пперsin Дф•

Чтобы определить суммарное приращение скорости на двухим- пульсный перелет с эллиптической орбиты на круговую, необходи-

Рис. 5.46. Построение второго фокуса эллиптической траектории перелета от точки Мх к точке М3Рис. 5.46. Построение второго фокуса эллиптической траектории перелета от точки Мх к точке М3

Рис. 5.46. Построение второго фокуса эллиптической траектории перелета от точки Мх к точке М3

Рис. 5.46. Построение второго фокуса эллиптической траектории перелета от точки Мх к точке М3

мо знать элементы траектории перелета, которая является частью

эллиптической орбиты, заключенной между точками отправления

(Мх) и прибытия (М2). Если векторы г® и Гг неколлинеарны, то существует бесконечное число эллипсов, проходящих через точки Mi, М2 и лежащих в одной плоскости. В случае коллинеарности

векторов г® и Г2 существует бесконечное число возможных плоскостей перелета. В дальнейшем ограничимся рассмотрением первого случая, как представляющего наибольший интерес.

Пусть даны две точки, Mi и М2, расположенные соответственно на расстоянии гх и г2 от притягивающего центра О; угловая дальность между этими точками равна Аф (рис. 5.46). По определению эллипса как геометрического места точек, сумма расстояний которых до фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большой полуоси, т. е. 2апер, можно построить второй фокус (первый совпадает с притягиваю-

щим центром О). Проведем из точ

ки Mi окружность радиуса 2<znep — гь а из точки М2 окружность ра

диуса 2<znep — Т2. Точки пересечения этих окружностей определят возможные положения второго фокуса. В общем случае имеют ме

сто две точки пересечения, отсюда — существование двух различных эллиптических траекторий с одинаковой величиной большой полуоси. Меняя величину 2апер, можно построить геометрическое место точек вторых фокусов, которое по построению является гиперболой с фокусами в точках Мх и М2. Предельный случай касания двух окружностей определяет единственный второй фокус F', расположенный на отрезке прямой М1М2. В этом случае величина большой полуоси оказывается минимальной возможной

< =(5.9.16)

где

с = }/ ri + г| — ^Fi cos Аф(5.9.17)

— длина отрезка прямой MiM2.

Если апер>- а™р , то возможны две эллиптические траектории перелета с общим фокусом в точке О и разными вторыми фокусами. Для одной траектории оба фокуса расположены по одну сторону от прямой ЛГ^г, а для второй — по разные стороны. На рис. 5.46 построен пример для случая, когда гх < г2. Если при этом

величина большой полуоси выбрана так, что второй фокус оказывается в точке Е"', то начальная точка траектории перелета М\ является ее перицентром. Если бы перелет совершался из точки М2 в точку М\ (величина начального радиуса-вектора больше величины конечного радиуса-вектора), то при нахождении второго фокуса в точке F" апоцентр траектории перелета совпадал бы с точкой отправления М2.

дено в гл. 4) можно определить вседено в гл. 4) можно определить все^Fe t пер7,2 -^Fe t пер7,2 -AVZAVZ0,80,80,40,4перjI1It® Qn/^крперjI1It® Qn/^крО 1111111L0,60,81,01,21,4О 1111111L0,60,81,01,21,4Предположим теперь, что положение второго фокуса на гиперболе выбрано. Тем самым однозначно определена величина большой полуоси Ядер траектории перелета и ориентация линии апсид. Следовательно, графически или аналитически (доказательство приве- необходимые величины для расчета траектории перелета, затем по формулам (5.9.1) —(5.9.7), (5.9.14), (5.9.15) вычислить AF2. Изменяя положение второго фокуса (или величину большой полуоси), можно определить оптимальную траекторию перелета с минимальным значением AFs.

дено в гл. 4) можно определить все

дено в гл. 4) можно определить все

^Fe t пер7,2 -

^Fe t пер7,2 -

AVZ

AVZ

0,8

0,8

0,4

0,4

пер

jI1I

t® Qn/^кр

пер

jI1I

t® Qn/^кр

О 1111111L

0,60,81,01,21,4

О 1111111L

0,60,81,01,21,4

Рис. 5.47. Характеристики траектории пе-релета («о = гкр, е = 0,3, г = 20°, о) = 30°,^о = 0°, фк = 170°)Рис. 5.47. Характеристики траектории пе-релета («о = гкр, е = 0,3, г = 20°, о) = 30°,^о = 0°, фк = 170°)На рис. 5.47 приведены типичные результаты расчета для случая перелета с эллиптической орбиты на круговую при

Рис. 5.47. Характеристики траектории пе-релета («о = гкр, е = 0,3, г = 20°, о) = 30°,^о = 0°, фк = 170°)

Рис. 5.47. Характеристики траектории пе-релета («о = гкр, е = 0,3, г = 20°, о) = 30°,^о = 0°, фк = 170°)

следующих условиях [68]: радиус круговой орбиты равен величине большой полуоси начальной эллиптической орбиты (гкр = а), эксцентриситет которой е = 0,3, аргумент перицентра со = 30°, точка отправления совпадает с перицентром (Оо = О), угловое расстояние от линии узлов начальной и конечной орбит до точки прибытия, измеряемой в плоскости круговой орбиты, фк= 170°, угол некомпла- нарности г = 20°. Как показали расчеты, для таких условий перелета минимальное значение AF2 реализуется на траекториях, у которых оба фокуса располагаются по одну сторону от прямой М\М2. В рассматриваемом примере min AF2 = 0,61 имеет место при °пер

«пер/Гкр = 0,86, а время перелета, отнесенное к периоду обращения на круговой орбите, ?ПеР = tnep/TKp = 0,3. Чтобы уменьшить это время перелета на одну треть, необходимо почти удвоить величину AFs. Обсуждаемый пример иллюстрирует характер изменения зависимостей AFz (Япер/Гкр) И ?Пер (^пер/^кр) При фиксированных ПОЛОЖвНИЯХ точек отправления и прибытия.

Для каждой точки отправления с эллиптической орбиты (йо) существует своя оптимальная точка прибытия на круговую орбиту

Ф°пт), обеспечивающая минимальное значение AF2 (рис. 5.48, а). При этом угловая дальность перелета (5.9.11) может существенно отличаться от 180°, хотя при компланарном перелете такая угловая дальность обычно является оптимальной. В рассматриваемом примере даже в случае перелета из перицентра эллиптической

Рис. 5.48. Выбор оптимальной точки прибытия на круговую орбиту (а) и совокупность оптимальных точек прибытия для различных начальных точек (б) (а = гкр, е = 0,3, г = 20®, со = 30°)Рис. 5.48. Выбор оптимальной точки прибытия на круговую орбиту (а) и совокупность оптимальных точек прибытия для различных начальных точек (б) (а = гкр, е = 0,3, г = 20®, со = 30°)орбиты (Оо = 0) оптимальной оказалась угловая дальность Афопт = = 150°. Численные расчеты показывают, что в большинстве слуорбиты (Оо = 0) оптимальной оказалась угловая дальность Афопт = = 150°. Численные расчеты показывают, что в большинстве случаев оптимальные точки прибытия располагаются вблизи линии узлов (рис. 5.48, а, б). Поскольку здесь угол срк, определяющий положение точки прибытия на круговой орбите, отсчитывается отчаев оптимальные точки прибытия располагаются вблизи линии узлов (рис. 5.48, а, б). Поскольку здесь угол срк, определяющий положение точки прибытия на круговой орбите, отсчитывается отлинии узлов начальной и конечной орбит, то ФкПТ ^ ~ 180° или 0° (360°). Лишь для ограниченной совокупнолинии узлов начальной и конечной орбит, то ФкПТ ^ ~ 180° или 0° (360°). Лишь для ограниченной совокупности точек отправления в диапазоне 110° < Оо <160° и 290° < йо < 340° имеем сости точек отправления в диапазоне 110° < Оо <160° и 290° < йо < 340° имеем соответственно<340° и 20°ответственно<340° и 20°/ „ОПТ 200 <С фк/ „ОПТ 200 <С фк„опт фк„опт фк160°,160°,т. е. оптимальные точки прибытия располагаютсят. е. оптимальные точки прибытия располагаютсямежду узлами.Ниже обсуждаются некоторые другие результаты численного исследованиямежду узлами.Ниже обсуждаются некоторые другие результаты численного исследованияРис. 5 49. Характеристики оптимальных траекторий перелета для разных точек отправления с эллиптической орбиты на круговую (а = гкр, е = 0,3, г = 20°, со = 30°)Рис. 5 49. Характеристики оптимальных траекторий перелета для разных точек отправления с эллиптической орбиты на круговую (а = гкр, е = 0,3, г = 20°, со = 30°)рассматриваемого примера.На рис. 5.49 построены зависимости АП2(йо) и ?пер(йо). Минимальная величина АП2 достигается в точке отправления с истинной аномалией йо=16О°, которая является промежуточной между точками линии узлов (й = 150°) и апоцентра (й = 180°). При этомрассматриваемого примера.На рис. 5.49 построены зависимости АП2(йо) и ?пер(йо). Минимальная величина АП2 достигается в точке отправления с истинной аномалией йо=16О°, которая является промежуточной между точками линии узлов (й = 150°) и апоцентра (й = 180°). При этом

Рис. 5.48. Выбор оптимальной точки прибытия на круговую орбиту (а) и совокупность оптимальных точек прибытия для различных начальных точек (б) (а = гкр, е = 0,3, г = 20®, со = 30°)

Рис. 5.48. Выбор оптимальной точки прибытия на круговую орбиту (а) и совокупность оптимальных точек прибытия для различных начальных точек (б) (а = гкр, е = 0,3, г = 20®, со = 30°)

орбиты (Оо = 0) оптимальной оказалась угловая дальность Афопт = = 150°. Численные расчеты показывают, что в большинстве слу

орбиты (Оо = 0) оптимальной оказалась угловая дальность Афопт = = 150°. Численные расчеты показывают, что в большинстве слу

чаев оптимальные точки прибытия располагаются вблизи линии узлов (рис. 5.48, а, б). Поскольку здесь угол срк, определяющий положение точки прибытия на круговой орбите, отсчитывается от

чаев оптимальные точки прибытия располагаются вблизи линии узлов (рис. 5.48, а, б). Поскольку здесь угол срк, определяющий положение точки прибытия на круговой орбите, отсчитывается от

линии узлов начальной и конечной орбит, то ФкПТ ^ ~ 180° или 0° (360°). Лишь для ограниченной совокупно

линии узлов начальной и конечной орбит, то ФкПТ ^ ~ 180° или 0° (360°). Лишь для ограниченной совокупно

сти точек отправления в диапазоне 110° < Оо <160° и 290° < йо < 340° имеем со

сти точек отправления в диапазоне 110° < Оо <160° и 290° < йо < 340° имеем со

ответственно

<340° и 20°

ответственно

<340° и 20°

/ „ОПТ 200 <С фк

/ „ОПТ 200 <С фк

„опт фк

„опт фк

160°,

160°,

т. е. оптимальные точки прибытия располагаются

т. е. оптимальные точки прибытия располагаются

между узлами.

Ниже обсуждаются некоторые другие результаты численного исследования

между узлами.

Ниже обсуждаются некоторые другие результаты численного исследования

Рис. 5 49. Характеристики оптимальных траекторий перелета для разных точек отправления с эллиптической орбиты на круговую (а = гкр, е = 0,3, г = 20°, со = 30°)

Рис. 5 49. Характеристики оптимальных траекторий перелета для разных точек отправления с эллиптической орбиты на круговую (а = гкр, е = 0,3, г = 20°, со = 30°)

рассматриваемого примера.

На рис. 5.49 построены зависимости АП2(йо) и ?пер(йо). Минимальная величина АП2 достигается в точке отправления с истинной аномалией йо=16О°, которая является промежуточной между точками линии узлов (й = 150°) и апоцентра (й = 180°). При этом

рассматриваемого примера.

На рис. 5.49 построены зависимости АП2(йо) и ?пер(йо). Минимальная величина АП2 достигается в точке отправления с истинной аномалией йо=16О°, которая является промежуточной между точками линии узлов (й = 150°) и апоцентра (й = 180°). При этом

время перелета оказывается близким к максимальному (?пер = 0,54), что во многих задачах нежелательно. Если в качестве начальной выбрать точку вблизи перицентра с истинной аномалией от 340° до 60°, то величина AFs оказывается близкой к минимальной возможной, а время перелета сокращается почти вдвое.

При изменении угла некомпланарности в диапазоне г = 10° 4- 30° форма кривых АГх^о) практически сохраняется, хотя сами величины суммарного приращения скорости увеличиваются с возрастанием г (рис. 5.50, а). Время перелета, величина большой полуоси

Рис. 5.50. Влияние угла некомпланарности орбит (а) и эксцентриситета эллиптической орбиты (б) на величину суммарного приращения скорости для перелета с эллиптической орбиты на круговую (а = гкр, ю = 30°)

эллиптической траектории перелета и положение оптимальной точки прибытия оказываются почти такими же, как при угле некомпланарности i = 20°.

Исследование влияния вариации эксцентриситета начальной эллиптической орбиты в диапазоне е = 0,1 4-0,3 иллюстрирует рис. 5.50, б. Видно, что положение относительных минимумов зависимостей АР$(Оо) практически сохраняется при рассмотренных значениях эксцентриситета, хотя сами минимальные величины АРх несколько возрастают с увеличением эксцентриситета.

Анализ рассмотренных примеров двухимпульсных траекторий перелета с эллиптической орбиты на близкую к ней по размерам некомпланарную круговую орбиту позволяет сделать следующие выводы. Для каждой точки отправления с эллиптической орбиты существует своя оптимальная точка прибытия на круговую орбиту, обеспечивающая минимальную величину АГ2. На эллиптической орбите имеется некоторая совокупность точек отправления, для которых величина ДГ2 оказывается меньше, чем при отправлении из перицентра или апоцентра. Оптимальные точки прибытия на круговую орбиту, как правило, располагаются вблизи линии узлов, образованной плоскостями начальной и конечной орбит. При уве-

личении угла некомпланарности увеличивается минимальное потребное приращение скорости AF2 на маневр, а оптимальная величина большой полуоси траектории перелета, время перелета, оптимальная точка прибытия на круговую орбиту практически не зависят от угла некомпланарности в диапазоне 10°<i<30°. С уменьшением эксцентриситета начальной эллиптической орбиты уменьшается минимальная величина AF2, а зависимость AF2(6q) становится более пологой.

Метод численного анализа можно применять и для задачи оптимального перелета между некомпланарными эллиптическими орбитами. Вычислительная процедура близка к рассмотренной выше, но при этом существенно увеличивается объем расчетов, усложняется наглядное представление результатов и их обобщение из-за большого числа исходных параметров задачи.

Оптимальная ориентация импульса скорости для схода с орбиты

Когда требуется обеспечить спуск КА с произвольной орбиты на планету, имеющую атмосферу, обычно возникает задача о выборе ориентации тормозного импульса скорости из условия оптимизации некоторых параметров траектории входа в атмосферу. При этом используют понятие условной границы атмосферы, т. е. сферической поверхности, ниже которой необходимо учитывать воздействие на КА аэродинамических сил. Понятно, что высота условной границы атмосферы должна зависеть от свойств самой атмосферы и аэродинамических характеристик КА. Так, условную границу атмосферы Земли принимают на высотах 80—120 км, атмосферы Марса — на высоте ~100 км, атмосферы Венеры—на высоте ~120 км.

В качестве критерия оптимальности наиболее часто рассматривают угол входа в атмосферу, т. е. угол наклона траектории на условной границе атмосферы. Бывает, что требуется минимизировать разброс угла входа при возможных ошибках в ориентации тормозного импульса скорости и его величине. Иногда необходимо уменьшить отклонение точки входа в атмосферу от расчетной и т. п.

Получение максимального по величине угла входа в атмосферу. Рассмотрим компланарную задачу схода КА с произвольной орбиты, параметры которой заданы, т. е. в каждый момент времени известны текущие величины радиуса-вектора г, скорости У и угла наклона траектории 0. При заданной величине тормозного импульса скорости AV требуется определить оптимальное направление импульса из условия получения максимального по величине угла входа в атмосферу. Условная граница атмосферы задана радиусом гат. В силу обратимости, найденное решение будет обеспечивать заданный угол входа с минимальным по величине тормозным импульсом. Угол входа 9ВХ является наиболее существенным

параметром, от которого зависит траектория спуска в атмосфере, так как для реальных величин АУ скорость входа УВх мало меняется при изменении ориентации тормозного импульса скорости. Правда, в приведенном ниже анализе задачи схода с орбиты величина АУ не ограничивается в целях большей общности получаемых результатов.

Пусть тормозной импульс скорости AV прикладывается в заданной точке начальной орбиты. Эта точка характеризуется величиной радиуса-вектора го, скоростью Vo и углом наклона траектории 0о. Вектор AV сообщается под некоторым углом %, который отсчитывается от направления, противоположного вектору Vo. Вектор AV может иметь отрицательную или положительную радиальную составляющую. В случае круговой начальной орбиты знак радиальной составляющей не влияет на величину угла входа в атмосферу, хотя угловая дальность до точки входа существенно различается (рис. 5.51). Действительно, при |AV| = lAV'l и 1%1 = i%'i в силу симметрии реализуется нисходящая или восходящая ветви

Рис. 5.51. Возможные траектории спуска с круговой орбиты: 1 — начальная круговая орбита; 2 — условная граница атмосферыРис. 5.51. Возможные траектории спуска с круговой орбиты: 1 — начальная круговая орбита; 2 — условная граница атмосферыРис. 5.52. Схема торможения при спуске с произвольной орбитыРис. 5.52. Схема торможения при спуске с произвольной орбиты

Рис. 5.51. Возможные траектории спуска с круговой орбиты: 1 — начальная круговая орбита; 2 — условная граница атмосферы

Рис. 5.51. Возможные траектории спуска с круговой орбиты: 1 — начальная круговая орбита; 2 — условная граница атмосферы

Рис. 5.52. Схема торможения при спуске с произвольной орбиты

Рис. 5.52. Схема торможения при спуске с произвольной орбиты

переходной эллиптической траектории соответственно для отрицательной и положительной радиальной составляющей AV. Отсюда для начальной круговой орбиты имеем равенство углов 0вх = бвх и скоростей Увх=Увхна условной границе атмосферы. Однако эти траектории различаются по угловой дальности от точки приложения импульса скорости AV до входа в атмосферу: Ф' > Ф. Траектория с большей угловой дальностью всегда чувствительнее к ошибкам реализации AV, чем траектория с меньшей дальностью. Поэтому

практический интерес представляет только короткая траектория спуска, которая реализуется при отрицательной радиальной составляющей вектора AV.

Возвращаясь к общей постановке задачи, когда начальная орбита может быть произвольной, заметим, что при одинаковых по величине, но разных по знаку радиальных составляющих AV переходные траектории будут иметь разные по величине углы входа в атмосферу, если траектория с положительной радиальной составляющей вообще пересекает условную границу атмосферы. Поэтому целесообразно ограничиться рассмотрением только случая отрицательной радиальной составляющей тормозного импульса скорости AV.

После приложения AV получим (рис. 5.52):

¥1 = ¥0 + А¥,(5.10.1)

Л = /Г? +АУг-2ЦАГсо8Х.(5.10.2)

Изменение угла наклона траектории

, „- АУ cos X

АО = агссо s —.(5.10.3)

Примем, что трансверсальная составляющая орбитальной скорости не меняет направления после приложения А¥, т. е. всегда выполняется условие

Vo — AV cos % > 0.

Используя интеграл энергии (2.2.1) и площадей (2.2.11), вычислим скорость и угол наклона траектории при входе в атмосферу

VBx = У^ + я,(5.10.4)

ЗдесьЗдесьОвхОвх= — агссо s= — агссо s" ~ (У — ДУ cos х) cos 90 + АУ sin 9n sin х" ~ (У — ДУ cos х) cos 90 + АУ sin 9n sin х2ц ( г — 1)2ц ( г — 1)(5.10.5)(5.10.5)(5.10.6)(5.10.6)

Здесь

Здесь

Овх

Овх

= — агссо s

= — агссо s

" ~ (У — ДУ cos х) cos 90 + АУ sin 9n sin х

" ~ (У — ДУ cos х) cos 90 + АУ sin 9n sin х

2ц ( г — 1)

2ц ( г — 1)

(5.10.5)

(5.10.5)

(5.10.6)

(5.10.6)

где г = г0/гвх^1, ц — произведение массы притягивающего тела на постоянную притяжения. Знак «—» в формуле (5.10.5) показывает, что радиальная составляющая скорости входа отрицательна.

Вычислим производную угла входа 6ВХ по % — углу ориентации тормозного импульса скорости:

<iX Г ( УПАУ sin х

” ^ iZbZTF !(Г“ -w eos х) “s о» + дс sin е» =in X]-

^=(sinxcos00 + cosxsin60)l. (5.10.7)

Полагая ^0вх/^Х= 0, найдем необходимое условие оптимальности угла х:

(70 — АУ cos %) Уо sin % — (У? + АУ2 — 2У0АУ cos % + г)) sin % +

+ tg 00 [У0АУ sin2 х — (^о + АУ2 — 2У0АУ cos х + n) cos х] = °, или

(70А7 cos х — АУ2 — г)) sin х + tg 0О [У0АУ — (У2 + АУ2 + ц) cos х +

+ У0АУ cos2 х] = 0. (5.10.8)

Для заданных значений г0, Уо, 0о, Ц и АУ можно численно решить уравнение (5.10.8) и определить величины угла х, удовлетворяющие необходимому условию оптимальности. Затем выбрать тот угол ориентации тормозного импульса скорости, при котором достигается максимальный (по абсолютной величине) угол входа в атмосферу.

Исследование задачи в общем виде можно довести до конца, если ограничиться случаем 0о = 0, который соответствует спуску с круговой орбиты, а также спуску из апоцентра (перицентра) эллиптической орбиты или из перицентра параболической и гиперболической орбит. Эти случаи представляют наибольший практический интерес. С учетом 0о = О получим из (5.10.8)

(УоАУ cosx ~ АУ2 — T])sin х = 0(5.10.9)

Отсюда имеем два значения угла х, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности:

Xi = 0,(5.10.10)

Х2 = arccos А^^-—,(5.10.11)

где

АУ = АУ/У0, ц = ц/У2.(5.10.12)

В рассматриваемом случае 0о = 0 спуск с орбиты может происходить в перицентре произвольной орбиты, где истинная аномалия 'Оо = О, апоцентре эллиптической орбиты (0*0 = л) или любой точке круговой орбиты. Поэтому с учетом (2.3.9) и (2.3.10) можно записать

у2 = Е(1±е)2.(5.10.13)

Здесь знак «+» соответствует сходу с орбиты в перицентре, а знак «—» отвечает сходу в апоцентре. Далее, с учетом (5.10.6) и

(5.10.13) получим окончательно

П =П =2(^-1)1 ± е *2(^-1)1 ± е *(5.10.14)(5.10.14)

П =

П =

2(^-1)

1 ± е *

2(^-1)

1 ± е *

(5.10.14)

(5.10.14)

Рис. 5.53. Область Г ненулевой ориентации тормозного импульса скорости при спуске с произвольной орбиты в точке с Оо = 0Рис. 5.53. Область Г ненулевой ориентации тормозного импульса скорости при спуске с произвольной орбиты в точке с Оо = 0^ВХ^ВХdx2dx2Оо=оОо=о^0вх\2dX /00=0^0вх\2dX /00=0Ctg 0ВХCtg 0ВХ++-Isin ^вх-Isin ^вхЗР2ДР2 sin2 %V (г^ + л)6ЗР2ДР2 sin2 %V (г^ + л)6(Vo — AV cos х) +(Vo — AV cos х) +Р2ДР cos % — Р0ДР2 соз2 х + 2Р0ДР2 sin2 хР2ДР cos % — Р0ДР2 соз2 х + 2Р0ДР2 sin2 хУ(Ч + л)3У(Ч + л)3ДР cos х/Ц+чДР cos х/Ц+ч(5.10.18)(5.10.18)Исследуем теперь знак й20вх/^х2 в точках стационарности. После подстановки XsXi = 0 в уравнение (5.10.18) и перехода к обезраз- меренным параметрам (5.10.12) имеемИсследуем теперь знак й20вх/^х2 в точках стационарности. После подстановки XsXi = 0 в уравнение (5.10.18) и перехода к обезраз- меренным параметрам (5.10.12) имеемd4xdX2d4xdX2ДРДР0о=о х=х.=о0о=о х=х.=оsin 6вх V 1(1 — ДР)2 + л!®sin 6вх V 1(1 — ДР)2 + л!®(АУ2-АУ +п)- (5.10.19)(АУ2-АУ +п)- (5.10.19)

Рис. 5.53. Область Г ненулевой ориентации тормозного импульса скорости при спуске с произвольной орбиты в точке с Оо = 0

Рис. 5.53. Область Г ненулевой ориентации тормозного импульса скорости при спуске с произвольной орбиты в точке с Оо = 0

^ВХ

^ВХ

dx2

dx2

Оо=о

Оо=о

^0вх\2

dX /00=0

^0вх\2

dX /00=0

Ctg 0ВХ

Ctg 0ВХ

+

+

-I

sin ^вх

-I

sin ^вх

ЗР2ДР2 sin2 %

V (г^ + л)6

ЗР2ДР2 sin2 %

V (г^ + л)6

(Vo — AV cos х) +

(Vo — AV cos х) +

Р2ДР cos % — Р0ДР2 соз2 х + 2Р0ДР2 sin2 х

Р2ДР cos % — Р0ДР2 соз2 х + 2Р0ДР2 sin2 х

У(Ч + л)3

У(Ч + л)3

ДР cos х

/Ц+ч

ДР cos х

/Ц+ч

(5.10.18)

(5.10.18)

Исследуем теперь знак й20вх/^х2 в точках стационарности. После подстановки XsXi = 0 в уравнение (5.10.18) и перехода к обезраз- меренным параметрам (5.10.12) имеем

Исследуем теперь знак й20вх/^х2 в точках стационарности. После подстановки XsXi = 0 в уравнение (5.10.18) и перехода к обезраз- меренным параметрам (5.10.12) имеем

d4xdX2

d4xdX2

ДР

ДР

0о=о х=х.=о

0о=о х=х.=о

sin 6вх V 1(1 — ДР)2 + л!®

sin 6вх V 1(1 — ДР)2 + л!®

(АУ2-АУ +п)- (5.10.19)

(АУ2-АУ +п)- (5.10.19)

В плоскости параметров (АУ, л) можно построить область Г, в которой угол Х2 > 0. На границе области Г имеем Х2 = 0. Полагая в (5.10.11) Х2 ^ 0, получим

АУ2-АУ + ^0. (5.10.15) Следовательно, область Г — это часть плоскости, ограниченная параболой (5.10.15) и осью ц=0, поскольку ц ^ 0 согласно (5.10.14). Окончательно условие %2 ^ 0 можно записать двумя соотношениями, которые эквивалентны (5.10.15):

^-j^^-11, <5Л0Л6)

0<п<|-(5.10.17)

Область Г для случая схода с произвольной орбиты в точке, где 0о = = 0, показана на рис. 5.53.

Рассмотрим теперь вторую производную d20BX/dx2 при условии,

что 0о = О. Дифференцируя (5.10.7) по % и полагая 0о = О, получим:

Знак (5.10.19) зависит от знака сомножителя (АУ2 — АУ + п), ко-

торый на границе области Г обращается в нуль. Поэтому

0 вне области Г,

а 0вХ

——у= 0 на границе области Г,

«X 0=О,Х=х1=О

1 1< 0 внутри области Г.

Нетрудно убедиться, что на границе области Г справедливы соотношения

d30BX^х3d30BX^х3= 0, 0о=о,х=х1=о= 0, 0о=о,х=х1=о

d30BX^х3

d30BX^х3

= 0, 0о=о,х=х1=о

= 0, 0о=о,х=х1=о

^0ВХ^Х4^0ВХ^Х4з7ау2> 0

^0ВХ^Х4

^0ВХ^Х4

0о=о,х=х1=о/(1 - ду)3 [1 - 72 (1 - ДУ)] *

Таким образом, условие ориентации Xi = 0 тормозного импульса скорости обеспечивает минимальный угол входа в атмосферу (т. е. максимальный по абсолютной величине угол входа, поскольку 6вх<0), если параметры ДУ и т| находятся вне области Г или на ее границе.

Определим знак второй производной (5.10.18) при х = Х2- После несложных преобразований получим с учетом (5.10.11)

^Х 0о=О,Х=Х2 sm 6вх )^[1 — (АУ2 + Т] )]3

Знак второй производной (5.10.20) определяется знаком сомножителя (ДУ2 — ДУ + т|), который отрицателен в области Г, обращается в нуль на ее границе и положителен вне этой области. Отсюда видно, что

£бвха^£бвха^Г,Г,>0 внутри области Г, = 0 на границе области 6° °,Х %2 .<0 вне области Г.

£бвха^

£бвха^

Г,

Г,

Итак, если заданная точка (ДУ, т]) находится внутри области Г, т. е. величины ДУ и т] удовлетворяют условиям (5.10.16), (5.10.17), для получения максимального (по абсолютной величине) угла входа в атмосферу тормозной импульс скорости должен прикладываться под углом Х = %2, который вычисляется по формуле (5.10.11). Если же заданная точка (ДУ, ц) находится на границе области Г или вне указанной области, то максимальный (по абсолютной величине) угол входа достигается при ориентации тормозного пмпуль- ' са скорости строго против направления движения, т. е. X = Xi = = 0 [54].

В случае ненулевой оптимальной ориентации тормозного импульса скорости параметры траектории на высоте условной границы

Увх-/1-АР2-щУвх-/1-АР2-щ(5.10.21)(5.10.22)(5.10.21)(5.10.22)атмосферы вычисляются по формулам

Увх-/1-АР2-щ

Увх-/1-АР2-щ

(5.10.21)

(5.10.22)

(5.10.21)

(5.10.22)

0вх = — arccos ( г p l — АУ2 — ц),

где 7И = 7И/7О.

Обращая формулу (5.10.22), можно определить минимальную потребную величину тормозного импульса скорости для заданного

угла входа в атмосферу 6*х:

(5.10.23)

Предельный радиус точки торможения, до которой существует ненулевой угол ориентации тормозного импульса скорости, определяется согласно (5.10.17) условием т] = 1/4 или с учетом (5.10.14)

г пред = 1 + -g (1 ± 5).г пред = 1 + -g (1 ± 5).(5.10.24)(5.10.24)

г пред = 1 + -g (1 ± 5).

г пред = 1 + -g (1 ± 5).

(5.10.24)

(5.10.24)

Здесь знак «+» относится к случаю торможения в перицентре произвольной орбиты, а знак «—» соответствует торможению в апоцентре эллиптической орбиты.

Если начальные параметры в точке схода с орбиты находятся на границе области Г или вне ее, а условия оптимального торможения требуют ориентации тормозного импульса скорости против направления движения, при входе в атмосферу получают такие параметры движения:

Ивх=/(1-АУ)2 + щИвх=/(1-АУ)2 + щ(5.10.25)(5.10.25)

Ивх=/(1-АУ)2 + щ

Ивх=/(1-АУ)2 + щ

(5.10.25)

(5.10.25)

(5.10.26)

Потребная величина тормозного импульса скорости, обеспечивающая заданный угол входа 0Вх при торможении против направления движения, вычисляется по формуле

Величина тормозного импульса при сходе с орбиты ограничена снизу дополнительным условием cos 0вх ^ 1. Используя формулы (5.10.14) и (5.10.22), получим

1]- Ду2 2(г -1)^^1]- Ду2 2(г -1)^^1 + е1 + е

1]- Ду2 2(г -1)^^

1]- Ду2 2(г -1)^^

1 + е

1 + е

Отсюда следует ограничение на минимальную допустимую величину тормозного импульса в случае % = %г:

АУ2 > 1 -АУ2 > 1 -12(7—1)г2 1 ± е '12(7—1)г2 1 ± е '(5.10.28)(5.10.28)

АУ2 > 1 -

АУ2 > 1 -

12(7—1)

г2 1 ± е '

12(7—1)

г2 1 ± е '

(5.10.28)

(5.10.28)

Это условие может сузить область Г за счет сдвига ее левой границы. Аналогично найдем с помощью соотношений (5.10.14), (5.10.26) в случае X = Xi = 0

7(1+ А7)<.1

и далееи далее1 + е1 + е(1 + АУ2)2 + 2^Г(1 + АУ2)2 + 2^Г2(1 + 7) (1 + е)2(1 + 7) (1 + е)(5.10.29)(5.10.29)

и далее

и далее

1 + е

1 + е

(1 + АУ2)2 + 2^Г

(1 + АУ2)2 + 2^Г

2

(1 + 7) (1 + е)

2

(1 + 7) (1 + е)

(5.10.29)

(5.10.29)

В формулах (5.10.28), (5.10.29) знак перед эксцентриситетом выбирается, как указывалось выше.

Спуск с круговой орбиты. Если начальная орбита круговая, то полученные формулы для задачи спуска с орбиты, оптимального по углу входа в атмосферу, существенно упрощаются. Действительно, для круговой орбиты эксцентриситет е = 0 и согласно (5.10.14)

ц= 2(7-1).(5.10.30)

орбиты имеют видорбиты имеют вид(5.10.31)(5.10.31)Условия (5.10.16) и (5.10.17), соответствующие ненулевой оптимальной ориентации тормозного импульса скорости, для круговой

орбиты имеют вид

орбиты имеют вид

(5.10.31)

(5.10.31)

(5.10.32)

Оптимальный угол ориентации тормозного импульса скорости

%2%2= arccos= arccosАУ2 2 (7 — 1)АУАУ2 2 (7 — 1)АУ(5.10.33)(5.10.33)

%2

%2

= arccos

= arccos

АУ2 2 (7 — 1)АУ

АУ2 2 (7 — 1)АУ

(5.10.33)

(5.10.33)

а параметры траектории на высоте условной границы атмосферы

7BX = V3-2r-AF2,(5.10.34)

0вх = —arccos (гУЗ — 2г — AF2).(5.10.35)

Для получения заданного угла входа в атмосферу 6*х требуется Тормозной импульс величиной

ДГ = 1 /з — 27 — (.(5.10.36)

~_ 9гпред — "д',~_ 9гпред — "д',Согласно условию (5.10.32) предельный относительный радиус при спуске с круговой орбиты

~_ 9

гпред — "д',

~_ 9

гпред — "д',

(5.10.37)

т. е. при го > 9гат/8 торможение должно осуществляться против направления движения, независимо от величины тормозного импульса скорости [54, 73, 91].

При нарушении ограничения (5.10.31) на величину тормозного импульса скорости торможение также должно происходить против направления движения (х = Xi = 0). В этом случае

VBX = /(1 - AV)2 + 2 (VBX = /(1 - AV)2 + 2 ((5.10.38)(5.10.38)

VBX = /(1 - AV)2 + 2 (

VBX = /(1 - AV)2 + 2 (

(5.10.38)

(5.10.38)

0вх = arccos0вх = arccos(1 — ДУ)(1 — ДУ)/(1 - ДУ)2 + 2 (7 - 1//(1 - ДУ)2 + 2 (7 - 1/(5.10.39)(5.10.39)

0вх = arccos

0вх = arccos

(1 — ДУ)

(1 — ДУ)

/(1 - ДУ)2 + 2 (7 - 1/

/(1 - ДУ)2 + 2 (7 - 1/

(5.10.39)

(5.10.39)

а величина потребного импульса скорости для заданного угла входа в атмосферу 6ВХ

ДУ =ДУ =2(7 — 1)7 sec 9*х)2 — 12(7 — 1)7 sec 9*х)2 — 1(5.10.40)(5.10.40)

ДУ =

ДУ =

2(7 — 1)

7 sec 9*х)2 — 1

2(7 — 1)

7 sec 9*х)2 — 1

(5.10.40)

(5.10.40)

Для круговой орбиты условие (5.10.28) приводится к видудУ2^3 —1_ 2г,

или

ДУ2 > - ^ (7 - 1)2 (27 + 1). (5.10.41)

Соотношение (5.10.41) заведомо выполняется. Отсюда видно, что при спуске с круговой орбиты, когда начальные параметры (ДУ, т|) находятся в области Г (5.10.31), (5.10.32), траектория всегда пересекает условную границу атмосферы, т. е. ограничение cos 6ВХ < 1 заведомо выполняется.

С помощью ограничения (5.10.29) установим минимальную допустимую величину тормозного импульса скорости, обеспечивающую вход в атмосферу в случае, когда торможение производится против направления движения (х = Xi = 0) '•

ДУ>1 — дГ-А-.

На рис. 5.54 построены примеры расчета параметров траектории на входе в атмосферу при спуске с круговой орбиты, для которой относительный радиус г = го/гат = 1,05. Величина относительного тормозного импульса скорости ДУ = 0,04 находится вне области Г и соответствует нулевой оптимальной ориентации (торможение против направления движения). Величина ДУ = 0,2 находится в области Г. Оптимальный угол ориентации тормозного импульса скорости X = Х2 — 45,6°. Величина ДУ = 0,113 попадает иа границу области Г. где следует выбирать X = Xi =0.

пульса скорости при спускепульса скорости при спускеориентации тормозного импульса скорости (спуск с круговой орбиты): штриховые линии — VM; сплошные ЛИНИИ — 9вхориентации тормозного импульса скорости (спуск с круговой орбиты): штриховые линии — VM; сплошные ЛИНИИ — 9вхРис. 5.55. Область Г ненулевой ориентации тормозного импульса скорости при спуске с круговой орбитыРис. 5.55. Область Г ненулевой ориентации тормозного импульса скорости при спуске с круговой орбиты

пульса скорости при спуске

пульса скорости при спуске

ориентации тормозного импульса скорости (спуск с круговой орбиты): штриховые линии — VM; сплошные ЛИНИИ — 9вх

ориентации тормозного импульса скорости (спуск с круговой орбиты): штриховые линии — VM; сплошные ЛИНИИ — 9вх

Рис. 5.55. Область Г ненулевой ориентации тормозного импульса скорости при спуске с круговой орбиты

Рис. 5.55. Область Г ненулевой ориентации тормозного импульса скорости при спуске с круговой орбиты

Если рассмотреть также отрицательные значения угла %, когда реализуются исключенные из анализа траектории с большой угловой дальностью, получим зависимости 0м(%), Евх(%), которые являются зеркальным отражением рис. 5.54 относительно оси ординат [74].

Область Г ненулевой оптимальной ориентации тормозного им

с круговой орбиты показана на

рис. 5.55 в плоскости параметров (АЕ, г). На рис. 5.56 представлены параметры входа в атмосферу и оптимальный угол ориентации тормозного импульса скорости при спуске с круговой орбиты, отвечающей условиям 1 ^ г ^ 1,125. Видно, что в случае малых величин AF торможение должно производиться против направления движения (% = 0). В некотором диапазоне значений AF оптимальный угол ориентации тормозного импульса скорости не равен нулю и может достигать больших величин (до 90°). При этом переход от нулевых углов % к ненулевым очень резкий. С увеличением AF угол х сначала возрастает, а затем начинает уменьшаться вплоть до 0. Для достаточно больших величин AF торможение должно осуществляться против направления движения (% = = 0). И в этом случае имеет место резкий переход от ненулевых углов к нулевому.

Спуск из апоцентра эллиптической орбиты. Спуск из апоцентра эллиптической орбиты обеспечивает условия, близкие к оптимальным в смысле получения максимального по абсолютной

Рис. 5.56. Параметры входа в атмосферу и оптимальный угол ориентации тормозного импульса скорости при спуске с круговой орбиты

величине угла входа при заданной величине АГ [73]. В этом случае

П = ^уА(5-10.42)

и диапазон изменения параметра ц:

2(г— 1)< Т) < оо.

Область Г ненулевой ориентации тормозного импульса скорости при спуске из апоцентра эллиптической орбиты определяется условиями

<5Л0-43)

1<Г <1 +А(1-е).(5.10.44)

Предельный радиус точки схода гпред, при превышении которого тормозной импульс должен прикладываться против направления движения, вычисляется по формуле (5.10.24)

_ £ е

Гпред - 8 — 8 •

Когда е -*■ 1, имеем гпРеД 1. Это означает, что при спуске из апоцентра сильно вытянутой эллиптической орбиты торможение должно осуществляться против направления движения.

ГЛАВА 6

ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ

Ранее была рассмотрена классическая задача двух тел в предположении, что масса одного тела существенно меньше массы другого тела. Эта фундаментальная задача явилась основой для построения решения многих прикладных задач механики космического полета. Более сложной, хотя и не имеющей такого широкого применения в прикладном аспекте, является классическая задача трех тел, которые совершают движение под действием взаимного притяжения, определяемого ньютоновским законом. Общая постановка задачи трех тел предполагает соизмеримость их масс. Это условие не выполняется в задачах механики космического полета, так как масса КА на много порядков меньше массы небесных тел. Ограниченная задача трех тел предполагает, что одно из тел имеет бесконечно малую массу по сравнению с массами двух других тел, имеющих соизмеримые массы, и не оказывает воздействия на их движение.

В ограниченной задаче движение двух тел с конечными массами тп\ и ТП2 относительно их барицентра считают известным, требуется определить движение тела с бесконечно малой массой тпз. Для определенности будем полагать, что m-s^m2<.m\. Если тела Ш\ и m2 с конечными массами движутся относительно своего барицентра по круговым орбитам, то имеет место круговая ограниченная задача трех тел. Эта задача может быть плоской, если все три тела движутся в инерциальном пространстве в одной плоскости. Таково, например, движение КА в плоскости эклиптики под воздействием Солнца и Земли. Пространственная задача возникает в том случае, когда плоскость движения тела бесконечно малой массы ma не совпадает с плоскостью движения тел пц и m2. Примером пространственной круговой ограниченной задачи трех тел может служить движение КА под воздействием Земли и Луны при условии, что плоскость его движения не совпадает с плоскостью орбиты Луны (эта орбита предполагается круговой).

Если тело m2 движется относительно тп\ по эллиптической орбите, то возникает эллиптическая ограниченная задача трех тел (плоская или пространственная). Соответственно можно рассматривать также гиперболическую, параболическую и прямолинейную ограниченные задачи трех тел.

§ 6.1. Общая постановка задачи трех тел

Общая постановка задачи трех тел, предполагающая соизмеримость их масс, представляет интерес, в частности, для прогнозирования движения этих тел на заданный момент времени. Например, можно рассматривать Солнце, Землю и Луну или Солнце и две планеты, которые в наибольшей степени влияют на движение друг друга.

Fi = F21 + F31,Fi = F21 + F31,fmjnF —1 212fmjnF —1 212— сила притяжения— сила притяженияУравнения движения трех притягивающих тел. Пусть т^ тг, т3 — массы и одновременно обозначения трех притягивающих тел. Движение этих тел будем рассматривать в инерциальной системе координат Oxyz с произвольной ориентацией осей. Обозначим через rh радиусы-векторы, а через xh1 yh, zh координаты этих тел (& = 1, 2, 3). Движение тела т^ происходит под действием суммарной силы где

Fi = F21 + F31,

Fi = F21 + F31,

fmjn

F —1 2

12

fmjn

F —1 2

12

— сила притяжения

— сила притяжения

тела т\ к тп^

r3i - ~—13

— сила притяжения тела тп\ к тп3,

Г12 = I г2 - Г11, г13 = I Гз - Г! |.

— расстояние между соответствующими телами. Уравнение движения тела тп\ в векторной форме

=3(г2 - г1) + з (Гз г1)>

(6.1.1)

или в скалярной форме

mi ,.2 ”3(^2 — *1) +3(^3*1)»

Г12Г13

d2yn fmnmn

mi ,,2-3(У2У1) +3(УзУ1)»

4tГ?2^З

d^z^fmjn.

mi .,2Zl)+ J (Z3 Zl).

Г12Г13

(6.1.2)

где

Г12 = V(^2 - ^i)2 + (z/2- У1)2 +(z2 -21)2,

(6.1.3)

Г13 = V (x3 -Я1)2 + (уз- yi)2 + (z3-zi)2

По аналогии можно записать векторные уравнения движения

тел т2 и т-у.

тг^= ДЧ*1 r2)+ =»(г,-г8), dir2fГ23

(6.1.4)

d2r_ tm-m_

=- r=) +<r= - r=>-

r31r32

(6.1.5)

ЗдеСЬ Г21 = Г12, Г31 = Г13,

Г23 = Г32 = V (Ж2 - Яз)2 + (У2- Z/3)2 + (22-Z3)2.(6.1.6)

Интегралы задачи трех тел. Складывая почленно уравнения (6.1.1), (6.1.4), (6.1.5), получим

dV d\ d2r„ = О-

(6.1.7)(6.1.7)(6.1.8)(6.1.8)Отсюда после интегрирования dr dr dr тг -37 + m? -37 4- m3 -— = a. 1 di 2 di 6 dt

(6.1.7)

(6.1.7)

(6.1.8)

(6.1.8)

Проинтегрируем теперь (6.1.7) 7П1Г1 + m2T2 + ТПзГз = at + b.

Здесь а и Ь — произвольные постоянные интегрирования.

Предположим, что точка В является барицентром (центром масс) системы трех тел. Радиус-вектор барицентра вычисляется по формуле

(6.1.9)(6.1.9)1

(6.1.9)

(6.1.9)

ГЬ = — (^1Г1 + ^2Г2 + ^з),

гдегдет = гп\ + т2 + т3.т = гп\ + т2 + т3.(6.1.10)(6.1.10)

где

где

т = гп\ + т2 + т3.

т = гп\ + т2 + т3.

(6.1.10)

(6.1.10)

Соотношения (6.1.9), (6.1.10) позволяют записать интегралы

(6.1.7) и (6.1.8) в более компактном виде

(6.1.11)(6.1.11)гь=—а, гь = — (а + bt).

(6.1.11)

(6.1.11)

" т 1т ''

Полученные интегралы (6.1.11) показывают, что в инерциальной системе координат барицентр системы движется равномерно и прямолинейно.

Умножим теперь уравнения (6.1.1), (6.1.4), (6.1.5) векторно слева соответственно на л, Гг, гз и сложим их почленно:

тхтх+ w2+ w2= 0.= 0.

тх

тх

+ w2

+ w2

= 0.

= 0.

Это равенство можно представить в виде

^ Г /^г^( ^ТЛ / dr \1

»[тЦг= Х "at) + m= ^ X ^ + тЦг, X -^^ = 0.

Отсюда следует, что

(6.1.12)(6.1.12)mi ^i X -^J + m2^r2 X ~^j + шцг3 X -^) = C,

(6.1.12)

(6.1.12)

C = (CX, Cy, Cz)—постоянный вектор. В левой части (6.1.12) стоит кинетический момент системы трех тел, поэтому интеграл (6.1.12) свидетельствует о сохранении кинетического момента. Векторное равенство (6.1.12) эквивалентно трем скалярным условиям

/ dz dy\ / dz dy \/ dz dy \

т1^1"а1-г1"аП + m4^-z2^) + иЦу,=

(

dx dz \/ dx dzA /

zi "at - xt "at") + mAzfaF-xfaF) + “X3^-^^ =

/ dy dx \/ dy dx \/ dy dx \

mi ^ -5t - Si -^) + mt ^2 -^ - y3 ^ + m, ^, ^- - y3 -^j = C,.

(6.1.13)

По аналогии с задачей двух тел соотношениям (6.1.12) и (6.1.13) можно дать некоторую геометрическую интерпретацию. Построим плоскость, проходящую через барицентр системы тел и нормальную вектору С. Положение этой плоскости, которую называют неизменяемой плоскостью Лапласа, не будет меняться в пространстве со временем, так как вектор С постоянен. Рассмотрим теперь движение проекций точек mi, т2, т3 на плоскость Oyz, тогда можно записать уравнения их секториальных скоростей относительно начала координат

dt 2 dt 1 dt /’

dt 2 V2 dt 2 dt /’

dS3yz _ A ^3 _ „dt 2 ^3 dt 3 dt /'

Введем еще понятие средней секториальной скорости проекций центров масс тел на плоскость Oyz

d^yz dtd^yz dtdSiyz I dS2yzdS3yz\

d^yz dt

d^yz dt

^"dF + тз"ЛГЬ

тогда первое уравнение системы (6.1.13) можно записать в виде

(6.1.15)(6.1.15)^5 yzСх

(6.1.15)

(6.1.15)

dt 2т ’

т. е. средняя секториальная скорость проекций центров масс тел на плоскость Oyz есть величина постоянная. Аналогичные выкладки можно выполнить для второго и третьего соотношений (6.1.13) и показать, что проекции средней секториальной скорости на любую координатную плоскость являются величинами, постоянными по времени. Первые интегралы (6.1.13) определяют изменение площадей, которые описывают проекции радиусов-векторов центров масс ттц, т2, тпз на координатные плоскости. Поэтому соотношения (6.1.13) называют интегралами площадей.

Перейдем теперь к вычислению интеграла энергии в задаче трех тел. Предварительно рассмотрим потенциал

fm„m„

Z1, ..., Zg) =(6.1.16)

121323

тогда уравнения вить в виде

движения (6.1.1), (6.1.4), (6.1.5) можно предста-

ди.,эи.,ди .

7711J- — -—14™ —1-|--z— к,

1 dt29ху9Уг9zx

m ^ Г29U5Е7.<ЭС7 ,

'(ЬЛЛ7)

r3 du.du.du,

m3 —11 +к.

dt29х9у9г

Потенциал U численно равен работе, которую надо совершить, чтобы удалить тела иц, т2, Шз на бесконечно большие расстояния друг от друга. Действительно, пусть тела т2 и тз находятся в фиксированных точках пространства, а тело пц требуется удалить от них на бесконечно большое расстояние. Для этого необходимо затратить работу fmim2#ri2 на преодоление притяжения тела т2 и работу 1т\тз1т\з на преодоление притяжения тела тпз. Чтобы теперь удалить тело т2 от тпз на бесконечно большое расстояние, необходимо затратить работу 1т2тпз1г2з. Таким образом, суммарная работа будет определяться соотношением (6.1.16).

Умножим уравнения (6.1.17) скалярно соответственно на dr.dx.dy. dz

—- = —1 i -4 i 4- k.

dtdtdt J dt 1

drdx , dy .dz

dtdt dt Jdt ’

drdxdy , dz

— = —- i 4 k

dtdtdt di

и сложим их почленно, тогда получим

dr3 d2r3 _ аи ^ dU_ dy3dt д^ dx dt dy dtdr3 d2r3 _ аи ^ dU_ dy3dt д^ dx dt dy dtdr d2r dr dzr

dr3 d2r3 _ аи ^ dU_ dy3dt д^ dx dt dy dt

dr3 d2r3 _ аи ^ dU_ dy3dt д^ dx dt dy dt

m. 7 + m2 777 e —7 + ^з

dll dz3dz^ dt 1dll dz3dz^ dt 11 dt dt2 12 dt dt2 з

dll dz3

dz^ dt 1

dll dz3

dz^ dt 1

a_93L^x

dz. dt dx. dt dy dt dz, dt dx dt dy dt 1222о

ИЛИ

Интегрируя это соотношение, найдем

4 Г /^гА2(dr\2(dr \21~Т W1 + т2 + тз Нг = U + ^’2 L\ ил /\ at /\ at / J4 Г /^гА2(dr\2(dr \21~Т W1 + т2 + тз Нг = U + ^’2 L\ ил /\ at /\ at / Jилигдеилигде1 WX + тАХ + m,7) = и + h, (6.1.18)1 WX + тАХ + m,7) = и + h, (6.1.18)7 =7 =I dr I1I dt j’I dr I1I dt j’IdrU = _2K2 \dtIdrU = _2K2 \dtV3 =V3 =dr Idt |dr Idt |

4 Г /^гА2(dr\2(dr \21~

Т W1 + т2 + тз Нг = U + ^’

2 L\ ил /\ at /\ at / J

4 Г /^гА2(dr\2(dr \21~

Т W1 + т2 + тз Нг = U + ^’

2 L\ ил /\ at /\ at / J

или

где

или

где

1 WX + тАХ + m,7) = и + h, (6.1.18)

1 WX + тАХ + m,7) = и + h, (6.1.18)

7 =

7 =

I dr I1

I dt j’

I dr I1

I dt j’

Idr

U = _2

K2 \dt

Idr

U = _2

K2 \dt

V3 =

V3 =

dr Idt |

dr Idt |

— величины скоростей движения центров масс тел mi, m2, m3; % — произвольная постоянная интегрирования. В левой части (6.1.18) стоит формула кинетической энергии системы трех тел. Величина — U определяет потенциальную энергию системы трех тел. Таким образом, соотношение (6.1.18) выражает постоянство полной энергии системы трех тел, и его называют интегралом энергии.

Можно показать, что полученные векторные первые интегралы задачи трех тел (6.1.7), (6.1.8), (6.1.12) и скалярный первый интеграл (6.1.18) легко обобщаются на произвольное число притягивающих тел и в целом определяют десять первых скалярных интегралов системы.

Движение трех тел относительно их барицентра. Наряду с инерциальной системой координат Oxyz, в которой движение трех притягивающих тел описывается уравнениями (6.1.1), (6.1.4), (6.1.5), будем рассматривать систему координат 5£ц£ с началом в барицентре, оси которой параллельны осям исходной системы координат. Новая система координат будет тоже инерциальной, так как барицентр движется в инерциальном пространстве прямолинейно и равномерно. Обозначим через pi, рг, рз радиусы- векторы центров масс mi, m2, m3 в системе координат 5£ц£. Тогда Уравнения движения трех тел относительно их барицентра будут иметь вид уравнений (6.1.1), (6.1.4), (6.1.5), в которых радиусы- пекюры ri, гг, гз заменены соответственно па рь рг, рз. Для полу-

ченной системы уравнений движения относительно барицентра можно записать первые интегралы вида (6.1.7), (6.1.8), (6.1.12), (6.1.18). При этом правые части интегралов вида (6.1.7) и (6.1.8),

ИЛИ, ЧТОИЛИ, ЧТОто же самое,то же самое,Рис. 6.1. К выводу уравнений движения относительно одного из притягивающих телРис. 6.1. К выводу уравнений движения относительно одного из притягивающих телинтегралов (6.1.11), обратятся в нуль, так как в системе координат В£ц£ барицентр тождественно совпадает с началом системы координат.

ИЛИ, ЧТО

ИЛИ, ЧТО

то же самое,

то же самое,

Рис. 6.1. К выводу уравнений движения относительно одного из притягивающих тел

Рис. 6.1. К выводу уравнений движения относительно одного из притягивающих тел

Движение относительно одного из притягивающих тел. Уравнения (6.1.1), (6.1.4), (6.1.5) описывают движение трех притягивающих тел т\, тп^ Шз относительно произвольной инерциальной системы координат Oxyz. Рассмотрим теперь инерциальную систему координат, начало которой совпадает с телом т\, а оси параллельны исходной системе координат (рис. 6.1). Чтобы получить уравнения движения тел т^ и тз относительно т\, предварительно раз-

делим обе части равенства (6.1.1) на т\, затем (6.1.4) на т2 и

на тз. Далее, вычитая первое соотношение третьего, получим

d2— г Л4-/г — г„

-Ц^ = -/^Н(Г2-Г1) + /тз(—

12\23

' — Г A/Г„—Г„

(Гз - п) + /^2 -V

0,113\32

из второго ииз второго изГ13зГ132Г3 122Г3 12dt2d2rз dt2dt2d2rз dt2= -/= -/= -/= -/mi +m2Г2М^зГ3mi +m2Г2М^зГ3r2 + /^з -4-1\Г23r2 + /^з -4-1\Г233.333.33(6.1.19)(6.1.19)Г3 +M Hl—3\Г32Г3 +M Hl—3\Г32_2 .3 з_2 .3 з(6.1.20)(6.1.20)Здесь ri, Г2, гз — радиусы-векторы тел т\, т^ тз в исходной системе координат Oxyz. Обозначим через г2 = г2 — г1? г3 = г3 — гг радиусы-векторы тел тп2 и тз относительно т\. Тогда г12 = г2, г13= = г3 и, опуская в последующих соотношениях штрихи для упрощения записи, получим уравнения движения тел т2, тз относительно т^:

из второго и

из второго и

з

Г13

з

Г13

2

Г3 12

2

Г3 12

dt2

d2r

з dt2

dt2

d2r

з dt2

= -/

= -/

= -/

= -/

mi +m2

Г2

М^з

Г3

mi +m2

Г2

М^з

Г3

r2 + /^з -4-1\Г23

r2 + /^з -4-1\Г23

3

.3

3

3

.3

3

(6.1.19)

(6.1.19)

Г3 +M Hl—3\Г32

Г3 +M Hl—3\Г32

_2 .3 з

_2 .3 з

(6.1.20)

(6.1.20)

Если требуется записать уравнения движения двух тел не относительно mi, а относительно т2 или тз, то в уравнениях (6.1.19), (6.1.20) следует поменять соответствующие индексы.

Обсудим теперь физический смысл слагаемых, входящих в правые части (6.1.19) и (6.1.20). Первое слагаемое в правой части уравнения (6.1.19) определяет ускорение, которое сообщается те-

лу m2 при его движении в центральном поле, создаваемом телом тпц если предположить, что третье тело т^ отсутствует:

§2 = — /§2 = — /mi + m2Г2mi + m2Г2Г2*Г2*(6.1.21)(6.1.21)

§2 = — /

§2 = — /

mi + m2

Г2

mi + m2

Г2

Г2*

Г2*

(6.1.21)

(6.1.21)

Из-за наличия третьего тела тз, возмущающего движение тела m2 относительно т\^ тело m2 получает возмущающее ускорение

Ag2 = МAg2 = М(6.1.22)(6.1.22)(г — г

Ag2 = М

Ag2 = М

(6.1.22)

(6.1.22)

32

г3

23

Это возмущающее ускорение, в свою очередь, можно разделить на два слагаемых, первое из которых

Ag^ = Ns Гз з Га = — /т3 ^-(6.1.23)

Г23Г23

есть ускорение, которое получало бы тело m2, если бы оно было непритягивающим, а центральное тело т\ отсутствовало. Второе слагаемое в (6.1.22), взятое с противоположным знаком,

(6.1.24)(6.1.24)Ag22) = М -2-

(6.1.24)

(6.1.24)

— это ускорение, которое сообщает возмущающее тело тз центральному телу т\ как непритягивающему. Таким образом, возмущающее ускорение, которое получает тело m2 при движении относительно mi, можно представить в виде разности

Ag2 = Ag^ — Ag22).Ag2 = Ag^ — Ag22).(6.1.25)(6.1.25)

Ag2 = Ag^ — Ag22).

Ag2 = Ag^ — Ag22).

(6.1.25)

(6.1.25)

Аналогичный смысл имеют составляющие ускорения тела тз в его движении относительно центрального тела т\ при наличии возмущающего тела т2.

Круговая ограниченная задача трех тел

Предположим, что три тела, массы и обозначения которых т\, ^2, ^з, движутся под действием взаимного притяжения, определяемого законом Ньютона, причем тз -^ m2 < т\. В этом случае можно пренебречь влиянием тела т3 на движение т\ и m2. Тогда движение тел т\ и m2 будет описываться решением задачи двух тел, рассмотренной в главе 2. Обсудим круговую ограниченную задачу трех тел. Тела т\ и m2 движутся относительно своего барицентра по круговым орбитам, находясь по противоположные стороны от пего. Расстояние между ними остается постоянным.

Уравнения движения тела пренебрежимо малой массы в гравитационном поле двух притягивающих тел. Рассмотрим инерциальную прямоугольную систему координат В^ц^ с началом в барицентре В двух притягивающих тел т\ и тп^. Плоскость В^ц совпадает с плоскостью движения тп\ и тп^ а ось В£ направлена так, чтобы движение ш\ и Ш2 было направлено против часовой стрелки (рис. 6.2).

По типу (6.1.5) запишем векторное уравнение движения точки тпз в инерциальной системе координат В^ц^:

j2_dt2 pL Рзj2_dt2 pL Рзр1)—/5-(рз—Р2),Рз2р1)—/5-(рз—Р2),Рз2(6.2.1)(6.2.1)

j2_

dt2 pL Рз

j2_

dt2 pL Рз

р1)—/5-(рз—Р2),Рз2

р1)—/5-(рз—Р2),Рз2

(6.2.1)

(6.2.1)

в инерциальной,в инерциальной,а воа вовращающейсявращающейсябарицентрические системы координатбарицентрические системы координат

в инерциальной,

в инерциальной,

а во

а во

вращающейся

вращающейся

барицентрические системы координат

барицентрические системы координат

где psi — 1р3 — pi I, рз2 — 1рз — рг!.

На самом деле движение точки тпз удобнее рассматривать не

системе координат Bxyz, ось Вх которой направлена все время по pi — радиусу-вектору точки тп\, а ось Bz совпадает с В^. Угловая скорость вращения Bxyz относительно В£ц£ равна угловой скорости со, с которой тела тгц и тп^ обращаются относительно их барицентра.

Пусть г = (ж, у, z) — радиус-вектор точки /Из во вращающейся системе координат. Тогда dr/dt — ско-

рость, a d2rfdt2 — ускорение точки тз в этой системе координат. По теореме об ускорении точки в сложном движении можно записать '

—% =+ о) X (о) X г) + 2 (to X

dr dr\

где ©Х(иХг)—переносное ускорение, 2(co X drldt)— ускорение Кориолиса. Отсюда

dr dr\ dt)

дли с учетом (6.2.1)

"з = - /^(Рз " Рг) - /"Г (Рз - р2) - to X (to X г) - 2 (со X А

(6.2.2)

Здесь составляющие векторов заданы во вращающейся системе координат Bxyz

dr(dxdydz\d2r / d2 xd2yd2z\

dt\dfdfdtpdt2 dt2'dt2’dt2)’

Р1=(Ж1, 0, 0), P2 = (^2, 0, 0), CO = ( 0, 0, to),

p3i = Ips — Pl I = lr — pi I = V^ —ж^Н-t/2 + z2,

p32= Ip3 — Pl I = lr — p2l = У(ж-Ж2)2+1/2 + 22.

Векторное уравнение (6.2.2) равносильно трем скалярным уравнениям:

°Р31Рз2

(6.2.3)(6.2.3)-Л= — 1 — У — / -г- У + “^ — 2со —, dt2о3о3dt

(6.2.3)

(6.2.3)

°Р31^32

dtP31P32

Во многих задачах оказывается полезным переход к канонической системе единиц [19], который связан со следующим преобразованием уравнений (6.2.3). Массы притягивающих тел пг\ и тп,2 относят к их суммарной массе 7П1 + 7П2, все линейные величины — к расстоянию между точками тгц и m2, а = pi + рг, время — к 1/(0, т. е. промежутку времени, за который отрезок прямой тп\тп2 поворачивается на угол в один радиан (в инерциальном пространстве). Проиллюстрируем переход к каноническим единицам на примере первого уравнения системы (6.2.3):

х" -/ т zA л3

(О2 = — / ——-i - аа3 тх + т2 \ а а / рЗ^

— Ь V-2~ -- — + 0)2-+ 2(О2^-.

л3 пг nt \ а я / г»3яа

а 1 12 х ' Р32

Штрихами обозначены производные по «безразмерному» времени w тт« ~ х

т = tot. Вводя обозначения 1 — тп —, т =—, ж = —,

ТП^т^m! + т2а

~ ХЛ ~^2 ~ Рз1 ~о

-a^i = -~, ^2 = —» Psi = —, Рзг = — и сокращая на (о , получим CLCLCLCt

Z = - /Z = - /m! + m2 1 - mm! + m2 1 - m“2fl3 Рз31“2fl3 Рз31— Ж— Ж(т -т“ °Р32(т -т“ °Р32

Z = - /

Z = - /

m! + m2 1 - m

m! + m2 1 - m

“2fl3 Рз31

“2fl3 Рз31

— Ж

— Ж

(т -т

“ °Р32

(т -т

“ °Р32

Поскольку координаты ли и хг отсчитываются от барицентра системы двух притягивающих тел, то должны выполняться равенства х\ = — т, $2 = 1 —fn.(6.2.5)

Из задачи двух тел известно (см. п. 2.1.2), что притягивающее тело с массой ?П2 движется относительно центрального тела с массой 7771 точно так, как двигалось бы непритягивающее тело с массой 777г относительно центрального тела с массой т\ + т,2. Тогда можно воспользоваться соотношением (2.5.10), чтобы записать

Но согласно (2.1.5)

Ц = / • (7771 + ТП2) , а период обращения

^2 л

Отсюда

("VHzyццу2

7 oVto2a34л2а3

и уравнение (6.2.4) существенно упрощается.

Итак, при использовании канонических единиц уравнения движения точки 777з в пространственной круговой ограниченной задаче трех тел имеют такой вид:

ж — х J+ ж +,

₽ИРю

У =— ^тУА-у — 2ж ,(6.2.6)

Pai Р|2

Здесь

psi = У (^ — ^i)2 + ^2 + ^2, рзз = V (^ — ^2)2 + y2 + z2.(6.2.7)

Если положить в уравнениях (6.2.6) z = 0, то получим уравнения движения точки 7773 в плоской круговой ограниченной задаче трех тел.

С учетом перехода к канонической системе единиц вместо вращающейся системы координат Bxyz следует рассматривать вращающуюся систему координат Bxyz.

Интеграл Якоби. Рассмотрим функцию

— to2 (ж2 + у2) + /-1 + /— .

ZРз1 Рз2

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что с помощью функции J запись системы (6.2.3) упрощается:

(6.2.9)(6.2.9)(Рх п dy , dj cP у п dx , dj cP г di -^=2(0^ + —, —| =—2(0—+—, — = —. dP dt dx dP dt dy’ aP dz

(6.2.9)

(6.2.9)

Умножим первое уравнение (6.2.9) на 2dxfdt, второе на 2dyfdt, третье на 2dzjdt и сложим полученные произведения. Тогда

иЕслииЕсли(d^d^x dydy_ dzdjzA = „ f dJ йж 9J ^у dj dz\ \dt aP dt aP dt aP) ' \ 9x "dt + dy "dt + dz "dt)

и

Если

и

Если

d г/^ж\2 (dyp . /dz\2i nd!

diltoj ++ \dt) J = 2 "dt"

— скорость точки mi во вращающейся системе координат, то

и, интегрируя, получим первый интеграл системы (6.2.9), который называют интегралом Якоби".-

У2 = 2/ -С.(6.2.11)

Здесь С — произвольная постоянная интегрирования.

Подставим теперь (6.2.8) и (6.2.10) в (6.2.11), чтобы получить интеграл Якоби, записанный через координаты точки тпз и их производные во вращающейся системе Bxyz".

(

атР / dnP /I та, та„\

+ +(т<) +Ш = ю2^+^ + ЧР;+^~с- (6-2Л2)

Интеграл Якоби является единственным интегралом, который удается получить в круговой ограниченной задаче трех тел.

Произвольную постоянную С можно определить, если в некоторый момент времени t известны скорость точки тз и ее положение во вращающейся системе координат. После того как величина постоянной С стала известной, интеграл Якоби (6.2.12) позволяет вычислить величину скорости точки тз по заданному ее положению в любой момент времени.

Если воспользоваться формулами перехода от инерциальной системы координат В£ц£ к вращающейся системе координат Bxyz

х = | cos tot + ц sin tot, у = — £ sin tot + ц cos cot, z = ^

и их производными

dx ,\,/ dr]\ .,

■47 = -^ + СОТ] | COS tot — cotJ I Sin tot, dt \dt 1\ ” dt) '

dyIxfx

■47 = — 47 + con Sin cot — tot57 COS tot, dt \dt\ dt )’

dz dt,

"dt= "dt'

то можно записать интеграл Якоби через координаты точки т^ в инерциальной системе отсчета В^ц^:

\Tt) +^j +^

(6.2.13)

Плоская задача. Будем полагать, что движение непритягивающей материальной точки та происходит в той же плоскости, в которой совершают движение два притягивающих тела тх и т^,. Тогда £ = dtjdt = 0, и интеграл Якоби в форме (6.2.13) для плоской круговой ограниченной задачи трех тел принимает вид

+ 5 — 2со^-^т] -2/1-14-— = -с. (6.2.14)

\ dt] \dt ] V dt dt '] ^P3i Р32/X

Установим физический смысл соотношения (6.2.14). С этой целью поделим обе части (6.2.14) на 2. Теперь два первых слагаемых

1 Г^? д- (^L\21 = А уз

2 [W \ dU J 2

(где V — абсолютная скорость точки та] определяют кинетическую энергию единицы массы та. Слагаемое

J™ т2— / — + —\Рз1 Р32

равно работе, которую надо затратить на единицу массы та, чтобы удалить ее в бесконечность, преодолевая притяжение тел тх и т^,. Следовательно, это слагаемое определяет потенциальную энергию единицы массы т^ а

4т.т„

Е= ^V2-f -^ + —

2\Рз1Р32

*— полная энергия единицы массы та (удельная энергия). Нако

нец, сомножитель

определяет момент количества движения (кинетический момент) единицы массы т3 относительно начала координат — точки В. Тогда интеграл Якоби (6.2.14) можно записать в виде

Е — toMb= —-|.(6.2.15)

В отличие от ограниченной задачи двух тел, где постоянны энергия непритягивающего тела и его момент количества движения, в круговой ограниченной задаче трех тел оказывается постоянной некоторая функция этих величин, определяемая соотношением (6.2.15).

Точки либрации

Предположим, что в некоторый момент времени тело бесконечно малой массы т^ находится в плоскости Вху движения притягивающих тел ш\ и m2 и имеет нулевую скорость относительно вращающейся системы координат. Возникает вопрос: при каких условиях т^ будет пребывать в покое относительно вращающейся плоскости Вху неограниченно долго? Как было установлено, для этого тз должно находиться в одной из специальным образом выбранных точек вращающейся плоскости Вху. Такие точки вращающейся плоскости, в которых тело бесконечно малой массы может находиться в состоянии равновесия по отношению к двум другим, притягивающим телам, называют точками либрации или точками относительного равновесия.

Точки либрации тел Солнечной системы представляют большой интерес для космологии и прикладных задач механики космического полета. В них могут скапливаться так называемые «малые тела», исследование которых, как полагают, поможет существенно продвинуться вперед в решении проблемы эволюции Солнечной Системы. Имеются технические предложения об использовании точек либрации для размещения связных спутников, организации межпланетных сообщений и решения ряда других прикладных задач [51].

Поверхности нулевой относительной скорости. Используя уравнения движения в канонических единицах (6.2.6), можно записать интеграл Якоби в этих единицах:

Г2 = 27-^,(6.3.1)

или

(S-)2 + (у')2 + (1'У = ?2 + ? + 2Д^- + ^ - с, (6.3.1а)

Рз1 Р32

где 7 = УЦа^ J = JI(a^\ С = С^а^у.

Для определения поверхности нулевой относительной скорости положим F = О, тогда получим

ИЛИ

Ж2 + у2 + 2+ ^ = с.(6.3.2)

Рз1 Рз2

При заданной по начальным условиям постоянной С соотношение (6.3.2) определяет границу области, в которой может находиться точка тпз. Действительно, условие F2 ^ О выполняется в области, где

•27^ С.

Соотношение (6.3.2) называют уравнением "поверхностей Хилла по имени американского астронома Дж. В. Хилла, который в своих исследованиях движения Луны (1877 г.) впервые обратил внимание на существование областей пространства, куда не может попасть тело бесконечно малой массы, находящееся в травитацион- ном поле двух притягивающих тел. В плоской задаче существуют соответственно линии Хилла.

Обсудим некоторые свойства поверхностей и линий Хилла [45]. В уравнение (6.3.2) входят лишь квадраты координат у и т. Следовательно, поверхности, определяемые этими уравнениями, симметричны относительно координатных плоскостей Вху и Вхт. Если выполнено дополнительное условие m = 1/2 (т. е. массы притягивающих тел одинаковы тп\ = т^, симметрия существует и по отношению координатной плоскости Вут. Поверхности, отвечающие общему случаю т Ф 1/2, можно рассматривать в качестве деформированных поверхностей, построенных для частного случая т = 1/2. Из уравнения (6.3.2) видно также, что прямая, параллельная оси Вт, пересекает поверхности нулевой относительной скорости в двух действительных точках или ни в одной.

Все поверхности (6.3.2) заключены внутри круговых цилиндрических поверхностей, ось которых совпадает с Вт, а радиус равен "VC:

X2 + у2 = С.

К этой цилиндрической поверхности асимптотически приближаются при 2-> °° поверхности (6.3.2). Учитывая перечисленные свойства поверхностей (6.3.2) и рассматривая форму кривых, по которым поверхности пересекаются с координатными плоскостями, можно исследовать их пространственную форму в общем случае.

Положим сначала в (6.3.2) 2 = 0 и рассмотрим возможные линии пересечения этих поверхностей с координатной плоскостью Вху. Линия пересечения определяется уравнением

(6.3.3)(6.3.3)г2 + ? ++ -7=^==- - с.

(6.3.3)

(6.3.3)

К (ж —ж1)2+г/2 V (а- — х2У + у2

Исследуем форму кривых (6.3.3) при больших значениях С (т. е. С> 1). Для больших значений х и у, удовлетворяющих урав-

нению (6.3.3), сумма двух последних слагаемых мала. Обозначим эту малую величину через si:

(6.3.4)(6.3.4)g 2(1 — т)2тп

(6.3.4)

(6.3.4)

У^ж — ж^+у2 V (ж — я2)2 + у2

Тогда (6.3.3) принимает вид

X2 + У2 = С — 81.

Это уравнение кривой, близкой к окружности большого радиуса УС и целиком лежащей внутри указанной окружности.

При больших значениях С уравнение (6.3.3) может быть также удовлетворено координатами точек, лежащих вблизи притягивающих тел 7П1 и m2. Действительно, для таких точек оказываются малыми либо соотношение У (Ж — ^i)2 + y2 (для точек в окрестности 7П1), либо соотношение У (я — я^)2 + у2 (для точек в окрестности m2). При этом первые два слагаемых (6.3.3) имеют порядок 1, т. е. ж2 + у2 < С. Отсюда можно записать

л ~ , ” - — = Т- =2, (6.3.5) — Z*)2 + У2 1^(л: — ^2)2+У2

где 82 = (Ж2 + у2)/2. Соотношению (6.3.5) удовлетворяют замкнутые кривые, близкие к окружностям радиусов 2(1 — т) /С (для точек в окрестности тщ) и 2ml С (для точек в окрестности m2) и целиком расположенные вне указанных окружностей.

Если уменьшать величину С, внешняя замкнутая кривая сжимается. Кривые, окружающие т\ и m2, расширяются и, как показали расчеты, доходят до соприкосновения друг с другом (в особой точке поверхности Хилла), а затем соединяются между собой, образуя профиль несимметричной гантели, тяготеющей к большему по массе притягивающему телу тх (точка 1 — т на рис. 6.3, а, б, в). Гантель имеет симметричную форму только при т = 1/2, когда тх = m2. Дальнейшая эволюция формы кривых при уменьшении величины С показана на рис. 6.3, г, д, е и будет обсуждаться несколько позже. Значения постоянной С, соответствующие построенным кривым, удовлетворяют неравенствам

образованные пересечением поверх- плоскостью Bxz. Полагая у = 0, по-образованные пересечением поверх- плоскостью Bxz. Полагая у = 0, по-Ci > С2 > С3 >С4 > С5 > С6.

образованные пересечением поверх- плоскостью Bxz. Полагая у = 0, по-

образованные пересечением поверх- плоскостью Bxz. Полагая у = 0, по-

Исследуем теперь кривые, ностей (6.3.2) с координатной лучим

Рассмотрим снова большие значения С. Видно, что уравнению (6.3.6) удовлетворяют кривые, близкие к прямым я = ±УС и рас-

доложенные ближе к началу координат, чем указанные прямые. Уравнению (6.3.6) при больших С будут также удовлетворять замкнутые кривые, расположенные вокруг притягивающих тел и близкие к окружностям радиусов 2(1 — т) !С (для точек в окрестности

Рис. 6.3. Кривые, образованные пересечением поверхностей нулевой относительной скорости с координатной плоскостью Вту

nix') и 2fnJC (для точек в окрестности т^ и лежащие вне указанных окружностей. При уменьшении величины С внешние кривые стягиваются к началу координат, а замкнутые кривые вокруг при-

тягивающих тел увеличиваются в размере. После их соприкосновения образуется кривая типа гантели (рис. 6.4, а, б, в). Дальнейшее изменение формы кривых (6.3.6) при уменьшении величины С

Рис. 6.4. Кривые, образованные пересечением поверхностей нулевой относительной скорости с координатной плоскостью ВхгРис. 6.4. Кривые, образованные пересечением поверхностей нулевой относительной скорости с координатной плоскостью Вхг

Рис. 6.4. Кривые, образованные пересечением поверхностей нулевой относительной скорости с координатной плоскостью Вхг

Рис. 6.4. Кривые, образованные пересечением поверхностей нулевой относительной скорости с координатной плоскостью Вхг

показано на рис. 6.4, а, б, е. Значения С соответствуют рис. 6.3.

Наконец, рассмотрим кривые пересечения поверхностей нулевой относительной скорости (6.3.2) с координатной плоскостью Byz. 15 д. Е. Охоцимский, Ю Г Сихарулидзе

Полагая в (6.3.2) х = 0, получим

При больших значениях С уравнению (6.3.7) удовлетворяют кривые, близкие к прямым у = *11С и расположенные ближе к началу координат. Уравнению (6.3.7) будет также удовлетворять замкнутая кривая в окрестности начала координат, целиком расположенная вне окружности радиуса /[2(1-т)/сУ— ^ с центром в начале координат. Качественную картину кривых пересечения поверхностей нулевой относительной скорости с координатной плоскостью Byz дает рис. 6.5.

Сопоставляя результаты анализа форм кривых, по которым пересекаются поверхности нулевой относительной скорости с координатными плоскостями, можно установить форму этих поверхностей в трехмерном пространстве для различных величин постоянной С. Если постоянная С велика, поверхности нулевой относительной скорости (поверхности Хилла) состоят из двух замкнутых поверхностей, близких к сферам с центрами в Ш\ и Ш2 (на рисунках точки 1 — in и in соответственно), а также из бесконечного цилиндроида большого радиуса, который неограниченно приближается к внешнему асимптотическому цилиндру. При меньших значениях С сфероидальные поверхности расширяются и соприкасаются в точке L\ (рис. 6.3,6, 6.4,6, 6.5,6), расположенной на оси Вх, а затем они сливаются в одну поверхность типа гантели, тяготеющей к большему телу тх. При еще меньших значениях С сначала правая граница «гантели» касается цилиндроида в точке Ьг, а затем и левая граница касается цилиндроида в точке La (рис. 6.3, в, г, 6.4, в, г, 6.5, в, г). Обе эти точки расположены на оси Вх. На рис. 6.3, д, 6.4, д, 6.5, д для постоянной С& < Се показано промежуточное состояние эволюции поверхностей Хилла, когда верхняя и нижняя полости соединены узкими перетяжками вокруг точек L^ и L^ лежащих в плоскости Вху и симметричных относительно оси Вх. При достаточно малых С поверхности Хилла уже не пересекают плоскость Вху и распадаются на две бесконечные полости, которые при С 0 неограниченно удаляются друг от друга и в пределе исчезают.

После того как осуществлено разбиение пространства поверхностями нулевой относительной скорости, необходимо установить области, в которых возможно движение тела бесконечно малой массы /пз. Поскольку тело тз не может пересечь поверхность нулевой относительной скорости, оно будет оставаться в той части пространства, где находилось в начальный момент времени.

Согласно соотношению (6.3.1а)

V2 = х2 + у2 + ^t^ + S - С. (6.3.8)Р 31 Р 32

Пусть постоянная С настолько велика, что сфероидальные поверхности вокруг тп\ и тп^ а также цилиндроидальная поверхность разделены. Координаты х и у можно выбрать такими большими, чтобы правая часть (6.3.8) была положительна при любой величи-

Рис. 6.5. Кривые, образованные пересечением поверхностей нулевой относительной скорости с координатной плоскостью Вуг

не С. Отсюда у2 > 0, следовательно, возможно движение бесконечно малого по массе тела тпз вне области, ограниченной цилиндрои- дальной поверхностью. Если же рассматривать точки вблизи притягивающего тела тп\ или m2, то расстояния рз1 и р32 могут быть 15*

выбраны такими малыми, что правая часть (6.3.8) будет положительна при любом С. Отсюда следует возможность движения тела та внутри замкнутых сфероидальных поверхностей, причем оно не может покинуть эти области, так как не может пересечь поверхности нулевой относительной скорости. На рис. 6.3—6.5 для различных значений С штриховкой выделены области внутри асимптотического цилиндра, в которых не может находиться тело т3 [52].

Двойные точки поверхностей нулевой относительной скорости. Проведенный анализ поверхностей нулевой относительной скорости показал, что все двойные точки, т. е. точки касания поверхностей, которые появляются при уменьшении величины постоянной С, располагаются в плоскости Вху. На оси Вх находятся три двойные точки. Как уже отмечалось, первая точка L\ (рис. 6.3) отвечает соприкосновению двух внутренних овалов в плоскости Вху, расположенных вокруг притягивающих тел. Две другие точки, L2 и La, появляются при соприкосновении каждого из внутренних овалов с внешним. Еще две двойные точки, L^ и La, появляются, когда поверхности нулевой относительной скорости исчезают с плоскости Вху. Эти две точки, как будет показано в п. 6.3.3, образуют равносторонние треугольники с притягивающими телами.

Из аналитической геометрии известно, что в двойных точках поверхности обращаются в нуль частные производные функции, описывающей эту поверхность. В рассматриваемой задаче поверхность описывается функцией

/(2, у, ~)-?|?!~ + -=42====- С,

— я*)2 + У2 + Z2 У^с — 22)2+ у2+ Z2

или

/(х, у, z^= 2J — С.

Отсюда видно, что должны выполняться условия

^ = ^ = ^ = 0.(6.3.9)

дх ду dz

Вместе с тем согласно уравнениям движения (6.2.6) и (6.2.9) имеем

х"— 2у' = ^4, у" + 2х'= 44 z" = ^4,(6.3.10)

dxдуdz,

но в точках поверхности нулевой относительной скорости

х -у -г =0,(6.3.11)

поэтому в двойных точках должны выполняться равенства

х" -у" = Г =0.(6.3.12)

Следовательно, когда тело бесконечно малой массы та находится в одной из пяти двойных точек L\, L2, La, L4, La, равнодействую-

щая всех приложенных к нему сил равна нулю. Предположим, что тело бесконечно малой массы поместили в одну из указанных точек с нулевой относительной скоростью. Тогда оно будет оставаться там неограниченно долго, если не будет возмущаться силами, внешними по отношению к рассматриваемой системе трех тел. В соответствии с определением двойные точки поверхностей нулевой относительной скорости являются точками либрации.

Точки либрации L\, L2, L3, расположенные на оси Вх, называют прямолинейными, а точки либрации L^, L^, отстоящие от оси Вх в плоскости Вху, называют треугольными.

Найдем положение прямоугольных точек либрации. Их координаты определяются условием

илиилиdJdr ^=7=0dJdr ^=7=0= О,= О,(1 — т) ( х(1 — т) ( х) ч*-*2) =0) ч*-*2) =0х — Xх — X1 — Х21 — Х2(6.3.13)(6.3.13)

или

или

dJ

dr ^=7=0

dJ

dr ^=7=0

= О,

= О,

(1 — т) ( х

(1 — т) ( х

) ч*-*2) =0

) ч*-*2) =0

х — X

х — X

1 — Х2

1 — Х2

(6.3.13)

(6.3.13)

Рассмотрим вспомогательную функцию

ф (ж) = X —ф (ж) = X —(1 — тп^^х — х.^ тп ^х— х^(1 — тп^^х — х.^ тп ^х— х^X — х^X — х^х - ж2|х - ж2|(6.3.14)(6.3.14)

ф (ж) = X —

ф (ж) = X —

(1 — тп^^х — х.^ тп ^х— х^

(1 — тп^^х — х.^ тп ^х— х^

X — х^

X — х^

х - ж2|

х - ж2|

(6.3.14)

(6.3.14)

которая конечна и непрерывна при всех значениях аргумента х, кроме точек xi, £2 и ±о°. В этих точках она имеет разрыв второго рода (обращается в ±оо). Проследим за изменением знака ф(х) в диапазоне — °° < х < +°°:

— ОО хг — 8 хг 4- 6 х2 — 8 ж2 + 8 4-00

Здесь е>0 — малая величина. Функция ф(х) проходит через нуль в точках zvx2,x3 (рис. 6.6). Обсудим корни функции ср (я) в порядке их возрастания. Согласно [11, 43, 45, 58] символом L^ обозначают точку либрации, расположенную левее большего притягивающего тела т\. Ее координата х3 удовлетворяет неравенствам

где xi = — m с учетом (6.2.5). Через L\ обозначают точку либрации, расположенную между притягивающими телами т\ и m2. Ее координата хг удовлетворяет условиям

где Х2 = 1 — m с учетом (6.2.5). Точку либрации, расположенную правее меньшего притягивающего тела m2, обозначают L2. Коор-

Рис. 6.6. К определению координат точек либрации, расположенных наоси ВхРис. 6.6. К определению координат точек либрации, расположенных наоси Вхка 1 — иг на рис. 6.6) до корняка 1 — иг на рис. 6.6) до корня— т — 1 + р +— т — 1 + р +1 — тп(1-р)21 — тп(1-р)2т(2-Р)2т(2-Р)2= 0.= 0.

Рис. 6.6. К определению координат точек либрации, расположенных на

оси Вх

Рис. 6.6. К определению координат точек либрации, расположенных на

оси Вх

ка 1 — иг на рис. 6.6) до корня

ка 1 — иг на рис. 6.6) до корня

— т — 1 + р +

— т — 1 + р +

1 — тп

(1-р)2

1 — тп

(1-р)2

т

(2-Р)2

т

(2-Р)2

= 0.

= 0.

дината этой точки х2дината этой точки х2удовлетворяет неравенствам^2 < ^2 *+ + 00•

дината этой точки х2

дината этой точки х2

Вычисление координат точек либрации. Приведем ал

горитм вычисления координат прямолинейных точек либрации, рас-

положенных на оси Вх вращающейся системы отсчета [45]. С помощью соотношения (6.3.13) нетрудно показать, что расстояние от точки либрации L3 до большего притягивающего тела т\ не превосходит 1 (т. е. меньше расстояния между телами т\ и т2). Можно также доказать, что и расстояние от точки либрации L2 до меньшего притягивающего тела m2 не превышает 1. Расстояние от точки либрации L\ до любого из притягивающих тел т\ и m2 меньше 1, так как эта точка расположена между ними.

Рассмотрим сначала точку либрации L3. Обозначим через 1 —р (где 0 < р < 1) расстояние от притягивающего тела т\ (точ- х3 уравнения (6.3.13), т. е.

1 — р = Ж1 — Жд.

Тогда __~~

ж* — хг = — 1+р, Жд —ж2 = —2 + р.

После подстановки этих соотношений в (6.3.13) получим

~1 П (1 - w) (- 1 + р) ^ (- 2 + Р) _ (

_т_1+р——|2_рр -(

или

Отсюда уравнение для р:

р5-(7 + иг)р4 + (19 + 6иг)р3-(24+ 13иг)р2 +

+ (12 + 14пг)р — 7иг = 0.(6.3.15)

Функция

jF(p) = p5 —(7 + иг)р4 + (19 + биг) р3 —(24 + 13иг)р2 +

+ (12 + 14иг)р — 1т

имеет разные знаки при р = 0 и р = 1:

F(0) = -7m<0, F(l) = 1 — m > 0.

Поэтому единственный положительный корень уравнения (6.3.15) расположен в диапазоне 0 < р < 1. При т = 0 уравнение (6.3.15) принимает вид

р5 - 7р4 + 19р3 - 24р2 + 12р = О

и имеет единственный вещественный корень р = 0. Если т + О, то единственный положительный корень уравнения (6.3.15) будет зависеть от параметра т, причем этот корень стремится к нулю вместе с т. Отсюда видно, что корень уравнения (6.3.15) можно искать в виде ряда, расположенного по целым положительным степеням малого параметра т:

р = 2 chmh = Су™ + ^2m2 + сзт3 + ...(6.3.16)

h=l

Подставим (6.3.16) в (6.3.15) и приравняем нулю коэффициенты при различных степенях т, тогда

и

7 ~ , 23-72 ~3 ,/с э 4

Р = 12 w + "^Г ™ + 1 1 1(6.3.17)

Ио_

х* = — 1 — т + р,

отсюда после подстановки (6.3.17)

У - - 1+ ^т3 + ...(6.3.18)

Рассмотрим теперь точку либрации Li, расположенную между притягивающими телами. Обозначим расстояние от этой точки до притягивающего тела nt через р. Затем найдем

Ж1 — ж2 = — р, $1 — хх = 1 — р, хг = 1 — т — р

и после подстановки в (6.3.13) получим

или

Отсюда следует уравнение для р:

(6.3.19)(6.3.19)р5 — (3 — т) р4 + (3 — 2m) р3 — mp2 + 2тр — т = 0.

(6.3.19)

(6.3.19)

При m = О получим из (6.3.19) уравнение р3(р2 ~ Зр + 3)= О,

которое имеет тройной корень р = О и два комплексных корня. Для т^О, но достаточно малого, три корня уравнения (6.3.19) можно записать в виде рядов по степеням ттг1/3, исчезающих вместе с этим параметром. Один из корней, который получается при действительном значении ттг1/3, будет действительным, а два других — комплексными. Действительный корень представляется рядом

р — cxm1?3 + с2т2^3 + с3т3?3 + . .. = 2 chmh?3. (6.3.20) h=l

Подставляя (6.3.20) в (6.3.19) и приравнивая нулю коэффициенты при соответствующих степенях ттг1/3, вычислим

32/3__§^_ _ 1

^1 — з , с2 — g , с3 —27» • • •

ии1 t т \2,/з1 / т V^33" \Т/ “ Т \Т/ +1 t т \2,/з1 / т V^33" \Т/ “ Т \Т/ +(6.3.21)(6.3.21)

и

и

1 t т \2,/з1 / т V^3

3" \Т/ “ Т \Т/ +

1 t т \2,/з1 / т V^3

3" \Т/ “ Т \Т/ +

(6.3.21)

(6.3.21)

Отсюда координата точки либрации

(т у/31 / т у/326 / т \ ^3 . <п п

^х = 1 — т — р = 1— К- +-5- Т+... (6.3.22)

\ О /и \ и /У \ о /

Наконец, вычислим координату точки либрации L^ расположенной правее притягивающего тела in. Обозначим через р расстояние от точки L2 до притягивающего тела т. В этом случае

~*~*~.~*.•—’

ж2 — ж2 = р, х2 — хх = 1 + р, ж2 = 1 — т + р

и после подстановки в (6.3.13) найдем, избавляясь от знаменателей, р5 + (3 — т) р4 + (3 — 2m) р3 — mp2 — 2тр — in = 0.(6.3.23)

При m = 0 получим уравнение

р3(р2 + Зр + 3) = 0,

которое имеет тройной корень р = 0 и два комплексных корня. Поэтому для т 0 уравнение (6.3.23) имеет один действительный корень, стремящийся к нулю при т 0. Указанный корень можно представить рядом

р = схт1/3 + с2т2/3 + с3т3/3 + ... = 2 chmkl3.(6.3.24)

k=i

Подставим (6.3.24) в (6.3.23) и, приравнивая нулю коэффициенты соответствующих степеней т1/3, вычислим

з2/3з1/3__А

с1— з » с2 — 9 , сз —27’ ■ ■ ■

(6.3.25)(6.3.25)+ ... (6.3.26)+ ... (6.3.26)Рис. 6.7. Зависимость координаты прямолинейных точек либрации от величины относительной массы притягивающих телРис. 6.7. Зависимость координаты прямолинейных точек либрации от величины относительной массы притягивающих телРис. 6.8. Расстояние от большего притягивающего тела до точек либрацииРис. 6.8. Расстояние от большего притягивающего тела до точек либрации

(6.3.25)

(6.3.25)

+ ... (6.3.26)

+ ... (6.3.26)

Рис. 6.7. Зависимость координаты прямолинейных точек либрации от величины относительной массы притягивающих тел

Рис. 6.7. Зависимость координаты прямолинейных точек либрации от величины относительной массы притягивающих тел

Рис. 6.8. Расстояние от большего притягивающего тела до точек либрации

Рис. 6.8. Расстояние от большего притягивающего тела до точек либрации

Тогда

/ т \1,/з1 / т у/31 / т V^3р~кТ/ + У\Т/ ~ Т^з/ +

и координата точки либрации L^

Х^ — 1 — 7П -{- р — 1Х^ — 1 — 7П -{- р — 1m У^3 , 1 / m У/328 /ту/3

Х^ — 1 — 7П -{- р — 1

Х^ — 1 — 7П -{- р — 1

з/ + з ЦТ/ — 9" ^Т/

Формулы (6.3.18), (6.3.22) и (6.3.26) определяют координаты точек либрации, расположенных на оси Вх вращающейся системы координат. Эти координаты зависят от соотношения масс меньшего и большего притягивающих тел, т. е. от т = т^ {т\ + щг).

Когда m -> О, точки либрации Lx и Ьг перемещаются к своему предельному положению, совпадающему с притягивающим телом меньшей массы, а точка либрации L^ приближается к единичному расстоянию от большего по массе притягивающего тела. На рис. 6.7 показаны результаты численного решения уравнения (6.3.13) для значений 0 ^ m ^ 1/2 [43], а на рис. 6.8 построено расстояние от большего притягивающего тела до точек либрации в зависимости от величины in.

В табл. 6.1 приведено расстояние точек либрации от большего притягивающего тела для некоторых тел Солнечной системы. Это расстояние отнесено к среднему расстоянию между соответствую-

щей парой Ш\ и т^. Заметим, что для всех приведенных пар небесных тел точки либрации L\ и L^ расположены на существенно большем расстоянии от т^, чем естественные спутники этих тел. Так, для пары Солнце — Земля расстояние точек либрации L\ и L^ от Земли примерно в четыре раза превосходит расстояние между Землей и Луной [43].

Чтобы найти координаты треугольных точек либрации, т. е. двойных точек поверхностей нулевой относительной скорости, не

Таблица 61

Расстояние точек либрации от большего притягивающего тела для некоторых тел Солнечной системы [43]

Притягивающие тела

Отношение массы Солнца к массе тела тп^тпа

Расстояние точки либрации)

Lt

Ь2

Lg

т.

т2

Солнце

Меркурий

6023650

0,996214

1,003795

0,9999999

Солнце

Венера

408523,5

0,990684

1,009373

0,99999858

Солнце

Земля

332946,0

0,99003

1.010037

0,99999825

Солнце

Земля + Луна

328900,5

0 989989

1,010078

0,99999822

Солнце

Марс

3098710

0,995246

1,004769

0,99999981

Солнце

Юпитер

1047,355

0,93332

1,069784

0,999444

Солнце

Сатурн

3498,5

0,955039

1,04635

0.999833

Солнце

Уран

22869

0,975773

1,024624

0,999974

Солнце

Нептун

19314

0,974193

1,026258

0,999969

Солнце

Плутон

3000000

0,990619

1,00944

0,9999986

Земля

Луна

81,30068 )

0,849065

1,167833

0,992912

*) Отнесено к среднему расстоянию между mt и ш2 2) Отношение массы Земли к массе Луны.

лежащих на оси Вх, вернемся к рассмотрению уравнений, которые определяют координаты двойных точек в плоскости Вху (где z = 0):

8f ~(1 — ™) (z — zjm (z — z,)

зультате получимзультате получим” 32” 32Рис. 6.9. Схема расположения точек либрацииРис. 6.9. Схема расположения точек либрации

зультате получим

зультате получим

” 32

” 32

Рис. 6.9. Схема расположения точек либрации

Рис. 6.9. Схема расположения точек либрации

(1 - ^) р2 - xj~3/2U’

” 31

~™(^-t2)

~3/2U1

^32

где psi = У(я: — #1)2 + У2, Рэг = V Vх — ^2)2 + У2- Но согласно (6.2.5) Xi = —ттг, ^2 = 1 — т, ^2 — х\ = 1, поэтому окончательно имеем си

стему уравнений

(6.3.29)

"31

Единственное действительное решение системы (6.3.29)

рз1 = р32 = 1(6.3.30)

показывает, что точки либрации, не лежащие на оси Вх, образуют равносторонние треугольники с притягивающими телами тп\ и т^

независимо от их соотношения, т. е. от величины т = тпг! (т\ + ттгг).

Треугольную точку либрации, расположенную выше оси Вх, обозначают через L4. Ее абсцисса х4 вычисляется как полусумма координат притягивающих тел, а ордината у4 является высотой равное го- роннего треугольника со стороной, равной единице:

~. = цг™ ~. = ]/з (6 з 31)

Треугольная точка либрации Ьь расположена симметрично с L4 по другую сторону от оси Вх. Ее координаты

(6.3.32)(6.3.32)~*1 — 2та ~*"j/3"

(6.3.32)

(6.3.32)

х5 '2’2

Схема расположения всех пяти точек либрации круговой ограниченной задачи трех тел приведена на рис. 6.9.

6.4. Анализ устойчивости точек либрации

Для практического использования точек либрации существенным является вопрос об их устойчивости: будет ли космический аппарат, выведенный в близкую окрестность точки либрации с почти нулевой относительной скоростью, оставаться там неограничен-

но долго? Исследование устойчивости точек либрации в рамках круговой ограниченной задачи трех тел показало, что прямолинейные точки либрации неустойчивы, а треугольные точки либрации устойчивы в первом приближении, если относительная масса меньше притягивающего тела т = m2l (т\ + m2) достаточно мала (см., например, [19, 45]). Ниже приведены доказательства обоих утверждений.

Неустойчивость прямолинейных точек либрации. Рассмотрим уравнения движения тела бесконечно малой массы в форме (6.3.10):

dj । / dJ ~п dj х — 2у = у + 2х = -^, z =

ох dy dz

Обозначим через Ах, Ay, Az и Ax', Ay', Az' соответственно малые возмущения нормированных координат х, у, z и нормированных составляющих скорости х', у', х' в окрестности прямолинейной точки либрации Lk1 имеющей координаты (х*, 0, 0), А? = 1, 2, 3. Тогда можно записать линеаризованные уравнения возмущенного движения в близкой окрестности прямолинейной точки либрации:

&x — 2Ay = -^75 dx" Lk~~л2 7&x — 2Ay = -^75 dx" Lk~~л2 7.д2'Ах Н——.д2'Ах Н——Ау" + 2Ах' =Ау" + 2Ах' =~л 2 7Az" = ЛД.~л 2 7Az" = ЛД.дх dz Lдх dz LУчитывая, что~2 , ~2J (ж, у, z) = Учитывая, что~2 , ~2J (ж, у, z) = дх ду Lk~л2'дх ду Lk~л2'Ах + ’кАх + ’кАхАхЭх dy Lkdy LkЭх dy Lkdy LkА~ . дЧ^У + -~—~дх dzА~ . дЧ^У + -~—~дх dz~ л2A l д JЩdy dz~ л2A l д JЩdy dzdy dzdy dzLhLh. дЧАу+ ^ д z. дЧАу+ ^ д z1 — тп1 — тп\z.\z.Az, ЧAz, ЧAz, (6.4.1)Az, (6.4.1)тпН^+^+^’тпН^+^+^’d4,2 (1 — m)2md4d2Jd^2Lk|^*-^i|3l*fe-*2|3’Lk dx dzd4^1 — mmdi2 J— 0dVLk| 4 - |3| 4 - ^2 I3 ’ 8У 82Lkd41 — ТПТП,7 1, 2, 3).dzLkPfe - ^ Г Pfe ~ X2 Гd4,2 (1 — m)2md4d2Jd^2Lk|^*-^i|3l*fe-*2|3’Lk dx dzd4^1 — mmdi2 J— 0dVLk| 4 - |3| 4 - ^2 I3 ’ 8У 82Lkd41 — ТПТП,7 1, 2, 3).dzLkPfe - ^ Г Pfe ~ X2 Г22вычислим частные производные в прямолинейных точках либрациивычислим частные производные в прямолинейных точках либрации= 0, ■к= 0, ■к

&x — 2Ay = -^75 dx" Lk

~~л2 7

&x — 2Ay = -^75 dx" Lk

~~л2 7

.д2'

Ах Н——

.д2'

Ах Н——

Ау" + 2Ах' =

Ау" + 2Ах' =

~л 2 7

Az" = ЛД.

~л 2 7

Az" = ЛД.

дх dz L

дх dz L

Учитывая, что

~2 , ~2

J (ж, у, z) =

Учитывая, что

~2 , ~2

J (ж, у, z) =

дх ду Lk

~л2'

дх ду Lk

~л2'

Ах + ’к

Ах + ’к

Ах

Ах

Эх dy Lk

dy Lk

Эх dy Lk

dy Lk

А~ . дЧ

^У + -~—~

дх dz

А~ . дЧ

^У + -~—~

дх dz

~ л2

A l д JЩdy dz

~ л2

A l д JЩdy dz

dy dz

dy dz

Lh

Lh

. дЧ

Ау+ ^ д z

. дЧ

Ау+ ^ д z

1 — тп

1 — тп

\z.

\z.

Az, Ч

Az, Ч

Az, (6.4.1)

Az, (6.4.1)

тп

Н^+^+^’

тп

Н^+^+^’

d4

,2 (1 — m)2md4

d2J

d^2

Lk|^*-^i|3l*fe-*2|3’

Lk dx dz

d4

^1 — mmdi2 J

— 0

dV

Lk| 4 - |3| 4 - ^2 I3 ’ 8У 82

Lk

d4

1 — ТПТП,7

1, 2, 3).

dz

LkPfe - ^ Г Pfe ~ X2 Г

d4

,2 (1 — m)2md4

d2J

d^2

Lk|^*-^i|3l*fe-*2|3’

Lk dx dz

d4

^1 — mmdi2 J

— 0

dV

Lk| 4 - |3| 4 - ^2 I3 ’ 8У 82

Lk

d4

1 — ТПТП,7

1, 2, 3).

dz

LkPfe - ^ Г Pfe ~ X2 Г

2

2

вычислим частные производные в прямолинейных точках либрации

вычислим частные производные в прямолинейных точках либрации

= 0, ■к

= 0, ■к

Согласно (6.2.5) xi — — m и хг = 1 — m; поэтому линеаризованные уравнения возмущенного движения в близкой окрестности прямо-

линейной точки либрации имеют вид

AZ - 2Ду = Д5 + .U1"”* Az + ,~ ,2~ ,„ А2,

А/ + 2ДР- Ду -Ду - ,~ " 7i5 Ду, (6.4.2)

Pfe+mr |жд+т-1Г

(6.4.3)(6.4.4)(6.4.3)(6.4.4)D^ =D^ =p_(l + 2«fe)2Хp_(l + 2«fe)2Х— 2ЛV-(l-aft)— 2ЛV-(l-aft)— X4+(2—Иь) V + (1—ct^l -j- 2»д)=О— X4+(2—Иь) V + (1—ct^l -j- 2»д)=О

(6.4.3)

(6.4.4)

(6.4.3)

(6.4.4)

D^ =

D^ =

p_(l + 2«fe)2Х

p_(l + 2«fe)2Х

— 2ЛV-(l-aft)

— 2ЛV-(l-aft)

— X4+(2—Иь) V + (1—ct^l -j- 2»д)=О

— X4+(2—Иь) V + (1—ct^l -j- 2»д)=О

Для сокращения записи обычно вводят обозначения

— т ,т/7 л п

ак ।। ~* ~|3 0й 1> 2, 3)

и тогда

Ах " — 2Ау' — (1 + 2щ) Ах = О,

Ay " + 2Axz — (1 — щ) Ау = О, Az" + akAz = О

(^ = 1, 2, 3).

Видно, что система линеаризованных уравнений возмущенного движения в окрестности прямолинейной точки либрации распалась на две подсистемы: первые два уравнения содержат только переменные Ах и Ау, а третье уравнение содержит переменную Az. Запишем характеристическое уравнение для первой подсистемы

(6.4.5)(6.4.5)

(6.4.5)

(6.4.5)

(^ = 1, 2, 3). Знак дискриминанта

А» =- (1 - «-) (1 + 2a6) = (9а6 - 8)(6.4.6)

(* = 1, 2, 3)

биквадратного уравнения (6.4.5) определяется знаком сомножителя (9ak —8), поскольку ак> 0. Покажем, что щ>1, откуда будет следовать, что Ак>0 (к = 1, 2, 3). С этой целью рассмотрим каждую из прямолинейных точек либрации. Точка L\ расположена между притягивающими телами тгц и тп,^ значит, ее относительные расстояния до них меньше 1: | х* + т| <; 1 и | х* + ш —1|<I 1. Но тогда по формуле (6.4.3) видно, что для точки Lx выполняется неравенство ai > 1.

Рассмотрим теперь точку либрации L^. Ее расстояние до притягивающего тела меньшей массы вычисляется по формуле

р = х* + т — 1(р<1),

откуда

х* + т = р + 1.

Подставляя эти соотношения в (6.4.3), получим

я2 —я2 —1 — т \ т (Р+1)31 — т \ т (Р+1)3

я2 —

я2 —

1 — т \ т (Р+1)3

1 — т \ т (Р+1)3

Затем выразим т из уравнения (6.3.23)

(6.4.7)(6.4.7)р3 (р2 + Зр + з)

(6.4.7)

(6.4.7)

Р4 + 2р3 + р2 + 2р + 1

и вычислим разность

л = ~ ^ . ^ _ а = ™ ^Зр2 + 3Р + 1) — р4 (Р2 + Зр + 3)

(Р +1)3 Р3Р3 (Р +1)3’

или с учетом (6.4.7)

л _ (р2 Зр + 3) (Зр2 + Зр + 1) — р (р2+ Зр + 3) (р4+ 2р3+ р2+2р+1) _

(р + 1)3(р4 + 2р3 + р2 + 2р + 1)

= _ (р!±зр+зХр!+^^=(р2 + зр + з)(1-р3) > 0

(Р + I)3 (р4 + 2р3 + р2 + 2р + 1)(р+1) (р4+2р3+р2+ 2р + 1)’

так как р < 1. Отсюда следует, что а2 > 1 [58].

Для упрощения доказательства условия аз > 1 обозначим через Z3 расстояние между точкой либрации Ьз и большим притягивающим телом. Тогда расстояние от точки Ьз до меньшего притягивающего тела будет 1з + 1 (см. рис. 6.9) и можно записать

й’=1Т++т+ ('з<1)-(6Л'8)

Теперь величина Z3 будет удовлетворять уравнению, которое получится из (6.3.15) при подстановке 1 — Z3 вместо р:

1з + (2 + т^ Zf + (1 + 2m) Zg — (1 — m) Zg — 2 (1 — m) Z3 — 1 + m = 0.

Отсюда

(6.4.9)(6.4.9)~('з+^О-Ф

(6.4.9)

(6.4.9)

Z? + 2Za + Z3+ 2Zs+ 1 ’

Как и в предыдущем случае, вычислим разность

’ 'I (', + >)’;1(гз + ‘)3’

или с учетом (6.4.9)

я _ ! = ~ 'з) [('з + 6 (гз + '1 + + 2Z, + 0 - № +3/, + 1) ] _

4('=4i)ti+yi + ^+2i,+t)

01 + 3'з + 3)(«-'р

(гз + 1)(г1 + 2^+Ч + У, + 1)’

так как /з < 1. Отсюда имеем аз > 1. Итак, показано, что для прямолинейных точек либрации выполняется условие ак>1, поэтому дискриминант Ак>0 (&=1, 2, 3). Если рассматривать (6.4.5) как квадратное уравнение относительно X2, то окажется, что оно имеет два действительных корня: положительный и отрицательный. Следовательно, характеристическое уравнение (6.4.5) для первой подсистемы имеет два действительных корня, равных по величине и противоположных по знаку, и два чисто мнимых корня.

Перейдем к анализу второй подсистемы (6.4.4), содержащей пространственную переменную Az. Ее характеристическое уравнение

V + aA = 0 (к = 1,2,3)(6.4.10)

имеет пару чисто мнимых корней

Х = ±1^(6.4.11)

поскольку по доказанному ak > 1 > 0.

Таким образом, установлено, что характеристическое уравнение (6.4.5) линеаризованной системы возмущенного движения в окрестности прямолинейных точек либрации имеет один действительный положительный корень, один действительный отрицательный корень и два чисто мнимых корня. Поскольку один из действительных корней положителен, прямолинейные точки либрации Li, Лг, La круговой ограниченной задачи трех тел неустойчивы по Ляпунову [42].

Неустойчивость прямолинейных точек либрации означает, что КА, выведенный в любую из этих точек с небольшими ошибками по координатам или по составляющим скорости, со временем неизбежно удалится от этих точек.

Условие устойчивости треугольных точек либрации. Запишем линеаризованные уравнения возмущенного движения в малой окрестности треугольных точек либрации L4 и L^ координаты которых

1 — 2т ~*1/3А

О’42 > У42 ’^

С этой целью вычислим необходимые производные в точках L^ и Z-5:

дЧ дх2дЧ дх2>2>2дх2дх2'5'5_ J3 “ 4»'4аЧду2 L._ J3 “ 4»'4аЧду2 L._ 3“ 4’_ 3“ 4’дЧ dV L.дЧ dV L.55После подстановкиПосле подстановкидЧдЧдх ду ь4дх ду ь49,4 ’9,4 ’>2'>2'дх дудх ду99их вих вЦ5(1_2т),Ц5(1_2т),эЧэЧдх да Lдх да L= 0.'4= 0.'4дЧду дадЧду да5дЧду да5дЧду да= о —'491 ‘ L.= о —'491 ‘ L.— ~£—"(1—2m),— ~£—"(1—2m),^27= о —'55Z^27= о —'55Z55(6.4.1)(6.4.1)ния возмущенного движения в брацииния возмущенного движения в брации= -1,= -1,дЧдЧдх да L.дх да L.= - 1.= - 1.= 0, 5= 0, 5получим линеаризованные уравне- окрестности треугольной точки ли-получим линеаризованные уравне- окрестности треугольной точки ли-А?'- 2А/--| Ах-(- I)1А?'- 2А/--| Ах-(- I)1^^(г-г^-о,^^(г-г^-о,

дЧ дх2

дЧ дх2

>2

>2

дх2

дх2

'5

'5

_ J3 “ 4»

'4

аЧ

ду2 L.

_ J3 “ 4»

'4

аЧ

ду2 L.

_ 3

“ 4’

_ 3

“ 4’

дЧ dV L.

дЧ dV L.

5

5

После подстановки

После подстановки

дЧ

дЧ

дх ду ь4

дх ду ь4

9,

4 ’

9,

4 ’

>2'

>2'

дх ду

дх ду

9

9

их в

их в

Ц5(1_2т),

Ц5(1_2т),

эЧ

эЧ

дх да L

дх да L

= 0.

'4

= 0.

'4

дЧду да

дЧду да

5

дЧду да

5

дЧду да

= о —

'491 ‘ L.

= о —

'491 ‘ L.

— ~£—"(1—2m),

— ~£—"(1—2m),

^27

= о —

'55Z

^27

= о —

'55Z

5

5

(6.4.1)

(6.4.1)

ния возмущенного движения в брации

ния возмущенного движения в брации

= -1,

= -1,

дЧ

дЧ

дх да L.

дх да L.

= - 1.

= - 1.

= 0, 5

= 0, 5

получим линеаризованные уравне- окрестности треугольной точки ли-

получим линеаризованные уравне- окрестности треугольной точки ли-

А?'- 2А/--| Ах-(- I)1

А?'- 2А/--| Ах-(- I)1

^^(г-г^-о,

^^(г-г^-о,

Ay" + 2А? - 4 Ау (l)ft ^ (1 - 2m)JAx = 0, (6.4.12)

Az" + Az = О (к = 4, 5).

Видно, что и для треугольных точек либрации система уравнений возмущенного движения (6.4.12) распадается на две подсистемы, для переменных Ах, Ау и для пространственной переменной Az. Характеристическое уравнение первой подсистемы

D(4 =D(4 =

D(4 =

D(4 =

. з Уз ~- 2% - (- l)ft -у- (1 — 2т)29

ь -Т

= Z4 + X + у т(1 — т) = 0 (6.4.13)

является биквадратным. Рассматривая его как квадратное относительно X2, найдем дискриминант

А = 1 — 27m (1 — т)А = 1 — 27m (1 — т)(6.4.14)(6.4.14)

А = 1 — 27m (1 — т)

А = 1 — 27m (1 — т)

(6.4.14)

(6.4.14)

и условие его положительности

(6.4.15)(6.4.15)27m (1 — m) < 1.

(6.4.15)

(6.4.15)

При выполнении неравенства (6.4.15) квадратное уравнение относительно X2 имеет два действительных отрицательных корня, а исходное биквадратное уравнение относительно X — четыре чисто мнимых корня.

В случае

2т(1 —т)>1(6.4.16)

квадратное уравнение относительно л2 имеет два комплексно сопряженных корня, а исходное биквадратное уравнение относительно X — две пары комплексно сопряженных корней. Из них два корня заведомо будут с положительными вещественными частями. Следовательно, неравенство (6.4.16) является условием неустойчивости треугольных точек либрации.

Характеристическое уравнение второй подсистемы для пространственной переменной Az

V + 1 = О

имеет два чисто мнимых корня ±г, которые не могут изменить условия устойчивости треугольных точек либрации (6.4.15).

Итак, если произведение относительных масс притягивающих тел удовлетворяет условию

т^ — т)<-^,(6.4.17)

то треугольные точки либрации устойчивы в первом приближении (характеристическое уравнение имеет шесть различных чисто мнимых корней). Полностью вопрос об устойчивости треугольных точек либрации может быть решен только с привлечением нелинейных слагаемых в уравнениях возмущенного движения, так как при наличии чисто мнимых корней характеристического уравнения рассмотрение только линеаризованной системы не позволяет сделать строгого вывода относительно устойчивости исходной (нелинейной) системы [42].

При строгом рассмотрении вопроса об устойчивости треугольных точек либрации плоской круговой ограниченной задачи трех тел доказана их устойчивость для всех значений относительной массы т, удовлетворяющих условию (6.4.17), или

О < т < ^^ « 0,0385208,(6.4.18)

кроме двух значений,

~* = 45-У1833_ 0,0242938,

= l^plS^ 0,0135160,

при которых имеет место неустойчивость. В пространственной задаче неустойчивость, когда in = т* или т = т**, остается, а при остальных значениях т из диапазона (6.4.18) доказана устойчивость для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий [43].

Устойчивость треугольных точек либрации означает, что КА, выведенный в близкую окрестность точки Т>4 или точки Ьз с небольшими ошибками по скорости, должен оставаться на малом расстоянии от соответствующей точки достаточно долго. Однако доказательство устойчивости получено в рамках модельной задачи трех тел. В реальных условиях необходимо учитывать наиболее существенные возмущения от других небесных тел. Для удержания аппарата вблизи треугольной точки либрации необходимо осуществлять коррекцию его движения.

Упрощенная постановка задачи трех тел

Задача движения КА в гравитационном поле двух небесных тел является достаточно сложной и ее обычно исследуют численными методами. В ряде случаев оказывается допустимым упрощение этой задачи путем разделения пространства на две области, в каждой из которых учитывается притяжение только одного небесного тела. Тогда внутри каждой области пространства движение КА будет описываться известными интегралами задачи двух тел. На границе перехода из одной области в другую необходимо соответствующим образом пересчитать вектор скорости и радиус-вектор с учетом замены центрального тела.

Разделение пространства на две области можно осуществлять на основе различных допущений, которые определяют границу. В задачах небесной механики, как правило, одно небесное тело имеет массу существенно большую, чем второе. Например, Земля и Луна, Солнце и Земля или любая другая планета. Поэтому область, где предполагается движение КА по коническому сечению, в фокусе которого находится меньшее притягивающее тело, занимает только небольшую часть пространства вблизи этого тела. Во всем оставшемся пространстве предполагается движение КА по коническому сечению, в фокусе которого находится большее притягивающее тело.

Рассмотрим некоторые принципы разделения пространства на две области.

Сфера действия. Пусть, как и прежде, т\ — масса и обозначение большего притягивающего тела, тп.2 — масса и обозначение меньшего притягивающего тела, а тз — масса и обозначение КА. Их взаимное расположение определяется радиусами-векторами гг и гз, которые соединяют тгц соответственно с Ш2 и тпз (см. рис. 6,1).

./ 1 О 1 Qг3 + М2 з \г32./ 1 О 1 Qг3 + М2 з \г32Сначала рассмотрим движение КА относительно большего притягивающего тела тгц. С этой целью воспользуемся уравнением (6.1.20):

./ 1 О 1 Q

г3 + М2 з \г32

./ 1 О 1 Q

г3 + М2 з \г32

dt? " Т i

или

^г3.

“ту = gi + Agv at

(6.5.1)

где

m. 4- m

(6.5.2)

ускорение, которое получает КА при движении в центральном поле тела тп\,

(6.5.3)

\Г32Г2 /

возмуи4аю1цее ускорение, которое получает КА из-за наличия притягивающего тела m2.

Теперь рассмотрим движение КА относительно меньшего притягивающего тела та. По аналогии с (6.5.1) можно записать

-f = g2 + Ag2,(6.5.4)

at

где

77Z 4- ТП„g2--/-^pr23(6.5.5)

Г23

ускорение, которое получает КА при движении в центральном поле тела тп,2,

(6-5.6)

\ Г2 Г3 '

возмущающее ускорение, которое получает КА из-за наличия тела тп\.

Областью действия, или сферой действия, меньшего тела Ш2 относительно большего тела ш\ называют область пространства, в которой выполняется условие

(6.5.7)(6.5.7)I Ag2 | . | Agt |I ^2 I I ^11

(6.5.7)

(6.5.7)

Заметим, что при введении этого понятия под словом «сфера» сначала имеем в виду не геометрическое место точек, одинаково удаленных от центра, а область преимущественного влияния меньшего тела на движение КА, хотя ниже будет показано, что граница этой области действительно близка к сфере.

Внутри сферы действия меньшее тело рассматривают в качестве центрального, а большее тело как возмущающее. Вне сферы действия за центральное принимают большее тело, а за возмущающее — меньшее. В ряде задач небесной механики оказывается возможным пренебречь в первом приближении влиянием на траекто- 16*

рию КА большего тела внутри сферы действия и меньшего тела вне этой сферы. Тогда внутри сферы действия движение КА будет происходить в центральном поле, создаваемом меньшим телом, а вне сферы действия — в центральном поле, создаваемом большим телом.

Установим теперь границу области (сферы) действия меньшего тела относительно большего. На границе области действия должно выполняться условие

(6-5.8)

или

^2 + ’П3

тз*

г2

'23

Отсюда

т (т 4- тЛ „

Г „9 Гг„

2 \ 2у

т1(т1 + тз) 3

-^-Т =Г23 ^,(6.5.10)

23223

так как

—123 = Г2 — Гз,Г23 = Г32.

Чтобы избавиться от векторов, возведем обе части (6.5.10) в квадрат, а затем упростим полученное соотношение с учетом очевидных равенств

Г2-Г23 = — ^"г^гЗ^О^Ф)

г2 -г3 = г2 -(г2 + г23) = r2 — r2r23 cos ф,

Гз = г2 + Г23 — 2r 2r23 cos Ф,

где ф = ^тхтът?, (см. рис. 6.1). Тогда получим

ту (т + ту12 cos ф

m~ / (/ Гз (+ г4 г2г2

1/\ 1 13/\ '2232 23

— Г4 — '23— Г4 — '231 + АГ2 Г31 + АГ2 Г32(r2-r23COS Ф)Г2Г^'2 32(r2-r23COS Ф)Г2Г^'2 3(6.5.11)(6.5.11)

— Г4 — '23

— Г4 — '23

1 + А

Г2 Г3

1 + А

Г2 Г3

2(r2-r23COS Ф)

Г2Г^'2 3

2(r2-r23COS Ф)

Г2Г^'2 3

(6.5.11)

(6.5.11)

Для сокращения записи обозначим

— = РГ2

— отношение расстояния между КА и меньшим притягивающим телом к расстоянию между меньшим и большим притягивающими телами. Тогда

/ Г \ 2

— ] = 1 + р2 — 2р cos ф.

С учетом этих обозначений уравнение (6.5.11) можно привести к виду

^2 V /^2+^ "Ч) ^1 + ^2^

i2, ,, о,12сО8ф\

(1 + р2 — 2р cos ф)2 1 + -а=

/\РР /

4 Г4 112 (1 - р cos ф) 1

[(1 + р2 — 2р cos ф)2(1 + Р2 — 2р cos ф)3/2 J’

откуда

/ т2 V ^2 +^ __ р8[1+(1+р2—2pcos ф)2—2(1 —р COS ф) V 1 + р2—2р COS ф]

\mi/ \m1+m2/О + р2— 2р cos ф)4 (1 + Р4 — 2р2 cos ф)

(6.5.12)

Соотношение (6.5.12) в неявной форме задает плоскую кривую с помощью нормированного полярного радиуса р и полярного угла ср. Эта кривая образована пересечением плоскости, проходящей через точки иц, гп^ тпз, с границей области действия меньшего притягивающего тела. Таким образом, область действия ограничена в пространстве поверхностью, полученной путем вращения плоской кривой (6.5.12) относительно оси, которая соединяет т\ и m2.

Точное уравнение (6.5.12) можно упростить, если учесть малость отношения ТП2,Ш\ и вытекающую отсюда малость величины р. В результате найдем

I — I = р8 J 2 + 2 (р2 — 2р cos ф) + (р2 — 2р cos ф)2 — 2(1 — р cos ф) X

X р + у(Р2 — 2pcos ф) — у (р2 — 2pcos ф)2 .. .]j[l—4(р2—2pcos ф)+ + 10(р2 — 2pcos ф)2 — ...] [1 — (р4—2р2 cos ф)+ (р4—2р2 cos ф)2—...],

или, сохраняя в скобках только слагаемые до р2 включительно,

/игА 4 Г/о2

/« р8 р + 2р2 — 4р cos ф + 4р2 cos2 ф — (2 — 2р cos Ф) р + у —

— р cos ф — P_£2L_Tjj (1 — 4р2 + 8р cos ф + 40р2 cos2 ф) (1 + 2р2 cos ф),

= р10(1 + 3cos2 ф).

Отсюда

~2/5~2/5

р = ^'-— И ^ - г. Ч==-<6-5-13)

У 1 + 3 cos фУ 1 + 3 cos ф

Соотношение (6.5.13) можно рассматривать как приближенное уравнение границы области действия меньшего небесного тела тп,2 относительно большего тгц (рис. 6.10). Поверхность вращения

мало отличается от сферы. Действительно, отношение максимального радиуса г^ах (при ср = 90°) к минимальному радиусу min / /^о\

г2з (при ф = О ) составляет

max 23.mm23max 23.mm23= ^2^1,15.= ^2^1,15.

max 23

.mm

23

max 23

.mm

23

= ^2^1,15.

= ^2^1,15.

Малая ось направлена по прямой тхт2, а большая ей перпендикулярна.

Дальнейшее упрощение состоит в том, что за область действия принимают часть пространства, ограниченную сферой максимально- вго радиуса г^ах с центром в \точке m2. Тогда вместо

'(6.5.13) имеем приближен-

—j• ную формулу для вычисле-

/mi ния радиуса сферы действия

/меньшего небесного тела от

носительно большего:

Рис. 6.10. Сфера действия меньшего небес- гд ^ г^ах = т^т2'^^ (6.5.14) ного тела mi относительно большего те

ла тхГде fn = тг/тг — относитель

ная масса меньшего тела. Как уже отмечалось, внутри сферы действия радиуса гд можно в первом приближении не учитывать влияния большего небесного тела на траекторию движения КА.

Сфера притяжения. Продолжим обсуждение движения КА массой гпз в гравитационном поле двух небесных тел, массы которых тх и т,2 (m2 < тх). Совокупность точек пространства, в котором меньшее небесное тело m2 притягивает КА сильнее, чем большее тело т\, называют областью притяжения или сферой притяжения меньшего тела относительно большего. Здесь по поводу понятия «сфера» справедливо замечание, сделанное для сферы действия.

(6.5.15)(6.5.15)Граница области притяжения определяется условием

(6.5.15)

(6.5.15)

Igll = Ig2l,

где gi — гравитационное ускорение, сообщаемое КА большим небесным телом, a g2 — гравитационное ускорение, сообщаемое КА меньшим телом. Используя формулы (6.5.2) и (6.5.5), получим для произвольной точки границы области притяжения (рис. 6.10)

mi + m3 _ "^ + 2з

откуда

У

Х + тз, т1 + m3

С учетом исходных предположений тз < m2 < т\ можно принять, предполагая та О,

(6.5.17)

где т = т2,тх. Следовательно, на границе области притяжения отношение расстояний КА до тел m2 и т\ есть величина постоянная. Рассмотрим плоскость, проходящую через центры масс тел т\, ^2, та. Для граничных точек области притяжения будет справедливо соотношение (6.5.17). Однако известно, что геометрическое место точек, отношение расстояний которых до двух заданных точек равно постоянному числу, отличному от единицы, представляет собой окружность, центр которой лежит на продолжении отрезка

Рис. 6.11. Сфера притяжения меньшего небесного тела т® относительно боль-шего тела тп1

т\т2 (рис. 6.11). Поэтому область притяжения меньшего тела относительно большего ограничена сферой, полученной в результате вращения указанной окружности вокруг линии, соединяющей 7П1 и m2.

Определим положение центра и величину радиуса гпр сферы притяжения. Для точек А и В на границе сферы притяжения (см. рис. 6.11) можно записать

(6.5.18)

(6.5.19)(6.5.19)или

(6.5.19)

(6.5.19)

г2-(гпр-ж) г2 + (гпР + ж)

где х = т2О — величина смещения центра сферы притяжения относительно m2. Отсюда радиув сферы притяжения

V т,V т,гпр Тг^_тгпр Тг^_т(6.5.20)(6.5.20)

V т,

V т,

гпр Тг^_т

гпр Тг^_т

(6.5.20)

(6.5.20)

и смещение центра сферы притяжения относительно меньшего небесного тела m2

Внутри сферы притяжения справедливо условие

Ig2l > Igll,

т. е. меньшее тело притягивает КА сильнее, чем большее, а вне сферы притяжения выполняется неравенство

I g2 I < Igll.

Сфера влияния. Наряду с использованием понятий сферы действия и сферы притяжения для приближенных расчетов траекторий движения КА в гравитационном поле двух небесных тел, существуют и другие принципы разделения пространства на области преимущественного воздействия каждого из двух небесных тел. Например, введенное в работе [32] понятие сферы влияния меньшего небесного тела относительно большего основано на использовании интеграла Якоби в круговой ограниченной задаче трех тел. Из условия минимизации ошибки приближенного расчета постоянной интеграла Якоби получена формула для вычисления радиуса сферы влияния

гВЛ= ^Л^г2^т.(6.5.22)

Использование в приближенных расчетах сферы влияния вместо сферы действия должно привести в среднем к уменьшению ошибки расчета постоянной интеграла Якоби и, как следствие, уменьшению ошибок расчета других параметров орбиты КА.

Радиусы сфер действия, притяжения и влияния для некоторых пар небесных тел приведены в гл. 7.

ГЛАВА 7

ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ

Исследование космического пространства, начатое 4 октября 1957 года запуском в Советском Союзе первого искусственного спутника Земли, в последующие 25 лет ознаменовалось новыми крупными успехами. Были практически решены важнейшие задачи механики космического полета, в том числе связанные с достижением Луны и планет Солнечной системы. Так, в ночь с 13 на 14 сентября 1959 года советская космическая ракета достигла поверхности Луны. Впервые летательный аппарат, запущенный с Земли, оказался на поверхности другого небесного тела. В последующих полетах к Луне автоматических аппаратов была сфотографирована ее обратная сторона, получена панорама лунной поверхности, проведен анализ лунного грунта и доставлены образцы пород на Землю. Впервые нога человека ступила на поверхность Луны 20 июля 1969 года, когда Армстронг и Олдрин прилетели туда в космическом корабле «Аполлон-11».

Автоматические межпланетные станции и аппараты типа «Марс», «Венера», «Викинг», «Вояджер» и др. позволили получить уникальную информацию о планетах Солнечной системы и их естественных спутниках.

Полеты к Луне и планетам потребовали решения ряда сложных научных и технических проблем. Было необходимо создать не только новые летательные аппараты, но и совершенные методы расчета и управления для столь протяженных траекторий перелета. Большая работа была выполнена пр уточнению теории движения некоторых небесных тел и их гравитационных полей. Наиболее детально задача полета к Луне и планетам исследована в работах [22, 23, 29, 35, 38, 55].

Условия полета к Луне

Луна является естественным спутником Земли, на движение которого оказывают возмущающее воздействие Солнце и планеты. Поэтому с течением времени меняются положение плоскости орбиты Луны и элементы ее орбиты. Барицентр системы Земля — Луна расположен на расстоянии около 4660 км от центра Земли, т. е. ниже земной поверхности. Поэтому для задач механики космического полета в первом приближении можно не учитывать различие

между движением Луны относительно барицентра и наблюдаемым ее движением относительно Земли.

Параметры орбиты Луны [1], [9]. Плоскость орбиты Луны наклонена к плоскости эклиптики (т. е. плоскости гелиоцентрической орбиты барицентра системы Земля — Луна) на угол гл, величина которого меняется в диапазоне 4°59'—5° 19' с периодом 173 сут. Линия узлов лунной орбиты вращается в плоскости эклиптики навстречу движению Луны (по часовой стрелке, если смотреть с северного полюса) с периодом 18,61 года. Поскольку средний угол между плоскостями земного экватора и эклиптики составляет 23°27', то угол между плоскостями земного экватора и лунной орбиты меняется в диапазоне 18°18'—28°36'. Следовательно, компланарный перелет в плоскости орбиты Луны возможен всегда, если широта точки старта, расположенной на поверхности Земли, удовлетворяет условию |фо1 ^ 18°18'. Если широта точки старта находится в диапазоне 18°18'^ 1фо1 ^ 28°36', то компланарный перелет возможен в ограниченные интервалы времени каждые 18,61 года. В случае 1фо1 > 28°36' компланарный перелет в плоскости лунной орбиты невозможен.

Угол наклона плоскости экватора Луны к плоскости ее орбиты меняется от 6°31' до 6°51'. Геоцентрическая орбита Луны близка к круговой, ее средний эксцентриситет е = 0,05490. Среднее расстояние от Земли до Луны 38 4401 ± 1 км, минимальное расстояние 356 400 км, максимальное расстояние 406 700 км. Средняя скорость геоцентрического движения Луны 1,023 км/с.

Звездным, или сидерическим, лунным месяцем называют промежуток времени между двумя последовательными прохождениями Луны через плоскость одного и того же круга широты (большого круга небесной сферы, проходящего через светило и полюсы эклиптики). Сидерический месяц составляет 27 сут 7 ч 43 мин 11,47 с, или 27,321661 средних солнечных суток (длительностью 24 ч). Период обращения Луны вокруг собственной оси равен сидерическому месяцу, поэтому Луна обращена к Земле всегда одной стороной. Вместе с тем имеют место небольшие «покачивания» ^либрация') Луны относительно среднего положения. Различают оптическую (геометрическую) и физическую либрации. Оптическая либрация является зрительным эффектом вследствие относительного перемещения земного наблюдателя и Луны. Эта либрация обусловлена неравномерностью обращения Луны вокруг Земли, несовпадением плоскостей лунной орбиты и ее экватора, а также суточным перемещением земного наблюдателя. Физическая либрация Луны является отклонением ее реального вращения вокруг центра масс от вращения соответствующего сферического тела. Эта либрация связана с близостью формы Луны к трехосному эллипсоиду, наибольшая ось которого ориентирована вдоль среднего направления на Землю. Вследствие притяжения Земли создается пара сил, приложенная к Луне и качающая ее вокруг центра масс на угол поряд-

на 2'. По своей сути физическая либрация Луны аналогична нутации Земли. Благодаря оптической и физической либрациям можно наблюдать до 60 % всей поверхности Луны.

В зависимости от взаимного расположения Земли, Луны и Солнца с земной поверхности можно видеть определенную часть освещенного диска Луны, или различные фазы Луны. Фаза новолуния имеет место, когда Луна находится между Солнцем и Землей, т. е. к Земле обращена темная часть Луны. Когда Земля находится между Солнцем и Луной, имеет место фаза полнолуния, т. е. с Земли виден полный освещенный диск Луны. Синодическим месяцем называют промежуток времени между двумя последовательными новолуниями. Средний синодический месяц составляет 29 сут 12 ч 44 мин 2,78 с, или 29,530588 средних суток. Он может меняться от 29,25 сут до 29,83 сут, т. е. на 13 ч вследствие эллиптичности лунной орбиты.

Поле притяжения Луны. В первом приближении фигуру Луны можно рассматривать как однородный шар радиусом гл = = 1738 км и плотностью рл = 3,343 г/см3. Произведение постоянной притяжения на массу Луны цл = 4902,72 км3/с2. Ускорение силы тяжести на поверхности Луны gn = 1,622 м/с2.

В результате проведенного анализа движения близких искусственных спутников Луны (ИСЛ) было установлено, что в ряде областей Луны поле притяжения имеет значительные локальные отклонения от средней величины, причем эти отклонения существенно превосходят аномалии земного поля притяжения. Локальные отклонения были объяснены наличием масконов (от английского mass concentration), т. е. участков со значительно увеличенной плотностью лунной породы. По некоторым гипотезам, масконы — это большие скопления железо-никелевых пород в форме диска размером 50—200 км с глубиной залегания 25—125 км. При пролете маскона высота орбиты ИСЛ может снижаться на несколько десятков метров, а скорость при этом возрастает.

Установленные аномалии поля притяжения Луны усложняют задачу его математического описания, особенно для расчета низких орбит спутников с высотой порядка нескольких десятков километров, которые возможны из-за отсутствия атмосферы. В работе [2] рассматриваются три основные возможности математического описания гравитационного потенциала Луны:

разложение в ряд по сферическим функциям;

моделирование фигуры Луны конечным числом точечных масс, распределенных на эллипсоиде;

сочетание разложения в ряд с малым числом членов, который описывает регулярную составляющую поля притяжения, с совокупностью некоторого числа масконов для учета локальных возмущений.

Первый способ обладает всеми преимуществами компактного аналитического представления поля притяжения, однако для полу-

чения удовлетворительной аппроксимации поля вблизи масконов необходимо учитывать большое число членов ряда. Это приводит к увеличению затрат машинного времени на расчет траектории ИСЛ. Кроме того, всякое уточнение отдельных деталей поля требует пересмотра всех коэффициентов ряда.

Второй способ позволяет легко корректировать каждую точечную массу по мере накопления измерительной информации. При численном интегрировании уравнений движения такая модель обладает некоторым преимуществом относительно разложения в ряд по сферическим функциям. Недостатком модели является сингулярность потенциала вблизи каждой точечной массы. Кроме того, при создании аналитической теории движения ИСЛ точечное представление потенциала не дает преимуществ, а соответствующее разложение оказывается сложнее общепринятого.

Наиболее эффективным представляется третий способ, который позволяет учесть регулярную составляющую потенциала небольшим числом членов ряда, а возмущающие факторы описать ограниченным числом наиболее крупных масконов, представленных в виде точечных масс.

Сферы действия, притяжения и влияния Луны. Зная соотношение масс Луны и Земли

~ = тл =1

т81,301

и среднее расстояние между ними

гср = 384 400 км,

можно вычислить по формуле (6.5.14) радиус сферы действия Луны гд = 66 180 км.

Далее по формулам (6.5.20), (6.5.21) определим радиус сферы притяжения Луны относительно Земли

гпр = 43 160 км,

а также расстояние между центрами Луны и сферы притяжения х = 4790 км,

которое в 2,75 раз больше радиуса Луны. Центр сферы притяжения находится на продолжении прямой Земля — Луна, т. е. за Луной.

Наконец, по формуле (6.5.22) найдем радиус сферы влияния Луны

гвл = 102 040 км.

Точный расчет траектории полета к Луне. Будем рассматривать траектории, которые совершают не более одного оборота относительно Земли в невращающейся геоцентрической системе коор-

динат. Вдоль такой траектории основными силами, действующими на КА, являются силы притяжения Земли и Луны как материальных точек. Второстепенными факторами оказываются притяжение Солнца, нецентральность гравитационного поля Земли и притяжение планет. Если пренебречь притяжением планет, то получающаяся при этом ошибка не превышает 1 км по координатам и 1 с по времени для траектории протяженностью порядка расстояния Земля — Луна [23].

Будем моделировать фигуру Земли эллипсоидом вращения. С помощью формул (1.3.20), (1.3.22), (1.3.25) можно записать^ учитывая только вторую зональную гармонику, коэффициент которой на три порядка превосходит остальные коэффициенты разложения,

lu Г 1 /ВЛ2 1

(1 — 3sin2cp)]. (7.1.1)

Здесь цз — произведение постоянной притяжения на массу Земли (гравитационный параметр Земли),

у 2С-(А + В)

2 2М7?2

— коэффициент второй зональной гармоники, А, В, С, М—осевые моменты инерции и масса Земли, Вэ — экваториальный радиус Земли, г — геоцентрический радиус КА.

Масса Луны на два порядка меньше массы Земли и соответствующий коэффициент второй зональной гармоники Луны почти на два порядка меньше. Поэтому можно пренебречь влиянием нецен- тральности поля притяжения Луны на траекторию КА и описывать потенциал поля притяжения Луны формулой

(7.1.2)

Здесь цл — произведение постоянной притяжения на массу Луны (гравитационный параметр Луны), р — селеноцентрический радиус КА.

Для времен полета КА до 10 сут и приведенных ранее точностей можно при расчете геоцентрического движения Луны пренебречь влиянием несферичности Земли, возмущениями от планет, силами светового давления и электромагнитными силами. Однако следует учитывать возмущение геоцентрического движения Луны Солнцем.

Введем инерциальную прямоугольную систему координат O3xyz с началом в центре масс Земли, осью О3х, направленной в точку весеннего равноденствия Т, осью O3z, направленной по оси вращения Земли, и осью О3у, дополняющей систему координат до правой (рис. 7.1). По аналогии с (6.1.20) запишем векторное уравнение

пассивного движения КА в этой системе координат:

/гdt2/гdt2= grad U3 + рл= grad U3 + рлгл-г|гл-г|3гл-г|гл-г|3гл \г3 / л/гл \г3 / л/+ Рс+ Рсгс-гrc-r|3гс-гrc-r|3т\ (7Л-3)гс /т\ (7Л-3)гс /

/г

dt2

/г

dt2

= grad U3 + рл

= grad U3 + рл

гл-г

|гл-г|3

гл-г

|гл-г|3

гл \

г3 / л/

гл \

г3 / л/

+ Рс

+ Рс

гс-г

rc-r|3

гс-г

rc-r|3

т\ (7Л-3)

гс /

т\ (7Л-3)

гс /

Здесь рл, рс — гравитационные параметры Луны и Солнца; г, гл, Гс — радиусы-векторы КА, Луны и Солнца. Геоцентрические координаты Луны и Солнца можно определить с помощью Астрономического ежегодника или численным интегрированием уравнений

Рис. 7.1. Геоцентрическая, селеноцентрическая и барицентрическая системы координатРис. 7.1. Геоцентрическая, селеноцентрическая и барицентрическая системы координатзадачи трех координатзадачи трех координаттел (Земля, Луна, Солнце) в геоцентрическойтел (Земля, Луна, Солнце) в геоцентрическойсистемесистемеd2rTd2rTИз + Ил—"5— гл + Рс глИз + Ил—"5— гл + Рс глсс,3,3с.3 сс.3 с(7.1.4)(7.1.4)d2^d2^рс + Рз~гс + рлрс + Рз~гс + рлс>3с>3глг3 глглг3 гл(7.1.5)(7.1.5)

Рис. 7.1. Геоцентрическая, селеноцентрическая и барицентрическая системы координат

Рис. 7.1. Геоцентрическая, селеноцентрическая и барицентрическая системы координат

задачи трех координат

задачи трех координат

тел (Земля, Луна, Солнце) в геоцентрической

тел (Земля, Луна, Солнце) в геоцентрической

системе

системе

d2rT

d2rT

Из + Ил

—"5— гл + Рс гл

Из + Ил

—"5— гл + Рс гл

с

с

,3

,3

с

.3 с

с

.3 с

(7.1.4)

(7.1.4)

d2^

d2^

рс + Рз

~гс + рл

рс + Рз

~гс + рл

с

>3

с

>3

гл

г3 гл

гл

г3 гл

(7.1.5)

(7.1.5)

Подобно (7.1.3) запишем векторное уравнение пассивного движения КА в селеноцентрической системе координат Ол^лУл^л, оси которой параллельны осям O3xyz (рис. 7.1):

^2Р _.. ^гл-з" Р + Из Ьг^2Р _.. ^гл-з" Р + Из Ьгд + Исд + Ис/ гс~гI |гс —ГГ/ гс~гI |гс —ГГ(7.1.6)(7.1.6)

^2Р _.. ^гл

-з" Р + Из Ьг

^2Р _.. ^гл

-з" Р + Из Ьг

д + Ис

д + Ис

/ гс~г

I |гс —ГГ

/ гс~г

I |гс —ГГ

(7.1.6)

(7.1.6)

Здесь р — селеноцентрический радиус-вектор КА. Геоцентрические и селеноцентрические радиусы-векторы связаны соотношениями

р = г — гл,р = г — гл,dp dr^Гдdtdt dt *dp dr^Гдdtdt dt *(7.1.7)(7.1.7)

р = г — гл,

р = г — гл,

dp dr^Гд

dtdt dt *

dp dr^Гд

dtdt dt *

(7.1.7)

(7.1.7)

Если рассматривается активный участок полета, т. е. участок разгона или торможения с помощью ракетного двигателя, то в правые части уравнений (7.1.3) и (7.1.6) следует добавить ускорение от тяги двигателя Р/ш, где Р — вектор тяги, тп— масса КА. Обыч-

но активные участки расположены в начале и в конце траектории перелета, т. е. вблизи Земли и Луны. При расчете движения на активном участке вблизи Земли можно пренебречь возмущающим воздействием Луны и Солнца, а при расчете активного участка вблизи Луны — возмущающим воздействием Земли и Солнца.

Уравнения (7.1.3) и (7.1.6), описывающие соответственно геоцентрические и селеноцентрические пассивные траектории, преобразуются в уравнения ограниченной круговой задачи трех тел, если пренебречь нецентральностью поля Земли и возмущениями от Солнца, а орбиту Луны принять круговой. Соответствующие уравнения имеют вид

ииАdt2Аdt2Рз„ , гл-г Г Г + ^Л туг \ I гл - г IРз„ , гл-г Г Г + ^Л туг \ I гл - г Iлл.3.3(7.1.8)(7.1.8)d2p _dt2d2p _dt2^л ./ rJ-з" р + Из Ну^л ./ rJ-з" р + Из Ну.3.3(7.1.9)(7.1.9)

и

и

А

dt2

А

dt2

Рз„ , гл-г Г Г + ^Л ту

г \ I гл - г I

Рз„ , гл-г Г Г + ^Л ту

г \ I гл - г I

л

л

.3

.3

(7.1.8)

(7.1.8)

d2p _dt2

d2p _dt2

^л ./ rJ

-з" р + Из Ну

^л ./ rJ

-з" р + Из Ну

.3

.3

(7.1.9)

(7.1.9)

В некоторых случаях движение КА удобно рассматривать во вращающейся барицентрической системе координат Об£т|£, начало- которой совпадает с барицентром системы Земля — Луна, ось Об^ направлена к центру масс Земли, ось Обт| противоположна вектору орбитальной скорости Луны, а ось Об£ дополняет систему координат до правой (рис. 7.1). По аналогии с (6.2.9) можно записать уравнения ограниченной круговой задачи трех тел для Земли, Луны и КА:

dt2 2 dt + d| ’ dt2 2 dt + dr) ’ d£ d£ ’ V где

— интеграл Якоби; г, р—расстояние КА соответственно от Земли и от Луны. В качестве единицы длины принято среднее расстоянии между Землей и Луной гср ~ 384 400 км. За единицу времени принята величина Тл/2л, где Тл = 27,321661 сут — сидерический месяц. Напомним, что в этих единицах измерения с учетом третьего закона Кеплера имеем

Рз + цл = 1. (7.1.12)

Полученные уравнения движения можно интегрировать численно при заданных начальных условиях. Для активного участка шаг интегрирования составляет 1 — 2 с, а на пассивном участке не должен превышать 60 с, если требуемая точность вычисления координат равна 10 см [23].

Приближенный расчет траектории полета к Луне. В ряде случаев оказывается допустимым существенное упрощение задачи вычисления траектории полета к Луне. Это упрощение связано с

траектории. Натраектории. НаРис. 7.2. Навесная (7) и настильная (2) траектории полета к ЛунеРис. 7.2. Навесная (7) и настильная (2) траектории полета к Лунествия Лупы,ствия Лупы,

траектории. На

траектории. На

Рис. 7.2. Навесная (7) и настильная (2) траектории полета к Луне

Рис. 7.2. Навесная (7) и настильная (2) траектории полета к Луне

ствия Лупы,

ствия Лупы,

заменой истинной траектории коническим сечением, геоцентрическим вне сферы действия (или сферы влияния) Луны и селеноцентрическим внутри сферы действия (влияния) Луны. Тем самым пренебрегают возмущениями от нецентральности поля притяжения Земли, а также пренебрегают возмущениями от Луны и Солнца на участке полета вне сферы действия Луны. Внутри сферы действия Луны пренебрегают возмущениями от Земли и Солнца. Как показано в работе [22], такой подход допустим при расчете траекторий, сближения, которые начинаются у Земли и на первом же витке геоцентрического движения входят в сферу действия Луны с существенно гиперболической селеноцентрической скоростью. Метод решения, связанный с представлением траектории перелета в виде соединенных на границе сферы действия Луны гео- и селеноцентрических конических сечений, когда учитывают только основные гравитационные ускорения на каждом участке и пренебрегают всякими возмущениями, принято называть методом игнорирования возмущений [23, 29].

На геоцентрическом участке по заданным начальным радиусу- вектору го и вектору скорости Vo можно полностью определить все элементы орбиты, а затем параметры движения КА в любой точке входе в сферу действия Луны пересчитывают радиус-вектор и вектор скорости КА из геоцентрической в селеноцентрическую систему координат по формулам (7.1.7).

В соответствии со знаком радиальной составляющей геоцентрической скорости КгЦ на входе в сферу действия Луны различают навесную эллиптическую траекторию со входом на нисходящей ветви (ГгЦ,<0) и настильную эллиптическую траекторию со входом на восходящей ветви (КгЦ>>0). Обе траектории показаны па рис. 7.2. Для гиперболической и параболической геоцентрических траекторий вход в сферу действия Луны возможен только на восходящей ветви.

Внутри сферы действия Луны орбита также определяется заданными начальными условиями в точке входа. Если КА покидает сферу дей- то в точке выхода следует выполнить об- от селеноцентрического к геоцентрическому движе

нию. Геоцентрические параметры в точке выхода будут полностью определять траекторию вне сферы действия Луны. Эта геоцентрическая траектория в общем случае может быть эллиптической, гиперболической или параболической.

Дальнейшее упрощение связано с пренебрежением не только возмущениями, но и размерами сферы действия Луны по сравнению с расстоянием Земля — Луна. Такой подход называют методом то-

чечной сферы действия. Суть его состоит в том, что рассматривают только два геоцентрических конических сечения, которые моделируют траекторию пролета мимо Луны, имеющую излом в точке соединения (точке «встречи» с Луной). Излом обусловлен тем, что по предположению в указанной точке происходит мгновенное изменение входного в сферу действия Луны вектора геоцентрической скорости на выходной из сферы действия Луны вектор геоцентрической скорости.

Метод точечной сферы действия существенно облегчает исследование множества траекторий, так как рассматриваются только векторы скорости в точках входа в сферу действия Луны и выхода из нее. При этом пренебрегают различием радиусов-векторов этих точек, т. е. совмещают их. Сведение задачи к анализу многообразия скоростей позволяет довольно просто построить векторы скорости в некоторых интересных случаях, а затем использовать их, например, для выбора минимальных потребных скоростей и др.

Метод точечной сферы действия удобен для приближенного расчета траекторий сближения КА с Луной, которые начинаются и кончаются вблизи Земли (облетные траектории). Он удобен также для расчета межпланетных траекторий, проходящих вблизи Луны с целью использования ее гравитационного поля для изменения вектора скорости КА (так называемый пертурбационный маневр).

Полет в плоскости орбиты Луны

При рассмотрении плоской задачи перелета предполагается, что траектория КА совпадает с плоскостью геоцентрической орбиты Луны. Это упрощает анализ и позволяет выявить некоторые качественные особенности траектории, которые потом удается распространить и на пространственный перелет.

Задача попадания в Луну. Оценим минимальную скорость, которую следует сообщить КА на круговой орбите ИСЗ высотой 200 км, чтобы он достигнул Луны. Рассмотрим сначала возможность использования в этих целях точки либрации L\, расположенной на расстоянии ~58 ООО км от центра масс Луны по отрезку прямой, который соединяет центры масс Луны и Земли. Для достижения точки L\ КА должен иметь во вращающейся барицентрической системе координат начальную скорость F(1) = 10,849 км/с, величина которой определяется с помощью интеграла Якоби. Возникает вопрос: можно ли сообщить КА скорость чуть больше F(1), чтобы он достиг на восходящей ветви траектории точки либрации Li, пролетел с малой скоростью окрестность этой точки, а затем долетел до Луны? Численное интегрирование траекторий движения в рамках задачи трех тел показало, что в случае, когда вектор скорости V(1) направлен по касательной к круговой орбите ИСЗ (т. е. геоцентрическая скорость максимальна), КА на первом витке возвращается к Земле, не долетев до точки либрации Lx около

30 000 км. За пять витков апогейное расстояние почти не увеличивается. Было установлено также, что при любом другом направлении вектора начальной скорости V(l) траектория не достигает на первом витке точки либрации Lx [22]. Таким образом, с начальной барицентрической скоростью У(|) КА на первом витке не долетает до точки либрации Lx. Следовательно, эта скорость мала для достижения на первом витке Луны с пролетом в окрестности точки либрации Lx. Даже при увеличенной начальной скорости, обеспечивающей достижение апогея на уровне точки либрации Lx, КА не будет иметь в окрестности этой точки малой скорости относительно

Рис. 7.3. Траектория попадания в Луну без учета ее притяжения

вращающейся барицентрической системы координат. Последнее объясняется большой разностью геоцентрических секториальных скоростей КА в апогее траектории и самой точки либрации LXl расположенной на отрезке прямой Земля — Луна.

Численные расчеты позволили установить, что в невращающей- ся геоцентрической системе координат траектория перелета Земля — Луна очень близка к эллипсу с фокусом в центре Земли. Отсюда следует возможность вычисления приближенной величины минимальной начальной скорости, обеспечивающей достижение Луны, полностью пренебрегая притяжением Луны.

Введем новую невращающуюся геоцентрическую систему координат О^ху. Ось О^х направлена по продолжению прямой Луна — Земля в начальный момент времени, ось О3у — против вектора орбитальной скорости Луны в начальный момент времени (рис. 7.3). Пусть задан радиус-вектор ri начального положения КА и начальный угол наклона траектории к местному горизонту 6ь Тогда минимальная начальная скорость Vx будет определяться из условия

равенства апогея га траектории перелета величине расстояния до Луны гл. Воспользовавшись формулой (3.1.24), которая позволяет вычислить высоту апоцентра при заданных начальных условиях, и учитывая равенство га = гл, получим

rxv cos2ei

ОтсюдаОтсюда1 — У" 1 — (2 — vj vx cos201 гдег У2=(7.2.2)1 — У" 1 — (2 — vj vx cos201 гдег У2=(7.2.2)

Отсюда

Отсюда

1 — У" 1 — (2 — vj vx cos201 где

г У2

=(7.2.2)

1 — У" 1 — (2 — vj vx cos201 где

г У2

=(7.2.2)

Величина Vi зависит от начального угла наклона траектории 6ь При 61 = л/2 (вертикальный старт) скорость оказывается наименьшей Fi = 10,9200 км/с, а при 61 = 0° (горизонтальный старт)— наибольшей Fi = 10,9216 км/с. Правда, разница между наибольшей и наименьшей величинами скорости составляет всего 1,6 м/с. Полученная величина минимальной скорости из условия достижения «непритягивающей» Луны в апогее траектории на ~70 м/с превышает величину скорости, которая необходима для полета к точке либрации L\ с учетом притяжения Земли и Луны.

Хотя использованная модель достаточно груба (не учитывается притяжение Луны), найденная оценка минимальной начальной скорости практически не отличается от установленной численным интегрированием величины минимальной начальной скорости для попадания в центр Луны. Это еще раз подтверждает, что начальные условия для траектории попадания действительно можно вычислять, полностью пренебрегая влиянием Луны.

Заметим, что начальные скорости для достижения Луны близки к параболической скорости Fnap (^1) = У2ц3/г1. Поэтому часто вместо начальной скорости Vi рассматривают разницу между этой скоростью и местной параболической скоростью: ДП = Fi — Fnap(^i). Тогда условие ДП< 0 означает, что траектория перелета является эллиптической, в случае AV = 0— параболической, а при ДП>0 — гиперболической.

Определение траектории достижения Луны в первом приближении включает следующую последовательность расчетов. Задавшись начальным углом наклона траектории 01, можно по формуле (7.2.3) вычислить начальную скорость Уь Затем по формуле (3.1.25) определяется угловая дальность траектории перелета при сближении 17*

с Луной на восходящей ветви

_v tg 0

ф - arCt^ (°< Ф <(7-24>

и истинная аномалия начальной точки траектории перелета

Ф1=л_ф.(7.2.5)

Зная '0’1, вычислим из соотношения (2.5.6) эксцентрическую аномалию начальной точки Е\. Поскольку встреча с Луной происходит в апогее траектории перелета, истинная аномалия точки встречи Фг = л и эксцентрическая аномалия Е^ = л.

С помощью соотношений (3.1.22), (3.1.23) вычислим параметр

p = rivicos26i(7.2.6)

и эксцентриситет

е = У1 — (2 — vi)vi cos2 61,(7.2.7)

а затем большую полуось

а = т-Ч(7.2.8)

1 — етраектории перелета. Время перелета определяется по формуле(2.5.8) с учетом Е^ = л:

„ 3/2

Af = f2 — tx = ■ г_- (л — Ex + е sin ЕЛ.(7.2.9)

V

Теперь можно найти угловое движение Луны по орбите за время перелета КА

фл = юлА^,(7.2.10)

где ол — средняя угловая скорость орбитального движения Луны, а также угол X между осью О3х и начальным радиусом-вектором Г1 (рис. 7.3)

Х = фл + -О1.(7.2.11)

Тем самым завершается построение геометрии траектории перелета. Заметим, что угол срл по существу определяет положение упрежденной точки встречи.

На рис. 7.4 показано время достижения орбиты Луны на восходящей ветви траектории в зависимости от разницы между начальной и местной параболической скоростью АУ. При АУ>0 величина начального угла наклона траектории 61 несущественно влияет на время перелета. Высота начальной орбиты также слабо сказывается на времени перелета. Например, в случае изменения высоты начальной орбиты от 200 км до 1000 км время перелета уменьшается только на 7 мин.

Если определение начальных параметров траектории попадания в Луну можно осуществлять, не учитывая ее притяжепия, то

при анализе допустимых ошибок начальных параметров необходимо учитывать притяжение. Оценка влияния реального разброса начальных параметров на траекторию перелета показала, что задача

Рис. 7.4. Время полета до орбиты Луны при сближении на восходящей ветви траектории

попадания в Луну может быть решена без дополнительной коррекции траектории [22].

Облет Луны с пологим возвращением в атмосферу Земли. Предварительно обсудим общую задачу облета Луны в плоскости ее орбиты с возвращением к Земле. Для упрощения классификации будем рассматривать в качестве номинальных траекторий возвращения, проходящие через центр Земли. Поэтому после выхода из сферы действия Луны постоянная интеграла площадей в геоцентрическом движении должна равняться нулю.

Для анализа возможных траекторий облета Луны воспользуемся планом скоростей [22]. Пусть У2 — вектор геоцентрической скорости КА на входе в сферу действия Луны и аг — угол вектора У г с прямой Земля — Луна (аг > 0 при положительной начальной геоцентрической секториальной скорости, как показано на рис. 7.5). Тогда можно перейти к селеноцентрической скорости в точке входа У2 = У2 — Ул (штрихом условимся обозначать ниже селеноцентрические параметры движения). В соответствии с селеноцентрическим интегралом энергии, на выходе из сферы действия Луны величина скорости останется неизменной. Отсюда видно, что геометрическое место концов векторов селеноцентрических скоростей выхода есть окружность радиуса | У2| с центром в точке О'.

Будем пренебрегать малым углом между геоцентрическим радиусом-вектором в точке выхода из сферы действия Луны и направлением Земля — Луна, что упрощает рассмотрение задачи, но вместе с тем не нарушает ее физической сущности. Тогда возможны две

Рис. 7.5. Векторный план скоростей для траектории облета Луны с возвращением к центру Земли (при положительной начальной секто- риальной скорости)Рис. 7.5. Векторный план скоростей для траектории облета Луны с возвращением к центру Земли (при положительной начальной секто- риальной скорости)

Рис. 7.5. Векторный план скоростей для траектории облета Луны с возвращением к центру Земли (при положительной начальной секто- риальной скорости)

Рис. 7.5. Векторный план скоростей для траектории облета Луны с возвращением к центру Земли (при положительной начальной секто- риальной скорости)

траектории, проходящие через центр Земли, векторы геоцентрической скорости которых на выходе из сферы действия Луны направлены параллельно линии ОдОз, т. е. к центру Земли. Одна из них отвечает восходящей ветви геоцентрической траектории после выхода из сферы действия Луны и имеет геоцентрическую скорость в

точке выхода У3в, а другая — нисходящей ветви и имеет скорость У3н. Заметим, что восходящая траектория с возвращением к Земле возможна только в том случае, когда У3в < <УпаР(^з), т. е. геоцентрическая скорость в точке выхода меньше местной параболической скорости. Построенные на рис. 7.5 углы ав и ан определяют соответствующие повороты векторов выходной селеноцентрической скорости Узв и Узн относительно входной селеноцентрической скорости У2. Видно, что ав<0 и ан<0, т. е. облет Луны совершается по ча

совой стрелке с пересечением продолжения прямой Земля — Луна за невидимой стороной Луны. Обозначим полученные траектории

облета Св и Си. Здесь верхний индекс «в» характеризует восходящую ветвь геоцентрической траектории при входе в сферу действия Луны, а нижний индекс «в» или «н» — соответственно восходящую или нисходящую ветвь геоцентрической траектории после выхода из сферы действия Луны. Поскольку |ан1 » |ав|, траектория Сн |

имеет существенно меньшую величину переселения, чем траектория Св- Обе траектории показаны на рис. 7.6 в геоцентрической инер- циальпой системе координат О3ху и во вращающейся системе координат О^ц, начало которой совпадает с серединой отрезка прямой Земля — Луна, ось Og направлена к Земле, а ось Оц — против орбитальной скорости Луны. Точка Л2 на рис. 7.6 и последующих аналогичных рисунках определяет положение Луны в инерциальной системе координат в момент наибольшего сближения с ней КА.

Если начальная геоцентрическая секториальная скорость отрицательна (рис. 7.7), угол <zH<0, как и прежде, т. е. а2<0. Следовательно, облет Луны происходит по часовой стрелке, причем реализуется траектория типа Сн (рис. 7.8, а). Из плана скоростей, построенного на рис. 7.7, видно, что второй угол поворота вектора

скорости за время полета в сфере действия Луны ав > О, и движение вблизи Луны происходит против часовой стрелки. При этом траектория КА пересекает линию Земля — Луна со стороны видимо! части Луны, т. е. облет по существу не реализуется. Такие

Рис. 7.6. Схемы областных траекторий с возвращением к центру Земли при положительной начальной секториальной скорости: а — вход в сферу действия Луны на восходящей ветви, выход на нисходящей; б — вход в сферу действия Луны на восходящей ветви, выход на восходящей

траектории можно называть долетными: они входят в сферу действия Луны, но не пересекают продолжения прямой Земля — Луна за невидимой стороной Луны. Класс долетных траекторий обозначим буквой D. В рассматриваемом случае долетная траектория входит в сферу действия Луны на восходящей ветви и выходит из нее также на восходящей ветви. Это — траектория класса D^ (рис. 7.8, б).

Рассмотрим теперь сближение с Луной на нисходящей ветви геоцентрической траектории. Планы скоростей для таких траекторий можно получить путем симметричного отображения относительно вертикальной прямой ОЛО' рис 7.5 и 7.7. В случае положительной начальной секториальной скорости возможны долетные траектории классов D™ и D” (рис. 7.9). При отрицательной начальной секториальной скорости возможна долетная траектория класса Dy и облетная траектория класса Сн (рис. 7.10).

Заметим, что при близком пролете Луны ветви геоцентрической траектории на входе в сферу ее действия и на выходе из сферы Действия оказываются противоположными. Это — траектории класса сн, когда вход происходит на восходящей ветви, а после выхода Реализуется нисходящая ветвь, и класса D когда вход происходит на нисходящей ветви, а после выхода реализуется восходящая ветвь. При далеком пролете Луны ветви геоцентрической траекто-

рии до входа в сферу ее действия и после выхода из сферы действия не меняются. Это — траектории классов Св, Сн, ^в, ^н- Полу- лученная система номинальных облетных и долетных траекторий при движении в плоскости Луны является полной [22].

Численное моделирование в рамках ограниченной задачи трех

тел с учетом размеров Земли и Лунытел с учетом размеров Земли и ЛуныРис. 7.7. Векторный план скоростей для траектории облета Луны с возвращением к центру Земли (при отрицательной начальной секто- риальной скорости)Рис. 7.7. Векторный план скоростей для траектории облета Луны с возвращением к центру Земли (при отрицательной начальной секто- риальной скорости)подтвердило существование всех классов траекторий, установленных с помощью метода точечных сфер действия. При достаточно больших начальных скоростях существуют только самые «быстрые» траектории класса Сн с временем полета 5—10 суток. По мере уменьшения начальной скорости до параболической появляются траектории класса Св в случае положительной начальной секториальной скорости. Когда начальная скорость становится меньше параболической, оказываются возможными траектории классов Он и Db (при положительной начальной секториаль

тел с учетом размеров Земли и Луны

тел с учетом размеров Земли и Луны

Рис. 7.7. Векторный план скоростей для траектории облета Луны с возвращением к центру Земли (при отрицательной начальной секто- риальной скорости)

Рис. 7.7. Векторный план скоростей для траектории облета Луны с возвращением к центру Земли (при отрицательной начальной секто- риальной скорости)

ной скорости) и траектории класса Сн (при отрицательной начальной секториальной скорости). Последними появляются траектории классов Ов и ив при отрицательной начальной секториаль

ной скорости. Заметим, что траектории класса D^ с временем полета 15—20 суток являются самыми «медленными».

По мере дальнейшего убывания начальной скорости происходит попарное сближение, затем слияние и исчезновение траекторий классов Сн и Св, DB и Он (при положительной начальной секториальной скорости), Сн и Сн (при отрицательной начальной секториальной скорости). Последними исчезают траектории классов Db и О™ при отрицательной начальной секториальной скорости.

Численный анализ чувствительности облетных и долетных траекторий к ошибкам начальных параметров движения показал, что влияние начальных ошибок тем больше, чем ближе проходит траектория к поверхности Луны. С увеличением наименьшего расстояния траектории от поверхности Луны требования по точности быстро

снижаются.

Чтобы обеспечить пологий вход в атмосферу Земли, геоцентрическая траектория после выхода из сферы действия Луны должна иметь радиус перигея гп, практически равный высоте условной границы атмосферы гат.

В этом случае можно также воспользоваться планом скоростей, чтобы найти все классы реализуемых траекторий. Оказалось, что

Рис. 7.8. Схемы облетной и долетной траекторий с возвращением к центру Земли при отрицательной начальной секториальной скорости: а — вход в сферу действия Луны на восходящей ветви, выход на нисходящей; б — вход в сферу действия Луны на восходящей ветви, выход на восходящейРис. 7.8. Схемы облетной и долетной траекторий с возвращением к центру Земли при отрицательной начальной секториальной скорости: а — вход в сферу действия Луны на восходящей ветви, выход на нисходящей; б — вход в сферу действия Луны на восходящей ветви, выход на восходящей

Рис. 7.8. Схемы облетной и долетной траекторий с возвращением к центру Земли при отрицательной начальной секториальной скорости: а — вход в сферу действия Луны на восходящей ветви, выход на нисходящей; б — вход в сферу действия Луны на восходящей ветви, выход на восходящей

Рис. 7.8. Схемы облетной и долетной траекторий с возвращением к центру Земли при отрицательной начальной секториальной скорости: а — вход в сферу действия Луны на восходящей ветви, выход на нисходящей; б — вход в сферу действия Луны на восходящей ветви, выход на восходящей

Рис. 7.9. Схемы долетных траекторий с возвращением к центру Земли при положительной начальной секториальной скорости: а — вход в сферу действия Луны на нисходящей ветви, выход на восходящей; б — вход в сферу действия Луны на нисходящей ветви, выход на нисходящей

в рамках одного класса облетных (или долетных) траекторий вход в атмосферу Земли может происходить по направлению ее вращения (положительная конечная секториальная скорость) или против вращения (отрицательная конечная секториальная скорость).

При положительной конечной секториальной скорости возможны облетные траектории классов С*н и С^, а также долетные траектории классов DB и DB, все с пологим входом в атмосферу Земли. При отрицательной конечной секториальной скорости возможны

Рис. 7.10. Схемы долетной и облетной траекторий с возвращением к центру Земли при отрицательной начальной секториальной скорости: а — вход в сферу действия Луны на нисходящей ветви, выход на восходящей; б — вход в сферу действия Луны на нисходящей ветви, выход на нисходящейРис. 7.10. Схемы долетной и облетной траекторий с возвращением к центру Земли при отрицательной начальной секториальной скорости: а — вход в сферу действия Луны на нисходящей ветви, выход на восходящей; б — вход в сферу действия Луны на нисходящей ветви, выход на нисходящейРис. 7.11. Схемы облетных траекторий с пологим входом в атмосферу Земли при положительной конечной секториальной скорости: а — вход в сферу действия Луны на восходящей ветви, выход на нисходящей; б — вход в сферу действия Луны на нисходящей ветви, выход на нисходящейРис. 7.11. Схемы облетных траекторий с пологим входом в атмосферу Земли при положительной конечной секториальной скорости: а — вход в сферу действия Луны на восходящей ветви, выход на нисходящей; б — вход в сферу действия Луны на нисходящей ветви, выход на нисходящей

Рис. 7.10. Схемы долетной и облетной траекторий с возвращением к центру Земли при отрицательной начальной секториальной скорости: а — вход в сферу действия Луны на нисходящей ветви, выход на восходящей; б — вход в сферу действия Луны на нисходящей ветви, выход на нисходящей

Рис. 7.10. Схемы долетной и облетной траекторий с возвращением к центру Земли при отрицательной начальной секториальной скорости: а — вход в сферу действия Луны на нисходящей ветви, выход на восходящей; б — вход в сферу действия Луны на нисходящей ветви, выход на нисходящей

Рис. 7.11. Схемы облетных траекторий с пологим входом в атмосферу Земли при положительной конечной секториальной скорости: а — вход в сферу действия Луны на восходящей ветви, выход на нисходящей; б — вход в сферу действия Луны на нисходящей ветви, выход на нисходящей

Рис. 7.11. Схемы облетных траекторий с пологим входом в атмосферу Земли при положительной конечной секториальной скорости: а — вход в сферу действия Луны на восходящей ветви, выход на нисходящей; б — вход в сферу действия Луны на нисходящей ветви, выход на нисходящей

облетные траектории классов СХ и Сн, а также долетные траектории классов D® и D”- На рис. 7.11 в качестве примеров построены траектории классов Сн и С“ с нулевой начальной и положительной конечной секториальной скоростью, а на рис. 7.12 — траектории

классов С® и Сн также с нулевой начальной, но с отрицательной конечной секториальной скоростью.

Разгон (торможение) с использованием поля притяжения Луны. При близком облете Луны можно за счет пертурбационного (возмущающего) эффекта изменить параметры геоцентрической траектории КА.

Обсудим подробнее схему гравитационного маневра в поле притяжения Луны, имея в виду, что такой маневр вблизи любой планеты качественно ничем не отличается от рассматриваемого.

Селеноцентрическая скорость при входе в сферу действия Луны

V2oo=V2- VЛ2 (7.2.12)

является по существу гиперболическим избытком скорости, поскольку любая траектория при перелете КА от Земли к Луне оказывается в сфере действия Луны гиперболической. Здесь V2 — геоцентрическая скорость КА в точке входа, УЛ2 — орбитальная скорость Луны в этот момент времени. Вектор У2оо направлен почти по входной

Рис. 7.12. Схемы облетных траекторий с пологим входом в атмосферу Земли при отрицательной конечной секториальной скорости: а — вход в сферу действия Луны на восходящей ветви, выход на восходящей; б — вход в сферу действия Луны на восходящей ветви, выход на нисходящей

асимптоте гиперболической траектории (рис. 7.13). После пролета вблизи Луны КА на выходе из сферы действия будет иметь селеноцентрическую скорость Рзоо, направление которой почти совпадает с выходной асимптотой гиперболической траектории, причем Уз» = =■ 1^ = У». Полный угол поворота вектора скорости за время движения КА в сфере действия Луны вычислим с использованием формулы (2.4.34)

$□ о ли = 2 arcsi п——,17.2.13^

Г 72'

Рис 7 13 Схема гравитационною маневра при облете Луны: 1 — граница сферы действия, 2 — точка входа; 3 — точка выходаРис 7 13 Схема гравитационною маневра при облете Луны: 1 — граница сферы действия, 2 — точка входа; 3 — точка выходаАПОЛИА Г Г ^ ' ОО SIH „АПОЛИА Г Г ^ ' ОО SIH „г У2Пг ООИдг У2Пг ООИд(7.2.16)(7.2.16)

Рис 7 13 Схема гравитационною маневра при облете Луны: 1 — граница сферы действия, 2 — точка входа; 3 — точка выхода

Рис 7 13 Схема гравитационною маневра при облете Луны: 1 — граница сферы действия, 2 — точка входа; 3 — точка выхода

АПОЛИ

А Г Г ^ ' ОО SIH „

АПОЛИ

А Г Г ^ ' ОО SIH „

г У2

Пг ОО

Ид

г У2

Пг ОО

Ид

(7.2.16)

(7.2.16)

где гп — радиус периселения, цл — произведение постоянной притяжения на массу Луны.

Геоцентрическая скорость КА на выходе из сферы действия Луны вычисляется по формуле

(7.2.14)(7.2.14)Уз=Улз + Уз.

(7.2.14)

(7.2.14)

Здесь Улз — скорость Луны в момент выхода КА из ее сферы действия. С помощью соотношений (7.2.12) и (7.2.14) можно найти приращение геоцентрической скорости, которое получает КА за счет

гравитационного разгона в поле притяжения Луны

АУ = Уз - У2, или

АУ = Уз~ - У2оо +

+ Улз-Ул2. (7.2.15)

Предварительно рао- смотрим модельную задачу, предполагая, что можно обеспечить любой требуемый вектор У2оо на входе в сферу действия Луны, направление которого позволяет получить нужную величину радиуса периселения гп. При этом будем пренебрегать составляющей Улз — — Vл2 приращения скорости КА, порождаемой

орбитальным движением Луны за время полета КА в ее сфере действия. С учетом соотношения (7.2.13) и симметрии гиперболической траектории вычислим модуль разности векторов гиперболического избытка скорости КА в точках выхода и входа на сфере действия

Луны:

Отсюда видно, что для увеличения АУГ радиус периселения (а в общем случае — перицентра) следует выбирать по возможности меньшим, учитывая в то же время безопасность выполнения маневра. С увеличением гравитационного параметра ц величина АУГ также

возрастает. Остановимся подробнее на зависимости АУГ от Роо. Согласно (7.2.16), при Р^Оп Рсо -► оо имеем ДРг-> 0. Следовательно, должен существовать максимум зависимости ДРг(Роо). Продифференцируем (7.2.16) по Ра,

/ г У2 \2 1—п -<^vT _2 ил ;ДУ / т V2 \200 Л , -51”.

V /

и, полагая dWTldVM = 0, найдем оптимальную величину Р«пт, при которой достигается максимум ДРГ:

ТД”т- у^. = увр(Гп).(7.2.17)

Подставляя теперь (7.2.17) в (7.2.16), получим

шах ДРГ = Ркр(гп).(7.2.18)

Таким образом, в рассмотренной модельной задаче максимальное приращение скорости за счет гравитационного маневра реализуется в случае, когда гиперболический избыток скорости равен круговой скорости в периселении (перицентре) траектории. При этом величина максимального приращения скорости также равна круговой скорости в периселении [38]. В этом случае векторный треугольник скоростей Уг*, Уз*, ДУГ является равносторонним, а полный угол поворота вектора скорости КА в сфере действия Луны 'О'полн ==| л/3.

Предположим в качестве примера, что высота периселения пролетной гиперболической траектории КА от поверхности Луны составляет 100 км. Круговая скорость на этой высоте Ркр = 1650 м/с. Тогда согласно (7.2.18) максимальное возможное приращение скорости КА за счет гравитационного маневра в сфере действия Луны равно указанной величине.

Оценим теперь погрешность модельной задачи из-за пренебрежения изменением вектора скорости орбитального движения Луны ДУл = Улз —Улг за время <зз = <з — <2 полета КА в сфере ее действия. Принимая орбиту Луны круговой, получим

где (Ол — угловая скорость орбитального движения Луны. Для представляющих практический интерес траекторий имеем £2з ~ 1 сут, тогда (Ол^2з * 13° и ДУЛ * 0,23 Ул. Величина Рл ^ 1 км/с, следовательно, ДРЛ ^ 230 м/с. Это составляет около 13 % от максимального возможного приращения скорости КА. Вариация ДРЛ в зависимости от У2ов может составить лишь часть от указанной величины.

Рис. 7.14. Приращение скорости и полный угол поворота вектора скорости при гравитационном маневреРис. 7.14. Приращение скорости и полный угол поворота вектора скорости при гравитационном маневре

Рис. 7.14. Приращение скорости и полный угол поворота вектора скорости при гравитационном маневре

Рис. 7.14. Приращение скорости и полный угол поворота вектора скорости при гравитационном маневре

Если учесть также, что согласно (7.2.15) приращения скорости А^ = У3оо-У2оо и АУл = Улз —Ул2 складывается векторно, то станет очевидным допустимость постановки рассмотренной модельной задачи.

Отнесем величины скоростей ДУГ и У» к Укр(гп), т. е. введем нормированные скорости

тогда формулы (7.2.13) и (7.2.16) принимают вид

^полн = 2 arcsin -~—,(7.2.19)/

1+

~27

ДУ =(7.2.20)

1 + Сv #

Полученные зависимости 6ПОлн(Уоо) и ДУ (У») уже не связаны с конкретными характеристиками поля притяжения (ц) и траекто-

рии (гп), а поэтому являются универсальными. Они построены на рис. 7.14 для представляющего1 практический интерес диапазона изменения У» и позволяют оценить величину приращения скорости, а также полный угол поворота вектора У* при гравитационном маневре в поле притяжения любого небесного тела.

При оценке максимального пертурбационного приращения скорости предполагалось, что вектор гиперболического избытка скорости Уг» и точка входа в сферу действия Луны могут быть выбраны надлежащим образом. На самом деле они определяются временем старта с орбиты ИСЗ и траекторией перелета к Луне. Кроме того.

во многих задачах важно не максимальное пертурбационное приращение скорости КА, а получение требуемого вектора геоцентрической скорости КА на выходе из сферы действия Луны. Исследуем ) связь векторов геоцентрической скорости КА на входе в сферу действия Луны (У2) и на выходе из нее (Уз).

Как и в предыдущей модельной задаче, будем пренебрегать раз- - ностью Улз — Улг векторов орбитальной скорости Луны за время j полета КА в сфере ее действия. Тогда вектор Уг» согласно (7.2.12) !

будет представлять собой разность между вектором Уг геоцентрической скорости КА в момент входа в сферу действия Луны и вектором Ул орбитальной скорости Луны.

Из векторного треугольника Уг, Ул, Уг» (рис. 7.13) вычислим величину нормированного гиперболического избытка скорости для селеноцентрической траектории:

V2„ = V ^+^-2F„F2cosa,(7.2.21)

где Р2„-Г2„/Ткр(г„), Гл = Тл/Кр(ги), Г2 = ^„(г,). Далее найдем

У2 _ у2 1 у2

₽ = arccos 2 ~Л- 2”(7.2.22)

(7.2.23)(7.2.23)— угол между векторами Уг» и У2, а также ^пред = arccos —1

(7.2.23)

(7.2.23)

— предельный угол гиперболической траектории. Теперь из векторного треугольника Vj. Уз, АУГ (рис. 7.13) можно определить величину нормированной геоцентрической скорости КА при выходе из сферы действия Луны

Fs = V Т2 + AFr + 2К,ДГГ cos (О„ю - Р) (7.2.24)

И

у2 । у2 _ ду2

у = arccos--—А-(7.2.25) 2^3

— угол между векторами Уг и Уз. Наконец, получим угол между векторами У3 и Ул

6 = h-a|.(7.2.26)

На рис. 7.15 построены нормированные геоцентрические скорости Рз при вылете КА из сферы действия Луны после гравитационного разгона. Видно, что максимальные величины Рз достигаются при а = 80°—100°, т. е. когда вектор геоцентрической скорости КА на входе в сферу действия почти перпендикулярен вектору орбитальной скорости Луны. Величины максимума зависимости Уз (а) увеличиваются с увеличением нормированной скорости входа Иг. Расчеты показали, что при оптимальных значениях угла а величина нормированного приращения скорости в процессе гравитационного разгона АРГ = 0,95—1,0 в зависимости от V^ а угол б между векторами геоцентрической скорости КА при вылете из сферы действия и орбитальной скорости Луны близок к 40°.

Рассмотренные модельные задачи позволяют понять наивыгоднейшие условия гравитационного маневра и оценить пределы возможного приращения скорости при таком маневре. Как уже

отмечалось, при полете КА от Земли к Луне величины геоцентрической скорости на входе в сферу действия Иг и угла а определяются начальными условиями отправления от Земли.

Из результатов численного интегрирования траекторий движения следует, что при величинах скорости отлета от Земли V], близких к минимальным, можно получить АГ « 1,5 км/с [23]. Эта величина хорошо согласуется с оценкой, полученной для модельной

Рис. 7.15. Скорость вылета из сферы действия Луны после гравитационногоРис. 7.15. Скорость вылета из сферы действия Луны после гравитационногоРис. 7.16. Схемы траекторий максимального гравитационного разгона с помощью Луны: а — облет Луны по часовой стрелке; б — облет Луны против часовой стрелкиРис. 7.16. Схемы траекторий максимального гравитационного разгона с помощью Луны: а — облет Луны по часовой стрелке; б — облет Луны против часовой стрелки

Рис. 7.15. Скорость вылета из сферы действия Луны после гравитационного

Рис. 7.15. Скорость вылета из сферы действия Луны после гравитационного

Рис. 7.16. Схемы траекторий максимального гравитационного разгона с помощью Луны: а — облет Луны по часовой стрелке; б — облет Луны против часовой стрелки

Рис. 7.16. Схемы траекторий максимального гравитационного разгона с помощью Луны: а — облет Луны по часовой стрелке; б — облет Луны против часовой стрелки

задачи (АГ™ах«1). Схема гравитационного маневра с использованием Луны показана на рис. 7.16.

После оптимального гравитационного разгона в сфере действия Луны КА имеет гиперболическую геоцентрическую скорость. Поэтому он неограниченно удаляется от Земли. С учетом орбитального движения Луны в течение месяца можно обеспечить приращение

скорости КА в любом направлении (в плоскости орбиты Луны) за счет выбора соответствующей даты отправления от Земли. Следовательно, гравитационный разгон в поле притяжения Луны можно использовать, например, для полета к планетам, поскольку плоскость орбиты Луны составляет небольшие углы с плоскостями орбит планет.

Вместе с тем необходимо отметить, что использование гравитационного поля Луны для дополнительного разгона КА представляет скорее теоретический, чем практический интерес. Действительно, максимальное возможное приращение скорости КА составляет около 1,5 км/с. Такую же разницу в скорости КА на расстоянии орбиты Луны можно получить, если повысить на несколько десятков метров в секунду его начальную скорость при старте с околоземной орбиты. По-видимому, такое увеличение скорости более оправдано, чем реализация близкого облета Луны [38].

Пространственная траектория к Луне

Если широта точки старта 1фо1 > 28°36', то нельзя реализовать компланарный перелет в плоскости орбиты Луны. При запуске с территории Советского Союза траектория перелета к Луне оказывается существенно пространственной. Возможны две различные схемы перелета: с непрерывным выведением и с использованием промежуточной околоземной орбиты. Первая схема применялась на раннем этапе исследования Луны, поскольку она предъявляет умеренные требования к конструктивным решениям и системе управления. Все ракетные ступени работают непрерывно, обеспечивая управляемый разгон до околопараболической скорости. Однако схема непрерывного выведения, как правило, приводит к увеличению потребных энергетических затрат для достижения Луны вследствие неблагоприятных реализуемых баллистических решений.

Вторая схема позволяет исключить ряд ошибок, которые накапливаются при выходе на промежуточную околоземную орбиту, и обеспечить благоприятные баллистические условия перелета, приблизив их к оптимальным. Но эта схема требует применения специальной орбитальной ступени и возможности управляемого старта с околоземной орбиты. В настоящее время вторая схема является общепринятой.

При старте с поверхности Земли возможна северная траектория перелета, когда пассивный участок проходит главным образом над северным полушарием, и южная траектория перелета, когда пассивный участок проходит над южным полушарием. В случае старта с территории Советского Союза обычно предпочтительнее оказывается северная траектория перелета, так как она обеспечивает лучшие условия для слежения.

Заметим, что деление траекторий на облетные и долотные теряет смысл для пространственных траекторий сближения КА с Луной

и последующим возвращением к Земле. Обычно такие пространственные траектории называют облетными. Облет Луны может происходить только в направлении, противоположном ее орбитальному движению. Действительно, геоцентрическая скорость Луны близка к местной круговой, а геоцентрическая скорость КА в апогее сильно вытянутой эллиптической орбиты оказывается существенно меньше. Поэтому КА не может «догнать» Луну.

Траектория с непрерывным выведением. Обсудим некоторые особенности построения пространственной траектории перелета к Луне по схеме непрерывного выведения [23]. Как уже отмечалось, угол гл между плоскостями экватора и орбиты Луны меняется с периодом ~ 18,6 лет от 18° 18' до 28°36'. При расчете траектории перелета длительностью в несколько суток можно принять гл постоянным. Если ф1 > 0 — широта точки старта, расположенной в Северном полушарии, то за счет суточного вращения Земли угол ^F между радиусом-вектором точки старта ri и плоскостью орбиты Луны может меняться в диапазоне

Фиш < Ф < ^тах, (7.3.1) где

^тш = ф1 — /л, ^тах = ф1 + гЛ. (7.3.2)

Предположим, что в начальной точке М\ на высоте Н\ КА имеет скорость 7ц направленную под углом 01 к местному горизонту (протяженность активного участка ракеты-носителя пока не учитывается). Если 61 = 0, то начальная точка является перигеем, причем большая полуось траектории пассивного участка будет коллинеарна начальному радиусу-вектору Гц Минимальный угол между ri (или большой полуосью в рассматриваемом случае) и плоскостью орбиты Луны составляет Ч^ш. Как показывают расчеты [22], дтя сильно вытянутых эллиптических траекторий угол между большой полуосью и радиусом, равным расстоянию до Луны (г = гл), не превышает 15°. Поскольку в случае старта с территории Советскою Союза xFmin>18°, то понятно, что при эллиптических начальных скоростях н 01 = 0 траектория КА будет пересекать плоскость орбиты Луны с недолетом, раньше того момента, когда текущий радиус станет равным расстоянию до Луны (рис. 7.17). Чтобы «поднять» восходящую ветвь траектории относительно плоскости движения Луны, необходимо увеличить начальный угол 01 или скорость 7ц Отсюда видно, что потребные энергетические затраты па пространственную траекторию перелета к Луне больше затрат на траекторию компланарного перелета в плоскости лунной орбиты.

При начальных параметрах движения Яц 7ц 0i и положении точки старта, когда ее геоцентрический угол с плоскостью орбиты Луны равен минимальному (^тш), можно путем изменения азимута запуска построить всю совокупность получающихся траекторий. Эта совокупность траекторий образует некоторую поверхность, симметричную относительно начального радиуса-вектора ri и Пересе-

кающуюся с плоскостью орбиты Луны по линии I (рис. 7.17). Если начальные условия не обеспечивают достижения Луны (без учета ее притяжения), то линия I целиком оказывается внутри орбиты Луны.

Предположим теперь, что величины Ei и 01 выбраны так (высота Я1 фиксирована), что линия I касается орбиты Луны в точке М^

Рис. 7 17 Пространственная траектория перелета с горизонтальной начальной скоростью: 1 — плоскость орбиты Луны; 2 — орбита Луны; 3 — траектория КА

а угловая дальность перелета при г=г2 есть Ф=Фтах = л— ТШ1П. В точке М2 траектория КА пересекает орбиту Луны, и сближение- с Луной становится возможным, если в момент старта КА из точки М\ Луна отстоит от М2 на расстоянии, которое она проходит за время полета КА. Следовательно, М2 должна быть упрежденной точкой прицеливания.

По мере увеличения Ei и 01 на орбите Луны появляется интервал достижимости с серединой в точке М2. Когда геоцентрический угол интервала достижимости станет равным 13,2°, т. е. суточному угловому перемещению Луны по орбите, появится возможность достигнуть Луны в любой сидерический месяц. Правда, запуск должен быть произведен в течение одних, заранее установленных суток. Если продолжать увеличивать Fi и Oi, то появится возможность уменьшить угловую дальность перелета до величины Ф = л — Утят. При этом интервал достижимости станет равным 2л и появится возможность запуска к Луне в любые сутки месяца.

При запуске с территории Советского Союза допустимые азимуты ограничены соображениями безопасного падения отработавших ускорителей ракеты-носителя. Отсюда — ограничение допустимых наклонений, и возникает задача построения траекторий перелета к Луне при заданном угле наклона плоскости движения к плоскости экватора. Обсудим подробнее эту задачу.

По заданной широте начальной точки ф1 и фиксированному наклонению траектории перелета I однозначно определяется азимут вектора начальной скорости

А = arcsin-^^—,(7.3.3)

COS фг’х '

который отсчитывается от направления на север по часовой стрелке. Пусть при заданном азимуте А\ начальные условия в конце активного участка ракеты-носителя Щ, Ш, Oi выбраны таким образом, что траектория пересекает орбиту Луны. Точку пересечения будем называть точкой прицеливания или упрежденной точкой. За счет выбора соответствующего времени старта t\ в течение суток можно обеспечить требуемое положение точки прицеливания на орбите Луны. Если по каким-то причинам запуск ракеты-носителя произвести не удалось, то следующий ближайший момент запуска наступит через ~ 25 час из-за необходимости сместить точку прицеливания па ~ 13° вперед, чтобы учесть суточное перемещение Луны по орбите. Если бы точка прицеливания осталась неизменной, то пришлось бы так изменить Ш и Oi, чтобы время перелета сократилось на одни сутки. Это связано с увеличением требований к энергетическим возможностям ракеты-носителя.

Высота конца активного участка и дальность активного участка мало меняются при варьировании управления на активном участке. Поэтому их влиянием при выборе оптимальной траектории перелета к Луне можно в первом приближении пренебречь. Наиболее существенными параметрами являются начальная скорость Ш и угол наклона траектории Оь Как отмечалось ранее, задача достижения Луны при большой угловой дальности перелета предъявляет более низкие требования к энергетическим характеристикам ракеты-носителя, чем при малой угловой дальности. Дело в том, что при угловой дальности перелета, стремящейся к л, траектория приближается к энергетически оптимальной (типа Гоманна). Поэтому запуск из Северного полушария обычно проводится в то время, когда Луна находится вблизи своей нижней точки кульминации. Широта точки старта существенно влияет на потребные энергетические затраты для достижения Луны. По мере уменьшения широты точки старта до (pi ~ гл затраты приближаются к величине, которая необходима для реализации компланарного перелета в плоскости орбиты Луны.

Если из геометрических соотношений установлена оптимальная схема перелета с максимальной возможной угловой дальностью Фц то задачу выбора оптимальных параметров Е и 6] можно рассматривать, например, как обратную задачу баллистики. Тогда, используя формулу (3.3.4), можно записать

2(14-tg2ei) tg2 —

V1 =—— -

(1+ rj tg2-2L + 2tgO1 tg —+ T -1

где

Vi =

^i =

гл‘

можно рассчитать характеристики уравнения Кеплера соответственноможно рассчитать характеристики уравнения Кеплера соответственнолета к Луне в проекции на геоцентрическую сферу: 1 — плоскость экватора Земли; 2 — плоскость орбиты Луны;лета к Луне в проекции на геоцентрическую сферу: 1 — плоскость экватора Земли; 2 — плоскость орбиты Луны;3 — плоскость траектории перелета3 — плоскость траектории перелета

можно рассчитать характеристики уравнения Кеплера соответственно

можно рассчитать характеристики уравнения Кеплера соответственно

лета к Луне в проекции на геоцентрическую сферу: 1 — плоскость экватора Земли; 2 — плоскость орбиты Луны;

лета к Луне в проекции на геоцентрическую сферу: 1 — плоскость экватора Земли; 2 — плоскость орбиты Луны;

3 — плоскость траектории перелета

3 — плоскость траектории перелета

Соотношение (7.3.4) устанавливает зависимость Vi(6i) при заданных угловой дальности Ф1 и относительном радиусе гь Если на основе численного интегрирования уравнений движения ракеты-носителя на активном участке известны конечные зависимости vi(0i) при различной массе полезной нагрузки, то можно сопоставить потребные и располагаемые характеристики перелета. В итоге для каждой полезной нагрузки следует выбирать сочетание Pi и 01, обеспечивающее достижение Луны (если решение существует). Оп- тимальные значения г i и иг соответствуют максимальной полезной нагрузке, выводимой на траекторию перелета к Луне. Зная

начальные условия перелета, траектории перелета, а затем из для эллиптической (2.5.8), гиперболической (2.5.20) или параболической орбиты (2.5.26) вычислить время перелета Т12 и найти упрежденную точку прицеливания для текущего положения Луны. Заметим, что установленные оптимальные условия перелета не всегда удается реализовать из-за существования дополнительных ограничений на траекторию.

В практических задачах механики космического полета важно обеспечить наблюдаемость процесса сближения КА с Луной. Наилучшие условия наблюдаемости достигаются в том случае, когда угол линии визирования КА относительно местного горизонта пункта сле-

жения оказывается максималь-

но возможным. (Для определен

ности будем полагать, что пункт слежения находится на территории Советского Союза.) Чтобы угол сближения был максимальным возможным, долгота КА в момент сближения с Луной должна равняться долготе пункта слежения. Это накладывает вполне определенное ограничение на время перелета. Найдем ограничение.

В рассматриваемом приближении разность долгот точки прице

ливания и восходящего узла траектории перелета, измеряемая в плоскости орбиты Луны, должна равняться л (рис. 7.18). Будем

теперь учитывать протяженность активного участка МоМ\, т. е. условимся различать точки старта Мо и начала пассивного полета М\. Пусть АХВ — разность географических долгот точки старта Мо и восходящего узла В траектории перелета, измеренная в момент старта, АХП — разность географических долгот точки старта и пункта слежения, (д3Та — угол поворота Земли за время активного участка Т^ Тогда угол л в сумме с разностью АХП— (АХВ + со37а) должен с точностью до 2ли, где п — целое число, равняться углу поворота, на который смещается за счет суточного вращения Земли пункт слежения, пока КА совершает пассивный перелет к Луне, т. е. за время 7,2. В результате точка сближения КА с Луной окажется на меридиане пункта слежения в требуемый момент времени. Это условие можно записать уравнением

л + АХП — (АХВ + со37а) = о3712 — 2 лгг, или

л + АХП — АХВ = со3(7а + 71г) — 2ли.(7.3.5)

Отсюда

Тю - 4-1" (2н + В + М- - АХ«] - Г='(7-3-6>

Величина АХВ зависит от азимута запуска Ло и долготы QB восходящего узла траектории перелета, измеряемой в плоскости орбиты Луны. Если |QB| ^л/6, что имеет наибольшее практическое значение, то при фиксированном азимуте запуска Ло величину угла АХВ можно в первом приближении считать постоянной. Ее численное значение определяется азимутом запуска [22]:

(0,349 рад (20°) при Ло = 35°,А^в [0,698 рад (40°) при Ло = 65°.

Предположим, что разность долгот точки старта и пункта слежения АХп = л/6. Длительность активного участка Та обычно имеет порядок 10 мин и ею можно пренебречь по сравнению с длительностью пассивного участка 712, достигающей несколько суток. Тогда получим

712 = ^ + 0,53 сут,

или

712 = 23,93га + 12,63 ч,

при азимуте запуска Ло = 35° и

712 = ?г+ 0,47 сут, или

712 = 23,93га + 11,30 ч,

при азимуте запуска Ло = 65°. Видно, что при увеличении азимута запуска от 35° до 65° время перелета при одинаковом числе га уменьшается не более чем на 1,5 ч.

Число п может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, поскольку время перелета до орбиты Луны не превышает пяти суток. Энергетически оптимальная траектория обычно близка к параболической, когда п = 1 или 2. В таких случаях длительность пассивного участка перелета к Луне составляет соответственно около 1,5 и 2,5 сут.

Оценка влияния неучтенных в приближенной методике второстепенных факторов показала следующее [23]. Притяжение Луны незначительно меняет начальные скорости перелета, вычисленные без учета этого притяжения. Например, минимальные потребные скорости корректируются на величину около 0,2 м/с. Сама траектория, вычисленная без учета притяжения Луны из условия прохождения через ее центр, фактически смещается на величину порядка нескольких сотен километров при малых начальных скоростях и на величину порядка нескольких километров при околопараболических начальных скоростях. Хотя притяжение Луны довольно слабо изменяет форму траектории перелета, вычисленной без учета притяжения, однако время перелета уменьшается заметно. В результате сближение КС с Луной происходит в более ранней точке ее орбиты. Время перелета уменьшается по двум причинам. Во-первых, сокращается время полета в сфере действия Луны из-за учета ее притяжения. Во-вторых, встреча КА с Луной происходит не в ее центре, а на поверхности. В целом уменьшение времени перелета может составлять около 30 мин. Эксцентриситет орбиты Луны (ел ~ 0,0549) и возмущающее действие Солнца вызывают изменение расстояния и орбитальной угловой скорости Луны в зависимости от ее положения на орбите. Уменьшение расстояния до Луны приводит к уменьшению потребной начальной скорости и сокращению времени перелета. Возрастание орбитальной угловой скорости Луны требует увеличения угла упреждения. Изменение времени перелета достигает нескольких часов и оказывается довольно стабильным для широкого диапазона начальных скоростей. Влияние расстояния до Луны на потребные начальные скорости несущественно. Так, при изменении расстояния на 20 тыс. км начальная скорость меняется всего па 5 м/с.

Чтобы учесть эллиптичность орбиты Луны даже в приближенных расчетах, можно для рассматриваемого интервала дат перелета принять среднее расстояние Земля — Луна в качестве радиуса фиктивной круговой орбиты Лупы, по которой опа перемещается со скоростью, равной средней величине истинной трансверсальной составляющей скорости. Неучтенная радиальная составляющая скорости не превышает величины порядка ел по сравнению с трансверсальной составляющей скорости.

Сжатие Земли вызывает отклонение поля притяжения от центрального. Влияние сжатия быстро убывает с увеличением геоцентрического радиуса КА. Расчеты показывают, что сжатие может изменить время перелета на 10—20 мин в зависимости от величины начальной скорости.

Возмущение от Солнца изменяет время перелета менее чем на 3 мин, и им можно пренебречь.

Рассмотренная методика является приближенной и обычно используется для качественных исследований. Вместе с тем она обеспечивает достаточно аккуратное вычисление количественных величин. Так, точность расчета углового сближения КА с Луной достигает 1°. Начальная скорость вычисляется с точностью до 1 м/с, а ее направление относительно местного горизонта — с точностью 0,1°. Полученные траектории часто используют в качестве начального приближения при численной итерационной процедуре расчета точной траектории перелета с помощью ЭВМ.

Схема непрерывного выведения на траекторию перелета к Лунет допускающая относительно простую техническую реализацию, была использована в 1959 году для запуска первых советских автоматических станций. С начальной скоростью, несколько превышающей параболическую, автоматическая станция «Луна-1» за 1,5 сут сблизилась с Луной до минимального расстояния 5—6 тыс. км. Автоматическая станция «Луна-2» за такое же время достигла поверхности Луны. Совершив перелет по эллиптической траектории за 2,5 сут, автоматическая станция «Луна-3» облетела Луну и сфотографировала ее обратную сторону.

Все последующие запуски космических аппаратов к Луне осуществлялись с использованием промежуточной околоземной орбиты.

Полет к Луне с околоземной орбиты. Чтобы обеспечить оптимальные условия перелета к Луне, т. е. близкую к л угловую дальность в любой день месяца, обычно используют промежуточную околоземную орбиту высотой около 200 км. КА с последней ступенью ракеты-носителя предварительно выводится на орбиту ИСЗГ плоскость которой проходит через заданную точку прицеливания. Затем с помощью последней ступени КА переводится на траекторию перелета к Луне. Разгон начинается в тот момент, когда угловая дальность от текущей точки на орбите до упрежденной точки близка к л. Если азимут задан то запуск через Северное полушарие возможен только один раз в сутки. При ограниченной протяженности второго активного участка старт с орбиты должен произойти в то время, когда КА перемещается в северном направлении. Если момент запуска через Северное полушарие пропущен, то примерно через полсуток появляется возможность запуска по тому же азимуту, но уже с перелетом через Южное полушарие. В этом случае старт с орбиты должен производиться в то время, когда КА перемещается в южном направлении. Таким образом, за счет изменения стартового полувитка возможно произвести два запуска к Луне в течение каждых суток, по северной и южной траекториям.

Расчет траектории попадания в Луну при использовании промежуточной околоземной орбиты очень близок аналогичной задаче при непрерывном выведении с поверхности Земли. Поэтому сразу перейдем к обсуждению задачи перелета с околоземной орбиты на орбиту искусственного спутника Луны (ИСЛ). Бутем рассматривать

двухимпульсный перелет в предположении, что оба маневра выполняются в плоскости движения КА.

Если учесть эллиптичность орбиты Луны, то в зависимости от положения упрежденной точки будет меняться геоцентрический радиус Луны и ее орбитальная скорость Ел. Соответственно будет изменяться потребное приращение скорости для перелета к Луне. На рис. 7.19 показано потребное приращение скорости AFi от круговой до перигейной при старте с круговой орбиты ИСЗ высотой 200 км и различных длительностях перелета ti2. Эти зависимости построены на основе материалов работы [23], полученных численным интегрированием уравнений движения. Заметим, что разница

Рис. 7.19. Потребный импульс скорости для перелета с круговой орбиты ИСЗ высотой 200 км к Луне

Рис. 7.20. Зависимость наклонения i2 плоскости траектории перелета к плоскости орбиты Луны от долготы й ее узла и наклонения й к экватору

Рис. 7.21. Потребное приращение скорости для двухимпульсного перелета с околоземной орбиты на окололунную: сплошные линии — в апогее орбиты Луны; штриховые — в перигее орбиты ЛуныРис. 7.21. Потребное приращение скорости для двухимпульсного перелета с околоземной орбиты на окололунную: сплошные линии — в апогее орбиты Луны; штриховые — в перигее орбиты Луны

Рис. 7.21. Потребное приращение скорости для двухимпульсного перелета с околоземной орбиты на окололунную: сплошные линии — в апогее орбиты Луны; штриховые — в перигее орбиты Луны

Рис. 7.21. Потребное приращение скорости для двухимпульсного перелета с околоземной орбиты на окололунную: сплошные линии — в апогее орбиты Луны; штриховые — в перигее орбиты Луны

между потребными приращениями скорости для перелета в апогей и перигей орбиты Луны не превышает нескольких м/с. С погрешностью менее 5 м/с можно не учитывать зависимость AEi от наклонения ii траектории перелета к плоскости экватора Земли. Минимальные величины AFi имеют место при временах перелета 4,4 сут < ti2 < 4,9 сут, когда апогей траектории перелета располагается на орбите Луны, т. е. реализуется маневр типа Гоманна. На

клонение 71 траектории перелета к плоскости экватора Земли существенно влияет на наклонение 7г полученной орбиты ИСЛ к плоскости движения Луны. Наклонение 7г зависит также от величины

Q — долготы ближайшего к перигею узла траектории перелета, отсчитываемой в плоскости орбиты Луны. Отсчет Q ведется от восхо

дящего узла орбиты Луны на экваторе Земли. Рис. 7.20 иллюстри

рует зависимость 7г (7i, Q), вычисленную с помощью формул сферической тригонометрии. В работе [23] показано, что при заданных высотах круговых орбит ИСЗ и ИСЛ величина А Иг для перевода

КА на орбиту ИСЛ зависит от времени ti2, наклонения траектории

72 К ПЛОСКОСТИ Орбиты Луны и параметра Ел sin Фл, где Ил — орбитальная скорость Луны, Фл — истинная аномалия Луны в момент перевода КА на орбиту ИСЛ.

На рис. 7.21 построены зависимости суммарного приращения скорости AE2 = AEi + + АКг на перелет КА с круговой орбиты ИСЗ высотой 200 км на круговую орбиту ИСЛ высотой 100 км для двух положений Луны, в перигее и апогее, и двух значений 71 — угла наклона траектории перелета к плоскости экватора Земли [23]. Минимальные значения АЕ2 = 4—4,2 км/с име-

ют место при временах

перелета £12 = 4—5 сут. Если заданное время перелета £12 <3,4 сут, то целесообразнее совершать перелет к Луне в перигее ее орбиты. Если же заданное время перелета £12 > 3,7 сут, то следует совершать перелет к Луне в апогее ее орбиты. Поскольку апогей и перигей

определяют предельные положения Луны, построенные зависимости позволяют установить диапазоны изменения АТ^ при произвольном положении Луны на орбите для фиксированного времени перелета £12-

Задача обратного перелета с орбиты ИСЛ к Земле отличается от задачи прямого перелета тем, что КА, как правило, не выводится на орбиту ИСЗ, а совершает пологий вход в атмосферу Земли с последующим управляемым движением в атмосфере и рассеиванием энергии за счет аэродинамического торможения. При возвращении к Земле важно обеспечить требуемую высоту условного перигея (которая реализовалась бы при отсутствии атмосферы), его географическую привязку по широте и долготе, а также наклонение геоцентрической траектории возвращения к плоскости экватора. Широта условного перигея обеспечивается главным образом за счет выбора склонения Луны в момент старта КА с орбиты ИСЛ. Необходимую долготу перигея можно обеспечить путем изменения времени перелета. Высоту условного перигея целесообразнее всего регулировать коррекцией скорости.

Посадка на поверхность Луны. Отличительный особенностью задачи посадки на поверхность Луны является отсутствие атмосферы. Поэтому для уменьшения относительной скорости до нуля необходимо включать двигательную установку КА. Различают прямую посадку с подлетной гиперболической траектории и посадку с орбиты ИСЛ. В свою очередь прямая посадка может осуществляться при вертикальном снижении и при наклонном снижении.

Расчеты показали, что независимо от наклонения траектории перелета к плоскости движения Луны прямая вертикальная посадка возможна только в районе, ограниченном селеноцентрической широтой —11° =С ср' =С 11,23° и селеноцентрической долготой 230° =С s$ V s$ 350° для времен перелета 1 сут ^ £12^10 сут. Оптимальный маневр на траектории прямой вертикальной посадки состоит в одноразовом включении двигателя КА. Чтобы в конце непрерывного участка торможения двигателем скорость и высота над поверхностью Луны одновременно обратились в нуль, необходимо располагать двумя параметрами управления. Например, иметь возможность выбирать начальный момент включения двигателя и длительность его работы (за счет соответствующего запаса топлива). Такое сочетание позволяет реализовать посадку с наименьшими энергетическими затратами. В частности, для траектории перелета Земля — Луна длительностью ~ 3,3 сут, когда начальная скорость в момент включения двигателя близка к 2550 м/с, величина потребной характеристической скорости КА составляет 2680—2850 м/с для начальных тяговооруженностей (отношение тяги к начальному весу КА на Земле) Ио = 0,5—2,0. При этом высота включения двигателя достигает 500—130 км, время его работы 400—100 с (при скорости истечения газов из сопла двигателя W = 3000—4500 м/с) [23]. На-

клонная прямая посадка реализуется в тех случаях, когда имеется остаточная боковая (горизонтальная) скорость.

Посадка с орбиты ИСЛ позволяет достигнуть любой точки поверхности Луны за счет выбора наклонения орбиты и момента начала схода с орбиты. Для простоты отраничимся случаем круговой орбиты. Так как атмосфера отсутствует, можно использовать двух- импульсную схему посадки типа полуэллипса Гоманна. Апоселений траектории посадки совпадает с начальной круговой орбитой, а периселений теоретически должен располагаться непосредственно на поверхности Луны. Однако неровности лунного ландшафта и возможные ошибки исполнения маневра при первом и втором включении двигателя требуют увеличения высоты периселения до 10— 15 км. Если учесть ограниченность величины тяги тормозного двигателя, то и в этом случае число его включений (активных участков) не превышает двух [53]. Когда начальная тяговооруженность мала, длительность каждого из двух активных участков может быть столь велика, что они сливаются в один.

При посадке с непрерывно работающим двигателем (один активный участок) наименьшие затраты характеристической скорости (АЕх«2150 м/с) оказываются в случае круговых орбит ИСЛ высотой 50—60 км, а оптимальная начальная тяговооруженность ПоОТ = = 0,25—0,35 при скорости истечения газов из сопла двигателя W = 3000-4500 м/с.

Как уже отмечалось, схема посадки с двумя активными участками энергетически выгоднее. Так, для низких окололунных орбит (высотой до 100 км) потребная величина характеристической скорости составляет ~ 1750 м/с, если угловая дальность маневра находится в диапазоне 50° —180°. Это примерно на 400 м/с меньше, чем при посадке с непрерывно работающим двигателем [23].

Полет к планетам

При расчете межпланетных траекторий КА обычно приходится учитывать притяжение нескольких небесных тел и ряд других эффектов. Длительность межпланетных перелетов исчисляется месяцами и даже годами. Часто оказывается, что точность определения орбиты планеты недостаточна для решения поставленной задачи. Например, для реализации посадки опускаемого аппарата в заданной области поверхности планеты. В таких случаях приходится одновременно решать задачи управления траекторией полета КА и уточнения элементов орбиты планеты на основе измерений, проводимых с Земли и с КА.

Численные методы из-за своей громоздкости и трудоемкости часто оказываются неприемлемыми для проведения большого объема расчетов, связанных с выбором оптимальной схемы перелета, дат отправления и прибытия, потребных энергетических затрат и др.

Для решения перечисленных задач обычно пользуются приближенными методами расчета, которые основаны на разбиении всей межпланетной траектории по участкам преимущественного гравитационного воздействия одного небесного тела. Обычно выделяют три участка межпланетной траектории. Геоцентрический участок расположен в пределах сферы действия Земли. Планетоцентрический участок расположен в сфере действия планеты назначения. Гелиоцентрический участок занимает большую часть межпланетной траектории, расположенную между сферами действия Земли и планеты назначения.

В табл. 7.1 приведены характеристики орбит планет Солнечной системы. Почти все планеты, кроме Меркурия и Плутона, имеют эллиптические орбиты, близкие к круговым. Плоскости их орбит

Таблица 71

Характеристика орбит планет Солнечной системы [9]

Планета

Большая полуось, млн км

Эксцентриситет (на 197а 0)

Наклонение к эклиптике, град

Средняя орбитальная скорость, км/с

Сидерический период обращения, годы а и сред сут d

Меркурий

57,91

0,20563

7,0043°

47,87

^d, 970

Венера

108,21

0,00676

3,3944°

35,02

224d, 701

Земля

149,60

0,01672

0

29,79

la0d, 006

Марс

227,94

0,09338

1,8498°

24,13

l°321d, 730

Юпитер

778,34

0,04846

1,3045°

13,06

lla314d, 84

Сатурн

1427,0

0,05563

2,893°

9,65

29a166d, 98

Уран

2869,6

0,04725

0,7732°

6,80

84a7d, 45

Нептун

4496,7

0,00859

1,7724°

5,43

164°280d, 30

Плутон

5912

0,253

17,14°

4,7

247a255d, 1

наклонены к плоскости эклиптики, в которой движется Земля, всего на несколько градусов. Поэтому в первом приближении, при рассмотрении модельных задач, часто принимают, что эти планеты обращаются вокруг Солнца по круговым орбитам в плоскости эклиптики.

Меркурий и Плутон, самая ближняя и самая дальняя планеты Солнечной системы, имеют наиболее вытянутые эллиптические орбиты с наибольшими наклонениями к плоскости эклиптики. Поэтому их обычно рассматривают особо.

Разбиение межпланетной траектории на три участка позволяет на каждом из них учитывать притяжение только одного небесного тела: Земли, Солнца, планеты назначения. Тем самым расчет всей траектории сводится к трем задачам двух тел, решениями которых

являются определяемые начальными условиями конические сечения, состыкованные на границах участков.

Следует отметить, что основная ошибка приближенной методики обычно порождается неточным знанием орбиты планеты, вокруг которой строится та или иная гравитационная сфера (действия, влияния и др.), а не выбором той или иной сферы. В табл. 7.2 приведены радиусы гравитационных сфер для планет Солнечной системы.

Таблица 72

Гравитационные сферы планет Солнечной системы

Планеты

Средний радиус сферы действия, млн км

Средний радиус сферы влияния, млн км

Сфера притяжения

средний радиус, млн км

смещение центра сферы, км

Меркурий

0,112

0,366

0,0236

10

Венера

0,616

1,677

0,169

265

Земля

0,925

2,482

0,259

450

Марс

0,577

1,798

0,130

74

Юпитер

48,21

88,14

24,073

743900

’Сатурн

54,56

108,10

24,130

407900

Уран

51,78

116,27

18,977

125500

Нептун

86,81

192,74

32,358

232800

Плутон

15.167

47,14

3,413

1970

Полученная траектория, состоящая из трех состыкованных конических сечений, является хорошим начальным приближением для расчета численными методами точной траектории с учетом всей совокупности действующих факторов.

При выборе межпланетной траектории необходимо руководствоваться следующими основными требованиями. Энергетические затраты на выведение КА и на выполнение всех маневров, включая коррекцию траектории, должны быть минимальными. Время перелета следует по возможности сокращать. При сближении с планетой назначения надо обеспечить определенные условия для решения поставленной целевой задачи: фотографирования ее поверхности, посадки в заданном районе, проведения научных исследований и т. п. Поскольку перечисленные требования часто оказываются противоречивыми, то приходится отыскивать компромиссные решения на основе анализа большого числа траекторий.

Классификация межпланетных траекторий. В зависимости от решаемой задачи могут использоваться межпланетные траектории различных классов. Принято выделять следующие основные классы:

Траектория перелета к планете назначения без возвращения к Земле.

Траектории перелета к планете назначения с возвращением к Земле.

Траектории последовательного облета нескольких планет.

В свою очередь каждый класс траекторий может иметь несколько подклассов. Так, траектория полета к планете назначения без возращения к Земле может проходить на заданном расстоянии от планеты, заканчиваться выведением КА на орбиту вокруг планеты или посадкой на ее поверхность. Пролетная траектория не требует дополнительных энергетических затрат, поэтому ее довольно просто реализовать. Вместе с тем пролет на ограниченном расстоянии от планеты позволяет провести ряд интересных научных исследований. При выведении КА на орбиту вокруг планеты назначения должен осуществляться активный маневр с включением двигательной установки. Обычно маневр выполняется вблизи перицентра пролетной гиперболической траектории. Если планета имеет атмосферу, можно реализовать комбинированный маневр аэродинамического торможения с последующим включением двигателя для выхода на заданную орбиту [87]. В некоторых случаях траектория перелета завершается посадкой всего КА или отделяемого спускаемого аппарата. Возможна прямая посадка с пролетной гиперболической траектории и посадка с околопланетной орбиты, на которую предварительно выводится КА. Скорость КА может быть погашена с помощью двигателя или за счет аэродинамического торможения, если у планеты есть атмосфера. В некоторых случаях для уменьшения массы тормозной системы оказывается целесообразным сочетание активного торможения (двигателем) с пассивным (аэродинамический экран или парашют).

Большой практический интерес представляет комбинированная схема полета, когда на участке сближения с планетой отделяется спускаемый аппарат, совершающий посадку на поверхность планеты и передающий полученную информацию через пролетный аппарат на Землю. Такая схема позволяет максимально уменьшить массу передающей радиотехнической аппаратуры на спускаемом аппарате и упростить его конструкцию. Пролетный аппарат, который используется для контроля посадки спускаемого аппарата и в качестве активного ретранслятора информации, имеет радиотехническую аппаратуру требуемой мощности для надежной связи с Землей.

Траектории полета к планете назначения с возвращением к Земле включают подклассы траекторий с задержкой у планеты (на ее поверхности или на орбите вокруг планеты) и без задержки у планеты. Если траектории без возвращения к Земле приемлемы только для доставки автоматических аппаратов, то траектории с возвращением к Земле, являясь обязательными для будущих пилотируемых полетов к планетам, могут использоваться и при запуске автоматических аппаратов. Например, в тех случаях, когда необходимо доставить на Землю образцы грунта или пробы атмосферы планеты. Возвращение КА к Земле желательно проводить в два этапа. Сначала КА выводится на промежуточную орбиту вокруг планеты, а затем стартует на гиперболическую траекторию возвращения.

Траектории последовательного облета нескольких планет можно разделить на подклассы траекторий с гравитационным маневром, активным маневром за счет включения двигательной установки и комбинированным активно-гравитационным маневром. Последний подкласс представляет наибольший практический интерес.

Точный расчет траектории к планете. Для вычисления точной межпланетной траектории необходимо воспользоваться численным интегрированием уравнений движения. Мерой точности вычисления параметров движения КА может служить точность измерений современных радиотехнических средств, т. е. ошибка численных расчетов не должна быть больше ошибки измерений. Чтобы обеспечить такую точность, необходимо правильно выбрать модель движения и метод численного интегрирования.

При расчете точной межпланетной траектории КА должны учитываться следующие факторы, которые оказывают воздействие на его движение:

Притяжение Земли, Солнца, Луны и планет Солнечной -системы.

Излучение Солнца.

Эффекты общей теории относительности.

Заметим, что на начальном участке межпланетной траектории, когда КА находится еще достаточно близко к Земле, необходимо дополнительно учитывать влияние первой зональной гармоники в разложении потенциала притяжения Земли по сферическим функциям (см. п. 1.3). С увеличением расстояния КА от Земли ее поле притяжения можно принимать в виде центрального.

Запишем в векторной форме уравнения движения КА:

-^ = -^4+ic.+Fi + F2 + F3. (7.4.1)

Г г=0\ I Гг ~ г I Гг /

Здесь г — геоцентрический радиус-вектор КА; ц — произведение постоянной притяжения на массу Земли; г, — геоцентрический радиус-вектор 7-го небесного тела, где 7 = 0 — Солнце, 7 = 1 — Луна, 7 = 2 — Меркурий, 7 = 3 — Венера, 7 = 4 — Марс, 7 = 5 — Юпитер, 7 = 6 — Сатурн, 7 = 7 — Уран, 7 = 8— Нептун, 7 = 9 — Плутон, Fi — возмущающее ускорение движения КА из-за нецентральности поля притяжения Земли; F2 — возмущающее ускорение движения КА вследствие солнечного излучения; F3 — возмущающее ускорение, характеризующее влияние эффектов общей теории относительности на движение КА в пространстве, искривленном гравитационным влиянием Солнца.

Согласно (7.1.1) поправка от нецентральности поля притяжения Земли вычисляется по формуле

F1 = - ц -^ /2 [I Sin2 ф -(7.4.2)

где Л — коэффициент при первой зональной гармонике в разложении потенциала поля притяжения Земли, Лэ — экваториальный радиус Земли, ср — геоцентрическая широта, г — радиус-вектор рассматриваемой точки.

Для учета возмущения от солнечного излучения можно использовать формулу вида

0г2 — ХЦ0 | г _ г |3 ’0г2 — ХЦ0 | г _ г |3 ’(7.4.3)(7.4.3)

0

г2 — ХЦ0 | г _ г |3 ’

0

г2 — ХЦ0 | г _ г |3 ’

(7.4.3)

(7.4.3)

где х — коэффициент влияния солнечного излучения, зависящий от формы и массы КА.

Влияние эффектов общей теории относительности учитывается формулой [15]

гдегдеF3 = f(r — r0) — f(—го),цаУ2г Vf(r,)-^ 2(1 + Т)^г,-Т^.г. + 2(1+Т)-^сг1тгF3 = f(r — r0) — f(—го),цаУ2г Vf(r,)-^ 2(1 + Т)^г,-Т^.г. + 2(1+Т)-^сг1тг(7.4.4)(7.4.4)Vs , (7.4.5)Vs , (7.4.5)

где

где

F3 = f(r — r0) — f(—го),цаУ2г V

f(r,)-^ 2(1 + Т)^г,-Т^.г. + 2(1+Т)-^сг1тг

F3 = f(r — r0) — f(—го),цаУ2г V

f(r,)-^ 2(1 + Т)^г,-Т^.г. + 2(1+Т)-^сг1тг

(7.4.4)

(7.4.4)

Vs , (7.4.5)

Vs , (7.4.5)

rs, V, — гелиоцентрические радиус-вектор и скорость рассматриваемого тела; с — скорость света; у — параметр, характеризующий выбор системы координат поля Шварцшильда. Обычно используется стандартная система координат (у = 1). Цо существу релятивистская поправка F3 к геоцентрическому ускорению КА представляет собой разность релятивистских поправок к гелиоцентрическому ускорению КА, т. е. f(r — г0), и гелиоцентрическому ускорению Земли, т. е. f(—го).

Необходимые для численного интегрирования уравнений движения КА координаты Луны и планет обычно вычисляются путем интерполяции с использованием заданных табличных значений. Такие таблицы строятся заблаговременно на основе одной из теорий Луны и планет.

Численное интегрирование уравнений движения КА может осуществляться практически любым методом (Рунге-Кутта, Адамса, Эйлера и др.). В целях экономии времени счета целесообразно интегрировать с переменным шагом при контроле заданной точности. В пределах сферы действия планеты шаг интегрирования обычно меняется в диапазоне 10 с — 30 мин, а на гелиоцентрическом участке его можно увеличивать до 1 час — 4 час.

Приближенный расчет гелиоцентрического участка. Как уже отмечалось, приближенный расчет межпланетной траектории связан с разбиением ее на геоцентрический, гелиоцентрический и планетоцентрический участки. Границы этих участков определяются сферами действия Земли и планеты назначения, причем сферы действия, а следовательно и границы, перемещаются в соответствии с орбитальным движением планет. Часто планетоцентрические уча-

стки называют внутренней задачей (движение внутри сферы действия), а гелиоцентрический участок — соответственно внешней задачей (движение вне сферы действия).

Основную часть межпланетной траектории занимает гелиоцентрический участок, на котором КА обычно перемещается по эллиптической траектории. При расчете гелиоцентрического участка можно пренебречь размерами сфер действия планет по сравнению с их расстоянием до Солнца, т. е. принять, что сферы действия планет стянуты в точки, которые совпадают с центрами масс планет. Действительно, радиусы сфер действия Марса, Земли и Венеры составляют меньше 1 % от расстояния до Солнца. Однако, для планет-гигантов (Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун) радиусы сфер действия составляют уже несколько процентов от расстояния до Солнца. Поэтому в некоторых задачах для повышения точности приближенных расчетов приходится учитывать размеры сфер действия при

Рис. 7.22. Схема гелиоцентрического участка межпланетной траектории: 1 — орбита планеты отправления; 2 — траектория КА; 3 — орбита планеты назначения

рассмотрении гелиоцентрического участка. В таких случаях стыковка достигается путем совместного рассмотрения геолиоцентриче- ского и планетоцентрического участков. Понятно, что при расчете гелиоцентрического участка притяжение планет не учитывается.

Введем гелиоцентрическую систему координат Sxyz, ось Sx которой направлена в точку весеннего равноденствия Т, ось Sy расположена в плоскости эклиптики, а ось & направлена к северному полюсу эклиптики. Для большей общности получаемых результатов при рассмотрении гелиоцентрического участка будем полагать, что этот участок начинается не от Земли, а от планеты отправления Pi, и заканчивается у планеты назначения Рг (рис. 7.22).

Плоскости движения планет отправления и назначения могут не совпадать с плоскостью эклиптики. Движение КА будем предполагать происходящим в направлении движения планет Солнечной системы, т. е. против часовой стрелки, если смотреть с конца оси Sz.

Пусть в некоторый начальный момент времени t\ положение КА (и планеты отправления) определяются гелиоцентрическим радиу- сом-®ектором ri=(a:i, у\, zi). Время перелета (12 считается заданным. Тогда можно вычислить момент времени ^2 прибытия КА к планете назначения

t^ = t\ + ^12

и определить гелиоцентрический радиус-вектор планеты гг = = (^2, уг, 22), отвечающий этому моменту времени и заданному положению планеты назначения ^(^г). По существу ri фиксирует начальную точку гелиоцентрического участка межпланетной траектории КА (или в рассматриваемом приближении точку старта), а гг задает конечную точку гелиоцентрического участка (или в рассматриваемом приближении точку встречи с планетой назначения). В частном случае, когда планетой отправления является Земля, имеем zi = 0.

Плоскость гелиоцентрического участка траектории КА должна проходить через векторы ri и гг. Используя результаты, приведенные в § 4.2, вычислим единичный вектор внешней нормали к плоскости перелета

п° = (пх, ?гу, пг) = -| ^xr^f siSnCri^2 — ^2^1)-

Здесь

Г1 X г2 = (№ — у221, ж231 — зд, Xiy2 — я2У1) и

ki X Г2| = V (yiZ2 — y2Zl)2 +(£2Z1 — Ж122)2 +(3:,^ — Ж2У1)2.

, (7.4.6), (7.4.6)При таком задании вектора п° выполняется условие пг > 0, что отвечает перелету КА в направлении движения планет. Наклонение 1 плоскости перелета к плоскости эклиптики определяется соотношением

, (7.4.6)

, (7.4.6)

V(^2 - V1)2 + ( V1 - V2)2 + (¥2 - V1)2

где 0 ^ z ^ л/2, так как предполагается полет КА только в направлении движения планет.

Из геометрических построений на рис. 7.22 видно, что проекция вектора п° на плоскость эклиптики, т. е. тг^ = sin z, образует с отрицательным направлением оси Sy угол Q, который равен долготе восходящего узла траектории перелета, измеряемой в плоскости

эклиптики. Тогда

sinQ = пх =

Пхуsin ty (j^ - yaZ1)2 + ( ^ _ ^^2 + (Ж1у2 _ ^2 ’

cos Q ==(у2-V1) ^(^2-^1)

nxv Sin I У (у^ - V1)2 + (х^ - V2)2 + (^2 - x^f

^•4Л)

.(0^Й^2л).

Долгота восходящего узла Q и наклонение I гелиоцентрического участка траектории КА полностью определяют положение плоскости перелета в эклиптической системе координат.

Угловая дальность гелиоцентрического участка А'О’ определяется из соотношений

Г1'Г2 _ У2 + ^2+У2

Г1Г2УЖ^ + у2 + z^ УХ^ + у^ + Z2 ’

(7.4.8)(7.4.8)sign (хгу2 — х^sign (хгу2 — х^sin АФ = 1 -1- sign (зд — х2у^ = 12

(7.4.8)

(7.4.8)

sign (хгу2 — х^

sign (хгу2 — х^

К *1 + У1 + 4 V 4 + 4 + 4

(О < АФ < 2л).

Часто требуется вычислить аргумент широты и некоторой точки М гелиоцентрического участка траектории, радиус-вектор которой т = (х1 у, z). Предварительно введем единичный вектор восходящего узла т° = (cos Q, sin Q, 0). Затем вычислим

m° • г = х cos Q + у sin Q, m° X г = (z sin Q, —z cos Q, у cos Q — x sin Q).

Тогда для определения аргумента широты произвольной точки М имеем

т° • гх cos Q + у sin Q

sinu = -sign (у cosQ — х sinQ) =(7.4.9)

V (у cos fi — х sin Q)2 + г2 . z= v- r -_==—!— sign (y cos Q — X sin Q)

V x2 + y2 + z2

(0 ^ и ^ 2л).

(7.4.10)(7.4.10)

(7.4.10)

(7.4.10)

Вычисление элементов орбиты в плоскости перелета сводится к решению задачи Ламберта, так как известны начальный п и конечный гг радиусы, угловое расстояние между ними Ай и время перелета ^12- Известно также направление движения КА, которое совпадает с направлением гелиоцентрического движения планет. Более того, для представляющих интерес межпланетных траекторий КА гелиоцентрический участок является частью эллиптической орбиты. Все это упрощает решение полученной задачи Ламберта.

Наиболее часто для определения орбиты в фиксированной плоскости движения используются следующие элементы: величина большой полуоси а, эксцентриситет е, аргумент перицентра о и время пролета перицентра tn. Покажем последовательность вычислений величины а на основе результатов, приведенных в § 4.2. Для рассматриваемого случая перелета по эллиптической траектории с угловой дальностью 0 < Ай* < 2л существует единственное решение уравнения Ламберта [58, 62].

Предварительно вычислим время tTp перелета по граничной эллиптической орбите, для которой

ri + г2 + S

Длина хорды s, соединяющей начальную и конечную точки траектории, вычисляется по формуле (4.2.52):

s = V(^2 — Ж1)2+(у2— У1)2+(22— Z1)2.

Используя соотношения (4.2.49) и (4.2.51), найдем

— sin 2 arcsin

Цо — произведение постоянной притяжения на массу Солнца. Здесь и в последующих формулах верхний знак «—» относится к случаю 0 < Ай- < л, а нижний знак «+» относится к случаю л < Ай < 2л.

Далее необходимо сравнить заданное время перелета ti2 с trp. Если ^12 < trp, то перелет совершается по эллиптической орбите первого рода, для которой величина большой полуоси

Г1 + г2 + 5

4

2 arcsin2 arcsin— sin 2 arcsin— sin 2 arcsin2 arcsin2 arcsin4а4а— sin 2 arcsin— sin 2 arcsin

2 arcsin

2 arcsin

— sin 2 arcsin

— sin 2 arcsin

2 arcsin

2 arcsin

4а

4а

— sin 2 arcsin

— sin 2 arcsin

и вычисляется из трансцендентного уравнения

аз/2

+ =

12 /i%

(7.4.11)

гдегде0 < arcsin0 < arcsin(7.4.12)(7.4.12)

где

где

0 < arcsin

0 < arcsin

(7.4.12)

(7.4.12)

В случае £12 > trv перелет совершается по эллиптической орбите второго рода с большой полуосью

Г1 + Г2 + 54Г1 + Г2 + 54

Г1 + Г2 + 5

4

Г1 + Г2 + 5

4

величина которой вычисляется из трансцендентного уравнения

sin 2 arcsinsin 2 arcsin(7.4.13)(7.4.13)2 arcsin2 arcsinsin 2 arcsinsin 2 arcsin

sin 2 arcsin

sin 2 arcsin

(7.4.13)

(7.4.13)

2 arcsin

2 arcsin

sin 2 arcsin

sin 2 arcsin

При этом ограничения (7.4.12) сохраняются.

Если гелиоцентрический участок оказывается параболическим или гиперболическим, то следует воспользоваться соответствующими формулами § 4.2. Однако из-за ограниченных энергетических возможностей современных ракет-носителей такие траектории пока не представляют практического интереса. •

Нетрудно показать, что в более общем случае, когда полная угловая дальность гелиоцентрического участка больше 2л, причем КА в процессе перелета совершает больше п, но меньше п + 1 витков, в правые части уравнений (7.4.10), (7.4.11), (7.4.13) следует добавить слагаемое 2лпа3/2/Уцо- Число возможных решений увели-i чивается до двух [62]. :

Полученные уравнения для большой полуоси а гелиоцентриче-^ ского участка решаются численно с заданной точностью одним из итерационных способов. ’

На рис. 7.23 в качестве примера построены зависимости а(^12^ гелиоцентрического участка межпланетной траектории Земля —< Марс для случаев п = 0 (0 < Ай < 2л) и п = 1 (2л < Ай < 4л) Эти зависимости получены на основе материалов работы [35].

Рис. 7.23. Время и большая полуось гелиоцентрического участка траектории перелета Земля — Марс: сплошные линии 0 < АФ < л при п = 0 и 2л < АФ < < Зл при n = 1; штриховые линии л < ДФ < 2л при п = 0 и Зл < ДФ < 4л при п = 1Рис. 7.23. Время и большая полуось гелиоцентрического участка траектории перелета Земля — Марс: сплошные линии 0 < АФ < л при п = 0 и 2л < АФ < < Зл при n = 1; штриховые линии л < ДФ < 2л при п = 0 и Зл < ДФ < 4л при п = 1

Рис. 7.23. Время и большая полуось гелиоцентрического участка траектории перелета Земля — Марс: сплошные линии 0 < АФ < л при п = 0 и 2л < АФ < < Зл при n = 1; штриховые линии л < ДФ < 2л при п = 0 и Зл < ДФ < 4л при п = 1

Рис. 7.23. Время и большая полуось гелиоцентрического участка траектории перелета Земля — Марс: сплошные линии 0 < АФ < л при п = 0 и 2л < АФ < < Зл при n = 1; штриховые линии л < ДФ < 2л при п = 0 и Зл < ДФ < 4л при п = 1

Для вычисления эксцентриситета гелиоцентрического участка е возведем левые и правые части уравнений (4.2.55) и (4.2.56) в квадрат и соответственно сложим. Тогда получим с учетом (4.2.57)

(7.4.14)(7.4.14)

(7.4.14)

(7.4.14)

Здесь углы е и 6 вычисляются по формулам

. е81ПТ. е81ПТ1 124а1 124а

. е

81ПТ

. е

81ПТ

1 12

4а

1 12

4а

Одновременно для эллиптической орбиты первого рода должны учи

тываться ограничения

О << -у << -у- при 0 <2 АФ < 2л

О < -у < -у- при 0 *< АФ «< л,

Зл б _ о у<у<2л приЗл б _ о у<у<2л прил < АФ < 2л.л < АФ < 2л.

Зл б _ о у<у<2л при

Зл б _ о у<у<2л при

л < АФ < 2л.

л < АФ < 2л.

Для эллиптической орбиты второго рода существуют ограничения

-^- <Су <2 л при 0<АФ<2л

О^у^"^" ПРИ 0<Ай<;л,

у < -|- < 2л при л < Ай < 2л

(см. § 4.2).

Перейдем к вычислению аргумента перигелия о. Предварительно по известным величинам а, е и разности эксцентрических аномалий £2 — Е\ = е — 6 определим с помощью соотношений (4.2.55), (4.2.56) сумму эксцентрических аномалий из условий

2а-тл-Ч2а-тл-Че —6 ’ 2ае cos —2—е —6 ’ 2ае cos —2—.51 + ^2 г2 - гf + Е^

2а-тл-Ч

2а-тл-Ч

е —6 ’ 2ае cos —2—

е —6 ’ 2ае cos —2—

8Ш 2— е —§ » cos 2

2ас sin —2—

а затем величину Е\ (или Е^). Далее по формуле (2.5.6)

Й. / 4 I р Е.

tg "Т = V 4^7 *8 "Т С = Ь 2)

найдем углы й,. Поскольку аргумент широты известен из уравнений (7.4.9), то аргумент перигелия можно вычислить по формуле

ю = щ-йг (t=l, 2).(7.4.15)

Наконец, из уравнения (2.5.8) определим время пролета перигелия

tn = h(Ei — е sin Ei) (г = 1, 2).(7.4.16)

г Йо

Тем самым завершено вычисление шести элементов орбиты Q, i, а, е, о, tni которые полностью определяют в эклиптической системе координат гелиоцентрический участок межпланетной траектории КА.

Оказывается полезным дополнительно вычислить параметр гелиоцентрической орбиты

р = а(1 — е2),

затем по формулам (2.3.5), (2.3.7) величины радиальной и трансверсальной составляющих скорости в начальной и конечной точках гелиоцентрического участка

VTi =VTi =Йо • ч — е зшй^,РЙо • ч — е зшй^,Р(7.4.17)(7.4.17)

VTi =

VTi =

Йо • ч — е зшй^,

Р

Йо • ч — е зшй^,

Р

(7.4.17)

(7.4.17)

наконец, по формуле (2.3.8) найти величину скорости в указанных точках

^^l/ y(l + 2ecos^ + e2).

Соотношения (7.4.17), по существу, определяют радиальную и трансверсальную составляющие скорости КА в квазиорбитальной системе координат 5£ц£, начало которой совпадает с центром масс Солнца, а координатная плоскость 5^ц совмещена с плоскостью движения КА. При этом ось 5ц направлена по текущему радиусу-вектору КА, ось 5£ — против трансверсальной составляющей скорости, а ось 5£ дополняет систему до правой. По оси 5£ на-

правлен

единичный вектор внешней

нормали к плоскости движения КА.

Рис. 7.24. Переход от эклиптической к гелиоцентрической квазиорбитальной системе координат

Переход

от эклиптической к квази-

орбитальной системе координат осуществляется поворотами на углы Q,

i, и —л/2 (рис. 7.24). Отвечающая этому переходу матрица имеет вид

М =М =— sin i cos иsin i sin иcos i— sin i cos иsin i sin иcos i

М =

М =

— sin i cos иsin i sin иcos i

— sin i cos иsin i sin иcos i

sin и cos й + cos г cos и sin йcos и cos й — cos i sin и sin йsin i sin й

sin и sin й — cos t cos и cos Йcos и sin Й + cos i sin и cos Й— sin i cos Й

(7.4.18)

Если известны радиус-вектор

и вектор скорости

Vr

о

в квазиорбитальной гелиоцентрической системе координат, то при переходе к эклиптической системе координат получим

г = М"1г', V = M-1V',

где

и

(7.4.19)(7.4.19)Га = г (cos и cos Q — cos i sin a sin Q), rv = r (cos и sin Q + cos i sin и cos Q), rz = r sin i sin u.

(7.4.19)

(7.4.19)

У* = — У„ (sin и cos Q + cos i cos и sin Q) +

+ Vr (cos и cos Q — cos i sin и sin Q),

Уу = — У„ (sin и sin Q — cos i cos и cos Q) +(7.4.20)

+ VT (cos n sin Q + cos i sin и cos Q),

Уг = У„ sin i cos и + Уг sin i sin u.

Как уже отмечалось, гелиоцентрический участок межпланетной траектории является самым протяженным. Этот участок, по существу, определяет основные требования к выбору всей межпланетной траектории, в том числе к выбору оптимальной даты старта и потребной энергетики для перевода КА с околоземной орбиты на межпланетную траекторию. Анализ гелиоцентрического участка с учетом движения планет относительно Солнца позволяет установить цикличность оптимальных дат старта и т. п.

Планетоцентрические участки траектории. Рассмотрим внутреннюю задачу, т. е. движение КА в сферах действия планет. Для краткости условимся называть планету отправления Землей и соответствующий участок геоцентрическим, а планету назначения — просто планетой и участок планетоцентрическим.

После расчета гелиоцентрического участка межпланетной траектории известны векторы скорости КА в моменты времени t\ и t^ а именно Vi и Уг, заданные своими составляющими (7.4.20) в эклиптической системе координат. В этой же системе будем полагать заданными векторы скорости Земли VPi(ii) в момент начала гелиоцентрического участка КА и планеты Np^t^ в момент окончания указанного участка. Тогда можно вычислить векторы скорости КА относительно Земли и относительно планеты:

Уотн 1 = V1 - Vpi(ii), Уотн 2 = У2 - NP^Y (7.4.21)

Эти относительные скорости обычно принимают в качестве гиперболического избытка скорости и относят или к бесконечно удаленной точке, или к сфере действия. При втором допущении возникает небольшая методическая ошибка, поскольку не учитывается притяжение планеты на участке полета КА от границы ее сферы действия до бесконечно удаленной точки. Величина ошибки, равная разности скорости КА на границе сферы действия Уд и скорости КА в бесконечно удаленной точке У*,, зависит от поля притяжения планеты и величины гиперболического избытка скорости. Примеры расчета разности Уд — У» для некоторых планет Солнечной системы показаны на рис. 7.25 [35]. Понятно, что с увеличением У» разность Уд — Уоо уменьшается вследствие более быстрого удаления (или приближения) КА от планеты. Цри полете КА от Земли к Марсу и Венере обычно У» = 3 — 4 км/с, поэтому ошибка по скорости жожет достигать 130 м/с, а при полете от Земли к Юпитеру У» — 6 — 9 км/с, и ошибка по скорости не превышает 75 м/с.

Итак, положим

V оо 1 Vотн 1) V оо 2 Vотн 2,

где IVooil — гиперболический избыток скорости для геоцентрического участка траектории, a IV002I —гиперболический избыток скорости для планетоцентрического участка траектории. Согласно (2.2.2)

Рис. 7.25. Примеры расчета разности Уд — У<» для некоторых планет: 1 — Марс; 2 — Земля, Венера; 3 — ЮпитерРис. 7.25. Примеры расчета разности Уд — У<» для некоторых планет: 1 — Марс; 2 — Земля, Венера; 3 — Юпитер

Рис. 7.25. Примеры расчета разности Уд — У<» для некоторых планет: 1 — Марс; 2 — Земля, Венера; 3 — Юпитер

Рис. 7.25. Примеры расчета разности Уд — У<» для некоторых планет: 1 — Марс; 2 — Земля, Венера; 3 — Юпитер

гиперболический избыток скорости определяет постоянную интеграла энергии для гиперболической орбиты. Отсюда для геоцентрической и планетоцентрической гиперболических орбит

(7.4.22)(7.4.22)Ъ — V2h — V2

(7.4.22)

(7.4.22)

'^1 — у °°1? ^2 — v о°2*

Пусть при отлете от Земли известен требуемый вектор скорости Vol в эклиптической системе координат. Определим его составляющие в геоцентрической экваториальной системе координат O3xyz1 у которой плоскость О3ху совпадает с плоскостью экватора, ось Оах направлена в точку весеннего равноденствия Т, а ось O3z— по оси вращения Земли. Если 1Э — угол наклона плоскости экватора к плоскости эклиптики, то матрица перехода от гелиоцентрической эклиптической системы координат Sxyz к геоцентрической эквато-

риальной системе координат O3xyz имеет вид

1

0

0

мэ =

0

cos ia

sin ig

0

— sin ia

cos ig

Найдем теперь составляющие вектора ¥«1 в экваториальной си

стеме координат

(7.4.23)

а затем вычислим его склонение (угол между ¥«,1 и плоскостью экватора)

бх = arcsin ——

/41+^1+41

Прямое восхождение (угол между проекцией ¥«1 на плоскость экватора и осью О3х1 направленной в точку весеннего равноденствия) определяется из соотношений

V

cosax = - - — XL =-, sign sin ах = sign (0^ах^2л). (7.4.25) Е41+41

Перейдем к определению элементов геоцентрического участка межпланетной траектории. Наклонение г плоскости движения КА к экватору зависит от широты точки старта и допустимого азимута запуска. Плоскость движения должна проходить через вектор ¥»1, что возможно только при выполнении условия г ^ 6ь Заметим, что в случае точного равенства (i = 61) существует одна плоскость движения. При I > 61 имеются две плоскости, отличающиеся долготой восходящего узла, в которых возможно движение КА.

Если шпрота точки старта и азимут запуска заданы, обеспечивая выполнение условия i > 61, то в течение каждых суток существуют два момента времени для старта с поверхности Земли. Запуск в указанные моменты времени обеспечивает прохождение плоскости движения через вектор ¥«>1. При этом в одном случае доразгон с круговой орбиты на гиперболическую траекторию происходит в северном полушарии, а в другом случае — в южном. Для станций слежения, расположенных, например, на территории Советского Союза, северный вариант позволяет контролировать процесс разгона и фактически реализовавшуюся траекторию. Ввиду очевидного преимущества северного варианта для практического решения задачи' выведения КА на межпланетную траекторию обычно им и ограничиваются.

Зная прямое восхождение ai и склонение 61 вектора ¥„1 в экваториальной системе координат 03xyz, вычислим из сферического треугольника АВС (см. рис. 7.26) синус аргумента широты

sin иг =sin иг =sin 6tsin jsin 6tsin j(^>0).(^>0).(7.4.26)(7.4.26)

sin иг =

sin иг =

sin 6tsin j

sin 6tsin j

(^>0).

(^>0).

(7.4.26)

(7.4.26)

Рис 7 26 Выбор плоскости орбиты КА: 1 — плоскость экватора; 2 — возможные плоскости орбиты КА; 3 — плоскость меридианаРис 7 26 Выбор плоскости орбиты КА: 1 — плоскость экватора; 2 — возможные плоскости орбиты КА; 3 — плоскость меридиана

Рис 7 26 Выбор плоскости орбиты КА: 1 — плоскость экватора; 2 — возможные плоскости орбиты КА; 3 — плоскость меридиана

Рис 7 26 Выбор плоскости орбиты КА: 1 — плоскость экватора; 2 — возможные плоскости орбиты КА; 3 — плоскость меридиана

Отсюда найдем два значения аргумента широты, и^ и = л — — и ^ (где —л/2 ^и^ ^ л/2)2.

отвечающие двум положениям восходящего узла.

Для вычисления долготы восходящего узла предварительно установим связь между проекциями вектора ¥*1 в экваториальной системе координат O3xyz и в системе координат ^O3XYZ, у которой плоскость O3XY совпадает с плоскостью движения КА, ось O3Y направлена по вектору ¥оо1, ось O3Z ориентирована так, чтобы с ее конца движение КА наблюдалось происходящим против хода часовой стрелки. Ось О3Х дополняет систему координат до правой (рис. 7.26). Легко заме-

тить, что матрица перехода от

системы координат O3xyz к O3XYZ имеет вид (7.4.18), где и = иУ (или л — и^У Q = Q(1) (или Q(2)), а угол i определяет наклонение плоскости движения. Тогда

где Vxi, Vyb Fzi — составляющие вектора ¥«1 в системе координат O3xyz, а 0, Tool, 0 — составляющие этого вектора в системе координат O3XYZ. С учетом (7.4.18) имеем

¥«1 = ¥«,1 (cos wi cos Qi — cos i sin U\ sin Qi),

Kvi = К»! (cos U\ sin Qi + cos i sin U\ cos Qi).

Эти соотношения можно рассматривать в качестве уравнений относительно sin Qi и cos Qi, так как их левые части известны согласно

Отсюда

_ V . cos и- — У„. cos г sin и.sin Qi =1—^^—L

(7.4.27)(7.4.27)Уоо1 (cos2 u^ 4- cos2 i sin2 u^

(7.4.27)

(7.4.27)

V„- cos и 4- V cos i sin u.COS Ьб1 55; 2

Уоо1 (cos2^ 4- cos2 г sin2u1)

Подставляя в (7.4.27) сначала иг = и^, а затем ut = л — и^, вычислим два возможных значения долготы восходящего узла, Q^ и fi(i2). Далее следует выбрать то значение долготы восходящего узла геоцентрического участка траектории КА, которое обеспечивает наилучшие условия наблюдаемости при разгоне с круговой орбиты на гиперболическую.

Перейдем к определению элементов орбиты в плоскости движения. По формуле (2.4.33) найдем величину большой полуоси

Здесь Цз — произведение постоянной притяжения на массу Земли. Будем полагать, что КА предварительно выводится на круговую околоземную орбиту радиуса гкр, а затем стартует с нее на гиперболическую орбиту перелета. При импульсном маневре должно выполняться равенство гп = гкр, где гп — радиус перигея гиперболической траектории. Тогда линейный эксцентриситет

с = гп + а, эксцентриситет

г У2

°Из

и параметр

/ г У2 \

Р = гп (1 + в) = rKp ( 2 4-•

\/

Далее вычислим по формуле (2.4.19) предельный угол поворота гиперболической орбиты, или истинную аномалию бесконечно удаленной точки:

^пред = arccosl—^пред = arccosl—~2~ <С 'll пред < Л у •~2~ <С 'll пред < Л у •

^пред = arccosl—

^пред = arccosl—

~2~ <С 'll пред < Л у •

~2~ <С 'll пред < Л у •

Так как асимптота гиперболической орбиты, в направлении которой совершается уход КА от Земли, должна быть коллинеарна вектору У»!, то аргумент перицентра

СО = Ui — Перед (0 ^ со ^ 2л).

Широта перицентра срп определяется по формуле

<рп = arcsin(sin i sin со).

Время пролета перицентра £п соответствует моменту достижения широты фп при движении в требуемом направлении. В этот момент прикладывается импульс скорости для перевода КА с круговой орбиты на гиперболическую. Время £п зависит от момента старта с поверхности Земли и числа витков на околоземной орбите.

Таким образом, определены все элементы гиперболической орбиты в сфере действия Земли.

Использование промежуточной околоземной орбиты при запуске КА к планетам было впервые предложено в 1960 г. Т. М. Энеевым [31]. Это позволило существенно улучшить условия запуска и тем самым значительно увеличить массу выводимой полезной нагрузки на межпланетную траекторию по сравнению с прямым запуском с территории СССР. Впервые старт с промежуточной околоземной орбиты был реализован 12 февраля 1961 года при запуске советской автоматической станции «Венера-1».

Время старта to для выведения КА на промежуточную околоземную орбиту выбирается из условия обеспечения требуемой долготы восходящего узла получаемой плоскости движения. В первом приближении величину to с учетом длительности активного участка можно определить следующим образом. Пусть Хгм — абсолютная долгота (угловое расстояние от направления на точку весеннего равноденствия) гринвичского меридиана в 0 часов рассматриваемой даты старта. Обозначим через со3 угловую скорость суточного вращения Земли, to — гринвичское время старта, taK — длительность активного участка, Хо — долготу точки старта, АХак — разность долгот точки выхода на орбиту и точки старта, АХВ — разность долгот точки выхода на орбиту и восходящего узла орбиты, Qi — требуемую долготу восходящего узла орбиты, измеряемую от направления на точку весеннего равноденствия. Тогда должно выполняться условие

Хгм + Хо + СОз (to + ta^ + АХак = Й1 + АХВ.

Отсюда гринвичское время старта

t, = _ /я„. (7.4.28) м3

Полученная формула (7.4.28) не учитывает прецессии орбиты (т. е. поворота ее плоскости вследствие нецентральности поля притяжения Земли) за время движения КА по этой орбите. Соответствующая поправка может быть внесена по материалам гл. 8.

Рассмотрим теперь траекторию движения КА в сфере действия планеты назначения. Планетоцентрическая траектория также является гиперболической, и расчет планетоцентрического участка во многом совпадает с расчетом геоцентрического участка.

Вектор гиперболического избытка скорости ¥„2 можно отнести к сфере действия планеты, допуская при этом ошибку, величина которой оценивается с помощью зависимостей, построенных на рис. 7.25.

Траектория сближения КА с планетой зависит от цели полета (попадание в планету или прямая посадка, пролет на заданном расстоянии или гравитационный маневр для перевода КА на траекторию полета к другой планете, получение спутника планеты и др.).

Движение КА вблизи планеты удобно описывать в планетоцентрической системе координат Ряплуплзпл, у которой так называемая картинная плоскость Рхллулл перпендикулярна вектору Nа ось РгПЛ направлена в сторону вектора ¥«2 [31]. Ориентация осей Рхпл и Рупп определяется единичными векторами

Здесь гпл — гелиоцентрический радиус-вектор планеты в момент времени ta. Пусть в этот момент времени вектор ¥«2 проецируется на картинную плоскость в точку с координатами (^, у^. При отсутствии притяжения планеты траектория КА пересекла бы картинную плоскость в указанной точке. Следовательно, расстояние от центра планеты до этой точки определяет прицельную дальность, которая равна малой полуоси гиперболической орбиты

Плоскость планетоцентрической траектории КА проходит через центр масс планеты и вектор ¥«>2. В системе координат Рхллуллглл наклонение плоскости движения la = л/2. Если отсчитывать долготу восходящего узла Q2 в плоскости Рхллулл от оси Рхлл и принять, что в восходящем узле происходит изменение знака координаты гпл с «—» на «+», то для вычисления Ог имеем соотношения

Определим теперь элементы орбиты в плоскости движения. Величина большой полуоси

где цпл — произведение постоянной притяжения на массу планеты. Далее, воспользовавшись формулой (2.4.27), вычислим эксцентриситет

COS 'ЙПред —COS 'ЙПред ——-/АТТ2 ипреД JL ’ ■—-/АТТ2 ипреД JL ’ ■Истинная аномалия бесконечно удаленной точки (—'О’пред) вычисляется из соотношения

COS 'ЙПред —

COS 'ЙПред —

—-/АТТ

2 ипреД JL ’ ■

—-/АТТ

2 ипреД JL ’ ■

Аргумент широты указанной точки U2 = —л/2, отсюда аргумент перицентра

ю2 = ^2( ^пред) =2*~ ^пред*

Зная радиус сферы действия, можно из уравнения орбиты вычислить истинную аномалию, отвечающую моменту пролета сферы действия, а затем эксцентрическую аномалию, чтобы из уравнения Кеплера определить время пролета перицентра. Тем самым завершается вычисление элементов планетоцентрической орбиты.

Выбор оптимальной даты старта. В упрощенной постановке можно принять, что Земля и планета обращаются вокруг Солнца по круговым компланарным орбитам. Если пренебречь размерами их сфер действия по сравнению с протяженностью геоцентрического- участка, т. е. перейти к так называемым «точечным» сферам действия, оптимальной окажется траектория типа Гоманна. Поскольку решается задача сближения, КА и планета должны одновременно оказаться в точке касания их траекторий. Отсюда можно установить требуемое начальное положение Земли и планеты для реализации траектории типа Гоманна.

л(\ + г2)з/2л(\ + г2)з/2^12^12Пусть п — радиус круговой орбиты Земли, а гг — радиус круговой орбиты планеты. Тогда время полета КА по гоманновской траектории

л(\ + г2)з/2

л(\ + г2)з/2

^12

^12

а угловые скорости обращения Земли и планеты соответственноравны

Пусть Рп и Р21 — положения Земли и планеты в момент начала перелета КА, а Р12 и Р22 — положения Земли и планеты в момент окончания перелета КА (рис. 7.27). За время перелета ii2 КА перемещается по гоманновской траектории из положения Рц в Р22 на угловое расстояние л, а планета перемещается из положения Р21 в Р22 на угловое расстояние л — <ро. Приравняв эти времена, найдем потребный начальный угол фо:

(7.4.31)(7.4.31)

(7.4.31)

(7.4.31)

Здесь фо > 0 при г > 1, или Т2 > тх (рис. 7.27, а) и фо < 0 при г < 1, или Т2<г\ (рис. 7.27, б). В табл. 7.3 приведены основные характеристики гоманновских траекторий перелета с Земли к планетам Солнечной системы.

Если взаимное положение Земли и планеты не отвечает условию перелета по траектории типа Гоманна, то необходимо выждать до того момента времени, когда такое условие наступит. Прежде чем

Рис. 7.27. Схемы межпланетного перелета по полуэллипсу Гоманна: 1 — орбита Земли; 2 — орбита планеты

перейти к обсуждению способа расчета оптимальной даты старта, введем некоторые необходимые понятия.

Синодическим периодом ТСИН планет называют наименьший промежуток времени, через который повторяется взаимное положение двух планет (в частности, позволяющее осуществить перелет типа

Таблица 7.3

Характеристики гоманновских траекторий перелета Земля — планета

(старт с круговой орбиты высотой 200 км) [38]

Планета назначения

Начальное приращение скорости км/с

Гелиоцентрическая скорость на сфере действия Земли, км/с

Планетоцентрическая скорость на сфере действия, км/с

Длительность перелета, звездный год

Начальный угол ф0, град

Меркурий

5 556

22,252

9,614

0,29

—251,7

Венера

3,506

27 289

2,707

0,34

—54,1

Марс

3.613

32,729

2,650

0,71

44,3

Юпитер

6,305

38,577

5,645

2,73

97,1

Сатурн

7,285

40,074

5,449

6,05

106,0

Уран

7,978

41,066

4,660

16,04

111,5

Нептун

8,247

41,439

4,052

30,62

112,9

Плутон

8,364

41,599

3,647

45,60

113,4

Гоманна). Сидерическим периодом планеты Гсид называют наименьший промежуток времени, через который планета занимает в гелиоцентрическом движении одно и то же положение относительно -звезд. Если ГСИд i и ГСиД 2 — сидерические периоды обращения Зем-

ли и планеты, то их синодические периоды можно вычислить по формуле

^син =^син =2л1®>~®1|2л1®>~®1|1I 11г — тI СИД2 СИД11I 11г — тI СИД2 СИД1т тСИД1 СИД2т тСИД1 СИД2| Гсид1 ^сид2|| Гсид1 ^сид2|(7.4.32)(7.4.32)

^син =

^син =

2л

1®>~®1|

2л

1®>~®1|

1

I 11

г — т

I СИД2 СИД1

1

I 11

г — т

I СИД2 СИД1

т т

СИД1 СИД2

т т

СИД1 СИД2

| Гсид1 ^сид2|

| Гсид1 ^сид2|

(7.4.32)

(7.4.32)

Периодом великих противостояний Земли и Марса в астрономии принято называть промежуток времени между двумя последовательными сближениями указанных планет до минимального возможного расстояния. При этом обе планеты располагаются по прямой в одну сторону от Солнца. Земля находится вблизи своего афелия, Марс — перигелия. Такое расположение повторяется через 15 или 17 лет (например, в 1956 г., 1971 г., 1988 г.). При великих противостояниях положение Земли и Марса практически фиксировано относительно звезд.

По аналогии с этим будем называть периодом великих противостояний двух планет наименьший промежуток времени, через который повторяется положение планет в гелиоцентрической системе координат. Период великих противостояний приблизительно равен общему наименьшему кратному сидерических периодов планет и их

Таблица 7.4

Синодические периоды и периоды великих противостояний планет Солнечной системы и Земли

Планеты

Пин’ лет

^вп’ лет^)

Планеты

^СИН’ лет

•^вп’ лет1)

Меркурий

0,317

1

Сатурн

1,035

29

Венера

1,599

8

Уран

1,012

84

Марс

2,135

17

Нептун

1,006

165

Юпитер

1,092

12

Плутон

1,004

248>

*) Величина Гвп округлена до года.

синодического периода. В табл. 7.4 приведены синодические периоды (Гсин) и периоды великих противостояний (Твп) планет Солнечной системы и Земли. Ниже будет показано, что эти величины позволяют оценить периодичность оптимальных условий старта при межпланетных перелетах.

Вернемся теперь к определению оптимальной даты старта. Пусть (рю — гелиоцентрическая долгота Земли, измеряемая от направления на точку весеннего равноденствия, в момент начала отсчета времени, tx — время (дата) старта, отсчитываемое от этога момента. Тогда гелиоцентрическая долгота Земли в момент старта КА

фн = Фю + (01^1.

Обозначим через фго гелиоцентрическую долготу планеты в момент начала отсчета времени, тогда ее долгота в момент t\ + £12 прибытия КА к планете

<Р22 = ф20 + С02(^1 + £12).

Найдем разность

ф22 — Ф11 = ф20 — фЮ +(б>2 — (01)^1 + 02^12-

По условиям гоманновского перелета эта разность должна равняться ±л с точностью до 2&лг где к = 0, ±1, ... — количество синодических циклов от начала отсчета времени. Следовательно,

ф20 — ф10 + (н>2 — №1)^1 + 0)2^12 ~ ±Л + 2/сл (к = 0, ±1, . . .) .

Отсюда найдем время старта

+ л + 2Ал — Ф +— со t

Ц = —Z^12,(7.4.33)

или

tx = f1H + кТси,(7.4.34)

где

=(7.4.35)

— время старта при к = 0.

Вычислив оптимальную дату старта для упрощенной задачи движения планет (круговые компланарные орбиты), можно затем численными методами исследовать потребное приращение скорости при переходе с околоземной круговой орбиты на гиперболическую в некоторой окрестности оптимальной даты старта. В уточненных расчетах следует учесть эксцентричность орбит планет, их некомпланар- ность и другие факторы. Как правило, по результатам уточненных расчетов оптимальные даты старта несколько корректируются, хотя качественная картина при этом не меняется. Однако необходимо отметить, что в случае некомпланарных орбит перелет с угловой дальностью, равной л, возможен только в том случае, когда точка сближения КА с планетой находится вблизи линии узлов, образованной плоскостями движения планет. Если точка сближения КА с планетой находится далеко от линии узлов, то не удается реализовать траекторию перелета типа Гомапна. В результате значительно возрастает (по сравнению с оптимальными условиями старта) потребное приращение скорости при переводе КА с круговой околоземной орбиты на гиперболическую.

Из-за эксцентричности орбит планет и их некомпланарности потребное приращение скорости оказывается несколько отличающимся для различных оптимальных дат старта. Одновременно несколько меняется оптимальное время перелета £12- Например, при полетах к Марсу и Венере гиперболический избыток скорости (а значит, и потребное начальное приращение скорости) для оптимальных дат старта может меняться в диапазоне 3 — 4 км/с. Время перелета

,ti2 = 200 — 250 сут при полете к Марсу и tis = 107 — ИЗ сут при полете к Венере [35].

Для проектно-баллистических расчетов удобно пользоваться изо- .линиями гиперболического избытка скорости или потребного начального приращения скорости в плоскости параметров «дата старта — дата прибытия». Эти изоэнергетические линии (так как начальная высота фиксирована, то изменение скорости определяет изменение энергии КА) представляют собой два семейства замкнутых линий, одно из которых отвечает сближению КА с планетой на первом полувитке, а второе — на втором (рис. 7.28). При прочих

h

Дата старта

Рис. 7.28. Примеры изолиний потребных скоростей yci реализации межпланетных траекторий: а — сближение на первом получыкэ (У1 < У2< Уз < < У4 < Уз); б — сближение на втором полувит ко (Ут < У' < У3 < У^ < У5)

равных условиях траектория сближения на первом полувитке предпочтительнее, поскольку позволяет сократить время перелета. Чем меньше размеры замкнутой изоэнергетической линии, тем меньше потребная скорость. Если провести аналогию с изовысотными линиями, или линиями уровня в топографии, то окажется, что оптимальные условия перелета соответствуют «ямам» энергетических поверхностей, а два семейства линий разделены «энергетическим хребтом», который возникает из-за некомпланарности орбит планет. Только в частном случае, когда сближение с планетой происходит вблизи линии узлов-, оба семейства линий сливаются в одно [67].

Для каждой оптимальной даты старта в зависимости от располагаемой энергетики орбитальной ступени ракеты-носителя существует множество траекторий перелета, которые отличаются потребным

приращением скорости и временем перелета. Из этих траекторий можно выбрать такую, которая в большей степени удовлетворяет всем дополнительным требованиям, связанным с решением поставленной задачи. Обычно в качестве дополнительных требований рассматривают условия наблюдаемости КА на начальном участке удаления от Земли, геометрические условия подлета к планете, скорость сближения с планетой и др.

Последовательный облет нескольких небесных тел

На начальном этапе исследования космического пространства, как известно, запускались КА, предназначенные для полета к одной планете, например, Марсу или Венере. Это советские аппараты типа «Марс» и «Венера», американские аппараты типа «Маринер», «Викинг» и «Пионер». Ограничения по располагаемым энергетическим возможностям и по времени надежного функционирования бортовых систем не позволяли решать более сложных задач, связанных с последовательным облетом нескольких небесных тел. Повышение энергетических возможностей ракет-носителей и совершенствование бортовых систем КА позволили уже сейчас перейти к реализации программы многоцелевых полетов. За счет такого- «совмещения» нескольких целевых задач в одну многоцелевую экономятся ресурсы на проведение космических исследований, сокращается суммарное время получения научных результатов. При близком облете небесного тела КА совершает гравитационный, или пертурбационный маневр, получая некоторое приращение вектора скорости без включения двигательной установки. Вместе с тем при последовательном облете нескольких небесных тел повышаются требования к системе навигации и управления КА.

Впервые гравитационный маневр в межпланетном полете был осуществлен в 1974 году американским КА «Маринер-10» на маршруте Земля — Венера — Меркурий. Он пролетал на минимальном расстоянии 5740 км от Венеры, получив приращение скорости около 4,5 км/с, а затем сблизился с Меркурием до 720 км. Из-за слабого гравитационного поля Меркурия траектория КА после пролета этой планеты практически не изменилась.

Для решения некоторых задач приходится сочетать гравитационный маневр с активным, т. е. включать двигательную установку для дополнительного приращения вектора скорости. Обычно большая величина приращения скорости приходится на гравитационный маневр и лишь незначительная величина приращения скорости обеспечивается двигательной установкой. Однако в целом может достигаться существенный выигрыш. Например, в ряде случаев при полете КА к Меркурию с использованием поля притяжения Венеры активно-гравитационный маневр позволяет уменьшить вдвое потребные энергетические затраты по сравнению с чистым гравитационным маневром [56].

Использование гравитационного маневра. Траекторией облета нескольких планет называют такую траекторию, которая проходит через их сферы действия. Эта траектория должна проходить по крайней мере через сферы действия трех планет, включая планету отправления, промежуточную планету, которая используется для гравитационного маневра, и планету назначения. Траектория сложного маршрута может проходить через сферы действия четырех и большего числа планет.

Как показано в п. 7.2.3, довольно просто оценить максимальную возможную величину приращения скорости КА при гравитационном маневре, если пренебречь изменением вектора гелиоцентрической скорости планеты за время движения КА в ее сфере действия. Это максимальное возможное приращение равно круговой •скорости в перицентре гиперболической траектории КА относительно планеты, если гиперболической избыток скорости на входе в сферу действия также равен указанной круговой скорости. Как известно, круговая скорость в перицентре зависит от параметра ц планеты и радиуса перицентра, который должен выбираться по возможности меньшим, гарантируя вместе с тем безопасный пролет вблизи планеты.

В табл. 7.5 приведены оценки возможного изменения скорости за счет гравитационного маневра в сферах действия различных планет. Под оптимальным маневром здесь имеется в виду вход в сферу

Таблица 7.5

Изменение скорости КА при гравитационном маневре [38]

Величина изменения скорости, км/с

Планета

при оптимальном маневре

при перелете по траектории типа Гоманна

при перелете по параболической траектории

Меркурий

3,0

1,7

Венера

7,2

4,7

—

Марс

3,5

3,4

1.2

Юпитер

42,7

10,0

29,7

Сатурн

25,6

10,4

21,5

Уран

15,1

8,5

14,2

Нептун

16,7

7,6

13,6

Плутон

1,0

0,6

0.3

действия планеты с гиперболическим избытком скорости, равным круговой скорости в перицентре гиперболической орбиты. Видно, что наибольшее приращение скорости (~43 км/с) может быть получено при гравитационном маневре в сфере действия Юпитера. При пролете Сатурна КА может получить ~26 км/с, Урана ~ 15 км/с, а Нептуна ~17 км/с. Если межпланетный перелет от Земли совершается по траектории типа Гоманна, то приращение

ного маневра с активным, когда установки изменяется траекторияного маневра с активным, когда установки изменяется траектория

ного маневра с активным, когда установки изменяется траектория

ного маневра с активным, когда установки изменяется траектория

скорости при облете указанных планет не превысит 7—10 км/с. В случае параболической межпланетной траектории, касающейся, орбиты Земли, приращение скорости может достигать 13—30 км/с.

Заметим, что использование далеких планет для получения наибольшего приращения скорости КА в процессе гравитационного маневра достаточно проблематично из-за большого времени полета д» этих планет. Отсюда наиболее реальным представляется использование ближайших к земле планет, т. е. Венеры и Марса, а также Юпитера. В последнем случае можно существенно уменьшить запас топлива КА для полетов к Сатурну, Урану, Нептуну, Плутону, Солнцу и вне плоскости эклиптики.

Активно-гравитационный маневр. Возможности гравитационного маневра в поле притяжения планеты ограничены. Поэтому в ряде задач возникает необходимость сочетания гравитацион

за счет включения двигательной движения КА. При этом «вклад» активной составляющей маневра должен быть по возможности меньше, чтобы уменьшить, потребный запас топлива. Обычно рассматривают 1—2 включения двигательной установки^ что в импульсной аппроксимации равносильно приложению 1—2 импульсов скорости.

Одноимпульсный маневр соответствует переводу КА с одной гиперболической траектории на другую, так как вход в сферу действия планеты и выход из сферы действия происходит по гиперболическим траекториям. Двухимпульсное изменение скорости предполагает перевод КА с начальной гиперболической траектории на не-

Рис 7 29 Схема перелета между гипер- которую промежуточную, а за- болическими орбитамитем с промежуточной — на ко

нечную гиперболическую траекторию. В зависимости от цели маневра может меняться величина и направление вектора скорости на выходе из сферы действия.

Следуя работе [75], рассмотрим задачу одноимпульсного перелета между гиперболическими орбитами. Такая задача возникает при оптимизации активно-гравитационного маневра в сфере действия планеты. Будем считать, что заданы входная У»! и выходная У «а величины гиперболического избытка скорости, а также угол у изменения направления движения (рис. 7.29). Требуется определить-

величину АУ импульсного изменения скорости и точку, в которой осуществляется маневр.

Возможны 4 типа одноим1пульсных переходов между гиперболическими орбитами. С нисходящей ветви начальной гиперболической орбиты КА может перейти на нисходящую или восходящую ветвь конечной гиперболической орбиты. Точно так же с восходящей ветви начальной гиперболической орбиты КА может перейти на нисходящую или восходящую ветвь конечной гиперболической орбиты.

В результате активно-гравитационного маневра угол изменения направления движения у будет складываться из угла а между входными асимптотами начальной и конечной гиперболических орбит и полного угла поворота Фполн = 2^2 для конечной гиперболической «орбиты, т. е.

т= а + 2р2.(7.5.1)

Из треугольников АВС и ADF на рис. 7.29 следует, что

Z СВЛ = п-(-£--р,)- Z СЛВ = ^ + Р,- Z DAF =

или

а = Pi — Рг + ^г — йч.(7.5.2)

Здесь '0’1, 0’2 — угловые расстояния от перицентров до точки маневра для начальной и конечной гиперболических орбит (О’ > 0 при повороте по ходу часовой стрелки от перицентра до рассматриваемой точки). Нетрудно проверить, что соотношение (7.5.2) справедливо для любого из четырех перечисленных ранее типов одно- импульсных перелетов между гиперболическими орбитами. С учетом (7.5.1) и (7.5.2) имеем

у = Pi + р2 + Фг — 0ч.(7.5.3)

Следовательно, угол изменения направления движения зависит от геометрических характеристик начальной и конечной гиперболических орбит и положения точки маневра.

Обычно при рассмотрении активно-гравитационного маневра минимизируется величина приращения скорости АУ за счет работы двигательной установки. Чтобы получить результаты анализа в более общем виде, отнесем АУ и Уоо2 к У»!, т. е. введем величины

АР-АУ/Ую1, Р-У^/У-ь(7.5.4)

а в качестве параметра, характеризующего минимальное расстояние пролета КА относительно планеты, рассмотрим

где гп — радиус перицентра, ц — произведение постоянной притяжения на массу планеты.

Вычислим величину ДУ. Из векторного треугольника в точке? приложения импульса имеем

ДУ = /у2 + у2 _ 2УаУ2 cos (02 - 0J,(7.5.6)

где Уц У2—скорости в точке маневра на начальной и конечной гиперболических орбитах, а 61, 62 — углы наклона траектории в этой точке. С помощью интеграла энергии (2.2.1) и значения его постоянной для гиперболической орбиты h = У^> найдем величину скорости на расстоянии г:

(7-5-7)

Здесь

« =(7.5.8>

— величина действительной полуоси гиперболической орбиты. Далее, используя соотношения (2.3.7) и (2.3.8), получим

n ^п1 + е cos О'

cos 9 = —р- = - -'

илиилиcos 0 =cos 0 =11(7.5.9)(7.5.9)к 1 + 2е cos О + е2

или

или

cos 0 =

cos 0 =

1

1

(7.5.9)

(7.5.9)

так как согласно (2.4.19)

COS 0пред —COS 0пред —1•—, SinVnpcH1•—, SinVnpcH

COS 0пред —

COS 0пред —

1•

—, SinVnpcH

1•

—, SinVnpcH

ииtg 0 = tg [ 0tg 0 = tg [ 0предо-) — С^ ^пред — //У е2 — 1предо-) — С^ ^пред — //У е2 — 1(7.5.10)(7.5.10)

и

и

tg 0 = tg [ 0

tg 0 = tg [ 0

предо-) — С^ ^пред — /

/У е2 — 1

предо-) — С^ ^пред — /

/У е2 — 1

(7.5.10)

(7.5.10)

Для синуса утла наклона траектории имеем формулу

2 + tg Р — 1

(7.5.11)(7.5.11)S1B 0 = ± -4=

(7.5.11)

(7.5.11)

— 2 + —а к а

Знак минус отвечает нисходящей ветви гиперболической орбиты (до- пролета перицентра), а знак плюс соответствует восходящей ветви (после пролета перицентра). ■

С помощью соотношений (7.5.7), (7.5.9), (7.5.11) можно пре- •образовать (7.5.6) к следующему Виду:

cos О’ =cos О’ =Используя теперь уравнение орбиты (2.2.31), получим формулы для вычисления угла О':

cos О’ =

cos О’ =

1\ sin^,

— tg2 р

а 6 м )

илл

cos2 Р — sin2 рcos О’ = (7.5.14)

-^-sinp

и

/

г2/

— sin2 Р — / cos2 Р — — sin2 Р I

smv = ±.(7.5.15)

-^-sinp

Знак в (7.5.15) выбирается согласно приведенному ранее правилу.

Из соотношения (7.5.3) имеем

Y - Pi - Р2 = 0-2 - Оч, «отсюда

cos (у — Pi — Р2)= cos Оч cos 0’2 + sin О’! sin 0’2

и с учетом соотношений (7.5.13) — (7.5.15) получим

(cos2 Р, — г sin2p ) [ cos2 Р — sin2p |

cos (у - рг - Р2) ^iL ±

L_ sin Рг sin Р2

cos PjCosP2 V r2 sin2P1 — cos2P1 + 27sin2 Рг "I / 2—sin2p — cos2P9 -j-^- sin2P2 V a2“a

r

~^~ sin p sin Poa 12

а затем

-4- sin P1 sin P2 cos (y — [^ — p2) — a

— (cos2 P1 — r sin2 PJ cos2 P2L. sin2 P2 = + cos рг cos p2 X

\a*

/

/7227

(r2 sin2 P1 — cos2 Pi + 2r sin2 P^ (^ sin2 P2 — cos2 P2 4- — sin2pa

\aa.

Возводя обе части в квадрат и собирая коэффициенты при одинаковых степенях г, найдем после несложных преобразований

72[sin2 рг sin2 р2 [cos2 (у — р1 — р2) —а(— 2 sin рг sin р2 cos (у — рх — Р2) + sin2 Pi sin2 Р2 — cos2 Pi cos2 Р2] г2 4-72[sin2 рг sin2 р2 [cos2 (у — р1 — р2) —а(— 2 sin рг sin р2 cos (у — рх — Р2) + sin2 Pi sin2 Р2 — cos2 Pi cos2 Р2] г2 4-+ 2+ 2L tg Pi tg p2— (cos2 P! + a cos2 P2) j r +' а 2 tg2 p cos pa ; Q 22 COS (y -cos p tg px rL tg Pi tg p2— (cos2 P! + a cos2 P2) j r +' а 2 tg2 p cos pa ; Q 22 COS (y -cos p tg px rcos (y — Pl — P2) —COS p. COS P„Igfl, tgp2 xcos (y — Pl — P2) —COS p. COS P„Igfl, tgp2 xcos pt tg Рд tg Pi cos pacos pt tg Рд tg Pi cos pa= о.= о.

72[

sin2 рг sin2 р2 [cos2 (у — р1 — р2) —

а(

— 2 sin рг sin р2 cos (у — рх — Р2) + sin2 Pi sin2 Р2 — cos2 Pi cos2 Р2] г2 4-

72[

sin2 рг sin2 р2 [cos2 (у — р1 — р2) —

а(

— 2 sin рг sin р2 cos (у — рх — Р2) + sin2 Pi sin2 Р2 — cos2 Pi cos2 Р2] г2 4-

+ 2

+ 2

L tg Pi tg p2

— (cos2 P! + a cos2 P2) j r +

' а 2 tg2 p cos p

a ; Q 22 COS (y -cos p tg px r

L tg Pi tg p2

— (cos2 P! + a cos2 P2) j r +

' а 2 tg2 p cos p

a ; Q 22 COS (y -cos p tg px r

cos (y — Pl — P2) —

COS p. COS P„

Igfl, tgp2 x

cos (y — Pl — P2) —

COS p. COS P„

Igfl, tgp2 x

cos pt tg Рд tg Pi cos pa

cos pt tg Рд tg Pi cos pa

= о.

= о.

Поскольку r sin Pi sin P2 ^ 0, то это уравнение равносильно следую

щему:

Ат2 + Вт + С = 0,

(7.5.16)

где

А = [cos (у — Рг — Р2) + sin Рг sin Р2]2 — cos2 рг cos2 р2,

В = 2

(a tg2 рг 4- tg2 р2) cos Ргcos Р2

tg Pi tg р2

cos (у — Pl — р2) —

— (cos2 Pi 4- а cos2 р2) L

С

COS Рг COS Р2

tg Pl tg p2

a2tgP1Cos P2 _ 9 cos рг tg p2

cos(y —Pl —p2) 4-

cos pt tg p2 tgPiCosP2

Коэффициенты уравнения (7.5.16) зависят от углов у, 01, 02 и параметра а = аъ!а\. Величина угла у задана по условиям маневра. Углы Рь 02 определяются заданными величинами гиперболических избытков скоростей и выбираемыми радиусами перицентров для начальной и конечной и гиперболических орбит. Действительно, согласно (2.4.25) и (7.5.5) имеем

sin₽ = 4- =L—--X- ['о<₽<^'). (7.5.17) гп^ ! +\2

Определив коэффициенты Л, В, С, вычислим затем корни уравнения (7.5.16) и после подстановки т в (7.5.12) найдем нормированную величину потребного для маневра импульса скорости.

Предположим теперь возможность выбора vni и vn2, т. е. радиусов перицентров начальной и конечной гиперболических орбит. Тогда подбором vni и vn2 можно обеспечить минимальную величину ДР; будем называть такой маневр оптимальным (при заданных значениях V и у).

Рассмотрим теперь частный случай маневра, когда переход происходит в совпадающих перицентрах гиперболических орбит с помощью касательного к траектории импульса скорости. Условимся называть такой переход перицентралънъгм. В этом случае Й! = йг = = 0. Отсюда

Т = 01 + 02(7.5.18)

и с учетом (7.5.14) получим

cos2^ — г sin2 01 = г sin 0П(7.5.14а}

cos202^г sin2 02 = ^sinp2.(7.5.146)

аа

Исключив из этих соотношений величину г, найдем уравнение, связывающее 01 и 0г:

sin 01 =sin 01 =sin 02а + (1 — ^) sin 02sin 02а + (1 — ^) sin 02(7.5.19)(7.5.19)

sin 01 =

sin 01 =

sin 02

а + (1 — ^) sin 02

sin 02

а + (1 — ^) sin 02

(7.5.19)

(7.5.19)

Далее воспользуемся (7.5.18) тогда получим уравнение дляДалее воспользуемся (7.5.18) тогда получим уравнение длядля исключения угла 01 из (7.5.19) определения угла 02для исключения угла 01 из (7.5.19) определения угла 02

Далее воспользуемся (7.5.18) тогда получим уравнение для

Далее воспользуемся (7.5.18) тогда получим уравнение для

для исключения угла 01 из (7.5.19) определения угла 02

для исключения угла 01 из (7.5.19) определения угла 02

sin (у — 02)sin (у — 02)sin 02а + (1 — a) sin02sin 02а + (1 — a) sin02(7.5.20)(7.5.20)

sin (у — 02)

sin (у — 02)

sin 02

а + (1 — a) sin02

sin 02

а + (1 — a) sin02

(7.5.20)

(7.5.20)

Решив это уравнение, вычислим по формуле (7.5.19) угол 01 и затем из соотношений (7.5.14а) или (7.5.146) определим величину г, необходимую для расчета ДР.

Для перицентрального перехода с помощью касательного импульса скорости углы наклона траектории 01 = 62 = 0, поэтому

•формула (7.5.6) упрощается

АУ= 171-У2|, и с учетом (7.5.7), (7.5.13) имеем в этом случае

(7.5.21)

Подставляя сюда найденное значение г, вычислим АГ.

Обсудим теперь результаты численных расчетов задачи одноим- пульсного перелета между гиперболическими орбитами [75]. Заданными характеристиками маневра является отношение гиперболических избытков скоростей конечной и начальной орбит F = = 7оо2/7оо1, а также угол изменения направления движения у. Эти величины отложены соответственно по осям абсцисс и ординат на рис. 7.30, 7.31. При построении графиков оказалось возможным ограничиться величинами F ^ 1, так как в случае 0 < F < 1 имеет место «зеркальное» решение с равными значениями потребной величины AF. Выходными величинами являются потребное относительное приращение скорости AF = AV/Fooi и параметр vn = = У~1ГП/Ц = F^d/Укр (гп), который отвечает расстоянию наибольшего сближения с планетой.

На рис. 7.30 показаны характеристики перицентр альных перелетов между гиперболическими орбитами. Ось ординат (F = 1) отвечает предельному случаю, когда гиперболические избытки скорости равны, а перелет осуществляется без приложения импульса скорости только за счет надлежащего выбора угла

Р1 = ₽2 = -Г-

Ось абсцисс (у = 0) соответствует прямолинейной траектории, когда импульс скорости прикладывается за пределами сферы действия по направлению движения КА (или против направления движения). Теоретическая верхняя граница угла поворота траектории у = 180°. При приближении к ней имеем vn -^ 0, AF -> 0. Реальная верхняя граница должна определяться с учетом допустимого расстояния пролета, т. е. иметь вид кривых vn = const.

На рис. 7.31 построены аналогичные зависимости для оптимальных переходов. В целом характер кривых AF = const не меняется, хотя они несколько смещены вправо вниз по сравнению с рис. 7.30. Это объясняется уменьшением величины AF при тех же значениях F и у. Для оптимального маневра параметр vn отвечает гиперболической орбите, по которой совершается пролет перицентра.

В качестве примера рассмотрим случай, когда необходимо обеспечить отношение гиперболических избытков скоростей конечной и начальной орбит F = 1,9 и угол изменения направления движения 7 = 55°. Тогда в случае перицентрального перехода AF = 0,5 vn =* = 0,7. При оптимальном переходе имеем AF = 0,2, vn = 0,5.

Рис. 7.30. Характеристики одноимпульсных перицентральных перелетов между гиперболическими орбитами

Рис. 7.31. Характеристики оптимальных одноимпульсных перелетов между гиперболическими орбитами

Оптимальный одноимпульсный переход можно реализовать только в том случае, когда наибольшее сближение с планетой отвечает требованиям безопасности полета. Если требования безопасности нарушаются, необходимо искать оптимальное решение с учетом ограничения на минимальное допустимое расстояние до поверхности планеты. В некоторых случаях это расстояние определяется требо-

ваниями программы полета. На рис. 7.32 в качестве примера по- -строены характеристики одноимпульсного перелета при угле изменения направления движения у — 90° в зависимости от минимального расстояния сближения (параметра vn). Величина AF достигает минимума при оптимальных маневрах. Результаты расчетов

Рис. 7.32. Одноимпульсные переходы между гиперболическими орбитами при изменении направления движения на 90°

показывают, что в области, лежащей правее линии перицентраль- ных переходов, имеет место переход с восходящей ветви начальной гиперболической орбиты на восходящую ветвь конечной гиперболической орбиты (переход после перицентра). В области, лежащей левее линии перицентральных маневров, имеют место переходы с нисходящей ветви начальной гиперболической орбиты на нисходящую ветвь конечной гиперболической орбиты (переход от перицентра). В последней области находятся и оптимальные маневры при F > 1. В случае F < 1 указанные области меняются местами.

Кривая, отвечающая условию F = 1, содержит точку, для которой AF = 0 и которая определяет траекторию облета планеты без приложения импульса скорости. Геометрические места точек, соответствующие оптимальным и пегрицентральным маневрам, включают ту же самую точку. При F = 1 необходимый угол поворота можно получить без приложения импульса скорости, а лишь за счет выбора перицентрального расстояния.

Если у < 90°, то зависимости AF (vn, F) становятся более пологими, а при 7 < 90° — более крутыми.

Примеры последовательного облета небесных тел. Обсудим наиболее интересные примеры реализации межпланетных траекторий с последовательным облетом нескольких небесных тел. 20 августа 1977 года был запущен американский КА «Вояджер-2» по маршруту Земля — Юпитер — Сатурн — Уран — Нептун. Такую траекторию часто называют «Гранд тур» (Grand Tour—«Великое путешествие»). Основные цели запуска включали исследование атмосфер Юпитера и Сатурна, Большого красного пятна Юпитера, колец Сатурна, гравитационных полей Юпитера и Сатурна, некоторых характеристик их спутников, а также планетной системы Урана [82]. Благоприятное расположение планет для реализации подобной траектории повторится только в 2154 году.

В табл. 7.6 представлены основные этапы полета КА «Вояджер-2» и минимальные расстояния до планет (по уточненным данным), а на рис. 7.33 показана схема траектории полета. После

Таблица 7.6

Основные этапы и параметры траектории полета КА

«Вояджер-2»

Событие

Дата

Расстояние, км

Запуск с Земли

20 августа 1977 года

—

Пролет на минимальном расстоянии от Юпитера

9 июля

1979 года

700000

Пролет на минимальном расстоянии от Сатурна

25 августа 1981 года

101000

Пролет на минимальном расстоянии от Урана

24 января 1986 года

81200

Пролет на минимальном расстоянии от Нептуна

24 августа 1989 года

1300

сближения с Нептуном КА «Вояджер-2» должен покинуть Солнечную систему, двигаясь в направлении созвездия Козерога. В процессе полета КА «Вояджер-2» неоднократно проводилась коррекция траектории. При сближении с планетами была получена информация, представляющая большой научный интерес. Предполагается, что связь с КА «Вояджер-2» будет поддерживаться в течение 30 лет. За это время он удалится на расстояние ~15 млрд, км от Земли.

15 и 21 декабря 1984 года были запущены советские автоматические межпланетные станции (АМС) «Вега-1» и «Вега-2» в рамках международного проекта «Венера-Галлей» (сокращенно проект «Вега») [26]. Впервые реализована траектория последовательного сближения с планетой Венерой и кометой Галлея (рис. 7.34). Орбиты этих небесных тел существенно отличаются. Так, планета Галлея движется по сильно вытянутой гелиоцентрической орбите

Рис. 7.33. Схема полета КА «Вояджер»

Рис. 7.34. Схема полета советских АМС «Вега» после сближения с Венерой: 1— траектория КА «Вега»; 2— восходящий узел орбиты кометы; 3— орбита кометы Галлея; 4 — нисходящий узел орбиты кометы

с периодом обращения -'1^ лет. Афелий находится на расстоянии ~5,28 млрд, км, а перигелий — на расстоянии ~88 млн. км, т. е. внутри орбиты Венеры.

Уникальная возможность перелета АМС «Вега» по маршруту Земля — Венера — комета Галлея с небольшими энергетическими затратами достигнута благодаря использованию гравитационного маневра при сближении с Венерой и несущественной коррекции скорости для перевода АМС на траекторию сближения с кометой Галлея.

В середине июня 1985 года от каждой АМС был отделен спускаемый аппарат, совершивший посадку на поверхность Венеры. При прохождении атмосферы планеты от спускаемого аппарата отделялся аэростатный зонд для автономного плавания в облачном слое на высоте около 50 км. Пролетный аппарат использовался для ретрансляции на Землю информации, поступавшей от спускаемого аппарата и аэростатного зонда. После этого оба пролетных аппарата с помощью активного маневра были направлены на траекторию сближения с кометой Галлея. Сближение произошло в первой половине марта 1986 года. Минимальное расстояние составило ~ 10 тыс. км, а относительная скорость достигала ~80 км/с. В результате проведенных сеансов исследования кометы Галлея получена весьма ценная научная информация.

Сложность решения задачи столь тесного сближения АМС с кометой Галлея была обусловлена тем, что точность априорного знания траектории движения кометы оказалась на два порядка хуже требуемой. Поэтому уже в процессе полета АМС «Вега-1» и «Вега-2» совместными усилиями советских и зарубежных ученых, осуществлявших наземные наблюдения за движением кометы, удалось обеспечить требуемую точность только к моменту сближения. Вместе с тем сами АМС в сеансе высокоточных измерений угловых координат кометы Галлея при максимальном сближении с ней позволили существенно повысить точность определения положения кометы. Эти результаты были необходимы для оперативного наведения в точку наибольшего сближения с кометой Галлея европейского КА «Джотто», который осуществил сближение через пять дней после пролета кометы советскими АМС «Вега».

Полет в сторону Солнца

Обсудим задачу полета КА в сторону Солнца, центрального притягивающего тела нашей планетной системы. Исследование около- солнечнего космического пространства представляет несомненный практический интерес, однако выведение КА в эту область требует больших энергетических затрат.

Возможны следующие основные схемы геоцентрической траектории КА в сторону Солнца:

Полет по траектории типа Гоманна.

Полет по биэллиптической траектории с предварительным удалением от Солнца.

Полет по биэллиптической траектории с гравитационным (активно-гравитационным) маневром в сфере действия внешней планеты, имеющей сильное гравитационное поле.

При запуске в сторону Солнца не требуется вывести КА на близкую гелиоцентрическую круговую орбиту. Поэтому первая схема полета реализуется с помощью одного (тормозного) импульса скорости, который сообщается КА на орбите Земли. Вторая схема требует двух импульсов скорости. Первый (разгонный) сообщается КА на орбите Земли, а второй (тормозной) сообщается КА в афелии траектории полета. Третья схема отличается тем, что второй импульс скорости заменяется гравитационным (или активно-гравитационным) маневром с целью уменьшения потребного запаса топлива.

Перечисленные схемы полета отличаются от аналогичных маневров при перелете между круговыми орбитами отсутствием последнего импульса скорости, который обеспечивает выход на заданную круговую орбиту. В результате существенно снижаются потребные энергетические затраты. Вместе с тем области целесообразного применения двух первых схем полета, определенные в гл. 5, могут существенно трансформироваться.

Оценим потребные энергетические затраты и время движения для каждой из обсуждаемых схем полета и выявим области их рационального применения.

С целью упрощения внешней задачи, т. е. расчета гелиоцентрического участка траектории, будем полагать орбиту Земли круговой радиуса г3.

Решение внутренней задачи, т. е. расчет геоцентрического участка траектории, не зависит от выбранной схемы полета на гелиоцентрическом участке.

~л Г 2г~л Г 2г6.1. Полет по траектории типа Гоманна. Эта схема предполагает использование на гелиоцентрическом участке траектории типа Гоманна, афелий которой расположен на уровне орбиты Земли (г3), а перигелий — на заданном минимальном расстоянии от Солнца (гп). Потребный импульс скорости по существу является гиперболическим избытком скорости в геоцентрическом движении КА на выходе из сферы действия Земли и вычисляется по формуле вида (5.1.41):

~л Г 2г

~л Г 2г

или

тт^-<7-6л)

г 1 + гл

Здесь FKp з — круговая скорость орбитального движения Земли, F^ = = Foo/FKp з, fa = rjr3. При такой нормировке все расстояния измеряются в астрономических единицах (а. е.).

Вектор гиперболического избытка скорости КА на границе сферы действия Земли должен быть направлен против вектора орбитальной скорости Земли. Это требование удовлетворяется путем соответствующего выбора промежуточной круговой орбиты ИСЗ и точки перевода КА на гиперболическую орбиту, по которой происходит полет до сферы действия Земли.

Используя соотношение (2.5.10), получим формулу для расчета времени движения на гелиоцентрическом участке от афелия до перигелия:

^с =^с =(1 + гп^,(1 + гп^,ла3//2 л

^с =

^с =

(1 + гп^,

(1 + гп^,

/^с21/2 С0орб

Рис. 7.35. Характеристики гелиоцентрического участка полета к Солнцу по траектории типа ГоманнаРис. 7.35. Характеристики гелиоцентрического участка полета к Солнцу по траектории типа Гоманнагде а = (гп + гз) /2— большая полуось гелиоцентрической орбиты, р,с — произведение постоянной притяжения на массу Солнца, о>^б — угловая скорость орбитального гелиоцентрического движения Земли.

Рис. 7.35. Характеристики гелиоцентрического участка полета к Солнцу по траектории типа Гоманна

Рис. 7.35. Характеристики гелиоцентрического участка полета к Солнцу по траектории типа Гоманна

Пусть р 2л ®орб

— сидерический год; тогда время полета на гелиоцентрическом участке, исчисляемое в годах,